Tabakalı akımların hidrodinamiği, akım ve karışım parametrelerinin matematik modeli
Hydrodynamics of stratified currents, mathematical modeling of current and mixture parameters
Yazar: SELAHATTİN BAYRAM
Danışman: PROF. DR. VEYSEL ŞADAN ÖZGÜR KIRCA
İstanbul Teknik Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / İnşaat Ana Bilim Dalı / Hidrolik ve Su Kaynakları Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2022
Konu: İnşaat Mühendisliği = Civil Engineering
Dizin: Matematiksel modeller = Mathematical models ; Tabakalı akımlar = Stratified flow

Özet:
İnsanlık tarihi boyunca boğazlar önemli bir odak noktası olmuştur. Bu ilginin temel nedeni boğazların okyanuslara, denizlere, göllere kıyasla çok farklı bir yapıya sahip olmasıdır. Boğazlar kabaca iki denizi birbirine bağlayan dar kanallar olarak tanımlanabilir. Tüm bunlara ek olarak boğazların sahip olduğu iki tabakalı akım yapısı, boğazlara karşı olan merak ve ilgiyi daha da arttırmaktadır.
Boğaz yapılarındaki tabakalaşma birbirine zıt yönlü akımlardan oluşmaktadır. Boğazlardaki bu zıt yönlü akımı ise boğazın birbirine bağladığı iki büyük su kütlesinin su seviyesi farkı ve yoğunluk farkı oluşturmaktadır. Su seviyesi farkının neden olduğu yüksek potansiyelden düşük potansiyele doğru oluşan, yoğunluk farkından kaynaklanan yüksek yoğunluğa sahip kısımdan düşük yoğunluğa sahip kısıma doğru akan zıt yönlü ikinci bir akım mevcuttur. Aktarılan bu tabakalı sistemin hidrodinamiğinin ve akım koşullarının incelenmesi ve daha iyi anlaşılabilmesi için gerek saha ölçümleri gerekse matematiksel ve sayısal modeller uzun bir süredir kullanılmaktadır.
Öncelikle literatürde tabakalı akımların hidrodinamiği ve akım koşulları için yapılan çalışmalar incelenmiştir. Yapılan bu kapsamlı çalışmalar sayesinde tabakalı akımlar derinlemesine incelenmiş ve tabakalı akımların akım mekanizması bu tez kapsamında özetlenmiştir. Özellikle yapılan saha ölçümleri ve matematiksel modellerin birbiri ile kıyaslanması bu konunun ne kadar ilgi çekici ve bir o kadar önemli olduğunun en önemli göstergelerindendir.
Yapılan çalışmalar gösteriyor ki oluşan tabakalaşmanın stabilitesinin ölçütü olarak boyutsuz Richardson sayısı kullanılmaktadır. Tabakalar arası karışım Richardson sayısına bağlı bir fonksiyon olarak ifade edilebilmektedir. Farklı akım koşullarına göre, Richardson sayının değerine göre, bu fonksiyon için farklı kasayılar da tercih edilmekte olup bu durum akımın Reynolds sayısı ile ilişkilendirilmektedir. Özellikle Richardson sayısının çarpanı ve üssü olan sabitlerin belirlenebilmesi için birçok farklı yaklaşım söz konusudur. Bu yaklaşım için karışımın Richardson sayısı ile ters orantılı olacağı genellemesini yapmak yanlış olmayacaktır. Yani Richardson sayısı arttıkça ara yüzeydeki karışım miktarı azalırken Richardson sayısı azaldıkça ara yüzeydeki karışım miktarı artmaktadır. Bir diğer önemli nokta ise tabakalar arası hızların zıt yönlü olmasından dolayı hız değerlerinin toplamıyla işlem yapmak gerektiğidir.
Tabakalı akımların hidrodinamiği ve akım koşullarını inceleyen disiplininde yapılan birçok çalışmada genellikle tabakalar arası karışım ihmal edilip çözüm mekanizması geliştirilmiştir. Tabakalar arası karışımın ihmal edilmediği çalışmalarda ise çok daha karmaşık sistemlerin çözülmesi zorluluğu ortaya çıkmaktadır. Bu tez kapsamında da tabakalar arası karışım göz ardı edilmeden ve boğazın hidrodinamik koşulları yansıtılarak daha etkin bir çözüme ulaşmak hedeflenmiştir. Bu etkin matematiksel çözümün girdi parametreleri değiştirilerek istenilen herhangi bir boğaz için çözüme ulaşabilmek bu tezin ortaya çıkışında temel yapı taşı olmuştur.
Amaçlanan bu hedef doğrultusunda, modelin uygulanması için en uygun boğaz sisteminin ülkemizde bulunan ve Avrupanın da en önemli boğaz sistemlerinden biri olan İstanbul ve Çanakkale Boğazları (Türk Boğazlar Sistemi) olduğu su götürmez bir gerçektir. Gerek tarih boyunca taşıdıkları önem gerekse fiziki özelliklerinden dolayı bir çok kapsamlı çalışmaya konu olan bu boğaz sistemi bu tez kapsamında da incelenmiş ve karışım mekanizması ortaya konulmaya çalışılmıştır.
Modelde amaçlanan bir diğer nokta ise girdi parametrelerinin değiştirilerek farklı akım koşulları için sonuçların elde edilebilmesidir. Alt ve üst tabakaların akım debileri ve tabaka derinlikleri daha önce yapılmış olan çalışmalar ışığında alınan ortalama girdi parametreleri değerleri ile hesaplanmıştır. Özellikle boğazlardaki yoğunluk farkına neden olan tuzluluk oranın farklı değerler alması halinde model sonuçlarının nasıl değişeceğinin belirlenmesi amaçlanmıştır. Daha sonra farklı tuzluluk değerlerinin alt ve üst akımın debi ve derinlik değerlerine etkisinin daha iyi anlaşılabilmesi için model tuzluluk farkına göre parametrik olarak çalıştırılmıştır. Bu aşamada üst ve alt tabaka akımlarının baskılanıp durma seviyesine geldikleri limit su seviyesi farkı değerleri de hem İstanbul Boğazı hem de Çanakkale Boğazı için tuzluluk farkı bir fonksiyonu olarak elde edilmiştir. Bu sonuçlardan açıkça görülmektedir ki, üst ve alt tabakadaki tuzluluk farkı arttıkça akımı durma noktasına getiren limit su seviyesi farkı da hem üst hem de alt tabaka için artmaktadır. Bu matematik model sonuçları, daha önce yapılan çalışmasında elde edilen üst ve alt akım debileri ve net debi farkı değerleri ile karşılaştırıldığında uyumlu sonuçlar elde edilmiştir.
Bu yüksek lisans tezi kapsamında uygulanan matematik model ile daha önce ortaya konulmuş olan dört bilinmeyenli dört denklem takımı esas alınarak, bunlara ek olarak dört bilinmeyen ve dört denklem takımı daha eklenerek tabakalı akımların hidrodinamiği ve akım koşulları göz önünde bulundurularak karışım mekanizması çözülmeye çalışılmıştır. İlk denklem takımında bilinmeyenler alt ve üst tabaka debileri ve boğaz yapısının iki ucundaki su seviyesi yükseklikleridir. Bu bilinmeyenlerin çözümünde kullanılan denklem takımları ise iki adet  enerji denklemi ve iki adet su kütlesi korunumu denklemi ve Froude Şartı denklemidir. Bu tez kapsamında karışım mekanizmasının da çözümlenebilmesi için eklenen dört bilinmeyen ise alt tabakadan üst tabakaya ve üst tabakadan alt tabakaya geçen karışım debileri ve boğaz yapısının giriş-çıkısındaki tuzluluk değerleridir. Çözüm için kullanılan ek denklemler ise iki adet karışım hızı denklemi ve iki adet tuz kütlesi sürekliliği denklemleridir. Hazırlanan bu denklem takımları neticesinde alt tabakadan üst tabakaya, üst tabakadan alt tabakaya geçen karışım debileri ve tuzluluk değişimleri ortaya konulmaya çalışılmıştır.
Çanakkale Boğazı'nın ortalama su seviyesi için karışım içeren matematiksel modelden elde edilen matris incelendiğinde, üretilen bulguların literatürdeki değerlerle örtüşmediği ortaya çıkmaktadır. Bu farklılığın olası nedenini belirlemek için kullanılan denklem setlerinin sonuçları dikkatlice incelenmiştir. Modelde kullanılan Froude durum denklemlerinin Çanakkale Boğazı için istenen sonucu veremeyebileceği, çünkü Çanakkale Boğazı'nın geometrisinin neden olduğu su seviyesi ve akış rejimindeki kademeli değişimin durumu yansıtamayacağı sonucuna varılmıştır.
Sonuç olarak İstanbul Boğazı için elde edilen karışım debileri ve tuzluluk değerleri bu güne kadar yapılmış olan modellerle ve saha ölçümleri ile karşılaştırıldığında tutarlı sonuçlar elde edilmiştir. Özellikle oluşturulan modelin tüm tabakalı akımlar için girdi parametrelerini belirleyerek sonuç vermesi ve diğer matematiksel modellere kıyasla işlem yükünün daha az olması bu modelin avantajlarıdır. Unutulmamalıdır ki bu tür matematik model yaklaşımları hem saha ölçümlerine hem de laboratuvar deneylerine ek olarak bu tarz mekanizmaların incelenmesinde ve anlaşılmasında çok önemli rol oynamaktadır.
Tüm bunlara ek olarak, modeldeki karışım mekanizmasının daha hassas temsil edilebilmesi için, karışım denklemleri Boğaz boyunca her 100 m aralık için çözülmüş ve matematik modele toplam karışım debisi olarak yansıtılmıştır. Ancak bu yaklaşımla da elde edilen sonuçlarda İstanbul ve Çanakkale Boğazı için aynı sonuçlar elde edilmiş ve işlem yükü çok daha üst seviyelere gelmiştir. Yani bu yüksek lisans tezinin çıkış noktası olan boğazdaki karışım debilerinin etkili ve pratik bir şekilde hesaplanabilmesi ilkesinin dışına çıkılmış olmaktadır.

Abstract:
Throughout human history, straits have been a significant focal point. The main reason for this interest is that the straits have a very distinct structure compared to the oceans, seas, and lakes etc. Straits can be roughly defined as narrow channels connecting two seas. In addition to all these, the two-layer current system of the straits further increases the curiosity and interest in the phenomenon.
Stratification in the sea-strait flows consists of currents, following layers of opposite directions. The reason for the opposite direction of flow in the straits is the difference in sea level and density. There is a current from high energy to low energy caused by the sea level difference, and a second counter current flowing from the high density to the low density due to the density difference. Both field measurements and mathematical/numerical models have been used for a long time to define and examine the hydrodynamics and flow conditions of stratified fluids.
First of all, the studies on hydrodynamics and flow conditions of stratified flows in the literature were examined. In former comprehensive studies, stratified currents were examined profoundly  and the flow mechanism of stratified flows was summarized within the scope of thesis. Especially, the comparison of field measurements and mathematical models with each other is one of the most significant signs of how interesting and remarkable subject is.\\
According to former research, the dimensionless Richardson number is used as a benchmark of the stability of the stratification. Different Richardson number ranges are also preferred  to classificalt different flow conditions. Mixture between layers is defined as a function of Richardson numbers. Tis mechanism is associated with Reynolds number of currents. There are many different approaches, especially for the determination multiplayer and power of Richardson number in the function. It would not be wrong to generalize that the Richardson number  is inversely proportional with the mixture. In other words, as the Richardson number increases, the amount of mixing at the interface decreases and vice versa. Another crucial point is that since the velocities between the layers are in opposite directions, it is necessary to operate with the sum of the velocity values.
Mixing in stratified flows is frequently ignored in many research in the subject of hydrodynamics and flow conditions of stratified flows, and a solution method has been examined without mixing conditions. In studies where the mixing between layers is not neglected, the difficulty of solving much more complex systems arrises. Within the scope of this thesis, it has been much more motivating to reach a more effective solution without ignoring the interfacial mixing and by put forward the hydrodynamic conditions of the strait. The fact that this effective mathematical solution can give accurate results when compared with field measurements and mathematical models with input parameters has been the starting point of this thesis.
The Bosphorus and Dardanelles (İstanbul and Çanakkale Straits, Turkish Straits System), which are located in our country and are also one of the most significant strait systems in Europe, without a doubt the most suitable  strait system for  implementation of this thesis's, This strait system, which has been the subject of many comprehensive studies throughout history due to its importance and its physical characteristics, has been examined within the scope of thesis and the mixing mechanism has been tried to be examined.
Another goal in the model is to obtain results for different flow conditions by changing the input parameters. Flow rates and layer depths of the lower and upper layers were calculated with the average input parameter values obtained in the light of former studies. In particular, it aims to determine how the model results will change if the salinity ratio, which causes the density difference in the straits, takes different values. Then, the model was run parametrically according to the salinity difference in order to better understand the effects of different salinity values on the flow and depth values of the upper and lower flow. At this stage, the limit water level difference values at which the upper and lower layer currents are suppressed and come to a stop were also obtained as a function of the salinity difference for both the Bosphorus and the Dardanelles. It is clear from these results that as the salinity difference in the upper and lower layers increases, the limit water level difference, which brings the flow to a standstill, also increases for both the upper and lower layers. Consistent results were obtained by comparing these mathematical model results with the upstream and downstream flow rates and net flow difference values obtained in the previous study.
With the mathematical model applied within the scope of this thesis, the mixing mechanism was tried to be solved by taking into account the hydrodynamics and flow conditions of the stratified flows, by adding four more unknowns and four equations, on the existing set of four equation based on the previous  studies. The unknowns in the first set of equations were the bottom and upper layer flow rates and layer thicknesses the sea levels heights at both ends of the straits structure. The sets of equations used in the solution of these unknowns are two energy equations, conservation of mass of water and  Froude Condition equations. In this thesis, the four unknowns added in order to analyze the mixing mechanism are the flow rate from the lower layer to the upper layer, that from the upper layer to the lower layer, and the salinity values of the layers at the entrance and exit of the strait structures. The equations used for the solution are two mixing rate equations and two salinity mass continuity equations. As a result of these prepared sets of equations, the mixture flow rates and salinity changes from the lower layer to the upper layer, from the upper layer to the lower layer were tried to be examined.
When the resulting matrix from the mixture-included mathematical model is studied for the average water level of the Dardanelles, it becomes clear that the findings produced do not correspond to the values in the literature. The outcomes of the used equation sets were carefully scrutinized in order to determine the potential reason of this discrepancy. The analysis has led to the conclusion that the Froude condition equations employed in the model may not produce the desired outcome for the Dardanelles Strait because the gradual change in the water level and flow regime caused by the geometry of the Dardanelles may violate the condition.
As a result, two-layer mixing flow rates and salinity values  for the Bosphorus give consistent results when compared with existing models and field measurements. In particular, the fact that the develops can be used for all stratified straits  and that the computational load is less  compared to other mathematical models are the advantages of this models. It should be noted that such mathematical model approaches will continue to play a crucial role in the further research and  for understanding of such mechanisms, in addition to both field measurements and laboratory experiments.
In addition to all of these, the mixing equations were solved for every 100 m interval along the Bosphorus and Dardanelles and reflected in the mathematical model as the overall mixing flow rate, in order to more accurately portray the mixing process in the model. The Bosporus and the Dardanelles have shown the same results as the Dardanelles in the findings achieved with this technique, and the processing load has significantly increased. In other words, the master's thesis's guiding principle, which is the effective and practical estimation of the mixing flow rates in the straits, is broken.