Ricci-Rank 1 Lorentz manifoldlarında tam ve yaklaşık çözümler
Ricci-Rank 1 Lorentzian manifolds exact and approximate solutions
Yazar: DURMUŞ DAĞHAN
Danışman: PROF.DR. AYŞE HÜMEYRA BİLGE
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2007
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Tez kapsamında yapılan yeni çalışmalar üç ana bölümde sunulmaktadır. İlk olarak, kotanjant demetin {l,n,m,m} ışıksal yerel tabanına göre Ricci tensörünün matrisi,Newman-Penrose formalizmi kullanılarak ifade edilmiştir. ?00 ? 0 durumu içinrankının 1 olma koşulu bulunmuştur. Genel bir warped çarpım metrik için Newman-Penrose sistemi verilerek, bu sistemde manifoldun ikinci bileşeninin sabit eğriliğe sahip, R3'e gömülmüş, kompakt, bağlantılı ve regüler bir manifold olması durumunda uzay-zamanın küresel simetrik, Ricci tensörü matrisinin rankının 1 ve Enerji-momentum tensörü matrisinin tekil olmaması durumunda, fiziksel kaynağın kütlesiz bir skaler alan olması gerektiği ispatlanmıştır. Küresel simetrik metrik için alan denklemleri, rank 1 koşulu kullanılarak elde edilmiştir. İkinci olarak, (3 + 1) boyutta Einstein alan denklemleri küresel simetrik bir metriğe kütlesiz bir skaler alanın kuple edilmesiyle çalışılmıştır. Başlangıçta ``over determined" olan orijinal sistem, efektif olarak zamana göre ikinci dereceden normal bir sisteme indirgenmiştir. ``Pozitif" ve ``negatif" dal tanımları yapılmıştır. Zamandan bağımsız (statik) durum skaler alanın ? t=0 veya? s =0 olması ile karakterize edilmiştir. Statik halde, pozitif dal için hem tam çözümbulunmuş hem de faz düzlemi analizi ile orijinin bir genel çekim noktası olduğu kanıtlanmıştır. Negatif dal, dinamik bir sistem olarak incelenmiş ve boşluk olmayan (1/4,0) noktasının bir genel çekim noktası olduğu kanıtlanmıştır. Son olarak, (3 + 1) ve (2 + 1) boyutta kütlesiz skaler alan kuplajı ile birlikte kozmolojik sabit içeren Einstein alan denklemleri elde edilmiştir. Statik durum yine ? t=0 veya ? s =0 olması ile karekterize edilmiştir. ? t=0 statik hali için, (2 + 1) boyutta, kozmolojik sabitin -1 olduğu durumda çeşitli koordinat dönüşümleri yapılarak tam çözüm bulunmuştur.Anahtar Kelimeler: Choptuik uzay-zamanı, küresel simetrik statik çözümler, kütlesiz skaler alan

Abstract:
The new studies done in this thesis can be presented in three main chapters. Initially, Ricci tensor matrix is expressed with respect to {l,n,m,m} local base by using theNewman-Penrose formalism. When the case ?00 ? 0, the rank 1 condition of the Riccitensor matrix is found. For the general type B warped product metric, when the second component of the manifold has the space of constant curvature and is embeded in R3,compact, connected and regular, it is shown that space-time must be spherically symmetric. When the Ricci tensor has rank 1 and the Energy-momentum tensor is non-singuler, it is shown that physical source must be a massless scalar field. For the spherically symmetric metric, field equations are obtained by using the Ricci tensor rank 1 condition. Secondly, Einstein's field equations are studied for the spherically symmetric metric coupled to a massless scalar field in (3 +1) -dimensions. An ``over-determined" original system is reduced to a second order normal system effectively in time. The definitions of the ``positive" and ``negative" branches are given. The time independent case is characterized for the scalar field may either ? t = 0 or ? s = 0. For thestatic case, which is called positive branch, both exact solution is obtained and by using the phase plane analysis, it is proved that the origin a global attractor. The negative branch is examined as a dynamical system and the non-vacuum point (1/4,0) is proved as a global attractor. Lastly, Einstein's field equations which contain both coupled massless scalar field and cosmological constant are obtained in (3 + 1) and(2 + 1) dimensions. Again static case is characterized by the scalar field may either ? t = 0or ? s = 0. For ? t = 0 static case, exact solution is found in (2 + 1) dimensions by using thevarious coordinate transformations in the case that cosmological constant is -1.Keywords: Choptuik space-time, spherically symmetric static solutions, massless scalar fields