Minimal yüzeylerin harmonik fonksiyonlarla karakterizasyonu
Characterization of the minimal surfaces by the harmonic mappings
Yazar: MÜGE ÖKTEM
Danışman: YRD. DOÇ. DR. HAKAN METE TAŞTAN
İstanbul Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2011
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez çalışmasının amacı, izotermal parametrelerle verilen bir minimal yüzeyi yalınkat harmonik fonksiyonla temsil etmek ve belirli tipteki minimal yüzeylerin Weierstrass-Enneper parametrelerinin ve Gauss eğriliğinin distorsiyon eşitsizliklerini vermektir.Beş bölümden oluşan bu tezin birinci bölümü; minimal yüzey teorisi ve harmonik fonksiyonlar teorisi üzerine yapılmış çalışmaların tarihçesine ayrılmıştır.İkinci bölüm; sekiz alt bölümden oluşmaktadır. Bölüm 2.1. de, teki bir yüzeyin temel kavramları verilmiştir. Bölüm 2.2. de, kompleks fonksiyonlar teorisinin temel tanım ve teoremleri verilmiştir. Bölüm 2.3. de, izotermal parametrelerle verilen minimal yüzeyler incelenmiştir. Minimal yüzeylerin Weierstrass-Enneper gösterimi Bölüm 2.4. de ve iyi bilinen minimal yüzey örnekleri Bölüm 2.5. de verilmiştir. Minimal yüzeylerin Gauss eğriliği Bölüm 2.6. da incelenmiştir. Tezin asıl kısmı Bölüm 2.7. de verilmiştir. Bu bölümde bir minimal yüzeyin bir yalınkat harmonik dönüşümle temsil edilebilmesi için gerek ve yeter koşul verilmiştir. Asıl amacımıza ulaşmakta kullanacağımız bazı harmonik fonksiyon sınıfları Bölüm 2.8. de verilmiştir.Üçüncü bölümde; verdiğimiz ispatları hangi araçlar üzerinden, nasıl yaptığımız özetlenmiştir.Dördüncü bölümde; analitik kısmı sırasıyla yıldızıl, konveks olan yalınkat harmonik fonksiyonlara karşılık gelen minimal yüzeylerin Weierstrass-Enneper parametrelerinin ve Gauss eğriliğinin distorsiyon eşitsizlikleri kanıtlanmıştır.Beşinci bölümde ise; elde edilen bulgular ile ilgili bir değerlendirme yer almaktadır.

Abstract:
The aim of this thesis is to represent a minimal surface in isotermal parameters by harmonic functions and to give distortion inequalities of Weierstrass-Enneper parameters and Gaussian curvature of a certain type of minimal surface.This thesis consists of five parts. In the first part historical knowledge of the investigation of minimal surface and harmonic functions is presented.The second part includes eight sections. In Section 2.1., the fundamental concepts of a minimal surface in are given. In Section 2.2., the fundamental definition and theorems of the theory of complex functions are given. In section 2.3., minimal surfaces in isotermal parameters are investigated. Weierstrass-Enneper representation of a minimal surface is given in Section 2.4. and the well-known examples of minimal surfaces are represented in Section 2.5. In Section 2.6., the Gaussian curvature of a minimal surface is investigated. Main part of this thesis is given in Section 2.7. In this section, the necessary and sufficient condition for a minimal surface can be represented by harmonic function is given. In Section 2.8., some classes of harmonic functions which are used to arrive our main aim are given. In the third part, it is summarized how the proofs are done with respect to the tools used.The fourth part contains, the proofs of distortion inequalities of Weierstrass-Enneper parameters and Gaussian curvature of minimal surfaces corresponding to univalent harmonic functions whose analytic part is starlike and convex respectively.An evaluation of this thesis is placed in the fifth part.