Kalınlık yönünde fonksiyonel derecelendirilmiş pallerin titreşim analizi
Vibration analysis of functionally graded rotor blades through thickness direction
Yazar: ELİF KARAHAN
Danışman: YRD. DOÇ. DR. ÖZGE ÖZDEMİR
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Uçak ve Uzay Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Uçak ve Uzay Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2019
Konu: Havacılık Mühendisliği = Aeronautical Engineering

Özet:
Endüstri ve pek çok mühendislik uygulamalarında dönen parçaların kullanım alanı oldukça geniştir. Bu parçaların tasarımı, malzeme özellikleri ve dinamik özellikleri sistemin verimliliğini etkilemektedir. Bir müzik aletinde enstrümanın doğal frekanslarına denk gelecek şekilde yapıyı titreterek rezonans özelliği kullanılmak istenirken, farklı bir çok uygulamada, yapıya vereceği geçici ya da kalıcı tahribattan dolayı rezonanstan uzak kalınmak istenir. Bu yüzden sistemin özellikleri tanımlanırken frekanslar ve mod şekilleri kullanılır.
Bu çalışmanın asıl amacı, kalınlık yönünde farklı malzeme özellikleri dağılımına sahip fonksiyonel derecelenmiş (functionally graded material, FGM) bir helikopter palinin titreşim analizi için sonlu elemanlar yöntemi ile bir bilgisayar programı geliştirerek incelemektir. Hem homojen malzeme dağılımına sahip ve hem de bir fonksiyona bağlı değişen malzeme özellikleri için farklı malzeme dağılımına sahip helikopter palinin doğal frekans değerleri üzerine etkisi gösterilmektedir.
Bu tez çalışmasını oluşturan temel bölümler giriş, kiriş teorileri, enerji denklemleri ile titreşim denkleminin modellenmesi ve sonlu elemanlar yöntemi ile formülasyonlarının oluşturulması olarak sıralanabilir.
Giriş bölümünde helikopter pallerinde titreşimi oluşturabilecek sebepler, fonksiyonel derecelendirilmiş malzemeler ve kullanım alanları, sonlu elemanlar metodu ve kiriş teorileri gibi konulara yer verilmiştir. Bu çalışmada bahsedilen fonksiyonel derecelendirilmiş malzemelerin ortaya çıkış sebepleri ve kiriş teorileri için literatürde yapılan çalışmalar hakkında bilgiler paylaşılmaktadır. Bu sayede diğer bölümlerde çalışılacak olan konular için temel alt yapı bilgileri oluşturulmaktadır.
Yapının doğal frekanslarının belirlenmesi için helikopter pali bir kiriş olarak modellenmiş ve analitik formülasyon ile sonlu elemanlar formülasyonunu üzerine çalışılmıştır. Tezde kullanılan kiriş modelleri hakkında detaylı bilgi verilmiştir. İlk olarak kayma gerilmelerinin etkisinin düşünülmediği, şekil değişimi öncesi ve sonrası kiriş kesitinin düzlemsel ve kiriş eksenine dik kaldığı Euler-Bernoulli kiriş teorisi ile helikopter pali modeli çalışılmıştır. Helikopter pali, uzama ve düzlemdışı eğilme hareketi için düzgün, homojen, izotropik bir malzeme ve düzgün, bir fonksiyona bağlı kalınlık yönünde fonksiyonel derecelendirilmiş malzeme olarak düşünülüp Euler-Bernoulli kiriş modeli oluşturulmuştur. Kısa ve kalın kirişlerde kayma gerilmelerinin etkisinin sistem üzerinde baskın özelliği vardır. Bu kayma gerilmelerini modellemek için ise Timoshenko kiriş teorisi kullanılmıştır. Timoshenko kiriş teorisinde şekil değişimi öncesi ve sonrası kiriş kesiti düzlemselliğini korurken; deformasyon sonrası kayma gerilmelerinin etkisi ile kiriş kesiti artık düzleme dik olamayacaktır. Timoshenko kiriş teorisi ile uzama, düzlemdışı eğilme ve kayma gerilmelerinin etkisinde düzgün, homojen, izotropik bir malzeme ve prizmatik, bir fonksiyona bağlı kalınlık yönünde fonksiyonel derecelendirilmiş malzeme olarak kiriş modellenmiştir. Bu kiriş teorilerinde oluşturulan modeller için potansiyel enerji ve kinetik enerji denklemleri çıkarılmıştır. Potansiyel ve kinetik enerji denklemlerini daha basit denklemler ile ifade edebilmek için alan integral formülleri kullanılmış ve mertebe analizi yapılmıştır.
Kiriş teorileri ile oluşturulan analitik modellerin çözümü için sonlu elamanlar metodu (SEM) kullanılmıştır. İlgili potansiyel enerji ve kinetik enerji ifadeleri için sonlu elemanlar yöntemi ile katılık ve kütle matrisleri elde edilmiştir. Sonlu elemanlar yöntemi ile modellenen kirişi oluşturan her bir küçük eleman için düğüm noktalarında, elde edilen denklemler için çözüm yapılarak tüm kiriş için doğal frekanslar bulunmuştur. Düğüm noktaları arasındaki bağlantı şekil fonksiyonları ile yapılmıştır. Elde edilen şekil fonksiyonları enerji denklemlerinde yerine konmuş ve her bir düğüm noktası için katılık ve kütle matrisleri bulunmuştur. Bu yönteme uygun şekilde her bir eleman için oluşturulan eleman katılık ve eleman kütle matrislerinden tüm kiriş için geçerli olacak global katılık ve global kütle matrisleri elde edilmiştir. Bu global matrislere sınır şartları uygulanarak indirgenmiş katılık ve kütle matrisleri bulunmuştur. İndirgenmiş global katılık ve global kütle matrislerine modal analiz uygulanmış ve çözümler bulunmuştur.
Serbest titreşim analizi yapılan, ankastre, kiriş modelleri için dönme hızı, Güç Yasasına göre oluşturulan kalınlık yönünde değişen malzeme fonksiyonları, sınır şartları ve kayma gerilmeleri gibi çeşitli değişkenlerin kirişin doğal frekansları üzerine etkisi incelenmiştir. Elde edilen sonuçlar literatürde bulunan örnek çalışmalar ile karşılaştırılmıştır ve literatürdeki örnekleri ile uyumlu sonuçlar verdiği gözlemlenmiştir.
Hacimsel dağılım fonksiyonuna göre oluşturulan fonksiyonel derecelendirilmiş malzemeler için değişen fonksiyonel derecelendirme katsayıları ve kirişin değişen uzunluk-kalınlık oranına göre doğal frekans grafikleri çizdirilmiştir.

Abstract:
In industry and lots of engineering applications, rotating components, turbines, helicopter blades, rotors belong to large usage area. Design, material properties and dynamic properties of these structures or components are so significant with respect to efficiency. While the resonance property which the component vibrates at its natural frequencies is desired for a musical instrument, resonance is avoided in many different applications because it can damage the structure as permanent or temporary. Helicopters have different vibration problems because they consist of many components that connect with each other and complex rotating system. Some properties like air speed, helicopter blade rotation speed, quantity, shape and material of blades have significant effect on the characteristic of vibration. Therefore, frequencies and mode shapes are used to determine dynamic properties of these structures.
The main aim of this study is to develop a computer programme code by using finite element method for vibration analyses of a functionally graded helicopter rotor blade whose material properties change in the direction of thickness. Functionally graded materials (FGMs) that are new materials are used to increase functional performance which will have desired gradient of the material properties. This variation provides continuous stress distribution in the FG structures, whereas discontinuous stress distribution appears in another type of advanced materials, i.e. laminated composites. Material properties of the beam such as elastic modulus, shear modulus, Poisson's ratio, material density which are assumed to change continuously through the thickness direction of the beam, as a function of volume fraction and properties of the materials according to a simple power law.
FGM has gained widespread application. FGMs consisting of metallic and ceramic components are well-known to improve the properties such as thermal-barrier systems. On the other hand, the other important property of functionally graded material is that it may reduce failures arising from buckling, large amplitude deflections. Structures subjected to aerothermal loads, inter-stages and recycling vehicle of missiles, supporting structures for antennas, structures subjected to severe thermal gradients in nuclear and steel industry can be the more specific examples of the use of FGM's. The mentioned structural systems involve many different structural members. Some of these structural members can be idealized as beams, whereas the others can be idealized as plates and shells. In this study, helicopter rotor blades are modeled as beams to analyze the dynamic behavior.
In the introduction part, the reasons that can cause vibration in helicopter rotor blades, functionally graded materials, their usage areas, finite element method and beam theories are mentioned. Literature research of functionally graded materials and beam theories which will be mentioned in this study are shared. In this way, basic information are obtained for the other subjects which will be studied in the following sections. 
To determine the natural frequencies of the structure, the helicopter rotor blade is modeled as a beam and the finite element formulation is studied. Detailed information about the beam models used in the thesis is given. Firstly, Euler-Bernoulli beam theory which neglects the effect of shear strains and where both the section of the beam is plane and perpendicular to beam axis before and after deformation, is studied for the rotor blade model. Helicopter rotor blade is supposed to be uniform, homogenous and isotropic in one case and functionally graded material varying along thickness in the other case. Euler-Bernoulli beam model is created for elongation and flapwise bending. 
The shear strain effect is dominant at short and thick beams contrary to Euler-Bernoulli theory. Therefore, to add the shear effects to the model, Timoshenko beam theory is used. While the beam section is plane and perpendicular to the beam axis before deformation, after deformation, the beam section is still plane but is not perpendicular to the beam axis for the Timoshenko beam model. Helicopter rotor blade is supposed to be as uniform, homogenous and isotropic in one case and uniform, functionally graded material varying along thickness in the other case. Timoshenko beam model is studied for elongation, flapwise bending and transverse shear. Potential energy and kinetic energy expressions are obtained for both Euler-Bernoulli beam theory and Timoshenko beam theory. The area integral formulations and the order analyses are used for potential and kinetic energy equations to state a simple form of equation.
Finite element method is studied to get solutions for models which are obtained with beam theories. Finite element procedures are an important part of engineering analysis and design. Finite element computer programs are now widely used in practically all branches of engineering for the analysis of structures, solids, and fluids.
In the finite element method, the stiffness matrix, mass matrix and shape functions are important terms. The idealization of the physical problem to a mathematical model requires certain assumptions that together lead to differential equations governing the mathematical model. Therefore, potential and kinetic energy equations written with respect to some assumptions to solve the mathematical model with finite element method.
For related potential and kinetic energy equations, the stiffness and mass matrices are derived with finite element method. The natural frequencies are found by making a solution for the obtained equations of the whole beam that is formed from small elements by using finite element method. Thanks to finite element formulation, the relationship between the element displacements at any point and the element nodal point displacements are obtained through the use of shape functions which means like interpolation functions. Therefore, the relation among each node on the beam is provided with shape functions. These shape functions are replaced in the energy equations and stiffness and mass matrices were found for each node. In accordance with this method, the element stiffness and element mass matrices are created for each element and the global stiffness and global mass matrices which will be applicable for the entire beam are obtained from the element mass and stiffness matrices. Reduced global mass and stiffness matrices are obtained with applying boundary conditions. The solutions are found with modal analyses to solve the matrix equations and the results that are obtained by solving these matrix equations of motion.
The effects of various parameters such as rotational speed, functionally graded material varying in the direction of thickness formed according to power law exponent form, boundary conditions and shear stresses are investigated on natural frequencies of beam. It is observed that transverse shear significantly affects the fundamental frequency for lower length to thickness ratios of functionally graded beams.
The results are compared in the open literature and it is observed that the results are consistent with the examples in the literature. Natural frequency graphs are drawn according to the changing power law index parameter and the slenderness ratio for the functionally graded materials.