Dağılımlı mertebeden diferansiyel denklemler için açık ve kapalı yöntemler
Explicit and implicit methods for distributed order differential equations
Yazar: MEHMET KOCABIYIK
Danışman: PROF. DR. MEVLÜDE YAKIT ONGUN ; DR. ÖĞR. ÜYESİ İLKEM TURHAN ÇETİNKAYA
Süleyman Demirel Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu doktora tez çalışmasında iki farklı biyolojik model için açık ve kapalı yöntemler ile sayısal analiz yapılmıştır. Tez çalışması yedi ana bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde konu hakkında bir giriş bölümü yer almaktadır. Bu bölümde diferansiyel denklemlerin tarihsel gelişimi hakkında bilgi verilmiştir. İkinci bölümde tez çalışmasında kullanılacak dağılımlı mertebeden diferansiyel denklemler için kaynak özetleri yer almaktadır. Tezin üçüncü bölümde ise öncelikle konu ile ilgili bilinmesi gereken temel kavram ve fonksiyonlar verilmektedir. Sonrasında ise yine bu bölümde kesirli mertebeden diferansiyel denklemler hakkında temel bilgi ve tanımlar bulunmaktadır. Dördüncü bölümde nümerik çözümler için açık ve kapalı yöntemler olan Euler, Runge-Kutta, Theta ve Standard olmayan sonlu fark yöntemi tanıtılmıştır. Ek olarak yine dördüncü bölümde ayrıklaştırma ve kararlılık analizi için gerekli tanım ve teoremlere değinilmiştir. Tezin beşinci bölümünde ise dağılımlı mertebeden diferansiyel denklem sistemlerinin Caputo tarafından ifade edilen tanımı ve analitik çözümü yer almaktadır.  Dağılımlı mertebeden diferansiyel denklemlerin kullanıldığı araştırmalar da yine bu bölümde belirtilmiştir. Altıncı bölümde tez çalışmasında araştırılan iki farklı model Aşılama (SVIR) modeli ve Hanta virüs modeli için öncelikle modellerin dağılımlı mertebeden diferansiyel denklem ile tanımları yapılmıştır. Sonrasında önceki bölümde tanımlanan açık ve kapalı yöntemler ile modellere ait denklem sistemlerinin sayısal analizleri yapılmıştır. Bu analizden sonra denge noktaları belirlenmiş ve denge noktalarının kararlılık analizleri elde edilmiştir. Son olarak yine bu bölümde kararlılık analizleri yapılmış denklem sistemlerine ait simülasyonlar verilmiştir. Yedinci ve son bölümde ise sonuç ve önerilere yer verilmiştir. Yapılan çalışma doğrultusunda çalışılan dağılımlı mertebeden diferansiyel denklemlerin hem adi mertebeden hem de kesirli mertebeden diferansiyel denklemlerde kullanımının uygun olduğu görülmüştür. Yoğunluk fonksiyonunun seçimi ile bu tip denklemlerin çözümü sayesinde hem adi mertebeden hem de kesirli mertebeden diferansiyel denklemlerin çözümü elde edilebileceği ve çözümlerin tutarlı olduğu gösterilmiştir. Denge noktası analizinde ise yine dağılımlı mertebeden diferansiyel denklemlerin yoğunluk fonksiyonu ile kullanılabileceği ifade edilmiştir. Böylece literatüre sayısal çözüm ve kararlılık analizi konusunda katkı sağlanmıştır.

Abstract:
In this thesis, numerical analysis has been performed with explicit and implicit methods for two different biological models.The thesis contains seven main sections. The first section introduces the topic and gives information about the historical development process of differential equations.
In the second section, there are reference summaries for distributed order differential
equations to be used in the thesis.In the third section of the thesis, primarily the basic terminologies and functions related to the subject are given. Afterwards, basic information and definitions about fractional order differential equations are also provided. In the fourth section, explicit and implicit methods for numerical solutions; Euler, Runge-Kutta, Theta and Nonstandard finite difference methods are introduced. Additionally, fundamental theorems and definitions for discretization and stability analysis are mentioned. The fifth section of the thesis, the definition and analytical solution of distributed order differential equations expressed by Caputo is given. The researches in which distributed order differential equation is used are also stated in this section. In the sixth section, two different models namely the vaccination (SVIR) model and
Hanta virus model are investigated. The section begins with the definition of
distributed order differential equations for models. Subsequentially, with the explicit and
implicit methods described in the previous section numerical analysis of the
equation systems of models has been made. In addition, equilibrium points have
been determined and stability analysis of equilibrium points have been obtained. At
last, simulations of systems of equations with stability analyzes are given.In the seventh and last section, conclusions and recommendations are given. As a result of the study, it has been seen that the distributed order differential equations, which is examined, are suitable for both in ordinary and fractional order differential equations. It has been shown that by choosing the density function and solving such equations, it is possible to obtain consistent solutions in such differential equations. In the equilibrium point analysis, it is stated that the differential equations of distributed order can be used with density function. Thus, a contribution has been made to the literature on numerical solutions and stability analysis.