Üç boyutlu hologram destekli öğrenmede lineer cebir kavramlarının oluşturulma sürecinin incelenmesi
Construction of linear algebra concepts through 3d hologram-based learning
Yazar: DİLEK HAZAR
Danışman: PROF. DR. CENK KEŞAN
Dokuz Eylül Üniversitesi / Eğitim Bilimleri Enstitüsü / İlköğretim Ana Bilim Dalı / İlköğretim Matematik Öğretmenliği Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2021
Konu: Eğitim ve Öğretim = Education and Training ; Matematik = Mathematics
Dizin: APOS = APOS ; Aday öğretmenler = Candidate teachers ; Cebir = Algebra ; Doğrusal cebir = Linear algebra ; Hologram = Hologram ; Kavram öğrenme = Concept learning ; Kavram öğretimi = Concept teaching ; Matematik eğitimi = Mathematics education ; Matematik öğretimi = Mathematics teaching ; Üç boyutlu öğretim = Three dimensional teaching

Özet:
Üniversite matematiğinin temel derslerinden olan lineer cebir, öğrencilerin öğrenmede güçlük yaşadığı soyut kavramlardan oluşmaktadır. Matematik kavramını öğrenirken somuttan soyuta gerçekleşmesi gereken öğrenme sürecinde soyut kavramların somut temellere dayandırılmadığında öğrenciler kavramsal anlamadan ziyade işlemsel sürece odaklanarak hareket edebilirler. Biçimsel dünyada tanımlar ve teoremler ile işlenen lineer cebir dersinde öğrenciler problem çözme sürecinde işlemsel sürece odaklanırlar ve kavramların doğasını algılayamazlar. Önceden öğrendikleri kavramlar (vektör gibi) ile yeni öğrendikleri kavramların çelişmesi ya da kavramın doğası gereği (uzayın sonsuz olması hissi) ortaya çıkan algılar lineer cebir kavramlarını öğrenmeye engel olabilir. Kavramların gerçek dünya uygulamalarına derslerde yer verilmemesi biçimsel kavramaya ve nesne anlayışına ulaşmada güçlük oluşturabilir. Yaşanan güçlüklerin sebeplerinden biri, üç boyutlu uzay uygulamalarında geometrik temsillerin kullanımının yetersiz kalmasıdır. Üç boyutlu geometrik temsiller iki boyutlu düzlemsel olan bilgisayar ekranı ya da tahta üzerinde çizildiğinde, öğrenciler şekilsel temsilleri üç boyutlu olarak algılayamamaktadır. 
Bilgisayarda hazırlanan modelleri ışığın kırınımı kurallarını kullanarak havada üç boyutlu olarak oluşturmaya imkân tanıyan üç boyutlu hologram cihazları, lineer cebir dersinde yaşanan bu durumun oluşturduğu güçlükleri ortadan kaldırabilir. 3B Hologram teknolojileri kullanılarak oluşturulabilen lineer cebir modelleri lineer cebir kavramlarının gerçek yaşam örneklerini üç boyutlu olarak görmeye imkân vererek öğrencilere kavramsal anlamalarında ve nesne anlayışına sahip olmalarına yardımcı olabilir.  
Araştırmanın temel amacı üç boyutlu hologram destekli öğretimde lineer cebir kavramlarının oluşturulma sürecinin incelenmesidir. Çalışma üç ayrı durum çalışması ile desenlenmiştir. Birinci durum çalışmasının amacı lineer cebir kavramlarını öğrenmede yaşanan güçlükler alan yazın taraması, öğrencilerin bir kavramı nasıl öğrendiğinin yol haritasını sunan lineer cebir kavramlarının genetik çözümlemelerinin APOS teorisi çerçevesinde gerçekleştirilen geçerlik-güvenirlik çalışması ve araştırmacı deneyimleriyle belirlenmesidir. Genetik çözümlemelerin ve araştırmacı tarafından hazırlanan lineer cebir problemlerinin geçerlik güvenirlik çalışması için Dokuz Eylül Üniversitesi İlköğretim Matematik Öğretmenliği Bölümünde öğrenim gören ve lineer cebir 2 dersini başarıyla tamamlayan beş öğrenci ile çalışılmıştır. Verilerin analizinde betimsel analiz kullanılmıştır ve problemleri değerlendirme rubrikleri ile analizler gerçekleştirilmiştir. Öğrencilerin vektör uzayı problemlerindeki hataların ikili işlem, küme ve cisim şemalarındaki, iç çarpım uzayı problemlerinde fonksiyon şemasındaki eksikliklerden kaynaklandığı görülmektedir. Lineer dönüşüm problemlerinde lineer dönüşümün tersinin bulunmasında dönüşüm matrisinin tersinin olması ve determinantının sıfırdan farklı olması gerektiğini ifade ettikleri görülmüştür. Ancak aynı uzaylar arasında lineer dönüşümün tanımlanması gerektiğini ifade etmedikleri için matris temsile odaklandıkları ve kavramın geometrik anlayışına dikkat etmedikleri anlaşılmaktadır. Öz değer ve öz vektörler problemlerinde ise lineer dönüşümdeki görüntüsü kendisinin katı olan vektörler olduğunu ifade edemediği ve geometrik anlamını cebirsel temsillerle ilişkilendirerek açıklayamadığı görülmüştür. Genel olarak bu kavramlara ilişkin problemlerin çözümlerinde kavramların geometrik anlamları ile ilişkilendirmede güçlük yaşandığı gözlemlenmiştir. 
Bu güçlükleri gidermesi planlanan üç boyutlu hologram uygulamalarıyla ilgili ihtiyaç analizi yapılmıştır. Bu ihtiyaçları karşılayacak yazılım ve platformları içerecek HoloDEU yazılımı ve hologram sistemi geliştirilmiştir. Geliştirilen HoloDEU ve hologram sisteminin pilot çalışması Dokuz Eylül Üniversitesi İlköğretim Matematik Öğretmenliği Bölümünde öğrenim gören ve lineer cebir 2 dersini alan öğrencilerle gerçekleştirilmiştir. Durum çalışması ile desenlenen bu çalışmadan elde edilen görüşme ve gözlem verileri içerik analizi ile, vektör uzayı problemlerinden elde edilen veriler ise betimsel analiz ile incelenmiştir. Araştırma sonunda HoloDEU ve hologram sisteminin zayıf yönlerini güçlendirecek işlevler belirlenerek yazılım ve hologram sistemi güncellenmiştir. Ayrıca HoloDEU ve hologram sisteminin matematik eğitiminde ve diğer alanlardaki eğitim süreçlerinde kullanımına ilişkin pedagojik önerilerde bulunulmuştur. 
Vektör uzayı sorularına verilen yanıtlar incelendiğinde APOS teorisine göre nesne aşamasında beceri gösteren yedi öğrenci seçilmiştir. Araştırmanın asıl uygulama çalışma grubunu Dokuz Eylül Üniversitesi İlköğretim Matematik Öğretmenliği Bölümünde öğrenim görmekte olan öğrenciler oluşturmaktadır. Lineer cebir öğretiminde uygulanacak etkinlikler APOS teorisinin bir parçası olan etkinlik-sınıf tartışması ve ev ödevleri (ESA (ACE)) öğretim döngüsü çerçevesine uygun olarak hazırlanmıştır. Öğretim sonunda, araştırmacı tarafından uzman görüşleri alınarak hazırlanan açık uçlu problemler öğrencilere uygulanmıştır. Elde edilen veriler betimsel analiz ile APOS teorisi çerçevesinde değerlendirilmiştir. 
Elde edilen bulgulara göre öğrenciler nesne aşamasında beceriler sergilemiştir. Yapılan bazı hataların kavramlara ait genetik çözümlemelerdeki ön bilgi gerektiren kavramlardaki yetersizliklerden kaynaklandığı görülmüştür. Ayrıca öğrencilerin hologram destekli öğretimde kullandığı modelleri kullanarak soru çözümlerini açıkladıkları görülmüştür. Ek olarak HoloDEU yazılımı ve hologram sistemi ile gerçekleştirilecek öğretimde öğrencilerin derse katılımlarının, ilgisinin ve lineer cebir gibi soyut kavramlardan oluşan bir derste ve cebirsel çözümü seçebilecekleri problem çözümlerinde geometrik söylemlerinin olduğu görülmüştür. 
3B Hologram cihazları ile HoloDEU ve 3B Hologram yazılımı sisteminin kullanımının yaygınlaştırılması, gerçekçi öğretimi destekleyen lineer denklem sistemleri, lineer bağımsızlık gibi diğer lineer cebir kavramlarının, matematik kavramlarının, fen, coğrafya derslerindeki kavramların öğretiminde kullanılması ve öğretim sürecinin, başarıların, tutumların, motivasyonların… vb. incelenmesi ile yeni araştırılmakta olan 3B hologram destekli öğretim süreci ile ilgili daha ayrıntılı bilgi elde edilebilir.
Anahtar Kelimeler: 3B Hologram, HoloDEU, APOS Teorisi, lineer cebir, geometrik yaklaşımlar.

Abstract:
Linear algebra, which is one of the basic courses of university mathematics, consists of abstract concepts that students have difficulty in learning. While learning the concepts of mathematics, when abstract concepts are not based on concrete foundations in the learning process, which should take place from concrete to abstract, students may focus on operational process rather than conceptual understanding. In a linear algebra course, which is taught with definitions and theorems in the formal world, students focus on the operational process during problem-solving and cannot perceive the nature of the concepts. The conflict between the concepts they have learned before (such as vectors) and the concepts they have just learned, or the perceptions that arise due to the nature of the concept (the feeling that space is infinite) may prevent learning linear algebra concepts. Not including real-world applications of concepts in lessons can create difficulties in reaching formal comprehension and object understanding. One of the reasons for the difficulties experienced is the insufficient use of geometric representations in three-dimensional space applications. When three-dimensional geometric representations are drawn on a two-dimensional planar computer screen or blackboard, students may not be able to perceive figural representations as three-dimensional.
Three-dimensional hologram devices, which allow the models prepared on a computer to be created in three dimensions using the diffraction of light, can eliminate these difficulties in a linear algebra course. Linear algebra models that can be created using 3D hologram technologies can help students to have conceptual understanding and object understanding by enabling real-life examples of linear algebra concepts to be seen in three dimensions.
The main purpose of the research is to examine the process of creating linear algebra concepts in three-dimensional hologram-supported teaching. The study was designed with three separate case studies. The aim of the first case study was to review the literature on the difficulties experienced in learning linear algebra concepts and to determine the genetic analyses of linear algebra concepts, which provide a roadmap of how students learn a concept, with the validity-reliability study carried out within the framework of the APOS theory and researcher experiences. For the validity and reliability study of genetic analyses and linear algebra problems prepared by the researcher, five students studying at Dokuz Eylul University Elementary Mathematics Teaching Department and taking a linear algebra 2 course were studied. Descriptive analysis was used in the analysis of the data and analyses were carried out with rubrics to evaluate problems. It is seen that the errors in the vector space problems of the students were caused by the deficiencies in the binary operations and set and field diagrams, as well as in the function diagrams in the inner product space problems. It has been observed that in finding the inverse of the linear transformation in linear transformation problems, the inverse of the transformation matrix must be inverse, and its determinant must be different from zero. However, since it was not taught that linear transformation should be defined between the same spaces, it is understood that students focused on matrix representation and did not pay attention to the geometric understanding of the concept. In the problems of eigenvalues and eigenvectors, it was seen that they could not express that the vectors in linear transformation are solids and could not explain their geometric meaning by associating them with algebraic representations. In general, it has been observed that there was difficulty in associating the geometric meanings of the concepts with the solutions of the problems related to these concepts.
A needs analysis has been made regarding the three-dimensional hologram applications that were to overcome these difficulties. HoloDEU software and the hologram system were developed to include software and platforms to meet these needs. The pilot study of this HoloDEU software and the hologram system was carried out with students studying at Dokuz Eylul University Elementary Mathematics Teaching Department and taking a linear algebra 2 course. The interview and observation data obtained from this study, which was designed with a case study, were analyzed by content analysis and the data obtained from the vector space problems were analyzed by descriptive analysis. At the end of the research, the weaknesses of HoloDEU software and the hologram system were strengthened, the functions were determined, and the software and hologram system were updated. In addition, pedagogical suggestions were made regarding the use of HoloDEU software and the hologram system in mathematics education and other educational processes.
When the answers given to the vector space questions were examined, seven students who showed skills at the object stage according to the APOS theory were selected. The main application working group of the research consists of students studying at Dokuz Eylul University, Department of Elementary Mathematics Education. The activities to be applied in linear algebra teaching have been prepared in accordance with the activity-class discussion and exercises (ACE) teaching cycle framework, which is a part of the APOS theory. At the end of the teaching, open-ended problems prepared by the researcher with input from expert opinions were given to the students. The data obtained were evaluated within the framework of the APOS theory with descriptive analysis.
According to the findings, the students exhibited skills at the object stage. It has been seen that some mistakes made were caused by inadequacies in concepts that require prior knowledge in the genetic analysis of concepts. In addition, it was seen that the students explained their problem solutions by using the models they used in hologram supported teaching. In addition, it has been observed that in teaching carried out with HoloDEU software and the hologram system, students actively participated, they were interested, they were able to use geometric expressions consisting of abstract concepts such as linear algebra, and they could solve problems where they had to choose the algebraic solution.
More detailed information about the newly researched 3D hologram based learning can be obtained by popularizing the use of 3D Hologram devices, HoloDEU and 3D Hologram software system, using 3D holographic technologies and HoloDEU in teaching other linear algebra concepts such as systems of linear equations, linear independence, mathematical concepts, concepts in science and geography lessons supporting realistic teaching and examining teaching process, achievements, attitudes, motivations…etc.
Keywords: 3D Hologram, HoloDEU, APOS Theory, linear algebra, geometric modes.