İdeal cauchy dizileri
Ideal cauchy sequences
Yazar: ZEYNEP HANDE YAMAN
Danışman: PROF. DR. SERPİL PEHLİVAN
Süleyman Demirel Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Bölümü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2008
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Yedi bölümden oluşan bu çalışmada klasik Cauchy dizileri ve istatistiksel Cauchy dizilerinin bir genellemesi olan ideal Cauchy dizileri ele alınmıştır. Bu dizilerin özellikleri incelenerek bazı sonuçlar elde edilmiştir. Ayrıca zayıf ve zayıf* yakınsaklık kavramları normlu uzaylar üzerinde zayıf ve zayıf* ideal yakınsaklığa genişletilmiş ve zayıf I-Cauchy dizileri tanımlanarak ilgili teoremler verilmiştir.Birinci bölümde, konunun tarihsel gelişimi verilmiştir.İkinci bölümde, doğal sayılar kümesinde doğal yoğunluk, düzgün yoğunluk ve ağırlıklı düzgün yoğunluk kavramları hatırlatılıp, birbirleriyle ilişkileri belirtilmiştir.Üçüncü bölümde, istatistiksel yakınsaklık ve istatistiksel Cauchy dizisi kavramları ve bu iki kavramın denkliği verilmiştir.Dördüncü bölümde, N pozitif tamsayılar kümesinin altkümeleri üzerindeki ideal kavramı ele alınarak, önce I-yakınsaklık kavramı ve özellikleri tanıtılmış, daha sonra bir metrik uzayda I-Cauchy dizileri tanımı ve bu dizilerin bazı özellikleri ile üçüncü bölümde verilen denkliğin tam metrik uzaylardaki I-benzeri verilmiştir.Beşinci bölümde I*-yakınsaklık ve I*-Cauchy dizileri tanıtılıp, I*-Cauchy dizilerinin I-Cauchy dizileri ile ilişkisi incelenmiştir. Ayrıca, her P-ideal I için bir I-yoğun altdizinin klasik Cauchy dizisi olması ve I-Cauchy dizisi olması arasındaki denklik verilmiştir.Altıncı bölümde öncelikle klasik zayıf ve zayıf* yakınsaklık kavramları ideallere genişletilerek bu kavramlara ilişkin bazı özellikler incelenmiş ve ilgili teoremler verilmiştir. Daha sonra ise zayıf I-Cauchy dizileri tanımlanarak ilgili teoremler verilmiş ve sonlu boyutlu normlu uzaylarda kuvvetli I-Cauchy dizileri ile zayıf I-Cauchy dizilerinin çakıştığı gösterilmiştir.Yedinci bölümde ise R de tanımlı fonksiyonların istatistiksel sürekliliği kavramının bir genelleştirmesi olan I-süreklilik kavramı tanıtılarak, I1 ve I2 iki uygun ideal olmak üzere bir f fonksiyonunun (I1,I2)-sürekliliği ile ilgili olan bazı teoremlere Iu ve Id uygun idealleri kullanılarak örnekler verilmiştir.

Abstract:
In this thesis, which consists of seven chapters, we investigate the ideal Cauchy sequences which are generalizations of ordinary Cauchy sequences and statistically Cauchy sequences. We also investigate the properties of these sequences and obtain some main results. In addition, we extend the concepts of weak convergence and weak*convergence to weak I-convergence and weak* I-convergence on normed linear spaces, and we introduce the notion of weak I-Cauchy sequence and present related theorems.In the first chapter, the historical background of the subject is presented.In the second chapter, the concepts of natural density, uniform density and weighted uniform density of a set of natural numbers are recalled and the relations between these concepts are stated.In the third chapter, statistical convergence and statistically Cauchy sequence are studied. Also, the equivalance of these concepts is stated.In the fourth chapter, the concept of ideal of subsets of the set of natural numbers N is considered and then the notion of I-convergence is studied and its basic properties are investigated. Then the definition of I-Cauchy sequence and some properties of these sequences in a metric space are given. Also, the I-analogues of the relation given in the third chapter is given in complete metric spaces.In the fifth chapter, the concepts of I*-convergence and I*-Cauchy sequence are introduced and the relation between I-Cauchy sequences and I*-Cauchy sequences is investigated. In addition, we state that for every P-ideal I, a sequence is I-Cauchy iff there exists an I-thick subsequence which is ordinary Cauchy.In the sixth chapter, first, we extend the concepts of weak convergence and weak* convergence to their I-analogues and then investigate some basic properties, present related theorems. Next, we introduce the concept of weak I-Cauchy sequence, present related theorems and show that a strong I-Cauchy sequence coincides with the weak I-Cauchy sequence in a finite dimensional normed linear space.In the final chapter, we first recall the notion of I-continuity of a function defined on R, which is a generalization of statistical continuity. Given two admissible ideals I1 and I2, we give examples for some of the theorems related to the (I1,I2)-continuity of a function f, using the admissible ideals Iu and Id.