Kapalı bir bölgedeki sıkıştırılamaz kararlı akışın sayısal çözümleri ve kararlılık özellikleri
Numerical solutions and stability properties of 2-d steady incompressible driven cavity flow
Yazar: SERPİL ŞAHİN
Danışman: PROF. DR. HÜSEYİN DEMİR
Ondokuz Mayıs Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2014
Konu: Makine Mühendisliği = Mechanical Engineering ; Matematik = Mathematics
Dizin: Akış denklemleri = Flow equations ; Akışkanlar mekaniği = Fluid mechanics ; Doğal konveksiyon =

Özet:
Bu çalışmada, kapalı çukur bir bölgede üst duvar hareketi veya sıcaklık değişimi ile oluşan akışkan hareketindeki akış özellikleri iki boyutlu, kararlı ve sıkıştırılamaz akışkanlar için iki kısım halinde incelendi. Uygun başlangıç ve sınır koşulları ile birlikte kararlı akış durumunda süreklilik, momentum ve enerji denklemlerini çözmek için sözde zaman parametresi kullanıldı. Böylece akış hareketini temsil eden lineer olmayan, akım ve girdap formülasyonlu kısmi türevli denklem sistemi, sonlu farklar ile ayrıştırılıp Gauss yok etme metodu kullanılarak sayısal olarak çözüldü. Yapışkan akışlar için akım fonksiyonu, girdap ve sıcaklık sonuçları alındı. Bu sonuçlar hem tablo hem de şekilsel olarak sunuldu. Bu çalışmadaki çözümler, her bir denklem için çok noktalı ızgara ağında sözde zaman parametresine bağlı olarak adım adım iki adet tridiagonal (üç bantlı) sistem yardımıyla elde edildi. Bu sistemin avantajı, akış probleminin çözümünü yüksek doğrulukta ve etkili bir biçimde bulunmasını sağlamasıdır.
Bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır. 
Birinci bölüm olan giriş ve literatür araştırması bölümünde, üst duvar hareketi veya sıcaklık değişimi ile oluşan akış problemleri için geniş bilgiler verildi. İkinci bölüm olan genel bilgiler bölümünde, önemli tanım ve kavramlar tanıtıldı. Üçüncü bölüm olan materyal ve metot bölümünde, tezde ele alınan probleme ilişkin uygulanan yöntemler hakkında bilgi verildi. Dördüncü bölüm olan bulgular bölümü tezin orijinal kısmıdır. Bu bölüm iki kısımda verildi. İlk olarak üst duvar hareketli çukur bölgede kararlı, sıkıştırılamaz yapışkan akışın davranışı, farklı Reynolds sayılarına göre inceledi. Newtonyen akışkanın Re<5000 değeri için elde edilen sonuçları literatürde mevcut olanlar ile gayet uyumludur. Fakat Newtonyen olmayan yapışkan akışlar için sayısal sonuçlar ilk defa verildi. Bu sonuçlar Re<2000 için alınmış olup daha büyük Reynolds sayıları için akış kararlılığının bozulduğu görüldü. İkinci olarak ise, farklı Rayleigh sayıları için,  alttan ısıtılan çukur bölgedeki doğal taşınım ve Rayleigh-Benard problemi de bu metotla ilk defa incelendi. Elde edilen sonuçların kararlı ve yakınsak olduğu görüldü. Son olarak sonuç ve öneriler bölümü bu problemle ilgili gelecekteki çalışmalar için önerileri kapsar.
Anahtar Kelimeler: Sonlu Fark Metodu; Doğal Taşınım Problemi; Rayleigh-Benard Problemi; Sözde Zaman Parametresi; Newtonyen Olmayan Yapışkan Akış.

Abstract:
In this study, we consider the analysis of the stability and flow properties of viscous fluid motion generated by either top wall motion or thermal gradients in an enclosed cavity region. In particular, two different works have been considered for the investigations which are the wall and thermally driven cavity flows of the 2-D steady incompressible flows. Pseudo time derivative is used to solve the continuity, momentum and energy equations with suitable initial and boundary conditions. Therefore, the governing equations of fluid of vorticity-stream function formulations are solved numerically using finite difference method. The stream function, vorticity and temperature results are obtained for the steady two-dimensional viscous incompressible flow. These results are presented both in tables and figures. The stream function, vorticity and energy equations are solved separately with the numerical solution method used in this study. Each equation with pseudo time parameter on very fine grid mesh is solved step by step with a pair of tridiagonal system. The advantage of this process is that it gives the solution of the flow problems effectively and accurately.
This study consists of five sections. 
At the beginning of the first section, the historical evaluation of the investigations related with the 2-D steady state, incompressible flow problems which occur with either top wall moves or thermal gradients on the enclosed cavity are summarised. In the second section, the basic definitions and fundamental concepts are introduced. In the third section, the information related to the problem and methods used in this study is provided. The fourth section is designed as the original part of this thesis. It is divided into two parts. In the first part, the behaviour of the steady, incompressible viscous flows in a cavity with moving top wall is investigated with various Reynolds number. The results for Newtonian fluid when Re<5000 can be found in the literature. We note that, the numerical results for non-Newtonian viscous flows are given for the first time in this thesis. These results are obtained for Re<2000. When the Reynolds numbers increase, instability occurs in the flow domain through the inertia effect. In the second part, the natural convection and the Rayleigh-Benard problems in a horizontal enclosure of square cross section heated from below are studied. The flow behaviour in the square cavity is examined for various Rayleigh numbers by using pseudo time parameter in the flow equations for the first time. The results obtained are found to be stable and convergent. The final section provides suggestions for future studies regarding the use of the results obtained in this thesis.
Key Words: Finite Difference Method; Natural Convection Problem; Rayleigh-Benard Problem; Pseudo Time Parameter; Non-Newtonian Viscous Flow.