Keyfi doğrultuda ortotrop pasternak türü zemine oturan  dörtgen plakların serbest titreşim karakteristiklerinin belirlenmesi ve spektral analizi
Spectral analysis and determination of free vibration characteristics of quadratic plates resting on arbitrary orthotrop two parameter elastic foundation
Yazar: ŞENNUR ELMACI
Danışman: PROF. DR. ENGİN ORAKDÖĞEN
İstanbul Teknik Üniversitesi / Deprem Mühendisliği ve Afet Yönetimi Enstitüsü / Deprem Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Deprem Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2019
Konu: Deprem Mühendisliği = Earthquake Engineering ; İnşaat Mühendisliği = Civil Engineering
Dizin: Anizotrop malzemeler = Anisotrop materials ; Beton plaklar = Concrete slabs ; Dinamik spektrum = Dynamic spectrum ; Pasternak zemini = Pasternak soil ; Serbest titreşimler = Free vibrations

Özet:
Yapı sistemlerinin analiz ve tasarımında temel zemini önemli bir parametredir. Zemin özelliklerinin üst yapı analizinde ve tasarımında göz önüne alınması çeşitli kabullere dayanmakta, genellikle sert ve orta sert zeminlerde zemin güvenlik gerilmesi belirli bir düzeyin üzerindeyse üst yapının mesnetleri ankastre olarak alınmakta, ayrık olarak yapılan temel hesaplarında genellikle güvenlik gerilmesinin aşılıp aşılmadığının kontrolu ile yetinilmektedir. Zemin taşıma gücünün daha zayıf olması halinde ise zeminin özellikleri hesaba dolaylı olarak katılmaktadır. Üst yapıdan temele aktarılan en elverişsiz kesit zorları tekil, sürekli veya radye temel olarak tasarlanan temel sistemine aktarılarak genellikle Winkler hipotezi kabulü ile elastik zemine oturan temel hesabı yapılabilmektedir. Winkler hipotezinde zemin gerilmelerinin ilgili noktadaki çökmelerle orantılı olduğu kabul edilmekte, zemindeki ilgili noktaya komşu bölgelerin etkileşimi gözardı edilmektedir. Zemin özelliklerinin dikkate alınmasının gerekli olduğu radye veya kazıklı temel sitemine sahip yüksek yapılarda ise zemin özellikleri üst yapı ile birlikte modellenerek hesaplara katılabilmektedir. Sözkonusu hesaplarda Winkler, Pasternak, Vlasov, Kerr gibi nispeten basit zemin modellerinin yanında özellikle kazıklı temel sistemlerinde temel altı zemini de üst yapı ile birlikte modellenerek yapı zemin etkileşimi daha gerçekçi şekilde gözönüne alınabilmektedir. 
Bu çalışmada zeminin komşu bölgelerindeki etkileşimi de dikkate alan Pasternak türü zemine oturan plakların statik yükler altındaki davranışı ile serbest titreşim özellikleri incelenmiş ve son olarak aynı plakların tasarım spektrumuna göre spektral analizi yapılmıştır. 
Bu tezin amacı akademik ortamda yapı mühendisliği problemlerinin çözümünde güvenilir bir şekilde kullanılan SAP2000 programı yardımı ile Pasternak türü zemine oturan dörtgen plak problemlerinin çözülmesidir. Gerilme-şekil değiştirme bağıntılarının ve denge denklemlerinin sadece kayma etkilerinin olduğu düzlem şekildeğiştirme elemanının benzerliğinden yararlanılarak, Pasternak zemin elemanı, düzlem şekildeğiştirme elemanı olarak modellenmiştir. Her iki fiziksel probleme ait denklemler bir katsayı farkı ile benzer olup düzlem şekil değiştirme zemin elemanının kayma modülü olarak zeminin kayma modülü alınmıştır. SAP2000 programı malzeme olarak ortotrop malzemeleri de dikkate alabildiğinden çeşitli doğrultularda ortotrop zemine oturan plakların çözümü de kolaylıkla yapılabilmektedir. 
Pasternak türü zemini dikkate alan çalışmalarda araştırmacılar genellikle kendi geliştirdikleri sonlu eleman yazılımlarıyla analizleri gerçekleştirmektedir.
Daha önceden yapılan benzer çalışmalarda (Avcıoğlu, 2015, Hamarat, 2012) Pasternak zemin eleman, hazırlanan genel amaçlı yazılıma eklenmiş veya zemin için yine elastik özelliklerin uygun şekilde kullanılması ile ortotrop plak elemana benzetilerek kullanılmıştır. Bu çalışmada ise pasternak zemin elemana ait rijitlik matrisi sadece kayma etkilerinin bulunduğu düzlem şekil değiştirme elemanına ait matrisle katsayı farkı ile benzer olduğundan, hesaplarda bir yaklaşıklık bulunmamaktadır. Bu şekilde bir benzerlikle elde edilen Pasternak zemin elemanı SAP2000 programının her türlü esnekliğine sahip olduğundan, Winkler zemine  
oturan yapı sistemlerinin hesabı, Pasternak zeminine oturan yapı sistemlerinin hesabını da içerecek şekilde genişletilmiş olmaktadır. Ayrıca bir API(Aplication Programming İnterface) yazılımı kullanılmak sureti ile her adımdaki zeminin elastik özellikleri yenilenerek ardışık yaklaşım gerektiren Vlasov zemine oturan yapı sistemlerinin hesabı da SAP2000 programından yararlanılarak yapılabilir (Hamarat, 2012).  Böylelikle aynı bölgede inşa edilen yapı sistemlerinin statik veya dinamik yükler altındaki etkileşimi de kolaylıkla göz önüne alınabilir.
Tezde özel olarak ortotrop pasternak zemine oturan kare plakların statik davranışı ile serbest titreşim özellikleri incelenmiştir. Öncelikle literatürde daha önceden çözülmüş örnekler ile modellemenin doğruluğu gösterilmiş daha sonra da benzer çalışmalarda gözönüne alınmayan temel zemininin temel dışında da devam etmesi durumunda plak titreşim karakteristiklerindeki ve spektral analizindeki değişimler irdelenmiştir.
Tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde yapı zemin etkileşim modelleri tanıtılmış ve çalışmanın amaç ve kapsamı açıklanmıştır.
İkinci bölümde iki parametreli zeminde, zemin elemana ait matris formulasyonu verilmiş, Sap 2000 programında iki parametreli zemine oturan plak elemanın modellenmesi anlatılmıştır.
Üçüncü bölümde daha önceki çalışmalardan 3 adet sayısal örnek ele alınmış, Sap 2000 programında modellenmiştir. İlk örnekte iki parametreli zemine oturan tekil yüklü ve yayılı yüklü plak davranışı incelenmiş, çökme ve eğilme moment değerleri önceki çalışmalar ile karşılaştırılmıştır. İkinci örnekte iki parametreli izotrop zemine oturan kare plağın farklı mesnet koşullarında serbest titreşim analizi yapılmış ve önceki çalışmalar ile karşılaştırılmıştır. Üçüncü örnekte ortotrop zemine oturan kare plağın farklı mesnet koşullarında serbest titreşim analizi yapılmış ve zeminin ortotropi açısı değişimine bağlı olarak frekans değerleri incelenmiş ve önceki çalışmalar ile karşılaştırılmıştır.
Dördüncü bölümde üçüncü bölümde yer alan sayısal örneklere daha önceki çalışmalardan farklı olarak plak dışı zemin eklenerek modellenmiş, serbest titreşim analizi yapılmış, dış zeminli ve dış zeminsiz olarak frekans değerleri Çizelgelar ile  karşılaştırılmıştır. Ayrıca bir örnek ile iki parametreli dış zeminli ve dış zeminsiz plak durumunda spektral analiz yapılmış ve eğilme momentleri karşılaştırılmıştır.

Abstract:
In modern design and analysis of structures, the superstructure-foundation-soil interaction has to be taken into account in a sophisticated way, which is sufficiently accurate but simple enough for practical purposes. The concept of a plate resting on an elastic foundation has been an important tool for the modeling and analysis of structural, highway, geotechnical and railroad engineering problems. Extensive research in this area has been reported in the literature.
In order to model soil behavior, several approaches have been developed in the past. The oldest, most famous and most frequently used soil model is the one adviced by Winkler (1867), in which the beam-supporting soil is modelled as a series of closely spaced, mutually independent, linear elastic vertical springs. The Winkler model has been extensively used to solve many soil-foundation interaction problems and has given satisfactory results for many practical problems. In that method, it is assumed that deflection at each point is proportional to the pressure applied at the point and completely independent of the pressures or deflections occuring at the neighbouring points along foundation. In the Winkler model, the properties of soil are described only by the parameter k, which represents the stiffness of the vertical spring. One of the major disadvantages of this model is that a plate undergoes rigid body displacements without any bending moments and shear forces in it when subjected to uniform loads. Moreover, the use of the Winkler model involves difficulties in determining the value of k. Discontinuous nature of Winkler's model gives rise to the development of various forms of two-parameter elastic foundation models. Some of the major two-parameter elastic foundation models are Filonenko-Borodich model (1940), Hetenyi model (1946, 1950), Pasternak model (1954), Vlasov model (1966). Filonenko-Borodich, Hetenyi, Pasternak and Vlasov have attempted to make the classical Winkler model more realistic by postulating a two-parameter model. Their model takes into account the effect of shear interaction among adjacent points in the foundation. In these models, the first parameter represents the stiffness of the vertical spring, as in the Winkler model, whereas the second parameter is introduced to account for the coupling effect of the linear elastic springs. It is worth mentioning that the interaction enabled by this second parameter also allows the consideration of influence of the soil on either side of plate. In this model, the first and second parameters have to be determined experimentally. Vlasov and Leont'ev (1966) have introduced another arbitrary parameter, γ,dependent on soil material and thickness of the soil layer. However, they did not report the method of determining this parameter. In the work of Vallabhan and Daloglu (1999), it has been shown how the soil parameter, γ, can be estimated using an iterative computational procedure for plates. These three-parameter models constitute a generalization of two-parameter models, the third parameter being used to make them more realistic and effective. When the γ parmeter is determined, the first and second parameters of soil can be easily calculated. One of the basic features of the three-parameter models is the flexibility and convenience that they offer in the determination of the level of continuity of the vertical displacements at the boundaries between the loaded and unloaded surfaces of the soil.
 
In this study, static and dynamic analysis of rectangular plates resting on two parameter elastic foundation are examined. In dynamic analyses, free vibration characteristics are obtained first for the comparison of the results from literature and then spectral analyses are performed to observe the behaviors against inertia forces. SAP2000 program is used to perform analysis. A subordinate macro is coded with VBA (Visual Basic for Applications)  language is used to add equal displacements (constraints) to the SAP2000's $2K file after the SDB file is created. The study is composed of five sections.
In the first section, informations about one and two parameter foundation models are given. Content and aim of this study are explained at the end of the first section. 
In the second section, finite element method is explained, the formulations of two parameter foundation are given.Then how the two parameter foundation is modelled at SAP2000 program is shown. The first parameter of soil, soil elastic bedding coefficient or so called Winkler parameter k, is represented by springs at SAP2000 model. The springs are created by area springs feature at SAP2000 program and soil elastic bedding coefficient is entered as the spring coefficient. The second parameter of soil, is represented by plane strain element with shear deformations only that have orthotropic material features at SAP2000 program and it is called as soil element. The elastic modules of plane strain elements given as equal to zero and G13 and G23 shear parameters are given as equal to Gx and Gy soil modules respectively. G12 shear module of plane strain element given as zero. The soil finite element nodes are restrainted to make only vertical displacements at SAP2000 program. The plate finite element and soil finite element are modelled very close to each other and then vertical displacements of their nodes are equilized by constraints. A subordinate macro has been developed in order to equalize vertical dispalcements by adding the constarints block to the existing $2K file automatically. By using the orthotropic material and material angle properties of SAP2000 program, it is also shown how to analyze the plates on orthotropic two parameter elastic foundation.
In the third section, rectangular foundations which is solved in the previous studies, is solved again on Sap 2000 and the results are shown in tables to compare with previous studies.İn the first example, Displacements are obtained and bending moments of concentrically and uniformly loaded plates resting on two parameter foundation obtained. Second example is free vibration analysis of square plate with isotropic foundation. Third example is free vibration analysis of  square plate interacting with arbitrary orthotropic foundation.
In the fourth section, the samples were modeled by adding the external foundation to the numerical samples in the third chapter, free vibration analysis is performed, and the frequency values with and without external foundation are compared with the tables. In addition, bending moments were compared with a sample with two parameters with and without external foundation in spectral analysis.