Halkalar ve modüller üzerindeki genişleme özellikleri
Extending properties on rings and modules
Yazar: YELİZ KARA
Danışman: PROF. DR. ADNAN TERCAN
Hacettepe Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2016
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu çalışmada, her alt modülü bir dik toplananda esas olan ya da tümleyen her alt modülü
dik toplanan olan modüllerin, yani CS-modüllerin, temel özellikleri ile bu modül sınıfının
çeşitli genelleştirmeleri incelenmiştir.
Çalışma dört bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde, literatürde yer alan ve çalışmanın ilerleyen
bölümlerinde kullanılan temel kavramlardan esas ve tümleyen alt modüllere yer verilmiştir.
Ayrıca bu bölümde özellikle CS modül literatüründe önemli bir yer tutan injektiflik
kavramına değinilerek, injektif modüllerin genel ve temel özellikleri bütünlüğün sağlanması
açısından kanıtlarıyla birlikte ifade edilmiştir.
Ikinci bölümde ele alınacak konuların dayandığı kavram modüllerde injektifliktir. Bu bağlamda,
yarı-injektif, sürekli, yarı-sürekli ve CS-modül kavramları tanıtılıp, bu modül sınıfları
hakkında literatürde yer alan önemli ve kullanışlı sonuçlara yer verilmiştir.
Çalışmanın üçüncü ve dördüncü bölümleri özgün sonuçlar içermektedir. Bu anlamda üçüncü
bölümde, CS modüllerin genelleştirmeleri olan C11 (yani, her alt modülünün dik toplanan
olan bir tümleyeni var olan modüller) ve C12 (yani, her alt modülü bir dik toplanana esas
olarak gömülebilen modüller) modül sınıflarının C2 ve C3 koşullarıyla birlikte elde edilen
bir takım sonuçları yer almaktadır. Ayrıca C12 modül kavramının yarı basit alt modüllere
indirgenmesiyle elde edilen zayıf C12 modül sınıfının dik toplam ve dik toplanan özellikleri araştırılmıştır. Bunun yanı sıra, zayıf C12 modül olup C12 modül olmayan örneklere yer vererek, literatürde yer alan açık bir soruya yanıt verilmiştir. Dördüncü bölümde, tam değişmez ve projeksiyon değişmez alt modüllerin temel özelliklerine
yer verilerek, projeksiyon değişmez alt modüller yardımıyla tanımlanan pi-genişleyen
modüller sınıfı incelenmiştir. pi-genişleyen modüllerin dik toplamlarının pi-genişleyen olduğu, fakat ilgili özelliğin dik toplananlara doğrudan taşınmadığı belirtilmiştir. Bu amaçla,
pi-genişleyen modüllerin dik toplananlarının hangi koşullarda pi-genişleyen olduğu araştırılmıştır. Ayrıca Abel endomorfizma halkasına ve C2 (C3) özelliğine sahip pi-genişleyen modüllerin
ayrışmaz ayrışımı elde edilerek, bu özellikteki modüller için sonlu değişim özelliğinin
tam değişim özelliğini gerektirdiği gösterilmiştir.

Abstract:
In this work, the fundamental properties of generalizations of CS modules are investigated.
Recall that a module M is CS module if and only if every submodule of M is essential in a
direct summand or equivalently, every complement submodule of M is a direct summand of
M.This work consists of four chapters. In the first chapter, the basic and useful properties of
certain kind of submodules in module theory which are named as essential and complement
submodules are given. Since injective modules have a significant role in CS-module literature,
we mention the advanced properties of injective modules with their proof for the sake
of completeness.The origin of the second chapter is based on generalizations of injectivity. Thereupon the notion of quasi-injective, continuous, quasi-continuous and CS-modules are presented and the main properties of these aforementioned classes take part in this section. Third and fourth chapters include original results about this work. In the third chapter, the
properties of the generalization of CS modules which contains C11 (i.e., every submodule
has a complement which is a direct summand) and C12 (i.e., every submodule is essentially
embedded in a direct summand) modules with C2 and C3 conditions are examined. Moreover,
we focus our attention on direct sums and direct summands of weak C12 modules which
is a kind of generalization of C12 modules in terms of semisimple submodules. To this end, we prove that being weak C12 is closed under direct sums. Amongst other results, we provide
several counter examples for the open problem whether weak C12 implies C12 condition. In the last chapter, fully invariant and projection invariant submodules are given as well as
the class of pi-extending modules which is defined by using the restriction of the CS condition
on projection invariant submodules. Additionally, the class of pi-extending modules
is closed under direct sums however the forenamed property is not inherited by direct summands.
In contrast, we prove when the direct summands of a pi-extending module enjoy with
the property. Likewise, we show that under some module theoretical conditions pi-extending
modules with Abelian endomorphism rings have indecomposable decompositions. Furthermore,
we apply our former results, under suitable assumptions, the finite exchange property
implies the full exchange property.