İkinci mertebeden kısmi diferansiyel denklemlerin legendre polinom çözümleri ve uygulamaları
Legendre polynomial solutions of second order partial differential equations and their applications
Yazar: BAYRAM KEMANCI
Danışman: PROF. DR. MEHMET SEZER
Muğla Sıtkı Koçman Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2012
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu çalışmada, fizik ve mühendislik alanlarındaki problemlerin yanı sıra kimya ve biyoloji alanlarındaki problemlerin çözümlenmesinde bir matematiksel model olarak en çok kullanılan ...tipindeki kısmi diferansiyel denklemler incelenmektedir. Aynı zamanda bunların başlangıç, sınır veya karışık koşullar altında ve dikdörtgensel, dairesel veya eliptik gibi kapalı bölgelerde çözümlerinin bulunması önemlidir. Bahsedilen kapalı bölgelerde, verilen karışık koşullara göre, en iyi yaklaşım yöntemleri, Legendre Polinomları cinsinden açılan, düzgün yakınsak olan, iki katlı Legendre serisine dayalı çözüm yöntemleridir. Bu yöntemler tanım bölgesinin tamamında oldukça iyibir hata dağılımı gösterirler.Bu çalışmada, literatürde adi diferansiyel ve integro-diferansiyel denklemler için kullanılan Legendre seri yöntemlerini kullanarak, parabolik, hiperbolik ve eliptik tip kısmi diferansiyel denklemlerin verilen bölgede, verilen koşullar altında analitik çözümünün bulunamadığı ya da zor bulunduğu durumlarda kullanılabilecek, Legendre matris adlı, yeni bir pratik yöntem geliştirilir, ve yaklaşık polinom çözümler elde edilir, Yöntem, kısmi diferansiyel denklemi ve koşullarını, cebirsel sistemlere, matris denklemlerine ve rekürans bağıntılarına dönüştür; dolayısıyla oluşan denklem sistemlerinin çözümü bilgisayar yardımı ile kolayca elde edilir.Ayrıca, Legendre matris yöntemi için kalan fonksiyonuna dayalı bir hata analizi yapılır. Diğer yandan, yöntemin etkinliğini ve güvenirliğini açıklamak için çeşitli örnekler sunulur ve hata analizi ile beraber bazı sayısal sonuçlar elde edilir.Anahtar Kelimeler: Legendre Matris Yöntemi, Legendre Serileri, Kısmi Diferansiyel Denklemler, Sıralama Noktaları, Rezidual Fonksiyon

Abstract:
In this study, the partial differential equations in the form...have been studied, which are a mathematical model to analyze the most commonly used problems in the field of chemistry and biology, as well as problems in physics and engineering. Also, it is important to find their solutions under the initial, boundary and mixed conditions, in the rectangular, circular and elliptic closed areas.The best approximate methods on the mentioned areas is Legendre methodsbased on double legendre expansion, uniformly convergent.These methods show awell enough error distribution in the region.In this study, by using the Legendre series method given for solving ordinary differential and Integro-differential equations in the literatüre, it is developed a newpractical method, called Legendre matrix method, for the solution of parabolic, elliptic and hyberbolic partial differential equations under the given conditions, in the case that the analytical solution was not found or difficult in the mentioned areas,and is obtained the approximate polynomial solutions.This method converts partial differential equations and conditions to matrix equations, recurrence relations and systems of algebraic equations; therefore, solutions is easily obtained by means of computer.Also, it is performed an error analysis based on residual function for the Legendre matris method.On the other hand, several exaples are presented to clarifythe effectiveness and consistency of the method and some numerical results are given along with error analysis.Keywords: Legendre Matrix Method, Legendre Series, Partial Differential Equations, Collocation Points, Residual Functions