Antibiyotik-bağışıklık sistemi dinamiklerinin kesirsel mertebeden matematiksel modeli ve kararlılık analizi
Mathematical model from fractional grade and stability analysis of the dynamics of antibiotic-immune system
Yazar: NURCAN IŞILDAK
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ BAHATDİN DAŞBAŞI
Erciyes Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2019
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Dört bölümden oluşan bu tezin amacı; bakteriyel enfeksiyon durumunda çoklu antibiyotik tedavisi alan bir konaktaki,  enfeksiyona neden olan bakterinin popülasyon boyutu, konakçının bu bakteriye özel olarak ürettiği bağışıklık sistemi hücreleri ve antibiyotik konsantrasyonları arasındaki etkileşimi farklı bakış açılarıyla irdeleyen bir model oluşturmaktır. Bu model kesirsel mertebeden lineer olmayan otonom diferansiyel denklemlerden oluşmaktadır. Modelin kalitatif analizi yapılarak ve literatürden elde edilen parametre değerleri kullanılarak, nümerik simülasyonlarla analizin desteklenmesi  amaçlanmaktadır.
Giriş bölümünde; enfeksiyonların insanlık tarihindeki yerinden ve bunlar için bağışıklık sistemi ve antibiyotik tedavisinin öneminden bahsedilerek matematiksel modellerin bu tip biyolojik uygulamalarda nasıl ve neden kullanıldığı üzerinde durulmuştur.
Tezin birinci bölümünde; patojen-bağışıklık sistemi ve/veya patojen-ilaç tedavisi dinamiklerini ortaya koyan tam mertebeli ve kesirli mertebeli diferansiyel denklemler yardımıyla oluşturulan matematiksel modeller tanıtılmıştır. Bunlara ek olarak matematiksel modelleme açısından kesirsel mertebeden diferansiyel denklemler yardımıyla oluşturulan modellerin, tam mertebeden diferansiyel denklemler yardımıyla oluşturulan modellere göre avantajlarından bahsedilmiştir.
Tezin ikinci bölümünde, tam ve kesirsel mertebeden differansiyel denklem ve sisitemleriyle ilgili tanım teoremlere yer verildi.
Tezin üçüncü bölümünde; bağışıklık sistemi hücrelerinin ilk yanıtının patojene yanıt vermede yetersiz olduğu ve böylece enfeksiyonun ilerlediği ve çoklu ilaç tedavisinin kullanıldığı durumda; bireyin bağışıklık sisteminin ikinci yanıtı, ilaç konsantrasyonları ve enfeksiyona neden olan patojenin popülasyon boyutunun zamana bağlı olarak etkileşimlerini ortaya koyan bir senaryoya ait model kesirsel mertebeden diferansiyel denklemler yardımıyla inşa edildi ve kararlılık analizi yapıldı.
Tezin son bölümünde; bir önceki bölümde önerilen modelin kalitatif analiz sonuçları, nümerik simülasyonlarla desteklenmiştir. Pseudomonas Aeruginosa ve Mycobacterium Tuberculosis adlı bakterilerle mücadelede kullanılan antibiyotiklerin parametre değerleri, literatürden elde edilerek söz konusu nümerik simülasyonlar elde edilmiştir.

Abstract:
The goal of this thesis which includes four sections, is to create a mathematical model by means of non-linear autonomous differential equations from fractional grade that examine the interaction in between the population dimension of the bacteria that causes the infection in a host that receives multiple antibiotics treatment in case of bacterial infection, the immune system cells that are generated specifically against that bacteria and the antibiotic concentrations through different perspectives and to support this analysis through numeric simulations by means of the parameter values obtained from the literature by realizing a qualitative analysis of the model.
In the Introduction section; the place of the infections in the history of humanity and the importance of the immune system and antibiotic treatment for these are discussed and how and why the mathematical models are used in these types of biological applications are taken under consideration.
In the first section of the thesis, the mathematical models that are generated by means of differential equations from proper grade (Ode) and fractional grade (Fde) that present the pathogen-immune system and/or pathogen-medical treatment dynamics, are introduced. In addition to these, the advantages of the models generated by means of Fde when compared with the models generated by means of Ode in terms of mathematical modelling, are discussed.
In the second section of the thesis, definition theorems related to the differential equation and systems from proper grade and fractional grade, are included.
In the third section of the thesis, a model belonging to a scenario that introduced the temporal interactions of the second response of the individual's immune system, medication concentrations and the interactions of the population dimension of the pathogen causing the infections, in a case in which the immune system cells' first response is inefficient in responding the pathogen and which caused the advancement of the infection and the use of multiple medications are used, is constructed by means of differential equations from fractional grade and its stability analysis is realized.
In the last section, the tuberculosis model that is proposed in the third section and the results of the qualitative analysis that is used to evaluate the effect of the medications used to treat it are supported with numeric simulations by using the parameter values obtained from the literature.