Bloklu stokastik bir tandem ve paralel kuyruk sisteminin analizi ve simülasyonu
Analysis and simulation of a blocked tandem and parallel stochastic queueing system
Yazar: ERDİNÇ YÜCESOY
Danışman: DOÇ. DR. VEDAT SAĞLAM
Ondokuz Mayıs Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / İstatistik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2017
Konu: Matematik = Mathematics ; İstatistik = Statistics

Özet:
Bu tez çalışmasında yeni bir bloklu tandem stokastik kuyruk modeli oluşturulmuştur. Bu kuyruk modeline müşteri gelişleri λ parametreli Poisson akımına göredir. Sistemin ilk aşamasında μ_1 parametreli üstel dağılımlı hizmet süresine sahip bir tane servis birimi bulunmaktadır. İkinci aşamasında ise paralel olarak yerleştirilmiş ve parametreleri sırasıyla μ_2 ve μ_3 olan üstel dağılımlı hizmet süresine sahip iki tane servis birimi bulunmaktadır. Bu modelde birinci aşamadaki servis biriminin önünde beklemeye müsaade edilmemektedir. Birinci aşamadaki servis biriminde hizmetini tamamlayan müşteri; eğer ikinci aşamadaki servis birimlerinin her ikisi de boş ise α_1 olasılığıyla birincisineα_2=1-α_1olasılığıylaikincisine devam eder. İkinci aşamadaki servis birimlerinden yalnız bir tanesi boş ise, müşteri bu servis birimine devam eder. Eğer ikinci aşamadaki servis birimlerinin her ikisi de dolu ise, müşteri bu servis birimlerinden en az bir tanesinin boş olmasını bekler ve dolayısıyla ilk aşamadaki servis birimini bloklar. Bu yüzden bu kuyruk modelinin en önemli temel göstergesi π_loss kaybolma olasılığıdır.. Sistemin en önemli temel göstergesi olan π_loss olasılığı, elde edilen geçiş olasılıkları cinsinden hesaplanmıştır. Ayrıca yine temel göstergelerden biri olan sistemdeki ortalama müşteri sayısı E(N) de sistemin geçiş olasılıkları cinsinden elde edilmiştir. Hem π_loss olasılığı hem de E(N) için elde edilen formüllerin cebirsel olarak optimal değerlerine ulaşmak çok kompleks olduğundan, μ_1+μ_2+μ_3=c koşulu altında sistemin iki farklı yapılandırması ileπ_loss olasılığının optimal yakınsak değerlerine ulaşıldı. Birinci sistem yapılandırması c= λ olarak alındı ve bu sistemin optimal π_loss değerine  μ_2=μ_3  ; α_1=α_2 koşulu altında ulaştığı belirlendi. İkinci sistem yapılandırması c= 2λ olarak alındı ve bu sisteminde μ_2=μ_3  ; α_1=α_2 koşulu altında minimum π_lossdeğerine ulaştığı görüldü. Ayrıca her iki sistem yapılandırmasının minimum π_loss değerine ulaşırken sistemdeki ortalama müşteri sayıları da elde edildi.  Elde edilen bu bulgular için 100, 1000, 10000 ve 100000iteratif değerleri için sistemin simülasyonu yapıldı. Bulunan simülasyon sonuçları ile optimal π_loss değerleri karşılaştırıldı ve simülasyon sonuçlarının çalışmada ulaşılan optimal π_loss değerlerine çok yakın olduğu görüldü.

Abstract:
In this thesis a blocked tandem queueing system is analyzed. The arrival process to this queueing system is Poisson with parameterλ.  There is one service unit at first stage of the system and the service time of this srevice is exponentially distributed with μ_1 parameter. There are two parallel service units at second stage and the service time of these service units are exponentially distributed with parameters μ_2 and μ_3. No queue is allowed at first stage of the system. Upon completing service at first stage a customer proceeds the second stage if at least one of the service units at second stage is available. If both of two service units at second stage are busy the customer blocks the service unit at first stage and hence lost occurs.   The most important performance of this queueing system is the lost probabilityπ_loss.
First of all the state probabilities of the system is obtained and then using these probabilities the steady-state distribution of the system is obtained. Transition probabilities of the system are calculated by using steady-state probabilities and finally an equation is obtained for π_loss in terms of transition probabilities. Furthermore one other measure of performance that is the mean number of customer is obtained in terms of transition probabilities. Hence the equation for π_loss is very complex, a numerical method is used to calculate the minimum π_loss probabilites. After numerical optimal π_loss calculations, a simulation of the queueing system is done and it is seen that the obtained numerical π_loss values tend to simulation results.