Üç boyutlu simetrik jeodezik koordinat dönüşümünde stokastik model tasarımı
Stochastic model design in three dimensional symmetric geodetic coordinate transformation
Yazar: SÜREYYA ÖZGÜR UYGUR
Danışman: PROF. DR. CÜNEYT AYDIN
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Harita Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Geomatik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2021
Konu: Jeodezi ve Fotogrametri = Geodesy and Photogrammetry

Özet:
Koordinat dönüşümü probleminde iki sistem arasındaki matematiksel ilişki, dönüşüm parametreleri ile tanımlanır. Bu parametrelerin belirlenmesi için izlenen klasik yaklaşım (ağırlıklı) en küçük kareler (EKK) dengelemesidir. Eğer başlangıç ve hedef sistem koordinatlarının her ikisi de rasgele hatalar ile yüklü ise, başlangıç sistemi hatalarının göz ardı edilmesi, bazı özel durumlar dışında, yanıltıcı sonuçlar elde edilmesine neden olur. Bu sebeple dönüşüm probleminin çözümü, tüm koordinat hatalarının dikkate alındığı simetrik koordinat dönüşümü altında ele alınmalıdır. Simetrik koordinat dönüşümünün çözümü toplam EKK yöntemi olarak adlandırılır. Bu yöntem, doğrusal olmayan bir denklem sisteminin iteratif çözümünü gerektirmektedir. Dolayısıyla, dönüşüm parametrelerinin iyi belirlenmiş yaklaşık değerlerine gereksinim duyulur. Dönüşüm parametrelerinin büyük olması durumunda, dönüklük matrisinin Euler açıları ile parametrizasyonu, başlangıç değeri belirleme problemi başta olmak üzere nümerik açıdan çeşitli zorluklara sebep olabilir. Bu nedenle, dönüklüklerin farklı bir şekilde ifade edildiği daha genel bir çözüme ihtiyaç duyulur.
Bu çalışma kapsamında, üç boyutlu asimetrik ve simetrik koordinat dönüşümü problemlerinin kuaterniyon tabanlı EKK yöntemi ile çözümü ele alınmıştır. Dönüklüklerin kuaterniyonlar ile gösteriminin klasik Euler açılarına göre avantajları ortaya konmuş ve algoritmanın performansı oldukça geniş bir örneklemde test edilmiştir. Başlangıç sistemi koordinat hatalarının ihmal edilmesinin parametre kestirimine etkileri irdelenmiştir. Ayrıca, her iki sistem koordinatlarının da farklı kaynaklardan gelmesi durumunda problem, varyans bileşenleri bilinmeyen simetrik koordinat dönüşümü altında ele alınmış ve varyans bileşen kestirimi (VBK) algoritmasının başarısı irdelenmiştir.
Elde edilen sonuçlara göre, her iki sistem koordinatları da hatalı iken başlangıç sistemi koordinat hatalarını ihmal etmek çözümlerin biaslı olmasına sebep olmaktadır. Bu bias, başlangıç sistemi koordinatlarının doğruluğu hedef sistem koordinatlarına göre arttıkça azalmaktadır. Başlangıç sistemi koordinatları hedef sistem koordinatlarından en az 10 kat daha doğru ise, asimetrik ve simetrik koordinat dönüşüm algoritmaları ile özdeş parametre kestirimleri elde edilir. Benzer biçimde, başlangıç sistemi koordinatlarının doğruluğu hedef sistem koordinatlarına göre arttıkça VBK'nin başarı oranı azalmaktadır. Bu durumda (aslında her durumda), nokta sayısının artması VBK algoritmasının başarı oranını arttırmaktadır.

Abstract:
In coordinate transformation problem, the mathematical relation between two systems is defined by transformation parameters. The classical approach in order to determine
these parameters is the (weighted) least-squares solution. If the start and target system coordinates are both burdened with random errors, then ignoring the start system errors lead to misleading results. Therefore, the solution of the transformation problem should be treated as symmetric coordinate transformation which considers all the coordinate errors. The solution of the symmetric coordinate transformation is called the method of total least-squares. This method requires an iterative solution of a nonlinear system of equations. Therefore, good initial approximate values of the transformation parameters are needed. However, in case of large transformation parameters, the Euler parameterization of the rotation matrix may cause various numerical difficulties, particularly for initial value determination problem. Thus, a more general solution is needed where the rotations are distinctly represented.
In this study, a quaternion based LS solution of the asymmetric and symmetric transformation problems has been discussed. Advantages of the representation of rotations with quaternions over classical Euler angles have been revealed and the performance of the algorithm has been tested on a very large sample size. The effect of ignoring the start system coordinate errors on the parameter estimation has been examined. Moreover, if the coordinates of both systems come from different sources, then the problem is treated as symmetric coordinate transformation with unknown variance components and the performance of the variance component estimation (VCE) algorithm has also been examined.
Findings show that if both system coordinates are erroneous, then neglecting the start system coordinate errors causes biased solutions. The bias decreases as the accuracy of the start system coordinates increases w.r.t the target system coordinates. If the start system coordinates are at least ten times more accurate than the target system coordinates, then both symmetric and asymmetric coordinate transformation methods result in equivalent parameter estimations. Similarly, if the accuracy of the start system coordinates increases w.r.t the target system coordinates, the success rate of the VCE algorithm decreases. In this case (actually in all the cases), increasing the number of the points increases the success rate of the VCE algorithm.