Rastgele yönlendirilmiş karbon nanotüp takviyeli kompozitlerin modellenmesi
Modelling of randomly oriented carbon nanotube reinforced composites
Yazar: EMRE KÖROĞLU
Danışman: PROF. DR. HALİT SÜLEYMAN TÜRKMEN
İstanbul Teknik Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Uçak ve Uzay Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Uçak ve Uzay Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2022
Konu: Uçak Mühendisliği = Aeronautical Engineering
Dizin: Doğrusal olmayan optimizasyon = Non-linear optimization ; Doğrusal regresyon = Linear regression ; Homojenleştirme = Homogenization ; Makine öğrenmesi yöntemleri = Machine learning methods ; Mikromekanik = Micromechanic ; Nanotüp = Nanotube

Özet:
20. yüzyılın ortalarından itibaren kompozit malzemeler, havacılık endüstrisi de dahil olmak üzere birçok alanda giderek daha fazla kullanılmaya başlanmıştır. Birden fazla malzemeyi tek bir heterojen malzeme olarak kullanmanın temel amacı, tek fazlı bir malzemeye kıyasla çok daha iyi bir malzeme elde etmek için bileşenlerin en iyi özelliklerinden yararlanmaktır. Öte yandan kompozit malzemeler, malzemenin tasarlanmasına, yani tasarım gereksinimlerini karşılamak için özelliklerin ayarlanmasına izin verir.
Yapısal tasarım perspektifiyle kompozit malzemeler iki ana bileşenden oluşur: matris fazı ve takviye fazı. Malzemeye ortam ve aynı zamanda esneklik sağlayan matris fazı her ne kadar daha yüksek hacimsel orana sahip olsa da, modellenmesi daha zor olan bileşen takviye fazıdır. Bunun nedeni, kimi zamann takviyelerin matris fazına göre çok küçük boyutta olmaları ve çok fazla sayıda bulunabilmeleridir.
Bu malzemeleri yapı tasarımında kullanmak üzere bir bünye modeli oluşturmak için heterojen malzemelerden homojen malzeme özellikleri elde etme amacıyla homojenizasyon adı verilen yöntemler geliştirilmiştir.
Takviye geometrisi için çok kısıtlayıcı varsayımlar altında, yaklaşık veya yarı analitik homojenizasyon kullanılarak, kompozit malzemenin global davranışı belli bir dereceye kadar tahmin edilebilir.
Daha gerçekçi sonuçlar verebilen bir alternatif olarak, malzemenin bir kısmı, malzemenin global davranışını temsil edecek şekilde modellenebilir. Malzeme ölçeğini olduğu gibi kullanılmamasının nedeni, takviyeler çok fazla ve/veya çok küçük olduğunda, gerekli hesaplama kaynaklarının gerçekçi olmaktan uzaklaşmasıdır. Bu nedenle temsili bir model ile anizotropik malzeme katsayıları hesaplanabilir, böylece heterojen malzeme homojen anizotropik bir malzeme ile temsil edilebilir.
Ancak bu yöntem kendi kısıtlamalarıyla birlikte gelir. Modelin geçerli olarak kabul edilebilmesi için, modelin sınırlarındaki dalgalanmaların önemli olmaması için belirli bir büyüklükte olması gerekir. Buna Hill Mandel kriteri denir. Bu kritere uygun olarak oluşturulan temsili model yalnızca belirli bir nihai malzeme tasarımını modeller, yani model yeniden kullanılamaz.
Son yıllarda kompozit malzemeler, nano ölçekteki takviyelerden bile yararlanmaktadır. Bu malzemelerden biri olan karbon nanotüpler, takviye bileşeni olarak kullanıldığında belirgin avantajlara sahiptir. Ancak ölçeği ile ilgili olarak, temsili bir model oluşturmak ve aynı zamanda Hill Mandel kriterine uymak daha zordur. 
Bazı çalışmalarda hem temsili hacim elemanından, hem de yaklaşık analitik yöntemlerden yararlanılmıştır. Takviye uzunluğu doğrultusunda yalnızca tek bir elastik katsayı elde edip, daha sonra farklı tipteki taviyelerin birlikte ortaya koyduğu global davranışı hesaplamak için Mori-Tanaka gibi yaklaşık bir yöntem kullanılmıştır. 
Bu noktada soru şudur: Diğer anizotropik özellikler için bu yaklaşımı sürdürmek mümkün müdür? Modelin Hill Mandel kriterinin kısıtlamalarına uyduğu göz önüne alındığında, malzeme katsayılarını elde etmek için genellikle interpolasyon kullanılmaktadır.
Bu çalışmada öncelikle problem sadece minimum sayıda değil, çok sayıda sınır koşulu ile ele alınmıştır. Modelin Hill Mandel koşullarından uzak olması durumunda mutlaka bir belirsizlik olması beklenmektedir. Çok sayıda farklı sınır koşulu kullanılarak elde edilen veriler üzerinden, en küçük kareler regresyonu kullanılarak elastik katsayılar elde edilebilir ve belirsizlik de ayrıca hesaplanabilir.
Problemin incelenebilirliğini korumak adına düzlem gerilme modeli kullanılarak, 2 malzeme fazlı ve 3 farklı takviye geometrisine sahip temsili hacim elemanları oluşturulmuştur. Tüm modeller aynı boyutta bir dikdörtgen olup, aynı ağ yapısına sahiptir. Daha sonra modeller rastgele yer değiştirme sınır koşullarına tabi tutulur. Son olarak,¬ şekil değiştirme ve gerilmelerin hacimsel ortalamaları hesaplanır.
Elastik katsayılar en küçük kareler yöntemiyle hesaplanmıştır. Bir alt örnekleme tekniği kullanılarak, malzeme katsayılarındaki belirsizlik de elde edilmiştir. Sonuçlara göre bulunan malzeme katsayılarının kullanışlı olmaktan uzak olduğunu görülmüştür.
Daha sonra aynı hacimsel yaklaşım bu sefer elastik katsayılar hesaplanmadan, gerilme ve şakil değiştirmenin hacimsel ortalamaları artasındaki ilişkiyi kurmak üzere makine öğrenmesi yöntemleriyle ele alınmıştır. Böylece hacimsel yaklaşımın bünye ilişkisini sağlama yeteneğinin değerlendirilmesi amaçlanmıştır.
En küçük kareler ve makine öğrenmesi yaklaşımlarının hataları karşılaştırıldığında, anlamlı bir fark olmadığı görüldü. Buradan, hacimsel ortalamalar kullanılarak, en güncel istatistiksel modelleme teknikleriyle bile önemli bir gelişme sağlanamayacağı sonucuna varılmıştır.
Daha sonra, hacimsel yaklaşıma alternatif olarak, temsili elemanın sınırlarından elde edilen verilere dayanan farklı bir homojenleştirme yöntemi ortaya konmuştur. Bir optimizasyon çerçevesi kullanan yaklaşım, orijinal modelin tepki kuvvetleri ile homojenleştirilmiş anizotropik model tepki kuvvetleri arasındaki fark minimum olacak şekilde en iyi elastik katsayıları bulmayı amaçlar.
Önceki yaklaşımda kullanılan aynı örnek modeller kullanılmış ancak bu sefer çok daha yüksek hesaplama yükü nedeniyle sınır koşullarının sayısı azaltılmıştır. Temsiliyetin daha iyi olması için uygulanacak yer değiştirme sınır koşulları, deneysel karakterizasyon için de yaygın olarak kullanılan doğal titreşim modu şekillerinden seçilmiştir.
Bu formdaki problemin birçok yerel minimuma sahip olabileceğinden ötürü, global minimumu bulmak için 2 adımlı bir yaklaşım önerilmiştir. Bu yaklaşıma göre, arama alanını global olarak taramak için önce latin-hiperküp tabanlı bir yöntem kullanılır. Aday noktalar bulunduktan sonra, yerel minimumu bulmak için yerel bir arama algoritması ile aramaya devam edilir.
Sonuçlar, latin hiperküp örnekleme kullanan küresel aramanın bile, hacim ortalamasına dayalı en küçük karelerden daha iyi performans gösterdiğini göstermiştir. Ardından kullanılan yerel arama, tahminleri daha da iyileştirmiştir. Ancak sonuçlar, tek bir takviye ölçeğinde homojenleştirilmiş malzeme katsayılarının uygulamada fazlaca hataya neden olduğunu da ima etmektedir. 
Öte yandan, yeni yaklaşım, temsili hacim elemanın boyutunu küçültmek için hala kullanılabilir. Ayrıca hacim ortalamalarından farklı olarak, modelin sınırlarındaki birçok düğümden gelen verilere dayanan benzerlik metriği, daha yüksek doğruluğa sahip bir malzeme modeline yol açar.

Abstract:
Starting from the mid-20th century composite materials are increasingly being used in many areas including aerospace industry. Main aim of using multiple materials as a single heterogeneous material is to take advantage of the best features of the constituents in order to get a much better material compared to a material with a single phase. On the other hand composite materials allow the material to be engineered, i.e. tweak the properties to meet the design requirements. 
For structural design purposes composite materials are made of 2 main components: a matrix phase and a reinforcement phase. Even though the matrix which provides the medium and at the same time flexibility to the material and which is the component with greater volume fraction, modeling of the the reinforcement phase is comparatively difficult. This is due to the fact that sometimes the scale of the reinforcement is comparable with the matrix phase but sometimes their number or size may differ by orders of magnitude.
In order to create a constitutive model to be used in the design of structures made of these materials, mathematical methods called homogenization are developed to obtain homogeneous material properties from heterogeneous materials.
By using approximate or semi-analytical homogenization, under very restrictive assumptions for the geometry of the reinforcements, the global behavior of the composite material can be estimated to a certain extent.
As an alternative with a much higher fidelity, part of the material can be modeled so that it represents the global behavior of the material. The reason for not using the material scale as is due to the fact that when the reinforcements are too many and/or too small the required computational resources cease to be feasible. Therefore with the representative element, anisotropic material coefficients can be calculated, so that the heterogeneous material can be represented by a homogeneous anisotropic material.
But this method comes with its own restrictions. In order to be considered as a valid element, the model must cover a certain volume so that the variations over the element is not significant. This is called the Hill Mandel criterion. For the task at hand the created representative model element models only a specific final material design, the model is not reusable.
In recent years composite materials take advantage of reinforcements even on the nanoscale. Being one of these materials, carbon nanotubes, have distinct advantages when used as the reinforcement component. But regarding its scale, it is harder to create a representative model and at the same time conform the Hill Mandel criterion. 
Some studies took advantage of both representative volume element and approximate analytical methods but at the same time violated the Hill Mandel criterion to obtain only single elastic coefficient along its length and proceeded with an approximate method like Mori-Tanaka in order to calculate the global characteristics of the material.
At this point the question is: is it possible to continue this approach for the remaining anisotropic properties? Conventional approach is, given that the model conforms the restrictions of the Hill Mandel criterion, to obtain the material coefficients by interpolation.
In this study first the problem is handled not only with the minimum number of boundary conditions but many of them. It is expected that there will certainly be a variance when the model is far from the Hill Mandel conditions. By using excessive number of boundary conditions, the elastic coefficients are obtained by using least squares regression and the variance can be calculated.
For the sake of simplicity 3 planar representative volume elements with 2 material phases are created. All models have the same uniform and rectangular mesh pattern. Then, the models are subjected to random displacement boundary conditions. Finally volumetric averages of strain and stress are calculated.
The elastic coefficients are calculated by least squares method. By making use of a sub-sampling technique, the variance of individual material coeffcients are determined. The variances showed that the material coefficients were far from being useful.
After analyzing the results, the same volumetric approach will be utilized, but this time without calculating the elastic coefficients, the relations between two volumetric data stress and strain are investigated. By doing so the capability of the volumetric approach to provide the constitutive relation is evaluated.
When the errors of the least squares and machine learning approaches are compared, there was no significant difference. So from there it can be concluded that by using volumetric averages, no significant improvement can be achieved even through state of the art statistical modelling techniques.
And then to improve the performance of the volumetric approach, a different homogenization method, based on data extracted from the boundaries of the representative element, is be presented. The approach, using an optimization framework, tries to find the best elastic coefficients so that the difference between the reaction forces of the original model and the homogenized anisotropic model is minimum.
Same example models are used but this time due to the much higher computational load, the number of boundary conditions are lowered. To be representative, the conditions are chosen from natural vibration mode shapes which is commonly used for experimental characterisation.
Due to the fact that the problem in this form may have many local optima. To find the global optimum a 2 step approach is proposed. The framework first uses a latin-hypercube based method to scan the search space globally. After finding candidate points, the search continues with a local search algorithm to find the local minimum
The results show that even the global search using latin hypercube sampling outperforms the volume average based least squares. Local search further improves the estimations. But the results also implicate that at the scale of a single reinforcement, the homogenized material coefficients cause too much error to be used in practice. 
On the other hand the new approach can still be used to decrease the size of a representative element. Also unlike volume averages, the similarity metric which is based on the data from many nodes on the boundaries of the model, leads to a material model with higher fidelity.