Sobolev uzaylarında Lyapunov tipi eşitsizlikler
On Lyapunov type inequatities in Sobolev spaces
Yazar: TÜLAY ÖZDEN
Danışman: DOÇ. DR. ÜLKÜ DİNLEMEZ KANTAR
Gazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2017
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Mevcut tez çalışmasında, iki farklı uzay üzerinde farklı sınır değer problemleri ele
alınmış ve bu problemler için Lyapunov-tipi eşitsizlikler elde edilmiştir. Öncelikle,
birinci bölümde Lyapunov-tipi eşitsizliklerle ilgili literatür araştırması yapılarak,
eşitsizliğin gelişiminden bahsedilmiş ve mevcut tezin konusuyla aynı doğrultuda
olmasından dolayı kısmi diferensiyel denklemlerle ilgili çalışmalara kapsamlı bir
şekilde yer verilmiştir. İkinci bölümde, mevcut tez çalışması için gerekli tanım ve
kavramlar üzerinde durulmuş ve daha sonra üzerinde çalışılan uzaylar ve bu uzayların
temel özellikleri ile bu uzaylar üzerinde geçerli olup mevcut tezde kullanılan bazı
yapılardan bahsedilmiştir. Ardından, üçüncü bölümde Sobolev uzayı üzerinde, ele
alınan yarılineer eliptik denklem ve Robin sınır koşulundan oluşan sınır değer
problemi tanıtılmış ve bu problem için Lyapuov-tipi eşitsizlikler elde edilmiştir.
Ayrıca yine bu bölümde bu problemin ilk pozitif özde§eri için bir altsınır belirlenmiş
ve Robin sınır koşulu yerine Dirichlet sınır koşulununda alınabileceği not edilmiştir.
Dördüncü bölümde, üçüncü bölümde ele alınan sınır değer problemi daha genel hale
getirilmiş ve bu problem için benzer sonuçlar ortaya çıkarılmıştır. Beşinci bölümde ise
Değişken Üstlü Sobolev uzayı üzerinde, ilk olarak iki boyutlu yarılineer eliptik sistem
tanımlanmış ve bu sistem için Lyapunov-tipi eşitsizlikler elde edilmiştir. Ardından bu
problemin ilk pozitif özdeğeri için bir altsınır belirlenmiştir. Altıncı bölümde ise,
beşinci bölümde ele alınan sistem n-boyutlu olarak genelleştirilmiş ve bu durum için
benzer sonuçlar elde edilmiştir. Son olarak sonuç bölümünde, mevcut tezde elde
edilen sonuçlar tartışılmış ve bundan sonra yapılabilecek çalışmalara değinilmiştir.

Abstract:
In this thesis, two different boundary value problems are considered, which are on two
different spaces, and for these problems Lyapunov-type inequalities are obtained. In
chapter one, the literature of the inequalities being investigated, the development of
the Lyapunov-type inequalities is mentioned and also as it is in the same direction
with the subject of the thesis, the results about partial dierential equations are stated
widely. In chapter two, it is focused on esential denitions and some concepts, which
are needed for the following chapters, and then the spaces on which are used, are
dened and some some properties of the spaces are given. Then in chapter three, on
Sobolev spaces, the boundary value problem, which consists of a class of quasilinear
elliptic equation with Robin boundary conditions, is dened and then for this problem
Lyapunov-type inequalities are obtained. Also, in this chapter, for the rst positive
eigenvalue of this problem a lower bound is obtained and also it is noted that in this
problem , instead of Robin boundary condition, Dirichlet boundary condition can be
taken that in this case, the same results can be obtained. In chapter four, the problem
which is considered in chapter three is generalized and for this problem, similar results
are obtained. In chapter ve, on Variable Exponent Sobolev spaces a class of two
dimensional quasilinear elliptic system is dened and for this system, Lyapunov-type
inequalities are obtained. Then for the rst positive eigenvalue of this system, a lower
bound is obtained. In chapter six, the problem, which is considered in chapter ve, is
generalized to n-dimensional case and then in this case, Lyapunov-type inequalities are
obtained. Finaly, in last chapter the obtained results are discussed and some studies
that can be done in the future are mentioned.