T0-metrikimsi uzayların simetrisizliğine yaklaşım teorileri
Theories of approximation to the asymmetry of t0-quasi-metric spaces
Yazar: NEZAKAT JAVANSHIR
Danışman: PROF. DR. FİLİZ YILDIZ
Hacettepe Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Topoloji Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2021
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezin amacı; metrik olmayan ve asimetrik uzaklık fonksiyonları olarak da bilinen T0-metrikimsilerin simetrisizliğine yani, T0-metrikimsilerin bir metrik olmaya ne kadar yakın ya da uzak olduğunu belirlemeye yönelik çeşitli özgün metriksel yaklaşım teorilerini, asimetrik ortama özgü biçimde inşa etmektir.


 Altı bölümden oluşan tez çalışmasının birinci bölümünde, dayandığı temel fikirlerden söz edilerek tezin konusuna giriş yapılmıştır.

T0-metrikimsilerin bazı temel özellikleri ile bu ortamda geliştirilmiş olan çeşitli asimetrik yapılar ikinci bölümün ilk kısmında hatırlatılmış, sonrasında bu yapılardan elde edilen yeni  sonuçlar  sunulmuştur. Bu bölümün son kısmı ise, tüm özellikleri detaylarıyla incelenen ve tez boyu kullanacağımız çeşitli T0-metrikimsi uzay örneklerine adanmıştır.

Metriğin simetri özelliği göz önüne alınarak, T0-metrikimsi uzayın noktalarının birbirlerine olan uzaklıklarına, bu noktalar arasındaki diğer noktalar ile kurulan simetrik-antisimetrik yollar aracılığıyla yaklaşım yapmayı sağlayan, daha önce tanımlanmış simetrik-antisimetrik bağlantılılık teorileri, bu tezin temel tabanını oluşturmaktadır. Tezin üçüncü bölümünde, öncelikle bu teorilerin detayları hatırlatılarak, ikinci kısımda, ilgili teoriler çerçevesinde elde ettiğimiz yeni sonuçlar ve örneklere değinilmiştir.

 Dördüncü bölümde, diğer bir özgün çalışma olarak;  T0-metrikimsi uzaylar için simetrik ve antisimetrik bağlantılı genişleme teorileri inşa edilmiştir. Özellikle, her sınırlı T0-metrikimsi uzayın, bir simetrik bağlantılı tek-nokta genişlemeye ve her metrik uzayın, bir antisimetrik bağlantılı tek-nokta genişlemeye sahip oldukları kanıtlanmıştır. Ayraca, ``Her T0-metrikimsi uzay, antisimetrik bağlantılı genişlemeye sahip midir? " sorusu incelenmiş, ve farklı koşullar içeren teoremlerin yanı sıra, (ters) örnekler aracılığıyla bu soruya olumlu yanıtlar verilmiştir.

 Simetrisizliğe bir diğer yeni yaklaşım olarak, topolojik açıdan yaklaşım, beşinci bölümde ele alınmıştır. Bu çerçevede, simetrik ve antisimetrik bağlantılılık teorilerinin, T0-metrikimsinin simetrizasyon topolojisine göre doğal yerelleştirmeleri olan yerel simetrik ve yerel antisimetrik bağlantılılık teorileri inşa edilmiştir. Yerel (anti)simetrik bağlantılı uzayların diğer yapılar ile ilişkileri, altuzaylarda kalıtsallıkları, çarpımları, vs... gibi tüm özellikleri, ilk iki alt bölümde detaylarıyla araştırılmış ve örnekler yardımı-yla kullanışlı bir çok sonuca ulaşılmıştır.

Bu bölümün son kısmında ise, T0-metrikimsiler üreterek, bunların asimetrik topoloji içerisindeki gelişiminde kilometre taşı olan asimetrik norm teorisi, T0-metrikimsilerin simetrisizliğine yaklaşmak amacıyla alternatif bir diğer çalışma ortamı olarak ele alınmıştır.

 Tezde elde edilen bulguların ve ileriye dönük çalışma konusu olabilecek açık soruların sunulduğu son bölüm ile tez tamamlanmıştır.

Abstract:
The aim of this thesis is to construct various original metric approach theories specific to the asymmetric environment for the asymmetry of T0-quasi-metrics, non-metrics and also known as asymmetric distance functions, that is, to determine how close or far T0-quasi-metrics are from being a metric.

In the first  chapter  of the thesis, which consists of  six  chapters, the main ideas on which it is based are mentioned and an introduction to the subject of the thesis is made.

Some of the basic features of T0-quasi-metrics and various asymmetric structures developed in this environment are reminded in the first part of the second chapter, after that the new results obtained from these structures are presented in the second part. The last part of this chapter is devoted to various examples of T0-quasi-metric spaces, are studied in detail which we will use throughout the thesis.

 Considering the symmetry feature of the metric, the previously defined symmetric-antisymmetric connectedness theories, which enable the approximation of the distances of the points of the T0-quasi-metric space to each other, through the symmetric-antisymmetric paths established with the other points between these points, form the basis of this thesis. In the third chapter of the thesis, firstly the details of these theories are reminded, and in the second part, new results and examples that we have obtained within the framework of the relevant theories are mentioned.

In the fourth chapter, as another original work; the theories of  symmetric and antisymmetric connection extensions  are  established  for a T0-quasi-metric space. In particular, it is proved  that every bounded T0-quasi-metric space has a symmetrically connected one-point extension, and every metric space has an antisymmetrically connected one-point extension. Also, ``Does every T0-quasi- metric space have an antisymmetrically connected extension?" question is investigated, and the positive answers are given to this question by means of (counter)examples as well as theorems involving different conditions.

As another new approach to asymmetry, the topological approach is discussed in the fifth chapter. In this framework, local symmetric and local antisymmetric connectedness theories, which are natural localizations of symmetric and antisymmetric connectedness theories according to the symmetrization  topology of T0-quasi-metric, are constructed. All the properties of locally (anti)symmetrically connected spaces such as their relations with other structures, their inheritance in subspaces, products, etc. have been investigated in detail in the first two subsections, and many useful results have been reached with the help of examples.


In the last part of the fifth chapter, asymmetric norm theory, which is a milestone in their development in asymmetric topology by producing T0-quasi-metrics, is considered as another alternative working environment in order to approach to the asymmetry of T0-quasi-metrics.

The thesis is completed with the last chapter, in which the findings obtained in the thesis and open questions that could be the subject of future study   are   presented.