Graf teorisinde eşleştirme, örtme ve kaplama kavramları
Notions of matching, covering and packing in graph theory
Yazar: ABDULQADIR RAMZI AHMED SELI
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ CELALETTİN KAYA
Çankırı Karatekin Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Eşleştirme = Association ; Graf teori = Graf theory ; Kaplama = Coating ; Örtme integralleri = Overlap integrals

Özet:
Bu tezin hazırlanmasında kullanılan başlıca kaynak, Diestel (2017)'in "Graph Theory" kitabıdır. Esas itibariyle bizim yaptığımız, tezin başlığından da anlaşılacağı üzere, "graf teorisinde eşleştirme, örtme ve kaplama" kavramlarını anlamak ve anlatmak için, söz konusu kitabın ikinci bölümünü Türkçeye çevirmekten ibarettir. Fakat tabi ki motamot bir çeviri yapılmamış, bir yandan bazı çok zorlu veya teknik ispatlar atlanırken, diğer yandan kitabın okuyucuya bırakılan bazı kısımları şerh edilerek konu daha anlaşılır bir şekilde sunulmuştur. Ayrıca, bu bölümün anlaşılabilmesi için ön şart durumunda olan graf teorinin temel tanım ve teoremleri, mevzubahis kitabın birinci bölümünün ihtiyaç olunan kadarı teze eklenerek verilmiştir. Bunlara ek olarak, kaynaklar kısmında listelenmiş olan makalelere de başvurulmuştur. Ana hatlarıyla özetlemek gerekirse: Birinci bölümde, temel tanımların ardından, yollar ve çevrimler, bağlantılılık, ağaçlar ve ormanlar ve iki parçalı graflarla ilgili gerekli tanım ve teoremler işlenmiştir. İkinci bölümün ilk alt bölümünde, iki parçalı graflar için König (1931) ve Hall (1935) teoremleri; ikinci alt bölümünde, genel graflarda eşleştirme ile ilgili Tutte (1947) teremi ispat edilmiştir. Üçüncü alt bölümünde ise, Erdös ve Posa (1965) teoremi ifade edilmiştir. Dördüncü alt bölümünde, paketleme ve örtme kavramları kenarlar açısından ele alınarak, paketleme-örtme teoreminin (Bowler and Carmesin 2015) birer sonucu olarak, ağaç-paketleme (Nash-Williams 1961, Tutte 1961) ve ağaç-örtme (Nash-Williams 1964) teoremleri ispat edilmiştir. Beşinci ve son alt bölümünde ise, Gallai ve Miligram (1960)'ın yönlendirilmiş graflar için verilen yol örtü teoreminin bir sonucu olarak Dilworth (1950)'un kısmi sıralamalar için dualite teoremi ispat edilmiştir. Tezin üçüncü, sonuç ve önerilerden önceki son bölümünde ise, mevzubahis kitabın ikinci bölümünün notlar kısmı kullanılarak, tezin konusu ile ilgili kısa bir literatür taraması sunulmuştur.

Abstract:
The main source used in the preparation of this thesis is Diestel's (2017) "Graph Theory" book. Essentially, what we do is to translate the second chapter of the mentioned book into Turkish to understand and explain the concepts of "notions of matching, covering and packing in graph theory", as can be understood from the title of the thesis. But of course, no literal translation was made, on the one hand, some very difficult or technical proofs were skipped, on the other hand, some parts of the book that were left to the reader were explained and the subject was presented more understandably. In addition, the basic definitions and theorems of graph theory, which are prerequisites for understanding this study, are given by adding the necessary part of the first chapter of the aforementioned book to the thesis. In addition to these, the articles listed in the references were also consulted. To summarize: In the first chapter, after the basic definitions, necessary definitions and theorems related to roads and loops, connectedness, trees and forests, and bipartite graphs are covered. In the first section of the second part, König (1931) and Hall's (1935) theorems for bipartite graphs are proved; in the second section, Tutte's (1947) theorem related to matching in general graphs is proved. In the third section, the theorem of Erdös and Posa (1965) is expressed. In the fourth section, packing and covering concepts are discussed in terms of edges, and tree-packing (Nash-Williams 1961, Tutte 1961) and tree-covering (Nash-Williams 1964) theorems are proved as a result of the packing-covering theorem (Bowler and Carmesin 2015). In the fifth and final section, Dilworth's (1950) duality theorem for partial orders is proved as a result of Gallai and Milligram's (1960) path cover theorem for directed graphs. In the third chapter of the thesis, before the conclusions and recommendation chapter, a brief literature review on the subject of the thesis is presented by using the notes section of the second chapter of the mentioned book.