Sayılabilir sonsuz sıralı dizeylerde çokdeğişkenliliği yükseltilmiş çarpımlar okuçlulandırımlı dizey gösterilimleri (ÇYÇODG)
Arrowheaded enhanced multivariance products representations for matrices in denumerably infinite matrices
Yazar: GİZEM ÖZDEMİR
Danışman: PROF. DR. METİN DEMİRALP
İstanbul Teknik Üniversitesi / Bilişim Enstitüsü / Hesaplamalı Bilimler ve Mühendislik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2015
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu çalışmada, Sobol'ca önerilen ve bilimcil yazında, artık, önemli bir konumda olan ve ingilizcesi "High Dimensional Model Representation (HDMR)" olan "Yüksek Boyutlu Biçe Gösterilim (YBBG)" yaklaşımının Demiralp ve topluluğunca önerilen ve genişletilmiş biçimi olan "Çokdeğişkenliliği Yükseltilmiş Çarpımlar Gösterilimi (ÇYÇG)" yöntemi araç olarak alınmıştır. ÇYÇG'nin özyineleyişli biçimi olarak çok yakınlarda geliştirilmiş olan üçköşegenleştirim amaçlı yeni bir olgu da, özel olarak, sayılabilir sonsuz sayıda yatay ve düşey sıraları olan dizeylerin okuçlu (ing: arrowheaded) dizey çekirdekli çarpımcıl ayrıştırıma götürülebilişine olanak sağlayacak biçimde uyarlanmış ve böylece yeni bir alanda yeni ve özgün bir gösterilim elde edilmiştir. Ortaya çıkan yeni yönteme "Çokdeğişkenliliği Yükseltilmiş Çarpımlar
Okuçlulandırımlı Dizey Gösterilimi" adı verilmiştir.
ÇYÇG böl–yönet düşüncesine dayanan bir toplamcıl ayrıştırımdır. Çokdeğişkenli işlevlerin destek işlevi adı verilen, her biri değişik tek bir değişkene bağımlı yapılar yardımıyla daha az değişkenli işlevlerin çokdeğişkenliliği asıl işlevinkine eşdeğer olan çarpımcıl terimlerin toplamı türünden anlatımında kullanılır. Her bir toplananda (ing: summand), sırasıyla, değişmez, tek değişkenli, iki değişkenli ve bu biçimde ilerleyerek sonunda odak işlevinkine eşdeğer çok değişkenlilikte işlevlerden biri bilinmeyen çarpan olarak görünür. Her bir çarpımcıl toplanan, çokdeğişkenlilik düzeyi odaktaki işlevinkine eşdeğer olacak biçimde destek işlevi çarpanı içermek durumundadır. Çokdeğişkenliliğin yükseltimi olgusu bu gerçeği yansıtmaktadır.
Gösterilimde toplamcıl terimler arasında, odaktaki işlevin içinde uzandığı Hilbert uzayını tanımlayan iççarpım altında, toplamcıl terimlerin aralarında dikgen oldukları kanıtlanmış bir ilerisürümdür (ing: conjecture). Bu dikgenlik kullanılarak oluşturulan nitelik ölçenleri ile açılımdaki her bir toplamcıl terimin gösterilimdeki katkısı incelenebilmektedir.
ÇYÇG yönteminin özel durumlar için geliştirilmiş birçok türü vardır. Özdüzeyce baskın dizeyler için geliştirilen Çokdeğişkenliliği Yükseltilmiş Çarpımlar Üçköşegencil Dizey Gösterilimi de bunlardan biridir. Herhangi bir dizey ÇYÇÜDG ile üçköşegencil duruma getirilip, dizey yaklaştırımı elde edilebilir.
Bir dizey, özel olarak yalnızca dışçarpımlardan oluştuğunda, ÇYÇÜDG yöntemine benzer olarak geliştirilen ve savın asıl konusu olan, Çokdeğişkenliliği Yükseltilmiş Çarpımlar Okuçlulandırımlı Dizey Gösterilimi kullanılmaktadır. Savdaki özgün görüşün çıkış konumu bu düşünceye dayanmaktadır.
Savın ana bölümü olan dördüncü bölümde, ÇYÇODG ayrıntılı olarak anlatılmış, yöntemin özel durumlarına yer verilmiştir. Okuçlu bir dizeyin ÇYÇÜDG yardımıyla üçköşegencil duruma getirilişi ve iki yöntem arasındaki geçiş gösterilmiştir.
Savın beşinci bölümünde, yöntemlerin üzerinden uygulayışlar gerçekleştirilerek, alınan sonuçların geliştirilen yöntemin betikler aracılığıyla etkinliği incelenmiş ve çok destekleyici görünümler elde edilmiştir.
Sonuçlar bölümünde, savdaki bulgu ve başarımların incelenimi sonucunda elde edilen durumlara ve yorumlara yer verilmiştir.

Abstract:
In this work, Enhanced Multivariance Products Representation (EMPR) approach which is a Demiralp–and–his–group extension to the Sobol's High Dimensional Model Representation (HDMR) has been used as the basic tool. Even though HDMR was first proposed by Sobol its first version was constructed on the unit hypercube geometry whose edges lie on the positive halves of the cooerdinate axes while its one corner was located on the origin. It was also assuming the unit constant weight function(s). H. A. Rabitz and has changed the orthogonal geometry from Sobol's case to a general hyperprism which can stand anywhere, as an extension. In addition, semi infinite or completely infinite geometries have been allowed by Rabitz who has also added the nonunit constant weight functions as an extension even though these functions should have been the product of univariate weight functions each of which depends on a different independent variable.
EMPR which is an extended form of HDMR involves univariate support functions each of which depends on a different independent variable such that all possible univariances in the support functions appear at the end. EMPR like HDMR is not developed for only continuous entities like functions. Their discrete form have also been developed and used in practice by Demiralp and his group in addition to some other authors for the decomposition of the arrays like vectors, matrices, or multiway arrays. This work
specifically focuses on the decomposition of infinite matrices involving denumerable infinitely many rows and columns. To this end the target matrix is first decomposed to the sum of certain outer products and then each outer product is treated by Tridiagonal Matrix Enhanced Multivariance Products Representation (TMEMPR) which has been developed by Demiralp and his group. The result is a three–matrix–factor–product whose kernel (the middle factor) is an arrowheaded matrix while the pre and post factors
are invertable matrices decomposed of the support vectors of TMEMPR. This new method is called as Arrowheaded Enhanced Multivariance Products Representation for Matrices. The general purpose is approximation of denumerably infinite matrices with the new method.
EMPR is a method which is based on a divide-and-conquer philosophy and is used for representing a given multivariate function in terms of less variate functions with the support functions. In the expansion, one unknown constant factor containing term, N number of unknown univariate factor involving terms, N(N − 1)/2 number of unknown bivariate factor including terms and so on. 2 N additive terms each of which is a product which may contain at most N number of factors appear in the EMPR expansion. The
main goal is to obtain the general structure of these constant, univariate and the higher variate terms of the expansion. In this work we do not focus on continuous target functions but denumerable infinitely many rows and colums involving matrices. Hence, not functions but denumerably infinite vectors and matrices are considered. Similarly not support functions but infinite support vectors are under consideration. It is also proven that the additive terms of TMEMPR are mutually orthogonal in the denumerably infinite (separable) Cartesian space. Using this orthogonality it is possible to analyse
the truncation approximation quality of TMEMPR. To this end, so–called Quality Measuerers which are the cumulative sum of ratios of the norm squares of TMEMPR summands to the norm square of TMEMPR focus function can be effectively used.
We have not mentioned specifically the weight matrix utilization in the inner products of TMEMPR even though they may be employed to get better efficiency. This works basically uses unit matrix weight. Hence, the target matrix and the support vectors must have some bounded norms to proceed through the scheme presented here.
There are various versions of EMPR method for the specific cases. Tridiagonal Matrix Enhanced Multivariance Products Representation is one of theme, we have told something above. There are some other works in Demiralp's group under intense study. Tridiagonal Kernel EMPR is one of these extension. The purpose therein is to decompose of the kernel of an integral operator acting on univariate functions. The resulting decomposition, in denumerable infinite matrix notation, is composed of three
factors the middle one of which is a denumerably infinite tridiagonal matrix. Another work in this framework has been quite recently launched and aims at the three folmat (folded matrix) factorization of a given folmat which is considered composed of as if folded rows and columns.
When the target matrix is consisted of only outer products, Arrowheaded Enhanced Multivariance Products Representation for Matrices (AEMPRM) which uses the basic philosophy of TMEMPR method almost exactly in the same way becomes the target object of the study like in this thesis.
In the fourth section, AEMPRM mehod and its special cases are described in detail. Transformation of arrowhead matrix to tridiagonal form by using TMEMPR method and relation between these two methods have also been indicated.
In the fifth section, implementation results of these methods, realized via Mathematica, and efficiency of the results are analysed.
In conclusion, the new and original findings with an emphasis on somehow revolutionary aspects in AEMPRM are given in this thesis at a state–of–art status as much as we can do within today's findings.