Spektral renormalizasyon grubu ile ölçek envaryant çizgeler üzerinde kritik üstellerin hesaplanması
Critical exponents on scale invariant networks by using spectral renormalization group
Yazar: ASLI TUNCER ÖZDEMİR
Danışman: PROF. DR. AYŞE SİLİER
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Fizik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2016
Konu: Fizik ve Fizik Mühendisliği = Physics and Physics Engineering

Özet:
Wilson-Kogut alan teorik renormalizasyon grubu, keyfi çizgelere uygulanabilir biçimde genelleştirilmeye çalışılmıştır. Wilson tipi renormalizasyon yönteminde, düzen parametresi yoğunluğunun kısa erimli dalgalanmalara karşı gelen, göreceli olarak küçük dalgaboyuna sahip alan bileşenleri elimine edilir. Bunun için bir $b$ ölçeklenme parametresi ile bölüşüm fonksiyonu, $0\le k\le \Lambda/b$ aralığında kısa ve $\Lambda/b \le k\le \Lambda$ uzun dalgaboylu bileşenlerine ayrılarak yeniden yazılır ve ilk olarak uzun erimli dalgalanmalar üzerinden entegral alınarak bu dalgalanmalar elimine edilir. Daha sonra ölçeklenme faktörleri ile beraber orjinal formuna getirilen hamiltonyende, $k^2$ teriminin katsayısı sabit tutularak ölçeklenme faktörleri elde edilir. Wilson tipi renormalizasyon grubu ile Gaussiyen model için kesin çözüm yapılabilmektedir. Ancak Etkileşim terimlerinin dahil edildiği durumda pertürbatif yaklaşım kullanılmaktadır. 

Metrik bir uzaya gömülü olmayan çizgelerde, komşu düğümler arasındaki kenarlar bir "uzaklık" bilgisinden yoksundur. Çizgenin düğüm noktaları arasındaki mesafe, uzunluk ile değil, bir düğüm noktasından diğerine giderken arada kaç kenar olduğu ile ilişkilidir. Bizim çalıştığımız, uzaysal olmayan ve öteleme simetrisi bulunmayan çizgeler için, Wilson'ın periyodik örgülerde yaptığından farklı olarak, çizge momentum vektörü, {\bf k}, gibi bir kavram tanımlayamıyoruz. Renormalizasyon grubunun sıcaklık uzamındaki özdeğerini, uzunluk ölçeklenmesi altında korelasyon uzunluğu kritik üstelinin tersi cinsinden ifade etmek de mümkün olmayacağından, bir uzunluk kavramı içermeyen RG geliştirmeye çalışılmıştır. 

Çizge üzerinde yaşayan bir istatistiksel alanın, çizge Laplasyeninin özvektörleri cinsinden açılımını, genelleştirilmiş bir Fourier dönüşümü yaparak elde ediyoruz. Çizge Laplasyeninin özdeğerlerini büyükten küçüğe doğru elimine ederek, yeniden ölçeklenmiş etkin Hamiltonyenden kritik üstelleri hesaplamak için kullanacağımız ölçeklenme faktörlerini elde ediyoruz.

Öteleme simetrisi olmayan iki farklı çizge kullanarak (elmas örgü ve Cayley ağacı), Gaussiyen model ve ötesinde (etkileşim terimlerini, ikinci mertebeye kadar pertürbasyon açılımı yaparak elde ettiğimiz etkileşim terimlerini dahil ederek) kritik davranışı elde ettik. Öteleme simetrisi olmayan elmas örgü ve Cayley ağacı yanında, $d=2$ ve $d=3$ boyuta sahip periyodik örgüler için de Gaussiyen model sonuçlarını bulduk. Spektral renormalizasyon grubu ile elde ettiğimiz Gaussiyen model sonuçlarını sonlu boyut ölçeklenmesi (finite size scaling) yöntemi ile karşılaştırıp kontrol ettik. Sistemin yeterince büyük olmaması durumunda, kritik bölgenin dışına düşerek, yanlış ölçeklenme davranışını gözlemleme ihtimaline karşı sonlu boyut ölçeklenmesi kullanılmaktadır. Serbest enerjinin sıcaklığa göre ikinci türevini alarak elde ettiğimiz özgül ısının baskın terimi üzerinden alınan tam toplam ile sonlu boyut ölçeklenmesini, sistemin boyutu yerine çizgedeki toplam düğüm noktası sayısını kullanarak, keyfi çizgelere uyarladık ve nümerik hesaplarımızda erişebildiğimiz düğüm sayıları için doğru ölçeklenme davranışını elde edebildiğimizi gösterdik. 

Bir sistemin hangi evrensellik sınıfına dahil olduğunun belirlenmesinde rol oynayan iki önemli parametre, spin boyutu ve sistemdeki etkileşimlerin (en yakın komşu etkileşmesi vs.) tanımıdır. Bir çizgenin içine gömülü bulunduğu uzayın boyutu (öklidyen boyut), çizgenin fraktal veya spektral boyutu tanımlanabilmektedir. Periyodik örgülerde bu boyutlar birbirine eşittir. Ancak, keyfi çizgelerde bunlar her zaman eşit olmadığı için, çizgenin üzerindeki istatistiksel modelin kritik davranışını belirleyen boyutun hangisi olduğu ve evrensellik sınıfını belirlemek için hangi boyutun alınacağına açıklık getirmeye çalıştık. Kritik bölgede büyük dalgaboylu dalgalanmalar belirleyici olmaktadır. Gaussiyen model için de kritik üstellerin, çizge Laplasyeninin küçük özdeğer bölgesindeki ölçeklenme davranışına bakarak hesapladığımız, ve $\tilde d$ ile göstereceğimiz, spektral boyuta bağlı olduğunu bulduk. Ancak etkileşimlerin dahil edildiği teoride, etkileşim terimleri Laplasyen özvektörleri üzerinden hesaplandığı ve özvektörler de çizgenin simetri özelliklerini barındırdığı için, kritik üsteller çizgenin simetri özelliklerine sıkı biçimde bağlı olmaktadır. 

Çiftlenim sabitlerinde (coupling constants) ikinci mertebeye kadar pertürbasyon açılımı ile, etkileşen teorinin renormalizasyon davranışını araştırdık. Gaussiyen model hamiltonyenine dördüncü mertebeden etkileşim terimlerini ekleyerek, Gaussiyen teoriden, Ising evrensellik sınıfına geçtik. Ising simetrisine sahip modeller için alt kritik boyut $\tilde d=2$ olduğundan, Cayley ağacı ve elmas örgüde ikinci mertebeden pertürbasyon teorisi, $\tilde d=2$ için Gaussiyen sabit noktasının haricinde bir sabit nokta vermemektedir.  Ising evrensellik sınıfı sonuçlarına ulaşamadığımız için, spektral boyutu farklı hiyerarşik örgüler elde etme yoluna gittik. Elmas örgünün genelleştirilmesi ile spektral boyutu $2<\tilde d<4$ aralığında örgüler elde edip, bu örgüler için Gaussiyen model sabit noktası haricinde bir sabit nokta elde edebildik ve bu spektral boyutlar için kritik üstelleri hesapladık .

Cayley ağacı, elmas örgü gibi deterministik örgülerin yanında rastgele çizgelerde spektral renormalizasyon grubu sonuçlarını araştırdık. Burada kullandığımız rastgele çizgeler, sabit bağlanma olasılığına sahip Gilbert rastgele çizgesi ve sabit bağ sayısına sahip Erd\fH{o}s-R{\'e}nyi çizgesidir.  Gilbert  rastgele çizgesinde, spektral dağılım grafiklerinden spektral yoğunluğun, küçük özdeğer bölgesinde, kuvvet yasası davranışına uymadığını ve termodinamik limitte  eksponansiyel davrandığını gördük. Buradan $\tilde d$'nin sonsuz olduğunu ve kritik davranışın beklenildiği gibi ortalama alan türü olduğunu gösterdik.  Erd\fH{o}s-R{\'e}nyi çizgelerinde ise, sabit bağ sayısına karşı düğüm sayısı büyüdükçe seyrekleşen çizgenin, yine de büyük bir bağlı bileşene sahip olduğu aralıkta, spektral boyutun mutlaka kritik değerinin üzerinde kaldığını gördük. Böylece bu çizge üzerinde de beklenen davranışın ortalama alan olduğunu söyleyebiliriz. 

Bunun yanında, ilintisiz ölçekten bağımsız çizgeler (uncorrelated scale free networks) ve yine ölçekten bağımsız olan Barabasi-Albert çizgesi için spektral dağılım davranışlarını inceledik.

Abstract:
The aim of this study is to generalize the Wilson Renormalization Group method to arbitrary networks. Discrete amorphous materials are best described in terms of  networks. An obvious application might be amorphous materials and spin- as well as structural glasses. These networks can be embedded in three dimensional space. The most important contribution of the method developed in this thesis is its applicability to networks which are not embedded in a metric space.
 Both static and dynamical phenomena on networks, which typically lack translational invariance and may not be naturally embedded in a metric space, have been the subject of intense study over the last decade and a half. Phase transitions and critical phenomena on complex networks have been studied by various analytical and numerical methods. In the Wilson renormalization group approach, relatively small wavelength constituents of the intensity of the order parameter, corresponding to more rapid fluctuations, are eliminated. The partition function is separated into short wavelength ($0\le k\le\Lambda/b$) and long wavelength ($\Lambda/b\le k\le\Lambda$) components by using a scaling parameter, $b$. Long wavelength fluctuations are eliminated by integrating out these components in the partition function, and restoring the effective Hamiltonian with the rescaling factors which are obtained by keeping the term $k^2$ constant. For the Gaussian model, the exact solution can be obtained by using the renormalization group a l\`{a} Wilson. A perturbative approach may used when an interaction term between Fourier components at different length (and time) scales is included. 
In analogy with the momentum shell renormalization group a l\`{a} Wilson, Aygun and Erzan have recently proposed a general approach to studying fluctuations on arbitrary undirected lattices. In this spectral renormalization group (SRG) approach, fluctuations of the order parameter are expanded in terms of the eigenvectors of the graph Laplacian in a generalized Fourier transform.  Elimination of the large eigenvalue fluctuations and rescaling of the effective Hamiltonian then yield, in the same spirit as in the Wilson renormalization group, the rescaling factors for the coupling constant, which can then be related to the critical exponents.
We have two possible strategies for eliminating large $\omega$ fluctuations from partition functions and obtaining the rescaling factors in analogy with the usual renormalization group a l\`{a} Wilson. In the absence of length-like quantity, the first method is to truncate the number of {\it modes}, $N$, by a constant factor, $B$. Since the eigenvalues are numbered in increasing order, we keep the fluctuations associated with  first $N/B$ eigenvalues in the effective Hamiltonian and integrate out the rest. The second method is to scale the largest eigenvalue, $\Omega$ by a constant arbitrary scale factor, $B$. In this alternative strategy depends on elimination of  degrees of freedom with large $\omega$ with $\omega\ge \Omega /B$. After the elimination of the eigenvalues, restoring the Hamiltonian to its full range yields rescaling factors which have different scaling exponents for the two methods; nevertheless, the critical exponents come out to be the same for both approaches. On the other hand,  if the spectral dimension and fractal dimension of the network are not equal to each other, scaling the number of nodes does not yield correct results. The spectral dimension is found from the eigenvalue distribution and does not depend on the metric properties of the embedding space. For non-spatial networks,  it is therefore appropriate to use the largest-eigenvalue-scaling strategy.
Eliminating those fluctuations associated with large-$\omega$ side of the spectrum means eliminating the higher-energy modes. We have seen that on the non-spatial lattices, namely the Cayley tree and diamond lattices, eigenvectors with the same symmetry properties may have widely differing eigenvalues. Thus, eliminating those fluctuations associated with large-$\omega$ side of the spectrum cannot be naively interpreted as eliminating the "small wavelength" or "high frequency" fluctuation. On the other hand, when we look the construction of  tree or hierarchical lattices as a fine-graining operation, we see that increasing the localization of the eigenvectors on the most recently added nodes may be thought of as greater articulation on smaller scales.
On non-spatial networks, edges between adjacent nodes lack a length-like character, although a ``distance'' between the nodes may be associated with the least number of edges connecting  the nodes. The eigenvalues of the graph Laplacian do not have an obvious interpretation in terms of the lattice momenta  ($ \vert{\mathbf k}\vert^2$) and an isotropic, translationally invariant correlation length is not available. Therefore the exponent of the RG eigenvalue in the temperature-like direction under length-rescaling cannot be interpreted in terms of the inverse of the correlation length exponent. In this situation, RG schemes which do not involve length-like concepts must be developed.
In this thesis, we first implemented the spectral renormalization group theory for the Gaussian model on two non-spatial networks which lack translational invariance, namely, the Cayley tree and the diamond lattice. Moreover, we obtained the critical behavior for the square and cubic periodic lattices for the Gaussian model. The nearest neighbor interaction is diagonalized by using the eigenvectors of the graph Laplacian, giving rise to a Gaussian theory for continuous fields. The scaling dimensions of the field and of the "mass" term are determined numerically as well as analytically, in terms of $\beta$, the scaling exponent of the spectral density for small eigenvalues. We compute the specific heat and magnetic field exponents on the critical isotherm, $\alpha$ and $\delta$, defined respectively as $c_h\propto t^{-\alpha}$, and $h\propto m^\delta$, where $t=(T-T_c)/T_c$ is reduced temperature and $m$ is magnetization per spin. We obtained the Gaussian model values, which go over to the mean field results if one takes into account the dangerous irrelevant fourth order term in the Landau expansion.
We check our SRG results against conventional methods which we here adapt to nonspatial latices, namely exact summation of the leading term in the specific heat, obtained by differentiating the free energy, and finite size scaling by the number of nodes of the lattice, instead of the linear size of the system. To double-check the consistency of our method, we have also computed the critical exponents for the Gaussian model on periodic latices in on the $d=2$ and $d=3$ dimensions, Cayley tree and hierarchical lattice. Finite size scaling is used in order to eliminate possible errors due to the finiteness of the lattices considered;  a finite size scaling analysis adapted to non-spatial lattices, was also performed on each lattice. The relevant effective field in this case is taken to be $N^{-1}$, in place of the linear scale, as is customary for spatial lattices. We calculate the  specific heat explicitly by taking a summation over the eigenvalues of Laplace operator. To see the correct critical scaling behavior, we should take the region between the first nonzero Laplace eigenvalue and the van Hove singularity in the Laplacian spectral density. We obtained the critical exponent $\alpha$ in agreement with the SRG results and showed that the scaling behaviour can indeed be correctly obtained for the graph sizes we have been able to numerically attain.
We have  then extended our results to $\psi^4$ theory, which, for a scalar field on periodic lattices is known to carry the "trivial" theory into the Ising universality class. The $\psi^4$ interaction terms are treated perturbatively, using the usual Feynman graph expansion. We investigate the renormalization behavior of the interacting theory within a perturbation expansion up to second order in the coupling constant and the deviation from the critical temperature. This interaction term leads to couplings between different fluctuation modes, and the precise nature of the eigenvectors come to play an important role. 
The Ising model exhibits mean-field critical behaviour on the Bethe lattice (Cayley tree in the infinite limit). As should be expected,  we find that a calculation to second order  does not yield a non-Gaussian fixed point on the Cayley tree. However, on the diamond lattice, with $\tilde d=2$,  on which the Ising model is known to have nontrivial critical behaviour, we find the Gaussian fixed point to be stable with respect to the introduction of quartic coupling, up to second order in perturbation theory. A similar failure of the perturbation approach for $ d=2$ was found by Wilson and co-authors on periodic lattices. We extend our calculations to a series of generalized diamond lattices with higher spectral dimensions. Thus, we establish the existence of the non-trivial (non-Gaussian) fixed point of the SRG for $2<\tilde d<4$, and we calculate critical exponents for these dimensions. When  the spectral dimension is bigger than four, although the non-trivial fixed points still exists, it looses its stability. For $\tilde d>4$, iterations  for the coupling constant $v_0$ exhibit a period-four attractor. However, this is not physical; it depends purely on the truncation of the perturbation expansion. 
The most important parameters to define the universality class for a system are spin size and definition of the interaction (e.g. nearest neighbor interaction) in the system. Embedding dimension (Euclidean dimension), fractal and spectral dimension can be defined. Although these dimensions are equal to each other on periodic lattices, they do not have to be equal on arbitrary networks.  We find that the spectral dimension determines the critical behaviour of the statistical model on the graph. 
Besides the deterministic lattices (Cayley tree and generalized diamond lattices), we investigated the SGR results on random networks. We used the Gilbert random lattice which has constant connection probability $p$, and the  Erd\fH{o}s-R\'enyi random lattice which has constant edge number. We see that spectral density function depends on the eigenvalues exponentially (or with an effective power which is exceedingly large) for Gilbert lattices where the expected degree diverges with the size of the network. Thus, we showed that spectral dimension is infinity. The Erd\fH{o}s-R\'enyi random lattice becomes infinetely sparse in the thermodynamic limit. For lattices which are still connected, one finds a  power law in small $\omega$ scaling region, with, however powers in excess of the upper critical value $\beta_c=1$.  The critical behaviour is mean field as expected. 
Moreover, we obtained the spectral density behaviour for uncorrelated scale free networks.  We find that the spectral dimension once again diverges exponentially for small $\omega$, and does not permit a perturbative SRG approach to interacting statistical models on these networks. 
On the Barabasi-Albert (preferential attachment) networks with $\gamma=3$ and long range correlations between the edges, it is known that the critical temperature $T_c\to\infty$ as $N\to\infty$ and the magnetization decays as $M\sim\exp(-{\rm const.} T)$. However, we have not been able to go beyond an effective  MFT on these (finite) lattices.