Elemanter esnek topolojik uzaylarda kompaktlık
Элементардык ийкем топологиялык мейкиндиктерде компакттуулук
Yazar: ARZIGUL İMANKULOVA
Danışman: DOÇ. DR. İSMET ALTINTAŞ
Kırgızistan-Türkiye Manas Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2022
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezin amacı, elemanter esnek topolojik uzaylarda kompaktlık, dizisel kompaktlık, sayılabilir kompaktlık ve yerel kompaktlık kavramlarını tanımlamak, temel topolojik özelliklerini araştırmak ve birbirleri arasındaki ilişkileri incelemektir. Bu amaç doğrultusunda aşağıdaki temel çalışmalar yapıldı. 
1. Elemanter esnek topolojik uzaylarda örtü ve açık örtü tanımlandı ve örnekler verildi. 
2. Kompakt elemanter esnek topolojik uzay ve alt uzaylar tanımlandı, bazı örnekler verildi. Kompakt elemanter esnek uzayın kalıtsal özellikleri ispatlandı. 
3. Elemanter esnek Hausdorff uzayda kompaktlık üzerine çalışıldı. Bu bağlamda elemanter esnek kompaktlık Hausdorff uzayın hem esnek regüler hem de esnek normal oldukları ispatlandı. 
4. Dizisel elemanter esnek topolojik uzay tanımlandı, dizisel elemanter esnek uzayın her esnek kapalı kümenin dizisel kompakt olduğu ve dizisel elemanter esnek uzayın topolojik özelliğe sahip olduğu ispatlandı. 
5. Bir elemanter esnek topolojik uzayın Balzano-Weirstrass özelliğine sahip olması ile onun sayılabilir kompakt olmasının denk olduğu ispatlandı. 
6. Lokal elemanter esnek kompakt uzay tanımlandı ve bu uzayın bazı kalıtsal ve topolojik özellikleri ispatlandı 
7. Elemanter esnek topolojik uzaylarda kompaktlık, dizisel kompaktlık sayılabilir kompaklık ve lokal kompaktlık özelliklerinin birbirleri arasındaki ilişkiler incelendi. Kompaktlıkla ilgili bazı özellikler hariç bu tezde ispatlanan bütün sonuçlar henüz literatürde olmayan yeni sonuçlardır. Anahtar kelimeler: Esnek küme, esnek eleman, elemanter işlemler, elemanter esnek topoloji, esnek kompakt uzay, dizisel kompakt uzay, sayılabilir esnek kompakt uzay, lokal esnek kompakt uzay.

Abstract:
Инженерия, экономика, экология жана социология сыяктуу так илимдердеги түшүнүктөрдүн  жыйынтыгында пайда болгон белгисиздик маселелерин математикалык моделдерин түзүү жана чыгаруу үчүн Аристотельдин логикасы жана классикалык көптүктөр теориясы жетишсиз болуусу мүмкүн. Бул түрдөгү маселелерди чыгаруу үчүн ыктымалдуулуктар теориясы, бүдөмүк көптүктөр теориясы, жакындатылган көптүктөр теориясы, интиутивдик бүдөмүк көптүктөр теориясы, аралык математикасы теориясы жана ийкем көптүктөр теориясы сыяктуу көптөгөн теориялар чыгарылган. Бул теориялардын эң маанилүүлөрүндөн бири Л. А. Задех тарабынан ойлоп табылган жана жетишсиздик түшүнүгүнүн маселелерин чыгара алган бүдөмүк көптүктөр теориясы көптөгөн тармактарда ийгиликтүү колдонулган. Бирок мүчөлүк функциялары колдонулган бул теорияда ар би учур үчүн мүчөлүк функциясын тургузуу оңой эмес. Д. Молодцов бул кыйынчылыктарды жок кылуу үчүн ийкем көптүктөр теориясын ачкан. Ийкем көптүктөр теориясында, бүдөмүк көптүктөр теориясындагы чыныгы мааниге ээ мүчөлүк функцияларынын ордуна мааниси көптүк болгон чагылтуу колдонулат жана бир ийкем көптүк, параметрлер көптүгүн бир универсалдык көптүктөрдүн классына чагылткан чагылтуу деп аныкталат.
Ийкем көптүктөр теориясы башында математика жана көптөгөн тармактарда ийгиликтүү колдонулган. Ийкем көптүктөргө акыркы жылдарда көптөгөн математикалык түзүлүштөр жасалды. Бул тармактагы изилдөөлөр тездик менен уланууда.
Биринчи жолу 2011 жылында М. Шабир жана М. Наз ийкем көптүктөрдө топологиялык түзүлүштөрдү жасаган. В. К. Мин бул ийкем топологиялык мейкиндиктерде ийкем айырма аксиомалары жөнүндө изилдөөлөрүн сунуштаган. 2012 жылында Х. Хазра жана анын достору Шабир жана Наз аныктаган ийкем топологиядан айырмалуу бир топология аныкташкан. Бул мезгилде А. Айгүноглу, Б. П. Варол жана Х. Айгүн ийкем көптүктөр жана бүдөмүк ийкем көптүктөрдө топологиялык түзүлүштөрдү жасап көптөгөн топологиялык түшүнүктөрдү изилдешкен. И. Зорлутуна жана достору ийкем топологиялык мейкиндиктерде чекит түшүнүгүн колдонуу менен ийкем ички чекит, ийкем аймак, ийкем үзгүлтүксүздүк жана ийкем компактуулук түшүнүктөрдү таанытышкан. Мындан сырткары көптөгөн жазуучулар ийкем чекит түшүнүгүн колдонуу менен ийкем топологиялык мейкиндиктер жөнүндө көп сандагы жаңы изилдөөлөрдү жасашкан.
2012 жылында С. Дас жана С. К. Саманта ийкем чыныгы көптүктөр, ийкем чыныгы сандар жана алардын касиеттерин аныкташкан. Ушул эле авторлор 2013 жылы ийкем элемент менен ийкем көптүктөрдө элементардык ийкем көптүктөр амалдарын аныктап бул амалдарды колдонуу менен ийкем көптүктөрдө метрика түшүнүгүн тургузушкан. С. Дас, С. К. Саманта жана көптөгөн авторлор ийкем элемент түшүнүгүн колдонуу менен ийкем вектордук мейкиндиктери, ийкем нармалдуу мейкиндиктери, ийкем скалярдык көбөйтүү мейкиндиктери сыяктуу түрдүү математикалык түзүлүштөр жөнүндө изилдөө жүргүзүшкөн.
К. Ташкөпрү 2017 жылында докторлук диссертациясында адабиятта белгилүү болгон ийкем топологиялык түзүлүштөрдөн айырмалуу болгон, ийкем элемент негизинде ийкем көптүктөрдө аныкталган элементардык амалдар менен элементардык ийкем топология (э-ийкем топология) түшүнүгүн тургузган, адабияттагы көптөгөн негизги топологиялык  түшүнүктөрдү бул жаңы түшүнүккө ылайыктуу боло тургандай аныктап алардын касиеттерин далилдеген. 2020 жылында К. Ташкөпрү жана И. Алтынташ э-ийкем топология жана ийкем функциянын көптөгөн касиеттерин далилдешти жана ийкем көптүктөрдү бир чечимге келүү маселесинде колдонушту. Ошол эле жылы И. Алтынташ, К. Ташкөпрү жана Б. Селви саналуучу жана айырмалануучу э-ийкем топологиялык мейкиндиктерди аныкташты жана негизги касиеттерин далилдешти. 
Бул диссертациянын максаты э-ийкем компакт мейкиндиктерди изилдөө. Бул максатты ишке ашыруу үчүн төмөнкү изилдөөлөр жасалды.
1.	  бир э-ийкем топологиялык мейкиндик,   бир ийкем көптүк жана  ,   ийкем көптүгүнүн ийкем камтылган көптүктөрүнүн бир системасы болсун. 
i.	Эгерде   болсо   системасы   абсолюттук ийкем көптүгүнүн бир э-ийкем жабуусу деп аталат.
ii.	Эгерде   болсо   системасы   ийкем көптүгүнүн бир э-ийкем жабуусу деп аталат.
Эгерде ар бир   үчүн   көптүктөрү ийкем ачык болсо   жабуусу э-ийкем ачык жабуу,   көптүктөрү ийкем жабык болсо бул жабуу э-ийкем жабык жабуу деп аталат.
Эгерде   чектүү болсо   э-ийкем жабуусу чектүү жабуу деп аталат.
2.	  бир э-ийкем топологиялык мейкиндик болсун. Эгерде   көптүгүнүн ар бир ачык жабуусунан чектүү камтылган жабуу бөлүнүп алынса   мейкиндиги э-ийкем компакт мейкиндик деп аталат. Башкача айтканда каалагандай   ийкем ачык системасы берилсе   болгон учурда   (  чектүү) болсо    мейкиндиги э-ийкем компакт мейкиндик деп аталат.
3.	  бир э-ийкем топологиялык мейкиндик жана   бир ийкем көптүк болсун. Эгерде    э-ийкем камтылган мейкиндиги компакт болсо   ийкем көптүгү   мейкиндигинде э-ийкем компакт камтылган мейкиндик деп аталат. (  ийкем көптүгүнө компакт камтылган көптүк деп аталат.)
4.	  бир э-ийкем топологиялык мейкиндик болсун.   ийкем көптүгү   э-ийкем топологиясына карата копмакт болуусу үчүн   көптүгүнүн   э-ийкем топологиясына карата компакт болуусу керек жата жетиштүү.
5.	  бир э-ийкем    мейкиндик болсун. Төмөнкүлөр бири бирине эквиваленттүү болот.
i.	  көптүгүнүн ар бир ачык жабуусунун чектүү бир камтылган ийкем жабуусу бар. 
ii.	  системасындагы ар бир чексиз көптүктүн жок дегенде бир ийкем жыйылуу элементи бар.
iii.	Ийкем бош эмес көптүктөрдөн түзүлгөн   сыяктуу бири бирин камтыган азайуучу ийкем көптүктөрүн элементардык кесишүүсү да ийкем бош эмес болот. 
6.	Бир э-ийкем компакт мейкиндиктин ар бир ийкем жабык камтылган мейкиндиги  э-ийкем компакт болот.
7.	  бир э-ийкем топологиялык мейкиндик болсун.
i.	Ар бир  үчүн   жана   жана   жана   боло тургандай ийкем ачык   камтылган көптүктөрү бар болсо   мейкиндиги   мейкиндиги деп аталат.
ii.	Ар бир   үчүн    жана   боло тургандай ийкем ачык жана кесилишпеген   камтылган көптүктөрү бар болсо   мейкиндигине Хаусдорфф  ( ) мейкиндиги деп аталат. 
Бул аныктама негизинде ар бир э-ийкем   мейкиндиги бир э-ийкем   мейкиндик болот.
8.	  бир э-ийкем   мейкиндиги болсун. Бул учурда ар бир э-ийкем компакт   камтылган көптүгү ийкем жабык болот.
9.	  бир ийкем   мейкиндиги   бир ийкем компакт камтылган көптүк жана   бир ийкем элемент болсун. Бул учурда    ,  ,   боло тургандай   ,  ийкем ачык көптүктөрү бар.
10.	  бир э-ийкем топологиялык мейкиндиги болсун. Ар бир   жана   үчүн   жана   боло тургандай ийкем ачык жана кесилишпеген  камтылган көптүктөрү бар болсо   мейкиндиги регулярдуу мейкиндик деп аталат. 
Ар бир э-ийкем компакт   мейкиндиги бир э-ийкем регулярдуу мейкиндик болот.
11.	  бир э-ийкем топологиялык мейкиндиги болсун. Ар бир ийкем кесилишпеген жабык  үчүн   жана   боло тургандай ийкем ачык жана кесилишпеген   камтылган көптүктөрү бар болсо   мейкиндиги нормалдуу мейкиндик деп аталат.
  э-ийкем нормалдуу мейкиндик жана ошол эле учурда бир э-ийкем    мейкиндиги болсо бул мейкиндик э-ийкем   мейкиндиги деп аталат.
Ар бир э-ийкем компакт   мейкиндиги бир э-ийкем нормалдуу мейкиндик болот.
12.	  бир э-ийкем   мейкиндиги болсун.   ийкем көптүгүнүн каалагандай сандагы э-ийкем компакт камтылган көптүктөрүнүн кесилишүүсү э-ийкем компакт болот.
13.	  бир э-ийкем   мейкиндиги болсун. Бул учурда   нын чектүү сандагы э-ийкем компакт көптүктөрүнүн биригүүсү да э-ийкем компакт болот.
14.	  жана   эки э-ийкем топологиялык мейкиндик   үзгүлтүксүз бир чагылтуу болсун.   көптүгү э-ийкем компакт болсо   ийкем көптүгү да э-ийкем компакт болот.
15.	  бир э-ийкем топологиялык мейкиндик болсун.   нын ийкем элементтеринен түзүлгөн ар бир   ийкем катарынын бир жакындаган камтылган катары бар болсо   э-ийкем секвенциалдуу компакт мейкиндик деп аталат. 
  ийкем көптүгүнүн ийкем элементтеринен түзүлгөн ар бир катардын   көптүгүнүн   ийкем элементине жакындаган бир камтылган катары бар болсо   көптүгүнө секвенциалдуу компакт ийкем көптүк деп аталат.
  бир э-ийкем топологиялык мейкиндик   бир чектүү ийкем көптүк болсун. Бул учурда   ийкем секвенциалдуу компакт болот.
16.	Э-ийкем катарлуу компакт мейкиндиктин ар бир ийкем жабык   камтылган көптүгү секвенциалдуу компакт болот. 
17.	  жана    эки э-ийкем топологилык мейкиндик,     нын ийкем элементтеринин бир катары жана   ,   ийкем үзгүлтүксүз бир чагылтуу болсун. Эгерде   боло тургандай   нын ийкем элементтеринин бир   катары бар болсо   чагылтуусу ийкем секвенциалдуу үзгүлтүксүз деп аталат. 
  бир э-ийкем секвенциалдуу компакт мейкиндик,   бир э-ийкем топологиялык мейкиндик жана   үзгүлтүксүз ийкем функкция болсун. Бул учурда   ийкем көптүгү секвенциалдуу компакт болот.
18.	  бир э-ийкем топологиялык мейкиндик болсун. Ар бир чексиз ийкем    көптүгүнүн жок дегенде бир ийкем жыйылуу элементи бар болсо    мейкиндиги Больцано — Вейерштрасс касиетин канааттандырат деп айтылат.
Ар бир э-ийкем компакт топологиялык мейкиндик Больцано — Вейерштрасс касиетин канааттандырат.
19.	  э-ийкем топологиялык мейкиндиктин саналуучу ар бир ийкем ачык жабуусунун чектүү бир ийкем камтылган жабуусу бар болсо   мейкиндиги саналуучу э-ийкем компакт мейкиндик деп аталат. 
Ар бир э-ийкем компакт мейкиндик саналуучу э-ийкем компакт болот.
20.	  э-ийкем топологиялык мейкиндик болсун. Төмөнкүлөр бири бирине эквиваленттүү болот. 
i.	  мейкиндиги саналуучу э-ийкем компакт болот. 
ii.	  мейкиндиги Больцано — Вейерштрасс касиетин канааттандырат.
iii.	  мейкиндигинде ийкем элементтерден түзүлгөн ар бир катардын бир ийкем предел элементи бар болот. 
21.	Ар бир э-ийкем катарлуу компакт мейкиндик, э-ийкем саналуучу компакт болот. 
22.	  бир э-ийкем топологиялык мейкиндик болсун. 
i.	Эгерде   чекитинин   мейкиндигинде бир компакт аймагы бар болсо   ийкем топологиялык мейкиндиги жергиликтүү компакт мейкиндик деп аталат. 
ii.	Эгерде ар бир   үчүн   ийкем көптүгү компакт боло тургандай бир   ийкем ачык аймагы бар болсо    мейкиндигине жергиликтүү компакт мейкиндик деп аталат.
Бир э-ийкем топологиялык компакт мейкиндикте ар бир ийкем элементтин бир ийкем компакт аймагы бар болгондуктан ар бир э-ийкем топологиялык компакт мейкиндик жергиликтүү компакт мейкиндик болот. 
23.	  жана   эки э-ийкем топологиялык мейкиндик   ийкем үзгүлтүксүз ачык бир функция болсун. Эгерде    жергиликтүү компакт болсо   э-ийкем мейкиндиги да жергиликтүү компакт болот. 
Ачкыч сөздөр: Ийкем көптүк, ийкем элемент, элементардык амалдар, элементардык ийкем топология, ийкем топологиялык мейкиндик, ийкем мейкиндикте секвенциалдуу компакттуулук, саналуучу компакттуулук, жергиликтүү компакттуулук.