Bazı cebirsel yapılar üzerinde tanımlı kodlar ve uygulamaları
Codes over some algebraic structures and their applications
Yazar: RABİA DERTLİ
Danışman: PROF. DR. ŞENOL EREN
Ondokuz Mayıs Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Cebir ve Sayılar Teorisi Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2024
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: DNA = DNA ; Doğrusal kod = Linear code ; Hata düzeltme kodları = Error correction codes ; Kuantum kod = Quantum codes

Özet:
Beş bölümden oluşan bu tezde literatürde yer almayan bir halka ve bu halkayı kullanarak oluşturulan mix alfabe üzerinde tanımlı bazı lineer kodların DNA ve kuantum uygulamaları incelenmiştir. Birinci bölümünde, kodlama teorisi, DNA kodlar ve kuantum kodlar ile ilgili literatür bilgisi verilmiştir.
İkinci bölümde, cebir ve kodlama teorisi ile ilgili temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir.
Üçüncü bölümde, literatürde yer almayan sonlu ve değişmeli bir S_q halkası tanımlanarak Çin Kalan Teoremi yardımıyla bu halkanın parçalı yazılışı elde edilmiştir. Bu yazılışı kullanarak S_q halkası üzerinde devirli kodların yapısı incelenerek üreteç polinomları elde edilmiştir. Ayrıca S_q üzerinde aşikar olmayan bir otomorfizma tanımlanarak skew devirli kodların cebirsel yapısı ifade edilmiştir. S_q halkası üzerinde tanımlanan bu iki tip koddan elde edilen DNA kodlar ve S_q halkası üzerindeki devirli kodlardan elde edilen kuantum kodlar çalışılmış ve bu konular ile ilgili çeşitli örnekler verilmiştir. Dördüncü bölümde, S_q halkası kullanılarak oluşturulan mix alfabe olarak adlandırılan R_q=F_q S_q halkası üzerinde tanımlı lineer kodların cebirsel yapısı verilmiş ve R_q-devirli, R_q-skew devirli kodlar tanımlanmıştır. R_q-devirli kodlardan elde edilen DNA kodlar, R_q-skew devirli kodlardan elde edilen kuantum kodlar çalışılmış ve bu konular ile ilgili bazı örnekler verilmiştir.
Beşinci bölümde ise sonuçlara yer verilmiştir.

Abstract:
This thesis, consisting of five sections, investigates the DNA and quantum applications of some linear codes defined on a ring not included in the literature and on a mixed alphabet created using this ring. The first section provides a literature review on coding theory, DNA codes, and quantum codes. The second section provides fundamental definitions and theorems related to algebra and coding theory.In the third section, a finite and commutative ring S_q, which is not included in the literature, is defined and the partial representation  of this ring is obtained with the help of the Chinese Remainder Theorem. Using this script, the structure of cyclic codes over the ring S_q is examined. In addition, the algebraic structure of skew cyclic codes is expressed by defining a nontrivial automorphism over S_q. DNA codes obtained from these two types of codes defined over the ring S_q and quantum codes obtained from cyclic codes over the ring S_q  have been studied and various examples on these subjects have been given. In the fourth section, the algebraic structure of linear codes defined over the ring R_q=F_q S_q, called the mixed alphabet created using the ring S_q, is given and R_q-cyclic and R_q-skew cyclic codes are defined. DNA codes obtained from R_q-cyclic codes and quantum codes obtained from R_q-skew cyclic codes have been studied and some examples on these subjects are provided. In the fifth section, the results are given.