Bazı kısmi diferensiyel denklem sistemlerinin üstel kübik B-spline kolokeyşın çözümlerinin üretilmesi
Generation of the exponential cubic B-spline collocation solutions for some partial differential equation systems
Yazar: ÖZLEM ERSOY HEPSON
Danışman: PROF. DR. İDİRİS DAĞ
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Bilgisayar Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2015
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezde, üstel kübik B-spline kolokeyşın metodu kullanılarak bazı kısmi diferensiyel denklem sistemlerinin sayısal çözümleri araştırılmıştır. Kısmi diferensiyel denklem sistemlerine Crank-Nicolson zaman ayrıştırması uygulanmış ve zaman ayrıştırılmış sistemlerdeki  lineer olmayan terimler için Taylor metodu kullanılarak lineerleştirilme yapılmıştır.  Zaman ayrıştırılmış sistemin konum ayrıştırması için üstel kübik B-spline kolokeyşın metodu uygulanmış ve sistem, cebirsel denklem sistemine dönüştürülmüştür. Böylece kısmi diferensiyel denklem sistemlerinin üstel kübik B-spline kolokeyşın algoritması tasarlanmış ve elde edilen sonuçlar, literatürdeki farklı metotlar ile elde edilen sonuçlarla karşılaştırılarak algoritmanın deneysel doğruluğu tartışılmıştır. Üstel kübik B-spline fonksiyonlarının serbest parametresi en iyi çözümü verecek şekilde belirlenmeye çalışılmıştır. Farklı başlangıç koşulları uygulandığında oluşan çözümlerin mecvut fiziksel modelleri gösterilmiştir.
Birinci bölümde sonlu farklar yaklaşımı, sonlu elemanlar metotları, B-spline fonksiyonlar, üstel kübik B-spline kolokeyşın metodu, lineer olmayan oluşum denklemleri, korunum kanunları ve soliton dalgaları tanıtılmıştır. İlerleyen bölümlerde ise lineer olmayan Schrödinger denklemi, reaksiyon difüzyon denklem sistemi, ikili Burgers denklem sistemi ve Boussinesq denklem sistemlerinin sayısal çözümleri elde edilmiştir. Sayısal metodun doğruluğu analitik çözümü bilinen problemler için maksimum hata normu ile, analitik çözümü bilinmeyen problemler için ise bağıl hata ile gösterilmiştir.

Abstract:
In this study, numerical solutions of some partial differential equation systems using exponential cubic B-spline collocation method are investigated.  The systems are time-discretized using the Crank-Nicolson method. The nonlinear terms in the time-discretized form of the system are discretized by way of  the Taylor method. The application of the exponential B-spline collocation method  to the time-discretized system gives the fully-discretized systems which is an algebraic diagonal banded equation system. So an exponential cubic B-spline collocation algorithm is designed for numerical solutions of the system of partial differential equation.  Experimental accuracy of algorithm is discussed with comparing obtained solutions with the  solutions existing  in the literature.  Free parameter of exponential cubic B-spline functions is determined experimentally over the predefined interval to give best solution. Obtained solutions of physical models are shown when different initial conditions are applied, 
In the first chapter, the finite difference, the finite element methods, B-spline functions, exponential cubic B-spline collocation method, nonlinear evolution equations, conversation laws and soliton waves are described. In later chapters, the numerical solutions of nonlinear Schrödinger equation, reaction-diffusion equation system, coupled Burgers' equation and Boussinesq eqaution system are obtained. The accuracy of numerical method is shown with maximum error norm for when analytical solution is known and relative error norm for when analytical solution is unknown.