Genelleştirilmiş hibrit sayılar ve uygulamaları
Generalized hybrid numbers and its applications
Yazar: FURKAN SEÇGİN
Danışman: PROF. DR. İSMAİL GÖK
Ankara Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Geometri Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Doğrusal cebir = Linear algebra ; Dual sayılar = Dual numbers ; Fibonacci sayıları = Fibonacci numbers ; Hiperbolik geometri = Hyperbolic geometry ; Karmaşık sayılar = Complex numbers ; Lorentz geometrisi = Lorentz geometry ; Matris cebri = Matrix algebra ; Robot kinematiği = Robot kinematics ; Uzay kinematiği = Space kinematics ; Öklidyen geometrisi = Euclidean geometry

Özet:
Bu tezde hibrit sayılar teorisinin bir genellemesi incelenmiştir. İlk olarak hibrit sayılar teorisini oluşturmak için dual, kompleks ve hiperbolik sayı sistemleri tanıtılmış ve bunların bazı temel özellikleri verilmiştir. Daha sonra hibrit sayıların özellikleri incelenmiş ve sınıflandırmaları verilmiştir. Diğer yandan, tezin cebirsel bir uygulaması için Horadam hibrit sayılarına yer verilmiştir. 

Tezin ana kısmında hibrit sayıların katsayılarını dual, kompleks ve hiperbolik katsayılarla değiştirerek hibrit sayıların üç farklı genellemesi tanımlanmıştır. İlk olarak tezin orijinal kısımlarını oluşturan dual hibrit sayılar ve kompleks hibrit sayılar incelenmiş ve sonrasında, daha önce tanımlanan hiperbolik hibrit sayılar, farklı sonuçlarıyla birlikte bu tezde tekrar ele alınmıştır. Bu bağlamda bu yeni sayı sistemlerinin temel cebirsel özellikleri incelenmiş ve bunların karakterleri, normları ve sınıflandırılmaları, skalar ve vektörel çarpımlarına yer verilmiştir ve hepsi için iki farklı matris gösterimleri incelenmiştir. Kompleks ve hiperbolik hibrit sayılardan farklı olarak dual hibrit sayıların ayrıca beş farklı sınıflandırması (zamansı eliptik, uzaysı hiperbolik, zamansı hiperbolik, null hiperbolik ve zamansı parabolik) ile birlikte polar temsilleri verilip buna göre Euler ve de Moivre formülleri, ve ardından kökleri incelenmiştir. Tüm tanım ve teoemler örnekler ve ispatlarla desteklenmiştir.

Son olarak yeni tanımlanan bu sayı sistemlerinin bir cebirsel uygulaması için Horadam katsayıları ile yeniden ele alınmışlardır. Bu yeni cebirsel sayıların rekürans bağıntıları, Binet formülleri, üreteç fonksiyonları verilmiş ve Vajda özdeşliği ile bu özdeşliğin bir sonucu olarak Catalan, Cassini ve d'Ocagne özdeşlikleri ispatlanmıştır. Tüm bu tanım ve teoremler neticesinde farklı birçok sayı dizisi de genellenmiştir.

Abstract:
In this thesis, a generalization of hybrid number theory is examined. First, dual, complex, and hyperbolic number systems are introduced to form the hybrid number theory, and some basic properties of these systems are provided. Then, the properties of hybrid numbers are studied, and their classifications are presented. Additionally, Horadam hybrid numbers are included for an algebraic application of the thesis.

In the main part of the thesis, three different generalizations of hybrid numbers are defined by replacing the coefficients of hybrid numbers with dual, complex, and hyperbolic coefficients. First, the dual hybrid numbers and complex hybrid numbers, which constitute the original sections of the thesis, are examined. Subsequently, the previously defined hyperbolic hybrid numbers are revisited with different results. In this context, the basic algebraic properties of these new number systems are explored, and their characteristics, norms, and classifications, along with their scalar and vector products, are included. Two different matrix representations for each are also examined. Unlike complex and hyperbolic hybrid numbers, dual hybrid numbers are additionally provided with five different classifications (timelike elliptic, spacelike hyperbolic, timelike hyperbolic, lightlike hyperbolic, and timelike parabolic), along with their polar representations. Correspondingly, Euler and de Moivre formulas, as well as their roots, are analyzed. All definitions and theorems are supported with examples and proofs.

Consequently, for an algebraic application of these newly defined number systems, they are reconsidered with Horadam coefficients. The recurrence relations, Binet formulas, generating functions of these new algebraic numbers are provided, and the Vajda identity, along with the Catalan, Cassini, and d'Ocagne identities as a result of this identity, are proven. As a result of all these definitions and theorems, many different number sequences have also been generalized.