Yumuşak belirtisiz kümeler
Soft fuzzy sets
Yazar: İSMAİL UĞUR TİRYAKİ
Danışman: PROF. DR. LAWRENCE MICHAEL BROWN
Hacettepe Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2005
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezin temel amacı, di-topolojik doku uzayları teorisini
kullanarak belirtisiz küme\-lerin yeni bir genelleştirmesini
vermek ve di-topolojik doku uzayı ile belirtisiz kümeler
ara\-sın\-da\-ki ilişkiyi incelemektir. Birinci bölümde genel bir
giriş yapıldı. İkinci bölümde ise sonraki diğer bölümlerde
kullanılmak üzere temel bilgiler verildi.
Üçüncü bölümde ise dokularla Zadeh anlamında verilen klasik
belirtisiz kümeler ara\-sın\-da\-ki ilişkiler verildi. Di-bağıntı,
di-fonksiyonlar ve bunlarla ilgili kavramlar $F(X)$, $F(Y)$ Hutton
cebirler arasında temsil edilmeye çalışıldı ve bu bölümün sonunda
nesneleri $F(X)$ Hutton cebirler ve morfizmaları bu nesneler
arasındaki difonksiyonlar olan $\bf \bI$--{\bf dfSet}
kategorisinden bahsedildi.
Dördüncü bölümde ``Yumuşak Belirtisiz Kümeler" adı verilen klasik
belirtisiz kü\-me\-ler\-in bir genelleştirilmesi elde edildi, bu
yeni kümenin latis yapısı incelendi ve yumuşak belirtisiz kümelerin,
nokta, ko-nokta kavramları tanıtılıp {\bf SF} yapısı incelendi.
Beşinci bölümde $X$ üzerinde yumuşak belirtisiz topoloji adını
verdiğimiz $T\se SF(X)$ topolojileri ele alındı. Bu topolojinin
özellikleri ve bu topolojik uzayda  ayırma aksiyomları ve tıkızlık
incelendi. Daha sonra $\omega:{\bf Top}\to {\bf SF\text{\bf --}Top}$
'a ve $\iota:{\bf SF\text{\bf--}Top}\to {\bf Top}$ 'a Lowen
dönüşümlerinin bir genelleştirilmesi elde edildi. Bu dönüşümlerin
tıkızlığı korumadığı için bunlar yerine $\omega_r:{\bf Top}\to {\bf
SF_r\text{\bf--}Top}$  ve $\iota_r:{\bf SF_r\text{\bf--}Top}\to {\bf
Top}$ 'a iki yeni Lowen dönüşüm tanımlandı ve bunlara Lowen'nın
tombul dönüşümleri adı verildi. Bu dönüşümler tıkızlığı koruduğu
için, genelleştirilmiş Lowen dö\-nü\-şüm\-ler\-den topolojik açıdan
daha kullanışlı sonuçlar verdikleri görüldü.

\smallskip
Altıncı bölümde ise, üçüncü bölüme paralel olarak yumuşak belirtisiz
kümelerin Hutton cebirleri arasındaki di-bağıntılar, di-fonksiyonlar
ve bunlarla ilgi kavramlar ayrıntılı bir biçimde incelendi.

Abstract:
The general purpose of this dissertation is to offer a new
extension of classical fuzzy sets by using the theory of ditopological texture
spaces, and to study the relationship between ditopological
texture spaces and fuzzy topologies. The first section presents a general
introduction.  The second section covers the fundamental issues needed
in subsequent sections. The third section presents the relationships between textures
and fuzzy sets in the sense of Zadeh, and notions of di-relation and di-function are defined between
Hutton algebras $F(X)$, $F(Y)$.  The category ${\bf\bI\text{\bf--}dfSet}$, whose objects are
Hutton algebras $F(X)$ and morphisms di-functions between such objects is defined
at the end of this section.

\smallskip
In the fourth section a generalization of classical fuzzy subsets of a set $X$,
called ``Soft Fuzzy Subsets of $X$", is obtained. The lattice structure of
the set $SF(X)$ of soft fuzzy subsets of $X$ is analyzed, concepts of point and co-point
introduced, and the construct {\bf SF} studied.

\smallskip
In the fifth section, $SF$--topologies $T$ on a set $X$, that is topologies $T\se SF(X)$,
are considered and using the link with ditopological texture spaces,
separation axioms and a notion of compactness for $SF$--topological spaces
are defined and examined. Next, generalized Lowen mappings $\omega:{\bf Top}\to {\bf SF\text{\bf--}Top}$
and $\iota:{\bf SF\text{\bf--}Top}\to {\bf Top}$ are obtained.  Since $\omega$ is seen not to
preserve compactness, two new mappings $\omega_r:{\bf Top}\to {\bf SF_r\text{\bf--}Top}$
and $\iota_r:{\bf SF_r\text{\bf--}Top}\to {\bf Top}$, called the Lowen rotund mappings, are considered
in their place. It is shown that $\omega_r$ preserves both the basic separation axioms and compactness,
the existence of such a mapping being a very important property of $SF$-topologies. In parallel with the third
section, di-relations and di-functions between Hutton algebras of soft fuzzy sets are examined in detail
in the sixth section.