Kompleks geometrilerde kısmi türevli diferansiyel denklemlerin derin öğrenme yaklaşımları ile nümerik çözümleri
Numerical solutions of partial differential equations on complex geometries with deep learning approaches
Yazar: ÖZCAN KOLYİĞİT
Danışman: DOÇ. DR. KORHAN GÜNEL
Aydın Adnan Menderes Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Amaç: Bu tez, son yıllarda büyük ilerleme kaydeden derin öğrenme yaklaşımlarını kullanarak üzerinde çakışan veya çakışmayan deliklerin bulunduğu bölgelerde kısmi türevli diferansiyel denklemlerin sayısal çözümlerini elde etmeyi amaçlamaktadır.
Materyal ve Yöntem: Çalışmada öncelikle ilk yapılan çalışmalardan günümüze kadar bu alanda yapılmış yayınlar incelenmiş, literatür taraması yapılmıştır. Kısmi türevli diferansiyel denklemlerin çözümlerini elde edecek derin öğrenme ağı modeli ve uygun topoloji belirlenmeye çalışılmıştır. Çözüm uzayında DistMesh algoritması üçgenselleştirme yoluyla düğüm noktaları elde edilmiştir. Güncel çalışmalarda çoğunlukla ısı yayılım denklemi, ısı dağılım denklemi, Poisson denklemi ve Black-Scholes denklemi gibi Fizik ve Ekonomi alanlarında kullanılan denklemlerin üzerinde çalışmalar yapıldığı görülmüş ve tez çalışmasında üzerinde çalışılmak üzere iki farklı Poisson denklemi belirlenmiştir. Optimizasyon algoritmaları üzerine çalışılmış ve tez konusuna uygun optimizasyon algoritması belirlenmeye çalışılmıştır. Derin yapay sinir ağı modeli olarak Rezidü Yapay sinir ağı modeli, optimizasyon algoritması olarak da Örgü Uyarlamalı Doğrudan Arama ile Doğrusal Olmayan Optimizasyon (NOMAD) algoritması seçilmiştir.
Bulgular: Çalışmada geliştirilen model, her iki örnek için, iki farklı sınır koşulları ve iki farklı çözüm uzayı üzerinde test edilmiş; elde edilen yapay sinir ağı çözümlerinin gerçek çözümlere düşük hata miktarları ile yakınsadığı görülmüştür. Modelin farklı örnekler ve farklı çözüm uzayları ile kısmi diferansiyel denklemlerin üzerinde çakışan veya çakışmayan delikler bulunan bölgelerde nümerik çözümlerinin elde edilmesinde başarılı olduğu görülmüştür.
Sonuç: Bu çalışmada geliştirilen model ile Rezidü yapay sinir ağı modeli ve türev içermeyen bir optimizasyon (NOMAD) algoritması kullanılarak farklı yapıdaki bölgelerde kısmi türevli diferansiyel denklemlerin nümerik çözümlerinin elde edilebileceği gösterilmiştir.

Abstract:
Objective: This thesis aims to obtain numerical solutions of partial differential equations in regions with overlapping or non-overlapping holes by using deep learning approaches, which have made great progress in recent years.
Material and Methods: In this study, firstly, the publications made in this field from the first studies to the present day have been examined and a literature review has been made. The deep learning network model and the appropriate topology to obtain the solutions of partial differential equations are tried to be determined. Nodes were obtained by triangularization via DistMesh algorithm in the solution space. In the current studies, it has been observed that the equations used in the fields of Physics and Economics such as heat diffusion equation, heat dissipation equation, Poisson equation and Black-Scholes equation are mostly studied, and two different Poisson equations have been determined to be studied in the thesis. Optimization algorithms were studied and an optimization algorithm suitable for the thesis subject was tried to be determined. The residual artificial neural network model was chosen as the deep artificial neural network model and the Nonlinear Optimisation with Mesh Adaptive Direct Search (NOMAD) algorithm was chosen as the optimisation algorithm.
Results: The model developed in this study was tested on two different boundary conditions and two different solution spaces for both examples and it was observed that the neural network solutions converged to the real solutions with low error amounts. The model was found to be successful in obtaining numerical solutions of partial differential equations with different examples and different solution spaces in regions with overlapping or non-overlapping holes.
Conclusions: In this study, it is shown that numerical solutions of partial differential equations in regions with different structures can be obtained by using the residual artificial neural network model and a non-derivative optimisation (NOMAD) algorithm.