İkinci mertebeden tanjant demet üzerindeki metriklerin geometrisi
Geometry of metrics on the second-order tangent bundle
Yazar: KÜBRA KARACA
Danışman: PROF. DR. ABDULLAH MAĞDEN
Atatürk Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Geometri Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2021
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Amaç: Bu çalışmada ikinci mertebeden tanjant demetler üzerinde bilinen Sasaki metriğinin ve bozulmuş ikinci lift metrik diye adlandırılan pseudo-Riemann metriğinin geometrilerinin çalışılması amaçlanmaktadır.
Yöntem: Bu çalışma, baz manifolddan ikinci mertebeden tanjant demetlere lift edilmiş geometrik objeler ile invaryant formda tensör hesaplama methotları kullanılarak gerçekleştirilmiştir. 
Bulgular: Riemann manifoldların ikinci mertebeden tanjant demetleri üzerine liftleri kullanılarak tanımlanan Sasaki metriği ve bozulmuş ikinci lift metriğinin geometrisi çalışılmıştır. Bozulmuş ikinci lift metriğinin Levi-Civita konneksiyonu, Riemann eğrilik tensör alanı ve Lie türev operatörleri hesaplanmıştır. Bozulmuş ikinci lift metriğine sahip ikinci mertebeden tanjant demetin flatliği ve yarı-simetri özelliği incelenmiştir. İkinci mertebeden tanjant demetin plural-holomorfik olma şartı çıkarılmıştır. Bir hemen hemen kompleks yapının 2. liftine sahip ikinci mertebeden tanjant demetin hangi koşullar altında bir anti-Kähler manifold olduğu elde edilmiştir. Sasaki metriğinin Riemann eğrilik tensör alanlarının tüm formları hesaplanmıştır. Baz manifoldun skaler eğriliği ile Sasaki metriğine sahip ikinci mertebeden tanjant demetin skaler eğriliği arasındaki ilişki elde edilmiştir. Sasaki metriğinin zayıf (weakly) simetri özelliği araştırılmıştır. Son olarak, ikinci mertebeden tanjant demette istatistiksel yapılar çalışılmıştır.
Sonuç: Bozulmuş ikinci lift metrik ile ilgili bazı geometrik objelerin bir sınıflandırılması yapılmıştır. Nilpotent yapı ile bozulmuş ikinci lift metriğin uyumu araştırılmıştır. Tachibana operatörünün ikinci mertebeden tanjant demete bir uygulaması verilmiştir. Ayrıca Sasaki metriğinin bazı eğrilik özellikleri verilmiştir.

Anahtar Kelimeler: İkinci mertebeden tanjant demet, lift, Sasaki metriği, bozulmuş ikinci lift metriği, eğrilik tensör alanı, zayıf simetri

Abstract:
Purpose: In this thesis, it is aimed to study the geometry of Sasaki metric and deformed second lift metric on the second order tangent.
Method: This study is carried out using geometric object lifted from base manifold to second order tangent bundle and results were obtained by using techniques of tensor calculus. 
Findings: Geometry of the Sasaki metric and the deformed second lift metric defined by using the lifts to the second-order tangent bundle are studied. The Levi-Civita connection, its Riemannian curvature tensor field and operations of Lie derivative of the deformed second lift metric were calculated. Also, the semi-symmetry property and flatness of the second order tangent bundle with respect to the deformed second lift metric were investigated. The conditions in which the bundle is plural-holomorphic were given. The conditions under which with the 2-nd lift of an almost complex structure is an anti-Kähler manifold were obtained. All forms of Riemannian curvature tensor of Sasaki metric were computed. The relation between the scalar curvature of the base manifold and the scalar curvature of the second-order tangent bundle were obtained. the weakly symmetry property of the Sasaki metric was examined. In addition, statistical structures on the second-order tangent bundle were presented.
Results: A classification of some geometric objects related to the deformed second lift metric has been made. The compatibility between the nilpotent structure and the deformed second lift metric was investigated. An application of Tachibana operator to the second-order tangent bundle was given. Also some curvature properties of Sasaki metric are given.

Keywords: Second-order tangent bundle, lifts, Sasaki metric, deformed second lift metric, curvature tensor field, weakly symmetric