Manifoldlar üzerinde altın yapılar ve altmanifoldları
Golden structures on manifolds and their submanifolds
Yazar: MUSTAFA GÖK
Danışman: PROF. DR. SADIK KELEŞ ; PROF. DR. EROL KILIÇ
İnönü Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2019
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Doktora tezi olarak hazırlanan bu çalışma altı bölümden meydana gelmektedir.
    Birinci bölüm, genel bir literatür özetinin ve doktara tezinin içeriği ile ilgili bilgilerin yer verildiği giriş kısmıdır.
    İkinci bölüm, doktara tezi boyunca kullanılan bazı temel kavramları kapsamaktadır.
    Diğer bölümler, tezin orijinal kısmını oluşturmaktadır.
    Üçünçü bölüm, altın manifoldlar üzerinde paralellik, half paralellik, anti half paralellik, integrallenebilirlik ve geodeziklik kavramları ile ilgili bir araştırmayı içermektedir. Bu kavramlar, herhangi bir lineer konneksiyona ve buna bağlı olarak tanımlanan Schouten ve Vrănceanu konneksiyonlarına göre irdelendi.
    Dördüncü bölümde, yerel çarpım manifoldları üzerinde bir altın yapının inşasına yer verildi. Buna bağlı olarak, bir yerel çarpım altın Riemann manifold ve bir yerel ayrıştırılabilir altın Riemann manifold kavramları tanıtıldı. Yerel çarpım altın Riemann manifoldların yerel ayrıştırılabilirliği ele alındı. Bir yerel ayrıştırılabilir altın Riemann manifoldunun bileşenlerinin birer Einstein manifold (ya da birer sabit eğrilikli manifold) olma durumu incelendi. Bunun yanısıra, herhangi iki Riemann manifoldunun Riemann çarpım manifoldu üzerinde bir altın Riemann yapı tanımlandı ve bu Riemann çarpım manifoldunun bir yerel ayrıştırılabilir altın Riemann manifold olduğu gösterildi.
    Beşinci bölüm, bir altın Riemann manifoldunun altmanifoldlarının geometrisi ile ilgilidir ve bu çalışmanın geniş bir kısmını oluşturmaktadır. Bir altın Riemann manifoldunun herhangi bir izometrik immersed altmanifoldunun tanjant ve normal demetleri üzerinde ambient manifoldun altın yapısının tanımladığı kanonik yapıların bazı özellikleri verildi. Bir altın Riemann manifoldunun izometrik immersed non-invaryant, invaryant ve anti-invaryat altmanifoldları üzerlerinde tanımlı indirgenmiş yapılar yardımıyla incelendi. Herhangi bir izometrik immersed non-invaryant altmanifoldun total geodezik (ya da minimal) olma koşulları belirlendi. Bunun yanısıra, izometrik immersed non-invaryant altmanifold üzerindeki indirgenmiş yapının tanjant vektör alanlarının lineer bağımlı olduğu durumlarda bazı önemli sonuçlar bulundu. Bir yerel ayrıştırılabilir altın Riemann manifoldunun herhangi bir izometrik immersed invaryant altmanifoldunun bir yerel ayrıştırılabilir altın Riemann manifold olduğu gösterildi. İzometrik immersed altmanifoldların invaryantlığına denk ifadeler bulunmaya çalışıldı. İzometrik immersed invaryant altmanifoldların total geodezikliği üzerinde duruldu. İzometrik immersed invaryant altmanifoldlar ile ilgili bazı ilginç sonuçlara ulaşıldı. İzometrik immersed anti-invaryant altmanifoldların bazı özellikleri elde edildi ve hangi koşullar altında total geodezik olduğu ele alındı. Bazı varsayımlar altında, herhangi bir izometrik immersed anti-invaryant altmanifoldun normal demeti için bir yerel ortonormal çatı kuruldu. Bununla birlikte, izometrik immersed anti-invaryant altmanifoldun tanjant demetinin bir yerel ortonormal çatısına göre belirlenen normal vektör alanlarına karşılık gelen ikinci temel tensörlerin sıfır olduğu gösterildi. Ayrıca, bir altın Riemann manifoldunun semi-invaryant altmanifoldlarının geometrik özellikleri incelendi ve bazı örnekler verildi. Herhangi bir semi-invaryant altmanifoldun karakterizasyonları, kanonik yapılarının paralelliği, tanımındaki distribüsyonların integrallenebilirliği ve paralelliği, total geodezik, mixed total geodezik ve total umbilik gibi bazı sınıflandırılmaları ve de Rham kohomoloji grupları ile ilgili geniş bir araştırma yapıldı.
    Altıncı bölüm, diferansiyellenebilir manifoldlar üzerinde bir f(3,-2,-1)-yapı veya bir para f(3,2,1)-yapı olarak adlandırdığımız yeni bir yapıya ayrılmıştır. Para f(3,2,1)-yapılar ve altın yapılar arasındaki ilişkiyi gösteren bazı örnekler elde edildi. Bir altın Riemann manifoldunun herhangi bir izometrik immersed altmanifoldu üzerindeki indirgenmiş yapının bir para f(3,2,1)-yapı olma koşulları ele alındı. Bir altın Riemann manifoldunun semi-invaryant altmanifoldlarının tanjant ve normal demetleri üzerinde para f(3,2,1)-yapıların varlığı araştırıldı. Herhangi bir para f(3,2,1)-yapının kısmi integrallenebilirlik ve integrallenebilirlik kavramları tanımlandı. Para f(3,2,1)-yapıların ve doğal olarak tanımladığı distribüsyonların temel özellikleri ve integrallenebilirliği incelendi.

Abstract:
This study prepared as a philosophy doctoral thesis consists of six sections.
    The first section is the part of of the introduction which is divided into a summary of general literature and the information related to the contents of the philosophy doctoral thesis.
    The second section includes some basic concepts which will be used throughout the philosophy doctoral thesis.
    The other sections form the original part of the philosophy doctoral thesis.
    The third section consists of an investigation related to the concepts of parallelism, half parallelism, anti-half-parallelism, integrability and geodesicity on golden manifolds. These concepts with respect to an arbitrary fixed linear connection and Schouten and Vrănceanu connections, defined by it, are scrutinized.
    The fourth section is devoted to the construction of a golden structure on locally product manifolds. Accordingly, the concepts of a locally product golden Riemannian manifold and a locally decomposable golden Riemannian manifold are introduced. The decomposability of locally product golden Riemannian manifolds is addressed. The condition for each of the components of a locally decomposable golden Riemannian manifold to be an Einstein manifold (or a constant curvature manifold) is examined. Besides, a golden Riemannian structure on the Riemannian product of two Riemannian manifolds is defined and it is shown that the Riemannian product manifold is a locally decomposable golden Riemannian manifold.
    The fifth chapter deals with the geometry of the submanifolds of a golden Riemannian manifold and constitutes a large part of this study. Some properties of the canonical structures on the tangent and normal bundles of any isometrically immersed submanifold of a golden Riemannian manifold, induced by the golden structure of the ambient manifold, are given. Isometrically immersed non-invariant, invariant and anti-invariant submanifolds of a golden Riemannian manifold with the help of induced structures on them, by the golden structure of the ambient manifold, are investigated. The conditions for any isometrically immersed non-invariant submanifold to be totally geodesic (or minimal) are determined. In addition, some important results are found in cases where the tangent vector fields of the induced structure on the isometrically immersed non-invariant submanifold are linearly dependent. It is shown that any isometrically immersed invariant submanifold of a locally decomposable golden Riemannian manifold is a locally decomposable golden Riemannian manifold. It is tried to find the equivalent expressions to the invariance of isometrically immersed submanifolds. Totally geodesicity of isometrically immersed invariant submanifolds is dwelt on. Some interesting results regarding isometrically immersed invariant submanifolds are reached. Some properties of isometrically immersed anti-invariant submanifolds are obtained and the conditions under which for them to be totally geodesic are discussed. Under some assumptions, a local orthonormal frame is established for the normal bundle of any isometrically immersed anti-invariant submanifold. Besides, it is shown that the second fundamental tensors corresponding to normal vector fields determined by a local orthonormal frame of the tangent bundle of the isometrically immersed anti-invariant submanifold are zero. Furthermore, the geometric properties of semi-invariant submanifolds of a golden Riemannian manifold are examined and some examples are given on them. A wide investigation is made for any semi-invariant submanifold on characterizations, parallelism of canonical structures on its tangent and normal bundles, integrability and parallelism of the distributions which are defined on it, some classifications such as totally geodesic, mixed totally geodesic and totally umbilical and de Rham cohomology groups.
    The sixth section is separated into a new structure called an f(3,-2,-1)-structure or a para f(3,2,1)-structure on differentiable manifolds. Some examples that show the relationship between para f(3,2,1)-structures and golden structures are obtained. The conditions for the induced structure on any isometrically immersed submanifold of a golden Riemannian manifold to be a para f(3,2,1)-structure are addressed. The existence of para f(3,2,1)-structures on the tangent and normal bundles of semi-invariant submanifolds of a golden Riemannian manifold is researched. The notions of partially integrability and integrability of any para f(3,2,1)-structure are described. Fundamental properties and integrability of para f(3,2,1)-structures and their distributions, which are naturally defined, are investigated.