Kesirli mertebeden türevli matematiksel modellerin periyodik dalga çözümlerinin analizi
Analysis of periodic wave solitions of fractional derivative mathematical models
Yazar: ASLI ALKAN
Danışman: PROF. DR. HASAN BULUT ; DOÇ. DR. TOLGA AKTÜRK
Fırat Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez çalışmasında, kesirli mertebeden türevli matematiksel modellerin periyodik dalga ve nümerik çözümleri analiz edilmiştir. Öncelikle, doğrusal olmayan kesirli mertebeden kısmi diferansiyel denklemler ve doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemler hakkında genel bilgiler verilmiştir. Bu denklemlerle ilgili çözüm metotlarından ve çalışmanın amacından bahsedilmiştir. Geliştirilmiş üstel fonksiyon metodu (GÜFM) ve uyumlu kesirli q-Shehu homotopi analiz dönüşüm metodu (UKq-SHADM) ayrıntılı bir şekilde açıklanmıştır. İlk olarak doğrusal olmayan uyumlu zaman-kesirli mertebeden Date-Jimbo-Kashiwara-Miwa denklemine, doğrusal olmayan (2+1)-boyutlu genelleştirilmiş Hirota–Satsuma–Ito denklem sistemine ve doğrusal olmayan Dullin-Gottwald-Holm denklemine tam çözümlerini elde etmek için GÜFM uygulanmıştır. İkinci olarak da doğrusal olmayan uyumlu kesirli mertebeden iki boyutlu Navier-Stokes denklemlerine, doğrusal olmayan uyumlu kesirli mertebeden Cahn-Hilliard denklemine ve doğrusal olmayan uyumlu kesirli mertebeden Rosenau–Hyman denklemine nümerik çözümlerini elde etmek için UKq-SHADM uygulanmıştır. İncelenen doğrusal olmayan uyumlu zaman-kesirli mertebeden Date-Jimbo-Kashiwara-Miwa, doğrusal olmayan (2+1)-boyutlu genelleştirilmiş Hirota–Satsuma–Ito ve doğrusal olmayan Dullin-Gottwald-Holm denklemlerinin elde edilen tam çözümlerinin iki boyutlu, üç boyutlu, dış hat ve yoğunluk grafikleri Mathematica yazılım programı yardımıyla çizdirilmiştir. Ayrıca doğrusal olmayan uyumlu kesirli mertebeden iki boyutlu Navier-Stokes, doğrusal olmayan uyumlu kesirli mertebeden Cahn-Hilliard ve doğrusal olmayan uyumlu kesirli mertebeden Rosenau–Hyman denklemlerinin elde edilen nümerik çözümlerinin iki boyutlu ve üç boyutlu grafikleri Maple yazılım programı yardımıyla çizdirilmiştir. Sonuç olarak, çalışmada elde edilen bulgular kullanılan metotların etkili ve başarılı olduğunu göstermiştir.

Abstract:
In this thesis, the periodic wave solutions and the numerical solutions of the fractional order derivative mathematical models were analyzed. First of all, general information about the nonlinear fractional order partial differential equations and the nonlinear partial differential equations is given. The solution methods for these equations and the purpose of the study are mentioned. The modified exponential function method (MEFM) and the conformable fractional q-Shehu homotopy analysis transform method (CFq-SHATM) are explained in detail. First, MEFM is applied to obtain the exact solutions of the nonlinear conformable time-fractional Date-Jimbo-Kashiwara-Miwa equation, the nonlinear (2+1)-dimensional generalized Hirota–Satsuma–Ito equation system and the nonlinear Dullin-Gottwald-Holm equation. Secondly, CFq-SHATM is applied to obtain the numerical solutions of the nonlinear conformable fractional two-dimensional Navier-Stokes equations, the nonlinear conformable fractional Cahn-Hilliard equation and the nonlinear conformable fractional Rosenau–Hyman equation. The two-dimensional, three-dimensional, contour and density graphs of the obtained the exact solutions of the nonlinear conformable fractional Date-Jimbo-Kashiwara-Miwa, the nonlinear (2+1)-dimensional generalized Hirota–Satsuma–Ito and the nonlinear Dullin-Gottwald-Holm equations were plotted by using the Mathematica software program. In addition, the two-dimensional and three-dimensional graphs of the obtained numerical solutions of the nonlinear conformable fractional Navier-Stokes, nonlinear conformable fractional Cahn-Hilliard and nonlinear conformable fractional Rosenau–Hyman equations were plotted by using the Maple software program. As a result, the findings obtained in the study showed that the methods used were effective and successful.