Rastgele kesir mertebeden adi ve kısmî diferansiyel denklemlerin adomian ayrıştırma yöntemi ile çözümleri
Solutions of ordinary and partial differantial equations of random fractional with adomian decomposition method
Yazar: NİHAL ATASOY
Danışman: PROF. DR. MEHMET MERDAN
Gümüşhane Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2021
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Lineer olmayan diferansiyel denklemlerin fizik, mühendislik, vb. alanlarda uygulaması vardır, bu tür denklemlerin çoğunlukla analitik çözümleri yoktur. Fizik ve mühendislik gibi pek çok problem matematiksel olarak modellenebilir. Bu modellerin pek çoğu lineer olmayan adi ve kısmi diferansiyel denklemler yardımıyla ifade edildiğinden bu tür denklemlerin yaklaşık analitik çözümlerini elde etmek için literatürde geliştirilmiş olan pek çok yöntem mevcuttur. Bu yöntemlerden çok sık kullanılanlardan biri olan Adomian Ayrıştırma Yöntemi'dir. 
Adomian Ayrıştırma Yöntemi ilk olarak 1980'lerin başında George Adomian tarafından tanıtılmıştır. Adi, kısmî, lineer ve lineer olmayan diferansiyel denklemler için bu yöntemi geliştiren Adomian Amerikalı bir matematikçidir. Adomian, bu yöntemi sınır ve başlangıç şartı olan, deterministik, stokastik, lineer ve lineer olmayan problemlerin yaklaşık çözümlerini bulmak amacıyla uygulamıştır. Yöntem, lineer olmayan terimlerin ayrıştırılmasıyla oluşturulur. Lineer olmayan terimler, Adomian Polinomlarının toplamı şeklinde tanımlanır. Her Adomian Polinomu, n>0 için y bağımsız değişkenlerine bağlıdır. Bu polinomların elde edileceği formüller Adomian tarafından geliştirilmiştir.
Bu çalışmada, bazı kesir mertebeden türev tanımları ve kesir mertebeden türev hesabında kullanılan önemli fonksiyonlar, bazı sürekli olasılık dağılımları, ratsgele değişkenin beklenen değer, varyans ve moment çıkaran fonksiyon tanımları verilmiştir. Adomian Ayrıştırma Yöntemi ile ilgili literatür özeti verilmiş olup yöntemin uygulanışı açıklanmıştır. Diferansiyel denklemlerin katsayıları ve başlangıç koşulları ratsgele değişken seçilerek kesir mertebeden diferansiyel denklemler rastgele hâle getirilmiştir. Ayrıca, elde edilen rastgele diferansiyel denklemlerin çözümleri bulunarak, çözümlerin olasılık karakterleri incelenmiştir. Parametreler farklı olasılık dağılımlarından seçilerek çözümlerin beklenen değer ve varyansları hesaplanmış, çözüm davranışları grafiksel olarak Maple ve Matlab'de incelenmiştir. Adomian Ayrıştırma Yöntemi'nin yanı sıra Rezidual Kuvvet Serisi Yöntemi hakkında bilgi verilmiş, Laplace-Adomian Ayrıştırma Yöntemi açıklanmış diferansiyel denklemlere uygulaması yapılmıştır.

Abstract:
Application of nonlinear differential equations in physics, engineering, etc. There are applications in fields, such equations often do not have analytical solutions. Many problems, such as physics and engineering, can be modeled mathematically. Since most of these models are expressed with the help of nonlinear ordinary and partial differential equations, there are many methods developed in the literature to obtain approximate analytical solutions of such equations. One of the most frequently used methods is the Adomian Decomposition Method.
The Adomian Decomposition Method was first introduced by George Adomian in the early 1980s. Adomian is an American mathematician who developed this method for ordinary, partial, linear and nonlinear differential equations. Adomian applied this method to find approximate solutions of deterministic, stochastic, linear and nonlinear problems with boundary and initial conditions. The method is created by decomposition nonlinear terms. Nonlinear terms are defined as the sum of Adomian Polynomials. For every Adomian Polynomial n>0 it depends on the y arguments. The formulas to obtain these polynomials were developed by Adomian.
In this study, some definitions of fractional derivative and important functions used in the calculation of fractional derivative, some continuous probability distributions, expected value, variance and moment generating function definitions of random variables are given. A summary of the literature on the Adomian Decomposition Method is given and the application of the method is explained. The coefficients and initial conditions of the differential equations were chosen randomly, and the fractional differential equations were randomized. In addition, the solutions of the obtained random differential equations were found and the probabilistic characters of the solutions were examined. The expected values ​​and variances of the solutions were calculated by choosing the parameters from different probability distributions, and the solution behaviors were analyzed graphically in Maple and Matlab. In addition to the Adomian Decomposition Method, information about the Residual Power Series Method has been given, the Laplace-Adomian Decomposition Method has been explained and its application to the differential equations has been made.