Genelleştirilmiş kuaterniyonlar
Generalized quaternions
Yazar: GÖZDE ÖZYURT
Danışman: DOÇ. DR. YASEMİN ALAGÖZ
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Kompleks sayıları dört boyutlu uzaya genişletmek amacıyla yapılan çalışmalar sırasında ortaya çıkan ve kompleks sayılardan farklı olarak, değişmeli olmayan bir cebir olan kuaterniyonlar hem teorik hem de uygulamalı alanlarda üzerinde çokça çalışma yapılan bir sayı sistemidir. Son zamanlarda, katsayıları reel sayılardan farklı olan kuaterniyon çeşitleri, fizik ve mekanik gibi alanlardaki problemlere çözüm aramak için kullanılmaktadır. Bunun yanı sıra, kuaterniyon çarpımı değişmeli olmadığından, teorik matematikte ve özellikle lineer cebirde elemanları kuaterniyonlardan oluşan matrislere ait özdeğer ve özvektörlerin kompleks matrisler yardımıyla araştırılması mümkün hale gelmiştir. 2001 yılında Pottmann ve Wallner tarafından genelleştirilmiş kuaterniyonların tanıtılması hem genelleştirilmiş kuaterniyonlar üzerine birçok çalışmanın gerçekleştirilmesine hem de farklı kuaterniyon çeşitlerine ilginin artmasına katkıda bulunmuştur. 

Bu çalışmada, hiper dual sayı katsayılı genelleştirilmiş kuaterniyonlar tanıtılıp, hiper dual genelleştirilmiş kuaterniyonlar için benzerlik kavramı verilmiştir. Ayrıca bu benzerlik kavramından farklı olarak, hiper dual sayı katsayılı kuaterniyon, split kuaterniyon, yarı kuaterniyon ve split yarı kuaterniyondan oluşan genelleştirme için i-eşlenik yardımıyla i-benzerlik kavramı; hiper dual sayı katsayılı kuaterniyon ve split kuaterniyon genelleştirmesi için j-eşlenik ve k-eşlenik yardımıyla j-benzerlik ve k-benzerlik kavramları sunulmuş ve incelenmiştir. Ardından, bikompleks, hiper duble, hiper dual sayıların genelleştirmesi olarak hiper sayılar tanıtılmıştır. Bu sayılara ait temel özellikler incelendikten sonra hiper sayı katsayılı genelleştirilmiş kuaterniyonlar kümesi sunulmuş ve bu kümeye ait matris temsilleri hesaplanmıştır. Son olarak, elemanları reel kuaterniyon ve split kuaterniyon genelleştirmesinden oluşan matrislerin kompleks ve reel matris temsili ile bu temsillere ait özellikler verilmiştir. Sonrasında bu genelleştirmeden oluşan matrislerin, kompleks matris temsili ile j-özdeğer ve j-özvektörleri; reel matris temsili ile de j-özdeğeri hesaplanmıştır.

Abstract:
Quaternions, which are different from complex numbers, were discovered during studies to extend complex numbers to four-dimensional space. Quaternions, a non-commutative algebra, are a number system that has been widely studied in both theoretical and applied fields. Recently, quaternion types with coefficients different from the real numbers have been used to solve problems in fields such as physics and mechanics. Quaternion multiplication is non-commutative. Therefore, the eigenvalues and eigenvectors of matrices whose elements consist of quaternions can be solved with complex matrices, in theoretical mathematics and especially in linear algebra. Definition of generalized quaternions by Pottmann and Wallner in 2001, many studies have been applied on this subject and interest in other types of quaternions has increased. 

In this study, after giving the definition of generalized quaternions with hyper dual number coefficients, the concept of similarity for hyper dual generalized quaternions is calculated. Moreover, different from this concept of similarity, by using i-conjugate, the concept of i-similarity has been defined for the generalization consisting of hyper dual number coefficient quaternion, split quaternion, semi quaternion and split semi quaternion. For the generalization of hyper dual coefficient quaternion and split quaternion, by using j-conjugate and k-conjugate, the concepts of j-similarity and k-similarity are investigated, respectively. Then, hyper numbers, which are a generalization of bicomplex, hyper double, hyper dual numbers, are introduced. After investigating the basic properties of these numbers, the set of generalized quaternions with hyper number coefficients is presented and matrix representations of this set is calculated. Finally, complex and real matrix representations of matrices whose elements consist of the generalization of real quaternion and split quaternion and the properties of these representations are given. Then, for the matrices obtained from this generalization, j-eigenvalues and j-eigenvectors are calculated by using the complex matrix representation. Also, j-eigenvalues are obtained with the real matrix representation.