İkinci mertebeden lineer olmayan ve yarı lineer diferensiyel denklemlerin çözümlerinin davranışı
Behaviour of solutions of second order non-linear and half-linear differential equations
Yazar: NAGEHAN KILINÇ
Danışman: YRD. DOÇ. DR. PAKİZE TEMTEK
Erciyes Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2011
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Salınım = Oscillation ; Salınımlı çözümler = Oscillating solutions

Özet:
Bu çalışmada ikinci mertebeden lineer olmayan ve yarı lineer diferensiyel denklemlerin salınımı, salınımsızlığı ve asimptotik davranışları incelenmektedir.Çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde genel tanım ve kavramlara yer verilmektedir.İkinci bölümün birinci kısmında(a(t) |y^' |^(?-1) y')'+Q(t,y)=P(t,y,y') (1)şeklinde ikinci mertebeden non-lineer diferensiyel denklemi ve ikinci kısmında(a(t) |y^' |^(?-1) y')^'+b(t) ? |y'| ? ^(?-1) y'+H(t,y)=0 (2)şeklindeki damped(sönümlü) terimli diferensiyel denklemi ele alınmaktadır, burada ?>0 ve a(t) belirli bir yerden sonra pozitif bir fonksiyondur.Bu kısımda verilen (1) diferensiyel denklemi ile ilgili salınım kriterleri ve (2) diferensiyel denklemi ile ilgili de pozitif monoton çözümlerin varlığı incelenmektedir.Üçüncü bölümde ise, ikinci mertebeden lineer olmayan diferensiyel denklemlerin bir sınıfı üzerine çalışmalar yapılmaktadır. Genelleştirilmiş Riccati dönüşümü, ortalama integral (averaging) tekniği ve sınıflandırma metodu kullanılarak denklemlerin bütün çözümleri için salınım kriterleri verilecektir. Yani bu kesimde ikinci mertebeden(a(t)?(y(t) ) y^' (t) )^'+Q(t,y(t) )=P(t,y(t),y^' (t) ) (3)lineer olmayan diferensiyel denklemi göz önüne alınmaktadır, buradaa? [t_0,+?)?R (R=(-?,+?) ) sürekli, türevlenebilen pozitif fonksiyon ve? : R?R sürekli, türevlenebilen bir fonksiyon ve u?0 için ?(u)>0 dır.Son olarak da dördüncü bölümün birinci kısmında ortalama fonksiyonlarını kullanarakd/dt (r(t)?(y)|dy/dt|^(?-2) dy/dt)+p(t)?(|y|^(?-2) y,r(t)?(y) |dy/dt|^(?-2) dy/dt)+q(t) |y|^(?-2) y=0(4)şeklindeki yarı lineer diferensiyel denklemi ve ikinci kısımda da daha genel oland/dt (r(t)?(y)|dy/dt|^(?-2) dy/dt)+p(t)?(g(y),r(t)?(y) |dy/dt|^(?-2) dy/dt)+q(t)g(y)=0(5)şeklindeki diferensiyel denklemi için birçok salınım kriteri verilmektedir. Buradap,q,r:[t_0,?)?R? ve ?,g:R?R sürekli ve r(t)>0,p(t)?0 ve ?(y)>0 dır. Ayrıca y?0 için yg(y)>0 ve ?>1 olmak üzere sabit bir reel sayıdır.Anahtar Kelimeler: Salınım, Salınımlı Çözümler, Yarı lineer Diferensiyel Denklemler, Lineer Olmayan Diferensiyel Denklemler.?

Abstract:
In this work, it is studied the oscillation, nonoscillation and asymptotic behaviours of non-linear and half-linear differential equations of the second order.This work consist of four chapters. The first chapter is devoted to the preliminaries and the basic concept is given.In the first part of the second chapter, second order non-linear differential equations of the form(a(t) |y^' |^(?-1) y')'+Q(t,y)=P(t,y,y') (1)and second order differential equations with damping term of the form(a(t) |y^' |^(?-1) y')^'+b(t) ? |y'| ? ^(?-1) y'+H(t,y)=0 (2)are tackled where ?>0 and a(t) is an eventually positive function.Given in this part oscillation criteria related to differential equation (1) and existence of positive monotone solutions related to the differential equation (2) are examined.In the third chapter, a class of second order non-linear differential equations are carried out on. By using the generalized Riccati transformation, the integral averaging technique and the method of classification, oscillation criteria are obtained for all solutions of the equations. That is, in this part non-linear differential equation of the form(a(t)?(y(t) ) y^' (t) )^'+Q(t,y(t) )=P(t,y(t),y^' (t) ) (3)are considered, where a? [t_0,+?)?R (R=(-?,+?) ) is positive continuously differentiable function,? : R?R is continuously differentiable function and ?(u)>0 for u?0.Finally, in the first part of fourth chapter, by using averaging functions, several oscillation criteria are given for the half-linear differential equation of the formd/dt (r(t)?(y)|dy/dt|^(?-2) dy/dt)+p(t)?(|y|^(?-2) y,r(t)?(y) |dy/dt|^(?-2) dy/dt)+q(t) |y|^(?-2) y=0(4)and the more general differential equationd/dt (r(t)?(y)|dy/dt|^(?-2) dy/dt)+p(t)?(g(y),r(t)?(y) |dy/dt|^(?-2) dy/dt)+q(t)g(y)=0(5) in the second part of the fourth chapter, wherep,q,r:[t_0,?)?R? and ?,g:R?R are continuous, r(t)>0,p(t)?0 and ?(y)>0. Further yg(y)>0 for y?0, ?>1 a fixed real number.Keywords: Oscillation, Oscillating Solutions, Half-Linear Differential Equations, Non-Linear Differential Equations.?