Sombor indeksi ve enerisi
Sombor index and Sombor energy
Yazar: KÜBRA ÇELİK
Danışman: DOÇ. DR. GÜLİSTAN KAYA GÖK
Hakkari Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
1736 yılında Leonhard Euler tarafından ''Königsberg'in yedi köprüsü'' adlı matematik probleminin çözümüyle başlayan Graf Teori, gerçek dünyada finansal ve iletişim sistemlerinden sosyal ve biyolojik süreçlere kadar birçok bağıntı yapısında kullanılmaktadır. Graf Teori haritalarda, navigasyonlarda, elektrik devrelerinde, yapay zeka alanında, bilgisayar ağlarında ve atomik bağların yapısı gibi birçok yapıda faydalı ve işlevsel bir hale gelmiştir. Bu nedenle literatürde pek çok makalede Graf Teori kullanılarak matematiksel yöntemler geliştirilmeye çalışılmaktadır. Hazırlanılmak istenilen bu tezde, derin öğrenme kapsamında Graf konvolüsyon ağları için Graf çeşitleri ve matrisler yardımıyla yeni matematiksel yaklaşımlar elde edilerek çalışmalara yeni bir bakış açısı kazandırılmak amaçlanmıştır. Burada, Graf Teorinin kimyasal kullanım alanlarından biri olan Sombor indeksini ele alacağız. Sombor, Sırbistan'da yer alan bir şehir olup Sombor indeksi Gutman tarafından 2021 yılında bulunan moleküler bir yapıdır. Daha çok atomun moleküler yapısında işlevli olan Sombor indeksi oldukça yeni ve popüler olan bir indekstir. Sombor indeksi, Grafın noktalarından çıkan kenar sayısı ile belirli olan derecelerin yardımıyla bulunur. Bu tezde, Sombor İndeksine farklı bir bakış açısı kazandırıp, önemli sınırlar elde edilmesi amaçlanmıştır. Ayrıca, Sombor İndeksinin oluşturduğu matrisin öz değerlerinin mutlak değerce toplamı olan Sombor Enerjisi araştırılacaktır. Molekülün iş yapabilme yeteneği olarak tanımlanan Sombor enerjisi çalışılarak literatüre katkı sunulması hedefler arasındadır. Graf Teori ile ilgili yazılmış makalelerde hangi yolların kullanıldığı,  
bir eşitlik bulunurken hangi matematiksel işlemlerin yapıldığı, hangi eşitliklerde hangi lemmaların nasıl kullanıldığı ayrıntılı bir şekilde incelenmektedir. İnceleme sonucunda elde edilen gözlemlerden de yararlanarak yeni eşitsizlikler üretmek amaçlanmıştır. Elde edilecek bu eşitsizliklerden oluşan sınırları, Graf Teori ve Kimyasal Graf Teori çalışacak öğrenciler için yararlı bir kaynak olarak kullanabilecekleri düşünülmektedir.

Abstract:
Graph theory, which started in 1736 with the solution of the mathematical problem called "The seven bridges of Königsberg" by Leonhard Euler, is used in many relational structures from financial and communication systems to social and biological processes in the real world. Graph theory has become useful and functional in maps, navigation, electrical circuits, artificial intelligence, computer networks, and in many structures such as the structure of atomic bonds. For this reason, many articles in the literature try to develop mathematical methods using graph theory. 
In this thesis, it is aimed to gain a new perspective to the studies by obtaining new mathematical approaches with the help of graph types and matrices for graph convolution networks within the scope of deep learning. In this sense, it would be a correct approach to consider the Sombor index, which is one of the chemical uses of graph theory.
Sombor is a city located in Serbia and the Sombor index is a molecular structure found by Gutman in 2021. The Sombor index, which is mostly functional in the molecular structure of atoms, is fairly new and a popular index. The Sombor index is found with the help of the degrees determined by the number of edges emerging from the points of the graph. In this thesis, it is aimed to give a different perspective to the Sombor Index and to obtain important limits. In addition, Sombor Energy, which is the sum of the eigenvalues of the Sombor matrix, will be investigated. It is among the goals to contribute to the literature by studying the Sombor energy, which is defined as the ability of the molecule to do work. In the articles written about graph theory, which ways are used, which mathematical operations are performed while an equation is found, and which lemmas are used in which equations are examined in detail. It is aimed to produce new inequalities by making use of the observations obtained as a result of the examination. It is thought that these inequalities can be used as a useful resource for students who will study in the field of Graph theory and Chemical Graph theory.