Minimum sağ ideallere bağlı saflık
On purity relative to minimal right ideals
Yazar: SELÇUK SAĞBAŞ
Danışman: PROF. DR. REFAİL ALİZADE
Yaşar Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Halkalar = Rings ; Modüller = Modules ; Projektif modüller = Projective modules ; İnjektif modüller = Injective modules

Özet:
Tam sayılar halkası üzerinde, basit modüller ile düz, injektif ve projektif olarak üretilen öz sınıfarın aynı oldukları bilinmektedir. Bu sınıfar daha genel halkalar üzerinde birbirinden farklı olmaktadır. Dolayısıyla bu öz sınıfar ve homolojik nesneleri literatürde ayrı olarak incelenmiştir. Bu doktora tezinde temel olarak, bir R-halkası için tüm basit sağ modüller yerine, halkanın minimal sağ idealleri ile düz ve projektif olarak üretilen öz sınıfar ele alınmıştır.
Bu sınıfarın sırasıyla, eş-injektif ve eş-projektif nesneleri incelenmektedir. Bu nesneler sırası ile zayıf mutlak s-saf ve zayıf düz-saf olarak adlandırılmıştır. Bu modüller kullanılarak karakterize edilen bazı belirli halkalar tanımlanmıştır. Zayıf düz-saf (zayıf mutlak s-saf) modüllerin, düz-saf (mutlak s-saf), injektif, projektif, tekil olmayan veya düz modül olduğu halkalar verilmiştir. Özel olarak, bir R halkasının sağ Kasch olması için gerek ve yeter koşulun her zayıf düz-saf sağ modülün düz-saf olduğu gösterilmiştir. Her zayıf düz-saf (zayıf mutlak s-saf) sağ modülün injektif ve projektif olduğu halkaların tam olarak QF halkalar olduğu kanıtlanmıştır. Değişmeli Noether halkası için, tüm devirli zayıf düz-saf modüllerin projektif olmasının halkanın QF olmasına denk olduğu gösterilmiştir. Ayrıca, zayıf mutlak s-saf ve zayıf düz-saf modüllerin örtü ve bürüm özellikleri çalışılmıştır. Her basit sağ idealin örten projektif bürüme sahip
olduğu halkalar karakterize edilmiştir. Ayrıca, bir halkanın basit idealleri yerine sağ temel (principal) idealleri alınarak zayıf yalnız-injektif ve zayıf C-düz modülleri tanımlanmıştır. Bu modüller yardımı ile bazı halkalar karakterize edilmiştir. Bu modüllerin bürüm ve örtü özellikleri ele alınmıştır.

Abstract:
The proper classes that are flatly, injectively and projectively generated by simple modules coincide over the ring of integers. These three classes are distinct from each other, in general. Therefore each of these classes and their homological objects are studied independently. In this Ph.D. thesis, we investigate the proper classes that are flatly and projectively generated by minimal right ideals. We study the coinjective and coprojective objects of these classes respectively. These objects are termed as weakly absolutely s-pure and weakly neat-flat, respectively. Certain rings that are characterized via these modules are investigated. The rings whose weakly neat-flat (resp. weakly absolutely s-pure) modules satisfy certain conditions, such as being neat-flat (resp. absolutely s-pure), injective, projective, nonsingular or flat are studied. For instance, it is proved that R is a right Kasch ring if and only if every weakly neat-flat right R-module is neat-flat (moreover if R is right min-coherent) if and only if every weakly absolutely s-pure left R-module is absolutely s-pure. The rings over which every right weakly neat-flat (resp. weakly absolutely s-pure) module is injective and projective are exactly the QF rings. For a commutative Noetherian ring, we prove that, every cyclic weakly neat-flat module is projective if and only if the ring is QF. We also study enveloping and covering properties of weakly absolutely s-pure and weakly neat-flat modules. The rings over which every simple right ideal has an epic projective envelope are characterized. In addition, we investigate weakly singly-injective and weakly C-flat modules which are obtained by considering principal right ideals instead of minimal right ideals. Certain rings are characterized by means of these modules. We also consider enveloping and covering properties of weakly singly-injective and weakly C-flat modules.