Lorentz metrik uzayı üzerine
On the space of Lorentz metrics
Yazar: AMIRA OSO
Danışman: PROF. DR. MİNE TURAN
Kütahya Dumlupınar Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu araştırma 5. bölüme ayrılmıştır:                                                                                         1. bölüm, bu makalenin giriş ve araştırma amacını oluşturmaktadır. 2. kısım Lorentz uzayın temel kavramını tanıtıyor ve 3. kısım dual uzayı ve {ID}_1^3  dual Lorentz uzayı tanımlıyor. 4. Bölüm {IR}_1^3  ve  {ID}_1^n\ \ n - boyutlu dual Lorentz uzayından bahsedilmiştir.                             5. Beşinci bölümde  tezin asıl amacı olan Lorentz metriklerinin uzayı incelenmiştir.    Örnek Einstein denklemleri , space-timleri , global özellikleri , G-tekilikler gibi konular ile alınmıştır. Bu bölümde, David E. Lerner'in "Lorentz metrik uzayları" başlıklı çalışmasına dayanmaktadır. Bu çalışma, kompakt-olmayan 4-manifold üzerindeki tüm 𝐶² Lorentz metriklerinin kümesini ele almaktadır. Bu metrikler, manifoldun fiziksel uzay-zaman yapısını tanımlayan önemli öğelerdir.                                                                                                                  Manifold üzerindeki Lorentz metriklerinin kümesi, Whitney ince 𝐶²  topolojisi ile verilmiştir. Bu topoloji, manifoldun üzerinde tanımlanan vektör alanları arasındaki kesitlerin topolojisini tanımlar. Bu tanım, Lorentz metriklerinin manifoldun topolojik özelliklerini yansıttığını ve analiz etmek istediğimiz uzay-zaman yapısının doğru bir çerçevesini sağladığını gösterir.                                                                                                           Özellikle space-like manifoldların global özelliklerini ve tekillik teoremlerini tartışmak için önemli bir temel oluşturur. Space-like manifoldlar, uzay-zamanın fiziksel özelliklerini tanımlayan ve genel görelilik teorisinde önemli bir rol oynayan yapılar arasındadır. Bu çalışma, bu manifoldların genel özelliklerini incelemek ve tekillik teoremlerini daha derinlemesine anlamak için doğru bir çerçeve sunar.                                                                 Ana sonuç olarak, Robertson-Walker büyük patlamasının (sonlu geçmişte global sonsuz yoğunluk tekilliği) Lorentz metriklerinin davranışını ele alan bir teorem sunulmaktadır. Bu teorem, metrik tensörün yeterince küçük, ancak başka türlü rastgele, sonlu 𝐶²  perturbasyonları altında kararlı olduğunu gösterir. Bu sonuç, büyük patlamanın evrenin genel davranışını nasıl etkilediğini ve tekilliklerin nasıl oluştuğunu anlamak için önemli bir adımdır.                                                                                                                                 Lorentz metriklerinin uzayında yapılan analizler ve sonuçlarla uzay-zaman yapısının daha iyi anlaşılmasına katkıda bulunur. Bu konu, genel görelilik teorisi ve kozmoloji gibi alanlarda derinlemesine çalışmalara ve araştırmalara ilham verir.

Abstract:
This research it is divided into 5 parts:                                                                                Chapter 1, is the introduction and research purpose of this article. part 2 ,  Lorentz introduces the basic concept of space and The third part is the dual space and {ID}_1^3  dual Lorentz space defines it. In Chapter 4,  {IR}_1^3   and   {ID}_1^n    n-dimensional dual Lorentz spaces are mentioned. In the fifth chapter, the space of Lorentz metrics, which is the main purpose of the thesis, is examined. For Example topics such as Einstein equations, space-tims, global properties, G-singularities are discussed.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     This study is based on David E. Lerner's work titled "Lorentz metric spaces". This study considers the set of all 𝐶² Lorentz metrics on the non-compact 4-manifold. These metrics are important elements that define the physical space-time structure of the manifold. The set of Lorentz metrics on the manifold, Whitney fine 𝐶²  with the topology. This topology defines the topology of the sections between the vector fields defined on the manifold. This definition indicates that Lorentz metrics reflect the topological properties of the manifold and provide an accurate framework of the space-time structure we want to analyze. In particular, it provides an important basis for discussing the global properties and singularity theorems of space-like manifolds. Space-like manifolds are among the structures that describe the physical properties of space-time and play an important role in the general theory of relativity. This work provides an accurate framework for studying the general properties of these manifolds and for a deeper understanding of the singularity theorems. As a main conclusion, a theorem is presented which deals with the behavior of Lorentz metrics of the Robertson-Walker big bang (global infinite density singularity in the finite past). This theorem states that the metric tensor is sufficiently small, but otherwise random, finite  𝐶²  It shows that it is stable under perturbations. This result is an important step towards understanding how the big bang affected the general behavior of the universe and how singularities were formed. It contributes to a better understanding of the space-time structure with analyzes and results in the space of Lorentz metrics. This topic inspires in-depth study and research in fields such as general relativity and cosmology.