Graf teorisinde bağlantılılık kavramı ve önemi
Notion of connectivity and its importance in graph theory
Yazar: IBRAHIM MOHAMMED ABBAS ALAMEEN
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ CELALETTİN KAYA
Çankırı Karatekin Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Bağlantılılık = Connectedness ; Graf teori = Graf theory ; Menger, Carl = Menger, Carl

Özet:
Bu tezin hazırlanmasında kullanılan başlıca kaynak, Diestel (2017)'in "Graph Theory" kitabıdır. Esas itibariyle bizim yaptığımız, tezin başlığından da anlaşılacağı üzere, "graf teorisinde bağlantılılık" kavramını anlamak ve anlatmak için, söz konusu kitabın üçüncü bölümünü Türkçeye çevirmekten ibarettir. Fakat tabi ki motamot bir çeviri yapılmamış, bir yandan bazı çok zorlu veya teknik ispatlar atlanırken, diğer yandan kitabın okuyucuya bırakılan bazı kısımları şerh edilerek konu daha anlaşılır bir şekilde sunulmuştur. Ayrıca, bu bölümün anlaşılabilmesi için ön şart durumunda olan graf teorinin temel tanım ve teoremleri, mevzubahis kitabın birinci bölümünün ihtiyaç olunan kadarı teze eklenerek verilmiştir. Bunlara ek olarak, kaynaklar kısmında listelenmiş olan makalelere de başvurulmuştur. Ana hatlarıyla özetlemek gerekirse: Birinci bölümde, temel tanımların ardından, yollar ve çevrimler, bağlantılılık, ağaçlar ve ormanlar ve iki parçalı graflarla ilgili gerekli tanım ve teoremler işlenmiştir. İkinci bölümün ilk iki alt bölümünde, sırasıyla 2-bağlantılı ve 3-bağlantılı grafların yapıları çalışılmış, ilgili tanım ve teoremler verilmiştir. Üçüncü alt bölümünde, graf teorinin en önemli teoremlerinden birisi olan Menger (1927) teoreminin üç farklı ispatı ve ayrıca teoremin genel hali ve ispatı sunulmuştur. Dördüncü alt bölümünde, bir grafın bir indüke alt grafını sadece uç noktalarında kesen bağımsız yolların sayısını veren, yine graf teorinin en önemli ve derin teoremlerinden birisi olan Mader (1978) teoremi ifade edilmiş ve bir sonucu ispat edilmiştir. Beşinci ve son bölümünde ise, belirlenmiş iki köşeler kümesi arasındaki ayrık yolların varlığı problemine kısaca değinilmiştir. Tezin üçüncü, sonuç ve önerilerden önceki son bölümünde ise, mevzubahis kitabın üçüncü bölümünün notlar kısmı kullanılarak, tezin konusu ile ilgili kısa bir literatür taraması sunulmuştur.

Abstract:
The main source used in the preparation of this thesis is Diestel's (2017) "Graph Theory" book. Essentially, what we do is to translate the third chapter of the mentioned book into Turkish to understand and explain the concept of "connectivity in graph theory", as can be understood from the title of the thesis. But of course, no literal translation was made, on the one hand, some very difficult or technical proofs were skipped, on the other hand, some parts of the book that were left to the reader were explained and the subject was presented more understandably. In addition, the basic definitions and theorems of graph theory, which are prerequisites for understanding this study, are given by adding the necessary part of the first chapter of the aforementioned book to the thesis. In addition to these, the articles listed in the references were also consulted. To summarize: In the first chapter, after the basic definitions, necessary definitions and theorems related to roads and loops, connectedness, trees and forests, and bipartite graphs are covered. In the first two sections of the second chapter, the structures of 2-connected and 3-connected graphs are studied, respectively, and related definitions and theorems are given. In the third section, three different proofs of Menger's (1927) theorem, which is one of the most important theorems of graph theory, as well as the general form and proof of the theorem, are presented. In the fourth section, Mader's (1978) theorem, which is one of the most important and deep theorems of graph theory, which gives the number of independent paths that intersect an induced subgraph of a graph only at its endpoints, was stated, and proved. In the fifth and last section, the problem of the existence of discrete paths between two specified sets of vertices is briefly mentioned. In the third chapter of the thesis, before the conclusions and recommendation chapter, a brief literature review on the subject of the thesis is presented by using the notes section of the third chapter of the mentioned book.