Kısmi diferansiyel denklemlerin meromorfik  çözümleri üzerine
Meromorphic solutions of partial differantial equations
Yazar: ZEHRA PINAR
Danışman: PROF. DR. TURGUT ÖZİŞ
Ege Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2013
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Çeşitli bilim ve mühendislik problemlerinde, nonlineer kısmi türevli diferansiyel denklemlerin analitik çözümlerini bulmak; birçok fiziksel olayı anlamak için büyük önem taşımaktadır. Bundan dolayı, geçen yıllarda, nonlineer kısmi diferansiyel denklemlerin gezen dalga (travelling wave) çözümlerini bulmak için çok sayıda yaklaşım metodu öne sürülmüştür ya da geliştirilip uyarlanmıştır. Bu metotlar arasında, son zamanlarda adı duyulan yardımcı denklem metodudur. Yardımcı denklem metodunun tekniği nonlineer kısmi diferansiyel denklemlerinin çözümlerini içermektedir. Nonlineer kısmi diferansiyel denklemlerinin amaç çözümleri, genel olarak yardımcı denklem olarak bilinen, adi diferansiyel denklemi sağlayan temel fonksiyonların polinomu olarak yazılabilir.
Bu tezde, nonlineer kısmi diferansiyel denklemin çözümlerini tanımlamak için yardımcı denklem altıncı dereceden nonlineer terim içeren adi diferansiyel denklem olarak alınmıştır.  Giriş bölümünde bu konu üzerine detaylı literatür araştırması verilmiştir. Altıncı dereceden nonlineer terim içeren yardımcı denklem için birim bazlar ve parametrik bazlar olmak üzere iki durum göz önüne alınmış olup ikinci ve üçüncü bölümlerde incelenmiştir. Bunun sonucunda nonlineer kısmi diferansiyel denklemlerin yeni gezen dalga çözümleri bulunmuştur. Ayrıca yeni denge kuralı (balancing principle) tanımlanmıştır. Elde edilen çözümler sonuç bölümünde değerlendirilmiştir.

Abstract:
In numerous scientific and engineering problems, it is of great significance to find exactanalytical solutions of nonlinear partial differential equations (NLPDEs) for understanding of many physical phenomena. Hence, over the past decades, a number of approximate methods for finding travelling wave solutions to nonlinear partial differential equations have been proposed/or developed and furthermore modified.Among these methods, one of the current methods is so called auxiliary equation method. The technique of this method consists of the solutions of the nonlinear partial differential equations such that the target solutions of the nonlinear partial differential equations can be expressed as a polynomial in an elementary function which satisfies a particular ordinary differential equation along with is named as auxiliary equation in general.
In the thesis, by means of symbolic computation, the new solutions of original auxiliary equation of first-order nonlinear ordinary differential equation with sixth-degree nonlinear term are presented. In introduction section, literature survey of related methods have been made. Two cases are considered for the original auxiliary equation of first-order nonlinear ordinary differential equation with sixth-degree nonlinear term depends on unit basis and parametric basis in second and third sections, respectively. In additional to these, the new balancing principle is determined. At the last section of the thesis, conclusions of the scientific study are discussed.