G-metrik uzayda sabit hiperbol ve sabit Apollonius çember teoremleri
Fixed hyperbola and fixed Apollonius circle theorems in G-metric space
Yazar: AYÇA ÖZKUL
Danışman: PROF. DR. ÖZCAN GELİŞGEN
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Ana Bilim Dalı / Analiz ve Fonksiyonlar Teorisi Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Sabit nokta teorisinin kökeni 19. yüzyılın sonlarına dayanır. Fredholm,
Cauchy, Lipschitz, Picard, Liouville ve Peano gibi birçok ünlü matematikçinin
özellikle diferansiyel denklemlerin çözümlerinin varlığı ve tekliği üzerine
yaptıkları çalışmalara dayanır. Banach formülasyonu Metrik Sabit Nokta
Teorisinde başlangıç olarak kabul edilir. Sabit nokta teorisinin birçok alanda
uygulamalara sahiptir. Özellikle metrikleri ve kullanılan formülleri değiştirerek
geometrik şekillerin yapısını değiştirebiliriz. Bu nedenle metrik değişim bize yeni
bir dünyanın izlenimlerini temsil eder. Bu tezdeki amacımız tamamen bu yapı
üzerinedir. Nihal Özgür ve Nihal Taş'ın ortaya atmış oldukları Sabit noktanın
birden fazla olması durumunda sabit noktaların geometrisinin incelendiği 2017
yılındaki çalışmalarından ve de ayrıca Ö. Gelişgen ve T. Ermiş danışmanlığında G.
Zaim Erçınar tarafından yazılan doktora tezinden ilham alınarak Mustafa ve
Sims'in 2016 yılında tanıtmış oldukları G-metrik uzayda tanımlanan iki geometrik
¸sekil olan hiperbol ve Apollonius çemberinin bir dönüşüm altında sabit olmasının
varlık ve teklik şartlarını veren teoremler üretildi. Böylelikle alana yeni bir vizyon
eklenmiş oldu ve uygulama alanlarını da genişletildi.
Bu tez yedi bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde tezin konusu ve amacı
açıklanmakta ve tez tanıtılmaktadır. İkinci bölümde, tez konusu kapsamında
literatürde yapılan çalışmalar hakkında kısa bilgi verilmektedir. Üçüncü bölümde,
tezde kullanılacak temel tanımlar, teoremler ve kavramlar kısaca hatırlatılmaktadır.
Dördüncü ve beşinci bölümlerde, G−metrik uzaylarda sabit hiperbol ve sabit
Apollonius çemberi kavramları tanımlanıp tanıtılmakta ve sabit hiperbol ve sabit
Apollonius çemberinin varlık ve teklik koşulları verilmekte ve bu kavramların
uygulamalarına değinilmektedir. Altıncı bölümde tezde elde edilen bulgular ifade
edilmiştir. Yedinci bölümde tezde elde edilen sonuçlar ifade edilmiş ve bu konuda
ileride yapılacak çalışmalarda neler yapılabileceği konusunda önerilerde
bulunulmuştur.

Abstract:
The origin of fixed-point theory dates back to the end of the 19th century. It
is based on the work of many famous mathematicians such as Fredholm, Cauchy,
Lipschitz, Picard, Liouville and Peano especially on the existence and uniqueness of
solutions of differential equations. Banach's formulation is considered the beginning
in the Metric Fixed-point theory. Fixed-point theory has applications in many areas.
In particular, we can change the structure of the geometric shapes by changing the
metrics and the formulas used. Therefore, metric change represents the impressions
of a new world to us. Our aim in this thesis is completely on this structure. Inspired
by the studies of Nihal Özgür and Nihal Ta¸s in 2017, where the geometry of fixed
points is examined in the case of more than one fixed point, and also by the doctoral
thesis written by G. Zaim Erçınar under the supervision of Ö. Geli¸sgen and T. Ermi¸s,
theorems that give the existence and uniqueness conditions for the two geometric
shapes defined in the G-metric space, the hyperbola and the Apollonius circle, to
be fixed under a transformation, which Mustafa and Sims introduced in 2016, were
produced. Thus we added a new vision to area, and also we have expanded the
application areas.
This thesis consists of seven chapters. In the first chapter, the subject and
purpose of the thesis are explained and the thesis is introduced. In the second
chapter, brief information is given about the studies conducted in the literature
within the scope of the thesis subject. In the third chapter, the basic definitions,
theorems and concepts to be used in the thesis are briefly reminded. In the fourth
and fifth chapters, the concepts of fixed hyperbola and fixed Apollonius circle in
G-metric spaces are defined and introduced, and the conditions for existence and
uniqueness of fixed hyperbola and fixed Apollonius circle are given, and the
applications of these concepts are mentioned. In the sixth chapter, the findings
obtained in the thesis are expressed. In the seventh chapter, the results obtained in
the thesis are expressed and suggestions are given for what can be done in future
studies on this subject.