Kuantum arama algoritması
Quantum search algorithm
Yazar: NURCAN BOZKURT
Danışman: DOÇ. DR. MUTTALİP ÖZAVŞAR
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Arama algoritmaları = Search algorithms ; Kuantum algoritmalar = Quantum algorithms ; Kuantum bilgisayarlar = Quantum computers

Özet:
Yaşadığımız dünyada hayatımızın neredeyse her safhasında bulunan bilgisayarlar birçok işte kullanılmakla önem arzetmektedir.  Klasik bilgisayarlarla uğraşırken elimizde iki olası durum vardır; kapalı veya açık, yukarı veya aşağı anlamına gelen 0 ya da 1 değerine bit adı verilir. Klasik bilgisayarların aksine kuantum dünyasında her iki durumun mümkün olduğu süperpozisyon durumu vardır. Bu süperpozisyon durum, kuantum bilgisayarlarda kübit (qubit) adı verilen kuantum bitlerini oluşturur. Kuantum bitler, klasik bilgisayarlardaki bitlerden farklı olarak hem 0 hem de 1 değerini tutabilmektedir. Kuantum bitlerin, aynı anda bu iki durumu da tutabilme durumuna, süperpozisyon adı verilir. Kuantum bitleri matematiksel olarak "|q〉" şeklinde gösterilmektedir. Bu gösterimde "q" kübitin durumunu göstermektedir. Hem 0 hem de 1 değerini olasılık katsayılarına göre tutan her bir kuantum biti, matematiksel olarak |q〉=a|0〉+b|1〉  ;a,b∈C ;|a|^2+|b|^2=1 şeklinde gösterilir. 
Yapay zeka fikrini besleyen kuantum mekaniği, atom ve atom altı boyutlarda baş gösteren ve sezgisel yöntemlerle anlamlandırılamayan problemlerin çözülebilmesine olanak tanıyan matematiksel bir modeldir. Doğanın yapı taşlarının (atomlar, moleküller, fotonlar, vb.) davranışlarının tanımına atıfta bulunan kuantum mekaniğinin matematiksel temelleri çoğunlukla temel mantık, lineer cebir ve karmaşık sayılar kullanılarak ifade edilmektedir. Hilbert uzayları ve bu uzaylar üzerinde tanımlı operatörlere dayanan kuantum mekaniğin matematiksel modellemesi, dört postulat üzerine kurgulanır. Dört postulata göre yapılan kuantum hesaplamalarıyla birçok kuantum algoritması geliştirilerek kuantum bilgisayarların hazırlanmasına zemin oluşturur. Kuantum bilgisayarlar, kuantum mekaniğin sunduğu matematiksel modeli kullanarak günümüzde hali hazırda kullanılmakta olan klasik bilgisayarlardan çok daha hızlı bir şekilde hesaplama yapılabilmesine olanak tanımaktadır. Kuantum algoritmalarının özü temelde kuantum arama algoritmasına bağlıdır. Bu sebeple kuantum algoritmaların anlaşılması ve yenilerinin üretilebilmesi bakımından arama algoritması önem arz etmektedir. Grover'in kuantum arama algoritması, bu noktada resme dahil olarak kuantum durumların oluşturduğu bütünsel yapıyı modeller ve kuantum hesaplamada hız ve hesaplama gücünün ortaya çıkmasında önemli bir rol oynar.  Böylelikle geliştirmiş olduğu arama algoritmasıyla Grover, klasik arama algoritmalarına nazaran çok daha hızlı bir çözüm ortaya koyar.

Abstract:
Computers, which are present in practically every aspect of our life, are essential in today's world since they are employed in a variety of occupations. When working with traditional computers, we have two options: a bit is a value of 0 or 1, which implies off or on, up or down. In contrast to classical computers, quantum computers have a superposition state in which both states are feasible. In quantum computers, this superposition condition produces quantum bits known as qubits. Unlike bits in traditional computers, quantum bits may carry both 0 and 1 values. The state of quantum bits holding both these states at the same time is called superposition. Quantum bits are mathematically represented as "|q〉". In this notation, "q" denotes the state of the qubit. Each quantum bit holding both 0 and 1 according to their probability coefficient is mathematically represented as |q〉=a|0〉+b|1〉  ;a,b∈C;|a|^2+|b|^2=1 . 
Quantum mechanics, which feeds the idea of artificial intelligence, is a mathematical model that allows solving problems that arise in atomic and subatomic dimensions and cannot be understood by intuitive methods. The mathematical foundations of quantum mechanics, which refer to the description of the behavior of nature's building blocks (atoms, molecules, photons, etc.), are often expressed using basic logic, linear algebra, and complex numbers. The mathematical modeling of quantum mechanics based on Hilbert spaces and operators defined on these spaces is based on four postulates. Many quantum algorithms are generated as a result of quantum calculations based on the four postulates, and they serve as the foundation for the development of quantum computers. Quantum computers, which utilize the mathematical model provided by quantum mechanics, may do computations far quicker than traditional computers. Quantum algorithms are essentially defined by the quantum search algorithm. As a result, the search algorithm is crucial for understanding quantum algorithms and developing new ones. Grover's quantum search algorithm is included in the picture at this point, models the holistic structure formed by quantum states and plays an important role in the emergence of speed and computational power in quantum computing. Thus, the search algorithm developed by Grover provides a much faster solution than classical search algorithms.