Dalgacık eşiklendirme ile regresyon analizi
Wavelet thresholding with regression analysis
Yazar: GÖKÇE NUR MERCAN
Danışman: DOÇ. DR. EYLEM DENİZ HOWE
Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / İstatistik Ana Bilim Dalı / İstatistik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2019
Konu: İstatistik = Statistics

Özet:
Dalgacıkların temel istatistiksel uygulaması "sinyali gürültüden arındırma" veya "düzleştirme" olarak da bilinen parametre kestirimidir. Simüle edilmiş gürültülü sinyali göz önünde bulundurduğumuzda amacımız gürültüyü ortadan kaldırmak, veriyi düzleştirmek ve sinyalin gerçek yapısına mümkün olduğunca yaklaşmaktır. 
Bu çalışmada dalgacık dönüşümü ve eşiklerdirmenin istatistiksel anlamda değerlendirilmesi üzerinde durulmuştur. Farklı dalgacık türleriyle yapılan eşiklendirmenin modeli nasıl etkilediği incelenmiştir. Eşiklendirmedeki temel amaç orjinal verideki gürültüyü azaltarak düzgünlüğünü sağlamaktır. Eşiklendirme sonucunda yapılan ters dönüşüm ile hala önemli detayları içeren veri ile istatistiksel analizlere devam edilebilir.
Bu amaç doğrultusunda Almanya meteoroloji servisi tarafından kaydedilen 2018-2019 yılları arasındaki günlük ortalama sıcaklık, rüzgar hızı, nem ve basınç değişkenleri alınmıştır. Bu değişkenlerin grafikleri incelendiğinde her bir değişken için çizdirilen grafiğin gürültülü verilerden oluştuğu görülmüştür. Bu değişkenlerin herbirine dalgacık dönüşümü yapılarak dalgacık katsayıları elde edilmiş, bu dalgacık katsayılarına evrensel eşiklendirme ve çapraz geçerlilik ile eşiklendirme yöntemleri uygulanmıştır.  Eşiklendirmeden sonra ters dönüşüm yapılarak veriler regresyon analizine uygun hale getirilmiştir.  Bu düzleştirilmiş verilere $k$-katlı çapraz geçerlilik uygulanarak farklı dalgacık türleri ve  farklı eşiklendirme yöntemlerinden elde edilen regresyon modelleri RMSE ve AIC kriter değerleri elde edilerek karşılaştırılmıştır. Bu uygulamanın sonuçları, R paket programı kullanılarak elde edilmiştir.
Birinci bölümde, genel olarak çalışmadan bahsedilmiştir. İkinci bölümde dalgacıklar için gereken temel araçlar olan iç çarpım uzayları ve Fourier dönüşümü  gibi kavramlar anlatılmış, dalgacığın tanımı, tarihsel gelişimi, çoklu ölçekli dönüşümler, dalgacık türleri ve dalgacık dönüşümleri, dalgacık eşikleme yöntemleri ve düzleştirmeden bahsedilmiştir. Üçüncü bölümde, dalgacık regresyon ve k-katlı çapraz geçerlilikten bahsedilmişir. Dördüncü bölümde, meteoroloji verisinin dalgacık dönüşümü ve eşiklendirme sonuclarından ortaya çıkan modeller gösterilmiş sonuç bölümünde en iyi model belirtilmiştir.

Abstract:
The basic statistical application of wavelets is parameter estimation, also known as "signal denoising" or "smoothing". Considering the simulated noisy signal, our aim is to eliminate the noise and to get as close as possible to the actual structure of the signal.
This study emphasizes the statistical evaluation of wavelet transform and thresholds. It investigates how the thresholding with different wavelet types affect the model. The main purpose of thresholding is to reduce the noise in the original data and to ensure its smoothness. With the reverse conversion that is made as a result of thresholding, statistical analysis can be continued with data containing important details.
In accordance with this purpose, data, which are the daily average temperature, wind speed, humidity and pressure variables between 2018-2019 recorded by the German meteorological service, were taken as data frame. When the graphs of these variables were examined, it was seen that the graph drawn for each variable consisted of noisy data. Wavelet coefficients were obtained by making wavelet transform to each of these variables and universal thresholding and cross validation and thresholding methods were applied to these wavelet coefficients. After the thresholding, the data were made suitable by inverse transformation for the regression analysis. Regression models obtained from different wavelet types and different thresholding methods were compared by applying RMSE and AIC criterion values by applying  k -fold cross validation to these data. The results of this application were obtained by using R program.
In the first part, the study is mentioned in general. In the second chapter, the basic tools for wavelets, the inner product spaces and Fourier transform are explained and the definition of wavelet, its historical development, multi-scale transformations, wavelet types and wavelet transforms, wavelet thresholding methods and flattening are discussed. In the third chapter, wavelet regression and k-fold cross validity are mentioned. In the fourth chapter, the models resulting from the wavelet transform of the meteorological data and thresholding results are shown and the best model is stated in the result section.