Serbest süreklilik
Free continuity
Yazar: UMUTCAN KAYA
Danışman: PROF. DR. MEHMET KÜÇÜKASLAN
Mersin Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Analiz ve Fonksiyonlar Teorisi Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Sürekli fonksiyonlar tanımlanırken sonsuz küçük kavramının epsilon-delta (𝜀−𝛿) tanımı ile hemen hemen kesin bir temele oturtulmasının ardından, sürekli fonksiyonların karakterizasyonu Weierstraß ile tam anlamı ile bir netlik kazanmıştır. Yakınsaklık kavramı ile ilişkisi kaçınılmaz olan süreklilik kavramının bir diğer karakterizasyonu da dizisel süreklilik olarak bilinen, metrik uzaylarda klasik sürekliliğe denk fakat rastgele topolojik uzaylarda klasik süreklilikten daha zayıf olan bir tanımdır. Bu kavram (Schoenberg, 1959; Srinivasan 1980; Antoni, Salat, 1980) makalelerinde daha da geliştirilip metot adı altında incelenmiş, dizisel süreklilikte kullanılan yakınsaklık kavramının değişik şekillerde zayıflatılması ile farklı uzaylar elde edilmiştir. Fakat çoğunun ortak problemi, yeni tanımlanan uzayların ya zaten klasik anlamda sürekli olan fonksiyonlar uzayı ile çakışmaları ya da lineer fonksiyonlar (ki ℝ'de tüm lineer fonksiyonlar süreklidir) uzayı ile çakışmalarıdır. Bu ikilemin hangi şartlar altında kırılabileceği (Connor, Grosse-Erdman, 2003)'te detaylıca tartışılmış olup gerekli aksi örnekler oluşturulmuştur.
Bu tezde, yakınsaklık kavramı ile ilgilenmek yerine, dizisel süreklilikte kullanılan evrensel niceleyicinin (∀) zayıflatılmasına odaklanılmıştır. Yani, dizisel sürekliliğin aksine, verilen bir 𝓍 noktasına yakınsak (herhangi bir metot ile) her dizinin incelenmesi koşulu yerine, bu dizilerin belirli şartı sağlayan bir kısmı incelenmiştir. Önce verilen bir 𝐾⊂ℕ için bu 𝐾 kümesi üzerinde serbest olan reel sayılar tanımlanmış ve daha sonra serbest diziler tanımlanarak, evrensel niceleyicinin kapsam alanı sadece serbest ve serbest olmayan dizilere kısıtlanmıştır. Bu yaklaşım ile, doğal sayıların her bir alt kümesi için yeni bir fonksiyon sınıfı elde edilmiştir. Elde edilen bu fonksiyon sınıfları, klasik sürekli fonksiyonlar sınıfından daha geniştir ve bazı ölçülemeyen fonksiyonlara da ev sahipliği yapar. Tanımlanan bu sınıfların bir vektör uzayı yapısına sahip olduğu gösterilmiş ve kendi aralarında nasıl bir hiyerarşiye sahip oldukları incelenmiştir.

Abstract:
In this thesis, the notion of continuity defined by Weierstraß in the middle of the 19th century has been studied utilizing various generalizations of the subject today known as sequential continuity. It is well-known that in the real line if a function is continuous then it is continuous and the converse is also true, but in a general setting, this is not true. Many properties and generalizations of sequential continuity have been studied by various authors such as (Schoenberg, 1959; Srinivasan 1980; Antoni, Salat, 1980) and studied in (Spigel & Krupnik, 1994; Connor & Grosse-Erdman, 2003). But the most important problem they had was the so-called dichotomy of the new functions defined by some method being either linear or already continuous in the classical sense.
A step for breaking this dichotomy has been considered in this thesis by restricting the scope of the universal quantifier and by using the notion of natural density. To do this, the notion of free real numbers is defined, and with the help of this notion, the class of free continuous functions is defined. It has been shown that while preserving the class of all classical functions the class of free continuous functions cannot be compared with the class of almost continuous functions and the class of functions such that the absolute value of functions is Lebesgue integrable (𝐿1 space).