Fraktal analiz kullanılarak doğrusal olmayan sistemlerin analizi: Van Der Pol salınıcısı ve finansal incelemesi
Analysis of nonlinear systems using fractal calculus: Case study on Van Der Pol oscillator and financial models
Yazar: OZAN KIYIKCI
Danışman: DOÇ. DR. GÖRKEM OYLUMLUOĞLU
Muğla Sıtkı Koçman Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Fizik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Fizik ve Fizik Mühendisliği = Physics and Physics Engineering

Özet:
Bu tez, dogrusal olmayan sistemlerin analizinde fraktal kalk ˘ ul¨ us¨ un uygulanmasını, ¨
ozellikle Van der Pol salınıcısı ve Huang-Li do ¨ grusal olmayan finansal sistemi ˘ uzerine ¨
odaklanarak incelemektedir. Geleneksel diferansiyel denklemler, kaotik davranıs¸ ve
bellek etkileri gibi durumlar soz konusu oldu ¨ gunda bu t ˘ ur sistemlerin karmas¸ıklı ¨ gını ˘
yakalamakta yetersiz kalmaktadır. Bu c¸alıs¸ma, Caputo fraktal turevini kullanarak ¨
klasik modelleri genis¸letmekte ve sistem dinamiklerinin daha kapsamlı bir analizini
saglamaktadır. Van der Pol salınıcısı, hem standart hem de fraktal t ˘ urevler altında ¨
analiz edilerek farklı parametre degerleri arasında sistemin davranıs¸ı hakkında ˘ onemli ¨
bilgiler sunmaktadır. Benzer s¸ekilde, Huang-Li finansal sistemi de fraktal diferansiyel denklem sistemine don¨ us¸t ¨ ur¨ ulm¨ us¸ ve fraktal derecenin sistem kararlılı ¨ gı ve ˘
kaos uzerindeki etkileri ayrıntılı bir s¸ekilde incelenmis¸tir. Sayısal c¸ ¨ oz¨ umler Kestir- ¨
Dogrula y ˘ ontemi kullanılarak elde edilmis¸ ve sistemin kaotik yapısını de ¨ gerlendirmek ˘
ic¸in Lyapunov usteleri hesaplanmıs¸tır. Sonuc¸lar, fraktal kalk ¨ ul¨ us¨ un bu sistemlerin ¨
anlas¸ılmasını artırmakla kalmayıp, aynı zamanda geleneksel analizlerle yeterince
ac¸ıklanamayan karmas¸ık davranıs¸ları modellemek ic¸in guc¸l ¨ u bir arac¸ sundu ¨ gunu ˘
gostermektedir. Bu aras¸tırma, fraktal kalk ¨ ul¨ us¨ un fizik ve finans alanlarındaki uygu- ¨
lamalarına katkıda bulunarak, kaotik dinamikler ve sistem kararlılıgı˘ uzerine gelecekte ¨
yapılacak c¸alıs¸malar ic¸in degerli ˘ ong ¨ or¨ uler sunmaktadır.

Abstract:
This thesis explores the application of fractal calculus in the analysis of nonlinear
systems, with a focus on the Van der Pol oscillator and the Huang-Li nonlinear financial system. Traditional differential equations often fail to capture the complexity
of such systems, particularly when dealing with phenomena such as chaotic behavior
and memory effects. By incorporating the Caputo fractional derivative, this study extends the classical models, allowing for a more comprehensive analysis of the system
dynamics. The Van der Pol oscillator is analyzed under both standard and fractional
derivatives, revealing significant insights into its behavior across different parameter
values. Similarly, the Huang-Li financial system is transformed into a fractional differential equation system, with a detailed examination of how varying the fractional order
affects system stability and chaos. Numerical solutions are obtained using the kestirdogrula method, and the Lyapunov exponents are calculated to assess the system's ˘
chaotic nature. The results demonstrate that fractional calculus not only enhances our
understanding of these systems but also provides a powerful tool for modeling complex
behaviors that are not adequately described by traditional calculus. This research contributes to the growing field of fractional calculus and its applications in physics and
finance, offering valuable insights for future studies on chaotic dynamics and system
stability.