Bazı sığ su dalga denklemlerinin sonlu elemanlar yöntemi ile sayısal çözümleri
Numerical solutions of some shallow water wave equations by using the finite element method
Yazar: TURGUT AK
Danışman: DOÇ. DR. SEYDİ BATTAL GAZİ KARAKOÇ
Nevşehir Hacı Bektaş Veli Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2017
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Altı bölümden oluşan bu doktora tez çalışmasında, B-spline yaklaşım fonksiyonlarına bağlı sonlu elemanlar yöntemleri kullanılarak bazı sığ su dalga denklemlerinin sayısal çözümleri üzerinde çalışılmıştır. Elde edilen sayısal sonuçlar literatürde yer alan teorik ve diğer sayısal sonuçlarla karşılaştırılmıştır.
İlk bölümde, diğer bölümlerde kullanılacak olan kavramlara yer verilmiştir. Dalgalarla ilgili temel kavramlar ve solitary dalga teorisi ile ilgili kısa bilgiler sunulmuştur. Sonlu elemanlar yönteminin temel adımları verildikten sonra B-spline yaklaşım fonksiyonları tanıtılmıştır. Son olarak, sayısal çözümleri elde edilecek olan modifiye edilmiş Korteweg-de Vries, modifiye edilmiş Kawahara ve Rosenau-Korteweg-de Vries dalga denklemleri tanıtılarak, bu denklemlerle ilgili literatürde yer alan çalışmalardan bahsedilmiştir.
İkinci bölümde, kübik B-spline yaklaşım fonksiyonları ile Galerkin sonlu elemanlar yöntemi uygulanan modifiye edilmiş Korteweg-de Vries denkleminin sayısal çözümleri elde edilmiştir. Von Neumann tekniği ile kararlılık analizi yapılmıştır. Tek solitary dalga hareketi, iki ve üç solitary dalganın etkileşimi ve Gaussian başlangıç şartı ile solitonların oluşumunu içeren problemler ele alınmıştır. Elde edilen sayısal sonuçlar ile analitik çözüm ve diğer yöntemlerle elde edilen sonuçlar tablolar halinde karşılaştırılmıştır.
Üçüncü bölümde, Petrov-Galerkin sonlu elemanlar yöntemi ile modifiye edilmiş Korteweg-de Vries denkleminin sayısal çözümleri elde edilmiştir. Ağırlık fonksiyonu olarak kuadratik B-spline, yaklaşım fonksiyonu olarak da kübik B-spline fonksiyonu kullanılmıştır. Von Neumann tekniği ile uygulanan yöntemin kararlılık analizi incelenmiştir. Elde edilen sayısal sonuçlar ile analitik çözüm ve literatürde yer alan sonuçları kıyaslayabilmek için, tek solitary dalga hareketi, iki ve üç solitary dalganın etkileşimi ve Gaussian başlangıç şartı ile solitonların oluşumunu içeren problemler üzerinde çalışılmıştır.
Dördüncü bölümde, septik B-spline yaklaşım fonksiyonlarına bağlı olarak kollokasyon sonlu elemanlar yöntemi ile modifiye edilmiş Kawahara denklemi sayısal olarak çözülmüştür. Von Neumann tekniği ile kararlılık analizi yapılmıştır. Uygulanan yöntemin doğruluğunu gözlemlemek için tek solitary dalga hareketi, iki ve üç solitary dalganın etkileşimi ve Gaussian başlangıç şartı ile solitonların oluşumunu içeren problemler incelenmiştir.
Beşinci bölümde, subdomain sonlu elemanlar yöntemi ile Rosenau-Korteweg-de Vries denklemi sayısal olarak çözülmüştür. Yaklaşım fonksiyonu olarak sektik B-spline fonksiyonlar kullanılmıştır. Von Neumann tekniği ile uygulanan yöntemin kararlılık analizi incelenmiştir. Tek solitary dalga hareketi, iki ve üç solitary dalganın etkileşimi, Gaussian ve undular bore başlangıç şartları ile solitonların oluşumunu içeren problemler ile yöntemin doğruluğu kanıtlanmıştır.
Son olarak, altıncı bölümde uygulanan yöntemlerle ilgili değerlendirmelere yer verilmiştir.

Abstract:
In this thesis consisting of six sections, the numerical solutions of some shallow water wave equations have been studied by using the finite element methods based on B-spline functions. The obtained numerical results have been compared with the theoretical and other numerical results in the literature.
In the first section, it has been listed brief description of the materials which is used in the other sections. The brief information regarding to the theory of the solitary wave and the basic concepts related to waves has been presented. Having been given the fundamental steps of the finite element methods, B-spline approximation functions was represented. Finally, after being mentioned briefly about the modified Korteweg de Vries, modified Kawahara and the Rosenau-Korteweg de Vries equations whose numerical solutions will be obtained, it will be given some studies in the literature regarding to these equations.
In the second section, the numerical solutions of the modified Korteweg de Vries equation have been obtained using Galerkin finite element method and cubic B-spline approximation functions. The stability analysis has been studied via von Neumann tehnique. It has been addressed and studied the problems of  the motion of single solitary wave, the interaction of two and three solitary waves and evolution of solitons with Gaussian initial condition. The obtained numerical results have been compared with analytical solution and the numerical solutions which are obtained in the literature using other methods in list of tables.
In the third section, the numerical solutions of modified Korteweg-de Vries equation have been obtained using the Petrov-Galerkin finite element method. While applying Petrov-Galerkin finite element method, it was used quadratic B-spline function as weight function, cubic B-spline function as approximation function. The stability analysis of the applied method has been examined via von Neumann technique. In order to compare the obtained numerical results with the analytical solution and the obtained numerical results in the literature, it has been studied on the problems about the motion of single solitary wave, the interaction of two and three solitary waves and evolution of solitons with Gaussian initial condition.
In the fourth section, modified Kawahara equation has been solved numerically using collocation finite element method based on septic B-spline approximation functions. The stability analysis has been examined via von Neumann technique. In order to verify the accuracy of the applied method, the problems of the motion of single solitary wave, the interaction of two and three solitary waves and evolution of solitons with Gaussian initial condition have been studied.
In the fifth section, Rosenau-Korteweg-de Vries equation has been solved numerically with subdomain finite element method. Septic B-spline functions have been used as the approx- imation function. The stability analysis of the applied method has been studied via von Neumann technique. The accuracy of the method has been proved with the problems of the motion of single solitary wave, the interaction of two and three solitary waves and evolution of solitons with Gausssian and undular bore initial conditions.
Lastly, the assessments with regard to the applied methods have been included in the sixth section.