Grup-grupoidler, çapraz modüller ve schreier grupoidleri
Grup-Grupoidler, Çapraz Modüller ve Schreier Grupoidleri
Yazar: BEHZAT TAŞBAŞ
Danışman: PROF. DR. OSMAN MUCUK
Erciyes Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2014
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bazı sartları sag˘layan bir grup homomorfizmi grupların bir çapraz modülü (crossed module) olarak bilinir. Bu kavram ilk olarak 1946 larda Whitehead tarafından tanıtılmıstır. Tüm çapraz modüllerin sınıfı bir kategori olusturur. Bazı kategoriler bu kategoriye denk oldug˘undan bazı kategorik problemler cebirsel bir yapıya dönüsür. Bu ise çapraz modüllerin önemli sayılmasının gerekçelerinden biridir.
Kategori teorisinin tarihçesi çok eski olmamakla birlikte matematig˘in birçok sahasında kullanım alanı bulmustur. Her morfizmi bir izomorfizm olan özel bir kategoriye bir grupoid denir. Grupoid, gruptan daha genel bir kavram olarak çok objeli bir grup olarak da düsünülebilir. Objeleri ve morfizmleri aynı kategorilerinin objeleri olan kategoriler tanımlanabilir. Bu kategoriler iç kategoriler olarak bilinir. Örneg˘in grupların kategorisindeki bir iç kategori bir grup grupoid olarak tanımlanır.
Bu tezde Kategori teorisinde yer alan ve tezin okunmasında kolaylık sag˘layacak bazı temel kavramlar tanıtıldıktan sonra grup grupoid ve çapraz modüllerin kategorisinin denk oldukları verilmistir.
Buna ilaveten çapraz yarımodül kategorisi ve schreier internal kategorilerin kategorisi tanıtılmıs ve yine literatürden yararlanarak bunların denk oldug˘u denk oldug˘u gösterilmistir.
Anahtar Kelimeler : Grup grupoid, Çapraz Modül, Kategori Denklig˘i, Çok ˙Islemli Gruplar, ˙Iç Kategoriler, Çapraz Yarımodüller ve Schreier ˙Iç Kategorisi.

Abstract:
A group morphisms satisfying some conditions is called a crossed module. This was definedbyWhiteheadin1946 's. The classofcrossed modules formsacategory. Since some categories are equivalent to this category, some categorical problems becomes algebraic structures. This is the reason that crossed modules are important.
The story of category theory is not very old, but it has many applications in some branches of mathematics. A category in which each morphism is an isomorphism is called a groupoid.
A groupoid which is more general than a group, can be thought as a group with many objects. The categories whose set of morphisms and set of objects are taken from same category can be defined. These categories are defined as internal categories. For example an internal category in the category of groups is called as a group groupoid. In this thesis after defining some basic concepts which help to follow the equivalence of the categories of group grupoids and the category of crossed modules have been given from literature.
After a presentation of same basic notions the equivalence of the categories crossed modules and grup-grupoids were given.
In addition crossed semimodul category and schreier internal categories were introduced from lecture and the equivalence of this categories were proved.
Keywords: Group groupoids, Crossed Modules, Equivalence of Categories, Internal Categories, Crossed Semimodules and Schreier Internal Categories.