Kesirli diferansiyel denklemler için nümerik metotlar
Numerical methods for fractional differential equations
Yazar: MUSTAFA ERTÜRK
Danışman: DOÇ. DR. YONCA SEZER
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Adomian ayrıştırma yöntemi = Adomian decomposition method ; Diferansiyel dönüşüm yöntemleri = Differential transform methods ; Homotopi = Homotopy ; Jacobi polinomları = Jacobi polynomials ; Pertürbasyon yöntemleri = Perturbation methods

Özet:
Son iki yüzyıl içerisinde doğa bilimlerinde kısmi ve adi diferansiyel denklemleri kullanarak açıklanamayan durumlar ile karşılaşılmıştır. Bu durumları ifade edebilmek, tam mertebeden türevli olmayan yani kesirli türevli olan terimleri açıklamayı gerektirmiştir. Bazı matematikçiler sayesinde bu terimler farklı şekilde tanımlanabilmiştir. Elde edilen çeşitli tanımlar vasıtasıyla bu durumları açıklayan kesirli diferansiyel denklemler ortaya atılmıştır. Denklemlerin çözümünde ise farklı teknikler kullanılarak tam veya yaklaşık çözümler elde edebilen nümerik metotlar geliştirilmeye çalışılmıştır. Genel anlamda sonuçların güvenilirliği, hata payı, uygulamadaki kolaylığı ve formüllerinin içeriği bu metotlar için kullanışlılığı arttıran etkenler olarak ön plana çıkmaktadır. Bu çalışmada, günümüzde birçok alanda karşımıza çıkan kesirli diferansiyel denklem problemlerinin çözümü için geliştirilmiş bazı nümerik metotlar üzerinde durulmuştur. Çalışmanın ilk kısımda, kesirli diferansiyel denklemler ile ilgili temel kavramlar verilmiş, ilerleyen bölümlerde ise bu denklemlerin çözümünde kullanılan Adomian ayrıştırma, diferansiyel dönüşüm, homotopi pertürbasyon ve Jacobi polinom sıralama yöntemleri tanıtılmıştır. 
Son bölümde ise önemli bir fizik problemi olan ve kesirli diferansiyel denklem biçiminde tanımlanan Bagley-Torvik matematiksel modeli üzerinde incelemeler yapılmıştır. Bu modelin farklı başlangıç değer problemlerinin yaklaşık çözümlerini elde etmek için diferansiyel dönüşüm metodu, Jacobi polinom sıralama yöntemi ve bazı başka yöntemler uygulanmıştır. Bu çözümler karşılaştırılarak elde edilen sonuçların verimliliği hakkında yorumlar yapılmıştır. Diferansiyel dönüşüm metodu ile kesirli diferansiyel denklemlerin basit cebirsel ifadelere dönüştürülerek kolaylıkla çözümlenebilir olduğu gösterilmiştir.

Abstract:
In the last two centuries, unexplained situations using partial and ordinary differential equations have been encountered in the natural sciences. To be able to express these situations required explaining the terms that are not integer-order derivative, that is, fractional derivative. Thanks to some mathematicians, these terms have been defined different forms. Fractional differential equations explaining these situations have been put forward through various definitions obtained. In solving the equations, numerical methods that can obtain complete or approximate solutions by using different techniques have been tried to be developed. In general, the reliability of the results, the margin of error, the ease of application and the content of the formulas come to the fore as factors that increase the usefulness of these methods. In this study, some numerical methods developed for solving fractional differential equation problems that have been encountered in many fields in recent years have been worked. In the first section of this work, basic concepts related to fractional differential equations are given, and in the following sections, Adomian decomposition method, differential transformation method, homotopy perturbation method and Jacobi polynomial method used in solving these equations are introduced. In the last section, investigations were made on the Bagley-Torvik mathematical model, which is an important physics problem. This model is defined by fractional differential equation. Approximate solutions of different initial value problems of this model have been obtained by applying the differential transformation method, Jacobi polynomial method and another some methods. Comments have been made on the efficiency of the results obtained by comparing these solutions. When using differential transformation method, it is concluded that fractional differential equations can be easily solved by converting them into simple algebraic expressions.