Eğri eksenli çubukların analizi için kesin çözüm yöntemi ile sonlu eleman formülasyonu
Finite element analysis of curved beams using exact solution
Yazar: UĞURCAN EROĞLU
Danışman: PROF. DR. EKREM TÜFEKÇİ
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Makine Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Katı Cisimlerin Mekaniği Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2014
Konu: Makine Mühendisliği = Mechanical Engineering ; İnşaat Mühendisliği = Civil Engineering

Özet:
Eğri eksenli çubuklar, günümüzde makina, inşaat, uçak gibi mühendislik alanlarında ve endüstri kollarında yapısal eleman olarak kullanılmaktadır. Kullanım alanı bu kadar geniş olan bu yapıların statik ve dinamik problemleri birçok araştırmacı tarafından incelenmekte ve doğru çözüm yöntemleri elde edilmeye çalışılmaktadır.
Bu çalışmada, düzlemsel eğri eksenli çubukların düzlem iç ve düzlem dışı statik ve dinamik problemlerini çözmek üzere yeni bir sonlu eleman formülasyonu geliştirilmiştir. Bu formülasyon, çember eksenli ve sabit kesitli çubukların statik problemlerinin kesin çözümünden yola çıkılarak elde edilmiştir. Elde edilen rijitlik matrisi, yer değiştirme ve dönme ifadelerinin kesin çözümü kullanılarak elde edildiği için, bu yöntemin geleneksel sonlu eleman yöntemlerine göre oldukça iyi sonuç verdiği görülmüştür. Sabit kesitli ve çember eksenli çubukların statik problemlerinde, problemdeki bölge sayısı kadar eleman kullanılması halinde dahi kesin çözümle aynı sonuçlar elde edilebilmektedir. Ayrıca bu rijitlik matrisi, değişken kesitli ve değişken eğrilikli çubukların statik problemlerini çözmek için kullanılabilir. Kesidi ve eğriliği sürekli değişen çubuklar, sabit kesitli ve eğrilikli sonlu elemanlara bölünerek çözüm yapılabilir. Eleman sayısının artması ile sonuçtaki yakınsama incelenerek gerekli minimum eleman sayısını belirlemek mümkündür. Bu sayede, eksenel uzama ve kayma deformasyonu etkileri ihmal edilmeksizin yaklaşık bir çözüm elde etmek mümkündür. Sonuçlar hem literatürdeki sonuçlarla hem de sonlu eleman paket programlarından elde edilen sonuçlarla karşılaştırılmıştır.

Abstract:
Many structures in different fields of engineering such as mechanical engineering, civil engineering and aerospace engineering contains curved beam elements. Since they are essential for the design of such structures, static and dynamic analysis been an important subject in mechanics. 
In this study, a finite element approximation for static and free vibration problems of circular arches with continuously varying curvature and cross-section is presented. The governing differential equations of static problems of arches are solved exactly by using initial value method. The curvature and the cross-section of the arch are considered as variable. Also the cross-section of the beam is assumed to be doubly symmetric with respect to the axes describing the cross-section. With this assumption, it is possible to uncouple the in-plane and the- out-of-plane motion of a planar curved beam. The analytical expressions of the fundamental matrix are given for a circular arch with uniform cross-section. Using this fundamental matrix, a finite circular beam element formulation is obtained. The stiffness matrix and the load vector are obtained using force-displacement relatinos. To obtain the mass matrix, the kinetic energy equation including the rotatory inertias is used. Several examples are solved in order to validate the present method.