Lineer olmayan bir denklem sınıfının iteratif çözümü
The iterative solution of a class of nonlinear equation
Yazar: MELTEM KADRİYE KAYA
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ SAMET MALDAR
Aksaray Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Bilgi bağımlılık grafiği = Data dependence graph ; Diferensiyel denklemler = Differential equations ; Ishikawa iterasyon yöntemi = Ishikawa iteration method ; Kararlılık = Stability ; Sabit noktalar = Fixed points ; Yakınsaklık = Convergence ; İntegral denklemler = Integral equations

Özet:
Sabit nokta teorisinde iterasyon yöntemleri geniş bir literatüre sahip olup bu yöntemler için elde edilen sonuçlar söz konusu iterasyon yönteminden elde edilen dizinin yakınsaklığı, yakınsaklık hızı, yakınsama denkliği, veri bağlılığı ve kararlılık olarak sıralanabilir. Ayrıca bu yöntemler integral veya diferansiyel denklemlerin çözümüne ulaşmada etkin bir araç olarak kullanılmaktadır.
Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde sabit nokta teorisine dair literatür özeti verilmiştir. İkinci bölümde tezde kullanılacak temel kavramlar, tanımlar ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde yeni tanımlanmış olan dört adımlı sabit nokta iterasyon yönteminin rasyonel dönüşüm sınıfı kullanılarak belirli koşullar altında bu dönüşümün sabit noktasına yakınsaklığı ve yakınsaklık hızı incelenmiştir. Ayrıca yeni iterasyon yöntemi için kararlılık ve veri bağlılığı kavramları irdelenmiştir. Ek olarak bu sonuçlar için aşikâr olmayan nümerik örnekler verilmiştir. Dördüncü bölümde genelleştirilmiş tipte bir integral denklemin çözümüne yeni iterasyon yöntemi kullanılarak ulaşılabileceği ispatlanmış ayrıca bu denklemin çözümünün veri bağlı olduğu gösterilmiştir. Beşinci bölümde ise, tez boyunca elde edilen sonuçlardan bahsedilmiş ve ileride yapılabilecek çalışmalar hakkında bilgi verilmiştir.

Abstract:
Iteration methods in fixed point theory, have a wide literatüre, and the results obtained for these methods can be listed as the convergence of the sequence obtained from the mentioned iteration method, the rate of convergence, the equivalence of convergence, data dependence, and stability. In addition, these methods are used as an effective tool in reaching the solution of integral or differential equations.
This thesis consists of five chapters. In the first chapter, a summary of the literature on fixed point theory is given. In the second chapter, the basic concepts, definitions, and theorems to be used in the thesis are given. In the third chapter, the convergence of the newly defined four-step fixed point iteration method and the rate of convergence were investigated under certain conditions by using the rational mapping class. In addition, the concepts of stability and data dependency were examined for the new iteration method. Also, nontrivial numerical examples are given for these results. In the fourth chapter, it is proved that the solution of a generalized type integral equation can be reached by using the new iteration method, and it is shown that the solution of this equation is data-dependent. In the fifth chapter, the results obtained during the thesis are mentioned and information about the possible future studies is given.