Küme idealleri ile yeni topolojilerin elde edilmesi ve bazı özel topolojik kavramların genelleştirilmesi
Obtaining new topologies with set ideals and generalizing some special topological concepts
Yazar: FERİT YALAZ
Danışman: PROF. DR. AYNUR KESKİN KAYMAKCI
Selçuk Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2023
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Genelleştirilmiş süreklilik = Generalized continuities

Özet:
Bu tez yedi bölümden oluşmaktadır. Tezin birinci bölümünde ideal topolojik uzaylarla ilgili tarihsel bilgi, motivasyon ve tezin ana sonuçlarının literatürdeki diğer sonuçlarla olan ilişkisi  verilmiştir. İkinci bölümde ise literatürde bulunan ve tezde kullanılan kaynaklar için kısa bilgiler sunulmuştur. Tezin üçüncü bölümünde ise ana sonuçlar elde edilirken kullanılacak, literatürde var olan temel tanım ve teoremler verilmiştir. Tezin dördüncü, beşinci, altıncı ve yedinci bölümü ana sonuçlardan oluşmaktadır. Dördüncü bölümde, zayıf yarı-lokal fonksiyon kavramı tanımlandı ve özellikleri incelendi. $\Psi_{\xi}$ operatörü tanımlanarak, bu operatör yardımıyla $\sigma_{\xi}$ ve $\sigma_{\xi_0}$ supra topolojileri elde edildi. $\sigma_{\xi}$ ailesinin her zaman topoloji olmayacağına dair örnek verilirken, $\sigma_{\xi_0}$ ailesinin her zaman topoloji oluşturması veya oluşturmaması durumunun incelenmesi açık soru olarak bırakıldı.  $\sigma_{\xi}$ ve $\sigma_{\xi_0}$ aileleri ile literatürde bulunan bazı küme aileleri arasındaki ilişki gösterildi. Beşinci bölümde, $\zeta^*_\Gamma$-lokal fonksiyonu tanımlandı ve özellikleri incelendi. $\Psi_{\zeta^*_\Gamma}$ operatörü yardımıyla $\sigma_{\zeta^*_\Gamma}$ ve $\sigma_{\zeta^*_\Gamma0}$ aileleri elde edildi. Bu ailelerin birer topoloji belirttiği ve bu topolojilerin de literatürde bulunan bazı topolojilerden daha ince oldukları gösterildi. Literatürde bulunan bir açık soruya alternatif cevaplar verildi.  $\zeta^*_\Gamma$-uyumluluk kavramı tanımlandı. Bu kavramın çeşitli karakterizasyonları verildi. $\zeta^*_\Gamma$-uyumluluk ve iyi bilinen uyumluluk kavramı arasında farkı gösteren örnek var mıdır? sorusu açık soru olarak bırakıldı. $*$-neredeyse-ayrık ve $\tau^*$-neredeyse-ayrık uzay kavramları tanımlandı. $\zeta^*_\Gamma$-lokal fonksiyon ve sonlu kümeler ideali kullanılarak, $*$-neredeyse-ayrık uzaylar karakterize edildi. Altıncı bölümde, lokal kapanış fonksiyonu ve Kuratowski anlamında lokal fonksiyon kullanılarak, yeni ayrılmış küme ve yeni bağlantılı küme çeşitleri tanımlandı. Ayrıca bu yeni bağlantılılık kavramlarıyla, literatürde iyi bilinen bağlantılılık arasındaki ilişki incelendi. Bu kavramların hangi durumlarda birbirine çakışık olduğu gösterildi. Ayrıca, ara değer teoremi, ideal topolojik uzaylar kullanılarak tekrar ifade edildi. Yedinci bölümde, lokal kapanış fonksiyonu yardımıyla, literatürde bulunan bazı küme çeşitlerinin daha zayıf formları tanımlandı. Bu tanımlanan küme çeşitlerinin özellikleri incelendi ve bunlar sayesinde yeni süreklilik çeşitleri tanımlandı. İyi bilinen süreklilik ve $\mathcal{I}$-süreklilik kavramları genelleştirildi. Yine lokal kapanış fonksiyonu kullanılarak tanımlanan süreklilik çeşitleri sayesinde,  $\Gamma$-$\mathcal{I}$-süreklilik ve iyi bilinen sürekliliğin ayrışımları elde edildi.

Abstract:
This thesis consists of seven chapters. In the first chapter of the thesis, historical information about ideal topological spaces, motivation and the relationship of the main results of the thesis with other results in the literature are given. In the second chapter, brief information is presented for the references found in the literature and used in the thesis. In the third part of the thesis, the basic definitions and theorems existing in the literature that will be used when obtaining the main results are given. The fourth, fifth, sixth and seventh chapters of the thesis consist of the main results. In the fourth chapter, the concept of weak semi-local function is defined and its properties are examined. By defining the $\Psi_{\xi}$ operator, the supra topologies $\sigma_{\xi}$ and $\sigma_{\xi_0}$  are obtained with the help of this operator. While an example is given that the family $\sigma_{\xi}$  is not always be a topology, examining whether the $\sigma_{\xi_0}$ family always forms a topology or not is left as an open question. The relationship between the $\sigma_{\xi}$ and $\sigma_{\xi_0}$ families and some set families found in the literature is shown. In the fifth chapter, the $\zeta^*_\Gamma$-local function is defined and its properties are examined. With the help of $\Psi_{\zeta^*_\Gamma}$ operator, $\sigma_{\zeta^*_\Gamma}$ and $\sigma_{\zeta^*_\Gamma0}$ families are obtained. It has been shown that these families each specify a topology and  these topologies are finer than some topologies found in the literature. Alternative answers are given to an open question found in the literature. The concept of $\zeta^*_\Gamma$-compatibility is defined. Various characterizations of this concept have been given. Are there any examples that show the difference between $\zeta^*_\Gamma$-compatibility and the well-known concept of compatibility? The question is left as an open question. The concepts of $*$-almost-discrete and $\tau^*$-almost-discrete spaces are defined. Using the $\zeta^*_\Gamma$-local function and the finite set ideal, $*$-almost-discrete spaces are characterized.
In the sixth chapter, new separated set and new connected set types are defined using the local closure function and the local function in the  sense of Kuratowski. In addition, the relationship between these new concepts of connectedness and the well-known connectedness in the literature is examined. It is shown in which cases these concepts coincided with each other. Additionally, the intermediate value theorem is restated using ideal topological spaces. In the seventh chapter, weaker forms of some set types found in the literature are defined with the help of the local closure function. The characteristics of these defined cluster types were examined and new continuity types were defined thanks to these. The well-known concepts of continuity and $\mathcal{I}$-continuity are generalized. Again, thanks to the continuity types defined using the local closure function, decompositions of the $\Gamma$-$\mathcal{I}$-continuity and the well-known continuity are obtained.