Alt yörüngesel grafların özel köşe değerleri ile özel sayı dizileri arasındaki bazı ilişkiler
Some relations between special vertex values of suborbital graphs and special number sequences
Yazar: İBRAHİM GÖKCAN
Danışman: DOÇ. DR. ALİ HİKMET DEĞER
Karadeniz Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2021
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu çalışmada, Lorentz matris çarpımı kullanılarak bazı özel matrislerin n. kuvvetleri elde edildi, kuadratik denklemleri ve karakteristik kökleri incelendi. Özellikle M matrisinin Lorentz matris çarpımı altında n. kuvveti bulunarak klasik matris çarpımı altında elde edilen bazı özdeşliklere Lorentz matris çarpımıyla yeniden ulaşıldı. Graf teorinin süreç içinde gelişimi hakkında bilgi verildi. Alt yörüngesel graflar, G_(u,N), F_(u,N) ve Farey grafı incelendi. F_(u,N) alt yörüngesel grafında, klasik matris çarpımı altında elde edilen köşeleri Lorentz matris çarpım altında veren Lorentz matrisi elde edildi. Lorentz matrisinin Modüler grubun elemanı olmadığı görüldü. k=3 için elde edilen A^n matrisinde F_n≅α^n/√5 özdeşliği kullanılarak ilgili matris Lucas sayıları türünden yazıldı. Matrisler ve sürekli kesirler arasındaki bağıntıdan alt yörüngesel grafın köşeleri Lucas sayıları ile yazıldı. Fibonacci ve Lucas sayı dizileri türünden yazılan alt yörüngesel grafın köşeleri (u,N)=(3,4), n=15 için elde edilerek karşılaştırıldı ve bu köşe değerlerinin birbirine çok yakın olduğu gözlemlendi. Bununla birlikte F_2n/F_(2n+2) =(-p_n)/p_(n+1) ≅L_n/(αL_(n+1) ) denkleminden yeni özdeşlikler elde edilerek ispatlandı. Dijkstra algoritması Farey grafına uygulanarak kaynak bir köşeden diğer köşelere minimum uzunluk ve ağaç elde edildi.

Abstract:
In this study, by using Lorentz matrix multiplication, nth powers of some special matrices are obtained, their quadratic equations and characteristic roots are investigated. Especially by finding nth power of matrix M under Lorentz matrix multiplication, some identities obtained under classical matrix multiplication have been reached again by using Lorentz matrix multiplication. Information was given about the development of Graph theory in the process. Suborbital graphs, G_(u,N), F_(u,N) and Farey graphs were examined. In the F_(u,N) suborbital graph, the Lorentz matrix, which gives the vertices obtained under the classical matrix multiplication under Lorentz matrix multiplication,  was obtained,. It was seen that the Lorentz matrix is not a member of the Modular group. In the matrix A^n obtained for k=3, the relevant matrix was written in the type of Lucas numbers using the identity F_n≅α^n/√5. From the relation between matrices and continuous fractions, the vertices of suborbital graph were written with Lucas numbers. The vertices of suborbital graph obtained for (u,N)=(3,4), n=15 written in the form of the Fibonacci and Lucas number sequences types were compared and it was observed that the values of vertices are very close to each other. However, new identities were obtained from the equation F_2n/F_(2n+2) =(-p_n)/p_(n+1) ≅L_n/(αL_(n+1) ) and proved. Dijkstra algorithm was applied to the Farey graph and the minimum length from a source vertex to the other vertices and a tree were obtained.