Ağsız eleman bağımsız galerkin yönteminin optimizasyonu ve adaptif algoritmalarla uygulamaları
Optimization of meshless galerkin method and applications with some new adaptive algoritms
Yazar: SÜLEYMAN ŞENGÜL
Danışman: PROF. DR. ERHAN COŞKUN
Karadeniz Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2016
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: En küçük kareler yöntemi = Least squares method ; Izgarasız yöntem = Meshless method ; İnterpolasyon = Interpolation ; Şekil fonksiyonları = Shape functions

Özet:
Bu çalışmada, diferensiyel denklemlerin çözümü için güncel yöntemler olarak kabul edilen ağsız yöntemler içerisinden Eleman Bağımsız Galerkin Yöntemi göz önüne alınmıştır. Eleman Bağımsız Galerkin yönteminde şekil fonksiyonları Hareketli En Küçük Kareler yöntemi ile elde edilmektedir. Ağsız yöntemler, sonlu elemanlar yöntemindeki belirli kurallara uyması gereken ağ inşa işlemini gerektirmeyerek, sayısal hesaplamaların daha pratik biçimde elde edilmesine imkân vermektedirler.  
Birinci bölümde hareketli en küçük kareler yöntemi ile elde edilen şekil fonksiyonlarının ötelemeye göre değişmez olması gibi bazı yeni özellikleri türetilerek, bu özellikler yardımıyla şekil fonksiyonları mevcut uygulamalara kıyasla çok daha az aritmetik işlem sayısı ile elde edilmiştir. Şekil fonksiyonlarının elde edilen bu özellikleri sistem matrisinin oluşturulma yükünü de büyük ölçüde azaltmıştır. Ayrıca 1 boyutlu problemlerde elde edilen yaklaşık çözümlerin duyarlılığını artırmak için adaptif algoritmalar önerilmiştir ve çözümü zamanla değişmeyen(stasyoner) problemler üzerinde test yapılmıştır. 
İkinci bölümde söz konusu adaptif algoritmalar zaman bağımlı ve tek boyutlu problemlere genişletilmiş ve lineer ve lineer olmayan problemler üzerinden uygulamalar gerçekleştirilmiştir. 
Çalışmanın üçüncü bölümünde ise bir boyutlu uzayda elde edilen şekil fonksiyonunun özelliklerinin 2 boyutlu uzayda da geçerli olduğu ispatlanarak sistem matrisini elde etmede gerekli aritmetik işlem sayısı önemli derecede azaltılmıştır. Ayrıca 2 boyutlu uzayda Hessian tabanlı adaptif bir algoritma önerilerek zaman bağımsız ve 2 boyutlu kısmi türevli denklemler üzerinde uygulamalar gerçekleştirilmiştir. 
Elde edilen sonuçlar önerilen adaptif algoritmalarla elde edilen sonuçların, düzgün ağ ile elde edilenlere kıyasla daha hassas olduğunu göstermektedir. Fakat artan adaptivite adımlarının, hesaplama yükünü artırdığından büyük boyutlu problemler için paralel algoritmaların kullanılması gerekli olabilir.

Abstract:
In this study, among the family of Meshless Methods, we consider Element Free Galerkin Method for solving differential equations. In Element Free Galerkin Method, shape functions are obtained using Moving Least Square Method. Unlike the Finite Element Methods, Meshless Methods do not require construction of a mesh, thus enable us to determine approximate solution using less computational effort. 
In the first Section, some new properties of shape functions including translation invariance property are derived and these properties are used to obtain shape functions on a given computational domain with considerably less number of floating point operations. This approach also has led to construction of associated algebraic system with less computation work as compared to conventional practice. Furthermore, adaptive algorithms are proposed for one dimensional stationary problems to have better accuracy in approximate solution.
In Section two, the adaptive algorithms are generalized to time-dependent linear and nonlinear problems. 
In Section three, we show that the translation invariance property of shape functions also hold in two dimensional domains and that this property leads to considerable computational savings. Furthermore, a Hessian based adaptive strategy is proposed and implemented for some problems on two dimensional domains.
The results show that solutions obtained by adaptive algorithms are much more accurate, however, as the number of steps in adaptivity increases, the computational load also increases which then may require appropriate parallel algorithms for large size problems.