Analitik örtü dönüşümleri ve modüler fonksiyonlara uygulanması
Analytic covering maps and application for the modular functions
Yazar: İLKER İNAM
Danışman: PROF.DR. MÜMİN YAMANKARADENİZ
Uludağ Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2005
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
ANALİTİK ÖRTÜ DÖNÜŞÜMLERİ ve MODÜLER FONKSİYONLARAUYGULANMASI-İLKER İNAM YÜKSEK LİSANS TEZ ÖZETİÜç bölümden oluşan bu çalışmada örtü uzayları, analitik örtü uzayları, modülerfonksiyon ve modüler fonksiyonun örtü dönüşümlerine uygulamaları ele alınmıştır.Birinci bölümde ilerideki bölümlere hazırlık olması amacıyla bazı temelkavramlar tanıtılmıştır. Ayrıca ikinci ve üçüncü bölümdeki teoremlerin ispatlarındakullanılmak üzere bazı önemli teoremler ispatsız olarak verilmiştir.İkinci bölüme örtü dönüşümü yardımıyla elde edilen örtü uzayları tanıtılarakbaşlanmıştır. Ardından örtü uzaylarının önemli bir özelliği olan, örtülen uzaydaki herbir eğrinin örtü uzayındaki bir eğriye yükseltilebilmesi özelliği ve bunun sonuçları elealınmıştır. Bunun yanı sıra son olarak, bu bölümde analitik örtü dönüşümleri ve analitikörtü uzayları kavramları incelenmiştir. Burada evrensel örtü uzayı tanımlanmış vebunun çok önemli sonuçları verilmiştir.Üçüncü bölümde, öncelikle modüler grup ve bunun bir elemanı olan modülerfonksiyon tanıtılmış ve örtü uzayları ile bağlantısı araştırılmıştır. Bunun sonucundamodüler fonksiyon yardımıyla üst yarı düzlemin, C0,1 in bir örtü uzayı olduğu eldeedilmiştir. Ardından modüler fonksiyonun örtü uzaylarına bir uygulaması olarak üstyarı düzlemin bir döşemesi ele alınmıştır. Bunun yanı sıra C. E. Picard'a (1856-1941)ithaf edilen önemli iki teorem incelenmiştir. Son olarak evrensel analitik örtüuzaylarının varlığı hakkında gerek ve yeter şartlar verilmiştir.Anahtar Kelimeler: Örtü dönüşümü, örtü uzayı, modüler grup, modüler fonksiyon,evrensel örtü uzayı, analitik örtü dönüşümü, analitik örtü uzayı, döşeme, evrenselanalitik örtü uzayı, yükseltilme

Abstract:
ANALYTIC COVERING MAPS AND APPLICATION FOR THE MODULARFUNCTIONS-ILKER INAM- MSc THESIS-ABSTRACTCovering spaces, analytic covering spaces, modular function andapplications of the modular function to covering maps are considered in this work,consisting of three sections.In the first section some fundamental concepts are introduced for the nextsections. In addition, some important theorems are given without proofs, to beused in the second and the third sections.The second section begins with covering spaces which are obtained fromcovering maps. And then the fact that every path in the covered space can be liftedto a path in the covering space, which is an important feature of the coveringspaces, is given. Finally in this section, analytic covering maps and anayticcovering spaces are examined. Here, the universal covering space is defined and itsconsequences which are very important are given.In the third section, firstly modular group and a special element of it, themodular function, are introduced and the connection with covering spaces isinvestigated. As a consequence of this, the fact that upper half plane is the coveringspace of C0,1 is obtained. Then as an application of the modular function tocovering maps, a tessellation of the upper half plane is considered. However twoimportant theorems dedicated to C. E. Picard (1856-1941) are given. Lastlynecessary and sufficient conditions for the existence of the universal analyticcovering spaces are given.Key Words: covering map, covering space, modular group, modular function,universal covering space, analytic covering map, analytic covering space,tessellation, universal analytic covering space, lifting