Konsensüs kontrol ve esnek sistemlerin titreşim söndürme problemi
Consensus control and vibration supression problem of flexible structures
Yazar: UMUTCAN KUŞ
Danışman: PROF. DR. AFİFE LEYLA GÖREN
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2022
Konu: Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrol = Computer Engineering and Computer Science and Control ; Elektrik ve Elektronik Mühendisliği = Electrical and Electronics Engineering
Dizin: Doğrusal kontrol = Linear control ; Düşey titreşim = Vertical vibration ; Konsensüs = Consensus ; Titreşim söndürücü = Vibration damper ; Çok ajanlı sistemler = Multiagent systems

Özet:
Bu çalışmada, işbirliği ve uzlaşı kavramlarının en duru matematiksel modellerinden birisi olan konsensüs teorisi ele alındı. Konsensüs teorisi bu kavramları bireylerin lokal etkileşimleri ve göreli katkılarının nihai olarak tüm sistemin sergileyeceği davranışı belirlemesi olarak modeller. Bu mekanizmanın doğası temel olarak etmenlerin her birinin dinamik davranışlarına ve etmenler arasındaki iletişimin niteliğine bağlıdır.
Giriş bölümünde, bu mekanizmanın önemli bir bölümünü oluşturan, etmenler arası iletişim yapıları üzerinde duruldu. Çok etmenli sistemlerin iletişim modellerini görsel ve cebirsel olarak elde edebilmek için kullanılan çizge kuramı hakkında detaylı bilgi verildi. Bir ağ yapısında etmenlerin bir durum üzerinde anlaşmaya varabilmesi için gereken iletişim koşulları incelendi, bu koşulların cebirsel karşılıkları elde edildi. Çok etmenli sistemlerin incelemesinde özellikle kullanışlı olan "komşuluk matrisi" ve "Laplasyen matris" kavramları ve bu matrislerin konsensüs davranışı üzerine etkileri tartışıldı. Lokal etkileşimler yardımıyla tüm ağın istenen davranışa doğru sürülebileceğinin ispatı verildi. Dinamik sistemlerin ve bu sistemlerin birbirleriyle olan bağlantılarının çizgeler yardımıyla nasıl temsil edilebileceği üzerinde duruldu.
İkinci bölümde konsensüs teorisi ayrıntılı olarak ele alındı, teori tarafından çözülmeye çalışılan temel problem olan "buluşma problemi" tanıtıldı ve temel konsensüs protokolü olan "lokal oylama protokolü"nün bu problemi nasıl çözebileceği tek integratör olarak modellenmiş sistemler aracılığı ile incelendi. Daha sonra verilen protokol yüksek mertebeden sistemler için genişletildi ve yüksek mertebeden sistemlerin konsensüs kontrolü için ilk olarak durum geri besleme temelli bir denetleyici yapısı incelendi. Daha sonra bu denetleyici yapısı tüm durum değişkenlerinin ölçülebilir olmadığı sistemler için bir gözleyici tasarımı ile genişletildi ve çok etmenli sistemler için de tek etmenli sistemlerde olduğu gibi denetleyici ile gözleyici tasarımlarının ikili (dual) problemler olduğu gösterildi. Son olarak ağ yapısının sadece denetleyici tasarımı için kullanıldığı ve ajanların gözleyicileri lokal olarak gerçekledikleri komşuluk denetleyici - lokal gözleyici yapısı incelendi. Verilen tüm algoritmalar performanslarının incelenmesi amacıyla LC devrelerinden oluşan bir senkronizasyon probleminin çözümü için kullanıldı ve sonuçlar paylaşıldı. Algoritmaların senkronizasyon problemini başarı ile çözebildiği gösterildi.
Sonraki bölüm dağılmış parametreli sistemlerin bir örneği olan esnek sistemler için titreşim söndürme problemine ayrıldı. Bir esnek kiriş sistemine ait diferansiyel denklem takımı verildi. Konsol kiriş için gerekli sınır koşulları verildi ve denklemler bu sınır koşulları için çözülerek zaman ve uzama bağlı bir model elde edildi. Elde edilen model "akıllı yapı" ismi verilen, eş konumlu piezo sensor - eyleyici çiftlerinden oluşan, özel bir kiriş sistemi için uyarlanarak zaman - uzam ayrışması yöntemi ile her bir ajan için toplu parametreli sistem modellerine ulaşıldı. Yerleştirilmiş sensör - eyleyici çiftlerinin birbirine bir ağ topolojisi ile bağlı olduğu varsayılarak konsol kiriş sisteminin çok etmenli sistem modeli elde edildi.  Çok etmenli sistem modelinde önceki bölümde verilmiş algoritmaların varsayımlarından farklı olarak sistem çıkış matrisleri birbirinden farklı olduğundan konsensüsün gerçekleşmesi için bir takım ek koşullar gerektiği görüldü. Bu ek koşullar incelenen sistem için sağlandığı için problemin aynı algoritmalar ile çözülebileceği gösterildi. Konsensüs algoritmalarının titreşim söndürme problemini çözmek için kullanıldığı benzetim çalışmaları yapıldı, sıfır giriş sistem cevapları ve kapalı çevrim sistem cevapları paylaşıldı. Çalışmalar sisteme sürekli bir bozucu etki ettiği durum için tekrarlanarak tüm denetleyiciler için titreşim söndürme performansları ölçüldü. Verilen konsensüs algoritmaların hepsinin titreşim söndürme problemini başarı ile çözebildiği görüldü ve çeşitli modlar ve algoritmalar için farklı olmakla birlikte %75 ila %90 seviyesinde titreşim söndürme oranları elde edildi.

Abstract:
In this study, consensus theory, which is one of the clearest mathematical models of the concepts of cooperation and agreement, is discussed. Consensus theory models these concepts as individuals' local interactions and relative contributions that ultimately determine the behavior of the entire system. The nature of this mechanism depends on the dynamical behavior of each of the agents and the nature of the communication between the agents.
In the introductory chapter, the theory of information exchange among interacting agents known as "graph theory" is introduced to build a foundation about these mechanisms. Graph theory provides high level visual abstractions about interconnecting systems and their interactions. This abstraction can be analyzed using a branch of graph theory called algebraic graph theory. In this chapter representing agents and information flow as a graph structure is presented and some basic operators required to analyze this structure in an algebraic way is discussed. The concept of locality is introduced. 
Different kind of interaction topologies and their effects on the dynamics of the agreement are examined. The definitions for fundemental graph properties like "degree matrix" ,"neighborhood matrix" and "Laplacian matrix", which is particularly useful in the study of multi-agent systems, and the effects of these matrices on consensus are presented. 
A proof is given that the entire network can be driven towards the desired behavior with the help of local interactions. The minimum required connectivity to reach an agreement is presented. It is showed that dynamical systems and their interconnections can be represented with the help of graphs when the systems are thought as graph nodes and communication channels are though as graph edges. 
In the second chapter, consensus theory is discussed in detail. The main problem theory tries to solve, namely the "rendezvous problem" whics is a logical dilemma about the strategies where two agent tries to find one another in a previosly unknown environment is introduced and how the "local voting protocol", which is the main consensus protocol, can solve this problem is examined through systems modeled as a single integrator for the sake of clearity as when using single integrator agents closed loop dynamics fully shaped by the Laplacian matrix. Effects of different initial conditions on the final consensus values for the same graph topology is demonstrated with a simulation example.
Later, the given protocol is extended for higher-order linear systems. A state feedback based controller structure is examined for consensus control of this type of systems. Necessary graph conditions to get a stable closed loop system is given and it is proven that the global system can be stabilized using Riccati design under this conditions. 
Then, this controller design is extended with an observer for the case where not all states are measurable which is the case most of the time in a real world system. It is shown that the controller and observer designs are dual problems for multi-agent systems just like single agent systems. Equivalence between these problems in terms of system and graph properties is given. 
Finally, the neighborhood controller - local observer structure, in which the network structure is used only for the controller design and the agents implement the observers locally, is examined. Main motivations for this update is to reduce the communication between agents as it is highly energy consuming and every new communication channel has a potantial to inject noise to the system. 
In order to examine their performance, all given algorithms are used to solve a synchronization problem consisting of basic LC ossilator circuits and results are shared. It is shown that all given algorithms can successfully solve the synchronization problem.
The next and main chapter is devoted to the problem of vibration suppression in flexible systems, which is an example of distributed parameter systems. A set of partial differential equations for a flexible beam system is given. Necessary boundary conditions for the cantilever beam are given, time and space dependent model is obtained by solving the equations for these boundary conditions. 
The model obtained is adapted for a special beam system called "smart structure" which consists of co-located piezo sensor - actuator pairs and system model with lumped parameters is obtained for each agent by the assumed modes method. Total of five sensor - actuator pairs (agents) is assumed to placed in a horizontally placed flexible beam one of which is placed at the root of the beam to simulate disturbance effects. The beam is assumed to vibrate in only one direction. Three vibration mode is selected to be controlled for each agent.
Assuming that placed sensor - actuator pairs are connected to each other with a network topology, a multi-agent model of the beam system is obtained. The connections between agents are assumed to be directed and a reference generator node is assumed to directly communicate with the first agent, only. The main difference between flexible multi-agent system model and previosly studied LC circuit model is in the flexible system every agent has different output matrices while in the LC circuit model all agents are completely identical. Luckily, it is shown that the same set of algorithms can be used for both systems with some additions to assumptions about the system dynamics which both systems satisfy in this study.
Lastly, simulation studies are carried out in which consensus algorithms are used to solve the vibration suppression problem. To understand how much difference is achieved with control algorithms both zero input responses and closed loop responses are shared. Experiments are repeated under zero disturbance and under constant sinuzoidal disturbance to analyze reference tracking and disturbance rejection performance of the given algorithms.
The vibration suppression performances are measured for all controllers under disturbance using quadratic mean error (RMS). It has been observed that all of the given consensus algorithms can successfully solve the vibration suppression problem and have a vibration suppression rate of %75 to %90, varying for various modes and controllers.