Weyl uzaylarında eşit-eşlenik eğri çiftleri
The Equi-Conjugate curves in Weyl spaces
Yazar: SEZGİN ALTAY
Danışman: DOÇ.DR. S. AYNUR UYSAL
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü
Derece: Doktora, 1999
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Eğriler = Curves ; Eşit-eşlenik eğriler = Equi-conjugate curves ; Weyl uzayları = Weyl spaces

Özet:
WEYL UZAYLARINDA EŞİT-EŞLENİK EĞRİLER ÖZET Bu çalışmada, (n + l)-boyutlu Weyl uzayının bir Wn hiperyüzeyine ait eşit-eşlenik eğrileri tanımlanmış ve bu eğrilerin v (r = 1, 2,...,ra) teğet vektör alanlan ile teşkil edilmiş birinci cins, ikinci cins Chebyshev şebekesi ve jeodezik şebekeler incelenmiştir. Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, Weyl uzaylarına ait temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. ikinci bölümde ise, xa koordinatına sahip Wn+ı(gab,Tc) Weyl uzayının, u1 koordinatlı Wn(gij,Tk) hiperyüzeyine ait eşit-eşlenik eğrileri tanımlanmış ve bu eğrilerle teşkil edilen bazı özel şebekeler incelenmiştir. Wn hiperyüzeyinin bir P noktasında iki eğrinin gavzv^ = 1 ve <7i,VvJ = 1 şeklinde Jr t p p normalize edilmiş v,v doğrultuları eşlenik ve bu doğrultulardaki normal eğrilikleri de T p birbirine eşit ise, böyle eğriler eşit-eşlenik eğriler olarak adlandırılmış ve bu eğrilerin Wn hiperyüzeyi üzerinde < = (üf-ür)sin2ö, K- K>0,r^p (1) rp rp rp vp rp bağıntısını sağladığı gösterilmiştir. ikişer ikişer eşit-eşlenik olma şartım gerçekleyen n-tane teğet vektör alanının meydana getirdiği (v,V, ???, v) eşit-eşlenik şebeke ile ilgili aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. Teorem: (n + l)-boyutlu Wn+ı Weyl uzayının, ortalama eğriliği sıfırdan farklı total ombilik Wn hiperyüzeyine ait herhangi bir n-li (y,y,...,v) şebekesinin eşit-eşlenik şebeke olması için gerek ve yeter koşul, bu şebekenin dik olmasıdır. Teorem: (n + l)-boyutlu Wn+ı Weyl uzayının, bir Wn hiperyüzeyinin eşit-eşlenik eğrilerinin v (r = 1, 2,..,n) teğet vektör alanlarının meydana getirdiği şebeke Wn'e göre birinci cins Chebyshev şebekesi ise, bu taktirde 2K(vlVıwikWvk = [vlVı(K - K)} sin2 0, K - K > 0, r ^p £ s (2) rr S T T S rp rp rp rp rp dir. Teorem: (n + l)-boyutlu Wn+ı Weyl uzayımn, ortalama eğriliği sıfırdan farklı total ombilik Wn hiperyüzeyine ait herhangi bir (v,V, ?.-, v) şebekesi Wn+ı'e göre birinci cins Chebyshev şebekesi ise, bu takdirde bu şebeke eşit-eşlenik şebekedir. Tezin üçüncü bölümünde, rekürant Weyl uzayının Wn hiperyüzeyine ait kavramlar ele alınmakta, bilhassa hiperyüzeyin total ombilik olması özel halinde, rekürantlık ile şebekelerin cinsi arasındaki ilişki araştırılmaktadır. Teorem: Aa rekürans vektörü Wn'e dik olmayan (ra+l)-boyutlu rekürant- Weyl uzayımn ortalama eğriliği sıfırdan farklı Wn hiperyüzeyi total ombilik olsun. Eğer Wn'e ait keyfi ivbir (y,V,.-., v) şebekesi Wn+ı'e göre aşağıdaki şartlardan birini sağlıyorsa, bu takdirde Wn, rekürant- Weyl uzayıdır i) (dik olmayan bir şebeke) birinci cins Chebyshev şebekesi ise ii) ikinci cins Chebyshev şebekesi ise iii) jeodezik şebeke ise. Özel olarak, eğer (n + 1) -boyutlu rekürant Weyl uzayının rekürans vektörü Wn'e dik ise, Wn hiperyüzeyinin Riemannien olacağı gösterilmiştir. Daha sonra, (n + 1)- boyutlu rekürant-Weyl uzayımn bir Wn hiperyüzeyine ait eşit- eşlenik eğri çiftlerinin bazı özellikleri incelenmiş ve aşağıdaki teoremler ispatlanmıştır. Teorem: Att rekürans vektörü Wn'e dik olmayan (n+1) -boyutlu rekürant- Weyl uzayımn Wn hiperyüzeyi total ombilik olsun. Eğer Wn rekürant- Weyl uzayı ise, bu takdirde Wn'e ait her eğri asimptotik eğridir (ra > 2). Bu çalışmanın dördüncü bölümde ise, bir Weyl hiperyüzeyi üzerinde tanımlanmış teğetsel olmayan bir vektör alamna bağh eşit-eşlenik eğrilerin özellikleri incelenmiştir, (n + l)-boyutlu Weyl uzayında diferansiyellenebilen ve Wn'e teğet olmayan Aa vektör alam \a = tix?+cna c = c(u1,u2,...,un) (3) şeklinde tammlanmıştır. Eğer Wn hiperyüzeyinin herhangi bir P noktasında gavlv^ = 1 ve g^vi = 1 koşulları ile normalize edilmiş v, v doğrultuları (A) kongrüansma göre p p T p eşlenik ve bu doğrultulardaki genelleştirilmiş normal eğrilikleri de birbirine eşit ise, bu doğrultulara teğet olan eğriler hiperyüzeyin (A)-eşit-eşlenik eğrileri olarak adlandırılmış ve bu eğrileri hiperyüzey üzerinde k. k = (K- K) sin2 6 + k2 (4) bağıntısmı sağladığı gösterilmiştir. Son olarak, hiperyüzeyin total ombilik ve teğetsel olmayan vektör alanının özel seçilmesi halinde, hiperyüzeyin vektör alamna bağh eşit-eşlenik eğrileri içermesi koşulunun, hiperyüzeyin total jeodezik olmasını gerektirdiği gösterilmektedir.

Abstract:
THE EQUI-CONJUGATE CURVES IN WEYL SPACES SUMMARY In this work, some special curves in a hypersurface with the metric tensor gij and the complementary vector Tk of the Weyl space Wn+\ with the metric tensor gab and the complementary vector Tc considered and the Chebyshev nets of the first kind, second kind and the geodesic nets which are formed by the tangent vector fields of special curves are investigated. This work contains four chapters. In chapter I, the fundamental definitions and theorems concerning the Weyl space Wn(gij,Tk) are given. In chapter II, the equi-conjugate curves of the hypersurface Wn with coordinates u% of the Weyl space Wn+i, with coordinates xa are defined and the nets formed by these special line nets are studied. Let v,v which are normalized by the conditions gijVlvj = 1 and gavlv^ = 1 of two T p V V P P curves be conjugates. If the normal curvatures in these directions are equal, then such a pair of curves will be called the equi-conjugate curves. It is shown that, such curves are characterized by the relation K2n = (K- K) sin2 6, K- K>Q,r=£p (1) T°p 7*p T*p 7*© 7*p Let (v,V,..., v) be formed by the tangent vector fields of n families of the equi-conjugate curves of Wn. Concerning this net, the following result obtained. Theorem: Let Wn be a totally umbilical (M ^ 0) hypersurface of the Weyl space Wn+\. A necessary and sufficient condition for a net of Wn be the equi-conjugate net is that this net be orthogonal ennuple. Theorem: If the net which is formed by the tangent vector fields of the equi-conjugate curves of a hypersurface Wn of the Weyl space Wn+\ is a Chebyshev net of the first kind relative to Wn, then the relation 2K(vlViwik)vivk = [vlVi(K - K)) sin2 0, K - K > 0, r^p^s (2) rr S TV 8 rp rp vp Vp rp holds. Theorem: Let Wn be a totally umbilical (M ^ 0) hypersurface of the Weyl space Wn+\. If any net (v,y,..., v) in Wn is a Chebyshev net of the first kind relative to Wn+i, then this net is the equi-conjugate net. In chapter HI, first of all, some properties of recurrent- Weyl space Wn+i is considered and some results concerning nets which is formed by the tangent vector fields of any vicurves of hypersurface of the recurrent- Weyl space Wn+i are obtained. The following results concerning recurrent- Weyl space are obtained. Theorem: Let Wn be a totally umbilical hypersurface of a recurrent -Weyl space Wn+i, the recurrence vector Aa which is not orthogonal to Wn. If any net (v,V, ??-, v) in Wn i) (not orthogonal net) is a Chebyshev net of the first kind or ii) is a Chebyshev net of the second kind or iii) is a geodesic net with respect to Wn+i, then Wn is recurrent- Weyl space. As a special case, if the recurrence vector Aa of the recurrent- Weyl space Wn+\ is orthogonal to Wn, then the hypersurface Wn is Riemannian. Theorem: Let Wn hypersurface of the recurrent- Weyl space Wn+i with the recurrence vector Aa which is not orthogonal to Wn be recurrent- Weyl space with the recurrence vector Ar. If the hypersurface Wn is totally umbilical, then all of the nets of Wn are the asymptotic nets (ra > 2). In chapter IV, the A-equi conjugate curves in a hypersurface Wn are defined. Let Aa be a vector field in Wn+i and it not be tangent to Wn. Then A° can be expressed as Aa = fx?+cnQ c = c(u1,v?,...,un) (3) If the directions v, v of two curves are conjugates with respect to the congruence (A) and if the prolonged normal curvatures of curve C relative to (A) in these directions are equal, such a pair of curves will be the called the A-equi-conjugate curves. It is shown that such curves are characterized by the relation k.k = (K- K)sin20+ k2 (4) Furthermore, some results concerning totally umbilical Weyl hypersurface are obtained. If in particular, t% is a asymptotic direction of Wn, then Wn is totally geodesic hypersurface. vu