Sıfıra yakınsak dizilerin Banach uzayında eşdeğer normlar vasıtasıyla sabit nokta teorisini sağlayan geniş sınıflar
Large classes with fixed point property in Banach space of sequences converging to zero by renorming equivalently
Yazar: SIDDIK SADE
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ VEYSEL NEZİR
Kafkas Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2019
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
1979'da Goebel ve Kuczumow göstermiştir ki  l1'de zayıf* kopakt olmayan, kapalı, sınırlı ve konveks kümelerden oluşan çok geniş bir sınıf genişlemeyen fonksiyonlar için sabit nokta teorisine sahiptir. Peki Goebel ve Kuczumow teoreminin bir eşdeğer norm ile  c0-analoğu düşünülebilir mi? Yani, (c0,∥⋅∥_∞) üzerinde bir eşdeğer norm ∥⋅∥_~ ve  'da zayıf kompakt olmayan, kapalı, sınırlı ve konveks C kümelerinden oluşan geniş bir sınıf var mıdır ki bu C kümeleri genişlemeyen fonksiyonlar için sabit nokta teorisine sahip olsun. Bu çalışmamızda göstermekteyiz ki c0   üzerinde tanımlı bazı eşdeğer normlar ∥⋅∥_~ bulunabilir öyleki burada zayıf kompakt olmayan, kapalı, sınırlı ve konveks kümelerden oluşan çok geniş bir sınıf afin ∥⋅∥_~-genişlemeyen fonksiyonlar için sabit nokta teorisine sahiptir. Çalışmamızda yer alan kümeler ise  c0 'ın alışılmış normu olan ∥⋅∥_∞ normuna göre bazı asimtotik izometrik  c0-toplam baz dizilerinin kapalı konveks kabukları olup 2011'de Lennard ve Nezir'in çalışmasına göre herhangi asimtotik izometrik  c0-toplam baz dizisinin kapalı konveks kabuğu afin ∥⋅∥_∞-genişlemeyen fonksiyonlar için sabit nokta teorisini bozar. Tez çalışmasında ayrıca Lorentz-Marcinkiewicz dizi uzayları da ele alınmıştır. Bu uzayların elemanları yine c0  uzayından seçilir. Lorentz-Marcinkiewicz uzayı l_(δ,1) bir l^1-analog Banach uzayı olup bazı ortak özellikleri paylaşmaktadır. Goebel ve Kuczumow teoreminin l_(δ,1)-analoğunu incelemek istiyoruz. Yani, l_(δ,1)'de zayıf* kompakt olmayan, kapalı, sınırlı ve konveks C kümelerinden oluşan geniş bir sınıf var mıdır ki bu C kümeleri genişlemeyen fonksiyonlar için sabit nokta teorisine sahip olsun. Bu soruya pozitif cevabı afinlik koşulu altında verebileceğimizi çalışmamızda görmekteyiz. Yani, bu çalışmamızda göstermekteyiz ki l_(δ,1)'de zayıf* kompakt olmayan, kapalı, sınırlı ve konveks kümelerden oluşan çok geniş bir sınıf afin genişlemeyen fonksiyonlar için sabit nokta teorisine sahiptir.

Abstract:
In 1979, Goebel and Kuczumow showed that a large class of closed, bounded, convex (c.b.c.), non-weak*-compact subsets of l^1 has the fixed point property (FPP) for nonexpansive mappings. What about  -analogue of Goebel and Kuczumow's theorem with an equivalent norm? That is, do there exist an equivalent norm ∥⋅∥_~ on (c_0,∥⋅∥_∞) and a non-weakly compact, c.b.c. subset C of c0 , for which C has FPP for nonexpansive mappings? In this study, we show that we can find some equivalent norms ∥⋅∥_~ on c0  for which there exist non-weakly compact c.b.c. subsets that have FPP for affine ∥⋅∥_~-nonexpansive mappings. In fact, we see that our examples are closed, convex hulls of some asymptotically isometric (ai)  c0-summing basic sequences respect to ∥⋅∥_∞ norm whereas in 2011 Lennard and Nezir showed that the closed, convex hull of any ai c_0-summing basic sequence fails FPP for affine ∥⋅∥_∞-nonexpansive mappings. In this thesis, Lorentz-Marcinkiewicz spaces are also investigated. The elements of these spaces are also selected from c0. Lorentz-Marcinkiewicz space l_(δ,1) is an l^1-analog Banach space sharing some common properties. We wonder l_(δ,1)-analogue of Goebel and Kuczumow's theorem? That is, we study to answer the question if there exists a non-weakly compact*, c.b.c. subset C of l_(δ,1), for which C has FPP for nonexpansive mappings? We see that we can give positive answer for this question under affinity condition. So in this study, we show that we can find a large class of non-weakly compact c.b.c. subsets of l_(δ,1) that have FPP for affine nonexpansive mappings.