Dual uzayda yüzeyler ve üzerindeki bazı özel eğriler
Surfaces and some special curves on these surfaces in dual space
Yazar: BUŞRA AKTAŞ
Danışman: PROF. DR. HALİT GÜNDOĞAN
Kırıkkale Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2020
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez beş bölümden oluşmaktadır.
İlk bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. Bu kısımda, çalışmanın konusu ile ilgili literatürde yer alan bilgiler verilmiştir. Ayrıca, bu bölümde çalışmanın amacı, önemi ve kaynak özetleri belirtilmiştir.
İkinci bölümde, sonraki bölümlerde kullanılacak olan temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir.
Üçüncü bölümde, ℝ² üzerinde tanımlı olan sözlük sıralama bağıntısı aracılığıyla dual sayılar üzerinde bir sıralama bağıntısı ifade edilmiştir. Dual uzayda iç çarpım, norm ve metrik kavramları bu bağıntıdan faydalanılarak yeniden ele alınmıştır. Daha sonra, dual uzayda metrik kavramının vasıtasıyla eğriler ve yüzeyler teorisinin temelini oluşturan topoloji kavramı verilmiştir.
Dördüncü bölümün ilk kısmında, dual uzayda yüzeyler teorisinde kullanılacak olan temel tanım ve teoremler inşa edilmiştir. Ayrıca, Öklid uzayında büyük öneme sahip olan invers (ters) fonksiyon teoreminin dual uzaydaki ifadesine ve ispatına yer verilmiştir. Daha sonrasında, dual uzayda yüzey kavramı detaylı bir şekilde açıklanmış ve bu kavramla ilgili bazı teoremler ifade ve ispat edilmiştir. Bu kısmın sonunda ise konunun daha iyi anlaşılabilmesi için örnekler verilmiştir. Bu bölümün ikinci kısmında, dual yüzey üzerinde dual analitik fonksiyonlar incelenmiştir. Bu bölümün üçüncü kısmında, bir dual yüzeyin tanjant uzayı kavramı tanımlanıp bu kavramla ilgili bir teorem ifade ve ispat edilmiştir. Bölümün son kısmında ise dual yüzey üzerinde özel eğrilerin tanımlanması için gerekli olan dual yüzeyin şekil operatörü kavramı ifade edilmiş ve bu kavram ile ilgili birtakım örneklere yer verilmiştir.
Beşinci bölümde, dördüncü bölümde oluşturulan kavramlardan yararlanılarak dual asli (asal) eğri, dual asimptotik eğri ve dual geodezik eğri kavramları detaylı bir biçimde incelenmiştir.

Abstract:
This thesis consists of five chapters.
The first chapter is devoted to the introduction. In this section, the information in the literature regarding the subject of the study is given. In addition, the purpose, importance and resource summaries of the study are specified in this chapter.
In the second chapter, basic definitions and theorems that will be used in the following chapters are given.
In the third chapter, an order relation on dual numbers is expressed by means of dictionary order relation defined on ℝ². The concepts of inner product, norm and metric in dual space are reconsidered by making use of this relation. Then, the concept of topology constituting the basic structure of theory of curves and surfaces is given via the expression of metric in dual space.
In the first part of the fourth chapter, basic definitions and theorems to be used in the theory of surfaces in dual space are constructed. Furthermore, the expression and proof of the inverse function theorem which is of great importance in Euclidean space are made in dual space. Afterwards, the notion of surface in dual space is explained in detail and some theorems related to this notion are expressed and proved. At the end of the part, examples are given for a better understanding of this subject. In the second part of the chapter, the dual analytic functions on dual surface are investigated. In the third part of the chapter, the tangent space of dual surface is defined and a theorem related to this concept is expressed and proved. At the end of the chapter, the concept of shape operator required to define special curves on the dual surface is expressed and some examples related to this concept are given.
In the fifth chapter, the notions of dual line of curvatures, dual asymptotic curve and dual geodesic curve are examined in detail by using the notions expressed in the fourth chapter.