Lie cebiroidlerin geometrisi
Geometry of lie algebroids
Yazar: UMUT SELVİ
Danışman: PROF. DR. BAYRAM ŞAHİN
Ege Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
''LİE CEBİROİDLERİN GEOMETRİSİ'' isimli bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümünde tezin konusu olan Lie cebiroid kavramının önemi ve ortaya çıkış süreci tanıtılmaktadır. 
İkinci bölümde, üçüncü ve dördüncü bölümün daha rahat anlaşılabilmesi için Lie cebiroidlerin inşaasında temel oluşturan vektör demeti kavramı, konneksiyon kavramı ve distribüsyon kavramı tanıtılarak bu kavramlarla ilgili çeşitli örnekler verilmektedir. Daha sonra, hemen hemen kompleks Lie cebiroidler için temel  oluşturan hemen hemen kompleks manifold, hemen hemen Hermityen manifold, Hermityen manifold ve nearly Kaehler manifold kavramları tanıtılmaktadır.
Üçüncü bölümde, öncelikle Lie cebir kavramı verilmektedir. Daha sonra, Lie cebiroidler için çok önemli kavramlar olan Poisson yapı ve Poisson manifold kavramları tanıtılmaktadır. Daha sonra, Poisson yapılar için temel örnekler verildikten sonra Lie cebiroid kavramı tanıtılmaktadır. Lie cebiroidler için çeşitli örnekler verildikten sonra Lie cebiroidler üzerindeki konneksiyon kavramı verilmektedir. Sonrasında, yol(path) kavramı ve bu kavram sayesinde bir manifold üzerindeki herhangi bir vektör demetinin uygun bir yol kavramı kullanılması koşuluyla bir Lie cebiroid yapısına genişletilebileceği sonucu elde edilmektedir.
Dördüncü bölümde, hemen hemen Lie cebiroidler tanıtılıp, bu kavram üzerinde bir tensör dönüşüm olan Jakobileyen dönüşümü tanıtılmaktadır. Daha sonra, hemen hemen Lie cebiroidler üzerinde tanımlı bir konneksiyon olan $E$-konneksiyon kavramı verilmekte, bu konneksiyon yardımıyla Lie cebiroidler üzerinde eğrilik tensörü ve torsiyon tensörü kavramları sunulmaktadır. Sonrasında verilen Lie cebiroid örneklerinde kullanılan vektör demetlerinin alt vektör demetleri sayesinde yeni bir hemen hemen Lie cebiroid yapısı elde edilmekte ve hemen hemen Lie cebiroidlerin, uygun koşullarda Lie cebiroide dönüştürülebilmesi ile ilgili kriterler elde edilmektedir. Tezin son alt bölümünde ise, geçişli Lie cebiroidler, hemen hemen kompleks Lie cebiroidler ve hemen hemen Hermityen Lie cebiroidler tanıtılmaktadır.

Abstract:
This thesis named 'GEOMETRY OF LIE ALGEBROIDS' consists of four chapters. In the first chapter, the importance and emergence process of the Lie algebroid notion, which is the subject of the thesis, is introduced.
In the second chapter, in order to understand the third and fourth chapters more easily, the notion of vector bundle, which forms the basis for the construction of Lie algebroids, the notion of connection and distribution are given and various examples are given on these subjects. Then, the notions of almost complex manifold, almost Hermitian manifold, Hermitian manifold and nearly Kaehler manifold, which form the basis for almost complex Lie algebroids, are introduced.
In the third chapter, firstly the notion of Lie algebra is given. Then, the notions of Poisson structure and Poisson manifold, which are very important notions for Lie algebroids, are introduced. Then, after giving basic examples for Poisson structures, the notion of Lie algebra is introduced. After giving various examples for Lie algebras, the connection on Lie algebras is given. Afterwards, the notion of path and thanks to this notion, it is obtained that any vector bundle on a manifold can be expanded into a Lie algebroid structure, provided that an appropriate path notion is used.
In the fourth chapter, almost Lie algebroids are introduced and the Jacobian transformation, which is a tensor transformation on this notion, is given. Then, the notion of $E$-connection, which is almost a connection defined on Lie algebroids, is introduced, and with the help of this connection, the curvature tensor and torsion tensor on Lie algebroids are presented. Thanks to the subvector bundles of vector bundles used in the Lie algebroid examples given afterwards, a new almost Lie algebroid structure is obtained and the criteria for converting almost Lie algebroids into Lie algebroids under appropriate conditions are obtained. In the last subsection of the thesis, transitive Lie algebroids, almost complex Lie algebroids and almost Hermitian Lie algebroids are introduced.