R^2n'de 2-kalibrasyonlar
2-calibrations on R2n
Yazar: YUNUS ÖZDEMİR
Danışman: PROF. DR. ŞAHİN KOÇAK
Anadolu Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2008
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Kalibrasyon = Calibration ; Kendine duallik = Self duality

Özet:
Kalibrasyon kavramı 1982'de Harvey ve Lawson tarafından tanımlanmış ve minimal alt manifoldlar ile 7 ve 8 boyutlardaki özel holonomi konularında önemli bir araç konumuna gelmiştir. Kalibre edilmiş alt manifoldlar homolojik olarak hacmi minimize eden alt manifoldların doğal örneklerini verirken, 7 ve 8 boyutlardaki asosyatif, ko-asosyatif ve Cayley kalibrasyonları zengin bir geometriye sahiptirler.2-formların kendine dualliği kavramı 4 boyuttaki klasik Yang-Mills teorisinin merkezi bir kavramıdır ve bu kavramın yüksek çift boyutlara, esas itibariyle birbirlerine denk olan çeşitli genelleştirmeleri verilmiştir ve bu genelleştirmeler yüksek boyutlu alan teorilerinde bir rol oynamaktadırlar.Kalibrasyon ve kendine duallik kavramları bugüne kadar büyük ölçüde birbirlerinden bağlantısız olarak kullanılmaktadırlar. Bu çalışmada, 2-kalibrasyon ve kuvvetli kendine dual 2-form kavramları arasındaki ilişki araştırılmıştır. Kalibrasyon kavramının uygun şekilde modifiye edilmesi durumunda bu iki kavramın esas itibariyle örtüştüğü gösterilmiştir. Ayrıca, normlu trialite kavramından esinlenerek normlu dualite kavramı tanımlanmış ve anti-simetrik normlu dualite kavramının modifiye edilmiş 2-kalibrasyon kavramıyla örtüştüğü gösterilmiştir.Kalibrasyon teorisinde, çoğu önemli ve ilginç örnekler Öklidyen uzaylardaki bazı sabit katsayılı formlarla verilmektedir ve bunlar modifiye edilmiş koşulu da sağlamaktadırlar. Çalışmamızda R^2n 'de modifiye edilmiş 2-kalibrasyon alanlarının (dolayısıyla bunlara karşılık gelen kuvvetli kendine dual 2-form alanlarının) sabit katsayılı olması gerektiği gösterilmiştir.

Abstract:
The notion of calibration was defined by Harvey and Lawson in 1982 and since then this notion proved to be important in the fields of minimal submanifolds and special holonomy in dimension 7 and 8. Calibrated submanifolds are natural examples of homologically volume minimizing submanifolds and in dimensions 7 and 8 the associative, coassociative and Cayley calibrations possess a rich geometry.The notion of the self duality of 2-forms is a central notion in classical Yang-Mills theory in dimension 4 and there are several generalizations of this notion to higher even dimensions which are essentially equivalent and which play a role in higher dimensional gauge theories.This two notions, calibrations and self duality were rather unrelated yet. In this work, the relationship between the notions of 2-calibrations and strong self-duality of 2-forms is investigated. It is shown that if the notion of calibration is suitably modified, then the two notions essentially coincide. Moreover, inspired by the notion of normed triality, a notion of normed duality is defined and it is shown that an anti-symmetric normed duality coincides with the notion of modified 2-calibration.In the theory of calibrations, most of the important and interesting examples are given by forms on Euclidean spaces with constant coefficients and these are shown to satisfy also our modified condition. We proved that on R^2n any modified calibration 2-field (and as a consequence the corresponding strong self-dual 2-form field) has necessarily constant coefficients.