İki değişkenli kısmi integro diferansiyel denklemlerin hermite polinomlarına dayalı nümerik çözümleri ve uygulamaları
Numerical solutions based on hermite polynomials of partial integro differential equations with two independent variables and their applications
Yazar: ELİF YALÇIN
Danışman: PROF. DR. MEHMET SEZER
Manisa Celal Bayar Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2019
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu çalışmada, kısmi diferansiyel denklemler, bir boyutlu parabolik konveksiyon-difüzyon problemleri, iki boyutlu integral denklemleri, iki boyutlu kısmi integro diferansiyel denklemler, bir boyutlu gecikmeli parabolik Volterra kısmi integro-diferansiyel denklemler ve bir boyutlu doğrusal olmayan kısmi integro-diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümleri için Hermite sıralama metodu geliştirilmiştir. Hermite sıralama metodu, Hermite polinomlarının matris formlarını kullanarak, ele alınan denklemde ve koşullarda her bir teriminin matris formunda yazımını sağlayarak, denklemi ve koşulları matris formuna dönüştürür. Sıralama noktalarının denklemde ve koşullarda kullanılmasıyla, Hermite katsayılarına sahip cebirsel denklemler sistemine indirgenir. Bu denklem sisteminin çözülmesiyle, Hermite polinom çözümleri elde edilmektedir. 

Çalışmada, her bir denklem tipine ait örnekler ele alınarak, yöntemin doğruluğu ve etkinliği incelenmiştir. Örneklere ait Hermite polinom çözümleri ile tam çözümler tablo ve şekiller aracılığıyla karşılaştırılmıştır. Ayrıca mutlak hata fonksiyonu ve rezidüel hata fonksiyonu tablo ve şekiller yardımıyla karşılaştırılarak yöntemin doğruluğu test edilmiştir. 

Çalışmada ele alınan problemlerin çözümü ve analizi için MATLAB programında geliştirilen kodlar kullanılmıştır. Hermite sıralama metodunun kolay programlanabilen, hızlı ve güvenilir sonuçlar vermesi yöntemin en büyük avantajlarındandır.

Abstract:
In this study, Hermite collocation method is developed for approximate solution of partial differential equations, one dimensional parabolic convection-diffusion problems, two-dimensional integral equations, two-dimensional partial integro differential equations, one-dimensional delayed parabolic Volterra partial integro-differential equations and one-dimensional nonlinear partial integro-differential equations. The Hermite collocation method, using the matrix forms of the Hermite polynomials, provides the matrix form of each term in the equation and conditions under consideration and transforms the equation and conditions into a matrix form. The method reduces the solution of the given problem to the solution of a matrix equation corresponding to algebraic equations system with unknown Hermite coefficients. By solving this system of equations, Hermite polynomial solutions are obtained.

In study, the method has been applied to examples of each type of equations in order to reveal to the correctness and validity of it. Absolute solutions have been compared to Hermite polynomial solutions through tables and figures. Also, the absolute error function and the residual error function have been tested by comparing with the help of tables and figures.

The codes developed in MATLAB program have been used for the solution and analysis of the problems discussed in the study. Hermite collocation method is easy to program, gives fast and reliable results. This is also the biggest advantages of the proposed method.