Sonlu halkalar üzerinde çeşitli kodların inşası
Construction of various codes over finite rings
Yazar: FATMA ZEHRA UZEKMEK
Danışman: PROF. DR. MEHMET ÖZEN
Sakarya Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Cebir ve Sayılar Teorisi Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2021
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Anahtar kelimeler: Devirli kod, sabit devirli kod, parçalı devirli kod, aykırı devirli kod, aykırı sabit devirli kod, DNA kod, ters sıralı DNA kod, toplamsal kod

Bu çalışma altı bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde çeşitli başlıklar altında cebirsel tanım ve teoremlere yer verilmiştir.

İkinci bölümde, Z4+uZ4+u^2Z4+...+u^(k-1)Z4 halkasının yapısı incelenerek Çin Kalan Teoremi yardımıyla halka üzerinde tek uzunluktaki devirli ve sabit devirli kodların yapısı araştırılmıştır. Üreteç polinomları oluşturulmuş, idempotent üretecinin tek türlü olduğu gösterilmiştir. Halkadaki devirli ve sabit devirli kodların Z4 görüntüleri incelenerek önemli sonuçlara ulaşılmıştır. Elde edilen tüm bu bilgilerden yararlanarak Z4 üzerinde birçok yeni ve optimal kod elde edilmiştir. Elde edilen kodların bazıları tablolar ile sunulmuştur.

Üçüncü bölümde, Z4+uZ4+u^2Z4 halkası üzerinde aşikâr olmayan tüm otomorfizmalar belirlenmiştir. Ayrışım metodu yardımı ile tek uzunluktaki aykırı devirli ve aykırı sabit devirli kodların üreteç polinomu oluşturularak karakteristik yapıları incelenmiştir. Aykırı devirli ve halkadaki tüm birimsel elemanlar için aykırı sabit devirli kodların Z4 görüntüleri incelenerek birçok yeni ve optimal kod elde edilmiştir. Bulunan kodlar tablo ile sunulmuştur.

Dördüncü bölümde, Z4+uZ4+u^2Z4 halkasında ters sıralı DNA kodların varlığına odaklanılmış ve bu kodları bulabilmek için yeni bir polinom tanımlanmıştır. Önceki bölümlerde tanımlanan Gray dönüşüm ile DNA 2-bazı arasında ilişki kurulmuştur. Halka üzerinde ters sıralı DNA kod inşa edebilmek için yeni bir üretim metodu oluşturulmuştur. Oluşturulan bu metodu daha anlaşılabilir kılabilmek adına örnekler sunulmuştur.

Beşinci bölümde, Z4Z4[u] halkasının yapısal özellikleri incelenmiş ve Z4R-devirli ve sabit devirli kodun üreteç polinomları belirlenmiştir. Kodu geren en küçük küme elde edilmiştir. Otomorfizma tanımlanarak aykırı devirli ve aykırı sabit devirli kodların yapısı araştırılmıştır. Devirli, sabit devirli, aykırı devirli ve aykırı sabit devirli kodların Z4-görüntüleri incelenerek yeni sonuçlar elde edilmiştir.

Altıncı bölümde ise sonuçlara yer verilmiştir.

Abstract:
Keywords: Cyclic code, constacyclic code, quasi cyclic code, skew cyclic code, skew constacyclic code, DNA code, reversible DNA code, addtitive code

This study consists of six sections. In the first section, algebraic definitions and theorems are included under various titles.

In the second section, by examining the structure of the ring Z4+uZ4+u^2Z4+...+u^(k-1)Z4, with the help of the Chinese Remainder Theorem, the structure of cyclic and constacyclic codes with odd length over this ring is investigated. Generator polynomials are constructed and the idempotent generator of the code is shown to be unique. Important results have been obtained by examining the Z4-images of the cyclic and constacyclic codes over the ring. At the end, many new and optimal linear codes are obtained. Some of these codes are presented in tables.

In the third section, all non-trivial automorphisms over the ring Z4+uZ4+u^2Z4 are determined. With the help of the Chinese Remainder Theorem, generator polynomials of skew cyclic and skew constacyclic codes of odd length are constructed and their characteristic structures are analyzed. Many new and optimal linear codes have been obtained by examining Z4-images of skew cyclic codes and skew constacyclic codes for all unit elements over the ring. The codes that found are presented with tables.

In the fourth section, the existence of reversible DNA codes over the ring Z4+uZ4+u^2Z4 is focused and a new polynomial is defined to find these codes. The relationship is established between DNA 2-mers and the Gray map in the previous sections. Then, a new construction method is presented to obtain the reversible DNA code over this ring. In order to make this method more understandable, examples are given.

In the fifth section, the structural properties of the ring Z4Z4[u] are explored and the generator polynomials of the cyclic and constacyclic codes are identified. By defining an automorphism, the structure of skew cyclic and skew constacyclic codes are investigated. New results have been obtained via analyzing Z4-images of cyclic, constacyclic, skew cyclic and skew constacyclic over this ring.

In the sixth section, the results are given.