Logaritmik kaynak terimli parabolik tipten denklemin çözümlerinin global varlığı
Global existence of solutions of parabolic type equation with logarithmic source terms
Yazar: ZÜLEYHA BİRTANE KAYA
Danışman: PROF. DR. ERHAN PİŞKİN
Dicle Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezin birinci bölümünde  kısmi diferansiyel denklemlerin çeşitli uygulamalarını belirttik. Ayrıca Hadamard anlamında bir diferansiyel denklemin iyi konulmuş olmasını açıkladık. Diferansiyel denklemler her zaman klasik çözüme sahip olmadığından daha geniş anlamda olan  çözümden söz ettik ve zayıf çözümü dile getirdik. Zayıf çözümler, ilişkili bir integral denklemini çözen çözümlerdir. Bir evolüsyon  denklemi genellikle bağımsız değişkenlerden birinin t zamanı olduğu bir kısmi diferansiyel denklem anlamına gelir. Ayrıca bu bölümde trafik ve kuantum mekaniğinden gelen bazı evolüsyon denklemlerinden söz ettik. Bu tezin ikinci bölümünde bazı parabolik denklemlerin gelişimine tarihsel bir genel bakış sunduk. Logaritmik kaynak terimli parabolik denklem ve logaritmik kaynak terimli Petrovsky parabolik denklemi üzerine araştırmacıların çalışmalarının bir listesini verdik. Her bir araştırmacının çalışmasını özetledik. Bu tezin üçüncü bölümünde kısmi diferansiyel denklemin tanımı, Aubin-Lions kompaktlık teoremi, Hilbert uzayları, dual uzay, zayıf yakınsaklık, alt yarı sürekli, Lebesgue uzayları, Hölder eşitsizliği, Minkowski eşitsizliği, Grönwall eşitsizliği, sürekli diferansiyellenebilir fonksiyon uzayları, zayıf türev, Sobolev uzayları ve gömme sonuçları gibi bazı temel kavram ve teoremleri kısa genel bir bakış ile verdik.  Bunlar tezin alt yapısını anlamak için gereklidir. Ayrıca ikinci mertebeden kısmi diferansiyel denklemlerin sınıflandırılmasından bahsedip eliptik, parabolik ve hiperbolik denklem tanımlarını ifade ettik. Son olarak tezin dördüncü bölümünde kısmi diferansiyel denklemlerin  evolüsyon  sistemlerinin bir örneğini ele aldık. Diferansiyel denklem sistemleri, birden fazla denklemle modellenen ve birden fazla bağımlı değişken içeren çok sayıda fiziksel durumda doğal olarak ortaya çıkar. Parabolik tipteki denklemlerin logaritmik kaynak terimleriyle çözümlerinin global varlığı olarak adlandırılan denklemimiz için yeterli koşulu verdik. Kısmi diferansiyel denklemimizin ispatında Galerkin yöntemini, Aubin-Lions kompaktlık teoremini, gömme teoremlerini ve Poincaré eşitsizliğini kullandık.

Abstract:
In the first chapter  of this dissertation we indicate various applications of partial differential equations. Also we explain well posedness of a differential equation in the sense of Hadamard. Since differential equations do not always have classical solutions, we mention broaden the solution concept and speak about weak solutions. Weak solutions are solutions which solve an associated integral equation. An evolution equation generally means a partial differential equation with one of the independent variables being time t. Also in this chapter we mention some examples of evolution equations which arise from traffic and quantum mechanics. In the second chapter of this dissertation we give a historical overview of the development of some parabolic equations. We provide a list of researchers work on parabolic equation with logarithmic source term and Petrovsky parabolic equation with logarithmic source term. We summarized each researchers work. In the third chapter  of this dissertation we give a brief overview some basic notions and theorems such as, definition of partial differential equation,  Aubin-Lions compactness theorem,  Hilbert spaces, dual space, weak convergence, lower semi-continuous, Lebesgue spaces, Hölder's inequality,  Minkowski inequality, Grönwall's inequality, continuously differentiable functions spaces, weak derivative, Sobolev spaces and some embedding results which are necessary for underground of this dissertation. Also, we mention classification of second-order partial differential equation and give their eliptic, parabolic and hyperbolic equations definitions. Finally, in the fourth  chapter  of this dissertation we  deals with  an example of evolution systems of partial differential equations. Systems of differential equations arise naturally in many physical situations that are modeled with more than one equation and involve more than one dependent variable. We give sufficient condition for our equation, which called global existence of solutions of parabolic type equations with logarithmic source terms. In the proof of our partial differential equation  we used  Galerkin's method, Aubin-Lions compactness theorem, embedding theorems and Poincaré inequality.