Birimli halka üzerinde asal ideal ve asal alt modül yardımıyla halka ve modül karakterizasyonu
The characterization of ring and module through prime ideal and prime submodule over a ring with unity
Yazar: ORTAÇ ÖNEŞ
Danışman: PROF. DR. MUSTAFA ALKAN
Akdeniz Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2017
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezin amacı, asal idealler ile asal alt modüllerin ve bunlar yardımıyla tanımlanan bazı kavramların, modül ve halka karakterizasyonlarının belirlenmesinde nasıl kullanılabileceklerini ve bilinen modül sınıfları ile olan ilişkilerini araştırmaktır.
Bu tez dört bölümden oluşmaktadır.
Birinci bölümde, cebirin ve tezde kullanılan kavramların tarihsel süreci ve neden bu konuda çalışıldığı açıklanmıştır.
İkinci bölümde, tez boyunca kullanılan halka ve modül teorisine ilişkin çalışmamızın sonraki bölümünde kullanılacak olan temel bilgiler ve önemli sonuçlar verilmiştir. İkinci bölümden sonraki bölüm tamamen özgün çalışmalardan oluşmaktadır.
Üçüncü bölümde, radikal formül başlığı altında, değişmesiz halka üzerinde radikal formülü sağlayan bazı sol modül sınıfları bulunmuş ve belli bir koşul altında Dedekind bölgesinin genellemesi olan HNP-halkası üzerinde sonlu üretilmiş bir modülün hem radikal formülü sağladığı hem de bu modülün CS-modül ile burulmalı modülün direkt toplamı şeklinde ifade edilebildiği gösterilmiştir. Sol O-asal ideal başlığı altında, değişmesiz halka teorisinde asal ideal kavramının bir genellemesi olan sol O-asal ideal üzerine odaklanılmıştır. Sol O-asal ideal sınıfının bazı temel özellikleri verilmiş, bu ideal sınıfı ile değişmeli halka teorisindeki karşılığı arasındaki farklılıklara ve benzerliklere dikkat çekilmiştir. Sonuç olarak sol O-asal idealler için Cohen teoreminin değişmesiz halka teorisindeki bir genellemesi verilmiş ve sol O-radikal idealler üzerinde artan zincir koşulunu sağlayan R halkasındaki sol idealin, R'nin sonlu tane sol O-asal idealinin kesişimi olduğu gösterilmiştir. O-asal alt modül başlığı altında, sol O-asal idealin modül versiyonu ve asal alt modülün bir genellemesi olan O-asal alt modül kavramı tanıtılmıştır. Literatürden iyi bilindiği gibi, M modülünün P alt modülü asal alt modül iken (P:M)'nin R halkasının asal ideali olması özelliği modül teoride önemli bir yer tutar. Fakat bunun tersi genelde doğru değildir. Bu tezde O-asal alt modüller için bu gerektirmenin tersinin de doğru olduğu bir özellik verilmiştir. Aynı zamanda modülün güçlü nilpotent elemanları ile tüm O-asal alt modüllerinin kesişimi arasındaki ilişkiler incelenmiştir. İdeallerle ilişkili Zariski alt uzay topolojileri başlığı altında, değişmeli R halkasının I ideali ile ilişkili olan tümleyen Zariski topolojisi X_{I} tanımlanmış ve bu topolojinin yarı-kompakt veya Noetherian olması için bazı gerekli ve yeterli cebirsel koşullar elde edilmiştir. Radikal idealin bir genellemesi olan, I idealini kapsamayan fakat 0 idealini kapsayan ideallerin kesişimi olarak tanımlanan N_{I}(0) idealinin asallığı ile X_{I} topolojisinin indirgenemezliğinin denk olduğu gösterilmiştir. Hem Zariski topolojisinin alt uzayları hem de halkalar için bazı karakterizasyonlar elde etmemize yardımcı olan cebirsel ve topolojik özellikler bulmak için halkanın idealleri ile tümleyen Zariski topolojileri arasındaki ilişkiler incelenmiştir. Sonuç olarak Zariski topolojisinin sonlu tane indirgenemez açık alt kümelerinin birleşimi biçiminde ifade edilmesiyle N_{I_{i}}(0)'ın, R'nin asal ideali ve R halkasının bazı I_{i} ideallerinin sonlu bir toplamı şeklinde yazılabilmesinin denk olduğu gösterilmiştir. Modül üzerinde bazı topolojilerin yapısı başlığı altında, değişmeli halka üzerinde M modülünün bölüm modülü üzerinde dual Zariski topolojisi kullanılarak M modülü üzerinde bazı topolojiler ve bu topolojiler arasında sürekli bir fonksiyon tanımlanmıştır. M'nin bölüm modülü üzerinde dual Zariski topolojisine homeomorf olan M üzerinde bir topoloji bulunmuştur.
Dördüncü bölümde, bu çalışmanın sonuçları özetlenmiş, literatürdeki yeri vurgulanmış ve ileride çalışılması düşünülen konular belirtilmiştir.

Abstract:
The aim of this thesis is to investigate how the notion of prime ideals and submodules and some other notions defined with the help of prime ideals and submodules are used to determine characterizations of rings and modules and to figure out the relationships between these notions and some known module classes.
This thesis consists of four chapters.
In the first chapter, we briefly mention the historical process of algebra and notations used in this thesis and express why we study these topics.
In the second chapter, we give the definitions and important results of some concepts with respect to ring and module theory used in other chapter. The following chapter completely consists of original studies.
In the third chapter, under the title of radical formula, we find some classes of left modules which satisfy the radical formula in a noncommutative ring. We also prove that under a certain condition, a finitely generated module over an HNP-ring, which is the generalization of Dedekind domain, both satisfies the radical formula and can be decomposed into a direct sum of torsion module and CS-module. Under the title of left O-prime ideal, we focus on a one-sided generalization of the concept of prime ideal in a noncommutative ring, which is called a left O-prime ideal. Some of its basic properties are investigated, pointing out both similarities and differences between left O-prime ideals and their commutative counterparts. Mainly, we prove a noncommutative generalization of Cohen's Theorem for left O-prime ideals and that any left  ideal in R is the intersection of a finite number of left O-prime ideals of a noncommutative ring R satisfying the ascending chain condition on left O-radical ideals. The section under the title of O-prime submodules is mainly devoted to O-prime submodules, which are not only the module version of left O-prime ideal but also a generalization of prime submodules, and the examination of how the O-prime submodules control the structure of modules. As is well-known, the property that when a submodule P becomes prime in case (P:M) is prime ideal, which is known not to hold in general, is of central importance in the module theory . In this thesis, it is proved that a similar property to the above holds for O-prime submodules. We also investigate the relationships between the intersection of all O-prime submodules and strongly nilpotent elements of a module. Under the title of Zariski subspace topologies associated with ideals, we introduce a complement Zariski topology X_{I} associated with an ideal I of a commutative ring R and obtain some necessary and sufficient algebraic conditions for X_{I} to be quasi-compact space or Noetherian. We also define an ideal N_{I}(0), which is a generalization of radical ideal, to help us find a connection between irreducibility of X_{I} and the primeness of N_{I}(0). Furthermore, we are interested in the relationships between the complement Zariski topologies and ideals of a ring in order to find some algebraic and topological tools which allow us to get some characterizations for both rings and subspaces of Zariski topologies. We show that the Zariski topology is the finite union of irreducible open subsets if and only if the ring R is the sum of some ideals I_{i} and N_{I_{i}}(0) is prime ideal of R. Under the title of the structure of some topologies on a module, we construct some topologies on a module M by using the dual Zariski topology and define a continuous map between these topologies. Then we find a topology on M which is homeomorphic to the dual Zariski topology on a quotient module of M.
In the fourth chapter, we summarize the results of this thesis, emphasize its significance in the literature and indicate the subjects thought to be studied after this thesis.