Tekil ve yüksek salınımlı problem uygulamalarının hesaplanması için sayısal algoritmalar
Numerical algorithms for the computation of singular and highly oscillatory problems with applications
Yazar: IDRISSA KAYIJUKA
Danışman: PROF. DR. FATMA SERAP TOPAL ; DOÇ. DR. ALİ KONURALP
Ege Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2021
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Hızlı salınımlı integraller, kuantum kimyası, elektrodinamik, görüntü analizi ve bilgisayarlı tomografiden akışkanlar mekaniğine kadar birçok disiplinde önemli bir zorluk olarak kabul edilir. Bu integraller, integrantında eşzamanlı olarak frekans yüksek olduğunda ve integrasyon  aralığının uç noktasında tekillikler içerdiğinde hesaplamak için daha fazla zorluk çıkarmaktadır. Bu tezde, yüksek salınımlı çekirdekli tekil integral denklemlerin verimli bir şekilde hesaplanması için dikkat çekici özellikleri ile algoritmalar geliştiriyoruz öyle ki bu algoritmalar  yüksek frekansta bile yüksek doğruluğa sahip olmaktadır.
Burada, integrallerin ortogonal polinomlar ve/veya terim terim özel fonksiyon serileri ile kesildiği Clenshaw-Curtis algoritmaları incelenmiştir. Daha sonra farklı tekillik çeşidine sahip integraller rekürans bağlantıları ile kompleks düzlem tabanlı yöntem kullanılarak hesaplanır. Bu rekürans bağlantılarının kararlılığı ve kuadratür kurallarının hata analizi verilir. Ayrıca, sunulan algoritmaların etkinliğini göstermek için sayısal örnekler de verilmiştir.
Bu tez aynı zamanda logaritmik, Cauchy-logaritmik ve Hipersingüler-logaritmik tip tekilliklere sahip integrallerin hesaplanması için çizgi integrallerinin toplamına dayanan bir yöntem sunar. Orijinal integrali pozitif yarı sonsuz bir aralıkta çizgi integrallerinin toplamına dönüştürdükten sonra, Gauss-bağlantılı kuadratür kuralları oluşturulur. Burada temel matematiksel araç moment bilgilerinin kullanılmasıdır. Gautschi logaritmik ağırlık fonksiyonuna göre ortogonal polinomu sağlayan üç-terimli rekürans bağlantılarının katsayılarını üretmek için algoritmalar incelenmiştir. Ayrıca, teorik analizimizi doğrulamak için sayısal örneklerin sonuçları verilmiştir.

Abstract:
Integrals with rapid oscillation are considered a significant challenge in many disciplines, ranging from quantum chemistry, electrodynamics, image analysis, and computerized tomography to fluid mechanics. These integrals exhibit more difficulties to compute when concurrently in the integrand, the frequency becomes high and contains singularities at the endpoint of the integration interval. In this thesis, we develop algorithms for efficient computation of singular integral equations with highly oscillatory kernels that share astonishing characteristics; that is, the larger the frequency, the higher the accuracy. 
Herein, Clenshaw-Curtis algorithms are studied in which integrands are truncated by orthogonal polynomials and/or special function series term by term. Then their singularity types are computed using either recurrence relations or the complex-based method. Stability of those recurrences relations and error analysis of the rules are obtained. Besides, numerical examples are given to show the effectiveness of the presented algorithms.
This thesis also presents a method based on the sum of line integrals for the first computation of logarithmic, Cauchy-logarithmic, and Hypersingular-logarithmic type singularities. After transforming the original integral into a sum of line integrals over a positive semi-infinite interval, Gauss-related quadrature rules are constructed. The vehicle utilized is the moment's information. Algorithms to produce the three-term recurrence relation coefficients that satisfy orthogonal polynomial with respect to Gautschi logarithmic weight function are investigated. Moreover, the results of numerical experiments are given to substantiate our theoretical analysis.