Zamana göre ikinci merteben bazı kısmi diferansiyel denklemler için yüksek doğruluklu sayısal yöntemler
High order accurate numerical solution of some second order in time partial differential equations
Yazar: EMRE KIRLI
Danışman: PROF. DR. DURSUN IRK
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Bilgisayar Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: B-spline eğrileri = B-spline curves ; Galerkin yöntemi = Galerkin method ; Klein-Gordon denklemi = Klein-Gordon equipment ; Kollokasyon yöntemi = Collocation method ; Spline fonksiyonu = Spline function

Özet:
Bu Doktora tezi on bölümden oluşmaktadır. Bu tez kapsamında Telegraph, Klein-Gordon (KG) ve Good Boussinesq (GB) denklemlerinin yüksek doğruluklu sayısal çözümlerini elde etmek amaçlanmaktadır. Bu amaç ile, denklemlerin zaman parçalanması için iki farklı yöntem önerilmiştir. Bunlardan birincisi Crank-Nicolson yöntemi ve ikincisi de dördüncü mertebeden tek adımlı yöntemdir. Denklemlerin konum parçalanması için ise farklı dereceden B-spline fonksiyonlarına dayanan Galerkin ve kolokasyon yöntemleri kullanılmıştır. Birinci bölümde tezle ilgili genel bilgiler verilmiş, tezin amacı ve kapsamı açıklanmıştır. İkinci bölümde, Telegraph, KG ve GB denklemleri ile ilgili literatürde daha önceden var olan bazı çalışmalar incelenmiştir. Üçüncü bölümde, ilk olarak önerilen zaman parçalanması türetilmiştir. Daha sonra,
B-spline fonksiyonları, Galerkin ve kolokasyon sonlu elemanlar metotları hakkında kısa bilgiler ve temel tanımlar verilmiştir. Son olarak Telegraph, KG ve GB denklemleri test problemleri ile birlikte tanıtılmış ve denklemlerin zaman parçalanmaları elde edilmiştir. Dördüncü ve beşinci bölümde sırasıyla Telegraph ve KG denklemleri zaman parçalanması için iki farklı yöntem ve konum parçalanması için kübik, kuartik ve kuintik B-spline kolokasyon yöntemleri kullanılarak sayısal olarak çözülmüştür. Altıncı, yedinci ve sekizinci bölümde sırasıyla Telegraph, KG ve GB denklemleri zaman parçalanması için iki farklı yöntem ve konum parçalanması için kübik, kuartik ve kuintik B-spline Galerkin yöntemleri kullanılarak sayısal olarak çözülmüştür. Son iki bölümde ise elde edilen bulgular tartışılmış ve öneriler sunulmuştur.

Abstract:
This PhD thesis is composed of ten chapters. This thesis is concerned with obtaining high-order numerical solutions of the Telegraph, Klein-Gordon (KG) and Good Boussinesq (GB) equations. For this purpose, two different methods are proposed for temporal domain discretization of the equations. The first one of those is Crank-Nicolson scheme and the second one is fourth-order one step method. The Galerkin and Collocation methods based on different degree B-Spline functions are employed for the spatial domain discretization of the equations. In the first chapter, general information about the thesis is given, the purpose and scope of the thesis are also explained. In the second section, some previous studies existing in literature about Telegraph, KG and GB equations are examined. In the third chapter, firstly, the suggested time discretization is derived. Then, brief information and basic definitions about B-spline functions, Galerkin and Collocation finite element methods are given. Lastly, Telegraph, KG and GB equations are introduced together with their test problems. In the fourth and fifth chapters, the Telegraph and KG equations are solved numerically by employing two different methods for time discretization and the cubic, quartic, quintic B-spline collocation methods for space integration, respectively. In the sixth, seventh and eighth chapters, the Telegraph, KG and GB equations are solved numerically by using two different methods for time integration and the cubic, quartic, quintic B-spline Galerkin methods for space discretization, respectively. In the last two chapters, the obtained results are discussed by comparing among the proposed methods and some suggestions are given for future studies.