Salgın hastalıklarda aşı ve karantina etkisinin matematiksel modellemesi
Mathematical modeling of the effect of vaccination and quarantine in epidemic diseases
Yazar: SEDA ÇELİK
Danışman: DOÇ. DR. SAADET SEHER ÖZER
İstanbul Teknik Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Bulaşıcı hastalıklar = Communicable diseases ; Epidemiolojik modelleme = Epiedmiological modeling ; Matematiksel modelleme = Mathematical modelling

Özet:
Salgın hastalıklar, hastalığa neden olan yeni patojenlerin meydana gelmesi ve eski patojenlerin yeniden ortaya çıkması ya da evrimleşmesi nedeniyle tarihte birçok toplu ölümlere neden olmuştur. Bu sebeple salgın hastalıkların analiz edilmesi sonucunda gelecekte meydana gelebilecek salgın hastalıklara karşı etkili tedbirlerin alınması sağlanabilir. 
Son yıllarda meydana gelen COVID-19, ortaya çıktığı günden bir süre sonra dünyayı etkisi altına almış, hayat akışını etkilemiştir. Bunun sonucunda çoğu ülke salgının yayılımını önlemek amacıyla tedbirler alırken, bu süre boyunca COVID-19 salgınına yönelik birçok bilimsel çalışmalar da ortaya koyulmuştur.
Matematiksel modeller, gerçek hayat problemini doğru varsayımlar eşliğinde matematiksel dil kullanılması sonucunda elde edilen tahminler ve çözümlerdir. Ulaşılan çözümlerin faydalı olması için problemi iyi anlamak ve analiz etmek gerekir. Matematiksel modeller birçok dinamik modelleme türlerinde kullanılabilir; av-avcı dinamikleri, uyuşturucu madde kullanımları, alkol, sigara ve salgın hastalıklar.
Epidemiyoloji de matematiksel modeller, hastalığın yayılmasını etkileyen altta yatan mekanizmaların ayrıntılı bir şekilde incelenmesini sağlaması ve salgını azaltmak için kontrol stratejilerinin rehberliğini desteklemesi nedeniyle araştırmacılar için en ilgi çekici konulardan biri olmuştur. 
 Özellikle son zamanlarda meydana gelen COVID-19 pandemisi ile beraber matematiksel modelleme çalışmaları yeniden ilgi kazanmıştır. 
Bu tezde, son yıllarda toplu ölümlere neden olan COVID-19 pandemisi ile ilgili yayınlanan matematiksel makalelerin incelenmesi sonucunda, iki tür model kurulumu yapılmıştır. Kurulan matematiksel modeller, çeşitli salgın hastalık durumlarında karantina ve aşının etkinliğini incelemek için oluşturulmuştur. Bu çalışma ile gelecekte ortaya çıkacak salgın hastalıklar ile etkin mücadele konusunda ışık olması amaçlanmıştır.
Bu çalışma toplam dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, temel tanımlar başlığı altında lineer ve lineer olmayan adi diferansiyel denklem sistemleri için denge noktalarının kararlılık analizleri hakkında bilgi verilmiştir. Kararlılık analizlerin yapılabilmesi için gerekli olan teoremler kısaca belirtilmiştir. Ayrıca bir sistemin Global kararlılığının incelenmesinde yardımcı olan Liapunov kararlılık teoreminden de bahsedilmiştir.
İkinci bölümde, temel salgın hastalık modelleri olan SI, SIS, SIR, SIRS ve SEIR detaylı incelenmiştir. Her bir modelin tanıtımı ve matematiksel analizleri yapılmıştır. Bunun yanı sıra salgın teorisindeki en önemli kavramlardan biri olan temel üreme sayısından bahsedilmiştir.
Üçüncü bölümde, tezin ana çalışması olarak iki farklı matematiksel model kurulumu yapılmıştır. İlk olarak, sadece aşı etkinliğini ve aşılanma oranının bir salgın yayılımı üzerindeki etkisini inceleyen basit bir matematiksel model kurulmuştur. Daha sonra hem karantina hem de aşının varlığının olduğu durum için daha kapsamlı bir matematiksel model oluşturulmuştur. Her iki modelin tanıtımı yapılması sonucunda lineer olmayan adi diferansiyel denklem sistemi kurulmuş, invaryant bölgesi, denge noktaları, yerel kararlılık analizleri ve sayısal sonuçları incelenmiştir. Modellerden elde edilen sayısal sonuçlar Mathematica programı ile çizdirilmiştir.
Kurulan iki modelden ilki olan aşılanma oranını ve etkinliğini inceleyen model, aşılanmış duyarlıları, aşılanmamış duyarlıları ve enfekte popülasyonları olmak üzere 3 bölümden oluşmaktadır. Model de aşılanma oranının ve etkinliğinin salgının yayılımını nasıl etkilediği incelenmiştir.
Salgın hastalık yayılımında aşı etkinliği ve aşılanma oranının etkisini inceleyen modelin sayısal sonuç grafiklerinden sonuçlar elde edilmiştir. Aşı etkinliği azaldığında temel üreme sayısında artış oluştuğu gözlemlenmiştir.  Bu durum, aşı etkinliği azaldıkça salgının yayılım şiddetinin artığını belirtir. Diğer taraftan, aşı etkinliği arttığında temel üreme sayısında azalış oluştuğu gözlemlenmiştir. Bu sonuç, aşı etkinliğinin salgın yayılımında önemli bir faktör olduğunu ve salgın yayılımını azaltmak için aşı etkinliğinin artırılması gerektirdiğini belirtir.
Kurulan ilk model için salgının yayılımında aşılanma oranının etkisi de incelenmiştir. İnceleme sonucunda, aşılanma oranı arttıkça salgının daha erken sönümlendiği ve salgın yayılım şiddetinin azaldığı gözlemlenirken, aşılanma oranı azalttıkça ise salgının yayılım şiddetinin arttığı sonucuna ulaşılmıştır.
İkinci model olan karantina ve aşı etkinliğini inceleyen model, aşılanmış ve aşılanmamış duyarlıları, maruz kalmış, karantinaya alınmış, enfekte ve iyileşmiş popülasyonları temsil eden altı bölümden oluşmaktadır. Modelin matematiksel analizi yapılırken temel üreme sayısı yeni nesil yaklaşım yöntemi ile bulunmuştur. Hastalıksız denge noktasının yerel kararlılığı için Routh-Hurwitz yönteminden faydalanılmış, global kararlılığı için ise Liapunov teorisi uygulanmıştır. Ayrıca temel üreme sayısının 1'den küçük olması için gerekli olan parametre koşulları da incelenmiştir.
Karantina ve aşı etkinliğini inceleyen modelin sayısal sonuç grafiklerinden, aşı etkinliği zayıf iken güçlü karantina uygulanmasının temel üreme sayısında azalmaya neden olduğu görülmüştür. Buradan aşı etkinliği zayıf olsa bile karantinaya girenlerin oranının yüksek olmasının salgının yayılımında azalışa neden olduğu sonucuna ulaşılmıştır. Diğer taraftan, aşı ve karantina önlemi alınmadığında ise salgının ciddi şekilde yayıldığı gözlemlenmiştir. Aşı etkinliği güçlü iken karantina oranın da azalış olması durumunda ise salgının daha geç sürede sönümlendiği gözlemlenmiştir. Ayrıca aşı etkinliği ne kadar güçlü olsa bile salgının kontrolü için karantinanın gerekli olduğu yapılan inceleme sonucunda ulaşılmıştır. 
Hem aşı etkinliği hem karantina oranlarının çok düşük olduğu durumda ise salgının yayılım şiddetinin yüksek olduğu gözlemlenirken, her ikisinin yüksek olması durumunun ise salgının yayılımını kontrol etmede en iyi strateji olduğu bu çalışma sonucunda ulaşılmıştır.
Son bölümde, çalışmanın sonuç ve önerilerinden bahsedilmiştir. 
\textbf
Anahtar Kelimeler: Matematiksel epidemiyoloji, Kararlılık analizi, Yeni nesil yaklaşım yöntemi, Temel üreme sayısı ($R_{0}$), Aşı, Karantina

Abstract:
Epidemics have caused many deaths in history due to the reappearance of new disease-causing pathogens and the re-emergence or evolution of old pathogens. Therefore as a result of the analysis of epidemic diseases, effective precautions can be taken against epidemics that might occur in the future. 
COVID-19, which has occurred in recent years has taken the world under its influence shortly after its emergence and affected life fluency. As a result while most countries have taken measures to prevent the spread of the epidemic, many scientific studies on the COVID-19 epidemic have been done.
Mathematical models are the predictions and solutions as a consequence of the usage of correct assumptions of real-life problems by applying a mathematical language. For the solutions to be useful, it is necessary to understand and analyze the problem well. Mathematical models can be used in many types of dynamic modeling such as predator-prey dynamics, drug use, alcohol, smoking, and epidemics. 
In Epidemiology, mathematical models are one of the greatest interest to researchers as they enable a detailed study of the underlying mechanism affecting the spread of disease and support the guidance of control strategies to reduce outbreaks. Especially mathematical modeling studies regained interest with the recent COVID-19 pandemic.
In this thesis, two types of models are set up as a result of analyzing mathematical papers published on the COVID-19 pandemic, which has caused mass deaths in recent years. Established mathematical models were created to examine the effectiveness of quarantine and vaccines in various epidemic situations. It is aimed that this study will be a guide for the effective fight against epidemic diseases that will emerge in the future.
This study consists of four chapters. In the first chapter, information about the stability analysis of equilibrium points for linear and non-linear ODE systems are given under the title of basic definitions. The theorems required for the application of stability analysis are briefly stated. The Lyapunov stability theorem which helps to determine the global stability of a system is also mentioned. 
In the second chapter, the basic epidemic disease models SI, SIS, SIR, SIRS, and SEIR are examined in detail - Each model is introduced and mathematically analyzed. In addition basic reproduction number, one of the most significant concepts in epidemic theory is mentioned.
In the third chapter, two different mathematical models are set up as the focus of the thesis. First a simple mathematical model is developed that examines only the effects of the vaccine efficacy and the rate of vaccination on the spread of an epidemic. Then a more comprehensive mathematical model is constructed for the case where both quarantine and vaccination are present. After introducing both of the models' systems of nonlinear ordinary differential equations are generated and their invariant region, equilibrium points local stability analysis and numerical results are analyzed. The numerical results derived from the models are plotted with Mathematica.  
The first of the models which examines the rate and efficacy of the vaccine consists of 3 compartments: vaccinated susceptibles, unvaccinated susceptibles, and infected populations. It is examined in the model how the rate and effectiveness of vaccination affect the spread of the epidemic. 
The outcomes are obtained from the graphs of the numerical results of the model, which examines the effect of vaccine efficacy and vaccination rate in the spread of epidemic disease. An increment in the basic reproduction number is observed when the efficiency of the vaccine decreases. That indicates the severity of the outbreak increases as vaccine efficacy decreases. On the other hand, it is observed that the basic reproduction number decreases when the vaccine effectiveness increases. This result indicates that vaccine efficacy is a vital factor in the spread of the epidemic and that the efficacy of the vaccine should be increased to reduce the spread of the epidemic. 
In the first model, the effect of the vaccination rate on the spread of the epidemic is also examined. And as a result of this examination, it is observed that the epidemic redeemed earlier and the epidemic spread severity decreases as the vaccination rate increases and also the severity of the epidemic's spread increases when the vaccination rate decreases. 
The second model examining quarantine and vaccine efficacy consists of six compartments representing vaccinated and unvaccinated susceptibles, exposed, quarantined, infected, and recovered populations. While performing the mathematical analysis of the model, the basic reproduction number is determined by the next-generation approach method. The Routh-Hurwitz method is used for the local stability of the disease-free equilibrium point and the Lyapunov theory is applied for the global stability. Besides, the necessary parameter conditions for the basic reproduction number to be less than one is examined. 
From the graphs of the numerical results of the model examining the effect of quarantine and the efficiency of the vaccine, it is observed that strong quarantine causes decreasement in the basic reproduction number. Therefore even if the efficiency of the vaccine is weak, a high number population of quarantine leads to decrease in the spread of the epidemic. On the other hand it is observed that the epidemic spread dramatically when vaccination and quarantine precautions are not taken. It has also been observed that in the case of low quarantine rate while the vaccine effectiveness is strong, the epidemic is redeemed in a later time. It has also been concluded as a result of the examination that quarantine is necessary for the control of the epidemic, no matter how strong the vaccine effectiveness is. 
While it is observed that the spread of the epidemic is high in cases where both vaccine effectiveness and quarantine rates are very low, the outcome of this study is that high levels of both are the best strategy to control the spread of the epidemic.
In the last chapter, conclusion and remarks are given.

\textbf

Keywords: Mathematical epidemiology, Stability analysis, Basic Reproduction number ($R_{0}$), Vaccination, Quarantine