Betonarme perdeli sistemlerin itme analizi için yeni bir sonlu eleman
A new finite element for push-over analysis of reinforced concrete shear wall systems
Yazar: DELAL DOĞRU ORMANCI
Danışman: PROF. DR. AHMET IŞIN SAYGUN
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / İnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Yapı Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2015
Konu: İnşaat Mühendisliği = Civil Engineering

Özet:
Bu tezde, betonarme perdelerin anizotropik malzeme davranışı esas alınarak çözümlendiği bir sonlu eleman geliştirilmiştir. Çözümde sonlu elemanın, kesitte çekme veya basınç bölgesinde kalmış olmasına göre, farklı eleman rijitlik matrisleri kullanılmıştır. Betonarme perde modelinin yatay yükler altında doğrusal olmayan davranışı incelenmiştir. Bu davranış çubuk sistemlerdeki plastik mafsal hipotezinin benzeri olarak, düğüm noktaları arasında sonlu elemanın doğrusal elastik davrandığı, plastik şekil değiştirmelerin düşey plastik yerdeğiştirmeler olarak düğüm noktalarında toplandığı kabulü ile tanımlanmıştır. Bu kabule göre betonarme perdede plastikleşme, düşey doğrultudaki birim şekil değiştirmenin, elastik şekil değiştirme sınırına erişmesi ile gerçekleşir. Sonlu elemanın tanımında perdenin sadece kat hizalarında bölünmesinin çözüm için yeterli olduğu yer değiştirme fonksiyonları seçilmiştir. Çalışmada elde edilen sonuçlar farklı bir bilgisayar programı ile elde edilen çözümler ve deney sonuçları ile karşılaştırılmıştır.
Sekiz bölümden oluşan bu çalışmanın, birinci bölümünde; konu ile ilgili daha önce yapılan çalışmalar anlatılmış, tez konusunun amacı ve kapsamı kısaca özetlenmiştir.
İkinci bölümde; beton ve donatının malzeme özellikleri tanımlanarak, geliştirilen sonlu eleman için yapılan malzeme ve şekildeğiştirme kabulleri anlatılmıştır. Çekme bölgesinde hesaplarda sadece çeliğin birim şekildeğiştirme değeri dikkate alınırken basınç bölgesinde hem çeliğin hem betonun birim kısalma değerleri gözönünde bulundurularak hesaplanan eşdeğer şekildeğiştirme değerinin elde edilme yöntemi anlatılmıştır. Betonda çatlak oluşmadan önce ve çatlak oluştuktan sonra hesaplarda kullanılacak kesit zoru şekildeğiştirme bağıntılarının tanımı yapılmıştır.
Üçüncü bölümde; geliştirilen sonlu elemanın eksen takımı, düğüm noktası sayısı, her düğüm noktasında kabul edilen yerdeğiştirme serbestlikleri tanımlanmış, 22 adet yerdeğiştirme serbestliğine bağlı olarak seçilen yerdeğiştirme fonksiyonları ve bu fonksiyonların oluşturulmasında kullanılan yardımcı fonksiyonlar verilmiştir. Şekildeğiştirme, gerilme ve malzeme rijitlik matrisleri ile virtüel iş teoreminden yararlanarak hesaplanan eleman rijitlik matrisleri tanımlanmıştır.
Dördüncü bölümde; perde sonlu elemanın elastoplastik davranışı tanımlanmış ve yük artım yönteminin prensipleri açıklanmıştır. Yük artımı ile elemanın köşe noktalarındaki düşey şekildeğiştirme bileşeninin çekme şekildeğiştirme sınırına veya akma şekildeğiştirme sınırına ulaştığı yük parametresi katsayısı hesaplanır ve bu iki değerden küçük olan yük artımında kullanılacak yük parametresi değeri olarak alınır. Perde eleman düğüm noktalarının düşey şekildeğiştirmesinin basınçtan çekmeye geçmesi durumunda sistem rijitlik matrisi yenilenerek çözüm tekrarlanır, düğüm noktasında akma oluşması durumunda ise sistem rijitlik matrisine eklenen bir satır ve bir sütun ile bilinmeyenler bulunur. Plastik mafsal hipotezinin benzeri olarak geliştirilen teori bu bölümde detaylı olarak açıklanmaktadır.
Beşinci bölümde; perdelerin birbirine bağ kirişlerle bağlı olduğu veya perdelerle birlikte çerçevelerin bulunduğu sistemlerdeki çubuk elemanların uç serbestlik, eleman rijitlik ve gerilme matrislerinin oluşturulması anlatılmakta,  bu sistemlerdeki yatay yük parametresi değerinin hesabı kısaca özetlenmektedir.
Altıncı bölümde; geliştirilen bilgisayar programının yapısı ve çalışma düzeni anlatılmış, perde sonlu elemanın elastoplastik hesabının betonarme malzeme davranışı gözönüne alınarak yapılabilmesi için lineer hesap yapan ana programa ilave edilen alt programlar ELFIN11, PLAS1, PLAS2, PLAS3 ve SPLAS olarak özetlenmiştir. ELFIN11'de perde eleman için hem basınç hem çekme elemanı eleman rijitlik matrisleri oluşturularak saklanır. PLAS1'de yük artımı ile elemanın basınçtan çekmeye geçme durumu veya düğüm noktalarında akma oluşma durumu değerlendirilir. 1. durumun gerçekleşmesi halinde  sistem rijitlik matrisinin yeniden oluşturulduğu SPLAS'a, 2. durumun gerçekleşmesi halinde akma oluşan noktanın düşey yerdeğiştirmesinin denge denklemlerinin çözümünde dikkate alındığı PLAS2 alt programına dallanma olur. PLAS3 alt programında ise eleman kesit zorları elde edilmektedir.
Yedinci bölümde; geliştirilen bilgisayar programı ile betonarme perdeli sistemlerin yatay yükler altındaki davranışının incelendiği örnekler anlatılmaktadır. Bu örneklerin SAP2000 bilgisayar programı ile çözümlenmesi ve her iki programdan elde edilen yatay yük tepe yerdeğiştirmesi eğrilerinin karşılaştırılmasına yer verilmiştir. Daha önce yatay yükler altındaki davranışın deneysel olarak çalışıldığı perde numuneleri, geliştirilen program ile modellenmiş ve deney sonuçları ile hesap sonuçlarının birbiri ile uyumlu olduğu görülmüştür.
Sekizinci bölümde; sonuçlar irdelenmiş, ileriye dönük olarak yapılacak çalışmalar açıklanmıştır.

Abstract:
In this thesis, a finite element which has been analyzed based on anisotropic behavior of reinforced shear walls is developed. Element stiffness matrices were varied based on whether the element is in the tension or the compression zone of the cross-section. Nonlinear behavior of reinforced shear wall model is investigated under horizontal loads. This behavior is defined with a similar approach to plastic hinge assumption in frame structures that the finite element behaves lineer elastic between joints and plastic deformations are concentrated on joints as vertical plastic displacements. According to this acceptance, plastic behavior of reinforced shear wall occurs when the vertical strain reaches elastic strain limit. In the definition of finite element, displacement functions are chosen considering that the partition of shear walls just at floor levels, are enough for solution. Results of this study are compared with the solution obtained from a different computer programme and experimental results.
In the first part of this study which is composed from eight parts, earlier studies on subject have been explicated, purpose and extend of thesis subject are briefly summarized.
In the second part; different internal force deformation formulas which are to be used in calculations before and after crack formation are defined. Concrete and rebar are assumed as ideal elastoplastic materials. In shear wall element, it is assumed that concrete and steel works together  until crack occurance at comperession and tension zones.  It is also accepted that after occurance of crack, shear wall element moves to the tension zone and accordingly, whilst concrete become no longer active, only rebar proceeds to work. Vertical unit strain value (ez) which controls the yielding,  is calculated differently in tension and compression zones. Whilst, only the strain of steel was taken into consideration in tensioning zone calculations, in compression zone, derivation of equivalent deformation value which has been calculated by considering both unit shortening of steel and concrete is explained. In compression zone, concrete and rebar  are concertedly shortens. After reaching maximum unit shortening, concrete will not carry any more load, however, under compression rebar will continue shortening and carrying additional load. In this computer programme, only one unit shortening value is considered.  This value is calculated considering maximum unit shortening value of steel is bigger then the one for concrete.  In tensioning zone, however, only rebar will work after concrete cracks upon taking a load exceeding tensile strength.  In this case, vertical unit strain value (ez) which controls yielding in tensioning zone is calculated in accordance with maximum unit elongation value of of steel.  This value will vary with the quality of steel material.
In the third part, coordinate system, joint number and displacement freedoms accepted at every joints of developed finite element are defined and displacement functions which are selected depending on 22 no's of displacement freedoms and auxiliary functions which are used to generate these displacement functions are  given. Shear wall element is defined with six joints.  Four of these six joints are corner joints and remaining two are located on middle point of the top and bottom edges of the shear wall element.  Number of unknown displacements at joints is four and these displacements are defined as vertical displacement freedom, rotation displacement freedom about x axis, rotation displacement freedom about y axis and vertical strain freedom. Considering freedom at joints as unknown enables frame elements to connect these joints. Number of unknown displacements at middle point of top and bottom edges is three and these are defined as horizontal displacement at x direction, horizontal displacement at y direction and rotation freedom about global z axis.  Displacement matrix is a column matrix which has 22 terms. 16 of them are at corner joints and remaining 6 are at master joints.  If the shear wall has a θ angle with x axis at x-y horizontal plane, transformation matrix is used to transform the displacement freedom from global coordinate system to local coordinate system. In order to obtain a correct result with finite element method, displacement function which corresponds to unit values of displacement parameters should be selected in accordance with characteristics of finite element.  Displacement functions used in this study are formed by multiplying the polynomial which is linear dependent to variable x with the polynomial which is cubic dependent to variable z.  Total number of displacement function terms shall be equal to the number of unknown displacements. Stiffness matrices of deformation, stress, material and element stiffness matrix which is calculated by utilising virtual work theorem are defined. Any kij term of this matrix demonstrates the internal forces which occur in the direction of unit displacement of joint i because of the unit displacement of joint j.
In the fourth part, elastoplastic behaviour of shear wall finite element is defined and principles of load increment method are explained. In every step of the calculation made by load increment method, ez values on joints are being checked and for every joint, load parameter coefficients which are required for the concrete to reach ultimate tensile strain value are defined.  Smallest of these parameters gives the first joint which passes from compression to tension and corresponding horizontal load parameter. This horizontal load parameter is named as PAZ. In every load increment step, ez value is checked for all the joints of shear wall elements and load parameter coefficients required for the joints to reach elastic strain limit are calculated. Coefficient which has the smallest value amongst others will give plasticization joint and corresponding horizontal load parameter. This horizontal load parameter is named as PAD.  Smaller of the PAD or PAZ shall be considered as load parameter to be used in load increment.  When a compression shear wall element transforms in to a tension shear wall element, the system stiffness matrix shall also change. However, system stiffness matrix shall not completely be regenerated. In system stiffness matrix, contribution of element stiffness matrix of compression element shall be removed and contribution of element stiffness matrix of tension element shall be added.  By this simplified approach, number and period of analysis are reduced.  It is assumed that plasticization occurs on the points where yielding limit strain is exceeded and the elements above these points make different vertical displacements than the ones below. For the solution, system stiffness matrix shall not completely be regenerated, however, for each joint that the yielding limit strain is exceeded (joints that are plasticized) a row and a column shall be added to system stiffness matrix.  It is clear that while deformations increase in plasticized points, stresses will remain constant.  In order to reach a final solution, results of unit horizontal load parameters shall be multiplied with horizontal load parameter and superposed with results from solution of vertical loads.
In the fifth part, formation of  the joint freedom, element stiffness and stress matrices of  frame elements of the systems in which shear walls are connected with transverse beams or frame systems with shear walls are explained and the calculation of the horizontal load parameter in these systems is briefly summarized.
In the part six, structure and operation principles of the developed computer program are explained and subprograms which are added to main program in order to make elastoplastic calculation of shear wall finite element considering material behaviour of reinforced concrete are summarized as ELFIN11, PLAS1, PLAS2, PLAS3 and SPLAS. For shear wall element, element stiffness matrices for both compression and tension elements are genereated and saved in ELFIN11. In PLAS, with load increment, elements crossing from compression to tension or yielding formation at joints are evaluated; if the first case is actualised then it will be branching to subprogram SPLAS wherein system stiffness matrix is regenerated, if the second case is actualised then it will be branching to PLAS2 wherein vertical displacement of the yielding point is considered for the solution of equations of equilibrium. In PLAS3 subprogram, element internal forces are obtained.
In part seven, examples wherein behavior of reinforced concrete shear wall systems under horizontal loads are examined with developed computer program, are explained. Analyses of these examples with SAP2000 computer program and comparison of the horizontal load versus top horizontal displacement curve obtained from both programs are introduced. Number of steps to reach failure load, value of the failure load and top displacement which corresponds to this load will increase according to the horizontal and vertical element number that shear wall is divided into.  Increase in the number of horizontal joints, enables a more exact determination of the position of neutral axis under major bending moments.  To divide shear wall element into more elements will provide obtaining smaller displacements under the same load. Shear wall samples which have been experimentally studied previously are modelled with developed program and similar results are observed. In the light of the foregoing findings, it is acknowledged that applied finite element and calculation method give accurate and reliable results. 
In part eight, results are scrutinized and prospective studies are explained. The finite element and calculation method developed in this study, provides much faster analysis with less elements in comparison with other programs which perform pushover analysis. Thus, developed program will be much beneficial to reduce the time spent for structural analysis of high rise buildings.