Konveks fonksiyonlara göre bazı berezin sayı eşitsizlikleri
Some berezin number inequalities via convex functions
Yazar: NAZLI BASKAN
Danışman: PROF. DR. SUNA SALTAN
Süleyman Demirel Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu yüksek lisans tezinde, fonksiyonel Hilbert uzaylarında üretici çekirdekler kavramıyla ifade edilen Berezin sembolünün uygulama alanlarından olan Berezin sayı eşitsizlikleri ile ilgili bazı sonuçlar ortaya konulmuştur. Konveks fonksiyonlar içeren Berezin sayısı eşitsizliklerine yeni bakış açısı kazandırmak amacıyla Cauchy-Schwarz eşitsizliği, Young eşitsizliği ve diğer genellemeleri, Aritmetik ortalama eşitsizliği, Geometrik ortalama eşitsizliği, Boas-Bellman eşitsizliği gibi iyi bilinen eşitsizlikler ve Berezin sembolü metodu kullanılmıştır. 

Bu çalışma, Giriş, Kaynak Özetleri, Berezin Sembolü ve Bazı Eşitsizlikler, Araştırma Bulguları ve Tartışma olmak üzere dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, konunun tarihsel gelişiminden söz edilerek, üretici çekirdekler, Berezin sembolü, nümerik yarıçap ve eşitsizlikler hakkında genel bilgi verilmiştir. 

Tez çalışmasının ikinci bölümünde ise konunun yerinin belirlenmesi için üzerinde çalışılan problemlerin yani nümerik yarıçap eşitsizlikleri, üretici çekirdek teorisi ve Berezin sembolü için literatürde yapılan çalışmalar incelenmiş ve sonuçları ifade edilmiştir. 

Üçüncü bölümde, üretici çekirdekli Hilbert uzaylarında bazı temel tanım ve yardımcı teoremler ifade edilmiş ve çalışılan konularla ilgili tüm notasyon, tanım, terminoloji ve iyi bilinen eşitsizlikler, nümerik yarıçap ve Berezin sayısı ile ilgili son zamanlarda elde edilen sonuçlar üzerinde durulmuştur. 

Dördüncü bölümde ise bazı operatör konveks fonksiyonların Berezin sayıları için yeni eşitsizlik formları incelenmiştir. Moradi ve Sababheh \citep{MS2021} çalışmalarında konveks fonksiyonları kullanarak iyi bilinen nümerik yarıçap eşitsizliklerinin, genelleştirilmiş formlarını ortaya koymuşlardır. Safshekan ve Farokhinia \citep{SF2021}'in çalışması dikkate alındığında, iyi bilinen temel eşitsizlikler kullanılarak operatör konveks fonksiyonların nümerik yarıçapları ile ilgili yeni eşitsizlikler ortaya konulduğu görülmüştür. Bu çalışmaların ışığında, fonksiyonel Hilbert uzayındaki $ V $ operatörü için bazı yeni eşitsizlikler incelenmiştir. Konveks fonksiyonlar kullanılarak Berezin sayısı eşitsizliklerinin bazı iyileştirmeleri ve genellemeleri elde edilmiştir.

$ V \in \mathcal{B}\left(\mathcal{H}\right) $ operatörü için, \begin{center}
\[
\mathrm{ber}^{2r}\left(  V\right)  \leq\frac{1}{4}\left(  \left\Vert V^{\ast
}V+VV^{\ast}\right\Vert _{\mathrm{ber}}^{r}+\left\Vert V^{\ast}V-VV^{\ast
}\right\Vert _{\mathrm{ber}}^{r}\right)  +\frac{1}{2}\mathrm{ber}^{r}\left(
V^{2}\right)
\]
\end{center}
eşitsizliği ispatlanmıştır. Çalışmanın dört ana bölümünden sonra Sonuç ve Öneriler bölümü yer almaktadır. Bu kısımda, elde edilen sonuçların devamı olarak düşünülen bir takım öneriler sunulmuştur.

Abstract:
In this thesis, some results are presented related to Berezin number inequalities, which is one of the application areas of the Berezin symbol expressed with the concept of reproducing kernels in functional Hilbert spaces. Well-known inequalities such as Cauchy-Schwarz inequality, Young's inequality and other generalizations, Arithmetic mean inequality, Geometric mean inequality, Boas-Bellman inequality and Berezin symbol method are used to gain a new perspective on Berezin number inequalities involving convex functions. 

This study consists of four chapters: Introduction, Literature Review, Berezin symbol and some inequalities, Research Findings and Discussion. In the first chapter, the historical development of the subject is mentioned and general information is given about the reproducing kernel, the Berezin symbol, the numerical radius and inequalities. 

In the second part of the thesis, the recent studies and the historical development of the problems studied here, namely the theory of reproducing kernels and the Berezin symbol, are discussed in detail in the context of the study. 

In the third chapter, some basic definitions and Lemmas in Hilbert spaces with reproducing kernels are given. Theorems are stated and notations, definitions, recent developments in terminology and well-known inequalities, numerical radius and Berezin number related to the subjects studied are emphasized. 

In the fourth chapter, some operator convex functions are used for Berezin numbers. New forms of inequality are examined. In their study, Moradi and Sababheh (2021) introduced generalized forms of well-known numerical radius inequalities using convex functions. In the study of Safshekan ve Farokhinia (2021), it is seen that new inequalities related to the numerical radii of the operator convex functions have been introduced by using the well-known fundamental inequalities. In the light of these studies, some new inequalities are investigated for the operator V in functional Hilbert space. Some improvements and generalizations of Berezin number inequalities using convex functions are obtained. \\

For the operator $ V \in \mathcal{B}\left(\mathcal{H}\right) $, the inequality \begin{center}
\[
\mathrm{ber}^{2r}\left(  V\right)  \leq\frac{1}{4}\left(  \left\Vert V^{\ast
}V+VV^{\ast}\right\Vert _{\mathrm{ber}}^{r}+\left\Vert V^{\ast}V-VV^{\ast
}\right\Vert _{\mathrm{ber}}^{r}\right)  +\frac{1}{2}\mathrm{ber}^{r}\left(
V^{2}\right)
\]
\end{center}
is proved.

After the four main sections of the study, there is the Conclusions and Recommendations Section. In this section, a number of recommendations are presented, which are considered as a continuation of the results obtained.