Euclid uzaylarındaki hiperyüzeylerin Gauss tasvirinin tipleri ve cheng yau operatörü
The types of the Gauss map and cheng yau operator of hypersurfaces in Euclidean spaces
Yazar: FURKAN KAYA
Danışman: DOÇ. DR. NURETTİN CENK TURGAY
İstanbul Teknik Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Diferensiyel geometri = Differential geometry ; Gauss yöntemi = Gaussian method ; Hiperyüzey = Hypersurface ; Öklid uzayları = Euclidean spaces

Özet:
Chen ve Piccini tarafından ortaya konan "$ \mathbb{E}^{m} $ Euclid uzayının bir alt manifoldunun Gauss tasviri alt manifoldu ne ölçüde belirler?" probleminden sonra sonlu tipten Gauss tasvirine sahip alt manifoldların analizi çok aktif bir araştırma konusu haline gelmiştir. Şimdiye kadar bu probleme bazı faydalı kısmi çözümler sunulmuştur. 
$ \mathbb{E}^{m} $ Euclid uzayının $ n $ boyutlu bir $ M $ alt manifolduna, eğer $ x $ konum vektörü  $ \Delta $ Laplace operatörünün  özvektörlerinin sonlu bir toplamı olarak ifade edilebilirse sonlu tiptendir denir. Dolayısıyla $ M $ alt manifoldunun sonlu tipten olması için, $ x=x_0+x_1+x_2 \cdots +x_n$ olmalıdır. Burada $ x_0 $ sabit tasvir ve  $ x_1,x_2,\hdots,x_n $ ise $\lambda_i \in \mathbb{R}  $ olmak üzere $i=1,2,\hdots,k  $ için $ \Delta x_i=\lambda_ix_i$ şartını sağlayan sabit olmayan tasvirlerdir. Eğer $ \lambda_1,\lambda_2,\hdots,\lambda_k $ özdeğerleri birbirinden farklı ise $ M $ alt manifoldu $ k $-tipindendir denir. 
$ M $, Euclid uzayının bir hiperyüzeyi olsun. Benzer şekilde bir $ \psi: M^{n}\xrightarrow{}E^{n+1} $ düzgün fonksiyonuna, eğer $ M $ hiperyüzeyinin Laplace operatörünün $ k $ tane ayrık özdeğerine karşılık gelen özvektörlerin toplamı olarak yazılıyorsa, $ k $-tipindendir denir. Eğer böyle bir $ k $ değeri varsa, $ \psi $ fonksiyonuna sonlu tiptendir denir. 
Yukarıda verilen tanımdan dolayı $ M $ hiperyüzeyinin 1-tipinden Gauss tasvirine sahip olması için gerek ve yeter şartın $$ \Delta G=\lambda(G+C) $$ diferansiyel denkleminin bir $ \lambda \in \mathbb{R} $ özdeğeri ve $ C $ sabit vektörü için sağlanması olduğu elde edilir. $ \mathbb{E}^{3} $ Euclid uzayındaki düzlemler, dik silindirler ve küreler 1-tipi Gauss tasvirine sahip yüzeylerdir.
Euclid uzayındaki sonlu tipten alt manifoldlar pek çok geometrici tarafından çalışılmış ve önemli sonuçlara ulaşılmıştır. Halen de bu konu ile ilgili pek çok açık problem bulunmakta ve bu açık problemler çözülmeye çalışılmaktadır. Bu problemlerin bazıları da hiperyüzeylerin Gauss tasvirleri ile ilgilidir. Günümüze kadar pek çok geometrici Euclid uzaylarındaki hiperyüzeylerin Gauss tasvirlerinin üzerine çalışmıştır.
Diğer taraftan,  Euclid uzayındaki bir $ M $ manifolduna, $ G $ Gauss tasviri $$ \Delta G=f(G+C) $$ denklemi düzgün bir $ f$ fonksiyonu ve bir $ C $ sabit vektörü için sağlanırsa, noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahiptir denir. Eğer bu denklem $ C=0 $ için sağlanırsa Gauss tasviri birinci çeşit noktasal 1-tipinden; $ C\neq0 $ için sağlanırsa ikinci çeşit noktasal 1-tipindendir denir. Örneğin, $ \mathbb{E}^{3} $ Euclid uzayındaki helikoit, katenoid ve dik koni noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip yüzeylerdir. Son senelerde bu kavramlar genişletilerek genelleştirilmiş 1-tipinden Gauss tasvirine sahip alt manifold tanımı verilmiştir. Euclid uzayındaki bir $ M $ manifoldunun $ G $ Gauss tasviri $$ \Delta G=f_1G+f_2C $$ denklemi $ f_1,f_2 $ düzgün fonksiyonları ve bir $ C $ sabit vektörü için sağlanırsa genelleştirilmiş 1-tipinden Gauss tasvirine sahiptir denir. Örneğin, $ \mathbb{E}^{3} $ Euclid uzayındaki tüm dönel yüzeyler genelleştirilmiş 1-tipinden Gauss tasvirine sahiptir.
Bu tez çalışmasında $ \mathbb{E}^{3} $ uzayındaki yüzeylerin Gauss tasvirlerinin tiplerine göre sınıflandırılmaları ile ilgili bazı teoremler çalışılmıştır. Üçüncü bölümde Cheng-Yau operatörüne göre noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip sabit ortalama eğrilikli ve sabit esas eğrilikli yüzeyler ile ilgili bilinen sonuçlar ayrıntılı bir şekilde açıklanmıştır. Sonra Weingarten yüzeyleri incelenmiştir. $ \mathbb{E}^{3} $ Euclid uzayındaki doğrusal Weingarten yüzeyinin Cheng-Yau operatörüne göre ikinci çeşit noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip olması için bu yüzeyi düzlemin açık bir parçası olması gerektiği gösterilmiştir.  
Dördüncü bölümde ise $ \mathbb{E}^{3} $ Euclid uzayındaki minimal yüzeylerin Cheng-Yau operatörüne göre genelleştirilmiş 1-tipinden Gauss tasvirine sahip olması için bazı teoremler elde edilmiştir. Ayrıca, helikal yüzeyler incelenmiş ve $ \mathbb{E}^{3} $ Euclid uzayındaki bir helisoidal yüzeyin $ \square $ noktasal 1-tipinden Gauss haritasına sahip olması için gerek ve yeter şartın o yüzeyin bir dönel yüzey olması veya sabit Gauss eğriliğine sahip olması gerektiği gösterilmiştir.

Abstract:
Finite type maps from a submanifold of a Euclidean space into another Euclidean space have been studied by many geometers and important results have been obtained. There are still many open problems related to this subject to be solved.
Let $ M $ be a hypersurface of $ \mathbb{E}^{n+1} $. A smooth function $ \psi: M^{n}\xrightarrow{}E^{n+1} $ is said to be of $ k $-type if it can be expressed as a sum eigenvectors corresponding to k distinct eigenvalues of the Laplace operator of $ M $. If such a $ k $ exists, then $ \psi $ is said to be finite type.
After the problem 'To what extent does the type of the Gauss map of a submanifold of $ \mathbb{E}^{m} $ determine the submanifold?' was introduced by Chen and Piccini, the study
of submanifolds with finite type Gauss map became a very active research subject. Many affirmative partial solutions to this problem have appeared and provide some particular results. 
Some of these problems are related with the Gauss map of hypersurfaces. Many geometers has studied type of the Gauss map of hypersurfaces in Euclidean spaces so far. 
From the definition above it is obtained that a hypersurface $ M $ has 1-type Gauss map if and only if the differential equation $$ \Delta G=\lambda(G+C) $$ is satisfied for an eigenvalue $ \lambda \in \mathbb{R} $ and constant vector $ C $. For example, planes, circular cylinders and spheres in $ \mathbb{E}^{3} $ are surfaces with 1-type Gauss maps. The other examples in Euclidean spaces are mass symmetric 2-type submanifolds and minimal hypersurfaces of a hypersphere with constant sectional curvature.
On the other hand, a submanifold $ M $ of a Euclidean space has a pointwise 1-type if the Gauss map of $ M $ satisfies  $$ \Delta G=f(G+C) $$ for some smooth function $ f $ and constant vector $ C $, where $ \Delta $ denotes the Laplace operator defined on $ M $. If this equation is satisfied for $ C=0 $ then a pointwise 1-type Gauss map is said to be of the first kind, otherwise, it is said to be of the second kind. For example, a catenoid, a helicoid and a right cone in $ \mathbb{E}^{3} $ are surfaces with pointwise 1-type Gauss map. In the recent years, by extending this notion, the definiton of generalized 1-type Gauss map has been given.
A submanifold $ M $ of a Euclidean space has a generalized 1-type Gauss map if Gauss map of $ M $ satisfies $$ \Delta G=f_1G+f_2C $$ for smooth functions $ f_1,f_2 $ and constant vector $ C $, where $ \Delta $ denotes the Laplace operator defined on $ M $. For example all rotational surfaces in the Euclidean space $ \mathbb{E}^{3} $ has generalized 1-type Gauss map. If the $ f_1 $ and $ f_2 $ functions are constant in this equation, then the $ M $ has a 1 type Gauss map. If $ f_1=f_2 $ in this equation then $ M $ has a pointwise 1-type Gauss map.
On the other hand, a surface is said to be Weingarten if its principal curvatures $ k_1,k_2 $ satisfy $$ k_1=\phi(k_2) $$ for a smooth fuction $ \phi $. These kind of surfaces has caught the interest of many geometers so far. Note that surfaces with constant Gaussian curvature can be assumed to be a Weingarten surface. In particular, a surface is said to be linear Weingarten if $$ k_2=ak_1+b $$ for some constants $ a,b\in \mathbb{R} $. This class also contains surfaces with constant mean curvature and also minimal surfaces. 
Another well-known class of surfaces in the Euclidean spaces is helicoidal surfaces. Namely, a helicoidal surface is generated by applying a composition of rotation and translation to a suitable curve. Note that class of rotational surfaces is a particular case of this kind of surfaces which appear when the speed of the translation is zero.
On the other hand the Laplace operator $ \Delta $ of the hypersurface of $ M^{n} $ belongs to a sequence $ L_0,L_1,\hdots,L_{n-1} $ of the second order elliptic differential operators. These operators represent the linear operators of the first variation of corresponding mean curvature of $ M $. The particular cases of $ L_k $ are $ L_0=-\Delta $ and the Cheng-Yau operator $ \square $.
In time, the definition of finite type maps is studied by considering the operator $ L_k $ instead of $ \Delta $. Note that the Cheng-Yau operator $ L_1=\square $ has caught special attention. Many geometers have obtained classification results about hypersurfaces with $ \square $-finite type Gauss map as well as $ \square $-pointwise 1-type Gauss map. In this thesis, the Gauss map of hypersurfaces of Euclidean spaces is studied by considering the Cheng-Yau operator $ \square $. Then the Weingarten surfaces are investigated.
In Section 3, first the known results for surfaces with constant mean curvature and constant principal curvature with pointwise 1-type Gauss map with respect to the $ \square $ Cheng-Yau operator are explained in detail.
Then the Weingarten surfaces are investigated. It is proved that a linear Weingarten surface in $ \mathbb{E}^{3} $ has $ \square $-pointwise 1-type Gauss map of the second kind if and only if it is an open part of a plane.
In section 4, some theorems are obtained for minimal surfaces to have a generalized 1-type Gauss map. It is shown that a minimal surface in $ \mathbb{E}^{3} $ to have a generalized 1-type Gauss map if and only if it satisfies equation $$ \omega_1 \left +\, \omega_2 \left = 0, $$ where $$ \omega_1 = \left\langle\nabla_{e_1}e_1,e_2\right\rangle, \omega_2 = -\left\langle\nabla_{e_2}e_2,e_1\right\rangle. $$ Besides, it is shown that a minimal surface in $ \mathbb{E}^{3} $ to have a generalized 1-type Gauss map if it satisfies equation $$ \omega_2^{2}e_1(\omega_1)-\omega_1^{2}e_2(\omega_2)=\omega_1\omega_2(\omega_2^{2}+\omega_1^{2}-K), $$ where $ \omega_1 $ and $ \omega_2 $ are defined by $$ \omega_i=\langle \nabla_{e_i}e_1,e_2\rangle \quad i=1,2. $$
Furthermore, helicoidal surfaces are also studied. It is proved that a helicoidal surface in $ \mathbb{E}^{3} $ has a generalized 1-type Gauss map if and only if it is either a rotational surface or a genuine helicoidal surface with constant Gaussian curvature.