Rıemann manıfoldu üzerinde bazı kısmi diferansiyel denklemler
Some partial differential equations on Riemannian manifolds
Yazar: SÜMEYYE BAKIM
Danışman: PROF. DR. İSMAİL KÖMBE
İstanbul Ticaret Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2021
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez çalışmasının iki temel amacı bulunmaktadır. İlk olarak aşağıda verilen doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin pozitif çözümlerinin yokluğu incelenmiştir:


\begin{equation*}
\begin{cases}
\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta_g( u^m)+V(x)u^m+\lambda u^q
& ,\quad \Omega \times (0, T ), \\
u(x,0)=u_{0}(x)\geq 0 & , \quad\Omega, \\ 
u(x,t)=0 & ,\quad
\partial\Omega\times (0, T)
\end{cases}
\end{equation*}

ve

\begin{equation*}
\begin{cases}
\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta_{p,g} u+V(x)u^{p-1}+ \lambda u^q &
,\quad \Omega \times (0, T ) ,\\ u(x,0)=u_{0}(x)\geq 0 &
, \quad\Omega ,\\ u(x,t)=0  &, \quad \partial \Omega \times (0,T).
\end{cases}
\end{equation*}

Burada, $0 0$, $\lambda \in \mathbb{R}$ ve $\Omega$ bölgesi, kompakt olmayan $M$ Riemann manifoldunda düzgün sınıra sahip sınırlı bir bölgedir. $\Delta_{g}$ ve $\Delta_{p,g}$, sırasıyla $M$ üzerinde Laplasyan ve $p-$Laplasyan operatörleridir.

Kısmi diferansiyel denklemlerin çözümlerinin incelenmesinde Hardy tipi eşitsizliklerin önemli bir rol oynadığı bilinmektedir. Bu bağlamda, tezin ikinci amacı olarak, $M$ Riemann manifoldu üzerinde ağırlıklı $L^p$ Hardy tipi eşitsizlikler ispatlanmıştır. Uygun ağırlık fonksiyon seçimleri ile hiperbolik uzay $\mathbb{H}^n$ içindeki düzgün sınırlı $\Omega$ bölgelerinde çeşitli kalan terimli eşitsizlikler elde edilmiştir. Ayrıca, pozitif çözümlerin yokluğu ispatlanırken kullanılan Leray potansiyeli de bu yolla elde edilmiştir.

Abstract:
The main goal of this thesis is twofold. First, we investigate nonexistence of positive solutions of the following nonlinear partial differential equations: 

\begin{equation*}
\begin{cases}
\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta_g( u^m)+V(x)u^m+\lambda u^q
& \text{in} \quad \Omega \times (0, T ), \\
u(x,0)=u_{0}(x)\geq 0 & \text{in}  \quad\Omega, \\ 
u(x,t)=0 & \text{on} \quad
\partial\Omega\times (0, T),
\end{cases}
\end{equation*}

and

\begin{equation*}
\begin{cases}
\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta_{p,g} u+V(x)u^{p-1}+ \lambda u^q &	\text{in}\quad \Omega \times (0, T ) ,\\ u(x,0)=u_{0}(x)\geq 0 &
\text{in} \quad\Omega ,\\ u(x,t)=0  & \text{on}\quad \partial \Omega \times (0,T),
\end{cases}
\end{equation*}

where $0 0$, $\lambda \in \mathbb{R}$ and $\Omega$ is a bounded domain with smooth boundary in a noncompact Riemannian manifold $M$. $\Delta_{g}$ and  $\Delta_{p,g}$ represents Laplacian and $p-$Laplacian operator on $M$ respectively.


Importance of Hardy type inequalities in the analysis of the solutions of partial differential equations is well known. From this point of view, as a second goal, weighted $L^p$ Hardy type inequalities are proved on a Riemannian manifold $M$. Various improved inequalities are obtained on smooth bounded domains $\Omega$ in the hyperbolic space $\mathbb{H}^n$ with appropriate selection of weight functions. Furthermore, the Leray potential that used in proving the absence of positive solutions, was also obtained in this way.