Ölçek, konum-ölçek dağılım ailelerinde sıralı istatistiklere dayanan bazı kestirim yöntemleri
Some estimation methods based on order statistics in families of scale and location-scale distributions
Yazar: NEHİR ENE
Danışman: YRD. DOÇ. DR. MEHMET KARAHASAN
Muğla Sıtkı Koçman Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / İstatistik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2013
Konu: İstatistik = Statistics
Dizin: En iyi doğrusal yansız tahmin yöntemi = Best linear unbiased prediction method ; Sıra istatistikleri = Order statistics

Özet:
Sıralı istatistiklere dayanan kestirim yöntemleri yaşam testleri, kalite kontrol ve güvenilirlik alanlarında birçok uygulamaya sahiptir. Özellikle bu alanlardan elde edilen verilerin durdurmaya (censoring) uğramış olmaları kestirim gibi çıkarım işlemlerini zorlaştırmaktadır. ML (Maximum Likelihood) yöntemi çoğu zaman yinelemeli algoritmaların kullanılması sonucu yakınsama problemi ile karşılaşabilmektedir. BLUE (Best Linear Unbiased Estimation) yöntemi ise sıralı istatistiklere ilişkin beklenen değer vektörünü, varyans-kovaryans matrisini ve bu matrisin tersini gerektirmektedir. Bu nedenle hesaplaması biraz daha kolay ve iyi özelliklere sahip kestiricilerin elde edilmesi önem taşımaktadır.
Bu çalışmada ölçek, konum-ölçek parametreli dağılımlar için sıralı istatistikleri temel alan BLUE yönteminin tanıtılması, literatürde bu konuda yapılmış temel çalışmaların incelenmesi hedeflenmiştir. Bu bağlamda örneklemlerin durdurulmamış (complete sample) ve durdurmaya uğramış (censored sample) oldukları durumlar dikkate alınmaktadır. 
Ayrıca bu çalışmada simetrik konum-ölçek parametreli dağılımlar durumunda, durdurulmamış ve çift yönlü simetrik durdurulmuş örneklemlerden hesaplanabilen doğrusal olmayan ve sıralı istatistiklere dayanan yansız yeni kestiriciler önerilmiştir. Konum parametresi  için 1 yeni kestirici önerilirken, ölçek parametresi   için 2 yeni kestirici önerilmiştir. Daha sonra ölçek parametresine ilişkin bu yeni kestiriciler ölçek parametreli dağılımlar durumuna genellenmiştir. Bunlara ilaveten, bu kestiricilere ilişkin standart sapmaları örneklemden yansız olarak tahmin edebilecek yeni kestiriciler de önerilmiştir.
Bu yeni kestiricilerin performanslarını, BLU kestiricileri ve bazı durumlarda ML kestiricileri ile karşılaştırmalı olarak görebilmek amacıyla bir simülasyon çalışması gerçekleştirilmiştir. Normal, lojistik, çift üstel, üstel ve tekdüze dağılımlarından   örneklem büyüklükleri ve verilerin sıralı durumunda her iki yandan r kadar gözlemin durdurulduğu ( ) örneklemler 50000 tekrarlı olarak üretilmiştir. Bütün bu işlemler bu çalışma kapsamında geliştirilen ve Java programlama dilinde yazılan bir program aracılığıyla gerçekleştirilmiştir.    
Simülasyon çalışması sonucunda, simetrik konum-ölçek aileleri için önerilen yeni kestiricilerin, neredeyse BLU kestiricileri kadar iyi performans gösterdikleri görülmüştür. İlk olarak, yeni önerilen kestiricilerin beklenildiği gibi yansız oldukları teyit edilmiştir. Ayrıca bu kestiricilerinin standart sapmalarının neredeyse BLU kestiricilerinin standart sapmalarına eşit olmaları dikkate değerdir. Ancak ölçek parametreli dağılımlar için önerilen yeni kestiricilerinin yansız olmalarına rağmen, standart sapmalarının BLU kestiricilerine kıyasla  büyük oldukları görülmüştür. 
Ayrıca bu yeni kestiricilerin 10000 büyüklüğündeki örneklem dağılımları oluşturulmuş ve Anderson-Darling testiyle normallik testleri yapılmıştır. Konum parametresi   için önerilen yeni kestiricinin örneklem dağılımının, kitlenin normal ve lojistik dağılımlı olduğu durumlarda,  normal olasılık dağılımı olduğu deneysel olarak görülmüştür. Bundan dolayı normal ve lojistik dağılımlı kitleler için bu yeni konum kestiricisinin kullanıldığı hipotez testi ve güven aralığı işlemleri önerilmiştir. Ölçek parametresine ilişkin önerilen yeni kestiricilerin örneklem dağılımlarının ise normal dağılım olmadığı deneysel olarak görülmüştür. Normallik testleri ve tüm grafikler Minitab 14 paket programı ile gerçekleştirilmiştir.  
Yeni kestiriciler gerçek veriler üzerinde de uygulanmış ve BLU kestiricileriyle uyumlu kestirim sonuçları elde edilmiştir. 
Yeni kestiricilerin simetrik konum-ölçek ailelerinde, BLU ve ML kestiricilerine göre hesaplama avantajının olması ve standart sapmalarının BLU kestiricilerinin standart sapmalarına neredeyse eşit ya da çok yakın olmaları dikkate değerdir. Bu durum ilgili kestiricilerin simetrik konum-ölçek ailelerinde durdurmanın olmadığı ya da iki yönlü simetrik durdurmanın olduğu durumlarda, BLU kestiricilerine alternatif olarak kullanılabileceği düşüncesini kuvvetlendirmektedir.

Abstract:
The estimation methods based on order statistics have many applications in the fields of life-testing, quality control and reliability. Most of time the censored nature of data sets from such areas makes inference procedures such as estimation difficult.   For instance, ML (Maximum Likelihood) method can experience convergence problems resulting from use of iterative algorithms. While BLUE (Best Linear Unbiased Estimation) method requires to compute expected values, variance-covariance matrix of order statistics and its inverse  Thus it is important to obtain estimators that are a little easy to compute and have some good properties.
In this thesis, it is aimed to introduce of BLUE method in the families of scale, location-scale based on order statistics and to examine fundamental works about the topic in the literature. In this context, the cases where the samples uncensored and censored are taken into consideration. 
Furthermore, in this study new unbiased and nonlinear estimators based on order statistics are proposed for the family of symmetric location-scale distributions and these estimators can be computed from both uncensored and symmetric doubly censored samples. While 1 new estimator is proposed for the location parameter , 2 new estimators for the scale parameter   are proposed. Then new estimators for scale parameter   are extended to the family of scale distributions. In addition, other relevant unbiased estimators are proposed to estimate standard deviations of the three new estimators
In order to evaluate the performance of the new estimators compared to BLU estimators and also in some cases to ML(Maximum Likelihood) estimators, a simulation study has been performed.  The samples of size    have been generated as either uncensored or symmetric doubly censored with censoring degrees of   from normal, logistic, double exponential, and exponential and uniform distributions with 50000 repetitions. All the computations have been performed through a computer program of Java codes specially developed for this study. 
As a result of the simulation study, the new estimators proposed for the location-scale family in general performed nearly as good as BLU estimators. First, unbiased ness of the new estimators proposed for the family of symmetric distributions has been confirmed as expected. It is also noticed that standard deviations of these new estimators are almost the same as standard deviations of BLU estimators. On the other hand, standard deviations of the new unbiased estimators proposed for the family of scale distributions are observed to be large compared to those of corresponding BLU estimators.
Moreover, sampling distributions of size 10000 for the new estimators have been formed and their normality tested with Anderson-Darling test. The sampling distributions of the proposed estimator for the location parameter   are observed to be normal distributions under normal and logistic distributions. Hence, new test and confidence interval procedures involving the new estimator are proposed for the location parameter   when populations have normal or logistic distributions. However, it has been seen that the sampling distributions of the new estimators proposed for scale parameter are not normal distributions. Tests of normality and all the graphs in this study has been performed by using Minitab 14 statistical package.
In addition, these new estimators have been applied to real data and the estimation results obtained have been compatible with those of BLUE methods. 
It is worthy of notice that there exist computational advantage of the proposed estimators over BLU and ML estimators and  almost equality or very closeness of their standard deviations to those of the BLU estimators in the family of location-scale distributions. This enhances the idea of using the new estimators as an alternative to BLU estimators in the case of no censoring or symmetric doubly censoring for the family.