Kesirli mertebeden difüzyon denklemi için başlangıç sınır değer probleminin çözümü
On the solution of initial boundary value problem for space-fractional diffusion equation
Yazar: GAMZE LÜLECİ
Danışman: DOÇ. DR. ALİ DEMİR
Kocaeli Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2019
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Son yıllarda, matematik literatüründe 300 yılı aşkın bir süredir var olan kesirli mertebeden türev ve integral kavramlarının, sistem modellemeden kontrolör tasarımına, elektrokimya, biyomühendislik, biyoﬁzik, ﬁzik, mekanik-mekatronik gibi mühendisliğin ve matematiğin birçok alanında uygulanmaktadır.
Bu çalışmada öncelikle 19. yy. da ortaya atılan ve literatürde sıklıkla kullanılan Riemann-Liouville kesirli mertebeden türev tanımı verilmiştir. Ayrıca Riemann-Liouville kesirli mertebeden türev tanımının Laplace dönüşümünde ortaya çıkan sorunlarını gideren literatürde önerilmiş Caputo kesirli mertebeden türev tanımı verilmiştir. Riemann Liouville ve Caputo türevlerinin cebirsel özellikleri, sonsuz serilere uygulanabilirliği gösterilmiş, Riemann ve Caputo türevlerinin birbirine denkliği incelenmiştir. Daha sonra kesirli mertebeden diferansiyel denklemlerin analitik çözümleri incelenmiş, özellikle ayrılabilir kesirli mertebeden diferansiyel denklemler üzerinde durulmuştur. 
Son olarak da bu tez çalışmasında kesirli mertebeden difüzyon denklemi için sonlu aralıkta sınır değer problemleri çözümüne yer verilmiştir. Bu kapsamda, λ özdeğerlerine karşılık gelen bir özfonksiyon elde edilmiş ve sistemi sağlayan genel çözüm bulunmuştur. Ardından çalışılan sınır değer problemiyle ilgili uygulama gerçekleştirilmiştir.

Anahtar Kelimeler : Başlangıç Sınır Değer Problemi, Caputo Kesirli Türevi, Kesirli Mertebeden Difüzyon Denklemi, Mittag-Leffler Fonksiyonu.

Abstract:
In recent years, the fractional order of derivative and integral concepts, which existed in the mathematical literature for more than 300 years, have been applied in many areas of engineering and mathematics such as electrochemistry, bio-engineering, bio-physic, mechanical, mechatronics, controller design, system modeling.
In this study, firstly, Riemann-Liouville fractional order derivative which was introduced in 19th century was used. In addition, the definition of Riemann-Liouville fractional order derivative of the definition of the Laplace transformation of the problems that arise in the literature suggested the definition of Caputo fractional order derivative. The algebraic properties of Riemann Liouville and Caputo derivatives, their applicability to infinite series, and the equivalence of Riemann and Caputo derivatives have been investigated. Then, analytical solutions of fractional order differential equations have been examined, especially separable fractional differential equations have been studied.
Finally, in this thesis, the solution of the boundary value problems in a range for the fractional order diffusion equation is given. In this context, eigenfunctions corresponding to the eigenvalues λ is obtained and a general solution to the system is found. Then, the boundary value problem which is related to its application has been solved.

Keywords: Initial-Boundary-Value Problem, Caputo Fractional Derivative, Space-Fractional Diffusion Equation, Mittag-Leffler Function.