Operatörlerin berezin sayısı için bazı yeni eşitsizlikler
Some new inequalities for the number of operators
Yazar: DUYGU USLU
Danışman: DOÇ. DR. ULAŞ YAMANCI
Süleyman Demirel Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu yüksek lisans tezi dört ana başlıktan oluşmaktadır. Giriş kısmında, üretici çekirdek, Berezin sembolü ve eşitsizliklerin tarihçesinden bahsedilmiştir. Kaynaklar bölümünde, Berezin sayısı ile ilgili daha önce yapılan çalışmalara yer verilmiştir. Temel kavramlar kısmında, Berezin sembolü ve Berezin sayısı kavramlarının rahatlıkla algılanabilmesi için bazı terim ve notasyonlara yer verilmiştir. Daha sonra, Berezin sayısı kavramını tanımlayabilmek için üretici çekirdekli Hilbert uzay, üretici çekirdek, normalleştirilmiş üretici çekirdek, Berezin sembolü gibi bazı kavramlar ele alınmıştır. Berezin sayısını bazı özelliklerinden bahsedilmiş ve buna örnek verilmiştir. Aynı zamanda teoremlerin ispatını vermek için bazı yardımcı teoremler verilmiştir.

Genel olarak eşitsizliklerin matematiksel teorisi ve özel olarak Hilbert tipi eşitsizlikler ve bunların uygulamaları son yüzyıl boyunca önemli ölçüde gelişmiştir. Yeni fikir ve kanıtların, yeni sonuçların ve uygulamaların ortaya çıkmasıyla birlikte, matematiksel eşitsizlikler konusuna sürekli olarak çalışmalar eklenmekte, bunlar da eşitsizlikler konusunu geliştirmektedir. Berezin sembolü ve Berezin sayısı, üretici çekirdekli Hilbert uzayında, kuantum fiziğinde ve değişmeli olmayan geometride operatör teorisinin çeşitli sorunlarının incelenmesinde geniş uygulamaya sahip olmuştur. Ayrıca bir operatörün sayısal yarıçapı ve Berezin sayısı kavramları diferansiyel denklemler, mühendislik, sayısal analiz, kuantum mekaniği alanlarındaki uygulamaları nedeniyle kapsamlı bir yere sahiptir.

Son birkaç yılda operatörlerin Berezin sayısı için ters kuvvet eşitsizliğini bulmaya yönelik önemli çalışmalar yapılmıştır. Çoğu araştırmacı bunu yapmak için Hardy-Hilbert tipli eşitsizlikler kullanmışlardır. Ana sonuç kısmında 
∑_(n=0)^∞▒∑_(m=0)^∞▒〖(a_m b_n)/(m+n+1)<π/√2〗 {∑_(n=0)^∞▒a_n^2  ∑_(n=0)^∞▒b_n^2 +(∑_(n=0)^∞▒a_n  b_n )^2 }^(1/2)
ayrık tipli Hardy-Hilbert tipli eşitsizliklerden faydalanılarak Teorem 4.1.1 de üretici çekirdekli Hilbert uzayları üzerinde, pozitif sürekli fonksiyonlar kullanılarak self-adjoint operatörlerin Berezin sembolleri için eşitsizlik verilmiştir. Bu teoremin bir uygulaması olarak Berezin sayısı için Sonuç 4.1.2 elde edilmiştir. Teorem 4.1.3 de H=H(Ω) üretici çekirdekli Hilbert uzayları üzerinde yine ayrık tipli Hardy-Hilbert tipli eşitsizlikten faydalanılarak konveks ve sürekli fonveksiyon kullanılarak self-adjoint operatörler için Berezin  f(t)g(t)=t ,t≥0 olacak şekilde [0,├ ∞)┤ üzerinde negatif olmayan sürekli fonksiyonlar olmak üzere n sayı eşitsizliği verilmiştir. Ayrıca, f ve g fonksiyonları, "Temel Kavramlar" kısmında verilen Yardımcı Teoremler kullanılarak operatörlerin Berezin sayısı için bazı geliştirilmiş üst sınırlar elde edilmiştir (Teorem 4.1.5, Teorem 4.1.8 ve Teorem 4.1.10).

Abstract:
This master's thesis consists of four main headings. In the introduction, the reproducing kernel, the Berezin symbol and the history of inequalities are mentioned. In the resources section, previous studies on the Berezin number are included. In the basic concepts section, some terms and notations are included so that the concepts of Berezin symbol and Berezin number can be easily perceived. Then, in order to define the concept of Berezin number, some concepts such as Hilbert space with reproducing kernel, normalized reproducing kernel, Berezin symbol are discussed. Some features of the Berezin number are mentioned and examples are given. At the same time, some auxiliary theorems are given to prove the theorems. The mathematical theory of inequalities in general, and Hilbert-type inequalities in particular, and their applications have developed significantly over the last century. With the emergece of new ideas and evidence, new results and applications, studies are constantly being added to the subject of mathematical inequalities, which in turn improve the subject of  inequalities. The Berezin symbol and the Berezin number have had wide application in the study of various problems of operator theory in Hilbert space with reproducing kernels, in quantum physics and in non-commutative geometry. In addition, the concepts of numerical radius of an operator and Berezin number have a comprehensive place due to their applications in the fields of differential equations, engineering, numerical analysis and quantum mechanics.

In the last few years, significant work has been done to find the inverse force inequality for the Berezin number of operators. Many researchers have used Hardy-Hilbert type inequalities to do this. In the main conclusion
               
∑_(n=0)^∞▒∑_(m=0)^∞▒〖(a_m b_n)/(m+n+1)<π/√2〗 {∑_(n=0)^∞▒a_n^2  ∑_(n=0)^∞▒b_n^2 +(∑_(n=0)^∞▒a_n  b_n )^2 }^(1/2)
by making use of discrete type Hardy-Hilbert type inequalities, the theorem gives inequality for Berezin symbols of self-adjoint operators on Hilbert spaces with reproducing kernels, using positive continuous fuctions. Theorem 4.1.2. for the number of Berezins as an application of this theorem has been obtained. In theorem 4.1.3, Berezin number inequality is given for self-adjoint operators by using convex and continuous functions on Hilbert spaces with H=H(Ω) generating kernels, again making use of discrete type Hardy-Hilbert type inequality. In addition , the functions f and g are non-negative continuous functions on [0,├ ∞)┤ such that f(t)g(t)=t ,t≥0 . Using the auxiliary theorems given in the basic concepts section, some improved uper bounds have been obtained (Theorem 4.1.5, Theorem 4.1.8, Theorem 4.1.10)