Padovan sayılarının genellemeleri ve uygulamaları
Generalizations and applications of Padovan numbers
Yazar: ORHAN DİŞKAYA
Danışman: PROF. DR. HAMZA MENKEN
Mersin Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Cebir ve Sayılar Teorisi Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2023
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Fibonacci sayıları = Fibonacci numbers ; Gizli anahtarlı kripto sistemler = Secret key crypto systems

Özet:
Bu çalışmada, sayı dizileri arasında önemli bir yere sahip olan Padovan sayı dizisinin çeşitli genellemeleri ve uygulama alanları incelenmiştir.
Padovan sayı dizisinin mimaride kullanılan plastik sabiti ile matematiksel bir ilişkiye sahip olduğu bilinmektedir. Bu tezde, önce plastik sabitin geometrik şekilleri ve çeşitli uygulamaları ortaya konulmuştur. Sonra, genelleştirilmiş Padovan polinom dizisi tanımlanıp bu dizinin karakteristik denklemin köklerine bağlı genel çözümü, üreteç fonksiyonları, matris gösterimi ve bazı özdeşlikleri incelenmiştir. Ardından, Padovan toplam formülünden yola çıkılarak ağırlıklı Padovan toplam formülleri elde edilmiştir. Çalışma sırasıyla şu şekilde devam etmektedir:
• Fibonacci ve Padovan sayılarının arasında kurulan bir bağıntı ile Fibonacci-Padovan sayı dizisi,
• Padovan sayı dizisinin indislerinin tek ve çift durumunda farklı sonuçları veren parçalı fonksiyon şeklindeki bi-periyodik Padovan sayı dizisi,
• Satır ve sütun ilişkisi ile kurulu simetrik Padovan sayı dizisi,
• Teknik olarak nabız atışı olarak da isimlendirilen farklı bir sayı dizilişine sahip çift diziden oluşan titreşimli Padovan sayı dizisi,
• Padovan sayıları kullanılarak elde edilmiş Pascal üçgenini andıran Padovan üçgeni dizisi
tanımlanıp çeşitli özdeşliklere yer verilmiştir.
Bu genellemelere ek olarak, Bernoulli Padovan sayıları ve polinomları araştırılmış ve yeni tanımlamalar ile çeşitli yöntemler kullanılarak farklı sonuçlara ulaşılmıştır.
Son olarak, genelleştirilmiş Padovan polinom matrislerini kullanılarak genelleştirilmiş Padovan blok polinom matrisleri tanımlanmış ve bazı özellikleri incelenmiştir. Anahtar değişimi için bir anahtar anlaşma yöntemi verilmiş ve genişletilmiş Hill şifreleme ve affine şifreleme sisteminden ilham alınarak bir açık anahtar kriptografisi önerilmiş ve sistemin güvenirliği analiz edilmiştir.

Abstract:
In this study, various generalizations and application areas of the Padovan number sequence, which has an important place among the number sequences, are examined.
It is known that the Padovan number sequence has a mathematical relationship with the plastic constant used in architecture. In this thesis, firstly, the geometrical shapes of the plastic constant and its various applications are presented. Then, the generalized Padovan polynomial sequence is defined and the general solution of this sequence depending on the roots of the characteristic equation, generator functions, matrix representation and some identities are examined. Then, weighted Padovan sum formulas are obtained by means of the Padovan sum formula. The study continues as follows:
• Fibonacci-Padovan sequence, which is a relation related to Fibonacci and Padovan numbers,
• Bi-periodic Padovan sequence in the form of a piecewise function that gives different results in the odd and even case of the indices of the Padovan sequence,
• Symmetrical Padovan sequence established with row and column relationship,
• Pulsating Padovan number sequence consisting of pair sequences with a different sequence of numbers, technically also called the pulse beat,
• Padovan triangle sequence resembling Pascal's triangle obtained by using Padovan numbers
is defined and various identities are included.
In addition to these generalizations, Bernoulli Padovan numbers and polynomials are investigated and different results are obtained by using new definitions and various methods.
Finally, generalized Padovan block polynomial matrices are defined using generalized Padovan polynomial matrices, and some properties are investigated. A key agreement method is given for key exchange, and a public key cryptography is proposed, inspired by the extended Hill encryption and affine encryption system, and the reliability of the system is analyzed.