Galois halkaları
Galois rings
Yazar: ELİF ALTINAY
Danışman: DOÇ. DR. GÜRSEL YEŞİLOT
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2011
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezin temel konusu Galois halkalarının yapısı ve inşa edilmesidir. İlk olarak Bölüm 2'de Galois halkalarını ve sonrasında zincir halkalarını çalışmak için gerekli ön bilgileri verdik. Üçüncü bölümde, Kalan Sınıf halkası, Polinom Halkası ve İdealleri, Hensel Yrd. Teoremi ve Temel İndirgenemez Polinomlar olmak üzere üç başlığı çalıştık. Bu bölümdeki bilgilerin Galois halkalar teorisinde çok önemli yeri vardır. Tezimizin ana bölümü, 4. Bölüm Galois Halkalarıdır. Bu bölümde sırasıyla, Galois halkalarının tanımı ve örnekleri, yapısı, p-adik gösterimi, birimselleri, genişlemeleri, otomorfizmaları, iz ve norm tanımlarını verdik. p bir asal sayı olsun. Birimi 1 olan değişmeli sonlu bir halkada, halkanın sıfırı ve sıfır bölenleri idealini oluşturuyorsa bu halkaya Galois halkası denir. R nin sıfır bölen olmayan elemanları birimseldir. Bu yüzden, R nin tek maksimal ideali dir. R, karakteristiği ve kardinalitesi olan bir Galois halkası ve m. dereceden monik temel indirgenemez bir polinom olmak üzere izomorfizması vardır. O halde, karakteristikleri ve kardinaliteleri aynı olan Galois halkaları izomorftur. Bu yüzden, karakteristiği ve kardinalitesi olan Galois halkalarını kısaca GR( , ) ile gösteriyoruz. polinomunun mertebesi olan bir kökü vardır, ve yazabiliriz. olsun. olmak üzere her elemanını şeklinde p-adik gösterimle tek türlü ifade edebiliriz. , ve dereceden monik temel indirgenemez bir polinom olmak üzere izomorfizması vardır. Son bölümde zincir halkalarını inceledik. Bir halkanın bütün idealleri kapsamaya göre lineer sıralı ise yani bir zincir oluşturuyorsa bu halkaya zincir halka denir. Sonlu zincir halkalar, maksimal ideali temel ideal olan yerel halkalardır. , maksimal ideali M olan sonlu bir zincir halka olsun. : nin karakteristiği; : ; : M nin nilpotentlik indeksi, iken ve iken olmak üzere ; k : olacak şekilde ya eşit veya küçük olan en büyük tamsayı olmak üzere p, s, m, k, t tamsayılarına nin sabitleri denir. , dereceden bir Eisenstein polinomu olsun. p, s, m, k, t sabitlerine sahip her sonlu zincir halkası için yazabiliriz.

Abstract:
The main goal of this thesis is exploring the structure of Galois rings and the construction of them. First of all, in Section 2, we give information that is necessary for being able to study Galois rings and then chain rings. In Section 3, we study the residue class ring of , the ring of polinomials of , Hensel?s Lemma and basic irreducible polinomials. The information in this section has a crucial part in The Theory of Galois Rings. Fourth Section is about Galois Rings. In this section, we study the definition of Galois rings, their structure, p-adic represantation, units, extention and automorphisms, respectively and give some examples. Let p be a prime. In a finite commutative ring with identity, if the set of zero and zero-divisors form then this ring is called a Galois ring. The non-zero divisors are units in R, so is the unique maximal ideal of R. If is a monic basic irreducible then . Thus, any two Galois rings of the same characteristic and cardinality are isomorphic. Therefore, we can use the notation GR( , ) to denote any Galois ring of characteristic and cardinality . Further, there exists a a root of of order , and . Let and . Then, any element can be written uniquely as.Let and be two Galois rings. If is a monic basic irreducible polinomial of degree l in then. In the last section, we study chain rings. A ring is called a chain ring if all its ideals form a chain under inclusion. Finite chain rings are precisely finite local rings whose maximal ideal is principal. Let be a finite chain ring with maximal ideal M . Let be : the characteristic of ; : ; : the nilpotency index of M and such that where and where ,; k : the greatest integer that is equal or less than such that . Then the integers p, s, m, k, t are called as the invarianats of . Let be an Eisenstein polinomial of degree Then, any finite chain ring R whose invariants are p, s, m, k, t is .