Singüler Sturm-Liouville operatörünün spektral teorisi
Spectral theory of the singular Sturm-Liouville operator
Yazar: HİKMET KOYUNBAKAN
Danışman: PROF.DR. ETİBAR PENAHOV
Fırat Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2002
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Spektral özellikler = Spectral properties ; Sturm-Liouville operatörleri = Sturm-Liouville operators ; Özdeğerler = Eigenvalues ; Özfonksiyonlar = Eigenfunctions

Özet:
ÖZET Doktora Tezi SİNGÜLER STURM-LIOUVDLLE OPERATÖRÜNÜN SPEKTRAL TEORİSİ Hikmet KOYUNBAKAN Fırat Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı 2002, Sayfa: 84 Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde; temel tanım ve teoremler verilmiştir. İkinci bölümde; Legendre denklemi, Legendre polinomları ve eşlenik Legendre fonksiyonları tanımlanmış ve bunlara ilişkin ön bilgiler verilmiştir. Tanım aralığının uç noktalarında tekilliğe sahip Sturm-Liouville operatörünün özdeğerleri, özfonksiyonları, normlaştırıcı sayıları için asimptotik formüller bulunmuştur. Ayrıca bu tür denklemler için osilasyon teoremi ispatlanmıştır. Üçüncü bölümde farklı potansiyellere sahip singüler diferensiyel operatörler için dönüşüm operatörünün varlığı gösterilmiştir. Dolayısıyla K(x,f) çekirdeği için elde edilen ikinci mertebeden singüler Hiperbolik denklem Euler-Poisson-Darboux denklemi cinsinden yazılarak, Riemann yöntemi ile çözülmüştür. Dördüncü bölümde Marchenko teoreminin benzeri olmak üzere singüler Sturm- Liouville operatörünün spektral fonksiyonunun tekliği ispatlanmıştır. Daha sonra ters problemin esas integral denklemi olarak bilinen Gelfand-Levitan-Marchenko denklemi bulunmuştur. Beşinci bölümde Kısmen çakışmayan iki spektruma göre ters problem incelenmiştir. Hochstadt yönteminden faydalanarak singüler diferensiyel operatörler için q-q farkının yapısı ile ilgili teoremin ispatı verilmiştir. Son olarak belirli koşullar sağlanacak biçimde q(x) potansiyelinin bir tek spektruma göre tanımlanması için yeterlilik teoremi ispatlanmıştır. Anahtar Kelimeler: Özdeğer, Özfonksiyon, Spektrum, Riemann Metodu, Esas integral Denklem.

Abstract:
II ABSTRACT PhD Thesis SPECTRAL THEORY OF THE SINGULAR STURM-LIOUVILLE OPERATOR Hikmet KOYUNB AKAN Fırat University Graduate School of Science and Technology Department of Mathematics 2002, Page: 84 This thesis is arranged in five chapters. In the first chapter, basic definitions and theorems that are given. In the second chapter, Legendre Equations, Legendre polinomals and conjugate Legendre functions and informations of the relevant is given. Asiymptotic formulas for the eigenvalues, eigenfunctions, normalized number of the Sturm-Liouville operator that has singularity both ends interval are found. Furthermore, for these equations Oscillation theorem is proved. In the third chapter, for the singular differential operator having different potentials, existence of the translation operator is given. Hence, second order singular Hyperbolic equation which obtained for nucleus K(x,t) is transformed to Euler- Poisson-Darboux equation and it is solved by Riemann method. In the fourth chapter, on the point similiar to Marchenko theorem, uniqueness spectral function of the singular Sturm-Liouville operator is proved. Later, Levitan- Marchenko integral equation that known basic integral equation of the inverse problem is obtained. In the fifth chapter, Inverse problem with peculiarity in two partially non coincided spectrum is examined. Using the proof of the Hochstadt method for singular differential operator, concerning the structure of the difference q(x) - q(x) is given. Finally, When the determined conditions is supplied for definiting potantial q{x) according to the a single spectrum sufficent theorem is proved. Key words: Eigenvalue, Eigenfunction, Spectrum, Riemann Method, Basic Integral Equation.