Katmanlı kompozit bir plağın üniform basınç yükü altındaki geometrik doğrusal olmayan davranışının deneysel ve sayısal olarak incelenmesi
Experimental and numerical investigation of nonlinear static behaviour of a laminated composite plate subjected to uniform pressure load
Yazar: KEMAL GÜNDOĞAN
Danışman: PROF. DR. ZAHİT MECİTOĞLU
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Uçak ve Uzay Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Uçak ve Uzay Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2013
Konu: Uçak Mühendisliği = Aircraft Engineering

Özet:
Makina, gemi, kimya, inşaat, havacılık ve uzay mühendisliği gibi teknolojinin birçok dalında plak ve kabuk yapıların ince cidarlı çeşitli şekilleri ile karşılaşılır. Plak ve kabuk yapıların yaygın kullanımı kendine özgü özelliklerinden kaynaklanır. Katmanlı biçimde üretilen kompozit malzemeler ise; havacılık ve uzay yapıları, gemi gövdeleri, otomotivdeki yapısal parçalar, mikro-elektromekanik sistemler ve beton güçlendirmek için inşaat yapılarındaki sistemler gibi alanlarda kullanılan ve mukavemet ve tokluğu aynı anda yüksek tutabildiklerinden dolayı tercih edilen malzeme sistemi haline gelmektedir. Bu malzemeler havacılık ve uzay sanayinde daha çok plak ve kabuk formunda kullanılmaktadır. 
Bu çalışmada dört kenarından ankastre olarak mesnetlenmiş katmanlı kompozit bir ince plağın temel denklemleri von Karman plak teorisi ve klasik katmanlama teorisi çerçevesinde elde edilmiştir. Gerinim-yer değiştirme ilişkileri (kinematik denklemleri), gerilme gerinim ilişkileri (bünye denklemleri) ile denge denklemleri yazılmıştır. Ardından, iş ilkesi kullanılarak hareket denklemleri elde edilmiştir. Hareket denklemleri plak düzleminin orta yüzeyi için ifade edildiğinden geometrik doğrusal olmayan plak davranışını belirlemek üzere birbirine bağlı üç denklem elde edilir. Doğrusal olmayan bu denklemler  Galerkin yöntemi kullanılarak çözülmüştür. Bu amaçla ankastre sınır şartlarını sağlayan deneme fonksiyonlarının toplamı şeklinde seçilen çözüm fonksiyonları oluşturulmuştur. Bu çalışmada tek terimli yaklaşım fonksiyonları ile daha iyi bir çözüm elde edebilmek için özellikle çökme fonksiyonunun deneysel sonuçlara daha iyi uyumunu sağlayacak bir deneme fonksiyonu önerilmiştir. Yaklaşım fonksiyonları denge denklemlerinde yerine konarak Mathematica programı ile çözüm yapılmıştır. Problem aynı zamanda MSC Nastran sonlu eleman yazılımıyla da çözülmüştür. Bu amaçla Nastran sonlu eleman yazılımı belirlenen Patran 2010 ile modellediğimiz doğrusal olmayan statik çözümlerden yararlanılmıştır. Öncelikle Patran 2010 sonlu eleman modeli oluşturma programı ile plak dört katmanlı kompozit olarak modellenmiş geometrisi 300 mm x 300 mm olarak belirlenmiştir. Plak orta yüzeyi 20x20=400 elemanla modellenmiştir. Plak etrafındaki tüm düğüm noktaları seçilerek yer değiştirme ve dönmeler sıfır yapılmış ve böylece plak dört kenarından ankastre olarak mesnetlenmiştir. Yükleme koşulları ise 500 N?a kadar artan değerlerle on farklı yük değeri düzgün yayılı yük olarak plak yüzeyine dağıtılmıştır. Yüklemeler toplam yük olarak çeşitli yükleme koşullarıyla girildiğinden analiz sonuçlarını karşılaştırma kolaylığı sağlamıştır. Analiz çeşidi, incelediğimiz plak modelini ifade etmek üzere, doğrusal olmayan statik seçilerek sonlu eleman modeli analize hazır hale getirilmiş ve SOL106 çözücü kullanılarak çözülmüştür. Analiz MD Nastran 2010.1 sonlu elemanlar analizi yazılımı ile gerçekleştirilmiş ve sayısal sonuçlar bölümünde sunulmuştur. Elde edilen sonuçlar deneysel sonuçlarla ve yaklaşık çözümle karşılaştırılmıştır. Malzeme değerleri kullanılan karbon için çekme testleri ile belirlenen değerler, kalınlık değeri ve malzeme yönelimleri girilmiş, plak katmanlaması ve yönelimleri girilmiştir. Çalışmanın deneysel kısmında karbon elyaf/epoksi kompozit bir plak dört katmanlı olarak imal edilmiş ve farklı yayılı yükler etki ettirilerek plak davranışı incelenmiştir. Deneysel çalışmada plağın çeşitli yükler altındaki sehimleri Limess firmasından tedarik edilmiş olan VIC3D cihazıyla ölçülmüştür. Bu cihazı kullanmadan önce yapılması gereken kalibrasyon ölçümleri yapılmış, ana plak üzerinden gerekli görüntü datalarıyla ilk görüntü yazılıma işlenmiş ve bu görüntü vasıtasıyla farklı düzgün dağılı basınç yükleri altında çeşitli görüntülerin elde edilmesiyle bu görüntüler arasında korelasyon işlemleri program vasıtasıyla başarılı bir şekilde tamamlanmıştır. Ayrıca bu incelemelerle beraber plak üzerinde çeşitli noktalardaki gerinimler gerinim ölçerler vasıtasıyla ölçülmüştür. En son olarak yapılan analiz sonuçları da gözönüne alınarak, bütün veriler arasında karşılaştırmalar yapılmış, çözüm yöntemi ve belirlenen yaklaşım fonksiyonunun doğruluğu değerlendirilmiştir.

Abstract:
Thin paries structures particularly thin plates and shells are come up in many major of technology, such as mechanical, marine, chemical, civil, aeronautical and astronautical engineering. Such a widespread use of plate and shell structures arises from their fundamental properties. When it is suitably designed, even very thin plates and especially shells, can support large loads and pressures. Thus, they are utilized in structures such as aerospace vehicles in which light weight is essential. 
This research is concerned with experimental and numerical investigation of a laminated composite plate subjected to uniform pressure load. If a weighted residual method with multi-term displacement functions is applied to obtain approximate solution to the problem, a tremendous number of integrations should be performed. Therefore, the limited number of approximation functions is used in the approximate solution to reduce the solution efforts and the selection of approximation functions is the crucial to obtain reliable results. 
In this study, the equations of motion are derived by the use of the virtual work principle in the frame of the von Kármán large deflection theory of thin plates. It is assumed that the plate is clamped at all edges. One-term approximation functions are defined for the in-plane displacements and two terms function is selected for the out-of-plane deflection. The form of out-of-plane displacement is determined by considering the experimental result of the deflection. 
Finite element method can be applied to many engineering problems that are governed by a differential equations and to supply finite element equations, they are needed a systematic approaches such as weighted residual method and energy method. 
Moreover, ordinary differential equations, especially fourth order equations, can be solved using method of the weighted residual and can be derived the element equations using Galerkin method for the finite element method. 
Thus, the approximate displacement functions are substituted into the equations of motion and then Galerkin method is used to obtain the nonlinear algebraic governing equations. When the governing differential equation is available to orthotropic plates, Galerkin?s method can be applied to any boundary condition of rectangular plates. Geometry is determined as 300 mm x 300mm. Beside, the load conditions are given as the values that ten different load increased from 50 N to 500 N and it is distributed on the plate surface. All of the nodes are chosen and the moment effect has been destroyed due to the fact that the plate is clamped at all edges. 
Approximate solution is a linear combination of trial functions. Accuracy depends on the choice of trial functions. The approximate solution must satisfy the essential boundary conditions. Galerkin uses n trial functions for weighted functions. It can be integrated by parts with reducing the order of differentiation in the axial displacement and applying natural boundary conditions. When the same order of differentiation for both trial function and approximation solution is substituted and written in matrix form, n equations with n unknown coefficients can be obtained. The equations are solved by the use of MATHEMATICA software and the equations can be arranged as well. 
Furthermore, the plate under the uniform pressure is modelled with MSC PATRAN and its geometry is determined as 300 mm x 300mm. The midplane of the plate is modelled with 20x20=400 elements. All of the nodes are chosen and the moment effect has been destroyed due to the fact that the plate is clamped at all edges. Beside, the load conditions are given as the values that ten different load increased from 50 N to 500 N and it is distributed on the plate surface. It is easy to understand and compare with ten different pressure load values. The analyse type, as defined that our plate model, is chosen nonlinear static finite element model and SOL106 problem solver is used as a solver type. Finally, modelled plate is solved using MSC NASTRAN 2010.1 finite element software and numerical values exported from PATRAN. Obtained values are prepared as compare of Galerkin and experimental results. 
In the experimental side of study, a laminated carbon/epoxy plate is produced by the wet-hand layup method and cured in a heated vacuum table. The fibers used in the plate have 00 - 900 orientation as plain fabric balanced. The carbon/epoxy plate that is used with material values and determined by tensile tests, the thickness value and carbon/epoxy fiber orientations are given and four layers of the plate and orientations are determined. Carbon/epoxy composite plate are produced with four layers and by the way the load conditions on the plate are given as the values that ten different load increased from 50 N to 500 N and it is distributed on the plate surface and it is easy to understand and compare with ten different pressure load values. 
In the experimental study, VIC3D digital image correlation device was used to obtain deformation behaviour of the plate under the uniform pressure load. Before VIC3D digital image correlation device is used, required correlation process is completed. It is accomplished that the snap-shot from the computer and analog devices. 
After the correlation process is accomplished, the base image is obtained and it is accepted as a reference image. It is used to compare with another images that is loaded with the values that ten different load increased from 50 N to 500 N and it is distributed on the plate surface. Therefore, visual effect are compared with them and the pure images are obtained from the VIC3D digital image correlation device. 
Finally, Numerical and experimental results of the analyses are compared for different uniform pressure load. A good agreement is found for the stress and strain variation on the plate on the different type of load.