Bazı özel modüller üzerinde toplamsal kodlar
Additive codes on some special modules
Yazar: İSMAİL AYDOĞDU
Danışman: PROF. DR. İRFAN ŞİAP ; PROF. DR. TAHER ABUALRUB
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2014
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Doğrusal kod = Linear code ; Hata düzeltme kodları = Error correction codes ; Hata kontrol kodlaması = Error control coding

Özet:
Teknoloji çağı olan günümüzde haberleşme araçlarının çok fazla önemi vardır. Her gün cep telefonu, internet, televizyon ve benzeri iletişim araçlarıyla iç içeyiz ve daha farklı modern iletişim araçlarını kullanıyoruz. Bu araçlar yardımıyla farklı şehir veya ülkelerden insanlarla irtibata geçiyor televizyon ve internet vasıtasıyla dünyanın herhangi bir yerinde meydana gelen bir olaydan çok kısa süre içerisinde haberdar olabiliyoruz. E-posta ve diğer sosyal iletişim araçlarını kullanarak arkadaşlarımızla ya da ailemizle mesajlaşabiliyor hatta görüntülü olarak konuşabiliyoruz. Bu iletişim araçları olmadan bir dünya hayal edemesek de iletişim dünyasındaki bu yeni teknolojilerin büyük bir kısmının çok eski bir geçmişi yoktur.
1870'de telefonun hayatımıza girmesiyle beraber iletişim teknolojisi her geçen gün gelişmiş ve bugünkü halini almıştır. İletişim araçlarının yaygınlaşması, daha kaliteli ve güvenli iletişim ihtiyacını ortaya çıkarmış ve bu ihtiyaca bilgi ve kodlama teorisi denilen bilim dalı çözüm aramaya başlamıştır.   
Bilgi ve kodlama teorisi ile ilgili en önemli gelişme 1948 yılında Shannon tarafından yayımlanan bir makale olmuştur [1]. Shannon bu makalesinde, iletişim sistemi için genel bir mekanizma tanımlamış, bilgi ve kodlama teorisinin temellerini oluşturmuştur.
1990'lı yıllarda kodlama teorisiyle ilgili çalışmalar halkalar üzerine aktarılmaya başlanmıştır. Özellikle   halkası üzerinde yapılan çalışmalar ve bu halka üzerindeki kodların özel bir Gray dönüşümü tanımlanarak, önceden tanımlanmış ve mükemmel denilen ikili kodlara çevrilmesi halkalar üzerindeki kodlar için bir dönüm noktası olmuştur.
2010 yılında  toplamsal kodlar tanımlanmış ve bu kodların yapısı incelenmiştir. Bu kodlar bünyelerinde hem ikili hem de dörtlü kodları barındırdıklarından kodlama teorisinin ilginç ve araştırmaya açık bir alanı haline gelmiştir.
Bu tez, toplamsal kodlarla ilgili bugüne kadar yapılan çalışmaları genellemektedir. Giriş bölümü olan birinci bölümde literatürde toplamsal kodlarla ilgili yapılan çalışmalardan bahsedilmiş, tezin amacı ve orijinalliği hakkında bilgi verilmiştir. İkinci bölüm ise kodlama teorisiyle alakalı temel bilgi ve tanımların verildiği Kodlama Teorisine Giriş bölümüdür.
Üçüncü ve dördüncü bölümlerde;   tamsayılar ve   asal bir sayı olmak üzere,  toplamsal kodların doğal birer genelleştirilmesi olan  toplamsal ve  toplamsal kodlar tanımlanmış ve bu kodların cebirsel yapısı hakkında bilgi veren üreteç ve kontrol matrislerinin standart formları belirlenmiştir. Ayrıca bu iki kod ailesi üzerinde bazı sınırlar verilmiş ve bu sınırları sağlayan bazı örnekler elde edilmiştir.
Beşinci bölümde;   ve   olmak üzere  lineer kodlar tanımlanmıştır. Bu kodlar yapısal olarak  toplamsal kodlara benzemelerine karşın bazı özellikleri itibariyle bu kodlardan daha avantajlıdırlar. Ayrıca,  lineer kodların üreteç matrislerinin standart formları belirlenmiş, bu kodlar için dual uzay tanımlanarak dual uzay için üreteç matrisi olan kontrol matrisin standart formu da verilmiştir. Son kısımda ise bu kodlardan ikili görüntüleri optimal parametrelere sahip olanlara örnekler verilmiştir. Ayrıca, MacWilliams özdeşliği elde edilerek bir  ,  lineer kodunun ağırlık dağılımıyla dual kodunun ağırlık dağılımları arasındaki bağıntı da verilmiştir.
Tezin son bölümü olan altıncı bölüm ise sonuç bölümüdür.

Abstract:
Today, which is the age of technology; communication devices are very important. Every day, we come in contact with mobile phones, internet, television etc. and use other various modern communication systems. Using these media, we instantly come in contact with people in different cities and countries and also we are instantly informed about events that occur around the world through television and internet. By using e-mail and other social media we can send messages to our friends and family we even can chat with video call. Although we cannot imagine a world without these means of communications, a large part of these important technologies do not have a very ancient history.
Together with the phone came into our lives in 1870, the communication technology has advanced day by day and reached to today's status. Dissemination of the communication devices brought about a need for a securer and quality communication and a branch of mathematics called information and coding theory began to seek a solution for this need. 
The most important initial development in information theory and coding theory was in 1948, when Shannon published a remarkable paper [1]. In this paper, Shannon identified a general mechanism for a communication system and set a base for information and coding theory.
In 1990's the study of coding theory began to transfer onto the rings. In particular, studies about the ring   and finding the binary images of these codes by defining a special Gray map was an initial point for studies on finite rings.  
In 2010,  additive codes were introduced and the structures of these codes were determined. These families of codes are interesting and have become an open research area of coding theory since they are related with both binary and quaternary codes.  
This thesis generalizes the results related to additive codes which have been introduced so far. In the first chapter of the thesis, which is the introduction part, we mention about studies on additive codes covered in the literature and we state the goal of this thesis. The second chapter covers the basics of coding theory where we give general information and definition about coding theory.
In chapter three and four, we define  additive and  additive codes for   and a prime , which are natural generalizations of  additive codes respectively. We determine the standard form of the generator and parity-check matrices of these codes and also we give some bounds on these codes and give examples that attain these bounds.           
In chapter five, we define  linear codes where   and   is a ring with four elements. Although the structure of these codes and  additive codes are similar,  linear codes have advantages in some cases. We also give standard form of the generator matrix of these codes and define the dual space for a  linear code and further we determine the generator matrix of the dual code which is actually a parity-check matrix of the code. In the last part of this chapter, we give some examples of these codes which are optimal binary codes under the Gray image. We also establish a MacWilliams-type identity between the weight distribution of a code and the weight distribution of a dual code.
The last part which is the sixth chapter of the thesis is the conclusion part.