Schrödinger tipi denklemlerin dalga çözümleri üzerine
On the wave solutions of Shrödinger type equations
Yazar: FATMA NUR KAYA SAĞLAM
Danışman: DOÇ. DR. ZEHRA PINAR İZGİ ; DOÇ. DR. HÜSEYİN KOÇAK
Tekirdağ Namık Kemal Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2024
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Analitik yöntem = Analytical method

Özet:
Doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemler (PDE'ler), fizik, biyoloji, mühendislik, sinyal
işleme, kontrol teorisi, finans ve dinamik gibi çeşitli uygulamalarda sıklıkla ortaya çıkmaları
nedeniyle birçok çalışmanın odak noktası olmuştur. Son günlerde, fiziksel ilgi konusu olan
doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin çözümlerini oluşturmak için birçok metot
literatürde mevcuttur. Bunlar arasında son dönemlerde en çok kullanılan metot yardımcı
denklem metodudur. Kuantum mekaniğinde önemli rol oynayan doğrusal olmayan Schrödinger
denklemi (NLSE) fiziksel olayları modellemek için kullanılmaktadır. Schrödinger denkleminin
Rogue Wave (RW) çözümleri, sonsuz periyotlu solitonun limitli bir kısmını ifade etmektedir
bu da soliton ve RW çözümlerinin belirli koşullar altında birbirine dönüşebileceğini
göstermektedir. Solitonlar, enerjiyi bozulmadan taşıyabilen belirli matematiksel özelliklere
sahip dalgalardır. RW ise genellikle okyanuslarda büyük ve beklenmedik bir şekilde ortaya
çıkan dev dalgaları ifade etmektedir. Bu dalgalar genellikle diğer dalgalardan çok daha büyük,
ani ve tehlikeli olabilir. RW'lerin oluşumu genellikle karmaşık su hareketleri, rüzgâr ve diğer
faktörlerin etkileşiminden kaynaklanmaktadır. Bu çalışmanın ilk bölümünde denklemleri
çözmek için kullandığımız metotlar tanıtılmıştır. İkinci bölümünde üçüncü mertebeden
doğrusal olmayan Schrödinger denkleminin RW ve soliton çözümleri elde edilmiştir. Üçüncü
bölümünde ise beşinci mertebeden doğrusal olmayan Schrödinger denkleminin indirgenmiş
farklı formları ele alınmış ve bu denklemler için RW ve soliton çözümleri elde edilmiştir. Son
bölümde de doğrusal olmayan Schrödinger denklem sistemleri için çözümler bulunmuştur.

Abstract:
Nonlinear partial differential equations (PDEs) have been the focus of many studies due to their
frequent occurrence in various applications such as physics, biology, engineering, signal
processing, control theory, finance, and dynamics. Recently, many methods for constructing
solutions of nonlinear partial differential equations of physical interest are available in the
literature. Among these, the most widely used method in recent times is the method of auxiliary
equations. The nonlinear Schrödinger equation (NLSE), which plays an important role in
quantum mechanics, is used to model physical phenomena. The Rogue Wave (RW) solutions
of the Schrödinger equation represent a finite fraction of an infinite period soliton, which
implies that the soliton and RW solutions can transform into each other under certain
conditions. Solitons are waves with certain mathematical properties that can carry energy intact.
RW, on the other hand, refers to giant waves that usually occur in large and unexpected ways
in the oceans. These waves can often be much larger, more sudden, and more dangerous than
other waves. The formation of RWs is often due to the interaction of complex water motions,
wind and other factors. In the first part of this paper, we present the methods we use to solve
the equations. In the second part, RW and soliton solutions of the third-order nonlinear
Schrödinger equation are obtained. In the third part, different reduced forms of the fifth order
nonlinear Schrödinger equation are considered and RW and soliton solutions are obtained for
these equations. In the last part, solutions for systems of nonlinear Schrödinger equations are
obtained.