Önburulmalı fonksiyonel olarak derecelendirilmiş çubukların statik ve dinamik davranışlarının incelenmesi
Investigation of static and dynamic behaviors of functionally graded pretwisted beams
Yazar: ÖMER EKİM GENEL
Danışman: PROF. DR. EKREM TÜFEKCİ
İstanbul Teknik Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Makine Mühendisliği Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2023
Konu: Makine Mühendisliği = Mechanical Engineering

Özet:
Önburulmalı yapılar, kapalı bir düzlemsel eğriye belirli bir referans ekseni boyunca derinlik kazandırılması esnasında, bu kapalı düzlemsel eğrinin referans ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen üç boyutlu yapılardır. Genel olarak makina mühendisliğindeki birçok uygulamada karşılaşılabilen bu yapılar, özellikle yüksek sıcaklık, nem ve sürtünme gibi zorlu ortamlarda işletilen turbomakinalarda, havacılık elemanlarında ve delme makinelerinde önburulmalı geometrilerinden dolayı ana sistem bileşeni olarak tercih edilmekte ve bu sebeple bu zorlu ortamların etkilerine doğrudan maruz kalabilmektedir. Bu zorlu ortam etkilerine direnç gösterirken aynı zamanda dayanımın da korunması ihtiyacı doğrultusunda, tabakalar arası gerilmelerin yüksek olduğu geleneksel kompozit malzemelerin aksine sürekli bir malzeme dağılımına sahip olmalarından dolayı ve süperalaşımlara kıyasla da daha düşük maliyetli olmaları sebebiyle, genel olarak özellikleri konuma bağlı olarak değişen malzemeler (homojen olmayan malzemeler) grubu, özel olarak da bu grubun bir alt kümesi olarak değerlendirilebilen fonksiyonel olarak derecelendirilmiş malzemeler, zorlu ortamlarda bulunan önburulmalı yapıların dayanımlarını korurken ortam etkilerine de direnç gösterebilmelerine olanak sağlayan etkili bir malzeme grubu olarak öne çıkmaktadır.
Özellikleri konuma bağlı olarak değişen malzemelerden imal edilmiş bu önburulmalı yapılar genellikle, işlevleri nedeniyle, referans eksenini içeren boyutun (yani uzunluğun), derinlik kazandırılan kapalı düzlemsel eğrinin (yani kesitin) karakteristik boyutuna oranı yüksek bir değer sahip olacak şekilde tasarlanmaktadır. Bu sebeple, özellikle konuma bağlı malzeme özelliklerinin ifade edilebilmesi için detaylı bir model geliştirme süreci ve hassas bir analiz için fazla sayıda eleman kullanımına ihtiyaç duyan sonlu elemanlar yöntemi gibi bir yöntemden elde edilen üç boyutlu sayısal modellerin aksine, bir boyutlu mekanik modellerin geliştirilmesi bu yapıların mekanik davranışlarının analizinde daha verimli bir modelleme yaklaşımı olarak değerlendirilebilmektedir. Bir boyutlu modeller çerçevesinde bu yapılarda, geometrik olarak çift simetrik ve homojen malzemeye sahip bir kesit için bile önburulma sebebiyle eğilme davranışı üç boyutlu olarak meydana gelir ve eksenel uzama ile burulma arasında bağlaşıklık oluşur. Önburulmalı geometriden kaynaklanan bu iki karakteristik bağlaşıklığın, malzeme özelliklerinin konuma bağlı olarak değişmesinden nasıl ve ne ölçüde etkileneceği bu yapıların gelişmiş tasarımları için makina mühendisleri tarafından yanıtlanması gereken önemli sorulardandır. Bu bağlamda, bu çalışma kapsamında, konuma bağlı olarak değişen özelliklere sahip malzemeden imal edilen önburulmalı yapıların eğilme-eğilme bağlaşık statik, eğilme-eğilme bağlaşık dinamik ve uzama-burulma bağlaşık statik davranışları üzerinde, toplam önburulma açısı, malzeme dağılımı ve gözeneklilik gibi parametrelerin etkilerinin bir boyutlu mekanik modeller çerçevesinde incelenmesi amaçlanmıştır. Ayrıca, literatürde homojen malzemeden imal edilen önburulmalı yapıların uzama-burulma bağlaşık dinamik davranışını incelemeye yönelik geliştirilen bir boyutlu mekanik modelden hareketle bir sonlu eleman formülasyonu da geliştirilmiştir.
Bu doğrultuda, ilk olarak eğilme-eğilme bağlaşık ve uzama-burulma bağlaşık davranışlar, bu noktaya kadar ki geçmiş çalışmalara da değinilerek, temel olarak açıklanmıştır. Ayrıca malzeme özellikleri konuma bağlı olarak değişen önburulmalı çubukların uzama-burulma davranışlarının incelenebilmesi için öncelikle genel olarak malzeme özellikleri konuma bağlı olarak değişen önburulmasız çubukların burulmasına dair önbilgiye ihtiyaç duyulmaktadır. Bu bağlamda, malzeme özellikleri konuma bağlı olarak değişen önburulmasız çubukların burulmasına dair çalışmalar da özetlenmiştir. Ardından malzeme özelliklerinin kesit üzerinde değişmesi durumunda üç boyutlu eğilme davranışını, uzama-burulma bağlaşık davranışından ayırmak için kullanılması gereken malzeme dağılım profilinin niteliğinin belirlenmesini amaçlayan bir araştırma yapılmıştır. Yapılan incelemeler sonucunda, kesit kalınlığı boyunca kesit orta düzlemine göre simetrik malzeme dağılımına sahip önburulmalı çubuklarda, eğilme davranışı ile uzama-burulma bağlaşık davranışının birbirinden ayrı olarak incelenebileceği tespit edilmiştir.
Eğilme-eğilme bağlaşık statik davranışa dair incelemeler özelinde, malzeme özelliklerinin kesit kalınlığı doğrultusunda simetrik ve üstel olarak değiştiği varsayılmıştır. Ayrıca kesitin gözenek içerdiği varsayılarak, bu gözenekliliğin kesit üzerinde homojen olarak ve kesit kalınlığı doğrultusunda simetrik olarak değiştiği iki ayrı senaryo ele alınmıştır. Bu kabuller altında, birinci mertebe kayma şekil değişimi varsayımı yapılarak önburulmalı çubuğun yönetici denklemleri ilk olarak sabit koordinat sistemine göre; sonrasında da eğri eksenli koordinat sistemine göre, minimum toplam potansiyel enerji prensibi kullanılarak elde edilmiştir. Her iki durumda da yönetici denklemler, birinci mertebeden diferansiyel denklem sistemi olarak ifade edilmiştir ve başlangıç değerleri yöntemi kullanılarak çözülmüştür. Bu bağlamda, sabit koordinat sistemine göre geliştirilen formülasyonda katsayılar matrisinin elemanlarının konuma bağlı olarak değişen nitelikte olması sebebiyle, asal matris Volterra'nın çarpımsal integrali kullanılarak yaklaşık olarak hesaplanmıştır. Öte yandan, eğri eksenli koordinat sistemine göre geliştirilen formülasyonda ise katsayılar matrisinin sabitlerden oluşması sebebiyle asal matris, matris eksponansiyeli kullanılarak kesin analitik olarak hesaplanmıştır. Kesin analitik çözümü elde etmeye olarak veren ikinci formülasyon sayesinde, uzay-sabit düşey uç kuvveti ve cisim-sabit üniform yayılı kuvvet yükleme senaryoları için tarafsız eksenin ötelenmesine ait kesin analitik ifadeler sunulmuştur. Ayrıca bir boyutlu mekanik model yaklaşımının uygulanabilirlik sınırları tespit edilerek, her iki formülasyon yaklaşımından elde edilen sonuçların birbiriyle olan uyumu ve sonlu eleman analizinden elde edilen sonuçlarla tutarlılığı gösterilmiştir. Son olarak ise toplam önburulma açısının, hacim oranı indisinin, gözeneklilik oranının ve gözeneklilik dağılımının uç tarafsız eksen ötelenmeleri üzerindeki etkileri irdelenmiştir. 
Eğilme-eğilme bağlaşık dinamik davranışa dair incelemeler özelinde, önburumalı çubuğun malzeme özelliklerinin çubuk ekseni doğrultusunda eksponansiyel olarak değiştiği varsayılmıştır. Birinci mertebe kayma şekil değişimi varsayımı yapılarak önburulmalı çubuğun serbest titreşimlerine ait yönetici denklemler, sabit koordinat sistemine göre Hamilton prensibi kullanılarak formüle edilmiştir ve birinci mertebeden diferansiyel denklem sistemi olarak ifade edilmiştir. Burada, hem sabit koordinat sistemine göre formülasyon neticesinde önburulmadan dolayı hem de çubuğun malzeme özelliklerinin çubuk ekseninin bir fonksiyonu olarak değişmesinden dolayı, katsayılar matrisi konuma bağlı olarak değişmektedir. Bu sebeple çözüm, harmonik diferansiyel kuadratür yöntemi kullanılarak sayısal olarak elde edilmiştir. Bir boyutlu mekanik modelden elde edilen sonuçların, sonlu eleman analizinden elde edilen sonuçlarla karşılaştırılmasının ve bir boyutlu mekanik modelin uygulanabilirlik sınırlarının belirlenmesinin ardından, ilk dört eğilme-eğilme bağlaşık moduna dair mod şekilleri sunulmuştur. Ardından, malzeme parametresinin ilk dört eğilme-eğilme bağlaşık doğal frekansı üzerindeki etkisi incelenmiştir. 
Uzama-burulma bağlaşık statik davranışa dair incelemeler özelinde, malzeme özelliklerinin önburulmalı çubuk kesiti üzerinde kalınlık doğrultusunda simetrik ve parabolik olarak değiştiği varsayılmıştır. Poisson oranı sabit olarak alınmıştır. Uzama-burulma bağlaşıklığını modellemek için ise Saint-Venant burulma kabulü çerçevesinde çarpılma fonksiyonu temelli bir boyutlu mekanik model kullanılmıştır. Diferansiyel denklemler minimum toplam potansiyel enerji prensibi kullanılarak elde edilmiştir. Çarpılma-kaynaklı rijitlik katsayıları, çarpılma fonksiyonu yerine Prandtl gerilme fonksiyonu kullanılarak ifade edilmiştir. Böylece çarpılma-kaynaklı rijitlik katsayılarını hesaplamak için, malzeme özelliklerinin kalınlık boyunca değişmesi durumunda çözülmesi daha zor olan Neumann tipi sınır değer problemi yerine, Dirichlet tipi sınır değer probleminin kullanılması sağlanmıştır. Çarpılma-kaynaklı rijitlik katsayılarının hesaplanmasından sorumlu bilgisayar kodunun sınanması amacıyla gerçekleştirilen bir dizi doğrulama çalışmasının ardından, çalışma kapsamında kullanılan yaklaşım, literatürdeki çoklu malzemeli membran analojisi ile karşılaştırılmıştır. Ardından, uç çekme kuvveti ve uç burulma momenti yükleme senaryoları için, bir boyutlu mekanik modelin, uygulanabilirlik sınırları içerisinde, sonlu eleman analizinden elde edilen sonuçlarla uyumlu olan sonuçlar verdiği gösterilmiştir. Son olarak, toplam önburulma açısının ve malzeme parametresinin, uç burulma açısı ve uç tarafsız eksen ötelenmesi üzerindeki etkisi sırasıyla bu iki yükleme senaryosu için araştırılmıştır.
Uzama-burulma bağlaşık dinamik davranış özelinde, literatürde homojen malzemeden imal edilen önburulmalı çubuklar için geliştirilen uniform olmayan burulma kabulü temelli bir boyutlu mekanik modeli temel alarak bir boyutlu bir sonlu eleman modeli geliştirilmiştir. İnterpolasyon fonksiyonlarına yönelik kısa bir değerlendirmeden sonra, geliştirilen sonlu eleman modeline dair yakınsama çalışması farklı geometrik parametrelere sahip önburulmalı çubuklar için yapılmıştır. Ardından, geliştirilen sonlu eleman modelinden elde edilen ilk dört uzama-burulma bağlaşık moduna ait doğal frekanslar, üç boyutlu sonlu eleman modelinden elde edilen sonuçlarla karşılaştırılmıştır ve ilgili mod şekilleri sunulmuştur.
Yukarıda özetlenen incelemeler doğrultusunda, özellikleri konuma bağlı olarak değişen malzemeden imal edilmiş ve gerekli uygulanabilirlik sınırları içerisinde tasarlanmış önburulmalı yapıların, eğilme-eğilme bağlaşık statik, eğilme-eğilme bağlaşık dinamik ve uzama-burulma bağlaşık statik davranışları üzerinde, toplam önburulma açısı, malzeme dağılımı ve gözeneklilik gibi parametrelerin etkilerinin, bir boyutlu mekanik modeller kullanılarak incelenebileceği belirtilmiştir. Ayrıca, literatürde daha önceden sunulmuş olan bir boyutlu mekanik modelden hareketle, homojen malzemeden imal edilmiş önburulmalı yapıların uzama-burulma bağlaşık dinamik davranışının bir boyutlu sonlu eleman formülasyonu kullanılarak incelenebileceği belirtilmiştir.

Abstract:
Pretwisted structures are three-dimensional structures in which a closed planar curve is rotated around a reference axis while extruding this curve along that reference axis. Although such structures can be found in various applications in mechanical engineering, they are especially utilized as the main system component in turbomachines, aerospace components, and drilling machines operating in harsh environments such as high temperature, humidity, and friction because of their initially-twisted geometry, so they can be directly exposed to the effects of these harsh environments. 
In line with the need of resisting the harsh environmental effects while preserving structural strength simultaneously, materials that have position-dependent properties (inhomogeneous materials) in general and functionally graded materials (which can be considered as a subgroup of inhomogeneous materials group) in particular stand out as an effective group of materials that allows pretwisted structures operated in harsh environments to resist environmental effects while maintaining their strength due to providing continuous material distribution opposite to traditional composites and being inexpensive when compared to superalloys. 
Because of their functions, pretwisted structures made of materials that have position-dependent properties are designed in such a way that the ratio of the characteristic dimension containing the reference axis (the length) to the characteristic dimension of the closed planar curve (the cross-section) to be extruded has a high value. In this regard, one-dimensional mechanical models are considered a more efficient modeling approach to analyzing the mechanical behaviors of these structures than the three-dimensional models obtained from the finite element method which needs a detailed preprocessing effort especially to introduce position-dependent material properties to the model and the large number of finite elements for an accurate analysis. In practice, to introduce position-dependent material properties to the model within the framework of the finite element method, three main methods are used, namely modeling the structure as a collocation of layers having different material properties, developing a user-defined routine, and expressing the material properties as a function of the temperature as is done in this study. However, it should also be noted that at this point the applicability of the third abovementioned finite element modeling technique (expressing the material properties as a function of the temperature) becomes controversial in the presence of real thermal effects. Within the framework of one-dimensional models, even for the beam which has a geometrically doubly symmetric cross-section made of the homogeneous material, bending takes place in three dimensions and the coupling occurs between the axial extension and the twisting, due to the nature of pretwisting. How and to what extent these two characteristic structural responses arise from the pretwisted geometry will be affected by the variation of the position-dependent material properties are significant questions to be answered by mechanical engineers for the advanced designs of these structures.
Therefore, in this study, it is aimed to investigate the effects of parameters such as the total pretwist angle, the material distribution, and the porosity on the bending-bending coupled static behavior, the bending-bending coupled dynamic behavior, and the axial-torsional coupled static behavior of pretwisted structures which have position-dependent material properties within the framework of one-dimensional mechanical models. Additionally, a finite element formulation based on the one-dimensional mechanical model which exists in the literature is developed to analyze the axial-torsional coupled dynamic behavior of pretwisted structures made of homogeneous material.
On this basis, bending-bending and axial-torsional couplings are first explained basically by also mentioning previous studies. Furthermore, to study the axial-torsional coupled behavior of pretwisted beams having position-dependent material properties, it is needed to have preliminary knowledge on the torsion of initially-straight beams made of inhomogeneous materials. In this sense, previous studies on the torsion of initially-straight beams made of inhomogeneous materials are also addressed. Then, an investigation is conducted to determine the characteristic of the material distribution profile that should be used to analyze bendings and the axial-torsional coupled behavior separately from each other. As a result of this investigation, it is determined that bending behavior and the axial-torsional coupled behavior can be analyzed separately from each other in pretwisted beams that have a thickness-through symmetrical material distribution. Furthermore, for the pretwisted structures having axially varying material properties, the usage of a geometrically doubly symmetric cross-section becomes a sufficient criterion to separate the bendings and the axial-torsional coupled behavior from each other since the material properties in each cross-section are homogeneous along the beam axis in this case.
In the investigations on the bending-bending coupled static behavior, it is assumed that material properties change symmetrically and based on the power law in the thickness direction. Moreover, assuming that the cross-section contains porosity, two different porosity distribution scenarios in which the porosity disperses homogeneously over the cross-section and symmetrically in the thickness direction are discussed. Under these assumptions and considering the first-order shear deformation theory, governing equations of the pretwisted beam are obtained firstly in the fixed coordinate system and then in the curvilinear coordinate system by using the principle of minimum total potential energy. Governing equations are expressed as a first-order system of differential equations in both formulations and solved by using the initial values method. In this context, since the coefficient matrix varies depending on the position in the formulation developed in the fixed coordinate system, the fundamental matrix is computed approximately by using the multiplicative integral of Volterra. On the other hand, since the coefficient matrix consists of constant elements in the formulation developed in the curvilinear coordinate system, the fundamental matrix is calculated analytically by using the matrix exponential. By using the latter formulation approach which allows obtaining the exact analytical solution, exact analytical expressions of the neutral axis translations are presented for space-fixed vertical tip force and body-fixed uniform distributed force loading scenarios. Furthermore, the equivalency of the results obtained from both formulation approaches and the consistency of them with those obtained from finite element analyses are demonstrated by also determining the applicability limits of the one-dimensional mechanical model approach. Finally, the effects of the total pretwist angle, the volume fraction index, the porosity coefficient, and the porosity distribution on tip neutral axis translations are discussed. As a result of this investigation, it is determined that the bending-bending coupled static behavior of pretwisted beams can be controlled by manipulating the total pretwist angle, the volume fraction index, the porosity coefficient, and the porosity distribution. Based on the mechanical model used, it is thought that the study can be considered as zeroth order solutions of kinematically richer mechanical models, and thus will constitute a reference for future studies.
In the investigations on the bending-bending coupled dynamic behavior, it is assumed that material properties vary exponentially along the beam axis. By utilizing the first-order shear deformation theory, the governing equations of the free vibration response of a pretwisted beam are formulated in the fixed coordinate system using Hamilton's Principle and expressed as a first-order system of differential equations. Here, the coefficient matrix appears as position-dependent because of not only the pretwist which is the result of formulating the problem in the fixed coordinate system but also axially varying material properties as well. In this sense, the solution is obtained numerically by using the harmonic differential quadrature method. After comparing results obtained from the one-dimensional mechanical model with those obtained from the finite element analyses and determining the applicability limits of the one-dimensional mechanical model, the mode shapes corresponding to the first four bending-bending coupled natural frequencies are presented. Then, the effects of the material parameter on the first four bending-bending coupled natural frequencies are discussed. Based on this investigation, it is determined that the bending-bending coupled free vibrations of the pretwisted beams can be controlled by manipulating the total pretwist angle and the material distribution in the axial direction.
In the investigations on the axial-torsional coupled static behavior, it is assumed that material properties change symmetrically and parabolically in thickness direction over the cross-section. The Poisson's ratio is taken as constant. To model the axial-torsional coupling, a warping-based one-dimensional mechanical model is used within the context of the Saint-Venant torsion assumption. Differential equations are obtained by using the principle of minimum total potential energy. Warping-related stiffness coefficients are expressed by using Prandtl's stress function instead of the warping function. Thus, to calculate warping-related stiffness coefficients, the Dirichlet-type boundary value problem is utilized instead of the Neumann-type boundary value problem, which is more difficult to solve in case of thickness-through varying material properties. After performing a series of validation studies to verify the computer code responsible for the computation of the warping-related stiffness coefficients, the approach adopted in this study is compared with the multi-material membrane analogy approach which exists in the literature. Next, for the tip tensile force and tip twisting moment loading scenarios, it is shown that the developed one-dimensional mechanical model can yield consistent results with those obtained from finite element analyses within the applicability limits of the one-dimensional mechanical model. Finally, the effects of the total pretwist angle and the material parameter on the tip twisting angle and the tip neutral axis translation are investigated for these two loading scenarios, respectively. Based on this investigation, it is determined that the axial-torsional coupled static behavior of pretwisted beams can be controlled by manipulating the total pretwist angle and the material distribution over the cross-section.
In the investigations on the axial-torsional coupled dynamic behavior, the nonuniform torsion assumption based one-dimensional mechanical model which is previously published in the literature is taken as the starting point and a finite element formulation is developed to analyze the axial-torsional coupled dynamic behavior of pretwisted beams made of homogeneous material. After a brief discussion on the interpolation functions used, the convergence study of the developed finite element formulation is performed for pretwisted beams having different geometric parameters. Next, the natural frequencies of the first four axial-torsional coupled free vibration modes obtained from the developed finite element model are compared with the results obtained from the three-dimensional finite element model, and corresponding mode shapes are presented.
In line with investigations summarized above, it can be stated that the effects of the total pretwist angle, the material distribution and the porosity on the bending-bending coupled static, the bending-bending coupled dynamic and the axial-torsional coupled static behaviors of the inhomogeneous pretwisted structures designed in certain limits can be analyzed by using one-dimensional mechanical models. In addition, it is stated that, starting from a one-dimensional mechanical model previously presented in the literature, the axial-torsional coupled dynamic behaviour of pretwisted structures made of homogeneous material can be investigated by using a one-dimensional finite element formulation.