Pure özelliği ile tanımlanan modül, halka ve kategori yapıları
The structures of modules, rings and categories defined by pure property
Yazar: AZİME TARHAN
Danışman: PROF. DR. SEMRA DOĞRUÖZ
Aydın Adnan Menderes Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2020
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez dört bölümden oluşmaktadır.
Tezin birinci bölümü olan Giriş¸ kısmında tez konusu tanıtılarak konu ile ilgili temel kabul edilen çalışmaların tarihçesi kısaca verilmiştir.
ikinci bölümde tezin okunurluğunu kolaylaştıracak ve ispatlarda kullanılacak olan bazı temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Ayrıca bu bölümde genel olarak halka ile modüllere ait bilinen bazı ileri yapısal özellikler ve sonuçlar yer almaktadır.
Tezin üçüncü bölümünde ilk olarak pure alt modüller ve flat modüllere ait devamında ise singüler ve nonsingüler modüllere ait bazı temel özellikler verilmiştir. Bu bölümde τs-kapalı alt modüller tanımlanmış ve extending modüller, bu yeni kapalı alt modüller yardımıyla torsion teoriye göre purely τs-extending modül olarak genelleştirilmiştir. Yeni tanımlanan bu extending modüllerin genel teoride yer alan bazı temel özellikleri sağladığı gösterilmiştir. Ayrıca flat modüller, modülün injektif genişlemesi ve çarpımsal modüller gibi faktörler kullanılarak
purely τs-extending modüllerin karakterizasyonu  yapılmış 
ve semi-hereditary halka üzerinde extending modüllerin bir sınıflandırması verilmiştir.
Son olarak tezin dördüncü bölümünde pure kapalı alt objeler, güçlü pure kapalı alt objeler ve sonlu ulaşılabilir toplamsal kategorilerde pure bölüm Goldie boyut ile ilgili çalışmalar yer almaktadır. Bu kategoride, direkt limitler ve pure epimorfik görüntüler altında kapalı olan objelerin her sınıfının pure bölüm sonlu boyutlu bir objesinin her güçlü pure kapalı alt objesinin bir yarı yerel endomorfizma halkasının var olduğu ispatlanmıştır.

Abstract:
This thesis mainly consist of four chapters.
In the first chapter the topic of thesis has been introduced and studies that are considered in basic literature are briefly mentioned.
In the second part of the thesis some basic definitions and theorems that are used in proofs and make the thesis easier to read are introduced. In addition, some known advance properties and results of general structure of rings and modules are included.
In the third part of this thesis, firstly given the basic properties of pure submodules and flat modules and in the continuation some properties related to singular and nonsingular modules are given. In this section, τs-closed submodules are defined and extending modules are generalized as purely τs-extending modules with this new closed submodules according to a torsion theory. It has been shown that these newly described extending modules provide some basic features in general theory. In addition, by using factors such as flat modules, injective envelope hull of the modules and multiplicative modules, the characterization of purely τs-extending modules has been introduced and a classification of extending modules on a semi-hereditary ring is given.
The last part of the thesis pure closed subobjects, strongly pure closed subobjects are studied and given pure quotient Goldie dimension in finitely accessible additive category. We prove in this category every strongly pure closed subobject of a pure quotient finite dimensional object of every class of objects closed under direct limits and pure epimorphic images has a semilocal endomorphism ring.