2-profinite gruplar
2-profinite groups
Yazar: ÖZDEN HANDE KOZALI
Danışman: YRD. DOÇ. DR. İ. İLKER AKÇA
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2010
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bir profinite grup, genel olarak Hausdorff, kompakt ve tamamen bağlantısız olan bir topolojik grup olarak ifade edilir. Buna denk olarak, ayrık sonlu grupların bir ters sisteminin ters limitine izomorf olan bir topolojik gruba profinite grup denir.Kategori teorisi; matematiksel yapılar ve bunlar arasındaki ilişkilerle soyut olarak ilgilenen bir matematik dalıdır. Bir kategori, birbirleriyle ilişkili olan objeler sınıfı (örneğin; gruplar) ve bu objeler arasındaki morfizmlerden oluşur. Gruplar örneğinde bu morfizmler grup homomorfizmleridir. Bu şekildeki farklı kategorileri funktorlar aracılığı ile ilişkilendirmek mümkündür. Funktorlar, bir kategorinin her objesini diğer kategorinin bir objesi ile, ve bir kategorideki morfizmi diğerindeki bir morfizme ilişkilendiren fonksiyonların bir genelleştirilmesidir. Bu tezde objeleri profinite gruplar ve morfizmleri sürekli grup homomorfizmleri olan profinite grup kategorisi üzerinde çalışılacaktır.Tezin birinci bölümünde tezin ana yapısı olan profinite gruplar tanıtıldı. İkinci bölümde, kategori teorisi ile ilgili gerekli temel bilgiler verildikten sonra profinite gruplar kategorisi incelendi. Bu kategori içindeki internal kategori elde edilerek profinite çaprazlanmış modüller ile olan ilişkisi verildi. Tezin üçüncü bölümünde ise 2-boyutlu kategori olarak da ifade edilen 2- kategori ve bunun özel hali olan 2-grup kavramları tanıtılarak 2-profinite grup yapısı tanımlandı. Ayrıca, grup, cebir, lie cebiri gibi cebirsel yapılara benzer şekilde profinite gruplar için tanımlanan 2- profinite grubun profinite grupların çaprazlanmış modülüne ve profinite cat-1 grubuna denk olduğu gösterildi.

Abstract:
Generally, a profinite group is a Hausdorff, compact and totally disconneted topologial group. Equivalently, one can define a profinite group to be a topolojical group that is isomorphic to the inverse limit of an inverse system of discrete finite groups.Category theory is a branch of matematics deals in an abstract way with mathematical structures and relationships between them. A category consists of a class of objects (groups) and morhisms between them. In groups, this morhisms are group homomorphisms. A category is itself a type of mathematical structure, so we can look for "processes" which preverse this structure in some sense; such a process is called a funktor. A funktor associates to every object of one category an object of another category, and to every morphism in the first category a morphism in the thesis, it is studied over category of profinite groups in which objects are profinite groups and morphisms are continuous group homomorphisms.This thesis consists of three main chapters. In the first chapter, it's recalled some basic notions and examples about profinite groups. In the second chapter it is given some basic notions and examples about category theory than it is examined the category of profinite groups. Also, it is obtained the internal category in this category. In the last chapter, the 2-category notion is given and the 2- group notion is recalled than it is defined 2-profinite groups, also it is shown that the 2-profinite groups are equivalent crossed modules of profinite groups and profinite cat-1 groups.