Genelleştirilmiş fuzzy Mandelbrot cümleleri
Generalized fuzzy Mandelbrot sets
Yazar: İBRAHİM İNCE
Danışman: PROF. DR. SOLEY ERSOY
Sakarya Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Topoloji Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Karmaşık sayılar = Complex numbers ; Mandelbar cümlesi = Mandelbar set ; Mandelbrot cümlesi = Mandelbrot set

Özet:
ÖZET

Anahtar kelimeler: Fuzzy cümle, Mandelbrot cümlesi, Mandelbar cümlesi

Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde Julia cümlesi, Julia cümlesinin yörüngeleri, Mandelbrot cümlesi, Mandelbar cümlesi, genelleştirilmiş Mandelbrot cümleleri ve genelleştirilmiş Mandelbar cümlelerine ilişkin temel tanım ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde fuzzy cümleler, fuzzy reel sayılar, fuzzy karmaşık sayılar ve fuzzy topolojik uzayların temel tanım ve teoremleri tanıtılmıştır. Bunlara ek olarak, herhangi fuzzy cümlenin bir fuzzy sayı olabilmesi için gerekli ve yeterli koşullar ifade edilmiştir.

Dördüncü ve beşinci bölüm bu tez çalışmasının orijinal kısımlarını oluşturmaktadır. Dördüncü bölümün giriş kısmında fuzzy Mandelbrot cümlesi için yeni bir tanım verilmiştir. Bu yeni tanımın literatürdeki mevcut tanımın yetersizliğini nasıl ortadan kaldırdığı hem görsel hem de cebirsel olarak açıkça ifade edilmiştir. Ayrıca fuzzy Mandelbrot cümlesinin oluşum aşamaları farklı iterasyon adımları için ayrı ayrı incelenmiştir. Yeni tanımlanan fuzzy Mandelbrot cümlesinin topolojik özellikleri araştırılmıştır. Bu bölümün ikinci alt bölümünde ise fuzzy Mandelbar cümlesi tanıtılmış, geometrik, cebirsel ve topolojik açıdan incelenmiştir. Bu cümlenin fuzzy Mandelbrot cümlesiyle olan benzerlikleri ve farklılıkları da araştırılmıştır.

Beşinci bölümde tez çalışmasının temel hedefi doğrultusunda, dördüncü bölümde elde edilen yeni bilgiler göz önüne alınarak genelleştirilmiş fuzzy Mandelbrot ve genelleştirilmiş fuzzy Mandelbar cümleleri tanıtılmıştır. Sahip oldukları özellikler ile ilgili temel tanım ve teoremler ifade edilerek ilgili algoritmalar verilmiştir. Bu cümlelerin detaylı görselleri de sunulmuştur. Sonuç olarak, elde edilen veriler ile gelecekte yapılacak olan yeni araştırmalara yönelik önerilerde bulunulmuştur.

Abstract:
GENERALIZED FUZZY MANDELBROT SETS


SUMMARY

Keywords: Fuzzy logic, fuzzy set, Mandelbrot set

This thesis consists of five chapters. The first chapter is devoted to the introduction. In the second chapter, the basic definitions and theorems related to the Julia set, the orbits of the Julia set, Mandelbrot set, Mandelbar set, the generalized Mandelbrot sets, and the generalized Mandelbar sets are given. In the third chapter, the basic definitions and theorems of fuzzy sets, fuzzy real numbers, fuzzy complex numbers, and fuzzy topological spaces are introduced. In addition to these, the necessary and sufficient conditions are expressed for any fuzzy set to be a fuzzy number.

The fourth and fifth chapters constitute the original parts of this thesis. In the introduction part of the fourth chapter, a new definition is given for the fuzzy Mandelbrot set. It is expressed both visually and algebraically in detail how this new definition removes the inadequacy of the existing definition in the literature. In addition, the formation stages of the fuzzy Mandelbrot set are examined separately for different iteration steps. The topological properties of the newly defined fuzzy Mandelbrot set are investigated. In the second subsection of this section, the fuzzy Mandelbar set is introduced and analyzed from geometric, algebraic, and topological aspects. The similarities and differences between this set and the fuzzy Mandelbrot set are also investigated.

In the fifth chapter, in accordance with the main purpose of this thesis, the generalized fuzzy Mandelbrot and generalized fuzzy Mandelbar sets are introduced under consideration of the new information acquired in the fourth chapter. By stating the basic definitions and theorems related to their properties and the relevant algorithms are given. Detailed images of these sets are also presented. Consequently, suggestions are expressed for new research to be done in the future with the obtained data.