Q-diferansiyel dönüşüm metodu ve uygulamaları
Q-differential transform method and its applications
Yazar: MADEHA MOHAMMED ABDALRAHMAN IBRAHIM MADEHA MOHAMMED ABDALRAHMAN IBRAHIM
Danışman: DOÇ. DR. FATMA HIRA
Ondokuz Mayıs Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Diferansiyel dönüşüm metodu lineer olan veya lineer olmayan adi veya kısmi
türevli pek çok diferansiyel denklemi çözmekte etkili bir yöntemdir. Diğer
yöntemlere kıyasla kolay uygulanabilir olması ve özellikle lineer olmayan
denklemlere de etkili bir şekilde uygulanabilmesi metodun tercih edilme
sebeplerindendir.
Son yılların güncel konularından biri de q-analizdir. Buradaki q-türev limit
almadan sadece fark oranı ile tanımlandığı için q-analiz limitsiz analiz olarak da
bilinmektedir.
Diferansiyel dönüşüm metodunun q-benzeri olarak q-diferansiyel dönüşüm
metodu üzerine incelemeler yapılmıştır ve yapılmaya da devam etmektedir. Bu tezde,
bir boyutlu q-diferansiyel dönüşüm metodu ve temel özellikleri incelenerek bazı q-
başlangıç değer problemleri üzerinde uygulamasına yer verilmiştir.
Tezin birinci bölümünde, q-analizi, diferansiyel dönüşüm metodu ve q-
diferansiyel dönüşüm metodu ile ilgili literatür özetine yer verilmiştir. Tezin ikinci
bölümünde, q-analizi ve diferansiyel dönüşüm metodu ile ilgili temel tanım, teorem
ve özellikler verilmiştir. Tezin üçüncü bölümünde, q-diferansiyel dönüşüm metodu
tanımlanarak, metotla ilgili temel teoremler ve ispatları verilmiştir. Tezin dördüncü
bölümü, q-diferansiyel dönüşüm metodunun q-diferansiyel denklemlere
uygulanmasına ayrılmıştır. Bu bağlamda q-Lane-Emden diferansiyel denklemi, q-
Riccati diferansiyel denklemi, q-integro-diferansiyel denklemi gibi lineer ve lineer
olmayan q-diferansiyel denklemi içeren başlangıç değer problemleri bu metotla
çözülerek, tam çözümler veya seri çözümler elde edilmiştir. Q-türev tanımı gereği
q → 1 için limit alındığında q-analizdeki bulgu ve sonuçlar klasikteki karşılıklarına
indirgenmektedir. Tez kapsamında incelenen problemlerde de q → 1 için limit
alındığında klasik karşılıkları ve çözümleri elde edilmektedir. Tezin son bölümünde
diğer sonuç ve önerilere yer verilmiştir.

Abstract:
The differential transformation method is an effective method for solving many
linear or non-linear ordinary or partial differential equations. The fact that it is easy

to apply compared to other methods and that it can be applied effectively to non-
linear equations is one of the reasons why the method is preferred.

One of the current issues of recent years is q-calculus. Since the q-derivative
here is defined only by the difference ratio without limit, q-calculus is also known as
unlimited calculus.
Investigations on the q-differential transformation method as q-analogue of the
differential transformation method have been made and continue to be made. In this
thesis, the one-dimensional q-differential transformation method and its basic
properties are examined and its application on some q-initial value problems is
given.
In the first part of the thesis, literature summary about q-calculus, differential
transformation method and q-differential transformation method is given. In the
second part of the thesis, basic definitions, theorems and properties related to q-
calculus and differential transformation method are given. In the third part of the
thesis, the q-differential transformation method is defined and the basic theorems and
proofs about the method are given. The fourth chapter of the thesis is devoted to the
application of the q-differential transformation method to q-differential equations. In
this context, initial value problems involving linear and non-linear q-differential
equations such as q-Lane-Emden differential equation, q-Riccati differential
equation, q-integro-differential equation are solved with this method, and exact
solutions or serial solutions are obtained. By the definition of the q-derivative, when
the limit for q→1 is taken, the findings and results in the q-calculus are reduced to
their classical counterparts. In the problems examined within the scope of the thesis,
when the limit for q→1 is taken, the classical equivalents and solutions are obtained.
In the last part of the thesis, other conclusions and suggestions are given.