Ayrık kesirli Fourier ve doğrusal kanonik dönüşümlerin özanalizi
Eigenanalysis of the fractional Fourier and linear canonical transforms
Yazar: AHMET SERBES
Danışman: YRD. DOÇ. DR. LÜTFİYE DURAK ATA
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Haberleşme Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2011
Konu: Elektrik ve Elektronik Mühendisliği = Electrical and Electronics Engineering
Dizin: Özvektör = Eigenvector

Özet:
Fourier dönüşümünün genelleştirilmiş hali olan kesirli Fourier dönüşümü, özellikle son yıllarda, bir çok alanda kullanılmaya başlanan güçlü bir dönüşümdür ve Fourier dönüşümünün kullanıldığı bütün alanlarda kullanılma potansiyeli bulunmaktadır. Sayısal dünyanın, analoğun yerini almasıyla birlikte Fourier dönüşümününün kullanımı hemen her zaman ayrık Fourier dönüşümü ile yapılmaktadır. Ayrık Fourier dönüşümü bu kadar önemliyken, ayrık kesirli Fourier dönüşümü yeterince incelenmemiştir. Bu tezin önemli bir bölümünde ayrık kesirli Fourier dönüşümünün yeni tanımlamaları üzerinde çalışılmıştır.Bu tezde üç değişik ayrık kesirli Fourier dönüşümü tanımlaması yapılmıştır. Bunun yanında bir uygulama olarak, durağan olmayan işaretin eksik kısımlarını ardışıl izdüşümler tekniğiyle geri elde nasıl geri elde edileceği tanıtılmıştır. Son olarak da hem Fourier dönüşümünün, hem kesirli Fourier dönüşümünün, hem de diğer bir takım dönüşümlerin genelleştirilmiş hali olan doğrusal kanonik dönüşümün özfonksiyonları ve bunları üreten diferansiyel denklemler verilmektedir.Ayrık kesirli Fourier dönüşümünün ilk tanımında sadece merkezi ayrık Fourier dönüşümü ve onun katları kullanılarak ayrık Fourier dönüşümünün özvektörleri bulunmuş ve uygun özdeğerler seçilerek ayrık kesirli Fourier dönüşüm matrisi oluşturulmuştur. Daha sonra da bulunan özvektörler uygun şekilde kullanılarak ayrık Fourier dönüşümüyle sırabağımsız bir matris bulunarak, literatürdeki diğer sırabağımsız matrislerle doğrusal kombinasyonu alınmış ve Hermite-Gauss fonksiyonlarının örneklerine daha yakın özvektörler bulunmuştur. Elde edilen ayrık kesirli Fourier dönüşüm matrisinin zaman-frekans bölgesinde döndürme özelliği dahil bir çok özelliği test edilmiştir. Bilgisayar benzetimleriyle Hermite-Gauss fonksiyonlarının örneklerine ne kadar yaklaştığı, diğer yöntemlerle de karşılaştırılarak gösterilmiştir.İkinci tanımlamada ise çift-doğrusal dönüşümün türeve olan yaklaşıklığından esinlenilmiş ve Hermite-Gauss üreten ikinci dereceden diferansiyel denklem ayrıklaştırılarak ayrık Fourier dönüşümünün özvektörleri bulunmuştur. Bu yaklaşıklığın kararlılık analizi yapılmış, önce daha kararlı, sonra da hem kararlı hem de daha iyi bir yaklaşıklık tanıtılmıştır. Son olarak da yüksek dereceden çift-doğrusal türev matrisleri kullanılarak ayrık Fourier dönüşümüyle sırabağımsız matris elde edilmiştir.Üçüncü ve son ayrık kesirli Fourier dönüşümü tanımlamasında önce ikinci türev operatörüne sonsuz dereceden Taylor yaklaşıklığı bulunmuştur. Daha sonra da bu türev matrisi kullanılarak Hermite-Gauss üreten diferansiyel denklemde yerine konularak ayrık Fourier dönüşümüyle sırabağımsız bir matris elde edilmiştir. Benzetim sonuçları bu yöntemin literatürdeki bütün diğer yöntemlerden daha iyi sonuç verdiği gösterilmiştir.Bir uygulama olarak da ardışıl izdüşümler tekniği kullanılarak, kesirli Fourier bölgesinde, durağan olmayan işaretlerin eksik kısımları geri elde edilmiştir. Önce, işaretlerin optimum kesirli geri elde edim bölgesi kestirilmiş, daha sonra da bu bölgede geri elde edim yapılmıştır. Bilgisayar benzetimleri sonucunda önerilen yöntemin geleneksel yöntemlere oranla çok daha başarılı olduğu görülmüştür.Son olarak da doğrusal kanonik dönüşümün özfonksiyonları bulunmuş, bu özfonksiyonları üreten diferansiyel denklemler tanıtılmıştır.

Abstract:
The fractional Fourier transform has been a very popular tool, especially in the last few years. The fractional Fourier transform, which is the generalized form of the Fourier transform, has the potential of usage areas where the Fourier transform is being used. As the digital world takes the place of the analog, only the discrete Fourier transform is employed in practice. Despite the fact that the discrete Fourier transform is such important, the discrete fractional Fourier transform, which is the generalized form of the discrete Fourier transform, is under-investigated. An important fraction of this thesis investigates the discrete fractional Fourier transform.In this thesis, we propose three different discrete fractional Fourier definitions. Besides, as an application, we present a restoration scheme in the optimum fractional Fourier domains. We then study the linear canonical transform, which is the generalized form of the Fourier, the fractional Fourier and some other transforms. We find eigenfunctions of the linear canonical transform and present their generating differential equations.In the first definition of the fractional Fourier transform, we obtain the Hermite-Gaussian-like eigenvectors of the discrete Fourier transform by using only the centered Fourier transform and its powers. By appropriately combining the eigenvectors with their corresponding eigenvalues, we obtain the discrete fractional Fourier transform matrix. Thereafter, we build a matrix that commutes with the discrete Fourier transform. Then, we obtain a better commuting matrix after taking the linear combination of the other commuting matrices with our proposed one. We have tested our proposed matrices, by means of the properties of the continuous fractional Fourier transform including the time-frequency rotation property. We have also compared the proposed eigenvectors with the samples of the Hermite-Gaussian functions.In the second definition, we discreticize a second-order differential equation that generates the Hermite-Gaussian functions, inspired by the bilinear transform. We replace a bilinear transform inspired discrete derivative matrix as substitute for the second derivative in the differential equation and obtain a matrix commuting with the discrete Fourier matrix. Thereafter, we find eigenvectors of the discrete Fourier transform. We make the stability analysis of the proposed method and find a more stable and a better approach that generates better eigenvectors. We also represent higher order bilinear differentiation matrix, and obtain more accurate eigenvectors.The third and the last definition is based on the discrete, infinite-order Taylor approximation to the second derivative. By appropriately substituting this approximation for the second-derivative operator in the Hermite-Gaussian generating differential equation, we obtain an excellent discrete Fourier transform commuting matrix. The simulation results show that this approach is the best approach, compared to the others done before.As an application, we present a signal reconstruction scheme based on the alternating projections algorithm. We recover missing parts of non-stationary signals in the fractional Fourier domain, after estimating its optimum fractional Fourier domain. Computer simulations show that the proposed method overperforms traditional alternating projections methods in the conventional Fourier domain.In the last, we find eigenfunctions of the linear canonical transform and their generating differential equations.