Kaynak terimli Burgers denkleminin sonlu eleman çözümleri
Finite element solutions of Burgers equation with forcing term
Yazar: AYŞENUR BÜŞRA ÇAKAY
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ SELMAHAN SELİM
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2020
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Burgers denklemi = Burgers equation ; Galerkin yöntemi = Galerkin method

Özet:
Bu tezde, kaynak terimli Burgers denklemini nümerik olarak çözmek için zamanda sonlu geri fark ve konumda sonlu elemanlar yöntemi uygulanmıştır. Her bir zaman adımı için elde edilen lineer olmayan cebirsel denklem sisteminin çözümü, burada tarafımızca üretilen MATLAB kodları kullanılarak elde edilmiştir. Sunulan yöntemin etkinliğini göstermek için farklı zamanlardaki çeşitli viskozite değerleri için elde edilen sayısal çözümler, gerçek çözümleri ile karşılaştırılmıştır. Burgers denkleminin küçük viskozite değerlerinde de lineer olmayan yapısını koruduğu görülmüştür.
Giriş bölümünde, Burgers denklemi ile ilgili literatür araştırmasının bir özeti verilmiştir. Daha sonraki bölümde, problemin davranışını denklemin çözümünde elde edilen sonuçlara göre daha iyi anlamak ve yorumlamak için Burgers denkleminin formüllerini elde etme yolu gösterilmiştir. Denklemin analitik çözümü, Burgers denklemi ve ısı denklemi arasındaki ilişkiyi ifade eden Hopf-Cole dönüşümü kullanılarak elde edilmiştir. Isı denkleminin ve homojen Burgers denkleminin sayısal çözümü, tezde tartışılan problemlerin çözümünde kullanılan yöntemler olan zaman içinde ayrıklaştırma yöntemi ve sonlu elemanlar yöntemi hakkında bilgi verilerek elde edilmiş ve bu değerler analitik çözümlerle karşılaştırılmıştır. Böylece, ürettiğimiz MATLAB kodlarının doğruluğu test edilmiştir. Bu tezin orijinal bölümünde, 1-boyutlu lineer olmayan kısmi diferansiyel denklem olan Burgers denklemi, zamanda sonlu geri farklar kullanılarak lineer olmayan cebirsel denklemlere dönüştürülmüştür. Bu denklemlerin her biri sonlu elemanlar yöntemi kullanılarak çözülmüştür.

Abstract:
In this thesis, the backward finite difference in time and the finite element method in space are applied to solve the Burgers equation with forcing term. The resulting system of the nonlinear equations obtained at each time step is solved by using programming codes generated by us in MATLAB. In order to demonstrate how the efficiency of the offered method, the numerical solutions obtained for various values of viscosity at different times are compared with the exact solutions. It is observed that Burgers equation maintains its nonlinear structure even in small viscosity values.
In the introduction part, a summary of literature research about the Burgers equation is given. In the later part, the way of getting the formulas of the Burgers equation is shown in order to better understand and interpret the behavior of the problem in accordance with the results obtained in the solution of the equation. The analytical solution of the equation is obtained by using the Hopf-Cole transformation that expresses the relationship between the Burgers equation and the heat equation. Numerical solution of heat equation and homogeneous Burgers equation are obtained by giving information about the method of discretization in time and finite element method, which are the methods used in the solution of the problems discussed in the thesis, and these values are compared with analytical solutions. Thus, the accuracy of MATLAB codes that we produced are tested.              In the original part of this thesis, the Burgers equation with forcing term which is a one dimensional nonlinear partial differential equation is converted to  nonlinear algebraic equations by using the backward finite difference in time. Each of these equations is solved using the finite element method.