Derin sinir ağları kullanarak periyodik sınır koşullu diferansiyel denklemlerin nümerik çözümlerinin elde edilmesi
Obtaining numerical solutions of differential equations with periodic boundaries using deep neural networks
Yazar: GÜLSÜM İŞMAN
Danışman: DOÇ. DR. KORHAN GÜNEL
Aydın Adnan Menderes Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2024
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Doğrusal olmayan diferensiyel denklemler = Nonlinear differential equations ; Lineer diferensiyel denklemler =   ; Optimizasyon = Optimization ; Sınır değer problemleri = Boundary value problems ; Sınır koşulları = Boundary conditions ; Yapay sinir ağları = Artificial neural networks

Özet:
Bu tezde, derin sinir ağları ile periyodik sınır koşullu diferansiyel denklemlerin nümerik çözümlerinin elde edilmesi amaçlanmıştır. Araştırma kapsamında, periyodik sınır koşullarına sahip adi diferansiyel denklemler için literatürde sunulan çözüm yöntemleri detaylı bir şekilde incelenmiştir. Ardından mevcut yöntemlere alternatif olarak, derin yapay sinir ağları aracılığıyla nümerik çözümleri elde edilmiştir. Yapay sinir ağının eğitimi sürecinde elde edilen çözümler ile kesin çözümler arasındaki fark, yani hata miktarı, en aza indirilmeye çalışılmıştır. Önerilen yolla elde edilen nümerik çözümlere, literatürde sunulan yöntemlerden elde edilen çözümlerler karşılaştırılıp ve değerlendirilmiştir. 
Tezde kullanılan MLP ve ResNet sinir ağı modelleri, tarafımızdan iyileştirilen MSPSO yöntemi kullanılarak eğitilmiştir. Literatürde sunulan  MSPSO yaklaşımından farklı olarak türev hesaplamalarından kaçınmak için BFGS yöntemi yerine MADS yöntemi kullanılmıştır. Deneysel çalışmalarda elde edilen sonuçlar, literatürde sıklıkla kullanılan AdaDelta, Adam, Gradient Descent gibi gradyan hesaplamayı baz alan diğer yöntemlerle karşılaştırıp mutlak hata sonuçları elde edilmiştir.
Bu çalışma, periyodik koşullu diferansiyel denklemlerin nümerik çözümlerinde yapay sinir ağlarının potansiyelini değerlendirerek mevcut yöntemlere alternatif bir yaklaşım sunmaktadır. Elde edilen sonuçlar, bilimsel araştırmalarda ve uygulamalarda yeni bir bakış açısı sunabilir ve ilgili alanda gelecekteki çalışmalara ilham verebilir.

Abstract:
In this thesis, it is aimed to obtain numerical solutions of differential equations with periodic boundary conditions using deep neural networks. In persuit of this goal, existing solution approaches for ordinary differential equations with periodic boundary conditions, as presented in the literature, were thoroughly examined. Subsequently, an alternative approach involving deep artificial neural networks was persued to obtain numerical solutions. During the training process of the artificial neural network, the difference between the solutions obtained and the exact solutions, that is, the amount of error, was tried to be minimized. The numerical solutions obtained by the proposed method were compared and evaluated with the solutions obtained from the methods presented in the literature. 
MLP and ResNet neural network models used in the thesis were trained using the MSPSO method improved by us. Unlike the MSPSO approach presented in the literature, the MADS method was used instead of the BFGS method to avoid derivative calculations. The results obtained in experimental studies were compared with other methods based on gradient calculation such as AdaDelta, Adam, Gradient Descent, which are frequently used in the literature, and absolute error results were obtained.
This study offers an alternative approach to existing methods by evaluating the potential of artificial neural networks in numerical solutions of periodic conditional differential equations. The results obtained may offer a new perspective in scientific research and applications and inspire future studies in the relevant field.