Yarı-Riemann altmanifoldlarının bazı eğrileri üzerine bir çalışma
A Study on some curves of semi-Riemannian submanifolds
Yazar: HAKAN METE TAŞTAN
Danışman: PROF.DR. MEHMET ERDOĞAN
İstanbul Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2000
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Eğriler = Curves ; Riemann manifoldu = Riemann manifold

Özet:
ÖZET Bir Riemann manifoldunda herhangi bir eğri Frenet formülleri tarafından nitelendirilebilir. Örneğin, bir eğrinin bütün eğrilikleri özdeş olarak sıfir ise, bu durumda bu eğri bir geodezik, sadece birinci eğriliği sıfırdan farklı bir sabit ve diğerleri özdeş olarak sıfir ise, bu durumda eğri bir çember, birinci ve ikinci eğrilikleri sıfir olmayan sabitler ve diğerleri özdeş olarak sıfir ise, bu durumda eğri bir helis'tir. Eğer bir M manifoldu, bir g indefinite-metrik'i üzerine kurulu ise, ortaya null vektörler, uzay-benzeri vektörler ve zaman-benzeri vektörler çıkacaktır. Bu durum doğal olarak eğrinin Frenet formüllerinde bir farklılığa neden olacaktır. Bu tez, bir yan- Riemann (özellikle Lorentz) manifoldu üzerindeki çemberler, helisler ve null eğrilerle ilgili yapılan çalışmalardan bir derleme niteliğine sahiptir. Giriş bölümünde, bir simetrik dönüşümün indefinite özelliği, non-dejenere özelliği, indeksi, vb. gibi yarı-Riemann manifoldlann kuruluşu açısından can alıcı rol oynayan temel tanımlar verilmiştir. Bölüm 1 'de yarı-Riemann manifoldun tanımı, belirli özellikleri ve yarı-Riemann Geometrisinin en Önemli elemanlarından Levi-Civita Koneksiyonunun tanımı verilmiştir. Bölüm 2'de yarı-Riemann altmanifold, indirgenmiş koneksiyon, altmanifoldun geometrisini belirlemeye yarayan ikinci temel form (şekil tensörü) ve normal koneksiyonun tanımlan ve bunlarla ilgili teoremler verilmiştir. Bölüm 3 'de Riemann manifoldlanndaki eğrilerle ilgili genel tanım ve teoremler IVverilmiştir. Bölüm 4, tezin asıl konusu olan Bölüm 5 'e geçişi sağlayan Lorentz manifoldlanyla ilgili tanım ve teoremleri içermektedir. Son bölümde yer alan örnekler, özgün olup ilgili teoremlere ışık tutmaktadır. V

Abstract:
SUMMARY In a Riemannian manifold, a curve is described by the Frenet formula For example, If all curvatures of a curve are identically zero, then the curve is a geodesic. If only the first curvature is a non-zero constant and others are identically zero. Then the curve is called a circle. If the first and second curvatures are non-zero constants and others are identically zero, then the curve is called a helix. If a manifold M is furnished with an indefinite metric g, then null vectors, space like vectors and time-like vectors come forth. This thesis consists of collective results on circles, helixes and null curves in a semi-Riemannian manifold especially in a Lorentzian manifold. In the introductory chapter, we gave fundamental notions which play the crucial roles to establish a semi-Riemannian manifold such as indefinite non-degenere metrics and the index of a symmetric bilinear mapping and so on. In the first chapter, a semi-Riemannian manifold and the Levi-Civita connection on it were defined and certain properties of a semi-Riemannian manifold were investigated. Second chapter includes the definitions of a semi-Riemannian manifold, induced connection, the second fundamental form(shape tensor) and normal connection. In this chapter some theorems on the shape tensor and the others were given. In the third chapter fundamental definitions and the theorem about curves of Riemannian manifolds were given. Fourth chapter that is connecting fifth chapter in which we present main content of the thesis, includes basic notions and theorems on Lorentzian manifolds. Examples given in the last chapter are original and they enlighten the related theorems. VI