Modifiye edilmiş çiftli alt denklem metodunun kısmi diferensiyel denklemlere uygulamaları
Applications of modified double sub-equation method to partial differential equations
Yazar: SEMİH KORKMAZ
Danışman: DOÇ. DR. ÖMER ÜNSAL
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Kısmi diferensiyel denklemler = Partial differential equations ; Tam çözüm = Exact solution

Özet:
Literatürde, yakın zamanda yapılan çalışmalar incelendiğinde, lineer olmayan oluşum denklemlerinin dalga yapılarını ihtiva eden çalışmaların oldukça popüler olduğu gözlenmektedir. Bu çalışmalardaki temel amaç hareketli dalga çözümlerinin bulunması ve bu çözümlerin analiz edilmesidir. Bu amaca hizmet etmek için çeşitli metotlar geliştirilmiştir.

Bu yüksek lisans tezinde, diğer dalgalardan hem hız hem de şekil açısından ayrışan, trigonometrik ve üstel fonksiyonların bir kombinasyonu olan kompleksiton dalgalar üzerine çalışma yapılmıştır. Kompleksiton dalgalar iki farklı fonksiyonu ihtiva etmeleri sebebiyle yapısal olarak farklıdırlar ve bundan ötürü her denkleme çözüm olarak elde edilemezler. Bu sebeple kompleksiton çözüm veren tam çözüm metotlarının geliştirilmesi oldukça zordur.	
Tez kapsamında ilk olarak kompleksiton dalga çözümlerine ulaşmamızı sağlayan metotların anlaşılması amacıyla dalga çözümleri, homojen denge prensibi, bilineer türevler ve oluşum denklemlerinden kısa bir şekilde bahsedilmiştir.
 
Bir sonraki bölümde, tezin ana konusu olan modifiye edilmiş çiftli alt denklem metodu ve genişletilmiş dönüştürülmüş rasyonel fonksiyon metodu ayrıntılı bir şekilde tanıtılmıştır. Bu metotlar kullanılarak iki farklı 4.mertebeden (2+1) boyutlu lineer olmayan oluşum denklemlerinin kompleksiton çözümlerine ulaşılmıştır. Bunlara ek olarak, bulunan çözümler bilgisayar yardımıyla görselleştirilmiş ve böylelikle okuyucular tarafından anlaşılmasının kolaylaştırılması hedeflenmiştir.

Son olarak sonuçlar paylaşılmış ve ileride bu konu ile ilgili yapılabilecek çalışmalar için öneriler sunulmuştur.

Abstract:
In the literature, when recent studies are examined, it is observed that studies contain the wave structures of nonlinear evolution equations are very popular. The main purpose of these studies is to find and analyze traveling wave solution. Various methods have been developed for this purpose.

In this master's thesis, complexiton waves which differ from other waves in terms of both velocity and shape, and are combination of trigonometric and exponential functions, were studied. Since complexiton wave contains two different functions, it is structurally different. Therefore it may not be admitted by any evolution equation as a solution. For this reason, it is very difficult to develop exact solution methods that give complexiton solutions.

Within the scope of the thesis, at first, wave solutions, homogeneous balance principle, bilinear derivatives and evolution equations were briefly mentioned in order to understand the methods that enable us to reach complexiton wave solutions.

In the next section, the modified double sub-equation method and the extended transformed rational function method, which are the main subjects of thesis, were introduced in detail. By using these methods, complexiton solutions of two different nonlinear evolution equations, which are fourth order and (2+1) dimensional, were derived. In addition, the solutions found were visualized with the help of computer for the purpose of being understood easily by readers.

Finally, the results were presented and suggestions were shared for studies that can be made on this subject in the future.