Genelleştirilmiş Toda kesimleri, Hénon-Heiles, Yang-Mills ve Duffing-Van der Pol problemlerinin yaklaşık çözümleri
Generalized truncations of Toda lattice, Hénon-Heiles, Yang-Mills and Duffing-Van der Pol problems and their approximate solutions
Yazar: ORHAN ÖZGÜR AYBAR
Danışman: PROF. DR. TAHİR AZEROĞLU ; PROF. DR. AVADİS SİMON HACINLIYAN
Gebze Yüksek Teknoloji Enstitüsü / Mühendislik ve Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2014
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu çalışmada, kendi kendine simetri kırılım olayını modelleyen klasik sistemlerin düzenli ve kaotik davranış, kararlılık ve dallanma özellikleri incelenmiştir.  Özel durumları Van der Pol ve Duffing sistemlerine indirgenebilen genelleştirilmiş bir dinamik sistem önerilerek bu sistemin kararlılık ve dallanma özellikleri araştırılmıştır. Genelleştirmenin hedefi salınım rejiminden limit çevrim rejimine geçen Van der Pol sistemlerinde denge, dallanma gibi nitel özellikleri anlamak için bu sistemde ilave parametreler içeren polinom etkileşmeli terimlerin etkisinin incelenmesidir. Bu genelleştirmelerden biri olan Duffing-Van der Pol sistemi lazer sistemlerini anlatan Maxwell-Bloch sistemine benzer özelliklere sahiptir. Simetri kırılmasına yol açan terimin klasik Yang-Mills denklemi ile ilgisi dikkate alınmıştır. İkinci kısımda genelleştirilmiş Hénon-Heiles sınıfı ve klasik Yang-Mills Hamiltonyenindeki olası düzenli ve kaotik davranışlar ve yaklaşık korunan büyüklükler incelenmiştir. Kaotik ve düzenli davranışların belirlenmesi için tanjant uzayının evrimini hesaba katan bir yöntem önerilerek bir sınıf Hamiltonyen sistemde uygulanmasının sonuçları değerlendirilmiştir. Önerilen yöntem ile küçük bir karakteristik üsselin sıfır karakteristik üsselden ayırt edilebilir olduğu anlaşılmıştır. Adı geçen Hamiltonyen sistemlerde sıfır karakteristik üsselle ilgili olması beklenen yaklaşık korunan büyüklükler de incelenmiştir. Üç parçacıklı Toda Hamiltonyen sisteminin kesimleriyle ilişkili sistemlerde Toda sisteminin korunan üçüncü tümlevinin kesimleri yardımı ile yaklaşık korunan büyüklüklerin olası ilişkileri incelenmiştir. Yaklaşık korunan büyüklükler Hamiltonyenlerin ve olası değişmezlerin Poisson parantezleri yardımı ile sınıflandırılmıştır.

Anahtar Kelimeler: Hénon-Heiles Sistemi, Yang-Mills Sistemi, Duffing-Van der 
Pol Sistemi, Yaklaşık Korunan Büyüklükler.

Abstract:
Regular and chaotic behavior, stability and bifurcation properties of classical systems modelling spontaneous symmetry breaking are analyzed in this work. A generalized dynamical system whose special cases can be reduced to Van der Pol and Duffing systems is suggested, its stability and bifurcation properties are investigated.  The aim of this generalization is to analyze the effect of the polynomial interaction terms containing additional parameters as we pass from oscillatory behavior to limit cycle behavior and understand qualitative properties such as stability and bifurcation in Van der Pol systems. The generalizations include the Duffing-Van der Pol system which has similar properties to the Maxwell-Bloch system describing lasers. Relation between the term which leads to symmetry breaking and the Yang-Mills equations is also considered. In the second part, possible regular, chaotic behavior and approximately conserved quantities in a class of generalized Hénon-Heiles and classical Yang-Mills Hamiltonians are analyzed. A method for identifying chaotic and regular behavior by considering the evolution of tangent space is suggested and applied to demonstrate results of its applicability in these systems. By this suggested method a small positive characteristic exponent is distinguished from a zero characteristic exponent. Approximately conserved quantities in the above mentioned Hamiltonian systems are also studied. Possible relations for approximately conserved quantities are analyzed via truncations of the Toda Hamiltonian and its third integral for systems related to the truncations of the three-particle Toda Hamiltonian system. Approximately conserved quantities are classified via Poisson brackets of the Hamiltonians and possible invariants.

Key Words: Hénon-Heiles System, Yang-Mills System, Duffing-Van der Pol 
System, Approximately Conserved Quantities.