Dinamik sınır koşullu bir gecikmeli diferansiyel denklemin çözümlerinin varlığı ve patlaması
Existence and blow up of solutions for a delay differantial equation with dynamical boundary conditions
Yazar: ZEYNEP ZEHRA ÇEÇEN
Danışman: PROF. DR. ERHAN PİŞKİN
Dicle Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez, gecikmeli terim ve dinamik sınır koşullarına sahip olan altıncı mertebeden bir kısmi türevli denklemin çözümlerinin varlığını ve patlamasını incelemeyi amaçlamaktadır. Bu tezde, gecikmeli terime sahip ve dinamik sınır koşullarına tabi olan denklemin çözümü için Feado Galerkin metodu kullanılacaktır. Gecikmeli terim, bir sistemin mevcut durumunu etkileyen ancak sistemin tepkisinde belirli bir gecikme süresi olan terimdir. Bu terimler, sistem dinamiklerini tanımlamak için kullanılır ve genellikle sistem davranışının zamanla değişen koşullarını modellemek için gereklidir. Gecikmeli terimler, diferansiyel denklemlerin çeşitli alanlarda,  özellikle biyolojik sistemler, kontrol sistemleri ve iletişim sistemleri gibi zaman gecikmeli sistemlerde yaygın olarak kullanılır. Bu terimlerin varlığı, sistemlerin kararlılığı, salınım davranışı ve diğer dinamik özellikleri üzerinde önemli etkilere sahip olabilir. Feado Galerkin metodu ise denklemin çözümlerinin varlığını elde etmek için uygun temel fonksiyonları seçer ve bu fonksiyonların katsayılarını belirler. Gecikmeli terimler ve dinamik sınır koşulları, bu yöntemle etkin bir şekilde modellenecektir. Altıncı mertebeden diferansiyel denklemler genellikle doğrusal olmayan sistemlerin modellenmesinde kullanılır. Klasik mekanik ve elektromanyetik sistemler gibi karmaşık fiziksel sistemlerde yaygın olarak karşımıza çıkar. Bu denklemler, genellikle nicelikleri zamanın ya da uzayın bir fonksiyonu olarak çeviren denklemlerdir, çözümü analitik olarak mümkün olmayabilir. Bu nedenle çözümün davranışı incelenebilir. Bu tezin ilk bölümünde fen ve mühendislik gibi uygulamalı bilimlerde ortaya çıkan  diferansiyel denklemlere ve tarihsel sürecine kısaca değinilmiştir. İkinci bölümünde, tezin amacı belirtilmiş ve gecikmeli terimli dinamik sınır koşullu altıncı dereceden denklemlerin genel olarak kullanıldığı alanlar verilmiştir. Daha sonra gecikmeli terimli ve dinamik sınır koşullara sahip problemlerle ilgili temel çalışmalar verilmiştir. Üçüncü bölümde gerekli uzaylar ve eşitsizlikler ile ilgili bilgiler verilmiştir. Dördüncü bölümde, gecikmeli terim ve dinamik sınır koşullarına sahip altıncı mertebeden denkleme çalışılmıştır. Problemin çözümlerinin lokal varlığı ve patlaması ele alınmıştır. Beşinci bölümde ise tezin sonuç ve öneriler kısmına yer verilmiştir.

Abstract:
This thesis aims to investigate the existence and blow-up of solutions to a sixth-order partial differential equation with delayed terms and dynamic boundary conditions. In this thesis, the Feado Galerkin method will be employed to solve the equation subject to delayed terms and dynamic boundary conditions. Delayed terms refer to terms that affect the current state of a system with a certain time delay in their effect on the system's response. These terms are used to characterize system dynamics and are often necessary to model time-varying conditions affecting system behavior. Delayed terms are widely utilized in differential equations across various fields, especially in time-delayed systems such as biological systems, control systems, and communication systems. The presence of these terms can significantly impact the stability, oscillatory behavior, and other dynamic properties of systems. The Feado Galerkin method selects appropriate basis functions and determines their coefficients to obtain the existence of solutions to the equation. Delayed terms and dynamic boundary conditions will be effectively modeled using this method. Sixth-order differential equations are commonly used in modeling nonlinear systems, often encountered in complex physical systems like classical mechanics and electromagnetic systems. These equations typically convert quantities into functions of time or space and may not always be analytically solvable, thus requiring the study of solution behaviors. In the first part of this thesis, a brief overview of differential equations arising in applied sciences such as physics and engineering, along with their historical development, is provided. The second part outlines the thesis's objectives and presents the general fields where sixth-order differential equations with delayed terms and dynamic boundary conditions are commonly applied. Subsequently, foundational studies related to problems involving delayed terms and dynamic boundary conditions are discussed. The third part introduces essential information regarding necessary spaces and inequalities. The fourth part focuses on studying a sixth-order equation with delayed terms and dynamic boundary conditions, addressing the local existence and blow-up of solutions to the problem. The fifth part concludes with the thesis's findings and recommendations.