3-boyutlu dinamik sistemlerin eşdeğerlik problemi
Equivalence problem for 3-dimensional dynamical systems
Yazar: TUNA BAYRAKDAR
Danışman: PROF. DR. ABDULLAH AZİZ ERGİN
Akdeniz Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2016
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez çalışmasında 3-boyutlu bir manifold üzerinde tanımlı bir otonom dinamik
sistem için yerel eşdeğerlik problemi Cartan'ın eşdeğerlik metodu kullanılarak ele alınmıştır.  Otonom dinamik sistemler için eşdeğerlik probleminin çözümü, dinamik sistemin integral eğrisi yönündeki diferensiyel
1-formun integre edilip edilememesiyle belirlenen iki dala ayrılmıştır. İntegre edilebilir durum için genişletilmiş herhangi iki analitik eşçatının ve dolayısıyla genişletilmiş herhangi iki analitik dinamik sistemin tek değişkenli bir fonksiyonla belirlenen bir difeomorfizma sınıfı ile her zaman birbirine dönüştürülebileceği ispatlanmıştır. İntegre edilemez durumunda ise yine genişletilmiş herhangi iki analitik dinamik sistemin tek değişkenli bir fonksiyonla belirlenen bir difeomorfizma sınıfı ile her zaman birbirine dönüştürülebileceği gösterilmiştir. İntegre edilemez durum için problem taban manifoldu üzerine indirgenerek, problemin temel yapı invaryantlarının
sayısının ve integral eğrisi üzerindeki koordinata bağlılığının dinamik sistemi belirleyen
vektör alanının diverjasının sıfır olup olmamasına göre belirlendiği ispatlanmıştır. Diverjansı
sıfır olan bir vektör alanı için taban manifoldu üzerinde bileşenleri Hamiltonyenlerin
fonksiyonlarına karşılık gelen bir flat konneksiyon tanımlanmıştır. Buna göre problemin
temel yapı invaryantlarının ve onların eşçatı türevlerinin dinamik sistemin akış eğrisi boyunca
değişmediği, diğer bir ifadeyle, Hamiltonyenler cinsinden yazılabileceği gösterilmiş ve dolayısıyla iki dinamik sistemin eşdeğer olabilmesi için gerek ve yeter şartların
sadece Hamiltonyen fonksiyonlarına bağlı olarak belirleneceği gösterilmiştir. Diverjansın
sıfırdan farklı olduğu durumda da taban manifoldu üzerinde bir flat konneksiyon elde edilmiş ve problemi temsil eden eşçatının yapı denklemleri hesaplanmıştır. Yapı invaryantlarının
tamamının sıfır olması durumunda ise yapı denklemleriyle belirlenen Lie cebiri
Heisenberg cebirine izomorfik olduğu ve dolayısıyla problemin tanımlandığı manifoldun
yerel olarak Heisenberg grubu olduğu görülmüştür.

Abstract:
In this thesis, local equivalence problem for an autonomous dynamical system on
a three dimensional manifold is considered by means of Cartan's method of equivalence.
The solution of equivalence problem for an autonomous dynamical systems separates into two branches
determined by integrability and nonintegrability of differential 1-form 1 which is a 1-form along the integral curve of the dynamical system. For integrable case, it is proved that all prolonged analytic coframes, and therefore all prolonged analytic dynamical systems, can be mapped to each other by a class of diffeomorphisms determined by a single function of a one variable. For the latter case, it is also proved that all prolonged analytic coframes, and therefore all prolonged analytic dynamical systems, can be mapped to each other by a class of diffeomorphisms determined by a single function of a one variable. For non-integrable case, problem is reduced to the base manifold and it is proved that number of the fundamental structures invariants and their dependence
on a coordinate along the integral curve are determined according to whether the vector
field is divergence free or not. For a divergence free vector field a flat connection, whose
components are corresponding to the functions of Hamiltonians, is obtained. Accordingly,
it is shown that fundamental invariants of the problem and their coframe derivatives
are invariant along the flow of the dynamical system, in other words, they can be interpreted
as a functions of Hamiltonians and therefore, it is seen that necessary and sufficient
conditions for equivalence of dynamical system are determined only by the Hamiltonian
functions. Also for a vector field with non-zero divergence a flat connection is obtained
on a base manifold and structure equations of coframe, representing a dynamical system,
are figured out. In the case of vanishing both of the structures functions, it is seen that
Lie algebra determined by structure equations is isomorphic to Heisenberg algebra and
thereby underlying manifold is locally Heisenberg group.