Manyetize plazmalardaki dalga yayılımına indirgeyici pertürbasyon teorisinin uygulanması
Application of reductive perturbation theory to wave-propagation in magnetized plasmas
Yazar: ÖZGÜR GÜLTEKİN
Danışman: PROF. DR. HAŞİM MUTUŞ ; DR. ÖZGÜR D. GÜRCAN
İstanbul Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Fizik Ana Bilim Dalı / Yüksek Enerji ve Plazma Fiziği Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2017
Konu: Fizik ve Fizik Mühendisliği = Physics and Physics Engineering
Dizin: Pertürbasyon = Perturbation ; Türbülans = Turbulence

Özet:
Manyetik füzyon deneylerinde kullanılan tokamaklarda temel amaçlardan biri, ısıyı mümkün olabildiğince cihazın orta kısmında yoğunlaştırıp duvarlardan uzak tutmaktır. Bu, ısı dağılımının homojen olmaması anlamına gelir. Böylece plazmanın içinde çeşitli salınımlar ve hatta türbülans oluşur. Plazmanın bu rastgele hareketleri ısının duvarlara doğru kaybedilmesine neden olur. Isının tokamağın merkezinden duvarlara doğru taşınması sürecinde rol oynayan en önemli fiziksel etkinin ITG (Ion Temperature Gradient) kaynaklı türbülans olduğu düşünülmektedir. Manyetize füzyon plazmalarında ITG, bilinen yaklaşımlar arasında en iyi gyrokinetik denklem ile betimlenebilmektedir.

Bu tezde temel olarak üç yeni yaklaşım geliştirilmiştir. Öncelikle toroidal ITG mod için yazılan renormalize edilmemiş gyrokinetik denklemden elde edilen dağınım bağıntısı ele alınmıştır. Dağınım bağıntısının literatürdeki standart çözümü dışında yeni çözümleri elde etmek ve bu çözümlerin her birini ayrıştırarak k-ω ve k-γ uzaylarındaki evrimlerini izleyebilmek amacıyla yeni bir nümerik yöntem geliştirilmiştir. Bu yolla elde edilen bazı çözümler bu tezde sunulmuştur. 

Ayrıca dağınım bağıntısının nümerik çözümlerinin bilgisayar programlama ile yapılmasının zorluklarını ortadan kaldırmak ve çözümleri elde etmek için bilgisayarların hesaplama hızlarında artış sağlamak amacıyla literatürde daha önce tanımlanmış olan Inm integralleri, genelleştirilmiş plazma dağınım fonksiyonları cinsinden yazılır. Bu tezde geliştirilen yaklaşımlardan ikincisi ise Inm integrallerinin hipergeometrik fonksiyonlar cinsinden yazılması olmuştur. Inm integrallerini bu biçimde ifade edebilmiş olmanın avantajı şudur: Matematikte yaygın olarak kullanılan hipergeometrik fonksiyonlar için en hızlı hesaplama yöntemleri biliniyor olduğundan bilgisayar programlama ile yapılan nümerik hesaplar daha fazla hızlandırılmıştır ve böylece nümerik hesaplar açısından kullanışlı bir biçim elde edilmiştir. 

Toroidal ITG modunda renormalize edilmiş gyrokinetik denklemden elde edilen dağınım bağıntısındaki renormalizasyondan gelen D(v) Dupree teriminin v bağımlılığı literatürde biliniyor olsa da uygulamada kullanılabilecek bir analitik ifade bilinmemektedir. Son olarak bu tezde D(v) Dupree terimi için v(dik) ve v(paralel)'e bağlı kompleks katsayılı bir analitik ifade elde edilmiş ve D(v)  teriminin etkileri tartışılmıştır. Renormalizasyondan gelen Dupree teriminin bir önemi şudur: Türbülansın incelenmesinde kullanılan lineer kararsızlık teorisi, kararsız dalgaların enerji yoğunluğunun üstel olarak sonsuza kadar büyüyeceğini verir. Oysa bu büyüme fiziksel açıdan söz konusu değildir ve çözümlerde lineer olmayan D(v) terimi ile dengelenir. Dupree teriminin bir diğer önemi ise tokamak geometrisinden kaçan tanecikler ve ısı için akı hesabında kullanılabilir olmasıdır. Dupree terimi için bir analitik ifadenin elde edilmesi klasik ve neoklasik taşınım modelleri ile uyumlu olmayan akı miktarını uygulamada hesaplayabilme olanağı sunar.
Bu alanda yapılan nümerik çalışmalar ve simülasyonlar için özellikle paralel yazılım teknolojisi açısından dünyadaki en gelişmiş bilgisayarlara ihtiyaç duyulur. Dupree terimi için bir analitik ifade elde edebilmek amacıyla ITG modda renormalize edilmiş gyrokinetik denklemden elde edilen plazma dağılım fonksiyonları, bu tezde tanımlanan Knm fonksiyonları cinsinden yazılmıştır. Bu yaklaşım da bilgisayar programlama ile uygulanan sayısal analiz yöntemleri için ciddi miktarda hız kazandırmıştır. Bu yolla dağınım bağıntısının yarı lineer taşınım problemleri için kullanımı kolaylaşmış ve tercih edilebilirliği artmıştır. Ayrıca Knm integrallerinin analitik sürekliliğini sağlamak, renormalizasyonun karmaşık doğası nedeniyle literatürde önerilen yöntemlerle mümkün olmamıştır. Bu nedenle analitik sürekliliği sağlamak için de bu tezde özgün bir yöntem geliştirilmiştir.

Abstract:
One of the primary goals in tokamaks in magnetic fusion experiments is to localize the heat and particles in the center of the device away from the walls as much as possible. This means that the heat profile is inhomogeneous. This leads to the excitation of various fluctuations and turbulence in the plasma. These random motions of the plasma causes the heat loss towards the walls. The primary transport process which causes the ion heat loss from the center towards the walls of the device is the turbulence generated by the ion temperature gradient driven instability (ITG). The state of the art description of the ITG mode in magnetised plasmas is based on the gyrokinetic equation. 

Three different approaches have been developed in this thesis.  First, the linear dispersion relation obtained from the linear gyrokinetic equation for the ITG mode is considered. A new numerical method has been developed in order to obtain the roots of the dispersion relation that are not considered in the literature (i.e. damped modes) and follow their evolution in k-ω and k-γ space. Some of the results that have been obtained with this method is presented in this thesis.

Furthermore, in order to resolve the difficulties in numerical computing and increase computation speeds in solving the dispersion relation, previously defined curvature modified dispersion functions, Inm's, were written in terms of integrals over plasma dispersion functions. The second approach which has been developed in this thesis is the expression of these Inm integrals using analytical functions such as the hypergeometric function. The advantage of this formulation is that since the best methods for computing hypergeometric functions rapidly are well-known, their implementation this way leads to further speed increase potentially leading to a convenient formulation for numerical simulations.

While the v dependence of the Dupree diffusion term D(v) which appears in the renormalized dispersion relation for the toroidal ITG mode that can be obtained from the renormalized gyrokinetic equation, is well known in the literature, there is no analytical expression that can be used directly. In this thesis we have developed such a term which shows the dependence of D(v) as a function of v(perpendicular) and v(parallel) discussed the effects of this term. One importance of the D(v)  which comes from renormalization is the following: Linear instability theory, which is used in the description of plasma turbulence, implies that the energy density of unstable waves will increase indefinitely. However, physically, this is of course not the case and one way to balance this increase is the nonlinear diffusion via the Dupree term D(v). Another important aspect of the Dupree term is that it can be used to estimate the transport of particles and heat in tokamaks. Obtaining an analytical form for the Dupree term allows the estimation of non-classical and non-neoclassical transport.

Numerical studies in this area of research necessitate development of massively parallel, high performance supercomputing. In order obtain an analytical form for the Dupree term in ITG, the renormalized dispersion relation obtained from the renormalized gyrokinetic equation is written in term of the renormalized, curvature modified plasma dispersion functions or Knm's defined for the first time in this thesis. This approach also allows an important advantage and speedup in numerical computing and analysis. This formulation makes the use of this functions in the formulation of quasi-linear transport, possible an preferable. Moreover, because of their complex nature, the analytical continuation of the Knm integrals were not possible using standard methods described in the literature. Therefore a unique method together with its numerical implementation has been developed during this thesis.