Değişmeli olmayan aykırı polinom halkaları üzerinde tanımlı DNA kodlar
DNA  codes over non-commutative skew polynomial rings
Yazar: FATMANUR GÜRSOY
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ AYTEN ÖZKAN
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2019
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Adleman 1994 yılında yaptığı çalışmasında Hamilton yolu olarak bilinen kombinatöryel problemi DNA dizileri yardımıyla deney tüpünde çözmüştür. Adleman'ın çalışması ile birlikte DNA dizileri hesaplama işlemlerinde kullanılmaya başlanmıştır. 
Bu tezde değişmeli olmayan aykırı (skew) polinom halkaları ve aykırı devirli (skew cyclic) kodların cebirsel özelliklerinden yararlanılarak ters sıralı DNA kodlar ve ters sıralı tamlayan DNA kodların elde edilmesi amaçlanmıştır. 
Üçüncü bölümde $F_{4^{2 s}}$  cismi üzerinde tanımlı bir aykırı devirli kodun DNA karşılığının ters sıralı DNA kod olması için gerek ve yeter şartlar belirlenmiştir. Ayrıca, C  aykırı devirli kodunun DNA karşılığı bir ters sıralı DNA kod ise  $C^\perp$ kodunun DNA karşılığının da ters sıralı DNA kod olduğu gösterilmiştir.
Dördüncü bölümde $F_{16}+u F_{16}+v F_{16}+u v F_{16}$ halkasının yapısal özellikleri belirlenmiş ve bu halka üzerinde tanımlı aykırı devirli kodlardan ters sıralı DNA kodlar elde edebilmek için uygun $\theta$  otomorfizması ve DNA  8-baz eşlemesi belirlenmiştir.
Beşinci bölümde $R_{k, s}=F_{4^{2 k}}\left[u_{1},..., u_{s}\right] / $ halkasının üzerinde bir $\theta$  otomorfizması tanımlanmıştır. Bu otomorfizma sayesinde  $R_{k, s}$  halkasının Çin Kalan Teoremi'ne göre ayrışımı belirlenmiştir. Uygun DNA eşlemesinin de belirlenmesi sayesinde  $R_{k, s}$  üzerinde tanımlı aykırı devirli kodlardan ters sıralı DNA kodlar elde edilmiştir. 
Ayrıca çift uzunluğa sahip ters sıralı DNA kodlardan ters sıralı tamlayan DNA kodların kolaylıkla elde edilebileceğine dair bir teorem verilmiştir. Böylece her üç bölümde de elde edilen ters sıralı DNA kodlar çift uzunluğa sahip olduğu için aynı zamanda ters sıralı tamlayan DNA kodlara karşılık gelmektedir.

Abstract:
DNA computing has started with the study of Adleman, in 1994. He solved the Hamiltonian path problem, which is a famous combinatorial problem, in a test tube by using DNA sequences.
In this thesis, it is aimed to obtain reversible DNA codes and reversible complement DNA codes by using the algebraic properties of skew polynomial rings and skew cyclic codes.
In Section 3, we give necessary and sufficient conditions for the corresponding DNA code of a skew cyclic code over the field $F_{4^{2 s}}$ to be a reversible DNA code. Moreover, we show that if C is a skew cyclic code that corresponds to a reversible DNA code then its dual code $C^\perp$ also corresponds to a reversible DNA code.
In Section 4, we determine the structural properties of the ring $F_{16}+u F_{16}+v F_{16}+u v F_{16}$. Afterward, to obtain reversible DNA codes from the skew cyclic codes over this ring, we determine the proper automorphism $\theta$ and the proper correspondence between DNA 8-bases and the elements of this ring.
In Section 5, we use Chinese Remainder Theorem to decompose the ring $R_{k, s}=F_{4^{2 k}}\left[u_{1},..., u_{s}\right] / $. We achieve this by defining an automorphism over $R_{k, s}$. Furthermore, we obtain reversible DNA codes via skew cyclic codes over $R_{k, s}$ by establishing the proper DNA correspondence.
In addition, we give a theorem that states if a reversible DNA code has even length, then that code can easily be converted into a reversible complement DNA code. Therefore, since the obtained reversible DNA codes are of even lengths in the aforementioned sections, they also correspond to reversible complement DNA codes.