Sabit nokta teoremleri ve çeşitli uygulamaları
Fixed point theorems and their various applications
Yazar: NİHAL TAŞ
Danışman: PROF. DR. NİHAL YILMAZ ÖZGÜR
Balıkesir Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2017
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezde,  metrik uzaylar üzerinde yeni sabit nokta teoremleri elde edilmiştir. Elde edilen bu teoremler sayesinde iyi bilinen Rhoades, Nemytskii – Edelstein ve Ciric daralma koşulları genelleştirilmiştir. Ayrıca  metrik uzay kavramından yararlanılarak normlu uzayların bir genellemesi olarak  normlu uzay kavramı tanıtılmış ve çeşitli özellikleri incelenmiştir.  metrik uzaylar üzerinde sabit nokta teorisinin kompleks değerli  metrik uzaylara ve diferansiyel denklemlere uygulaması verilmiştir. Son olarak  metrik uzaylarda sabit nokta teorisi farklı bir bakış açısıyla sabit çember teorisine genelleştirilmiştir.

Bu tez altı bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölüm giriş bölümüdür.

İkinci bölümde, çalışma boyunca kullanılacak temel tanım ve teoremler verilmiştir.

Üçüncü bölümde,  metrik uzaylarda klasik Rhoades koşulu çeşitli şekillerde genelleştirilmiş, aralarındaki ilişkiler incelenmiş ve bu koşulları sağlayan fonksiyonların sabit nokta teoremleri elde edilmiştir.

Dördüncü bölümde, yeni bir genelleştirilmiş uzay olarak  normlu uzay kavramı tanıtılmış, çeşitli özellikleri incelenmiş ve bir sabit nokta teoremi elde edilmiştir.

Beşinci bölümde, kompleks değerli  metrik uzaylar üzerinde Rhoades koşulunun bir uygulaması verilmiştir. Ayrıca  metrik uzaylar için "Picard Teoremi" tanımlanarak diferansiyel denklemler için Banach sabit nokta teorisinin bir uygulaması bulunmuştur.

Altıncı bölümde,  metrik uzaylarda sabit çember kavramı tanıtılarak, verilen bir fonksiyonun sabit çemberinin var olabilmesi için gerekli koşullar araştırılmıştır. Elde edilen sabit çember teoremleri için teklik koşulları incelenmiştir.

Abstract:
In this thesis, new fixed point theorems are obtained on  metric spaces. The well-known Rhoades, Nemytskii – Edelstein and Ciric contractive conditions are generalized by means of the obtained theorems. Also using the notion of an  metric space, the notion of an  normed space is introduced as a generalization of normed spaces and various properties of  normed spaces are investigated. Some applications of the fixed point theory on  metric spaces are given to complex valued  metric spaces and differential equations. Finally, the fixed point theory is generalized to fixed circle theory on  metric spaces as a different direction of generalization.

This thesis consists of six chapters.

The first chapter is the introduction.

In the second chapter, basic definitions and theorems which will be used throughout the study are given.

In the third chapter, the classical Rhoades condition is generalized on  metric spaces in various forms. Relationships among these new conditions are investigated and some fixed point theorems of self – mappings satisfying these conditions are obtained on  metric spaces. 

In the fourth chapter, the notion of an  normed space is introduced as a new generalized space. Various properties of  normed spaces are investigated and a fixed point theorem is obtained.

In the fifth chapter, an application of generalized Rhoades conditions is given on complex valued  metric spaces. Also an application of the Banach fixed point theory is obtained by defining "Picard Theorem" for differential equations on  metric spaces.

In the sixth chapter, the notion of fixed circle is introduced on  metric spaces and the necessary conditions are investigated for the existence of a fixed circle of a given self – mapping. The uniqueness conditions are also examined for the obtained fixed circle theorems.