İki bariyerli yarı-Markov rasgele yürüyüş süreçlerinin asimptotik yöntemlerle incelenmesi üzerine
On the asymptotic behaviour of the semi-Markovian random walk with two barriers
Yazar: ZAFER KÜÇÜK
Danışman: DOÇ.DR. TAHİR KHANİYEV
Karadeniz Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2003
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
ÖZET İki bariyerli rasgele yürüyüş süreçleri ile ilgili literatürde pek çok çalışma bulunmaktadır. Bu bariyerler yansıtan, tutan, yutan, v.b. gibi özelliklere sahip bariyerlerdir ve bu çalışmalarda elde edilen sonuçlar oldukça teorik olup uygulama için kullanışlı değildir. Ele alman model için ise bir çok asimptotik sonuçlar elde edilebilir ki, bu sonuçlar fizikçiler veya mühendisler için büyük önem taşımaktadır. Yapılan bu çalışmada, 0 ve p, P > 0 seviyelerinde iki bariyer bulunan yarı-Markov rasgele yürüyüş süreci X(t) ve bu sürecin önemli bir sınır fonksiyoneli olan, sürecin ilk kez bariy erlere ulaşma anı t, matematiksel olarak kurulmuş, t, rasgele değişkeninin momentleri için açık formüller verilmiştir. X(t) sürecinin ve toplamsal fonksiyoneli olan Jf(t)'nin dağılım fonksiyonları bir {T"} yemleme süreci ve {Sn} rasgele yürüyüş sürecinin bilinen olasılık karakteristikleri yardımıyla ifade edilmiştir. En genel şartlar altında süreç için ergodik teorem ispatlanmış ve sürecin ergodik dağılım fonksiyonu {Tn } ve {Sn } süreçlerinin olasılık karakteristikleri yardımıyla ifade edilmiştir. Sürecin ergodik dağılımının karakteristik fonksiyonu N ve SN sınır fonksiyonelleri yardımı ile ifade edilerek birinci ve ikinci momenti için kesin ifadeler elde edilmiştir. t|, başlangıç rasgele değişkeni X > 0 parametreli iki taraflı üstel dağılma sahip olduğu durumda süreç ayrıntılarıyla incelenmiştir. Ayrıca süreç için zayıf yakınsama teoremi verilmiş ve son olarak, simülasyon yöntemlerini de kullanarak r), rasgele değişkeni normal dağılıma sahip olduğunda sürecin sınır fonksiyonelleri N, SN için ve sürecin ergodik dağılımının ilk 4 momenti için iki terimli asimptotik açılımlar elde edilmiştir. Anahtar Kelimeler: Stokastik süreç, Rasgele yürüyüş süreci, Yenileme süreci, Ödüllü yenileme süreci, Wald özdeşliği, Spitzer özdeşliği, Basamak değişkenleri, Wiener-Hopf faktorizasyonu, Zayıf yakınsama, Asimptotik açılım.

Abstract:
SUMMARY On The Asimptotic Behaviour of The Semi-Markovian Random Walk With Two Barriers Many studies exist about random walk processes with two barriers in literature. These barriers have some properties like reflecting, delaying, absorbing etc. And these results which were found by those studies are theoretical and are not applicable for practice. Many asymptotic results that are very important for engineers and physicists can be found in our observing model. In this study, semi-Markovian random walk process X(t) with two barriers at 0 and P(>0), and the moment T, that process reaches the barriers, which is an important boundary functional for this process, are constructed mathematically and exact formulas are given for moments of random variable T,. Distribution function of X(t) process and its additive functional Jf (t) are explained by means of known probability characteristics of a {Tn} renewal process and {Sn} random walk process. Ergodic theorem is proved in very general conditions and ergodic distribution function of the process is obtained by probability characteristics of {Tn } and {Sn} process. Characteristic function of the ergodic distribution of the process is explained by N and SN boundary functional and exact expressions are found for its first and second moment. In case rj, random variable has two sided exponential distribution with A. > 0 parameter, the process is examined in detail. Weakly convergence theorem is also given for the process. Finally, two-termed asymptotic expansion is obtained for first-four moments of boundary functional N and SN, and ergodic distribution of the process in the case where rj, random variable has normal distribution by using simulation methods. Key Words: Stochastic process, Random walk process, Renewal process, Reward renewal process, Wald identity, Spitzer identity, Ladder variable, Wiener-Hopf. factorization, Weak convergence, Asymptotic expansion. VI