Bir ayrık yaklaşım yöntemi ile 1-boyutlu Benjamın-Bona-Mahony-Burgers denkleminin çözümü
Solution of 1-dimensional Benjamin-Bona-Mahony-Burgers equationwith a discrete approximation method
Yazar: ELİF HAMARAT
Danışman: PROF. DR. SELÇUK KUTLUAY ; PROF. DR. NURİ MURAT YAĞMURLU
İnönü Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezin konusu, küçük genlikli uzun dalgaların nonlineer bir dağılma ortamında yayılımını
açıklayan 1-boyutlu lineer olmayan Benjamin-Bona-Mahony-Burgers (BBM-Burgers) denkleminin
verilen başlangıç ve sınır şartlarına bağlı yaklaşık nümerik çözümlerinin hesaplanması
hakkında olduğundan Bölüm 1'de kısaca denklemin öneminden ve literatürde mevcut olan
çalışmalardan bahsedildi.
Bu çalışmanın esasını oluşturan Bölüm 2'de model problem olarak göz önüne alınan
1-boyutlu lineer olmayan genel biçimde verilen BBM-Burgers denkleminin uygun başlangıç
ve sınır şartlarına bağlı yaklaşık sayısal çözümleri ile birlikte hesaplanan bazı sonuçları vermek
için bir sayısal şema sunuldu. Bunun için BBM-Burgers denklemi, önce zamana göre türevler
için birinci mertebeden ileri sonlu fark yaklaşımı ve tüm konumsal türevler için standart
ikinci mertebeden merkezi fark yaklaşımı kullanılarak Crank-Nicolson tipi yöntemle tamamen
ayrıklaştırıldı ve böylece lineer olmayan bir kapalı şema elde edildi. Sonra, kapalı ¸semanın
bir direkt yöntemle çözümü amaçlandığından, şemada yer alan doğrusal olmayan terim yerine
Rubin-Graves tipi bir lineerleştirme yaklaşımı kullanılarak başlangıç ve sınır değer problemi
tri-diagonal matrislerden oluşan ve bir direkt çözüm yöntemi ile doğrudan çözülebilen bir lineer
cebirsel denklem sistemine indirgendi.
Bölüm 3'te bir önceki bölümde sunulan şemanın doğruluğunu ve etkinliğini kontrol etmek
için, ikisi analitik çözüme sahip olan ve biri analitik çözüme sahip olmayan üç deneysel test
problem verildi.
Bölüm 4'te Bölüm 2'de sunulan şemadan hesaplanan sonuçlar (çözümün noktasal
değerleri, L2 ve L∞ hata normları, şemanın doğruluk mertebeleri ve CPU zamanları)
problemde görülen aynı parametre değerleri için literatürde mevcut çalışmaların sonuçlarıyla
karşılaştırıldı. Elde edilen yaklaşık sayısal sonuçlardan konum ve zaman adım uzunlukları
küçüldükçe sunulan şemanın analitik çözümlere yaklaşan yeterince iyi sonuçlar verdiği ve diğer
araştırmacılarınkilerle kabul edilebilir bir uyum içinde olduğu görüldü. Ayrıca kullanımı kolay
olan ¸semanın von-Neumann tekniği ile kararlılığı incelendi ve şemanın şartsız kararlı olduğu
gösterildi.
Son bölüm olan Bölüm 5'te ise kısa bir sonuç ile birlikte ileriki çalışmalardan bahsedildi.

Abstract:
Since the subject of this thesis is the calculation of the approximate numerical solutions
of the 1-dimensional non-linear Benjamin-Bona-Mahony-Burgers (BBM-Burgers) equation,
which explains the propagation of small amplitude long waves in a nonlinear dispersion
medium, depending on the given initial and boundary conditions, in Chapter 1, the importance
of the equation is briefly discussed and studies available in the literature are mentioned.
In Chapter 2 forming the basis of this study, a numerical scheme is presented to obtain
some calculated results together with the approximate numerical solutions depending on the
appropriate initial and boundary conditions of the BBM-Burgers equation, which is given in
1-dimensional non-linear general form, which is considered as a model problem. For this, the
BBM-Burgers equation is first completely discretized using the Crank-Nicolson type method
using the first order forward finite difference approach for time derivatives and the usual second
order central difference approach for all spatial derivatives, and thus a nonlinear implicit scheme
is obtained. Then, since the solution of the implicit scheme with a direct method is aimed, a
Rubin-Graves type linearization approach is used instead of the nonlinear term in the scheme,
and the initial and boundary value problem is reduced to a system of linear algebraic equations
consisting of tri-diagonal matrices and which can be solved directly by a direct solution method.
In Chapter 3, three experimental test problems are given, two with exact solutions and one
without an exact solution, to check the accuracy and effectiveness of the scheme presented in
the previous section.
In Chapter 4 the results (point values of the solution, the error norms L2 and L∞, the
accuracy orders of the scheme, and CPU times) calculated from the scheme presented in
Chapter 2 are compared with the results of the studies available in the literature for the same
parameter values seen in the problem. From the approximate numerical results obtained, it is
seen that as the spatial and temporal step lengths are decreased, the presented scheme gave
good enough results approaching analytical solutions and is in acceptable agreement with those
of other researchers. In addition, the stability of the easy-to-use scheme is examined with the
von-Neumann technique and it is shown that the scheme is unconditionally stable.
In the last chapter, Chapter 5, a brief conclusion and further work are mentioned.