Diferansiyel, fonksiyonel diferansiyel ve integro-diferansiyel denklemler ve sistemleri için galerkin-tipi bir sayısal yöntem
A galerkin-like numerical method for differential, functional differential and integro-differential equations and their systems
Yazar: MURAT KARAÇAYIR
Danışman: DOÇ. DR. ŞUAYİP YÜZBAŞI
Akdeniz Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2018
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez, en geniş şekliyle, temel bilimlerde ve mühendislikte karşılaşılan çeşitli problemlerin sayısal çözümlerini elde etmekle ilgilenmektedir. Bu sayısal çözümleri elde etmekte kullanılan yöntem, ilgili denklemin belirli test fonkiyonlarıyla çarpılıp integre edilmesi esasına dayanan Galerkin ayrıştırmasından yararlanır. Bu yöntemde, yaklaşık çözüm, derecesi belli bir N sayısı olan bir polinom şeklinde aranmış, bu amaçla söz konusu test fonksiyonları kümesi {1,x,x^2,...,x^N} şeklindeki klasik polinom tabanı olarak belirlenmiştir. Çeşitli adi diferansiyel, gecikmeli diferansiyel ve integro-diferansiyel denklemler ve bunların sistemlerine yöntemin nasıl uygulanacağı ayrı ayrı ve detaylı olarak açıklanmış, ardından yöntem her problem tipi için bir ya da iki örnek problem üzerinde test edilmiştir. Bu testlerden elde edilen sonuçlar kendi aralarında ve mümkün olduğu durumlarda diğer sayısal yöntemlerden elde edilen sonuçlarla kıyaslanmıştır. Sonrasında, yöntemin ilk hâliyle kısmi diferansiyel denklemlere uygulanamaması ve N değerini arttırmanın yakınsamayı garanti etmemesi gibi bazı eksik yönlerinden söz edilmiş, bu eksikliklerin giderilmesi için çeşitli öneriler getirilmiş ve bu öneriler örnek problemler üzerinde uygulanmıştır. Bu uygulamalar sonucunda, yöntemin daha iyi sonuçlar verdiği görülmüş; bu durum, bu çalışmanın özgün yanını ortaya koymuştur. Son olarak, elde edilmiş bir yaklaşık çözümün kalıntısı vasıtasıyla bu çözümün hatasını tahmin etmeye olanak tanıyan bir teknik ele alınmış ve söz konusu çözümü iyileştirmek için kullanılmıştır.

Abstract:
In its most general form, the interest of this thesis is to obtain numerical solutions of various problems encountered in natural sciences and engineering. The method used to obtain these numerical solutions makes use of Galerkin discretization, which is based on the integration of the product of the relevant equation with certain test functions. In this method, the approximate solution is sought in the form of a polynomial having a certain degree N, thus giving rise to the choice of the set of test functions as the classical polynomial basis {1,x,x^2,...,x^N}. The application of the method to various ordinary differential, delay differential and integro-differential equations has been separately described in detail, followed by the testing of the method on one or two example problems for each problem type. The results obtained from these tests have been compared within themselves and with those obtained by other numerical methods wherever possible. Then, some flaws of the method have been mentioned such as its non-applicability to partial differential equations and its failure to guarantee convergence by increasing the value of N in its original form. Some ways of overcoming these flaws have been suggested and these suggestions have been applied to example problems. As a result of these applications, the method has been observed to yield better results, constituting the original aspect of this study. Lastly, a technique has been considered which makes it possible to estimate the error of an obtained approximate solution by means of its residual and this technique has been used to improve the solution in question.