Lineer olmayan kesir mertebeli diferensiyel denklemlerin tam çözüm yöntemleri
Exact solution methods for nonlinear fractional differential equations
Yazar: ESİN AKSOY
Danışman: DOÇ. DR. ADEM CENGİZ ÇEVİKEL
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2015
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Kesirli analiz, tamsayı mertebeden türev ve integralin sırasıyla tamsayı olmayan mertebeden türev ve integrale genişlemesidir. Lineer olmayan olayların matematiksel modellenmesinde kesir mertebeli diferensiyel denklemlerin, tamsayı mertebeli diferensiyel denklemlere göre gerçeğe daha yakın modeller oluşturduğu birçok araştırmacı tarafından tespit edilmiştir. Hızla gelişen bilim ve teknolojide; özellikle de mühendislik bilimlerinde lineer olmayan kesir mertebeli diferensiyel denklemlerin tam çözümlerinin bulunması büyük önem kazanmıştır. Son yıllarda pek çok araştırmacı kesir mertebeli diferensiyel denklemlerin yaklaşık ve tam çözümleri üzerine çalışmalar yapmıştır. Bu çalışmalar sonucunda, farklı ve etkili birçok yöntem ortaya çıkmıştır. 
Bu tezin amacı, lineer olmayan kesir mertebeli diferensiyel denklemlerinin ve denklem sistemlerinin farklı yöntemlerle fizik, biyoloji ve mühendislik gibi birçok bilim dalında kullanılabilir yeni tam çözümlerini elde etmektir. Bu çözümler hareketli dalga, soliter dalga, periyodik, üstel, rasyonel, hiperbolik ve soliton çözümleri kapsadığı için günümüzdeki birçok fiziksel modelin geliştirilmesinde öncülük yapacaktır.
Bu tez çalışması altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde; kesirli analiz kavramı, kesirli analiz'in tarihsel gelişimi ve kullanım alanları hakkında önemli bilgiler verilmiştir. İkinci bölümde; sonraki bölümlerde kullanılacak bazı özel fonksiyonlara değinilmiştir. Üçüncü bölümde; literatürde yer alan bazı önemli kesir mertebeli türevlerin tanımlarına ve önemli özelliklerine yer verilmiştir. Dördüncü bölümde; kesir mertebeli diferensiyel denklemleri adi diferensiyel denklemlere dönüştüren kesirsel karmaşık dönüşümden bahsedilmiştir. Ayrıca kesir mertebeli diferensiyel denklemlerin tam çözümlerini bulmak için kullanılan; alt denklem, fonksiyonel değişken, modifiye edilmiş basit denklem, Kudryashov ve modifiye edilmiş deneme denklem yöntemleri ele alınmıştır. İzleyen bölümde, dördüncü bölümde tanıtılan dönüşüm ve metotlar yardımıyla, bazı önemli kesir mertebeli diferensiyel denklemlerin ve denklem sistemlerinin çözümleri araştırılmış ve bu denklemlerin farklı tiplerde tam çözümleri elde edilmiştir. Tezin son bölümünde ise elde edilen sonuçlar yorumlanmış ve öneriler sunulmuştur.

Abstract:
Fractional calculus is the extension of integer order derivative and integral to non-integer order derivative and integral, respectively. By authorities, it is commonly expressed that fractional order differential equations has more realistic mathematical modelling of nonlinear world rather than integer order differential equations. In rapidly developing science and technology, especially in engineering, it has been very important to find exact solutions of fractional differential equations. In recent times, many scientific workers have published many papers on fractional order differential equations and its exact solutions. Upon these papers, different and efficient methods arose.
The purpose of this dissertation is to obtain new exact solutions of fractional differential equations and systems of fractional differential equations via different methods that can be used in many research areas such as physics, biology, engineering. Since these solutions contain travelling vawe, solitary wave, periodic, exponential, rational, hyperbolic and soliton type solutions, this research will be a pioneer work to develop many physical models used in these days.
This thesis consists of six sections.  In the first section, fractional calculus concept, historical evolution and employment areas of fractional calculus are given. In the second section, some special functions that will be used in next sections are presented. In the third section, definitions and properties of some special fractional order differential equations in literature are given. In the fourth section, fractional complex transformation which is used to convert fractional order differential equations to ordinary differential equations is introduced. Besides, sub-equation, functional variable, modified simple equation, Kudryashov and modified trial equation that are used to get exact solutions of fractional differential equations are discussed. In the next section, via transformations and methods given in fourth section, solutions of some special fractional order differential equations and systems of fractional order differential equations have been investigated, different kinds of solutions have been found. In the last section of the thesis, obtained results from the application part in the previous section are interpreted and suggestions are presented.