İzdüşel doğrusal grupların sonlu altgrupları üzerine
On the finite subgroups of projective linear groups
Yazar: DUYGU IRMAK
Danışman: DOÇ. DR. ABDULLAH MUHAMMED ULUDAĞ ; DOÇ. DR. MERAL TOSUN
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Bölümü / Matematik Ana Bilim Dalı / Geometri Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2008
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
1-boyutlu izdüşel doğrunun [x:y] elemanı ile genişletilmiş karmaşık düzlemin bir x/y elemanı eşleşir. C, karmaşık sayılar kümesi olmak üzere determinantı sıfırdan farklı 2×2 boyutlu karmaşık katsayılı matrislerin oluşturduğu grup genel doğrusal GL(2,C) grubu karmaşık düzlem üzerine matris çarpımı ile etkir. 1-boyutlu izdüşel doğru ile genişletilmiş karmaşık düzlem arasında bilinen özdeşliği kullanarak 1-boyutlu izdüşel doğru üzerindeki bu etkinin genişletilmiş karmaşık düzlem üzerindeki doğrusal kesirli dönüşümlerin etkisi ile aynı olduğunu görürüz.Doğrusal kesirli dönüşümler bileşke altında bir grup oluşturur. Bu grup GL(2,C)/Z(GL(2,C)) bölüm grubudur. Burada GL(2,C)'nin merkezidir ve GL(2,C)/Z(GL(2,C)):=PGL(2,C)'dir. Başka bir deyişle, genişletilmiş karmaşık düzlem üzerindeki doğrusal kesirli dönüşümlerin grubu, ki bu gruba Möbiüs grubu denir, PGL(2,C)'ye izomorftur. PGL(2,C) aynı zamanda Riemann küresinin otomorfizmalar grubudur.Öte yandan 3-boyutlu gerçel uzayda küre içine köşeleri küre üzerinde olacak şekilde düzgün konveks çokyüzlüler çizilebilir; bu çokyüzlüler Platonik cisimlerdir. Öklit uzayında Platonik bir P cismini koruyan izometriler, SO(3)'ün sonlu bir altgrubunu verir ve bu gruplar küre üzerine de etkir. Stereografik izdüşüm altında küreyi genişletilmiş karmaşık düzleme gönderirsek aynı grubun 1-boyutlu izdüşel doğru üzerine de etkidiğini, yani Platonik cisimlerin simetri gruplarının sonlu birer Möbiüs grubu olduğu sonucuna varırız. Bu amaçla karmaşık katsayılı doğrusal kesirli dönüşümlerin Möbiüs grubunun, yani PGL(2,C)'nin herhangi bir altgrubunun, kürenin simetrilerinin sonlu bir grubuna, yani n boyutlu devirli gruba, n boyutlu dihedral gruba ya da sırasıyla düzgün dörtyüzlünün, kübün ya da düzgün yirmiyüzlünün 4.dereceden alterne gruba, 4. dereceden simetrik gruba ve 5. dereden alterne gruba izomorf olduğu anlatıldı.Daha sonra doğrusal kesirli dönüşümler aynı zamanda sabit noktaları cinsinden yazılabileceği için doğrusal kesirli bir dönüşümünün sabit noktaları bulundu ve bu noktalar geometrik olarak yorumlandı. Son olarak 3-boyutlu gerçel uzayda Platonik bir cisminin bir simetrisinin bu cismi değişmez bırakan 3-boyutlu gerçel uzayın direkt bir izometrisi olduğu ve bu cismin tüm simetrilerinin bir grup oluşturduğu anlatıldı ve tüm Platonik cisimlerin Möbiüs grupları verildi.Anahtar kelimeler: İzdüşel doğrusal grup, Doğrusal kesirli dönüşüm, Platonik cisimler, Riemann küresi.

Abstract:
Any element of 1-dimensional complex projective line [x:y] and any element of the extended complex plane x/y corresponds. We denote complex numbers by C. The general linear group of 2×2 complex matrices GL(2,C) acts on the complex plane by matrix multiplication and we see that this act on 1-dimensional complex projective line is the same act on the extended complex plane by linear fractional transformation using usual relation between 1-dimensional complex projective line and the extended complex plane.Linear fractional transformations form a group under composition. This group is the quotient group GL(2,C)/Z(GL(2,C)) where Z(GL(2,C)) is the center of GL(2,C) and we have GL(2,C)/Z(GL(2,C)):=PGL(2,C). In other words, the group of linear fractional transformations on the extended complex plane which is called Möbiüs group is isomorphic to PGL(2,C). On the other hand, PGL(2,C) is the automorphism group of the Riemann sphere.Regular convex polyhedras can be inscribed in the sphere in 3-dimensional real space such that their vertices are on the sphere. These regular convex polyhedras are Platonic solids. In Euclidean space, the isometries preserving a Platonic solid P is a finite subgroup of SO(3) and these groups act on the sphere. If we send sphere to the extended complex plane under stereographic projection, we see that the same group acts on 1-dimensional complex projective line. In other words, a group of symmetries of Platonic solids are finite Möbiüs groups. By this aim, in this work it is explained that the Möbiüs group of linear fractional transformations with complex coefficients, any subgroup of PGL(2,C), is isomorphic to a finite group of the symmetries of the sphere, in other words these finite subgorups are n dimensional cyclic group, n dimensional dihedral group, 4. dimensional alternating group, 4. dimensional symmetric group and 5. dimensional alternating group.Moreover, since the linear fractional transformations can also be expressed by their fixed points, the fixed points of any linear fractional transformation are found, then these points are interpreted geometrically.Finally, we consider that any symmetry of a Platonic solid in 3-dimensional real space is a direct isometry of 3-dimensional real space that leaves it invariant. It is said that all symmetries of this Platonic solid form a group and the Möbiüs groups of all Platonic solids are given.Keywords: Projective linear group, Linear fractional transformation, Platonic solids,Riemann sphere.