Darboux çatısına göre helisler ve karakterizasyonları
Helices according to Darboux frame and their characterizations
Yazar: NESİBE MACİT
Danışman: PROF. DR. MUSTAFA DÜLDÜL
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2019
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez çalışması yedi bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmış olup bu bölümde literatür özeti, tezin amacı ve orijinal katkı verilmiştir.
İkinci bölümde, üç boyutlu ve dört boyutlu Öklid uzaylarında eğriler, yüzeyler ve hiperyüzeyler ile ilgili temel kavramlar yer almaktadır. 
Üçüncü bölümde, 3-boyutlu Öklid uzayında Frenet çatısına göre helisler ve bunların karakterizasyonları verilmiştir. 
Dördüncü bölümde, 4-boyutlu Öklid uzayında Frenet çatısına göre helisler ele alınmış ve bu helislerin (genel helis, slant helis, B2-slant helis ve Darboux helis) karakterizasyonları verilmiştir. 
Beşinci ve altıncı bölümler tezin orijinal kısımlarıdır. 
Beşinci bölümde, 3-boyutlu Öklid uzayında yönlendirilebilir bir yüzey üzerinde yatan bir regüler eğrinin teğet-normal vektör alanı sabit bir doğrultu ile sabit açı yapıyorsa, bu eğri teğet-normal slant helis olarak tanımlanmıştır. Bu tür eğrilerin bazı karakterizasyonları verilmiş ve ekseni elde edilmiştir. Ayrıca, teğet-normal slant helislerin bazı özel eğrilerle olan ilişkileri incelenmiştir. Daha sonra, kapalı ve parametrik ifadesiyle regüler bir yüzey verildiğinde; bu yüzey üzerinde, verilen bir doğrultuyla verilen sabit açıyı yapan teğet-normal slant helislerin elde edilmesi için metotlar bulunmuştur. Son olarak, Darboux çatısına göre Darboux helisler ve karakterizasyonları çalışılmıştır.
Altıncı bölümde, 4-boyutlu Öklid uzayında bir hiperyüzey üzerinde yatan bir Frenet eğrisinin ikinci tür genişletilmiş Darboux çatısına göre bazı yeni slant helisler tanımlanmış ve karakterizasyonları elde edilmiştir. Ardından bu tür slant helisler için bazı örnekler verilmiştir.
Yedinci bölümde, bu tezde elde edilen sonuçlardan bahsedilmiş ve gelecek çalışmalar için bazı önerilerde bulunulmuştur.

Abstract:
This thesis consists of seven chapters. First chapter is the introduction chapter which includes the literature review, the objective of the thesis and the original contribution.
In the second chapter basic concepts of curves, surfaces and hypersurfaces in Euclidean 3-space and Euclidean 4-space are given. 
In the third chapter, helical curves according to Frenet frame in Euclidean 3-space and their characterizations are given.
In the fourth chapter, helical curves according to Frenet frame in Euclidean 4-space are considered, and the characterizations of these helical curves (helices, slant helices, B2-slant helices and Darboux helices) are given.
The fifth and sixth chapters are the original part of the thesis.
In the fifth chapter, a regular curve lying on an oriented surface in Euclidean 3-space is defined as a relatively-normal slant helix if its tangent-normal vector makes a constant angle with a fixed direction. Some characterizations of such curves has been given and their axis has been obtained. Also, some relations between some special curves and relatively-normal slant helices are presented. Then, when a regular surface is given by its implicit or parametric equation, the methods for generating relatively normal-slant helices with the chosen direction and constant angle on the given surface are introduced. Lastly, Darboux helices according to Darboux frame and their characterization is studied.
In the sixth chapter, some new slant helices according to extended Darboux frame of a Frenet curve lying on a hypersurface in Euclidean 4-space are defined, and their characterizations are presented. Some examples are given for such slant helices.
In the seventh chapter, the results obtained in this thesis have been mentioned, and some suggestions are made for future studies.