Eşil mekaniğin nanoçubukların statik problemlerine uygulanması
Application of doublet mechanics to the static problems of nanorods
Yazar: HİLAL KOÇ
Danışman: PROF. DR. EKREM TÜFEKCİ
İstanbul Teknik Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Makine Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Makine Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2024
Konu: Makine Mühendisliği = Mechanical Engineering
Dizin: Analitik çözümler = Analytical solutions ; Euler-Bernoulli çubuğu = Euler-Bernoulli beam ; Karbon nanotüp = Carbon nanotube ; Konsol kirişler = Cantilever beams ; Nanoteknoloji = Nanotechnology ; Nanoçubuk = Nanorod ; Timoshenko çubuğu = Timoshenko bar

Özet:
Nano boyuttaki malzemeler, boyuta bağlı olduğu için, makro boyut kabulü ile yapılan modeller gerçeği temsil etmekte yetersiz kalmaktadır. Bu nedenle, literatürde nano çubukların, nano kirişlerin ve nano tüplerin statik ve dinamik davranışları, boyuta bağlı teoriler kullanılarak incelenmektedir. Boyuta bağlı teorilere, gerilme gradyanı teorisi, birim şekil değiştirme gradyanı teorisi, gerilme bağlaşımı teorisi, yerel olmayan elastisite teorisi örnek olarak verilebilir. Bu teorilerde, boyut parametresinin belirlenmesi, önemli bir problemdir. Başka bir deyişle, iç yapının karakteristik uzunluk parametresi, belli bir aralıkta seçilmekte ve probleme göre değişiklik göstermektedir. Yani, bu parametrenin değerinin kesin olarak bilinmesi mümkün değildir.
Nano çubukların mekanik davranışlarının, eşil mekanik yöntemi ile incelenmesi ise oldukça yeni bir yaklaşımdır. Nano/mikro yapıyla ve iç yapının karakteristik uzunluğuyla doğrudan ilişkili olan eşil mekanik yöntemi, diğer boyuta bağlı teorilerle karşılaştırıldığında iç yapının konumlanmasını da içerdiği için önemli bir üstünlüğe sahiptir. Eşil mekanik yaklaşımında, boyut parametresi doğrudan atomlar arasındaki uzaklık olarak ele alınmaktadır. Ayrıca, bu yaklaşım atomların konumları, basit kafes yapıları gibi iç yapının konumlanmasını da ele aldığı için, aynı iç uzunluğa sahip, ancak, farklı atom konumlanması veya kafes yapısı olması durumlarını da dikkate almaktadır. Eşil mekaniğin aksine, aynı karakteristik iç uzunluğa ve farklı iç yapı konumlamalarına sahip tüm cisimler diğer boyuta bağlı teoriler kullanılarak incelendiğinde elde edilen denklemlerin aynı olduğu görülmektedir. Eşil mekanik yöntemi ile yapıdaki atomların konumlarına göre de farklı modelleme olanağı bulunmaktadır. Literatürde, iç yapının karakteristik uzunluğuna bağlı diğer teorilerin malzemenin sertleştiği veya yumuşadığı bilgisini verdiği, eşil mekaniğin ise iç yapının şekline bağlı olarak yumuşamayı ve sertleşmeyi tahmin edebildiği görülmektedir. Eşil mekaniğin en önemli üstünlüklerinden biri, deneysel sonuçlarla da uyumlu olmasıdır. Bu nedenle, tezde önerilen eşil mekanik yaklaşımının, boyut etkisini dahil eden teorilere göre oldukça avantajlı olduğu görülmektedir.
Eşil mekanik yaklaşımında, şekil değiştirmeler Taylor serisi ile ifade edilir. Elde edilen diferansiyel denklemlerin mertebesi Taylor serisine bağlıdır. Nano/mikro yapının modellenmesi, Taylor serisinde kullanılacak terim sayısı ile ilgilidir. Kullanılacak terim sayısının artması ile sonuçların doğru değerlere yakınsaması arasında ilişki bulunmaması ve artan terim sayısının hesaplama yükü de getirmesi eşil mekanik yönteminin zayıf yönleri olarak ifade edilebilir. Diğer yöntemlerle karşılaştırıldığında eşil mekanik yönteminin avantajları ise, atomlar arası iç karakteristik uzunluğun doğrudan atomlar arası uzaklığı ifade etmesi nedeniyle daha yüksek hesaplama doğruluğuna sahip olmasıdır. Bu yaklaşım sayesinde, nano ölçekli sistemlerin tasarımının çok daha güvenilir bir şekilde yapılabileceği düşünülmektedir.
Birinci bölümde, nano yapıların, nano çubukların, nano kirişlerin ve nanotüplerin, mekanik davranışlarının incelenmesinde, literatürde kullanılan yöntemlere ve çalışmalara yer verilmiştir. Ayrıca, bu çalışmanın literatürdeki çalışmalardan hangi özellikler bakımından üstün olduğuna değinilmiştir. Yapılan literatür araştırmasında, genellikle yerel olmayan elastisite teorisinin diferansiyel ve integral formu kullanılarak yapılan çalışmaların yer aldığı, eşil mekanik yöntemi kullanılarak yapılan az sayıda çalışma olduğu gözlemlenmiştir. Eşil mekanik yöntemini ele alan çalışmalarda, mikro gerilme ve birim şekil değiştirme arasındaki ilişkide basitleştirme yapılmış olup, genel bir makro gerilme ifadesine rastlanmamıştır. Ayrıca, bu çalışmalarda yüksek mertebe sınır koşullarını ve koltuk nanotüpte literatürden farklı olarak ortaya çıkan gerilme ifadelerine de rastlanmamıştır.
İkinci bölümde, eşil mekanik yöntemi hakkında detaylı bilgi verildikten sonra, herhangi bir varsayım yapılmaksızın makro ve mikro gerilme ve birim şekil değiştirme arasındaki ilişki, Taylor seri açılımında, ilk üç ve dört terim için elde edilmiştir. Eşil mekanik yöntemi ile düzlemsel doğru eksenli kirişlerde makro ve mikro gerilme ve şekil değiştirmeler arasındaki ilişki ve üç eksendeki gerilme ifadeleri en genel haliyle ilk kez elde edilmiştir. Düzlem gerilme durumunda, sadece eksenel uzama etkisi ve kayma şekil değiştirmelerinin etkisi göz önünde bulundurularak, zigzag ve koltuk nanotüp, Euler-Bernoulli ve Timoshenko nano kirişi olarak modellenmiştir. Ardından, zigzag ve koltuk nano kiriş modellerine ait makro gerilme ifadeleri elde edilmiştir. Euler-Bernoulli nano kiriş modeli için elde edilen bu gerilme ifadelerinin zigzag nano kiriş modeli için literatürdeki çalışmalarla birebir aynı olduğu, ancak koltuk nano kiriş modeli için bu ifadelerin farklı olduğu görülmüştür. Koltuk nano kiriş modelinde, σ_xx^((M)) makro gerilmesinin yanı sıra, σ_zz^((M)) makro gerilmesinin de ortaya çıktığı gözlemlenmiştir. Bu durum, literatürde bir ilktir. Ayrıca, hem zigzag hem de koltuk Timoshenko nano kiriş kiriş modellerinde ise σ_xx^((M)) ve σ_xz^((M)) makro gerilme ifadelerinin yanı sıra σ_zz^((M)) makro gerilme ifadesi literatürden farklı olarak ortaya çıktığı gözlemlenmiştir. Literatürde, σ_zz^((M)) makro gerilme ifadesinden bahseden ve ele alan herhangi bir çalışmaya rastlanmamıştır.
Üçüncü bölümde, düzlem gerilme durumunda, sadece eksenel ve kayma birim şekil değiştirmelerin etkisi göz önünde bulundurularak, zigzag ve koltuk nano kiriş modellerine ait denklemler minimum potansiyel enerji prensibi ve/veya diferansiyel denge denklemleri ile elde edilmiştir. Euler-Bernoulli nano kiriş modelinde, basit-basit ve ankastre-serbest sınır koşulları ele alınmıştır. Timoshenko nano kiriş modelinde ise, basit-basit, ankastre-serbest, ankastre-ankastre ve ankastre-basit sınır koşulları ele alınmıştır. Altıncı mertebe yönetici denklemlerin çözümü analitik olarak elde edilmiştir. Ardından, boyut parametresinin, kayma şekil değiştirmesinin, narinlik oranının, σ_zz^((M)) makro gerilme ifadesinin, klasik ve klasik olmayan (yüksek mertebe) sınır koşullarının Euler-Bernoulli ve Timoshenko nano kiriş modellerinin eğilme davranışına etkisi detaylı bir biçimde incelenmiştir. Ayrıca, düzgün yayılı yüklü ankastre-serbest, düzgün yayılı yüklü ankastre-ankastre ve serbest ucundan tekil yük uygulanmış ankastre-serbest kiriş durumunda ortaya çıkan belirsizlikler, yüksek mertebe sınır koşulları ve yeni çözüm yöntemi kullanılarak, literatürde ilk kez giderilmiştir. Düzgün yayılı yüklü ankastre–basit, düzgün yayılı yüklü ankastre-ankastre ve serbest ucundan tekil yük uygulanan ankastre-serbest kiriş durumlar ilk kez eşil mekanik yöntemiyle ele alınmıştır.
Dördüncü bölümde, herhangi bir varsayım yapılmaksızın ikinci bölümde geliştirilen makro gerilme ve birim şekil değiştirme arasındaki ilişki, literatürde verilen formülasyonla doğrulanmıştır. Literatürde belirtilen formülasyon kullanıldığında, zigzag ve koltuk Euler-Bernoulli nano kiriş modellerine ait makro gerilme ifadelerinin, η^2'den yüksek mertebeli terimleri ihmal edildiğinde, geliştirilen formülasyonla birebir aynı olduğu gözlemlenmiştir. Küçük boyut parametresinin, klasik ve klasik olmayan sınır koşullarının, ve σ_zz^((M)) makro gerilme ifadesinin Euler-Bernoulli ve Timoshenko nano kiriş modellerine ait boyutsuz yer değiştirme üzerindeki etkileri tablolarla ve görsellerle sunulmuştur.
Düzgün yayılı yüklü zigzag ve koltuk Euler-Bernoulli nano kiriş modellerinde, yüksek mertebe sınır koşulu seçiminin basit mesnet sınır koşulları ele alındığında, yer değiştirme üzerinde herhangi bir etkiye sahip olmadığı ve ankastre-serbest sınır koşuluna sahip kirişte bu sınır koşullarının seçiminin önemli bir etkiye sahip olduğu gözlemlenmiştir. Başka bir deyişle, η^2'den yüksek mertebeli terimler ihmal edildiğinde, basit mesnet sınır koşullarına sahip kiriş modeline ait yer değiştirme ifadelerinin birebir aynı olduğu ve kiriş modellerinin klasik (yerel) Euler-Bernoulli kiriş teorisine göre yumuşama davranışı gösterdiği gözlemlenmiştir. Ayrıca, ankastre-serbest sınır koşuluna sahip kiriş modelinde farklı yüksek mertebe sınır koşullarının seçilmesiyle kiriş modelinin yumuşama (BC2 veya BC4) ve sertleşme (BC3) davranışı ilk kez gözlemlenmiştir.
Eşil mekanik temelli yer değiştirme alanı kullanıldığında, basit-basit ve ankastre-basit sınır koşullarına sahip düzgün yayılı yüklü zigzag Timoshenko kiriş modelinin klasik Timoshenko kirişine göre yumuşama davranışı gösterdiği, ankastre-serbest sınır koşulu ele alındığında kiriş modelinin sertleşme davranışı gösterdiği, ankastre-ankastre sınır koşulu ele alındığında kiriş modelinin yerel Timoshenko kirişine ait yer değiştirme ifadesine karşılık geldiği gözlemlenmiştir. Ayrıca, düzgün yayılı yüklü ankastre-serbest sınır koşuluna sahip kiriş modelinin serbest ucundan F tekil kuvveti uygulandığında elde edilen yer değiştirme ifadesinin yerel Timoshenko kirişine ait yer değiştirme ifadesine karşılık geldiği görülmüştür. Ankastre-serbest, ankastre-ankastre ve ankastre-serbest sınır koşuluna sahip kiriş modelinin serbest ucundan F tekil kuvveti uygulandığında durumda ortaya çıkan belirsizlikler yüksek mertebe sınır koşulları ve yeni bir çözüm yöntemi kullanılarak ilk kez giderilmiştir. Böylece, ele alınan tüm yükleme ve sınır koşullarında, kiriş modellerin tutarlı olarak yumuşama davranışı gösterdiği gözlemlenmiştir. Ayrıca, zigzag Timoshenko kiriş modelinin eğilme davranışının incelenmesinde, boyut parametresinin etkisinin sırasıyla ankastre-ankastre, ankastre-basit ve ankastre-serbest nano kiriş modelleri için en belirgin olduğu gözlemlenmiştir. Zigzag Euler-Bernoulli ve Timoshenko kiriş modelinde, Eringen'in yerel olmayan elastisite teorisin diferansiyel formunda belirtilen iç karakteristik uzunluk parametresinin değerinin, e_0 a, η⁄√12 olduğu bulunmuştur. 
Beşinci bölümde, farklı sınır ve yükleme koşullarına sahip Euler-Bernoulli ve Timoshenko nano kiriş modellerinin eğilme davranışının eşil mekanik yöntemi ile incelenmesinde elde edilen sonuçlar özetlenmiştir. Eringen'in yerel olmayan elastisite teorisinin yerine, eşil mekanik yöntemi kullanılarak, nano kiriş modellerinin eğilme davranışının incelenmesinde önemli bir etkiye sahip olan küçük boyut parametresinin değeri belirlenmiştir. Boyut parametresinin, kayma şekil değiştirmesinin, narinlik oranının, σ_zz^((M)) makro gerilme ifadesinin, klasik ve klasik olmayan sınır koşullarının etkilerinin incelendiği bu çalışmada elde edilen sonuçların, eşil mekanik yöntemi ve boyuta bağlı teoriler kullanılarak yapılacak çalışmalar için önemli bir altyapı oluşturacağı düşünülmektedir. Ayrıca, eşil mekanik yöntemi kullanılarak ileride yapılacak çalışmalar hakkında önerilere yer verilmiştir.

Abstract:
Since nano-sized materials depend on size, models based on macro dimensions cannot accurately represent reality. Therefore, in the literature, the static and dynamic behaviours of nanorods, nanobeams and nanotubes are studied using size-dependent theories. Examples of size-dependent theories include stress gradient theory, strain gradient theory, couple stress theory, and nonlocal elasticity theory. In these theories, determining the size parameter poses a significant challenge. In other words, the characteristic length parameter of the internal structure is selected within a specific range and varies depending on the issue. That is, it is impossible to precisely determine this parameter's value. Examining the mechanical behaviour of nanorods using the doublet mechanics is a relatively new approach. Doublet mechanics, directly related to the nano/microstructure and the characteristic length of the internal structure, offers a significant advantage compared to other size-dependent theories because it also includes the positioning of the internal structure. In the doublet mechanics, the size parameter represents the distance between atoms. In addition, since this approach also considers the positioning of the internal structure, such as the positions of atoms and simple lattice structures, it also takes situations with the same internal length but different atom positioning or lattice structure. Contrary to doublet mechanics, when all objects with the same characteristic internal length and different internal structure positions are examined using other theories, the resulting equations are identical. With doublet mechanics offers different modelling possibilities depending on the positions of the atoms in the structure. In the literature, other size-dependent theories, relying on the characteristic length of the internal structure, provide information regarding material hardening or softening. At the same time, doublet mechanics can predict softening and hardening depending on the shape of the internal structure. One of the most significant advantages of doublet mechanics is its compatibility with experimental results. Therefore, the doublet mechanics proposed in the thesis appears to be quite advantageous compared to theories including the size effect. In the doublet mechanics, deformations are expressed by the Taylor series. The order of the resulting differential equations depends on the Taylor series. Modelling the nano/microstructure is related to the number of terms used in the Taylor series. However, the lack of a clear relationship between increasing the number of terms to be employed and the convergence of the results to the correct values and the fact that the increasing number of terms brings computational difficulty can be expressed as the weaknesses of the doublet mechanics. The advantage of this method compared to other size-dependent theories is that it has higher calculation accuracy since the internal characteristic length between atoms directly expresses the distance between atoms. Thanks to this approach, it is thought that the design of nanoscale systems can be done much more reliably.
The first chapter includes methods and studies used in the literature to examine the mechanical behaviour of nanostructures, nanorods, nanobeams and nanotubes. Additionally, it was mentioned which features of this study are superior to the studies in the literature. The literature research observed that while there were generally studies using the differential and integral forms of the nonlocal elasticity theory, a few studies used doublet mechanics. Studies dealing with doublet mechanics have simplified the relationship between micro stress and strain, but a general macro stress expression has not been found. In addition, higher-order boundary conditions and coupling in the zigzag and armchair nanotube were not seen in these studies, unlike those in the literature.
In the second part, after providing detailed information about doublet mechanics, the relationship between macro and micro stress and strain is obtained for the first three and four terms in the Taylor series expansion without making any assumptions. The relationship between macro and micro stresses and deformations, the micro modulus matrix in planar straight-axis beams and the stress expressions in three axes were obtained for the first time in their most general form with doublet mechanics. Considering only the effect of axial extension and shear strains in the case of plane stress, the zigzag and armchair nanotubes were modelled as Euler-Bernoulli and Timoshenko nanobeams. Then, macro stress expressions for zigzag and armchair nanobeam models were obtained. It has been observed that these stress expressions obtained for the Euler-Bernoulli nanobeam model are the same as the studies in the literature for the zigzag nanobeam model. Still, these expressions are different for the armchair nanobeam model. It has been observed that in the armchair nanobeam model, in addition to the macro stress σ_xx^((M)), the macro stress σ_zz^((M)) also occurs, which is a first in the literature. In addition, the macro stress σ_xx^((M)) and σ_xz^((M)) as well as the macro stress σ_zz^((M)) have been observed in both the zigzag and armchair Timoshenko nanobeam beam models. σ_xx^((M)) and σ_xz^((M)) as well as the macro stress σ_zz^((M)) appear differently from the literature. In the literature, no study mentions and deals with the macro stress σ_zz^((M)).
In the third section, in the case of plane stress, the governing equations of the zigzag and armchair nanobeam models were obtained by the minimum potential energy principle and/or differential equilibrium equations, considering the effect of only axial and shear strains. In the Euler-Bernoulli nanobeam model, simply supported and clamped-free boundary conditions are considered. The Timoshenko nanobeam model considers simply supported, clamped-free, clamped-clamped, and clamped-simply supported boundary conditions. The solution of the sixth-order governing equations was obtained analytically. Then, the effects of size parameter, shear deformation, slenderness ratio, the macro stress σ_zz^((M)), and classical and nonclassical (higher-order) boundary conditions on the bending behaviour of Euler-Bernoulli and Timoshenko nanobeam models were examined in detail. In addition, the uncertainties that arise when applying a singular load from the free end of a clamped-free, uniformly distributed loaded clamped-clamped and clamped-free beam have been eliminated for the first time by using higher order boundary conditions and a new solution method. It should be noted that the cases where a singular load is applied from the free end of the beam with uniformly distributed load for clamped-free, clamped-hinged, and clamped-clamped with uniformly distributed load are handled for the first time with doublet mechanics.
In the fourth section, the accuracy of the relationship between macro stress and strain, developed without any assumptions in the second section, is proven with the formulation in the literature. When the formulation specified in the literature is used, it has been observed that the macro stress expressions of the Euler-Bernoulli zigzag and armchair nanobeam models are precisely the same as the developed formulation when terms higher than η^2 are neglected. The effects of small size parameter, classical and nonclassical boundary conditions, and the macro stress σ_zz^((M)) on the dimensionless displacement of Euler-Bernoulli and Timoshenko nanobeam models are presented with tables and figures. In uniformly distributed loaded zigzag and armchair Euler-Bernoulli nanobeam models, it has been observed that the selection of higher order boundary conditions does not have any effect on the displacement when simply supported beams are considered and that the choice of these boundary conditions has a significant impact on the beam with clamped-free boundary conditions. In other words, when terms higher than η^2 are ignored, it has been observed that the displacement expressions of the beam with simply supported beams are precisely the same, and the beam models show softening behaviour according to the local Euler-Bernoulli beam theory. Additionally, by selecting different higher-order boundary conditions in the beam with clamped-free boundary conditions, softening (BC2 or BC4) and hardening (BC3) behaviour were observed for the first time in the literature. When the displacement field based on doublet mechanics is used, the uniformly distributed loaded zigzag Timoshenko beam model with simply supported and clamped-hinged boundary conditions shows a softening behaviour compared to the classical Timoshenko beam. When the clamped-free boundary condition is considered, the hardening behaviour of the beam is shown. Considering the clamped-clamped beam, it was observed that the beam corresponds to the displacement expression of the local Timoshenko beam. In addition, it has been observed that the displacement expression obtained when a singular force F is applied from the free end of the beam with uniformly distributed loaded clamped-free boundary condition corresponds to the displacement expression of the local Timoshenko beam. The uncertainties that arise when a singular force F is applied from the beam's free end with clamped-free, clamped-clamped, and clamped-free boundary conditions have been eliminated for the first time using higher-order boundary conditions and a new solution method. Thus, it was observed that the beam models showed consistent softening behaviour under all loading and boundary conditions considered. Moreover, in examining the bending behaviour of the zigzag Timoshenko beam model, it was observed that the effect of the size parameter was most evident for clamped-clamped, clamped-hinged supported and clamped-free nanobeams, respectively. In the zigzag Euler-Bernoulli and Timoshenko beam model, the internal characteristic length parameter value specified in Eringen's nonlocal differential form, e_0 a, was found to be, η⁄√12.
The fifth chapter summarises the results obtained from investigating the bending behaviour of Euler-Bernoulli and Timoshenko nanobeams with different boundary and loading conditions using the doublet mechanics. Using the doublet mechanics instead of Eringen's nonlocal elasticity theory, the value of the small size parameter, which significantly affects the bending behaviour of nanobeams, was determined. The results obtained in this study, in which the effects of the size parameter, shear deformation parameter, slenderness ratio, the macro stress σ_zz^((M)), and classical and nonclassical (higher-order) boundary conditions are examined, are essential for studies to be carried out using the doublet mechanics and size-dependent theories. It is thought that it will create infrastructure. Additionally, suggestions for future studies using the doublet mechanics are stated.