Zamana göre gecikmeli diferansiyel denklemler ve integro-diferansiyel denklemlerde kararlılık eşitsizlikleri ve nümerik çözümleri
Stability inequalities and numerical solutions for time delay differential equations
Yazar: HÜLYA ACAR
Danışman: PROF. DR. İLHAME AMİRALİ
Düzce Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez çalışmasında, farklı mertebelere sahip zamana bağlı gecikmeli Volterra integro-diferansiyel denklemlerinin özellikleri, kararlılık eşitsizlikleri ve nümerik çözümleri ele alınmıştır. İlk olarak, gecikmeli nötr tip Volterra integro-diferansiyel denklemleri için başlangıç veri fonksiyonuna göre kararlılık eşitsizlikleri oluşturulmuştur. Ardından ele alınan probleme sayısal integrasyon formüllerinden dikdörtgen metodu uygulanarak düzgün şebeke üzerinde sonlu fark şeması kurulmuştur. Yapılan bu analizler, ikinci mertebeden gecikmeli Volterra integro-diferansiyel denklemleri ile aranan fonksiyonun birinci mertebeden türevinde gecikme terimi bulunan ikinci mertebeden gecikmeli Volterra integro-diferansiyel denklemlere de uygulanmıştır. Ele alınan her bir problemin yaklaşık çözümünün, düzgün şebeke üzerinde maksimum normda düzgün yakınsak olduğu gösterilmiş ve yakınsama hızları belirlenmiştir. Ayrıca iki probleme de yamuk metodu uygulanarak fark şemaları oluşturulmuştur. Her bir problemin yaklaşık çözümünün kesin çözüme ayrık maksimum normda düzgün yakınsak olduğu gösterilmiş ve yakınsama hızları belirlenmiştir. Son olarak, yüksek mertebeden gecikmeli lineer Volterra integro-diferansiyel denklemlerinin kararlılık eşitsizlikleri elde edilmiştir. Burada yöntemin sadece düşük mertebeden türev içeren fonksiyonların kararlılık eşitsizliklerinin oluşturulmasında değil, aynı zamanda herhangi yüksek mertebeden denklemlerin kararlılık eşitsizliklerinin oluşturulmasında da kullanılabileceği gösterilmiştir. Elde edilen teorik sonuçların nümerik sonuçlar ile uyumlu olduğu gösterilerek, teorik sonuçlar sayısal örnekler ve bu örneklerin MatLab uygulaması yardımıyla elde edilen tablo ve grafikler ile desteklenmiştir.

Abstract:
This thesis addresses the characteristics, stability inequalities and numerical solutions of time-delay Volterra integro-differential equations at various orders. Initially, stability inequalities have been formulated based on the initial data function for neutral Volterra integro-differential equations. Furthermore, the rectangle method from numerical integration formulas is applied to the problem to construct a finite difference scheme on a uniform mesh. Linear second-order delay Volterra integro-differential equations and linear second-order delay Volterra integro-differential equations with a delay component in the first-order derivative of the desired function have also been subjected to these analyses. It has been demonstrated that the approximate solution of each problem converges uniformly on a uniform mesh to the exact solution and convergence rates have been determined. Furthermore, for two different types of problems, finite difference schemes have been separately established using the trapezoidal method. It is shown that the approximate solution of each problem converges uniformly in the discrete maximum norm to the exact solution and convergence rates are determined. Finally, stability inequalities for high-order delay Volterra integro-differential equations are obtained. It is demonstrated that the method can be used not only to establish stability inequalities for functions containing only low-order derivatives but also for any high-order equations. Theoretical results have been supported by demonstrating their compatibility with numerical results and theoretical findings are supplemented with numerical examples, tables as well as graphs obtained through the use of MatLab.