Bazı üreteç fonksiyonları ve onların özellikleri
Some generating functions and their properties
Yazar: MURAT ERDOĞAN
Danışman: PROF. DR. CENAP DUYAR
Ondokuz Mayıs Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Binom açılımı = Binomial expansion ; Fibonacci sayıları = Fibonacci numbers ; Pell denklemi = Pell equation ; Simetrik gruplar = Symmetric groups ; Üretim fonksiyonları = Production functions ; İki değişkenli dağılım = Bivariate distribution

Özet:
Bu çalışmada bazı iki değişkenli üreteç fonksiyonlarının ve onların özelliklerinin, çift indisli özel sayı dizilerinin ve iki değişkenli polinomların elde edilmesi amaçlanmaktadır. Öncelikle bilinen tek değişkenli üreteç fonksiyonları tanıtılmış, örneklendirilmiş ve özellikleri incelenmiştir. Bununla birlikte bazı özel sayı dizileri ve polinomları verilerek kuramsal temeller atılmıştır.
Tezin ana amacını içeren bölüm beş kesimden oluşmaktadır. İlk kesimde iki değişkenli biçimsel kuvvet serileri ve özellikleri tanıtılmıştır. İkinci kesimde iki değişkenli üreteç fonksiyonları ve özelliklerine değinilmiştir. Burada iki değişkenli üreteç fonksiyonu bilinen çift indisli dizinin kendisine veya üreteç fonksiyonuna yapılan değişikliğin karşılıklı olarak birbirini nasıl etkilediği analiz edilmiştir. Üçüncü kesimde simetrik Fibonacci, Lucas, Pell matrisleri ile onlarla yakından ilgili iki değişkenli Fibonacci, Jacobsthal, Lucas, Pell polinomları tanıtılmış ve incelenmiştir. Dördüncü kesimde özel sayı dizileri ve tek bir tekrarlama bağıntısından yararlanılarak elde edilen binom tipli matrisler irdelenmiştir. Bu matrislerin kendisi, satır veya sütun dizilerinin literatürde yer alıp almadığı araştırılmıştır. Beşinci kesimde ise binom tipli matrislerle bağlantılı olan iki değişkenli polinom matrisleri verilmiştir.
Sonuç ve Öneriler Bölümünde ise bu tezde elde edilen bulgular değerlendirilmiş ve gelecekte yapılabilecek çalışmalar önerilmiştir.

Abstract:
In this study, it is aimed to obtain some bivariate generating functions and their properties, double special number sequences and bivariate polynomials. First of all, known univariate generating functions are introduced, exemplified and their properties are examined. In addition, by giving some special number sequences and polynomials theoretical foundations were laid.
The chapter which contains the main purpose of the thesis consists of five sections. In the first section, bivariate formal power series and their properties are introduced. In the second section, bivariate generating functions and their properties are mentioned. Here, it is analyzed how the changes made to the double sequence itself, whose the bivariate generating function is known, or to the generating function mutually affect each other. In the third section, symmetrical Fibonacci, Lucas, Pell matrices and closely related bivariate Fibonacci, Jacobsthal, Lucas, Pell polynomials are introduced and examined. In the fourth section, matrices of binomial type obtained by using a single recurrence relation and special number sequences are investigated. It has been researched whether these matrices themselves, row or column sequences are included in the literature. In the fifth section, bivariate polynomial matrices associated with binomial matrices are given.
In the Conclusion and Suggestions Chapter, the findings, which are obtained in this thesis, are evaluated and studies that could be done in the future are suggested.