4-boyutlu manifoldlar üzerinde bazı özel tensör alanları
Some special tensor fields on 4-dimensional manifolds
Yazar: BURCU CINDIK
Danışman: DOÇ. DR. BAHAR KIRIK RÁCZ
Marmara Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Diferensiyel geometri = Differential geometry ; Çokkatlılar = Manifolds

Özet:
Bu tezin amacı, 4-boyutlu manifoldlar üzerinde bazı özel tensör alanlarının araştırılması ve söz konusu tensör alanlarının çeşitli geometrik ve fiziksel özelliklerinin tespit edilmesidir. Çalışma; giriş, materyal ve yöntem, bulgular ve tartışma, sonuçlar olmak üzere dört ana başlık altında toplanmıştır.
Tezin birinci bölümünde, çalışmanın kapsamıyla alakalı literatür kısmı incelenmiş ve bazı temel tanımlara yer verilmiştir. Bu hususta, araştırmada göz önüne alınan 4-boyutlu manifoldlar ve metrik işaretleri, özel tensör alanları, dolanım teorisi gibi kavramların ortaya çıkışı ve günümüze kadar olan bilimsel gelişimi açıklanmıştır. Bununla birlikte, tezin ön bilgileri verilerek, çalışmada kullanılan özel vektör alanlarının tanımları da  bu kısımda sunulmuştur. 
Çalışmanın ikinci bölümü olan materyal ve yöntem kısmında, 4-boyutlu pozitif tanımlı ve Lorentz metrik işaretli manifoldlar göz önüne alınarak, öncelikle manifoldun teğet uzayının bazları tanımlanmıştır. Bununla birlikte, Lorentz metrik işaret üzerine yoğunlaşılarak ikinci mertebeden, simetrik tensör alanlarının Jordan-Segre sınıflandırması hakkında bilgiler verilmiştir. Daha sonra, bivektör olarak isimlendirilen ikinci mertebeden, ters-simetrik tensör alanlarının söz konusu metrik işaretteki sınıflandırılması sunulmuştur. Son olarak, tez çalışmasında dolanım teorisindeki tekniklerden faydalanılacağından, ilgili teori ve varolan dolanım tipleri 4-boyutlu pozitif tanımlı ve Lorentz metrik işaretli manifoldlar üzerinde ele alınmıştır.
Üçüncü bölümde, tez çalışmasında elde edilen bulgular sunularak çeşitli örnekler verilmiştir. Bu kapsamda, bazı özel Z-simetrik manifoldlar incelenmiş ve bahsi geçen manifoldların çeşitli özellikleri elde edilmiştir. Daha açık olarak, Z-reküran ve zayıf Z-simetrik manifoldlar göz önüne alınmış ve bu manifoldların özel vektör alanları içermesi durumunda birtakım teoremler ispatlanmıştır. Söz konusu incelemede, uzay-zamanlar üzerinde uygulamalara yoğunlaşılmış ve dolanım teorisiyle bağlantıları tespit edilmiştir. Öte yandan, Z-tensörünün simetriler ve Ricci solitonlarla ilişkisi de araştırılıp bazı sonuçlar bulunmuştur. Z-tensörüyle alakalı incelemelere ek olarak, Schouten ve  Cotton tensörleri de bu bölümde ele alınmış ve uzay-zamanlarla alakalı analizler yapılmıştır. Bunlara ek olarak, ilgili tensör alanlarının, 4-boyutlu Lorentz metrik işaretli manifoldların dolanım teorisindeki bazı temsilleri de irdelenmiştir. 
Son olarak, bu çalışmanın dördüncü bölümünde tezin sonuçları özetlenmiştir. Ayrıca, çalışma boyunca yapılan analizlerin ileride yol açabileceği araştırmalar üzerine öngörülerde de bulunulmuştur.

Abstract:
The aim of this study is to investigate some special tensor fields on 4-dimensional manifolds and to determine various geometric and physical properties of these tensor fields. The study is collected under four main headings: introduction, material and method, findings and discussion, and results.
In the first part of the thesis, the literature related to the scope of the study is examined and some basic definitions are included. In this regard, the emergence of concepts such as 4-dimensional manifolds and metric signatures, special tensor fields, and holonomy theory, which are considered in the research, and their scientific development until today are explained. On the other hand, preliminary information of the thesis is given and the definitions of the special vector fields used in the study are also presented in this section.
In the second part of the study, which is the material and method section, the bases of the tangent space of the manifold are first defined by considering 4-dimensional manifolds admitting Lorentz or positive definite metric signatures. In addition, information is given about the Jordan-Segre classification of second-order symmetric tensor fields, focusing on the Lorentz metric signature. Then, the classification of second order skew-symmetric tensor fields, referred to as bivectors, in the metric signatures in question is presented. Finally, since the techniques in holonomy theory will be used in this thesis, the relevant theory and the known holonomy types are discussed on 4-dimensional manifolds admitting a metric of positive definite or Lorentz signature.
In the third chapter, the findings obtained in this thesis are presented and several examples are given. In this context, some special Z-symmetric manifolds are examined and various properties of the aforementioned manifolds are obtained. More specifically, Z-recurrent and weakly Z-symmetric manifolds are considered, and a number of theorems are proved in case these manifolds contain special vector fields. In this investigation, applications on space-times are focused on and connections with holonomy theory are identified. On the other hand, the relationship of the Z-tensor with symmetries and Ricci solitons is also investigated and some results are found. Apart from the studies related to the Z-tensor, Schouten and Cotton tensors are also discussed in this section and analyses related to space-times are made. In addition, some representations of the relevant tensor fields in the holonomy theory of 4-dimensional Lorentzian manifolds are also examined.
Finally, in the fourth part of this study, the results of the thesis are summarized. In addition, predictions are made on the research that analyses done throughout the study may lead to in the future.