Hilbert fonksiyon uzaylarında bazı berezin sayı eşitsizlikleri
Some berezin number inequalities in Hilbert function spaces
Yazar: VERDA GÜRDAL
Danışman: PROF. DR. AYŞE NUR GÜNCAN
Süleyman Demirel Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Analiz ve Fonksiyonlar Teorisi Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu yüksek lisans tez çalışması çekirdek üreten yardımıyla tanımlanan Berezin sembolleri ve Berezin sayısının uygulama alanları olan bazı eşitsizlikler ile ilgilidir. Bu bağlamda yüksek lisans tez çalışması Giriş, Kaynak Özetleri, Nümerik Yarıçap ve Berezin sembolü, ve Araştırma Bulguları ve Tartışma olmak üzere dört ana bölümden oluşacak biçimde planlanmıştır. Bu bölümlerden birincisi giriş kısmı olarak oluşturulmuş ve nümerik değer teorisi, Berezin sembolü, Davis-Wielandt yarıçapı ve eşitsizlikler hakkında genel çerçeve bu kısımda tanıtılmıştır. Tez çalışmasının ikinci bölümünde ise tez kapsamında üzerinde çalışılmış olan problemlerin, yani nümerik değerde bir takım varyasyonlar, çekirdek üretenler teorisi ve Berezin sembolü ile ilgili tarihsel gelişimi ve son dönemde yapılan çalışmalar detaylı olarak incelenmiştir. Bu bölümün devamında ise tüm çalışılan konularla ilgili notasyon ve terminoloji, tanım ve ilgili eşitsizlikler, temel nümerik yarıçap eşitsizlikleri, yarı Hilbert uzaylarda $A$-nümerik yarıçap eşitsizlikleri, Berezin sembolü ve bununla ilgili son zamanlarda elde edilen sonuçlar hakkında üzerinde durulmuştur. Dördüncü bölüm ise beş alt başlıklara ayrılarak planlanmıştır. İlk olarak son zamanlarda \cite{ASB2021} tarafından Hilbert fonksiyon uzay operatörleri için bazı nümerik yarıçap eşitsizlikleri ile ilgili bir takım sonuçlar ve Hilbert fonksiyon uzay operatörleri için bazı Berezin sayı eşitsizlikleri ispatlanmıştır. Yani, \cite{HBG2021} çalışmasında elde edilen bir sonuç, Hermite-Hadamard eşitsizliği ile ilgili \cite{D2019}'in bir sonucu ve \cite{BHG2021}  çalışmasında elde edilen eşitsizliğin bazı iyileştirilmeleri bu alt kısımda incelenmiştir. İkinci alt kısımda ise Berezin yarıçap eşitsizlikleri ve Hilbert fonksiyon uzay operatörü için Berezin normunu içeren sınırlı $\widetilde{T}$ fonksiyonunu kullanarak bazı yeni eşitsizlikler incelenmiştir. Özel durumda, keyfi sınırlı doğrusal operatör $T$ için
\[
\mathrm{ber}^{4}\left(  T\right)  \leq\frac{3}{8}\left\Vert \left\vert
T\right\vert ^{4}+\left\vert T^{\ast}\right\vert ^{4}\right\Vert
_{\mathrm{ber}}+\frac{1}{8}\left\Vert \left\vert T\right\vert ^{2}+\left\vert
T^{\ast}\right\vert ^{2}\right\Vert _{\mathrm{ber}}\mathrm{ber}\left(
T^{2}\right)
\]
eşitsizliği ispatlanmıştır. Üçüncü alt kısımda ise, literatürde bilinen bazı eşitsizliklerin genel şeklini sunmak için (\ref{3.2}) eşitsizliği, (\ref{3.5}) Young eşitsizliği ve Yardımcı Teorem \ref{L10} sonuçları uygunalanarak $\mathcal{H}=\mathcal{H}\left(  \Omega\right)$ uzayı operatörleri üzerindeki Berezin yarıçap eşitsizlikleri için geometrik dışbükey fonksiyonların bazı uygulamaları verilmiş ve onlar ile ilgili diğer eşitsizlikler ispatlanmıştır. Dördüncü alt kısımda ise, $\mathcal{H}=\mathcal{H}\left(  \Omega\right)  $ Hilbert fonksiyon uzayında $T$ operatörü için $\mathrm{dwb}\left(  T\right)  :=\sup\left\{
\sqrt{\left\vert \widetilde{T}\left(  \lambda\right)  \right\vert
^{2}+\left\Vert T\widehat{k}_{\mathcal{H},\lambda}\right\Vert ^{4}}:\lambda
\in\Omega\right\}  $ olmak üzere%
\[
\max\left\{  \mathrm{ber}\left(  T\right)  ,\left\Vert T\right\Vert
_{\mathrm{ber}}^{2}\right\}  \leq\mathrm{dwb}\left(  T\right)  \leq\sqrt
{\mathrm{ber}^{2}\left(  T\right)  +\left\Vert T\right\Vert _{\mathrm{ber}%
}^{4}}%
\]
formülü ile $\mathrm{dwb}\left(  T\right)$ Davis-Wielandt-Berezin yarıçapının özellikleri incelenmiştir. Bu Davis-Wielandt-Berezin yarıçapı için bazı alt ve üst sınırlar belirlenmiştir. Ayrıca iki sınırlı doğrusal operatörün toplamının Davis-Wielandt-Berezin yarıçapının bir üst sınırı elde edilmiştir. Son alt kısımda ise, $\mathcal{H}$ üzerinde yarı-iç çarpımdan indirgenmiş pozitif $A$ operatörü $u,v\in\mathcal{H}$ için $\left\langle u,v\right\rangle
_{A}=\left\langle Au,v\right\rangle $ ile tanımlı olmak üzere $A$-Davis-Wielandt-Berezin yarıçap $\mathrm{dwb}_{A}\left(  T\right)  $'nin özellikleri incelenmiştir. Ayrıca Hilbert fonksiyon uzay operatörleri için $A$-Davis-Wielandt-Berezin yarıçapı için
bazı alt ve üst sınırlar belirlenmiştir. Ek olarak, iki sınırlı doğrusal operatörün toplamının $A$-Davis-Wielandt-Berezin yarıçapının bir üst sınırı elde edilmiştir. Bu tez çalışmasının dört ana bölümünden sonra Sonuç ve Öneriler kısmı yer almaktadır. Bu kısımda dördüncü bölümde yer alan ana sonuçlar kısa olarak tartışılmış ve bu sonuçların devamı olarak düşünülen veya ortaya çıkacak bir takım öneriler ve problemler verilmiştir.

Abstract:
This master's thesis is about some inequalities which are the application areas of Berezin symbols and Berezin numbers defined with the help of reproducing kernel. In this context, this master's thesis is planned to consist of four main parts: Introduction, Reference Summaries, Numeric Radius and Berezin symbol, and Research Findings and Discussion. The first of these chapters was created as an introduction and the general framework about numerical value theory, Berezin symbol, Davis-Wielandt radius and inequalities is introduced in this section. In the second part of the thesis, the problems that have been studied within the scope of the thesis, namely some variations in numerical value, the historical development of the reproducing kernel theory and the Berezin symbol, and recent studies are examined in detail. In the continuation of this section, notation and terminology related to all studied subjects, definition and related inequalities, basic numerical radius inequalities, $A$-numerical radius inequalities in semi-Hilbert spaces, Berezin symbol and the results obtained recently are discussed. The fourth chapter is planned by dividing into five sub-titles. First, recently some results on some numerical radius inequalities for Hilbert function space operators and some Berezin number inequalities for Hilbert function space operators have been proved by Alomari et al. (2022). That is, a result obtained in the study Huban et al. (2021a), a result of \cite{D2019} on the Hermite-Hadamard inequality, and some refinements of the inequality obtained in the study Başaran et al. (2022) are examined in this subsection. In the second subsection, some new inequalities are examined by using the bounded
$\widetilde{T}$ function including Berezin radius inequalities and the Berezin norm for the Hilbert function space operator. In the special case, the inequality
\[
\mathrm{ber}^{4}\left(  T\right)  \leq\frac{3}{8}\left\Vert \left\vert
T\right\vert ^{4}+\left\vert T^{\ast}\right\vert ^{4}\right\Vert
_{\mathrm{ber}}+\frac{1}{8}\left\Vert \left\vert T\right\vert ^{2}+\left\vert
T^{\ast}\right\vert ^{2}\right\Vert _{\mathrm{ber}}\mathrm{ber}\left(
T^{2}\right)
\]
is proved for the arbitrarily bounded linear operator $T$. In the third
subsection, some applications of geometric convex functions for Berezin radius inequalities on $\mathcal{H}=\mathcal{H}\left(  \Omega\right)  $ space operators are given by applying (\ref{3.2}) inequality, (\ref{3.5}) Young's inequality and Lemma \ref{L10} results to present the general form of some inequalities known in the literature, and other inequalities related to them are proved. In the fourth subsection, the properties of Davis-Wielandt-Berezin radius $\mathrm{dwb}\left(  T\right)  =\sup\left\{  \sqrt{\left\vert \widetilde
{T}\left(  \lambda\right)  \right\vert ^{2}+\left\Vert T\widehat
{k}_{\mathcal{H},\lambda}\right\Vert ^{4}}:\lambda\in\Omega\right\}  $ with
\[
\max\left\{  \mathrm{ber}\left(  T\right)  ,\left\Vert T\right\Vert
_{\mathrm{ber}}^{2}\right\}  \leq\mathrm{dwb}\left(  T\right)  \leq\sqrt
{\mathrm{ber}^{2}\left(  T\right)  +\left\Vert T\right\Vert _{\mathrm{ber}%
}^{4}}%
\]
formula for the $T$ operator in the $\mathcal{H}=\mathcal{H}\left(
\Omega\right)$ Hilbert function space are investigated. Some upper and lower
limits have been set for this Davis-Wielandt-Berezin radius. Also, an upper
bound is obtained for the Davis-Wielandt-Berezin radius of the sum of the two
bounded linear operators. At the bottom, the properties of the $A$%
-Davis-Wielandt-Berezin radius $\mathrm{dwb}_{A}\left(  T\right)  $ are examined,
which $A$ is a positive operator defined by $\left\langle u,v\right\rangle
_{A}=\left\langle Au,v\right\rangle $ for $u,v\in\mathcal{H}$ reduced from the
semi-inner product on $\mathcal{H}$. In addition, some lower and upper bounds
have been determined for the radius of $A$-Davis-Wielandt-Berezin for Hilbert
function space operators. In addition, an upper bound is obtained for the
radius $A$-Davis-Wielandt-Berezin of the sum of the two bounded linear
operators. After the four main parts of this thesis, there is the Conclusion
and Suggestions part. In this section, the main results in the fourth section
are briefly discussed and some suggestions and problems that are considered or
will emerge as a continuation of these results are given.