Dijital görüntülerin genelleştirilmiş topolojik karmaşıklık sayısı
Higher topological complexity of digital images
Yazar: MELİH İS
Danışman: PROF. DR. İSMET KARACA
Ege Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Genelleştirilmiş topolojik karmaşıklık sayıları hesabının dijital görüntüler üzerinde tüm yönleriyle ele alınması ve topolojik uzaylarda önceden elde edilmiş sonuçların dijital zeminde benzer ve farklı yönlerinin ortaya konması bu tez çalışmasının temel konusunu oluşturmaktadır. İlk olarak, bir dijital görüntü için dijital topolojik karmaşıklık sayısı tanımlama problemi ele alınmıştır. Bu problemin çözümü için ilk etapta dijital yollar arasında bir yakınlık bağıntısı ortaya konmuştur. Böylece hareket planlama algoritmalarının dijital görüntüler üzerinde ne zaman dijital sürekli olabileceği hakkında kesin bir çıkarımda bulunulmuştur. Buna göre, uzayın dijital büzülebilir olması böyle bir hareket planlama algoritmasının her zaman var olduğunu söyler. Ayrıca dijital topolojik karmaşıklık sayısının homotopi teorisinde bir değişmez olduğu gösterilmiştir. Birçok farklı dijital görüntü ve bu görüntüler üzerinde farklı yakınlık bağıntıları seçilerek dijital topolojik karmaşıklık sayısında meydana gelen değişiklikler gözlemlenmiştir. Topolojik uzaylarda yer alan sonuçlara bir karşıt örnek olarak, kohomolojik kap-çarpım metodunun dijital görüntüler üzerinde işlemediği ispatlanmıştır. Daha sonra homotopi teorisinin fibrasyon, kofibrasyon ve Schwarz cins gibi temel kavramları dijital görüntüler üzerinde ele alınmıştır ve bunlar yardımıyla dijital topolojik karmaşıklık sayısının bir alternatif tanımı bir fibrasyonun dijital Schwarz cinsi üzerinden verilmiştir. Bu sonuç, ele alınan fibrasyonun yeniden yorumlanmasıyla dijital görüntüler için genelleştirilmiş topolojik karmaşıklık sayısının tanımlanmasına imkan vermiştir. Tanımlanan yeni kavramın da homotopi anlamında bir değişmez olduğu vurgulanmıştır. Dijital görüntüler için topolojik grup yapısı oluşturularak dijital genelleştirilmiş topolojik karmaşıklık sayıları için daha kolay bir hesaplama yöntemi dijital Lusternik-Schnirelmann kategorisi kavramı üzerinden sunulmuştur. Topolojik karmaşıklık hesaplamalarından bağımsız olarak, Dijital Topolojik Grup yapısına dair önemli bazı özellikler listelenmiştir. Dijital Topolojik Gruplar arasında homomorfizma ve izomorfizma tanımları verilmiştir. Devamında topolojik uzaylarda topolojik karmaşıklık hakkında var olan bazı sonuçların dijital görüntülerde ne ölçüde değiştiği açıkça ortaya konmuştur. Diğer bir deyişle, farklı tipte topolojik uzayların diskret yapılarının topolojik karmaşıklık hesabı, topolojik uzaylarda önceden verilen sonuçlarla kıyaslanabilir şekilde ifade edilmiştir. Bir örnek olarak, Farber'ın robot kolu üzerine verdiği topolojik karmaşıklık hesaplamaları dijital görüntüler üzerinde yeniden yorumlanmıştır. Daha sonra bir ve iki boyutlu dijital görüntülerde bazı sonlu dijital uzayların (genelleştirilmiş) topolojik karmaşıklık hesabına göre sınıflandırılmasına çalışılmıştır. Özellikle dijital basit kapalı eğrilerin genelleştirilmiş topolojik karmaşıklık sayıları, ele alınan yakınlık bağıntısına ve eğrilerin nokta sayısına göre kesin bir şekilde belirlenmiştir. Bu işlemler, özellikle dijital görüntüler üzerinde tanımlanan indirgenemezlik kavramının dijital büzülebilirlik ile olan ilişkisinden türetilmiştir. Dahası, tıpkı topolojik uzaylarda olduğu gibi, bir dijital görüntü için dijital topolojik karmaşıklık hesaplama problemi, dijital görüntüler arasında tanımlanan bir fonksiyon için dijital topolojik karmaşıklık hesaplama problemine genişletilmiştir. Bu problemde ele alınan fonksiyonlar dijital fibrasyonlardır ve böylece yeni problem hem dijital homotopik uzaklık hem de dijital Schwarz cins üzerinden incelenebilir durumdadır. Bir dönüşümün topolojik karmaşıklık hesabı, dijital görüntüler üzerinde antipodeyi koruyan dönüşüm veya izdüşüm dönüşümü gibi özel tipte fonksiyonlar seçilerek çeşitlendirilmiştir. Ek olarak, bir topolojik uzayın genelleştirilmiş topolojik karmaşıklığını hesaplama problemine en genel çözüm getiren bakış açısı ortaya konmuş ve bir fibrasyon için genelleştirilmiş topolojik karmaşıklık sayısı hesaplama yöntemi ortaya konmuştur. Bu bölümdeki sonuçlar, dijital görüntülerde yapılan çalışmalardan yola çıkılarak topolojik uzaylarda da sonuçlar elde edilebildiğini göstermesinden ötürü değerlidir. Bir fibrasyonun genelleştirilmiş topolojik karmaşıklığı tanımlaması esasında homotopik uzaklık ve Schwarz cins kavramları arasındaki ilişkiden ortaya çıkmıştır. Bu sebeple verilen birçok sonuçta bir fibrasyonun genelleştirilmiş topolojik karmaşıklığı, bir fibrasyonun topolojik karmaşıklığı veya bir topolojik uzayın (genelleştirilmiş) topolojik karmaşıklığı ile kıyaslanarak ortaya konmuştur. Son olarak, bu tez çalışmasında elde edilen sonuçlar ve ileride ele alınabilecek problemler genel bir fikir oluşturma anlamında tartışılmıştır.

Abstract:
The main subject of this thesis study is to deal with the calculation of higher topological complexity numbers in all aspects on digital images and reveal the similar and different aspects of the previously obtained results in topological spaces for the digital ground. First, the problem of defining the digital topological complexity number for a digital image is discussed. In order to solve this problem, in the first step, an adjacency relation between digital paths is revealed. Therefore, a definite inference is introduced about when motion planning algorithms can be digitally continuous on digital images. Accordingly, the digital contractibility of the image tells us that such a motion planning algorithm always exists. It is also shown that the digital topological complexity number is an invariant in homotopy theory. By choosing many different digital images and different adjacency relations on these images, changes in the number of digital topological complexity are observed. As a counterexample to results in topological spaces, it is proven that the cohomological cup-product method does not work on digital images. Later, the basic concepts of homotopy theory such as fibration, cofibration, and Schwarz genus are discussed on digital images and with the help of these, an alternative definition of the digital topological complexity number is given by the digital Schwarz genus of a fibration. This result allows the definition of the higher topological complexity number for digital images by reinterpreting the fibration under consideration. It is emphasized that the newly defined concept is an invariant in the sense of homotopy. An easier computation method for digital higher topological complexity numbers by constructing a topological group structure for digital images is presented via the concept digital Lusternik-Schnirelmann category. Regardless of the topological complexity computations, some important properties of the digital topological group structure are listed. The definitions of homomorphism and isomorphism are given among digital topological groups. Next, it is made clear to what extent some of the existing results about topological complexity in topological spaces change in digital images. In other words, the topological complexity computations of discrete structures of different types of topological spaces is expressed in a way that is comparable to the previously given results in topological spaces. As an example, Farber's topological complexity computations on the robot arm are reinterpreted on digital images. Afterwards, it is tried to classify some finite digital spaces according to the (higher) topological complexity computation in one and two dimensional digital images. In particular, the higher topological complexity numbers of digital simple closed curves are determined precisely according to the adjacency relation under consideration and the number of points of the curves. These are derived from the relationship between the concept of irreducibility, which is defined especially on digital images, and the digital contractibility. In addition, just as with topological spaces, the digital topological complexity computation problem for a digital image is extended to a digital topological complexity computation problem for a function defined between digital images. The functions discussed in this problem are digital fibrations, and thus the new problem can be studied in terms of both the digital homotopic distance and the digital Schwarz genus. The topological complexity computation of a map is diversified by choosing special types of maps such as the antipode-preserving maps or the projection map on digital images. Moreover, the point of view that provides the most general solution to the problem of calculating the higher topological complexity of a topological space and the method of calculating the higher topological complexity number for a fibration are presented. The results in this section are valuable because they show that it is possible to obtain results in topological spaces based on the studies done on digital images. The description of the higher topological complexity of a fibration originally arise from the relationship between concepts of the homotopic distance and the Schwarz genus. For this reason, in many results of this section, the higher topological complexity of a fibration is compared with the topological complexity of a fibration or the (higher) topological complexity of a topological space. Finally, the results obtained in this thesis study and problems that can be addressed in the future are discussed in terms of forming a general idea.