Yapay sinir ağları yardımıyla Schrödinger denkleminin nümerikanalizi
Numerical analysis of Schrödinger equation with the help of artificial neural networks
Yazar: EMRAH SAMUR
Danışman: DOÇ. DR. BORA IŞILDAK
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Fizik Ana Bilim Dalı / Fizik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Fizik ve Fizik Mühendisliği = Physics and Physics Engineering

Özet:
Bu çalışmada Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemini (ZBSD) çözmek ve çeşitli rastgele potansiyel kuyuları için bir parçacığın ilk beş öz durumunun enerjilerinin ve dalga fonksiyonlarının bulunması için bir Derin Sinir Ağı (DSA) kullanılmıştır. Bu rastgele potansiyeller karmaşıklıklarına göre üç kategoride oluşturulmuştur. Karşılaştırma için analitik çözümlerin elde edilebildiği durumlarda analitik çözümler kullanılmıştır. Eger Schrödinger Denklemini (ZBSD) analitik olarak çözülebilir değilse, sayısal yaklaşımları bulmak için Sonlu Farklar Yöntemini (SFY) kullanılmıştır. Derin Sinir Ağı (DSA) kullanılarak elde edilen dalga fonksiyonları ve enerjiler, analitik yöntemler veya Sonlu Farklar Yöntemini elde edilen sonuçlarla iyi bir uyum içerisindedir. Schrödinger denkleminin formu fiziksel duruma bağlıdır. Bu formlar zamana bağlı Schrödinger denklemi ve zamandan bağımsız Schrödinger denklemi olarak bilinmektedir. Zamana bağlı Schrödinger denklemi, dalga fonksiyonlarının durağan durumlar olarak adlandırılan duran dalgalar oluşturabileceğini tahmin eder. Bu durumların bireysel çalışmaları daha sonra herhangi bir durum için zamana bağlı Schrödinger denklemini çözme görevini basitleştirdiği için özellikle önemlidir. Durağan durumlar ayrıca, zamandan bağımsız Schrödinger denklemi olan Schrödinger denkleminin daha basit bir formuyla da tanımlanabilir. Bu süreçte yazılım dillerinden yeni ve yaygın olan Python'dan yararlandık. İlerideki bölümlerde göreceğiniz gibi önce Schrödinger denklemini kod için türev operatörlerini tanımladık. Daha sonrasında potansiyellerimizi üreterek bunların nümerik çözümlerini bulduk. Son olarak da modelimizi oluşturarak elde ettiğimiz sonuçların doğruluğunu inceledik.

Abstract:
In this study, a Deep Neural Network (DNN) is used to solve the Time Independent
Schrödinger Equation (TISE) and to find the energies and wave functions of the
first five eigenstates of a particle for various random potential wells. These random
potentials are categorized into three categories according to their complexity.
Analytical solutions were used for comparison when analytical solutions were
available. If the Schrödinger Equation (SE) was not solvable analytically, the Finite
Difference Method (FDM) was used to find numerical approximations. The wave
functions and energies obtained using the Deep Neural Network (DNN) are in good
agreement with the results obtained by analytical methods or the Finite Difference
Method. The form of the Schrödinger equation depends on the physical state. These
forms are known as time-dependent Schrödinger equation and time-independent
Schrödinger equation. The time-dependent Schrödinger equation predicts that wave
functions can form standing waves, so-called stationary states. Individual studies of
these states are particularly important as they then simplify the task of solving the
time-dependent Schrödinger equation for any given state. Stationary states can also
be described by a simpler form of the Schrödinger equation, the time-independent
Schrödinger equation. As you will see in the following sections, we first define
the derivative operators to code the Schrödinger equation, then we generate our
potentials and find their numerical solutions, and finally we build our model and
check the accuracy of our results.