Lineer olmayan oluşum denklemlerinin dalga çözümleri ve analizleri
Wave solutions and analysis of nonlinear evolution equations
Yazar: SÜMEYRA KARA
Danışman: DOÇ. DR. ÖMER ÜNSAL
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Kısmi diferensiyel denklemler = Partial differential equations ; Tam çözüm = Exact solution ; Yürüyen dalgalar = Travelling waves

Özet:
Lineer olmayan oluşum denklemlerinin birçoğu bazı dalga yapılarını temsil etmesinden dolayı dalga çözümleri ve analizleri; akışkanlar fiziği, uygulamalı matematik ve ilişkili diğer bilim dallarında araştırma konusu olmuştur. Dalga çözümleri üzerine yapılan araştırmalar ile elde edilen tam çözümlerin, dalganın hareketi, hızı ve fiziksel karakterizasyonu hakkında bilgi verdiği bilindiğinden son birkaç yılda bu denklemlerin tam çözümlerini elde etmek için birçok algoritmaya ve prosedüre sahip yöntemler geliştirilmiştir. Ayrıca bu yöntemler sayesinde çeşitli dalga çözümlerinin sınıfları hakkında çıkarım yapılmaktadır.
Bu tez, bazı lineer olmayan oluşum denklemlerinin analitik çözümlerini, iki değişkenli açılım yöntemi kullanılarak öncesinde verilen yardımcı kavramlar ile sunmaktadır. Bu yöntemin etkili olduğunu kanıtlamak için yararlanılan denklemler (2+1) boyutlu B-Tipi Kadomtsev-Petviashvili (BKP) denkleminin yeni formu, (3+1) boyutlu BKP-Boussinesq denkleminin yeni formu, (3+1) boyutlu birinci formda genişletilmiş Jimbo-Miwa denklemi ve (3+1) boyutlu ikinci formda genişletilmiş Jimbo-Miwa denklemidir.
Bu çalışmalara ek olarak, tam çözümlerin yeni bir sınıfı olan ''kompleksiton çözümler'' bulmada kolaylık sağlayan modifiye edilmiş çiftli alt denklem yöntemi üzerinden (3+1) boyutlu Korteweg-de Vries (KdV) tipi denklemin hiperbolik ve trigonometrik fonksiyonların birleşmesi ile oluşan kompleksiton çözümleri verilmiştir. Dahası, elde edilen analitik çözümlerin fiziksel karakterizasyonu, çeşitli parametrelerin seçilmiş sabit değerleri ile grafikler sayesinde mevcuttur.

Abstract:
Since many nonlinear evolution equations represents some wave structure, their wave solutions and analysis has been topic of research in fluid physics, applied mathematics and other related areas. Since it is known that exact solutions obtained from researches made on wave solutions give informations about wave motions, wave speeds and their physical characteristics, in the last few years, methods with many algorithms and procedures have been developed to obtain the exact solutions of these kinds of equations. Besides, with the help of these methods some inferences are made about the classes of various wave solutions.
This thesis presents the analytical solutions of some nonlinear evolution equations by using two variable expansion method with the auxiliary concepts given before. The equations used to prove that this method is effective, are the new form of (2+1)-dimensional B-Type Kadomtsev-Petviashvili (BKP) equation, the new form of (3+1)-dimensional BKP-Boussinesq equation, the first extended (3+1)-dimensional Jimbo-Miwa equation and second extended (3+1)-dimensional Jimbo-Miwa equation.
In addition to these studies, complexiton solutions of the (3+1)-dimensional Korteweg-de Vries (KdV) type equation are given with the aid of the modified double sub-equation method which provides conviences to find complexiton solutions which is a new class of exact solutions and consist of hyperbolic and trigonometric functions. Moreover, the physical characterization of the obtained analytical solutions is available through graphs with selected constant values of various parameters.