Patojen-bağışıklık sistemi dinamiklerinin kesirsel mertebeden matematiksel modeli ve kararlılık analizi
Mathematical model of fractional order for pathogen -immune system dynamics and it's analysis
Yazar: GİZEM CEBE
Danışman: PROF. DR. İLHAN ÖZTÜRK
Erciyes Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2019
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Dört bölümden oluşan bu tezin amacı bakteriyel patojene karşı konağın bağışıklık sistemi yanıtını farklı bakış açılarıyla irdeleyen kesirsel mertebeden lineer olmayan otonom diferansiyel denklem sistemleri kullanarak model oluşturmak ve kalitatif  analizini yapmaktır.
Giriş bölümünde, biyolojik açıdan önemi vurgulanarak tez genel hatlarıyla tanıtıldı.
Tezin birinci bölümünde, matematiksel modellerin tarihçesinden bahsedilip patojen ve konağın bağışıklık sistemi yanıtını içeren matematiksel modeller tanıtıldı. Ayrıca Holling tipi yanıtı ile Lotka-Volterra av-avcı modeli kısaca tanıtıldı.
Tezin ikinci bölümünde, yöntemin gelişmesi ve anlaşılması için gerekli kesirli analiz bilgileri verildi, kesirsel mertebeli diferansiyel denklem ve sistemlerin tanımları ve çözüm yöntemleriyle ilgili literatür çalışması yapıldı. Özellikle otonom olan diferansiyel denklem sistemlerinin kararlılık analizinin üzerinde durulmuş, diğer bölümlerde ifade edilen matematiksel modellerin kalitatif analizinde kullanılacak temel kavramlar incelenmiştir. 
Tezin üçüncü bölümünde, konağa bulaşan patojen ile konağın bu patojene verdiği özel ve özel olmayan bağışıklık sistemi hücrelerinin yanıtı arasındaki dinamikleri inceleyen bir matematiksel model önerilmiştir. Model, patojen ve bağışıklık sistem hücrelerinin temel mekanizmaları dikkate alınarak biri patojen yükünü diğeri konağın bağışıklık sistemi hücrelerini temsil eden kesirsel mertebeden iki lineer olmayan otonom diferansiyel denklemden oluşan sistemdir. Holling tip 2 türü yanıt kullanılarak oluşturulan model, kullanılan parametrelere bağlı olarak bir bireydeki enfeksiyon ve muhtemel yeniden enfeksiyon durumunun zamanlamasının ve büyüklüğünün tahmininde yararlanılabilecek kullanışlı bir model olarak tespit edilmiştir.
Ayrıca modelde kullanılan parametrelere değerler verilerek sistemin kalitatif analizi nümerik simülasyonlar vasıtasıyla desteklenmiştir.Tezin dördüncü bölümünde ise üçüncü bölümde yapılan analizler biyolojik olarak yorumlanmıştır.
Anahtar Kelimeler:  Bağışıklık sistemi; kesirsel mertebeli diferansiyel denklem sistemi; Holling yanıtı; kararlılık.

Abstract:
The purpose of this thesis which consists of four chapters is to model and to make qualitative analysis of the response of the host's immune system against bacterial pathogens, by using fractional order non-linear autonomous differential equation systems. 
In the introductory chapter, the thesis was presented in general terms emphasizing its importance from the point of biology. 
In the first chapter, the history of mathematical models was mentioned and mathematical models containing host's immune response were presented. Also, Lotka-Volterra predator-prey model with Holling type response was presented. 
In the second chapter, fractional analysis information necessary for developing and understanding of the method was given, and literature study on definitions and solving methods of fractional order differential equation and its systems was conducted. Especially, stability analysis of autonomous differential equation systems was emphasized, and basic concepts that would be used in qualitative analysis of mathematical models mentioned in the previous chapters were examined. 
In the third chapter, a mathematical model examining the dynamics between pathogen that infects the host and immune system cell's exclusive and non-exclusive response that are given to pathogen by host was offered. This model is a system consisting two non-linear autonomous fractional order differential equations that represent pathogen load and host's immune system cells, by considering basic mechanisms of pathogen and immune system cells. The model generated by using Holling type II response was determined as a useful model that can be benefited in the estimation of infections in an individual, and timing and magnitude of possible recurring infection situations, depending on parameters used. 
In addition, the qualitative analysis of the system was supported via numerical simulations by giving values to parameters used in the model.In the fourth chapter, the analysis made in the third chapter was biologically interpreted.
Keywords: Immune system; fractional order differential equation system; Holling response; stability.