Bazı cebirlerin kodlama teorisindeki uygulamaları
Applications in coding theory of some algebras
Yazar: İBRAHİM DEĞİRMEN
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ ABDULLAH DERTLİ
Ondokuz Mayıs Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Altı bölümden oluşan bu tez çalışmasında Z, Q ve BF cebirlerinin kodlamaya uygulaması incelenmiş olup bu cebirler yardımıyla tanımlanan soft kümeler kullanılarak lineer olan ve olmayan kod elde etme yöntemleri araştırılmıştır.
Tezin birinci bölümünde, kodlama teorisi ve uygulama alanları, Z, Q ve BF cebirleri ve soft kümeler ile ilgili literatür bilgisine yer verilmiştir.
İkinci bölümde, bu kavramlar ile ilgili temel tanım ve teoremlere değinilmiştir.
Üçüncü bölümde, öncelikle literatürde yer alan Z cebiri kavramı üzerinde bazı blok kodlar 
geliştirilmiştir. Bu kodlar, Z cebirlerinin özelliklerini ve bu cebirler üzerine uygulamalarını ortaya koymak amacıyla oluşturulmuştur. Ayrıca, tanımlanan Z fonksiyonunun önemi, bu kodların elde edilen sonuçlarıyla karşılaştırılarak açıklanmıştır. Daha sonra soft küme kavramı yardımıyla yeni bir kavram olan soft Z cebiri tanıtılmıştır. Bu cebirlerin, özellikle lineer örnekler kullanılarak kodlama teorisine nasıl katkıda bulunacağı araştırılmıştır. Bu araştırmalar, soft Z cebirlerinin kodlama alanında sunduğu farklı yaklaşımları ve potansiyel uygulamalarını detaylı olarak incelemektedir. Sonuç olarak, bu bölümde Z cebirlerinin ve soft Z cebirlerinin kodlama teorisindeki yeri ve önemi kapsamlı bir şekilde ele alınmıştır.
Dördüncü bölümde, ilk olarak Q fonksiyonu tanımlanarak Q cebirleri üzerinde kodlama çalışmalarına zemin hazırlanmıştır. Daha sonra bu fonksiyonların bazı özellikleri irdelenerek bu cebirler üzerinde yeni bir fonksiyon ve algoritma kurulmuş ve lineer kod elde etme yöntemleri araştırılmıştır. Sonrasında soft Q cebiri kavramı tanıtılarak bu cebirler üzerinde lineer olan ve olmayan bazı kodlar elde edilmiştir.
Beşinci bölümde, öncelikle BF fonksiyonu tanımlanarak BF cebirleri üzerinde kodlama çalışmaları için bir temel oluşturulmuştur. Bu süreçte, BF fonksiyonunun çeşitli özellikleri detaylı bir şekilde incelenmiştir. Bu incelemeler sonucunda, BF cebirleri için yeni bir fonksiyon ve algoritma geliştirilmiş, böylece lineer kodların nasıl elde edileceğine dair yöntemler araştırılmıştır. Bölümün devamında, soft BF cebirleri üzerinde hem lineer hem de lineer olmayan bazı kodlar oluşturulmuştur.
Son bölümde ise bu tez çalışmasında elde edilen bulgular özetlenmiş olup çeşitli önerilere yer verilmiştir.

Abstract:
This thesis consists of six chapters, examining the applications of Z, Q and BF algebras in coding, and investigating methods for obtaining linear and nonlinear codes using soft sets defined with these algebras.
In the first chapter, literature related to coding theory and its application areas, as well as Z, Q and BF algebras and soft sets, is reviewed.
In the second chapter, it is given the fundamental definitions and theorems related to these concepts.
In the third chapter, some block codes are developed based on the Z algebra concept found in the literature. These codes were created to reveal the properties of algebras and their applications on these algebras. Furthermore, the importance of the defined Z function is explained by comparing the results obtained from these codes. Later, it introduces the new concept of soft Z algebras with the help of soft set theory. The contributions of these algebras to coding theory, particularly through linear examples, are investigated. This research thoroughly examines the different approaches and potential applications that soft Z algebras offer in coding. Ultimately, in this chapter, the place and importance of Z algebras and soft Z algebras in coding theory are discussed comprehensively.
In the fourth chapter, the Q function is defined to lay the groundwork for coding studies on Q algebras. After that, some properties of these functions are examined, leading to the establishment of a new function and algorithm on these algebras, as well as methods for obtaining linear codes. Subsequently, the concept of soft Q algebras is introduced, and both linear and nonlinear codes are obtained from these algebras.
In the fifth chapter, the BF function is initially defined to establish a foundation for coding studies on BF algebras. Various properties of the BF function are examined in detail during this process. As a result of these investigations, a new function and algorithm are developed for  BF algebras, leading to methods for obtaining linear codes. Later in the chapter, due to the studies conducted on soft BF algebras, both linear and nonlinear codes have been generated.
In the last chapter, the findings obtained in this thesis study are summarized and various suggestions are given.