Daralan kesitli katmanlı kompozit kirişlerin serbest titreşim analizi
Free vibration analysis of laminated tapered composite beam
Yazar: BERKE TÜRKKAL
Danışman: PROF. DR. İBRAHİM OZKOL
İstanbul Teknik Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Uçak ve Uzay Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Uçak ve Uzay Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Havacılık ve Uzay Mühendisliği = Aeronautical Engineering ; Uçak Mühendisliği = Aeronautical Engineering
Dizin: Denklem sistemleri = Equations system ; Kompozit kirişler = Composite beams ; Kompozit yapılar = Composite structures ; Serbest titreşim analizi = Free vibration analysis

Özet:
Kompozit malzemeler fiziksel veya kimyasal olarak birbirinden büyük farklılıkları ve birbirlerine göre farklı avantajları olan, iki veya daha fazla malzemenin makro seviyede fiziksel olarak bir araya gelmesiyle oluşturulan malzemelerdir. Günümüzde özellikle havacılık alanındaki mevcut olan rekabet mühendisleri hafif ve yüksek dayanımlı malzemeler üretmeye yönlendirmiştir. Bu doğrultuda kompozit malzemelerin kullanımı her geçen gün daha yaygınlaşmaktadır.
Titreşim, bir denge noktası veya sabit bir referans ekseni etrafında cismin yaptığı mekanik salınımdır. Titreşim bazı durumlarda istenilen bir şey olsa da özellikle mekanik yapılarda hasara, enerji kayıplarına ve gürültüye neden olabileceğinden dolayı istenmemektedir. Bu sebepten ötürü sistem tasarımlarında ve mühendislik hesaplamalarında sistemin titreşim karakteristiğin bilinmesi büyük önem teşkil etmektedir
Uzunluğu diğer boyutlarına göre çok daha büyük olan ve uzunlamasına eksenine gelen dik kuvvetler altında çalışan yapılar kiriş olarak adlandırılmaktadır. Kiriş boyunun, kiriş kalınlığına oranına narinlik oranı denilmektedir. Narinlik oranı 10'dan büyük olan tüm yapılar narin yapılar olarak nitelendirilir.
Kirişler, geçmişten günümüze kadar havacılık alanında kritik rol oynamıştır. Tek motorlu uçakların kafes-kiriş gövdesinde kullanıldığı gibi günümüzde de yarı-monokok gövdeli uçaklarda ana yük taşıyıcısı olarak kullanılmaktadır. Destek elemanı olarak kullanılan bu elemanların kontrolsüz titreşimleri sonucunda sistemin hasar görmemesi için sistemin titreşim karakteristiğinin belirlenmesi ve bu doğrultuda sönümleme elemanlarının seçilmesi büyük önem arz etmektedir.
Havacılık gibi yüksek riskli bir alanında kritik rol oynayan yapıların davranışlarının belirlenmesi kuşkusuz ki tasarım aşamasında büyük öneme sahiptir. Bu sebepten dolayı geçmişten günümüze bu konuda pek çok çalışma yapılmış ve yöntemler geliştirilmiştir. Günümüzde kirişlerin karakteristik davranışlarını analiz etmek için yüksek doğruluk ve hassasiyete sahip paket programlar kullanılıyor olsa da bu programların temelini oluşturan birçok kiriş teorisi bulunmaktadır. Kiriş teorileri, sonlu elemanlar analizlerine geçilmeden önce henüz tasarım aşamasındayken hızlı ve doğru sonuçlar veren yöntemlerdir. Günümüzde kirişlerin analizleri için birçok kiriş teorisi bulunmaktadır. Bu kiriş teorilerinden en yaygın kullanıma sahip olanları ise Euler-Bernoulli, Rayleigh, Kayma ve Timoshenko kiriş teorileridir. Bu teorilerde, kiriş davranışlarını yöneten hareket denklemleri kısmi diferansiyel denklemler olarak ifade edilerek sınır ve başlangıç koşullarında çözülmektedir.
Bu doğrultuda literatürde farklı yöntemlerle yapılmış birçok çalışma bulunmaktadır. Bunlardan bazılarında kiriş modeli olarak Euler-Bernoulli Kiriş modeli kullanılırken, bir kısmında Timoshenko kiriş modeli kullanılarak metalik, katmanlı kompozit ve sandviç yapılı kompozitler üzerinde çeşitli çalışmalar yapılmıştır. Bu çalışmalar arasında daralan kesitli dönen kirişleri konu alan bir çalışmada, dönme hareketinin kirişe sağladığı rijitlik ve daralan kesidin sebep olduğu zayıflık incelenmiştir [1]. Bir başka çalışmada viskoelastik çekirdekli sandviç kompozitler incelenmiş ve çekirdek kalınlığının doğal frekansa etkisi gösterilmiştir [2]. Transfer matrisi yöntemi kullanılan bir çalışmada ise narinlik oranının ve kiriş genişliğinin doğal frekansa olan etkileri incelenmiştir [3]. Katmanlı kompozit kirişleri konu alan bir diğer çalışmada ise Euler-Bernoulli kiriş teorisi kabulüyle sonlu elemanlar yöntemi kullanılarak serbest titreşim analizi yapılmış ve katman sayısının, yerleştirme açısının serbest titreşime olan etkileri okuyucuya sunulmuştur. Kompozit kirişlerin serbest ve zorlanmış titreşimlerinin Laplace alanında analiz edildiği bir çalışmada ise Timoshenko kiriş teorisi temel alınmış ve paket programlardan %80 daha hızlı bir yöntem geliştirilmiştir [4].
Literatür taramasının ardından özellikle daralan kesitli, katmanlı kompozit kirişlerin analizinde sonlu elemanlar yönteminin kullanıldığı tespit edilmiş ve bu tez çalışması kapsamında bu yöntem ile aynı hassasiyet ve doğruluğa sahip, daha hızlı bir yöntem geliştirilmesi amacıyla çalışmalar yapılmıştır.
Euler-Bernoulli yaklaşımı sayesinde hızlı bir şekilde gerilme-gerinim dağılımı elde edilebildiğinden ve yükleme hakkında bilgi sahibi olunabildiğinden dolayı ilk hesaplamalarda bu yaklaşım oldukça kullanışlıdır. Detay analizlerde kiriş yapısı daha da detaylandırılarak farklı kiriş modelleri ile sistem tekrar çözülür. İlk yaklaşım olan Euler-Bernoulli sonuçları ile arada büyük fark olması durumunda kullanılan yeni yaklaşımın sınır şartları ve kabulleri kontrol edilerek sistem tekrar çözülür. 
Bu genel yaklaşımın geliştirilecek olan yönteme temel olması amacıyla, bu çalışma kapsamında Euler-Bernoulli kiriş teorisi temel alınarak farklı malzeme tipi ve geometrik özelliklere sahip kirişlerin serbest titreşim analizi için bir yöntem geliştirilmiştir. Geliştirilen yöntem ile metalik ve katmanlı kompozitten oluşan, uniform ve daralan kesitli kirişler incelenmiş ve geliştirilen metodun doğruluğu referanslar ile doğrulanmıştır. Geliştirilen yöntemin doğruluğu kanıtlandıktan sonra sınır şartlarının, geometrik özelliklerin doğal frekanslar üzerindeki etkisi incelenmiştir.
Çalışma kapsamında öncelikle uniform kesitli metalik kirişler ele alınmıştır. Oluşturulan modeller, bir ucu ankastre mesnetli diğer ucu serbest, basit mesnetli ve iki ucu ankastre mesnetli sınır şartlarında Diferansiyel Dönüşüm Metodu (DTM) kullanılarak Mathematica programında yazılan kod ile ve ANSYS paket programı ile sonlu elemanlar yöntemi kullanılarak çözülmüş ve elde edilen sonuçlar analitik olarak elde edilen sonuçlarla ve referanslarla karşılaştırılmıştır. Daha sonrasında daralan kesitli metalik kirişler incelenmiş ve uniform kesitli kirişlerde olduğu gibi Mathematica programında yazılan DTM kodu ile elde edilen ve ANSYS programından elde edilen sonuçlar referanslar ile karşılaştırılmıştır. 
Denklemlerin çözüm yöntemi olarak kullanılan DTM kodunun doğruluğu metalik kiriş çalışmalarıyla kanıtlandıktan sonra öncelikle uniform kesitli katmanlı kompozitten oluşan kirişlerin serbest titreşim analizinin hızlı bir şekilde yapılabilmesi için ortotropik özelliklere sahip olan kirişlerin farklı yerleşim açıları ve kalınlıkları göz önünde bulundurularak eş değer elastisite modülleri bulunmuş ve bu sayede o kirişe karşılık gelen isotropik kiriş modellenmiştir. Daha sonrasında ise daralan kesitli katmanlı kompozit kirişlerin modellenmesi için bir yöntem geliştirilerek daralma oranları eş değer elastisite modülünün hesabına dahil edilmiştir. Geliştirilen yöntemde daralan kesitli kompozit kiriş, küçük elemanlara bölünerek her bir eleman için eş değer elastisite modülü hesaplanmış ve bu küçük parçalardan yola çıkarak incelenen kirişin eş değer elastisite modülü bulunmuştur. Farklı sayıda elamanlara bölerek ideal eleman sayısı bulunmuş ve elde edilen eş değer elastisite modülleri kullanılarak farklı katman yapılarına ve geometrik özelliklere sahip kirişler analiz edilmiş elde edilen sonuçların doğruluğu referanslar ile karşılaştırılarak gösterilmiştir. Sonuçların doğruluğu ispatlandıktan sonra sınır şartlarının, narin oranının, daralma oranının, genişlik-kalınlık oranının ve yerleştirme açılarının doğal frekans üzerindeki etkileri incelenmiştir.
Çalışma sonunda, geliştirilen yöntem için optimum eleman sayısı belirlenmiş, sınır şartlarındaki kısıtların doğal frekans üzerindeki etkisi gösterilmiş, daralma oranı, narinlik oranı ve genişlik kalınlık oranının ve yerleştirme açılarının serbest titreşimde doğal frekansa etkisi tespit edilmiştir. Literatürde kullanılan yöntemlerden elde edilen sonuçlara son derece yakın sonuçlar veren çok hızlı bir yöntem geliştirilmiştir.

Abstract:
Composite materials are materials that are physically or chemically different from each other and have different advantages over each other, and are formed by the physical combination of two or more materials at the macro level. Today, competition, especially in the field of aviation, has led engineers to produce light and high-strength materials. In this direction, the use of composite materials is becoming more common day by day.
Vibration is the mechanical oscillation of an object around an equilibrium point or a fixed reference axis. Although vibration is desirable in some cases, it is undesirable, especially since it can cause damage to mechanical structures, energy losses and noise. For this reason, it is of great importance to know the vibration characteristics of the system in system designs and engineering calculations.
Structures whose length is much larger than their other dimensions and which work under vertical forces to their longitudinal axis are called beams. he ratio of the beam length to the beam thickness is called the slenderness ratio. All structures with a slenderness ratio greater than 10 are considered slender structures.
Beams have played a critical role in aviation from past to present. As it is used in the truss fuselage of single-engine airplanes, it is still used as the main load carrier in semi-monocoque airplanes today. In order not to damage the system as a result of uncontrolled vibrations of these elements used as support elements, it is of great importance to determine the vibration characteristics of the system and to select damping elements accordingly.
Determining the behaviors of structures that play a critical role in a high-risk field such as aviation is undoubtedly have great importance at the design stage. For this reason, many studies and methods have been developed on this subject from past to present. Although packaged softwares with high accuracy and precision are used today to analyze the characteristic behavior of beams, there are many beam theories that form the basis of these softwares. Beam theories are methods that give fast and accurate results while they are still in the design phase before moving on to finite element analysis. Today, there are many beam theories for the analysis of beams. Euler-Bernoulli, Rayleigh, Shear and Timoshenko beam theories are the most widely used beam theories. In these theories, the equations of motion governing beam problems are expressed as partial differential equations and solved in boundary and initial conditions.
In this direction, there are many studies conducted with different methods in the literature. While Euler-Bernoulli beam model is used as beam model in some of them, Timoshenko beam model is used in some of them. Various studies have been carried out on metallic, laminated composite and sandwich composites with these beam models. Among these studies, in a study on rotating beams with tapered section, the rigidity provided by the rotational movement to the beam and the weakness caused by the tapered section were examined [1]. In another study, sandwich composites with viscoelastic core were examined and the effect of core thickness on natural frequency was shown [2]. In a study using the transfer matrix method, the effects of slenderness ratio and beam width on natural frequency were investigated [3]. In another study on laminated composite beams, free vibration analysis was carried out using the finite element method with the acceptance of Euler-Bernoulli beam theory, and the effects of the number of layers and ply angle on free vibration were presented to the reader. In a study in which the free and forced vibrations of composite beams were analyzed in the Laplace field, Timoshenko beam theory was based and a method that is 80% faster than package programs has been developed [4].
After the literature review, it was determined that the finite element method was used in the analysis of tapered laminated composite beams, and within the scope of this thesis, studies were carried out to develop a faster method with the same sensitivity and accuracy with this method.
This approach is very useful in the first calculations, since the stress-strain distribution can be obtained quickly and information about the loading can be obtained thanks to the Euler-Bernoulli approach. In the detailed analysis, the beam structure is further detailed and the system is solved again with different beam models. If there is a big difference between the Euler-Bernoulli results, which is the first approach, the system is solved again by checking the boundary conditions and assumptions of the new approach used.
In order to use this general approach as a basis for the method to be developed, a method for free vibration analysis of beams with different material types and geometric properties has been developed based on the Euler-Bernoulli beam theory within the scope of this study. With the developed method, beams with uniform and tapered cross-sections consisting of metallic and laminated composites were examined and the accuracy of the developed method was verified with references. After proving the accuracy of the developed method, the effect of boundary conditions and geometric properties on natural frequencies was investigated.
Within the scope of the study, first of all, metallic beams with uniform cross-section are discussed. The models created were solved using the code written in the Mathematica program (by using the Differential Transformation Method (DTM)) and the finite element method with the ANSYS package software in boundary conditions with fixed-free, simply supported and fixed-fixed. The results obtained were compared with results analytically obtained and references. Afterwards, metallic beams with tapered section were examined and the results obtained with the DTM code written in the Mathematica program and obtained from the ANSYS program, as in the beams with uniform section, were compared with the references.
After the correctness of the DTM code, which is used as the solution method of the equations, has been proven by metallic beam studies, first of all, studies have been carried out to quickly perform free vibration analysis of beams consisting of layered composite with uniform cross section. In this direction, by taking into account the different placement angles and thicknesses of the beams with orthotropic properties, equivalent elasticity modules were found and the isotropic beam corresponding to that beam was modeled. Afterwards, a method was developed for the modeling of tapered composite beams and the tapered ratios were included in the calculation of the equivalent modulus of elasticity. In the developed method, the tapered section composite beam was divided into small elements and the equivalent elasticity modulus was calculated for each element, and the equivalent elasticity modulus of the investigated beam was found from these small parts. The ideal number of elements was found by dividing them into different numbers of elements, and beams with different layer structures and geometric properties were analyzed using the obtained equivalent elasticity modules, and the accuracy of the results obtained was shown by comparing them with the references. After verifying the accuracy of the results, the effects of boundary conditions, slender ratio, tapered ratio, width-thickness ratio, and ply angles on natural frequency were investigated.
At the end of the study, the optimum number of elements for the developed method was determined, the effect of the constraints in the boundary conditions on the natural frequency was shown, the effects of tapered ratio, slenderness ratio, width-thickness ratio and ply angles on the natural frequency in free vibration were determined. A very rapid method has been developed that gives results very close to the results obtained from the methods used in the literature.