Çatılandırılmış daldırmaların pedal ve contrapedal eğrileri
Pedal and contrapedal curves of framed immersions
Yazar: ENGİN TULGA
Danışman: DOÇ. DR. GÜLŞAH AYDIN ŞEKERCİ
Süleyman Demirel Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Geometri Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Günlük hayatta sıkça karşılaşılan eğrilerin çoğunun tekil noktalara sahip olması, tekillik teorisinin ve diferansiyel geometrinin, bu eğrileri anlamak için kullanılmasını teşvik etmiştir. Böylece 3-boyutta tekil noktaya sahip olan eğrileri anlamak için çatılandırılmış eğriler ve çatılandırılmış daldırmalar araştırmacılar tarafından ifade edilmiştir. Bu tez çalışması da, Minkowski 3-uzayında spacelike çatılandırılmış daldırmaların pedal ve contrapedal eğrilerinin incelenmesi üzerinedir. Çalışmada ilk olarak konunun tarihsel gelişimi, literatürdeki yeri ve konunun anlaşılmasını sağlayacak bazı temel kavramlar ele alınmıştır.  Sonrasında, spacelike çatılandırılmış eğriler ile daldırmaların tanımları kullanılarak matematiksel özellikleri belirtilmiştir. Bu eğriler için özel çatı alanları belirlenerek ve bu alanlar için de Frenet tipi formüller türetilerek eğrilik fonksiyonları incelenmiştir. Öklid 3-uzayında regüler eğriler için kullanılan Serret-Frenet vektör alanları tarafından elde edilen eğrilik ve burulma fonksiyonlarından farklı olarak, spacelike çatılandırılmış eğriler için dört eğrilik fonksiyonu elde edilmiştir. Elde edilen bu formüller sayesinde spacelike çatılandırılmış eğrilerin spacelike çatılandırılmış daldırmalar olabilmesi için gereken şartlar belirlenmiştir. Bu bulgulara dayanarak, spacelike çatılandırılmış daldırmaların pedal (contrapedal) eğrileri, eğrinin oskülatör (normal) düzlemlerinde sabit bir noktanın dik izdüşümleri olarak tanımlanmıştır. Bu tanımlara göre, spacelike çatılandırılmış daldırmaların pedal veya contrapedal eğrilerinin spacelike olması gerekmediği elde edilmiş ve causal karakterlerinin belirlenmesi için gereken koşullar bulunmuştur. Ayrıca, spacelike çatılandırılmış daldırmanın pedal (contrapedal) eğrisinin bir çatılandırılmış taban eğri olması için gerekli ve yeterli koşullar ispatlanmıştır. Böylece bu çalışmadan elde edilen sonuçların, Minkowski 3-uzayındaki spacelike çatılandırılmış daldırmaların pedal ve contrapedal eğrilerinin, Öklid 3-uzayındaki regüler veya singüler eğrilerden farklı özelliklere sahip olduğu gösterilmiştir.

Abstract:
The fact that most of the curves frequently encountered in daily life have singular points has encouraged the use of singularity theory and differential geometry to understand these curves. Thus, in order to understand curves with singular points in 3-dimensions, framed curves and framed immersions have been expressed by researchers. This thesis is about examining the pedal and contrapedal curves of spacelike framed immersions in Minkowski 3-space. In the study, firstly, the historical development of the subject, its place in the literature and some basic concepts that will enable the subject to be understood have been discussed. Afterwards, mathematical properties have been specified using the definitions of spacelike framed curves and immersions. Curvature functions have been examined by determining special frame fields for these curves and deriving Frenet type formulas for these fields. Unlike the curvature and torsion functions obtained by Serret-Frenet vector fields used for regular curves in Euclidean 3-space, four curvature functions have been obtained for spacelike framed curves. Thanks to these obtained formulas, the necessary conditions for spacelike framed curves to be spacelike framed immersions have been determined. Based on these findings, the pedal (contrapedal) curves of spacelike framed immersions have been defined as orthogonal projections of a fixed point on the osculator (normal) planes of the curve. According to these definitions, it has been obtained that the pedal or contrapedal curves of spacelike framed immersions do not have to be spacelike, and the necessary conditions for determining their causal character have been found. Moreover, the necessary and sufficient conditions for the pedal (contrapedal) curve of the spacelike framed immersion to be a framed base curve have been proven. Thus, the results obtained from this study show that the pedal and contrapedal curves of spacelike framed immersions in Minkowski 3-space have different properties than the regular or singular curves in Euclidean 3-space.