Doğrusal omayan dalga denklemlerinin çözümlerinin global davranışları
Spatial behaviour of the solutions of the nonlinear wave equations
Yazar: YALÇIN YILMAZ
Danışman: PROF. DR. VARGA KALANTAROV ; PROF. DR. METİN BAŞARIR
Sakarya Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2003
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Anahtar Kelimeler: Phragmen-Lindelöf Prensibi, Lineer Olmayan Dalga denklemi, Asimptotik davranış. Yapısal Mekanikte ve katılar mekaniğinde, klasik temel problem, yapı elemanlarının uçlardaki etkileşmelere olan direncinin belirlenmesidir. Binaların, otomobillerin, nükleer reaktörlerin ve uçakların yapımında ve dizaynında bağlantı elemanlarının ne kadar gerilime maruz kalacağının mühendisler tarafından bilinmesi gerekmektedir. Kullanılacak malzemenin mukavemetinin ve uygulanan kuvvetler altında ne kadar deformasyona uğrayacağının bilinmesi elastisite teorisinin Saint- Venant Prensibi ve Phragmen-Lindelöf Prensibi sayesinde mümkün olmaktadır. Fiziksel problemleri modelleyen kısmi diferansiyel denklemlerin veya sistemlerin birçok tipi için uzay değişkenine göre artım ve azalım kestirimleri elde etmek için bu teorilerden faydalanılmaktadır. Bu tezde, bazı başlangıç-sınır koşullan altında çeşitli dalga denklemleri ve viskoelastisite teorisinde ortaya çıkan bazı denklemlerle verilen problemlerin çözümlerinin uzay değişkenine göre davranışı incelendi. İlk bölümde Saint- Venant Prensibi ve Phragmen-Lindelöf teoremi kullanılarak bugüne kadar yapılan çalışmalar ifade edildikten sonra temel bazı kavramlar verildi. İkinci bölümde silindirik bir bölgede homogen sınır koşulu altında bir viskoelastisite denkleminin çözümünün hangi koşullar altında sonsuza (veya sıfıra) gittiği gösterildi. Üçüncü bölümde ise ilk olarak, kesitlerinin alanları artan bir bölgede dalga denklemi için çözümün davranışı incelendi. Şuurdaki lineer olmayan fonksiyonun sağladığı asimptotik koşula göre çözümlerin sonsuza ya da sıfıra hangi hızlarla gittiği gösterildi. Burada üzerinde problemin tanımlandığı bölge, parabolik silindirik bir bölgedir. Bu bölümde aynca, bir ısı denklemi için önceki kısımda verilen sınır koşulu altında çözümün davranışı incelendi, çözümün artma ve azalma hızlan gösterildi. Son bölümde, lineer ve lineer olmayan dalga denklemleri için Phragmen- Lindelöf tipi teoremler elde edildi. İncelenen problemlerdeki başlangıç ve sınır koşullarının homogen olup olmamasına göre farklı artım ve azalım kestirimleri elde edildi. Bu bölümün son kısmında ise lineer olmayan sımr koşuluna sahip bir termoelastisite sisteminin çözümlerinin sağladığı azalım kestirimini elde etmek için denklem sistemindeki katsayılann hangi koşulu sağlaması gerektiği gösterildi.

Abstract:
Keywords: Phragmen-Lindelof Principle, Nonlinear Wave Equation, Asimptotic Behaviour. A classical fundamental problem in solid mechanics is to determine the extend edge effects in structural elements. Such a determination allows to know that the strength of the used materials and how deformations can occur under the loads applied to the plane ends. The standart procedure used in engineering practice to achieve this relies on the Saint- Venant Principle. An extension of the maximum principle of complex analysis for the unbounded domains, Phragmen-Lindelof Principle is also used mostly to obtain spatial decay or growth estimates for several types of pde's. In this thesis, spatial behaviour of the solutions of the wave equations and a system of differential equations occuring in thermoelastisity under some nonlinear boundary conditions have been investigated. In the first chapter, after giving the recent developments about the principles, it's been given some fundamental concepts and differential inequalities. In the second chapter, it is shown that under which condition the solution of the given problem with homogenous boundary conditions consisting of a p-laplacian term, either tends to infinity or goes to zero. In the third chapter, asymptotic behaviour of the solutions of the wave equation under nonlinenar boundary conditions in a domain whose areas of the cross-sections are increasing functions, have been studied, growth estimate have been obtained for a problem involving a semi-linear wave equation with nonlinear boundary conditions. For the same problem with homogenous boundary conditions spatial decay and growth estimate for the solutions of the linear wave equation under nonlinear boundary conditions is derived. In the last chapter, it is established that a Phragmen-Lindelof type theorem for a linear wave equation under homogenous boundary conditions. The domain where the problem is defined, is such that whose areas of the cross-sections are increasing functions of z. In this case, according to the different circumtances of the domain, exponential or polinomial decay (or growth) estimates have been obtained.