Olasılıkçıl evrim kuramı ile çok nesnecikli dizgelerin deviniminin incelenişi ve Padé oranlarıyla da yaklaştırım
Analysis of the motion of many particle problem by using probabilistic evolution theory and approximation with Padé approximants
Yazar: ELİF TATAROĞLU
Danışman: PROF. DR. METİN DEMİRALP
İstanbul Teknik Üniversitesi / Bilişim Enstitüsü / Hesaplamalı Bilimler ve Mühendislik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2017
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Olasılıkçıl Evrim Kuramı (OLEVKU), belirtik ve özerk (ing: autonomous) sıradan türevli denklemlerin ya da denklem takımının bas¸langıç de˘ger sorununun çözümü için kullanılan ve son 10 yıl içerisinde gelis¸tirilen bir kuramdır. Bas¸langıç olarakt zaman de˘gis¸kenine ba˘gımlı olan bir sıradan türevli denklem (STD) takımı alınır. Alınan bu denklem takımındaki t de˘gis¸kenine ba˘gımlılık denklemin özerk bir yapıda olus¸unu engeller. Ancak bas¸langıç de˘geri an+1 olan yeni bir xn+1(t) de˘gis¸keni ekleyerek özerk olmayan yapıdaki bu denklem takımını özerk duruma getirilebilir. Sonrasında seri açılım noktası kullanılarak sıradan türevli denklem yeniden yazılır. Ek olarak yöntem için önemli bir olgu olan Kronecker çarpımı olgusuna yer verilir ve sa˘g yöneyi Kronecker üslüleri kullanılarak yeniden yazılır. Bu yazımda denklemin sa˘g yanında Fj dizeyi ile s(t) is¸levlerinin Kronecker üslülerinin çarpımı yer alır. s(t) is¸levleri n×1 boyutundadır. Bu demektedir ki s(t)⊗j is¸levi nj ö˘gelidir. Çarpımın sonucu nj×1 boyutunda oldu˘gundan dolayı, Fj dizeyi n×nj boyutunda olmalıdır. Di˘ger bir deyis¸le Fj dizeyi j = 0 iken n ö˘geli olan, ancak j'nin 2 ve daha büyük de˘gerleri için genis¸li˘gi katlanarak artan dikdörtgen bir dizeydir. Tüm bu yapılan tanımlamalar sonunda en genel hali ile x(0) = a bas¸langıç de˘geri olan bir ikinci derece sa˘g yanlı bir OLEVKU ba˘gıntısı as¸a˘gıdaki s¸ekilde yazılabilir.
˙ x(t) = F0+F1x(t)+F2x(t)⊗2, x(0) =a (1)
(1)sırasayılıes¸itli˘gean+1 de˘gis¸mezieklenerekuzaygenis¸letilirvebuis¸lemeDe˘gis¸mez Eklenimli Uzay Genis¸letimi (DEUG) adı verilir. De˘gis¸mezin eklenimi ile F0 0 olarak ve F1 β katsayılı I birim dizeyine orantılı olarak elde edilir. Elde edilen bu ba˘gıntının sa˘g yanı eβt parantezine alınır, ancak bu is¸lem ile denklemin özerk yapısı yitirilmis¸ olunur. Yeniden özerk yapıyı elde etmek için t'ye olan ba˘gımlılık yeni bir u is¸levi tanımlanarak u'lar üzerinden gösterilir. Elde edilen son ba˘gıntıda dolaysız üslü türev alınır. Bu is¸lem sonunda elde edilen ba˘gıntıdan yararlanarak bakaç dizeyi (ing: monocular matrix) ve ırakgörür dizey (ing: telescope matrix) tanımları yapılır. Irakgörür dizeyler ile ilgili söylenebilecek en önemli olgu, j. ırakgörür dizeyinin, ilk j bakaç dizeyin çarpımı ile elde ediliyor olus¸udur. u is¸levleri kullanılarak yeniden yazılanba˘gıntıdau'yagöretümlevalarakm. Kroneckerçarpımıiçerenyenibirba˘gıntı elde edilir ve bu ba˘gıntıda m → ∞ iken kalan terimin sıfırlanaca˘gı öngörümü ile kalansız çözümü veren ba˘gıntıya ulas¸ılır. OLEVKU için en önemli olgulardan biri olan dördülles¸tirim olgusuna yer verilerek, ırakgörür dizeyleri içeren ba˘gıntı dördül ırakgörür dizeyler türünden yeniden yazılır. Bu sayede boyutu çok yüksek ve oldukça fazla 0 de˘geri içeren dikdörtgen dizeyler yerine daha az 0 içeren dördül dizeyler ile ilerlenir. Elde edilen son denklemin sa˘g yan dördülles¸tirimi yapılır ve toplam diziye
xvii
açılır. Ba˘gıntıda yer alan u'nun üslülerinin birbirinden ba˘gımsız olus¸ları kullanılarak her iki yanda aynı toplamdizi altında kalan ve aynı katsayıya sahip olan terimler birbirine es¸itlenir. Bu olgu OLEVKU için di˘ger önemli gelis¸melerden biri olan özyineleme ba˘gıntısını gündeme getirir. Yakın geçmis¸te bu özyineleyis¸in yöneyler ve dizeyler üzerinde geçerli oldu˘gu kanıtlanmıs¸tır. Kuramın son as¸aması olarak bu özyineleyis¸in kanıtlanıs¸ına yer verilir. Aras¸tırmalar sırasında Olasılıkçıl Evrim Kuramı'nda kullanılan Kronecker çarpımı ile ilgili yeni bir olgu olan Kronecker üslü uzaylar olgusu gündeme gelmis¸tir. Bu ba˘glamda farklı Kronecker üslüne ve ö˘ge sayıları için elde edilen yöneyler incelenmis¸tir. ˙Inceleyis¸te iki ö˘geli yöneylerin ikinci, üçüncü, dördüncü ve bes¸inci Kronecker üslüleri, üç ö˘geli yöneylerin ikinci ve üçüncü Kronecker üslülerine yer verilmis¸tir. ˙Inceleyis¸ler sonunda iki ö˘geli yöneyler için genel bir anlatım gelis¸tirilmis¸ ve yöneyin ö˘ge sayısı farketmeksizin tek sayılı Kronecker üslülerinin bulundu˘gu uzayın bir altuzay olus¸turdu˘gu, ancak çift sayılı Kronecker üslülerinin bulundu˘gu uzayınbiraltuzayolus¸turamayaca˘gı,dahaözelbirdurumolankatman(ing: manifold) olus¸turdu˘gu olgusu gösterilmis¸ ve kısaca katman, harita ve atlas kavramlarına yer verilmis¸tir. Tezin gündeminde olan di˘ger bir önemli olgu da gökmekani˘gindeki iki nesnecik sorununa OLEVKU ba˘glamında yaklas¸ımdır. Bunun için dizgenin Hamilton is¸levi yazılmıs¸ ve Hamilton is¸levinde ilgili de˘gis¸kene göre türev alarak konum ve devinirlik ba˘gıntıları yazılmıs¸tır. Her iki nesneci˘gin üç boyuttaki devinirlik biles¸enleri birbiri ile toplanarak yeni devinirlik tanımları yapılmıs¸ ve denklemler yeniden yazılmıs¸tır. Benzer s¸ekilde konum konaçlarının ö˘geleri farkına yeni birer de˘gis¸ken gözüyle bakılmıs¸tır. Ek olarak indirgenmis¸ kütle tanımı yapılmıs¸ ve tüm bu tanımlamalardan yararlanarak bas¸taki 12 denklemli devinim her biri 3 denklemli olan iki ayrıs¸ık devinime dönüs¸türülmüs¸tür. Böylece, Hamilton is¸levi kütle öze˘gi ve ba˘gıl devinim ile ilgili olarak iki kesime ayrılmıs¸ bulunmakla birlikte toplam de˘gis¸ken sayısı 6'ya indirgenmis¸tir. ˙ Iki nesnecik sorunu ile ilgili yazılan ba˘gıntılar, yöneyler kullanılarak yeniden yazılmıs¸tır. Ba˘gıl konaçlar (ing: coordinates) kullanılarak dizgenin do˘grucul ba˘gıl devinimdenklemleriyazılmıs¸ vebas¸langıçyöneylerinindo˘gruculba˘gımlıveba˘gımsız olma durumları incelenmis¸tir. Açısal devinirilik olgusuna yer verilmis¸ ve çembercil konaçlarda açısal devinirlik incelenmis¸tir. Çembercil konaçları kullanabilmek için yeni konaç tanımları yapılmıs¸tır. Konum üzerinde yapılan tüm bu is¸lemler devinirlik yöneyi içinde yapılmıs¸tır. Konum ve devinirlik ba˘gıntıları üzerinde yapılan is¸lemler ile bas¸larda 12 olan, sonra 6'ya indirgenen bilinmeyen sayısı 4'e indirgenmis¸tir. Son durumda toplam 4 ba˘gıntı elde edilmis¸tir. Çembercil konaçlarda yarıçapçıl devinim incelenmis¸tir. Bu incelenis¸ sonunda tümlev altında bir ba˘gıntı elde edilir. Bu adım analitik çözüme geçilen bir adım olmasından dolayıönemlibiradımdır. Buis¸lemba˘gıntıdakitümbilinmeyende˘gerlerhesaplanarak ve sayısal tümlev alınarak elde edilir.
xviii
Bu ana kadar yapılan tanımlamalar sonucunda ba˘gıntıların yeniden yazılması ile r0(t) ve p0 r(t) olmak üzere 2 sıradan türevli denklem as¸a˘gıdaki s¸ekilde elde edilir.
r0(t) =
pr(t) µ , r(0) = r0
(2)
p0 r(t) =
p2 ϑ,0 µ
1 r(t)3 −
ν r(t)2, pr(0) = pr,0 Bu 2 sıradan türevli denklem OLEVKU uygulanacak olan denklemlerdir. OLEVKU ba˘glamında sa˘g yanı en çok ikinci dereceden çokterimlilerden olus¸an ba˘gıntılar yazılmalıdır. Bu nedenle uzay genis¸letimi olgusu gündeme gelmis¸tir. Uzay genis¸letiminde adım adım u1(t), u2(t), u3(t) ve u4(t) is¸levleri tanımlanır. Bu is¸levler kullanılarak elde bulunan 2 sıradan türevli denklemden sa˘g yanı en çok ikinci dereceden çokterimlilerden olus¸an 6 denklem elde edilmis¸tir. Elde edilen bu 6 denklemi ö˘gesi olarak alan bir x(t) yöneyi tanımlanır ve bu x(t) yöneyi kullanılarak ikinci derece sa˘g yanlı OLEVKU ba˘gıntısı yazılır. ˙Iki nesnecik sorunu ba˘glamında F0, F1 ve F2 yazılır. Yöneye bir bilinmeyen eklenerek, di˘ger bir deyis¸le DEUG uygulanarak denklem sayısı ve yöneyin boyu 1 arttırılır. Bu is¸lem ile en çok ikinci derecesa˘gyanlıyapısındaolanis¸levler,saltikinciderecesa˘gyanlıçokterimliis¸levlere dönüs¸türülür. Elde edilen son ba˘gıntıda dördülles¸tirim uygulanarak OLEVKU seri çözümününyeraldı˘gıba˘gıntıeldeedilir. Sonba˘gıntıdanx(t)yöneyininö˘geleriis¸levler olarak elde edilir ve elde edilen bu is¸levlere Padé yaklas¸tıranları uygulanarak çözüme yaklas¸ılır. Sav çalıs¸masında, Padé yaklas¸tıranları olarak, Padé yaklas¸tıranları tablosunda kös¸egende yer alan [1,1], [2,2], [3,3], [4,4], [5,5] ikileri, kös¸egenin hemen üzerinde kalan [1,2], [2,3], [3,4], [4,5] ikilileri ve kös¸egenin hemen altında kalan [2,1], [3,2], [4,3], [5,4] ikileri kullanılmıs¸tır. Uygulamalarda Olasılıkçıl Evrim Kuramı'nın yakınsaklık bölgesi içinde kalan [0,1] aralı˘gı, Olasılıkçıl Evrim Kuramı'nın yakınsaklık bölgesi dıs¸ında kalan [−2,0] aralı˘gı ve Olasılıkçıl Evrim Kuramı'nın hem yakınsaklık bölgesi içinde hem de yakınsaklık bölgesi dıs¸ında kalan [0,2] aralı˘gı incelenmis¸tir. ˙Incelemeler sonucunda Padé yaklas¸tıranları kullanılarak elde edilen sonuçların daha iyi yakınsadı˘gı, Olasılıkçıl Evrim Kuramı'nın yakınsaklık bölgesi dıs¸ında kalan aralıktaki yakınsamayı da Olasılıkçıl Evrim Kuramı'ndan daha az salınım göstererek yaptı˘gı gözlemlenmis¸tir.

Abstract:
Probabilistic Evolution Theory has been proposed and developed in few recent years. It is established to solve the initial value problems of the explicit ﬁrst order ODEs or ODE sets, beyond that, to investigate certain properties of the solutions. As a start, we take an explicit ODE with a time depencence which is shown as t. The explicit time (independent variable t) dependence makes the descriptive vector functionnonautonomous. Thismeansthestructureofthedescriptivefunctionchanges from time instant to time instant. Without any generality loss it is always possible to change nonautonomy to autonomy by adding a new unknown xn+1(t) which is in fact just t and the accompanying initial value an+1 to the unknown vector and initial vector respectively. After that we rewrite the ODEs by using the expansion point. Moreover, Kronecker product and Kronecker power series deﬁnitions are given. After giving information and deﬁnitions about Kronecker powers, the descriptive function vector can be written by using Kronecker power series as a product ofFj matrices and Kronecker powers ofs(t) functions where j∈[0,∞]. The function s(t) has n elements each of which is an unknown function. Hence its type n×1. This makes the number oftheelementsins(t)⊗j nj. HencethisKroneckerpower'stypeisnj×1. Ontheother hand, the binary product Fjs(t)⊗j must be of the type n×1. This means that the type ofthematrixFj shouldben×nj. Inotherwords,Fj isavectorofnelementsfor j =0 while it becomes an n×n type square matrix whereas for all js greater than or equal to 2 it becomes an horizontal rectanguar matrix whose width increase very rapidly as grows unboundedly while its height remain constant. Byusingtheabovementioneddeﬁnitions,thesimplestconicalcasethroughPREVTH can be written as follows.
˙ x(t) = F0+F1x(t)+F2x(t)⊗2, x(0) =a (3)
Furthermore,ontheotherhand,justextendingthespacebyimportingaconstanttothe unknowns, which is called Constancy Adding Space Extension (CASE), it is possible to get rid of F0 and to make the matrix F1 proportional to the correspondant identity matrix with a coefﬁcient β. So even conicality is reduced to a very efﬁcient structure which facilitates the further analysis pretty much. After these procedures, the right handside function of the equation is put in brackets by using a coefﬁcient eβt. By doing this, the autonomous structure is changed into nonautonomous structure. To have the autonomous structure again, the dependency to t can be written by deﬁning a new u function. By taking derivatives in the last equation, the monocular matrix and telescope matrix deﬁnitions are given. It is important to mention about telescope matrix that jth telescope matrix Tj uses ﬁrst j monocular matrices in a cascaded way xxi
such that it brings the image from nj+1 dimensional space to n dimensional space. Eventhoughitrealizessomehowadirecttransferitusesthemonocularmatricesasthe intermediate agents. After taking the integral in the last equation, a new equation is obtained with m.th Kronecker power. It is possible to obtain a solution without any resudial by using the last equation with the prediction while m → ∞. As a next step, squariﬁcation deﬁnition is given and the equation is rewritten by using this deﬁnition. Moreover, it is important to use the information that the powers of u are independent. By using this information,itcanbesaidthatthetermsunderthesamesumwiththesamecoefﬁcient are equal. This step brings into question recursion which is one of the most important developmentaboutPREVTH.Theproofoftherecursion,whichisdonebyDemiralp's group, is given for both vectors and matrices. After giving details about PREVTH, another new development and a new perspective about Kronecker powers is deﬁned and detailed which is Kronecker power spaces. For this deﬁnition, different Kronecker powers and vectors with different number of elements are considered. In this research, second, third, fourth and ﬁfth Kronecker powers of two element vectors, second and third Kronecker powers of three element vectors are used. At the end of this research, a generalized equation is deﬁned for two element vectors. Additionally, it is considered that if the Kronecker power is an odd number, the vectors are located in a subspace. On the contrary, if the Kronecker powerisanevennumber,thevectorsarenotlocatedinasubspace,theyarelocatedina manifoldwhichisaspecialdeﬁnition. Andbrieﬂy,manifold,mapandatlasdeﬁnitions are given. Then, two particles celestial mechanical system interacting via central forces has been taken as the targets. A two particle system in Classical Mechanics has totally twelve unknown temporal function such that the positions of two particles in three dimensional physical Cartesian space can be described by totally six unknown temporally varying functions while the velocities of those two particles are described by six temporally varying unknown functions. The equations of motion for this systemisdeﬁnedthroughequationsamongstthepartialderivativeofasystemfunction describing the total energy of the system. The resulting equations are rst order ODEs on the unknowns positions and momenta hence they are composed of twelve ODEs. The mass center positions and their relevant momentum unknowns (totally six unknowns)canbeseparatedoutaslongastheotherunknownsareorganizedasrelative coordinates (the coordinates of one particle relative to the other). The equations of mass center describe the motion of a free particle under no external inﬂuence and they can be solved analytically. Considering the differences between positions as new relative position unknowns help us to write the distance function by using three unknowns. If we consider that there are three unknowns for the momentum too, this means there are totally six unknowns whichislessunknownsthanthebeginning. Byusingthenewdeﬁnedrelativepositions and description function it is possible to construct the relative motion equations. Two case are analyzed whether the initial position and momentum vectors are linearly independent or not. Above analysis implies that the two particle system's motion can be described in the plane where the initial position and momentum vectors reside. This means there will be just four unknowns and four ODEs with appropriate initial
xxii
conditions. It is very important that we began with twelve unknowns at the beginnig and now we have only four unknowns. The sole dependence of the potential on a single distance function reminds us to use the circular (polar) coordinates. New unit vectors are deﬁned and it is noticed that the newdeﬁnedunitvectorsvaryintimesotheyhavenon-vanishingtemporalderivatives. As a next step, we can use the angular momentum conservation law in construction of the equations of motion in circular coordinates. By using the radial momentum and angular momentum, all the equations are rewritten. It is possible to solve the last equation analytically. Instead of the solution of the equation one can seek a relation between the polar coordinate evolutions. At the end of these evolutions, we take the following two ODEs as the target of PREVTH.
r0(t) =
pr(t) µ , r(0) = r0
(4)
p0 r(t) =
p2 ϑ,0 µ
1 r(t)3 −
ν r(t)2, pr(0) = pr,0 Even though PREVTH expects conicality (second degree multinomiality) at the right hand side of target ODEs, these ODEs do not have such type of right hand sides. However it is possible to use space extension herein. As steps of space extension u1(t), u2(t), u3(t) and u4(t) functions are deﬁned. After applying space extension, we obtain6equationswhichareinconicalstructureandappropriatefortheapplicationof PREVTH. We can rewrite these equations concise form which is given in the (3). For our two particle system F0 = 06 and F1 is composed of two outer products from six dimensional Cartesian space standard unit vectors while F2 is a rectangular matrix of 6×36 type. After Constancy Adding Space Extension (CASE) is applied, which adds justaconstantfunctionasanewunknown,thenumberofequationsandthedimension of the vector increases by one. After that by using the squariﬁed telescope matrices, the Kronecker power series equation is obtained. Each element of PREVTH solution vector can be individually approximated by certain Padé approximants. The main r(t) and pr(t) functions will be taken as the targets of approximation implementation. In this thesis, Padé approximants are reprensented by using [n,m] couples. n reprensents the degree of numerator and m reprensents the degree of denominator. Intheimplementation, [1,1], [2,2], [3,3], [4,4] and [5,5] couplesareusedwhichreside on diagonal in the Padé table, [1,2], [2,3], [3,4], [4,5] couples are used which reside just above the diagonal in the Padé table and [2,1], [3,2], [4,3], [5,4] couples are used which reside just below the diagonal in the Padé table. In this work, [0,1], [−2,0] and [0,2] intervals are used to approach the functions. It is important to tell that the results are very parallel to what we have expected in the convergence properties at the beginning of this study.