CD4+T hücrelerinin HIV enfeksiyonu modellerinin yaklaşık çözümleri için Lucas kollokasyon yöntemi
Lucas collocation method for approximate solutions of HIV enfection models of CD4+T cells
Yazar: ASLI KURT
Danışman: DOÇ. DR. ŞUAYİP YÜZBAŞI
Akdeniz Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2021
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezde, insan bağışıklık sisteminde temel bir rol oynayan T4 hücrelerinin HIV ile enfekte olmasına ilişkin üç bilinmeyenli doğrusal olmayan iki modelin Lucas kollokasyon yöntemiyle yaklaşık olarak çözülmesi problemi ele alınmıştır. Söz konusu yöntemin uygulanışı, yaklaşık çözümleri temsil eden polinomların derecesi olan N doğal sayısına ve problemin ele alınacağı zaman aralığına karar verilmesiyle başlar. Belirlenen aralıkta eşit aralıklı olarak N adet kollokasyon noktası oluşturulmasıyla işleme devam edilir. Ardından, üç adet yaklaşık çözüm polinomuna, bu kollokasyon noktalarının her birinde diferansiyel denklem sistemini sağlama koşulu dayatılır. Bu işlem sonucunda elde edilen 3N adet doğrusal olmayan cebirsel denkleme t=0 anında verilen başlangıç koşullarına karşılık gelen denklemlerin de eklenmesiyle 3N+3 bilinmeyenli 3N+3 denklemden oluşan doğrusal olmayan bir cebirsel denklem sistemi elde edilir. Bu sistemin çözülmesiyle üç adet yaklaşık çözüm polinomunun katsayıları ve dolayısıyla söz konusu yaklaşık çözümler elde edilmiş olur. 
Elde edilen yaklaşık çözümlerin isabetliliğinin değerlendirilmesinde iki adet ölçüt kullanılmıştır. İlk olarak bulunan yaklaşık çözümlerin denklemlerde yazılmasıyla oluşan rezidüeller, farklı N değerleri için incelenmiş ve artan N değerleriyle birlikte bu rezidüellerin genel olarak azalma eğiliminde olduğu gözlemlenmiştir. İkinci olarak, elde edilen çözümler, güvenilir oldukları bilinen mevcut bir yöntemden elde edilen sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Bu karşılaştırmaların sonuçlarına göre, N parametresinin seçiminin Lucas kollokasyon çözümlerinin isabetliliğini nasıl etkilediğiyle ilgili sonuçlara varılmaya çalışılmıştır.

Abstract:
In this thesis, the problem of obtaining Lucas collocation solutions of two models on the HIV infection of T4 cells, which are of central importance in the human immune system, has been considered. The method in question begins by specifying the degree N of the polynomials that represents the approximate solutions and the time interval over which the problem will be considered. N equidistant collocation points on the speciffied interval are then formed. Next, the condition of satisfying the differential equation system at each of the collocation points is imposed to the three approximate solution polynomials. With the addition of the equations corresponding to the initial conditions at t=0 to the thus obtained 3N nonlinear algebraic equations, a nonlinear system of 3N+3 equations with three unknowns is obtained. Upon solving this system the coefficients of the three approximate solution polynomials, hence the approximate solutions themselves, are obtained.
Two criteria have been employed in evaluating the accuracy of the obtained approximate solutions. First, the residuals obtained upon substituting the computed approximate solutions in the equations have been considered and it has been observed that these residuals have a general tendency to decrease with increasing N values. Secondly, the obtained solutions have been compared with those resulting from an existing method which is known to be reliable. According to the results of these comparisons, some remarks have been made regarding the conclusions that may be drawn as to effect of the value of the parameter N on the accuracy of Lucas collocation solutions.