Anahtarlamalı sistemlerin kararlılığı: Moda bağlı ortalama bekleme zamanı yaklaşımı
Stability of switched systems: A mode dependent average dwell time approach
Yazar: TUNA EROL
Danışman: YRD. DOÇ. DR. ÖZKAN KARABACAK
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Elektronik Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2017
Konu: Elektrik ve Elektronik Mühendisliği = Electrical and Electronics Engineering
Dizin: Anahtarlamalı sistemler = Switched systems ; Asimptotik kararlılık = Asymptotic stability

Özet:
Anahtarlamalı sistemler, sistem kuramı konusundaki önemli bir araştırma dalıdır. Anahtarlamalı sistem analizleri, kendisine literatürde çok fazla yer bulmuştur, öyle ki; doğrusal veya doğrusal olmayan anahtarlamalı sistemler; zamana ya da duruma bağlı olarak anahtarlanan sistemler; sürekli zamanlı, ayrık zamanlı ya da hibrit sistemler; altsistemleri kararlı, kararsız ya da bir kısmı kararlı, diğer kısmı ise kararsız olan anahtarlamalı sistemler gibi çalışma konuları, anahtarlamalı sistemler alanında ele alınan birbirinden farklı çalışma konularıdır.
Anahtarlamalı sistem analizinde, genelde, sistem durumlarının zamanla sıfıra yaklaşması istenir. Anahtarlamalı sistemler konusunda yapılan çalışmaların temelinde bu fikir yatmaktadır. Anahtarlamalı sistemlerin kararlılığı konusunda birçok problem mevcuttur. Bu tezde, anahtarlamalı sistemlerin kararlılığını garanti altına almak üzere yapılan çalışmalar sonucu ortaya çıkan bekleme zamanı yaklaşımı incelenecektir.
Bekleme zamanı yaklaşımı, anahtarlamalı bir sistemin kararlılığının garanti altına alınabilmesi için, her bir altsistemde beklenmesi gereken sürelerin belirlenmesi sürecidir.
Bu tezde, zamana bağlı olarak anahtarlanan, sürekli zamanlı, doğrusal altsistemler ele alınmıştır. Anahtarlamalı sistemlerde, altsistemlerin kararlı, kararsız ya da bir kısmının kararlı, diğer kısmının ise kararsız olabileceğinden bahsedilmişti. Bu çalışmada bekleme zamanlarının belirlenirken analizi yapılan tüm altsistemlerin kararlı olduğu kabul edilmiştir.
Bu tezde, 2009 yılında Karabacak ve Şengör tarafından yapılan çalışmadan ilham alınarak iki yeni yöntem önerilmiştir.
Bu yöntemlerden ilki, özvektör kümeleri arasındaki mesafeye dayalı olarak tanımlanan bir ortalama bekleme zamanı yaklaşımıdır. Bu yöntemin öne çıkan özelliği, ortalama bekleme zamanı kavramına uygun bir şekilde, her bir ardışık süreksizliğin önerilen bekleme zamanından büyük olması zorunluluğunu ortadan kaldırmasıdır. Öte yandan, bu yöntemin ortalama bekleme zamanını belirlerken izlediği algoritma tutucudur. Bu yüzden, elde edilen sayısal bekleme zamanı değerleri, 2009 yılında Karabacak ve Şengör tarafından önerilen bekleme zamanı değerlerinden daha iyi değildir.
Çalışmada önerilen ikinci yöntem ise, yeni bir moda bağlı ortalama bekleme zamanı yaklaşımıdır. Tıpkı Zhao ve diğerleri tarafından 2012 yılında önerilen moda bağlı ortalama bekleme zamanı yönteminin, Hespanha ve Morse'un 1999 yılındaki ortalama bekleme zamanı yönteminden esinlendiği gibi, bu yeni yöntem de bu tezde kendisinden önce önerilen ortalama bekleme zamanı yönteminden ilham almıştır.
Bu yöntemde her bir altsistem için ayrı bir ortalama bekleme zamanı tanımlanmıştır. Her bir altsistem için önerilen bekleme zamanları sayısal değer olarak; gerek 2009 yılında Karabacak ve Şengör tarafından yapılan çalışmada, gerekse bu tezde yer alan ortalama bekleme zamanı yönteminde elde edilen değerlerden daha iyidir.
Tezin başlangıcında, okuyucunun tezi takip ederken çokça ihtiyaç duyacağı, sistem kuramı ve anahtarlamalı sistemler konularında bir takım temel bilgiler aktarılmıştır. Ayrıca bekleme zamanı konusunda daha önce yapılmış olan çalışmalar teoremlerle verilmiştir. Ortalama bekleme zamanı ve moda bağlı ortalama bekleme zamanı konularında iki yeni yöntem önerilmiş, bu yöntemler teorem ve ispatlarıyla anlatılmıştır. Önerilen yöntemler, daha önceden literatürde yer alan diğer yöntemlerle karşılaştırılmış, elde edilen sonuçlar tartışılarak yorumlanmıştır.

Abstract:
Analysis of switched systems, one of the research topics in system theory, has become a growing research field. The research on switched systems has taken a broad place in the literature so that; linear or nonlinear switched systems; time or state dependent switched systems; continuous time, discrete time or hybrid systems; switched systems where subsystems are stable, unstable or some of them are stable and others are unstable, have become different research topics dealt with in the field of switched systems.
In switched system analysis, it is generally desired that the system states approach to zero asymptotically. This idea lies at the basis of the work done on the field of switched systems. Three types of problems are encountered in the literature in the stability analysis of switched systems. These problems are; the stability under arbitrary switching, identifying appropriate classes of switching signal and designing a switching signal.
Depending on subsystem characteristics, a switched system may exhibit unstable behavior under arbitrary switching. In order to avoid this undesirable situation, some constraints must be considered during controller design. One of the constraints to be taken into account in time dependent switched systems is the concept of "Dwell Time", which constitutes the subject of this thesis.
The first definition for the dwell time was made by Morse in 1996. In this definition; it is mentioned that the stability of the system will be guaranteed if the duration between each successive discontinuity is greater than the dwell time. The minimum dwell time approach is the process of determining the minimum time to be satisfied by each subsystem to satisfy the stability of a switched.
A new concept of dwell time was introduced by Hespanha and Morse in 1999. This concept, which is named as "Average Dwell Time", is much more flexible than the minimum dwell time. It has been mentioned in the average dwell time approach that, there is no need the duration between each successive discontinuity to be greater than any specified dwell time and the stability of the system can be guaranteed if the average time between consecutive discontinuities is greater than the so-called average dwell time.
The average dwell time method proposed by Hespanha and Morse in 1999 is taken one step further and a dwell time concept based on the principle that the average dwell time is set separately for each mode has been proposed by Zhao and others in 2012. This method, called mode dependent average dwell time, is based on the principle that the average of the durations between consecutive discontinuities in which any subsystem is active at a certain time interval, is greater than the average dwell time determined for that subsystem. In this method, there is also no necessity that the duration between any two successive discontinuities of a subsystem to be greater than the average dwell time determined for that subsystem. Thus, the flexibility introduced by the average dwell time method also applies to the mode dependent average dwell time method.
Although dwell time methods in the literature give results that guarantee stability, the effect of system dynamics on stability can not be seen clearly. Hence, these methods remain a blind application by the words of Haimovich and Braslavsky in 2010, and fail to provide transparency and interpretability of the system by the words of Wulff and others in 2009.
A semimetric is defined to determine the distance between the eigenvector sets of the subsystems by Karabacak and Şengör in 2009. Then, using this concept, an approach has been developed which relies on the distance between the eigenvector sets of the subsystems. According to this approach, the subsystem matrices are subjected to eigen-decomposition, the obtained eigenvalues determine the convergence speed of the subsystems, and the eigenvectors determine the relation between the subsystems.
A new minimum dwell time method has been proposed using the infrastructure of this idea in the course of the work. As in the studies made by Morse in 1996 and by Geromel and Colaneri in 2005, in this method, the stability criterion is that the duration between each successive discontinuity is greater than the proposed minimum dwell time.
Inspired by the work done by Karabacak and Şengör in 2009, two new methods have been proposed in this thesis.The first of these methods is an average dwell time approach based on the the distance between eigenvector sets. The prominent feature of this method is to remove the necessity of the duration between each successive discontinuity to be greater than the recommended dwell time, in accordance with the concept of average waiting time defined by Hespanha and Morse in 1999. In addition, the algorithm of this method while determining the average dwell time is conservative. Therefore, the obtained numerical values of the dwell times are not better than the values of the dwell time suggested by Karabacak and Şengör in 2009.
The second method proposed in the study is a mode dependent average dwell time approach. Just as the method proposed by Zhao and others in 2012 is inspired by the average dwell time method proposed by Hespanha and Morse in 1999, this new method is also inspired by the average dwell time method proposed before it in this thesis. In this method, a unique average dwell time is defined for each subsystem. The numerical dwell times values proposed for each subsystem are better than the values both in the work done by Karabacak and Şengör in 2009 and in the average dwell time method proposed in this thesis.
The proposed methods give better numerical results compared with the methods in the literature. Besides the numerical values obtained, the most important feature of the proposed methods is to give the reader the ability to follow the methods using her/his system theory and switched systems knowledge. At this point, the reader can figure out the effects of system dynamics on the behavior of the system.
At the beginning of the thesis, some basic information about the system theory and the switching systems which the reader would need a lot while following the thesis is given. Moreover, previous studies on dwell time are expressed by the related theorems. Two new methods are proposed for average dwell time and mode dependent average dwell time concepts, these methods are explained by theorems and proofs. The proposed methods are compared with other methods in the literature and the results obtained are discussed and interpreted.