Lineer olmayan Schrödinger denkleminin sayısal çözümleri içintrigonometrik b-spline Galerkin yöntemleri
Trigonometric b-spline Galerkin methods for numerical solutionsof the nonlinear Schrodinger equation
Yazar: MEHMET ALİ MERSİN
Danışman: DOÇ. DR. DURSUN IRK
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Bilgisayar Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2019
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: B-spline eğrileri = B-spline curves ; Galerkin yöntemi = Galerkin method

Özet:
Bu Doktora tezi dokuz bölümden oluşmaktadır. Bu tez çalışmasında, doğrusal
olmayan Schrödinger (NLS) denkleminin sayısal çözümleri, zaman ayrıştırması için Crank
Nicolson yöntemine ve konum ayrıştırması için kuadratik, kübik, kuartik ve kuintik
trigonometrik B-spline fonksiyonlarına dayanan Galerkin sonlu elemanlar yöntemi
kullanılarak elde edilmiştir.
Birinci bölümde, tez hakkında genel bilgi verilmiştir. Tezin kapsamı ve amacı da
açıklanmıştır. İkinci bölümde, NLS denkleminin sayısal çözümü ve trigonometrik B-spline
fonksiyonlarına yönelik bazı eski çalışmalar incelenmiştir.
Üçüncü bölümde, NLS denkleminin sayısal çözümü için kullanılacak bazı temel
terimler, Crank Nicolson ve Galerkin yöntemleri anlatılmıştır. Daha sonra trigonometrik Bspline
fonksiyonlarının genel özellikleri verilmiştir. Sonrasında başlangıç ve sınır koşulları
ile birlikte NLS denklemi verilerek soliton dalgasının hareketi ve iki soliton dalgasının
çarpışması test problemleri tanıtılmıştır.
Dördüncü bölümde NLS denklemi, iç lineerleştirme ve Rubin-Graves lineerleştirmesi
olmak üzere iki farklı lineerleştirme tekniğiyle kuadratik trigonometrik B-spline Galerkin
yöntemi kullanılarak sayısal olarak çözülmüştür. Beşinci, altıncı ve yedinci bölümlerde ise
sırasıyla kübik, kuartik ve kuintik fonksiyonlar kullanılmıştır. Her bölümde test problemleri
kullanılarak önerilen yöntemlerin doğruluğu incelenmiştir.
Son iki bölümde, sunulan yöntemler ile elde edilen sonuçlar tartışılmıştır. Ek olarak,
gelecekteki çalışmalar için bazı önerilerde bulunulmuştur.

Abstract:
This Ph.D. thesis consists of nine chapters. In this thesis, numerical solutions of
Nonlinear Schrödinger (NLS) equation are obtained using Galerkin finite element method,
based on Crank Nicolson method for time discretization and quadratic, cubic, quartic and
quintic trigonometric B-spline functions for the space discretization.
In the first chapter, general information of the thesis is given. The scope and purpose
of the thesis are also explained. In the second chapter, some earlies studies for numerical
solution of the NLS equation and trigonometric B-spline functions are investigated.
In the third chapter, some basis terms and Crank Nicolson and Galerkin methods
which will be used for of numerical solution of the NLS equation are mentioned. Then
general properties of the trigonometric B-spline functions are given. Afterwards NLS
equation together with initial and boundary conditions is investigated and test problems
including propogation of soliton and interaction of two solitons are given.
In the fourth chapter NLS equation is solved numerically by using quadratic
trigonometric B-spline Galerkin method for two different linearisation techniques which are
inner iteration and Rubin Graves iteration. Same methods implemented in fifth, sixth and
seventh chapters by using cubic, quartic, and quintic functions respectively. In each chapter,
the accuracy of the present method is investigated by using the test problems.
In the last two chapters, the results of the presented methods are given and discussed.
Additionally, some suggestions are given for future studies.