Topolojik kategorilerde sıfır boyutlu objeler
Zero dimensional objects in topological categories
Yazar: AYHAN ERCİYES
Danışman: PROF. DR. MEHMET BARAN
Erciyes Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2010
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
(X, ) topolojik uzay ve p olsun. Eğer p sınırı boş keyfi küçük komşuluklara sahip ise yani p nin her bir U komşuluğu için V U ve (V)=Ø olacak şekilde en az bir V komşuluğu varsa (X, ) ya p noktasında sıfır boyutludur denir. Eğer (X, ) topolojik uzayı X in her bir noktasında sıfır boyutlu ise (X, ) ya sıfır boyutludur denir ve dimX=0 şeklinde gösterilir.Sıfır boyutlu bir topolojik uzay şu şekilde de karakterize edilebilir. (X, ) topolojik uzayının sıfır boyutlu olması için gerek ve yeter şart X in hem açık hem de kapalı cümlelerden oluşan bir baza sahip olmasıdır.Bundan başka, sıfır boyutlu uzayları tanımlamak için diskrelik ve başlangıç kaldırmalarını kullanabiliriz. (X, ) topolojik uzayı sıfır boyutludur ancak ve ancak en az bir ( , ) diskre uzayların bir ailesi ve en az : X fonksiyon ailesi vardır öyle ki ler tarafından doğrulan topolojidir.Herhangi bir topolojik kategoride diskre, indiskre yapılar ve başlangıç kaldırması kavramları vardır. Bundan dolayı, sıfır boyutlu obje herhangi bir topolojik kategoride tanımlanabilir.Bu tez beş bölümden oluşmuştur, her bir bölüm aşağıda kısaca açıklanmıştır.Birinci Bölümde, boyut teorisi hakkında bazı tarihi bilgiler verildi.İkinci Bölümde, çalışmanın sonraki kısımlarında kullanılacak temel kavramların tanımları, teoremler ve lemmalar verildi.Üçüncü Bölümde, sıfır boyutlu topolojik uzaylar ile alakalı iyi bilinen sonuçlar ve bazı temel tanımlar ifade edildi.Dördüncü Bölümde, sıfır boyutlu topolojik uzayın tanımı keyfi bir topolojik kategoride sıfır boyutlu objeye genişletildi. Ayrıca, herhangi bir topolojik kategoride sıfır boyutlu objeler hakkındaki bazı teoremler ispatlandı. Bundan başka sıfır boyutlu objeler ve pre- Hausdorff objeler arasındaki ilişki araştırıldı. Son olarak sıfır boyutlu objelerden oluşan dolgun alt kategorinin bir topolojik kategori olduğu ispatlandı.Beşinci Bölümde, bazı iyi bilinen topolojik kategorilerde, sıfır boyutlu objelerin karakterizasyonu verildi.Anahtar Kelimeler: Başlangıç Kaldırması, Topolojik Fanktor, Sıfır Boyutlu Obje, Pre-Hausdorff Obje.

Abstract:
Let (X, ) be a topological space and p X. (X, ) has zero dimension at a point p if p has arbitrary small neighborhoods with empty boundaries, i.e. if for each neighborhood U of p there exists a neighborhood V of p such that V U and (V)=Ø. A topological space (X, ) has zero dimension, if it has zero dimension at each point and a zero dimensional space is denoted dim X=0.A zero dimensional topological space can be characterized as follow, too. A topological space (X, ) is zero dimension if and only if (X, ) has a basis consisting of sets which are at the same time open and closed.Furthermore, we can use discreteness and initial lifts to describe zero dimensional spaces. A topological space (X, ) is zero dimensional if and only if there exists a family of discrete space ( , ) and a family of functions : X such that is the topology induced on X by ( , ) via .In any topological category, there are concepts of discrete, indiscrete structure and initial lift. Hence, the notion of zero dimensional object can be defined in any topological category.This thesis consists of five chapters, each of which is briefly described below.In the First Chapter, some historical informations about dimension theory is given.In the Second Chapter, definitions of the basic concepts, theorems and lemmas which will be used in the rest of the paper are given.In the Third Chapter, same basic definitons and well-known results about zero dimensional topological spaces are stated.In the Fourth Chapter, a definiton of zero dimensional topological space is generalized to a zero dimensional object in an arbitrary topological category. Also, some theorems about zero dimensional object are proved. Moreover, the relationship between zero dimensional objects and pre-Hausdorff objects are investigated. Finally, it is proved that the full subcategory of zero dimensional objects is a topological category.In the Fifth Chapter, characterizations of zero dimensional objects in some well-known topological categories are given.Keywords: Initial And Final Lifts, Topological Functor, Zero-Dimensional Object, Pre-Hausdorff Object