İntegral dönüşümleri ile elde edilen transfer fonksiyonlar
Transfer functions obtained by integral transforms
Yazar: MEHMET KAR
Danışman: PROF. DR. ALİ AKGÜL
Siirt Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Denetim sistemleri = Control systems ; Kararlılık analizi = Stability analysis ; Laplace denklemi = Laplace equation ; Matematik = Mathematics ; Transfer fonksiyonları = Transfer functions

Özet:
Elektrik elektronik ve kontrol mühendisliğinde herhangi bir sistemin davranışını veya karakteristik özelliğini anlamak için o sistemi matematiksel denklemlerle ifade etmek gerekir. Fakat bu matematiksel ifadeler çoğu zaman anlaşılması zor ve karmaşık bir yapıdadır. Bu ifadeler hakkında fikir yürütmek için bunların daha sade bir forma dönüştürülmesi gerekir. İşte bu noktada matematiksel olarak bazı dönüşümlere ihtiyaç duyulur. Bunlardan en çok kullanılanı Laplace dönüşümüdür. Fakat son yıllarda Sumudu dönüşümünün bulunması farklı bir bakış açısı getirmiştir. İster istemez "Sumudu dönüşümü Laplace dönüşümüne alternatif mi olacak?" sorusu akla geliyor. Laplace ile Sumudu arasında bir ilişkinin varlığı beraberinde bazı farklılıkları da getirmiştir. Örneğin tek olan bir fonksiyonunun Laplace dönüşümü alındığında fonksiyon çift oluyor. Ancak tek fonksiyonların Sumudu dönüşümü tektir. Çift fonksiyonların Sumudu dönüşümü de yine çifttir. Sumudu dönüşümünün kendisi bir lineer dönüşüm olduğundan dolayı fonksiyonların lineerlik özelliğini bozmaz. Bu çalışmada elektrik elektronik mühendisliğinde kullanılan devrelerin/sistemlerin transfer fonksiyonlarının elde edilişi,  kararlılık analizleri, sistemin davranışları hem Laplace dönüşümü ile hem de Sumudu dönüşümü ile yapılmıştır. MATLAB/Simulink programında simülasyonları gerçekleştirilmiştir. Sistemin çıkış grafikleri her iki dönüşüm ile gerçekleştirilmiş ve karşılaştırılmıştır. 
İkinci bölümde sistemler ve sınıflandırılmaları verilerek üçüncü bölümde kontrol sistemleri ele alınmıştır. Dördüncü bölümde elektrik elektronik sistemlerin matematiksel modellerinin elde edilişi anlatılarak, beşinci ve altıncı bölümde transfer fonksiyonları için gerekli olan Laplace ve ters Laplace dönüşümünden bahsedilmiştir. Yedinci bölümde transfer fonksiyonları anlatılarak elektrik elektronik sistemlerin transfer fonksiyonlarının Laplace dönüşümü ile elde edilişi üzerinde durulmuştur. Sekizinci bölümde kontrol sistemlerinin kararlılık analizlerinden bahsedilmiştir. Dokuzuncu bölümde Sumudu dönüşümü ile elektrik elektronik devrelerin/sistemlerin transfer fonksiyonlarının elde edilişi anlatılarak Laplace dönüşümü ile karşılaştırılmıştır. Her iki dönüşüm ile transfer fonksiyonu elde edilen devrelerin/sistemlerin simülasyonları MATLAB/Simulink programında gerçekleştirilmiştir. Daha sonra çeşitli girişler uygulanarak çıkış grafikleri ve bode diyagramları elde edilmiştir. Hem Laplace hem de Sumudu ile elde edilen grafikler karşılaştırılmış ve yorumlanmıştır. Ayrıca her iki dönüşüm ile elde edilen transfer fonksiyonlarının kararlılık analizi yapılmıştır.

Anahtar Kelimeler: Kararlılık analizi, Kontrol sistemleri, Laplace ve Sumudu ilişkisi, Routh-Hurwitz kriteri, Sumudu dönüşümü, Sumudu ile transfer fonksiyonu bulma

Abstract:
In order to understand the behavior or characteristic feature of any system in electrical electronics and control engineering, it is necessary to express that system with mathematical equations. However, these mathematical expressions are often difficult to understand and have a complex structure. To get an idea about these expressions, they need to be converted to a simpler form. At this point, some mathematical transformations are needed. The most widely used of these is the Laplace transform. However, the discovery of the Sumudu transformation in recent years has brought a different perspective. Inevitably, "Is the Sumudu transform an alternative to the Laplace transform?" question comes to mind. The existence of a relationship between Laplace and Sumudu brought with it some differences. For example, when the Laplace transform of an odd function is taken, the even function will be obtained. But the Sumudu transform of even functions is even. The Sumudu transformation of odd functions is also odd. Since the Sumudu transform itself is a linear transformation, it does not break the linearity of the functions. In this study, obtaining the transfer functions of the circuits/systems used in electrical and electronics engineering, stability analysis, and behavior of the system were made with both Laplace transform and Sumudu transform. Simulations were carried out in the MATLAB/Simulink program. The output graphs of the system are realized and compared with both transformations.
In the second part, systems and their classifications are given and in the third part, control systems are discussed. In the fourth chapter, the mathematical models of electrical and electronic systems are explained, and in the fifth and sixth chapters, Laplace and inverse Laplace transform, which are necessary for transfer functions, are mentioned. In the seventh chapter, transfer functions are explained and the transfer functions of electrical and electronic systems are obtained by Laplace transform. In the eighth chapter, stability analyzes of control systems are mentioned. In the ninth chapter, the acquisition of transfer functions of electrical electronic circuits/systems with the Sumudu transform is explained and compared with the Laplace transform. The simulations of the circuits/systems for which the transfer function is obtained by both transformations were carried out in the MATLAB/Simulink program. Then, output graphs and bode diagrams are obtained by applying various inputs. The graphs obtained by both Laplace and Sumudu are compared and interpreted. In addition, the stability analysis of the transfer functions obtained by both transformations was performed.


Keywords: Stability analysis, Control systems, Laplace and Sumudu relationship, Routh-Hurwitz criterion, Sumudu transform, Transfer functions