Frekans kestiricilerin performans analizi
Performance analysis of frequency estimators
Yazar: ERSEN YILMAZ
Danışman: PROF. DR. ERDOĞAN DİLAVEROĞLU
Uludağ Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Elektronik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2007
Konu: Elektrik ve Elektronik Mühendisliği = Electrical and Electronics Engineering

Özet:
Bu tez çalışması frekans kestiricilerin performans analizi ve çözümsel Cramér-Raosınırları ile ilgidir. Reel beyaz Gauss gürültü içindeki bir reel sönümlü sinüs (reel sönümlümodel) ve kompleks beyaz Gauss gürültü içindeki iki kompleks sönümlü sinüsten (komplekssönümlü model) oluşan iki zaman serisi veri modeli ele alınmıştır.Her iki veri modeli için genlik, faz, sönüm katsayısı ve frekans parametrelerininkestirimine ilişkin çözümsel C-R sınır ifadeleri türetilmiştir. İfadeler sınırları toplam örneksayısı, sinyal gürültü oranı ve sinüsler arası frekans farkının ve sinüslerin sönüm katsayılarının(reel sönümlü model için ayrıca sinüsler arası faz farkının) bir fonksiyonu cinsindenvermektedir.Reel sönümlü modele ait çözümsel C-R sınır ifadeleri sinüsün fazı değişirken incelenmişve en kötü ve en iyi durum C-R sınırları ile bu sınırlara karşılık gelen kritik faz değerlerini verenbasit ifadeler elde edilmiştir. İfadeler frekans farkının Fourier limitinin altında olduğu durum(alçak frekans durumu) için incelenmiş yeterince büyük toplam örnek sayısı ve küçük sönümkatsayısı varsayımları altında basit kapalı-biçim ifadeler biçiminde sunulmuştur. Basit kapalıbiçimifadeler alçak frekans durumu için geçerlidir.Kompleks sönümlü modele ait çözümsel C-R sınır ifadeleri frekans farkının Fourierlimitinin altında olduğu durum (yakın frekans durumu) için incelenmiş, yeterince büyük toplamörnek sayısı ve küçük sönüm katsayısı varsayımları altında basit kapalı-biçim ifadeler biçimindesunulmuştur. Basit kapalı-biçim ifadeler sinüsler arasındaki frekans farkının bütün aralığı içingeçerlidir.Her iki model için frekans parametrelerinin kestirimi Maksimum Olabilirlik Kestirici(MLE) ve Sönümlü MUSIC (DMUSIC) kestiricisi kullanılarak, özellikle alçak/yakın frekansdurumu için, karşılaştırmalı olarak incelenmiştir. Yeterince büyük toplam örnek sayısı veyüksek sinyal gürültü oranlarında DMUSIC kestiricisinin MLE'ye yakın bir performanssergilediği sayısal örnekler yardımıyla gösterilmiştir.DMUSIC kestiricisi için birinci derece analizi yapılarak frekans kestirimine ilişkin teorikyan ve varyans ifadeleri türetilmiştir. Teorik sonuçlar sayısal örnekler yoluyla desteklenmiştir.ANAHTAR KELİMELER: Sönümlü sinüs, frekans kestirimi, Cramér-Rao sınırı, alçak/yakınfrekans, Fourier limiti, MUSIC, DMUSIC, MLE, performans analizi, birinci derece analizi

Abstract:
This thesis deals with performance analysis of frequency estimators and analyticalCramér-Rao (C-R) bounds. Two time-series data models are considered, a real damped sinusoidin real white Gaussian noise (real damped model) and two damped cisoids in complex whiteGaussian noise (complex damped model).Analytical C-R bounds are derived for estimating the amplitude, phase, damping factorand frequency parameters of both two models. The expressions give the bounds in terms ofsignal-to-noise ratio, total number of data samples, and a function dependent on the frequencydifference between the sinusoids and the damping factors of the sinusoids (it is also dependenton phase difference between the sinusoids for real damped model).The analytical C-R bounds for real damped model are examined as the phase of thesinusoid varies, and simple expressions are obtained for the worst case and the best case C-Rbounds and for the corresponding critical phase values. Expressions are then presented as simpleclosed-form expressions for the case of frequency difference is smaller than Fourier limit (lowfrequency case) and under the assumptions of low damping and sufficiently large number ofdata samples. The simple closed-form expressions are valid for low frequency case.The analytical C-R bounds for complex damped model are examined for the case offrequency difference is smaller than Fourier limit (close frequency case) and under theassumptions of low damping and sufficiently large number of data samples, and then presentedas simple closed-form expressions, which are valid for whole range of frequency differencebetween the cisoids.Estimation of frequency parameters of both two models is performed by using MaximumLikelihood Estimator (MLE) and Damped MUSIC (DMUSIC) estimator. The performances ofboth two estimators are comparatively investigated, especially for the low/close frequency case.It is demonstrated numerically that performance of DMUSIC is close to performance of MLE inthe case of low damping and sufficiently large number of data samples.First order analysis are provided for DMUSIC estimator and theoretical bias and varianceexpressions are derived for estimating the frequency parameters. The thoretical results aresupported by numerical examples.KEYWORDS: Damped sinusoid, frequency estimation, Cramér-Rao bound, low/closefrequency, Fourier limit, MUSIC, DMUSIC, MLE, performance analysis, first order analysis