Klasik mekanikte eylem fonksiyonelinin ikinci varyasyonu
Second variation of action functional in classical mechanics
Yazar: FERİHA GÜRMAN
Danışman: DOÇ. DR. ŞENAY BAYDAŞ
Yüzüncü Yıl Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2017
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Klasik mekanikteki eylem fonksiyonelinin birinci ve ikinci varyasyonlarının incelendiği bu tez altı bölümden oluşmaktadır.
Birinci bölümde tezin amacı ve önemi anlatılmıştır. İkinci bölümde literatür bildirişine yer verilmiştir. 
Üçüncü bölümde tek değişkenli ve çok değişkenli fonksiyonların ekstremum şartları, fonksiyonel tanımı, birinci varyasyon, Euler-Lagrange denklemi, iki bağımsız değişkenli durum ve yüksek mertebeden türevler içeren fonksiyoneller için Euler-Lagrange denklemi verilmiştir. Ayrıca bir fonksiyonelin ekstremum üretmesi için gerekli şartın, birinci varyasyonunun sıfıra eşitliği veya buna eşdeğer olan Euler-Lagrange denkleminin sağlanması gerektiği gösterilmiş ve bu şartları kolaylaştıran özel durumlara yer verilmiştir.
Dördüncü bölümde klasik mekanik ve varyasyonlar hesabı incelenmiştir. Bu bölümde eylem fonksiyoneli, birkaç bağımlı değişken durumu, varyasyonlar hesabının başlangıç problemi Brachystochrone problemi, Fermat ilkesi, zincir problemi ve çeşitli problemler verilip bu problemler çözülmüştür.
Beşinci bölümde ele alınan eylem (etki) fonksiyonelinin varyasyonlar hesabı ile ikinci varyasyonu verilmiştir. Daha sonra eylem fonksiyoneli üzerine Legendre şartı uygulanmış ve eylem fonksiyonelini minimum yapan şartlar oluşturulmuştur. Ayrıca gösterilmiştir ki eylem fonksiyonelinin minimum olma şartı kütlenin pozitif olma şartını doğurur. Altıncı bölümde sonuçlar verilmiştir.

Abstract:
This thesis which investigates first and second variations of the action functional in classical mechanics consists of six parts.  
In the first chapter, the purpose and importance of the thesis are explained, and in the second chapter, literature notice is given.
In the third chapter, extreme conditions of univariate and multivariate functions, description of functional, first variation, Euler-Lagrange equation, the case of two independent variables and Euler-Lagrange equation for functionals with higher order derivatives are given. In addition, it is denoted that the necessary condition for generating an extremum value of a functional is that the first variation is equal to zero or equivalently, it's showed that Euler-Lagrange equation must be provided and special cases facilitating these conditions are included.
In the fourth chapter, classical mechanics and calculus of variations are examined. In this chapter, action functional, cases of several dependent variables, initial problem of calculus of variations, that is Brachystochrone problem, Fermat principle, chain problem and various problems are given and these problems are solved.
In the fifth chapter, second variations of the action functional with calculus of variations are given. After that, the Legendre condition is applied on the action functional and the conditions which minimize the action functional are established. It has been demonstrated that the condition of action functional to be minimum leads to the condition of the mass tensor being positive. In the sixth chapter, conclusion is given.