Torsion teoride örtüler ve hull
Covers and hulls relative to torsion theories
Yazar: SEÇİL ÇEKEN
Danışman: DOÇ. DR. MUSTAFA ALKAN
Akdeniz Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2009
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezin amacı torsion teorinin temel özelliklerini incelemek ve modül teorideki bazı kavramların torsion teorideki genellemelerini araştırarak CS modüllerin yeni bir genellemesini yapmaktır.
Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, modül teorideki temel tanım ve teoremler ispatsız olarak verilmiştir.
İkinci bölümün, ilk kısmında torsion teorinin tanımı ve bazı özellikleri incelenmiştir. Sonraki kısımda ise daha sonraki bölümlerin temel kavramları olacak olan τ-yoğun ve τ-pür alt modül tanımları ve özellikleri verilmiştir. Ayrıca modül teorideki önemli bir modül sınıfı olan basit modüllerin genellemesi olarak, τ-basit ve τ-kokritikal modül kavramları tanıtılmıştır. Bu kavramlar ile ilgili temel özellikler verildikten sonra, maksimal alt modüllerin genellemesi olan τ-maksimal alt modüller tanıtılmıştır. Daha sonra da modül teorideki gibi τ-dar alt modül kavramı ile τ-radikal kavramları arasındaki bağıntı incelenmiştir. Ayrıca, modül kuramının önemli teoremlerinden biri olan Nakayama Lemma'nın bir genellemesi de verilmiştir.
Üçüncü bölümde, bir torsion teoriye göre injektif ve projektif modüller tanımlanarak, injektif hull ve projektif örtü kavramlarının torsion teorideki genellemeleri incelenmiştir. Ayrıca bu bölümde (0,Mod-R) torsion teorisinde injektif modüllere karşılık gelen τ-bölümlü modül kavramı da verilmiştir.
Son bölümde, CS modüllerin torsion teorideki yeni bir genellemesini elde etmek amacıyla, τ-kapalı ve τ-tamlayan alt modüller tanımlanarak, τ-CS modül tanımlanmıştır. Daha sonra da bu yeni kavramların özellikleri araştırılmıştır.

Abstract:
The aim of this thesis is to examine fundamental properties of torsion theory and make a new generalization of CS modules by studying generalizations of some concepts in module theory relative to a torsion theory.
This thesis consists of four chapter. In the first chapter fundamental definitions and theorems in module theory are given without proofs.In the first part of the second chapter definition and some properties of torsion theory are examined. In the next part, definitions and properties of τ-dense and τ-pure submodules, which will be basic notions of next chapters, are given. Moreover as a generalization of simple module which is an important module class in module theory τ-simple and τ-cocritical modules are introduced. After giving fundamental properties of these concepts, τ-maximal submodules which are generalizations of maximal submodules are introduced. Then the connection between τ-small submodules and τ-radical is established as in module theory. Furthermore a generalization of Nakayama Lemma which is an important theorem of module theory is given.
In the third chapter injective and projective modules are defined relative to a torsion theory and generalizations of injective hulls and projective covers are examined in a torsion theory. Moreover in this chapter, the concept of τ-divisible module which coincides with injective module in (0,Mod-R) is given.
In the last chapter τ-CS modules are defined by defining τ-closed and τ-complement submodules in order to obtain a new generalization of CS modules. Then properties of these new concepts are investigated.