Bulanık kısmi metrik yapıların kategorik olarak incelenmesi ve uygulamaları
Categorical analysis of fuzzy partial metric structures and their applications
Yazar: ELİF GÜNER
Danışman: PROF. DR. HALİS AYGÜN
Kocaeli Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez sekiz bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde, bahsedilen kavramlara ait literatür özeti sunulmaktadır. İkinci bölümde, üçgensel norm, rezidiyum operatörleri, bulanık küme, bulanık nokta, bulanık ve bulanıklaştırılmış topoloji gibi kavramlar temel özellikleri ile birlikte verilmektedir. 

Üçüncü bölümde, Kramosil ve Michalek (1975), Kaleva ve Seikkala (1984) ile George ve Veeramani (1994) tarafından sunulan bulanık metrik uzay yapılarının tanımları verildikten sonra Kramosil ve Michalek anlamındaki bulanık metrik (KM-bulanık metrik) uzaylarda Gregori ve Miñana (2021) tarafından verilmiş olan Banach daralma koşulunun farklı genellemeleri elde edilmektedir. Bu genellemelere ek olarak, rezidiyum operatörlerine dayalı yeni bir bulanık daralma koşulu da örnekler ile birlikte sunulmaktadır.

Dördüncü bölümde, Matthews (1994) tarafından verilen kısmi metrik uzay kavramı ile bu kavramın bir genelleştirilmesi olan ve Sedghi ve diğ. (2015) tarafından tanıtılan bulanık kısmi metrik (SE-bulanık kısmi metrik) uzay yapısı temel özellikleri ile birlikte sunulmaktadır. Ayrıca, bir SE-bulanık kısmi metrikten başka bir SE-bulanık kısmi metrik üreten ve bulanık kısmi metrik-koruyan fonksiyonlar olarak adlandırılan fonksiyonlar verilerek bazı özellikleri ve karakterizasyonları incelenmektedir.

Beşinci bölümde, Gregori ve diğ. (2019) tarafından tanımlanan bulanık kısmi metrik (KM(GV)-bulanık kısmi metrik) uzay yapısı hatırlatılarak GV-bulanık kısmi metrik uzaylarda yakınsaklık, Cauchy dizileri ve tamlık gibi temel topolojik kavramlar incelenmektedir. Daha sonra, Haghi ve diğ. (2013)'ne benzer bir bakış açısıyla bir KM-bulanık kısmi metrikten nasıl KM-bulanık metrik üretileceği ve bu sayede KM-bulanık metrik uzaylarda mevcut olan sabit nokta teoremlerinin doğrudan KM-bulanık kısmi metrik uzaylar için genişletilebileceği gösterilmektedir. 

Altıncı bölümde, Kaleva ve Seikkala anlamındaki bulanık kısmi metrik (KS-bulanık kısmi metrik) uzay kavramı tanımlanarak bazı temel özellikleri ile birlikte KS-bulanık ((ağırlıklandırılmış) quasi) metrik uzaylar arasındaki ilişkiler incelenmektedir. Bunlara ek olarak, KS-bulanık kısmi metrikler tarafından klasik topoloji, Lowen anlamında bulanık topoloji ve bulanıklaştırılmış topoloji üretildiği gösterilmektedir.

Yedinci bölümde, kısmi modüler metrik kavramı parametrelerdeki öz mesafe üzerindeki sınırlamanın esnetilmesiyle yeniden tanımlanarak, bu yapı ile modüler ayırtedilemezlik operatörlerinin bir genelleştirilmesi olarak sunduğumuz kısmi modüler ayırtedilemezlik operatörleri arasındaki ilişkiler çalışılmaktadır. Son olarak, sekizinci bölümde ise bu tez çalışması ile elde edilen sonuçlara yer verilmektedir.

Abstract:
This thesis includes eight chapters. In the first chapter, a literature summary of the mentioned notions was presented. In the second chapher, some fundamental concepts such as triangular norms, residuum operators, fuzzy set, fuzzy points, fuzzy topology and fuzzifying topology were recalled with their properties. 

In the third chapher, after giving the definitions of fuzzy metric space introduced by Kramosil and Michalek (1975), Kaleva and Seikkala (1984) and George and Veeramani (1994), it was investigated different generalizations of the Banach contraction mapping on fuzzy metric spaces in the meaning of Kramosil and Michalek (named KM-fuzzy metric spaces).In addition to these generalizations, a new fuzzy contraction condition based on residuum operators was presented with examples.

In the fourth chapter, the notion of partial metric space given by Matthews (1994) and fuzzy partial metric space, given by Sedghi et al. (2015), which is a generalization of the fuzzy manner of the notion of partial metric space (named SE-fuzzy partial metric) were presented with some of their properties. Then the notion of fuzzy partial metric preserving function which allows generating a new SE-fuzzy partial metric from an existing one was investigated with some characterizations.

In the fifth chapter, by recalling the definition of fuzzy partial metric space initiated by Gregori et al. (2019) some basic topological concepts such as convergence, Cauchy sequences and completeness were studied in GV-fuzzy partial metric spaces. In addition, with a similar view of Haghi et al. (2013), it was shown how to generate a KM-fuzzy metric from a KM-fuzzy partial metric, and by this way, it was presented that many fixed point theorems existed in KM-fuzzy metric spaces can be directly extended for KM-fuzzy partial metric spaces. 

In the sixth chapter, the concept of fuzzy partial metric space in the sense of Kaleva and Seikkala (named KS-fuzzy partial metric) was defined and the relations between KS fuzzy partial metric space and KS-fuzzy ((weighted) quasi) metric spaces were obtained. In addition to these, it is shown that classical topology, fuzzy topology in the sense of Lowen, and fuzzifying topology were generated by KS-fuzzy partial metrics. 

In the seventh chapter, the partial modular metric concept was redefined by relaxing the condition on the self-distance of parameters. Then, the duality relations between this structure and the partial modular indistinguishability operators, which we present as a generalization of the modular indistinguishability operators, were studied. Finally, in the eighth chapter, the results of this thesis study were given.