Fonksiyonel derecelendirilmiş malzemeden üretilen plakların mekanik ve ısıl yükler altındaki burkulma analizi
Buckling analysis of functionally graded plates under thermal and mechanical loads
Yazar: İBRAHİM UTKU AKTAŞ
Danışman: PROF. DR. VEDAT ZİYA DOĞAN
İstanbul Teknik Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Uçak ve Uzay Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Uçak ve Uzay Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2021
Konu: Havacılık Mühendisliği = Aeronautical Engineering ; Uçak Mühendisliği = Aircraft Engineering

Özet:
Malzeme seçimi bütün mühendislik uygulamalarında çok önemli rol oynamaktadır. Neredeyse bütün mühendislik uygulamalarının gelişmesi ve ilerlemesi o alanda kullanılan malzemelerin gelişmişliği ile doğrudan ilişkilidir. Malzemelerin monolitik malzemeden alaşımlı malzemelere evrimi ve kompozit malzemelerin gelişimi, bir malzeme sınıfının çağın ihtiyaçlarına artık cevap veremiyor oluşundan doğmuştur. Çoğu mühendislik uygulamasında, monolitik bir malzemede bulunması imkânsız olan birbirleriyle çelişen özelliklere sahip malzemelerin kullanımına ihtiyaç duyulmaktadır. Ayrıca, farklı malzemelerin alaşımlanması, bileşen malzemelerin termodinamik davranışı ve bir malzemenin diğer malzemelerle karıştırılma derecesindeki kıstaslar ile sınırlıdır. Fonksiyonel derecelendirilmiş malzeme, iki malzemenin bir araya getirilmesi ve zorlu çalışma ortamlarına maruz kaldıktan sonra dahi işlevlerini yerine getirebilmesi ve özelliklerini koruyabilmesi gerekliliğinden doğmuştur. İşlevsel olarak derecelendirilmiş malzeme başlangıçta bir ısıl bariyer uygulaması ihtiyacı için geliştirilmiş olsa da, bu önemli gelişmiş malzemenin uygulaması artırılmış ve aşırı aşınma direnci ve korozyon direnci uygulamaları gibi mühendislik uygulamalarında bir dizi sorunu çözmek için kullanılmıştır. Bu yeni malzeme türünden havacılık, otomobil ve biyomedikal gibi uygulamalarda yararlanılmaktadır.
Fonksiyonel derecelendirilmiş malzemeler, geleneksel kompozit malzemelerin zorlu çalışma ortamlarında kullanıldığında başarısız uygulamalara neden olmasının sonucunda ortaya çıkmıştır. Geleneksel kompozit malzemelerin mühendislik uygulamalarındaki başarısızlığı kompozit malzemeyi oluşturan katmanlar arasındaki belirgin bir şekilde tanımlanmış olan arayüzden kaynaklanmaktadır. Arayüz, bu bölgede yüksek bir gerilme yığılmasına sebebiyet vermekte ve kompozitin nihai başarısızlığına neden olan çatlak başlangıcını ve yayılmasını teşvik etmektedir. Bu çatlak oluşma ve ilerleme sürecine "delaminasyon" adı verilmektedir. Japonya' da bir uzay mekiği projesinde karşılaşılan ve fonksiyonel derecelendirilmiş malzemelerin ortaya çıkmasına ortam hazırlayan sorun, geleneksel kompozit malzemelerdeki bu belirgin arayüzün nasıl ortadan kaldırılabileceğini ve kompozitin istenen ısıl bariyer görevini nasıl yerine getirebileceği problemini ortaya koymuştur. Araştırmacılar, kademeli olarak değişen bir arayüz ile geleneksel kompozit malzemedeki keskin arayüzü sistematik olarak ortadan kaldırabildiler, böylece bu arayüzdeki gerilme yığılmasını azalttılar ve geliştirilen fonksiyonel derecelendirilmiş malzeme, zorlu çalışma koşullarında kırıma uğramadan ayakta kalabildi. Sonuç olarak malzemenin asıl geliştirilme amacı olan yapıya ısıl kalkan olması dışında çeşitli mühendislik uygulamaları için de fonksiyonel derecelendirilmiş malzemeler kullanılmıştır. Fonksiyonel derecelendirilmiş malzemeler, malzemenin hacmi boyunca değişen özelliklerle birlikte değişen bileşime sahip gelişmiş kompozit malzemelerdir.
Havacılıkta kullanılan araçlar başta aerodinamik yükler olmak üzere birçok mekanik ve ısıl yüklere maruz kalmaktadır. Bu yükler hava aracının yapısallarının boyutlandırılmasında kullanılmaktadır. Güvenli bir hava aracı maruz kaldığı yükleri yapı içerisinde taşırken kırıma uğramayacak şekilde tasarlanmaktadır. 
Hava aracının yapısalları birçok farklı şekilde kırıma ya da hasara uğrayabilmektedir. Bunları öngörebilmek ve yapıyı ona göre tasarlamak hayati öneme sahiptir. Bununla beraber, yapıları kırıma uğratmayan fakat yapılarda yapısal kararsızlığa yol açan burkulma problemi havacılıkta çok önemli bir konudur. Örneğin bir uçağa gelen yükler kanat üzerindeki kabukların düzlem içi basma ya da çekme yüklerine maruz kalmasına sebep olabilmektedir. Kabuk elemanlarının basma yüküne maruz kaldığı durumlarda burkulma olayı gerçekleşebilir. Bu da hem kanat üzerindeki aerodinamik akışı bozabilmekte hem de yapının kararsız hale gelmesine sebep olabilmektedir. Bu gibi durumlarda yapının yük taşıma kapasitesi değişmekte ve burkulma sonrası hesaplamaların yapılması gerekmektedir. Bundan dolayı yapısal elemanların ne zaman burkulmaya uğrayabileceğini öngörebilmek büyük önem taşımaktadır. 
Bu tezde fonksiyonel derecelendirilmiş malzemeden üretilen plakların ısıl ve mekanik yüklemeler altındaki burkulma davranışları sistematik olarak ele alınacaktır.
1. Kısım' da yapılan çalışmadan genel olarak bahsedilip çalışmanın amacından ve isteğinden söz edilmiştir. 2. Kısım' da ise geçmişte fonksiyonel derecelendirilmiş plaklar üzerine yapılmış çalışmalar okuyucuya aktarılmıştır. Bu çalışmaları ifade etmeden önce temel burkulma probleminin tanımı yapılmıştır. Burkulma olayını tanımlamaya ilk olarak kolon ve kiriş elemanlarının burkulmasından başlanmış daha sonra plakların burkulması anlatılmıştır. Burkulma teorisinin alt yapısının okuyucuya bu şekilde verilmesi amaçlanmıştır. Ardından fonksiyonel derecelendirilmiş malzemelere kısa bir giriş yapılmış ve tarihçesinden bahsedilmiştir. Bu kısımda aynı zamanda fonksiyonel derecelendirilmiş malzemelerin burkulması üzerine yapılan akademik çalışmalardan da bahsedilmiştir. 
3. Kısım' da fonksiyonel derecelendirilmiş malzemeden üretilen plakların mekaniğini anlamak adına geleneksel kompozit malzemeden üretilen plakların mekaniği okuyucuya aktarılmıştır. İlk olarak katmanlı kompozit plak teorilerinden kısaca bahsedilmiş ve sonra Klasik Kompozit Plaka Teorisi (KPT) ve Birinci Dereceden Kayma Şekil Değiştirme Teorisi (BKT) detaylı bir şekilde anlatılmıştır. Çünkü fonksiyonel derecelendirilmiş malzemeden üretilen plakların mekaniğini anlamak için geleneksel kompozit plakların mekaniğini iyice anlamak büyük önem taşımaktadır. 4. Kısım' da fonksiyonel derecelendirilmiş malzemelerin üretim yöntemlerinden kısaca bahsedilmiş ve etkin malzeme özelliklerinin nasıl modellendiği gösterilmiştir. 5. Kısım' a gelindiğinde daha önceden kısaca bahsedilen plakların burkulma problemi üzerinde durulmuş ve bu problemin belirli sınır koşulları altında analitik çözüm yöntemlerinden bahsedilmiştir. İlk olarak izotropik plakların burkulma probleminin çözümü, Navier ve Levy sınır koşullarını ayrı ayrı sağlayacak şekilde oluşturulan sınır koşulları altında çözülmüştür. Ardından Fonksiyonel derecelendirilmiş malzemeden üretilen plakların burkulma problemini çözebilmek için KPT kullanılarak analitik model oluşturulmuştur. Sonrasında oluşturulan analitik model her bir kenarından basit mesnetli kabul edilen fonksiyonel derecelendirilmiş plaklar için farklı yüklemeler altında MATLAB programında yazılan kod yardımı ile çözülmüştür. Bu yüklemeler mekanik ve ısıl yüklemeler olmak üzere ikiye ayrılmaktadır. Mekanik yüklemeler için üç farklı durum göz önüne alınmıştır. Bunlar: tek eksenli basma yükü, iki eksenli basma yükü ve iki eksenli basma – çekme yükü altındaki burkulma analizleridir. Isıl yükleme koşulları ise sıcaklığın kalınlık boyunca farklı şekillerde dağılımları göz önüne alınarak yine üç farklı şekilde yapıya uygulanacak ve burkulma analizi yapılmıştır. İlk olarak kalınlık boyunca sabit sıcaklık dağılımı için kritik burkulma sıcaklık farkı bulunmuştur. Ardından kalınlık boyunca doğrusal değişen sıcaklık dağılımı için burkulma analizi yapılıp kritik burkulma sıcaklık farkı elde edilmiş ve sonrasında ise kalınlık boyunca doğrusal olmayan sıcaklık dağılımı için bu analizler tekrarlanmıştır. Elde edilen tüm sonuçlar daha önceki çalışmalarla kıyaslanmış ve ince FD plaklar için KPT' nin oldukça başarılı sonuçlar verdiği görülmüştür. 
6. Kısım' da ise sonlu elemanlar paket programı, PATRAN, NASTRAN yardımıyla burkulma analizleri gerçekleştirilmiş ve KPT ile elde edilen analitik sonuçlarla kıyaslanmıştır. 
Sonraki kısımlarda yapılan tüm çalışmalar kısaca değerlendirilmiş ve gelecekte bu konu üzerine yapılabilecek çalışmalardan bahsedilmiştir.

Abstract:
Material selection plays an important role for all engineering applications. The development of almost all engineering applications depend on materials that are used in that areas. The evolution of materials from monolithic to alloy materials and the development of composite materials arose from the fact that a class of materials could no longer meet the needs of the age. In most of the engineering applications a class of material that has conflicting material properties is needed, which is not possible for monolithic materials. Moreover, alloying of different type of materials depends the thermodynamic behavior and mixing rules of constituent materials. For this reason, there is a limitation for that type of applications. The functionally graded material was born from the necessity of combining the two materials and being able to perform their functions and maintain their properties even after being exposed to harsh working environments. The application of functionally graded materials has solved lots of engineering problems in many areas such as wear resistance and corrosion resistance despite this advanced type of material was firstly improved for a thermal barrier application. Aerospace, automotive and some biomedical applications are example areas that functionally graded materials are used. 
The main reason for the use of functionally graded materials in many engineering areas is the result of traditional composites causing unsuccessful applications when used in extreme operating conditions. The failure of conventional composite materials in engineering applications is due to the clearly defined interface between the layers that make up the composite material. The interface causes a high stress concentration in this region and promotes crack initiation and propagation, which results in eventual failure of the composite. This is called as "delamination". Functionally graded materials were initially developed for space plane project in Japan. They needed a class of composite material which will be able to survive in intended thermal conditions. The sharp interface between the laminates was able to remove by the researchers for traditional composites by providing gradually changing interface. This reduced the stress concentration at the interface, and FGM was first developed. As a result, functionally graded materials have been used for various engineering applications, apart from being a thermal barrier to the structure, which is the main purpose of development of the material. 
Vehicles used in aviation industry are exposed to many mechanical and thermal loads, especially aerodynamic loads. These loads are used to size the structures so that the structure does not fail. 
The structures of the aircraft can be broken or damaged in many different ways. It is vital to foresee these and design the structure accordingly. The buckling phenomena, which is not a failure but causes structural instability in structures, is a very important issue in aviation. For example, skin panels of an aircraft wing carry in plane compression and tension forces. Buckling may occur if the panel is in compression. This causes wing skin to be unstable by changing the load carrying capacity of the skin panels and post buckling analysis are required. For this reason, it is important to predict the critical buckling load. 
In the 1st Chapter, the study was mentioned in general and the purpose and motivation of the study were mentioned. In the 2nd Chapter, the studies on functionally graded plates in the literature are mentioned to the reader. Before mentioning about these studies, definition of the buckling phenomena was performed. First of all, theory of the buckling of columns and beams was determined. Then, buckling of plates is studied. It is aimed to give the background of the buckling theory to the reader in this way. After that, a brief introduction to functionally graded materials is mentioned and its history and background are given. 
In Chapter 3, the mechanics of plates produced from traditional composite materials are mentioned in order to understand the mechanics of plates produced from functionally graded materials. First, laminated composite plate theories are briefly mentioned, and then Classical Laminated Plate Theory (CLPT) and First Order Shear Deformation Theory (FSDT) are explained in detail. In order to understand the mechanics of plates produced from functionally graded material, it is of great importance to thoroughly understand the mechanics of conventional laminated composite plates. 
In Chapter 4, the production methods of functionally graded materials are briefly mentioned and mathematical modeling of effective material properties is shown. 
In the 5th part, the buckling problem of the plates, which was briefly mentioned before, was emphasized and analytical solution methods of this problem under certain boundary conditions were performed. First, the solution of the buckling problem of isotropic plates is solved under the boundary conditions created to satisfy the Navier and Levy boundary conditions separately. Then, an analytical model was created using CLPT in order to solve the buckling problem of functionally graded plates. Afterwards, the analytical model created was solved with the help of the code written in the MATLAB program under different loadings for functional graded plates accepted as simply supported on all four edges. These loads are divided into two as mechanical and thermal loads. Three different cases are considered for mechanical loadings. These are uniaxial compression load, biaxial compression load and biaxial compression and tension load. The thermal loading conditions, on the other hand, will be applied to the structure in three different ways, taking into account the distribution of the temperature in different ways throughout the thickness, and buckling analysis has been performed. First, the critical buckling temperature difference is found for a constant temperature distribution across the thickness. Then, buckling analysis was performed for the temperature distribution that changes linearly along the thickness, and the critical buckling temperature difference was obtained. Then these analyzes were repeated for the nonlinear temperature distribution throughout the thickness. All the results obtained were compared with previous studies and it was seen that CLPT gives successful results for thin functionally graded plates. However, for thick plates, higher order theories give more accurate results and using CLPT is not appropriate. 
In Chapter 6, buckling analyzes were carried out with the help of the finite element package program, PATRAN, NASTRAN and compared with the analytical results obtained by CLPT. For the mechanical buckling loads such as uniaxial compression, biaxial compression and biaxial compression-tension, finite element results and analytical results are close to each other. For the uniform temperature across the thickness it should be stated that the finite element results are very close to analytical results which are obtained for isotropic plates. However, for FG plates, results obtained from finite element solutions differ from analytical results.
At the end of the thesis, all the studies are briefly evaluated and discussed. Then future studies on this subject are mentioned.