Gınzburg-landau denkleminin enerji korumalı ve etkin çözümleri üzerine
On the energy preserving and efficient solutions of ginzburg-landau equation
Yazar: ŞEYMA GÜNDOĞDU
Danışman: DOÇ. DR. MURAT UZUNCA
Sinop Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2021
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez çalışmasında bir boyutlu reel Ginzburg-Landau denkleminin sayısal çözümleri uzay ve zamanda ayrıklaştırma yöntemleri kullanılarak ele alınmıştır. Uzayda ayrıklaştırma için köşegen kütle matrisine sahip spektral sonlu elemanlar yöntemi kullanılmıştır. Reel Ginzburg-Landau denklemi için tanımlanmış olan bir Lyapunov enerji fonksiyoneli tanımlıdır. Fiziksel olarak söz konusu enerji fonksiyonelinin en temel özelliği zaman ilerledikçe değerinin azalması olup gerçekçi sayısal çözümler elde edilebilmesi için bu özelliği koruyan sayısal yöntemlerin kullanılması çok önemlidir. Bu tez çalışmasında, reel Ginzburg-Landau denklemini zamanda ayrıklaştırmak için enerji korumalı, ikinci mertebe yakınsaklığa sahip bir yöntem olan ortalama vektör alanı yöntemi kullanılmıştır. Burada enerji korumasından kasıt Lyapunov enerji fonksiyonelinin azalma özelliğinin korunmasıdır.
Hemen hemen tüm gerçek hayat problemlerinin sayısal çözümleri için çok büyük boyutlara sahip lineer sistemlerin çözülmesi gereklidir. Büyük boyutlu sistemlerin çözümleri çok zaman aldığından söz konusu sistemlerin hızlı bir şekilde çözülmesi için yoğun araştırmalar yapılmaktadır. Bu tez çalışmasında, reel Ginzburg-Landau denkleminin sayısal çözümlerinin hızlı bir şekilde elde edilebilmesi için düzgün dik ayrıştırma yöntemini baz alan mertebe indirgenmiş modelleme kullanılmıştır. Sayısal çözümlerin kesinliği ve ne kadar hızlı elde edildiği örnek simülasyon sonuçları ile gösterilmiştir.

Abstract:
In this thesis, numerical solution of one dimensional real Ginzburg-Landau equation has been considered by the use of discretization methods in both space and time. For the space discretization, spectral finite elemets method has been used, which results in a diagonal mass matrix. A Lyapunov energy functional is defined for real Ginzburg-Landau equation. Physically, the fundamental property of the so-called energy functional is that it decreases by the time progresses, and it becomes crucial to use a numerical scheme which preserves this energy decrease property in order to obtain reliable numerical approximations. In this thesis, for the time discretization, average vector field method has been used, which is an energy preserving, second order accurate method. Here, by energy preserving, it is meant the preservation of the energy decrease property of the Lyapunov energy functional.
For the numerical solution of almost all the real life problems, it requires solution of linear systems of very large dimension. Since it takes a long time to solve, there has been a wide range of research concerning the fast solution of such large systems. In this thesis, reduced order modeling based on the proper orthogonal decomposition has been used for the fast numerical solution of real Ginzburg-Landau equation. The accuracy of numerical approximations and the high speed of the numerical scheme have been shown through test simulations.