Yeni koronavirüs (SARS CoV-2) pandemisinin yayılımı üzerine matematiksel modellerin Pell-Lucas polinom çözümleri: Türkiye örneği
Pell-Lucas polynomial solutions of mathematical models on the spread of the novel coronavirus (SARS CoV-2) pandemıc: The case of Türkiye
Yazar: GAMZE YILDIRIM
Danışman: PROF. DR. ŞUAYİP YÜZBAŞI
Akdeniz Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez, yeni koronavirüsün (SARS CoV-2) yayılımını modellemek için geliştirilmiş beş epidemik modelin Pell-Lucas kollokasyon yöntemiyle yaklaşık çözümlerini elde etmeyi amaçlamaktadır. Bu modeller, SIR modeli, SIRD modeli, SEIQR modeli, kesirli SIR modeli ve zaman gecikmeli SIRD modelidir. Yöntem için öncelikle seçilen bir N>0 sayısı için Pell-Lucas polinomları matris formda ifade edilmiştir. Bu matris formu yardımıyla modellerdeki her bir terimin matris bağıntıları oluşturulmuştur. Elde edilen matris bağıntıları ve kollokasyon noktaları yardımıyla, COVID-19'un modellemeleri, doğrusal olmayan cebirsel bir denklem sistemine indirgenmiştir. Bu sistem çözülerek matris formda ifade edilen Pell-Lucas polinom çözümündeki katsayı matrisi hesaplanmıştır. Böylece, epidemik modellerin yaklaşık çözümleri Pell-Lucas polinomlarına bağlı olarak elde edilmiştir. Ek olarak, her bir model için hata analizi yapılmıştır. Bunun için ilk olarak, her bir model için hataların üst sınırını belirleyen bir teorem verilerek ispatlanmıştır. Daha sonra, rezidüel fonksiyon kullanılarak her bir model için hata tahmin tekniği geliştirilmiştir. Diğer taraftan, Türkiye'de COVID-19 salgınının gelişimini ortaya koymak için, sunulan yöntemlerin uygulamaları yapılmıştır. Uygulamalar, her model için MATLAB'da yazılan kodlarla yapılmış ve Türkiye'deki COVID-19 verileri ile test edilmiştir. Böylece seçilen bir N sayısı için, kısa sürede sonuçlar elde edilmiştir. Uygulama sonuçlarının değerlendirilmesi için, hem rezidüel mutlak hatalar hem de tahmini mutlak hatalar incelenmiştir. Epidemik modellerin tam çözümleri bilinmediği için, bu hataların incelenmesi büyük önem taşımaktadır. Bu uygulamalar sonucunda, genellikle N veya (N,M) değerleri arrtıkça hatanın azaldığı gözlemlenmiştir. Üstelik, bu sonuçlar Runge-Kutta yönteminden (RK4) elde edilen sonuçlarla da kıyaslanmıştır. Bu sonuçlar, MATLAB programındaki ``ode45'' fonksiyonu kullanılarak elde edilmiştir. Tüm sonuçların kullanışlılık, etkililik ve güvenilirliğini göstermek amacıyla, sayısal veriler çeşitli tablo ve grafiklerle desteklenmiştir. Sonuç olarak, tezdeki grafiklerden, bizim yöntemimizle RK4 yönteminin sonuçlarının benzer olduğu gözlemlenmiştir. Tüm bunlara ek olarak, bazı modellerin çıktıları, Türkiye Sağlık Bakanlığı tarafından açıklanan verilerle karşılaştırılarak sonuçlar ayrıntılı bir şekilde incelenmiştir.  Yönteme göre, karantina gibi uygun izolasyon önlemlerine devam edilmesi durumunda salgının azalacağı öngörülmüştür. Tüm simülasyonlara göre, sunulan yöntemin etkili ve güvenilir olduğu sonucuna varılmıştır. Dolayısıyla bu tez, salgın hastalıklarla karşılaşıldığında salgının seyrine dair güvenilir öngörülerde bulunma kapasitesine sahip olduğu için, büyük bir öneme sahiptir. Ayrıca, yöntemlerimiz bu tür problemleri bilimdeki uygulamalarla simüle etmek için, etkili bir çalışma olarak değerlendirilebilir.

Abstract:
This thesis aims to obtain the approximate solutions of five epidemic models developed to model the spread of the novel coronavirus (SARS CoV-2) using the Pell-Lucas collocation method. These models are the SIR model, the SIRD model, the SEIQR model, the fractional SIR model and the SIRD model with time-delay. For the method, firstly the Pell-Lucas polynomials are expressed in matrix form for a selected N>0 value. With the help of the obtained matrix form, the matrix relations of each term in the models are created. With the help of the obtained matrix relations and collocation points, the modeling of COVID-19 is reduced to a system of nonlinear algebraic equations. By solving this system, the coefficient matrix in the Pell-Lucas polynomial solution expressed in matrix form is calculated. Thus, the approximate solutions of the epidemic models are obtained based on the Pell-Lucas polynomials. In addition, the error analysis is performed for each model.For this purpose, firstly, a theorem is given and proved to determine the upper bound of the errors for each model. Then, an error estimation technique is developed for each model using the residual function. On the other hand, the applications of the presented methods are made to reveal the evolution of the COVID-19 pandemic in Turkey. The applications are made with codes written in MATLAB for each model and tested with COVID-19 data in Turkey. Thus, for a selected N value, the results are obtained in a short time. To evaluate the application results, both the residual absolute errors and the estimated absolute errors are analyzed. Since the exact solutions of the epidemic models are not known, it is of great importance to examine these errors. As a result of these applications, it can be said that the errors generally decrease as the values of N or (N,M) increase. Moreover, these results are compared with the results obtained from the Runge-Kutta method (RK4). These results are obtained using ``ode45'' function in the MATLAB. In order to demonstrate the usefulness, effectiveness and reliability of all the results, the numerical data are supported by various tables and graphs. As a result, from the graphs in the thesis, it is observed that the results of our method and the RK4 method are similar. Additionally, the outputs of some of the models are compared with the data announced by the Turkish Ministry of Health and the obtained results are analyzed in detail. According to the method, it is predicted that the epidemic is decrease if appropriate isolation measures such as quarantine are continued. According to all simulations, it is concluded that the presented method is effective and reliable. Therefore, this thesis is of great importance as it has the capacity to make reliable predictions in case such problems are encountered. Moreover, our methods can be considered as an effective work to simulate such problems with applications in science.