Esnek koni metrik uzaylara giriş
Introduction to soft cone metric spaces
Yazar: DİLEK KESİK
Danışman: DOÇ. DR. İSMET ALTINTAŞ
Sakarya Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Topoloji Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2017
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Doğruluk değeri göreceli olan kavramların matematiksel olarak modelleme girişimleri belirsizlik içeren problemlere ilgiyi artırmıştır. Bu problemlerin modellenmesi ve çözümü için, aralık matematiği, olasılık teorisi, bulanık kümeler teorisi, yaklaşımlı kümeler teorisi, esnek kümeler teorisi gibi farklı teoriler geliştirildi. Bu teoriler arasında en ilgi çekicilerden birisi, bulanık kümeler teorisidir. Bir bulanık küme onun üyelik fonksiyonu yoluyla tanımlanabilir. Her bir özel durumda üyelik fonksiyonu kurulduğu için son derece bireyseldir. Bu nedenle, üyelik fonksiyonu inşasından bağımsız bir küme teorisine ihtiyaç duyulmuştur.
Bu ihtiyacı karşılamak ve belirsizliklerle başa çıkmak amacıyla günümüzde esnek küme teorisi, bir matematiksel araç olarak kullanılmaktadır. Esnek küme teorisi, bulanık küme ve sezgisel bulanık küme teorilerinin aksine reel değerli bir fonksiyon yerine bir seçim dönüşümü ile belirsizliği ortadan kaldırmayı amaçlamaktadır. Sürekli diferansiyellenebilir fonksiyonlar, oyun teorisi, yöneylem araştırması, Riemann integrali, Peron integrali, olasılık teorisi, ölçüm teorisi gibi birçok matematik alanına esnek küme teorisi başarıyla uygulanmıştır. Yakın geçmişte esnek küme üzerine grup, halka ve cisim gibi birçok cebirsel yapı ve vektör, norm, metrik ve topolojik gibi uzaysal yapılar başarıyla kurulmuş ve oldukça ilgi çekici sonuçlar elde edilmiştir. Bu yöndeki çalışmalar hızla devam etmektedir.
Bu tezde, Esnek Banach uzaylarında esnek koni kavramı tanımlanmakta ve esnek kümeler üzerine, esnek eleman yardımıyla esnek koni metrik yapısı kurulmaktadır. Esnek koni metrik uzaylar ile klasik koni metrik uzaylar arasındaki ilişkiler ispatlanmakta ve örnekler verilmektedir. Esnek koni metrik uzaylarda esnek açık ve esnek kapalı yuvarlar, esnek açık kümeler tanımlanmakta ve temel özellikleri verilmektedir. Hangi şartlar altında esnek açık kümelerin elemanter esnek birleşimin ve elemanter esnek kesişiminin açık olduğu ispatlanmakta ve bir esnek koni metrik uzayların elemanter işlemler altında esnek topolojik uzay olduğu gösterilmektedir. Aynı zamanda esnek koni metrik uzaylarda dizilerin yakınsaması ve Cauchy dizileri kavramlar ve özellikleri verilmektedir. Son olarak esnek koni metrik uzaylarda bazı önemli sabit nokta teoremleri esnek eleman üzerinden ifade ve ispat edilmektedir.
Bu tez kapsamında elde edilen sonuçlar, bu konulardaki çalışmalara kaynak teşkil edecek ve ileri çalışmalara ışık tutacak niteliktedir.

Abstract:
Mathematical modeling attempts of Concepts that are relative to accuracy have increased the interest in the problems involving uncertainty. Different theories such as interval mathematics, probability theory, fuzzy set theory, approximated set theory, soft set theory have been developed for modeling and solving these problems. One of the most interesting of these theories is the fuzzy set theory. A fuzzy set can be defined by its membership function. Since a membership function is set up for each particular case it is extremely individual. For this reason, a set theory that is independent of the membership function construction was needed.
In order to meet this need and to deal with uncertainty, soft set theory is used as a mathematical tool at the present time. In contrast to the fuzzy set and intuitive fuzzy set theory, the flexible set theory aims to remove ambiguity with a selection transformation instead of a real valued function. The flexible set theory has been successfully applied to many mathematical fields such as continuous differentiable functions, game theory, navigation research, Riemann integral, Peron integral, probability theory, measurement theory. In the recent past, many algebraic structures such as groups, rings and objects and spatial structures such as vectors, norms, metrics and topological have been successfully established on soft sets and very interesting results have been obtained. 
In this tesis, soft cone concept is defined in soft Banach spaces and soft cone metric structure is established on soft clusters with soft element. Relations between soft cone metric spaces and classical cone metric spaces are proved and examples are given. The soft open ball, soft closed ball, soft open set in soft cone metric spaces are defined and their basic properties are given. Under what conditions, it is proved that the elementary union and elementary intersection of soft open sets are open and a soft conic metric space is shown to be soft topological space relative to elementary operations. Also, the concepts of the convergence of sequences and Cauchy sequences in soft conic metric spaces and their properties are given. Finally, some important fixed point theorems in soft conic metric spaces are expressed and proved via soft element.
The results obtained within the scope of this tesis will be the basis for further studies in this context.