Lineer rekürans bağıntıları yardımıyla bazı özel sayıların ve polinomların üreteç fonksiyonlarının tanımlanması ve bunların uygulamaları
By the help of linear recurrence relations defining generating functions of some special numbers and polynomials and their applications
Yazar: YAĞMUR ÇETİN
Danışman: PROF. DR. YILMAZ ŞİMŞEK
Akdeniz Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezde lineer rekürans bağıntıları yardımıyla bazı özel sayıların ve polinomların üreteç fonksiyonları verilmiş ve bundan faydalanılarak bazı uygulamalar yapılmıştır. Üreteç fonksiyonları yardımıyla bazı özel sayı ve polinom ailelerinin özellikleri incelenmiş ve bunlar arasındaki bağıntılar ve formüller üzerine çalışılmıştır.
Bu tez çalışmasında, iki sıfırın ve iki birin yan yana gelmemesi koşuluyla {0, 1, 2} kümesi üzerinde yazılabilecek tekrarlı s-li tüm permütasyonların sayısına karşılık gelen bir sayı dizisi ele alınmıştır. Charalambides (2002) tarafından verilen rekürans bağıntısı yardımıyla bu sayı dizisinin üreteç fonksiyonu üzerinde çalışılmıştır. Bu üreteç fonksiyonunun bazı özel fonksiyonlar ile ilişkileri verilmiştir. İlgili üreteç fonksiyonu yardımıyla Charalambides (2002) kitabındaki Problem 7.7.11 ile verilen homojen lineer rekürans bağıntısının çözümü de verilmiştir. Buna ek olarak, bu tez çalışmasında elde edilen bazı sonuçların Simsek (2023) tarafından verilmiş olan ve özellikle de Fibonacci tipli ve Lucas tipli sayı ve polinom ailelerini kapsayan bir polinom ailesi ile ilişkileri de elde edilmiştir. Aynı zamanda ilgili üreteç fonksiyonu ile yeni bir özel polinom ailesi tanımlanmış ve bu polinomların bazı temel özellikleri incelenmiştir. Bu özelliklerden bazıları kullanılarak, matematikte ve diğer uygulamalı bilimlerde kullanılabilecek birçok yeni formül elde edilmiştir. Bu polinomlara türev operatörü uygulanarak yeni formüller de elde edilmiştir. Ayrıca bu polinomlar için Riemann integral gösterimleri de verilmiştir. Elde edilen yeni sonuçlar birinci türden Stirling sayıları , ikinci türden Bernoulli polinomları (Cauchy sayıları), Fibonacci sayıları ve Pell sayıları gibi özel sayı ve polinomları içermektedir.
Bu tez çalışmasında, tez kapsamında elde edilen sonuçlar hakkında karşılaştırmalı çok sayıda notlar verilmiş ve bunlara bağlı olarak da yorumlamalar yapılmıştır.

Abstract:
In this thesis, generating functions of some special numbers and polynomials are defined with the help of linear recurrence relations and some applications are made by making use of this. With the help of generating functions, the properties of some special number and polynomial families were examined and the relations and formulas between them were studied.
In this thesis, a sequence of numbers corresponding to the number of all repetitive s-permutations that can be written on the set {0, 1, 2}, provided that two zeros and two ones do not come together are discussed.With the help of the recurrence relation given by Charalambides (2002), the generating function of this number sequence has been studied and the relations of this generating function with some special functions are given.With the help of the related generating function, the solution of the homogeneous linear recurrence relation given by Problem 7.7.11 in the book of Charalambides (2002) is also given. In addition, in this thesis some obtained results have been related to a polynomial family given by Simsek (2023), especially including Fibonacci type and Lucas type number and polynomial families. At the same time, a new special polynomial family was defined with the related generating function and some basic properties of these polynomials were examined. Using some of these properties, many new formulas have been derived that can be used in mathematics and other applied sciences. By applying the derivative operator to these polynomials, new formulas are also obtained. Also, Riemann integral representations for these polynomials are given. The new results which are obtained, include some special numbers and polynomials like Stirling numbers of the first kind, Bernoulli polynomials of the second kind (Cauchy numbers), Fibonacci numbers and Pell numbers.
In this thesis, a large number of comparative notes have been given about the results obtained within the scope of the thesis and interpretations have been made depending on these.