Neuts'un matris geometrik yöntemi ile hizmet süresi hipo-üstel dağılıma uyan kuyruk modelinin ergodiklik sonuçları ve performans ölçülerinin elde edilmesi
Neuts' matrix geometric method is used to obtain the ergodic results and performance measures of the tail model with hypoexponential distribution over time
Yazar: MÜFİDE MELTEM OKTAY
Danışman: PROF. DR. VEDAT SAĞLAM
Ondokuz Mayıs Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / İstatistik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2018
Konu: İstatistik = Statistics

Özet:
Kuyruk sistemlerinde genelde gelişler arası süre ve hizmet süresi üstel kabul
edilmektedir. Bu durum doğum ölüm süreci olarak adlandırılır. Ama birçok gerçek
kuyruk modellerinde bu varsayım sağlanmaz. Dolayısı ile üstel dağılımın belleksizlik
özelliğinden uzaklaşmadan daha genel dağılımlar tanımlanabilir. Bu dağılımlara
genel olarak faz dağılımları denir. Bu faz dağılımlarından bir tanesi de hipo-üstel
dağılımdır. Servis süresine ait göreli varyans 1'den küçük olduğu durumlarda hizmet
süresini modellemek için hipo-üstel dağılım kullanılabilir.
Bu tezde gelişler arası süre 𝜆 parametresi ile üstel dağılıma ve servis süresi hipo-üstel
dağılıma uyan bir kuyruk modeli incelenmiştir. Bu modelde sistemdeki müşteri
sayısı ve hizmet alan müşterinin hangi fazda olduğunun gösteren (𝑘, 𝑖) ikilisi için
Markov eşitlik kurulabilir. Böylece geçiş oranları matrisi tipik bloklu üçgensel forma
sahiptir. Bu alt matrisler yardımı ile elde edilen ardışık 𝑅𝑙 matrisinin monoton artan
ve 𝑅 gibi bir matrise yakınsadığı Neuts (1981) tarafından gösterilmiştir. Bu 𝑅 matrisi
yardımı ile sisteme ait sabit durum olasılıklarının nümerik bir çözümü elde edilmiştir
ve sisteme ait performans ölçüleri bulunmuştur.

Anahtar Kelimeler: Kuyruk sistemleri, Poisson gelişler, Markov zinciri, Faz tipi
dağılımlar, Performans ölçümleri

Abstract:
In queueing system the interarrival and service times are usually assumed as
exponentially distributed. This case is named as birth-death process, but in real life
this assumption is not valid in many queueing models. Hence, more general
distributions can be determined with preserving the memoryless property of
exponential distribution. These distributions are generally called as phase
distributions and one of which is hypo-exponential distribution. When the squared
coefficient variance of service time is less than 1, the hypo-exponential distribution
can be used to model the service time.
In this thesis a queueing model, in which arrivals are exponentially distributed with
parameter 𝜆 and service time is hypo-exponentially distributed, is investigated. In
this model a Markovian equality can be constructed for (𝑘, 𝑖) pair that indicates the
number of customer in system and the phase in which the customer is being served.
Therefore, the transition rate matrix is in block tri-diagonal form. Neuts (1981)
showed that, the sequential matrix 𝑅𝑙
, which is obtained by using sub-matrices, is
monotone increasing and converges to the matrix 𝑅. By using this 𝑅 matrix, a
numerical solution of the steady-state probabilities of the system and the measure of
performances are obtained.

Key Words: Queueing systems, Poisson arrival, Markov chain, Phase-type
distribution, performance measures