Ayrık zamanlı PID ve PIR kontrolörlerin baskın kutup atama yöntemi ile tasarımı
Design of discrete time PID and PIR controllers with dominant pole assignment
Yazar: AYŞE DUMAN MAMMADOV
Danışman: PROF. DR. MEHMET TURAN SÖYLEMEZ
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2021
Konu: Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrol = Computer Engineering and Computer Science and Control
Dizin: PID = PID ; PID denetleme = PID control

Özet:
Kontrol sistem tasarımında çokça tercih edilen bir yöntem olan baskın kutup atama yaklaşımında, kapalı çevrim sistemin aşım, yerleşme zamanı, yükselme zamanı gibi performans özellikleri baskın bölgedeki kutuplar tarafından belirlenmektedir. Baskın kutup atamayı garanti altına almak için de tezde kullanılan yaklaşım, kapalı çevrim sistemin geriye kalan tüm kutuplarının baskın kutuplardan uzağa (genellikle 3-5 kat) yerleştirilmesidir. Böylece, kapalı çevrim sistemin geçici hal yanıtı istenildği gibi elde edilir. Bu sebeple, literatürde baskın kutup atama yönteminin kullanıldığı bir çok çalışma mevcuttur. Diğer taraftan, eğer baskın olmayan kutuplar yeterince uzakta konumlanmazsa, kapalı çevrim sistemin performans özelliklerinin belirlenen şekilde sağlanamayağı gibi bir sorun ortaya çıkar. 
Endüstrideki sistemlerin kontrolünde genellikle endüstriyel bilgisayarlar veya bilgisayar tabanlı cihazlar kullanıldığından dolayı, ayrık zamanda kontrol endüstriyel süreçlerin temel konularından biri halini almıştır. Ayrıca, sürekli zamanda alanında tasarım her zaman kolay değildir. Özellikle zaman gecikmesine sahip sistemler için, gecikmeden kaynaklı kapalı çevrimdeki sonsuz sayıda kutup ve kutupların baskın bölgede yer alma olasılığı sebebiyle baskın kutup atama yöntemi ile tasarım zorlayıcıdır. Diğer taraftan, ayrık zamanda düzleminde, zaman gecikmesinin örnekleme zamanının bir katı olacak şekilde örnekleme zamanı seçildiğinde, gecikmeden gelen kutuplar sonlu hale gelmektedir ve ayrık zamanda kontrolör tasarlamak çok daha avantajlı olmaktadır.
PID kontrolörlerin, basit bir yapıya sahip olması, kolay uygulama sağlaması ve güçlü sağlamlığa sahip olması gibi avantajları nedeniyle endüstriyel uygulamalarda sıklıkla kullanılmaktadır. Ayrıca, kontrolör parametrelerinin sağladığı sabit durum hatalarını ortadan kaldırma, geçici hal yanıtını iyileştirme özellikler de çoğu kontrol uygulamalarında iyi bir performans sağlamak için yeterli olmaktadır. Bu sebeplerden dolayı, baskın kutup atama yönteminde PID kontrolör ile tasarım yapmak önemlidir. Hem sürekli zamanlı hem ayrık zamanlı PID kontrolör ile baskın kutup atamayı garanti altına alma problemini çözen literatürde çalışmalar vardır ve tezin ikinci bölümünde ayrık zamanlı PID ile baskın kutup atama yöntemi sunulmuştur. İlk olarak, baskın kutup çiftinin atanmasını sağlayan ayrık PID kontrolör parametre seti elde edilmiştir. Daha sonra, değiştirilmiş Nyquist grafiği yardımıyla baskın kutup atama garanti altına alınmıştır.
Baskın kutup atama yaklaşımında, kontrolörün sıfırlarına odaklanılmamaktadır, fakat tasarım sonucunda bu sıfırlar baskın bölgede veya kararsız bölgede konumlanabilirler. Bu da, kapalı çevrimde istenmeyen geçici hal yanıtına sebep olabilir. PI-PD yapısında ise, kontrolörün sıfırının konumu istenilen şekilde belirlenebilir ve kontrolör sıfırlarının neden olduğu geçici hal yanıtındaki olumsuz etkilerin önüne geçilmiş olur. Bu sebeplerden dolayı, ayrık zamanlı PI-PD kontrolör yapısı ile de baskın kutup atama yaklaşımı tezde verilmiştir.
Endüstride sıklıkla kullanılan PID kontrolör bazı durumlarda zorlayıcı olabilir. Bunun temel sebeplerinden biri, yüksek frekanslı ölçüm gürültüsünü artırabilen türev terimini ayarlamaktır ve bu sebeple, bazı kontrol uygulamalarında türev teriminden yani PID kontrolör kullanılmaktan kaçınılır. Diğer taraftan, kontrol yapılarında kasıtlı olarak zaman gecikmesinin kullanıldığı bir çok çalışma mevcuttur. Türev teriminden kaçınmak ve gecikmenin avantajlarından yararlanmak için, daha önce PIR kontrolör yapısı önerilmiştir. Böylelikle, ölçüm gürültüsü büyümesi azaltılabilirken, bozucu bastırma performansı ve integral terimi sayesinde olan sürekli hal hatası giderme özelliğinin korunması amaçlanmaktadır. Fakat, bilindiği kadarıyla, PIR kontrolörün baskın kutup atama yaklaşımında kullanıldığı literatürde herhangi bir çalışma yoktur. Bu sebepten, tezin üçüncü bölümünde, PIR kontrolör yapısı anlatılmış ve ayrık zamanın bahsedilen avantajlarından yararlanmak için önerilen kontrolörün ayrık zamandaki gösterimi verilmiştir. Daha sonra, baskın kutup atama yöntemi ile ayrık zamanlı PIR kontrolör tasarımı önerilmiştir. PIR kontrolör ile baskın kutup atamanın PID'den farkı, gecikme parametresi ($h$) tasarıma baslamadan önce pozitif bir tamsayı olarak seçilmesidir. Gecikme parametresinin değeri değiştikçe kontrolörün elde edilen parametre seti de değişmektedir.
Bununla birlikte, PIR kontrolörde de, gecikme parametresine bağlı olarak sıfır sayısı dağişmekte ve baskın kutup atamada sıfırların yerleri belirlenememektir. Bu sebeple, tezin üçüncü bölümünde PI-PD yapısının avantajları da düşünülerek, ayrık PIR kontrolörün de bu şekilde bir yapıda kullanılabileceği anlatılarak yeni bir kontrol yapısı olan PI-PR önerilmiştir. Önerilen ayrık PI-PR kontrolör ile kontrolör sıfırlarının yerleri belirlenerek kapalı çevrim sistem geçici hal yanıtında sorun teşkil etmeleri önlenmiş; aynı zamanda da, önerilen kontrolör ile baskın kutup atama garanti altına alınmıştır. Daha sonra, ayrık PI-PR kontrolör, zaman gecikmesine sahip sistemler üzerinden literatürdeki bazı kontrolör yöntemleri ile karşılaştırılmıştır.
Baskın kutup atama yönteminde, baskın bölgedeki kapalı çevrim kutup çifti yerleştirildikten sonra, geriye kalan kutupları sınırlı parametreye sahip olan ayrık PID ve PIR kontrolörler ile baskın kutuplardan uzakta tutmak zordur. Bu durumda, kesin performans kriterleri seçmek yerine belirli değerler arasında almak mantıklı bir yaklaşımdır. Performans kriterlerinin belirli değerler arasında olması, baskın kutup çiftinin bir nokta yerine belirli bir bölgenin içinde konumlanması demektir. Buradan da, baskın kutup bölgesi atama problemi ortaya çıkar. Tezin dördüncü bölümünde, hem ayrık PID kontrolör hem de ayrık PIR kontrolör ile baskın kutup bölgesi atama problemi çözüm yöntemi önerilmiştir. Baskın kutup bölgesi atama yaklaşımında, baskın kutuplar yarıçapı önceden belirlenen çemberler ve kapalı çevrim sistemin sönümleme oranı eğrisi ile sınırlandırılan bir bölgeye yerleştirilmiştir. Çözüm yönteminde ise parametre uzayı yaklaşımı kullanılmıştır. Aynı zamanda, baskın kutupların baskınlığını garanti altına almak için, geriye kalan kutupların da yarıçapı önceden belirlenen bir çemberin içine yerleştirilmesi önerilmiştir.
Endüstriyel süreç uygulamalarında, iki giriş iki çıkışlı sistemler ile sıklıkla karşılaşılmaktadır ve bu tip sistemler için de baskın kutup atama önemli bir konudur. Önerilen ayrık zamanlı PIR kontrolör ile baskın kutup atama yöntemi iki girişli iki çıkışlı sistemler için de uygulanabilir. Fakat, doğrudan tasarım yapmak zordur. Tezin beşinci bölümünde anlatıldığı gibi, $2\times2$'lik bir sistem bir ayrıştırma matrisi ve merkezi olamayan ayrık PIR kontrolör ile kontrol edilebilir. Aynı zamanda, verilen örnek sistemler üzerinden ayrık PI-PR yapısının avantajından faydalanarak kontrolörün sıfırının yerinin belirlenmesi için, PIR yapısından ayrık PI-PR kontrolör yapısına geçilmesi önerilmiştir. Ek olarak, ayrıştırma yöntemi ile elde edilen alt sistemlerin sıfırlarının baskın bölgede olduğu durumlarda kapalı çevrim sistemin geçici hal yanıtının olumsuz yönde etkilenmemesi için ön filtre kullanılması önerilmiştir. Önerilen kontrolör yapısı zaman gecikmesine iki girişli iki çıkışlı sistem kullanılarak literatürdeki diğer kontrolörler ile karşılaştırılmıştır.

Abstract:
Pole assignment approach is a popular technique widely used in control systems because it provides a simple design procedure, closed loop system performance is predictable and can be adjusted as desired. In this approach, the locations of the poles directly corresponds to the eigenvalues of the system that determine the behavior of the dynamics of the closed loop. On the other hand, to be able to arbitrarily determine the locations of the poles of the closed loop system in a given system model, the degree of control must be at least the order of the given system minus one. Considering the design with low-order output feedback controllers for systems with complex structures such as high order or time delay, it may be impossible to place all poles of the closed loop system arbitrarily in the desired region. This is an important limitation of the technique.
As it is known, the locations of the poles in the dominant region largely determine the performance characteristics of the closed loop system such as settling time, rise time and delay time. In addition, formulas that calculate transient properties for linear and time-invariant systems are based on a second order system approach, and the better the system meets this approach, the more reliable the results obtained. Therefore, two of the poles of the closed loop system are expected to be in the dominant region and the other poles away from the dominant region.
Due to the reasons mentioned above, the dominant pole assignment method is proposed in the literature.The method provides to determine the dominant poles with respect to the closed-loop system performance criteria which are overshoot, peak time, rise time, settling time and etc. Also, to guaranteed the dominance of the determined poles, all remaining poles of the closed loop system are located away from the dominant poles (usually 3-5 times). Thus, the transient response of the closed loop system is obtained as desired. For this reason, there are many studies in the literature in which the dominant pole assignment method is used. On the other hand, if the non-dominant poles are not located far enough away, the problem arises that the performance characteristics of the closed loop system cannot be achieved as determined.
Since industrial computers or computer-based devices are generally used in the control of industrial systems, discrete time control has become one of the major topics of industrial processes. Also, discrete time controller design have advantages such as efficiency on cost and energy usage etc., so the controller design in the discrete time domain can be preferred. Besides, design in the continuous time domain is not always easy. Especially for systems with time delay, the design with the dominant pole assignment method is challenging due to infinite number of poles come from the time delay because these poles can be located in the dominant region. On the other hand, in the discrete time domain, when the sampling time is selected such that the time delay is a multiple of the sampling time, the poles from the delay become finite, and it is much more advantageous to design a controller in the discrete time.
The proportional integral derivative (PID) controllers are commonly used in the process control applications, since it has a simple structure, provides easy implementation, and has strong robustness. Moreover, the PID controller is sufficient to provide good performance in most control problems, due to the fact that the integral parameter eliminates the steady-state errors and the derivative parameter improves the transient response. For these reasons, it is important to design with a PID controller in the guaranteed dominant pole assignment method. There are studies in the literature that solve the problem of guaranteeing the dominant pole assignment with both continuous and discrete PID controller, and in the second chapter of the thesis, the guaranteed dominant pole assignment method with the discrete time PID is presented. Firstly, the discrete PID controller parameter set is obtained that allows the dominant pole pair to be assigned. Then, the dominant pole assignment is guaranteed with the help of the modified Nyquist plot.
The dominant pole assignment approach does not focus on the zeros of the controller, it deals with only the closed loop system poles. However, as a result of the design these zeros can be located in the dominant region or in the unstable region. This can cause an unwanted transient response in a closed loop. In the proportional integral-proportional derivative (PI-PD) structure, the location of the controller zero can be determined arbitrarily and the negative effects on the transient response caused by the controller zeros are avoided. For these reasons, dominant pole assignment approach with discrete time PI-PD controller structure is given in the thesis.
The PID controller, which is widely used in industry, can be challenging in some situations. One of the main reasons for this is to set the derivative term, which can increase high frequency measurement noise, and for this reason, the use of the derivative term is avoided in some control applications. On the other hand, there exists simple dynamic systems where the existence of a delay has a stabilizing effect in the output feedback control law; therefore, the use of delays as control parameters is existed in the literature. To avoid the term derivative and take advantage of the delay, a proportional integral retarded (PIR) controller structure has been previously proposed. The PIR controller consists of a delayed proportional term instead of the standard derivative term. Thus, the measurement noise amplification can be decreased, whereas, the disturbance rejection performance and the steady state error handling feature of the integral parameter are still conserved. For these reasons, there exist different studies for the controller structures containing the retarded parameter. However, as far as is known, there is no study in the literature using the PIR controller in the dominant pole assignment approach. In the third chapter of the thesis, the PIR controller structure is explained and the representation of the proposed controller in discrete time is given to take advantage of the mentioned advantages of discrete time. Then, the guaranteed dominant pole assignment method with a discrete PIR controller design is proposed. The difference the dominant pole assignment with the PIR controller from with the PID is that the delay parameter ($h$) is chosen as a positive integer before starting the design procedure. Then, the controller design procedure is demonstrated on systems with time delay. With these examples, another advantage of the discrete PIR controller over the discrete PID is demonstrated. In all systems used, a wider parameter set is obtained with the discrete PIR controller. In addition, the differences in the parameter set for different values of the delay parameter of the PIR controller were examined through these sample systems. It has been observed that as the value of the delay parameter increases, the gain range obtained decreases.
On the other hand, in the PIR controller, the number of zeros varies depending on the delay parameter, and the locations of the zeros in the dominant pole assignment cannot be determined. For this reason, in the third chapter of the thesis, considering the advantages of the PI-PD structure, proportional integral-proportional retarded (PI-PR) controller which is a new control structure is proposed and it is explained that the discrete PIR controller parameters can be converted to the discrete PI-PR controller parameters.  With the proposed discrete PI-PR controller, the locations of the controller zeros are determined; thus, the closed loop system transient response is obtained as desired. At the same time, the dominant pole assignment is guaranteed with the proposed controller. Then, the discrete PI-PR controller is compared with some controller methods in the literature on systems with time delay.
It is noted that the proposed design methods are based on locating the dominant pole pair at the desired points and the remaining closed loop system poles $m$ times away from the dominant poles. However, it is not always possible to place the remaining poles as desired for the selected performance criteria and the target dominance factor. Therefore, in the case where the resulting controller parameter set is the empty set, the given design process must be repeated for different $m$ value and/or performance criteria until a non-empty controller parameter set is obtained.
In the dominant pole assignment method, after the closed loop pole pair in the dominant region is located, it is difficult to keep the remaining poles away from the dominant poles with discrete PID and PIR controllers which have limited adjustable parameters. In this case, it is a logical approach to take between specific values rather than choosing strict performance criteria. The widen performance criteria means that the dominant pole pair is located within a specific region instead of a point. From this, the problem of assigning the dominant pole region arises. In the fourth chapter of the thesis, the solution method of assigning dominant pole region with both discrete PID and discrete PIR controllers is proposed. In the dominant pole region assignment approach, the dominant poles are placed in circles with predetermined radius and the damping ratio curve of the closed loop system. In the solution method, the parameter space approach is used. It has also been proposed to place the remaining poles within a circle with predetermined radius to guarantee the dominance of the dominant poles.
In industrial process applications, two inputs and two outputs systems are frequently encountered and dominant pole assignment is an important issue for such systems. The proposed discrete time PIR controller with dominant pole assignment method can also be designed for two inputs two outputs systems. However, it is difficult to design directly. As described in the fifth chapter of the thesis, a system of $2\times2$ can be controlled by a decoupler matrix and decentralized discrete PIR controller. At the same time, it has been proposed to convert from PIR structure to discrete PI-PR controller structure to determine the location of the controller zero by taking advantage of the discrete PI-PR structure via the given sample systems. In addition, it is suggested to use a pre-filter in order not to adversely affect the transient response of the closed loop system in cases where the zeros of the subsystems obtained by the decomposition method are in the dominant region. The proposed controller structure is compared with other controllers in the literature using a two inputs two outputs system with time delay.