Poincar'e yarı düzlem geometrisi üzerine
On the geometry of poincar'e half plane
Yazar: NİLGÜN SÖNMEZ
Danışman: PROF.DR. RÜSTEM KAYA
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2006
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
0Â· Â·Â· Â·POINCAR E YARI DÜZLEM GEOMETRISI ÜZERINENilgün SÖNMEZÖZETÖklid' paralelik postulatÂ¬ n ?Düzlemde bir dogru ve üzerinde ol-in nÂ¬ Â¼mayan bir nokta verildiÂ¼ ginde, bu noktadan geçen ve verilen dogruyaÂ¼paralel birden çok dogru vardÂ¬ biçiminde deÂ¼iştirilmesi öklidyen ol-r? gsÂ¼mayan geometrilerin ve özellikle hiperbolik geometrinin ortaya çÂ¬ şÂ¬ kÂ¬ nÂ¬ssaÂ¼lamÂ¬ tÂ¬ Simdiye kadar birçok farklÂ¬ hiperbolik düzlem modellerig ş r. şsgeliştirilmiştir. Bu modellerden biri de Henri Poincar0 e tarafÂ¬s s ndan ortayaatÂ¬ üst yarÂ¬lan -düzlem (H) modelidir [11] . H da A(x1 ,y1 )ve B(x2 ,y2 )iki nokta veq q2y1 + x2 x22y2 2 1 2 2c)2 + y1 = c)2 + y2c= ; r= (x1 (x22(x2 x1 )olmak üzere, bu iki nokta arasÂ¬ndaki uzaklÂ¬ formülü,k(jln(y2 =y1 )j x1 = x2 ikendH (A; B) = x1 c+r x2 c+rln( y1 : y2 ) x1 6= x2 ikenşeklindedir. Bu çalÂ¬ mada öklidyen olmayan geometrilerden biri olans şsTaksi düzlem geometrisi için yapÂ¬ çalÂ¬ malar [1,2,3,6,7,8,9,10] esas alÂ¬lan şs -narakPoincar0 e üst yarÂ¬-düzlem modeli H da benzer konular incelenmiştir.sBeş bölümden oluşan bu çalÂ¬ manÂ¬ ilk bölümünde Poincar0 e yarÂ¬s s şs ndüzlem modelindeki bazÂ¬temel kavramlar özetlendi. Daha sonra dH uza-klÂ¬ Â¬ n geometrik yorumu yapÂ¬g nÂ¬ larak dH ile öklidyen uzaklÂ¬ arasÂ¬k ndakiÂ¼fonksi-Â·yonel ilişki kuruldu. Ikinci bölümde, bir noktanÂ¬ bir doÂ¼ruya olan uzak-s n glÂ¬ formülü verildi. Üçüncü bölümde, iki odaklÂ¬H-konikleri ve dördüncükbölümde odak-doÂ¼rultman H-konikleri belirlendi. Beşinci bölümde Poincar0 eg sdüzleminde orta kümeler incelendi.1

Abstract:
0Â·ON THE GEOMETRY OF POINCAR E HALF PLANENilgün SÖNMEZSUMMARYNon-euclidean geometries and especially hyperbolic geometry cameout by replacing the Euclid? paralelness postulate by ?In plane, if a linesand a point not on the line are given, then there exist at least two linesthrough the given point and paralel to the given line? Many of diÂ¤erent.hyperbolic plane models have been developed. One of these models isthe upper-half plane (H) model which was forwarded by Henri Poincar0 e[11]. If A=(x1 , y1 ) and B=(x2 , y2 ) are any two points in H then thedistance between these points is given by8y2>>< ln if x 1 = x2y1dH (A; B) = ;> ln( x1 c + r x2 c + r>: x1 6= x2: ) ify1 y2wherep p2y1 + x 2 x22y2 2 1 2 2c)2 + y1 = c)2 + y2c= ; r= (x1 (x22(x2 x1 )In this work, we have examined some subjects about the poincar0 eupper half plane model H similar to that of have the subjects related totaxicab plane geometry [1,2,3,6,7,8,9,10].In the â¦rst section of this work, some basic concepts in Poincar0 eupper half plane model were summarized. Then, a geometrical interpre-tation of dH is given and a functional relation between dH and Euclideandistance is formulated. In the second section, the distance formula of apoint to a given line is given. In the third section, two foci H-conics wereexamined and in the fourth section foci-directrix H-conics were studied.In the â¦fth section, bisectors in Poincar? upper- half plane model wereeexamined .1