Pozitif tamsayılarda Mac Mahon parçalanma analizi
Mac Mahon partition analysis in positive integers
Yazar: BÜŞRA AL
Danışman: PROF. DR. MUSTAFA ALKAN
Akdeniz Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Cebir ve Sayılar Teorisi Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2018
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu yüksek lisans tezinin amacı parçalanış teorisini ve Mac Mahon parçalanma analizini inceleyerek parçalanış teorisine yeni sonuçlar ile katkı sağlamaktır.
    Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, parçalanış teorisinin tarihsel başalangıcını içeren bilgiler verilmiştir.
    İkinci bölümün, ilk kısmında parçalanış teorisinden bahsedilerek bazı temel problemleri ispatsız olarak ele alınmıştır. Ayrıca serbest parçalanıştan bahsedilmiş, parçala-nışların geometrik gösterimi hakkında bilgi verilmiştir. Daha sonra parçalanış teorisi için önemli bağıntılardan biri olan Jacobi Üçlü Çarpım Özdeşliği ve ispatı verilmiştir. Tamsayıların parçalanışları için üreteç fonksiyonlarından bahsedilmiş, p(n) için üreteç fonksiyonu verildikten sonra Q(n) ve Z(n)'in üreteç fonksiyonları ispatsız olarak verilmiştir. Çalışmaların devamında beşgensel sayıların tanımı verilerek beşgensel sayılar ile parçalanış arasındaki bağıntıya değinilmiştir. Ayrıca Euler'in Beşgensel Sayı Teoremi ve ispatı verilmekle birlikte Euler'in beşgensel sayı teoreminin kombinatorik ispatına da değinilmiştir. Euler'in parçalanış için özyineleme formülü ve ispatına da bu bölümde verilmiştir.
    Üçüncü bölüme, Mac Mahon parçalanma analizini anlamakta önemli bir yere sahip olan Ω_{≥} operatörünün tanımı ve özellikleri ile başlanmıştır. Daha sonra Mac Mahon parçalanma analizinin temel özelliklerinin incelenip araştırılmasıyla devam edilmiştir.
    Dördüncü bölümde, k-gensel sayılar tanımlanarak, çokgensel sayılar için Jacobi Özdeşliği verilmiştir. Daha sonra beşgensel ve altıgensel sayılar ile beşgensel ve yedigensel sayılar arasındaki bağıntılar incelenmiştir. Çalışmalara Jacobi Üçlü Çarpım Özdeşliğinin bazı özellikleri verilerek devam edilmiştir. Son olarak Q(n) ile p(n), p(n) ile Z(n) ve Q(n) ile Z(n) arasında yeni bağıntılar elde edilmiştir.
    Son bölümde, yeni bulunan yineleme formülleri Euler'in ve Ewell'in yineleme formülleri ile karılaştırılmıştır.

Abstract:
This master thesis is to contribute to the partition theory with new results by examining the intentional partition theory and the Mac Mahon partition analysis.
    This thesis consists of five parts. In the first chapter, information is given which includes the historical beginning of the partition theory.
    In the first part of the second chapter, discusses the partition theory and some basic problems are given without proofs. In addition, unrestricted partitions is mentioned, and geometric representations of partitions are given. Then, Jacobi triple product identity and proof, which is one of the important relativities for partition theory, are given. We mention the generating functions for the decomposition of integers, and after generating the generating function for p(n), the generating functions of Q(n) and Z(n) are given without proof. In the course of the studies, the definition of five-point numbers is given and the connection between the five-point numbers and the partition is mentioned. Euler's Pentogonal Number Theorem and also the combination of Euler's pentogonal number theorem are given. Euler's recursion formula for partition is also given in this section.
    The third chapter begins with the definition and properties of the Ω_{≥} operator, which has an important place in understanding the Mac Mahon partition analysis. Then, the basic features of the Mac Mahon partition analysis were studied and researched.
    In the fourth chapter, the Jacobi identity is given for polygonal numbers by defining the polygonal numbers. Then, the relations between the pentogonal and hexagonal numbers and the pentogonal and hexagonal numbers are examined. Some of the features of the Jacobi Triple Product Identification have been continued. Finally, new correlations between Q(n) and p(n), p(n) and Z(n) and Q(n) and Z(n) are obtained.
    In the last chapter, the new recurrence formulas are compared with Euler's and Ewell's recurrence formulas.