Gecikmeli bir yapay sinir ağı modeli ile gecikmeli bir av-avcı modelinin kararlılık ve hopf çatallanma analizleri
Hopf bifurcation and stability analyses of a neural network model with delay and a predator-prey model with delay
Yazar: ESRA KARAOĞLU
Danışman: PROF. DR. HÜSEYİN MERDAN
TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2016
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez çalışmasında temel amaç, gecikmeli diferensiyel denklem sistemlerinin kararlılık ve Hopf çatallanma analizlerini incelemektir. Bunun için, popülasyon dinamiği ve yapay sinir ağları alanlarında yer alan, farklı iki alana ait diferensiyel denklem sistemleri belirlenmiş, sistemlerde gerekli yerlere gecikme terimleri eklenerek sistemler iyileştirilmiş ve sistemlerin dinamik davranışları incelenmiştir.

Çatallanma teorisi, seçilen bir kontrol parametresine bağlı olarak sistemlerin dinamiğini inceleyen dinamik sistemlerin bir araştırma sahasıdır. Amaç, kontrol parametresine göre değişimini gözlemlemek istediğimiz sistemin uzun vadedeki davranışını incelemektir. Çatallanma ise, değişen parametre değerlerine karşılık dinamik sistemin kalitatif yapısında değişiklik olmasıdır. Fark denklemleri ve diferensiyel denklemlere göre farklı çeşitlerde birçok çatallanma tipi mevcuttur. Ayrıca, modelin boyutuna göre de çatallanma tipleri ve adları değişmektedir.  

Dinamik sistemler teorisinde periyodik çözümler çok geniş bir yer tutmaktadır. Sürekli dinamik sistemlerde, bir parametreye bağlı lokal olarak periyodik çözümleri belirlemenin yolu ise Hopf çatallanma analizidir. Hopf çatallanması, en az iki boyutlu diferensiyel denklem sistemlerinde görülen, kritik parametre değerinden sonra denge noktasının kararlılık yapısının değiştiği (bakılan eksene göre yön değişebilir) ve limit döngülerinin (periyodik çözümlerin) ortaya çıktığı çatallanma tipidir. Gecikmeli diferensiyel denklemlerde, gecikme parametresini çatallanma parametresi olarak seçmek yaygındır.

Bir dinamik sistemde, geçmiş zamanın etkilerini sisteme yansıtmak için modellere gecikme terimi eklenir. Gecikme terimi eklenilen denklemleri çalışmak biraz daha zor olsa da doğada gecikmeler daima mevcuttur. Popülasyon dinamiğinde, bir türün avlanabilmesi için olgunlaşma süreci veya avlanma için gerekli olan süre, bir bakterinin kuluçka süresi, bir sinir hücresinin uyarıldıktan sonra çıktının oluşabilmesi için geçmesi gereken süre gecikmelere örnek olarak verilebilir.

Bu tez çalışması, esas itibariyle iki kısımdan oluşmaktadır:

Tezin ilk kısmında, popülasyon dinamiğinde zengin bir içeriğe sahip olan bir oran-bağımlı denklem sistemine kesikli gecikme terimleri eklenmiştir. Bu bölüm, kendi içerisinde eşit gecikmeli terimli ve farklı gecikmeli terimli olmak üzere iki farklı sistemin Hopf çatallanma ve kararlılık analizlerini içermektedir. 

Tezin ikinci kısmında ise iki sinir hücreli geri beslemeli bir yapay sinir ağı sistemine hem kesikli hem dağılımlı gecikme terimi eklenmiş ve sistem yine iki farklı kategoride incelenmiştir. İki sistemde de, Hopf çatallanmanın varlığını garantileyebilmek için parametreler üzerine konacak gerekli şartlar belirlenmiş ve periyodik çözümlerin ortaya çıktığı gösterilmiştir. Çalışılan dört sistem için elde edilen teorik bulgular, MATLAB programı kullanılarak nümerik örneklerle desteklenmiştir.

Abstract:
In this thesis, the main aim is to investigate the stability and Hopf bifurcation analyses of delayed differential equation systems. For this, we take two different differential equation systems which belong to population dynamics and artificial neural networks areas. These systems are enhanced by incorporating delay terms where needed and their dynamical behaviours are studied.

Bifurcation theory is a research area that observes the changes of dynamical systems that depend on time according to a chosen control parameter. The goal is to study the large time behaviour of the system with respect to a control parameter that we want to observe. Bifurcation is the change of qualitative structure of dynamical systems associated with varying parameter values. There are many different bifurcation types in both difference and differential equations. Also, the names and types of bifurcations change according to the dimension of models. 

In dynamical systems literature, periodic solutions have an extensive study area. In continuous time dynamical systems, the method of determination of local periodic solutions that depend on a control parameter is Hopf bifurcation analysis. Hopf bifurcation is a type of bifurcation that after a critical parameter value the stability of the equilibrium point changes (the direction may change according to axes which we look) and limit cycles (periodic solutions) occur. Hopf bifurcation can be seen in at least two dimensional differential equation systems. It is very common to choose the delay parameter as a bifurcation parameter. 

In order to reflect dynamical behaviour of models that depend on the
past history of the system, we often incorporate time delays into models. Even it is more difficult to analyse systems with delays, delays always exist in nature. In population dynamics, maturation time to be a prey of a specie or time needed for predation, incubation period of a bacteria, time needed for a response after a neuron is fired can be given for examples.

This thesis mainly involves two parts:

 In the first part, it has been incorporated a discrete delay term into a ratio-dependent differential equation system which has rich content in population dynamics. This part includes Hopf bifurcation and stability analyses of two different systems, that is, one is the system with equal time delays and the other one is the system with different two time delays.  

In the second part, it has been incorporated a discrete and a distributed delay term into a recurrent neural network system with two neurons. Again, the system is considered in two categories. Both in two systems, the conditions on parameters are determined to guarantee that two systems have Hopf bifurcation and existence of periodic solutions is demonstrated. Theoretical results that have been obtained for four systems supported with numerical examples by using MATLAB program.