Öklid ve timelike bishop küresel eğriler ve karakterizasyonları
Euclidean and timelike bishop spherical curves and their characterizations
Yazar: NURTEN EMER
Danışman: DOÇ. DR. HÜSEYİN KOCAYİĞİT
Manisa Celal Bayar Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Geometri Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2020
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Diferansiyel geometrinin üzerinde durduğu en önemli konulardan birisi uzay eğrilerinin incelenmesidir. 3-boyutlu Öklid uzayında eğrileri karakterize etmek için teğet, asli normal ve binormal vektörlerinden oluşan Frenet çatısı kullanılır. Bu çatı uzay eğrileri için çalışılabilecek en iyi ortonormal çatıdır. Ayrıca bir eğrinin eğriliği ve burulması, bu eğrinin uzaydaki yerel davranışı hakkında bilgi verir. Bir eğrinin eğriliği, bu eğrinin teğet doğrudan sapma miktarını gösterir ve burulması da bu eğrinin teğet ve normal vektörlerinin belirlediği oskülatör düzlemden sapma miktarını ölçer. Genel olarak, bir uzay eğrisi, eğrilik ve burulmayı içeren bir diferansiyel denklem ile karakterize edilebilir. Bu nedenle, bir eğrinin geometrik özelliklerinin irdelenebilmesi için en azından üçüncü mertebeye kadar  türevlenebilmesi gerekmektedir. Bir eğrinin bazı noktalarda eğriliği sıfırlanabilir, yani ikinci türevi sıfır olabilir. Bu durumda eğrinin daha iyi incelenebilmesi için Frenet çatısına alternatif ve onunla ilişkili olan Bishop çatısı oluşturulabilir. Frenet çatısında bulunan    teğet vektörünü değiştirmeden diğer asli normal ve binormal vektörleri belli bir açı ile döndürerek Bishop çatısı veya paralel öteleme çatısı adı verilen başka bir çatı elde edilir. Buna göre Bishop çatısında     vektörü aynen kalır ve bu vektöre dik düzlemde bulunan herhangi iki elemanlı   bazı seçilir. Bu iki vektörün türevleri sadece   vektörüne   bağlıdır.   Dolayısıyla bir eğrinin Bishop çatısına göre birinci ve ikinci eğriliği ile bu eğrinin eğriliği ve burulması arasında bir ilişki vardır. Son zamanlarda, Bishop çatısı kullanılarak uzay eğrilerinin birçok farklı karakterizasyonu verilmektedir. Uzay eğrilerinin en önemlilerinden birisi de küre üzerinde yatan, küresel eğrilerdir. Bu çalışmada, Frenet çatısına göre bir küresel eğrinin integral karakterizasyonları incelenmiştir. Özellikle, bir eğrinin küresel eğri olabilmesi için gerek ve yeter şart, Bishop çatısına göre birinci ve ikinci eğrilikler kullanılarak ortaya konulmuştur. Bishop çatısı kullanılarak bir küresel eğriyi karakterize eden üçüncü mertebeden bir diferansiyel denklem elde edilmiştir  . Aynı şekilde timelike Bishop çatı kullanılarak bir küresel eğriyi karakterize eden üçüncü mertebeden bir diferansiyel denklem elde edilmiştir  .

Abstract:
One of the most important topics of differential geometry is the study of space curves. Frenet frame consisting of tangential, principle normal and binormal vectors is used to characterize curves in 3-dimensional Euclidean space. This is the best orthonormal frame to study space curves. In addition, the curvature and torsion of a curve informs about the local behavior of this curve in space. The curvature of a curve indicates the tangential direct deviation of this curve, the torsion of the defined curve also measures the amount of deviation from the osculating plane determined by the tangent and normal vectors of this curve. In general, a space curve can be characterized by a differential equation including curvature and torsion. Fort this reason, a curve must be able to be differentiated at least up to the third order in order to fully examine it. The curvature of a curve at some points can be vanished which means that the second derivative can be zero. In this case, an alternative to the Frenet frame and associated with it that is called Bishop frame can be created for better examination of the curve. Without changing the   tangent vector on the Frenet frame, another original frame called the Bishop frame or parallel translational frame is obtained by rotating the principal normal and binormal vectors at an angle. Accordingly, the vector   remains in the Bishop frame, and any two element      present in the plane perpendicular to this vector is selected. The derivatives of these two vectors are linked only to the    vector. Therefore, there is a relationship between the first and second curvatures of this curve according to Bishop frame and the curvature and torsion of this curve. Recently, many different characterizations of space curves are given using the Bishop frame. One of the most important space curves is the spherical curves lying on the sphere. In this study, integral characterizations of a spherical curve according to Frenet frame are investigated. Particularly, necessary and sufficient condition for a curve to be a spherical curve has been demonstrated by using the first and second curvatures according to the Bishop frame. A third-order differential equation is used to characterize a spherical curve using the Bishop frame  . Also, a third-order differential equation is used to characterize a spherical curve using timelike Bishop frame   .