Fonksiyonel derecelendirilmiş mikro kirişlerin sonlu farklaryöntemi ile analizi
Analysis of functionally graded micro-beams with finitedifference method
Yazar: FURKAN IŞIK
Danışman: DOÇ. DR. ÇAĞRI MOLLAMAHMUTOĞLU
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / İnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Mekanik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2020
Konu: İnşaat Mühendisliği = Civil Engineering

Özet:
İleri teknolojik imalat sanayilerinde, mikro-elektromekanik sistem (MEMS) bileşeni olarak, birçok kullanım alanı bulan mikro kirişlerin yönetici denklemleri ve sınır koşulları, boyut etkisi içermeyen klasik teoriye nispeten karmaşık yapıda olup çoğu durumlarda analitik çözümü olanaksız kılmaktadır. Bundan dolayı sayısal yöntemler ön plana çıkmaktadır. Mikro kiriş konulu literatürde çoğunlukla diferansiyel kuadratür (DQM) ve nispeten sonlu elemanlar yöntemini temel alan çalışmalar bulunmaktayken sonlu farklar temelli çalışmalar yok denecek kadar
azdır. Bu çalışma kapsamında, önceden geliştirilmiş olan, 2 yönde (eksen ve yükseklik doğrultuları) fonksiyonel derecelendirilmiş görece kalın kirişler (L/h≈5) için bir mikro teori, modifiyeli birleşik gerilme teorisi (modified couple stress theory), ele alınarak literatürde bu konuda uygulamasına daha önce rastlanmamış
olan sonlu farklar yöntemiyle analiz edilmiştir. Yönetici denklemler ve sınır koşulları Hamilton Prensibi doğrultusunda elde edilmiş olup sonlu fark ayrıklaştırması, denklemlerin güçlü formları (strong form) üzerinden yapılmıştır. Görece kiriş kalınlığı literatürde sıkça kullanılan Timoshenko kayma kirişi teorisi ile hesaba katılmıştır. Bu şekilde literatürde ilk defa 2 boyutlu fonksiyonel derecelendirilmiş mikro kirişler için sonlu fark şablonları (stencil) oluşturulmuştur.  Kiriş içinde (yönetici denklem takımları için) merkezi ve sınır noktalarında (sınır koşulları için) ileri ve geri yönlü olmak üzere sonlu fark formülasyonları uygulanmıştır. Her sonlu fark grid noktasında çökme, dönme ve boyuna yer değiştirme olmak üzere 3 değişkenin tanımlandığı ayrık yapı, bu doğrultuda geliştirilmiş olan bir yazılımla otomatik olarak elde edilen lineer denklem sistemine dönüştürülmüştür. Denklem sistemi, beklendiği gibi, titreşim ve burkulma durumlarında, lineer cebrin genelleştirilmiş bir özdeğer problemi olarak ortaya çıkmaktadır. Klasik bir özdeğer analizi ile kirişin serbest titreşim frekansları ve burkulma yükleri, mikro yapısal karakteristik uzunluk, fonksiyonel derecelendirme parametreleri ve sınır koşullarına göre elde edilmiştir. Bu bağlamda statik yük altında çökme sonuçlarına da yer verilmiştir. Ayrıca kullanılan sonlu fark grid
aralığının sonuçlardaki hassasiyete etkisi incelenmiştir. Nihayetinde elde edilmiş sonuçlar literatürde çok sık kullanılan diferansiyel kuadratür yöntemiyle (DQM) ulaşılan sonuçlarla karşılaştırılmış, bu çerçevede sayısal çözümlerin performansları, avantajları ve dezavantajları irdelenmiştir.

Abstract:
In the advanced technological manufacturing industries, as the microelectromechanical system (MEMS) component, the executive equations and boundary conditions of the micro beams, which find many uses, are relatively complex to classical theory without dimensional effect and in many cases make analytical solution impossible. Therefore, numerical methods come to the fore. In the literature on micro beams, there are mostly studies based on differential quadrature (DQM) and relatively finite element method, while studies based on finite differences are almost nonexistent. Within the range of this study, a micro theory for modified thicker beams (L / h≈5), which has been previously developed, functionally graded in 2 directions (axis and height directions), and modified couple
stress theory, is discussed in the literature. It was analyzed by finite difference method which was not encountered before. Executive equations and boundary conditions were obtained in line with the Hamilton Principle and finite difference discrimination was made on the strong forms of the equations. The relative beam thickness is taken into account by the Timoshenko shear beam theory, which is frequently used in the literature. In this way, for the first time in the literature, finite difference templates (stencils) have been created for 2 dimensional functional graded micro beams. In the beam (for executive equation teams) at the central and border points (for boundary conditions), finite difference formulations are applied, forward and backward. The discrete structure, in which 3 variables are defined as each finite difference in the grid point, collapse, rotation and longitudinal
displacement, have been converted into a linear equation system which is automatically obtained by a software developed in this direction. Equation system, as expected, emerges as a generalized eigenvalue problem of linear algebra in vibration and buckling situations. Free vibration frequencies and buckling loads of beam with a classical eigenvalue analysis, microstructural characteristic length was obtained according to functional grading parameters and boundary conditions. In this context, the results of collapse under static load are also included. In addition, the effect of the finite difference grid spacing used on the sensitivity of the results was examined. The results obtained at the end were compared with the results obtained by the differential quadrature method (DQM), which are used frequently in the literature, and the performance, advantages and disadvantages of numerical
solutions were examined.