Sıçramalı diferensiyel denklemler ile modellenen bazı gerçek süreçlerin dinamiği
Dynamics of some real processes modeled by impulsive differential equations
Yazar: ŞERİFE YOLCU
Danışman: YRD. DOÇ. DR. DUYGU ARUĞASLAN ÇİNÇİN
Süleyman Demirel Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2015
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bazı süreçler dış etkenler sebebiyle anlık değişimlere maruz kalmaktadır. Bu süreçlerin modellenmesinde klasik adi diferansiyel denklemler yeterli olmamaktadır. Sisteme dışarıdan bir etki yapıldığı zaman bu etki sürecin durumunda sıçrama olarak adlandırılan anlık değişimlere sebep olmaktadır. Böyle süreçleri matematiksel olarak açıklamak için sıçramalı diferansiyel denklemler ile ifade edilen süreksiz yörüngelere sahip sistemler kullanılmaktadır. Sıçramalı diferansiyel denklemler uygulamalar açısından oldukça önemlidir. Son yıllarda, sıçramalı diferansiyel denklemler teorisi ve uygulamaları konusunda çok sayıda çalışma yapılmıştır. Gerçek süreçlerin sıçrama etkisi ile birlikte ele alınarak incelenmesi bu süreçlerin dinamiği ile ilgili gerçeğe daha yakın sonuçlar vermektedir.
Bu tezde, sıçrama etkili gerçek süreçlerin dinamiği incelenecektir. Böylece daha gerçekçi bir analiz yapılmış olacaktır. Ekoloji, biyoloji, kimya gibi alanlarda sıçramalı diferansiyel denklemler ile modellenen bazı gerçek süreçlerin kararlılığı araştırılacaktır.
Literatürde sıçraramalı diferansiyel denklemlerin kararlılığı ile ilgili birçok teorik sonuç 
elde edilmiştir. Bu tezde, teorik sonuçların gerçek yaşam problemlerine uygulanmasıyla sistemin parametrelerine bağlı koşulların elde edilmesi hedeflenmektedir. Sıçramalı diferansiyel
denklemleri çözmeden çözümler ile ilgili davranışlar ele alınacaktır.
Bu çalışmalar altı bölüm şeklinde sunulmuştur.
Birinci bölümde, adi diferansiyel denklemler ve sıçramalı diferansiyel denklemler ile ilgili genel bilgiler verilmiştir. Ayrıca, matematiksel modellemenin öneminden bahsedilerek uygun örnekler sunulmuştur.
İkinci bölümde adi ve sıçramalı diferansiyel denklemlerle ilgili yayınlanan kitap ve çalışmalar ile tezde yararlanılan kaynaklar belirtilmiştir.  
Üçüncü olarak, sıçramalı diferansiyel denklemlerde kararlılık ile ilgili teoremler verilmiştir. Önce sabit katsayılı lineer sıçramalı sistemler için kararlılık teoremleri daha sonra Lyapunov metodu ile ilgili kararlılık teoremleri ifade edilerek örnekler verilmiştir.
Dördüncü bölümde bazı skaler sıçramalı modeller ele alınmıştır. Bu modellerin denge noktalarının kararlılığı Lyapunov metodu ile incelenmiş ve bulunan sonuçlar modellerin parametrelerine bağlı olarak teorem şeklinde ifade edilmiştir. Daha sonra bazı sonuçlar MATLAB programı kullanılarak nümerik simülasyonlar ile desteklenmiştir.  
Beşinci bölümde iki boyutlu sıçrama etkili bir kimyasal reaksiyon modelinin kararlılığı ile ilgili çalışmalar yer almaktadır.
Son bölümde, sıçramalı diferansiyel denklemler ve yapılan çalışmalarla ilgili genel değerlendirmeler yapılmıştır.

Abstract:
Some processes are subject to sudden changes due to exterior effects. Classical ordinary differential equations are insufficient for modeling of these processes.  When a system is perturbed by exterior effects, an instantaneous change occurs in the state of the process observed in the form of impulses. In order to explain these processes mathematically, impulsive differential equations, also called differential equations with discontinuous trajectories are used. Impulsive differential equations play an important role in applications. In recent years, several results have been obtained in the theory of impulsive differential equations and their applications.  When a real process is investigated with impulse effects,  it represents a more natural framework for mathematical modeling of these processes.
In this thesis, dynamics of real processes under the impulse effect will be investigated. Therefore, more realistic analysis will be performed. Stability of some real processes modeled by impulsive differential equations in the areas such as ecology, biology, chemistry will be investigated. There exists an extensive literature  dealing with the theoretical results for stability of fixed points in impulsive differential equations. In this thesis, it is aimed to apply the theoretical results to the real life problems and obtain conditions based on the parameters of the system. Without solving the impulsive differential equations, behavior of solutions will be examined. 
These studies are presented in six chapters.
In the first chapter,  general concepts of ordinary and impulsive differential equations are given. Moreover,  importance of mathematical modeling is explained and appropriate examples are provided.
In the second chapter, references about ordinary and impulsive differential equations that are used in the thesis are explained. 
Thirdly, stability theorems for impulsive differential equations are provided. First, stability theorems for linear impulsive systems and later stability theorems by means of Lyapunov method are discussed with examples.
In the fourth chapter, some scalar impulsive models are handled. Stability of fixed points of these models are investigated through Lyapunov method and obtained results depending on the parameters of the models are stated as theorems. Later, some results are supported by numerical simulations using MATLAB program.
In Chapter 5, there exist studies on stability of a two-dimensional chemical reaction model impulsive effects.
Finally, general discussions on impulsive differential equations and on the research carried out are made.