Modüler metrik uzaylarda sabit nokta teorisi ve bazı uygulamaları
Fixed point theory and some applications  in modular metric spaces
Yazar: HAMİ GÜNDOĞDU
Danışman: PROF. DR. ÖMER FARUK GÖZÜKIZIL
Sakarya Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2024
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Banach sabit nokta teoremi = Banach fixed point theorem ; Başlangıç değer problemleri = Initial value problems ; Sınır değer problemleri = Boundary value problems

Özet:
Bu doktora tezi yedi bölümden oluşmaktadır. Alışılmış metrik uzayların genelleştirilmiş bir hali olan modüler metrik uzaylar ve bu uzaylardaki sabit nokta teoremlerini içermektedir. Öncelikle, alışılmış metrik uzaylarda tanımlanmış olan bazı özel şartların modüler metrik uzaylarda genelleştirilmiş halleri bu tezin farklı bölümlerinde tanımlanmıştır. Her bir bölümde tanımlanan bu genelleştirilmiş şartlar için modüler metrik uzaylarda sabit nokta teoremleri önce ifade edilmiş sonra da ispatı yapılmıştır. Bu bölümlerde ispatlanan teoremlerin sonuçlarını pekiştirmek için özel örnekler verilmiştir. Uygulama olarak da bahsi geçen uzaylarda farklı tip dönüşümler için sabit nokta teoremlerinin sonuçları kullanılarak genel halde verilen birinci mertebeden lineer olmayan diferansiyel ve integral denklemlerin çözümlerinin varlığı ve tekliği ispatlanmıştır. 
Giriş bölümünde, sabit nokta kavramı açıklanıp ve bu konu hakkında literatür özeti verilmiştir. Sabit nokta teoremi ve bu teoremin ilk uygulamaları hakkında kısaca bilgiler verilmiştir. 
İkinci kısımda, öncelikle metrik ve metrik uzay kavramları açıklanmış olup bu uzaylarda Banach büzülme prensibine dayanan sabit nokta teoremleri hakkında özet bilgiler verilmiştir. Daha sonra, bu tez çalışmasında faydalanılan bazı özel fonksiyonlar ile alışılmış metrik uzaylarda tanımlanan C-şartı ve F-daralma şartlarının tanımlarından kısaca bahsedilmiştir. Metrik uzaylarda bahsi geçen şartları sağlayan dönüşümler için sabit nokta teoremleri ve yapılan çalışmalar hakkında bilgiler verilmiştir.
Üçüncü bölüme modüler metrik uzay hakkında literatür özeti verilerek başlanmıştır. Modüler metrik uzaydan önce modüler ve modüler uzay kavramları tanıtılmıştır. Bu kavramların ne zaman ve kim tarafından ortaya atıldığından bahsedilmiştir. Daha sonra da Chistyakov tarafından ortaya atılan modüler metriğin tanımı verilmiştir. Bu tanımdan yola çıkılarak oluşturulan modüler metrik uzay kavramı açıklanmıştır. Modüler metrik uzaylarda ilk defa daralma dönüşümleri için sabit nokta teoreminin ifade ve ispat edildiğine değinilmiştir. Bu gelişmeden sonra birçok bilim insanı modüler metrik uzaylarda farklı tip dönüşümler için sabit nokta teoremleri üzerinde çalışmaya başlamıştır.  Bu uzaylarda sabit nokta teoremi ile ilgili birçok sonuçlar ortaya konduğundan bahsedilmiştir. Bazı özel modüler metrik uzay yapıları tanıtılmıştır. Ayrıca, modüler metrik uzaylarda limit, yakınsaklık, tamlık, Cauchy dizisi olma gibi bazı önemli tanımlar verilmiştir. Bununda yanında, modüler metrik uzaylarda daralma şartı kavramının tanımı verilip bu şart için literatürde var olan bazı sabit nokta teoremlerinden bahsedilmiştir. 
Dördüncü kısımda metrik uzaylarda verilen genelleştirilmiş C-şartı modüler metrik uzaylara genişletilerek bu uzaylarda ilk defa tanımlanmıştır. Öncelikle, bu şartı sağlayan dönüşümler için modüler metrik uzaylarda sabit nokta teoremleri ifade edilip ispatlanmıştır. Burada elde edilen sonuçlardan faydalanılarak birinci mertebeden lineer olmayan diferansiyel denklemler için anti-periyodik sınır değer probleminin ve başlangıç değer probleminin çözümünün varlığı ve tekliği gösterilmiştir. Dolayısıyla, ilk önce bu problemler için ayrı ayrı modüler metrik uzaylar tanımlanmıştır. Sonra da bu bölümün başında ispatlanan sabit nokta teoremleri kullanılarak ele alınan problemler için tanımlanan modüler metrik uzaylarda bahsedilen problemlerin çözümlerinin varlığı ve tekliği gösterilmiştir. Ayrıca, burada modüler metrik uzayların alışılmış metrik uzaylardan farkını göstermek için metrik olmayan özel bir modüler metrik ele alınmıştır. Bu teoremlerin modüler metrik uzaylar ile alışılmış metrik uzaylar arasındaki fark uzayında geçerli olduğu gösterilmiştir.
Beşinci bölümde öncelikle ≼ sıralama bağlantısı tanımlanmıştır. Bu tanım kullanılarak kısmi sıralı modüler metrik uzaylar tanımlanmıştır. Bir önceki bölümde modüler metrik uzaylarda tanımlanan genelleştirilmiş C-şartları için kısmi sıralı modüler metrik uzaylarda sabit nokta teoremlerinin ifade ve ispatları verilmiştir. Bunun yanında bu teoremlerden elde edilen sonuçları pekiştirmek için bazı özel kısmi sıralı modüler metrik uzaylarda örnekler verilmiştir. Bu örneklerde verilen dönüşümlerin çözümlerinin var ve tek olduğu kanıtlanmıştır. Ayrıca, dönüşümün grafiği ile y=x doğrusunun kesişimden faydalanılarak sabit noktasının tek olduğu gösterilmiştir. Uygulama olarak özel bir kısmi sıralı modüler metrik uzayında bir integral denklem ele alınmıştır. Son olarak da bu bölümde ispat edilen teoremler kullanılarak ele alınan bu integral denklemin çözümünün bahsedilen modüler metrik uzayda varlığı ve tekliği ispat edilmiştir.
Altıncı kısımda alışılmış metrik uzaylarda tanımlanan F-daralma şartının α-kabul edilebilir dönüşümler kullanılarak genelleştirilmiş tipi modüler metrik uzaylarda tanımlanmıştır. Bu çalışmada ilk defa tanımlanan bu genelleştirilmiş F-daralma şartı F_α-daralma şartı olarak gösterilmiştir. Burada 1. tip ve 2. tip olmak üzere iki farklı F_α-daralma şartları tanımlanmış olup her biri için ayrı ayrı sabit nokta teoremleri ifade ve ispat edilmiştir. Öncelikle, bazı şartları sağlayan dönüşümler için sabit noktanın varlığı ispatlanmıştır. Bununla ilgili örnek verilip örnekteki dönüşüm sabit noktasının var fakat tek olmadığı gösterilmiştir. Bunun yanında farklı şartlar altında yine bir dönüşümün sabit noktasının varlığı ifade ve ispat edilip birçok sonuç verilmiştir. Daha sonra burada ispatlanan teoremlerdeki bazı şartlar değiştirilerek sabit noktanın tek olduğu ifade ve ispat edilmiştir. Bu teoremlerle ilgili örnek verilmiş olup örnekteki dönüşümün sabit noktasının var ve tek olduğu gösterilmiştir. Ayrıca, sabit noktanın tekliği ile ilgili yine birçok sonuç ifade edilmiştir. Son olarak genel formda verilmiş bir integral denklemin tanımlanan modüler metrik uzayda çözümünün var olduğu gösterilmiştir. Bunun uygulaması olarak ise özel halde verilmiş bir integral denklemin çözümünün ele alınan modüler metrik uzayda var olduğu gösterilip bu var olan çözüm belirtilmiştir. 
Bu tez çalışmasının son bölümünde modüler metrik uzaylarda sabit nokta teorisi ile ilgili bazı sonuçlar verilmiştir. Tez kapsamında alışılmış metrik uzaylarda var olan bazı özel şartların modüler metrik uzaylara genişletilmiş halleri tanımlanmış olup bu şartları sağlayan dönüşümler için ele alınan uzaylarda sabit nokta teoremleri ifade ve ispat edilmiştir. Bunun yanında burada ispatlanan teoremlerin sonuçlarını pekiştirmek için ayrı ayrı örnekler verilmiştir. Bu ispatlara dayanarak her bölüm önemli sonuçlar içermektedir. Bu tezin dört, beş ve altıncı bölümlerindeki modüler metrik uzaylarda tanımlanan genelleştirilmiş şartlar ilk defa bu tez çalışmasında tanımlanmış olup bu bölümlerde ifade ve ispat edilen sabit nokta teoremleri bu tez çalışmasının orijinal bulgularıdır. Sonuç olarak, bu tez çalışması literatüre katkı yapacak yeni ve orijinal sonuçlar bulundurmaktadır.

Abstract:
This doctoral thesis consists of seven chapters. It includes modular metric spaces, which generalize ordinary metric spaces, and fixed point theorems in these spaces. First, the generalized versions of some particular conditions defined in ordinary metric spaces are described in modular metric spaces. For these generalized conditions defined in each chapter, fixed point theorems are first stated and then proven in modular metric spaces. Illustrative examples are considered to reinforce the results of the theorems proven in these chapters. As applications, the existence and uniqueness of the solutions of first-order nonlinear differential and integral equations given in general are proven by using the results of fixed point theorems for different types of mappings in the mentioned spaces.
The introduction section explains the concept of fixed points, and a summary of the literature on this subject is given. Brief information about the fixed point theorem and the first applications of this theorem is given.
In the second part, the concepts of metric and metric spaces are first explained, and brief information about the fixed point theorems based on the Banach contraction principle in these spaces is given. Then, short descriptions of the C-condition and F-contraction conditions defined in ordinary metric spaces and some particular functions utilized in this thesis are provided. Information about the fixed point theorems and the studies carried out for the mappings that satisfy the mentioned conditions in these spaces is given.
The third section starts by giving a summary of the literature on modular metric space. Before the modular metric space, the concepts of modular and modular space are introduced. It is mentioned when and by whom these concepts were introduced. Then, the definition of the modular metric, introduced by Chistyakov, is given. Based on this definition, the structure of modular metric spaces is explained. It is mentioned that the fixed point theorem was expressed and proved for the first time in modular metric spaces. After this development, many scientists began to work on fixed point theorems for different types of mappings in modular metric spaces. It is stated that many results regarding the fixed point theorem emerged in these spaces. Some specific modular metric spaces are introduced. In addition, some important definitions such as limit, convergence, completeness, and being Cauchy series, in modular metric spaces are given. In addition, the definition of the contraction condition in modular metric spaces is given, and some fixed point theorems existing in the literature for this condition are mentioned.
In the fourth part, the generalized C-condition given in metric spaces is extended to modular metric spaces and defined in these spaces for the first time. First of all, the fixed point theorems in modular metric spaces for mappings that satisfy this condition are expressed and proven. Based on the results obtained here, the existence and uniqueness of the solution of the anti-periodic boundary value problem and the initial value problem for first-order nonlinear differential equations are demonstrated. Therefore, separated modular metric spaces are defined for these problems. By using the fixed point theorems proven at the beginning of this section, the existence and uniqueness of the solutions for the problems mentioned in these defined spaces are demonstrated. Moreover, a non-metric modular metric is considered. It is shown that these theorems are valid in the difference space between modular metric spaces and ordinary metric spaces.
In the fifth section, the sort connection ≼ is mentioned. By using this definition, partially ordered modular metric spaces are defined. Expressions and proofs of the fixed-point theorems in partially ordered modular metric spaces are presented for the generalized C-conditions defined in the previous section within modular metric spaces. In addition, some illustrative examples of partially ordered modular metric spaces are given to reinforce the results obtained from these theorems. It is proven that the solutions of the mappings given in these examples exist and are unique. Additionally, by using the intersection of the mapping's graph and the line y=x, it is shown that the fixed point is unique. As an application, an integral equation in a specific partially ordered modular metric space is considered. Finally, the existence and uniqueness of the solution of this integral equation in the mentioned modular metric space are proven by using the theorems proven in this section.
In the sixth part, the generalized type of the F-contraction condition defined in ordinary metric spaces is defined in modular metric spaces by using α-admissible mappings. This generalized F-contraction condition, defined for the first time in this study, is denoted as the F_α-contraction condition. Two different F_α-contraction conditions, type 1 and type 2, are defined and separate fixed point theorems are expressed and proven for each of them. First of all, the existence of a fixed point is proven for the mappings that satisfy certain conditions. An example is given, and it is shown that the fixed point of the mapping in the example exists but is not unique. In addition, the existence of a fixed point of a mapping under different conditions is expressed and proven. Many results are given, as well. Later, by changing some of the conditions in the theorems proven here, it is stated and proven that the fixed point is unique. An example for this theorem is given. It is shown that the fixed point of the mapping in the example exists and is unique. Additionally, many results are expressed regarding the uniqueness of the fixed point. Finally, the existence of a solution of an integral equation given in a general form in the defined modular metric space is demonstrated. As an application of this, it is shown that the solution of the given integral equation exists in the specifically considered modular metric space. Furthermore, this existing solution is stated.
In the final section, a summary of this thesis is given. Significant results regarding fixed point theorems in modular spaces are presented. Within the scope of the thesis, the extended versions of certain conditions existing in ordinary metric spaces are defined in modular metric spaces. Fixed point theorems are stated and proven for the mappings that satisfy these conditions in the considered modular metric spaces. In addition, separate examples are given to reinforce the results of the theorems proven here. Based on these proofs, each chapter contains significant conclusions and outcomes. The generalized conditions defined in modular metric spaces in the fourth, fifth, and sixth chapters of this thesis are defined for the first time in this thesis work. The fixed-point theorems expressed and proven in these chapters are the original results of this thesis work. As a result, this thesis study contains original results that do not exist in the literature, and so it contributes to the literature with new results.