Bazı ikinci basamkatan impalsif diferansiyel denklem ve integro-diferansiyel denklemlerde kararlılık
On the impulsive stabilization of some differential and integro-differential equations of second order
Yazar: KISTAN OMAR ISMAIL
Danışman: PROF. DR. CEMİL TUNÇ
Van Yüzüncü Yıl Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez çalışmasının amacı belli formadaki lineer olmayan bazı impalsif
diferansiyel ve integro-diferansiyel denklemlerin impalsif üstel kararlılık problemlerini
ele almaktadır. Mevcut tezde iki matematiksel model ele alınmaktadır. Literatürde
mevcut bulunan bir çalışmadaki denklenmelerin daha genel modelleri ele alınmaktadır
ve söz konusu çalışmadaki sonuçlar genleştirilmektedir. Çalışmanın amaçlarına ulaşmak
için temel araç olarak iki yeni Lyapunov – Krasovskiĭ tanımlanmaktadır. Buna bağlı
olarak da sonuçların ispatlanmasında Lyapunov – Krasovskiĭ fonksiyonel metodu
uygulanmaktadır.
Bu tez çalışması altı bölümden oluşmaktadır. Tezin birinci bölümü "Giriş" başlığı
altında verilmektedir. Bu bölümde impalsif diferansiyel denklemlerin oraya çıkışı,
tarihsel gelişimi, bu denklemlerin uygulamalardaki önemi, tezde ele alınacak problemler
ve kullanılacak yöntem hakkında kısa bazı bilgiler verilmektedir.
Tezin ikinci bölümü ise "Kaynak Bildirişleri" başlığı altında düzenlenmektedir.
Tezin ikinci bölümünde, tez konusu ile ilgili literatürde yapılmış bulunan bazı bilimsel
çalışmalar ve temel kitaplar verilmektedir.
Tezin üçüncü bölümün de bu tezde kullanılacak olan materyal ve yöntem
verilmektedir.
Tezin 4.bölümünde ise impalsif diferansiyel ilgili bazı temel tanımlar, çözümlerin
varlığı ve tekliği ile ilgili bazı teoremler ve temel bilgiler verilmektedir.
Tezin beşinci bölümünde ise, ikinci basamaktan çoklu sabit gecikmeli lineer
olmayan bir impalsif diferansiyel denklem ele alınmaktadır. Bu denklemin çözümlerinin
üstel olarak kararlı olmasının sağlayan ve yeter koşullar içeren yeni bir teorem Lyapunov
– Krasovskiĭ fonksiyonel metodu yardımı ile ispatlanmaktadır.
Son olarak, tezin altıncı bölümünde ise, ikinci basamaktan çoklu sabit gecikmeli
lineer olmayan bir impalsif integro- diferansiyel denklem ele alınmaktadır. Bu denklemin
çözümlerinin üstel olarak kararlı olmasının sağlayan ve yeter koşullar içeren yeni bir
teorem Lyapunov – Krasovskiĭ fonksiyonel metodu yardımı ile ispatlanmaktadır. Bu
tezin beşinci ve altıncı bölümlerindeki sonuçları ispatlamak için iki yeni Lyapunov –
Krasovskiĭ fonksiyoneli tanımlanıp ve bu fonksiyonlar söz konusu ispatlarda temel araç
olarak kullanılmaktadır.

Anahtar kelimeler: İkinci basamak, İmpalsif diferansiyel denklem, İmpalsif
integro- diferansiyel denklem, Lyapunov – Krasovskiĭ fonksiyoneli, Üstel stabilization

Abstract:
The aim of this master thesis is to study the impulsive exponential stabilization of
some problems of specific nonlinear impulsive delay differential and impulsive delay
integro-differential equations. In the present thesis, two mathematical models such as
nonlinear impulsive delay differential and impulsive delay integro-differential equations
are considered. Here, we consider new impulsive mathematical models, which have more
general forms than that can be found in a paper of the present literature, and generalize
the results of that paper. In this thesis project, to achieve the aim of the present thesis, two
new Lyapunov-Krasovskiĭ functionals are defined as the main tools. Hence, Lyapunov –
Krasovskiĭ functional method is used to prove the new results of the thesis.
This thesis study involves six chapters. The first chapter of the present thesis is
given under the title "Introduction". In this chapter, some brief information is given with
regard to the significance of impulsive differential equations, their historical
development, the importance of impulsive differential equations in applications,
impulsive problems to be discussed in the thesis and the method to be used throughout
this thesis.
The 2. Chapter of this thesis is arranged under the title as "Literature Review". In
this chapter, some papers and basic books, which are related to the content of the thesis
and can be reached in the pertaining literature are given.
In 3. Chapter of the present thesis, the materials and methods to be utilized in this
thesis are given.
In Chapter 4 of the present thesis, some basic definitions in relation to impulsive
differential, some theorems pertaining to the existence and uniqueness of solutions and
fundamental information are presented.
In Chapter 5 of this thesis, a nonlinear impulsive differential equation including
multiple constant delays is considered. Here, a new theorem which includes sufficient
conditions for the exponentially stabilization of solutions of the considered equation is
proved by using the Lyapunov–Krasovskiĭ functional method.
Lastly, in Chapter 6 of this thesis, a nonlinear impulsive integro-differential
equation including multiple constant delays is taken under consideration. In this chapter,
a new theorem which includes sufficient conditions for the exponentially stabilization of
solutions of the considered integro-differential equation is verified by help the
Lyapunov–Krasovskiĭ functional method.
In order to achieve the proofs of the results in Chapter 5 and Chapter 6 of this
thesis, two new Lyapunov – Krasovskiĭ functionals are defined and thereby these
Lyapunov – Krasovskiĭ functionals are utilized as the main tools in the proofs of the
new results of this thesis.

Keywords: Exponential stabilization, Impulsive differential equation, Impulsive
integro-differential equation, Lyapunov – Krasovskiĭ functional, Second order