Değişmeli olmayan halkalarda S-idealler
S-ideals in noncommutative rings
Yazar: HATİCE ÇAY
Danışman: PROF. DR. BAYRAM ALİ ERSOY ; DR. ALAA ABOUHALAKA
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2024
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Asal halkalar = Prime rings ; Genelleştirilmiş halkalar = Generalized rings ; Matris halkaları = Matrix rings ; Polinom halkaları = Polynominal rings ; Sağ idealler = Right ideals ; Yarı asal halkalar = Semi-prime rings

Özet:
Cebirde, birçok yapının S versiyonu bu yapıların bir genellemesi olarak tanıtılmıştır. Cebirsel kavramların S versiyonu ilk olarak Anderson ve Dumitrescu [1] tarafından verilmiştir. Bu ünlü makalelerinde S-sonlu ideali şu şekilde tanımlamışlardır: R halka ve S, R de çarpımsal kapalı alt küme olsun. R nin sonlu üretilmiş bazı K idealleri ve S deki bazı s ∈ S için sJ ⊆ K ⊆ J ise R nin bir J ideali S-sonlu olarak adlandırılır. Ayrıca S-Noetherian halka kavramı da bu makalede tanıtılmıştır. Eğer bir halkanın her ideali S-sonlu ise, o halkaya S-Noetherian denir. Çalışmalarında birçok teorem ve sonucun S versiyonunu vermişlerdir. Daha sonra 2019 da Hamed ve Malek [2] asal ideallerin bir genellemesi olarak S-asal idealler kavramını tanımladı. R değişmeli üniter bir halka ve S, R nin çarpımsal olarak kapalı bir alt kümesi olsun. P, R nin S den ayrık bir ideali olsun. R deki tüm x, y ∈ R elemanları için xy ∈ P iken S de öyle bir s ∈ S elemanı vardır ki sx ∈ P veya sy ∈ P sağlanır. Bu durumda P ye S-asal ideal denir. Çok yakın zamanda Abouhalaka, [3] de S-prime idealleri kavramını S yi bir m-sistemi olarak ele alarak değişmeli olmayan halkalara genişletti. ([4] e göre, R nin bir ∅ ̸= S alt kümesi, eğer R de herhangi k, l ∈ S için kgl ∈ S olacak şekilde bir g ∈ R elemanı varsa S bir m-sistem olarak adlandırılır). Bu bağlamda, bir R halkasının bir m-sistemi S den ayrık olan bir P ideali, R nin tüm A, B idealleri için AB ⊆ P iken ya A⟨s⟩ ⊆ P ya da B⟨s⟩ ⊆ P ise, S deki bir s ∈ S elemanı ile ilişkili sağ S-asal ideal (kısaca sağ S-asal ideal) olarak adlandırılır (Tanım 2.2, [3]). Bu sağ S-asal idealler kavramı, değişmeli olmayan halkalardaki asal ideallerin genelleştirilmesi olarak da düşünülebilir. Buna ek olarak, [3] de S-asal idealler ile ilgili kapsamlı bir dizi özellik görüyoruz. Özellikle, Cohen Teoremi nin S versiyonu önemli bir buluştur. Bir R halkasının m-sisteminin çarpımsal olarak kapalı bir altkümeden daha genel olduğunu ve değişmeli olmayan halkalardaki asal ideallerle yakından ilişkili olduğunu hatırlatıyoruz. Dolayısıyla bu tezde ideallerin S versiyonları üzerinde çalışacağız ve birçok teoremin değişmeli olmayan halkalardaki davranışını araştıracağız. Bölüm 1 de temel tanım ve teoremleri vereceğiz. Bölüm 2 de değişmeli olmayan halkalarda S-maksimal ideal tanımı verilip S-asal idealle ilgili özel durumları incelenecektir. Ayrıca değişmeli halkalarda geçerli olan bazı özelliklerin değişmeli olmayan halkalar için de sağlandığı gösterilecektir. Bölüm 3 de sağ zayıf S-asal idealleri ve onların nil radikalle ilgili özelliklerini inceleyeceğiz. Ayrıca Noetherian halkaları sağ zayıf S-asal idealler yardımı ile karakterize edeceğiz. Öte yandan yarıasal ideallerin S versiyonunu tanımlayıp, zayıf versiyonlarını da çalışacağız. Yarıasal idealler ve yarıasal halkalar arasındaki ilişkiyi S versiyonları üzerinden inceleyeceğiz. Bölüm 4 de halkalar için büyük öneme sahip olan radikallerin özel radikal sınıflarını S versiyonları üzerinden inceleyip, asal (nil) radikalleri ile ilgili bazı özelliklerini vereceğiz. Bölüm 5 de özel radikal sınıflarının zayıf versiyonlarının S sınıfları çalışılacaktır. Bu ideallerle ili，skili olarak Artinian yerel halka ile ilgili özellikler elde edilecektir. Bölüm 6.1 de J (R) ideallerin S-asallık ve S-J -ideal olma durumları bazı özel koşullar altında incelenip bu durumun sağlanmadığı koşullar ters örnekle (Örnek 6.1.2) gösterilecektir. Tüm bölümlerde bu çalışmalarımızı destekleyen güçlü örnekler ve ters örnekler sunacağız. Bölüm 7 de pek çok açık problem 7.1.3.2 ve gelecek çalışmalar 7.1.3.1 verilerek alanda çalışma yapan araştırmacılara fikirler sunulacaktır.

Abstract:
In algebra, S version of many structures introduced as a generalization of them. The S version of algebraic concepts is firstly introduced by Anderson and Dumitrescu [1]. In their celebrated paper, they defined S-finite ideal as follows: Let R be a ring and S be a multiplicatively closed subset of R. An ideal J of R is called as S-finite if sJ ⊆ K ⊆ J for some finitely generated ideal K of R and some s ∈ S. Also they introduced the notion of S-Noetherian ring. If every ideal of a ring is S-finite, then the ring is called S-Noetherian. Furthermore they gave the S-version of many theorems and results in their work. Later in 2019, Hamed and Malek [2] defined the concept of S-prime ideals as a generalization of prime ideals. Let R be a commutative unitary ring and S be a multiplicatively closed subset of R. Let P be an ideal of R which is disjoint from S. P is called as an S-prime ideal if for all x, y ∈ R, while xy ∈ P then there exists an element s ∈ S such that sx ∈ P or sy ∈ P. Very recently, Abouhalaka, in [3], extended the concept of S-prime ideals to noncommutative ring by considering S as an m-system, (regarding [4], a subset ∅ ̸= S of R is referred to be as an m-system if there exists an element g ∈ R such that kgl ∈ S for any k, l ∈ S). In this context, an ideal P of a ring R, disjoint from an m-system S is called a right S-prime ideal associated with an element s ∈ S (briefly a right S-prime ideal), if for all ideals A, B of R with AB ⊆ P, either A⟨s⟩ ⊆ P or B⟨s⟩ ⊆ P (Definition 2.2 of [3]). This concept of right S-prime ideals is also can be considered as generalization of prime ideals in xiv noncommutative rings. In addition, in [3], we see an extensive array of properties in connection with S-prime ideals. Notably, the S-version of Cohen's Theorem. Recall that, an m-system of a ring R is more general then multiplicatively closed subset, and closely tied to prime ideals in noncommutative rings. Hence in this thesis we will study on S versions of ideals and investigate the behaviour of many theorems in noncommutative rings. In Section 1 we give the basic definitions and theorems. In Section 2, the definition of S-maximal ideal in non-commutative rings will be given and special cases related to S-maximal ideal will be analysed. It will also be shown that some properties valid for commutative rings also hold for non-commutative rings. In Section 3 we will study right weak S-prime ideals and their properties on the nil radical. We will also characterise Noetherian rings with the help of right weakly S-prime ideals. On the other hand, we will define the S-version of semiprime ideals and study their weakly versions. We will analyse the relation between semiprime ideals and semiprime rings via S-versions. In section 4 we will analyse the special radical classes of radicals, which are of great importance for rings, through their S versions and give some properties related to the prime (nil) radicals. In section 5 the S classes of weak versions of special radical classes are studied. In connection with these ideals, properties related to the Artinian local ring are obtained. In section 6.1, the S-primeness and S-J -ideality of J (R) ideals are studied under some special conditions, and the conditions under which this is not the case are shown by a counterexample (Example 6.1.2). In all sections we will present strong examples and counterexamples that support our work. In section 7, many open problems 7.1.3.2 and future work 7.1.3.1 will be given and ideas will be presented to researchers working in the field.