Fonksiyonel derecelendirilmiş kirişlerin karışık sonlu elemanlar yöntemi ile statik ve dinamik analizi
Static and dynamic analysis of functionally graded beams using mixed finite element method
Yazar: SENA KAPICIOĞLU
Danışman: PROF. DR. FETHİ KADIOĞLU
İstanbul Teknik Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / İnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Yapı Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: İnşaat Mühendisliği = Civil Engineering

Özet:
Fonksiyonel derecelendirilmiş malzemeler, iki farklı malzemenin kademeli olarak 
değişik oranlarda karışımıyla elde edilir. Bu malzemeler, keskin arayüze sahip olan 
geleneksel kompozit malzemelerden iki malzemeyi kademeli olarak birleştirerek 
değişen arayüze dönüştürmesi nedeniyle ayrılır. İlk olarak 1980-1983 yıllarında 
Japonlar tarafından bulunmuştur. Japonlar, havacılıkta ısı transfer sorununun çözümü 
için bu malzemeyi ilk olarak kullansalar da günümüzde kullanımı küresel boyutlara 
ulaşmıştır. Savunma sanayi, uzay, otomobil, enerji, medikal ve pek çok diğer alanda 
kullanımı mevcuttur.
Fonksiyonel derecelendirilmiş malzemeler %0'dan %100'e kadar değişen dereceli 
yapısı sayesinde metal ve seramik arasındaki malzeme uyumunu çok iyi sağlar. 
Böylece ara yüzeydeki gerinim konsantrasyonları düşük olur. Metali adezyon, 
kohezyon ve aşınmaya karşı korurken seramikteki ara yüz ve yüzey çatlaklarını önler.
Fonksiyonel derecelendirilmiş malzemenin sağladığı avantajlar ile kullanımının 
artmasından dolayı malzeme davranışını anlamaya yönelik yapılan teorik ve deneysel 
çalışmalarda yoğunlaşmıştır.
Bu çalışmada kalınlığı doğrultusunda fonksiyonel derecelendirilmiş malzemeden 
oluşan sabit ve değişken enkesitli kiriş ile çekirdek veya yüzey tabakaları fonksiyonel 
derecelendirilmiş olmak üzere iki farklı tip sandviç kirişin; farklı sınır koşulları ve L/h
oranlarına göre statik ve dinamik analizlerini yapmak için fonksiyonel 
derecelendirilmiş malzeme özellikleri kuvvet yasası kullanılarak belirlenmiştir. 
Elastik çubukların genel denklemleri sistematik bir şekilde fonksiyonel 
derecelendirilmiş kirişler için klasik kiriş teorisi ve Timoshenko teorisine göre 
uyarlanmıştır. Gâteaux diferansiyel metodu kullanılarak sonlu eleman formülasyonları 
elde edilmiştir. Bunun için elde edilen alan denklemleri operatör formunda yazılarak 
xx
Gâteaux türevleri alınmıştır. Potansiyel operatör kontrolü sağlandıktan sonra 
fonksiyoneller üretilmiştir. 
İki düğüm noktalı doğrusal şekil fonksiyonları seçilerek fonksiyonellerdeki her bir 
bilinmeyen, şekil fonksiyonları cinsinden yerine yazılmıştır. Her bir bilinmeyen için 
türev alınarak sıfıra eşitlenmiştir. Çıkan denklemler sistemi matris formunda yazılarak 
eleman matrisleri elde edilmiştir. Elemanların düğüm noktaları uygun bir şekilde 
birleştirilerek sistem için global matrisler elde edilmiştir.
Statik analiz için global matrisler kirişin sınır koşullarına göre düzenlendikten sonra 
global matrisin tersi alınarak global yük matrisiyle çarpılmak suretiyle istenen 
maksimum çökme değeri bulunmuştur. Bulunan çökme değeri boyutsuzlaştırılıp
literatürdeki makale sonuçları ile karşılaştırılarak sonuçların uyumlu olduğu 
gözlenmiştir.
Dinamik analiz için global matris elde edildikten sonra sınır koşulları uygulanarak satır 
ve sütunlar silinmiştir. Sonrasında satır ve sütunların yeri değiştirilerek geometrik
büyüklükler en alt satır ve sütunda toplanarak matris istenen forma sokulmuştur. Bu 
form özdeğer problem biçimindedir. Elde edilen özdeğer probleminin çözümünden 
istenen doğal titreşim frekans parametresi değerleri elde edilir. Boyutsuzlaştırma 
formülüyle boyutsuzlaştırılan doğal titreşim frekans parametresi değerlerinin 
literatürdeki diğer yöntemler kullanılarak bulunan sonuçlar ile oldukça uyumlu olduğu 
tespit edilmiştir.
Kiriş karışık sonlu elemanlar metoduna göre çözülürken eleman sayısı arttıkça işlem 
yoğunluğu da artmaktadır. Yöntem hesaplarının hızlı ve kolaylıkla yapılması için
Matlab programlama dili kullanılarak uygun kodlar yazılmıştır. İstenen sınır koşulları, 
kiriş boyutları, malzeme özellikleri, sandviç tipi, tabakalanma oranları ile Timoshenko 
ve klasik kiriş teorisine göre program uyarlanarak; istenen boyutsuz maksimum çökme 
ve boyutsuz doğal titreşim frekans parametresi değerleri elde edilmiştir.

Abstract:
Functionally graded materials are obtained by gradually mixing two different materials 
in different proportions. It differs from traditional composite materials by gradually 
combining two materials, transforming the sharp interface into a changing interface. 
The Japanese first discovered it in 1980-1983. Although the Japanese first used this 
material to solve the heat transfer problem in aviation, its use has reached a global 
level today. It is used in the defense industry, space, automobile, energy, medicine, 
and many other fields.
Thanks to their constantly changing graded structure, functionally graded materials 
provide high material compatibility between metal and ceramics. Therefore, the strain 
concentrations at the interface are low. While protecting the metal against adhesion, 
cohesion, and wear, it prevents interface and surface cracks in the ceramic. Due to the 
advantages provided by functionally graded material and the increase in its use, it has 
focused on theoretical and experimental studies to understand material behavior.
This study considers a single-layer beam with fixed and variable cross-sections 
consisting of functionally graded material according to its thickness. Two types of 
sandwich beams, with core or surface layers functionally graded, were investigated. 
Functionally graded material properties were determined using the power law to 
perform static and dynamic analysis according to different boundary conditions and 
L/h ratios. The general equations of elastic rods have been systematically adapted 
according to classical beam theory and Timoshenko theory for functionally graded 
beams. Finite element formulations were obtained by using the Gateaux differential 
method. For this purpose, the obtained field equations were written in operator form, 
and Gateaux derivatives were taken. After the potential operator control was achieved, 
the functional was produced.
xxii
In finite element methods, the object is divided into the desired number of elements. A 
continuous function, the shape function, is chosen to characterize the unknowns. The 
relationship between the unknowns at the element nodes and the unknowns anywhere 
in the element is obtained by using shape functions. In this thesis, linear shape 
functions with two nodal points were selected, and shape functions replaced each 
unknown in the function. For each unknown, the derivative is taken and equalized to 
zero. The resulting system of equations was written in matrix form, and element 
matrices were obtained. The nodal points of the elements were connected 
appropriately, and global matrices were obtained for the system. For the static analysis, 
after the global matrices were arranged according to the boundary conditions of the 
beam, the maximum deflection value was found by taking the inverse of the global 
matrix and multiplying it by the global load matrix. The deflection value was found 
was dimensionlessized and compared with the results of the articles in the literature, 
and it was observed that the results were compatible.
All process steps are the same in the static analysis of functionally graded material 
with variable thickness cross-section. Only the results are obtained by substituting the 
variable height formula in the formulation. Dimensionless maximum collapse values 
are found by applying the nondimensionalization formula. The results are found to be 
in good agreement with the literature.
After obtaining the global stiffness matrix for dynamic analysis, rows and columns 
were deleted by applying boundary conditions. Then, the rows and columns were 
moved, and the matrix was put into the desired form by summing the geometric 
quantities in the bottom row and column. This form is in the form of an eigenvalue 
problem. Natural frequency values are obtained from the solution of the eigenvalue 
problem. It is found that the dimensionless natural frequency values found are well 
compatible with the results found using other methods in the literature.
While the beam is solved according to the mixed finite element method, the process 
intensity increases as the number of elements increases. Appropriate codes were 
written using the Matlab programming language to make method calculations quickly 
and easily. By adapting the program according to Timoshenko and Classical beam 
theory with boundary conditions, beam dimensions, material properties, sandwichtype, layering rates, maximum deflection, and natural frequency parameter values 
were obtained.
xxiii
According to the static analysis results, the dimensionless maximum collapse values 
in the beam increase as the material change parameter increases in functionally graded 
beams. The dimensionless maximum deflection values decrease when the L/h ratio 
increases while keeping the material change parameter constant.
When the dynamic analysis results are examined, it is observed that the dimensionless 
natural vibration frequency parameter values decrease with the increase of the material 
change parameter, and it is observed that the dimensionless natural vibration frequency 
parameter values increase with the increase in the L/h ratio.
The results were found to be entirely compatible when compared with the literature. 
Thus, a successful application of the mixed finite element method was introduced to 
the literature.