Diferansiyel denklemlerin simetri analizi /
Yazar: YALÇIN YILMAZ
Danışman: DOÇ. DR. GÜLSEREN AYDIN
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü
Derece: Yüksek Lisans, 1996
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Diferensiyel denklemler = Differential equations

Özet:
Bu çalışmada Lie dönüşüm gruplarının yapısı, özellikleri, Lie nokta dönüşümleri Lie değme dönüşümleri ve Lie-Backlund dönüşümleri incelenmiş ve bazı mühendislik problemlerine uygulanmıştır. Birinci bölümde, öncelikle cebirsel bir yapı üzerinde kurulan Lie dönüşüm gruplarının özellikleri, bunlarla oluşturulan sonsuz küçük dönüşümleri, bunların üreteçleri ve Lie'nin birinci temel teoremi verilmiştir. Bir x* = X(x; e) dönüşümü altında verilen bir F(x) fonksiyonunun değişmezliği araştırılmış ve yine x* = X(x; e) Lie dönüşüm grubu için kanonik y = (yi, yv,..., yn) koordinatları yardı mıyla y* - yi,y% = Sfa + e, « = 1,2,...,n - 1 dönüşüm grubuna dönüştürüldüğü gösterilmiştir. Bir x noktasının x* = X(x; e) dönüşümü altında x* = x olduğunda değişmez bir nokta; bir F(x, y) = 0 eğrisinin x* - X(x, y; e), y* - Y(x,y,t) dönüşümü altında F(x*,y*) = 0 olduğunda bir değişmez eğri ve F(x) = 0 yüzeyinin aynı x* dönüşümü altında F(x*) = 0 olduğunda değişmez bir yüzey olduğu gösterilmiştir, r-parametreli x* = X(x; e), e = (e1; e2,..., er) dönüşüm grubunun Xa üreteçlerinin oluşturduğu vektör uzayının, bazı koşullar sağladığında bir £ Lie cebri oluşturduğu gösterilmiştir. Bir Lie cebrinin bir ide ali yardımıyla tanımlanan çözülebilir Lie cebri kavramı diferansiyel denklemlerin çözümünde önemli kolaylıklar sağlamaktadır. ikinci bölümde verilen bir diferansiyel denklemin, bir Lie grubunu kabul etmesi ve bu grup altında değişmezliği ele alındı, y' = f(x, y) şeklinde verilen bir diferansiyel denklem x* = X (x, y; e), y* = Y(x, y; e) dönüşüm grubu altında (r, s) kanonik koordinat dönüşümü ile indirgenerek genel çözümü bulundu. yn - /(#! Vı yi) -ı Vn-ı) diferansiyel denklemi için kanonik koordinatlar yardımıyla mertebesinin bir basamak düşürülebildiği görüldü, n inci mertebeden bir adi diferansiyel denklemin kabul ettiği sonsuz küçük dönüşümler için belirleyici denklemler elde edilerek denklemin kabul ettiği simetriler bulundu. Ayrıca n inci mertebeden bir denklemin kabul ettiği dönüşüm grubu r-parametreli ise ve bunun oluşturduğu r-boyutlu Lie cebri, çözülebilir ise, denklemin mertebesinin r defa düşürülebileceği kanıtlandı. Üçüncü bölümde Değme dönüşümleri incelenerek

Abstract:
In this study, structures of Lie Groups of transformations, their properties, Lie point, contact transformations and Lie-Backlund transformations are inves tigated ; also they are applied to some Engineering problems. In the first chapter, the properties of Lie group of transformations constructed over an algebraic structure, infinitesimal generators and Lie's first fundamental theorem are given. Invariance of a function F(x) = 0 under a given trans formation x* = X{x\ e) is investigated. For any Lie group of transformations x* = X(x; e) there exists a set of canonical coordinates such that is equivalent to y-(îfı,sfe,...,»») x* = X(x; e) V* = V*, i = l,2,...n-l Vn = Vn + e. A point x is an invariant point for the Lie Group of transformations x* = X{x\ t) if and only if x* = x under x* = X(x; e). A curve F(x,y) = 0 is an invariant curve for a one-parameter Lie Group of transformations x* = X(x,y;?)=x + e£(x,y) + 0(?2) y* = Y(x,y;e) = y + eT}(x,y) + 0(ei) with infinitesimal generator if and only if F(x*, y*) = 0 when F(x, y) = 0. A surface F(x) = 0 VIis an invariant surface for a one-parameter Lie Group of transformations x* = X(x; e) if and only if F(x*) = 0 when F(x) = 0. It is shown that if u - (w1,^2,...,wm) and x = (xx,X2,--,xn) denote re spectively m-dependent and n-independent variables, the transformation group x* = X{x,u)c), u* = U{x,u\?) in the (x,u) -space can be extended to transfor mations group x* = X(x,u;e),u* = U(x,u;e) * u s= U(x,u>u;e) 111 u = U(x,u, u,..., u;e) k k 1 k in the (#,«, u,..., a)-space: 1 k The total derivative operator is defined by D d d d d D^ = dx- + y^ + mWı+-- + yn+ld^ + --- In the case of one dependent and one independent variables, the kth extension of the one-parameter Lie Group of tranformations x* = X(x, y; e), y* = Y(x, y; e) is given by x* = X{x,y; y) + 0(e2) yt = Yı(x,y;e) = yl + erf1\x,y,yl) + 0(t2) y*k = Yk(x,y,yı,...iyk;e) = yıc + ?nW(x,y>yı,...)yk) + 0(e2) and its infinitesimal generator is d d d d X{k) = İ(x, y)- + r){x, y)- + r{l\x, y, Vı)j- + - + rfk)(x, y, yu..., Vk)^- In studying invariance properties of a kth order partial differential equation with dependent variable u and independent variable x = (x^x^...,xn) with u = u(x) we are naturally led to the problem of finding the extension of transformations on {x, «)-space to {x, u, a,..., u) -space where v, represents all kth derivatives of 1 2 k k u with respect to x. In the same way, one-dependent and one-independent case transformations act ing on (x,u) -space can be extended to (x> u, «,..., u) -space. Their infinitesimal i. k generators are given by obtaining extended infinitesimal transformations. A one-parameter Lie group of transformations acting on the space of indepen dent and dependent variables is naturally extended to a one-parameter Lie group of transformations acting on any enlarged space which includes all derivatives of the dependent variables up to a fixed finite order. The study of multi-parameter Lie groups of transformations reduces to the study of infinitesimal generators of one-parameter subgroups. The infinitesimal generators form a vector space called a Lie Algebra which is closed under an additional operation (commutation). For our purposes of constructing solutions to differential equations, a multi-parameter Lie group of transformations is com pletely characterized by its Lie Algebra. The structure (commutator table) of a multi-parameter group's Lie Algebra will play an essential role in applaying infinitesimal transformations to differential equations. In the second chapter, if a given ordinary differential equation admits a one- parameter Lie group of transformations then its order can be reduced construc tively by one by the use of canonical coordinates or differential invariants. More over the solution of the given ordinary differential equation is found by quadrature after solving the reduced ordinary differential equation. Knowing the invariance vmof a first order ordinary differential equation under a nontrivial one-parameter Lie Group of transformations is equivalent to finding an integrating factor for the ordinary differential equation. Every first order ordinary differential equation admits a nontrivial infmite- paramater Lie Group of transformations. A second order ordinary differen tial equation admits at most an eight-parameter Lie Group of transformations whereas an nth order ordinary differential equation (n > 3) admits at most an (n-(-4)-parameter group. Oiver (1986) showed that if an nth order ordinary dif ferential equation admits an r-pararneter solvable Lie Group of transformations (» > r) then it can be reduced to an (n-r)th order ordinary differential equation plus r quadratures. If an ordinary differential equation admits a one-parameter Lie group of trans formations then special solutions called invariant solutions (which are also in variant curves of the group) can be constructed. For a second or higher order ordinary differential equation such invariant solutions can be found without ex- plicitly solving the given ordinary differential equation. If a first order ordinary differential equation admits a nontrivial one-parameter Lie group of transforma tions then corresponding invariant solutions can be determined without solving any ordinary differential equation. In the third chapter, we examined Lie group of contact transformations and found the contact transformations of yf