Duhamel Banach cebir yapısı ve Duhamel çarpımının bazıuygulamaları
Duhamel Banach algebra structure and someapplications of the Duhamel product
Yazar: MEVLÜT ALTINTAŞ
Danışman: PROF. DR. MEHMET GÜRDAL ; DR. RAMİZ TAPDIGOGLU
Süleyman Demirel Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Banach cebirleri = Banach algebras ; Hardy uzayı = Hardy space ; Volterra integral denklemleri = Volterra integral equations ; Özvektör = Eigenvector ; İntegral operatör = Integral operator ; α-Duhamel çarpımı = α-Duhamel product

Özet:
Bu yüksek lisans tez çalışması Duhamel çarpımının uygulama alanları ve bazı uzayların Banach cebir yapısı ile ilgilidir. Bu bağlamda bu yüksek lisans tez çalışması Giriş, Kaynak Özetleri, Duhamel İç Çarpımı ve İnvaryant Alt Uzaylar ve Araştırma Bulguları ve Tartışma olmak üzere dört ana bölümden oluşacak biçimde planlanmıştır. Bu bölümlerden ilki giriş kısmı olarak oluşturulmuş ve konu hakkında genel çerçeve bu bölümde verilmiştir. Bu tez çalışmasının ikinci bölümünde ise Duhamel çarpımının uygulama alanları ve invaryant altuzay problemi ile ilgili bazı teori hakkında tarihsel gelişimi sunulmuştur. Bu bölümün devamında ise $C^{\left(  n\right)  }\left(  \Omega\right)$ uzayı ve Volterra integral operatörünün genişletilmiş özdeğerleri ve genişletilmiş özvektörleri ele alınmıştır. Tez çalışmasının üçüncü bölümünde ise devirli alt uzay, devirli operatör, konvolüsyon çarpımı, Duhamel çarpımı, $\alpha$-Duhamel çarpımı, Banach cebir, maksimal ideal uzay, genişletilmiş özdeğer, genişletilmiş özvektör, invaryant alt uzay, Hardy uzayı ve Volterra integrasyon operatörü gibi kavramların tanımları verilmiş ve bu kavramlarla ilgili sonuçlar hakkında bilgi verilmiştir. Son bölüm ise alt başlıklara ayrılarak planlanmıştır. $\alpha\in\mathbb{C}$ bir sayı ve $\Omega\subset\mathbb{C}$ bölgesi $z=\alpha$ noktasına göre yıldız şekilli bir bölge, yani her $z\in\Omega$ ve $\lambda,$ $0\leq\lambda\leq1,$ için $\lambda z+\left(  1-\lambda\right)
\alpha\in\Omega$ olmak üzere $\Omega\subset\mathbb{C}$ bölgesi $\alpha$ noktasını içeren basit bağlantılı sınırlı bölge olsun. Başlangıç olarak $\alpha$-Duhamel çarpımına göre $\overline{\Omega}$ üzerinde $n.$ türevi sürekli $\Omega$ kümesinde tüm sürekli fonksiyonların $C^{\left(  n\right)  }\left(  \Omega\right)  $ uzayının Banach cebir yapısı incelenmiş ve  $C^{\left(  n\right)  }\left(  \Omega\right)  $ uzayının maksimal ideal uzayı tanımlanmıştır. Ayrıca integrasyon $\alpha$ ve $z$ noktalarını bağlayan düz doğru parçası üzerinde olmak üzere $\alpha$-integrasyon operatörü olan $V_{\alpha}$ operatörü  
$\ V_{\alpha}f\left(  z\right)  :=%
%TCIMACRO{\tint \limits_{\alpha}^{z}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\int\limits_{\alpha}^{z}}
%EndExpansion
f\left(  t\right)  dt
$
ile $C^{\left(  n\right)  }$ üzerinde tanımlı olsun. Aynı zamanda, $C^{\left(  n\right)  }\left(\Omega\right)  $ uzayı üzerinde $V_{\alpha}$ Volterra integral operatörünün Malamud-Biswas-Lambert-Petrović anlamında genişletilmiş özvektörleri karakterize edilmiştir. Diğer taraftan $\alpha$-Duhamel çarpımı yardımıyla $\left(  C^{\left(  n\right)  }\left(  \Omega\right)  ,\underset{\alpha}{\ast
}\right)  $ Banach cebirinin $\underset{\alpha}{\ast}$-üreteçleri tanımlanmıştır. Volterra denkleminin çözümlerinin bu denklemin çözüm kümesine olan mesafesinin tahmin edilmesi için $\alpha$-Duhamel çarpımının kullanımı incelenmiştir ve Aleman-Korenblum teoreminin yeni ispatı verilmiştir. Duhamel çarpımını kullanarak $H^{p}$ Hardy uzayında $V$-invaryant alt uzaylarının tanımlanması amaçlanmıştır. Son olarak da, $\delta_{A}\left(X\right)  :=\left[  X,A\right]  $ ile tanımlanan $\mathcal{B}\left(C^{\left(  n\right)  }\left(  \Omega\right)  \right)  $ üzerindeki $\delta_{A}$ iç türevli yörüngelerin normu $\alpha$-Duhamel çarpımları cinsinden tahmin edilmiştir. Bu tez çalışmasının dört ana bölümünden sonra Sonuç ve Öneriler kısmı yer almaktadır. Bu kısımda tez çalışması sonunda elde edilen sonuçlar ve bu sonuçlardan ortaya çıkacak bir takım açık problemler verilmiştir.

Abstract:
This master's thesis is about the application areas of Duhamel multiplication and the Banach algebra structure of some spaces. In this context, this master's thesis is planned to consist of four main parts: Introduction, Source Summaries, Duhamel Dot Product and Invariant Subspaces and Research Findings and Discussion. The first of these chapters was created as an introduction and the general framework on the subject is given in this chapter. In the second part of this thesis, the application areas of Duhamel product and the historical development of some theory related to the invariant subspace problem are presented. In the continuation of this section, expanded eigenvalues ​​and expanded eigenvectors of $C^{\left( n\right) }\left( \Omega\right)$ space and Volterra integral operator are discussed. In the third part of the thesis, cyclic subspace, cyclic operator, convolution product, Duhamel product, $\alpha$-Duhamel product, Banach algebra, maximal ideal space, extended eigenvalue, extended eigenvector, invariant subspace, Hardy space and Volterra integration operator definitions of the concepts are given and information about the results related to these concepts is given. The last chapter is planned by dividing it into sub-headings. Let $\alpha\in\mathbb{C}$ and $\Omega\subset\mathbb{C}$ be a simply connected bounded region containing the point $\alpha,$ which is a star-like region with respect to the point $z=\alpha,$ i.e., $\lambda z+\left(  1-\lambda\right)
\alpha\in\Omega$ for every $z\in\Omega$ and $\lambda,$ $0\leq\lambda\leq1.$ Firstly, Banach algebra structure of $C^{\left(  n\right)  }\left(  \Omega\right)  $ space of all continuous functions on $\Omega$ with the n th derivative continuous on $\overline{\Omega}$ was investigated according to $\alpha$-Duhamel product and maximal ideal space of $C^{\left(  n\right)  }\left(  \Omega\right)  $ space was defined. Also, the $\alpha$-integration operator $V_{\alpha}$ is defined on $C^{\left(  n\right)  }$ by   
$\ V_{\alpha}f\left(  z\right)  :=%
%TCIMACRO{\tint \limits_{\alpha}^{z}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\int\limits_{\alpha}^{z}}
%EndExpansion
f\left(  t\right)  dt,
$ 
where the integration is performed as above over straight-line segments connecting the points $\alpha$ and $z.$ At the same time, extended eigenvectors of the $V_{\alpha}$ Volterra integral operator in the Malamud-Biswas-Lambert-Petrović sense on the $C^{\left(  n\right)  }\left(\Omega\right)  $ space are characterized. On the other hand, $\underset{\alpha}{\ast}$-generators of  $\left(  C^{\left(  n\right)  }\left(  \Omega\right)  ,\underset{\alpha}{\ast
}\right)  $ Banach algebra are defined with the help of $\alpha$-Duhamel product. The use of $\alpha$-Duhamel product to estimate the distance of the solutions of the Volterra equation to the solution set of this equation is examined and a new proof of the Aleman-Korenblum theorem is given. It is aimed to define $V$-invariant subspaces in $H^{p}$ Hardy space using Duhamel product. Finally, the norm of inner-derivative orbits $\delta_{A}$ on $\mathcal{B}\left(C^{\left(  n\right)  }\left(  \Omega\right)  \right)  $ defined by $\delta_{A}\left(X\right)  :=\left[  X,A\right]  $ is estimated in terms of $\alpha$-Duhamel products. After the four main parts of this thesis, there is the Conclusion and Suggestions part. In this section, the results obtained at the end of the thesis work and some open problems that will emerge from these results are given.