Z3-dereceli kuantum süper uzayın elemanlarının toplamı üzerine bir diferansiyel hesap
A differential calculus on the addition of Z3-graded quantum super space elements
Yazar: İSHAK AYDIN
Danışman: DOÇ. DR. YILMAZ GÜNDÜZALP
Dicle Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2020
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Deforme cebirler = Deformed algebras ; Diferensiyel geometri = Differential geometry ; Hopf cebiri = Hoph algebra

Özet:
Kuantum uzaylar(düzlemler), uzay(düzlem) kavramının bir genelleştirmesidir. Bir kuantum uzay, bir uzayın deformasyonudur öyle ki deformasyon parametresinin özel değer(ler)i için kuantum uzay, o uzayla özdeşleşir. İlk olarak  Drinfeld 1986'da, kuantum grup terminolojisini kullanmış daha sonra bir çok yazar bu konuya değişik yorumlar getirmiştir. Kuantum uzay terminolojisi ise ilk olarak Manin tarafından 1989'da kullanılmıştır. 
Değişmeli olmayan geometri, son yıllarda matematiğin ve matematiksel fiziğin birçok farklı alanında önemli bir rol oynamaya başlamıştır. Değişmeli olmayan geometriye yön veren temel yapı bir birleşmeli cebir üzerindeki bir diferansiyel hesaptır.
Tez, beş bölümden oluşmaktadır ve orijinal kısımlar, dördüncü bölümden itibaren başlamaktadır.
İlk bölümde, tezin orijinal kısımlarında kullanılacak olan cebir, cebirlerin tensör çarpımı, serbet cebirler, dereceli cebirler, Hopf Cebiri, Z3-dereceli cebir, komodül, bimodül, kuantum(süper) düzlem, kuantum süper uzay gibi temel kavramlar verilmiştir. 
İkinci bölümde konuya dair bir literatür özeti verilmiştir. 
Üçüncü bölümde, teze temel teşkil edecek Z3-dereceli kuantum süper uzay, Z3-dereceli diferansiyel hesap, sol(sağ) kovaryant bimodül gibi kavramlar ve bazı teoremler verilmiştir.
Dördüncü bölümde, Z3-Dereceli kuantum süper uzayda bir toplama işlemi tanımlanmıştır. Bu uzayın elemanları 3-boyutlu kuantum süper vektör olarak adlandırılmıştır. Uzaydan alınan iki kuantum süper vektörün toplamı ele alınmış ve elde edilen yeni toplam vektörünün  bu uzaya ait olması için gereken şartlar araştırılmıştır. Bu tanımla birlikte elde edilen yapının bir süper Hopf cebiri yapısı taşıdığı gösterilmiştir. Daha sonra, koordinat fonksiyonları olarak kabul edilen toplam vektörünün bileşenlerinin birinci ve ikinci mertebe diferansiyelleri, Cartan-Maurer 1-formları ve kısmi türevleri tanımlanarak bunlar arasındaki değişim bağıntıları elde edilmiştir. Gerekli bağıntıların elde edilmesiyle bu yapının diferansiyel geometrisi kurulmuştur. 
Tezin son bölümünde, çalışmanın sonuçları verilmiş ve ileride sağlayacağı katkılardan söz edilmiştir.

Abstract:
Quantum(planes) spaces are not really (planes) spaces, they are a generalization of the concept of classical (planes) spaces. More precisely, a quantum space is a deformation of a space that, for particular values of the deformation parameter, coincides with the space. Quantum group terminology was first used by Drinfeld in 1986 and then many authors made different interpretations on the subject. Quantum space terminology was first used by Manin in 1989.
Noncommutative geometry, in recent years, started to play an important role in many different areas of mathematics and mathematical physics. The basic structure leading to the noncommutative geometry is a differential calculus on an associative algebra.
The thesis consists of five chapters and the original chapters begin with the fourth chapter.
In the first chapter of the basic concepts which are used in the sections such as algebra, tensor product, free algebra, graded algebra, Hopf Algebra, Z3-graded algebra, comodule, bimodule, quantum(super) plane and Z2- graded quantum super space are given.
In the second chapter, the literature concerning the subject is given.
In the third chapter definition of Z3-graded quantum super space, Z3-graded  differential calculus, left(right) covariant bimodule and related theorems which are the basis of the thesis are given.
In the fourth chapter an operation  was defined in the Z3-graded quantum super space. The elements of this space were called 3-dimension quantum super vector. The sum of two quantum super vectors was considered and the necessary conditions were investigated for the addition to be a quantum super vector. It's shown that the obtained structure has a super Hopf algebra structure. Then, the first and second order differentials of the components of the addition vector, which are accepted as coordinate functions, Cartan-Maurer 1-forms and partial derivatives were identified and the commutation relations between them were found. After then, we obtained the necessary relations and we construct a differential calculus of this structure.
Finally, the study is discussed and concluded in the last part of the thesis.