Stokastik diferansiyel denklemlerin sayısal çözümleri
Numerical solutions of stochastic differential equations
Yazar: GÜLŞEN ORUCOVA BÜYÜKÖZ
Danışman: PROF. DR. MUSTAFA BAYRAM
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2018
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez çalışmasında stokastik diferansiyel denklemlerin (SDD) türleri tanımlanarak analitik (kesin) ve nümerik çözüm yöntemlerine çalışılmıştır. Tez yedi bölümden oluşmaktadır.
Birinci bölümde SDD ile ilgili literatür özeti, tezin amacı ve hipotez verilmiştir.
İkinci bölümde tezde kullanılacak olan temel kavramlardan, tanımlardan bahsedilmiş ve deterministik diferansiyel denklemlerden SDD'e geçiş anlatılmıştır.
Üçüncü bölümde SDD'in genel hali tanıtılarak çözümleri için varlık teklik şartları verilmiştir. Lineer, lineere indirgenebilir SDD ve stokastik diferansiyel denklem sistemleri (SDDS), bu denklemlerin analitik çözümlerinin elde edilişinden bahsedilmiştir.
Dördüncü bölümde Ito Taylor açılımı ve bu açılımdan EM, Milstein şemalarının elde edilişi verilmiştir. Yaklaşık çözümler bulmamıza yardımcı olacak diğer nümerik metodların şemaları üzerinde durulmuştur.
Beşinci bölümde ise gecikmeli stokastik diferansiyel denklemler (GSDD) tanıtılmış ve gecikmeli lineer stokastik diferansiyel denklemlerden (GLSDD) bahsedilmiştir. Bu denklemlerin analitik çözümünün elde edilişi verilmiştir.
Altıncı bölüm uygulamalardan oluşmaktadır. Bölümün ilk uygulamasında 10000 yol üzerinden lineer olmayan SDD'in analitik ve nümerik çözümü elde edilerek ortalaması alınmıştır. Bu ortalama çözüm, 50 örneklem yol üzerinden bulunan çözümlerle aynı grafikte çizilmiştir. Farklı adım uzunlukları için modelin analitik ve nümerik çözümleri MATLAB programlama dilinde yazmış olduğumuz kodlar yardımıyla hesaplanmıştır. Çözümlerin ortalama karesel hata tablosu, hata grafikleri verilmiştir. Bunun dışında lineer SDD'e indirgenebilir, SDDS, Stratonovich SDD'i ile ilgili birer problem analitik ve nümerik olarak çözülmüştür. Son olarak gecikmeli lineer stokastik diferansiyel denklem modeli analitik ve nümerik olarak hesaplanmıştır. Bütün çözümler grafiklerle ve hata tablolarıyla desteklenmiş ve yorumlanmıştır.
Yedinci bölümde ise bu çalışmadan çıkan sonuçlar özetlenmiştir.

Abstract:
In this thesis, the types of stochastic differential equations are defined and analytical (exact) and numerical solution methods are studied. The thesis consists of seven chapters.
In the first chapter, the literature summary, the purpose and the hypothesis of the thesis are given.
In the second chapter, the basic concepts, definitions and the transition from deterministic differential equations to stochastic differential equations are explained.
In the third chapter, the general form of stochastic differential equations is introduced and the existence, uniqueness conditions for their solutions are given. Linear, reducible stochastic differential equations, systems of stochastic differential equations and their analytical solutions are mentioned.
In the fourth chapter, Ito Taylor expansion is given and EM, Milstein schemes are obtained from this expansion. Schemes of other numerical methods are given.
In the fifth chapter, delayed stochastic differential equations are introduced and delayed linear stochastic differential equations are mentioned. The analytical solutions of these equations are given.
The sixth chapter consists of applications. In the first application of the chapter, analytical and numerical solutions of non-linear stochastic differential equations are obtained over 10000 sample paths and averaged. This average solution is plotted in the same graph as the solutions found over 50 sample paths. The analytical and numerical solutions of the model for different step size are calculated by using the codes written in MATLAB programming language. Mean square error table and error graphs of the solutions are given. In addition, reducible stochastic differential equations, problems related to Stratonovich system of stochastic differential equations are solved analytically and numerically. Finally, the model of the delayed linear stochastic differential equation is calculated analytically and numerically. All solutions are supported and interpreted with graphs and error tables.
In the seventh chapter, the results of this study are summarized.