Bazı popülasyon modellerinin fark denklemlerine uyarlanması
The application of some population models to the difference equations
Yazar: TURGUT AK
Danışman: PROF. DR. İLHAN ÖZTÜRK
Erciyes Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2012
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Asimptotik davranış = Asymptotic behavior ; Asimptotik kararlılık = Asymptotic stability ; Fark denklemleri = Difference equations ; Kararlılık = Stability ; Kararlılık analizi = Stability analysis

Özet:
Üç bölümden oluşan bu tezin amacı, belirli koşullar altında fark denklemleri ile temsil edilen popülasyon modellerinin dinamik davranışlarını incelemek ve elde edilen sonuçlar ile belirli nümerik değerleri dikkate alarak geometrik olarak yorumlamaktır. Birinci bölümde fark denklemleri ve bu tip denklemlerin modellenmesi ile ilgili kısa bir tarihçe verilmiştir.İkinci bölümde, fark denklemleri ve bunların kararlılık teorisi ile ilgili temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Bu bölümün alt kısımlarında ise bazı biyolojik örnekler üzerinde durulmuş ve belirli tipteki popülasyon modellerinin kararlılık analizi yapılarak elde edilen sonuçlar geometrik olarak yorumlanmıştır [9]. Üçüncü bölümde, r,?,ß_0,ß_1,?_1 ve ?_2 parametreleri pozitif reel sayılar ve ?t?, t?[0,?) için t'nin tam değeri ve t zamanı göstermek üzere, parçalı sabit terimler kapsayan bir popülasyon modelini temsil eden dx(t)/dt=x(t){r(1-?.x(t)-ß_0.x(?t? )-ß_1.x(?t-1? ) )+?_1 x(?t? )+?_2 x(?t-1? ) } lojistik diferensiyel denkleminin kararlılık yapısı incelenmiştir [20]. Bu çerçevede elde edilen fark denkleminin pozitif çözümlerinin sınırlılığı, yerel ve global kararlılığı incelenmiş ve elde edilen teorik sonuçlar örneklerle desteklenmiştir.Anahtar Kelimeler: Lojistik diferensiyel denklem, fark denklemi, yerel asimptotik kararlılık, global asimptotik kararlılık, parçalı sabit terimler.

Abstract:
The purpose of this thesis that consists of three chapters, is to examine the dynamic behaviors of some population models represented with the difference equations under the certain conditions and to interpret geometrically by taking into consideration the results obtained with the some numerical values. In the first chapter, it has been given a brief history about the difference equations and modelling these types of equations. In the second chapter, the fundamental definitions and theorems about the difference equations and the stability theories of these equations have been given. In the sub sections of this chapter, it has been focused on some biological samples and the results obtained have been interpreted geometrically by doing stability analysis of certain types of population models [9]. In the third chapter, we examine the behaviors of the solutions of the equation dx(t)/dt=x(t){r(1-?.x(t)-ß_0.x(?t? )-ß_1.x(?t-1? ) )+?_1 x(?t? )+?_2 x(?t-1? ) } where r,?,ß_0,ß_1,?_1 and ?_2 are positive real numbers and ?t? denotes the integer part of the t?[0,?) and t defines the time [20]. In this context, the boundness of the positive solutions of the above difference equation obtained, local and global stability has been analysed and theoretical results obtained have been corroborated with examples.Keywords: Logistic differential equation, difference equation, local asymptotic stability, global asymptotic stability, piecewise constant arguments.