Sınırlayıcı Taylor yaklaşım metodları yardımıyla kısmi türevli denklemlerin sayısal çözümleri
Numerical solutions of partial differential equations by using restrictive Taylor approximation method
Yazar: HAVVA TAKIL
Danışman: YRD. DOÇ. DR. AHMET BOZ
Dumlupınar Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2010
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Burgers denklemi = Burgers equation ; Isı iletim denklemi = Heat conduction equation

Özet:
Bu tez dört bölümden oluşmaktadır.Birinci bölümde zamana bağlı kısmi türevli diferansiyel denklemler için Taylor Yaklaşımları ve bu yaklaşımdan yararlanılarak belli noktalarda hataların sıfırlandığı Sınırlayıcı Taylor Yaklaşımları verilmiştir. Taylor serisi ile referans noktalarında birinci ve daha yüksek türevlere sahip diferansiyellenebilir fonksiyonun değeri arasında ilgi kurulur ve sonuç olarak fonksiyonun örnek değerlerinin referans noktalarında ilk veya daha yüksek türevleri elde edilebilir. Burada Sınırlayıcı Taylor yaklaşımının çözümde üstel matris fonksiyonuna yaklaşmak için kullanıldığı gösterilmiştir.İkinci bölümde Sınırlayıcı Taylor Yaklaşımları yardımıyla ısı iletimi denkleminin nümerik çözümü incelenmiştir. Bu çözüm için kararlık analizi ve kesme hatası incelenmiştir. Ele alınan problemlerle Sınırlayıcı Taylor Yaklaşımının etkililiği diğer yöntemlerle karşılaştırılmıştır.Üçüncü bölümde konveksiyon-difüzyon denkleminin nümerik çözümünü bulmak amacıyla bu denkleme Sınırlayıcı Taylor Yaklaşımları metodu uygulanmıştır. Elde edilen denklem sisteminin kararlılığını incelemek için Gerschgorin teoremi uygulanmış ve çözüm için kesme hatası incelenmiştir. Ele alınan problemlerle Sınırlayıcı Taylor Yaklaşımının etkililiği Douglas metodu ile karşılaştırılmıştır.Dördüncü bölümde Sınırlayıcı Taylor Yaklaşımları yardımıyla Burgers denkleminin nümerik çözümü incelenmiştir. Çözüm için önce lineer olmayan Burgers denklemi Hopf-Cole dönüşümüyle lineer ısı-iletim denklemine dönüştürülmüştür. Ele alınan problemlerle Burgers denklemi için Sınırlayıcı Taylor yaklaşımının etkililiği diğer yöntemlerle karşılaştırılmıştırAnahtar Kelimeler: Burgers denklemi, Isı iletimi denklemi, Konveksiyon-difüzyon denklemi, Sınırlayıcı Taylor Yaklaşımları.

Abstract:
This thesis is consists of four sections.In the first section, Taylor Approximations for time-dependent partial differential equation and Restrictive Taylor Approximation in which errors are totally removed at certain points by the help of this approximation has been given. The Taylor series relates the value of a differentiable function at any point to its first and higher order derivatives at a reference point, and consequently the first or higher order derivatives at the reference point can be obtained in terms of the sampled values of the functions. In the solution to approximate the exponential matrix function by using Restrictive Taylor Approximation has been showed.In the second section, with the help of Restrictive Taylor Approximations has been examined nümerical solution of the heat conduction equation. For this solution, stability analysis and truncation error has been examined. Effectiveness of Restrictive Taylor Approximation has been compared with other methods by considered problems.In the third section, Restrictive Taylor Approximations method has been applied to this equation to find the numerical solution of convection-diffusion equation. Gerschgorin theorem has been applied to examine the stability of obtained equation system, and truncation error for the solution has been examined. Effectiveness of Restrictive Taylor Approximation has been compared with Douglas method by considered problems.In the fourth section, with the help of Restrictive Taylor Approximations has been examined nümerical solution of Burgers? equation. For the solution, firstly non-linear Burgers? equation has been transformed to linear heat conduction by Hopf Cole transformation. For Burgers? equation, effectiveness of Restrictive Taylor Approximation has been compared with other methods by considered problems.Keywords: Burgers?equation, Convection-diffusion equation, Heat conduction equation, Restrictive Taylor Approximations.