Nakao eşitsizliği ile bazı kısmi türevli  denklemlerin çözümlerinin kararlılığı
Stability of the solutions for a some partial differential equations with nakao's inequality
Yazar: MEHMET SERDAR AYDIN
Danışman: PROF. DR. ERHAN PİŞKİN
Dicle Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Kısmi diferansiyel denklemler özellikle fen ve mühendislik ile ilgili alanlarda vazgeçilmez bir öneme sahiptir. Kısmi diferansiyel denklemler ile ilgili 19. yüzyıldan itibaren yapılan çalışmalarda bir yandan kısmi diferansiyel denklemlerin matematiğin diğer dallarıyla ilişkisi araştırılırken diğer yandan mühendislik ve diğer uygulamalı bilimler ile olan bağlantısı ortaya konmaya çalışılmıştır. Bu nedenle bu tipten denklemlerin çalışılması sadece problemlerin teorik olarak çözümlerinin ortaya konmasını değil aynı zamanda matematiksel modellemesi yapılan birçok mühendislik, kimya, fizik vb. alanlarda ortaya çıkan problemlerin çalışılmasına da zemin hazırlamaktadır. Bu tür problemlere yaklaşımsal olarak matematiksel modeller elde etmek teorik açıdan bilimin ilerleyebilmesine fayda sağlayacaktır. Tabiattaki olayların matematiksel biçimde ifade edilebilmesi, anlaşılması ve yorumlanabilmesi için öne sürülen modeller genel olarak lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlere dayanmaktadır. Kısmi diferansiyel denklemlerden lineer olmayanların açık çözümü her zaman bulunamayabilir. Şu an için çözümü elde edilemeyen lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerde yaklaşık olarak bir çözüm bulmak ya da çözümün davranışıyla ilgili bir fikre sahip olmak için denklemin bazı şartlar ile sınırlandırılması gerekliliği ortaya çıkmıştır. Bu problemlerde tam olarak çözüm bulunamasa da hangi koşullar altında ve hangi zamanda çözümün var olup olmadığının araştırılması matematikte önemli bir çalışma alanı oluşturmaktadır. Bu tezin ilk bölümünde kısmi türevli denklemler ve türleri ile mühendislik, tıp, fizik, kimya vb. bilimlerde karşımıza çıkan evolüsyon denklemlere değinilmiştir. İkinci bölümde hiperbolik tipten p-Laplacian ve p-Biharmonik denklemleri ile ilgili önceki çalışmalar ele alınmıştır. Üçüncü bölümde ön bilgiler olarak tez boyunca kullanılacak olan temel tanım, lemma, teorem ve eşitsizliklere yer verilmiştir. Dördüncü bölümde doğrusal olmayan hiperbolik tipten p-Biharmonik denkleminin çözümlerinin global varlığına ve çözümün enerji azalması çalışılmıştır. Beşinci bölümde sonuçlar ve önerilere yer verilmiştir.

Abstract:
Partial differential equations are of indispensable importance, especially in fields related to science and engineering. In studies on partial differential equations since the 19th century, on the one hand, the relationship of partial differential equations with other branches of mathematics was investigated, and on the other hand, their connection with engineering and other applied sciences was tried to be revealed. For this reason, studying equations of this type not only provides theoretical solutions to problems, but also provides mathematical modeling for many engineering, chemistry, physics, etc. It also paves the way for the study of problems arising in these fields. Obtaining mathematical models to approach such problems will benefit the advancement of science in theoretical terms. The models put forward to mathematically express, understand and interpret the events in nature are generally based on non-linear partial differential equations. The explicit solution of nonlinear partial differential equations may not always be found. In order to find an approximate solution to non-linear partial differential equations whose solutions cannot be obtained at the moment or to have an idea about the behavior of the solution, it has become necessary to limit the equation with some conditions. Even though these problems cannot be fully solved, investigating under what conditions and at what time a solution exists constitutes an important field of study in mathematics. In the first part of this thesis, partial differential equations and their types, engineering, medicine, physics, chemistry, etc. are discussed. Evolution equations that we encounter in sciences are mentioned. In the second chapter, previous studies on hyperbolic type p-Laplacian and p-Biharmonic equations are discussed. In the third chapter, basic definitions, lemmas, theorems and inequalities that will be used throughout the thesis are included as preliminary information. In the fourth chapter, the global existence of solutions of the nonlinear hyperbolic type p-Biharmonic equation and the energy reduction of the solution are studied. In the fifth chapter, results and recommendations are given.