Topolojik kuantum bilgisayarlarında bazı mantık kapılarının incelenmesi
An investigation  of some logig gates in topological quantum computation
Yazar: ÖZGE ŞAHİN
Danışman: PROF. DR. AZMİ GENÇTEN
Ondokuz Mayıs Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Fizik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2020
Konu: Fizik ve Fizik Mühendisliği = Physics and Physics Engineering

Özet:
Yüzyılın teknolojisi kuantum bilgisayarların deneysel uygulamalarında bazı problemler oluşmaktadır. Bu çevresel ve kuantum mekaniksel hataları önlemek amacıyla topolojik kuantum bilgisayarları önerilmiştir. 
Bu tez çalışmasında çekirdek ya da elektron spini 1/2 olan kuantum durumu için tek kübit tanımlanırken, spini 1 olan kuantum durumu için tek kütrit tanımlanmıştır. Üç kübitlik durumlar için ISK( I=1/2, S=1/2, K=1/2) spin sistemi ve üç kütritlik durumlar için ise ISK( I=1, S=1, K=1) spin sistemi kullanılacaktır. Kübitler ve kütritlerin devre tasarımlarında SWAP mantık kapısı kullanılacaktır. Üç kübitlik durumlar için topolojik SWAP mantık kapısı ilk kez bu çalışmada oluşturulmuştur. Bunun için düğüm kuramı ve örgü diyagramlarının Yang-Baxter denklemi kullanılmıştır. Elde edilen üç kübitlik topolojik SWAP mantık kapısı üç kübitlik kuantum durumlarına uygulanmıştır. Ayrıca bu SWAP mantık kapısı ISK( I=1/2, S=1/2, K=1/2) spin sisteminin çarpım işlemcilerine uygulanarak beklenen sonuçlar elde edilmiştir. Yang-Baxter denklemi kullanılarak üç kütritlik topolojik SWAP mantık kapısı elde edilmiş ve uygulaması yapılmıştır. Daha sonra üç kütritlik topolojik SWAP mantık kapısının ISK( I=1, S=1, K=1) spin siteminin çarpım işlemcileri üzerine başarılı bir uygulaması gerçekleştirilmiştir. Ayrıca dört kübitlik ve dört kütritlik topolojik SWAP mantık kapılarıda ilk kez bu çalışmada oluşturulmuş ve uygulamaları yapılmıştır. Son olarak da kübitler için permütasyon matrisinden faydalanılarak bir topolojik kuantum bilgisayar devresi oluşturulmuştur.

Anahtar Kelimeler: kuantum bilgisayarları, kübit, kütrit, topolojik kuantum bilgisayarları, düğüm kuramı, Yang-Baxter denklemi, topolojik SWAP mantık kapısı, çarpım işlemci teorisi.

Abstract:
The technology of the century consists of some problems in the experimental applications of quantum computers. Topological quantum computers have been proposed to avoid these environmental and quantum mechanical errors.
In this thesis, while a single qubit is defined for the quantum states of nuclear or electron spin 1/2, a single qutrit is defined for the quantum states of spin 1. ISK (I = 1/2, S = 1/2, K = 1/2) spin system will be used for three qubit states and ISK (I = 1, S = 1, K = 1) spin system will be used for three qutrit states. The SWAP logic gate will be used in the circuit design of qubits and qutrits. The topological SWAP logic gate for three-qubit states was created for the first time in this study. For this, the knot theory and Yang-Baxter equation of lattice diagrams are used. The obtained three-qubit topological SWAP logic gate is applied to three qubit quantum states. In addition, the expected results were obtained by applying this SWAP logic gate to product operators of ISK (I = 1/2, S = 1/2, K = 1/2) spin system. Using the Yang-Baxter equation, three qutrit topological SWAP logic gate is obtained and it's application is performed. Then, a successful application of the three qutrit topological SWAP logic gate to product operators of ISK (I = 1, S = 1, K = 1) spin system was realized. In addition, four-qubit and four-qutrit topological SWAP logic gates were created for the first time in this study and their applications were made. Finally, a topological quantum computer circuit was created by using the permutation matrix for qubits.

Keywords: quantum computers, qubit, qutrit, topologic quantum computers, knottheory,Yang-Baxter equation, topologic SWAP logic gate, product operator theory.