Monodromi grupoidi ve katlı grupoidler
Monodromy groupoid and double groupoids
Yazar: SERAP DEMİR
Danışman: PROF. DR. OSMAN MUCUK
Erciyes Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2018
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
İki boyutlu grup olarak bilinen çapraz modül kavramı, topolojik uzayların ikinci homotopi sınıfının özelliklerinin araştırılması sırasında 1940'larda Whitehead tarafından tanımlanmıştır. Çapraz modüllerin kategorisine denk birçok kategori vardır. Bunlardan bazıları cat-1 grupları, grup-grupoidler ve katlı grupoidlerdir. Buradaki son denklik, uzayların temel gruplarını elde etmede kullanılan genelleştirilmiş Seifert Van-Kampen teoremin ispatı için önemlidir. Bu kategori denklikleri, bir kategorideki bazı cebirsel özelliklerin denk olan diger kategoride karakterizasyonuna imkan saglar.
Monodromi grupoid kavramı, Lie cebirden basit irtibatlı Lie grup elde etme üzerine olan sonuçtan hareketle Lie algebroidden Lie grupoid elde etme çalışmaları sırasında Pradines tarafından ortaya atılmıstır. Monodromi grupoidin bir inşası 1980'lerde Pradines tarafından Brown'a açıklanmıs ve Brown bu yapıyı daha kategorik biçimde bir ön baskıda yazmıştır. Monodromi grupoidin bir diger inşası Mackenzie tarafından 1987'de topolojik grupoidlerin demetlerinin evrensel örtülerinin ayrık birleşimi olarak verilmiştir. Daha sonra Mucuk 1993'te bu iki yapının demet topolojik grupoid olarak denk oldugunu ispatlamış ve Pradines tarafından tanımlanan, Aof-Brown tarafından geliştirilen holonomy grupoidini kullanarak monodromi grupoidinin topolojik tarafını çalışmıştır. Monodromi grupoid, temel grupoid ve evrensel örtü yapılarından daha geneldir.
Diger yandan basit irtibatlı topolojik gruplar üzerindeki yerel morfizmi, topolojik grup morfizmine genişletmekle ilgili olan ve ilk olarak Chavalley tarafından tanımlanan monodromi prensibi Mucuk tarafından topolojik grupoid yapısına genişletilmiştir.
Bu tezde grupoidler üzerindeki çapraz modüllerin normallik ve bölümü tanımlanmış
ve katlı grupoidlerde karşılık gelen kavramlar karakterize edilmiştir. Bunlara ek olarak monodromi grup-grupoidlerin topolojik yapısı geliştirilmiştir. Son olarak monodromi grupoidler ile katlı grupoidlerin ilişkisi araştırılmıştır.
Bu tez beş bölümden oluşmaktadır : Birinci bölümde tezde kullanılacak temel kavram ve sonuçlar açıklanmıştır. İkinci bölümde, grupoid üzerinde normal çapraz modül ve bölüm çapraz modülü tanımlanmış, katlı grupoidlerde karşılık gelen objeler karakterize edilmiştir. Üçüncü bölümde, demet topolojik grup-grupoidlerin monodromi grupoidi ile ilgili bazı sonuçlar elde edilmiş, monodromi grup-grupoid topolojik açıdan analiz edilmiş ve güçlü monodromi prensibi geliştirilmiştir. Son bölümde, elde edilen sonuçlar karsşılaşstırılmışs ve tartısşılmısştır.

Anahtar Kelimeler: Bölüm ve normal çapraz modül, Katlı grupoid, Monodromi grupoidi, Grup-grupoid, Holonomi grupoidi, Evrensel örtü.

Abstract:
The concept of crossed module over groups which can be viewed as a 2-dimensional
group was introduced by Whitehead in 1940s in the investigation of the properties
of second relative homotopy groups for topological spaces. There are a number of
categories which are equivalent to the category of crossed modules, namely; cat-1
groups, group-groupoids and double groupoids. The last equivalence is important
in the proof of generalized Seifert Van-Kampen theorem to obtain the fundamental
group of a space. These categorical equivalences enable to characterize some
algebraic structures in the corresponding categories.
The notion of monodromy groupoid introduced by Pradines during the studies on
the construction of a Lie groupoid from a Lie algebroid associated with a result on
obtaining a simply connected Lie group from a Lie algebra. A construction of the
monodromy groupoid was explained to Brown by Pradines in 1980s and the former
wrote the construction in a more categorical way in a preprint. Other construction
of the monodromy groupoid was given by Mackenzie in 1987 as a disjoint union
of universal covers of stars for topological groupoids. Then in 1993 Mucuk proved
the equivalence of these two structures as star topological groupoids and studied on
the topological aspect of the monodromy groupoid based on holonomy groupoid
defined by Pradines and developed by Aof-Brown. Monodromy groupoid is more
general than both the structures of fundamental groupoid and universal cover.
On the other hand the monodromy principle enounced by Chavalley as related to the extending a local morphism on simply connected topological group to a morphism of topological groups was extended to topological groupoids by Mucuk.
In this thesis the normal and quotient crossed modules over groupoids are
defined and then the associated notions in double groupoids are characterized.
Moreover topological aspect of monodromy group-groupoids are developed. Finally
viii
the categorical relation between monodromy groupoids and topological double
groupoids are established.
This thesis consists of five chapters: In the first chapter, the basic concepts and results
used in the thesis are explained. In the second chapter, normal subcrossed modules
and quotient crossed module over groupoids are defined, and the corresponding
objects in double groupoids are characterized. In the third chapter, some
results on star topological group-groupoid structure of monodromy groupoid are
obtained, topological aspect of monodromy group-groupoid is analyzed and strong
monodromy principle is developed. In the final chapter, the obtained results will be
compared and discussed.

Key Words: Quotient and normal crossed module, Double groupoids, Monodromy
groupoid, Group-groupoid, Holonomy groupoid, Universal covering.