Berger tipi bozulmuş Sasaki metriği ile ilgili problemler
Problems with Berger type deformed Sasaki metric
Yazar: RAMAZAN ŞİMŞEK
Danışman: PROF. DR. AYDIN GEZER
Atatürk Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2021
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Amaç: Bu çalışmada amacımız Sasaki metriğinin bir bozulması olan ve Berger tipi bozulmuş Sasaki metriği olarak isimlendireceğimiz yeni bir metrik kurmak ve bu metriğin Levi – Civita konneksiyonunun, Riemann eğrilik tensörünün ve bazı parakompleks yapıların özelliklerini göstermektir.
Yöntem: Tanjant demet, fonksiyonların ve vektör alanlarının dikey, yatay liftleri ve Sasaki metriğinin özellikleri kullanılarak Berger tipi bozulmuş Sasaki metriğin özellikleri incelenmiştir.
Bulgular: TM Tanjant demet üzerinde g_BS Berger tipi bozulmuş Sasaki metriği tanımlanmıştır. Bu metriğin Levi – Civita konneksiyonu ve Riemann eğrilik tensörü tanımlanarak özellikleri verilmiştir. TM Tanjant demet üzerinde anti - Hermit metriklere sahip bazı parakomlpeks yapılar tanımlanmış ve bu yapıların integrallenebilir olup olmadıkları gösterilmiştir. g_BS Berger tipi bozulmuş Sasaki metriğine sahip Tanjant demet üzerinde (TM,g_BS)→(TM,g_S)  dönüşümünün total jeodejik olması için gerek ve yeter koşul verilmiştir.
Sonuçlar: TM Tanjant demet üzerinde g_BS Berger tipi bozulmuş Sasaki metriğine göre g_BS (φ ̃_i X ̃,Y ̃ )=g_BS (X ̃,φ ̃_i Y ̃ ) pürlük şartını sağlayan bazı φ ̃_i hemen hemen parakompleks yapıları tanımlanmıştır. Bu yapıların integrallenebilir olup olmadıkları ve buna bağlı olarak da (TM,φ ̃_i,g_BS ) üçlüsü anti-paraKaehler manifold olup olmadığı gösterilmiştir. g_BS Berger tipi bozulmuş Sasaki metriğinin hangi durumda g_S Sasaki metriğine dönüştüğü gösterilmiş ve 〖 g〗_S  Sasaki metriğinin  g_BS  Berger tipi bozulmuş Sasaki metriğine göre harmonik olmadığı verilmiştir. Son olarak π: (TM,g_BS )→(M_2k,φ,h)  dönüşümünün total jeodejik ve harmonik dönüşüm olması için gerek ve yeter koşul verilmiştir.

Abstract:
Purpose: In this study, our aim is to establish a new metric, which is a deformed of the Sasaki metric and which we will call the Berger-type deformed Sasaki metric, and to show the properties of this metric's Levi-Civita connection, Riemann curvature tensor and ome paracomplex structures. 
Method: By using the tangent bundle, vertical and horizontal lifts of functions and vector fields and the properties of the Sasaki metric, the properties of the Berger-type deformed Sasaki metric are examined.
Findings: On the TM Tangent bundle g_BS the Berger type deformed Sasaki metric defined. The Levi – Civita connection and the Riemann curvature tensor of this metric defined and their properties given. Some paracomplex structures with anti-Hermit metrics are defined on the TM Tangent bundle and it is shown whether these structures are integrable or not. Necessary and sufficient conditions are given for the transformation of (TM,g_BS)→(TM,g_S ) to be total geodegic on  TM Tangent bundle with a Berger type deformed Sasaki metric g_BS.
Conclusions: On the TM Tangent bundle ( φ) ̃_i some nearly paracomplex structures are defined that satisfy the g_BS (φ ̃_i X ̃,Y ̃ )=g_BS (X ̃,φ ̃_i Y ̃ ) purity condition according to the g_BS Berger type deormed Sasaki metric. It has been shown whether these structures are integrable or not and accordingly (TM,φ ̃_i,g_BS ) triple is anti-paraKaehler manifold or not. It is shown in which case g_BS the Berger type deformed Sasaki metric transforms into 〖 g〗_S Sasaki metric and it is given that 〖 g〗_S  the Sasaki metric is not harmonic according to g_BS the Berger type deformed Sasaki metric. Finally, necessary and sufficient conditions are given for the transformation of π: (TM,g_BS )→(M_2k,φ,h) to be a total geodegic and harmonic transformation.