Çevrimiçi sosyal ağlarda bilgi yayılımını modelleyen kısmi diferansiyel denklemler için düz ve ters başlangıç sınır değer problemleri
Initial and boundary value problems for partial differential equations modeling information spread on online social networks
Yazar: YASİN TURAN
Danışman: PROF. DR. MANSUR İSGENDEROĞLU
Gebze Teknik Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez çalışması, sosyal ağları temsil eden dinamik sistemler için hayati öneme sahip olan lineer ve lineer olmayan ısı denklemlerine odaklanmaktadır. Araştırmanın merkezinde, Neumann sınır koşullarının geçerli olduğu durumlarda, zamana bağlı değişen katsayının belirlenmesiyle ilgili bir ters problem yer almaktadır. Bu katsayı, sosyal ağlardaki kullanıcı yoğunluğunun zamansal ve mekansal dağılımını belirleyerek, ağın genel davranışını etkileyen kritik bir parametre olarak karşımıza çıkmaktadır. 

Özellikle, bu çalışmada ele alınan model, Fisher-KPP (Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov) modeli ile uyumlu olup, yayılım ve büyüme süreçlerinin matematiksel analizini kapsamaktadır. Fisher-KPP modeli, genellikle biyolojik popülasyonların dinamiklerini incelemek için kullanılır ve bu bağlamda sosyal ağlarda kullanıcıların etkileşimleri ve yayılımlarını modellemek için de uygun bir bilgi sunar. Modelin daha da genişletilmesi, popülasyon genetiği, Ginzburg-Landau teorisi ve Allen-Cahn eşitliği gibi alanlarda kullanılan kare veya kübik dereceden lineer olmayan modellerin incelenmesini mümkün kılar. Bu tür modeller, sadece biyoloji ve fizik alanlarında değil, aynı zamanda sosyal bilimler ve ekonomi gibi disiplinlerde de uygulama alanı bulur.

Ters problemin çözümü, özellikle Fourier yönteminin etkin kullanımı ve küçük zaman aralıklarında Banach sabit nokta prensibinin uygulanmasıyla sağlanmaktadır. İntegral operatör denkleminin sabit noktasının varlığı, problemin çözümlerine dair önemli bilgiler sunmaktadır. Fourier yöntemi, bu çalışmada incelenen lineer ve lineer olmayan sistemler için kritik öneme sahiptir.

Ayrıca, lokal kan akışının zaman ve konuma bağlı perfüzyon katsayısını modelleyen lineer ısı denklemi, yani Pennes modeli üzerinde de durulmaktadır. Pennes modeli, biyolojik dokularda ısı transferini modellemek için yaygın olarak kullanılan bir yaklaşımdır ve bu çalışmada, ilgili denklemlerin çözümleri Fourier yöntemi ve Carleman kestirimiyle elde edilmektedir. Bu teknikler, dokuda ısı transferi dinamiklerini anlamak ve modellemek için hayati öneme sahip olup, tıbbi uygulamalarda yaygın olarak kullanılmaktadır.

Sonuç olarak, sosyal ağlardaki kullanıcı yayılım süreçlerini anlamak için yeni bir perspektif sunmakta ve bu tür dinamik sistemlerin modellenmesinde matematiksel yöntemlerin etkinliğini vurgulamaktadır. Bu çalışma, özellikle tıbbi görüntüleme ve ısı transferi gibi uygulamalarda, sistem dinamiklerini daha iyi anlamak ve optimize etmek için güçlü araçlar sunmaktadır ve karmaşık sistemlerin modellenmesi ve analiz edilmesinde klasik matematiksel yöntemlerin etkinliğini vurgulamaktadır.

Abstract:
This thesis focuses on linear and nonlinear heat equations, which are of vital importance for dynamic systems representing social networks. At the center of the research is an inverse problem concerning the determination of a time-dependent coefficient under Neumann boundary conditions. This coefficient emerges as a critical parameter affecting the overall behavior of the network by determining the temporal and spatial distribution of user density within social networks.

In particular, the model considered in this study aligns with the Fisher-KPP (Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov) model, encompassing the mathematical analysis of propagation and growth processes. The Fisher-KPP model is typically used to examine the dynamics of biological populations and provides a suitable framework for modeling user interactions and dissemination in social networks. The further extension of the model allows for the examination of quadratic or cubic nonlinear models used in fields such as population genetics, Ginzburg-Landau theory, and the Allen-Cahn equation. Such models find applications not only in biology and physics but also in disciplines such as social sciences and economics.

The solution to the inverse problem is achieved through the effective use of the Fourier method and the application of the Banach fixed-point theorem in small time intervals. The existence of a fixed point for the integral operator equation sheds light on the solutions to the problem. The Fourier method is particularly crucial for the linear and nonlinear systems examined in this study.

Additionally, the thesis addresses the linear heat equation modeling the perfusion coefficient dependent on time and location for local blood flow, known as the Pennes model. The Pennes model is a widely used approach for modeling heat transfer in biological tissues, and in this study, solutions to the related equations are obtained through the Fourier method and Carleman estimates. These techniques are vital for understanding and modeling heat transfer dynamics in tissues and are commonly used in medical applications.

In conclusion, the study offers a new perspective for understanding user dissemination processes in social networks and emphasizes the effectiveness of mathematical methods in modeling such dynamic systems. This research provides powerful tools for better understanding and optimizing system dynamics, especially in applications such as medical imaging and heat transfer, and highlights the effectiveness of classical mathematical methods in modeling and analyzing complex systems.