Lie grupları üzerinde gözlenebilirlik problemi ve bazı uygulamaları
Observability problem on Lie groups and some applications
Yazar: HASAN HALİT TALİ
Danışman: PROF. DR. AYŞE KARA HANSEN
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2016
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
''Lie Grupları Üzerinde Gözlenebilirlik Problemi ve Bazı Uygulamaları'' adlı bu tez dört bölümden oluşmaktadır.
Birinci bölümde, Literatür Özeti, Tezin Amacı ve Hipotez hakkında bilgi verilmektedir.
İkinci bölümde Ön Bilgiler Başlığı altında temel kavramlar yer almaktadır.
Üçüncü bölümde ise tezin özgün kısımlarından ilki yer almakta ve SE(2) Özel Öklid uzayı üzerindeki sapan vektör alanı normalizörden olan lineer kontrol sisteminin gözlenebilirliği incelenmektedir. Bu amaçla, Genel Kontrol Sistemleri ve gözlenebilirlik problemi verilerek, V. Ayala ve A. Kara'nın Lie grupları üzerindeki lineer kontrol sistemlerinin gözlenebilirlik karakterizasyonu incelenmiştir. Daha sonra bu karakterizasyonu kullanarak durum uzayı SE(2) özel Öklid uzayı ve sapan vektör alanı normalizörden olan lineer kontrol sisteminin h fonksiyonunun homomorfizma olmama durumundaki gözlenebilirliği incelenmiş olup, bu sistem için gözlenebilirliği garanti eden ve homomorfizma olmayan bir çıkış-gözlenebilirlik fonksiyonunun var olduğu gösterilmiştir. Bunun dışında h fonksiyonunun homomorfizma olması durumunda ise bu fonksiyon için orijinal bir * özelliği tanımlanarak sistemin yerel gözlenebilir olmasının sistemin genel gözlenebilir olması için yeter şart olduğu ispatlanmıştır.
Dördüncü bölümde de tezin özgün sonuçları olup, yeni bir kontrol sistemi olan konik sistemler, [2],  üzerinde ilk kez gözlenebilirlik problemi çalışılmış ve gözlenebilirlik karakterizasyonu elde edilmiştir. Bu amaçla, birim elemandan ayırt edilemeyen noktaların kümesi bulunmuş ve geometrik-topolojik yapısı incelenerek bir Lie grubu olduğu ispatlanmıştır. Bu ayırt edilemeyen noktaların kümesi ve sabit noktaların kümesi yardımıyla gözlenebilirlik karakterizasyonu elde edilmiş ve ispatlanmıştır.

Abstract:
This thesis titled "Observability Problem on Lie Groups and Some Applications" consists of four chapters.
In the first chapter, literature review, the purpose of the thesis and the hypothesis are given.
In the second chapter, under the title of Introductory Information, basic information is given. 
In the third chapter in which there exists the first original part of this thesis, observability of linear control system on special Euclidean space SE(2) with the drift vector field from normalizer has been studied. For this aim, by giving general control systems and observability problem, observability characterization of linear control systems on Lie groups by V. Ayala and A. Kara has been considered. Then, using that characterization, observability of linear control system on special Euclidean space SE(2) with the drift vector  field from normalizer has been studied when h is not a homomorphism and for that system existence of an output-observability function which is not a homomorphism and which guaranties observability is found. Moreover, by defining an original *  property, that the local observability implies global observability when h is a homomorphism, has been proved. 
In the fourth chapter in which there also exists the original part of the thesis, observability problem on conic control systems which is a new control system, [2], has been studied, and observability characterization has been found. For this aim, set of indistinguishable points from neutral element is found and by looking its geometric-topologic aspects it has been proved that it is a Lie group. By that set of indistinguishable points and  the set of fix points observability characterization has been found and proved.