Asal halkaların belirli bazı genelleştirilmiş polinom ve fonksiyonel özdeşlikleri üzerine
On some certain polynomial and functional identities of prime rings
Yazar: MÜNEVVER PINAR EROĞLU
Danışman: PROF. DR. NURCAN ARGAÇ
Ege Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2017
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu çalışmada, değişmeli olmayan asal halkaların toplamsal dönüşümlerini içeren belirli bazı özdeşlikler, çoklu doğrusal polinomlar üzerinde ele alınarak gerek halkanın gerekse toplamsal dönüşümlerin yapıları karakterize edilmiştir. Çalışma, temel olarak beş bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde, tez konusu tanıtılmış ve daha önce bu konu ile ilgili yapılan çalışmalar hakkında kısa bilgiler verilmiştir. İkinci bölüm, değişmeli olmayan halkalar teorisi ve türevli asal halkalardaki bazı genel bilgiler ile birlikte literatürde bu konular üzerine yapılan çalışmaların sonuçlarına ayrılmıştır.
Asal halkaların (genelleştirilmiş) türevlerini içeren belirli bazı özdeşlikleri inceleyen literatürdeki çalışmaların çoğunda söz konusu özdeşlikler, halkanın karakteristiğinin\; ikiden\; farklı\; olması\; durumunda\; ele alınmıştır.\; Bu bağlamda üçüncü bölümde, değişmeli olmayan asal halkaların genelleştirilmiş türevlerinin bileşkesini içeren belirli bazı özdeşlikler, halkanın karakteristiğinin iki ve ikiden farklı olması durumlarına göre, hem halkanın kendisi hem de çoklu doğrusal polinomlar üzerinde incelenmiş ve gerek halka gerekse genelleştirilmiş türevlerin yapıları karakterize edilerek bu alana farklı bir boyut kazandırılmıştır.\vskip12pt
Dördüncü bölümün ilk kısmında, asal halkaların genelleştirilmiş $\sigma$-türevlerini içeren ve merkezleyen koşulunu sağlayan birtakım özdeşlik, çoklu doğrusal polinomlar üzerinde ele alınarak halka ve söz konusu genelleştirilmiş $\sigma$-türevlerin\; yapıları\; karakterize\; edilmiştir.\; Böylelikle\; asal\; halkaların\; (genelleştirilmiş)\; türevleri\; üzerine\; literatürde\; bulunan pek çok sonuç, genelleştirilmiş $\sigma$-türevlere genişletilmiş ve  genelleştirilmiş $\sigma$-türevleri içeren merkezi bir polinom, literatürdeki çalışmaların aksine farklı bir metodla incelenmiştir. 
Dördüncü bölümün ikinci kısmında, söz konusu özdeşlikler halkanın Lie idealleri üzerinde incelenerek çoklu doğrusal polinomlar için elde edilen sonuçların Lie idealler üzerine uygulamaları yapılmış ve halkanın yapısı hakkında yeni sonuçlar elde\; edilmiştir.\; Son kısımda,\; üçüncü\; ve\; dördüncü\; bölümde elde edilen halka ve toplamsal dönüşümlerin yapılarının karakterizasyon sonuçları belirtilmiştir.

Abstract:
In this work, some identities involving additive mappings of noncommutative prime rings are examined on multilinear polynomials and the structures of the prime rings and the additive maps are characterized. This thesis essentially consists of five chapters. In the first chapter, the subject of the thesis is introduced and the short information about the works, done so far related to this subject, is given. Chapter two is devoted to some general knowledge on noncommutative ring theory and on prime ring with derivations and also to the results of some works in literature done so far about the scope. 
Most works in literature examining some certain identities involving (generalized) derivations of prime rings were investigated in the case when the characteristic of the ring is different from two. Hence in the third chapter, some certain identities involving the composition of generalized derivations of noncommutative prime rings are dealt with both on the ring and on multilinear polynomials in the cases when the characteristic of the ring is both two and different from two and so by characterizing the structures of the ring and the generalized derivations, the field has been introduced a new aspect of view. 
In the first part of the fourth chapter, some identities both involving generalized $\sigma$-derivations of prime rings and satisfying centralizer
conditions are investigated on multilinear polynomials and the structures of the rings and the generalized $\sigma$-derivations are characterized. In this way, most results in literature on the (generalized) derivations of prime rings are extended to generalized $\sigma$-derivations and the central polynomials with generalized $\sigma$-derivations has been examined with a different method unlike most works in literature.
In the second part of the fourth chapter, by studying related identities on Lie ideals of the rings, the results from the first part are applied to Lie ideals and so new results have been obtained about the structure of the ring. In the last chapter, the characterizations of the structures of the prime rings and the additive mappings obtained in chapters three and four are specified.