Çarpımsal Latis Modüller
Multiplication Lattice Modules
Yazar: EMEL ASLANKARAYİĞİT UĞURLU
Danışman: DOÇ. DR. KÜRŞAT HAKAN ORAL ; PROF. DR. ÜNSAL TEKİR
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2016
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Pek çok bilim adamı cebirin Latis Teorisi alanında yıllarca çalışmıştır. Bu alanda Modül Teorisin genellemesi olan Latis Modüller konusu da önemli bir yer tutar. Bu tezin amacı, modül teorisindeki çarpımsal modüllerin genellemesi olan çarpımsal latis modüllerinin özelliklerini incelemektir. Ayrıca çarpımsal latis modüllerini, temel elemanlar ve kompakt elemanlar yardımıyla karakterize etmektir. Tezin bir diğer bölümünde ise; latis modülünde asal eleman, zayıf asal eleman, neredeyse asal eleman ve idempotent eleman kavramları tanımlanmıştır. Daha sonra bu elemanlar belli şartlar altında karakterize edilmiştir. Mesela asal elemanlar için olan karakterizasyonu ifade etmek istersek; 1𝐿 kompakt olacak şekilde 𝐿 bir 𝑃𝐺−latis ve 𝑀 çarpımsal sadık 𝑃𝐺−latis modül olsun. Bu durumda bir 𝑁 < 1𝑀 elemanı için aşağıdakiler denktir:
(1) 𝑁 asaldır.
(2) (𝑁:𝐿1𝑀) asaldır.
(3) 𝑁 =𝑞1𝑀 olacak şekilde bir asal 𝑞∈𝐿 vardır. (Teorem 3.4.3)
Ayrıca çarpımsal latis modülü üzerinde yeni bir çarpma tanımlanmıştır. Bu çarpma sayesinde; latis modülündeki bazı elemanların tanımlarının, latisteki tanımlarına denk getirilebileceği ispatlanmıştır. Bunun için örnek olarak; latis modülündeki asal eleman tanımının, latisteki formuna nasıl denk geldiğini açıklayalım:
Bilindiği üzere latis modülündeki asal eleman tanımı ile latisteki asal eleman tanımı birbirinden biraz farklıdır. Bazı özel koşullar altında; latis modülündeki asal eleman tanımının, latisteki asal eleman tanımına denk geldiği gösterilmiştir. Daha açık ifade edecek olursak; 1𝐿 kompakt olacak şekilde 𝐿 bir 𝑃𝐺−latis ve 1𝑀 kompakt olacak şekilde 𝑀 çarpımsal sadık 𝑃𝐺−latis 𝐿−modül olsun. Bu durumda bir 𝑁 <1𝑀 için 𝑁 elemanının 𝑀 de asal olması için gerek ve yeter koşul 𝑋𝑌≤𝑁 olacak şekildeki herhangi 𝑋,𝑌∈𝑀 için 𝑋≤𝑁 veya 𝑌≤𝑁 olmasıdır. (Teorem 3.4.9)
Yukarıdakine benzer şekilde; latis modülünde zayıf asal eleman, neredeyse asal eleman ve idempotent elemanların da tanımları, latisteki formlarına denk getirilmiştir.
Sonuncu bölümde ise ikinci modül ve ikincil modül kavramları genelleştirilerek ikinci latis modül ve ikincil latis modül kavramları tanıtılmıştır. Bu kavram şu şekilde tanımlanmıştır; 𝑀 sıfırdan farklı bir 𝐿−latis modül olsun. Eğer her 𝑎∈𝐿 için 𝑎1𝑀=1𝑀 veya 𝑎1𝑀=0𝑀 oluyorsa 𝑀, ikinci latis modül olarak adlandırılır. (Tanım 4.1.1) Benzer olarak eğer her 𝑎∈𝐿 için 𝑎1𝑀=1𝑀 veya 𝑎𝑛1𝑀=0𝑀 olacak şekilde 𝑛 pozitif tam sayısı bulunabiliyorsa 𝑀, ikincil latis modül olarak adlandırılır. (Tanım 4.1.2)
Son olarak; çarpımsal latis modül kavramı ile yukarıda tanımlanan bu iki kavram birleştirilince neler elde edilebileceği araştırılmıştır. Böylece şu iki sonuç elde edilmiştir.
(1) Çarpımsal ve ikincil olan bir latis modül, asalımsı latis modüldür. (Önerme 4.2.1)
(2) Çarpımsal ve ikinci olan bir latis modül, asal latis modüldür. (Önerme 4.2.2)
Anahtar Kelimeler: latis, çarpımsal latis, latis modül, çarpımsal latis modül, 𝑃𝐺−latis modül, C−latis modül, asal eleman, neredeyse asal eleman, zayıf asal eleman, asalımsı eleman, maksimal eleman, idempotent eleman, ikinci latis modül, ikincil latis modül.

Abstract:
Many scientists have studied on Lattice Theory for many years. The Lattice Modules which is the generalization of Module Theory have an important place in the area. The aim of this thesis is an examination of properties of multiplication lattice module which is the generalization of multiplication module. Moreover, the aim is to obtain a characterization of multiplication lattice module by the help of the defined principal elements and compact elements. In the another part of the thesis, we gave the definitions of prime element, weakly prime element, almost prime element and idempotent element. After then, under specific conditions these elements are characterized. For example, we can explain the characterization of prime element. Let 𝐿 be a 𝑃𝐺−lattice with 1𝐿 compact and 𝑀 be a faithful multiplication 𝑃𝐺−lattice 𝐿−module and 𝑁 < 1𝑀. Then followings are equivalent:
(1) 𝑁 is prime.
(2) (𝑁:𝐿1𝑀) is prime.
(3) 𝑁 = 𝑞1𝑀 for some prime element 𝑞 of 𝐿. (Theorem 3.4.3)
In addition, we define a new multiplication over the multiplication lattice module. Owing to the multiplication we prove that the definitions of some elements in lattice module can be similar to the definitions of the elements in lattice. For example, let's explain the definition of prime elements in lattice module can be similar to the definition of prime elements in lattice.
As one know the definition of prime elements in lattice module is different from the definition of prime elements in lattice. Under special conditions, we get that the definition of prime element in lattice module is similar to the definition of prime element in lattice. So, if 𝐿 is a 𝑃𝐺−lattice with 1𝐿 compact and 𝑀 is a faithful multiplication 𝑃𝐺−lattice 𝐿−module with 1𝑀 compact and 𝑁 < 1𝑀, then 𝑁 is prime in 𝑀 if and only if whenever 𝑋 and 𝑌 are elements of 𝑀 such that 𝑋𝑌≤𝑁 then either 𝑋≤𝑁 or 𝑌≤𝑁. (Theorem 3.4.9)
Similarly, we obtain the previous result for weakly prime elements, almost prime elements and idempotent elements owing to the new defined multiplication.
In the last part, we define second lattice module and secondary lattice module as the generalizations of second module and secondary module. For the explaination of the definitions, one can examine the followings:
A nonzero 𝐿−lattice module 𝑀 is called second if for each 𝑎∈𝐿, 𝑎1𝑀=1𝑀 or 𝑎1𝑀=0𝑀. (Definition 4.1.1) Similarly, if for each 𝑎∈𝐿, 𝑎1𝑀=1𝑀 or 𝑎𝑛1𝑀=0𝑀 for some 𝑛>0, 𝑀 is called secondary . (Definition 4.1.2)
When we unify the concepts of the multiplication lattice module and the above defined notions, we research that what we can get. Thus we obtain the following two results:
(1) Every multiplication and secondary lattice modue is primary lattice module. (Proposition 4.2.1)
(2) Every multiplication and second lattice module is prime lattice module. (Proposition 4.2.2)