Ağırlıklı projektif uzaylar üzerindeki kodlar ve onların cebirsel değişmezleri
Codes on weighted projective spaces and their algebraic invariants
Yazar: YAĞMUR ÇAKIROĞLU
Danışman: PROF. DR. MESUT ŞAHİN
Hacettepe Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2024
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Cebirsel geometri = Algebraic geometry ; Kodlar = Codes

Özet:
Ağırlıklı projektif uzay, projektif uzayın geometrik tanımını dikkate aldığımızda ve aşikâr olmayan ağırlıklara izin verdiğimizde ortaya çıkan geometrik ve cebirsel açıdan özgün yapılardır. Burada aşikâr olmayan ağırlık ile kasıt, tüm ağırlıkların 1 olmadığı durumdur. Tüm ağırlıkların $1$ olduğu durum projektif uzaya karşılık geldiği için aslında ağırlıklı projektif uzaylar, klasik projektif uzayların doğal genellemeleridir. Ağırlıklı projektif uzaylar, sonlu cisimler üzerinde ilginç lineer kod sınıfları oluşturmak için uygun ortamlar olarak kabul edilir. Bu kodlar, Ağırlıklı Projektif Reed-Muller kodları olarak bilinir. Klasik projektif Reed-Muller kodları (PRM kodları) Reed-Muller kodlarının (RM kodları) bir genişlemesidir. RM kodları, dijital iletişim kanallarında bilgiyi güvenilir bir şekilde iletmek için önemli bir rol oynayan hata düzeltme kodlarıdır. Klasik PRM kodları da iyi çalışılmış olup, çeşitli gerçek hayat uygulamalarında kullanılmaktadır. Bu tez çalışmasında, PRM kodlarının bir genişlemesi olan Ağırlıklı projektif Reed-Muller kodları üzerine çalışmalar yapılmıştır.

Özel olarak, a,b pozitif ve aralarında asal tam sayılar olmak üzere P(1,a,b) biçimindeki ağırlıklı projektif uzaylar ailesi üzerindeki kodlar incelenmiş olup bu kodların parametreleri hesaplanmıştır. İlk olarak, $a=1$ durumu göz önünde bulundurulup F_q, q elemanlı sonlu bir cisim ve Y=P(1,1,b)(F_q), X=P(1,1,b) ağırlıklı projektif uzayının F_q-rasyonel noktalar kümesi olmak üzere, bu kümeye karşılık gelen C_{d,Y} kodunun temel parametreleri verilmiştir. Bu temel parametrelerden biri olan kodun boyutu ile ilgili sonuçlar cebirsel değişmezlerden Hilbert fonksiyonu vasıtasıyla elde edilmiştir. Bu sebepten dolayı, sırasıyla, bu uzaya karşılık gelen sıfırlayan ideal I(Y)'nin serbest çözülümü, Hilbert serisi ve Hilbert fonksiyonunun değerleri elde edilmiştir. Aşikâr (trivial) kodları eleyebilmek için önemli olan düzenlilik indeksi ve dolayısıyla düzenlilik kümesi de elde edilmiştir. Daha sonra, tüm bu sonuçlar ve yöntemlere ek olarak geometrik ve kombinatorik yöntemler de göz önüne alınarak X=P(1,a,b) uzayından elde edilen kodların temel parametreleri hesaplanmıştır. Bu uzaya karşılık gelen çokgenin kafes noktaları ile kodun boyutu arasındaki ilişkinin referans alınmasıyla birlikte kodun boyutunu hesaplamamızı sağlayan formüller verilmiştir. Ek olarak, literatürde ayakizi sınırı (footprint bound) olarak bilinen bir sınır vasıtasıyla, Gröbner baz teorisi de baz alınarak, bu uzaydan elde edilen kodun minimum uzaklığı için bir alt sınır verilmiştir. Bu uzaya karşılık gelen rasyonel noktalar kümesinin de düzenlilik kümesi verilmiş olup, düzenlilik indeksi elde edilmiştir. Dolayısıyla, en genelde X=P(1,a,b) ağırlıklı projektif uzayından elde edilen hesaplama kodlarının temel parametreleri ve ilişkili diğer geometrik ve cebirsel sonuçlar bu tez çalışması kapsamında elde edilmiştir.

Abstract:
Weighted projective spaces, when considered in light of the geometric definition for projective spaces and allowing non-trivial weights, exhibit unique structures both geometrically and algebraically. By non-trivial weights, we mean scenarios where not all the weights are equal to 1. When all the weights are 1, the structure corresponds to the classical projective space; thus, weighted projective spaces can be viewed as natural generalizations of classical projective spaces. These spaces are recognized as suitable environments for constructing interesting classes of linear codes over finite fields. Such codes are known as Weighted Projective Reed-Muller Codes. Classical Projective Reed-Muller (PRM) codes extend Reed-Muller (RM) codes, which play a crucial role in reliably transmitting information over digital communication channels. Classical PRM codes have been thoroughly studied and are used in various real-world applications. This thesis focuses on the study of Weighted Projective Reed-Muller Codes which are an extension of PRM codes.

Specifically, codes over the family of weighted projective spaces of the form P(1,a,b) where a and b are positive coprime integers, have been examined, and their parameters have been calculated. First, considering the case a=1, let F_q be a finite field with q elements, Y=P(1,1,b)(F_q) the set of F_q-rational points of the weighted projective space X=P(1,1,b). The basic parameters of the code C_{d,Y} corresponding to this set have been provided. Results concerning the dimension of the code, one of these basic parameters, have been derived through the Hilbert function which is one of the algebraic invariants. Consequently, the free resolution of the vanishing ideal I(Y) corresponding to this space, its Hilbert series, and the values of its Hilbert function have been obtained. The regularity index and hence the regularity set, which are essential for eliminating trivial codes, have also been determined. Subsequently, in addition to these results and methods, the basic parameters of the codes obtained from the space X=P(1,a,b) have been calculated, considering both geometric and combinatorial methods. Formulas for calculating the code's dimension have been provided, referencing the relationship between the lattice points of the corresponding polygon and the dimension of the code. Additionally, using a bound known in the literature as the footprint bound, and also based on Gröbner basis theory, a lower bound for the minimum distance of the code obtained from this space has been provided. The regularity set and the regularity index of the set of rational points corresponding to this space have also been determined. Therefore, the main parameters of the codes obtained from the weighted projective space X=P(1,a,b) and other related geometric and algebraic results have been obtained within the scope of this thesis.