Zeeman modelinin deterministik ve stokastik analizi
The stochastic and deterministic analysis of Zeeman model
Yazar: PINAR AÇIKGÖZ
Danışman: DOÇ. DR. MEHMET MERDAN
Gümüşhane Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2018
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
ÖZET
	Bu çalışmada iki ve üç boyutlu Zeeman modeli (kalp atış modeli ) incelenmiştir. Söz konusu modelde kararlılık analizi yapılacaktır. Tipik gevşemiş lif uzunluğunun durumu için analizler yapılmaktadır. Zeeman modellerinin yaklaşık analitik çözümleri elde edilecektir.
	Başlangıç olarak iki boyutlu Zeeman modeline gecikme (delay) terimi ilave edilerek kararlılık analizi gerçekleştirilecektir. Daha sonra bu çalışmada Zeeman tarafından geliştirilen kalp atış modeli olarak da bilinen modele, rastgele stokastik efektler eklenerek çözümün davranışını, p tansiyon normal dağılıma sahip bir rastgele değişken olması durumunda Zeeman modeli ele alınmış, x kalp kas lifinin ilk dört momentleri hesaplanarak, beklenen değer, varyans, standart sapma ve güven aralığı hesaplanmaktadır.  
Ayrıca sayısal yöntemlerden yararlanarak kalp atış modeli için grafik similasyonu oluşturulmaktadır.
	Kesirli (fractional) mertebeden türevli Zeeman modelinin kararlılık analizi yapılmıştır,ayrıca farklı mertebeden türevler için çözüm eğrileri elde edilmektedir. İki ve üç boyutlu Zeeman modeline wiener süreci (beyaz gürültü) terimleri eklenerek stokastik Zeeman modeli elde edilmiştir. Elde edilen bu stokastik model, Milstein ve Euler-Maruyama yöntemleriyle çözülmektedir. Deterministik, rastgele efektli ve stokastik Zeeman modelinin çözümleri karşılaştırılmaktadır.
	Rastgele Zeeman Kalp Atış Modelinin çözümü için Random Diferansiyel Dönüşüm Metodu (RDDM) kullanılmıştır. Parametreler ve başlangıç şartları sırasıyla Beta ve Normal dağılıma sahip rastgele değişkenler olarak alınmıştır. Rastgele Zeeman modelinin yaklaşık analitik çözümü yapılarak sistemin yaklaşık beklenen değer ve varyansı hesaplanmıştır. Random Diferansiyel Dönüşüm Metodu, bu metoddan elde edilen kesik seri çözümünün yakınsaklık oranı ve doğruluğunu artırmak için Pade yaklaşımı ve Laplace dönüşümünün kullanımını içeren Modified Diferansiyel Random Dönüşümü Metodu kullanılmıştır. Rastgele modelin çözümünden elde edilen sonuçlar ve bileşenlerin rastgele davranışları grafikler ve tablolar yardımıyla verilmiştir. Beta ve normal dağılımlı rastgele etkileri içeren rastgele modellerin çözüm davranışları karşılaştırılmıştır.

Anahtar Kelimeler:Zeeman kalp atış modeli, kararlılık analizi, wiener süreç,delay (gecikme), Euler-Maruyama,Milstein,beklenen değer, varyans, Laplace-Pade yaklaşımı,
Random Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi.

Abstract:
SUMMARY
 Two and theree dimension Zeeman Model is studied in this project. Stability analysis will be studied in that type. İt is made analysis for the station of typical relaxed fiber length. Approximate analytic solutions for Zeeman models will be obtained.
Firstly, stability analysis will be carried out by adding 'delay' term to the two dimension Zeeman model. After that in this study, Zeeman model with the behaviour of thesolution which was developed by Zeeman was dealed in case of being a random variable which has 'p' tension normal distrubition by adding random stochastic effects which is known as heartbeat model and it is calculated variance, standart deviation, confidence interval, expected value with calculating first four moments of x heartbeat muscle fiber, also it is formed graph simülation for heartbeat model by using numerical methods. 
	It is made stability analysis of differantial Zeeman model from fractional level. Also, it is obtained solution curves for derivates from different levels. İt is obtained stochasticZeemanmodel by adding Wiener process terms to two and three dimension Zeeman model. Thisobtained stokastic model is being solved with Milstein and Euler-Maruyama methods. It is compared the solutions of stokastic, deterministic Zeeman model with random effect.
	It is used Random Diferantial Transformation Method (RDDM) for the solution ofRandom Zeeman Heartbeat Model. Parameters and initial conditions are taken as randomvariables which has respectively Beta and Normal distrubitions. Approximate expectedvalue and variance of the system is calculated by making approximate analytical solution ofRandom Zeeman Model. It is used Modified Differantial Random Method which contains theusage of Laplace-Pade Approach conversion to increase the accuracy and ratio ofconvergence of the solution of slash serial which is obtained from RDDM. The results obtained from the solution of Random model and random behaviours of components are shown by the help of tables and graps. The solution behaviours of random models whicincludes random effects with Beta and Normal distrubitions are compared.


Key Words: Zeeman Heartbeat Model, Stability Analysis, Wiener process, Delay, Euler-Maruyama, Milstein, Expected Value, Variance, Laplace-Pade Approximate, Random Differantial Transformation Method, Normal Distribution, Beta Distribution