Değişmeli halkaların asal ve asalımsı ideallerinin genellemeleri
Generalizations of prime and primary ideals of commutative rings
Yazar: SANEM YAVUZ
Danışman: PROF. DR. BAYRAM ALİ ERSOY ; PROF. DR. AHMET GÖKSEL AĞARGÜN
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezin içeriği altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde; sırasıyla literatür özeti, tezin
amacı ve hipoteze yer verilmiştir. Tezin ikinci bölümünde; özgün olan üçüncü, dördüncü ve beşinci bölümler için kullanacağımız temel tanım ve teoremler yer almaktadır. Çalışmanın üçüncü bölümünde; üç alt bölüm altında S-2-asal idealler karakterize edilmiştir. Bu çalışma boyunca ´R birimli ve değişmeli bir halka olmak üzere S ile bu halkanın çarpımsal kapalı bir kümesini göstereceğiz. ´R nin S ile kesişimi boş küme olan bir öz ideali J olsun. Eğer bir s′ ∈ S varsa öyle ki ωγ ∈ J yi sağlayan her ω, γ ∈ ´R için s′ω^2 ∈ J ya da s′γ^2 ∈ J gerçekleniyorsa, J idealine s′ ile ilgili olan S-2-asal ideal denir. İlk iki alt bölümde asal ideallerin bir genelleştirmesi oluşturularak lokalizasyon, bölüm halkası, homomorfizma, direkt çarpım halkası, aşikar genişleme, birleştirilmiş çoğaltılma ve birleştirilmiş halkalarda bu ideallerin özellikleri incelenmiştir. Dahası, asaldan kaçınma teoremine benzer bir teorem bu yapı sayesinde elde edilmiştir. Son alt bölümde ise kompakt olarak yapılandırılmış, kompakt olarak 2-yapılandırılmış ve aralarında asal olarak yapılandırılmış
halkalar S çarpımsal kapalı küme yardımıyla karakterize edilmiştir. Karakterize edilen bu halkaların aşikar genişleme altında özellikleri çalışılmıştır. Dördüncü bölümde; iki alt bölüm altında zayıf S-2-asal idealler tanımlanmıştır. ´R nin S ile kesişimi boş küme olan bir öz ideali J olsun. Eğer bir s′ ∈ S varsa öyle ki 0 dan farklı ωγ ∈ J yi sağlayan her ω, γ ∈ ´R için s′ω^2 ∈ J ya da s′γ^2 ∈ J gerçekleniyorsa, J idealine s′ ile ilgili olan zayıf S-2-asal ideal denir. S-2-asal ideallerin ve zayıf 2-asal ideallerin bir genellemesi elde edilmiştir. Bu idealler ile literatürde var olan idealler arasındaki ilişkiler incelenerek bir şekil oluşturulmuş ve farklı örneklerle desteklenmiştir. Ayrıca, üretilen bu yapının homomorfizma, direkt çarpım halkası, polinom ve kuvvet serileri halkaları ile yerelleştirme altında özellikleri incelenmiştir. Her zayıf S-2-asal ideali, S-2-asal ideal olan halkalar karakterize edilmiştir. Zayıf S-2-asal ideallerin farklı karakterizasyonları verilerek özel olarak karakteristiği 2 olan halkalarda incelenmiştir. İkinci alt bölümde ise zayıf S-2-asal ideallerin aşikar genişleme, birleştirilmiş çoğaltılma ve birleştirilmiş halkalardaki özellikleri incelenerek yeni birçok sonuç elde edilmiştir. Tezin beşinci bölümünde; 2-yutan φ-δ-asalımsı idealler tanımlanmıştır. Bu bölümde ´R nin tüm ideallerinin kümesi I(´R) ile gösterilecektir. φ bir indirgeme fonksiyonu olmak üzere φ : I(´R) → I(´R) ∪ {∅} ile ve δ bir genişleme fonksiyonu olmak üzere δ : I(´R) → I(´R) ile tanımlanır. ´R nin bir öz ideali J olmak üzere; σ, ω, γ ∈ ´R için σωγ ∈ J − φ(J) iken σω ∈ J ya da σγ ∈ δ(J) ya da ωγ ∈ δ(J) sağlanıyorsa J idealine 2-yutan φ-δ-asalımsı ideal denir. Asalımsı ideallerin bir genellemesi olan bu yapının kesişim ve birleşimleri, homomorfizma, bölüm halkası ve yerelleştirme altındaki özellikleri çalışılmıştır. Oluşturulan bu yapı u-halkalarda karakterize edilmiştir. Direkt çarpım halkalarında tüm 2-yutan φ-δ-asalımsı idealler belirlenmiştir. Altıncı bölümde ise sonuç ve önerilere yer verilmiştir.

Abstract:
The content of this thesis consists of six sections. In the first section; the literature summary, the aim of the thesis and the hypothesis are given, respectively. In the second section of the thesis; the basic definitions and theorems that we will use for the original third, fourth and fifth sections are given. In the third part of the study; S-2-prime ideals are characterized under the three subsections. Throughout this thesis we will denote ´R as a commutative ring with identity and S as a multiplicatively closed subset of ´R. Let J be a proper ideal of ´R disjoint with S. J is called an S-2-prime ideal of ´R associated with s′ if there exists an s′ ∈ S such that for all 
ω, γ ∈ ´R with ωγ ∈ J, we have s′ω^2 ∈ J or s′γ^2 ∈ J. In the first two subsections, the properties of these ideals in localization, quotient ring, homomorphism, direct product ring, trivial extension, amalgamated duplication and amalgamated rings are examined, by creating a generalization of prime ideals. Moreover, a theorem similar to the prime avoidance theorem has been obtained thanks to this structure. In the last subsection, the compactly packed, compactly 2-packed, and coprimely packed rings has been characterized with the help of S multiplicative closed set. The properties
of these characterized rings under trivial extension are studied as well. In the fourth part;
weakly S-2-prime ideals are defined under two subsections. Let J be a proper ideal of ´R disjoint with S. J is called a weakly S-2-prime ideal of ´R associated with s′ if there exists an s′ ∈ S such that for all ω, γ ∈ ´R with ωγ ∈ J and not equal to 0, we have s′ω^2 ∈ J or s′γ^2 ∈ J.
A generalization of S-2-prime ideals and weakly 2-prime ideals has been obtained. A figure has been created by examining the relationships between these ideals and the ideals existing in the literature and supported by different examples. Additionally, the properties of this produced structure under homomorphism, direct product ring, polynomial and power series rings, localization are examined. The rings over which every weakly S-2-prime ideal is an S-2-prime ideal are characterized. Weakly S-2-prime ideals are examined specifically in rings with characteristic 2 by giving different characterizations of these ideals. In the second subsection, many new results are obtained by examining the properties of weakly S-2-prime ideals in trivial extension, amalgamated duplication and amalgamated rings. In the fifth section of the thesis; 2-absorbing φ-δ-primary ideals are defined. In this section, the set of all ideals of ´R will be denoted by I(´R). It is defined by φ : I(´R) → I(´R) ∪ {∅}, where φ is a reduction function and by δ : I(´R) → I(´R), where
δ is an expansion function. A proper ideal J of ´R is called a 2-absorbing φ-δ-primary ideal if whenever σωγ ∈ J − φ(J) where σ, ω, γ ∈ ´R, then either σω ∈ J or σγ ∈ δ(J) or ωγ ∈ δ(J). The properties of this structure, which is a generalization of primary ideals, under intersections and unions, homomorphism, quotient ring and localization have been studied. This obtained structure has been characterized in u-rings. All 2-absorbing φ-δ-primary ideals are determined in the direct product rings. In the sixth section, results and recommendations are given.