Lıe grupları üzerindeki afin kontrol sistemleri için bir kontrol edilebilirlik karakterizasyonu
A controllability characterization for affine control systems on lie groups
Yazar: ZEKİYE İNANÇ DEMİRTAŞ
Danışman: PROF. DR. AYŞE KARA HANSEN ; PROF. DR. LEYLA ZEREN AKGÜN
İstanbul Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2011
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Lie cebirleri = Lie algebras ; Lie grup analizi = Lie group analysis ; Lie grupları = Lie groups ; Manifoldlar = Manifolds

Özet:
'Lie Grupları Üzerindeki Afin Kontrol Sistemleri İçin Bir Kontrol Edilebilirlik Karakterizasyonu'' adlı bu tez çalışması üç bölümden oluşmaktadır.Afin sistemlerin kontrol edilebilirliği bilineer kısmının kontrol edilebilirliğine bağlı olarak çalışılmıştır. Bilineer sistemlerin incelenmesi ilk olarak 1972 `de Brockett [18], ve daha sonra 1973 `te Mohler [19], tarafından başlatılmıştır. Bilineer sistemler için temel obje olarak Lie cebirinin kullanılması yine 1972 `de Brockett [18], ve daha sonra 1997 `de Jurdjevic `in [6],çalışmaları ile başlamıştır. Jurdjevic ve Sallet 1984 yılında R^n üzerindeki afin kontrol sistemlerinin kontrol edilebilirliğini karakterize etmişlerdir [12]. Daha sonra benzer tekniklerle, 2006'da Kara ile San Martin Genelleştirilmiş Heisenberg [13], ve 2010'da da Kara ile Kule Carnot grupları, [14] üzerinde karakterizasyonu genelleştirmişlerdir.İlk bölüm de, konu hakkındaki genel kavramlar verilmektedir.İkinci bölüm de, genel kontrol sistemi verilerek, R^n ve Lie grupları üzerinde afin kontrol sistemleri incelenmektedir..Genel bir kontrol sistemi, =(M,D) şeklinde bir ikiliden oluşmaktadır. Burada, M diferansiyellenebilir bir manifold ve D de M manifoldunun açık altkümeleri üzerindeki tüm düzgün vektör alanlarının bir topluluğu olan X(M) `nin bir altkümesidir.M `ye 'nın durum uzayı ve D' nin elemanlarına sistemin stratejileri denir.kontrol sistemi;G_?={? X_(t_1)^1?X_(t_2)^2???X_(t_r)^r ?| X^j?D,t_j?R,r?N}sözde (pseudo) grubunu tanımlar ve ?'nın, M'nin p noktasındaki yörüngesip 'de ' nın etkisi ile verilir. Ayrıca `ya ilişikS_?={? X_(t_1)^1?X_(t_2)^2???X_(t_r)^r ?| X^j?D,t_j?0,r?N}sözde yarı (pseudo-semi) grubu vardır.S_? (p)={? ?(p)?|??S_? }sistemin pozitif yörüngesidir. Genel olarak, için,dir.Kontrol edilebilirlik problemi durum uzayı M, p ve dinamik D üzerindeki hangi koşullar altında bir p noktasından başlayarak pozitif zamanla M `nin tüm noktalarına ulaşma problemidir, yani; ne zaman S_? (p)=M olur.R^n üzerindeki bütün endomorfizmaların uzayını EndR^n ve bütün lineer otomorfizmaların kümesini de AutR^n ile gösterirsek, AutR^n ile R^n `nin semi-direkt çarpımı; yani,AfR^n=AutR^n?R^nR^n 'nin afin grubunu tanımlar ve bu grubun Lie cebiri ;afR^n= EndR^n?R^nşeklindedir. Dolayısıyla, A?EndR^n ve a?R^n için,X(p)=Ap+avektör alanına afin vektör alanı denir.R^n üzerinde exptX, R^n üzerindeki difeomorfizmaların 1-parametreli grubunu oluşturur ve bunun sonsuz küçük üreteçleriX(p)=Ap+aafin vektör alanlarıdır. Burada, X_0,X_1,?,X_m afin vektör alanlarının herhangi bir sonlu topluluğu,X_i (p)=A_i p+a i=0,1,?,molmak üzere bir kontrol sistemi tanımlar.dp/dt=X_0 (p)+?_(i=1)^m? ? u_i (t) X_i (p)=(A_0 p+a_0 )+?_(i=1)^m? ? u_i (t)(A_i p+a_i ) ??şeklindeki kontrol parametreli diferensiyel denklemler R^n üzerindeki afin sistemlerin dinamiğini oluştururlar. Burada, u_i?U?R^n fonksiyonları kontrollerle ilgili keyfi fonksiyonlar, A_0,A_1,?,A_m ler n×n `lik matrisler ve a_0,a_1,?,a_m' ler ise R^n içindeki sütun vektörleridirler.G bağlantılı bir Lie grubu ve g 'de onun Lie cebiri olmak üzere,diferansiyel denklem ailesi, G üzerindeki afin kontrol sistemini belirler. Burada, ; ve de kontrolleri göstermektedir. Sistemin dinamiğişeklindedir.Çalışmanın özgün kısmını oluşturan, üçüncü bölüm de ise, '' ax+b'' grubu üzerindeki afin kontrol sistemleri incelenmiştir.Af(1), 2x2 `lik reel matrislerin bir grubu olduğundan dolayı R^4' de geometrik bir nesnedir ve diğer taraftan, R^4' ün sınırsız bir alt kümesidir. Çünkü, Af(1)' in tanımı gereği, b herhangi bir sayı ve a ise pozitif herhangi bir sayıdır. Ayrıca, tıkız olmayan bir Lie grubudur. Tüm bu özellikleri ile değişmeli olmayan bağlantılı 2-boyutlu tek Lie grubudur.Af(1) basit (simple) bir grup değildir. Ayrıca, ?' nin çekirdeğindeki matrislerin normal alt grubu, kendi matris Lie grubudur. Af(1) grubunun çekirdeği, bütün matrislerini birim matrise gönderen bir grup homomorfizmasıdır. Yani, a?1 ve b=0 için,?(?(a&b@0&1))=(?(1&0@0&1))?:(?(a&b@0&1))?(?(1&0@0&1)) dır.Geometrik olarak, bu alt grup bir doğrudur, ve(?(1&b_1@0&1))(?(1&b_2@0&1))=(?(1&b_1+b_2@0&1))olduğundan dolayı, grup işlemi doğru üzerinde toplamaya tekabül etmektedir.Af(1) , 4-boyutlu Öklid uzayı R^4' de sonsuz bir düzlemin yarısı olduğundan dolayı, geometrik olarak birim elemandaki teğet düzlem şeklindedir. Bununla beraber, teğet uzayın matrislerini bulmak için, Af(1)'in birim elemanı (?(1&0@0&1))' dan Af(1)' in yakın noktalarına olan vektörlere bakılır. Burada, düzlemdeki Lie doğrultuları aşağıdaki vektörlerle gerilirler;J=(?(1&0@0&0)), K=(?(0&1@0&0))Bu baz vektörlerinin Lie parantezi ;[J,K]=JK-KJ =Kşeklindedir. af(1) bir Lie cebiri yapısına sahip olduğu için aşağıdaki özellikleri sağlar;? [J,K]=-[K,J] ?J,K?af(1)?[I,[J,K]]+[J,[K,I]]+[K,[I,J]]=0; ?I,J,K?af(1) (Jacobi Özdeşliği)af(1)'in Lie grubu olan Af(1)' in merkezinin birim elemandan meydana geldiği bulunmuştur.'' ax+b '' grubunun cebirsel özelliklerinin bazıları incelenmiş ve çözülebilir ancak nilpotent olmayan bir Lie grubu olduğu gösterilmiştir.Sistemin kontrol edilebilirlik karakterizasyonunda kullanabilmek için, grubun otomorfizm yörüngesi hesaplanmıştır.Ayrıca, sistemin durum uzayı Af(1)' in yerel tıkız bir Hausdorff uzayı olduğu ispat edilmiştir.Son olarak, Af(1) grubunun otomorfizm yörüngesi Aut(Af(1))' in yoğun olduğu gösterilmiş ve Af(1) durum uzayı üzerindeki afin sistemin kontrol edilebilir olması için gerek ve yeter koşulun afin kontrol sistemine ilişik olan Aut(Af(1))-yörüngesi üzerindeki bilineer sistemin kontrol edilebilmesi olduğu ispat edilmiştir.

Abstract:
This thesis titled `?A Controllability Characterization for Affine Control Systems on Lie Groups?? consistof three parts.Controllability of Affine systems is studied related to the conrtollability of bilinear control systems. Study on bilinear systems has been initiated by the first in 1972 by Brockett, [18], and later in 1973 by Mohler, [19]. The use of Lie algebra as a fundamental object for Bilinear systems has been initiated again in 1972 by the work of Brockett, [18], and later in 1997 by the book of Jurdjaveic, [6]. Jurdjevic and Sallet in 1984 have characterized the controllability of affine control systems on R^n [12]. Later, by the similar techniques, on Generalized Heisenberg groups in 2006 Kara and San Martin, [13], and on Carnot groups in 2010 Kara and Kule, have generalized the characterization.The first chapter, it is given the general concept on the subject.In the second chapter, giving the general control system, the affine control systems on R^n and on Lie groups are studied.A general control system consists of a pair of the form ?=(M,D). Here, M is a diffrentiable manifold and D is a subset of X(M) which is collection of all smooth vector fields on open subsets of M.It is called that M is a state space of ? and the elements of D are the strategies of of the system.Control system ?,G_?={? X_(t_1)^1?X_(t_2)^2???X_(t_r)^r ?| X^j?D,t_j?R,r?N}defines so-called pseudo group and the orbit of ? at the point of p of M.G_? (p)={? ?(p)?|??G_? }is given by the action of G_? at p. Moreover, associated to ?, there existS_?={? X_(t_1)^1?X_(t_2)^2???X_(t_r)^r ?| X^j?D,t_j?0,r?N}so-called pseudo-semi group,S_? (p)={? ?(p)?|??S_? }is the positive orbit of the system. In general, ?p?M,S_? (p)?G_? (p)?MControllability problem is to find under which conditions on the state p, state space M and the dynamic D to reach all points of M by starting from p with positive over time, i.e.; when S_? (p)=M ?If we denote space of the all endomorphisms of R^n by EndR^n and denote the set of all linear automorphisms by AutR^n, then the semi direct product of EndR^n and AutR^n, i.e.;AfR^n=AutR^n?R^ndefines the affine group of R^n and Lie algebra of this group is of the following fromafR^n=EndR^n?R^nTherefore, for A?EndR^n and a?R^n, the vector fieldX(p)=Ap+ais called affine vector field.exptX on R^n creats 1-parameter group of diffeomorphisms on R^n and these infinitesimal generators,X(p)=Ap+aare affine vector fields. Here, any finite number of affine vector fields X_1,X_2,?,X_m such thatX_i (p)=A_i p+a i=1,2,?,mdefines a control system.dp/dt=X_0 (p)+?_(i=1)^m? ? u_i (t) X_i (p)=(A_0 p+a_0 )+?_(i=1)^m? ? u_i (t)(A_i p+a_i ) ??Such control-parameter differential equations on R^n form the dynamics of affine systems. Here, u_i?U?R^n functions are of arbitrary functions of controls, A_1,A_2,?,A_m are nxn matrices and a_1,a_2,?,a_m are the column vectors of R^n.Let G be a connected Lie group and g its Lie algebra, and then the family of differential equationsp(t)=(D+X)(p)+?_(j=1)^d? ? u_j (t)(D^j+X^j )(p) ?Determines the affine control system on G. Here, p?G, D,D^1,?,D^d?aut(G), X,X^1,?,X^d?g and u_i denotes the controls. The dynamics of the system is in the following formD={? D+X+?_(j=1)^d? ? u_j (D^j+X^j ) ? ?|u?R^d }In the third section which contains the original part of the study, the affine control systemson ''ax+b'' group have been investigated.Since Af(1) is a group of 2x2 real matrices, it is a geometric object in R^4 and on the other hand it is an infinite subset of R^4. Because of the definition of Af(1),b is any number and a is any positive number. In addition, Af(1) is a non-compact Lie group. Af(1), with all of these properties, is the only non-abelian 2-dimensional connected Lie group.Af(1) is not a simple group. Moreover, normal subgroup of matrices in kernel of ? is their matrix Lie group. Kernel of Af(1) is a group homomorphism that sends al of matrices to unit matrix. So, for a?1 and b=0.?(?(a&b@0&1))=(?(1&0@0&1))?:(?(a&b@0&1))?(?(1&0@0&1))Geometrically, this subgroup is a line and(?(1&b_1@0&1))(?(1&b_2@0&1))=(?(1&b_1+b_2@0&1))Because of that, the group operation corresponds to the addition on the line. Since Af(1) is the half of a plane in the four-dimensional Euclidean space R^4, it is geometrically clear that it is of the form of the tangent space at the identity element. However, to find explicit matrices for the elements of the tangent space we look at the vectors from the identity element of Af(1). Here, Lie directions in the plane are stretched by the following vectors;J=(?(1&0@0&0)), K=(?(0&1@0&0))Lie brackets of these base vectors have the following form;[J,K]=JK-KJ =KSince, af(1) has a Lie algebra structure, provides the following properties,? [J,K]=-[K,J] ?J,K?af(1)?[I,[J,K]]+[J,[K,I]]+[K,[I,J]]=0; ?I,J,K?af(1) (Jacobi Identity)That the center of the Lie group Af(1) which is the Lie group of af(1) consists of the identity element has been found.Some of the algebraic properties ''ax+b'' group has been studied and, that ''ax+b'' group is not nilpotent but solvable Lie group has been showed.To use the characterization of the controllability of the system, the authomorphism orbit of the group has been calculated.In addition, that the system?s state space Af(1) is a locally compact Hausdorff space has been proven.Finally, it has been shown that the authomorphism orbit of Af(1) group is dense and it has been proven that the affine control system on the state space Af(1) is controllable if and only if associated to affine control system on Aut(Af(1))-orbit is controllable.