Radikal altmodüller ve Dedekind modüllerin bir çalışması
A study of radical submodules and Dedekind modules
Yazar: BÜLENT SARAÇ
Danışman: PROF. DR. YÜCEL TIRAŞ
Hacettepe Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Bölümü / Matematik Ana Bilim Dalı / Cebir ve Sayılar Teorisi Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2008
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Asal alt modüller = Prime submodules ; Dedekind modüller = Dedekind modules

Özet:
Bu tezin temel amacı, halka kuramının önemli kavramlarından biri olan asal ideal kavramının modül kuramı için bir genellemesi olarak düşünülmüş asal altmodül kavramı ve bunun yardımıyla tanımlanan bazı kavramların, modüllerin sınıflandırılmasında nasıl kullanılabileceğini ve bilinen modül sınıfları ile olan ilişkilerini araştırmaktır.Tez dört bölümden oluşmaktadır. Tez çalışmamız boyunca kullandığımız, halka ve modül kuramının bazı temel kavram ve sonuçlarının bulunduğu birinci bölümden sonra yer alan diğer üç bölüm, tamamen özgün olacak şekilde düzenlenmiştir.İkinci bölüme, asal modüllerin dik toplamı şeklinde yazılan modüllerin incelenmesi ve radikal altmodüllerin karakterizasyonu ile başlanmaktadır. Daha sonra bir yarı-asal altmodülün ne zaman radikal olabileceği ile ilgili sonuçlar elde edilmiş ve her yarı-asal altmodülü radikal olan modüller ile üzerindeki her modül bu şekilde olan halkaların sınıfları araştırılmıştır.Üçüncü bölümde, radikal formülü üzerinde durularak, radikal formülünü sağlayan modüllerin sınıfı, Artin modüllerin sınıfından, representable modüllerin sınıfına genişletilmiştir. Ayrıca bu bölümde representable modüllerin altmodüllerinin radikalleri belirlenmiştir.Dördüncü bölümde, daha önce ele alınan kavramlardan farklı olarak, Dedekind modül kavramı ele alınmış ve Dedekind modüllerin karakterizasyonlarına yer verilmiştir. Bu bölümde, ayrıca, Dedekind modüllerin radikal formülünü sağlayan modüllerin sınıfı içinde yer aldığı gösterilmiştir.

Abstract:
The objective of this thesis is to investigate how the notion of prime submodules which is considered as a generalization of one of the significant notions in the ring theory called prime ideals and some other notions defined with the help of prime submodules are used to classify modules, and to figure out how these notions effect on some known module classes.Our thesis consists of four chapters. It is organized in a way that after the first chapter which contains only preliminary notions and necessary results through the thesis, the three chapters are totally original.In the second chapter, we give some results on modules which can be written as a direct sum of prime modules and a characterization of radical submodules. Then we investigate when a semiprime submodule is a radical submodule. We also study modules in which every semiprime submodule is radical and the rings over which every module has this property.In the third chapter, we study the radical formula, and extend the class of modules which satisfy the radical formula from the class of Artinian modules to the class of representable modules.In the fourth chapter, we deal with Dedekind modules and give some characterizations for a module to be Dedekind. In this section, we also prove that Dedekind modules belong to the class of modules which satisfy the radical formula.