Değişmeli cebirlerde kuadratik modüllerin kategoriksel özellikleri
Categorical structures of quadratic modules of commutative algebras
Yazar: HASAN ATİK
Danışman: DOÇ. DR. ERDAL ULUALAN ; PROF. DR. ZEKERİYA ARVASİ
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2012
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez, yedi bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde değişmeli cebirler üzerinde nil($n$)-modüllerin tanımı verilip, çaprazlanmış modüller kategorisinden nil($n$)-modüller kategorisine giden funktor tanımlanmıştır. Yine değişmeli cebirler üzerinde kuadratik modül tanımı verilmiştir \cite{ulu2}. İkinci bölümde alt kuadratik modül, kuadratik ideal, bölüm kuadratik modül, kuadratik modüllerin direk toplamı, kuadratik modüllerin çekirdeği gibi değişmeli cebirlerde kuadratik modüllerin bazı cebirsel özellikleri incelenmiştir. Üçüncü bölümde geri çekme nil($2$)-modül ile geri çekme ve ileri itme kuadratik modül kavramlarına yer verilmiştir. Dördüncü bölümde kuadratik modüllerin kategoriksel özelliklerinden bahsedilmiştir. Kuadratik modüller kategorisinde objelerin çarpımı ve eşçarpımı olan kuadratik modüller oluşturulmuştur. Yine bu kategoride kuadratik modül morfizmlerinin eşitleyici ve eşeşitleyicilere sahip oldukları gösterilmiştir. Sonuç olarak kuadratik modüllerin limiti ve eşlimitinin var olduğu görülmüştür. Beşinci bölümde değişmeli cebirlerde $4$-boyutlu kuadratik modül tanımı verilmiş ve $3$-çaprazlanmış modül kategorisinden $4$-boyutlu kuadratik modüller kategorisine giden funktor tanımlanmıştır. Benzer şekilde simplisel cebirler kategorisinden $4$-boyutlu kuadratik modüller kategorisine giden funktor elde edilmiştir. Altıncı bölümde değişmeli cebirlerde homotopi bağlantılı $4$-tip ler için cebirsel bir model oluşturacak yeni bir kavram tanıtılmış ve bu yapıya, kuadratik $2$-modül adı verilmiştir. Daha sonra bu yapının $3$-çaprazlanmış modül ve simplisel cebirler ile olan ilişkileri incelenmiştir. Son bölümde ise homotopi kavramına değinilmiştir. Kuadratik $(2)$-modül ve kuadratik $(2)$-kompleks morfizmleri için homotopi tanımlanmıştır.

Abstract:
This thesis consists of seven chapters. In the first chapter, we give somebasic informations. We give the notion of $nil(n)$%-modules of commutative algebras, and we construct a functor from thecategory of crossed modules to that of $nil(n)$-modules of commutativealgebras. We give from \cite{ulu2} the notion of quadratic module on commutative algebras and show that the category of $%nil(2)$-modules is a full subcategory of quadratic modules. In the second chapter, we investigate some algebraic features of quadratic modules such as subquadratic module, quadratic ideal, factor quadratic module, direct sum of quadratic modules, kernel of quadratic modules etc. In the third chapter, we explore notion of pullback $nil(2)-$modules, pullback and induced quadratic modules. In the fourth chapter, some of the categorical features of quadratic modules has been analyzed. We find the product and copropuct objects within this category. We see the equilaser and coequilaser of morphisms of quadratic modules exists. As a result we say that the category of quadratic module of commutative algebras has a finite limit and a colimit. In the fifth chapter, we introduce $4$-dimensional quadratic modules of commutative algebras and explore the relation between $3$-crossed modules and $4$-dimensional quadratic modules. We establish a new notion for homotopy connected $4$-types called quadratic $2$-modules. We form a functor from the category of $3$-crossed modules to that of quadratic $2$-modules and also from simplicial algebras to quadratic $2$-modules. In the last chapter, we give the notion of homotopy for quadratic modules and quadratic complexes morfisms. We define quadratic $2$-complexes and similarly we find the homotopy for the morphisms of quadratic $2$-modules and quadratic $2$-complexes.