Analitik fonksiyon uzaylarında bileşke operatörlerin dinamikleri
Dynamics of composition operators on analytic function spaces
Yazar: SİNEM YELDA KARACAN
Danışman: DOÇ. DR. ÖZGÜR MARTİN
Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2019
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezde analitik fonksiyon uzaylarında bileşke operatörlerin aşırı dönüşselliği, topolojik geçişkenliği ve evrenselliğini inceledik. Lineer dinamik sistemlerde yörüngesi yoğun olan operatörler aşırı dönüşsel operatörlerdir. Analitik fonksiyon uzaylarında bileşke operatörlerin aşırı dönüşsel olması ile topolojik geçişken olmasının birbirine denk olduğunu kanıtladık. Aşırı dönüşsellik kaotik lineer sistemlerin önemli bir özelliğidir. Birkhoff, MacLane ve Rolewicz operatörlerini kaotik lineer operatörlere birer örnek olarak inceledik. Karmaşık uzayın herhangi bir bölgesinde tanımlı olan otomorfizma dizileri ile verilen bileşke operatör dizileri altındaki yörüngesi yoğun olan holomorfik fonksiyonlara evrensel fonksiyon denmektedir. Karmaşık uzayın herhangi bir bölgesinde tanımlı olan otomorfizma dizileri ile verilen bileşke operatör dizilerinin evrensel olması için verilen otomorfizma dizilerinin kaçan dizi olması gerektiğini kanıtladık. Ayrıca karmaşık uzayın basit bağlantılı bölgelerinde bileşke operatör dizilerinin evrensel olması ile ilişkili oldukları otomorfizma dizilerinin kaçan olmasının birbirine denk olduğu sonucuna vardık. Karmaşık uzayın basit bağlantılı bölgelerinde otomorfizmaların neler olduklarını ve hangi koşullarda kaçan olduklarını inceledik. Bu nedenle karmaşık uzayın tamamında ve birim diskte tanımlı olan otomorfizmaları inceledik. Basit bağlantılı olmayan bölgelere örnek olarak sıfır noktası çıkarılmış karmaşık uzayı inceledik ve bu uzayda bileşke operatör dizisi aşırı dönüşsel olan hiç bir otomorfizma dizisinin var olmadığını kanıtladık. Son olarak karmaşık uzayda tümleyeni bağlantılı olan kompakt kümelerde sürekli olan ve bu kümelerin içinde holomorfik olan fonksiyonlardan oluşan kümelerde bileşke operatör dizilerinin evrenselliğini inceledik.

Abstract:
In this thesis, we investigate the hypercyclicity, topological transitivity and universality of composition operators on the analytic function spaces. In the linear dynamical systems, the operator which has a dense orbit is called a hypercyclic operator. We explain that being hypercyclic is equivalent to being topologically transitive for composition operators on analytic function spaces. Furthermore hypercyclicity is also an important property of chaotic linear dynamical systems. We examine Birkhoff, MacLane and Rolewicz operators such as an example for chaotic linear operators. The function which has a dense orbit under the sequence of composition operators on the analytic function spaces is called as a universal function. We explain that the sequence of composition operators is universal on a region in the complex space if the inducing sequence of automorphisms is run-away. Moreover we conclude that being universal for the sequence of composition operators is equivalent to being run-away for the corresponding sequence of automorphisms on the simply connected region in the complex plane. We investigate what the automorphisms are and which conditions are required for being run-away on the simply connected regions in the complex plane. Therefore we explain what the automorphisms are in the whole complex space and the unit disk. Also, we show that there are no automorphisms which induce hypercyclic composition operators on the complex plane that is not containg zero point such as an example for not simply connected regions in the complex plane. Finally we study the universality on the sets which consist of the functions that are continuous on the compact sets which have a connected complement and holomorphic on the inside of these compact sets.