Riccati operator equations on the weighted bergman space of the unit ball
Birim yuvardaki ağırlıklı bergman uzayı üzerinde riccati operatör denklemleri
Yazar: NUR SARI
Danışman: PROF. DR. MEHMET GÜRDAL ; DR. RAMİZ TAPDIGOĞLU
Süleyman Demirel Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2021
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu yüksek lisans tezinde üretici çekirdek ve Berezin sembolü yardımıyla tanımlı $A_{\alpha}^{2}\left(  \mathbb{B}_{n}\right)  $ ağırlıklı Bergman uzayı üzerinde Toeplitz operatörlerini kullanarak fonksiyonel analiz ve operatörler teorisinin çeşitli
konuları (invaryant altuzaylar, Riccati operatör denklemleri ve bazı Berezin sayı eşitsizlikleri) ve uygulamaları incelenmiştir.
Bu yüksek lisans tez çalışması dört ana bölümden oluşacak şekilde düzenlenmiştir. Birinci bölüm giriş kısmına ayrrılmış ve literatür hakkında bilgi verilmiştir. İkinci bölümde öncelikle Berezin sembolü ve invaryant altuzay probleminin tarihsel gelişim sürecinden bahsedilmiş ve ardından Toeplitz operatörü ve Riccati denklem operatörü ele alınmıştır. Üçüncü bölümde, Berezin sembolü, invaryant
altuzay, Toeplitz operatörü ve ağırlıklı Bergman uzayı üzerinde Riccati operatör denklemleri ile ilgili bazı tanım ve teoremler üzerinde durulmuştur. Dördüncü bölümde, ilk olarak $\mathbb{C}^{n}$'de $\mathbb{B}_{n}$ birim yuvarının $A_{\alpha}^{2}\left( \mathbb{B}_{n}\right)  $ ağırlıklı Bergman uzayı üzerinde Riccati operatör denklemleri incelenmiş ve onların çözümlerinin özellikleri elde edilmiştir. Aynı zamanda Berezin sembolleri yardımıyla $A_{\alpha}^{2}\left(  \mathbb{B}_{n}\right)  $ ağırlıklı Bergman uzayı üzerinde Toeplitz operatörlerinin invaryant altuzayları incelenmiştir. Ayrıca bazı bilinen Dragomir eşitsizlikleri kullanılarak üretici çekirdekli Hilbert uzay operatörlerinin Davis-Wielandt-Berezin yarıçapı için bazı üst sınırları üzerine incelemeler yapılmış ve $\left(  A_{1},A_{2}\right)  $ kuadratik ağırlıklı operatör ortalaması için bazı yeni Berezin sayı eşitsizlikleri ispatlanmıştır.

Abstract:
In this master thesis, we examined applications into various topics in functional analysis and operator theory (invariant subspaces, Riccati operator equations and some Berezin number inequalities) using the Toeplitz operator on
weighted Bergman space defined in terms of reproducing kernels and Berezin symbol. This master thesis is arranged to consist of four main chapters. The first chapter is devoted to the introduction and information is given about
the literature. In the second chapter, historical development process of the Berezin symbol and invariant subspace problem is mentioned and then Toeplitz operator and Riccati equation operator are discussed. In the third chapter,
certain definitions and main theorems related to Berezin symbol, invaryant subpaces, Toeplitz operator and the operator Riccati equation on the weighted Bergman space are emphasized. In the fourth chapter, firstly the Riccati
operator equations on the weighted Bergman space $A_{\alpha}^{2}\left(
\mathbb{B}_{n}\right)  $ of the unit ball $\mathbb{B}_{n}$ in $\mathbb{C}^{n}$
are investigated, and the properties of their solutions are obtained. Also, invariant subspaces of Toeplitz operator on the weighted Bergman space $A_{\alpha}^{2}\left(  \mathbb{B}_{n}\right)  $ in terms of Berezin symbols
are investigated. In addition, some upper bounds for the Davis-Wielandt-Berezin radius of reproducing kernel Hilbert space operators by using some known Dragomir inequalities for vectors in inner product spaces are established, and some new Berezin number inequalities for the quadratic weighted operator mean of $\left(  A_{1},A_{2}\right)$ are proved.