Evrimsel (2+1)-boyutlu hirota tipi denklemlerin ikili-hamiltoniyen yapıları
Bi hamilton structure of evolutionary hirota type (2+1)-dimensional equations
Yazar: DAMLA KOCAMAN
Danışman: PROF. DR. DEVRİM YAZICI
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Fizik Ana Bilim Dalı / Fizik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2022
Konu: Fizik ve Fizik Mühendisliği = Physics and Physics Engineering
Dizin: Dirac denklemi = Dirac equation ; Hamilton denklemi = Hamiltonian equation ; Lax gösterimi = Lax representation ; Yenileme = Renovation

Özet:
Bu tez çalışmasında, evrimsel Hirota tipi (2+1)-boyutlu denklemlerin bi-Hamiltoniyen yapıları incelenmiştir. Bu tipteki denklemler için Langrange fonskiyonu, Helmholtz koşulu ve homotopi formülü kullanılarak oluşturulmuştur. Bu Langrange fonskiyonunun Euler-Langrange denklemlerinin simplektik Monge-Ampere formuna sahip olduğu gösterilmiştir. Daha sonra, simetriler için yenileme ilişkileri ve Lax çifti Langrange denklemleri için elde edilmiştir. Burada simetri koşulu asimetrik çarpanlar formuna dönüştürülerek başlanmıştır ve hemen ardından bu form için simetri durumundan simetriler için bir ilişki Lax çifti ve simetri koşulunun üçüncü formundan simetri ilişkisi elde edilmiştir. Birinci Hamiltoniyen yapıyı oluşturabilmek için, Langrange denklemi iki bileşenli yapıya çevrilmiştir ve sonrasında J_0, birinci Hamiltoniyen operatörünü elde edebilmek için Dirac'ın bağ koşulu teorisi uygulanmıştır. Buna karşılık gelen Hamiltoniyen fonksiyonu, H_0, dejenere Langrange fonksiyonuna Lejendre dönüşümü uygulanarak elde edilmiştir. Böylece iki bileşenli evrimsel Hirota tipi denklem için birinci Hamiltoniyen yapı oluşturulmuştur. İkinci Hamiltoniyen yapıyı oluşturabilmek için ise simetriler için yenileme ilişkileri kullanılarak, 2×2 matris formunda yenileme operatörü elde edilmiştir. Son olarak, yenileme operatörü, J_0, birinci Hamiltoniyen operatörüne etki ettirilerek, J_1, ikinci Hamilton operatörü ve ona denk Hamiltoniyen yoğunluğu elde edilmiştir. İntegre edilebilirlik koşulu ve katsayılar için bağ koşulu kullanılarak yedi parametreli ikili-Hamiltoniyen sistemler ailesi elde edilmiştir.
Anahtar Kelimeler: İntegre edilebilirlik, Lax çifti, yenileme operatörü, ikili-Hamiltoniyen yapı, Dirac bağ koşulu.

Abstract:
In this thesis, we study bi-Hamilton structures of evolutionary Hirota type equations given in (2+1)-dimensions. The Langrange function for these type equations is constructed by using Helmholtz conditions and Homotopy formula. We show that Euler-Langrange equations of this Langrange function have a sypmlectic Monge-Ampere form. Then, we obtain recursion relations for symmetries and Lax pairs for the Langrange equations. Here we start with converting the symmetry condition in a skew-factorized form and, immediately, obtain Lax pair and relation for symmetries from the symmetry conditions of these forms. In order to construct first Hamiltonian structure, we convert Langrange equation in two component form and after that, we apply Dirac's theory of constraints to obtain first Hamiltonian operator, J_0. Corresponding Hamiltonian function, H_0, is obtained by applying Legendre transformation to degenerate Langrange function. Thus, we construct first Hamiltonian structure for two-component evolutionary Hirota type equation. Recursion operator in 2×2 matris form is derived by using recursion relations for symmetries in order to obtain the second Hamiltonian structure. Finally, composing the recursion operator with the first Hamiltonian operator, J_0, we obtain the second Hamiltonian operator, J_1, and also corresponding Hamiltonian density. Using integrability condition and constraints for the coefficients, we obtain a seven-parameter family of bi-Hamiltonian systems. 
Keywords: Integrability, Lax pair, recursion operator, bi-Hamiltonian system, Dirac constraint theory.