Bikompleks fonksiyonlar ve bazı uygulamaları
Bicomplex functions and some applications
Yazar: ŞULE ÇÜRÜK
Danışman: PROF. DR. SERPİL HALICI
Pamukkale Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezde, bikompleks sayılar ve fonksiyonlar ele alınmıştır.
Birinci bölüm giriş bölümü olup bu bölümde bikompleks sayıların kullanıldığı
alanlara ve literatür taramasına yer verilmiştir.
İkinci bölümde, bikompleks sayılar ile ilgili temel tanım ve özellikler verilerek
bikompleks sayıların idempotent gösterimleri, modülleri, eşlenikleri üzerinde
durulmuştur. Ayrıca, bu bölümde bikompleks lineer uzaylar, elementer fonksiyonlar,
sıfır bölenler ve matris gösterimleri incelenmiştir. Bikompleks değerli elementer
fonksiyonlar ve bu fonksiyonların türev kavramı da detaylı olarak incelenmiştir.
Üçüncü bölümde, bikompleks fonksiyonların dizi ve serileri ele alınarak integral
formülleri verilmiştir. Yine bu bölümde, en yaygın kullanılan Laplace ve Fourier
dönüşümlerinin varlığı ve özellikleri ele alınmıştır. Ayrıca, bikompleks ve ters
bikompleks Laplace dönüşümünü bulmak için tanımlanan integral formu örnekler
yardımıyla ayrıntılı olarak incelenmiştir. Integral formunda ters bikompleks Laplace
dönüşümünü bulmak oldukça zor olduğundan, başka bir yöntem olan konvolüsyon
teoremi de ayrıca incelenmiştir. Aynı bölümde, bikompleks Fourier ve Hartley
dönüşümlerinin varlığı ve özellikleri ayrıntılı olarak ele alınmıştır. Bölüm içinde,
konuyu pekiştirmek için bikompleks Fourier dönüşümleri ile ilgili bazı örneklere de
yer verilmiştir. Bir uygulama olarak, bikompleks Laplace, Fourier dönüşümlerinin
özellikleri ve bazı temel fonksiyonların özellikleri kullanılarak, özel diferansiyel
denklemlerden biri olarak karşılaşılan Bessel diferansiyel denkleminin integral
dönüşümü ele alınmış ve çözümü de verilmiştir.
Dördüncü bölümde ise, katsayıları Leonardo sayı dizilerinden seçilen bikompleks
sayıların kümesi tanımlanmıştır. Tanımlanan bu sayılar kullanılarak, Pascal ve
benzeri üçgenlerin oluşumu incelenmiş ve bu üçgenler yardımıyla bazı yeni
özdeşlikler verilmiştir.

Abstract:
In this thesis, bicomplex numbers and functions are discussed.
The first section is the introduction section and this section includes the areas where
bicomplex numbers are used and a literature review.
In the second section, basic definitions and properties of bicomplex numbers are
given and idempotent representations, modules, and conjugates of bicomplex
numbers are emphasized. In addition, bicomplex linear spaces, elementary functions,
zero divisors, and matrix representations are examined in this section. And
bicomplex valued elementary functions and the concept of derivative of these
functions are also examined in detail.
In the third section, sequences and series of bicomplex functions are discussed and
their integral formulas are given. Again in this section, the existence and properties
of the most commonly used Laplace and Fourier transforms are discussed. In
addition, the integral form defined to find the bicomplex and inverse bicomplex
Laplace transform is examined in detail with the help of examples. Since it is quite
difficult to find the inverse bicomplex Laplace transform in the integral form, another
method, the convolution theorem, is also examined. In the same section, the existence
and properties of bicomplex Fourier and Hartley transforms are discussed in detail.
In the section, some examples related to bicomplex Fourier transforms are also given
to reinforce the subject. As an application, the integral transform of the Bessel
differential equation, which is encountered as one of the special differential
equations, is discussed and its solution is given by using the properties of bicomplex
Laplace, Fourier transforms and some basic functions.
In the fourth section, the set of bicomplex numbers whose coefficients are selected
from the Leonardo number series is defined. Using these defined numbers, the
formation of Pascal and similar triangles is examined and some new identities are
given with the help of these triangles.