Gerçel banach uzaylarındaki ε-izometri dönüşümlerinin lineerliği ve korunan tabanları
Linearity and bases preserved properties of ε-isometries in real banach spaces
Yazar: MINANUR ROHMAN
Danışman: PROF. DR. İLKER ERYILMAZ
Ondokuz Mayıs Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezin amacı ε-izometri kavramı ile ilgili problemleri bulmaktır. Buradaki ε sembolü, "bir eşleme sonuçlarının farkı" ile "ön eşlemesindeki fark" arasındaki farkın ne kadar olduğunu göstermek için kullanılır. İzometri dönüşümleri her zaman sürekli olduğundan, ε-izometri kavramı önemli bir role sahiptir.
Bu tezin birinci bölümünde, ε-izometri kavramını anlamak için kullanılacak temel kavramları sağlayacaktır. Bu bölümde verilen tartışma bir vektör uzayı için topolojiyi, yani norm topolojisi, zayıf topoloji ve zayıf* topolojiyi kapsayacaktır. Kullanılabilecek topolojiyi öğrendikten sonra, bu topolojiyi kullanarak bir operatörün sınırlılık kavramı tanımlanabilir.
Tezin ikinci bölümünde, ε-izometri kavramının gelişiminin tarihçesini sağlayacaktır. İlk olarak norm topolojisini kullanan örten bir ε-izometri içindir. Ne yazık ki, bu örten koşul bu durumda kaldırılamaz. Bu nedenle, herhangi bir ε-izometri için genelleme yapmak üzere zayıf ve zayıf* topolojiler kullanılacaktır.
İkinci bölümündeki sonuçları kullanarak, üçüncü bölümde ε-izometrinin lineer bir eşleme haline gelmesi için koşullardan birini bulmaya odaklanacaktır. Bu durum, ε-izometrisinin küre üzerinde lineer olması durumunda, ε-izometrisinin tüm alanlar için lineer olduğunu göstererek gösterilir.
Tezin dördüncü bölümünde, ε-izometrinin bir tabanı olan gerçel bir Banach uzayı üzerindeki etkisini açıklayacaktır. İlk olarak, ε-izometrinin, en azından hedef uzayın bir alt uzayı için Schauder tabanını koruyacağı gösterilecektir. Açgözlü taban denilen özel bir taban için de benzer bir sonuç elde edilir.
Bu tezin son bölümü, bu tezdeki bulgularla ilgili olarak ortaya çıkabilecek sonuç ve açık problemlerdir.

Abstract:
The purpose of this thesis is to find out the problems related to the concept of ε-isometry. The ε symbol here is used to show how far the difference is between "difference of the results of a mapping" and "difference in its pre-mapping". Since isometric mapping is always continuous, the concept of ε-isometry has an important role.
Part 1 of this thesis will provide the basic concepts that will be used to understand the concept of ε-isometry. The discussion given in this section will cover topology for a vector space, namely norm topology, weak topology, and weak* topology. After knowing the topology that can be used, we can define the concept of boundedness of an operator using those topology.
Section 2 will provide the history of the development of ε-isometry concept. The first is for a surjective ε-isometry using the norm topology. Unfortunately, this surjective condition cannot be removed in this case. Therefore, weak and weak* topologies will be used to generalize for any ε-isometry.
By using the results in section 2, section 3 will focus on finding out one of the conditions for the ε-isometry to become a linear mapping. This condition is shown by showing that if the ε-isometry is linear on the sphere, then ε-isometry is linear for all domains.
Section 4 will explain the effect of ε-isometry on a real Banach space that has a basis. First it will be shown that ε-isometry will preserve the Schauder basis, at least for a subspace of the target space. A similar result is also obtained for a special basis called a greedy basis.
The final part of this thesis is the conclusion and open problems that may arise related to the findings in this thesis.