Karışık sonlu elemanlar yöntemiyle düzlem kompozit eğri eksenli çubukların geometrik doğrusal olmayan davranışlarının analizi
Analysis of geometrically nonlinear behavior of plane composite curved rods via mixed finite element method
Yazar: SEDAT KÖMÜRCÜ
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ ALİ NURİ DOĞRUOĞLU
İstanbul Teknik Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / İnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Yapı Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2023
Konu: İnşaat Mühendisliği = Civil Engineering
Dizin: Tabakalı kompozitler = Laminated composites

Özet:
Yapısal sistemlerin analizinde kullanılan en yaygın sayısal yöntemlerden birisi sonlu elemanlar yöntemidir. Bu yöntem sayesinde kesin çözümü olmayan ya da elde edilmesi zor olan birçok problemin yaklaşık çözümü elde edilebilmektedir. Sonlu elemanlar yönteminin geliştirilen türlerinden birisi olan karışık sonlu elemanlar yöntemi, günümüzde karşılaşılan yapısal problemlerin çözümünde tercih edilen etkili bir çözüm yöntemi olarak karşımıza çıkmaktadır. 
Kompozit malzemeler inşaat, makine, uçak ve uzay mühendisliği gibi birçok alanda istenilen tasarımları gerçekleştirmek için kullanılması zorunlu hale gelmiş olan malzeme türleridir. Bu malzemeler en az iki malzemenin birbiri ile makro düzeyde aralarında kimyasal bir tepkime olmadan birleşerek oluşturduğu yapılar olup; birleşim sonrası ortaya çıkan malzemenin, birleşimi oluşturan malzemelere göre daha üstün mekanik özelliklere sahip olması beklenir. Bu özelliklere; yüksek dayanım ve rijitlik, yüksek aşınma ve korozyon direnci, birim hacim ağırlığının düşük ve hafif olması, ısı ve ses yalıtımı örnek olarak verilebilir. Kompozit malzemelerin farklı türleri bulunmakta olup bu çalışma kapsamının konusu tabakalı kompozit malzemelerdir. 
Bu çalışmada, tabakalı kompozit malzemeden oluşan eğri eksenli çubukların geometrik doğrusal olmayan davranışlarının analizi karışık sonlu elemanlar yöntemi kullanılarak yapılmaktadır. Bu amaçla, hem lokal koordinatlar hem de Kartezyen koordinatlar kullanılarak fonksiyoneller elde edilmektedir. Elde edilen fonksiyoneller Bernoulli-Euler ve Timoshenko çubuk kuramlarının lokal ve Kartezyen koordinatlarda uygulanmasının sonucu olarak ortaya çıkmış olup toplamda dört adettir. Fonksiyonellerin farklı koordinat sistemlerinde elde edilmesiyle, farklı problemlerin farklı açılardan incelenebilmesi mümkün olmaktadır. Farklı çubuk kuramlarının kullanılmasıyla da farklı teorilerin tabakalı kompozit çubukların geometrik doğrusal olmayan analizlerinde sonuçlara etkisi incelenmektedir. 
Çalışmanın giriş bölümünde; tezin amacı, tezin konusunun kapsadığı bağlantılı alanlardaki mevcut çalışmalar hakkında bilgiler sunulmaktadır. Tez çalışması kapsamında elde edilen fonksiyonellerin, tabakalı kompozit yapılardan meydana gelen çok çeşitli mühendislik yapılarına uygulanabilir olmalarından dolayı, kullanım alanları oldukça geniştir. Çalışmanın giriş bölümünde daha önce yapılan çalışmalar hakkında literatür bilgisi verilmiştir. Bu amaçla, kompozit malzeme kavramının kullanıldığı ilk çalışmalar temel alınarak güncel çalışmalardaki kompozit malzeme uygulamaları kapsamlı bir şekilde araştırılmıştır. Literatür araştırması sonucunda elde edilen veriler ışığında denilebilir ki; tabakalı kompozit eğri eksenli çubukların geometrik açıdan doğrusal olmayan analizleri konusunda yapılan çalışmalar ve örnekler oldukça sınırlı olup, enerji tabanlı fonksiyonellerin kullanıldığı doğrusal olmayan denklemlerle çalışmanın güçlüğü nedeniyle yapıların analizleri yapılamamıştır. Kompozit yapıların, kendilerine kullanım alanı bulduğu inşaat, makina hatta tıp alanlarında bu yapıların geometrik doğrusal olmayan analizlerinin yapılabilmesi ve yüksek hassasiyette sonuçların elde edilmesi üzerine yapılan çalışmalar günümüzde devam etmektedir.
İkinci bölümde, çalışmanın malzeme kısmını oluşturan tabakalı kompozit yapılar hakkında bilgiler verilmektedir. Kompozit malzemelerin türleri, kullanım alanları ve yapısal özellikleri hakkında bilgiler sayesinde bu yapılara bir genel bakış yapılmaktadır. Ortotrop özellik gösteren tabakalı kompozit yapıların malzeme özelliklerinin incelenmesi adına malzemelerin rijitlik matrislerinin elde edilmesi açıklanmaktadır. Elde edilen fonksiyonellerin tabakalı kompozit çubuklara uygulanmasında kullanılan bünye bağıntılarının anlaşılması adına bu bölümde sunulan bilgiler önem arz etmektedir. 
Üçüncü bölümde, bu çalışma kapsamında tabakalı kompozit çubukların geometrik doğrusal olmayan analizlerinde kullanılmak üzere dört adet karışık sonlu elemanlar tabanlı fonksiyonel yapının elde edilmesi açıklanmaktadır. Birinci fonksiyonel; lokal koordinat sisteminde Bernoulli-Euler çubuk teorisinin kullanıldığı yapıdır. İkinci fonksiyonel; Kartezyen koordinat sisteminde Bernoulli-Euler teorisinin kullanıldığı yapıdır. Üçüncü fonksiyonel; lokal koordinat sisteminde Timoshenko çubuk kuramının kullanıldığı yapıdır. Son olarak dördüncü fonksiyonel; Kartezyen koordinat sisteminde Timoshenko çubuk kuramının kullanıldığı yapıdır. Elde edilen fonksiyonellerin barındırdıkları kinematik yapılar bu tez çalışması kapsamında oldukça detaylı olarak verilmektedir. Bu sayede mevcut tez çalışması, bu alanda çalışma yapmak isteyen araştırmacılar için oldukça verimli bir kaynak olmaktadır.
Dördüncü bölümde, sonlu elemanlar yöntemiyle ilgili bazı temel açıklamalar verildikten sonra çalışmada kullanılan Hermite ve Lagrange şekil fonksiyonları sunulmaktadır. Çalışmada dört nodlu Hermite ile beş nodlu Lagrange şekil fonksiyonları kullanılmaktadır. Daha sonra çözüm yöntemi olarak kullanılan artımsal formülasyon yapısı açıklanmaktadır. Bu amaçla Fonksiyonel III olarak elde edilen fonksiyonel üzerinden yöntemin temel prensipleri uygulamalı olarak belirtilmektedir. Artımsal formülasyon yapısında kullanılan başlangıç konum, komşu konum ve temel konum kavramları açıklanmaktadır. Ayrıca, bu bölümde geometrik doğrusal olmayan analizler konusunda önemli görülen bazı bilgilendirmeler de sunulmaktadır. Bu bölümde verilen bilgiler, elde edilen fonksiyonellerin örnek problemlere uygulanmasına yönelik bilgilerdir.
Beşinci bölümde, elde edilen fonksiyonellerin test problemleri üzerinde gösterdiği performans analiz edilmektedir. Hazırlanan sonlu eleman yazılımı ile hem literatürden elde edilen deneysel ve sayısal problemler çözülerek fonksiyonellerin doğrulanması yapılmaktadır hem de farklı sınır koşulları, geometriler ve yükler altında örnekler çözülmektedir. Bu amaçla fonksiyoneller hem doğru eksenli çubuklar hem de eğri eksenli çubuklar üzerinde test edilmektedir. Çözülen problemlerde çubukların simetrik tabakalanma ve asimetrik tabakalanma durumları da göz önüne alınmaktadır. Çeşitli sınır koşulları altında, tekil yüklü, tekil moment yüklü ve yayılı yüklü tabakalı kompozit çubukların geometrik doğrusal olmayan analizleri sunulmaktadır. Yapılan analizler sonucunda, yüklemeler sonucunda meydana gelen deplasmanlar çizelgeler halinde sunulmakta, nodal değerler ise grafikler halinde verilmektedir. Karışık sonlu elemanlar yöntemi kullanılarak elde edilen fonksiyonellerde, deplasman değerleri doğrudan elde edilmekle kalmaz, aynı zamanda normal kuvvet, kesme kuvveti ve moment gibi iç kuvvetler de bir düğüm noktası bilinmeyeni olarak elde edilmektedir. Fonksiyonellerin, çözülen sayısal örnekler sonucunda hassas sonuçlar elde ettiğinin vurgulanması yerinde olacaktır. Sayısal örneklerin çözümlerindeki hassasiyet, elde edilen fonksiyonellerin tabakalı kompozit çubukların geometrik doğrusal olmayan problemleri çözmedeki başarısını göstermektedir.
Altıncı bölüm, çalışmanın sonuç bölümünü oluşturmaktadır. Bu kısımda çalışmanın uygulama alanı, çalışmadan elde edilen bulgular ve yapılması düşünülen ileri çalışmalar alt başlıklar halinde sunulmaktadır. Tabakalı kompozit çubukların geometrik açıdan doğrusal olmayan analizlerini yapabilmek için elde edilen fonksiyonellerin hem Kartezyen hem de lokal koordinatlar da verilmesi sayesinde çalışmanın uygulama alanı bir çok mühendislik uygulamalarına uyarlanabilmektedir. Fonksiyonellerde sınır terimlerinin kullanılması sayesinde elde edilen sonuçların hassas bir seviyede olduğu görülmektedir. Düzlem eğri eksenli çubukların analizlerinde elde edilen fonksiyonellerin, geometrik olarak doğrusal olmayan çubuk problemlerini çözmede oldukça etkili olduğu görülmektedir. Çubukların büyük yer değiştirme analizinde fonksiyonellerin verimliliği, hem kesin çözümler hem de literatürdeki sayısal sonuçlar ile uyum içindedir. Fonksiyoneller, kompakt matematiksel yapıları sayesinde farklı doğrusal olmayan kiriş problemlerini çözmek için pratik olarak uyarlanabilmektedir. Günümüz mühendislik uygulamalarında daha ince kesitli narin malzemelerin kullanımı oldukça yaygındır. Bu çalışmada elde edilen fonksiyonel yapılar kullanılarak daha az malzeme kullanılarak elde edilen narin kompozit yapıların doğru şekilde analizleri yapılabilmektedir. Analiz sonuçlarından da görülebileceği üzere elde edilen fonksiyonellerin inşaat, makine, havacılık ve uzay mühendisliği gibi alanlarda uygulama sahası oldukça geniştir. Bunun yanında biyoloji ve tıp alanlarında da doku vb. yapılarda kullanılmak üzere biomalzemelerin tasarımlarında tabakalı kompozit yapıların geometrik doğrusal olmayan analizlerini yüksek hassasiyetle yapabilecek fonksiyonellere ihtiyaç duyulmaktadır. Ek olarak, fonksiyoneller genel ve tüm matematiksel formlarıyla verildikleri için yeni ve modern malzemelerin oluşturduğu çubuk sistemlerin analizlerinde de elde edilen fonksiyoneller bazı uyarlamalar sonrasında kullanılabilir.  
Sonuç olarak, bu çalışma sayesinde tabakalı kompozit çubukların geometrik doğrusal olmayan analizlerinin yapılabilmesi amacıyla karışık sonlu elemanlar metoduyla hem Kartezyen hem de lokal koordinat takımlarını esas alan hem de Bernoulli-Euler ve Timoshenko çubuk teorileri göz önüne alınarak dört adet fonksiyonel yapı ortaya konularak bu yapıların hazırlanan sonlu eleman programı vasıtasıyla tabakalı kompozit çubuk problemlerine uygulanması mümkün olmaktadır.

Abstract:
One of the most common numerical methods used in the analysis of structural systems is the finite element method. Thanks to this method, the solution of many problems that do not have an exact solution or that are difficult to obtain can be obtained in the desired approximation. The mixed finite element method, which is one of the developed types of the finite element method, is also an effective solution method preferred today.
Composite materials are the types of materials that have become obligatory to be used to realize the desired designs in many fields such as construction, machinery, aircraft and aerospace engineering. These materials are structures formed by at least two materials combining with each other at a macro level without any chemical reaction; The material that emerges after the joint is expected to have superior mechanical properties compared to the materials that make up the joint. These features; high strength and rigidity, high wear and corrosion resistance, low and light unit weight, heat and sound insulation can be given as examples. There are different types of composite materials according to the desired properties, and the subject of this study is layered composite materials.
In this study, the analysis of geometric nonlinear behavior of rods made of laminated composite material is done using mixed finite element method. For this purpose, functionals are obtained by using both local coordinates and Cartesian coordinates. The functionals obtained as a result of the application of Bernoulli-Euler and Timoshenko beam theories in local and Cartesian coordinates, and there are four in total. By obtaining functionals in different coordinate systems, it is possible to examine different problems from different angles. By using different rod theories, the effects of the theories on the results of geometric nonlinear analyzes of laminated composite rods are examined.
In the introduction chapter of the study; The aim, scope and common effects of the thesis are presented. The functionals obtained within the scope of the study have a wide range of use in terms of their applicability to a wide variety of engineering structures consisting of layered composite structures. In the introduction part of the study, literature information about previous studies is given. For this purpose, based on the first studies in which the concept of composite material was used, composite material applications in current studies were extensively researched and added to the literature review section of the study. In the light of the data obtained as a result of the literature research, it can be said that; The studies and examples on nonlinear geometrical analysis of laminated composite rods are very limited, and the analysis of these structures could not be realized, due to the difficulty of working with nonlinear equations using energy-based functionals. In addition, studies on performing geometric non-linear analyzes of these structures and obtaining high-precision results in the fields of construction, machinery and even medicine, where composite structures used, are continuing.
In the second chapter, information about the layered composite structures is given. In this part, the types of laminated composite materials, the usage areas and structural properties of composite materials are presented. In order to examine the material properties of laminated composite structures with orthotropic properties, obtaining the stiffness matrices of the materials is explained. A brief information is also given about the numbering procedure of the laminated composite materials. Material coefficients are presented to understand the place of the orthotropic laminated composites between the range of anisotropic and isotropic materials. Constitutive equations of the laminated composites with using the rigidity coefficients of laminates in terms of bending, stretching and bending-stretching. In order to understand the structure relations used in the application of the obtained functionals to the laminated composite rods, the information presented in this section is significant.
In the third chapter, the derivation of four mixed finite element-based functional structures to be used in geometric nonlinear analysis of laminated composite bars is explained within the scope of this study. First functional; It is the structure in which Bernoulli-Euler rod theory is used in the local coordinate system. Second functional; It is the structure in which Bernoulli-Euler theory is used in the Cartesian coordinate system. Third functional; It is the structure in which the Timoshenko rod theory is used in the local coordinate system. Finally, the fourth functional; It is the structure in which the Timoshenko rod theory is used in the Cartesian coordinate system. 
In the fourth chapter, after some basic explanations about the finite element method are given, the Hermite and Lagrangian shape functions used in the study are presented. In the study, four-noded Hermite and five-noded Lagrangian shape functions are used. Then, the incremental formulation structure used as the solution method is explained. For this purpose, the basic principles of the method are stated in practice over the functional obtained as Functional III. The concepts of initial position, adjacent position and foundamental position used in the incremental formulation structure are explained. As a result of the analysis, the displacements resulting from the loadings are presented in tables, and the nodal values are given in the form of graphs.  In addition, some important information about geometric nonlinear analysis is presented in this section. The information given in this section is important because it is information for applying the obtained functionals to sample problems.
In the fifth chapter, the performances of the obtained functionals on the test problems are analyzed. With the prepared finite element software, both the experimental and numerical problems obtained from the literature are solved and the functionals are verified, and the examples are solved under different boundary conditions, geometries and loads. For this purpose, functionals are tested on both straight and curved bars. In the solved problems, the symmetrical and asymmetrical layering of the bars are also taken into account. Geometric nonlinear analyzes of single loaded, single moment loaded and distributed loaded composite laminated bars under various boundary conditions are presented. Nonlinear finite element equations are obtained using incremental formulation. It would be appropriate to emphasize that the functionals obtain sensitive results as a result of the numerical examples solved. In the functionals obtained using the mixed finite element method, not only the displacement values are obtained directly, but also the internal forces such as normal force, shear force and moment are obtained as a nodal unknown.
The sixth chapter constitutes the conclusion part of the study. In this section, the application area of the study, the findings obtained from the study and the further studies that are planned to be carried out are presented under sub-headings. The application area of the study can be adapted to more engineering applications, thanks to the fact that the obtained functionals are given both Cartesian and local coordinates in order to make geometrically non-linear analyzes of laminated composite bars. It is seen that the results obtained thanks to the use of boundary terms in functionals are at a sensitive level. It is seen that the functionals obtained in the analysis of plane curved bars are very effective in solving geometrically nonlinear bar problems. The efficiency of functionals in large displacement analysis of rods is in agreement with both exact solutions and numerical results in the literature. Functionals can be practically adapted to solve different nonlinear beam problems thanks to their compact mathematical structure. In today's engineering applications, the use of slender materials with thinner sections is quite common. By using the functional structures obtained in this study, the slender composite structures obtained by using less material can be accurately analyzed. As can be seen from the analysis results, the application area of the obtained functionals in engineering applications is quite wide. In addition, tissue and so on in the fields of biology and medicine. In the design of biomaterials for use in structures, functionals that can perform geometric nonlinear analysis of layered composite structures with high precision are needed. In addition, since the functionals are given in general and in all their mathematical forms, the functionals obtained in the analysis of bar systems formed by new and modern materials can be used after some adaptations.
In conclusion, thanks to this study, four functional structures based on both Cartesian and local coordinate sets as well as Bernoulli-Euler and Timoshenko rod theories were revealed by the mixed finite element method in order to be able to perform geometric nonlinear analysis of laminated composite rods. It has been possible to apply it to laminated composite problems through the finite element program.