Asal idealler ve asal alt modüller
Prime ideals and prime submodules
Yazar: NESLİHAN AYŞEN ÖZKİRİŞCİ
Danışman: DOÇ. DR. KÜRŞAT HAKAN ORAL ; PROF. DR. ÜNSAL TEKİR
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2014
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Asal idealler Değişmeli Cebir'de önemli rol oynamaktadır. Asal ideallerin bilinen en önemli özelliklerinden biri şu şekildedir: Bir halkanın idealler ailesinin sonlu bir kesişimi bir asal ideal tarafından kapsanıyorsa bu kesişimdeki en az bir ideal de bu asal ideal tarafından kapsanır. Literatür incelendiğinde bu sonlu kesişimin sonsuz olduğu durumların ele alınmış olduğu ve "kuvvetli 0-boyutlu halkalar" olarak adlandırılan, her asal ideali bu özelliğe sahip halkalar üzerinde çalışmaların yapıldığı görülmüştür. Bu halkalar aynı zamanda literatürdeki kompakt paketlenmiş halka kavramının dual ifadesi olmaktadır. Asal ideallerin birleşimi incelendiğinde, literatürde kompakt paketlenmiş halkaların bir genellemesi olan aralarında asal paketlenmiş halka kavramıyla karşılaşmaktayız. Bu çalışmaların verdiği motivasyonla bu tezin ilk bölümünde kuvvetli 0-boyutlu halkaların bir genellemesi şu tanımla yapılmıştır: Bir halkanın asal ideali, herhangi bir idealler ailesindeki her ideal ile aralarında asal iken bu ailedeki ideallerin herhangi bir kesişimini içermiyorsa bu asal ideal, aralarında asal yapılandırılmış ideal olarak adlandırılır. Her asal ideali aralarında asal ideal olan halkalara da bir aralarında asal yapılandırılmış halka denir. Bu çalışmada, tanımladığımız bu halkanın özellikleri araştırılmış ve bu halkaların yerelleştirmesi üzerinde durulmuştur. Ayrıca kuvvetli 0-boyutlu halkalar ile arasındaki geçişler incelenmiş, hangi koşul altında aralarında asal yapılandırılmış bir halkanın kuvvetli 0-boyutlu olduğu araştırılmıştır. Buna ek olarak Artinian halkalar ve *-koşulunu sağlayan halkalarla olan bağlantıları incelenmiştir. Aralarında asal yapılandırılmış halkaların aynı zamanda literatürde h-yerel bölge olarak bilinen halkaların da genel bir hali olduğu gösterilmiş ve bir h-yerel bölgenin aralarında asal olması için hangi koşula sahip olması gerektiği üzerinde durulmuştur.
Bir halkanın idealler ailesinin sonlu bir kesişimi bir asal ideal tarafından kapsanırken bu kesişimdeki en az bir ideal de bu asal ideal tarafından kapsanır, ancak bu özellik bir modülün asal alt modülü için her zaman geçerli değildir. Yani bir asal alt modül, alt modüllerin sonlu bir kesişimini kapsıyorken kesişimdeki alt modüllerden hiçbirini kapsamayabilir. Fakat bu durum, halkalarda olduğu gibi çarpımsal modüller için de geçerlidir. Çarpımsal modüllerde bu kesişimin sonsuz olduğu durumu incelemek amacıyla tanımladığımız kuvvetli 0-boyutlu modüller, aynı zamanda kuvvetli 0-boyutlu halka kavramının modül teoriye aktarımı ve bir genellemesi olmuştur. Kuvvetli 0-boyutlu modül tanımı ise şu şekilde yapılmıştır: Çarpımsal bir modülün bir asal alt modülü, alt modüllerin herhangi bir kesişimini içeriyorken bu kesişimdeki en az bir alt modülü de içeriyorsa bu asal alt modüle kuvvetli asal alt modül ve her asal alt modülü kuvvetli asal olan çarpımsal modüller de kuvvetli 0-boyutlu modül denir. Tezin diğer bölümünde ise, tanımlanmış olan bu kavramın özellikleri araştırılmış, von Neumann regüler modül ve Q-modüller ile aralarındaki bağlantılar verilmiştir.

Abstract:
Prime ideals have an important role in commutative algebra. One of the well known properties of prime ideals is the following: If a prime ideal contains a finite intersection of a family of ideals then some of those ideals are contained in the prime ideal. Reviewing the literature, we have seen that authors discuss this property in the case of the infinite intersection in detail and that rings in which every prime ideal has this property in the infinite case are called strongly 0-dimensional rings. These rings are also the dual notion of compactly packed rings. When we examined the studies on the infinite union of prime ideals, we have seen the concept of coprimely packed rings which are a generalization of compactly packed rings. With the aid of the motivation gained by these studies, we define coprimely structured rings as follows: A prime ideal of a ring is said to be a coprimely structured ideal if, whenever it is coprime to each element of a family of ideals of the ring, it does not contain any intersection of ideals in this family. We say that a ring is coprimely structured if every prime ideal of it is coprimely structured. In this study, we work on some properties of coprimely structured rings and we examine localization of these rings. Furthermore, we investigate coprimely structured rings and give some relations between coprimely structured rings and other rings such as Artinian rings, strongly 0-dimensional rings, rings satisfying *-property. Moreover, we show that coprimely structured rings are a general expression of h-local domains and we examine under which conditions any h-local domain is a coprimely structured ring.
As it is mentioned above; if a prime ideal contains a finite intersection of ideals then some of the ideals are contained in the prime ideal. This property does not valid for submodules in general. That is, if a prime submodule contains a finite intersection of submodules, it could be the case that none of the ideals is contained in the prime submodule. However, as in the case of commutative rings, multiplication modules satisfy this property. For the purpose of investigating this property with infinite intersection in multiplication modules, we define strongly 0-dimensional modules. This notion is a version of strongly 0-dimensional rings in module theory. Also, it is an extension of strongly 0-dimensional rings and it is defined as follows: A prime submodule of a multiplication module is called a strongly prime submodule if, whenever the prime submodule contains any intersection of submodules of the module, one of the submodules is contained in the prime submodule. A multiplication module is said to be a strongly 0-dimensional module if any prime submodule of it is a strongly prime submodule. We investigate properties of strongly 0-dimensional modules and give some relations between von Neumann regular modules, Q-modules and strongly 0-dimensional modules.