Potansiyel kuyu metodu ile bazı kısmi türevli denklemlerin çözümlerinin varlığı
Existence of solutions of some partial differential equations with the potential well method
Yazar: AYŞE DEMİRHAN
Danışman: PROF. DR. ERHAN PİŞKİN
Dicle Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezin ilk bölümünde kısmi türevli denklemler hakkında genel bilgiler verilmiştir. Evrendeki birçok olayı anlamak için kısmi türevli denklemler oldukça önemli araçlardır. Örneğin; ses dalgaları, bir çubuktaki ısı iletimi, bir keman telinin titreşimi, … gibi birçok durum kısmi türevli denklem olarak modellenmektedir. Zamanın bağımsız değişkenlerden biri olarak yer aldığı kısmi diferansiyel denklemlere Evolüsyon denklem denir. Bu denklemler çeşitli matematiksel ve bilimsel alanlarda temel yapılar olarak ortaya çıkar. Sadece matematikte değil, aynı zamanda fizik, mekanik ve malzeme bilimi gibi farklı alanlarda da geniş bir uygulama alanı bulur. Örneğin, akışkan mekaniğinde temel olan Navier-Stokes ve Euler denklemleri, akışkanların dinamiklerini tasvir eder ve uçak kanadı üzerindeki hava akışından okyanus akıntılarına kadar birçok olgunun anlaşılması için kritik öneme sahiptir. Benzer şekilde, doğrusal olmayan reaksiyon-difüzyon denklemleri, ısı transferi süreçlerinin ve biyolojik olayların incelenmesinde önemli bir rol oynar ve ısının dağılımı ile biyolojik sistemler içinde maddelerin yayılımına dair iç görüler sunar. Kuantum mekaniği alanında ise doğrusal olmayan Klein-Gordon ve Schrödinger denklemleri gibi önemli denklemler, parçacıkların ve sistemlerin kuantum düzeyindeki davranışlarını aydınlatır ve evrenin en küçük ölçeklerini yöneten temel ilkelerin kavranması için gereklidir. Bu örnekler, evolüsyon denklemlerinin yaygın doğasını vurgular ve karmaşık olayların modellenmesi ve anlaşılması için vazgeçilmez araçlar olarak hizmet eder. Tezin ikinci bölümünde literatür bilgisi verilmiştir. Üçüncü bölümünde ise tezimizin sonraki kısımlarında kullanılacak olan bazı önemli tanım, teorem, lemma, eşitsizlik ve metodlar verilmiştir. Dördüncü bölümde tezin esas bölümünü oluşturan problem tanıtılmış ve bu problemin çözümlerinin varlığı ve patlaması potansiyel kuyu metodu ile çalışılmıştır. Potansiyel kuyu metodu, kısmi diferansiyel denklemlerin çözümlerinin varlığını ve patlama durumunu analiz etmek için güçlü bir araçtır. Bu yöntem, sistemin enerjisini ve potansiyel kuyularını analiz ederek çözümlerin zaman içindeki davranışlarını öngörmeye yardımcı olur. Bu analiz, özellikle çözümün kararlılığını ve patlama durumunu anlamak için önemlidir. Yüksek mertebeden hiperbolik tipteki denklemlerin çözümlerinin varlığı potansiyel kuyu metodu ile incelenmesi dolayısıyla, bu çalışma evolüsyon denklemlerin daha geniş bir çerçeve içinde önemini ve uygulamalarını derinlemesine araştırmayı amaçlamaktadır.

Abstract:
In the first chapter of this thesis, general information about partial differential equations (PDEs) is provided. Partial differential equations are essential tools for understanding many phenomena in the universe. For example, situations such as sound waves, heat conduction in a rod,  the vibration of a violin string, etc., are modeled as partial differential equations. Partial differential equations in which time is one of the independent variables are called Evolution equations. These equations emerge as fundamental structures in various mathematical and scientific fields. They find a broad range of  applications not only in mathematics but also in areas such as physics, mechanics, and materials science. For instance, the Navier-Stokes and Euler equations, which are fundamental in fluid mechanics, describe the dynamics of fluids and are crucial for understanding many phenomena, from the airflow over an aircraft wing to ocean currents. Similarly, nonlinear reaction-diffusion equations play a significant role in the studying heat transfer processes and biological events, providing insights into the distribution of heat and the diffusion of substances within biological systems. In the field of quantum mechanics, important equations such as the nonlinear Klein-Gordon and Schrödinger equations illuminate the quantum-level behavior of particles and systems at the quantum level, necessary for comprehending the fundamental principles governing the smallest scales of the universe. These examples underscore the widespread nature of evolution equations, serving as indispensable tools for modeling and understanding complex phenomena. In the second chapter of the thesis, literature information is provided. In the third chapter, some important definitions, theorems, lemmas, inequalities, and methods that will be used in the subsequent sections of the thesis are given. In the fourth chapter, the main problem of the thesis is introduced, and the existence and blow-up solutions of this problem are studied using the potential well method. The potential well method is a powerful tool for analyzing the existence and blow-up of solutions to partial differential equations. This method helps predict the behavior of solutions over time by analyzing the system's energy and potential wells. This analysis is particularly important for understanding the stability and blow-up conditions of the solution. By examining the existence of solutions to higher-order hyperbolic type equations using the potential well method, this study aims to explore the significance and applications of evolution equations within a broader framework.