Keyfi doğrultuda ortotrop pasternak zemine oturan dairesel ve eliptik plakların titreşim karakteristiklerinin belirlenmesi ve spektral analizi
Analysis of circular and elliptic plates resting on arbitrary orthotropic pasternac type foundation and spectral analysis
Yazar: BETÜL AYKILIÇ
Danışman: PROF. DR. ENGİN ORAKDÖĞEN
İstanbul Teknik Üniversitesi / Deprem Mühendisliği ve Afet Yönetimi Enstitüsü / Deprem Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Deprem Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2019
Konu: Deprem Mühendisliği = Earthquake Engineering ; İnşaat Mühendisliği = Civil Engineering
Dizin: Anizotrop malzemeler = Anisotrop materials ; Beton plaklar = Concrete slabs ; Dinamik spektrum = Dynamic spectrum ; Pasternak zemini = Pasternak soil ; Serbest titreşimler = Free vibrations

Özet:
Yapı sistemlerinin analiz ve tasarımında temel zemini önemli bir parametredir. Zemin özelliklerinin üst yapı analizinde ve tasarımında göz önüne alınması çeşitli kabullere dayanmakta, genellikle sert ve orta sert zeminlerde zemin güvenlik gerilmesi belirli bir düzeyin üzerindeyse, üst yapının mesnetleri ankastre olarak alınmakta, ayrık olarak yapılan temel hesaplarında genellikle güvenlik gerilmesinin aşılıp aşılmadığının kontrolü ile yetinilmektedir. Zemin taşıma gücünün daha zayıf olması halinde ise zeminin özellikleri hesaba dolaylı olarak katılmaktadır. Üst yapıdan temele aktarılan en elverişsiz kesit zorları tekil, sürekli ya da radye temel olarak tasarlanan temel sistemine aktarılarak genellikle Winkler hipotezi kabulü ile elastik zemine oturan temel hesabı yapılabilmektedir. Winkler hipotezinde zemin gerilmelerinin o noktadaki çökmelerle orantılı olduğu kabul edilmekte, zemindeki komşu bölgelerin etkileşimi terk edilmektedir. Zemin özelliklerinin dikkate alınmasının gerekli olduğu radye ya da kazıklı temel sistemine sahip yüksek yapılarda ise zemin özellikleri üst yapı ile birlikte modellenerek hesaplara katılabilmektedir. Söz konusu hesaplarda Winkler, Pasternak, Vlasov, Kerr gibi nispeten basit zemin modellerinin yanında özellikle kazıklı temel sistemlerinde temel altı zemini de üst yapı ile birlikte modellenerek, yapı-zemin etkileşimi daha gerçekçi şekilde göz önüne alınabilmektedir.
Bu çalışmada zeminin komşu bölgelerindeki etkileşimi de dikkate alan Pasternak tipi zemine oturan plakların statik yükler altındaki davranışı ile serbest titreşim özellikleri incelenmiş; tasarım spektrumuna göre spektral analizi yapılmıştır.
Pasternak tipi zemini dikkate alan çalışmalarda araştırmacılar genellikle kendi geliştirdikleri sonlu eleman yazılımlarıyla analizleri gerçekleştirmektedirler.
Bu tezin amacı, akademik ortamda yapı mühendisliği problemlerinin çözümünde güvenilir bir şekilde kullanılan SAP2000 programı yardımıyla Pasternak tipi zemine oturan problemlerin çözülmesidir. Pasternak zemin elemanı, gerilme-şekil değiştirme bağıntılarının ve denge denklemlerinin,sadece kayma etkilerinin olduğu düzlem şekil değiştirme elemanının benzerliğinden faydalanılarak, düzlem şekil değiştirme elemanı olarak modellenmiştir. Her iki fiziksel probleme ait denklemler, bir katsayı farkı ile benzer olup, düzlem şekil değiştirme zemin elemanının kayma modülü olarak zeminin kayma modülü girilmiştir. SAP2000 programı malzeme olarak ortotrop malzemeleri de dikkate alabildiğinden, çeşitlidoğrultularda ortotrop zemine oturan plakların çözümü de kolaylıkla yapılabilmektedir.
Daha önceden yapılan benzer çalışmalarda [4,8] Pasternak tipi zemin eleman, hazırlanan genel amaçlı yazılıma eklenmiş ya da zemin için yine elastik özelliklerin uygun şekilde kullanılması ile ortotrop plak elemana benzetilerek kullanılmıştır. Bu çalışmada ise Pasternak zemin elemana ait rijitlik matrisi sadece kayma etkilerinin bulunduğu düzlem şekil değiştirme elemanına ait matrisle katsayı farkı benzer olduğundan, hesaplarda bir yaklaşıklık bulunmamaktadır. Bu şekilde bir benzerlikle elde edilen Pasternak zemin elemanı SAP2000 programının her türlü esnekliğe sahip olmasından, Winkler zemine oturan yapı sistemlerinin hesabı, Pasternak zeminine oturan yapı sistemlerinin hesabını da içerecek şekilde genişletilmiş olmaktadır.
Ayrıca bir API (Application Programming Interface) yazılımı kullanılmak suretiyle her adımdaki zeminin elastik özellikleri yenilenerek ardışık yaklaşım gerektiren Vlasov zemine oturan yapı sistemlerinin hesabı da SAP2000 programından faydalanılarak yapılabilir [8]. Böylelikle aynı bölgede inşa edilen yapı sistemlerinin statik ya da dinamik yükler altındaki etkileşimi de kolaylıkla göz önüne alınabilir.
Bu çalışmada özel olarak ortotrop Pasternak tipi zemine oturan dairesel ve eliptik plakların statik davranışı ile serbest titreşim özellikleri incelenmiştir. Öncelikle literatürde daha önceden çözülmüş örnekler ile modellemenin doğruluğu gösterilmiş, daha sonra da benzer çalışmalarda göz önüne alınmayan, temel zemininin temel dışında da devam etmesi durumunda plak titreşim karakteristiklerindeki değişimler irdelenmiştir.
Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde plak-zemin ilişkisi, plak-zemin etkileşim modelleri ile çalışmanın amaç ve kapsamı açıklanmıştır. Literatürde yer alan tek parametreli ve iki parametreli zemin modellerine değinilmiştir.
İkinci bölümde iki parametreli zemin elemana ait formülasyon verilmiştir. İki parametreli zemin modelinin SAP2000 programında nasıl tanımlandığı ve modellendiği anlatılmış; plak ile iki parametreli zemin sisteminin SAP2000 programında birlikte teşkili verilmiştir.
Üçüncü bölümde yedi adet sayısal örnek yapılmıştır. İlk iki örnekte iki parametreli zeminin SAP2000 programında modellenebilir olduğunu gösterebilmek amacıyla daha önce yapılmış çalışmalarda kullanılan zemin parametreleri aynen kullanılmış, elde edilen çökme, eğilme ve burulma momenti sonuçları karşılaştırılmıştır. İki parametreli zemine oturan dairesel plak için sonuçlar doğrulandıktan sonra, zemin genişletilmiş ve zeminin genişletilmemiş durumunda ortaya çıkan sonuçlar ile zeminin genişletilmiş olduğu halde sonuçlar karşılaştırılmış ve yorumlar yapılmıştır [9].
Üçüncü ve dördüncü örnekte, ilk örnekle benzer olarak, iki parametreli zemine oturan eliptik geometriye sahip plak irdelenmiş ve sonuçlar doğrulanmıştır. Sonuçlar doğrulandıktan sonra, zemin genişletilmiş ve zeminin genişletilmemiş durumunda ortaya çıkan sonuçlar ile zeminin genişletilmiş olduğu halde sonuçlar karşılaştırılmış ve yorumlar yapılmıştır [9].
Beşinci örnekte ise genişletilmiş iki parametreli genişletilmiş zemine oturan dairesel kesitli temel halkası örneği çözülmüş ve sonuçlar doğrulanarak yorumlar yapılmıştır [5].
Altıncı örnekte, ilk iki örneğe yani iki parametreli zemine oturan dairesel plak için genişletilmemiş zemin ve genişletilmiş zemin durumları için spektral analiz uygulanmıştır. Zeminin genişletilmemiş hali ve zeminin genişletilmiş halindeki plakta oluşan moment değerleri karşılaştırılmış ve yorumlar yapılmıştır.
Yedinci örnekte, üçüncü ve dördüncü örneğe yani iki parametreli zemine oturan eliptik plak için genişletilmemiş zemin ve genişletilmiş zemin durumları için spektral analiz uygulanmıştır. Zeminin genişletilmemiş hali ve zeminin genişletilmiş halindeki plakta oluşan moment değerleri karşılaştırılmış ve yorumlar yapılmıştır.
Son olarak dördüncü bölümde ise, sonuçlar, değerlendirmeler, yorumlar ve öneriler verilmiştir.

Abstract:
In modern design and analysis of structures, the superstructure-foundation-soil interaction has to be taken into account in a sophisticated way, which is sufficiently accurate but simple enough for practical purposes. The concept of a plate resting on an elastic foundation has been an important tool for the modeling and analysis of structural, highway, geotechnical and railroad engineering problems. Extensive research in this area has been reported in the literature.
In order to model soil behavior, several approaches have been developed in the past. The oldest, most famous and most frequently used soil model is the one devised by Winkler (1867), in which the beam-supporting soil is modelled as a series of closely spaced, mutually independent, linear elastic vertical springs. The Winkler model has been extensively used to solve many soil-foundation interaction problems and has given satisfactory results for many practical problems. In that method, it is assumed that deflection at each point is proportional to the pressure applied at the point and completely independent of the pressures or deflections occuring at the neighbouring points along foundation.
In the Winkler model, the properties of soil are described only by the parameterk, which represents the stiffness of the vertical spring. One of the major disadvantages of this model is that a plate undergoes rigid body displacements without any bending moments and shear forces in it when subjected to uniform loads. Moreover, the use of the Winkler model involves difficulties in determining the value of k. Discontinuous nature of Winkler's model gives rise to the development of various forms of two-parameter elastic foundation models.
Some of the major two-parameter elastic foundation models are Filonenko-Borodich model (1940), Hetenyi model (1946, 1950), Pasternak model (1954), Vlasov model (1966). Filonenko-Borodich, Hetenyi, Pasternak and Vlasov have attempted to make the classical Winkler model more realistic by postulating a two-parameter model. Their model takes into account the effect of shear interaction among adjacent points in the foundation. In these models, the first parameter represents the stiffness of the vertical spring, as in the Winkler model, whereas the second parameter is introduced to account for the coupling effect of the linear elastic springs. It is worth mentioning that the interaction enabled by this second parameter also allows the consideration of influence of the soil on either side of plate. In this model, the first and second parameters have to be determined experimentally. Vlasov and Leont'ev (1966) have introduced another arbitrary parameter, γ, dependent on soil material and thickness of the soil layer. However, they did not report the method of determining this parameter. In the work of Vallabhan and Daloglu (1999), it has been shown how the soil parameter , γ, can be estimated using an iterative computational procedure for plates. These three-parameter models constitute a generalization of two-parameter models, the third parameter being used to make them more realistic and effective. When the γ parmeter is determined, the first and second parameters of soil can be easily calculated. One of the basic features of the three-parameter models is the flexibility and convenience that they offer in the determination of the level of continuity of the vertical displacements at the boundaries between the loaded and unloaded surfaces of the soil.
In this study, static and dynamic analysis of circular and elliptic plates resting on two parameter elastic foundation are examined. In dynamic analyses, free vibration characteristics are obtained first for the comparison of the results from literature and then spectral analyses are performed to observe the behaviors against inertia forces. SAP2000 program is used to perform analysis. A subordinate macro is coded with VBA language is used to add equal displacements (constraints) to the SAP2000's $2k file after the SDB file is created. The study is composed of four sections.
In the first section, informations about one and two parameter foundation models are given. Content and aim of this study are explained at the end of the first section.
In the second section, the characteristics of two parameter foundation are explained. Then, the formulations of two parameter foundation are given and how the two parameter foundation is modelled at SAP2000 program is shown. The first parameter of soil, soil elastic bedding coefficient or so called Winkler parameter C, is represented by springs at SAP2000 model. The springs are created by area springs feature at SAP2000 program and soil elastic bedding coefficient is entered as the spring coefficient. The second parameter of soil, is represented by plane strain element with shear deformations only that have orthotropic material features at SAP2000 program and it is called as soil element. The elastic modules of plane strain elements given as equal to zero and G13 and G23 shear parameters are given as equal to Gx and Gy soil modules respectively. G12 shear module of plane strain element given as zero. The soil finite element nodes are restrainted to make only vertical displacements at SAP2000 program. The plate finite element and soil finite element are modelled very close to each other and then vertical displacements of their nodes vertical displacements by constraints. A subordinate macro has been developed in order to equalize vertical displacements by adding the constraints block to the existing .$2k file automatically. By using the orthotropic material and material angle properties of SAP2000 program, it is also shown how to analyze the plates on orthotropic two parameter elastic foundation.
In the third section, seven numerical examples are given. In the first two examples illustrate two parameter foundation that is correctly modelled on SAP2000. A circular foundation which is solved previous studies is solved in the first example. The results are shown graphically to compare with previous studies. In the first two examples, in order to show that the two-parameter foundation is modelable in SAP2000 programme, soil parameters used in previous studies were used exactly the result of collapse, bending and torsional moments were compared. After confirming the results for the two plate circular plate fitting, with the results of the ground expanded and the ground not expanded, although the ground was expanded, the results were compared and comments were made [9].
An elliptic shaped foundation is solved in the third and fourth examples and then results are compared graphically with previous studies. In the third and fourth example, similar to the first, the elliptical geometry of the two parameter foundation was examined and the results were confirmed. Once the results are verified, ground expanded and unexpanded condition of the ground with the results, although the ground was expanded, the results were compared and comments were made [9].
In the fifth example a plate which is solved in previous studies is considered.In the fifth example, an example of an annular foundation ring with an extended two parameter, extented ground and circular cross section was solved and the results were compared and comments were made. This plate is subjected to concentrated loading cases. The problem is solved with SAP2000 program for one meter constant value of the thickness of the compressible soil layer. The results are compared with previous studies [5].
In the fifth example, a plate which are resting on two parameter elastic foundation are considered and then static analysis of this structure system is performed with SAP2000 programme. Then, soil elastic bedding coefficient C and soil shear parameter 2CT are obtained depending on soil surface parameter. Soil elastic bedding coefficient C and soil shear parameter 2CT which are obtained depending on different distance between buildings and compressible soil depth are considered constant during dynamic analysis.
Finally, in the sixth and seventh examples, spectral analysis was applied to the first two samples, ie the unexpanded soil for the circular and elliptic plates sitting on the two parameter foundation and the expanded soil conditions.
In the fourth chapter, results, evaluations, comments and suggestions are given. In the fourth section, the general results and conclusions are presented. In this study modelling of two parameter foundation at SAP2000 program are shown. Thus more complex plate system can be examined under static and dynamic loads and their interactions can be observed. Impact of unexpanded foundation and expanded foundation are obviously seen in the examples. Their interactions are shown graphically with different foundation angles in the example graphics. Linear behavior of structure systems resting on two parameter elastic foundation are observed under earthquake load in this study.