Lineer diferensiyel denklemlerin kararlılığı ve Hyers-Ulam kararlılığı
Hyers-Ulam stability of linear differential equations
Yazar: NALAN KITAN UYAR
Danışman: PROF. DR. ADİL MISIR
Gazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2019
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
1940 yılında Stanislaw Ulam, Wiskonsin Üniversitesinde fonksiyonel denklemlerin kararlılığı ile ilgili bir problemi ortaya koymuştur. Donald H. Hyers bir sonraki yıl, Ulam'ın bu sorusuna Banach uzayları üzerinde toplamsal dönüşümler için kısmi olarak bir cevap vermiştir. Fonksiyonel denklemlerin kararlılık problemi, Ulam'ın bu sorusuna Hyers'in verdiği teoremle başlamıştır. Yaklaşık otuz yıl önce Ulam'ın problemi ve Hyers teoreminin çeşitli genellemeleri ile bağlantılı olarak birçok çalışma yapılmıştır. 1978'de Themistocles M. Rassias, Hyers'in teoremini Banach uzayları üzerinde genişletmeyi başarmıştır. Daha sonra Ulam problemi fonksiyonel denklemler yerine bazı diferensiyel denklemler için tanımlanıp araştırılmıştır. İlk olarak Alsina Ger 1998 yılında, birinci mertebeden y′(t)=y(t) lineer diferensiyel denkleminin Hyers-Ulam kararlılığını araştırmıştır. Göstermiştir ki her t∈I için y:I→R fonksiyonu |y′(t)-y(t)|<ε eşitsizliğini sağlayan  diferensiyellenebilir bir fonksiyon ise g′(t)=g(t) denklemini sağlayan bir g:I→R fonksiyonu vardır öyle ki her t∈I için |y(t)-g(t)|<3ε sağlanır. Bu tez çalışmasında ilk olarak bazı fonksiyonel denklemlerin, birinci basamaktan lineer veya lineer olmayan diferensiyel denklemlerin ve yüksek basamaktan sabit katsayılı homogen lineer diferensiyel denklemlerin kararlılığı incelenmiştir. İkinci olarak bazı özel tipte birinci basamaktan lineer diferensiyel denklemlerin Hyers-Ulam kararlılığı incelenmiştir. Son olarak lineer diferensiyel denkleme dönüşebilen Bernoulli diferensiyel denkleminin Hyers-Ulam kararlılığı ispatlanmıştır.

Abstract:
In 1940, Stanislaw Ulam posed a problem with the stability of functional equations at the University of Wisconsin. The next year Donald H. Hyers gave a partial answer to the Ulam's question for additive transformations on Banach spaces. Stability problem of functional equations started with the theorem of Hyers. During the last three decades very important contributions to the stability problems of functional equations were given by many mathematicians. In 1978, Themistocles M. Rassias was able to expand Hyers' theorem on Banach spaces. More than thirty years ago, a generalization of Ulam's problem for some diferential equations was proposed and investigated by replacing functional equations with differential equations. In 1998, Alsina Ger investigated the Hyers-Ulam stability of the first order y′(t)=y(t) linear differential equation. They proved that if a differentiable function y:I→R satisfies |f′(t)-f(t)|<ε for all t∈I, then there exist a differentiable function g:I→R satisfying g′(t)=g(t) for any t∈I such that |y(t)-g(t)|<3ε for every t∈I . In this thesis, we firstly study the stability of some functional equations, linear or non-linear differential equations of first order and higher order homogeneous constant coefficient linear differential equations. Secondly, we prove the Hyers-Ulam stability of some special kind of linear differential equations of first order. Finally, we prove the Hyers-Ulam stability of Bernoulli differential equations that can be converted into linear equations.