Kesirli basamaktan bazı dinamik modeller üzerine
On some fractional dynamic models
Yazar: ÖZLEM ÖZTÜRK MIZRAK
Danışman: PROF. DR. NURİ ÖZALP
Ankara Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2018
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Fourier dönüşümü = Fourier transformation ; Laplace dönüşümü = Laplace transform ; Mellin dönüşümü = Mellin transform

Özet:
Kesirli analiz, hem teori hem de uygulama anlamında son yıllarda ciddi bir popülerite kazanmıştır. Bu tezde kesirli sistemler için bazı çözüm yöntemleri ve bu sistemlere dayalı modeller incelenmiştir. Kesirli tanım kümesinden adi tanım kümesine dönüşümü sağlayan bir CTIT (Cosmic Time to Individual Time) dönüşümü yardımıyla oluşturulan kesirli Laplace dönüşüm yöntemi ile sabit katsayılı lineer bir kesirli diferensiyel denklemin çözümleri üstel fonksiyon cinsinden bulunurken, yine aynı eşitlik yardımıyla oluşturulan kesirli Mellin dönüşüm yöntemiyle de değişken katsayılı bir kesirli diferensiyel denklemin çözümleri bulunmuştur. Aynı şekilde kesirli sönüm terimine sahip bir salınım denkleminin çözümleri de CTIT eşitliğine dayanan kesirli Fourier dönüşüm yöntemiyle elde edilmiştir. Daha sonra Braess'in paradoksuna dayalı adi formda oluşturulmuş kimyasal bir sistem kesirli hale çevrilmiş ve paradoksun gerçekleşme olasılığının ve sistem davranışının nasıl etkilendiğini görmek amaçlanmıştır. Sonuç olarak kesirli türev basamağının kimyasal reaksiyonların hızıyla doğrudan ilişkili olduğu; ancak değişiminin paradoksun gerçekleşmesini etkilemediği görülmüştür. Bu analize geçilmeden önce ise kesirli analiz bağlamında kimyasal kinetik üzerine bir tartışma kesimi açılarak kesirli türevlemenin sınırlı veriyi daha küçük ortalama kare kök değeriyle daha iyi interpole ettiği iki temel örnekle gösterilmiştir. Ayrıca prostat kanserine yönelik bir model sunulmuştur. Sonuç bölümünde ise genel olarak tez çıktıları toparlanmış ve önemli görülen noktalara vurgu yapılmıştır.

Abstract:
Fractional analysis has gained a considerable popularity in recent years, both in theory
and in practice. In this thesis, we have contributed to the fractional theory with proposed
transformation based solution methods via an equality (Cosmic Time to Individual Time
(CTIT)) and to the fractional application area by analyzing the fractional version of a
chemical system. Fractional Laplace transform method and fractional Mellin transform
method were used to nd a solution of a linear fractional di¤erential equation with constant
coe¢ cients and fractional di¤erential equations with variable coe¢ cients, respectively.
Similarly, solutions of an oscillation equation with a fractional damping term were also
obtained by the fractional Fourier transform method. Then, a chemical system formed in
ordinary form related to Braesss paradox was turned into the fractional version and it
was aimed to see how the occurrence posibility of the paradox and the system behavior
were a¤ected. As a result, the fractional derivative order is directly related to the rate
of chemical reactions; however, it has been observed that the change of it does not a¤ect
the realization of the paradox. Before this analysis, a discussion section on the chemical
kinetics in the context of fractional analysis was opened and two basic examples were given
to show that fractional derivation interpolates the limited data with a smaller root mean
square value. In addition, a model for prostate cancer is introduced. In the conclusion
section, thesis output was summarized and important points were emphasized.