Lorentz uzayında bishop tipi çatılara göre bazı eğri çiftlerin geometrisi üzerine
On the geometry of some curve pairs according to types of bishop frame in lorentz space
Yazar: HATİCE TUĞBA TOPDAL
Danışman: DOÇ. DR. TUNAHAN TURHAN
Süleyman Demirel Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Lorentz geometrisi = Lorentz geometry ; Öklidyen geometrisi = Euclidean geometry

Özet:
Lorentz uzay, Öklid uzayından farklı geometrik özelliklere sahiptir. Bu farklılıklardan en önemlisi Öklid uzayında sadece uzay benzeri (spacelike) boyutlar varken, Lorentz uzay bir zaman benzeri (timelike) boyuta sahiptir. Ayrıca bir Öklid uzayın simetri grubu bir Öklidyen grup iken, Lorentz uzay geometrisi Poincare grubu ile tanımlanır. Bu farklılıklar göz önüne alındığında Lorentz uzayında eğrilerin diferansiyel geometrisi Öklid uzayından daha genel ve dikkat çekici sonuçlar içermektedir. Diferansiyel geometrinin temel kavramı olan eğri, birçok alanda önemli rol oynar. Bu nedenle geometriciler özellikle Öklid ve Lorentz uzayında eğriler ve yüzeylerle ilgili birçok çalışma yapmıştır. İki eğri karşılaştırılırken karşılıklı noktalarındaki Frenet elemanlarından yararlanmak en doğal yöntemlerden biridir. Karşılıklı noktalarda aynı özelliklere sahip eğriler bağlantılı eğriler veya eğri çiftleri olarak isimlendirilir. İki eğri arasındaki geometrik bağıntıları incelemek son derece önemlidir. Bu sayede eğrinin birinin özelliklerinden yola çıkarak diğeri hakkında bilgi edinilebilir. 
Bu tez çalışmasında Lorentz 3-uzayında null olmayan eğrilerin normal indikatrislerinin bağlantılı eğrileri araştırılmıştır. Bu amaçla öncelikle çalışma konusunun önemi vurgulamak için birinci bölüm oluşturulmuştur. İkinci bölümde konuyla alakalı olarak alan yazınında daha önce yapılmış ve ulusal/uluslararası dergilerde yayınlanmış çalışmalardan kısaca bahsedilmiştir. Üçüncü bölümde, çalışma boyunca kullanılan temel kavramlar ve teoremler verilmiştir. Burada, hem Öklid uzayın hem de Lorentz uzay için eğrilik teorisinde kullanılan önemli formüller ve yapılar sunulmuştur. Dördüncü bölüm özgün sonuçların elde edildiği bölümdür. Bu bölümde, öncelikle zaman benzeri (timelike) asli normalli bir uzay benzeri (spacelike) eğrinin Frenet elemanları kullanılarak Bishop tipi çatı alanları türetilmiştir. Eğrinin normal indikatrisinin teğet vektörü etrafında diğer Frenet vektörlerinin döndürülmesiyle Bishop çatı (tip-1) alanları oluşturulmuş ve bu çatı alanlarının elemanlarının normal indikatrisin evolüt eğri çifti ile olan ilişkileri incelenmiştir. Daha sonra, söz konusu eğrinin normal indikatrisinin asli normal vektörü etrafında diğer Frenet vektörlerinin döndürülmesiyle Bishop çatı (tip-2) alanları oluşturulmuş ve bu çatı alanlarının elemanlarının normal indikatrisin Bertrand eğri çifti ile olan benzerliği araştırılmıştır. Diğer taraftan söz konusu eğrinin normal indikatrisinin binormal vektörü etrafında diğer Frenet vektörlerinin döndürülmesiyle Bishop çatı (tip-3) alanı ve bu çatı alanının elemanlarının normal indikatrisin Mannheim eğri çifti ile olan ilişkisi çalışıldı. Daha sonra benzer geometrik bağıntılar uzay benzeri (spacelike) asli normalli bir uzay benzeri (spacelike) eğrinin Frenet elemanları kullanılarak araştırıldı ve bazı sonuçlar verildi. 
Son bölümde çalışmada elde edilen sonuçlar özetlenmiş ve bazı açık problemlerden bahsedilmiştir.

Abstract:
The Lorentz space has different characteristics compared to Euclidean space. The most significant difference is that while Euclidean space only has space-like dimensions, the Lorentz space includes a time-like dimension. Additionally, the symmetry group of a Euclidean space is a Euclidean group, whereas the geometry of the Lorentz space is defined by the Poincaré group. Taking these differences into account, the differential geometry of curves in the Lorentz space encompasses more general and intriguing results than in Euclidean space. Curves, which are fundamental concepts in differential geometry, play a significant role in many areas. Therefore, geometers have conducted numerous studies on curves and surfaces, particularly in Euclidean and Lorentz spaces. When comparing two curves, one of the most natural methods is to utilize the Frenet elements at corresponding points. Curves with similar properties at corresponding points are referred to as associated curves or curve pairs. Examining the geometric relationships between two curves is highly important, as it enables us to gain information about one curve based on the properties of the other.

In this study, the associated curves of non-null curves normal indicatrices in Lorentz 3-space are investigated. For this purpose, a first chapter is created to emphasize the significance of the research topic. The second chapter briefly discusses previous studies and publications related to the subject in the national/international journals. The third chapter presents the fundamental concepts and theorems used throughout the study. Here, important formulas and structures employed in the curvature theory for both Euclidean space and Lorentz space are presented. The fourth chapter is the section where original results are obtained. In this chapter, first, Bishop-type frame fields are derived for a spacelike curve with timelike principal normal using the Frenet elements. Bishop frame (type-1) fields are formed by rotating the other Frenet vectors around the tangent vector of the curves normal indicatrix, and the relationship between the elements of these frame fields and the evolute curve pair of the normal indicatrix is examined. Then, Bishop frame (type-2) fields are constructed by rotating the other Frenet vectors around the principal normal vector of the curves normal indicatrix, and the similarity between the elements of these frame fields and the Bertrand curve pair of the normal indicatrix is investigated. On the other hand, Bishop frame (type-3) field is studied by rotating the other Frenet vectors around the binormal vector of the curves normal indicatrix, and the relationship between the elements of this frame field and the Mannheim curve pair of the normal indicatrix is explored. Subsequently, similar geometric relationships are investigated for a spacelike curve with spacelike principal normal using the Frenet elements, and the obtained results are presented.
In the last section, the results obtained in the study are summarized, and some open problems are discussed.