Kesir mertebeli PID kontrolörlerde türev mertebesinin çevrimiçi ayarlanması
Kesir mertebeli PID kontrolörlerde türev mertebesinin çevrimiçi ayarlanmasi
Yazar: MERT CAN KURUCU
Danışman: PROF. DR. MÜJDE GÜZELKAYA
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2019
Konu: Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrol = Computer Engineering and Computer Science and Control

Özet:
Kesir mertebeli matematik 300 yıldan fazla zamandır bilimin bir çok alanında kendine yer bulmuş bir konudur. Tam sayı mertebeli türev integral işlemlerinin tam sayı olmayan haline genelleştirilmesi problemiyle uğraşır. Bunun için 3 önemli türev integral tanımından bahsedilir. Riemann-Liouville türev integral operatörü, katlı integral tanımının belli başlı kısıtlar altında genelleştirilmesiyle elde edilmiş bir metoddur. Grünwald-Letnikov tanımı ise n katlı integral üzerinde genelleştirme yapılarak elde edilir. Caputo tanımı ise Riemann-Liouville tanımında Laplace dönüşümü yapıldığında daha açık bir ifade vermesiyle avantajlı bir tanım olarak karşımıza çıkar. 

Özellikle son yıllarda türev ve integral operatörlerinin kontrol ve sistem teorisinde kullanıldığı durumlar ve tanımlar, kesir mertebeli türev integral operatörleri kullanılarak yeniden tanımlanmıştır. Örneğin, standart türev ve integral işlemleri frekans bölgesinde genlik eğrisinin eğimini $20 dB/dek$ değiştirirken, faz eğrisini $\pm 90$'a götürür. Kesir mertebeli operatörlerin frekans cevaplarına bakıldığında ise sistemin genlik eğrisinin eğimini $20\alpha dB/dek$ biçiminde değiştirilebildiği görülür. Benzer biçimde faz eğrisi $\pm 90\alpha$'ya gidecektir. Bu sayede sistem üzerinde kesir mertebeli türev ve integral elemanlarıyla daha çok söz sahibi olunabildiği çıkarımı yapılabilir. Bunun dışında sürekli hal hatası tanımlanırken de kesir mertebeli integral mertebesine bağlı olarak tanımlar yapılmıştır.

Kesir mertebeli integral ve türevin gerçeklenmesinde literatürde bir çok nümerik yaklaşım önerilmiştir. Bunlardan en çok kullanılan Oustaloup yaklaşımıdır. Belirlenen bir frekans aralığında eldeki kesir mertebeli transfer fonksiyonunu, yüksek dereceden bir tam sayı mertebeli transfer fonksiyonu kullanarak yaklaşık olarak gerçekleyebilir. Bu tam sayı mertebesi arttıkça, yaklaşımın da o kadar iyileşir. Literatürde genelde 11 olarak seçilen bu derece ile beraber Oustaloup yaklaşımıyla bulunan transfer fonksiyonu, frekans cevabında gerçek sistem ile karşılaştırıldığında son derece yakın sonuçlar elde edildiği görülür.

Kesir mertebeli integral ve türev ifadeleri mühendisliğin birçok alanında son zamanlarda artan bir hızla çalışılmaktadır. Bunlardan bazıları, iletim hattı teorisi, kimyasal analiz sulu çözeltilerin hazırlanması, ısı akışı metre tasarımı, toprak reolojisi, metal yüzeylerde taneler arası olukların gelişimi, kuantum mekaniğindeki bazı hesaplamalar ve atmosferik kirleticilerin yayılmasının incelenmesi. Bunlar dışında ise dinamik sistemlerin kontrolünde geniş bir alan bulmuştur. Sistemlerin modellenmesinde kesir mertebeli diferansiyel denklemlerin kullanılmasıyla daha doğru modellere ulaşılabilmektedir. Bunun yanında kontrolörler için de türev ve integral elemanları tam sayılı olmak yerine kesir mertebeli seçildiğinde sistem performansı iyileştirilebilmektedir. Örneğin $K_p, K_d$ ve $K_i$ olmak üzere 3 katsayısı bulunan PID kontrolörler yerine kesir mertebeli PID kullanıldığında bu sayı kesir mertebeli türev ve integral ile beraber 5'e çıkar, bu durumda kontrolör tasarımı daha esnek bir şekilde gerçekleştirilip sistem performansında iyileştirmeler yapılabilir.

Bu tezde kesir mertebeli PID kontrolördeki türev elemanının çevrimiçi olarak ayarlanması için yeni bir metod önerilmiştir. Bu öneri birinci dereceden ölü zamana sahip sistemler için yapılmıştır. Bu seçimin asıl nedeni yüksek dereceden sistemlerin iyi bir yaklaşıklıkla birinci derecen ölü zamanlı sistemler olarak ifade edilebilmesidir.Bunun için öncelikle standart kapalı çevrim birim basamak cevabı bölgelere ayrılmıştır. Daha sonrasında her bir bölge için sistem cevabını iyileştirecek stratejiler verilmiştir. Bu stratejilerin gerçeklenebilmesi için kesir mertebeli türevin nasıl değişmesi gerektiği tartışılmıştır. Çevrimiçi ayarlama için kesir mertebeli türevi hatanın mutlak değerine bağlı olarak değiştiren doğrusal fonksiyonlar önerilmiştir. Denklemlerin katsayıları çeşitli sistemler üzerinde global optimizasyon algoritmasıyla aranıp daha sonra eğri uydurma yöntemleriyle sistemin zaman sabitine ve ölü zamanına bağlanmıştır.

Sonrasında bulunan bu doğrusal denklemlerle beraber standart PID yapısı üzerinde türev elemanı değiştirilerek 3 farklı sistem için karşılaştırmalar yapılmıştır. Bu karşılaştırmalar sonucunda kesir mertebeli türevin değişiminin stratejiler belirlenirkenki davranışla uyumlu olduğu görülmüştür. Simülasyonlarda sistem cevabının önerilen yöntemle iyileştirildiği gözlemlenmiştir.

Abstract:
Fractional calculus has been used in many areas of engineering and science for more than 300 years. It deals with the problem of generalization of the integer order differentiation and integration operators to non-integer differentiation and integration operators. Most commonly used definitions for fractional order operators are Riemann-Liouville, Grünwald-Letnikov and Caputo definitions. Riemann-Liouville definition uses the n-fold integral and generalizes it to $n^th$ order differentiation with predetermined conditions. Grünwald-Letnikov also uses n-fold integrals and generalizes it to fractional order derivative under specific conditions. Caputo and Riemann-Liouville are similar but the Laplace transform with initial conditions of the Caputo definition is more meaningful than Riemann-Liouville because of the integer order derivative of initial conditions.In recent years, fractional calculus proved itself to be useful in many areas of science and engineering and this led to various studies for analyzing the aspects such as design and tuning of fractional order controllers.

Comparing the frequency responses of the standard integral and derivative operators with fractional order integral and derivative operators can give some insight about how they work in control systems. Integer order derivative and integral changes the slope of the magnitude curve by $20 dB/dec$ and sets the phase curve to $\pm 90$. Fractional order derivative and integral changes the slope of the magnitude curve to $20\alpha dB/dec$ and sets the phase curve to $\pm 90\alpha $. It can be deduced that with fractional order operators designer has more flexibility to change magnitude and phase curves. The steady-state error is defined in relation to fractional order integral $\lambda$.

Various methods have been proposed in literature for the realization of fractional order derivative and integral operators. Most commonly known numerical method for the approximation of the fractional order derivative and integral is Oustaloup approximation. Generally, in simulations and realization of fractional controllers, integer order transfer functions, which show similar behavior with their fractional counterparts, are used to represent fractional operators. In this respect, Oustaloup approximation is one of the most common method preferred. Oustaloup approximation uses high integer order transfer function considering the frequency response is similar with the fractional order operator obtained by choosing lower and upper frequency bounds. As the order of the Oustaloup approximation increases the approximation becomes more precise but the complexity of the calculation grows heavier. Usually the order of the integer order transfer function is chosen as 11.

First contributions to the area of fractional calculus were made by Euler and Lagrange in the 18th century.  Later on Liouville expanded the series expansion of functions to nth order. Riemann approached the same problem with the usage of definite integrals and non-integer power series. Grünwald Krug combined the methods of Liouville and Riemann and using Cauchy's repeated integral formula showed that the bounds of the definite integral that Riemann used are not infinite. One of the first application of the fractional calculus is made by Abel in 1823. Abel used half-derivatives for finding a solution to the tautochrone problem. In 19th century symbolic methods are used for solving the differential equations with constant coefficients. Heaviside used fractional calculus in problems of transmission lines which is a subject of electromagnetic theory.

In the recent years, fractional calculus has been utilized in areas of control engineering. There are various applications in literature regarding the fractional calculus in control systems such as liquid systems, autonomous robots, control of servo systems, modelling and control of thermal systems etc. Manabe was the first to apply fractional calculus to control engineering in 1961. He used frequency response of fractional order integral and used it in control systems. Podlbuny proposed $PI^{\lambda}D^{\mu}$ fractional controller which has 5 parameters $K_p, K_i, K_d, \lambda$ and $\mu$. This structure has 2 extra parameters than classical PID and can outperform it by tuning these new parameters. But at the same time it causes complexity in tuning procedure. Oustaloup showed that fractional controller CRONE(Commande Robuste d'Ordre Non Entier) outperforms the classical PID.

Fractional calculus is used in both modelling and control of the systems. There are four configurations possible, integer order controller for an integer order system, fractional order controller for an integer order system, fractional order controller for a fractional order system and integer order controller for a fractional order system.

There are many fractional order controller tuning methods which are mainly the expanded versions of the integer order controller tuning methods. Usually, fractional order PID tuning methods are considered in literature. Parameters that are introduced with fractional order controllers, $\lambda$ and $\mu$ are tuned such way to satisfy design criteria. One method is to use phase margin, gain margin and robustness to high frequency noise for design criteria and find analytic solutions to 5 parameters of the fractional order PID. Another method is called F-MIGO and it uses sensitivity function S(s) and co-sensitivity function T(s) peak values as design criteria. There is another method which uses the ideas for tuning internal model controllers for tuning the fractional order PID. There are also rule based methods, where parameters of fractional order controller are found by numerical methods and each parameter is fitted to a function in terms of system parameters. 

In this thesis, an online tuning method for the derivative term of the Fractional variable order PID controller is proposed. This method is considered for First-Order Plus Delay Time systems since higher order transfer functions can be approximated as First-Order Plus Delay Time systems. To obtain the online tuning method, classical step response is divided into regions. For each region defined, meta-rules are proposed for a better system response. In order to achieve this meta rules through changing fractional order derivative, linear equations that are functions of absolute error are proposed. For systems with Controllability Ratio lesser than 0.05 and greater than 0.05 two sets of equations are discussed. For systems with Controllability Ratio lesser than 0.05, coefficients of the linear equations consist of system time constant. For systems with Controllability Ratio greater than 0.05, coefficients of the linear equations consist of system time constant and system delay time. For finding these coefficients various first-order plus dead time systems are taken into consideration and optimal coefficients are searched using Big-Bang-Big-Crunch. 

Simulations are done to show capability of the proposed method on system responses. For 3 different systems simulations are carried out and comparisons were made between classical PID and fractional order PID with online derivative tuning. As a result it is shown that tuning fractional order derivative $\mu$ improves the system performance.