Yeni tip genişletilmiş esnek küme işlemleri: Tümleyenli genişletilmiş birleşim, artı ve teta işlemi
New type of extended operations of soft sets: Complementary extended union, plus and theta operation
Yazar: AHMET MÜCAHİT DEMİRCİ
Danışman: PROF. DR. ASLIHAN SEZGİN
Amasya Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Molodtsov tarafından 1999 yılında bazı belirsizlik içeren problemleri modellemek için ortaya atılan esnek küme teorisinin temel yapı taşını esnek küme işlemleri oluşturmaktadır. Bu tez çalışmasında, teoriye katkıda bulunmak için, yeni bir esnek küme işlem formu olan tümleyenli genişletilmiş işlemler tanımlanmıştır. Bu kapsamda, tümleyenli genişletilmiş birleşim, tümleyenli genişletilmiş artı ve tümleyenli genişletilmiş teta işlemleri tanımlanmış, örnekleri verilmiş, işlemlerin tüm özellikleri detaylı bir şekilde ele alınmış, her bir işlemin diğer esnek küme işlemleri ile ilişkisini elde etmek amacıyla, bu işlemlerin diğer esnek küme işlemleri üzerine dağılmasına bakılmış ve sabit parametreli esnek kümeler kümesi üzerinde tümleyenli genişletilmiş birleşim işleminin hangi cebirsel yapılar oluşturduğu detaylı şekilde ele alınmıştır.

Altı bölümden oluşan tez çalışmasının ilk bölümünde esnek kümeler ve tezde adı geçen cebirsel yapılar ile ilgili literatür taraması yapılmış, ikinci bölümde, temel küme işlemleri, esnek kümeler ve bazı cebirsel yapılar ile ilgili temel kavramlara yer verilmiştir. Tezin özgün bölümünü oluşturan, üçüncü, dördüncü ve beşinci bölümlerinde sırasıyla, tümleyenli genişletilmiş birleşim, tümleyenli genişletilmiş artı ve tümleyenli genişletilmiş teta işlemleri tanıtılmış, işlemlerin kapalılık, birleşme, birim eleman, ters eleman, değişme, idempotent gibi tüm özellikler incelenmiş, diğer işlemlerle ilişkişini görmek için, işlemlerin diğer işlemlere dağılmasına bakılmıştır. Klasik kümelerde de var olan birleşim işlemi ile tümleyenli genişletilmiş birleşim işleminin özellikleri karşılaştırılmış ve dikkat çekici sonuçlar elde edilmiştir. Üstelik sabit parametreli esnek kümeler kümesi üzerinde, tümleyenli genişletilmiş birleşim işleminin sınırlı bir yarı-kafes; yine tümleyenli genişletilmiş birleşim işleminin diğer esnek küme işlemleri ile birlikte komutatif, idempotent, birimli, sıfırsız bir yarı-halka, komutatif, idempotent, birimli bir hemihalka, Bool Cebiri, De Morgan Cebiri ve MV-cebiri olduğu gösterilerek, klasik cebire de katkıda bulunulmuştur. Sonuç ve öneriler bölümünde, elde edilen sonuçlara ve sonuçların önemine yer verilmiştir.

Abstract:
Soft set operations constitute the basic building block of soft set theory, which was introduced by Molodtsov in 1999 to model some problems involving uncertainty. In this thesis, in order to contribute to the theory, a new soft set operation form, called complementary extended operation, is defined. In this context, complementary extended union, complementary extended plus and complementary extended theta operations are defined, their examples are given, all the properties of these operations are discussed in detail, in order to obtain the relationship of each operation with other soft set operations, the distribution of these operations over other soft set operations are examined, and the algebraic structures that the complementary extended union operation form on the set of soft sets with a fixed parameter set are discussed in detail.

In the first part of the thesis, which consists of six sections, a literature review is made about soft sets and the algebraic structures mentioned in the thesis, and in the second part, basic concepts about basic set operations, soft sets and some algebraic structures are included. In the third, fourth and fifth chapters, which constitute the original part of the thesis, the complementary extended union, complement extended plus and complement expanded theta operations are introduced, respectively, and all properties of the operations such as closure, union, unit element, inverse element, commutation, the idempotent property are examined, and their relationships of these operations with other operations are investigated. For this purpose, the distributions of these operations over other soft set operations are taken into consideration. The properties of the union operation, which also exists in classical set theory, and the complementary extended union operation are compared and many remarkable results are obtained. Moreover, by showing that the complementary extended union operation, along with other soft set operations, are commutative, idempotent, unitary, non-zero semiring, commutative, idempotent, unitary hemiring, Boolean Algebra, De Morgan Algebra and MV-algebra, it has also contributed to classical algebra. In the results and recommendations section, the results obtained and the importance of the results are included.