Kesir mertebeli türeve sahip bazı lineer olmayan fiziksel denklemlerin çözümleri üzerine
On the solutions of some nonlinear physical equations with fractional order derivative
Yazar: GİZEL BAKICIERLER
Danışman: PROF. DR. EMİNE MISIRLI
Ege Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Analitik çözümler = Analytical solutions ; Doğrusal olmayan diferensiyel denklemler = Nonlinear differential equations ; Kesirli türevler = Fractional derivatives

Özet:
Son yıllarda, doğa bilimleri ve mühendislik gibi uygulamalı alanlarda, birçok problemin kesirli mertebeden türeve sahip lineer olmayan diferansiyel denklemler ile modellenmesi ve bu formdaki denklemlerin gerçeğe daha yakın sonuçlar vermesi, kesirli analiz konusunun önemini hızla arttırmıştır. Bu tezin amacı; karmaşık olguları ifade eden kesir mertebeli lineer olmayan denklemlerin yeni tam  çözümlerini araştırmak, ulaşılan çözümlerin fiziksel davranışlarını daha iyi anlamak için çözüm tiplerini belirlemek,  bazı kesirli türev tanımlarını karşılaştırmak ve literatürde popüler olan analitik çözüm yöntemlerini değerlendirmektir. Bu tez çalışmasında; lineer olmayan zaman-kesirli yaklaşık uzun su dalgası denklemi, lineer olmayan birleştirilmiş zaman-kesirli Boussinesq-Burger denklemi, lineer olmayan (2+1)-boyutlu uzay-zaman kesirli genelleştirilmiş Nizhnik-Novikov-Veselov denklemi, lineer olmayan uzay-zaman kesirli düzenli uzun dalga  denklemi, uzay-zaman kesirli simetrik düzenli uzun dalga denklemi, zaman-kesirli  (2 + 1)-boyutlu lineer olmayan Heisenberg ferromanyetik spin zinciri denklemi ve zaman-kesirli iyon sesi ve Langmuir dalgaları denklemi uyumlu kesirli türev tanımına göre ele alınmıştır. Ek olarak, uzay-zaman kesirli eşit genişlikli dalga denklemi, uzay-zaman kesirli (2+1)-boyutlu Boussinesq dinamik denklemi, uzay-zaman kesirli birleştirilmiş Boussinesq denklemi ve zaman-kesirli biyolojik popülasyon denklemi; modifiye edilmiş Riemann-Liouville, uyumlu kesirli türev, beta türev ve kesilmiş M-kesirli türev tanımları kullanılarak ifade edilmiştir. Sığ su dalgaları, iyonik akustik dalgalar, uzun dalgaların yayılımı, modern mıknatıs teorisi, plazma fiziği ve biyoloji gibi alanlarda karşımıza çıkan bu modellerin tam çözümleri; modifiye edilmiş basit denklem yöntemi, üstel rasyonel fonksiyon yöntemi, genişletilmiş (G'/G^2)-genişleme  yöntemi, modifiye edilmiş genişletilmiş tanh-fonksiyon yöntemi ve geliştirilmiş tan(ϕ/2)-genişleme yöntemi ile araştırılmıştır. Ulaşılan çözümlerin dalga tipleri belirlenmiştir ve bazı fiziksel yorumlara yer verilmiştir. Ayrıca, elde edilen  dalga çözümlerinin doğruluğunun ve geçerliliğinin kontrolünde, bazı hesaplamalarda ve çeşitli formlardaki (üç boyutlu, iki boyutlu, kontur ve yoğunluk) grafiklerin çiziminde Mathematica paket programı kullanılmıştır. Önerilen denklem ve denklem sistemlerinden ulaşılan; tekil, tekil-periyodik, karanlık, parlak, birleşik-tekil, bükülme ve rasyonel gibi anlamlı dalga formlarının, günümüzde pek çok  fiziksel modelin geliştirilmesinde, yorumlanmasında ve gerçek dünya problemlerine uyarlanmasında etkili olacağı düşünülmektedir.

Abstract:
In recent years, in applied fields such as natural sciences and engineering, the modelling of many problems with nonlinear differential equations having fractional derivatives and the fact that equations in this form give more realistic results have rapidly increased the significance of fractional analysis. The aim of this thesis is to investigate for new exact solutions of fractional nonlinear equations expressing complex phenomena, to determine the solution types to better understand the physical behaviour of the solutions, to compare some fractional derivative definitions and to evaluate the analytical solution methods popular in the literature. In this study, the nonlinear time-fractional approximate long water wave equation, the nonlinear coupled time-fractional Boussinesq-Burger equation, the nonlinear (2+1)-dimensional space-time fractional generalized Nizhnik-Novikov-Veselov equation, the nonlinear space-time fractional regularized long wave equation, the space-time fractional symmetric regularized long wave  equation, the time-fractional (2+1)-dimensional nonlinear Heisenberg ferromagnetic spin chain equation, the time-fractional ion sound and Langmuir waves equation are handled according to the definition of conformable fractional derivative. In addition, the space-time fractional equal width wave equation, the space-time fractional (2+1)-dimensional Boussinesq dynamical equation, the space-time fractional coupled Boussinesq equation, and the time-fractional  biological population equation are expressed using modified Riemann-Liouville fractional derivative, conformable fractional derivative, beta derivative, and truncated M-fractional derivative definitions. The exact solutions of these models, which are encountered in fields such as shallow water waves, ionic acoustic waves, propagation of long waves, modern magnet theory, plasma physics, and biology are  investigated with the modified simple equation method, the exponential rational function method, the extended (G'/G^2)-expansion method, the modified extended tanh-function method, and the improved tan(ϕ/2)-expansion method. The wave types of the solutions are determined and some physical interpretations are given. Moreover, the Mathematica package program is used to check the accuracy and validity of the obtained wave solutions, for some calculations, and for drawing graphics in various forms (three dimensional, two dimensional, contour, and density). It is thought that meaningful wave forms such as singular, singular-periodic, dark, bright, combined-singular, kink, and rational, obtained from the proposed equations and equation systems, will be effective in the development, interpretation, and adaptation of many physical models to real-world problems.