Kesirli integralleri içeren hardy tipli eşitsizlikler
On hardy type inequalities involving fractional integrals
Yazar: CANDAN CAN BİLİŞİK
Danışman: PROF. DR. MEHMET ZEKİ SARIKAYA
Düzce Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2018
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Kesirli türev ve kesirli integral kavramları ilk olarak Liouville tarafından ortaya atılan
"türev ve integraller sadece tamsayılar için mi vardır?" sorusuna aranan yanıtla ortaya
çıkmıştır. Kesirli türev tanımıyla ilk olarak Euler ilgilenmiştir. Daha sonra sırasıyla
Leibniz, Lagrange, Abel, Liouville ve diğer birçok matematikçinin kesirli türev ve
integrallerin genelleştirmesine dayalı çalışmaları sayesinde gelişmeye devam
etmektedir. Hilbert eşitsizliğinin farklı ve daha kolay bir ispatını yapmak üzere yola
çıkan G. H. Hardy, 1920 yılında adıyla bilinen eşitsizliğin integral formunu
bulmuştur.1925 yılında da yayınlamış olduğu ünlü makalesinde bu eşitsizliğin diziler
için olan formunu ispatlarıyla birlikte sunmuştur. Hardy eşitsizliğinin birçok bilim
adamı tarafından farklı koşullar altında çalışılmış olmasının sebebi ise bu eşitsizliğin
matematiğin birçok alanında uygulamasının olmasıdır. Hardy eşitsizliği ve
genelleştirmesi; adi ve kısmi diferansiyel denklem teorisi, operatör teorisi, fonksiyonel
analiz, harmonik analiz, sınır değer problemleri ve matematiksel modelleme vb.
matematiğin birçok alanında uygulamalarda önemli bir rol oynar. Ayrıca fizik alanında
elektroreolojik akışkanların davranışlarının matematiksel modellemesi gibi farklı bilim
dallarında da uygulama imkânı bulmaktadır. Benzer şekilde kesirli türev ve kesirli
integrallerin uygulamaları da fizik, kimya, elektrodinamik, aerodinamik ve
matematiksel modelleme gibi birçok bilim dalında ortaya çıkmaktadır. İlk bölümde
tezimizde kullanacağımız temel kavramlardan, kesirli türev ve integraller ile ilgili genel
bilgilerden bahsedilecektir. İkinci bölümde ise tüm bu bilgilerden yararlanarak kesirli
integraller içeren Hardy Tipli Eşitsizlikler elde edilecektir.

Anahtar sözcükler: Hardy eşitsizliği, k-kesirli integral, Opial eşitsizliği, RiemannLiouville
kesirli integral.

Abstract:
The notions fractional derivative and fractional integral are emerged with responses
which are being looking for question "Do derivatives and integrals are only exist for
integer numbers?" which are firstly proposed by Liouville. The definition of fractional
derivative and firstly interested by Euler. After, respectively, Leibniz, Lagrange, Abel,
Liouville and other many mathematicians' fractional derivatives and integrals
generalization based on their work, it continues to grow up thanks to them. G. H. Hardy,
who takes on the road in order to Hilbert inequalities' different and easier proof, found
out the form of the inequality that known in 1920 name. Also he presented this
inequalities' series' form with their proofs in his famous article in 1925. The main
reason why Hardy inequalities' was being studied by many scientists in different
conditions is that this inequality have many application of mathematics Hardy
inequality and generalization takes important role of mathematics such as ordinary and
partial theory of differential equations, theory of operator, functional analysis, harmonic
analysis, boundary value problems, mathematical modelling. Besides, in the field of
physics, it finds opportunity to apply different field of science such as electrorheological
fluids of mathematical modelling's behavior. Similarly, the applications of fractional
derivative and fractional integral emerges many science branch such as physics,
chemistry, electrodynamic, aero dynamical, mathematical modelling. In the first part,
fractional derivative and integrals which we will use in our dissertation will be
mentioned about general information. Latter, Hardy Type Inequalities which contains
fractional integral will be acquired by benefiting from all of that information's.

Keywords: Hardy Inequality, k- Fractional Integral, Opial Inequality, Riemann
Liouville Fractional Integral.