Homojen olmayan ortamlara ilişkin green fonksiyonları ve çeşitli uygulamaları
Inhomogeneous media green's function and some applications
Yazar: EDA KONAKYERİ ARICI
Danışman: PROF. DR. ALİ YAPAR
İstanbul Teknik Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Telekomünikasyon Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2022
Konu: Elektrik ve Elektronik Mühendisliği = Electrical and Electronics Engineering
Dizin: Elektromanyetik saçılma = Electromagnetic scattering ; Green fonksiyonu = Green function ; Momentler yöntemi = Moments method ; İnhomojen = Inhomogeneous ; İntegral denklemler = Integral equations

Özet:
Elektromanyetik teoride homojen olmayan ortamlara veya homojen olmayan ortamların içerisinde yer alan saçıcı cisimlere ilişkin düz ve ters saçılma problemleri üzerine yapılan araştırmalar literatürde çok önemli bir yer tutmaktadır. Gerçekte pratik hayattaki tüm elektromanyetik uygulamalarda karşılaşılan ortamlar doğrudan bu türden homojen olmayan yapılardır. Bu kapsamda gerek düz saçılma gerekse ters saçılma olsun herhangi bir elektromanyetik probleminde ortam ve saçıcıların herhangi bir yaklaşıklık yapılmadan olduğu gibi gerçek profillerinin göz önüne alınması yüksek doğruluk ve hassas analizler için oldukça önemlidir. Saçılma problemleri genel olarak diferansiyel denklemler içerir. Bilindiği üzere bu denklemlerin çözümünde Green fonksiyonları hayati öneme sahiptir. Temel olarak Green fonksiyonları, saçılma problemlerinde karşılaşılan diferansiyel denklemleri veya denklem sistemlerini yüzey veya hacim integral denklemlerine dönüştürmek için kullanılır. Green fonksiyonu, verilmiş bir diferansiyel denklem için sağ tarafın normalize edilmiş noktasal kaynak (iki boyutta çizgisel kaynak), başka bir deyişle Dirac delta genelleştirilmiş fonksiyonu olması halindeki çözüm olup sistemin birim dürtü (impuls responce) cevabı olarak düşünülebilir. Klasik saçılma problemlerinde saçıcının içerisinde yer aldığı arka plan uzayı çoğu zaman homojen basit bir ortam, bazı özel problemlerde de tabakalı ortamlar olarak düşünülür. İlk halde Green fonksiyonlarının doğrudan analitik ifadeleri mevcuttur. İkinci durumda (tabakalı ortamlar) ise Fourier teorisine dayanan integral gösterimler veya sonsuz seri ifadeler yardımıyla Green fonksiyonları kolaylıkla hesap edilebilir. Oysa saçıcıyı barındıran arka plan uzayı homojen değilse ya da doğrudan saçıcının kendisi ve arka plan uzayının bir arada homojen olmayan bir ortam olarak modellenmesi durumunda Green fonksiyonu doğrudan analitik olarak ifade edilemez. Gerçekte böyle bir problemin kendisi de normalize bir noktasal (iki boyutta çizgisel) kaynakla aydınlatılmış homojen olmayan bir cisme ilişkin bir düz elektromanyetik saçılma problemine karşı düşer. Böyle genel bir konfigürasyona diğer bir deyişle homojen olmayan ortamlara ilişkin Green fonksiyonlarının hesabı ancak sayısal yöntemlerle gerçekleştirilebilir. Sözü edilen bu problemin bilinmeyeni Green fonksiyonu olduğundan kaynak noktası uzayın herhangi keyfi bir noktası olabilmelidir. Tüm uzay, arka planı homojen bir ortamın içerisindeki homojen olmayan bir yapı olarak düşünüldüğünde, kaynağın homojen olmayan bölge dışarısında olduğu durum için Green fonksiyonu bilinen yöntemlerle elde edilebilir. Burada klasik düz saçılma problemi noktasal kaynak halinde sayısal olarak çözülür ve doğrudan sonuca gidilebilir. Ancak kaynak noktası (Dirac delta kaynağın yerleştirildiği nokta) homojen olmayan bölgenin içinde kaldığında kaynak ve gözlem noktalarının üst üste gelmesi halinden (çakışmasından) dolayı yüksek dereceden tekillikler meydana gelir ve problem klasik yaklaşımlarla çözülemez. Bu tez çalışmasında bu tekilliğin çözümüne ilişkin momentler yöntemine dayanan orijinal bir sayısal yöntem önerilmiştir. Böylelikle kaynak noktasının konumuna bağımlı olmaksızın herhangi bir kaynak-gözlem konfigürasyonu için herhangi bir homojen olmayan ortama ilişkin Green fonksiyonunun sayısal olarak hesaplanabileceği gösterilmiştir. Uygulanan yöntemin ana yaklaşımı ilgili Green fonksiyonunu tekil ve tekil olmayan iki ayrı fonksiyonun toplamı olarak ifade etmeye dayanmaktadır. Bu dekompozisyon öncelikle ilgili noktadaki tekilliği başarılı bir şekilde yansıtmakta daha sonra da tekil olmayan kısmın uygun bir integral denklem yardımıyla sayısal olarak çözülmesini sağlamaktadır. Önerilen bu yeni yaklaşımda ilgili homojen olmayan bölge dikdörtgen formda küçük alt bölgelere (hücrelere) ayrılarak her bir hücre için analitik hesaplar yapmaya elverişli eşdeğer dairesel hücre yaklaşımı kullanılmıştır. Bu hücrelerin boyutlarının yeteri kadar küçük seçilmesi halinde, hücre içerisinde ortama ilişkin ilgili parametrelerin yaklaşık olarak sabit olduğu kabul edilerek çözüme gidilmiştir. Bu nedenle yeteri kadar hücre sayısı olması önemlidir. Green fonksiyonunun tekil olmayan bu parçası ile ilgili sayısal çözümü elde etmek için kurulan integral denklem, yüksek dereceden tekillikler içerir. Bu aşırı-tekil (hyper-singular) integral denklemde eşdeğer hücreler üzerindeki integraller analitik olarak hesaplanarak oldukça basit ve güvenilir bir çözüm elde edilmiştir. Hücre integralleri analitik olarak hesaplanabildiğinden eşdeğer hücre ve hücre içinde elektromanyetik parametrelerin sabit kabul edilmesi dışında fazladan bir yaklaşıklık yapılmamıştır. Bu nedenle oldukça yüksek doğrulukta sonuçlara erişilmiştir. Sonuç olarak homojen olmayan ortamlara ilişkin Green fonksiyonu kaynağın konumundan bağımsız olarak önerilen yöntem ile elde edilmiştir. Bu sonuç düz ve ters saçılma problemi araştırmaları için oldukça önemlidir.
Daha önce belirtildiği üzere, yukarıda özetlenen yöntem ile bulunan homojen olmayan ortam Green fonksiyonlarının doğrudan uygulama alanı bulabileceği temel alan elektromanyetik saçılma problemleridir. Bu kapsamda bu tez çalışmasında öncelikle düz saçılma problemlerine ilişkin uygulamalar yapılmış ve elde edilen sonuçlar analitik sonuçlarla kıyaslanarak yöntem ve yaklaşımların doğruluğu ispatlanmıştır. Ayrıca literatürde yer alan bir çalışma ile kıyaslama yapılarak yöntemin etkinliği ve doğruluğu bağımsız bir örnekle de desteklenmiştir. Devamında gerçek homojen olmayan ortamlarda yöntemin işlerliğini görmek adına insan beynine ilişkin bir kesit ele alınmış ve kaynak hem kesit içerisine hem de kesit dışarısına ayrı ayrı yerleştirilerek Green fonksiyonu ve alan dağılımı incelenmiştir. Bu tip yüksek kontrasta sahip ortamlarda yapılan analizlerde gelen dalganın ortam içerisine yeteri kadar nüfuz etmesi için uygun bir arka plan uzayı gereksinimine dikkat çekilmiş ve bununla ilgili sonuçlar paylaşılmıştır. Ayrıca önerilen yöntemle elde edilen Green fonksiyonu kullanılarak bir saçılan alan ifadesi verilmiştir. Bu saçılan alan hesabının, klasik olarak bilinen ve toplam alanı içeren saçılan alan ifadesine göre hesaplama yükü açısından daha verimli olduğu söylenebilir. Bu durum, literatürde yer alan birçok yinelemeli yöntem açısından önemlidir. Düz saçılma problemi analizinde elde edilen etkili sonuçlar ve yapılan analizler bu yöntemin etkinliğini açık bir şekilde ortaya koymaktadır.
Homojen olmayan ortamlara ilişkin Green fonksiyonlarının bir diğer uygulama alanı olan ters saçılma problemlerinde öncelikle düz saçılma problemi çözümünden sağlanacak verinin yüksek derecede doğru olması kritiktir. Bu tez çalışmasında düz saçılma problemleri için yapılan kıyaslamalı uygulamalar yöntemin ters saçılma problemlerinde güvenilir bir şekilde kullanılabileceğine bir kanıttır. Yöntemin ters saçılma problemlerinde etkinliğini görmek adına ise iki farklı ters saçılma problemi analizi yapılmıştır. Bunlardan ilki mikrodalga beyin görüntüleme uygulaması olup kanamalı bir beyindeki kanamanın yer tespiti çalışmasıdır. Sağlıklı ve sağlıksız beyinlerden saçılan alanların farkından yola çıkarak elde edilen kontrast fonksiyonunun hesaplanması ile sağlıksız beyinde yer alan kanamalı bölgenin yer tespiti yapılmıştır. Burada sağlıklı ve sağlıksız beyin Green fonksiyonlarının birbirlerine çok benzer olması sebebiyle fark saçılan alan ifadesinde sağlıklı beynin Green fonksiyonu kullanılmıştır. Problem kötü oluşturulmuş bir sistem olduğundan Tikhonov regülarizasyon yöntemine başvurulmuştur. Bu özel görüntüleme probleminde daha iyi sonuç elde etmek amacıyla çoklu aydınlatma kullanılmıştır. Ayrıca özellikle dalgaların beyin içine nüfuz edebilmesi için uygun arka plan uzayı seçimi bu problemin çözümü için önemlidir. Önerilen yöntem ile farklı büyüklük, adet ve elektromanyetik özelliklerdeki kanamalı bölgelerin tespiti yapılmıştır. Kanamalı bölge ile beynin elektromanyetik özellikleri arasındaki fark arttıkça görüntülemede netlik bir miktar azalmaktadır. Bu durumda kanamalı bölge için arka plan uzayı beynin kendisi olduğundan bu beklenen bir sonuçtur. Bu yöntemin kullanılabilmesi açısından en kritik konu, görüntülenecek beynin kanama olmadan önceki saçılan alan analizinin biliniyor olmasıdır. 
Bir diğer ters saçılma problemi uygulaması olarak mevcutta uygulamaları olan Ters Zaman Göçü yöntemi incelenmiştir. Homojen olmayan ortamlara ilişkin Green fonksiyonu bu yöntemde kullanılmış ve klasik Green fonksiyonu ile elde edilen sonuçlarla kıyaslama yapılmıştır. Yapılan incelemeler sonucunda önerilen yöntemin bu ters saçılma problemi uygulamasında da etkili olduğu görülmüştür. Klasik Green fonksiyonu ile elde edilen sonuçlar kıyaslandığında önerilen yöntemin birçok uygulamada görece daha net sonuçlar verdiği görülmüştür. Bu yöntemde uygulamalar basit kanonik yapılar üzerinde yapılmış, daha yüksek kontrasta sahip yapılara ilişkin yapılan analizler sonraki çalışmalarda incelenmek üzere plana alınmıştır. 
Sonuç olarak önerilen yöntemle elde edilen homojen olmayan ortamlara ilişkin Green fonksiyonu hem düz hem de ters saçılma problemlerinde etkin sonuçlar vermektedir. Özellikle düz saçılma problemleri için yapılan kıyaslamalı uygulamalar yöntemin doğruluğunu net bir şekilde ortaya koymaktadır. İlgili yöntem saçılan alanın hesaplama verimliliği açısından mevcuttaki yinelemeli yöntemlere göre avantajlıdır. Yöntem uygulanırken ilgili ortamın hücre sayısının yeteri düzeyde belirlenmesi önemlidir. Mikrodalga beyin görüntüleme alanında önerilen ters saçılma problemi yaklaşımı bu tip problemlere basit ve etkili bir yöntem sunmaktadır. Bu problemde uygun arka plan uzayı seçimi son derece önemlidir. Ayrıca mevcutta kullanılan bir ters saçılma problemi ile yapılan kıyaslama sonucunda da önerilen yöntemin etkinliği incelenmiş ve basit kanonik yapılarda uygulanabilir olduğu görülmüştür. Bu yönteme ilişkin daha geniş incelemeler yapılabilir. Homojen olmayan ortamlara ilişkin Green fonksiyonunun moment tabanlı sayısal bir yöntem ile elde edilmesi sonucunda literatüre özgün bir çalışma kazandırılmış, bu alandaki düz ve ters saçılma problemlerine katkılar sağlanmıştır.

Abstract:
In electromagnetic theory, studies on direct and inverse scattering problems related to inhomogeneous media or scatterers in inhomogeneous media have a very important place in the literature. In fact, media in practical life is commonly inhomogeneous. In this context, the real profiles of media and scatterers needs to be considered without any approximation for high accuracy and sensitive analyzes in direct and inverse scattering electromagnetic problems. Scattering problems generally involve differential equations. As it is known, Green's functions are very important in the solution of these equations. Basically, Green's functions are used to transform differential equations or systems of equations in scattering problems into surface or volume integral equations. Green's function is the solution for a given differential equation when the right-hand side is a normalized point source (linear source in two dimensions), in other words generalized Dirac delta function, and can be considered as the unit impulse response of the system. In classical scattering problems, the background space in which the scatterer is located is often considered as a simple homogeneous media, and in some special problems, it is considered as a layered media. In the first case, there are analytical expressions of Green's functions. In the second case (layerred media), Green's functions can be easily calculated with integral representations based on Fourier theory or infinite series expansion. However, the Green's function cannot be expressed analytically directly if the background space containing the scatterer is inhomogeneous or if both the scatterer and the background space are inhomogeneous. Such a problem corresponds to a direct electromagnetic scattering problem for an inhomogeneous object illuminated by a normalized point source (line source in two dimensions). The calculation of Green's functions for such a general configuration, in other words, for inhomogeneous media, can only be performed by numerical methods. Since the unknown is Green's function in this problem, the source point must be any arbitrary point in space. When the whole space is considered as an inhomogeneous structure in a homogeneous background, the Green's function can be calculated by known methods for the case where the source is outside the inhomogeneous region. In this case, the classical flat scattering problem is solved numerically as a point source. Thus, the result can be obtained directly. However, when the source point (the point where the Dirac delta source is located) is within the inhomogeneous region, high-order singularities occur due to the overlapping of the source and observation points. In this case, the problem cannot be solved with classical approaches. In this thesis, an original numerical method based on the method of moments for the solution of this singularity is proposed. Thus, it is shown that the Green's function for any inhomogeneous media can be calculated numerically for any source-observation configuration, regardless of the location of the source point. The main approach in the applied method is based on giving the Green's function as the sum of two separate functions, singular and non-singular. First of all, this decomposition successfully shows the singularity at the relevant point. Then, it provides the numerical solution of the non-singular part with an integral equation. In this new approach, the inhomogeneous region is divided into small sub-regions (cells) in rectangular form and the equivalent circular cell approach is used, which enables analytical calculations for each cell. As a result of choosing the size of these cells small enough, it is assumed that the relevant parameters of the media in the cell are approximately constant. Therefore, it is important to have a sufficient number of cells. The integral equation to obtain the numerical solution for this non-singular part of Green's function contains higher order singularities. In this hyper-singular integral equation, the integrals on the equivalent cells are calculated analytically and a very simple and reliable solution is obtained. Since integrals on the cell can be calculated analytically, the only approximation is that the electromagnetic parameters are constant in the equivalent cell, and there is no other approximation. Therefore, results were obtained with very high accuracy. As a result, the Green's function for inhomogeneous media was obtained with the proposed method regardless of the location of the source. This result is very important for research on the direct and inverse scattering problem.
As mentioned earlier, the most basic application area of Green's functions for inhomogeneous media calculated by the proposed method is electromagnetic scattering problems. First of all, in this thesis, applications for direct scattering problems are given and the results are compared with analytical results and the accuracy of the methods and approaches is proven. For this purpose, as a first application, simple canonical structures are considered and the Green's function of the structure and the scattering field from the structure are examined. The results obtained with the proposed method are compared with both classical method of moments and analytical results and the same results are obtained for all of them. It is a proof for the accuracy of this method. Afterwards, the effectiveness of the method is examined in an application similar to real applications. Therefore, the results obtained with the proposed method are compared with a study in the literature, and the efficiency and accuracy of the method are supported by an independent sample. As mentioned before, in this method, the relevant region is divided into small sub-regions and it is important that the number of sub-regions are sufficient in terms of the accuracy of the solution. In order to show the importance of this issue, the variation of the relative error according to the number of sub-regions is examined and it is observed that the relative error decreased sufficiently after a certain number of sub-regions. Afterwards, a cross-section of the human brain is discussed to examine the usability of the method in real inhomogeneous medium. The Green's function and field distribution are examined by placing the source separately inside and outside the section. In the analysis in high-contrast medium, the incident wave must penetrate into the medium sufficiently. It is possible by using a suitable background space. Analyses using background space are given in the results related to the human brain. In this application, the proposed method is used when choosing the background space, and the scattering field from the object and the total field in the object are examined for different background spaces. As a result of this examination, the background space is chosen for applications that provide less scattering field from the object and more total field penetrating into the object. In addition, an equation of scattering field is given using the Green's function obtained by the proposed method. It can be said that the given equation of scattering field is more efficient in terms of computational load than the classically scattering field expression that includes the total area. This result is important in terms of iterative methods in the literature. The effective results and analyzes obtained in the analysis of the direct scattering problem clearly demonstrate the effectiveness of the proposed method.
In the inverse scattering problems, which is another application area of inhomogeneous media Green's function, it is important that the data obtained from the solution of the direct scattering problem are highly accurate. Comparative applications for direct scattering problems in this thesis are proof that the method can be used reliably in inverse scattering problems. In order to examine the effectiveness of the method in inverse scattering problems, two different analyses of inverse scattering problems are performed. The first analysis is the application of microwave brain imaging, which is the study of locating a bleeding in the human brain. In this study, structures called bleeding which are different from the brain as the electromagnetic properties are placed in the healthy brain and this brain is called the unhealthy brain. The location of the bleeding in the unhealthy brain is determined by calculating the contrast function obtained from the difference of the scattering fields from healthy and unhealthy brains. In this study, since the Green's functions of healthy and unhealthy brains are very similar to each other, the Green function of the healthy brain is used in the difference function of scattering fields. Since the problem is an ill-posed system, Tikhonov regularization method is applied. In this type of imaging studies, effective results are generally not obtained as a result of illumination with a single source. In this imaging problem, multiple illumination is used to achieve better results. In addition, the selection of the appropriate background space is important for the solution of this problem, especially for the penetration of the incident wave into the brain. In determining the background space, the brain is placed in different background spaces and the results are analyzed. As a result, the background space that gives the best results in this inverse scattering problem is selected. Bleeding areas in the brain with different attiributes (sizes, numbers and electromagnetic properties) were detected with the proposed method. As the difference in the electromagnetic properties of the bleeding area in the brain and the brain increases, the ability to obtain clear images in electromagnetic imaging decreases slightly. In this case, it is an expected result since the background space for the bleeding area is the brain itself. The most critical issue for the use of this method by researchers is the availability of scattering field from the healthy brain.
As another application of inverse scattering problem, the Reverse Time Migration (RTM) method, which has applications in the literature, has been examined. In this method, abnormal structures placed in a particular object are detected by calculated cross-correlation. For this application, the difference of scattering fields is obtained as mentioned in the previous application of inverse scattering problem. The location of an abnormal structure in an object is determined by using the difference of scattered fields in the cross-correlation. In the current studies using this method, the results obtained with the classical Green's function are generally examined. In this thesis, unlike the existing studies, the inhomogeneous media Green's function is used in this method. In order to determine the effectiveness of the Green's function in this method, the results are compared with the results obtained with the classical Green's function. As a result of the applications, it is seen that the proposed method is effective in the RTM application. When the results obtained with the classical Green's function are compared, it is seen that the proposed method gives relatively clearer results in many applications. In this method, applications are examined for simple canonical structures. These structures do not have high contrast. Analysis of complex structures with higher contrast is planned for further study.
As a result, the Green's function for inhomogeneous media obtained by the proposed method provides effective results for both direct and inverse scattering problems. Comparative applications, especially for direct scattering problems, clearly demonstrate the accuracy of the method. The method has an advantage over existing iterative methods in terms of computational efficiency of the scattering field. In applications, it is important to determine the number of dividing cells of the media sufficiently. Otherwise, the efficiency and accuracy of the results will decrease. The reason is that the parameters examined in each cell are assumed to be constant. The solution of the inverse scattering problem for microwave brain imaging proposed in this thesis presents a simple and effective method for such problems. Although the brain is a structure that is difficult to analyze in terms of electromagnetic parameters, abnormal structures with different attributes are determined with accuracy. This study gives successful results for researchers working in this field. In this problem, it is extremely important to determine the appropriate background space for the structure to be imaged. In addition, as a result of the comparison with RTM, which is an inverse scattering problem that has applications in the literature, the efficiency of the inhomogeneous media Green's function was examined and it was seen that it could be applied in simple canonical structures. It can be examined for more complex and high contrast structures for RTM applications, which is the inverse scattering problem approach at the end of the thesis. Since the main subject of this thesis is the examination of the inhomogeneous media Green's function, different and detailed RTM applications are not included. As a result of the calculation of the Green's function for inhomogeneous media with a moment-based numerical method, a unique study was included in the literature. This method will be especially beneficial for researchers who study the electromagnetic scattering problem.