Akış problemleri için lattice Boltzmann yöntemi ve uygulamaları
The lattice Boltzmann method for fluid flows and its applications
Yazar: ZEKERİYA ÖZCAN
Danışman: YRD. DOÇ. DR. ÖZGÜR EKİCİ
Hacettepe Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Makine Mühendisliği Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2015
Konu: Makine Mühendisliği = Mechanical Engineering ; Uçak Mühendisliği = Aircraft Engineering

Özet:
Analitik olarak çözüm elde edebilmenin mümkün olduğu doğrusal (lineer) akış problemleri, Akışkanlar Mekaniği'ne dair problemlerin oldukça küçük ve genellikle teorik bir bölümünü oluşturur. Oysa gerçek hayatta karşılaşılan akış durumlarının tamamına yakını lineer olmayıp kompleks sınır şartlarını da içerir. İşte bu gibi durumların çözümü için modern mühendisliğin geliştirdiği en temel yaklaşımlardan birisi olan sayısal yöntemler kullanılır.

Sayısal yöntemlerin Akışkanlar Mekaniği'ndeki yansıması da Hesaplamalı Akışkanlar Dinamiği (HAD), (Computational Fluid Dynamics-CFD) alanıdır. HAD, -akışkanlar dinamiği problemlerinin tarihiyle karşılaştırıldığında nispeten yeni bir yöntemler bütünüdür. Ana prensibi tüm sayısal yöntemlerde olduğu gibi teorik-analitik sonuçlara bazı sayısal tekniklerle mümkün olduğunca yakınsayabilmektir. HAD içerisinde de farklı yaklaşımlar söz konusudur. Lattice Boltzmann yöntemi de HAD içerisinde görece yeni bir teknik olarak dikkat çekmektedir. 
  
Lattice Boltzmann yönteminin temel farklılığı, bir akış probleminde gerçekleşen fiziksel olayları hangi düzeyde incelediğiyle ilgilidir. Detaylandırmak gerekirse, örneğin klasik HAD yöntemleri (süreklilik yaklaşımıyla korunum denklemlerinin çözümüne dayanan) olayları makroskobik düzeyde inceler, molekül dinamiğine dayanan HAD çözücüleri ise mikroskobik düzeyde inceleme yapar. Lattice Boltzmann yöntemi ise bu iki yöntemin arasında olarak nitelendirilebilecek bir düzeyde (mezoskobik ölçekte) çözümü gerçekleştirmektedir. 

Lattice Boltzmann yönteminde akış problemleri, istatistiksel mekanik teknikleri kullanılmak suretiyle aslında fiziksel olarak bir arada bulunmayan akışkana ait partiküllerin topluluklar halinde hareket ettiği ve bu hayali partikül topluluklarının akış süreci boyunca birbirini takip eden "serbest akış" ve "çarpışma" evrelerinden geçtiği varsayımına göre modellenir. Yöntem özellikle karmaşık sınır şartları ve çok fazlı akışlar söz konusuyken kullanışlı olabilmektedir. 
Bu tez çalışmasında Lattice Boltzmann yöntemi kullanılarak bazı temel akış problemlerinin modellemeleri ve çözümleri gerçekleştirilmiş, elde edilen sonuçlar yerine göre deneysel ya da sayısal olmak üzere diğer yöntemlerden alınan sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Bu çalışma ile HAD alanında klasik yöntemlerden ayrı bir kategoride ele alınabilecek ve görece yeni bir yöntem olan Lattice Boltzmann yönteminin teorik altyapısı, uygulanabilirliği ve Lattice Boltzmann uygulamalarının verdiği sonuçlar hakkında bilgi sahibi olunması hedeflenmiştir. 

Elde edilen sonuçlara bakıldığında, Lattice Boltzmann yönteminin düşük Mach sayısı yaklaşımıyla sıkıştırılamaz akışları laminer bölgede yeterli bir hassasiyetle simüle edebildiği görülmüştür. Ayrıca teorik olarak ikinci dereceden yakınsaklığa sahip Lattice Boltzmann yönteminin çözümlerdeki genel yakınsaklık derecesinin  uygulanan sınır koşullarından direkt olarak etkilendiği anlaşılmıştır. Yöntem partikül mekaniğine yatkın doğası sebebiyle hem süreklilik yaklaşımının geçerli olduğu problemlerde hem de bu yaklaşımın uygulanamadığı ölçeklerde kullanılabilmektedir.

Abstract:
Linear flow problems, which have straightforward analytical solutions, occupy a quite restricted and theoretical place in Fluid Mechanics. Majority of real-life problems are usually non-linear and they contain complex boundary conditions too. In order to solve these kind of problems, one of the most fundamental approaches of the modern engineering is widely implemented: The Numerical Methods.
A reflection of numerical methods in Fluid Mechanics is named as "Computational Fluid Dynamics (CFD)". CFD is a relative new method in comparison to the history of Fluid Mechanics. Main objective of this method -like all other numerical methods-  is to approximate the analytical results of problems as close as possible. There are different approaches in CFD as well. Lattice Boltzmann Method (LBM) is pointed out as a relative new method in CFD.

Main difference of LBM is about scaling the flow problems. For example, in classical CFD methods (Continuum approach – solutions of the conservation equations)  flow is investigated at a macroscopic scale. On the other hand, molecular dynamics (MD) approach handles the problem at a microscopic level. Scale of the Lattice Boltzmann Method can be described as a midway between these two approaches (i.e. meso-scale).  

In Lattice Boltzmann method, flow problems are simulated by using the statistical mechanic techniques to form fictive particle groups, which don't exist in fact. Then these particle groups are considered to be moving (free streaming) and colliding (collision) along the flow domain. It is assumed that these consecutive behaviors of particle groups represent the fluid flow. This method is quite useful when it comes to complex boundary conditions and multiphase flows.

In this thesis, some benchmark problems of CFD are modelled and solved by the utilization of LBM. Results of LBM are compared with the other conventional CFD outputs. The aims of this study were to elaborate theoretical background of LBM and to get informed about the applicability and possible results of LBM applications.   

Consequently, it is observed that the Lattice Boltzmann solvers can simulate incompressible fluid flows accurately by taking the "Low Mach Number Approximation" into consideration. Furthermore, it is shown that the theoretical order of convergence of Lattice Boltzmann Method is directly effected by the applied boundary conditions. LBM is applicable to both continuum and non-continuum flows due to it's nature which is eligible for particle mechanics.