Bazı kısmi diferensiyel denklemlerin B-spline en küçük kareler yöntemi ile çözümleri
Solutions of some partial differential equations by B-spline least squares method
Yazar: BUKET AY
Danışman: PROF. DR. İDİRİS DAĞ
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Bilgisayar Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: B-spline eğrileri = B-spline curves ; En küçük kareler yöntemi = Least squares method ; Kısmi diferensiyel denklemler = Partial differential equations

Özet:
Bu doktora tez çalışması yedi bölümden oluşmaktadır. Sırasıyla kübik, kübik trigonometrik, kuartik ve kuartik trigonometrik B-Spline fonksiyonları yardımıyla en küçük kareler yöntemleri oluşturulmuştur. Bu dört yöntem Advection Diffusion ve Regularised Long Wave denklemlerine uygulanarak sayısal çözümler elde edilmiştir. Giriş bölümünde, bilimin çeşitli alanlarında karşılaşılan problemlerin matematiksel olarak modellenmesinden, bu modellemelerin içerdiği kısmı türevli diferensiyel denklemlerden ve çözüm yöntemlerinden bahsedilmiştir. Analitik olarak çözümlere ulaşılamadığı durumlarda kullanılmak üzere geliştirilen yaklaşık çözüm yöntemleri, tezin kapsamı ve hedefi açıklanmıştır. İkinci bölümde, tezde önerilen en küçük kareler yöntemi, test problemleri olarak çalışılan Advection Diffusion ve Regularised Long Wave denklemleri ile ilgili literatürde yapılmış olan çalışmalardan bahsedilmiştir. Üçüncü bölümde, tez kapsamında bulunan temel kavramlarla ilgili önemli tanımlar yapılmıştır. Nümerik çözüm yöntemleri, B-spline ve trigonometrik B-spline fonksiyonlar, Advection Diffusion ve Regularised Long Wave denklemleri ve son olarak hata normları hakkında bilgiler aktarılmıştır. Dördüncü ve beşinci bölümlerde, önerilen yöntemler sırasıyla Advection Diffusion ve Regularised Long Wave denklemlerine uygulanmış olup elde edilen sonuçlar çizelgelerle aktarılmış ve grafikler oluşturulmuştur. Altıncı bölümde, hesaplamalar sonucu elde edilen veriler literatürdeki sonuçlarla çizelge halinde bir araya getirilip kıyaslamalar yapılmıştır. Yedinci bölümde, tez çalışması sonucunda ulaşılan veriler analiz edilmiş ve yeni yapılabilecek araştırma konuları önerilmiştir.

Abstract:
This doctoral thesis consists of seven chapters. The least squares method was created with the help of cubic, cubic trigonometric, quartic and quartic trigonometric B-Spline functions, respectively. Numerical solutions were obtained by applying these four methods to Advection Diffusion and Regularized Long Wave equations. In the introduction, mathematical modeling of problems encountered in various fields of science and partial differential equations and solution methods included in these models are mentioned. Numerical solution methods developed to be used in cases where solutions cannot be reached analytically, scope and aim of the thesis are explained.In the second chapter, the studies in the literature about the least squares method proposed in the thesis and Advection Diffusion and Regularised Long Wave equations
studied as test problems are mentioned. In the third chapter, important definitions related to the basic concepts within the scope of the thesis are made. Information about numerical solution methods, B-spline and trigonometric B-spline functions, Advection Diffusion and Regularised Long Wave equations studied as test problems and lastly error norms are given. In the fourth and fifth chapters, the suggested methods were applied to the Advection Diffusion and Regularised Long Wave equations, respectively and charts and graphs were created with the results obtained. In the sixth chapter, the data obtained as a result of the calculations were brought together with the results in the literature as a chart and comparisons were made. In the seventh chapter, the data obtained as a result of the thesis study was analyzed and new research topics were suggested.