Saklı Markov modelinin farklı dağılımlar için incelenmesi
Investigations of hidden Markov model for various distributions
Yazar: CEREN EDA CAN
Danışman: PROF. DR. FATMA GÜL ERGÜN
Hacettepe Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / İstatistik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2016
Konu: Deprem Mühendisliği = Earthquake Engineering ; Ekonomi = Economics ; İstatistik = Statistics
Dizin: Markov zinciri = Markov chain ; Monte Carlo Yöntemi = Monte Carlo Method ; Poisson dağılımı = Poisson distribution ; Poisson süreci = Poisson process ; Saklı Markov modeli = Hidden Markov model

Özet:
Markov modellerinde doğrudan gözlemlenebilen sistemlere ilişkin problemler ele alınmaktadır. Ancak, gerçek uygulamalarda ilgilenilen sistemin doğrudan gözlemlenebilir olması mümkün olmayabilir. Doğrudan gözlemlenemeyen ve sadece başka bir stokastik süreç aracılığıyla dolaylı olarak gözlemlenebilen bu sistemler, Markov modellerinin uygulama alanlarını daraltan önemli bir sorundur. Markov modellerinin bir uzantısı olarak bilinen saklı Markov modeli, kısmen gözlemlenebilen sistemlerde istatistiksel çıkarsamalar yapılmasında güçlü ve esnek bir matematiksel yapıya sahiptir. Bu çalışmada, saklı Markov modelinin matematiksel yapısı ve çalışma ilkesi, Poisson ve beta dağılım aileleri varsayımı altında detaylı olarak incelenmiştir. Tez çalışması, Poisson saklı Markov modelinin Türkiye deprem verisine ilk kez uygulanmasıdır. 1900 ve 2012 yılları arasında Bilecik' in merkez olduğu 100 km yarıçapındaki bir alanda meydana gelmiş, büyüklüğü 4 ve daha fazla olan depremlerin yıllık frekansları modellenerek, gelecek 35 yıllık bir periyod için deprem riski tahmin edilmiştir. Elde edilen sonuçlar, belli bir zaman içerisinde meydana gelen depremlerin frekanslarının stokastik modellenmesinde standart model olarak kullanılan Poisson süreci ile karşılaştırılmıştır. Poisson saklı Markov modeline kıyasla, Poisson sürecinin aşırı yayılım gösteren ve serisel bağımlılık içeren gözlemlerin açıklanmasında çok yetersiz kaldığı ve aşırı uyum sorunu yarattığı belirlenmiştir. Tez çalışmasında, ayrıca beta dağılım ailesi varsayımı altında saklı Markov modeline ilk kez Bayesci yaklaşım adapte edilmiştir. Böylece, klasik yaklaşım altında analitik olarak elde edilemeyen beta dağılım ailesi şekil parametrelerinin Bayesci tahminlerine ulaşılmıştır. Modelin Bayesci çözümlemesi sayesinde, klasik yaklaşımda alternatif olarak kullanılabilecek sayısal yöntemlerde sıklıkla karşılaşılan yakınsaklık sorunları da önlenmiştir. Saklı Markov modeli parametrelerinin tam koşullu dağılımlarının elde edilebilmesi özelliğinden dolayı, modelin Bayesci çözümlemesinde Gibbs örneklemesi kullanılmıştır. Eşlenik önsel kullanımıyla da, tam koşullu sonsal dağılımlar kapalı formda kolaylıkla elde edilebilmiştir. Burada, özellikle beta dağılımı şekil parametreleri için Bayyari' nin 1985 yılında önerdiği bileşik eşlenik önsel dağılımdan yararlanılmıştır. Gibbs örneklemesi içinde, şekil parametrelerine ilişkin adımda Metropolis-Hastings algoritması kullanılmıştır. Bayesci beta saklı Markov modelinin işletiminde ise, Amerika Birleşik Devletleri' nin 1990-01 : 2015-11 dönemlerindeki işsizlik oranları kullanılmıştır. 2015 yılı Aralık ve 2016 yılı Ocak ayları için işsizlik oranlarının öngörü yoğunlukları tahmin edilerek öngörü dağılımları elde edilmiştir. Öngörü dağılımı, gerçek değerlerle oldukça tutarlı bulunmuştur. Tez çalışmasında yapılan tüm analizler için, R programında özgün kodlar yazılmıştır.

Abstract:
Markov models consider the problems of the systems which are directly observable. However, in the real-world applications, the underlying system can be unobservable; but, can only be observed through another stochastic process. The evaluation of these partially observed systems is the major problem restricting the applications areas of Markov models. As an extension of Markov models, hidden Markov model has a powerful and flexible mathematical structure to make statistical inferences on partially observable systems. In this study, mathematical structure of hidden Markov model and its working principle are investigated in detail under Poisson and beta distribution families. The study is the first application of Poisson hidden Markov model for Turkish earthquake data. The annual frequencies of earthquakes occurred within a radius of 100 km area centered on Bilecik, from 1990 to 2012 with magnitudes ≥4 are modeled by using Poisson hidden Markov model. The earthquake hazard in the area is determined by forecasting the annual frequencies of earthquakes for the next 35 years. Also, Poisson hidden Markov model is compared to Poisson process which is a traditional way for stochastic modeling the occurrences within a certain time interval. Contrary to the Poisson hidden Markov model, Poisson process becomes seriously insufficient to explain over-dispersed and serially dependent data and causes over-fitting. The study is also the first time that Bayesian approach is adapted to hidden Markov model under the family of beta distributions. In classical approach, the shape parameters of beta distribution can not be obtained analytically. In order to overcome the problem of analytical insolubility, the estimates of the shape parameters are obtained under Bayesian approach. Bayesian approach also prevents the convergence problems which result from numerical methods. Hidden Markov model allows the full conditional distributions to be obtained for all model parameters. Due to this property, Gibbs sampling is used for generating samples from the joint posterior distribution of parameters. Employing the conjugate prior distributions for model parameters, the full conditional posterior distributions are obtained easily in closed form. In 1985, Bayyari proposed a joint conjugate prior distribution for the shape parameters of beta distribution. In this study, Bayyari' s joint conjugate prior distribution is used for obtaining the full conditional posterior distribution of the shape parameters in closed form. Metropolis-Hastings algorithm is carried out within Gibbs sampling for the shape parameters as well. For the application of beta hidden Markov model, the unemployment rates of the United States of America for the period of 1990-01 and 2015-11 are modeled under Bayesian approach. The forecast distributions are obtained for the unemployment rates in December, 2015 and January, 2016. The actual values for terms are found to be quite consistent with the forecast distributions. The original codes are written in R for all analysis.