Genişletilmiş modüler grubun bazı alt gruplarının simgeleri ve graf bağlantıları
Signatures and graph connections of some subgroups of extended modular group
Yazar: AZİZ BÜYÜKKARAGÖZ
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ ERDAL ÜNLÜYOL ; PROF. DR. İLKER ERYILMAZ
Ordu Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2019
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezde, bazı NEC gruplarının simgeleri, temel bölgeleri, grafları ve özellikleri incelenmiştir. Birinci bölümde Ayrık Gruplar Teorisi' nin
tarihsel süreci ve literatür özeti verilmiştir. İkinci bölümde topolojik gruplar, Sayılar Teorisi, Möbius dönüşümleri, hiperbolik geometri, yüzeyler, temel bölgeler ve simgeler hakkında genel bilgiler ifade edilmiştir. Özellikle $\Gamma$ modüler grubu ve $\hat{\Gamma}$ genişletilmiş modüler grubu ayrıntılı bir şekilde çalışılmıştır. Ayrıca imprimitif hareket ve Graf Teori unsurları tanıtılmıştır. Üçüncü bölümde yapılan çalışmalar ise tezin özgün kısmını oluşturmaktadır. Burada $\Gamma(N), \Gamma_{\theta}$ ve $\Gamma_0(N)$ kongrüans alt grupları araştırılmıştır. $\Gamma$ nın $\Gamma_{0,n}(N)$ ve $\Lambda_n(N)$ alt gruplarının özellikleri verilmiştir. $\Lambda_n(N)$ nin $\Gamma_0(N)$ deki indeksi elde edilmiştir. Yine $\Lambda_n(N)$ nin $\hat{\mathbb{Q}}_n(N)$ deki $F_{u,n,N}$ alt yörüngesel graflarında uygulamalar yapılmış ve önemli sonuçlara ulaşılmıştır. Ayrıca $\hat{\Gamma}_{0,n}(N)$ nin $\hat{\mathbb{Q}}(N)$ deki $F_{u,N}^*$ alt yörüngesel grafında kenar koşulları ve orman olma durumları incelenmiştir. Bazı $\hat{\Gamma}_{0,n}(N)$ nin simgesindeki sınır bileşenlerinin bir takım sonuçları ve son olarak özel $\Gamma_F(N)$ Fricke gruplarının sınır bileşenleri elde edilmiştir. Dördüncü bölümde ise çalışılan konunun sonuçları ortaya konularak öneriler sunulmuştur.

Abstract:
In this thesis, the signature of some Non-Euclidean Crystallographic, NEC group for short, fundamental domains and suborbital graphs and their properties are investigated. In Chapter $1$, Discrete groups and historical background in the literature are given. In Chapter $2$, Topological Groups, Numbers Theory, Mobius transformations, hyperbolic geometry, surfaces, fundamental domains and signature of discrete groups, in general, are expressed. Especially the modular group $\Gamma$ and its extension $\hat{\Gamma}$ by the reflection $z\rightarrow -\bar{z}$, imprimitive action of a group, and graph theory are studied in detail. In Chapter $3$, which is the original part of the thesis, main calculations on the groups $\Gamma(N), \Gamma_{\theta}$ and $\Gamma_0(N)$ are discussed. The two subgroups $\Gamma_{0,n}(N)$ and $\Lambda_n(N)$ of the modular group $\Gamma$ are defined and their indexes in related groups are obtained. The suborbital graphs $F_{u,n,N}$ of the $\Lambda_n(N)$ on the set $\hat{\mathbb{Q}}_n(N)$ are investigated and some important results, the edge condition and being forest of the suborbital graph $F_{u,N}^*$ of the $\hat{\Gamma}_{0,n}(N)$ on $\hat{\mathbb{Q}}(N)$ are given. And, some results of boundary components in the signature of some $\hat{\Gamma}_{0,n}(N)$ and furthermore, boundary components of very special Fricke groups $\Gamma_F(N)$ are obtained. In Chapter $4$, conclusions of the thesis and some suggestions to the readers are expressed.