Konformal-bükülmüş ve çarpık-bükülmüş çarpım manifoldlar ve altmanifoldlar
Conformal-twisted and warped-twisted product manifolds and submanifolds
Yazar: SİBEL GERDAN AYDIN
Danışman: PROF. DR. HAKAN METE TAŞTAN
İstanbul Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2021
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez çalışmasının amacı, konformal-bükülmüş ve çarpık-bükülmüş manifoldların geometrisini incelemektir. Bu tip manifoldlar global konformal Kaehler manifoldların altmanifoldu olarak ele alınmış ve Einstein-benzeri çarpık-bükülmüş çarpım manifoldlar incelenmiştir.

Bu çalışma beş ana bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde tez çalışmasının literatürdeki geçmişinden yani  bu konu ile alakalı  araştırmacıların daha önce yaptığı çalışmalardan bahsedilmiştir.


İkinci bölüm beş alt bölümden oluşmaktadır. Birinci alt bölümde Riemanniyen manifold tanımı, bir Riemanniyen manifold üzerinde tanımlı temel tensörlerin tanımı ve Einstein-like Riemanniyen manifoldların farklı sınıflarının tanımları verilmiştir. İkinci alt bölümde Riemanniyen manifoldların altmanifoldu kavramı ve sağladığı özellikler ile  altmanifold ile kapsayan manifold arasındaki ilişkiyi kuran Gauss, Weingarten gibi temel denklemler verilmiştir. Üçüncü alt bölümde  hemen hemen Hermityen manifoldun, Kaehleriyen manifoldun tanımı ve bu tip manifoldların  temel özellikleri verilmiştir. Bunun yanısıra, hemen hemen Hermityen manifoldların holomorfik, tümel reel, eğik, yarı-eğik, kısmi-eğik gibi bazı özel altmanifoldları tanıtılmıştır. Dördüncü alt bölümde, global ve yerel konformal Kaehler manifoldların tanımları ve bu manifoldlar için geçerli  olan temel teorem ve denklemler verilmiştir. Beşinci alt bölümde çift bükülmüş çarpım manifoldun tanımı ve bazı özel hallerini  karakterize eden bir teorem yer almıştır. Ayrıca çift çarpık çarpım manifoldların kovaryant türev formülleri verilmiştir.



Üçüncü bölümde tez çalışmasının hazırlanmasında izlenen yöntemlerden ve kullanılan araçlardan bahsedilmiştir.



Dördüncü bölüm ise tez çalışmasının bulgularından oluşmaktadır. Bu bölüm iki alt bölümden oluşmaktadır. Birinci ve ikinci  alt bölümde konformal-bükülmüş çarpım manifold, çarpık-bükülmüş çarpım manifold, bir global konformal Kaehler manifoldun bir  yarı-eğik altmanifoldu, bir global konformal Kaehler manifoldun  bir kısmi-eğik altmanifoldu  tanımları  ve bu tip altmanifoldların sağladığı temel denklemler ve teoremler verilmiştir. Ayrıca, bir g.k.K. manifoldun bir konformal-bükülmüş çarpım ve çarpık-bükülmüş çarpım  altmanifoldu için aşikar olmayan birer örnek kurulmuştur.  Bir g.k.K. manifoldunun sırası ile, bir has yarı-eğik altmanifoldunun yerel olarak bir konformal-bükülmüş çarpım manifold olması için ve bir has kısmi-eğik altmanifoldunun yerel olarak bir çarpık-bükülmüş çarpım manifold olması için  gerek ve yeter koşullar verilmiştir. Bunun yanı sıra, konformal-bükülmüş çarpım altmanifoldun ve çarpık-bükülmüş çarpım altmanifoldunun  ikinci temel formunun normunun karesi için bir eşitsizlik kurulmuştur.  Dahası,  Einstein-benzeri çarpık-bükülmüş çarpım  manifoldunun çarpan manifoldlarının da Einstein-benzeri manifold olması için gerek ve yeter koşullar verilmiştir ve Einstein-benzeri çarpık-bükülmüş çarpım manifoldların farklı sınıfları karakterize edilmiştir. Tersine, çarpan manifoldları Einstein-benzeri manifold olan manifoldların kendisinin de Einstein-benzeri olup olmaması durumu da incelenmiştir.



Beşinci bölümde, tez çalışmasının genel bir değerlendirmesi yapılmış  ve çalışmanın literatüre katkısından  bahsedilmiştir. Ayrıca, bu  çalışmadan hareketle hangi çalışmaların yapılabileceği üzerinde durulmuştur.

Abstract:
The main purpose of this thesis is to research the geometry of conformal-twisted product and warped-twisted product submanifolds. These types of manifolds are studied as  submanifolds of globally conformal Kaehler manifolds and Einstein-like warped-twisted product manifolds are investigated.


This study consists of five main chapters. In the first chapter, the history  of this study is given, which means that the previous studies in the literature that were studied by researchers related to this subject have been mentioned.



The second chapter consists of five subsections. In the first subsection, the definitions of the Riemannian manifold, the main tensors defined on the Riemannian manifold  and different classes of Einstein-like manifolds are given. In the second subsection, the definition of submanifold of  Riemannian manifolds is given and  the main properties of a submanifold are given. The equations of  Gauss and Weingarten which establish relationship between submanifold and the ambient manifold are given as well.   In the third subsection, definitions of almost Hermitian manifold, Kaehlerian manifold and the main properties of this kind of manifolds  are given. In addition to this, some special submanifolds of almost Hermitian manifolds which are called holomorphic, totally real, semi-slant, hemi-slant etc. are introduced. In the fourth subsection,  the definitions of locally and globally conformal Kaehler manifolds are given and main theorems and equations valid for these submanifolds are reminded. The fifth subsection includes the  definition of doubly twisted product submanifolds and the theorem which characterizes  some special cases of such manifolds. Besides,  the covariant derivative formulas of doubly warped product manifolds are given.

\par

In the third chapter, tools and methods that are used through the thesis are mentioned.



The fourth chapter is the main part of the thesis. This chapter consists of two subsections. In these subsections,  the notion of conformal-twisted product submanifolds of the form $_{f_2}M^{T}\times_{f_1}M^{\theta}$ and $_{f_2}M^{\theta}\times_{f_1}M^{T}$ is introduced,  where $M^T$ is a holomorphic submanifold and $M^\theta$ is a proper slant submanifold of $M$ in a globally conformal Kaehler manifold and $f_2$ and $f_1$ are conformal factor and twisting function, respectively. Necessary and sufficient conditions for  proper semi-slant submanifold to be a locally conformal-twisted product for such  submanifolds of  the form $_{f_2}M^{T}\times_{f_1}M^{\theta}$ and $_{f_2}M^{\theta}\times_{f_1}M^{T}$ are given. A general inequality for the square norm of second fundamental form of   these types of submanifolds is established. Moreover,   the notion of warped-twisted product hemi-slant submanifolds of the form $_{f_2}M^{\bot}\times_{f_1}M^{\theta}$ with    warping function $f_2$ on $M^\theta$ and  twisting function $f_1$ is introduced,  where $M^\bot$ is a totally real  and $M^\theta$ is a  slant submanifold of  a globally conformal Kaehler manifold.   A warped-twisted product hemi-slant submanifold of a globally conformal Kaehler manifold is proved to be  a locally doubly warped product. Then, a general inequality for doubly warped product  mixed geodesic hemi-slant submanifolds is established  and  some results for such submanifolds  are gotten by using the equality sign of the general inequality. Additionally, necessary and sufficient conditions are given for the factor manifolds of Einstein-like  warped-twisted manifolds to be a Einstein-like manifolds and different classes of Einstein-like warped-twisted product manifolds are characterized. Conversely, when the  factor manifolds of warped-twisted product manifold are Einstein-like manifold, whether the warped-twisted product is Einstein-like is examined.


In the fifth chapter, the study is reviewed.   The contribution of thesis to the literature is mentioned and what's more, it is mentioned that this  study will inspire to  different research topics.