Pozitif polinomlar için dominasyon problemleri
Domination problems for positive polynomials
Yazar: TUĞÇEN SELMANOĞULLARI
Danışman: PROF. DR. MERT ÇAĞLAR
Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2017
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu çalısma sekiz bölümden olusmaktadır. Çalısmanın birinci bölümünde çalısma
konusuyla ilgili olarak tarihsel bilgilerle birlikte, konuya hazırlayıcı bilgilere yer
verilmistir. Ikinci bölümde ise, konuyla ilgili temel tanım ve teoremler verilmistir.
Bu tez çalısmasında, pozitif operatörler için daha önceden yapılmıs olan
bazı dominasyon problemlerinden ilham alınarak, pozitif s-homojen ortogonal
toplamsal polinomlar için çesitli dominasyon problemleri incelenmis ve yeni
sonuçlar elde edilmistir.

Bu çalısmanın üçüncü bölümünde, Banach-Saks polinom tanımı yapılmıs ve
pozitif s-homojen ortogonal toplamsal polinomlar için Banach-Saks dominasyon
problemi çözülmüstür. Ardından pozitif Banach-Saks s-homojen ortogonal
toplamsal polinomlarıyla ilgili elde edilen yeni sonuçlara yer verilmistir.

Dördüncü bölümde ise, regüler s-homojen ortogonal toplamsal polinomlar için
modül tanımı yapılmıs ve ardından regüler s-homojen ortogonal toplamsal bir
polinomun hangi kosullar altında modülünün oldugu ve bu modülün nasıl tanımlı
oldugunu belirleyen bir teorem ispatlanmıstır. Daha sonra, hangi kosullar altında
bir kompakt regüler s-homojen ortogonal toplamsal polinomun kompakt bir
modüle sahip oldugu ve bu modülün nasıl tanımlandıgı ispatlanmıstır. Bölüm
sonunda ise, (zayıf) kompakt operatörler için verilmis olan çesitli sonuçlardan
yararlanarak, pozitif s-homojen ortogonal toplamsal polinomlar için yeni sonuçlar
elde edilmistir.

Çalısmanın besinci bölümünde, Dunford-Pettis polinomu tanımı verilmis ve
pozitif Dunford-Pettis s-homojen ortogonal toplamsal polinomların dominasyon
problemi için üç farklı teorem ispatlanmıstır. Bölüm sonunda ise, pozitif
Dunford-Pettis s-homojen ortogonal toplamsal polinomlar için elde edilen yeni
sonuçlara yer verilmistir.

Altıncı bölümde, zayıf Dunford-Pettis polinomu tanımlanmıs ve 1 ¤ s P N ve s
tek sayı olmak üzere, pozitif zayıf Dunford-Pettis s-homojen ortogonal toplamsal
polinomlar için dominasyon problemi ispatlanmıstır. Bölüm sonunda, pozitif zayıf
Dunford-Pettis s-homojen ortogonal toplamsal polinomlar için elde edilen yeni
sonuçlar verilmistir.

Yedinci bölümde, ayrık kesin singüler polinom tanımı verilerek, pozitif ayrık
kesin singüler s-homojen ortogonal toplamsal polinomlar için dominasyon
problemi incelenmistir. Bölüm sonunda ise, regüler ayrık kesin singüler s-homojen
ortogonal toplamsal polinomlar için bulunan yeni sonuçlara yer verilmistir.

Son olarak sekizinci bölümde, bu tez çalısmasından elde edilen sonuçlara ve
önerilere yer verilmistir.

Anahtar Kelimeler : Dominasyon problemi, regüler s-homojen ortogonal
toplamsal polinom, Banach-Saks polinom, modül, kompakt regüler s-homojen
ortogonal toplamsal polinom, Dunford-Pettis polinom, zayıf Dunford-Pettis
polinom, ayrık kesin singüler polinom.

Abstract:
This study consists of eight chapters. The first chapter is the introduction
chapter containing preliminary information and historical information regarding
the subject. The second chapter contains basic definitions and theorems that are
related to the subject.

In this thesis, various domination problems for positive s-homogenous orthogonal
additive polynomials are investigated and new results are obtained, inspired by
some previous domination problems for positive operators.

In the third chapter, Banach-Saks polynomial is defined and the Banach-Saks
domination problem solved for positive s-homogenous orthogonal addition
polynomials. Then, new results are obtained about positive Banach-Saks
s-homogenous orthogonal additive polynomials.

In the fourth chapter, a modulus is defined for regular s-homogenous orthogonal
additive polynomials and then a theorem, determining the conditions under which
a regular s-homogenous orthogonal additive polynomial has modulus and how
this modulus is defined, is proved. Later, it has been proven that under which
conditions a compact regular s-homogenous orthogonal additive polynomial has a
compact modulus and that how this modulus has been defined. At the end of the
chapter, new results have been obtained for positive s-homogenous orthogonal
additive polynomials through taking the advantage of the various results given
for (weak) compact operators.

In the fifth chapter, the definition of Dunford-Pettis polynomial is given and
three different theorems have been proved for the domination problem of the
positive Dunford-Pettis s-homogeneous orthogonal additive polynomials. At the
end of the chapter, new results obtained for positive Dunford-Pettis s-homogenous
orthogonal additive polynomials are presented.

In the sixth chapter, the weak Dunford-Pettis polynomial is defined and
the domination problem has been proved for positive weak Dunford-Pettis
s-homogenous orthogonal additive polynomials with 1 ¤ s P N and s is an odd
number. At the end of the chapter, new results are obtained for positive weak
Dunford-Pettis s-homogenous orthogonal additive polynomials.

In the seventh chapter, the domination problem for positive disjointly strictly
singular s-homogenous orthogonal additive polynomials is investigated by giving
definite disjointly strictly singular polynomials. At the end of the chapter, new
results for regular disjointly strictly singular s-homogenous orthogonal additive
polynomials are given.

Finally, in the eighth chapter, the conclusions and recommendations for this
thesis are given.

Key Words : Domination problem, regular s-homogenous orthogonally
additative polynomial, Banach-Saks polynomial, modulus, compact regular
s-homogenous orthogonally additative polynomial, Dunford-Pettis polynomial,
weak Dunford-Pettis polynomial, disjointly strictly singular polynomial.