Bazı grup halkalarında kodların yapısı
The structure of codes over group rings
Yazar: MEHMET EMİN KÖROĞLU
Danışman: PROF. DR. BAYRAM ALİ ERSOY
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2017
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Doğrusal kod = Linear code ; Grup halkaları = Group rings

Özet:
Dijital iletişimin öneminin artmasıyla birlikte cebirsel kodlama teorisi bilim alanı yaygın ve hızlı bir şekilde gelişmektedir. Bu anlamda kodlar için yeni inşa yöntemleri, yeni parametreler bulmak veya kodların minimum uzaklığı ya da boyutları üzerinde bazı sınırlar bulmak büyük önem arz etmektedir.
Grup halkası kavramı ilk olarak Arthur Cayley tarafından (bkz. [1]) tanıtıldı. Grup halkaları birimsel elemanlar ve sıfır bölenlerce zengin olduklarından yeni kod parametreleri elde etmek için oldukça elverişli cebirsel yapılardır. Kodların birçok özelliği grup halkalarının kavramları yardımıyla çok rahat bir şekilde ifade edilebilir (bkz. [2], [3]). Grup halkaları üzerinde kodların yapısını incelediğimiz bu çalışma aşağıdaki şekilde düzenlenmiştir.
Birinci bölüm literatür özeti, tezin amacı ve hipoteze ayrılmıştır. İkinci ve üçüncü bölümlerde tezin devamı için gerekli olan grup halkaları ve cebirsel kodlama teorisi hakkındaki kavram ve notasyonlar bir araya getirilmiştir. Dördüncü bölümde devresel sıfır bölen kodların yapısı bir grup halkası ailesinde çalışılmıştır. Ayrıca elde edilen bu kodların eleman sayıları ile dual kodları verilmiştir. 
Beşinci bölümde literatürde bir ilk olarak sabit devirli kodlar ile grup cebirleri arasında ilişki kurulmuş ve bu kodların yapısı çalışılmıştır. Ayrıca grup cebirlerindeki sıfır bölenler kullanılarak sabit devirli kodlar için bir inşa yöntemi verilmiştir. Bunlara ek olarak önerilen inşa metodu yardımıyla sabit devirli kodlar için bazı iyi kod parametreleri Çizelgelar halinde verilmiştir. Daha sonra bu kodlar içinde kendine dik ve kendine dual olan kodlar belirlenmiştir. Bu kodlara bağlı olarak kuantum hata düzelten kodlar için bazı iyi kod parametreleri elde edilmiştir. 
Buna ek olarak (F_q + vF_q)G grup halkasındaki sabit devirli kodlardan kendine dik ve kendine dual olan kodlar belirlenmiştir. Belirlenen bu kodlar için uygun bir Gray dönüşümü tanımlanarak   sonlu cismi üzerinde birçok kuantum hata düzelten kod parametresi elde edilmiştir.
Altıncı bölümde grup halkaları üzerinde LCD (dualleri ile kesişimi sıfır vektörü olan lineer kodlar) kodlar için bazı gerek ve yeter koşullar belirlenmiştir. Son bölüm ise sonuç ve önerilere ayrılmıştır.

Abstract:
Due to the increasing importance of digital communications, the area of research in algebraic coding theory is broad and fast developing. In this sense, finding new construction methods, new parameters for codes or finding bounds on minimum distance or dimension of codes have a great importance.
The notion of group rings was introduced by Arthur Cayley (see [1]) for the first time. Since group rings are rich in units and zero divisors, they are quite suitable algebraic structures to obtain new code parameters. Many code properties may more easily be expressed in terms of group ring properties (see [2], [3]). This work, in which we study the structure of codes over group rings, is organized as the following.
The first section is devoted to the literature review, aim of the thesis and the hypothesis. Section 2 and Section 3 collects the notions and notations needed in the rest of the dissertation about group rings and algebraic coding theory. In Section 4 we study the structure of cyclic zero divisor codes over a family of group rings. In addition, we determine the number of elements of these codes and we introduced the dual codes. 
In Section 5 for the first time in the literature, we establish a relation between constacyclic codes and group algebras and study their algebraic structures. Further, we give a method for constructing constacyclic codes by using zero-divisors in group algebras. Some good parameters for constacyclic codes which are derived from the proposed construction are also listed. Then, we determine self dual and self orthogonal codes arising from constacyclic codes over group algebras. Also, based on these codes we obtained some good parameters for quantum error-correcting codes. Moreover, we determine self dual and self orthogonal codes arising from negacyclic codes over the group ring (F_q + vF_q)G. By taking gray image of these codes we obtained many parameters for quantum error-correcting codes over the finite field  .
In Section 6 we derive some necessary and sufficient conditions for LCD codes (linear codes with complementary duals) from group rings. The last section is reserved for the conclusions and future research directions.