Yerel katı Riesz uzaylarında istatistiksel süreklilik ve bazı yakınsaklık tipleri
Statistical continuity and some convergence types in locally solid Riesz spaces
Yazar: HÜSEYİN ALBAYRAK
Danışman: PROF. DR. SERPİL PEHLİVAN
Süleyman Demirel Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2014
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez çalışmasında, yerel katı Riesz uzayları üzerinde topolojik yakınsaklıktan daha zayıf bir yakınsaklık tipi olan istatistiksel topolojik yakınsaklık tanımlanmış ve reel sayılar üzerinde istatistiksel yakınsaklık için verilen bazı sonuçların yerel katı Riesz uzaylarının yapısal araçları kullanılarak istatistiksel topolojik yakınsaklık için de sağlandığı gösterilmiştir. Ayrıca topolojik yakınsaklık ve istatistiksel topolojik yakınsaklığı içinde barındıran, daha genel bir yakınsaklık tipi olan filtre topolojik yakınsaklık kavramı tanımlanmıştır. Son olarak, topolojik limit noktası, filtre  tau-limit noktası ve filtre  tau-yığılma noktası kavramları verilmiş ve bir dizi üzerinde bu kavramların her birinin ayrı ayrı oluşturduğu kümelerin özellikleri ve bu kümeler arasındaki ilişkiler incelenmiştir.Üçüncü bölümünde Riesz uzayları, yerel katı Riesz uzayları, istatistiksel yakınsaklık ve filtre yakınsaklık ile ilgili temel bilgiler verilmiştir.
Dördüncü bölümde önce, yerel katı Riesz uzayları üzerinde diziler için istatistiksel topolojik yakınsaklık, istatistiksel  tau-sınırlılık ve istatistiksel  tau-Cauchy dizisi kavramları tanımlanmış ve istatistiksel topolojik yakınsaklık ile diğer iki kavram arasındaki ilişki verilmiştir. Bunun yanı sıra, istatistiksel topolojik yakınsaklık ile
ilgili bazı sonuçlar elde edilmiştir. İkinci alt bölümde, iki yerel katı Riesz uzayı arasında tanımlanan fonksiyonlar için istatistiksel süreklilik kavramı tanımlanmıştır. İstatistiksel süreklilik ile düzgün süreklilik arasındaki ilişki verilmiştir. Ayrıca bazı örgü (latis) dönüşümlerinin istatistiksel topolojik sürekli olduğu gösterilmiştir. Üçüncü alt bölümde, N üzerinde filtre kavramı kullanılarak yerel katı Riesz uzayları üzerinde diziler için filtre topolojik yakınsaklık kavramı tanımlanmış ve bu yakınsaklık ile ilgili bazı sonuçlar elde edilmiştir. Dördüncü alt bölümde, filtre monoton yakınsaklık ve filtre sıra yakınsaklık kavramları tanımlanmış ve bazı özellikler verilmiştir. Filtre topolojik yakınsaklık ile filtre sıra yakınsaklık arasındaki ilişki incelenmiştir. Beşinci alt bölümde, diziler için topolojik limit noktası, filtre tau-limit noktası ve filtre tau-yığılma noktası kavramları tanımlanmış ve bununla ilgili bazı sonuçlar elde edilmiştir.

Abstract:
In this thesis, we introduce the notion of the statistical topological convergence which is weaker than the topological convergence on locally solid Riesz spaces, and by using the structural tools of locally solid Riesz spaces, we show that some of the known results for the statistical convergence on real numbers are also valid for the statistical topological convergence. As a more general type of convergence, we also introduce the concept of filter topological convergence that generalizes the topological convergence and statistical topological convergence. Finally, as an outcome, we study three sets consisting of the topological limit points, the filter tau-limit points and the filter tau-cluster points, and analyze the properties of these sets and the interrelations between them.In the third section, we provide the basic notions about Riesz spaces, locally solid Riesz spaces, statistical convergence and filter convergence that are needed throughout the thesis.
The fourth section contains the main results of this thesis. We begin by defining the concepts of statistical topological convergence, statistical tau-boundedness and statistical tau-Cauchy condition for sequences on locally solid Riesz spaces, and then study the relations between statistical topological convergence and the other two concepts. As a final step in the first subsection, we list some of our results related to statistical topological convergence. The second subsection is devoted to the concept of statistical continuity for functions defined between two locally solid Riesz spaces. We there provide a relation between statistical continuity and uniform continuity, and also show that some lattice maps are statistically continuous. In the third subsection, we define the notion of filter topological convergence for sequences on locally solid Riesz spaces by using the concept of a filter on N, and obtain some results related to this type of convergence. In the fourth subsection, we introduce and study the filter monoton convergence and filter order convergence, and analyze the relation between filter topological convergence and filter order convergence. In the final subsection, we state the definitions of the topological limit point, filter tau-limit point and filter tau-cluster point for sequences, and provide some results related to these concepts.