Sonsuz bir tabakada sınırda, zamana bağlı, ani bir yerdeğiştirmenin etkilerinin sınır eleman yöntemi ile çözümü
The solution of the effects of a traansient time- dependent boundary displacement in an infinite layer by bem
Yazar: CÜNEYT ÖZTÜRK
Danışman: PROF. DR. FATMA NECLA KADIOĞLU
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / İnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Yapı Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2011
Konu: İnşaat Mühendisliği = Civil Engineering
Dizin: Elastodinamik = Elastodynamic ; Sınır elemanlar yöntemi = Boundary element method

Özet:
Bu çalışmada alt sınırına ani bir yatay yerdeğiştirme verilen bir tabakanın üst yüzeyinde meydana gelen yerdeğiştirme ve alt yüzeyinde meydana gelen gerilme alanları incelenmiştir. Problem dinamik bir karışık sınır değer problemidir ve BEM ile çözülmüştür. Bu çözüm sırasında BEM yönteminin temelini oluşturan bir integral denklem esas alınmıştır. Bu integral denklemin nasıl yazıldığı şöyle açıklanabilir. Çözülmek istenen problem bir elastodinamik hal olarak tanımlanmıştır. Ayrıca malzeme sabitleri çözülecek probleminki ile aynı sonsuz bir ortamda bir koordinat ekseni doğrultusunda belli bir noktaya yüklenen birim şiddette bir kütle kuvvetinden dolayı oluşan yerdeğiştirme ve gerilme alanları da bir elastodinamik hal tarif etmektedir. Bu iki elastodinamik hal arasında yazılan karşıtlık teoremi yukarıda bahsedilen integral denklemi verecektir. Problemin bilinmeyenleri alt sınırdaki gerilmeler ve üst sınırdaki yerdeğiştirmelerdir.Problem sınır eleman yöntemi ile iki aşamada çözülmüştür. Birinci aşamada alt sınırdan yayılan dalgalar üst sınıra henüz ulaşamamıştır. Bu zaman aralığında problem karışık sınır değer problemi değildir ve problemin bilinmeyenleri sadece alt sınırdaki gerilme bileşenleridir. Problemin ikinci aşamasında ise bütün sınırda hareket vardır. Ancak burada alt sınırın hareketli bölgesinin belli bir uzunlukta olduğu kabul edilmiştir. Buna mukabil üst sınırdaki hareketli bölge zamanla artmaktadır. Karşıtlık teoreminin ifadesinde ortaya çıkan kütle kuvveti ile ilgili hacim integralleri kapalı olarak her iki halde de hesaplanabilmektedir. Özellikle bu terimlerin hesabı orjinaldir. İntegrallerin üzerinde hesaplandığı hacmin de zamanla değiştiği göz önüne alınmıştır. Problem iki boyutludur. Her iki aşamada da çözülmek istenen integral denklem BEM kullanılarak çözülmüştür. BEM formülasyonunda yüzey integralleri tek hacim integralleri iki boyutlu olur. Yapılan işlem şu şekilde özetlenebilir. Herhangi bir t anı için bu integral denklem doğrusal cebrik bir denklem sistemine indirgenmiştir. Bu denklem takımının çözümü o t anı için bilinmeyenleri vermektedir. Bütün sınır doğrusal elemanlara bölünmüştür ve doğrusal elemanların uç noktaları nodal noktalar olarak isimlendirilmiştir. Gerekli denklem takımını elde edebilmek için bu nodal noktaların her birinde iki doğrultuda birim yükleme yapıldığı düşünülmüştür. Her doğrusal elemanda bilinmeyen fonksiyonlar için uç değerlerine bağlı olmak üzere doğrusal bir yaklaşım fonksiyonunun geçerli olduğu varsayılmıştır. Aynı durum zaman ekseni için de geçerlidir. Sonuçta yüzey integralleri doğrusal elemanların üzerindeki integrallere parçalanır. Zaman üzerindeki integraller ise yine doğrusal elemanlar üzerinde alınmaktadır ve doğrusal cebrik denklem takımının bilinmeyenleri o t anında nodal noktalardaki gerilme veya şekil değiştirme bileşenlerinin değerleridirler. Yükleme daima nodal noktalar üzerinde yani sınırda yapıldığı ve integraller de yüzey üzerinde alındığı için yükleme noktasının üzerinde bulunduğu iki elemanda hesaplanan integraller tekillik içerir. Bu tekillikleri yok edebilmek için bu elemanlar üzerindeki integraller kapalı olarak hesaplanmıştır. Ayrıca yükleme noktası sınırın dışına atılarak olası diğer tekillikler de engellenmiştir. Yok edilemeyen tekillikler ise denklem takımı oluşurken birbirini yok etmektedir. Sonuçta zamana bağlı olarak alt sınırda gerilme ve üst sınırdaki yerdeğiştirme bileşenleri zamana bağlı olarak hesaplanmıştır.

Abstract:
In this work, a horizontal layer is investigated. There is a sudden horizontal, initial displacement on the lower surface of this layer and the stress field on the lower surface and the displacement field the upper surface determined as the functions of time. Problem is a dynamic, mixed-boundary value problem and is solved by BEM. During the solution process, an integral equation which is the base of BEM is used. This integral equation can be explained as follows: The problem which will be solved is defined as an elastodynamic state. Besides another elastodynamic state is also defined. This second elastodynamic state corresponds to the stress and displacement fields arising due to a body force, acting at a specific point with unit magnitude in the direction of one of the Cartesian coordinate axes, in an infinite medium, having the same elastic constants with the problem. The dynamic reciprocal identity which is written between these two elastic dynamic states, will give the integral equation mentioned above. The unknowns of the problem are the surface tractions at the lower boundary and the displacements at the upper boundary. Problem is solved by BEM in two stages. In the first stage, the waves propagating from lower boundary have not reached to the upper boundary yet. In this time interval, problem is not a mixed-boundary value problem and the unknowns are only the surface tractions at the lower boundary. In the second stage, whole boundary is in motion. However, here, it is accepted that the moving part of the lower boundary has an infinite length. But the region in motion on the upper boundary increases by time. The volume integrals, related to body force which arise in the expression of reciprocal identity, have been calculated analytically in both stages. Specially the calculation of this volume integrals is original. The variations of these volumes by time are also considered. In both stages, the integral equation mentioned above is solved by BEM. The operation done for this purpose can be outlined by the following way. The integral equation is reduced to a system of linear, algebraic equations for any time t. Whole boundary divided to linear elements and the end points of these linear elements are named as nodal points. It is assumed that there is a unit loading at every nodal point in one direction to obtain the necessary system of linear equations. In each linear element, it is accepted that a linear approximation function, depending upon end values, is valid for unknown functions. Same approximation is also valid for the time axis. Finally, surface integrals are divided to the integrals over linear elements. The integrals over time are also calculated on linear elements and the unknowns of the system of linear algebraic equations are the values of the surface traction components and the displacement components at nodal points. Since loading is done on nodal points and the integrals are on the boundary, the integrals, calculated on two elements having the loading point as an end point, involve singularities. To eliminate the singularities, the integrals over these elements are calculated analytically. Besides discarding the loading point outside of the boundary other possible singularities are also eliminated. There are some singularities cannot be eliminated. But these singularities eliminate each other during construction of the system of equations. The solution of this system gives the unknowns for this specific time t. At the end the components of surface traction components on the lower boundary and displacements on the upper boundary are calculated as functions of time.