Hiperbolik küresel trigonometri
Hyperbolic spherical trigonometry
Yazar: RABİA DİLARA ERGİN
Danışman: PROF. DR. SALİM YÜCE
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezde Öklid uzayında küresel trigonometri ve özelliklerinden faydalanılarak 3 boyutlu Lorentz uzayında hiperbolik birim kürede trigonometri ele alınmıştır. Çalışma beş temel bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde literatür özeti, tezin amacı ve bulgular verilmiştir. 

İkinci bölümde Öklid düzlemindeki ve uzayındaki koordinat sistemleri incelenmiştir. Öklid uzayındaki Öklid küre kavramları üzerinde durulmuş ve ayrıntılı bir şekilde incelenmiştir. Öklid küresindeki küresel üçgen tanımlanmıştır. Küresel üçgenin alanı ve üçgen özellikleri incelenmiştir. Buna ek olarak hiperbolik geodezik üçgende temel teoremler, Stewart, Menelaus ve Ceva teoremleri verilmiştir. Ayrıca diğer küresel üçgen formülleri, özel küresel üçgenler ve hiperbolik geodezik üçgenin yardımcı elemanları verilmiş olup bunlar açıortay kavramı hariç tezin bu bölümdeki orijinal kısımlarıdır.

Üçüncü bölümde ise çalışmaya temel oluşturması amacıyla 3 boyutlu Lorentz uzayındaki bazı temel kavramlardan bahsedilmiştir. Lorentz iç çarpımı, bu iç çarpıma göre açı kavramı, Lorentz vektörel çarpımı, karma çarpım ile bu çarpımların özellikleri incelenmiştir. Bunlara ek olarak Lorentz uzayında eğri kavramı, Lorentz küresi ve hiperbolik küre tanımları verilmiştir. Ayrıca 3 boyutlu Lorentz uzayında koordinat sistemleri; dik koordinat sistemi, silindirik koordinat sistemleri, hiperbolik küresel koordinat sistemi ve Lorentz küresel koordinat sistemi ele alınmıştır. Bu kısım koordinat sistemlerinin tekrardan ele alınarak yorumlanması açısından tezin orijinal kısımlarını içermektedir.

Dördüncü bölümde, Lorentz uzayındaki hiperbolik birim küre kavramları üzerinde durulmuş ve ayrıntılı bir şekilde incelenmiştir. Hiperbolik birim küredeki hiperbolik geodezik üçgen tanımlanmıştır. Hiperbolik geodezik üçgenin alanı ve üçgen özellikleri incelenmiştir. Buna ek olarak hiperbolik geodezik üçgende temel teoremler, Stewart, Menelaus ve Ceva teoremleri verilmiştir. Ayrıca diğer küresel üçgen formülleri, özel küresel üçgenler ve hiperbolik geodezik üçgenin yardımcı elemanları verilmiş olup bunlar açıortay kavramı hariç tezin bu bölümdeki orijinal kısımlarıdır.

Beşinci bölümde ise elde edilen sonuçlardan bahsedilmiştir.

Abstract:
In this thesis, spherical trigonometry in Euclidean space and its properties will be used to discuss spherical trigonometry in 3-dimensional Lorentz space. This thesis consists of five chapters.

In the first chapter the aim of the thesis, the review of the literature and the findings are given.

In the second chapter, the coordinate systems in the Euclidean plane and space are examined. The concepts of Euclidean sphere in the Euclidean space are emphasized and examined in detail. The spherical triangle in the Euclidean sphere is defined. The area and triangle properties of the spherical triangle are examined. In addition, the fundamental theorems of the spherical triangle, including Stewart, Menelaus and Ceva theorems are given. Furthermore, other spherical triangle formulas, special spherical triangles and auxiliary elements of the spherical triangle are given, and these are the original parts of the thesis in this chapter, except for the concept of bisector.

In the third chapter, some basic concepts in 3 dimensional Lorentz space are be mentioned to provide a basis for the study. The Lorentz inner product and its properties, the concept of angle according to this inner product, the Lorentz vector product and its properties, mixed product and its properties, the concept of curve in Lorentz space, Lorentz sphere and hyperbolic sphere definitions are given. Moreover, the coordinate systems in 3 dimensional Lorentz space, orthogonal coordinate system, cylindrical coordinate systems, hyperbolic spherical coordinate system and Lorentz spherical coordinate system are examined. This part contains the original parts of the thesis in terms of re-examination and interpretation of coordinate systems.

In the fourth chapter, the concepts of hyperbolic unit sphere in Lorentzian space are emphasized and examined in detail. The hyperbolic geodesic triangle in the hyperbolic unit sphere is defined. The area and triangle properties of the hyperbolic geodesic triangle are examined. In addition, the fundamental theorems of the hyperbolic geodesic triangle, including Stewart, Menelaus and Ceva theorems are given. In addition, other spherical triangle formulas, special spherical triangles and auxiliary elements of the hyperbolic geodesic triangle are given, and these are the original parts of the thesis in this chapter, except for the concept of bisector.

In the fifth chapter, the obtained results are mentioned.