Beveloid dişlilerin matematik modellenmesi ve dişli temas analizi
Mathematical modelling and tooth contact analysis of beveloid gears
Yazar: BERAT GÜRCAN ŞENTÜRK
Danışman: PROF. DR. MAHMUT CÜNEYT FETVACI
İstanbul Üniversitesi-Cerrahpaşa / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Makine Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Makine Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2020
Konu: Makine Mühendisliği = Mechanical Engineering
Dizin: Dişli tasarımı = Gear design ; Dişliler = Gears ; Sonlu elemanlar yöntemi = Finite element method ; Temas gerilmesi = Contact stress ; Temas problemi = Contact problem

Özet:
Bu çalışmada, genel anlamda beveloid dişlilerin matematiksel modellerini, programlama dillerinde tanımlanmaya ve özellikle eriyik yığma teknolojisi (FDM) yardımıyla katı modellemeye en elverişli olacak biçimde oluşturmak ve sonlu elemanlar yardımıyla temas analizlerinin gerçekleştirilmesi amaçlanmıştır. Matematiksel ifadelerden yola çıkılarak, farklı parametreler için dişlilerin kesit profilleri ve devamında dişli CAD modelleri elde edilmiş, sınır diş sayılarında meydana gelen alttan kesme durumlarının giderilebilmesi için farklı yöntemler ortaya konularak, matematiksel ifadelere ilave edilmiştir. Daha sonra sonlu eleman analizleri ile modifiye edilmiş modellerde yapılan iyileştirmeler test edilmiştir. Alttan kesme durumlarının giderilmesi için uygulanan metotlar yardımıyla da kök mukavemetinin arttırılabileceği görülmüştür.
Paralel eksenlerde çalışan beveloid dişliler, bu çalışmanın temel odak noktasıdır. Literatürde paralel eksenlerde beveloid dişlilerin güç aktarımı ve temas gerilmeleri konusunda sağlayabileceği iyileştirmelerile ilgili çok az çalışma mevcuttur. Bu kapsamda, çalışma esnasında beveloid dişlilerde meydana gelen temas gerilmeleri farklı dönme açılarında, koniklik ve helislik parametrelerinin değişimine göre incelenmiştir. Paralel eksenlerde meydana gelen temas hataları (transmission errors) simule edilerek, analiz sonuçları yorumlanmıştır.
Ayrıca imalat esnasında kremayer takımın kavrama açılarındaki değişimlerin, kök kısımlarındaki gerilme dağılımlarına etkileri incelenmiştir. Sonuçlarda, kök kısımlarında diş derinlikleri boyunca, ortalama gerilme değerlerinin kavrama açılarının arttırılması ile azaltılabileceği görülmüştür. Bu yönüyle ve paralel eksenlerdeki çalışma şartlarının simule edilmesiyle, yapılan çalışmanın literatüre katkıda bulunması hedeflenmektedir. 
Konkavlık ve konvekslik modifikasyonları, beveloid dişlilerde temas gerilmelerine etki eden bir diğer unsurdur. Bu modifikasyonların matematiksel modellemesi ifade edilerek, konkav beveloid dişliler için sonlu eleman analizleri gerçekleştirilmiştir. Sonuçta konkavlık ve konvekslik modifikasyonları da beveloid dişlilerde maksimum temas gerilme değerlerinin düşürülmesi ve sınır bölge temaslarının (edge contact) giderilmesi açısından önemli iyileştirmeler sağlamaktadır.
Özellikle çakışan eksenlerde çalışan dişli çarklarda, diferansiyel geometri esasları baz alınarak formülize edilen teorik temas analizleri, sonlu elemanlar metodu yardımıyla yapılan simülasyonlara  bir alternatif oluşturmaktadır. Bu bağlamda, çakışan eksenlerde dişli çiftleri için teorik temas analizleri gerçekleştirilerek, temas elipslerinin asal eksenlerdeki boyutları belirlenmiş, sonuçlar sonlu eleman analizleri ile karşılaştırılmıştır. Bu konu ile ilgili formülasyon ve sonuçlara çalışmanın ekler kısmında yer verilmiştir. 
Sonuç olarak, özellikle paralel eksenlerde çalışan beveloid dişlilerde temas hatalarının (transmission errors) olduğu durumlarda, güç aktarımının belirli sınırlarda sağlanabildiği, kavrama açılarının büyütülmesi ile de köklerde oluşan maksimum gerilmelerin düşürülebildiği görülmüştür. Alttankesmeyi önleyen metotların yanı sıra  konkavlık ve konvekslik modifikasyonları da aynı konuda fayda sağlamaktadır. Farklı dönme açılarında yapılan analizlerden yola çıkarak, gerilme değerlerinin deneysel veriler ile uyumlu olduğunu söylemek mümkündür. 
Matematiksel modelleme esnasında kullanılan kodlar, MATLAB programı vasıtasıyla oluşturulmuş, sonlu eleman analizleri ise ABAQUS paket programı kullanılarak  gerçekleştirilmiştir. CAD modellerinin oluşturulması için SOLIDWORKS, sonlu eleman modelleri için ise HYPERMESH paket programları kullanılmıştır.

Abstract:
The main scope of this study is to obtain and clarify the mathematical models of beveloid gear geometries in a certain type of logic which is especially suitable for computer aided drawing programs and especially for fused deposition modelling (FDM) and secondly, execute the tooth contact analysis by the help of finite element method.  Based on the mathematical expressions, with many different parameters, gear profiles on consecutive cross sections and CAD models of the beveloid gear types has been obtained. In addition, to prevent the undercutting, two different methods has been presented and specified in the mathematical expressions. For the purpose of testing the modifications for prevention of undercutting, finite element analysis of the modified gear models has been carried out. As seen from the results, it can be possible to increase the load carrying capacity on the root regions of the gear models.
The working conditions of beveloid gears with parallel axis is the main focus of the study. Very few of the studies in the literature are related to the improvements that beveloid gear systems with parallel axis can make about power transmission and contact stress values. By determining the conical and helical angles as the changing parameters, for different rotating angles, contact stress values of beveloid gears with parallel axes has been examined. In addition, the transmission errors has been defined between the meshing gears with parallel axes and the meshing conditions has been simulized, after that the analysis results has been evaluated. Also it has been investigated that, during the manufacturing process, how did the change in the pressure angles of the rack cutter, effect the stress distribution on the root regions. The results have shown that, along the width, average stress on the roots can be reduced by increasing the pressure angles of the rack. With the results and simulations that has been made, it was targeted that the study can make a contribution to the literature about the working conditions and advantages of beveloid gears with parallel axis.
Concave and convex modifications on the beveloid gears is another significant subject which effects the contact stress values during the meshing conditions. Alongside the mathematical expressions of these modifications which has been given, finite element analysis of the modified gear types has been generated. From the results, it has been deduced that, the concave and convex gear modifications can provide, the reduction of the maximum contact stress value and elimination of the edge contact situations respectively.  
Especially for the gear pairs with intersected angles, theoretical methods based on the differential geometry principles, can be an alternative to the finite element simulations. About this context, theoretical tooth contact analysis to obtain the length of the contact ellipses on the principle axes has been made, the values have been compared with the finite element simulation results. Formulation and the results about the subject are given in the appendix section.
Finally, the main results of the study has shown that, especially for the beveloid gear pairs with parallel axes, in the conditions which transmission errors exist between the centers of rotation, between certain limits, the transmission of the torque can be provided. Also increasing the pressure angle values of the rack cutter profiles, can help to reduce the average stress on the root regions of the gears. The modifications for prevention of undercutting and adjusting the involute surfaces, can also have an positive effect about the same purpose. Based on the simulations for the different rotation angles, it is possible to state that the results are in parallel with the experimental data.
During the study, for the modelling process Matlab software has been used. Also for the finite element simulations have been generated by the Abaqus software program. CAD and finite element models have been created with Solidworks and Hypermesh softwares respectively.