Crossed modüller ve iç kategoriler
Crossed modules and internal categories
Yazar: ÖZDEN BALKANLI
Danışman: PROF. DR. OSMAN MUCUK
Erciyes Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Bölümü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2009
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Grupoidler = Groupoids ; Çaprazlanmış modüller = Crossed modules

Özet:
Bazı şartları sağlayan bir grup homomorfizmi grupların bir çapraz modülü (crossed module) olarak bilinir. Bu kavram ilk olarak 1946'larda Whitehead tarafından tanıtılmıştır. Tüm çapraz modüllerin sınıfı bir kategori oluşturur. Bazı kategoriler bu kategoriye denk olduğundan bazı kategorik problemler cebirsel bir yapıya dönüşür. Bu ise çapraz modüllerin önemli sayılmasının gerekçelerinden biridir.Kategori teorisinin tarihçesi çok eski olmamakla birlikte matematiğin birçok sahasında kullanım alanı bulmuştur. Her morfizmi bir izomorfizm olan özel bir kategoriye bir grupoid denir. Grupoid, gruptan daha genel bir kavram olarak çok objeleri bir grup olarak da düşünülebilir. Objeleri ve morfizmleri aynı kategorilerinin objeleri olan kategoriler tanımlanabilir. Bu kategoriler iç kategoriler olarak bilinir. Örneğin grupların kategorisindeki bir iç kategori bir grup?grupoid olarak tanımlanır.Bu tezde Kategori teorisinde yer alan ve tezin okunmasında kolaylık sağlayacak bazı temel kavramlar tanıtıldıktan sonra grup?grupoid ve crossed modüllerin kategorisinin denk oldukları verilmiştir.Buna ilaveten çok işlemli gruplar, herhangi bir kategoride tanımlanan iç kategoriler tanıtılmış ve yine literatürden yararlanarak aynı tip çok işlemli grupların kategorisinde tanımlanan iç grupoidlerin kategorisi ile aynı tip çok işlemli gruplar için crossed modüllerin kategorisinin denk olduğu gösterilmiştir.Anahtar Kelimeler: Grup?grupoid, Crossed Modül, Kategori Denkliği, Çok İşlemli Gruplar ve İç Kategoriler.

Abstract:
A group morphisms satisfying some conditions is called a crossed module. This was defined by Whitehead in 1946?s. The class of crossed modules forms a category. Since some categories are equivalent to this category, some categorical problems becomes to algebraic structures. This is the reason that crossed modules are important.The story of category theory is not very old, but it has many applications in some branches of mathematics. A category in which each morphism is an isomorphism is called a groupoid.A groupoid which is more general than a group, can be thought as a group with many objects. The categories whose set of morphisms and set of objects are taken from same category can be defined. These categories are defined as internal categories. For example an internal category in the category of groups is called as a group?groupoid.In this thesis after defining some basic concepts which help to follow the equivalence of the categories of group?grupoids and the category of crossed modules have been given from literature.In addition groups with operations and internal categories have been introduced from literature and proved that the category of internal categories in the category of same type of groups with operations and the category of same type of crossed modules are equivalent.Keywords: Group?groupoids, Crossed Modules, Equivalence of Categories, Groups with Operations and İnternal Categories.