Düzlemsel graflar ve topoloji ile ilişkisi
Planar graphs and its connection with topology
Yazar: SAAD MOHAMMED ABDULLAH ABDULLAH
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ CELALETTİN KAYA
Çankırı Karatekin Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Bağlantılılık = Connectedness ; Düzlemsel geometriler = Planar geometries ; Graf teori = Graf theory

Özet:
Bu tezin hazırlanmasında kullanılan başlıca kaynak, Diestel (2017)'in "Graph Theory" kitabıdır. Esas itibariyle bizim yaptığımız, tezin başlığından da anlaşılacağı üzere, "düzlemsel graflar ve topoloji ile ilişkisi" konusunu anlamak ve anlatmak için, söz konusu kitabın dördüncü bölümünü Türkçeye çevirmekten ibarettir. Fakat tabi ki motamot bir çeviri yapılmamış, bir yandan bazı çok zorlu veya teknik ispatlar atlanırken, diğer yandan kitabın okuyucuya bırakılan bazı kısımları şerh edilerek konu daha anlaşılır bir şekilde sunulmuştur. Ayrıca, bu bölümün anlaşılabilmesi için ön şart durumunda olan graf teorinin temel tanım ve teoremleri, mevzubahis kitabın birinci bölümünün ihtiyaç olunan kadarı teze eklenerek verilmiştir. Bunlara ek olarak, kaynaklar kısmında listelenmiş olan makalelere de başvurulmuştur. Ana hatlarıyla özetlemek gerekirse: Birinci bölümde, temel tanımların ardından, yollar ve çevrimler, bağlantılılık, ağaçlar ve ormanlar ve iki parçalı graflarla ilgili gerekli tanım ve teoremler işlenmiştir. İkinci bölümün ilk alt bölümünde, sonraki alt bölümlerde ihtiyacımız olacak temel topolojik kavramlara ve ilgili teoremlere kısaca değinilmiştir. İkinci alt bölümünde, düzlem grafların yapısal özellikleri çalışılmaya başlanmış, çok iyi bilinen Euler formülü ve bazı sonuçları ispat edilmiştir. Üçüncü alt bölümünde, bir düzlemsel grafın iki farklı düzlem çiziminin birbirinden nasıl farklı olabileceği incelenmiştir. Sonraki iki alt bölümde, bir soyut grafın ne zaman düzlemsel olduğu ile ilgili bazı klasik düzlemsellik kriterleri, özel olarak ünlü Kuratowski (1930) (ve Wagner 1937) teoremi ifade edilmiş ve mevzubahis kriterlerin bazılarının ispatı verilmiştir. İkinci bölüm, grafların cebirsel, renklendirme ve akış özellikleri ile çok ilginç bağlantıları bulunan bir kavram olan "düzlem dualitesi"nin işlendiği bir alt bölümle tamamlanmıştır. Tezin üçüncü, sonuç ve önerilerden önceki son bölümünde ise, mevzubahis kitabın dördüncü bölümünün notlar kısmı kullanılarak, tezin konusu ile ilgili kısa bir literatür taraması sunulmuştur.

Abstract:
The main source used in the preparation of this thesis is Diestel's (2017) "Graph Theory" book. Essentially, what we do is to translate the fourth chapter of the mentioned book into Turkish to understand and explain the subject of "planar graphs and their connection with topology", as can be understood from the title of the thesis. But of course, no literal translation was made, on the one hand, some very difficult or technical proofs were skipped, on the other hand, some parts of the book that were left to the reader were explained and the subject was presented more understandably. In addition, the basic definitions and theorems of graph theory, which are prerequisites for understanding this study, are given by adding the necessary part of the first chapter of the aforementioned book to the thesis. In addition to these, the articles listed in the references were also consulted. To summarize: In the first chapter, after the basic definitions, necessary definitions and theorems related to roads and loops, connectedness, trees and forests, and bipartite graphs are covered. In the first section of the second chapter, the basic topological concepts and related theorems that we will need in the next sections are briefly mentioned. In the second section, the structural properties of plane graphs have been studied, and the well-known Euler formula and some of its results have been proved. In the third section, it is examined how two different plane drawings of a planar graph can differ from each other. In the next two sections, some classical planarity criteria about when an abstract graph is planar, and in particular the famous Kuratowski (1930) (and Wagner 1937) theorem, are stated and proofs of some of these criteria are given. The second chapter is completed with a section where the concept of "plane duality", which has very interesting connections with the algebraic, coloring, and flow properties of graphs, is covered. In the third chapter of the thesis, before the conclusions and recommendation chapter, a brief literature review on the subject of the thesis is presented by using the notes section of the fourth chapter of the mentioned book.