Graflarda mükemmel Roman baskınlık sayısı
Perfect Roman domination number in graphs
Yazar: HÜSEYİN TOKAT
Danışman: PROF. DR. ALPAY KIRLANGIÇ
Ege Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Bilgisayar Bilimleri Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2024
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Baskınlık = Dominance

Özet:
Graf teorisinde baskınlık, bir grafın belirli tepelerinin diğer tüm tepelerle olan bağlantısını ifade eder. Bir grafın baskınlık sayısı, grafın en küçük baskın kümesinin boyutudur. Roman baskınlık, bir grafın tepelerine belirli bir şekilde sayılar atayarak grafın her tepesini belirli bir strateji altında korumak amacıyla geliştirilmiştir. Bu yöntemde, her tepe 0, 1 ve 2 ile etiketlenir. Bu strateji, Roma İmparatorluğu dönemindeki garnizon sistemine benzer şekilde, belirli tepelerde "asker" bulundurarak diğer tepelerin savunmasını sağlamayı hedefler. Roman baskınlık kavramında 0 ile işaretlenen tepenin birden fazla 2 ile işaretlenmiş komşu tepesi bulunabilir. Dolayısıyla, bir tepeyi bastırmak için birden fazla kaynak harcanmaktadır. Bu belirsizlik ve karmaşa içeren durumdan kurtulmak amacıyla mükemmel Roman baskınlık sayısı tanımlanmıştır. 
Bölüm 1'de, temel tanımlar ve bazı baskınlık ölçümlerinin tanımları verilmiştir.
Bölüm 2'de, graf işlemleri ve mükemmel Roman baskınlık sayısı ile ilgili çalışmalar ve sonuçlar verilmiştir.
Bölüm 3'te, grid grafların mükemmel Roman baskınlık sayısı hesaplanmıştır. Grid graflar için Roman baskınlık ve mükemmel Roman baskınlık sayıları arasındaki farklar detaylı olarak gösterilmiştir.
Bölüm 4'te, P_n^{---}, P_n^{+++}, P_n^{--+}, C_n^{--+}, C_n^{---} graflarının mükemmel Roman baskınlık değerleri verilmiştir. Ayrıca, n tepeli bir G grafının transformasyon grafı olan G^{--+} için mükemmel Roman baskınlık değeri hesaplanmıştır.

Abstract:
In graph theory, domination refers to the connection of certain vertices of a graph with all other vertices. The domination number of a graph is the size of the smallest dominating set of the graph. Roman domination is a concept developed to protect each vertex of the graph under a specific strategy by assigning certain numbers to the vertices of a graph. In this method, each vertex is labeled with 0, 1, or 2. This strategy aims to ensure the defense of other vertices by placing "soldiers" on certain vertices, similar to the garrison system during the Roman Empire. In the concept of Roman domination, a vertex marked with 0 can have multiple neighboring vertices marked with 2. Therefore, multiple resources are spent to dominate a single vertex. In order to get rid of this uncertainty and confusion, the perfect Roman dominance number has been defined.
In Chapter 1, basic definitions and definitions of some domination measures are provided.
In Chapter 2, graph operations and studies and results related to the perfect Roman domination number are presented.
In Chapter 3, the perfect Roman domination number of grid graphs is calculated. The differences between Roman domination and perfect Roman domination numbers for grid graphs are shown in detail.
In Chapter 4, the perfect Roman domination values of the graphs P_n^{---}, P_n^{+++}, P_n^{--+}, C_n^{--+}, and C_n^{---} are provided. Additionally, the perfect Roman domination value for G^{--+}, the transformation graph of a graph G with n vertices, is calculated.