Fibonacci kuvvet dizilerinin varyasyonları ve bu varyasyonların kriptografiye uygulaması
The variations of power Fibonacci sequences and an application of these variations to cryptography
Yazar: ÇAĞLA ÇELEMOĞLU
Danışman: Prof. Dr. ALİ PANCAR ; Prof. Dr. AYŞE NALLI
Ondokuz Mayıs Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2020
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez çalışmasında asimetrik kriptografik sistemlerden genelleştirilmiş ElGamal şifreleme sistemi ile ilgili farklı uygulamaların yapılması ve yapılan uygulamaların en avantajlısının elde edilmesi amaçlanmaktadır. Bu amaç doğrultusunda öncelikle kriptografi ve çeşitli kriptografik sistemler araştırılmıştır. Sonrasında ise Ide ve Renault tarafından tanımlanan ve Fibonacci dizileri tabanlı bir dizi olan Fibonacci kuvvet dizileri incelenmiş ve bu dizilerin sonlu mertebeli bir devirli grup oluşturduğu görülmüştür. Genelleştirilmiş ElGamal şifreleme sisteminde de devirli bir gruba ihtiyaç olduğundan bu çalışmada ilk olarak Fibonacci kuvvet dizileri kullanılarak genelleştirilmiş ElGamal şifreleme sisteminin bir uygulaması yapılmıştır. Ayrıca Fibonacci dizilerinin rekürans bağıntılarının değiştirilmesi ile elde edilen farklı diziler kullanılarak yeni kuvvet dizileri tanımlanmış ve bu dizilerin hangi modüllerde kesin olarak var oldukları ve var oldukları modüllerdeki sayıları belirli durumlar için belirlenmiştir. Tanımlanan bu yeni diziler de bir devirli grup oluşturduğundan bu diziler kullanılarak da genelleştirilmiş ElGamal şifreleme sisteminin farklı uygulamaları yapılmıştır. Yapılan bu uygulama örnekleri keyfi bir grupta ayrık logaritma problemini hesaplamak için kullanılan algoritmalar ile kontrol edilmiştir.  Sonrasında kriptografik açıdan sağlanan avantajı artırmak için daha yüksek mertebeli bir devirli grup kullanılarak genelleştirilmiş ElGamal şifreleme sisteminin bir uygulaması yapılmış ve yine bu uygulama ilgili algoritmalar ile kontrol edilmiştir. Son olarak hem  m bir pozitif tam sayı olmak üzere bir  m modülünde genelleştirilmiş  k-Horadam kuvvet dizileri tanımlanmış hem de diğer kuvvet dizilerinden farklı olarak tam sayı değerli bir polinom modülünde genelleştirilmiş  k-Horadam kuvvet dizileri tanımlanmıştır. Yapılan bu tanımlama ile Fibonacci kuvvet dizileri daha genele taşınmıştır. Ayrıca tam sayı değerli bir polinom modülünde tanımlanan bu diziler kullanılarak ElGamal şifreleme sistemi yeniden oluşturulmuş ve bu sistem simetrik sistemlerle birleştirilerek yeni bir kriptografik yöntem elde edilmiştir. Bu yöntem ile de kriptografik uygulamalar yapılmıştır. Yapılan uygulama örnekleri ilgili algoritmalar ile kontrol edilmiştir. Ardından yapılan tüm uygulamalar kriptografik açıdan karşılaştırılmıştır. Tam sayı değerli bir polinom modülünde genelleştirilmiş k-Horadam kuvvet dizileri ile ElGamal şifreleme sisteminin simetrik sistemlerle birleştirilerek yapılan uygulamasının bu tez çalışmasında yapılan tüm uygulamalar arasında en avantajlısı olduğu elde edilmiştir.

Abstract:
In this thesis, it is aimed to make different applications related to the generalized ElGamal cryptosystem that is an encryption system in asymmetric cryptography, and to obtain the most advantageous application. In accordance with this purpose, firstly, cryptography and cryptographic systems have been researched. Then, the power Fibonacci sequence that is based on Fibonacci sequence which is defined by Ide and Renault has been examined. As a result of the examination, it is seen that these sequences represent a finite cyclic group. Because it must be a cyclic group in generalized ElGamal cryptosystem, an application of generalized ElGamal cryptosystem is made by using the power Fibonacci sequence in this study. In addition, new power sequences are defined by using the different sequences which is obtained by changing the recurrrence relations of Fibonacci sequences. For certain situations, it has been determined that those modulo m  for which these new power sequences precisely exist and the number of such sequences for a given m. Because the new sequences represent cyclic group, it has been made applications of generalized ElGamal cryptosystem by using the new power sequences. These application examples which has been made were checked with algorithms which is used to calculate the discrete logarithm problem in an arbitrary group. Then, it has been made an application of generalized ElGamal cryptosystem by using a higher order cyclic group to increase the cryptographic advantage and these application examples which has been made have been checked with related algorithms, too. Finally, the power generalized k-Horadam sequence has been defined both for a positive integer module m, and for an integer-valued polynomial module unlike the other power sequences. With this definition, the power Fibonacci sequences have been moved to more general. It has been rebuilt ElGamal cryptosystem with power generalized  k-Horadam sequence in an integer-valued polynomial module and it has been obtained a new cryptographic method with this cryptosystem by combining with symmetrical cryptographic system. It has also been made cryptographic applications with this method. These applications have been checked with related algorithms. Then, all of these applications have been compared in terms of cryptography. It has been obtained that the most advantageous application among all the applications made in this thesis is an application which is made with the new cryptographic method obtained by combining ElGamal cryptosystem rebuilt with the power generalized k-Horadam sequence in an integer-valued polynomial module and symmetric systems.