Proximity uzaylar kategorisinde ayrılma aksiyomları
Seperation axioms of proximity spaces
Yazar: TUĞBA MARAŞLI
Danışman: DOÇ. DR. MUAMMER KULA
Erciyes Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2015
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Proximity uzaylar teorisinin temeli Frigyes Riesz tarafından 1908' de Roma matematik kongresinde ortaya atılmıştır. Konu Efromovič tarafından 1950' lerin başlarında yeniden keşfedilmiştir. Efromovič, herhangi bir X cümlesinin A ve B alt cümleleri için "A, B' ye yakındır" proximity bağıntısını karakterize etmiştir. Bu bağıntıyla tanımlanan bir X cümlesi infinitesimal (sonsuz küçük, bölünemeyecek kadar küçük) uzay yani proximity uzay olarak metrik uzayın ve bir topolojik grubun doğal bir genellemesi olarak tanımlanmıştır [1].
Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, çalışmalarımız için gerekli temel kategorik tanımlar, proximity uzaylarla alakalı gerekli tanımlar verilerek; proximity uzaylar ve   dönüşümlerinden oluşan Prox kategorisinin topolojik kategori olduğu gösterildi.
İkinci bölümde, proximity uzaylar kategorisinde ki bir   noktasında  ,   ve    ayırma aksiyomları karakterize edildi ve bu yapılar arasındaki ilişkiler incelendi.
Üçüncü bölümde  ,  ve   proximity uzayları karakterize edildi ve birbirleri arasındaki ilişkiler incelendi. Son olarak, noktasındaki  proximity uzaylarla    proximity uzaylar arasındaki ilişkiler incelendi.
Dördüncü bölümde, proximity uzaylarda (kuvvetli) kapalı ve (kuvvetli) açık alt cümleleri karakterize edilip, birbirleriyle ve bilinen kapalı cümlelerle ilişkileri incelendi. Bununla birlikte proximity uzaylar kategorisinde bağlantılı, kuvvetli bağlantılı ve    bağlantılı objeler karakterize edildi.
Beşinci bölümde; ikinci, üçüncü ve dördüncü bölümlerde ispatladığımız sonuçlar özetlendi ve ileriki çalışmalar için çözülmemiş problemlere dikkat çekildi. 

Anahtar Kelimeler: Topolojik kategori, proximity uzay, ayrılma aksiyomları,              kapalılık, bağlantılılık.

Abstract:
The basic concept of the theory of proximity spaces were emerged by Frigyes Riesz  in 1908 at the  mathematical congress in Rome. The subject was essentially rediscovered in the early 1950's by Efromovič. He axiomatically characterized the proximity relation "A is near B" for subsets A and B of any set X. The set X together with this relation was called a infinitesimal (proximity) space, and is a natural generalization of a metric space and of a topological group [1].  
This thesis is consisted of five chapters. In the first chapter, definition of essential categorical concepts and notions of proximity spaces are given. Moreover, it is showed that the Prox category which consists of proximity spaces and   maps is a topological category.
In the second chapter, an explicit characterization of the separation properties  ,   and   at a point    is given in the topological category of proximity spaces. And relationships among these structures are examined. 
 In the third chapter, the characterization of each of  ,   and   proximity spaces are given. Moreover, relationships between these structures are characterized. Finally, the relationships between generalized separation properties  and separation properties at a point p are investigated in this category.
In the fourth chapter, (strongly) closed and (strongly) open subobjects of an object are characterized in the category of proximity spaces and the relationships between these structures were examined. Moreover; notions of connected, strong connected and   connected objects in this category are given.
In the last chapter, the results in the second, third and fourth chapters were summarized and some unsolved questions for further research were pointed out.
.
Keywords: Topological category, proximity space, separation, closedness, connectedness.