Yüksek mertebeden kesirsel türevli lineer olmayan problemler için bazı varlık ve teklik teoremleri
Some existence and uniqueness theorems for nonlinearfractional differential equations of higher-order
Yazar: ŞEYMA RAMAZAN
Danışman: DOÇ. DR. MÜFİT ŞAN
Çankırı Karatekin Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu çalışmanın amacı lineer olmayan çok terimli yüksek mertebeden Riemann-Liouville
kesirsel türevli denklem içeren bir başlangıç-değer problemi için global varlık ve teklik
teoremleri ortaya koymaktır. Göz önüne alınacak problemdeki denklemin singüler nonlineerliğe sahip oluşu bu çalışmayı orjinal kılan nedenlerden biri olarak gösterilebilir. Bu
tipteki problemlerin çözümlerinin varlığını ve tekliğini incelemek için en çok kullanılan
yöntemlerden biri problemi integral denkleme indirgemek ve ilgili integral denklemin çözümlerinin
varlığını ve tekliğini incelemektir. Burada da belirli¸ şartlar altında problem ile
zayıf singülerliğe sahip integral denklemin denk olduğu ispat edilmiştir. Bu ispatı anlamak
ve açıkça ortaya koymak açısından Riemann-Liouville integral ve türev operatörü
ile onların özelliklerine tezin üçüncü bölümünde yer verilmiştir. Bu integral denklemin
sürekli fonksiyonlar uzayında ya da daha "iyi" uzaylardaki lokal çözümlerini araştırmak
için bu denkleme karşılık gelen bir operatör tanımlanıp operatörün sabit noktalarının varlı
˘gı için operatörün kompaktlığı ve Arzela-Ascoli teoremi gibi fonksiyonel analiz yöntem
ve teknikleri kullanılır. Bu çalışmada global çözümlerle ilgilenilceği için Arzela-Ascoli
teoremi yeterli olamayacaktır ve çözümün araştırıldığı uzay için kompaktlık tanımı Su
and Zhang (2011), Jiang (2014) ve Hao et. al (2018) makaleleri takip edilerek fonksiyonel
analiz teknikleri ile genişletilmeye çalışılmıştır. Son olarak ise verilen problem için
Nagumo-tip teklik teoremi verilerek çözümün tekli˘gi için bir teorem ortaya sürülmü¸stür.

Abstract:
This study aims to present global existence and uniqueness theorems for an initial value
problem involving a nonlinear multiterm higher-order Riemann-Liouville fractional derivative
equation. The singular nonlinearity of the equation in the problem to be considered
can be shown as one of the reasons that makes this study original. One of the most used
methods to examine the existence and uniqueness of solutions to this type of problem is to
reduce the problem to an integral equation and examine the existence and uniqueness of
the solutions of the relevant integral equation. Here, it has been proven that the problem
and the weak singularity integral equation are equivalent under certain conditions. The
Riemann-Liouville integral and derivative operator and their properties are given in the
third part of the thesis to understand and demonstrate this proof. To search for the local
solutions of this integral equation in the space of continuous functions or in "better" spaces,
an operator corresponding to this equation is defined and functional analysis methods
and techniques such as the compactness of the operator and the Arzela-Ascoli theorem
are used for the existence of the fixed points of the operator. Since this study will deal
with global solutions, the Arzela-Ascoli theorem will not be sufficient and the definition
of compactness for the space in which the solution is investigated has been tried to be
expanded with functional analysis techniques by following the articles of Su and Zhang
(2011), Jiang (2014) and Hao et. al (2018). Finally, the theorem for the uniqueness of
the solution is presented by giving the Nagumo-type uniqueness theorem for the given
problem.