Non-lineer fark denklemlerin çözümlerinin global davranışı
Global behavior of solutions of non-linear difference equations
Yazar: SAİME ZENGİN
Danışman: PROF. DR. İLHAN ÖZTÜRK
Erciyes Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2009
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Dört bölümden oluşan bu çalışmanın esas amacı, ikinci mertebeden lineer olmayan bir fark denklem sınıfı oluşturmak ve Lineer Kararlılık Teorisi yardımıyla bu denklem sınıfının pozitif ve negatif denge noktalarının kararlılık yapısını incelemektir.Çalışmamızın birinci bölümünde fark denklemleri ile ilgili kısa bir tarihçe verilmiştir. İkinci bölümde, fark denklemleri ve kararlılık teorisi ile ilgili temel tanım ve teoremler ele alınmıştır. Üçüncü bölümde, ikinci mertebeden lineer olmayan fark denklem sınıfı oluşturularak denge noktasının kararlılık analizi yapılmıştır. Bu bölümdeyn+1=delta+{alpha+ynp}/{beta. yn-1p} ve yn+1=delta+{gamma+yn-1p}/{beta. ynp}fark denklemleri ele alınarak, p>1, p<1 ve p=1 olması durumlarında denklemlerin pozitif çözümlerinin yerel kararlılığı, periyodikliği, sınırlılık karakteri ve global kararlılığı üzerinde durulmuştur. Bununla birlikte denklemlerin denge noktalarının hangi şartlar altında itici (repeller) nokta ya da eyer (saddle) noktası olduğu araştırılmıştır. Bunlara ilave olarak bulunan sonuçlar, sonlu sayıda ardışık tekrar uygulanarak oluşturulan değer tabloları ve grafikler ile örneklendirilmiştir.Dördüncü bölümde ise, üçüncü bölümde ele alınan denklemler ve bu denklemler için p=1 özel durumu göz önüne alınarakyn+1={alpha+ynp}/{beta. yn-1p}- {gamma+yn-1p}/{beta. ynp},veyn+1={alpha+yn}/{beta. yn-1}- {gamma+yn-1}/{beta. yn}şeklinde yeni bir fark denklem sınıfı, ayrıca bu bölümde p parametresinin konumuna göreyn+1={alpha+ynp}/{beta. yn-1}- {gamma+yn-1p}/{beta. yn}veyn+1={alpha+yn}/{beta. yn-1p}- {gamma+yn-1}/{beta. ynp}şeklinde fark denklemleri oluşturulmuş, parametrelerin durumlarına göre, bu denklemlerin kararlılık analizi yapılmıştır. İlave olarak elde edilen sonuçlar örneklerle desteklenmiştir.Anahtar Kelimeler: Fark denklemleri; denge noktası; yerel asimtotik kararlılık; global asimtotik kararlılık; iki periyotlu çözümler.

Abstract:
The purpose of this work which consists mainly of four chapters is to generate the class of second order nonlinear difference equations and using the Linearized Stability Theory to examine the analysis of the stability of the positive and negative equilibrium points of this class of equations.In the first chapter of our study, a brief summary of the development of the difference equations has been given. In the second chapter, the difference equations and stability theory has been discussed about the basic definitions and theorems.In the third chapter, we formed the class of second order nonlinear difference equations and studied the stability analysis of the equilibrium points. Additionally, the local asymptotic stability, the periodic nature, the boundedness character and the global asymptotic stability of positive solutions of the difference equationsyn+1=delta+{alpha+ynp}/{beta. yn-1p} and yn+1=delta+{gamma+yn-1p}/{beta. ynp}for p>1, p<1 and p=1 are investigated. Furthermore, the repeller or saddle points of these equations are investigated under certain conditions. In addition, we indicated the results obtained on the value tables and graphics by applying a finite number of iterations.In the fourth chapter, we established new equations differently from those in the third chapter as seen in the followingyn+1={alpha+ynp}/{beta. yn-1p}- {gamma+yn-1p}/{beta. ynp},yn+1={alpha+ynp}/{beta. yn-1}- {gamma+yn-1p}/{beta. yn},yn+1={alpha+yn}/{beta. yn-1p}- {gamma+yn-1}/{beta. ynp},yn+1={alpha+yn}/{beta. yn-1}- {gamma+yn-1}/{beta. yn}.According to the conditions posed on the coefficients, the stability analysis of these equations has been made. In addition, the results obtained in this chapter are supported with examples.Keywords: Difference equations; equilibrium point; local asymptotic stability; global asymptotic stability; period-two solutions.