Bazı cebirsel kategorilerde normallik ve bölüm
Normality and quotients in some algebraic categories
Yazar: TUNÇAR ŞAHAN
Danışman: PROF. DR. OSMAN MUCUK
Erciyes Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2014
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Çaprazlanmış modüller = Crossed modules

Özet:
Cebirsel yapılardaki, normal alt objeler ve bölüm objelerinin sınıflandırma açısından önemli bir yeri vardır. Örneğin izomorfizm teoremleri
kullanılarak bir grup üzerindeki homomorfizmler sınıflandırılabilir ve bir grubun basit veya mükemmel olması bu grup üzerindeki homomorfizmler cinsinden ifade edilebilir. Daha genel olarak normal alt iç grupoidler ve bölüm iç grupoidleri iç grupoid morfizmlerinin sınıflandırılması
için kullanılabilir. Buna rağmen bazı cebirsel kategorilerde normal alt objeler ve bölüm objelerinin üzerinde pek fazla incelenme yapılmamıştır.
Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, diğer bölümlerde kullanılacak olan temel kavramlar ve bazı teoremler ifade edilmiştir. İkinci bölümde çapraz modül kavramı hatırlatılıp, literatürede çapraz modüller için verilen normallik ve bölüm kavramı ve bu kavramların grup-grupoidlerdeki karşılıkları incelenmiştir. Ayrıca yine literatürde bir çok yerde bahsedilen çapraz modüllerin kategorisi ile grup-grupoidlerin kategorisinin ve
Cat$^1$-grupların kategorisinin denkliği hatırlatılmıştır. Üçüncü bölümde çok işlemli grup, çok işlemli grupların kategorisindeki iç kategoriler ve çapraz modüller kavramları hatırlatılıp bu kavramlarla ilgili özellikler incelenmiştir. Ayrıca yine bu bölümde çok işlemli Cat$^1$-grup kavramı ve çok işlemli Cat$^1$-gruplar için örtü gibi bazı yapılar tanımlanmıştır. Dördüncü bölümde, üçüncü bölümde bahsedilen kategoriler için normallik ve bölüm kavramları tanımlanmış, bu kavramların bu kategorilerde denk oldukları gösterilmiş ve çeşitli özellikler incelenmiştir. Son olarak beşinci bölümde, elde edilen sonuçlar yorumlandırılmış ve konuyla ilgili yapılabilecek çalışmalar önerilmiştir.

Abstract:
In algebraic structures, there is a significant role of normal sub objects and quotients objects in view of classifications. In particular by using isomorphism theorems, homomorphisms on a group can be classified and simplicity or perfectness of a group can be expressed in terms of homomorphisms on that group. More generally normal sub internal groupoids and quotient internal groupoids can be used for classification of internal groupoid morphisms. Nevertheless, there has not been much studied over the normal sub objects and quotient objects in some algebraic categories. 
This thesis consist of five chapters. In the first chapter, fundamental notions and some theorems which will be used in other chapters has been expressed. In the second chapter, crossed module notion has been reminded, normality and quotient notions as in the literature for crossed modules and correspondence in group-groupoids has been studied. Moreover the equivalence of the categories of crossed modules, group-groupoids and cat$^1$-groups has been recalled from literature. In the third chapter, the notions of groups with operations, internal categories and crossed modules in the category of groups with operations and some category equivalences has been reminded. Also the cat$^1$-groups with operations notion and some certain structures such as coverings for cat$^1$-groups with operations has been defined. In the fourth chapter, normality and quotient structures for the categories mentioned in the third chapter has been defined, the equivalence of these structures in these categories has been proved and some properties has been investigated. Finally, in the fifth chapter, obtained results has been commentated and some future studies has been suggested.