İççarpım quasilineer uzaylarının sinyal işlemedeki uygulamaları üzerine
On applications of inner product quasilinear spaces in signal processing
Yazar: ÜMİT ÇETİNKAYA
Danışman: PROF. DR. YILMAZ YILMAZ
İnönü Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır ve giriş bölümünde genel Hilbert uzaylarına ilişkin bilgiler verildikten sonra iççarpım quasilineer uzaylarla ilgili çalışmalardan bahsedilmiştir. Öncelikle giriş bölümünde iççarpım quasilineer uzayların uygulama sahası bulduğu non-deterministik sinyallerin incelenmesine temel oluşturacak sinyal işleme alanı ile ilgili gerekli bazı bilgilerden bahsedilmiştir. Ayrıca tezin devamında ortaya çıkacak bazı çalışmalara temel teşkil edecek bazı sonuçlardan da bahsedilmiştir.
    İkinci bölümde klasik fonksiyonel analize dair temel kavramlar tanıtılmıştır ve ayrıca klasik lineer cebirin temelleri de sunulmuştur.
    Üçüncü bölümde "S. M. Assev" tarafından ilk olarak geliştirilen quasilineer uzay kavramı tanıtılmış ve onun tarafından geliştirilen bazı tanım, teorem ve sonuçlar sunulmuştur. Ayrıca Aseev tarafından verilen normlu quasilineer kavramıda tamlık tanımıyla birlikte bu bölümde verilmiştir. Daha sonra kosolide quasilineer uzay kavramı verilmiş ve devamında iççarpım quasilineer uzaylar tanıtılmıştır. İççarpımdan doğan norm ile tam olan normlu quasilineer uzaylara "Hilbert quasilineer uzay" adı verildiğini belirterek bu uzaylarla ilgili birkaç sonuçtan bahsedilmiştir.
    Dördüncü bölümde ise çalışmanın da amacı olan non determininstik bir sinyalin otokorelasyonu hesaplanmıştır. Böyle bir uygulamanın ne gibi kapılar açacağına dair öngörülerde bulunulmuştur. Tezin orjinal kısmının ilk parçasını oluşturan bu bölümde eksik bilgiye sahip bir non-deterministik sinyalin otokorelasyonuna dair bir uygulama verilmiştir.
    Tezin bir diğer orjinal kısmını oluşturan bu son bölümde F(ℝⁿ) fuzzy quasilineer uzayının bir iççarpım quasilineer uzay oluşturduğunu gösterdik. Bu bölümün sonunda ise kısaca klasik fuzzy dizi uzaylarını da tanıttık. Ayrıca F(ℝⁿ)' nin konsolide olduğunu ve böylece bir konsolide Hilbert quasilineer uzay olduğunu söyledik. Bu bölümden elde ettiğimiz sonuçların bir kısmı uluslararası bir dergide yayınlanmıştır.

Abstract:
This study consists of five chapters, and in the introduction, after information about general Hilbert spaces is given, studies on inner product quasilinear spaces are mentioned. First of all, in the introduction section, some necessary information about the field of signal processing is mentioned, which will form the basis for the examination of non-deterministic signals in which inner product quasilinear spaces find application. In addition, some results that will form the basis of some studies that will emerge in the continuation of the thesis are also mentioned.
    In the second chapter, basic concepts of classical functional analysis are introduced and the fundamentals of classical linear algebra are also presented.
    In the third chapter, the concept of quasilinear space, first given by "S. M. Assev", is introduced and some definitions, theorems and results developed by him are presented. In addition, the normed quasilinear concept given by Aseev is given in this section along with its completeness definition. Then, the concept of consolidated quasilinear space is given and then inner product quasilinear spaces are introduced. It is stated that normed quasilinear spaces that are complete with the norm resulting from dot product are called "Hilbert quasilinear spaces" and a few results about these spaces are mentioned.
    In the fourth chapter, the autocorrelation of a non-deterministic signal, which is the aim of the study, is calculated. Predictions have been made about what kind of doors such an application will open. In this chapter, which is the first part of the original part of the thesis, an application on the autocorrelation of a non-deterministic signal with incomplete information is given.
    In this last chapter, which is another original part of the thesis, we showed that the fuzzy quasilinear space F(Rⁿ) creates an inner product quasilinear space. At the end of this section, we briefly introduced classical fuzzy sequence spaces. We also said that F(Rⁿ) is consolidated and thus is a consolidated Hilbert quasilinear space. Some of the results we obtained from this section were published in an international journal.