Kompleks kısmi diferensiyel denklemlerin zamana göre yüksek doğruluklu B-spline sonlu elemanlar çözümü
High order time accurate B-spline finite element solution of complex partial differential equations
Yazar: EVREN TOPCU
Danışman: PROF. DR. DURSUN IRK
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Bilgisayar Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: B-spline eğrileri = B-spline curves ; Hareket denklemleri = Motion equations ; Ritz-Galerkin Yöntemi = Ritz-Galerkin Method ; Schrödinger denklemi = Schrödinger equation

Özet:
Bu Doktora tezi on iki bölümden oluşmaktadır. Bu tezde, NLS ve GL denklemlerinin sayısal çözümü, iki farklı zaman ayrıştırması uygulanarak araştırılmıştır. Birinci zaman ayrıştırması sıklıkla kullanılan ve doğruluğu iki olan Crank-Nicolson yöntemi; ikinci zaman ayrıştırması olarak da doğruluğu dört olan yöntem kullanılmıştır. Konum parçalanması için ise B-spline Galerkin yöntemi kullanılmıştır. Birinci bölümde tezle ilgili genel bilgiler verilmiş ve tezin amacı açıklanmıştır. Sonraki bölümde, NLS ve GL denklemleri ile ilgili daha önce yapılan çalışmalar incelenmiştir.
Üçüncü bölümde, önerilen zaman parçalanmalarından, B-spline fonksiyonlarından ve Galerkin sonlu elemanlar metodundan bahsedilmiş ve yaklaşık çözümleri aranılan NLS ve GL denklemleri test problemleri ile birlikte tanıtılmış ve son olarak denklemlerin zaman parçalanmaları yapılmıştır. Dördüncü, beşinci, altıncı ve yedinci bölümde sırasıyla NLS denkleminin kübik, kuartik, kuintik ve sektik B-spline Galerkin yöntemi ile iki farklı zaman parçalanması yapılarak sayısal çözümleri hesaplanmıştır. Sekizinci, dokuzuncu ve onuncu bölümde sırasıyla GL denkleminin kuartik, kuintik ve sektik B-spline Galerkin yöntemi ile iki farklı zaman parçalanması yapılarak sayısal çözümleri hesaplanmıştır.
Son iki bölümde ise elde edilen bulgular tartışılmış ve öneriler sunulmuştur.

Abstract:
This PhD thesis consists of twelve chapters. In this thesis, the numerical solution of the NLS and GL equations are investigated by using two different time discretizations. The first one is the second order Crank-Nicolson method and the second one is fourth order method. The B-spline Galerkin method is used for the space discretization of the equations.
In the first chapter, general information about the thesis is given and the purpose of the thesis is explained. In the next section, previous studies on NLS and GL equations are outlined. In the third chapter, time discretization of the proposed methods, B-spline functions and Galerkin finite element method are mentioned. Then, NLS and GL equations which
will be solved numerically are given together with their test problems. In the fourth, fifth, sixth and seventh chapters, the numerical solutions of the NLS equation are obtained by using two different time discretization with the cubic, quartic, quintic and sectic B-spline Galerkin method, respectively. In the eighth, ninth and tenth chapters, the numerical solutions of the GL equation are obtained by using two different time discretization with the quartic, quintic and sectic
B-spline Galerkin method, respectively.
In the last two chapters, the obtained results are discussed, and some suggestions are given for future studies.