Bazı mekanik problemlerin matris yöntemleri ile sayısal çözümleri
Numerical solutions of some mechanical problems by matrix methods
Yazar: SEDA ÇAYAN
Danışman: PROF. DR. MEHMET SEZER ; PROF. DR. BOZKURT BURAK ÖZHAN
Manisa Celal Bayar Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2023
Konu: Matematik = Mathematics ; Mühendislik Bilimleri = Engineering Sciences

Özet:
Bu tez çalışmasında, mekanik sistemlerin modellenmesinde ortaya çıkan diferansiyel ve integro diferansiyel denklemlerin sayısal çözümlerini elde etmek için Taylor, Chebyshev, Bernstein, Fibonacci, ötelenmiş Legendre, Hermite ve Laguerre polinomları ile beraber sıralama noktalarına dayalı matris yöntemleri geliştirilmiştir. Bu yöntemlerin temel matris denklemleri oluşturulurken, klasik matris sıralama yöntemindeki standart taban dönüştürme işlemi yapılmayıp, özel polinomların kendi tabanları doğrudan kullanılmıştır.
Ayrıca, doğrusal ve doğrusal olmayan adi diferansiyel denklemleri çözmek için kesilmiş Taylor serisine dayalı Taylor-Splitting sıralama yöntemi geliştirilmiştir. Önceki yaklaşımlardan ayrı olarak, alt aralıklara ayırma işlemi yapılarak temel matris denklemi ve sıralama noktaları yeniden formüle edilmiştir. Böylece, klasik matris sıralama yöntemleri ile sayısal çözümlerin bulunması çok zor olan salınım problemleri kolayca çözümlenmiştir.
Bu çalışmada yöntemler ve hata analizleri genel formda sunulmuş ve literatürde sıkça karşılaşılan mekanik alanındaki fiziksel modellere uygulanmıştır. Çeşitli tipte kütle-yay modelleri, sarkaç modeli, Euler Bernoulli, Rayleigh, Timoshenko kiriş modelleri, Kirchhoff ve kayma şekil değişimi teorileri ile ifade edilen plak modelleri ele alınmıştır. Bu tez çalışmasında ele alınan model problemlerin çözümü ve analizleri için Wolfram Mathematica programında geliştirilen kodlar kullanılmıştır. Her model problem için sayısal örnekler verilmiş, sonuçlar tablo ve grafikler yardımıyla yorumlanmıştır. Ortaya konulan yeni yöntemlerin sonuçları literatürdeki çalışmalar ve analitik çözümler ile karşılaştırılmıştır. Elde edilen sonuçlar ve karşılaştırmaların değerlendirilmesiyle önerilen yöntemlerin uygunluğu görülmüş ve ortaya konulmuştur.

Abstract:
In this thesis study, the matrix methods based on Taylor, Chebyshev, Bernstein, Fibonacci, shifted Legendre, Hermite and Laguerre polynomials together with collocation points are developed to obtain the numerical solutions of the differential and integro differential equations arising in mechanical problems. The fundamental matrix equations of the matrix collocation methods based on special polynomials are adapted to use the basis of the special polynomial directly without converting them into the standard basis.
Also, the Taylor-Splitting collocation method based on the truncated Taylor series is developed to solve linear and nonlinear ordinary differential equations. Unlike previous approaches, the fundamental matrix equation and collocation points are reformulated using interval splitting. Thus, oscillation problems that are very difficult to obtain numerical results using the classical matrix collocation methods are easily analyzed.
In this study, the methods and error analyses are presented in general form and applied to the physical models from mechanics frequently encountered in the literature. Spring-mass, pendulum models, Euler Bernoulli, Rayleigh, Timoshenko beam and plate models are investigated. The codes developed in the Wolfram Mathematica program are used to solve and analyze the model problems discussed in this thesis study. Numerical examples are given for each model problem, and the results are scrutinized with the help of tables and graphs. Results of the presented methods are compared with studies in the literature and analytical results. After evaluating the results, it is concluded that the proposed methods are practical, simple, and precise in the investigation of the results.