Altızgara Modellemede Rassal Döngüler
Stochastic Eddies in Subgrid  Modelling
Yazar: RUKİYE KARA
Danışman: DOÇ. DR. MİNE ÇAĞLAR
Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2015
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Çalkantı bir sıvının ya da gazın hareket halindeki düzensizliğidir. Akışın çalkantılı olup olmadığı Reynolds sayısı ile belirlenir. Çalkantı kuramında döngü boylarındaki sürekli değişim incelenir. En büyük döngüler küçüklere, onlar da daha küçüklere bölünürler. Döngü bölünmesinin bu süreci, ortalama akıştan daha küçük döngülere kinetik enerji transferi olarak tanımlanır.
Akışkanlar mekaniğinin temel denklemleri olan Navier-Stokes denklemleri kütle ve momentum korunumu kanunlarından çıkarılır. Navier-Stokes denklemlerinin sayısal olarak tam çözümünü bulmak, akış dinamiklerinin var olduğu tüm zaman ve uzay ölçeklerinin hesaba katılmasını gerektirir. Bu durum ise hesaplamada büyük zaman ve maddi kayıplara neden olacaktır ve tüm ölçeklerde dinamikler çözülemeyecektir. Etkin bir sayısal çözüm yöntemi büyük döngü benzetimidir (BDB). Bu yaklaşımda,  momentum denkleminin süzülmesi sonucunda doğrusal olmayan, altızgara gerilimi olarak adlandırılan bir terim ortaya çıkar.
Altızgara ölçekli modelleme, çözümlenmemiş ve yapısal olarak ihmal edilemeyen küçük ölçeklerin yeni denklemde temsil edilmesidir. Büyük döngü benzetiminde altızgara modelleme, akışkan hareketindeki çözümlenmemiş küçük ölçeklerin sayısal çözümle elde edilen büyük ölçekteki süzülmüş hız değişkeni yardımıyla katkısının gösterilmesinde kullanılır.
Bu tezde, Çınlar hız alanı kullanılarak büyük döngü benzetimi için özgün bir altızgara gerilim modeli geliştirilmiştir. Rassal döngülerden oluşan hız alanının altızgara modeli olarak da geçerliliğini göstermek amacı doğrultusunda, enerji spektrumu incelenmiştir. Kovaryans fonksiyonu kullanılarak Reynolds gerilimi modellenmiştir. Modelin oluşturulup sınanmasında OpenFOAM adlı programdan yararlanılmıştır. Elde edilen sonuçlar literatürdeki diğer modellerle ve doğrudan sayısal benzetim verileriyle karşılaştırılmıştır.
Sonuç olarak, gerçek verilerden parametre kestirim yöntemi iyi bilinen rassal bir hız alanı kullanılarak geliştirilen altızgara modeli ile alt ölçeklerdeki çalkantı modellenmiştir. Böylece okyanus bilim, uygulamalı matematik, olasılık ve istatistik alanlarında bilime yeni katkı sağlanmıştır.

Abstract:
Turbulence is irregularity of motion of fluids or gases. The Reynolds number defines whether the flow is turbulent or not. The turbulence theory examines continuous change of eddy sizes. The largest eddies break down to the smaller ones, smaller eddies further break down to even smaller eddies. This process is defined as the kinetic energy transfer from the average flow to smaller.
Navier-Stokes equations, which are the fundamental equations of fluid mechanics are derived from conservation of mass and momentum. To find exact numerical solutions of Navier-Stokes equations all time and space scales of the flow dynamics must be taken into account. In this case, the computations are very costly and dynamics cannot be resolved at all scales. Large eddy simulation (LES) is an effective solution method. In this method, a nonlinear term, which is called subgrid stress, appears as a result of filtering the momentum equation. Subgrid scale modeling corresponds to the representation of the unresolved small scales that cannot be ignored. In LES, modeling of subgrid scales demonstrate the contribution of unresolved small scales by using filtered velocity field, which correspond to large scales in fluid motion.
An original subgrid model has been developed using Çınlar velocity field for LES.  In order to demonstrate the validity of the velocity field as a subgrid model, the energy spectrum has been investigated. On the other hand, Reynolds stress has been modeled by modeling the covariance function due to its simpler and closed form. The results have been compared with other subgrid models and data of Direct Numerical Solution (DNS) using OpenFOAM software.
As a conclusion, turbulence at small scale has been modeled using a subgrid model derived from a stochastic velocity field for which parameter estimation method from real data is well known. Thus, the contributions are to scientific areas such as oceanography, applied mathematics, probability and statistics.