Topolojik uzaylarda yakınlık
Nearness in topological spaces
Yazar: ÖZGÜN ŞEFİK
Danışman: PROF. DR. MURAT DİKER
Hacettepe Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2017
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde, yakınlık teorisinin temel motivasyonlar
ını içeren bilgiler verilmiştir.
İkinci bölüm, metrik uzaylarda yakınlık kavramına ayrılmıştır. Burada iki kümenin
yakınlığı gap fonksiyoneli ile tanımlanmıştır. Özellikle bir kümenin kapanış noktası
yakınlıkla ifade edilmiştir. Fonksiyonların sürekliliği, dizilerin yakınsaklığı kavramları
yakınlık ile karakterize edilmiştir. Ayrıca bir kümenin içi de yakınlık kavramıyla verilmi
ştir. Bir metrik uzayda bir kümenin proksimal komşuluğu tanımlanmış ve temel
özellikleri tarışılmıştır. Metrikle uyumlu proksimal bağıntı ve ince proksimal bağıntı
kavramları tanımlanmış ve her ince proksimal bağıntının metrik proksimal bağıntı
olduğu kanıtlanmıştır. Kompakt uzaylarda her metrik proksimal bağıntının da ince
proksimal bağıntı olduğu gösterilmiştir. Proksimal süreklilik tanımlanmış ve her proksimal
sürekli fonksiyonun sürekli olduğu gösterilmiştir. Herrlich anlamında yakınlık verilmi
ş ve Herrlich yakınlığının temel özellikleri sunulmuştur. Metrik proksimal bağıntı
kullanılarak Cauchy dizileri için karakterizasyon verilmiştir. Düzgün süreklilik ile proksimal
sürekliliğin denk olduğu gösterilmiştir. Ek olarak Hausdorff metrik tanımlanmış
ve her yakınsak kapalı küme dizisinin düzgün yakınsak olduğu gösterilmiştir. Son olarak,
sürekli genişlemeler için Taimanov teoremi kanıtlanmıştır.
Üçüncü bölümde, metrik proksimal bağıntısının bir genelleştirilmesi olarak Efremovic
proksimal bağıntısı tanımlanmıştır. Daha sonra Lodato proksimal bağıntısı verilmiş
ve her Efremovic proksimal bağıntısının Lodato proksimal bağıntı olduğu gösterilmiştir.
Ek olarak topolojiyle uyumlu proksimal bağıntılar göz önüne alınmıştır. Bu bağlamda
proksimal bağıntı, topolojik uzayların ayırma özellikleri altında çalışılmıştır. Özellikle
tamamen regüler ve normal uzaylarda topolojiyle uyumlu proksimal bağıntının varlığı
tartışılmıştır.
Dördüncü bölümde betimsel yakınlık kavramı tartışılmıştır. Son olarak konumsal ve
betimsel yakınlıklar karşılaştırılmıştır.

Anahtar Kelimeler: Betimsel proksimal bağıntı, Efremovic proksimal bağıntı, Gap
fonksiyoneli, Herrlich yakınlığı, Lodato proksimal bağıntı, Metrik proksimal bağıntı,
Proksimal yakınlık, Yakınlık.

Abstract:
This paper consists of four chapters. The first chapter is an introduction which contains
the basic motivation of nearness theory.
The second section is devoted to nearness in metric spaces. Here, the nearness of two
sets is defined by gap functional. In particular, the closure point of a set is defined using
nearness. The concepts of convergence of a sequence, and continuity of a function are
characterized in terms of nearness. The interior of a set is also defined using nearness.
Proximal neighbourhood of a set in a metric space is defined and the basic properties
are discussed. Compatible proximity and fine proximity are defined and it is proved that
every fine proximity is also metric proximity. For compact spaces, it is shown that every
metric proximity is a fine proximity. The proximal continuity is defined and it is proved
that every proximal continuous function is also continuous. The nearness in the sense
of Herrlich is given and the basic properties of Herrlich nearness are presented. Using
metric proximity, a characterization is given for Cauchy sequences. It is proved that
uniform continuity is equivalent to proximal continuity. Further, Hausdorff metric is
defined and it is proved that every convergent closed set sequence is uniform convergent.
Finally, for continuous extensions, the Taimanov Theorem is proved.
In the third chapter, Efremovic proximity is defined as a generalization of metric proximity.
Then the Lodato proximity is presented and it is shown that every Efremovic
proximity is a Lodato proximity. Further, compatible proximity is considered in topological
spaces. In this respect, proximity is studied under certain separation properties
of topological spaces. In particular, for completely regular and normal spaces, the existence
of compitable proximity is discussed.
In the fourth chapter, descriptive proximity is discussed in the sense of Efremovic and
Lodato. Finally, spatial and descriptive proximities are compared.

Keywords: Descriptive proximity, Efremovic proximity, Gap functional, Herrlich nearness,
Lodato proximity, Metric proximity, Proximity, Nearness.