Bazı tipten kısmi türevli diferensiyel denklemlerin çözümlerinin patlaması ve uzun zaman davranışı
Blow up and long time behavior of solutions of some types of partial differantial equations
Yazar: ZEYNEP SÜMEYYE YILMAZ
Danışman: PROF. DR. ŞEVKET GÜR
Sakarya Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Tezin birinci bölümünde, enerji azalımı ve çözümlerin patlaması konusundaki günümüze kadar yapılmış olan çalışmaların tarihi gelişimi ele alınmıştır.
İkinci bölümde, tez boyunca kullanılan temel tanımlar, teoremler ve eşitsizlikler sunulmuştur.
Çalışmanın üçüncü bölümünde, tezde kullanılacak olan enerji azalımı ve çözümlerin patlaması ile ilgili temel lemmalar ve ispatlar verilmiştir.
Dördüncü bölümde kaynak ve lineer olmayan damping terim içeren genelleştirilmiş Klein-Gordon denklem sistemi için
başlangıç sınır değer problemi ele alınmıştır. Burada  ,  de   düzgün sınırına sahip sınırlı bir bölgedir. Ayrıca  ve   dır.  için olmak üzere; ve dır. Böylece   için   olur. Bu çalışmada kaynak ve lineer olmayan damping terim içeren genelleştirilmiş Klein-Gordon denklem sisteminin çözümlerinin global varlığı, enerji azalması ve patlaması gösterilmiştir. Enerji azalımı Nakao eşitsizliği kullanılarak ispatlanmıştır. İlk olarak bu denklem sistemine bağlı bir   fonksiyonu bulunup,   fonksiyonunun   için yani artmayan olduğu elde edilir. Daha sonra Nakao eşitsizliği kullanılarak belli eşitsizlikler, lemmalar yardımıyla   ve   için iki farklı durumda enerji azalması gösterilir. Çözümlerin patlaması ise 1994 yılında Georgiev ve Todorova tarafından ortaya koyulan yöntem ile ispatlanmıştır. Bu yöntemde başlangıç enerjisi   olarak ele alınır ve çözümün bütün zamanlarda var olduğu kabul edilip buradan bir çelişki elde edilir. Böylece çözümün sonlu bir zamanda patladığı gösterilir. İlk olarak enerji fonksiyonunun negatifi olan bir fonksiyon ele alınır yani  ,   ve   olur. Buradan   daha sonra belirlenecek yeterince küçük bir sabit olmak üzere ve tanımlanır. Burada amaç,   fonksiyonunun şeklinde bir diferensiyel eşitsizliğini sağladığını göstermektir. Bu durum, çözümün sonlu bir  zamanında patladığını ifade eder ve olur.
Beşinci bölümde hidrodinamik sönümlü terim içeren Rosenau denkleminin başlangıç sınır değer problemi ele alınmıştır. Burada   ve   dır. Bu çalışmada çözümlerin patlaması 1974 yılında Levine tarafından ortaya koyulan Konkavlık metodu kullanılarak ispatlanmıştır.
İlk önce   çözümü   olacak şekilde yazılır. Enerji fonksiyonu   için olur. Daha sonra probleme ait uygun bir fonksiyoneli şeklinde seçilir. Burada  ,   and  pozitif sabitlerdir.   fonksiyonu pozitif, iki kez türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere    ve  için eşitsizliğini sağladığı gösterilir. Eğer   ve   ise o zaman   iken   olacak şekilde   pozitif sabiti vardır.
Altıncı bölümde ise doğrusal olmayan damping terim içeren  -triharmonik denklem sistemi için başlangıç sınır değer problemi ele alınmıştır. Burada  ,  de   düzgün sınırına sahip sınırlı bir bölgedir. Ayrıca  ve   olup   ve    -triharmonik operatörlerdir.   için   olmak üzere; ve dır. Böylece   için olur. Bu çalışmada  -triharmonik denklem sisteminin çözümlerinin enerji azalması ve patlaması gösterilmiştir. Enerji azalımı Nakao eşitsizliği kullanılarak ispatlanmıştır. İlk olarak bu denklem sistemine bağlı bir   fonksiyonu bulunup,   fonksiyonunun   için yani artmayan olduğu elde edilir. Daha sonra Nakao eşitsizliği kullanılarak belli eşitsizlikler, lemmalar yardımıyla   ve   için iki farklı durumda enerji azalması gösterilir. Çözümlerin patlamasını göstermek için ise 2003 yılında Li ve Tsai tarafından bulunan yöntem kullanılmıştır. Çözümlerin patlaması   durumu için gösterilir.   olarak alındığında, çalışılan problem
olur. Burada   çözümü için şartını sağlayan sonlu bir   zamanında çözümün patlaması gösterilir. Çözümlerin patlamasına başlangıç enerjisinin  ,  ve   üç farklı durumuna göre bakılır. 

Anahtar Kelimeler: Global varlık, Çözümlerin patlaması, Enerji azalması, Nakao eşitsizliği, Klein-Gordon denklemi, Rosenau denklemi, p-triharmonik denklem

Abstract:
In the first chapter, the historical progressions and various studies in the literature concerning the blow up of solutions and energy decay are discussed.
In the second chapter, essential theorems, definitions and inequalities required for the thesis are presented.
In the third chapter of this study, several fundamental lemmas and proofs concerning the blow-up of solutions and energy decay are provided. These are used in the fourth, fifth and sixth sections of the thesis.
In the fourth chapter, the global existence, blow up of solutions and energy decay of the generalized Klein-Gordon equation system with source and nonlinear damping terms are studied. We examine the following problem: where   is a bounded domain with smooth boundary   in  , and Let   with  ;  and One can easily verify that Firstly, we find energy functional   related to this system.  is a nonincreasing function for  Then, using some inequalities and lemmas, the energy decay for   and   are established by using Nakao's inequality.
The blow up of the solution with negative initial energy    was proved by the method introduced by Georgiev-Todorova in 1994. We suppose that the solution exists for all time and we find in a contradiction. Set , then   and    Define where   is a small value to be determined later and Our purpose is to demonstrate that   satisfies a differential inequality in the following format As a result, the solution of this system blows up within finite time  , and where   and   are given above.
In the fifth chapter, we study the blow up of solutions of the generalized Rosenau equations with a hydrodynamically damping term. The following problem is being examined: where   are constants and  . The blow up of solutions was proved by the Concavity method introduced by Levine in 1974. Firstly, the solution   satisfies  , with a corresponding evolution of   as follows: Energy function of this equation satisfy Now we let where  ,   and  positive numbers. Let's suppose that  , a positive function and twice differentiable, satisfies the following inequality on where   is a constant. If   and  , thus there exists a positive constant   such that   as In the sixth chapter, we study the global existence, decay estimates of the energy function and blow-up of solutions for a system of p-triharmonic with strong and nonlinear damping term. The following initial-boundary value problem is being examined: where   is a bounded domain with smooth boundary   in  ,     and  . 
Let   with  ;  and It is confirmed that	Firstly, we find energy functional   related to this system. So,   is a nonincreasing function Then, using some inequalities and lemmas, the energy decay for   and   are derived using Nakao's inequality. The blow up of solutions was proved by the method introduced by Li and Tsai in 2003.
We consider problem   for the blow up of solutions.
	 	
A solution   with   is termed as blow up if there exist a finite time   such that We attain the blow up of solutions in three different ranges of the initial energy:  ,   and  .

Keywords: Global existence, Blow up, Energy decay, Nakao inequality, Klein-Gordon equation, Rosenau equation, p-triharmonic equation