Null noktalar yakınındaki manyetik alan çizgilerinin geometrisinin kesirli türev ile yorumlanması
Interpreting the geometry of magnetic field lines near null points with fractional derivation
Yazar: HASAN DURMAZ
Danışman: DOÇ. DR. ZEHRA ÖZDEMİR ; DOÇ. DR. AMETH NDİAYE
Amasya Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez çalışmasında, 3-boyutlu Öklid uzayında Caputo kesirli hesaplama yöntemi kullanarak manyetik alanın null (nötr) noktalarının karakterizasyonu verilmiştir. Daha sonra, sayısal olarak çözülmüş sınır başlangıç değer problemi yeniden formüle edilerek, manyetik yeniden bağlanma durumları ve null noktalar etrafındaki manyetik alan çizgilerinin davranışı analiz edilmiştir. Caputo kesirli hesaplama yöntemine göre Killing manyetik vektör alanları hesaplanarak, bu manyetik alan çizgileri etrafındaki yüklü parçaçık hareketi karakterize edilmiştir. Daha sonra bu manyetik alan çizgilerini parametre eğrileri olarak kabul eden akı tüpleri adı verilen manyetik yüzeyler incelenmiştir. Ayrıca elde edilen sonuçlar matematik programları yardımıyla görselleştirilerek tamsayı ve kesirli hesaplamalar ile elde edilen sonuçlarla karşılaştırılmıştır.

Altı bölümden oluşan tez çalışmasının birinci bölümü, tezde adı geçen konu ile ilgili yapılmış çalışmaları ve bu tezde yapılanların motivasyonunun anlatıldığı bir giriş kısmından oluşmaktadır. İkinci bölümde, tezi hazırlarken yararlanılan matematiksel ve fiziksel tanımlar, teoremler ve lemmalara yer verilmiştir. Tezin özgün bölümünü oluşturan üçüncü, dördüncü ve beşinci bölümünde ise Caputo kesirli analiz yöntemi kullanılarak null noktalar karakterizasyonu, null noktalar yakınındaki manyetik alan çizgilerinin davranışı incelenmiştir. Manyetik yeniden bağlanma, manyetohidrodinamik çerçeveye göre araştırılmıştır. Ayrıca Killing manyetik alanı Caputo kesirli analiz yöntemi ile hesaplanmıştır. Daha sonra Killing manyetik alan içerisindeki bir yüklü parçacığın hareketi ile elde edilen eğriler Caputo hesaplama yöntemi ile analiz edilmiştir. Ayrıca, null noktalar etrafındaki manyetik alan çizgilerini üretici eğri kabul eden manyetik akı tüpü olarak adlandırılan manyetik yüzeyler elde edilmiştir. Ayrıca manyetik alan çizgileri ile ilişkili matris formunun özdeğerleri sayesinde manyetik akı tüpü yüzeylerinin sınıflandırılması yapılmıştır. Son olarak bulunan sonuçları doğrulayan örnekler verilerek matematik programları yardımıyla görselleştirilmiştir. Tezin son bölümünü oluşturan altıncı bölümde ise elde edilen sonuçlar, geometriksel ve fiziksel olarak yorumlanmıştır.

Abstract:
In this thesis, the characterization of the null (neutral) points of the magnetic field is given using the Caputo fractional calculation method in 3-dimensional Euclidean space. Then, by reformulating the numerically solved boundary initial value problem, magnetic reconnection states and the behavior of magnetic field lines around null points are analyzed. Killing magnetic vector fields are calculated according to the Caputo fractional calculation method, and the charged particle movement around these magnetic field lines is characterized. Then, magnetic surfaces called flux tubes, which accept these magnetic field lines as parameter curves, are examined. In addition, the results obtained are visualized with the help of mathematical programs and compared with the results obtained with integer and fractional calculations.

The first part of the thesis, which consists of six chapters, consists of an introduction where the studies on the subject mentioned in the thesis and the motivation of what is done in this thesis are explained. In the second chapter, mathematical and physical definitions, theorems, and lemmas used in preparing the thesis are included. In the third, fourth, and fifth chapters, which constitute the original part of the thesis, the characterization of null points and the behavior of magnetic field lines near null points are examined using the Caputo fractional analysis method. Magnetic reconnection has been investigated according to the magnetohydrodynamic equation. Additionally, the Killing magnetic field is calculated by the Caputo fractional analysis method. Then, the curves obtained by the movement of a charged particle in the Killing magnetic field are analyzed by the Caputo calculation method. Additionally, magnetic surfaces called magnetic flux tubes have been obtained, which accept the magnetic field lines around null points as generating curves. Additionally, the magnetic flux tube surfaces are classified thanks to the eigenvalues of the matrix form associated with the magnetic field lines. Finally, examples confirming the results are given and visualized with the help of mathematical programs. In the sixth chapter, which is the last part of the thesis, the results obtained are interpreted geometrically and physically.