Operatör splitting B-spline kollokasyon yöntemi ile bazı kısmi türevli diferansiyel denklemlerin çözümleri
Solutions of some partial differential equations by operator splitting B-spline collocation method
Yazar: İHSAN ÇELİKKAYA
Danışman: DOÇ. DR. YUSUF UÇAR ; DOÇ. DR. NURİ MURAT YAĞMURLU
İnönü Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2018
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu doktora tez çalışması beş bölümden oluşmaktadır. Tezin giriş bölümünde, kısmi diferansiyel denklemlerle ifade edilen çeşitli fiziksel olaylar, tezde kullanılan sonlu eleman ve operatör splitting yöntemlerinin kısa bir özetinin yanı sıra nümerik çözümleri elde edilen Burgers', modifiye edilmiş Burgers' (mBE), düzenli uzun dalga (RLW) ve coupled Burgers' denklemlerinin yapısı verildi.
İkinci bölümde, tezde kullanılacak olan sonlu eleman ve operatör splitting yöntemleri ile ilgili temel tanım ve kavramlar verildi. Sonlu eleman yöntemiyle birlikte kullanılan kollokasyon yöntemi, spline fonksiyonlar, B-spline fonksiyonlar ve kübik B-spline fonksiyonlar detaylı olarak sunuldu. Ayrıca splitting yöntemlerinin kısa bir literatür taraması, operatör splitting yöntemleri ve bunlarla birlikte Lie-Trotter splitting şeması, Strang (S_{Δt}) splitting şeması, Lie-Trotter ve Strang splitting yöntemlerinin lokal splitting hatası ve Strang yöntemi kullanılarak ekstrapolasyon tekniği ile elde edilen Ext4 ve Ext6 yöntemleri anlatıldı.
Üçüncü bölümde, lineer olmayan Burgers', modifiye edilmiş Burgers' (mBE) ve düzenli uzun dalga (RLW) denklemleri operatör splitting yoluyla biri lineer diğeri lineer olmayan iki alt denkleme split edildi. Daha sonra her bir denklem için elde edilen alt denklemlere kübik B-spline kollokasyon sonlu eleman yöntemi ile birlikte S_{Δt}, Ext4 ve Ext6 splitting yöntemleri uygulandı. Burgers' denklemi için üç, mBE denklemi için bir ve RLW denklemi için üç test problemi göz önüne alındı. S_{Δt}, Ext4 ve Ext6 yöntemleri ile hesaplanan nümerik sonuçlar tam sonuçlarla ve/veya literatürde mevcut olan çalışmaların L₂, L_{∞} ve ‖e₁‖ hata normlarıyla karşılaştırıldı. Ayrıca her denklem için sonlu eleman ve operatör splitting yöntemi ile elde edilen şemaların kararlılık analizleri von Neumann yöntemi ile incelendi.
Dördüncü bölümde, lineer olmayan coupled viskoz Burgers' denklemi her biri lineer ve lineer olmayan iki alt denklemden oluşmak üzere toplam dört alt denkleme split edildi. Daha sonra elde edilen alt denklemlere kübik B-spline kollokasyon sonlu eleman yöntemi ile beraber S_{Δt}, Ext4 ve Ext6 yöntemleri uygulandı. Bu denklem için üç test problemi göz önüne alındı ve hesaplanan nümerik sonuçlar tam çözümle ve literatürdeki diğer çalışmaların L₂ ve L_{∞} hata normlarıyla karşılaştırıldı. Yine bu bölümde elde edilen sonlu elaman şemalarının kararlılık analizleri yapıldı.
Son olarak beşinci sonuç bölümünde, tezin üçüncü ve dördüncü bölümlerinde sonlu eleman kübik B-spline kollokasyon yöntemi ile birlikte S_{Δt}, Ext4 ve Ext6 yöntemleri kullanılarak nümerik çözümleri hesaplanan denklemler için genel bir  değerlendirme yapıldı.

Abstract:
This thesis consists of five chapters. In the introduction chapter, the  structure of Burgers', modified Burgers', regularized long wave (RLW) and coupled Burgers' equations of which numerical solutions are obtained as well as various physical phenomena expressed with partial differential equations, a brief summary of the finite element and operator splitting methods used in the thesis are  presented.
In the second chapter, the fundamental definitions and concepts related to finite element and operator splitting methods to be used in the thesis are given. The collocation method used in conjunction with the finite elements method, Spline functions, B-spline functions and cubic B-spline functions are presented in detail. In addition, a short literature search of splitting methods, operator splitting methods and Lie-Trotter splitting scheme, Strang (S_{Δt}) splitting scheme, local splitting error of Lie-Trotter and Strang splitting methods and Ext4 and Ext6 methods obtained using Strang method via extrapolation technique are explained.
In the third chapter, nonlinear Burgers', modified Burgers' (mBE) and regularized long wave (RLW) equations are splitted via operator splitting into two equations, one linear and the other nonlinear equation. Then S_{Δt}, Ext4 ve Ext6 splitting methods with cubic B-spline collocation finite element method are applied to the sub equations obtained for each equation. Three test problems for the Burgers 'equation , one for the modified Burgers' equation and three for the RLW equation are considered. The numerical results calculated with S_{Δt}, Ext4 and Ext6 are compared with the exact results and / or the L₂, L_{∞} and ‖e₁‖ error norms of the studies available in the literature. In addition, the stability analysis of the schemes obtained by the finite element and operator splitting method for each equation is examined by von Neumann method.
In the fourth chapter, nonlinear coupled viscous Burgers' equation was splitted into two sub-equations, each linear and non-linear, resulting in a total of four sub-equations. Then S_{Δt}, Ext4 and Ext6 methods with cubic B-spline collocation finite element method are applied to the sub equations obtained. For the present equation, three test problems are considered and the calculated numerical results are compared with the exact solution and the error norms L₂ and L_{∞} of the other studies in the literature. Again, in this section, stability analyses of the resulting finite element schemes are performed.
Finally, in the fifth and the last chapter of the thesis, a general evaluation is made for the equations of which the numerical solutions are calculated using the finite element cubic B-spline collocation method with S_{Δt}, Ext4 and Ext6 methods in the third and fourth sections of the thesis.