Bir sınıf doğrusal olmayan difüzyon-reaksiyon denklemlerinin incelenmesi
Investigation of a class of nonlinear diffusion-reaction equations
Yazar: EYLEM ÖZTÜRK
Danışman: PROF. DR. KAMAL SOLTANOV
Hacettepe Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2014
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez çalışmasında, lineer olmayan yapısı keyfi mertebeden
polinom büyüme hızına sahip reaksiyon difüzyon denleminin Robin
sınır koşulu altında, çözülebilirliği ve çözümünün uzun zaman
davranışı araştırılmıştır. Tezimizin birinci bölümünde
inceleyeceğimiz problem tanıtılmıştır. Ayrıca reaksiyon difüzyon
denklemlerinden ve özellikle Robin sınır koşulu altında incelenmiş
lineer olmayan parabolik denklemler ile ilgili yapılmış
çalışmalardan bahsedilmiştir.
Tezimizin ikinci bölümünde, çalışmamızda ihtiyaç duyacağımız bazı
temel kavramlar, teoremler, lemmalar ve eşitsizlikler verilmiştir.
Üçüncü bölümde, problem başlangıç koşulu sıfır iken, lineer
olmayan yapısına bağlı olarak  alt lineer, lineer ve üst lineer
durumlarda incelenmiştir. Ayrıca üst lineer durum, sıfırdan farklı
başlangıç koşulu altında gözönüne alınmıştır. Problem'in
genelleşmiş çözümünün varlığı ve tekliği için katsayı
fonksiyonları üzerine yeterli koşullar bulunmuştur. Bu koşullar
altında [29]'daki genel bir teorem kullanılarak genelleşmiş
çözümün varlığı ve bazı durumlarda tekliği ispatlanmıştır.
Dördüncü bölümde, ilk olarak, çözümün $L_{2}(\Omega)$'da yutan
kümeye sahip olduğu ispatlanmıştır. Dahası $h$ ve
$\varphi$(problemin sağ tarafındaki fonksiyonlar) fonksiyonları
yalnızca $x$'e bağlı olduğunda $W_{2}^{1}(\Omega)\cap
L_{\rho+2}(\Omega)$'da yutan kümenin varlığı ispatlanmıştır.
Ayrıca $h$ ve $\varphi$ fonksiyonlarının yanı sıra katsayı
fonksiyonlarının da yalnızca $x$'e bağlı olduğu durumda çözümlerin
asimptotik düzenliliği ve $W_{2}^{1}(\Omega )\cap
L_{\rho+2}(\Omega)$'da yerel olmayan çekicicnin varlığı
ispatlanmıştır.

Abstract:
In this dissertation, the study of long-time behavior and
solvability of the reaction-diffusion equation, which has a
polynomial growth nonlinearity of arbitrary order, with Robin
boundary condition on the bounded domain have been investigated.
The dissertation is organized as follows. In the first part
(Chapter 1), we introduce the problem to be studied. Additionally,
the works which are related to the reaction-diffusion equations
and especially with Robin boundary condition have been outlined.
In the second chapter of dissertation, we give the definitions of
some basic notions, theorems, lemmas and inequalities.
In the third chapter, We investigate the problem in sublinear,
linear and super linear cases, by depending on nonlinear part when
the initial condition is  zero. Additionally we investigate with
nonzero initial condition in super linear case. For the existence
and uniqueness of the generalized solution of problem , we obtain
sufficient conditions for coefficient functions and under these
conditions we show the existence of generalized solution of
problem and the uniqueness of the solution in corresponding
spaces, by applying a general existence theorem from [29].
In the fourth chapter, firstly we prove that the solution has an
absorbing set in $L_{2}(\Omega)$. Secondly assuming that functions
$h$ and $\varphi$(in the right side of the problem)do not depend
on the variable $t$, we prove the existence of absorbing set in
$W_{2}^{1}(\Omega)\cap L_{\rho+2}(\Omega)$. Also when the
coefficients functions depend only on $x$ as well as $h$ and
$\varphi$, we prove some asymptotic regularity and the existence
of global attractor in $W_{2}^{1}(\Omega )\cap
L_{\rho+2}(\Omega)$.