Sınırenerjitik ve Laplacian sınırenerjitik graflar
Borderenergetic and Laplacian borderenergetic graphs
Yazar: CAHİT DEDE
Danışman: PROF. DR. AYŞE DİLEK MADEN
Selçuk Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2021
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezde sınırenerjitik, Laplacian-sınırenerjitik ve Laplacian-sınırenerjitik olmayan graflar konusu ele alınmıştır. Öncelikle, tam bir grafın enerjisine eşdeğer enerjiye sahip, sınırenerjitik graflar olarak adlandırılan graf örnekleri sunuyoruz. Özel olarak, regüler ve kuvvetli regüler grafların çizgi grafını ve enerjilerini dikkate alıyoruz. Bağlantılı bir regüler integral grafın p-kopyalarından ve tam bir grafın q-kopyalarından oluşan bağlantısız bir regüler graftan elde ettiğimiz çizgi grafın sınırenerjitik olması için bir koşul sunuyoruz. Ek olarak, kuvvetli regüler bir grafın çizgi grafının sınırenerjitik olması için bir koşul sunuyoruz ve tam olmayan bağlantılı sınırenerjitik graflara bazı örnekler veriyoruz. Daha sonra, grafların  Laplacian komşuluk matrisini ele alıyoruz. G'nin Laplacian enerjisi, K_n tam grafının enerjisiyle aynı olan, yani LE(G)=2(n-1),  L-sınırenerjitiktir. Bu çalışmada, 36 sonsuz   L-sınırenerjitik graf sınıfı oluşturuyoruz. Oluşturduğumuz L-sınırenerjitik graflar, tam grafların ve devir grafların birleştirme (join), birleşim ve tamamlayıcı operatörleri altındaki bileşiminden elde edilmiştir. Elde edilen graflar tam graf değildir ve literatürde önceden bilinen L-sınırenerjitik graflardan farklıdır. Son bölümde ise, en fazla üç farklı tam sayıdan oluşan derece dizisine sahip grafların Laplacian enerjisi üzerine sonuçlarımızı sunuyoruz. Bu çeşit grafların  L-sınırenerjitik olmaması için köşe sayısı, kenar sayısı ve Zagreb indeksi üzerine yeni koşullar sunuyoruz. Bu koşulları kontrol etmek grafın spektrum kümesinin hesaplanmasından daha kolaydır. Böylece, L-sınırenerjitik olmayan grafları hızlıca kontrol etmek için yeni bir yaklaşım oluşturduk.

Abstract:
Graphs which are borderenergetic, Laplacian borderenergetic and Laplacian non-borderenergetic are studied in this thesis. Firstly, we present examples of graphs with energy equivalent to the energy of a complete graph, which are called the borderenergetic graphs. We particularly consider the line graph of regular and strongly regular graphs and their energy. We prove a condition for the line graph of a disconnected regular graph consisting of p-copies of a connected regular integral graph and q-copies of a complete graph to be borderenergetic. In addition, we present a condition for the line graph of a strongly regular graph to be borderenergetic and give some examples of non-complete connected borderenergetic graphs. Then, we consider the Laplacian adjacency matrix of a graph. G is said to be   L-borderenergetic if its  Laplacian energy is the same as the energy of the complete graph K_n, i.e. LE(G)=2(n-1). We construct 36 infinite classes of  L-borderenergetic graphs. The constructed L-borderenergetic graphs are composition of the complete graphs and the cycle graphs under the operators join, union and complements. They are non-complete and distinct from the previously known L-borderenergetic graphs. Finally, we present our results on the Laplacian energy of  the graphs with degree sequence consisting of at most three distinct integers. We give new conditions for the number of vertices, the number of edges  and the Zagreb index of these graphs to be non-L-borderenergetic. Checking these conditions are much easier than computing the spectrum of a graph. In other words, we developed a faster approach to exclude non-L-borderenergetic graphs.