A^(1/2) için Steffensen yöntemi
Steffensen method for A^(1/2)
Yazar: TUĞÇE ÜNAL
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ BAHAR ALVEROĞLU
Bursa Teknik Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Matris fonksiyonları bilim, mühendislik ve uygulamalı matematik gibi çeşitli alanlarda oldukça önemlidir. Bilgisayar grafiklerindeki dönüşümlerde, veri analizi ve makine öğrenimi algoritmalarında veri işlenmesinde, istatistikte veri analizinde matris fonksiyonları kullanılır. Bu tez çalışmasında, matris karekök fonksiyonunu  hesaplamak için Steffensen yöntemini kullanarak yeni bir yaklaşım elde ettik. Ayrıca matris işaret fonksiyonu ile matris karekök fonksiyonu arasındaki ilişkiyi kullanarak alternatif bir yaklaşım araştırdık ve Steffensen yöntemine dayalı matris işaret fonksiyonu için özel olarak türetilen iteratif bir yöntemi kullandık. Bu iki yaklaşımı literatürdeki en yaygın yöntem Newton ve Denman-Beavers yöntemleri ile karşılaştırdık. Karşılaştırmada özel yapılı matrislerden ortogonal, simplektik ve perplektik matrisleri kullanarak yapı hatalarını da gözlemledik. Son olarak, matris karekökü için koşul sayısını inceledik ve yapılan sayısal testlerle destekledik. Tüm bunları tez boyunca dört farklı bölümde detaylı olarak inceledik. Bu bölümlerdeki içerikler şu şekildedir: Giriş bölümünde, matris fonksiyonları için kullanılan literatürdeki genel tanımlardan en yaygın üç genel tanımı verdik. Verilen üç tanım, Jordan kanonik form, interpolasyon polinomu ve Cauchy integral teoremidir. Bu tanımlardan sonra matris karekök fonksiyonunu tanıttık ve çeşitli kullanım alanlarını sunduk. İkinci bölümde, Steffensen yöntemini tanıttık ve matris karekök fonksiyonuna uygun bir şekilde düzenleyerek yeni bir iteratif yaklaşım elde ettik. Bununla birlikte matris işaret fonksiyonu ve matris karekök fonksiyonu arasındaki ilişkiyi kullanarak ikinci bir yaklaşımı inceledik. Bu yaklaşımları karşılaştırmak için literatürde en yaygın yöntem Newton ve Denman-Beavers yöntemlerini açıkladık. Son olarak, özel yapılı matrisleri tanıttık ve ortogonal, simplektik, perplektik matrislerini test matrisi olarak kullandık. Üçüncü bölümde matris fonksiyonları için koşul sayısını inceleyerek matris karekök fonsiyonu için nasıl hesaplandığını açıkladık. Tez çalışmasının son bölümünde ise kullandığımız ortogonal, simplektik ve perplektik özel yapılı matrislerin matris karekök fonksiyonuna yaklaşım sağlamak için Newton yöntemi, Steffensen yöntemi, matris işaret fonksiyonu ile matris karekök fonksiyonu arasındaki ilişkiden elde edilen üçüncü yöntem ve Denman-Beavers yöntemlerini sayısal testlerle kıyasladık. Son olarak matris karekökü için koşul sayısı incelemelerini sayısal testlerle destekledik ve tablolar halinde sunduk

Abstract:
Matrix functions are very important in various fields such as science, engineering and applied mathematics. Matrix functions are used in transformations in computer graphics, data processing in data analysis and machine learning algorithms, and data analysis in statistics. In this thesis study, we obtained a new approach to calculate the matrix square root function using the Steffensen method. We also investigated an alternative approach using the relationship between the matrix sign function and the matrix square root function and used an iterative method specifically derived for the matrix sign function based on the Steffensen method. We compared these two approaches with the most common methods in the literature, the Newton and Denman-Beavers methods. In the comparison, we also observed the construction errors using orthogonal, symplectic and perplex matrices from specially structured matrices. Finally, we examined the condition number for the matrix square root and supported it with the numerical tests. We examined all these in detail in four different sections throughout the thesis. The contents of these sections are as follows: In the introduction section, we gave the three most common general definitions from the general definitions used in the literature for matrix functions. The three definitions given are Jordan canonical form, interpolation polynomial and Cauchy integral theorem. After these definitions, we introduced the matrix square root function and presented its various usage areas. In the second section, we introduced the Steffensen method and obtained a new iterative approach by arranging it in a way suitable for the matrix square root function. However, we introduced a second approach using the relationship between the matrix sign function and the matrix square root function. In order to compare these approaches, we explained the most common methods in the literature, the Newton and Denman-Beavers methods. Finally, we introduced special structured matrices and used the orthogonal, symplectic, perplectic matrices as test matrices. In the third section, we examined the condition numbers for matrix functions and explained how to calculated the matrix square root function. In the last part of the thesis, we compared the Newton method, Steffensen method, the third method obtained from the relationship between the matrix sign function and the matrix square root function and the Denman-Beavers methods with numerical tests to provide an approximation to the matrix square root function of the orthogonal, symplectic and perplectic special structured matrices that we used. Finally, we supported the condition number studies for the matrix square root with numerical tests and presented them in tables.