p-Sel tamsayıların Gromov-Hausdorff limiti
Gromov-Hausdorff limit of the p-Adic integers
Yazar: GÖKÇE ÖZKAYA
Danışman: DOÇ. DR. YUNUS ÖZDEMİR
Eskişehir Teknik Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Topoloji Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2019
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
1897 yılında  Kurt Hensel tarafından tanımlanmış olan p-sel sayılar hala oldukça gizemli ve detaylıca incelenmesi gereken cebirsel yapılar olarak önümüzde durmaktadır.  Bir p asal sayısı için, Q_p p-sel sayılar kümesi p-mutlak değer normuna göre rasyonel sayıların tamlanışı olarak ifade edebilir. Ayrıca p-sel tamsayılar kümesi Z_p de kısaca Q_p içindeki birim disk olarak ifade edilebilir.

Öte yandan, farklı iki (kompakt) metrik uzay verildiğinde bu uzaylar arasında bir uzaklık tanımlama çabasının en kıymetli sonucu olarak Gromov-Hausdorff uzaklığı da metrik geometrinin en önemli araçlarından biridir. İki metrik uzay arasındaki Gromov-Hausdorff uzaklığı, bu iki metrik uzayın (aynı metrik uzaya) izometrik olarak gömülebildiği mümkün bütün metrik uzaylardaki (Hausdorff metriğine göre)  uzaklıklarının infimumu olarak tanımlanabilir.

Bu tez çalışmasında, her biri kompakt olan p-sel tamsayılar kümeleri Z_p'lerin belirlediği dizinin Gromov-Hausdorff anlamında bir metrik uzaya yakınsayıp yakınsayamayacağı problemi ele alınmıştır. Var olan tanım ile p-sel tam sayılar dizisinin bir metrik uzaya yakınsayamayacağı gösterilmiştir. Noktalı metrik uzayların yakınsaması kavramından esinlenerek, bu türden metrik uzayların yakınsaklığı için anlamlı olduğu düşünülen,  yeni bir yakınsama tanımı verilmiş ve bu tanım ile p-sel tam sayılar dizisin ayrık metrik ile donatılmış olan negatif olmayan tamsayılar kümesine yakınsadığı gösterilmiştir.

Anahtar Sözcükler: Gromov-Hausdorff uzaklığı, Mutlak değer fonksiyonu, p-sel sayılar, p-sel tamsayılar, Ostrowski Teoremi

Abstract:
The p-adic numbers described by Kurt Hensel in 1897 are still quite mysterious algebraic structures that need to be studied in detail. For a prime number p, p-adic numbers Q_p can be obtained  as the completion of rational numbers according to the p-absolute value norm. In addition, p-adic integers Z_p can be briefly expressed as the unit disk in Q_p.

On the other hand, Gromov-Hausdorff distance is one of the most important tools in the field of metric geometry to measure the distance between two different (compact) metric spaces. The Gromov-Hausdorff distance between two metric spaces can be defined as the infimum of the Hausdorff distances between possible isometric embeddings  of them into a third metric space.

In this work, it is studied with the problem of whether the sequence of compact sets Z_p converges to a metric space in the sense of  Gromov-Hausdorff. In the sense of classical Gromov-Housdorff convergence, it is shown that p-adic integers cannot converge to a metric space. Inspired by notion of the convergence of a sequence of pointed metric spaces, a new convergence definition, which is considered to be more  significant for the convergence of such metric spaces, is given and shown that the sequence of p-adic integers converges to a set of non-negative integers equipped with discrete metric.

Keywords: Gromov-Hausdorff distance, Absolute value function, p-adic numbers, p-adic integers, Ostrowski Theorem