Geometrik nesnelerin singülerlikleri ve bazı uygulamaları
Singularities of geometric objects and their applications
Yazar: ORHAN OĞULCAN TUNCER
Danışman: PROF. DR. İSMAİL GÖK
Ankara Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Legendre polinomları = Legendre polynoms ; Lorentz uzayı = Lorentz space ; Pedal eğrileri = Pedal curves ; Tekillik = Singularity ; Öklid düzlemi = Euclidean plane

Özet:
Bu tezde eğrilerin diferensiyel geometrisi, Legendre singülerite teorisi bakış açısıyla incelenmiştir. İlk olarak, Öklid düzleminde Legendre eğrilerin pedal ve contrapedal eğrilerinin geometrik özellikleri incelenmiş ve singülerlikleri sınıflandırılmıştır. Daha sonra, iki boyutlu hiperbolik küre üzerinde spacelike Legendre eğrilerinin pedal eğrileri tanımlanmış ve bu hiperbolik pedal eğrilerin singülerlikleri iki durumda incelenmiştir. Singüler olmayan dual eğri germleri için hiperbolik pedal eğrilerin singüler- liklerinin, birinci spacelike hiperbolik Legendre eğriliğinin singülerliği ile pedal noktasının konumuna bağlı olduğu gösterilmiştir. Diğer yandan, singüler dual eğri germleri için hiperbolik pedal eğrilerin singülerliklerinin, her iki spacelike hiperbolik Legendre eğriliğinin singülerliğine ve pedal noktasının konumuna bağlı olduğu kanıtlanmıştır. Daha sonra, spacelike frontalların ortotomik eğrileri tanımlanmış ve bu eğrilerin hiperbolik pedal eğriler ile arasındaki ilişkiler verilmiştir. Ayrıca, hiperbolik kürede kaustik eğriler kullanılarak yansıyan ışınlar tarafından üretilen ışık desenleri problemine bir uygulama verilmiştir. Son olarak, benzer problemler farklı bir yöntemle, destek fonksiyonları kullanılarak, iki boyutlu de Sitter küresinde spacelike ve timelike frontalların (contra)pedal eğrilerine ve (anti)ortotomik eğrilerine uygulanmıştır.

Abstract:
In this thesis, we investigate the differential geometry of curves from the viewpoint of singularity theory. We first study the geometric properties of the pedal and contrapedal curves of Legendre curves in the Euclidean plane and classify the singularities of these curves. We then introduce pedal curves of Legendre curves on the two-dimensional hyperbolic sphere and investigate the singularities of these hyperbolic pedal curves in two cases. We show that for non-singular dual curve germs singularity types of hyperbolic pedal curves depend on singularities of the first spacelike hyperbolic Legendrian curvature and locations of pedal points. We also prove that for singular dual curve germs singularity types of hyperbolic pedal curves depend upon singularities of both the spacelike hyperbolic Legendrian curvature germs and locations of pedal points. We then introduce orthotomic curves of spacelike frontals and present relationships between these orthotomic curves and hyperbolic pedal curves of spacelike frontals. Moreover, we use the definition of caustic curves on the hyperbolic sphere to give an application to light patterns generated by reflected rays. Finally, we apply a different method using support functions to investigate similar problems for (contra)pedal curves and (anti)orthotomic curves of spacelike and timelike frontals on the two-dimensional de Sitter sphere.