Newtonyen olmayan analizde bazı konvekslik çeşitleri ve Hermite-Hadamard tipli eşitsizlikler
Some types of convexity and Hermite-Hadamard type inequalities in non-Newtonian analysis
Yazar: SEREN SALAŞ
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ ERDAL ÜNLÜYOL
Ordu Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2022
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
1600-1700 yılları arası matematikte önemli gelişmelerin olduğu bir dönemdir.
Bu dönemin en önemli gelişmelerinden biri Newton (1643-1727) ve Leibniz (1646-
1716) 'in birbirlerinden bağımsız olarak, türev ile integral arasındaki ilişkiyi
bulmalarıdır. Bunun bir sonucu olarak, " İntegral Kalkülüs" kavramı önem
kazanmıştır. Bu gelişmeler matematiğin önünü açmış ve ilerlemesini sağlamıştır.
1970 li yıllarda Grosmann ve Katz, Newton ve Leibniz'in kurduğu klasik
analize bir alternatif olarak, temelinde bire-bir ve örten olan üreteçler yardımıyla yeni
bir analiz inşa etmişlerdir. Bu analize "'Newtonyen Olmayan Analiz" denir.
Bu tezde, ilk olarak klasik analizde eşitsizlik teorisinde iyi bilinen 𝑃 fonksiyon,
birinci anlamda 𝑠 konveks, ikinci anlamda 𝑠 konveks, 𝐽 konveks, ℎ konveks, harmonik
konveks ve geometrik konveks fonksiyonlar Newtonyen olmayan analize göre yeniden
tanımlanmıştır. İkinci olarak, bu konveks fonksiyonlar yardımıyla Hermite-Hadamard
eşitsizliği Newtonyen olmayan analizde elde edilmiştir. Üçüncü olarak, tanım ve değer
kümesindeki üreteçler uygun koşullar altında birim, üstel ve 𝑞𝑝 olarak seçildiğinde ilk
önce klasik anlamdaki hallerine sonra ise H-A konveks, H-H konkav, A-H konveks ve
r-konveks fonksiyonlar için Hermite-Hadamard eşitsizliğine indirgendiği ispat
edilmiştir. Son olarak, Newtonyen olmayan analizde eşitsizliklerle elde edilen
teoremlerin uygun üreteçler altında klasik anlamda bilinen teorem ve sonuçlara denk
geldiği görülmüştür. Sonuç olarak, Newtonyen Olmayan (N-N) Analiz' de elde edilen
tanım, lemma, teorem ve sonuçlar özel halde klasik anlamdaki durumuna
dönüşmektedir.

Abstract:
Between the years 1600-1700 is a period of important developments in
mathematics. One of the most important developments of this period is that Newton
(1643-1727) and Leibniz (1646-1716) independently found the relationship between
derivative and integral. As a result of this, the concept of "Integral Calculus" has
gained importance. These developments paved the way for mathematics and made it
progress.
In the 1970s, Grosmann and Katz constructed a new analysis with the help of
one-to-one and covering generators as an alternative to the classical analysis
established by Newton and Leibniz. This analysis is called "Non-Newtonian
Analysis".
In this thesis, firstly, the P function, which is well known in classical analysis
in inequality theory, s convex in the first sense, s convex in the second sense, J convex,
h convex, harmonic convex and geometric convex functions are redefined according
to non-Newtonian analysis. Secondly, with the help of these convex functions, the
Hermite-Hadamard inequality is obtained in non-Newtonian analysis. Thirdly, it has
been proven that when the generators in the definition and value set are selected as
unit, exponential and 𝑞𝑝 under appropriate conditions, they are first reduced to their
classical form and then to the Hermite-Hadamard inequality for H-A convex, H-H
concave, A-H convex and r-convex functions. Finally, it has been seen that theorems
obtained with inequalities in non-Newtonian analysis correspond to theorems and
results known in the classical sense under appropriate generators. As a result, the
definitions, lemmas, theorems, and results obtained in Non-Newtonian (N-N) Analysis
turn into their classical meaning in appropriate generators.