Hom-Lie-Hopf cebirler
Hom-Lie-Hopf algebras
Yazar: ADNAN KARATAŞ
Danışman: DOÇ. DR. SERPİL HALICI
Pamukkale Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2020
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezde Hom-Lie-Hopf cebirler tanımlanmıştır ve bu cebir tanımında kullanılacak olan; Hom-cebir, Hom-eşcebir, Hom-Lie cebir, Hom-Bicebir, Hom-Hopf cebir tanımları verilmiştir. Ayrıca, etki ve eşetki yardımıyla cebirler ve eşcebirler üzerinde tanımlanan Hom-modül cebir, Hom-modül eşcebir, Hom-eşmodül cebir ve Hom-eşmodül eşcebir tanımları ve özellikleri üzerinde durulmuştur. Ek olarak, bir Hom-Lie cebirin evrensel zarflama cebirinin tanımı verilmiştir. Kullanılacak tanımlardan olan, iki Hom-Hopf cebir ve bunların aralarındaki etki ile oluşan çift
çapraz çarpım Hom-Hopf cebir tanımı verilmiştir. Benzer olarak, iki Hom-Hopf cebir ve bunlar arasındaki etki ve eşetki ile oluşan ikili çapraz çarpım Hom-Hopf cebir tanımı verilmiştir. Son olarak, bahsedilen Hom-Hopf cebirlerde dual tanımına yer verilmiştir. Hom-Lie-Hopf cebirler tanımlanırken yukarıdaki tanımlamalardan aşağıdaki gibi yararlanılmıştır. Hom-Lie-Hopf cebirler, eşlenmiş çift Hom-Lie cebir ikilisi olan (𝔤, 𝔥) üzerinde tanımlanırlar. Belirtilen Hom-Lie cebirlerin evrensel zarflama cebirleri sırasıyla 𝒰(𝔤) ve 𝒰(𝔥) olan Hom-Hopf cebirlerdir. Evrensel zarflama cebiri olan 𝒰(𝔤) ve 𝒰(𝔥) eşlenmiş çift Hom-Hopf cebir ikilisini oluştururlar ve bu yapı sayesinde
çift çapraz çarpım Hom-Hopf cebir olan 𝒰(𝔤) ⋈ 𝒰(𝔥) yapısı elde edilir. Dualleme ile 𝒰(𝔥) o yapısının da bir Hom-Hopf cebir olduğu gösterildikten sonra 𝒰(𝔥) o ile 𝒰(𝔤) yapısının karşılıklı Hom-Hopf cebir çifti olduğu gösterilir. Elde edilen bu HomHopf cebir çifti sayesinde ikili çapraz çarpım Hom-Hopf cebiri olan 𝒰(𝔥) o 𝒰(𝔤) bulunur. Sonuç olarak elde edilen bu Hom-Hopf cebiri Hom-Lie-Hopf cebir olarak adlandırılmıştır.

ANAHTAR KELİMELER: Hom-Hopf cebirler, Hom-Lie cebirler, çift çapraz çarpım, ikili çapraz çarpım

Abstract:
In this thesis, the Hom-Lie-Hopf algebras are defined. In order to define the algebra, the definitions of Hom-algebra, Hom-coalgebra, Hom-bialgebra, Hom-Hopf algebra are given. In addition, the action and coaction over algebras and coalgebras are used to obtain Hom-module algebra, Hom-module coalgebra, Hom-comodule algebra, and Hom-comodule coalgebra and their properties are studied. Also, the definition of universal enveloping algebra of Hom-Lie algebra is given. The definition of double cross product of two Hom-Hopf algebras via actions are given. Furthermore, the definition of bicross product of two Hom-Hopf algebras via action and coaction are given. Finally, duality over the Hom-Hopf algebras are mentioned. The Hom-Lie-Hopf algebras are defined with the help of definitions above as follows. Hom-Lie-Hopf algebras are defined over matched pair of Hom-Lie algebras (𝔤, 𝔥). The universal enveloping algebras of them are Hom-Hopf algebras 𝒰(𝔤) and 𝒰(𝔥) respectively. The double cross product Hom-Hopf algebra 𝒰(𝔤) ⋈ 𝒰(𝔥) is constructed via the universal enveloping algebras 𝒰(𝔤) and 𝒰(𝔥). The Hom-Hopf algebra 𝒰(𝔥) o is obtained with duality. The bicross product Hom-Hopf algebra is gained from the pair of Hom-Hopf algebras 𝒰(𝔥)
o and 𝒰(𝔤). Hom-Hopf algebra 𝒰(𝔥) o 𝒰(𝔤) is found from the mentioned pair. As the result, the Hom-Hopf algebra
is named as Hom-Lie-Hopf algebra.

KEYWORDS: Hom-Hopf algebras, Hom-Lie algebras, Double cross product, Bicross product