Bulanık sayıların bir biyomatematik problemi üzerine uygulanması
An application   of fuzzy numbers  on a biomathematics problem
Yazar: ÖZGÜR KESKİN
Danışman: YRD. DOÇ. DR. FATMA BERNA BENLİ
Erciyes Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2015
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Diferansiyel denklemler, gerçek dünya olaylarını modellemek için zorunludur. Gerçek dünya problemlerinin çözümünde bir takım belirsizlikler ile karşılaşılabilir. Bu belirsizlikler eksik bilgi, ölçüm hataları yada belirlenen başlangıç koşullarından kaynaklanabilir. Bulanık küme teorisi bu problemlerin üstesinden gelebilecek güçlü bir araçtır. Bu çalışmanın amacı, ele alınan bir biyolojik modele bulanık sayıları uygulamaktır. Bundan dolayı alınan modeldeki sayılar bulanık sayı seçilerek çözüm gerçekleştirilmiştir. Bu tez çalışması beş bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde,  kullanılacak temel tanımlar ve teoremler verilmiştir. İkinci bölümde,  bu temel tanımlar ve teoremler  yardımıyla bulanık başlangıç değerleri ile herhangi bir av-avcı modeli incelenmiş ve  genelleştirilmiş diferansiyellenebilirlik  kavramı yardımıyla bu başlangıç değerleri için problemin grafik çözümleri elde edilmiştir. Üçüncü bölümde,  ikinci mertebeden bulanık diferansiyel denklemlerin bulanık başlangıç değer problemi ifade edilmiştir. Problem bulanık katsayılar, bulanık başlangıç değerleri ve bulanık kuvvet fonksiyonları için incelenmiştir. Bu incelemeden yola çıkarak  bulanık kümenin            α- kesmesini baz alan bir algoritma önerilmiş ve bu algoritmanın uygulanmasıyla çözülmüş bazı problemler incelenerek varılabilecek sonuçlar irdelenmiştir. Dördüncü bölümde, makrofajlar ve monoklonal beyin tümörü arasındaki av-avcı yapısını gösteren etkileşim modeli göz önüne alınmıştır. Bu model genelleştirilmiş diferansiyellenebilirlik kavramı yardımıyla bulanık başlangıç değerleri ile analiz edilmiş ve problemin grafik çözümleri gerçekleştirilmiştir. Son bölümde de, ikinci mertebeden bulanık sınır değer problemleri üçüncü bölümdeki  metot  yardımıyla analiz edilerek  çözülmüştür.

Anahtar Kelimeler: Bulanık Sayı, Bulanık Türev,  Bulanık Diferansiyel        Denklemler(BDD),  Bulanık Başlangıç Değerler.

Abstract:
Differential equations are necessary for modeling  real world phenomena. Unfortunately  we can see some  uncertainty  in solving real world  problems all time. The uncertainty can emerge from incomplete data, measurement errors or when determining initial conditions. Fuzzy set theory is a powerful tool to overcome these problems. The aim of this study is to apply fuzzy numbers to any model choosen. Therefore, the solution has been obtained by choosing fuzzy numbers in the received model. This thesis consists of five sections. In the first section, basic definitions and theorems which will be  used  are given. In the second section, any predator-prey model  with fuzzy  initial values by the help of these  basic definitions and theorems were  examined. Graphic solution  of problem for  this initial values were  obtained by the help of the concept of generalized differentiability. In the third section,  any  fuzzy initial value  problems of second order fuzzy differential  equations were stated. Fuzzy coefficients, fuzzy initial  values  and  fuzzy strength functions  for problem have been examined. An algorithm based on α-cut of fuzzy set by the help of this examination proposed and results that can be reached by examining some of the problems solved by applying  this algorithm are examined. In the fourth section, the  interaction model  showing the predator- prey  structure between macrophages and monoclonal brain tumor is considered. This model with fuzzy initial  values by  the concept of generalized  differentiability was analyzed and graphic solutions of this problem were carried out. In the last section, second order fuzzy boundary value problems using analysis results of the method in the third section was solved.

Keywords: Fuzzy Number, Fuzzy Derivative, Fuzzy Differential Equations (FDE), Fuzzy İnitial Values