Bazı kesirli mertebeden diferansiyel denklemlerin nümerik çözümleri
Numerical solutions of                                                             some fractional differential equations
Yazar: İLKNUR ERDURMUŞ
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ PINAR ALBAYRAK
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Tam sayı mertebeli integral ve türevin tam sayı olmayan mertebelere genişletilmiş hali olan kesirli analizin ortaya çıkmasıyla birlikte, pek çok fiziksel sistemin kesirli türevler kullanılarak gerçeğe daha yakın olarak modellenebildiği görülmüştür. Bu sebeple son yıllarda; fen, uygulamalı matematik ve mühendislik alanlarındaki matematiksel modelleme problemlerinde kesirli mertebeden diferansiyel denklemlerin kullanımına olan ilgi sürekli artmıştır. Dinamik sistemlerin kontrol teorisi, ses sinyalleri, elektrokimya, kuantum fiziği, mekanik, biyoloji, tıp, elektromanyetik teori, malzeme bilimi, elektrik, sinyal işleme, optik, biyomühendislik vb. bilimin birçok alanında karşılaşılan problemleri modellemek için kesirli mertebeden diferansiyel denklemler kullanılmaktadır. Bu tip diferansiyel denklemler genellikle tam çözüme sahip değillerdir ve bu yüzden bu denklemlerin yaklaşık çözümlerini bulmak için pek çok nümerik yöntem geliştirilmiştir. 
Bu çalışmada, bazı kesirli mertebeden diferansiyel denklemlerin nümerik
çözümlerini elde etmek için Hermit sıralama yöntemi kullanılmıştır. Hermit sıralama yöntemi, bahsedilen kesirli mertebeden diferansiyel denklemi Hermit polinomlarını ve sıralama noktalarını kullanarak bilinmeyenleri Hermit katsayıları olan bir cebirsel denklem sistemine dönüştürmektedir. Elde edilen cebirsel sistemin matris cebiri kullanılarak çözülmesi ile kesirli mertebeden diferansiyel denklemin yaklaşık çözümüne ulaşılmıştır. Hermit sıralama yönteminin geçerliliğini göstermek için bazı sayısal örnekler verilmiş ve elde edilen yaklaşık çözümler tam çözümler ile hem tablo hem de grafik gösterimi kullanılarak karşılaştırılmıştır. Yapılan karşılaştırma analizleri bu yöntemin doğru ve etkili çalıştığını göstermiştir

Abstract:
With the advent of fractional analysis, which is the extension of integer order integral and derivative to non-integer orders, it has been seen that many physical systems can be modeled closer to reality using fractional derivatives. For this reason, in recent years; There has been a steady increase in interest in the use of fractional differential equations in mathematical modeling problems in science, applied mathematics and engineering. Fractional differential equations are used to model problems encountered in many fields of science, such as control theory of dynamic systems, sound signals, electrochemistry, quantum physics, mechanics, biology, medicine, electromagnetic theory, materials science, electricity, signal processing, optics, bioengineering, etc. These types of differential equations usually do not have exact solutions, and therefore many numerical methods have been developed to find approximate solutions to these equations.
In this study, the Hermit collocation method is used to obtain numerical solutions of some fractional differential equations. The method transforms the mentioned differential equation into an algebraic equation system with unknowns as Hermit coefficients, utilizing Hermit polynomials and collocation points. The approximate solution of the differential equation is obtained by solving this algebraic system using matrix algebra. Numerical examples are provided to demonstrate the validity of the method, and the obtained approximate solutions are compared with exact solutions using both tabular and graphical representations. The comparative analyses have shown that this method operates accurately and effectively