Lineer olmayan kısmi türevli denklemlerden çok ölçekli açılım metodu ile integrallenebilen denklemlerin bulunması
Derivation of integrable equations from nonlinear partial equations by multiple scales methods
Yazar: MURAT KOPARAN
Danışman: PROF. DR. M. NACİ ÖZER
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2008
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu çalışma, lineer olmayan oluşum (evolution) denklemlerine bir bozulma (perturbation) metodu olan çok ölçekli açılım metodunun uygulanmasıyla ilgilidir.Uygulamalı matematikte lineer olmayan oluşum denklemleri, zamana göre türeve bağlı olarak yazılmış olan lineer olmayan kısmi diferensiyel denklemlerdir. Bu denklemlerin en iyi bilinenleri, bir kanalda su yüzeyindeki dalgalanmaları ifade eden Korteweg-de Vries (KdV) ve lineer olmayan optik, bio-fizik ve plazma teorisi gibi fiziğin çeşitli alanlarında ortaya çıkan lineer olmayan Schrödinger (NLS) denklemleridir. Zaman ve uzay değişkenleri bir parametreye bağlı olarak tanımlanan ve yavaş değişkenler olarak bilinen çok ölçekli açılım metodu, lineer olan kısmın çözümüne bağlı olarak verilen lineer olmayan denklemlerin çözümünü bulmamıza olanak verir.Bu tezde, lineer olmayan oluşum denklemi olan bazı dalga denklemlerine çok ölçekli açılım metodu uygulanarak, KdV denklemlerinin solitari-dalga çözümleri ve integrallenebilme şartıyla birlikte, bu dalga denklemlerinden integrallenebilen KdV tipi oluşum denklemleri elde edilmiştir. Ayrıca yüksek dereceden yavaş değişkenler içeren farklı bir açılım metodu kullanılarak, integrallenebilen lineer olmayan Schrödinger tipi denklemlerden KdV tipi oluşum denklemleri çıkarılmıştır. Son olarak, bir bozulma tekniği olan çok ölçekli açılım metodu ile KdV tipi oluşum denklemlerinden lineer olmayan Schrödinger tipi denklemlerin bulunması üzerinde durulmuştur.Çok ölçekli açılım metodundaki hesaplamalar için REDUCE cebirsel paket programı kullanılmıştır (Hearn,1995).Anahtar Kelimeler: Çok ölçekli açılım metodu, solitari-dalga çözümü, KdV denklemi,Schrödinger denklemi.

Abstract:
This research is related to the application of the multiple scales method, known as a perturbation method to nonlinear evolution equations.Nonlinear evolution equations are nonlinear partial differential equations, written according to derivative with respect to time in applied mathematics. The most well-known ones of these equations are Korteweg-de Vries (KdV) equation conveying water surface to waves from a channel and nonlinear Schrödinger (NLS) equation consisting of many physics areas such as nonlinear optics, bio-physics and plasma theory. Time and space variables which are defined according to a parameter and known as slow variables of the multiple scales method allow to find the solutions of non-linear equations, which are found according to the solution of the linear part.In this thesis, some wave equations known as nonlinear evolution equations by applying the multiple scales method were obtained integrable KdV type evolution equations that are solitary-wave solution and integrability condition. In addition, through using a different multiple scales method including higher order slow variables, KdV type evolution equations were derived from integrable nonlinear Schrdinger type equations. Finally, nonlinear Schrödinger type equations are focused on finding from KdV type evolutation equations by the multiple scale method known as a perturbation technique.For the multiple scales calculations REDUCE computer algebraic packet program is used (Hearn,1995).Keywords: The multiple scales method, solitary-wave solution, KdV equation,Schrödinger equation.