Birleştirilmiş ve ikili birleştirilmiş halkaların idealleri ile birleştirilmiş modüllerin alt modülleri
Ideals of amalgamated and bi-amalgamated rings and submodules of amalgamated modules
Yazar: TUĞBA KOLOTOĞLU
Danışman: PROF. DR. BAYRAM ALİ ERSOY
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
R ve S değişmeli ve birimli halkalar,  f : R → S bir halka homomorfizması ve J, S halkasının bir ideali olmak üzere R▷◁^f J := {(r, f (r) + j) | r ∈ R, j ∈ J} kümesi R × S halkasının bir alt halkasıdır. Bu özel halka R ve S halkalarının f homomorfizmasına göre J ideali boyunca birleştirilmesi olarak adlandırılır. Bu tez çalışmasında "birleştirilmiş halka" ifadesiyle yukarıdaki kabullerle tanımlı R ▷◁f J halkası kastedilecektir. R, S ve S′ değişmeli ve birimli halkalar, f : R → S ve g : R → S′ halka homomorfizmaları, J ve J′ ise f −1(J) = g−1(J′) olmak üzere sırasıyla S ve S′ halkalarının idealleri olsunlar. Bu kabullerle tanımlı R ▷◁f,g (J, J′) := {(f (r) + j, g(r) + j′) | r ∈ R, j ∈ J, j′ ∈ J′} kümesi S × S′ halkasının bir alt halkasıdır ve bu alt halka R halkasının (S, S′) halkalarıyla (f, g) homomorfizmalarına göre (J, J′) idealleri boyunca ikili birleştirilmesi olarak adlandırılmıştır. Bu çalışma boyunca "ikili birleştirilmiş halka" ifadesiyle tam olarak R ▷◁f,g (J, J′) halkaları kastedilecektir. R ve S değişmeli ve birimli halkalar, f : R → S bir halka homomorfizması, J de S halkasının bir ideali; M bir R-modül, N bir S-modül, φ : M → N bir R-modül homomorfizması olsun. Bu kabullerle tanımlı M ▷◁φ JN := {(m, φ(m) + n)|m ∈ M, n ∈ JN } kümesi (r, f (r) + j)(m, φ(m) + n) := (rm, φ(rm) + f (r)n + jφ(m) + jn) skaler çarpma işlemiyle bir R ▷◁f J-modüldür ve bu modül M ve N modüllerinin φ ile J ideali boyunca birleştirilmesi  ̧olarak adlandırılmıştır. Bu çalışma boyunca "birleştirilmiş modül" ifadesiyle R ▷◁f J-modül olan M ▷◁φ JN modülü kastedilecektir. 

Evvela tez çalışmasında yukarıda tanımları verilen farklı fakat birbiriyle ilişkili olan cebirsel yapıların ortaya çıkış motivasyonları, literatürdeki ana kaynakları hakkında bilgilendirme yapılmıştır. Devamında tezin ana kısmında yararlanılacak olan cebirsel yapılarla ilgili tanım, teorem ve örneklere yer verilmiştir. 

 Tezin ana kısmında ilk olarak birleştirilmiş halkaların ideallerinin genel yapısı incelenmiş, literatürde geçen ilgili sonuçların bir kısmı derlenmiştir. Bunun yanı sıra asal ideallerin genelleştirmesi olan, tanımlı bazı özel idealleri karakterize edilmiş, yer yer örnek ve ters örnekler verilmiştir. İkinci olarak birleştirilmiş halkaların bir tür genelleştirmesi olan ikili birleştirilmiş halkaların yapısı incelenerek yeni sonuçlar elde edilmiş ve akabinde bazı özel ideallerinin karakterizasyonları yapılmıştır. Son olarak birleştirilmiş halkaların modüllere genelleştirmesi olan birleştirilmiş modüllerin cebirsel yapısına değinilerek bazı özel alt modülleri ile ilgili sonuçlar verilmiştir.

Abstract:
Let R and S be commutative rings with unity,  f : R → S a ring homomorphism and J an ideal of the ring S. The set R▷◁f J := {(r, f (r) + j) | r ∈ R, j ∈ J} is a subring of the ring R × S. This special ring is called the amalgamation of R and S along J with respect to f . In this thesis, the expression "amalgamated ring" will mean the ring R ▷◁f J defined by the above assumptions. Let R, S and S′ be commutative rings with unity, f : R → S and g : R → S′ ring homomorphisms, J and J′ ideals of the rings S and S′, respectively such that f −1(J) = g−1(J′). The set R ▷◁f,g (J, J′) := {(f (r) + j, g(r) + j′) | r ∈ R, j ∈ J, j′ ∈ J′} defined by these assumptions is a subring of the ring S × S′ and this subring is expressed as the bi-amalgamation of R with (S, S′) along (J, J′) with respect to (f, g). Throughout this study, "bi-amalgamated ring" will mean exactly the rings R ▷◁f,g (J, J′). Let R and S be commutative rings with unity, f : R → S a ring homomorphism, J an ideal of the ring S, M an R-module, N an S-module, φ : M → N an R-module homomorphism. With these assumptions, the set  M▷◁φ JN := {(m, φ(m) + n)|m ∈ M, n ∈ JN } is an R ▷◁f J-module with the scalar multiplication (r, f (r) + j)(m, φ(m) + n) := (rm, φ(rm) + f (r)n + jφ(m) + jn). This special module is called the amalgamation of M and N along J with respect to φ. Throughout this study, "amalgamated module" will refer to the R ▷◁f J-module M ▷◁φ JN .

First of all, in this thesis, information was given about the motivations of the emergence of different but related algebraic structures, the definitions of which were given above, and the main sources in the literature. Afterwards, definitions, theorems and examples related to algebraic structures that will be used in the main part of the thesis are given.

In the main part of the thesis, firstly, the general structure of the ideals of the amalgamated rings was examined, and some of the relevant results in the literature were compiled. In addition, some defined special ideals, which are generalizations of prime ideals, are characterized, and examples and counterexamples are given from time to time. Secondly, new results were obtained by examining the structure of bi-amalgamated rings, which is a kind of generalization of amalgamated rings, and then characterizations of some special ideals were made. Finally, the algebraic structure of the amalgamated modules, which is the generalization of amalgamated rings to modules, is mentioned and results about some special submodules are given.