Seıberg-Witten denklemlerinin genelleştirilmeleri
Generalizations of Seiberg-Witten equations
Yazar: SERHAN EKER
Danışman: PROF. DR. NEDİM DEĞİRMENCİ
Anadolu Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Geometri Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2016
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Dirac operatörü = Dirac operator ; Eğrilik = Curvature ; Kendine duallik = Self duality ; Seiberg-Witten denklemleri = Seiberg-Witten equations ; Spinör = Spinor

Özet:
Bu tez çalışmasında Seiberg-Witten denklemleri iki ana başlık altında incelenmiştir.  İlk olarak Clifford cebirleri, Vektör demetleri, Asli lif demetleri, Konneksiyon 1-formları gibi Seiberg-Witten denklemlerini ifade etmekte kullanılan temel kavramlara değinilmiştir.  Sonraki bölümde de spinor demeti üzerinde kovaryant türev operatörü ve Dirac operatörü incelendikten sonra literatürde çok iyi bilinen 4-boyutlu manifoldların yapısını incelemekte kullanılan Seiberg-Witten denlemleri irdelenmiş ve buna bağlı olarak 4-boyutlu Hiperbolik uzaylar üzerinde Seiberg-Witten denklemleri yazılmıştır.  Yüksek boyutlarda da genelleştirilmiş self-dualite kavramına bağlı olarak verilen Seiberg-Witten denklemlerinden olan eğrilik denklemine literatürdeki ifade edilişlerine denk olan alternatif formüller verilmiştir.  Ayrıca 8-boyutta farklı bir self-dualite seçimine bağlı olarak Seiberg-Witten denklemleri elde edilmiş ve bu denklemlere çözüm verilmiştir.  Bu bölümün sonunda 8-boyutta Hiperbolik uzaylar üzerinde Seiberg-Witten denklemleri yazılmıştır.  Daha sonra spinor uzayı üzerinde tanımlanan Hermityen iç çarpım kullanılarak eğrilik denkleminin ifadesinde kullanılan sigma dönüşümünün bazı özellikleri incelenmiş ve buna bağlı olarak bazı yararlı eşitlikler elde edilmiştir.  Son bölümde de öncelikle 4-boyuttaki klasik denklemlere self-dualite kavramına ihtiyaç duymadan alternatif bir yaklaşım öne  sürülmüş ve bu yaklaşımın literatürde çok iyi bilinen klasik denklemlerle benzerliği gözlemlenmiştir.   Son olarak da bu yaklaşım ile 5,6,7 ve 8-boyutlu manifoldlar üzerinde self-dualite kavramı olmaksızın Seiberg-Witten denklemleri yazılmış ve bu denklemlere çözümler verilmiştir.

Anahtar Kelimeler: Dirac Operatörü, Seiberg-Witten Denklemleri, Spinor, Eğrilik, Self-Dualite

Abstract:
In this thesis, Seiberg-Witten equations have been examined under two main catagories.  Firstly, some basic concepts such as Clifford algebra, Vector bundles, Principal bundles and Connection 1-form were addressed to describe Seiberg-Witten equations.   In the next section, after Dirac operator and covariant derivative operator were studied on spinor bundle, Seiberg-Witten equations, which are used to analyze the structure of the 4-manifold and well-$known in the literature, have been discussed.  According to this, Seiberg-Witten equations have been written on the 4-dimensional Hyperbolic space.   In higher dimension, depending on the concept of the generalized self-duality, alternative formulas of Curvature equation, which are equivalent to wording in the literature, was given.  In 8-dimension Seiberg-Witten equations were also obtained according to the different selection of a self-duality and then solutions to these equations were given.  At the end of this section, Seiberg-Witten equations on 8-dimensional Hyperbolic space were written.  Then, some properties of the quadratic map sigma, which is used in the expressions of the Curvature equation, were investigated on the spinor space by using defined hermitian inner product.  According to these, some useful equations were obtained.  In the final section, instead of clasical equations which are defined on 4-dimensional manifolds, at first an alternative approach has been suggested without the need of self-duality concept.   Finally, by this approach, without using the concept of self-duality Seiberg-Witten equations were written and solutions to these equations were given in dimensions 5,6,7 and 8.

Keywords: Dirac Operator, Seiberg-Witten Equations, Spinor, Curvature, Self-Duality