Parçalı sabit argümanlı bir biyolojik modelin lyapunov kararlılığı
Lyapunov stability of a biological model with piecewise constant argument
Yazar: ZEREN BAŞAR
Danışman: PROF. DR. DUYGU ARUĞASLAN ÇİNÇİN ; DOÇ. DR. REZAN SEVİNİK ADIGÜZEL
Süleyman Demirel Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Diferensiyel denklem yöntemi = Differential equation method ; Kararlılık analizi = Stability analysis ; Lyapunov yöntemi = Lyapunov method ; Matematiksel modelleme = Mathematical modelling

Özet:
Mühendislik, fizik, mekanik, kimya, biyoloji ve benzer alanlarda çözüme 
kavuşması gereken birçok somut problemin matematiksel olarak modellenmesi 
diferansiyel denklemler aracılığı ile yapılmaktadır. Ele alınan bir matematiksel 
model, nüfus artışı, biyolojik bir modelin davranışı, salgın hastalıklar, kimyasal 
tepkimedeki bir kimyasal maddenin miktarı ve bu miktarın zamana bağlı 
değişimi gibi olayların matematiksel ifadesidir. Matematiksel bir modelin amacı, 
süreci incelemek ve gelecek senaryoların tahmin edilmesini sağlamaktır. 
Örneğin, salgın hastalık modellerinin analizi hastalığın mevcut durumunun 
anlaşılmasını ve kontrol altına alınması için gerekli koşulların elde edilmesini 
sağlamaktadır. Böylece hastalığın müdahale önlemlerinin kullanımı ve tıbbi 
kaynakların yönetimi büyük ölçüde etkilenir. Bu nedenle matematiksel 
modellemeler kritik öneme sahiptir. 
Ele alınan sistemde değişim hızı, bilinmeyen fonksiyonun geçmiş zamandaki 
değerlerine bağlı olarak ortaya çıkıyorsa bu sistem gecikmeli diferansiyel 
denklemler yardımıyla modellenmektedir. Gecikmeli diferansiyel denklemler 
biyoloji, tıp, fen, mühendislik, mekanik gibi alanlarda sıklıkla yer almaktadır. 
Gecikme miktarlarının çok küçük olması bile sistemde çok büyük farklılıklara 
neden olabileceğinden problemlerin modellenmesinde gecikme miktarları ihmal 
edilmeden gecikmeli diferansiyel denklemlerin kullanılması gerçekliğe daha 
yakın sonuçlar vermektedir. Bu tez çalışmasının konusu olan parçalı sabit 
argümanlı diferansiyel denklemler, gecikmeli diferansiyel denklemler sınıfında 
yer almaktadır. Son zamanlarda parçalı sabit argümanlı diferansiyel denklemler 
teorisi ve bu teorinin uygulamaları ile ilgili birçok çalışma yapılmıştır. Dolayısyla 
bu tip diferansiyel denklemler uygulama açısından da oldukça önem arz 
etmektedir.
Bu çalışmada ele alınan model bir salgın hastalık (SIR) modelidir. Literatürde yer 
alan çalışmalarda toplumdaki salgın hastalık modelleri SI, SIR, SIS, SIRS, SEIR, 
MSEIR gibi epidemik modeller ile oluşturulmuştur. Bu tez çalışmasında yer alan 
salgın hastalık, enfekte olan bir hastanın temasta olduğu kişiler için hastalık 
iii
kuluçka süresi düşünülerek gecikmeli diferansiyel denklemler sınıfında yer alan 
genelleştirilmiş parçalı sabit argümanlı diferansiyel denklemler ile 
modellenmiştir. Genelleştirilmiş parçalı sabit argüman içeren bir epidemi modeli 
için çözümlerin kararlılığı ikinci Lyapunov yöntemi uygulanarak araştırılmıştır.

Abstract:
Many problems in engineering, physics, mechanics, chemistry, biology and 
similar areas are modeled mathematically by differential equations. A 
mathematical model is the mathematical expression of physical phenomena such 
as population growth, behaviour of a biological model, epidemics, the amount of 
a chemical substance in a chemical reaction and the change of this amount over 
time. The purpose of a mathematical model is to examine the process and enable 
future states to be predicted. For example, analysis of epidemic disease models 
provides to understand the current situation of the disease and obtain the 
necessary conditions to control it. Thus, the use of disease response measures 
and the management of medical resources are greatly affected. Therefore, 
mathematical modeling of epidemic diseases is of critical importance.
If the rate of change of an unknown function in a system under consideration 
depends on the values in the past, such systems are modeled with the help of 
delay differential equations. Delay differential equations are frequently used in 
many fields such as biology, medicine, science, engineering and mechanics. Since 
even very small delay amounts can cause significant differences in the system, the 
use of delay differential equations in modeling the problems gives more realistic 
results. Differential equations with piecewise constant argument, which is the 
subject of this thesis, belong to the class of delay differential equations. Recently
many studies have been carried out on the theory of differential equations with 
piecewise constant argument and on the applications of this theory. Hence, this 
type of differential equations is important for applications.
In the present study, the issue model is an epidemic disease (SIR) model. In 
studies conducted in the literature, epidemic disease models in society have been 
created by SI, SIR, SIS, SIRS, SEIR, MSEIR epidemic models. Taking the disease 
incubation period of people who are in contact with an infected person into 
account, the epidemic disease in this study is modeled by differential equations 
with generalized piecewise constant argument, which is a delayed type 
differential equation. The stability of the solutions is investigated by applying the 
v
second Lyapunov method to the handled epidemic model which includes a 
generalized piecewise constant argument.