Karmaşık ağ topolojilerinde kuramoto modelinde senkronizasyonun incelenmesi
Observation of synchronization at kuramoto model complex network topolojies
Yazar: İREM ŞENYER
Danışman: DOÇ. DR. ZEHRA SARAÇ ; YRD. DOÇ. DR. RUKİYE UZUN
Bülent Ecevit Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Elektrik-Elektronik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2016
Konu: Elektrik ve Elektronik Mühendisliği = Electrical and Electronics Engineering
Dizin: Osilatörler = Oscillators

Özet:
Doğada, günlük hayatta ve birçok farklı bilim alanında sıkça karşılaşılan bir olgu olan senkronizasyon büyük önem arz etmektedir. Bilim adamları senkronizasyonun oluşumunu açıklayabilmek amacıyla birçok matematiksel yöntem geliştirmişlerdir. Bu yöntemlerden Kuramoto modeli en çok tercih edilen ve çalışmalarda sıklıkla kullanılan modeldir. 

Kuramoto modeli, fazları birbiriyle ilintili osilatörlerden meydana gelen çoklu bir sistem olarak tanımlanmaktadır. Böyle bir sistemde senkronizasyon, birbirleriyle bağlantılı olan osilatörler arasında oluşan bağlantı kuvvetinin büyüklüğüne göre şekillenmektedir. 

Bu tez çalışmasında öncelikle Kuramoto model eşitlikleri kullanılarak tanımlanan global ağ yapısındaki bir sistemin dinamikleri analiz edilmiştir. Sistem dinamiklerinden senkronizasyon durumu hakkında fikir edinebilmek için düzen parametresinin genlik değerinden ve osilatörlerin fazbilgisinden faydalanılmıştır.Bu doğrultudabağlantı kuvveti arttıkça senkronize davranışın oluştuğu ve sistemdeki her bir osilatörün fazının aynı değere kilitlendiği görülmüştür. Ancak sistemde senkronizasyonun oluşabilmesi için bağlantı kuvvetinin değerinin belirli bir değerden büyük olması gerektiği bunun yanı sıra ise belirli bir değerden de küçük olması gerektiği tespit edilmiştir. Osilatörler arasındaki bağlantı kuvvetinin kritik eşik kuvvetinden küçük olduğu sistemde ise senkronizasyonun oluşmadığı ve her bir osilatörün faz dağılımının farklı olduğu gözlenmiştir.

Global ağ yapısının gerçek sistemleri tam olarak yansıtmamasının tespitiyle farklı ağ modelleri önerilmiştir. Bu bağlamda tez kapsamında Küçük dünya (Small-World) ve ölçeksiz (Scale-free) ağ modelleri ve Kuramoto eşitlikleri kullanılarak tanımlanan sistemlerde senkronizasyon incelenmiştir. Küçük dünya ağı kullanılarak tanımlanan bir sistemde senkronizasyon performansının, osilatörler arasındaki bağlantı kuvvetine (K) ve ağ parametrelerine (ağdaki osilatörlerin bağlantı kurma olasılıkları (p) ve ortalama bağlantı derecesine (k))  bağlı olduğu tespit edilmiştir. Sistemde ağ parametrelerinin herhangi birindeki artışın senkronizasyonu arttırdığı görülmüştür. Buna karşın bağlantı kuvvetinin sistem senkronizasyonun da artırıcı bir etkisinin olması için belirli bir aralıkta olması gerektiği de ortaya konulmuştur. Bu aralığın dışındaki bağlantı kuvveti değerlerinde senkronizasyonda hızlı bir azalmanın olduğu görülmüştür. Öte yandan sistemdeki osilatör sayısının artmasının senkronizasyon üzerinde belirgin bir etkisinin olmadığı, sadece bağlantı kuvvetinin alt kritik eşik değerinin belirlenmesinde etkili olduğu saptanmıştır. 

Son olarak bu tez çalışmasında ölçeksiz (Scale free) ağ yapısıyla ile oluşturulan bir sistemin senkronizasyonu incelenmiştir. Sistemdeki osilatör sayısının artmasıyla birlikte senkronizasyonun daha kısa bir sürede meydana geldiği görülmüştür ayrıca kritik eşik değerinin osilatör sayısı arttıkça daha belirgin olduğu tespit edilmiştir. Bunun yanı sıra küçük dünya ağ modelinden farklı olarak ölçeksiz ağ ile tanımlanan sistemde ağ parametresinin (m: yeni eklenen düğüm tarafından oluşturulan bağlantı sayısı) senkronizasyon üzerinde baskın bir etkisinin olmadığı bulunmuştur.

Abstract:
Synchronization, which is a common phenomenon in many different field of science, nature and daily life, has great importance. Scientists have developed several mathematical methods in order to explain the formation of synchronization. The kuramoto model is the most preferred and frequently used model in studies of these methods.

Kuramoto model is defined as a multiple system that occur from oscillators' phases connected with each other. In such a system, synchronization is shaped according to the size of connection strength between oscillators connected with each other.

In this thesis, the dynamics of a system in the global network structure were primarily analyzed by using Kuramoto model equations. In order to get an idea about the synchronization status from system dynamics, the amplitude of order parameter and the phase of oscillators have been benefited. In this direction, it was observed that as the connection strength increases, as the synchronous behavior occurs and the phase of each oscillator is locked to the same value in the system. However, it has been found that the value of the connection strength should be greater than a certain value, as well as to be smaller than a specific value in order for synchronization to occur in a system. It was observed that the distribution of each oscillator is different and synchronization did not ocur when the connection strength between oscillators was smaller than critical threshold.

With the detection of  global network structure did not reflect the real systems, different network models have been proposed. In this context, in the scope of thesis, small-world and scale-free network models and in systems defined by using Kuramoto equations, synchronization were studied. It was determined that synchronization performance was dependent on the connection strength between oscillators (K) and network parameters (probabilities of the oscillators in the network setting up the connection (p) and average degree of connectivity (k)),in a system defined by using small-world network. An increase in any of  the network parameters has shown another increase in synchronization of a system. 

In contrast, the connection strength must be at a certain range for increasing synchronization of the systems. A rapid decrease in synchronization was observed at connection strength values outside of this range. On the other hand, increasing number of oscillators in the system did not have a significant effect on the synchronization, and it was only effective in determination of  lower critical threshold value of connection strength.

Finally, in this thesis, the synchronization of a system that was created with scale-free network structure was investigated. With the increasing number of oscillators in the system, it was observed that synchronization occurred in a shorter period, and also determined clearly the value of the critical threshold. In addition, it was found that network parameter (m: The number of connection that is created by new added node) had no dominant effect on synchronization in systems defined by scale-free network as distinct from small-world network.