Riemann ve Riemann olmayan geometriler üzerinde jeodezik dönüşümler
Geodesics transformations on Riemann and non-Riemann geometries
Yazar: CANSU ANIL BAYRAKTAR
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ MUSTAFA DENİZ TÜRKOĞLU
Haliç Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Uygulamalı Matematik Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
"Riemann ve Riemann olmayan geometriler üzerinde jeodezik dönüşümler" adlı çalışma üç bölüm halinde tamamlanmıştır. Bu çalışmanın birinci bölümünde giriş kısmı yer almaktadır. Giriş bölümünde Riemann geometrinin çıkış noktası, manifold teorisi ve Weyl geometrisi verilerek, jeodezik dönüşümler hakkında genel bilgiler sunulmuştur. İkinci bölümde temel kavramlar ve tanımlar yer almaktadır. Bu bölümde eğik uzay, eğik çatı, eğik koordinat, Öklid uzayı, Öklid çatısı, Öklid koordinatı tanımlarına yer verilmiştir. Yüzey üzerinde diferansiyellenebilir fonksiyon ve eğriler incelenmiştir. Sonrasında Riemann uzayında koneksiyonlar incelenmiş olup Riemann eğrilik tensörü, konform eğrilik tensörü gibi temel tanım ve teoremler, Riemann eğrilik tensörü için birinci ve ikinci tip Bianchi özdeşlikleri ve Einstein uzayının tanımına yer verilmiştir. Benzer şekilde Weyl uzayı üzerinde analoji kurularak; Weyl uzayının eğrilik tensörleri ve ilgili özdeşlikleri sunulmuştur. Weyl uzayına dair konformal dönüşümlerden bahsedilmiştir. Üçüncü bölümde ise jeodezik, jeodezik yol, jeodezik ışın ve jeodezik uzayın tanımlarına yer verilmiştir. Son olarak seçilen bir örneğin jeodezik denklemleri ve bu denklemlerin çözümleri hem Riemann hem de Weyl uzayı altında incelenerek karşılaştırılmıştır. Tezin son bölümünde ise elde edilen sonuçlara dair genel bir değerlendirme verilerek, yeni çalışmalara yönelik önerilerde bulunulmuştur.

Abstract:
In this thesis Geodesics transformations on Riemann and non-Riemann geometries has been studied in three parts. The first part of this study includes the introduction. In the introduction, the starting point of Riemann geometry, manifold theory and Weyl geometry are given and general information about geodesic transformation is given. The second part includes basic concepts and definitions. In this section, the definitions of curved space, curved frame, curved coordinate, Euclidean space, Euclidean frame and Euclidean coordinate are given. Differentiable functions and curves on surfaces are studied. Then, by examining the connections on Riemannian space, basic definitions and theorems such as Riemannian curvature tensor, conformal curvature tensor, first and second type Bianchi identities for Riemannian curvature tensor, and Einstein space; definition are given. Similarly, curvature tensors of Weyl space and their corresponding identities are presented by making an analogy on the Weyl space. Conformal transformations related to Weyl space are mentioned. In the third chapter, definitions of geodesic, geodesic path, geodesic beam and geodesic space are given. Finally, geodesic equations and their solutions for an example are analyzed and compared under both Riemannian and Weyl spaces. In the last chapter of the thesis, the results obtained and suggestions for further studies are presented.