Eğriler üzerinde çatı hareketlerinin geometrik uygulamaları
The geometric applications of frame motions on curves
Yazar: ÖZGÜR KESKİN
Danışman: PROF. DR. YUSUF YAYLI
Ankara Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2020
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez dokuz bölümden oluşmuştur.
İlk bölüm giriş kısmına ayrılmıştır.
İkinci bölümde, ön bilgiler ile diğer bölümlerde kullanılacak olan bazı tanım ve teoremler verilmiştir.
Üçüncü bölümde, üç boyutlu Öklid uzayında, Fermi-Walker türevi herhangi bir eğrinin Frenet çatısının normal vektörü yardımıyla yeniden tanımlanmıştır. Daha sonra, $\{N,C,W\}$ çatısı herhangi bir açı kadar normal vektörü etrafında döndürülerek normal direction eğriler için N-Bishop Çatısı ve özellikleri ifade edilmiştir. Ardından, Rotation minimizing çatı, yüzey çatısının normal vektör alanı boyunca herhangi bir açı kadar döndürülmesiyle elde edilmiştir. Bu bölümün son kısmında ise, Myller konfigürasyonu kullanılarak Rotation minimizing çatının uygulaması verilmiştir. 
Dördüncü bölümde, dört boyutlu Öklid uzayında, $\int N(s)ds$ direction eğrisi üzerinde Rotation minimizing çatı elde edilmiştir. Ardından, birim kuaterniyonik eğri kullanılarak $\int N(s)ds$ direction eğrisi üzerinde  Rotation minimizing çatı ve özellikleri ifade edilmiştir. Devamında, $(k + 1)$ boyutlu kapalı regle yüzeylerin açılım açısı ve açılım uzunluğu, Rotation minimizing çatıya göre hesaplanmıştır. Ayrıca, Myller konfigürasyonu kullanılarak Rotation minimizing çatının uygulaması verilmiştir. Bu bölümün son kısmında ise, Rotation minimizing çatı yardımıyla helisler, rektifiyan eğriler ve küresel eğriler için yeni karakterizasyonlar elde edilmiştir.
Beşinci bölümde, $n$ boyutlu Öklid uzayında, $\int N(s)ds$ direction eğrisi üzerinde  Rotation minimizing çatı elde edilmiştir. Ardından, $(k + 1)$ boyutlu kapalı regle yüzeylerin açılım açısı ve açılım uzunluğu, Rotation minimizing çatıya göre hesaplanmıştır. Ayrıca, Myller konfigürasyonu kullanılarak Rotation minimizing çatının uygulaması verilmiştir. Bu bölümün son kısmında ise, Rotation minimizing çatı yardımıyla helisler, rektifiyan eğriler ve küresel eğriler için yeni karakterizasyonlar elde edilmiştir.
Altıncı bölümde, üç boyutlu Lorentz-Minkowski uzayında, Fermi-Walker türevi herhangi bir eğrinin Frenet çatısının normal vektörü yardımıyla yeniden tanımlanmıştır. Daha sonra, genel çatının çatı vektör alanları boyunca sırasıyla döndürülmesiyle üç tip Rotation minimizing çatı elde edilmiştir. 
Yedinci ve sekizinci bölümlerde, sırasıyla dört boyutlu Lorentz-Minkowski uzayında ve $n$ boyutlu Lorentz-Minkowski uzayında $\int N(s)ds$ direction eğrisi üzerinde Rotation minimizing çatı elde edilmiştir. 
Son bölümde ise tezden elde edilen sonuçlara ve çeşitli önerilere yer verilmiştir.

Abstract:
This thesis consists of nine chapters.
The first chapter is devoted to the introduction.
The second chapter, concepts, and definitions which are needed in the further chapters are given.
		
In the third chapter, in $3$-dimensional Euclidean space, the Fermi-Walker derivative is redefined with the help of the normal vector of the Frenet frame of any curve. Next, the N-Bishop frame and its properties are expressed for the normal direction curves by rotating the frame $\{N, C, W \}$ along its normal vector field by any angle. Then, a Rotation minimizing frame is obtained by rotating any angle along the normal vector field of the surface frame. In the last part of this chapter, using the Myller configuration, an application is given for the Rotation minimizing frame (RMF). 
In the fourth chapter, in $4$-dimensional Euclidean space, an RMF is obtained on $\int N (s) ds$ direction curve. Then, using the unit quaternionic curve, RMF, and its properties are expressed on the $ \int N (s) ds $ direction curve. Subsequently, the pitch and the angle pitch of a closed ruled surface of dimension $(k + 1)$ are calculated according to an RMF. Also, an application of RMF using the Myller configuration is given. In the last part of this chapter, new characterizations are obtained for helix curves, rectifying curves, and spherical curves with the help of an RMF.
		
In the fifth chapter, in $n$-dimensional Euclidean space, an RMF is obtained on $\int N (s) ds$ direction curve. Then, the pitch and the angle pitch of a closed ruled surface of dimension $(k + 1)$ are calculated according to an RMF. Also, an application of RMF using the Myller configuration is given. In the last part of this chapter, new characterizations are obtained for helix curves, rectifying curves, and spherical curves with the help of RMF.
In the sixth chapter, in $3$-dimensional Lorentz-Minkowski space, the Fermi-Walker derivative is redefined with the help of the normal vector of the Frenet frame of any curve. Then, three types of RMFs are obtained by rotating in sequence along with the frame vector fields of the general frame. \		
In the seventh and the eighth chapters, respectively, in $4$ and $n$ dimensional Lorentz-Minkowski spaces, an RMF is obtained on $\int N (s) ds$ direction curve.
In the last chapter, the results which are obtained from the thesis, and some proposals are discussed.