Petek fraktalının geometrisi
The geometry of honeycomb fractal
Yazar: MUAMMER TOPSAKAL
Danışman: DOÇ. DR. SIDDIKA ÖZKALDI KARAKUŞ ; PROF. DR. HASAN HİLMİ HACISALİHOĞLU
Bilecik Şeyh Edebali Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2014
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Arıların ballarını depo ettikleri ve çoğalmaları için ördükleri yuvalara petek denir. Arılar birer matematikçi gibi, birer mühendis gibi ve birer mimar gibi dizayn ederek, çalışarak peteğin geometrisini kurarlar.
Petek için esas olan geometrik biçim olarak düzgün altıgen seçilmiştir. "Herhangi bir düzlemi eşit alanlı bölgelere ayırdığımızda çevresi en küçük olan bölge düzgün altıgen olanıdır" gerçeği çok eskiden beri bilinen bir matematiksel özeliktir. Bu nedenle arılar da içgüdüsel olarak matematiksel kararı vermiş ve düzgün altıgeni seçmişlerdir. Bunun için en az malzeme ve en kısa boyutla minimum alan ve maksimum hacim esas alınmıştır. Böylece örülen petekler son derece intizamlı ve sağlam yapılardır.
Arıların her biri farklı yerlerden ve farklı yönlerden başlamalarına rağmen, tümü birbirinin birer kopyası olan düzgün altıgenleri, kendi salgıları olan bal mumu ile hiç bir deneme ve yanılmaya uğramadan bir tek noktaya doğru örerek ilerlerler. Bu ilerleme esnasında altıgenlerini de örmeye devam ederler. Sonunda ortada birleşirler. Birleşme yerleri belli olmaz. Ayrıca altıgenlerin bir kopyası, ayrılmış olan yerine öyle bir oturur ki inanılması çok zor olur. Hem de bu iş için bir deneme-yanılma yapılmaz.
Arıların petekleri birer fraktaldır. Bu fraktallarda her adım başlı başına benzer görünüm ve yapıdadır. Birinci adım olarak bir altıgen alırsak, ikinci adımda bu altıgenin her bir kenarı üzerine yine altıgenler koyarsak altıgen sayısı N=7 olur. Bu iterasyona devam edersek n. adımda altıgen sayısı N=1 + 3•n•(n+1) olur.
Arıların petekleri fraktal olduğuna göre bu fraktalın bir boyutunun olması gerekir. Bu boyutu hesaplamak için KANTOR ÜÇLÜLERİ metodunu uygularsak, birinci adımdan n. adıma kadar işlemler şöyle olur:

r1  =  1/6 ve N(r1) = 12 olur ve boyut d_1=(logN(r_1 )   )/(log(1/r_1 ))=log12/log6 =1,386

r2  =  1/18 ve N(r2) = 30 olur ve boyut d_2=(logN(r_2 )   )/(log(1/r_2 ))=log30/log18 =1,767

r3  =  1/30 ve N(r3) = 48 olur ve boyut d_3=(logN(r_3 )   )/(log(1/r_3 ))=log48/log30 =1,138

r4  =  1/42 ve N(r4) = 66 olur ve boyut d_4=(logN(r_4 )   )/(log(1/r_4 ))=log66/log42 =1,1209
.
.
.
	r_n=1/((2n-1)•6 ) ve N(r_n )=(3n-1)•6 olması halinde 

              d_p=lim┬(n→∞)〖logN(r_n )/(log 1/r_n )〗=lim┬(n→∞)〖log((3n-1)•6)/(log((2n-1)•6)  )〗=1 

olarak bulunur.

Anahtar Kelimeler
Geometri; Arı; Petek; Bal; Fraktal; Boyut; Altıgen; Açı; Motif; İterasyon

Abstract:
The nests that bees knit for reproduction and where they store their honey are called honeycomb. The bees produce the geometry of the honeycomb by designing and working as a mathematician, as an engineer or as an architect.
The regular hexagon was selected for the honeycomb as a basic geometric shape. The following truth of a mathematical property "when any plane is divided into the parts with equal area, the part with the smallest perimeter is a regular hexagon" is known from long time ago. Therefore, the bees gave a mathematical decision instinctively and chose a regular hexagon. To do this, the least material, the minimum area with the minimum dimension and the maximum volume were taken as a basis. The honeycombs knitted in this way are extremely orderly and sturdy structures.
Although every bee starts from different places and directions, they progress by knitting the regular hexagons, which are the copies of each one, with their wax secretions towards a single point without any trial or error. During this progress, they continue to knit the hexagons. At the end they join in the middle. The meeting points are not noticeable. Also a copy of the hexagons fits the place from where it was separated in such an incredible way which makes it hard to believe. Moreover, actions like trials or errors are not acceptable in this process.
Each bee honeycomb is a fractal. Every step in these fractals has similar appearance and structure in itself. If we take a hexagon as a first step and put on every side of this hexagon other hexagons as a second step, then the number of hexagons becomes N=7. If we continue this iteration, the number of hexagons in the n step will be N=1 + 3•n•(n+1)
Since the bee honeycombs are fractal then this fractal must have a dimension. If we calculate this dimension by using the Cantor's Triple Method, then the operations from first step to n step should be in the following way:     






If r1  =  1/6 then N(r1) = 12 and dimension d_1=(logN(r_1 )   )/(log(1/r_1 ))=log12/log6 =1,386

If r2  =  1/18 then N(r2) = 30 and dimension d_2=(logN(r_2 )   )/(log(1/r_2 ))=log30/log18 =1,767

If r3  =  1/30 then N(r3) = 48 and dimension d_3=(logN(r_3 )   )/(log(1/r_3 ))=log48/log30 =1,138

If r4  =  1/42 then N(r4) = 66 and dimension d_4=(logN(r_4 )   )/(log(1/r_4 ))=log66/log42 =1,1209
.
.
.
  If	r_n=1/((2n-1)•6 ) then N(r_n )=(3n-1)•6 

   Thus the dimension    d_p=lim┬(n→∞)〖logN(r_n )/(log 1/r_n )〗=lim┬(n→∞)〖log((3n-1)•6)/(log((2n-1)•6)  )〗=1 .

Key Words:	
Geometry; Bee; Honeycomb; Honey; Fractal; Dimension; Hexagon; Angle; Motif; Iteration