Diferansiyel denklemlerin yapay sinir ağları ile nümerik çözümleri
The numerical solutions of differantial equations with artificial neural networks
Yazar: İCLAL GÖR
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ KORHAN GÜNEL
Aydın Adnan Menderes Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2020
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu çalışmada, birinci ve ikinci mertebeden lineer başlangıç değer problemleri, Dirichlet sınır koşulları içeren ikinci mertebeden lineer ve lineer olmayan diferansiyel denklemler ve birinci mertebeden lineer diferansiyel denklem sistemlerinin nümerik çözümleri ileri beslemeli tek ara katmanlı yapay sinir ağları kullanılarak elde edilmiştir.

Problemlerin çözümleri için modellenen sinir ağları, popülasyon tabanlı global optimizasyon metotlarından Parçacık Sürü Optimizasyonu, Kütle Çekim Arama Algoritması, Yapay Arı Koloni Algoritması ve Karınca Koloni Optimizasyonu kullanılarak eğitilmiştir. Ek olarak bahsi geçen optimizasyon algoritmaları Parçacık Sürü Optimizasyonu algoritması ile hibritlenerek çözümler elde edilmiştir. Tez çalışması boyunca incelenen optimizasyon yaklaşımlarından elde edilen izlenimler doğrultusunda, bilinen en iyi çözümün komşuluğunda üretilen hiper-küreleri kullanan yeni bir mutasyon operatörü tanımlanmıştır. 

Deneysel çalışmalarda elde edilen bulgular, adi diferansiyel denklemlerin nümerik çözümlerini elde etmede yapay sinir ağı kullanımının geleneksel iterasyon tabanlı yöntemlere göre iyi bir alternatif olabileceğini göstermiştir. Yapay sinir ağlarının, çözüm aranan aralığın her noktasında tahmini bir değer üretebilme yetenekleri bu yöntemleri klasik yöntemlere göre tercih edilebilir hale getirmektedir. 

Tezde önerilen yaklaşım, farklı sabit adım uzunlukları için değişik tipteki diferansiyel denklemler üzerinde test edilmiş ve diğer yöntemlerle kıyaslandığında genel olarak benzer veya çoğu zaman daha iyi sonuç vermiştir. Bununla birlikte, her tipte diferansiyel denklemi çözebilecek evrensel bir yapay sinir ağı modeli oluşturmanın olası olmadığı kanısına varılmıştır.

Abstract:
In this study, first and second order linear initial value problems, second order linear and nonlinear differential equations with Dirichlet boundary conditions and numerical solutions of systems of first order linear differential equation were obtained by using feed forward  neural networks with a hidden layer.

The neural networks modeled for the solution of the problems were trained using population based global optimization methods as Particle Swarm Optimization, Gravitional Search Algorithm, Artificial Bee Colony Algorithm and Ant Colony Optimization. In addition, these optimization algorithms were hybridized with Particle Swarm Optimization algorithm and numerical solutions were obtained. A new mutation operator using the hyper-spheres generated in the neighborhood of the best solution known so far was identified from the examination of the optimization methods during the dissemination period.

Findings from experimental studies have shown that the use of artificial neural network to obtain numerical solutions of ordinary differential equations could be a good alternative to traditional iterative methods. The ability of generating an estimated value at every point of the solution    makes artificial neural networks preferable to classical methods.

The proposed approach in the thesis has been tested on different types of differential equations for different fixed step size and has generally produces similar or often better results when compared to other methods. However, it is not possible to create a universal neural network model that can solve all types of differential equations.