Sonlu grupların klasik gösterilişi
Ordinary representations of finite groups
Yazar: TEMHA ERKOÇ
Danışman: PROF. DR. ERHAN GÜZEL
İstanbul Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2003
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Grup teorisi = Group theory ; Halkalar = Rings ; Sonlu gruplar = Finite groups

Özet:
ÖZET Sonlu Grupların Klasik Gösterilişi Değişmeli (komütatif) ve birimli bir R halkası üzerinde tanımlı, tersinebilir nxn matrislerin çarpım grubunu, GL(n,R) ile gösterelim. Herhangi bir G grubundan GL(n,R) içine bir homomorfi, G grubunun R üzerindeki bir matris gösterilişi (gösterimi) dir. Grupların gösterimi teorisi bu homomorfileri sınıflandırmaya çalışır. Bu çalışma üç özel durumda yapılır: (1) R = k karakteristiği sıfır olan bir cisim ise, k üzerindeki gösterim teorisine klasik (adi) gösterim teorisi denir. (2) R = k karakteristiği p (asal) olan bir cisim ise, k üzerindeki gösterim teorisine modüler gösterim teorisi (Brauer teorisi) denir, p | \G\ olması halinde bu teori adi gösteriliş teorisinden, esas itibariyle farklıdır. (3) R bir cisim değilse, R üzerindeki gösterimleri belirlemek hala önemli bir problem olarak karşımıza çıkmaktadır. Belirli halkalar üzerindeki gösterimler modüler gösterim teorisinde incelenir. R bir tamlık bölgesi ise, R üzerindeki gösterim teorisine integral gösterim teorisi denir. Derleme niteliğindeki bu tez çalışmasında, grupların adi gösterimi teorisinin temel kavramları ve bu konuda ileri düzeyde araştırma yapmak için gerekli olan ön bilgiler verilmiştir. Tez üç bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde grupların gösterimi teorisi için gerekli olan gruplar teorisinin temel kavramları anlatılmıştır. Bu anlatım, konuya tamamen yabancı bir okuyucunun bile, tez kapsamına girdiği kadarıyla, verilen kavramları anlaması ve bu konuda sembol, gösterim ve anlatım bütünlüğü sağlamak amacıyla, gruplar teorisinde ilk adım olan, bir küme üzerinde bir cebirsel yapı inşası ile başlamıştır. İkinci bölümde de aynı amaç güdülerek, ilk olarak halka tanımı verilmiş ve belirli bir düzen içinde, grupların gösterimi teorisi için gerekli olan ve daha sonraki bölüm için temel oluşturan, modüller, yarı basit halkalar ve basit halkalar ile ilgili bazı kavramlar ve teoremler anlatılmıştır. Burada, grupların gösterimi teorisinde ilk akla gelen Schur Lemması, Jacobson Yoğunluk Teoremi ve Wedderburn Teoremi 'nin ispatlan detaylı olarak anlatılmıştır. Son bölümde ise, grupların adi gösterimlerinin temel özellikleri ve ilgili uygulamalar örnekler verilerek açıklanmıştır. Gösterim teorisinde, grupların gösterimi teorisinin doğal sonucu olan karakter teorisinin önemli bir yeri olduğundan, tezin son bölümünde, sonlu grupların karakterlerinin genel özellikleri ve karakterler için ortogonallik bağıntıları ve bilinen bazı simetrik grupların karakter tabloları verilmiştir. V

Abstract:
SUMMARY Ordinary Representations of Finite Groups GL(n,R) is defined the multiple group of all invertible nxn matrices over commutative ring R with unit. A matrix representation of G over R is a group homomorphism of G into GL(n, R). The theory of group representations is concerned with the problem of classifying this homomorphisms. It is done in three special cases : (1) If R = k is a field of characteristic zero, then the theory of representations over k is called ordinary representation theory. (2) If R = k is a field of characteristic p ^ 0, then then the theory of representations over k is called modular representation theory (or Brauer theory). This theory differs from the ordinary theory principally when p divides the order of G. (3) If R is not a field, representations over R are still important. Representations over certain R 's are studied in modular representation theory. If R is a integral domain, then the theory of representations over R is called integral representation theory. In this thesis with, a survey character, we have studied essential concepts and properties of the ordinary representations of groups. The basic knowledge to be needed to do comprehensive research on this subject has been stated. The thesis is composed of three parts. In the first part, the fundamental concepts of groups theory to be needed in the theory of group representations have been given. In the second part, some concepts and theorems concerning modules over rings, semi simple rings and simple rings which are essential for the later part have been included. Schur's Lemma, Jacobson Density Theorem and Wedderburn's Theorem have been stated and proved in this part. In the last part, the thesis includes the theory of ordinary representations of groups and applications of this theory. Since the theory of group characters furnishes one of the most powerful methods for studying groups and their representations, general properties of characters of finite groups, orthogonality relations for characters and some symmetric groups' character tables have been given at the end of this part. VI