GLh(1|1) kuantum süper grubunun Gauss ayrışımı
Gauss decomposition of GLh(1|1) quantum super group
Yazar: EMRAH YILDIRIM
Danışman: YRD. DOÇ. DR. SALİH ÇELİK
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2011
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Deforme cebirler = Deformed algebras ; Diferensiyel geometri = Differential geometry ; Hopf cebiri = Hoph algebra ; Kuantum matris grupları = Quantum matrice groups ; Lie cebirleri = Lie algebras ; Lie grupları = Lie groups

Özet:
Klasik grupların yeni bir genellemesi olan kuantum gruplar, çok zengin matematiksel yapılarasahiptir ve klasik grupların yeterli olmadığı durumlarda pek çok önemli rolleri vardır. Buçalışmada, (2+2) boyutlu GL(1|1) kuantum süper grubundaki bir matrisin Gauss ayrışımı elealınmıştır. Böylece, bir matrisin Gauss ayrışımı sırasıyla alt üçgensel, köşegen ve üst üçgenselmatrislerin çarpımı şeklinde yazılmasıdır. İlk olarak, GLh(1|1) kuantum süper grubundaki birmatrisin Gauss ayrışımı yapılarak bu matrisin matris elemanları arasındaki bağıntılar eldeedilmiştir. Daha sonra, bu yapının süper Hopf cebiri olduğu gösterilmiştir. Bu ayrışımıoluşturan matrisler sol ve sağ olarak iki kısma ayrılarak bunların matris elemanları arasındakibağıntılar ve Hopf cebir yapıları gösterilmiştir. Sonrasında, GLh(1|1) kuantum süpergrubundaki bir matrisin üstel matrisini bulmak için Gauss ayrışımı kullanılmıştır. Bu matrisinelemanları ile oluşturulmuş cebirin bir süper Lie cebiri ve aynı zamanda bir süper Hopf cebiriolduğu gösterilmiştir. Son olarak GLh(1|1) kuantum süper grubunun yapısını veren kuadratikbağıntılarını, daha kapalı bir formda yazmamıza imkan veren ve grubun asosyatifliğini garantieden 4x4-tipinde bir R matrisi bulunmuştur. Bu R matrisi şüphesiz ki Yang-Baxterdenkleminin bir çözümüdür.

Abstract:
The quantum groups, which are one of the new generalizations of the classical groups, havevery rich mathematical structures and they also have lots of important roles in case theclassical groups are not enough. In this study, the Gauss decomposition of the (2+2)dimensional GL(1|1) quantum super group has been discussed. The Gauss decomposition ofa matrix is written in the form of the product of lower, diagonal and upper matrices,respectively. Firstly, the Gauss decomposition of a matrix at the quantum super groupGLh(1|1) has been build, then the relations between matrix elements of these matrix have beenobtained. After that, it has been shown that this structure is the super Hopf algebra. Byseparating the matrices which form this decomposition into two parts as left and right, it hasbeen shown that the relations between their matrix elements and the Hopf algebra structures.Afterwards the Gauss decomposition has been used for finding the exponential matrix of amatrix at the GLh(1|1) quantum super group. It has been shown that algebra, which isproduced by elements of exponential matrix, is a super Lie algebra and also a super Hopfalgebra. Finally, in the form of 4x4 R matrix which gives possibility for writing the quadraticrelations that gives the structure of the quantum super group GLh(1|1) in an implicit form andwhich guarantees the associability of the group has been found. Certainly this matrix R is asolution of the Yang-Baxter equation.