Konveks analizde eşleniklik
Conjugacy in convex analysis
Yazar: DİDEM TOKASLAN
Danışman: PROF. DR. MAHİDE KÜÇÜK
Anadolu Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2009
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Dual problemler = Dual problems ; Dualite = Duality ; Konveks fonksiyonlar = Convex functions ; Konveks programlama = Convex programming

Özet:
Duallik kavramı matematiğin birçok alanında ortaya çıkar.Matematikçiler bir problemle karşılaşınca bu problemi, görünüşüorijinal problemden oldukça farklı fakat çözümü daha kolay olanbaşka bir probleme dönüştürüp çözmek isterler. Duallikteoremlerinden her biri bir diğerinin dengi olan iki matematikselteori içerir.Beş bölümden oluşan bu çalışmada, son yıllardaki araştırmalardasıklıkla karşılaşılan, bir konveks fonksiyona, bunun eşleniğidiyeceğimiz bir başka konveks fonksiyonu karşılık getirerek,duallik kavramına bir giriş yapılmış, konveks fonksiyonlar vekonveks eşlenikleri arasındaki ilişkiler araştırılmıştır.Çalışmanın ilk bölümünde, çalışma için gerekli olan tanımlar veteoremler verilmiştir. İkinci bölümde sublineerlik kavramıtanımlanmış ve bazı özellikleri incelenmiştir.Üçüncü bölümde sonlu konveks fonksiyonlar için subdiferansiyeltanımı üç farklı şekilde verilerek, bu tanımların birbirinedenkliği gösterilmiştir. Daha sonra, subdiferansiyelin yerelözellikleri incelenmiş ve bazı fonksiyonların subdiferansiyellerihesaplanmıştır.Dördüncü bölümde sırasıyla IR, IR^n ve herhangi bir topolojikvektör uzayı üzerinde tanımlı gerçel değerli fonksiyonlar içineşleniklik kavramı tanıtılmıştır. Eşlenik fonksiyonun temelözellikleri incelenerek subdiferansiyel kavramı ile ilişkisiverilmiştir.Son bölümde konveks optimizasyon problemleri tanıtılarak, eşlenikfonksiyonu yardımıyla bu problemlerin dual problemlerikurulmuştur. Böylece primal ve dual problemlerin çözümleriarasındaki ilişkiler verilmiştir.

Abstract:
The concept of duality appears in several areas of mathematics.When forced with a problem, a mathematician wants to solve it byconverting that into another problem. This new problem appears tobe quite different, yet it mirrors all aspects of the originalproblem and is easier to solve. The duality involves with twomathematical theories, each of which includes different theorems.In this work, which is consisted of five chapters, an introductionto duality is made; the relationship between convex functions andconvex conjugate is studied by corresponding each convex functionto another convex function which is called the conjugate of thegiven function.In the first section of this work, some basic definitions andtheorems, necessary for this work, are given. In the secondchapter, sublinearity is defined and some properties of sublinearfunctions are investigated.In the third chapter, by defining the subdifferentials of finiteconvex functions in three different ways, equivalence of thesethree definitions is given. After that, local properties ofsubdifferential are investigated and subdifferentials of somespecial functions are evaluated.In the fourth chapter, conjugate functions of the functions whichare defined from IR, IR^n and any topological vector space toIR are given, respectively. The relationship betweensubdifferential and conjugate function is given by investigatingthe fundamental properties of conjugate functions.In the last chapter, the dual problem of convex optimizationproblem is constructed by using conjugate functions. In this waythe relationship between primal problems and dual problems aregiven.