Kaotik davranışa sahip kesirli diferansiyel denklem sistemleri ve nümerik çözümü
Chaotic fractional differential equation systems and their numerical solutions
Yazar: ALİ KONURALP
Danışman: PROF. DR. NECDET BİLDİK
Celal Bayar Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2012
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Jiroskop = Gyroscope ; Kaotik sistemler = Chaotic systems ; Kesirli integraller = Fractional integrals ; Kesirli türevler = Fractional derivatives ; Sayısal çözüm yöntemleri = Numerical solution methods ; Varyasyonel yöntemler = Variational methods

Özet:
Bu tez çalışması altı bölümden oluşmuştur.Birinci bölümde, kesirli integral ve türevlerin Riemann-Liouville anlamındaki ifadelerine yer verilmiştir. Soldan ve sağdan Riemann-Liouville kesirli integralleri ve kesirli türevleri yarım eksen ve reel eksen de olmak üzere ayrı ayrı ifade edilmiştir. Kesirli analizle ilgili bazı tanım ve teoremlere de yer verilmiştir[42].İkinci bölümde, Caputo ve Grünwald-Letnikov kesirli türevleri ile ilgili genel tanım ve teoremler ifade edilmiştir[42].Üçüncü bölümde, adi kesirli diferansiyel denklemler için nümerik bir çözüm yolu olan varyasyonel iterasyon metodu verilmiştir. Göz önüne alınan örnek bir problem için metodun probleme uygulama esaslarına, lineer ve lineer olmayan yapıya sahip Lagrange çarpanları ele alınarak değinilmeye çalışılmıştır. Mertebesi ikiden daha küçük bir kesirli türevi ihtiva eden, ikinci mertebeden diferansiyel denklemin orijinal yapısı değiştirilmeksizin, çeşitli parametre değerleri için söz konusu denklemin nümerik çözümleri yapılmıştır.Dördüncü bölümde, kesirli integro-diferansiyel denklem sistemlerini çözmek için varyasyonel iterasyon metodunun çözüm algoritması verilmiştir. Bu metot kullanılarak örnek sistemlerin çözümleri kesirli mertebenin bir fonksiyonu olarak bulunmaya çalışılmıştır. Bunun yanında bilinen farklı çözüm metotları ile elde edilmiş çözümler, varyasyonel iterasyon metodunun kullanılmasıyla elde edilenler ile benzer sonuçları verdiği gözlenmiştir.Beşinci bölümde, dinamik sistemlere kısa bir giriş yapılmış ardından Lagrange dinamikleri kullanılarak jiroskobun literatürde yer alan denklem sistemi yapısı elde edilmiştir. Jiroskop sisteminin üçüncü konum bileşeni olarak zaman fonksiyonunun seçilmesiyle modifiye edilen üç boyutlu otonom denklem sistemi yapısı oluşturulmuştur. Modifiye sistemin yaklaşık çözümü için Lie serisi tekniği sunulmuş ve bu tekniğin kullanılmasıyla sistemin belirli parametre değerleri için Lyapunov üstelini hesap edebilen Java tabanlı bir algoritma yazılmıştır.Son bölüm olan altıncı bölümde ise, bir önceki bölümde oluşturulan modifiye sistemin kesirli mertebeden ifade edilmiş yapısı göz önüne alınmıştır. Son yıllarda yaygın olarak kullanılan Grünwald-Letnikov ve Adams-Bashforth-Moulton çözüm yaklaşımları ifade edilmiş ve bu metotlar modifiye sisteme adapte edilmiştir. Göz önüne alınan sistemin çeşitli mertebeden yapılarının kaotik davranışlarının inceleneceği dört farklı durum grubundan toplam onbeş farklı alt durum oluşturulmuştur. Bu alt durumlara ilişkin simülasyon sonuçlarını gösteren şekiller verilmiştir. Son olarakta sistemin yapısı üzerinden genel bir sonuca varılmıştır.Bu tez çalışmasının orijinal kısımları, üçüncü bölüm, dördüncü bölüm, beşinci bölümün dördüncü kesimi ile orijinal modifiye sistemin incelendiği altıncı bölümün beşinci, altıncı ve yedinci kesimleridir.

Abstract:
This thesis consists of six chapters.In the first chapter, Riemann-Liouville fractional integrals and derivatives are given. Left-sided and right-sided Riemann-Liouville integrals and fractional derivatives, of order arbitrary number, on a finite interval of real line, on the half-axis and also on the real axis are given. Some basic definitions and theorems are expressed for understanding how a fractional integral and derivative are calculated42].In the second chapter, Caputo and Grünwald-Letnikov fractional derivatives and their related basic theorems are expressed [42].In the third chapter, a numerical approach for ordinary fractional differential equations, variational iteration method, is given. Considering an ordinary fractional differential equation, the principles of applying this method to the equation are expressed by taking into account the linear and nonlinear forms of Lagrange multiplier. Without changing the original form of the second order differential equation including one fractional derivative term of order less then two, the numerical solutions are obtained for varius parameter values.In the fourth chapter, using variational iteration method, the solution algorithm of system of fractional integro-differential equation is given. The solutions of representative systems, as a function of the fractional order, were obtained using this algorithm. Calculated solutions using variational iteration method gave similar results with those of obtained by using other known methods.In the fifth chapter, a brief introduction to dynamical systems is given. Using the Lagrangian dynamics, the structure of gyro ordinary differential equation is obtained analogously as in the literature. Then gyro ordinary differential equation is modified into an autonomous three dimensional system by choosing a new variable that is the third position component of the gyro system as the function of time. Lie series technique for the solution of the modified system was expressed and a Java-based algorithm that can count the Lyapunov exponent of the modified system for the specific parameter values is written.In the final chapter, a fractional-order system is formed as in the modified structure generated in the previous chapter and that system is taken into account through the whole chapter. Adams-Bashforth-Moulton and Grünwald-Letnikov approaches for the numerical solutions of fractional differential equations which are widely used in recent years are expressed and these methods are adapted to modified system. In order to examine the behavior of a chaotic system, it is considered a variety of a total of fifteen different sub-circumstances from four different circumstances groups. It is also given the figures which show the resulting graphs of the simulation of given these sub-circumstances.The original sections of this thesis are third chapter, forth chapter, forth section of the fifth chapter and fifth, sixth and seventh sections of sixth chapter in which the modified gyro systems are investigated.