F2 + uF2 + vF2 + v^2F2 halkası üzerindeki devirli kodlar ve DNA kodlara uygulamaları
Cyclic codes over the ring F2 + uF2 + vF2 + v^2F2 and applications to DNA codes
Yazar: MERVE BULUT YILGÖR
Danışman: DOÇ. DR. FATİH DEMİRKALE ; DR. ÖĞR. ÜYESİ ELİF SEGAH ÖZTAŞ
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2020
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu çalı¸smada, öncelikle yerel Frobenius olup zincir halkası olmayan R = F2[u, v]= bölüm halkası olarak da ifade edilen R = F2 + uF2 + vF2 + v^2F2 halkasıüzerinde durulacaktır. R halkası üzerinde tanımlanan bir C devirli kodunu üreten ideal yapısı verilecek ve R halkası üzerinde ters-sıralı DNA kod elde etmek için tek
ya da çift uzunluklu devirli kodların 3 tipi belirlenecektir. Belirlenen bu devirli kodların üreteç matrisi ve kodsöz sayısı elde edilecektir. Ayrıca dual kodunun üreteci belirlenecek ve R halkası üzerindeki lineer kodlar için kendine dik olma ko¸sulu verilecektir. R halkası üzerindeki kodların Gray dönüşümlerinden optimal ikili lineer kodlar elde edilecektir. Ayrıca elde edilen kodların kendine dik kod oldukları ve tümünün bir-ağırlıklı kod oldukları bilgisi verilecektir. Farklı bir kod inşa metodu olan, döngüsel matrisler, yani R halkası üzerindeki temsilci vektörünü ve bu vektörün devirsel ötelemelerini satır kabul eden matrisler kullanılarak optimal kodlar elde edilecek ve bu kodların arasında iki-ağırlıklı kodların bulunmasının yanı sıra optimal iki-ağırlıklı kodların da olduğundan bahsedilecektir. R halkası üzerindeki devirli kodların DNA'ya uygulamalarına yer verilerek R halkası üzerinde tanımlanan devirli kodların cebirsel özelliklerinden faydalanılmak suretiyle DNA kodlar için önemli bir
eşik olan ters sıralılık problemi çözülerek ters-sıralı DNA kod ve ters-sıralı tamlayan DNA kodlar elde edilecektir.
Son olarak ise gerçek DNA dizileri üzerine çalı¸smalar yapılacaktır. İnsanda bulunan TRAV7 (T cell receptor alpha variable 7) geni ve farede bulunan TRAV7-1 ile TRAV7-6 arasındaki 7 gen üzerindeki lineer kod yapısı incelenecektir. TRAV7 genlerinden kayan pencere metodu ile elde edilen dizilerin F4'teki karşılıklarını satır kabul eden matrislerin ürettiği kodların parametreleri elde edilecektir. Ayrıca elde edilen lineer kodlar MDS, kendine dual, kendine dik, devirli ve optimal olma özelliklerine göre sınıflandırılacaktır. Literatürde ilk olarak, TRAV7 geni ve Arabidopsis Thaliana geni için hata düzeltme grafikleri elde edilerek genlerle hata düzeltme grafikleri arasındaki ilişki araştırılacaktır. Kodlanan ve kodlanmayan bölgelere karşılık hata düzeltme grafiğindeki durumlar incelenerek hata düzeltemeyen kodların kodlanmayan bölgede yoğunlaştığı gösterilecektir.

Abstract:
In this study, we focus on R = F2 + uF2 + vF2 + v2F2, u^2 = v^2, uv = 0 which is a local Frobenius but non-chain ring. The ideal structure that generates a cyclic code C defined on the ring R will be given. 3 types of single or double length cyclic codes will be determined to obtain the reversible DNA code on the ring R. In addition, the generator of the dual code will be determined. It is given the condition of being self orthogonal for linear codes on the R ring. Optimal binary linear codes will be obtained from Gray images of codes on the ring R. It will also be given that the codes obtained are self orthogonal codes and all are one-weight codes. By using circulant
matrices, a different code constructing method, that is, optimal codes will be obtained from the matrix which accepts the representative vector on the ring R and the cyclical displacements of this vector, and will include two-weight codes as well as optimal two-weight codes. Using the algebraic properties of the cyclic codes defined on the ring R by applying the cyclic codes on the ring R to the DNA, the problem of reversibility, an important threshold for the DNA codes, will be solved and reversible DNA code and reversible complement DNA codes will be obtained. Finally, real DNA sequences will be studied. The human TRAV7 (T cell receptor alpha variable 7) gene and 7 genes between TRAV7-1 and TRAV7-6 in mice will be examined on the linear code structure. The parameters generated by the matrices that accept the lines in the F4 of the sequences obtained by the sliding window method from TRAV7 genes will be obtained. In addition, the linear codes obtained will be classified according to MDS, dual, vertical, cyclic and optimal. In the literature, first of all, error correction graphics for TRAV7 gene and Arabidopsis Thaliana gene will be obtained and the relationship between genes and error correction graphics will be investigated. The cases in the error correction graph will be examined for exon and intron regions and it will be shown that the non-corrected codes are concentrated in the non-coded region.