Cebirsel geometrik kodlar için özel durumdaki eğriler
Curves in special position for algebraic geometric codes
Yazar: NURSABAH DOĞAN
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ CELALETTİN KAYA
Çankırı Karatekin Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2020
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Devirli kodlar ve Cebirsel Geometrik kodlar (AG-kodlar), güçlü cebirsel yapılara sahip iki önemli kod ailesidir. Devirli kodların minimum uzaklıklarını belirlemek hem çok kolaydır ve hem de kod çözme algoritmalarının kompleksiteleri çok düşüktür. AG-kodlar ise, fonksiyon uzaylarının cebirsel eğriler üzerinde hesaplanmasıyla elde edilen lineer kodlar olduklarından, eğriler teorisi kullanılarak minimum uzaklıklar hakkında keskin tahminler yapılabilir ve geometrik yapılar sebebiyle de özel kod çözme algoritmalarına sahiptirler. Dolayısıyla, bir devirli kodu çalışırken, cebir ve lineer cebirin tüm teknikleri, bilhassa Vandermonde tipindeki matrislerin özellikleri; bir AG-kodu çalışırken ise, bu tekniklere ek olarak, cebirsel geometrinin çok iyi geliştirilmiş mekanizmaları , özellikle Riemann-Roch teoremi kullanılabilir. Ayrıca, her iki kod ailesinin de polinomlarla tarifi mümkün olduğundan, Gröbner baz teorisi her iki alanda da çok zengin uygulamalara sahiptir. AG-kod kavramı, Saints ve Heegard tarafından, çoklu boyutlu devirli kodlar , hiperbolik olarak basamaklanmış Reed-Solomon kodlarını , Reed-Muller ve AG-kodlarının tümünü kapsayacak biçimde genişletilmiştir. Böylece, hem çoklu boyutlu devirli kodlar ve hem de AG-kodlar için bir birleşik teori ortaya konulmuş ve bu birleşik teoriye göre bir kod çözme tekniği verilmiştir. Fakat bu birleşik teorinin bir AG-koduna uygulanabilmesi için kodun üzerinde tanımlı olduğu eğrinin, bir koordinat dönüşümüyle ''özel konuma '' getirilmesi gerekmektedir. ''Özel konumdaki eğrilerin '' önemi, bu eğriler için tüm hesaplamalar rasyonel fonksiyonlar yerine polinomlarla yapılabildiğinden, böylesi durumlarda Gröbner bazların kullanılmasının  mümkün hale gelmesinden kaynaklanmaktadır. Bu tezde, öncelikle, kodlama teorisi ile ilgili temel konulara değinilmiş, ardından AG-kodlar ile ilgili temel kavramlar özetlenmiştir. Daha sonra da'' AG-kodlar için özel durumdaki eğriler '' konusu işlenmiştir.

Abstract:
Cyclic codes and Algebraic Geometric Codes (AG-Codes) are two important code families having strong algebraic structures. It is very easy to determine the minimum distances of cyclic codes and also the complexity of their decoding algorithms are very low. AGcodes, since they are linear codes obtained by evaluating function spaces on curves, it is possible to make sharp estimates about their minimum distances by using the theory of curves. Also because of their geometric structures, AG-codes have special decoding algorithms. Therefore, when studying a cyclic code, all the techniques of algebra and linear algebra, especially the properties of matrices of Vandermonde type; when studying an AG-code, besides of these techniques, very well developed devices of algebraic geometry, especially Riemann-Roch theory can be used. Moreover, since it is possible to de ne both families of codes by polynomials, the theory of Gr bner basis have very rich applications in both areas. By Saints and Heegard, the notion of AG-codes has been extended to include multi-dimensional cyclic codes, hyperbolic cascaded Reed-Solomon codes, ReedMuller codes and all AG-codes. Thereby, for both multi-dimensional cyclic codes and AGcodes, a uni ed theory has been revealed and with respect to this uni ed theory, a decoding algorithm technique has been given. But to apply this uni ed theory to an AG-code, the curve on which this AG-code de ned must be put into special position by a coordinate transformation. The importance of the curves in special position comes from the fact that in these cases it is possible to use Gr bner bases, because for a curve in special position all the computations can be done by polynomials instead of rational functions. In this thesis, rst of all, the basic topics of coding theory are mentioned; then, the basic notions about AG-codes are summarized. Subsequently, the topic of curves in special position for AG-codes are treated.