Helikopter yer rezonansı kararsızlığının çözümü
The solution of helicopter ground resonance instability
Yazar: OĞUZHAN KESER
Danışman: PROF. DR. HALİT SÜLEYMAN TÜRKMEN
İstanbul Teknik Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Uçak ve Uzay Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Uçak ve Uzay Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2022
Konu: Uçak Mühendisliği = Aeronautical Engineering
Dizin: Helikopter = Helicopter ; Rezonans = Resonance ; Titreşim = Vibration

Özet:
Bu çalışmada seçilen örnek bir helikopterin "Aérospatiale Gazelle" yer rezonansı analizi yapılmıştır. Rotorun ağırlık merkezinin pallerdeki ilerleyen pal hızı ile gerileyen pal hızının farkından dolayı dönme ekseninden kaçması sonucu bir merkezkaç kuvveti oluşur. Oluşan bu kuvvetin frekansı gövde frekansı ile çakıştığı durumda yer rezonansı durumu meydana gelir. Bu rezonans durumu bir kararsızlık/stabilite problemidir ve büyük genliklere sebebiyet verebilir. Böyle bir durumda helikopter ana yapısında büyük kırımlara yol açabilir.
Bu tezde önce literatür araştırmasıyla yapılan çalışmalar incelenmiştir. Literatürdeki ağırlıklı çalışmalar ise lineer olmayan sönüm önerileri olan çalışmalardır. Eş merkezli çift rotor sistemin rezonansı, iniş takımlarının rezonansa etkisi veya lineer olmayan diferansiyel denklemler aracılığıyla yer rezonansındaki yapılan çalışmalardan bazılarını oluşturmaktadır.
Yer rezonansını daha iyi kavrayabilmek için önce titreşim teorisi basit olarak ayrık sistemlerde ve serbest titreşim altında incelenmiştir. Serbest titreşim altında sönümsüz ve sönümlü sistemin doğal frekansları özdeğer çözümü ile bulunmuştur. Zorlanmış titreşim altında sistemin cevabı matematiksel olarak elde edilmiştir. Sonrasında ise ayrık sistemden farklı olarak sürekli bir sistemde kiriş örneği ele alınmış, sürekli sistemin genel kısmi diferansiyel denklemi zamana ve konuma göre çözülmüştür. Sürekli sistemin zorlanmış titreşim altındaki yer değiştirmesi de genel diferansiyel denklemden türetilmiş ve örnek bir kiriş problemi ele alınarak sistemin frekans ve deplasman cevabı analitik olarak hesaplanmış, ABAQUS (sonlu elemanlar modeli) ile de doğrulanmıştır.
Sonrasında ise Nahas'ın Coleman'ın denklemlerinden yararlanılarak oluşturduğu sekiz serbestlik dereceli (altı gövde frekansı, iki rotor frekansı) ile dinamik denklemin özdeğer çözümü gösterilmiştir. Kurulan bu dinamik denklemde kütle matrisi helikopter kütlesinden ve üç eksendeki (x-y-z) atalet terimlerinden oluşmaktadır. Berklik matrisi ise gövdeye kıyasla iniş takımlara daha esnek olduğu için iniş takımının terimlerinden oluşmaktadır. Sönüm matrisi ise daha sonra ortaya çıkacak olan kararsızlıktan sonra gövde frekansı, rotor hızı ve palin kütlesinin helikopter kütlesine oranından hesaplanacak bir matristir.
Seçilen Gazelle helikopterinin dış yapısı için bir yüzey çizimi bulunmuş ve bu yüzey kullanılarak sonlu elemanlarda helikopterin dış geometrisinin modeli oluşturulmuştur. Daha sonra bu modele floor, basınç duvarı, longeron ve frame ler eklenerek gerçek bir helikopter modeline benzetilmeye çalışılmıştır. Helikopterin toplam kalkış ağırlığı bilindiği için motor ağırlığı, pilot ağırlıkları ve kokpitteki diğer ağırlıklar konsantre yük olarak helikopterin içine yerleştirilmiş ve böylece gerçek helikopterdekine yakın bir ağırlık dağılımı ve gerçekçi bir ağırlık merkezi hedeflenmiştir. Buradaki amaç helikopterin atalet değerlerini ve ağırlık merkezinin konumunu gerçeğe en yakın temsil etmektir. Pale ait değerlerin ise literatürdeki çalışmalardan alınmıştır. İniş takımlarının berklik değerleri ise indirgeme metodu ile helikopterin ağırlık merkezi noktasında elde edilmiştir. Bu yöntemin uygulanması noktasında sonlu elemanlar programı olan ABAQUS'ten yararlanılmıştır.
Sonlu elemanlardan elde edilen ve bazı kabulü yapılan parametreler ile kütle matrisi, indirgeme metodunun ABAQUS'te uygulanması ile de berklik matrisi oluşturulmuştur. Oluşturulan bu iki matris ile sönümsüz bir sistemde gövdenin frekansları ve rotorun rotor hızına bağlı frekansları ayrı ayrı elde edilmiştir (Uncoupled). Elde edilen bu frekanslar bir grafikte çizdirilerek gerileyen yöndeki rotor frekansı ile gövde frekansının kesiştikleri rotor hızları belirlenmiş ve bu noktalar rezonans noktası olarak ifade edilmiştir. Daha sonrasında yine sönümlenmemiş bir sistem için helikopterdeki gövde ve rotorun hareketlerinin birlikte olduğu durumda frekans ve genlik hesaplanmıştır (coupled). Elde edilen genlik-rotor hızı grafiğinde ise rezonans noktalarında pozitif genliğin olduğu çeşitli rotor hız bölgesi saptanmıştır.
Son olarak ise rezonansı önlemek yani kararsızlığı gidermek için iki tane sönüm yaklaşımı denenmiştir. İlk olarak Done kriteri dikkate alınmıştır. Gövde ve palin sönüm oranlarının çarpımı rezonans anındaki frekanslar ve rotor hızlarında elde edilmiştir. Elde edilen gövde sönüm oranları ile gövdeye ait sönüm matrisi oluşturularak özdeğer çözümü elde edilmiş ve reel kısım-rotor hızı grafiği çizdirilmiştir. Sonuçlara bakıldığında uygulanan sönümün çoğu noktada kararsızlığı önlediği, bazı rotor hızlarında ise hala pozitif reel kısmın olduğu ortaya çıkmıştır. İkinci sönüm Bramwell'in yer rezonansı bölümünde bahsettiği gibi gerileyen rotor frekansı, rotor hızına ne kadar yakın olursa gerekli sönüm oranının o kadar az olacağı bir grafikten yararlanılmıştır. Bu grafikten çeşitli rezonans durumundaki frekans/rotor hızı oranlarından faydalanılarak gövde ve pal sönüm oranı elde edilmiştir. Elde edilen bu sönüm oranları ile yeniden sistemin sönüm matrisi oluşturulmuş ve tekrardan sistemin özdeğer çözümü yapılarak reel kısmın rotor hızı ile değişim grafiği incelenmiştir. İkinci yaklaşım ile birlikte olarak Bramwell'in önerdiği sönümün kararsızlığı engellediği ve sistemin sönümlendiği gözlemlenmiştir.

Abstract:
In this study, ground resonance analysis of a selected helicopter "Aérospatiale Gazelle" was performed. First of all, helicopter main structure was introduced in terms of transmission, airframe, tail boom, tail rotor, rotor blade, stabilizer, engine, landing gear, fuselage.etc. Then blade hinge mechanisms are described as lead-lag (drag) hinge, flapping hinge and feathering hinge. While lead-lag hinge provides lagging motion of blade as in-plane motion, flapping hinge enables flapping of blade. However, feathering hinge lets pitching motion of blade.
Ground resonance is a self-driven mechanical vibration problem that occurs in articulated rotors. This vibration event is caused by the progressive-regressive (lead-lag) movement of the blades. Movement in the opposite direction to the direction of rotation is called lagging, and movement in the same direction is called leading. In addition to their own rotational speed, the blades advancing during flight also have the forward speed of the helicopter. This rotation and forward velocity cause a resultant velocity in the advancing blade in an increasing direction. Likewise, a resultant velocity will occur in the retrating blade (retrating blade) in the reducing direction. For this reason, the resultant speed in the advancing blade will be higher than the speed in the receding blade. The lifting force produced in the rotor blades is proportional to the speed of the air passing over the blades. The lifting force in the advancing blade, where the resultant velocity is higher, will be greater than in the receding blade. This asymmetrical lift will create an induced drag force in the blades. The resulting drag force will cause in-plane rotation in the blades, and this rotation will be damped by keeping the center of gravity of the blades on the rotor centerline by means of the lead-lag dampers in the blade. If an excessive in-plane movement cannot be damped by the lead-lag dampers, the center of gravity of the blades and the rotor center will not be aligned. This eccentricity creates an unbalanced centrifugal force at a certain frequency. When this frequency overlaps with the body frequency, catastrophic structural destruction begins. This phenomenon that occurs when the helicopter is on the ground is called ground resonance.
In this thesis, firstly, the studies conducted with literature research were examined. The studies in the literature are mostly studies with non-linear damping suggestions. The resonance of the concentric double rotor system, the effect of the landing gear design on the resonance or the nonlinear differential equations are some of the studies done in ground resonance. Besides, some multibody dynamic package programs were tried to simulate ground resonance behaviour of helicopter. In some study contains the put a actuator damper in blade root part in order to balance instability on account of ground resonance. A few researchers investigated that how the landing gear contact point on ground affects the resonance problem.
In order to better understand the ground resonance, first the vibration theory is studied simply in discrete systems and under free vibration. The natural frequencies of the undamped and damped system under free vibration are found by eigenvalue solution. The response of the system under forced vibration was obtained mathematically. Then, in a continuous system, unlike the discrete system, the beam example is considered, and the general partial differential equation of the continuous system is solved according to time and position. The displacement of the continuous system under forced vibration is also derived from the general partial differential equation and by considering a sample beam problem, the frequency and displacement response of the system is calculated analytically and verified with ABAQUS (finite element model).
Coleman created three blade model connected to helicopter fuselage. Afterwards, the eigenvalue solution of the dynamic equation with eight degrees of freedom (six body frequencies, two rotor frequencies) created by Nahas using Coleman's equations is shown. In this dynamic equation, the mass matrix consists of the helicopter mass, helicopter inertia terms in the three axes (x-y-z), blade mass and blade inertia terms. The stiffness matrix, on the other hand, consists of the terms of the landing gear, as it is more flexible to the landing gear compared to the fuselage. It also contains blade springs and blade damper. The damping matrix, on the other hand, is a matrix that will be calculated from the ratio of fuselage frequency, rotor speed, ratio of blade mass to helicopter mass, after instability that will appear later. Moreover, matrix of damping includes blade damping and inertia terms.
In the first step, we need mass matrix term. We can take helicopter mass from offical data but inertia terms in axes are required. To starting point, a surface drawing has been found for the exterior structure of the selected Gazelle helicopter and using this surface, the exterior geometry of the helicopter has been modeled in finite elements. Later, floor, pressure bulkhead, longeron and frames were added to this model and it was tried to resemble a real helicopter model. Since the total take-off weight of the helicopter is known, the engine weight, pilot weights and other weights in the cockpit (like system equipments) are placed inside the helicopter as a concentrated load, thus aiming for a weight distribution close to the real helicopter and a realistic center of gravity. The aim here is to represent the inertia values and the position of the center of gravity of the helicopter as closely as possible. The values of the blade were taken from the studies in the literature. The stiffness values of the landing gear were obtained at the center of gravity of the helicopter by the substructure method. Substructure method is very useful in our modeling technique. Helicopter fuselage is considered as a discrete mass and on its landing gear which is a spring and damper system. Landin gear consists of much beam elements with different geometric properties. To sum up these elements at one point (center of gravity of helicopter), substructure method is more convenient. At the point of application of this method, ABAQUS, which is a finite element program, was used. 
The mass matrix was created with the parameters obtained from the finite elements and some accepted parameters, and the stiffness matrix was created by applying the substructure method in ABAQUS and also some blade parameters. With these two matrices, the frequencies of the fuselage and the frequencies of the rotor depending on the rotor speed were obtained separately in an undamped system (uncoupled). These obtained frequencies were plotted on a graph, and the rotor speeds at which the rotor frequency in the regressive direction and the fuselage frequency intersect were determined and these points were expressed as resonance points. At these points, helicopter has positif amplitude and it creates huge movement. Then, again for an undamped system, the frequency and amplitude were calculated in the case where the movements of the body and rotor in the helicopter are together (coupled). In the obtained amplitude-rotor velocity graph, various rotor velocity regions with positive amplitudes at the resonance points were determined. 
Finally, two damping approaches are tried to prevent resonance, that is, to eliminate instability. First, the Done criterion was taken into account. The product of the fuselage and blade damping ratios was obtained at the resonance frequencies and rotor speeds. The eigenvalue solution was obtained by forming the damping matrix of the body with the obtained body damping ratios and the real part-rotor speed graph was drawn. Looking at the results, it was revealed that the applied damping prevents instability at most points, and there is still a positive real part at some rotor speeds. Second damping As Bramwell mentioned in the ground resonance section, a graph is used that the closer the regressive rotor frequency is to the rotor speed, the lower the required damping ratio. From this graph, the fuselage and blade damping ratio was obtained by utilizing the frequency/rotor speed ratios in various resonance conditions. With these damping ratios obtained, the damping matrix of the system was reconstructed and the eigenvalue solution of the system was made again and the graph of change with rotor speed of the real part was examined. With the second approach, it has been observed that the damping proposed by Bramwell prevents instability and the system is damped.