İntegral sınır şartlı singüler pertürbe problemlerin nümerik çözümleri
Numerical solutions of singularly perturbed problems with integral boundary conditions
Yazar: ZELAL TEMEL
Danışman: PROF. DR. MUSA ÇAKIR
Van Yüzüncü Yıl Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez çalışmasında, iki integral sınır şartına sahip singüler pertürbe özellikli
problemler ve integral sınır şartına sahip singüler pertürbe özellikli Volterra integro
diferansiyel problemler olmak üzere iki farklı tipteki problemler ele alınarak nümerik
çözümler ortaya konulmaktadır.
Genel olarak, tez sekiz bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, ele alınan
problemin tarihsel olarak ortaya çıkışı ve hangi bilim dallarında kullanıldığı
verilmektedir. İkinci bölümde, kaynak bildirişleri sunulmaktadır. Üçüncü bölümde, tez
için yararlanacağımız meteryal ve yöntemler belirtilmiştir.
Dördüncü bölümde, singüler pertürbe lineer ve lineer olmayan sınır değer ve
başlangıç değer problemlerinin çözümünde kullanacağımız bazı temel tanımlar
verilmiştir.
Beşinci bölümde, bir nümerik metod kurularak ikinci mertebeden lineer singüler
pertürbe probleminin çözümü verilmiştir. Öncelikle, singüler pertürbe problemin çözümü
için açık sınırlar oluşturulmuştur. Ayrıca, Bakhvalov (Düzgün olmayan) şebekesinde bir
fark şeması kurulmuştur. Daha sonra, maksimum normdaki pertürbasyon parametresi
gözönünde bulundurularak bu fark şemalarının düzgün yakınsaması kanıtlanmıştır.
Ayrıca yöntemin etkinliği, örnekler üzerinde gösterilmiştir.
Altıncı bölümde, lineer olmayan singüler pertürbe probleminin hesaplanabilmesi
için Bakhvalov şebekede bir fark şeması kurulmuştur. Fark şemasının düzgün
yakınsaklığı ispatlanmıştır. Kullanılan metodun etkinliğini göstermek için iki örnek
verilerek tablo ve grafikler sunulmuştur.
Yedinci bölümde, integral sınır şartlı lineer singüler pertürbe Volterra integrodiferansiyel problemini çözmek için fark şeması verilmiştir. Öncelikle, singüler pertürbe
problem için açık sınırlar oluşturulmuştur. Ayrıca, fark şeması bir düzgün şebekede
kurulmuştur. Daha sonra, pertürbasyon parametresi gözönünde bulundurularak
maksimum normda bu fark şemalarının düzgün yakınsaması kanıtlanmıştır. Son olarak,
yöntemin etkinliği örnekler üzerinde gösterilmiştir.
Sekizinci bölümde, lineer olmayan singüler pertürbe Volterra integro-diferansiyel
problemi gözönüne alınmıştır. Bu problem ve türevi için önce açık sınırlar
oluşturulmuştur. Ayrıca, Shishkin şebekesinde fark şeması verilmiştir. Son bölümünde,
iki örnek üzerinde yöntemin etkinliği gösterilmiştir ve problemin tablo verileri
sunulmuştur.
Bu tezin son bölümünde, singüler pertürbe özellikli problemler ile yapmış
olduğumuz çalışmalar ile ilgili literatüre yapılan katkılar ve daha önce yapılmış
çalışmalar ile karşılaştırmalara yer verilmiştir.

Abstract:
In this thesis, two different types of problems, namely singularly perturbed
problems with two integral boundary conditions and singularly perturbed Volterra integro
differential problems with integral boundary conditions, are considered and numerical
solutions are presented.
Overall, the thesis consists of eight chapters. The first chapter presents the
historical emergence of the problem and the disciplines in which it is used. In the second
chapter, source statements are presented. In the third chapter, the materials and methods
that we will use for the thesis are stated.
In the fourth chapter, some basic definitions that we will use in solving linear and
nonlinear boundary value and initial value problems of singularly perturbed are given.
In the fifth chapter, the solution of the second order linear singularly perturbed
problem is given by establishing a numerical method. First of all, clear boundaries are
established for the solution and derivative of the singularly perturbed problem. Also, a
differential scheme has been established in the Bakhvalov (nonuniform) mesh. Then, the
smooth convergence of these difference schemes is proved by considering the
perturbation parameter at the maximum norm. In addition, the effectiveness of the method
has been demonstrated on examples.
In the sixth chapter, a difference scheme in the Bakhvalov mesh is established to
calculate the nonlinear singularly perturbed problem. Uniform convergence of the
difference scheme has been proven. Tables and graphs are presented by giving 2 examples
to show the effectiveness of the method used.
In the seventh chapter, the difference scheme for solving the linear singularly
perturbed Volterra integro differential problem with integral boundary condition is given.
First, clear boundaries are established for the singularly perturbed problem. Also, the
difference scheme is set up in a smooth mesh. Then, by considering this perturbation
parameter, the smooth convergence of these difference schemes at the maximum norm is
proved. Finally, the effectiveness of the method is demonstrated on examples.
In the eighth chapter, nonlinear singularly perturbed Volterra integro differential
equation is considered. For this problem and its derivative, firstly, clear boundaries are
established. Also, the difference scheme in the Shishkin mesh is given. In the last part,
the effectiveness of the method on two examples is shown and the tables data of the
problem is presented.
In the last part of this thesis, the contributions to the literature and comparisons
with the previous studies are given.