İntegral denklemlerin sayısal çözümleri
Numerical solutions of integral equations
Yazar: BÜŞRA ÇELEBİ
Danışman: DOÇ. DR. SEBAHAT EBRU DAŞ
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Denklemler = Equations ; Hermit yöntemi = Hermite method ; Kesirli türevler = Fractional derivatives ; Kollokasyon yöntemi = Collocation method ; Matematiksel modelleme = Mathematical modelling ; İntegral denklemler = Integral equations

Özet:
Bilindiği gibi nüfus artışından ısı dağılımına, elektrik iletiminden genetiğe kadar sayısız alanda karşılaştığımız birçok problem diferansiyel ya da integral denklemler gibi denklemlerin yardımıyla modellenerek çözüme kavuşmaktadır. Kesirli analizin ortaya çıkmasıyla kesirli diferansiyel ve kesirli integral denklemler de bu gruba katılmıştır. Bu tür problemlerin çoğu zaman tam çözümü olmadığından ancak nümerik çözüm yöntemleri yardımıyla yaklaşık olarak çözülebilmektedirler. Bu tezde, iyi bilinen kesirli türev tanımlarından olan Caputo kesirli türeviyle verilen bir kesirli Fredholm-integro diferansiyel denklem sınıfının yaklaşık çözümü Hermit Sıralama Yöntemi yardımıyla elde edilmiştir.
Tezin ilk bölümünde konunun literatür taraması, tezin amacı ve hipotezi verilmiştir. İkinci bölümünde, tezde kullanılan bazı özel fonksiyonlar ve özellikleri tanıtılmıştır. Üçüncü bölümde, bilinen belli başlı kesirli türev ve integral kavramları ve tarihçeleri hakkında bilgiler verilmiştir. Dördüncü bölümde ise, integral denklemlerin sınıflandırılması yapılmıştır. Beşinci bölümde, Hermit polinomlarının ortaya çıkışı, farklı ifade edilişleri ve belli başlı özellikleri ifade edilmiştir. Altıncı bölümde, Hermit Sıralama Yöntemi tanıtılıp ayrıntılı olarak anlatılmıştır. Yedinci bölümde ise, yöntem bazı test problemlerine uygulanarak yaklaşık çözümleri elde edilmiştir. Farklı değerler için çözümler irdelenmiş, bunlarla ilgili tablo ve şekiller verilmiştir.

Abstract:
It is known that many problems we encounter in numerous fields, from population growth to heat distribution, from electricity transmission to genetics, are solved by modeling them via such as differential or integral equations. With the arising of fractional calculus, fractional differential and fractional integral equations also joined this group. Since most of such problems do not have exact solutions, they can only be solved approximately using the numerical methods.
In this thesis, the approximate solution of a class of fractional Fredholm-integro differential equations given by Caputo fractional derivative, one of the well-known fractional derivative definitions, was obtained with the help of the Hermit Collocation Method.
In chapter I of the thesis, the literature review of the subject, the aim and hypothesis of the thesis are given. In chapter II, some special functions and their properties which used in the thesis are introduced. In chapter III, the well known fractional derivative and integral definitions are given with their history. In chapter IV, integral equations are classified. In chapter V, the emergence of Hermit polynomials, their different expressions and properties are explained. In chapter VI, Hermit Collocation Method is introduced and explained in detail. In chapter VII, the method is applied to some test problems and approximate solutions are obtained. Solutions for different values are examined and relevant tables and figures are given.