Bazı doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemler
Some nonlinear partial differential equations
Yazar: REYHAN TELLİOĞLU BALEKOĞLU
Danışman: PROF. DR. İSMAİL KÖMBE
İstanbul Ticaret Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Difüzyon denklemi = Diffusion equation ; Eşitsizlik = Inequality ; Parabolik denklemler = Parabolic equations ; Pozitif çözümler = Positive solutions

Özet:
Bu doktora tez çalışmasında, ilk olarak bazı doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemlerden; potansiyel ve kaynak terimi içeren hızlı difüzyon denklemi, $p-$Laplasyan evolüsyon denklemi ve ikili doğrusal olmayan parabolik denklem tipindeki problemlerin pozitif çözümlerinin yokluğu Robin sınır koşulu altında, $\mathbb{R}^N$'in düzgün sınıra sahip sınırlı $\Omega$ bölgesinde araştırılmıştır:
\begin{fleqn}
\begin{equation*}\label{1}
\begin{cases}
 \frac{\partial u}{\partial t}=\Delta( u^m)+V(x)u^{m}+ \gamma u^r &
 \text{,}\quad \Omega \times (0, T ) ,\\ u(x,0)=u_{0}(x)\geq 0 &
 \text{,} \quad\Omega ,\\ \frac{\partial u}{\partial \nu}=\beta (x) u  & \text{,} \quad \partial \Omega \times (0,T),
 \end{cases}
 \end{equation*}
\end{fleqn}

ve
\begin{fleqn}
\begin{equation*}\label{2}
\begin{cases}
\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta_p u+V(x)u^{p-1}+ \gamma u^r &
 \text{,}\quad \Omega \times (0, T ) ,\\ u(x,0)=u_{0}(x)\geq 0 &
  \text{,}\quad \Omega ,\\ |\nabla u|^{p-2}\frac{\partial u}{\partial \nu}=\beta |u|^{p-2} u  &
 \text{,}\quad \partial \Omega \times (0,T),
\end{cases}
\end{equation*}
\end{fleqn}

ve

\begin{fleqn}
\begin{equation*}\label{3}
\begin{cases}
\frac{\partial u}{\partial t}=\text{div}(m u^{m-1}|\nabla
u|^{p-2}\nabla u)+V(x)u^{m+p-2}+\gamma u^r & \text{,}\quad \Omega \times (0,
T ),\\ u(x,0)=u_{0}(x)\geq 0 & \text{,} \quad\Omega, \\
|\nabla u|^{p-2}\frac{\partial u}{\partial \nu}=\beta |u|^{p-2} u  & \text{,} \quad \partial \Omega \times (0,T).
\end{cases}
\end{equation*}
\end{fleqn}
Burada $\Delta_p u= \text{div}(|\nabla u|^{p-2} \nabla u)$ $p-$Laplasyan operatörü, $V\in L_{loc}^1(\Omega)$, $\beta \in L_{loc}^1(\partial\Omega)$, $\gamma \in \mathbb{R}$, $1 0$ ve $r>0$' dır. Daha sonra, elde edilen ağırlıklı Sobolev iz eşitsizlikleri yardımıyla bulunan sonuçlar üzerinden bazı tekil potansiyel seçimleri ile problemlerin birçok uygulaması yapılmuştır. Bu çalışmanın diğer bir amacı olarak, kısmi diferansiyel denklemlerin analizinde önemli bir rolü olan Hardy-Leray tipinde yeni eşitsizlikler kanıtlanmıştır. Gösterilen kalan terime sahip $L^2$ ve $L^p$ genel Hardy-Leray tipindeki eşitsizliklerde, belirtilen şartlara uygun ağırlık fonksiyonları alınarak çeşitli eşitsizlikler bulunmuştur.

Abstract:
There are two main goals for this PhD thesis. Firstly, the nonexistence of positive solutions for some nonlinear partial differential equations are investigated in a bounded domain $\Omega$ in $\mathbb{R}^N$ with smooth boundary $\partial \Omega$ under Robin boundary condition, such as the fast diffusion equation, the $p-$Laplacian evolution equation, and the doubly nonlinear parabolic equation type, including potential and source terms:

\begin{fleqn}
\begin{equation*}\label{1}
\begin{cases}
 \frac{\partial u}{\partial t}=\Delta( u^m)+V(x)u^{m}+ \gamma u^r &
 \text{in}\quad \Omega \times (0, T ) ,\\ u(x,0)=u_{0}(x)\geq 0 &
 \text{in} \quad\Omega ,\\ \frac{\partial u}{\partial \nu}=\beta (x) u  & \text{on} \quad \partial \Omega \times (0,T),
 \end{cases}
 \end{equation*}
\end{fleqn}

and

\begin{fleqn}
\begin{equation*}\label{2}
\begin{cases}
\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta_p u+V(x)u^{p-1}+ \gamma u^r &
 \text{in}\quad \Omega \times (0, T ) ,\\ u(x,0)=u_{0}(x)\geq 0 &
  \text{in}\quad \Omega ,\\ |\nabla u|^{p-2}\frac{\partial u}{\partial \nu}=\beta |u|^{p-2} u  &
 \text{on}\quad \partial \Omega \times (0,T),
\end{cases}
\end{equation*}
\end{fleqn}

and

\begin{fleqn}
\begin{equation*}\label{3}
\begin{cases}
\frac{\partial u}{\partial t}=\text{div}(m u^{m-1}|\nabla
u|^{p-2}\nabla u)+V(x)u^{m+p-2}+\gamma u^r & \text{in}\quad \Omega \times (0,
T ),\\ u(x,0)=u_{0}(x)\geq 0 & \text{in} \quad\Omega, \\
|\nabla u|^{p-2}\frac{\partial u}{\partial \nu}=\beta |u|^{p-2} u  & \text{on} \quad \partial \Omega \times (0,T),
\end{cases}
\end{equation*}
\end{fleqn}
\vspace{0.1cm}
where $\Delta_p u= \text{div}(|\nabla u|^{p-2} \nabla u)$ $p-$Laplacian operator, $V\in L_{loc}^1(\Omega)$, $\beta \in L_{loc}^1(\partial\Omega)$, $\gamma \in \mathbb{R}$, $1 0$ and $r>0$. 
\vspace{0.1cm}

Second goal of this study, we proved new inequalities of Hardy-Leray type which have an important role in the analysis of partial differential equations. We present general $L^2$ and $L^p$ Hardy-Leray type inequalities  with  remainder terms. Moreover, various inequalities are found by taking suitable weight functions for the specified conditions.