Riemann yüzeylerinde klasik teoremler
Classical theorems on riemann surfaces
Yazar: İ.İLKER AKÇA
Danışman: DOÇ.DR. COŞKUN TAYFUR
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 1996
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Riemann yüzeyleri = Riemann surfaces

Özet:
ÖZET: R cinsi g olan bir kompakt Riemann yüzeyi ve a = P£l P£*...P£k, R üzerinde bir bölen olsun. Bu durumda Pı,P2,...,Pk noktalarında en çok «ı,n2,...,nt mer tebeden kutuplara sahip, lineer bağımsız meromorf fonksiyonların sayısı 53 n* ~~ 9 + 1 den küçük olamaz. Bu önermeyi bugünkü literatürde kullanılan dil ile ifade edersek, >d[a\-g + l eşitsizliği elde edilir. Bu eşitsizlik önce Bernhard Riemann (1826-1866) tarafından elde edilmiştir. Daha sonra 1864 de Riemann m öğrencisi olan Gustaw Roch (1839-1866) tarafından, d [a] > 2g -2 ise '¦ = d[a\-g + l olduğu gösterilmiştir. Bu son eşitlik orjinal Riemann Roch teoremi olarak bilinir. Beş bölümden oluşan bu yüksek lisans tezinde özellikle Riemann yüzeylerindeki üç klasik teoremden Riemann Roch teoremi ve Abel teoremi ile ilgili açıklamalar verilmiştir. Birinci bölümde Riemann yüzeyleri ile ilgili temel kavramlar ve daha sonra kul lanacağımız bilinen bazı özellikler verilmiştir, ikinci ve üçüncü bölümde sırasıyla Riemann yüzeyleri üzerinde diferensiyeller ve integraller tanıtılmış ve diferensiyel- lerin Hilbert uzayları üzerinde durulmuştur. Dördüncü bölümde kompakt Riemann yüzeyleri üzerindeki abelyen diferensiyeller için bilineer bağıntılar incelenmiştir. Son bölümde, kompakt Riemann yüzeyleri için Riemann Roch teoremi ve bu teoremin sonuçlan açıklanmıştır. Daha sonra kompakt yüzeyler için Abel teoremi ve bu teo remin Kusunoki,Y. tarafından verilen açık Riemann yüzeyleri üzerine genişlemesi (Kusunoki,Y.1959),[4]. üzerinde durulmuştur. vi

Abstract:
SUMMARY Let R be a compact Riemann surface with finite genus of g. Rieniann Roch theorem is one of the most important theorem in the classical theory of Riemann surfaces. Firstly, Riemann (1826 - 1866) succeeded in obtaining a most impor tant result Riemann's inequality. The number of linearly independent meromorphic functions with poles of the order r, which is not greater than nk in m distinct points Pk (k = 1, 2,..., m) on f?, is not less than ]£) ra* - g + 1. That is expressed as for a finite divisor a = PxniP2n2...P£* >d[a\-g + l in literature at present. In 1864 a student of Riemann, Gustaw Roch, who succeeded in strengthening this result. It turned aut that d[&]-g + l. This is the first Riemann Roch theorem. This thesis consists of five chapters that contains two classical theorems which are the Riemann Roch theorem and Abel's theorem. In chapter 1, we summarize the definitions, backgraund material and some known results that we use in the later chapters. In chapter 2, we give the concept of the differentials forms and integrals on Riemann surfaces. In chapter 3, we summarize the Hubert space theory, combined with simple facts in integrations theory. In the chapter 4 we give the bilineer relations for abelian differentials and the concept of divisors on R. The last part of the thesis based on study the two classical theorem and the Abel's theorem for open Riemann surfaces that was at the first extended to open Riemann surfaces by Kusunoki [4]. vn