Lotka-Volterra tipindeki bağlaşık denklemler için kaos analizi
Chaos analysis for the Lotka-Volterra type coupled equations
Yazar: MUHAMMED SEYF
Danışman: PROF. DR. EKREM AYDINER
İstanbul Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Fizik Ana Bilim Dalı / Yüksek Enerji ve Plazma Fiziği Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2022
Konu: Fizik ve Fizik Mühendisliği = Physics and Physics Engineering
Dizin: Kaos = Chaos ; Kararlılık analizi = Stability analysis ; Lyapunov üstelleri = Lyapunov exponents ; Sabit noktalar = Fixed points ; Volterra integral denklemleri = Volterra integral equations

Özet:
Bu tezde Lotka-Volterra tipindeki bagla¸sık denklemler için kaos analizi yapılmı¸stır. Tez çalı¸sması kapsamında iki farklı Lotka-Volterra modeli ele alınmı¸stır. Bunlardan birincisi dört boyutlu bagla¸sık Lotka-Volterra denklemi di ˘ geri ise kanser yayılımını modellemek için geli¸stirilen bagla¸sık denklem sistemidir. Her iki denklem sistemi Matlab yardımıya nümerik ˘olarak çözülerek denklemlerin kararlı noktalar elde edilerek kararlılık analizleri yapılmı¸stır. Ayrıca her iki model sistem ayrı ayrı çözülerek zamana baglı dinamikleri incelenmi¸s sonuçlar ˘faz uzaylarında gösterilmi¸s ve her iki model sistemin farklı ba¸slangıç ko¸sulları için kaotik dinamik üretecegi gösterilmi¸stir. Kaos analizi yöntemleri kullanılarak kaotik çekiciler elde edilerek Lyapunav üstelleri hesaplanmı¸stır. Dü¸sük boyutlu Lotka-Volterra denklemlerinde kaotik dinamik gözlenmezken biz bu tez çalı¸smasında hem yüksek boyutlu Lotka-Volterra bagla¸sık denklem sisteminde hemde kanser yayılımın modellemek için kullanılan ba ˘ gla¸sık ˘denklem sisteminde, kaotik dinamik ortaya çıkacagını göstermi¸s olduk. Her iki çalı¸smada ˘literatürde mevcut olan model sistemlerin daha detaylı ve daha ileri düzey analizine dayandırılmıstır.

Anahtar kelimeler: Lotka-Volterra modeli, Kaos, Garip çekici, Lorenz çekici, Kararlılık analizi, Sabit noktalar, Kanser dinamigi, Lyapunov üsteli

Abstract:
In this thesis, chaos analysis was performed in Lotka-Volterra type correlative equations. Within the scope of the thesis, two different Lotka-Volterra models are discussed. The first one is the four-dimensional correlated Lotka-Volterra equation and the other is the correlated equation system developed to model cancer spread. Both equation systems
were solved numerically with the help of Matlab, and stability analyzes were performed by obtaining stable points of the equations. In addition, both model systems are solved separately and their time dependent dynamics are examined, the results are shown in phase spaces and it is shown that both model systems will produce chaotic dynamics for different
initial conditions. Lyapunav exponents were calculated by obtaining chaotic attractors using chaos analysis methods. While chaotic dynamics is not observed in low-dimensional Lotka-Volterra equations, in this thesis, we have shown that chaotic dynamics will occur in both the high-dimensional Lotka-Voplterra correlated equation system and the correlated equation system used to model cancer spread. Both studies are based on a more detailed and advanced analysis of the model systems available in the literature. 

Keywords: Lotka-Volterra model, Chaos, Strange attractor, Lorenz attractor, Stability analysis, Fixed points, Canser dynamics, Lyapunov exponen