İki boyutlu hiperbolik bir problemde lineer olmayan optimizasyon ile ters katsayı belirleme
Inverse coefficient identification by nonlinear optimization in a two dimensional hyperbolic problem
Yazar: FAİKA DERYA ŞENDUR
Danışman: PROF. DR. MURAT SUBAŞI
Atatürk Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Amaç: Bu çalışmanın amacı, iki boyutlu hiperbolik bir başlangıç-sınır değer problemde, çözüme ait bir final anı gözlemi kullanılarak problemde yer alan bir katsayı fonksiyonunun belirlenmesini incelemektir. Bu doğrultuda, önce ele alınan hiperbolik başlangıç-sınır değer probleminin direkt çözümü için etkili bir metodun kullanılması, ardından bir optimizasyon tekniğinin güncellenerek bu tür problemlerde katsayı fonksiyonunu belirlemesi sağlanacaktır. Bu güncellenmiş tekniğin, matematiksel modellemeye yeni bir yaklaşım getirmesi hedeflenmektedir. Ayrıca, hazırlayacağımız simülasyonlar ile bu tür problemlerde çözümün etkili bir şekilde elde edilmesi amaçlanmaktadır.
Yöntem: Bu tez çalışması, iki boyutlu hiperbolik bir başlangıç-sınır değer probleminde, çözümün bir final anı gözleminden yola çıkarak ters katsayı fonksiyonunun belirlenmesiyle ilgilidir. Direkt problemin çözümü, zayıf çözüm yaklaşımı ve sonlu elemanlar yöntemi ile elde edilmiştir. Ters problem kısmında, katsayı fonksiyonunun belirlenmesi için, lineer olmayan en küçük kareler optimizasyon yöntemlerinden Levenberg–Marquardt yöntemi güncellenerek probleme uyarlanmıştır. Bu aşamada, klasik Levenberg–Marquardt yöntemine aday parametre fonksiyonları adapte edilmiş ve yerleştirilen ağırlık katsayıları sayesinde optimizasyon süreci başarıyla tamamlanmıştır. Ayrıca, MATLAB programı kullanılarak hem direkt problemin hem de ters problemin çözümünü veren simülasyonlar hazırlanmıştır. İncelenen tekniğin ve hazırlanan simülasyonların başarısı, üretilen nümerik problemler üzerinden test edilmiştir.
Bulgular: İncelenen problemde katsayı fonksiyonu çözümün bir final ânı gözleminden belirleneceği için nümerik yöntemlerin kullanılması kaçınılmazdır. Direkt problemin çözümünde literatürde mevcut olan sonlu elemanlar yöntemi kullanılmıştır. Ters katsayı belirleme kısmında ise lineer olmayan en küçük kareler optimizasyon yöntemlerinden Levenberg–Marquardt yönteminin seçilen problem için güncellenmiş hali oldukça başarılı sonuçlar vermiştir.  Çalışmada sunulan test problemleri üzerinden elde edilen veriler ve analiz sonuçları görsel ve sayısal olarak gösterilmiştir. Bu örnekler, araştırma bulgularının somut ve anlaşılır bir şekilde sunulmasına katkı sağlamıştır.
Sonuç: İki boyutlu bir hiperbolik başlangıç-sınır değer probleminde ters katsayı belirleme problemi için Levenberg-Marquardt optimalleştirme tekniğinin uyarlanmış hali ile katsayı fonksiyonu başarılı olarak elde edilebilmiştir. Çalışmanın esas katkısı bu çözümün şimdiye kadar benzer problemlerde uygulanmamış bir optimizasyon tekniği sayesinde belirlenmiş olmasıdır. Bu katkı, oluşturulan yazılım ve simülasyonlarla desteklenerek, araştırmanın pratik uygulamalar üzerindeki etkisini güçlendirmektedir. Ayrıca, yeterli sayıda nümerik test yaparak teorik sonuçları doğrulamak, araştırmanın güvenilirliğini artırmakta ve bulguların daha geniş bir kitleye ulaşmasını sağlamaktadır. Belirlenen bu yöntemin, hiperbolik denklemler için ters problemlerin çözümünde önemli bir araç olabileceği ortaya konmuştur.
Anahtar Kelimeler: Ters Problemler, Hiperbolik Denklemler, Sonlu Elemanlar Yöntemi, Sayısal Optimizasyon.

Abstract:
Purpose: The aim of this study is to examine the determination of a coefficient function in a two-dimensional hyperbolic initial-boundary value problem using a final-time observation of the solution. In this direction, first an effective method will be used for the direct solution of the hyperbolic initial-boundary value problem, then an optimization technique will be updated to determine the coefficient function in such problems. It is aimed that this updated technique will bring a new approach to mathematical modelling. In addition, the aim is to obtain a solution effectively for such problems with the simulations we will prepare.
Method: This thesis study is related to the determination of the inverse coefficient function in a two-dimensional hyperbolic initial-boundary value problem, using a final moment observation of the solution. The solution of the direct problem is obtained by the weak solution approach and the finite element method. In the inverse problem part, the Levenberg–Marquardt method, one of the nonlinear least squares optimization methods, is updated and adapted to the problem in order to determine the coefficient function. At this stage, the candidate parameter functions are adapted to the classical Levenberg–Marquardt method and the optimization process is successfully completed thanks to the weight coefficients placed. In addition, simulations that give the solution of both the direct problem and the inverse problem are prepared using the MATLAB program. The success of the examined technique and the prepared simulations is tested on the generated numerical problems.
Findings: In the problem under consideration, since the coefficient function will be determined from a final time observation of the solution, it is inevitable to use numerical methods. The finite element method available in the literature was used in the solution of the direct problem. In the inverse coefficient determination part, the updated version of the Levenberg–Marquardt method, one of the nonlinear least squares optimization methods, for the selected problem gave quite successful results. The data obtained from the test problems presented in the study and the analysis results are shown visually and numerically. These examples contributed to the presentation of the research findings in a concrete and understandable way.
Results: The coefficient function has been successfully obtained by adapting the Levenberg-Marquardt optimization technique for the inverse coefficient determination problem in a two-dimensional hyperbolic initial-boundary value problem. The main contribution of the study is that this solution has been achieved by an optimization technique that has not been applied to similar problems so far. This contribution strengthens the impact of the research on practical applications by supporting the software and simulations developed. In addition, verifying the theoretical results by performing a sufficient number of numerical tests increases the reliability of the research and ensures that the findings reach a wider audience. It has been demonstrated that this determined method can be an important tool in solving inverse problems for hyperbolic equations.
Keywords: Inverse Problems, Hyperbolic Equations, Finite Element Method, Numerical Optimization.