Bazı evrimsel denklemlerin çözümlerinin uzun zaman davranışı
Long time behavior of solutions of some evolution equations
Yazar: PELİN GÜVEN GEREDELİ
Danışman: PROF. DR. AZER KHANMAMMADOV
Hacettepe Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2012
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Dinamik sistemlerin asimptotik davranışının incelenmesi modern matematiğin önemli problemlerinden biridir. Bu problemi ele almanın bir yolu da yerel olmayan çekicinin varlığını ve bu çekicinin yapısını (düzgünlüğünü ve sonlu boyutluluğunu) analiz etmektir.Kısmi diferansiyel denklemlerin yerel olmayan çekicileri 1980' li yıllardan itibaren kapsamlı olarak incelenmeye başlanmış ve daha sonra bu teoriye ilişkin birçok çalışma yapılmıştır. İçerisinde?_{p}u=div(|u|^{p-2}u)p-Laplacian operatörünü bulunduran parabolik denklemlerin yerel olmayan çekicileri esasen 2000' li yıllarda çalışılmıştır. Son yıllarda ise ağırlık fonksiyonu içeren p-Laplacian operatörüne sahip kuazi-lineer parabolik denklemlerin yerel olmayan çekicileri incelenmeye başlanmıştır.Bu tez çalışmasında da ağırlıklı p-Laplacian operatörü içerenu_{t}-div(?(x)|u|^{p-2}u)+ß(x)u+f(x,u)=g(x),xR?,t>0denkleminin çözümlerinin uzun zaman davranışı incelenmiş ve daha zayıf koşullar altında yerel olmayan çekicisinin varlığı gösterilmiştir.Birinci bölümde, tezimizin üçüncü ve dördüncü bölümlerinde incelenecek olan Cauchy problemleri tanıtılarak ?, ß ve f fonksiyonları üzerine gerekli koşullar konulmuştur. Ayrıca, evrimsel ve özellikle parabolik denklemlerin yerel olmayan çekicilerinin varlığı ile ilgili yapılmış çalışmalardan bahsedilmiştir.İkinci bölüm, çalışmamızda ihtiyaç duyulan bazı temel kavramların verilmesine ve bazı lemmaların ifade ve ispatlarına ayrılmıştır.Üçüncü bölümde, yukarıdaki kuazi-lineer parabolik denklemin zayıf çözümlerinin varlığı Galerkin yöntemi kullanılarak gösterilmiş ve bu çözümlerin ürettiği çok değerli yarı akışın L²(R?)' de yerel olmayan çekicisinin varlığı elde edilmiştir.Son bölümde ise üçüncü bölümden farklı olarak f fonksiyonunun x değişkenine bağlı olmadığı kabul edilerek üstten hiçbir sınırlama konulmaksızınu_{t}-div(?(x)|u|^{p-2}u)+ß(x)u+f(u)=g(x),xR?,t>0denkleminin zayıf çözümünün varlığı Galerkin yöntemi ve Orlicz uzaylarındaki zayıf yakınsaklık teknikleri kullanılarak gösterilmiş ve zayıf çözümlerin ürettiği yarıgrubun L²(R?)' de yerel olmayan çekicisinin varlığı ispatlanmıştır.

Abstract:
The investigation of the asymptotic behaviour of dynamical systems is one of the most important problems of modern mathematics. One way to treat this problem is to analyze the existence and the structure (smoothness and finite dimensionality) of this attractor.Global attractors of partial differential equations have extensively been begun to investigate after 1980 and then lots of works have been done regarding to this theory. Global attractors of parabolic equations which involves the p-Laplacian operator?_{p}u=div(|u|^{p-2}u)were essentially studied in the years of 2000. In the last years, global attractors of quasilinear parabolic equations which involves the weighted p-Laplacian operator have been begun to studied.Also in this thesis, the long time behaviour of the solutions tou_{t}-div(?(x)|u|^{p-2}u)+ß(x)u+f(x,u)=g(x),xR?,t>0which involves weighted p-Laplacian operator, has been investigated and the existence of the global attractors has been shown.In the first section, introducing the Cauchy problems which will be studied in the thirth and fourth sections, we imposed the necessary conditions on the functions ?, ß and f. Additionally, the works which are related to the existence of the global attractors of evolution and especially parabolic equations have been mentioned.In the second section, we give the definitions of some basic notions, the statements of some lemmas and their proofs.In the thirth section, using the Galerkin method, we show the existence of the weak solutions of the quasilinear parabolic equation which is given above and then we obtain that the multi valued semiflow generated by these solutions has a global attractor in L²(R?).In the last section, different from the thirth one, assuming that the function f does not depent on the variable x and has not an upper growth condition we show the existence of the weak solution tou_{t}-div(?(x)|u|^{p-2}u)+ß(x)u+f(u)=g(x),xR?,t>0by using Galerkin method and the weak convergence technics in Orlicz spaces and then we prove that the semigroup generated by these solutions has a global attractor in L²(R?).