Lineer olmayan Durrmeyer tipli operatörlerin yaklaşım özellikleri
Approximation properties of nonlinear Durrmeyer type operators
Yazar: AYKUT BAYRAK
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ HÜSEYİN ERHAN ALTIN
Bolu Abant İzzet Baysal Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Bernstein polinomları = Bernstein polynomials ; Doğrusal olmayan integral operatörleri = Nonlinear integral operators ; Stieltjes integrali = Stieltjels integral

Özet:
Bu tez, matematiksel analizin yaklaşım teorisindeki lineer olmayan Durrmeyer tipli operatörlerin yakınsaklık özelliklerini içermektedir.
Tez toplam altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde Alman matematikçi Karl Weierstrass tarafından ortaya atılan probleme Bernstein polinomları ile oluşturulan çözümün tarihsel gelişimine yer verilmiştir. İkinci bölümde tez boyunca ihtiyaç duyulacak temel tanımlara ve tezin yaklaşım problemlerini içeren temel teoremlerde gerekli olacak yardımcı sonuçlara yer verilmiştir. Üçüncü bölümde lineer olmayan Durrmeyer tipli operatörlerin inşa edilmesi için gerekli temel tanımlar ile bu tanımlamalardan karşımıza çıkan yardımcı teoremler ifade edilmiştir. Ayrıca bu bölümde tanımlanan lineer olmayan Durrmeyer tipli operatörler için varlık teoremi ifade ve ispat edilmiştir. Tezin yakınsaklık sonuçlarının verildiği, dördüncü bölümde, üçüncü bölümde tanıtılan operatörlerin ilk olarak Lebesgue noktasındaki yaklaşım durumu ele alınmış, daha sonra sırasıyla   ψ∘|f| ve f fonksiyonlarının süreksizlik noktalarındaki yaklaşım durumlarını incelenmiştir. Son olarakta ise f ve ψ∘|f| fonksiyonlarının türevlerinin sınırlı salınımlı fonksiyonlar olması durumundaki yaklaşım sonuçlarına yer verilmiştir. Tezin beşinci bölümünde yapılan çalışmalar ile ilgili sonuç verilmiştir ve gelecekteki çalışmalar için düşünceler belirtilmiştir. Tezin altıncı yani son bölümünde çalışma boyunca faydalanılan kaynaklara yer verilmiştir.

Abstract:
This thesis deals with the approximation properties of the nonlinear Durrmeyer type operators in the approximation theory of mathematical analysis.
The thesis comprises six chapters in total. The first chapter presents the historical development of the solution, beginning with Bernstein polynomials and addressing the problem posed by the German mathematician Karl Weierstrass. In the second chapter, fundamental definitions essential for the thesis are provided, along with auxiliary results necessary for the fundamental theorems concerning the approximation problems addressed in the thesis. Moving to the third chapter, crucial definitions for constructing nonlinear Durrmeyer-type operators are introduced, along with accompanying auxiliary theorems derived from these definitions. Furthermore, the chapter includes the statement and proof of the existence theorem for these operators. In the fourth chapter, where the convergence results of the thesis are given, the convergence of the operators is discussed at the Lebesgue point, then the convergence properties are analyzed at the points of discontiunity of the functions ψ∘|f| and f respectively. Finally, the convergence results for these operators are given when the functions f and ψ∘|f| are derivatives of bounded variation. In the fifth chapter of the thesis, a conclusion about the thesis and ideas for future work are given. The final chapter of the thesis, Chapter six, includes the references that were utilized throughout the study.