Grup halkalarında augmentasyon idealler yardımıyla alt grup, alt modül ve ideal ilişkileri
Subgroup, submodule and ideal relationships with the help of augmentation ideals in group rings
Yazar: AHMET TATLI
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ MEHMET UC
Burdur Mehmet Akif Ersoy Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Artırılmış gerçeklik = Augmented reality ; Augmentasyon = Augmentation ; Grup halkaları = Group rings ; İzomorfizm = Isomorphism

Özet:
Bu tez çalışmasının amacı, grup halkalarında, augmentasyon idealler yardımı ile grup
halkasının üzerinde tanımlı olduğu grubun alt grupları, grup halkasının üzerinde tanımlı olan
alt modülleri ve grup halkasının idealleri arasındaki uyuşumları ve ilişkileri araştırmaktır.
Bu amaç ile tez çalışması beş bölümden oluşmaktadır.
Birinci bölüm giriş bölümüdür. Bu bölümde, grup halkalarının yapısı ve grup
halkalarının gelişmesi ile ortaya çıkan cebirsel yapıların tarihsel gelişimine yer verilmiştir.
İkinci bölüm genel bilgiler bölümüdür. Bu bölümde, grup halkaları ile ilgili temel
tanım ve teoremlere yer verilerek başlanmıştır. Daha sonra, G nin alt−grupları ile RG nin
idealleri arasındaki ilişkileri görmek amacı ile RG nin augmentasyon ideali incelenmiştir.
Ayrıca, grup halkalarında polinom idealler ve bir polinom ideal olarak augmentasyon ideali
ele alınmıştır. Son olarak, augmentasyon ideallerin grup halkaları ile olan ilişkilerini
incelemek için augmentasyon sıfırlayıcıları ile ilgili temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir.
Üçüncü bölüm materyal ve yöntem bölümüdür. Bu bölüme, normal alt grup
uyuşumları incelenerek başlanmıştır. Normalleşmiş izomorfizma ile sonlu G ve H
gruplarının sınıf toplamları arasındaki uyuşum gösterilmiştir. Bu uyuşum ile G nin normal
alt gruplarının latisi ile H nin normal alt gruplarının latisi arasındaki ilişkiyi gösterecek
tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Bölümün devamında bir grup halkasının augmentasyon
ideali ve grup halkasının üzerinde tanımlandığı grup arasında bazı temel karakterizasyonlar
ve metabeliyan gruplarının sınıfı için izomorfizma problemi incelenmiştir.
Dördüncü bölüm araştırma bulguları ve tartışma bölümüdür. Bu bölümde, R −modül
sınıfları ile RG −modül sınıfları arasındaki bazı ilişkiler araştırılmıştır. Ayrıca, G nin
normal alt grupları ile RG −alt modüller ve RG −alt modüller ile G nin bir normal alt
grupları arasındaki uyuşumlar ve ilişkiler araştırılmıştır.
Beşinci bölüm ise tez çalışmasının özetlendiği sonuç bölümüdür.

Abstract:
The aim of this thesis study is to investigate the correspondences and relations
between the subgroups of the group on which the group ring is defined, the sub-modules
defined on the group ring and the ideals of the group ring, with the help of augmentation
ideals in group rings. For this purpose, the thesis study consists of five chapters.
The first part is the introductory part. In this section, the structure of group rings and
the historical development of algebraic structures that emerged with the development of
group rings are given.
The second section is the general information section. In this section, the basic
definitions and theorems related to group rings are given. Then, the augmentation ideal of
RG was examined in order to see the relationships between the sub-groups of G and the
ideals of RG . Also, polynomial ideals in group rings and augmentation ideal as a polynomial
ideal are discussed. Finally, basic definitions and theorems about augmentation annihilators
are given in order to examine the relations of augmentation ideals with group rings.
The third section is the material and method section. This chapter begins by
examining normal subgroup congruences. The agreement between the normalized
isomorphism and the class sums of the finite G and H groups is shown and definitions and
theorems showing the relationship between the lattice of normal subgroups of G and the
lattice of normal subgroups of H are given. In the remainder of the chapter, some basic
characterizations between the augmentation ideal of a group ring are given and the
isomorphism problem for the group and the class of metabelian groups in which the group
ring is defined are examined.
The fourth section is the research findings and discussion section. In this section,
some relationships between R −module classes and RG −module classes are examined. In
addition, the similarities and relationships between normal subgroups of G and RG -
submodules and between RG −submodules and a normal subgroup of G were examined.
The fifth chapter is the conclusion part in which the thesis is summarized.