Kuadratik sayı cisimlerinde çarpanlara ayırma, ideal sınıf grubu ve L-fonksiyonları
Factorization in quadratic fields, ideal class group and L-functions of quadratic fields
Yazar: BÜLENT KÖKLÜCE
Danışman: DOÇ.DR. ÖMER GÖK
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2005
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
KUADRATİK SAYI CİSİMLERİNDE ÇARPANLARA AYIRMA, İDEAL SINIFGRUBU VE L-FONKSİYONLARIBülent KÖKLÜCEMatematik, Doktora TeziKuadratik sayı cisminin tamsayılar halkası TÇAB olduğunda sayılar teorisinde tamsayılar içinyapılan birçok işlem bu tamlık halkalarına transfer edilebilir. Fakat maalesef cebirsel sayıcisimlerinin tamlık halkalarında her zaman çarpanlara ayrılma tamsayılardaki gibi tek türlüolmayabiliyor. Bu özelliğin yokluğunun ölçüsü sınıf sayısı olarak adlandırılır. Sayılarteorisiyle uğraşanlar bu özelliğin olmayabileceğini fark etmesinden sonra bu probleminüstesinden gelebilmek için epeyce çaba harcamışlardır. Bu çalışmalar yeni bir alanı, idealteorisini doğurmuştur. Ondan beri ideal teorisi ve sınıf sayısı hesaplama problemi üzerine çoksayıda çalışmalar yapılmıştır. Sınıf sayısının hesaplanmasının zorluğu kriptografikuygulamalarda kuadratik sayı cisimlerinin kullanılmasını sonuç vermiştir.Bu tezde kuadratik sayı cisimlerinde çarpanlara ayırma ve ideal teorisi ele alınmıştır. İdealsınıf gruplarının yapısı ve sınıf sayısı diye adlandırılan mertebeleri incelenmiştir. İkisi cebirselbirisi analitik olan üç farklı sınıf sayı bulma metodu ele alınmıştır. Dirichlet karakterleri ve birkuadratik sayı cismine karşılık gelen kuadratik formlar, zeta ve L-fonksiyonları çalışılmış vekuadratik sayı cisimleriyle bağlantılarına dair sonuçlar elde edilmiştir. Pari programınıncebirsel sayı cisimleri paketinin geniş bir kısmını kaplayan kuadratik sayı cisimleriyle ilgilibölümü tanıtıldı. Her bir bölümün sonunda bölümle ilgili Pari kodları ve tezde çözülenproblemlerde ve çizelgelerin oluşturulmasında kullanılan Pari programları verildi.Anahtar Kelimeler: Kuadratik sayı cisimleri, tamsayılar halkası, temel birim, Euclid bölgesi,tek türlü çarpanlara ayrılabilen bölge, idealler, temel ideal bölgesi, ideal sınıf grubu, ikilikuadratik formlar, indirgenmiş formlar, sınıf sayısı, Dirichlet karakterleri, zeta fonksiyonları,L-fonksiyonları, Pari GP.JÜRİ:1. Doç. Dr. Ömer GÖK (Danışman) Kabul Tarihi : 08.12.20052. Prof. Dr. Göksel AĞARGÜN Sayfa Sayısı : 1303. Doç. Dr. Mustafa BAYRAM4. Prof. Dr. Mehmet BAYRAMOĞLU5. Prof. Dr. Elimhan MAHMUDOV

Abstract:
FACTORIZATION IN QUADRATIC FIELDS, IDEAL CLASS GROUP AND L-FUNCTIONS OF QUADRATIC FIELDSBülent KÖKLÜCEMathematics, Ph. D. ThesisWhen the ring of integers of a quadratic number field is UFD, then most of the applicationscan be transferred from ordinary integers to this rings which can be done in ordinary numbertheory. But unfortunately the factorization is not always unique for the ring of integers of analgebraic number field as in the case of ordinary integers. The size of non-existence of thisproperty is called the class number. After realizing the failure of unique factorization propertyin most of such rings, number theorists has been expended a great amount of effort toovercome this problem. Such works has given rise to a new field, the ideal theory. Since thenthere has been done so many works on ideal theory and the class number computationproblem. The difficulty of computing the class number has given rise to cryptographicalgorithms based on arithmetic in quadratic fields.In this thesis the factorization and ideal theory in a quadratic field has been studied, widely.The structure and index of ideal class groups is investigated. Three different class numbercomputation method has been studied, two of which are based on algebraic and one is onanalytic methods. The Dirichlet characters, binary quadratic forms, zeta and L-functions ofquadratic number fields has been studied and some results are obtained from this subjects.Quadratic number fields part of the algebraic number fields package of Pari program isintroduced. At the end of each chapter related Pari codes and scripts are given which are usedfor solving some problems and preparing the figures in the thesis.Key Words : Quadratic fields, ring of integers, fundamental unit, Euclidean domain, uniquefactorization domain, ideals, principal ideal domain, ideal class group, binary quadratic forms,reduced forms, class number, Dirichlet characters, zeta functions, L-functions, Pari GP.JURY:1. Assoc. Prof.Dr. Ömer GÖK (Supervisor) Date : 08.12.20052. Prof. Dr. Göksel AĞARGÜN Page : 1303. Assoc. Prof. Dr. Mustafa BAYRAM4. Prof. Dr. Mehmet BAYRAMOĞLU5. Prof. Dr. Elimhan MAHMUDOV