Yüksek mertebeden süreksiz katsayılı adi lineer diferensiyel denklemlerin spektral özellikleri
Spectral properties of higher order linear differential equations with discontionuous coefficients
Yazar: DÖNDÜ NURTEN ERNAZ
Danışman: PROF. DR. ANAR ADİLOĞLU
Cumhuriyet Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2017
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Diferansiyel operatörlerin spektral teorisi matematiksel fiziğin çeşitli problemlerinin Fourier , Fourier-Birkhoff ve  Laplace metodları gibi değişik yöntemlerle çözülmesinde önemli role sahiptir. Diferansiyel operatörlerin spektral teorisi XX. yüzyılın ilk yarısından itibaren Birkhoff, Weyl, Hilbert, Neumann, Steklov, Tamarkin gibi ünlü matematikçilerin çalışmaları hızla gelişmeye başladı. Diferansiyel operatörlerin spektral teorisinin temel problemleri arasında spektrumun incelenmesi ve verilen fonksiyonun diferansiyel operatörün özfonksiyonları cinsinden seriye açılması gibi fizik ve mekanik alanlarında uygulamaları açısından da öneme sahip olan problemler yer almaktadır. Biz bu tezde süreksiz katsayılı yüksek mertebeden adi lineer diferansiyel denklemin ürettiği sınır değer probleminin spektral özelliklerini incelemekteyiz. Tezin ilk bölümünde yüksek mertebeden adi lineer diferansiyel denklemler ile ilgili spektral teorideki klasik gelişmelerden ve temel kavramlardan bahsedilmiştir. Tezin ikinci bölümünde katsayıları kompleks parametreye polinomsal bağlı yüksek mertebeden lineer diferansiyel denklem ve spektral parametreye polinomsal bağlı sınır koşullarından oluşan ve homojen olmayan sınır değer probleminin çözümü Green fonksiyonu yardımıyla ifade edilmiş, homojen denklemin temel çözümler sistemi için asimptotik ifadeler, aynı zamanda Green fonksiyonunun paydasının spektral parametrenin modülce büyük değerleri için asimptotik ifadeleri elde edilmiştir. Daha sonra bazı regülerlik koşullarının sağlanması durumunda ilgili homojen sınır değer probleminin özdeğerlerinin sayılabilir olduğu gösterilmiş ve bu özdeğerler için karmaşık düzlemin ilgili dilimlerinde asimptotik ifadelere ulaşılmıştır. Tezin üçüncü bölümünde süreksiz katsayılı  yüksek mertebeden homojen lineer diferansiyel denklemin temel çözümlerinin asimptotik formülleri bulunmuş ve 

(d^n y^((i) ))/〖dx〗^n +p_1^((i) ) (x)  (d^(n-1) y^((i) ))/〖dx〗^(n-1) +⋯+p_n^((i) ) (x) y^((i) )-λ^n y^((i) )=f_i (x),                        (1)
a_i

Abstract:
The spectral theory of differential operators has an important role in solving different problems of mathematical physics by using  classical methods as the Fourier method, the Fourier-Birkhoff method and the  Laplace transform method .    From the first half of the XX century spectral the theory of operators rapidly began to develop with the works of such famous mathematicians as Birkhoff ,Weyl, Hilbert, Neumann,Steklov.   In the spectral theory of differential operators, such problems as an examination of the spectrum and the series expansions of a given function according to the eigenfunctions of differential operators are important problems with applications in the fields of physics and mechanics. In this thesis we investigate  in a finite interval the spectral properties of the boundary value problem  generated by higher order linear differential equations with piece-wise continuous coefficients In the first chapter we discuss the classical  developments in the spectral theory and the basic notations. In the second chapter with help of the Green function we express the solution of the inhomogeneous boundary value problem generated in a finite interval by high order linear differential equation with coefficients depending polynomial on the complex parameter and  boundary conditions also polynomial depending on the spectral parameter. We also obtain the asymptotic formulas for the fundamental system of solutions of the homogenous equation and for the denominator of the Green function with large values in module of the parameter.  Then under some regularity conditions we show the existence of countable number of eigenvalues of the related homogenous problem and we reach the asymptotic formulas for the eigenvalues in suitable sectors of the complex plane. In the third section of the thesis we obtain the asymptotic formulas for the fundamental system of solutions of the homogenous high order linear differential equation with discontinuous coefficients and we get the solution of the spectral problem 

(d^n y^((i) ))/〖dx〗^n +p_1^((i) ) (x)  (d^(n-1) y^((i) ))/〖dx〗^(n-1) +⋯+p_n^((i) ) (x) y^((i) )-λ^n y^((i) )=f_i (x),                        (1)
a_i