Değişmeli halkaların bazı özel idealleri ve modüllerin bazı özel alt modülleri
Some special ideals of commutative rings and some special submodules of modules
Yazar: SUAT KOÇ
Danışman: PROF. DR. ÜNSAL TEKİR ; DOÇ. DR. ESRA ŞENGELEN SEVİM
Marmara Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2019
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezin amacı asal ideallerin ve r-idealin çeşitli genelleştirmelerini tanımlamak ve bu genelleştirmeleri birçok halka ve modül karakterizasyonunda kullanmaktır. R. Mohamadian değişmeli halkalardaki r-idealleri tanımlayarak bu ideal sınıfını tamlık bölgelerini, quasi-regüler halkaları ve (A)-özelliğini sağlayan halkaları karakterize etmede kullanmıştır. 
     Bu kavramdan esinlenerek tezin 2. bölümünde r-ideal kavramının modüllere iki farklı genişlemesi olan r-alt modül ve sr-alt modül ortaya konulmuştur. Bu iki alt modül sınıfı arasındaki ilişkiler incelenerek basit ve serbest burulmalı modüllerin karakterizasyonları verilmiştir.
   Tezin 3. bölümünde r-ideallerden daha güçlü bir ideal sınıfı olan n-ideal sınıfı tanımlanmış ve r-ideal, asal ideal, asalımsı ideal gibi bazı klasik ideal sınıflarıyla arasındaki ilişkiler araştırılmıştır. Dahası n-idealler, von Neumann regüler (von Neumann regular) halkaların ve Călugăreanu tarafından tanımlanan UN-halkalarının karakterizasyonunda kullanılmıştır.
   Tezin 4. bölümünde asalımsı ve quasi asalımsı (quasi primary) ideal sınıfları arasında kalan güçlü quasi asalımsı (strongly quasi primary) idealler tanımlanmıştır. Öncelikle güçlü quasi asalımsı ideallerin asal, asalımsı, quasi asalımsı, 2-asal ideallerle ilişkileri ortaya konulmuştur. Ayrıca, değer halkasının bir genellemesi bölünmüş halkalar (divided rings), bu ideal sınıfı yardımıyla karakterize edilmiştir. Daha sonra, Redmond tarafından tanımlanan ideal bazlı sıfır bölen grafiği Γ_U (H) nin alt grafiği 〖Γ^*〗_U (H) çalışılmıştır.  Ayrıca, H nin cebirsel özellikleriyle  〖Γ^*〗_U (H) nin grafiksel özellikleri arasıdaki bağlantılar araştırılmıştır. 
   Tezin son bölümünde asal ideallerin yeni bir genellemesi n-asal idealler verilmiştir. Bu ideal sınıfı üzerinde Zariski Topolojisine benzer yeni bir topoloji kurulmuştur. Böylece, bu topolojinin topolojik özellikleriyle verilen halkanın cebirsel özellikleri arasındaki 
ilişkiler araştırılmıştır. Dahası bu idealler yardımıyla tek maksimali nil radikal olan sözde-yerel (quasi-local) halkalar karakterize edilmiştir.

Abstract:
The aim of this thesis is to define various generalizations of prime ideals and r-ideal and to use them in several ring and module characterizations.
   R. Mohamadian used this class of ideals to characterize integral domains, quasi regular rings and rings satisfying property (A) by defining r-ideals in commutative rings. Inspired by this notion, in Section 2 of the thesis, r-submodules and sr-submodules which are two different extensions of the concept of r-ideal are introduced. The relations between these two submodules are examined and the characterizations of simple and torsion-free modules are given. 
   In Section 3 of the thesis, the class of n-ideals which is stronger than r-ideals is defined and its relations between some classical ideals such as r-ideal, prime ideal and primary ideal are investigated. Furthermore, the n-ideals are used to characterize von Neumann regular rings and UN-rings defined by Călugăreanu.
   In Section 4 of the thesis, strongly quasi primary ideals which are between the class of primary ideals and the class of quasi primary ideals are defined. Firstly, the relations of strongly quasi primary ideals with prime, primary, quasi primary, 2-prime ideals are given. Furthermore, divided rings, which are a generalizations of valuation domains are characterized in terms of this class of ideals. Then a subgraph 〖Γ^*〗_U (H) of an ideal based zero divisor graph Γ_U (H) defined by Redmond is studied. Also, the relationships between the algebraic properties of H and graphical properties of 〖Γ^*〗_U (H) are investigated. 
    In the last part of the thesis, n-prime ideal which is a new generalization of prime ideal is given. A new topology on this new class of ideals which is similar to Zariski Topology has been established. Thus, the relationships between the topological properties of this topology and the algebraic properties of the given ring are investigated. Further, quasi-local rings with nil maximal ideal, namely, rings with unique nil maximal ideal are characterized in terms of this class of ideals.