β-uyumlu kesirli türev ile modellenen bazı fiziksel ve biyolojik problemlerin tam çözümleri
Exact solutions of some physical and biological problems modeled with β-compatible fractional derivative
Yazar: SADULLAH BULUT
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ MESUT KARABACAK
Atatürk Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2021
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Amaç: Bu tezde, daha önce tam çözümleri bulunmuş olan bazı fiziksel ve biyolojik problemleri modelleyen lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemler tekrar ele alınıp mevcut çözümlerinin farklı yaklaşımla doğrulanması sunulmuştur.
Yöntem: Öncellikle literatürde bulunan türev tanımları verilmiş ve β-uyumlu kesirli türevinin diğer türev tanımlarından farkı anlatılmıştır. Daha sonra ise (G'/G)-açılım yöntemi açıklanmış olup ele alınan denklemler β-uyumlu kesirli türev ile yeniden tanımlanarak (G'/G)-açılım yöntemiyle tam çözümleri elde edilmiştir.  
Bulgular: Atangana'nın β-uyumlu kesirli türevi yardımıyla tanımlanan uzay-zaman kesirli Fitzhugh-Nagumo, Dodd-Bullough Mikhailov, (2 + 1) Boyutlu Kübik Klein – Gordon ve Phi-Four denklemlerinin β'ya bağlı tam çözümleri elde edilmiştir. Bulunan bu çözümlerle daha önce literatürde bulunan tam çözümlerin β=1 için uyumlu olduğu görülmüştür. Ayrıca farklı kesirli β değerleri için ise tam çözümler grafikleştirilmiştir.
Sonuç: Atangana'nın β-uyumlu kesirli türevi diğer kesirli türev tanımlarında olduğu gibi kesirli integrallere ihtiyaç duymadığı için yapılan matematiksel işlemlerin kısaldığı ve kolaylaştığı görülmüştür.
Anahtar Kelimeler: Atangana'nın  β-uyumlu Kesirli Türevi, (G'/G)-açılım Yöntemi, Sinirsel iletim, Uzay-Zaman Kesirli Diferansiyel Denklemler

Abstract:
Purpose: In this thesis, it has been presented reviewing and validating of existing solutions with a different approach nonlinear partial differential equations modeling some physical and biological problems that has been found their exact solutions before.
Method: First of all, derivative definitions in the literature were given and the difference of β-conformable fractional derivative from other derivative definitions was explained. Then (G'/G)-expansion method was explained and the exact solutions of equations discussed were obtained by redefining with 𝛽-conformable fractional derivative by (G'/G)-expansion method.
Findings: The exact solutions of the space-time fractional Fitzhugh-Nagumo, Dodd-Bullough Mikhailov, (2 + 1) Dimensional Cubic Klein-Gordon and Phi-Four equations defined with the help of 𝛽-conformable fractional derivative of Atangana  were obtained depending on 𝛽. It was seen that these solutions were compatible with the exact solutions found in the literature before for 𝛽 = 1. In addition, exact solutions for different fractional 𝛽 values were plotted.
Results: Since the 𝛽-conformable fractional derivative of Atangana does not require fractional integrals as in other fractional derivative definitions, it has been observed that the mathematical operations performed shorten and become easier.
Keywords: β- conformable Fractional Derivative of Atangana, (G'/G)-expansion Method, Neural transmission, Space-Time Fractional Differential Equations