Kesirli mertebeden kısmi diferansiyel denklemlerin B-spline sonlu eleman yöntemleri ile çözümleri
Solutions of fractional order partial differential equations by B-spline finite element methods
Yazar: ORKUN TAŞBOZAN
Danışman: PROF. DR. ALAATTİN ESEN
İnönü Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2015
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Yedi bölümden oluşan bu tezin birinci bölümü Giriş bölümü olarak düzenlendi ve literatür özeti de bu bölümde verildi.
İkinci bölümde, daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan temel kavramlara yer verildi. Bu bölümde, Gama ve Mittag-Leffler fonksiyonları, kesirli mertebeden türev ve integral hesaplamalarında kullanılan Grünwald-Letnikov, Riemann-Liouville ve Caputo yaklaşımları, spline ve B-spline fonksiyonlar, Galerkin ve kollokasyon sonlu eleman yöntemleri hakkında bazı bilgiler verildi.
Üçüncü, dördüncü, beşinci ve altıncı bölümler bu tezin orijinal kısımlarını oluşturmaktadır. Üçüncü bölümde, zamana göre kesirli mertebeden gaz denklemi, kuadratik B-spline Galerkin ve kübik B-spline kollokasyon yöntemleri ile çözüldü. Elde edilen nümerik çözümler ile $L_{2}$ ve $L_{\infty}$ hata normları tablolar halinde sunuldu. Nümerik ve tam çözümlerin grafikleri ile birlikte mutlak hata grafikleride verildi.
Dördüncü bölümde, zamana göre kesirli mertebeden Burgers denklemi, kuadratik B-spline Galerkin ve kübik B-spline kollokasyon yöntemleri ile çözüldü. Bu yöntemler üç model probleme uygulandı. Elde edilen nümerik çözümler ile $L_{2}$ ve $L_{\infty}$ hata normları tablolar halinde sunuldu. Nümerik ve tam çözümlerin grafikleri ile birlikte mutlak hata grafikleride verildi.
Beşinci bölümde, zamana göre kesirli mertebeden telegraf denklemi, kuadratik B-spline Galerkin ve kübik B-spline kollokasyon yöntemleri ile çözüldü. Bu yöntemler üç model probleme uygulandı. Elde edilen nümerik çözümler ile $L_{2}$ ve $L_{\infty}$ hata normları tablolar halinde sunuldu. Nümerik ve tam çözümlerin grafikleri ile birlikte mutlak hata grafikleride verildi.
Altıncı bölümde, zamana göre kesirli mertebeden Schrödinger denklemi, kuadratik B-spline Galerkin ve kübik B-spline kollokasyon yöntemleri ile çözüldü. Elde edilen nümerik çözümler ile $L_{2}$ ve $L_{\infty}$ hata normları tablolar halinde sunuldu. Nümerik ve tam çözümlerin grafikleri ile birlikte mutlak hata grafikleride verildi.
Son olarak yedinci bölümde, kuadratik B-spline Galerkin ve kübik B-spline kollokasyon yöntemleri ile çözülen problemlerin nümerik çözümleri için bazı sonuçlar verildi.

Abstract:
The first chapter of this thesis, which is consisting of seven chapters, has been arranged as an introduction chapter and the literature survey has also been given in this chapter.
In the second chapter, basic concepts that will be used in later chapters were presented. In this chapter, some information about Gamma and Mittag-Leffler functions, Grünwald-Letnikov, Riemann-Liouville and Caputo approaches which are used in the fractional order derivative and integral calculus,  splines and B-spline functions,  Galerkin and collocation finite element methods have been presented.
Third, fourth, fifth and sixth sections constitute the original parts of this thesis. In the third section, the time fractional order gas equation has been solved using quadratic B-spline Galerkin and cubic B-spline collocation methods. The obtained numerical solutions and error norms $L_{2}$ and $L_{\infty}$ have been presented in tables. Absolute error graphics as well as those of exact and numerical solutions have been given.
In the fourth chapter, the time fractional order Burgers equation has been solved by quadratic B-spline Galerkin and cubic B-spline collocation methods. These methods have been applied to three model problems. The obtained numerical solutions and error norms $L_{2}$ and $L_{\infty}$ have been presented in tables. Absolute error graphics as well as those of exact and numerical solutions have been given.
In the fifth chapter, the time fractional order  telegraph equation has been solved by quadratic B-spline Galerkin and cubic B-spline collocation methods. These methods have been applied to three model problems. The obtained numerical solutions and error norms $L_{2}$ and $L_{\infty}$ have been presented in tables. Absolute error graphics as well as those of exact and numerical solutions have been given.
In the sixth chapter, the time fractional order Schrödinger equation has been solved by quadratic B-spline Galerkin and cubic B-spline collocation methods. The obtained numerical solutions and error norms $L_{2}$ and $L_{\infty}$ have been presented in tables. Absolute error graphics as well as those of exact and numerical solutions have been given.
Finally, in the seventh chapter, some results have been presented about the numerical solutions of the problems solved by quadratic B-spline Galerkin and cubic B-spline collocation methods.