Matris değişkenli dağılımlar ve robust istatistiksel analize uygulamaları
Matrix variate distributions and applications in robust statistical analysis
Yazar: YAKUP MURAT BULUT
Danışman: DOÇ. DR. ARZU ALTIN YAVUZ ; PROF. DR. OLCAY ARSLAN
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / İstatistik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2015
Konu: İstatistik = Statistics

Özet:
İstatistik literatürüne bakıldığında, bilgisayar dünyasındaki gelişmelere paralel olarak veri yapılarında da bir değişim ve gelişim olduğu gözlemlenmektedir. Daha önce birimlere ait tek bir değişken incelenirken, son yıllarda ise birden çok değişken incelenmeye başlanmıştır. Günümüzde ise birimlere ait birden çok değişken farklı zamanlarda veya mekanlarda incelenmeye başlanmıştır. Bu tür verileri modellemek için artık çok değişkenli dağılımlar yerine matris değişkenli dağılımlar tanımlanmak ve çok değişkenli dağılımların matris değişkenli dağılımlara genişletilmeleri yapılmak zorunda kalınmıştır.
    Bu tez çalışmasında genel olarak matris değişkenli dağılımlar ele alınmıştır. Literatürde var olan matris değişkenli normal dağılıma alternatif olan matris değişkenli slash dağılımı tanımlanmıştır. Dağılımsal özellikleri detaylı olarak incelenmiştir. Ayrıca, literatürde tanımlanmış olan fakat detayları verilmemiş olan matris değişkenli t dağılımı ele alınarak matris değişkenli normal dağılımın ölçek karması olarak yeniden tanımlanmıştır. Bu dağılımın dağılımsal özellikleri detaylı olarak incelenmiş ve literatürde olmayan bazı dağılımsal özellikleri verilmiştir. Matris değişkenli slash ve matris değişkenli t dağılımına sahip rassal matrislerin fonksiyonların beklenen değerleri ele alınmıştır. Matris değişkenli slash ve matris değişkenli t dağılımlarının parametrelerini tahmin etmek için EM algoritmaları verilmiştir. Verilen EM algoritmalarının parametre tahminlerini etkin olarak tahmin edip etmediğini kontrol etmek için simulasyon çalışmaları yapılmıştır. Önerilen matris değişkenli slash ve t dağılımı, matris değişkenli normal dağılıma alternatif olarak robust tahminler bulduğunu göstermek için, literatürde varolan matris değişkenli bir veri setini modellemede kullanılmıştır.

Abstract:
Recent statistical literatures show that parallel to the improvements in computational software, data structures have changed dramatically. Instead of considering single variables, scientists consider multivariate data. More recently, the structure of the data has changed from multivariate to matrix variate. The multivariate data for units have being considered for different time or location. Therefore, instead of having multivariate data, we have matrix variate data. Because of this data structure, the matrix variate distributions, instead of multivariate distributions, have been proposed to model this type of data. Further, many multivariate distributions are also extended to the matrix variate distributions.
    In this thesis, matrix variate distributions are generally investigated. Matrix variate slash distribution is defined as an alternative to matrix variate normal distribution that is around in literature. Distributional properties of the matrix variate slash distribution are examined in detail. Furthermore, matrix variate t distribution, which exists in literature, is redefined using scale mixture of matrix variate normal distribution. Some distributional properties of matrix variate t distribution are also investigated. Some properties that is not given in literature are also obtained. Expected values of some random matrices that have matrix variate t distribution and matrix variate slash distribution are studied. EM algorithm is given to estimate parameters of matrix variate slash and matrix variate t distributions. Simulation study is performed to control whether the proposed EM algorithms correctly find the estimates of the parameters. Furthermore, a real data example is considered to evaluate the robustness of the estimators based on the proposed matrix variate slash distribution and the matrix variate t distribution.