Genelleştirilmiş stieltjes tipi integral dönüşümü ve uygulamaları
Generalized stieltjes type transform and applications
Yazar: RAMIL SALIMOV
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ DURMUŞ ALBAYRAK
Marmara Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezde genelleştirilmiş Stieltjes tipi integral dönüşümü incelenmiştir. Farklı fonksiyonların bu dönüşüm altındaki görüntüsü bulunmuş, dönüşümün özellikleri çeşitli teorem ve sonuçlar ile ortaya konmuştur. Son olarak bu dönüşümün uygulama alanları araştırılmıştır.  

Tezin birinci bölümünde özel fonksiyonlara ve integral dönüşümlerine yer verilmiştir. Tez boyunca kullanılacak olan özel fonksiyonlar ve integral dönüşümlerinin temel tanım ve özellikleri bu bölümde listelenmiştir.

İkinci bölümde  bu tezin konusuna temel oluşturan genelleştirilmiş Laplace tipi integral dönüşümü ile ilgili kaynak olabilecek makaleler taranmış ve buralarda verilmiş tanım, teorem ve sonuçlar sunulmuştur.

Tezin üçüncü bölümünde genelleştirilmiş Stieltjes tipi integral dönüşümü ele alınmıştır. İlk olarak bu integral dönüşümü için Varlık Teoremi kanıtlanmıştır. Devamında birçok fonksiyonun dönüşüm altındaki görüntüleri bulunmuştur. Bu görüntülerden bazılarının ters dönüşümü alınarak baştaki fonksiyonun sağlandığı gösterilmiştir. Bu bölümde bir türev operatörü, delta türevi kullanılmıştır. Bu türev ile dönüşüm arasındaki ilişki elde edilmiştir. Bunun yanı sıra, integral ile dönüşüm arasındaki ilişki bulunmuştur. Daha sonra Riemann-Liouville ve Katugampola kesirli integrallerinin dönüşümü hesaplanmıştır. Genelleştirilmiş Stieltjes tipi integral dönüşümü için yeni bir konvolüsyon tanımlanmış ve Konvolüsyon Teoremi ispatlanmıştır. Bölümün sonunda adi, kısmi diferansiyel ve integral denklemleri için çeşitli problemler verilmiştir. Bu integral dönüşümü uygulanarak verilen başlangıç-sınır değer problemlerinin çözümleri elde edilmiştir.

Dördüncü bölümde bu tezde verilen  tanımlar, farklı fonksiyonların dönüşüm altında bulunan görüntüleri, dönüşümün esas özellikleri, bu dönüşüm için elde edilen Varlık Teoremi, Konvolüsyon Teoremi gibi  birçok teorem ve sonuçlar yer almıştır. Sonda bu dönüşümün uygulaması olarak, dönüşüm yardımı ile çözülen integral denklemi, adi ve kısmi diferansiyel denklemleri için başlangıç-sınır değer problemleri sıralanmıştır.

Tezin bir kısmı 15. Ankara Matematik Günleri 2024 konferansında " Genelleştirilmiş Stieltjes Tipi İntegral Dönüşümü " başlığı altında sunulmuştur.

Abstract:
In this thesis, the generalized Stieltjes-type integral transform is examined. The image of different functions under this transform is obtained. In addition, the properties of the transform are illustrated by numerious theorems and corollaries. Finally, application areas of this transform are researched.

The first chapter of the thesis includes special functions and integral transforms. The basic definitions and properties of the special functions and integral transforms which will be used throughout the thesis are listed in this section.

In the second chapter, articles that serve as references for the generalized Laplace-type integral transform, which forms the basis of the subject of this thesis, were reviewed and the definitions, theorems, and corollaries given in these articles are presented.

In the third chapter of the thesis, the generalized Stieltjes-type integral transform is discussed. First, the Existence Theorem  is proved for this integral transform. Subsequently, the images of lots of functions under the transform are found. By taking the inverse transform of some of these images, it is shown that the original functions are satisfied. A derivative operator, the delta derivative, is used in this chapter. The relationship between this derivative and the transform is established. In addition, the relationship between the integral and the transform is determined. Then the transforms of the Riemann-Liouville and Katugampola fractional integrals are calculated. A new convolution is defined for the generalized Stieltjes-type integral transform, and the Convolution Theorem is proved. At the end of the chapter, various problems for ordinary, partial differential and integral equations are presented. The solutions to the given initial-boundary value problems are obtained by applying this integral transform.

In the fourth chapter, the definitions given in this thesis, the images of different functions found under the transform, the main properties of the transform, many theorems and corollaries such as the Existence Theorem, the Convolution Theorem obtained for this transform are included. In the end, as an application of this transform, the integral equation, the initial-boundary value problems for ordinary and partial differential equations whose solutions are obtained by this transform are listed.

A part of the thesis was presented under the title of "Generalized Stieltjes-type Integral Transform" at the 15th Ankara Mathematics Days 2024 conference.