Fibonacci dizisi üzerinde tanımlanan grafların genelleştirilmesi
Generalization of graphs that are defined on the Fibonacci sequence
Yazar: NURTEN YÜCEL
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ HATİCE TOPCU
Nevşehir Hacı Bektaş Veli Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2020
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Christopher ve Kennedy, binomial grafları  ilk kez 1997 yılında tanıtmış ve bu grafların  komşuluk spektrumunu elde etmişler ayrıca bu grafların kapalı yürüyüşlerini de araştırmışlardır[11]. Bu kavrama benzer şekilde, 2014 yılında Akbudak, Kale ve Öteleş Fibonomial graf adı verilen yeni bir graf türünü tanıtmıştır [8]. Fibonomial grafların spektral özellikleri ve enerjisi aynı makalede incelenmiştir. Bu sonuçtan yola çıkılarak, bu tez çalışmasında öncelikle k-Fibonacci sayıları için durum incelenmiştir ve örnek olarak 2-Fibonacci ve 3-Fibonacci sayıları üzerinde tanımlanan grafların komşuluk matrisleri Kronecker çarpımı yardımıyla ifade edildikten sonra k nın tek sayı ve çift sayı olma durumlarına göre elde edilen grafların binomial ve Fibonomial graflarla benzerlikleri görülmüştür. Daha sonra ise, daha genel bir bakış açısıyla genelleştirilmiş Fibonomial graflar tanımlanmıştır. Genelleştirilmiş Fibonomial grafların kenarları da, kullanılan katsayıların teklik ve çiftliğine göre yani mod 2 deki kalan sınıfına göre oluşturulmuştur. Böylece, genelleştirilmiş Fibonomial graflar için dört çeşit Fibonomial graf oluştuğu gözlemlenmiş olur ki bunlar sırasıyla Fibonomial graflar, binomial graflar, bütün noktalara ilmek eklenerek tam bir graftan elde edilen graf ve null graf olur. Binomial ve Fibonomial katsayılarına benzer şekilde Jacobsthal-binomial katsayıları oluşturularak, Jacobsthal-binomial graf olarak adlandırılan ve  JB_n tarafından gösterilen Jacobsthal sayıları üzerinde tanımlanan yeni bir graf türü olan Jacobsthal-binomial grafları tanımlanmıştır. Bu graf türünün komşuluk matrisi üzerine incelemeler yapılmıştır. Binet benzeri formülü ve bazı diğer özellikleri yardımıyla matrisin genel formunun bütün satır ve sütunları elde edilmiştir. Buradan,  JB_ngrafının K_(n+1)^n  ananas grafının maksimum kliği olan K_(n+1) deki tüm noktalara birer döngü eklenerek elde edilebileceği görülmüştür. Daha sonra Jacobsthal-binomial grafın komşuluk, Laplasyan ve işaretsiz Laplasyan matrisleri; bu matrislere göre spektrumları, karakteristik polinomları, özdeğerleri ve enerjileri gibi çeşitli matematiksel özellikleri incelenmiştir.

Abstract:
Christopher and Kennedy, introduced the binomial graphs for the first time in 1997 and obtained the adjacency spectrum of these graphs and also investigated the closed walks of these graphs [11]. Similar to this concept, Akbudak, Kale and Öteleş introduced a new graph type called Fibonomial graph in 2014 [8]. Spectral properties and energy of fibonomial graphs are examined in the same article. Based on this result, in this thesis, firstly the situation for k-Fibonacci numbers has been examined and as an example, the adjacency matrices of graphs defined on the 2-Fibonacci and 3-Fibonacci numbers are expressed with the help of the Kronecker product. Similarities of these graphs with binomial and Fibonomial graphs were observed. Then, generalized Fibonomial graphs are defined from a more general point of view. The edges of the generalized Fibonomial graphs are also formed according to the uniqueness and evenness of the coefficients used, that is, the remainder class in modulo 2. Thus, it is observed that four types of Fibonomial graphs are formed for generalized Fibonomial graphs, which are Fibonomial graphs, binomial graphs, graphs obtained from a complete graph by adding loops to all vertices, and null graphs. Similar to the binomial and Fibonomial coefficients, Jacobsthal-binomial coefficients were created, and a new type of graph called Jacobsthal-binomial graph, which was constructed on the Jacobsthal numbers shown by JB_n, was defined. Studies have been made on the adjacency matrix of this graph. With the help of binet-like formula and some other properties, all rows and columns of the matrix's general form were obtained. From this, it was seen that 〖JB〗_n can be obtained by adding a loop to all vertices in K_(n+1), which is the maximum clique of the pineapple graph K_(n+1)^n. Later, various mathematical properties of Jacobsthal-binomial graph, such as spectra, characteristic polynomials, eigenvalues and energies of adjacency, Laplacian and signless Laplacian matrices are also investigated.