Kesikli ordinatlar yönteminde gauss chebyshev kuadraturu ile ışın-etkisinin araştırılması
Investigation of ray-effect by gauss chebyshev method
Yazar: SEMİHA SAĞLAM
Danışman: DOÇ. DR. M. AKİF ATALAY
İstanbul Teknik Üniversitesi / Nükleer Bilimler Enstitüsü
Derece: Doktora, 2001
Konu: Nükleer Mühendislik = Nuclear Engineering
Dizin: Gauss-Chebyshev integrali = Gauss-Chebyshev integral ; Kesikli ordinatlar yöntemi = Discrete ordinate method ; Nötron dağılımı = Neutron distribution ; Nükleer reaktörler = Nuclear reactors

Özet:
Nükleer reaktör fiziğinin temel problemi, verilen bir sistemde (reaktör kalbi gibi) nötron dağılımının bulunmasıdır. Bu nokta, reaktörde oluşan farklı nükleer reaksiyonların oluşum hızlarının belirlenmesi açısından önemlidir. Nötron dağılımının bulunması için reaktör içindeki nötron transportu ele alınır. Nötron transportunu ya da bir başka deyişle, nötron davranışlarının gerçek tasvirini veren bağıntı, nötron üretimi ile kayıpları arasındaki matematiksel dengeyi gösteren nötron transport denklemidir. Nükleer reaktörlerin dizayn ve analizinde transport denkleminin çözümü önemli rol oynar. Fakat bu denklemin çözümü, basitleştirilmiş model problemler hariç, çok zordur. Çünkü denklem yedi değişkenli integro-diferansiyel bir forma sahiptir. Ayrıca, çözümü zorlaştıran başka faktörler de mevcuttur; etkin kesitlerin enerjiye bağlı olmaları ve reaktörde kullanılan malzemenin geometrik tanzimi gibi. Bundan dolayı, nötron transport denklemi uygun smır koşullarıyla birlikte (zamana bağlı problemlerde başlangıç koşulu da dahil), genellikle deterministik transport kodlarıyla çözülür. Bu çalışmanın asıl konusunu oluşturan Kesikli Ordinatlar Yöntemi, Sn, önemli deterministik analiz yöntemlerinden birisidir. Yöntem, transport teorinin en temel yaklaşımlanndandır ve transport kodlarında yaygın biçimde kullanılmaktadır. Yöntemde, açısal değişken için belirli doğrultular (ordinatlar) seçilir ve yönsel akı bu doğrultular için belirlenir. Denklemde görülen türev ve integral terimleri, genellikle sonlu fark teknikleri ve nümerik integrasyon şemaları (örnek: Standart Gauss kuadratürleri) kullanılarak uygun bir kesikli formda yazılır. Böylece, bilgisayar çözümüne uygun bir cebirsel denklem setine ulaşılmış olur. Bundan sonra, sözkonusu set standart nümerik algoritmalar kullanılarak bilgisayarda çözülebilir. Transport denklemini çözmedcyöntemin birçok avantaj lan olmasına karşın, uygulamada bazen istenmeyen problemlerle karşılaşılmaktadır; ışın-etkisi gibi. Yöntemin ayrılmaz bir parçası gibi görünen ışm-etkisi, iki veya üç boyutlu geometrilerde izole kaynak kullanan ve küçük saçılma değerine sahip problemlerdeki skaler akıda ortaya çıkan anormal dalgalanmalardır. Işın-etkisi problemini azaltabilmek ya da tümüyle giderebilmek amacıyla birçok çalışma ileri sürülmektedir. Sorunun çözümü için en basit yol, Sn yönteminin derecesini (doğrultu sayısını) arttırmaktır. Fakat, genelde bu gerçekleştiğinde, osilasyonlar büyümeye başlar ve fiziksel olanlarla kanştınlabilir. Son yıllarda, ışın-etkisi bozulmalarını oldukça azaltan ya da tümüyle gideren yaklaşımların türetimi konusunda dikkate değer bir çaba sarf edilmektedir.Bu çalışmada ışın-etkisi bozulmalarını azaltmak için, Sn transport kodlarında sıkça rastlanılan Gauss-Legendre kuadratürü yerine, Gauss-Chebyshev kuadratürünün yönteme uyarlanışı ele alınmaktadır. Konu, kartezyen ve silindrik geometrilerde, izotropik ve anizotropik saçılma için incelenmiştir. Çalışmanın amacı, Gauss-Chebyshev kuadratürünün ışın-etkisi karşısındaki davranışını gözlemek ve Gauss-Legendre kuadratürüne alternatif olarak kullanılabilme olasılığını tartışmaktır. Bu nedenle, çok tanınan iki boyutlu Sn kodlarından biri olan TWOTRAN-H seçilir ve iki kuadratürü kıyaslamak amacı ile, önce Gauss-Chebyshev kuadratürü için yoğun bir şekilde modifiye edilmiş haliyle, sonra da Gauss-Legendre kuadratürü için orijinal haliyle çalıştırılır. Gauss-Chebyshev kuadratür setinin hesaplama özelliklerini göstermek üzere, (x-y) kartezyen geometride verilmiş bir model problem (problem 1), çok tanınan bir Benchmark problemi, test problemi olarak seçilir. Problemde, uniform izotropik bir kaynak, kare şeklindeki bir ortamın sol-alt köşesinde yer almaktadır. Sınır koşullan olarak, ortamın sol ve alt kenarlarında yansıtıcı sınır sağ ve üst kenarlarında ise vakum sınır olduğu varsayılmıştır. Kod, önce Gauss-Legendre, sonra da Gauss- Chebyshev kuadratürü ile çalıştırılmış ve skaler akı dağılımı, sözkonusu problem için bulunmuştur. Bundan sonra, problem l'deki vakum yerine yansıtıcı sınır yerleştirilmiş; böylece oluşan problem 2, bir başka test problemi olarak ele alınmıştır. Bu problem de, iki kuadratürle önceki gibi incelenmiştir. Sonra, problemler silindirik geometriye uyarlanmış ve kuadratürlerin bu geometrideki davranışları da ışın-etkisi açısından değerlendirilmiştir. Çalışmada, programda bulunanın dışında, yakınsamayı hızlandırmak için hiçbir iterasyon hızlandırıcı teknik kullanılmamıştır. Çalışmanın sonunda, iki kuadratürle dört çeşit problemden elde edilen tüm sonuçlar, birbirleriyle ve literatürdeki verilerle kıyaslanarak Gauss-Chebyshev kuadratürünün, özellikle silindirik geometride, Gauss-Legendre kuadratüründen daha etkili olduğu sonucuna varılmıştır. Ayrıca ele alınan problemin türüne göre, Gauss- Legendre kuadratürünün kartezyen geometri için, Gauss-Chebyshev kuadratürünün ise silindirik geometri için önerilebileceği görülmüştür. Zaten, günümüzde birçok Sn kodunda, farklı yaklaşımların değişik avantaj lannı kullanan melez (hybrid) tekniklere oldukça sık rastlanılmaktadır. Gauss-Chebyshev kuadratürünün bir başka önemli özelliği de, bir Sn yaklaşımında tüm doğrultular (veya noktalar) için aynı kuadratür ağırlıkları kullanmasıdır. Bu özellik, bilgisayar hafıza ve çalışma zamanı bakımından, hesaplamalarda önemli bir avantaj sağlamaktadır. xı

Abstract:
The main problem of reactor physics is the determination of neutron distribution in a system; such as a nuclear core. This is important because of the evaluation of different nuclear reaction rates. To determine the distribution of neutrons, the process of neutron transport is investigated. The neutron transport, or stated another way, the real behaviour of neutrons is given by the neutron transport equation which states a mathematical balance on the physical production and losses of particles. In nuclear reactor design and analysis, the solution of the transport equation plays an important role. However, it is very difficult to solve this equation except for simple model problems, since it has an integro-differential form with seven variables. Other factors have also an effect complicating the solution such as complex energy dependence of cross sections and the geometrical arrangement of the materials in the core etc. Therefore the neutron transport equation, together with the boundary conditions (and initial condition, if required), is solved usually by deterministic transport codes. The Discrete Ordinates Method, Sn, that is the main subject of this study is one of the important deterministic methods. The method is straightforward and widely used in transport calculations. In this method, a set of discrete directions (or ordinates) for Q. is chosen and the directional fluxes are evaluated for these directions. The derivatives and integrals appearing in the transport equation must be replaced by a corresponding discrete representation by using finite difference techniques and numerical integration schemes (i.e. standard Gauss quadratures). In this way, one gets a set of algebraic equations which are suitable for computation. Then, this set can be solved by using standard numerical algorithms on a computer. Although the method has some advantages to solve the transport equation, sometimes some deleterious numerical problems has been met, such as ray-effect. The ray-effect distortions that plague the method are anomalous ripples that appear in the scalar flux for problems with isolated sources and low scattering ratios in two or three dimensional geometries. Several remedies for eliminating or mitigating the ray-effect problem have been proposed. It seems that the practical remedy for the ray-effect is to increase the order of Sn method (the number of directions). In general, when this is done, the oscillations become higher and they can be confused with physical ones. In recent years, considerable effort has been expanded in deriving approaches that eliminate or strongly mitigate the ray-effect distortions. xnIn this study for the mitigation of the ray-effect distortions, the Gauss- Chebyshev quadrature set is replaced by the Gauss-Legendre quadrature set that one frequently encounters in Sn transport codes. Therefore, this quadrature set is examined in cartesian and cylindrical geometries for the isotropic and anisotropic scattering. The aim of the study is to observe the behaviour of the Gauss-Chebyshev quadrature versus the ray-effect and to discuss the possibility of using that quadrature as an alternative to Gauss-Legendre quadrature. For this purpose, one of the well- known two dimensional Sn codes, TWOTRAN-II, is chosen and run in the heavily modified form for the Gauss-Chebyshev quadrature and also used in original form for the Gauss-Legendre quadrature, for comparison. To demonstrate the computational characteristics of the Gauss-Chebyshev quadrature set, a model problem given in (x-y) cartesian geometry (problem 1), a well-known Benchmark problem, is chosen as a test problem. In this problem, there is a flat isotropic source at the left-bottom corner of a square region. The boundary conditions are given as reflective on the bottom and the left sides and vacuum on the top and the right sides of the region. The code has been executed first by the Gauss- Legendre, later by the Gauss-Chebyshev quadrature sets and the distribution of the scalar flux has been evaluated for the problem. After that, the vacuum boundaries of problem 1 have been replaced by reflected boundaries and then, problem 2 as a new test problem has been taken into account. This problem has also be examined by two quadratures in a similar way. Then, these problems have been adapted to cylindrical geometry and the behaviour of these two quadratures in that geometry have also been examined according to the ray-effect. In this study, except for the method in the original program, no acceleration technique is used to speed up convergence. At the end of the study, by comparing all the results obtained by two quadratures for four kinds of problems by each other and by those given in the literature, we concluded that the Gauss-Chebyshev quadrature is more effective, especially in cylindrical geometries, than the Gauss-Legendre quadrature. Also, according to the kind of considered problem, the Gauss-Legendre quadrature for cartesian geometry and the Gauss-Chebyshev quadrature for cylindrical geometry can be recommended. As a matter of fact, nowadays in most Sn codes, some hybrid techniques which use the advantages of different approximations can frequently be encountered. Another important characteristic of the Gauss-Chebyshev quadrature is that it uses the same quadrature weights for all directions (or points) on a given Sn approximation. This provides an advantage in computing from the point of wiew of computer memory and run time. Xlll