Z3-dereceli GLq(2) kuantum grubun gauss ayrışımı
Gauss decomposition of Z3-graded quantum group GLq(2)
Yazar: ÖZTÜRK SAVAŞ
Danışman: DOÇ. DR. SALİH ÇELİK
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Lineer tasvirler, eğer tersi mevcut ise, tasvirlerin bileşkesi işlemine göre bir grup oluşturur. Diğer taraftan, her lineer tasvir bir matris temsiline sahiptir. Lineer tasvirlerin matris temsilleri ile elde edilen genel lineer grup GL(n) ile gösterilir. Bu grup, iki şekilde deforme edilmektedir. İlki, Yang-Baxter bağıntısını sağlayan bir n^2×n^2-tipindeki R matrisini kullanmak; diğeri ise, GL(n) grubuna ait bir n×n-tipindeki T matrisini ilgili uzaylara etki ettirmek. Klasikte ve deforme durumda, GL(n) grubuna ait bir T matrisi; T_L, T_D ve T_U, sırasıyla alt üçgensel, köşegen ve üst üçgensel matrisler olmak üzere 〖T=T〗_L T_D T_U şeklinde yazılabilir. Bu, Gauss ayrışımı olarak bilinmektedir. Literatürde bu durumun, 〖GL〗_q (n) kuantum grubuna ve 〖GL〗_q (m|n) kuantum süper grubuna ait bir matris için de geçerli olduğu gösterilmiştir. Bu çalışmada, Gauss ayrışımının Z_3-dereceli (GL) ̃_q (2) kuantum grubu için de geçerli olduğu gösterilecektir. (GL) ̃_q (2) kuantum grubunun Gauss ayrışımı yapılınca ortaya iki yeni Z_3-dereceli kuantum alt grup çıkacak ve bu kuantum alt grupların özellikleri incelenecektir. Çalışma, Z_3-dereceli yapıların tanıtımı ile başlamaktadır. Daha sonra, Z_3-dereceli (GL) ̃_q (2) kuantum grubu tanıtılıp, bu grubun Gauss ayrışımını yapılacaktır: Eğer 〖T∈(GL) ̃〗_q (2) ise; T_L, T_D ve T_U, sırasıyla alt üçgensel, köşeğen ve üst üçgensel matrisler olmak üzere 〖T=T〗_L T_D T_U yazabiliriz. Devamında, T_L T_D ve T_D T_U çarpım matrisleri göz önüne alınacak ve böyle matrislerin birer Z_3-dereceli kuantum grup oldukları gösterilecektir. Bunların matris elemanları dikkate alınarak, her iki kuantum alt grubun koordinat cebirlerinin birer Z_3-dereceli Hopf cebir yapısına sahip oldukları ispat edilecektir. Son olarak, (GL) ̃_q (2) kuantum grubuna ait bir matrisin Gauss ayrışımındaki üç matrisin çarpımının da bir Hopf cebiri yapısını koruduğu görülecektir.

Abstract:
The invertible linear transformations form a group according to the composition of the transformations. On the other hand, every linear transformation has a matrix representation. The general linear group obtained by the matrix representations of the linear transformations is denoted by GL(n). This group is deformed in two ways. The first is to use an R-matrix with rank n^2, that satifies the Yang-Baxter relation; the other is to acts an n×n-type matrix T belonging to the group GL(n) on the corresponding spaces. In the classical and deformed cases, a matrix T belonging to the group GL(n) can be written as 〖T=T〗_L T_D T_U, where T_L, T_D and T_U are a lower triangular, a diagonal, and an upper triangular matrices, respectively. This is so-called the Gauss decomposition. In the literature, it has been shown that this case is also valid for a matrix belonging to the quantum group 〖GL〗_q (n) and the quantum supergroup 〖GL〗_q (m|n). In this study, it will be shown that the Gauss decomposition is valid for the Z_3-graded quantum group (GL) ̃_q (2) as well. When the Gaussian decomposition of a matrix in the quantum group (GL) ̃_q (2) is performed, two new Z_3-graded quantum subgroups will emerge and the properties of these quantum subgroups will be examined. The study begins with introduction of the Z_3-graded structures. Then, the Z_3-graded quantum group (GL) ̃_q (2) will be introduced and Gauss decomposition of this group will be done: if 〖T∈(GL) ̃〗_q (2), we can write 〖T=T〗_L T_D T_U, where the matrices T_L, T_D and T_U are lower triangular, diagonal, and upper triangular, respectively. In the following, the product matrices T_L T_D and T_D T_U will be considered and it will be shown that such matrices are Z_3-graded quantum groups. Considering the matrix elements of these matrices, it will be proved that the coordinate algebras of both quantum subgroups have a Z_3-graded Hopf algebra structure. Finally, it has been seen that the product of three matrices in the Gaussian decomposition of a matrix belonging to the quantum group (GL) ̃_q (2) also admits a Hopf algebra structure.