Köşegensel kapalı Runge Kutta metotları
Diagnonally implicit Runge Kutta methods
Yazar: TUĞBA YILDIRIM ORMAN
Danışman: PROF. DR. MEVLÜDE YAKIT ONGUN
Süleyman Demirel Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Diferansiyel denklemler, birçok fen bilimleri dalında özellikte mühendislik, fizik, matematik, kimya ve biyolojide reel dünya problemlerinin modellenmesi esnasında sık karşılaşılan denklemlerdir. Dolayısı ile bu dip denklemlerin analitik veya sayısal çözümlerinin bulunması oldukça önemli hale gelmektedir. Bir diferansiyel denklemin analitik çözümü ile aranan 𝑓(𝑥1,𝑥2,…) fonksiyonu, çözüm bölgesinin her noktasında değer verecek şekilde elde edilmiş olur. Bu herzaman mümkün olmamaktadır. Özellikle diferansiyel denklemin nonlineer olması, analitik çözümün bulunamaması veya oldukça güç olması durumlarında sayısal yöntemlerin kullanılması gerekliliği kaçınılmazdır. Sayısal çözüm, f fonksiyonunun sürekli değil, ayrık noktalarda hesaplanması esesına dayanır. Diferansiyel denklemlerin analitik çözümünde ortaya çıkan integrasyon sabitlerinin bulunması için başlangıç değerlerinin kullanılması sayısal çözümlerin bulunabilmesi için de gereklidir. Yüksek lisans tezi olarak hazırlanan bu tez çalışmasında başlangıç değer problemlerinin sayısal çözüm yöntemlerinden biri olan Runge-Kutta metotları üzerinde durulacaktır. Oldukça yüksek kararlılık ve yaklaşıma sahip olan Runge-Kutta metotları açık ve kapalı olma durumlarına göre detaylı olarak incelecek olup, avantaj ve dezavantajları ile farklılıkları ortaya koyulup, sayısal örnek ve similasyonlarla iddia desteklenecektir. Bu tez çalışmasının öncelikli amacı, literatürde çok fazla çalışma bulunmayan kapalı yöntemlerden biri olan köşegensel kapalı Runge-Kutta metodları olacaktır. Bu metotlar özellikle özel diferansiyel denklemlerden olan Stiff diferansiyel denklemlerin sayısal çözümlerinde oldukça kullanışlı ve etkilidir.

Abstract:
Differential equations are equations that are frequently encountered in the modeling of real world problems in many branches of science, especially in engineering, physics, mathematics, chemistry and biology. Therefore, it becomes very important to find analytical or numerical solutions of these bottom equations. With the analytical solution of a differential equation, the sought function is obtained in such a way that it gives a value at every point of the solution region. This is not always possible. The necessity of using numerical methods is inevitable, especially in cases where the differential equation is nonlinear, analytical solution cannot be found or it is quite difficult. The numerical solution is based on the fact that the function f is calculated at discrete points, not continuous. The use of initial values to find the integration constants that emerge in the analytical solution of differential equations is also necessary to find numerical solutions. In this thesis, which is prepared as a master's thesis, the Runge-Kutta methods, which is one of the numerical solution methods of initial value problems, will be emphasized. Runge-Kutta methods, which have a very high stability and approach, will be examined in detail according to their open and closed situations, their advantages and disadvantages and differences will be revealed, and the claim will be supported with numerical examples and simulations. The primary aim of this thesis will be the diagonal closed Runge-Kutta methods, which is one of the closed methods that do not have many studies in the literature. These methods are especially useful and effective in numerical solutions of Stiff differential equations, which are special differential equations.