Dördüncü mertebeden bazı rasyonel fark denklemlerinin çözümlerinin kararlılığı, periyodikliği ve sınırlılığı üzerine
On stability, periodicity and boundedness of some fourth order rational difference equations' solutions
Yazar: MESERET TUBA GÜLPINAR
Danışman: PROF. DR. MUSTAFA BAYRAM
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2010
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Rasyonel fark denklemleri, pozitif bilimlerin birçok alanında bu denklemlerle karşılaşılmasından dolayı, araştırmaların yoğunlaşarak sürdüğü çok geniş bir alandır. Üzerinde çalışılması gereken oldukça çok sayıda açık problem olması bu alanı cazip hale getirmektedir. Rasyonel fark denklemlerini çözebilmek her zaman mümkün olmamakta, çözümlerinin kesin olarak belirlenebilmesi için başlangıç koşullarına ihtiyaç duyulmaktadır. Genel olarak ele alınan fark denkleminin başlangıç koşullarına göre global davranışları belirlenerek, hangi koşullar altında bu özellikleri sağladığı araştırılmaktadır. Bu tezde, başlangıç koşulları pozitif reel sayılar olmak üzere dördüncü mertebeden lineer olmayan rasyonel fark denklemlerinin bir grubunun global özellikleri incelenmiştir. Bu gruptaki denklemler iki parametreye bağlı olup, bu parametrelerin farklı değerlerine göre 10 fark denklemi üretmektedir ve incelenen denklemler başlangıç koşullarının seçimine göre farklı özellikler göstermektedir. Tezde, birinci bölümde fark denklemleri hakkında genel bir bilgi verilmiş, ikinci bölümde ise konu ile ilgili temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Üçüncü bölümde de üretilen denklemlerin global özellikleri incelenmiştir. Bu amaçla, ele alınan denklemlerin denge noktaları belirlenmiş ve hangi başlangıç koşulları altında aşikar çözüme sahip olduğu, salınımlı olduğu ve denge noktasının global asimptotik kararlı olması için gerek ve yeter koşulların neler olduğu incelenmiştir. Tezden, incelenen denklemlerin yarı dönme analizleri hakkında detaylı bir bilgiye ulaşmak mümkündür. Ek olarak, kararlılık analizi kapsamında, denklemlerin global çekici ve yerel asimptotik kararlı olmaları için gereken koşullar saptanmış ve bunların ispatlarına geniş bir şekilde yer verilmiştir. Ayrıca genel halde verilen denklemin özel bir alt grubunun aynı salınımlılık yapısına sahip olduğu tespit edilmiştir.

Abstract:
Rational difference equations are a large field of study that needs intensive research due to encountering such kind of equations in many branches of positive science. Having many open problems to investigate getting this area intriguing. In many cases, solving rational difference equations is not possible, the initial conditions are needed to determine the exact solutions of these equations. In general, global behaviours with respect to the initial conditions of handled difference equation is elaborated and it has been studied under which circumstances that the solutions of the equation verify these properties. In this work, we examined the global properties of some nonlinear rational fourth order difference equations with initial conditions which are positive real numbers. The chosen difference equations with two parameters generate ten difference equations according to different values of these parameters and these equations represent different proporties with respect to the choices of initial conditions. In thesis, it has been mentioned about the general information concerning difference equations in the first section, the basic definitions and theorems which take places in the thesis are enrolled in the second section. In third section, the global propertios of the generated difference equations are researched. To this end, the equilibrium point of these equations has been determined and it has been investigated under which circumstances that the difference equations have trivial solutions, oscillatory property and the necessary and sufficient conditions of the equilibrium point to be globally asimptotically stable. It is quite possible to reach information about the semicycle analysis of the observed equations in depth. Moreover, the conditions to ensure the difference equations globally attractive and lacally asimptotically stable are assigned and their proofs are worked out in details in the sense of stability analysis. Furthermore, having the same oscillatory structure of a special subgroup of the equation given in general is a pointing out detection.