Diferensiyel denklemlerin korunum kanunları, ilk integralleri, integrasyon çarpanları, simetri grup sınıflandırmaları ve benzerlik çözümleri
Conservation laws, first integrals, integration factors, symmetry group classifications and similarity solutions of differential equations
Yazar: GÜLDEN GÜN POLAT
Danışman: PROF. DR. TURGUT ÖZİŞ ; PROF. DR. TEOMAN ÖZER
Ege Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2017
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu çalışmada öncelikle diferansiyel denklemlerin ilk integralleri ve integrasyon çarpanlarını bulmaya olanak sağlayan bazı metotlar detaylıca açıklanmış ve bu metotların Li\'{e}nard I-tip ve Li\'{e}nard II-tip denklemlerine uygulamalarına yer verilmiştir. Ele alınan metotlar arasındaki ilişkiler analiz edilerek, metotlar arasındaki dolaylı ve direkt bağlantılar göz önüne alınmıştır. Lie ve $\lambda$-simetrileri bağlantısı, $\lambda$-simetrileri ile Prelle-Singer metodu ve Lie simetrileri ile Jacobi çarpanları arasındaki ilişkiler önemle vurgulanmıştır.
 Li\'{e}nard I-tip ve Li\'{e}nard II-tip denklemlerin Noether, Lie simetrileri kullanılarak $\lambda$-simetrileri, integrasyon çarpanları, ilk integralleri ve Jacobi çarpanları sunulmuştur. Hareketli denk çatılar metodu tanıtılmış, metodun yeni bir bakış açısıyla değerlendirilmesi ele alınmış ve nasıl uygulandığı açıklanmıştır. Bu metodun bazı temel grup aksiyonları için uygulamaları inşa edilmiş  ve daha iyi anlaşılması amaçlanmıştır. İkili ve üçlü formların diferansiyel ve ortak diferansiyel invaryantları hareketli çatı metodu kullanılarak ortaya koyulmuştur. Ayrıca bu formlara ait yüksek mertebeden diferansiyel invaryantlar da elde edilmiş, üçlü formlar için bu diferansiyel invaryantlar yardımıyla üçlü formların diferansiyel invaryant cebirini üreten invaryant belirlenmiştir.

Abstract:
In this study, first of all, some methods that allow to find the first integrals and integration factors of the differential equations are explained in detail and these methods are applied to Li\'{e}nard I-type and Li\'{e}nard II-type equations. The relationship between the methods that are studied here are analyzed then their indirect and direct connections between each other are evaluated. The important relations that are $\lambda$-symmetries with Lie symmetries, Prelle-Singer method with $\lambda$-symmetries and Lie symmetries with Jacobi multipliers are claimed. Noether symmetries, $\lambda$-symmetries via Lie symmetries, integration factors, first integrals and Jacobi multipliers of Li\'{e}nard I-type and Li\'{e}nard II-type equations are derived. The method of equivariant moving frame has been introduced, evaluation of this method as a new point of view has been discussed and then explained how it is applied. With the goal of creating better understandig, for the some basic group actions equivariant moving frames has been constructed. Differential and joint differential invariants of binary and ternary forms are performed with respect to the moving frame method. Furthermore, higher order differential invariant of ternary forms are constructed and we show that generating invariant of the differential invariant algebra of ternary forms.