Dual düzlemsel eğrilerin denklik problemi
Equivalence problem of dual planar curves
Yazar: NURCAN DEMİRCAN BEKAR
Danışman: PROF. DR. ÖMER PEKŞEN
Karadeniz Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2023
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Dual sayılar = Dual numbers ; Eğriler = Curves ; Parametrik eğriler = Parametric curves ; İnvaryantlar = Invariants

Özet:
Bu tez çalışmasında amaçlanan, D dual sayılar ve G=TD^+,TD,TD_1,TD_1^+, R^2 2-boyutlu reel uzayında D cebiri tarafından üretilen gruplar olmak üzere; G grupları için R^2'deki parametrik eğrilerin (T-yolların) ve eğrilerin G-denklik problemlerinin çözümünü, invaryant teori yöntemi kullanarak bulmaktır. 
Bu çalışma iki bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, cebir alanında kullanılan temel tanım, teorem ve sonuçlar ile G-denklik ve G-invaryant fonksiyon tanımları, D dual sayılar cebirinden elde edilen lineer hareket grupları ve bu gruplara göre invaryantlar verilmektedir. İkinci bölüm altı alt bölümden oluşmaktadır. İlkinde, D_1 lineer hareket grubundan elde edilen D_1^+ ve D_1 lineer hareket gruplarına göre; ikincisinde, TD^+, TD, TD_1^+ ve TD_1 dual gruplarına göre T-yolların invaryantları belirlenmektedir. Üçüncüsünde, regüler, dejenere regüler ve dejenere olmayan T-yolların invaryantları kullanılarak denklik koşulları verilmektedir. Dördüncüsünde, TD^+, TD, TD_1^+ ve TD_1 dual hareket gruplarına göre regüler, dejenere regüler ve dejenere olmayan T-yolların varlık ve teklik teoremi yani invaryantları bilinen T-yolların denklemlerinin bulunabileceği gösterilmektedir. Beşincisinde, dejenere olmayan eğrilerin denklik probleminin dual düzlemsel T-yolların denklik problemine indirgendiği gösterilmektedir. Sonuncusunda, TD^+ ve TD dual hareket gruplarına göre dejenere olmayan eğrilerin tam invaryantlar sistemi belirlenmekte ve teklik teoremleri verilmektedir.

Abstract:
This thesis is devoted to solution of problems of global G-equivalence of parametric curves (T-paths) and curves in 2-dimensional real vector space R^2 for the groups G=TD^+,TD,TD_1,TD_1^+ which generated by the algebra D of dual numbers in R^2.
This thesis consists of two chapters. In the first chapter, some basic definitions, theorems and results used in algebra, such as definitions of G-equivalence and G-invariant function, groups of linear motion obtained from the algebra D and invariants are given according to these groups. The second chapter consists of six subsections. Invariants of T-paths are expressed in the first subsection according to the linear motion groups D_1^+ and D_1 from the linear group D_1 and in the second subsection according to the dual motion groups TD^+, TD, TD_1^+ and TD_1. In the third, the equivalence conditions are given using invariants of the regular, degenerate regular and non-degenerate T-paths. In the fourth, with respect to the groups TD^+, TD, TD_1^+ and TD_1 existence and uniquness theorem, that is, with given functions as invariants the equations of the regular, degenerate regular and non-degenerate T-paths can be found. In the fifth, the equivalence problem of non-degenerate curves is reduced to the equivalence problem of dual planar T-paths. In the last, system of the complete invariants of non-degenerate curves are determined and uniqueness theorems are given according to the dual motion groups TD^+ ve TD.