Yeraltı sularında radyonüklid transportunun çizgiler yöntemi ile modellenmesinde açık ve kapalı zaman ayrıklaştırma yöntemlerinin karşılaştırılması
Comparıson of explicit and implicit temporal discretization methods in modelling groundwater radionuclide transport with the method of lines
Yazar: FURKAN ÖZYİĞİT
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ TAYFUN TANBAY
Bursa Teknik Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Makine Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Makine Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Enerji = Energy ; Makine Mühendisliği = Mechanical Engineering

Özet:
Yeraltı sularında radyonüklid transportunun modellemesi nükleer güç santrallerinden çıkan kullanılmış yakıtların jeolojik depolardan sızmalarının neden olabileceği etkilerin belirlenmesinde önemlidir. Bu tez çalışması kapsamında radyonüklid transportunu modelleyebilmek için sonlu fark esaslı çizgiler yöntemi (SF-ÇY) kullanılmıştır. Bu kapsamda kısmi diferansiyel denklemin konumsal değişkenine SF yaklaşımı farklı mertebeler ile uygulanmıştır. Zaman değişkeni açık ve kapalı modifiye orta nokta yöntemleriyle adaptif olarak ayrıklaştırılmış ve iki yaklaşımın performansı doğruluk, h-kararlılığı, p-kararlılığı ve hesaplama süreleri üzerinden karşılaştırılmıştır. Bir boyutlu uranyum bozunum zinciri ve iki boyutlu konveksiyondifüzyon-reaksiyon (KDR) ve nükleer reaktörden trityum salınması olmak üzere üç problemin çözümü gerçekleştirilmiştir. Kapalı yöntem büyük zaman adımları ile yüksek doğruluğa sahip sonuçlar verirken açık yaklaşım sayısal kararlılığın sağlanabilmesi için küçük zaman adımlarına ihtiyaç duymuştur.
Uranyum bozunum zinciri probleminde, 400 konumsal nokta ve sekizinci mertebe SF yaklaşımıyla, kapalı yöntemle 1000 yıl ve açık yöntemle 2 yıllık zaman adımları alınarak toplam 50.000 yıllık süre için gerçekleştirilen simülasyonlarda sayısal (_"92" ^"234" )"U" , (_"90" ^"230" )"Th"  ve (_"88" ^"226" )"Ra"  konsantrasyonları sırasıyla "9,45×" 〖"10" 〗^"-6" , "4,08×" 〖"10" 〗^"-5"  ve "7,93×" 〖"10" 〗^"-6" 'lik hata kareleri ortalamasının karekökü ile hesaplanmıştır. Her iki zamansal yaklaşımı da yüksek bir h-yakınsaklığı göstermiştir. Hesaplama süreleri karşılaştırıldığında küçük SF nokta sayılarında kapalı yaklaşım hızlı sonuç verirken yüksek SF nokta sayılarında açık yöntem daha hızlıdır. Uranyum bozunum problemi farklı yer altı suyu hız değerleri (V="50" , "150"  ve "250"  m⁄yıl) için çözülmüş ve  açık yöntemle yüksek doğruluğa sahip sonuçlar elde edilmiştir.
KDR probleminde hata değerleri sonlu fark nokta sayısı ve mertebesinin artmasıyla sürekli ve hızlı bir şekilde azalmıştır. n="625"  ve p="8"  ile SF-ÇY'nin maksimum ve RMS hataları sırasıyla "1,422×" 〖"10" 〗^"-17"  ve "7,435×" 〖"10" 〗^"-18"  olarak hesaplanmıştır. KDR probleminde açık ve kapalı yaklaşımlar eşdeğer doğruluk ve kararlılık özellikleri sunmalarına rağmen hesaplama süreleri arasında belirgin bir farklılık bulunmaktadır. Açık yaklaşım, bir boyutlu uranyum bozunum zinciri probleminin aksine yüksek n_x değerlerinde hesaplama süresi bakımından büyük bir avantaja sahipken, kapalı yaklaşımın kaba ağ yapılarında daha avantajlı olduğu gözlemlenmiştir. "25×25"  konumsal nokta sayısı ve dördüncü mertebe yaklaşımın kullanıldığı durumda kapalı ve açık yaklaşımlar sırasıyla 19.177 s ve 3.853 s hesaplama süreleriyle "4,34×" 〖"10" 〗^"-11" 'lik hata kareleri ortalamasının karekökü değeri vermiştir.
Trityum salınım probleminde 100 sonlu fark noktası ve p=1 ile elde edilen kapalı SF-ÇY çözümü, kaba sonlu fark yaklaşımının kaynağa yakın bölgede tüm problem bölgesine yayılan hatalı sonuçların ortaya çıkmasına neden olması nedeniyle düşük doğruluğa sahiptir. Bunun aksine 3.600 konumsal nokta ve p=4 ile uygun sonlu fark nokta sayısı ve mertebesi seçiminin bu problem için de SF-ÇY'nin etkin bir performans ortaya koyduğunu göstermiştir. Hesaplama süreleri bakımından değerlendirildiğinde açık yaklaşımın avantajlı olduğu görülmektedir. Farklı akış hızı ve difüzyon sabitinin trityum salınması probleminin çözümü üzerindeki etkisi incelendiğinde, akış hızının azalmasıyla trityum konsantrasyonu daha kısa bir mesafede sıfır değerine yaklaşmış ve difüzyon sabitinin artmasıyla birlikte trityum konsantrasyonu daha geniş bir aralıkta yüksek değer almıştır. Dolayısıyla yöntem farklı koşullar altında fiziksel olarak anlamlı sonuçlar ortaya koymuştur. 
Çizgiler yöntemi, incelenen üç farklı problem için de doğru ve kararlı sayısal sonuçlar sağlamıştır. Zaman ayrıklaştırmada kullanılan  açık ve kapalı yöntemler karşılaştırdığında; açık yöntemin genel olarak hesaplama süreleri açısından daha avantajlı ve hızlı olduğu, kapalı yöntemin ise kararlılık açısından daha iyi bir performans sergilediği gözlemlenmiştir.

Abstract:
Modelling of radionuclide transport in groundwater is important in determining the effects that may be caused by the leakage of spent fuel from nuclear power plants from geological repositories. In this thesis, finite difference-based method of lines (FD-MOL) was used to model radionuclide transport. In this context, the finite difference (FD) approach with different orders was applied to the spatial variable of the partial differential equation. The temporal variable was adaptively discretized with explicit and implicit modified midpoint methods, and the performance of the two approaches was compared in terms of accuracy, h-stability, p-stability, and computation time. Three problems were solved, including a one-dimensional uranium decay chain, and two-dimensional convection-diffusion-reaction (CDR) and tritium release from a nuclear reactor. The implicit method provided results with high accuracy even with large time steps, while the explicit approach required small steps to ensure numerical stability. 
For the uranium decay chain case, numerical concentrations of (_"92" ^"234" )"U" , (_"90" ^"230" )"Th"  and (_"88" ^"226" )"Ra"   were calculated with root mean square (RMS) errors of "9.45×" 〖"10" 〗^"-6" , "4.08×" 〖"10" 〗^"-5"  and "7.93×" 〖"10" 〗^"-6" , respectively, with a time step of 1000 years for the implicit and 2 years for the explicit approaches for a total period of 50000 years, where the eighth order FD approach employed 400 nodes. Both temporal approaches showed a high h-convergence. When computation times were compared, the implicit approach yield solutions in a fast manner for sparse FD meshes, while the explicit method was faster for dense FD node distributions. The uranium decay problem was solved for different groundwater velocity values (V=50, 150 and 250 m⁄year) and results with high accuracy were obtained with the explicit method.
The error values in the CDR problem decreased continuously and rapidly with the increase in the number and order of finite difference points. With n=625 and p=8, the maximum and RMS errors of FD-MOL were calculated as 1.422×10^(-17)  and 7.435×10^(-18), respectively. Although the explicit and implicit approaches provided equivalent accuracy and stability properties in the CDR problem, there was a significant difference in computation time. In contrast to the one-dimensional uranium decay chain problem, the explicit approach had a great advantage in terms of computation time at high n_x values, while the implicit approach was more advantageous in coarse mesh structures. The implicit and explicit approaches gave RMS errors of "4.34×" 〖"10" 〗^"-11"  with computation times of 19177 s and 3853 s, respectively, when a fourth-order FD with a "25×25"  spatial node distribution was utilized. 
Implicit FD-MOL solution obtained with 100 FD nodes and p=1 had low accuracy due to the coarse mesh induced erroneous results that emanated near the source and diffused through the problem domain. On the contrary, with 3600 spatial points and p=4, the selection of the appropriate finite difference node number and order showed that the FD-MOL performed effectively for this problem as well. In terms of computation time, the explicit approach was found to be advantageous. When the effect of different velocity and diffusion constant on the solution of the tritium release problem was analyzed, it was observed that the tritium concentration approached zero at a shorter distance with decreasing velocity and the tritium concentration was higher over a wider range with increasing diffusion constant. Therefore, the method produced physically meaningful results in different conditions.
The method of lines provided accurate and stable numerical results for all the problems. Comparing the explicit and implicit methods used in time discretization, it is observed that the explicit method was more advantageous and faster in terms of computation time, while the implicit method showed a better performance in terms of stability.