Fraktal boyuta dair
About the fractal dimension
Yazar: BANU İREZ AYDIN
Danışman: YRD. DOÇ. DR. FİGEN UYSAL ; PROF. DR. HASAN HİLMİ HACISALİHOĞLU
Bilecik Şeyh Edebali Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Geometri Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2015
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu çalışmada fibonacci sayıları, altın oran, altın dikdörtgen ve onun fraktalı, bu fraktalın boyutu ve fraktal boyut hesabında kullanılan Moran Denklemi ve uygulamalarına yer verilmiştir. 
Öncelikle fibonacci sayıları ve altın oran ile ilgili bilgi verilmiştir.  Fibonacci sayıları, Avrupa'yı Hint-Arap sayı sistemi ile tanıştıran devrinin en büyük matematikçisi Leonardo Fibonacci tarafından bulunmuştur.  Bu sayılar doğadaki güzellikleri sayılarla ifade etme açısından önem kazanmıştır. Çam kozalağı, papatya ve ay çiçeğinde tohumların sarmallarının ve yaprakların düzeni gibi birçok doğal güzellikte fibonocci sayılarına ait ardışık numaralar görülür. Bu ardışık sayıların oranı Altın Oranı vermektedir. Altın Oran, irrasyonel bir sayıdır, ondalık sistemde yazılışı; 1,618033988749894…'tür ve Fi yani ∅ veya φ sembolü ile gösterilir.  Altın Oran, uyum ve güzellik ölçütü olarak sanat ve estetiğin önemli bir sınıflandırmasını yapmakta önemli bir yer alır. 
Sonrasında altın dikdörtgen tanımlanarak, boyutu hesaplanmıştır.  Kısa kenarı 1 birim ve uzun kenarı ∅ olan dikdörtgene altın dikdörtgen denir.  Altın dikdörtgenler, kendilerine oransal olarak benzeyen başka dikdörtgenler üretmeleri nedeniyle fraktal olarak incelemeye uygundur.  Altın dikdörtgenden fraktal elde etmek için  kenarları 1 ve ∅ olan bir altın dikdörtgenin iki ucundan 1×(∅-1)'lik dikdörtgenler çıkarılır.  Elde edilen iki altın dikdörtgene yine aynı işlem uygulanır. Bu işlemin defalarca tekrarlanması sonucu elde edilen şekil altın dikdörtgen fraktalını oluşturur.  Oluşturulan bu fraktalın boyutu hesaplanabilir.
Son olarak fraktal boyut hesabında kullanılan Moran Denklemi ve uygulamalarına yer verilmiştir.  Moran Denklemi, fraktalı oluşturan parçaların hepsi aynı ölçekli değil ise bu fraktalın boyutunu hesaplamak için önemli bir denklemdir. Değişik fraktalların boyutları bu denklem yardımıyla hesaplanabilir. 

Anahtar Kelimeler
Fibonacci Sayıları; Altın Oran; Altın Dikdörtgen Fraktalı; Fraktal Boyut; Moran Denklemi

Abstract:
Fibonacci numbers, the golden ratio, golden rectangle and its fractal, the dimension of the fractal and Moran Equations and the applications used in the fractal dimension measurements are included in this study.
First, some information is given about the Fibonacci numbers and the golden ratio. Fibonacci numbers were found by the great mathematician Leonardo Fibonacci who introduced the Indo-Arabic number system to Europe.  These numbers are important in terms of expressing beauty in nature by numbers. Successive numbers of Fibonacci numbers are seen in the flower seeds and organization of the leaves of pinecone, daisies and sunflower. The ratio of these numbers gives Golden Ratio. Golden Ratio is an irrational number, it is written in the decimal system as; 1.618033988749894… and represented by Fi, that  ∅ or φ symbol.  Golden Ratio is important in the classification of art and aesthetics as a criterion of harmony and beauty.
Then, golden rectangle was defined and its dimension was calculated.  A rectangle with a 1 unit short side and long side ∅ is called as a golden rectangle.  Golden rectangles are suitable for the fractal examination since they give different rectangles which resemble them proportionally.  To obtain a fractal from the golden rectangle, rectangles with 1×(∅-1)   are removed from the two sides of a golden rectangle with 1 and ∅ sides. The same process is applied to the two obtained rectangles.  When this operation is repeated many times the obtained figure produces the rectangle fractal.   The dimension of this fractal can be calculated.  
Finally, Moran equations and applications used in fractal dimension measurement were mentioned.  Moran Equation is a very important equation used when all the pieces of a fractal are not in the same scale.  The dimensions of the different fractals may be calculated by this equation. 

Key Words 
Fibonacci Numbers; Golden Ratio; Golden Rectangle Fractal; Fractal Dimension; Moran Equation