Kesirli türevlere sahip sürekli ortamların dinamik analizi
The dynamic analysis of the continuum with the fractional derivatives
Yazar: DUYGU DÖNMEZ DEMİR
Danışman: PROF. DR. NECDET BİLDİK
Celal Bayar Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2012
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez çalışması yedi bölümden oluşmaktadır.Birinci bölümde, titreşim hareketinin tarihsel gelişimi ele alınmış, bu hareketinin tanımı verilmiştir. Ayrıca, serbest ve zorlanmış titreşimler, sönümlü ve sönümsüz titreşimler, lineer ve lineer olmayan titreşimler ile deterministik ve rasgele titreşimler ifade edilmiştir. Buna ek olarak, titreşim hareketinin modellenmesi, rezonans ve viskoelsatisite tanımlarına yer verilmişir. Kesirli türevlere ilişkin olarak, Riemann-Liouville ve Caputo anlamındaki türevler tanımlanmıştır. Son olarak ise pertürbasyon metodu verilmiştir.İkinci bölümde, sürekli ortamların lineer titreşimlerini temsil eden ve birçok uygulamayı ihtiva eden genel bir model ortaya koyulmuş, denklem keyfi lineer operatörlerle ele alınmıştır. Buna ilaveten, çok zaman ölçekli metot kullanılarak, analitik çözümler elde edilmiştir.Üçüncü bölümde verilen çözüm algoritması üç ayrı lineer titreşim problemine uygulanmıştır. Bu problemlerden ilk model, harmonik eksenel yüklü viskoelastik malzemeli bir kiriş, ikincisi Kelvin-voight viscoelastik modellenmiş zeminin üzerine oturan elastik kiriş ve en son model ise eksenel zorlamalı viscoelastik bir kiriş problemidir. Burada, sistemin deplasmanı değişik kiriş parametreleri için bulunmuş, parametrik ve temel rezonans durumları da ayrıca incelenmiştir.Dördüncü bölümde, ilk durumdan elde edilen genel çözümünün yakınsaklığına bakılmıştır. Kesirli türev mertebesinin üç farklı durumu göz önüne alınarak yakınsaklık incelenmiştir.Beşinci bölümde, sürekli ortamlarda birçok uygulamayı kapsayan homojen olmayan genel bir model ele alınmış ve çok zaman ölçekli metot ile analitik çözümler elde edilmiştir. Bunun yanında, parametrik ve zorlamalı titreşimler de analiz edilmiştir.Altıncı bölümde, homojen olmayan genel model için bulunan çözüm algoritması üç ayrı probleme uygulanmıştır. İlk model, harmonik dış zorlamalı kirişin boyuna titreşimini, ikinci model ise harmonik yüklemeli kirişin boyuna titreşimini veren problemdir. Üçüncü uygulama olarak ele alınan model, viskoelastik eksenel yük taşıyan zemine oturmuş bir kiriş problemi olarak göz önüne alınmıştır.Son bölüm olan yedinci bölümde ise, yapılan çalışmaya ait sonuçlar ve öneriler yer almaktadır.

Abstract:
This thesis consists of seven chapters.In the first chapter, the historical development and the definition of the vibration motion are given. Furthermore, free and forced vibrations, damped and undamped oscillations, linear and nonlinear vibrations and deterministic and random vibrations are expressed. Additionally, modeling of the vibration motion, the definition of resonance and viscoelasticity are given. In accordance with the fractional derivatives, the derivatives in the sense of Riemann-Liouville and Caputo are defined. Finally, the perturbation method is also given.In the second chapter, a general model representing linear vibrations of the continuum and involving many applications is proposed and the governing equation is represented by the arbitrary linear operators. Additionally, the analytical solutions are obtained by using the method of multiple time scales.In the third chapter, the presented solution algorithm is applied to three different problems of the vibration. The first model is the problem of the harmonic axial loaded beam with viscoelastic material, the second is a elastic beam placed on the ground modelled by Kelvin-Voight viscoelastic model and the latest is also the problem of the axially forced viscoelastic beam. The displacement of the system is determined for the different beam parameters. The cases of parametric and primary resonances are examined.In the fourth chapter, it is investigated the convergence of the general solution obtained from the first case. Considering the three different cases of the fractional order, the convergence is examined.In the fifth chapter, the non-homogeneous general model involving many applications in the continuum has been considered and the analytical solutions are obtained by the method of multiple time scales. Additionally, the parametric and the forced vibrations are also analyzed.In the sixth chapter, the solution algorithm obtained for the non-homogeneous general model is applied to the three types of the different problems. The first model is the problem giving longitudinal vibration of harmonic external forced beam and the second is the problem giving longitudinal vibration of harmonic loaded beam. The model obtained as the third application is considered as the problem of the viscoelastic axial loaded beam placed on the ground.In the seventh chapter, conclusions and recommendations of this study are proposed.