Genelleştirilmiş Gaussian Fibonacci sayılarının ağırlıklı toplamları ve özellikleri
Properties and weighted sums of generalized Gaussian Fibonacci numbers
Yazar: DERYA TOY
Danışman: DOÇ. DR. YÜCEL TÜRKER ULUTAŞ
Kocaeli Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Binom açılımı = Binomial expansion ; Fibonacci sayıları = Fibonacci numbers ; Genelleştirilmiş toplamsal modeller = Generalized additive models ; Lucas sayıları = Lucas numbers

Özet:
İyi bilinen Fibonacci sayılarından yola çıkılarak bu sayıların karmaşık düzleme genişletilmesi olarak tanımlanan Gaussian Fibonacci sayıları ile ilgili bir çok toplam formülü ve özdeşlik mevcuttur. Bu çalışmada Gaussian Fibonacci sayılarının genelleştirilmiş hali olan genelleştirilmiş Gaussian Fibonacci sayıları incelenmiştir. Genelleştirilmiş Gaussian Fibonacci sayıları için toplam formüllerinin kapalı formları bulunmuş ve belirli durumlarda mevcut sonuçların yeniden elde edildiği gösterilmiştir. Ayrıca genelleştirilmiş Gaussian Fibonacci sayılarını içeren ağırlıklı toplamlar ve genelleştirilmiş Gaussian Fibonacci sayılarını içeren binom katsayılı ağırlıklı toplamlar çalışılmıştır. Bu çalışmaya ek olarak genelleştirilmiş Gaussian Fibonacci sayıları içeren çeşitli toplamlar, iyi bilinen diferansiyel operatör d/dx ve türev benzeri özellikleri sağlayan özel olarak tanımlanmış bir başka diferansiyel operatör D=x d/dx yardımıyla elde edilmiştir. Genelleştirilmiş Gaussian Fibonacci sayıları için Binet formülleri, üreteç fonksiyonları ve Q üreteç matrisi verilmiş ve bu sayıları içeren yeni özdeşlikler elde edilmiştir. Genelleştirilmiş Gaussian Fibonacci sayılarını içeren birbiri ile bağlantılı üç fonksiyon tanımlayarak, bu sayıları içeren birçok toplam formülü ve özdeşlik elde edilmiştir. Benzer çalışmalar genelleştirilmiş Gaussian Lucas sayıları için de tartışılmıştır.

Abstract:
There are many formulas and identities related to Gaussian Fibonacci numbers, which are derived from well-known Fibonacci numbers and defined by improving Fibonacci numbers in the complex plane. In this study generalized Gaussian Fibonacci numbers which are generalizations of Gaussian Fibonacci numbers have been studied. Closed forms of the sum formulas for generalized Gaussian Fibonacci numbers have been found and it has been shown that existing results in certain situations are reobtained. Also, weighted sums of containing the generalized Gaussian Fibonacci numbers and weighted sums with binomial coefficients containing the generalized Gaussian Fibonacci numbers have been studied. In addition to these studies, various sums containing generalized Gaussian Fibonacci numbers have been obtained with the help of the well-known differential operator d/dx and another specially defined differential operator D=x d/dx that provides derivative-like properties. Binet formulas, generator functions and Q generator matrix for generalized Gaussian Fibonacci numbers are given and new identities containing these numbers are obtained. By defining three interrelated functions involving the generalized Gaussian Fibonacci numbers, many sum formulas and identities containing these numbers have been obtained. Similar studies have been discussed for generalized Gaussian Lucas numbers.