Üç boyutlu Galile uzayında öteleme ve factorable yüzeylerin sınıflandırılması
Classifications of translation and factorable surfaces in the 3-dimensional Galilean space
Yazar: GÜRKAN ŞASİ
Danışman: DOÇ. GÜLER GÜRPINAR ARSAN
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2018
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Öklid uzayında, eğrilerin ve yüzeylerin diferansiyel geometrisi hakkındaki çalışmalar, Öklid dışı uzaydaki çalışmalar kadar eski bir tarihe sahiptir. Öklid uzayının klasik içeriği diğer bazı geometrilere aktarılabilecek olan sonuçların bir kaynağıdır. Yeni geometrileri tanımlamanın bir yolu Cayley-Klein uzaylarından geçer. Bu uzaylar, kuadratik yüzeyleri ve düzlemleri içeren projektif uzayın bir alt kümesi olan mutlak şekilli projektif uzaylar olarak tanımlanır. Projektif uzayın mutlak şekil altında değişmez kalan izdüşümleri, Cayley-Klein uzayının grup hareketleri olarak adlandırılan izdüşümlerinin bir altgrubunu tanımlar. Mutlak şekil vasıtasıyla, metrik bağıntılar tanımlanır ve bunlar grup hareketleri altında değişmez kalırlar.
Üç boyutlu Galile uzayı, (0, 0, +, +)  işaretli projektif  metrikle oluşturulmuş Cayley- Klein uzayıdır. (w,f,I) sıralı üçlüsü Galile geometrisinin ideal (mutlak) şeklini oluşturur. Burada w ideal düzlemi; f, w düzleminde bulunan ideal doğruyu; I ise f'nin noktalarının sabit eliptik involüsyonunu gösterir.
Galile uzayı Öklid geometrisinden özel görecelik kavramına bir köprü oluşturur.
Galile uzayı Röschel tarafından geliştirilmiştir ve daha sonra Kamenerovic ve Sipus Galile uzaylarında çalışmalar yapmışlardır. Bununla beraber, Galile ve pseudo-Galile uzaylarında bir çok çalışma yapılmıştır.
Galile geometrisi Öklid dışı geometridir ve Galileo ile Einstein'ın görecelik kuramıyla bağlantılı olduğundan Galile ve pseudo- Galile uzaylarının fizikte önemi vardır.
Cayley-Klein geometrileri soliton teorisi gibi bir çok alanda önemli olduğundan ilginç hale gelmiştir.
Bu tez çalışmasında üç boyutlu Galile uzayında öteleme ve factorable yüzeyler çalışılmıştır.
Tez dört bölümden oluşmaktadır.
İlk bölümde, üç boyutlu Galile uzayının tahriçesi ve gelişimi ile ilgili bilgi verilerek, tezin içeriği ve kapsamı ifade edilmiştir.
İkinci bölümde, önce üç boyutlu Galile uzayında eğrilerin izotropik olma ve izotropik olmama durumları ifade edilmiş ve daha sonra iki vektörün skaler ve vektörel çarpımı tanımlanmıştır. Eğrilerle ilgili tanımlar verilerek, üç boyutlu Galile uzayında ikinci esas formun katsayıları, yüzeyin Gauss eğriliği ve ortalama eğriliği formüle edilmiştir. Daha sonra, bu uzayda öteleme yüzeyleri ele alınarak, sabit Gauss ve sabit ortalama eğrilikli 1. tip ve 2. tip öteleme yüzeyleri çalışılmış ve bu yüzeylerle ile ilgili bazı teoremler verilmiştir.
Üçüncü bölümde ilk önce, koordinatları sonlu tipten olan alt manifold tanımı verilmiş ve daha sonra üç boyutlu Galile uzaylarında koordinatları sonlu tip olan öteleme yüzeyleri incelenmiştir.
Dördüncü bölümde, üç boyutlu Galile uzayında sıfırdan farklı sabit ortalama eğriliğe sahip olan birinci tip factorable yüzeyler incelenmiştir. Bu yüzeyin denklemleri elde edilmiştir ve daha sonra koordinat fonksiyonları yüzeyin Laplasyeninin özfonksiyonu olan birinci tip factorable yüzeyler ele alınmıştır. Koordinatları sonlu tip olan harmonik factorable yüzeyler için bir teorem verilmiştir.

Abstract:
Study of differential geometry of curves and surfaces in Euclidean, as well as in other non-Euclidean ambient spaces, has a long history. Classical context of the Euclidean space is a source of results which could be transferred to some other geometries. One way of defining new geometries is through Cayley-Klein spaces. They are defined as projective spaces  with an absolute figure, a subset of  consisting of a sequence of quadrics and planes. Projectivities of the projective space  which leave invariant the absolute figure define the subgroup of projectivities called the group of motions of a Cayley-Klein space. By means of the absolute figure, metric relations are also defined and they are invariant under the group of motions.
The 3-dimensional Galilean space G_3 is the Cayley-Klein space equipped with the projective metric of signature (0, 0, +, +). The absolute figure of the Galilean geometry consists of an ordered triple (w,f,I), where w is the absolute (ideal) plane, f is the absolute line in w and  I is the fixed elliptic involution of points of f.
The geometry of Galilean Relativity acts like a ''bridge'' from Euclidean geometry to special Relativity.
Galilean space is the space of Galilean Relativity. Galilean space has been largely developed by Röschel. Furhermore, Kamenerovic and Sipus studied about Galilean space. Many works were done about the Galilean and pseudo-Galilean spaces.
Galiean and pseudo-Galilean spaces has a crucial role in physics. Galilean space-time are very important in non-relativistic physics.
Galilean geometry is a non-Euclidean geometry and associated with Galileo's principle of relativity.
Cayley-Klein geometries recently have become interesting again because of their importance for other fields, like soliton theory.
In the Galilean space, for given points x = ( x_(1,) x_2 〖,x〗_3) and y=(y_1 〖,y〗_2 〖,y〗_3), the Galilean distance is introduced by the absolute figure, namely
d(x,y)={█( |y_1-x_1 |,                               if  〖  x〗_1≠0   or  y_1≠0,@√((y_2-x_2 )^2+(y_3-x_3 )^2 ),     if  x_1=0  and  y_1=0.    )┤
The lines and planes are categorized up to the absolute figure.  Explicitly, a line is said to be non-isotropic (resp. isotropic) if its intersection with the absolute line I is empty (resp. non-empty). Contrary to this, a plane is said to be isotropic if it does not involve I, otherwise it is said to be Euclidean. In other words, an isotropic plane does not involve any isotropic direction. In the affine model of G_3, the Euclidean planes are determined by the equation x=const.  Accordingly, a vector is called isotropic if it is involved in the Euclidean plane x=0. 
A curve given in parametric form  x=x(s)=(x_1 (s)〖,x〗_2 (s)〖,x〗_3 (s)) is said to be non-isotropic (or admissible) if nowhere its tangent vector is isotropic, namely x_1^' (s)=dx/ds≠0. Otherwise the curve x is said to be isotropic. 
In the Galilean 3-space, the vector x=(x_1,x_2 〖,x〗_3) is isotropic if x_1=0 and non-isotropic otherwise. Hence, for standard coordinates (x_1 〖,x〗_2 〖,x〗_3), the x_1-axis is non-isotropic while the〖 x〗_2-axis and the x_3-axis are isotropic. The x_2 x_3-plane, x_1=0, is Euclidean and the x_1 x_2-plane and x_1 x_3-plane are isotropic. The Galilean scalar product of two vectors  x = ( x_(1,) x_2 〖,x〗_3) and  y=(y_1 〖,y〗_2 〖,y〗_3) is defined by
〈x,y〉={█(〖    x〗_1 y_1,            if    x_1≠0 or 〖 y〗_1≠0,@x_2 y_2+x_3 y_3,   if  x_1=0 and y_1=0 .)┤
The Galilean cross product of two vectors x=(x_1 〖,x〗_2 〖,x〗_3 ) and  y=(y_1 〖,y〗_2 〖,y〗_3 ) is defined as
                                   x Λ y=  |■(0&e_2&e_3@x_1&x_2&x_3@y_1&y_2&y_3 )|= (0,〖 x〗_3 y_1 〖-x〗_1 y_(3 ), x_1 y_2-x_2 y_1.
A translation surface in G_3 is locally parametrized by
                          φ:I_1×I_2⊂R^2→G_3,       φ(u,v)=α(u)+β(v),                                   

where α and β denote translating curves. Under the condition that α and β are planar curves, translating surfaces categorized such a surface up to the absolute figure:
Type 1: α is planar non- isotropic curve and β isotropic curve,
Type 2: α and β  are planar non- isotropic curves.

Translation surfaces of the Type 1 in the Galilean space can be locally represented by
                                                   φ(u,v)=(u,v,f(u)+g(v) ).
where α(u)=(u,0,f(u) ) is a non-isotropic curve  and   β(v)=(0,v,g(v) )  is an isotropic curve.
Surface of Type 2, i.e., a surface having both tranlated curves non-isotropic
φ(u,v)=(u+v,g(v),f(u) )
where α(u)=(u,0,f(u) ) and  β(v)=(v,g(v),0) are a non-isotropic curves. 
A surface M is a factorable surface if it can be parametrized by
                                               φ(u,v)=(u,v,f(u)g(v)).
In this thesis, translation and factorable surfaces in a 3-dimensional Galilean space G_3 are studied.
This thesis consists of four chapters:
In the first chapter, firstly, a brief literature review of Galilean spaces is given. Then,  the subject and contents of thesis are given.
In the second chapter, translation surfaces with constant Gauss curvature and constant mean curvature in G_3 are studied. Some theorems concerning translation in the Galilean space are given.
In the third chapter, first, the definition of coordinate finite type submanifold is given. Then the classification of coordinate finite type translation surfaces in a 3-dimensional Galilean space G_(3 )are studied. 
In the fourth chapter, the factorable surfaces of first kind in a 3-dimensional Galilean space having non-zero constant mean curvature are examined. Equations of this surface are determined. The following theorem is proved.
Theorem: If M  is a factorable surface of Type 1 of constant mean curvature H≠0 in 3-dimensional Galilean space, then M  is congruent to a surface
                          z= ±1/2H √(1-4H^2 (v+c)^2 ),             c=const.
Then, it is considered factorable surface of G_(3 ) whose coordinate functions are eigenfunctions of the Laplacian of this surface. It is given a theorem concerning coordinate finite type harmonic factorable surface. The following theorem is proved.
Theorem: Let M  is a factorable surface of Type 1 in a 3-dimesional Galilean space. If M  is harmonic, then it is an open part of a plane.