Tensör çarpım immersiyonlarının geometrisi
Geometry of tensor product immersions
Yazar: AYHAN AKSOY
Danışman: YRD. DOÇ. DR. EROL KILIÇ
İnönü Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2008
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Diferensiyel geometri = Differential geometry

Özet:
Herhangi iki diferensiyellenebilir manifolddan Öklid uzaylar içerisine tanımlı ikiimmersiyonun tensör çarpım dönüşümünün, çarpım manifoldunun bir immersiyonuolması için gerek ve yeter şart bu immersiyonlardan en az birinin transversal olmasıve bu immersiyonlardan her ikisinin de görüntü kümelerinin, Öklid uzayların orijinle-rini ihtiva etmemesidir. Bu koşul altında göz önüne alınan iki immersiyonun tensörçarpım immersiyonları genel anlamda ve bazı özel durumlar için çeşitli yazarlartarafından irdelenmiştir.Bu çalışmada, ilk olarak genel durumun özet bir açıklaması yapılmıştır. Ardından,Öklid uzay içerisindeki bir yüzey ile Öklid düzlem içerisindeki bir eğrinin tensörçarpımları göz önüne alınarak, bunlardan minimal, pseudo-umbilik, invaryant veanti-invaryant olanları sınıflandırılmıştır. Aynı zamanda; çarpım manifoldunun fak-törlerinden birinin, çarpım manifoldunun bir total jeodezik alt manifoldu olması içinbir gerek ve yeter koşul tesis eden bir sonuç da verilmiştir.Bir sonraki bölümde, Öklid uzaydaki bir yüzey ile Lorentz düzlemdeki (yervektörü nondejenere olan) bir nondejenere eğrinin tensör çarpımları göz önüne alın-mıştır. Bu şekildeki tensör çarpımlardan minimal, invaryant ve anti-invaryant olanla-rı sınıflandırılmıştır.Bu problem afin diferensiyel geometri açısından da ele alınarak, aşağıdaki sonuçlarelde edilmiştir. İki merkezil afin hiperyüzey immersiyonunun tensör çarpım immersi-yonunun bir merkezil eşafin immersiyon olması için gerek ve yeter şart bu immersiyon-ların her ikisininde nondejenere olmasıdır. İki afin düzlemsel eğrinin tensör çarpımıbir immersiyon ise, bu immersiyon R^4 ün bir pür reel 2-yüzeyini belirler.

Abstract:
Tensor product map of two immersions from different manifolds into Euclideanspaces is an immersion of the product manifold if and only if at least one of theimmersions is transversal and both the images of the immersions do not contain theorigins of the Euclidean spaces. The general situation and some special situationsfor such a tensor product immersion are considered by various authors.In this work, we first give a brief description of the general situation. Then, weconsider the tensor product of a surface in Euclidean space and a curve in Euclideanplane and we classify minimal, pseudo-umbilical, invariant and anti-invariant suchtensor products. We also give a result which states a necessary and sufficientcondition for one of the factor of the product manifold to be totally geodesicsubmanifold of this product manifold.In the next section, we consider the tensor products of a surface in Euclideanspace and a nondegenerate curve (with a nondegenerate position vector) in Lorentzianplane. We classify minimal, invariant and anti-invariant such tensor products.We also consider the problem from the viewpoint of affine differential geometryand obtain the following results. Tensor product immersion of two centroaffinehypersurface immersions is an equi-centroaffine immersion if and only if these twoimmersions are both nondegenerate. If tensor product of two affine planar curves isan immersion, then this immersion gives a purely real 2-surface in R^4.