Kategorik grupların örtüleri üzerine
On the coverings of categorical groups
Yazar: TUNÇAR ŞAHAN
Danışman: PROF. DR. OSMAN MUCUK
Erciyes Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2010
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Grupoidler = Groupoids ; Homotopi = Homotopy ; Kategori = Category ; Örtü uzayları = Covering spaces

Özet:
Grupoid örtü morfizmleri grupoidlerin uygulamalarında önemli bir yere sahiptir. Bunların en önemli özelliklerinden biri bazı cebirsel yapılarla ve örtü uzayları ile uyumlu olmasıdır.Örtü uzayları teorisinden bilindiği üzere eğrisel irtibatlı bir topolojik grubun grup yapısı basit irtibatlı bir örtü uzayına yükselir. Buna paralel olarak grupoid örtü morfizmleri ile ilgili olarak irtibatlı bir grup-grupoidin grup yapısı evrensel örtü grupoidine yükselir, yani basit irtibatlı bir grupoid, G irtibatlı bir grup-grupoid, birim eleman ve bir grupoid örtü morfizmi ise grupoidi, e birim eleman ve p bir grup-grupoid morfizmi olacak şekilde bir grup-grupoid olur. Bu tür yükseltme problemleri grup-grupoidden daha genel olan iç kategoriler için bazı çalışmalarda ele alınmıştır.Diğer yandan literatürde, sürekli fonksiyonların homotopisine benzer olarak fanktorların homotopisi tanımlanmıştır. Bu kavram fanktorların doğal izomorf olmasına denk olup homotopi teorisindeki bazı sonuçların fanktorların homotopisi cinsinden verilmesine imkân sağlamaktadır. Bu tezde öncelikle fanktorların homotopisi ele alınmış ve bu kavram ile ilgili bazı temel özellikler incelenmiştir. İkinci olarak monoidal kategori ve kategorik grup kavramları tanıtılmış ve kategorik grup ve H-Grup-Grupoid yapıları arasındaki benzerlikler araştırılmıştır.Son olarak, Grup-Grupoidlerin, H-grup-grupoidlerin ve Kategorik Grupların örtü grupoidlerine yükselmeleri incelenmiştir.

Abstract:
Covering morphisms of groupoids have an important role in the applications of groupoids. One of the most important property of these morphisms is that they are compatible with some algebraic structures and covering spaces.It is well known from the theory of covering spaces that the group structure of a path connected topological group lifts to its simply-connected covering space. Also the group structure of a group-groupoid whose underlying groupoid is connected lifts to its universal cover, i.e., if is a simply-connected groupoid, G a connected group-groupoid, identity object and a covering morphism of groupoids, then becomes a group-groupoid such that is the identity object and p is a morphism of group-groupoids. These kind of lifting problems were considered in some studies for internal categories which are more general than group-groupoids.On the other hand, in literature, homotopy of functors is defined in a sense as similar to the homotopy of continuous functions. This notion is equivalent to the natural isomorphism and enables to give some certain results for homotopies of functors.In this thesis primarily homotopies of functors and relations between these homotopies and natural isomorphisms were investigated and some basic properties of these kind of homotopies have been studied. Secondly, monoidal category and categorical group notions were introduced and similarities between the structure of categorical groups and the structure of H-Group-Groupoids were mentioned.