Genelleştirilmiş indefinite kompleks geometri üzerine
On generalized indefinite complex geometry
Yazar: SİBEL SEVİNÇ
Danışman: PROF. DR. ABDİLKADİR CEYLAN ÇÖKEN
Süleyman Demirel Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2017
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Diferensiyel geometri = Differential geometry

Özet:
Bu tez çalışması, genelleştirilmiş indefinite kompleks geometri üzerinedir.

    Genelleştirilmiş kompleks geometri, kompleks ve simplektik geometrilerin birlikte var olduğu bir geometri olarak tanımlanabilir. Genelleştirilmiş kompleks yapılar aynı zamanda hem kompleks hem de simplektik olma özelliğindedir, ayrıca tanjant ve kontanjant uzayların direkt toplam uzayı üzerinde tanımlıdırlar. Tüm bunların dışında bu yapılar, bilinen integrallenebilirlik koşullarını sağlayan yapılardır. Bu koşulları elde edebilmek için, Lie parantez operatörünün özel bir hali olan Courant parantez operatörü ve bunun simetrileri olarak bilinen B-alan dönüşümleri kullanılmaktadır.

    Bu tez çalışmasında genelleştirilmiş kompleks geometri kavramının indefinite olma durumu ele alınmıştır. Genelleştirilmiş indefinite kompleks geometrinin ortaya konabilmesi için kullanılacak yapılar ve bu yapıların sahip olması gereken koşullar incelenmiştir.

    Birinci bölümde konuya genel hatlarıyla giriş yapılmış; ikinci bölümde, yararlanılan kaynaklarla ilgili genel bir özet verilmiştir.

    Üçüncü bölüm ön bilgilerden oluşmaktadır. Burada, V⊕V* direkt toplam uzayının lineer cebiri ve simetrileri konusunda bilgiler verilmiş ve genelleştirilmiş kompleks yapılara eşdeğer olduğu bilinen maksimal izotropik altuzaylar tanıtılmıştır. İntegrallenebilirlik koşullarını verecek olan ve yeni genelleştirilmiş kompleks yapılar elde etmeye yarayan Courant parantez operatörü, B-alan dönüşümü gibi kavramlar ortaya konmuştur.

    Dördüncü bölümde, genelleştirilmiş kompleks geometri üzerine daha önce verilen bazı teoriler ve örnekler incelenmiştir ve özel olarak genelleştirilmiş Kaehler ve pseudo-Kaehler yapılarla ilgili literatürde var olan bazı özellikler ele alınmıştır.

    Beşinci bölümde, genelleştirilmiş indefininte kompleks geometri kavramını oluşturmak için genelleştirilmiş indefinite kompleks yapılar ve özellikleri elde edilmiştir ve integrallenebilirlik koşulları verilmiştir. Burada ilk olarak genelleştirilmiş kompleks yapı kavramı incelenmiş, bu kavramın indefinite durumdaki tanımı ortaya konmuştur. Daha sonra bu yapıların eşdeğer olduğu bilinen maksimal izotropik altuzaylar çalışılmış ve indefinite durumda da bir genelleştirilmiş indefinite kompleks yapının, bir maksimal izotropik altuzaya karşılık geldiği gösterilmiştir. Ayrıca genelleştirilmiş kompleks yapıların simetrileri olan B-alan dönüşümleri kullanılarak da genelleştirilmiş indefinite kompleks yapılar elde edilmiştir. Courant parantez operatörü için de indefinite durumda yeni bir tanımlama yapılarak bazı teoremler verilmiş, böylece integrallenebilirlik koşulları ortaya konmuştur. Son olarak indefinite durum için twisted (bükülmüş) genelleştirilmiş kompleks yapıların varlığı ve sahip olabileceği bazı özellikler verilmiştir.

    Altıncı bölüm ise tez çalışması boyunca ulaşılan sonuçlara genel bir bakışı ve tez çalışmasından sonra konuyla ilgili yapılabilecek yeni araştırmalara dair önerileri içermektedir.

    Anahtar Kelimeler: Genelleştirilmiş kompleks yapı, maksimal izotropik altuzay, B-alan dönüşümü, Courant parantez operatörü, Lie algebroidi, Courant algebroidi, genelleştirilmiş indefinite kompleks geometri.

Abstract:
This thesis is on generalized indefinite complex geometry.

    Generalized complex geometry can be defined as a geometry in which complex and
symplectic geometries exists together. Generalized complex structures have both
complex and symplectic properties at the same time and also they are defined on the
direct sum of the tangent and cotangent spaces. Furthermore, these structures provide
the natural integrability conditions. To obtain these conditions, the Courant bracket
operator which is the special case of Lie bracket and B-field transformations which
are known as symmetries of Courant bracket are used.

    In this thesis, we study of indefinite case of generalized complex geometry. Structures, which are used to state generalized indefinite complex geometry and the necessary conditions of these structure are investigated.

    In Chapter 1, we start with some general informations and the main definitions; in
Chapter 2, we give a summary of references.

    Chapter 3 is preliminary chapter. In this chapter, we give some properties about linear
algebra of V⊕V* and introduce maximal isotropic subspaces which are known to
be equivalent to generalized complex structures. Then, we analyze the concepts of
Courant bracket and B-field transformation with their other properties.

    In Chapter 4, we investigate some theories and give examples of generalized complex
geometry and we specially study generalized Kaehler and also pseudo-Kaehler
structures.

    In Chapter 5, we obtain generalized indefinite complex structures, their properties and
also integrability conditions for these structures. Firstly, we study generalized complex
structures, then define generalized indefinite complex structures. After that, we consider
maximal isotropic subspaces which are known to be equivalent to generalized complex
structures and we show that a complex maximal isotropic subspace is equivalent to
generalized indefinite complex structure in indefinite case. Furthermore, we obtain
generalized indefinite complex structures by using B-field transformations which are
the symmetries of Courant bracket. We give some new theorems for Courant bracket and obtain the integrability conditions by giving a new definition. Finally, we show
existence the twisted generalized complex structures and give some properties of them.

    Chapter 6 contains a general view of the results which we can give for generalized
indefinite complex geometry and new recommendations for what we can do after the
thesis.

    Keywords: Generalized complex structure, maximal isotropic subspace, B-field
transformation, Courant bracket, Lie algebroid, Courant algebroid, generalized indefinite
complex geometry.