Değişken üslü Sobolev uzaylarında hiperbolik tipten denklemlerin çözümlerinin analizi
Analysis of solutions for hyperbolic type equations in variable exponent Sobolev spaces
Yazar: NEBİ YILMAZ
Danışman: PROF. DR. ERHAN PİŞKİN
Dicle Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Diferansiyel denklemler, fiziksel sistemlerin zaman içerisindeki değişimlerini modellemek için kullanılan matematiksel araçlardır ve pek çok alanda (fizik, kimya, mühendislik,…) önemli bir rol oynarlar. Evolüsyon denklemler ise zaman bağımlı süreçleri modellemek için kullanılır ve sistemlerin zamana bağlı olarak nasıl değiştiğini anlamamıza olanak tanır. Bu denklemlerin daha karmaşık formlarından biri olan değişken üslü diferansiyel denklemler, klasik diferansiyel denklemlerden farklı olarak üslerin mekâna (x) veya zamana (t) bağlı olduğu daha esnek modeller sunar. Bu modeller, daha heterojen yapılar üzerinde çalışmayı mümkün kılar ve birçok modern mühendislik ve bilimsel problemin çözümünde kullanılır. Bu bağlamda tezin ilk bölümünde mühendislik ve fen gibi uygulamalı bilimlerde ortaya çıkan değişken üslü denklemlerden söz edilmiştir. Tezin ikinci bölümünde, değişken üslü hiperbolik tipten denklemler üzerine yapılan önceki çalışmalar ayrıntılı bir şekilde incelenmiştir. Üçüncü bölümde ise, tezde kullanılacak temel tanım, lemma ve teoremler yer almıştır. Bu bölüm, sonraki teorik sonuçların anlaşılması için gerekli olan matematiksel altyapıyı oluşturur. Dördüncü bölümde, değişken üslü doğrusal olmayan Petrovsky denklemin çözümlerin varlığı ve patlaması ele alınmıştır. Beşinci bölümde ise, değişken üslü yüksek mertebeden logaritmik kaynak terimli Kirchhoff tipi denklemin çözümlerinin patlaması incelenmiştir. Altıncı bölümde, değişken üslü viskoelastik denklemin çözümlerinin global varlığı ve patlaması ele alınmıştır. Yedinci bölümde,  değişken üslü logaritmik kaynak terimli m-Laplacian denkleminin çözümlerinin global varlığı ve azalması incelenmiştir. Son olarak, sekizinci bölümde değişken üslü Klein-Gordon denklem sistemi incelenmiş, bu sistemin patlaması ve sayısal sonuçları sunulmuştur. İki boyutlu sayısal örnekler verilmiş ve grafikler çizilmiştir.

Abstract:
Differential  Differential equations are mathematical tools used to model the changes in physical systems over time and play a significant role in many fields (physics, chemistry, engineering, etc.). Evolution equations, on the other hand, are used to model time-dependent processes and help us understand how systems evolve over time. Variable exponent differential equations, as more complex forms of these equations, differ from classical differential equations by allowing the exponents to depend on space (𝑥 ) or time (𝑡), offering more flexible models. These models enable the study of more heterogeneous structures and are utilized in solving many modern engineering and scientific problems. In this context, the first chapter of the thesis discusses variable exponent equations that arise in applied sciences such as engineering and physics. The second chapter provides a detailed review of previous studies on variable exponent hyperbolic-type equations. In the third chapter, the fundamental definitions, lemmas, and theorems to be used in the thesis are presented. This chapter establishes the mathematical groundwork necessary for understanding subsequent theoretical results. In the fourth chapter, the existence and blow-up of solutions to variable exponent nonlinear Petrovsky equations are examined. The fifth chapter focuses on the blow-up of solutions to a variable exponent higher-order Kirchhoff-type equation with a logarithmic source term. In the sixth chapter, the global existence and blow-up of solutions for the variable exponent viscoelastic equation is addressed. The seventh chapter examines the global existence and decay of solutions for the variable exponent m-Laplacian equation with a logarithmic source term. Finally, the eighth chapter investigates the variable exponent Klein-Gordon system, presenting its blow-up and numerical results. Two-dimensional numerical examples are provided, and graphs are illustrated.