Düzensiz örneklemeli sistemlerin kontrolü
Control of nununiformly sampled systems
Yazar: UFUK SEVİM
Danışman: PROF. DR. AFİFE LEYLA GÖREN
İstanbul Teknik Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2024
Konu: Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrol = Computer Engineering and Computer Science and Control
Dizin: Geri beslemeli kontrol = Feedback control ; Çok ajanlı sistemler = Multiagent systems

Özet:
Günümüzde farklı fiziksel konumlarda bulunup sınırlı bant genişliği üzerinden birbirlerine veri aktaran sistemler hızla yaygınlaşmaktadır. Bu sistemler sağladığı avantajların yanı sıra birçok kontrol problemini de beraberinde getirmektedir. Bu sistemlerin mimarisinin doğası gereği geri besleme sinyalinin ölçüm zamanı ya da bilginin iletilme zamanı düzensiz ve beklenmedik bir şekilde gerçekleşmektedir. Son yıllarda bu konuda yapılan yayın sayısının ciddi biçimde artması, konunun öneminin giderek arttığını göstermektedir.
Zamanla değişmeyen sürekli bir sistemin düzensiz örnekleme altında ayrıklaştırılmış modeli, zamanla değişen ayrık bir sistem ile ifade edilebilmektedir. Bu da klasik bilgisayarlı kontrol teorisindeki sonuçların geçerliliğini yitirmesine neden olmaktadır. Örneğin, ayrık bir sistemin kararlılığını göstermekte kullanılan sistem matris özdeğerlerinin birim çember içinde olması koşulu, düzensiz örneklemeli bir sistemin kararlılığını garantilememektedir.
Düzensiz örneklemeli sistemleri kararlı kılan kontrolörlerin bulunması bu tezin ana problemini oluşturmaktadır. Ayrıca, bulunan kontrolörün zaman gecikmesine sahip sistemlerin kararlı kılınması ve çok etmenli sistemlerin uzlaşımı problemlerine uygulanabilirliği araştırılmıştır.
Düzensiz örneklemeli sistemler için ele alınan problemlerin çözümünde zamanla değişen ve parametre ile değişen sistemlere ek olarak, benzer matematiksel problemleri çözmeyi hedefleyen karma sistemler, olay tetiklemeli sistemler ve anahtarlamalı sistemlerin literatüründen de faydalanılmaktadır. Bu sistemlerin kararlı kılınması ve kontrolü için literatürde onlarca yöntem bulunsa da en sık başvurulan yöntemlerden birisi ortak karesel Lyapunov fonksiyonu bulma yöntemidir. Bu yöntemde, zamanla değişen sistem matrislerinin tamamı için ortak olan karesel bir Lyapunov fonksiyonu bulunması ile kararlı kılan kontrolör sentezi yapılabilmektedir.
Bu tez kapsamında, ortak karesel Lyapunov fonksiyonu bulma yöntemi farklı bir bakış açısıyla ele alınarak bu yönteme eşdeğer başka bir yöntem geliştirilmiştir. Geliştirilen bu yöntemde, zamanla değişen sistem matrislerinin tamamını daralma haline getiren, yani sistem matrislerinin en büyük tekil değerlerini 1'den küçük yapan, ortak bir benzerlik dönüşümü bulunmasıyla kararlılık sağlanmaktadır. Literatürde küçük örnekleme aralığı yaklaşıklığı kullanan bir teorem genişletilerek bu yöntem ile kararlı kılan bir kontrolün her zaman var olduğu kanıtlanmıştır. Ayrıca, kararlılığı gösteren ortak benzerlik dönüşüm matrisinin bulunması ile ilgili üç farklı yöntem geliştirilmiştir. Bahsedilen varlık koşulu kullanılarak farklı tekniklerle kararlı kılan kontrolörler sentezlenmiştir.
Kararlı kılan kontrolör sentezi için kullanılan ilk yöntem literatürde iyi bilinen dijital yeniden tasarım yöntemidir. Bu yöntemde düzensiz örneklemeli sistemin durum yanıtı, sürekli sistemin kapalı çevrim durum yanıtına eşitlenmeye çalışılmaktadır. Literatürde var olan bir dijital yeniden tasarım yöntemi düzensiz örneklemeli sistemler için genişletilerek kararlı kılan kontrolör sentezinde kullanılmıştır. Ayrıca, kararlılığın sağlandığı en büyük örnekleme aralığı için bir üst sınır verilmiştir.
Kararlı kılan kontrolör sentezi için bir başka yöntem yine literatürde iyi bilinen özdeğer atama yöntemidir. Bu yöntem ile kapalı çevrim sistem matrisinin özdeğerleri istenen sistem davranışını sağlayacak biçimde yerleştirilmektedir. Düzensiz örneklemeli sistemler için zamanla değişen sistem matrislerinin özdeğer yerleri kararlılık analizi için yeterli olmasa da bu tezde tek bir girişe sahip sistemler için özdeğer atayan kontrolörün kararlılığı garantilediği maksimum örnekleme aralığının var olduğu kanıtlanmıştır.
Literatürde başka bir örneğine rastlanmayan tekil değer atama ile kararlı kılma yöntemi bu tez kapsamında geliştirilmiştir. Bu yöntemde kararlılığın garantilenmesi için zamanla değişen kapalı çevrim sistem matrislerinin tekil değerleri ortak bir benzerlik dönüşümü altında 1'den küçük olacak biçimde atanmaktadır. Ayrıca, kararlılığın sağlandığı en büyük örnekleme aralığı için bir üst sınır verilmektedir.
Geliştirilen bu sentez yöntemlerinin ortak rasyonel böleni olmayan çoklu zaman gecikmeli sistemlere uygulanabilmesi için düzensiz bir örnekleme dizisi seçim yöntemi önerilmiştir. Önerilen bu yöntem ile düzensiz örneklemeli sistemler için geliştirilmiş bir kontrolörün bu türden gecikmeli sistemlerin kararlı kılınması için kullanılabileceği gösterilmiştir.
Bu tez kapsamında geliştirilmiş olan kararlılık koşulu kullanılarak çift integratör dinamiğe sahip çok etmenli sistemlerin düzensiz örnekleme ve değişen topoloji altında uzlaşım probleminin çözümü için yeni bir yöntem geliştirilmiştir. Geliştirilen bu yöntem ile literatürdeki diğer güncel yöntemlerin aksine değişen ağ topoloji çizgelerinin bilinmesi zorunluluğu ortadan kalkmaktadır. Tasarımcının keyfi seçeceği ağ çizgesinin Laplasyen matris özdeğer aralığı ve en büyük örnekleme aralığı parametreleri ile uzlaşımı sağlayan yerel kontrolör, basit bazı eşitsizlikler kullanılarak hesaplanabilmektedir. Ayrıca, ağ çizgeleri bağlı ve yönsüz olduğu sürece bu kontrolörün her zaman var olduğu kanıtlanmıştır.
Çok etmenli sistemlerin uzlaşımı için kullanılan yerel kontrolörün ufak değişikliklerle bir ağdaki cihazların saat senkronizasyonu problemine de uygulanabileceği kanıtlanmış ve örneklerle desteklenmiştir.

Abstract:
Digital control systems have been used in almost all control applications for more than sixty years due to its advantages such as reliability, low cost and flexibility. In parallel, digital control theory has a vast and mature literature. However, in classical theory, the feedback signal required for control must be measured at periodic time intervals.
Nowadays, systems located in different physical locations and exchanging data with each other over band-limited channels are rapidly becoming widespread. Even though these systems provide many advantages, they also bring many challenges for stabilization and control. Due to the nature of this system architecture, the measurement time of the feedback signal or the time of transmission of information occurs irregularly and unexpectedly. The significant increase in the number of publications on this subject in recent years shows that the importance of the subject is increasing rapidly.
One of the main examples for systems with nonuniform sampling is \emph{network control systems}. Network control systems consist of sensors, actuators and controllers located in different physical locations and communicate with each other using a band-limited channel. The purpose of such an architecture is to add flexibility to the system and at the same time reduce installation and maintenance costs. For a network control system, if the sensor information is sent over an unreliable communication channel, data losses will cause sampling to become irregular. Even if the communication channel is reliable, a nonuniform sampling scheme can be chosen to use the limited bandwidth efficiently.
System models with nonuniform sampling is particularly suitable for the control of \emph{internet of things} systems, which have become very widespread in recent years. Since these systems are generally subject to energy, bandwidth and processor limitations, they try to use the resources efficiently by taking samples only when there is a change. Therefore, these systems inherently operate under irregular and unpredictable sampling.
\emph{Multi-agent systems} can be defined as a distributed system formed by many agents with the same dynamics, communicating only with their neighbors. The basic problem of these systems is the problem of finding a local controller that brings the states of all agents to a common value, called the \emph{consensus} problem. Consensus problem of multi-agent systems finds numerous applications such as mobile robot coordination, wireless sensor network clock synchronization and microgrid frequency synchronization.
Due to the distributed structure of multi-agent systems, it is rarely possible in practice to ensure that the state information of an agent is transmitted to their neighbors periodically. Additionally, in some applications, the communication topology of the agents may change over time. The problem of achieving consensus under these conditions is also a subject of active research.
When a continuous linear time invariant system is controlled under nonuniform sampling, the resulting discretized system model becomes time-varying. Therefore, the methods in classical digital control theory do not guarantee the stability of systems under nonuniform sampling.
A necessary and sufficient condition for the stability of a linear time invariant discrete system is that the eigenvalues of the system matrix lie within the unit circle. However, this condition is not sufficient to prove the stability of systems under nonuniform sampling.
The system model obtained by discretizing the continuous system can be examined from a time-varying or parameter-varying system perspective. However, since these perspectives are very general, the obtained stability conditions cannot provide a constructive method for controller synthesis.
Many different approaches and methods are present in the literature to solve the problem of stabilization and control of systems with nonuniform sampling. Some of the common ones can be listed as input delay approach, small gain approach, finding common quadratic Lyapunov function and finding multiple Lyapunov-like function methods.
In addition, there are other systems that uses similar mathematical framework as nonuniformly sampled systems, but tackles slightly different problems. Some examples can be given as hybrid systems, event-triggered systems, switched systems, impulsive systems and time scales systems. So the literature of these systems becomes useful for solving the problems of nonuniformly sampled systems.
The consensus problem of multi-agent systems can be transformed into a stability problem by using a decomposition. Therefore, the methods developed for the control of nonuniformly sampled systems are also applicable to this problem. Although there have been some studies on systems with general agent dynamics in the literature, double integrator agent dynamics are more commonly discussed.
A method used for solving the stabilization and control problems for all system types mentioned above is the method of finding a common quadratic Lyapunov function. In this method, the stability of the system is ensured by using a quadratic Lyapunov function that is common to all (time-varying) system matrices. Although this method is conservative, it has been successfully applied in many studies to solve stabilization and controller synthesis problems.
In this thesis, the problem of constructing stabilizing controllers for nonuniformly sampled systems is considered by using a novel common similarity transformation method. This method is proven to be equivalent to the common Lyapunov function method. In other words, a method widely used in the literature is approached from a different perspective to tackle stabilizing controller synthesis problem.
The possibility of using the constructed controller for stabilizing systems with multiple commensurate time delays is also investigated. Furthermore, the applicability of the same methods for solving the consensus problem of multi-agent systems with double integrator dynamics under nonuniform sampling and changing topology is studied.
In this thesis, the condition for the existence of a common similarity transformation matrix, which turns the (parameter-varying) closed-loop system matrices into a contraction, that is, makes the largest singular value of the matrices less than 1, has been developed for stability analysis. Moreover, it is shown that this condition is equivalent to the common quadratic Lyapunov function condition, which is well known in the literature. This developed condition was used in the rest of the thesis to tackle the problem of synthesizing stabilizing controllers.
A novel system which has reachability and observability duality to the linear time-varying discrete systems has been created. Additionally, a new assignability concept has been introduced that allows the pointwise assignment of the closed loop system eigenvalues for systems with nonuniform sampling. A sufficient condition for assignability of a system with a single input has been proven. This concept of assignability is then applied to the problem of constructing a stabilizing controller by eigenvalue assignment.
An existing theorem in the literature regarding the existence of a controller that stabilizes nonuniformly sampled systems using a small sampling interval approximation has been extended in this thesis. The resulting theorem is quite general and has been used to prove that the designed controllers in this thesis are stabilizing. Additionally, the largest sampling interval for achieving stability can also be calculated with the same theorem.
Three different methods have been developed to find the similarity transformation matrix used in the stability analysis of the closed loop system. These developed methods can also be used to find the common quadratic Lyapunov function.
One method used in controller design for linear time invariant discrete systems is the so-called \emph{digital redesign} method. In this method, the closed loop discrete time system state response is attempted to match the closed loop continuous system state response. In this thesis, a known digital design method has been extended for controlling nonuniformly sampled systems. Additionally, upper limits were found for the largest sampling interval that ensures stability.
A frequently used method in controller design in classical theory is the \emph{eigenvalue assignment} or \emph{pole placement} method. In this method, the eigenvalues of the closed loop system matrix are placed to selected locations to obtain the desired system behavior using a state feedback controller. Using the concept of assignability mentioned above, this method has been extended to control nonuniformly sampled systems with a single input and it has been proven that stability is achieved.
In this thesis, the \emph{singular value assignment} method for controller design is developed. With this method, the singular values of the (parameter-varying) closed loop system matrices is assigned under a suitable similarity transformation, so that the matrices become contractions to achieve stability. Also, upper limits are given for the largest sampling interval that ensures stability. To the best of the author's knowledge, this is the first appearance of this method for controlling nonuniformly sampled systems in the literature.
The problem of stabilization and control of systems with multiple commensurate state measurement delays has been considered. It has been proven that this problem can be solved using a nonuniformly sampled system approach. A nonuniform sampling scheme is proposed such that given a control horizon, for every element in the sampling sequence, the corresponding delayed time is also in the sequence. Using this sampling scheme, it is shown that controllers developed for nonuniformly sampled systems can also be applied to solve this problem.
A novel method is proposed to solve the consensus problem of a multi-agent system with double integrator dynamics under nonuniform sampling and variable topology. With this method, controller parameters can be found using simple inequalities. Unlike similar studies in the literature, the proposed method eliminates the need to know the changing network topology graphs. It is sufficient for the designer to know only the Laplacian matrix eigenvalue range of the topology graphs. It is proven that under the arbitrary choice of this range and the arbitrary choice of the maximum sampling interval, the proposed controller always exists and achieves consensus as long as the topology graphs are connected and undirected. Lastly, the developed method is applied to the clock synchronization problem of a network of devices with nonuniform sampling and variable topology with slight modifications.