Kesin çözüm metotlarında yenilikçi yöntemler
Innovative methods in exact solution methods
Yazar: TUĞÇE UÇAR
Danışman: DOÇ. DR. SAİT SAN
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Fiziksel, biyolojik veya kimyasal olayları tanımlamak için matematiksel modellemede kullanılan en kuvvetli matematiksel araçlar adi ve kısmi diferansiyel denklemlerdir. Bu yüzden diferansiyel denklemlerin çözümlerini bulmak, yorumlamak uygulamalı matematiğin odağı halindedir. Lineer olmayan kısmi türevli denklemlerin hareketli dalga çözümleri ile yoğun bir şekilde ilgilenilmesi, lineer olmayan dalga teorisinde önemli gelişmeler olmasına ve birçok yeni ve etkili çözüm yöntemlerinin doğmasına öncülük etmiştir. Bu tipteki denklemlerin tam çözümlerinin elimizde olması, lineer olmayan fiziksel olayların derinlemesine incelenmesine, sayısal çözümlerin test edilmesine ve aynı zamanda çözümlerin kararlılık analizlerinin yapılmasına olanak sağlar. Lineer olmayan kısmi diferansiyel denklem sistemlerinin tam çözümleri için farklı yaklaşımlar bulunmuştur. Son zamanlarda geliştirilen metotlardan bazıları; yeni Kudryashov yöntemi, modifiye edilmiş Sardar alt denklem yöntemi, rasyonel (𝐺′/𝐺) açılım yöntemi, hiperbolik fonsiyon yöntemi, tanh – fonksiyon yöntemidir.
Bu tez çalışmasında yakın zaman içerisinde ortaya çıkan yeni Kudryashov yöntemi, modifiye edilmiş Sardar alt denklem yöntemi, rasyonel (𝐺′/𝐺) açılım yöntemi ele alınmıştır. Yöntemlerin baz aldığı yardımcı denklemlerin farklı tiplerde olmasından dolayı, çok çeşitli türden çözümler elde edilmiştir. Bu yöntemler kullanılarak iki modlu Kdv denklemi, çift dağılımlı model denklemi, Chen Lee Liu denklemi, Zakharov - Kuznetsov (ZK) denklem çifti, (2+1) boyutlu Calogero – Bogoyavlenskii – Schiff denklemi ve Perturbed Wadati – Segur - Ablowitz denklemlerinin uygun dalga dönüşümleri altında adi diferansiyel denklemlere indirgenerek kesin ve soliton dalga çözümleri elde edilmiştir.

Abstract:
The most powerful mathematical tools used in mathematical modeling to describe physical, biological or chemical phenomena are ordinary and partial differential equations. Therefore, finding and interpreting the solutions of differential equations is the focus of applied mathematics. Intensive interest in traveling wave solutions of nonlinear partial differential equations has led to significant developments in nonlinear wave theory and the emergence of many new and effective solution methods. Having the exact solutions of this type of equations allows us to examine nonlinear physical phenomena in depth, test numerical solutions, and also make stability analyzes of the solutions. Different approaches have been found for exact solutions of nonlinear systems of partial differential equations. Some of the recently developed methods are; new Kudryashov method, modified Sardar subequation method, rational (G'/G) expansion method, hyperbolic function method, tanh – function method.
In this thesis study, the new Kudryashov method, the modified Sardar subequation method, and the rational (G'/G) expansion method, which have emerged recently, are discussed. Since the auxiliary equations on which the methods are based are of different types, a wide variety of solutions have been obtained. By using these methods, appropriate wave transformations of the two-mode VAT equation, the bi-distributed model equation, the Chen Lee Liu equation, the Zakharov - Kuznetsov (ZK) equation pair, the (2+1) dimensional Calogero - Bogoyavlenskii - Schiff equation and the Perturbed Wadati - Segur - Ablowitz equations can be obtained. Exact and soliton wave solutions were obtained by reducing them to ordinary differential equations.