Sonlu cisimler üzerindeki özel üreteçli toplamsal kodlar
Additive codes with particular generator over finite fields
Yazar: HAYRULLAH ÖZİMAMOĞLU
Danışman: DOÇ. DR. MURAT ŞAHİN
Ankara Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2019
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Doğrusal kod = Linear code ; Otokorelasyon = Autocorrelation

Özet:
Kodlama teorisinin amacı, iletişim sistemlerinde oluşabilecek hataları tespit etmek ve düzeltmektir. Hata düzeltme kodları; uzaydan görüntü alma, kayıt numaraları tasarlama, kompakt disklerde bilgi depolama vb. birçok uygulama alanına sahiptir. Kodlama teorisi; pür matematik, lineer cebir, sonlu cisimler vb. matematiksel alanlardan birçok fikri barındırmaktadır. Lineer kodlar ve toplamsal kodlar bunlara birer örnektir. Ayrıca toplamsal kodlar kuantum hata düzeltme kodlarının da bir sınıfı olduğu için ilgi çekmektedir. Hata düzeltme kapasitesi yüksek kodları inşa etmek ve sınıflandırmak önemli bir problemdir.

Bu tez altı bölümden oluşmaktadır. Giriş bölümünde, tezin amacı ve kapsamı verilmiştir. İkinci bölümde, toplamsal kodlar ve toplamsal kodlardaki denklik kavramlarından bahsedilmiştir. Üçüncü bölümde, F_4 üzerindeki Toeplitz toplamsal kodlar tanımlanarak, literatürdeki dairesel toplamsal kodların bir genelleştirilmesi elde edilmiştir. Bu bölümde, optimal Toeplitz toplamsal (OTT) kodların sınıflandırılması ve inşa edilmesi amaçlanmıştır. Uzunluğu 13'e kadar olan F_4 üzerindeki OTT kodlar sınıflandırılmıştır. Optimal dairesel toplamsal (ODT) kodları inşa etmek için, kuadratik rezidü kodlarla bağlantılı bir yöntem kullanılmıştır. Bu yöntem genelleştirilerek; bazı p asalları için, p uzunluğunda OTT kodlar ve hemen hemen optimal Toeplitz toplamsal (HHOTT) kodlar inşa edilmiştir. Dördüncü bölümde,  dairesel toplamsal kodların başka bir genelleştirilmesi olan F_4 üzerindeki σ-dairesel toplamsal kodlar tanımlanmıştır. Uzunluğu 13'e kadar olan F_4 üzerindeki optimal σ-dairesel toplamsal (σ-ODT) kodlar sınıflandırılmıştır. Beşinci bölümde, k-otokorelasyon tanımlanmıştır. k-otokorelasyon, standart otokorelasyonun bir genelleştirilmesidir. F_4 üzerindeki bir dairesel toplamsal kodun minimum uzaklığını hesaplamak için k-otokorelasyondan yararlanılarak bir yöntem geliştirilmiştir. Son bölümde ise sonuçlar verilmiştir ve bu sonuçların kodlama teorisindeki önemi vurgulanmıştır.

Abstract:
The goal in coding theory is to detect and correct errors in communication systems. Error-correcting codes are used in applications such as returning pictures from deep space, design of registration numbers, storage of data compact discs. Coding theory is also of great mathematical interest, relying largely on ideas from pure mathematics, linear algebra, finite fields etc. Linear codes and additive codes are examples. The additive codes are a class of the quantum error-correction codes. Then we focus our attention these codes. The error-correcting capability of some codes is large. The construction and classification of such codes is an important problem.

This thesis consists of six chapters. In the first chapter, the goal and content of thesis are given. In the second chapter, the additive codes and equivalence of these codes are mentioned. In the third chapter, the additive Toeplitz codes over F_4 are defined. The additive Toeplitz codes over F_4 of length up to  13  are classified. The optimal and near-optimal additive Toeplitz codes of length some primes p are constructed. In the fourth chapter, the additive σ-circulant codes over F_4 are defined. The additive σ-circulant codes over F_4 of length up to 13 are classified. In the fifth chapter, the k-autocorrelation is defined. The k-autocorrelation is used to determine the minimum distance of additive circulant codes over F_4. In the last chapter, the conclusions are given. The importance of these conclusions is emphasized.