Enumerating all knots up to six crossings
Altı geçişe kadar olan bütün dügümlerin listelenmesi
Yazar: ERTAN SÖNMEZ
Danışman: PROF. DR. ATABEY KAYGUN
İstanbul Teknik Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez, matematiksel düğümlerin üretilmesi ve sınıflandırılması üzerine yazılmıştır. Bunu yapmak için iki konuya ağırlık verilmiştir: DT-dizileri ve düğüm değişmezleri. DT-dizileri ile belirli bir geçiş sayısı için olabilecek tüm düğüm diyagramları elde edilirken, düğüm değişmezleri ile elde edilen bu diyagramların hangilerinin birbirinden farklı olduğu tespit edilmiştir. Bu sayede 6 geçişe kadar tüm düğümler sınıflandırılmıştır.

Çalışmamızın ilk bölümünde, R^3 üzerinde düğümler tanımlanmış ve düğümlerin R^2'deki temsilleri olan düğüm diyagramlarının nasıl çizileceği gösterilmiştir. Düğüm diyagramlarının denkliği tanıtıldıktan sonra iki diyagramın birbirine denk olması için gerek ve yeter koşulun sonlu sayıda Reidemeister hareketleri ile birbirine dönüştürülebilmesi olduğunu ifade eden teorem verilmiştir. Ardından, değişmeli düğüm, bileşke düğüm ve asal düğümler gibi özellikle düğümlerin sınıflandırılmasında ihtiyaç duyulacak temel kavramlara yer verilmiştir.

İkinci bölümde, iki düğüm diyagramını birbirinden ayrıştırmamızı sağlayan araçlar olan düğüm değişmezlerinden bahsedilmiştir. Birçok düğüm düğüm değişmezi bulunmakla birlikte bu çalışmada; geçiş sayısı, bağlantı sayısı, üç-renklendirilebilirlik, düğüm determinantı, Jones polinomu, Alexander polinomu ve HOMFLY polinomu değişmezleri tanıtılmıştır. Birçoğuna ait örnek eklenilmiş olsa da 4. bölümdeki tüm değişmezler bilgisayar programları yardımı ile hesaplanmıştır. Ayrıca bu bölümde üç yapraklı yonca düğümünün çizilen bir diyagramı ile bu diyagramın ayna görüntüsünden elde edilen diyagramın Jones polinomu sayesinde birbirlerine denk olmadığı kanıtlanmıştır. 

Üçüncü bölümde, bir düğümün diziler ile kodlanabileceği fikri verilmiş ve buna örnek olarak DT-dizileri tanıtılmıştır. İlk olarak bir düğüm diyagram üzerinde keyfi bir nokta seçip burayı 1 ile etiketleyelim. Ardından, keyfi bir yön belirleyip her bir geçişte etiket numarasını bir arttıralım. Bu şekilde başlangıç noktasına geri dönene kadar her bir geçiş biri tek biri çift olmak üzere iki sayı ile etiketlenir. Eğer ele alınan diyagram değişmeli ise bütün etiketler pozitif; aksi halde değişmeli diyagramdan farklı görünen her bir geçişteki tek numralı etiket pozitif, çift numaralı etiket negatif işarete sahip olsun. Son olarak, tek sayıları eleyip sadece çift sayılar ile geçiş sırasına uygun olarak oluşturulan dizi bir DT-dizisidir. Bu şekilde her diyagrama karşılık bir dizi karşılık geleceği aşikardır. Tersine, ne zaman bir dizinin düğüm diyagramına karşılık geleceği gösterilmiştir. Bunun için önce, bir dizinin gerçeklemesinin, yani çiziminin, tanımı verilmiştir. Eğer bir dizi gerçeklemeye sahip ise bu dizi gerçeklenebilirdir, yani çizilebilirdir. Ayrıca eğer bir dizi gerçeklenebillir ise herhangi iki gerçeklemesi birbirine denktir. Yani, bir diziden elde edilen her diyagram birbirine denktir. Bu sayede bir diziye ait yalnız bir diyagram olacağı görülmüştür ki bu sınıflandırma için oldukça önemlidir. Son olarak, bir dizinin ne zaman gerçeklenebilir olduğunu algoritmik hesaplarla öğrenebileceğimiz teorem verilmiştir. Bu teorem sayesinde bir dizinin sadece elemanlarını inceleyerek o dizinin bir düğüm diyagramına karşılık gelip gelmeyeceği öğrenilebilir ve çalışmanın son bölümü bu teoremin bir uygulaması olarak görülebilir.




İkinci ve üçüncü bölümdeki bilgileri kullanarak, son bölümde, geçiş sayısı 6'ya kadar olan tüm düğümler DT-dizileri ile elde edilmiş ve düğüm değişmezleri ile elde edilen düğümler sınıflandırılmıştır. 

İlk olarak, geçiş sayısı 1 olan düğümleri temsil edebilecek tüm değişmeli diziler üretilmiştir. Geçiş sayısı 1 olan bir diyagramı temsil edebilecek diziler tek bir geçiş olduğundan sadece 1 ve 2'den oluşmalıdır. Bu durumda 1'in 2 ile eşleşmesinden başka yol yoktur, ancak üçüncü bölümde bir dizide, $n$ geçiş sayısı olmak üzere, $2n$ modunda bir sayı kendisinin bir fazlası ile eşleşiyorsa dizinin indirgenebilir bir diyagrama sahip olduğu gösterilmiştir. Bunun anlamı, bu diziye karşılık gelen bir diyagram olsa da geçiş sayısının en fazla $n-1$ olmasıdır. Eğer 1, 2 ile eşleşiyorsa bu dizi indirgenebilir olacağından geçiş sayısı 1 olamaz. Bu da bu diziye karşılık gelen diyagramın aslında geçiş sayısı 0 olan çözük düğüme denk olması demektir. O halde geçiş sayısı 1 olan bir düğüm mevcut değildir.

Benzer şekilde, geçiş sayısı 2 olduğunda da elde edilen tüm diyagramların indirginebilir olduğu görüldüğünden, geçiş sayısı 2 olan bir düğüm de mevcut değildir.

Geçiş sayısı 3 olduğunda, tüm indirgenebilir diziler elendikten sonra yalnız bir tane değişmeli dizi elde edilmiştir. Bu dizinin gerçeklenebilir olduğu gösterilmiştir. Bu noktadan sonra, elimizdeki diziden elde edilebilecek tüm değişmeli olmayan diziler türetilmiştir. Bunlara karşılık gelen diyagramlar, değişmeli olan diyagramdaki alt ve üst geçişlerin yerlerinin değiştirilmesi ile çizilebilir. Bu sayede tüm değişmeli olmayan diyagramlar elde edilmiştir, ancak hepsinin indirgenebilir olmasından dolayı hiçbiri geçiş sayısı 3 olan bir düğümü temsil edemezler. O halde geçiş sayısı 3 olabilecek yalnız bir diyagram vardır. Ancak bu diyagram görünüşte indirgenebilir olmasa da kendinden önceki tek düğüm olan çözük düğüme denk olabileceğinden, değişmezler yardımıyla bu diyagramın çözük düğüm olamacağı gösterilmiştir. Sonuç olarak, geçiş sayısı 3 olan tek bir düğüm olduğu gösterilmiştir.

Bu yönteme geçiş sayısı 6 olan tüm düğümler üretilene ve sınıflandırılana kadar devam edilmiştir. Geçiş sayısı 4 olduğunda, olası iki tane gerçeklenebilir değişmeli dizi elde edilmiş ancak bunların aynı diyagramı temsil ettikleri görülmüştür. Bir tanesini esas alıp, değişmeli olmayan diziler türetilmiş ve elde edilen bütün diyagramların daha önce bulunan düğümlere denk olduğu görülmüştür. Buradan, geçiş sayısı 4 olan yalnız bir düğüm olduğu görülmüştür.

Geçiş sayısı 5 olduğunda, toplam 13 tane indirgenebilir olmayan değişmeli dizi elde edilmiş, bunların 7 tanesini gerçeklenebilir değil iken 6 tanesinin gerçeklenebilir olduğu görülmüştür. Ancak gerçekleneebilir diziler içinden sadece iki tanesinin farklı diyagramları temsil ettiği gösterilmiştir. Bu durumda da elde edilen her bir değişmeli olmayan dizinin daha düşük geçiş sayısına sahip düğümlere denk olduğu gösterilmiştir. Buradan, geçiş sayısı 5 olan iki tane düğüm olduğu görülmüştür.

Son olarak, geçiş sayısı 6 olduğunda toplam 78 tane indirgenebilir olmayan değişmeli diziden birbirinden ve kendinden önceki düğümlerden farklı 4 tane düğüm elde edilmiştir. Burada bulunan 4 düğümden bir tanesinin bileşke düğüm olduğu görülmüştür. Yani, kendinden önceki iki düğümün toplamı şeklinden yazılabilir. 6 geçiş sayısına sahip düğümlere kadar hiçbir değişmeli olmayan diziden yeni bir düğüm üretilememesine karşın, geçiş sayısı 6 olduğunda değişmeli olmayan bir diziden yeni bir düğüm üretilmiştir ve o da bir bileşke düğümdür.

Abstract:
In the first chapter of our study, we introduce the knots defined on R^3 and their representations in R^2, namely knot diagrams. Then, basic concepts such as knot equivalence, alternate knots, composite and prime knots are introduced.

In the second chapter, we discuss knot invariants, which are tools that allow us to distinguish between two knot diagrams. Various knot invariants are given and the values of these invariants are calculated for some knots.

The third chapter introduces the idea that a knot can be encoded by sequences and introduces DT-sequences as an example. By labeling the crossings according to a pattern, it is shown that each knot diagram corresponds to a DT-sequence. Conversely, it is shown when a DT-sequence corresponds to a knot diagram.

Using the information from the second and third chapter, in the last chapter, all knots with up to crossing number of 6 were obtained with DT-sequences and these knots are classified with knot invariants. First, sequences with the crossing number of 1 and 2 were generated with DT-sequences and it was seen that the corresponding diagrams were in fact equivalent to the Unknot, which is the only knot with the crossing number of 0. Then all DT-sequences with the crossing number of 3 were generated and after eliminating the sequences that do not correspond to a diagram, i.e. non-realizable sequences, it was seen by calculating the knot invariants that only one of the remaining sequences was not equivalent to the only previous knot, the Unknot. This shows that there is only one knot with the crossing number of 3. This algorithm was continued up to knot with the crossing number of 6 and it was seen that there is only one knot with the crossing number of 4 and two knots with the crossing number of 5. All the knots found so far are prime knots, i.e. they cannot be written as the composition of two nontrivial knots. When the number of crossings is 6, five knots are found and it is shown that two of these knots are composite knots.