Sonlu tipten alt manifoldlar ve Gauss tasvirleri
Finite type submanifolds and Gauss maps
Yazar: BURCU BEKTAŞ
Danışman: DOÇ. DR. ELİF CANFES ; PROF. DR. UĞUR DURSUN
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2017
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Euclid uzayında sonlu tipten alt manifold tanımı ilk kez 1970'li yılların sonlarına doğru 
B.-Y. Chen tarafından ortaya atılmıştır. Başlangıçta, Euclid uzayında kompakt manifoldların toplam ortalama eğrilikleri
için en iyi tahmini yapabilmek ve Euclid uzayının alt manifoldlarına ait derece kavramını tanımlayabilmek için 
ortaya atılan bu kavram zaman içinde aktif bir araştırma alanı haline gelmiştir. 
Daha sonra sonlu tipten kavramı, Euclid veya yarı--Euclid uzayının alt manifoldları
üzerinde tanımlı diferansiyellenebilir tasvirlere genişletilmiştir.
Bu tez çalışması boyunca, yarı--Euclid uzayında 
bazı dönme matrisleri altında değişmez kalan dönel yüzeylerden Gauss tasviri 
noktasal 1--tipinden olanların ve
yarı--küresel Gauss tasviri sonlu tipten olan yarı--kürenin yarı--Riemann alt manifoldlarının
sınıflandırması ve karakterizasyonu yapılacaktır.
Bu tezin içeriği ve elde edilen sonuçlar kısaca aşağıdaki şekilde verilebilir:
Birinci bölümde, tez çalışmasının konusu üzerine bir giriş yapılmış ve
sonlu tipten teorisi ve noktasal 1--tipinden Gauss tasvirine sahip alt manifoldlar ile ilgili literatürde 
yer alan çalışmalardan bahsedilmiştir.
İkinci bölümde, tez çalışmasına temel oluşturacak kavramlardan ve teoremlerden bahsedilmiştir.
Konu ile ilgili alt yapı bu bölümde yer almaktadır. 
Üçüncü bölümde ise, yarı--Euclid uzayının bazı dönel yüzeylerinden bahsedilmiştir. 
Bu yüzey ailelerinden noktasal 1--tipinden Gauss tasvirine sahip olanlarla ilgili
sınıflandırma ve karakterizasyon teoremleri elde edilmiştir. Bu bölüm üç alt bölümden oluşmaktadır.
İlk olarak, E^4_1 Minkowski uzayında profil eğrisi 2--boyutlu zamansal düzlem 
içinde kalan zamansal dönel yüzeyler üzerine çalışılmıştır. Bu dönel yüzeyler çift dönmeli dönel yüzey
olarak isimlendirilmiştir. Çift dönmeli zamansal dönel yüzeylerden birinci çeşit veya ikinci çeşit 
noktasal 1--tipinden Gauss tasvirine sahip olanlar sınıflandırılmıştır. 
İkinci kısımda, E^4_1 Minkowski uzayında iki boyutlu dönme eksenine sahip bazı 
özel dönmeler üzerinde çalışılmıştır. Eliptik, hiperbolik ve parabolik olmak üzere üç 
çeşit dönel yüzey incelenmiştir. 
Bu bölümde elde edilen sonuçlar yüzeyin uzaysal veya zamansal olmasına göre ayrılmıştır.
Eliptik ve hiperbolik tipten düz uzaysal dönel yüzeylerden noktasal 1--tipinden Gauss tasvirine 
sahip olanlar sınıflandırılmıştır. Daha sonra, parabolik tipten düz uzaysal dönel yüzeylerden 
harmonik Gauss tasvirine sahip olanlar belirlenmiştir ve 
E^4_1 Minkowski uzayında ikinci çeşit noktasal 1--tipinden Gauss tasvirine sahip,
parabolik tipten düz uzaysal bir dönel yüzey olmadığı gösterilmiştir.
Benzer şekilde, sınıflandırma ve karakterizasyon teoremleri eliptik, hiperbolik
ve parabolik tipten düz zamansal dönel yüzeyler için elde edilmiştir.
Ancak, E^4_1 Minkowski uzayında parabolik tipten düz zamansal bir dönel yüzeyin noktasal 1--tipinden 
Gauss tasvirine sahip olamayacağı sonucu bulunmuştur. 
Son olarak, profil eğrisi 2--boyutlu düzlem içinde kalan ve 
E^4_2 yarı--Euclid uzayının bazı dönmeleri altında 
değişmez kalan dönel yüzeyler incelenmiştir.
Bu dönel yüzeylerden sıfır ortalama eğriliğe sahip olanlar sınıflandırılıktan sonra, 
Gauss tasviri noktasal 1--tipinden olanlar üzerine çalışılmıştır.
E^4_2 uzayının bu şekilde tanımlanan dönel yüzeylerinden yarı--ombilik olanlar belirlenmiştir. 
Bu dönel yüzeylerden noktasal 1--tipinden 
Gauss tasvirine sahip olanlar sınıflandırılmıştır.
Dördüncü bölümde, yarı--kürenin sonlu tipten yarı--küresel Gauss tasvirine sahip 
yarı--Riemann alt manifoldları incelenmiştir. Bu bölüm üç alt bölümden oluşmaktadır.
İlk olarak, harmonik yarı--küresel Gauss tasvirine sahip yarı--kürenin yarı--Riemann
alt manifoldları için karakterizasyon teoremi elde edilmiştir. 
Özel olarak, yarı--kürenin uzaysal ve Lorentziyen yüzeyleri için sınıflandırma yapılmıştır.
Daha sonra, yarı--kürenin 1--tipinden yarı--küresel Gauss tasvirine sahip yarı--Riemann
alt manifoldları için sınıflandırma yapılmıştır. Bu sınıflandırma
yarı--küresel Gauss tasvirinin spektral açılımının sıfırdan farklı sabit terimi
içerip içermemesine göre incelenmiştir. 
S^{m-1}_s yarı--küresinin bir yarı--Riemann alt manifoldunun spektral açılımında sabit terimi sıfır olan 
1--tipinden yarı--küresel Gauss tasvirine sahip olması için gerek ve yeter koşul, 
bu yarı--Riemann alt manifoldunun skaler eğriliğinin sabit, normal konneksiyonun düz
ve S^{m-1}_s yarı--küresi içinde ortalama eğrilik vektörünün sıfır olması
gerektiği sonucuna ulaşılmıştır. 
Yarı--kürenin herhangi boyutlu ve indeksli bir yarı--Riemann alt manifoldu için yukarıda verilen 
karakterizasyon teoreminden sonra  
özel olarak, yarı--kürenin uzaysal ve Lorentziyen yüzeylerinden yarı--küresel 
Gauss tasviri 1--tipinden olanlar sınıflandırılmıştır. 
Spektral açılımında sıfırdan farklı sabit terim içeren 1--tipinden yarı--küresel
Gauss tasvirine sahip yarı--Riemann alt manifoldları üzerine çalışılmıştır ve
bu sınıflandırma 
yarı--Riemann alt manifoldunun ortalama eğrilik vektörünün karakterine 
göre iki ayrı teoremde ifade edilmiştir.  
Ayrıca, S^{n+1}_s yarı--küresinin tümden ombilik düz bir hiperyüzeyinin, yani,
yarı--horohiperkürenin, biharmonik yarı--küresel Gauss tasvirine sahip olduğu gösterilmiştir.
Son kısımda, yarı--kürenin 2--tipinden yarı--küresel Gauss tasvirine sahip olan yarı--Riemann
alt manifoldları incelenmiştir. İlk olarak, S^4_s yarı--küresi içinde ortalama eğrilik
vektörü sıfır olan bir yüzey için yarı--küresel Gauss tasvirinin ikinci Laplasiyen ifadesi 
hesaplanmıştır. 
S^4_2 yarı--küresi içinde sıfır ortalama eğrilik vektörüne sahip, yönlendirilmiş Lorentziyen
bir yüzeyin 2--tipinden yarı--küresel Gauss tasvirine sahip olabilmesi için gerek ve yeter koşulun
bu yüzeyin Gauss eğriliğinin K=1/3 ve normal eğriliğinin |K^D|=2/3 olması
gerektiği ispatlanmıştır.
Bu ifadeye örnek olarak, Lorentziyen Veronese yüzeyi verilmiştir. 
S^4 küresi içinde 2--tipinden küresel Gauss tasvirine sahip yegane yüzey Veronese yüzeyi iken,
S^4_2 yarı--küresi içinde Lorentziyen Veronese yüzeyinden başka 2--tipinden yarı--küresel
Gauss tasvirine sahip yüzey ailelerinin var olduğu sonucu elde edilmiştir. 
Daha sonra yarı--Riemann manifoldlarının yarı--Riemann hiperyüzeyleri üzerine çalışılmıştır.
Köşegenleştirilebilen şekil operatörüne sahip, yani, 
has yarı--Riemann hipeyüzeylerin 2--tipinden yarı--küresel Gauss tasvirine sahip 
olması için gerek ve yeter koşul elde edilmiştir. S^3_1 de Sitter uzayının has yüzeylerinden 2--tipinden yarı--küresel Gauss tasvirine 
sahip olanlar sınıflandırılmıştır. 
Lorentziyen yüzeylerin şekil operatörlerinin köşegenleşmek zorunda olmaması, Riemann'da karşılığı 
olmayan, örneğin B--scroll ve kompleks çemberler gibi, bazı yüzey ailelerinin ortaya çıkmasına yol açmıştır. 
Bu çalışmada ise, S^3_1 de Sitter uzayı içindeki B--scroll yüzeyinin yarı--küresel Gauss tasviri 
sıfırlı 2--tipinden olduğu gösterilmiştir.

Abstract:
In the late 1970's, the theory of finite type submanifolds in Euclidean space was initiated by B.-Y. Chen. Later, the notion of finite type was extended to differentiable maps on Riemannian manifolds,
especially, to Gauss maps of Euclidean submanifolds. 
Since then, many geometers have obtained substantial results about characterizing or classifying the submanifoldsof Euclidean space or pseudo--Euclidean space in terms of finite type. 
The generalization to more general maps attracted the interest of people working in analysis to
finite type theory, and it is now considered an active research field with several open problems.
In this thesis, there are two main problems which are studied. One of them is related to 
different types of rotational surfaces in the pseudo--Euclidan space with pointwise 1--type
Gauss map and the other one is pseudo--spherical submanifolds with finite type pseudo--spherical
Gauss map. A short overview of the results obtained in this thesis is given as follows. 
In the first chapter, main topics of thesis are discussed briefly and a review of literature about
finite type theory and submanifolds with pointwise 1--type Gauss map is mentioned. 
In the second chapter, a short survey of all the theory that will be needed in the following
chapters is given.
The aim of the third chapter is to obtain some classification and characterization theorems 
of some special classes of rotational surfaces in the pseudo--Euclidean space with
pointwise 1--type Gauss map of the first kind and the second kind. 
The scheme of problems in the third chapter is as following:
First, timelike rotational surface in the Minkowski 4--space with profile curve 
lying in 2--dimensional timelike plane, which is called double rotational surface, is studied. 
All such surfaces with pointwise 1--type Gauss map of the first kind are classified and then 
timelike double rotational surfaces with pointwise 1--type Gauss map of the second kind are focused. 
Then, it is proved that there exists no non--planar timelike rotational surface with flat normal bundle and pointwise 1--type Gauss map of the second kind. 
Secondly, a different class of rotational surfaces in Minkowski space E^4_1 with 2--dimensional axis is considered. There are three types of rotational  
surfaces with 2--dimensional axis, called rotational surfaces of elliptic, hyperbolic
or parabolic type which are invariant under spacelike rotation, hyperbolic rotation and
screw rotation, respectively. All flat spacelike rotational surfaces of elliptic and 
hyperbolic types with pointwise 1--type Gauss map of the first and  second kind are determined.
Then, flat spacelike rotational surfaces of parabolic type with harmonic Gauss map
are characterized. Also, it is shown that there exists no flat spacelike rotational surface of parabolic type in E^4_1 with pointwise 1--type Gauss map of the second kind.
Similarly, the classification and characterization of flat 
timelike rotational surfaces of elliptic, hyperbolic and parabolic types in Minkowski space 
with 2--dimensional axis and having pointwise 1--type Gauss map are done. Also, it is shown that
there exists no flat timelike rotational surface of parabolic type in E^4_1 with pointwise 1-type Gauss map.
Finally, some special classes of non--planar rotational surfaces in the pseudo--Euclidean space 
E^4_2 with profile curves lying in 2--planes are considered. The differential equation that characterizes such rotational surfaces in E_2^4 with zero mean curvature
is solved and examples of maximal surfaces and Lorentz surfaces with zero mean curvature
in E^4_2 are given. Then, such rotational surfaces in the pseudo--Euclidean space
E^4_2 with zero mean curvature vector and having pointwise 1--type Gauss map of the second
kind are obtained. Furthermore, all such pseudo--umbilical rotational surfaces in the pseudo--Euclidean E^4_2 are determined, and they are examined in terms of having pointwise 1--type Gauss map. 
In the fourth chapter, pseudo--spherical submanifolds with finite type pseudo--spherical
Gauss map which is obtained from Obata's map for pseudo--spherical immersions are studied. 
The scheme of problems in the fourth chapter is as following:  
First of all, the pseudo--Riemannian submanifolds in the pseudo--sphere with harmonic pseudo--spherical Gauss map
are considered. Then, Riemannian and Lorentzian surfaces of arbitrary codimension
in a pseudo--sphere whose pseudo--spherical Gauss map is harmonic are completely classified. 
In some cases, a global classification is obtained, while in the other cases the surfaces are
described by an explicit system of partial differential equations.   
Secondly, the characterization of pseudo--Riemannian submanifolds 
in the pseudo--sphere S^{m-1}_s\subset E^m_s
with 1--type pseudo--spherical Gauss map is obtained. This is divided into two cases depending on 
whether the spectral decomposition of the pseudo--spherical Gauss map contains
a non--zero constant component or not. 
It is proven that a pseudo--Riemannian submanifold of S^{m-1}_s\subset E^m_s 
has 1--type pseudo--spherical Gauss map with zero constant component in its spectral decomposition
if and only if it has zero mean curvature vector in S^{m-1}_s\subset E^m_s, 
constant scalar curvature and flat normal connection. 
Also, a complete classification for spacelike surfaces and Lorentzian surfaces in the 
pseudo--sphere S^{m-1}_s\subset E^m_s is determined. 
Then, the pseudo--Riemannian submanifolds of a pseudo--sphere with 1--type pseudo--spherical Gauss map having a non--zero
constant component in its spectral decomposition are considered. 
According to the casual character of the mean curvature, two different classification theorems are obtained. 
Moreover, it is showed that an $n$--dimensional pseudo horosphere in 
S^{n+1}_s\subset E^{n+2}_s, that is, a flat and totally umbilical hypersphere of S^{n+1}_s,
has biharmonic pseudo--spherical Gauss map.
Finally, pseudo--Riemannian submanifolds in a pseudo--sphere with 2--type pseudo--spherical Gauss map are considered. It is shown that a Lorentzian surface in a pseudo--sphere S^4_2\subset E^5_2
with zero mean curvature vector in S^4_2 has 2--type pseudo--spherical Gauss map if and only if
it has Gaussian curvature K=1/3 and normal curvature K^D with |K^D|=2/3.
As an example for above statement, Lorentzian Veronese surface is mentioned and the geometric quantities of this surface
are given. It is known that Veronese surface in S^4 is the only minimal surface 
with 2--type spherical Gauss map. However, there are surfaces in S^4_2\subset E^5_2 with 2--type pseudo--spherical Gauss map apart from Lorentzian Veronese surface.
Moreover, pseudo--Riemann hypersurfaces in a pseudo--sphere are studied. 
The necessary and sufficient condition having 2--type pseudo--spherical Gauss map
for pseudo--Riemannian hypersurfaces with a diagonalizable shape operator, which is called proper hypersurfaces, is obtained. That is, a non--totally umbilical proper hypersurface in a pseudo--sphere S^{n+1}_s\subset E^{n+2}_s with non--zero constant mean curvature has 
2--type pseudo--spherical Gauss map if and only if it has constant scalar curvature.
In particular, a classification of proper surfaces 
in the de Sitter space S^3_1\subset E^4_1 with 2--type pseudo--spherical Gauss map is given.
It is well--known that the shape operator of a pseudo--Riemannian surface does not need to be diagonalizable. Because of this fact, there are significant differences between Riemannian and pseudo--Riemannian cases.
There are some families of surfaces in the pseudo--Riemannian manifolds which have no Riemannian counterparts such as the B--scrolls and the complex circles. 
Then, Lorentzian surfaces in the de Sitter space S^3_1\subset E^4_1 with non--diagonalizable
shape operator are examined. It is given that the B--scroll over a null curve in S^3_1\subset E^4_1 has null 2--type pseudo--spherical Gauss map. As a consequence, it is proved that a Lorentzian surface in S^3_1 with non--zero constant mean curvature and a non--diagonalizable shape operator at any point has null 2--type pseudo--spherical Gauss map if and only if it is an open part of a non--flat B--scroll over a null curve.