Doğrusal eskiyen sistemlerin yenileme politikasının stokastik süreçler yöntemi ile incelenmesi
Investigating replacement policy for systems with linear degradation using stochastic processes
Yazar: AYNURA POLADOVA
Danışman: YRD. DOÇ. DR. SALİH TEKİN ; PROF. DR. TAHİR HANALİOĞLU
TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Endüstri Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Endüstri Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2017
Konu: Endüstri ve Endüstri Mühendisliği = Industrial and Industrial Engineering

Özet:
Bu çalışmada doğrusal eskiyen ve mükemmel olmayan bakım politikası uygulanan bir
sistem incelenmiştir. Başlangıç anında sistemin 𝑧 > 0 kaynağa sahip olduğu, çalışır
durumdayken bu kaynağın sürekli ve doğrusal biçimde rasgele miktarda (𝑐𝜉𝑛)
azaldığı ve ilk çevrimin sonunda sistemin kullanılabilir kaynağının 𝑧 − 𝑐𝜉0 seviyesine
ulaştığı varsayılmaktadır. Birinci çevrimin sonunda sisteme belli bir bakım politikası
uygulanarak sistemin genel kaynağının rasgele bir miktar (𝜁1) arttığı varsayılmaktadır.
Sistemin daha sonraki çevrimleri benzer şekilde devam edecek ve nihayetinde sistemin
toplam kullanılabilir kaynağı sıfırın altına indiğinde veya bir önceki çevrimde sistem,
kendine benzer yeni bir sistemle değiştirilecek ve sürecin işleyiş prensibi benzer
şekilde devam edecektir. Çalışmada, kullanılabilir kaynağı yukarıdaki şekilde değişen
bir sistemin herhangi bir t anındaki kaynak miktarı 𝑋(𝑡) stokastik süreci ile ifade
edilmiştir. Ele alınan 𝑋(𝑡) süreci bağımlı bileşenli bir stokastik süreçtir. Çalışmanın
amacı, 𝑋(𝑡) süreci ile ifade edilebilen bir sistemin ilk defa ne zaman kendine benzer
yeni bir sistemle değiştirileceğini stokastik süreçler yöntemi ile belirlemektir. Bu
amaçla, ilk olarak 𝑋(𝑡) süreci ve bu sürecin önemli sınır fonksiyonelleri olan 𝐾0(𝑧),
𝑁0(𝑧), 𝑁(𝑧), 𝑆𝑁0(𝑧)+1, 𝑆𝑁(𝑧)+1, 𝑋𝑁0(𝑧)+1, 𝑋𝑁(𝑧)+1, 𝑇𝑁0(𝑧) sınır fonksiyonelleri
matematiksel olarak inşa edilmiştir. Sürecin önemli sınır fonksiyoneli olan 𝑁0(𝑧) sınır
fonksiyonelini inceleyebilmek için 𝐾0(𝑧) yardımcı sınır fonksiyoneli matematiksel
olarak tanımlanmıştır. Yenileme kuramının yöntemleri kullanılarak 𝐾0(𝑧)'in beklenen
değer ve varyansı için hem kesin, hem de asimptotik sonuçlar elde edilmiştir. Daha
sonra sürecin 𝑁0(𝑧) ve 𝑁(𝑧) sınır fonksiyonellerinin beklenen değer ve varyansı için
asimptotik sonuçlar elde edilmiştir. Ayrıca sistemin kullanılabilir kaynağının sıfırın
altına inmeden bir önceki çevrimde sisteme yapılacak bakım politikasını belirlemek
için önem arz eden 𝑋𝑁0(𝑧)+1 ve 𝑋𝑁(𝑧)+1 sınır fonksiyonellerini incelemek amacıyla
sürecin 𝑆𝑁0(𝑧)+1 ve 𝑆𝑁(𝑧)+1 sınır fonksiyonelleri de matematiksel olarak tanımlanmış
ve bu sınır fonksiyonellerin beklenen değeri, varyansı için iki terimli asimptotik
açılımlar elde edilmiştir. Bu sonuçlardan yararlanarak, 𝑋𝑁0(𝑧)+1 ve 𝑋𝑁(𝑧)+1 sınır
fonksiyonellerinin beklenen değer ve varyansı için de asimptotik sonuçlar elde
edilmiştir. Bunlara ilaveten, 𝑋(𝑡) sürecinin sıfırın altına inmeden bir önceki zamanı
ifade eden 𝑇𝑁0(𝑧) sınır fonksiyonelinin de beklenen değeri için hem kesin, hem de 𝑧'in
büyük değerleri için yaklaşık sonuçlar elde edilmiştir. Çalışmada elde edilen önemli
sonuçlardan biri de yukarıda belittiğimiz şekilde davranan sistemlere, kaynaklarının
sıfırın altına inmeden bir önceki çevrimde yapılacak bakım politikasının önerilmesidir.
Elde edilmiş asimptotik sonuçlar uygulama açısından kolaylık sağlamaktadır.

Abstract:
In this study, a mechanical system with imperfect maintenance and gradual
degradation is considered. It is assumed that at initial time the system has 𝑧 > 0
available resource and when system is in operating time resource is decreasing
consistently and gradually (𝑐𝜉𝑛 ). The resource of the system will reach 𝑧 − 𝑐𝜉0 level
in the end of the first period. Also, at the end of the first period a certain maintenance
policy is applied and general resource of the system is increasing by a random amount
(𝜁1). The subsequent periods will proceed similarly and eventually when the total
available resource reaches zero, the process will restart repeat in a similar manner. The
total level of the mechanical system describe, is expressed by a stochastic process 𝑋(𝑡).
The investigated 𝑋(𝑡) process is a stochastic process with dependent components. The
main purpose of this study is to determine when the system expressed by 𝑋(𝑡) will
replace a new and similar system for the first time by using method of stochastic
processes. For this aim, the process 𝑋(𝑡) and certain boundary functional 𝐾0(𝑧),
𝑁0(𝑧), 𝑁(𝑧), 𝑆𝑁0(𝑧)+1, 𝑆𝑁(𝑧)+1, 𝑋𝑁0(𝑧)+1, 𝑋𝑁(𝑧)+1, 𝑇𝑁0(𝑧) of the process are defined
mathematically. On the purpose of investigating the significant boundary functional
𝑁0(𝑧), the supplementary boundary functional 𝐾0(𝑧) has been constructed
mathematically and obtained both exact and asimptotic results for the expected value
and variance by using mthods of renewal theory. Next, asymptotic expressions for the
expected value, variance of the boundary functionals 𝑁0(𝑧) and 𝑁(𝑧) have been
obtained. Then boundary functionals 𝑆𝑁0(𝑧)+1 and 𝑆𝑁(𝑧)+1 which are neccessary for
investigating 𝑋𝑁0(𝑧)+1 and 𝑋𝑁(𝑧)+1 have been analyzed. Thereafter 𝑋𝑁0(𝑧)+1 and
𝑋𝑁(𝑧)+1 which are important for determining maintenance policy to the system on the
previous period in which the process reaches to level zero was studed. In addition to
them both the exact and approximate formulas have been derived for the boundary
functional 𝑇𝑁0(𝑧) which is the first time in which the process 𝑋(𝑡) reached to level
zero. One of the important result obtained in this study is to suggest the maintenance
policy for the previous period in which 𝑋(𝑡) process drops below zero. Obtained
asymptotic results provide convenience in terms of implementation.