İki eksende daralan helikopter pallerinin sonlu elemanlar metodu ile titreşim analizi
Vibration analysis of double tapered helicopter blades via finite element method
Yazar: SELİM ŞAHİN
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ ÖZGE ÖZDEMİR
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Uçak ve Uzay Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Uçak ve Uzay Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2019
Konu: Havacılık Mühendisliği = Aeronautical Engineering ; Uçak Mühendisliği = Aircraft Engineering
Dizin: Doğal titreşim = Natural vibration ; Tam sayısal programlama =   ; Titreşim frekansı = Vibrational frequency

Özet:
Birçok mühendislik probleminin çözümünde ilk yaklaşım olarak kiriş modeli kullanılmaktadır. Özellikle uçak kanatları, helikopter palleri, türbin kanatçıkları gibi havacılık alanında önemi bulunan parçaların analizlerinde ve mühendislik hesaplamalarında yer almaktadır. Bu çalışma kapsamında helikopter pallerinin modellenmesinde kiriş modelleri olarak Euler-Bernoulli ve Timoshenko kiriş modelleri uygulanmıştır. Bu iki kiriş modelinin birbirinden farkı, Euler-Bernoulli kiriş teorisinde kayma etkileri göz önüne alınmazken, Timoshenko kiriş teorisinde kayma etkileri göz önüne alınır.
Tez kapsamında modellenen pallerin kesitleri iki eksen de simetriktir. Bu durum, sistemin titreşim hareketinin eğilme-eğilme ya da eğilme-burulma etkileşiminde olmasını engellemektedir. Ayrıca modellenen paller için homojen ve izotrop kabulü yapılarak ilgili hesaplamalar sürdürülmüştür.
Birinci bölümde, tez ile ilgili genel bilgi verilmiştir ve tezin amacı belirtilmiştir. Aynı zamanda yapılan literatür taraması ifade edilmiştir. İkinci bölümde, genel titreşim bilgisinden bahsedilmiştir. Titreşim çeşitleri ve rezonans durumu ele alınmıştır. Üçüncü bölümde, sonlu elemanlar metodunun uygulanma metodolojisi ve basamakları ifade edilmiştir. Aynı bölümde şekil fonksiyonlarından ve kullanım amaçlarından bahsedilmiştir. Bu bölümlerde anlatılanlarla, ilgili konuların temel ifadelerini ve tanımlarını açıklamakla birlikte, ileriki bölümlerde kullanılacak terimlerin anlaşılmasında kolaylık sağlanması hedeflenmiştir. Bu nedenle konuların derin açıklamalarına ve matematiksel ifadelerine girilmemiştir.
Dördüncü bölümde, ilk olarak daralma oranlarının matematiksel ifadeleri verilmiştir. Alan ve atalet momenti ifadelerinin pal ekseni boyunca değişimi bu bölümde anlatılmıştır. Daha sonra Euler-Bernoulli kiriş teorisinden ve enerji formülasyonlarının çıkarılışından bahsedilmiştir. Dönen pal koşullarında enerji formülasyonlarında merkezkaç kuvvetinin etkisi görülmektedir. Bu nedenle merkezkaç kuvveti hesaplaması ayrı bir bölümde ele alınmıştır.Timoshenko kiriş teorisi enerji formülasyonu da aynı şekilde çıkarılmış ve sadeleştirilmiştir. Euler-Bernoulli kiriş teorisinden farklı olarak, Timoshenko kiriş teorisinde kayma etkileri formülasyona katılmıştır.
Enerji denklemlerinin elde edilmesinin ardından çözüm aşamasında, kullanılan kiriş teorisine uygun serbestlik derecesinde şekil fonksiyonları hesaplanmıştır. Dönen pal durumlarında, pale etkiyen merkezkaç kuvvetinin sonlu elemanlar metoduna özgü ifadesi literatür yardımıyla türetilmiştir. Hesaplanan şekil fonksiyonları matematiksel olarak uygun bir şekilde enerji denklemlerine yerleştirilmiştir. Burada şekil fonksiyonları ve nodal yer değiştirme matrislerinden faydalanılmıştır. Bu yolla her bir elemana ait katılık matrisi ve kütle matrisi hesaplanmıştır. Elde edilen eleman matrisleri sonlu elemanlar metoduna uygun bir biçimde birleştirilerek, global katılık
xxii
ve kütle matrisine ulaşılmıştır. Global matrislere pal kökündeki gerekli sınır koşulları uygulanarak, indirgenmiş matrisler elde edilmiştir. İndirgenmiş matrislere uygulanan modal analiz ile doğal frekans sonuçları elde edilmiştir.
Pallerin ilgili kiriş teorileri ile modellenmesi aşamasında bahsi geçen her adım, Mathematica programında kodlanmış ve hesaplamalar yapılmıştır.
Sonlu elemanlar metodu ile elde edilen çözümler, mevcut literatürle kıyaslanabilmesi adına boyutsuzlaştırılmıştır. Öncelikle açık literatürden, ankastre, dönmeyen, prizmatik olmayan Euler-Bernoulli kirişi olarak modellenmiş palin, doğal frekans karşılaştırmaları yapılmıştır ve sonuçlar arasında büyük bir uyum görülmüştür. Daha sonraki adımda, aynı karşılaştırma dönen ve prizmatik olmayan, ankastre bağlı bir Euler-Bernoulli kirişi olarak modellenmiş pal için yapılmıştır. Benzer karşılaştırmalar, Timoshenko kiriş modellemesi için de yürütülmüştür. Timoshenko kiriş modellemesi için öncelikle prizmatik, dönen ve ankastre bağlı bir pal modellenmiştir. Bu çalışmayla narinlik oranının (r) doğal frekanslara etkisi değişen açısal dönme hızlarıyla gösterilmiştir. Daha sonra, dönmeyen ve tek eksende daralan, bir ucu ankastre Timoshenko kiriş modeli hazırlanmıştır. Literatürde mevcut olan hem matematiksel modelleme sonuçları hem de deneysel sonuçlar ile doğrulama yapılmıştır. Eksenel daralma oranlarının (ch ve cb), tez kapsamında çalışılan her iki kiriş modeline de nasıl etki ettiği incelenmiş ve literatürdeki ilgili çalışmalar ile doğrulanmıştır.
Literatürle yapılan bütün karşılaştırmalarda sonuçların literatürle uyumlu olduğu ve literatürden sapma oranının çok düşük olduğu gözlemlenmiştir.

Abstract:
In the solution of several engineering problem, beam modeling is widely used as a first approximation. Especially in such cases aircraft wings, helicopter blades or turbine impellers calculations which are important for aerospace industry, beam modelling allows us to solve complex geometries.
Beam modelling studies start with Euler-Bernoulli theory from late years of 19th century. After that a Russian scientist named Stephen Timoshenko has started his studies during 20th century.
The effect of rotary inertia was introduced by Rayleigh in 1894. In 1921, Timoshenko proposed his theory where shear is also taken into account. Since shear and rotary inertia are ignored in the Euler–Bernoulli theory it is reasonable to assume that the Timoshenko theory is an improvement.
Two beam theories are mentioned about in this thesis. And these two beam modelling theories are worked in this thesis. One of them is Euler-Bernoulli beam theory which is also known as slender beam theories. The other theory is Timoshenko beam theory which is also known as thick beam theory. Timoshenko beam theory includes shear effect to its calculations.
In this thesis, the aim is to create a Finite Element Model of rotor blades and to calculate the natural frequencies of tapered beams under different circumstances and different parameters. Finite element method is used to get the vibration analysis results. In the solution process, shape functions are derived for each degree of freedom.
Beam models that are studied in this thesis are homogenous and isotropic and all beam geometries are axisymmetric in two axes. Due to these homogeneity and symmetry, all bending and torsion deflections are uncoupled.
In Euler-Bernoulli theory, it is accepted that cross sections that are plane and perpendicular to the beam axis before deformation, remain plane and perpendicular after the deformation. However, Timoshenko theory states that cross sections that are plane and perpendicular to the beam axis before deformation, remain plane but no longer perpendicular after the deformation due to the shear effect.
In the first chapter, information about the aim of the thesis and a deep literature survey are given. Literature survey consists of beam models, rotating beam cases, free vibration analysis of beam theories, beam with taper ratios etc. Different solution techniques for beams under free vibration are also examined.
In the second chapter, a short information about vibration is given and types of vibration are mentioned. In the present thesis, free vibration analysis is carried out. Additionally, natural frequency and resonance situation are mentioned in this section.
xxiv
The third chapter consists of basics of finite element method (FEM), steps of FEM solution and shape functions and what shape functions are used for. The aim of these three chapter, to give necessary knowledge about vibration, finite element method etc. to the reader. In fourth chapter, solutions for the considered beam models are made via finite element method and the results are given. In this chapter, firstly taper formulations are given.
These formulations consist of taper ratios related to area and moment of inertia. Afterwards, formulation for the beam models is derived. A point on the beam is taken as a reference. The coordinates of beam are examined before and after deformation. Using this examination, potential and kinetic energy formulations are derived from strain field to displacement field.
In solution phases finite element method is used. In this study it is accepted that beams undergo flapwise bending and extension due to rotational motion. In Euler- Bernoulli modelling two degrees of freedom are considered. First of them is displacement caused by flapwise bending and the second one is angle change due to flapwise bending. In Timoshenko beam theory, shear effect is added to finite element method calculations.
In situations that involves rotational motion, centrifugal force causes the extension.
Shape functions are derived and substituted to the energy expressions. These mathematical calculations give element stiffness and element mass matrices. Global stiffness and global mass matrices are obtained by assembling element matrices together. During this assemblying process, finite element rules are considered.
After that, reduced stiffness and mass matrices were obtained by applying boundary conditions at the fixed end. Modal analysis is used to solve the matrice system. The natural frequencies of beams are obtained.
In order to make comparison of results with the literature, results and some parameters are nondimensionalized. Rotational speed parameter, natural frequency parameter are nondimensionalized.
To obtain results Mathematica calculation and coding program were used.
Firstly, non-rotating, tapered Euler-Bernoulli beam with clamped-free supports are analyzed. Natural frequencies are obtained for different taper ratios. Results are compared with open literature. There is a good agreement with literature.
In second case, different taper ratios are examined. Also variable rotational speed parameters are taken. As the non-dimensional angular rotation speed increases, the natural frequency values increase. This is a consequence of an increase in stiffness of the beam due to increase in rotational speed.
In Timoshenko beam theory, a uniform, rotating and clamped-free beam are studied as first case. Slenderness ratio is taken as a variable. Non-dimensional natural frequencies are obtained and compared with literature. In this study, rotor radius is taken as zero.
Furthermore a comparison study is made with a experimental results. A Timoshenko beam with variable height taper ratio is analyzed. In reference study, mathematical modelling and experimental results are obtained. These two results are compared with present code results. It can be observed that the results are so close to each other.
Some figures are created for Timoshenko and Euler-Bernoulli theory comparison. Natural frequency points are connected with curves for some specific taper ratio
xxv
values. It can be seen that differences between two theories have increasing behaviour as it goes to higher modes.
Final comparison includes combinations of breadth and height taper ratio values. This beam is modeled as non-rotating,clamped-free, tapered Timoshenko beam. There is a good agreement with literature.