Dispersif şok dalgalarının Whitham teorisi
Whitham theory for dispersive shock waves
Yazar: NEŞE ÖZDEMİR
Danışman: PROF. DR. SEMRA AHMETOLAN ; DOÇ. DR. ALİ DEMİRCİ
İstanbul Teknik Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2024
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Asimptotik yöntem = Asymptotic method

Özet:
Bu tez çalı¸smasında, (2+1) boyutlu focusing modifiye Kadomtsev-Petviashvili
(mKP(f)) ve defocusing modifiye Kadomtsev-Petviashvili (mKP(d)) denklemleri için
parabolik tipte, (3+1) boyutlu mKP(f) ve mKP(d) denklemleri için ise paraboloid tipte
bir dalga cephesi boyunca uzanan basamak tipi bir ba¸slangıç ko¸sulu için dispersif ¸sok
dalga çözümleri (DSW) incelenmi¸stir. Çalı¸sma be¸s bölümden olu¸smaktadır.
˙Ilk bölümde, dispersif ¸sok dalgaları ile ilgili literatür özetine yer verilmi¸s ve bu tez
kapsamında ele alınan problemlerin kapsamından bahsedilmi¸stir.
˙Ikinci bölümde, (2+1) boyutlu mKP(f) denkleminde görülen dispersif ¸sok dalgaları
üzerinde durulmu¸stur. ˙Ikinci bölüm be¸s kısımdan olu¸smaktadır. Birinci kısımda,
bu bölüm kapsamında ele alınacak problem ve yapılacak olan analiz hakkında
bilgi verilmi¸stir. ˙Ikinci kısımda, (2+1) boyutlu mKP(f) denklemi için basamak
tipi ba¸slangıç ko¸sulu ele alınmı¸s ve DSW'lerin parabolik bir cephe boyunca
ilerledigi varsayılmı¸stır. Denkleme benzerlik dönü¸sümü uygulanarak orijinal mKP ˘
denklemi (1+1) boyutlu focusing silindirik modifiye Korteweg-de Vries (cmKdV(f))
denklemine indirgenmi¸stir. Üçüncü kısımda, (1+1) boyutlu cmKdV(f) denklemine
Whitham modülasyon teorisi uygulanarak, dispersif ¸sok dalga yayılımını ifade
etmek için kullanılan Whitham modülasyon denklemleri elde edilmi¸stir. Whitham
modülasyon teorisine göre, dispersif ¸sok dalga yayılımı zamana ve konuma göre
yava¸s ve hızlı olmak üzere farklı ölçeklerde degi¸sim gösteren fiziksel büyüklüklerle ˘
tanımlanmaktadır. Whitham modülasyon denklemleri adı verilen denklemler ise, bu
fiziksel büyüklüklerin yava¸s degi¸simini karakterize etmek için türetilmektedir. Öte ˘
yandan, önerilen çözüm formu sonucu elde edilen cmKdV(f) denkleminin, Whitham
modülasyon denklemleri orijinal Whitham ortalama metodu yerine bir asimptotik
analiz olan çoklu ölçekler metodu ile türetilmi¸stir. Whitham ortalama yöntemi yerine
bu yöntemi kullanmamızın ba¸slıca nedenlerinden birisi, orijinal teoride kullanılan
korunum yasalarının ilgili denklem için bilinmemesidir. Ayrıca, cmKdV(f)-Whitham
sisteminde silindirik terim özde¸s olarak sıfır alındıgında mKdV(f)- Whitham sistemine ˘
dönü¸stügü gözlenmi¸stir. Dördüncü kısımda ise, (1+1) boyutlu cmKdV(f) denklemi ˘
ve klasik mKdV(f) denklemlerine ait Whitham modülasyon denklemlerinin sayısal
çözümleri ile mKdV(f) ve cmKdV(f) denklemlerinin dogrudan sayısal çözümleri ˘
elde edilmi¸stir. Whitham modülasyon denklemlerinin çözümleri sayesinde DSW'lere
ait yayılma zarfı, yayılma hızı ve belirli bir andaki maksimum minimum genlik
büyüklükleri gibi bilgiler elde edilir. Bu nedenle, denklemlerin dogrudan çözümlerini ˘
elde etmek yeterli degildir. Daha sonra, ilgili denklemlere ait do ˘ grudan ve Whitham ˘
sistemlerinin (asimptotik çözüm) çözümleri kar¸sıla¸stırılarak yöntemin uygunlugu˘
da gösterilmi¸stir. cmKdV(f)- Whitham sistemi kö¸segen degildir ve bu özellik ˘
analitik çözümü bulmayı oldukça zorla¸stırmaktadır. Bu yüzden analitik çözüm
yerine, Shampine tarafından geli¸stirilen MATLAB temelli sayısal çözücü programı
kullanılmı¸stır. (1+1) boyutlu mKdV(f) ve cmKdV(f) denklemlerinin dogrudan ˘
sayısal çözümü için mevcutlar içinde en etkin spektral tabanlı sayısal yöntem olarak
adlandırılan ve birçok nonlineer evrim tipi diferansiyel denklemin çözümünde hızı ve
dogrulu ˘ gu test edilmi¸s, "Exponential Time Differencing Runge Kutta-4" ETDRK4 ˘
yönteminin modifiye hali kullanılmı¸stır. Bu kısımda, son olarak ETDRK4 yöntemi
için hata analizine yer verilmi¸stir.
Üçüncü bölümde, (3+1) boyutlu mKP(f) denkleminde görülen DSW çözümleri
ele alınmı¸stır. Üçüncü bölüm, be¸s kısımdan olumaktadır. ˙Ilk kısımda, bu
bölüm kapsamından bahsedilmi¸stir. ˙Ikinci kısımda, paraboloid tipi bir dalga
cephesi boyunca uzanan basamak tipi ba¸slangıç ko¸sulu için (3+1) boyutlu mKP(f)
denklemi, uygulanan benzerlik dönü¸sümüyle (1+1) boyutlu focusing küresel mKdV
(smKdV(f)) denklemine indirgenmi¸stir. Üçüncü kısımda, (1+1) boyutlu smKdV(f)
denklemine ait Whitham modülasyon denklemlerini türetmek için ilk problemde
kullanılan çoklu ölçekler metodu kullanımı¸stır. Dördüncü kısımda ise, öncelikle
mKdV(f) ve smKdV(f) denklemlerinin Whitham modülasyon denklemleri sayısal
olarak çözülmü¸stür. Daha sonra, mKdV(f) ve smKdV(f) denklemleri ETDRK4
metodunun modifiye hali kullanılarak dogrudan çözülmü¸stür. Ardından, asimptotik ˘
ve dogrudan çözümler kar¸sıla¸stırılarak kullanılan asimptotik yöntemin do ˘ grulu ˘ gu˘
test edilmi¸stir. Bu kar¸sıla¸stırma ile, Whitham teorisinin ne kadar ba¸sarılı oldugu˘
gözlemlenmi¸stir. Öte yandan, daha önce de belirtildigi gibi smKdV(f)-Whitham ˘
sistemi, küresel terim özde¸s olarak sıfır alındıgında (yani ˘ hi = 0) mKdV(f)-Whitham
sistemine indirgenmektedir. Bu nedenle, bu bölümde mKdV(f) denkleminin sayısal
ve asimptotik çözümlerine de yer verilerek, küresel terimin çözümleri ne ölçüde
etkiledigi gösterilmi¸stir. Ek olarak, bu kısımda orijinal denklemleri do ˘ grudan ˘
çözmek için kullanılan ETDRK4 yöntemi için hata analizi yapılmı¸stır. Ayrıca,
klasik mKdV(f), cmKdV(f) ve smKdV(f) denklemlerine ait sayısal çözümler için
kar¸sıla¸stırılma yapılmı¸stır. Be¸sinci kısımda, cmKdV(f) ve smKdV(f) denkleminin
çözümlerinin sınıflandırılması için ilgili denklemlerin dogrudan sayısal çözümleri ile ˘
elde edilen sonuçlar verilmi¸stir. Literatür incelendiginde klasik mKdV denklemi için ˘
farklı tipte ¸sok dalga çözümleri için sınıflandırma yapıldıgı görülmektedir. Klasik ˘
mKdV(f) denkleminde DSW çözümlerinin olu¸sabilmesi için gerekli olan kriterlerin
yanı sıra, "Contact Dispersif ¸Sok Dalgası" (CDSW), Seyreltme Dalgası (R) ve bu
dalgaların kombinasyonu CDSW-DSW, CDSW-R ¸sok dalga çözümleri türetildigi˘
görülmü¸stür. DSW çözümünün olu¸sabilmesi için verilen kriterler, ba¸slangıç ko¸sulunda
verilen parametrelere baglıdır. mKdV(f) denkleminde olu¸san ¸sok dalga formları için ˘
verilen kriterler kullanılarak, cmKdV(f) ve smKdV(f) denklemleri için muhtemel
sınıflandırma için sayısal sonuçlar elde edilmi¸stir.
Dördüncü bölümde, (2+1) ve (3+1) mKP(d) denklemlerinde görülen DSW çözümleri
için focusing denklemlere benzer bir analiz yapılmı¸stır. Dördüncü bölüm, üç kısımdan
olu¸smaktadır. ˙Ilk kısımda, bu bölüm kapsamında ele alınan denklemler hakkında
ve yapılacak olan analiz hakkında bilgi verilmi¸stir. ˙Ikinci kısımda, parabolik bir
dalga cephesi boyunca uzanan basamak tipi bir ba¸slangıç ko¸sulu için (2+1) boyutlu
defocusing mKP (mKP(d)) denklemi uygun bir çözüm formuyla (1+1) boyutlu
defocusing silindirik mKdV (cmKdV(d)) denklemine indirgenmi¸stir. Daha sonra,
(1+1) boyutlu cmKdV(d) denklemine ait Whitham modülasyon denklemleri çoklu
ölçekler metodu kullanılarak elde edilmi¸stir. (3+1) boyutlu mKP(d) denklemi ise,
paraboloid bir dalga cephesi boyunca uzanan basamak tipi ba¸slangıç ko¸sulu ve uygun
çözüm formuyla (1+1) boyutlu defocusing küresel mKdV (smKdV(d)) denklemine
indirgenmi¸stir. Ardından, smKdV(d) denklemine ait Whitham modülasyon
denklemleri, cmKdV(d) denklemine benzer bir analiz kullanılarak elde edilmi¸stir.
Üçüncü kısımda, klasik mKdV(d), cmKdV(d) ve smKdV(d) denklemlerine ait sayısal
sonuçlara yer verilmi¸stir. Focusing denklemlerde oldugu gibi, denklemlerin do ˘ grudan ˘
çözümleri ve Whitham sisteminin bulunarak kar¸sıla¸stırma yapılmı¸stır. Böylece,
uygulanan asimptotik yöntemin uygunlugu gösterilmi¸stir. Daha sonra, ETRK4 ˘
yöntemi için hata analizine yer verilmi¸stir. Ek olarak, mKdV(d) denkleminde farklı
tipte ¸sok dalga formları için yapılan analiz göz önünde tutularak cmKdV(d) ve
smKdV(d) denklemlerindeki muhtemel çözüm sınıflandırması için sayısal sonuçlar
payla¸sılmı¸stır.
Be¸sinci bölümde, tez çalı¸smasında elde edilen sonuçlar özetlenmi¸s ve tez konusu ile
ilgili gelecekte incelenebilecek problemler hakkında kısa bilgi verilmi¸stir.

Abstract:
In this thesis, dispersive shock wave (DSW) solutions have been investigated for a step-like initial condition along a wavefront of parabolic type in (2+1)-dimensional focusing modified Kadomtsev-Petviashvili (mKP(f)) and defocusing modified Kadomtsev-Petviashvili (mKP(d)) equations. Similarly, a step-like initial condition along a wavefront of paraboloid type has been explored in (3+1)-dimensional mKP(f) and mKP(d) equations. Here, we reduced the (2+1)-dimensional equations to cmKdV-type equations using a parabolic similarity variable transformation. The (3+1)-dimensional equations were reduced to smKdV-type equations using an approach similar to that employed in the (2+1)-dimensional case. Subsequently, we derived the Whitham modulation system in Riemann-type variables for the cmKdV-type and smKdV-type equations through the method of multiple scales. Dispersion shock waves (DSWs) obtained from asymptotic analysis and direct numerical simulations of the cmKdV type and smKdV type equations were compared for step-like initial data, showing good agreement between these solutions. Additionally, an error analysis was performed for direct numerical solutions of mKdV, cmKdV, and mKdV equations. Furthermore, the classification of solutions for Riemann-type problems in the cmKdV-type and smKdV-type equations was investigated