Yaklaşık Kaehleryen S^6 küresinin eğik alt manifoldları
Slant submanifolds of nearly Kaehlerian S^6
Yazar: CUMHUR ARIKAN
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ BERAN PİRİNÇÇİ
İstanbul Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Manifoldlar = Manifolds ; Nijenhuis tensörü = Nijenhuis tensor ; Tensörler = Tensors ; Tümeller = Universals

Özet:
Bu çalısma 5 bölümden olusmaktadır. Birinci bölümde tezin incelendigi yapılarla ilgili yapılan bazı önemli çalısmaların varlıgından bahsedilmis ve tezin yogunlastıgı konularla ilgili yüzeysel bir giris yapılmı¸stır. Ikinci bölüm 6 kısımdan olusmaktadır. Birinci kısmında tezin esas yogunlastıgı konuların temelini olusturan yapılar incelenmis, tanımları verilmis ve örneklerle desteklenmistir. Ikinci bölümün ikinci kısmı Riemann manifoldlarına ayrılmıs olup Riemann manifoldlarında önemli yeri olan yapılar incelenmistir. Ikinci bölümün üçüncü kısmında Riemann manifoldlarının alt manifoldları ele alınmıstır. Bunun için gerekli olan kavramlar tanıtılmıs, alt manifold insası yapılıp bir Riemann manifold ile onun alt manifoldunun egriligi˘ arasındaki bagıntıyı veren ˘ Gauss, Codazzi, Ricci denklemleri ifade edilmis ve flat manifold kavramı tanımlanmıstır. S6 ve onun egik alt manifoldlarında incelenecek olan tümel umbilik, tümel geodezik ve minimal alt manifold kavramları ele alınmıs ve teoremleri kanıtlanmıstır. Ikinci bölümün dördüncü kısmında hemen hemen kompleks manifoldlar J yapısı ve Nijenhius tensörü gibi kavramlarla tanımlandıktan sonra hemen hemen Hermityen manifold kavramı verilmi¸stir. Ardından hemen hemen Hermityen manifoldların alt manifoldlarından kısaca bahsedilerek egik alt manifoldlar detaylıca incelenmistir. Daha ˘ sonra yaklasık Kaehleryen manifoldlar tanımlanmıs ve onun Nijenhius tensörü üzerinde durulmustur. Ikinci bölümün be¸sinci kısmında S6 küresinin cebirsel insası yapılarak yaklasık Kaehleryen manifold oldugu gösterilmistir. Yaklasık Kaehleryen S6 küresinin ortalama egriligi bulunmuş , onunla ilgili sonuçlar genelleştirilmiştir. İkinci bölümün son kısmında yaklasık Kaehleryen S6 küresinin tümel umbilik ve tümel geodezik alt manifoldları ile ilgili sonuçlara ulasılmıs ve bir önceki kısımda bulunanlar alt manifoldlar için de çalısılmıstır. Üçüncü bölümde tezin olusmasındaki matematiksel yöntemlerden bahsedilip tezin yazımı için gerekli materyaller ifade edilmistir. Dördüncü bölümde tezin bulgular kısmı yer almaktadır. Bu kısımda yakla¸sık Kaehleryen S6 küresinin egik alt manifoldları üzerinde yeni sonuçlar bulunmus olup özgün teoremler ˘ yer almaktadır. Yaklasık Kaehleryen S6 küresinin ne zaman Kaehleryen egik alt manifold ˘ olacagı gösterilmis ve tümel umbilik has egik alt manifoldlarının egriligi bulunmustur. ˘Bunun sonucunda S6 küresinin tümel umbilik has egik alt manifoldlarının Einstein manifold ˘oldugu gösterilmistir. 
Besinci bölümde tezin degerlendirilmesine yer verilmektedir.

Abstract:
This study consists of 5 chapters. In the first chapter, we present some important researches about the structures studied in this thesis and introduce the subjects related to this thesis. The Second chapter consist of 6 sections. In the first section, we give the definitions of structures and examples supporting these definitions. In the Second section of the second chapter, we present Riemannian manifolds and the structures that are important for Riemannian manifolds. In the third section of the second chapter, we present Riemannian manifolds and the structures that are important for Riemannian manifolds. In the third section of the second chapter, we introduce submanifolds of Riemannian manifolds and express the Gauss, Codazzi, Ricci equations and the concept of a flat manifold. Then we introduce the concepts such as totally umbilical, totally geodesic and minimal submanifold and prove theorems involving them. In the fourth section of the second chapter, we first define almost complex manifolds with J structure and Nijenhius tensor and after that, we give the concept of almost Hermitian manifold. Subsequently, we give submanifolds of almost Hermitian manifolds and we study slant submanifolds in detail. Afterwards, we define nearly Kaehlerian manifolds and give some properties of its Nijenhius tensor. In the fifth part of the second chapter, we give the algebraic construction of the S6 sphere and we show that it is a nearly Kaehlerian manifold. We find the mean curvature of the nearly Kaehlerian S6 sphere and generalize some conclusions on it. In the last section of the second chapter we give conclusions about totally umbilical and totally geodesic submanifolds of the nearly Kaehlerian sphere. We use the results found in the previous section for studying these submanifolds. In the third chapter, we express the necessary materials and mathematical methods that are used for writing this thesis. The fourth chapter includes the findings of the thesis. In this chapter, we give some new results and original theorems on slant submanifolds of the nearly Kaehlerian S6 sphere.
We give the condition when nearly Kaehlerian S6 sphere becomes a Kaehlerian slant submanifold and we give the curvature of totally umbilical proper slant submanifolds of nearly Kaehlerian S6 sphere. As a result, we show that a totally umbilical proper slant submanifold of S6 is an Einstein manifold.
The fifth chapter includes the evaluation of the thesis.