Doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin nümerik çözümleri için Chebyshev dalgacık sıralama metodu
Chebyshev wavelet collocation method for numerical solution of non-linear partial diferantial equation
Yazar: YASEMİN BAKIR
Danışman: DOÇ. DR. AYDIN SEÇER ; DR. ÖĞR. ÜYESİ SERTAN ALKAN
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2018
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezde çalışmasında Ginzburg-Landau denklemi, Korteweg-de Vries denklemi vb. pek çok öneme sahip doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin çözüm biçimini kolaylaştırması ve analitik çözüme olan yaklaşımının doğruluğu ile oldukça etkili bir Chebyshev dalgacık sıralama metodu tartışılıp, uygulanmaya çalışılmıştır. Bu metot Cheyshev dalgacık metodu ve Legendre dalgacık sıralama metoduyla kıyaslanmış ve bu metodun ne kadar güçlü doğruluğa sahip olduğu vurgulanmıştır. 
Öncelikli olarak bu metodun ana fikri, problemlere Chebyshev dalgacık seri açılımları ile yaklaşım sağlamaktır. Chebyshev dalgacık sıralama metodunu uygulayabilmek için ilk olarak integralin operatör matrisleri elde edilmekte ve sonrasında da çözümünün yapılması arzu edilen doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklem bu matrisler yardımı ile daha kolay çözülebilir cebirsel bir denklem sistemine dönüştürülmektedir. Elde edilen bu cebirsel sistem Maple bilgisayar programı kullanılarak çözülmeye çalışılmaktadır.
Chebyshev dalgacık sıralama metodu Ginzburg Landau, Korteweg-de Vries ve bazı önemli denklemlere uygulanması sonucunda elde edilen nümerik çözümler ile analitik çözümler birbiri ile karşılaştırılmış ve nümerik çözümün analitik çözüme ne kadar iyi yaklaştığı tablolar ve şekiller yardımıyla gösterilmiştir.
Daha sonra, Chebyshev dalgacık sıralama metodunun CWM ve LWCM metoduna göre doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin çözümü için çok daha uygun olduğu gözlenmiştir. Sonuç olarak bu yöntemin en büyük avantajının diğer göz önüne alınan metotlarla karşılaştırıldığında bunun uygulanabilirliğinin daha basit olduğu ve nümerik çözümünün ise analitik çözüme çok daha iyi yaklaştığı tespit edilmiştir.

Abstract:
In this thesis, Chebyshev wavelet collocation method is firstly introduced and also applied to different important nonlinear partial differential equations as Ginzburg- Landau equation, Korteweg-de Vries equation and etc. This method is compared with the each other and showed that how this method powerfull as well as the Legendre wavelet collocation method.
Primarily, the main idea of this method is to provide the convergency in terms of Chebyshev wavelet series. To apply the Chebyshev Wavelet collocation method, firstly the operator matrix needs to derived and then transform the nonlinear partial differential equation into a more easily solvable algebraic system by using these matrices. Once obtaining this algebraic system then it may be solved by using Maple packet program.
By applying the Chebyshev wavelet collacation method to Ginzburg Landau, Korteweg-de Vries and the other important equation as it mentioned above, obtaining numerical results are compared with the analytical solutions carefully and the results supported by graphs, illustrated by tables. It is finally pointed out that how the numerical solution approximates to the analytical solution.
Moreover, we it is observed that the Chebyshev wavelet collocation method is much more suited for solving nonlinear partial diffrential equations than the Chebyshev Wavelet and Legendre Wavelet collocation method. Consequently, it is concluded that the applicability of this method is more simple with respect to the other techniques and also it is seen that the numerical solution has a much better approach to analytical solution.