Bazı q-özdeğer problemlerinin q-diferansiyel dönüşüm metodu ile çözümü
Solving some q-eigenvalue problems by using the q-differential transform method
Yazar: SEMANUR KARATEPE
Danışman: DOÇ. DR. FATMA HIRA
Ondokuz Mayıs Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Diferansiyel dönüşüm metodu lineer olan veya lineer olmayan adi veya kısmi türevli pek çok diferansiyel denklemi çözmekte etkili ve pratik bir yöntemdir. 
Son yılların güncel konularından biri de zaman skalasının özel bir durumu olan q-analizdir. Buradaki q-türev limit almadan sadece fark oranı ile tanımlandığı için q-analiz limitsiz analiz olarak da bilinmektedir. Bahsi geçen q-sayısı q∈(0,1) olmak üzere q→1 için limit alındığında klasik türev elde edilmektedir. Klasikteki incelemelerin q-analizdeki karşılıklarına q-benzeri veya q-analoğu denilmektedir.
Literatürde diferansiyel dönüşüm metodunun ve özdeğer problemlerinin q-benzerleri üzerine incelemeler yapılmıştır ve yapılmaya da devam etmektedir. Bu bağlamda bir boyutlu ve iki boyutlu q-diferansiyel dönüşüm metodu ve q-diferansiyel denklemler üzerindeki uygulamaları incelenmiş, q-Sturm-Liouville problemi ve q-Dirac sistemi de q-özdeğer problemi olarak incelenmiştir. Bu incelemeler temel alınarak bu tezde, q-özdeğer problemlerinin q-diferansiyel dönüşüm metodu ile çözümüne  yer verilmiştir.
Tez beş bölümden oluşmaktadır. Tezin birinci bölümünde, diferansiyel dönüşüm metodu, q-analizi,  q-diferansiyel dönüşüm metodu ve q-özdeğer problemleri ile ilgili literatür özetine yer verilmiştir. Tezin ikinci bölümünde, q-analizi ile ilgili temel kavramlar ve özellikleri verilmiştir. Tezin üçüncü bölümünde, klasik diferansiyel dönüşüm metodu ve temel özellikleri ile q-diferansiyel dönüşüm metodu ve temel özellikleri verilmiştir. Tezin dördüncü bölümünde, q-Sturm-Liouville problemleri tanımlanarak bu problemler q-diferansiyel dönüşüm metodu ile çözülmüştür. Tezin beşinci bölümünde, q-Dirac sisteminin özdeğer ve özfonksiyonları yine aynı metotla elde edilmiştir. q-analizdeki türev limitsiz olarak tanımlanmakta ve burada q→1 için limit alındığında klasik türev elde edilmektedir. Bu tanım gereği,  tez kapsamında incelenen problemlerde q→1 için limit alındığında klasik karşılıkları ve çözümleri elde edilmekte ve bu da sonuçların doğruluğunu garanti etmektedir. Tezin son bölümünde diğer sonuç ve önerilere değinilmiştir.

Abstract:
The differential transformation method is an effective and practical method for solving many linear or non-linear ordinary or partial differential equations.
One of the current topics of recent years is q-calculus, which is a special case of time scale. Since the q-derivative here is defined only by the difference ratio without taking a limit, q- calculus is also known as analysis without limits. When the limit for q→1 is taken, where the q-number in question is q∈(0,1), the classical derivative is obtained. The equivalents of classical calculus in q- calculus are called q-like or q-analogue.
In the literature, studies on q-analogs of the differential transformation method and eigenvalue problems have been made and continue to be done. In this context, the one-dimensional and two-dimensional q-differential transformation method and its applications on q-differential equations were examined, and the q-Sturm-Liouville problem and the q-Dirac system were examined as the q-eigenvalue problem. Based on these investigations, this thesis includes the solution of q-eigenvalue problems with the q-differential transformation method.
The thesis consists of five chapters. In the first part of the thesis, a literature summary on the differential transformation method, q- calculus, q-differential transformation method and q-eigenvalue problems is given. In the second part of the thesis, basic concepts and features of q- calculus are given. In the third part of the thesis, the classical differential transformation method and its basic properties and the q-differential transformation method and its basic properties are given. In the fourth chapter of the thesis, q-Sturm-Liouville problems are defined and these problems are solved by the q-differential transformation method. In the fifth chapter of the thesis, the eigenvalues and eigenfunctions of the q-Dirac system were obtained by the same method. The derivative in q- calculus is defined as unlimited, and when the limit is taken for q→1, the classical derivative is obtained. By this definition, when the limit for q→1 is taken for the problems examined within the scope of the thesis, classical equivalents and solutions are obtained, which guarantees the accuracy of the results. Other results and suggestions are mentioned in the last part of the thesis.