Kesir mertebeli diferensiyel denklemlerin simetri indirgemeleri ve korunumluluk kanunları
The symmetry reductions and conservation laws of fractional differential equations
Yazar: ARZU AKBULUT
Danışman: PROF. DR. FİLİZ TAŞCAN GÜNEY
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2017
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Diferensiyel denklemler, matematikte fonksiyonların bir veya birden çok değişkene göre türevleri ile ilişkili denklemlerdir. Fizik, kimya, mühendislik, biyoloji ve ekonomi alanlarında matematiksel modeller genellikle diferensiyel denklemler kullanılarak ifade edilirler. Diferensiyel denklemlerde değişkenlere göre türevler tam sayı olmakla birlikte kesirli de olabilirler. Kesir mertebeli diferensiyel denklemler, diferensiyel denklemlere kesirli analiz uygulanması yoluyla elde edilen bir genellemesidir.
Lie grup dönüşümleri, Norveçli matematikçi Sophus Lie tarafından 19. yüzyılın başlarında çalışılmaya başlanmış ve diferensiyel denklemlerin analizinde önemli bir yere sahip olmuştur. 2007 yılında Nail Ibragimov herhangi bir diferensiyel denklem sistemi için temel korunumluluk teoremini ispat etmiştir. Bu çalışmada, temel korunumluluk teoremi yardımıyla korunumluluk kanunlarını hesaplamak için gerekli olan Euler-Lagrange denklemleri, eşlenik denklem sistemlerinin bulunuşu ve gerekli formüller verilmiştir. Daha sonra bu teorem kesir mertebeli diferensiyel denklemlere uygulanmıştır.
Bu tez çalışmasında, diferensiyel denklemlerle ilgili temel bilgiler, kesir mertebeli diferensiyel denklemler ile ilgili temel kavramlar ve kesir mertebeli türev çeşitleri, Lie simetri üreteçlerinin nasıl bulunacağı, dönüşümlerin Lie grubu, simetri üreteci altında indirgemeler, korunumluluk kanunlarının temel korunumluluk teoremi yardımıyla nasıl bulunacağı verilmiştir.  
Zaman kesir mertebeli Sawada-Kotera (SK) denklemi, zaman kesir mertebeli Modified Korteweg-de Vries (mKdV) denklemi, lineer olmayan zaman kesir mertebeli hiperbolik denklemi, zaman kesir mertebeli viscous Burgers denklemi için öncelikle Lie simetri üreteçleri bulunmuştur, daha sonra Erdélyi-Kober fonksiyonları ve karakteristik metot yardımıyla ayrı ayrı indirgeme işlemi yapılmıştır. Son olarak bütün denklemler için korunumluluk kanunları temel korunumluluk teoremi ile elde edilmiştir.

Abstract:
Differential equations are equations related to derivatives of one or more variables of functions in mathematics. In physics, chemistry, engineering, biology and economics, mathematical models are often expressed using differential equations. Derivatives can be fractional or integers in differential equations. Fractional differential equations are a generalization obtained by applying fractional analysis to differential equations.
Lie group transformations have been started by the Norwegian mathematician Sophus Lie in the early 19th century and have an important place in the analysis of differential equations. In 2007, Nail Ibragimov proved the fundamental conservation theorem for any differential equation system. In this study, Euler-Lagrange equations which are necessary to calculate the conservation laws with the help of fundamental conservation theorem, existence of adjoint equation systems and necessary formulas are given. Afterwards, this theorem is applied to time fractional differential equations.
In this thesis study, basic information about differential equations, basic concepts related to fractional differential equations and fractional derivative types, how to find Lie symmetry generators, Lie group of transformations, reductions under symmetry generator, how conservation laws can be found with the help of fundamental conservation theorem.
Lie symmetry generators were found for the time fractional Sawada-Kotera (SK) equation, the time-fractional modified Korteweg-de Vries equation, the nonlinear time-fractional hyperbolic equation, the time-fractional viscous Burgers equation, then by the Erdélyi-Kober functions and the characteristic method, the reduction process was carried out separately. Finally, for all equations, the conservation laws were derived by the fundamental conservation theorem.