Finansal piyasalar için bir kesirli basamaktan diferensiyel denklem modeli ve nümerik simülasyonlar
A fractional order differential equation model for financial markets and numerical simulations
Yazar: MEHMET ALİ HOROZ
Danışman: PROF. DR. FATMA KARAKOÇ ; PROF. DR. HÜSEYİN MERDAN
Ankara Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Diferensiyel denklemler = Differential equations ; Finansal modeller = Financial models ; Kesirli türevler = Fractional derivatives ; Sabit nokta teoremleri = Fixed point theorems ; Türev hesapları = Derivative calculations

Özet:
Literatürde varlık akışı diferensiyel denklemler olarak da bilinen lineer olmayan adi diferensiyel denklem sistemleri ile tanımlanmış modeller, finansal piyasaların dinamiğini analiz etmek için kullanılmaktadır. Bu modeller teorik çalışmalarda kullanılan kabuller yerine yatırımcılar tarafından hisse senedinin alım-satımı sürecinde göz önüne alınan motivasyonlar dikkate alınarak elde edilmiştir. Bu çalışmanın amacı finansal piyasalar için Riemann-Liouville ve Caputo türevlerine dayanan bir diferensiyel denklem modeli oluşturup çözümlerin varlık-tekliğini ve kararlılığını incelemektir.
Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkin-ci bölümde finansal piyasalar, temel kavramlar, kesirli türev ve integral operatörleri tanıtılıp bunlarla ilgili özellikler verilmiştir. Üçüncü bölümde literatürde mevcut olan finansal modeller incelenmiştir. Dördüncü bölümde kesirli basamaktan finansal modeller tanıtılmış olup varlık akışı diferensiyel denklem sistemi modeli ifade edilmiştir. Ele alınan modelin çözümünün varlık-tekliği ispat edilmiştir. Ayrıca kesirli basamaktan model ve tam sayı basamaktan modelin çözümlerinin kararlılık davranışı arasındaki fark nümerik simülasyonlarla incelenmiştir. Son bölümde de elde edilen sonuçlar özetlenmiştir.

Abstract:
Models defined by nonlinear ordinary differential equation systems, also known as asset flow differential equations in the literature, are used to analyze the dynamics of financial markets. These models were obtained by the motivations taken into account by the investors in the buying and selling process of the stock, rather than the assumptions used in theoretical studies. The aim of this work is to construct a fractional order differential equation model based on Riemann-Liouville and Caputo derivatives for financial markets and to investigate existence and uniquness as well as stability of the solutions.
This thesis consists of five chapters. First chapter includes introduction. In the second chapter financial markets, basic concepts, fractional derivative and integral operators are introduced. In the third chapter financial models with integer order are investigated. In the fourth chapter fractional order financial models are introduced and asset flow differential equations model is proposed. Existence and uniqueness of the solution is proved. Moreover, numerical simulations are given to investigate the difference between the stability properties of fractional order model and integer order model. The obtained results are summarized in the last section.