$B_{n}$-tipi coxeter gruplarının indirgenmiş cebirleri
Descent algebras of B n-type coxeter group
Yazar: HASAN ARSLAN
Danışman: PROF. DR. HİMMET CAN
Erciyes Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2015
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Sonlu bir $(W,S)$ Coxeter grubunun $\mathbb{Q}W$ grup cebirinin bir alt cebiri olan $\sum(W)$ indirgenmiş Solomon cebiri, bu grubun reprezantasyon teorisini incelemek için önemli bir araçtır. $B_{n}$-tipi sonlu bir $W_{n}$ Coxeter grubu için tanımlanan $\sum^{'}(W_{n})$ Mantaci-Reutenauer cebiri $A_{n}$ ve $B_{n}$-tipi indirgenmiş Solomon cebirlerini kapsamaktadır. $B_{n}$ tipi indirgenmiş Solomon cebirinden ziyade Mantaci-Reutenauer cebiri, $W_{n}$ grubunun reprezantasyon teorisi hakkında bir çok bilgiye ulaşmamıza yardımcı olur. Örneğin Mantaci-Reutenauer cebirinin yapısından yararlanarak, $W_{n}$ grubunun cuspidal sınıfları, karakteristik sınıf fonksiyonları ve konjuge sınıflarının eleman sayısı kolaylıkla elde edilebilmektedir.

Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, diğer bölümlerde kullanılacak olan temel tanımlar, teoremler ve sonuçlar ifade edilmiştir. İkinci bölümde sonlu bir Coxeter grubunun indirgenmiş Solomon cebiri ve Mantaci-Reutenauer cebirinin yapısı ve özellikleri verilmiştir. Ayrıca $W_{n}$ grubunun cuspidal sınıfları ve $S_{n}$-tipi elemanlarının sınıfı elde edildi, burada $S_{n}$, $W_{n}$ grubunun temel üreteç kümesidir. Üçüncü bölümde $W_{n}$ grubunun indirgenemez karakterlerinin $\mathbb{Q}\textrm{Irr}W_{n}$ cebirine izomorf olan $B_{n}$-tipi genelleştirilmiş Burnside cebiri $HB(W_{n})$ inşa edildikten sonra Mantaci-Reutenauer cebiri ile bu cebir arasında örten bir cebir morfizmi tanımlandı. Ayrıca, $HB(W_{n})$ cebirinin ortogonal primitif idempotentleri inşa edildi ve daha sonra bu idempotentlerin kısıtlama ve genişlemeleri elde edildi. Dördüncü bölümde, Mantaci-Reutenauer cebirinin iz fonksiyonları tanımlandı. Yine bu bölümde sonlu bir Coxeter grubunun indirgenmiş Solomon cebiri ve Mantaci-Reutenauer cebirinin birimlerinin yapısı elde edilmiştir. Son olarak beşinci bölümde, önceki bölümlerde elde edilen sonuçlar değerlendirilmiş ve bu konu ile ilgili üzerinde çalışılabilecek bazı problemler önerilmiştir.

\textbf{Anahtar Kelimeler:}  Coxeter grubu, Solomon cebiri, Mantaci-Reutenauer cebiri, birim, iz fonksiyonu, karakteristik sınıf fonksiyonu.

Abstract:
Solomon's descent algebra $\sum(W)$ which is a subalgebra of the group algebra $\mathbb{Q}W$ of a finite Coxeter group $(W,S)$ is an important tool to investigate the representation theory of this group. Mantaci-Reutenauer algebra $\sum^{'}(W_{n})$ defined for a finite Coxeter group $W_{n}$ of type $B_{n}$ covers Solomon's descent algebra of type $A_{n}$ and $B_{n}$. Mantaci-Reutenauer algebra rather than Solomon's descent algebra of type $B_{n}$ helps us to reach many information about the representation theory of the group $W_{n}$. For instance, by using the structure of Mantaci-Reutenauer algebra, the cuspidal classes, characteristic class functions and the size of the conjugacy classes of $W_{n}$ can be easily obtained.

This thesis consists of five chapters. In the first chapter, fundamental definitions, theorems and corollaries which will be used in the other chapters has been expressed. In the second chapter, we give the structures and some properties of both Solomon's descent algebra $\sum(W)$ of a finite $W$ Coxeter group and Mantaci-Reutenauer algebra. Moreover, we obtain the cuspidal classes of the group $W_{n}$ and the class of the elements of type $S_{n}$, where $S_{n}$ is the fundamental generating set of $W_{n}$. In the third chapter, we construct generalized Burnside algebra $HB(W_{n})$ of type $B_{n}$ which is isomorphic to the algebra $\mathbb{Q}\textrm{Irr}W_{n}$ of the irreducible characters of $W_{n}$ and then we define a surjective algebra map between this algebra and Mantaci-Reutenauer algebra. Furthermore, we determine the orthogonal primitive idempotents of $HB(W_{n})$ and obtain the restriction and induced characters of them. In the forth chapter, we define the trace functions of Mantaci-Reutenauer algebra, and we also give the structure of units of Solomon's descent algebra $\sum(W)$ of a finite $W$ Coxeter group and Mantaci-Reutenauer algebra. Finally, in the last chapter, the results obtained throughout this thesis have been commented and some problems which may be studied relating with this area have been suggested.

\textbf{Keywords}: Coxeter group, Solomon's descent algebra, Mantaci-Ruetenauer algebra, unit, trace function, characteristic class function.