Belirli özel Horadam kuvvet dizileri üzerine
On certain special power Horadam sequences
Yazar: SELİME BEYZA ÖZÇEVİK
Danışman: PROF. DR. ŞENOL EREN
Ondokuz Mayıs Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Cebir ve Sayılar Teorisi Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Cebir = Algebra ; Fibonacci sayıları = Fibonacci numbers ; Jacobsthal sayıları = Jacobsthal numbers ; Matematik = Mathematics ; Modüller = Modules

Özet:
Bu tez çalışmasında öncelikle A.F Horadam tarafından 1965 yılında tanımlanan {W_n }_(n=0)^∞  Horadam sayı dizilerinin tanımı baz alınarak bu dizinin W_n=pW_(n-1)+qW_(n-2) rekürans bağıntısının katsayıları sırasıyla p=1,q=3 ve p=3,q=1 şeklinde alınmış ve iki farklı özel Horadam sayı dizisi elde edilmiştir. 2012 yılında Ide ve Renault tarafından tanımlanmış olan modül m de Fibonacci kuvvet dizileri ve yapılan ilgili çalışmalar taban alınarak, tanımlanan iki özel Horadam sayı dizileri modül s ye indirgenmiş ve bu dizilerin modül s de kuvvet dizileri tanımlanmıştır. Burada, önce tanımlanan iki farklı özel Horadam kuvvet dizilerinin var oldukları modüller, sonrasında da bu modüllerdeki sayıları incelenmiş ve her iki dizi için de aynı modüllerde ve aynı sayıda oldukları gözlemlenmiştir. Daha sonra bu dizilerin periyotları incelenmiş ve Fibonacci kuvvet dizilerinin aynı modüllerde periyotları karşılaştırılmış, p=1,q=3 olma durumunda Horadam kuvvet dizisinin periyotları ile aynı modüllerdeki Fibonacci kuvvet dizilerinin periyotlarının benzer sonuçlar gösterdiği ancak katsayılar değiştirildiğinde kuvvet dizilerinin periyotları belirli bir şekilde formülize edilemediği görülmüş ve bu durum örneklerle açıklanmıştır. Yapılan bu incelemelerin sonrasında Horadam sayı dizilerinin bir diğer özel hali olan Jacobsthal sayı dizileri incelenmiş daha sonra 2020 yılında Çelemoğlu vd. tarafından tanımlanan modül m de Jacobsthal sayı dizilerinin periyotları incelenmiş ve elde edilen bulgular sonuçlar ile ifade edilmiştir.

Abstract:
In this thesis, firstly, coefficients of recurrence relation of Horadam sequences which defined by A.F. Horadam in 1965 was taken as respectively p=1,q=3 and p=3,q=1 ,then it was obtained two different special Horadam number sequences. It was reduced two special Horadam number sequences to modulo s as based on power Fibonacci sequences in modulo s which defined by Ide and Renault in 2012 and it was defined power sequences of those sequences on modulo s. Here, firstly, it has been examined the modules in which these sequences exist and it has been observed that those modules are exist in same modules and same number for both special power sequences. Subsequently, it has been examined periods of these sequences and compared periods of power Fibonacci sequences in same modules. In this instance, in case p=1,q=3, then periods of power Horadam sequences has showed similar results with periods of Fibonacci number sequences in which same modules but when the coefficients change, it couldn't obtaine a specific formula for those sequence. Therefore, it was explained this situation by examples.
After these investigations, it was examined Jacobsthal number sequences which another one special case of Horadam number sequences and then it was examined periods of Jacobsthal number sequences in modulo m which defined by Celemoglu et.al. in 2020 and it was stated that findings with results.