İkinci mertebeden kısmi diferansiyel denklemlerin Taylor polinom çözümleri
Taylor polynomial solutions of second-order partial differential equations
Yazar: BERNA BÜLBÜL
Danışman: PROF. DR. MEHMET SEZER
Muğla Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2011
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu çalışmada, ikinci mertebeden bir ve iki boyutlu lineer, aynı zamanda bazı lineer olmayan, kısmi diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümlerini bulmak için yeni bir Taylor matris metodu geliştirilmiştir. Metot, bahsedilen kısmi diferansiyel denklemleri bilinmeyen Taylor katsayılı lineer veya lineer olmayan cebirsel denklemler sitemine karşı gelen bir matris denklemine dönüştürür. Dolayısıyla, bilgisayar yardımıyla iki ve üç değişkenli Taylor polinomları cinsinden yaklaşık çözümler elde edilir.Bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, kısmi diferansiyel denklemlerin tarihi gelişimi, literatürde verilen matris yöntemleri ve kısmi diferansiyel denklemlerle ilgili diğer yöntemlerden kısaca bahsedilmiştir. İkinci bölümde, ikinci mertebeden kısmi diferansiyel denklemlerle ilgili temel kavramlar ve bazı özel denklemler verilerek sınıflandırma yapılmıştır. Üçüncü bölümde, Taylor katsayılarını hesaplamak için gerekli olan fonksiyon ve koşullara ve bunların türevlerine karşı gelen temel matris bağıntıları türetilmiş; bir ve iki boyutlu lineer, aynı zamanda bazı lineer olmayan, kısmi diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümü için Taylor matris metodu sunulmuştur. Dördüncü bölümde, hata analizi verilmiş ve metodun doğruluğunu ve uygulanabilirliğini açıklamak için eliptik, parabolik ve hiperbolik tipten problemlere uygulaması yapılmıştır. Son bölümde metot ile ilgili sonuçlar tartışılmıştır.Türkçe Anahtar Kelimeler: Taylor matris metodu; Kısmi diferansiyel denklemler; İki değişkenli Taylor seri açılımı.

Abstract:
In this study, a new Taylor matrix method is developed to find the approximate solutions of one and two dimensional linear and also some nonlinear, partial differential equations. The method transforms the mentioned partial differential equations to a matrix equation, which corresponds to a system of linear or nonlinear algebraic equations with unknown Taylor coefficients. Consequently, by solving these matrix equations with the help of the computer, the approximate solutions are obtained in terms of Taylor polynomials of two and three variables.This study is formed of five chapters. In the first chapter, the history of partial differential equations, the Taylor matrix methods and other methods related to the solution of partial differential equations, which are given in the literature are mentioned briefly. The second chapter deals with the preliminaries, necessary definitions and also the classification of second-order partial differential equations. In the third chapter, the fundamental matrix representations corresponding to the functions and conditions and their derivatives required for computing the Taylor coefficients are derived; also Taylor matrix method is presented for the solution of one and two dimensional second-order linear and some nonlinear, partial differential equations. In the fourth chapter, the error analysis of the method is presented and applied to elliptic, parabolic and hyperbolic type problems to illustrate accuracy and reliability of the method. In the fifth chapter, the results related with the method are discussed.Key Words : Taylor matrix method; Partial differential equations; Double Taylor series expansion.