Hiperyüzeylerin diferansiyel invaryantları ve 3-boyutlu rasyonel cebirsel eğrilerin projektif denkliklerinin ve simetrilerinin saptanması üzerine diferansiyel bir yaklaşım: Algoritmalar ve implementasyon
Differential invariants of hypersurfaces and a differentialapproach to detect projective equivalences and symmetries of3−dimensional rational algebraic curves: Algorithms andimplementation
Yazar: UĞUR GÖZÜTOK
Danışman: PROF. DR. YASEMİN SAĞIROĞLU
Karadeniz Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Bilgisayar destekli hesaplama = Computer aided calculation ; Cebirsel geometri = Algebraic geometry ; Diferensiyel geometri = Differential geometry ; Sayısal geometri = Computational geometry ; Yansıma geometrisi = Projective geometry

Özet:
Bu tez çalışmasında, iki önemli denklik problemi ele alınmıştır. Birinci problem parametrik hiperyüzeylerin Öklid denkliği iken, ikinci problem üç boyutlu rasyonel cebirsel eğrilerin projektif denklik ve simetrilerinin tespitidir. Bu problemler için invaryant teorinin etkin kullanımı ile çözüm üretilmesi amaçlanmıştır. Birinci problemin çözümü için hiperyüzeylerin Öklid grubuna göre diferansiyel invaryantları tespit edilmiş ve bu invaryantların tam sistemi elde edilmiştir. Yine benzer sonuçlar özel Öklid grubu için de araştırılmıştır. Buradaki sonuçlar sayesinde tezin diğer probleminin çözümü için gerekli bakış açısı oluşturulmuştur. İkinci problem için rasyonel eğri parametrizasyonları projektif uzayda ele alınmış olup, bu sayede rasyonel fonksiyonların kullanımından kaçınılıp, bunun yerine tüm girdileri polinomlardan oluşan temsillerle çalışılmıştır. İndirgenmiş formdaki rasyonel eğrilerin uygun parametrizasyonlarının, bilineer yeniden parametrelenişlere göre tek türlü bir temsil olduğu bilinmektedir. Bu bilginin üzerine inşa edilmiş ve projektif diferansiyel invaryantları merkezine alan bir yöntem oluşturulmuş, bu yöntem bir algoritma haline getirilip, Maple bilgisayar cebir sistemi kullanılarak geniş kapsamlı testlerle algoritmanın performansı incelenmiştir.

Abstract:
In this thesis, two important equivalence problems are discussed. While the first problem is the Euclidean equivalence of parametric hypersurfaces, the second problem is the detection of the projective equivalences and symmetries of three-dimensional rational algebraic curves. It is aimed to produce solutions for these problems with the effective use of invariant theory. For the solution of the first problem, differential invariants of the hypersurfaces according to the Euclidean group are determined and the complete system of these invariants is obtained. Again, similar results are also investigated for the special Euclidean group. Thanks to the results obtained here, the necessary perspective for the solution of the other problem of the thesis is formed. For the second problem, the rational curve parametrizations are considered in the projective space, thus we avoid the use of rational functions, instead, we study with representations whose inputs are all polynomials. It is known that proper parametrizations of rational curves in reduced form are a uniform representation with respect to bilinear reparametrizations. A method based on projective differential invariants is constructed based on this knowledge. This method is turned into an algorithm and the performance of the algorithm is examined by extensive tests using the Maple computer algebra system.