Pozitif tamsayıların parçalanışlarıyla inşa edilen tamsayı dizileri
Integer sequences constructed by partitions of positive integers
Yazar: BÜŞRA AL
Danışman: PROF. DR. MUSTAFA ALKAN
Akdeniz Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Hesaplamalı Bilim ve Mühendislik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezde, parçalanış teorisi ile geçmişten günümüze bilim insanlarının ilgisini çekmiş Fibonacci sayıları arasında bir bağlantı kurulmuştur. Parçalanış teorisinin temeli olan pozitif tamsayıların parçalanışı ve kompozisyonları detaylı bir şekilde incelenmiştir.
 Özellikle bu çalışmada, parçalanışlar ve kompozisyonlar için kümeler tanımlanıp bu kümeler üzerinde yeni işlemler tanımlanmıştır. Bu işlemler yardımıyla ardışık pozitif tamsayıların kompozisyonları arasında bağıntılar kurulmuştur. Tanımlanan kümeler üzerinde cebirsel ve kombinatorik işlemler yapılarak kompozisyonlar için yeni bağıntılar elde edilmiştir. Bileşen sayısı kısıtlı parçalanışlar, bileşenleri tek tamsayı olan parçalanışlar, bileşenleri tek ve tekrarlanmayan tamsayılar olan parçalanışlar gibi özel durumlara sahip literatürdeki bazı parçalanışlar kompozisyon kavramı için de ayrıca incelenmiştir. Kompozisyonlar, kısıtlanmış kompozisyonlar ve tek kompozisyonlar olacak şekilde ayrıca incelenerek ilgili kompozisyonların sayıları için üreteç fonksiyonları bulunmuştur. Tek kompozisyonlar ile Fibonacci sayıları arasındaki ilişki incelenmiştir. Günümüzde birçok
matematikçinin ilgi odağı ve çalışma konusu olan parçalanış teorisi ve üreteç fonksiyonları yardımıyla, Fibonacci sayıları gibi birçok sayı dizisi üretilmiştir. Kompozisyonların bileşen büyüklüğüne sınırlandırma getirilmiş ve bu sınırlandırma ile kısıtlı kompozisyonların sayısı için üreteç fonksiyonu bulunmuştur. Bu üreteç fonksiyonu ile n-nacci sayıları
üretilmiştir. 
 Bu tez çalışmasında ayrıca, kompozisyonlar için bir renk kataloğu oluşturulmuş ve bu kataloğa bağlı kalınarak kompozisyonlar için desenler elde edilmiştir. Desenler elde edilirken de kompozisyonların bileşenleri için farklı kısıtlamalar getirilerek farklı desenler incelenmiştir. Ayrıca bu desenlerin sayıları için üreteç fonksiyonları bulunmuştur. Bulunan bu üreteç fonksiyonları ile literatüre yeni sayı dizileri kazandırılmıştır.
 Her bir pozitif tam sayının kompozisyon deseninin kendisinden bir fazla olan tamsayının kompozisyon deseninin içinde yer aldığı gözlemlenmiştir. Ardışık tam sayıların n-renk kompozisyon desenlerinin aralarında da altın oran olduğu gösterilmiştir. 
 Sonuç olarak, bu tezde elde edilen çalışmaların başta matematik olmak üzere fizik, hesaplamalı bilim ve mühendislik ve hatta mimari alanlarında kullanılma potansiyeli oldukça yüksektir.

Abstract:
In this thesis, a connection has been established between the partition theory and the Fibonacci Numbers which have attracted the attention of scientists from the past to the present. The partition of positive integers, which is the basis of the partition theory and their composition have been studied in detail.
 Especially in this study, sets have been defined for partitions and compositions and new operations have been defined on these sets. With the help of these operations, relationships have been established between the compositions of consecutive positive integers. Algebraic and combinatorial operations have been performed on the defined sets, and new relations have been obtained for the compositions. Some partitions in the literature, which
have special cases such as partitions with limited number of summands, partitions with odd integer summands, partitions whose summands are odd and distinct integers, have also been examined for the concept of composition. Compositions, restricted compositions and odd compositions have been examined separately with their special cases and generating functions have been found for the number of related compositions. The relationship between odd compositions and Fibonacci numbers have been examined. Many number sequences such as Fibonacci numbers have been produced with the help of partition theory and generating functions, which are the focus of attention and the subject of study for many mathematicians today. The summand size of the compositions have been constrained, and the generating function, for the number of compositions constrained by this restriction, have been found. With this generating function, n-nacci numbers have been generated.
 In this thesis, a color catalogue has been created for the compositions, and patterns have been obtained for the compositions by adhering to this catalogue. While obtaining the patterns, different patterns have been examined by introducing different restrictions for the summands of the compositions. In addition, generating functions have been found for the number of these patterns. With these generating functions, new number sequences have been brought to the literature.
 It has been observed that the composition pattern of each positive integer is within the composition pattern of the integer that is one more than itself. It has been shown that there is a golden ratio between the n-color composition patterns of consecutive integers.
 As a result, the studies obtained in this thesis have a high potential to be used in the fields of mathematics, physics, computational science and engineering, and even architecture.