Üstel diofant denklemler ve terai sanısı
Exponential diophantine equations and the terai conjecture
Yazar: TUBA ÇOKOKSEN
Danışman: PROF. DR. MURAT ALAN
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Cebirsel sayılar teorisi = Algebraic numbers theory

Özet:
Bu tez çalışması üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde; geçmişten günümüze birçok matematikçinin üzerinde çalışmalarını sürdürdüğü; özellikle Fermat'ın Son Teoriminin 20. yüzyılda kanıtlanması ile büyük popülarite kazanan ve sayılar teorisi, cebirsel geometri yanında kriptografi,  optimizasyon problemleri, matematiksel modelleme, mühendislik, bilgisayar bilimleri gibi farklı disiplinlerde de uygulama alanları bulunan Diofant Denklemlerin tarihsel geçmişine, Üstel Diofant Denklemlere ve Terai Sanısının özel durumlarını içeren denklemlerin literatür taramasına yer verilmiştir. Ayrıca bu bölümde sayısal teorisindeki temel kavramlar; elemanter yöntemler, sınıflandırma yöntemi, İlkel Bölen Teoremi, Zsigmondy Teoremi yanı sıra logaritmalardaki lineer formlar ve p-adic valüasyon gibi sayılar teorisinde önemli yeri olan kavramlarla ilgili bilgiler yer almaktadır. Son olarak tezin amacı belirtilmiştir.\\Tezin ikinci bölümünde;    $(8r^2+1)^x + (r^2-1)^y = (3r)^z$ Üstel Diofant Denklemi incelenmiş ve \(r>1\) için tekil çözümün \((x,y,z) = (1, 1, 2)\) olduğu gösterilmiştir. İspat; sayılar teorisindeki elemanter yöntemler, sınıflandırma yöntemi, Zsigmondy Teoremi ve İlkel Bölen Teoremine dayanmaktadır.\\ Son bölümde ise; $(9r^2+1)^x + (16r^2-1)^y = (5r)^z$ Üstel Diofant Denkleminin katsayılarının paritelerinin özel durumundan yani $a$  katsayısının tek tam sayı $(a=9)$ ve $b$  katsayısının çift tam sayı $(b=16)$ olduğundan bahsedilmiş ve  $(9r^2+1)^x + (16r^2-1)^y = (5r)^z$ \(r>1\) denklemi için pozitif tam sayı çözümünün \((x,y,z) = (1,1,2)\) olduğu gösterilmiştir. İspatta yine elemanter yöntemler, p-adic valüasyon, Zsigmondy Teoremi ve İlkel Bölen Teoremi kullanılmıştır. Bu şekilde, iki denklemle de Terai Sanısı doğrulanmıştır.

Abstract:
This thesis consists of three parts. In the first part; the historical background of Diophantine Equations, which have been worked on by many mathematicians from the past to the present; especially with the proof of Fermat's Last Theorem in the 20th century, which gained great popularity and have application areas in different disciplines such as number theory, algebraic geometry as well as cryptography, optimization problems, mathematical modeling, engineering, computer science, Exponential Diophantine Equations and a literature review of equations containing special cases of the Terai Conjecture are included. In addition, this section includes information on the basic concepts in numerical theory; elementary methods, classification method, Primitive Divisor Theorem, Zsigmondy Theorem as well as concepts that have an important place in number theory such as linear forms in logarithms and p-adic valuation. Finally, the aim of the thesis is stated.\\In the second part of the thesis; $(8r^2+1)^x + (r^2-1)^y = (3r)^z$ Exponential Diophantine Equation is studied and it is shown that the singular solution for \(r>1\) is \((x,y,z) = (1, 1, 2)\). The proof is based on elementary methods in number theory, the classification method, Zsigmondy's Theorem and the Primitive Divisor Theorem.\\ In the last section; The special case of the parity of the coefficients of the Exponential Diophantine Equation $(9r^2+1)^x + (16r^2-1)^y = (5r)^z$, namely the coefficient $a$ being an odd integer $(a=9)$ and the coefficient $b$ being an even integer $(b=16)$, is mentioned and it is shown that the positive integer solution for the equation $(9r^2+1)^x + (16r^2-1)^y = (5r)^z$ \(r>1\) is \((x,y,z) = (1,1,2)\). In the proof, elementary methods, p-adic valuation, Zsigmondy's Theorem and Primitive Divisor Theorem are used again. In this way, the Terai Conjecture is confirmed by both equations.