k-tridiagonal toeplıtz matrislerin permanentleri
The permanents of k-tridiagonal toeplitz matrices
Yazar: AHMET ZAHİD KÜÇÜK
Danışman: PROF. DR. MEHMET ÖZEN
Sakarya Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Cebir ve Sayılar Teorisi Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2019
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez, Toeplitz yapılı k-tridiagonal matrislerin permanentleri üzerinedir. Bu çalışma ile, aynı zamanda hem band matris hem de dairesel (circulant) matris yapısına haiz olan, k-tridiagonal Toeplitz matrislerin permanentleri için gerek rekürsif yapıda ve gerekse rekürsif olmayan yapıda formüller elde edilmeye çalışılmıştır.

Bu tez esas olarak altı bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde, permanent fonksiyonu geniş biçimde tanıtılmış, tez çalışmasında kullanılacak matris ailesi ve onunla ilişkili bazı matris yapılarından bahsedilmiştir. İkinci bölümde konu ile ilgili literatür taraması verilmiştir. 

Üçüncü bölümde, k-tridiagonal Toeplitz matrislerin (ana köşegen bandı değişkene bağlı olan ve diğer bandları da kompleks birimi barındıran) bir özel türünün permanentleri ile ortogonal polinomlar ailesinin önemli üyelerinden biri olan Chebyshev polinomları arasında tespit edilen ilişkiler sunulmuştur.

Dördüncü bölümde, genel k-tridiagonal Toeplitz matrislerin permanentleri üzerine yapılan çalışmalar neticesinde elde edilen rekürsif formüller sunulmuştur. Ayrıca, bu rekürsif formüllere dayalı oluşturulan bir algoritma da bu bölümde verilmiştir. 

Beşinci bölümde, genel k-tridiagonal Toeplitz matrislerin permanentleri için, bir önceki bölümde verilen rekürsif ilişkiler kullanılarak elde edilen kombinasyonel yapıda formüller sunulmuştur.

Altıncı bölümde, önceki bölümlerde elde edilen rekürsif sonuçlar üzerinden bazı yorumlamalar yapılmış ve tez çalışması neticesinde oluşan açık problemler vurgulanmıştır.

Tez çalışmasında yer bulan rekürsif bulgular, permanentler üzerinde Laplace açılımı (Laplace expansion) kullanılarak elde edilmiştir. Elde edilen bulguların ispatları için indüksiyon prensibi ve kombinasyonel yaklaşımlar denenmiştir.

Abstract:
This thesis is based on the permanents of k-tridiagonal matrices with Toeplitz structure. In this study, both recursive and non-recursive combinatorial formulas for permanents of k-tridiagonal Toeplitz matrices, which have structured both the circulant and the band matrix, were tried to be obtained.

This thesis mainly divided into six chapters. The first chapter covers the discussion of permanent function of the matrix family and its associated matrix structures. In the second chapter, a literature review on the subject is given. 

In the third chapter, the relationships between the permanents of a special kind of k-tridiagonal Toeplitz matrices (the main diagonal band with variable and the other bands include complex unit) and Chebyshev polynomials, which are important members of the orthogonal polynomials family, are presented. 

In the fourth chapter, the general k-tridiagonal Toeplitz matrices are studied and the recursive formulas obtained for these permanent are given. There is given also an algorithm based on these recursive formulas.

The fifth chapter presents the combinational formulas obtained by using the recursive relations given in the previous chapter for the general k-tridiagonal Toeplitz matrices.

In the last chapter, some interpretations have been made on the obtained results, and some of problems that arise out of this study are emphasized.

The recursive relations appeared in this study are obtained by applying Laplace expansion on the permanents. Both the induction principle and combinatorial approximation are tested to prove those findings.