İkinci mertebeden doğrusal olmayan dinamik sistemlerin RLC devre sistemleri ile kalitatif analizi
Qualitative analysis of second-order nonlinear dynamical systems with RLC circuit systems
Yazar: MUHAMMET ATEŞ
Danışman: DOÇ. DR. MEHMET RECEP MİNAZ
Siirt Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Elektrik-Elektronik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2022
Konu: Elektrik ve Elektronik Mühendisliği = Electrical and Electronics Engineering ; Enerji = Energy
Dizin: Diferensiyel denklemler = Differential equations ; Dinamik sistemler = Dynamical systems ; Lyapunov Kararlılık Teorisi = Lyapunov Stability Theory ; Pasiflik = Passivity

Özet:
Bu tez çalışmasında, ikinci mertebeden doğrusal olmayan ve zamanla değişen bazı dinamik sistemlerin Lyapunov kararlılığı ve pasiflik problemleri ele alınmıştır. Bu çalışma başlıca devre teorisi yaklaşımına ve Lyapunov'un direk metoduna dayanmaktadır. RLC devre elemanlıyla yapılabilecek ya da ifade edilebilecek bazı ikinci mertebeden sistemlere fiziksel anlam yükleyerek karalılık ve pasiflik analizini geliştirmektir. Yani,  RLC devre elemanları kullanılarak elektriksel devre modellerini oluşturmak ve daha sonra Lyapunov 'un doğrudan yöntemiyle sistemlerin niteliksel davranışlarını belirlemektir. Lyapunov 'un doğrudan yönteminin, doğrusal olmayan sistemlerin kararlılık analizi için yeri doldurulamaz olduğu literatürde kanıtlanmıştır. Doğrusal olmayan sistemler için aday Lyapunov veya enerji fonksiyonun inşası için kesin bir yöntem ve algoritma olmadığından Lyapunov fonksiyonun inşası zordur. Yani bir sistem için pozitif tanımlı ve türevinin negatif olacak şekilde bir Lyapunov fonksiyonu bulunmayabilir. Modellenen elektrik devresinde güç-enerji ilişkisi kullanılarak Lyapunov fonksiyonu inşası yapılmıştır. RLC Devreleri enerji tüketen sistemlerdir ve devre teorisinin güç-enerji ilişkisine dayanan bu tür devrelerin enerji depolama (aday Lyapunov) fonksiyonlarının inşası, seçilen aday Lyapunov fonksiyonlarından daha uygulanabilir ve aynı zamanda somut olduğunu örneklerle gösterilmiştir. Verilen bir sistemi elektriksel devre olarak ele almak avantaj sağlar çünkü sistemin enerjisi ve türevi sistemin dinamik davranışını belirler. Modellenen elektriksel devre modellinde ikinci mertebeden üç adet doğrusal olmayan eleman içerebilir ve bu da literatürdeki söz konusu olan ikinci mertebeden diferansiyel denklemleri genelleştirebilir. Ayrıca devre teorisi yaklaşımı kullanılarak, literatürde iyi bilinen ikinci mertebeden bazı diferansiyel denklemlerin Lyapunov kararlılıklarını hem geliştirmiş hem de birleştirilmiştir.
Ele alınan her sistemin devre teorisi yaklaşımıyla Lyapunov veya enerji fonksiyonunu inşası için güç-enerji ilişkisini kullanılmıştır ayrıca Lyapunov fonksiyonun yönlü türevi sistemde tüketilen gücün negatif değerini vermektedir. Bu iki tekniğe literatürde seyrek olarak rastlanılmaktadır. Böylece önerilen yaklaşım ilgili Lyapunov fonksiyonlarının türevini basitleştirir. Lyapunov fonksiyonun inşasını sistemin fiziksek anlamı bakımından belirlemek için önerilen bu yaklaşım mevcut sonuçları birleştirebilir.

Abstract:
In this thesis, Lyapunov stability and passivity problems of some second-order nonlinear and time-varying dynamical systems are discussed. This study is mainly based on the circuit theory approach and Lyapunov's direct method. It is to develop stability and passivity analysis by attributing physical meaning to some second-order systems that can be made or expressed with RLC circuit elements. That is, to create electrical circuit models using RLC circuit elements and then determine the qualitative behavior of the systems with Lyapunov's direct method. It has been proven in the literature that Lyapunov's direct method is irreplaceable for the stability analysis of nonlinear systems. For nonlinear systems, the construction of the Lyapunov function is difficult because there is no precise method and algorithm for constructing the candidate Lyapunov or energy function. That is, there may not be a Lyapunov function for a system with positive definiteness and negative derivative. The Lyapunov function is constructed by using the power-energy relationship in the modeled electrical circuit. RLC Circuits are energy-consuming systems and it has been shown by examples that the construction of energy storage (candidate Lyapunov) functions of such circuits based on the power-energy relationship of circuit theory is more applicable and concrete than the selected candidate Lyapunov functions. It is advantageous to treat a given system as an electrical circuit, because the energy and derivative of the system determine the dynamic behavior of the system. The modeled electrical circuit model may contain three nonlinear elements, which can generalize the second-order differential equations in the literature. In addition, using the circuit theory approach, Lyapunov stabilities of some well-known second-order differential equations in the literature are both developed and combined.
The power-energy relationship is used to construct the Lyapunov or energy function with the circuit theory approach of each system considered, and the directional derivative of the Lyapunov function gives the negative value of the power consumed in the system. These two techniques are rarely encountered in the literature. Thus, the proposed approach simplifies the derivative of the respective Lyapunov functions. The proposed approach to determine the construction of the Lyapunov function in terms of the physical meaning of the system can combine the present results.