Çarpım uzaylarda dizisel süreklilik,kompaktlık ve irtibatlılık
Sequentially continuity, compactness and connectedness inproduct spaces
Yazar: MİNA BETÜL TEKE
Danışman: PROF. DR. OSMAN MUCUK
Erciyes Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Yakınsak diziler topolojide ve Matemati˘gin di˘ger bazı alanlarında kullanı¸slı ve
ve çe¸sitli uygulamalara sahiptir. Yakınsak diziler bazı topolojik kavramların
tanımlanmasına imkan sa˘glar. Bu nedenle topolojik kavramların diziler yardımıyla
daha kolay bir ¸sekilde tanımlanması ve çalı¸sılması mümkün hale gelir. Birinci
sayılabilir uzaylarda bazı topolojik kavramlar yakınsak diziler tarafınca tanımlanır.
Örne˘gin bu uzaylarda süreklilik ve dizisel süreklilik e¸sde˘gerdir. Bu nedenle
sürekli fonksiyonlar yerine dizisel sürekli fonksiyonlar ele alınır. Bir fonksiyonun
sürekli oldu˘gunu göstermek yerine buna denk olan dizisel sürekli oldu˘gu gösterilir.
Bunlardan ba¸ska birinci sayılabilir uzaylarda açık ve kapalı kümelerde yakınsak
dizilerle tanımlanır.Ba˘glantılılık yada irtibatlılık, kompaktlık gibi tanımlar açık ve
kapalı kümelere ba˘glı olarak yapıldı˘gından bu uzaylarda diziler cinsinden tanımlanır.
Bu kavramlar gerek matemati˘gin gerekse di˘ger bazı bilim alanlarında çe¸sitli
uygulamalara sahitir.
Hausdorff uzayda yakınsak dizinin limiti tektir. Bu ise yakınsak dizilerin kümesinden
Hausdorff uzayın kendisine bir fonksiyon tanımlar. Buradan hareketle son
zamanlarda bazı matematikçiler, farklı yakınsaklık kavramları kullanarak çe¸sitli
topolojik tanımları geli¸stirmi¸sler ve kavramları bu yakınsaklık metodlarına ba˘glı
olarak tanımlama gayreti içinde olmu¸slardır. Yakın zamanda Hausdorff uzaylarda
limit fonksiyonu bir G yakınsaklık metoduna dönü¸stürülmü¸stür.
Bu tezde yakınsak diziler kullanarak çarpım uzaylarda açık ve kapalı kümeler,
dizisel süreklilik, dizisel kompaktlık ve dizisel irtibatlılık kavramlaları ele alınmı¸s ve
karekterize edilmi¸stir.
Anahtar Kelimeler: Çarpım Uzaylar, Dizisel Kompaktlık ve Dizisel irtibatlılık

Abstract:
The convergent sequences in topology and some other branches of the mathematics
are useful and have many applications. The convergent sequences enable to define
some topological definitions. Hence the definitions and studies of topological
concepts in easier ways become possible. In the first countable spaces some
topological concepts are defined by means of the sequences. For example in
these spaces continuity and sequentially continuity are equivalent. Therefore the
sequentially continuous functions are considered for instead continuous functions.
For to prove that a function is continuous it is equivalently proved that the function
is sequentially continuous.
In Hausdorff spaces any convergent sequence has a unique limit. That gives us a
function defined on the set of convergent sequences to the Hausdorff space itself.
Motivated by this, recently many mathematicians have defined some topological
definitions associated with different convergences. In quite recently the limit
function in Hausdorff spaces has been converted to a G -convergence method.
In this thesis using the convergent sequences in product spaces we consider
sequential open and closed subsets and some related concepts such as sequentially
connected and compactness in product spaces.
Keywords: Product spaces, Sequential Continuity, Sequential Compactness and
Sequential Connectedness.