Sabit nokta yaklaşımlarıyla bazı diferansiyel ve integral denklemlerin çözümleri
Solutions of some differential and integral equations with fixed point approach
Yazar: YUNUS ATALAN
Danışman: PROF. DR. VATAN KARAKAYA
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2017
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Banach sabit nokta teoremi = Banach fixed point theorem ; Doğrusal olmayan integral denklemler = Non-linear integral equations ; Volterra integral denklemleri = Volterra integral equations

Özet:
Bu tez çalışmasında literatürde var olan iterasyon yöntemi ile yeni tanımlanan ancak mevcut iterasyonlardan daha hızlı olduğu gösterilen iterasyon yönteminin diferansiyel ve integral denklemlere uygulanması problemleri üzerinde çalışılmıştır.
Bu çalışma altı bölümden oluşmaktadır.
Birinci bölümde literatür özeti, tezin amacı ve hipotez verilmiştir.
İkinci bölümde tezin tamamında kullanılacak olan temel kavramlar, tanımlar ve teoremler verilmiştir.
Üçüncü bölümde ilk olarak yeni tanımlanan iterasyon yöntemi için kuvvetli yakınsaklık, yakınsamanın denkliği, yakınsaklık hızı ve veri bağlılığı sonuçları elde edilmiştir. Daha sonra bu sonuçlar S* iterasyon yöntemi için de ispatlanmış olup, bu iterasyondan elde edilen dizinin gecikmeli diferansiyel denklemlerin çözümüne kuvvetli yakınsadığı ispatlanmıştır.
Dördüncü bölümde yeni tanımlanan iterasyon yöntemi kullanılarak fonksiyonel Volterra-Fredholm integral denklemi için kuvvetli yakınsaklık ve çözümün veri bağlı olduğu sonuçları elde edilmiştir. Ayrıca mixed type Volterra-Fredholm integral denklemi için de aynı sonuçların elde edilebileceği gösterilmiştir.
Beşinci bölümde lineer olmayan Volterra-Fredholm integrodiferansiyel denklem tipi için Hyers-Ulam kararlılık ve Hyers-Ulam Rassias kararlılık sonuçları elde edilmiştir.
xi
Altıncı bölümde ise bu tez çalışmasında elde edilen sonuçlar özetle verilmiş ve bundan sonra yapılabilecek olası çalışmalar ifade edilmiştir.

Abstract:
In this thesis, it has been studied on the problems of application of the iteration methods which are in the literature and newly defined but has been shown to be faster than the existing iterations to the differential and integral equations.
This thesis consist of six sections.
In the first section, the review of literature, the aim of the thesis and hypothesis are given.
In the second section, the basic concepts, definitions and theorems which will be used throughout the thesis are presented.
In the third section, firstly the results of strong convergence, equivalency of convergence, rate of convergence and data dependence are obtained for the new iteration method. After that these results are obtained for S* iteration method and it has been proved that the sequence which is obtained this iteration method strongly converges to the solution of delay differential equation.
In the fourth section, the results of strong convergence and data dependence of solution are obtained for functional Volterra-Fredholm integral equation by using new iteration method. Also it has been shown that the same results can be obtained for mixed type Volterra-Fredholm integral equation.
In the fifth section, the Hyers-Ulam stability and Hyers-Ulam Rassias stability results are obtained for the nonlinear Volterra-Fredholm integrodifferential equation.
In the last section, the results obtained in this thesis are summarized and possible studies that can be done in the future are stated.