Hemen hemen η-Ricci-Bourguignon solitonlar üzerine
On almost η-Ricci-Bourguignon solitons
Yazar: MOCTAR TRAORE
Danışman: PROF. DR. HAKAN METE TAŞTAN
İstanbul Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez çalışmasının amacı, potansiyel vektör alanları bazı özel vektör alanları olan hemen hemen  $\eta$-Ricci-Bourguignon  solitonlar incelenmiştir. 
Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde problemlerin genel değerlendirmesi ve arka planı sunulmaktadır.
İkinci bölüm altı alt bölümden oluşmaktadır. Birinci alt bölümde, Riemann manifold tanımı,  Riemann manifold üzerinde bazı geometrik yapılar ve daha ilerideki çalışmalar için gerekli olan sonuçlar verilmiştir.  İkinci alt bölümde, özel vektör alanlarının ve kuazi-Einstein  manifold kavramının tanımları verilmiştir. Üçüncü alt bölümde, bu tezin ana konusu olan hemen hemen  $\eta$-Ricci-Bourguignon  solitonların tanımı verilmiştir, ayrıca ana sonuçlarımızı elde etmemizi sağlayan bazı teoremler verilmiştir. Bu nedenle, dördüncü alt bölümde, Ricci solitonların arasında bir ilişki vermemizi sağlayan $\ast$-Ricci soliton adlı başka bir Ricci soliton türü verilmiştir. Beşinci  alt bölümde Riemann manifoldların altmanifoldu kavramı temel denklemleri verilmiştir. Altıncı alt bölümde kontakt metrik manifoldların ve Kenmotsu manifoldlarının tanımları verilmiştir. Bu alt bölümde Kenmotsu manifoldların değişmeyen altmanifoldun tanımını verilmiştir.
Üçüncü bölümde tez çalışmasının hazırlanmasında izlenen yöntemlerden ve kullanılan araçlardan bahsedilmiştir.
Dördüncü bölüm ise tez çalışmasının bulgularından oluşmaktadır. Bu bölüm tezin orijinal kısmıdır,  üç  alt bölümden oluşmaktadır.  Birinci alt bölümde $\xi(Ric)$-vektör alanın tanımı ve temel özellikleri verilmiştir. Ayrıca potansiyel vektör alanı bir $\xi(Ric)$-vektör alanı olan Ricci solitonlar çalışmıştır.  Bölüm \ref{sect1} de hemen hemen $\eta$-Ricci-Bourguignon soliton yapısına sahip bir Riemann manifoldu incelenmiştir.  
Aşik$\hat{a}$r (trivial) olmayan, kompakt hemen hemen  $\eta$-Ricci-Bourguignon solitonun Öklid küresine izometrik olduğu kanıtlanmıştır. Hemen hemen  $\eta$-Ricci-Bourguignon solitondan elde edilen bazı sonuçlar kullanarak kompakt ve yönlendirilebilir hemen hemen  $\eta$-Ricci-Bourguignon soliton için integral formülleri verilmiştir. Iyi tanımlanmış bir potansiyel $f$ fonksiyonu  ile, bir hemen hemen $\eta$-Ricci-Bourguignon solitonun  bir gradyent hemen hemen  sıfır izli (traceless) $(-\frac{1}{\mu u})$-Ricci soliton olduğu kanıtlanmıştır. Ayrıca, sabit skaler eğriliğe sahip bir Einstein manifoldunun iyi tanımlanmış $f$ potansiyel fonksiyonuna sahip bir uzay formuna izometrik olduğu  gösterilmiştir.  Bölüm \ref{subs} te $\ast$-Ricci-Bourguignon ve hemen hemen $\eta$-Ricci-Bourguignon soliton yapısına izin veren Kenmotsu manifold ele alındı. Bir  Kenmotsu manifolduna izometrik olarak daldırılmış altmanifoldlar üzerindeki potansiyel vektör alanı bir $\xi(Ric)$-vektör alanının teğetsel bileşeni olan hemen hemen $\eta$-Ricci-Bourguignon solitonların bazı temel özellikler verilmiştir. Özellikle, $\xi(Ric)$-vektör alanına izin veren bir Kenmotsu manifolduna izometrik olarak daldırılmış bir hiperyüzey üzerindeki hemen hemen  $\eta$-Ricci-Bourguignon  solitonun bir genelleştirilmiş  kuazi-Einstein manifoldu olduğu kanıtlanmıştır. 
Beşinci bölümde, tez çalışmasının genel bir değerlendirmesi yapılmış  ve çalışmanın literatüre katkısından  bahsedilmiştir. Ayrıca, bu  çalışmadan hareketle hangi çalışmaların yapılabileceği üzerinde durulmuştur.

Abstract:
The aim of this thesis is to examine the potential vector fields of some special vector fields and almost $\eta$-Ricci-Bourguignon solitons.
This thesis consists of five chapters. In the first chapter the general literacy evaluation of the problems and their background are presented.
The second chapter has  six subsections. In the first subsection, firstly we give the definitions of the Riemannian manifold and some geometry structures on Riemannian manifold. Important results which wıll be used for the further study of this thesis are given.  Some  definitions of special vector fields and the notion of quasi-Einstein manifolds are given in the second subsection. In the third subsection the definition of almost $\eta$-Ricci-Bourguignon solitons is given which is the main topic of this thesis, we give also some important theorems which allow us to obtain our main results. Therefore in the fourth  subsection, we give another type of Ricci solitons called $\ast$-Ricci solitons, which allow us to give a relation between Ricci solitons. In the fifth subsection, the concept of submanifold of Riemannian manifolds is given. 
In the sixth subsection the definitions of contact metric manifolds  and Kenmotsu manifolds are given. In this subsection, we give the definition of invariant submanifold in Kenmotsu manifolds.
In the third chapter, tools and methods that are used through the thesis are mentioned.
The fourth chapter is the original part of the thesis. This chapter consists of three  subsections which give the originality of the topic.  In the first subsection the notion of $\xi(Ric)$-Ricci vector field and some proprieties are given. Therefore, Ricci solitons, whose potential vector field is a $\xi(Ric)$-vector field are studied. Section \ref{sect1}, Riemannian manifold with almost $\eta$-Ricci-Bourguignon soliton structure is investigated. Moreover, it is proved that a nontrivial, compact  $\eta$-Ricci-Bourguignon soliton of constant scalar curvature is isometric to the Euclidean sphere. Using some results obtaining from almost $\eta$-Ricci Bourguignon soliton, we give the integral formulas for compact orientable almost $\eta$-Ricci-Bourguignon  soliton. Further with a well defined potential function $f$, it is  proved that a gradient almost $\eta$-Ricci-Bourguignon soliton is gradient almost  $(-\frac{1}{\mu u})$-traceless Ricci soliton.  Moreover, it is investigated that an Einstein manifold of constant scalar curvature is isometric to a space form with a well defined potential function $f$.  Section \ref{subs}, Kenmotsu manifolds endowed with $\ast$-Ricci-Bourguignon  and almost $\eta$-Ricci-Bourguignon  solitons is studied. Some properties of an almost $\eta$-Ricci-Bourguignon solitons on submanifolds isometrically immersed into a Kenmotsu manifold  whose potential vector field is the tangential component of a $\xi(Ric)$-vector field  is proved.  And  it  is proved  that an almost $\eta$-Ricci-Bourguignon  soliton on a hypersurface isometrically immersed into a Kenmotsu manifold admitting $\xi(Ric)$-vector field  is generalized and pseudo generalized quasi-Einstein manifold. 
In the fifth chapter, the study is reviewed.   The contribution of thesis to the literature is mentioned and what's more, it is mentioned that this  study will inspire to  different research topics.