Zaman ölçeğinde bazı integral denklemlerin kararlılığı ve yakınsaklık sonuçları
Convergence results and stability of some integral equations on time scale
Yazar: ZEYNEP KALKAN
Danışman: DOÇ. DR. AYNUR ŞAHİN
Sakarya Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Fonksiyonlar Teorisi ve Analiz Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2024
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Banach sabit nokta teoremi = Banach fixed point theorem ; Volterra integral denklemleri = Volterra integral equations

Özet:
Bu tezin  amacı R reel sayılar kümesinin keyfi, boştan farklı ve kapalı bir alt kümesi olarak tanımlanan zaman ölçeklerinde Volterra integral denklemlerin Ulam-Hyers ve Ulam-Hyers-Rassias kararlılıklarını incelemektir. Tezde aynı zamanda farklı uzaylarda zaman ölçekleri üzerinde verilen Fredholm integral denklemlerin çözümlerinin varlığı veya tekliği incelenmiştir. Bu amaçlar doğrultusunda hazırlanan tez çalışması altı bölümden oluşmaktadır.
İlk bölüm giriş kısmına ayrılmış olup integral denklem, zaman ölçeği ve kararlılık kavramlarının tarihsel gelişimi hakkında kısaca bilgiler verilmiştir.
İkinci kısımda temel kavramlar başlığı ile tezde kullanılan temel bilgiler, teoremler ve örnekler ayrıntılı bir şekilde sunulmuştur.
Diğer kısımlar tezin orijinal sonuçlarını içermektedir.
Üçüncü bölümde, ilk olarak zaman ölçeklerinde verilen farklı türden iki Volterra integral denklemi genelleştirilmiş ve bu denklemler için Ulam-Hyers ve Ulam-Hyers-Rassias kararlılıkları incelenmiştir. Ayrıca lineer olmayan bir Volterra integral denklemi zaman ölçeği üzerinde tanımlanarak bu denklem için Ulam-Hyers ve Ulam-Hyers-Rassias kararlılık sonuçları ispatlanmış ve bu sonuçları destekleyen bir örnek sunulmuştur. Bu bölümün son kısmında ise zaman ölçeğinde verilen genel bir Volterra integral denklemin Ulam-Hyers-Rassias kararlılığına sahip olduğu gösterilmiştir. 
Dördüncü bölümde, b-metrik benzeri uzaylarda T-ortalama genişlemeyen bir dönüşümün tek bir sabit noktasının olduğu gösterilmiş ve bu dönüşüm kullanılarak T-Picard iterasyon yönteminin (T,S)-kararlılık sonucuna yer verilmiştir. Sabit nokta teoreminin sonucu ile zaman ölçeklerinde tanımlanan lineer olmayan Fredholm-Hammerstein ve lineer Fredholm integral denklemlerinin çözümlerinin varlığı ve tekliği  ispatlanmıştır. Ek olarak, bulguları desteklemek için farklı zaman ölçeklerinden iki sayısal örnek sunulmuştur.
Beşinci bölümde, ilk olarak 2022 yılında Abbas ve ark. tarafından Banach uzayında tanıtılan AA-iterasyon metodu hiperbolik metrik uzaya modifiye edilmiştir. Daha sonra bu tür uzaylarda daralma dönüşümleri için zayıf w^2-kararlılık sonucu ile genelleştirilmiş (α,β)-genişlemeyen dönüşümler için kuvvetli yakınsaklık ve Δ-yakınsaklık sonuçları incelenmiştir. Ayrıca genelleştirilmiş (α,β)-genişlemeyen dönüşümler için nümerik bir örnek sunulup, farklı iterasyon metotları ile karşılaştırmalı bir yakınsama analizi yapılmıştır. Son olarak elde edilen bulgular zaman ölçeğindeki lineer olmayan Fredholm-Hammerstein ve lineer Fredholm integral denklemleri üzerinde uygulamalar ile değerlendirilmiştir. 
Son bölüm ise sonuç ve öneriler kısmı ile tamamlanmıştır.
Bu tezden üretilen makalelerden biri Maltepe Journal of Mathematics  dergisinde diğer ikisi ise  AIMS Mathematics dergisinde  yayımlanmıştır. Bahsi geçen makaleler zaman ölçeği üzerinde integral denklemlerin kararlılığı ve çözümlerinin varlığı veya tekliği ile ilgili ileride yapılacak çalışmalara kaynak teşkil edecek niteliktedir.

Anahtar kelimeler: Zaman ölçeği, integral denklemler, kararlılık, sabit nokta, genişlemeyen dönüşümler

Abstract:
The aim of this thesis is to examine the Ulam-Hyers and Ulam-Hyers-Rassias stabilities of Volterra integral equations on time scales defined as an arbitrary, non-null and closed subset of the set of real numbers R. The thesis also examines the existence or uniqueness of the solutions of Fredholm integral equations given on time scales in different spaces. The thesis prepared for these purposes consists of six chapters.
The first chapter is devoted to the introduction and brief information is given about the historical development of the integral equation, time scale and stability concepts.
In the second part, the basic information, theorems and examples used in the thesis are presented in detail under the title of basic concepts. Other parts contain the original results of the thesis.
In the third chapter, firstly, two different types of Volterra integral equations given on time scales are generalized and Ulam-Hyers and Ulam-Hyers-Rassias stabilities are examined for these equations. In addition, a non-linear Volterra integral equation is defined on the time scale, Ulam-Hyers and Ulam-Hyers-Rassias stability results for this equation are proven and an example supporting these results is presented. In the last part of this section, it is shown that a general Volterra integral equation given on the time scale has Ulam-Hyers-Rassias stability.
In the fourth chapter, it is shown that a T-mean non-expanding transformation in b-metric-like spaces has a single fixed point, and the (T,S)-stability result of the T-Picard iteration method using this transformation is given. With the result of the fixed point theorem, the existence and uniqueness of the solutions of the nonlinear Fredholm-Hammerstein and linear Fredholm integral equations defined on time scales have been proven. Additionally, two numerical examples from different time scales are presented to support the findings.
In the fifth chapter, first published in 2022 by Abbas et al. The AA-iteration method introduced by , in Banach space, has been modified to hyperbolic metric space. Then, weak w^2-stability results for contraction transformations in such spaces and strong convergence and Δ-convergence results for generalized (α,β)-non-expansive transformations are examined. In addition, a numerical example for generalized (α,β)-non-expandable transformations is presented and a comparative convergence analysis is performed with different iteration methods. Finally, the findings were evaluated with applications on the nonlinear Fredholm-Hammerstein and linear Fredholm integral equations on the time scale. 
The last section is completed with the conclusion and recommendations section.
One of the articles produced from this thesis was published in the Maltepe Journal of Mathematics and the other two were published in the AIMS Mathematics journal. The mentioned articles will serve as a source for future studies on the stability of integral equations on the time scale and the existence or uniqueness of their solutions.

Keywords: Time scale, integral equations, stability, fixed point, nonexpansive mappings