Kesirli türevler ve İkinci Heavenly denkleminin uyumlu kesirli türevli ikili-hamiltoniyen yapısı
Fractional derivatives and bi-hamiltonian structure of the Second Heavenly equation with conformable fractional derivatives
Yazar: SEDAT TOPUZ
Danışman: PROF. DR. DEVRİM YAZICI
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Fizik Ana Bilim Dalı / Fizik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Fizik ve Fizik Mühendisliği = Physics and Physics Engineering

Özet:
Doğada var olan hemen hemen bütün hareketleri anlamak için fizik yasaları kullanılır. Klasik fizikte hareket denklemleri Newton yasaları veya Lagrange ve Hamilton mekaniği kullanılarak elde edilir. Bu hareket denklemleri diferansiyel denklemler ile ifade edilip açıklanır. Leibniz'in temelini attığı diferansiyel hesap, bu mekanik yasalarının anlaşılmasında kullanılan matematiksel bir yöntemdir. Bilindiği gibi, Leibniz'in yaptığı çalışmalarda diferansiyel denklemlerin mertebeleri tam sayı olarak incelenmiştir. Mertebenin tam sayı olmaması halinde neler olacağı, L'Hôpital tarafından ortaya atılmış ve kesirli mertebeden diferansiyel hesap konusu çalışılmaya başlanmıştır. Bu konunun gelişimi yavaş olmasına rağmen, son otuz yılda hızlı bir şekilde yükselişe geçerek özellikle fizik, matematik ve mühendislikte son derece önemli bir araştırma konusu haline gelmiş ve birçok uygulama alanı bulmuştur.

Bu tezde, kesirli türevlerin tarihsel gelişimi incelenmiş ve farklı tanımları verilmiştir. Uyumlu kesirli türev, son yıllarda ortaya çıkan ve ilgi gören tanımlardan biridir. Bu çalışmada, Plebanski'nin ikinci heavenly denklemi uyumlu kesirli türevli (UKT) yazılarak, ikili-Hamiltoniyen yapısı elde edilmiştir. Einstein'ın alan denklemlerinin indirgenmiş denklemlerinden biri olan ve klasik türevle tanımlanan ikinci heavenly denklemi, $(3+1)-$boyutlu integre edilebilir bir sistemdir. İkinci heavenly denklemi uyumlu kesirli türevler cinsinden yazılabilmesi için zaman koordinatı ($t$) ve bir uzay koordinatı ($z$) türevleri uyumlu kesirli türevlere dönüştürülmüştür. Dönüşmüş denklem uyumlu kesirli türevli ikinci heavenly (UKTİH) denklemi olarak adlandırılmıştır. Klasik yöntemde olduğu gibi Dirac'ın bağ analizi teorisini kullanabilmek için UKTİH denklemi iki-bileşenli formda yazılmıştır. $L = L \big( q, u, D_t^\alpha u, D_z^\alpha u, u_x, u_y, u_{xx} \big)$ ile verilen Lagrange yoğunluğu için varyasyonun en az eylem ilkesi kullanılarak uyumlu kesirli türevli Euler-Lagrange denklemleri elde edilmiştir. Bu denklemler kullanılarak iki-bileşenli UKTİH denklemlerinin dejenere uyumlu kesirli Lagrange fonksiyonundan elde edildiği gösterilmiştir. Dirac teoremini takip ederek, uyumlu kesirli Lagrange fonksiyonundan ikinci sınıf bağ koşulları elde edilerek simplektik ve birinci Hamiltoniyen operatörü elde edilmiştir. Birinci uyumlu kesirli türevli Hamiltoniyen fonksiyonu Legendre dönüşümü ile Lagrange fonksiyonundan elde edilerek birinci Hamiltoniyen yapı tanımlanmıştır. Tek bileşenli UKTİH denklemine simetri dönüşümleri uygulanarak uyumlu kesirli yineleme operatörü bulunmuştur. UKT yineleme operatörü kullanılarak UKT ikinci Hamiltoniyen operatörü hesaplanarak ikinci Hamiltoniyen yapı elde edilmiştir.

Sonuç olarak, UKTİH denkleminin Magri teoremine göre ikili-Hamiltoniyen yapıya sahip olduğu gösterilmiştir. Uyumlu kesirli türev parametresinin $\alpha = 1$ olması durumunda, yani klasik türev limitinde, bütün denklemlerin klasik denklemlere indirgendiği gözlemlenmiştir.

Abstract:
In order to understand almost all motions in nature, the laws of physics are employed. In classical physics, equation of motions is obtained using Newton's laws or Lagrange and Hamilton mechanics which are expressed and explained using differential equations. Differential calculus, founded by Leibniz, is a mathematical method used to understand these laws of mechanics. As known, in Leibniz's work, the orders of differential equations were taken as integers. The subject of fractional order differential calculus began to be studied after L'Hôpital suggested what would happen if the order was not an integer. Although the development of this subject has been slow, it has risen rapidly in the last thirty years and has become an extremely important research topic, especially in physics, mathematics and engineering, and has found many application areas.

In this thesis, the historical development of fractional derivatives is examined, and different definitions are given. Conformable fractional derivative is one of the definitions that has emerged and attracted attention in recent years. In this study, Plebanski's second Heavenly equation was written in terms of conformable fractional derivative (CFD) and the bi-Hamiltonian structure was obtained. The second heavenly equation, one of the reduced equations of Einstein's field equations and defined by the classical derivative, is a $(3+1)-$dimensional integrable system. To express the second heavenly equation in terms of conformable fractional derivatives, the time coordinate ($t$) and space coordinate ($z$) derivatives are transformed into conformable fractional derivatives. The transformed equation is named as the conformable fractional derivative of the second heavenly (CFSH) equation. To use Dirac's constrained analysis theory as in the classical method, the CFSH equation is written in a two-component form. For the Lagrange density given by $ L = L \big( q, u, {D_t^\alpha u}, {D_z^\alpha u}, u_x, u_y, u_{xx} \big) $, conformable fractional Euler-Lagrange equations were obtained by using the principle of least action of variation. Using these equations, it is shown that the two-component CFSH equations are derived from the degenerate conformable fractional Lagrange function. Following Dirac's theorem, the symplectic and first Hamiltonian operators were found by obtaining second-class constraints from the conformable fractional Lagrange function. The first compatible fractional derivative Hamiltonian function was obtained from the Lagrange function by Legendre transformation, and the first Hamiltonian structure was completed. The conformable fractional recursion operator was found by applying symmetry transformations to the one-component CFSH equation. Using the CFD recursion operator the second Hamiltonian operator was calculated, and the second Hamiltonian structure was obtained. 

As a result, it has been shown that the CFSH equation possesses a bi-Hamiltonian structure according to Magri's theorem. It is observed that when the fractional derivative parameter $ \alpha = 1$, that is, in the classical derivative limit, all equations are reduced to classical equations.