Krasner hiper halkalarda bazı cebirsel yapılar
Some algebraic structures over krasner hyperrings
Yazar: MELİS BOLAT
Danışman: PROF. DR. BAYRAM ALİ ERSOY
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Altı bölümden oluşan bu tezin birinci bölümünde literatür taraması özetlenmiş, tezin amaç ve hipotezi verilmiştir. İkinci bölümde, teze temel oluşturan klasik cebirdeki halka ve modül kavramlarından bahsedilmiş ve çalışmada kullanılan Krasner hiper halka ve Krasner hiper modüllerle ilgili temel tanım ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde, değişmeli Krasner hiper halkalarda r-hiper idealler karakterize edilmiş ve örnekler verilmiştir. r-hiper ideallerin bazı temel özellikleri incelenmiştir. Asal hiper idealler ve r-hiper idealler arasındaki ilişki araştırılmıştır. Bir r-hiper idealin homomorfizma altında görüntüsünün ve ters görüntüsünün bazı şartlar altında bir r-hiper ideal olduğu gösterilmiştir. Dördüncü bölümde r-hiper ideallerin genelleştirmeleri verilmiştir. ℜ bir birimli, değişmeli Krasner hiper halka ve Id(ℜ), ℜ'nin tüm hiper ideallerini belirtmek üzere, φ : Id(ℜ) → Id(ℜ) ∪ {∅} bir fonksiyon olsun. N, ℜ'nin bir has hiper ideali iken her a,b ∈ ℜ için ann(a) = 0 ve a · b ∈ N − φ(N ) olması b ∈ N (bazı n ∈ N'ler için bn ∈ N ) olmasını gerektiriyor ise N , φ-r-hiper ideal (φ-pr-hiper ideal) olarak adlandırılır. Bu genelleştirmenin bazı özellikleri verilmiştir. Sonuç olarak, φ sıralamayı koruduğunda, ℜ'nin artan zincir koşulunu sağlayan φ-r-hiper ideallerinin birleşiminin de φ-r-hiper ideal olduğu elde edilmiştir. Ardından, r-hiper ideallerin δ genişlemesi tanımlanmış ve bu kavram φ-δ-r-hiper ideal olarak genişletilmiştir. ℜ, sıfırdan farklı birimli değişmeli bir Krasner hiper halka olsun. Hiper ideallerin δ genişlemesi göz önüne alındığında; her a, b ∈ ℜ için ann(a) = 0 ve a · b ∈ N iken b ∈ δ(N ) oluyorsa ℜ'nin N has hiper idealine δ-r-hiper ideal denir. Hiper ideal genişleme fonksiyonu δ ve hiper ideal indirgeme fonksiyonu φ verildiğinde; her a, b ∈ ℜ için eğer ann(a) = 0 ve a · b ∈ N − φ(N ) iken b ∈ δ(N) oluyorsa, ℜ'nin has hiper ideali N 'ye φ-δ-r-hiper ideal denir. Bu genelleştirmelerin karakterizasyonu yapılmış ve bazı örnekler verilmiştir. Beşinci bölümde, ℜ'nin değişmeli bir Krasner hiper halka olduğu bir ℜ-hiper modülün r-alt hiper modülü tanıtılmıştır. Her a ∈ ℜ ve m ∈ M için annM (a) = 0M ve a · m ∈ N iken m ∈ N oluyorsa, M 'nin has alt hiper modülü N bir r-alt hiper modüldür. r-alt hiper modüller hakkında çeşitli sonuçlar ve örnekler verilmiştir. Son olarak Krasner hiper modüllerin kartezyen çarpımının r-alt hiper modülleri karakterize edilmiştir. Son bölümde ise yapılan çalışmalarla ilgili sonuç ve önerilere yer verilmiştir.

Abstract:
In the first chapter of this thesis, which consists of six chapters, the literature review is summarized and the aim and hypothesis of the thesis are given. In the second chapter, ring and module notions in classical algebra, which form the basis of the thesis, are mentioned and basic definitions and theorems about Krasner hyperring and Krasner hypermodules used in the study are given. In the third chapter, r-hyperideals in commutative Krasner hyperrings are characterized and examples are given. Some basic properties of r-hyperideals are examined. Prime hyperideals and r-hyperideals are investigated in relation to one another. It has been shown that the image and inverse image of an r-hyperideal under homomorphism is an r-hyperideal under some conditions. In the fourth chapter, generalizations of r-hyperideals are given. Suppose that ℜ is a commutative Krasner hyperring with identity and φ : I d(ℜ) → I d(ℜ) ∪ {∅} is a function such that I d(ℜ) denotes all hyperideals of ℜ,. While N is a proper hyperideal of ℜ, if a · b ∈ N − φ(N ) with ann(a) = 0 implies that b ∈ N (bn ∈ N for some n ∈ N), for each a, b ∈ ℜ then N is called φ-r-hyperideal (φ-pr-hyperideal). Some properties of this generalization are given. As a result, we obtain that the union of directed collection of ascending chain φ-r-hyperideals of ℜ is also φ-r-hyperideal when φ preserves the order. Then, δ expansion of r-hyperideals is defined and this notion is extended to φ- δ-r-hyperideals. Let ℜ be a commutative Krasner hyperring with nonzero identity. Given a δ expansion of hyperideals, a proper hyperideal N of ℜ is called δ-r-hyperideal if a · b ∈ N with ann(a) = 0 implies that b ∈ δ(N ), for each a, b ∈ ℜ. Given a hyperideal expansion function δ and a hyperideal reduction function φ; a proper hyperideal N of ℜ is called φ-δ-r-hyperideal if a · b ∈ N − φ(N ) with ann(a) = 0 implies that b ∈ δ(N ), for each a, b ∈ ℜ. These generalizations are characterized and some examples are given. In the fifth chapter, r-subhypermodule of an ℜ-hypermodule where ℜ is a commutative Krasner hyperring is introduced. A proper subhypermodule N of M is said to be an r-subhypermodule if a · m ∈ N with annM (a) = 0M implies that m ∈ N for each a ∈ ℜ, m ∈ M . Various results and examples are given about r-subhypermodules. Finally, r-subhypermodules of cartesian product of Krasner hypermodules are characterized. In the last section,
conclusion and recommendations are given.