Lokal ve lokal olmayan kısmi türevli diferansiyel denklemler
Local and nonlocal partial differential equations
Yazar: ŞEBNEM ŞAHİN
Danışman: PROF. DR. ÖMER OĞUZ
Haliç Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2021
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu çalışmada son yıllarda gelişme gösteren lokal ve lokal olmayan tamamen çözülebilir lineer olmayan (1 + 1) boyutlu kısmi türevli diferansiyel denklemler incelenmiştir. Özellikle son yıllarda literatürde yer alan bu denklemlerin lokal ve lokal
olmayan versiyonları tek bir çalışma altında gösterilmiştir. Genel olarak, ilk önce lineer olmayan bu denklemlerin çözülebilirliğini gösteren yöntemler incelenmiş, daha sonrasında lokal ve lokal olmayan versiyonları ve de bunların simetrik indirgemeleri ele alınmıştır. Bu çalışmada incelediğimiz lineer olmayan denklemlerin çözülebilirliğini göstermek için kullanılan Lax formalizmi ve AKNS formalizmi yöntemleri incelenmiştir. Lax formalizminde bir simetrik lineer operatör ile bir anti simetrik operatörün, öz değer problemi ile zaman değişimi problemi şeklindeki lineer iki denklemin uyumluluk şartından ortaya çıkan lineer olmayan kısmi türevli diferansiyel denklemler tamamen çözülebilir olmaktadır. AKNS formülasyonu da Lax formalizmini temel alan bir formülasyondur. AKNS formalizminden elde edilen kısmi türevli diferansiyel denklemlere örnek olarak lineer olmayan KdV, mKdV, SineGordon ve Sinh-Gordon denklemleri gösterilmiştir. Daha sonra lokal olarak indirgenmiş tamamen çözülebilir integrallenebilir lineer olmayan kısmi türevli diferansiyel denklemlerin lokal olmayan versiyonları incelenmiştir. Bu denklemlere örnek olarak; mKdV, Sine-Gordon, lineer olmayan Schrödinger, matris formunda çok bileşenli lineer olmayan Schrödinger, türev genellemeli lineer olmayan Schrödinger, Fordy – Kulish sistemi, Fordy sistemi, süper lineer olmayan Schrödinger, süper lineer olmayan mKdV denklemleri verilmiştir. Lineer olmayan bu kısmi türevli diferansiyel denklemlerin lokal ve lokal olmayan indirgemeleri detaylı bir şekilde ele alınmıştır.

Abstract:
In this study, local and nonlocal fully solvable nonlinear (1+1) dimensional partial differential equations, which have developed in recent years, are examined. Local and nonlocal versions of these equations, which have been in the literature
especially in recent years, have been shown under a single study. In general, first the methods showing the solvability of these nonlinear equations are examined, then the local and nonlocal versions and their symmetric reductions are discussed. In this study, the Lax formalism and AKNS formalism methods used to show the solvability of the nonlinear equations we examined were examined. In the Lax formalism, nonlinear partial differential equations arising from the compatibility condition of two linear equations in the form of a symmetric linear operator and an antisymmetric operator, eigenvalue problem and time change problem are completely solvable. The AKNS formulation is also a formulation based on the Lax formalism. Nonlinear KdV, mKdV, Sine-Gordon and Sinh-Gordon equations are shown as examples of partial differential
equations obtained from AKNS formalism. Then, nonlocal versions of locally reduced fully solvable integrable nonlinear partial differential equations are investigated. As an example of these equations; mKdV, Sine-Gordon, nonlinear Schrödinger, multicomponent nonlinear Schrödinger in matrix form, nonlinear Schrödinger with derivative generalization, Fordy – Kulish system, Fordy system, süper nonlinear Schrödinger, süper nonlinear mKdV equations are given. Local and nonlocal reductions of these nonlinear partial differential equations are discussed in detail.