Kısmi-eğik altmanifoldların  geometrisi
Geometry of hemi-slant submanifolds
Yazar: SİBEL GERDAN
Danışman: DOÇ. HAKAN METE TAŞTAN ; DOÇ. DR. HÜLYA DURU
İstanbul Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2015
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Altmanifold = Submanifold

Özet:
Bu tez çalışmasını amacı, kısmi-eğik altmanifoldların geometrisini incelemektir.   Biz bu çalışmada yerel konformal Kähler manifoldların kısmi-eğik  altmanifoldlarına  odaklanacağız.

Bu çalışma beş ana bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde tez boyunca üzerinde çalışacağımız konuların temeli sayılan çalışmalar verilmiştir.

İkinci bölüm, dört alt bölümden oluşmaktadır. Birinci alt bölümde diferansiyellenebilir  manifoldların geometrisinin temel tanım ve kavramları verilmektedir. Bu bölümde  manifold kavramı,  bir manifoldun teğet ve ko-teğet uzayı tanıtılmakta ve bunun yanısıra manifoldlar arasında tanımlanan fonksiyonlar ile   ilgili özellikler sunulmakta ve manifold teorisini çalışmada temel oluşturan   altdaldırma, üstdaldırma, türev dönüşüm gibi  fonksiyonlar verilmektedir. Ayrıca  manifold  üzerinde lineer koneksiyon tanımlanmakta ve manifold üzerinde tensör alanı, tensör türevi gibi kavramlardan bahsedilmektedir. İkinci alt bölümde   Riemanniyen manifold kavramı ile bu manifold üzerinde tanımlanan Riemanniyen koneksiyon,  eğrilik tensörü, kesitsel eğrilik gibi kavramlardan bahsedilip,   Riemanniyen geometrinin en temel teoremlerinden biri verilmektedir. Ayrıca  Riemanniyen altmanifold kavramı ve bunların geometrisini incelemeye yarayan   Gauss, Codazzi ve Ricci denklemleri sunulmuştur. Üçüncü altbölümde Kähleriyen manifold kavramı ve bu manifoldun temel özellikleri verilmektedir. Kähler manifoldların holomorfik, ters-değişmez ve eğik altmanifoldları gibi  altmanifold sınıfları tanıtılmaktadır. Bunun yanısıra Şahin tarafından yapılan çalışma  aracılığıyla bir Kähler manifoldun  kısmi-eğik altmanifoldları karakterize  etmeye yarayan teoremler  sunulmaktadır. Dördüncü alt bölümde yerel konformal Kähler manifoldun temel tanım ve teoremleri ve bu manifold tipine örnekler  verilmektedir.

Üçüncü bölümde, tez boyunca faydalanılan araçlardan ve uygulanan yöntemlerden oluşmaktadır.

Dördüncü bölüm tezimizin esas kısmını oluşturur. Bu bölümde  bir yerel konformal Kähler manifoldun kısmi-eğik altmanifoldları çalışılmıştır. Kısmi-eğik  altmanifoldların tanımında içerilen ters-değişmez ve eğik dağılımların   integrallenebilirliği için koşullar verilmiştir. Aynı zamanda bu dağılımların tümel-jeodezik yapraklanma tanımlaması için gerek ve yeter koşullar elde edilmiştir.   Bölüm paralel standart yapılı kısmi-eğik altmanifoldlar için verilen bazı sonuçlar ile bitmektedir.

Beşinci bölümde ise  çalışmanın genel bir değerlendirmesi yapılmaktadır.

Abstract:
The main aim here is researching the geometry of hemi-slant submanifolds. In this studying  we focus on hemi-slant submanifolds of a locally conformal Kähler manifold.

This study consists of five main chapters. In the first  chapter, the studies that  regarded as the basis of the issues we work throughout the thesis are given.

The second chapter consists of four subsections. In the first subsection,  we give basic definitions and notions of differentiable manifolds. In this section we introduce definition of a manifold, tangent and co-tangent space. Beside this we present some properties of functions that are defined between manifolds and we give the   definitions of inmersion, submersion and differential map which are  base  of  studying  the  manifold theory. Also, we give definition of  linear connection,  tensor field , differential of a tensor on a manifold.  In the second subsection, we  present the definition of Riemannian manifold and notions of Riemannian connection, curvature tensor, sectional curvature etc. Beside this we give one of fundamental theorem of Riemannian geomety. Also, we present the Gauss, Codazzi and Ricci equations to analyse the Riemannian submanifolds and the geometry of them.  In the third  subsection, we give definition of Kähler manifold and some properties of it.  We introduce  holomorfic, anti-invariant  and slant submanifolds of a Kähler manifold. Also,  with the help of study of  Şahin, we give some theorems to characterize hemi slant submanifolds of a Kähler manifold. In the fourth subchapter we give basic definitions,  theorems and examples of a locally conformal Kähler manifold.

In the third chapter, we describe the tools and applied methods we use through this thesis.

The fourth chapter is essential part of our thesis.In this section we study  hemi-slant  submanifolds of a locally conformal Kähler manifold. We give conditions for the  integrability of anti-invariant and slant distributions which are involved in the   definition of hemi-slant submanifolds. We also get necessary and sufficient conditions for these distributions to define totally geodesic foliations. The section ends with some results for hemi-slant submanifolds with parallel canonical structures.

In the fifth chapter, we rewiew the study.