Tabakalı bazı ortamlarda nonlineer dalga yayılması probleminin asimptotik analiz
Asymptotic analysis of nonlinear waves in certain layered media
Yazar: EKİN DELİKTAŞ
Danışman: PROF. DR. MEVLÜT TEYMÜR
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2018
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Elastik malzemeden meydana gelen çubuk, plak ve birbirinden farklı malzemelerden oluşan tabakalı yarım uzay gibi genel olarak dalga kılavuzu olarak adlandırılan ortamlarda yayılan dalgalar, sınır yüzeylerinde oluşan yansımaların etkisiyle dispersif olurlar, yani faz hızları dalga sayısına bağlı olarak değişir. Bir tabakalı yarım uzayda yatay polarize olmuş yüzey kayma (SH)  dalgaları, tabakanın kayma hızının yarım uzayınkinden daha yavaş olması durumunda, yavaş tabakanın sınır yüzeyleri arasındaki çoklu yansımalardan dolayı  dispersiftir. Bu dalgalar ilk olarak, sismogramlar tarafından kaydedilen yüzey dalgası katarlarında büyük enine yer değiştirme bileşenlerine sahip dispersif dalgaları inceleyen Love tarafından keşfedilmiştir ve literatürde Love dalgası olarak adlandırılmaktadır. Stoneley ve Tillotson 1928 yılında, tek tabakalı yarım uzayda Love dalgaları teorisini iki tabakalı yarım uzay modeli için genişletmiş ve 1950 yılında Stoneley, düşük hızlı ara tabakanın lineer Love dalga yayılımı üzerindeki etkisini incelemiştir. Stoneley'in bu çalışmasının ışığında, farklı mekanik özelliklere sahip lineer iki tabakayla kaplı bir yarım uzayda SH (Love) dalga yayılımı ve yavaş tabakanın  dalga yayılımına etkisi  bir çok araştırmacı tarafından incelenmiştir. Bu çalışmalar, inşaat mühendisliği, sismoloji, malzemelerin hasarsız muayenesi, elektronik sinyal işlem cihazları teknolojisi ve depremlerden kaynaklı hasar tahmini gibi çalışma alanlarında önemli rol oynamaktadır. Yeryüzünün kıtasal kısımlarında yayılan yatay polarize olmuş yüzey elastik kayma dalgaları ile ilgili çalışmalar, yüzeyde saklı petrol, yağ, gaz, mineral gibi doğal kaynakların keşfi için yeryüzünün tabakalı yapısı hakkında önemli bilgiler vermesi açısından da önemlidir.

Bu tez çalışmasında ilk olarak, lineer olmayan, homojen, birbirinden farklı hiperelastik malzemelerden oluşan, sabit kalınlıklı  iki tabakayla kaplı hiperelastik bir yarım uzayda lineer olmayan yüzey SH dalga yayılımı problemi incelenmiştir. Lineer durumda problem, Stoneley'in 1950'de incelediği probleme karşılık gelmektedir. Ara tabakanın lineer kayma hızının, üst tabaka ve yarım uzayın lineer kayma hızlarından küçük olduğu kabul edilerek, yavaş ara tabakanın lineer olmayan özelliklerinin SH dalga yayılımına etkisi araştırılmıştır. Ayrıca tek tabakalı ve iki tabakalı yarım uzay modellerinde lineer olmayan yüzey SH dalga yayılımını karakterize eden çözümler karşılaştırılarak, ikinci bir tabakanın varlığının dalga yayılımı üzerindeki etkileri ortaya çıkarılmıştır. Bu çalışmada incelenen ikinci problemde, lineer olmayan, elastik, homojen fakat değişken sınır yüzeylere sahip bir tabakayla kaplı yarım uzayda lineer olmayan yüzey SH dalgalarının yayılımı incelenmiştir. Tabakanın sınır yüzeylerinin, dalganın yayılma doğrultusunda değiştiği kabul edilerek, ortamı oluşturan malzemelerin lineer olmayan özelliklerinin yanı sıra, pürüzlü sınır yüzeylerin de lineer olmayan SH dalga yayılımına etkileri incelenmiştir.

Bu tez çalışması dört bölümden oluşmaktadır. Tezin birinci bölümünde, çalışılan problemlerin amacı ve kapsamından bahsedilmiş, konuyla ilgili literatür özetine yer verilmiştir.

İkinci bölümde, lineer olmayan, sabit kalınlıklı, birbirinden farklı hiperelastik malzemelerden oluşan iki  tabakayla kaplı hiperelastik bir yarım uzayın yüzeyi üzerinde yatay polarize olmuş harmonik bir  yüzey kayma  dalgasının yavaş modülasyonu incelenmiştir. Ara tabakanın lineer kayma hızının, üst tabaka ve yarım uzayın lineer kayma hızlarından daha yavaş olduğu model ele alınarak düşük hızlı ara tabakanın lineer olmayan özelliklerinin yüzey SH dalga yayılımı üzerindeki etkisi araştırılmıştır. İkinci bölüm dört kısımdan oluşmaktadır. Birinci kısımda, lineer olmayan, homojen, izotrop,  sıkışmaz hiperelastik ve neo-Hooken malzemelerden oluşan iki tabakalı  yarım uzayda lineer olmayan SH dalga yayılımını modelleyen hareket denklemleri ve sınır koşulları türetilmiştir. İkinci kısımda, türetilen sınır değer problemi lineerleştirilerek, bazı noktalara ışık tutmak amacıyla lineer SH dalgalarının yayılması problemi incelenmiş ve dalga yayılımının mevcut olduğu durumlar için dispersiyon bağıntıları türetilmiştir. Elde edilen dispersiyon bağıntılarının yapısı gereği, bu bağıntıların her bir dalını temsil eden fonksiyonları analitik olarak hesaplamak mümkün değildir. Bu nedenle bağıntıların çeşitli dalları sayısal olarak hesaplanarak çizdirilmiş, tabakaların kalınlıkları oranının ve ikinci bir tabakanın varlığının lineer dalga yayılımı üzerindeki etkileri incelenmiştir.
Üçüncü kısımda, SH dalga yayılımının mevcut olduğu iki farklı durum için çoklu ölçekler metodu kullanılarak, iki durumda da SH dalgalarının lineer olmayan modülasyonunun genlik fonksiyonunun asimptotik olarak  lineer olmayan, sabit katsayılı bir Schrödinger (NLS) denklemi ile karakterize edildiği gösterilmiştir. Ardından, NLS denklemi için bazı çözümlere yer verilmiş ve  denklemin çözüm özelliklerinin, katsayılar çarpımının işaretine bağlı olduğu gösterilmiştir. Dördüncü kısımda, katsayıları ortamın lineer ve lineer olmayan malzeme parametrelerine, tabakaların kalınlığına ve dalga sayısına bağlı olan  NLS denklemleri ile asimptotik olarak karakterize edilen lineer olmayan SH dalga yayılımına lineer olmayan malzemelerin etkisini belirleyebilmek için, katsayılar çarpımının dalga sayısıyla değişimi iki tabakalı yarım uzayın çeşitli lineer olmayan malzeme parametreleri için incelenmiştir.   Yavaş ara tabakanın lineer olmayan malzeme özelliklerinin soliton dalgaların varlığı üzerindeki etkileri sayısal olarak araştırılmış ve sonuçlar grafiklerle gösterilmiştir. Grafiklerden SH dalga yayılımının, yavaş ara tabakanın lineer olmayan özelliklerinden kuvvetli bir şekilde etkilendiği gözlemlenmiştir. Türetilen NLS denklemi, tabakalardan birinin kalınlığının sıfır olması durumunda tek tabakalı yarım uzayda yayılan SH dalgalarını karakterize eden NLS denklemine indirgenmektedir. İki tabakalı ve tek tabakalı yarım uzay modelleri için türetilen NSL denklemlerinin çözüm özellikleri karşılaştırılarak, ikinci tabakanın varlığının zarf soliton tipi dalga yayılımını önemli ölçüde etkilediği gösterilmiştir.

Çalışılan ilk problemde bahsedilen lineer olmayan yüzey SH dalga yayılımı problemi, düzgün (uniform) kalınlıklı tabakalarla kaplı yarım uzay modelinde incelenmiştir. Yani tabakaların sınır yüzeyleri düzlemsel ve tabaka kalınlıkları sabittir. Ancak kıtasal marjinler, dağ kökleri, dağ havzaları, tuz ve maden yatakları  gibi  yeryüzünün kabuksal kısımları her zaman düzgün değildir. Sınır yüzeylerindeki değişime bağlı olarak tabaka kalınlığı da değişebilmektedir. Bu durumda dalga yayılımı sadece ortamın malzeme özelliklerinden değil pürüzlü yüzey ve arayüzeylerin şekil değişiminden de etkilenir. Düzensiz sınır yüzeylere sahip elastik tabakalarda  yüzey dalga yayılımı problemleri, kıta sınırları boyunca ve değişken kabuk kalınlıklı diğer yeryüzü bölgelerinde sismik dalga yayılımına model teşkil etmesi açısından önemlidir.

Bu tez çalışmasının üçüncü bölümünde, malzemelerin lineer olmayan özelliklerinin yanı sıra tabakalı ortamın sınırlarındaki düzensizliklerin de  SH tipi yüzey dalgalarının yayılma karakteristikleri üzerindeki etkileri incelenmiştir.  Üçüncü bölüm beş kısımdan oluşmaktadır. Birinci kısımda, pürüzlü sınır yüzeylere sahip değişken kalınlıklı bir tabakayla kaplı homojen, izotrop, lineer olmayan sıkışmaz hiperelastik bir yarım uzayda SH tipi yüzey dalgalarının yayılmasını karakterize eden hareket denklemleri ve bunlara eşlik eden sınır koşulları türetilmiştir. Hem serbest yüzeyin hem de arayüzeyin, SH dalgalarının yayılma yönünde değiştiği kabul edilmiştir. İkinci kısımda, lineer olmayan hareket denklemleri ve değişken katsayılı lineer olmayan sınır koşullarından oluşan sınır değer problemi lineerleştirilerek, bazı noktalara ışık tutmak amacıyla lineer SH dalgalarının yayılması problemi incelenmiştir. Tabakanın sınır yüzeylerindeki keyfi bir değişim için dalga yayılımı analizi oldukça kompleks olduğundan, sınır yüzeylerindeki değişimin dalgaların yayılma doğrultusunda ve yavaş olduğu kabul edilmiştir. Dalganın hızlı ve yavaş değişen parametreleri arasında açık bir ayrım yapabilmek için çoklu ölçekler metodu kullanılarak, değişken kalınlıklı bir tabakayla kaplı yarım uzayda  lineer Love dalga yayılımını karakterize eden asimptotik bir çözüm inşaa edilmiştir. Üçüncü kısımda, bir önceki kısımdaki ölçeklerin farklı seçimiyle çoklu ölçekler metodunu uygulayarak, yüzey SH dalgalarının lineer olmayan self modülasyonu değişken katsayılı, genelleştirilmiş bir lineer olmayan Schrödinger  (GNLS) denklemi ile asimptotik olarak  karakterize edilmiştir. Katsayıları,  lineer ve lineer olmayan malzeme özelliklerine, dalga sayısına ve ayrıca sınırlardaki düzensizlikleri temsil eden fonksiyonlara bağlı olan bu denklemin her zaman analitik çözümü yoktur. Bu sebeple bu bölümün dördüncü kısmında, GNLS denkleminin önerilen bir ansatz yardımıyla integrallenebilirlik koşulu elde edilmiş ve bu koşul altında soliton benzeri çözümleri türetilmiştir. Ardından, GNLS denkleminin katsayılarının integrallenebilirlik koşulunu sağlamadığı durumlarda nümerik çözümleri araştırılmıştır. Bu amaçla Fourier transformunun  bazı özelliklerine değinildikten sonra  nümerik çözümler için kullanılan pseudospectral yöntem tanıtılmış ve enerji analizine yer verilmiştir. Beşinci kısımda düzensiz sınır yüzeylerinin, GNLS denkleminin integrallenebilirliğine izin verdiği durumlar araştırılmış, bu durumlarda sınır yüzeylerindeki değişimin tabaka kalınlığına kıyasla oldukça küçük ve periyodik olduğu kabul edilerek analitik çözümler çeşitli lineer olmayan malzeme parametreleri için elde edilmiştir. Böylece, lineer olmayan malzeme özelliklerinin ve sınırlardaki ondülasyonun dalga yayılımı üzerindeki etkileri araştırılmıştır. Pürüzlü sınır yüzeylerin integrallenebilirliğe izin vermediği diğer özel durumları için, GNLS denkleminin çözümleri nümerik olarak elde edilmiştir. Elde edilen soliton benzeri çözümlerin grafikleri incelenerek, tabakalı yarım uzayın sınır yüzeylerindeki  ondülasyonların, bright soliton benzeri ve dark soliton benzeri dalgalar üzerinde salınımlara yol açtığı gözlemlenmiştir. Sınırlardaki ondülasyonun genliğinin soliton benzeri yüzey SH dalgalarının genliği üzerindeki etkisi araştırılmış, ayrıca serbest yüzeydeki ondülasyon ile arayüzeydeki ondülasyonun lineer olmayan SH dalga yayılımı üzerindeki etkileri karşılaştırılmıştır.

Abstract:
Elastic waves propagating in wave guides such as rods, plates, layered half spaces, etc.,
become dispersive, i.e. the phase velocities of waves depend on the wave number, due
to multiple reflections between the boundaries of wave guides. Horizontally polarized
surface shear waves propagate on a layered half space providing that the shear wave
velocity of the layer is less than the corresponding velocity of the half space. These
waves are discovered by Love considering the dispersive waves with large transverse
displacement components in the early part of the surface wave trains recorded by
seismographs. They are called Love waves. Later, Stoneley and Tillotson extended the
theory of Love waves to a double layered half space in 1928 and Stoneley examined the
effect of low velocity internal layer on the propagation of surface shear horizontal (SH)
waves in 1950. The propagation of surface SH waves in a double layered half space
and also the effect of the low velocity internal layer on the propagation characteristics
of surface SH waves have been investigated by other researchers as well due to their
important applications in geophysics, civil engineering, electronic signal processing
devices, nondestructive testing of materials and prediction of damage that can result
from earthquakes etc. Moreover, the study of surface elastic SH wave propagation
inside the crustal layer of the Earth gives important information about the layered
structure of the Earth for exploration of natural resources buried in the Earth's surface
such as oil, petroleum, gas and mineral.

In the first part of this work, the slow modulation of a harmonic surface SH wave over
the surface of a nonlinear hyperelastic half space covered with two different nonlinear
hyperelastic layers of uniform thickness is examined. It is assumed that the linear
shear wave velocity of the intermediate layer is slower than those of the top layer and
the half space. In the linear limit, the problem reduces to the problem investigated by
Stoneley in 1950. The effect of the nonlinear properties of the intermediate layer on
the propagation characteristics of surface SH waves has been investigated. Moreover,
from the comparison of the solutions characterized the nonlinear SH wave propagation
on the single layered half space and on the double layered half space, it is observed that
SH wave propagation is affected considerably by the existence of a second layer. In
the later part of this study, the SH waves propagating in a nonlinear elastic half space
coated with a nonlinear elastic layer having irregular boundary surfaces is examined.
It is assumed that the irregularities of the boundary surfaces are the functions of
the distance in the direction of propagation of the waves. The effect of the varying
boundary surfaces as well as the effect of the nonlinear material parameters on the
propagation characteristics of the surface SH waves in a layered half space have been
investigated.

This thesis consists of four chapters. In the first chapter, it is mentioned about purpose
and scope of the studied problems, and literature review is given.

In the second chapter, the slow modulation of a harmonic surface SH wave over the
surface of a nonlinear hyperelastic half space covered with two different nonlinear
hyperelastic layers of uniform thickness is examined. In the analysis, it is assumed
that between the linear shear wave velocities of the top layer, c1, the intermediate
layer, c2, and the half space, c3, the inequality c2 < c1 < c3 is valid. That is the linear
shear wave velocity of the intermediate layer is slower than those of the top layer and
the half space. The effect of the nonlinear properties of the slow intermediate layer
on the existence of solitary waves has been investigated. This chapter consists of four
sections.

In the first section, the equations of motion and boundary conditions are produced
for the nonlinear surface SH wave propagation on the double layered half space.
It is assumed that the constituent materials are nonlinear homogenous, isotropic,
incompressible hyperelastic and their strain energy functions are only the functions
of the first invariant of the Finger deformation tensor c􀀀1 = [xk;Kxl;K], i.e. S = S(I)
where I =trc􀀀1. Namely, we consider the double layered half space made of different
generalized neo-Hooken materials.

In the second section, the problem of linear SH wave propagation is investigated by
linearizing the derived boundary value problem, and then the dispersion relations are
obtained for cases where wave propagation exists. It is known that a surface SH wave
propagates provided that the phase velocity c of this wave satisfies either the condition
c2