Lineer olmayan oluşum denklemlerinin integrallenebilirliği ve tam çözümleri
Exact solutions and integrability of nonlinear evolution equations
Yazar: BURCU AYHAN
Danışman: PROF. DR. MEHMET NACİ ÖZER
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2015
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Tam çözüm = Exact solution

Özet:
Lineer olmayan oluşum denklemleri, bilimin birçok alanında ortaya çıkan problemlerin matematiksel modelleridir. Son yıllarda oluşum denklemleri, uygulamalı matematikte önemli bir çalışma alanı olmuştur. Şimdiye kadar, bu denklemler için integrallenebilirlik ve tam çözümleri içeren birçok metot geliştirilmiştir.

   Bu tez, lineer olmayan oluşum denklemleri için tam çözüm yöntemleri ve bir pertürbasyon (bozulma) metodu olarak bilinen çok ölçekli açılım metodu ile ilgilidir. İlk olarak, tezin içeriğinde sıklıkla kullanılan kısmi diferensiyel denklem, oluşum denklemi, integrallenebilirlik, ardıştırma operatörü, pertürbasyon metodu, yayılma bağıntısı ve tam çözüm gibi önemli kavramlar verilmiştir. Bu tanımların ardından, iyi bilinen lineer olmayan oluşum denklemlerinden, Korteweg-de Vries (KdV) denklemi, lineer olmayan Schrödinger (NLS) denklemi ve yüksek mertebeden KdV tipi denklemler kısaca tanıtılmıştır.

   İlerleyen bölümlerde, çok ölçekli açılım metodu adım adım açıklanmıştır. Bu yolla, integrallenebilir yüksek mertebeden KdV tipi denklemlerden, integrallenebilir NLS tipi denklemler türetilmiştir. Aynı zamanda bu metotla, yüksek mertebeden KdV tipi denklemler için yaklaşık çözümler elde edilmiştir.

   Son olarak lineer olmayan oluşum denklemleri için tanh metodu, (G′/G) açılım metodu, (G′/G, 1/G) açılım metodu, genelleştirilmiş en basit denklem (SEM) metodu, (1/G′) açılım metodu, kısa açılımların değişimi (MTEM) metodu ve fonksiyonel değişken metodu gibi tam çözüm yöntemleri detaylarıyla açıklanmıştır. Bu metotları kullanarak yüksek mertebeden KdV tipi denklemler için farklı tipte tam çözümler elde edilmiştir.

Abstract:
SUMMARY

   Nonlinear evolution equations are the mathematical models of problems that arise in many field of science. In recent years, evolution equations has become an important field of study in applied mathematics. So far, a lot of methods include integrability and exact solutions have been devoloped for these equations.

   This thesis relate to exact solution methods and multiple scale method which is known as a perturbation method for nonlinear evolution equations. Initially, some important descriptions widely used in the concept of the thesis such as partial differential equation, evolution equation, dispersion relation, integrability, recursion operator, perturbation method and exact solution have been given. After these descriptions, the well known nonlinear evolution equations, Korteweg de Vries (KdV) equation, nonlinear Schrödinger (NLS) equation and high order KdV type equations are introduced briefly.

   In following parts, multiple scale method has been explained step by step. By this way, integrable NLS type equations has been derived from integrable high order KdV type equtions. Also, approximate solutions have been obtained for the high order KdV type equations by this method.

   Finally, the exact solution methods like tanh method, (G′/G) expansion method, (G′/G, 1/G) expansion method, extended simplest equation method (SEM), (1/G′)  expansion method, the modification of the truncated expansion (MTEM) method and functional variable method have been explained for the nonlinear evolution equations in detail. By using these methods, exact solutions in different types have been obtained for the high order KdV type equations.