Yüksek mertebeden homotopi normal dönüşümler
Higher dimensional homotopy normal maps
Yazar: EMRAH CEYRAN
Danışman: PROF. DR. ERDAL ULUALAN
Kütahya Dumlupınar Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez 5 bölümden olu¸smaktadır. Birinci bölümde tezde kullanılacak olan temel
kavramlara yer verilmi¸stir. ˙Ikinci bölümde Farjoun ve Segev (2010) de; Bar
yapılandırmasını kullanarak, bir simplisel küme elde etmi¸slerdir. N bir grup ve X bir
küme olmak üzere f : N −→ X bir fonsiyon oldugunda ve ˘ N grubu X'e x
n = x f(n)
¸seklinde etki ettiginde Bar( ˘ X,N) ile bir simplisel küme olu¸sturulmaktadır. Eger ˘ f
fonksiyonu üzerinde bir normal dönü¸süm yapısı varsa, Bar(G , N) üzerinde bir
simpliselgrup yapısı olu¸sturulmaktadır. Burada X = G gibi bir grup ve f'de bir
homomorfizm alınmı¸stır. Tersine; Bar(G , N) simplisel kümesi üzerinde bir simplisel
grup yapısı varken f : N −→ G homomorfizmi üzerinde bir normal dönü¸süm yapısının
verildigi gösterilmi¸stir. Bu tezde, ˘ ∂ bir çaprazlanmı¸s modül ve f de bir grup
homomorfizmi olmak üzere ∂ 'ın f üzerine etkisinin nasıl oldugu tanımlanmı¸stır. ˘
α : ∂ −→ f :
N1
α1 /
λ
′

N2
λ

X1 α2
/X2
bir ikili dönü¸süm tanımının nasıl oldugu ve ˘ ∂ 'ın f üzerine α vasıtasıyla nasıl etki ettigi˘
tanıtılmı¸stır. Daha sonra α üzerinde ikili normal dönü¸süm yapısı tanıtılmı¸s ve α bir ikili
normal dönü¸süm oldugunda elde edilen Bar( ˘ G , N) bisimplisel kümesi üzerinde bir
bisimplisel grup yapısının var oldugu ispatlanmı¸stır. ˘ α üzerinde bir binormal dönü¸süm
yapısı var oldugunda yukarıda verilen kare diyagramın Walery ve Loday (1981) ˘
tarafından tanımlanan çaprazlanmı¸s kareye denk geldigi görülmü¸stür. Tersine Bar( ˘ G , N)
bisimplisel kümesi üzerinde bir bisimplisel grup yapısı var oldugunda ˘ α : ∂ −→ f ikili
dönü¸sümü üzerinde bir binormal dönü¸süm yapısının var oldugu ispatlanmı¸stır.

Abstract:
This thesis consists of five chapters. The first chapter covers the fundamental
concepts used in the thesis. In the second chapter, Farjoun and Segev (2010) used the
Bar construction to obtain a simplicial set. Given a group N and a set X, when a function
f : N −→ X is defined, and the group N acts on X as x
n = x f(n), a simplicial set is
created with Bar(X.N). If the function f has a normal map structure, then a simplicial
group structure is formed on Bar(G,N). Here, X = G is a group, and f is taken as a
homomorphism. Conversely, it is shown that if a simplicial group structure exists on the
simplicial set Bar(G,N), then a normal map structure exists on the homomorphism f :
N −→ G . In this thesis, the action of ∂ , a crossed module, on f , a group homomorphism,
is defined. The double map α : ∂ −→ f is introduced as follows:
N1
α1 /
λ
′

N2
λ

X1 α2
/X2
The concept of how ∂ acts on f via α is defined. Then, a binary normal map structure on
α is introduced, and it is proven that when α is a binary normal map, a bisimplicial
group structure exists on the bisimplicial set Bar(G,N). When a binormal map structure
exists on α , it is shown that the square diagram defined by Walery and Loday (1981)
corresponds to the crossed square. Conversely, it is proven that when a bisimplicial
group structure exists on the bisimplicial set Bar(G,N), a binormal map structure exists
on the double map α : ∂ −→ f .