Kesirli basamaktan sinir ağlarının kararlılık analizi
Stability analysis of fractional order neural networks
Yazar: AYŞEN KÜTAHYALIOĞLU
Danışman: PROF. DR. FATMA KARAKOÇ
Ankara Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezde, kesirli basamaktan türev içeren yapay sinir ağı modellerinin denge noktalarının varlığı, tekliği ve kararlılığı hakkında çalışmalar yapılmıştır. Tez beş bölümden oluşmaktadır. Tezin birinci bölümünde yapay sinir ağlarının tarihçesi ile ilgili genel bilgi verilmiştir. İkinci bölümde yapay sinir ağlarının biyolojik sinir ağları ile olan ilişkisi, yapay sinir ağı türleri ve yapay sinir ağları hakkında matematiksel açıdan yapılan incelemeler ifade edilmiştir. Ayrıca kesirli basamaktan türev ve integral kavramları açıklanıp kesirli basamaktan türev içeren yapay sinir ağı modelleri ile ilgili yapılan araştırmalardan bahsedilmiştir. Tezin üçüncü bölümü uyumlu kesirli türevli yapay sinir ağı modellerine ayrılmıştır. Bu bağlamda ilk olarak uyumlu kesirli türevin özellikleri incelenmiştir. Daha sonra Hopfield türünde bir yapay sinir ağının denge noktasının varlığı, tekliği ve üstel kararlılığı ispatlanmıştır. Benzer sonuçlar BAM-tipi tekrarlayan sinir ağı modeli için de elde edilmiştir. Ayrıca bu çalışmalarda elde edilen sonuçlar sayısal örnekler ile desteklenmiştir. Dördüncü bölümde ilk olarak Caputo-Hadamard kesirli türev operatörünün özellikleri irdelenmiştir. Devamında Caputo-Hadamard kesirli türev içeren Hopfield türünde bir yapay sinir ağı modelinin denge noktasının varlık-tekliği ve Mittag-Leffler kararlılığı için yeter koşullar elde edilmiştir. Bu bölümde elde edilen sonuçlar için de sayısal örnekler göz önüne alınıp sonuçlar grafiklerle desteklenmiştir. Tezin son bölümünde elde edilen sonuçların li- teratüre yaptığı katkı açıklanarak bu tezde kullanılan yöntemler ile gelecekte yapılabilecek çalışmalar ifade edilmiştir.

Abstract:
In this thesis, studies have been carried out the existence, uniqueness, and stabi- lity of equilibrium points of artificial neural network models that involve fractional order derivative. The thesis consists of five chapters. The first chapter provides general information about the history of artificial neural networks. In the second chapter the relationship between artificial neural networks and biological neural networks, various types of artificial neural networks, and mathematical examinations of artificial neural networks have been discussed. Furthermore, it explains the concepts of fractional derivative and integral and discusses researches carried out artificial neural network models involving fractional derivatives. The third chapter focuses on neural network models with conformable fractional derivative. In this context, the properties of comformable fractional derivative is examined. Then, the existence, uniqueness, and the exponential stability of the equilibrium point of a Hopfield-type artificial neural network are proven. Similar results are obtained for the BAM-type recurrent neural network model. Moreover, the results of these studies are supported by numerical examples. In the fourth chapter, the properties of the Caputo-Hadamard fractional derivative operator are examined. Subsequently, sufficient conditions for the existence-uniqueness and Mittag-Leffler stability of the equilibrium point of Hopfield-type artificial neural network model involving the Caputo-Hadamard fractional derivative are obtained. Numerical examples are taken into consideration and the results of this section are supported by the graphs. In the final chapter of thesis, contribution of the obtained results to the literature is explained, and possible future research using the methods employed in this thesis is discussed.