MRLW denkleminin yaklaşık nümerik çözümü için bir sonlu fark şeması
A finite difference scheme for approximate numerical solution of the MRLW equation
Yazar: FURKAN AKÇAPINAR
Danışman: PROF. DR. SELÇUK KUTLUAY
İnönü Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Çeşitli başlangıç ve sınır şartları ile verilen Modifiye Edilmiş Düzenli Uzun Dalga (MRLW)
denkleminin yaklaşık nümerik çözümlerinin bulunmasını hedefleyen bu mevcut tez altı bölüm olarak planlandı.
Bölüm 1'de bu tezde ele alınacak MRLW denklemi ile birlikte alışılmış RLW ve Genelleştirilmiş RLW denkleminin analitik/yarı-analitik ve nümerik çözümleri üzerine literatürde mevcut olan çalışmalardan detaylı olarak bahsedildi.
Bölüm 2'de bu tezde kullanılacak olan sonlu fark yöntemi hakkında kısaca bahsedildi ve yine tezde geçen bazı tanımlar verildi.
Bölüm 3'de model problem olarak göz önüne alınacak olan MRLW denklemi ile verilen başlangıç ve sınır değer probleminin hem konum hemde zaman yönünde tamamen ayrıklaştırılmış Crank-Nicolson tipi sonlu fark şeması elde edildi. Burada denklemdeki lineer olmayan terim Richtmyer yaklaşımı ile lineerleştirildi. Bu bölümde şemanın kararlılığı von-Neumann yöntemiyle incelendi ve şartsız kararlı olduğu gösterildi. Ayrıca sunulan şemanın lokal kesme hatasının mertebesi hesaplandı.
Bölüm 4'de bazı sayısal hesaplamalar için MRLW denklemi ile verilen dört örnek problem kısaca tanıtıldı.
Bölüm 5'de sunulan şema her bir örnek probleme uygulandı. Sunulan şemadan elde edilen nümerik sonuçlar yardımıyla L_{2} ve L∞ hata normları, I_{M}, I_{Q} ve I_{E} korunum sabitleri, Mertebe(L_{2}) ve Mertebe(L∞) yakınsaklık mertebeleri ve CPU(s) zamanları hesaplandı. Sunulan şemanın doğruluğunu ve güvenilirliğini göstermek için, aynı parametre değerleri kullanılarak, elde edilen nümerik sonuçlar analitik sonuçlarla (eğer mevcutsa) ve ayrıca mevcut literatürdeki diğer araştırmacıların verdikleri sonuçlarla karşılaştırıldı.
Bu tez çalışmasının son bölümü olan Bölüm 6'da ise kısa bir sonuçla ile birlikte ileriki çalışmalar için yine kısa bir öneride bulunuldu.

Anahtar Kelimeler: MRLW Denklemi, Soliter Dalgalar, Crank-Nicolson Tipi Fark Yaklaşımı, Richtmyer Tipi Lineerleştirme, von-Neumann Kararlılık Testi

Abstract:
The current thesis, which aims to find the approximate numerical solutions of the Modified Regular Long Wave (MRLW) equation given together with various initial and boundary
conditions, is planned as six chapters.
In Chapter 1, the existing studies in the literature on the analytical/semi analytical and numerical solutions of the conventional RLW and Generalized RLW equation, as well as the MRLW equation to be discussed in this thesis, are mentioned in detail.
In Chapter 2, the finite difference method that is going to be used in this thesis is briefly explained and some definitions used in the thesis are given.
In Chapter 3, a completely discretized Crank-Nicolson finite difference scheme is obtained in both spatial and temporal direction of the initial and boundary value problem given by the MRLW equation, which will be considered as a model problem. Here, the nonlinear term in the equation is linearized by using the Richtmyer approach. In this chapter, the stability analysis of the scheme has been examined by the von-Neumman method and it has been shown that it is unconditionally stable. Additionally, the order of the local truncation error of the scheme is calculated.
In Chapter 4, four test problems given with the MRLW equation are briefly introduced in order to perform some numerical calculations.
In Chapter 5, the presented scheme has been applied to each model problem. With the help of the numerical results obtained from the presented scheme, the error norms L2 and L∞, conservation constants I_{M}, I_{Q} and I_{E}, order of convergences Order(L_{2}) and Order(L∞) and CPU(s) times are calculated. To demonstrate the accuracy and reliability of the presented scheme, the numerical results obtained using the same parameter values are compared with analytical results (if available) and with those given by other researchers in the existing literature.
In Chapter 6, which is the last part of this thesis, together with a brief evaluation, again a brief suggestion for future studies are presented.

Keywords: MRLW Equation, Solitary Waves, Crank-Nicolson Type Difference Approach, Richtmyer Type Linearization, von-Neumann Stability Test