İstatistik mekaniğinde kesin çözülebilir modeller üzerine
On the subject of exactly solvable models instatistical mechanics
Yazar: SHAHRİYAR JAFARZADE
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ ILMAR GAHRAMANOV
Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Fizik Ana Bilim Dalı / Fizik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2019
Konu: Fizik ve Fizik Mühendisliği = Physics and Physics Engineering

Özet:
İki boyutlu kesin çözülebilir modeller, istatistiksel mekanikte veya matematiksel fi-
zikte çok önemli bir rol oynamaktadır. Bu modellere ünlü örneklerden biri Ising
modelidir. Tek boyutlu Ising modelinin aksine, iki boyutlu versiyonu faz geçişine sa-
hiptir. Modelin kesin çözümünü elde etmeden faz geçişini incelemek çok zordur.
Onsager'ın ünlü çözümünden sonra bu modelin farklı çözümleri ortaya çıktı. Bu
çözümlerden biri, Baxter'in "transfer matrislerinin değiştirilebilirliği" yöntemi ile
çözülmüştür. Bu yöntemi kullanırken yıldız-üçgen ilişkisi denilen önemli ilişkilerden
birine rastlıyoruz. Bu ilişkinin sadece Ising modeli ile ilgili olmadığı, ayrıca Kritik
Potts, Ashkin-Teller, Fateev-Zamolodchikov, Faddeev-Volkov, Kashiwara-Miwa mo-
delleri vb kesin çözülebilir modeller için de geçerli bir ilişki olduğu anlaşılıyor.
Bu tez çalışmasında, kesin çözülebilir modeller için ortak ilişki olan yıldız-üçgen
ilişkisini inceledik. Bu ilişki matematiksel fizikte Yang-Baxter denklemi gibi bilinen
önemli denklemin özel bir halidir.
Son zamanlarda, yıldız-üçgen ilişkisine eliptik gama fonksiyonu ile ifade edilen yeni
bir eliptik çözüm elde edilmiştir. Ising modelinden farklı olarak, bu model sürekli
spine sahiptir. Yazarlar bu çözümü "ana çözüm" olarak adlandırmasının sebebi farklı
bilinen çözümleri bu modelin özel bir limiti olarak elde edebiliyoruz olmamızdır. Bu
tezde örnek olarak, "ana çözümden" Faddeev-Volkov modeline olan limiti detaylı
gösterdik.
İlginçtir ki, "ana çözümden" süreksiz spin değrerlerine sahip modellere de limit
vardır. Bunun için, "ana çözümün" yarı-klasik limitini incelemek gerektir. Bu tezde
bu limitin de detaylarını sunuyoruz.
Yıldız-üçgen ilişkisinin lens eliptik gama, hiperbolik gama ve Euler'in gama fonk-
siyonları ile ifade edilen diğer çözümleri de sunulmuştur. "Ana çözüm" lens eliptik
gama çözümünün özel limitine karşılık geldiği bilinmektedir. Eliptik beta integralin-
den hiperbolik beta integraline olan limiti dikkate alarak hiperbolik gama fonksiyon
çözümünü de inceledik. Son olarak, Euler'in gama fonksiyonu ile ifade edilen çözüm,
lens eliptik gama çözümünden belli limitte elde edildi.

Abstract:
Two-dimensional exactly solvable models play a crucial role either in statistical mec-
hanics or in mathematical physics. One famous example to such models is the Ising
model. Unlike the one-dimensional Ising model, it possesses the phase transition. It
is difficult to find phase transition point without exact solution of the model.
There appeared different solutions of this model after Onsager's famous solution.
One of such solution is via the method of "Commutation of transfer matrices" by
Baxter and Enting. While using this method we come across one of the important
relation which is called the star-triangle relation. It became known that this relation
is not only related to the Ising model, it may be common also for other exactly sol-
vable models such as Critical Potts, Ashkin-Teller, Fateev-Zamolodchikov, Faddeev-
Volkov, Kashiwara-Miwa models and etc.
In this thesis we have studied one of the common relation for the exactly solvable
models namely the star-triangle relation. This relation is the special form of the
Yang-Baxter equation which plays crucial role in mathematical physics.
Recently, one of the new elliptic solution to the star-triangle relation in terms of
elliptic gamma function was obtained. Unlike the Ising model, this model has con-
tinuous spin. Authors called this solution as a master solution because one can get
different solutions as a special limit of this model. In this thesis we have shown
detailed limit process from this model to the Faddeev-Volkov model.
Interestingly, one can even obtain the discrete spin variable known solutions from
the master solution which has continuous spin. In order to do that one has o study
the semiclassical limit of the master solution. In this thesis we present details of this
limit process.
Other solutions to the star-triangle relation in terms of lens elliptic, hyperpolic
and Euler's gamma functions are also presented. It is known that elliptic gamma
function solution corresponds to the special limit of the lens elliptic gamma solution.
We obtained hyperbolic gamma function solution by considering special limit from
elliptic beta integral to the hyperbolic beta integral. Finally, Euler's gamma function
solution was obtained from lens elliptic gamma solution in special limit.