Dönüştürülmüş genel lineer karma modeller altında BLUP ilişkileri
Relationships of BLUP under transformed general linear mixed models
Yazar: HACER KAPUSUZ
Danışman: DOÇ. DR. NESRİN GÜLER
Sakarya Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2019
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bir genel lineer karma model hem sabit hem rasgele etkileri içeren modeldir. Bazı durumlarda bu modeller üzerinde farklı dönüşümleri ele almak gerekebilir. En basit ve dolaysız dönüşümlerden biri, verilen modelin lineer dönüşümü denilen, modelde eşitliğin her iki tarafının da uygun bir matrisle soldan çarpılmasıyla elde edilen dönüşümdür. Çalışmada, rasgele etkiler üzerinde ve modellerdeki matrislerin rankları ile ilgili herhangi bir kısıtlama olmaksızın iki genel lineer dönüştürülmüş karma model ele alınmıştır. Bu modelleri elde etmek için kullanılan uygun boyutlu matrisler tam sütun ranklı olmadıkları sürece, bu her iki dönüştürülmüş model denk olmak zorunda değildir. Dolayısıyla bu iki dönüştürülmüş model altındaki bilinmeyen parametrelerin ön tahmin/tahmin edicileri aynı olmak zorunda değildir. Bu tahmin ediciler farklı cebirsel ifadelere ve dolayısı ile farklı özelliklere sahip olmalarına rağmen bazı koşullar altında benzer özellikler gösterebilirler. Bu çalışmada, iki lineer dönüştürülmüş genel lineer karma model altında ortak olan bilinmeyen parametrelerin en iyi lineer yansız ön tahmin edicilerinin (best linear unbiased predictors-BLUPs) karşılaştırılması problemine genel bir yaklaşım sunularak, BLUP'ların aralarındaki ilişkiler incelenmiştir. Özellikle, sonuçlar elde edilirken karşılaşılan matris denklemleri, matrislerin Moore-Penrose genelleştirilmiş terslerini içermekte ve oldukça karmaşık bir yapıyla karşımıza çıkmaktadır. Bu nedenle, matrislerin sütun uzayları ve rankları ile ilgili bazı özellikler kullanılarak elde edilen denklemler ve ifadeler daha sade bir forma getirilerek sonuçlar elde edilmiştir. Ele alınan lineer dönüştürülmüş karma modeller altında ortak bilinmeyen parametrelerin ön tahmin/tahmin edicileri ile ilgili bazı özel durumların da sonuçları verilmiştir.

İlk bölümde, genel lineer karma model ve onun dönüştürülmüş modeli tanıtılmış ve bu modeller altında parametre tahmini ile ilgili kısa bir literatür taraması yapılmıştır. Bazı temel kavram ve teoremler ikinci bölümde verilmiştir. Üçüncü bölümde, genel lineer karma model ve dönüştürülmüş genel lineer karma modellerde ön tahmin/tahmin edilebilme, BLUP ve en iyi lineer yansız tahmin edicileri (best linear unbiased estimator-BLUE) ile ilgili matris denklemleri, ön tahmin/tahmin edicilerin analitik ifadeleri ve özellikleri ele alınmıştır. Dördüncü bölümde, ele alınan dönüşüm modelleri altında ortak bilinmeyen parametre vektörlerinin BLUP'larının eşitlikleri incelenmiştir. Sonuçlar bazı matris rank ve sütun uzayı özellikleri kullanılarak elde edilmiştir. Beşinci bölüm ise, sonuç ve önerilerden oluşmaktadır.

Abstract:
A general linear mixed model includes both fixed and random effects. In some cases, we need to take various transformations over these models. One of the most simple and direct transformations is to pre-multiply a certain matrix to both sides of given the model, which is called a linear transformation of the model. In this study, two transformed general linear mixed models are considered without making any restrictions regarding random effects and matrix ranks in models.These two transformed models are not have to be equal unless proper dimensional matrices, which are used to obtain these models, are in full column rank. Therefore, predictors/estimators of unkonwn parameters under these two transformed models do not have to be similar. Although these estimators have different algebraic expressions and different properties, they might show similar features in some circumstances. In this study, the relations among best linear unbiased predictors (BLUPs) of joint unknown parameters have been analyzed by presenting an overall approach to the problem of comparing BLUPs under two transformed general linear mixed models. Matrix equations encountered while the results are obtained particularly include Moore-Penrose generalized inverse of matrices and come up with a very complex structure. Consequently, equations and expressions obtanied from column spaces and ranks of matrixes have been simplified to reach solutions. The results of some special conditions regarding predictors/estimators of joint unknown parameters under transformed linear mixed models have been given.

In the first chapter, general linear mixed model and its transformed model have been 
been given. Some basic concepts and theorems are mentioned in the second chapter. In the third chapter, predictability/estimatability in general linear mixed models and transformed general linear mixed models, matrix equations concerning BLUP and best linear unbiased estimator (BLUE), analytic expressions and properties of predictors/estimators have been reviewed. In the fourth chapter, equality of BLUPs of vectors of joint unknown parameter under transformed general linear mixed models have been examined. The results are obtained by using some matrix ranks and column space properties. The fifth chapter consists of conclusion and recommendations.