Kesirli kalkülüs ile G-8 ülkeleri ve Türkiye'nin ekonomik verileri kullanılarak gayrisafi yurt içi hasıla büyüme oranlarının iki değişkenli fonksiyon olarak modellenmesi
Modeling of gross domestic product growth rates as a bivariate function using economic data of G-8 countries and Turkey with fractional calculus
Yazar: ŞEYMA BEŞİR
Danışman: PROF. DR. ERTUĞRUL KARAÇUHA ; DR. ÖĞR. ÜYESİ NİSA ÖZGE ÖNAL TUĞRUL
İstanbul Teknik Üniversitesi / Bilişim Enstitüsü / Bilişim Uygulamaları Ana Bilim Dalı / Bilgi ve Haberleşme Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Ekonomi = Economics ; Matematik = Mathematics ; Mühendislik Bilimleri = Engineering Sciences

Özet:
Kesirli kalkülüs, klasik kalkülüsün bir uzantısı olarak kabul edilen, reel veya karmaşık mertebelerle karakterize edilen, diferansiyel ve integral operatörlerin özelliklerini inceleyen bir matematik dalıdır. Kesirli kalkülüs, geleneksel kalkülüs gibi üç asırlık bir geçmişe sahiptir, ancak bilim ve mühendislik alanlarında kullanımı çok yaygın değildi. Bu nedenle geçtiğimiz üç yüzyıl boyunca bu konu daha çok matematikçilerin ilgi alanındaydı. Ancak son yıllarda kesirli kalkülüsün fizik, mühendislik, biyoloji ve ekonomi dahil olmak üzere birçok bilimsel alanda uygulanmasına yönelik araştırma faaliyetlerinde belirgin bir artış yaşanmıştır. Bunun nedeni, kesirli mertebeden diferansiyel ve integral denklemlerin, tamsayı mertebesi ile sınırlı olanlara kıyasla doğa ve toplum olgularını matematiksel olarak daha iyi modelleyebilmesidir.
Kesirli analiz yöntemleri, hafızalı ve yerel olmayan süreçleri ve sistemleri tanımlamak için güçlü araçlardır. Bu nedenle kesirli analiz yöntemleri, ekonomi ve finans alanlarında uygulanmakta ve geliştirilmektedir. 
Ekonomik büyüme, gayrisafi yurt içi hasılanın büyüme oranındaki artışı göstermektedir. Ekonomik büyümeyi belirleyen birçok faktör bulunmaktadır. Bu faktörler hem tek başına hem de karşılıklı etkileşim ile ekonomik büyümeyi etkilemektedir. İhracat, ithalat, doğrudan yabancı yatırımlar ve enflasyon değişkenleri, ekonomik büyümenin değerlendirilmesi için istatistiksel olarak anlamlı etkiye sahip olan ekonomik faktörlerdir.
Bu tezde kesirli kalkülüs ve en küçük kareler yöntemi kullanılarak iki değişkenli fonksiyon ile matematiksel modelleme çalışması yapılmıştır. Matematiksel modellemede Caputo tipi kesirli türevden faydalanılmıştır. Matematiksel modellerin uygulamasında MATLAB kullanılmıştır. Bu çalışmada 1998-2022 yılları arası, G-8 ülkeleri ve Türkiye'nin genel ekonomik durumunun değerlendirilebileceği ekonomik faktörler olarak İhracat (yıllık büyüme %), İthalat (yıllık büyüme %), GSYİH Büyüme Oranı (yıllık %), Doğrudan Yabancı Yatırım, net girişler (% GSYİH), Enflasyon (% yıllık) ve İşsizlik Oranı verileri kullanılarak uygulamalar gerçekleştirilmiştir. (Rusya için veri eksikliği nedeniyle 1998-2021 yılları arası veriler kullanılmıştır). Veriler Dünya Bankası'ndan alınmıştır. Çalışmada iki degişkenli fonksiyonun parametreleri, ekonomik faktörlerin çeşitli kombinasyonları şeklinde verilerek GSYİH Büyüme Oranı (yıllık %) modellenmiştir. Modellemede fonksiyon parametreleri olarak ülkelerin ilgili ekonomik faktörleri sırasıyla şu şekilde kombine edilmiştir: ithalat-ihracat, ithalat-doğrudan yabancı yatırım, ithalat-işsizlik oranı, ithalat-enflasyon, ihracat-enflasyon, ihracat-doğrudan yabancı yatırım, ihracat-işsizlik oranı, enflasyon-doğrudan yabancı yatırım, enflasyon-işsizlik oranı ve işsizlik-doğrudan yabancı yatırım. Modelleme performansı Ortalama Yüzdesel Mutlak Hata (Mean Absolute Percentage Error – MAPE) ile değerlendirilmiştir. Modellemede kesme sayısı M = 7 olarak alınmıştır.
Sonuç olarak çalışma genelinde tüm ülkeler için yüksek modelleme başarısı elde edilmiştir. En düşük modelleme hatası %1.0252 × 10⁻⁸ değeri ile  Japonya için ihracat-enflasyon ekonomik faktörlerinde elde edilmişken, en yüksek modelleme hatası %3.6727 × 10⁻¹ değeri ile Rusya'nın enflasyon-işsizlik oranı ekonomik faktörleri ile elde edilmiştir.
Genel olarak işsizlik oranı ve enflasyon ekonomik faktörlerinde diğer faktörlere kıyasla daha düşük modelleme başarısı gözlemlenmişken, ithalat ve ihracat ekonomik faktörlerinde daha yüksek modelleme başarısı gözlemlenmiştir. Ancak çalışma sonuçları genel olarak değerlendirildiğinde tüm ülkeler için ekonomik faktör kombinasyonlarının tamamında yüksek modelleme başarısı elde edilmiştir.

Abstract:
Fractional calculus is a branch of mathematics, considered as an extension of classical calculus, that studies the properties of differential and integral operators characterized by real or complex orders. For this reason, for the past three centuries, the subject has been mainly of interest to mathematicians, but in recent years there has been a marked increase in research activity into the application of fractional calculus in many scientific fields, including physics, engineering, biology, and economics. This is due to the fact that differential and integral equations of fractional order can mathematically model natural and social phenomena better than those restricted to integer order. 
Mathematical modelling in economics generally uses methods such as derivative and integral calculus, differential and difference equations. These mathematical methods have enabled the description of various economic processes and phenomena by creating economic models in a mathematical form. However, economic models based on differential equations of integer order cannot describe memory and non-local processes. Therefore, important aspects of economic processes and phenomena are not taken into account.
Fractional analysis methods are powerful tools for describing non-local processes and systems with memory. Therefore, fractional analysis methods are applied and developed in the fields of economics and finance. Economic growth refers to the increase in the growth rate of gross domestic product. There are many factors that determine economic growth. These factors affect economic growth both individually and through mutual interaction. Export, import, foreign direct investment and inflation variables are the economic factors that have statistically significant effects for the evaluation of economic growth. In this thesis, a mathematical modeling study was carried out with a bivariate function using fractional calculus and least squares method. Caputo type fractional derivative is used in the mathematical modeling. MATLAB was used for the implementation of the mathematical models. 
In this study, the economic factors that we can evaluate the general economic situation of G-8 countries and Turkey for the period 1998-2022 are Exports (annual % growth), Imports (annual % growth), GDP Growth Rate (annual %), Foreign Direct Investment net inflows (% of GDP), Inflation (annual %) and Unemployment Rate (due to lack of data for Russia, data for the period 1998-2021 were used). Data taken from the World Bank. In the study, the parameters of the bivariate function are given as various combinations of economic factors and GDP Growth Rate (annual %) is modeled. In the modeling, the relevant economic factors of the countries as function parameters are combined as follows: import-export, import-foreign direct investment, import-unemployment rate, import-inflation, export-inflation, export-foreign direct investment, export-unemployment rate, inflation-foreign direct investment, inflation-unemployment rate and unemployment rate-foreign direct investment. Modeling performance is evaluated by the Mean Absolute Percentage Error (MAPE). The number of intercepts in the modeling is taken as M = 7.
In the first chapter of this thesis, the meaning, importance, purpose, scope and literature review of the thesis are explained. In the literature review, the studies conducted using fractional calculus in economics and various fields and modeling studies conducted using fractional calculus in economics are mentioned. In the second section, the proposed mathematical method is introduced. The definitions of fractional derivative and integral transform used, Laplace transform used in solving fractional differential equations and its properties, least squares method used as an optimization method are included. The third section contains the application results and graphs. In the fourth section, the results obtained are evaluated.
As a result, high modeling success was achieved for all countries throughout the study.  If we look at the results obtained in terms of countries, for Canada, the lowest modeling error was obtained for import-export economic factors with a value of 1.1450 × 10⁻⁷%, while the highest modeling error is obtained for unemployment rate- foreign direct investment economic factors with a value of 4.4413 × 10⁻²%.
For France, the lowest modeling error was obtained for export-inflation economic factors with a value of 3.2137 × 10⁻⁶%, while the highest modeling error is obtained for import-unemployment rate economic factors with a value of 4.0608 × 10⁻²%.
For Russia, the lowest modeling error was obtained for the import-export economic factors with a value of 7.8435 × 10⁻⁸%, while the highest modeling error is obtained for the inflation-unemployment rate economic factor with a value of 3.6727 × 10⁻¹%. 
For Germany, the lowest modeling error is obtained for the import-inflation economic factors with a value of 9.3484 × 10⁻⁶%, while the highest modeling error was obtained for the inflation - foreign direct investment economic factors with a value of  1.0887 × 10⁻²%. 
For Japan, the lowest modeling error is obtained for export-inflation economic factors with a value of 1.0252 × 10⁻⁸%, while the highest modeling error is obtained for import-unemployment rate economic factors with a value of 1.0003 × 10⁻⁴%.
For Italy, the lowest modeling error is obtained for the economic factors exports-foreign direct investment with a value of 6.8832 × 10⁻⁷%, while the highest modeling error is obtained for the economic factors inflation - unemployment rate with a value of  5.9027 × 10⁻⁴%.
For the UK, the lowest modeling error is obtained for exports-foreign direct investment economic factors with a value of 3.0153 × 10⁻⁷%, while the highest modeling error is obtained for import-inflation economic factors with a value of 1.1989 × 10⁻³%.
For Turkey, the lowest modeling error is obtained for import- export economic factors with a value of is 2.4654 × 10⁻⁸% while the highest modeling error is 5.5321 × 10⁻²% for inflation-unemployment rate economic factors.
For the USA, the lowest modeling error is obtained for import- export economic factors with a value of 3.2077 × 10⁻⁷%, while the highest modeling error is obtained for inflation-unemployment rate economic factors with a value of 6.4021 × 10⁻⁴%.
The overall result for all countries, the lowest modeling error is 1.0252 × 10⁻⁸% for the export-inflation economic factors for Japan, while the highest modeling error is 3.6727 × 10⁻¹% for the inflation-unemployment rate economic factors for Russia.
When the results are evaluated, the lowest MAPE value for the USA, Canada, Russia and Turkey is obtained with the import-export economic factor combination. The highest MAPE value for the USA, Italy, Russia and Turkey is obtained with the inflation-unemployment rate economic factor combination.
Overall, lower modeling success was observed for the economic factors of unemployment rate and inflation compared to other factors, while higher modeling success was observed for the economic factors of imports and exports. However, when the results of the study are evaluated in general, high modeling success has been obtained in all economic factor combinations for all countries.