Genelleştirilmiş çaprazlanmış modüllerin örtüleri ve yükselmeleri
Coverings and liftings of generalized crossed modules
Yazar: GAMZE AYTEKİN ARICI
Danışman: DOÇ. DR. TUNÇAR ŞAHAN
Aksaray Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Yük kaldırma = Lifting ; Çaprazlanmış modüller = Crossed modules ; Örtü = Cover

Özet:
Çaprazlanmış modüller matematik ve fiziğin birçok alanında uygulamaya sahip cebirsel yapılardır. Literatürde neredeyse bütün cebirsel yapılar için çaprazlanmış modüller tanımlanmış ve bunlarla ilgili çok çeşitli özellikler incelenmiştir. Topolojik uzaylarda önemli bir kavram olan örtü kavramı da çaprazlanmış modüller için tanımlanmış ve çeşitli kategorik denklikler elde edilmiştir. Yakın zamanda çaprazlanmış modüllerin yükselmesi kavramı ortaya çıkmıştır.
Çaprazlanmış modüllerin tanımındaki konjügasyon etkimeleri yerine keyfi etkimeler alınarak genelleştirilmiş çaprazlanmış modül tanımı elde edilmiştir. Bu tez çalışmasında temel hedef olarak ise genelleştirilmiş çaprazlanmış modüllerin kategorisinde örtü ve yükselme kavramları tanımlanıp literatürdekine benzer bir kategoriksel denklik elde edilmiştir.
Bu tez çalışması altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde konunun tarihçesi hakkında bilgi verilmiştir. İkinci bölümde ise tezin geri kalan kısmında kullanılacak temel kavramlara yer verilmiştir. Üçüncü bölümde genelleştirilmiş çaprazlanmış modül kavramı hatırlatılıp benzer düşünce kullanılarak genelleştirilmiş cat1-grup kavramı tanımlanmıştır. Dördüncü bölümde genelleştirilmiş çaprazlanmış modüllerde örtü kavramı tanmlanıp çeşitli özellikleri incelenmiştir. Beşinci bölümde genelleştirilmiş çaprazlanmış modüllerde yükselme kavramı tanmlanıp yine çeşitli özellikleri incelenmiştir. Son olarak altıncı bölümde elde edilen sonuçlar yorumlanıp sonrasında yapılabilecek çalışmalardan bahsedilmiştir.

Abstract:
Crossed modules are algebraic structures that have applications in many fields of mathematics and physics. In the literature, crossed modules have been defined for almost all algebraic structures and various properties related to them have been investigated. Covering concept, which is an important concept in topological spaces, has also been defined for crossed modules and various categorical equivalences have been obtained. The concept of lifting of crossed modules has recently emerged.
The generalized crossed module definition is obtained by taking arbitrary actions instead of conjugation actions in the definition of crossed modules. In this thesis, as the main goal, the concepts of cover and elevation in the category of generalized crossed modules were defined and a categorical equivalence similar to the one in the literature was obtained.
This thesis consists of six chapters. In the first chapter, information about the history of the subject is given. In the second part, the basic concepts that will be used in the rest of the thesis are given. In the third chapter, the generalized crossed module concept is reminded and the generalized cat1-group concept is defined by using similar thinking. In the fourth chapter, the concept of cover in generalized crossed modules is defined and various properties are examined. In the fifth chapter, the concept of elevation in generalized crossed modules is defined and its various properties are examined. Finally, in the sixth section, the results obtained are interpreted and the studies that can be done afterwards are mentioned.