Z-simetrik manifoldlar
Z-symmetric manifolds
Yazar: AYŞE YAVUZ TAŞCI
Danışman: PROF. DR. FÜSUN ZENGİN
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2020
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Manifoldlar = Manifolds

Özet:
Bu tez çalışmasında, diferansiyel geometride önemli bir yere sahip simetrik manifoldların genelleştirilmesi olarak tanımlanan Z-simetrik tensöre sahip manifoldların çalışılması ve özelliklerinin incelenmesi amaçlanmıştır. Z-simetrik tensör kavramı, ilk olarak, 2012 yılında Mantica ve Molinari'nin birlikte yayınladıkları, zayıf Ricci
simetrik, pseudo Ricci simetrik ve pseudo projektif Ricci simetrik manifoldlarının genelleştirilmesi olarak tanımladıkları Zayıf Z-simetrik Manifoldlar çalışması ile başlamıştır. Mantica ve Molinari'nin bu çalışmasından sonra, Z-simetrik tensör ile ilgili birçok bilimsel yayın yapılmıştır. Bu sebeple, bu tezde bazı özel manifoldlarda, $\phi$, keyfi bir skaler fonksiyon, S, Ricci tensörü ve g, metrik tensörü olmak üzere,
Z(X;Y) = S(X;Y)+\phig(X;Y) şeklinde tanımlanan (0,2) tipindeki Z-simetrik tensörü göz önüne alınarak, bu tensörün
özelliklerinin incelenmesi amaçlanmıştır. Bu tez çalışması sekiz bölümden oluşmaktadır: Birinci bölümde, Z-simetrik tensörü ile ilgili bu zamana kadar yapılmış bilimsel yayınlardan bahsedilmiştir. Tez çalışmasının ikinci bölümünde, Riemann manifoldlarının genel bir tanımı verilerek, Riemann manifoldu ile ilgili temel kavramlardan bahsedilmiştir. Bu bölümün devamında, tez çalışmasının diğer bölümlerinde kullanılacak olan Riemann manifoldu üzerinde tanımlı, bazı eğrilik tensörlerinin ve bazı özel Riemann manifoldlarının tanımı hatırlatılmıştır.
Tezin üçüncü bölümünde, ilk olarak, pseudo devirli Z-simetrik manifoldlar tanımlanmış ve bu manifoldlara ait bazı özellikler incelenmiştir. Pseudo devirli Z-simetrik manifoldlar üzerinde Ricci tensörünün özdeğeri ile Z-simetrik tensörünün özdeğeri elde edilmiştir. Z-simetrik tensörünün sıfırdan farklı bir ize sahip olması ve manifoldun yarı-Einstein manifoldu olması için gerekli şartlar bulunmuştur. Bundan başka, manifoldun Ricci tensörü Codazzi tipinde seçilerek, pseudo devirli Z-simetrik manifold ile Z-simetrik tensörünün ilişkili vektör alanları arasındaki bağıntı elde edilmiştir. Ayrıca, pseudo devirli Z-simetrik manifoldunun aynı zamanda, pseudo devirli bir Ricci simetrik tensöre sahip olamayacağı ispatlanmıştır. Daha sonra, 4-boyutlu Riemann metriği kullanılarak, pseudo devirli Z-simetrik manifoldların varlığını ispatlayan bir örnek verilmiştir. Bu bölümde, son olarak, konformal olarak düz pseudo devirli Z-simetrik manifoldlar incelenmiş ve bu manifoldların özellikleri bulunmuştur.
Dördüncü bölümde, ilk olarak, konsörkılır olarak düz, Z-simetrik manifoldlar göz önüne alınmıştır. Bu bölümde, konsörkılır olarak düz, Z-simetrik bir Riemann manifoldunun Einstein manifoldu olduğu ispatlanmıştır. Konsörkılır olarak düz, bir Riemann manifoldunun Z-simetrik tensörünün kovaryant sabit olması için gerekli şartlar elde edilmiştir. Konsörkılır olarak düz bir manifold üzerinde, Z-metrik tensörünün skaler fonksiyonu tarafından üretilen vektör alanının tors oluşturan, konsörkılır ve rekürant vektör alanları olması durumları incelenmiştir. Bununla birlikte, 4-boyutlu konsörkılır olarak düz, Z-simetrik manifold örneği verilmiştir. Daha sonra, konsörkılır Ricci simetrik tensörünün rekürant, Codazzi tipinde ve devirli tensör olması durumlarında, Z-simetrik tensörünün çeşitli özellikleri elde edilmiştir. Diğer taraftan, bu manifoldun ilişkili 1-formunun bazı koşullar altında sabit olduğu bulunmuştur. Ayrıca, konsörkılır Ricci simetrik tensöre sahip Z-simetrik manifoldların
4-boyutlu uzaylardaki örnekleri verilmiştir. Bu bölümde, son olarak, konsörkılır Ricci simetrik tensöre sahip Z-simetrik uzay-zamanı araştırılmış ve bu uzay-zamanı ile ilgili teoremler ispatlanmıştır. Beşinci bölümde, (PKRS)n olarak adlandırılmış olan pseudo konsörkılır Ricci simetrik tensöre sahip, Z-simetrik manifoldlar üzerinde çalışılmıştır. Hangi durumlarda (PKRS)n manifoldunun mevcut olamayacağı araştırılmıştır. Bununla birlikte, bu
manifold üzerinde Z-simetrik tensörünün özdeğeri bulunmuştur. Ayrıca, manifoldun ilişkili vektör alanının tors oluşturan vektör alanı olması halinde, manifold ile ilgili çeşitli sonuçlar elde edilmiştir. Altıncı bölümde, konharmonik eğrilik tensöre sahip Z-simetrik manifoldlar araştırılmıştır. Bu bölümde, ilk olarak, Z-simetrik tensörü için bazı özel koşullar göz önüne alınarak, bu manifold üzerinde konharmonik eğrilik tensörünün özellikleri incelenmiştir. Bununla birlikte, konharmonik eğrilik tensörünün rekürant tensör ve kovaryant sabit olması durumları ele alınmıştır. Ayrıca, konharmonik eğrilik tensörünün kovaryant sabit ve Z-simetrik tensörünün rekürant olması halinde, Z-simetrik tensörünün ilişkili vektör alanı ile rekürant vektör alanı arasında mevcut
olan bağıntı elde edilmiştir. Daha sonra, bu bağıntı yardımıyla, Z-simetrik tensörünün ilişkili vektör alanı ile rekürant vektör alanının bazı özel vektör alanları olması durumunda, bu manifoldun geometrik özellikleri bulunmuş ve ilgili teoremler ispatlanmıştır. Bu bölümde, son olarak, konharmonik eğrilik tensörüne sahip Z-simetrik manifoldlara ait bir örnek verilmiştir. Yedinci bölümde, projektif eğriliğe sahip, Z-simetrik manifoldlar ele alınmıştır. İlk olarak, Codazzi tipinde Z-simetrik tensörüne sahip bir manifold göz önüne alındığında,
bu manifolda ait projektif Ricci tensörünün diverjanssız olmasını sağlayan gerek ve yeter kosul bulunmuştur. Daha sonra, projektif eğrilik tensörünün, Codazzi tipinde veya rekürant tensör şeklinde seçilmesi durumunda, bu manifoldun özellikleri incelenmiştir. Ayrıca, Z-simetrik tensörünün, Codazzi tipinde, rekürant veya diverjanssız tensör olması halinde, manifolda ait bazı özellikler bulunmuştur. Son olarak, projektif eğriliğe sahip Z-simetrik manifoldlar için 4-boyutlu uzaylara ait bir örnek verilmiştir. Sekizinci bölümde, Z-simetrik tensörüne sahip mükemmel akışkanlı uzay-zamanı göz önüne alınmıştır. İlk olarak, bu uzay-zamanın seçilen bir özvektörle ilişkili
özdeğeri elde edilmiştir. Z-simetrik tensörünün ilişkili 1-formuna ait çeşitli koşullar belirlenerek, Z-tensörünün iz fonksiyonu ile ilgili bazı sonuçlar bulunmuştur. Ayrıca, bu uzay-zamanın Einstein uzayı olabilme koşulu elde edilmiştir. Daha sonra, basınçsız mükemmel akışkanlı Z-simetrik uzay-zamanı incelenmiştir.

Abstract:
The purpose of this thesis is to examine some special Riemannian manifolds with the Z-symmetric tensor of type (0,2) which is defined as Z(X;Y) = S(X;Y)+\phig(X;Y) where $\phi$ denotes an arbitrary scalar function, S is the Ricci tensor and g is the Riemannian metric tensor. The concept of Z-symmetric tensor first started in 2012 with weakly Z-symmetric manifolds published by Mantica and Molinari which was a generalization of the notion
of weakly Ricci symmetric manifolds, pseudo Ricci symmetric manifolds, pseudo projective Ricci symmetric manifolds. After this paper, many related publications about Z-symmetric tensor have been studied. By this thesis, it is aimed to study on manifolds with Z-symmetric tensor and examine its properties. This thesis consists of eight chapters: In the first chapter, scientific articles about Z-symmetric tensor are mentioned. In the second chapter of this thesis, a general definition of some basic concepts about Riemannian manifolds are given. Moreover, some special vector fields such as torse-forming vector fields, concircular vector fields, recurrent vector fields, \phi(Ric) vector fields, to be used in other chapters of this thesis are remembered. Afterwards,
some curvature tensors such as conformal curvature tensor, conharmonic curvature tensor, concircular curvature tensor, projective curvature tensor on Riemannian manifold which are taken into consideration in this thesis and the properties of them are given. Also, Z-symmetric tensor is discussed in detail and its various properties are specified. In addition, some special Riemannian manifolds like pseudo Ricci symmetric manifolds, pseudo cyclic Ricci symmetric manifolds, quasi-Einstein manifolds, recurrent manifolds are defined. In the third chapter, firstly, pseudo cyclic Z-symmetric manifolds are defined and some properties of these manifolds are examined. The eigenvalue of the Ricci tensor and the eigenvalue of the Z-symmetric tensor are obtained on pseudo cyclic symmetric manifolds. Additionally, necessary conditions for the Z-symmetric tensor to have a non-zero trace and the manifold to be a quasi-Einstein manifold are found. Furthermore, by assuming Codazzi type Ricci tensor the relation between the associated vector field of pseudo cyclic Z-symmetric manifold and the scalar function of the Z-symmetric tensor is obtained. Also, it is proved that pseudo cyclic Z-symmetric manifold cannot have a pseudo cyclic Ricci symmetric tensor. After that, to prove the existence of pseudo cyclic Z-symmetric manifolds, an example is given by using 4-dimensional Riemannian metric. Finally, in this chapter, conformally flat pseudo cyclic Z-symmetric manifolds are discussed and it is obtained that a conformally flat pseudo cyclic Z-symmetric manifold is a manifold of quasi-constant curvature provided the vector field metrically equivalent to the 1-form T is a unit vector field. In the fourth chapter, firstly, concircularly flat Z-symmetric manifolds are considered.
It is shown that concircularly flat Z-symmetric Riemannian manifold must be an Einstein manifold. Also, it is shown that Z-symmetric tensor in a concircularly flat Riemannian manifold is of non-zero trace. Assuming that the Z-symmetric tensor on a concircularly flat manifold is Codazzi type tensor or cyclic tensor, some properties are
obtained. Moreover, it is investigated the conditions that the vector field generated by the 1-form f being the torse-forming vector field, concircular vector field and recurrent vector field. In addition, an example of a 4-dimensional concircularly flat Z-symmetric manifold is given. After that, Z-symmetric manifolds admitting concircular Ricci tensor are considered. Concircular Ricci symmetric tensor is considered as a recurrent
tensor, Codazzi type or cyclic tensor, and in these cases, various properties of Z-symmetric tensor are obtained. On the other hand, the conditions under which the associated 1-form of this manifold is constant are found. In addition, examples of Z-symmetric manifolds admitting concircular Ricci tensor in 4-dimensional spaces are
given. Finally, in this chapter, Z-symmetric spacetimes with concircular Ricci tensor are investigated and theorems related to these spacetimes are proved. Under certain conditions, it is shown that this spacetime is of constant isotropic pressure and energy density and it is proved that this spacetime is an Einstein space.
In the fifth chapter, Z-symmetric manifolds admitting pseudo concircular Ricci symmetric tensor are studied and defined by (PKRS)n. It is proved that the manifold does not exist when the Z-symmetric tensor is Codazzi type or covariantly constant. In addition, an eigenvalue for a vector field related by the Z-symmetric tensor is found
on (PKRS)n. Also, if the associated vector field of (PKRS)n is a torse-forming vector field then some results are obtained regarding these manifolds. In the sixth chapter, Z-symmetric manifolds with the conharmonic curvature tensor are investigated. Firstly, some special conditions are given for the Z-symmetric tensor to be a recurrent tensor or covariantly constant tensor, and the properties of the conharmonic curvature tensor on these manifolds are examined. In addition, the conditions are found to make the trace of the curvature tensor and the Z-symmetric
tensor to be harmonic on this manifold. Also, if the conharmonic curvature tensor is covariantly constant and the Z-symmetric tensor is recurrent then the relation is obtained between the associated vector field of the Z-symmetric tensor and the recurrence vector field. Moreover, if the conharmonic curvature tensor is recurrent and
the Z-symmetric tensor is Codazzi type then the condition that the recurrence vector field being the divergence-free is obtained. Then, considering the associated vector field of the Z-symmetric tensor and the recurrence vector field to be a torse-forming vector field or concircular vector field or recurrence vector field, the geometric properties of these manifolds are investigated and the related theorems are proved. Finally, in this chapter, an example of Z-symmetric manifolds with the conharmonic curvature tensor is given. In the seventh chapter, Z-symmetric manifolds with the projective curvature tensor are discussed and some properties of these manifolds are examined. Firstly, when the manifold has a Z-symmetric tensor of Codazzi type, the necessary and sufficient condition for the projective Ricci tensor of this manifold to be divergence-free is found. Then, if the manifold has a projective Ricci tensor of Codazzi type, the necessary and sufficient condition for the Z-symmetric tensor of this manifold to be Codazzi type is found. Also, considering the projective tensor as Codazzi type or as a recurrent tensor then the properties of these manifolds are also examined. Similarly, considering the Z-symmetric tensor as a recurrent tensor or as a divergence-free tensor then the properties of these manifolds are also examined. Some conditions are given for the Z-symmetric tensor to be a generalized recurrent tensor or recurrent tensor. Finally, an example is given for 4-dimensional Riemannian manifolds with Z-symmetric tensor
admitting projective curvature tensor. In the eighth chapter, perfect fluid spacetime with Z-symmetric tensor is considered. The significance of the spaces of constant curvature is very well known in cosmology. The simplest cosmological model of the universe is obtained by making the assumption that the universe is isotropic and homogeneous. This is known as cosmological principle. By isotropy we mean that all spatial directions are equivalent, while homogeneity means that it is impossible to distinguish one place in the universe from the other. That is, in the rest system of matter there is no preferred point and no preferred direction, the three dimensional space being constituted in the same way everywhere. This cosmological principle, when translated into the language of Riemannian geometry, asserts that the three dimensional position space is a space of maximal symmetry [a space is of maximal symmetry if it has maximum number of Killing vector fields; and the maximum number of Killing vector fields in a Riemannian space of dimension n is (n+1)1/2n], that is, a space of constant curvature whose curvature depends upon time. The cosmological solutions of Einstein equations which contain a three dimensional space-like surface of a constant curvature are the Robertson-Walker metrics, while a four dimensional space of constant curvature is the de Sitter model of the universe. Thus, de Sitter model possess a three dimensional space of constant curvature and thus belongs to Robertson-Walker metrics. The eighth chapter is concerned with certain investigations in general relativity by the coordinate free method of differential
geometry. In this method of study the spacetime of general relativity is regarded as a connected four-dimensional semi-Riemannian manifold (M^4;g) with Lorentz metric g with signature (-, +, +, +). The geometry of the Lorentz manifold begins with the study of the causal character of vectors of the manifold. It is due to this causality
that the Lorentz manifold becomes a convenient choice for the study of general relativity. The Einstein's equations, imply that the energy-momentum tensor is of vanishing divergence. This requirement is satisfied if the energy-momentum tensor is covariant-constant. M. C. Chaki and Sarbari Ray showed that a general relativistic
spacetime with covariant-constant energy-momentum tensor is Ricci symmetric, that is, $\nablaS = 0$, where S is the Ricci tensor of the spacetime. After that, by determining some conditions on the associated vector field of the Z-symmetric tensor, some results related to the trace function of the Z-symmetric tensor are found. Also, the condition of this spacetime to be an Einstein space is determined. After that, a pressureless perfect fluid (a dust) spacetime with the Z-symmetric tensor is examined. Assuming the Z-symmetric tensor of a dust obeys Einstein's field equation is covariantly constant, it is obtained that this spacetime is vacuum.