Yakın yaklaşım uzaylarında cebirsel yapılar
Algebraic structures on nearness approximation spaces
Yazar: EBUBEKİR İNAN
Danışman: PROF. DR. SADIK KELEŞ ; YRD. DOÇ. DR. MEHMET ALİ ÖZTÜRK
İnönü Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2015
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Doktora tezi olarak hazırlanan bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Birinci
bölümde; sonraki bölümlerin daha iyi bir şekilde anlaşılabilmesi için yaklaşımlı
kümeler, yakın kümeler, temel yaklaşım uzayları ve yakın yaklaşım uzayları ile ilgili
tanım ve teoremler verildi. Ayrıca, bu bölümün son kısmı tanımsal tabanlı küme
işlemlerine ayrıldı.

İkinci bölümde; yakın yaklaşım uzaylarında yarı gruplar (yakınlık yarı grupları)
incelendi. Bu bölümde, tam ayırt edilemezlik bağıntısı kavramına ve yakın yaklaşım
uzaylarında alt ve üst yaklaşımların bazı özelliklerine yer verildi. Yakın yaklaşım
uzaylarında bir kümenin üst yaklaşımı dikkate alınarak, yakınlık yarı grupları ve
yakınlık yarı gruplarının yakınlık idealleri çalışıldı.

Üçüncü bölümde; yakın yaklaşım uzaylarında tek işlemli cebirsel yapılardan biri
olan yakınlık grupları araştırıldı. Bu bölümün ilk kısımlarında yakınlık grupları
örnekler verilerek incelendi. Alt yakınlık gruplarının ve normal alt yakınlık gruplarının nın bazı temel özellikleri ele alındı. Yakınlık grupları dikkate alınarak, zayıf kalan
sınıfları tanımlandı ve normal alt yakınlık gruplarına ihtiyaç duymaksızın zayıf kalan
sınıflarının yakınlık gruplarının varlığı için gerekli şartlar araştırıldı. Son kısımda
ise yakınlık grup homomorfizmaları ve yakınlık grup homomorfizmaları ile ilgili bazı
teoremlere yer verildi.

Dördüncü bölümde; iki işlemli yakınlık cebirsel yapılarından olan yakınlık halkaları
incelendi. Bu bölümde, yakınlık halkaları ve yakınlık halkalarının yakınlık
idealleri örneklerle birlikte verildi. Bir yakınlık halkası üzerinde zayıf eşdeğerlik
bağıntısı ve zayıf eşdeğerlik bağıntısının yakınlık halkalarında belirttiği zayıf kalan
sınıfları tanımlandı. Zayıf kalan sınıflarının kümesinin, ideal yapısına gerek kalmaksızın
yakınlık halkası olması için gereken şartlar araştırıldı. Bu bölümün son kısmında
ise yakınlık halkaları arasında tanımlanan yakınlık halka homomorfizması kavramı
verilerek; yakınlık halka homomorfizmalarının bazı temel özellikleri incelendi. Son
olarak, kısıtlanmış yakınlık halka homomorfizması kavramı ve bu kavramlar yardımı
ile yakınlık halkaları için temel yakınlık homomorfizma teoremi ifade edilip, ispatlandı.

Abstract:
This study which is designed as a philosophy doctoral thesis covers four chapters.
In the first chapter, some basic concepts such as rough sets, near sets, fundamental
approximation spaces and nearness approximation spaces were given for the rest
of the thesis that readers can easily understand. In the last section of this chapter,
description based set operators were also given.
Second chapter is devoted to the nearness semigroups. In this chapter, complete
indiscernibility relation and some properties of lower and upper approximations on
nearness approximation spaces were obtained. Nearness semigroups and nearness
ideals of nearness semigroups were studied considering the upper approximation of
a nonempty set on nearness approximation spaces.
In the third chapter, nearness groups were investigated which are one of the
algebraic stuructures that has only one binary operation on nearness approximation
space. In the first section of this chapter, nearness groups were studied with some examples. Some basic properties of nearness subgroups and nearness normal
subgroups were given. Weak cosets were introduced taking into consideration nearness
groups and necessary conditions were investigated for the existence of the
nearness groups of weak cosets without use of nearness normal subgroups. In the
last section of this chapter, nearness group homomorphisms and some results related
to the nearness group homomorphisms were given.
In the last chapter, nearness rings were investigated which are the nearness
algebraic sturucture that have two binary operations. Also in this chapter, nearness
rings and nearness ideals of nearness rings were studied by giving some examples.
Weak equivalence relation on nearness ring and weak cosets that determined by
weak equivalence relation on nearness ring were defined. Necessary conditions were
obtained for the existence of the nearness rings of weak cosets without using nearness
ideals. In the last section of this chapter, nearness ring homomorphisms and some
results related to the nearness ring homomorphisms were investigated. Finally,
concept of restricted nearness homomorphism was introduced and fundamental nearness
ring homomorphism theorem was obtained by using this concept.