Yerel olmayan bazı sınır değer problemleri için green veya genelleştirilmiş green fonksiyonelinin inşası
Construction of green or generalized green's functional for some nonlocal boundary value problems
Yazar: KEMAL ÖZEN
Danışman: DOÇ. DR. KAMİL ORUÇOĞLU
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2013
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Green fonksiyonu = Green function

Özet:
Evrendeki pek çok fiziksel olguyu modelleyen matematiksel problemler, matematiksel
analiz ve uygulamalı matematikte yerel ve yerel olmayan problemler olarak iki
gruba ayrılabilir. Öte yandan bir başka sınıflamaya göre bu matematiksel problemler
başlangıç değer ve sınır değer problemleri şeklinde de ikiye ayrılabilir. Tüm
bu bahsedilen problemlerde karşımızda, bilinmeyen (bilinmeyenler) için cebirsel,
diferansiyel, integro-diferansiyel, integral veya fonksiyonel denklem (denklem
sistemleri) ile bilinmeyeni (bilinmeyenleri) belirlemeye yarayabilecek bazı koşul veya
koşullar mevcuttur.
Bilindiği üzere, yerel problemler lisans ve lisans sonrası derslerde her zaman öncelikle
tanıtılan klasik problemler iken yerel olmayan problemler daha genel anlamda olan
klasik olmayan tipte problemlerdir. Yerel olmama durumu ya problemin denklem veya
denklemlerinde ya problemin koşul veya koşullarında ya da problemin hem denklem
veya denklemlerinde hem de koşul veya koşullarında ortaya çıkabilir. Sonuçta bu üç
yapıdaki her bir problem yerel olmayan problem olarak anılır. Bu çalışmada yerel
olmama durumu problemin sadece koşul veya koşullarında ortaya çıkmaktadır.
Bir fiziksel problemde yerel olmama durumu esas olarak birbiriyle ilişkili, etkileşimli
iki veya daha fazla nesnenin, olgunun varlığından kaynaklanır. Evrende ve onun
başlangıcından günümüze gelişiminde nesnelerin ve olguların etkileşimlerinin varlığı
dikkate alındığında aslında pek çok fiziksel problemin matematiksel modellenmesi
sonucunda çoğunlukla yerel olmayan tipte problemlerle karşılaşılabileceği oldukça
beklenen bir sonuçtur. Kurulan yerel modellerde nesnelerin ve olguların bu söz konusu
etkileşimleri yeterince dikkate alınamadığından modellerin çözümleri sonucunda
da ilgili bazı fiziksel gerçeklikler açıklanamamakta ve ortaya çıkarılamamaktadır.
Dolayısıyla yerel olmayan modellerin ve çözümlerinin irdelenmesi önem arzetmektedir.
Böyle yerel olmayan problemlerin çeşitli formlardaki çözümlerinin varlığı,
tekliği ve yapısı konularının incelenmesi amacıyla bazı temel çözümlerinin özellikle de
Green fonksiyonunun veya genelleştirilmiş Green fonksiyonunun oluşturulması yararlı
olmaktadır.
Yayınlarda Green fonksiyonu inşa etmek üzere kullanılan genelde üç temel analitik
yöntem mevcuttur. Bunlardan ilki parametrelerin değişimi yöntemidir. Bu yöntemle,
yerel olmayan doğrusal koşullar altında düzgün katsayılı denklemlerin söz konusu
olduğu aşikâr çekirdekli bazı doğrusal Sınır Değer Problemleri (SDP'ler) için analitik
olarak Green fonksiyon elde edilmiştir ama aşikâr olmayan çekirdekli söz konusu
problemler için genelleştirilmiş Green fonksiyonunun inşası uğraştırıcı olabilir. İkinci
yöntem, klasik Green fonksiyon yöntemidir. Bu yöntemle ele alınan problemin
kısmi integrasyon kullanılarak bir eşitlikle klasik anlamda eş problemi kurulmaya
çalışılır ama bazı yerel olmayan doğrusal koşullar durumunda veya düzgün olmayan katsayılı denklemler durumunda eş problemin klasik anlamda elde edilmesi ya çok
uğraştırıcıdır ya da mümkün olmayabilir. Dolayısıyla böyle problem için ikinci
yöntemle, uygun koşullar altında var olmasına rağmen analitik olarak Green veya
genelleştirilmiş Green fonksiyonunun açık ifadesi elde edilemeyebilir. Üçüncü yöntem
ise; temel olarak parametrelerin değişimi yöntemine dayanan süreksizlik içeren çeşitli
problemler için geliştirilmiş bir temel çözüm yöntemidir. Bu yöntemle de ilgili bazı
problemler için Green fonksiyon elde edilmiş ama bildiğimiz ve araştırmalarımızdan
edindiğimiz kadarıyla yerel olmayan koşullu problemlerin bu açıdan incelenmesi
birkaç istisna haricinde ihmal edilmiştir. Dolayısıyla bahsedilen bu eksiklikler söz
konusu olduğunda analitik Green veya genelleştirilmiş Green fonksiyonunun açık
ifadesinin yerine yayınlarda, yaklaşık (veya analitik-yaklaşık) ifade veya özel başka
çekirdek fonksiyon ifadesi genelde elde edilmesi ve yaklaşık (veya analitik-yaklaşık)
çözümler türetilmesi yoluyla boşluk doldurulmaya çalışılmaktadır. Son yıllarda pek
çok çalışmanın ve uygulamanın yapıldığı Çoğalan Çekirdek Yöntemi (ÇÇY) buna
örnek olarak verilebilir.
Bahsedilen eksikliklerin giderilmesine katkıda bulunmak üzere; ana fikri Seyidali
Seyidoğlu Akhiev'e ait bir yöntemin devamı niteliğinde olan, matematiksel analizin
fonksiyonel analiz, genelleştirilmiş fonksiyonlar ve doğrusal operatörler teorisi gibi alt
dallarına dayanan bir temel çözüm yöntemiyle esas olarak yerel olmayan koşullu bazı
problemlere temel çözümler elde edilerek çözümün integral gösteriliminin türetilmesi
ve çeşitli uygulamalarla yöntemin kullanışlılığının gösterilmesi bu çalışmada temel
amaç edinilmiştir. Burada adı geçen temel çözüm, uygun duruma göre Green
fonksiyoneli veya genelleştirilmiş Green fonksiyonelidir. Özelde Green veya
genelleştirilmiş Green fonksiyon ilgili fonksiyonel yardımıyla belirlenir.
Çalışmada ele alınan problemlerde denklemin katsayılarının düzgün olmayan
fonksiyonlar oldukları ancak Lp-integrallenebilirlik ve sınırlılık gibi bazı özelliklere
de sahip oldukları varsayılır. Denklemi temsil eden operatörün doğrusal kısmının
genel olarak formal eş operatörü olmayabilir veya bu kısma sadece bir distribüsyonlar
(distribution) uzayında karşılık bulunabilir. Ayrıca, basit bir doğrusal diferansiyel
denklem ve bir yerel olmayan koşul durumunda bile ele alınan problemin anlamlı
klasik tipte eş problemi olmayabilir. Bu sebeplerle böyle bir problem için bahsedilen
klasik yöntemleri kullanmada bazı ciddi zorluklar doğabilir. Öte yandan benzer
zorluklar, diferansiyel denkleminin katsayılarının türevlenemeyen sürekli fonksiyonlar
olduğu klasik tipten problemlerde bile doğabilir. Bu zorlukların giderilmesine katkı
yapmak üzere, Green ve genelleştirilmiş Green fonksiyonelleri kavramları tanıtılarak
bu çerçevede söz konusu problemlerin çözümleri araştırılmıştır. Bu kavramların
temel fikri, eş sistem olarak adlandırılan yeni eş problem kavramının kullanımının
esas alınmasıdır. Eş sistemin yapısı denklem ve koşuldaki (koşullardaki) doğrusal
operatörlere bağlıdır. Aşikâr çekirdekli problem için Green fonksiyoneli ve aşikâr
olmayan çekirdekli problem için genelleştirilmiş Green fonksiyoneli bu eş sistemin
özel hallerinin tek çözümleridir. Bu özel haldeki eş sistemlerin her ikisi de bir
bilinmeyen elemanlı integro-cebirsel denklemlerden oluşur. Bilinmeyen elemanın
ilk bileşeni her zaman bir fonksiyon; diğer bileşen veya bileşenler reel sayıdır. Bu
denklemlerden biri ilk bileşenin bilinmeyen olduğu genellikle bir integral denklemdir
ve diğer bileşen veya bileşenler parametredir. Diğer denklem veya denklemler
kalan bileşene veya bileşenlere göre cebirseldir ve ilk bileşenle tanımlanan bazı
integral fonksiyoneller içerebilir(ler). Eş sistemin buradaki rolü, Banach uzaylardaki
doğrusal operatör denklemler teorisinde verilen eş operatörün rolüyle benzerdir. Aşikâr çekirdekli problem için çözümün integral gösterilimi Green fonksiyoneli ile
elde edilir. Aşikâr olmayan çekirdekli problem için çözülebilirlik koşulları altında
çözümün integral gösterilimi genelleştirilmiş Green fonksiyoneli ile elde edilir. Bu
fonksiyonellerin her ikisinin de ilk bileşenleri sırasıyla ele alınan problemin Green
fonksiyonuna ve genelleştirilmiş Green fonksiyonuna karşılık gelir. Kısaca belirtilecek
olursa bu yöntem Green fonksiyon elde etmek için kullanılan klasik yöntemlerden
temelde farklıdır.
Çalışmada, yerel olmayan çeşitli türden doğrusal koşullar altında önce ikinci mertebe
doğrusal adi diferansiyel denklem ve bunun yükleme terimli formu ardından daha
genel hal olan m. mertebe adi diferansiyel denklem ile temsil edilen problemler için
aşikâr çekirdekli operatörler durumunda yöntem vasıtasıyla Green fonksiyon ile Green
çözüm elde etmek üzere incelemeler yapılmıştır. En son ise yine aynı türden koşul
altında genelleştirilmiş gecikme terimleri de içerebilen birinci mertebeden doğrusal
olmayan adi integro-diferansiyel denklemle verilen bir SDP modeli göz önüne
alınmıştır. Ele alınan problemler düzgün ve düzgün olmayan katsayılı denklemler için
örneklendirilmiştir.
Yöntem, ele alınan örneklerden anlaşılabileceği üzere yerel olmayan doğrusal koşullar
içeren oldukça geniş doğrusal ve bazı doğrusal olmayan problemler sınıfına kolayca
uygulanabilir ve etkin sonuçlar verebilir. Özellikle çalışılan modellere uyan problemin
eş probleminin klasik anlamda ifade edilemediği durumlarda yöntem oldukça
değerlidir. Dolayısıyla çalışmadaki yöntemin, bahsedilen problemleri genellikle
integral denkleme dönüştürerek çözüm türetmeyi amaçlamış ender yöntemlerden
biri olduğunu düşünmekteyiz. Çalışmada belirtilen "çözülebilirlik koşulları altında
tanıtılan ilk özel eş sistemin tek çözümü vardır ancak ve ancak çözülebilirlik
koşulları altında tek Green fonksiyoneli (dolayısıyla da tek Green fonksiyonu) vardır"
çıkarımı sayesinde yayınlarda var olan bazı çalışmalarda ilgilenilen söz konusu
problemlerin çözümlerinin varlık ve teklik koşulları çok daha kolay bir şekilde
elde edilebilmektedir. Dolayısıyla, çalışma kapsamındaki sonuçların ilgilenilen söz
konusu problemlerin çözümlerinin varlık ve tekliğini incelemeyi amaç edinecek
çalışmalar için yararlı olabileceğini düşünmekteyiz. Tez çalışmasının yapılmasına
büyük ölçüde sebep olan, vurgulamış olduğumuz temel zorlukların giderilmesine
katkı yapmak üzere başvurulabilen ÇÇY gibi yaklaşık veya analitik-yaklaşık çözüm
yöntemlerinin kullanımında, tez çalışması kapsamındaki yaklaşımın dikkate alınması
ile, ilgili yöntemler vasıtasıyla elde edilebilecek çözümlerin hassasiyetinin daha
da arttırılabileceğini düşünmekteyiz. Yayınlarda katsayı ve sağ yan fonksiyonları
üzerinde süreklilik gibi kuvvetli varsayımların yapılarak çözümlerinin incelenebildiği
adi diferansiyel ve integro-diferansiyel denklemleri konu edinen çalışmalardaki
incelemelerin aslında süreklilik gibi kuvvetli varsayımlar yerine Lp-integrallenebilirlik
ve sınırlılık gibi daha zayıf varsayımlarla da yapılabileceğinin örneklerini oluşturması
yönüyle de çalışmanın dikkate değer olduğunu düşünmekteyiz. Çalışma esas
olarak yerel olmayan koşul veya koşullar içeren sınır değer problemlerine odaklansa
da aslında yerel koşul veya koşullar içeren pek çok başlangıç ve sınır değer
problemi için de Green veya genelleştirilmiş Green fonksiyonunu türetmede etkin
bir başvuru kaynağı olarak kullanılabilir. Özellikle denkleminde katsayı ve sağ yan
fonksiyonlarının sürekli değil de Lp-integrallenebilir ve sınırlı varsayıldığı yerel koşul
veya koşullarla verilen başlangıç ve sınır değer problemleri için oldukça kullanışlı ve
yararlı olabilir.

Abstract:
Mathematical problems modelled for many physical facts in the universe can be
classified into two groups as local and nonlocal problems in mathematical analysis
and applied mathematics. According to another classification, these mathematical
problems can also be classified into two groups as initial value problems and boundary
value problems. Algebraic, differential, integro-differential, integral or functional
equation or systems of such equations for unknown or unknowns and any condition
or conditions which allow to identify for the unknown or unknowns exist in all these
mentioned problems.
As is known, while local problems are classical problems that are always firstly
introduced in undergraduate and graduate courses, nonlocal problems are nonclassical
problems that are in more general form. The nonlocality case may arise either in the
equation (equations) of the problem or in the condition (conditions) of the problem or
in both of them. Each problem in such three form is referred to as a nonlocal problem.
The nonlocality case in this thesis arises only in the condition or conditions of the
considered problem.
The nonlocality case in a physical problem frequently arises from the existence of
the objects, facts or phenomena which interact or relate with each other. When the
interactions and relations of the objects, facts or phenomena in the universe and its
evolution since the beginning of it are taken into account, the fact that may frequently
occur of nonlocal problems as a result of mathematical modelling of many physical
problems is actually a reasonably expected result. Since such interactions and relations
can not be sufficiently considered in the local models constructed, the reasonable
explanations for some relevant physical realities can not be provided. Therefore, the
investigation of nonlocal models and their solutions has a great importance. In order
to study the topics such as existence, uniqueness and forms for the various solutions
of such nonlocal problems, the construction of some fundamental solutions such as
especially Green's function or generalized Green's function of these problems is very
useful.
Three main analytical methods generally exist for constructing Green's function in
literature. The first one is the method of variation of parameters. By means of this
method, Green's function for some linear boundary value problems with trivial kernel
involving linear nonlocal conditions has been analytically constructed in case of the
equations with smooth coefficients. On the other hand, the methodology about how
to construct generalized Green's function for the problems with nontrivial kernel may
require a struggle. The second one is the classical Green's function method. By this
method, the adjoint problem of the problem considered is tried to be obtained in the classical sense by means of the identity defined for the adjoint operator with the aid
of integration by parts formula. But, in case of some linear nonlocal conditions or
in case of the equations with nonsmooth coefficients, the construction of the adjoint
problem in the classical sense may be either troublesome or impossible. Therefore,
Green and generalized Green's functions can not be analytically determined in spite of
their existence by this second method. The third one is an improved method, which
is substantially based on the method of variation of parameters, for the fundamental
solution of the problems with discontinuities. By means of this third method, Green's
function for some relevant problems has been constructed. But, as far as we know, the
problems with nonlocal condition(s) have been omitted with a few exceptions in this
respect. Therefore, the deficiencies are tried to be reduced by firstly constructing some
approximate or analytically approximate expressions or another specific expressions
for a kernel function and then deriving approximate or analytically approximate
solutions instead of the explicit expressions of the analytical Green and generalized
Green's functions in the literature when the mentioned cases occur. Reproducing
kernel method by which many applications are implemented in recent years can be
reminded as an example to these facts.
In this thesis, in order to contribute to overcome the deficiencies mentioned above,
the main aims are to derive an integral representation of solution by constructing
fundamental solution to some problems involving generally nonlocal condition(s) by
means of a fundamental solution method, and to illustrate usefulness of the method by
providing some applications. The main idea of this method has been given by Seyidali
Seyidoğlu Akhiev and it is based on functional analysis, generalized functions and
linear operators in mathematical analysis. The fundamental solution mentioned here is
Green's functional or generalized Green's functional according to the relevant case.
Green's function and generalized Green's function for the problem in particular is
determined by means of the relevant functional.
In the problems considered throughout this thesis, the coefficients of the equation
are generally nonsmooth functions satisfying some general properties such as
Lp-integrability and boundedness. The linear part of operator corresponding to this
equation, in general, may not have a formal adjoint operator, or any extension of
the traditional type for this part may exist only on a space of distributions. In
addition, the considered problem may not have a meaningful traditional type adjoint
problem, even for simple case of a linear differential equation and nonlocal condition.
Due to these facts, some serious difficulties may arise in applying of the classical
methods mentioned above for such a problem. The similar difficulties may arise
even for classical type problems when the coefficients of the differential equation
are, for example, continuous nondifferentiable functions. In order to overcome these
difficulties, Green and generalized Green's functional concepts are introduced and
sought solutions to the problems considered via them. The main idea of these concepts
is related to the usage of a new concept of the adjoint problem called adjoint system.
The form of the adjoint system depends on the linear operators in the equation and the
condition(s). Green's functional for the problem with trivial kernel, and generalized
Green's functional for the problem with nontrivial kernel are the unique solutions to
the specific cases of this adjoint system. Both of these specific adjoint systems include
integro-algebraic equations with an unknown element, in which the first component is
always a function, and the other components are real numbers. One of these equations
is generally an integral equation with respect to first component and generally includes the other components as parameters. The other equations are algebraic equations
with respect to the other components, and they may include some integral functionals
defined on the first component. The role of the adjoint system is similar to that of
the adjoint operator equation in the general theory of the linear operator equations in
Banach spaces. For the problem with trivial kernel, the integral representation of the
solution is provided by means of Green's functional. For the problem with nontrivial
kernel under the terms of the solvability conditions, the integral representation of
the solution is provided by means of generalized Green's functional. Their first
components correspond to Green's function and generalized Green's function for the
problem, respectively. To summarize, this method is principally different from the
classical methods used for constructing Green's function and, it provides a quite simple
key knowledge about the existence, uniqueness and above all how to construct Green's
function and generalized Green's function.
In this thesis, under various nonlocal linear conditions, some investigations are
implemented for constructing Green's function and Green's solution by means of
the provided method for the boundary value problems for first a second-order linear
ordinary differential equation and its form involving the loaded term and then m-order
ordinary differential equation which is more general form. Finally, under a nonlocal
condition of same type, a boundary value problem represented by a first-order
nonlinear ordinary integro-differential equation also involving the generalized delayed
or loaded terms is studied. The problems of interest are illustrated for the equations
with smooth and nonsmooth coefficients.
As can be seen from the theoretical discussion and illustrative applications, the
proposed method of fundamental solution can be easily applied to a very wide class
of linear and some nonlinear problems involving generally linear nonlocal boundary
conditions and it can provide the efficient results. It has a significant usefulness
especially for cases when the adjoint problem can not be constructed in the classical
sense. Due to these utilities, we believe that the proposed method is one of the
scarce methods which are focused on the derivation of a solution to such problems
by reducing to an integral equation in general.
The existence and uniqueness conditions for the problems considered in some works
already available in the literature can be obtained much more easily by means of
the deduction "the solution for the first specific adjoint system introduced uniquely
exists if and only if the Green's functional (hence the Green's function) uniquely exists
under the solvability conditions" stated in the thesis. Therefore, we believe that this
deduction may be helpful to the studies which intend to search for the existence and
uniqueness of the solutions to the problems of interest. Besides, we believe that taking
into consideration of the main idea of the presented method in the process for the
construction of the associated kernel in a reproducing kernel space will cause to be able
to increase the accuracy of solution. We meet in the literature that some investigations
focusing on the nonlocal problems for the ordinary differential and integro-differential
equations can be implemented by the strong assumptions such as continuities for
coefficient and right-hand side functions of the equation. However, we believe that
this thesis is significant for its contribution to constitute examples for the feasibility
of these investigations also with the weak assumptions such as Lp-integrability and
boundedness instead of the strong assumptions such as continuities for the coefficient
and right-hand side functions of equation. Even though this thesis is fundamentally dealt with boundary value problems involving nonlocal conditions, it can be also
used as an efficient reference for constructing Green and generalized Green's function
actually for many boundary and initial value problems involving any local conditions.
It can be quite useful especially for local boundary and initial value problems governed
by the equations with coefficient and right-hand side functions which are assumed to
be Lp-integrable and bounded.