Eliptik bikuaterniyonlar ve onların matrisleri üzerine
On the elliptic biquaternions and their matrices
Yazar: KAHRAMAN ESEN ÖZEN
Danışman: PROF. DR. MURAT TOSUN
Sakarya Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Geometri Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2019
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez altı bölüm içermektedir. İlk bölüm giriş bölümü olup, literatür bilgisine ayrılmıştır.
İkinci bölümde cebirsel yapılar, kompleks sayılar, kompleks matrisler, eliptik sayılar ve eliptik matrisler ile ilgili temel kavram ve teoremler verilmiştir.
Üçüncü bölümden itibaren, geriye kalan bölümler tezin orjinal kısmını oluşturmaktadır. Üçüncü bölümde eliptik bikuaterniyonlar tanımlanarak eliptik bikuaterniyonlar cebiri yapılandırılmıştır. Ardından eliptik bikuaterniyonların eşleniği, iç çarpımı, yarı-normu, modülü ve tersi üzerinde durulmuştur.
Dördüncü bölümde eliptik kompleks değişkenli p-trigonometrik fonksiyonlar elde edilmiş ve eliptik bikuaterniyonlar p-trigonometrik formda ifade edilmiştir. Ayrıca eliptik bikuaterniyonlar için Euler ve De-Moivre formülleri verilmiş ve bu formüller yadımıyla eliptik bikuaterniyonların kuvvet ve kökleri hesaplanmıştır.
Beşinci bölümde sağ ve sol Hamilton operatörleri yardımıyla eliptik bikuaterniyonların 4x4 eliptik matris temsilleri elde edilmiştir. Ardından sol Hamilton operatörünün ürettiği 4x4 lük matrislerden oluşan matris uzayının  eliptik bikuaterniyonlar uzayına izomorf olduğu gösterilmiştir. Daha sonra bu matris uzayında yer alan matrisler için Euler ve De-Moivre formülleri çalışılmıştır. Bunun yanı sıra, eliptik bikuaterniyonlar cebirinin 2x2 lik eliptik matrisler cebirine izomorf olduğu gösterilerek eliptik bikuaterniyonların 2x2 lik eliptik matris temsilleri elde edilmiştir. Son olarak, eliptik bikuaterniyonlar cebiri üzerinde benzerlik, Moore-Penrose ters ve evrensel benzerlik çarpımı eşitliği gibi konular araştırılmıştır.
Son bölümde ise eliptik bikuaterniyon matrisleri tanıtılarak bu matrisler için eliptik matris temsilleri ve evrensel benzerlik çarpımı eşitliği verilmiştir. Daha sonra bu eşitlikten ve eliptik temsillerden yararlanarak eliptik bikuaterniyon matrislerinin benzerliği, Moore-Penrose tersleri ve özdeğer-özvektörleri gibi temel konulara ilişkin çeşitli sonuçlar elde edilmiştir.

Abstract:
This study includes six sections. The first section is an introduction devoted to the literature knowledge. 
In the second section, fundamental definitions and theorems related to the algebraic structures, complex numbers, complex matrices, elliptic numbers and elliptic matrices are given.
From the third chapter, the remaining chapters constitute the original part of the thesis. In the third section, the elliptic biquaternions are defined and the algebra of elliptic biquaternions is constructed. Then, the terms; conjugate, inner product, semi-norm, modulus and inverse are discussed for elliptic biquaternions.
In the fourth section, p-trigonometric functions of an elliptical complex variable are obtained and elliptic biquaternions are expressed in the p-trigonometric form. Also, De-Moivre's and Euler formulas for elliptic biquaternions are given and the powers and roots of elliptic biquaternions are calculated with the aid of these formulas.
In the fifth section, 4x4 elliptic matrix representations of elliptic biquaternions are obtained with the aid of the left and right Hamilton operators. Afterwards, it is showed that the space of 4x4 matrices generated by left Hamilton operator is isomorphic to the space of elliptic biquaternions. Then, De-Moivre's and Euler formulas are studied for the matrices of this matrix space. On the other hand, it is showed that the elliptic biquaternion algebra is algebraically isomorphic to the 2x2 total elliptic matrix algebra and so, 2x2 elliptic matrix representations of elliptic biquaternions are obtained. Lastly, the concepts of similarity, Moore-Penrose inverse and the universal similarity factorization equality are investigated over the elliptic biquaternion algebra.
In the last section, after the concept of elliptic biquaternion matrices is introduced, elliptic matrix representations and universal similarity factorization equality are given for these matrices. Afterwards, with the aid of these representations and this equality, various results are obtained on some basic topics such as similarity, generalized inverses and eigenvalues-eigenvectors of elliptic biquaternion matrices.