Bazı matematiksel modellerin nümerik yöntemlerle analizi ve uygulaması
Analysis and application of some mathematical models with numerical methods
Yazar: ELÇİN ÇELİK
Danışman: PROF. DR. DENİZ UÇAR
Uşak Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu çalışmada, Türkiye'deki Covid-19 salgını araştırılmış ve yayılımına dair öngörülerde bulunulmuştur. Covid-19 verileri lojistik büyüme modeli ve SIR salgın modeline uygulanarak Taylor matris ve sıralama yöntemi kullanılarak Covid-19 salgınının ülkedeki zamansal gelişimini ölçmek için kullanılabilecek tahminler yapılmaya çalışılmıştır. Ayrıca bu çalışmada, hükümet müdahaleleri sonucunda vaka sayılarındaki değişim dikkate alındığında salgının sabit parametreler ile modellenmesinin çok doğru olmadığı, bunun yerine dinamik olarak hesaplandığında gerçeğe daha yakın tahminler yapılabileceği düşünülmüştür. Bu amaçla, iyileşme oranının 1/15'te sabitlendiği ancak yayılma oranının sabit olmaktan ziyade yapılan müdahalelere bağlı olduğu dinamik bir SIR modeli ele alınmıştır. Model geliştirilirken öncelikle CPA'lı vaka sayısına göre değişim noktaları belirlenmiş ve ardından vaka sıklığının eylem/etki zamanlamasından büyük ölçüde etkilendiği ve Covid-19 enfeksiyonunun hafif solunum semptomları ve ateş gibi semptomların enfeksiyondan 5-6 gün sonra ortaya çıkmaya başladığı göz önünde bulundurularak değişim noktaları müdahale zamanlarıyla eşleştirilmiştir. Bu müdahaleler kapsamında her bir değişim noktası aralığı için yayılma oranlarını tahmin edilmiştir. Kruskal Wallis testi sonuçlarıyla modelin yayılma oranlarındaki farklılığın nedeninin %95 güvenle yapılan bu müdahaleler olduğu belirlenmiştir. Ayrıca parametrik olmayan Dunn testi ile tam kapanma ile kısmi kapanma arasında ve tam kapanma ile kademeli normalleşme arasında %99 güvenle anlamlı farklılıklar olduğu elde edilmiştir. Bu aynı zamanda, kısmi kapanma ve kademeli normalleşme sonrası vaka sayılarına kıyasla tam kapanma ile oluşabilecek vaka sayılarında ciddi bir fark olduğunu da göstermektedir.

Abstract:
In this study, we investigated Covid-19 in Turkey epidemic and made predictions about its spread. Applying Covid-19 data to the logistic growth model and SIR model, we have tried to estimate the parameters that can be used to quantify the temporal evolution of Covid-19 in the country using Taylor matrix and collocation method. Moreover, we thought that modeling the epidemic with fixed parameters was not very accurate, considering the change in the number of cases as a result of the government interventions and that more accurate predictions could be made when the parameters were calculated dynamically instead. We focused on a dynamic SIR model in which the recovery rate is fixed at 1/15, but the spread rate is dependent on the interventions made rather than being constant. While developing the model, we first determined the change points according to the number of cases with CPA, then considering that the frequency of cases is greatly affected by the timing of action and that symptoms of Covid-19 infection, such as mild respiratory symptoms and fever, begin to appear 5-6 days after infection, we matched the change points with the times of the intervations. We estimated the spread rates for each range of change points within the scope of these interventions. With the results of the Kruskall Wallis test, we determined that the reason for the difference in the model's spread rates were these intervations made with %95 confidence. Moreover, with the Non-parametric Dunn's test, it was obtained that there were significant differences between full closure and partial closure, as well as between full closure and gradual normalization, with %99 confidence. This also shows that there is a significant difference in the number of cases that may occur with full closure compared to the number of cases after partial closure and gradual normalization.