Bazı projektif uzaylarda Veronesean ve Klein altyapıları üzerine
On Veronesean and Klein substructures of some projective spaces
Yazar: ABDİLKADİR ALTINTAŞ
Danışman: PROF. DR. ZİYA AKÇA
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Ana Bilim Dalı / Geometri Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2020
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezde projektif uzaylarda Klein dönüşümü ve Veronesean dönüşümü olmak üzere iki temel dönüşüm ve bu dönüşümlerle elde edilen geometrik yapılar incelenmiştir. PG(3, 2) projektif uzayının Klein kuadrik ile PG(5, 2) projektif uzayına gömülmesi ile elde edilen SCID(2, 0) yapıları elde edilmiştir. Klein kuadrik üzerinde bulunan α ve β
düzlemleri incelenmiş, bu düzlemlerin Grassmann koordinatları kullanılarak elde edilen yapılar ayrıntılı olarak irdelenerek bu düzlemlerin Grassmann koordinatları ile yeni yapılar elde edilmişir. Genel Klein küme kavramı kullanılarak yeni Klein kümeler bulunmuştur. Klein küme tanımı kullanılarak bazı projektif uzaylarda Klein küme yapıları incelenmiştir. Projektif uzayların ve bu uzayların bazı alt uzaylarının kuadrik ve kübik Veronesean
dönüşümlerle daha üst boyutlu projektif uzaylara gömülmesi ile elde edilen geometrik yapıların özellikleri incelenmiştir. Kuadrik Veronesean ve Kübik Veronesean dönüşüm kullanılarak, Projektif uzaylar, projektif düzlemler, doğrular ve düzlemlerin 4-arkları üst boyutlu projektif uzaylara gömülmüş ve burada elde edilen SCID(n, k) yapıları
incelenmiştir. Kuadrik Veronesean dönüşümü ve kuadrik Veroneseanların izdüşümleri kullanılarak PG(3, 2) projektif uzayı, PG(8, 2) projektif uzayına gömülmüş ve buradaki yeni doğru, nokta yapıları belirlenmiştir.

Abstract:
In this thesis, two basic transformations in projective spaces, the Klein transform and the Veronesean transform, and the geometric structures obtained by these transformations are examined. The SCID(2, 0) structures obtained by embedding the projective space PG(3, 2) to projective space PG(5, 2) with Klein quadric were obtained. The α and β planes on the Klein quadric were examined, the structures obtained by using the Grassmann coordinates of these planes were examined in detail and new structures were obtained with the Grassmann coordinates of these planes. Using the general Klein set concept, new Klein sets are found. Klein set structures are examined in some projective spaces by using the definition of Klein Set. The properties of the geometric structures obtained by embedding the projective spaces and some sub projective spaces of these spaces into higher dimensional projective spaces with quadric and cubic veroneseans are examined. By using quadric Veronesean and Cubic Veronesean, projective spaces, projective planes, lines and planes 4-arcs of projective planes are embedded in higher dimensional projective spaces and the SCID(n, k) structures obtained here are investigated. The projective space PG(3, 2) is embedded in the
projective space PG(8, 2) using quadric Veroneseans and projections of the quadric Veroneseans and new line, point structures are determined. Keywords: Projective Geometry, Veronesean mapping, Quadric Veronesean, Cubic Veronesean, Klein Quadric, Grassmann Coordinates, SCID − (n, k)