Reel cebirsel düzlemsel eğrilerin topolojisi
Topology of real algebraic plane curves
Yazar: MUHAMMED PEKTAŞ
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ REMZİYE ARZU ZABUN
Gaziantep Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Reel cebirsel eğrilerin topolojisi belirli bir denklemin cebirsel özellikleri ile bu denklem tarafından belirlenen eğrinin geometrik özellikleri arasındaki ilişkiyi inceler. Bu tezde tekilliği olmayan cebirsel eğrilerin iki farklı topolojik sınıflandırmalarından bahsedilecektir. Bunlardan birisi "Topolojik sınıflandırmadır", yani bu tür eğrilerin reel noktalar kümesinin neye homeomorfik olduğunun anlaşılmasıdır. Diğeri ise "Isotopik sınıflandırmadır", yani eğrilerin reel projektif düzlemde topolojik olarak kaç farklı şekilde var olabileceğini anlamaktır. Diğer bir değişle eğrinin bileşenlerinin bir birine göre konumunu incelemektir. İkinci problem literatürde"Hilbert'in 16. problemi" olarak bilinir.
Bu tezde amacımız tekilliği olmayan reel cebirsel düzlemsel eğriler için yukarıda bahsedilen problemleri eğrilerin derecesine göre anlamaya, bu konudaki temel sonuçları sistematik olarak sunmaya çalışacağız.Ana hatlarıyla özetlemek gerekirse: Birinci bölümde tezin içeriğinin anlaşılması için gerekli olan cebirsel geometrinin afin/projektif uzay, afin/projektif cebirsel varyeteler ile ilgili temel bazı tanım, teorem ve örneklerine yer verilmiştir. İkinci bölümde cebirsel varyetelerin özel bir hali olan olan reel cebirsel düzlemsel eğriler ile ilgili elde edilmiş sonuçlar sunulmuş ve bu tür eğrileri üretme yöntemleri hakkında bilgi verilmiştir. Son bölümde, ikinci bölümde verilen sonuçların  kompleks versiyonu ile ilgili bazı sonuçlar sunulmuştur.

Abstract:
The topology of real algebraic curves studies the relation between the algebraic properties of a given equation and the geometric properties of the curve determined by this equation. In this thesis, two different topological classifications of non-singular real algebraic curves will be discussed. The first one is "Topological classification", that is, understanding what are the possible sets (up to homeomorphism) of real points of such curves. The other is "Isotopic classification", that is, understanding how such a curve can lie in the real projective plane. In other words, it is to examine the relative positions of components of the curve. The second problem is known in the literature as "Hilbert's 16th problem".
Our aim is to understand these problems according to the degree of such curves, and try to present the known results in a systematic way. To summarize in outline: In the first chapter, some basic definitions, theorems and examples of algebraic geometry related to affine/projective space, affine/projective algebraic varieties are given in order to understand the content of the thesis. In the second chapter, various topological properties of non-singular real algebraic plane curves, which are special cases of algebraic varieties, are presented systematically. In addition, some construction methods of such curves are mentioned. In the last chapter, the complex version of the results given in the previous one, that is the results derived from the complexification of real algebraic plane curves are presented.