Değişmeli yarı grupların yapısı ve ideal teorisi
The structures of commutative semi groups and ideal theory
Yazar: MELİSA YANIK
Danışman: PROF. DR. BAYRAM ALİ ERSOY
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Yarı gruplar = Semigroups

Özet:
S boştan farklı bir küme ve "* " S üzerinde bir işlem olsun. S de "*" işlemine göre kapalılık ve birleşme özelliğini sağlayan (S, ∗) cebirsel yapısına yarı grup denir. Matematik tarihinde, yarı gruplar teorisi nispeten yenidir ve yirminci yüzyılın başlarında incelenmeye başlanmıştır. Günümüzde, yarı grup teorisi oldukça geniş bir konudur ve birçok alanda uygulaması bulunmaktadır. Bu teoriyi motive eden iki temel teori vardır: grup ve halkalar teorisi. Yarı grup terimi değişmeli çarpımsal yarı grup anlamında kullanılmıştır. Bu çalışmada yarı grubun ideal yapısı incelenmiştir.  Anderson ve Johnson tarafından, bir yarı gruptaki ideal I, S'nin boş olmayan bir I ⊆ S alt kümesi ve SI ⊆ I (ve dolayısıyla 1∈ S'den SI = I) şeklinde tanımlandı. Değişmeli halkadaki ideal teorisi üzerine birçok araştırmalar yapılmıştır. Yarı gruplardaki ideal teorisi ile halkalardaki ideal teorisi arasında birçok benzerlik vardır.

Tezin ilk bölümde yarı grup üzerinde literatür incelemesi yapılmıştır, yarı grubun tanımı ve bazı örnekleri, tez boyunca gerekli olan temel kavramlar ve teoremler verilmiştir. İkinci bölümde yarı grupta ideal yapısı ve temel idealler incelenmiştir. Üçüncü bölümde yarı grupta asal ideal ve asalımsı ideal, Noetherian yarı grup, yerelleştirme, homomorfizma, asalımsı ayrışım yapıları incelenmiştir. Dördüncü bölümde yarı grupta quasi asalımsı ideal incelenip, zayıf quasi -asalımsı ideal tanımlanmıştır. Aslında quasi asalımsı ideal aynı zamanda quasi idealin bir genellemesidir. Yarı grupta zayıf quasi -asalımsı ideallerin yapısı incelenmiştir ve örnekler verilmiştir.

Abstract:
Let S be a non-empty set and "*" be an operation on S. The algebraic structure (S, *) satisfying closed and associativity property with respect to the "*" operation in S is called a semigroup. In the history of mathematics, semigroups theory is a current topic and began to be studied in the early twentieth century. Nowadays, semigroup theory is a very broad subject and has applications in many fields. There are two main theory motivating this theory: group and ring theory. The term semigroup was used to mean commutative multiplicative semigroup. In this study, the ideal structure of the semigroup was examined. Anderson and Johnson defined semigroup as follows: S is a nonempty subset I ⊆ S with SI ⊆ I (and hence SI = I since 1∈ S). Many researches have been done on the theory of the ideal in a commutative ring. The semigroup ideal theory and the ring ideal theory have many similarities.

In the first chapter of the thesis, a literature review about the semigroup is given, the definition of the semigroup, some examples and the basic concepts and theorems required throughout the thesis are included. In the second chapter, the ideal structure and basic ideals in the semigroup are examined. In the third chapter, prime ideal and quasi prime ideal in the semigroup, Noetherian semigroup, localization, homomorphism, primary decomposition structures are examined. In the fourth chapter, the quasi prime ideal in the semigroup is examined and the weak quasi -primary ideal is defined. In fact, quasi-primary ideals is also a generalization of quasi ideals. The structure of weak quasi-primary ideals in the semi-group is examined and examples are given.