Düzlemsel lineer uzaylar üzerine
On the planar spaces
Yazar: ŞERİF MERCAN
Danışman: YRD. DOÇ. DR. İBRAHİM GÜNALTILI
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Geometri Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2009
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Lineer uzaylar, üzerinde bulunma geometrisinin temel objeleridir. Projektif veafin uzaylar lineer uzayların en belirgin örneklerindendir. Bunların bilinen birçokkarakterizasyonu vardır. F.Buekenhout ve P. Cameron tarafından bazıkarakterizasyonlar yapılmıştır. Yeni bir karakterizasyon olarak Biondi ve Durantetarafından da afin 3-uzaylar düzlemsel uzaylar olarak karakterize edilmiştir. Düzlemseluzayların en belirgin örnekleri projektif ve afin uzaylardır. Düzlemsel uzaylardaprojektif ve afin uzayların birçok karakterizasyonu elde edilmiştir. Örneğin Veblen-Young tarafından yapılan karakterizasyonda eğer bütün düzlemler projektif düzlem iseprojektif uzay elde edilmekte veya bütün düzlemler afin düzlemler ve doğrularındamertebesi en azından 4 ise afin uzay elde edilmektedir.Biz bu tezde yeni örnekler ve çalışmalarla afin3-uzayları düzlemsel uzaylarolarak karakterize ettik.İlk bölümde, bir sonraki bölümde gerekli olan bazı tanım ve teoremlerverilmiştir; ilk olarak lineer uzaylarla ve ikinci olarak da afin ve projektif uzaylarlailgili tanım ve teoremler verilmiştir.İkinci bölümde ilk olarak düzlemsel lineer uzaylarla ilgili temel sonuçlarverilmiştir. İkinci olarak sonlu 3 boyutlu afin uzayları(1) Her doğrusu n ? 2 olmak üzere n noktalı(2) Doğrudaş olmayan her nokta üçlüsü ? nın bir tek elemanı içinde(3) ? nın elemanlarının çakışık ya da ayrık olması ? üzerinde bir denklikbağıntısıdır. Her denklik sınıfı bütün noktalarını kapsayan bir denklikbağıntısıdır.özelliklerine sahip has alt uzaylarının ? kümesi ile belirli lineer uzaylar olarakkarakterize edildi.Daha sonra bu sonuç en az üç boyutlu ve en az 3 doğru dereceli bütün afin uzaylarınkarakterizasyonlarına genelleştirildi.Anahtar Kelimeler: Düzlemsel uzaylar, Projektif uzaylar, Afin uzaylar, Lineer uzayla

Abstract:
Linear spaces are the fundamental objects of the incidence geometry. Projectiveand affine spaces are the prominent examples of linear spaces. They have beenextensively studied and a lot of characterizations are known. Some characterizationswere done by F.Buekenhout and P. Cameron. Affine 3-spaces were also characterizedas planar linear spaces by Biondi and Durante. The most prominent examples of planarspaces are the projective and affine spaces. Many characterizations of projective andaffine spaces in terms of planar spaces have been obtained. For instance, if all planes areprojective planes, then we have a projective space or if all planes are affine planes andlines have size at least four, then we have an affine space in the characterizations madeby Veblen-Young.Affine 3-spaces are characterized as planar linear spaces by investigatingrelations between affine 3-spaces and planar linear spaces in this thesis.In the first chapter, some definitions and theorems needed in the next chaptersare given. First of all, some definitions and theorems about linear spaces and secondaffine and projective spaces are given.In the second chapter, main results about planar linear spaces are given. Second,we characterize finite three-dimensional affine spaces as the only linear spaces endowedwith the set ? of proper subspaces having the properties(1) Every line contains a constant number of points, say n , with n ? 2(2) Every triple of noncollinear points is contained in a unique member of ?(3) Disjoint or coincide is an equivalence relation in ? with the additionalproperty that every equivalence class covers all points.We generalize our result in the case of dimension greater than three to obtain acharacterization of all finite affine spaces of dimension at least 3 with the lines of size atleast 3.Keywords: Planar spaces, Projektif spaces, Affine spaces, Linear spaces.