Rijitliği değişen yapıların titreşimi
The vibration of the structures with variable stiffness
Yazar: EROL DEMİRKAN
Danışman: PROF. DR. F. NECLA KADIOĞLU
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / İnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Yapı Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2012
Konu: İnşaat Mühendisliği = Civil Engineering
Dizin: Matris deplasman yöntemi = Maytrix displacement method ; Plastik mafsal = Plastic hinge ; Zorlanmış titreşim = Forced vibration ; Çerçeve = Frame

Özet:
Yapıların dinamik davranışı incelenirken genellikle sistemin rijitliğinin sabit kaldığı kabul edilir. Ancak bu tamamen doğru değildir. Yükler arttıkça yapıda deformasyonlar da artar. Bu deformasyonların tamamı elastik yani yük kalkınca geri dönen deformasyonlar değildir. Kalıcı yani plastik deformasyonlar yapının rijitliğinin değişimine neden olur. Bu çalışmanın amacı değişen yükler altında bu rijitliğin değişimini dikkate alarak titreşimlerin incelenmesidir.Bu çalışmada seçilen sistem tek katlı, temel bağlantıları ankastre olan bir çerçevedir. Çerçevede kullanılan malzemenin tamamı çeliktir ve sistem yatay yönde bir kuvvet etkisindedir. İlk olarak sistemin rijitlik matrisi elde edilmelidir. Rijitlik matrisini bulmak için önce çerçeveyi oluşturan çubukların tek tek çubuk rijitlik matrisleri bulunmuştur. Bir çubuğun rijitlik matrisini bulabilmek için çubuğa bağlı eksen takımında uç birim kuvvetlerinin uygulanması durumunda oluşabilecek deplasmanların bulunması gerekir. Bu rijitlik terimleri Castigliano teoremi kullanılarak bulunmuştur. Daha sonra çubuk koordinatlarında elde edilen çubuk rijitlik matrisini sistem koordinatlarında elde etmek için bir koordinat dönüşümü yapılmıştır. Bu işlem iki koordinat sistemi arasındaki açılara bağlı olarak yazılan ortogonal matrisler kullanılarak gerçekleştirilir. Her bir çubuğun ortogonal dönüşüm matrisi kullanılarak çubuk koordinatlarında yazılan çubuk rijitlik matrisleri sistem koordinatlarında bulunmuştur. Sistem koordinatlarında elde edilen çubuk rijitlik matrislerinden kod numaraları matrisi yardımıyla sistem rijitlik matrisi elde edilmiştir. Böylece elde edilen sistemin rijitlik matrisi ile sistemin düğüm noktalarındaki deplasmanları ve dış kuvvetleri arasında bir bağıntı kurulmuştur. Bu şekilde elde edilen matris formundaki denklem takımı çözülür, bilinmeyen düğüm noktası deplasmanları hesaplanır ki bunlar sistemin serbestlikleridir. Sistem deplasmanları bulunduktan sonra yine sistem koordinatlarında çubuk uç deplasmanları yine kod numaraları matrisi kullanılarak hesaplanır. Sonra çubuk dönüşüm matrisleri kullanılarak çubuk koordinatlarında çubuk uç deplasmanları bulunmuştur. Bu uç deplasmanları ile çubukların uç kuvvetleri arasındaki bağıntılar yardımıyla da çubuk uç kuvvetleri yani kesit tesirleri bulunur. Bütün bu anlatılanlara bağlı olarak yapının belli bir noktasının statik yük altında yapacağı yatay deplasman ve sistemin kesit tesirleri matris deplasman yöntemi kullanılarak hesaplanmıştır. Sadece bir noktadaki deplasman dikkate alınacağı için yapı tek kütle yay sistemine indirgenmiştir. Bu durumda sistemin yay katsayısı da deplasman ve yük belli iken hesaplanmış olur.Bir yapı dış yükler altındayken kalıcı deformasyonlar yapabilir. Yapıda kalıcı deformasyonlar meydana geldiğinde rijitlik matrisi değişir sonuç olarak yapının dinamik davranışı değişecektir. Bunun için titreşim hesapları yapılmadan önce yapıya gelen dış yük arttırılarak artan yük değerleri için yapı statik olarak incelenmiştir. Artan dış yükler altında çerçevenin davranışını incelemek için sistemin tamamında ideal elasto plastik malzeme kullanıldığı kabulü yapılmıştır. Sistemde artan yükler altında rijitliğin değişimi plastik hesap yapılarak göz önüne alınacaktır. Malzeme ideal elasto plastik malzeme alındığından bir kesitte oluşan maksimum moment ancak belli bir değere kadar artabilir. Bu durumdan sonra yük artarsa bu kesit artık ilave moment taşımaz ve mafsal gibi davranır. Nerede ilk plastik mafsalın oluşacağı bellidir. Ancak birinci plastik mafsal oluştuktan sonra sisteme etkiyen yük arttırılırsa diğer bir noktada ikinci bir plastik mafsal oluşacaktır. Bu işlem yapı labil oluncaya kadar devam eder. Bir plastik mafsal oluştuktan sonra sistem artık başlangıçtaki sistem değildir. Rijitlik matrisi farklılık gösterir. Bu durumlarda sistemin rijitlik matrisleri bulunmuştur. Ancak rijitlik matrisinin sürekli azalmasına rağmen burada bir kabul yapılarak birinci plastik mafsal oluşuncaya kadar rijitlik matrisinin sabit olduğu kabul edilmiştir. Keza birinci ve ikinci plastik mafsal oluşturan yük değerleri arasında da yine rijitlik matrisinin sabit kaldığı kabul edilmiştir. Bu yaklaşım yük-rijitlik matrisi arasında bir eğri elde edilmesini sağlar. Çalışmada kullanılan örnekte sırasıyla plastik mafsalların nerelerde oluştuğu şekilde gösterilmiştir. Plastik mafsalların oluştuğu durumlardaki deplasmanlar hesap edilmiştir. İdealleştirilmiş olan tek kütle yay sistemindeki yay katsayıları bulunmuştur. Sonuçta yükün şiddetine bağlı olarak yay katsayılarının değişimini gösteren bir tablo elde edilmiştir. Ayrıca plastik mafsal oluşumları SAP2000 paket programı ile de kontrol edilmiştir ve kuvvet-rijitlik grafiği çizilmiştir.Son olarak bütün bu yapılan hesaplar doğrultusunda yapının titreşimi incelenmiştir. Yapılara gelen yükler belirli bir zaman içinde etkir ve yapıda zamana bağlı yerdeğiştirmelere, şekil değiştirmelere ve gerilmelere neden olurlar. Statik hesapta yapıdaki şekil değiştirmelerin zamana bağlı olmadığı kabul edilir. Dinamik hesapta ise, yapının her noktasına etkiyen ve her an değişebilen eylemsizlik kuvvetleri de işin içine katıldığı için sonuçlar zamana bağlıdır. Modeli oluşturduktan sonra dinamik çözüm için hareket denkleminin yazılması ve modelin davranışının belirlenmesi gerekir. Sönümlü serbest titreşim ve zorlanmış titreşim taşıyıcı sistemin önemli olan iki dinamik davranışıdır. Bunlardan birincisi verilen başlangıç koşullarının etkisiyle meydana gelir, ikincisi ise sisteme etkiyen dış yüklerden veya mesnet hareketlerinden ortaya çıkar. Bu çalışmada harmonik kuvvet altında zorlanmış sistemin titreşimi incelenmiştir. Buna bağlı olarak sistemin titreşimini incelemek için hareket denklemi oluşturulmuştur. Denklemin çözümü özel ve homojen çözümlerin toplamıdır. Özel çözüm ya belirsiz katsayılar metodu veya sabitlerin değişimi metodları kullanılarak bulunur. Homojen denklem çözülürken üç farklı sönüm durumu söz konusudur bunlardan birincisi kuvvetli sönüm durumu ikincisi kritik sönüm durumu üçüncüsü ise zayıf sönüm durumudur. Çalışmada zayıf sönüm durumu dikkate alınmıştır ve oluşturulan bu hareket denklemi tek serbestlik dereceli zayıf sönüm etkisinde bir zorlanmış titreşim denklemidir. Kat kütlesinin bir noktada toplandığı kabul edilmiştir. Sistemin yatayda yapmış olduğu deplasman göz önüne alınmıştır. Dinamik yüklemede dış yükün zamana bağlı olarak değişeceği açıktır. Bu yüzden daha önce hesaplanan plastik mafsalların meydana geldiği artan yük değerlerinin hangi zamanlarda uygulandığı bulunmuştur. Artan yükler altında kuvvet-zaman grafiği çizilmiştir. Daha sonra rijitliklerin hangi zaman aralıklarında geçerli olduğunu gösteren rijitlik-zaman grafiği elde edilmiştir. Sistemin her bir zaman aralığı için doğal titreşim frekansları hesap edilmiştir. Sistemin sönüm katsayısı hesap edilmesi gereken bir değerdir. Bunun için başlangıçta sistemin sönümü belirli bir değer seçilerek her bir rijitlik değeri için diğer sönüm değerleri de hesap edilmiştir. Bunlara bağlı olarak açısal frekansın ve sönüm oranının zamana göre değişim grafikleri çizilmiştir. Yük rijitlik eğrisinden yararlanırken iki yük değeri arasında rijitliğin sabit kaldığı kabul edilmiştir. Sistem bu yüklere karşı gelen bir zaman aralığında çözülmüştür. İntegral sabitlerinin tayini için bir önceki zaman aralığının sonundaki değerler kullanılmış ve deplasman-zaman eğrisi elde edilmiştir. Artan yükler altında yapılan bu işlemler azalan yükler durumu için de tekrarlanmıştır. Artan ve azalan yüklerin zamana göre değişimi tek bir eğride gösterilmiştir. Burada hesap yapılırken artan yükler için hesaplanan her bir aralıktaki rijitlik değerleri ile azalan yükler için hesaplanan her bir aralık için rijitlik değerleri aynı alınmıştır. Bu şartlar altında azalan yükler için deplasman zaman eğrisi çizilmiştir. Artan yükler altındaki deplasman zaman eğrisi ile azalan yükler altındaki deplasman zaman eğrisi birleştirilerek tek bir eğride gösterilmiştir.

Abstract:
In general it is assumed that stiffness matrix remains constant in dynamic analysis of structures. However, this is not completely correct. The deformations of structure increase with increasing loads. All of these deformations are not elastic which totally recover when the loads decrease. Permanent or plastic deformations are the reason of the variation of the stiffness matrix of the structure. For this purpose, the system stiffness matrix is calculated then the system displacements of node points are calculated. The stress resultants are found by using relations between the end displacements and end forces of the rods. After this process is done, under increasing loads, plastic hinges will occur and stiffness matrix will not remain constant was checked of this situation. The aim of this study is to analyze the vibration of a structure under consideration of the variation of stiffness matrix with varying loads.The chosen sample system in this study is a single storey frame of which foundation supports are build in. The material used in the frame is steel and the system is under the effect of an horizontal force. At first the stiffness matrix of the system must be determined. To find the stiffness matrix of the system the stiffness matrices of whole bars are obtained in bar coordinates. The displacements must be determined depending upon to the unit end loads to calculate the stiffness matrix of a bar. These stiffness terms have been found via theorem of Castigliano. Later a coordinate transformation is performed for every individual bar to transform the stiffness matrix, which is written in a coordinate system connected to this bar, to a chosen local fixed system which is valid for whole system. This operation has been done using orthogonal matrices which is related to the angles between two coordinate systems for every individual bar. The stiffness matrix in system coordinates has been obtained via orthogonal transformation matrix of this bar from the stiffness matrix which has been obtained in bar coordinates before. The stiffness matrix in system coordinates has been constructed by code-numbers matrix from stiffness matrices of bars which is written in system coordinates. A relation is also constructed by the stiffness matrix of the system between the system displacements and external loads acting on nodal points. The system of linear algebraic equations that has been obtained by this way, is solved. The unknown displacements of node points are calculated in matrix form. These are the freedoms of the system. The end displacements of a bar in system coordinates are calculated by using code-numbers matrices after finding system displacements. After these, the end displacements in bar coordinates have been found by orthogonal transform matrices from the end displacements in system coordinates. The stress resultants are found by using relations between the end displacements and end forces of the rods. According to these descriptions, the horizontal displacement of a certain point and stress resultants of the system are calculated via matrix methods under static loading. Then the structure has been reduced to an unique mass spring system since only the displacement of one point is considered. In this case, the spring constant of the system, has been calculated while the displacement and load is known.A structure can make permanent deformations under external loads. The stiffness matrix cannot be constant, when permanent deformations occur and consequently dynamic behavior of the structure changes. In this case, the problem becomes nonlinear. Because of this the external load has been increased and at any value of this load the structure has been solved as a static system. It is accepted that elasto plastic materials have been used in the entire system for examining the behavior of the frame under increasing loads. The change of stiffness under increasing loads will be calculated by plastic analysis. The maximum moment of a cross-section can increase up to a certain value since the material is assumed that the material ideal elasto plastic. After this stage, if the load increases, section doesn?t carry any more moment and it acts as a hinge. By the method of load increment is determined where plastic hinges will occur. Then it is known where the first plastic hinge will occur. But, if the load on structure increased after first plastic hinge occurs, second plastic hinge occurs at another point. This process continues until the structure becomes unstable. Plastic hinge hypothesis are used in these calculations. Showing adequate ductility and plastic deformations, ie the length of the plastic hinge length is not very large deformations of nonlinear systems, certain sections called plastic hinge is collected, it is considered to regions outside of the system behaves as a linear-elastic. The system is not like the beginning after first plastic hinge occurs. Degrees of freedom of the system changes after plastic hinge occurs . Stiffness matrix shows a difference. The stiffness matrix of system has been found in each interval. However, the decreasing of stiffness matrix continues, it is accepted that stiffness matrix is constant until first plastic hinge occurs. Also, it is accepted that the stiffness matrix is also constant between first and the second plastic hinges. By this way, a curve is obtained between load and stiffness matrix. In the sample problem that used in this study, it is shown on the figure where the plastic hinges occur respectively. The displacements in the case of plastic hinges occur, have also been calculated. The spring constant in the idealized single mass-spring system, has been found. As a result, a table has been obtained indicating the variation of spring constant by the value of the load. As a result, the variation of spring constants depending on the size of the load were obtained in the table. In addition, the formations of plastic hinges have been controlled by SAP2000 computer program and the diagram of stiffness-force has been plotted.Finally, depending upon these calculations, the vibration of the structure has been examined. The loads on the structures acts on a certain time interval and produce time-dependent strain and stresses. It is accepted that deformations is not depended on time in static calculations. But in dynamic calculation, results are depended on time because of the loads that act on the structure and change by the inertia forces which varies by time are considered. Dynamic calculation performed using specific models. The results are highly accurate the models used depends on how far close to reality. After creating the model, the equation of motion must be written for the dynamic solution and dynamic behavior of model must be determined. The equation of motion, defines the movement of mass over time. Free damping vibration and forced vibration are two important behaviors of structural system. First occur by act of assuming initial conditions. The second one occurs by external loads acting on the system or the movements of the supports. In this study, the forced vibration under an harmonic load has been investigated. According to this, equation of motion has been formed to examine the vibration of system. The first step that appears in the literature, the equation system formed by equations of motion so that only a freedom discretization in each equation. Each equation of motion is a forced vibration equation that is with single degree of freedom and under effect of damping. A structure is idealized to be a freedom at each storey in dynamic of structure. Solution of this equation is the sum of particular and homogenous solutions. Particular solution is processed by using undetermined coefficients method or variation of parameters method. There are three different damping cases while solving homogenous equation. First one is heavy damping case. The second one is critical damping case. The third is weak damping case. The weak damping has been considered in this work. This equation of motion is a forced vibration equation that is with single degree of freedom and under effect of weak damping. It is considered that the mass of a storey has been collected to one point. The horizantal displacement has been considered only. It is clear that the external load varies by time in the dynamic loading. Therefore, the time values have been evaluated for increasing load values using the load values at which the plastic hinges occur. Then the force-time diagram has been drawn under increasing loads. After that, the stiffness-time graphic has also been drawn which shows time intervals of this stiffness. Natural frequency values of the system have been calculated for every time interval. The damping coefficient of the system must be calculated for every stiffness value by choosing a initial value for system damping. According to this, the natural frequency-time and damping rate of system-time graphics have been plotted. It is assumed that the stiffness matrix remains constant between two values of the load when using the stiffness-load diagram. The system has been solved in a time interval that corresponds to these loads. The values, at the end of the previous interval have been used as initial condition to determine the integration constants of on interval. The displacement-time curve has been drawn. The operations of increasing loads have been repeated for decreasing loads. The changes of increased and decreased loads depending on time, has been represented in a single curve. During calculation, the stiffness values of every time range that is calculated for increasing loads and decreasing loads have been taken as the same. The displacement-time curve, for decreasing loads has been drawn under these conditions. The displacement-time curves for increasing loads and decreasing loads have been combined and they have been shown on one diagram.