Lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin modifiye edilmiş üstel genişleme ve sine-gordon açılım metodu ile çözümü
Modified exponential of nonlinear partial differantial equations solution with expansion and sine-gordon expansion method
Yazar: TUĞBA YAZĞAN
Danışman: DOÇ. DR. SIDIKA ŞULE ŞENER KILIÇ ; PROF. DR. ERCAN ÇELİK
Atatürk Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Amaç: Bu tezin amacı, lineer olmayan diferansiyel denklemlerin sınıflandırılmasını çözmek için sine-Gordon açılım metotu ve modifiye edilmiş üstel (-Ω(ζ)) açılım fonksiyon metotunu uygulamaktır. Bu tez çalışması tezde kullanılan metotlar aracılığıyla lineer olmayan evrim denklemlerini adi diferansiyel denklemlere indirgeyerek bu denklemlerin analitik ve yaklaşık çözümlerini bulmak amacını taşımaktadır. Sine-Gordon açılım metodu ve modifiye edilmiş üstel (-Ω(ζ)) açılım fonksiyon metodunun daha kapsamlı bir şekilde araştırılması ile kullanılan metotların lineer olmayan diferansiyel denklemleri optimize ettiği görülmektedir.
Yöntem: Lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemler disiplinler arası çeşitli olayları tanımlamakta oldukça kullanışlıdır. Bu tezde lineer olmayan diferansiyel denklemlerin nümeriksel çözümlerini sunmak için sine-Gordon açılım metodu ve modifiye edilmiş üstel (-Ω(ζ)) açılım fonksiyon metodunun kullanılması esas alınmıştır. Tezde kullanılan metotlar lineer olmayan Schrödinger denklemi ve Wu-Zhang denklemine uygulanarak lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin analitiksel olarak çözümleri açıklanmıştır. Adi diferansiyel denklemlere dönüştürülen lineer olmayan Schrödinger denklemi ve Wu-Zhang denkleminin sonuçları literatüre kazandırılmıştır. 
Bulgular: Tez ile ilgili ilk olarak lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin çözülmesinde önemli rol oynayan sine-Gordon açılım metodu ve modifiye edilmiş üstel (-Ω(ζ)) açılım fonksiyon metodu tanıtılmıştır. Tanıtılan bu metotlar lineer olmayan Schrödinger ve Wu-Zhang denklemlerine uygulanarak bazı yeni hiperbolik fonksiyon çözümleri elde edilmiştir. Wolfram Mathematica programı yardımı ile çözümlerin iki ve üç boyutlu grafikleri çizilmiştir. Böylelikle lineer olmayan bazı olguların açıklanmasına fayda sağlanmıştır.
Sonuç: Bu tezde sine-Gordon açılım metodu ve modifiye edilmiş üstel (-Ω(ζ)) açılım fonksiyon metodu ilk defa lineer olmayan Schrödinger ve Wu-Zhang denklemlerine uygulanmıştır. Ayrıca tezde lineer olmayan Schrödinger denkleminin ayrıntılı bir şekilde açıklanmasına yer verilmiştir. Literatüre sunulan bu denklemden yararlanılması hedeflenilmiştir. Sine-Gordon açılım metodu ve modifiye edilmiş üstel (-Ω(ζ)) açılım fonksiyon metodunun bazı klasik metotlara göre daha avantajlı olduğu kanısına varılmıştır. Bilinen analitiksel çözümler ile nümeriksel çözümlerin kıyaslanması yapılıp bu metotların nümeriksel çözümlerinin lineer olmayan denklemlere daha kolay uygulanabildiği ve daha elverişli olduğu gözlenmiştir.

Abstract:
Purpose: The aim of this thesis is to apply the sine-Gordon expansion method and the modified exponential (-Ω(ζ)) expansion function method to solve the classification of nonlinear differential equations. This thesis seeks to derive analytical and approximate solutions for nonlinear evolution equations by transforming them into ordinary differential equations through the methodologies employed within the thesis. A more comprehensive investigation of the sine-Gordon expansion method and the modified exponential (-Ω(ζ)) expansion function method reveals that these approaches optimize nonlinear differential equations.
Method: Nonlinear partial differential equations are highly valuable in elucidating a range of interdisciplinary phenomena. This thesis examines the application of the sine-Gordon expansion method and the modified exponential (-Ω(ζ)) expansion function method to provide numerical solutions for nonlinear differential equations. The methods employed in this thesis are applied to the nonlinear Schrödinger equation and the Wu-Zhang equation, and the analytical solutions of nonlinear partial differential equations are elucidated. The results of the nonlinear Schrödinger equation and the Wu-Zang equation, which were transformed into ordinary differential equations, were introduced into the literature.
Findings: This thesis introduces, firstly, the sine-Gordon expansion method and the modified exponential (-Ω(ζ)) expansion function method, both of which play a significant role in solving nonlinear partial differential equations. By applying these methods to the nonlinear Schrödinger and Wu-Zang equations, novel hyperbolic function solutions have been derived. Utilizing the Wolfram Mathematica program, two-dimensional and three-dimensional graphs of the solutions were generated, thereby facilitating the elucidation of certain nonlinear phenomena.
Results: In this thesis, the sine-Gordon expansion method and the modified exponential (-Ω(ζ))function method are applied to the nonlinear Schrödinger and Wu-Zang equations for the inaugural time. Furthermore, the thesis provides a comprehensive explanation of the nonlinear Schrödinger equation. This equation presented in the literature is intended to yield beneficial outcomes. It has been concluded that the sine-Gordon expansion method and the modified exponential (-Ω(ζ)) expansion function method exhibit greater advantages compared to certain classical methods. A comparison of established analytical solutions with numerical solutions reveals that the numerical approaches are more readily applicable to nonlinear equations and exhibit greater convenience.