Zaman-frekans analizi ve bazı operatörler üzerine
On time-frequency analysis and some operators
Yazar: SEVİL KELEŞ
Danışman: PROF. DR. SERAP ÖZTOP KAPTANOĞLU
İstanbul Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2019
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Zaman-frekans analizi harmonik analizin modern bir dalıdır. Zaman-freakans analizi,
operatörler ve fonksiyonların analizi için zamana bağlı değişen zaman-frekans ötelemelerini
kullanan matematiksel teknikler ve onun uygulamalarından oluşmaktadır. Zaman-frekans
analizi, zamana ve frekansa aynı anda ve simetrik davranan yerel Fourier analizinin bir
şeklidir.
Fourier Dönüşümü ile zaman uzayında bulunan sinyaller frekans uzayına taşınarak
yorumlanır. Ancak bu dönüşüm ile frekans ortamına aktarılan sinyallerde zaman bilgisi
kaybedilmektedir. Bu nedenle yöntem durağan olmayan sinyallerin analizi için yeterli
değildir. Bu eksikliği giderebilmek için araştırmacılar çeşitli yöntemler önermişlerdir. Bu
yöntemlerden biri kısa-zamanlı Fourier dönüşümüdür.
Bu tezde, Fourier analizi ve zaman-frekans analizi incelendi ve karşılaştırıldı. Daha çok
zaman-frekans analizi uzayında yoğunlaşıldı. Günümüzde zaman-frekans analizi çok önemli
teknolojik uygulamalara sahiptir ve Fourier analizine göre daha üstündür.
Tezin giriş kısmında klasik Fourier analizi ve temel özellikleri verildi. Fourier dönüşümü
tanıtılarak belirsizlik ilkeleri verildi.
Genel kısımda ise zaman-frekans analizi tanıtıldı. Zaman-frekans analizine ait temel
operatör ve özellikleri verildi. Çerçeve teorisi, özellikle Gabor çerçevesi üzerinde çalışıldı.
Son olarak Zak dönüşümü tanıtılarak özellikleri verildi. Ayrıca Zak dönüşümünün Fourier
dönüşümü ve Gabor çerçevesi arasındaki ilişkileri verildi.

Abstract:
Time-frequency analysis is a modern branch of harmonic analysis which comprises of theory
and its applications of mathematical techniques using the translations and modulations to
analyze functions and operators. Time-frequency analysis is a form of local Fourier analysis
that threats time and frequency simultaneously and symmetrically.
In classical Fourier Analysis, the signals on the time space are studied by transforming
them in to the frequency space. However, in the frequency space, some informations related
to time is lost which makes analysis of non-stationary signals difficult. To overcome this
deficiency, a variety of methods are proposed, one of which is a local form of Fourier
analysis, called the short-time Fourier transform.
In this thesis, techniques of Fourier analysis and time-frequency analysis are examined and
compared. The thesis is concentrated mainly on time-frequency space. Today the theory
time-frequency analysis has important technological and scientific applications extending
the known results on Fourier analysis.
In the first part of the thesis classical Fourier analysis and its properties are given. In
particular Fourier transform is introduced and uncertainty principles are given.
In the second and main part of the thesis, time-frequency analysis is introduced and basic
operators togerther with their properties are given. Next frame theory, in particular Gabor
frames are studied in connection with some key operators related to frames.
Finally, Zak transform is introduced and its properties are given. In addition, the relationship
of Zak transform to Fourier transform and Gabor frames is studied.