Özel yarı-Einstein manifoldları
Special quasi Einstein manifolds
Yazar: SİNEM GÜLER
Danışman: PROF. DR. SEZGİN ALTAY DEMİRBAĞ
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2018
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Diferensiyel geometri = Differential geometry ; Einstein manifoldu = Einstein manifold ; Lorentz manifoldu = Lorentz manifold ; Riemann manifoldu = Riemann manifold ; Yarı Riemann manifoldu = Semi Riemann manifold

Özet:
Bu tez çalışmasında, matematiksel literatürde sıkça ele alınan ve önemli geometrik özelliklere sahip olan bazı Riemann ve semi-Riemann manifoldlarının özel sınıfları üzerinde çalışılmaktadır. Tarihsel olarak incelendiğinde, bu konunun en önemli kaynak noktalarından biri, Ricci  tensörü ile metrik tensörü orantılı olacak şekilde tanımlanan, Einstein manifoldlarından gelmektedir. Einstein manifoldları, diferansiyel geometride, sabit eğrilikli ve sabit Ricci eğrilikli metriklerin üretilmesinde olduğu gibi, fizikte de Einstein alan denklemlerinin çözümlerinin bulunması ve  uzay-zaman modellerinin sınıflandırılmasında  oldukça önemli bir araç olmuştur. Genel Görelilik Teorisinin en önemli denklemi olan Einstein alan denklemleri, bir uzayın geometrisinin doğrudan, uzayın madde içeriği ile belirlenebildiğini göstermektedir. Bu nedenle, uzayın global karakterinin anlaşılabilmesi için Ricci eğrilik tensörü üzerinde yapılan bazı  genelleştirmeler önem kazanmaktadır. 

İlk kez 2000 yılında M. C. Chaki ve R. K. Maity tarafından, Einstein manifoldlarını genelleştiren bir geometrik kavram  olarak tanımlanan yarı Einstein manifoldları, aynı zamanda Einstein alan denklemlerinin mükemmel akışkanlı madde içeriğine sahip çözümlerine de bir model oluşturmaktadır. Einstein manifoldlarının bir başka doğal genelleştirmesi de Hamilton tarafından tanımlanan Ricci soliton kavramıdır. Bu kavram, diferansiyel geometrinin, manifoldları eğriliklerine göre sınıflandırma probleminden doğan Ricci akış denkleminin kendi kendine benzer (self-similar) çözümleri olarak ortaya çıkmıştır. Ricci akışı ise, metriğin (yani manifoldun şeklinin) Ricci tensörü ile orantılı olarak,  uygun sabit eğrilikli bir metriğe  dönüşmesini sağlayan, parabolik tipte bir kısmi diferansiyel denklemdir.  O halde, Ricci akışının daha genel çözümlerinin bulunması ve bu çözümlerin davranışlarının incelenmesi, geometrik anlamda oldukça önemli bir problemdir. Dolayısıyla, farklı eğriliklere veya farklı akışkan yoğunluğuna sahip olan uzay-zamanların incelenmesi için, Ricci eğrilik tensörünün daha fazla genelleştirilmesi gerekmektedir. Bu amaçla, 2001 yılında  M. C. Chaki tarafından, genelleştirilmiş yarı Einstein manifoldu kavramı ortaya atılmıştır.  Bu yeni kavram tanımlanışı bakımından, geometrik olarak yarı Einstein manifoldlarını genelleştirmekle kalmayıp, fiziksel olarak da,  4-boyutlu ısı akışına izin veren  uzay-zamanlara bir model oluşturmaktadır. Bu nedenle tez çalışmasının temel amaçlarından biri, hem geometrik hem de fiziksel açıdan daha ilginç özelliklere sahip olması beklenen genelleştirilmiş yarı Einstein manifoldlarının özelliklerini araştırmaktır. 

Daha sonra, Ricci solitonlar ile yakından ilişkili olması ve  Ricci tensörünün doğal bir genellemesi olmasından dolayı Riemann geometrisinde oldukça önemli bir obje olan   \textit{$m$-Bakry-Emery Ricci tensörü} tanımlanmış ve birçok geometrici tarafından $m$-Bakry-Emery Ricci tensörünün metrik tensör ile orantılı olması durumunda, çeşitli özel manifoldların tanımları yapılmıştır. Ricci tensörünün bu tip genelleştirmeleri baz alınarak ortaya çıkan  $(m,\rho)$-yarı Einstein manifoldları tez çalışmasının bir diğer çalışma alanını oluşturmaktadır. 

Literatüre bakıldığında, bu iki çalışma alanının, Bishop ve O'Neill tarafından tanımlanan, katlı çarpım manifoldları ile yakından ilişkili olduğu görülmektedir. Örneğin, hem Einstein alan denklemlerinin  Robertson-Walker, Schwarzchild, Reissner-Nordstr\"{o}m-de Sitter uzay-zamanları gibi çoğu temel çözümünün, hem de birçok Ricci soliton ve gradient Ricci solitonun, katlı çarpım manifoldu yapısına sahip olduğu bilinmektedir. Ayrıca, dönel yüzeyler, küre ve $\mathbb{R}^n-\{0\}$ da lokal olarak katlı çarpım manifoldlarıdır. 

Yukarıda bahsedilen temel çalışma alanlarının her ikisinin de, hem geometrik olarak formülize edilebilmeleri, hem de fiziksel olarak önemli modellerle bağlantılarının bulunmasından dolayı, tez çalışması Riemann ve Lorentz geometrisinin araçları kullanılarak iki farklı koldan yürütülmektedir.   
 


Birinci bölümde, ele alınan problemlerin tanıtımı ile önemi üzerinde durulmuş ve gerekli literatür taramasına yer verilmiştir.

İkinci bölümde, öncelikle tez çalışması boyunca kullanılacak olan temel kavramlar ve notasyonlar verilmiştir.  Ardından, tez çalışmasının ilk yarısını oluşturan Einstein manifoldlarının çeşitli genelleştirmeleri ile ilgili tanımlara yer verilmiştir. 

Üçüncü bölümde, ilk olarak Ricci-pseudosimetrik ve Ricci semisimetrik genelleştirilmiş yarı Einstein manifoldlarının karakterizasyonu yapılmış,  daha sonra da bu tip simetri koşulları, konformal, konsörkılır, yarı-konformal, $W_2$, projektif ve pseudo-projektif eğrilik tensörlerine genelleştirilerek,  bazı sınıflandırma teoremleri elde edilmiştir. Bahsedilen bu eğrilik tensörlerinin Ricci semisimetrik ve Ricci pseudosimetrik olmaları durumunda, genelleştirilmiş yarı Einstein manifoldunun, bir $N(k)$-yarı Einstein yada  yarı Einstein  manifolduna indirgendiği ispatlanmıştır. Ardından, Ricci reküran, genelleştirilmiş Ricci reküran gibi, Ricci tensörünün kovaryant türevlerinin özel koşulları sağlaması durumunda, manifoldun üreteç vektör alanının bir paralel vektör alanı olduğu ve böylece söz konusu manifoldun bir yarı Einstein manifolduna indirgendiği ispatlanmıştır.   Ayrıca bu bölümde, bir genelleştirilmiş yarı Einstein manifoldunun varlığı,  trivial olmayan, somut bir Riemann metriği inşaa edilerek kanıtlamıştır.

Dördüncü bölümde, ilk olarak genelleştirilmiş yarı Einstein manifoldunun bir katlı çarpım manifoldu yapısına sahip olması için bazı gerekli koşullar araştırılmıştır. Bu kapsamda, konformal düzlük koşulu yardımıyla, $n$-boyutlu Ricci semisimetrik genelleştirilmiş yarı Einstein manifoldunun üreteç vektör alanının,  konsörkılır vektör alanı olduğu gösterilmiş ve bunun bir sonucu olarak da manifoldun bir reel aralık ile $(n-1)$-boyutlu bir Einstein manifoldunun katlı çarpımı olduğu sonucu elde edilmiştir. Ardından farklı eğrilik tensörlerinin de (örneğin pseudo-projektif eğrilik tensörü gibi) özdeş olarak sıfır olması veya korunumlu (yani diverjanssız) olması durumunda,  genelleştirilmiş yarı Einstein manifoldunun çarpım manifoldları ile ilişkisi incelenmiştir. Daha sonra, önceki durumun tersine, katlı çarpım manifoldu yapısına sahip olan bir genelleştirilmiş yarı Einstein manifoldunun, üreteçleri yardımıyla, taban ve lifleri üzerinde sınıflandırmalar yapılmış ve Einstein-benzeri manifoldlar ile bağlantıları kurulmuştur. 

Dördüncü bölümün devamında, katlı çarpım metrik yapısından daha genel bir kavram olan ve  $D$-homotetik deformasyonlar yardımı ile tanımlanan $D$-çarpım manifoldlarına geçiş yapılmıştır.  Bu yeni çarpım metriği, en genel anlamda $\xi$ birim vektörü ve onun $g$ metriğine göre duali olan $\eta$  1-formuna sahip olan $(M,g,\xi,\eta)$ Riemann manifoldları üzerine genelleştirilerek, $D$-genel çarpım manifoldu kavramı tanımlanmıştır. Ardında, böylesi bir $D$-genel çarpım manifoldunun, Levi-Civita konneksiyonu, Riemann eğrilik tensörü, Ricci tensörü, kesitsel ve skaler eğrilikleri hesaplanarak, bileşenlerinin Einstein-benzeri manifoldlar ile ilişkileri araştırılmıştır. Ayrıca $g$ metriğinin Laplasyeni hesaplanarak, bir $D$-genel çarpım manifoldu üzerinde fonksiyonların ve formların harmonikliği ile ilgili sonuçlar elde edilmiştir. 


Beşinci bölümde, genelleştirilmiş yarı Einstein uzay-zamanlarına geçiş yapılarak, önceki bölümlerde elde edilen sonuçların, Lorentz metrik yapısı altında geçerliliği araştırılmıştır. İlk olarak Ricci-pseudosimetrik, Ricci semisimetrik, Ricci reküran gibi çeşitli simetri koşulları altında genelleştirilmiş yarı Einstein uzay-zamanlarının karakterizasyonu ve sınıflandırması yapılmıştır. Daha sonra, elde edilen sonuçlar Genel Görelilik Teorisindeki önemli sonuçlarla karşılaştırılarak, fiziksel uygulamalara yer verilmiştir. 

Einstein alan denklemlerini sağlayan, 4-boyutlu, Ricci simetrik, genelleştirilmiş yarı Einstein uzay-zamanının,  sabit enerji yoğunluğuna ve izotropik basınca sahip olduğu, genleşme sabiti ve ivme vektörü sıfır olan, hız vektör alanı manifoldun üreteci olan mükemmel akışkanlı modellere örnek olduğu kanıtlanmıştır. Böylece, bu tip bir uzay-zamanın $I$, $D$ veya $O$ Petrov tipinde bir kozmolojik yapıya sahip olduğu sonucuna ulaşılmıştır. Ayrıca, 4-boyutlu Lorentz metriğine sahip bir genelleştirilmiş yarı Einstein uzay-zamanının varlığını kanıtlayan, somut bir örnek de inşaa edilmiştir. 


Tezin altıncı bölümünde ise, önceki bölümlerden farklı olarak, Ricci soliton kavramına giriş yapılmıştır. Öncelikle bu konunun tarihsel gelişimi ile ilgili ayrıntılı literatür bilgisine yer verilmiştir.  Ardından $(m,\rho)$-yarı Einstein manifoldları üzerinde çalışmalar yapılmış ve çeşitli sonuçlar elde edilmiştir. İlk olarak, $(m,\rho)$-yarı Einstein manifoldlarının sınıflandırma ve karakterizasyonu üzerinde çalışılmış ve katlı çarpım manifoldları ile ilişkileri incelenmiştir. Kapalı konformal yada paralel vektör alanına sahip olan bir $(m,\rho)$-yarı Einstein manifoldunun, potansiyel fonksiyonunun gradiyenti ve Hessian'ı ile igili yardımcı teoremler ispatlanmıştır. Ardından, kapalı konformal vektör  alanına sahip olan bir $(m,\rho)$-yarı Einstein manifoldunun, $I\times_{\varphi} M^*$ biçiminde bir katlı çarpım manifoldu olduğu ispatlanmıştır. Daha sonra bu  durum paralel vektör alanlarına doğrudan indirgenerek, Ricci tensörünün klasik yarı Einstein manifoldu yapısına sahip olduğu gösterilmiş ve benzer rijit durumların elde edildiği kanıtlanmıştır. Bölümün sonunda ise, bir $(m,\rho)$-yarı Einstein manifoldunun varlığını kanıtlayan ve elde edilen sonuçları gerçekleyen somut bir örnek inşaa edilmiştir.

Abstract:
In this thesis, we focus on a special class of Riemannian and semi-Riemannian manifolds, which in the mathematical literature, provides several interesting results and relations with many other geometrical structures on manifolds. From   historical point of view, the origin of this topic comes from the Einstein manifolds, in which the Ricci tensor and the metric tensor are proportional. The topic of Einstein manifolds and its well-known generalizations,  such as quasi-Einstein and $\eta$-Einstein, were intensively studied in literature.  In differential geometry, Einstein manifolds represent the metrics of constant Ricci curvature, as well as in physics they have been used to find the exact solutions of Einstein field equations and they are very useful tools to classify the space-times. Einstein field equations, which is the most important equation of the theory of General Relativity, show that the geometry of the manifold can be directly determined by its matter content. For this reason, some generalizations on the Ricci tensor become crucial in order to understand the global character of the manifold.

The notion of quasi Einstein manifolds, was first introduced by M. C. Chaki and R. K. Maity in 2000 as a geometric concept that generalizes the Einstein manifolds. On the other hand, they form a model for the solutions of Einstein field equations with perfect fluid matter content. Another natural generalization of the Einstein manifolds is the concept of Ricci soliton, which was introduced by Hamilton. This new  concept emerge as a self-similar solution of the Ricci flow equation, arising from the classification problem of manifolds according to their curvatures. The Ricci flow is a  parabolic type of  partial differential equation  that allows the metric (i.e. the shape of manifold) to be transformed into a suitable metric of constant curvature in proportion to the Ricci tensor. Thus, finding more general solutions of the Ricci flow and examining the behavior of these solutions are very important frameworks in the sense of geometry. Therefore, for the analysis of space-times having different curvatures or different matter contents, the Ricci curvature tensor should be more generalized. For this purpose, the notion of generalized quasi Einstein manifolds was introduced by M. C. Chaki in 2001, geometrically. This new concept, in terms of its definition, not only generalizes the quasi Einstein manifolds geometrically, but also forms a model of 4-dimensional space-time that allows heat flux, physically. Due to these reasons, one of the main objectives of this thesis is to investigate some properties of the generalized quasi Einstein manifolds, which are expected to have more interesting properties in both geometric and physical aspects.

Later, $m$-Bakry-Emery Ricci tensor, which is closely related to the Ricci solitons and is a natural generalization of Ricci tensor, was introduced and many geometers have described various special manifolds, in  which the $m$-Bakry-Emery Ricci tensor is proportional to the  metric tensor. One of these special manifolds is the $(m,\rho)$-quasi Einstein manifold, that constitute the other part of this thesis.

From historical point of view, these two fields of the study are closely related to the warped product manifolds, which were introduced by Bishop and O'Neill. For example, it is known that Ricci solitons and gradient Ricci solitons under certain conditions, as well as many basic solutions of Einstein field equations, such as Robertson-Walker, Schwarzchild, Reissner-Nordstr\"{o}m-de Sitter space-times have warped product structures. Also, surface of revolutions, sphere and  $\mathbb{R}^n-\{0\}$ are locally warped product manifolds. 


Since both of the above mentioned basic fields are both geometrically formulated and physically linked to some important relativistic models, this thesis study is carried out in two different aspects using the tools of the Riemannian and Lorentzian geometries.

In the first chapter, the main topics to be covered in the thesis are introduced and the importance of them are emphasised. A brief review of literature on certain Riemannian and semi-Riemannian manifolds is also given.


The second chapter contains the basic notions to be used during the thesis study and the definitions of the various generalizations of the Einstein manifolds, that constitute the first half of the thesis.

In the third chapter, some problems related to the characterization of generalized quasi Einstein manifolds under certain symmetry conditions are discussed. First, Ricci-pseudosymmetric and Ricci semisymmetric generalized quasi Einstein manifolds are considered and then such symmetry conditions are extended to the different curvature tensors, such as  conformal, concircular, quasi-conformal, $W_2$, projective and pseudo-projective curvature tensors. Then, some classification theorems related to the generalized quasi Einstein manifolds satisfying the above mentioned symmetry conditions have been proved. Later, it is proved that if the covariant derivatives of the Ricci tensor provide certain conditions (e.g. Ricci recurrent, generalized Ricci recurrent), the manifold has the parallel generator vector field and thus the manifold reduces to a quasi Einstein manifold. In the last section of this chapter, the existence of a generalized quasi Einstein manifold is proved by constructing a concrete non-trivial Riemannian metric.


In the fourth chapter, first some necessary conditions are investigated so that the generalized quasi Einstein manifold has a warped product structure. In this context, with the help of conformal flatness condition, it is shown that the generator vector field of the $n$-dimensional Ricci semisymmetric generalized quasi Einstein manifold is the proper  concircular vector field. As consequence of this, the manifold under consideration is the warped product of a real interval and an $(n-1)$-dimensional Einsteinian fiber. 

Secondly, in the case that different curvature tensors (e.g. pseudo-projective curvature tensor) are identically zero or  conservative (i.e., divergence-free), the relations between the warped product manifolds and the generalized quasi Einstein manifolds have been examined.
Also, contrary to the previous case, a generalized quasi Einstein manifold having a warped product structure, has been classified according to its base and fiber with the help of its generators, and then some links with Einstein-like manifolds have been established.


The next step in the evolution of the warped products is achieved by Blair, who introduced the notion of $D$-warping. More precisely, on the product manifold $M_1\times M_2$ of a Riemannian manifold $(M_1,g_1)$ with an almost contact metric manifold $(M_2,\phi_2, \xi_2 ,\eta_2, g_2)$, where $\eta_2$ is the dual 1-form of the unit vector field $\xi_2$ with respect to $g_2$,  a $D$-warping metric is defined by the metric $g= g_1 +fg_2 +f(f - 1)\eta_2 \otimes \eta_2$, for any positive, smooth function $f$ on $M_1$.  
In the last part of the fourth chapter, the $D$-warping metric is extended with a slight modification of the metric $g$, by taking into account the 1-form on the second component manifold: For two  Riemannian manifolds $(M_i,g_i)$, $i=1,2$, the $D$-general warping metric $g$ is given also by the same metric, but  $M_2$ carries  a unit vector field only, instead of almost contact metric structure. Then, some geometrical objects, such as the Levi-Civita connection, the Riemannian and the Ricci tensors and also the sectional and the scalar curvature, are calculated on $D$-general warping $(M,g)$, in the context of warped product. A Laplacian formula of $g$ is obtained and the harmonicity of functions and forms on $(M,g)$ is described. Finally, some necessary and sufficient  conditions for $D$-general warping $(M,g)$ to be Einstein, quasi-Einstein or $\eta$-Einstein are provided.


Chapter five consists of the study of the generalized quasi Einstein space-times. Under the symmetry conditions discussed in the third chapter, the generalized quasi Einstein space-times are characterized in the context of Lorentz metric signature. Then various applications are given, by using some important tools of the theory of General Relativity:  It is proved that Ricci symmetric (or recurrent) generalized quasi Einstein space-times can be considered as a model of perfect fluids. Also, such space-time satisfying Einstein's field equations has constant energy density and the isotropic pressure. Moreover, it has the vanishing  expansion scalar and the acceleration vector. As a consequence, the possible local cosmological structures of this space-time are of Petrov $I$, $D$ or $O$. Finally, the existence of a generalized quasi Einstein space-times is proved by constructing a concrete non-trivial Lorentzian metric.
 
In the sixth chapter, first a historical overview of the developments on the theory of Ricci solitons and some basic definitions about them are given. Then, the characterizations of an $(m,\rho)-$quasi Einstein manifold admitting closed conformal or parallel vector field are made. Some necessary lemmas related to the formulas of the gradient and the Hessian of the potential function, are proved.  By using these lemmas, some rigidity results for this class of manifolds are obtained. It is proved that an $(m,\rho)-$quasi Einstein manifold with a closed conformal  vector field has a warped product structure of the form $I\times_{\varphi}M^*$. Then, this result is reduced to the case of an $(m,\rho)-$quasi Einstein manifold admitting a parallel vector field, directly. Therefore,  it is shown in this case that  the Ricci tensor has the classical quasi Einstein  structure and also the similar rigid condition holds. Finally, a non-trivial example of an $(m,\rho)-$quasi Einstein manifold verifying obtained results is constructed.