Hölder uzaylarında bazı integral denklemlerin çözülebilirliği
Solvability of some integral equations in Hölder spaces
Yazar: İLYAS DAL
Danışman: PROF. DR. ÖMER FARUK TEMİZER
İnönü Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Hölder eşitsizliği = Hölder inequality ; Sabit nokta teoremleri = Fixed point theorems ; Schauder bazları = Schauder bases ; İntegral denklemler = Integral equations

Özet:
Dört bölümden oluşan bu tezin ilk bölümünde, integral denklemlerin tarihsel gelişimi ve kullanım alanları hakkında genel bilgiler ve bu denklemlere ilişkin bazı tanımlar verilerek, tez 
çalışmasının literatürdeki yeri ve önemi vurgulanmıştır.
Tezin ikinci bölümünde, ileriki bölümlerde ele alacağımız (3.0.1) ve (4.0.1) denklemleriyle
ilgili olan α üslü Hα[a,b] Hölder uzayı ve ω süreklilik modülünün doğurduğu Cω[a,b] uzayları
ile ilgili tanımlar ve bu uzaylarla ilgili bazı özellikler verildi. Diğer bölümlerin anlaşılmasını sağlayacak bazı temel tanımlar ve teoremler verildi. Ayrıca bazı teoremler ispatlarıyla verildi.
Çalışmanın orijinal kısmını üçüncü ve dördüncü bölüm oluşturmaktadır.
Tezin üçüncü bölümünde, son zamanlarda yapılan çalışmalar ve ilerlemeler araştırılarak; Hölder uzaylarında önceden çalışılan (1.1.15)-(1.1.17) denklemlerinden daha genel olan (3.0.1) Fredholm tipi kuadratik integral denkleminin çözümü için bir varlık teoremi verilmiş ve bu teoremin uygulanabilirliği ile ilgili iki örnek sunulmuştur.
Tezin dördüncü bölümünde ise tezin üçüncü bölümünde ele aldığımız denklemin kısmen
daha geneli olan (4.0.1) Fredholm tipi kuadratik integral denkleminin çözümü, tezin üçüncü bölümündeki α üslü Hα[0,1] Hölder uzayından farklı olarak ω süreklilik modülünün doğurduğu Cω[a,b] uzayında araştırıldı ve bir varlık teoremi elde edildi. Bu sonuca varabilmek için Cω[a,b] uzayında rölatif kompaktlık ve Schauder sabit nokta teoreminden yararlanıldı. Akabinde bu teoremin uygulanabilirliği ile ilgili bir örnek sunuldu.

Abstract:
In the first part of this thesis, which consists of four chapters, general information about the
historical development and usage areas of integral equations and some definitions about these
equations were given, and the place and importance of the thesis study in the literature was
emphasized.
In the second part of the thesis, some definitions and some properties were given about
both the Hα[a,b] Hölder space and the Cω[a,b] spaces formed by the modulus of continuity ω,
which are related to the (3.0.1) and (4.0.1) equations. Some basic definitions and theorems were
given to help understand the other chapters. In addition, some theorems were given with their
proofs.
The third and fourth chapters constitute the original part of the study.
In the third part of the thesis, by researching the recent studies and developments; An
existence theorem was given for the solution of the (3.0.1) Fredholm type quadratic integral
equation, which is more general than the previously studied (1.1.15)-(1.1.17) equations in the
Hölder spaces, and two examples of the applicability of this theorem was presented.
In the fourth part of the thesis, the solution of the (4.0.1) Fredholm type quadratic integral
equation, which is partly more general of the equation we discussed in the third part of the
thesis, was investigated in Cω[a,b] space, which is different from the Hα[a,b] Hölder space
in the third part of the thesis, and an existence theorem was obtained. Relative compactness in
Cω[a,b] space and Schauder fixed point theorem were used to reach this conclusion. Afterwards,
an example of the applicability of this theorem was presented.