Yanma modelinde kararsız öz değerler için sınır
Bounds on the unstable eigenvalues in the combustion model
Yazar: BAVEL GUSHAD KAMAL KAMAL
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ FATİH ÖZBAĞ
Harran Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2021
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu çalışma, başlangıçta bir miktar katı yakıt içeren gözenekli bir ortama hava enjeksiyonu için kullanılan basitleştirilmiş bir modelde meydana gelen yanma dalgalarının kararlılığına odaklanmaya ayrılmıştır. Yanma kimyasal bir reaksiyondur ve ele alınan yanma modeli bir reaksiyon-difüzyon-adveksiyon sistemidir. Bu modelde üç kısmi diferansiyel denklem sunulmaktadır. Bu denklemler oksijen, sıcaklık ve yakıt dengesi yasalarını içerir. Analizimizde kilit nokta, sıcaklık ve oksijenin hızının aynı olduğunu ve pozitif dalga hızının yani yanma dalgasının sağa doğru hareket ettiğini varsaymaktır.
Asıl amacımız, yanma modelindeki kararsız özdeğerlerin sınırlarını bulmaktır. Orijinal modelde oksijenin difüzyonu ihmal edilmiştir. Oksijen denkleminde bir difüzyon terimi olmadan, kararsız özdeğerler üzerinde sınır bulmanın mümkün olmadığını gözlemliyoruz. Amacımıza ulaşmak için öncelikle oksijen kısmına ilerleyen dalgaları değiştirmeyen küçük bir difüzyon terimi ekleyerek başlıyoruz. Daha sonra ilerleyen dalgaların esas spektrumunu bulmaya çalışırız. Esas spektrumu belirlemede en önemli araç, hareket eden dalgalar hakkında doğrusallaştırılmış sistem için Fourier dönüşümü kullanmaktır. Esas spektrumu bulduktan sonra, esas spektrumun marjinal olarak kararlı olduğunu da gözlemliyoruz. Bazı önemli ana lemmalar ve teoremler, kararsız özdeğerlerin sınırlarını bulmak için spektral enerji tahminleriyle kanıtlanmıştır. Reaksiyon-difüzyon-adveksiyon sistemi için spektral sınırlar belirlenir. Spektral enerji tahminleri, kararlılık analizi sırasında önemli adımlardan biridir. Spektral kararlılığa sahip olmak için ayrık spektrum bulmak gereklidir. Evans fonksiyonu, diferansiyel operatörün ayrık spektrumunu bulmak için kullanılır. Bu sınırlara sahip olmanın avantajı, Evans fonksiyon kararlılığını hesaplamak için kullanılabilmeleridir.

Abstract:
This work is devoted to focusing on the stability of the combustion waves that happen in a simplified model used for the injection of air into a porous medium that at first contains an amount of solid fuel. Combustion is a chemical reaction, and considered combustion model is a reaction-diffusion-advection system. In this model, three partial differential equations are presented. These equations include oxygen, temperature, and fuel balance laws. In our analysis, the key point is to assume that the speed of temperature and oxygen are the same and positive wave velocity, which means that the combustion wave moves to the right. 
Our main goal is to find bounds on the unstable eigenvalues in the combustion model. In the original model, diffusion of oxygen is neglected. We observe that without a diffusion term in the oxygen equation, it is impossible to find bounds on the unstable eigenvalues. In order to achieve our goal, first, we begin with adding a small diffusion term to the oxygen part, which does not change the traveling waves. Then we try to find the essential spectrum of the traveling waves. The crucial tool in determining the essential spectrum is using Fourier transform for the linearized system about the traveling waves. After finding the essential spectrum, we also observe that the essential spectrum is marginally stable. Some important main lemmas and theorems are proved through spectral energy estimates to find bounds on the unstable eigenvalues. Spectral bounds are determined for the reaction-diffusion-advection system. Spectral energy estimates are one of the important steps during stability analysis. To have spectral stability locating discrete spectrum is necessary. Evans function is used to locate the discrete spectrum of the differential operator. The advantage of having these bounds is that they can be used to calculate Evans function stability.