Rn ve Rn içerisinde gömülü katmanlar üzerinde integrasyon
Integration on Rn and manifolds which are immersed in Rn
Yazar: İSMAİL ÇUVALCI
Danışman: PROF. DR. SAADETTİN ERDEM
Anadolu Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2009
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: İntegraller = Integrals

Özet:
Bu çalışmada, $\mathbb{R}^n$ ve $\mathbb{R}^n$ içerisinde gömülükatmanlar üzerinde sayısal değerli fonksiyonların integraliincelenmiştir. Bu amaçla sekiz bölümden oluşan bu ça\-lış\-ma\-nın,ilk bölümünde ileriki bölümler için gerekli tanım, önerme veteoremler sunulmuştur. İkinci bölümde sıfır ölçüm ve sıfır içeriktanımlamıştır. Ayrıca ikinci bölüm içerisinde sıfır ölçümlü ve sıfıriçerikli küme örnekleri verilip, bu iki kavram arasındaki ilişkiifade edilmiş, temel sonuçlar kanıtlanmıştır. Üçüncü bölümdeintegrallenebilme için gerekli ve yeterli bir koşul verilip,integralin genel özellikleri sunulmuştur. Ayrıca integrasyon$\mathbb{R}^n$ içindeki kapalı dörtgenlerden herhangi sınırıkümeler üzerine genişletilip, bu genişlemenin genel özellikleriincelenmiştir. Dörd\-ün\-cü bölümde Fubini Teoremi ifade edilmiş vekanıtlanmıştır. Beşinci bölümde Has Olmayan İntegraller tanımlanıpgenel özellikleri sunulmuştur. Ayrıca, yine bu bölüm içerisindebundan önceki bölümlerde yer alan integral ile has olmayan integrala\-ra\-sın\-da\-ki ilişki ifade edilmiştir. Altıncı bölümde BiriminParçalanışı tanımlanıp, varlığı ka\-nıt\-lan\-mış\-tır. Yedincibölümde Değişken Değiştirme Teoremi ifade edilmiştir. Son bölümdeise $\mathbb{R}^n$-uzayı içinde katmanlar tanımlanıp, çeşitli katmanörnekleri verildikten sonra, bu katmanlar üzerinde sayısal değerlifonksiyonların integrali incelenmiştir.

Abstract:
In this thesis, integration of scaler functions on $\mathbb{R}^n$and on manifolds which are immersed in $\mathbb{R}^n$ is examined indetail. For this purpose; some definition, propositions and theorems-which are needed for the remaining sections- are presented in thefirst section of total eight. In the second, the concepts of measurezero and content zero are introduced. Furthermore examples ofmeasure zero and content zero sets are provided and interrelationbetween these two concepts are expressed and some basic results areproved. In the third section, necessary and sufficient condition forintegrability of functions are given, and some general properties ofintegration are expressed. Moreover the integration on a closedrectangle in $\mathbb{R}^n$ is generalized to on an arbitrarybounded subset of $\mathbb{R}^n$ and again; some basic properties ofit are investigated. In the fourth part, Fubini's Theorem is statedand proved. In the fifth part, Improper Integrals are defined andgeneral properties of them are presented. Further, interrelationbetween the ordinary and improper integral are expressed. In thesixth part, Partition of Unity is defined and its existence isproved. In the seventh part, Change of Variables Theorem isexpressed. Finally, in the last part, manifolds in $\R^n$ aredefined and various examples are given. Moreover, the concept ofintegration of scaler functions is generalized to on such manifoldsand some of its properties are investigated.