Fraktal interpolasyon fonksiyonları
Fractal interpolation functions
Yazar: OUMAR DAO
Danışman: DOÇ. DR. YUNUS ÖZDEMİR
Eskişehir Teknik Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Analiz ve Fonksiyonlar Teorisi Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2020
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Fraktal geometrinin en önemli araçlarından birisi yinelemeli fonksiyon sistemleridir. 1981 yılında Hutchinson tarafından yayımlanan bir çalışma ile matematik dünyasında yerini alan bu sistemler birçok kümenin matematiksel olarak modellenebilmesine olanak sağlamaktadır. Fraktal olarak bilinen kümelerin büyük bir kısmı da bir yinelemeli fonksiyon sisteminin atraktörü olarak ifade edilmektedir. 
Bir Öklidyen uzayda, verilen sonlu noktayı interpole eden bir sürekli fonksiyonun bulunması problemi önemli bir problem olarak güncelliğini korumaktadır. Düzlemde verilen sonlu veri kümesini interpole eden ve grafiği bir yinelemeli fonksiyon sisteminin atraktörü olan sürekli fonksiyonların varlığı 1980'lerde incelenmiş ve ortaya konmuştur. Bu problem, uygulama alanı oldukça geniş olan bir problem olması münasebetiyle son derece önemlidir. Bu nedenle farklı uzaylarda, daha yüksek boyutlu uzaylarda da bu soruya yanıt aramak elbette oldukça anlamlıdır. Daha sonra yapılan çalışmalarda, özellikle uzayda verilmiş olan bir veri kümesini interpole eden bir sürekli fonksiyonun, grafiği bir yinelemeli fonksiyon sisteminin atraktörü olacak şekilde var olduğu, veri kümesine ilişkin bazı kısıtlar altında gösterilmiştir. Bu kısıtlar zamanla yapılan çalışmalarla esnetilmiş ve zamanla çok daha geniş bir veri kümesi için adına fraktal interpolasyon yüzeyleri dediğimiz kümelerin varlığı araştırılmıştır.
Bu tez çalışmasının ilk iki bölümünde yinelemeli fonksiyon sistemleri ve klasik fraktal interpolasyon fonksiyonları tanıtılmış, sonrasında ise fraktal interpolasyon yüzeyleri ile ilgili çalışmalar özetlenip, özellikle de bu teorideki önemli birkaç çalışmalar tüm detayları ile açıklanıp örneklendirilmiştir. Öte yandan, elde edilen fraktal interpolasyon yüzeylerinin fraktal boyutları ile ilgili yapılan çalışmalar ve elde edilen sonuçlar da araştırılmış ve ilgili bölümlerde sunulmuştur.

Abstract:
One of the most important tools of fractal geometry is iterated function systems. These systems, introduced in a study published by Hutchinson in 1981, allow many sets to be modeled mathematically. Most fractals are also expressed as the attractor of an iterated function system. 
Finding a continuous function that interpolates a given finite set of points in an Euclidean space is an important and currently studied problem. The existence of continuous functions that interpolate the data set given in the plane and whose graph is the attractor of an iterative function system was first studied and demonstrated in the 1980s. It is extremely important since it is a problem with a wide application area. Therefore, it is of course quite meaningful to seek an answer to this question in different spaces, as well as in higher dimensional spaces. In later studies, the existence of a continuous function that interpolates a given data set in three dimensional Euclidean space has been shown under some constraints regarding the given data set, with its graph being the attractor of an iterated function system. These constraints have been stretched over time and the existence of sets (graphs of a fractal interpolation functions) called fractal interpolation surfaces has been investigated for a much more flexible data sets.
In the first two sections of this thesis, the notions of iterated function systems and (classical) fractal interpolation functions were introduced. Then, studies on fractal interpolation surfaces were summarized and several important studies were explained and exemplified in details. In addition, the studies and the results obtained on the fractal dimensions of the fractal interpolation surfaces obtained were also investigated and presented in the related sections.