Sonlu leksikografikal sıralı alfabe üzerinde tanımlı kelimeler ve de bruijn tipli dizileri içeren üreteç fonksiyonları ve bunların uygulamaları
Generating functions containing words defined over lexicographical ordered finite alphabet and de bruijn type sequences and their applications
Yazar: İREM KÜÇÜKOĞLU
Danışman: PROF. DR. YILMAZ ŞİMŞEK
Akdeniz Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2018
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Aritmetik fonksiyon = Arithmetic functions ; Bernoulli polinomları = Bernoulli polynomials ; Bernoulli sayıları = Bernoulli numbers ; Stirling sayıları = Stirling numbers ; Zeta fonksiyonları = Zeta functions

Özet:
Bu tezde, Lyndon kelimeleri gibi sonlu leksikografikal sıralı alfabe üzerinde tanımlı kelimeleri ve De Bruijn tipli dizileri sayan sayıların üreteç fonksiyonlarının inşası üzerine çalışılmıştır. İnşa edilen üreteç fonksiyonları yardımıyla, bu kelime ve dizilerin bazı özel fonksiyonlarla, Apostol tipli sayı ve polinomlar aileleriyle, Stirling sayılarıyla ve diğer özel sayı ve özel polinom aileleriyle olan ilişkileri incelenmiştir. Ayrıca, inşa edilen üreteç fonksiyonları ve bunların diferansiyel denklemleri yardımıyla binom katsayılarını, bazı özel sayı ve özel polinomları içeren yeni formüller, bağıntılar ve özdeşlikler elde edilmiştir. Elde edilen bu sonuçlar kullanılarak, asal sayı uzunluklu Lyndon kelimelerinin sayılarını ve binom katsayılarını içeren kombinatorik toplamlar da elde edilmiştir. Bunlara ek olarak, elde edilen sonuçların bazıları için nümerik hesaplamalar yapan hesaplamalı algoritmalar verilmiştir ve bu algoritmalar kullanılarak ilgili sonuçlar için tablolar verilmiştir. Verilen tablolardaki değerler yardımıyla da üreteç fonksiyonlarının grafikleri çizilmiştir. Son olarak, elde edilen üreteç fonksiyonlarının asal sayılar ve tek türlü asal çarpanlara ayırma metodu ile ilişkileri incelenerek bazı uygulamaları verilmiştir. Ayrıca bu tez çalışmasında, elde edilen sonuçların bazılarını kapsayan açık problemler de verilmiştir.

Abstract:
In this thesis, it is studied on the construction of the generating functions for the numbers counting the words defined over the finite lexicographical ordered alphabet such as Lyndon words, and also De Bruijn type sequences. With the help of the constructed generating functions, relations of these words and sequences with some special functions, the families of the Apostol type numbers and polynomials, the Stirling numbers and other special families of numbers and polynomials have been investigated. Moreover, new formulas, relations, identities and combinatorial sums including binomial coefficients and special numbers and polynomials have been obtained with the aid of the constructed generating functions and their differential equations. By using the obtained results, combinatorial sums, including binomial coefficients and the numbers of the Lyndon words having prime number length, have also been obtained. In addition to these, computational algorithms for numerical calculations are given for some of the obtained results, and related tables are given using these algorithms. The graphs of the generating functions are also drawn with the help of the values in the given tables. Finally, some applications have been given by examining relations between the obtained generating functions, prime numbers and the unique prime factorization method.
Moreover, in this thesis, open problems including some of our results are given.