Parçalı sürekli fonksiyonlar için gronwall eşitsizliği
Gronwall inequality for piecewise continous functions
Yazar: MERVE CEYLAN
Danışman: DOÇ. DR. DUYGU ARUĞASLAN ÇİNÇİN
Süleyman Demirel Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2021
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: İntegral eşitsizlikler = Integral inequalities

Özet:
Eşitsizlikler, matematiğin birçok dalının gelişmesine katkı sağlar ve çeşitli denklem sınıflarının incelenmesi için gerekli araçlardır. Eşitsizlikler sadece matematikte değil, fen bilimleri ve mühendislik  gibi çok çeşitli alanlarda kullanılmaktadır.  Eşitsizlikler teorisi, hem teoride hem de uygulamalarda önemli ölçüde gelişme göstermektedir. Eşitsizlikler teorisinin gelişimiyle birlikte integral eşitsizliklerinin uygulamaları da son yıllarda artmaktadır. Fen ve mühendislik alanında yer alan birçok problem, klasik adi diferansiyel denklemler ile modellenmektedir. Bu tür problemlerin çözümünde diferansiyel denklemler teorisinden faydalanılmaktadır. Diferansiyel denklemlerin birçoğunda açık çözümler bulunamamaktadır. Açık çözümleri olmayan bu denklemlerin, yaklaşık çözümler elde edilebilir ve çözümlerin davranışları hakkında yorum yapılabilir. Gronwall tipi eşitsizlikler, integral eşitsizliği ya da belirli bir diferansiyel eşitsizliği sağladığı bilinen bir fonksiyonun üst sınırını belirlemek için uygulanan araçlardır. Böylelikle, Gronwall tipi eşitsizlikleri uygulayarak çözümlere yaklaşmak, bu çözümler hakkında yorum yapmaya olanak sağlar. Gronwall tipi integral eşitsizlikler, doğrusal olmayan diferansiyel denklemlerin çözümlerinin varlık, teklik, kararlılık ve sınırlılık gibi özelliklerinin incelenmesine büyük ölçüde katkı sağlar. Gronwall tipi eşitsizliklerin benzer kullanımı, çok sayıda uygulama alanında mevcuttur. Bu tez çalışmasında tek değişkenli, iki değişkenli, birkaç integral içeren, ayrık ve gecikmeli tipteki Gronwall eşitsizlikleri incelenmiştir. Son bölümde ise parçalı sürekli fonksiyonlarda kullanılabilecek yeni bir Gronwall eşitsizliği elde edilmiş ve ispatıyla birlikte verilmiştir. Bu tezin amacı, parçalı sürekli fonksiyonların çözümlerinin davranışlarını incelemek amacıyla da kullanılabilecek yeni bir Gronwall tipi eşitsizlik elde etmektir. Bu tür bir eşitsizlik impalsif diferansiyel denklemler teorisinde parçalı sürekli yörüngelere sahip çözümler için de önemlidir. Geliştirilen bu yeni eşitsizliğin diferansiyel denklemler teorisi ve uygulamalar açısından faydalı olacağı düşünülmektedir.

Abstract:
Inequalities contribute to the development of several branches of mathematics and are essential tools for examining various classes of equations. Inequalities are used not only in mathematics but also in a broad range of disciplines like engineering and science. The theory of inequalities has a significant improvement in theory and practice. As the theory of inequalities develops, applications of integral inequalities have increased in recent years. Many problems in science and engineering are modeled by classical ordinary differential equations. The theory of differential equations is used to solve such problems. Many differential equations don't have exact solutions. Approximate solutions of these equations can be reached and their behavior can be examined. Gronwall-type inequalities are tools used to determine an upper bound of a function known to satisfy a given differential inequality or integral inequality. Thus, approximating solutions using Gronwall-type inequalities allows to comment on these solutions. Gronwall type integral inequalities contribute to the investigation of properties such as existence, uniqueness, boundedness and stability of solutions of nonlinear differential equations. Similar use of Gronwall-type inequalities exists in several applications. In this thesis, Gronwall inequalities including one variable, two variables, several integrals, and also their discrete and delayed forms are investigated. In the last chapter, a new Gronwall inequality for piecewise continuous functions is obtained and its proof is given. The purpose of this thesis is to get a novel Gronwall type inequality that can also be used to investigate the behavior of solutions of piecewise continuous functions. Such an inequality is also important for solutions with piecewise continuous trajectories in the theory of impulsive differential equations. It is thought that this new inequality will be useful in terms of the theory of differential equations and applications.