Gruplar üzerinde özel graflar
Special graphs over groups
Yazar: SERCAN TOPKAYA
Danışman: PROF. DR. AHMET SİNAN ÇEVİK
Selçuk Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2016
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Abelyen olmayan gruplar = Nonabelian groups ; Cebirsel gruplar = Algebraic groups ; Düğüm grafları = Knot graphs ; Permütasyon grupları = Permutation groups ; Simetrik gruplar = Symmetric groups ; Sonlu gruplar = Finite groups

Özet:
Bu tezin ilk ana bölümünde, yarı direkt çarpım grupları ve bu gruplarının özellikleri göz önünde bulundurularak, yarı direkt çarpım gruplarından elde edilen $\Gamma(G)$ grafının bazı spektral özellikleri (Çap, Girth, Derece dizisi, Maksimum ve Minimum dereceleri, Baskınlık sayısı, Klik sayısı ve Kromatik sayısı vb.) çalışılmış, ayrıca cebirsel ve teorik yöntemlerle elde edilen sonuçlar ispatlanarak, esas ana bilim dalımız olan Cebir ve Sayılar Teorisi Ana Bilim Dalı içinde bu kavramların yerleri tespit edilmeye çalışılmıştır. Bunu takiben, Cebir anabilim dalının ugulamalı bilimlere uyarlanabilmesi anlamını yakalayabilmek için, elde edilen $\Gamma(G)$ grafının kimya anabilim dalı içerisinde özellikle molekül hesaplamalarında kullanılan mükemmel graf olduğu gösterilmiştir. Bu bölümdeki sonuçlar tarafımızdan yapılan tamamen özgün çalışmalar olup, [1] de belirtilen makalede yayın-lanmıştır.
Üçüncü bölümde, sonlu değişmeli olmayan $G$ grubunun değişmeli olmayan grafı $\Gamma_G$ tanıtılmış ve bu grafın ikinci bölümde incelenen spektral özellikleri verilmiştir. Ayrıca $\Gamma_G$ grafları üzerinde uygulanan izomorfizmalar, önce grupların mertebelerine daha sonra grup izomorfizmalarına taşınmıştır. Bu bölümdeki kavramlar [2] referansından alınmıştır.
Dördüncü bölümde, üçüncü bölümde verilen $\Gamma_G$ değişmeli olmayan grafının özel hali olan $\Gamma_{(H,K)}$ genelleştirilmiş değişmeli olmayan grafı tanıtılmış ve önceki bölümlerde yapılan işlemler $\Gamma_{(H,K)}$ üzerinde uygulanmıştır. Ek olarak, $\Gamma_{(H,K)}$ grafının yıldız graf olmasına bağlı sonuçlar verilmiştir. Bu bölümdeki kavramlar [3] referansından alınmıştır.
Beşinci bölümde, $P(G)$ kuvvet grafları tanıtılmış ve bu kuvvet graflarının yukarıda belirtilen özelliklerine benzer araştırmalar yapılmıştır. Ayrıca, bazı sonlu grupların $P(G)$ kuvvet grafları yardımıyla sınıflandırılabileceği gösterilmiştir. Bu bölümdeki kavramlar [4] referansından alınmıştır.
Tezimizin son bölümü, standart olarak verilen ve tüm tezde incelenen sonuçların değerlendirildiği ve yeni önerilerin tartışıldığı kavramlardan oluşmaktadır.
[1] Topkaya, S. ve Cevik, A. S. (2016). A new graph over semi-direct products of
groups. Filomat, 30(3):611–619.
[2] Abdollahi, A., Akbari, S., ve Maimani, H. (2006). Non-commuting graph of a
group. Journal of Algebra, 298(2):468–492.
[3] Ghayekhloo, S., Erfanian, A., ve Tolue, B. (2014). The generalised non-commuting graph of a finite group. Comptes rendus de l'Acad´emie bulgare des Sciences,
67(8).
[4] Mirzargar, M., Ashrafi, A., ve Nadjafi-Arani, M. (2012). On the power graph of a
finite group. Filomat, 26(6):1201–1208.

Abstract:
The first main chapter of this thesis, by considering the semi-direct product of groups and their fundamental properties, it is defined a new graph $\Gamma(G)$ and then presented some fundamental spectral properties, namely Diameter, Girth, Maximum and Minimum Degrees, Degree Sequences, Domination Number, Chromatic and Clique Numbers. Also it is used the algebraic methods to prove the theories that obtained in here in the meaning of make a connection between algebra. After that, to capture the meaning converted into the applied sciences of algebra, it is showed that our graph $\Gamma(G)$ is actually perfect which is used in particularly molecular calculations in the science of chemistry. We note that all results in this chapter are original and published in [1].
In Chapter 3, by introducing the non-abelian graph of non-abelian finite group $G$, notated as $\Gamma_G$, the similar spectral properties as in the previous section are studied. Additionally, the isomorphisms applied over these graphs are carried to the group isomorphisms. 
Whole material in this section are taken from the reference [2].
In the fourth chapter, it is defined the generalised non-commuting graph $\Gamma_{(H,K)}$ which coincides the special case of non-commuting graph $\Gamma_G$ introduced in the third chapter. In fact the theories studied in above chapters are studied again over $\Gamma_{(H,K)}$. Moreover some other theories that are related to the star graphs are studied as well.
Whole material in this section are taken from the reference [3].
In Chapter 5, the power graphs $P(G)$ are introduced and same properties as in the previous sections are studied. Further, some classifications over finite groups in terms of power graphs are presented. Whole material in this section are taken from the reference [4].
The final chapter of our thesis is presenting the discussions and suggestions about the whole material that investigated in this thesis.
[1] Topkaya, S. ve Cevik, A. S. (2016). A new graph over semi-direct products of
groups. Filomat, 30(3):611–619.
[2] Abdollahi, A., Akbari, S., ve Maimani, H. (2006). Non-commuting graph of a
group. Journal of Algebra, 298(2):468–492.
[3] Ghayekhloo, S., Erfanian, A., ve Tolue, B. (2014). The generalised non-commuting graph of a finite group. Comptes rendus de l'Acad´emie bulgare des Sciences,
67(8).
[4] Mirzargar, M., Ashrafi, A., ve Nadjafi-Arani, M. (2012). On the power graph of a
finite group. Filomat, 26(6):1201–1208.