4-boyutlu uzayda quasi çatıya göre öteleme hiperyüzeyleri
Translation hypersurfaces according to quasi frame in 4-dimensional space
Yazar: EMEL ÇELİK
Danışman: PROF. DR. CUMALİ EKİCİ ; DR. HATİCE TOZAK
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Ana Bilim Dalı / Geometri Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Diferensiyel geometri = Differential geometry

Özet:
Diferensiyel geometride, özellikle eğri ve yüzeylerin incelendiği alan, öteleme yüzeyleri gibi özel yüzeylerin tanımlanması ve temsil edilmesi açısından oldukça önem taşır. Bu öteleme yüzeyleri, bilgisayar grafikleri ve tasarımında yaygın olarak kullanıldığından, bu yüzeylerin temsil edilmesi ve tanımlanması, araştırmacılar için ilgi çekici bir konudur. 3-boyutlu uzayda öteleme yüzeyi, iki regüler uzay eğrisinden oluşan ve eğrilerden birinin diğeri üzerinde kendisine paralel olacak şekilde ötelenmesiyle oluşturulan bir yapıdır. Bu yüzeylerde, eğrilerin yönlendirme sistemleri üzerinde çalışılmış ve Frenet çatısı, Bishop çatısı gibi sistemler örnek olarak sunulmuştur. Ayrıca, Frenet çatısı gibi bilinen çatılara kıyasla daha geniş bir uygulanabilirliğe sahip olan ve bir uzay eğrisinin ikinci dereceden türevi olmadığında bile hesaplamalara izin veren "quasi-çatı" olarak adlandırılan 3-boyutlu uzayda daha genel bir sistemle öteleme yüzeyi araştırmaları yürütülmüştür. Quasi-çatı, uzay eğrisi boyunca teğet ve izdüşüm vektörlerine dik birim quasi-normal vektörü kullanılarak oluşturulur. Bu çalışmada, 4-boyutlu uzayda öteleme hiperyüzeyleri üzerine odaklanılmıştır. 4-boyutlu uzayda quasi-çatılı öteleme hiperyüzeyleri tanımlanmış ve bu hiperyüzeylerin parametrik ifadeleri, üç birim hızlı üreteç eğrileri kullanılarak verilmiştir. Her bir eğri için quasi-çatı vektörleri ve onların türev denklemleri, quasi-eğrilikler aracılığıyla ifade edilmiştir. Buna ek olarak birim normal vektör alanının üç farklı düzlemde bulunma durumlarına göre öteleme hiperyüzeylerinin birinci ve ikinci kısmi türevleri kullanılarak temel form katsayı matrisleri hesaplanmıştır. Her bir durum için bulunan temel form katsayı matrisleri yardımıyla öteleme hiperyüzeyinin şekil operatörü matrisleri, Gauss eğrilikleri ve ortalama eğrikleri elde edilmiştir. İlaveten quasi-çatılı hiperyüzeyinin minimal ve üreteç eğrilerinin asimptotik çizgi olma durumu incelenmiştir. 4-boyutlu Öklid uzayında uygun bir uzay eğrisi için quasi-vektörlerin ve quasi-eğriliklerin hesaplandığı ve bunların kullanıldığı quasi-çatılı öteleme hiperyüzeyinin denklemlerinin verildiği örnekler yapılmıştır. Ayrıca temel form katsayıları ile şekil operatörü matrisleri bulunarak bu hiperyüzeyin eğrilikleri elde edilmiş ve hiperyüzeyin izdüşüm uzaylarındaki şekilleri çizdirilmiştir.

Anahtar Kelimeler: Quasi-çatı, öteleme hiperyüzeyi, şekil operatörü, eğrilikler

Abstract:
Differential geometry, particularly the study of curves and surfaces, holds significance in defining and representing special surfaces such as translation surfaces. Given their widespread application in computer graphics and design, understanding and representing these surfaces has become an intriguing area of research. A translation surface in 3-dimensional space is a rational surface formed by parallel displacement of one regular space curve along another, thereby generating a curve where each point undergoes a translation along the second curve. Noteworthy directional systems for curves on translation surfaces, such as the Frenet frame and Bishop frame, have been explored. Additionally, a more general system termed "quasi-frame" has been introduced in 3-dimensional space. The quasi-frame is constructed using a unit quasi-normal vector perpendicular to the tangent and projection vectors along the space curve. This study focuses on 4-dimensional space and investigates translational hypersurfaces using quasi-frame. The construction of a quasi-frame along a space curve involves forming a quasi-normal vector as a unit vector perpendicular to the tangent vector and curvature projection vector. Subsequently, unit tangent, unit quasi-normal, and unit quasi-binormal vectors collectively constitute the quasi-frame. In addition, the fundamental form coefficient matrices were calculated by using the first and second partial derivatives of the translation hypersurfaces for the cases where the unit normal vector field is located in three different planes. The shape operator matrices, Gaussian curvatures and mean curvatures of the translational hypersurfaces are obtained from the fundamental form coefficients matrices for each case. In addition, the asymptotic lines of the minimal and generating curves of the quasi-cratched hypersurface are analysed. Examples are given in which quasi-vectors and quasi-curvatures are computed for a suitable space curve in 4-dimensional Euclidean space and the equations of the quasi-frame translational hypersurface using them are given. In addition, the curvatures of this hypersurface are obtained by finding the basic form coefficients and shape operator matrices and the shapes of the hypersurface in projection spaces are drawn.

Key Words: Quasi-frame, translation hypersurfaces, shape operator, curvatures