Gecikmeli terim içeren hiperbolik tipten denklemlerin çözümlerinin matematiksel davranışı
Mathematical behavior of solutions of hyperbolic type equations with delay term
Yazar: HAZAL YÜKSEKKAYA
Danışman: PROF. DR. ERHAN PİŞKİN
Dicle Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2022
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Gecikmeli terim içeren denklemler ilk olarak 18. yüzyılda Bernoulli kardeşler ve Leonard Euler tarafından ele alınmışlardır. Bu denklemlerin sistematik olarak çalışılmaya başlanması ise 1940 da Myshkis ve Bellman tarafından başlanmıştır. Zaman gecikmeleri genellikle termal, ekonomik olaylar, biyolojik, kimyasal ve fiziksel gibi birçok farklı problemde ortaya çıkar. Birçok durumda, gecikme bir kararsızlık kaynağıdır ve hatta gelişigüzel küçük bir gecikme bile, ek koşullar veya kontrol şartları kullanılmadığı sürece, normal bir gecikme olmaksızın da düzgün, asimptotik olarak kararlı olan bir sistemin dengesini bozabilir. Ancak bazı denklemler için gecikmenin varlığı dengeleyici bir etkiye sahip olabilir. Bu nedenle, zaman gecikmeli denklemlerin, kararlılık analizi ve sağlam kontrolü teorik ve pratik öneme sahiptir. Bu tezin ilk bölümünde fen ve mühendislik gibi uygulamalı bilimlerde ortaya çıkan gecikmeli terim içeren denklemlere kısaca değinilmiştir. İkinci bölümde gecikmeli terim içeren denklemlerle ile ilgili günümüze kadar yapılan çalışmalar tarihi gelişimi ele alınmıştır. Üçüncü bölümde tez boyunca kullanılacak olan temel tanım, lemma, teorem ve eşitsizlikler verilmiştir. Dördüncü bölüm iki altbölümden oluşmaktadır. Dördüncü bölümün ilk kısmında gecikmeli terim içeren, p(x)-Laplacian tipli değişken üslü denklemin çözümlerinin patlaması ve azalması; ikinci kısmında ise gecikmeli terim içeren, değişken üslü viskoelastik dalga denkleminin çözümlerinin varlığı ve patlaması çalışılmıştır. Beşinci bölüm iki altbölümden oluşmaktadır. Beşinci bölümün ilk kısmında dağılımlı gecikmeli terim içeren logaritmik Kirchhoff tipli denklemin çözümlerinin global varlığı, azalması ve patlaması; ikinci kısmında ise gecikmeli terim içeren logaritmik dalga denkleminin çözümlerinin lokal varlığı, global varlığı ve azalması çalışılmıştır. Altıncı bölümde, gecikmeli terim içeren, polinomal kaynak terime sahip, bir yüksek mertebeden Kirchhoff tipli denklemin çözümlerinin varlığı, azalması ve patlaması ispatlanmıştır. Yedinci bölümde ise, dağılımlı gecikmeli terim içeren bir viskoelastik Kirchhoff sisteminin çözümlerinin üstel büyümesi çalışılmıştır.

Abstract:
In the eighteenth century, the first equations with delay were considered by brothers Leonard Euler and Bernoulli. By A. Myshkis and R. Bellman, systematical study started at the 1940s. Time delays often appear in many various problems, such as, thermal, economic phenomena, biological, chemical and physical. In many cases, delay is a source of instability and even an arbitrarily small delay may destabilize a system which is uniformly asymptotically stable in the absence of delay unless additional conditions or control terms have been used. However, for some equations, the presence of delay can have a balancing effect. Therefore, stability analysis and robust control of time-delayed equations are of theoretical and practical importance. In the first section of this thesis, the equations with delay term that emerged in applied sciences such as science and engineering are briefly mentioned. In the second section, the historical development of the studies on the equations with delay terms is discussed. In the third section, the basic definition, lemma, theorem and inequalities that will be used throughout the thesis are given. The fourth section consists of two subsections. In the first subsection the  blow up and decay of solutions for p(x)-Laplacian equation with delay term and variable exponents; in the second subsection the existence and blow up of solutions for viscoelastic wave equation with delay term and variable exponents are studied. The fifth section consists of two subsections. In the first subsection the global existence, decay and blow up of solutions for logarithmic Kirchhoff type equation with distributed delay; in the second subsection the local existence, global existence and decay of solutions for logarithmic wave equation with delay term are studied. In the sixth section the existence, decay and blow up of solutions for higher order Kirchhoff type equation with delay term and polynomial source term are proved. In the seventh section, the growth of solutions for viscoelastic Kirchhoff system with distributed delay term is studied.