Genelleştirilmiş splinelar teorisi
Theory of generalized splines
Yazar: GÖKÇEN DİLAVER
Danışman: DOÇ. DR. SELMA ALTINOK BHUPAL
Hacettepe Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2020
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
$R$ birimli değişmeli bir  halka olsun. Köşelerinin kümesi $V$ ve  kenarlarının kümesi $E$ olan $G = (V,E)$ sonlu çizgesini alalım. 
$G$ çizgesinin kenar elemanlarını $R$ halkasının sıfırdan farklı ideallerine eşleştiren $ \alpha : E \to \{R  \text{'nin idealleri}\}$ fonksiyonuna kenar etiketleme fonksiyonu ve $(G, \alpha)$ sıralı ikilisine \emph{kenar etiketli çizge} denir.
Bir $(G, \alpha)$  kenar etiketli çizgesinin herhangi iki komşu köşesinin üzerindeki etiketlerin farkı bu köşeleri bağlayan kenar üzerindeki idealinin elemanı oluyorsa ~$F \in R^{\mid V \mid}$ köşe etiketlemesine \emph{genelleştirilmiş spline} denir. $(G, \alpha)$  üzerinde tanımlı tüm genelleştirilmiş splineların kümesi $R_{(G,\alpha)}$ ile gösterilir. 
$R_{(G,\alpha)}$ kümesi halka ve $R$-modül yapılarına sahiptir. Biz bu tezde, genelleştirilmiş splineların modül yapısı üzerinde çalışacağız ve $[\mathbb{Z}/ m\mathbb{Z}]_{(K_n,\alpha)}$'nın bir akışkan minimum üreteç kümesini bulacağız. 
\hfil \vspace{3mm} \\
Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, klasik spline teorisi ve genelleştirilmiş spline teorisinin literatür taramasını yapacağız. 
\hfil \vspace{3mm} \\
İkinci bölümde, çalışmalarımız için gerekli olan  halka teorisi, modül teorisi ve çizge teorisindeki bazı tanım ve teoremleri vereceğiz.
\hfil \vspace{3mm} \\
Üçüncü bölümde, genelleştirilmiş spline teorisinin temel tanımlarını ve özelliklerini vereceğiz. Burada özellikle tam çizgeler üzerinde genelleştirilmiş spline modülleri üzerinde duracağız. Ayrıca özel bir spline olan akışkan sınıflarını tanımlayacağız ve bazı özelliklerini vereceğiz.  
\hfil \vspace{3mm} \\
Dördüncü bölümde, $[\mathbb{Z}/ m\mathbb{Z}]_{(K_n,\alpha)}$'nın bir akışkan minimum üreteç kümesini bulmak için iki farklı yöntem üzerinde çalışacağız. İlk yöntem olarak,  Philbin ve arkadaşlarının [\ref{2017}] çalışmalarından yararlanacağız. Öncelikle $ \mathbb{Z} / p^k \mathbb{Z}$ halkası üzerinde geliştirdikleri algoritmayı kullanarak $[\mathbb{Z}/ p^k\mathbb{Z}]_{(K_n,\alpha)}$'nın bir akışkan minimum üreteç kümesini elde edileceğiz (Algoritma \ref{algoritma}  bakınız). Daha sonra, aynı çalışmada $\mathbb{Z} / m \mathbb{Z}$ halkası üzerinde geliştirdikleri  algoritmayı kullanarak $[\mathbb{Z}/ m\mathbb{Z}]_{(K_n,\alpha)}$'nın bir akışkan minimum üreteç kümesini bulmak için bazı örnekler inceleyeceğiz (Algoritma \ref{algm} bakınız). Burada $\mid V \mid$ veya $m$ tamsayısının büyüklüğüne bağlı olarak $[\mathbb{Z}/ m\mathbb{Z}]_{(K_n,\alpha)}$'nın bir akışkan minimum üreteç kümesinin bulunmasının  oldukça zor olduğunu göreceğiz.  
  Bu yüzden, $[\mathbb{Z}/ m\mathbb{Z}]_{(K_n,\alpha)}$ 'nın bir akışkan minimum üreteç kümesini bulmak için farklı bir yöntem vereceğiz. Burada öncelikle Altınok ve Sarıoğlan [\ref{2019}] çalışmalarından bazı sonuçları kendi çalışmalarımızda kullanmak amacıyla $\mathbb{Z} / m\mathbb{Z}$'e göre düzenleyeceğiz. Daha sonra $ \mathbb{Z} / m \mathbb{Z}$ üzerinde tam çizgeler için bir akışkan minimum üreteç kümesi elde edeceğiz.

Abstract:
Let $R$ be a commutative ring with identity and $G=(V,E)$ be a finite graph, where $V$ is a set of elements of vertices and $E$ is a set of elements of edges. A map $ \alpha : E \to \{\text{ideals in R}\}$  is called \emph{an edge-labeling function}, which label edges of $G$ by nonzero ideals of $R$. The pair $(G,\alpha)$ is called an \emph{edge-labeled graph}. \emph{A generalized spline} is a vertex labeling $F \in R^{\mid V \mid}$ on an edge-labeled graph $(G,\alpha)$ so that the difference between labels of any two adjacent vertices lies in the corresponding edge ideal. The collection of all generalized splines on $(G,\alpha)$ is denoted by $R_{(G, \alpha)}.$ 
It  has a ring and a $R$- module structure. In this thesis, we study over $R$-module structure on generalized splines and we find a flow-up minimum generating set for $[\mathbb{Z}/ m\mathbb{Z}]_{(K_n,\alpha)}$.
\hfil \vspace{3mm}\\
This thesis includes four chapters. In Chapter 1, we give a survey of the literature on classical spline theory and generalized spline theory.
\hfil \vspace{3mm} \\
In Chapter 2,  we give the necessary background knowledge of some definitions and theorems of ring, module and graph theory.
\hfil \vspace{3mm} \\
In Chapter 3, we introduce generalized spline theory and give some properties. We especially focus on generalized spline modules on complete graphs. Furthermore, we define  flow- up classes, which is a special type of generalized splines, and give some properties. 
\hfil \vspace{3mm} \\
In Chapter 4, we study two different methods to find a flow-up minimum generating set for complete graphs over $\mathbb{Z}/ m\mathbb{Z}$. For the first method, we use some previous works done by  Philbin and others [\ref{2017}]. We first  obtain a flow-up minimum generating set for  $[\mathbb{Z}/ p^k\mathbb{Z}]_{(K_n,\alpha)}$ by using the algorithm they developed over $\mathbb{Z}/ p^k\mathbb{Z}$ (see Algorithm \ref{algoritma}). Then, we examine some examples in order to find  a flow-up minimum generating set for  $[\mathbb{Z}/ m\mathbb{Z}]_{(K_n,\alpha)}$ by using  the algorithm they developed over $\mathbb{Z}/ m\mathbb{Z}$ (see Algorithm \ref{algm}). We observe that depending on the magnitude of  $\mid V \mid$ or  $m$, it is quite difficult to find a flow-up  minimum generating set for  $[\mathbb{Z}/ m\mathbb{Z}]_{(K_n,\alpha)}$.  Therefore, we give another method to find a flow-up minimum generating set for complete graphs over $\mathbb{Z}/ m\mathbb{Z}$. We first  modify some results of Altınok and Sarıoğlan [\ref{2019}] over $\mathbb{Z}/ m\mathbb{Z}$ in order to use them in our works. Then, we obtain a flow-up minimum generating set for complete graphs over $\mathbb{Z} / m \mathbb{Z}$.