Lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin benzerlik çözümleri üzerine
On the similarity solutions of nonlinear partial differential equations
Yazar: İSMAİL ASLAN
Danışman: PROF. DR. TURGUT ÖZİŞ
Ege Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2007
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez altı bölümden oluşmaktadır.Birinci bölümde, diferansiyel denklemlerle ilgili tanımlar verilmiş ve Lie grupanalizinin tarihçesinden söz edilmiştir.İkinci bölümde, Lie grup analizi için bir ön koşul oluşturan karakteristikler metodu(Lagrange yöntemi) özetlenmiştir.Üçüncü bölümde, çalışmamıza temel teşkil edecek Lie grup analizine ait önemlikavramlar sunulmuş olup diferansiyel denklemlere uygulanışı anlatılmıştır.Dördüncü bölümde, Burgers denklemi ile ilgili yapılan çalışmalardan söz edilmiş, bazıkoşullar altında çözümün tekliği kanıtlanmış, ayrıca, klasik analiz yöntemleri ile denklemingezinen dalga çözümü ve bir başlangıç-sınır değer koşulu ile birlikte analitik çözümüverilmiştir.Çalışmamızın orijinal kısmını oluşturan beşinci bölümde, Burgers denkleminiinvariyant bırakan bazı Lie nokta simetri grupları (sonlu ve sonsuzküçük formda) bulunmuş,matematiksel fiziğin önemli fonksiyonları (hata fonksiyonu, konflüent hipergeometrikfonksiyon, Bessel fonksiyonu) cinsinden yazılabilen çok özel benzerlik çözümleri eldeedilmiştir. Burgers denklemini Ricatti denklemine indirgeyen benzerlik dönüşümlerininvarlığı da doğrulanmıştır. Grup invariyant çözümlerin denklik sınıflarına ayrılması optimalsistemin bulunmasıyla belirlenmiştir. Son olarak, Hopf-Cole dönüşümü ile denklemlineerleştirilmiş, bu durumda yeni bir simetri elde edilmiş, ancak bu yaklaşımın yeni birinvariyant çözüm vermediği gözlenmiştir.Altıncı bölümde elde edilen sonuçlar tartışılmıştır.Anahtar Sözcükler: Burgers denklemi, benzerlik çözümü, benzerlik dönüşümü

Abstract:
This thesis consist of five chapters.The first chapter provides some definitions of differential equations and a briefhistorical account of Lie group analysis.The second chapter deals with the method of characteristics (Lagrange Method), afundamental subject for the development of Lie group analysis.The third chapter is devoted to the important concepts which will be the foundation ofour work of Lie group analysis and its applications to differential equations.The fourth chapter is concerned with a short history of studies on Burgers equation.Using classical analysis methods, existence of solutions under some conditions, travellingwave solutions and analytic solution of an initial-boundary value problem has beendemonstrated.The chapter five is the main focus of our original work. Both finite and infinitesimalforms of Lie piont symmetry groups admitted by Burgers equation are investigated. Somespecial similarity solutions of Burgers equation in terms of very important functions ofmathematical physics (error function, confluent hypergeometric function, Bessel function) areobtained. The existence of a similarity reduction of Burgers equation to Ricatti equation isobserved. Group invariant solutions are classified by conjugacy via optimal system of onedimensionalLie subalgebras. Finally, the equation is linearized by the well known Hopf-Coletransformation. In this case, a new symmetry is obtained, however, this approach is not lead toan invariyant solution.The chapter six is devoted to the discussion of main results.Key Words: Burgers equation, similarity solution, similarity transformat