Küvet hazard fonksiyonuna sahip dağılımlardaki güvenilirlik modellerinde tahminleme
Estimation in reliability models with distribution having bathtub shaped hazard function
Yazar: ADAM ABDELRAHMAN HUSSEIN ADAM
Danışman: DOÇ. DR. HAKAN SAVAŞ SAZAK
Ege Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / İstatistik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2017
Konu: İstatistik = Statistics

Özet:
Küvet hazard fonksiyonuna sahip dağılımı olan bir çok güvenilirlik modelleri önerilmesine rağmen, istatistiksel dağılımların bilinmeyen parametrelerinin tahmini hala uygulamalı istatistikçilerin karşılaştığı en önemli problemlerden biridir. Uyarlanmış Weibull dağılımı küvet hazard fonksiyonuna sahip esnek bir dağılımdır. Bu dağılımın parametrelerini tahmin etmek oldukça problemlidir. Genel olarak, küvet hazard fonksiyonuna sahip güvenilirlik modellerinin parametrelerini tahmin etmek için literatürde en sık kullanılan yöntem En Çok Olabilirlik (ML, Maximum Likelihood) yöntemidir. Küvet hazard dağılımlarına ilişkin olarak, en çok olabilirlik denklemleri parametrelerin doğrusal olmayan fonksiyonlarını içerir ve bu sebeple kapalı form çözümü vermeyecektir. Bu nedenle, nümerik ve iterasyon yöntemleri gerekmektedir. İterasyon yöntemleri çok katlı kökler, iterasyonların yakınsamaması veya yanlış değerlere yakınsaması sebebiyle problemli olabilir.
Bu çalışmada, küvet hazard fonksiyonuna sahip esnek bir dağılım olan Uyarlanmış Weibull dağılımının parametrelerini tahmin etmek için 3-Adım Uyarlanmış En Çok Olabilirlik (MML, Modified Maximum Likelihood) ve Ortalama yöntemleri  önerilmiştir.
Önerilen yöntemler ve En Küçük Kareler (LS, Least Squares) yönteminin etkinliklerini karşılaştırmak amacıyla Monte Carlo simülasyonu yapılmıştır. Ayrıca, parametre tahmincilerine yönelik asimptotik varyanslar da verilmiştir. Simülasyon çalışması sonuçlarına göre önerilen yöntemler çoğu durumda LS yönteminden daha iyidir. Genel olarak Ortalama yöntemi 3-Adım MML yönteminden daha iyidir ve genel kullanımı uygun olacaktır. Son olarak gerçek hayat verilerine dayalı iki adet uygulama verilmiştir.

Anahtar sözcükler: Küvet hazard fonksiyonu, parametre tahmini, Uyarlanmış En Çok Olabilirlik (MML), En Küçük Kareler (LS), Uyarlanmış Weibull dağılımı.

Abstract:
Despite many reliability models with distribution having bathtub shaped hazard function have been proposed in the literature, the estimation of the unknown parameters of such reliability models is one of the most important problems faced by applied statisticians. Modified Weibull distribution with bathtub shaped hazard function is a flexible distribution. Estimating the parameters of  this distribution is quite problematic. In general, the most frequently used method in the literature to estimate the parameters of reliability models with distribution having bathtub shaped hazard rate function is Maximum Likelihood (ML) method. For bathtub hazard rate distributions, the ML equations involve nonlinear functions of parameters and will not yield closed form solution. Thus, numerical and iterative methods are needed. Using iterative methods can be problematic for reasons of multiple roots, and nonconvergence of iterations or convergence to wrong values.
In this study, 3-Step Modified Maximum Likelihood (MML) and Average methods have been proposed to estimate the parameters of the Modified Weibull distribution which is a flexible distribution with bathtub shaped hazard rate function.
Monte Carlo simulation has been performed to compare the efficiency of the proposed methods and the Least Squares (LS) method. Moreover, asymptotic variances for the estimators of the parameters are also given. Simulation results show that the proposed methods are more efficient than the LS method in most of the situations. In general, Average method is better than 3-Step MML and it can be used in general usage. Finally, two applications based on real life data have been given.

Keywords: Bathtub hazard function, parameter estimation, Modified Maximum Likelihood (MML), Least Squares (LS), Modified Weibull distribution.