Graflarda zedelenebilirlik ölçümleri
Vulnerability parameters in graphs
Yazar: GÖKŞEN BACAK TURAN
Danışman: PROF. DR. ALPAY KIRLANGIÇ
Ege Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2010
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bir İletişim ağında, belli merkezlerin ya da bağlantıların zarar görmesinden sonra, iletişim kesilene kadar geçen süredeki ağın dayanma gücünün ölçümüne, zedelenebilirlik değeri denir. Bir iletişim ağı, zedelenebilirlik değerinin belirlenebilmesi için, merkezleri bir grafın tepelerine, bağlantıları grafınayrıtlarına karşılık gelecek şekilde bir graf ile modellenir.Bir iletişim ağının sadece merkezlerinin bozulmasıyla zarar gören bir iletişim ağını modelleyen bir $G$ grafının zedelenebilirliğini ölçmek için, tepe bağlantılılık sayısı, tepe bütünlük değeri, toughness değeri, scattering sayısı, tenacity değeri, rupture sayısı gibi ölçümler tanımlanmıştır. Bu ölçümlerin her biri, bir G grafının tepelerinin atılması sonucunda elde edilen zedelenebilirlik değerini vermekte olup, ayrıca bu ölçümlerin bazılarının ayrıt uyarlaması da tanımlanmıştır. Ancak, bir iletişim ağının bazı merkezlerinin bozulması sonucunda, bu merkezlere bitişik olan merkezlerin de işlevini yitirdiği ağlar ele alınınca bu ölçümlerinkomşuluk uyarlaması ortaya çıkmıştır. Böylece, bir G grafının komşu bağlantılılık sayısı, komşu bütünlük değeri ve komşu scattering sayısı tanımlanmıştır.Bu tezde, 1. bölümde zedelenebilirlik kavramı ile ilgili temel tanım ve bilgiler verilmiştir. 2. bölümde G^{-+-}, G^{+--}, G^{++-}, G^{---}, G^{+-+}, G^{-++}, G^{--+} ve G^{+++} transformasyongrafları hakkında bilgi verilmiş ve bu grafların komşu bütünlük değerleri incelenmiştir. 3. bölümde rupture derecesi ele alınmış ve çeşitli graf parametreleri ile arasındaki ilişkiler ortaya konmuştur. Ayrıca k-ary tam ağaçlar ve bunlar üzerinde yapılan çeşitli işlemler sonucunda elde edilen grafların rupture dereceleriaraştırılmıştır. Son bölümde, 2. ve 3. bölümlerdeki parametrelerin ışığı altında, yeni bir zedelenebilirlik ölçümü olarak bir G grafının komşu rupture derecesi tanımlanmıştır. Ardından, özel grafların komşu rupture derecesi hesaplandıktan sonra, bu ölçüm için bazı alt ve üst sınırlar verilmiştir. Son olarak, k-ary ağaçların komşu rupture derecesi ele alınmıştır.

Abstract:
In a communication network, the vulnerability measures the resistance of the network to disruption of operation after the failure of certain stations or communication links. A communication network is modelled by a graph to measure the vulnerability as stations corresponding to the vertices and communication links corresponding to the edges.Some parameters are defined such as connectivity, integrity, toughness, scattering number, tenacity and rupture degree, to measure the vulnerability of a graph G modelling a network which is disrupted after the failure of certain stations. Each parameter measures the vulnerability of a graph after the removal of some vertices, and also edge analogs of some of the parameters are defined. However, regarding the adjacent stations that lose their function, as a consequence of the failure of the certain stations ofnetwork, the neighbor concepts of these parameters are emerged. Hence, the neighbor connectivity, neighbor integrity and neighbor scattering are defined.In this thesis, in section 1, the fundamental definitions and the notion of vulnerability are given. In section 2, the information about the transformation graphs G^{-+-}, G^{+--}, G^{++-}, G^{---},G^{+-+}, G^{-++}, G^{--+} and G^{+++} are given and neighbor integrity of these graphs areobtained. In section 3, rupture degree is covered and the relationships between rupture degree and other vulnerability parameters are analyzed. In addition, the rupture degree of complete k-ary trees and the graphs obtained by some graph operations on these trees are examined. In the final section, in the light of the parameters given in section 2 and 3, neighbor rupture degree is defined as a new vulnerability parameter. Then, the neighbor rupture degree of some graph families are attained and some lower and upper bounds for this parameter are given. Finally, the neighbor rupture degree of complete k-ary trees are obtained.