Engliš operatör cebirleri ve ilgili problemler
Engliš operator algebras and related problems
Yazar: MUALLA BİRGÜL HUBAN
Danışman: PROF. DR. MEHMET GÜRDAL
Süleyman Demirel Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Analiz ve Fonksiyonlar Teorisi Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2018
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu doktora tezinde üretici çekirdek ve Berezin sembolü yardımıyla tanımlı C∗-cebirlerini kullanarak fonksiyonel analiz ve operatörler teorisinin çeşitli konuları (istatistiksel yakınsaklık, invaryant alt uzaylar, sıfır Toeplitz çarpımı, genelleştirilmiş özdeğer ve özvektörler ve Riccati operatör denklemler) ve uygulamaları incelenmiştir. Üretici çekirdek teorisi Hilbert uzaylarındaki lineer dönüşümlerle temel bağlantısı olan matematiksel bilimlerdeki bir çok alanda uzun bir tarihe ve büyük çalışmalara sahiptir. Birçok bilim alanında ortak olan konu üretici çekirdek ve Berezin sembolü olduğu için bu kavramlar üzerinde sonuçlar verilmiştir. Teorinin gerekli olan temel içeriğini kapsadığı, bununla beraber incelemek için daha rahat olduğundan Engliš cebirleri ile çalışılmasının daha uygun olduğu düşünülmüştür. Ayrıca Brown ve Halmos'un sıfır çarpım probleminden yola çıkarak, sıfır Toeplitz çarpımı için Douglas'ın bilinen lemması genelleştirilmiş, özel durumda Brown-Halmos teoreminin yeni ve daha kullanışlı ispatı verilmiştir. Cuckovic'in savının kısmi olarak çözümü üretici çekirdekler ve Berezin sembolü yardımıyla elde edilmiştir. Bunun dışında Riccati diferansiyel denkleminin nümerik çözümü için kullandığımız yöntemlerin daha önce verilen metodlardan
daha iyi sonuç verdiği ve kolaylık sağladığı gösterilmiştir. Ayrıca bazı Engliš cebirlerinde operatörlerin genelleştirilmiş özvektörleri ve genelleştirilmiş özdeğerleri tartışılmıştır. Son olarak Duhamel operatörler ve üretici çekirdekler yardımıyla H^{2} uzayında özdeş olmayan invaryant alt uzayın mevcutluğu için bazı yeterli koşullar verilmiştir.

Abstract:
In this doctoral dissertation, we examined applications into various topics in functional analysis and operator theory (statistical convergence, invariant subspaces, zero Toeplitz products, extended eigenvalue and extended eigenvectors and Riccati operator equations) using C∗-algebras defined in terms of reproducing kernels and Berezin symbol. The theory of reproducing kernel has fundamental ties to linear transformations in Hilbert spaces, has a long history in many other fields in mathematical sciences and there has been major work on this subject. The results of these concepts are given because the subject that is common in many fields of science is reproducing kernel and the Berezin symbol, we have results on these. Since it encompasses the fundamental contents of the theory necessary for our work and because of the ease of using Engliš algebras, we have implemented their use in our work. Also, starting off with the zero product problem of Brown and Halmos, we generalized the known Douglas lemma for zero Toeplitz product and proved the Brown-Halmos theorem in a new and more usable way. We partially obtain a conjecture due to Cuckovic using reproducing kernels and Berezin symbol. Apart from this, the procedure we used for the numerical solution of Riccati differential equation has been shown to give better solutions with ease than the methods given before. We discussed the extended eigenvalues and extended eigenvectors of operators on some Engliš algebras. We gave some sufficient conditions for the existence of a nontrivial invariant subspace in H^{2} in terms of reproducing kernels and Duhamel operators.