Simitli çeşitlem üzerinde üzerinde parametrik kodlar ve sıfırlayan idealler
Vanishing ideals and parameterized codes on toric variety
Yazar: ESMA BARAN ÖZKAN
Danışman: DOÇ. DR. MESUT ŞAHİN
Hacettepe Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2021
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
X, split T_X simiti ile sonlu cisim üzerinde bir tam simpleksel simitli çeşitlem olsun. Bu
tez çalışması, T_X simitinin matrislerle parametrize edilen alt gruplarından elde edilen
parametrik kodlar üzerinedir. Bu parametrik kodların temel parametrelerini hesaplamak
için bu alt grupların sıfırlayan ideallerinin üreteçlerini bulmak çok önemlidir. Tezin
giriş bölümünde simitli kodların önemi ve literatür taraması verilmiştir. Tezde elde edilen
sonuçlar özetlenmiştir. İkinci bölümde afin simitli çeşitlemler için gerekli olan afin
çeşitlem alt yapısı oluşturulmuştur.
Üçüncü bölümde simit tanımlandıktan sonra, simitin karakter ve bir parametreli
alt grup kavramları verilmiş ve kafesler ile ilişkilendirilmiştir. Afin simit üzerinden afin
simitli çeşitlem tanımı verildikten sonra afin simitli çeşiitlemlerin farklı inşaları anlatılmıştır.
Rasyonel çokyüzlü konilerin temel konuları verilmiş ve afin simitli çeşitlemlerle
nasıl ilişkilendirildiği açıklanmıştır.
Dördüncü bölümde sonlu afin çeşitlemler izomorfizmler ile yapıştırılarak afin veya
projektif olmayan çeşitlemler oluşturulmuştur. Bu bölüm bu çeşitlemlerin daha iyi kavranması
için projektif çeşitlemler ile başlamıştır. Fan olarak isimlendirilen güçlü rasyonel
çokyüzlü konilerin sonlu koleksiyonunun içerdiği konilere karşılık gelen afin simitli
çeşitlemlerin nasıl yapıştırıldığı tarif edilmiş, böylece genel simitli çeşitlemler inşa edilmiştir. Bu bölümün esas ve son amacı genel simitli çeşitlemlerin noktalarının tıpkı projektif uzayda olduğu gibi homojen koordinatlar ile ifade edilebildiğini göstermektir.
Verilen bir Q matrisi için, T_X simitinin Q matrisinin sütunları tarafından parametrelenen
alt grubu T_{X,Q} olsun. Beşinci bölümde T_{X,Q} parametrik simitli kümesinin
sıfırlayan idealinin üreteç kümesini belirleyen 3 metot verilmiştir. Geliştirilen ilk yöntemde
eliminasyon teoriden faydalanılmıştır. Bu metot ile I(T_{X,Q}) sıfırlayan idealinin
üreteçlerini hesaplamak için bir algoritma ve bu algoritmanın Macaulay2 kodu yazılmıştır.
Aynı idealin üreteçlerini, bu ideali tanımlayan kafesin bazı ile bulunan başka bir
metot elde edilmiştir. I(T_{X,Q}) = I_L olacak şekilde L kafesini bulmaya yönelik bir algoritma
ve bu algoritmayı Macaulay2 programında uygulayan bir prosedür verilmiştir.
Böylece I(T_{X,Q}) idealinin tam kesişim olup olmadığı kolayca kontrol edilmiştir. Bu bölümde son olarak bazı şartlar altında, L kafesini kavramsal olarak belirleyen bir yöntem
elde edilmiş ve Nullstellensatz (Sıfır Yeri) Teoremi sonlu cisim üzerinde kanıtlanmıştır.
Altıncı bölüm tezin esas amacı olan homojen polinom fonksiyonlarının T_{X,Q} kümesinde hesaplanmasıyla oluşturulan C_{\alpha_Q} parametrik kodları içermektedir. Bu amaca
yönelik önce lineer kodlar konusu anlatılmıştır. C_{\alpha_Q} parametrik kodun boyutu T_{X,Q}
parametrik simitli kümesinin dereceli Hilbert fonksiyonu ile hesap edildiğinden dereceli
Hilbert fonksiyonların bazı özellikleri verilmiştir. T_{X,Q} alt grubunun parametrik
tanımı kullanılarak, kodun uzunluğuna eşit olan T_{X,Q} alt grubunun eleman sayısını
direk hesaplayan bir algoritma ve kodun minimum uzaklığı için bir alt sınır elde edilmiştir.
Uygulama olarak, Hirzebruch yüzeyin simitten elde edilen parametrik kodların
parametreleri hesaplanmıştır. Son olarak projektif uzaydan başka bir simitli çeşitleme
geçmenin ayrıca T_{X} simiti yerine T_{X,Q} parametrik alt grubunda çalışmanın avantajını
gösteren örnekler verilmiştir.

Abstract:
Let X be a complete simplicial toric variety over a finite field with a split torus T_X.
This thesis is on parameterized codes obtained from the subgroups of the torus T_X
parameterized by matrices. It is very important to find the generators of the vanishing
ideals of these subgroups to compute basic parameters of these codes. In the introduction
part of the thesis, the significance and a literature review of toric codes are given.
The results obtained in the thesis are summarized. The second chapter includes some
background of affine varieties required for the affine toric varieties.
In the third chapter, after defining torus, the concepts of character and one parameter
subgroup of a torus are presented, and are associated with lattices. After giving the
definition of toric variety, the different constructions of affine toric varieties are explained.
The basic topics of rational polyhedral cones are given and, their connections its
with affine toric varieties is explained.
In the fourth chapter, by gluing affine varieties with isomorphisms, abstract varieties
other than affine or projective varieties are constructed. This chapter starts with
projective varieties for a better understanding of these varieties. How to glue affine toric
varieties corresponding to elements in a finite collection of strong rational polyhedral
cones, called fan, is described, and so general toric varieties are constructed. The main
and final purpose of this section is to show that the points of a general toric variety
can be expressed with homogeneous coordinates as in projective space.
For a given matrix Q, denote by T_{X,Q} the subgroup of the torus T_X parameterized by
the columns of Q. In the fifth chapter, 3 algorithms are given to determine a generating
set of the vanishing ideal of T_{X,Q}. Elimination theory is used in the first algorithm
developed. A Macaulay2 code is written to implement the algorithm. Another method
for finding the generators of the same ideal using the base of the lattice describing this
ideal is obtained. An algorithm for finding the lattice L such that I(T_{X,Q}) = I_L and a
procedure implementing this algorithm in the Macaulay2 program is presented. Thus,
it is easily checked whether the vanishing ideal I(T_{X,Q}) is a complete intersection or not.
In this section, finally, a method for conceptually determining the lattice L is obtained
and a Nullstellensatz Theorem is proven on a finite field under some conditions.
The sixth chapter constitutes the heart of the thesis and includes parameterized
codes constructed by calculating homogeneous polynomial functions in the set T_{X,Q}.
For this purpose, firstly, basic topics of linear codes are explained. Since the dimension
of parametric code C_{\alpha_Q} is calculated with multigraded Hilbert function of toric set
T_{X,Q}, some properties of multigraded Hilbert functions are given. Using parametric
definition of the T_{X,Q}, an algorithm directly computing the number of elements of the
subgroup T_{X,Q} which is equal to the length of the code and a lower bound for the
minimum distance of the code is obtained. As an application, the basic parameters of
the parameterized codes obtained from the torus of the Hirzebruch surface are calculated.
Finally, examples illustrating the advantage of passing from projective space to
arbitrary toric variety, in addition to working with parameterized toric set T_{X,Q} instead
of the torus T_X are given.