Kontrol sistemleri için bir minimal gerçekleme
A minimal realization for control systems
Yazar: SULTAN SÜTLÜ
Danışman: PROF. DR. AYŞE KARA HANSEN
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2017
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez çalışması, bağlantılı Lie grupları üzerindeki kontrol sistemlerinin gözlenebilirliği konusu temel alınarak, afin kontrol sistemlerinin minimal gerçeklemesi ve lineer kontrol sistemleri için hemen hemen gözlenebilirlik kavramları üzerine bir çalışmadır. Minimal gerçekleme, mühendislik, fizik ve kimya gibi bir çok alanda uygulabilen bir problemdir. Matematiksel bakış açısıyla ve diferansiyel geometrik metodlar kullanılarak bu konunun işlenmesi literatürde çok fazla görülmeyen çalışmalardır. Hemen hemen gözlenebilirlikte ise, zaman parametresinde sonlu zaman ihmal edilerek, kontrol teoride gözlenebilirliğe yeni bir yaklaşım getirilmiştir.
Tezin giriş kısmından sonra ikinci bölümde, minimal gerçekleme ve hemen hemen gözlenebilirlik kavramlarını oluşturmak için kullanılan sistemler ve bu sistemleri oluşturan temel öğeler tanıtılmıştır. Bu bölümden sonra tezin ilk özgün kısmı olan üçüncü bölümde, bağlantılı bir Lie grubu üzerindeki afin kontrol sistemi için minimal gerçekleme meydana getirmek amacıyla, ayırdedilemez noktaların kümesinin topolojik ve cebirsel özellikleri incelenmiş, elde edilen Lie grup yapısı ile kanonik izdüşüm tasviri kullanılarak bu sistem için bir minimal gerçekleme kurulmuştur. Dördüncü bölümdeki özgün kısımda ise, bağlantılı Lie grupları üzerindeki lineer kontrol sistemleri için yeni bir gözlenebilirlik tipi olan, hemen hemen gözlenebilirlik kavramı tanıtılmıştır. Bunun için, hemen hemen ayırdedilemezlik tanımı verilmiş ve bunun bir denklik bağıntısı olduğu gösterilmiştir. Özel olarak, sistemin çıkış fonksiyonu olarak Lie grup homomorfizması alınmış, birim elemandan hemen hemen ayırdedilemez noktaların çıkış uzayında oluşturduğu görüntü kümesinin topolojik ve cebirsel yapısı incelenmiş ve yerel gözlenebilirlik ile yerel hemen hemen gözlenebilirlik arasındaki ilişki ortaya konmuştur. Son olarak, minimal gerçekleme tanımında gözlenebilirlik yerine hemen hemen gözlenebilirlik kavramı kullanılarak, hemen hemen minimal gerçekleme tanımı oluşturulmuştur.

Abstract:
This thesis study is based on the observability of the control systems on connected Lie groups, the minimal realization of affine control systems and almost observability concepts for linear control systems. Minimal realization is an applicable problem to the areas of engineering, physics and chemistry. Working on these terms by using mathematical point of view and differential geometric methods are very rare works in the literature. In the almost observability topic, a new approach to observability in control theory has been introduced by omitting the finite time in the time parameter.
After the introduction of the thesis in the second part, the systems used to create minimal realization and almost observability concepts and the basic elements that form these systems are introduced. In third section, which is the first original part of the thesis, in order to create minimal realization of affine control systems on connected Lie groups, topological and algebraic properties of the set of indistinguishable points from the neutral element are investigated and a minimal realization for this system is established using the obtained Lie group structure and canonical projection. In the original part of the fourth chapter, for linear control systems on connected Lie groups, a new type of observability, the concept of almost observability, is introduced. For this, definition of almost indistinguishability has been given and it has been shown to be an equivalence relation. In particular, by taking a Lie group homomorphism of the output function of the system, we investigated the topological and algebraic structure of the image of almost indistinguishable points from the neutral element, and revealed the relation between local observability and local almost observability. Finally, almost minimal realization definition has been established by using the concept of almost observability rather than observability in definition of minimal realization.