Bazı kısmi türevli diferansiyel 
denklemlerin hareketli en küçük 
kareler collocatıon metodu 
ile sayısal çözümleri
Numerical solutions of some partial differential 
equations with moving least square collocation method
Yazar: AYŞE GÜL KAPLAN
Danışman: DOÇ. DR. YILMAZ DERELİ
Anadolu Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2015
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bilim ve mühendisliğin pek çok alanında ortaya çıkan problemleri modellemek için genellikle
lineer olmayan kısmi türevli diferansiyel denklemler kullanılır. Bu denklemler öncelikle
analitik olarak çözülmeye çalışılır. Fakat bu denklemlerin bir çoğu için ya analitik çözüm
mevcut değil ya da analitik çözümü bulmak kolay değildir. Bu nedenle böyle denklemlerin
yaklaşık çözümlerini elde edebilmek için sayısal yöntemler kullanılmaktadır. Bu tip denklemlerin
çözümünde kullanılabilen çok sayıda sayısal yöntem vardır. Bugüne kadar yaygın
olarak kullanılan bazı sayısal yöntemler incelendiğinde bu yöntemler üzerinde modelleme
eksiklikleri ve çözüm süreçlerinin zorluğu gibi bazı eksiklikler tespit edilmiştir. Son yıllarda
yapılan çalışmalar sonucunda ağsız yöntemler olarak bilinen ve yukarıda değinilen eksikliklere
olumlu cevaplar verebilen yöntemler geliştirilmiştir. Hareketli En Küçük Kareler
Collocation yöntemi de bir ağsız yöntemdir.
Bu çalışmada Hareketli En Küçük Kareler Collocation metodu kullanılarak EW, MEW,
GEW, NLS ve Fisher denklemlerinin sayısal çözümleri elde edilmiştir. Metodun geçerliliğini
göstermek amacıyla her bir denklem için çeşitli test problemleri kullanılarak sayısal çözümler
elde edilmiştir. EW, MEW ve GEW denklemlerinin analitik çözümü bilinen tek solitary
dalga hareketi test problemi için L2, L∞ hata normları ve noktasal yakınsama oranları ile her bir
test problemi için kütle, enerji, momentum korunumlarının değerleri hesaplanmıştır. NLS
denkleminin analitik çözümü bilinen tek soliton çözümü için L2, L∞ hata normları ve noktasal
yakınsama oranları ile her bir test problemi için korunumların değerleri hesaplanmıştır.
Fisher denkleminin analitik çözümü bilinen üçüncü test problemi için L2, L∞ hata normları
ve noktasal yakınsama oranları ile çözüm bölgesi üzerindeki bazı bölüntü noktalarında
mutlak hatalar hesaplanmıştır. Ayrıca bütün denklemlerin test problemleri için elde edilen
sayısal çözümlerin grafikleri gösterilmiştir. Elde edilen sayısal sonuçlar analitik sonuçlarla ve
literatürdeki bazı sayısal sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Bu denklemlerin her biri için Hareketli
En Küçük Kareler Collocation metodu ile elde edilen fark denklemlerinin matris metoduyla
kararlılık analizi yapılmıştır.

Abstract:
Nonlinear partial differential equations are generally used for modelling problems arising
in many areas of science and engineering. These equations are first tried to solve analytically.
Analytical solution of many these equations is not either available or easy to find. Therefore
numerical methods are used to obtain approximate solutions to these equations. There are
many numerical methods which can be used to solve this type equations. Some deficiencies
are determined on these methods such as the difficulty of the solution process and modeling
deficiencies when commonly used some numerical methods are examined. As a result of
studies in recent years meshless methods have been developed which can give favorable
answers to the above mentioned deficiencies. Moving Least Squares Collocation method is
a meshless method.
In this study, numerical solutions of EW, MEW, GEW, NLS and Fisher's equations
were obtained by using moving least square collocation method. To show the accuracy
of the method, numerical solutions were obtained for every equations using various test
problems. For the single solitary wave motion whose analytical solution was known, L2, L∞
error norms and pointwise rates of convergence were calculated also mass, energy, momentum
invariants were calculated for every test problems of EW, MEW and GEW. For the single
soliton solution of NLS equation whose analytical solution was known L2, L∞ error norms
and pointwise rates of convergence were calculated also invariants were calculated for every
test problems. L2, L∞ error norms and pointwise rates of convergence were calculated also
absolute errors at some nodal points over the solution domain were calculated for third
test problems of Fisher's equation whose analytical solution was known. Also graphs of the
obtained numerical solutions for every test problems were shown. The obtained numerical
results were compared with analytical results and numerical results of some earlier papers in
the literature. Stability analysis of difference equations were done by applying the Moving
Least Squares Collocation method for each these equations.