Hareketli sınır değer problemlerinin nümerik çözümleri
Numerical solutions of the moving boundary problems
Yazar: HATİCE KARABENLİ
Danışman: DOÇ. DR. EMİNE NESLİGÜL AKSAN ; PROF. DR. ALAATTİN ESEN
İnönü Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2016
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, sonlu fark ve sonlu eleman yöntemleri genel hatlarıyla birlikte verildikten sonra spline fonksiyonlar, B-spline baz fonksiyonları ve Von-Neumann kararlılık analizi yöntemi verildi.
İkinci bölümde, Stefan problemleri genel olarak tanıtıldıktan sonra farklı başlangıç ve sınır koşullarıyla birlikte göz önüne alınan altı problem, varsa tam çözümleriyle birlikte ele alındı.
birlikte ele alındı.
Üçüncü, dördüncü ve beşinci bölümler bu tezin orijinal kısımlarını oluşturmaktadır. Üçüncü bölümde, variable space grid yöntemi üzerine kurulu kollokasyon sonlu eleman yöntemi kübik B-spline baz fonksiyonları kullanılarak oluşturuldu. Yöntem, altı farklı probleme uygulanarak sıcaklık dağılımı, hareketli sınırın yeri ve hızı için nümerik çözümler elde edildi. Elde edilen sonuçlar, tam çözüm ve literatürdeki mevcut nümerik çözümlerle karşılaştırıldı ve hata normları verildi. Ayrıca oluşturulan sonlu eleman şemasının kararlılığı Von-Neumann kararlılık analizi yöntemi ile incelendi.
Dördüncü bölümde, boundary immobilisation yöntemi üzerine kurulu kollokasyon
sonlu eleman yöntemi kübik B-spline baz fonksiyonları kullanılarak oluşturuldu.
Yöntem, altı farklı probleme uygulanarak sıcaklık dağılımı, hareketli sınırın yeri ve
hızı için nümerik çözümler elde edildi. Bulunan sonuçlar, tam çözüm ve literatürdeki
mevcut nümerik çözümlerle karşılaştırıldı ve hata normları verildi. Ayrıca oluşturulan
sonlu eleman şemasının kararlılığı Von-Neumann kararlılık analizi yöntemi ile incelendi.
Beşinci bölümde, isotherm migration yöntemi üzerine kurulu kollokasyon sonlu
eleman yöntemi kübik B-spline baz fonksiyonları kullanılarak oluşturuldu. Isotherm
migration metodunun direkt olarak kullanılamadığı üç problem için uygun bir
dönüşüm kullanılarak yöntem, dört farklı probleme uygulandı. İzoterm (eşsıcaklık)
yerleri, hareketli sınırın yeri ve hızı için elde edilen nümerik çözümler tam çözüm ve
literatürdeki mevcut nümerik çözümlerle karşılaştırıldı ve hata normları verildi.
Altıncı bölümde, üçüncü dördüncü ve beşinci bölümlerde elde edilen nümerik
sonuçlar değerlendirildi.

Abstract:
This thesis consists of six chapters. In the first chapter, after giving finite difference
and finite element methods with general lines, spline functions, B-spline bases functions
and Von-Neumann stability analysis method are presented.
In the second chapter, after introducing the Stefan problems generally, six problems
which are considered with different initial and boundary conditions have been analyzed
with their existing exact solutions.
The third, fourth and fifth chapters of this thesis make up its original parts. In the
third chapter, collocation finite element method based on variable space grid method
is constructed using cubic B-spline bases functions. Numerical results for temperature
distribution, the position and velocity of moving boundary are obtained by applying
the method to six different problems. The obtained numerical results are compared
with the exact solutions and the other numerical results existing in the literature and
the error norms are given. Also stability analysis of generated finite element methods
are investigated with Von-Neumann stability analysis method.
In the fourth chapter, collocation finite element method based on boundary
immobilisation method is constructed using cubic B-spline bases functions. Numerical
results for temperature distribution, the position and velocity of moving boundary are
obtained by applying the method to six different problems. The obtained numerical
results are compared with the exact solutions and the other numerical results existing
in the literature and the error norms are given. Also stability analysis of generated
finite element methods are investigated with Von-Neumann stability analysis method.
In the fifth chapter, collocation finite element method based on isotherm migration
method is constructed using cubic B-splines. For the three problems which isotherm
migration method can't be used directly, by using a suitable transformation, the
method is applied to four different problems. Numerical solutions obtained for the
locations of isotherms, the position and velocity of moving boundary are compared
with the exact solutions and the other numerical results existing in the literature and
the error norms are given.
In the sixth chapter, the numerical results obtained in the third, fourth and fifth
chapters are evaluated.