Değişmeli olmayan halkalarda Cohen ve Kaplansky teoremlerinin genellemeleri
Generalizations of Cohen and Kaplansky theorems in noncommutative rings
Yazar: BURCU KAYIKÇI
Danışman: DOÇ. DR. PINAR AYDOĞDU
Hacettepe Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2017
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Değişmeli halka teorisinde, bir halkanın yapısının belirlenmesinde asal idealler oldukça önemli araçlardır. Bu tez çalışmasında, yapı teoremlerinden Cohen ve Kaplansky'ye ait teoremler ele alınacaktır. Tezin amacı, özellikle Reyes'in 2010 ve 2012 yıllarında yaptığı çalışmaları dikkate alarak Cohen ve Kaplansky Teoremleri'nin değişmeli olmayan halkalardaki genellemelerini incelemektir. Giriş bölümünde, tez konusunun tarihsel gelişimi ve halka teorisindeki önemi açıklanmaktadır. İkinci bölüm, tez için gerekli olan temel bilgileri içermektedir. Üçüncü bölümde, Cohen ve Kaplansky Teoremleri'nin değişmeli halkalardaki rolleri üzerinde durulmuştur. Ayrıca, Anderson ve Dumitrescu'nun üzerinde çalıştığı S-Noether halka yapısı tanıtılmış ve bu halka sınıfının bazı özelliklerinden bahsedilmiştir. Dördüncü bölümde, asal ideallerin değişmeli olmayan halkalardaki tek yönlü genellemesi üzerinde durulmuş ve tamamen asal sağ idealler ve Oka aileleri gibi bazı kavramlar tanıtılmıştır. Bu kavramların değişmeli olmayan bir halka yapısını belirlemedeki rolü uygulamalı olarak incelenmiştir. Beşinci bölüm, Cohen ve Kaplansky Teoremleri'nin Oka aileleri ve nokta sıfırlayıcı kümeler yardımıyla elde edilen değişmeli olmayan halkalardaki genellemelerini içermektedir. Son bölümde ise Cohen ve Kaplansky Teoremleri'nin farklı yaklaşımlarla elde edilen genellemeleri üzerinde durulmuştur. Koh, Chandran ve Michler tarafından ele alınan genellemelerin yanı sıra, S-Noether halka yapısının değişmeli olmayan halkalardaki genellemesi incelenmiştir.

Abstract:
In commutative setting, prime ideals are very important tools to determine the structure of a ring. In this thesis, some structure theorems will be discussed which belong to Cohen and Kaplansky. The aim of this thesis is to examine the noncommutative generalizations of Cohen and Kaplansky Theorems, especially considering Reyes's works in 2010 and 2012. The introductory chapter consists of informations about the importance and the historical improvement of the thesis subject. The second chapter contains basic information needed throughout the thesis. In the third chapter, Cohen and Kaplansky Theorems and their roles in commutative rings are emphasized. Also, S-Noetherian ring structure which was defined by Anderson and Dumitrescu is introduced and some features of this structure are indicated. In the fourth chapter, one-sided generalizations of prime ideals in noncommutative settings are examined and some concepts like completely prime ideals and Oka families are described. Their role in the structure of a noncommutative ring is examined with applications. The fifth chapter is concerned with the noncommutative generalizations of Cohen and Kaplansky Theorems by the Oka families and the point annihilator sets. In the last chapter, noncommutative generalizations of Cohen and Kaplansky Theorems obtained by different approaches are investigated. Among the generalizations discussed by Koh, Chandran and Michler, the noncommutative generalization of S-Noether ring structure is also examined.