T-normlardan elde edilen t-kısmen sıra
A T-partial order obtained from t-norms
Yazar: MÜCAHİDE NESİBE KESİCİOĞLU
Danışman: PROF. DR. FUNDA KARAÇAL
Karadeniz Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2012
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Bulanık mantık = Fuzzy logic ; Cebir = Algebra ; Kafesler = Lattices ; Mantık = Logic

Özet:
Bu tezin amacı bir L tam kafesi üzerindeki T t-normunun tüm idempotent elemanlarının oluşturduğu H_T alt kümesinin t-normlardan elde edilen sıralamaya göre tam kafes olması için t-norm üzerindeki şartları belirlemek ve atomların supremumu şeklinde yazılabilen, L tam kafesinin tüm elemanlarının A kümesini, t-normlardan elde edilen sıralamaya göre tam kafes yapan şartları incelemektir.Bu çalışma iki bölümden oluşmaktadır. Bölüm 1' de, çalışmamızda temel olan bazı tanım ve teoremler ifade edilmiştir. Bölüm 2 ise üç kısımdan oluşmaktadır. İlk kısımda öncelikle bir sınırlı L kafesi üzerindeki t-norm yardımıyla, L üzerinde ?_T ile gösterilen bir T-kısmen sıralama tanımlanmış ve ? ile ?_T sıralamaları arasındaki ilişki araştırılmıştır. İkinci kısımda, L bir zincir (veya kafes) olsa bile L' nin ?_T sıralamasına göre bir zincir (veya kafes) olması gerekmediği örneklerle gösterilmiştir. L' yi ?_T sıralamasına göre bir kafes yapan bir şart belirlenmiştir. Son kısımda, T' nin tüm idempotent elemanlarının H_T kümesinin ?_T sıralamasına göre bir tam kafes olması için t-norm üzerindeki bazı şartlar belirlenmiştir. Böylece, bir integral, komütatif, rezidual l- monoid M=(L,?,? ) bölünebilir ise ? ikili işlemine göre tüm idempotent elemanların H_T alt kümesinin bir Heyting cebiri olduğu ve H_T' deki gerektirme ile ? ikili işlemine dayanan gerektirmenin aynı olduğu ispatlanmıştır. Bu sonuç ile Drossos'un çalışmasındaki teoremin ispatı için cebirsel güçlü De Morgan kuralının gerekmediği elde edilmiştir. Ayrıca, atomların supremumu şeklinde yazılabilen L' nin tüm elemanlarının A kümesini ?_T sıralamasına göre tam kafes yapan bazı şartlar incelenmiştir.Anahtar Kelimeler: T-Norm, Sınırlı kafes, ?- dağılmalılık, İdempotent eleman, Atom

Abstract:
The main aim of the present thesis is to determine the conditions on t-norm T for the subset H_T consisting of all idempotent elements of t-norm T on a complete lattice L and to investigate some conditions for the set A of all elements of a complete lattice L which are in the form of the supremum of any family of atoms to be a complete lattice with respect to the order obtained from t-norms.This study consists of two main chapters. In Chapter 1, some definitions and theorems which are crucial for our study are stated. Chapter 2 contains three parts. In the first part, firstly, the notion T-partial order, denoted by ?_T, on a bounded lattice L by means of a t-norm on L is given. Also, in this part, some connections between the orders ?_T and ? are investigated. In the second part, it is shown that L need not be a chain (or lattice) with respect to ?_T even if L is a chain (or lattice). Also, it is determined a necessary condition making L a lattice with respect to ?_T. In the last part, some conditions are determined on t-norms for the set H_T of all idempotent elements of t-norm T to be a complete lattice with respect to the order ?_T. Also, it is proved that for an integral, commutative, residuated l- monoid M=(L,?,? ), if M is divisible, then the subset H_T of all idempotent elements with respect to ? forms a Heyting algebra, and the implication in H_T coincides with the implication based on ?. So, it is obtained from this conclusion that the algebraic strong De Morgan?s law is not necessary for the proof of the Teorem in the study of Drossos. Also, it is examined that some conditions making the subset A of all elements of L which are in the form of the suremum of any family of atoms a complete lattice.Key Words: T-Norm, Bounded lattice, ?- distributive, Idempotent element, Atom