Logaritmik kaynak terimli parabolik tipten denklemlerin çözümlerinin matematiksel davranışı
Mathematical behavior of solutions of parabolic type equations with logarithmic source terms
Yazar: TUĞRUL CÖMERT
Danışman: PROF. DR. ERHAN PİŞKİN
Dicle Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Parabolik denklemler = Parabolic equations

Özet:
Kısmi diferansiyel denklemler ile ilgili 19. ve 20. yüzyılda yapılan çalışmalarda bir yandan kısmi diferansiyel denklemlerin matematiğin diğer dallarıyla ilişkisi araştırılırken diğer yandan mühendislik ve diğer uygulamalı bilimler ile olan bağlantısı ortaya konmaya çalışılmıştır. Bu nedenle bu tipten denklemlerin çalışılması sadece problemlerin teorik olarak çözümlerinin ortaya konmasını değil aynı zamanda matematiksel modellemesi yapılan birçok mühendislik, kimya, fizik vb. olayların çalışılmasına da zemin hazırlamaktadır. Doğada karşılaşılan olaylar matematiksel olarak birer problem teşkil etmektedir. Bu problemlere bir yaklaşım olarak matematiksel modeller oluşturmak teorik açıdan bilimin gelişmesine katkı sağlayacaktır. Doğadaki olayların matematiksel olarak ifade edilebilmesi ve anlaşılması için öne sürülen modeller genellikle lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlere dayanmaktadır. Lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin her zaman açık çözümü bulunamayabilir. Çözümü bulunamayan lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerde yaklaşık bir çözüm bulmak veya çözümün davranışıyla ilgili bir fikre sahip olmak için denklemin bazı şartlar ile sınırlandırılması gerekliliği ortaya çıkmıştır. Bu problemlerde tam olarak çözüm bulunamasa da hangi şartlar altında ve hangi zamanda çözümün var olup olmadığının araştırılması matematikte önemli bir çalışma alanı oluşturmaktadır. Bu tezin ilk bölümünde mühendislik ve fen gibi uygulamalı bilimlerde ortaya çıkan evolüsyon denklemlere kısaca değinilmiştir. İkinci bölümünde logaritmik kaynak terimli denklemlerle ile ilgili günümüze kadar yapılan çalışmaların tarihi gelişimi ele alınmıştır. Üçüncü bölümünde tez boyunca kullanılacak olan temel tanım, lemma, teorem ve eşitsizlikler verilmiştir. Dördüncü bölümünde logaritmik kaynak terimli Kirchhoff tipli parabolik denklem çözümlerinin lokal varlığı, global varlığı, üstel azalması ve patlaması çalışılmıştır. Beşinci bölümünde logaritmik kaynak terimli p-biharmonik parabolik denklem çözümlerinin global varlığı ve polinomal azalması çalışılmıştır. Altıncı bölümünde logaritmik kaynak terimli yüksek mertebeden parabolik denklem çözümlerinin global varlığı, üstel azalması, sonsuzdaki patlaması ve sonlu zamanda patlaması çalışılmıştır.

Abstract:
In the 19th and 20th century studies on partial differential equations, on the one hand, the relationship of partial differential equations with other branches of mathematics was investigated, on the other hand, its connection with engineering and other applied sciences was tried to be revealed. For this reason, the study of this type of equations not only helps to reveal the theoretical solutions of the problems, but also to many engineering, chemical, physics, etc. mathematical modeling. It also lays the groundwork for the study of events. Events encountered in nature pose a mathematical problem. Creating mathematical models as an approach to these problems will contribute to the development of science in theory. Models proposed for expressing and understanding the phenomena in nature mathematically are generally based on nonlinear partial differential equations. Explicit solutions of nonlinear partial differential equations may not always be found. In order to find an approximate solution or to have an idea about the behavior of the solution in nonlinear partial differential equations whose solution cannot be found, it has become necessary to limit the equation to some conditions. Although there is no exact solution to these problems, investigating under what conditions and at what time a solution exists or not constitutes an important field of study in mathematics. In the first part of this thesis, the evolution equations that emerged in applied sciences such as engineering and science are briefly mentioned. In the second part, the historical development of the studies on the equations with logarithmic source terms is discussed. In the third chapter, the basic definition, lemma, theorem and inequalities that will be used throughout the thesis are given. In the fourth chapter, local existence, global existence, exponential decay and blow up of Kirchhoff type parabolic equation solutions with logarithmic source terms are studied. In the fifth chapter, the global existence and polynomial decay of p-biharmonic parabolic equation solutions with logarithmic source terms are studied. In the sixth chapter, the global existence, exponential decay, blow up at infinity and blow up at finite time of higher order parabolic equation solutions with logarithmic source term are studied.