Lie cebiri ve bazı geodezik özellikler
Lie algebra and some geodesic properties
Yazar: MEVLÜT AĞAR
Danışman: DOÇ. DR. MUSTAFA YENEROĞLU
Fırat Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Geometri Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Geodezi, Yunanca asıllı bir kelimedir. Geo=yer, dünya; dezi=bölmek, ölçmek anlamına gelir. Geodezi, yeryüzünün ölçülmesi ve projeksiyonu bilimidir. Dolayısıyla; Geodezi, dünyanın bütününün veya büyük kısımlarının nasıl ölçüleceğini ve bu ölçülerin, matematiksel esaslara göre kıymetlendirilerek, büyüklüğü, şekli, boyutları ve çekim alanı hakkında nasıl bilgi edinileceğini öğretir. Ayrıca yeryüzü noktalarının bir yüzey üzerine izdüşümü problemini inceler.
Reel sayılarda bazı grup ve cebir ile ilgili Tanımlardan yola çıkarak Lie grupları ve Lie cebiri Tanımlanmaya çalıştım. Daha sonra bazı Geodezik özelliklerden bahsedip bu Geodezi'yi önce matematiksel olarak incelemeye çalıştım. Daha sonra da bunların uzay geometrisine uyarlanmalarıyla ilgili çalışmalar yapmaya çalıştım. Örneğin; dönel elipsoide uygulayarak bunu Euler formülüyle ilişkilendirdim. Öte yandan Frenet üçyüzlüsü yardımıyla yüzeyler üzerinde teğet, normal birim vektörler Tanımlayıp bunlara göre eğrilik ve eğrilik yarıçapları elde ettim. Bütün bu çalışmalarımın sebebi Geodezi eğrisini ve denklemini elde etmek içindi. Dolayısıyla; bu çalışmaların da yardımıyla uzayda herhangi bir yüzey üzerinde bir eğrinin eğriliğini ve bunun denklemini elde etmeye çalıştım. Nitekim bunu dünya elipsoidine uyarladığımda da Geodezik eğrilik adı altında Geodezik denklemleri elde etmiş oldum. Daha sonra bu Geodezik eğriliği de kullanarak Geodezik burulmayı ve bunun denklemini elde ettim. Sonuç olarak; uzayda bir yüzeyde herhangi iki nokta arasında en kısa eğrinin Geodezi eğrisi olduğu çıkarımına ulaştım.
Böylece; bu çalışmada daha önce yapılan çalışmaları da göz önünde bulundurup farklı Lie grupları ve Lie cebirleriyle alakalı Tanımları ve denklemleri bulup Geodezik eğrilik, Geodezik denklem ile Geodezik burulmayı elde etmeye çalıştım.

Abstract:
Geodesy is a word of Greek origin. Geo=earth, world; dezi=means to divide, measure. Geodesy is the science of measuring and projection of the earth's surface. Therefore; Geodesy teaches how to measure the whole or large parts of the world and how to obtain information about its size, shape, dimensions and gravitational field by evaluating these measurements according to mathematical principles. It also examines the problem of projection of earth points onto a surface.
I tried to define Lie groups and Lie algebra based on some definitions about groups and algebra in real numbers. Then, I talked about some Geodesic features and tried to analyze this Geodesy mathematically first. Later, I tried to work on their adaptation to space geometry. For example; I related this to Euler's formula by applying it to the rotational ellipsoid. On the other hand, with the help of Frenet trihedron, I defined tangent and normal unit vectors on the surfaces and obtained curvature and curvature radii accordingly. The reason for all this work was to obtain the Geodesy curve and equation. Therefore; With the help of these studies, I tried to obtain the curvature of a curve and its equation on any surface in space. As a matter of fact, when I adapted this to the earth ellipsoid, I obtained Geodesic equations under the name of Geodesic curvature. Then, using this Geodesic curvature, I obtained the Geodesic torsion and its equation. In conclusion; I have concluded that the shortest curve between any two points on a surface in space is the Geodetic curve.
Like this; In this study, I took into consideration the previous studies and tried to find definitions and equations related to different Lie groups and Lie algebras and obtain Geodesic curvature, Geodesic equation and Geodesic torsion.