Matris izleri için bazı eşitsizlikler
On matrix trace inequalities
Yazar: İSAF GAMZE KURUDERE
Danışman: PROF. DR. RAMAZAN TÜRKMEN
Süleyman Demirel Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Matematik biliminde, matematiğin tüm dallarında sürekli gelişmekte ve çok geniş çalışma,
araştırma alanlarına sahip olan ve birçok araştırmacının son yıllarda dikkatini çeken bir konu
da ''Eşitsizlikler''dir.
Jensen, Hadamard, Hilbert, Hardy, Poincare, Opial, Levin, Sobolev ve Llyapunov isimleriyle
özdeşleşen birden çok eşitsizlik tipi vardır. Özellikle bu matris eşitsizliklerinin türetilmesinde
blok matrisler önemli bir yere sahiptir. Matrislerdeki iz eşitsizliği, matris denklemlerinin
çözümlerinde oldukça kullanışlı bir yere sahiptir. İlk olarak matris kavramının nasıl ortaya
çıktığı ile ilgili inceleme yaptıktan sonra matris iz tanımı, matris özellikleri, matris türleri, blok
matrisler, hermityen matris, hadamard çarpımlar, matris eşitsizlikleri, matris izi ile ilgili
eşitsizlikler, matris izi ve özdeğerleri arasındaki ilişki ve bununla ilgili bir sınır bulma üzerine
geniş bir çalışma yapılacaktır. Çalışmamızda Matrislerde iz eşitsizliği, pozitif yarı tanımlı blok
matrisler için majör eşitsizliklerini vereceğiz, sonrasında ise Hadamard Çarpımının izleri
üzerindeki eşitsizlikleri ve toplam matrislerinin izleri arasındaki ilişki üzerine çalışılacaktır.
Blok Matrisler aracılığı ile Pozitif (yarı)Tanımlı Matrislerin toplamı üzerine çalışmalar
yapılacaktır. Matrislerde özdeğerlerle iz arasındaki ilişki üzerine çalışılacaktır. Gene mevcut
olan bilgilerden yola çıkarak, Matris iz eşitsizlikleri üzerine kapsamlı bir çalışma yapılacaktır.
Bu matrislerin iz eşitsizlikleri üzerine yaptığımız çalışma, genel programlarda önemli
çalışmalara katkı sağlayacaktır.
Bu çalışmada, pozitif yarı tanımlı matrislerin genel özellikleri verilmiş ve Gümüş ve Fu'nun
matris iz eşitsizlikleri üzerine yaptıkları çalışma anlaşılmaya çalışılmış ve buradaki çalışmalar
ışığında matrislerde iz eşitsizliği ve eşitsizlikler genel olarak irdelenmiştir. Bununla birlikte,
pozitif (yarı) tanımlı matris, matrislerde iz eşitsizliği, 22 blok matrisler, blok matrislerin
schur tamlayanları ve Hadamard çarpımı ile ilgili temel teorem ve ispatları çalışılmıştır.
Çalışmamızın ilk bölümlerinde matris iz tanımı ve temel özellikler, Hermityen matris ve temel
özellikleri, Pozitif tanımlı matris, 2x2 blok matrisler, Hadamard çarpımlar, matris
eşitsizlikleri, matris izi ile ilgili eşitsizlikler, bir matrisin izi ve öz değerleri arasındaki ilişki
ile ilgili kavramlar ve lemmalar verilmiş ve 22 pozitif yarı tanımlı blok matris
çarpımlarının ve toplamlarının izleri üzerine geniş bir araştırma yapılmıştır.
Çalışmanın son kısmında ise , 22 pozitif yarı tanımlı blok matrislerin çarpımlarının ve
toplamlarının izleri üzerine bazı yeni iz eşitsizlikler bulunmuştur.

Abstract:
In the science of mathematics, "Inequalities" is a subject that is constantly developing in all
branches of mathematics and has a very wide field of study and research and has attracted the
attention of many researchers in recent years.
There are more than one inequality type identified with the names Jensen, Hadamard, Hilbert,
Hardy, Poincare, Opial, Levin, Sobolev and Llyapunov. Block matrices have an important
place especially in the derivation of these matrix inequalities. The trace inequality in matrices
has a very useful place in solving matrix equations. First, after examining how the concept of
matrix emerged, matrix trace definition, matrix properties, matrix types, block matrices,
hermitian matrix, hadamard products, matrix inequalities, inequalities related to matrix trace,
the relationship between matrix trace and eigenvalues and a related study. There will be
extensive work on finding boundaries. In our study, we will give the trace inequality in
matrices, the major inequalities for positive semi-definite block matrices, and then the
relationship between the traces of the Sum matrices and the inequalities on the traces of the
Hadamard Product will be studied. Studies will be made on the sum of Positive (semi)Defined
Matrices by means of Block Matrices. The relationship between eigenvalues and trace in
matrices will be studied. Based on the available information, a comprehensive study on matrix
trace inequalities will be made. Our work on the trace inequalities of these matrices will
contribute to important studies in general programs.
In this thesis study, studies on matrix inequalities mentioned in general matrices and sources
were tried to be understood, and trace inequality and inequalities in matrices were examined
in general in the light of the studies here.However, theorems and proofs related to
positive(semi) defined matrix, trace inequality of matrices, block matrices, schur completeness
of block matrices and Hadamard multiplication theory have been investiged. In the first
section, we will give main results about trace of the matrix, 22 block matrices, Positive
defined matrix, Hermitian matrix, Hadamard multiplications, matrix inequalities, , inequalities
related to matrix trace, concepts and lemmas related to the relationship between the trace and
eigenvalues have been introduced, and a wide research has been conducted on the traces of
22 positive semi-defined block matrix multiplications and sums.
Finally, we have obtained some new trace inequalities on the traces of multiplications and
sums of positive semi defined block matrices.