Cebirsel geometrik kodlar ve bu kodların otomorfizma grupları hakkında
On algebraic geometry codes and their automorphism groups
Yazar: ENGİN ŞENEL
Danışman: PROF. DR. FİGEN ÖKE
Trakya Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Fonksiyon cisimleri = Function fields ; Goppa kodu = Goppa codes ; Otomorfizma = Automorphism

Özet:
Bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde cebirsel geometrik (CG) kodlar, genelleştirilmiş cebirsel geometrik (GCG) kodlar ve bu kodların otomorfizma gruplarının literatürdeki öneminden bahsedildikten sonra bu tez boyunca uygulanacak yöntemler hakkında bilgi verilmiştir. İkinci bölümde, CG kodların ve GCG kodların matematiksel alt yapısını oluşturan fonksiyon cismi teorisi ve kodlama teorisinin temel tanım ve kavramları verildikten sonra bu kodlar sunulmuştur. Ardından fonksiyon cismi genişlemeleri ile ilgili tez boyunca ihtiyaç duyulacak temel tanım ve kavramlar verilmiştir.
Üçüncü bölümde, her bir koleksiyondaki noktaların derecesi aynı olmak üzere noktaların iki koleksiyonu tarafından oluşturulan GCG kodlar göz önüne alınıp, bu çalışmaya ait olan özgün sonuçlar sunulmaya başlanmıştır. Bu sınıftaki bir GCG kodun otomorfizma grubunun bir alt grubu olan N_1 N_2-otomorfizma grubu kavramı tanımlanmıştır. Daha sonra, keyfi fonksiyon cismi durumunda N_1 N_2-otomorfizma grubunun bir alt grubu ve rasyonel, hipereliptik ve Hermityan fonksiyon cismi durumlarında N_1 N_2-otomorfizma grubunun kendisi belirlenmiştir. Rasyonel fonksiyon cismi durumunda N_1 N_2-otomorfizma grubu uygulama anlamında yapısal olarak inşa edilmiştir. Bu bölümdeki sonuçların elde edilmesi için kullanılan yöntemler, yapısında aynı dereceden noktaların daha fazla koleksiyonunu içeren bir GCG kodun otomorfizma grubunun bir alt grubunun belirlenmesi için bir method sunmaktadır.
Dördüncü bölümde, belli şartlar altında bir GCG kodun izomorfizmalar gözetilmeksizin bir CG kod tarafından kapsandığı gösterilmiştir. Ardından üçüncü bölümde olduğu gibi aynı dereceden noktaların iki koleksiyonu tarafından oluşturulan GCG kodların bir sınıfı göz önüne alınıp, böyle bir kodun N_1 N_2-otomorfizma grubunun, ilgili CG kodun otomorfizma grubunun bir alt grubu olduğu gösterilmiştir. Böylece, bir CG kodun otomorfizma grubunun bir alt grubunu bulmak için bir yöntem sunulmuştur.
Son bölümde, bu çalışmada kullanılan yöntemler ve bulunan sonuçlar değerlendirilmiştir. Ayrıca devam çalışmaları konusunda çıkarımlarda bulunulmuştur.

Abstract:
This study consists of five chapters. In the first chapter, after mentioning the importance of algebraic geometry (AG) codes, generalized algebraic geometry (GAG) codes and automorphism groups of these codes in the literature, information is given about the methods to be applied throughout this thesis. In the second chapter, after giving the basic definitions and concepts of function field theory and coding theory, which constitute the mathematical substructure of AG codes and GAG codes, these codes are presented. Finally, in this chapter, basic definitions and concepts that will be needed throughout the thesis on function field extensions are given.
In the third chapter, with places of the same degree in each collection, the GAG codes constructed by two collections of places are considered and the original results of this study have begun to be presented. The concept of N_1 N_2-automorphism group, which is a subgroup of the automorphism group of a GAG code in this class, is defined. Then, a subgroup of the N_1 N_2-automorphism group in the case of an arbitrary function field and the N_1 N_2-automorphism group itself in rational, hyperelliptic and Hermitian function field cases are determined. In the case of the rational function field, the N_1 N_2-automorphism group is structurally constructed for application purposes. The techniques used to obtain the results in this chapter provide a method for determining a subgroup of the automorphism group of a GAG code that contains more collections of places of the same degree in its structure.
In the fourth chapter, it has been shown that under certain conditions a GAG code is contained (up to isomorphism) in an AG code. Then, as in the third chapter, GAG codes formed by two collections of places of the same degree is considered and it is shown that the N_1 N_2-automorphism group of such a code is a subgroup of the automorphism group of the corresponding AG code. Thus, a method is presented to find a subgroup of the automorphism group of an AG code.
In the last chapter, the methods used and the results obtained are evaluated. In addition, inferences are made for continuation studies.