4-boyutlu uzayda q-çatı vektörleri ile oluşan regle yüzeyler
Ruled surfaces generated by q-frame vectors in 4-dimensional space
Yazar: AYBÜKE EKİCİ COŞKUN
Danışman: PROF. DR. ZİYA AKÇA
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Ana Bilim Dalı / Geometri Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez çalışmasının amacı 4-boyutlu Öklid uzayında Frenet çatısına alternatif olan quasi-çatı kullanılarak quasi-vektörleri tarafından oluşturulan 2-boyutlu regle yüzeyleri incelemektir.
    Çalışmamız 4 bölümden oluşmaktadır. Bu çalışmanın ilk aşamasında, 3-boyutlu Öklid uzayındaki bir uzay eğrisi için Frenet çatısı ve quasi-çatıyla ilgili tanımlar ve teoremler sunulmuştur. Daha sonra, 4-boyutlu Öklid uzayında bir eğrinin Frenet çatısı, Frenet vektörleri, Frenet türev denklemleri ve eğrinin eğrilikleri hakkında bilgi verilmiştir. Benzer olarak 4-boyutlu Öklid uzayında bir uzay eğrisinin, örneğin xy-düzlemindeki izdüşüm vektörleri k_{x} ve k_{y} için birim vektörler T teğet, N_{q} quasi-normal, B_{q} birinci quasi-binormal ve C_{q} ise ikinci quasi-binormal kullanılarak quasi-çatısı ve quasi-eğrilikleri verilmiştir. 4-boyutlu Öklid uzayında yüzeyler ve regle yüzey için bazı teoriler ifade edilmiştir. Öklidyen 3-uzayda quasi-çatı vektörleri tarafından oluşturulan regle yüzeyler verilmiştir.
    Dördüncü bölümde de, 4-boyutlu Öklid uzayında doğrultman vektörü yerine birim olan T teğet, N_{q} quasi-normal, B_{q} birinci quasi-binormal ve C_{q} ikinci quasi-binormal vektörleri ile oluşturulan 2-boyutlu regle yüzeylerin parametrik ifadeleri verilmiştir. Ayrıca, yüzeylerin parametrik ifadeleri yardımıyla ikinci mertebeye kadar olan kısmi türevleri ve birinci temel form katsayıları hesaplanmıştır. Bu temel form katsayıları kullanılarak 2-boyutlu regle yüzeylerin boğaz eğrileri (striksiyon çizgileri), Gauss eğrilikleri ve ortalama eğrilikleri hesaplanmıştır. İlaveten elde edilenler arasında geçerli olan bağıntılara da yer verilmiştir. Bu hesaplamaların daha açık ve anlaşılır olabilmesi amacıyla, 4-boyutlu Öklid uzayında uygun bir uzay eğrisi için quasi-vektörler ile quasi-eğriliklerin hesaplandığı ve bu bilgilerin kullanılarak 2-boyutlu regle yüzeylerin parametrik denklemlerinin nasıl elde edildiğini gösteren bir örnek sunulmuştur. Ayrıca, temel form katsayıları kullanılarak bu yüzeylerin eğrilikleri hesaplanmış ve bu regle yüzeylerin izdüşüm uzaylarındaki şekilleri boğaz eğrileriyle birlikte çizdirilmiştir.

Abstract:
This thesis aims to investigate 2-dimensional regular surfaces generated by quasi-vectors in 4-dimensional Euclidean space using a quasi-frame which is an alternative to the Frenet frame.
    Our study consists of 4 parts. In the first part of this study, definitions and theorems related to the Frenet frame and quasi-frame for a space curve in 3-dimensional Euclidean space are presented. Then, the Frenet frame, Frenet vectors, Frenet derivative equations, and curvatures of a curve in 4-dimensional Euclidean space are given. Similarly, the quasi-frame and quasi-curvatures of a space curve in 4-dimensional Euclidean space, for example, for the projection vectors k_{x} and k_{y} in the xy-plane, are given by using the unit vectors T tangent, N_{q} quasi-normal, B_{q} first quasi-binormal and C_{q} second-quasi binormal. Some theories for surfaces and ruled surfaces in 4-dimensional Euclidean space are stated. The ruled surfaces generated by q-frame vectors in Euclidean 3-space are given.
    In the fourth section, parametric expressions of 2-dimensional ruled surfaces constructed with T tangent, N_{q} quasi-normal, B_{q} first quasi-binormal and C_{q} second quasi-binormal vectors, which are units instead of the directrix vector in 4-dimensional Euclidean space, are given. In addition, the partial derivatives up to the second order and the first fundamental form coefficients are obtained with the help of the parametric expressions of the surfaces. By using these fundamental form coefficients, the striction lines, Gaussian curvatures, and mean curvatures of 2-dimensional ruled surfaces are calculated. In addition, valid relations between the obtained results are also given. To make these calculations clearer and more understandable, an example is presented to show how quasi-vectors and quasi-curvatures are calculated for a suitable space curve in 4-dimensional Euclidean space and how parametric equations of 2-dimensional ruled surfaces are obtained using this information. In addition, the curvatures of these surfaces are calculated using the fundamental form coefficients, and the shapes of the ruled surface sample in projection spaces are plotted together with the striction lines.