Genel singüler denklemlerin çözümü hakkında
About the solution of general singular equations
Yazar: BEYAZ BAŞAK KOCA
Danışman: PROF. DR. NAZIM SADIK
İstanbul Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2011
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Tekil integral denklemi = Singular integral equation ; İntegral denklemler = Integral equations

Özet:
Bu tez çalışmasında, normal tipli genel singüler denklemler için yeni bir çözüm yöntemi verilmiş ve bu yöntemin uygulaması olarak bir sınıf konvolüsyon tipli integraldenklemin çözümü bulunmuştur.Genel Kısımlar bölümünde, bazı singüler integral denklemlerin çözülebilirliğinin incelendiği önemli çalışmaların özeti verilmiştir. İlk olarak, Fredholm integral denklemlerinin kısa bir teorisine bakılmış ve bu denklemlerin çözülebilirliğini gösteren, bugün Fredholm teoremleri olarak anılan teoremler verilmiştir. Daha sonra Fredholm teoremleri, daha geniş ve soyut denklem türleri için incelenmiş ve sırasıyla F.Riesz - J.Schauder [5], S.Nikolskii [1] 'nin çalışmalarından bizim için gerekli olan kısımları verilmiştir. Bu çalışmalarda incelenen denklemlerin, homogen kısımlarının lineer bağımsız çözümlerinin sayısı ile eşlenik homogen denklemlerin lineer bağımsız çözümlerinin sayısı sonlu ve aynıdır. Çalışmanın devamında, bu özelliğin sağlanmadığı Cauchy çekirdekli singüler integral denklemlerin kısa bir teorisine bakılmış ve bu denklemlerin çözülebilirliğini veren, bugün Noether teoremleri adıyla anılan teoremler verilmiştir. Daha sonra, Noether teoremlerini daha soyut denklemler için inceleyen F.V.Atkinson 'un [2] çalışmasına bakılmıştır.Z.I.Halilov [3], Cauchy çekirdekli singüler integral denklemlere, operatör denklemleri gözüyle bakmış ve bu denklemlerin soyut halini incelemiştir. İlk olarak Halilov 'un tanımladığı ve normal tipli genel singüler denklem adını verdiği denklem türleri bu çalışmanın temelini oluşturmaktadır. Halilov, bu tip denklemlerin Noether teoremlerini sağladığını gösterdikten sonra, YU.I.Cherskii [4], bu tip denklemleri faktörizasyon işlemlerini kullanarak benzer Riemann sınır değer problemine indirgemiş ve bir çözüm vermiştir.Bu çalışmanın amacı, Halilov 'un çözülebilirliğini gösterdiği normal tipli genel singü\-ler denklemler için Cherskii 'nin verdiği çözüm yönteminden daha basit ve kolay bir çözüm yöntemi vermektir. Bulgular kısmında verilen bu yeni yöntem, faktorizasyon işlemleri kullanılmadan normal tipli genel singüler denklemlerin çözümünü elde etmemizi sağlamaktadır. Son olarak, bu yöntemin bir uygulaması yapılmış, bir sınıf konvolüsyon tipli integral denklemin çözümü verilmiştir.[1] NIKOLSKII, S., 1943, Linear Equations in Normed Linear Space, Izv.Akad.Nauk SSSR, Ser. Mat, 7:3, 146-166 (Rusça)[2] ATKINSON, F.V., 1951, The Normal Solubility of Linear Equations in Normed Space, Mat. Sb.(N.S.), 28(70):1, 3-14 (Rusça)[3] HALILOV, Z.I., 1949, Linear Singular Equations in a Normed Ring, Izv.Akad.Nauk SSSR, Ser. Mat 13:2, 163-176 (Rusça)[4] CHERSKII, YU.I., 1957, The General Singular Equation and Equations of Convolution Type, Mat.Sb .41:3(83), 277-296 (Rusça)[5] YOSIDA, K., 1974, Functional Analysis, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 123, Springer-Verlag

Abstract:
In this study, a new solution method is given for general singular equation of normal type. As an application of this method, solutions for a class of convolution type integral equation have been found.In the section of General Parts, summaries of important studies in which solubility of some singular integral equations are presented. Initially, a short theory of Fredholm integral equations is studied, then theorems -known as Fredholm Theorems- which shows solubility ofthese equations are presented. Afterwards, Fredholm theorems are examined for wider and more abstract equation types and necessary parts of studies of F. Riesz - J. Schauder [17], S. Nikolskii [3] are respectively presented. The number of linearly independent solutions of the homogenous parts of the equations, which are studied in these studies, is finite and equals to the number of linearly independent solutions of the adjoint homogeneous equations. Later, a short theory of singular integral equations with Cauchy kernel, which does not satisfy the property presented above, is investigated and theorems, known as Noether Theorems, that givesolubility of these equations are given. Thereafter, the study of F.V. Atkinson [4], which investigates Noether theorems for more abstract equations, is analyzed.Z.I. Halilov [5] considered singular integral equations with Cauchy kernel as operator equations and examined abstract case of these equations. General singular equations of normal type, which is, for the first time, defined by Halilov forms the basis for this study. After Halilov indicated that, this type of equations satisfies Noether Theorems, YU. I. Cherskii [6] has reduced this type of equations to Riemann boundary value problem by using factorization and has found a solution for the equations.The purpose of this study is to provide a new solution method for general singular equations of normal type, which is easier and more simple than Cherskii ?s method. This new method presented at Findings part enables us to find solutions for normal type general singular equations without using factorization. Finally, an application of this new method is done and solution of a class of convolution type integral equation is presented.[1] NIKOLSKII, S., 1943, Linear Equations in Normed Linear Space, Izv.Akad.Nauk SSSR, Ser. Mat, 7:3, 146-166 (Rusça)[2] ATKINSON, F.V., 1951, The Normal Solubility of Linear Equations in Normed Space, Mat. Sb.(N.S.), 28(70):1, 3-14 (Rusça)[3] HALILOV, Z.I., 1949, Linear Singular Equations in a Normed Ring, Izv.Akad.Nauk SSSR, Ser. Mat 13:2, 163-176 (Rusça)[4] CHERSKII, YU.I., 1957, The General Singular Equation and Equations of Convolution Type, Mat.Sb .41:3(83), 277-296 (Rusça)[5] YOSIDA, K., 1974, Functional Analysis, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 123, Springer-Verlag