4-boyutlu uzayda q-çatılı tüp yüzeyleri
Tube surfaces with q-frame in 4-dimensional space
Yazar: BAŞAK YAĞBASAN
Danışman: PROF. DR. CUMALİ EKİCİ ; DR. HATİCE TOZAK
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez, 4-boyutlu Öklid uzayında özel bir tür yüzey olan tüp yüzeyini, alternatif bir
yapı olan q-çatı ile incelemeyi amaçlamaktadır.
Çalışma beş bölüme ayrılmıştır. Birinci bölümde, tezin içeriği hakkında genel
bilgiler verilmiş ve çalışmanın önemi vurgulanmıştır. İkinci bölümde, kanal yüzeyleri ve
kanal yüzeylerin özel bir türü olan tüp yüzeylerine odaklanan önceki araştırmalara dair
genel bir bakış sunulmuştur. İkinci bölüm aynı zamanda tez ile ilgili tüp yüzeyleri üzerine
yapılan araştırma bulgularının sunulduğu bir kısmı da içermektedir.
Üçüncü bölümde, tez konusunun daha iyi anlaşılabilmesi amacıyla 3 ve 4-boyutlu
Öklidyen uzayda, bir uzay eğrisi verildiğinde Frenet ve q-çatılarına dair temel
tanımlamalar, teoremler ve türev denklemleri sunulmuştur. Ardından, 4-boyutlu ve
n-boyutlu Öklid uzayındaki yüzeylere dair bilgiler verilmiştir. Bunların yanı sıra 4-boyutlu
uzayda tüp yüzeyinin genel denklemi, Frenet çatısıyla ifade edilmiştir.
Dördüncü ve beşinci bölümlerde, sırasıyla tüp yüzeyleri için Frenet ve q-çatıları ile
orijinal hesaplamalar yapılmıştır. 4-boyutlu uzayda Frenet ve q-çatı vektörleri kullanılarak
parametrize edilen 2-boyutlu tüp yüzeyinin genel denklemi kullanılarak U1 ve U2 birim
normal vektör alanları elde edilmiştir. Ayrıca, birim normal vektör alanları için şekil
operatörü matrisleri, tüp yüzeyinin temel formları aracılığıyla hesaplanmıştır. Bu şekil
operatörlerinin cebirsel değişmezleri olan asli eğrilikleri, Gauss eğrilikleri ve ortalama
eğrilikleri elde edilmiştir. Daha sonra, 4-boyutlu uzayda 2-boyutlu tüp yüzeyinin temel
form katsayıları kullanılarak Christoffel sembolleri, Gauss eğriliği ve ortalama eğriliği gibi
yüzeyin karakteristik özellikleri hesaplanmıştır. Son olarak, 4-boyutlu Öklid uzayında
Frenet çatılı ve q-çatılı 2-boyutlu tüp yüzeyi örnekleri çalışılmış ve yüzeylerin eğrilikleri
incelenip izdüşüm uzaylarında merkez eğrisi ile birlikte bu tüp yüzeylerin şekilleri
çizdirilmiştir.
Anahtar Kelimeler: Frenet çatısı, q-çatı, tüp yüzey, eğrilikler.

Abstract:
This thesis aims to investigate a special type of surface in 4-dimensional Euclidean
space known as the tube surface with an alternative structure called q-frame.
The study is divided into five chapters. The first chapter provides an overview of the
thesis content and highlights the significance of the study. The second chapter reviews prior
research on canal surfaces, with particular attention to a specific type of canal surface known
as tube surface. The second chapter also includes a presentation of research findings of tube
surfaces and canal surfaces relevant to this thesis.
The third chapter introduces fundamental definitions, theorems and derivative
equations related to Frenet and q-frames for a space curve in 3-dimensional and
4-dimensional Euclidean spaces to enhance the comprehension of the thesis topic.
Subsequently, information about surfaces in 4-dimensional and n-dimensional Euclidean
spaces is given. The general parametrization of the tube surface in this space is expressed
according to the Frenet frame.
In the fourth and fifth chapters, the original calculations are carried out for tube
surfaces with Frenet and q-frame, respectively. Using the general parametrization of the
2-dimensional tube surface with Frenet and q-frame vectors, unit normal vector fields U1
and U2 are obtained in 4-dimensional space. Additionally, shape operator matrices with unit
normal vector fields are computed through the fundamental forms of the tube surface. The
algebraic invariants of these shape operators, namely principal curvatures, Gauss
curvatures, and mean curvatures, are derived. On the other hand, the characteristic
properties of the surface such as the Christoffel symbols, Gaussian curvatures and mean
curvatures of the 2-dimensional tube surface are also calculated using the coefficients of the
fundamental form. Finally, examples of 2-dimensional tube surfaces according to
Frenet-frame and q-frame in 4-dimensional Euclidean space are studied, and the curvatures
of the surfaces are examined. The shapes of these tube surfaces, along with their central
curves in the projection spaces, are illustrated.
Key Words: Frenet frame, q-frame, tube surface, curvatures.