Modifiye edilmiş eşit genişlikli dalga denkleminin operatör splitting kübik trigonometrik B-spline kollokasyon sonlu eleman yöntemiyle nümerik çözümleri
Numerical solutions of modified equal width wave equation with operator splitting cubic trigonometric B-spline collocation finite element method
Yazar: İBRAHİM HALİL TİCİ
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ İHSAN ÇELİKKAYA
Batman Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez dört bölümden oluşmakta olup tezin giriş bölümünde lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerle ilgili genel bilgiler verildi. Ayrıca çeşitli dalga olaylarını modelleyen bazı kısmi diferansiyel denklemlerin yanında, bu tezde nümerik çözümleri hesaplanan modifiye edilmiş eşit genişlikli dalga denklemi tanıtıldı. Bu tezde kullanılan başka bir yöntem olan operatör splitting ile ilgili kısaca bilgiler verildi. Bu tezde nümerik çözümleri hesaplanan MEW denkleminin literatür taramasına giriş bölümünde yer verildi. Bunlara ek olarak MEW denkleminin sağladığı I_1, I_2 ve I_3 korunum sabitleri ve literatürde sıkça kullanılan L_2 ve L_∞  hata normları verildi. Tezin ikinci bölümde, MEW denkleminin nümerik çözümlerinde kullanılacak olan sonlu fark yöntemleri, ağırlıklı kalan yöntemi, kollokasyon yöntemi, sonlu eleman yöntemi, spline fonksiyonlar, trigonometrik B-spline fonksiyonlar ve kübik trigonometrik B-spline fonksiyonlar ile ilgili konular anlatıldı. Daha sonra operatör splitting yöntemlerinden olan Lie-Trotter ve Strang bölme yöntemleri çözüm şemaları ile birlikte sunuldu. Üçüncü bölümde, modifiye edilmiş eşit genişlikli dalga denklemine operatör splitting yöntemi uygulanarak lineer ve bir diğeri lineer olmamak üzere iki alt denkleme parçalandı. Ardından her bir alt denkleme kübik trigonometrik B-spline kollokasyon sonlu eleman yöntemleri kullanıldı. Ardından Lie-Trotter ve strang bölme şemalarının kararlılık analizleri Fourier Von Neumann kararlılık analizi yöntemi ile incelendi. Daha sonra bu tezde kullanılan yöntem ile hesaplanan nümerik sonuçlar literatürde bulunan farklı çalışmalarla elde edilen sonuçlarla karşılaştırıldı. Tezin dördüncü yani sonuç bölümünde, nümerik sonuçlarla ilgili genel bir değerlendirme yapıldı.

Abstract:
This thesis consists of four chapters. In the introduction, general information regarding nonlinear partial differential equations is provided. Additionally, some partial differential equations that model various wave phenomena are discussed, along with the modified equal width (MEW) wave equation, whose numerical solutions are computed in this thesis. A brief overview of the operator splitting method, another technique used in this thesis, is given. The literature review on the MEW equation, whose numerical solutions are calculated, is also included in the introduction. Furthermore, the conservation constants I_1, I_2 and I_3 satisfied by the MEW equation and the commonly used L_2 and  L_∞ error norms in the literature are presented. In the second chapter, topics related to the finite difference methods, weighted residual methods, collocation methods, finite element methods, spline functions, trigonometric B-spline functions, and cubic trigonometric B-spline functions, which are used in the numerical solutions of the MEW equation, are discussed. Then, the solution schemes of the Lie-Trotter and Strang splitting methods, which are types of operator splitting methods, are presented. In the third chapter, the operator splitting method is applied to the modified equal width wave equation, splitting it into two sub-equations: one linear and the other nonlinear. Subsequently, each sub-equation is solved using cubic trigonometric B-spline collocation finite element methods. The stability analysis of the Lie-Trotter and Strang splitting schemes is examined using the Fourier Von Neumann stability analysis method. Following this, the numerical results computed using the methods employed in this thesis are compared with the results obtained in different studies in the literature. In the fourth and final chapter, a general evaluation of the numerical results is provided.