İki elastik katıdan oluşan bir sürekli ortamda yarı sonsuz bir yüzeye etki eden sinüzoidal yayılı yük için analitik bir çözüm
Analytical solution for a sinuzoidal distributed load acting on a semi infinite surface in a continuum of two elastic solids
Yazar: NURİ KEREM BİNARK
Danışman: PROF. DR. MEHMET SALİH DOKUZ
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Makine Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Katı Cisimlerin Mekaniği Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2019
Konu: Makine Mühendisliği = Mechanical Engineering

Özet:
Karışım, iki veya daha fazla sürekli ortamın difüzyona uğrayarak oluşturduğu ve kendine ait karakteristikleri, mekanik ve ısıl davranışları olan homojen bir sürekli ortamdır. Böyle bir ortamın özelliklerinin bilimsel bir disiplin çerçevesince incelenebilmesi ve bunun mühendislik uygulamalarına aktarılabilmesi amacıyla karışımlar teorisi yaklaşımı geliştirilmiştir. Sürekli ortamlar mekaniğini baz alan bu teori sayesinde, çok bileşenli ortamlar için ihtiyaç duyulan teorik altyapı hazırlanmış ve jeolojik katman, biyolojik doku, tanecikli kompozit malzeme gibi yapıların davranışlarının matematiksel analizi için alternatif bir metod ortaya konmuştur.
Bu çalışmada, iki elastik katıdan oluşan homojen bir sürekli ortam için karışımlar teorisinin öngördüğü lineer bünye denklemleri verilerek gerilme, şekil değiştirme, difüzyon kuvveti gibi alan büyüklükleri Love şekil değiştirme fonksiyonları yardımı ile ifade edilmiştir. Üç farklı mekanik deneyin matematiksel yapılarından faydalanılarak, bileşenleri birbirine göre bağıl hareket etmeyen karışım ortamı koşulu altında, bünye denklemlerindeki bilinmeyen katsayıları tespit etmemize imkan sağlayacak bağıntılara ulaşılmıştır. Ardından, elde edilen sonuçların uygulanması ve değerlendirilmesi amacıyla, yarı-sonsuz bir karışım ortamı için sinüzoidal yayılı yük problemi çözülmüş ve Al2O3-NiAl kompozitine ait veriler kullanılmıştır.
Çalışmanın ilk etabında, amaç ve literatür bilgisinin ardından, elastik katı karışımlarının anlaşılmasına yardımcı olmak amacıyla tekil elastik ortama ait temel ifadelere yer verilmiştir. Bu çerçevede tekil ortama ait yer değiştirme probleminin çözülebilmesi için gerekli olan Navier denkleminin Galerkin vektörü ve onun özel bir hali olan Love şekil değiştirme fonksiyonu yardımıyla dönüştüğü yeni form hesaplanmıştır. Elde edilen bu form ile tekil ortam için yer değiştirme ve gerilme ifadeleri elde edilmiş ve sinüzoidal yayılı yük problemi ve ilgili sınır koşulları tartışılmıştır.
Daha sonra, iki elastik katıdan oluşan karışım ortamı bileşenlerine ait birim şekil değiştirme tansörleri, gerilme tansörleri, difüzyon kuvveti vektörü ve yer değiştirme vektörleri incelenmiş, karışıma ait bilinmeyen bünye katsayılarına dikkat çekilmiştir. Bilinmeyen bünye katsayıları konumundaki etkileşim terimlerini bilinen bünye katsayıları olan Lamé elastik sabitleri cinsinden hesaplayabilmek amacıyla üç farklı mekanik zorlanma durumu ele alınmıştır. Bu kapsamda, karışım ortamına ait bir numunenin kullanıldığı basit çekme, basit kayma ve hidrostatik basınç deneylerine ait matematiksel hesaplamalara yer verilmiştir. Bu işlemler sonucunda, karışım ortamına ait bilinmeyen bünye katsayılarını yöneten denklemlere ulaşılmıştır. Elde edilen bu bilgilere ek olarak karışım bileşenlerinin bağıl hareket etmedikleri, yani her bir bileşene ait parçacığın bir diğer bileşene ait parçacık ile aynı anda, aynı miktarda ve aynı yönde hareket ettiği durum için karışım ortamına ait bünye katsayıları ile bu ortama eşdeğer mekanik davranış sergileyen tekil bir ortamın bünye katsayıları
xviii
arasında bağlantı kurulmuştur. Bulunan bu ilişkilerin test edilmesi amacıyla da karışım ortamı için sinüzoidal yayılı yük problemi ele alınmıştır.
Hesaplamalarda, karışıma ait yer değiştirme vektörleri arasındaki ilişkiyi veren ifadelerin iki Navier denkleminin toplamına benzemesi sebebiyle, yer değiştirme vektörleri iki farklı Galerkin vektörü cinsinden ifade edilmiştir. Eksenel simetrik gerilme uygulamaları için Galerkin vektörlerinin, bu vektörlerin özel bir durumu olan, Love şekil değiştirme fonksiyonları cinsinden ifade edilebildiği bilgisi kullanılarak, kütle kuvvetlerinin ihmal edildiği durumlar için, Navier denklemleri Love şekil değiştirme fonksiyonları cinsinden biharmonik fonksiyonlar olarak yazılmıştır. Ayrıca, karışıma ait yer değiştirme, difüzyon kuvveti ve gerilme bileşenleri de Love şekil değiştirme fonksiyonları cinsinden ifade edilmiştir. Yarı-sonsuz bir karışım ortamı yüzeyine dikey olarak etkiyen yüklemeler için hangi sınır koşullarının geçerli olduğu belirtildikten sonra, karışım bileşenlerinin bu yüklemelere hangi oranlarda maruz kalacakları tespit edilmiştir.
Sinüzoidal yayılı yük probleminin çözümünde karışım bileşenlerinin birbirinden farklı yer değiştirmeler yapabildiği genel durum esas alınmıştır. Böylece, bağıl hareketsiz durum bağıl hareketli durumun özel bir hali olduğu için, izafi yer değiştirmenin olmadığı duruma ait olan bünye katsayısı denklemlerinin test edilmesi amaçlanmıştır. Elde edilen bağıntılarda kullanılmak üzere sayısal bir örnek olarak Al2O3-NiAl kompozitine ait verilerden istifade edilmiştir. Bu veriler ve bu verilere bağlı olarak bulunan bünye katsayısı değerleri, problem çözümünde bulunan yer değiştirme, gerilme ve difüzyon kuvveti ifadelerine tatbik edilerek ortam davranışına ait grafikler elde edilmiştir.
Çalışmanın sonunda, sinüzoidal yayılı yük problemi hesaplamalarının alternatif bir kontrolü için, ikili karışım ortamına ait denge denklemlerinin farkından oluşan ve difüzyon kuvvetini veren farklı bir ifade türetilmiştir.

Abstract:
Mixture is defined as a homogenous contiuum which is a result of diffusion of two or more different continuums. The mixture continuum has its own material characteristics, mechanical and thermal behaviours differing from the mixture components. In order to examine the properties of this new material in sicientific methods and to use in engineering applications, the approach of mixture theory is developed. Based on the continuum mechanics, the mixture theory comes through an alternative method for the mathematical analysis of the structural behaviours of geological layers, biological tissues and granular composite materials by preparing the theoretical background needed for the multi-component materials.
In this study, stres, strain and diffusion force fields are defined in terms of Love's strain function by using the linear constitutive equations provided by the mixture theory for the homogenous contiuum consisting of two elastic solids. In this case, by using the mathematical structres of three different mechanical experiments, relations for the unknown coefficents in the constitutive equations of no relative component motion mixture continuum have been developed. Afterward, in order to to apply and examine the results of this approach, a sinusoidal vertical load problem for the semi-infinite mixture continuum has been solved and also, datas of an Al2O3-NiAl composite has been used.
In the first chapter, purpose and the literature research for this study is given. In this case, historical development, difficulties faced in the use and the base need of existence of the mixture theory are also mentioned.
In the second chapter, basic statements for the single elastic continuum are expressed in order to help to understand the mixture of elastic solids. In this case, the new form of Navier's equation, needed to solve the displacement problem belongs to single continuum, is calculated using the Galerkin vector and its special case Love's strain function. By using this calculated new form, displacement and stress statements for the single continuum are obtained. And afterward, sinusoidal vertical load problem and related boundary conditions are discussed.
In the third chapter, stress and strain tensors, diffusion force and displacement vectors belonging to constituents of the mixture of two elastic solids are examined. And also, the unknown coefficients of the constitutive equations are mentioned. In order to calculate these interaction terms, which are the unkown constitutive coefficients, in terms of Lamé elastic constants the common constitutive coefficients, three different mechanic stress cases are dealed. In this case, mathematical calculations belong to a sample of mixture continuum, which is subjected to normal stress, shear stress and hydrostatic pressure experiments, are used. As as result of this process, the equations giving the unkown constitutive coefficients of the mixture
xx
continuum are obtained. Additionaly to these gained results, a connection has been established between the constitutive coefficients of the no relative component motion mixture continuum, means that each tiny piece of the constituents of the mixture moves at the same time same direction and the same magnitude, and the constitutive coefficients of a single continuum having an equivalent mechanical property to this mixture. In the purpose of testing these results, the sinusoidal vertical load problem for the semi-infinite mixture continuum has been solved in the fourth chapter.
In calculations, because of the similarity found to the sum of two Navier's equations, relations between the displacement vectors of the mixture constitutents are expressed in terms of two different Galerkin vectors. For the axial-symmetry problems, the Galerkin vectors can be defined in terms of Love's strain functions. Therefore, for the case of mass forces are neglected, the Navier's equations are expressed as biharmonic functions in terms of Love's strain functions. Additionally, the displacement, the diffusion force and the stress components of the mixture are also defined in terms of Love's strain functions. After specifying the valid boundary coundations for the sinusoidal vertical loads for the semi-infinite mixture continuum, in which ratios the mixture constituents will handle these loads is determined.
In the fourth chapter, the solution of the sinusoidal vertical load problem for the semi-infinite mixture continuum is calculated in the general case of permiting the relative motion between the mixture components. By this way, because of being a relatively inert motion is one of a special case of relative motion, it is aimed to test the constitutive coefficients found in no relative motion. Also in the use of these equations, datas of a Al2O3-NiAl composite are used as a numerical example. By applying these datas and the numerical values of the constitutive coeffients, obtained from the Al2O3-NiAl composite, to the displacement vectors, stress tensors and the diffusion forces found in the problem solution, the graphics showing the mixture behaviour are obtained.
In the examination of the results, firstly when the constitutive coefficients obtained from the constitutive equations of no relative motion case are applied to sinusoidal vertical load problem solved in the general case of permiting the relative motion, it is observed that the displacement of the mixture components are found equal to each other. This makes a proof for being the relatively inert motion is one of a special case of relative motion.
In the same way, in the graphic belongs to displacement vectors in the direction of vertical load for the equivalent single continuum and for the mixture constituents, it is observed that the difference between displacements of mixture constituents is found neglegibliy small. So, this observation makes a second proof for the relative, no relative motion cases.
And also it is discussed that there may two causes of observing a small difference between the mixture constituents displacements in the graph. One of them is calculating the mixture constituents in which ratios will handle the applied loads should not be depend just only to volume faction of each constituent, but in this work only volume fraction determined these ratios. On the other reason is the values used from the Al2O3-NiAl composite are experimental results.
Secondly, the graphics for the diffusion force between the mixture constituents and for the stress tensors belongs to mixture constituents and to equivalent single continuum are examined. In this case, the common observed situation between the displacement vectors graphic and the diffusion force graphic, when z→∞ the case both the displacement vectors and the diffusion force are converged to zero. These results were expected due to the boundary conditions of the sinusoidal vertical load problem valid for the Love's strain function approach.
The results according to stress tensors graphic for the mixture continuum, for the mixture constituents and for the equivalent single continuum, give equal values between the stress tensor of mixture continuum and the stress tensor of the equivalent single continuum.
And a second result is the stress tensors of mixture constituents differ from the stress tensor of mixture continuum due to the interaction of these constituents between each other.
And a third result, the observation made for the z→∞ case for the stress tensors of the mixture continuum, mixture constituents and the equivalent single continuum gave the same result with the displacement vectors and the diffusion force as converging to zero.
Lastly at the end of the study, as an alternative control to the calculations of the sinusoidal vertical load problem, a new statement for the diffusion forces is derived by subtracting the equations of equilibrium of a binary mixture continuum. This statement and the equations obtained in the sinusoidal vertical load problem for the diffusion forces have a similar form while their coefficients seems totally different. However, when the relations taken from the both approaches are merged with the values taken from the Al2O3-NiAl composite, the obtained diffusion force values for the both ways are seemed neglegibliy equal to each other. Therefore, this examination gave an extra opportunity to control the calculations of the study.