Toplam süreci yardımıyla lineer olmayan operatörlerin yaklaşım özelliklerinin çalışılması
Study of approximation properties of nonlinear operators via summability process
Yazar: İSMAİL ASLAN
Danışman: PROF. DR. OKTAY DUMAN
TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2019
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezde konvolüsyon tipindeki lineer olmayan  integral operatörlerinin toplanabilme metotları yardımıyla yaklaşım özellikleri incelenmiştir. Toplanabilme metotlarının kullanımı sayesinde bilinen yaklaşım sonuçlarının daha genel versiyonları elde edilmiştir.

Bilindiği üzere bir toplanabilme metodu, ıraksak bir diziyi (bir anlamda) yakınsak yapabildiği gibi yakınsak bir dizinin de yakınsama oranını hızlandırabilmektedir. Örneğin, sürekli ve periyodik bir fonksiyonun Fourier serisi ıraksak olabilse de onun aritmetik ortalaması (yani, Cesàro toplamı) daima fonksiyonun kendisine yakınsar. Bir diğer örnek ise, yakınsak bir dizinin uygun bir alt dizi matris dönüşümü, dizinin yakınsaklık oranını hızlandırır. Tüm bu durumlar toplanabilme teorisinin önemini ortaya koymaktadır.

Toplanabilme teorisi şimdiye kadar yaklaşımlar teorisi başta olmak üzere matematiğin birçok alanında yer almaktadır. Örneğin fonksiyonlar teorisinde analitik devam ilkesinde, uygulamalı matematikte lineer denklem sistemlerinin çözümleri için iterasyon metotlarının üretiminde ve yukarıda belirtildiği üzere yaklaşımlar teorisinde Fourier serilerinin yakınsamasında kullanılmıştır.

Bu tezde, Bell tarafından 1971 yılında tanımlanan genel bir toplanabilme metodu, ilk kez lineer olmayan operatörlerin yaklaşımında kullanılmıştır. Bu sayede Angeloni ve Vinti'nin 2006 yılında elde ettikleri sonuçlar geliştirilmiştir.

Bu çalışmada negatif olmayan regüler matris aileleri göz önüne alınmıştır. Toplanabilme metodu, klasik yakınsaklığın yanı sıra, Cesàro tarafından verilen aritmetik ortalama yakınsaklık, Lorentz tarafından verilen hemen hemen yakınsaklık ve Jurkat ve Peyerimhoff tarafından verilen dereceli yakınsaklık gibi bilinen pek çok yakınsaklık metodunu içermektedir.

Lineer olmayan operatörler ile önce tek değişkenli ve 2pi periyotlu fonksiyonlara daha sonra da çok değişkenli fonksiyonlara yaklaşılmıştır. Yaklaşımlarda hem salınım yarı-normu hem de klasik supremum normu göz önüne alınacaktır. Salınım yarı-normuna göre yaklaşımda sınırlı salınımlı fonksiyonlar kullanılırken, supremum normuna göre yaklaşımda ise düzgün sürekli fonksiyonlar dikkate alınmıştır.

Daha sonra uygun Lipschitz sınıfları yardımıyla yakınsaklık oranları hesaplanmıştır. Elde edilen yaklaşım sonuçları kullanılarak mutlak süreklilik ve düzgün süreklilik için bazı karakterizasyonlar elde edilmiştir. Son olarak, tezde ispatlanan yaklaşım sonuçlarını desteklemek için çeşitli operatör dizileri inşa edilmiş ve bunların yaklaşımı grafikler üzerinden gösterilmiş ve hata tahminleri de sayısal olarak hesaplanmıştır.

Lineer olmayan operatörler üzerinde inceleme yapılması ve toplanabilme teorisindeki yöntemlerin etkin bir şekilde kullanılması göz önüne alındığında bu tezde elde edilen sonuçlar, literatüre özgün bir katkı sunmuş olup gelecekte konuyla ilgili yapılacak incelemeler için de bir temel olacağını ümit ederiz.

Abstract:
In this thesis, the nonlinear integral operators of the convolution type are investigated with the help of summability methods. More general versions of the known approximation results are obtained through the use of summability methods.

As known, a summability method can make a divergent sequence convergent (in some sense) and may accelerate the rate of convergence of a convergent sequence. For example, although the Fourier series of a continuous and periodic function may be divergent, its arithmetic mean (that is, Cesàro mean) always approaches to the function itself. In another example, a suitable sub-sequence matrix transformation of a convergent sequence accelerates the rate of convergence of the sequence. All these cases reveal the importance of summability theory.

The theory of summability has so far been involved in many areas of mathematics, particularly in the approximation theory. For instance, it is used for the principle of analytic continuation in function theory, for the production of iterative methods for the solution of linear equation systems in applied mathematics and for the convergence of Fourier series in the approximation theory as mentioned above. 

In this thesis, a general summability method defined by Bell in 1971 is used in the convergence of nonlinear operators for the first time. In this way, Angeloni and Vinti's results which are obtained in 2006 are improved.

In this study, the family of non-negative regular matrices are considered. These methods contain not only the classical convergence but also the arithmetic mean convergence given by Cesàro, the almost convergence introduced by Lorentz, and the order summability defined by Jurkat and Peyerimhoff.

With nonlinear operators, we first approximate to univariate and 2pi-periodic functions and then to multivariate functions. In the approximations, both variation semi-norm and classical supremum norm will be considered. We use functions of bounded variations in the variation seminorm, while uniformly continuous functions in the supremum norm.

After that, rates of convergence are calculated with the help of suitable Lipschitz classes. Using the estimation results obtained, some characterizations of absolute continuity and uniform continuity are given. Finally, in order to support our approximation results we construct some sequences of operators and display their graphs and also compute the error estimations numerically. 

Considering the investigation on nonlinear operators and using summability methods effectively,  the results obtained in this  thesis offer an original contribution to the literature and we expect that it provides a basis for studies in the future.