Düzgün ağlar üzerinde bir sınır değer probleminin ?-yakınsaklığı
An ?- uniform method for a boundary value problem on equidistant meshes
Yazar: MUSTAFA BARDAK
Danışman: YRD. DOÇ. DR. ALİ FİLİZ
Adnan Menderes Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2011
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Dağılım fonksiyonları = Distribution functions ; Diferensiyel denklemler = Differential equations ; Diferensiyel operatörler = Differential operators ; Difüzyon = Diffusion ; Difüzyon denklemi = Diffusion equation ; Difüzyon katsayısı = Diffusion coefficient ; Sayısal analiz = Numerical analysis ; Sayısal analiz modelleri = Numerical analysis models ; Sayısal analiz yöntemi = Numerical analysis method ; Sınırlı yakınsaklık alanları = Bounded convergence areas ; Yayılma gücü = Diffusivity

Özet:
Bu tezde tekil noktada pertürbe edilmiş iki nokta sınır değer problemi için düzgünbir ağ üzerinde bir tam çözüm olan ? ? düzgün yakınsak sonlu farklar metodu önesürülür. Ilk olarak yerel bir sınır değer problemi ile sorunun tekil pertürbasyondoğasını yansıtan uygun bir operatör yöntemi ile başlanır. Ancak yerel sınırdeğer problemini gerçekten çözmek yerine yerel bir Shishkin örüntüsü ile gerifark yöntemi kullanılır. Böylelikle tamamen yerel düğüm noktalarının nerelerdeolduğu bilinmeden ve tam olarak herhangi bir diferansiyel denklemi sonlu farklarmetodu yardımıyla çözmeden, ? ? düzgün bir yöntem geliştirmenin mümkün olduğugösterilir.Doğada bir nehrin kıyısından yayılmakta olan bir atıklı kirli su birikintisini ya da birbardak saf suyun içerisine bırakılan bir mürekkep damlasını düşünün her iki durumdada kirli suyun ve bir damla mürekkebin içerisinde bulundukları ortama yayıldıklarıgözlemlenir. Temiz suyun birden bire mi yada nasıl bir şekilde bulanmayabaşlayacağını hiç düşündünüz mü? Doğada bu tür problemlerin incelenmesidemek, matematiksel olarak konveksiyonun yanı sıra difüzyonun da gerçekleşmesinigerektirir. Gösterilmiş olan bu problem ile taşınım ve difüzyon hızının ? hassas birsabit ile düzgün bir şekilde nasıl gerçekleştiğine bir kanıt teşkil edilmiştir.

Abstract:
In this thesis we propose a fully discrete ? ? uniform ? nite difference method onan equidistant mesh for a singularly perturbed two-point boundary value problem.We start with a ? tted operator method re ? ecting the singular perturbation natureof the problem through a local boundary value problem. However, to solve thelocal boundary value problem we employ an upwind method on a Shishkin meshin local domain, instead of solving it exactly. Thus we show that it is possibleto develop ? ? uniform method, totally in the context of ? nite differences withoutknowing location of the layer a priori and without solving any differential equationexactly.Imagine a river-a river ? owing strongly and smoothly. Liquid pollution pours intothe water at a certain point or Imagine a drop of ink dropped into a glass of water.What shape does the pollution stain form on the surface of the river or ink in theglass of water? In real life, we need diffusion to explain this problem near by theconvection. We further study the convergence properties of the numerical methodproposed and prove that it nodally convergence to the true solution for any ? .