Kuaterniyon halkaları üzerinde lineer kodlar
Linear codes over quaternion rings
Yazar: SEDA AKBIYIK
Danışman: PROF. DR. BAYRAM ALİ ERSOY
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2018
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Dijital bilgi transferi ve depolanmasının artmasıyla son yıllarda Cebirsel Kodlama Teorisi birçok araştırmacı tarafından ilgi görmektedir. Bu transfer ya da depolama esnasında kanalda meydana gelebilecek herhangi bir gürültü nedeniyle gönderilen mesaj değişikliğe uğrar. Bu nedenle hata meydana gelerek alınan mesaj gönderilenden farklı olana hatalı mesaj haline dönüşür. Kodlama Teorisi ya da Hata Düzelten Kodlar Teorisi bu hataları en aza indirmek, alınan sözü doğru bir şekilde hatalarını düzeltmekle ilgilenmektedir. Matematiğin birçok alt dalıyla ilişkili olan bu disiplinler arası alanda ilk çalışma 1948 yılında Shannon tarafından yapılmıştır. Bunu takip eden birçok çalışma ile kodlama teorisi cisimler, halkalar gibi farklı cebrisel yapılar üzerinde çalışılmıştır. Başlangıçta sonlu cisimler üzerinde yapılan çalışmalar ilk olarak Hammons ve arkadaşları tarafından halkalara taşınmıştır. 
Kuaterniyonlar ilk olarak Hamilton tarafından 1847 yılında tanıtılmıştır. Vektörlerde bölme işlemi yapılmasını sağlayan bu yapı birçok matematikçi tarafından ilgi görmüştür. Son yıllarda kodlama teorisi alanında çalışma yapan araştırmacılar, Kuaterniyon tamsayıları adı verdikleri, katsayıları tamsayılarda oluşan halka üzerinde lineer kodları ve daha pek çok kod ailelerinin inşaalarını vermiş ve dekodlama teknikleri geliştirmişlerdir. 
Bu tezde sonlu kuaterniyonlar halkası adı verilen   sonlu cisminden katsayılı halka incelenmiştir. Önce cebirsel özellikleri ele alınan halkanın sonlu, değişmeli olmayan ve zincir halkası olmayan bir halka olduğu gösterilmiştir. Bu halkanın elemanlarının   lilerinin oluşturduğu   modülü üzerinde kodlar çalışılmıştır. Lineer kodlar bu yapı üzerinde inşaa edilmiş ve standart forma üreteç matris verilerek parametreleri belirlenmiştir. Öte yandan   üzerinde devirli kodlar, sabit devirli kodlar ve çoklu devirli kodlar çalışılmış ve bu koldar için parametreler verilmiştir.

Abstract:
In recent years, Algebraic Coding Theory has attracted many researchers due to the increase of digital information transfer and storage. The message sent due to any noise that may occur in the channel during this transfer or storage is subject to change. For this reason, the error occurs and the received message becomes different from the one sent. The Coding Theory or the Error Correcting Codes Theory deals with correcting these errors to the best of their ability, correcting errors correctly. This interdisciplinary field study, which is associated with many subdivisions of mathematics, was first conducted by Shannon in 1948. In the following many studies, coding theory has been studied on different algebraic structures such as fields, rings. Initially, studies on finite fields were first generalized to rings by Hammons et al. [4].
Quaternions were first introduced by Hamilton in 1847. This structure, which allows dividing two vectors, has attracted many mathematicians. In recent years, researchers working in the field of coding theory have given the construction of linear codes and many more code families, called quaternion integers, coefficients on integers, and developed decoding techniques.
In this thesis, the ring of quaternions with coefficients from   called finite quaternions ring has been studied. It has been shown that the ring, first of all algebraic properties, is a finite, non commutative and non chain ring. Codes have been worked on the module of the elements of this ring. Linear codes are constructed on this structure and the parameters are determined by giving the generator matrix to the standard form. Moreover, cyclic codes, constacyclic codes and polycyclic codes have been studied and parameters have been given for these codes.