İki elastik katıdan oluşan tanecikli bir kompozit için karışımlar teorisi yaklaşımı ve çeşitli problemlere uygulanması
Theory of mixtures approach for a particulate composite consisted of a mixture of two linear elastic solids and its applications to various problems
Yazar: EMRE KURT
Danışman: PROF. DR. MEHMET SALİH DOKUZ
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Makine Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Makine Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2019
Konu: Makine Mühendisliği = Mechanical Engineering

Özet:
İki veya daha fazla maddenin karşılıklı difüzyona uğraması sonucu oluşturdukları cismin mekanik davranışını sürekli ortamlar mekaniğini baz alarak belirlemeye uğraşan bilim alanına karışımlar teorisi denmektedir. Bölgenin her noktasında sürekli ortam tanımına uyacak şekilde varlığını devam ettiren bileşenlere sahip kompozit malzemeler ve alaşımlar yapısı itibariyle karışımlar teorisi yaklaşımıyla incelebilecek malzemeler olarak göze çarpmaktadır. İki lineer elastik katı karışımı için elde edilmiş olan temel bünye denklemleri, makroskopik boyutta ortamın her noktası her iki bileşen tarafından da işgal edilmiş gibi tasavvur edilebilen, iki bileşenli kompozit malzemelerin davranışlarını açıklamak için alternatif bir yol olarak kullanılabilmektedir. Katı-katı karışımına ait lineer bünye denklemleri klasik elastisite teorisindeki lineer izotropik bir elastik malzemenin bünye denklemine şekilsel olarak benzerlik göstermektedir.
Karışımlar teorisinin ortaya koyduğu matematiksel modelleri kullanma konusunda en büyük sorun bünye katsayılarının belirlenmesindeki, sınır koşullarının yazılmasındaki ve bileşenler arasındaki etkileşimlerin tanımlanmasındaki zorluklardan kaynaklanmaktadır. Bu durum karışımlar teorisini baz alan pratik uygulamaların azlığına sebep olmuştur.
Bu çalışmada, termal etkilerin, karışım bileşenleri arasında kimyasal etkileşimlerin ve kütle kuvvetlerinin ortam davranışına etkilerinin ihmal edildiği denge halindeki iki lineer elastik katı karışımına ait teorik model kullanılmaktadır. Aynı zamanda, karışım ortamının bir bütün olarak sergilediği mekanik davranışa eşdeğer bir davranış sergileyen tekil bir elastik ortam tasavvur edilerek her iki ortama ait denklemler arasında bazı ilişkiler tanımlanmaktadır. Böylelikle, hem karışımlar teorisinin ortaya koyduğu iki lineer elastik katı karışımına ait düşünceler, hem de ortama bir bütün olarak bakıldığında tekil bir ortam gibi davranış sergilediği için klasik elastisite teorisi çözüm yöntemleri kullanılabilmektedir. Bu kapsam, tanecikli kompozit bir malzemenin ve kompoziti oluşturan katı bileşenlerin malzeme özelliklerine ait deneysel verilerin hesaplamalarda kullanılabilmesine imkan tanımaktadır. Bu da, karışımlar teorisinde ortaya çıkan ek bünye katsayılarının belirlenmesi için analitik yöntemler geliştirilebilmesine fırsat vermektedir. 
Yukarıda genel hatlarıyla ifade edilen yol haritası kapsamında, öncelikle, literatürde verilmiş olan bileşenleri bağıl hareket yapmayan karışım ortamı için bünye denklemlerindeki bilinmeyen katsayılar arasında elde edilmiş denklemler açıklandıktan sonra karışık formdaki bu denklemler sadeleştirilerek bilinmeyen katsayıların bilinen katsayılar cinsinden yazılabildiği münferit denklemler elde edilmektedir. Ardından, iki lineer elastik katı karışımı için Prandtl gerilme fonksiyonları yardımıyla burulma probleminin formülasyonu sonucunda karışım bileşenlerinin yer değiştirme vektörleri, şekil değiştirme ve gerilme tansörleri için bağıntılar elde edilmiştir. Daha sonra, eliptik kesitli ve eşkenar üçgen kesitli prizmatik çubukların burulmasına dair uygulamalar ele alınmıştır. Burulma probleminin verdiği sonuçların daha az elastik katsayı içermesi nedeniyle, sadeliğinin ortamın her bir bileşeni tarafından taşınan yük miktarının anlaşılması konusunda faydalı olacağı değerlendirilerek bu hususta tanecikli yapıya sahip kompozit bir malzemenin verileri kullanılarak bir uygulama yapılmaktadır.  
Çalışmanın devamında, bileşenleri arasında bağıl hareketin mümkün olduğu bir karışım söz konusu olduğunda bilinmeyen bünye katsayılarının tespitine yönelik bir düşünce ortaya konmaktadır. Bu amaçla, literatürde daha önce iki lineer elastik katı karışımı için Papkovich-Neuber metoduyla çözümü verilmiş olan Kelvin problemi Galerkin vektörü metoduyla çözülerek hem literatüre katkıda bulunulmakta hem de zikredilen hedef dahilinde kullanılacak denklemler elde edilmektedir. Bulunmuş olan bağıntılar ilgili denklemlerde tanecikli yapıya sahip kompozit bir malzemenin verileriyle birlikte kullanılarak bilinmeyen katsayılar için sayısal sonuçlar elde edilmektedir. Böylece bileşenleri bağıl hareket edebilen ve edemeyen karışım ortamları için Kelvin probleminden elde edilen verilerin karşılaştırılabilmesi mümkün olmaktadır. 
Kullanılan teorik modelde karışım bileşenlerine ait malzeme özelliklerinin bileşen hacim oranıyla ilişkisi açık formda ifade edilmemektedir. Bu sebeple bu modeli kullanarak yapılmış olan hesaplamalarda tanecikli yapıya sahip kompoziti oluşturan bileşenlerin tekil haldeki özelliklerinin kullanılması tercih edilmiştir. Çalışmanın son bölümünde ise, kompoziti oluşturan her bir katının karışım içerisindeki özellikleriyle tekil haldeki özellikleri arasında bir bağıntı elde etmek amacıyla her bir katıyı diğer katının hacim oranı kadar gözenek içeren bir yapı gibi kabul ederek, literatürde gözenekli malzemelerin elastik özelliklerini tahmin etmek için kullanılan düşünceleri iki lineer elastik katı karışımına uyarlama amaçlı bir deneme yapılmaktadır. Bunun bir uygulaması olarak da iki lineer elastik katı karışımı için Hankel transformasyonu metoduyla Boussinesq probleminin çözümü verilerek bileşen davranışları bağıl hareketsiz ve bağıl hareketli ortamlar için irdelenmektedir.

Abstract:
Accompanied by industrial progresses, due to increasing expectations from material properties and much cases failing to satisfy these expectations from single component materials, the researches for multi-component materials have became a technological necessity. The structure that at least two constituent components of continuum has perceivable effect on behavior of whole continuum is defined as mixture. By using the fundamentals of continuum mechanics, derivation of mathematical models for the mechanical behavior of each constituent of the mixture has been in progress since 1960s. Theory of mixtures is a field of science dealing with multi-component materials and tries to determine their mechanical behaviours. Composites and alloys are supposed to be suitable materials to study by using the approach of theory of mixtures due to their structures that the constituent components are valid at every point of any region of the material. 
The basic constitutive equations obtained for a mixture of two linear elastic solids can be used as an alternative way to describe the mechanical behaviour of binary composite materials that each point belongs to mixture is assumed as being occupied by a particle of each solid in consideration of a macroscopic scale. The constitutive equations that belong to mixture of two linear elastic solids are formally similar to those of linear isotropic elastic material in classical elasticity theory.
The important limitations using mathematical models derived by the theory of mixtures result from challenges of determining constitutive coefficients, expressing boundary conditions and defining interactions between constituent components. These cause rarity of applications based on the theory of mixtures.
The theoretical model used in this study is the equilibrium condition of a mixture of two linear elastic solids in such assumptions that thermal effects, chemical interactions between constituent components and effects of body forces on the behaviour of media are neglected. Moreover, the mechanical behavior of the whole mixture continuum is considered as the behavior of a mechanically equivalent single elastic continuum. Then, by using the solution methods of the classical theory of elasticity to the equivalent single elastic continuum representing the whole mixture behaviour, some relations between the equations of these two continuums are defined. In this way, both the considerations of two linear elastic solids presented by the theory of mixtures and the solution methods of the classical theory of elasticity can be used in the calculations. This scope allows us to use emprical data of material properties of both a particulate composite material and constituent solids of it in the calculations. By this means, we are given an opportunity to develop analytic methods for determining the remaining undetermined coefficients in the constitutive equation of the theory of mixtures. These remaining undetermined coefficients are defined as interaction coefficients in the constitutive equations which is one of the main challenge to determine in this theory. The above explained approach to determine constitutive coefficients has been in progress since 2005.
Using the scope of above mentioned essentials of our roadmap, in the literature, numerical results for unknown coeffients in the constitutive equations for a binary mixture of elastic solids with no relative displacement (mutual motion) between the mixture components (perfectly bonded interface) are valid. These numerical results are obtained from some specific relations. In this study, a more general consideration that the relations for the case of a binary mixture allowing relative displacements between the mixture components are investigated. As the obtained more general results of this study also involve the previous results founded in the literature, this provides a useful check for the accuracy of calculations. Moreover, in this study, by simplifying these specific relations for no relative displacement case, individual equations for each unknown constitutive coefficients in terms of determined constitutive coefficients are obtained. 
After that, torsion formulation of a linear elastic solid-solid mixture is obtained by using Prandtl stress function method. With this formulation, the angles of twist per unit length, partial stress and strain tensors, and displacement fields for each constituent solids are calculated. Then, this solution method is applied to elliptical and equilateral triangular cross-sectional prismatic bars subjected to torsion acting on the end plane. As the formulation of torsional end loading problem involves less coefficients of elasticity, the simplicity of its structure is evaluated to be beneficial to understand the external load ratios carried by each constituent solid. So, by using the emprical data of a particulate composite material an application is performed for no relative displacement case and the external load ratios carried by each constituent solid can be calculated directly. The result of this calculations shows that the load ratios carried by each constituent solid are not equal to their volume fractions in the whole mixture which is one of the assumptions in the literature for the load ratios carried by each constituent solid. So, throughout the study the load ratios carried by each constituent solid are not associated to their volume fractions in the whole mixture. 
In the continuation of the study, an opinion is submitted to determine the unknown constitutive coefficients in case of a mixture continuum allowing relative displacements between its constituent solids. For this purpose, the solution of Kelvin problem for a mixture of two linear elastic solid by using Galerkin vector method instead of Papkovich-Neuber method which is founded in the literature is obtained. Thus, both a contribution to the literature is made and equations to use for the said purpose are derived. By using the emprical data of a particulate composite material with these derived equations in the individual relations according to unknown constitutive coefficients, numerical results for the unknown constitutive coefficients are obtained. As the appointed individual relations contains non-linear terms, individual equations for each unknown constitutive coefficients in terms of determined constitutive coefficients can not be given for the case of a mixture continuum allowing relative displacements between its constituents. Having the numerical results for both no relative displacement and relative displacement continuums between the mixture components enables us to make a comparison of the data obtained from Kelvin problem for each case.
It is worth to underline the obtained result of this study that load ratios carried by each constituent solid is varied for different types of loading of the whole mixture. Moreover, for the different volume fraction of the constituent solids in the whole mixture, the load ratios carried by each constituent solid is also varied. Another important point is that for no relative displacement between the mixture components case using the calculated load ratios instead of load ratios supposed to be equal to their volume fraction in the whole mixture gives equal displacement results of two constituent solids as expected. The third point to underline is that in case of a mixture continuum allowing relative displacements between its constituent solids, two different results are obtained. One result is identical to no relative displacement case, and second result is different from no relative displacement case and clearly shows varied displacement results of two constituent solids.
In the theoretical model used in this study, there is no limiting prediction for the relation between the material properties of the constituent components of mixture and the volume fraction of components in the whole mixture in the structural formulas founded in the literature. Thus, while performing calculations using this model it is preferred to use stand-alone material properties of the constituent components of the particulate composite in the equations, directly. But, in the last section of the study, each constituent solids in the mixture is supposed to have different material properties from its stand-alone conditions. Thus, in accordance with rule of mixtures which is a valid approach to predict various properties of composite materials, for trial purposes, a linear relation between the material properties of each constituent solid in the mixture and the material properties of each constituent solid in the stand-alone condition is defined. This definition is derived by the assumption that each constituent solid is in the structure that contains porosity in the amount of the volume fraction of the other constituent solid in the whole mixture. By using this assumption, a trial is performed in an attempt to adapt the considerations for estimating the elastic properties of porous materials in the literature to the mixture of two linear elastic solids. For an application of this trial, after the solution of Boussinesq problem for a mixture of two linear elastic solid by using Hankel transform method is given, the behaviours of the constituent solids are studied for both no relative displacement and relative displacement continuums between the mixture components cases.
At the end of the last section, it is shown that similar results of the previous consideration used in the previous section can be obtained by using a relation among the material properties of each constituent solid in the mixture and the material properties of each constituent solid in the stand-alone condition. So, this kind of consideration may assist the further researches in this field.