Exact and numerical solutions of the fractional gear-grimshaw model
Kesirli gear-grimshaw modelinin kesin ve nümerik çözümleri
Yazar: BAHRİ KOÇ
Danışman: DOÇ. DR. SAİT SAN
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Bilgisayar Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Soliton çözüm = Soliton solution ; Su dalgaları = Water waves ; Yaklaşık çözüm = Approximate solution ; Yürüyen dalgalar = Travelling waves

Özet:
Kesirli diferansiyel denklemler yani kesirli mertebeden türev içeren diferansiyel
denklemler mühendislik, fizik, biyoloji gibi gerçek dünya problemlerini modelleme de
olağanüstü yetenekleri nedeniyle bilim dünyasının ilgi odağı olmuştur. Şimdiye kadar
kesirli türevin birçok tanımı yapılmıştır. Bunlardan bazıları şunlardır: Riemann-Liouville,
Caputo, modified Riemann-Liouville, Jumarie, Hadamard, Atangana–Baleanu, Caputo–
Fabrizio, Riesz kesirli operatorler.
Bu tez çalışmasında KdV denklem ailesinden olan zaman kesirsel türevli GearGrimshaw denklem sistemi ele alınmıştır. Bu denklem ile okyanus ve nehirlerdeki iki
katmanlı sığ su dalgalarının dinamikleri modellenmiştir. Ayrıca parametrelere verilen
özel değerlerle birçok sığ su dalgası modelini kapsar.
Kesirsel dönüşüm kullanılarak adi diferansiyel denkleme indirgenen Kesirsel GG
denkleminin Sine-Gordon açılım yöntemi ile kesin çözümleri hiperbolik fonksiyon
cinsinden elde edilmiştir. Bulunan çözümlerin bir kısmının 3-boyutlu ve düzey grafikleri
çizilmiştir. Ayrıca sayısal çözüm yöntemlerinden kalanlı kuvvet serileri yöntemiyle
denklemin yaklaşık çözümleri 𝛼 nın üç farklı değeri için elde edilmiştir. Bulunan kesin
çözümler ile yaklaşık çözümlerin farklarının mutlak değerleri de bir tablo olarak
verilmiştir.

Abstract:
Fractional differential equations, i.e. differential equations containing fractional
derivatives, have been the focus of attention of the scientific world due to their
extraordinary abilities in modeling real world problems such as engineering, physics and
biology. Many definitions of the fractional derivative have been made so far, some of
them are: Riemann-Liouville, Caputo, modified Riemann-Liouville, Jumarie, Hadamard,
Atangana–Baleanu, Caputo–Fabrizio, Riesz fractional operators.
In this thesis, the Gear-Grimshaw equation system with time fractional
derivatives, which is from the family of KdV equations, is discussed. And with this
equation , the dynamics of two - layer shallow water waves in oceans and rivers are
modeled . Also covers many shallow water wave models with special values taken to
parameters.
The excat solutions of the fractional GG equation, which was reduced to the
ordinary differential equation by using the fractional transformation, were obtained in
terms of hyperbolic functions by using the Sine-Gordon expansion method. 3D and
contour graphs of some of the solutions found are drawn. In addition, approximate
solutions of the equation were obtained for three different values of α by using the residual
power series method, which is one of the numerical solution methods. The absolute values
of the difference between the exact solutions and the approximate solutions are given as
a table.