Dickson ve graph-matching polinomlarinin temel matris özellikleri ve fonksiyonel i̇ntegro-diferansiyel denklemlere uygulamalari
The fundamental matrix properties of Dickson and Graph-Matching polynomials and their applications to functional integro-differential equations
Yazar: ÖMÜR KIVANÇ KÜRKÇÜ
Danışman: PROF. DR. MEHMET SEZER ; DOÇ. DR. ERSİN ASLAN
Manisa Celal Bayar Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2019
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez, fen bilimleri ve mühendislik gibi alanlarda ortaya çıkan fonksiyonel integro-diferansiyel denklemler ve onların kesirli ve kısmi diferansiyel, integral denklemler gibi bazı genel alt sınıflarının yaklaşık çözümlerini, Dickson ve graf-matching polinomlarına dayanan matris-sıralama metotları kullanılarak elde edilmesini amaçlamaktadır. Bu metotlar, polinomların matris bağıntısından, sıralama noktalarından ve temel matris denkleminden oluşmaktadır. Metotlar, denklemlerdeki fonksiyonların sıralama noktalarındaki matris açılımları alındıktan sonra genel matris sisteminde çözümlenmesini gerçekleştirmektedir. Böylece, metotlar direkt olarak çözüme hızlı ve etkili bir biçimde ulaşabilmektedir. Ayrıca, metotların verimliliğini test edebilmek için kalan hata analizi, kalan fonksiyonuna ve birinci-ikinci ortalama değer teoremlerine dayalı yakınsaklık analizleri oluşturulmuştur. Her iki metodun bilgisayar programı, çözümlenecek genel yapıdaki denklemlere özgü olarak yazılmıştır. Bunun sonucunda, yaklaşımlar hassas ve kesin şekilde sağlanarak karşılaştırmalar bilimsel düzeyde gerçekleştirilebilmiştir. Sayısal ve grafiksel sonuçlar tablo ve şekillerde incelenip yorumlanmıştır.  

Sunulan iki metot sayesinde analitik olarak çözülmesi zor olan denklemlerin sayısal çözümleri kolayca elde edilmiş ve tutarlı olduğu, yakınsaklık analizi yöntemleri ile saptanmıştır. Sonuçların incelenmesiyle; metotların pratik, basit, güvenilir ve kesin olduğu ve ayrıca yapıları sayesinde, program kodlarının algoritmiksel olarak karmaşık yapıda olmadığı görülmüştür. Özellikle, genel formül altında üretilen çeşitli yeni problem yapılarının sayısal çözümleri bulunarak gelecekteki çalışmalarda da ele alınabilecektir. Son olarak, sunulan metotların, doğrusal olmayan kısmi integro-diferansiyel, doğrusal olmayan kesirli kısmi diferansiyel denklemler gibi yapılara geniş ölçüde uygulanacağı sonucuna ulaşılmıştır.

Abstract:
This thesis aims to obtain the approximate solutions of the functional integro-differential equations and their some sub-classes, such as fractional and partial differential, integral equations arising in science and engineering by using two matrix-collocation methods based on Dickson and matching polynomials. These methods are made up of the matrix relations of the polynomials, collocation points and a fundamental matrix equation. After taking the matrix expansions of the functions at the collocation points in the equations, the methods are performed with solving them in the collocated matrix-system and so they can reach the solutions immediately. Furthermore, residual error analysis (or estimation), convergence analysis techniques based on residual function and first-second mean value theorems, are constructed to test their efficiency. The computer programs for each method are devised in accordance with the equations of general type to be considered. Hence, by precisely and sensitevely providing the approximations, the comparisons can be materialized at the scientific level. Numerical and graphical results are investigated and interpreted in tables and figures.  
  
Thanks to these methods, the numerical solutions of the equations, which are hardly solved analtically, are easily obtained and their consistencies are determined by the convergence analysis techniques. With the investigation of the results, it is observed that the methods are practical, simple and precise; also their programs are algorithmically in non-complex structure. Especially, some new problems derived from the general equation formulations can be directly considered in the future studies. One can conclude that the presented methods are widely applied to the nonliner partial integro-differential and nonlinear fractional partial differential equations.