Cebirsel eğriler üzerindeki rasyonel diziler
Rational sequences on algebraic curves
Yazar: GAMZE SAVAŞ ÇELİK
Danışman: PROF. DR. GÖKHAN SOYDAN
Bursa Uludağ Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Birim çember = Unit circle ; Cebirsel eğriler = Algebraic curves ; Eliptik eğriler = Elliptic curves ; Rasyonel diziler = Rational progression

Özet:
Tez yedi bölümden oluşmaktadır. İlk üç bölümde cebirsel ve eliptik eğriler ile ilgili temel bilgiler ve bazı önemli teoremlere yer verilmiştir.
K,L∈Q iken Q'da y^2 =x^3+Kx+L ile verilen E eliptik eğrisi olsun. i= 1,...,k iken noktaların x-bileşenleri xi'ler ardışık küplerden oluşursa (xi, yi) ∈ E(Q) rasyonel noktalar kümesinin E üzerinde ardışık küplerin bir dizisi olduğu söylenir. Tezin dördüncü bölümünde ardışık küplerin 5-terimli dizilerini içeren eliptik eğrilerin sonsuz bir ailesinin varlığını gösteriyoruz. Ayrıca bu beş rasyonel noktanın E(Q)'da lineer bağımsız ve dolayısıyla E(Q)'nun rankı en az 5 olduğunu gösterdik.
Tezin beşinci bölümünde, bir F sayı cismindeki elemanların bir S alt kümesi verildiğinde x-bileşenleri S'nin elemanları olan rasyonel noktalara sahip F cismi üzerindeki düzlem cebirsel eğrilerin varlığını tartışıyoruz. S-dizisinin eleman sayısı |S| = 4, 5 veya 6 iken üzerindeki rasyonel noktaların x-bileşenlerinin S'de bulunduğu (bükülmüş) Edwards eğrileri ve (genel) Huff eğrilerinin sonsuz ailelerini sergiliyoruz. Bu, bazı cebirsel eğriler üzerindeki belirli tipteki diziler hakkında yapılmış önceki çalışmaları geneller.
Bir düzlem cebirsel eğri üzerindeki rasyonel noktaların x veya y-bileşenleri ortak çarpanı r olacak şekilde bir geometrik dizi oluşturursa bu eğri üzerindeki rasyonel noktaların dizisi bir r-geometrik dizisi olarak adlandırılır. Tezin altıncı bölümünde x^2 + y^2 = 1 birim çember denklemi üzerinde en az 3-terimli r-geometrik dizilerini bulunduran sonsuz çoklukta r-rasyonel sayısının varlığını ispatlıyoruz.

Abstract:
The thesis consists of seven chapters. In the first three chapters, the fundamental notions and some important theorems are given concerning algebraic and elliptic curves.
Let E be an elliptic curve over Q described by y^2 =x^3+Kx+L where K,L∈Q. A set of rational points (xi,yi) ∈ E(Q) for i = 1,2,...,k, is said to be a sequence of consecutive cubes on E if the x-coordinates xi's of these points for i = 1, 2,... form consecutive cubes. In the fourth chapter of the thesis, we show the existence of an infinite family of elliptic curves containing a length-5-term sequence of consecutive cubes. Morever, it has been proved that these five rational points in E(Q) are linearly independent and hence the rank r of E(Q) is at least 5.
In the fifth chapter of the thesis, given a set S of elements in a number field F, we discuss the existence of planar algebraic curves over F which possess rational points whose x-coordinates are exactly the elements of S. If the size |S| of S is either 4,5, or 6, we exhibit infinite families of (twisted) Edwards curves and (general) Huff curves for which the elements of S are realized as the x-coordinates of rational points on these curves. This generalizes earlier work on progressions of certain types on some algebraic curves.
A sequence of rational points on an algebraic planar curve is said to form an r- geometric progression sequence if either the abscissae or the ordinates of these points form a geometric progression sequence with ratio r. In the sixth chapter of the thesis, we prove the existence of infinitely many rational numbers r such that for each r there exist infinitely many r-geometric progression sequences on the unit circle x^2+y^2 =1 of length at least 3.