Yarı Öklid uzaylarının genelleştirilmiş sabit oran alt manifoldları
Generalized constant ratio submanifolds of semi-Euclidean spaces
Yazar: ALEV KELLECİ
Danışman: PROF. DR. MAHMUT ERGÜT ; DOÇ. DR. NURETTİN CENK TURGAY
Fırat Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Geometri Ana Bilim Dalı / Geometri Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2018
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Öklid ve yarı-Öklid uzaylarındaki bir altmanifoldun geometrik özelliklerini anlamak için,
üzerinde çalışılan en önemli tasvirlerden (dönüşümlerden) biri; altmanifoldun konum vektörüdür.
Bu doğrultuda, 2001 yılında B. Y. Chen tarafından, Öklid uzaylarındaki sabit oran (CR)
altmanifold kavramı tanıtılmı¸stır. M, E^m Öklid uzayının bir altmanifoldu ve x : M -> E^m manifoldun konum vektörü olsun. x konum vektörü, x = x^T + x? şeklinde ayrıştırılabilir. Burada x^T
ve x?, sırasıyla, x konum vektörünün teğetsel (teğet) ve normal bileşenleridir. Eğer, bu iki vektörün uzunlukları oranı sabit ise, bu durumda M altmanifolduna sabit oran (CR) altmanifoldu
veya eşit açılı altmanifold denir.
Özel olarak karşıt boyutun bir olması durumunda, M bir CR hiperyüzeyi ise, bu durumda x
konum vektörünün x^T teğet bileşeni, M hiperyüzeyinin bir asli doğrultusudur. Oysa, bu durumun
tersi genelde doğru değildir. Örneğin, Y. Fu ve M. I. Munteanu E^3 Öklid uzayındaki tüm
dönel yüzeylerin bu özelliği sağladığını göstermişlerdir. Fakat, bir dönel yüzeyin bir CR yüzeyi
olması için, bu dönel yüzeyinin profil eğrisini özel olarak seçmek gerekir. Bu nedenden dolayı,
CR yüzey kavramı genelleştirilerek genelleştirilmiş sabit oran (GCR) yüzey kavramı, Y. Fu ve
M. I. Munteaunu tarafından literatürde 2014 yılında sunulmuştur: Eğer, M yüzeyinin x konum
vektörünün x^T teğet bileşeni, bu yüzeyin bir asli kanonik doğrultu ise, o zaman M yüzeyine
genelleştirilmiş sabit oran (GCR) yüzeyi denir.
Tezde de anlatılacağı üzere, GCR yüzeyleri aynı zamanda asli kanonik doğrultuya sahip bir (CPD) yüzeylerinin, daha açık olarak, yüzeyin x konum vektörü yerine özel olarak, E^n+1 uzayındaki sabit bir k vektörünün alınmasıyla karakterize edilen yüzeylerinin bir genelleştirilmesi olarak da düşünülebilir.
Yukarıdaki tanımlar göz önüne alındığında, bu tanımların hiperyüzeyler için de aynı şekilde
yapılabilece˘gi kolaylıkla görülür. Di˘ger taraftan, kar¸sıt boyutun birden büyük oldu˘gu durumda
ise, CPD altmanifold tanımı yapılırken, literatürde S^nxR ve H^nxR uzaylarındaki A-sınıfı daldırma
tanımı kullanılmı¸stır. Bu tez çalışmasında, R. Tojiero ve B. Mendoça tarafından verilen bu tanım kullanılarak Öklid ve yarı-Öklid uzaylarının bir altmanifoldu için şu şekilde genelleştirilmiştir: Eğer o altmanifoldun konum vektörünün teğet bileşeni, tüm şekil operatörlerinin
asli doğrultusu ise, bu altmanifolda GCR altmanifold denir.
Doktora tezi olarak hazırlanan bu çalışmada, Öklid ve yarı-Öklid uzaylarında genelleştirilmiş sabit oran (GCR) altmanifoldları ele alınmıştır ve bu tez altı bölüm halinde düzenlenmiştir.
Tezin ilk iki bölümünde tezin konusu ile ilgili bazı genel bilgiler verilmiş; üçüncü, dördüncü ve
beşinci bölümlerinde ise, elde edilen orijinal sonuçlar sunulmuştur. Altıncı bölümde ise, elde
edilen sonuçlar değerlendirilip, açık problemler sunulmuştur. Tezin organizasyonu şu şekildedir:
Birinci bölümde; genelleştirilmiş sabit oran (GCR) altmanifoldlarının tarihçesi ve altmanifoldların
geometrik özellikleri göz önüne alınarak yapılan çalışmalar özet halinde ifade edilmiştir. İkinci bölümde; tez boyunca kullanılacak olan temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir.
Üçüncü bölümde; E^4 Öklid uzayında karşıt boyut iki olan, sırasıyla, sabit açı (CAS) yüzeyleri,
asli kanonik doğrultuya sahip (CPD) yüzeyleri, sabit eğim (CSS) yüzeyleri ve son olarak da genelleştirilmiş sabit oran (GCR) yüzeyleri sınıflandırılmıştır. Dördüncü bölümde; ilk olarak E^n+1_1 Minkowski uzayındaki asli kanonik doğrultuya sahip (CPD) hiperyüzeylerinin bazı geometrik
özellikler incelenerek bu bölümde kullanılacak olan önemli teorem ve sonuçlar verilmiştir.
Sonrasında, E^3_1 Minkowski uzayında karşıt boyut bir olan asli kanonik doğrultuya sahip (CPD)
yüzeyleri için yeni bir sınıflandırma elde edilmi¸stir. Ayrıca, bu yüzeylerin minimal (maksimal)
olma durumları incelenmiş ve bazı önemli karakterizasyonlar verilmiştir. Son olarak ise, lightlike
sabit doğrultu ile ilişkili sabit açı (CAS) yüzeyleri için sınıflandırma verilmiştir. Beşinci
bölümde; ilk olarak E^n+1_1 Minkowski uzayındaki genelleştirilmiş sabit oran (GCR) hiperyüzeylerinin
bazı geometrik özellikleri incelenerek, bu bölümde kullanılacak olan önemli teorem ve sonuçlar elde edilmiştir. Sonrasında, E^4_1 Minkowski uzayında karşıt boyut bir olan genelleştirilmiş sabit oran (GCR) yüzeyleri için sınıflandırma elde edilmiştir. Son bölüm de ise; öncelikle elde edilen sonuçlar değerlendirilmiş ve sonrasında bazı açık problemler ortaya konulmuştur.

Abstract:
One of the most basic objects studied to understand geometrical properties of a submanifold of a Euclidean space or semi-Euclidean space is its position vector. In this direction, the notion of constant ratio (CR) submanifolds in Euclidean spaces introduced by B. Y. Chen. For each Riemannian manifold M isometrically immersed in E^m , there is a natural orthogonal decomposition of the position vector x at each point on M; namely x = x^T + x? where x^T and x? denote the tangential (tangent) and normal components of x, respectively. If the ratio of length of these two vectors is constant, then M is said to be a CR submanifold or an equiangular submanifold.
In the particular case of the codimension= 1, if M is an CR hypersurface, then the tangential
part x^T of x is a principal direction of M. However, the converse of this statement does not hold
in general. For example, it is proved that all of rotational surfaces in E3 have this property. But
a rotational surface is not a CR surface unless its profile curve is chosen specifically. Therefore,
the definition of generalized constant ratio (GCR) surface has been recently given: If x^T is a
principal direction of a surface, then the surface is said to be a GCR surface. In Euclidean and
semi-Euclidean spaces, generalized constant ratio (GCR) submanifolds have been studied and
obtained some new important results by many researchers interested in geometry. There are
still many open problems in this regard.
As also mentioned in the thesis, GCR surfaces can also be thought as a generalization of
the surface endowed with canonical principal direction (CPD) obtained by taking a constant
vector k rather than the position vector x.
Given the above definitions, it is easy to see that these definitions can be made the same for
hypersurfaces. However, when the GCR submanifold is defined, the definition of the A-class
of the S^nxR and H^nxR spaces is used in the case of codimension being larger than one.
By using this definition given by R. Tojiero and B. Mendoza, a submanifold of Euclidean and
semi-Euclidean spaces is called a GCR submanifold if the tangential component of the position
vector of that submanifold is the principal direction of all shape operators.
In this thesis, the generalized constant ratio (GCR) submanifolds in Euclidean and semi-Euclidean spaces are discussed and this thesis is organized into six sections. In the first two chapters of the thesis, some general information about the topic of the thesis is given; In the third, fourth and fifth sections, the main results are presented. The organization of thesis is as follows: In the first chapter; papers studied by considering the geometric properties of generalized constant ratio (GCR) submanifolds and the submanifolds are summarized. In Chapter 2; basic definitions and theorems to be used throughout the thesis are given. In Chapter 3; we have classified constant angle (CAS) surfaces, surfaces endowed with constant canonical direction (CPD) surfaces, constant slope (CSS) surfaces and finally generalized constant ratio (GCR) surfaces with codimension= 2 in E^4 Euclidean space, respectively. In Chapter 4; firstly we give some important theorems and results to be used in this section by investigating some geometrical properties for hypersurfaces endowed with canonical principal direction (CPD) in Minkowski space E^n+1_1. In addition, a classification was made for surfaces endowed with a canonical principal direction (CPD) with codimension= 1 in Minkowski space E^3_1. Subsequently, minimal (maximal) cases of these surfaces have been investigated and have been given some important characterizations. Finally, we give a new classification for constant angle (CAS) surfaces with a light-like constant direction. In Chapter 5; firstly we give some important theorems and results to be used in this section by investigating some geometrical properties for generalized constant ratio (GCR) hypersurfaces in Minkowski space E^n+1_1. In addition, a classification was made for generalized constant ratio (GCR) surfaces with codimension= 1 in Minkowski space E^4_1. In the last chapter; first the obtained results are evaluated and then some open problems are revealed.