Özel gradyent terimli lineer ve lineer olmayan çok boyutlu Schrödinger denklemleri için sınır fonksiyonelli optimal kontrol problemlerinin iyi konulması ve çözüm için gerek şart
Correctness of optimal control problems with a boundary functional for the linear and nonlinear multidimensional Schrödinger equations with a special gradient term and a necessary condition for solving
Yazar: MERVE ZENGİN
Danışman: PROF. DR. GABİL YAGUB
Kafkas Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2021
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezde özel gradyent terimli kompleks potansiyelli lineer ve lineer olmayan çok boyutlu Schrödinger denklemleri için sınır fonksiyonelli optimal kontrol problemlerinin iyi konulması ve çözüm için gerek şartla ilgili sorular incelenmiştir. İlk önce her bir olası kontrol verildiğinde özel gradyent terimli lineer ve lineer olmayan çok boyutlu Schrödinger denklemi için ikinci çeşit başlangıç sınır değer problemlerinin çözümüne Galerkin yöntemi uygulanmış ve söz konusu başlangıç sınır değer problemlerinin çözümünün varlığı ve tekliği teoremleri ispatlanmış ve çözüm için kestirim elde edilmiştir. Bu sonuçlardan yararlanarak sonraki aşamada özel gradyent terimli kompleks potansiyelli lineer ve lineer olmayan çok boyutlu Schrödinger denklemi için sınır fonksiyonelli optimal kontrol problemlerinin çözümünün varlığı ve tekliğine ait teoremler ispatlanmıştır. Bu sonuçların yanı sıra lineer ve lineer olmayan çok boyutlu Schrödinger denklemleri için optimal kontrol problemlerinde fonksiyonellerin diferansiyellenebilirliği araştırılmış ve fonksiyonellerin birinci varyasyonu için formüller elde edilmiştir. Fonksiyonellerin birinci varyasyonundan yararlanılarak çözüm için varyasyon eşitsizliği biçiminde gerek şartlar elde edilmiştir. Ayrıca özel gradyent terimli lineer çok boyutlu Schrödinger denklemi için optimal kontrol probleminde fonksiyonelin diferansiyellenebilirliğini incelemek ve çözüm için gerek şart elde etmekten dolayı söz konusu optimal kontrol problemine karşılık gelen eşlenik problemin çözümünün varlığı ve tekliği teoremi de ispatlanmıştır.

Abstract:
This thesis examines the issues of correctness and necessary conditions for solving optimal control problems with boundary functional for the linear and nonlinear multidimesional Schrodinger equations with a special gradient term and with a complex potential. In first, for each admissible control, the Galerkin method was applied to the solution of the second initial-boundary value problems for the linear and nonlinear Schrodinger equations with a special gradient term and teorems of existence and uniqueness of the solution of the considered initial-boundary value problems were proved and estimates for their solution were established. Using these results, we further prove the existence and uniqueness of solutions to optimal control problems for the linear and nonlinear multidimensional Schrodinger equations with a special gradient term. Along with these results, we investigated the differentiability of the functional in optimal control problems with a boundary functional for the linear and nonlinear multidimensional Schrodinger equations with a special gradient term, and proved formulas for the first variation of the functionals. With the help of the first variation of functionals for the solution, necessary conditions are established in the form of a variational inequality. It should be noted that to study the differentiability of the functional and establish a necessary condition in the optimal control problem with a boundary functional for the linear multidimesional Schrodinger equation with a special gradient term, the existence and uniqueness teorem for the solution of the adjoint problem to the optimal control problem under consideration was also proved.