Aralarında asal yapılandırılmış modüller, alt modüllerin radikalleri, Baer spektrumu üzerinde demetler
Coprimely structured modules, radicals of submodules, sheaves over the Baer spectrum
Yazar: ZEHRA BİLGİN
Danışman: PROF. DR. AHMET GÖKSEL AĞARGÜN ; PROF. DR. ÜNSAL TEKİR
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2017
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
R birimli ve değişmeli bir halka ve M bir R - modül olsun. P , M nin bir asal alt modülü olmak üzere, M nin herhangi alt modüller ailesinin her elemanı ile P aralarında asal iken, bu ailenin kesişimi P tarafından kapsanmıyorsa P ye aralarında asal yapılandırılmış alt modül denir. M nin her asal alt modülü aralarında asal yapılandırılmış ise M ye aralarında asal yapılandırılmış modül denir. Bu çalışmanın ilk bölümünde aralarında asal yapılandırılmış modül tanımı yapılarak, bu modüllerin bazı özellikleri incelenmiştir. Özel olarak, sonlu üretilmiş modüller ve çarpımsal modüller için aralarında asal yapılandırılmış olma özelliğine dair çeşitli sonuçlar elde edilmiştir. Ayrıca temel ideal halkaları üzerinde sonlu üretilmiş sadık çarpımsal modüllerin sıfır boyutlu olmasına denk koşullar bulunmuştur.
Çalışmanın ikinci bölümünde, değişmeli halkalar üzerinde modül teorisinde güncel konulardan biri olan alt modüllerin radikalini belirleme konusuna eğilinmiş, modüllerin
dış kuvvetleri kullanılarak, sonlu ranklı serbest modüllerin sonlu üretilmiş alt modüllerinin radikalleri için bir karakterizasyon verilmiştir. Ayrıca, temel ideal bölgeleri üzerinde sonlu ranklı serbest modüllerin sonlu üretilmiş asal alt modülleri
belirlenmiştir.
Çalışmanın son bölümünde yarıasal bir R halkasının asal kuvvetli Baer idealleri kümesi
üzerinde tanımlı topolojinin bazı özellikleri incelenmiş, Baer spektrumu olarak adlandırılan bu uzay üzerinde bir halkalar öndemeti tanımlanmıştır. R sıfırlayıcı şartını
sağladığında bu öndemetin bir demet olduğu ispatlanmıştır. Ek olarak, bu demetin kökleri bulunmuştur. Ayrıca bu halkalar demeti kullanılarak, Baer spektrumu üzerinde bir modüller demeti tanımlanmıştır. her R - modül M ye bir modüller demeti M eşlenerek, bu eşlemenin bir tam sadık izleç olduğu ispatlanmıştır.

Abstract:
Ler R be a commutative ring with identity and M an R - module. A prime submodule P of M is called coprimely structured if, whenever P is coprime to each element of an arbitrary family of submodules of M , the intersection of the family is not contained in P. An R - module M is called coprimely structured provided each prime submodule of M is coprimely structured. In the first part of this work, the concept of coprimely structured module is defined and some general properties ara given. In particular, various results are obtained on coprimely structured property for finitely generated modules and multiplication modules. Besides, some equivalent conditions for a finitely generated faithful multiplication module over a principal ideal ring to be zero-dimensional are given.
In the second part, one of the appealing problems of module theory over commutative rings, determining radicals of submodules, is studied, and using exterior powers of modules, radicals of finitely generated submodules of free modules of finte rank are characterized. In addition, finitely generated prime submodules of free modules of finte rank over principal ideal domains are determined.
In the last part, some properties of a topology on the set of strongly prime Baer ideals,
namely the Baer spectrum, of a semiprime ring R is studied and a presheaf of rings is defined on the Baer spectrum. It is proved that if R satisfies the annihilator condition,
then that preasheaf is actually a sheaf of rings. In addition to that, the stalks of this
sheaf are found. Using this sheaf of rings, a sheaf of modules is defined on the Baer spectrum. Assigning a sheaf of module to each R - module M , it is shown that this
correspondence gives a fully faithful functor.