Poset metrik ile kodların yapısı
Structure of codes with poset metric
Yazar: SEDA AKBIYIK
Danışman: PROF. DR. İRFAN ŞİAP
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2012
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Kodlama Teorisi mesajların (bilgilerin) depolanması ve ya iletilmesi açısından, çalışma alanı olarak çok önemli yere sahiptir. Mesajlar bir kanaldan aktarılırken birçok hataya maruz kalabilirler. Bu durumda alıcı, gönderilenden farklı bir mesaj almış olur. Bu hataları tespit etmek ve düzeltmek için alıcı Hata Düzelten Kodlar Teorisini kullanır.Bilgilerin kodlanması ile birlikte hataların meydana geliş şekillerine paralel olarak ağırlık ve uzaklık fonksiyonları tanımlanır. Bu uzaklık fonksiyonları yardımıyla gönderilen orijinal kodlanmış bilgi (kodsözler) ile alınan mesajlar arasındaki uzaklığa bağlı olarak dekodlama yapılmaktadır. Bu fonksiyonların metrik olması cebirsel yaklaşım açısından hataların düzeltilmesini sağlar.En eski ve en çok uygulanan uzaklık fonksiyonlarından biri Hamming metriğidir. Bununla birlikte, bilgi gönderimlerinde oluşan hataların farklılığına bağlı olarak farklı uzaklık fonksiyonları tanımlanır.Lineer kodlar ile duallerinin ağırlık sayaçları arasında bir ilişki veren MacWilliams özdeşliği ilk olarak Hamming metriğine göre ispatlanmıştır. MacWilliams özdeşlikleri kodlama teorisinde önemli bir yere sahiptirler.Poset metriği özel halde iyi bilinen Hamming ile Rosenbloom-Tsfasman metriklerini içerdiğinden son zamanlarda kodlama teorisinde birçok çalışamaya kaynak oluşturmuştur.Bu tezde poset metriği incelenmiş, literatürde tanımlanan hiyerarşik posetler için ağırlık sayacı yerine P-tam ağırlık sayacı adını verdiğimiz posetin seviye detaylarını daha iyi bir şekilde kullanarak ayrık zincirli posetler üzerinde bir ağırlık sayacı tanımlanmış ve bundan faydalanarak dual poset kullanımına başvurulmadan MacWilliams özdeşliği aynı poset üzerinde ispatlanmıştır. Ayrıca, tanımlanan bu yeni tam ağırlık sayacı sayesinde özel durumlarda çok iyi bilinen Hamming ile Rosenbloom-Tsfasman metriklerini de içerdiği gösterilmiştir.Anahtar Kelimeler: Poset, Kısmi Sıralı Küme, kod, ağırlık, MacWilliams Özdeşliği, Lineer Kodlar, Ağırlık Sayaçları

Abstract:
Coding Theory has been a very important field of study in terms of transmission and storage of messages. While transmitting the messages through a noisy channel, there may be many errors which the messages incur. In this situation, the receiver gets the incorrect message. In order to detect and correct the error, the receiver applies the Theory of Error Correcting Codes.During the encoding of the messages, weight and distance functions are defined according to the type of errors. By means of these functions, decoding is done depending on the distance between the original sent message and the received erroneous word. The distance function being a metric, facilitates detecting and correcting the errors.One of the oldest and the most applied distance functions is the Hamming distance. However, several distance functions are defined since the type of errors may be different.The MacWilliams identity, which gives the relation between the weight enumerators of the linear codes and their duals was first proved for the Hamming metric. This identity has a significant role in Algebraic Coding Theory. Hence, some new MacWilliams type identities have been introduced for new metrics since then.Recently, the poset metric has been a reference for many works in Coding Theory since as a special case it gives the well known Hamming and Rosenbloom-Tsfasmann metrics.In this work, poset metric has been studied, a new weight enumerator is defined which is called P- complete weight enumerator and uses only level details of the poset comprehensively instead of weight enumerator which is defined for hierarchical posets. According to this weight enumerator, MacWilliams type identity has been proved. We obtain the well known weight enumerators of Hamming and RT- metrics, as a special case of the newly defined weight enumerator.Key words: Poset, Partially Ordered Set, code, weight, MacWilliams Identitiy, Linear Codes, Weight Enumerators