Homojen olmayan poısson süreci ve uygulaması
Nonhomogeneous poisson process and its application
Yazar: FATMA NUR GÜL
Danışman: DOÇ. DR. NURİ ÇELİK
Gebze Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bir olgunun veya bir oluşumun matematiksel ifadeler kullanılarak soyut ve sadeleştirilmiş bir şekilde ifade edilmesine matematiksel model denilmektedir. İstatistiksel düzenlilik gösteren bir olgunun veya oluşumun sonuçlarının gerçekleşme olasılıklarını doğru bir şekilde tanımlayabilen model ise stokastik model olarak ifade edilmektedir. Başka bir deyişle, sistemde meydana gelen herhangi bir değişimin sonucu kestirilemiyor ve raslantısallık bir durum söz konusu ise gözlemlenen olay bir stokastiktir.
Rastsal bir değişkenin zaman içindeki değişimini ifade etmek için stokastik terimi kullanılmaktadır. Bir stokastik süreç, bir rastsal değişkenin zaman içindeki değişimini göstermektedir. Değişkenin rastsal olması ve zamana bağlı olarak değişmesi stokastik süreçleri incelerken önem arz etmektedir. Stokastik modeller, model değişkenlerinin rastsal olmasından dolayı geleceğe dönük belirsizliklerin bulunduğu durumlarda kullanılmaktadır. Bu belirsizliğin matematiksel olarak modellenmesi stokastik modelleme aracılığıyla gerçekleşmektedir.
 N(t), (0,t] aralığında meydana gelen belli türden olayların sayısı olmak üzere \left\{N\left(t\right),t\geq0\right\} stokastik süreci bir sayma süreci olarak adlandırılır. Sayma süreçleri modelleme açısından modern bilimin geniş bir alanına hitap etmektedir. En önemli sayma süreçlerinden biri olan Poisson süreci birçok yeni probleme çözüm ve farklı bakış açısı getirmiştir. Poisson süreci, rastgele meydana gelen olayların sayıları için bir model oluşturmakla birlikte diğer yararlı stokastik süreçlerin inşa edilebileceği temel bir yapı taşıdır.  Modellemede çok sık kullanılan sayma süreçlerinden biri de homojen olmayan Poisson sürecidir.
Bu çalışmada Homojen Olmayan Poisson Süreci ile Türkiye, Japonya ve Amerika'daki 2002-2021 yılları arasında meydana gelen deprem verileri kullanılarak modelleme yapılmıştır. Bu modelleme yapılırken kuvvet yasası modeli kullanılmıştır.
Bu tez beş ana bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde giriş ve literatür taraması kapsamlı bir şekilde ele alınmıştır. İkinci bölümde stokastik süreçler ve olasılıksal yapıları, stokastik süreçlerin alt türleri ve özellikleri, sayma süreçleri ve söz konusu sayma süreçlerinin teorik alt yapısı geniş bir şekilde ifade edilmiştir.
Tezin üçüncü bölümünde Poisson dağılımı ve Poisson süreçleri hakkında bilgilere yer verildikten sonra, homojen Poisson süreci (HPS) ve homojen olmayan Poisson süreçlerinin (HOPS) karakterizasyonu, özellikleri, ortalama ve varyans gibi istatistiksel yapıları verilmiştir. Ayrıca HOPS modellemesinde kullanılan model türlerinden kısaca bahsedilmiştir. Bu tezde kullanılacak olan kuvvet yasası modelinin olabilirlik fonksiyonu, parametre tahminleri ve beklenen arıza sayısı gibi özellikleri verilmiştir. 
Dördüncü bölümde uygulama olarak Türkiye, Japonya ve Amerika'da meydana gelen 5 ve üzeri deprem büyüklükleri dikkate alınarak bir önceki bölümde verilen kuvvet yasası modeli ile modelleme yapılmıştır. Bu model ile kullanılacak olan parametre tahmin değerleri hesaplandıktan sonra veri ile ilgili haftalık, aylık ve yıllık olarak gelecekteki herhangi bir zaman noktasında deprem olma olasılıkları hesaplanmıştır. 
Son bölümde elde edilen sonuçlar yorumlanmış ve tartışılmıştır.

Abstract:
A mathematical model refers to the representation of an event or phenomenon using mathematical expressions in an abstract and simplified manner. A stochastic model, on the other hand, is a model that accurately describes the probabilities of outcomes for an event or phenomenon that exhibits statistical regularity. In other words, if the outcome of any change in a system cannot be predicted and randomness is involved, the observed event is stochastic.
The term "stochastic" is used to describe the variation of a random variable over time. A stochastic process represents the change of a random variable over time. The random nature and the dependence on time are important aspects to consider when studying stochastic processes. Stochastic models are used in situations where there is uncertainty about future outcomes due to the randomness of the model variables. Mathematical modeling of this uncertainty is achieved through stochastic modeling.
	The stochastic process denoted as \left\{N\left(t\right),t\geq0\right\}  where N(t) represents the number of certain types of events occurring in the interval (0,t], is referred to as a counting process. Counting processes have broad applications in various fields of modern science. One of the most important counting processes, the Poisson process, has provided solutions and different perspectives to many new problems. While the Poisson process serves as a model for the numbers of randomly occurring events, it also serves as a fundamental building block for constructing other useful stochastic processes. Another commonly used counting process in modeling is the non-homogeneous Poisson process.
	In this study, modeling was conducted using the non-homogeneous Poisson process with earthquake data from Turkey, Japan, and the United States between 2002 and 2021. The power law model was employed for this modeling process.
	This thesis consists of five main sections. The first section extensively covers the introduction and literature review. The second section provides a comprehensive discussion on stochastic processes and their probabilistic structures, including subtypes and characteristics of stochastic processes, counting processes, and the theoretical foundation of these counting processes.
In the third section of the thesis, after providing information about the Poisson distribution and Poisson processes, the characterization, features, and statistical properties such as mean and variance of homogeneous Poisson processes (HPP) and non-homogeneous Poisson processes (NHPP) are presented. Brief descriptions of the model types used in NHPP modeling are also mentioned. The likelihood function, parameter estimation, and expected number of events for the power law model to be used in this thesis are specified.
In the fourth section, as an application, modeling is performed using the power law model introduced in the previous section, considering earthquakes with magnitudes of 5 and above in Turkey, Japan, and the United States. After calculating the parameter estimation values to be used in the model, probabilities of earthquakes occurring at any future time point are calculated on a weekly, monthly, and yearly basis.
The final section interprets and discusses the results obtained in the thesis.