M-spotty Rosenbloom-Tsfasman ağırlık sayacı için MacWilliams özdeşlikleri
The MacWilliams identities for m-spotty Rosenbloom-Tsfasman weight enumerator
Yazar: VEDAT ŞİAP
Danışman: DOÇ. DR. MEHMET ÖZEN
Sakarya Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2011
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Kodlama teorisi = Coding theory

Özet:
Geniş bir kullanım alanına sahip olan hata kontrol kodları, son yıllarda bilgisayar ve iletişim sistemlerindeki güvenirliliği arttırma adına birinci derecede önem kazanmıştır. Bu bağlamda, bilgisayar hafıza sistemlerindeki güvenirliliği arttırmak için hata kontrol kodlarının bir sınıfı olan m-spotty parça hata kontrol kodları inşa edilmiştir. M-spotty parça hata kontrol kodları sayesinde yüksek yoğunluklu yarı iletken RAM yongaları güçlü elektromanyetik dalgalar, radyoaktif parçacıklar ya da kozmik parçacıklardan dolayı meydana gelen ardışık hatalar etkili bir şekilde tespit edilebilmekte ve ya düzeltilebilmektedir. İlk olarak, Hamming metriği kullanılarak m-spotty parça hata kontrol kodları inşa edilmiştir. Bu çalışma da ise m-spotty Rosenbloom-Tsfasman metriği adı verilen yeni bir metrik tanımlanarak m-spotty parça hata kontrol kodları ile bazı çalışmalar yapılmaktadır. Bu çalışmalar, m-spotty Rosenbloom-Tsfasman ağırlık sayaçları için MacWilliams özdeşliklerinin elde edilmesi ve matris kodları ile m-spotty Rosenbloom-Tsfasman ağırlığının ilişkilendirilmesi çalışmasıdır.Bu tez altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, cebirsel yapıların özellikleri ile ilgili tanımlar ve teoremler, lineer kodların yapısı, m-spotty parça hata kontrol kodları ve MacWilliams özdeşliği hakkında bilgi verilmektedir.İkinci bölümde, sonlu cisimler üzerinde m-spotty parça hata kontrol kodları için yapılmış çalışmalar üzerinde durulmaktadır.Üçüncü ve dördüncü bölümlerde, yeni tanımlanan m-spotty Rosenbloom-Tsfasman metriğine göre farklı cebirsel yapılar ele alınarak, m-spotty Rosenbloom-Tsfasman ağırlık sayaçları için MacWilliams özdeşlikleri elde edilmektedir.Beşinci bölümde, m-spotty Rosenbloom-Tsfasman ağırlığı ile matris kodları ilişkilendirilmektedir.Altıncı ve son bölüm, sonuç ve öneriler kısmından oluşmuştur.

Abstract:
Error control codes have extensively been applied to semiconductor memories using high density RAM chips with wide Input/Output data. High density semiconductor RAM chips with wide Input/Output, e.g., with 8-bit or 16-bit Input/Output data, have become popular in recent years. However, these semiconductor memories are highly vulnerable to multiple random bit errors when they are exposed to strong electromagnetic waves, radio active particles, or energetic cosmic particles. These multiple random bit errors, typically 2- or 3-bit errors, are usually confined to a byte region because RAM chips, each of which corresponds to a byte having length bits, are physically independent. These errors can be effectively corrected or detected by m-spotty byte error control codes. Firstly, m-spotty byte error control codes have been characterized by the m-spotty Hamming distance. This study defines a new distance function, called m-spotty Rosenbloom-Tsfasman distance, of the m-spotty byte error control codes. Morever, this study proposes a MacWilliams type identity for m-spotty Rosenbloom-Tsfasman weight enumerators via the new distance function, which is a metric. However, it is shown that there exists a relationship between array codes and the m-spotty Rosenbloom-Tsfasman weight.This thesis consists of six chapters. In the first chapter, some basic definitions and theorems related to algebraic structures, some information about linear codes, m-spotty byte error control codes and MacWilliams identity are given.The second chapter presents a survey of the m-spotty byte error control codes over finite fields.In the third and fourth chapters, the MacWilliams identity for m-spotty Rosenbloom-Tsfasman weight enumerators over some algebraic structures is obtained.In the fifth chapter, the array codes having the m-spotty Rosenbloom-Tsfasman weight are introduced.In the sixth and the last chapter, the conclusion and possible work are given.