Asimetrik heavenly denkleminin simetri indirgemesi ve bi-Hamilton yapısı
Symmetry reduction of asymmetric heavenly equation and bi-Hamilton structure
Yazar: HAKAN SERT
Danışman: DOÇ. DR. DEVRİM YAZICI
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Fizik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2014
Konu: Fizik ve Fizik Mühendisliği = Physics and Physics Engineering

Özet:
Bu çalışmada son günlerde gelişme gösteren 3+1-boyutlu integre edilebilir bi-Hamilton sistemler çalışılmıştır. Genel olarak bir bağımlı değişken ile x, y, z ve t şeklinde dört bağımsız değişkenden oluşan ikinci mertebeden lineer olmayan diferansiyel denklemler ele alınacaktır. Ortak simetri içeren, lineer olmayan, ikinci mertebeden kısmı türevli diferansiyel denklemlerin sınıflandırılmasından elde edilen kanonik denklemlerden biri olan asimetrik heavenly denklemi, bu denklemlere bir örnektir. Bu denklemin bir simetri indirgemesinden elde edilen 2+1-boyutlu yeni denklemin çoklu-Hamilton yapıya sahip integre edilebilir bir sistem verdiği gösterilmiştir. İndirgenmiş yeni 2+1 boyutlu sistem iki bileşenli formda yazıldığında bi-Hamilton yapıya sahip olduğu gösterilmiştir. Birinci Hamilton fonksiyonu ve simplektik yapıyı elde etmek için Dirac'ın bağ teorisi iki-bilişenli sistem için tanımlanan yeni Lagrange fonksiyonuna uygulanarak elde edilmiştir. Sistemin Frechet türevini elde etmek için sadece bağımlı değişkenleri içeren Lie grup dönüşümüne integre edilebilirlik şartı (compatibility) uygulanmıştır.  Tekrarlama operatörünün ve Frechet türevininin komutatörünün sistemi yeniden oluşturduğu için Olver-Ibragimov-Shabat tipi Lax çifti oluşturdukları gösterilmiştir.  Daha sonra tekrarlama operatörü inşa edilmiş ve sistemin ikinci Hamilton yapısı tekrarlama operatörünün birinci Hamilton operatörüne uygulanmasıyla elde edilmiştir. Son olarak Hamilton operatörleri için Jacobi özdeşliği P. Olver'in yöntemi kullanılarak kanıtlanmıştır. Böylece Magri teoremine göre indirgenmiş 2+1-boyutlu yeni sistemin tamamen integre edilebilir olduğu sonucuna varılmıştır.

Abstract:
In this work we study 3+1-dimensional bi-Hamiltonian integrable systems which are developed considerably in recent years. In general we are interested in nonlinear second order differential equations with one dependent variable and four independent variables x, y, z and t. One of the examples of these equations is asymmetric heavenly equation, obtained as one of the canonical equations in the classification of nonlinear second order partial diferantial equations that possess partner symmetries. We show that one symmetry reduction of this equation yields a new 2+1-dimensional multi-Hamiltonian intagrable system. It is shown that reduced 2+1-dimensional system set in a two-component form admits a bi-Hamiltonian structure. For a two-component system a new Lagrangian is introduced and Dirac's constraint theory is applied to obtain the symplectic and first Hamiltonian structure. In order to get Frechet derivative of the system the compatibility condition is applied to the Lie group transformation which is only considered for a dependent variable. It is also shown that the commutator of the recursion operator and Frechet derivative reproduce the system and therefore form a Lax pair Olver-Ibragimov-Shabat type. Then the Recursion operator is constructed and the second Hamiltonian structure for this system is obtained by applying the recursion operator on the first Hamiltonian operator. Finally Jacobi identity for Hamiltonian structure is proven by using P. Olver's method. Therefore we conclude that reduced new 2+1-dimensional system is completely integrable by Margi's theorem.