Yerel olmayan Timoshenko çubuklarında burkulma probleminin başlangıç değerleri yöntemiyle incelenmesi
Investigation of buckling analysis based on nonlocal Timoshenko rods by the method of initial values
Yazar: EROL DEMİRKAN
Danışman: PROF. DR. REHA ARTAN
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / İnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Yapı Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2020
Konu: İnşaat Mühendisliği = Civil Engineering
Dizin: Burkulma analizi = Buckling analysis ; Taşıma matrisi = Transfer matrix ; Timoshenko çubuğu = Timoshenko bar ; Yerel olmayan elastisite = Nonlocal elasticity

Özet:
Burkulma problemi mühendislikte her zaman önemli bir konu olmuştur. Yapıların güvenliğini sağlamak için dikkat edilmesi gereken bir unsurdur. Burkulma problemleri diferansiyel denklemlerin çözümü ile hesaplanır. Fakat bu denklemlerin çözümü kolay değildir. Bundan dolayı burkulma problemlerinin çözümünde başlangıç değerler yöntemi ve taşıma matrisi etkili bir şekilde kullanılarak burkulma yükleri kolayca hesaplanır. Çubuğa ait taşıma matrisi bir kez hesap edildikten sonra her yeni problemde denklem çözmeye gerek kalmaz. Bu çalışmanın amacı Timoshenko çubuklarının yerel olmayan elastisite teorisi kullanılarak burkulma yüklerinin hesaplanmasıdır. 
Bu çalışmada öncelikle kapsamlı bir şekilde nanoteknolojiden bahsedilmiştir. Nanoteknoloji, atomik ve moleküler seviyedeki birimleri anlatan ve bu ebatlardaki maddeleri geliştiren, düzenleyen ve kontrol eden bir alandır. Nanopartikülleri büyük materyallerden ayıran özellik sadece boyutlarının özel önemi değildir. Bu yapılar fiziksel, kimyasal ve biyolojik özellikleri açısından büyük materyallerden farklı bir yapı ortaya koyarlar. Özetle, bir maddenin atomik ve moleküler seviyelerde kontrol edilmesi, nanoteknoloji sayesinde gerçekleşmektedir. Malzemeler nano boyutlarda incelendiğinde atomik özellikleri çok önem kazanır. Bu yüzden yerel olmayan elastisite teorisi kavramı ön plana çıkar. 
Taşıyıcı elemanların çökme hesaplamaları yapılırken diferansiyel yöntemler kullanılır. Ancak taşıyıcı eleman üzerinde süreksizlik arttıkça bu denklemin çözümü de aşırı zorlaşır. Problemin çözümünü kolaylaştırmak için başlangıç değerleri yöntemi kullanılır. Bu yöntemde sisteme eklenen süreksizliklerden dolayı çözüm denklemine eklenecek sabitlerin eklenmesini engelleyerek yazılacak denklem her zaman aynı başlangıç durumundaki sabitlerle ifade edilir. Başlangıç değerler yöntemi kullanılırken taşıma matrisi kavramından yararlanılmıştır. Taşıma matrisi ile denklem sistemi matris formuna dönüştürülmüş olup çözüm kolaylıkla yapılmıştır. Herhangi bir çubukta taşıma matrisini elde etmek için öncelikle koordinatlar belirlenir. Bu koordinatların ifade ettiği durum vektörü elde edilir. Durum vektörünü ifade edebilmek için vektörü oluşturan fonksiyonların türevleri hesaplanır. Bu fonksiyonların bir durumdan başka bir duruma geçmesini sağlamak için diferansiyel geçiş matrisi oluşturulur. Bu matris yardımıyla bir durumdan diğer istenen bir duruma geçiş yapılabilir. Ancak bu geçiş sonsuz küçük aşamalarda çok miktarda parça parça geçiş yapılması ile sağlanır. Bunun yerine geçiş yapılmak istenen durum tek bir integral hesabı ile yapılır. Bu geçiş tek bir hamlede taşıma matrisi ile yapılmıştır. 
Yerel elastisite teorisinde eksenel basınç yükü altında olan Euler ve Timoshenko çubuklarına ait taşıma matrisleri ayrı ayrı elde edilir. Yapı elemanları arasında en önemli yerlerden birini tutan kirişlere (çubuklara) dair yapılan hesaplamaların güvenirliği ve doğruluğu, güvenlik unsurları açısından kritik öneme sahiptir. Kirişlerin incelenmesinde bugüne kadar geliştirilen teorilere bakılacak olduğunda en fazla kabul gören teorilerden birinin Euler-Bernoulli teorisi olduğu gözlemlenmektedir. Bununla birlikte bir o kadar daha kabul görmüş olan teori Euler-Bernoulli teorisinin geliştirilmiş versiyonu olan Timoshenko teorisidir. Burkulma davranışını incelemek için öncelikle eksenel basınç yükü altında Euler-Bernoulli çubukları için temel denklemler elde edilmiştir. Başlangıç değerler yöntemi kullanılacağından çubuk için durum vektörü belirlenir. Bu durum vektörü, çökme, dönme, moment ve kesme kuvvetinden oluşur. Çubuğun başlangıç noktasından herhangi bir noktasına hesaplama yapabilmek için diferansiyel geçiş matrisi elde edilmiştir. Diferansiyel geçiş matrisini elde ettikten sonra matematiksel hesaplamalar sonucu Euler-Bernoulli çubuğu için taşıma matrisi elde edilmiştir. Örnek olarak konsol bir kiriş için burkulma yükü hesabı yapılmıştır. Taşıma matrisi en genel halde elde edildiğinden her tip problem için başlangıç ve uç koşulları kullanılarak kritik burkulma yükü kolayca hesaplanabilir. Bu açıklamalar doğrultusunda konsol bir klasik Euler-Bernoulli kirişi için burkulma yükü elde edilmiştir. Aynı işlemler Timoshenko çubuğu için yapılır. Yalnız burada dikkat edilmesi gereken en önemli durum şudur. Timoshenko çubuğunda kayma etkisi dikkate alınır. Bundan dolayı eksenel basınç yüküne maruz çubuk için temel denklemler yeniden elde edilir. Kesme etkisi dikkate alındığından bir kayma katsayısı hesabı yapılır. Bu hesap çubuğun en kesiti ile ilgilidir. Euler-Bernoulli çubuğunda olduğu gibi burada da durum vektörü elde edilmiştir. Sonrasında temel denklemler kullanılarak diferansiyel geçiş matrisi yazılır. Matematiksel çözümler sonucunda eksenel basınç yükü altından Timoshenko çubuğu için taşıma matrisi hesaplanmıştır. Başlangıç ve uç koşulları kullanılarak aynı konsol kiriş örneği için burkulma yükü bu kez klasik Timoshenko çubuğu göz önüne alınarak elde edilmiştir. Sonuçlar karşılaştırılmıştır ve Timoshenko teorisi dikkate alınarak hesap edilen burkulma yükünün gerçeğe daha yakın olduğu görülmüştür. 
Nano boyutlar düşünüldüğünde malzemenin iç yapısı önem kazandığından dolayı yerel olmayan elastisite teorisi ön plana çıkar. Yerel olmayan elastisite teorisi, inşaat mühendisliği kapsamında oldukça önemli bir konu olup yerel elastisite teorisinin yetersiz kaldığı durumlar sonucunda ortaya atılmıştır. Yerel olmayan elastisite teorisi, gerilmelerin hesaplanması sürecinde o noktaya komşu nokta ve diğer noktalardaki şekil değişmeleri göz önüne alarak yapılan hesaplamaları kapsayan  bir teoridir. Burada yerel olmayan gerilmeyi hesaplamak için bir parametre belirlenmiştir. Bu parametre malzeme sabiti ve malzemenin iç karakteristik özelliğine bağlıdır. Eringen'e göre, yerel olmayan elastisite teorisi cismin iç yapısına yoğunlaşır ve geometrik düzensizlik, iç enerji değişimi, gerilmeler ve diğer iç yapıdaki düzensizlikleri hesaplamada önem kazanır. Klasik elastisite teorisi atomik yapılarda meydana gelen gerilmelerin ihmal edilecek durumda olması halinde kullanılırken, gerilmelerin ihmal edilemeyecek kadar büyük olması durumunda ise yerel olmayan elastisite teorisi kullanılır. Bu nedenle karbon nanotüplerin modellenmesinde bu yöntem çok önemlidir. Yerel olmayan elastisite teorisinin yerel teoriden daha üstün olmasının birçok nedeni vardır. Bu nedenlerin başında da yerel teoride ortaya çıkan tekillik problemlerinin bu teoride tamamen çözüme kavuşturulmasıdır. Sonuç olarak nanoyapıların davranışlarını incelemede yerel olmayan elastisite teorisinin daha etkili olduğu görülür. Normal boyutlardaki elemanlarda hesaplar yapıldığında klasik teoriden çok farklı sonuçlar elde edilmemiştir. Ancak mikro ve nano yapılarda sonuçlar önemli derecede değişmektedir. 
Son olarak bütün bu anlatılanlar doğrultusunda yerel olmayan teori dikkate alınarak eksenel basınç yükü altında Timoshenko çubuğuna ait temel denklemler elde edilmiştir. Durum vektörü belirlenmiştir. Temel denklemlere bağlı olarak diferansiyel geçiş matrisi oluşturulmuştur. Hesaplamalar sonucunda yerel olmayan teoride Timoshenko çubuğuna ait taşıma matrisi en genel halde edilmiştir. Burada elde edilen taşıma matrisi tüm çubukları kapsamaktadır. Yerel olmayan parametenin belli bir limit değeri için matris klasik teorideki taşıma matrisine döner. Ayrıca bu taşıma matrisi kayma katsayısının belli bir limiti için Euler çubuğunun taşıma matirisine dönüşür. Bu çalışmada altı farklı örnek ele alınmıştır. Bunlar; basit kiriş, konsol kiriş, bir ucu ankastre diğer ucu sabit kiriş, iki ucu ankastre kiriş, değişken kesitli kiriş ve gerber kiriş incelenmiştir. Bu örneklerde burkulma yükleri başlangıç değerler yöntemi kullanılarak hesaplanmıştır. Örneklerde en önemli dikkat edilmesi gereken durum şudur. Hem yerel olmayan teori hem de Timoshenko teorisi dikkate alındığından yerel olmayan parametrenin ve kayma etkisinin hesaplarda etkisi vardır. Bu nedenle nano ölçekli elemanların incelenmesinde önemli bir role sahiptir. Burada başlangıç değerler yöntemi ile burkulma yükleri hesaplanırken burkulma determinantının boyutu 2x2'dir. Geleneksel yöntemler kullanılsaydı burkulma yüklerini hesap etmek için burkulma determinantlarının boyutu 4x4 olacaktı. (Bölüm 6.4.1, 6.4.2, 6.4.3 ve 6.4.4'te gösterilmiştir.) Bölüm 6.4.5 ve 6.4.6'da anlatılan problemlerde burkulma yüklerinin hesabı için burkulma determinantının boyutu 3x3'tür. Eğer geleneksel yöntem ile hesap yapılsaydı bu determinantın boyutu 8x8 olurdu. Yerel olmayan Timoshenko çubukları için elde edilen burkulma yükleri daha sonra yerel olmayan parametrenin ve kayma katsayısının belli limitleri için diğer durumlardaki kritik yükler yani klasik Timoshenko çubuğu için kritik yük, aynı zamanda klasik ve yerel olmayan durumlarda Euler çubukları için kritik yükler elde edilmiş olup ayrı ayrı tablolarda gösterilmiştir. Yerel olmayan teoriler küçük ölçekli etkileri ihmal etmez bu nedenle yerel ve yerel olmayan teoriler tarafından hesaplanan kritik yükler γ/L nin büyük değerleri için farklıdır. Tekrar ifade edecek olunursa yerel olmayan Timoshenko kirişinde hem yerel olmayan etki hem de kayma etkisi dikkate alınır. Bu nedenle en güvenli kritik yükler yerel olmayan Timoshenko kirişine aittir ve bunlar grafiklerle gösterilmiştir.

Abstract:
The problem of buckling has always been an important issue in engineering. It is a substantial element to take care of in order to ensure the safety of structures. Buckling problems are calculated by the solution of differential methods. However, the solution of these equations is not easy. Hence, the buckling loads are easily calculated by using the initial values method and the carry-over matrix in an effective way for the solution of buckling problems. Once the carry-over matrix for the rod is calculated, there is no need to solve the equation for each new problem. The aim of this study is to calculate the buckling loads of Timoshenko rods using the non-local theory of elasticity.
In this study, primarily, nanotechnology has mentioned in a comprehensive way. Nanotechnology is an area that describes units at atomic and molecular levels and develops, regulates and controls materials of these sizes. The feature that separates nanoparticles from large materials is not just the special significance of their size. These structures form a different structure from large materials in terms of physical, chemical and biological properties. In a nut shell, control of a substance at an atomic and molecular levels is achieved through nanotechnology. When materials are examined in Nano-dimensions, their atomic properties gain prominence. Thus, the concept of non-local theory of elasticity stands out.
Differential methods are used when calculating the collapse of the bearing elements. However, as continuity increases on the bearing element, the solution to this equation becomes extremely difficult. The method of initial values is used to facilitate the solution of the problem. In this method, the equation to be written by preventing the addition of constants to the solution equation due to inconsistencies added to the system is always expressed by constants of the same initial state. The carry-over matrix concept is used when the method of initial values is applied. With the carry-over matrix, the equation system has been converted into a matrix form, and the solution is done with ease. The coordinates should be determined firstly to get the carry-over matrix in any rod. The state vector expressed by these coordinates is obtained. In order to express the state vector, derivatives of the functions that form up the vector are calculated. A differential transition matrix is created to allow these functions to move from one state to another. With assist of this matrix, a transition from one state to another can be made. This transition, however, is achieved by the passage of the large pieces in infinite small targets. Instead, a single integral calculation is made for the state to be transitioned. This transition is made with a single move of carry-over matrix.
In the theory of local elasticity, the transfer matrices of Euler and Timoshenko rods under axial pressure load are obtained separately. The reliability and accuracy of calculations made for beams (rods) that hold one of the most significant places among the building elements is crucial to factors of safety. The study of beams shows that Euler-Bernoulli theory is one of the most widely accepted theories, given the theories developed so far. In addition to this, the more accepted theory is the Timoshenko theory, an improved version of Euler-Bernoulli theory. In order to examine the behaviour of the buckling, the basic equations for Euler-Bernoulli rods under axial pressure load have been obtained first. Since the initial values method will be used, the state vector for the rod is determined. This state vector consists of collapse, rotation, moment and cutting force. A differential transition matrix has been obtained to calculate from the starting point of the rod to any point. After obtaining the differential transition matrix, a carry-over matrix has been obtained for the Euler-Bernoulli rod following the mathematical calculations. For example, a buckling load has been calculated for the cantilever beam. As the carry-over matrix is obtained in the most general state, the critical buckling load can be easily calculated using the starting and end conditions for each type of problem. In line with these explanations, a buckling load has been obtained for a conventional Euler-Bernoulli cantilever beam. The same procedure is done for Timoshenko rod. But the most important thing to be considered is this; the shearing effect is taken into account in the Timoshenko rod. Therefore, the basic equations for the rod subjected to axial pressure load are reobtained. Since the cutting effect is considered, a shearing factor is calculated. This calculation is about the most crossing-section of the rod. As on the Euler-Bernoulli rod, a state vector is obtained here. The differential transition matrix is then written using the basic equations. As a result of mathematical solutions, the carry-over matrix for the Timoshenko rod is calculated from the axial pressure load. The buckling load for the same cantilever beam sample using the starting and end conditions obtained considering the conventional Timoshenko rod. Results have been compared and it has been observed that the buckling load calculated by taking into account Timoshenko theory is closer to the most accuracy.
The non-local elasticity theory stands out as the internal structure of the material has gained importance when considering the nano-dimensions. The theory of non-local elasticity is a very important subject within the scope of civil engineering and is the result of the situations in which local elasticity theory is inadequate. The theory of non-local elasticity is a theory that covers the calculations made in the calculation of stresses, taking into account changes in shape at the neighbouring points and other points. Here a parameter has been set to calculate the non-local stress. This parameter depends on the material constant and the internal characteristic of the material. According to Eringen, the theory of non-local elasticity is concentrated on the body's internal structure and becomes important in calculating geometric irregularity, internal energy change, stresses and other integral irregularities. While the conventional elasticity theory is used when stresses in atomic structures are negligible, a non-local elasticity theory is used when stresses are too large to neglect. Therefore, this method is very significant in modelling carbon nanotubes. There are many reasons why the theory of non-local elasticity is superior to the local theory. One of the main reasons is the solving of singularity problems that emerge in local theory are solved completely with non-local theory. As a result, non-local elasticity theory is much more effective in examining the behaviour of nanostructures. When calculations are made for normal-size elements, there are no very different results from the conventional theory. However, results in micro and nano structures are significantly changing.
Ultimately, in line with all of this, the basic equations of the Timoshenko rod have been obtained under axial pressure load, taking into account the non-local theory. The state vector has been determined. Depending on the basic equations, a differential transition matrix has been created. The calculations indicate that in the non-local theory, the carry-over matrix of the Timoshenko rod has been obtained in the most common form. For a specific limit value of a non-local parameter, the matrix turns to the carry-over matrix in the conventional theory. In addition, this carry-over matrix transforms into the Euler rod carry-over matrix for a certain limit of the slip coefficient. Six different examples have been discussed in this study. These include: simple beam, anchorage beam on one end and fixed beam on the other, anchorage beam on both ends, beam of variable cross-section and gerber beam have been examined. In these examples, the buckling loads are calculated using the initial values method. Here is the most important consideration for examples. Since both non-local theory and Timoshenko theory are taken into account, the non-local parameter and the shearing effect have an impact on the calculations. Therefore, it plays an immense role in the examination of nano-scale elements. The size of the sprain determinant is 2x2 when calculating the buckling loads using the initial values method here. If conventional methods were used, the size of the buckling determinants would be 4x4 to calculate the buckling loads. (Shown in Sections 6.4.1, 6.4.2, 6.4.3 and 6.4.4) For the calculation of buckling loads for the problems described in Sections 6.4.5 and 6.4.6, the size of the buckling determinant is 3x3. If calculations were made using conventional methods, the size of this determinant would be 8x8. The buckling loads obtained for non-local Timoshenko rods were then obtained critical loads in other states for certain limits of non-local parameter and shear coefficient, that is critical loads for Euler rods in conventional and non-local states, shown in separate tables. Non-local theories do not neglect small-scale effects, thus the critical loads calculated by local and non-local theories are different for the major values of γ/L. If restated, the non-local Timoshenko beam takes into account both the non-local effect and the shear effect. Therefore, the safest critical loads belong to the non-local Timoshenko beam and are shown in graphs.