Diferansiyel denklemlerin çözümlerinin varlığı ve tekliği ile ilgili teoremler
Theorems about existence and uniqueness of solutions to differential equations
Yazar: OKAN DUMAN
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ SERKAN İLTER ; DOÇ. DR. HÜLYA DURU
İstanbul Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2019
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Başlangıç değer problemleri = Initial value problems ; Cauchy problemi = Caucht problem ; Diferensiyel denklemler = Differential equations ; Doğrusal olmayan diferensiyel denklemler = Nonlinear differential equations

Özet:
Bu tez çalışmasında, sağ-tarafı süreksiz adi diferansiyel denklem sistemi için Cauchy
problemi ile ilgilenilmektedir. Bu problemin genelleştirilmiş anlamda çözümünün varlık
ve tekliği ile ilgili teoremler ifade edilerek ispatlanmaktadır. Özel olarak Lipschitz
koşulunu sağlayan çözümün varlık ve tekliği araştırılmaktadır.
Bu çalışmayı, ilk ikisi hazırlık aşaması şeklinde olan dört bölüme ayırmak
mümkündür. Birinci bölüm, temel kavramlardan, Cauchy probleminin klasik anlamdaki
ve genelleştirilmiş anlamdaki çözüm kavramlarından ve yardımcı teoremlerden
oluşmaktadır. İkinci bölüm, Cauchy probleminin klasik anlamdaki çözümünün varlık
ve tekliği ile ilgili teoremlerden oluşmaktadır. Bu bölümdeki ispatlarda, Banach sabit
nokta teoremi, Arzelá-Ascoli teoreminden yararlanılmakta ve Euler kırık doğruları
yöntemi ile Picard yaklaşımları yöntemi kullanılmaktadır. Üçüncü bölümde, sağ-tarafı
süreksiz adi diferansiyel denklem sistemi için Cauchy probleminin çözümünün varlığı
ve tekliği üzerine çalışılmaktadır. Çalışmanın son bölümünde, yüksek mertebeden bir
adi diferansiyel denklemin söz konusu olduğu problemin çözümünün varlığı ve tekliği
incelenmektedir. Yine bu bölümde, Cauchy probleminin çözümünün genelleştirilmiş bir
hali üzerinde çalışılmaktadır.

Abstract:
In this thesis, Cauchy problem is investigated for ordinary differential equations system
with discontinuous right-hand sides. The theorems about the existence and uniqueness
of the solution of this problem in the generalized sense are expressed and proved.
Specifically, the existence and uniqueness of the solution that satisfies the Lipschitz
condition is examined.
This thesis has four parts which the first two are related to the preliminary process. The
first part consists of the basic concepts, the Cauchy problem in the classical sense and
the generalized solution concepts and auxiliary theorems. The second part consists of
theorems about the existence and uniqueness of the classical solution of the Cauchy
problem. In the proofs in this section, Banach fixed point theorem, Arzelá-Ascoli theorem
is used and the Euler fracture line method and Picard approach method are used. In the
third part, the existence and uniqueness of the solution of the Cauchy problem for ordinary
differential equations with discontinuous right-hand sides are studied. In the last part of
the study, the existence and uniqueness of the solution of the problem of a higher order
ordinary differential equation is examined. Also in this section, a generalized state of the
solution of the Cauchy problem is investigated.