3-boyutlu Öklid uzayında bir eğrinin konum vektörünün belirlenmesi problemine alternatif hareketli çatı yaklaşımı
Alternative moving frame approach to the problem of determination of position vector of a curve in 3-dimensional Euclidean space
Yazar: GİZEM GÜZELKARDEŞLER
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ BURAK ŞAHİNER
Manisa Celal Bayar Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Geometri Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Diferensiyel geometri = Differential geometry ; Eğrilik = Curvature ; Torsiyon = Torsion

Özet:
Bu tez çalışması altı bölümden oluşmuştur. Birinci bölümde, 3-boyutlu Öklid uzayında bir eğrinin konum vektörünün belirlenmesi problemi tanıtılmış, problemin önemi ortaya koyulmuş ve bu problemle 
ilgili literatürde var olan çalışmalar özetlenmiştir. Ayrıca bu tez çalışmasında yapılanlar hakkında genel bilgi verilmiştir. İkinci bölümde, 3-boyutlu Öklid uzayındaki eğriler ile ilgili temel tanım ve teoremler verilmiştir. Bir eğrinin Frenet çatısı ve alternatif hareketli çatısı tanıtılmış ve bu çatılar arasındaki bağıntılar gösterilmiştir. Frenet çatısının eğrilikleri ile alternatif hareketli çatının eğrilikleri arasında ilişkiler kurularak eğriliklerin geometrik yorumları elde edilmiştir. Üçüncü bölümde, eğrilik ve burulma fonksiyonları verilen bir eğrinin konum vektörünün belirlenmesi problemi tanıtılmıştır. Problemin çözümü için literatürde yer alan ve Frenet çatısına dayanan bir yöntem özetlenmiştir. Tezin orijinal kısmı olan dördüncü bölümde, öncelikle alternatif hareketli çatı 
türev formülleri kullanılarak eğrinin birim asli normal vektörüne bağlı bir vektörel diferansiyel denklem oluşturulmuştur. Bu diferansiyel denklem değişken katsayılı olduğundan keyfi bir eğri için çözümünün zor olduğu görülmüştür. Daha sonra bu vektörel diferansiyel denklem eğrinin genel helis eğrisi olma durumu için çözülmüştür. Böylece eğrilik ve burulma fonksiyonları verilen bir genel helis eğrisinin konum vektörü parametrik formda elde edilmiştir. Ayrıca alternatif hareketli çatı kullanımına dayalı bu yöntem ile dairesel helis eğrisinin konum vektörü de belirlenmiştir. Ortaya 
konulan yöntem kullanılarak, verilen bazı eğrilik ve burulma fonksiyonları için genel 
helis örnekleri elde edilmiştir. Tezin bir diğer orijinal kısmı olan beşinci bölümde, alternatif hareketli çatı türev formülleri yardımıyla bir slant helis eğrisi için eğrinin birim asli normal 
vektörüne bağlı bir vektörel diferansiyel denklem oluşturulmuştur. Bu denklem 
çözülerek, eğrilik ve burulma fonksiyonları verilen bir slant helis eğrisinin konum 
vektörü belirlenmiştir. Verilen bazı eğrilik ve burulma fonksiyonları için slant helis 
örnekleri elde edilmiştir. Altıncı bölümde, tezde elde edilen sonuçlar ve bu sonuçların literatürde var olan çalışmalarla karşılaştırmaları verilmiştir.

Abstract:
This thesis consists of five chapters. The problem of determining the position vector of a curve in 3-dimensional Euclidean space is introduced, the importance of the problem is given and the existing
studies in the literature related to this problem are summarized in the first chapter. In addition general information about the concept of thesis is given. In chapter two, the basic definitions and theorems about curves in 3 - dimensional Euclidean space are given. The Frenet frame and alternative moving frame of a curve are introduced and the relations between these frames are obtained. Geometric interpretations of the curvatures are given by using relations between curvatures of the Frenet frame and alternative moving frame. In chapter three, the problem of finding the position vector of a curve with determined curvature and torsion functions is introduced. For the solution of the problem, a method based on the Frenet frame, which is known in the literature, is summarized. In chapter four, which is the original part of the thesis, firstly by using alternative moving frame derivative formulae, a differential equation with vectorial form according to principal normal vector of curve is constructed. Since the equation has coefficients as variables, it has been seen that its solution is difficult for an arbitrary curve. Then, this vector differential equation for a general helix curve is solved. Thus, the position vector of a general helix for given curvature and torsion functions, is obtained in parametric form. In addition, the position vector of the circular helix by this method based on the use of alternative moving frame. Using the above method, general helix examples for some of the given curvature and torsion functions are obtained. In chapter five, which is another original part of the thesis, by using alternative moving frame derivative formulae, a vector differential equation according to the unit principal normal vector is constructed for a slant helix curve. By using this equations, the position vector of a slant helix curve, given the curvature and torsion functions is determined. Slant helix examples is obtained for some curvature and torsion functions. In chapter six, the results obtained in the thesis and the comparison between 
these results and some existing studies in the literature are given.