Genelleştirilmiş Lane-Emden denkleminin noether simetri yöntemiyle iki kere indirgemesi ve lie simetrisi
Twice reduction of the generalized Lane-Emdan equation using the noether symmetry method and lie symmetry
Yazar: SERDAR BİRBEN
Danışman: DOÇ. DR. MÜGE MEYVACI ; DR. ÖĞR. ÜYESİ AHMET BAKKALOĞLU
Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez çalışmasında genel amaç, Lie ve Noether simetri yöntemlerinin adi diferansiyel denklemlere uygulanarak mertebelerinin indirgemesini ve çözümlerini incelemektir. 

Birinci bölümde, Lie ve Noether simetrileri hakkında bilgiler verilerek literatürde lineer olmayan diferansiyel denklemlerin çözümü için geliştirilen metotlardan bazıları ifade edilip genişletilmiş Lane-Emden diferansiyel denkleminin farklı formlarının çözümleri için çalışılmış bazı yöntemlere değinilmiştir. Sonraki alt bölümlerde Noether teoreminin oluşmasında önemi olan fonksiyonel kavramı, varyasyonel hesabın temel lemması ve varyasyonel notasyondan temel bilgiler verilmiştir. 

İkinci bölümde, fonksiyonel problemi birçok değişkene genelleştirerek varyasyonel hesaptan elde edilen ünlü Euler-Lagrange denklemi türetilmiştir. Bununla beraber örnek olarak bir fonksiyonelin ekstramelleri elde edilmiştir. Fizikte önemli bir yeri olan en az eylem ilkesinin bir örneği olan Hamilton prensibi tanıtılıp Euler-Lagrange denklemleri ile ilişkisi verilmiş ve bölümün son kısmında birden fazla bağımsız ve bağımlı değişken için Euler-Lagrange denklemi tanıtılmıştır. 

Üçüncü bölümde, Noether simetri yöntemi için önemi olan Euler-Lagrange operatörü, toplamsal tanımı ve bununla ilgili teorem ve lemmalar kanıtlarıyla verilerek örnekler çözülmüştür, 

Dördüncü bölümde, Lie simetri dönüşümleri ve grupları, sonsuz küçük dönüşümler, Lie'nin birinci temel teoremi ifade edilerek sonsuz küçük üreteçler tanımlanmış ve örnekler verilmiştir. İnvaryant fonksiyonlar, tanım ve teorem şeklinde sunularak bunlar yardımıyla kanonik koordinatlar tanıtılmıştır. Örneklerle bazı dönüşüm grupları için simetri üreteci bulunarak kanonik koordinatlar elde edilmiştir. Genişletilmiş Lie grupları ve sonsuz küçükler hakkında geniş bilgiler sunularak eğriler, yüzeyler ve noktaların invaryantlığı tanımlanmıştır. Bölümün son kısmında çok parametreli dönüşümler ve Lie cebri tanımı verilmiştir. 

Beşinci bölümde, birinci ve daha fazla mertebeden adi diferansiyel denklemlerin invaryantlık şartı açıklanarak bazı simetri gruplarının invaryant bıraktığı denklemlerin genel formları örneklerle elde edilmiştir. Lie simetri yöntemi, bazı diferansiyel denklemlere uygulanarak çözümleri bulunmuş ve  analiz edilmiştir. 

Altıncı bölümde, diferansiyel denklemlerin mertebesinin indirgemesi ve çözümleri için ilk integrallerinin belirlenmesinde önemli yeri olan bir başka simetri yöntemi, Noether simetri yaklaşımıyla ilgili tanım ve teoremler verilmiş ve literatürde üzerinde çalışılan genelleştirilmiş Lane-Emden denkleminin ayrıntılı şekilde hesaplar yapılarak ilk integralleri elde edilip çözümleri incelenmiştir. 

Yedinci ve son bölümde, tez içeriği hakkında son değerlendirmeler yapılmış ve okuyucuya önerilerde bulunulmuştur.

Abstract:
The general purpose of this thesis is to examine the reduction of orders and their solutions by applying Lie and Noether symmetry methods to ordinary differential equations 

 In the first part, information about Lie and Noether symmetries is given, some of the methods developed in the literature for the solution of nonlinear differential equations are expressed, and some methods that have been studied for the solution of different forms of the extended Lane-Emden differential equation are mentioned. In the following subsections, the functional concept, which is important in the formation of Noether's theorem, the basic lemma of variational calculus and basic information about variational notation are given. 

 In the second part, the famous Euler-Lagrange equation obtained from variational calculus is derived by generalizing the functional problem to many dependent variables. However, for example, extramels of a functional have been obtained. Hamilton's principle, which is an example of the principle of least action, which has an important place in physics, is introduced and its relationship with the Euler-Lagrange equations is given, and in the last part of the chapter, the Euler-Lagrange equation for more than one independent and dependent variable is introduced.                                                                          

In the third chapter, examples are solved by giving the additive definition of the Euler-Lagrange operator, which is important for the Noether symmetry method, and related theorems and lemmas with their proofs. 

 In the fourth chapter, Lie symmetry transformations and groups, infinitesimal transformations, Lie's first fundamental theorem are stated, infinitesimal generators are defined and examples are given. Invariant functions are presented in the form of definitions and theorems, and canonical coordinates are introduced with the help of these. With examples, canonical coordinates were obtained by finding symmetry generators for some transformation groups. By providing extensive information about extended Lie groups and infinitesimals, the invariance of curves, surfaces and points is defined. In the last part of the chapter, multi-parameter transformations and Lie algebra definition are given. 

In the fifth chapter by explaining the invariance condition of first and higher order ordinary differential equations, the general forms of the equations in which some symmetry groups remain invariant are obtained with examples. The Lie symmetry method was applied to some differential equations and their solutions were analyzed.
 
In the sixth chapter, definitions and theorems related to the Noether symmetry approach, another symmetry method that has an important place in reducing the order of differential equations and determining their first integrals for their solutions, are given and the first integrals of the generalized Lane-Emdan equation, which is studied in the literature, are calculated in detail and their solutions are examined. 

 In the seventh and last chapter, final evaluations are made about the content of the thesis and suggestions are made to the reader.