Grupların ve grup etkilerinin Tarski sayıları
The Tarski numbers of groups and group actions
Yazar: BARIŞ BEKTAŞ
Danışman: PROF. DR. AYŞE ASLI BERKMAN PIERCE
Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2018
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
G grubu X kümesi üzerine etki etsin ve  A_1,…,A_n, B_1,…,B_m kümeleri X'in boş olmayan, ayrık altkümeleri olsun. S_1={a_1,…a_n } ve S_2={b_1,…b_m } kümeleri G'nin altkümeleri olmak üzere, X=⋃_(i=1)^n▒〖a_i A_i 〗=⋃_(j=1)^m▒〖b_j B_j 〗  eşitliği sağlanıyor ise  G↷X  grup etkisi G-paradoksaldır denir. Bu tanım G'nin kendi üzerine sağdan veya soldan çarpma etkisi için sağlandığında G  grubu paradoksaldır denir.  
         Bu tezde paradoksal grupların ve grup etkilerinin özellikleri incelenecektir. Bu özelliklerden biri F_2 serbest grubunu içeren bütün grupların paradoksal olduğudur. Dolayısıyla bu kısmın daha iyi anlaşılması açısından tezin ikinci bölünde serbest grupların tanımı ve özellikleri anlatılacaktır. Paradoksal grupların bir diğer özelliği de,  1938'de Alfred Tarski tarafından kanıtlanan, paradoksal olmayan grupların amenable gruplara eşdeğer olmasıdır. Bu kapsamda tezin 3. bölümünde amenable grupların tanım ve özellikleri verilecektir. 
         Paradoksal parçalanıştaki mümkün olan en küçük m+n  sayısına grubun ya da grup etkisinin Tarski sayısı denir. Bu tez esas olarak paradoksal gruplar ve grup etkileri için sorulan iki sorunun cevabı üzerine oturmaktadır. Bu iki soru da Tarski sayısı ile ilgilidir.  Bu bağlamda paradoksal grupların Tarski saysının sınırlı olup olmadığı sorusu tezin 4. bölümünde Ershov, Golan ve Sapir'in makalesi üzerinden yanıtlanacaktır. Bu bölümde grupların Tarski sayılarının sınırsızlığı kanıtlanacaktır. Yani daha açık olarak her k∈N için  Tarski sayısı en az 2k+4 olan bir  G  grubunun varlığı kanıtlanacaktır. 
         İkinci soru ise verilen herhangi k≥4 doğal sayısı için Tarski sayısı  k  olan bir grup etkisinin var olup olmadığı sorusudur. Bu sorunun cevabı  tezin 5. bölümünde Golan'ın makalesi üzerinden verilecektir. Böyle bir etkinin varlığının kanıtı için öncelikle bir grubun Schreier grafı ve  onun belirli koşulları sağlayan alt grafının tanım ve özellikleri anlatılacaktır. Son olarak bu graflar kullanılarak Tarski sayısı  k olan bir grup etkisi  inşası anlatılacaktır.

Abstract:
Let G be a group acting on a set X. Assume that A_1,…,A_n, B_1,…,B_m are non-empty disjoint subsets of X.If X=⋃_(i=1)^n▒〖a_i A_i 〗=⋃_(j=1)^m▒〖b_j B_j 〗 holds for some subsets S_1={a_1,…a_n }  and S_2={b_1,…b_m } in G, then we say that the action G↷X  is G paradoxical. If this definition holds when G acts on itself by left or right multiplication, then we say that G is paradoxical.
         In this thesis, we discuss the properties of the paradoxical groups and group actions. One of these properties is the fact that groups containing the free group F_2 as subgroups are paradoxical. For that reason, some properties of free groups are presented  in Chapter 2 of this thesis. Alfred Tarski proved in 1938 that non-paradoxical groups and amenable groups coincide. This is another property which is of interest to us, so in Chapter 3 of this thesis,  we  discuss the definition and some basic properties of amenable groups.
         The minimum possible number m+n  in the paradoxical decomposition of a group action is called the Tarski number of the action. This thesis is based on answering two questions related to Tarski numbers. In Chapter 4, the unboundedness of Tarski numbers of paradoxical groups will be proven. We will follow the proof given by Ershov, Golan and Sapir. More precisely, for every k∈N, we will show the existence of a group whose Tarski number is at least 2k+4
         The second question is about the Tarski numbers of group actions. In  Chapter 5, for any given k≥4, we will construct a group action whose Tarski number is exactly k. This construction is due to Golan. To prove the existence of such an action, we will use Schreier graphs.