Öklidyen 4-uzayda quasi çatılı eğriler
The curves with quasi frame in Euclidean 4-space
Yazar: BUKET GEZER
Danışman: PROF. DR. CUMALİ EKİCİ
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Bilgisayar Ana Bilim Dalı / Geometri Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
3-boyutlu Öklid uzayında uzay eğrileri için Frenet çatısı, Bishop çatı ve paralel
öteleme çatısı üzerine çalışmalar yapılmıştır. Bunlara ilave olarak 3-boyutlu Öklid uzayında
quasi çatı tanımlanmıştır. 4-boyutlu Öklid uzayında Frenet çatısı, Bishop çatı ve paralel
öteleme çatısı tanıtılmış ve 4-boyutlu Öklid uzayında kullanılacak olan quasi çatılı bir uzay
eğrisi hakkında bilgi verilmiştir. Quasi çatıyı kullanmaktaki asıl amaç bu çatının Frenet
çatısına ve bilinen diğer çatılara göre daha genel olması ve alınan bir uzay eğrisinin ikinci
mertebeden türevinin olmadığı durumlarda dahi quasi çatı ile hesaplamaların
yapılabilmesidir. Quasi çatı bilinen diğer çatılarla aynı doğruluğa sahiptir. Bu çatının diğer
bir önemli özelliği ise bir uzay eğrisi boyunca hesaplanan çatı vektörlerinin teğet etrafındaki
gereksiz bükülmelerini ve dönmelerini engellemesidir. Verilen uzay eğrisinin quasi çatısı
için öncelikle quasi-normal vektörü bir Öklid açısı kadar dönerek teğet vektör ve k izdüşüm
vektörüne dik bir birim vektör olarak verilir. Sonrasında bu vektörler yardımıyla birim hızlı
teğet vektör, quasi-normal vektör ve quasi-binormal vektör ile quasi çatısı oluşturulur.
4-boyutlu Öklid uzayında bir uzay eğrisi, örneğin xy-düzlemindeki izdüşüm vektörleri kx
ve ky için birim vektörler t teğet, nq quasi-normal, bq1 birinci quasi-binormal ve bq2 ise
ikinci quasi-binormal kullanılarak quasi çatısı ve quasi eğrilikleri bulunmuştur. Bulunan bu
quasi eğrilikleri kx ve ky izdüşüm vektörlerine bağlı olarak elde edilmiştir. 4-boyutlu Öklid
uzayında bir uzay eğrisinin quasi eğriliklerinin eşitleri eğrinin üçüncü mertebeye kadar olan
türevleri ile kx ve ky izdüşüm vektörleri yardımıyla hesaplanmıştır. Ayrıca E4 uzayında
quasi çatıya göre Bertrand ve Mannheim eğrileri incelenmiştir. Bulunan bu hesapların daha
anlaşılabilir olması adına 4-boyutlu Öklid uzayında bir uzay eğrisi için quasi çatı ve quasi
eğriliklerinin elde edildiği örnekler yapılmıştır.

Abstract:
Frenet frame, Bishop frame and parallel translational frame for space curves in E3
space have been studied. In addition to these, quasi frame is defined in 3-dimensional
Euclidean space. In E4, the Frenet frame, Bishop frame and parallel translation frame are
introduced and information is given about a space curve with a quasi frame in E4 space to
be used in this paper. The mean using the quasi frame is that this frame is more general than
the Frenet frame and other known frames and calculations can be made with the quasi frame
in cases where there is no second-order derivative of a space curve. The quasi frame has the
same accuracy as other known frames. Another important feature of this frame is that it
prevents unnecessary twists and turns around the tangent of the frame vectors calculated
along a space curve. The quasi frame of a given space curve is rotated by a Euclidean angle
and firstly the quasi-normal vector is given as a unit vector perpendicular to the tangent
vector and the projection vector k. Then, the quasi frame is formed by the tangent vector,
the quasi-normal vector, and the unit quasi-binormal vector. For a space curve in E4 space,
for example, kx and ky projection vectors in the xy -plane, t is the unit tangent, nq is the
unit quasi-normal, bq1 is the first unit quasi-binormal and bq2 is the second unit
quasi-binormal to find the quasi frame and quasi curvatures. These quasi curvatures are
obtained depending on the projection vectors kx and ky. Equivalents of the quasi curvatures
of a space curve in E4 space are calculated with the help of the derivatives of the curve up to
the third order and the projection vectors kx and ky. In E4 space, Bertrand and Mannheim
curves according to the quasi frame were also analysed. In order to make these calculations
more comprehensible, an example is made in which quasi frames and quasi curvatures are
obtained for a space curve in 4-dimensional Euclidean space.