Bazı lineer olmayan diferensiyel denklemlerin painlevé analizi, korunum kanunları ve tam çözümleri
Painlevé analysis, conservation laws and exact solutions of some nonlinear differential equations
Yazar: RABİA ALTUNAY
Danışman: PROF. DR. MEHMET NACİ ÖZER
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Bilgisayar Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2020
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Jacobi eliptik fonksiyonlar = Jacobi elliptic functions ; Painleve analizi = Painleve analysis ; Tam çözüm = Exact solution

Özet:
Lineer olmayan diferensiyel denklemlerin matematiksel özellikleri uygulamalı
matematik alanının önemli araştırma konularındandır. Bu tezde öncelikle, bazı kısmi
diferensiyel denklemlerin (KDD) integrallenebilirlik özelliği Painlevé metodu (WTC
algoritması) ile araştırılmıştır. Ele alınan denklemler; (2+1)-boyutlu Korteweg-de Vries tipi
(KdV4) denklemi, (1+1)-boyutlu genelleştirilmiş Boussinesq denklem sistemi (GBQS) ve
(2+1)-boyutlu Boiti-Leon-Manna-Pempinelli (BLMP) denklemidir. Denklemlerin Painlevé
özelliğine sahip olup olmadığı araştırılırken cebirsel işlemler Maple programı kullanarak
yapılmıştır ve sonuç olarak KdV4 denklemi ve BLMP denklemi Painlevé özelliğine sahip
olduğundan integrallenebilirdir fakat GBQS nin bağdaşabilirlik şartını sağlamadığından
Painlevé özelliğine sahip olmadığı gösterilmiştir. Ancak bu sonuç denklemin
integrallenemez olduğunu garantilemez. İntegrallenebilirliği farklı yöntemler de kontrol
edilmelidir.
Kısmi diferensiyel denklemlerin karmaşık fiziksel yapısının anlaşılmasını
kolaylaştırmak için tam çözümlerini bulmak gerekir. İncelenen KdV4 denklemi ve BLMP
denkleminin genelleştirilmiş Kudryashov metodu ile tam çözümleri bulunmuştur. GBQS
nin tam çözümlerinin elde edilmesi için de Jacobi eliptik fonksiyon metodu kullanılmıştır.
Denklemlerin tam çözümleri bulunurken Maple programı yardımıyla denklemler
çözülmüştür ve elde edilen çözümler hiperbolik (soliton) ve trigonometrik (periyodik)
fonksiyon içermektedir.
İntegrallenebilirlik ve soliton çözüm araştırmalarında korunum kanunları da önemli
bir rol oynar. Son olarak bu tezde varyasyonel metot olarak da bilinen çarpan metodu ile
denklemlerin korunum kanunları bulunmuştur ve bu çalışma yapılırken Maple paket
programının alt programı olan Cheviakov' ın yazmış olduğu GeM paket programı
kullanılmıştır. Bunun sonucunda KdV4 ve BLMP denklemlerinin keyfi fonksiyonların
varlığı mevcut olduğundan sonsuz çoklukta korunum kanunları bulunabildiği sonucuna
varılmıştır. GBQS aşikar korunum vektörüne sahiptir. Eğer bir KDD de çok sayıda
korunum kanunu çıkıyor ise bu onun yüksek ihtimalle integrallenebilir ve çözülebilir
olduğunu gösterir.
Anahtar Kelimeler: Painlevé Metodu, Korunum Kanunları, Genelleştirilmiş
Kudryashov Metodu, Jacobi Eliptik Fonksiyon Metodu, Tam Çözümler

Abstract:
Investigation of mathematical properties of nonlinear differential equations is one of
the major research topics in applied mathematics. In this thesis, the integrability of some
partial differential equations (PDEs) is primarily investigated through the use of Painlevé
method (also known as the WTC algorithm). The following are the PDEs discussed;
(2+1)-dimensional Korteweg-de Vries Type (KdV4) equation, (1+1)-dimensional
generalized Boussinesq equation system (GBQS) and (2+1)-dimensional
Boiti-Leon-Manna-Pempinelli (BLMP) equation. In order to determine whether or not the
equations have Painlevé properties, Maple is employed for the algebraic operations
pertaining to it. As a result, it is found that KdV4 and BLMP have the Painlevé properties
and therefore they are integrable; however it is observed that GBQS does not have the
Painlevé property since it could not satisfy the compatibility conditions. Nonetheless, this
result does not guarantee that the equation is not integrable. Integrability should still be
investigated by other methods.
In order to facilitate the understanding of the complex physical structure of the PDEs,
it is necessary to find their exact solutions. The exact solutions to the KdV4 and BLMP are
obtained by generalized Kudryashov method. The Jacobi elliptic function method is used to
obtain the exact solutions of the Boussinesq equation system. To find the exact solutions of
the equations, the corresponding methods have been implemented on Maple and the equations
are solved. The results subsequently obtained are solutions containing hyperbolic (soliton)
and trigonometric (periodic) functions.
Conservation laws also play a significant role in integrability and soliton solution
research. Finally, in this thesis, an effort is made to determine the conservation laws of
equations by the multiplier method, which is also originally known as the 'variational
method' . For this purpose, GeM software package for Maple, written by Cheviakov, is
used. As a result, owing to the existence of arbitrary functions of the KDV4 and BLMP
equations, it is concluded that an infinite multitude of conservation laws are found. GBQS
has an explicit conservation vector. If there are many conservation laws in a PDE, it
indicates that it's most likely integrable and solvable.
Keywords: Painlevé Method, Conservation Laws, Generalized Kudryashov
Method,Jacobi Elliptic Function Method, Exact Solutions