Bazı lineer olmayan kısmi türevli denklemlerin optik, soliton çözümleri ve kararlılık analizi
Optical, soliton solutions and stability analysis of some nonlinear partial differential equations
Yazar: HARUN BİÇER
Danışman: PROF. DR. MUSTAFA İNÇ ; DR. ÖĞR. ÜYESİ ABDULLAHİ YUSUF
Fırat Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez altı bölüm olarak hazırlanmıştır. İlk bölümde, konuya giriş yapılmış ve konunun tarihsel gelişimi hakkında teknik bilgiler detaylı olarak verilmiştir. İkinci bölümde, sonraki bölümlerde kullanılacak olan bazı temel tanım, teorem ve yöntem analizleri verilmiştir. Üçüncü bölümde, lineer olmayan optik fiberlerdeki darbe yayılımını tanımlayan coupled lineer olmayan denklemlerin tam hareket eden dalga soliton çözümleri, yeni alt denklem yöntemiyle incelenmiştir. Buradan bright, W-biçim bright, kink solitonların, trigonometrik ve tekil fonksiyon çözümleri elde edilmiş ve bu çözümlerin davranışları şekillerle betimlenmiştir. Ayrıca, eliptiklik açısı ve birleştirilmiş denklemin katsayısının etkisi altında Modülasyon kararsızlığı gain spektrumlarının davranışı incelenmiştir. Dördüncü bölümde, periyodik genel Degasperis-Procesi denkleminin bazı çözümleri araştırılmıştır. Denklem, Lie simetri yaklaşımı ile lineer olmayan adi diferansiyel denkleme indirgendikten sonra literatürde az rastlanan Nucci indirgeme metodu ile denklemin first integralleri ve tam çözümleri bulunmuştur. Öte yandan indirgenmiş adi diferansiyel denklemlerin bazı çözümleri özel durumlar için sinüs genişletme yöntemiyle türetilmiştir. Beşinci bölümde, Lie simetri ve Nucci yöntemiyle indirgeme yapılarak periyodik Hunter-Saxton denkleminin yeni çözümleri araştırılmıştır. Buradan iki avantajlı analitik çözüm yöntemi altında sunulan modelin her iki indirgemesi için de çeşitli tam çözümlere ulaşıldığı sonucuna varılmıştır. Elde edilen çözümlerin fiziksel özelliklerinin daha iyi anlaşılması için bazı grafikleri verilmiştir. Son bölümde ise elde edilen sonuçlar değerlendirilmiştir.

Abstract:
This thesis is set as six chapters. In first chapter, the topic is introduced and technical information about its historical development are told in detail. In second chapter, some fundamental definition, theorem and mathod analysis, which will be used next chapters are given. In the third chapter, the full moving wave soliton solutions of the coupled nonlinear equations describing the pulse propagation in nonlinear optical fibers are examined with the new sub-equation method, and as a result, trigonometric and singular function solutions of bright, W-shaped bright, kink solitons are obtained and behaviors of these results is illustrated by figures. Moreover, behavior of Modulation instability gain spectra under the influence of ellipticity angle and coefficient of coupled equation is investigated. In the fourth chapter, some solutions of the periodic general Degasperis-Procesi equation are investigated. After reducing the equation to nonlinear ordinary differential equation with Lie symmetry approach, first integrals and exact solutions were found with Nucci reduction method, which is rare in the literature. On the other hand, some solutions of reduced ordinary differential equations are derived by sine expansion method for special cases. In the fifth chapter, new solutions of the periodic Hunter-Saxton equation are investigated by reducing with Lie symmetry and Nucci method. Here it is concluded that we arrive at various exact solutions for both reductions of the model presented under the two advantageous analytical solution method. In order to better understand the physical properties of the solutions obtained, some graphs are given. In the last section, the obtained results are evaluated.