Topolojik özellikler yardımıyla görüntü işleme problemlerinin çözümleri üzerine
On the solutions of image processing problems by using topological properties
Yazar: AHMET YILDIRIM
Danışman: PROF. DR. İSMET KARACA
Ege Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Matlab = Matlab ; Sayısal topoloji = Digital topology ; Sonlu farklar yöntemi = Finite differences method ; Varyasyon problemleri = Variational problems

Özet:
Görüntü işleme problemi, modern dünyanın en çok ilgilendiği konuların başında gelir. Bu konuda özellikle son yıllarda büyük gelişmeler yaşanmıştır. Bizim çalışmamızın temel amacı, matematiksel araçları kullanarak bu gelişmeye katkıda bulunmaktır.  Doktora tezimizin diğer çalışmalardan en büyük farkı disiplinler arası bir çalışma olmasından kaynaklanıyor. Topoloji, Kısmi Türevli Diferansiyel Denklemler, Nümerik Analiz gibi matematiksel yapıların yanında görüntü işleme sistemleri ve MATLAB paket programı çalışmamızın temelini oluşturdu.  Kullandığımız algoritma bir taraftan kısmi türevli diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanılan sonlu farklar ayrışımını kullanıyor, diğer taraftan ise dijital topolojide 
kullanılan kavramlardan yararlanıyor. Doktora tezimizde üç farklı kısmi türevli diferansiyel denklem kullanıldı. İlk olarak analizlerimizi görüntü işlemede kullanılan en eski ve en çok araştırma yapılan denklem olan parabolik lineer ısı denklemi üzerinde yaptık. Daha sonra ise görüntü kalitesinin arttırılması için Perona-Malik denklemi ve Toplam Varyasyon (TV) denklemi kullanıldı. Algoritmamızı MATLAB-R2020B paket programı yardımıyla görüntü analizi için kullandık. Görüntü analizinde stabil ve yakınsak değerler oluştuğu için yöntemin etkinliği daha fazla görüldü. Görüntü analizinde elde ettiğimiz en büyük ilerleme ise t değerleri büyüdükçe görüntü kalitesinin korunması ve görüntülerin bozulmamasıdır.

Anahtar sözcükler: Perona-Malik denklemi, Toplam Varyasyon (TV) denklemi, Sonlu Farklar Metodu, Dijital Topoloji, Dijital-Ayrık Metot, MATLAB-R2020B

Abstract:
Image processing problem is one of the most interested subjects in the modern world. There have been great developments in this regard, especially in recent years. The main purpose of our work is to contribute to this development by using mathematical tools. The biggest difference of our doctoral thesis from other studies is that it is an interdisciplinary study. In addition to mathematical structures such as Topology, Partial Differential Equations, Numerical Analysis, image processing systems and MATLAB package program formed the basis of our work.  The algorithm we use, on the one hand, uses the finite difference decomposition used in the solution of partial differential equations, and on the other hand, it makes use of the concepts used in digital topology. Three different partial differential equations were used in our doctoral thesis. First, we performed our analysis on the parabolic linear heat equation, which is the oldest and most researched equation used in image processing. Then, the PeronaMalik equation and the Total Variation (TV) equation were used to increase the image quality. We used our algorithm for image analysis with the help of the MATLAB-R2020B package program. Since stable and convergent values were formed in the image analysis, the efficiency of the method was seen more. The biggest progress we have achieved in image analysis is the preservation of image quality and the preservation of images as the t values increase.

Keywords: Perona-Malik equation, Total Variation (TV) equation, Finite Difference Method, Digital Topology, Digital-Discrete Method, MATLAB-R2020B