Kuantum Fourier dönüşümü tabanlı bazı kuantum aritmetik işlemlerin geliştirilmesi ve uygulamaları
Development and applications of some quantum arithmetic operations based on quantum Fourier transform
Yazar: MURAT KURT
Danışman: PROF. DR. AZMİ GENÇTEN ; DOÇ. DR. SELÇUK ÇAKMAK
Ondokuz Mayıs Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Fizik Ana Bilim Dalı / Atom ve Molekül Fiziği Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2024
Konu: Fizik ve Fizik Mühendisliği = Physics and Physics Engineering

Özet:
Kuantum bilgi işleme bilginin paralel islenebilmesine olanak sağladığı
için klasik bilgi işlemeden üstündür. Kuantum bilgi işlemede kullanılacak olan
farklı kuantum algoritmalar geliştirilmiştir. Bunlardan bazıları QFT tabanlı kuantum algoritmalar olarak bilinir. Klasik bitlere kodlanmış bilginin süperpozisyon durumuna getirilerek kuantum hesaplama alanına taşınması QFT algoritması sayesinde olur. Bu çalışma QFT tabanlı kuantum aritmetik işlemler yapan kuantum devrelerinin geliştirilmesi ve uygulamalarıyla ilgilidir. İlk kez bu
çalışmada n bitlik ikiden fazla sayının toplamını gerçekleştiren QFT tabanlı toplama için bir kuantum devre önerilmiştir. Bu öneride, her toplama işleminde
tekrarlanan QFT-IQFT kullanılmadığı için gerekli kapı sayısında büyük oranda
azalma olduğu gösterilmiştir. İşlemlerin küdit sistemlerle yapılması durumunda
kapı sayısındaki azalma oranının çok daha fazla olduğu gösterilmiştir. Sonucu
pozitif ve negatif çıkabilen QFT tabanlı çıkarma işlemlerini gerçekleştiren kuantum devre önerisi yapılarak örnekler üzerinde çalıştığı gösterilmiştir. Negatif
sonuçlu çıkarma işlemleri için gerekli olan karşılaştırma işlemi yapan kuantum
devre tasarımı yapılmıştır. QFT tabanlı toplama işlemini gerçekleştiren kuantum
devre yapısı kullanılarak çarpma işlemini yapan devre geliştirilmiştir. Tek kütrit
ve tek kukuartlık sayılar arasındaki olası tüm çarpımları gerçekleştiren devreler
weyl operatörleri kullanılarak oluşturulmuştur. Bölme işlemi için ise kendini tekrarlayan QFT tabanlı çıkarma işlemi barındıran kuantum devresi geliştirilmiştir.
Geliştirilen bu devrede kaç kez çıkarma işlemi yapıldığı bilgisi gerekli olacağından
bir kuantum sayaç tasarımı yapılmıştır. İlave olarak bu sayacın geri sayım yapanı da Önerilerek d seviyeli herhangi bir kuantum sistemi için genelleştirilmiştir.
Klasik bilgi işlemedeki NAND mantık kapısı, QFT tabanlı olarak tasarlanmıştır.
Son olarak toplama ve NAND işlemlerini seçici girişler kullanarak tek bir devre
üzerinde gerçekleştiren QFT tabanlı basit bir qALU tasarımı ilk kez bu çalışmada
ortaya konulmuştur. Bu çalışmamızda geliştirilen tüm kuantum devrelerin kübitler için olanlarının doğruluğu IBM composer kullanılarak ve küditler için olanlar
da manuel olarak test edilmiştir.

Abstract:
Quantum information processing is superior to classical information processing becouse it allows information to be processed in parallel. Various quantum
algorithms have been developed for quantum information processing. Some of
them are known as QFT-based quantum algorithms. The transfer of information
encoded in classical bits into a superposition state in quantum computation is
achieved through the QFT algorithm. This study is related to the development
and applications of quantum circuits performing QFT-based quantum arithmetic
operations. For the first time in this study, a quantum circuit for QFT-based
addition of n-bit binary numbers greater than two is proposed. In this suggestion, the reduction in the number of required gates is demonstrated by not using
repeading QFT-IQFT in each addition operation. It is shown that the reduction
in the number of gates is even more significant when operations are performed
with qudit systems. A quantum circuit design is proposed for QFT-based subtraction operations that can result in both positive and negative outcomes, and
its functionality is demonstrated through examples. For negative results, a quantum circuit that performs the comparison required for subtraction operations
has been designed. A quantum circuit performing multiplication operations is
developed by using the QFT-based addition circuit structure. The circuits that
realize all possible products between single qutrit and single ququart states are
constructed by using Weyl operators. For division operations, a quantum circuit
incorporating a self-repeating QFT-based subtraction operation is designed. Since
information about the number of subtraction operations is essential in this circuit,
a quantum counter design is proposed. Additionally, a countdown version of this
counter is suggested and generalized for any d-level quantum system. The NAND
logic gate in classical information processing is designed based on QFT. Finally,
a QFT-based simple quantum Arithmetic Logic Unit (qALU) design performing
addition and NAND operations on a single circuit by using selective inputs is
presented for the first time in this study. The accuracy of all quantum circuits
developed in this study for qubits was tested using IBM Composer, and those for
qudits were tested manually.