Bazı integral dönüşümlerin genişlemeleri ve kesirli mertebeden kısmi diferansiyel denklemlere uygulamaları üzerine
On extensions of some integral transforms and their applications to the partial differential equations with fractional order
Yazar: SULIMAN S S ALFAQEIH
Danışman: PROF. DR. EMİNE MISIRLI
Ege Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2021
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Son yıllarda, diferansiyel denklemler, integral denklemler, kısmi diferansiyel denklemler, kesirli diferansiyel denklemler ve bu formlara sahip olan denklem sistemleri fizikçiler, matematikçiler ve mühendisler tarafından büyük ilgi görmektedir. Bu yapılara sahip denklemler, bölünme ve reaksiyon süreçleri, dinamik sistemlerin kontrol teorisi, olasılık ve istatistik, elektrik ağları, sinyal işleme, sistem tanımlama, finansal piyasa ve kuantum mekaniği gibi mühendislik ve bilimin birçok alanında olayları ve süreçleri modellemek için kullanılmaktadır. Bu formlara sahip denklemleri çözmenin etkili yöntemlerinden biri, integral dönüşüm yöntemleridir. Bu nedenle, birçok araştırmacı tam sayı ve kesirli mertebeli kısmi diferansiyel denklemlerin geniş sınıflarını çözmek için yeni integral dönüşümlerini bulmak ve genelleştirmek konusunda büyük çaba göstermektedirler. \par
"Bazı integral dönüşümlerin genişlemeleri ve kesirli mertebeden kısmi diferansiyel denklemlere uygulamaları üzerine " başlıklı bu tez çalışması beş bölümden oluşmaktadır. \par İlk bölümde, kesirli analiz ve bazı önemli integral dönüşümler ile ilgili  temel teoremlere ve formüllere yer verilmiştir.\par İkinci bölümde, tek  katlı Shehu dönüşümünün iki  katlı Shehu dönüşümüne genelleştirilmesi ve bu genelleştirmenin bazı özelliklerine, teoremlerine ve uygulamalarına yer verilmiştir. Ayrıca, bu bölümde kesirli Black-Scholes denklemlerini çözmek için Aboodh ayrıştırma yöntemi kullanılmıştır ve üç katlı Aboodh dönüşümü tanıtılmıştır, Aboodh dönüşümü ile ilgili bazı temel özellikler ve teoremler verilmiştir.\par Üçüncü bölümde, bazı doğrusal uyumlu (conformable) kesirli kısmi diferansiyel denklemleri ve doğrusal olmayan uyumlu kısmi diferansiyel denklem sistemlerini çözmek için uyumlu Laplace dönüşümü ve uyumlu iki katlı Laplace ayrıştırma yönteminin uygulamaları verilmiştir. Bunlara ek olarak, belirli bir türdeki tekillikler ile uyumlu kesirli diferansiyel denklemlere uygulanabilen yeni bir uyumlu integral dönüşümü tanıtılmıştır. \par Dördüncü bölümde ise uygulamalı bilimler ve mühendislikte karışlaşılan çeşitli doğrusal olmayan modellerin tam (exact) ve yaklaşık (approximate) çözümlerini elde edebilmek için uyumlu Sumudu ayrıştırma yöntemi (conformable Sumudu decomposition method) olarak adlandırılan yeni bir yöntem tanıtılmıştır. Ayrıca, uyumlu Sumudu dönüşümü, iki katlı uyumlu Sumudu dönüşümüne genelleştirilmiştir ve bununla ilgi olarak bazı temel özelliklere, teoremlere ve uygulamalara yer verilmiştir. \par 
Son olarak, beşinci bölümde ise, bu çalışmanın sonuçlarına yer verilmiştir.

Abstract:
Differential equations, systems of differential equations, integral equations, system of integral equations, partial differential equations, systems of partial differential equations, fractional differential equations, system of fractional differential equations have gained considerable attention of physicists, mathematicians, and engineers because it can be used to model in many ﬁelds of engineering and science such as diﬀusion and reaction processes, control theory of dynamical system, probability and statistics, electrical networks, signal processing, system identiﬁcation, ﬁnancial market, and quantum mechanics. One of the effective methods to solve these equations is using the integral transform methods. Therefore, many researchers are still working with great efforts and have been interesting in finding and generalizing novel integral transforms to solve wide classes of differential equations, both ordinary and partial, including fractional.\par
The current thesis entitled by  "On extensions of some integral transforms and their applications to the partial differential equations with fractional order" consists of five chapters. \par 
The first chapter gives some fundamental theories and formulas related to the fractional calculus and some famous integral transforms.  \par 
In chapter two, we generalize the one-dimensional Shehu transform into two dimensional Shehu transform, and we present some properties and theorems with applications. Moreover, we apply the Aboodh decomposition method to solve the fractional Black-Scholes equations, and we introduce triple Aboodh's definition and present some main properties and theorems related to this transform. \par
In chapter three, we apply the conformable Laplace transform and the conformable double Laplace decomposition method to solve some linear conformable fractional partial differential equations and systems of nonlinear conformable partial differential equations. Moreover, introduce a new conformable integral transform that can handle conformable fractional differential equations with singularities of a given kind. 
Chapter four applies a new method called the conformable Sumudu decomposition method to get the exact and approximate solutions of various nonlinear models in applied sciences and engineering. Also, 
we generalize the conformable Sumudu transform into double conformable Sumudu transform, and we present some fundamental properties and theorems with applications. Conclusions are outlined in chapter five.