Numerical simulation of unsteady quasi-one-dimensional bubbly cavitating nozzle flows
Sanki-bir-boyutlu lülelerde daimi olmayan kavitasyonlu kabarcıklı akışların sayısal benzetimi
Yazar: ZAFER BAŞKAYA
Danışman: PROF. DR. CAN FUAT DELALE
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Uçak ve Uzay Mühendisliği Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2011
Konu: Havacılık Mühendisliği = Aeronautical Engineering
Dizin: Akış denklemleri = Flow equations

Özet:
Bu tezde, kabarcık/kabarcık etkileşimlerinin gözönünde bulundurulduğu iyileştirilmiş bir Rayleigh-Plesset denklemiyle tanımlanan kavitasyonlu kabarcık dinamiğinin temel alındığı, homojen kabarcık-sıvı karışımlı akış modelinin kullanıldığı daimi olmayan sanki-bir-boyutlu kavitasyonlu lüle akışları incelenecektir. Ayrıca kavitasyonlu daimi lüle akışlarının çözümleri ve kararlılıkları ele alınacaktır. Hidrodinamik kavitasyonun analizi için yakınsak-ıraksak lüleler en basit konfigürasyon olarak görülmektedir. Kavitasyonlu akışlar için lüle akış denklemleriyle beraber kabarcık dinamiğinin ele alınması temel bir unsurdur. Klasik Rayleigh-Plesset denklemi ile tarif edilen küresel kabarcık dinamiği ile birleştirilmiş bir sürekli kabarcık karışımlı akış modeli, van Wijngaarden tarafından önerilmiştir. Bu model kullanılarak sanki-bir-boyutlu yakınsak-ıraksak lülede kabarcıklı kavitasyonlu daimi akışların çözümü, sürekli kabarcıklı akış modeli kullanan Wang ve Brennen ile Delale ve diğ. tarafından araştırılmıştır. Kabarcığın içerisindeki gaz basıncının politropik yasaya uyduğu ve tüm sönümleme mekanizmalarının somut anlamda viskoz yutulma formunda tek bir sönümleme katsayısıyla betimlendiği varsayıldığında, her iki araştırma da diğer tüm parametreler sabit tutulup sadece girişteki kabarcık hacim oranı (veya girişte kavitasyon sayısı veya girişte kabarcık yarıçapı) değiştirildiğinde, daimi akış çözümlerinin ani akış kararsızlıklarını göstermiştir. Aynı model, lülenin ıraksak kısmında ilerleyen kabarcıklı şok dalgalarını gösteren Preston ve diğ. tarafından yakınsak-ıraksak lülede daimi olmayan kabarcıklı kavitasyonlu akışlara uygulanmıştır.Bu araştırmanın amacı, daimi olmayan sanki-bir-boyutlu kabarcıklı kavitasyonlu lüle akışları için detaylı bir analiz vermektir. Bu sebeple, daimi olmayan sanki-bir-boyutlu kabarcıklı kavitasyonlu lüle akışlarında homojen kabarcık-sıvı karışımlı akış modeli, kavitasyonlu kabarcık dinamiğinin temel alındığı iyileştirilmiş Rayleigh-Plesset denklemiyle beraber ele alınacaktır. Çekirdekleşme, kabarcık birleşmeleri ve kabarcık bölünmesi ihmal edilecektir. Kabarcığın içersindeki gaz basıcının politropik yasaya göre genişlediği ve sıkıştığı varsayılarak, tüm sönümleme mekanizmaları viskoz yutulma şeklinde tek bir sönümleme katsayısı kullanılarak dikkate alınacaktır. Başlangıç dağılımları, giriş koşulları ve lüle geometrileri, lüle içersinde kavitasyon oluşturacak şekilde seçilecektir. Bu kabullere dayanarak model denklem sistemi, biri akış hızı diğeri kabarcık yarıçapı olmak üzere iki evrim denklemine indirgenecektir. Daimi olmayan ivme alanı için değişken katsayılı ikinci dereceden lineer bir adi diferansiyel denkleminin (ODE), çözümlerini kullanılarak kuple kısmi diferansiyel denklem sistemi (PDE) çözümlenecektir. Daimi olmayan ivme alanının sayısal çözümü için ODE denkleminin çözümlerine giren zamana bağlı fonksiyonlar, yansımasız sınır koşulları kullanılarak değerlendirilecektir. Bir sonraki akış hızı dağılımını bulmak amacıyla daimi olmayan ivme alanı kullanılarak, evrim denklemleri yüksek mertebeden Runge-Kutta metodu ile zamana göre entegre edilecektir. Elde edilen akış hızı dağılımını kullanarak, kabarcık yarıçapı için birinci dereceden hiperbolik denklem ise klasik karakteristikler metodu ile entegre edilecektir. Böylece evrim denklemlerinin akış hızı ve kabarcık yarıçapı dağılımları için bulunan çözümler, bir sonraki zaman adımı için elde edilecektir. Bu işlem tüm zaman aralıkları için benzer şekilde sayısal döngüde tekrarlanarak sanki-bir-boyutlu kavitasyonlu lüle akışlarının sayısal benzetimi için gereken tüm hidrodinamik değişkenler hesaplanacaktır. İki farklı lüle için elde edilen sayısal benzetim sonuçları, nicel bir karşılaştırmayla doğrulanmıştır. Kullanılan algoritma ile kabarcık yarıçapı, akış hızı ve basınç katsayısı dağılımları için bulunan sayısal benzetim sonuçlarına ilişkin karşılaştırma, Caltech lülesi için bulunan sonuçlar ile mükemmel bir uyum sağlandığını göstermektedir. Diğer taraftan sanki- bir- boyutlu lüle akışları için elde edilen sayısal benzetim sonuçları, İTÜ-TÜBİTAK deneyinde kavitasyon durumu için ölçülen basınç kayıplarıyla uyum içindedir. Ancak sanki-bir-boyutlu model, iki-boyutlu kavitasyon yapılarının tanımlanmasında yetersiz kalmaktadır.

Abstract:
In this thesis, quasi-one-dimensional unsteady bubbly cavitating nozzle flows are investigated by employing a homogeneous bubbly liquid flow model, where the nonlinear dynamics of cavitating bubbles is described by a modified Rayleigh-Plesset equation. Furthermore, the numerical solutions and stability of steady-state bubbly cavitating nozzle flows are thoroughly analysed. Cavitating flows through converging-diverging nozzles seem to be the simplest configurations for analysis in hydrodynamic cavitation. For cavitating flows it is essential to consider bubble dynamics together with the equations of nozzle flow. A continuum bubbly mixture flow model that couples spherical bubble dynamics, as described by the classical Rayleigh-Plesset equation, to the flow equations was proposed by van Wijngaarden. Steady-state solutions of bubbly cavitating flows through converging-diverging nozzles have been investigated by Wang and Brennen and by Delale et al. using the continuum bubbly liquid flow model. Assuming that the gas pressure inside the bubble obeys the polytropic law and lumping all damping mechanisms, in a crude manner, by a single damping coefficient in the form of viscous dissipation, both investigations have demonstrated bifurcation of steady-state solutions to flashing flow instabilities by varying the inlet void fraction (or inlet bubble radius or inlet cavitation number). A numerical investigation of unsteady bubbly cavitating flows in converging-diverging nozzles in the same model has also been carried out by Preston et al., showing the possibility of propagating bubbly shock waves in the diverging section of the nozzle.The aim of this investigation is to present a detailed analysis of quasi-one-dimensional unsteady bubbly cavitating flows in converging-diverging nozzles. For this reason, quasi-one-dimensional unsteady bubbly cavitating nozzle flows are considered by employing a homogeneous bubbly liquid flow model together with the nonlinear dynamics of cavitating bubbles, described by a modified Rayleigh-Plesset equation. Nucleation, coalescence of bubbles and bubble fission are neglected. The various damping mechanisms are lumped together by a single damping coefficient in the form of viscous dissipation. A polytropic law for the expansion and compression of the gas inside the bubble is assumed. The initial distributions, inlet conditions and nozzle geometry are choosen such that cavitation can occur in the nozzle. Under these assumptions the model system of equations, by appropriate uncoupling, are reduced to two evolution equations, one for the flow speed and the other for the bubble radius. The system of coupled PDE?s are then solved by utilizing the solution of the unsteady acceleration field, which is a linear second order ordinary differential equations (ODE) with variable coefficients. The time dependent functions, entering the solution of the ODE for the unsteady acceleration, are evaluated by using non-reflecting boundary conditions. The evolution equation for the flow speed is then integrated using a multi-stage Runge-Kutta method in time to arrive at the flow speed distribution at the next time step. Using the flow speed thus obtained, the first order hyperbolic equation for the bubble radius is integrated by the classical method of characteristics. Thus the solutions for the flow speed and radius distributions of the evolution equations are obtained for the next time step. The procedure is then repeated in a similar manner for all subsequent time steps. Consequently, all hydrodynamic variables are calculated for the numerical simulation of quasi-one-dimensional unsteady bubbly cavitating nozzle flows. The numerical results are verified by a quantitative comparison of the results for two different type of nozzles. A comparison of the numerical results for the bubble radius, the flow speed and pressure coefficient distributions by the present algorithm show excellent agreement with those found in the Caltech nozzle. On the other hand, the numerical results obtained for quasi-one-dimensional nozzle flows capture the measured pressure losses of the experimental study of the İTÜ-TÜBİTAK nozzle due to cavitation, but they turn out to be insufficient in describing the two-dimensional cavitation structures.