Sürekli ve ayrık popülasyon modellerinde Allee etkileri
Allee effects in continuous-time and discrete-time predator-prey system
Yazar: PINAR BAYDEMİR DAŞTAN
Danışman: PROF. DR. HÜSEYİN MERDAN
TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2024
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Matematiksel modeller = Mathematical models

Özet:
Bu tezde, Allee etkisine sahip Leslie tipi bir ayrık av-avcı popülasyon modeli ile sürekli av-avcı popülasyon modelinin dinamik yapısı analiz edilmiştir. Analiz edilen modeller aynı çevreyi paylaşan ve birbirleriyle etkileşim içinde bulunan iki popülasyonu içermektedir. Lineer olmayan dinamik sistemler yaklaşımıyla modellenen bu popülasyonların zamana göre değişimi, ayrık sistem için fark denklemleri, sürekli sistem için adi diferensiyel denklemler ile ifade edilmiştir. İlk olarak ayrık av-avcı modeli ele alınarak modelin pozitif denge noktasının varlığı ve tekliği gösterilmiştir. Ardından bu pozitif denge noktasının kararlı olabilmesi ve bu denge noktasında Flip çatallanma ve Neimark-Sacker çatallanmanın görülebilmesi için gerekli koşullar belirlenmiştir. Daha sonra merkez manifold teoremi ve çatallanma teorisi kullanılarak bu koşulların sağlandığı teorik olarak ispatlanmıştır. Elde edilen bu analitik çalışmaları desteklemek amacıyla bazı örnek parametre değerleri ele alınmış ve bu parametre değerleri için sistemin faz portreleri ve çatallanma diyagramı elde edilmiştir. Tezin diğer yarısı ayrık sistemin Euler metodu kullanılarak elde edildiği sürekli av-avcı sistemi için ayrılmıştır. Ayrık sistemdeki temel analizler sürekli sistemde de benzer sırada takip edilmiştir. Öncelikle, sistemin denge noktasının lokal asimtotik kararlı olabilmesi için gerekli koşullar belirlenmiştir. Daha sonra, bu pozitif denge noktasında görülen Hopf çatallanmanın varlık koşulları incelenmiştir. Bu çatallanmanın varlığı ise, çatallanma parametresi olarak Allee sabiti kullanılarak Hopf çatallanma teorisi ve normal form teorisi aracılığıyla gösterilmiştir. Yapılan analizlere göre, av popülasyonu üremek için eş bulmakta zorlandığından Allee etkisi av popülasyon yoğunluğunu azaltmıştır.
		
Ek olarak, av popülasyonu avcı popülasyonları için birincil besin kaynağı olduğundan, Allee etkisi avcı popülasyon yoğunluğunu da azaltmıştır. Öte taraftan, daha düşük popülasyon yoğunluğunda, artan Allee etkisinin süperkritik  Hopf çatallanmasına, güçlü Allee etkisinin ise subkritik Hopf çatallanmasına yol açtığını gözlenmiştir. Başka bir deyişle, Allee etkisi arttıkça kararlıdan kararsıza ve kararsızdan kararlıya doğru bir kararlılık geçişi söz konusudur. Dolayısıyla, Allee etkisi hem kararlı hem de kararsız limit döngüleri ortaya çıkarabildiğinden, sistemde farklı iki Hopf çatallanma görülmüştür. Çalışmanın devamında, Allee etkisinin hem av hem de avcı popülasyon dinamikleri üzerindeki etkisi nümerik örneklerle gözlenmiştir. Ayrıca, av-avcı sisteminin bu sistemi oluşturan tüm parametre değerlerine duyarlılığını incelemek için FAST yaklaşımı kullanılmıştır. Burada tek bir parametre değerindeki değişikliğin sistem dinamiği üzerindeki etkisine ek olarak, hangi parametrenin sistem çıktısı üzerinde en etkili olduğu belirlenmiştir. Tez çalışması kapsamında ele aldığımız modellerin analizi, av ve avcı popülasyonları arasındaki dengenin korunmasında Allee etkisinin önemini vurgulamaktadır. Bunların yanı sıra, elde ettiğimiz sonuçlar hem sürekli hem de ayrık av-avcı sistemlerini doğru bir şekilde modellemek ve anlamak için karmaşık ekolojik etkileşimleri dikkate almanın gerekliliğini vurgulamaktadır.

Abstract:
In this thesis, the dynamical behaviour of both discrete-time and continuous-time Leslie type predator-prey system with the Allee effect is investigated. These models has two populations which are prey and predator living in the same environment and interacting with each other. In these systems the change of populations, modeled by approximation of nonlinear dynamical systems, with respect to time is governed by difference equations in discrete system and by differential equations in continuous system. First, the discrete-time prey-predator system is considered and the existence and uniqueness of the positive equilibrium point of this system is shown. The required conditions are then found for the stability of this positive equilibrium point, as well as for the observation of Flip bifurcation and Neimark-Sacker bifurcation at this equilibrium point. More specifically, these bifurcations are driven by using the center manifold theorem and the normal form theory by choosing the integral step size as a bifurcation parameter. In the following chapter, some numerical simulations are presented to support and extend the theoretical results. The other half of the thesis is devoted to the continuous-time predator-prey system, where the discrete system is obtained using the Euler method. The continuous system follows the same sequence of basic analyses as the discrete system. Initially, the local stability conditions of the positive equilibrium point of this system are determined. Next, the conditions of existence for Hopf bifurcation arising from this positive equilibrium point are investigated. This bifurcation is demonstrated through Hopf bifurcation theory and normal form theory by using the Allee constant as a bifurcation parameter.

According to mathematical analysis, the Allee effect reduces prey population density since prey have difficulty finding a mate to reproduce. In addition to this, since prey populations are the primary nutritional source for predator populations, the Allee effect diminishes predator population density. On the other hand, at the lower level of population density, we have observed that a gradually increasing Allee effect causes a supercritical Hopf bifurcation, while a strong Allee effect leads to a subcritical Hopf bifurcation. To put it another way, there is a stability switch from stable to unstable and from unstable to stable as the Allee effect increases. Therefore, the system exhibits multiple Hopf bifurcations since the Allee effect can bring out both stable and unstable limit cycles. Subsequently, we focus on a sensitivity analysis to ascertain the robustness of the model to the parameter values that are correlated with the critical bifurcation parameters directly related to the Allee constant. Finally, we discuss the impact of the Allee effect on the dynamics of both prey and predator populations via numerical simulations. Moreover, the FAST approach was used to examine the sensitivity of the predator-prey system to all parameter values, and the most influential factors among input parameters on the output variable have been determined in addition to the impact of a single parameter value change on the dynamic of the system. The findings highlight the importance of the Allee effect in maintaining the intricate balance between prey and predator populations and the importance of considering complex ecological interactions in order to accurately model and understand these systems.