M-kesirli türevler için Pompeiu ortalama değer teoremi ve eşitsizlik uygulamaları
Pompeiu mean value theorem for M-fractional derivatives and applications to inequalities
Yazar: PINAR BOLU
Danışman: DOÇ. DR. SAMET ERDEN
Bartın Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2022
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
İntegral eşitsizlikleri hem teorik hem de uygulamalı matematikte kullanılan en önemli araçlardan biridir. Bazı problemlerde integralin tam değeri hesaplanamaz. Böyle durumlarda yaklaşım metotları geliştirmek gereklidir. Bu yüzden, bazı matematikçiler fonksiyonların çeşitli sınıfları için integral eşitsizlikleri üzerine çalışmıştır. Hermite-Hadamard, Ostrowski, Chebyshev, Grüss ve Ostrowski-Grüss eşitsizlikleri, literatürdeki önemli eşitsizliklerden bazılarıdır. Son zamanlarda, bazı araştırmacılar klasik ortalama değer teoremini ve 1946 yılında Pompeiu tarafından sunulan Pompeiu ortalama değer teoremini kullanarak Ostrowski tipi eşitsizlikler elde etmişlerdir. Sonrasında, Pompeiu ortalama değer teoremini taban alan Ostrowski tipi eşitsizlikler fonksiyonların farklı sınıfları için birçok matematikçi tarafından incelenmiştir. 
Diğer yandan, kesirli hesaplamalar son zamanlarda matematiksel analiz için önemli bir alan haline geldi. Kesirli integraller ve türevler genellikle çok sayıda araştırmacı tarafından bilinmezdi ve sadece teorik matematik konularında kullanılmıştı. Ancak bu integraller ve türevler son zamanlarda matematiğin birçok uygulama alanında kullanılmaya başlanmıştır. Bu teori özellikle bilimin bazı alanlarında vazgeçilmez bir konuma geldi. Örneğin; bir kesirli türev olmadan viskoelastik bir süreç tanımlamak mümkün değildir. Uygulama alanlarının genişliğinden dolayı, lokal, uyumlu, alternatif ve M-kesirli gibi yeni kesirli hesaplama yöntemleri geliştirilmiştir. Ek olarak, matematiğin en önemli alanlarından biri olan eşitsizlik teorisinde kesirli türev ve integraller içeren çok sayıda sonuç elde edilmiştir. Örneğin, Hermite-Hadamard, Ostrowski, Grüss ve Ostrowski-Grüss gibi temel eşitsizlikler 0 ve 1 arasındaki türev ve integral değerlerini hesaplamak için kullanılan uyumlu kesirli hesaplamalar için kurulmuştur. Bunlara ek olarak, bazı araştırmacılar uyumlu ve lokal kesirli hesaplamalar için Pompeiu ortalama değer teoremini kanıtlamış ve bu teoremi kullanarak bazı eşitsizlikler geliştirmişlerdir. 
Bu tezde, Pompeiu ortalama değer teoremini taban alan Ostrowski tipli eşitsizlikler üzerine devam eden çalışmaların ışığında M-kesirli türevler için Pompeiu ortalama değer teoremi kanıtlanacaktır. Aynı zamanda, M-kesirli Pompeiu ortalama değer teoremi kullanılarak elde edilen yeni Ostrowski tipli sonuçlar bulunacaktır. Bu Ostrowski tipli sonuçların ağırlıklı versiyonları da elde edilecektir. Son olarak, bu tez kapsamında geliştirilen eşitsizliklerin bazı uygulamaları sonuç olarak verilecektir.

Abstract:
The theory of integral inequalities is one of the most useful mathematical tools in both pure and applied mathematics. The exact value of an integral can not be calculated in some problems. In these cases, it is necessary to develop approximation methods. Therefore, some mathematicians worked on integral inequalities for various classes of functions. Hermite-Hadamard, Ostrowski, Chebyshev, Grüss and Ostrowski-Grüss are some of the important inequalities in literature. Recently, some researchers focused on Ostrowski type inequalities obtained by using classical mean value theorem and Pompeiu mean value theorem which is introduced by Pompeiu in 1946. After that, Ostrowski type inequalities based on Pompeiu mean value theorem for different classes of functions and their weighted versions are examined by many mathematicians. 
On the other hand, Fractional calculus has grown into a significant pillar for mathematical analysis in recent years. Fractional integrals and derivatives were not generally known for many researchers and up to recent years has been used only in a pure mathematical context. However, these integrals and derivatives have been used in many application areas of mathematics in the last few decades. This theory have especially become indispensable in some areas of sciences. For example, it is impossible to describe a viscoelastic process without using a fractional derivative. Because of the wide of the application areas, new fractional computation methods such as local, conformable, alternative and M-Fractional have been developed. In addition, a large number of results involving fractional derivatives and integrals has been obtained in inequality theory which is one of the most important application areas of mathematics. For instance, fundamental inequalities such as Hermite-Hadamard, Ostrowski, Grüss and Ostrowski-Grüss were established by using Conformable Fractional Calculus which is used to calculate the integral and derivative values in between 0 and 1. Furthermore, some researchers gave Pompeiu mean value theorem for conformable and local fractional theory and they also developed some inequalities by using fractional Pompeiu mean calue theorem. 
Inspired and motivated by ongoing research on Ostrowski type inequalities based on Pompeiu mean value theorem, Pompeiu mean value theorem for M-Fractional derivatives will be proved in this thesis. Aditionally, new Ostrowski type inequalities obtained by using M-Fractional Pompeiu mean value theorem wil be established. The weighted versions of these Ostrowski type inequalities will be obtained. Finally, some applications of the inequalities which will be developed in this thesis will be also given.