Fqx(Fq+vFq) halkası üzerinde lineer kodlar
Linear codes over the ring Fqx(Fq+vFq)
Yazar: MEVLÜT TEKKOYUN
Danışman: DOÇ. DR. ERGÜN YARANERİ
İstanbul Teknik Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2024
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Hata kontrol kodlaması = Error control coding

Özet:
Kaynaktan alıcıya bilgi transferi sırasında gürültü ismi verilen etkenler sebebiyle iletişim kanalında hatalar meydana gelmektedir. Bu hataların tespiti ve mümkünse düzeltilmesi kodlama teorisi alanının çalışma konusudur. Kodlama teorisi alanında ilk çalışmalar cisimler üzerinde iken daha sonra halkalar üzerinde de çalışılmaya başlanmıştır. Halkalar üzerindeki kod ailelerinin Gray dönüşüm ismi verilen özel bir dönüşüm altındaki görüntülerinin literatürdeki kodlardan daha fazla hata düzeltme kapasitesine sahip olduğu tespit edilmiştir. Bu yüzden halkalar üzerindeki kodlar daha fazla çalışılmaya başlanmıştır.
Bu çalışma bir halka üzerindeki kodları incelediğinden, ilk olarak Bölüm 1'de literatürde halkalar üzerinde yapılan kodlama teorisi çalışmaları hakkında bir literatür çalışması yapılmıştır. Daha sonra Bölüm 2'de kodlama teorisi, halkalar, sonlu cisimler ve lineer kodlar hakkında bazı temel bilgiler verilmiştir.  
Kendi içinde 6 alt bölüme ayrılan Bölüm 3'te ise asıl çalışma bulunmaktadır. Bölüm 3.1'de v^2=v olmak üzere R=F_qx(F_q+vF_q) halkasının yapısı tanıtılmış ve R halkasından \F_q^{3n} cismine iki tane Gray dönüşüm tanımlanmıştır. Ayrıca Öklit ve Hermityen iç çarpımların tanımları verilmiştir.
Bölüm 3.2'de ise R halkası üzerindeki lineer kodlar çalışılmıştır. Gray denk kodların tanımı verilmiş ve R üzerinde n uzunluğundaki bir C kodunun üreteç matrisinin yapısı çalışılmıştır. 
Bölüm 3.3'te ise R halkası üzerindeki serbest kodlar çalışılmıştır. Bilinmektedir ki, cisimler üzerindeki kodların üreteç matrisinin tüm satırları lineer bağımsızdır. Ancak bu durum halkalar için geçerli değildir. Bu yüzden bir halka üzerindeki kodların üreteç matrislerinin farklı sayıda satırdan oluşabileceği söylenebilir. Bu bölümde R halkası üzerindeki lineer kodların üreteç matrislerinin satırlarının lineer bağımsız olması için gerekli şartlar belirlenmiştir. 
Bölüm 3.4'te R halkası üzerinde dual kodlar çalışılmıştır. Bölüm 3.1'de tanımlamış olduğumuz iki adet iç çarpıma göre dual ve kendine dual olan kodlar çalışılmıştır. R halkası üzerindeki bir C kodunun Öklit ve Hermityen iç çarpımlara göre duallerinin üreteç matrislerinin (yani kontrol matrisi) yapısı incelenmiştir.
Bölüm 3.5'te ise R halkası üzerindeki devirli kodlar çalışılmıştır. R üzerindeki bir devirli kod R_n=R[x]/(x^n-1) polinom halkasının bir idealine karşılık geldiğinden, R_n polinom halkasının ideallerinin yapısı incelenmiş ve üreteç polinomu belirlenmiştir.
Bölüm 3.6'da ise tam, simetrik, Hamming, Lee ve Gray ağırlık sayaçlarının tanımları verilmiştir. Daha sonra bu ağırlık sayaçlarına göre R üzerinde n uzunluklu bir C lineer kodu için  MacWilliams özdeşlikleri belirlenmiştir. Tam ağırlık sayacında R halkasının elemanlarının bir sıralamasına ihtiyaç duyulduğundan, R halkasının elemanlarını sıralamak için kullanışlı bir yöntem belirlenmiştir.

Abstract:
During the transfer of information from the source to the receiver, errors occur in the channel due to factors known as noise. The detection and, if possible, correction of these errors constitute the working scope of the coding theory. While the initial studies in coding theory focused on fields, later research extended to rings. It was observed that families of codes over rings, under a special transformation called the Gray transformation, possess a greater error-correction capacity in their images compared to codes in the existing literature. Consequently, codes over rings have gained increased attention due to their enhanced error-correction capabilities.
Since our work deals with codes on a ring, Section 1 provides a literature review on codes on rings. Then, in Section 2, some basic preliminaries are given about coding theory, rings, finite fields
and linear codes.
Section 3 contains our main study. Section 3 is divided into 6 subsections. In Section 3.1, the structure of the ring R=F_qx(F_q + vF_q) with v^2 = v
introduced and two Gray maps from R^n to F_q^{3n} are defined. Also, the definitions of Euclidean and Hermitian inner products are given.
In Section 3.2, linear codes on the ring $R$ are studied. Definition of Gray equivalance is given and the structure of the generator matrix of a code C of length n on R is studied.
In Section 3.3, free codes on the ring R are studied. We know that all rows of the generator matrix of codes over fields are linearly independent. However, this is not the case for rings. Therefore, the generator matrices of codes over rings can have different numbers of rows.  In this section, necessary conditions have been set for the rows of the generator matrices of linear codes over the ring $R$ to be linearly independent.
In Section 3.4, dual codes on the ring $R$ are studied. Dual and self dual codes with respect to the inner products defined in Section 3.1 are studied. The structure of the generator matrices (i.e., the control matrix) of the duals of a code C over the ring R is studied.
In Section 3.5, cyclic codes over the ring R are studied.  Since a cyclic code over R corresponds to an ideal of the polynomial ring R_n=R[x]/(x^n - 1), the structure of the ideals of the quotient ring R_n is analyzed and the generator polynomial are determined.
In Section 3.6, the definitions of complete, symmetric, Hamming, Lee and Gray weight enumerators are given. Then the corresponding MacWilliams identities are determined. Since we need an ordering of the elements of the ring R when determining the Macwilliams identities of a code over a ring R, a useful method for ordering the elements of the ring R is given.