Bazı graflarda baskınlık
Domination in some graphs
Yazar: ZELİHA KARTAL YILDIZ
Danışman: DOÇ. DR. AYSUN AYTAÇ
Ege Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Bilgisayar Bilimleri Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2020
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Grafik teorisi = Graph theory

Özet:
Baskınlık, iletişim ağlarının analizinde, tesis planlama problemlerinde, elektrik şebeklerinde ve sosyal bilimlerde bir çok uygulaması olan graf teoride önemli bir parametredir. Bu nedenle, günümüze kadar bir çok baskınlık çeşidi tanımlanmıştır. Bu çalışmada, baskınlık parametresinin bir çeşidi olan ve 2014'de Goddard ve arkadaşları tarafından tanımlanan yarı toplam baskınlık parametresi ele alınmıştır. $G$ grafının bir $S\subseteq V(G)$ baskın kümesindeki her tepe yine $S$ kümesindeki herhangi bir tepe ile 2-uzaklık içinde yer alıyorsa bu $S$ kümesine yarı toplam baskın küme denir. Bir grafın yarı toplam baskınlık sayısı, en az elemana sahip yarı toplam baskın kümenin eleman sayısıdır ve $\gamma_{t2}$ ile gösterilir. Yarı toplam baskınlık sayısını veren küme $\gamma_{t2}(G)$-set ya da kısaca $\gamma_{t2}$-set ile gösterilir. Burada, literatürde olmayan bazı önemli ağaç graflarda yarı toplam baskınlık sayısı hesaplanmıştır. Toplama, taçlama, modüler çarpım ve leksikografik çarpım gibi graf işlemlerinde yarı toplam baskınlık sayısı çalışılmıştır. Ayrıca yüksek bağlantılılık değerine sahip olan üç tür Harary grafların yarı toplam baskınlık sayısının tam değerleri elde edilmiştir. Son olarak, yeni bir zedelenebilirlik ölçümü olan yarı toplam bağımlılık sayısı tanımlanmıştır. Bu yeni bağımlılık parametresi ile ilgili genel sonuçlar bulunmuştur. Yol, çevre, tekerlek, yıldız, iki parçalı tam graf gibi temel graf ailelerinde yarı toplam bağımlılık sayısı hesaplanmıştır.

Abstract:
Domination is an important parameter in graph theory, which has many applications in the analysis of communication networks, facility planning problems, electrical networks and social sciences. For this reason, many types of domination have been defined until today. In this study, semitotal domination parameter, which is a type of the domination parameter and defined by Goddard and his friends in 2014 is discussed. If each vertex in $S\subseteq V(G)$ dominating set of the graph $G$ is within 2-distance from the another vertex of $S$, $S$ is called a semitotal dominating set. The semitotal domination number of the graph $G$, denoted by $\gamma_{t2}(G)$, is the minimum cardinality of a semitotal dominating set of $G$. A semitotal dominating set of $G$ of cardinality $\gamma_{t2}(G)$ is called a $\gamma_{t2}(G)$-set or simply a $\gamma_{t2}$-set. Here, the semitotal domination number of some important trees not in the literature was calculated. The semitotal domination number has been studied in graph operations such as corona, join, modular product and lexicographic product. Further, the exact values of the semitotal total domination number of three types of Harary graphs with high connectivity values have been obtained. Finally, semitotal bondage number, which is a new measure of vulnerability, is defined. General results have been found about this new bondage parameter. The semitotal bondage number has been calculated in basic graph families as path, cycle, wheel, star, complete bipartite graph.