The Spectrum of Multiplicative Lattices
Çarpımsal Latislerin Spektrumu
Yazar: GÜLŞEN ULUCAK
Danışman: DOÇ. DR. KÜRŞAT HAKAN ORAL ; PROF. DR. ÜNSAL TEKİR
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2016
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
İlk olarak modüller üzerinde incelenmiş olan eş çarpımsal modül yapısı latis modüller üzerine aktarılacaktır. Tanımlanan eş çarpımsal latis modül kavramının temel özellikleri incelenecektir. Eş çarpımsal latis modüller için Nakayama Lemma'nın duali ifade edilecektir. Bir idealin ve bir alt modülün asalımsı ayrışımı halka ve modül teoride önemli bir yer tutmaktadır. Eş çarpımsal latis modüller için bir elemanın asalımsı ayrışıma sahip olması için gerekli durumlar araştırılacaktır.
Daha sonra halkaların asal ideallerinin kümesi üzerinde kurulan Zariski topolojisi, çarpımsal latis ve latis modüllerin asal elemanlarının kümeleri üzerinde kurulacaktır ve kurulan bu topolojilerin topolojik özellikleri incelenecektir. Kurulan bu topolojiler yardımı ile asal spektrumu 𝑇0 ve 𝑇1 arasındaki bazı aksiyomları sağlayan latis ve latis modüller karakterize edilecektir. Çalışmanın devamında N.K. Thakare' nin makalesinde kurulmuş olan çarpımsal latislerin asal elemanları kümesi üzerindeki topoloji için bazı özellikler, önermeler ve teoremler incelenecektir. Bu topolojiden esinlenerek latis modüllerin asal elemanları kümesi üzerinde bir topoloji kurulacaktır. Kurulacak olan bu topolojik uzayın özellikleri incelenecek ve hangi şartlar altında 𝑇0 ve 𝑇1 uzay oldukları gösterilecektir.
ix
Son olarak çarpımsal latis ve latis modüller üzerinde kurduğumuz bu topolojik uzayların 𝑇0 ve 𝑇1 arasındaki bazı aksiyomları hangi durumlarda sağladığı incelenecektir. Sonuç olarak çarpımsal latis modüllerin asal elemanları üzerinde kurulmuş olan topolojiye benzer şekilde latis modüllerin asal elemanları üzerinde bir topoloji kurulacaktır ve bu iki topolojinin de özellikleri incelenecektir.

Abstract:
First of all, modules that have been tested on comultiplication module will be transferred onto the lattice structure. Basic properties of defined comultiplication lattice module concept will be investigated. A duali of Nakayama's lemma will be expressed over comultiplication lattice modules. The primary decomposition of a submodule and a ideal constitutes an important part of ring and module theory. The necessary condition to have decomposition of an element of the comultiplication lattice module will be researced. Later, the Zariski topology, established on the set of prime ideals of the ring, will be built on sets of prime elements of the multiplicative lattice and lattice module and then topological properties of established topology will be shown. The lattices and lattice modules whose prime spectrums satisfy some of the separation axioms between 𝑇0 and 𝑇1 will be characterized by means of prime spectrum of established these topologies.
In the later part of the study, we study some properties, propositions and theorems for the topology, established on a set of prime elements of multiplicative lattice in the article of N.K. Thakare. In the other part, a topology will be established on the set of prime elements of a lattice modules, which is inspired by the topology on multiplicative lattice. Properties of this topological space will be studied and shown to be 𝑇0 and 𝑇1 space under which circumstances.
xi
Finally, some cases, which have some axioms between 𝑇0 and 𝑇1, the topological spaces, will be examined in the topological spaces, established over the multiplicative lattice and lattice module. Consequently, it will establish a topology on set of the prime elements of the lattice modules analogically the topology established on the prime elements of the lattices and it will examine the properties of these two topologies.