Dragomir-Furuta eşitsizliği ile ilgili bazı berezin yarıçap eşitsizlikleri
Some berezin radius inequalities related to the Dragomir-Furuta inequality
Yazar: ORÇUN YÜCEL
Danışman: PROF. DR. MEHMET GÜRDAL
Süleyman Demirel Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Sunulan bu yüksek lisans tezinde nümerik yarıçap, Berezin sembolü ve Berezin yarıçap
hakkında bazı temel teoriler tanıtılmıştır. Ayrıca, fonksiyonel Hilbert uzay operatör
içeren Berezin yarıçap ve genelleştirilmiş Berezin yarıçap için temel eşitsizlikler
ve sınırlar içeren temel eşitsizlikler incelenmiştir. Sunulan bu yüksek lisans tez
çalışması beş ana bölümden oluşacak biçimde planlanmıştır. İlk olarak giriş kısmında,
Berezin sayısı ve nümerik yarıçapı kavramlarının kullanım alanları, özellikleri ve
tarihsel sürecinden bahsedilmiştir. Kaynak özetleri kısmı olan ikinci bölümde, sunulan
yüksek lisans tezinde çalışılmış olan problemlerin tarihsel gelişimi ve son dönemde
yapılan çalışmalar detaylı olarak incelenmiştir. Bilinen yardımcı teoremler olarak
isimlendirilen sonraki bölümde ise tüm çalışılan konularla ilgili notasyon, tanım ve
ilgili eşitsizlikler, ilgili nümerik yarıçap eşitsizlikleri, Berezin dönüşümü, Berezin
yarıçapı ve genelleştirilmiş durumlar ile ilgili son yıllarda yapılan çalışmalara yer
verilmiştir. Bununla birlikte, sonuçlarımızda direkt olarak kullanacağımız bazı temel
yardımcı teoremler sunulmuştur. Araştırma Bulguları ve Tartışma olarak isimlendirilen
diğer bölüm üç alt kısma ayrılmıştır.
Dördüncü bölümün ilk alt kısmında Dragomir-Furuta eşitsizliğinin genişleme
versiyonları kullanılarak onlarla ilgili diğer Berezin yarıçap eşitsizlikleri verilmiştir.
Temel sonuçlarımızın kanıtında esas rol oynayan Berezin sembolü ile ilgili ve
ispatları Alomari (2019) çalışmasına benzer olan bazı önemli yardımcı teoremler
elde edilmiştir. Özel durumda, $\mathfrak{A}_{1},\mathfrak{A}_{2},\mathfrak{A}_{3},\mathfrak{A}_{4}%
\in\mathfrak{B}\left(  \mathfrak{H}\left(  \Xi\right)  \right)  $ için $\eta\left(  \Theta\right)  :=\frac{1}{8}\nu\left[  \left(  \widetilde
{\mathfrak{A}_{1}^{\ast}\left\vert \mathfrak{A}_{2}\right\vert ^{2}%
\mathfrak{A}_{1}-\mathfrak{A}_{4}\left\vert \mathfrak{A}_{3}^{\ast}\right\vert
^{2}\mathfrak{A}_{4}^{\ast}}\right)  \left(  \Theta\right)  \right]  ^{2}$
olmak üzere
\[
f\left(  \mathrm{ber}\left(  \mathfrak{A}_{4}\mathfrak{A}_{3}\mathfrak{A}%
_{2}\mathfrak{A}_{1}\right)  \right)  \leq\frac{1}{2}\left\Vert f\left(
\mathfrak{A}_{1}^{\ast}\left\vert \mathfrak{A}_{2}\right\vert ^{2}%
\mathfrak{A}_{1}\right)  +f\left(  \mathfrak{A}_{4}\left\vert \mathfrak{A}%
_{3}^{\ast}\right\vert ^{2}\mathfrak{A}_{4}^{\ast}\right)  \right\Vert
_{\mathrm{ber}}-\inf_{\Theta\in\Xi}\eta\left(  \Theta\right)
\]
eşitsizliği elde edilmiştir.
İkinci alt kısmında, fonksiyonel Hilbert uzayı üzerinde hareket eden operatörlerin
genelleştirilmiş Berezin yarıçapı için bazı yeni eşitsizlikler verilmiştir. Aynı zamanda
daha fazla ilgili sonuçlar elde edilmiştir. Özel durumda, $n=2,3,...,$ için
\[
\mathrm{ber}_{\mathfrak{G}}^{n}\left(  \mathfrak{A}\right)  \leq\frac{1}{2^{n-1}%
}\mathrm{ber}_{\mathfrak{G}}\left(  \mathfrak{A}^{n}\right)  +\left\Vert \mathfrak{A}%
\right\Vert _{\mathfrak{G}-\mathrm{Ber}}\sum_{s=1}^{n-1}\frac{1}{2^{n}}\mathrm{ber}%
_{\mathfrak{G}}^{n-s-1}\left(  \mathfrak{A}\right)  \left\Vert \mathfrak{A}%
^{s}\right\Vert _{\mathfrak{G}-\mathrm{Ber}},
\]
gösterilmiştir.
Bu bölümün son alt kısmında ise, üretici çekirdekli Hilbert uzayı üzerindeki
operatörlerin genelleştirilmiş Davis-Wielandt-Berezin tipli yarıçap için
bazı genelleştirilmiş eşitsizlikler verilmiştir. Ayrıca, genelleştirilmiş
Davis-Wielandt-Berezin tipli yarıçap için literatürdeki mevcut sınırları iyileştiren
bazı yeni sınırlar incelenmiştir. Yani, fonksiyonel Hilbert uzayı üzerindeki
operatörlerin genelleştirilmiş Davis-Wieandt-Berezin yarıçapı için bazı alt ve üst
sınırlar incelenmiştir.
Sunulan bu tez çalışmasının son bölümü Sonuç ve Öneriler kısmıdır. Beşinci bölüm
olan bu kısımda bir önceki bölümde verilen ana sonuçlar kısa olarak tartışılmış ve
bu sonuçların devamı veya ilgili sonuçlar ile ilgili bir takım öneriler ve problemler
verilmiştir.

Abstract:
In this master thesis some basic theories about the numerical radius, the Berezin
symbol and the Berezin radius are introduced. Also, the fundamental inequalities
for the Berezin radius and the generalized Berezin radius involving a functional
Hilbert space operator and the fundamental inequalities involving bounds are studied.
This master's thesis is planned to consist of five main chapters. Firstly, in the
introduction part, the usage areas, properties and historical process of the concepts of
Berezin number and numerical radius are mentioned. In the second chapter, which
is the abstracts section, the historical development of the problems studied in this
master's thesis and recent studies are examined in detail. In the next section, known
auxiliary theorems, notation, definitions and related inequalities, related numerical
radius inequalities, Berezin transformation, Berezin radius and generalized cases are
given. In addition, some basic auxiliary theorems are presented which we will directly
use in our results. The next section, called Research Findings and Discussion, is
divided into three subsections.
In the first subsection of the fourth section, we use the extension versions of the
Dragomir-Furuta inequality and give other related Berezin radius inequalities. We
obtain some important auxiliary theorems related to the Berezin symbol, which play a
main role in the proof of our main results, and whose proofs are similar to the proofs
in \cite{A2019}. In the special case, the inequality
\[
f\left(  \mathrm{ber}\left(  \mathfrak{A}_{4}\mathfrak{A}_{3}\mathfrak{A}%
_{2}\mathfrak{A}_{1}\right)  \right)  \leq\frac{1}{2}\left\Vert f\left(
\mathfrak{A}_{1}^{\ast}\left\vert \mathfrak{A}_{2}\right\vert ^{2}%
\mathfrak{A}_{1}\right)  +f\left(  \mathfrak{A}_{4}\left\vert \mathfrak{A}%
_{3}^{\ast}\right\vert ^{2}\mathfrak{A}_{4}^{\ast}\right)  \right\Vert
_{\mathrm{ber}}-\inf_{\Theta\in\Xi}\eta\left(  \Theta\right)
\]
for $\mathfrak{A}_{1},\mathfrak{A}_{2},\mathfrak{A}_{3},\mathfrak{A}_{4}%
\in\mathfrak{B}\left(  \mathfrak{H}\left(  \Xi\right)  \right)  $ with
$\eta\left(  \Theta\right)  :=\frac{1}{8}\nu\left[  \left(  \widetilde
{\mathfrak{A}_{1}^{\ast}\left\vert \mathfrak{A}_{2}\right\vert ^{2}%
\mathfrak{A}_{1}-\mathfrak{A}_{4}\left\vert \mathfrak{A}_{3}^{\ast}\right\vert
^{2}\mathfrak{A}_{4}^{\ast}}\right)  \left(  \Theta\right)  \right]  ^{2}$ is
obtained. 
In the second subsection, some new inequalities for the generalized Berezin
radius of operators acting on a functional Hilbert space are given. More
related results are also obtained. In the special case, the inequality
\[
\mathrm{ber}_{\mathfrak{G}}^{n}\left(  \mathfrak{A}\right)  \leq\frac{1}{2^{n-1}%
}\mathrm{ber}_{\mathfrak{G}}\left(  \mathfrak{A}^{n}\right)  +\left\Vert \mathfrak{A}%
\right\Vert _{\mathfrak{G}-\mathrm{Ber}}\sum_{s=1}^{n-1}\frac{1}{2^{n}}\mathrm{ber}%
_{\mathfrak{G}}^{n-s-1}\left(  \mathfrak{A}\right)  \left\Vert \mathfrak{A}%
^{s}\right\Vert _{\mathfrak{G}-\mathrm{Ber}},
\]
for $n=2,3,...,$ is shown.
In the last subsection of this section, some generalized inequalities for the
generalized Davis-Wielandt-Berezin type radius of operators on Hilbert space
with generating kernel are given. Moreover, some new bounds for the
generalized Davis-Wielandt-Berezin type radius are studied which improve the
existing bounds in the literature. Namely, some lower and upper bounds for the
generalized Davis-Wieandt-Berezin radius of operators on a functional Hilbert
space are studied.
The last chapter of this thesis is the Conclusion and Recommendations section.
In this section, which is the fifth chapter, the main results given in the
previous chapter are briefly discussed and some suggestions and problems
related to the continuation of these results or related results are given.