Kuantum uzaylar üzerinde Hopf cebirleri ve diferansiyel hesap
Hopf algebras on quantum spaces and differential calculus
Yazar: MUTTALİP ÖZAVŞAR
Danışman: DOÇ. DR. GÜRSEL YEŞİLOT
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2012
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Diferensiyel hesaplar = Differential calculus ; Hopf cebiri = Hoph algebra ; Kuantum = Quantum ; Lie grupları = Lie groups

Özet:
Son yıllarda Lie grup teorisi ve diferansiyel geometrinin değişmeli olmayan genellemelerinde önemli ölçüde başarılar elde edildi ve matematiksel fiziğin birçok önemli yeni dalları, değişmeli olmayan yapıların en somut örnekleri olan kuantum uzaylar ve kuantum grupların çatısı altında şekillendi. Kuantum grup kavramı bir Lie grubuna karşılık gelen Hopf cebirinin deformasyonu olarak bilinmektedir. Diğer taraftan bir cebirin Hopf cebirinden faydalanmak o cebir üzerinde diferansiyel hesap oluşturmanın en etkili yöntemlerinden biridir.Biz bu çalışmada önce polinomların değişmeli cebirleri için verilen Hopf cebirleri yardımıyla deformasyonlu cebirlerin nasıl elde edilebileceğini tartıştık. Elde edilen bulgular yardımıyla Hopf cebirine sahip iki parametreli, homojen değiştirme bağıntılı bir kuantum uzay oluşturduk. Bu kuantum uzayın Hopf cebirini kullanarak bir diferansiyel hesap elde edildi. Bu diferansiyel hesaba karşılık gelen bazı deformasyonlu türev operatörleri ve ilgili Weyl cebiri verildi. Ayrıca bu kuantum uzay üzerinde Cartan-Maurer formlar ve bu formlara karşılık gelen vektör alanları çalışıldı.Bu tez çalışmasında ayrıca, homojen değiştirme bağıntılı bir kuantum uzaydan homojen olmayan değiştirme bağıntılı yeni bir deformasyonlu uzayın nasıl elde edilebileceği çalışıldı. Yapılan değerlendirmeler ışığında elde ettiğimiz iki parametreli, homojen değiştirme bağıntılı kuantum uzaydan homojen olmayan değiştirme bağıntılı yeni bir uzay elde edildi ve elde edilen bu uzay üzerinde diferansiyel hesap ve ilgili sonuçlar verildi.Son olarak da iki parametreli, homojen değiştirme bağıntılı kuantum uzay için bir dual Hopf cebiri elde edildi.Anahtar Kelimeler: Kuantum uzay, Kuantum grup, Hopf cebiri, Diferansiyel Hesap, Weyl cebiri, Dual Hopf cebiri.

Abstract:
During the last decades a spectacular development of noncommutative generalizations of differential geometry and Lie group theory has been achieved, and the respective new chapters of mathematical physics are known under the frames of quantum spaces and quantum groups which are the most concrete examples of noncommutative structures. The concept of quantum group is known as a deformation of Hopf algebra corresponding to a Lie group. On the other hand, constructing Hopf algebra for an algebra has recently been an effective method to obtain differential calculus over the algebra.In this thesis we first investigate construction of some noncommutative algebra of polynomial functions by using structures of Hopf algebra on the usual commutative algebra of polynomials. Using the main result of this investigation, we obtain a quantum space with two deformation parameters. A differential calculus is obtained for this quantum space due to its Hopf algebra structure. Thus some deformed derivations and the corresponding Weyl algebra are given. Morever, the Cartan Maurer forms and the relevant vector fields are obtained for the quantum space.In this work we also study how to derive quantum spaces with nonhomogeneous relations from a quantum space with homogeneous relations. Based on our discussions a quantum space with nonhomogeneous relations is obtained from the two-parameter quantum space with homogeneous relations, and a differential calculus and some related results on this space are given.Finally a dual Hopf algebra is given for the two-parameter quantum space with homogeneous relations.Key words: Quantum space, Quantum group, Hopf algebra, Differential calculus, Weyl algebra, Dual Hopf algebra.