Modifiye bernstein operatörlerinin bir durrmeyer-stancu varyantı için voronovskaja tip yaklaşım teoremi
Voronovskaja type approximation theorem for a durrmeyer-stancu variant of the modified bernstein operators
Yazar: MEHMET HANEFİ ALTUN
Danışman: PROF. DR. ÜLKÜ DİNLEMEZ KANTAR
Gazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
1885'te Weierstrass, sınırlı ve kapalı bir aralıkta sürekli bir fonksiyona polinomlar ile yaklaşılabileceğini göstermiştir. Sonraki yıllarda bir çok araştırmacı tarafından bu teoremin farklı ispatları yapılmıştır. Bu ispatlardan en çok ilgi çekeni Sergey Natanoviç Bernstein tarafından yapılan ispattır. Bernstein, Weierstrass'ın temel teoremini kanıtlamak için 1912'de Bernstein operatörünü ve Bernstein polinomları olarak adlandırılan polinomları tanımlamıştır. Bernstein polinomları, yaklaşıklık özellikleri nedeniyle bir çok araştırmacının dikkatini çekmiş ve çok sayıda araştırmacı tarafından incelenmiştir. Durrmeyer, 1967 yılında Bernstein operatörlerinin integrallenebilir modifikasyonlarını tanımlamıştır. Bernstein operatörlerinin bir integral modifikasyonu Ana-Maria Acu , Vijay Gupta ve Gancho Tachev tarafından tanıtılmış ve incelenmiştir. Bu çalışmada klasik olan Bernstein-Durrmeyer operatörleri modifiye edilmiş, modifiye Bernstein-Durrmeyer-Stancu tip operatörleri tanımlanmış, modifiye Bernstein-Durrmeyer-Stancu tip operatörlerin  klasik olan Bernstein-Durrmeyer operatörlerinden daha iyi özelliklere sahip olduğu gösterilmiştir. Modifiye Bernstein-Durrmeyer-Stancu tip operatörleri   için momentler ve merkezi momentler, lemmalar ve teoremler yardımıyla verilmiş, sonrasında Korovkin teoremi kullanılarak Modifiye Bernstein-Durrmeyer-Stancu tip operatörlerinin düzgün yakınsaması kanıtlanmıştır. Yine modifiye Bernstein-Durrmeyer-Stancu tip operatörler için bir Voronovskaja tip teorem verilerek asimptotik yaklaşımı incelenmiştir. Çalışmanın son bölümünde Maple bilgisayar programından yararlanılarak grafikler çizilmiş, modifiye Bernstein-Durrmeyer-Stancu operatörlerinin  yaklaşımı incelenmiştir.

Abstract:
In 1885, Weierstrass showed that a continuous function over a closed interval could be approximated by polynomials. In the following years, different proofs of this theorem were made by many researchers. Among these proofs the most interesting one was made by Sergey Natanovic Bernstein. In 1912, Bernstein defined the Bernstein operator and polynomials which were called Bernstein polynomials  to prove the fundamental theorem of Weierstrass. Bernstein polynomials have  attracted the attention of many researchers due to their approximation properties. In 1967, Durrmeyer defined integrable modifications of Bernstein operators Ana-Maria Acu , Vijay Gupta and Gancho Tachev introduced an integral modification of the Bernstein operators. In this study, modified Bernstein-Durrmeyer-Stancu type operators heve been defined, it has revealed  that modified Bernstein-Durrmeyer-Stancu type operators have better properties than the classical Bernstein-Durrmeyer type operators. Moments and central moments for modified Bernstein-Durrmeyer-Stancu operators have been given by using  lemmas and theorems. Then,  the uniform convergence of the modified Bernstein-Durrmeyer-Stancu type operators have been proved by using Korovkin's theorem. The asymptotic approximation of the modified  Bernstein-Durrmeyer-Stancu type operators has been analyzed by using a Voronovskaja type theorem. In the last part of the study, the studied operators have been plotted by using the Maple software, and the approximation of the modified Bernstein-Durrmeyer-Stancu type operators has been examined.