Genel etkili homojen poisson süreçlerine dayanan bağımlı birleşik poisson süreçleri
Dependent compound poisson processes based on common shock homogeneous poisson processes
Yazar: TANYELİ GÜNEYLİGİL
Danışman: DOÇ. DR. GAMZE ÖZEL KADILAR
Hacettepe Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / İstatistik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2014
Konu: İstatistik = Statistics

Özet:
Poisson süreçleri bir sistemdeki zamanı modellemek için sıklıkla kullanılan stokastik süreçlerdendir. Poisson süreci temel olarak bir sayma sürecidir. Örneğin,  bir bölgedeki yol kazalarının (ya da yaralanma/ölüm) sayısı ve bir futbol maçındaki gol sayıları Poisson süreçleri ile modellenebilir. Literatürde homojen, homojen olmayan, genel etkili ve birleşik Poisson süreçleri gibi birçok Poisson süreci bulunmaktadır. En çok bilinen Lévy süreçlerinden olan homojen Poisson süreçlerinde olaylar sabit bir oran ile oluşmaktadır. Homojen olmayan Poisson süreçlerinde ise, olaylar değişen bir oran ile meydana gelmektedir. Genel olarak, oran parametresi zaman içinde değiştiğinden bu süreçler homojen olmayan Poisson süreçleri olarak adlandırılmaktadır.
Birleşik Poisson süreci, artmalara sahip sürekli zamanlı bir olasılıksal süreçtir. Bu süreçte meydana gelen rasgele artmalar Poisson sürecine uymaktadır ve artma büyüklükleri de belirli bir olasılık dağılımına sahip raslantı değişkenleridir. Çok değişkenli durumda ise, birleşik Poisson süreçleri arasında bağımlılık olabilir. 
Genel etkili bir Poisson süreci olayların meydana geliş sıklıklarını modellemek için kullanılmaktadır. Bu süreçte bir etki ya da şok, çok sayıda taşıtı içeren büyük bir trafik kazası, bir bölgede meydana gelen fırtına ya da patlama, bir hastanedeki tıbbi ilaç hatasının sonuçları olarak örneklendirilebilir. Genel etkili Poisson süreçleri olay sıklığındaki bağımlılıklarının detaylı ve ayrı ayrı incelenmesine olanak sağlamaktadır. Bununla birlikte, genel etki birleşik Poisson süreçleri arasındaki bağımlılığı modellemek için ayrıntılı olarak kullanılmamıştır.
Bu çalışmada, öncelikle, bağımsız genel etkili birleşik Poisson süreçleri tanımlanmış ve bu süreçlerin bazı özellikleri elde edilmiştir. Bağımsız genel etkili birleşik Poisson süreçlerinin toplamı incelenmiştir. Daha sonra, bağımlı genel etkili birleşik Poisson süreçleri önerilmiş ve bileşik olasılık fonksiyonu elde edilmiştir. Bağımlı genel etkili birleşik Poisson süreçlerinin toplamına da ulaşılmıştır. Son olarak, elde edilen sonuçların kullanılabilirliğini göstermek için Türkiye'deki orman yangınları üzerine bir uygulama yapılmıştır.

Abstract:
The Poisson processes are widely used stochastic processes for modeling the times at which arrivals enter a system. The Poisson process is basically a counting processes. For example, the number of road crashes (or injuries/fatalities) in an area and goals scored in a soccer match can be well-modeled by the Poisson process. There are many types of Poisson processes in the literature such as homogeneous, non-homogeneous, common shock and compound Poisson processes. The homogeneous Poisson process counts events that occur at a constant rate; it is one of the most well-known Lévy processes. An inhomogeneous Poisson process counts events that occur at a variable rate. In general, the rate parameter may change over time; such a process is called a non-homogeneous Poisson process or inhomogeneous Poisson process.
A compound Poisson process is a continuous-time (random) stochastic process with jumps. The jumps arrive randomly according to a Poisson process and the size of the jumps is also random, with a specified probability distribution. In a multivariate setting, there may be dependencies between multiple compound Poisson processes. 
A common shock Poisson process is used to model dependent event frequencies. In this process, a shock may be a big car accident, a particular hurricane, an explosion, a medical mistake with consequences in a hospital. The common shock Poisson process allows for detailed and separate specification of dependence in frequency. However, common shock has never been used to model dependency between compound Poisson processes in detail.
In this study, firstly, independent compound Poisson processes with common shock are defined and some characteristics of these processes are obtained. The sum of independent compound Poisson processes with common shock is investigated. Then, the dependent compound Poisson processes based on common shock are proposed and their joint probability function is obtained. The sum of dependent compound Poisson process with common shock models is also derived. Finally, to show the applicability of our findings an application based on the forest fires in Turkey are provided.