Çok noktalı singüler pertürbe özellikli problemlerin nümerik çözümü
Numerical solution of multi-point singularly perturbed problems
Yazar: DERYA ARSLAN
Danışman: DOÇ. DR. MUSA ÇAKIR
Yüzüncü Yıl Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2016
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Tez çalışmasında lokal olmayan şartı içeren singüler pertürbe özellikli lineer ve
lineer olmayan problemlerin nümerik çözümü için sonlu fark metodu verilmektedir.
Tez çalışması yedi ana bölümden oluşmaktadır.
Birinci bölümde giriş, ikinci bölümde literatür bildirişi yer almaktadır.
Üçüncü bölümde çalışma içinde kullanılan temel tanımlar ve teoremler
verilmektedir.
Dördüncü bölümde integral sınır durumlu birinci mertebeden lineer olmayan
singüler pertürbe özellikli problem ele alınmıştır. 𝑢(𝑥) kesin çözümü 𝑥 = 0 noktası
civarında sınır katmanı içermektedir.
Beşinci bölümde lineer olmayan ikinci mertebeden çok noktalı singüler pertürbe
özellikli sınır değer problemi incelenmiştir. 𝑢(𝑥) kesin çözümünün 𝑥 = 0 ve 𝑥 = 1
civarında sınır katmanları vardır. Ayrıca problemde "Samarskii-Bitsadze Genel
Durumu" ile "İntegral Durumu" sınır şartları bulunmaktadır.
Altıncı bölümde lineer ikinci mertebeden çok noktalı singüler pertürbe özellikli
sınır değer problemi ele alınmıştır. 𝑢(𝑥) kesin çözümünün 𝑥 = 0 ve 𝑥 = 1 civarında
sınır katmanları bulunmaktadır. Lokal olmayan sınır şartı olarak "Samarskii-Bitsadze
Genel Durumu" vardır.
Yedinci bölümde konveksiyon ve difüzyon özellikli singüler pertürbe özellikli
çok noktalı sınır değer problemi çalışılmıştır. Problemin kesin çözümünün 𝑥 = 1
civarında sınır katmanı vardır. Ayrıca lokal olmayan sınır şartı olarak "Samarskii-
Bitsadze Genel Durumu" bulunmaktadır.
Yukarıda bölümlerde anlatılan her bir problemin 𝑢(𝑥) kesin çözümünün
özellikleri incelenmiştir. Dördüncü bölümde verilen problem için klasik fark şeması
kurulmuştur. Diğer bölümlerdeki fark şemaları ise üstel baz fonksiyonlarından, kalan
terimleri integral şeklinde olan ve ağırlık fonksiyonları içeren integral kuadratür
fonksiyonlarından yararlanılarak kurulmuştur. Shishkin ve Bakhvalaov şebekeler
üzerinde yaklaşık çözümün hata değerlendirmesi yapılmıştır. Fark şemasının ayrık
maksimum normda birinci mertebeden 𝜀 −düzgün yakınsaklığı sağlanmıştır. Yapılan
bu teorik işlemler verilen örneklere uygulanarak Gauss Eliminasyon metodu yoluyla
nümerik sonuçların teorik sonuçlarla uyumlu olduğu gösterilmiştir. Sonuçlar tablo ve
grafiklerle somutlaştırılmıştır. Kesin çözüm ile yaklaşık çözüm arasındaki ilişki Ek
bölümünde verilen Maple 10 bilgisayar programları ile elde edilmiştir.
Son olarak tezin değerlendirildiği sonuç bölümü verilmiştir.

Abstract:
In this thesis, the numerical solution of linear and nonlinear singularly perturbed
problems with nonlocal condition are given by finite difference method.
This study consists of seven main chapters.
The first section contains introduction and the second section is given literatures.
In the third section, basic definitions and theorems are given.
In the fourth section, first-order nonlinear singular perturbed problems with
integral boundary condition are discussed. The exact solution u(x) has boundary layers
at 𝑥 = 0.
In the fifth section, second-order nonlinear singularly perturbed multi-point
boundary value problem is investigated. The exact solution u(x) has boundary layers at
𝑥 = 0 and 𝑥 = 1. In addition, there are nonlocal conditions of Samarskii-Bitsadze
general type and integral type in this problem.
In the sixth section, second-order linear singularly perturbed multi-point
boundary value problem is discussed. The exact solution u(x) has boundary layers at
𝑥 = 0 and 𝑥 = 1. In addition, There are "Samarskii-Bitsadze general condition" as a
condition of nonlocal boundary.
In the seventh section, second-order linear singularly perturbed convectiondiffusion
multi-point boundary value problem is studied. The exact solution u(x) has
boundary layers at 𝑥 = 1. There is also nonlocal conditions of Samarskii-Bitsadze
general type in the problem.
Some properties of the exact solution of each problem described in the above
sections is investigated. In section 4, the classical difference scheme is used for
singularly perturbed problem. According to the perturbation parameter, by the method
of integral identities with the use exponential basis functions and interpolating
quadrature rules with the weight and remainder terms in integral form uniformly
convergent finite difference scheme is established for the other sections. The error
analysis for the difference scheme is performed scheme on Shishkin and Bakhvalov
mesh. ε- smooth convergence for approximate solution in the discrete maximum norm
is provided, which is the first-order (𝑂(ℎ)). This theoretical process is applied to the
samples.
By Gauss Elimination method, it has been shown to be consistent with the
theoretical results of numerical results. The results were embodied in tables and graphs.
The relationship between the approximate solution with the exact solution are obtained
by Maple 10 computer program given in the appendix.
Finally, the thesis is evaluated in the concluding section.