n.Fibonacci ve Lucas sayılarının ikinci kuvvetlerinin altered dizileri ve r-ardışık en büyük ortak bölen dizileri
Altered sequences of second powers of the n.Fibonacci and Lucas numbers and r-consecutive greatest common divisoder sequences
Yazar: EMRE KANKAL
Danışman: DOÇ. DR. FİKRİ KÖKEN
Necmettin Erbakan Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: En büyük ortak bölen (EBOB) dizileri = Greatest common divisor (GCD) sequences ; Fibonacci dizileri = Fibonacci sequences ; Fibonacci sayıları = Fibonacci numbers ; Lucas sayıları = Lucas numbers

Özet:
Bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde ana sonuçlarda kullanılacak olan bölünebilme ve en büyük ortak bölen özellikleri ile Fibonacci ve Lucas dizileri hakkındaki literatürdeki bilinen özelliklerinden bahsedilmektedir. İkinci bölümde incelenen altered Fibonacci ve Lucas dizileri hakkında benzer olarak yapılan literatürdeki kaynak araştırmaları verilmektedir. Ana bölümlerimiz olan üçüncü ve dördüncü bölümde, Fibonacci ve Lucas sayılarının özellikleri göz önünde tutularak n. Fibonacci ve Lucas sayılarının karesinden +1,-1 ve +9,-9 değerlerinin eklenip veyaçıkarılması ile elde edilen altered sayılardan alt Fibonacci ve Lucas dizilerinin oluştuğu görülür. Altered dizilerinin Fibonacci ve Lucas dizilerle bağıntıları elde edilir. Bu yüzden, bu altered dizilerin en az Fibonacci ve Lucas sayıları kadar öneme sahip olduğu gösterilir. Fibonacci ve Lucas dizilerinin indirgeme ve bölünebilme özelliklerinden faydalanarak; altered dizilerin benzeri indirgeme bağlantıları ve Binet formülleri verilmektedir. Benzer olarak, Fibonacci ve Lucas sayılarının ardışık terimlerinin en büyük ortak bölen özelliklerine göre altered sayılarının üzerinde r–ardışık terimlerinin en büyük ortak bölen dizileri araştırılarak Fibonacci ve Lucas alt dizi bağlantıları araştırılmaktadır. Son bölüm içinde çalışma boyunca yapılan araştırma, bulgu ve gözlemlere göre elde edilen sonuçlar ve öneriler verilmektedir.

Abstract:
This study consists of five chapters. In the subsections in the first chapter, the divisibility and greatest common divisor properties and the known properties in the literature about Fibonacci and Lucas sequences that will be used in the main results are mentioned. In the second part, similar literature studies about altered Fibonacci and Lucas sequences are mentioned. In the third and fourth sections, which are our main sections, it is seen that sub-Fibonacci and Lucas sequences are formed from altered numbers obtained by adding or subtracting the values   1, 9 from the square of the n. Fibonacci and Lucas numbers, taking into account the properties of Fibonacci and Lucas numbers. The relations of altered sequences with Fibonacci and Lucas sequences are obtained. Therefore, it is shown that these altered sequences are at least as important as the Fibonacci and Lucas numbers. By making use of the reduction and divisibility properties of the Fibonacci and Lucas sequences; Similar reduction relations of altered sequences and Binet formulas are given. Similarly, Fibonacci and Lucas subsequence connections are investigated by searching the largest common divisor sequences of r–consecutive terms on altered numbers according to the greatest common divisor properties of consecutive terms of Fibonacci and Lucas numbers. In the last section, the results and suggestions obtained according to the research, findings and observations made during the study are given.