Haar integrali
The Haar integral
Yazar: NAZAN MAHSERECİ
Danışman: PROF. DR. AHMET DERNEK
Marmara Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2007
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Kompakt uzaylar = Compact spaces ; Topolojik gruplar = Topological groups

Özet:
Yerel kompakt uzaylar üzerinde bir integral, kompakt destekli fonksiyonlarınuzayı üzerinde tanımlı pozitif fonksiyoneller yardımıyla tanımlanabilir. Yerelkompakt gruplarda ise bir fonksiyonel yardımıyla tanımlanan integralin invaryantolması beklenir. Bu çalısmanın temel amacı yerel kompakt gruplar üzerinde tanımlısol invaryant bir integralin varlıgını göstermektir.Bölüm I de, invaryant integralin varlık ve teklik probleminin tarihsel gelisimihakkında bilgi verildi.Bölüm II de, Temel Bilgiler baslıgı altında çalısma süresince kullanılan temelkavramların tanımları verildi. Haar integralinin yerel kompakt gruplar üzerindetanımlandıgından bazı soyut uzay tanımları verildi; Metrik uzay, topolojik uzay,kompakt ve yerel kompakt uzaylar, lineer vektör uzayları ve Banach uzayları, iççarpım uzayı. Yine bu baslık altında çalısmanın en temel teoremlerinden biri olanUrysohn Lemma'sının yerel kompakt uzaylara iliskin sonucu bir teoremle verildi.Son olarak ölçü kavramı ve cebir, - cebir ve Borel cebiri tanımları da yine bu baslıkaltında verildi.Teorik Yaklasımlar baslıgı altında ilk olarak yerel kompakt uzaylar üzerindetanımlı bir fonksiyonel ile bir integral arasındaki iliskiden bahsedildi. Daha sonrayerel kompakt grup üzerinde integral tanımı verildi ve bu integralin varlıgınıgöstermek için kullanılan yöntem tanıtıldı.Bölüm III de, ilk olarak yerel kompakt uzaylar üzerinde tanımlı kompaktdestekli sürekli fonksiyonların uzayında tanımlı bir fonksiyonel yardımıyla, uzayüzerinde bir integralin insası incelendi.vTopolojik Gruplar baslıgı altında, topolojik grubun tanımı ve bazı özellikleriverildi. Yine bu baslık altında topolojik gruplar üzerinde düzgün sürekli ve soldüzgün sürekli fonksiyon tanımları verildi.Haar ntegrali baslıgı altında, tez çalısmasının temel amacı olan, yerel kompaktuzaylar üzerinde invaryant bir integralin varlıgı ve tekligi gösterildi. Kompaktdestekli sürekli iki fonksiyonun konvolüsyonu, modüler fonksiyon, involüsyonkavramları verildikten sonra konvolüsyon ve involüsyon arasındaki iliski incelendi.Son olarak, Kompakt Gruplar Üzerinde Fourier Serileri baslıgı altında, Haarintegralinin bir uygulaması olarak, kompakt gruplar üzerinde Fourier serilerininkatsayılarının nasıl hesaplanacagı gösterildi.

Abstract:
On a local compact space, an integral can be associated to a functional on Cc(X), thespace of functions with compact support. If the local compact space is a local compact group,then one can ask for the existence of an integral which is invariant under left translation. Thusthe main aim of this thesis is to show the existence of an invariant integral on local compactgroups.In Chapter I, historical development of the problem of the existence and uniqueness ofinvariant integral are presented.In Chapter II, under the title of General Background, information is given about someabstract spaces; Metric spaces, topological spaces, vector spaces, Banach spaces, pre- Hilbertand Hilbert spaces. In addition, a result from Urysohn?s lemma is obtained for local compactspaces. Finally, some notions on measures are presented.Under the title of Theorical Approach, the relation between a functional on Cc(X) andan integral on X is presented. An integral on local compact groups and the method used toprove the existence of integral are described.In Chapter III, the construction of integral on local compact groups with the aid offunctional on Cc(X) is described.Under the title of Topological Groups, a topological group and its characteristics aredescribed.Under the title of the Haar Integral, the existence and uniqueness of invariant integral onlocal compact groups are shown. The definitions of convolution of two functions, modularfunction, involution and the relation between convolution and involution are also explained.viiFinally, under the title of Fourier Series on Compact Groups, as an application of Haarintegral, the calculation of Fourier series of a function on a compact group is demonstrated.