Kompleks geometride rıemann submersiyonların geometrisi üzerine
On the geometry of riemannian submersions in complex geometry
Yazar: GÖKÇE AKIN
Danışman: DOÇ. DR. MEHMET AKİF AKYOL
Bingöl Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Hermityen matrisler = Hermitian matrixes ; Kaehler manifoldu = Kaehler manifold ; İnvaryantlar = Invariants

Özet:
Yüksek Lisans tezi olarak hazırlanan bu çalışma altı bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde konunun tarihsel gelişimi ele alınmaktadır. İkinci bölümde ise devamında gelecek olan bölümlerdeki konulara öncülük edecek temel kavramlar tanıtılmaktadır.

Üçüncü bölümde, invaryant Riemann submersiyonlar çalışılmaktadır. Hemen hemen Hermityen manifoldlar arasında tanımlanan invaryant ile holomorfik Riemann submersiyonun tanımı verilip,  konuya uygun örnekler işlenmektedir. Ayrıca bu bölümde her holomorfik Riemann submersiyonun bir invaryant Riemann submersiyon olmadığına ilişkin bir örnek verilmektedir.

Dördüncü bölümde ise anti-invaryant Riemann submersiyonlar çalışılmaktadır. Hemen hemen Hermityen ve Kaehler manifoldundan Riemann manifoldlara tanımlanan anti-invaryant Riemann submersiyonun tanımı ve konuya özgü örnekler bu bölümde verilmektedir. Bununla birlikte yatay ile dikey distribüsyonun integrallenebilirliği ve bu distribüsyonların geometrisi incelenmektedir.

Beşinci bölümde, yarı-invaryant Riemann submersiyonlar çalışılmaktadır. Hemen hemen Hermityen ve Kaehler manifoldundan Riemann manifoldlara tanımlanan yarı-invaryant Riemann submersiyon tanımlanıp, konuya özgü örnekler verilmektedir. Ayrıca bu bölümde kaynak manifoldu oluşturan distribüsyonların integrallenebilirliği, tanımlanan dönüşümün total geodezik olma durumu, dikey ve yatay distribüsyonların geometrisi ve yarı-invaryant Riemann manifoldlarda total umbilik lifler çalışılmaktadır.

Son bölümde ise slant Riemann submersiyonlar çalışılmaktadır. Hemen hemen Hermityen ve Kaehler manifoldundan Riemann manifoldlara tanımlanan slant Riemann submersiyonun tanımı verilip, konuya özgü örnekler işlenmektedir. Bununla birlikte son bölümde has slant Riemann submersiyon olma durumu, dönüşümün total geodezik olması, dönüşümün harmonikliği, yatay ile dikey distribüsyonun geometrisi incelenmektedir.

Bu çalışmanın amacı kompleks uzayda Kompleks manifold, hemen hemen Kompleks manifold, Hermityen manifold, hemen hemen Hermityen manifold ve Kaehler manifold arasında tanımlanan invaryant, invaryant olmayan, yarı-invaryant ve slant Riemann submersiyonlar arasındaki dönüşümleri ele almak ve bunlarla ilgili teorem ve örnekleri incelemektir.

Anahtar Kelimeler: Hemen hemen Hermityen manifold, anti-invaryant submersiyon, invaryant submersiyon, Kaehler manifold, slant submersiyon, yarı-invaryant submersiyon.

Abstract:
This study which is prepared as a master's thesis consists of six chapters. In the first chapter, the historical development of the subject is discussed. In the second chapter, the basic definions regarding to the subjects in the next chapters are introduced.

In the third chapter, invariant Riemannian submersion is studied. The definition of invariant and holomorphic Riemannian submersion, which is defined between almost Hermitian manifolds, and the examples related to the subject are presented. Moreover, in this chapter, an example is given that not every holomorphic Riemannian submersion is an invariant Riemannian submersion.

In the fourth chapter, anti-invariant Riemannian submersions are studied. The definition of anti-invariant Riemannian submersion defined from almost Hermitian and Kaehler manifolds to Riemannian manifolds and specific examples are given in this section. In addition, the integrability of horizontal and vertical distributions and the totally geodesic foliation of these distributions on the manifold are also investigated.

In the fifth chapter, semi-invariant Riemannian submersion is studied. Semi-invariant Riemannian submersion, which is defined from almost Hermitian and Kaehler manifolds to Riemannian manifolds, is defined with specific examples. Furthermore, in this section, the integrability of the distributions, the totally geodesic nature of the defined map, the totally geodesic foliation of the vertical and horizontal distributions on the manifold, and the totally umbilical fibers in semi-invariant Riemannian manifolds are studied.

In the last chapter, slant Riemannian submersion is studied. The definition of slant Riemannian submersion defined from almost Hermitian and Kaehler manifolds to Riemannian manifolds is defined with specific examples. In addition to this, the formation of proper slant Riemannian submersion, the totally geodesic of the map, the harmonicity of the map, the totally geodesic foliation of the horizontal and vertical distribution on the manifold are investigated.

The aim of this study is to handle the maps between invariant, anti-invariant, semi-invariant and slant Riemannian submersions defined between comlex manifold, almost complex manifold, Hermitian manifold, almost Hermitian manifold and Kaehler manifold in complex space and to examine theorems and the examples related to them.

Keywords: Almost Hermitian manifold, anti-invariant submersion, invariant submersion, Kaehler manifold, semi-invariant submersion, slant submersion.