Temel gruplar ve uygulamaları
Fundamental groups and applications
Yazar: ALİ ZİNCİR
Danışman: PROF. DR. AYŞE KARA HANSEN
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2015
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezin amacı; cebirsel topolojide önemli bir yeri olan temel grupları, tanımlar teoremler ve uygulamalar yardımıyla açıklamaktır.
f ve g sürekli iki tasvir olmak üzere bu iki tasvirin homotopik olması için bu iki tasvir arasında sürekli bir F homotopi tasvirinin bulunmasıdır.
p tabanlı ilmek; p noktasını başlangıç ve bitim noktası kabul eden yoldur. Yol ise x_0,x_1∈X için kapalı [0,1] aralığının 0 noktasını x_0 noktasına ve 1 noktasını x_1 noktasına götüren tasvirdir. Bu tasvire x_0 'dan x_1 'e bir yol denir.
X uzayında x_0 tabanlı ilmekler * işlemi altında bir grup oluşturur bu gruba X 'in x_0 tabanlı temel grubu denir ve π_1 (X,x_0) ile gösterilir.
Homeomorfik uzayların temel grupları izomorfiktir. Temel gruplar X 'in homotopi tipine bağlıdır.
f ilmeği ve g ilmeğinin grup çarpımı f*g , arka arkaya gelen f ve g yolları şeklinde gösterilir. Birim eleman, sabit yol; f 'nin tersi bu yolun tersi yönündeki yoldur.
Çemberin temel gruplarından birisi Z 'dir.
Delinmiş R^2 'nin temel grubu Z 'dir.
Her ilmeği sabit ilmeğe homotopik olan temel gruba aşikar grup adı verilir. Aşikar temel gruba sahip olan uzaya basit bağlantılı uzay denir. 

Bu ve buna benzeri tanımlardan yola çıkarak temel grubun özellikleri ispatlanabilir ve bu ispatlar bir çok homeomorfizm problemlerinin çözümünde kullanılır.
Anahtar Kelimeler: Homotopi, ilmek, yol, temel grup,örtü uzayı, homotopik tasvirler, basit bağlantılı uzay

Abstract:
The objective of this thesis is to disclose the fundemental groups which has an important role in algebraic topology by means of definitions, theories and applications. 
f and g being two continuous descriptions, there is a continuous F homotopy description between these two descriptions in order for these two descriptions to be homotopic. 
p-based loop is the route which considers p point as the start and end point.  The path, on the other hand, is the description which directs the 0 point of the closed range [0,1] to x_0 point, and 1 point to x_1  point for  x_0,x_1∈X.  This description is called as the route from x_0 to x_1. 
On X space, the x_0-based loops form a group under * operation, and this group is called the x_0-based fundamental group of X and indicated with π_1 (X,x_0).  
The fundamental groups of homeomorphic spaces are isomorphic. The fundamental groups are connected to the homotopy type of X. 
The multiplication of the groups of f loop and g loop  f*g , is indicated in the form of consecutive f and g routes. Unit element is the fixed route; opposite f is the route opposite to this route. 
One of the fundamental groups of the circle is Z . 
The fundamental group of punctured R^2 is Z '.
The fundamental group, each loop of which is homotopic to the fixed loop is called trivial group. The space which has a trivial fundamental group is called space with simple connection. 

Based on these definitions, the characteristics of the fundamental group can be proved and these proofs are used in the solution of many homeomorphism problems. 
Key words: Homotopy, loop, route, fundamental group, covering space, homotopic descriptions, space with simple connection