Sınır koşulunda spektral parametre bulunduran kendine eş olmayan Dirac sistemleri
The non-self-adjoint Dirac systems with a spectral parameter in the boundary condition
Yazar: IŞIL AÇIK DEMİRCİ
Danışman: PROF. DR. BİLENDER PAŞAOĞLU
Süleyman Demirel Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2016
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu doktora tezi beş bölümden oluşmaktadır.
İlk iki bölüm giriş ve kaynak özetleri kısmına ayrılmıştır.
Üçüncü bölümde, sırasıyla maksimal ve minimal diferansiyel operatör, defekt uzaylar ve indis defekt, disipatif ve akretif operatör, sınırlı lineer operatörün dilatasyonu, karakteristik fonksiyon ve model operatörü kavramları tanıtılıp bunlara ilişkin bazı bilinen sonuçlar hatırlatılmıştır.
Orjinal sonuçlar dördüncü bölümde yer almaktadır.
Bu çalışmanın araştırma bulguları olan dördüncü bölümde, geçiş koşullarıyla sınır koşullarında spektral parametre bulunduran kendine eş olmayan singüler Dirac tip sınır değer geçiş problemleri limit çember durumunda göz önüne alınmıştır. Bu yaklaşım maksimal disipatif operatörün kullanımına dayanmaktadır. Bu operatörün spektral analizi sınır değer geçiş problemi için yeterlidir. Maksimal
disipatif operatörün kendine eş dilatasyonunu ve bu dilatasyonun giren ve çıkan spektral gösterimleri inşa edilmiştir. Bu spektral gösterimler dilatasyonun saçılma matrisini belirlemeyi mümkün hale getirir. Maksimal disipatif operatörün bir fonksiyonel modeli kurulmuştur. Dirac sisteminin çözümlerinde fonksiyonel modelin karakteristik fonksiyonu tanımlanmıştır. Karakteristik fonksiyonun teorisine dayanarak elde edilen sonuçları temel alıp L2_X(O;C2) uzayında maksimal disipatif operatörün özvektörler ve bağlatılı vektörler sisteminin tamlığı üzerine teoremler Dirac tip operatör ile ilişkilendirilerek ispat edilmiştir.
Son bölümde ise, elde edilen teoremler ile sınır değer geçiş problemlerinin spektral analizinde çözmeye yardımcı olacağı konular belirtilmiş ve bulunan sonuçlar ile yapılabilecek çalışmaların ve genelleştirmelerin olabileceğinden bahsedilmiştir.

Anahtar Kelimeler: Disipatif operatörler, geçiş koşulu, özdeğer problemi, singüler disipatif Dirac sistemi, maksimal disipatif operatör, kendine eş dilatasyon, fonksiyonel model, karakteristik fonksiyon, özvektörler ve bağlantılı vektörler sisteminin tamlığı.

Abstract:
This thesis consists of five chapters.
The first two chapters are devoted to the introduction and source summaries of the subject.
In the third chapter, the concepts of the maximal and minimal differential operator, defects spaces and defect index, a dissipative and accretive operator, the dilation of a bounded linear operator, the characteristic function and the model operator of a linear operator are considered respectively. Also, some known results concerning these concepts are considered.
The research findings of the this thesis are fourth chapter in that a nonself-adjoint singular Dirac type boundary value transmission problems in the limit circle case is considered, which contain a spectral parameter in the boundary conditions and with transmission conditions. The approach is based on the use of the maximal dissipative operator, and spectral analysis of this operator is sufficient for the boundary value transmission problem. A self-adjoint dilation of the maximal
dissipative operator and its incoming and outcoming spectral representations is constructed, which make it possible to determine the scattering matrix of the dilation. Also, a functional model of the maximal dissipative operator is constructed and its characteristic function in terms of solutions of the corresponding Dirac system is defined. On the basis of the results obtained regarding the theory
of the characteristic function in the space L2_X(O;C2), theorems on completeness of the system of eigenvectors and associated vectors of the maximal dissipative operator and Dirac type operator is proved.
In the last chapter, with the obtained theorems the subjects that will help solving spectral analysis of the boundary value transmission problems are indicated. It is mentioned that with the results found, deeper research and generalizations can be done.

Keywords: Dissipative operators, transmission condition, eigenvalue problem, dissipative singular Dirac system, maximal dissipative operator, self-adjoint dilation, functional model, characteristic function, completeness of the system of eigenvectors and associated vectors.