Rosenau-Burgers denkleminin nümerik çözümüne yeni bir yaklaşım
A new approach for numerical solutions of Rosenau-Burgers equation
Yazar: AZAT AHMEDOV
Danışman: DOÇ. DR. NURİ MURAT YAĞMURLU ; DOÇ. DR. YUSUF UÇAR
İnönü Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Burgers denklemi = Burgers equation ; Sayısal çözüm = Numerical solution ; Sonlu fark yaklaşımları = Finite difference approaches

Özet:
Bu yüksek lisans tezi beş bölümden oluşmaktadır. Tezin ilk bölümünde, tezde ele alınan Rosenau-Burgers denkleminin fiziksel özellikleri hakkında özet bir bilgi verildikten sonra tezde yapılacak çalışmalardan kısaca bahsedildi.
    Tezin ikinci bölümünde ise standart sonlu fark ve korunumlu sonlu fark yaklaşımları ile birlikte kararlılık, tutarlılık ve yakınsaklık gibi bazı temel kavramlar sunuldu. Bu bölümde ayrıca kararlılık analizi hakkında kısa bir ön bilgi verildikten sonra von Neumann Fourier seri yöntemi anlatıldı.
    Üçüncü bölümde, Rosenau-Burgers denklemi hakkında detaylı bir literatür taraması yapılarak mevcut çalışmalar hakkında bilgi sunuldu ve tezde göz önüne alınacak model problemler başlangıç ve sınır şartları ile birlikte verildi.
    Dördüncü bölümde sırasıyla standart ve korunumlu sonlu fark yaklaşımları uygulanan Rosenau-Burgers denkleminde lineer olmayan terim yerine bir lineerleştirme tekniği kullanıldı. Bu uygulamalar sonucu elde edilen nümerik şemalar üçüncü bölümde başlangıç ve sınır şartları ile birlikte verilen model problemlere uygulandı. Ardından V=U_{xx} dönüşümü kullanılarak elde edilen konuma göre parçalanmış Rosenau-Burgers denkleminde lineer olmayan terim yerine yine aynı lineerleştirme tekniği ve korunumlu sonlu fark yaklaşımı kullanılarak nümerik şemalar elde edildi. Bu nümerik şemalar üçüncü bölümde başlangıç ve sınır şartları ile birlikte verilen model problemlere uygulanarak yaklaşık sonuçlar hesaplandı. Son olarak, yine bu bölümde standart, korunumlu ve konuma göre parçalanmış denkleme karşılık gelen korunumlu sonlu fark şemalarının model problemlere uygulanması ile yaklaşık çözümden hesaplanan hata normları çizelgeler ve grafikler halinde sunuldu. Ayrıca her bir şema ile elde edilen sayısal sonuçlar literatürde bazı mevcut çalışmalarda verilen sonuçlar ile karşılaştırıldı.
    Beşinci bölüm olan tezin son bölümünde ise uygulanan tüm yöntemlerden hesaplanan sayısal sonuçlar üçüncü bölümde başlangıç ve sınır şartları ile birlikte verilen model problemler için kendi içerisinde çizelgeler halinde karşılaştırıldı ve yaklaşımlar hakkında kısa bir değerlendirme yapıldı.

Abstract:
This master thesis consists of five chapters. In the first chapter of the thesis, after giving a brief information about the physical properties of the Rosenau-Burgers equation discussed in the thesis, the studies to be done in the thesis are briefly mentioned.
    In the second chapter of the thesis, some basic concepts such as stability, consistency and convergence along with standart finite difference and conservative finite difference approaches are presented. In this section, after giving a brief overview of stability analysis, the von Neumann Fourier series method is explained.
    In the third chapter, a detailed literature review about the Rosenau-Burgers equation is made and information about the current studies is presented and the model problems to be considered in the thesis are given together with the initial and boundary conditions.
    In the fourth chapter, a linearization technique is used instead of the non-linear term in the Rosenau-Burgers equation, in which standart and conservative finite difference approaches are applied, respectively. The numerical schemes obtained as a result of these applications are applied to the model problems with initial and boundary conditions given in the third chapter. Then, numerical diagrams are obtained by using the same linearization technique and conservative finite difference approaches instead of the nonlinear term in the space split Rosenau-Burgers equation obtained by using the V=U_{xx} transformation. These numerical schemes are applied to the model problems with initial and boundary conditions in the third chapter, and approximate results are calculated. Finally, in this section, the error norms calculated from the approximate solution by applying the conservative finite difference schemes corresponding to the standart, conservative and space split equations to the model problems are presented in tables and graphs. In addition, the numerical results obtained with each scheme are compared with the results given in some existing studies in the literature.
    In the last chapter of the thesis, which is the fifth chapter, the numerical results calculated from all of the applied methods are compared in the third chapter for the model problems with initial and boundary conditions, and a brief evaluation has been made about the approaches.