Tümör bağışıklık dinamiğinin fark denklem sistemleriyle modellenmesi ve modelin kararlılık analizi
Modeling of tumor immune system dynamics using system of difference equations and its stability analysis
Yazar: ŞENOL KARTAL
Danışman: PROF. DR. FUAT GÜRCAN
Erciyes Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2014
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Beş bölümden oluşan bu tezin amacı tümör hücreleriyle bağışıklık sistemi hücreleri arasındaki mücadeleyi tam değer fonksiyonlu diferansiyel denklem sistemleri kullanarak modellemektir. 
Giriş kısmında, popülasyon dinamiğinde temel teşkil eden Malthusian, Lojistik ve Lotka-Volterra gibi matematiksel modeller tanıtılmıştır. Birinci bölümde, bu modellerden hareketle oluşturulmuş tümör büyümesinin modelleri incelenmiştir. Ayrıca tam değer fonksiyonlu diferansiyel denklemlerin hem teorik hem de uygulamalarıyla ilgili yapılmış çalışmalara yer verilmiştir. 
İkinci bölümde diferansiyel ve fark denklem sistemlerinin kararlılık ve çatallanma analiziyle ilgili temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir.
Üçüncü ve dördüncü bölümlerde, oluşturulan her bir tümör-bağışıklık sistemi modelinin fark çözümlerinden fark denklem sistemleri elde edilmiştir. Elde edilen her bir fark denklem sisteminin lokal ve global kararlılık koşulları Schur-Cohn kriteri ve Lyapunov fonksiyonlarının kullanılmasıyla belirlenmiştir. Elde edilen teorik sonuçları nümerik olarak test etmek için parametre değerleri biyolojik gerçeklere uyumlu olması bakımından literatürden alınmıştır. Ayrıca, her bir sistem için çatallanma tipleri araştırılmış ve sistemler için Neimark-Sacker çatallanmasının oluştuğu gözlenmiştir. Tüm bu sonuçlar grafiklerle desteklenmiş ve biyolojik olarak yorumlanmıştır. 
Beşinci bölümde, tam değer fonksiyonlu diferansiyel denklemlerin popülasyon dinamiğindeki etkisi tartışılmıştır.

Abstract:
The purpose of this thesis which consists of five chapters is to modeling competition between tumor and immune system cells using differential equations with piecewise constant arguments. 
In the section introduction, the basic models in population dynamics such as Malthusian, Logistic and Lotka-Volterra are introduced. In the first chapter, based on these models, the tumor growth models given in literature are examined. In addition, the studies related to both theoretical and practical applications of differential equations with piecewise constant arguments are given. The second chapter illustrates fundamental definitions and theorems about system of differential equations and difference equations and explains their stability and bifurcation theory.
In the third and fourth chapters, it is obtained a system of difference equations from each models describing interaction between tumor and immune system. The local and global stability conditions of each system are determined by using Schur-Cohn criterion and Lyapunov function. To test theoretical results with numerically, parameter values are taken from literature in terms of consistency with the biological facts. In addition, the possible bifurcation types for the systems are investigated and it is observed that the system may undergo Neimark-Sacker bifurcation. All these theoretical results are supported with graphics and interpreted with biologically. 
In the fifth chapter, the effect of differential equations with piecewise constants arguments on a population dynamics is discussed.