Kartanesi metrik uzaylarının öklidyen uzaylara kendine benzer küme olarak gömülmesi
Embedding of the snowflake metric spaces into the euclidean spaces as self-similar sets
Yazar: FATMA DİĞDEM KOPARAL
Danışman: DOÇ. DR. YUNUS ÖZDEMİR ; DR. ÖĞR. ÜYESİ DERYA ÇELİK
Anadolu Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2019
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
(X, d) bir metrik uzay, 0 < α < 1 ve x, y ∈ X için d^α(x, y) = [d(x, y)]^α olmak üzere (X, d^α) metrik uzayına (X, d) metrik uzayının kartanesi versiyonu denir. Metrik uzayların Öklidyen bir uzaya bi-Lipschitz gömülüp gömülemeyeceği oldukça önemli bir problem olup, bu konudaki en güzel teoremlerden biri de Assouad Teoremidir. Assouad'ın 1983 yılındaki çalışmasında, (X, d^α) kartanesi metrik uzayının bir Öklidyen uzaya bi-Lipschitz olarak gömülebilmesi için gerek ve yeter şartın (X, d) metrik uzayının bir katlamalı metrik uzay olması gerektiğini kanıtlanmıştır. Assouad ilgili gömme dönüşümü için üç farklı metot vermiş olup, bu metodlardan birinde genelleştirilmiş Koch zincirleri olarak tanımlanan eğrileri kulanmıştır. X = [0, 1] ve d de [0, 1] üzerindeki standart metrik olmak üzere, Assouad ([0, 1], d) metrik uzayı için özel bir kanıt vermiş ve ilgili Öklidyen uzayın optimal boyutunu da hesaplamıştır.

Bu tez çalışmasında temel olarak, ([0, 1], d) metrik uzayı için alternatif bir kanıt yinelemeli fonksiyon sistemleri kullanılarak verilmiştir. Bu kapsamda ilk bölümde kartanesi metrik uzayları ve Assouad Teoremi incelendikten sonra, ikinci bölümde de yinelemeli fonksiyon sistemi ve fraktal boyut kavramları tanıtılmıştır. Son bölümde de, her bir 0 < α < 1 değeri için ([0, 1], d^α) metrik uzayının uygun bir yinelemeli fonksiyon sisteminin atraktörü olan (ve fraktal boyutu da 1/α olan) ve [|1/α|]+1 boyutlu Öklidyen uzayda yaşayan bir kendine benzer kümeye bi-Lipschitz olarak gömülebileceği gösterilmiştir.

Anahtar Sözcükler: Assouad Teoremi, Bi-Lipschitz gömme, Kartanesi metrik uzayları Kendine benzer küme, Yinelemeli fonksiyon sistemi

Abstract:
Let (X, d) be a metric space and (X, d^α) be the so-called snowflaked version of (X, d) whereby 0 < α < 1 and d^α(x, y) = d(x, y)^α for all x, y ∈ X. On the other hand, whether a metric space can be embedded bi-Lipschitzly in an Euclidean space is a very difficult and important problem. One of the beautiful theorems on metric embeddings is the Assouad Theorem. In his 1983 paper, Assouad proved that (X, d) is a doubling metric space if and only if the snowflake metric space (X, d^α) can be embedded bi-Lipschitzly into an Euclidean space. In that study, the author describe three different methods to obtain an embedding, one of these methods is given by the notion of so-called generalized Koch chains. An important instance of this theorem is the case (X = [0, 1], d) where d is the standard metric for which Assouad gives a special proof and determines the optimal dimension of the ambient Euclidean space.
 
In this thesis, we give another alternative proof, which uses the notion of iterated function system, in the case X = [0, 1] equipped with the standard metric. In Section 1, we introduce the snowflake metric spaces and Assoud Theorem and in Section 2 we introduce the notions of iterated function system and fractal dimension. And in the last section, we show that ([0, 1], d^α), can be embedded bi-Lipschitzly into the [|1/α|]+ 1-dimensional Euclidean space as a self-similar set which is an attractor of an iterated function system whose fractal dimension is 1 α for each α.

Keywords: Assouad's Theorem, Bi-Lipschitz embedding, Snowflake metric spaces, Self-similar set, Iterated function systems