Nonlineer dispersif elastik dalgalar
Nonlinear dispersive elastic waves
Yazar: ALİ DEMİRCİ
Danışman: PROF. DR. MEVLÜT TEYMÜR
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2013
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Asimptotik yöntem = Asymptotic method

Özet:
Bu çalışmada, düzgün kalınlıklı nonlineer homojen izotrop elastik bir malzemeden oluşan tabakada küçük ama sonlu genlikli düzlem içi nonlineer dalgaların yayılması ile ilgili bazı problemler asimptotik pertürbasyon yöntemleri kullanılarak incelenmiştir.
Bu amaçla ilk olarak, düzgün kalınlıklı nonlineer homojen izotrop elastik bir malzemeden oluşan tabakada küçük ama sonlu genlikli düzlem içi dalgaların yayılmasını betimleyen hareket denklemleri ve bunlara eşlik eden sınır koşulları türetilmiştir. Bu denklemler ve sınır koşulları lineerleştirilerek tabakada yayılan lineer dalgalar ele alınmıştır. Lineer dalgaların incelenmesinde, simetrik ve anti-simetrik dalga hareketi için dalgaların dispersif karakterde oldukları gösterilmiş ve dalgalara ait dispersiyon bağıntılarının ayrıntılı analizi yapılmıştır. 
Daha sonra küçük ama sonlu genlikli nonlineer simetrik dalgaların yayılımı problemi ele alınmıştır. Tabakada yayılan düzlem içi dalga hareketini betimleyen nonlineer sınır değer probleminin asimptotik çözümü, bir asimptotik pertürbasyon yöntemi kullanılarak inşa edilmiştir. Yöntemde, yer değiştirme fonksiyonları uniform geçerli bir asimptotik seri açılımı kullanılarak, nonlineerlikle dispersiyon arasındaki denge sağlatılmış, küçük ama sonlu genlikli simetrik dalgaların yayılmasını asimptotik olarak bir Korteweg-de Vries (K-dV) denklemiyle karakterize edilebileceği gösterilmiştir. K-dV denkleminin bazı çözümleri ele alınan dalga hareketi kapsamında incelenmiştir.  
Son olarak, nonlineer sınır değer problemi, simetrik dalgaların nonlineer self modülasyonunu asimptotik olarak karakterize eden çözümü için bir asimptotik pertürbasyon yöntemi olan çoklu ölçekler yöntemi kullanılarak incelenmiş ve bu dalgaların self modülasyonunun bir nonlineer Schrödinger (NLS) denklemi ile karakterize edilebileceği gösterilmiştir. Bu denklemin çözümlerinin yapısı ve kararlılığı denklemin lineer ve nonlineer terimlerinin katsayılarının çarpımının işaretine bağlıdır. Bu nedenle farklı seçilen malzeme modelleri için, bu katsayı çarpımının dalgaların dalga sayısı ile değişimlerinin grafikleri çizilmiş ve dalga hareketi için özel durumlar tartışılmıştır.

Abstract:
In this work, some problems related with the propagation of small, but finite amplitude in-plane waves in a nonlinear elastic layer of uniform thickness is examined by asymptotic perturbation methods. The constituent material of the layer is assumed to be isotropic, homogenous and hyperelastic.
Firstly, the equations of motion and boundary conditions governing the propagation of nonlinear in-plane waves in a layer are derived. Thereafter the propagation of linear in-plane waves is examined for a symmetric (extensional) wave motion and an anti-symmetric (flexural) wave motion, separately. The dispersion relations are derived for these motions and the dispersion curves are analyzed in detail for each wave motion.       
Then, propagation of small but finite amplitude symmetric waves in a nonlinear hyperelastic layer of uniform thickness is considered. By employing a perturbation method, the boundary value problems describing the wave motion is examined. The balance between the nonlinearity and dispersion in the analysis yields a Korteweg-de Vries (KdV) equation for the asymptotic wave field. The propagation characteristics of nonlinear symmetric waves are discussed via the solitary wave solutions and singular solutions of the K-dV equation.
Finally, the nonlinear modulation of symmetrical waves is investigated by  the method of multiple scales. It is shown that  evaluation of the slowly varying amplitude of the wave is governed by a nonlinear Schrödinger (NLS) equation as the result of balance between the nonlinearity and the dispersion, where the wave amplitude and the sideband width of the carrier wave?s number have the same order of magnitude. Then the effect of the nonlinearity on the existence of bright (envelope) and dark solitary waves is discussed on the basis of this equation.