Genelleştirilmiş kısmi metrik uzaylarda sabit nokta teorisi
Fixed point theory in generalized partial metric space
Yazar: LEYLA DÖNMEZ
Danışman: DOÇ. DR. MAHPEYKER ÖZTÜRK
Sakarya Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Topoloji Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Sabit nokta teorisi bir    dönüşümü için    şeklindeki problemlerin çözümünü inceler. Bu teori sadece matematiğin alt dallarında değil mühendislik, biyoloji, fizik, tıp, optimizasyon ve ekonomi gibi birçok disiplinde uygulama alanına sahiptir.
Tam metrik uzaylarda sabit nokta çalışmalarının ilk adımı 1922'de S. Banach tarafından Banach daralma prensibi ile atılmıştır. Bu prensip, sabit noktanın varlığını ve tekliğini garantiler.
Birçok araştırmacı tarafından Banach daralma prensibinin genellemeleri kullanılarak sabit nokta teorisiyle ilgili çalışmalar yapılmıştır. Bu yöndeki çalışmalar, metrik uzayların genellemesi ya da dönüşümler üzarindeki daralma şartlarının genellemesiyle yapılmaktadır.
Bu çalışmada ilk olarak sabit nokta teorisinin tarihsel gelişimi, temel tanım ve teoremler, Banach sabit nokta teorisi ve metrik uzaylarda bazı genişlemelerinden sözedilmiştir. Sonrasında ise metrik uzayın genellemeleri olan kısmi  metrik uzay,  metrik uzay, asimetrik metrik uzay, genişletilmiş  metrik uzay ve topolojik yapıları tanıtılmıştır.
S. G. Matthews bir noktanın kendine olan uzaklığının sıfırdan farklı olabileceği fikrine dayanarak metrik uzaydan farklı bir topolojik yapıya sahip olan kısmi (partial) metrik uzayı tanımladı. Yeni tanımlanan bu uzay matematiğin birçok alt dalı ve farklı disiplinlerde olmak üzere, özellikle bilgisayar biliminde geniş uygulama alanı bulmuştur. Birçok araştırmacı tarafından farklı daralma şartları altında bu uzayda sabit nokta teoremleri elde edilmiştir.
I. A. Bakhtin ve S. Czerwik metrik aksiyomlarından üçgen eşitsizliğini herhangi reel   katsayısıyla genişleterek  metrik uzayı tanımladı. Bu uzayın metrik uzaydan daha genel olduğu açıktır. Akabinde ise bu katsayıyı bir fonksiyon olarak alan T. Kamran ve ark. genişletilmiş  metrik uzayı tanımladı. Bu iki uzayda da sabit nokta teoremleri çeşitli daralma şartları altında ispatlanmıştır.
Metrik uzaylarda simetri şartının kaldırılmasıyla 1931'de asimetrik metrik uzaylar W. A. Wilson tarafından tanımlandı. Bu uzayda simetri özelliği olmadığından birçok topolojik kavram yeniden tanımlanmıştır. Biyoloji, bilgisayar bilimleri gibi birçok alanda uygulaması bulunmaktadır.
Daha sonra kısmi metik uzayın genellemesi olarak S. Shukla tarafından kısmi  metrik uzay, A. Gupta ve P. Guatam tarafından ise asimetrik kısmi  metrik uzay tanımlanıp, topolojik yapıları inşa edildi. Bu uzaylarda farklı daralma şartlarını sağlayan dönüşümlerin sabit nokta teoremleri ispatlandı.
Sabit nokta teoremlerinde birçok daralma şartı kullanılmakla birlikte bu çalışmada  daralma, Geraghty daralma,   daralma ve bunların genellemelerinden yararlanılmıştır.
Bu çalışmada kısmi  metrik uzaylarda   daralma dönüşümü tanımlanmıştır. Farklı daralma dönüşümlerinin bir genellemesi olan bu daralma dönüşümü kullanılarak ortak sabit nokta teoremi ispatlanmıştır. Buna bağlı olarak bazı sonuçlar elde edilmiştir.
Asimetrik kısmi  metrik uzaylarda   daralma dönüşümü ele alınarak bir   dönüşümünün sabit noktasının varlığı ve tekliği gösterilip, buna bağlı olarak bazı sonuçlara ulaşılmıştır.
Son olarak asimetrik kısmi genişletilmiş  metrik uzay tanımlanmış ve bazı topolojik özellikler inşa edilmiştir. Sonrasında ise   daralma dönüşümü  ile temel sabit nokta sonuçları elde edilmiştir.

Abstract:
The theorem that deals with the solution of the problem of a mapping in mathematics, given by   and    examines the existence of fixed points is called the fixed point theorem. This theory has found applications not only in various branches of mathematics but also in engineering, biology, physics, medicine, optimization, economics and many other disciplines. This field of application which has been on the rise based on the foundations of analysis and topology, continues to be one of the most intriguing subjects of both the past fifty years and the present day.
This first step in studying fixed points in complete metric  space was taken in 1922 by S. Banach with the Banach contraction principle. The principle not only guarantees the existence of a fixed point but  also expresses its uniqueness. Many researchers have conducted studies on fixed point theory using generalizations of the Banach contraction principle. These generalizations are either based on extensions of metric spaces or on generalizations of the contraction condition on mappings.
In this study, firstly, the fundamental definitions and theorems related to fixed points are presented, followed by the Banach fixed point theorem and some extensions in the metric spaces.
S. G. Matthews announced in analog of Banach's principle in a new space. He called this new construction as a partial metric space which the self-distance of any point of spaces may not be zero. This space has attracted the attention of many authors since it has extensive application area in many subsections of mathematics as well as in the field of computer domain and semantics. Various authors studied the problem of existence and uniqueness of a fixed point for mappings satisfying different contractive conditions.
I. A. Bakhtin and S. Czerwik introduced   metric function by generalizing the triangle inequality of metric function with the constant  . A  metric space is equivalent to the metric space for  . This clearly shows that  metric space is more general than a metric space. Afterwards, T. Kamran et al. taking the coefficient as a function, defined expanded  metric space. Morever, many fixed point theorems and their results are obtained in these spaces.
Quasi metric space introduced by W.A.Wilson in 1931. Quasi metric space, like partial metric space, has been the subject of research not only in mathematics but also in many fields such as computer science, biology and material science. Since the symmetry requirement of the metric has been removed in this new distance function many notion that have been proven for metric spaces cannot be proved easily.
Partial  metric spaces were generalized using  metric spaces and partial metric spaces by S. Shukla in 2014. He proved the Banach contraction principle in such spaces. It has attracted the attention of researchers because the distance from the point itself originating from the partial metric space may not be zero and it is a more general space than a  metric space. 
A. Gupta and P. Gautam defined quasi partial  metric space notion by considering the quasi partial metric space defined by E. Karapınar together with the   metric space. They also descibe the topological structure of space. Useful fixed-point theorems have been proved in this space as well.
Taking the Banach contraction principle one step further, the Geraghty contraction was defined in 1973. Like Banach contraction principle, Geraghty contraction has been found interesting by researchers and there are many studies on this contraction.  admissible and  contraction mappings were introduced by B. Samet et al. and they obtained fixed-point theorems for these contractions. Also, some researchers have done studies on this subject. S. H. Cho et al. introduced   Geraghty contraction, then they used this contraction to achieve new fixed-point results. H. Afshari et al. demonstrated a fixed-point theorem by defining generalized  -Geraghty contractive type mappings. Additionally, A. Fulga and A. M. Proca introduced  contraction in 2017. Of course, various theorems have been proven using this contraction. In the continuation, A. Fulga and A. M. Proca proved fixed-point theorems for  Geraghty contraction in the same year. In 2018, H. Alqahtani showed the existence and uniqueness of a common fixed point for Geraghty contraction of type   on complete metric spaces. The following year, on  metric space,  Geraghty contraction was introduced by H. Aydi et al. . H. Aydi proved the existence and uniqueness of fixed point for  Geraghty contraction mappings. Then in 2022, C. Lang and H. Guan introduced  Geraghty contraction mappings and expressed common fixed-point results for generalized  Geraghty contraction mappings on  metric spaces.
The notion of  contraction was presented by S.G. Wardowski  in 2012 and subsequently, various types of result have been obtained using this concept. X. D. Liu et al. , utilizing this idea, introduced  contraction and established some fixed-point theorems in 2016. About four years later, M. Nazam et ai. examined common fixed-point results for two self-mapping via  contraction in partial metric space. In 2021, M. Nazam and Z. Hamid expressed a new definition of  contraction on partial  metric space by referring to X. D. Liu's definition of  contraction. They achieved obtaining common fixed-point of  contraction on partial  metric space.
In this study,   contraction mapping is defined in partial  metric space by using  Geraghty contraction and  contraction. Using this contraction mapping, a common fixed-point theorem has been proved, and some results have been obtained, accordingly. Illustrative examples will be provided to indicate the accuracy and validity of the main outcomes. In the course of the study, the set of fixed points of   and the set of common fixed points of   and   will be specified with the notations   and  .
 contraction mappings have been defined in quasi partial  metric space. Since the definitions of convergence, Cauchy sequence and completeness are different in this space, it has been more difficult to prove the fixed-point theorem. The existence and uniqueness of fixed points for   have been demonstrated, leading to some results. Illustrative example will be provided to indicate the accuracy and validity of the findings.
  contraction mapping is defined in quasi partial extended  metric space and a fixed point theorem has been proved. In this space we have defined, as in the quasi partial extended  metric space, the definitions of convergence, Cauchy sequence and completeness are different, so the proof method also changes. Then, we gave an example that satisfies the conditions of the theorem.