Grand Lebesgue uzaylarında Korovkin tipli yaklaşım ve istatistiksel süreklilik
Korovkin-type approximation and statistical continuity in grand Lebesgue spaces
Yazar: CEMİL KARAÇAM
Danışman: DOÇ. DR. YUSUF ZEREN ; PROF. DR. NECİP ŞİMŞEK
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2021
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez çalışmasında üç temel konu üzerinde araştırma yapılmıştır.
Birinci çalışma grand Lebesgue uzayında klasik ve istatistiksel Korovkin yaklaşım ve bazı uygulamaları üzerinedir. Grand Lebesgue uzayı ayrılabilir olmayan bir uzaydır. Bu sebepten pozitif lineer operatör dizileri için Korovkin teoremi tüm uzayda geçerli değildir. Bu sebepten çalışmalarımız grand Lebesgue uzayının Korovkin tipli yaklaşım şartlarının geçerli olacağı bir alt uzayı belirleme üzerine yoğunlaşmıştır. Grand Lebesgue uzayının bir alt uzayı olan G_(p)) (-π  ,π) uzayı shift operatörü yardımıyla;
(G_(p)) ) ̃(-π,π) : {f∈L_(p)) (-π,π):〖   ‖T_δ f(x)-f(x)‖〗_(p))→0 ,δ→0} 
(〖   G〗_(p)) ) ̃  ̅ (-π,π)  =G_(p)) (-π,π)    oluşturulan uzayın kapanışı olarak tanımlandı.    
   C_0^∞ (-π,π) sonsuz diferansiyellenebilir sınırlı fonksiyonlar uzayının  G_(p)) (-π,π)
uzayında yoğun olduğu gösterildi. G_(p)) (-π,π) uzayında Korovkin teoremleri ve istatistiksel versiyonlarının analogları oluşturuldu. Elde edilen bulgular ışığında   bu alt uzayda Kantoroviç polinom dizisi, Fourier ve Abel Poisson konvolüsyon operatörleri için çeşitli uygulamalar yapıldı.
Çalışmamızın 2.  bölümünde   ρ ağırlık fonksiyonu ve grand Lebesgue uzayı normu ile tanımladığımız ağırlıklı grand Lebesgue uzayının bir alt uzayı olan 
G_(p),ρ) (-π ,π):{f:    ρf ∈ G_(p)) (-π ,π)} uzayında Korovkin tipli teoremler ve onların istatistiksel versiyonları oluşturulmuştur.
Son bölümde çalışmalarımız ölçülebilir fonksiyon uzaylarında istatistiksel süreklilik üzerine olmuştur. μ-istatistiksel sağ ve sol limit tanımları verilerek bir noktada birinci, ikinci ve kaldırılabilir   μ –istatistiksel süreksizlik  tanımlamaları yapılmıştır.
C_st [a,b]  istatistiksel sürekli fonksiyonlar uzayı tanımlanıp  C[a,b] uzayını ayrık bir şekilde kapsadığı ve bunun yanısıra  ∀ p ∈(0,+∞)   için  C_st [a,b]∖L_p [a,b]≠∅  ve L_p [a,b]∖C_st [a,b]≠∅   gösterildi.

Anahtar Kelimeler: Grand-Lebesgue uzayı, ağırlıklı grand- Lebesgue space Korovkin teoremi, istatistiksel yakınsaklık, μ- istatistiksel süreklilik

Abstract:
This study has concentrated on three main issues.
Our first study is based on classical and statistical Korovkin type approximation and some of its applications and the grand Lebesgue space.  Grand Lebesgue space is not separable space. Therefore, the Korovkin for positive linear operator sequences is not satisfied in all space. For this reason, our studies focused on determining a subspace in which the Korovkin type approximation conditions of the grand Lebesgue space will be valid. We consider the subspace G_(p)) (-π  ,π)    of a grand Lebesgue space generated buy shift operator.
(G_(p)) ) ̃(-π,π) : {f∈L_(p)) (-π,π):〖   ‖T_δ f(x)-f(x)‖〗_(p))→0 ,δ→0}
We define    the closure of (〖   G〗_(p)) ) ̃  ̅ (-π,π)  =G_(p)) (-π,π)   . We show the density of the space of infinitely differentiable finite functions in  G_(p)) (-π ,π). We prove   the analogs of Korovkin theorems and their statistical versions in  G_(p)) (-π ,π). In particular, we establish the analogs of Korovkin theorems  for a sequence of operators generated by the Kantorovich polynomials, for Fourier and Abel-Poisson In our second study classical and statistical Korovkin type converge theorems for positive linear operator sequences was studied on the weighted grand Lebesgue space  that we created  by   ρ   weight  function  and grand Lebesgue space`s norm  
G_(p),ρ) (-π ,π):{f:    ρf ∈ G_(p)) (-π ,π)} . We prove   the analogs of Korovkin theorems and their statistical versions in  G_(p)) (-π ,π). In particular,we establish the analogs of Korovkin theorems and statistical version for a sequence of operators  and some applications.
In the last chapter, a study has been done on statistical continuity in measurable function spaces. We give definitions of μ- statistical  one-sided limits at a point and 
μ- statistical discontinuities of the first and second kind in some measurable space with a measure. We consider the space  C_st [a,b] of μ- statistical   continuous functions on some interval [a,b]. We prove that the space of continuous functions is strictly embedded in C_st [a,b]. Moreover, we show that  C_st [a,b] is not embedded in the Lebesgue spaces L_p [a,b] for ∀ p ∈(0,+∞), i.e  C_st [a,b]∖L_p [a,b]≠∅.

Keywords: grand-Lebesgue space, weighted grand- Lebesgue space Korovkin theorem, statistical convergences, μ- statistical convergences