Asymptotically i̇sometric c0-summing basic sequences and fixed point theory
Asimtotik izometrik c0 toplam baz dizileri ve sabit nokta teorisi
Yazar: MEVLÜT CANKURT
Danışman: DOÇ. DR. VEYSEL NEZİR
Kafkas Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2021
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
1981'de Maurey tarafından 𝑐0'ın her zayıf kompakt konveks alt kümesi 𝐶 üzerinde
tanımlı her 𝑇: 𝐶 → 𝐶 genişlemeyen fonksiyonunun en az bir sabit noktası vardır; yani, her
zayıf kompakt konveks 𝐶 alt kümesi sabit nokta özelliğine sahiptir sonucu verilmiştir.
1998 yılında ise Llorens-Fuster ve Sims tarafından 𝑐⃗ = (𝑐𝑛)𝑛∈ℕ dizisi (0, ∞) aralığında
keyfi artmayan ve azalarak pozitif bir sayıya yakınsayan dizi ise 𝑐0'da (𝑔𝑛)𝑛∈ℕ dizisi her
𝑛 ∈ ℕ için 𝑔𝑛: = 𝑐𝑛 𝑒𝑛 şeklinde tanımlandığında 𝑐0'da kapalı, sınırlı ve konveks
aşağıdaki şekilde tanımlı bir 𝐷 = 𝐷𝑐⃗ kümesi bulunabilir
𝐷: = {∑
∞
𝑛=1
𝑠𝑛 𝑔𝑛: 1 = 𝑠1 ≥ 𝑠2 ≥ ⋯ ≥ 𝑠𝑛 ↓𝑛 0}
öyle ki bu durumda en az bir sabit noktasız ∥⋅∥∞-genişlemeyen 𝑉:𝐷 → 𝐷 fonksiyonu
mevcuttur sonucu elde edilmiştir. Ayrıca, eğer 𝑐⃗ = (𝑐𝑛)𝑛∈ℕ azalan ise bu durumda sabit
noktasız, daralan bir 𝑉 fonksiyonu bulunabilir sonucunu vermişlerdir. Ayrıca, LlorensFuster ve Sims çalışmalarında 𝑐0'da sabit nokta özelliğine sahip kümelerin sadece zayıf
kompakt olanlar olduğu kestirimini yapmıştır. 2004'de Dowling, Lennard ve Turett
çalışmaları ile bu kestirimi doğrulamıştır. Gerçekten de, (𝑐0, ∥⋅∥∞)'da her zayıf kompakt
olmayan, kapalı, sınırlı ve konveks alt kümesi 𝐾 üzerinde tanımlanabilen en az bir sabit 
V
noktasız ∥⋅∥∞-genişlemeyen 𝑇 fonksiyonunun varlığı ilk defa kendileri tarafından
gösterilmiştir. Dowling, Lennard ve Turett'in çalışmasında elde edilen 𝑇 fonksiyonu
genelde afin değildir. Hatta (𝑐0, ∥⋅∥∞)'da her zayıf kompakt olmayan, kapalı, sınırlı ve
konveks alt kümesi 𝐾 üzerinde tanımlanabilen en az bir sabit noktasız afin ∥⋅∥∞-
genişlemeyen 𝑆 fonksiyonunun var olup olmadığı halen açık olan çözülememiş sorudur.
Tez danışmanı Nezir ve Chris Lennard'ın 2011'de ortak çalışmasında ve Nezir'in
Doktora tezinde bu soru incelenmeye başlanmıştır. Göstermişlerdir ki eğer bir Banach
uzayı bir asimtotik izometrik (ai) 𝑐0-toplam baz dizisi (𝑥𝑛)𝑛∈ℕ 'i içerirse (𝑥𝑛)𝑛∈ℕ
dizisinin kapalı konveks kabuğu olan 𝐷: = co({𝑥𝑛: 𝑛 ∈ ℕ}) kümesi afin genişlemeyen
fonksiyonlar için sabit nokta özelliğine sahip olamaz. Ayrıca, sabit noktasız afin daralan
bir 𝑈:𝐷 → 𝐷 fonksiyonunun varlığı gösterilmiştir. Daha da özele inilerek Llorens-Fuster
ve Sims'in çalışmasının bir analoğunu (0, ∞) aralığında en az bir 𝜅 > 0 sayısına
yakınsayan keyfi ⃗𝑐⃗ = (𝑐𝑛)𝑛∈ℕ dizisi için ispatlamışlardır. Tez çalışması bu sonuçları
ayrıntıları ile sunmaktadır. Ayrıca en son bölümde tez danışmanı Nezir'in ve Lennard'ın
çalışmasının en genel sonuçlardan birisi olan şu takip eden sonuç sunulmuştur: Reel
sayılar kümesi ℝ'den alınan 0 < 𝑚: = inf𝑛∈ℕ 𝑐𝑛 ve 𝑀: = sup𝑛∈ℕ 𝑐𝑛 < ∞ olacak
şekildeki keyfi bir sınırlı ⃗𝑐⃗ = (𝑐𝑛)𝑛∈ℕ dizisi yardımıyla 𝑔𝑛: = 𝑐𝑛 𝑒𝑛 alınarak elde edilen
𝑐0'ın aşağıdaki kapalı sınırlı ve konveks 𝐷 = 𝐷𝑐⃗
 kümesi
𝐷 ≔ {∑
∞
𝑛=1
𝑠𝑛 𝑔𝑛: 1 = 𝑠1 ≥ 𝑠2 ≥ ⋯ ≥ 𝑠𝑛 ↓𝑛 0}
üzerinde tanımlanabilen sabit noktasız afin daralan bir 𝑈:𝐷 → 𝐷 fonksiyonu vardır.
Yani özetle danışman hocamızın Chris Lennard ile olan çalışmasında ve tezinde 𝑐0
Banach uzayında çok geniş bir sınıf üzerinde tanımlı sabit noktasız en az bir genişlemeyen
fonksiyonun var olduğunu ve hatta herhangi Banach uzayın çok büyük bir sınıfında da bu
durumun izlendiğini göstermiştir. Tez çalışmasında bu konular tanımlar, teoremler ve
ispatlar ile Materyal ve Yöntemler ile Araştırma Bulguları bölümlerinde sunulmuştur.

Anahtar Kelimeler: genişlemeyen fonksiyon, sabit nokta özelliği, kapalı sınırlı konveks
küme, yansımalı Banach uzay, 𝑐0 Banach uzayı, asimtotik izometrik 𝑐0-toplam baz dizisi
2021, 28 Sayfa

Abstract:
Graduate School of Applied and Natural Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Assoc. Prof Dr. Veysel NEZİR
In 1981, it has been shown by Maurey that every nonexpansive function defined on every
weakly compact convex subset of 𝑐0 has at least a fixed point; that is, every weakly
compact convex subset has the fixed point property. In 1998, it was shown by LlorensFuster and Sims that if 𝑐⃗ = (𝑐𝑛)𝑛∈ℕ ⊂ (0, ∞) is any decreasing sequence converging to
a positive scalar then by defining another sequence (𝑔𝑛)𝑛∈ℕ in 𝑐0 with the rule 𝑔𝑛: =
𝑐𝑛 𝑒𝑛 for each 𝑛 ∈ ℕ, a closed bounded and convex subset 𝐷 = 𝐷𝑐⃗ of 𝑐0 as
𝐷: = {∑
∞
𝑛=1
𝑠𝑛 𝑔𝑛: 1 = 𝑠1 ≥ 𝑠2 ≥ ⋯ ≥ 𝑠𝑛 ↓𝑛 0}
there exists a fixed-point free ∥⋅∥∞-nonexpansive mapping 𝑉:𝐷 → 𝐷. In addition, they
concluded that if 𝑐⃗ = (𝑐𝑛)𝑛∈ℕ is decreasing, then a fixed point free contraction function
𝑉:𝐷 → 𝐷 can be found. Moreover, Llorens-Fuster and Sims made the estimation in their
study that only subsets with fixed point properties in 𝑐0 are those the weakly compact
convex ones. In 2004, Dowling, Lennard and Turett confirmed this prediction with their
work. Indeed, they have shown for the first time that at least one fixed point-free
nonexpansive function can be defined on every non-weakly compact, closed, bounded, 
VII
and convex subset in 𝑐0. The function obtained in the study of Dowling, Lennard, and
Turett is generally non-affine. Whether there is at least one fixed point-free affinenonexpansive function that can be defined on every non-weakly compact, closed,
bounded, and convex subset in 𝑐0 is still an open question. This question was started to
be examined in the joint work of the thesis advisor Nezir and Chris Lennard in 2011 and
in Nezir's PhD thesis. They showed that if a Banach space contains an asymptotically
isometric (ai) 𝑐0-summing basic sequence (𝑥𝑛)𝑛∈ℕ, then the set 𝐷: = co({𝑥𝑛: 𝑛 ∈ ℕ}),
which is the closed convex hull of the sequence (𝑥𝑛)𝑛∈ℕ, cannot have the fixed point
property for affine nonexpansive functions. Also, the existence of a fixed point-free affine
contractive function has been demonstrated. More specifically, they proved an analog of
the work of Llorens-Fuster and Sims for an arbitrary sequence that converges to at least
one number in its range. The thesis study presents these results in detail. In addition, in
the last section, the following conclusion, one of the most general results of the thesis
advisor Nezir's and Lennard's work, is presented: In ℝ, if ⃗𝑐⃗ = (𝑐𝑛)𝑛∈ℕ is a bounded
sequence with the conditions 0 < 𝑚: = inf
𝑛∈ℕ
𝑏𝑛 𝑎𝑛𝑑 𝑀: = sup
𝑛∈ℕ
𝑏𝑛 < ∞ , defining a
sequence (𝑔𝑛)𝑛∈ℕ in 𝑐0 by setting 𝑓𝑛: = 𝑐𝑛 𝑒𝑛, for all 𝑛 ∈ ℕ a closed, bounded, convex
subset 𝐷 = 𝐷𝑐⃗ of 𝑐0 is obtained as follows
𝐷 ≔ {∑
∞
𝑛=1
𝑠𝑛 𝑔𝑛: 1 = 𝑠1 ≥ 𝑠2 ≥ ⋯ ≥ 𝑠𝑛 ↓𝑛 0}
such that there exists an an affine contractive mapping 𝑈:𝐷 → 𝐷.
In summary, our advisor's work with Chris Lennard and in his thesis, it was shown that
there is at least one nonexpansive function defined on a very large class in Banach space
𝑐0, and it was also shown that even in a very large class of any Banach space, this situation
is observed. In the thesis, definitions, theorems and proofs for these topics are presented
in the sections Materials and Methods and Research Findings.

Key Words: nonexpansive mapping, fixed point property, closed bounded convex
subset, reflexive Banach space, 𝑐0 Banach space, asimtotically isometric 𝑐0
-suming basic
sequence
2021, 28 pages