Ağırlıklı projektif uzaylardaki parametrik kodlar
Parameterized codes over weighted projective spaces
Yazar: YAĞMUR ÇAKIROĞLU
Danışman: DOÇ. DR. MESUT ŞAHİN
Hacettepe Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2019
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Hilbert fonksiyonu = Hilbert functions

Özet:
Bu tezde ağırlıklı bir projektif uzayın monomlarla parametrize edilen herhangi bir alt kümesi tarafından tanımlanan parametrik kodlar çalışılmıştır. Bu kodları hesaplarken kullandığımız cebirsel yöntem ve kavramlar detaylı bir şekilde ele alınmıştır. Bu tez çalışması beş ana bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde afin uzaylardaki çeşitlemler ve onlar üzerinde tanımlanan kodları çalışırken de kullanacağımız sıfırlayan idealleri anlatılmıştır. Ayrıca bu bölümde ağırlıklı projektif uzayı belirlerken kullanacağımız nümerik yarıgruplar ve özel bir yarıgrup olan Arf yarıgrupları anlatılmıştır. 
İkinci bölümde ağırlıklı projektif uzayı ve alt çeşitlemlerini daha iyi anlayabilmek için önemli olan dereceli halkalar, idealler ve modüller konusu anlatılmıştır. Bu bölümde kodların parametrelerini hesaplarken dikkate alacağımız $\alpha$-değişmezini veren Hilbert serileri de anlatılmış olup Hilbert serileri ile serbest çözülümler arasındaki ilişki de verilmiştir.
Üçüncü bölümde ağırlıklı projektif uzay tanımlanmış ve özellikleri verilmiştir. Ağırlıklı projektif uzayın bir örneği olan projektif uzay da bu bölümde verilmiştir.
Dördüncü bölümde ağırlıklı projektif simit ele alınmış olup bazı özellikleri verilmiştir. Ayrıca bu bölümde ağırlıklı projektif simitin sıfırlayan idealinin nasıl bulunduğuna dair literatürdeki bir teorem verilmiştir ve bu idealin Hilbert serisi hesaplanmıştır.
Beşinci bölümde bu tezin temel hedefi olan ağırlıklı projektif uzaylardaki kodlar ele alınmıştır. Ağırlıklı projektif uzaydaki parametrik kodların nasıl hesaplandığı anlatılarak bazı örnekler verilmiş ve gözlenen bir sonuç bu bölümde ispatlanmıştır.
Örnekler bölümünde farklı nümerik yarıgrupların belirlediği ağırlıklı projektif uzaylarda farklı alt kümeler tarafından parametrize edilen parametrik kodların temel parametreleri verilmiş ve kodların iyi kod olup olmadıkları anlaşılmaya çalışılmıştır.

Abstract:
In this thesis we study parametric codes defined by any subset of a weighted projective space which is parameterized by monomials. The methods and notions used to study these codes are presented in detail. This work consists of five main chapters. In the first chapter varieties and ideals in affine spaces are introduced and then their vanishing ideals that we will use in studying the codes on the varieties are explained. In this chapter numerical semigroups and Arf numerical semigroups which will be used in defining weighted projective spaces are explained. 
In the second chapter, graded rings, ideals and modules are explained in order to understand better the weighted projective spaces and their subvarieties. In this chapter Hilbert series that gives the value of $\alpha$-invariant that we consider when calculating parameters of codes are explained and the relation between Hilbert series and free resolutions is given.
In the third chapter, weighted projective space is defined and its properties are given. In this section projective space which is an example of weighted projective space is also given.
In the fourth chapter, weighted projective torus is defined and some of its properties are given. In this section we give a theorem in literature about how the vanishing ideal of a weighted projective torus is obtained and Hilbert series of this ideals is calculated.  
In the fifth chapter, parameterized codes in a weighted projective space that is the main aim of this thesis are explained. In this section we present how the parametric codes in a weighted projective space are constructed and share some examples. We prove an observation hinted by these examples.
In the examples section the parameters of parametric codes which are parameterized by different subsets in weighted projective spaces determined by different numerical semigroups are given and whether the codes are good is tried to be understood.