Kesirli diferansiyel denklemler
Fractional differential equations
Yazar: MUHARREM AKYOL
Danışman: PROF. DR. ALİ DEMİR ; DR. ÖĞR. ÜYESİ SERTAÇ ERMAN
Kocaeli Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Dalga denklemleri = Wave equations ; Diferensiyel denklemler = Differential equations ; Kesirli türevler = Fractional derivatives ; Mittag-Leffler fonksiyonları = Mittag-Leffler functions ; Trigonometrik fonksiyonlar = Trigonometric functions

Özet:
Bu tez çalışmasında genel olarak diferansiyel denklemlerde kullanılan çözüm yöntemlerinin kesirli diferansiyel denklemlerde de uygulanabildiği üzerinde durulmuştur. İlk olarak kesirli mertebeden türevin geçmişten günümüze doğru gelişi ve günlük hayatta nerelerde kullanılacağı hakkında bilgi verilmiştir. Daha sonrasında kesirli mertebeden türev sorularında kullanılacak fonksiyon çeşitlerine ve yöntemlerine yer verilmiştir. Bu yöntemlerle kesirli mertebeden türev uygulamalarına alternatif çözümler getirilmiştir. Ayrıca kesirli mertebeden türev alma yöntemlerinin özellikleri, Laplace dönüşümleri ve Fourier dönüşümleri karşılaştırılmıştır. Kesirli mertebeden sabit katsayılı lineer homojen diferansiyel denklemlerin tanımına ve örneklerine yer verilmiş olup çözülen uygulamalardan kesirli mertebeden türev yönteminden biri olan Caputo türev tanımını kullanmanın diğer tanımlara oranla daha iyi sonuçlar verdiği belirtilmiştir. Caputo diferansiyel denklemlerin çözümlerinin de üzerinde durulmuştur. Son olarak da Dirichlet sınır ve başlangıç koşullarına tabi ardışık zaman kesirli dalga denkleminin değişkenlerin ayrılması yöntemi ile analitik çözümü oluşturulmuş olup buna ilaveten de sabit katsayılara sahip homojen olmayan FDE'nin özel çözümü bulunmuştur. Analitik çözüm, kesirli trigonometrik fonksiyonlar açısından seri biçiminde oluşturulmuştur.

Abstract:
In this thesis, it is general focused on the applicability of solution methods, used in differential equations, on fractional differential equations. Firstly, the development of fractional derivative from past to present and its applications in daily life are presented. Secondly, the types of functions and methods, used in fractional order derivative questions, are presented. By these methods, alternative solutions are obtained for applications of fractional derivative. Moreover properties of fractional derivative methods are compared with Laplace transforms and Fourier transforms. Finally, the definition and examples of fractional linear homogeneous differential equations with constant coefficients are exhibited. Furhtermore, it is emphasized that the outomes of fractional differential equations in Caputo sense are better than the ones of fractional differential equations in other senses. As a result, it is focused on the solutions of fractional differential equations in Caputo sense. Finally, the analytic solution of the time fractional wave equation subject to the Dirichlet boundary and initial conditions is constructed by the seperation of variables. In addition, a special solution of the inhomogeneous FDE with constant coefficients is obtained. The analytic solution is constructed in series form in terms of fractional trigonometric functions.