Belirsizlik içeren sınırlı lineer operatörlerin spektral özellikleri
Spectral properties of linear bounded operators containing uncertainty
Yazar: OĞUZ YALÇINTUĞ
Danışman: PROF. DR. VAKIF CAFER
Eskişehir Teknik Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Analiz ve Fonksiyonlar Teorisi Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Operatörler = Operators ; Rezolvent = Resolvent ; Spektrum = Spectrum ; Özdeğerler = Eigenvalues

Özet:
Bu tez çalışmasında kompleks Banach uzaylarında tanımlı lineer operatörlerin ve operatörler ailesinin spektrum ve rezolvent kümeleri incelenmektedir. Bu çeşit problemler, birçok uygulamada karşılaşılan cebirsel denklem sistemleri, diferansiyel denklemler, integral denklemlerin çözümleri için önemlidir.
Tez çalışması, Giriş kısmı, dokuz bölüm ve Kaynaklar bölümünden oluşmaktadır. İkinci ve Üçüncü Bölümlerde lineer operatörlerin tersinir olması, sınırlı lineer operatörlerin görüntü kümelerinin kapalı olması koşulları araştırılmış, Açık Dönüşüm ve Sınırlı Ters Dönüşüm Teoremleri ifade edilmiştir. Dördüncü Bölüm kompleks Hilbert uzayında tanımlı özeşlenik, üniter ve normal operatörlerin özellikleri ifade edilmiştir. Beşinci, Altıncı ve Yedinci Bölümlerde sonlu boyutlu ve sonsuz boyutlu Banach ve Hilbert uzaylarında tanımlı sınırlı lineer operatörlerin spektrumunun özellikleri ifade edilmiştir. Burada, operatörün resolvent kümesiyle birebirlik ve örtenliği arasında bağlantılar incelenmiştir. Sekizinci Bölüm sonlu boyutlu uzaylarda tanımlı parametrik operatörlerin spektrumunun konumu ele alınmıştır. Dokuzuncu Bölüm Hilbert uzayında tanımlı afin ailenin spektrumu incelenmiş, spektrum kümesinin boş veya tüm kompleks düzleme eşit olma koşulu verilmiştir. Onuncu Bölümde uygulamalarda sık sık karşılaşılan bir kuadratik ailenin spektrumu ele alınmış, bu spektrumun kapalı üst yarı, açık üst yarı düzlem, sanal eksen üzerinde olması durumları ele alınmış, özdeğerlerin basit veya yarı basit olması koşulları verilmiştir.

Abstract:
In this thesis the srectrum and the resolvent sets of linear operators and operator penscils defined on a complex Banach space are considered. Such problems arise in the solutions of systems of linear equations, differential equations, integral equations which are important in applications.
The thesis consists of the Introduction, nine paragraphs and the Reference list. In the second and third paragraphs invertible linear operators, bounded operators with closed ranges are defined, the Open Mapping Theorem and the Bounded Inverse Theorem ate formulated. The fourth paragraph contains the properties of self-adjoint, unitary and normal operators defined in a complex Hilbert space. In the fivth -seventh paragraphs the propersies of the spectrum and resolvent sets of bounded linear operators defined on finite and infinite dimensional Banach spaces. Here some connections between the resolvent set and the one-to-one, onto properties are established. The eighth paragraph contains the properties of the spectrum of a parametric operators defined on a finite dimensional normed space. In the nineth paragraph for an affine family of linear operators defined on a complex Hilbert space the conditions under which the spectrum is empty or is whole complex plane are considered. In the last paragraph one class of quadratic opertor pencil which is important in applications is considered. The conditions under which the spectrum is contained in the upper open, upper closed half planes, on the imajinary axis are given.