Yüksek mertebeden diferansiyel operatörler ve evrensel modülleri
High order differential operators and their universal modules
Yazar: HALİSE  MELİS TEKİN
Danışman: DOÇ. DR. ALİ ERDOĞAN
Hacettepe Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2009
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu çalışmada halka teoride karşılaşılan problemlerin çözümünü kolaylaştıran diferansiyeloperat¨orler incelenmi¸stir. Bu tezin amacı diferansiyel operat¨orlerin halkateorideki yerini a¸cıklamak ve y¨uksek mertebeden diferansiyel operat¨orler ve bunlarınevrensel mod¨ullerinin temel ¨ozelliklerini anlatarak ileride yapılacak olan ¸calı¸smalari¸cin bir temel olu¸sturmaktır. Bu tez ¨u¸c b¨ol¨umden olu¸smaktadır.Tezin giri¸s b¨ol¨um¨unde, okuyucunun sonraki b¨ol¨umlerde yapılan ¸calı¸smaları inceleyebilmesii¸cin gerekli olan ¨onbilgiler verildi.Tezin ikinci b¨ol¨um¨unde, 1.mertebeden diferansiyel operat¨orlerin ve bunların evrenselmod¨ullerinin tanımı verilerek her R/R0 cebiri i¸cin 1. mertebeden evrensel diferansiyeloperat¨or¨un varlı?gı g¨osterildi. Sonra 1. mertebeden diferansiyel operat¨orlerincisim geni¸slemeleri ¨uzerindeki uygulamaları verildi ve lokal halkaların diferansiyel operat¨or mod¨ulleri incelenerek bunların ¨urete¸c k¨umeleri belirlendi. Buna ek olarak,afin cebirlerin ve lokalizasyonlarının diferansiyel operat¨or mod¨ulleri incelendi veJakobien Kriterine yer verildi. B¨oylelikle y¨uksek mertebeden diferansiyel operat¨orleriincelemek i¸cin gerekli olan temel bilgiler verilmi¸s oldu.Tezin ¨u¸c¨unc¨u b¨ol¨um¨unde, n.mertebeden diferansiyel operat¨or¨un tanımına vebunlarla ilgili ¨orneklere yer verilerek n.mertebeden evrensel diferansiyel operat¨ormod¨ul¨u tanımlandı. Ayrıca b¨ol¨um halkalarının ve lokal halkaların diferansiyel operat¨or mod¨ulleri verildi. Buna ek olarak cisim geni¸slemelerinin evrensel mod¨ullerikarakterize edildi ve evrensel mod¨ullerle vekt¨or uzaylar arasındaki ili¸ski g¨osterildi.Son olarak reg¨uler cebirlerin evrensel mod¨ulleri incelendi ve R/R0 cebiri i¸cinn.mertebeden t¨urev mod¨ul¨u tanımlanarak n.mertebeden t¨urev mod¨ulleri ile n.mertebedendiferansiyel operat¨or mod¨ulleri arasındaki ili¸ski verildi.Anahtar Kelimeler : Evrensel Mod¨ul, Projektif Mod¨ul, Jakobien kriteri

Abstract:
In this work we investigate the differential operators which facilitate to overcomesome problems in ring theory. The main purpose of this thesis is to explain the roleof the differential operators in ring theory and to give some properties of high orderdifferential operators and their universal modules and thus to constitute a basis forour next works. This thesis consists of three chapters.The first chapter gives a necessary backgroud for the readers to review the workin the next chapters.In the second chapter the definition of the first order differential operator andtheir universal modules are given and it is shown the existence of universal modulesfor all R=R0 algebras. Then we obtain the first applications of the theory of differentialmodules on field extensions and the structure of differential operator modules oflocal rings are investigated. Moreover differential operator modules of affine algebrasand their localizations are in consideration and Jacobien criterian is given. Thus thenecessary informations are given to investigate high order differential operators andtheir universal modules.In the third chapter, high order differential operators and their universal modulesare defined. Then the universal modules of factor rings and local rings are given.Besides we characterise the universal module of the field of fractions of an affinedomain and it is shown the connection of the universal modules with vector spaces.In addition to this universal modules of regular algebras are investigated. Finallywe define the universal module of derivations of order n of a given R=R0¡algebraR and we give the relation between differential operator modules of order n andderivations of order n:Keywords: Universal Module, Projective Module, Jacobien Criterian