Dickson polinomlarının matris özellikleri ve pantograph tip fonksiyonel denklemlere uygulamaları
Matrix properties of Dickson polynomials and aplications to pantograph type functional equations
Yazar: İCLAL YILDIZHAN
Danışman: PROF. DR. MEHMET SEZER
Celal Bayar Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2017
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu çalışmada, Pantograph tip karışık gecikmeli fonksiyonel diferansiyel denklemlerin başlangıç koşulları altında yaklaşık çözümlerini bulmak için, Taylor polinomları ile birlikte Dickson polinomlarına dayalı birleşik bir matris-sıralama yöntemi geliştirilmiştir. Kullanılan yöntem de, çözümün katsayıları matris formuna indirgenir ve böylece problemin yaklaşık çözümüne ulaşılır. Ayrıca, Dickson polinomundaki  -parametresi, optimum çözümleri bulmak için kullanılmıştır. Aynı zamanda, kalan fonksiyon ve ortalama değer teoremi ile bağlantılı bir hata tahmini gerçekleştirilmiş ve bazı örnek uygulamalar sunulmuştur. Elde edilen sonuçlarda, önerilen yöntemin uygulanmasının  etkili ve kolay olduğu da gözlemlenmiştir.
Tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, pantograph tipi fonksiyonel diferansiyel denklemlerin kullanım alanları ve ortaya çıkışı incelenmiştir. İkinci bölümde,  genel bilgiler verilmekte olup, kaynak özetleri, Dickson polinomlarının tanımı, rekürans bağıntıları ve grafikleri açıklanmıştır. Üçüncü bölümde ise, bölümün her bir kesiminde, temel matris bağıntıları kullanılarak denklemler için Dickson matris-sıralama yöntemleri açıklanmıştır. Daha sonra, çözüm yöntemi için reziduel (kalan) fonksiyona dayalı bir hata analizi yapılmıştır. Dördüncü bölümde ise, her bir kesim için nümerik örnekler verilmiştir. Sonuçlar tablo ve şekillerle desteklenmiştir. Tablolarda tam çözüm ile bulunan çözümler ve mutlak hatalar karşılaştırılmıştır. Son olarak, beşinci bölümde,  sonuç ve önerilere yer verilmiştir. Elde edilen bulgular yöntemin, problemler üzerinde doğru ve etkili bir biçimde çalıştığını göstermektedir.

Abstract:
In this study, a hybrid matrix-collocation method based on Dickson polynomials together with Taylor polynomials is developed to solve pantograph type functional differential equations with mixed delays under the inital conditions. The used method reduces the coefficients of solution to the matrix form and hence the approximate solution of the problem is reached. Besides, the parameter-  in Dickson polynomials is used for obtaining the optimum solutions. An error estimation related with the residual function and the mean-value theorem is implemented and also some illustrative examples are presented. It is observed that the proposed method is easy to be applied.
The thesis consists of five chapters. In the first chapter, the usage areas and the emergence of pantograph type functional differential equations are examined. In the second chapter, general information is given; resource descriptions, definition of  Dickson polynomials, recurrence relations and graphics are explained. In the third chapter, the matrix-collocation methods are explained by using the basic matrix relations for equations in every section of chapter. Then, an error analysis based on residual functional for the solution method is performed. In the fourth chapter, numerical examples are given for each section. The results are supported by tables and figures. In tables, the obtained solutions and exact solutions together with absolute errors are compared. Finally, in the fifth chapter, conclusions and recommendations are given. The findings show that the method works correctly and effectively on the problems.