Derecelendirilmiş halkalar ve 2-yutan Quasi asalımsı alt modüller
Graded rings and 2-absorbing Quasi primary submodules
Yazar: RABİA NAGEHAN ÜREGEN
Danışman: PROF. DR. BAYRAM ALİ ERSOY
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Cebir ve Sayılar Teorisi Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2017
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Değişmeli Cebirde ideallerin birleşimleri önemli yer tutmaktadır. İdeallerin ve modüllerin birleşimleri üzerine çeşitli çalışmalar yapılmıştır. Tezin birinci bölümünde verilen literatür taramasının ardından ikinci bölümde derecelendirilmiş ideallerin birleşimleri incelenmiştir. Quartararo ve Butts'un  halka olarak tanımladığı halkalarda ideallerin sonlu birleşimleri, derecelendirilmiş halkalar için yapılmıştır. Buna göre; R  bir derecelendirilmiş halka ve  I,  R nin derecelendirilmiş bir ideali olsun. Herhangi   derecelendirilmiş ideal ailesi için   olması   olacak şekilde bir   için   olmasını gerektiriyorsa   ya derecelendirilmiş   ideal denir.   halkasının her derecelendirilmiş ideali  ideal ise   ye derecelendirilmiş  halka denir. Bu tanımdan hareketle derecelendirilmiş  halkaların birçok karakterizasyonları verilmiştir. Daha sonra derecelendirilmiş asal idealler yardımıyla asaldan kaçınma teoreminin bir genelleştirmesi olan derecelendirilmiş kompakt paketlenmiş halka şu şekilde tanımlanmıştır:   nin derecelendirilmiş   ideali derecelendirilmiş asal idealler ailesinin birleşiminde iken ailenin herhangi bir derecelendirilmiş asal ideali tarafından içeriliyorsa   ye derecelendirilmiş kompakt paketlenmiş halka denir. Bu tanımın ardından derecelendirilmiş kompakt paketlenmiş halkaların bazı özellikleri incelenmiştir. Dahası bu halkaların daha genel hali olan derecelendirilmiş aralarında asal paketlenmiş halkalar tanımlanmıştır ve her derecelendirilmiş kompakt paketlenmiş halkanın derecelendirilmiş aralarında asal paketlenmiş halka olduğu gösterilmiştir. Ayrıca ifadenin tersinin   bir derecelendirilmiş tamlık bölgesi ve   olduğunda sağlandığı gösterilmiştir. Bu bölümün sonunda ise derecelendirilmiş ideallerin yeni bir sınıfı olan derecelendirilmiş  yutan quasi asalımsı idealler tanımlanmıştır. Buna göre;   bir derecelendirilmiş halka ve  ,  nin derecelendirilmiş bir has ideali olsun.   olmak üzere    olması   veya   veya   olmasını gerektiriyorsa   ya   nin derecelendirilmiş  yutan quasi asalımsı ideali denir. Ayrıca derecelendirilmiş  yutan quasi asalımsı idealler birçok derecelendirilmiş halkada incelenmiş ve derecelendirilmiş  yutan ideallerle ilişkileri ortaya konmuştur.
Tezin üçüncü bölümünde ise modül teoride önemli yeri olan asal alt modüllerin bir genelleştirilmesi yapılmıştır.  yutan quasi asalımsı alt modül adını verdiğimiz bu yapı şöyle tanımlanmıştır:   bir  modül ve   de   nin bir has alt modülü olsun. Her   ve   için   iken   veya   veya   oluyorsa   ye  yutan quasi asalımsı alt modül denir. Bu bölümde ayrıca 2-yutan quasi asalımsı alt modüllerin çeşitli karakterizasyonları verilerek bazı alt modüllerle aralarındaki ilişki incelenmiştir.

Abstract:
Union of ideals has an important role in commutative algebra, which has led to a wide range of literature on the union of ideals and modules. After the literature review given in Chapter 1 of this dissertation, union of graded ideals are investigated in Chapter 2. Finite union of ideals in rings defined as  ring by Quartararo and Butts has been applied to graded rings. Accordingly, let   be a graded ring,   a graded ideal of  . Then we say that   is a graded  ideal if for any family of graded ideals   ,   implies   for some   . A graded ring   is called  ring if any graded ideal is a graded  ideal. Based on this definition, various characterizations of graded  rings are given. Then a graded compactly packed ring which is a generalization of the prime avoidance theorem with the help of prime ideals is defined as follows: The ring   is called a graded compactly packed ring if for any graded ideal   of  is contained in any graded prime ideal when it is in the union of a family of graded prime ideals. Succeeding this definition, some properties of graded compactly packed rings are examined. Furthermore, graded coprimely packed rings which are more general versions of these rings are defined and it is shown that every graded compactly packed ring is a graded coprimely packed ring. It is also displayed that the converse is true whenever   is a graded integral domain and  . At the end of this chapter, graded 2-absorbing quasi primary ideals, which are a new class of graded ideals, are defined. Accordingly, let    be a graded ring and    a proper graded ideal of  . Then  is called a graded  absorbing quasi primary ideal of    if    implies    or   or   for each  . Moreover, graded  absorbing quasi primary ideals are investigated in several graded rings and their relations between graded  absorbing ideals are revealed. 
In Chapter 3, generalization of prime submodules having a significant role in the theory of modules is presented. A structure called 2-absorbing quasi primary submodule is defined as follows: Let   be a ring,   an  module and   a proper  submodule of  . We argue that   is a  absorbing quasi primary submodule of   if whenever   with  , then either   or   or  . In this chapter, additionally, by providing various generalizations of  absorbing quasi primary submodule, its relations between some other submodules are studied.