Halkalar üzerinde tanımlı kodlar hakkında bazı araştırmalar
Some researches on the codes over rings
Yazar: ABDULLAH DERTLİ
Danışman: PROF. DR. ŞENOL EREN ; DOÇ. DR. YASEMİN ÇENGELLENMİŞ
Ondokuz Mayıs Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Cebir ve Sayılar Teorisi Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2016
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez 5 bölümden oluşmaktadır.
 Birinci bölümde kodlama teorisi, skew cyclic kodlar, kuantum kodlar ve MacWilliams eşitlikleri hakkında literatür araştırmasından bahsedilmiştir. 
 İkinci bölümde bazı cebirsel kavramlar, kodlama teorisi, cyclic ve skew cyclic kodlar, kuantum kodlar ve MacWilliams eşitlikleri ile ilgili temel kavramlar ve teoremler verilmiştir.
 Bulgular bölümünün birinci kısmında, (F_2 [u])⁄〈u^3-1〉 ,  (Z_3 [v])⁄〈v^3-v〉  ve ilk olarak tanımlanan (F_(p^m ) [u,v])⁄〈u^2-u,v^2-v,uv〉  sonlu ve değişmeli halkalarının özellikleri çalışılmış ve bu halkalar üzerinde aşikar olmayan bir otomorfizma tanımlanarak skew polinom halkaları oluşturulmuştur. Böylece bu halkalar üzerinde skew kodlar tanımlanmış ve özellikleri belirlenmiştir. Ayrıca ilk olarak (Z_3 [v])⁄〈v^3-v〉  halkası üzerinde skew quasi-constacyclic kod tanımlanmıştır.
 Bulgular bölümünün ikinci kısmında, sonlu ve değişmeli (F_2 [u,v])⁄〈u^2-u,v^2-v,uv-vu〉 , (F_2 [u])⁄〈u^(m+1) 〉 , (Z_3 [v])⁄〈v^3-v〉  ve ilk olarak tanımlanan (F_2 [u,v])⁄〈u^2-u,v^2-v,uv〉  halkaları üzerinde klasik lineer cyclic kodlardan dualini içerme ve self ortogonal olma özelliği kullanılarak kuantum kodların parametreleri elde edilmiştir. Ayrıca (Z_3 [v])⁄〈v^3-v〉  halkası üzerinde ilk olarak klasik lineer  negacyclic kodlardan da kuantum kodların parametreleri elde edilmiştir.
 Son olarak da (F_2 [u,v])⁄〈u^2-u,v^2-v,uv〉  ve (Z_4 [ϖ])⁄〈ϖ^2-2〉  sonlu, değişmeli halkaları üzerinde tanımlı kodlar için MacWilliams eşitlikleri tanımlanmış ve bu halkalar üzerinde Lee, simetrik, tam ve simetrikleştirilmiş ağırlık sayaçları arasındaki ilişkiler belirlenmiştir.

Abstract:
The thesis contains of five sections:
 In Section I, a brief survey on about coding theory, skew cyclic codes, quantum codes, MacWilliams identities are summarized.
 In Section II, basic concepts and theorems about some algebraic concepts, coding theory, cyclic and skew cyclic codes, quantum codes and MacWilliams identities are given.
 In the first part of the contributing, the finite abelian rings (F_2[u])⁄〈u^3-1〉  and  (Z_3 [v])⁄〈v^3-v〉  are studied. Firstly the finite and abelian ring (F_(p^m ) [u,v])⁄〈u^2-u,v^2-v,uv〉  is introduced. By defining non trivial automorphisms, the skew polynomial rings are constructed of them. Therefore, the skew codes over these finite rings are introduced and their properties are investigated. Then, the skew quasi-constacyclic codes over (Z_3 [v])⁄〈v^3-v〉  are introduced.
 In the second part of the contributing, firstly the finite, abelian ring (F_2 [u,v])⁄〈u^2-u,v^2-v,uv〉  is introduced. The parameters of quantum codes are obtained from cyclic codes over these finite and abelian rings (F_2 [u,v])⁄〈u^2-u,v^2-v,uv-vu〉 , (F_2 [u,v])⁄〈u^2-u,v^2-v,uv〉 , (F_2 [u])⁄〈u^(m+1) 〉  and (Z_3 [v])⁄〈v^3-v〉  are introduced by using being self orthogonal and containing its dual properties. Moreover, firstly by using negacyclic codes over (Z_3 [v])⁄〈v^3-v〉 , the parameters of quantum codes are obtained.
 In the last part, the MacWilliams identities for the codes over these rings (F_2 [u,v])⁄〈u^2-u,v^2-v,uv〉  and (Z_4 [ϖ])⁄〈ϖ^2-2〉  are defined. The relationship between Lee, symmetric, symmetrized and complete weight enumerators are determined.