Kesirli mertebeden diferansiyel denklemlerin dalgacık yöntemleri ile yaklaşık çözümleri
Numerical solutions of fractional differential equations wi̇th wavelet methods
Yazar: PELİN ŞAHİN
Danışman: DOÇ. DR. ARZU TURAN DİNCEL ; DOÇ. DR. SADİYE NERGİS TURAL POLAT
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2022
Konu: Matematik = Mathematics ; Mühendislik Bilimleri = Engineering Sciences
Dizin: Bernoulli polinomları = Bernoulli polynomials ; Dalgacık yöntemi = Wavelet method ; Hermit polinomları = Hermite polynomials ; Kesirli türevler = Fractional derivatives

Özet:
Kesirli mertebeden diferansiyel denklemler gerçek hayattaki fiziksel problemleri adi diferansiyel denklemlere göre daha iyi modellemektedir. Fakat kesirli mertebeden diferansiyel denklemlerin kesin veya analitik çözümünü bulmak kolay değildir. Bu nedenle, tez kapsamında kesirli mertebeden diferansiyel denklemi yaklaşık olarak çözmek için Hermite ve Bernoulli dalgacık metotları ele alınmıştır. Bu yöntemlerin temel amacı operasyonel matris yardımıyla, kesirli mertebeden diferansiyel denklemi cebirsel bir denklem sistemine dönüştürmektir. Böylece, cebirsel denklem sistemi çözülerek bilinmeyen dalgacık katsayıları ve dolayısıyla nümerik çözüm elde edilir. Elde edilen sayısal sonuçlar, literatürdeki diğer metotlarla ve analitik çözüm ile karşılaştırılmıştır. Buna göre, sözü edilen dalgacık metotlarının, kesirli mertebeden diferansiyel denklemleri çözmede oldukça etkin ve uygulanabilirliğinin kolay olduğu görülmüştür.
Tez, beş bölümden oluşmaktadır. Bölüm 1'de tez konusu ilgili literatür taraması tezin amacı ve hipotez yer almaktadır. Bölüm 2'de kesirli analizin temel kavramları ve özellikleri verildikten sonra, Hermite ve Bernoulli dalgacıklarını 
oluşturan ilgili polinomların tanımları ve özellikleri belirtilmiştir. Bölüm 3'de Hermite ve Bernoulli dalgacıkları, yakınsaklık analizleri ve operasyonel matris yaklaşımı sunulmuştur. Bölüm 4'de Hermite ve Bernoulli Dalgacık metotları 
lineer ve non-lineer kesirli mertebeden diferansiyel denklemlere uygulanmış ve nümerik sonuçlar sunulmuştur. Bölüm 5'de elde edilen sonuçlar yorumlanmıştır.

Abstract:
Fractional differential equations model real-life physical problems better than ordinary differential equations. But it is not easy to find an exact or analytical solution to fractional differential equations. For this reason, Hermite and Bernoulli wavelet methods are discussed in order to approximately solve the fractional differential equation within the scope of the thesis. The main purpose of these methods is to transform the fractional differential equation into an 
algebraic equation system with the help of the operational matrix. Thus, the system of algebraic equations is solved to obtain the unknown wavelet coefficients and hence the numerical solution. The obtained numerical results are compared with other methods in the literature and with the analytical solution. As the results suggest, it has been demonstrated that the mentioned wavelet methods are very effective and easy to apply in solving fractional differential equations.
The thesis consists of five chapters. In Chapter 1, the literature review related to the thesis topic, the aim of the thesis and the hypothesis are included. In Chapter 2, after giving the basic concepts and properties of fractional calculus, the definitions and properties of the related polynomials that make up Hermite and Bernoulli wavelets are defined. In Chapter 3, Hermite and Bernoulli wavelets, convergence analyzes and operational matrix approach are presented. In Chapter 4, Hermite and Bernoulli Wavelet methods are applied to linear and non-linear fractional differential equations and numerical results are presented.In Chapter 5, the results obtained are interpreted.