Modüler metrik uzaylarda sabit nokta teorisi ve uygulamaları
Fixed point theory and application in modular metric spaces
Yazar: ABDURRAHMAN BÜYÜKKAYA
Danışman: PROF. DR. BAHADIR ÖZGÜR GÜLER ; DOÇ. DR. MAHPEYKER ÖZTÜRK
Karadeniz Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Daralma = Contraction ; Graf teori = Graf theory ; Homotopi = Homotopy ; Modüler = Modular ; Sabit nokta teoremleri = Fixed point theorems ; İntegral denklemler = Integral equations

Özet:
Bu tez çalışmasında modüler 𝑏−metrik uzaylarda ve Branciari uzaklık fonksiyonu ile donatılmış modüler 𝑏−metrik uzaylarda tanımlanmış olan çeşitli daralma dönüşümlerinin ortak sabit noktasının varlığının ve tekliğinin bulunması amaçlanmıştır. Ayrıca elde edilen sonuçların graf teorisi, homotopi, integral denklemler gibi matematiğin çeşitli alanlarına uygulanabilirliği de gösterilmiştir.
Temel olarak bu çalışma iki ana bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde sabit nokta teorisinin gelişiminden, metrik uzay kavramı ve özelliklerinden, bazı temel tanım ve teoremlerden, sabit nokta kavramından, Banach sabit nokta teoreminin genişlemelerinden, graf teorisi ile bazı genelleştirilmiş metrik uzay yapılarından bahsedilmiştir. İkinci kısımda ise çeşitli yardımcı fonksiyonlar kullanılarak elde edilen Suzuki Σ−daralma, 𝒢(Φ,ϑ,Ξ)−daralma, çarpımsal ifadeler içeren genelleştirişmiş 𝐹−daralma, genelleştirilmiş Suzuki-Berinde 𝑍̂Ψ∗Θ−daralma ve genelleştirilmiş simülasyon Θ̂℮𝛽−daralma dönüşümleri gibi yeni kavramlar tanıtılmıştır. Bu yeni kavramlardan elde edilen ortak sabit nokta teoremleri ispatlanmıştır. Bu sonuçlar çeşitli örnekler ve matematiksel uygulamalarla desteklenmiştir. Ayrıca, Branciari uzaklık fonksiyonu ile donatılmış modüler 𝑏−metrik uzay ve bu uzayların sahip olduğu bazı özellikler literatüre kazandırılarak bu uzay üzerinde sabit nokta teoremi ispatlanmıştır.

Abstract:
In this thesis, it is aimed to find the existence and uniqueness of the common fixed point of various contraction mappings defined in modular 𝑏−metric spaces and modular 𝑏−metric spaces endow with Branciari distance function. In addition, the applicability of the obtained results to various fields of mathematics such as graph theory, homotopy, integral equations is also shown.
Basically, this study consists of two main parts. In the first chapter, the development of fixed point theory, the concept of metric space and its properties, some basic definitions and theorems, the concept of fixed point, extensions of Banach fixed point theorem, graph theory and some generalized metric space structures are mentioned. In the second part, by using various auxiliary functions, the new concepts such as Suzuki Σ−contraction, 𝒢(Φ,ϑ,Ξ)−contraction, generalized 𝐹−contraction involving quadratics terms, generalized Suzuki-Berinde 𝑍̂Ψ∗Θ−contraction and generalized simulation Θ̂℮𝛽−contraction mappings are introduced. The common fixed point theorems obtained from these new concepts have been proved. These results are supported by various examples and mathematical applications. Also, the modular 𝑏−metric space equipped with the Branciari distance function and some properties of these spaces have been brought to the literature and the fixed point theorem on this space has been proved.