Lineer olmayan integral denklemler ve uygulamaları
Nonlinear integral equations and applications
Yazar: FEYZA USTA
Danışman: PROF. DR. MEHMET NACİ ÖZER
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Bilgisayar Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2015
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bilinmeyen fonksiyonun integral işareti altında bulunduğu denklemler integral denklemler olarak bilinir. Bilinmeyen fonksiyonun türevlerinin de içinde bulunduğu integral denkleme ise integro-diferensiyel denklem denir. Başlangıç-değer ya da sınır-değer problemlerinin integral denkleme dönüşümünden integro-diferensiyel denklem elde edilir. Lineer ve lineer olmayan integral ve integro-diferensiyel denklemler modern matematiğin önemli bir dalıdır ve fizik, kimya, mühendislik, mekanik, astronomi, ekonomi, potansiyel teori gibi pek çok uygulama alanında karşılaşılan problemlerin çözümüyle ilgilenir.
Bu tez çalışmasında, lineer olmayan integral denklemlerin bir uygulaması olan Volterra'nın popülasyon modeline iki farklı çözüm metodu uygulanarak, aynı çözümlerin bulunması amaçlanmıştır. Bu amaç doğrultusunda öncelikle integral denklemlerle ilgili temel kavramlar açıklanmış, integral denklemlerin diferensiyel denklemlerle ilişkisinden bahsedilmiştir. Daha sonra integral denklemlerin çözümü için geliştirilmiş varyasyonel iterasyon metodu (VİM) ve kuvvet serileri metodu (KSM) açıklanarak integral denklemlere uygulamaları gösterilmiştir. Volterra'nın popülasyon modeli tanıtılarak modelin varyasyonel iterasyon metodu ve kuvvet serileri metodu yardımıyla çözümleri aranmıştır. Çözümler karşılaştırılarak, her iki metodunda doğru sonucu verdiği gösterilmiştir. Son olarak Padé yaklaşımı ve işlevinden bahsedilmiş, yaklaşım Volterra'nın popülasyon modeli için bulunan çözümlere uygulanmıştır.

Abstract:
An integral equation known as an equation in which an unknown function appears under an integral sign. Also an integro-differential equation is an equation that involves both integral and derivatives of a function. Integro-differential equations occur in many scientific applications, especially when we convert initial value problems or boundary value problems to integral equations. Linear and nonlinear integral and integro-differential equations are important in modern mathematics and they deal with the solutions of problems appears in many applications area such as physcis, chemistry, engineering, mechanics, astronomy, economics and potential theory.

The aim of this master thesis is to obtain same results by applying two different solution methods to Volterra's population model which an application of the nonlinear integral equations. For this purpose firstly some basic concepts about integral equations have been given and the relation between the integral equations and differential equations have been introduced. Variational iteration method and power series method has been introduced which improved to solve the integral equations and then these methods have been applied to integral equations. By introducing Volterra's population model, the solution of this model has been searched via the variational iteration method and power series method. It has been verified that same solutions are obtained by comparing the solutions found by both two methods. Finally, the Padé approximation has been refered and it has been applied to the solutions for Volterra's population model.