Bazı kesirli lineer olmayan kısmi diferansiyel denklem sistemlerinin lie simetri metodu yardımıyla çözümü ve korunum kanunları
Solutions and conservation laws of some systems of fractional nonlinear partial differential equations with the help of lie symmetry method
Yazar: SELAHATTİN GÜLŞEN
Danışman: PROF. DR. MUSTAFA İNÇ
Fırat Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2021
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Son zamanlarda mühendislik ve doğa bilimlerinde ortaya çıkan birçok kompleks problem
lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemler ile formüle edilmektedir. Bu denklemlerin davranış
özelliklerini tespit etmek için analitik çözümlerin elde edilmesi önem kazanmıştır. 19. yüzyılın
baslarında Sophus Lie'nin ortaya koyduğu ve daha sonra kendi adı ile anılan Lie simetri analizi
yöntemi lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin çözümüne yeni bir bakış açısı getirdi. Bu
metodun temel amacı diferansiyel denklemleri değişmez bırakan benzerlik dönüşümlerinin elde
edilmesidir. Bu benzerlik dönüşümleri kesirli kısmi diferansiyel denklemleri kesirli adi diferansiyel
denklemlere indirgeyip çözümlerin elde edilmesini kolaylaştırmaktadır. Ayrıca, Lie simetrileri ve
Noether operatörleri arasındaki bağlantı kullanılarak diferansiyel denklemlerin korunum kanunları
elde edilebilmektedir. Bu tezde, Lie simetri yöntemi Riemann-Liouville kesirli türevinin yardımı ile
lineer olmayan zaman kesirli genelleştirilmiş Drienfeld Sokolov ve Super KdV sistemlerine
uygulanıp bu sistemlerin benzerlik dönüşümleri elde edilmiştir. Elde edilen bu benzerlik
dönüşümleri kullanılarak bu iki sistem kesirli adi diferansiyel denklem sistemine dönüştürülmüştür.
Daha sonra Ibragimov'un, Lie simetrileri ve Noether operatörlerinin ilişkisinden faydalanarak
ortaya koyduğu korunum kanunları kullanılarak sistemlerin korunum vektörleri elde edilmiştir. Son
olarak indirgenen kesirli adi diferansiyel denklemler için kuvvet seri çözümleri ve bu çözümlerin
yakınsaklığı incelenmiştir.

Abstract:
Recently, most complex problems in science and engineering have been formulated by nonlinear
partial differential equations. Therefore, it has become more important to obtain analytical
solutions for analysing the behavioral properties of these equations. The Lie symmetry analysis
method, which was introduced by Sophus Lie at the beginning of the 19th century and later named
after him, brought a new perspective to the solution of nonlinear partial differential equations. The
main purpose of this method is to construct similarity transformations that leave the differential
equations invariant form. These similarity transformations reduce a partial differential equation
into a ordinary differential equation of fractional order and make it easy to obtain exact solutions.
Also, using the connection between Lie symmetries and Noether operators, conservation laws of
differential equations can be obtained. In this thesis, the Lie symmetry method is applied to the
nonlinear time fractional generalized Drienfeld Sokolov and Super KdV systems in order to acquire
similarity transformations for systems with the help of the Riemann-Liouville fractional derivative.
These two systems are reduced into fractional ordinary differential equation systems using the
similarity transformations. Then, the conserved vectors of the systems are obtained by using the
conservation laws that Ibragimov put forward by using the connection between the Lie symmetries
and Noether operators. Finally, we obtain explicit power series solutions of the reduced fractional
ordinary differential equations and show that these solutions are convergence.