Riesz uzaylarına sıra yoğun gömmeler
Order dense embeddings into Riesz spaces
Yazar: MÜCAHİT DEMİRTÜRK
Danışman: PROF. DR. CÜNEYT ÇEVİK
Gazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Dedekind tamlamanın oluşumu, Richard Dedekind'in 1872'de reel sayıların inşasını oluşturmasına kadar izlenebilir. İlgili çalışmasında Dedekind, reel sayıları, uygun aritmetik işlemlerle donatılmış rasyonel sayıların Dedekind kesitlerinin kümesi olarak tanımlamıştır. 1937'de MacNeille, Dedekind kesitlerini herhangi bir kısmi sıralı küme içinde değerlendirilip, bunların bu küme içine gömülebilen bir Dedekind tam küme oluşturduğunu gösterdi ve bu kümeyi başlangıçtaki kümenin Dedekind tamlaması diye adlandırdı. Riesz uzaylarına sıra yoğun gömmelerin yardımı ile çalışılabilmesi pre-Riesz uzaylarının en büyük avantajıdır. Bu tezde, üç tür sıra yoğun gömme ele alınmıştır:	
1) Arşimedyan yönlü sıralı vektör uzayının Dedekind tam Riesz uzayına sıra yoğun gömmesi,	
2) Pre-Riesz uzayının Riesz uzayına sıra yoğun gömmesi,	
3) Sıra birimli Arşimedyan sıralı vektör uzayının bir kompakt Hausdorff uzay üstünde tanımlı sürekli fonksiyonların uzayına sıra yoğun gömmesi.	
X yönlü kısmi sıralı vektör uzayınının Dedekind kesitlerinin kısmi sıralı X^\delta kümesi üstündeki \oplus, \ominus ve \ast işlemleri ele alındığında temel amaç, X Arşimedyan uzayının Dedekind tamlamasına gömülmesine benzer bir sonuç oluşturmaktır. X uzayı Dedekind tam olması gerekmeyen bir Riesz uzayına yoğun bir şekilde gömülmüş ve X'in Arşimedyan olması koşulu mümkün olduğunca zayıf bir koşula gevşetilmiştir. X'in bir Riesz uzayına yoğun bir şekilde gömülebilmesi için gerek ve yeter şart X'in pre-Riesz uzayı olmasıdır.

Abstract:
The formation of the Dedekind completion can be traced back to Richard Dedekind's construction of real numbers in 1872. In his related work, he defined real numbers as Dedekind cuts of rational numbers equipped with appropriate arithmetic operations. In 1937, MacNeille showed that Dedekind cuts can be evaluated in any partially ordered set, and a Dedekind complete set can be constructed in which they can be embedded, and he called this set the Dedekind complement of the initial set. The biggest advantage of pre-Riesz spaces is that they can be studied with the help of order dense embeddings in Riesz spaces. In this thesis, three types of order dense embedding are discussed:	
1) Order dense embedding of Archimedean directed ordered vector space into Dedekind complete Riesz space,	
2) Order dense embedding of Pre-Riesz space into Riesz space,
3) Order dense embedding of an Archimedean ordered vector space with order unit into the space of continuous functions defined on a compact Hausdorff space.
Consider the partially ordered X^\delta set of Dedekind cuts of the directed partial ordered vector space X and the operations \oplus, \ominus and \ast on X^\delta. The main goal is to produce a result similar to embedding the Archimedean space X into its Dedekind completion. The space X is densely embedded in a Riesz space that is not necessarily Dedekind complete, and the condition for X to be Archimedean is relaxed to as weak a condition as possible. For X to be densely embedded in a Riesz space, a necessary and sufficient condition is that X is a pre-Riesz space.