Lineer integral denklemler için bazı pozitif lineer operatör yaklaşım süreçleri
Some positive linear operator approximation processes for linear integral equations
Yazar: OĞUZHAN KARABULUT
Danışman: PROF. DR. HARUN KARSLI
Bolu Abant İzzet Baysal Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez, Volterra ve Fredholm integral denklem sınıflarının tam çözümleri ve bazı lineer pozitif operatörler yardımıyla kurularak oluşturulan yaklaşık çözümlerinin incelenmesini içermektedir. 
Birinci bölümde integral denklem teorisinin ortaya çıkışına ve integral denklemler ile ilgili yapılan çalışmalara yer verilmiştir. İkinci bölümde integral denklem çeşitlerine, üçüncü bölümde ise temel kavramlar ve lineer pozitif operatörlere yer verilmiştir. Lineer pozitif operatörlerden Bernstein polinomları ve Baskakov operatörleri tanıtılmış ve bu operatörlerin özelliklerine yer verilmiştir. Dördüncü bölümde Volterra integral denklemlerin tam çözümleri için Adomian ayrıştırma metodu ve ardışık yaklaşımlar metodu tanıtılmış, yaklaşık çözümlerin hesabında kullanılmak üzere, Bernstein polinomları ve Baskakov operatörü kullanılarak Volterra integral denklemler yeniden kurulmuştur. Dördüncü bölümün sonunda ise örnek verilerek, Volterra integral denklemin tam ve yaklaşık çözümleri bulunmuştur. Örnekte verilen integral denklemin tam çözümü ve farklı n değerleri ile elde edilen yaklaşık çözümleri, tablo ve grafikler kullanılarak karşılaştırılmıştır. Beşinci bölümde Fredholm integral denklemlerin tam çözümleri için Adomian ayrıştırma metodu ve ardışık yaklaşımlar metodu tanıtılmış, yaklaşık çözümlerin hesabında kullanılmak üzere, Bernstein polinomları ve Baskakov operatörü kullanılarak Fredholm integral denklemler yeniden kurulmuştur. Beşinci bölümün sonunda ise örnek verilerek, Fredholm integral denklemin tam ve yaklaşık çözümleri bulunmuştur. Ayrıca integral denklemin tam çözümü ve farklı n değerleri ile elde edilen yaklaşık çözümleri, tablo ve grafikler kullanılarak karşılaştırılmıştır. Sonuç bölümünde, örneklerden elde edilen tablo ve grafikler yorumlanarak, gelecekte yapılacak çalışmalar için önerilerde bulunulmuştur.

Abstract:
This thesis includes the examination of approximate solutions of Volterra and Fredholm integral equations obtaining by setting up some positive linear operators and  the examination of exact solutions of Volterra and Fredholm integral equations.
            In the first chapter, the emergence of the theory of integral equations and studies on integral equations are given. In the second part, the types of integral equations and in the third part basic concepts and linear positive operators are given. Bernstein polynomials and Baskakov operators, which are linear positive operators, are introduced and the properties of these operators are given. In the fourth chapter, Adomian decomposition method and successive approximations method are introduced for exact solutions of Volterra integral equations, and Volterra integral equations are reconstructed using Bernstein polynomials and Baskakov operator to be used in the calculation of approximate solutions. At the end of the fourth chapter, the exact and approximate solutions of the Volterra integral equation are found by giving an example. The exact solution of the integral equation given in the example and its approximate solutions obtained with different n values are compared using tables and graphs. In the fifth chapter, Adomian decomposition method and successive approximation method are introduced for exact solutions of Fredholm integral equations, and Fredholm integral equations are reconstructed using Bernstein polynomials and Baskakov operator to be used in the calculation of approximate solutions. At the end of the fifth chapter, the exact and approximate solutions of the Fredholm integral equation are found by giving an example. Also, the exact solution of the integral equation and the approximate solutions obtained with different n values were compared using tables and graphs. In the conclusion part, by interpreting the tables and graphics obtained from the examples were given suggestions for future studies.