Lokal ve eş formlu kesir mertebeli diferensiyel denklemlerin çözümleri
Solutions of fractional local and conformable differential equations
Yazar: MUAMMER TOPSAKAL
Danışman: PROF. DR. FİLİZ TAŞCAN GÜNEY
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Bilgisayar Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2019
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Kesir türevli diferensiyel denklemler matematikde, fizikte, biyolojide, sinyal işlemede, kontrol teoride, sistem tanımlamasında ve birçok lineer olmayan olayların matematiksel modellenmesinde kullanılır. Bunun yanısıra besin takviyesi, iklimlendirme, finans ve ekonomi gibi sosyal bilimlerde de kullanılmaktadır. Uygulamalı matematik ve birçok fizik problemlerinde karşımıza çıkan lineer olmayan kesir türevli diferensiyel denklemlerin tam çözümlerinin elde edilmesi son zamanlarda büyük önem kazanmıştır. Lineer olmayan kesir türevli diferensiyel denklemlerin doğrudan çözülmesi mümkün olmadığı için, bir takım metotlar geliştirilmiştir. Bu bağlamda tanh, sinüs-kosinüs, üstel fonksiyon, ilk integral,  Kudyrashov, basit denklem, (G'/G)-açılım ve yardımcı denklem vb. yöntemler bu tür denklemlere uygulanmıştır.

Bu tezin ilk aşamasında, kesir türevli diferensiyel denklemlerin ortaya çıkışı, günümüze kadar kullanılan kesir türevli diferensiyel denklemlerin tanımları ve kesir türevli diferensiyel denklemlerin çözümlerinde ortaya çıkan temel kavramlar ele alınmıştır. İkinci aşamada ise son yıllarda en çok kullanılan kesir türevli diferensiyel denklemlerden olan lokal kesir türevli diferensiyel denklemler ve eş formlu kesir türevli diferensiyel denklemler incelenmiştir. Ardından lineer olmayan diferensiyel denklemlerin, diferensiyel denklem sistemlerinin, ve kesir türevli diferensiyel denklemlerin çözülebilmesi için kesirsel dönüşümden daha etkili ve yeni bir metot olan, lokal ve eş formlu kesir türevlerin tanım özelliklerinin kullanıldığı, hareketli dalga dönüşümler yolu ile adi diferensiyel denkleme dönüştürülmeleri verilmiştir. Adi kesir türevli diferensiyel denkleme indirgenen kesir türevli diferensiyel denklemlerin çözümlerinin bulunabilmesi için dengelenme sayısını bulma ve çok kullanılan tam çözüm yöntemlerinden bazıları basitten başlayarak belirli bir sırada verilmiştir. Son olarak, lokal ve eş formlu kesir türevli diferensiyel denklem tanımları ve özellikleri kullanılarak, kesir türevli diferensiyel denklemlerden bazılarının tam çözümleri yeni yöntem ve metotlara göre elde edilip, sonuçları tartışılmıştır. 

Anahtar kelimeler: Lokal kesirli türev, eş formlu kesirli türev, hareketli dalga dönüşümü, dengelenme sayısı, tam çözüm yöntemleri.

Abstract:
Fractional differential equations are used in mathematics, physics, biology, signal processing, control theory, system identification and mathematical modeling of many nonlinear events. It is also used in social sciences such as nutritional supplements, air conditioning, finance and economics. It has recently gained great importance to obtain exact solutions of nonlinear fractional equations which are faced in applied mathematics and many physics problems. Since it is not possible to directly solve nonlinear fractional differential equations, a number of methods have been developed and the methods which are tanh, sine-cosine, exponential function, first integral, Kudyrashov, simple equation, (G'/G) -expantion and auxiliary equation and so on. , have been applied to such equations.

In the first stage of this thesis, how to discover fractional differential equations, the definitions of fractional differential equations used to until today and the basic concepts in the solution of fractional differential equations are given. In the second stage, local fractional differential equations and conformable fractional differential equations which are the most commonly used fractional differential equation definition in recent years are examined. Then, in order to solve non-linear differential equations, and fractional-order differential equations, they should be transformed into fractıonal ordinary differential equations by means of new travelling wave transformations using local and conformable fractional definition properties, which is more effective method than fractional transform method. Later how to find balance number of an fractıonal ordinary diferential equation and the most commonly used solution methods for ordinary diferential equations are determined in a specific order. Finally, the exact solutions of some of the fractional differential equations are obtained according to new methods by using the definitions and properties of local and conformable fractional differential equations and the conclusion are discussed.

Keywords: Local fractional derivative, conformable fractional derivative, travelling wave transformation, balance number, exact solution methods.