Eğrisel ve değişken kesitli çubuklarda özel rijitlik matrisinin elektronik tablolar ile hesabı
Calculation of special stiffness matrix for curvilinear and variable section beams with spreadsheets
Yazar: ABDULLAH SATOĞLU
Danışman: PROF. DR. ENGİN ORAKDÖĞEN
İstanbul Teknik Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / İnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Yapı Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: İnşaat Mühendisliği = Civil Engineering

Özet:
Yirminci yüz yılın ikinci yarısından itibaren yapı tasarımında özellikli parçalar ile kompleks sistemlerin fazlaca kullanılmaya başlanmasıyla beraber yapı analizi alanında ciddi gelişmeler yaşanmıştır. Bu gelişmeler sırasında bilgisayar programcılığının da ilerlemesiyle beraber yapı analizi çözümünde sonlu elemanlar metodu ile matris deplasman metodu çalışmalarında ciddi ilerlemeler kaydedilmiştir. 
Yapı analizi çözüm yöntemlerinden olan yer değiştirme metodunun bilgisayar programcılığına uyarlanabilmesi matris yöntem ile gerçekleştirilmiştir.. Yer değiştirme yöntemi ile çözümde uç kuvvetler ve uç yer değiştirmeler için bağıntıların bulunması gerekmektedir. Bu bağıntılar elastisite teorisine dayanarak elde edilmektedir. Bu bağıntıların bulunması ayrıca sistemin veya çubuğun kesit özelliklerine ve mesnetlenme şekline bağlıdır.  
Doğru eksenli değişken en kesit özelliklerine sahip olan bir çubuk için bu bağıntıları sayısal integrasyon ile bulunmaktadır. Sayısal integrasyon sonucu elde edilen katsayılar için tablolar oluşturulmaktadır. 
Bu çalışmada, uçlarında kesimler veya elastik birleşimler bulunan özel doğru eksenli düzlem çubuklar ile parabol eksenli çubukların eleman rijitlik matrislerinin elde edilmesi amacıyla sayısal bir yöntem verilmiştir. Verilen sayısal yöntemler, eleman rijitlik matrisleri excel ortamında hesaplanacak şekilde programlanmıştır. Uçlarında kesim veya elastik birleşim bulunan çubuklar ile çubuk katarlarının özel rijitlik matrisleri matris deplasman yöntemi ile, özel parabolik çubukların rijitlik matrisleri ise kuvvet yöntemi ile elde edilmiştir.
Uçlarında kesimler veya elastik birleşimler bulunan doğru eksenli prizmatik veya değişken kesitli çubukların özel rijitlik matrislerinin elde edilmesi amacıyla önce çubuğun her iki ucunda üçer adet olmak üzere toplam 6 adet yeni yerdeğiştirme bileşeni tanımlanmış ve 12 serbestlikli özel elemana ait rijitlik matrisi tanımlanmıştır. Daha sonra 6 adet ek bilinmeyene ait geometrik uygunluk koşulları yeni bilinmeyenlere ait alt matrisi üzerinde yapılan bir operasyon ile tanımlanmış ve yeni bilinmeyenler alt matris eleme tekniği ile elenerek 6x6 boyutundaki uçlarında kesimler veya elastik birleşimler bulunan doğru eksenli çubukların özel eleman rijitlik matrisleri sayısal olarak elde edilmiştir. Söz konusu algoritma excel tablosu haline getirilerek çeşitli örnekler çözülmüş, SAP2000 programı ile elde edilen özel çubuk rijitlik matrisleri ile karşılaştırılmıştır.
Parabolik çubuklarda ise, mesnetlerinde veya ara bölgesinde mafsal veya elastik birleşim bulunan özel çubukların rijitlik matrisleri kuvvet yöntemi ile elde edilmiştir. Bu amaçla önce mesnetler mafsallı mesnet olacak şekilde izostatik esas sistem seçilerek özel çubuğa ait birim kuvvet matrisi elde edilmiş, daha sonra ikinci dereceden hiperstatik sistem birim mesnet çökmeleri için çözülerek hiperstatik bilinmeyenler elde edilmiştir. Birim dönmelerden meydana gelen yerdeğiştirme sabitleri olan söz konusu hiperstatik bilinmeyenlerden, süperpozisyon denklemleri kullanılarak diğer birim yerdeğiştirme sabitlerine geçilmiştir. Dönmeye karşı elastik mesnet veya elastik birleşimli parabolik çubuklarda ise benzer işlemler birleşimin bulunduğu noktadaki momentin de kaldırılması sureti ile seçilen üçüncü dereceden hiperstatik sistem üzerinde gerçekleştirilmiştir. Hesapta, dönmeye karşı elastik birleşimin işi de dikkate alınmış ve yöntem excel altında çalışan bir Visual Basic yazılımı haline getirilmiştir.
Yöntemin birden çok sayıda çubuktan oluşan çubuk katarlarına da uygulanabilmesi için, önce yukarıda anlatılan yönteme göre ucunda kesim bulunan çubuğa ait özel rijitlik matrisi bulunmakta, daha sonra matris deplasman yöntemi ile çubuk katarına ait sistem rijitlik matrisi kurularak ara düğüm noktalarına ait bilinmeyenler alt matris eleme tekniği ile elenerek, 6x6 boyutundaki çubuk katarına ait özel rijitlik matrisi elde edilmektedir. Bu sayısal işlemler de yine hazırlanan excel tabloları yardımı ile yapılabilmektedir.
Uçlarında veya ara noktalarında kesimler bulunan çubuklar için verilen yöntem benzer şekilde yüzeysel taşıyıcı sistem elemanlarına da uygulanabilir. Örneğin herhangi bir kenarında mafsal bulunan bir dörtgen plak elemana ait özel eleman rijitlik matrisi, dört düğüm noktasında düğüm noktası bilinmeyenlere eşit sayıda ek yerdeğiştirme bileşeni tanımlanarak ve yukarıda çubuklar için verilen algoritma benzer şekilde uygulanarak özel eleman rijitlik matrislerine geçilebilir.

Abstract:
In conjunction with the use of special beams and elements in complex systems building design, there have been extreme developments in the field of structural analysis since the second half of the twentieth century. 
In the course of these developments, along with the progress of computer programming, serious progress has been made in the finite element method and matrix displacement method studies in the solution of structure analysis.
The adaptation of the displacement method, which is one of the structural analysis solution methods, to computer programming was carried out with the matrix method. 
In order to obtain the structural analysis solution with the displacement method, it is necessary to find the relations for the unit forces and unit displacements on the joints. These relations are obtained based on the theory of elasticity. The relations between the unit forces and unit displacements also depend on the cross-sectional characteristics of the frame or the beam and the restaints conditions on joints.
In order to calculate these relation in a beam that has variable cross-section properties with a straight axis, the numerical integration method is used. The tables are created for the coefficients obtained as a result of these numerical integration calculations. 
Within the scope of this study, a solution has been developed to find the unit displacement vectors by means of the Excel program for straight tapered beams and broken beams. The unit displacement vectors have been calculated in the Excel program for the beam examples with different geometric properties and restraint conditions. 
In case of hinge in a tapered beam and broken bar, the system unit stiffness matrix consists of 9 rows and columns. The reduction of this 9 x 9 matrix to 6 x 6 matrix form has been achieved by the elimination method developed in the Excel program, and unit displacement constants have been obtained for the special case of the bar with hinge.
In order for curved beams, the code has been developed in Excel VBA (Visual Basic for Applications) program based on the force method. With the help of this developed code, in case of special case curved beam with hinge, the unit displacement constants in the beam have been provided. The unit load vector for the curvilinear beam with hinge and the unit loading has also been calculated by the force method in the Excel program. 
In this study, unit stiffness matrices for curved axis, tapered beams and broken bars according to different restraint conditions have been found by using Excel program. These results have been checked with the SAP2000 program, which is the most reliable program in the field of structural analysis in the world. Subsequent to these checks, it has been determined and confirmed that the calculations made for tapered beams, curved axis beams and broken bars obtained close and similar values with the SAP2000 program in case of different restraint conditions and in case of hinge.
In this master science study, a numerical method has improved to obtain the element stiffness matrices of special straight axis plane beams and parabola axis beams with cuts or elastic joints at their ends. The numerical methods developed are programmed in such a way as to the element stiffness matrices are calculated in the excel context. The special stiffness matrices of the beams and the bar trains with cut or elastic joints at their ends have obtained by the matrix displacement method, and the stiffness matrices of the special parabolic beams have obtained by the force method.
In order to obtain special stiffness matrices of straight-axis prismatic or variable cross-section beams with cuts or elastic joints at their ends, primarily, the total of 6 new displacement components, which three at each end of the bar, were defined and the stiffness matrix of the special element with 12 unconstraint was defined. 
Then, the geometric appropriateness conditions of 6 additional unknowns were defined by an operation on the sub-matrix of the new unknowns, and the new unknowns were eliminated with the sub-matrix elimination technique, and the special element stiffness matrices of the 6x6 sized straight axis bars with cuts or elastic joints at their ends were numerically obtained. The algorithm in question was turned into an excel table and various examples were solved and compared with the special bar stiffness matrices obtained with the SAP2000 program. 
In parabolic beams, stiffness matrices of special bars with hinges or elastic joints on their supports or in the intermediate region were obtained by the force method. In accordance with this purpose, as a beginning, the isostatic base system is chosen as the supports are hinged supports, and the unit force matrix of the special bar is obtained, then the second-order hyperstatic system is solved for unit support collapses and the hyperstatic unknowns are obtained. These hyperstatic unknowns, which are displacement constants consisting of unit rotations, have been passed to other unit displacement constants by using superposition equations. In the case of elastic support against rotation or parabolic bars with elastic hinges, similar operations are implemented on the selected third-order hyperstatic system by removing the moment at the point where the joint is located. In the calculation, the work of the elastic joint against rotation was also taken into account and the method was turned into a Visual Basic software working in excel program. 
In the application of the method to bar trains consisting of more than one bar, first, according to the method described above, the special stiffness matrix of the bar with a cut at the end is found. Then, the system stiffness matrix of the bar train is formed with the matrix displacement method, and the special stiffness matrix of 6x6 bar train is obtained by the eliminating the unknowns of the intermediate joint points with the sub-matrix elimination technique. These numerical operations can also be carried out with the help of prepared excel tables.   
Within the scope of this study, the calculation method developed to obtain the unit stiffness matrix is obtained with the Excel program and spreadsheets for beams with 5 different cross-section properties for the case of joint in the middle in beams with variable cross section. While developing the calculation method, the Matrix Displacement Method has used. The results for the operation is checked with the SAP2000 V.18 program and it is observed that the results are compatible.
In curvilinear beams, the code for obtaining the unit stiffness matrix has been developed with the Excel VBA software program by using the force method for the joint case in the middle and the elastic supported joint in the middle. The result for the calculation is checked with the SAP2000 V.18 program and it is observed that the results of the Excel VBA program and SAP2000 V.18 program is matched with each other.
In addition, within the scope of this thesis, unit stiffness matrices are obtained for broken beams, as well as for beams with variable cross-sectional properties, by matrix displacement method, through Excel program and spreadsheets. When the results obtained for the broken beams are compared with the SAP2000 V.18 program, no inconsistency is observed in the results.
The method provided for bars with cuts at their ends or intermediate points can be similarly applied to plane and shell system elements. For example, the special element stiffness matrix of a rectangular plate element with a hinge on either side can be calculated by defining an additional number of additional displacement components equal to those whose joint point is unknown at four nodes and applying the algorithm provided for the bars in a similar way mentioned above.