Bulanık doğrusal programlama ile feldspat karışım optimizasyonu
Feldspat blending optimization with fuzzy linear programming
Yazar: İREM ÇELEBİ
Danışman: PROF. DR. ÖZGÜR KABAK
İstanbul Teknik Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Endüstri Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Mühendislik Yönetimi Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Endüstri ve Endüstri Mühendisliği = Industrial and Industrial Engineering

Özet:
Madencilik, insanlık tarihinin en eski ve en temel endüstrilerinden biridir. Tarih 
boyunca medeniyetlerin gelişiminde ve ekonomilerin büyümesinde kritik bir rol 
oynamıştır. Dünya geliştikçe ve nüfus arttıkça, maden rezervlerinin kullanımı da 
artmış ve bu durum, maden yataklarının tükenmesi tehlikesini beraberinde getirmiştir. 
Maden yataklarının azalmasıyla birlikte, daha düşük kaliteli cevherlerden yararlanma 
zorunluluğu ortaya çıkmıştır. Bu eğilim, zamanla verimliliğin düşmesine ve maden 
ürünlerinin fiyatlarının yükselmesine sebep olmaktadır. Bu çalışma, dünya çapında 
yaygın olarak bulunan ve çeşitli endüstrilerde kritik bir hammadde olarak kullanılan 
feldspat madenine odaklanmaktadır. Feldspat; seramik, cam ve boya endüstrilerinde 
geniş bir kullanım alanı bulan ve sodyum, potasyum, kalsiyum, lityum, baryum, 
sezyum gibi elementler ile bu elementlerin izomorfik birleşimlerinden oluşan önemli 
bir mineral grubudur. Feldspat rezervlerinin kesin miktarını belirlemek mümkün 
olmamakla birlikte, Türkiye'nin zengin feldspat yataklarına sahip olduğu 
bilinmektedir; dünya üzerindeki kaliteli feldspat rezervlerinin yaklaşık %14'ü 
Türkiye'de yer almaktadır. Bu durum, Türkiye'yi feldspat açısından zengin maden 
rezervlerine sahip ülkeler arasında önemli bir konuma taşımaktadır. Feldspat 
Türkiye'de en yaygın bulunan mineral gruplarından biri olmasına karşın bulunduğu 
her kayaçtan ekonomik olarak fayda sağlamak mümkün değildir. Feldspat 
madenlerinde bulunan demir ve titan gibi kimyasal elementler, mineralin saflığını 
bozar ve kalitesini düşürür. Bu durum, endüstriyel uygulamalarda renk değişimi,
kırılganlık gibi istenmeyen sonuçlara neden olur. İşletmeler, daha saf ve kaliteli 
feldspat kaynaklarını tercih ederken, safsızlıkların varlığıyla başa çıkma yöntemleri 
geliştirebilirler. Düşük kalitedeki feldspatlar, bazı zenginleştirme veya saflaştırma 
yöntemlerine tabi tutularak ticari açıdan faydalı hale getirilebilir. Bu süreçlerden biri 
olan flotasyon, feldspatın saflaştırılması için sıkça kullanılan bir yöntemdir. Ancak, 
flotasyon gibi zenginleştirme işlemlerinin maliyeti yüksek olabilir ve bu da ticari 
karlılığı etkileyebilir. Feldspat madeninde istenilen kalite standartlarının sağlanması 
ve safsızlık etkilerinin dengelemesi amacıyla başvurulan bir yöntem de harmanlama 
işlemidir. Safsızlık yaratan minerallerin tamamen ortadan kaldırılması pratikte 
mümkün olmayabilir, bu nedenle bunların belirli kabul edilebilir sınırlar içinde 
tutulması tercih edilir. Bu bağlamda, çeşitli bölgelerden farklı değerlere sahip 
hammaddelerin karıştırılması hedeflenen kalite seviyelerine ulaşmak için stratejik bir 
yaklaşım olarak kabul edilir. Harmanlama süreci, endüstriyel gereksinimlerin ve kalite 
standartlarının karşılanmasında önemli bir rol oynar, aynı zamanda feldspatın ticari ve 
endüstriyel kullanımının sürdürülebilirliğini destekler. Bu noktada, harmanlama 
sürecinin dikkatle yönetilmesi ve hammaddelerin uygun kombinasyonlarının seçilmesi 
hayati önem taşır.
Türkiye'de feldspat üretimi yoğun olarak Aydın, Muğla ve Bilecik bölgelerinde 
gerçekleşmektedir. Bu çalışma, Muğla'da faaliyet gösteren bir maden şirketinde ele 
alınan bir harmanlama problemine odaklanmaktadır. Harmanlama problemi, çeşitli 
hammadde veya bileşenlerin belirli oranlarda karıştırılmasıyla nihai ürünün elde 
edilmesini hedefler. Basılı olarak karşımıza çıkan ilk Doğrusal Programlama (DP) 
problemi olan diyet probleminin genelleştirilmiş bir versiyonudur. Bu tür problemler, 
optimal kaynak kullanımını sağlamak ve maliyetleri minimize etmek amacıyla 
endüstriyel süreçlerde yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu çalışma, feldspat madeninin
harmanlanması sürecinde kullanılacak reçetelerin belirlenmesine yönelik olarak 
geliştirilen matematiksel modelleri içermektedir. Araştırma kapsamında, farklı 
kimyasal bileşen kısıtlamalarına sahip ve farklı amaç fonksiyonlarını içeren, 
modeldeki belirsizlikleri farklı yaklaşımlarla ele alan, birden fazla ürünün dahil 
edildiği bir çoklu harmanlama problemi detaylı bir şekilde incelenmiştir. Çalışma ile
çeşitli ürünler için optimal harmanlama stratejilerinin geliştirilmesini destekleyerek, 
daha verimli ve etkili üretim süreçlerinin tasarlanmasına katkı sağlanması 
amaçlanmıştır.
Feldspat madeni hakkındaki araştırmalar, madendeki kimyasal bileşiklere ait
değerlerin belirsizlik taşıdığını ortaya koymaktadır. Bu belirsizlikler, maden 
yataklarındaki doğal varyasyonlardan kaynaklanmakta olup, aynı ocaktan çıkarılan 
madenler arasında bile damarlar arasında nitelik farklılıkları gözlemlenebilmektedir. 
Bu tür değişkenlikler, son ürün kalitesini doğrudan etkilediğinden, harmanlama 
süreçlerinde dikkate alınması zorunludur. Araştırma kapsamında belirlenen 
belirsizlikler, farklı yaklaşımlar kullanılarak ele alınmıştır. İlk olarak, sistemdeki 
belirsizlikleri doğrudan modele entegre etmek yerine, bu belirsizliklerden 
kaynaklanabilecek potansiyel olumsuz etkilerden korunma amacıyla daha güvenilir 
çözüm uzayları tanımlanmıştır. Bu yaklaşımda, klasik DP tekniklerinden 
yararlanılmıştır. Ancak bu modeller belirsizlikleri tam anlamıyla modele dahil 
etmemektedir. Modellerde kısıtlara belirli güvenlik oranları ekleyerek potansiyel 
riskler sınırlanmaktır. Optimizasyon çalışmalarında, belirsizlik faktörlerinin etkin bir 
şekilde yönetilmesini gerekir. Bu kapsamda, çeşitli metodolojiler ve teknikler 
geliştirilmiştir. 1965 yılında Lotfi A. Zadeh tarafından tanımlanan bulanık mantık, 
belirsizlikleri modellemekte kullanılan öncü tekniklerden biri olarak kabul edilir. 
Bulanık mantık, belirsizlikleri belirli bir belirsizlik derecesi ile ifade eder ve geleneksel 
ikili mantık sistemlerinin sınırlarını aşarak daha esnek çözüm yolları sunar. Bu 
yaklaşım, belirsiz koşullar altında bile optimal kararların alınabilmesi için 
matematiksel bir temel sağlar ve özellikle karmaşık sistemlerde karar verme 
süreçlerini iyileştirmek için kullanılmaktadır. Çalışmada bulanık mantık yaklaşımına 
dayanan bir Bulanık Doğrusal Programlama (BDP) modeli geliştirilmiş ve belirsizlik 
unsurlarını matematiksel olarak modele entegre edilerek, gerçek dünya koşulları daha 
doğru bir şekilde yansıtılmıştır. Çalışmada bulanık olarak tanımlanan teknoloji ve 
kaynak katsayıları sırasıyla Üçgen Bulanık Sayı (ÜBS) ve Yamuk Bulanık Sayı (YBS) 
olarak temsil edilmiş ve BDP modeli parametrik DP modeline dönüştürülerek 
çözülmüştür. Çalışma sonucunda klasik DP ve BDP metodolojileriyle geliştirilen 
modellerin sonuçları karşılaştırılmış ve bu karşılaştırma, bulanık mantık kullanılarak 
gerçekleştirilen modelleme sürecinin, karışım problemlerindeki belirsizlik faktörlerini 
etkin bir şekilde yönetebildiğini göstermiştir. Klasik DP modeli ile elde edilen 
sonuçların, BDP modelinde hangi üyelik derecesine eşdeğer olduğu üründen ürüne 
farklılık göstermiştir. Bu durum, klasik DP modelinde kısıtlara sabit bir güvenlik oranı 
ekleyerek sonuçlar üretilmiş olsa da sonuçların güvenilirliğinin ürüne göre 
değişebildiğini göstermektedir.
BDP modeli, üyelik derecelerindeki değişimlere paralel olarak sonuçların nasıl 
değiştiğini kullanıcılara açıkça göstermiştir. Bu, kullanıcıların elde edilen bilgilere 
dayanarak ne kadar güvenli bir alanda kalacaklarını değerlendirebilmeleri için önemli 
bir imkândır. Ayrıca, BDP modeli sayesinde üyelik derecesinin yükselmesiyle birlikte 
ürünü oluşturan hammaddelerin toplam maliyetindeki artış gözlemlenebilir olmuştur. 
Üyelik derecelerine göre değişen çözümlerin maliyetleri arasındaki farklar nispeten 
düşük olduğunda daha yüksek üyelik derecelerine ait çözümler tercih edilerek risk 
almamak mantıklı olabilirken, daha yüksek maliyet farkları söz konusu olduğunda 
firma, bu ek maliyeti üstlenerek daha yüksek bir riski göze almayı tercih edebilir. 
Model, kullanıcıların belirsizliklerle dolu ortamlarda daha bilinçli kararlar almalarına 
olanak tanıyarak, sonuçların olası etkilerini öngörebilmeleri için bir temel sağlamıştır. 
Sonuç olarak bulanık mantık temelli oluşturulmuş BDP modeli ile karışım 
problemindeki belirsizlikler etkin bir şekilde yönetilmiş ve kullanıcıların kararlarının 
sonuçlarını daha iyi anlamalarını ve bu doğrultuda stratejik planlamalar 
yapabilmelerini desteklemiştir.

Abstract:
Mining is one of the oldest and most fundamental industries in human history. 
Throughout history, it has played a critical role in the development of civilizations and 
the growth of economies. As the world has developed and the population has 
increased, the use of mineral reserves has also increased, leading to the danger of 
depletion of these deposits. With the diminishing mineral deposits, the necessity to 
utilize lower quality ores has arisen. This trend has led to a decrease in efficiency over 
time and an increase in the prices of mining products. This study focuses on feldspar, 
a mineral that is widely found around the world and used as a critical raw material in 
various industries. Feldspar is an important mineral group consisting of elements like 
sodium, potassium, calcium, lithium, barium, and cesium, and their isomorphic 
combinations, widely used in industries such as ceramics, glass, and paints. Although 
it is impossible to determine the exact amount of feldspar reserves, it is known that 
Turkey has rich deposits of feldspar; approximately 14% of the world's quality feldspar 
reserves are located in Turkey. This positions Turkey among the countries with rich 
mining reserves in terms of feldspar. Although feldspar is one of the most common 
mineral groups in Turkey, it is not possible to economically benefit from every rock it 
is found in. Chemical elements found in feldspar mines, such as iron and titanium, 
impair the purity of the mineral and reduce its quality. This situation leads to 
undesirable outcomes in industrial applications, such as color changes and fragility. 
Companies prefer more pure and high-quality sources of feldspar while developing 
methods to cope with the presence of impurities. Lower quality feldspars can be made 
commercially useful through various enrichment or purification methods, one of which 
is flotation, commonly used for purifying feldspar. However, the cost of enrichment 
processes like flotation can be high, which may affect commercial profitability. 
Blending is a method used to achieve desired quality standards in feldspar mining and 
to balance the effects of impurities. It may not be practical to completely eliminate 
impurity-causing minerals; therefore, keeping them within certain acceptable limits is 
preferred. In this context, mixing raw materials from various regions with different 
values is considered a strategic approach to achieving targeted quality levels. The 
blending process plays a significant role in meeting industrial requirements and quality 
standards, and it also supports the sustainability of the commercial and industrial use 
of feldspar. At this point, careful management of the blending process and the selection 
of appropriate combinations of raw materials are of vital importance.
In Turkey, feldspar production is intensively carried out in regions like Aydın, Muğla, 
and Bilecik. This study focuses on a blending problem addressed by a mining company 
operating in Muğla. The blending problem targets the production of a final product by 
mixing various raw materials or components in certain proportions, and it is a 
generalized version of the first Linear Programming (LP) problem encountered in 
printed form, the diet problem. Such problems are commonly used in industrial 
processes to ensure optimal resource use and minimize costs. 
This study includes mathematical models developed to determine the recipes to be 
used in the blending process of feldspar mining. The research examines in detail a 
multi-blending problem involving multiple products, with different chemical 
component constraints and various objective functions, addressing uncertainties in the 
model with different approaches. The research on feldspar mines reveals that the 
values of chemical compounds in the mine carry uncertainties, which stem from 
natural variations in the mine deposits, and even between veins extracted from the 
same quarry, quality differences can be observed. These variations directly affect the 
quality of the final product and must be considered in blending processes. The 
uncertainties identified in the research have been addressed using different approaches. 
Initially, rather than directly integrating uncertainties into the model, more reliable 
solution spaces have been defined to protect against potential adverse effects arising 
from these uncertainties. In this approach, classic LP techniques have been utilized. 
However, these models do not fully incorporate uncertainties. Safety ratios are added 
to the constraints in the models to limit potential risks. Optimization studies require 
effective management of uncertainty factors. In this regard, various methodologies and 
techniques have been developed. Fuzzy logic, defined by Lotfi A. Zadeh in 1965, is 
considered one of the pioneering techniques used to model uncertainties. Fuzzy logic 
expresses uncertainties with a certain degree of uncertainty and provides more flexible 
solutions by exceeding the limits of traditional binary logic systems. This approach 
provides a mathematical basis for making optimal decisions even under uncertain 
conditions and is used to improve decision-making processes in complex systems. In 
the study, a Fuzzy Linear Programming (FLP) model based on the fuzzy logic 
approach has been developed, integrating uncertainty elements into the model 
mathematically, thereby more accurately reflecting real-world conditions. In the study, 
technology and resource coefficients defined as fuzzy are represented by Triangular 
Fuzzy Numbers and Trapezoidal Fuzzy Numbers respectively, and the FLP model has 
been converted into a parametric LP model for solution. 
The outcomes of models developed with classical LP and FLP methodologies have 
been compared, revealing significant insights into how these approaches handle 
uncertainties in blending problems. The classical LP model, while effective in certain 
scenarios, exhibits variability in results when membership degrees are considered, 
indicating a dependency on the specific products involved. This variability suggests 
that although the classical LP model incorporates a fixed safety ratio into its 
constraints, the reliability of the results can fluctuate based on the product, highlighting 
a potential inconsistency in managing uncertainty. In contrast, the FLP model, which 
integrates fuzzy logic principles, provides a more nuanced approach to handling 
uncertainty. This model explicitly demonstrates to users how the results fluctuate with 
changes in membership degrees, offering a clearer picture of the reliability and safety 
of the outcomes. This transparency is crucial for users to assess how secure they are 
based on the obtained information. Additionally, the FLP model illustrates a direct 
relationship between increasing membership degrees and the total cost of raw 
materials. As the membership degree rises, the cost associated with the raw materials 
also tends to increase. This relationship between cost and membership degree 
introduces a strategic decision-making element for companies. When the cost 
differences between solutions with varying membership degrees are relatively 
minimal, it might be prudent for a company to opt for solutions with higher 
membership degrees to minimize risk. However, if the cost differences are substantial, 
a company might decide to accept a higher level of risk by choosing solutions with 
lower membership degrees to avoid the additional costs. 
This decision-making flexibility underscores the value of the FLP model in providing 
a comprehensive framework for evaluating the trade-offs between cost and risk. By 
leveraging the FLP model, users are equipped to make more informed decisions in 
environments characterized by uncertainty. The model serves as a foundational tool 
for anticipating the potential impacts of different decision pathways, thereby 
supporting strategic planning and risk management. In conclusion, the FLP model, 
grounded in fuzzy logic, effectively addresses the uncertainties inherent in blending 
problems, empowering users to better understand the implications of their decisions 
and facilitating more robust strategic planning. This enhanced understanding and 
planning capability ultimately lead to more resilient and adaptable business operations.