Dereceli kümeler teorisinde temel teoremlerin sezgisel genişlemeleri ve başlangıç değer problemlerine bazı uygulamaları
Intuitionistic extensions of fundamental theorems in fuzzyset theory and some applications to initial value problems
Yazar: SELAMİ BAYEĞ
Danışman: PROF. DR. ÖMER AKIN
TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2018
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Bulanık mantık = Fuzzy logic ; Doğrusal diferensiyel denklemler = Linear differential equations ; Fuzzy mantık =   ; Sezgisel belirtisiz kümeler = Intuitionistic fuzzy sets ; Çok değerli mantık = Multi-valued logic

Özet:
Bu tez çalışmasında, dereceli kümeler teorisinde önemli olan bazı tanım ve teoremler
sezgisel dereceli kümelere genişletilerek, birinci mertebeden sezgisel dereceli başlangıç değer problemlerinin çözümlerinin varlık ve tekliği Hukuhara ve kuvvetli genelleştirilmiş Hukuhara türevleri altında incelenmiştir. Bunun için öncelikle dereceli sayılar için verilen karakterizasyon teoremleri sezgisel dereceli sayılara genişletilerek bu sayıların α ve β kesitleri incelenmiştir. Sezgisel dereceli sayıların Minkowski
toplamı ve skalerle çarpımı α ve β kesitler yardımıyla tanımlandıktan sonra sezgisel dereceli sayılar uzayının bu iki işlem altında kapalı oldugu ispatlanmıştır. Bu işlemler yardımıyla sezgisel dereceli sayıların Hukuhara ve genelleştirilmiş Hukuhara
farklarının bazı özellikleri ifade edilip ispatlanmıştır. Hausdorff metriği yardımıyla, sezgisel dereceli sayılar uzayında D∞ metrigi tanımlandıktan sonra bu metriğin bazı
temel özellikleri verilmiştir ve sezgisel dereceli sayılar uzayının D∞ metriği altında
tam oldugu ispat edilmiştir. Bu teorem yardımıyla sürekli sezgisel dereceli sayı değerli fonksiyonlar uzayında Ds metriği tanımlanmıştır ve bu uzayın Ds metrigi altında 
tam oldugu ispatlanmıştır. Dereceli kümeler için tanımlanmış olan Hukuhara türevi,
kuvvetli genelleştirilmiş Hukuhara türevi ve Aumann integrali kavramları sezgisel dereceli kümelere genişletilerek, bu kavramların bazı temel özellikleri α ve β kesitler
yardımıyla ifade edilip ispatlanmıştır. Sezgisel dereceli sayılar için tanımlanan Hukuhara türevi ve Aumann integrali kavramları arasındaki ilişki, analizin temel teoremleri yardımıyla ifade edilip ispatlanmıştır. Bu tanım ve teoremler kullanılarak Hukuhara ve
kuvvetli genelleştirilmiş Hukuhara türevleri altında birinci mertebeden sezgisel dereceli başlangıç değer problemerinin çözümlerinin varlık ve tekliği, Banach sabit nokta
teoremi yardımıyla ispatlanmıştır. Son olarak Zadeh'in genişleme ilkesi yardımıyla
ikinci mertebeden lineer sezgisel dereceli başlangıç değer problemlerinin çözümlerini
veren bir teorem ifade edilip ispatlanmıştır ve elde ettigimiz sonuçlar nümerik örneklerle desteklenmiştir.

Abstract:
In this thesis, we have firstly generalized the fundamental definitions and theorems
from fuzzy set theory to intuitionistic fuzzy set theory and then studied the existence
and uniqueness of the solution of the first order intuitionistic initial value problems
under Hukuhara and strongly generalized Hukuhara derivative concept and we have
given an algorithm to find the solution of the second order linear differential equations with intuitionistic fuzzy initial values and forcing coefficients. First of all, the
characterization theorems in fuzzy set theory are extended to the intuitionistic fuzzy environment and the properties of α and β cuts of intuitionistic fuzzy numbers are investigated. Then we have defied Minkowski sum and scalar multiplication of intuitionistic fuzzy numbers in terms of α and β cuts. And then, we have shown that the set of intuitionistic fuzzy numbers are closed with respect to Minkowski sum and scalar multiplication. With the aid of these operations, we have given some properties
of Hukuhara difference and generalized Hukuhara difference for intuitionistic fuzzy numbers. We have defied D∞ metric on the set of intuitionistic fuzzy numbers and
given some of its properties. And we have proved that the space of intuitionistic fuzzy
numbers is complete with respect to D∞. Moreover, we have proved that the space
of continuous intuitionistic fuzzy number valued functions is complete with respect
to the metric Ds. Besides, the concepts of Hukuhara derivative, strongly generalized
Hukuhara derivative and Aumann integral are investigated in the intuitionistic fuzzy environment by taking the properties of α and β cuts into consideration. With the help
of these generalizations, the existence and uniqueness of the solution of the first order intuitionistic initial value problems under Hukuhara and strongly generalized Hukuhara derivative concept are studied and the algorithm to find the solution of second
order linear differential equations with intuitionistic fuzzy initial values and forcing
coefficients is given. Finally, numerical examples are given in line with these results.