Bazı özel kuaterniyonik eğrilerin karakterizasyonları
Characterizations of some special quaternionic curves
Yazar: ERCAN TULUM
Danışman: PROF. DR. AHMET YÜCESAN
Süleyman Demirel Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Geometri Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Helis eğrileri = Helix curves ; Kuaterniyonik eğriler = Quaternionic curves ; Kuaterniyonlar = Quaternions

Özet:
Bu tez çalışmasında, 3-boyutlu Öklid uzayı ile özdeş olan uzaysal kuaterniyonlar kümesindeki uzaysal kuaterniyonik eğriler ve 4-boyutlu Öklid uzayı ile özdeş olan kuaterniyonlar kümesinde kuaterniyonik eğrilerin diferansiyel geometrisi ele alındı. Küresel (küre üzerinde bulunan), uzaysal kuaterniyonik rektifiyen ve uzaysal kuaterniyonik genel helis gibi bazı özel uzaysal kuaterniyonik eğriler ve küresel (3-küre üzerinde bulunan), kuaterniyonik rektifiyen ve kuaterniyonik genel helis gibi bazı özel kuaterniyonik eğrilerin karakterizasyonları verildi. Bazı özel uzaysal kuaterniyonik eğriler ve kuaterniyonik eğrilerin karakterizasyonu için kuaterniyonlar, uzaysal kuaterniyonik eğriler ve kuaterniyonik eğriler tanıtıldı ve bu eğriler için Frenet formülleri verildi. Öncelikle, uzaysal kuaterniyonik eğrilerin uzaklık fonksiyonunun sağladığı bir genel diferansiyel denklem Frenet formülleri kullanılarak türetildi ve bu genel diferansiyel denklemin sonuçları olarak küresel ve uzaysal kuaterniyonik rektifiyen eğrilerin bilinen karakterizasyonları elde edildi. Bu diferansiyel denklem kullanılarak uzaysal kuaterniyonik genel helisin yeni bir karakterizasyonu bulundu. Uzaysal kuaterniyonik eğrinin Darboux ve co-Darboux vektörleri yardımıyla tanımlanan ve mekanikte önemli bir rol oynayan centrode ve co-centrode verildi. Uzaysal kuaterniyonik rektifiyen eğri olan centrodenin türevi ve co-centrodenin ortogonal olup olmaması durumuna göre uzaysal kuaterniyonik eğrinin genel helis olup olmayacağı ifade edildi. Uzaysal kuaterniyonik eğrinin asli normal vektörü, centrode ve co-centrode yardımıyla bir ortonormal çatı elde edildi ve bu çatı kullanılarak küresel eğrilerin yeni bir karakterizasyonu bulundu. Daha sonra, kuaterniyonik eğrilerin uzaklık fonksiyonunun sağladığı bir genel diferansiyel denklem Frenet formülleri kullanılarak türetildi ve bu genel diferansiyel denklem kullanılarak küresel ve kuaterniyonik rektifiyen eğrilerin karakterizasyonları ifade edildi. Herhangi bir kuaterniyonik eğrinin küresel yani 3-küre üzerinde bulunup bulunmadığını görmek amacıyla bir örnek verildi. Bu amaç doğrultusunda, birim hızlı kuaterniyonik bir eğri ele alındı ve bu kuaterniyonik eğrinin Frenet elemanları (Frenet çatısı ve eğrilikleri) bulundu. Frenet elemanları ve küresel eğriyi karakterize eden diferansiyel denklem kullanılarak eğrinin küresel olduğu görüldü. Son olarak, birbiriyle ilişkili üç teoremle karakterize edilen kuaterniyonik genel helisin karakterizasyonu yeniden ele alındı ve kuaterniyonik genel helisin karakterizasyonu bir teorem ile verildi.

Abstract:
In this thesis, the spatial quaternionic curves in the set of spatial quaternions identical with the 3-dimensional Euclidean space and the differential geometry of quaternionic curves in the set of quaternions identical with the 4-dimensional Euclidean space are discussed. Characterizations of some special spatial quaternionic curves such as spherical (lying on a sphere), spatial quaternionic rectifying and spatial quaternionic general helix and some special quaternionic curves such as spherical (lying on 3-sphere), quaternionic rectifying and quaternionic general helix are given. For the characterization of some special spatial quaternionic curves and quaternionic curves, quaternions, spatial quaternionic curves and quaternionic curves are introduced and Frenet formulas are given for these curves. First, a general differential equation provided by the distance function of spatial quaternionic curves is derived using Frenet formulas, and the known characterization of spherical and spatial quaternionic rectifying curves are obtained as the results of this general differential equation. A new characterization of the spatial quaternionic general helix is found using this differential equation. Centrode and co-centrode, which are defined with the help of Darboux and co-Darboux vectors of the spatial quaternionic curve and play an important role in mechanics, are given. It is expressed whether the spatial quaternionic curve would be a general helix according to the derivative of the centrode, which is the spatial quaternionic rectifying curve, and whether the co-centrode is orthogonal or not. An orthonormal frame is obtained with the help of the principal normal vector, centrode and co-centrode of the spatial quaternionic curve, and a new characterization of spherical curves is found using this frame. Next, a general differential equation provided by the distance function of the quaternionic curves is derived using Frenet formulas, and by using this general differential equation, characterizations of spherical and quaternionic rectifying curves are expressed. An example is given to see if any quaternionic curve exists is a spherical, that is, on 3-sphere. For this purpose, a unit speed quaternionic curve is considered and the Frenet elements (Frenet frame and curvatures) of this quaternionic curve are found. Using the Frenet elements and the differential equation characterizing the spherical curve, the curve is found to be spherical. Lastly, the characterization of the quaternionic general helix, which is characterized by three interrelated theorems, is reconsidered and the characterization of the quaternionic general helix is given by a theorem.