Reaksiyon-difüzyon denklem sistemlerinin B-spline sonlu elemanlar yöntemi ile nümerik çözümleri
Numerical solutions of the reaction-diffusion systems with B-spline finite element method
Yazar: ALİ ŞAHİN
Danışman: PROF. DR. İDRİS DAĞ
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2009
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez çalışmasının temel amacı, birçok bilim dalında bazı fiziksel olayları modellemek için kullanılan, reaksiyon-difüzyon denklem sistemlerinin nümerik çözümlerini elde etmektir. Bu amaç doğrultusunda, diferensiyel denklemlerin nümerik çözümlerinde yaygın olarak kullanılan sonlu elemanlar yöntemi kullanılmıştır.Nümerik yöntemin uygulanışında, ilk olarak, Crank-Nicolson formülleri yardımıyla denklem sisteminin zaman ayrıştırması yapıldı. Daha sonra denklem sistemindeki lineer olmayan terimler lineerleştirilerek sonlu elemanlar yöntemi uygulandı. Sonlu elemanlar yönteminde, konum ayrıştırması için problemin çözüm bölgesi eşit uzunluklu alt aralıklara bölündü ve bu aralıklar üzerinde ağırlık fonksiyonu olarak dirac-delta fonksiyonu, taban fonksiyonu olarak da sırasıyla kuadratik, kübik, kuartik ve kuintik B-spline taban fonksiyonları seçildi. Böylece, reaksiyon-difüzyon denklem sistemi, katsayı matrisleri her satırında belirli sayıda sıfırdan farklı eleman bulunduran blok band matrisler olan matris denklemine dönüştürüldü. Elde edilen bu matris denkleminin çözümleri için ise Thomas algoritmaları ve Gauss eliminasyon yöntemi kullanıldı.Farklı derecelerdeki B-spline fonksiyonlarının kullanımı ile ortaya konan nümerik yöntemler, farklı problemler üzerinde test edildi. Yöntemlerin doğruluğu araştırılırken lineer problem için L2 ve Loo hata normları, lineer olmayan bazı problemler için ise bağıl hata kullanıldı. Bu sayede, elde edilen çözümler, gerek birbirileri ile gerekse de literatürde yer alan diğer bazı çalışmalarla karşılaştırılarak, önerilen yöntemlerin avantaj ve dezavantajları tartışıldı.Seçilen test problemlerinin karakterine göre ortaya çıkan konumsal desenler, reaksiyon-difüzyon denklem sisteminde yer alan bağımlı değişkenlere ait yoğunluk değişimlerinin konum ve zaman ekseni üzerindeki izdüşüm grafikleriyle oluşturuldu.

Abstract:
The main purpose of this thesis is to obtain the numerical solutions of the reaction-diffusion systems which are used for some physical facts in various disciplines. For this purpose, the finite element method that used widely in numerical solutions of differential equations is employed.In the application of the numerical method, firstly, the time discretization of the equation system is achieved by the help of Crank-Nicolson formulae. Then, the resulted system is linearized and the finite element method is applied. In the finite element method, a uniform partition of the solution domain is considered for the space discretization. Over the mentioned mesh, dirac-delta function is taken as the weighted function and respectively, quadratic, cubic, quartic and quintic B-spline functions are chosen as the basis functions. Thus the reaction-diffusion system turns into a matrix equation such that the coefficient matrices are bloc matrices containing the certain number of non-zero elements in each row. The Thomas algorithms and the Gauss elimination method are used for the solutions of the obtained matrix equations.The present methods given by the usage of B-splines in several degrees are tested on different problems. To investigate the accuracy of the methods, L2 and Loo error norms are employed for the linear problem and the relative error is used for some nonlinear problems. By this means, the obtained results are compared with either in each other or some other works from the literature. Then the advantages and the disadvantages of the present methods are discussed.Subject to the character of the test problems, the occurring spatial patterns are formed by the trajectories of the concentrations of the dependent variables in the reaction-diffusion system.