Ağırlıklı bir telin titreşim probleminin grand-lebesgue uzaylarında spektral özellikleri
Spectral properties of a vibration problem of a loaded string in grand-lebesgue spaces
Yazar: FATİH ŞİRİN
Danışman: DOÇ. DR. YUSUF ZEREN
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2021
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Iki ucu sabit, ortasında yük asılı bir ipin titre¸sim probleminin Fourier metodu ile
çözümünde, sınır ko¸sullarında spektral bir parametre olan spektral problem ortaya
çıkmaktadır. Bu tür problemlerin çözümlerinde, problemin özfonksiyonlar ve ili¸skili
fonksiyonlar sisteminin uygun uzaylarda bazlık özelliklerinin incelenmesi gerekir.
Bu çalı¸smada, sınır ko¸sullarında spektral parametre bulunan ikinci mertebeden
bir diferansiyel denklem için süreksiz spektral problemin özfonksiyonlar sisteminin
bazlıgı ˘ Lp)
(−1, 1), 1 < p < +∞ grand-Lebesgue uzayı ve Lp),ρ(−1, 1), 1 < p <
+∞ agırlıklı grand-Lebesgue uzayı için incelenmi¸stir. Grand-Lebesgue uzaylarının ˘
ayrılabilir olmaması sebebiyle, öteleme (shift) operatörü kullanılarak tanımlanan,
Gp)
(−1, 1) ayrılabilir alt uzayı dü¸sünülmü¸stür. ˙Ilk olarak spektral problemin özdeger ˘
ve özfonksiyonlarının asimtotik formülleri bulunmu¸s, daha sonra problemin Green
fonksiyon yapısını kurularak, problemden üretilen lineerle¸stirilmi¸s operatörü ve
rezolvent yapısı Gp)
(−1, 1) ⊕ C uzayı üzerinde olu¸sturulmu¸stur. Tanımlanan süreksiz
diferansiyel operatörün özfonksiyonlar sisteminin bazlık kriterleri (tamlık, minimallik,
projeksiyonların düzgün sınırlılıgı) ˘ Gp)
(−1, 1)⊕C, 1 < p < +∞uzayında ispatlanarak
özfonksiyonlar sisteminin bazlıgı elde edilmi¸stir. Sonrasında ise ele alınan problemin ˘
özfonksiyonlar sisteminden çift indisli herhangi bir fonksiyon çıkarıldıgında, geriye ˘
kalan sistemin Gp)
(−1, 1), 1 < p < +∞uzaylarında bir baz olu¸sturdugu gösterilmi¸stir. ˘
Agırlıklı grand-Lebesgue uzayı da ayrılabilir olmadı ˘ gı için benzer yöntemle ˘
Gp),ρ(0, 1), 1 < p < +∞ uygun alt uzayı tanımlanmı¸stır. Bu bölümde bir diger ˘
spektral problem ele alınmı¸stır. Bu problemde yük telin tam ortasında degil, telin
noktasındadır. Telin üzerine asılan yüküm konumunun degi¸smesi sebebiyle problemin özdegerler ve özfonksiyonların asimtotik formüllerinin yeniden bulunması gerekir. ˘
Sonrasında ρ agırlık fonksiyonu Muckenhoupt ¸sartını sa ˘ glamasıyla, üstel sistelmerin, ˘
trigonometrik sistemlerin bazlık özellikleri Gp),ρ(0, 1), 1 < p < +∞ uzayında
incelemi¸stir. Spektral probleme uygun süreksiz diferansiyel operatörün özfonksiyonlar
sisteminin Gp),ρ(0, 1) ⊕ C, 1 < p < +∞ uzayında bir baz olu¸sturdugu, ˘ p−yakın ve
q−baz gibi kavramlar kullanılarak, trigonometrik sistemler aracılıgıyla ispatlanmı¸stır. ˘
Son olarak problemin özfonksiyonlar sisteminden belirli ¸sartlar altında keyfi bir
fonksiyonu çıkardıgımızda kalan sistemin bazlı ˘ gı ise ˘ Gp),ρ(0, 1), 1 < p < +∞uzayında
elde edilerek hedeflenen çalı¸smalar tamamlanmı¸stır.
Anahtar Kelimeler: grand-Lebesgue uzayı, süreksiz spektral problem, bazlık
özellikleri, agırlıklı grand-Lebesgue uzayı, Muckenhoupt kosulu

Abstract:
In the solution of the vibration problem of a string with fixed two ends and with a mass
in the middle, which is the spectral parameter under boundary conditions, occurs with
the Fourier method. In solving such problems, it is necessary to examine the basicity
properties of the problem's system of eigenfunctions and the associated functions in
appropriate spaces. In this study, the basicity of the eigenfunctions system of the
discontinuous spectral problem for a second order differential equation with spectral
parameters in boundary conditions is investigated for the grand-Lebesgue space
Lp)
(−1, 1), 1 < p < +∞ and the weighted grand-Lebesgue space Lp),ρ(−1, 1), 1 < p <
+∞. Since the Grand-Lebesgue spaces are not separable, the Gp)
(−1, 1) separable
subspace defined using the shift operator is considered. Firstly, the asymptotic
formulas of the eigenvalues and eigenfunctions of the spectral problem were found,
then the Green function structure of the problem was established and the linearized
operator and the resolvent structure generated from the problem were formed on
the Gp)
(−1, 1) ⊕ C space. The basicity of the system of eigenfunctions was obtained
by proving the basicity criteria (completeness, minimality, uniform limitation of
projections) of the eigenfunctions system of the defined discontinuous differential
operator in Gp)
(−1, 1) ⊕ C, 1 < p < +∞ space. Afterwards, it was shown that
when any double-indexed function is removed from the eigenfunctions system of the
problem, the remaining system forms a base in the Gp)
(−1, 1), 1 < p < +∞ spaces.
Since the weighted grand-Lebesgue space is not separable, the appropriate subspace
Gp),ρ(0, 1), 1 < p < +∞ is defined by a similar method. In this section, another
spectral problem is discussed. In this problem, the load is not in the middle of the string, but at the 1
3
point of the string. However, the asymptotic formulas of the
eigenvalues and eigenfunctions of the problem need to be found again. Afterwards,
the basicity properties of the exponential systems, trigonometric systems can be
investigated in the space Gp),ρ(0, 1), 1 < p < +∞, with the weight function ρ
satisfying the Muckenhoupt condition. It has been proved through trigonometric
systems using concepts such as p-near and q-base that the system of eigenfunctions of
the discontinuous differential operator suitable for the spectral problem forms a base
in the Gp),ρ(0, 1)C, 1 < p < +∞ space.
Finally, the thesis has been completed by obtaining the basicity of the remaining system
in Gp),ρ(0, 1), 1 < p < +∞ space when we discard an arbitrary function from the
eigenfunction system of the problem under certain conditions.
Keywords: grand-Lebesgue space, discontinuous spectral problem, basicity
properties, weighted grand-Lebesgue space, Muckenhoupt condition