Gecikmeli integro diferansiyel denklemlerin fubini polinomları yardımıyla çözümleri
Solutions of delayed integro differential equations using fubini polynomials
Yazar: HAVVA TÜRKHAN
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ KÜBRA ERDEM BİÇER
Manisa Celal Bayar Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez çalışmasında, lineer gecikmeli Fredholm tipi integro-diferansiyel denklemler ve lineer gecikmeli Volterra tipindeki integro-diferansiyel denklemlerinin çözümlerini bulmak amacıyla Fubini polinomunu kullanarak matris-sıralama yöntemi geliştirilmiştir. Kullanılan yöntemde ilk olarak Fubini polinomları, türevleri ve çözümleri matris formunda yazılmıştır. Daha sonra sıralama noktaları ve matris işlemleri kullanılarak problem bir cebirsel denklem sistemine indirgenmiştir. Bu denklem sistemi de MATLAB programı yardımıyla çözülerek, problemin yaklaşık çözümlerine ulaşılmıştır. Ayrıca tam çözümler bilinmediğinde çözümlerin güvenirliğini test etmek için rezidüel hata tahmini yöntemi sunularak elde edilen çözümlerin rezidüel hata fonksiyonu yardımıyla hata analizi yapılmış ve yaklaşık hata iyileştirilmiştir. Tez altı bölümden oluşmaktadır. Giriş bölümünde; diferansiyel denklemler ile onun alt sınıflarından ve tezin amacından bahsedilmiştir. İkinci bölümde; genel bilgiler ile kaynak özetleri ve Fubini polinomları ile ilgili temel kavramlar verilmiştir. Üçüncü bölümde; gecikmeli Fredholm integro-diferansiyel denklemler ve gecikmeli Volterra integro-diferansiyel denklemler için temel matris bağlantıları kurularak çözüm yöntemi gösterilmiştir. Dördüncü bölümde, çözüm yönteminin doğruluğu ve geçerliliği için rezidüel fonksiyona dayalı bir hata analizi yapılmıştır. Beşinci bölümde ise her bir denklem tipi için nümerik örnekler verilmiştir. Sonuçlar tablo ve şekillerle gösterilmiştir. Ayrıca gerçek mutlak hata, tahmini mutlak hata ve iyileştirilmiş mutlak hatalar tablolar halinde karşılaştırılmıştır. Son olarak altıncı bölümde sonuç ve önerilere yer verilmiştir.

Abstract:
In this thesis, a matrix-sorting(collocation) method using the Fubini polynomial is developed to find the solutions of linear delay Fredholm type integro-differential equations and linear delay Volterra type integro-differential equations. In the used method, firstly Fubini polynomials, their derivatives and solutions are written in matrix forms. Then, the problem is reduced to a system of algebraic equations by using collocation points and matrix operations. This system of equations is also solved with the help of the MATLAB program, and the approximate solutions of the problem are obtained. In addition, when the exact solutions are not known, the residual error estimation method is presented to test the reliability of the solutions, and the error analysis of the obtained solutions is made with the help of the residual error function and the approximate error is improved. The thesis consists of six chapters. In the introduction section; differential equations and their subclasses and the aim of the thesis are mentioned. In the second part; general information, resource summaries and basic concepts of Fubini polynomials are given. In the third part; The solution method for delay Fredholm integro-differential equations and delayVolterra integro differential equations is shown by establishing basic matrix connections. In the fourth Chapter, an error analysis based on the residual function is made for the accuracy and validity of the solution method. In the fifth Chapter, numerical examples are given for each equation type. The results are shown in tables and figures. In addition, true absolute error, estimated absolute error and improved absolute errors are compared in tables. Finally, conclusions and recommendations are given in the sixth section.