Pertürbe edilmiş harmonik tasvirlerin genel bir incelemesi
A general investigation of perturbed harmonic mappings
Yazar: FULYA TÜRKTEKİN
Danışman: PROF. DR. ERHAN GÜZEL
İstanbul Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2010
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez çalışmasının amacı, kompleks düzlemde bulunan açık birim disk'de tanımlı normalize edilmiş yön-koruyan harmonik yalınkat fonksiyonların (eşdeğer kullanımla tasvirlerin) analitik kısımlarının açık birim disk'de tanımlı analitik yalınkat fonksiyon sınıflarından biri olan S sınıfına ait olması halinde, genişleme ve distorsiyon teoremlerini bulmak, eş-analitik kısmın Taylor açılımındaki katsayıların modülleri için bir katsayı eşitsizliği belirlemek ve daha genel anlamda, açık birim disk'de tanımlı ve analitik kısmı herhangi bir fonksiyon sınıfına ait normalize edilmiş yön-koruyan harmonik fonksiyonlar için analitik ve eş-analitik kısımların Taylor açılımlarındaki katsayıların modülleri arasında yeni bir katsayı eşitsizliği vermektir.Beş bölümden oluşan bu çalışmanın birinci bölümü, analitik yalınkat fonksiyonlar teorisi ve harmonik fonksiyonlar teorisi üzerine yapılmış çalışmaların tarihçesine ayrılmıştır.İkinci bölüm;çalışmanın amacı dahilindeki problem çözümlerine ulaşmak için kullanacağımız tanım ve teoremleri içeren dört alt bölümden oluşmaktadır. Buna göre;Bölüm 2.1'de analitik yalınkat fonksiyonlar ve bu fonksiyonların bir alt sınıfı olan S sınıfı incelenmiş;Bölüm 2.2'de, analitik fonksiyonlar teorisindeki ispatlarda sıkça kullanılan Schwarz lemması ve Subordinasyon prensibi tanıtılmış;Bölüm 2.3'de, pozitif reel kısma sahip fonksiyonlar sınıfı tanımlandıktan sonra bu sınıfa ait fonksiyonlar için, elde ettiğimiz katsayı eşitsizliklerinin ispatında kullanacağımız, iki teorem verilmiş ve Bölüm 2.4'de harmonik fonksiyonlar teorisi genel yönleriyle ele alınmıştır.Üçüncü bölümde;Bölüm 4'de verdiğimiz ispatları hangi araçlar üzerinden, nasıl yaptığımız özetlenmiştir.Dördüncü bölümde, tezin amacı kapsamında, analitik kısmı S sınıfına ait normalize edilmiş yön-koruyan harmonik yalınkat fonksiyonlar için genişleme teoremi, eş-analitik kısımlara dair distorsiyon teoremi ve üst sınır, Jakobiyen fonksiyonu için distorsiyon teoremi ve Heinz eşitsizliği verilmiş olup, normalize edilmiş yön-koruyan harmonik fonksiyonlar için analitik ve eş-analitik kısımların Taylor açılımlarındaki katsayıların modülleri arasında yeni bir katsayı eşitsizliği ispatlanmış ve bu yeni bulgu kullanılarak, çalıştığımız fonksiyonların eş-analitik kısımlarına dair bir katsayı eşitsizliği verilmiştir.Beşinci bölümde ise, elde edilen bulgular ile ilgili bir değerlendirme yer almaktadır.

Abstract:
The aim of this thesis is to give some distortion theorem, some growth theorem and the coefficient inequalities of harmonic univalent functions which are defined in the open unit disc, for which analytic part is standart univalent function. The first coefficent inequality is the inequality of the coefficent of Taylor expansion of co-analytic part and second inequality is the coefficient inequality between the coefficient of the Taylor expansion of analytic part and the coefficient of the Taylor expansion of co-analytic part.The present study consists of five parts. In the first part, historical knowledge of the investigation of analytic univalent functions and harmonic functions is presented.The second part includes four sections which contains some definitions and theorems will be needed to obtain the results in the aim of the study. In Section 2.1. the theory of analytic univalent functions and one of these functions? subclass, S are given. In Section 2.2. Schwarz lemma and Subordination principle which are used frequently in proof of theorems are presented. In Section 2.3. Caratheodory class of analytic functions and two theorems of this class which are used in the coefficient inequalities in our main results is given and in the last section of the second part general harmonic functions theory are presented.In the third part, it is summerized how the proofs in the fourth part are done with respect to the tools used.The fourth part contains, in view of the aim of this thesis, a distortion theorem, a growth theorem, the distortion of Jacobian function, Heinz inequality and a coefficient inequality of the sense-preserving harmonic univalent functions and a coefficient inequality of the sense-preserving harmonic univalent functions for which analytic part is standart univalent functions.An evaluation of this study is placed in the fifth part.