Temel epidemik modeller ve bazı uygulamaları /
Yazar: RANA NOAMAN ABBAS
Danışman: PROF. DR. İLHAN ÖZTÜRK
Erciyes Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2017
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Dört bölümden oluşan bu tezin amacı; bulaşıcı hastalıklarla ilgili olan temel matematiksel modellerin ortaya çıkışını incelemek, literatürde yer alan bu tip modellerle ilgili yapılmış bazı çalışmaların farklı bakış açıları dikkate alınarak matematiksel olarak değerlendirip sonuçlarını biyolojik olarak açıklamaktır.
Giriş bölümünde, epidemik hastalıkların biyolojik ve toplumsal açıdan önemi vurgulanarak tez genel hatlarıyla tanıtıldı. Ayrıca, konuyla ilgili literatürden bahsedildi.
Tezin birinci bölümünde, epidemik hastalıkların bir topluluktaki yayılımını analiz etmek için kullanılan SI, SIS, SIR ve SIRS gibi epidemik modellerin kısa bir tarihçesi verilmiş, daha sonra genel hatlarıyla matematiksel olarak ifade edilerek yorumlanmıştır.
Tezin ikinci bölümünde, diferansiyel ve diferansiyel denklem sistemleriyle ilgili temel tanım ve teoremlere, özellikle denge noktaları ve bu noktaların yerel ve global kararlılık analizinde kullanılan teoremlere yer verilmiştir.
Tezin üçüncü bölümünde ise, öncelikli olarak SIR epidemik modeli gözönüne alındı. Bunun için aşılamalı ve aşılamasız olmak üzere iki farklı SIR epidemik modeli üzerinde çalışıldı ve bu modellerin pozitif denge noktası incelendi. Daha sonra bu modellerin denge noktalarının yerel ve global kararlılık analizi yapıldı. İlave olarak, üzerinde çalışılan modellerin kalitatif analizinin sonuçları, literatürden elde edilen parametreler kullanılarak nümerik simülasyonlar vasıtasıyla desteklendiler.
Son olarak dördüncü bölümde ise tezin üçüncü bölümünde ifade edilen modellerin kalitatif analiz sonuçlarıyla sayısal analiz sonuçlarının karşılıklı yorumlanması yapılarak model sonuçları hassas, enfekte ve iyileşmiş birey sayıları açısından yorumlandı.

Anahtar Kelimeler: SIR epidemik modeli, Matematiksel Model, Kararlılık, Kalitatif Analiz, Sayısal Analiz

Abstract:
The aim of this thesis consisting of four chapters is to analyse issues of fundemental models about infectious disease and to explain the results of the studies in the literature about this type off models with different point of views.
In the introductory, the present thesis has been introduced in general terms, emphasizing on the importance of the biological and social aspects of the epidemic diseases. which was also mentioned in the related literature. In the first part of this thesis, a short history of epidemic models such as SI, SIS, SIR, and SIRS, which were used to analyze the spread of epidemic diseases in a community, has been given and then expressed mathematically in general terms. In the second part of this thesis, basic definitions and theorems related to the differential equation systems, especially equilibrium points and theorems used in local and global stability analysis of these points has been given. In the third part of this thesis, primarily the epidemic model of SIR has been taken into consideration. Therfore, two different SIR epidemic models, inoculated and uninoculated, were studied and the positive equilibrium points of these models have been examined. Then the local and global stability analysis of the equilibrium points of these models have been done. In addition, the results of the qualitative analysis of the models studies were supported by numerical simulations using the parameters obtained from the literature. Finally, in the fourth chapter, the results of the qualitative analysis of the models expressed in the third part of this thesis have been interpreted mutually and the results of the models have been interpreted in terms of the number of sensitive, infected, and healed individuals.

Key words: SIR epidemic model, Mathematical Model, Stability, Qualitative Analysis, Numerical Analysis