Topolojik bihiperbolik modüller
Topological bihyperbolic modules
Yazar: MERVE BİLGİN
Danışman: PROF. DR. SOLEY ERSOY
Sakarya Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Topoloji Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2020
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Konveks kümeler = Convex sets ; Kuaterniyonlar = Quaternions ; Minkowski uzayı = Minkowski space ; Topoloji = Topology

Özet:
Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmış ve bu bölümde araştırma konusunun gelişimi kapsamlı bir literatür taraması ile değerlendirilmiştir. 
İkinci bölümde bihiperbolik sayılar cümlesinin yorumlanmasındaki önemlerinden dolayı yarı-Öklid uzayı ve  boyutlu Minkowski uzayı ile ilgili temel bilgiler özetlenmiş ve Minkowski uzayı üzerindeki   ve  topolojileri tanıtılmıştır. 
Üçüncü bölümde kısaca hiperbolik sayılar ile ilgili temel bilgiler verildikten sonra bihiperbolik sayılar ile ilgili cebirsel ve geometrik açıdan kapsamlı bir inceleme yapılmıştır. Özellikle bihiperbolik sayıların yeni idempotent ayrışımları, eşlenikleri ve bu eşlenikler yardımıyla elde edilen modüller üzerinde çalışılarak ilgili teoremler ifade ve ispat edilmiştir. Ayrıca bihiperbolik sayılar üzerinde kısmi sıralama bağıntısı tanımlanmıştır. Dahası üzerinde tanımlanan yeni bir norm ile birlikte bihiperbolik sayılar cümlesinin Banach uzayı olduğu kanıtlanmıştır.
Dördüncü bölümde bihiperbolik sayıların norm topolojileri, hiperbolik topolojileri, idempotent topolojileri ve spektral topolojisi tanımlanarak incelenmiştir. 
Beşinci bölüm üç alt bölüm halinde düzenlenmiştir. Bu bölümde elde edilen tüm yeni teoremlere temel oluşturan kavramlar birinci alt bölümde özetlenmiştir. İkinci alt bölümde ise hiperbolik modül ve hiperbolik modülde konveks, dengeli ve emen cümle tanımları yapılmıştır. Topolojik hiperbolik modül tanımı da bu alt bölümde verilmiştir. Son olarak üçüncü alt bölümde de bihiperbolik modül ve bihiperbolik modüllerde konveks, dengeli ve emen cümle tanımları yapılmıştır. Daha sonra topolojik bihiperbolik modül tanıtılmıştır. İdempotent ayrışımlardan faydalanarak konveks, dengeli ve emen cümle ile ilgili teoremler ifade ve ispat edilmiştir.

Abstract:
This thesis consists of five chapters. The first chapter is devoted to the introduction and in this chapter the development of the research subject is evaluated with a comprehensive literature review.
In the second chapter, the basic concepts of semi-Euclidean space and  dimensional Minkowski space are summarized due to their importance in interpreting the set of bihyperbolic numbers and   and  topologies on Minkowski space are introduced.
In the third chapter, after giving some basic information on hyperbolic numbers briefly, comprehensive research about bihyperbolic numbers is conducted from algebraic and geometric point of views. In particular, by studying the new idempotent decompositions of bihyperbolic numbers, their conjugates and the modules obtained with the help of these conjugates, the related theorems are expressed and proved. In addition, a partial order relation is defined on bihyperbolic numbers. Moreover, it is proved that the set of bihyperbolic numbers is a Banach space with a newly defined norm on it.
In the fourth chapter, norm topologies, hyperbolic topologies, idempotent topologies, and spectral topology of bihyperbolic numbers are defined and examined.
The fifth chapter is arranged as three subsections. The concepts that form the basis for all new theorems obtained in this section are summarized in the first subsection. In the second subsection, the concepts of hyperbolic module and convex, balanced and absorbing set in hyperbolic module are examined. The definition of topological hyperbolic module is also given in this section. Finally, in the third subsection, bihyperbolic module and convex, balanced, and absorbing sets in the bihyperbolic modules are discussed. Then topological bihyperbolic module is introduced. By using the idempotent decompositions, theorems related to convex, balanced and absorbing set are expressed and proved.