Lie grupları üzerindeki bazı kontrol sistemlerinin kontrol edilebilirliği
Controllability of some control systems on Lie groups
Yazar: MAHMUT KUDEYT
Danışman: PROF. DR. AYŞE KARA HANSEN ; DOÇ. DR. EYÜP KIZIL
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2017
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez çalışması ile belirli Lie grupları üzerindeki afin kontrol sistemlerinin kontrol edilebilirliğine dair sonuçlar elde edilerek Matematiksel Kontrol Teoriye katkıda bulunulmuştur.
Çalışma 5 bölümden oluşmaktadır.
Birinci bölümde, tezimizdeki problemlerin literatür özeti, bu tez çalışmasının hangi amaçla oluşturulduğu ve problemlerin hipotezlerinden kısaca bahsedilmiştir.
İkinci bölümde, Lie teorisinin temelini oluşturan Lie cebiri, Lie grubu, üstel tasvir ve adjoint gösterim detaylı biçimde açıklanmış ve temel teoremler ile örnekler verilerek tezin temel kavramları ifade edilmiştir. 
Üçüncü bölümde ise, genel kontrol sistemlerinin temel bileşenleri detaylı bir biçimde verilmiştir. Lie grupları üzerinde tanımlı bilinen kontrol sistem çeşitleri kısaca belirtilmiştir. Çalışmamızın önemli bir parçası olan afin kontrol sistemleri detaylı bir biçimde ele alınmış ve çalışmamıza ışık tutan karakterizasyonun Öklid uzayı üzerindeki çalışması gösterilmiştir.
Dördüncü bölüm, tezin ilk özgün kısmını içermektedir. Tüm 3-boyutlu reel matris Lie gruplarının türev cebirleri ve bu Lie grupları üzerindeki afin kontrol sistemlerinin dinamiğinin elemanlarının Lie parantezleri hesaplanmıştır. Ayrıca 3-boyutlu Lucky Guess Lie grubu elde edilmiş ve; bu grubun cebirsel ve topolojik özellikleri incelenmiştir. Ek olarak, Lucky Guess Lie grubunun 3n boyutlu genel hali verilmiştir. Son olarak, 3-boyutlu reel matris Lie grupları üzerindeki afin kontrol sistemlerinin kontrol edilebilirlik sınıflandırması lineer, invariant ve bilineer kontrol sistemlerinden yararlanılarak yapılmıştır.
Beşinci bölüm de tezin özgün kısmından oluşmaktadır. Serbest nilpotent Lie grubu üzerindeki afin kontrol sisteminin otomorfizm yörüngesi elde edilmiş ve sisteme ilişik bilineer kısmına bağlı olarak kontrol edilebilirlik karakterize edilmiştir.

Anahtar Kelimeler: Afin kontrol sistemi, kontrol edilebilirlik, 3-boyutlu reel matris Lie grupları, serbest nilpotent Lie grubu, serbest nilpotent Lie cebiri.

Abstract:
Via this thesis, by obtaining controllability results of affine control systems on some Lie groups, a contribution to Mathematical Control Systems has been done.
This work consists of 5 chapters.
In the first chapter, literature summary of problem of our thesis, the purpose of which this thesis is created and hypothesis of the problem are mentioned.
In the second chapter; Lie algebra, Lie group, exponential map and adjoint representation which are base of Lie theory, are elaborately explained; and as fundamental theorems and some examples are given, basic notations of our thesis are expressed.
In the third chapter, basic notations of general control systems are described in details. Variety of common control systems on Lie groups are briefly given. Then affine control system which is very significant piece for our work is approached and a characterization, which is illuminating our study, on Euclidean space is referred.
Fourth chapter contains the first original part of this thesis. Derivation algebras of all 3 dimensional real matrix Lie algebras and Lie brackets of the elements from the dynamics of affine control systems on these Lie groups have been calculated. Besides, 3-dimensional Lucky Guess Lie group has been obtained and; topological and algebraic properties of this group has been examined. In addition, 3n dimensional general form of Lucky Guess Lie group has been given. Finally, classification of characterization of controllability of affine control systems has been given by using linear, invariant and bilinear control systems.   
Fifth chapter also contains orginal part of this thesis. Affine control system on free nilpotent Lir goup has been examined.  Automorphism orbit of the affine control system on free nilpotent Lie group has been found and the controllability has been characterized realted to its associated bilinear part. 

Keywords: Affine control system, controllability, 3-dimensional real matrix Lie groups, free nilpotent Lie algebra, free nilpotent Lie group.