İki katlı kesirli integraller için Ostrowski tipli eşitsizlikler ve uygulamaları
Ostrowski type inequalities for fractional double integrals and their applications
Yazar: SEVGİ KILIÇER
Danışman: DOÇ. DR. SAMET ERDEN
Bartın Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Kesirli integraller ve türevler, son zamanlarda matematiğin birçok uygulama alanında kullanılmaya başlanmıştır.  Örneğin, bir kesirli türev olmadan viskoelastik bir süreç tanımlamak mümkün değildir. Elektromanyetik, akım teorisi, biyoloji, fizik gibi alanlar kesirli teorinin uygulamalarından biridir. Ayrıca, literatürde sıklıkla kullanılan Riemann-Liouville kesirli integral ve türevin tanımları integrale bağlı olduğundan, birçok fonksiyonun kesirli integral ve türevlerini hesaplamak kolay değildir. Bir integralin tam değeri hesaplanamadığı zaman, eşitsizlikler yardımıyla integralin yaklaşık değeri tahmin edilebilir. Böyle durumlarda eşitsizliğe ihtiyaç duyulmaktadır. Matematiğin en önemli uygulama alanlarından biri olan eşitsizlik teorisinde kesirli türevler ve integraller içeren çok sayıda sonuç elde edilmiştir. Bunlardan yola çıkarak kesirli hesaplamalar için üst ve alt sınırlar bulunabilir.
Ayrıca belirtmek gerekir ki; İntegral eşitsizlikleri hem teorik hem de uygulamalı matematikte kullanılan en önemli araçlardan biridir. Bazı problemlerde integralin tam değeri hesaplanamaz. Böyle durumlarda yaklaşım metotları geliştirmek gereklidir. Bu yüzden, bazı matematikçiler fonksiyonların çeşitli sınıfları için integral eşitsizlikleri üzerine çalışmıştır. Hermite-Hadamard, Ostrowski, Chebyshev, Grüss ve Ostrowski-Grüss eşitsizlikleri, literetürdeki önemli eşitsizliklerden bazılarıdır. 
Ostrowski (1938) çalışmasında, birinci türevi sınırlı olan fonksiyonları kullanarak matematiksel açıdan büyük bir öneme sahip olan bir eşitsizlik elde etmiştir. Daha sonra, bu eşitsizlik literatürde "Ostrowski Eşitsizliği" olarak adlandırılmıştır. Son zamanlarda, bir çok araştırmacı Ostrowski eşitsizliği ile ilgili çok sayıda sonuç bulmuşlardır. Bu kapsamda klasik Ostrowski eşitsizliğinin daha hassas sonuçları, eşdeğerleri ve genelleştirilmiş versiyonlarının yanı sıra fonksiyonların farklı kabulleri altında yeni Ostrowski Tipli eşitsizlikler incelenmiştir. Örneğin, birinci türevleri Lebesgue 1-normu ve Lebesgue p-normuna ait fonkisyonlar için Ostrowski tipli sonuçlar sırasıyla (Dragomir & Wang, 1997) ve (Dragomir & Wang, 1998) çalışmalarında sunulmuştur. İki değişkenli fonksiyonların kısmi türevleri sınırlı olan fonksiyonlar için Ostrowski tipli sonuç Barnett ve Dragomir (2001) tarafından literature kazandırılmıştır. Bunun yanı sıra, iki değişkenli fonksiyonların kısmi türevleri, Lebesgue p-norma ait olan fonksiyonlar için Ostrowski tipli sonuçlar ise Dragomir ve diğerleri (2003) tarafından ispatlanmıştır.
Bu tez çalışmasında, yüksek mertebeden kısmi türevlere sahip iki değişkenli fonksiyonlar için Ostrowski tipli kesirli integral eşitsizlikleri incelenecektir. Öncelikle yüksek mertebeden kımi türevler yardımıyla kesirli integral özdeşliği kurulacaktır. Sonrasında, bu özdeşlikler ve çeşitli fonksiyon sınıfları kullanılarak kesirli integraller içeren eşitsizlikler verilecektir. Ayrıca, Riemann-Liouville ve Caputo kesirli türevleri arasındaki bağlantı yardımıyla, Caputo kesirli türevler içeren eşitsizlikler sunulacaktır. Elde edilecek eşitsizliklerin Nümerik yaklaşım, özel ortalamalar ve üstel fonksiyon uygulamaları incelenecektir. Özdeşliklerin oluşturulmasında kısmi integrasyon yöntemi ve temel analiz işlemleri kullanılacaktır.

Abstract:
Fractional integrals and derivatives have been used in many application areas of mathematics in the last few decades. This theory has especially become indispensable in some areas of sciences. For example, it is impossible to describe a viscoelastic process without using a fractional derivative. Areas such as Electromagnetic Theory, Circuit Theory, Biology and Atmospheric Physics are some other applications of fractional theory. Also, because the definitions of Riemann-Liouville fractional integral and derivative, which are frequently used in the literature, is given by classical integrals, it is not easy to calculate fractional integrals and derivatives of many functions. When the exact value of an integral cannot be calculated, its approximate value can be estimated using inequalities. In such cases, inequality is needed. In addition, many results involving fractional derivatives and integrals has been obtained in inequality theory which is one of the most important application areas of mathematics. With the help of inequality theory, upper and lower bounds can be found for fractional calculations.
It should be noted that the theory of integral inequalities is one of the most useful mathematical tools in both pure and applied mathematics. The exact value of an integral can not be calculated in some problems. In these cases, it is necessary to develop opproximation methods. Therefore, some mathematicians worked on integral inequalities for various classes of functions. Hermite-Hadamard, Ostrowski, Chebyshev, Grüss and Ostrowski-Grüss are some of the important inequalities in literature. 
Ostrowski (1938) obtained an inequality that has great mathematical significance by using functions whose first derivative is bounded. Later, this inequality was named as "Ostrowski Inequality" in the literature. In recent years, many authors have established a large number of inequalities connected to the OStrowsk, inequality. For recent results, refinements, counterparts and  generalizations of classical Ostrowski inequality  and new OStrowski-type inequalities under various assumptions for the functions. For example, Dragomir and Wang gave Ostrowski type results for functions whose first derivatives are element of different Lebesgue spaces (Dragomir & Wang, 1997; Dragomir & Wang, 1998). Morever, Barnett ve Dragomir (2001) established an Ostrowski type inequality for double integrals. After that, Ostrowski type inequalities for functions whose partial derivatives are element of Lebesgue p-norm were obtained Dragomir et al. (2003).
In this thesis, Ostrowski type fractional integral inequalities for two variables functions that have higher order partial derivatives will be examined. The fractional integral identities will be first established by means of higher-order derivatives. After that, the inequalities involving fractional integrals will be given by using these equalities and various classes of functions. What is more, new inequalities including Caputo fractional derivatives will be presented with the help of the relation between Riemann-Liouville and Caputo fractional derivatives. Some applications of the results that will be developed in this project will be examined for numerical integration, special means, and exponential function. By integration by parts and elementary analysis operations will be used to establish identities involving Riemann-Liouville fractional integrals.