Kesirli türev ve integral operatörlerinin analizi ve yeni uygulamaları
Analysis of fractional derivatives and integral operators and novel applications
Yazar: BAHAR ACAY
Danışman: PROF. DR. MUSTAFA İNÇ
Fırat Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Kesirli analiz, tam sayı mertebeli analizden farklı olarak içerisinde çeşitli türev ve integral tanımları barındırmaktadır. Bu sebeple, her bir tanımın kendine has bazı özelliklerinin de var olduğu düşünülürse, bir anlam kargaşası ve kullanım zorluğu ortaya çıkabilmektedir. Son birkaç on yılda kesirli analizin bir çok farklı bilim dalında sayısız uygulamalarının yapılmasıyla birlikte oldukça yaygınlaşmasına bağlı olarak, var olan kesirli türev ve integral operatörleri tanımlarına yenileri eklenmekte ve bu da araştırmacılar arasında fikir ayrılıklarına yol açmaktadır. Bu fikir ayrılıklarının yaşanmasının en önemli sebeplerinden biri ise kesirli operatörlerin farklı türlerinin ayırt edilebilmesine yönelik herkesçe kabul gören spesifik sınıflandırma kriterlerinin bulunmamasıdır. Hangi türev operatörlerinin "kesirli" sıfatıyla kullanılabileceğinin ya da literatüre sunulan kesirli operatör tanımlarından hangilerinin "yeni" olarak nitelendirilip hangilerinin sadece bir genelleştirme ya da modifikasyondan ibaret olduğuyla alakalı farklı görüşler mevcuttur. Diğer yandan, reel veriler kullanılarak, klasik (tam sayı mertebeli) türev ve kesirli mertebeden farklı tipten operatörlerin matematiksel modeller üzerinde karşılaştırma analizinin yapıldığı ve keyfi mertebeden türev içeren modellerin daha avantajlı sonuçlar verdiği yüzlerce çalışma bulunmaktadır. 

Bu tez çalışmasında, öncelikle diğer tüm kesirli operatörlerin temeli niteliğinde olan Riemann-Liouville kesirli analizi hakkında detaylı bir şekilde bilgilendirme yapılmasının ardından kesirli türev ve integral tanımlarının sahip oldukları özelliklere göre ayırt edilebilmesini sağlamak için literatürde mevcut olan farklı bakış açılarını kapsayacak makul bir sınıflandırma ve sınıflandırma kriterleri sunulmuştur. Dolayısıyla, bu sınıflandırma kriterleri göz önünde bulundurulduğu takdirde, karşılaşılan kesirli türev tanımlarının hangi sınıfa ait olduklarını ve önemli özelliklerini belirleyerek ele alınan problem için kullanışlı olup olmadığı hakkında tahminde bulunmak mümkün olacaktır. Bu tez çalışması boyunca, çeşitli lokal türevleri ve singüler çekirdekli lokal olmayan kesirli türev operatörlerini tanıtmakla birlikte; fizik, tıp, mühendislik ve biyolojideki matematiksel modeller, kullanılan operatörler arasında karşılaştırma analizi yapılarak detaylı bir şekilde incelenmiştir. Diğer yandan, lokal türevler sınıfında yer alan oransal (proportional) türev kullanılarak yeniden tanımlanan çözüm metotları diferansiyel denklemlerin çözümü için verilmiştir. Kontrol teorisinde kullanılan oransal türev sağlam bir teorik alt yapıya sahip bir türev çeşidi olup, lokal olmayan versiyonlarıyla birlikte tez boyunca sıklıkla kullanılmıştır. Hem lokal hem de lokal olmayan türevlerle incelenen modeller için MATLAB ile elde edilen grafikler üzerinde çözüm eğrilerinin davranışları gözlenerek yorumlanmıştır.

Bu çalışma neticesinde elde edilen sonuçlara göre, hem lokal türevlerin hem de lokal olmayan kesirli türevlerin lineer diferansiyel denklemler ve lineer olmayan diferansiyel denklem sistemleri üzerinde avantaj yaratabilecek etkilere sahip oldukları gözlenmiştir. Birçok farklı türden keyfi mertebeli türev ve integral operatörünün bir arada görülmesini sağlayan ve hem teorik hem de nümerik olarak analizini sunan bu çalışmayla, kesirli analize geniş bir perspektifle bakılması sağlanmaya çalışılmıştır.

Abstract:
Fractional calculus, unlike integer-order analysis, contains various derivative and integral definitions. For this reason, considering that each definition has some unique features, a confusion of meaning and usage difficulties may arise. In the last few decades, due to the fact that fractional calculus has become very common with its numerous applications in many different sciences, new definitions of fractional derivative and integral operators are added to the existing definitions and this leads to disagreements among researchers. One of the most important reasons for these differences of opinion is the lack of specific classification criteria that are universally accepted to distinguish different types of fractional operators. There are also different opinions about which derivative operators can be used as "fractional" or which fractional operator definitions presented in the literature are considered "new" and which are just a generalization or modification. On the other hand, there are hundreds of studies in which the comparison analysis of classical (integer-order) derivative and different fractional operators on mathematical models using real data, and models with arbitrary order derivatives give more advantageous results.

In this thesis, first of all, after giving detailed information about Riemann Liouville fractional calculus, which is the basis of all other fractional operators, a reasonable classification and classification criteria are presented to cover the different perspectives available in the literature in order to distinguish the definitions of fractional derivative and integral according to their properties. Therefore, considering these classification criteria, it will be possible to predict which fractional derivative definitions encountered are useful for the problem under consideration by determining which class they belong to and their important properties. Throughout the current study, it introduces various local derivatives and non-local fractional derivative operators with singular kernels; Mathematical models in physics, engineering, and biology are examined in detail by making a comparative analysis between the operators utilized. On the other hand, the solution methods redefined using the proportional derivative in the class of local derivatives are given for the solution of differential equations. The proportional derivative used in control theory is a derivative with a strong theoretical background and has been frequently used throughout this thesis with its non-local versions. For the models investigated with both local and non-local derivatives, the behavior of the solution curves on the graphs obtained with MATLAB is interpreted by observing.

In terms of the results obtained in this study, it has been observed that both local derivatives and non-local fractional derivatives have advantageous effects on linear differential equations and nonlinear differential equation systems. With this study, which allows many different types of arbitrary order derivative and integral operators to be seen together and presents both theoretical and numerical analysis, it has been tried to provide a broad perspective on fractional calculus.