Parçalı sabit katsayılı sturm-liouville ikinci dereceden demeti için tüm eksende düz ve ters saçılma problemi
Direct and inverse scattering problem on the entire line for the quadratic pencil of the sturm-liouville equation with a piecewise constant coefficient
Yazar: DÖNDÜ NURTEN CÜCEN
Danışman: PROF. DR. ANAR ADİLOĞLU
Süleyman Demirel Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2023
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Diferensiyel denklemler = Differential equations ; İntegral denklemler = Integral equations

Özet:
Potansiyeli enerji parametresine lineer bağlı olan bir boyutlu Schrödinger denklemi, genelleştirilmis ̧Schrödinger denklemi veya Sturm-Liouville denkleminin ikinci dereceden demeti olarak da bilinmektedir. Bu türden adi diferansiyel denklemler nonlineer Schrödinger denklemi, Klein-Gordon denklemi, Korteveg de Vries denklemi gibi lineer olmayan kısmı türevli diferansiyel denklemler için Cauchy problemi çözülürken ortaya çıkmaktadır. Ters saçılma yöntemi olarak bilinen bir yöntem özel operatör çiftlerinin yardımı ile yukarıda ismi geçen lineer olmayan diferansiyel denklemlerin çözümünün bulunması problemini potansiyeli enerji parametresine lineer bağlı olan bir boyutlu Schrödinger denklemi tipinden denklemler için ters saçılma probleminin çözümünün bulunması problemine indirgemektedir. Bu anlamda araştırılan adi diferansiyel denklemler için spektral analizin düz ve ters problemlerinin çözümü önem taşımaktadır. Uygulama açısından önemli olduğu için son yıllarda araştırma nesnesi olan diferansiyel denklemlerin parçalı sabit bir süreksiz katsayıya sahip olması sık sık karşılaşılan bir durumdur ve bu türden çoğu spektral problemler araştırmacıların odak noktasıdır. Süreksiz katsayılı diferansiyel denklemler için çözümlerin yapısında klasik durumdakinden farklı bir etken ortaya çıkmakta ve bu etkenden dolayı problemin çözümüne klasik durumdan farklı bir yaklaşımın geliştirilmesi gerekmektedir. Bu bağlamda süreksiz katsayılı Sturm-Liouville denkleminin ikinci dereceden demeti için tüm eksende düz ve ters saçılma problemlerinin tam çözümü henüz literatürde yer almamaktadır.
Bu doktora tez çalışmasında bir sınıf azalan potansiyel fonksiyonlarına sahip süreksiz katsayılı Sturm-Liouville denkleminin ikinci dereceden demeti için saçılma teorisinin düz ve ters problemlerini incelemekteyiz. Öncelikle düz problem ele alınarak, bilinen potansiyel fonksiyonlarına göre süreksiz katsayılı Sturm-Liouville denkleminin ikinci dereceden demetinin x → +∞ ve x → −∞ iken Jost koşullarını sağlayan çözümleri için Fourier integrali türünden integral ifadeler elde edilmiş ve problemin spektral özellikleri incelenmiştir. Çözümler için olan bu integral gösterimin çekirdek fonksiyonları süreksizliğe sahip olduğu için denklemin potansiyel fonksiyonları ile çekirdek fonksiyonları arasındaki ilişki çok karmaşık yapıya sahip olmakla birlikte bu ilişkiden yararlanarak ters problemin çözümünde temel rolü olan Fadeev- Marchenko türünden yeni integral denklemlere ulaşmak mümkün olmuştur. Ters problemin çözümü ise ayrık spektrumun bulunmadığı özel durumda saçılma verilerinden yola çıkarak Faddeev-Marchenko türünden integral denklemlerin tek türlü çözülebilirliğinden elde edilmiş ̧, Sturm-Liouville demetinin birebir rekonstruksiyonu için gerek ve yeter koşullar ifade edilmiştir.

Abstract:
The one-dimensional Schrödinger equation, the potential of which depends linearly on the energy parameter, is also known as the generalized Schrödinger equation or the quadratic pencil of the Sturm-Liouville equation. This type of ordinary differential equation arises from solving the Cauchy problem for nonlinear partial differential equations such as the nonlinear Schrödinger equation, the Klein-Gordon equation, and the Korteweg-de Vries equation. The method, known as the inverse scattering method, reduces the problem of finding a solution to the above-mentioned nonlinear differential equations using special pairs of operators to the problem of finding a solution to the inverse scattering problem for equations of the type of one-dimensional Schrödinger equation whose potential is linearly dependent on the spectral parameter. In this sense, solving direct and inverse problems of spectral analysis is important for the ordinary differential equations under study. A common situation is that differential equations, which have become the subject of research in recent years due to their importance in terms of application, have a piecewise constant discontinuity coefficient. For differential equations with discontinuous coefficients, a different factor emerges in the structure of the solutions than in the classical case, and due to this factor, a different approach to the solution of the problem than the classical case needs to be developed. In this regard, in the literature there is still no complete solution to the direct and inverse scattering problems on the entire axis for the second-order pencil of the Sturm-Liouville equation with discontinuous coefficients.
In this thesis, we examine the direct and inverse problems of scattering theory for the second order pencil of the Sturm-Liouville equation with discontinuous coefficients with a class of decreasing potential functions. First of all, using the known potential functions , by considering the direct problem, integral expressions of the type of Fourier integrals were obtained for solutions of the second-order pencil of the Sturm-Liouville equation with discontinuous coefficients, satisfying the Jost conditions for x → +∞ and x → −∞, and the spectral properties of the problem were investigated. Since the kernel functions of this integral representation for the solutions have discontinuity, the relationship between the potential functions of the equation and the kernel functions has a very complex structure, but by taking advantage of this relationship, it has become possible to reach new integral equations of the Fadeev-Marchenko type, which have a fundamental role in the solution of the inverse problem. The solution of the inverse problem is obtained from the unique solvability of the integral equations of the Faddeev-Marchenko type, based on the scattering data in the special case where there is no discrete spectrum, and the necessary and sufficient conditions are given for the exact reconstruction of the Sturm-Liouville pencil.