Nanoçubuklarda büyük yer değiştirme ve yerel olmayan elastisite teorilerine göre deplasman hesabı
Calculation of displacements of nanorods according to nonlocal theory of elasticity and large displacement theory
Yazar: GÖKHAN GÜÇLÜ
Danışman: PROF. DR. REHA ARTAN
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / İnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Yapı Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2020
Konu: Matematik = Mathematics ; İnşaat Mühendisliği = Civil Engineering
Dizin: Konsol kirişler = Cantilever beams ; Stres-mekanik = Stress-mechanical ; Yerel olmayan elastisite = Nonlocal elasticity

Özet:
Nanoteknoloji, maddenin atomik veya moleküler boyutta işlenerek mikroskobik boyutta ürünlerin üretilmesi yöntemi olarak tanımlanmaktadır. Nanoölçekte maddenin özellikleri, daha büyük ölçekteki halinden farklıdır. Bir malzemenin boyutları küçültüldüğünde, özellikler ilk başta aynı kalır, daha sonra malzeme özelliklerinde küçük değişiklikler meydana gelir. Boyut 100 nm'nin altına düştüğünde ise özelliklerde dramatik değişiklikler meydana gelebilir. Bunun iki temel sebebi vardır: Birincisi, aynı malzeme kütlesine sahip daha büyük formda üretilen malzeme ile kıyaslandığında nanomalzemeler daha büyük yüzey alanına sahiptir. İkinci sebep ise nanoölçekte, kuantum etkilerinin maddenin davranışı üzerinde etkin olmasıdır. Bu etkiler sayesinde malzeme, yepyeni kimyasal, biyolojik, elektriksel, mekanik ve fiziksel özelliklere sahip olur. Bu yeni özellikleri nedeniyle, nanoölçekli nesnelere tıp, biyomateryaller, enerji, tekstil, elektronik, kimya, makina endüstrilerinde büyük talep oluşmuştur. Nanoteknoloji; fizikçilerin, kimyacıların, mühendislerin, imalat teknoloji-sinde çalışanların, biyologların, tıp çalışanlarının katkı vermesinden dolayı zengin bir çalışma alanı haline gelmiştir.
Nanoölçekli sistemlerin çok sayıda mühendislik uygulamasında kullanım potansiyeli nedeniyle, mekanik davranışlarının (eğilme, titreşim, burkulma gibi) ve özelliklerinin detaylı olarak araştırılıp yeni tasarımlarda kullanılmadan önce net olarak belirlenmesi gerekmektedir. Mekanik analiz bakımından bir boyutlu nanoyapılar (karbon nanotüp-ler ve mikrotüpçükler) kiriş, iki boyutlu nanoyapılar (grafen katmanlar) ise plak olarak modellenmektedir. Modellenmelerinde farklı teorilerden faydalanılmaktadır. Kirişler-de; Euler-Bernoulli kiriş teorisi, Timoshenko kiriş teorisi, ya da yüksek mertebe kiriş teorileri (Reddy-Bickford, Levinson kiriş teorileri vd.) yaygın olarak kullanılmaktadır. Plaklarda ise; Kirchhoff-Love, Mindlin-Reissner, yüksek mertebe plak teorileri (Reddy, üçüncü mertebe plak teorileri vd.) kullanılmaktadır.
Nanoboyutlu yapıların mekanik özellikleri ve davranışları, çeşitli deneysel, simülas-yon (hesaplama) ve analitik (teorik) yöntemler kullanılarak incelenebilmektedir. Nanoölçekte gerçekleştirilen deneysel çalışmaların bazı zorlukları bulunmaktadır. Deneysel çalışmalarda, her parametreyi hassas biçimde kontrol etmek mümkün olmamaktadır. Deneyler, teknik düzeyi yüksek tesislerde yapılmakta ve kullanılan cihazların çok yüksek seviyede hassaslığa sahip olması gerekmektedir. Bu etkenler maliyetleri arttırmaktadır. Simülasyon yöntemleri içerisinde en yaygın biçimde kullanılanları; moleküler dinamik simülasyon ve Monte Carlo simülasyonudur. Her ne kadar atom seviyesindeki simülasyon yöntemleri, hesaplamalı fizikte çok büyük başarılar elde etmiş olsa da, büyük miktarda hesaplama gerektirdiğinden, uygulamaları nispeten az sayıda molekül veya atom içeren (en fazla birkaç milyon tane) basit sistemlerle sınırlıdır. Ayrıca, zaman adımları, kısıtlar, sınır koşulları ve sıcaklık etkileri gibi başka sınırlamalar da vardır. Mesela zaman adımları açısından, sadece pikosaniyeden, nanosaniyeye kadar süren kısa ömürlü olaylar modellenebilmektedir. Bu kısıtlamaların üstesinden gelebilmek için araştırmacılar, sürekli ortam mekaniği yaklaşımlarından yararlanmaktadırlar.
Klasik elastisite teorileri, makro boyuttaki yapılarda büyük başarı ile kullanılmasına karşın, mikro ve nano boyutlarda deneysel sonuçlarla karşılaştırıldığında hata oranı yüksek çıkmaktadır. Bunun temel sebebi, nano ve mikro boyutlarda, malzeme özelliklerinin boyuta ve geometriye bağlı olmasıdır. Bu boyutlarda, küçük boyut etkisi önemli bir etken olmaktadır. Klasik elastisite teorileri boyuttan bağımsız teoriler oldukları için, bu etkileri hesaba katamamaktadır. Bu eksikliğin giderilmesi amacıyla yüksek mertebe elastisite teorileri geliştirilmiştir. Bu teoriler, malzeme boyut ölçeklerinin modellemeye dahil edildiği, klasik sürekli ortam yöntemlerinin güncellenmiş versiyonlarıdır. Standart bünye denklemlerine, şekil değiştirmelerin, gerilmelerin ve/veya ivmelerin yüksek mertebeden türevlerini dahil ederek genelleştir-mektedirler. Boyuta bağlı olan bu teoriler üç temel grupta toplanabilirler; şekil değiştirme gradyanı teorileri, mikro sürekli ortam teorileri ve yerel olmayan elastisite teorileri. Yüksek mertebe elastisite teorileri arasında, Eringen'in geliştirilmesinde büyük katkı sunduğu  yerel olmayan elastisite teorisi, en yaygın kullanılan teoridir.
Yerel olmayan elastisite teorisinde, cismin herhangi bir noktasındaki gerilme değerinin, cismin hacmi içerisindeki tüm noktalardaki şekil değiştirmeler tarafından belirlendiği kabul edilmektedir. Böylece atomlar ve moleküller arası sonlu menzilli kuvvetler hesaba dahil edilmektedir. Klasik elastisite teorileri ile yerel olmayan elastisite teorisi arasındaki tek fark gerilmeyi, şekil değiştirme ile ilişkilendiren bünye denklemleridir. Denge ve uygunluk denklemleri, iki teori için de aynıdır. Küçük boyut etkisi, malzemeye özgü boyutlarla ilgili iki parametrenin fonksiyonu olan, yerel olmayan parametre kullanılarak hesaplara dahil edilmektedir. Yerel olmayan elastisite teorisinin, diferansiyel ve integral olmak üzere iki genel formu vardır.
Bu çalışmada yerel olmayan elastisite teorisinin diferansiyel formu ve büyük yer değiştirme teorisi kullanılarak prizmatik nanoçubukların yer değiştirmeleri, iki adımlı ardışık yaklaşım yöntemi ve pertürbasyon yöntemi kullanılarak hesaplanmıştır. Hesaplarda kullanılan bu iki yöntem çalışmanın özgün değerini oluşturmaktadır.
İki adımlı ardışık yaklaşım yönteminde, çubuğun elastik eğrisi, iki yaklaşım eğrisinin süperpozisyonu kullanılarak temsil edilmektedir. Birinci yaklaşım eğrisi, elastik eğriye yakın seçilmekte ve bazı koşulları sağlamasına özen gösterilmektedir. Bu koşullar arasında, sınır koşulları ve seçilecek eğrinin, elastik eğriye mümkün olduğunca yakın olmasını sağlayan bağımsız parametre/parametreler yer almaktadır. Birinci yaklaşım eğrisinde yer değiştirmelerin büyük olduğu varsayılmaktadır. İkinci yaklaşım eğrisinde, yer değiştirmelerin küçük olduğu kabul edilmektedir. Bu nedenle, ikinci yaklaşım eğrisi ile ilgili denklemler lineer olmaktadır. Birinci yaklaşım eğrisi, elastik eğriye yakın olduğundan, denge denklemleri birinci yaklaşım eğrisine göre yazılmaktadır. Birinci yaklaşım eğrisi seçildikten sonra, moment-eğrilik bağıntısı ve ek koşullar kullanılarak ikinci yaklaşım eğrisinin yer değiştirme fonksiyonları hesaplanabilmektedir. Bölüm 4'te gerekli formülasyon çıkarıldıktan sonra yöntem, üç farklı örnek problem üzerinde denenmiştir. Elde edilen sonuçlar, grafiksel olarak sunulmuştur. Şekillerde; çubuk uzunluğu boyunca boyutsuz düşey ve yatay yer değiştirmeler ile serbest uçtaki boyutsuz düşey yer değiştirmenin, boyutsuz yük parametresine göre değişimleri gösterilmiştir. Birinci örnekte,  'nın küçük değerlerinde, boyutsuz yerel olmayan parametrenin değerinin artması ile rijitliğin arttığı ancak büyük   değerlerinde rijitliğin azaldığı gözlemlenmiştir (bkz. Şekil 4.40). İkinci örnekte, boyutsuz yerel olmayan parametrenin artması, rijitlikte azalmaya neden olmaktadır (bkz. Şekil 4.46). İncelenen son örnekte ise boyutsuz yerel olmayan parametrenin artması, rijitliği artırmaktadır (bkz. Şekil 4.52).
Pertürbasyon yöntemi Bölüm 5'te incelenmiştir. Büyük yer değiştirme teorisine göre moment, yer değiştirme denklemleri elde edilmiştir. Yerel olmayan parametrenin limiti alınarak, klasik elastisite teorisinde büyük yer değiştirme kabulü için deplasman ve moment ifadelerine ulaşılmıştır. İki örnek problem için sayısal hesap yapılmıştır. Birinci örnek, izostatik sistemlerdeki, ikinci örnek ise hiperstatik sistemlerdeki genel çözüm yöntemini göstermektedir. Örneklerde sayısal sonuçlar, elastik eğri kullanı-larak grafiksel olarak sunulmuştur. Elastik eğri; klasik elastisite teorisinde küçük yer değiştirme ve büyük yer değiştirme kabullerine göre ve yerel olmayan elastisite teorisinde büyük yer değiştirme kabulüne göre elde edilmiştir. Boyutsuz yük parametresinin artmasıyla yerel olmayan elastisite teorisine göre hesapta birinci örnekte düşey yer değiştirmenin azaldığı, ikinci örnekte ise düşey yer değiştirmenin arttığı gözlemlenmiştir. İki örnekte de boyutsuz yerel olmayan parametrenin artması ile düşey yer değiştirmenin azaldığı yani rijitliğin arttığı tespit edilmiştir. 
Çalışmada kullanılan iki yöntem de, çeşitli yüklerin etkisindeki, farklı sınır koşullarına sahip kirişlerde rahatlıkla kullanılabilir. Nanoboyuttaki yapılar, klasik elastisite teorisi kullanılarak incelendiğinde, bu yapıların rijitlikleri deneysel sonuçlarla kıyaslandığın-da küçük çıkmaktadır. Yerel olmayan elastisite teorisi, küçük boyut etkisini hesaba kattığından, deneysel verilerle uyumlu sonuçlar elde etmektedir. Bu çalışmanın sonuçları da göstermektedir ki, incelenen sistemin boyutları küçüldüğünde yerel olma-yan etkiler ihmal edilmez seviyelere gelmekte, boyut etkisinin önemi artmaktadır.

Abstract:
Nanotechnology is defined as the method of producing microscopic products by processing the substance in an atomic or molecular dimension. The properties of matter in nanoscale differ from the macroscale. When the dimensions of a material are reduced, the properties remain the same at first, then minor changes occur in the material properties. When the size drops below 100 nm, dramatic changes may occur in the properties. There are two main reasons for this: First, nanomaterials have a larger surface area compared to the material produced in the larger form with the same material mass. The second reason is that in nanoscale, quantum effects are effective on the behavior of matter. Thanks to these effects, the material has brand new chemical, biological, electrical, mechanical and physical properties. Due to these new features, there has been a great demand for nanoscale objects in medicine, biomaterials, energy, textile, electronics, chemistry, machinery industries. Nanotech-nology has become a rich field of study due to the contributions of physicists, chemists, engineers, manufacturing technology workers, biologists, medical workers.
Due to the potential of using nanoscale systems in a large number of engineering applications, their mechanical behavior (such as bending, vibration, buckling) and properties need to be explored in detail and clearly determined before use in new designs. In terms of mechanical analysis, one-dimensional nanostructures (carbon nanotubes and microtubes) are modeled as beams, and two-dimensional nanostructures (such as graphene layers) are modeled as plates. Different theories are used in their modeling. In beams; Euler-Bernoulli beam theory, Timoshenko beam theory, or higher order beam theories (Reddy-Bickford, Levinson beam theories et al.) are widely used. For plates; Kirchhoff-Love, Mindlin-Reissner, higher order plate theories (Reddy, third order plate theories et al.) are used.
The mechanical properties and behavior of nano-dimensional structures can be examined using various experimental, simulation (calculation) and analytical (theoretical) methods. Experimental studies in nanoscale have some difficulties. In experimental studies, it is not possible to precisely control each parameter. Experiments are carried out in high technical facilities and the devices used must have a very high level of precision. These factors increase costs. The most widely used simulation methods are molecular dynamics simulation and Monte Carlo simulation. Although atom-level simulation methods have achieved great success in computational physics, since they require a large amount of computation, their applications are limited to simple systems with a relatively small number of molecules or atoms (a few million at most). There are also other limitations, such as time steps, constraints, boundary conditions, and temperature effects. For example, in terms of time steps, only short-lived events lasting from picoseconds to nanoseconds can be modeled. To overcome these constraints, researchers make use of continuum mecha-nics approaches.
Although classical elasticity theories are used with great success in macro-sized structures, the error rate is high when compared with experimental results in micro and nano sizes. The main reason for this is that in nano and micro dimensions, material properties depend on size and geometry. In these dimensions, the small size effect is an important factor. Classical theories of elasticity cannot account for these effects, as they are dimension-independent theories. Higher-order elasticity theories have been developed to address this deficiency. These theories are modified versions of classical elasticity methods, in which material size scales are incorporated into modeling. They generalized standard constitutive equations by including higher-order derivatives of strains, stresses, and/or accelerations. These theories, which depend on size, can be grouped into three basic groups; strain gradient theories, microcontinuum field theories and nonlocal elasticity theories. Among the theories of high-order elasticity, the theory of nonlocal elasticity, for which Eringen contributed greatly in its development, is the most widely used theory.
In the nonlocal theory of elasticity, the stress value at any point of the body is considered to be determined by strains at all points within the body's volume. By this way, finite-range forces between atoms and molecules are included in the calculations. The only difference between classical theories of elasticity and nonlocal elasticity theory is constitutional equations that relate stress to strain. Equilibrium and compatibility equations are the same for both theories. The small-size effect is included in calculations using the nonlocal parameter, which is the function of two parameters related to material-specific dimensions. Nonlocal elasticity theory has two general forms, differential and integral.
In this study, the displacement of prismatic nanobars using the differential form of the nonlocal elasticity theory and the large displacement theory were calculated using the two-step sequential approach method and perturbation method. These two methods used in the calculations constitute the original value of the study.
In the two-step sequential approach method, the elastic curve of the bar is represented using the superposition of the two approximation curves. The first approximation curve is chosen close to the elastic curve and care is taken to ensure that certain conditions are met. These conditions include boundary conditions and independent parameter/parameters that ensure that the curve to be selected is as close as possible to the elastic curve. The displacements in the first approximation curve are assumed to be large. In the second approximation curve, displacements are considered to be small. Therefore, the equations related to the second approximation curve are linear. Since the first approximation curve is close to the elastic curve, the equilibrium equations are written according to the first approximation curve. After selecting the first approximation curve, the displacement functions of the second approximation curve can be calculated using the moment-curvature relation and additional conditions. After the required formulation was derived in Chapter 4, the method was tried on three different sample problems. The obtained results are presented graphically. In the figures, dimensionless vertical and horizontal displacements along the length of the rod and dimensionless vertical displacement at the free end according to the dimensionless load parameter are given. In the first example, it is observed that rigidity increases with the increase of the value of the dimensionless nonlocal parameter at the small values of  , but the rigidity decreases at the large values of   (see Figure 4.40). In the second example, the increase of the dimensionless nonlocal parameter causes a decrease in rigidity (see Figure 4.46). In the last example, the increase of dimensionless nonlocal parameter increases rigidity (see Figure 4.52).
The perturbation method is studied in Chapter 5. According to the large displacement theory, moment and displacement equations have been obtained. By taking the limit of the nonlocal parameter, displacement and moment expressions have been reached for the large displacement assumption in the classical theory of elasticity. Numerical calculations were performed for two sample problems. The first example shows the general solution method in isostatic systems and the second example in hyperstatic systems. The numerical results in the examples are presented graphically using the elastic curve. The elastic curve is obtained according to the small displacement and large displacement assumptions in the classical elasticity theory and according to the large displacement assumption in the nonlocal elasticity theory. According to the nonlocal theory of elasticity, with the increase of dimensionless load parameter, it was observed that vertical displacement decreased in the first example and in the second example, vertical displacement increased. In both examples, it was determined that with the increase of dimensionless nonlocal parameter, vertical displacement decreased, that is, the stiffness increased.
Both methods used in the study can be used easily on bars with different boundary conditions under the influence of various loads. When nanoscale structures are examined using classical theory of elasticity, the rigidity of these structures is small compared to experimental results. As the nonlocal elasticity theory takes into account the small size effect, it achieves results consistent with experimental data. Also the results of this study show that, when the dimensions of the system under study become smaller, nonlocal effects become non negligible and the importance of the size effect increases.