Nicem devinbilimde olasılıkçıl evrim kuramı, evrilteç devinbilimi, konaç bükümü ve yanaşık açılımlar: Bakışık üstel gizilgüçlü dizgeler
Probabilistic evolution theory, evolver dynamics, coordinate bending and asymptotic expansions: Quantum symmetric exponential potential systems
Yazar: SEMRA BAYAT ÖZDEMİR
Danışman: PROF. DR. METİN DEMİRALP
İstanbul Teknik Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Hesaplamalı Bilimler ve Mühendislik Ana Bilim Dalı / Hesaplamalı Bilim ve Mühendislik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2021
Konu: Matematik = Mathematics ; Mühendislik Bilimleri = Engineering Sciences

Özet:
Nicem İşleybilim (ing: Quantum Mechanics), durumu duyularla dolaysız algılanamayacak, ancak, aygıtlar yardımıyla algılanabilecek düzeyde küçük nesnecikler üzerinde çalışılan bir bilim dalıdır. Bu nesneciklerin konum, devinirlik (momentum), erke (enerji) gibi tüm bilgilerine dalga işlevi (ing: wave function) yardımıyla ulaşılmaya çalışılır. Bu işlev "Shrödinger Denklemi" nin çözümüdür. Göre türevli bir denklem olan Schrödinger Denkleminin çözümünün belirlenişinde yaşanan sorunlar türlü yöntemlerin geliştirilişi ile aşılmaya çalışılmıştır. Ancak, bir nicem dizge için işe yarayan ve çözümü önemli ölçüde yalınlaştıran yöntem bir başka dizgeye uygulanırken sorunlar çıkabilmekte, verimin düşüşü ve üstelik çözümden uzaklaşım görülebilmektedir. Bu anlamda, özelsizde (genelde) geçerli bir yöntem geliştirmek büyük önem taşımaktadır. Bilişim Enstitüsü Bilgisayım Bilimi ve Yöntemleri Topluluğu (BEBBYT) üyelerince son yıllarda yapılan çalışmalar ile bu çözüm karmaşasını giderebilecek ve tüm durumlarda uygulanabilecek yöntemler geliştirilmesi amaçlanmıştır. Olasılıkçıl Evrim Kuramı (OLEVKU) Prof. Dr Metin Demiralp'çe üretilen ve topluluk çalışmalarıyla geliştirilen, bu savın odağında olan yöntemlerden biridir. Nicem dizgelerin olasılıkçıl doğası, bu yöntemle çalışmamız için en önemli güdüleyiş (motivasyon) kaynaklarından biridir. çünkü, geliştirmeye çalıştığımız çözüme yaklaşımın temelinde beklenen değerlerin devinimi bulunmaktadır. Aslında, bu yöntemin kullanımı nicem dizgeleriyle kısıtlı değildir. OLEVKU, sağ yanları ikinci derece çokçokterimli işlevler olan birinci kerteden, belirtik (ing: explicit), özerk (ing: autonomous) sıradan türevli denklem takımlarının herhangi birinin başlangıç değer sorununu çözmek için kullanılabilir. Kuram, çok değişkenli Taylor toplamdizilerinin özelsizleştirimi olan Kronecker üs toplamdizilerine dayanmaktadır. Türlü doğrucul cebir araçlarıyla katsayı dizeylerinin öğelerindeki esneklikleri kullanışın yararları bu yöntemden kaynaklanmaktadır. Ancak bu sav kapsamında uygulayımcıl olarak Nicem Devinbilim sorunları ele alınmıştır. 
Nicem devinbilim sorunlarınının çözümü de dalga işlevinin uzbilimcil (matematikçil) yapısından dolayı güçlükler taşımaktadır. Bu savda dalga işlevini belirlemeksizin, başlangıç değerlerini ve göre türevli denklemi (GTD) sıradan türevli denklem (STD) kümesine dönüştürerek kullanan bir yaklaşım geliştirilmeye çalışılmaktadır. Dizge Hamilton İşlecinde görünen işleçleri kapsayan, işlevcil olarak bağımlı, ancak, doğrucul olarak bağımsız öğelerden oluşan "İşleç taban kümesi" ele alınarak ve bu küme öğelerinin beklenen değerleri arasında bir sıradan türevli denklem kümesi oluşturup herhangi bir işlecin beklenen değerini bu kümenin çözümü üzerinden belirleyişe çalışmak bu savın amaçlarından birisidir. OLEVKU ile beklenen değerlerin zamanda deviniminin açıklanışına çalışılmaktadır. Sonuçta, kuramsal yapısını oluşturduğumuz bu yöntem ile bir nicem dizgenin erke düzeylerinin ve karşılık gelen beklenen değerlerin belirlenişine çabalanmıştır. Göstermelik (örnek) dizge olan "bir özgürlük dereceli uyumsuz üstel bakışık salıngaç (ing: one-degree-of-freedom anharmonic exponential symmetric oscillator)" dizgesinin yapısından kaynaklanan sorunlar her çalışma evresinde yeni bir çözüm arayışına iteklemiş ve bu da kuramın gelişimi için önemli katkılar sağlamıştır. 
Savın her bir bölümü, kuramcıl ve/veya uygulayımcıl katkılar içermektedir. İlk bölüm, giriş niteliklidir. Savda ilgilenilen sorun ve savın amacı yeterince ayrıntılı olarak açıklanmaktadır. Sorun, çözüm yöntemleri ve topluluk çalışmalarımız ile ilgili bilimcil yazın araştırımları bu bölümde verilmiştir. Hamilton İşleci ve öteki dizge işleçleri ile özelsiz (genel) Schrödinger denklemi ikinci bölümün başında verilmektedir. Sonrasında, uygulayışlar için özel olarak seçtiğimiz biçe olan "Üstel Uyumsuz Bakışık Nicem Salıngaç (ing:  Exponentially Anharmonic Symmetric Quantum Oscillator)" tanımlanmaktadır. çözümleyişleri yalınlaştırmak için kullanılan "Doğabilimcil Birimsizleştirim" kavramı, o bölümün geri kalanında verilmiştir. Yukarıda sözedilen "Olasılıkçıl Evrim Kuramı" bu bölümde ayrıntılı olarak açıklanmaktadır. Ayrıca, "Uzay Genişletim" kavramı da bölümün temel içeriğinden önce verilmiştir. İkinci bölüm, uyumsuz üstel salıngacın evrim dizeyi ile nicem devinimin temel tanımları ve denklemleri ile sona ermektedir. Üçüncü bölüm, beklenen değer devinimi denklemlerinin oluşturuluşuyla başlamakta ve "Uzbilimcil Sendelenim Kuramı (ing: Mathematical Fluctuation Theory)" ile ilerlemektedir. Burada, "Sendelenimsizlik Yaklaştırımı" kavramı da verilmiştir. Daha sonra, beklenen değer deviniminde  sendelenim olgusu incelenmektedir. Bu arada, zamanda toplamdizilerin (ing: series in time) sendelenim açılımı ve yakınsaklık çözümleyişleri de incelenmektedir. Ortaya çıkan durumda, "Özelsizleştirilmiş Dalga çıkını (ing: Generalized Wave Packet)" tanımının çözümleyişleri yalınlaştırabileceği sonucuna varılmıştır. Bununla ilgili öneriler bu bölümün sonunda verilmiştir. Uzay genişletiminin yeniden ele alındığı dördüncü bölümde, ikinci dereceliliğe indirgeyiş sağlandıktıktan sonra OLEVKU kullanımı ele alınmıştır. Beklenen değerlerinin devinimi için belirlenen işleç tabanı ile iki terim özyineleyişli sıradan türevli yöney denklem oluşturulmuş ve bu denklemi çözmek için bir yöntem geliştiriş adımları da bu bölümde verilmiştir. Uzay genişletimine dayalı bir yöntem olan "Değişmezlik Eklenimli Uzay Genişletim (DEUG)" tanımlanmış ve sıradan türevli yöney denklem de yeniden düzenlenmiş ve eşsiz olmayan katsayı dizeylerini elde etmek için kullanılmıştır. Dördüncü bölüm, DEUG'u "Evrilteç Devinimi"nde kullanarak, dördül (ikinci dereceden) bir çokterimli elde ederek, "Tek Tekterimli OLEVKU" ile en yüksek dereceden tekterimli denklemi oluşturduktan sonra çözümü gerçekleştirişin kuramcıl bilgisiyle sona ermektedir. Beş ve altıncı bölümlerde "Konaç Büküm (ing: Coordinate Bending)" yöntemi ayrıntılı olarak anlatılmıştır. Yöntemin ortaya çıkışı, geliştirilişi, "Konaç bükümcül işlev" seçimi beşinci bölümde verilirken, ilk uygulayış  "Dışarlak Söbekçil Konaç Bükümü (ing: Hyperbolic Coordinate Bending)" de yine bu bölümde yapılmıştır. "Saptırım Açılımı (ing: Perturbation Expansion)"nın ayrıntılı anlatımı, açılımın en baskın öğesinin bulunuşu ile yanaşık özdeğerlerin Mupad betikleriyle elde edilişi ve çözümlemeler de bu bölümün sonunda verilmiştir. "Bütünleşik Bakışık Tümlevcil üstel Kuyu Gizilgüçlü Nicem Dizge" için "Konaç Büküm" yönteminin açıklandığı altıncı bölümde,  k ile simgelenen gizilgüç değiştirgesinin erkenin çok büyük değerleri dolaylarında çalışılacağı öngörülerek bir saptırım açılımından nasıl yararlanılabileceği ve bu yolda Nicem Uyumlu Salıngaç'ın (ing: Quantum Harmonic Oscillator) dizgecil özelliklerinin yardımcı olarak nasıl kullanılabileceği gündeme getirilmiş ve yukarıda belirtilen çok büyüklük bağlamında bir saptırım açılımı geliştirilebileceği de vurgulanmıştır. Saptırım açılımının en baskın öğelerine odaklanılmış, erke değeri belirleyişinde kesin anlatımların nasıl elde edilebileceğinden sözedilmiş, ancak, daha yalın bir yapılandırım elde edebilmek için baskın erke anlatımları yerine onların kıyılandırımına ağırlık verilmiştir. Saptırım açılımının taban öğeleri bölümün sonundan biraz önce verilmiştir. Savda elde edilen sonuçlar, öneriler, ve de uyarılar yedinci bölümde verilmiş ve böylece savın ana bölümleri bütünleştirilmiştir. Sav kapsamında çalışılan ve kuramcıl olarak oluşturulan öteki çalışmalar da savın sonunda ek bölümler olarak sunulmuştur.

Abstract:
Classical mechanics investigates the motion behaviours of objects, which can be perceived directly with the senses, under various forces. The models under consideration are in macroscale and they are created with position and momentum data. Determination of both momentum and position of a particle with absolute accuracy at the same time is impossible in microscale. This point of view, proposed by Werner Heisenberg in 1927, is called the "Uncertainty Principle". The Uncertainty Principle is one of the fundamental principles of Quantum Mechanics. Quantum Mechanics deals with the states of particles indirectly perceptible with devices. In the theory of quantum mechanics, a function containing all the information/state (position, momentum, energy...) of a particle is defined. This function is called "Wave Function". The requested information is found with the help of this function. The wave function is the solution of the Schrödinger equation, which is a partial differential equation. The determination of the wave function is one of the main issues of quantum mechanics problems. Cases that can be solved analytically are very few in number and can only occur under certain specific conditions. For most of the quantum systems, determining spectral properties is not easy. The use of approximation methods comes to the fore here. Considerable number of approximation methods have been developed for various special cases. However, when a method, which works for a problem and facilitates the solution significantly, is applied to another problem, certain difficulties may arise, efficiency decreases and divergence from the solution can be seen. There is a need to develop a method that is general-oriented and is used to calculate observable values without solving the Schrödinger equation. 
The observables of quantum mechanics are determined from a known wave function through the expectation values of suitable set of operators. However, their determination by wave function is not a situation that can be easily overcome as it appears. The process calls for integral computation over the wave function. For this, first of all, the wave function has to be determined. In this case, it is required to solve the Schrödinger equation one way or another. The aim here is to avoid this solution process. Even if we seem to be using the wave function, it is possible to perform this avoidance action by disabling it and creating equations that take the expected values as unknown. The equations between expected values are not necessary to be merely algebraic. Taking derivative over time and then creating ordinary differential equations is also preferable to a partial differential equation solution. For this purpose, an approach is developed to solve quantum mechanics problems in this thesis. According to this approach, instead of the wave function itself, the initial structure at the beginning of the motion is preferred, so that it is desirable to solve a set of ordinary differential equations instead of a partial differential equation. In this regard, it is aimed to use a "Operator Basis Set" that includes operators appearing in the system Hamiltonian and newly defined operators which are functionally dependent but linearly independent to the system operators. It is envisaged that the basis set will be closed under the action of commutation that is to say that commutator of each element and system Hamiltonian can be described by a linear combination of basis set elements. Under this prediction, it is a fact which can be easily demonstrated that the expected value of any operator, which can be described with a linear combination of finite or infinite terms on these basis set elements, can be given with an equivalent linear combination on the expected values of these basis set elements, due to the linear structure of the expected value. Therefore, it is one of the preliminary goals of this thesis to create a set of ordinary differential equations between the expected values of the set elements and determine the expected value of any operator mentioned above through the solutions of this equation set. The determination of the variations of the expected values in time with the set of ordinary differential equations obtained in this way is called Probabilistic Evolution Theory (PREVTH). PREVTH is constructed and developed by Prof. Dr. Metin Demiralp at the base and related with the fields of the topics studied by members of "Group for Science and Methods of Computing (G4SMC)". Probabilistic nature of quantum systems is the motivation for us to work with this method. Because expectation value dynamics is at the basis of the approach we are trying to develop. In fact, the use of this method is not limited to quantum systems. PREVTH can be used to solve any initial value problem of first order explicit autonomous ordinary differential equation sets with second degree multinomial right hand side functions. The theory is based on the Kronecker power series which are the generalization of multivariate Taylor series. The advantages of using flexibilities in the parameters of coefficient matrices with various linear algebra tools results from the method. 
The content of this thesis has contributed to the development of PREVTH in many ways. Each section contains theoretical and/or practical contents regarding the contribution. The first section is the introduction section. The problem of interest and aim of the thesis are explained globally in detail. The literature review about the problem, the solution methodologies and our group studies are given in that section. The general Schrödinger equation with Hamiltonian and other system operators are given in the beginning of the second section. Later, the Exponentially Anharmonic Symmetric Quantum Oscillator, the model we have chosen specifically for applications, is defined. The concept of "Physical Dimensionlessness" for convenience in the analysis is given without loss of generality in the continuation of that part. The "Probabilistic Evolution Theory" mentioned above, is described in detail in this section. Also the concept of "Space Extension" is given before the essential content. The second section ends up with the basic definitions and equations of quantum dynamics of anharmonic exponential oscillator with evolution matrix. The third section begins with the formation of expectation value dynamics equations and continues with the "Mathematical Fluctuation Theory". Here, the concept of "Fluctuationlessness Approach" is given. Afterwards, the fact of fluctuation in expectation value dynamics is studied. Meanwhile, fluctuation expansion in time series and the convergence analysis are studied. In the resulting case, it is concluded that the definition of "Generalized Wave Package" may facilitate analysis. Suggestions for this are given at the end of this section.
In the fourth section where space expansion is reconsidered, a reduction to the second degree is achieved and then the use of PREVTH is handled. A two-term recursive ordinary differential equation is created on the operator basis set for the dynamics of the expectation values, and the steps of developing a method for solving this equation are also given in this section. A method based on space extension, "Constancy Adding Space Extension (CASE)" is described and used to get rearranged and non-unique coefficient matrices in ordinary derivative equations set. The fourth section ends up with the theoretical knowledge of using the CASE in the "Evolver Dynamics" obtaining a quadratic (second degree) polynomial and solving it after getting the highest order monomial equation with "Single Monomial PREVTH". In the fifth and sixth sections, the "Coordinate Bending" method is explained in detail. While the emergence and development of the method with the selection of coordinate bending functions are given in the fifth section. The first practice "Hyperbolic Coordinate Bending" is also made in this section. Analysis for anharmonicity parameter at infinite limit is given before the determination of dominant asymptotic eigenvalues. Asymptotic eigenvalues are obtained by scripting in Mupad and analyzed later. "Perturbation Expansion" concept is also given at the end of fifth section. In the sixth chapter in which Coordinate Bending methodology for "Integrated Symmetric ExponentialWell Potential Quantum System" is expained, how to make use of perturbation expansion by assuming that the potential energy parameter represented by k will work around very high energy values, how the systemic properties of the"Quantum Harmonic Oscillator System" can be used through this way are discussed and it is emphasized that perturbation expansion can be developed in the context of the high values mentioned above. While focusing on the most dominant term of the perturbation expansion, it was mentioned how to obtain precise expressions in determining the energy value, but, in order to obtain a simpler structure, emphasis has been placed on the upper and lower bounds of dominant energy instead of its expressions. The basics of perturbation expansion are given just before the end of the section. The results obtained in the thesis, suggestions, and warnings are given in the seventh section and thus the main parts of the thesis have been integrated. Other topics studied and theoretically created within the scope of the thesis are presented as appendix sections at the end of the thesis. These are the search for approximate solutions in recursive equations with the help of dominant above series, obtaining non-recursive ordinary differential equation and search for solution with "Delay Differential Equations" new Hamilton operator definition with interval folding, space pruning method, solution search with Rayleigh and Ostrowski ratios for applications based on "Differential Difference Equation".