Bazı reel kuadratik sayı cisimlerinin sınıf sayıları ve cebirsel yapıları
The class numbers and algebraic structures of certain real quadratic number fields
Yazar: DİLEK GÜN
Danışman: DOÇ. DR. AYTEN PEKİN
İstanbul Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2016
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez çalışmasında, belirli tipteki reel kuadratik sayı cisimlerinin sınıf sayılarının,
invaryant değerlere göre irdelenmesine bağlı olarak cebirsel yapıları anlatılmaktadır.
Bu tez çalışması derleme niteliğinde olup, beş ana bölümden oluşmaktadır. Birinci
bölümde, tezin içerdiği konulara bir giriş yapılmaktadır.
İkinci bölüm, on bir alt bölümden oluşmaktadır. Birinci alt bölümde; cebirsel sayı cisimleri
ile ilgili temel tanım ve kavramlar verilmektedir. İkinci alt bölümde; kuadratik sayı cismi
ve bu cisimlerin tamlık halkası kavramları üzerinde durulmaktadır. Üçüncü alt bölümde;
kuadratik sayı cisimlerinin temel birimlerinin genel ifadesi ve Richaut-Degert(R-D)
tipinde olan reel kuadratik sayı cisimlerinin temel birimlerinin biçimi ifade
edilmektedir. Bu bölümde imajiner kuadratik sayı cisimlerinin birimlerinin ve reel
kuadratik sayı cisimlerinin temel birimlerinin nasıl belirlendi˘gi de açıklanmaktadır.
Dördüncü alt bölümde kuadratik sayı cisimlerinin diskriminantı tanımlanmaktadır.
Beşinci alt bölümde; kuadratik sayı cisimlerindeki "ideal" kavramı ifade edilmekte ve bir
idealin diskriminantının nasıl bulunacağı gösterilmektedir. Altıncı alt bölümde;
"Legendre Sembolü", "Jacobi Sembolü", "Kronecker Sembol" ile "Kronecker Karakter"
kavramları açıklanmakta ve bir p tek asalının ayrışımı üzerinde durulmaktadır. Yedinci
alt bölümde; kuadratik sayı cisimlerinin sınıf sayıları ele alınmakta ve "dar anlamda
sınıf sayısı" ile "geniş anlamda sınıf sayısı" kavramları tanımlanmaktadır. Sekizinci alt
bölümde; sürekli kesirler incelenmekte, basit sürekli kesirler detaylı olarak ele alınıp konu
ile ilgili gerekli tanım ve teoremlere yer verilmektedir. Ayrıca bu bölümde sonlu sürekli kesirler ve rasyonel sayılar arasında birebir bir eşleme olduğu sonucu da verilmektedir.
Dokuzuncu alt bölümde "sonsuz sürekli kesir" tanımı yapılmakta ve sonsuz sürekli kesirler
ile irrasyonel sayılar arasında birebir bir eşleme olduğu sonucu verilmektedir. Onuncu alt
bölümde "periyodik sürekli kesir" kavramı tanıtılmakta ve kuadratik irrasyonel sayılar ile
periyodik sürekli kesir arasındaki ilişki teorem olarak verilmekle birlikte pür-periyodik
sürekli kesirler de tanımlanıp bir kuadratik irrasyonel sayısının pür-periyodik olması için
gerek ve yeter koşul verilmektedir. On birinci alt başlıkta Yokoi invaryant değerleri nd ve
md ile ilgili teoremler verilmektedir. Ayrıca yine bu bölümde çeşitli periyot uzunlukları
için sürekli kesir açılımları, temel birimin şekli, sınıf sayısının hd = 1 olması için gerek
ve yeter koşullar ile sınıf sayısı hd = 1 veya hd = 2 olan reel kuadratik sayı cisimleri
verilmektedir.
Üçüncü bölüm, tez çalışması süresince faydalanılan kaynaklardan ve uygulanan
yöntemlerden oluşmaktadır.
Dördüncü bölümde, genellikle (R-D) tipinde olmayan belirli tipteki reel kuadratik sayı
cisimleri ele alınarak, wd kuadratik irrasyonel sayısının sürekli kesre açılımında periyodun
7 olması halinde, temel birimin Td ve Ud katsayılarına bağlı olarak tanımlanmış olan
Yokoi invaryant değer nd yardımıyla nd = 0 için çıkarılabilecek sonuçlara yer
verilmiştir. Bu sonuçları sağlayan sınıf sayısı 1 veya 2 olan kuadratik sayı cisimleri
sürekli kesir açılımları ile birlikte tablolar halinde verilmiştir.
Beşinci bölümde ise çalışmanın genel değerlendirmesi yapılmaktadır.

Abstract:
In this thesis, certain types of real quadratic number fields of class numbers, depending
on the evaluation according to the invariant value algebraic structures are explained.
This thesis is a compilation work and consists of five main chapters. In the first chapter,
an introduction to the subject in thesis has been given.
The second chapter consists of eleven subsections. In the first subsection, basic
definitions and concepts related to algebraic number fields are given. In the second
subsection, it is focused on the quadratic number fields and concepts of the integral
rings of these fields. In the third subsection, the real quadratic number fields of Richaut-
Degert(R-D) type are defined and the general statement of the fundamental units of such
fields are given. It also explains how the fundamental units of imaginer and real
quadratic number fields are determined. In the fourth subsection, the discriminant of
the quadratic number fields is defined. In the fifth subsection, the concept of "ideal"
in quadratic number fields is expressed and it is shown how to find the discriminant of a
ideal. In the sixth subsection, the concepts of "Legendre Symbol", "Jacobi
Symbol", "Kronecker Symbol" and "Kronecker Character" are explained and it
focuses on the decomposition of the odd prime number p. In the seventh subsection,
the class numbers of the quadratic number fields are discussed and "narrow sense of
class number" and "extended sense of class number" concepts are defined. In the eighth
subsection, continued fractions are examined and also simple continued fractions are
handled in detail and fundamental definitions and theorems related to the subject are given. Furthermore, the result that there is an one-to-one mapping between "finite
continued fractions" and rational numbers is given. In the nineth subsection, "infinite
continued fraction" is defined and the result that there is an one-to-one mapping
between infinite continued fractions and irrational numbers is given. In the tenth
subsection, the concepts of "periodic continued fraction" and "pure-periodic continued
fraction" are defined. Moreover, the relationship between quadratic irrational numbers and
periodic continued fraction is given and also a necessary and sufficient condition is stated
so that a quadratic irrational number can be pure-periodic. In the eleventh
subsection, the theorems related to the Yokoi invariant values nd and md are given.
Furthermore, for various period lengths the continued fraction expansions, the form of
fundamental unit, the necessary and sufficient conditions for the class number hd = 1 and
also real quadratic number fields with class numbers hd = 1 or hd = 2 are given.
The third chapter consist of utilized sources and the methods applied during the thesis.
In the fourth chapter, certain real quadratic number fields which are not the type of R-D
are handled. There are some results that can be extracted for nd = 0 by using of Yokoi
invariant values nd, which is defined by the Td and Ud depending on coefficients of the
fundamental unit, in the case that the period of the continuous fraction expansion of wd
quadratic irrational number is equal to 7. Certain real quadratic number fields providing
these results, class number 1 or 2, are given in the form of tables.
In the fifth section, a general assessment of the study is presented.