Mittag-Leffler çekirdekli kesirli diferansiyel denklemlerin Laplace ve sumudu dönüşümleri ile çözümleri
Solutions of fractional differential equations with Mittag-Leffler kernel by Laplace and sumudu transforms
Yazar: GAMZE ÖZTÜRK
Danışman: PROF. DR. ALİ AKGÜL
Siirt Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Diferensiyel denklemler = Differential equations ; Kesirli türevler = Fractional derivatives ; Laplace dönüşümü = Laplace transform ; Mittag-Leffler fonksiyonları = Mittag-Leffler functions ; Çekirdek = Nucleus

Özet:
Kesirli analizin önemli operatörlerinden olan Riemann-Liouville ve Caputo operatörleri ile tekil olmayan Mittag-Leffler çekirdekli Atangana-Baleanu kesirli operatörü arasındaki ilişkiye bakılarak bu türevleri içeren kesirli diferansiyel denklemlerin Laplace ve Sumudu dönüşümleri yardımıyla çözümleri verilmiştir. Ayrıca uygun başlangıç koşulları verilen sabit katsayılı lineer adi diferansiyel denklemler ile kısmi diferansiyel denklemlere de bu dönüşümler uygulanmıştır. Dönüşümlerin birbirine olan benzer ve üstün yönlerinden bahsedilmiştir.
Tez 8 bölümden oluşmaktadır. İkinci bölümde, kesirli analizde kullanılan temel tanım ve teoremlerden bahsedilmiştir. Üçüncü bölümde temel fonksiyonlardan Gamma, Beta ve Mittag-Leffler fonksiyonu tanıtılmıştır. Dördüncü bölümde Riemann-Liouville, Caputo, Caputo-Fabrizio ve Atangana- Baleanu kesirli türevleri tanıtılmıştır. Beşinci bölümde Laplace ve Sumudu dönüşümlerinden bahsedilmiştir. Altıncı bölümde adi, kısmi ve kesirli türev içeren diferansiyel denklemlere Laplace ve Sumudu dönüşümü uygulama örnekleri verilmiştir. Yedinci bölümde bazı lineer kesirli diferansiyel denklemlere Sumudu dönüşümü uygulanmış ve grafikleri yorumlanmıştır. Sekizinci bölümde sonuçlardan bahsedilmiştir.  

Anahtar Kelimeler: Atangana-Baleanu kesirli türevi, Kesirli Diferansiyel Denklemler, Laplace dönüşümü, Mittag-Leffler çekirdeği, Tekil olmayan çekirdek, Sumudu dönüşümü

Abstract:
By looking at the relationship between Riemann-Liouville and Caputo operators, which are important operators of fractional analysis, and the non-singular Mittag-Leffler kernel of Atangana-Baleanu fractional operator, the solutions of fractional differential equations containing these derivatives with the help of Laplace and Sumudu transformations are given. These transformations are also applied to partial differential equations. Similar and superior aspects of the transformations to each other are mentioned.
This thesis consists of 8 chapters. In the second chapter, the basic definitions and theorems used in fractional analysis are mentioned. In the third chapter, Gamma, Beta and Mittag-Leffler functions are introduced. In the fourth chapter, fractional derivatives of Riemann-Liouville, Caputo, Caputo-Fabrizio and Atangana-Baleanu are introduced. In the fifth chapter, Laplace and Sumudu transformations are mentioned. In the sixth chapter, examples of applications of Laplace and Sumudu transforms to differential equations containing ordinary, partial and fractional derivatives are given. In the seventh chapter, Sumudu transform is applied to some linear fractional differential equations and their graphs are interpreted. In the eighth chapter, the results are mentioned.

Keywords: Atangana-Baleanu fractional derivative, Fractional Differential Equations, Laplace transform, Mittag-Leffler kernel, Non-singular kernel, Sumudu transform