Normal dağılımda varyansların homojenliği için Wald istatistiğine dayalı Monte Carlo testi
Monte Carlo test based on Wald statistics for the homogeneity of variances under normal distribution
Yazar: MELDA ADA
Danışman: PROF. DR. FİKRİ GÖKPINAR
Gazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / İstatistik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2022
Konu: İstatistik = Statistics
Dizin: Homojenlik = Homogenity ; Monte Carlo Yöntemi = Monte Carlo Method ; Varyans = Variance

Özet:
Varyansların eşitliği olarak da adlandırılan varyansların homojenliği problemi, istatistiksel analiz yöntemlerinin birçoğu (regresyon analizi, varyans analizi, diskriminant analizi, zaman dizileri analizi vb.) ve çok sayıdaki bilimsel uygulama alanları için temel varsayımlardan biridir. Normal dağılıma sahip k tane yığından 𝑛! (i=1, 2, ..., k) çaplı örnekler alındığında, bu örneklerin yığın varyanslarının eşitliğinin test edilmesi için literatürde çok sayıda test istatistiği bulunmaktadır. Varyansların homojenliği için geliştirilen bu testlerden ilki ve en önemlilerinden birisi olan olabilirlik oran istatistiğine dayalı Bartlett (1937) testidir. Ancak Bartlett test istatistiğinin normal dağılım varsayımının sağlanmadığı ve/ veya örnek çapının küçük olduğu durumlarda I. tip hata oranının oldukça büyük çıktığı (Box, 1953) ve güç değerlerinin düştüğü (Zar, 1999) yapılan çalışmalar ile gösterilmiştir. Bu eksikliğin giderilmesi için zamanla Bartlett istatistiğine alternatif olarak çok sayıda test geliştirilmiştir. Bunlardan en önemlileri Levene (1960), Bhandary ve Dai (2008), genelleştirilmiş p-değeri testi (Tsui & Weerahandi, 1989) ve Hartley'in F-max (1950) testidir. Bu çalışmada, varyansların homojenliği testi için literatürde bulunan bu testler tanıtılmış ve bu testlere alternatif olarak Wald istatistiğine dayalı yeni bir Monte Carlo yöntemi verilmiştir. Elde edilen bu yöntem ve diğer yöntemler Monte Carlo simülasyon yöntemiyle farklı örnek çapları, farklı yığın varyansları ve farklı grup sayıları üzerinde çalışılarak, I. tip hata oranları ve testin gücü bakımından üstünlükleri karşılaştırılarak, hangi durumlarda iyi oldukları ortaya konularak elde edilen bulgular yorumlanmıştır. Simülasyon sonuçlarına göre grup sayısının her durumu için Monte Carlo yöntemine dayalı Wald istatistiği farklı örnek çaplarının olduğu durumlarda en iyi yöntemler arasında bulunurken, örnek çaplarının eşit olduğu durumlarda daha düşük güç değerlerine sahip olduğu, eşit ve daha büyük örnek çapları için Bartlett testini kullanmanın daha uygun olacağı sonucuna ulaşılmıştır.

Abstract:
The problem of homogeneity of variances, also called the equality of variances, is one of the basic assumptions for many statistical analysis methods (regression analysis, analysis of variance, discriminant analysis, time series analysis, etc.) and many scientific applications. When samples with 𝑛! (i=1, 2, ..., k) size are taken from k populations with normal distribution, there are many test statistics in the literature to test the equality of the population variances of these samples. The first and one of the most important of these tests developed for the homogeneity of variances is Bartlett's (1937) statistic based on the likelihood ratio statistic. However, studies have shown that in cases where the Bartlett test statistic is not provided with the assumption of normal distribution and/ or the sample size is small, the type I error value is quite large (Box, 1953) and the power values decrease (Zar, 1999). In order to eliminate this deficiency, many tests have been developed as an alternative to the Bartlett statistic over time. The most important of these are Levene (1960), Bhandary and Dai (2008), generalized p- value test (Tsui & Weerahandi, 1989) and Hartley's F-max test (1950). In this study, these tests in the literature were introduced for the test of homogeneity of variances and a new Monte Carlo method based on Wald statistic was given as an alternative to these tests. This method and other methods were studied with the Monte Carlo simulation method on different sample sizes, different population variances and different group sizes, and their superiority in terms of type I error rates and the power of the test were compared, and the results obtained were interpreted by revealing in which situations they were good. According to the simulation results, the conclusion of that Wald statistics based on the Monte Carlo method for each case of the number of groups is among the best methods in cases where there are different sample sizes while it has lower power values in case equal sample sizes and it will be more appropriate to use the Bartlett test for equal and larger sample sizes has been reached.