Lineer olmayan tamamen çözülebilir 2-boyutlu kısmi türevli diferansiyel denklemler
Nonlinear compeletely solvable 2 partial differential equations
Yazar: SELMA ADANMIŞ
Danışman: PROF. DR. ÖMER OĞUZ
Haliç Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2015
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu çalışmada son yıllarda gelişme gösteren lineer olmayan tamamen çözülebilir (1+1) boyutlu kısmi türevli diferansiyel denklemler incelenmiştir. Genel olarak bu denklemlerin çözülebilirliğini gösteren yöntemler ele alınmıştır. Bu çalışmada incelediğimiz yöntemler Lax formalizmi, AKNS formülasyonu, sıfır eğrilik şartı ve Bi-Hamilton yapıdır. Lax formalizminde biri öz değer diğeri zaman değişim denklemi şeklindeki iki lineer denklemin uyumluluk şartından ortaya çıkan lineer olmayan kısmi türevli diferansiyel denklemler tamamen çözülebilir denklemler olmaktadır. Aynı zaman da AKNS ve sıfır eğrilik şartı formülasyonları, Lax formalizmini temel alan formülasyonlardır. Bu çalışmada yukarıda değinilen yöntemler detaylı bir şekilde incelenmiş ve örnekler verilmiştir. Lax formülasyonuyla KdV, Burgers ve Boussinesq denklemlerinin, AKNS denklemleriyle KdV, mKdV, NLS ve SG denklemlerinin ve sıfır eğrilik şartıyla da KdV denkleminin tamamen çözülebilir olduğu gösterilmiştir. Ayrıca AKNS denklemlerinin sıfır eğrilik şartı formülasyonu kullanılarak da elde edilebildiği gösterilmiştir. Daha sonra Poisson parantezlerinin sonlu ve sonsuz boyutlu lineer vektör uzaylarındaki özellikleri incelenerek Bi-Hamilton formalizmi verilmiştir. Bi-Hamilton yapıya sahip olan lineer olmayan denklemlerden biri olan KdV denkleminin Bi-Hamilton yapısı detaylı olarak incelenmiş ve elde edilen Hamilton operatörlerinin anti-simetri özelliği ve Jacobi özdeşliğini sağladığı gösterilmiştir. Sonrasında KdV denklemi için bulunan Bi-Hamilton fonksiyonları ve operatörleri yardımıyla KdV hiyerarşisindeki diğer denklemler elde edilmiştir. Son olarak Boussinesq denkleminin Bi-Hamilton yapısı incelenmiştir.

Abstract:
In this study, showing the development in recent years, nonlinear compeletely solvable (1+1) partial differential equations were investigated. In general, methods that show integrability of these equations were discussed. The methods examined in this study are Lax's formalism, AKNS formulation, zero curvature condition and Bi-Hamilton structure. In Lax formalism, nonlinear partial differential equations, originating from compatibility condition of two linear equations, consisting of eigenvalue equation and time evolution equation, become completely solvable equations.  At the same time, AKNS formulation and zero curvature condition base on Lax formalism. In this study, above mentioned methods were examined in details and exemplified. It was shown that  KdV, Burgers and Boussinesq equations are comletely integrable by using Lax formulation, AKNS equations provide the integrability of KdV, mKdV, NLS and SG equations , and  the integrability of KdV equation is also shown by using zero curvature condition. It was shown that AKNS equations can be derived by using zero curvature condition formulation, too. Afterwards, Bi-Hamilton formalism was given, examining features of Poisson parentheses in infinite dimensional and finite dimensional linear vector space. Bi-Hamilton structure of the nonlinear equations-KdV equation, is examined in detail and it is shown that Hamilton operators provide antisymmetry feature and satisfy Jacobi identity. Then, other equations in KdV hierarchy are obtained with the help of Bi-Hamilton functions and operators, found for KdV equation. Finally, Bi-Hamilton structure of Boussinesq equation is investigated.