Bazı kısmi diferensiyel denklemlerin B-spline diferensiyel quadrature metodu ile nümerik çözümleri
Numerical solutions of some partial differential equations with B-spline differential quadrature method
Yazar: ALİ BAŞHAN
Danışman: YRD. DOÇ. DR. TURABİ GEYİKLİ ; YRD. DOÇ. DR. SEYDİ BATTAL GAZİ KARAKOÇ
İnönü Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2015
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Burgers denklemi = Burgers equation ; Diferensiyel quadrature yöntemi = Differential quadrature method ; Kararlılık = Stability ; Kısmi diferensiyel denklemler = Partial differential equations

Özet:
Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, tezde kullanılacak olan
diferensiyel quadrature metodu hakkında bazı genel bilgiler verildikten sonra spline
fonksiyonlar, B-spline fonksiyonlar, Thomas algoritmaları, dördüncü mertebeden
Runge-Kutta algoritması, kararlılık ve yakınsama oranı hakkında temel bilgiler verildi.
İkinci bölümde, daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan B-spline diferensiyel
quadrature metotlar hakkında temel bilgiler verildi.
Üçüncü böülümde, mKdV denkleminin kuintik B-spline diferensiyel quadrature
metot ile nümerik çözümleri elde edildi. Bu yöntem ele alınan dört test probleme
uygulandı. Elde edilen nümerik sonuçlar literatürde mevcut olan bazı sonuçlar ile
karşılaştırılarak hata normları ve korunum sabitleri tablolar halinde verildi. Elde
edilen nümerik çözümlerin ve bu çözümler elde edilirken kullanılan katsayı matrisinden
elde edilen özdeğerlerin grafikleri verilerek kararlılık analizi incelendi.
Dördüncü bölümde, KdVB denkleminin yanısıra KdV ve Burgers' denklemlerinin
de kuintik B-spline diferensiyel quadrature metot ile nümerik çözümleri elde edildi.
Bu yöntem, ele alınan dört test probleme uygulandı. Elde edilen nümerik sonuçlar
literatürde mevcut olan bazı sonuçlar ile karşılaştırılarak hata normları ve korunum sabitleri tablolar halinde verildi. Elde edilen nümerik çözümlerin ve bu çözümler elde
edilirken kullanılan katsayı matrisinden elde edilen özdeğerlerin grafikleri verilerek
kararlılık analizi incelendi.
Beşinci bölümde, mBurgers' denkleminin kuintik ve kuartik B-spline diferensiyel
quadrature metotlar ile nümerik çözümleri elde edildi. Bu yöntemler ele alınan bir
test probleme uygulandı. Elde edilen nümerik sonuçlar literatürdeki mevcut sonuçlar
ile karşılaştırılarak hata normları tablolar halinde verildi. Önceki bölümlerde olduğu
gibi elde edilen nümerik çözümlerin ve bu çözümler elde edilirken kullanılan katsayı
matrisinden elde edilen özdeğerlerin grafikleri verilerek kararlılık analizi
incelendi.

Abstract:
This thesis consists of five chapters. In the first chapter, after giving some general
information about the differential quadrature method which will be used in the
thesis, fundamental concepts about spline functions, and B-spline functions, Thomas
algorithms, fourth order Runge-Kutta algorithm, stability, and rate of convergence
are presented.
B-spline differential quadrature methods are presented in the second chapter. The
weighting coefficients, necessary to approximate the derivatives, are determined by
using B-spline functions.
In the third chapter, numerical solutions of the mKdV equation are obtained
by quintic B-spline differential quadrature method. This method is applied to four
model problems. The obtained numerical results are compared with existing results
in the literature, the error norms and the invariants are given in the form of tables.
The figures of the numerical solutions and eigenvalues of the solutions are given and
the stability analysis of the approximation obtained by applying quintic B-spline
differential quadrature method is also investigated.
In the fourth chapter, besides numerical solutions of the KdVB equation, numerical
solutions of the KdV and Burgers' equations are also obtained by quintic B-spline
differential quadrature method. The method is applied to four model problems. The
obtained numerical results are compared with existing results in the literature, the
error norms and the invariants are given in the form of tables. The figures of the
numerical solutions and eigenvalues of the solutions are given and the stability analysis
of the approximation obtained by applying quintic B-spline differential quadrature
method is also investigated.
In the fifth chapter, numerical solutions of the mBurgers' equation are obtained
by quintic and quartic B-spline differential quadrature methods. Both methods are
applied to one model problem. The obtained numerical results are compared with
existing results in the literature, the error norms are given in the form of tables.
The figures of the numerical solutions and eigenvalues of the solutions are given and
the stability analysis of the approximation obtained by applying quintic and quartic
B-spline differential quadrature methods is also investigated.