Tedarik zinciri sistemlerinin çoklu ölü zamanlı modellenmesi ve kararlılık analizi
Modeling supply chain systems with multiple time delays and stability analysis
Yazar: GÖRKEM ARASIL
Danışman: YRD. DOÇ. DR. ALİ FUAT ERGENÇ
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2014
Konu: Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrol = Computer Engineering and Computer Science and Control

Özet:
Tedarik zincirinin doğru yönetimi günümüz dünyasında rekabetin artmasıyla beraber daha çok önem kazanmaya başlamıştır. Doğru bir tedarik zinciri yönetimi, ürünlerin teslim süresini kısaltır, envanterde oluşan maliyetleri düşürür, talep tahminlerinin doğruluğunu arttırır. Kısacası hem toplam maliyetler düşürülmeye hem de müşteri memnuniyeti üst düzeyde tutulmaya çalışılır.
Bu amaçlar doğrultusunda teorisyenler tarafından birçok farklı model ortaya konulmuştur. Her bir modelin yaklaşımı farklı da olsa temel amaç müşteri memnuniyetini artıracak stratejilerin belirlenmesi ve maliyetleri düşürecek iş ve üretim modellerinin ortaya konulmasıdır.
Tezin birinci bölümünde tedarik zincirinin tanımı ve önemi belirtilmiş, Kontrol Mühendisliği çatısı altında incelemenin faydalarına değinilmiş ve son olarak tezin amaçları ortaya konmuştur.
Tezin ikinci bölümünde farklı modelleme yöntemlerine değinilmiştir. En genel anlamıyla, sunulan tüm modeller dört farklı modelleme tipinden birine dahil olurlar. Bunlar yöneylem araştırması modelleri, ayrık olay simülasyon modelleri, sürekli zaman diferansiyel denklem modelleri ve kesikli zaman fark denklemleri modelleridir.
Yöneylem araştırması teknikleri kullanılarak ortaya konan modeller sistemin ortalama performasına dayanır. Yöntemlerin çokluğu ve uygulanabilirliği nedeniyle bu tip modeller endüstride sıklıkla kullanılıyor olsa da sistemin dinamiğini anlama konusunda yetersiz kalırlar.
Ayrık olay simülasyon modelleri daha çok modeli kuran kişinin deneyimlerine ve algoritma oluşturabilme yeteneğine bağlıdır. Bu yüzden birçok model ortaya konulabilir. Ayrıca olasılık faktörleri bu modellere katılabilir. Güçlü bir modelleme yöntemi olmasına rağmen büyük ölçekli üretim sistemlerinin gerçek zamanlı simülasyonunu yapmakta yetersiz kalmasından kullanım alanları daralmaktadır.
Sürekli zaman diferansiyel denklem modelleri sistem dinamiğini anlamaya yardımcı olurlar ve tek bir denklem altında tedarik zincirinin bir basamağını inceleme olanağı sunarlar. Getirdiği zorluk ise modelin doğal bir getirisi olan zaman gecikmesidir. Tedarik zincirinde üretimde, ulaştırmada ve karar süreçlerinde meydana gelebilecek gecikmelerin diferensiyel denkleme getirdiği transandental ifade, sistemin analitik olarak ele alınmasını güçleştirir. Dolayısıyla ulaşılan çözümler genellikle sayısal yöntemler kullanılarak elde edilir. Kapalı bir çözümün elde edilememesi, sistem parametrelerinin hassasiyet analizi yapılmasını da kısıtlar.
Kesikli zaman fark denklemleri modelleri ise sürekli zaman diferansiyel denklem modellerinin zaman içinde ayrıklaştırılmış ifadesidir. Bazı süreçlerde bu tip modelleme uygun olduğundan tercih edilir. Bu durumda ölü zaman problemi de büyük ölçüde çözülmüş olur.
Tezin üçüncü bölümünde diferansiyel denklem kullanılarak temel tedarik zinciri modelinin esasları anlatılmış, ölü zaman etkisinin matematiksel güçlüklerine
değinilmiş, üretim sistemi model ailelerinden bahsedilmiş ve son olarakta üç ölü zamanlı modelin detayları verilmiştir.
Ölü zamanlı fonksiyonların analitik ifadelere yaklaştırılması her ne kadar kullanılan bir yöntem olsa da, gecikmenin büyük olduğu durumlarda elde edilen sonuçlar sistemin verdiği cevaplardan oldukça farklı olabilir. Bu gibi durumlarda sayısal yaklaşımlarda bulunmak yerine, sistemin önceden belirlenmiş parametreler için simülasyonu yapılabilir. Ama, elde edilen sonuçlar ölü zaman değişimlerinin sistem üzerine etkisi hakkında bilgi vermez sadece o noktalardaki sisteme etkisi hakkında fikir verir.
Kontrol teorisi kullanılarak tedarik zinciri sistemlerinin analiz edilmesinin en önemli sebebi ise sistem kararlılığının araştırılmasına imkan vermesidir. Çünkü bir üretim sisteminde kararlılık doğrudan maliyetlerle ilişkilidir. Üretim sisteminde en önemli iki maliyet unsuru üretim esnasında oluşan maliyetler ile envanterde oluşan elde bulundurma maliyetleridir. Bu iki maliyet unsuru birbiri ile çelişmektedir. Yöneylem araştırması teknikleri kullanılarak maliyetlerin en aza düşürüldüğü optimum envanter seviyesi ve üretim planlaması belirlenebilir. Üretim planının uygulanabilirliği ve istenilen envanter seviyesinin sağlanabilmesi konusu gündeme geldiğinde, sistemin işleyiş dinamiği hakkında bilgi sahibi olmak maliyet açısından bir zorunluluktur. Kararsız bir sistemde ortalama envanter istenilen düzeyde olsa bile, üretimdeki durmalardan dolayı maliyetler artmaktadır. Diğer taraftan da stoklarda belirli bir süre ürün olmaması ürünlerin zamanında yerine ulaştırılmasını engeller. Bu da müşteri memnuniyeti açısından dolaylı olarak maliyetlere yansır.
Üçüncü bölümde yukarıda anlatılanlara ek olarak, bir ölü zamanlı üretim sisteminin ölü zamana bağlı olarak kararlılığı incelenmiş ve ölü zamanın etkisi gösterilmiştir. Bu bölüm sonunda tezde incelenek olan üç ölü zamanlı sistemin matematik modeli verilmiştir. Sistem altı parametreleri ikinci dereceden doğrusal zamanla değişmeyen bir kontrol sistemidir. Modelde karar aşaması, üretim ve ulaştırmada meydana gelen üç ölü zaman parametresi, envanter ve boruhattı kontrolör parametreleri, ve karar aşamasındaki sisteme adaptasyon sürecini belirleyen hız parametresi bulunur.
Tezin dördüncü bölümünde, ilk üç bölümden farklı olarak, tedarik zinciri bir kenara bırakılarak tamamen gecikmeli sistemlerin karakteristik denklemleri üzerinde durulmuştur. Bu bölümde, ölü zamanlı sistemler matematiksel incelenebilirliklerine göre sınıflandırılmış ve analiz yöntemlerine değinilmiştir.
Ölü zamanlı sistemler, tek gecikmeli sistemler, çok gecikmeli sistemler, katlı gecikmeli sistemler, nötral ve retarded tip gecikmeli sistemler olarak sınıflandırılabilirler. Sınıflandırmanın temel amacı, matematiksel incelenebilirlikleri farklı olan karakteristik denklemlerini ortak bir zeminde buluşturmaktır.
Bu bölümde, ölü zamanlı sistemlerin analizine olanak sunan genişletilmiş kronecker toplama metodu ve bu yönteme temel oluşturan iki yöntem daha tanıtılmıştır. İlk yöntem katlı gecikmeye sahip karakteristik denklemlere Routh-Hurwitz kriterinin uygulanabilmesini sağlayarak kararlılık aralığını bulur. İkinci yöntem sayesinde iki önemli sonuca ulaşılmıştır. İlki, sonsuz sayıda kök olmasına rağmen ölü zaman değiştikçe kökler sonlu sayıdaki frekans noktalarından sağ yarı düzlemden sol yarı düzleme veya tersi geçiş yaparlar. İkinci bulgusu ise, bu noktalardaki geçişlerin gecikme değerlerinden bağımsız olup sadece frekans değerlerine bağlı olduğudur. Genişletilmiş Kronecker Toplama Metodu ilk iki yöntemden farklı olarak çoklu gecikmeli sistemlerin analizine olanak sunar. Bu yöntemde de aynı şekilde amaç sistemin kararlı olduğu gecikme aralığının bulunmasıdır.
Tezin beşinci bölümünde Genişletilmiş Kronecker Toplama Metodu üç ölü zamanlı üretim-envanter sistemine uygulanmış ve farklı senaryolar için sistemin kararlılık haritası belirlemiştir.
İlk senaryoda karar gecikmesi sıfır, ikinci senaryoda ise karar gecikmesi sabit bir değer alındı. Bu iki senaryoda kararlılık haritaları elde edilmiştir. Üçüncü senaryoda toplam gecikmenin sabit olacağı varsayılarak, farklı kaynaklı gecikmelerin sistem üzerine etkisi incelenmiştir. Son senaryoda ise toplam karar ve üretim gecikmesi sabit alınmıştır. Her dört senaryo için yardımcı karakteristik denklemler MAPLE programında elde edilmiştir. Kararlılık haritalarını çizdirmek için MATLAB'de program yazılmış ve gerekli grafikler elde edilmiştir. Elde edilen grafiklerdeki değerlerin doğruluğunu test etmek için SIMULINK'te sınır noktalardaki değerler için simülasyon yapılmış ve sistemin bu noktalarda osilasyona girdiği tespit edilmiştir. Ayrıca Dimitri Breda tarafından geliştirilen TraceDDE isimli tool sayesinde sınır noktalardaki gecikme değerleri dikkate alınarak, karakteristik denklemin sağ yarı düzleme en yakın kökleri (istenilen sayıda) bulunmuştur. Sınır değerlerde köklerin imajiner eksen üzerinde olduğu gözlemlenmiştir.
Tezin son bölümünde, bir önceki bölümde elde edilen sonuçlar değerlendirilmiş ve tartışılmıştır.

Abstract:
Proper management of the supply chain gain more importance after increased competition in todays world. An accurate supply chain management, shorten the delivery time of products, decreases the inventory cost, increase the accuracy of the demand forecast. Briefly, as a result customer satisfaction wil be increased and total costs decreased.
For these purposes, many different models have been introduced by the theorists. Even each model approach is diffrent, main aim is to determine strategies that will increase customer satisfaction and to provide business and production models for decreasing total costs.
In the first part of the thesis, definition and importance of supply chain is stated, benefits of investigation under the control engineering discipline is mentioned and finally aims of the thesis are revealed.
In the second part of the thesis, different modeling techniques are discussed. In general sense, every model are involved in one of the four types of model. These are operations research models, discrete event simulation models, continuous-time differential equation models and discrete-time difference equations models.
Models which are develeped with operations research techniques is based on the average performance of system. Although multitude of methods and the applicability of this type of model is often used in the industry, they are insufficient to understand the dynamics of the system.
Discrete event simulation models depend on the experience of the persons and his ability to create algorithms. So many models can be assessed. In addition, probability factor may attend to the this model. Although this model is powerful modelling method, its using areas are shrinking because of the inability to simulate large scale production systems.
Continuous-time differential equation models helps to understand the dynamics of the system and provide the opportunity to examine a step of the supply chain under a single equation. Disadvantages of that model is the time delay which is the natural consequence of the model. Delays at production, transportation and process of decision, brought transandental term to differential equations of supply chain model, makes the system difficult to be dealt analytically. Thus achieved solutions are often obtained by using numerical methods. Inability to attaining closed form solutions limit to facilitate the sensitivity analysis of system parameters.
Discreate time difference equation models are expression of the continuous time difference equations that are discretized in time.In some processes this type of modeling is preferred because it is appropriate. In this case dead time problem is largely solved.
In the third part of thesis, basic supply chain model mainly explained, the dead time effects on mathematical difficulties are addressed, the production system model families are mentioned, and finally production-inventory model with three delays is given in details with using differential equation.
Although approximation of the functions including dead time to analitic equation is a practical method ,in some situations when the delay of the system is large, the results obtained may be quite different from the real response of the system. Instead of using numerical approach in these cases, simulation can be made for predetermined system's parameters. But, the results don't give information about effects of dead time to system , they only give information about the effects to system at the specific points.
The most important reason to analyze supply chain system using control theory is that, it enables investigating the system stability. Because stability is associated with costs in a production system. There are two important cost factors existed in the production system .One of them occurs during the production and other one appears in stocks as the inventory holding costs. These two cost elements are in conflict with each other. With using operations research techniques, optimal inventory levels that minimize the total cost and production plan can be determined. When the subject of production plan applicability and ensuring desired inventory levels matters on the agenda, having information about the functioning of the system dynamics is a must in terms of cost. In an unstable system, even the average inventory is at desired level, costs increases due to the stops at the production.On the other hand, the lack of products in stock for a certain period of time, impedes the delivery of products on time. As a result, this reflects as costs in terms of customer satisfaction.
In the third section, in addition to those described above, stability of a single delay production model is examined with respect to delay and effect of the dead time is shown. At the end of this chapter, mathematical model of production system with three delay which will be examined in the thesis is given. System is second-order linear time-invariant control system with six parameters. This model includes -decision, production and transportion- three delay parameters, -inventory and pipeline- two controller parameters, and a speed parameter which determine adaptation process when the system is in decision phase.
In the fourth chapter of the thesis, different from the first three chapters, supply chain is left aside and is focused on entirely on the characteristic equation of the system delay. In this section, the dead systems with delays are classified according to the mathematical examinability and analysis methods are discussed.
Systems with delays can be classified as single delay systems, the commensarute delayed system, multiple delay systems, neutral and retarded type delay systems. The main purpose of classification is to meet characteristic equations whose mathematical examinabity are different on a common ground.
In this section, Extended Kronecker Summaion Methods that allows the analysis of multiple delay systems and the two other methods, which are the underlying assumptions of this method, were introduced. The first method finds the stability range with implementing Routh-Hurwitz criterion to the characteristic equations, which have commensarute delay. Two important conclusions have been reached with the second method. First one, although there are infinite number of roots, when the dead time changes roots are switching from finite number of frequency points from the left half plane to the rigth half-plane or vice versa. The second finding is that transitions at these points is independent from value of the delay. It only depends on the frequency value. Extended Kronecker Summation Method allows the analysis of multiple delay system unlike the first two methods offers. The purpose of this method is to find delay range in which the system is stable.
In the fifth chapter of the thesis, Extended Kronecker Summation method is applied to three delays production-inventory system and stability map of system for different scenarios are determined.
In the first scenario decision delay is taken as zero, in the second scenario a constant value is given to decision delay. Stability maps are obtained for these two scenarios. In the third scenario, it is assumed that total delay is constant, different sources delays have investigated the effect of on the system. In the last scenario, the total production and decision delays taken as constant value. Characteristic equations were obtained in MAPLE for each scenarios. MATLAB code were written to plot stability maps of all scenario.
For testing the consistency of the values at the obtained graphs, simulations performedfor the values at the boundary point in Simulink program and it has been found that system at this point start oscillation. In addition to these, with the help of program TraceDDE which is developed by Dimitri Breda, the roots of characteristic equation closest to right half-plane has been found with taking into consideration the delay values in the demarcation point.It is observed that roots are on imaginary axis at the limit values.
In the last part of the thesis, the results obtained in the previous section were evaluated and discussed.