Bazı doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin soliton çözümleri
Soliton solutions of some nonlinear partial differential equations
Yazar: SERCAN ŞEN
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ MELİH ÇINAR ; PROF. DR. YUSUF ZEREN
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemler; akışkanlar mekaniği, ısı transferi, optik olayları, dalga hareketleri, popülasyon değişimi gibi birçok durumu modellemek için kullanılır. Pek çok bilim insanı bu durumları açıklamak amacıyla farklı özel denklemler tanımlamış ve bu denklemlerin çözümlerini bulmak için birçok yöntem geliştirerek uygulamıştır. Bu çalışmada doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemlerden biri olan sığ sularda, akışkanlar mekaniğinde, plazma ve optikteki dalgalar ile lokalize yapılar arasındaki davranışları modellemede kullanılan Wen-Xiu Ma tarafından tanımlanan birleştirilmiş potansiyel Kadomtsev-Petviashvili-B tipi Kadomtsev-Petviashvili denklemi ele alınmıştır. Aynı zamanda Vyacheslav Vakhnenko ve John Parkes tarafından gevşek bir ortamda yüksek frekanslı kısa dalga bozulmalarının yayılmasını modellemek için oluşturulan Vakhnenko-Parkes denklemi incelenmiştir. Birleştirilmiş potansiyel Kadomtsev-Petviashvili-B tipi Kadomtsev-Petviashvili ve modifiye edilmiş Vakhnenko-Parkes denklemlerinin analitik soliton çözümlerinin elde edilmesine ve analizine odaklanılmıştır. Bu birleştirilmiş potansiyel Kadomtsev-Petviashvili-B tipi Kadomtsev-Petviashvili, Vakhnenko-Parkes denklemlerinin soliton çözümleri klasik Kudryashov ve/veya yeni Kudryashov yöntemi uygulanarak elde edilmiştir. Bu tezde ilk olarak üzerinde çalışılacak denklemler ve yöntemler hakkında literatür taraması yapılmıştır. Diferansiyel denklemlerin, Kadomtsev-Petviashvili ve Vakhnenko-Parkes denklemlerinin tarihsel gelişimi, uygulama alanları, çözüm yöntemleri ile yapılan çalışmalar verilmiştir. Devamında ise sonraki kısımlarda kullanılacak olan tanımlar, soliton tipleri, denge sabiti kavramlarına yer verilmiştir. İkinci bölümde yürüyen dalga dönüşümünün uygulanması, Kudryashov ve yeni Kudryashov yöntemleri açıklanmıştır. Üçüncü bölümde birleştirilmiş potansiyel Kadomtsev-Petviashvili-B tipi Kadomtsev-Petviashvili denklemine Kudryashov ve yeni Kudryashov yöntemleri, Vakhnenko-Parkes denklemine ise yeni Kudryashov yöntemi uygulanmıştır. Bu yöntemlerin uygulama aşamaları verilerek analitik soliton çözümleri elde edilmiştir. Elde edilen yürüyen dalga çözümlerinin uygun parametreler altında iki ile üç boyutlu ve kontur grafikleri verilerek hız, genlik, yayılım ve yön gibi fiziksel özellikleriyle karakteristik davranışları belirtilmiştir. Ayrıca birleştirilmiş potansiyel Kadomtsev-Petviashvili-B tipi Kadomtsev-Petviashvili denklemindeki ve dalga dönüşümündeki parametrelerin çözümler üzerindeki etkisi incelenmiştir. Son bölümde ise elde edilen sonuçlara yer verilmiştir.

Abstract:
Nonlinear partial differential equations are employed to model various phenomena such as fluid mechanics, heat transfer, optical events, wave motions, and population dynamics. Numerous scientists have defined specific equations to explain these phenomena and developed various methods to find their solutions. In this study, we consider the combined potential Kadomtsev-Petviashvili and B-type
Kadomtsev-Petviashvili equation, defined by Wen-Xiu Ma. This equation is used to model behaviors between waves and localized structures in shallow waters, fluid mechanics, plasma, and optics. Additionally, the Vakhnenko-Parkes equation, suggested by Vyacheslav Vakhnenko and John Parkes to model the propagation of high-frequency shortwave disturbances in a relaxing medium, is examined. We focus on obtaining the analytical soliton solutions of the combined potential Kadomtsev-Petviashvili-B type Kadomtsev-Petviashvili and modified Vakhnenko-Parkes equations which are a special class of solutions for the nonlinear partial differential equations. The soliton solutions for these combined potential Kadomtsev-Petviashvili and B-type Kadomtsev-Petviashvili, Vakhnenko-Parkes equations are obtained using the classical Kudryashov method and the new Kudryashov method. In this thesis, firstly, a literature review has been conducted on the model equation and methods under consideration. The historical development of differential equations, the considered Kadomtsev-Petviashvili and Vakhnenko-Parkes equations, their application areas, solution methods, and related studies are presented. Subsequently, definitions, types of solitons, and the concept of equilibrium constants that will be used in the following sections are provided. In the second section, the application of the traveling wave transformation and the algorithm of the methods are given. In the third section, the Kudryashov and the new Kudryashov methods are applied to the combined potential
Kadomtsev-Petviashvili-B type Kadomtsev-Petviashvili equation, and the new Kudryashov method is applied to the Vakhnenko-Parkes equation and analytical soliton solutions are obtained. Using appropriate parameters, the obtained solutions are illustrated with two-dimensional, three-dimensional, and contour plots under appropriate parameters, and their characteristic behaviors such as speed, amplitude, spread, and direction are specified. Additionally, the effects of the parameters in the combined potential Kadomtsev-Petviashvili-B-type Kadomtsev-Petviashvili equations and in the wave transform on the solutions were examined. In the final section, the results of the studies are presented.