Dinamik hareket denklemlerinin çözümü için adım adım sayısal çözümleme yöntemi
A novel step-by-step method for solution of dynamical analysis problems
Yazar: HÜSEYİN ÇİLSALAR
Danışman: PROF. DR. KAMİL AYDIN
Erciyes Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / İnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2014
Konu: Deprem Mühendisliği = Earthquake Engineering ; Mühendislik Bilimleri = Engineering Sciences ; İnşaat Mühendisliği = Civil Engineering

Özet:
Bu çalışmada, dinamik analiz problemlerinde karşılaşılan ikinci dereceden adi diferansiyel denklemin çözümü için yeni bir adım adım sayısal çözümleme yöntemi sunulmuştur. Önerilen yöntem ivme değişimi kabulünü esas almaktadır. Belli bir zaman aralığında ivme değişimi için 2. dereceden türevlenebilir bir polinom fonksiyonu tanımlanmıştır. Bu sayede 4. dereceden yer değiştirme fonksiyonu elde edilmiştir. Kullanılan bu fonksiyon ile nümerik hataları diğer klasik yöntemlere göre daha az olan bir çözüm yöntemi sunulmuştur. Yöntem tek adımda hesap yapan, kapalı ve bir parametreye bağlı olarak her koşulda dengelidir. Çalışmada yöntemin her koşulda dengeli olduğu şekli ile analizler yapılmış ve Newmark ve Wilson gibi klasik yöntemlerle sonuçları karşılaştırılmıştır. Bu çalışma iki ana kısma ayrılabilir: Tek ve çok serbestlik dereceli sistemler. Tek serbestlik dereceli sistemler için yöntemden elde edilen sonuçlar ve nümerik hataları diğer birkaç yöntem ile karşılaştırılmıştır.  Yöntemin stabilite analizi ve şartları ayrıca gösterilmiştir. Çok serbestlik dereceli sistemler için ise çözümlemeler ayrıca yapılmıştır. Hem tek hem de çok serbestlik dereceli sistemler için nonlineer sistemlerin çözümleri yapılmıştır. Aynı analizler Newmark yöntemleri ve Matlab ODE kodu ile yapılmış ve sonuçlar verilmiştir. Analitik çözümü bulunan Duffing denklemi için ise elde edilen nümerik çözümler ayrıca verilmiştir. Çok serbestlik dereceli nonlineer sistemler için ise ayrıca analiz yapılmıştır. Buradan elde edilen sonuçlar ise yine Newmark ve Matlab ODE fonksiyonu ile karşılaştırmalı olarak verilmiştir.

Abstract:
In this study, a novel time stepping method is presented for the solution of the second order differential equation encountered in dynamic analysis problems. Proposed method is based on variation of acceleration. For the variation of acceleration, a second order differentiable polynomial function is defined. This description yields a fourth order displacement function.  With the use of this function, a novel method is presented, whose numerical errors are less than conventional ones. The method is single step, implicit, and unconditionally stable depending on single parameter only. The results obtained from the analyses through the unconditional method are compared with those of the conventional methods such as Newmark and Wilson methods.  This study can be divided into two main parts; single and multi-degrees of freedom systems.  In the former section, response results and numerical errors of the proposed method are compared with those of other few methods. Stability analyses of method and conditions to stability are supplied.  For multi-degree-of-freedom systems, analyses are also carried out. Analyses of both single-degree-of-freedom and multi-degree-of-freedom   system are performed.  Same examinations are also carried out using Newmark methods and Matlab ODE code and results are provided.  Numerical results are given for the Duffing equation which has a closed form solution.  Nonlinear analysis is also carried out for multi-degree-of-freedom system.  Results obtained for multi-degree-of-freedom systems are given, comparing them with Newmark methods and Matlab ODE code.