Fisher's denkleminin kuintik B-splıne fonksiyonları yardımı ile çözülmesi
Numerical solutions of the Fisher's equation by using quintic B-spline functions
Yazar: ÖZLEM ÖZMEN
Danışman: YRD. DOÇ. DR. ALİ ŞAHİN ; PROF. DR. GALİP OTURANÇ
Aksaray Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2013
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
KKP denklemi olarak ta bilinen Fisher?s denklemi, farklı fiziksel sistemlerde karşılaşılan önemli bir kısmi diferansiyel denklemdir.
Bu yüksek lisans tezinde Fisher?s denkleminin(KKP) kuintik B-Spline fonksiyonlar yardımıyla kolokasyon yöntemi kullanılarak nümerik çözümleri incelendi.
Tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde yaklaşım yöntemleri ve literatür özetinden bahsedildi. İkinci bölümde polinom yaklaşımlarının teorik altyapısı ele alındı.
Üçüncü bölümde Spline fonksiyonları, B-Spline fonksiyonları ve özellikleri verildi. Kuadratik, kübik, kuartik ve kuintik fonksiyonlar ile bunların özellikleri ifade edildi. Dördüncü bölümde, Fisher?s denklemi başlangıç ve sınır koşulları ile birlikte tanıtıldı. Denklemin önceden bulunmuş nümerik çözümlerinden kısaca bahsedilip, denklemin kuintik B-Spline fonksiyonları kullanılarak kolokasyon yöntemi ile nümerik çözümleri elde edildi. Yöntemin kararlılık analizi Von Neumann yöntemi uygulanarak incelendi. Beşinci bölümde ise Fisher?s denkleminin farklı başlangıç koşulları altında değiştirilmiş  şekillerinin test analizleri yapılıp nümerik sonuçlar elde edildi. Elde edilen sonuçlar, araştırmacıların daha önceki çalışmalarının sonuçları ile karşılaştırıldı.
Sonuç olarak kuintik B-Spline fonksiyonları kullanılarak uygulanan Kolokasyon yönteminin yeterince iyi sonuçlar verdiği görüldü. Bu nedenle diğer nonlineer kısmi diferansiyel denklemlerin nümerik çözümlerinde B-Spline fonksiyonlarının kullanılması önerilmektedir.

Abstract:
The Fisher (KKP) equation is an important partial differential equation which arises in the study of many physical systems.
In this MSc. Thesis, numerical solutions of the Fisher (KKP) equation based on Collocation methods using Quintic B-spline functions are investigated. The thesis is consist of five parts.In the first chapter of the thesis,approximation methods and  summary of the literature is mentioned.In the second chapter, theoretical aspects of polynomial approximation methods is focused on. In the third chapter, Spline functions, B-spline functions and some properties of them are explained. Quadratic, cubic, quartic and quintic functions are given. In the fourth section, the Fishers? equation is introduced together with initial and boundary conditions. Some of the previous numerical methods about the equation are mentioned shortly and numerical solutions of the Fishers? equation are obtained with Collocation methods using quintic B-spline functions.The stability analysis of the numerical technic based on Von Neumann theory is given. In the fifth section, the collocation method which is given to solve the Fishers? equation is tested by using test problems with modified of equation under the different initial conditions.Then numerical solutions of Fisher equation are obtained with collocation methods by using quintic B-spline functions.
As a result, Collocation method with B-spline functions give adequately good results. Computed results are compared with the numerical results given by previous authors.
So it is recommended that B-spline functions can be used for solving other nonlinear partial differential equations.