4-boyutlu uzayda yönlü regle hiperyüzeyler
Directional ruled hypersurfaces in 4-dimensional space
Yazar: ÜMMÜGÜLSÜM KARAÇALIK AKKUŞ
Danışman: PROF. DR. CUMALİ EKİCİ
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Ana Bilim Dalı / Geometri Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Diferensiyel geometri = Differential geometry ; Öklidyen geometrisi = Euclidean geometry

Özet:
Bu tezin amacı 4-boyutlu Öklid uzayında quasi-çatı kullanılarak quasi-vektörleri
tarafından oluşturulan regle hiperyüzeyi incelemektir.
Çalışmamız 5 bölümden oluşmaktadır. İlk iki bölüm olan Giriş ve Literatür
Araştırması bölümlerinde; eğriler, yüzeyler ve regle hiperyüzeyler ile Frenet ve q-çatı
üzerine yapılan tarihsel çalışmalardan bahsedilmiştir. Üçüncü bölümde, diferensiyel
geometride eğriler bir temel taştır, diğer temel taş ise yüzeylerdir. Eğri ve yüzey kavramının
birlikte kullanıldığı yapılardan birisi ise regle yüzeylerdir. 2-boyutlu regle yüzeyler bir
doğrunun bir eğri boyunca hareket ettirilmesiyle meydana gelen yüzeylerdir. Bir
ortonormal baz ile gerilen 2-boyutlu alt uzay olan doğrultman uzayı verildiğinde 4-boyutlu
uzayda birim hızlı olan bir eğri ile bu 2-boyutlu doğrultman uzayının eğri boyunca
oluşturduğu 3-boyutlu yüzey, regle hiperyüzey olarak adlandırılır. 4-boyutlu Öklid
uzayında Frenet çatılı bir eğrinin Frenet vektörleri, Frenet türev denklemleri ve eğrinin κ, τ
ve η eğrilikleri tanıtılmıştır. Ardından hiperyüzeylerin diferensiyel geometrik özelliklerini
incelemek için gerekli olan kavramlara yer verilmiştir.
Dördüncü ve beşinci bölümde, ilk olarak Frenet vektörlerinden birim olan T teğet ve
N normal vektörlerinin gerdiği regle hiperyüzey ile B1 ve B2 birinci ve ikinci binormalin
gerdiği düzlemler tarafından oluşturulan özel regle hiperyüzeylerin parametrik ifadesi
verilmiştir. Bu regle hiperyüzeyin diferensiyel geometrik hesapları elde edilmiştir. Bunlara
ek olarak, 4-boyutlu Öklid uzayında doğrultman vektörü yerine sırasıyla T ve Nq olarak
gösterilen birim teğet ve birim quasi-normal vektörleri ile üretilen 2-boyutlu yönlü regle
hiperyüzeylerin parametrik ifadeleri ve geometrik özellikleri verilmiştir. Üstelik uygun bir
uzay eğrisi için Frenet çatılı ve quasi-çatılı regle hiperyüzeyin bir parametrizasyonu ve
onun geometrik özelliklerinin hesaplanmasıyla ilgili örnekler sunulmuştur. Ayrıca,
4-boyutlu uzayda verilen örneklerin anlaşılmasını kolaylaştırmak için bu regle hiperyüzeyin
şekilleri 3-boyutlu izdüşüm uzaylarında grafiklendirilmiştir.

Anahtar Kelimeler: Quasi-çatı, regle hiperyüzey, şekil operatörü, eğrilikler

Abstract:
This thesis aims to investigate ruled surfaces generated by quasi-vectors in
4-dimensional Euclidean space using a quasi-frame.
Our study consists of 5 chapters. In the first two chapters, Introduction and
Literature Survey, historical works on curves, surfaces, ruled surfaces, Frenet, and q-frames
are mentioned. In the third chapter, in differential geometry, curves are the keystone and
surfaces are the other keystone. One of the structures where the concepts of curve and
surface are used together is ruled surfaces. 2-dimensional ruled surfaces are surfaces formed
by moving a line along a curve. In particular, in 4-dimensional space, given a directrix
space that is a 2-dimensional subspace spanned by an orthonormal basis, a 3-dimensional
surface along the curve formed by a unit speed curve and the 2-dimensional directrix space,
is called a ruled hypersurface. In this study, Frenet vectors, Frenet differential equations,
and the curvatures κ, τ and η of the curve with Frenet frame in 4-dimensional Euclidean
space are first introduced. Then necessary concepts to study the differential geometric
properties of hypersurfaces are given.
In the fourth and fifth chapter, firstly, the parametric expression of the special ruled
hypersurfaces formed by the ruled hypersurface stretched by the tangent vector T and normal
vector N, which are units of Frenet vectors, and the planes stretched by binormals B1 and B2
vectors are given. Differential geometric calculations of this ruled hypersurface are obtained.
In addition, parametric expressions and geometric properties of 2-dimensional directional
ruled hypersurfaces generated by unit tangent and unit quasi-normal vectors denoted as T and
Nq, respectively, instead of the rectifier vector in 4-dimensional Euclidean space are given.
Moreover, for a suitable space curve, a parametrization of the Frenet frame and quasi-frame
ruled hypersurface and examples of the calculation of its geometric properties are presented.
Furthermore, to facilitate comprehension of the example in 4-dimensional space, the shapes
of this ruled hypersurface have been graphed in 3-dimensional projection spaces.

Key Words: Quasi-frame, ruled hypersurface, shape operator, curvatures