Hepatit-B hastalığının kesirli mertebeden matematiksel modeli ve Türkiye'den gerçek veri ile parametre tahmini
Fractional-order mathematical modeling of hepatitis-B disease and parameter estimation with real data from Turkey
Yazar: MUHİTTİN SUSAM
Danışman: DOÇ. DR. MEHMET YAVUZ
Necmettin Erbakan Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Asimptotik kararlılık = Asymptotic stability ; Bulaşıcı hastalıklar = Communicable diseases ; Matematiksel modelleme = Mathematical modelling ; Matematiksel modeller = Mathematical models ; Sayısal yöntemler = Numerical methods

Özet:
Matematiksel modelleme özellikle son yıllarda bir çok alanda yaygın olarak kullanılmaktadır. Matematiksel modellemenin bulaşıcı hastalıklardaki uygulamaları çoğu bulaşıcı hastalığı ortadan kaldırmak için izolasyon, karantina, aşı ve tedavi gibi durumların sıklıkla gerekli olduğunu göstermiştir. Bir popülasyondaki bulaşıcı hastalıkların hareketlerini incelemek ve gelecekteki durumlarını tahmin etmek için matematiksel modellerden yararlanılmıştır. Bu tezde, bir popülasyondaki duyarlı (S), latent (L), akut (A), taşıyıcı (C), iyileşmiş (R) ve aşılanmış (V) bireylerin yer aldığı bir Hepatit-B hastalığının matematiksel modeli ele alınmıştır. Modelin daha detaylı analizini yapmak ve hafıza etkisini ortaya koymak için Caputo kesirli mertebeden türev kullanılmıştır. Modeli oluşturan sistemin biyolojik olarak anlamlılığını göstermek açısından negatif olmayan çözüm bölgesi ve kompartımanların sınırlılığı gösterilmiştir. Ayrıca ilgili sistemin çözümünün varlığı ve tekliği incelenmiştir. Modelin hastalıklı ve hastalıksız denge noktaları hesaplanmış ve bu denge noktalarının kararlılık analizi yapılmıştır. Salgın hastalıklarda ikincil enfeksiyon oranı olarak bilinen ve hastalığın gelecekteki seyri hakkında önemli bilgiler veren temel üreme sayısı hesaplanmıştır. Bununla birlikte Türkiye'deki gerçek veriler kullanılarak Hepatit-B hastalığı için oluşturulan modelin parametreleri tahmin edilmiş ve parametre değerleri kullanılarak sayısal simülasyonlar yapılmıştır. Sayısal simülasyonlar yardımıyla Hepatit-B hastalığının gelecekteki seyri ile ilgili tahminlerde bulunulmuş ve kesirli türev ile tamsayı mertebeli türev arasındaki ilişki ortaya konmuştur.

Abstract:
Mathematical modeling has been widely used in many fields of science, engineering, finance, etc. Illustrative applications of mathematical modeling to infectious diseases have shown that isolation, quarantine, vaccination, and treatment are often necessary to eradicate most infectious diseases. Mathematical models have also been used to investigate the interactions of infectious diseases in the population and to predict their future course. In this thesis, a new mathematical model of the Hepatitis-B disease involving susceptible (S), latent (L), acute (A), carrier (C), recovered (R), and vaccinated (V) individuals is constructed and its qualitative properties are discussed. In order to analyze the model in more detail and to take into account the memory effect, the Caputo fractional derivative is used. Moreover, the non-negative solution region and the boundedness of the compartments are provided in order to show the biological significance of the proposed model. In addition, the existence and uniqueness of the solution of the system are examined. Disease-free equilibrium and endemic equilibrium points of the model are calculated and the stability analysis of these equilibrium points is performed. The basic reproduction number, which is known as the secondary infection rate in epidemics and gives important information about the future course of the disease, is calculated. Meanwhile, a total of 12 parameters of the constructed Hepatitis-B disease are estimated by using real data from Turkey and numerical simulations are achieved according to these estimated parameter values. With the help of numerical simulations, predictions about the future direction of Hepatitis-B disease are performed and the relationship between the fractional derivative and the integer-order derivative is discussed.