İnce cidarlı silindirik kompozit kabukların eksenel yükleme durumunda burkulma davranışlarının analitik ve sonlu eleman yöntemleri ile incelenmesi
Buckling analysis of composite thin-walled cylindrical shells under axially loading by analytical solution and finite element methods
Yazar: RAZI KALANTARI OSGOUEI
Danışman: PROF. DR. EKREM TÜFEKCİ
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Makine Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Katı Cisimlerin Mekaniği Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2015
Konu: Makine Mühendisliği = Mechanical Engineering

Özet:
Günümüzde karbon fiber malzemelerin önemi giderek artmaktadır. Bu malzemeler yüksek mukavemet gereken veya düşük yoğunlukları sayesinde hafiflik istenilen uygulamalarda tercih edilmektedirler.
Karbon fiber malzemelerin bazı avantaj ve dezavantajları bulunmaktadır. Hafiflik, yüksek mukavemet ve rijitlik, yüzey pürüzlülüğünün az olması avantajları arasında sayılabilir. Dezavantajları ise yüksek maliyet, üretim zorluğu ve boyut toleranslarının üretim metoduna bağlı olmasıdır.
Mühendislik tasarımlarında burkulma üzerinde dikkatle durulması gereken konulardan biridir. Malzemelerin burkulma mukavemetleri; çekme, basma, eğilme veya burulma gibi diğer mukavemetlerinden farklıdır. Çekme, basma, eğilme ve burulma mukavemetleri için malzemenin uygulanan kuvvete dayanıp dayanamayacağına bakılır. Bunun için malzemenin gerilme şekil değiştirme eğrisindeki akma mukavemetinin bilinmesi gerekmektedir. Malzemeye etkiyen kuvvete bağlı olarak mukavemet denklemlerinden oluşan gerilme değeri bulunmaktadır. Bu değer akma mukavemetiyle karşılaştırılıp malzemenin hasar alıp almadığı bulunur.
Malzemenin burkulma mukavemeti ise üzerinde oluşan gerilmeden bağımsızdır. Kritik burkulma kuvveti, malzeme geometrisine bağlı olarak değişmektedir. Çekme, basma, eğilme ve burulma mukavemetleri için limit değeri olan akma mukavemeti bir malzeme özelliğidir fakat burkulma mukavemeti için limit değeri olan kritik burkulma yükü, burkulma denklemleriyle hesaplanabilmektedir.
Ayrıca burkulma için önemli olan bir diğer durum ise burkulma hasarının malzemenin gerilme şekil değiştirme eğrisinde belirtilen elastik bölge içerisinde gerçekleşmesidir.
Çekme, basma, eğilme ve burulma mukavemeti problemlerinde malzeme kırılması, şekil değiştirme aşaması tamamlandıktan sonra gerçekleşmektedir. Bu nedenle malzeme kırılma belirtileri görülebilmektedir. İlk aşamada, uygulanan kuvvet arttıkça malzeme elastik olarak şekil değiştirmektedir, yani uygulanan kuvvetin kaldırılması sonucu malzeme ilk haline dönebilmektedir.
Eğer uygulanan kuvvet yeteri arttırılmaya devam edilirse, malzeme akma sınırına ulaşacaktır. Bu noktadan sonra malzemenin üzerindeki kuvvet kaldırılsa bile ilk boyutuna geri dönemeyecektir.
Akma sınırından sonra kuvvet arttırılmaya devam edilirse malzeme şekil değiştirmesi de artar ve çekme durumu için boyun verme durumu gözlenebilir. Bu durum malzeme kırılmasının da boyun veren bölgede oluşacağı göstermektedir.  Eğer uygulanan kuvvet arttırılmaya devam edilirse malzeme boyun veren bölgeden kırılıp hasar görecektir.
Çekme, basma, eğilme ve burulma durumları için kırılma belirtileri görülebilmesine rağmen burkulma problemlerinde hasar elastik bölgede oluştuğu için bu tarz belirtiler görülmemektedir ve kırılma bir anda gerçekleşmektedir. Bu yüzden burkulma problemlerine önem gösterilmesi gereklidir.
Burkulma çeşitlerine örnek olarak eksenel basma kuvveti, hidrostatik basınç, eğilme kuvveti veya burulma momenti altında burkulma verilebilir. Yani burkulma durumu sadece basma kuvveti altında gerçekleşmemektedir, diğer kuvvetler altında da gerçekleşebilmektedir.
Yapılan bu çalışma kompozit silindirik kabuk yapıların burkulmasıyla ilgilidir. Kabuk yapılar uygulamada birçok yerde kullanılmaktadırlar. Bu durum kabuk yapıların mukavemet analizlerini önemli kılmaktadır. Kabuk yapı teorileri, kiriş teorilerine kıyasla kullanılan diferansiyel denklemler ve çözümleri bakımından çok daha karmaşıklardır. Ayrıca karbon fiber gibi izotropik olmayan kompozit malzemelerin teorileri de daha karmaşık olmaktadır.
Karbon fiber lamina bir ortotropik malzemedir ve 6x6 rijitlik matrisi içerisinde 9 adet bağımsız malzeme sabiti bulunmaktadır. Yüzey gerilme yaklaşımı yapılarak bu durum basitleştirilebilir. Böylece malzeme rijitlik matrisi 3x3 boyutuna indirgenmektedir. Bu yaklaşım lamina kalınlığı çok az ve kalınlık doğrultusundaki gerilme değişimi ihmal edilebilecek düzeyde olduğu için uygulanabilmektedir.
Çalışmanın amacı aynı geometrik ve malzeme özellikleri için maksimum burkulma kuvvetini taşıyabilecek en uygun fiber açılarını analitik ve sonlu eleman yöntemleri yardımıyla bulmaktır.
Fiberlerin açı düzeni, bütün kuvvet koşullarında karbon fiber yapıların mukavemeti için önemli bir rol oynamaktadır. Eğer kuvvet doğrultusu ve lamina sayısı biliniyorsa, fiberlerin açı düzeni her lamina için bulunabilmektedir.
Burkulma durumunda, kuvvet koşulları önem kazanmaktadır. Çünkü fiber açıları kuvvet doğrultusu ile değişmektedirler. Bu durum burkulma modunun ve burkulma deformasyon şeklinin de değişmesine yol açmaktadır.
Bu çalışmada önemli bir diğer nokta ise yapının burkulmaya bağlı ya da akmaya bağlı olarak hasar aldığının belirlenebilmesidir.
Bu amaçla öncelikle maksimum burkulma kuvvetini taşıyabilen fiber açı düzeni hesaplanmıştır. Daha sonra Tsai - Hill hasar teorisi kullanılarak yapının akma sınırına bağlı hasar alıp almadığı araştırılmıştır. Bu şekilde yapının akmaya bağlı hasar almadığı, sadece burkularak hasar aldığı durumlar belirlenmiştir.
Analitik çözüm süreci için MATLAB sayısal hesaplama programından yararlanılmıştır. Programda kritik burkulma kuvvetinin hesaplanması için burkulma teorisindeki denklemler kullanılmıştır.
Fiber açı optimizasyonunu sağlamak için lamina sayısına bağlı olarak ve programda tanımlanan bir hassasiyetle rastgele bir açı matrisi oluşturulmuştur. Oluşturulan bu açı matrisi hassasiyet oranına bağlı olarak 0°  ile 90° arasında bütün açı kombinasyonlarını içermektedir. Açı matrisinin kolon sayısı oluşturulan açı düzenlerinin sayısı kadar olmaktadır. Bu açı düzenlerinin hepsi için ayrı olarak rijitlik matrisi ve burkulma kuvvetleri program tarafından hesaplanmıştır. Daha önce belirlenmiş olan malzeme geometrisi için maksimum burkulma kuvvetini veren açı düzeni belirlenmiştir. Bu açı düzeni malzemenin optimum açı düzeni olmaktadır.
Daha sonra malzemenin Tsai – Hill hasar teorisi kullanılarak akmaya bağlı olarak hasar alıp almadığı kontrol edilmiştir. Böylece akmaya bağlı hasar alan durumlar elenmiş ve optimum açı düzeni sadece burkulmaya bağlı olan durumlar için bulunmuştur.
Bundan sonra analitik çözümü kıyaslamak için sonlu elemanlar analizi gerçekleştirilmiştir. Bu analiz için ABAQUS sonlu elemanlar analiz programı kullanılmıştır. Malzeme kabuk yapı olarak tanımlanmış ve malzeme özellikleri MATLAB programındaki optimizasyon çalışmasından çıkan duruma göre yazılmıştır. Daha sonra ABAQUS sonlu eleman çözümü ve MATLAB analitik çözümleri kıyaslanmıştır.
Sonuç olarak ince cidarlı silindirik kompozit yapıların tasarımında kullanılabilecek bir optimizasyon yöntemi elde edilmiştir.

Abstract:
Nowadays, carbon fiber materials are increasingly important. These materials are used not only for strength applications but also for low density, which means that low mass applications.
Carbon fiber materials have some advantages and some disadvantages. The advantages can be listed as; low mass, high strength, which means that high strength/weight ratio, high stiffness, good surface finish and so on. The disadvantages can be listed as; high cost, difficult to manufacture, the dimensional tolerances are dependent to the manufacturing method.
Buckling strength of a material is different when compared with other kinds of strength properties such as axial loading, bending and torsion. As known, every material has a stress strain curve.
For axial loading, bending and torsion strength, the applied force is known and the problem is to find whether or not the material resist that force. To do that, the yield strength of the material is known from the stress strain curve of that specific material. First of all, the stress occurred because of the force exerted on the material, is calculated from the strength equations. Then, the calculated stress value is compared with the yield strength of the material to see if the material is strong enough.
The buckling strength of the material is independent from the stress occurred on the material. The yield strength of the material is compared with the stress occurred on the material whereas in buckling point of view the critical buckling load is different from one geometry to the other geometry and it cannot be generalized. 
The important thing in buckling is the limit value (the critical buckling load) is calculated by using the buckling equations but for axial loading, bending and torsion; the limit value (yield strength) is known and it is a material property.
Another difficult and critical thing for buckling is the buckling failure is seen in the elastic region of the material's stress strain curve. 
As it is known, for the axial loading, bending and torsional strength problems, the material fractures after the permanent deformation occurs. For that reason, the material gives signals for fracture. In the first stage, by increasing the applied force, the material elongates elastically which means that if the force is reduced, the material saves its original shape. 
After that, again by increasing the force, the material reaches its yield point. Beyond that point, the original dimensions of the material has changed permanently even if the applied force is reduced to zero. 
By increasing the force after the yield point, the material deforms more and the necking situation is seen. This situation gives a brief signal for the fracture region because the necking situations occurs where the fracture occurs. If the force is increased more the material fractures from the necking point.
For the compression, bending and torsional strength problems, as it is seen the fracture region is seen before the fracture. 
However; for buckling problems, since the buckling occurs in the elastic region, there is no sign when or where the fracture occurs. This makes the buckling problem is very important.
There are also some types of buckling such as, buckling under compression load, buckling due to the hydrostatic pressure, buckling due to bending and buckling due to torsion. This means that buckling not only occurs because of compression but also occurs because of torsion or bending.
Fraction due to buckling is an immediate fracture that is because it occurs in the elastic region. This shows the importance of buckling problem.
The other thing that this thesis studies is shell theories. Many structures are made of shells. Therefore, the strength analysis of shells is important.
The shell theories are much more complex when they are compared to the beam theories. The differential equations become more complex.
This study is about the buckling of composite shells. The purpose of this study is to find the optimum fiber angles that carry the maximum buckling load in different loading conditions for the same geometrical propertied by analytically and Finite Element Method. 
The fiber angle orientation plays a very crucial role for strength of the carbon fiber structures in every loading condition.
If the loading direction and sequence is known, the fiber angle orientation can be calculated for plies.
For buckling point of view, the loading conditions are important because, the fiber angle orientation differs from the load direction. This also makes the buckling modes different. The shape that occurs from buckling deformation differs due to loading condition and the fiber angle orientation.
Another crucial thing in this study is to see if the part is fractured due to yield or buckling.
To see that first, the optimum fiber angles that carries the maximum load is calculated iteratively. Then, Tsai – Hill failure theory is applied to the structure to see if the structure is yielded or buckled. If the structure is yielded, the maximum load that makes the structure was not to yield but buckled is found out.
In this study, MATLAB is used for the analytical solution procedure. The buckling equations for composite shell structures are used for calculating the critical buckling load.
As mentioned before, the shell theories are harder than other strength equations. In addition, the composite equations are complex because the carbon fiber material is not isotropic material.
A carbon fiber lamina is an orthotropic material, which means that, it must have 9 independent material constants and the stiffness matrix is 6x6. A simplification can be performed by using plane stress assumption. This reduces the material's stiffness matrix from 6x6 to 3x3. This assumption can be performed because the stress distribution along the layer thickness axis is negligible when compared the longitudinal and lateral axes. Since a shell type of material is very thin this assumption does not make a big change.
Moreover, as mentioned before, the crucial thing in this thesis is to make angle optimization. This is also performed by MATLAB.
To do that, an angle matrix is created randomly depending on the precision of the program, and the layer amount. The precision of the MATLAB program can be defined in the MATLAB code. This is the angle increments from 0° to 90° such as, 0-30-60-90 or 0-15-30-45-..-90 or 0-1-2-3-…-90.
This angle matrix consists of all angle configurations. The column number of this matrix gives the angle configurations. The stiffness matrix must be computed for all angle configurations and at the end of the program, the buckling load must be calculated for all angle configurations. The angle configuration that gives the maximum buckling load for the specified geometry (diameter, length, and layer thicknesses) is the optimum angle configuration for that geometry.
In addition, one more thing must be checked. That is the yielding or buckling. To check that Tsai – Hill failure theory is used. If the structure is yielded before it is buckled, the load that makes the structure is buckled but not yielded is found. 
After all, a finite element analysis is performed to verify the analytical solution. To do that, ABAQUS CAE is used. The structure is defined as shell and all of the properties are written from the results of MATLAB analytical solution. At the end, the results are compared for MATLAB analytical solution and ABAQUS finite element solution.