Esleniklik, kuasidiferansiyellenebilme ve konveks olmayan optimizasyon
Conjugacy, quasidifferentiability and nonconvex optimization
Yazar: DİDEM TOZKAN
Danışman: PROF. DR. MAHİDE KÜÇÜK
Anadolu Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2014
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Optimallik = Optimality ; Optimizasyon = Optimization ; Optimizasyon problemi = Optimization problem ; Optimizasyon teknikleri = Optimization techniques

Özet:
Pozitif homojen fonksiyonlar için Küçük ve ark. tarafından geliştirilen zayıf alt/üst exhauster kavramları, zayıf subdiferansiyel/süperdiferansiyel ve exhausterlar arasındaki ilişkiler yardımıyla kurulmuş ve exhausterların özel bir sınıfını oluşturmuşlardır. Aynı çalışmada, zayıf exhausterların kolaylıkla hesaplanabilmesi için Minkowski toplam ve fark işlem\-leriyle bazı geometrik yöntemler verilmiştir. Zayıf exhausterlar kullanılarak gerekli ve yeterli optimallik koşulları da verilmiştir. Ayrıca, zayıf alt (üst) exhausterların, zayıf subdiferansiyelin (zayıf süperdiferansiyelin) sadece sınır noktalarıyla indekslenerek indirgenebileceği gösterilmiştir. İndirgenmiş zayıf exhausterlarla da optimallik koşulları ifade edilmiştir.
Bu çalışmada, (zayıf) eşlenik fonksiyon ile (zayıf) exhausterlar arasındaki ilişkiler incelenmiştir. İlk olarak, bir fonksiyonun zayıf subdiferansiyeli bu fonksiyonun zayıf eşleniği cinsinden ifade edilmiş ve bu yeni ifade zayıf alt exhausterların da zayıf eşlenik dönüşümle karakterize edilmesini sağlamıştır.  Bu karakterizasyon kullanılarak, maksimizasyon problemleri için yeni optimallik koşulları elde edilmiştir. Daha sonra, konveks bir optimizasyon probleminin amaç fonksiyonunun yönlü türevini amaç fonksiyonu kabul eden yeni bir optimizasyon problemi oluşturulmuştur. Bu problemin  eşlenik dualinin çözümleri, asıl problemin değer fonksiyonunun üst exhausterına ait kümeler cinsinden ifade edilmiştir. Bununla birlikte, konveks olmayan optimizasyon problemleri de ele alınarak, bunların zayıf Fenchel dual problemlerinin çözümleri zayıf üst exhausterlarla karakterize edilmiştir. Böylelikle, her iki durumda da asıl problemin kritik noktalarını belirleyen yöntemler oluşturulmuştur.
Kuasidiferansiyellenebilir fonksiyonların da minimizasyonu incelenerek amaç fonksiyonu kuasidiferansiyellenebilir olan bir optimizasyon probleminin, dc-fonksiyon olan yönlü  türevini amaç fonksiyonu kabul eden bir DC programlama problemi kurulmuştur. Bu problemin ve DC dualinin çözüm kümeleri için karakterizasyonlar verilmiştir. Ayrıca, bu tip optimizasyon problemlerinin zayıf Fenchel dualinin çözümü için de bir karakterizasyon verilmiştir.

Abstract:
Weak lower/upper exhausters of positively homogeneous functions defined by Küçük et al. were constructed via relationships between weak subdifferential/superdifferential and exhausters, and they presented a special class of exhausters. In the same study, some geometric methods to calculate weak exhausters were given by using Minkowski sum and difference operations. Some necessary and sufficient optimality conditions were also given via weak exhausters. In addition, it was shown that weak lower (upper) exhausters can be reduced by indexing them only with the boundary points of weak subdifferential (weak superdifferential). Some optimality conditions were also expressed via reduced weak exhausters.
In this study, relationships between (weak) conjugate function and (weak) exhausters are investigated. Firstly, weak subdifferential of a function is expressed by means of the weak conjugate of this function and this new expression provides a characterization of weak lower exhausters in terms of weak conjugate function. Some new optimality conditions are obtained for maximization problems by using this characterization. After that, a new optimization problem is constructed which admits the directional derivative of the objective function of a convex optimization problem as the objective function. Solutions of the conjugate dual of this problem are given by means of the sets belonging to any upper exhauster of the value function of the primal problem. Additionally, considering nonconvex optimization problems, solutions of weak Fenchel dual problems of primal problems are represented by weak upper exhausters. In this way, some methods are given to determine stationary points of the primal problems for both cases.
Minimization of quasidifferentiable functions are also investigated and a DC programming problem is constructed which admits the dc-directional derivative of the quasidifferentiable objective function of an optimization problem as the objective function. Some characterizations are obtained to find solutions of this problem and the DC dual of it. In addition, a characterization for solutions of weak Fenchel duals of this type of problems are also given.