İki eksende daralan ankastre kirişlerin sonlu eleman yöntemi ile serbest titreşim analizi
Free vibration analysis of double tapered cantilever beams by using finite element methods
Yazar: MEHMET AKTAŞ
Danışman: PROF. DR. EKREM TÜFEKCİ
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Makine Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Konstrüksiyon Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2020
Konu: Makine Mühendisliği = Mechanical Engineering

Özet:
Kiriş problemleri günümüzde birçok alanda karşımıza çıkmaktadır. İnşaat mühendisliğinde binalar, köprüler vb. yapılarda çeşitli kesitlere sahip şekillerde kullanılırken, makina mühendisliğinde şaftlar, kaldıraç sistemleri gibi yapılarda, uçak mühendisliğinde ise helikopter palleri, kanat kirişleri vb. yapılarda kullanılabilmektedirler.
Kirişlerin bu geniş kullanım alanları bazı sorunları da çözmemizi gerektirmektedir. Bunlardan en önemlilerinden biri de titreşim problemleridir. Kirişler farklı kesitlerde olabildikleri gibi daralan veya genişleyen profillere de sahip olabilmektedirler. Bu tezdeki amaç ise iki eksende de daralan veya genişleyen ankastre kirişlerin serbest titreşim durumlarının incelenmesidir.
Kiriş teorileri bu tarz sistemlerin yapısal analizlerinde önemli bir rol oynamaktadır. Basit bir şekilde sistemlerin analizlerini gerçekleştirmemize olanak sağlamaktadır. Bu tezde kiriş teorileri, günümüzde pek çok araştırmanın da konusu olan sonlu eleman yöntemi ile kullanılmıştır. Her ne kadar sonlu eleman yöntemi hesapları karmaşık gözükse de günümüzde gelişen bilgisayar sistemleri ile oldukça kolay bir şekilde bu analizler gerçekleştirilebilmektedir. Bu tezde ise Euler-Bernoulli sonlu eleman kiriş teorisi kullanılmıştır. Bu teoride kayma kaynaklı etkiler göz önüne alınmamaktadır. Euler- Bernoulli kiriş teorisine göre kirişin tarafsız ekseni şekil değiştirme sonrası da kiriş eksenine dik olan doğrular ile dik açı yapmaktadır. Yani kesit düzleminde herhangi bir deformasyon meydana gelmemektedir. Bu tezdeki sonlu eleman çözümünde herbir elemanın iki düğüm noktasından oluştuğu ve bu noktaların da ikişer serbestlik dercesine sahip olduğu kabul edilmiştir. Bundan dolayı herbir eleman 4 serbestlik derecesine sahiptir. Bu teori ile ilgili formülasyonlar MATLAB programında kodlanmıştır ve verdiği sonuçlar incelendiğinde ise gerçeğe oldukça yakın olduğu görülmüştür. Daha sonra ABAQUS paket programı ile aynı kirişin bilgisayar ortamında analizi tekrar gerçekleştirilmiştir. MATLAB'deki koddan alınan sonuçlar literatür ile uyumluluğu açısından boyutsuz olarak da elde edilmiştir.
Bu tez kapsamında kabul edilen kiriş ankastre olarak bir ucundan yataklanmış, izotropik, iki eksende daralan ve kesiti iki eksende de simetrik olan bir kiriştir. Aynı zamanda bu kiriş simetrik ve izotropik olarak kabul edilmektedir. Bundan dolayı iki düzlemdeki titreşim hareketi birbirini etkilememektedir.
Giriş bölümünde kirişlerin kullanım alanları, tezin amacı, kullanılan yöntemler, yazılımlar ve yapılan kabullerden bahsedilmiştir. Çok sık kullanılan iki sonlu eleman metodu ile ilgili yüzeysel bilgiler de verilmiştir. Bu metodlar Euler-Bernoulli ve Timoshenko teorileridir. İki teorinin birbirinden en önemli farkları Euler-Bernoulli teorisinde kayma etkileri göz ardı edilirken Timoshenko teorisinde ise kayma etkileri göz önüne alınmaktadır. Daha sonra literatür araştıramasına yer verilmiştir.
Daha sonra tezin konusu kapsamında olduğundan dolayı titreşim hakkında genel bir bilgilendirme yapılmıştır. Ardından titreşim sınıflandırılmıştır ve bu sınıflar hakkında da kısa bilgiler verilmiştir.
Üçüncü bölümde ise sonlu eleman yöntemi ile alakalı bilgiler verilmiştir. Burada sonlu eleman yönteminin gelişen teknoloji ile işimizi nasıl kolaylaştırdığından ve kullanılan programdan bahsedilmiştir. Bu işlemler yapılırken en önemli noktalardan birinin de kullanılan teoriye uygun şekil fonksiyonlarının bulunması olduğu belirtilmiştir. Buradaki amaç ileride daha detaylı olarak kullanılacak sonlu eleman metodu hakkında fikir sahibi olunmasıdır.
Sonraki bölümde kiriş teorileri hakkında daha detaylı bilgi verilmiştir. Burada ilk literatürdeki teorilerden bazıları belirtilmiştir. Bunlardan sıklıkla kullanılan Euler-Bernoulli ve Timoshenko teorileri hakkında detaylı açıklama yapılmıştır. Bu tez kapsamında da kullanılan Euler-Bernoulli teorisi detayları ile anlatılmış, formülasyonları gösterilmiştir. Daha sonra uygun şekil fonksiyonlarının hesaplanmasından sonra herbir elemana ait rijitlik ve kütle matrisleri bulunmuştur. Daha sonra bu matrisler uygun formatta birleştirilerek genelleştirilmiş rijitlik ve kütle matrisleri elde edilmiştir. Ardından ankastre kiriş sınır koşulları uygulanmış ve indirgenmiş rijitlik ve kütle matrisleri bulunmuştur. Bu matrisler uygun formüllerde yerlerine konularak sonuçlar literatür ile uyumlu olacak şekilde boyutsuz olarak elde edilmiştir. Daha sonra MATLAB programında yazılmış kod ile elde edilen sonuçları doğrulamak adına farklı daralma oranlarındaki kirişler Catia V5 programında modellenip, Hypermesh programında sonlu elemanlarına ayrılmıştır. Daha sonra da ABAQUS paket programı ile analizleri yapılıp MATLAB'de yazılan kod doğrulanmıştır.
Son kısımda ise literatürdeki çalışmalara ek olarak kirişin boyunun doğal frekans üzerine etkisi incelenmiştir.
Sonuçlar literatür ile karşılaştırıldığında ise yüzdesel olarak çok ufak sapmalar olduğu görülmüştür.

Abstract:
A beam is a structure which one of its dimensions is larger than the other ones. Larger dimension is defined as the axis of the beam and the sections of the beams can vary from C section to I section or varying sections at different locations, which is called as tapered beams, of the beam or the constant section etc.
Beams are one of the most regularly used structures in different engineering operations. Because of this, analysis of the beam structures drew attention of lots of resarchers. Beams' simple and effective structure caused them to be used in different areas of engineering. Examples for these areas are helicopter blades or wings at aeronautical engineering, as I or T beams at buildings or bridges at civil enginnering, levers and shafts at mechanical engineering etc.
With the usage of beams one can encounter different engineering problems. These problems can vary from dynamic to static. In this thesis free vibration problems of the double tapered beams are the focus. The beam that is considered in this thesis is isotropic, symmetric in two axis, homogenous and cantilever.
Lots of beam theories have been produced depending on various assumptions, and these assumptions ended up with different accuracy levels.With the help of these theories one can easily solve the engineering problems of the beams. In these theories Euler-Bernoulli theory is one of the simplest and commonly used one. The main supposition of this theory is that no deformation exist in the plane of the cross section.
Finite element methods have been used as the main tool to get results for the dynamic behaviour of the double tapered beams in this thesis. The most commonly used finite element methods are Euler-Bernoulli and Timoshenko theories. As it is stated before in Euler-Bernoulli beam theory there is no deformation in the cross section plane. This also means that shear effects are dismissed in Euler-Bernoulli beam theory, while in Timoshenko theory all calculations are performed by taking shear effect into considiration. Finite element methods have recieved considirable amounts of attention in recent years with help of progress in computer technologies. Since by using computers to calculate finite element equations, scientists save lots of time. In this thesis MATLAB computer program is used to solve the equations. With the help of this program, the results can be obtained easily, more accurately and swiftly. With the code, which is written in MATLAB, element number, taper ratios, material properties etc. can be assigned manually. The results obtained from the program are accurately close to the results obtained from the literature. After this step, the beam has been analyzed in ABAQUS program to verify the results gathered from the MATLAB code. These two results are quite similar to the results of the literature. The results which are obtained from the MATLAB are in dimensionless form since the literature results are in this type.
In finite element solution, every element has two nodes and each node has two degrees of freedom.Which means that the each element has four degrees of freedom. While solving by using Euler-Bernouilli finite element beam theory two neighboring element must have continued deflection and slope at common nodes.
In the first chapter of the thesis, common areas of usage for the beams, purpose of the thesis, programs that have been used, theories which are benefited and assumptions are explained. After this the the most commonly used beam theories explained. These theories are Euler-Bernoulli and Timoshenko theories as stated before. In order to prove the accuracy of the results that are taken from the MATLAB code, both ABAQUS analysis have been made and a literature overview performed. After this section a detailed literature review is represented.
After this chapter a general representation of the vibration,since the vibration is the main problem of the thesis, is demonstrated. After a general overview to the vibration, different types of it have been explained. These are free or forced vibrations, damped or undamped vibrations and linear or nonlinear vibrations. In free vibrations there is no outer force to trigger the vibration of the system, while in forced vibration there must be an outer effect to generate the vibration. Damped vibrations' oscillation amplitude decrease over time because of the damping effects such as force. While undamped vibrations preserve their amplitude. Linear vibration means that the magnitude of the system output must be proportional to the magnitude of the input. For example, if in a linear system t input gets 2t output, then an input of 4t provide 8t output. But in real systems these kind of excellence does not exist. These types of oscillation systems are called as nonlinear vibration systems.
In the third chapter, a brief explanation for the finite element methods has been made to clarify the main solution method for this thesis. A methematical model has to be developed to analyze an engineering problem with some assumptions depending on the solution method. Obtaining the results of these mathematical problems are mostly difficult. With the help of progresing of the computer science, it is much easier than before to solve such problems. There are lots of numerical solution techniques to obtain the results of these engineering problems. Specially, the finite element methods are the most commonly used techniques. Also in this chapter, a brief example of solving a finite element problem has been given. The first thing that has to be done is meshing the beam, which means that the beam has to be divided into small parts, to solve the problem. These small parts are called as "finite elements". Each element has at least one common point with the neighbouring element. These points are called as "nodes". Then, suitable shape functions have to be obtained based on the solution method. At the end of this chapter a brief explanation of both global and reduced stiffness and mass matrix have been obtained. The aim of this section is to give some basic information about the technique that has been used in this thesis.
The fourth chapter consist of beam theories. Firstly, some of these theories have been mentioned and then the most commonly used ones explained in detail. These commonly used theories are Euler-Bernoulli and Timoshenko theories. Since the Euler-Bernoulli theory is the main solution method for this thesis, this theory has been represented precisely. After that the suitable shape functions have been acquired and the stiffness and mass matrix for every single element have been obtained. Then, these matrixes have been gathered together in a suitable way to get the global stiffness and mass matrixes. Afterwards, the boundary conditions of the cantilever beam have been aplied to acquire the reduced mass and stiffness matrixes. These matrixes have been applied to the suitable formulas to obtain the results in dimensionless form to be able to compare with results of the literature.
After that to improve the MATLAB code results' reliablity, beams have been modelled in Catia V5 and then meshed in Hypermesh. After these steps ABAQUS program has been used to get the results for different taper ratios.
The last part is about the effect of the length of the beam on natural frequency in addition to literature.
After comparing all outcomes, the deviation from the literature was unnoticeable.