Kesirli integral ve türevleri üzerine
On the fractional integral and derivative
Yazar: RAAD ALI AMEEN AMEEN
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ HASAN KÖSE
Selçuk Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2019
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezde ilk olarak, diferansiyel denklemler için sürekli türevlenebilir fonksiyonların belirli bir genelleştirilmiş kesirli türevi (Caputo-Katukampola) ile bazı Cauchy problemler çalışılmıştı. Cauchy problemlerine karşılık gelen ikinci tip lineer olmayan Volterra integral denklemleri sunulmuştur. Banach sabit nokta teoremlerini kullanarak, düşünülen Cauchy probleminin çözümünün varlık ve tekliği elde edilen sonuçlara dayanarak ispatlanmıştır.
Bu tezin ikinci amacı ise çekirdek fonksiyonuna bağımlı genelleştirilmiş kesirli türevinin bir sınıfının çerçevesinde gecikmeli kesirli diferansiyel denklemlerin Ulam-Hyers kararlılık ve Ulam-Hyers-Rassias kararlılık teorisini genişletmektir. Bahsedilen tür gecikmeli genelleştirilmiş Caputo kesirli diferansiyel denklemlerin Ulam-Hyers ve Ulam-Hyers-Rassias anlamında kararlı olması için gerekli olan koşulları araştırılmıştır. Elde edilecek sonuçları göstermek için bazı örnekler sunulmuştır.
Tezin üçüncü amacı, ayrık ve sürekli kesirli operatörlerin Laplace dönüşümlerini incelemektir.
Bu tez altı bölüm içerir. İlk bölüm giriş kısmıdır. İkinci bölümde ise konunun temel öğeleri olarak, kesirli analiz ve kesirli operatörler ele alındıştır. Bu çalışmanın orjinal kısımları üçüncü, dördüncü ve beşinci kısımda görülmektedir. Elde edilen sonuçlara dayanarak, Genelleştirilmiş Caputo kesirli türevleri çerçevesinde kesirli diferansiyel denklemlerin çözümlerinin varlık ve tekliği üçüncü kısımda, gecikmeli kesirli diferansiyel denklemler için Ulam kararlılığı ise dördüncü kısımda ispatlanmıştır. Ayrıca beşinci kısımda hem ayrık hem sürekli kesirli operatörler için Laplace dönüşümü incelenmiştir. Son kısımda ise Ulam-Hyers karalılık ve Ulam-Hyers-Rassias kararlılıkla ilgili sonraki çalışmalarda yapılabilecek bazı önerilere yer verilmektedır.
Anahtar Kelimeler: Ayrık Laplace dönüşümü, Cauchy problemi, Varlık ve Teklik, Genelleştirilmiş Caputo kesirli türevleri, Ulam-Hyers Karalılık, Ulam-Hyer-Rassias kararlılık.

Abstract:
In this thesis firstly, Cauchy problems for differential equations with the generalized Caputo- Katugampola fractional derivative in the space of continuously differentiable functions are studied. Nonlinear Volterra type integral equations of the second kind corresponding to the Cauchy problem are presented. Using Banach fixed point theorem, the existence and uniqueness of solution to the considered Cauchy problem is proven based on the results obtained.
Second objective of this thesis is to extend Ulam-Hyers stability and Ulam-Hyers-Rassias stability theory to differential equations with delay and in the frame of a certain class of a generalized Caputo fractional derivative with dependence on a kernel function. We discuss the conditions such delay generalized Caputo fractional differential equations should satisfy to be stable in the sense of Ulam-Hyers and Ulam-Hyers-Rassias. To demonstrate our results some examples are presented.
A third aim of this thesis is to study the Laplace transforms for fractional operators.
This thesis involves six chapters. The first chapter is devoted to the introduction. In the second chapter, fractional analysis and fractional operators have been dealt with as a fundamental of the subject. The original parts of this study appear in Chapters three, four and five. Existence and uniqueness of solutions to fractional differential equations in the frame of generalized Caputo fractional derivatives in Chapter 3, Ulam Stability for Delay Fractional Differential Equations with a Generalized Caputo Derivative in Chapter 4 and we also investigated the Laplace transform for fractional  discrete and continuous operators in Chapter 5. The last Chapter involves some remarks and the future works related to the Ulam-Hyers stability and Ulam-Hyers-Rassias stability.
Keywords: Cauchy problem, Dıscrete Laplace Transform, Existence and uniqueness, Generalized Caputo fractional derivatives, Ulam-Hyers stability, Ulam-Hyers-Rassias stability.