Bazı halkalar üzerinde tanımlı alt modül kodları
Submodule codes over some rings
Yazar: FATİH TEMİZ
Danışman: DOÇ. DR. ERDOĞAN MEHMET ÖZKAN
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2018
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
20. yüzyılın ikinci yarısından bugüne dijital iletişim olağanüstü gelişerek verinin taşınması ve saklanmasının büyük önem kazanmasına neden oldu. Bu sebeple, veri kaybını önlemeyi veya kontrol edebilmeyi amaçlayan cebirsel kodlama teorisi ortaya çıktı ve hızla gelişti.

Lineer kodların önemli bir sınıfı olan devirli kodlar, matematiksel özellikleri ve bu özelliklerin elektronik devre yapılarına doğal uyumu sebebiyle haberleşme teorisi için hayati önemdedir.

Bazı lineer olmayan kodlar, hata düzeltme kapasitesi gibi daha iyi parametrelere sahip olabilse de, lineer kodlar gibi sistematik olmadıkları için üzerinde çalışılmaları ve bulunmaları daha zordur. Ne var ki, Hammons ve arkadaşları 1994'te yayımladıkları makalelerinde dörtlü lineer kodlar ve lineer olmayan ikili kodlar arasındaki ilişkiyi göstererek, nasıl lineer kodlar üzerinde çalışıp daha iyi parametreli lineer olmayan kodlar elde edilebileceğini gösterdiler. Pek çok çalışmaya ilham veren bu çalışmadan sonra birçok farklı halka üzerinde devirli kod yapıları ve bunların Gray fonksiyonları altındaki görüntüleri üzerine çalışmalar yapıldı. 

Son zamanlarda, q  bir asalın kuvveti olmak üzere  Zq+uZq üzerindeki devirli kodlar üzerine de çalışmalar yapıldı. Ne var ki, R halkası üzerindeki n uzunluklu bir lineer C kodunun devirli olması için gerek ve yeter şartın kodsözlere karşılık gelen polinomların R[x]/ halkasının bir ideali olması gerçeğine karşın, bu çalışmalar (Zq+uZq)[x]/ halkasının ideallerini belirleme problemi ile ilgilenmediler.  

Bu tezde biz, p bir asal ve s pozitif bir tam sayı iken q=p^s olmak üzere, u^2=0 için Zq+uZq halkalarının bütün ideallerini belirliyoruz. Sonrasında, bu ideallerin sayısını belirleyen bir formül veriyoruz. Daha sonra, n ile p aralarında asal olmak üzere, (Zq+uZq)[x]/ halkasının ideal yapısını belirledikten sonra n uzunluğundaki devirli kodları araştırıyoruz. Böylece, bir formül ile bu ideallerin sayısını vererek devirli kodların sayısını da belirliyoruz. Bazı sabit q değerleri için özel kod aileleri üzerinde çalışıyoruz ve bu kodların eleman sayılarını belirliyoruz. Yine bu özel kod ailesinin dual kodları üzerinde çalışıyor ve eleman sayılarını belirliyoruz.

Abstract:
Since the latter half of the   century, the digital communication has been dramatically developed, and caused transmission and storing data to gain more importance. Hence algebraic coding theory which aims preventing or controlling the data loss arised and developed rapidly.

Cyclic codes, which are a significant class of linear codes, are vital for the communication theory, because of their mathematical properties and the natural adaption of these properties to electronic circuit structures and linear feedback shift registers (LFSR). 

Although some non-linear codes may have better parameters, capability of error correcting for instance, they are more difficult to find and study since they are not as systematic as linear codes. 

However, in 1994, Hammons et. al. presented how to obtain more acceptable non-linear codes via considering linear codes by showing the relation between quaternary linear codes and non-linear binary codes. After this work which inspired many works, the structure of cyclic codes and the Gray images of these codes have been studied over various rings.

Recently, cyclic codes over Zq+uZq  where q is a prime power and u^2=0 have been also considered. However, these studies do not deal with the ideal structure of the ring (Zq+uZq)[x]/ in spite of the fact that a linear code C of length n over a ring R is cyclic if and only if the corresponding polynomials of its codewords form an ideal structure in the quotient ring R[x]/ .

In this thesis, we determine all the ideals of the rings Zq+uZq, where q=p^s, p is any prime and   s is any positive integer with u^2=0. Next, we give a formula that enumerates the number of ideals of these rings. Afterwards, we investigate the cyclic codes of length n, where n is relatively prime to  q, considering the ideal structure of the quotient ring (Zq+uZq)[x]/ . In this way, we determine the number of these ideals by giving a formula. We consider some special family of cyclic codes for some fixed values of q  and we find the size of these codes. We also consider dual codes of these special families and give the size of them.