Elektrik ağları ve bazı topolojik indekslerin incelenmesi
Investigation of electric networks and some topological indices
Yazar: HAVVA KIRGIZ
Danışman: PROF. DR. AYŞE DİLEK MADEN
Selçuk Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Dış merkezlik = Eccentricity ; Elektrik şebekesi = Elektrical grid ; Kirchhoff yöntemi = Kirchhoff method ; Üst sınır yöntemi = Upper bound method

Özet:
Graf teori birçok bilim dalında önemli uygulamalara sahiptir. Kimyasal graf teori moleküllerin özelliklerini çeşitli graf parametreleri ile hesaplamayı kolaylaştırırken, fiziksel graf teori ise özellikle karmaşık elektrik devrelerinin özelliklerini inceler.
Kimyasal yapıların graf kullanılarak incelenmesi yakın zamanlarda kimyasal graf teori ile gerçekleşmiştir. Bir topolojik indeks kimyasal bir yapının fiziko-kimyasal özelliklerini, kimyasal tepkime veya biyolojik aktivite ile ilişkisini açıklayan, bu kimyasal yapı ile ilgili sayısal bir ifadedir. Wiener'in (Wiener, 1947) çalışması öncülüğünde farklı özelliklere sahip topolojik indeksler tanımlanmış ve graf parametrelerine bağlı olarak incelemeler yapılmıştır. Bilim insanlarının topolojik indeksler ile ilgili yaptığı en önemli çalışmalar bu indekslerin alt ve üst sınırlarını incelemeye yöneliktir.
Fizik alanında, direnç ve pil bulunan elektrik devreleri ile ilgili problemleri çözmek için genellikle Kirchhoff kanunu kullanılmaktadır. Karmaşık bir elektrik devresi ise bir grafa dönüştürülerek, graf teori aracılığı ile istenilen sonuca kolaylıkla ulaşılabilmektedir. Elektrik devreleri ve graf teori çalışmaları Kirchhoff (1847) tarafından başlatılmıştır. Karmaşık elektrik devreleri ile yapılan çalışmalarda direnç mesafesine (resistance-distance) bağlı özelliklerin incelenmesi ve özellikle Kirchhoff indeksine bağlı çalışmalar büyük önem taşımaktadır.
Bu tez altı ana bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, graf teorinin ortaya çıkışı ve graf teori uygulamaları ile ilgili bilgilere örneklerle birlikte yer verilmiştir. İkinci bölümde, ana sonuçlarda yer alacak teorik çalışma için gerekli temel tanım, teorem ve özellikler verilmiştir. Üçüncü bölümde ise dört ve beşinci bölümler için graf teorinin elektrik devrelerinde kullanımı ve topolojik indeksler ile ilgili kaynak araştırmasına yer verilmiştir. Dördüncü bölümde, neredeyse (nearly) tam iki parçalı graflar ile elektrik devreleri arasındaki ilişki incelenerek, elektrik devreleri yardımıyla neredeyse iki parçalı grafların direnç mesafesine dayalı özellikleri ele alınmıştır. Ayrıca, iki parçalı graflar ile elektrik devreleri arasındaki ilişki incelenerek, elektrik devreleri yardımıyla iki parçalı grafların direnç mesafesine dayalı özellikleri ele alınmıştır. Tezin beşinci bölümünde dereceye bağlı harmonik, Sombor, forgotten ve Randić topolojik indeksleri için yeni bir yöntem kullanılarak, bu topolojik indeksler için yeni ve daha önce bulunan alt ve üst sınırlardan daha iyi olan sınırlar elde edilmiştir. Son bölümde ise, tez çalışmasında elde edilen sonuçlar ve öneriler yer almaktadır.

Abstract:
Graph theory has important applications in many disciplines. While chemical graph theory makes it easy to calculate the properties of molecules with various graph parameters, physical graph theory examines the properties of especially complex electrical circuits.
The study of chemicals using graphs has recently been realized with chemical graph theory. A topological index is a numerical expression of a chemical structure that describes its relationship to many physico-chemical properties, chemical reactions, or biological activities. With Wiener's (Wiener, 1947) work, topological indices with different properties were defined and investigations were made depending on the graph parameters. The most important studies of scientists on topological indices aim to examine the lower and upper limits of these indices.
In physics, Kirchhoff's rules are commonly used to solve problems with electrical circuits with resistors and batteries. Electrical circuits and graph theory studies were initiated by Kirchhoff (1847). In studies with complex electrical circuits, it has great importance to examine the properties depending on the resistance-distance and especially the studies related to the Kirchhoff index.
This thesis consists of six main parts. In the first section, information about the emergence of graph theory and its applications are given with examples. In the second section, the basic definitions, theorems and properties required for the theoretical study to be included in the main results are given. In the third chapter, the source research on the use of graph theory in electrical circuits and topological indices are given for the fourth and fifth chapters. In the fourth section, the relationship between nearly complete bipartite graphs and electrical circuits is examined, and the properties of nearly complete bipartite graphs based on resistance distance are discussed with the help of electrical circuits. Also, the relationship between bipartite graphs and electrical circuits is examined, and the properties of bipartite graphs based on resistance distance are discussed with the help of electrical circuits. In the fifth chapter of the thesis, a new method is used for degree-based harmonic, Sombor, forgotten and Randić topological indices, and new bounds for these topological indices, which are better than the lower and upper bounds found before, are obtained. The final section discusses the results obtained in the thesis with suggestions.