Parçalı sabit argümanlı diferansiyel denklemlerde lyapunov fonksiyon metodu ile kararlılık analizi ve uygulamalar
Stability analysis of differential equations with piecewise constant argument using lyapunov function and applications
Yazar: ATİLLA ÖZER
Danışman: YRD. DOÇ. DR. DUYGU ARUĞASLAN ÇİNÇİN
Süleyman Demirel Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2013
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Biyoloji, fizik, mekanik ve mühendislik gibi alanlarda ortaya çıkan birçok somut problemin matematiksel olarak modellenmesine diferansiyel denklemler karşılık gelmektedir. Sistemin değişim hızının bilinmeyen fonksiyonun geçmişteki değerlerine bağlı olarak ortaya çıktığı gecikmeli diferansiyel denklemler ile matematiksel modelleme  tıp, popülasyon dinamiği, biyoloji, ekonomi, kontrol sistemleri, fen ve mühendislik alanlarında geniş yer almaktadır. Çok küçük gecikme miktarları bile, sistemde çok büyük değişikliklere neden olabileceğinden böyle problemlerin modellenmesinde gecikme miktarlarının ihmal edilmemesi ve gecikmeli diferansiyel denklemlerin kullanılması gerçeğe daha yakın sonuçlar vermektedir. Gecikmeli diferansiyel denklemler sınıfında yer alan parçalı sabit argümanlı diferansiyel denklemler de uygulamalar açısından oldukça önemlidir. Şimdiye kadar yapılan çalışmaların çoğunluğunda, parçalı sabit argümanlı diferansiyel denklemler ayrık denklemlere dönüştürülerek incelenmiştir. 

Bu tezde, diferansiyel denklemleri çözmeksizin ve ayrık denklemlere dönüştürmeksizin, çözümlerin kararlılığı hakkında bilgi veren Lyapunov metodunun genelleştirilmiş parçalı sabit argümanlı Lotka-Volterra av-avcı modeline uygulanması ve teorik sonuçların nümerik simülasyonlarla doğruluğunun kontrolü  hedeflenmektedir.

Anahtar Kelimeler: Parçalı sabit argümanlı diferansiyel denklemler, Lotka-Volterra modeli, Lyapunov metodu, kararlılık.

Abstract:
Differential equations correspond to mathematical modeling of several concrete problems arising in many fields such as biology, physics, mechanics and engineering. Mathematical modeling with delay differential equations in which the rate of change of the system somehow depends on its past history are also important in medicine, population dynamics, biology, economics, control systems, science  and engineering fields. Since even very small amounts of delay may cause significant changes in the system, delay should not be neglected in modeling of such problems and thus delay differential equations should be used in order to obtain more realistic results. Differential equations with piecewise constant argument, which are closely related to delay differential equations, also play an important role for applications. Most of the existing results for differential equations with piecewise constant argument are obtained by reducing them to discrete equations.

In this thesis, without solving the differential equations and without reducing them into discrete equations, we shall study the stability of Lotka-Volterra predator-prey model with piecewise constant argument of generalized type using Lyapunov method and present numerical simulations to illustrate the theoretical results.

Keywords: Differential equations with piecewise constant argument, Lotka-Volterra model, Lyapunov method, stability