Grupların çapraz çarpımı ve cebirsel özellikleri
Crossed product of groups and algebraic properties
Yazar: ESRA KIRMIZI ÇETİNALP
Danışman: PROF. DR. EYLEM GÜZEL KARPUZ
Karamanoğlu Mehmetbey Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Cebir ve Sayılar Teorisi Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2020
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, tezin içindeki temel konular ile ilgili genel bilgiler verilmiştir. İkinci bölümde, ilk olarak grup ve monoid sunuşları ile ilgili hatırlatmalar yapılmıştır ve grup genişlemeleri üzerinde genel bilgiler kısaca verilmiştir. Daha sonra, grupların çapraz çarpımı ve karar verme problemleri ile ilgili bilgi verilip, kelime probleminin çözümünde önemli bir metot olan yeniden yazma sisteminden bahsedilmiştir. 
   Üçüncü bölümde, tekrarlı yarı direkt çarpımı içeren ve çapraz çarpımın genellemesi olan tekrarlı çapraz çarpım yapısı gruplar üzerinde tanımlanmıştır. Bu cebirsel yapının grup özelliğini sağladığı ispatlanmıştır. Daha sonra sonlu devirli grupların tekrarlı çapraz çarpımının sunuşu elde edilerek bu sunuşun tam yeniden yazma sistemi hesaplanmıştır. Böylece bu yeni çarpım grubuiçin normal form yapısı elde edilerek bu grubun kelime probleminin çözülebilir olduğu gösterilmiştir. Son olarak ise, keyfi üç sonlu devirli grup düşünülerek bu bölümün bir uygulması verilmiştir.
   Dördüncü bölümde, çapraz çarpım yapısını kapsayan Lamplighter-çapraz çarpım yapısı gruplar üzerinde tanımlanmıştır. Tanımlanan bu yeni çarpım için sunuş yapısı bulunmuştur. Elde edilen bu grubun monoid sunuşu kullanılarak bağıntıdaki kelimenin uzunluğuna bağlı olarak üç farklı durumda tam yeniden yazma sistemi hesaplanmıştır. Herbir durum için normal form yapısı elde edilerek grubun kelime probleminin çözülebilirliği incelenmiştir.
   Son bölümde, önceki bölümlerde elde edilen sonuçların bir değerlendirmesi yapılmıştır.

Abstract:
This thesis consists of five main chapters. In the first chapter, it has been given general information about topics of this thesis. In the second chapter, firstly, it has been recalled group, monoid presentations and then given briefly some information on group extensions. Later, it has been given information on crossed product of groups and decision problems, and discussed complete rewriting system which is one of the important method in solvability of the word problem. 
    In Chapter 3, it has been defined iterated crossed product which includes iterated semidirect product and contains the generalization of crossed product on groups. It has been proved to provide the group feature for this algebraic structure. Moreover, it has been calculated complete rewriting system of this presentation by obtaining presentation of iterated crossed product of finite cyclic groups. Thus, by obtaining normal form structure of this new group product, it has been shown that the word problem of this group is solvable. Finally, it has been given an application of this section by considering three arbitrary finite cyclic groups.
    In Chapter 4, it has been defined the Lamplighter-crossed product structure which inculude the crossed product structure on the groups. It has been found the presentation structure for this new product. By using the monoid presentation of this group, it has been calculated the complete rewrite system in three different cases depending on the length of the word in the relation. It has been examined solving the word problem of the group by obtaining a normal form structure for each case.
    In the last chapter, the results which are obtained from previous chapters have been summarized.