Analitik kesirli mertebe PID kontrol tasarımı: manyetik askı sistemine uygulanması
Analytical fractional order PID controller design: Case study on magnetic leviaton system
Yazar: SERGEN BERKAY KÖSE
Danışman: PROF. DR. MÜJDE GÜZELKAYA
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2019
Konu: Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrol = Computer Engineering and Computer Science and Control
Dizin: PID denetleme = PID control

Özet:
Kesirli hesaplama, türev ve integrallerin tamsayı mertebeden olmadığı durumları konu edinir. Kesirli mertebe operatörünü tanımlamak için Grünwald-Letnikov, Caputo, Riemann-Louville kullanılır.Grünwald-Letnikov tanımı, tam mertebe türevinin genel formülünün belirli koşullar altında n katlı integral tanımına eşitlenmesiyle elde edildir. Riemann-Liouville tanımı, kesirli mertebeden n katlı integral operatörünün belirli koşullar altında n. mertebeden türev tanımına eşitlenmesiyle oluşturulmuştur. Caputo tanımı, Riemann-Liouville tanımını Laplace dönüşümündeki ilk koşullar için daha anlamlı kılar. 
Kesirli mertebe hesaplamanın kontrol alanındaki ilk uygulaması 1961 yılında Manabe tarafından yapılmıştır. Daha sonra, Podlubny tarafından beş parametreye sahip PIλDμ genel PID kontrolör yapısı önerilmiştir. Podlubny tarafından önerilen yapıda klasik PID kontrolör parametrelerine ek olarak integral ve türevin mertebesi de parametre olarak eklenmiştir. Bu yeni parametreler sayesinde kesirli mertebeden PID kontrolörler klasik PID kontrolörlere göre daha iyi sonuçlar vermektedir. Ancak eklenen parametreler kontrolör tasarımını zorlaştırmaktadır. Kesirli mertebeden kontrolörlerin uygulamaları ve bu alanda çalışmalar günden güne artmaktadır. 
Kesirli mertebe kontrolörlerin uygulanabilmesi için çeşitli yaklaşımlar önerilmiştir. Ayrık ya da sürekli tam sayı mertebe transfer fonksiyonları ile belirli bir aralıkta kesirli mertebe operatörler gerçekleştirilebilmektedir. Bu yaklaşımlardan en çok kullanılanı Oustaloup yaklaşımıdır. Bu yaklaşımda öncelikle bir frekans aralığı belirlenmektedir. Bu frekans aralığında kesirli mertebe operatörler sürekli ve tam sayı mertebeden transfer fonksiyonları ile gerçeklenmektedir. Bu tamsayı mertebeden transfer fonksiyonlarında n adet sıfır ve n adet kutup yer almaktadır. Kullanılan sıfır ve kutup sayısı Oustaloup yaklaşımının mertebesini belirlemekte, bu sıfır ve kutupların sayısı arttıkça operatörün gerçeklenmesi o kadar iyi olmaktadır. 
Bu tezin amacı, analitik kesirli mertebe PID kontrolör tasarımını incelemek ve manyetik askı deney seti için benzetim ve gerçek zaman uygulamalarını gerçeklemektir. İki farklı analitik kesirli mertebe PID kontrolör tasarımı ele alınacaktır. Bu tasarımlardan ilki "Referans Ağırlıklı Filtreli Kesirli Mertebeden Kontrolör" diğeri "Filtreli Kesirli Mertebeden PI Kontrolör" dür. Her iki kontrolör tasarımında da tasarımcı ilk olarak istenen kapalı çevrim transfer fonksiyonunu belirlemektedir.  Daha sonra verilen ilişkiler yardımıyla, kontrolör parametreleri, istenen kapalı çevrim transfer fonksiyonuna sağlamak üzere hesaplanmaktadır. Söz konusu yöntemler ölü zamansız kararlı sistemlere uygulanmak için uygundur.  Kontrol edilecek sistem modeli olarak tek kesirli kutuplu sistemler ele alındığında, önerilen kapalı çevrim transfer fonksiyonu ve kontrolörler kesirli mertebeden olmak zorundadır. Kontrol edilecek sistem ve istenen kapalı çevrimli transfer fonksiyonunda kesirli mertebe 1 olarak alındığında sonuç kontrolör de tam sayı mertebeli çıkmaktadır. Referans Ağırlıklı Filtreli PID kontrolör tasarımında 5 adet kontrolör parametresi bulunmaktadır. Filtreli PI kontrolör yapısında ise 3 adet kontrolör parametresi vardır. Referans Ağırlıklı PID kontrolör yapısı, bozucu bastırma konusunda Filtreli PI kontrolör yapısına göre daha başarılıdır. Filtreli PI kontrolör yapısı ise gürültü bastırma performansı açısından Referans Ağırlıklı PID kontrol yapısına göre daha iyidir. 
Manyetik askı deney seti, bir RLC devresinin mıknatıs yardımıyla oluşturduğu elektromanyetik kuvvet ile metal bir topa etki eden yerçekimi kuvvetini dengeleyerek, sabit bir noktada tutulmasını amaçlamaktadır. Sistemin sabit bir noktada tutulması için üzerine etkiyen kuvvetler iki bölüme ayrılarak modellenebilir. Bu sistemin kuvvet denklemlerini oluşturmak için RLC devresi elektriksel modelleme ile yerçekimi kuvveti ise mekanik modelleme bölümlerinde modellenmiştir. Elektromanyetik kuvvet bu sistemi doğrusal olmayan bir sistem haline getirmektedir. Söz konusu kontrolör tasarım yöntemlerini uygulayabilmek için sistemin transfer fonksiyonu belirlenmelidir. Doğrusal olmayan bir sistemin transfer fonksiyonu hesaplanamayacağı için sistem, belirli bir çalışma noktası belirlenerek, doğrusallaştırılmalıdır. Taylor serisi açılımı ve süperpozisyon ilkesi yardımıyla sistemin doğrusallaştırılmış modeli belirlenmiştir. Elde edilen modelden durum uzayı denklemleri hesaplanmıştır.  Ardından durum uzayında bir kontrolör tasarlanarak, sistem belirli bir çalışma bölgesi için kararlı hale getirilmiştir.  
Referans Ağırlıklı Filtreli PID ve Filtreli PI Kontrolörlerin, kararlı hale getirilmiş manyetik askı deney setine uygulanabilmesi için deney setinin kesirli mertebe ve tam sayı mertebe sistem modelleri ayrı ayrı elde edilmiştir. Modellerin belirlenmesinde, normalize edilmiş karesel hatanın karekökü kriteri kullanılmıştır. Kontrolörler, tasarımcı tarafından istenen kapalı çevrim transfer fonksiyonu parametreleri cinsinden elde edilmektedir. Kapalı çevrim parametrelerinin sistem yanıtı üzerindeki zaman tanım bölgesi kriterlerine etkisi hem benzetim ortamında hem de gerçek zamanda sistem üzerinde tartışılmıştır. Benzer şekilde kontrol işaretlerinin değişimleri de incelenmiştir. Ayrıca kontrolörlerin bozucu ve gürültü bastırma başarımları kıyaslanmıştır. Referans Ağırlıklı Filtreli PID kontrolör yapısının Filtreli PI kontrolör yapısına göre bozucu bastırmada daha başarılı olduğu, ancak gürültü bastırmada Filtreli PI yapısının daha üstün olduğu görülmüştür. Kesirli mertebe kontrolörlerin tam sayı mertebe kontrolörlere göre gürültü bastırmada daha başarılı olduğu saptanmıştır. Tam sayı mertebe kontrolörlerin ise bozucu bastırmada kesirli mertebe kontrolörlere üstünlük sağladığı görülmüştür. Ayrıca, istenen kapalı çevrim parametreleri toplam karesel hata ve toplam karesel kontrol işareti ile belirlenen kriteri için optimal olacak şekilde seçilmiş ve bu parametreler manyetik askı deney seti üzerinde uygulanarak sonuçlar tartışılmıştır.

Abstract:
Fractional calculus covers the cases in which derivative and the integrals are not integer order. Grünwald-Letnikov, Caputo, Riemann-Louville definitions are used to define fractional order operator. Order and fold of the non-integer could be rational, irrational or complex numbers. For the fractional order derivative operator, Grünwald-Letnikov definition was obtained by equaling integer nth order derivative's general formula to the n fold integral definition under certain conditions. Definition of Riemann-Liouville was established by equaling general formula of the integer order n fold integral to the nth order derivative definition under certain conditions for the fractional order integral operator. Caputo definition makes the Riemann-Liouville definition more meaningful for the initial conditions on the Laplace transformation. In literature, these definitions are used to indicate fractional order derivative and integral operators.
Fractional calculus applications are being used recently in engineering areas, however, fractional calculus is an ongoing subject for more than 300 years. First application of it was executed in 1823 in order to solve the integral equation for teutochrone problem. It is also proven that specific problems for electromagnetic theory could be solved by using fractional calculus.
There are various fractional calculus applications on modeling and control field. They could be exemplified as control or modeling of speed of servo system, underwater vehicle, liquid or thermal systems etc. Manabe is the pioneer on using fractional calculus on control engineering in 1961. After obtaining transient state and frequency responses of non-integer integral, he used them on control systems. Oustaloup utilized fractional control algorithm in order to control dynamic systems in automatic control and he has shown that CRONE (Commande Robuste d'Ordre Non Entier) method has a better performance than integer order PID controllers.
PIλDμ is a generalized form of PID controller with 5 parameters and is suggested by Podlubny.  Podlubny has also shown that fractional order controllers give better results than classical PID controllers. In the form suggested by Podlubny, orders of integral and derivative are added as parameters to the classic PID controllers. By means of these new parameters, fractional order PID controllers give better results than classic PID controllers. However, these added parameters complicate the design of the controller. 
There are various approaches for the realization of fractional order controllers. Fractional order operators could be realized with discrete or continuous integer order transfer functions in certain intervals. The most popular approach is Oustaloup approach. In this approach, firstly, the lower and upper boundary frequency values are determined. Fractional order operators are realized with continuous integer order transfer functions within the boundary values using "n" number of poles and "n" number of zeros. Number of zeros and poles determines the order of the Oustaloup approach. As n value increases, the realization of the operator gets better.
The aim of this thesis is to examine the analytical fractional order PID controller design and to implement simulation and real time applications for the magnetic leviation experiment set. Two different analytical fraction PID controller design will be analyzed. The first analytical design method is "Set-Weighted Fractional Order PID Controller Design Method" and the other is "Filtered Fractional Order PI Controller Design Method". In these design methods, the desired closed-loop transfer function is determined by the designer. The controller parameters are obtained by the help of the given equations to obtain the desired closed loop transfer function. Both methods are suitable for application to stable systems without delay time. In the case of single-fractional pole system models, the proposed closed-loop transfer function must be in the fractional order form. When the fractional orders of the desired closed loop system and the system model to be controlled are taken as 1, the resultant controller is in integer order. Set-Weighted Filtered PID controller design has 5 controller parameters. In the Filtered PI controller, there are 3 controller parameters. When the disturbance rejection performances of these controllers are compared with each other, it is seen that the Set-Weighted Filtered PID controller structure is more successful than the Filtered PI controller structure. On the other hand, the Filtered PI controller structure has better noise reduction performance than the Set-Weighted Filtered PID control structure.
In this thesis, the above-mentioned control methods have been applied to the magnetic leviation experiment set. Purpose of the magnetic leviation experiment set is to hold a metal ball in a steady position by balancing the gravity force applied on the ball with an electromagnetic force generated by an RLC circuit with the help of a magnet. The forces acting on it can be divided into electrical and mechanical parts. The electromagnetic force which is the output of the electrical part causes the nonlinearity of the system. The transfer function of the system should be calculated in order to apply the mentioned controller design methods. Therefore, the system must be linearized around a specific operating point. The linearized model of the system is obtained using Taylor series expansion and superposition principle. Then, the state space equations of the linearized model are obtained. Since the linearized model of magnetic leviation system is unstable a control rule is applied to the linearized system for stabilization.  
In order to apply Set-Weighted Filtered PID Controller and Filtered PI Controller to the stabilized system, fractional order and integer order transfer function models are needed. These transfer function models are found according to the normalized root mean square criteria. Then, the closed loop transfer function parameters are determined by the designer. The fractional order or integer order controllers are obtained in terms of the closed loop transfer function parameters. The effect of the closed loop system parameters on the time domain characteristics of the system response are discussed both by simulations and real time application. Moreover, the control signals are also examined. In addition, disturbance rejection and noise reduction performances of the controllers are compared with each other. It is seen that the Set-Weighted Filtered PID controller structure is more successful in disturbance rejection performance compared to the Filtered PI controller structure. On the other hand, it is observed that the Filtered PI structure is superior in noise reduction performance. Moreover, both controllers designed by fractional order transfer functions are more successful in noise reduction compared to their integer order counterparts while the controllers designed by integer order transfer functions have superiority to the fractional order counterparts in disturbance rejection performance. In addition, the closed loop transfer function parameters of Set-weighted Fractional and Integer Order PID controllers and Filtered Fractional and Integer Order PI controllers are optimally selected so as to minimize the sum of the integral squared error and the integral square control signal values and the results are discussed.