Üzerinde birden fazla uç kütleli boyuna titreşim çubuğu taşıyan bir eğilme kirişinin frekans denkleminin eldesine yönelik alternatif bir yöntem
On an alternative approach for the derivation of the frequency equation of a bending beam carrying several axially vibrating rods with tip mass
Yazar: ABDULLAH ÜNAL
Danışman: PROF. DR. METİN GÜRGÖZE
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Makine Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Makine Dinamiği, Titreşimi ve Akustiği Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2016
Konu: Makine Mühendisliği = Mechanical Engineering
Dizin: Euler-Bernoulli çubuğu = Euler-Bernoulli beam ; Mekanik titreşim = Mechanical vibration ; Serbest titreşim analizi = Free vibration analysis ; Serbest titreşimler = Free vibrations

Özet:
Teknik literatürde, makina, inşaat ve havacılık gibi mühendislik uygulamalarının çoğunda karşılaşılan sürekli sistemlerin, üzerinde bir veya birden fazla helisel yay-kütle sistemi bulunan, değişik biçimlerde mesnetlenmiş bir Bernoulli-Euler çubuğu şeklinde modellendiğine şahit olunmaktadır. Ancak bu modellemelerde genelde, helisel yayın kütlesi ihmal edilmektedir. Diğer taraftan, son yıllarda yapılan bazı çalışmalarla birlikte, helisel yayın kütlesinin hesaba katılmaya başlandığı görülmektedir. Bu çalışmalar, yayın kütlesinin hesaba katılmaması durumunda, bazı parametre kombinasyonlarında, sonuçlarda önemli hatalar oluştuğunu ortaya koymuştur. Helisel yayın kütlesinin yaklaşık olarak hesaba katılması için sıklıkla başvurulan yöntemlerden birisi, yayın bir boyuna titreşim çubuğu olarak modellenmesidir.
Philip D. Cha ve diğerleri [J.S.V. vol.130(061008) s.s.1-9 (2008)] çalışmalarında, üzerinde uç kütleli birden fazla boyuna titreşim çubuğu bulunan, özel mesnetlenme şartlarından bağımsız bir Bernoulli-Euler kirişinden oluşan bir birleşik sistemin serbest titreşimlerinin incelenmesi için, Lagrange Denklemleri Yöntemi (İng.: Assumed Modes Method) esaslı, yaklaşık bir çözüm sunmuşlardır.
Philip D. Cha ve Masanori Honda [J.S.V. vol.132(051011) s.s.1-9 (2010)]  çalışmalarında, üzerinde çeşitli ayrık elemanlar bulunan bir Bernoulli-Euler kirişinden oluşan bir birleşik sistemin yaklaşık doğal frekanslarını ve ilgili mod şekillerini elde etmek adına, Karakteristik Kuvvet Yöntemi (İng.: Characteristic Force Method) diye adlandırdıkları bir yaklaşık çözüm yöntemi geliştirmişlerdir. Bu yöntem esas itibariyle, kiriş üzerindeki ayrık elemanların, kirişe bağlandıkları noktalarda, kirişe uyguladıkları kuvvet ve momentler ile temsil edilmeleri gerçeğine dayanmaktadır. Böylece, serbest titreşim problemi, bir zorlanmış titreşim problemi haline gelmiş olmakta ve ikinci durumda elde edilen hareket denklemleri birincisine göre oldukça sadeleşmiş olmaktadır.   
Metin Gürgöze ve Serkan Zeren [S.E.M. vol.53(6) s.s.1105-1126 (2015)] ise çalışmalarında, yukarıda bahsedilen "Karakteristik Kuvvet Yöntemi"ni kullanmak sûretiyle, [J.S.V. vol.130(061008) s.s.1-9 (2008)] deki formülasyonlara, uç kütleli boyuna titreşim çubuğunun bir tane olması özel hâli için, farklı bir yoldan ulaşmışlardır.
"Lagrange Denklemleri Yöntemi"nde kinetik ve potansiyel enerjilerden yararlanıldığı için, sistemin "dinamik sınır şartları" kinetik ve potansiyel enerji ifadelerinde otomatikman göz önüne alınmış olmaktadır. Diğer taraftan, "Karakteristik Kuvvet Yöntemi" kullanıldığı takdirde ise, sistemin "dinamik sınır şartları"nın da dikkate alınması gereklidir. İşte bu amaçla [S.E.M. vol.53(6) s.s.1105-1126 (2015)] makalesinde, Galerkin Yöntemi (İng.: Galerkin Procedure) nin kullanılmasıyla sistemin "dinamik sınır şartları" da dikkate alınmıştır.
Yaklaşık çözüm yöntemleri kullanılırken dikkat edilmesi gereken diğer bir nokta ise, deneme fonksiyonlarının, eğilme kirişinin ve boyuna titreşim çubuklarının sınır şartlarını sağlamaları, diğer bir ifadeyle "mukayese fonksiyonları" türünden olmaları gerektiğidir. İşte bu şartları sağlamak adına yukarıda bahsedilen makalelerde deneme fonksiyonları olarak, değişik mesnetlenme biçimlerine göre kirişin öz fonksiyonları kullanılmıştır. Kiriş üzerindeki boyuna titreşim çubukları ise, bir ucu ankastre - diğer ucu serbest çubuk gibi davrandıkları için, bunların deneme fonksiyonları olarak da, bir ucu ankastre-diğer ucu serbest çubuğun öz fonksiyonları kullanılmıştır.
Bu tez çalışmasında öncelikle [J.S.V. vol.130(061008) s.s.1-9 (2008)] deki formülasyon, uç kütleli boyuna titreşim çubuğunun bir tane olması özel hâli için çıkarılmıştır. Daha sonra bu formülasyon, boyuna titreşim çubuklarının sayıca n tane olması hâline genelleştirilmiştir.
Bu tez kapsamında ikinci olarak, [S.E.M. vol.53(6) s.s.1105-1126 (2015)] makalesinde boyuna titreşim çubuğunun bir tane olması özel hâli için, "Karakteristik Kuvvet Yöntemi"yle elde edilen formülasyon, uç kütleli boyuna titreşim çubuklarının sayıca iki tane olması özel hâli için çıkarılmıştır. Bu tezdeki esas katkı ise, önce iki çubuk hâli için geliştirilen formülasyonun, uç kütleli boyuna titreşim çubuklarının sayıca n tane olması hâline genelleştirilmesi olmaktadır.
Bu tezin son kısmında ise, her iki yaklaşık yöntemle de elde edilen formülasyonlar, sayısal olarak değerlendirilmiştir. Birleşik sistemin yaklaşık boyutsuz doğal frekansları, değişik sayıda boyuna titreşim çubukları ve değişik mesnetlenme biçimlerindeki eğilme kirişine göre hesaplanmıştır. Daha sonra bu yaklaşık değerler, gerçek değerlerle veya bunlara ulaşılamadığı yerlerde ise FEM ile elde edilen değerlerle karşılaştırılmıştır. Neticede, her iki alternatif yöntemle de oldukça iyi sonuçlar elde edildiği görülmüştür.
Üzerinde bir veya birden fazla helisel yay-kütle sistemi bulunan bir Bernoulli-Euler kirişinden oluşan bir birleşik sistemin serbest titreşimlerinin çözümü için, yukarıda bahsedilen yaklaşık çözüm yöntemlerinin kullanılmasının birçok avantajı vardır. Öncelikle, "Lagrange Denklemleri Yöntemi" veya "Karakteristik Kuvvet Yöntemi"nin kullanılmasıyla, sürekli bir sistem çözümü yerine, N serbestlik dereceli ayrık bir sistemin çözümü elde edilmiştir. İkinci olarak, elde edilen "karakteristik denklem"in veya "özdeğer problemi"nin herhangi bir paket program kullanılarak (MATLAB, Mathematica, Maple v.s.) kodlanması kolaydır. Ayrıca elde edilen formülasyonlar, kirişin herhangi bir mesnetlenme biçimi için geçerlidir.

Abstract:
It is witnessed in technical literature, often encountered in continuous systems of applications of mechanical, constructional and aviation engineering that is modelled as a Bernoulli-Euler beam carrying several axially vibrating rods with tip mass. Generally, however, mass of helical spring is neglected. On the other hand, it is observed in some studies in recent years that mass of helical spring has been taken into account. These studies have showed that it revealed to significant errors in results, if mass of helical spring is neglected. One of the methods of taking into account approximate mass of helical spring is to model spring as a axially vibrating rod.
In the studies of Philip D. Cha and others [J.S.V. vol. 130(061008) p. 1-9 (2008)], Assumed Modes Method provides basic and approximately solution to analyze the free vibration of a unified system consisting of a Bernoulli-Euler beam carrying several axially vibrating rods with tip mass hinged independently of particular conditions.
They developed in their studies an approximately solution method, Philip D. Cha and Masanori Honda [J.S.V. vol.132(051011) p.1-9 (2010)], as they called Characteristic Force Method in order to obtain approximately natural frequencies and regarding mode shapes of a unified system consisting of a Bernoulli-Euler beam carrying various discrete elements. This method is essentially based on fact that discrete elements on the beam are represented by effect of their forces and moments at the connection point to the beam. Thus, a free vibration problem becomes a forced vibration problem, and obtaining equation of motion in the second condition has been quite simplified than in the first condition.
However, Metin Gürgöze and Serkan Zeren, in their studies [S.E.M. vol.53(6) p.1105-1126 (2015)], have reached to the solution through different way to get formulation defining in [J.S.V. vol.130(061008) p.1-9 (2008)] by using "Characteristic Force Method" for the condition one axially vibrating rod with tip mass.
It is automatically taken into account the system's "dynamic boundary conditions" in kinetic and potential energy expressions, because "Assumed Modes Method" uses the kinetic and potential energy. Otherwise, if  "Characteristic Force Method" is used, then system's "dynamic boundary conditions" must be considered. Because of this purpose, in the article [S.E.M. vol.53 (6) p. 1105-1126 (2015)], system's "dynamic boundary conditions" are considered by using Galerkin Procedure.
Another point to be considered when using the approximate solution methods is that it should provide the boundary conditions of trial functions, bending beam and axially vibrating rods, so it should be 'comparison functions' type. In order to ensure these conditions mentioned in the article above, beam eigenfunctions are used with different hinged formats as trial functions. It is used as eigenfunctions of fixed-free axially vibrating rods trial functions, because axially vibrating rods on beam behaves like fixed-free rod.
First of all, formulation defining in [J.S.V. vol.130(061008) p.1-9 (2008)] is obtained, in this study,  for the condition one axially vibrating rod with tip mass. Then, this formulation has been generalized to the case where number of axially vibrating rods is n.
In the second part of this thesis, the formulation in the article [S.E.M. vol.53(6) s.s.1105-1126 (2015)], obtained by using "Characteristic Force Method" for the condition two axially vibrating rods with tip mass. The main contribution of this thesis is that earlier developed formulation for two axially vibrating rods has been generalized to the case where number of axially vibrating rods is n.
In the conclusion of this thesis, formulation, obtained by two approximately methods, is considered as numerically. Approximately nondimensional natural frequencies of a unified system are calculated according to the various numbers of axially vibrating rods and the bending beam hinged in various forms. Approximate values, then, are compared with real values if they are available, if not compared with FEM results. Eventually, it was observed that very good results are obtained in both alternative methods.
There are many advantages of using the approximate solution methods, described above, for the solution of the unified system of free vibration consisting of Bernoulli-Euler beam carrying one or more helical spring-mass system. Primarily, solution of N-DOF of a finite system is obtained, instead of a continuous system solution by using "Assumed Modes Method" or "Characteristic Force Method". Secondly, it is easy to encode 'characteristic equation' or "eigenvalue problem' with software (MATLAB, Mathematica, Maple etc.). Moreover, obtained formulations are applicable to beams any hinged format.