Uyumlu kesirli mertebeden Sturm-Liouville denkleminin spektral analizi
Spectral analysis of conformable fractional order Sturm-Liouville equation
Yazar: YÜKSEL YALÇINKAYA
Danışman: PROF. DR. BİLENDER PAŞAOĞLU ; PROF. DR. HÜSEYİN TUNA
Süleyman Demirel Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2020
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Spektral analiz = Spectral analysis

Özet:
Bu tez çalışmasında; kesirli diferansiyel denklemlerin genişletilmiş hali olan uyumlu kesirli Sturm-Liouville denklemi ele alınmıştır. Regüler ve Singüler uyumlu kesirli Sturm-Liouville sınır değer problemlerinin sınıflandırılması yapılmıştır. Singüler Sturm-Liouville denklemleri için kendine es¸ olan ve kendine eş olmayan sınır koşulları araştırılarak Green fonksiyonu oluşturulmuştur. Daha sonra sınır değer problemlerine karşılık gelen operatörün spektral özellikleri incelenmiştir. Sınır değer problemlerinin özdeğer ve özfonksiyonları araştırılmış ve özellikleri incelenmiştir.
Çalışmanın "Giriş" bölümünde, uyumlu kesirli diferensiyel denklemlerin gelişim süreci, uyumlu kesirli Sturm-Liouville denklemi ile ilgili bilgiler verilmiştir.
"Literatür özeti" bölümünde uyumlu kesirli diferensiyel denklemler ve uyumlu kesirli Sturm-Liouville denklemini içeren çalışmaların özetleri verilmiştir.
"Genel Bilgiler" bölümünde tez konusu ile ilgili tanımlara yer verilmiştir.
"Bulgular ve Tartışma" bölümünde uyumlu kesirli Sturm-Liouville problemi göz önünde bulundurularak bu denklem için varlık ve teklik teoremi kanıtlanmış, self-adjoint uyumlu kesirli Sturm-Liouville problemi formüle edilmiştir. Uyumlu kesirli Sturm-Liouville probleminin ilişkili Green fonksiyonu oluşturulmuş ve özfonksiyon açılımları açıklanarak konu ile ilgili bazı açıklayıcı örneklere yer verilmiştir. Ayrıca, singüler uyumlu kesirli Sturm-Liouville probleminin spektral fonksiyonun varlığı kanıtlanarak Parseval eşitliği ve spektral açılım formülü oluşturulmuştur. Yine, tüm eksen üzerinde uyumlu kesirli Sturm-Liouville sınır-değer problemi açıklanarak; Parseval eşitliği ve spektral açılım formülü oluşturularak spektral bir fonksiyonun varlığı kanıtlanmıştır.
Çalışmanın "Sonuç ve Öneriler" bölümünde ise elde edilen sonuçlara ve önerilere yer verilmiştir.

Abstract:
In this thesis; the conformable fractional order Sturm-Liouville equation, which is an extension of fractional differential equations, is discussed. Classification of regular and singular conformable fractional Sturm-Liouville boundary value problems is done. For Singular Sturm-Liouville equations, Green function is created by investigating boundary conditions that are unique and not unique. Then the spectral properties of the operator corresponding to the boundary value problems are examined. Eigenvalues and eigen functions of boundary value problems are investigated and their properties are examined.
In the "Introduction" section of the thesis, the information about the development process of the conformable fractional differential equations and the consistent fractional Sturm-Liouville equation are given.
In the "Literature summary" section, summaries of studies involving conformable fractional differential equations and conformable fractional Sturm-Liouville equations are given.
In the "General Information" section, definitions related to the thesis topic are included.
In the "Findings and Discussion" section, the existence and uniqueness theorem has been proved for this equation by considering the compatible fractional Sturm-Liouville problem and the self-adjoint comformable fractional Sturm-Liouville problem has been formulated. The associated Green function of the compatible fractional Sturm-Liouville problem has been created and some explanatory examples are given by explaining the eigenfunction expansions. In addition, by proving the existence of the spectral function of the singular compatible fractional Sturm-Liouville problem, the Parseval equation and spectral expansion formula have been formed. Then, explaining the Sturm-Liouville boundary-value problem with the compatible fractional on the whole axis the existence of a spectral function has been proved creating the Parseval equation and spectral expansion formula.
In the "Results and Suggestions" section of the thesis, the obtained results and recommendations are included.