Bir kümenin çeşitli etkin noktaları ve vektör optimizasyon
Various efficient points of a set and vektor optimization
Yazar: SELİN ÇELİK
Danışman: PROF. DR. YALÇIN KÜÇÜK
Anadolu Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2012
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu ¸calı¸smanın ilk b¨ol¨um¨unde ¨oncelikle ba?gıntı ve koni kavramları tanıtılıp bazı¨ozellikleri verilmi¸stir. Sıralama ba?gıntıları ve koniler arasındaki ili¸skiler kurulmu¸s ve ¸cok ¨ol¸c¨utl¨u karar verme problemi ve skalerizasyon tanımları yapılmı¸stır.Ayrıca vekt¨or de?gerleri fonksiyonların bazı zayıf konvekslik tanımları vebunların ¨ozellikleriyle ilgili teoremler kanıtsız olarak verilmi¸stir.? Ikinci b¨ol¨umde, Rn deki bir k¨ume i¸cin ¨ozel adlarla anılan ¸ce¸sitli etkin noktalartanıtılmı¸s, geometrik yorumları yapılmı¸stır. Bu tanımların hangilerininbirbirlerini do?grudan gerektirdi?gi saptanmı¸s, gerektirmelerin olmadı?gı durumlardada ¨ornekler verilmi¸stir. Sonu¸clar da iki ¸sema ¨uzerinde ¨ozetlenmi¸stir.¨ U¸c¨unc¨ub¨ol¨umde, Weierstrass Teoremi temel alınarak ve zayıflatılmı¸skonikompaktlık, koni-sınırlılık, koni-tamlık ve zayıf konvekslik kavramları kullanılarak,Rn'den Rp'ye tanımlı vekt¨or de?gerli fonksiyonlar i¸cin koni sıralamasınag¨ore optimallik i¸cin gerekli ve yeterli ¸sartlar verilmi¸stir.Son b¨ol¨umde X, Y normlu Banach uzayları ve f : X ? Y fonksiyonui¸cin optimal elemanların varlı?gı ¸calı¸sılmı¸s, ¸ce¸sitli varlık teoremleri verilmi¸stir.Bununla birlikte, f : X ? Y fonksiyonunun her bir minimal elemanı i¸cinuygun skalerizasyonun varlı?gı normlar kullanılarak g¨osterilmi¸stir. Daha sonraS ? Y k¨umesinin minimal noktalarını ayıran ve koninin dual konileri i¸cindeolan do?grusal d¨on¨u¸s¨umler yardımıyla skalerizasyonu g¨osterilmi¸stir.Anahtar Kelimeler: Etkin Nokta, Sıralama Konisi, Vekt¨or Optimizasyon,Skalerizasyon, Optimallik Ko¸sulları

Abstract:
In the first part of this work, the notions of binary relation, cone and theirproperties are recalled. Relationships between ordering relations and conesare constructed and multi criteria optimization problems and scalarization aredefined. Furthermore, some weakened convexity of vector valued functions aredefined and theorems about properties of vector-valued functions are givenwithout proofs.In the second part, various efficient points with special names are recalledand interpreted geometrically for a subset of Rn. Which of these definitionsrequire to each other is determined and some examples are given in the caseof absence of requirements. Results are summarized on two schemes.In the third part, on the base of Weierstrass Theorem, necessary and sufficientoptimality conditions of vector-valued functions defined from Rn to Rpare given with respect to the cone orders.In the last part, existence of the optimal elements of a function f : X ! Ystudied where X and Y are normed Banach spaces and some existence theoremsare given. Moreover existence of a suitable scalarization for each minimalelement of a function f : X ! Y proved by means of norms. Scalarization ofthe function f is obtained by using linear mappings which belong to dual conesof the cone and separates minimal points of the set S Y .Keywords: Efficient Point, Ordering Cone, Vector Optimization,Scalarization, Optimality Conditions