İki değişkenli sonlu ortogonal polinom aileleri ve bazı özellikleri
Finite classes of orthogonal polynomials in two variables and some properties
Yazar: ESRA GÜLDOĞAN LEKESİZ
Danışman: DOÇ. DR. RABİA AKTAŞ
Ankara Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2021
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Fourier dönüşümü = Fourier transformation ; Hermit polinomları = Hermite polynomials ; Jacobi polinomları = Jacobi polynomials ; Laguerre polinomları = Laguerre polynoms

Özet:
Bu tez sekiz bölümden oluşmaktadır.

İlk bölüm giriş kısmına ayrılmıştır.

İkinci bölümde; çalışma boyunca kullanacağımız temel tanım ve kavramlar hatırlatılmıştır. 

Üçüncü bölümde;  ilk olarak bir aralıkta tek değişkenli ortogonal polinomun tanımı, iyi bilinen tek değişkenli ortogonal polinom aileleri ve bu polinomların özellikleri verilmiştir. Daha sonra bir bölgede iki değişkenli ortogonal polinomlardan bahsedilmiş ve böylesi polinomları elde edebilmek için Koornwinder'in (1975) metodu hatırlatılmıştır. Ayrıca bu metod kullanılarak ortaya çıkarılmış bazı bilinen polinomların tanımları sunulmuştur.

Dördüncü bölümde; tek değişkenli sonlu ortogonal polinomlar ve genel özellikleri verilmiştir.

Beşinci bölümde; tezin özgün bir bölümünü oluşturan iki değişkenli sonlu ortogonal polinomlar elde edilmiş ve elde edilen iki değişkenli polinom aileleri için rekürans bağıntıları, sağladıkları kısmi türevli denklemler, doğurucu fonksiyonlar, ortogonallik bağıntıları ve Rodrigues formülleri gibi temel özellikleri verilmiştir. Bu polinomların ve yukarıda sayılan genel özelliklerinin limit durumları incelenerek sonlu ve sonsuz ortogonal polinomlar arasında bağıntılar elde edilmiş ve bu esnada yeni ortogonal polinom aileleri ortaya çıkarılmıştır.

Altıncı bölüm tezin özgün bölümlerinden birisidir ve bu bölümde değişkenlerine ayrılabilir iki ortogonal polinomun çarpımı için Lee (2005) tarafından verilen 4. basamaktan kısmi türevli denklem elde etmeyi sağlayan metod yardımıyla beşinci bölümde tanımlanan değişkenlerine ayrılabilir iki değişkenli sonlu ortogonal polinom ailelerinin sağladıkları 4. basamaktan kısmi türevli denklemler verilmiştir. Üstelik bu kısmi türevli denklemlerin limit durumlarının da polinomların limiti olan sonuçlar tarafından sağlandığı görülmüştür.

Yedinci bölümde; beşinci bölümde bahsi geçen iki değişkenli sonlu ortogonal polinom ailelerinin Fourier dönüşümleri yardımıyla elde edilen özel fonksiyon aileleri tanıtılmıştır. Bu kısım da tamamıyla özgündür.

Sekizinci bölümde; yapılan çalışmalar ile ilgili sonuçların değerlendirilmesine yer verilmiştir.

Abstract:
This thesis consist of eight chapters.

The first chapter is devoted to the introduction.

In the second chapter; basic definitions and concepts that we will use throughout the study are recalled. 

In chapter three; firstly, definition of univariate orthogonal polynomial in an interval, the well-known orthogonal polynomial sets in one-variable and their properties are given. Then, orthogonal polynomials in two variables in a domain are mentioned and in order to obtain such polynomials, the Koornwinder (1975) method is reminded. Also, the definitions of some known polynomials that have been revealed using this method are presented.

In the fourth chapter; the known finite univariate orthogonal polynomials and their general properties are given.


In the fifth chapter; finite orthogonal polynomials in two variables, which form a original part of the thesis, are obtained and their basic properties such as recurrence relations, partial differential equations, generating functions, orthogonality relations and Rodrigues formulas for the obtained sets of the polynomials in two variables are given. Investigating the limit cases of the polynomials and the general properties of them listed above, relations between finite and infinite orthogonal polynomials are obtained and some new bivariate orthogonal polynomial sets have been presented.

The sixth chapter is one of the original chapters of the thesis, and in this chapter, with the help of Lee's (2005) method that enables to obtain the fourth order partial differential equations for the product of two orthogonal polynomials that can be separated into variables, the fourth order partial differential equations satisfied by the finite orthogonal polynomial sets in two variables, which are defined in fifth chapter, are given. Moreover, it has been seen that the limit cases of these equations are satisfied by the results which are the limits of the finite orthogonal polynomials in two variables.

In the seventh chapter; the sets of special functions obtained by Fourier transforms of the aforementioned sets of two-variable finite orthogonal polynomials in fifth chapter are introduced. This part is also original.

In eighth chapter is devoted to the evaluation of the results.