Minkowski 3-uzayda rektifiyen eğrilerin yeni bir karakterizasyonu
A new characterization of rectifiying curves in Minkowski 3-space
Yazar: AYŞEGÜL YILDIZ
Danışman: PROF. DR. AHMET YÜCESAN
Süleyman Demirel Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Geometri Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Rektifiyen eğri, tüm rektifiyen düzlemlerinin sabit bir noktadan geçmesi özelliğine
sahip kıvrımlı bir eğridir. Bu nokta kartezyen koordinat sisteminin orijini ise, rektifiyen
eğrinin konum vektörü her zaman rektifiyen düzlemde bulunur. Bu eğrilerin dikkate
değer bir özelliği, burulma ve eğrilik arasındaki oranın, yay uzunluğu parametresinin
sabit olmayan doğrusal bir fonksiyonu olmasıdır. Diğer taraftan, involüt-evolüt
eğri çifti matematik ve mühendislikte önemli bir yere sahip olan eğri kavramlarıdır.
Örneğin, dişlilerin yapımında önemli rol oynarlar ve bu da dişlilerin birbirine geçmesini
kolaylaştırabilir. Böylece, trafik kazalarını azaltmak için aracın güvenli bir şekilde
dönmesini sağlayabilirler. Bu tez çalışmasında, Minkowski 3-uzayda rektifiyen eğriler
ile involüt-evolüt eğri çifti arasındaki ilişki incelendi ve rektifiyen eğrilerin yeni
bir karakterizasyonu bu eğri çifti yardımıyla karakterize edildi. Minkowski 3-uzay
üzerindeki metrik yapısından dolayı eğriler üç farklı causal karaktere sahiptir ve bu
tezde spacelike ve timelike rektifiyen eğriler düşünüldü. İlk olarak timelike rektifiyen
eğriler ele alındı. Bir timelike rektifiyen eğrinin pseudo-küre üzerinde bulunması için
eğrilik ve burulmasına bağlı gerek ve yeter şart verildi. Timelike rektifiyen eğrinin
herhangi bir spacelike involütünün referans noktasını merkez kabul eden hiperkuadrikler
(pseudo-küre veya pseudo-hiperbolik uzay) üzerinde bulunduğu gösterildi. Timelike
rektifiyen eğrinin spacelike involütünün de aynı zamanda bir rektifiyen eğri olması için
gerek ve yeter şartın eğrinin eğriliğinin bir Bernoulli diferansiyel denklemi sağlaması
gerektiği gösterildi ve bu diferansiyel denklem çözüldü. Son olarak, hiperkuadrikal
(pseudo-küre veya pseudo-hiperbolik uzay üzerinde bulunan) düzlemsel olmayan
bir spacelike eğrinin evolütünün referans noktası hiperkuadriklerin merkezi olan bir
timelike rektifiyen eğri olduğu verildi. Daha sonra, spacelike rektifiyen eğriler ele
alındı ve bir spacelike rektifiyen eğrinin hiperkuadrik üzerinde bulunması için eğrinin
asli normalinin causal karakterinin işaretini içeren eğrilik ve burulmaya bağlı gerek
ve yeter şart elde edildi. Bir spacelike rektifiyen eğrinin herhangi bir spacelike veya
timelike involütünün referans noktasını merkez kabul eden hiperkuadrikler üzerinde
bulunduğu gösterildi. Spacelike rektifiyen eğrinin spacelike veya timelike involütünün
de aynı zamanda bir rektifiyen eğri olması için gerek ve yeter şartın eğrinin eğriliğinin
bir Bernoulli diferansiyel denklemi sağlaması gerektiği gösterildi ve bu diferansiyel
denklem çözüldü. Son olarak, hiperkuadrikal düzlemsel olmayan bir spacelike veya
timelike eğrinin evolütünün referans noktası hiperkuadriklerin merkezi olan spacelike rektifiyen egri olduğu elde edildi ve pseudo-küre üzerinde bulunan bir timelike helisin ˘
evolütü olan bir spacelike rektifiyen eğrinin inşa edildiği bir örnek verildi.

Abstract:
A rectifying curve is a twisted curve with the property that all rectifying planes pass
through a fixed point. If this point is the origin of the Cartesian coordinate system, the
position vector of the rectifying curve always lies in the rectifying plane. A notable
feature of these curves is that the ratio between torsion and curvature is a non-constant
linear function of the arc length parameter. On the other hand, involute-evolute curve
pair are curve concepts that have an important place in mathematics and engineering.
For example, they play an important role in the construction of gears, which can
make it easier for gears to mesh. Thus, they can ensure that the vehicle turns safely
to reduce traffic accidents. In this thesis study, the relationship between rectifying
curves and involute-evolute curve pair in Minkowski 3-space is examined and a new
characterization of rectifying curves is characterized with the help of this curve pair.
Due to the metric structure on Minkowski 3-space, curves have three different causal
characters, and in this thesis, spacelike and timelike rectifying curves are considered.
First, timelike rectifying curves are discussed. The necessary and sufficient condition
for a timelike rectifying curve to lie on the pseudo-sphere is given depending on the
curvature and torsion of the curve. It has been shown that any spacelike involute of a
timelike rectifying curve lies on hyperquadrics (pseudo-sphere or pseudo-hyperbolic
space) that consider the reference point as the center. It is shown that for the spacelike
involute of a timelike rectifying curve to also be a rectifying curve, a necessary and
sufficient condition is that the curvature of the curve satisfies a Bernoulli differential
equation, and this differential equation is solved. Finally, it is given that the evolute of
a hyperquadric (located on a pseudo-sphere or pseudo-hyperbolic space) non-planar
spacelike curve is a timelike rectifying curve whose reference point is the center of
the hyperquadratics. Then, spacelike rectifying curves are discussed and the necessary
and sufficient condition for a spacelike rectifying curve to lie on the hyperquadrics
is obtained based on curvature and torsion, which includes the sign of the causal
character of the principal normal of the curve. It has been shown that any spacelike or
timelike involute of a spacelike rectifying curve lies on hyperquadratics centered on the
reference point. It is shown that for the spacelike or timelike involute of a spacelike
rectifying curve to also be a rectifying curve, a necessary and sufficient condition is
that the curvature of the curve should satisfy a Bernoulli differential equation, and
this differential equation is solved. Finally, it has been ontained that the evolute of a hyperquadrical non-planar spacelike or timelike curve is a spacelike rectifying curve
whose reference point is the center of the hyperquadrics, and an example is given in
which a spacelike rectifying curve is constructed which is the evolute of a timelike helix
located on the pseudo-sphere.