Zayıf eşlenik duallik ve konveks olmayan optimizasyon
Weak conjugate duality and nonconvex optimization
Yazar: İLKNUR ATASEVER
Danışman: PROF. DR. YALÇIN KÜÇÜK
Anadolu Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2011
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu çalışmada, [13]'de tanımlanan zayıf eşlenik dönüşümler kullanılarak konveks olmayan kısıtlı gerçel optimizasyon problemleri için zayıf Fenchel (D^w_F ) ve zayıf Fenchel-Lagrange (D^w_FL) dual problemleri oluşturulmuştur. Bu problemler için zayıf duallik teoremi ve güçlü duallik için gerekli ve yeterli kosullarverilmiştir. Daha sonra asıl problemin, (D^w_F) ve (D^w_FL) dual problemlerinin ve [14]'de oluşturulan Lagrange dual problemin (D^w_L ) optimal değerleri karşılaştırılmıştır. (D^w_F ), (D^w_FL) dual problemleri için gerekli ve yeterli optimallik koşulları verilmiştir. Bunlara ek olarak, [13]'de gerçel değerli fonksiyonlar içintanımlanan zayıf eşlenik, zayıf bieşlenik fonksiyonlar ile zayıf subdiferansiyel kavramları kümelerin supremum, infimum kavramları ve vektörel norm kavramı kullanılarak küme değerli dönüşümlere genelleştirilip tanımlanmış, aralarındaki ilişkiler incelenmiştir. Ayrıca küme değerli dönüşümlerin zayıf subdiferansiyellenebilmesi için gerekli ve yeterli koşullar verilmiştir. Zayıf eşlenik dönüşüm yardımıyla kısıtsızvektör optimizasyon problemleri için zayıf dual problem oluşturulmuş, zayıf duallik ve güçlü duallik teoremleri verilmiştir. Son olarak, kısıtlı vektör optimizasyon problemi için özel bir sarsım fonksiyonu kullanılarak zayıf Fenchel dual problem oluşturulmuş ve Lagrange dual problem [28] yardımıyla çözülemeyip, zayıf Fenchel dual problem yardımıyla çözülebilen konveks olmayan kısıtlı bir vektör optimizasyon problemi örneği verilmiştir.

Abstract:
In this work, by using the notion weak conjugate function defined in [13] weak Fenchel (D^w_F) and weak Fenchel-Lagrange (D^w_FL) dual problems are constructed for nonconvex constrained scalar optimization problems. Weak duality theorem and necessary and sufficient conditions for strong duality of these problems are presented. Then, relationships among the optimal objective values of primal problem, (D^w_F ), (D^w_FL) and Lagrange dual problem (D^w_L) constructed in [14] are examined and necessary and sufficient optimality conditions for optimality of (D^w_F ) and (D^w_FL) are given. In addition, by using notions supremum, infimum of sets and vectorial norm, weak conjugate map, weak biconjugate map and weak subdifferential of a set valued map are defined, relationships between these notions are examined and necessary and sufficient conditions for weakly subdifferentiability of a set-valued map are given. By using weak conjugate maps, a dual problem is constructed for unconstrained vector optimization problems, weak duality and strong duality theorems are presented. At the end, by using a special perturbation function weak Fenchel dual problem for constrained vector optimization problem is constructed and an example of a nonconvex constrained vector optimization problem which can not be solved by using Lagrange dual problem [28] but can be solved by using weak Fenchel Conjugate dual problem is given.