İç (Internal) grupoidler ve örtü morfizmleri
Internal groupoids and covering morphisms
Yazar: HÜRMET FULYA AKIZ
Danışman: PROF. DR. OSMAN MUCUK
Erciyes Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2013
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Örtü uzayı kavramı cebirsel topolojinin yanı sıra geometri ve cebir gibi matematiğin diğer bazı dalları için de önemlidir. Örtü uzayının topolojisi asıl uzayın topolojisinden daha basit olduğundan konunun önemini artırmaktadır. Grupoid tarihi çok eski olmamasına rağmen matematikte geniş uygulamalara sahiptir. Temel grupoidler, topolojik uzaylardan groupoidlere bir köprü görevi sağlamaktadır. Bu sayede bir X topolojik uzayının örtüleri ile temel grupoidinin örtülerinin denk olduğu elde edilir. Kategori denklikleri ile, bazı problemler denk olan kategorilerdeki daha basit problemlere dönüştürülebilir. Bu durum saha çalışanlarına bazı kolaylıklar sağlar. Topolojik grup örtüleri literatürde çeşitli kaynaklarda ele alınmış ve bu sahada aşağıdaki bazı sonuçlar önceden ispat edilmişitir.X topolojik grup ise temel grupoidi bir grup-grupoid olup X in örtü gruplarının kategorisi ile in grup-grupoid örtülerinin kategorisi denktir. Bir G grup-grupoidi için G nin grup-grupoid örtülerinin kategorisi G nin gruplar üzerine etkimelerinin kategorisine denktir. X topolojik grubu için bir crossed modul olup nın grup-grupoid örtülerinin kategorisi ve crossed modülünün örtülerinin kategorisi denktir. Grup-grupoidlerin kategorisi ile crossed modüllerin kategorisi denktir. Bu kategori denkliği daha sonra çok işlemli gruplar ve internal kategori cinsinden genelleştirilmiştir.Bu tezde bu genellemeden hareketle yukarıdaki diğer kategori denkliklerinin çok işlemli gruplar ve internal kategori cinsinden genelleştirilmesi yapılmıştır. Bunlara ilaveten $G$ nin internal grupoid olması halinde bölüm grupoidinin de internal grupoid olduğu ispat edilmiştir. Son olarak bir topolojik internal grupoidin monodromy grupoidinin internal grupoid olduğu ispat edilmiştir.Anahtar Kelimeler: Çok İşlemli grup, Internal Grupoid, Crossed Modul.

Abstract:
The notion of covering space is not important only for algebraic topology but also for geometry and algebra. The construction of a covering space becomes more significant since the structure of the covering space is in a sense simplear than that of base space. Although the history of the groupoid is not very old, it has wide applications in some branches of Mathematics. The notion of the fundamental grupoid serves as a bridge from topological spaces to groupoids. This enable to us that the category of coverings of a topological space X is equivalent to the category of covering groupoids of the fundamental groupoid . By using the equivalence of the categories, some problems in a category can be converted to simpler problems in the equivalence category. So the equivalence of categories enables to those working in the field. Covering groups of topological groups, in literature, have been discussed in some references. Some important results proved earlier, in this field, are below.If X is a topological group, then the fundamental group is a group-groupoid and the categories of covering groups of X and of group-groupoid coverings of are equivalent. For a group-groupoid G, coverings of G is equivalent to the actions of G on groups. For the topological group X, the restriction map is a crossed module; and group-goupoid coverings of and crossed module coverings of are equivalent. Group groupoids and crossed modules are equivalent, which is generalised for groups with operations and internal groupoids.Thus, in this thesis, the equivalences of other categories above are generalised for groups with operation and internal grupoids. In addition to these, it is shown that for an internal groupoid G and a normal subgroupoid N of G, the quotient groupoid G/N is an internal groupoid. Finally, it is proved that the monodromy groupoid of a topological internal groupoid is an internal groupoid.Keywords: Group With Operations, Internal Groupoid, Crossed Module.