Genel sınır koşulu ile verilen Klein Gordon fark operatörünün spektral analizi
Spectral analysis of Klein Gordon difference operator given by a general boundary condition
Yazar: NİMET ÇOŞKUN
Danışman: DOÇ. DR. NİHAL YOKUŞ
Karamanoğlu Mehmetbey Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2021
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde giriş bölümü yer almaktadır.
Giriş bölümünde, spektral analizle ilgili genel literatürden bahsedilmiştir. Ayrıca,
non-selfadjoint operatörlerin spektral analiziyle ilgili çalışılan problemler,
diferansiyel ve diskre operatörler ve bunların sınır koşulları göz önüne alınarak
sınıflandırılmış, konu hakkında genel bir çerçeve çizilmiştir. İkinci bölüm spektral
teorinin temel tanım ve teoremlerine ayrılmıştır. Üçüncü bölümde, ( ) n n a  , ( ) n n v 
ve ( ) n n h  kompleks terimli diziler, (hn )l1( )l2 ( ) , 0 a 1, 0 h  0 ve 
spektral parametre olmak üzere
2
1 1 ( ) ( ) 0 n n n n a y v  y        , n 1,2,...
0
0 n n
n
h y


 
sınır değer problemiyle ifade edilen L operatörünün   0,
1
1
2
  ve
sup exp( )(1 n n n
n
n a v h  

      
koşulu altında özdeğer ve spektral tekilliklerinin yapısı incelenmiştir.
Dördüncü kısımda üçüncü bölümde elde edilen özdeğer ve spektral tekilliklere
karşılık gelen esas fonksiyonlar ele alınmıştır.
Son bölümde ise diskre Dirac operatörüne ilişkin Jost çözümü ve genel teoremler
hatırlatıldıktan sonra genel sınır koşulu ile oluşturulan operatör tanıtılmıştır. Bu
operatöre ilişkin resolvent operatör fark operatörleri için sabit katsayılar metodu ile
elde edilmiştir. Resolvent operatör yardımıyla spektral analizin temel tanım ve
teoremleri kullanılarak özdeğer ve spektral tekillikler kümeleri elde edilmiştir. Daha
sonra ise Naimark ve Pavlov koşulları altında özdeğer ve spektral tekilliklerin sonlu
sayıda ve sonlu katlı oldukları ispatlanmıştır.

Abstract:
This thesis contains five chapters. First chapter is devoted to the introduction. We
presented the general literature review on spectral analysis. Also, we drew a frame
for the non-selfadjoint problems by classifying them according to differential,
discrete and boundary condition properties. In the second chapter, some basic
definitions and main theorems of spectral theory are recalled. In the third part, the
structure of the eigenvalues and spectral singularities of the operator
L
generated by
the boundary value problem

2
1 1 ( ) ( ) 0 n n n n
     a y v y    , n 1, 2,...

0
n n 0
n
h y


 
where
( )
n n a 
, ( )
n n
v 
and
( )
n n h 
complex valued series,
1 2 ( ) ( ) ( ),
n
h l l   0 a 1,
0 h  0
and

is a spectral parameter has been considered under the condition

1
sup exp( )(1 , 0, 1.
2
n n n
n
n a v h 
  

           
In the fourth part, principal functions corresponding to the these eigenvalues and
spectral singularities has been investigated.
In the last section, after presenting the basic definitions and theorems for the discrete
Dirac operator, we introduce the operator with the general boundary condition.
Resolvent operator for the problem has been found by using constant coefficients
method for the discrete operators. Using the basic definitions and theorems of
spectral theory and the resolvent operator, we obtained the set of eigenvalues and
spectral singularities of the problem. Moreover, we proved that these eigenvalues and
spectral singularities are of a finite number with finite multiplicities under the
Naimark's and Pavlov's conditions.