Olasılıksal metrik uzaylar ile kuazi-düzgün uzaylar arasındaki bazı ilişkiler
Some relationships between quasi-uniform space and probabilistic metric space
Yazar: AYGÜL BİLGİN
Danışman: DOÇ. DR. HÜLYA DURU ; DR. ÖĞR. ÜYESİ SERKAN İLTER
İstanbul Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2021
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Derleme niteliğindeki bu tez çalışmasında, olasılıksal metrik uzaylar ve kuazi-düzgünlük kavramları ile ilgilenilmektedir.
İlk olarak, topolojik uzaylar ile ilgili temel kavramlar, dağılım fonksiyonları uzayları, t-norm ve üçgen fonksiyonu kavramları verilmiştir. Kuazi-düzgün uzaylar ve özellikleri tanıtılmıştır. Her kuazi-düzgünlüğün bir düzgünlük olmadığını gösteren çeşitli örnekler verilmiştir. Her kuazi-düzgünlüğün bir topoloji doğurduğunun ispatı verilerek bu topolojinin bazı topolojik özellikleri incelenmiştir.
Daha sonra, üçgen fonksiyonu yardımıyla tanımlı olasılıksal metrik uzay ve t-norm yardımıyla tanımlı Menger olasılıksal metrik uzay kavramları verilmiştir. Üçgen fonksiyonu yardımıyla tanımlı olasılıksal metrik uzay kavramı için, uygun süreklilik koşulu altında, bir düzgünlük belirlenebildiğinden böylece bu uzay üzerinde, düzgünlüğün doğurduğu topolojinin tanımlanabilmesinden bahsedilmiştir. Benzer şekilde, her (p,q) ∈ X × X noktasına karşılık genişletilmiş reel sayılardan [0,1] kapalı aralığına tanımlı F(p,q)  fonksiyonlarının soldan sürekli, dağılım fonksiyonları olduğu, t-norm kavramı yardımıyla tanımlı (X,F,t) Menger olasılıksal metrik uzayı verildiğinde, X kümesinin metriklenebilir olduğu ifade edilmiştir. Dolayısıyla X üzerinde bir metrik topolojiden bir düzgünlük elde edildiği ve bu düzgünlüğün doğurduğu topoloji ile metrik topolojinin aynı olduğu gözlenmiştir.
Son bölümde ise Menger olasılıksal metrik uzayından farklı olarak F(p,q) fonksiyonları soldan sürekli olmadığında, belirli koşullar altında t-norm kavramı yardımıyla tanımlı (X,F,t) uzayı verildiğinde, X kümesinin bir kuazi-düzgünlüğünün doğurduğu topolojiyle topolojik uzay olması ve bu uzayın bazı özellikleri incelenmiştir. Bu topolojinin, Menger olasılıksal metrik uzayı üzerindeki metrik topoloji ile ilişkisi verilmiş, birinci sayılabilir T2(Hausdorff) olduğu elde edilmiş ve bu uzayın kuazi-metrik olduğu belirlenmiştir.

Abstract:
In this compilation thesis, probabilistic metric spaces and quasi-uniform concepts are dealt with.
First, the basic concepts of topological spaces, spaces of distribution functions, t-norm and triangle function concepts are given. Quasi-uniform spaces and their properties are introduced. Various examples are given to show that not every quasi-uniform is a regularity. By giving the proof that every quasi-uniform gives rise to a topology, some topological properties of this topology are examined.
After, probabilistic metric space defined with the help of triangle function and Menger probabilistic metric space defined with the help of t-norm are given. For the probabilistic metric space concept defined with the help of the triangle function, it is mentioned that, under the appropriate continuity condition, a uniformity can be determined, so that the topology caused by the uniformity can be defined on this space. Similarly, for every point (p,q) ∈ X × X, the F(p,q)  functions defined from the extended real numbers to the closed interval [0,1] are left-continuous, distribution functions defined with the help of the t-norm concept (X,F,t) given the Menger probabilistic metric space, it is stated that the set X is metrizable. Therefore, it has been observed that a uniformity is obtained from a metric topology on X and that the topology created by this uniformity coincides with the metric topology.
In the last section, unlike the Menger probabilistic metric space, when the F(p,q) functions are not continuous from the left, given the (X,F,t) space defined with the help of the t-norm concept under certain conditions, the X set is a topological space with a topology caused by a quasi-uniformity. and some properties of this space are investigated. The relation of this topology with the metric topology on the Menger probabilistic metric space is given, it is obtained that it is first countable T2 (Hausdorff) and it is determined that this space is quasi-metric.