Diskrit oluşum denklemlerinin integrallenebilirliği
Integrability of discrete evolution equations
Yazar: ÖMER ÜNSAL
Danışman: PROF. DR. MEHMET NACİ ÖZER
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2012
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Evrim denklemleri = Evolution equations ; Fark denklemleri = Difference equations ; İntegrallenebilir sistemler = Integrable systems

Özet:
Kesikli değerler kümesinde değişen değişkenlere sahip problemler farkdenklemleriyle modellenir. Ayrıca pür fark ve fark oluşum denklemlerinin birçok bilimdalında uygulamaları mevcuttur. Bu yüksek lisans tezi kapsamında da fark oluşumdenklemlerinin integrallenebilirliği üzerine çalışılmıştır.Taylor seri açılımı kullanılarak uygulanan sonlu farklar metodu yardımıylaayrıklaştırma işleminin nasıl yapıldığı adi denklemler ve kısmi türevli denklemler içinayrı ayrı gösterilmiş, değişkenlerin birinin veya tamamının ayrıklaştırılma işlemiverilmiştir. Ayrıca literatürde sıklıkla kullanılan fark denklemlerinin bir listesiverilmiştir.Fark oluşum denklemlerinin çeşitli yöntemlerle integrallenebilirliği incelenmiş,bu denklemlerin sürekli hallerinde incelenen Lax çifti, hareket integrali, Miuradönüşümleri, Spektral problem gibi kavramların fark halindeki karşılıkları verilmiştir.Bunlara ek olarak en çok bilinen Schrödinger denklemi, 3. MertebedenSchrödinger fark, Kuple Schrödinger fark ve Modifiye Schrödinger farkdenklemlerinden çok ölçekli açılım metodu ile Korteweg-de-Vries tipi fark denklemlerielde edilmiştir.Fark oluşum denklemlerinin tam çözümlerini bulmak için geliştirilmiş üstelfonksiyon metodu kullanılarak integrallenebilir Schrödingher fark denklemi ile Klein-Gordon fark denkleminin tam çözümleri elde edilmiştir.Ayrıca bu çalışmaların devamı olarak çeşitli fark oluşum denklemlerinden diğeroluşum denklemlerinin çok ölçekli açılım metodu ile elde edilebilirliği incelenebilir.Anahtar Kelimeler: Ayrıklaştırma, integrallenebilirlik, çok ölçekli açılım metodu, tamçözüm.

Abstract:
The problems which have variables changes in the set of discrete values arerepresented by disrcete equations. Moreover, pure discrete and discrete evolutionequations have applications in many science areas. This master thesis is a scientificwork on the integrability of discrete evolution equations.Discretization is shown for both ordinary and partial differential equations byusing finite difference method used with the Taylor?s expansion. What?s more,discretization of one and all of variables are given. However, a list of commonly useddiscrete evolutiıon equations is given.The integrability of discrete evolutiıon equations is studied with differentmethods. The concepts of discrete evolution equations, such as Lax pairs, integral ofmotion, Miura transformation and spectral problem, corresponding to the continuumform are given.Furthermore, derivation of discrete Korteweg-De-Vries equation from discreteforms of most famous Schrödinger equation, Schrödinger equation of third order,Coupled Schrödinger equation and Modified Schrödinger equation by using multiplescales method is shown.Exact solutions of integrable discrete Schrödinger equation and discrete Klein-Gordon equation are found by using the exponential function method which is used tofind the exact solution of discrete evolution equations.As the continuation of this work, the derivation of other discrete evolutionequations from another one with the aid of mulltiple scales method can be studied.Keywords: Discretization, integrability, multiple scales method, exact solution.