Matris deplasman yöntemiyle iki boyutlu gemi enine çerçevelerinin yapısal analizini yapan bir bilgisayar programı hazırlanması
Developing a computer program to conduct structural analysis of two dimensional ship frames using matrix displacement method
Yazar: ÖMER BİRLER
Danışman: DOÇ. DR. ERTEKİN BAYRAKTARKATAL
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Gemi İnşaatı ve Gemi Makineleri Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Gemi İnşaatı ve Gemi Makineleri Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2018
Konu: Gemi Mühendisliği = Marine Engineering
Dizin: Deplasman =   ; Düzlemsel çerçeve = Planer frame ; Gemi inşaatı = Shipbuilding ; Gemi inşaatı endüstrisi = Shipbuilding industry ; Gemi tasarımı = Ship design ; Matris deplasman yöntemi = Maytrix displacement method ; Sonlu elemanlar analizi = Finite element analysis ; Yapısal analiz = Structural analysis

Özet:
Bu çalışmada gemi enine çerçevelerinin yapısal analizini yapabilecek bir bilgisayar programı geliştirilmesi amaçlanmıştır. Gemilerin ön dizaynında yapı hakkında fazla ayrıntı gerektirmeden çözüm yapabilen pratik analiz programlarına ihtiyaç duyulur. Gemi çerçeveleri değişken kesitli olabilmektedir. Bu yüzden programın değişken kesitli çerçeveleri de çözebilmesi istenmiştir. Kullanımının kolay olması, görsel arayüzünün olması, yazılan kodun sadeliğini ve okunabilirliğini arttırmak için nesne yönelimli programlama yaklaşımlarını uygulaması, gelişen teknolojiyle beraber artan bilgisayar kapasitelerini yüksek oranda ve verimli kullanabilmesi için modern uygulama programlama arayüzlerini kullanması hedeflenmiştir.
Gemilerin ön dizaynında karşılaşılan çerçeve yapılarının yapısal analizinde Matris Deplasman Metodu en çok kullanılan yöntemlerden birisidir. Metot bir çeşit sonlu elemanlar metodudur. Direkt metotlar arasında yer alır. Bazı sonlu elemanlar yöntemlerindeki gibi şekil fonksiyonlarına ihtiyaç duymaz. Katılık matrisi direkt olarak kiriş teorisinden çıkartılır.
Matris deplasman metodu kiriş elemanının bütün serbestlik dereceleri doğrultusundaki deplasmanlar sıfır iken her bir serbestlik derecesi doğrultusunda birim deplasman oluşturacak kuvvetleri elde ederek katılık matrisi oluşturur. Matris olarak ifade edilmiş eleman rijitlik ilişkileri daha sonra kod numaraları yöntemiyle çerçeve sistemini temsil eden tek müşterek matris haline getirilir. Aynı şekilde elemanlara etkiyen kuvvetlerden de müşterek bir kuvvet vektörü elde edilir. Elde edilen matris sistemi çözülerek deplasman vektörü elde edilir. Daha sonra bu deplasman vektörünün elemanları yine kod numaraları yöntemiyle elemanlara aktarılır ve eleman kuvvet dengesi yazılarak elemanın katılık matrisi deplasman vektörüyle çarpılıp endirekt yük vektörüyle toplanır. Bunun sonucunda müşterek eksenlerde ifade edilmiş eleman yük vektörü elde edilir. Elde edilen kuvvet vektörü transformasyon matrisiyle çarpılarak elemanın kendi eksenlerindeki kuvvet vektörü bulunur. Bu kuvvet vektörü elemanın mesnet tepkilerini içerir. Bu vektör elde edildikten sonra elemanın kesit tesir diyagramları bulunabilir.
Bu çalışmada geliştirilmiş olan program hedeflendiği gibi değişken kesitli enine çerçevelerinin çözümünü yapabilmektedir. Değişken kesitli durumda iken elemanın uç momentleri Üç Moment Yönteminin en genel haliyle bulunur. Program kullanıcıdan eklenen kiriş parçalarının her birinin atalet ve kesit alanı dağılımlarını polinom şeklinde ister. Kullanıcı kirişlere yayılı yükleri ve tekil yükleri arayüzden ekler. Program yayılı yüklerin de polinom şeklinde ifade edilmesini bekler. Kullanıcı istediği çerçeveyi oluşturduktan sonra çözüm butonuna basar ve program sistemi çözer. Çıktı olarak eğilme momenti dağılımı, kesme kuvveti dağılımı, eksenel kuvvet dağılımı ve gerilme dağılımı verir. 
Program nümerik integral hesaplarında Simpson Yöntemini kullanır. Sabit kesitli çerçeve gibi basit durumlarda program, geliştirilen polinom sınıfı sayesinde analitik integraller alabilmekte ve nümerik çözüme gerek kalmadan hızlı bir şekilde hesap yapabilmektedir. Ayrıca program, paralel programlama yöntemlerini kullanarak çok çekirdekli bilgisayarlarda kısa sürede sonuç üretebilmektedir.
Bu çalışmada geliştirilen program analitik çözüm ve muadili programlarla değişik çerçevelerde verdiği sonuçlar bakımından karşılaştırılmış ve sonuçların doğru olduğu anlaşılmıştır. Sonuç olarak hedeflenen program geliştirilmiş ve gemi çerçevelerinde kullanılabilecek pratik, kullanımı kolay ve kullanışlı bir analiz programı elde edilmiştir.

Abstract:
In this study, it is aimed to develop a computer program to analyze two dimensional ship frames. Preliminary design of ships requires using practical structural analysis programs that do not require detailed information about the structure. Since ship frames can have varying inertia, like when brackets are involved, the program should have the ability to solve ship frames with varying inertia. The program is desired to have a well-designed graphical user interface to make it easy to use, to implement object oriented programming paradigms to keep the code structured and readable, to use a modern programming application interfaces to maximize the utilization of computer resources in efficient way.
In preliminary design phase, it is easy to model the ship as frames when not much detail about the structure of the ship is known. It also makes it easy to solve the problem. In the past, conventional methods like Moment Distribution Method have been used for analyzing ship frames. After computer technologies showed up, scientists started to search for computer-automated methods for structural analysis. Then, Matrix Displacement Method is developed. The method was a preface for Finite Element Method and it is considered one of the direct methods of Finite Element Method. 
Matrix Displacement Method discretizes the system into smaller, idealized elements. For each beam element, when all displacements are zero, the forces that are required to create unit displacement for each degree of freedoms are obtained and stored into a matrix, which is called the element stiffness matrix. For each beam element, the forces that are acting on beams are stored in element indirect force vector and the forces that are acting on nodes are stored in element direct force vector. All forces, vectors and stiffness matrices are express in terms of global axes by using transformation matrix. After that, by using Code Numbers Method, the element stiffness matrices are combined in a global stiffness matrix. Likewise, the element force vectors are also combined in global force vector. The global system is then solved to find global displacement vector. After the global solution is done, the displacement vector is imposed in element force equations. The parts of the displacement vector in elements are multiplied by element stiffness matrices and the results are summed with indirect force vector to get the final force vector. Again, by using transformation matrix, the local force vectors are obtained. After the local force vectors are known, bending moment distributions, shear force distributions, axial force distributions and stress distributions can be found.
In case of varying inertia, stiffness matrices depend on the base stiffness coefficients, which can be found by some integrations that are derived by Moment-Area Method. The method that is used to find support reactions is also changed in case of varying inertia. Clapeyron's Method of Three Moment is used in this case with its the most general form to calculate support reactions when both sides of the beam are fixed end supports.
There are many codes written in the past that implement Matrix Displacement Method. Most of them are written in either Basic or Fortran. These programs generally require a third-party software to analyze the results and draw the distributions. These programs also need entering the data in specific format, which can be hard for users.
The program that was developed in this study is able to solve many bending problems, not just for ships. It also does not need any additional software to present the analysis it made. It uses numerical calculation techniques such as Simpson Method when it has to but it can also solve the problems analytically if the inertia distributions of the beams are constant, which provides extra accuracy and gives the ability to solve the problem with minimum time.
The program was written in C# language. C# is a strongly typed, object oriented and multi-paradigm programming language that was developed by Microsoft in 2002. It can be used in variety of applications and it is much easier to develop programs than lower level languages. The program is based on Windows Presentation Foundation (WPF) platform, which allows the developers to design user interfaces in Extensible Application Programming Language (XAML). By using modern programming language enables the program to use modern libraries and conduct parallel computations when the user wants to.
The program consists of a drawing area and the buttons around it. The user, by clicking the buttons, can add a beam; specify the inertia and the area distribution in polynomials. Since it takes only distributions in polynomials, it can be used for every frames independent of the cross-section shape. The program also accepts distributed load in polynomial form. After the user created the desired frame, he clicks the solve button and the solution initializes. First, for every beam in the frame, support moments are calculated by implementing Three Moment Theorem. Then, the force vector is created, the transformation matrix is formed based on the beam's angle. Base stiffness coefficients are calculated according to the area and the inertia distributions. Then, the local stiffness matrix is created. These processes can be run in parallel. After that, the global stiffness matrix and the global force vector are created. By using a linear equation solver that implements Gauss Elimination Method, the global displacement vector is created. Then, the displacement vector elements sent as parameters in beams, which also start element solutions. The force vectors and the local force vectors are then calculated. After the local force vectors created, moment distributions are obtained based on the end moments in the vectors. Moment distributions derivate analytically to obtain shear force vectors. By using the local force vectors, axial force distributions are also calculated. If the user wanted to perform a stress analysis, the program calculates stress distributions by using moment distributions and inertia distributions. The graphics are then drawn. The program uses Cardinal Spline library to draw the distributions. The program warns the user if maximum allowable stress is exceeded in any beam. The program also gives polynomial expression of moment distributions and shear distributions and axial distributions. It also finds minimum and maximum values of the distributions.
As a result, a practical and easy to use computer program that conducts structural analysis of two dimensional ship frames has been developed. The program meets the desired specifications explained at the beginning. In the end, different frames, both with varying and constant inertia, have been analyzed using this program and other programs that can calculate the given frame. The results based on end moments have been compared. It is understood that the program gives the correct results.