Doğrusal olmayan denklemlerin sayısal çözümü için 4. mertebeden yinelemeli yöntemler ve dinamikleri
4th-order iterative methods for the numerical solution of nonlinear equations and their dynamics
Yazar: BAHAR KAYA
Danışman: PROF. DR. AHMET YAŞAR ÖZBAN
Çankırı Karatekin Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2021
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Havzalar = Basins ; Yakınsaklık = Convergence ; İteratif yöntemler = Iterative methods

Özet:
Bu çalışmada, $f:\mathbb{R} \longrightarrow  \mathbb{R}$ bir $x$ reel değişkeninin fonksiyonu olmak üzere, $f(x) = 0$ şeklindeki doğrusal olmayan denklemlerin sayısal çözümünde kullanılmak üzere bazı yeni yinelemeli yöntemler geliştirilmiştir. Geliştirilen yöntemler 4. mertebeden yakınsak,  çok-noktalı, hafızasız yöntemlerdir. Yöntemler $f(x) = 0$ denkleminin bir çözümüne her bir yeni yaklaşımın elde edilmesi için üç yeni fonksiyon değerinin hesaplanması gerektirdiklerinden dolayı aynı zamanda optimal yöntemlerdir.  Geliştirilen çok-noktalı yöntemlerin yakınsaklık analizleri gerçekleştirilerek 4. mertebeden yakınsak olduklarını gösteren hata denklemleri elde edilmiştir. Yöntemlerin etkinliklerini göstermek amacıyla ilgili alanda mevcut olan ve yaygın olarak bilinen bazı yöntemlerle karşılaştırmaları bazı test problemleri kullanılarak yapılmıştır. Sayısal sonuçlar üzerinden kıyaslamalar, yeni geliştirilen yöntemlerin mevcut yöntemler kadar etkin olduğunu, bazı test problemlerinde çok daha iyi sonuçlar verdiğini göstermiştir. Literatürde yer alan benzeri yöntemlerde olduğu gibi bu yöntemler de, $f:\mathbb{C} \longrightarrow  \mathbb{C}$ bir $z$ kompleks değişkeninin fonksiyonu olmak üzere, $f(z) = 0$ biçimindeki doğrusal olmayan denklemlerin sayısal çözümünde de kullanılabilir olup, bu yönüyle literatürde mevcut yöntemlerle karşılaştırmak amacıyla kompleks düzlemde bazı polinom denklemleri için çekici havzaları kullanılarak yöntemlerin dinamikleri de incelenmiş ve etkinlikleri tartışılmıştır.

Abstract:
In this study, some new iterative methods which can be used for the numerical solution of nonlinear equations of the form $f(x)=0$, where $f: \mathbb{R} \longrightarrow  \mathbb{R}$ is a function of a real variable $x$, were developed. The methods developed are 4th-order convergent, multi-point methods without memory. The methods are optimal since they require three new function evaluations in getting each new approximation to a solution of the nonlinear equation $f(x)=0$. Convergence analysis of the newly developed multi-point methods was performed and error equations showing that they are 4th-order convergent were obtained. In order to investigate the effectiveness of the methods, comparisons were made with some widely known methods that are available in the relevant field, using some test problems. Comparisons based on numerical results have shown that newly developed methods are as effective as existing methods and gives better results in some test problems. As with similar methods in the literature, these methods can also be used in the numerical solution of nonlinear equations of the form $f(z)=0$, where $f:\mathbb{C} \rightarrow  \mathbb{C}$ is a function of a complex variable $z$ and, in this respect, in order to compare them with the existing methods in the literature, the dynamics of the methods were also examined and their effectiveness was discussed by using attractive basins for some polynomial equations in the complex plane.