Poisson parantezi içeren kinetik denklemler için bazı ters problemlerin çözülebilirliğinin ve yaklaşık çözümlerinin araştırılması
Investigation of solvability and approximate solution of some inverse problems for the kinetic equations which include Poisson brackets
Yazar: FİKRET GÖLGELEYEN
Danışman: PROF. DR. ARİF AMİROV
Zonguldak Karaelmas Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2010
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Kinetik denklemler = Kinetic equation ; Sembolik hesaplama = Symbolic computation ; Ters problemler = Inverse problems ; Çözülebilirlik = Solvability

Özet:
Bu tezin iki hedefi vardır. Bu hedeflerden ilki, kinetik denklemler için bazı ters problemlerin çözülebilirliğinin araştırılmasıdır. Bunu yaparken karşılaşılan temel zorluk, bu tür problemlerin aşırı belirgin olmasıdır. Özel bir teknik kullanılarak bu zorluk ortadan kaldırılmış ve böylece aşırı belirgin problem, belirgin bir probleme indirgenmiştir. Daha sonra ele alınan problemlerin çözümlerinin varlığı, tekliği ve kararlılığı ispatlanmıştır.İkinci hedef ise ele alınan problemlerin yaklaşık çözümlerinin elde edilmesidir. Bu amaçla iki boyutlu durum için sonlu fark metodu kullanılarak bir sayısal çözüm yöntemi geliştirilmiştir. Ayrıca, Galerkin metoduna dayanan bir sembolik çözüm algoritması oluşturulmuştur. Bu iki yöntem, yaklaşık çözümlerin hesaplanma süresi, yaklaşım seviyelerine bağlılığı ve yöntemin verilerdeki gürültülere dayanıklılığı açısından analiz edilmiştir. İncelenen problemlerin kesin ve yaklaşık çözümleri, çizelge ve grafikler yardımıyla karşılaştırılmıştır.Tezin birinci bölümünde ters problemler teorisinin tarihsel gelişimine ait özet bilgiler, ikinci bölümünde sözü edilen problemlerin çözülebilirliğini araştırmak için kullanılan temel tanım ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde bazı önemli kinetik denklem tipleri, dördüncü ve beşinci bölümlerde ise elde edilen orijinal sonuçlar sunulmuştur.

Abstract:
This thesis has two purposes. The first one is to investigate the solvability of some inverse problems for the kinetic equations. The main difficulty in studying the solvability of such problems is overdeterminacy. By employing a special technique, this difficulty is overcome and overdetermined problem is reduced to determined one. After that, existence, uniqueness and stability of the solution of the problems are proven.The second purpose is to obtain the approximate solution of the problems. For this aim, a numerical method based on the finite difference method is developed for the solution of the problems in two dimensional case. Also, a symbolic solution algorithm based on the Galerkin method is developed.Both methods are analyzed from the viewpoints of computation time, dependence on the approximation level and robustness to random data noises. Exact and approximate solution of the problems under consideration are compared with the help of tables and graphs.In the first and second chapters, a brief historical review of the inverse problems theory and some basic definitions and theorems that are used in studying the solvability of above-mentioned problems are presented respectively. In the third chapter, some important types of kinetic equations are given. And in chapters 4 and 5, the main original contributions of this thesis are presented.