Stokastik diferansiyel denklemlerin bazı tıp ve finans problemlerine uygulanması ve nümerik çözümleri
Application of stochastic differential equations on some medical and finance problems and their numerical solutions
Yazar: TUĞÇEM PARTAL
Danışman: PROF. DR. MUSTAFA BAYRAM
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2018
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez çalışmasında çözümü stokastik süreçler olan stokastik diferansiyel denklemler konusu ve uygulama alanları incelenmiştir. Stokastik diferansiyel denklemlerin varlık tekliklerinden bahsedilip, analitik ve nümerik çözüm yöntemleri anlatıldıktan sonra, ilgili nümerik yöntemlerin kararlılık analizleri üzerinde durulmuştur.
Uygulamalar kısmında stokastik diferansiyel denklemler, iki önemli konu olan tümör büyümesi ve hisse senedi tahminleri için kullanıldı. İlk uygulama olarak, 01.01.2005- 01.01.2015 tarihleri arasındaki YAHOO hisse senedi fiyatları, finansal bir stokastik diferansiyel denklem modeli olan Black-Scholes modeli ile yaklaşık olarak hesaplandı.
İkinci bir uygulama olarak ise paratiroid tümörünün insan vücudundaki davranışı ve büyümesi üzerine çalışıldı. Bunun için öncelikle Gompertz model tanımlandı ve literatürdeki 41 gerçek hasta üzerinden paratiroid kanserinin zamana göre değişimi deterministik olarak incelendi. Daha sonra hastalar üzerinden elde edilen veriler ile, stokastik modeldeki difüzyon katsayısı belirlendi ve bu katsayı kullanılarak, deterministik Gompertz kurallarının geçerli olduğu stokastik Gompertz model tanımlandı. Tanımlanan bu stokastik model ile tümör büyümesinin zamana göre değişimi yaklaşık olarak hesaplandı.
İki modelin de hem analitik çözümleri hem de tanımlanan nümerik yöntemler kullanılarak nümerik çözümleri elde edildi. Elde edilen çözümler gerçek veriler ile kıyaslandı, hata tabloları ve garfikler ile etkinlikleri gösterildi.
Anahtar Kelimeler: Stokastik diferansiyel denklemler, maksimum olabilirlik tahmin metodu, non-parametrik tahmin metodu, Black-Scholes model, stokastik Gompertz model.

Abstract:
In this thesis, the concept of stochastic differential equations and its application areas are investigated. After the existence and uniqueness of equations are mentioned and analytical and numerical solution methods are determined, stability analyzes of numerical methods are discussed.
Stochastic differential equations is used for two important issues such as estimation of tumor growth and stock price which addressed in the application section. As a first application, we are approximated the YHOO stock prices between 01.01.2005-01.01.2015 with Black-Scholes model, which is a financial stochastic differential equation model.
As a second application, we study on the behavior and growth of parathyroid cancer in the human body. Firstly deterministic Gompertz model is identified for this, then it is investigated deterministically change of parathyroid cancer respect to time, which is obtained through 41 patients in the literature. Then we describe the stochastic Gompertz model based on deterministic Gompertz's law with the diffusion coefficient in our stochastic model, using the data taken from the patients. Changing in tumor growth over the time is approximately calculated with this defined stochastic model.
We solve both models numerically and analitically with defined methods. Obtained solutions are compared with the actual data and they are supported with graphs and error tables.
Keywords: Stochastic differential equations, maximum likelihood parameter estimation method, non-parametric estimation method, Black-Scholes model, stochastic Gompertz model.