Kompleks düzlemin çeşitli bölgelerinde cebirsel polinomların davranışı
Behavior of algebraic polynomials in various regions of the complex plane
Yazar: NAZLIM DENİZ ARAL
Danışman: PROF. DR. FAHREDDİN ABDULLAYEV
Mersin Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2012
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Cebirsel polinomlar = Algebraic polynomials ; Konform dönüşümler = Conformal mappings

Özet:
\[\mathbb{C}\]- kompleks düzlem; \[G\,\subset \mathbb{C}\], \[L:=\partial G\] Jordan eğrisi ile sınırlı sonlu bir bölge ve $\Omega :=ext\overline{G}$ olsun. \[w=\Phi \left( z \right)\] ile \[\Omega \] bölgesini \[\Delta :=\left\{ w:\,\left| w \right|>1\, \right\}\] bölgesine konform resmeden ve \[\Phi \left( \infty \right)=\infty ,\,\,\,\,{\Phi }'\left( \infty \right)>0\] koşullarını sağlayan dönüşüm gösterilsin.\[{{A}_{p}}\left( G \right)\] ile \[\beta (0,z)\] bölgesinde analitik ve \[\left\| f \right\|_{{{A}_{p}}\left( G \right)}^{p}:=\iint\limits_{G}{{{\left| f\left( z \right) \right|}^{p}}d{{\sigma }_{z}}}<\infty \] koşulunu sağlayan fonksiyonlar sınıfı işaret edilsin, burada \[\sigma \] ile \[G\] üzerinde tanımlı iki boyutlu Lebesque ölçüsü gösterilmektedir. $n$, bir doğal sayı olmak üzere, \[{{\zeta }_{1}}\] ile derecesi \[{{\zeta }_{2}}\]'yi aşmayan polinomlar sınıfı gösterilsin. Bilindiği gibi Bernstein-Walsh Lemması \[\left| {{P}_{n}}\left( z \right) \right|\le {{\left| \Phi \left( z \right) \right|}^{n+1}}{{\left\| {{P}_{n}} \right\|}_{C\left( \overline{G\,} \right)}}\,\,\,,\,\,\,z\in \Omega \](*) dir [1].Bu tezde; (*) eşitsizliği, sağ tarafındaki \[{{\left\| {{P}_{n}} \right\|}_{C\left( \overline{G\,} \right)}}\] sayısının \[{{\left\| {{P}_{n}} \right\|}_{{{A}_{2}}\left( G \right)}}\]sayısı ile değiştirilerek, kompleks düzlemin çeşitli bölgelerinde incelendi.Aynı zamanda $X$ ve $Y$, $G$ de tanımlı fonksiyonların normlu (veya yarı normlu) uzayları olmak üzere,\[{{\left\| P_{n}^{\left( k \right)} \right\|}_{X\left( Y \right)}}\le A\left( k,n,G \right){{\left\| {{P}_{n}} \right\|}_{Y}}\]şeklindeki eşitsizliklerin bulunması problemi incelendi. Burada \[A\left( k,n,G \right)\,\] genelde \[\,k,n\] ve \[G\]'ye bağlı sabittir.

Abstract:
Let \[\mathbb{C}\] denote the complex plane, $G\subset \mathbb{C}$ be a finite region whose boundary \[L:=\partial G\] is a Jordan curve. $\Omega :=ext\overline{G}$. Let \[w=\Phi \left( z \right)\] be the conformal mapping of \[\Omega \] onto the \[\Delta :=\left\{ z:\,\left| z \right|>1\, \right\}\], normalized by \[\Phi \left( \infty \right)=\infty ,\,\,{\Phi }'\left( \infty \right)>0.\] Let us denote by \[{{A}_{p}}\left( G \right)\] the set of functions \[f\] analytic in \[G\] and satisfying \[{{\left\| f \right\|}^{p}}_{A_{p}^{1}}:=\left\| f \right\|_{{{A}_{p}}\left( G \right)}^{p}:=\iint\limits_{G}{{{\left| f\left( z \right) \right|}^{p}}d{{\sigma }_{z}}}<\infty \], where \[\sigma \] is two-dimensional Lebesque measure. Let us denote by \[{{\wp }_{n}}\] the class of polynomials deg\[{{P}_{n}}\le n\,\,\,\left( n\in \mathbb{N} \right)\]. It is well known Bernstein-Walsh Lemma says: \[\left| {{P}_{n}}\left( z \right) \right|\le {{\left| \Phi \left( z \right) \right|}^{n+1}}{{\left\| {{P}_{n}} \right\|}_{C\left( \overline{G\,} \right)}}\,\,\,,\,\,\,z\in \Omega \](*)In this thesis, the inequality (*) has been investigated by replacing the number ${{\left\| {{P}_{n}} \right\|}_{C\left( \overline{G} \right)}}$ by ${{\left\| {{P}_{n}} \right\|}_{{{A}_{2}}\left( G \right)}}$ for some regions of complex plane.Moreover, the problem of finding\[{{\left\| P_{n}^{\left( k \right)} \right\|}_{X\left( Y \right)}}\le A\left( k,n,G \right){{\left\| {{P}_{n}} \right\|}_{Y}}\]type inequalities have been investigated, where $X$ and $Y$ are the normed (or seminormed) spaces of functions on $G$ and $A\left( k,n,G \right)$ is a constant which depends on $k,n,G$.