Düğüm gruplarının SU (2) temsilleri
Representations of knot groups in SU (2)
Yazar: MEHMET ERGEN
Danışman: PROF. DR. HÜSEYİN AZCAN
Anadolu Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2018
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez tamsayı düğüm ve tamsayı link gruplarının SU(2) temsilleri uzayı, G tamsayı düğüm ya da link grubu olmak üzere, R(G) = Hom(G,SU(2)) uzayının topolojik yapısı hakkındadır. Köşegen bir temsille eşlenik olan temsile indirgenebilir denir. Köşegen temsiller abelyen temsiller olarak da alınabilir ve bunun tersi de doğrudur. Bu çalışmanın amacı tamsayı düğüm ve tamsayı link gruplarının SU(2) temsillerini SO(3) denklik altında sınıflandırmaktır. Bilindiği üzere SO(3) = S^3/{±I }'nın S^3 üzerine eşlenik ile verilen bir etkisi vardır. Bu etki R(G) üzerine doğal bir şekilde genişler ve indirgenemez temsiller kümesi R^∗(G)'ye kısıtlandığında serbest bir etki olduğundan [R^∗(G)] = R^∗(G)/(SO(3)'ün etkisi) tanımlanabilir. Çalışma boyunca SU(2) ve S^3 izomorf Lie grupları olarak ve S^3, d(x, y) = cos^−1 < x, y >∈ [0,π] metriğiyle bir metrik uzay olarak göz önüne alınmıştır. Kompleks sayılarda olduğu gibi bir Q birim kuaterniyonu Q = cosα+sinαq = e^{αq} kutupsal formda kullanılmıştır. Wirtinger gösterimiyle verilen bir düğüm grubunun üreteçleri meridyenlerin homotopi sınıfları olduğundan grubun bir SU(2) temsili, gruptaki karşılık gelen ilişkileri sağlayan kuaterniyonların bir kümesi olarak düşünülebilir. Dolayısıyla bir temsil SU(2)'da düğüm grubunun üreteç sayısı olan n noktanın bir konfigürasyonu olarak göz önüne alınabilir. O halde (SU(2))^n'nin bir alt kümesi olarak; temsil uzayı, (SU(2))^n'den bir altuzay topolojisi devralır. Bu altküme kompakt-açık topoloji ile donatılabilir ancak denk olmalarına rağmen  altuzay topolojisi bir şekilde daha kanoniktir. Anlaşılırlık bakımından öncelikle düğüm durumu daha sonra link durumu incelenmiştir. Tamsayı düğüm ve tamsayı link gruplarının çember temsillerinin sınıflandırılması daha önce çalışılmış ve bu tezde bu çalışma baz alınarak G grubunun bir çember temsili ile bir SU(2) temsili ilişkilendirilmiştir. Bir tamsayı düğüm ya da link grubu G'nin herhangi bir SU(2) temsili bir çember temsili indirger ve tersine bir çember temsil bir SU(2) temsile kaldırılabilir. Sonuç olarak G'nin temsil uzayı SO(3) denklik altında karakterize edilmiş olur. 

Anahtar Sözcükler: Düğüm grubu, Link, Eşlenik, Alexander polinomu, Temsil

Abstract:
This thesis is a study of the structure of the space R(G) = Hom(G,SU(2)) of representations of integer knot and integer link groups into SU(2), where G is integer knot or integer link group. A representation is said to be a reducible representation if it is conjugate to a diagonal representation. The diagonal representations can be taken as the abelian representations and vice versa. Purpose of this work is to classify SU(2) representations of integer knot and link groups up to SO(3) equivalence. It is known that SO(3) = S^3/ {±I } acts on S^3 by conjugation. This action naturally extends on R(G) and since it is a free action when restricted to irreducible representations R^∗(G) one can define [R^∗(G)] = R^∗(G)/ action by SO(3). Throughout the thesis SU(2) and S^3  are regarded as isomorphic Lie groups and S^3 is a metric space with the metric d(x, y) = cos^−1 < x, y >∈ [0,π]. As in the complex numbers a unit quaternion Q is used in polar form Q = cosα+sinαq = e^{αq}. A SU(2) representation of the group can be thought of as a set of quaternions which satisfy corresponding relations in the group since generators of a knot group with Wirtinger presentation are the homotopy classes of meridians. Hence a representation can be regarded as a configuration of n points, number of generators of the knot group, in SU(2). So, being a subset of (SU(2))^n, the representation space inherits a (subspace) topology from (SU(2))^n. The compact-open topology can be assigned to this subset but subspace topology somehow more canonical although they are equivalent. For clarity it was discussed the knot case first and link is latter. The circle representations of integer knot and link groups have been classified before and taking this classification as a fundamental idea any SU(2) representation has been identified with a circle representation. Any SU(2) representation of integer knot or link group G induces a circle representation of G and conversely a circle representation can be lifted to an SU(2) representation. As a result the topology of representation space of G modulo SO(3) have been characterized.

Keywords: Knot group, Link, Conjugate, Alexander polynomial, Representation