Üç boyutlu benzerlik koordinat dönüşümünde dördeylerin kullanımı
The using of quaternions in three dimensional similarity coordinate transformation
Yazar: RECEP CANDAN
Danışman: PROF. DR. CÜNEYT AYDIN
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Harita Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Geomatik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Jeodezi ve Fotogrametri = Geodesy and Photogrammetry

Özet:
Üç boyutlu (Kartezyen) koordinat dönüşümleri birçok mühendislik probleminde
önemli bir yer tutar. Bu dönüşümlerden 7 parametreli (üç öteleme, üç dönüklük, bir
ölçek çarpanı ) benzerlik dönüşümü Harita Mühendisliğinin hemen hemen tüm
alanlarında en çok uygulanan modeldir. Genellikle, diferansiyel dönüklük açı
varsayımına bağlı Bursa-Wolf ve Molodensky-Badekas çözüm modelleri kullanılır.
Bu nedenle, söz konusu modeller dönüklük açılarının büyük olduğu problemlerde
uygulanamaz. Bu çalışmada, üç boyutlu benzerlik dönüşümünün dördeyler
kullanılarak çözümü ele alınmaktadır. Dönüşümün gerçekleştirildiği iki sisteme
karşılık gelen koordinatların tümünün hatalı olduğu duruma karşılık gelen simetrik
model için dördeyli simetrik üç boyutlu dönüşüm modeli ve çözüm algoritması
irdelenmiştir. Ayrıca, söz konusu dönüklük açısı yaklaşımına bağlı diferansiyel
açılı simetrik üç boyutlu dönüşüm modeli ele alınmaktadır. Modellerin
performansları, çok geniş perspektifte çalışabilen bir yazılım (SimTrSim) sayesinde
simülasyonlar ile ortaya konmuştur. Söz konusu analiz sonuçlarına göre, dördeyli
modelin tüm durumlarda tutarlı ve doğru sonuçlar ürettiği, diferansiyel açılı
modelin tutarlılığının ve doğruluğunun ise temel olarak dönüklük açılarının
büyüklüğüne bağlı olduğu belirlenmiştir. Tüm analizler neticesinde, alışılageldik
yaklaşımın dönüklük açılarının ancak 0,1 derece dakikası ve daha küçük olması
durumunda kullanılabileceği gösterilmiştir. Dördeyli model için böyle bir şart
bulunmamaktadır. Bu nedenle, dördeyli modelin üç boyutlu koordinat dönüşüm
uygulamalarında ileride daha da öne çıkacağı sonucuna ulaşılmıştır.

Abstract:
Three-dimensional (Cartesian) coordinate transformations play an important role in
many engineering problems. Among these transformations, the one with 7
parameters (three translations, three rotations and one scale factors)-similarity
transformation is the most adapted model in almost all areas of Geomatics
Engineering discipline. In general, the so-called Bursa-Wolf and MolodenskyBadekas solution models based on the differential rotation angles-assumption are
used. These models, therefore, cannot be applied to the problems with nondifferential angles. In this study, the solution of three-dimensional similarity
transformation problem is considered by using the so-called quaternions. For the
symmetric model, which corresponds to the case where the coordinates of both
systems used for the transformation are all erroneous, the symmetric threedimensional transformation model based on quaternions and its solution algorithm
are studied. Furthermore, the symmetric three-dimensional transformation model
based on differential rotations for corresponding rotation-assumption and its
solution algorithm are examined. The performances of both models are presented
in a broad perspective by using simulations generated by a software called
SimTrSim. According to the analysis results, it is shown that the symmetric model
based on quaternions produces very consistent and correct solutions whereas the
consistency and precision of the model based on differential rotations mainly rely
on the magnitude of the differential rotation angle along the coordinate axes.
Finally, it is depicted that this conventional approach can be used effectively just
for the cases with angles smaller than or equal to 0.1-degree minute. There exists
no such a restriction for the model with quaternions. Therefore, it is concluded that
the model based on quaternions will be more important in future for threedimensional transformation applications.