Newell-whitehead-segel denklemleri̇ni̇n bazi yaklaşik çözümleri̇
Some approxımate solutıons of newell-whıtehead-segel equatıons
Yazar: FATİH MELİH BAYRAM
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ ASUMAN ZEYTİNOĞLU
Süleyman Demirel Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Uygulamalı matematiğin çeşitli dallarının ve fiziksel, biyolojik ve kimyasal olayların pek çoğunun matematiksel modelinin temelini lineer/lineer olmayan kısmi türevli diferansiyel denklemler veya sistemler oluşturmaktadır. Bu tez çalışmasında, kimya mühendisliği, makine mühendisliği, biyomühendislik, matematiksel biyoloji ve akışkanlar mekaniği gibi çeşitli bilim dallarındaki reaksiyon-difüzyon süreçlerini temsil eden modellerden biri olan, lineer olmayan Newell-Whitehead-Segel denklemlerinin bazı yaklaşık çözümleri ele alınmıştır. Söz konusu modele herhangi bir lineerleştirme/dönüşüm yapılmaksızın direkt olarak uygulanabilen, ilgili analitik çözümlerle ve literatürdeki nümerik sonuçlarla uyumlu ve hatta mevcut sonuçlardan daha yüksek doğrulukta sonuçlar üretebilen, mevcut yöntemlere alternatif olabilecek, güçlü bazı yaklaşımları literatüre kazandırmak amaçlanmıştır. Bu doğrultuda, Newell-Whitehead-Segel denklemindeki boyutsal türev teriminin ayrıştırılmasında yedi noktalı altıncı mertebeden sonlu fark şeması kullanılırken, Runge-Kutta yöntemlerinin bazı versiyonlarından olan Runge Kutta-6, Runge Kutta-8-Cooper Verner ve Strong Stability Preserving Runge Kutta-3 yöntemleri zamansal türev teriminin ayrıştırılmasında ayrı ayrı kullanılarak çeşitli kombine yaklaşımlar önerilmiştir. Önerilen yaklaşımlar, literatürde sıklıkla kullanılan ve çeşitli başlangıç ve sınır koşullarına sahip beş adet test problemine uygulanmıştır. Kombine edilen her bir yaklaşımın etkinliğini ve bu yaklaşımlardan elde edilen sonuçların doğruluk düzeylerini tespit etmek için çeşitli hata normları kullanılmıştır. Önerilen yaklaşımlarla elde edilen sonuçlar çeşitli çizelgeler ve grafiklerle sunulmuş, ele alınan problemlere ilişkin üretilen nümerik sonuçların davranışları irdelenmiştir. Sonuçlar hem kendi aralarında hem de literatürde mevcut olan nümerik sonuçlarla karşılaştırılarak yöntemlerin performansı detaylı şekilde incelenmiştir. Önerilen yaklaşımlarla elde edilen sonuçların, ele alınan test problemlerinin analitik çözümleriyle son derece iyi bir uyum içinde olduğu görülmüştür. Dahası, üretilen sonuçlar literatürdeki mevcut sonuçlarla da kıyaslanmış ve sonuçların iyi bir uyum içinde olduğu, hatta önerilen yaklaşımlarla üretilen sonuçların kimi zaman literatürdeki mevcut sonuçlardan daha hassas oldukları tespit edilmiştir. Ayrıca, önerilen yöntemlerin herhangi bir programlama dilinde pratik şekilde kodlanabilir olması, bu yöntemlerin diğer avantajlı yönlerinden biri olarak söylenebilir. Bu değerlendirmeler ışığında, önerilen kombine yöntemlerin, lineer olmayan Newell-Whitehead-Segel denklemleri ve çeşitli fiziksel süreçleri temsil eden benzer modelleri nümerik olarak çözmek için kullanılabilecek etkin birer alternatif yaklaşım olduğu sonucuna varılmıştır.

Abstract:
Linear/nonlinear partial differential equations or systems form the basis of the mathematical model of many branches of applied mathematics and physical, biological, and chemical phenomena.  In this thesis, some approximate solutions of the nonlinear Newell-Whitehead-Segel equations, which are one of the models representing the reaction-diffusion processes in various disciplines such as chemical engineering, mechanical engineering, bioengineering, mathematical biology, and fluid mechanics, are discussed. It is aimed to introduce some powerful approaches to the literature that can be applied directly to the model in question without any linearization/transformation, are compatible with the relevant analytical solutions and numerical results in the literature, and can even produce results having higher accuracy than the existing results, and can be an alternative to existing methods. In this direction, the seven-point sixth-order finite difference scheme is used for the discretization of the spatial derivative term in the Newell-Whitehead-Segel equation while some versions of Runge-Kutta methods such as Runge Kutta-6, Runge Kutta-8-Cooper Verner, and Strong Stability Preserving Runge Kutta-3, are separately used for the discretization of the temporal derivative term, and various combined approaches are proposed by this way. The proposed approaches are applied to five test problems with various initial-boundary conditions, which are frequently used in the literature. Some error norms have been used to determine the effectiveness of each combined approach and the accuracy of the results obtained from these approaches. The results obtained with the proposed approaches are presented through various tables and figures, and the behavior of the numerical results produced for the problems in question are examined. The performance of the methods has been examined in detail by comparing the results both among themselves and the numerical results available in the literature. It has been seen that the results obtained with the proposed approaches are in quite good agreement with the analytical solutions of the test problems under consideration. Moreover, the results produced have been compared with the existing results in the literature and it has been found that the results are in good agreement, and even the results produced by the proposed approaches have sometimes higher accuracy than the existing results in the literature. In addition, the fact that the proposed methods can be practically coded in any programming language is one of the other advantageous aspects of these methods. In light of these evaluations, it is concluded that the proposed combined methods are effective alternative approaches that can be used to numerically solve nonlinear Newell-Whitehead-Segel equations and similar models representing various physical processes.