Kesirli basamaktan denklemler için bazı eşitsizlikler
Some inequalities for fractional order equations
Yazar: SERKAN ASLIYÜCE
Danışman: PROF. DR. AYŞE FEZA GÜVENİLİR
Ankara Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2019
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Kesirli integraller = Fractional integrals ; Kesirli türevler = Fractional derivatives ; İntegral eşitsizlikler = Integral inequalities

Özet:
Kesirli basamaktan türev düşüncesi tam sayı basamaktan türev kavramı kadar eskidir. Kesirli analiz düşüncesinin başlangıç noktası olarak L'Hospital tarafından 1695 yılında Leibniz'e yöneltilen "x'in 1/2 türevi ne ifade eder?" sorusu kabul edilebilir. 20.yüzyılın başlarında, kesirli basamaktan türev operatörü için bazı tanımlar verilmiştir. Bu tanımların en bilinenleri Riemann-Liouville, Caputo ve Grünwald-Letnikov türevleridir. Kesirli basamaktan türev ve integralin farklı bilim dallarında uygulamalara sahip olması matematikçileri bu alanda çalışmaya yöneltmiştir. Sürekli durumdaki bu gelişmelere paralel olarak, bazı yazarlar ileri ve geri fark operatörleri için kesirli basamaktan türev ve integral operatörlerinin ayrık analoglarını vermiştir. Matematik ve diğer bilim dallarında eşitsizliklerin sıklıkla kullanılıyor olmasından hareketle bazı yazarlar tarafından eşitsizlikler sürekli ve ayrık kesirli analize aktarılmaya başlanmıştır. Kesirli analizde eşitsizliklerle ilgili olan bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde eşitsizlikler ve kesirli analizle ilgili kısa bir tarihçe verilmiştir. Ayrıca, bu bölümde literatürde bilinen bazı eşitsizlikler ifade edilmiştir. İkinci bölümde, kesirli basamaktan operatörlerin tanımları verilmiştir. Sürekli durumda, kesirli basamaktan Riemann-Liouville, Caputo, Grünwald-Letnikov, uyumlu türev ve integral operatörlerinin, ayrık durumda ise kesirli basamaktan ileri ve geri fark, toplam, h-fark ve h-toplam operatörlerinin tanımları verilmiştir. Üçüncü bölümde ise ikinci bölümde tanımları ve bazı özellikleri verilen kesirli basamaktan operatörler kullanılarak Chebyshev, Grüss, Jensen ve Wirtinger tipi eşitsizlikler ifade ve ispat edilmiştir. Son bölümde tezin değerlendirilmesi yapılmıştır.

Abstract:
The idea of fractional order derivative is as old as ordinary derivative. In 1695, L'Hospital asked "what would be the one-half derivative of x?" to Leibniz. This conversation can be considered as the starting point of fractional calculus. By the beginning of 20th century, some definitions of fractional order derivatives were introduced, most remarkable ones are Riemann-Liouville, Caputo, and Grünwald-Letnikov derivatives. Since fractional derivation and integration have more exponent applications in different disciplines of sciences, many mathematicians start to study of aspects of these concepts. In parallel with the continuous case, some authors established the discrete analogues of fractional order derivative and integral operators, for forward and backward difference operators. Since inequalities are useful tools in mathematics, many mathematicians started to transfer this inequalities into fractional settings both continuous and discrete cases. This thesis deals with the inequalities on fractional calculus consists of four chapters. In the first chapter, a brief history about inequalities and fractional calculus is given. Also, some inequalities in the literature are introduced. In the second chapter, the definitions of fractional order operators and basic results related to these concepts are given. In continuous case, fractional order Riemann-Liouville, Caputo, Grünwald-Letnikov, conformable derivative and integral operators are defined. Also, in discrete case forward and backward fractional order difference, h-difference, sum and h-sum operators are defined. In the third chapter, using the fractional order concepts defined in the previous chapter, some results about Chebyshev, Jensen, Wirtinger and Grüss type inequalities are presented. In the last section, the thesis is evaluated.