Predüzgün yakınsak uzaylar kategorisinde kapalılık ve T0, T1 nesneler
Closedness and T0, T1 objects in the category of preuniform convergence spaces
Yazar: SÜMEYYE KULA
Danışman: PROF. DR. MEHMET BARAN
Erciyes Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2014
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Topolojik kategori = Topological category

Özet:
Predüzgün yakınsak uzaylar, yarı düzgün yakınsak uzayların bir genelleştirilmesi olarak ortaya çıkmıştır. Predüzgün yakınsak uzaylar (ve düzgün sürekli fonksiyonlar) ın kategorisi PUConv, kartezyen kapalı, bölüm dönüşümlerinin kalıtsal ve (keyfi) çarpımlarının da bölüm dönüşümü olduğu bir topolojik kategoridir. İlave olarak, hem topolojik hem de düzgün kavramlar PUConv da mevcut olduğundan, predüzgün yakınsak uzaylar; süreklilik, Cauchy sürekliliği, düzgün süreklilik, tamlık, tam sınırlılık, kompaktlık ve bağlantılılık, ayrıca basit yakınsaklık, sürekli yakınsaklık ve düzgün yakınsaklık gibi fonksiyon uzaylarındaki yakınsaklık kavramlarının çalışılmasına olanak sağlar.  
Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Bölümlerin her birinin kısa özeti şu şekildedir.
Birinci bölümde, çalışmalarımız için gerekli temel kategorik tanımlar, süzgeç kavramı ile ilgili temel özellikler ve daha sonra teoremlerde kullanacağımız bazı sonuçları verdik. PUConv un topolojik kategori olduğunu gösterdik ve bu kategori ile PConv, GConv, Top ve Unif arasındaki ilişkileri inceledik.
İkinci bölümde, ilk olarak,   bir predüzgün yakınsak uzay ve   olmak üzere   noktasında  ,   ve   predüzgün yakınsak uzayları karakterize ettik ve daha sonra  bunlar arasındaki ilişkileri inceledik.
Üçüncü bölümde  ,  ,   ve   predüzgün yakınsak uzayları karakterize ettik ve klasik  predüzgün yakınsak uzaylarla aralarındaki ilişkileri araştırdık. Ayrıca    predüzgün yakınsak uzayların çarpımsal ve kalıtsal olduklarını gösterdik. Son olarak   noktasında   predüzgün yakınsak uzaylarla   predüzgün yakınsak uzaylar arasındaki ilişkileri inceledik.
Dördüncü bölümde, predüzgün yakınsak uzayların kapalı ve kuvvetli kapalı alt kümeleri karakterize edilip, birbirleriyle ve bilinen kapalı kümelerle ilişkileri incelendi. Bununla birlikte predüzgün yakınsak uzayların (kuvvetli ) kapalı alt kümelerinin bazı özellikleri verildi. 
Beşinci bölümde; ikinci, üçüncü ve dördüncü bölümlerde ispatladığımız sonuçları özetledik ve ileriki çalışmalar için çözülmemiş problemlere dikkat çektik. 

Anahtar Kelimeler: Topolojik kategori, predüzgün yakınsak uzay, kapalılık, düzgün süreklilik.

Abstract:
Preuniform convergence spaces were introduced as a generalization of semiuniform convergence spaces. The category PUConv of  Preuniform convergence spaces (and unifomly continuous maps) is cartesian closed and hereditary topological category such that products of quotients are quotients. In addition, since topological and uniform concepts are available  in PUConv, preuniform convergence spaces are the suitable framework for studying continuity, Cauchy continuity, uniform continuity, completeness, total boundedness, compactness, and connectedness as well as convergence structures in function spaces such as simple convergence, continuous convergence, and uniform convergence.
This thesis is divided into five chapters. A brief description of the contents of each follows:
In the first chapter, we give the definitions of essential categorical concepts, properties of filters and some important results that will be used later. We show that PUConv is a topological category and we also investigate the relationships between this category and PUConv, PConv, GConv and Unif.
In the second chapter, we give an explict charcterizations of the various   preuniform convergence spaces at a point p and we examined the relationships among these. 
In the third chapter, We characterize each of   preuniform convergence spaces and examine how these generalizations  are related with the usual    preuniform convergence spaces. Also we show that each of   preuniform convergence spaces are hereditary and productive. Finally, we show that how each of   preuniform convergence spaces at a point p are related with the   preuniform convergence spaces. 
In the fourth chapter, we characterize closed and strongly closed points and subsets of a preuniform convergence space and compare them with the usual ones. Moreover,  we examine the relationships among these notions. Finally, we give some properties of closed and strongly closed subsets of preuniform convergence space.
In the last chapter, ve summarize the results  proved in the second, third and fourth chapter and we point out some unsolved questions for further research.

Keywords: Topological category, preuniform convergence space, closedness, uniform continuity