Mikro kirişlerin lineer olmayan  titreşimleri /
Yazar: GÖZDE SARI
Danışman: PROF. DR. MEHMET PAKDEMİRLİ
Celal Bayar Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Makine Mühendisliği Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2013
Konu: Makine Mühendisliği = Mechanical Engineering
Dizin: Doğrusal olmayan titreşimler = Nonlinear vibrations ; Mekanik titreşim = Mechanical vibration ; Mikroelektromekanik sistemler = Microelectromechanical systems ; Zorlanmış titreşim = Forced vibration

Özet:
Mikro kirişler, mikro elektro mekanik sistemlerin en önemli elemanlarıdır.  Bu çalışmada mikro kirişlerin nonlineer titreşimleri araştırılmıştır. Bu amaçla üç farklı mikro kiriş modeli matematiksel olarak çıkarılmıştır.
İlk olarak, nonlineer elastik yatağa sabitlenmiş düz mikro kirişin tepkisi araştırılmıştır. Bu model orta düzlem gerdirilmesi ve AC harmonik kuvvetini hesaba katmaktadır. Mikro kiriş, hareket denkleminde kübik nonlineeriteye neden olan nonlineer elastik yatak üzerine yerleştirilmiştir. İntegro diferansiyel hareket denklemi çok ölçekli metodun (perturbasyon metodu) direk uygulanması ile analitik olarak çözülmüştür. Baskın rezonans durumu için genlik-faz modülasyon denklemleri çıkarılmıştır. Frekans-tepki grafikleri ve nonlineer frekansların etkin fiziksel parametrelerle ilişkisi analiz edilmiştir. Elastik yatak katsayısı, dielektrik sabitler ile ilgili katsayı ve orta düzlem gerdirilmesinin mikro kirişlerin titreşimi üzerine etkisi incelenmiştir. 
İkinci olarak, ideal olmayan sınır şartlarına sahip eğri rezonans mikro kirişin baskın rezonansları incelenmiştir. Model orta düzlem gerdirilmesini, uygulanan eksenel yükü ve küçük AC harmonik kuvvetini hesaba katmaktadır. Eğri mikro kirişin uçları basit basit mesnetlenmiştir ve mikro kiriş nonlineer elastik yatağın üzerine yerleştirilmiştir. Küçük AC yükünden dolayı eğri mikro kirişin zorlamalı titreşim tepkisi çok ölçekli metodun denkleme direk uygulanması ile analitik olarak elde edilmiştir. Eğriliğin etkisine ek olarak nonlineer elastik yatağın etkileri de incelenmiştir. Eğrilik etkisinin yumuşatıcı tipte olduğu bulunmuştur. Elastik yatak ve eksenel yükün yeterli yükseklikteki değerleri için elastik yatak ve eksenel yük, nonlineeriteyi sertleştirici davranışla sonuçlandırarak yumuşatıcı davranışı baskılayabilmektedir. Elde edilen frekanslar ve mod şekilleri ideal sınır şartları durumu ile karşılaştırılmıştır ve aralarındaki farklar frekans tepki eğrileri üzerinde gösterilmiştir. Elde edilen frekans-tepki eğrileri bu tip sistemlerin mantıklı rezonans şartları, tasarımı ve endüstriyel uygulamaları seçimi için bir referans sağlamaktadır. Sonuçlar MEMS üzerine gelecekte yapılacak olan deneysel ve teorik çalışmalar için yararlı olacaktır.
Son olarak ideal olmayan sınır şartlarına sahip hafif eğrilikli rezonans mikro kirişin iç rezonansları araştırılmıştır. Eğri mikro kirişin uçları basit basit mesnetlenmiştir ve kiriş nonlineer elastik yatak üzerine yerleştirilmiştir. Küçük AC yükünden dolayı eğri mikro kirişin zorlamalı titreşim tepkisi çok ölçekli metodun (perturbasyon metodu) direk uygulanması ile analitik olarak elde edilmiştir. Titreşimin iki modu arasında 2:1 iç rezonansları çalışılmıştır. Genlik ve faz denklemleri elde edilmiştir. Düzgün rejim çözümleri ve çözümlerin kararlılığı tartışılmıştır. 
Genlik-faz modülasyon denklemlerinin bifürkasyon analizi sunulmuştur. İdeal olmayan sınır şartlarının sistemin titreşimine etkileri araştırılmıştır.

Abstract:
The micro beams are the most important parts of the micro electro mechanical systems. The nonlinear vibrations of the micro beams are investigated in this study. To achieve this aim, three different models of the micro beams are derived mathematically.
First, an investigation to the dynamic behavior of a slightly curved resonant microbeam having non-ideal boundary conditions is presented. The model accounts for mid-plane stretching, an applied axial load and a small AC harmonic force. The ends of the curved microbeam are on immovable simple supports and the microbeam is resting on a non-linear elastic foundation. The forced vibration response of curved microbeam due to the small AC load is obtained analytically by means of direct application of the method of multiple scales. The effects of the non-linear elastic foundation as well as the effect of curvature on the vibrations of the microbeam are examined. It is found that the effect of curvature is of softening type. For sufficiently high values of the coefficients, the elastic foundation and the axial load may suppress the softening behavior resulting in a hardening behavior of the nonlinearity. The frequencies and mode shapes obtained are compared with the ideal boundary conditions case and the differences between them are contrasted on frequency response curves. The frequency response and nonlinear frequency curves obtained may provide a reference for the choice of reasonable resonant conditions, design and industrial applications of such systems. Results may be beneficial for future experimental and theoretical works on MEMS.
Second, primary resonances of a straight micro beam bonded to a non-linear elastic foundation is investigated. The model accounts for mid-plane stretching and AC harmonic force. The micro beam is resting on a non-linear elastic foundation which introduces a cubic non-linear term to the equations of motion. The integro-differential equations of motion are solved analytically by means of direct application of method of multiple scales (a perturbation method). The amplitude and phase modulation equations are derived for the case of primary resonances. Frequency-response curves and nonlinear frequencies are analyzed with respect to the effective physical parameters. Influence of elastic foundation coefficients, coefficients related to dielectric constants and mid-plane stretching on the vibrations of the micro beam are investigated.  
Finally, internal resonances of a slightly curved resonant microbeam having non-ideal boundary conditions is investigated. The ends of the curved microbeam are on immovable simple supports and the microbeam is resting on a non-linear elastic foundation. The forced vibration response of curved microbeam due to the small AC load is obtained analytically by means of direct application of the method of multiple scales. Two-to-one internal resonances between any two modes of vibration are studied. Amplitude and phase modulation equations are obtained. Steady state solutions and stability are discussed, and a bifurcation analysis of the amplitude and phase modulation equations is presented. The effects of the non ideal boundary conditions on the vibrations of the microbeam are examined.