Parçalı sabit argümanlı adi ve kısmi diferansiyel denklemlerin analizi
Analysis of ordinary and partial differential equationswith piecewise constant argument
Yazar: ZEKERİYA ÖZKAN
Danışman: PROF. DR. DUYGU ARUĞASLAN ÇİNÇİN ; PROF. DR. MARAT AKHMET
Süleyman Demirel Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Diferensiyel denklemler = Differential equations ; Kararlılık = Stability ; Kütle-yay sistemleri = Mass-spring systems ; Kısmi diferensiyel denklemler = Partial differential equations ; Laplace dönüşümü = Laplace transform ; Salınım = Oscillation ; Sınırlılık = Boundedness

Özet:
Bu tez çalı¸smasında, parçalı sabit argümanlı adi ve kısmi diferansiyel denklemlerin
çözümleri bulunarak bu çözümlerin kalitatif davranı¸sları incelenmi¸stir. Ayrıca
genelle¸stirilmi¸s parçalı sabit argümanlı adi ve kısmi diferansiyel denklemlerin
çözümleri elde edilmi¸s ve bu çözümlere ait kalitatif davranı¸slar incelenmi¸stir. Elde
edilen çözümlerin MATLAB paket programıyla grafikleri çizdirilmi¸s ve ¸sekiller halinde
teze eklenmi¸stir.
Bu incelemeleri yaparken genelle¸stirilmi¸s parçalı sabit argümanlı adi diferansiyel
denklemler Laplace dönü¸sümü yöntemi kullanılarak çözülmü¸stür. Ayrıca
genelle¸stirilmi¸s parçalı sabit argümanlı kısmi diferansiyel denklemler de yine
Laplace dönü¸sümünden faydalanılarak çözülmü¸stür. Elde edilen teorik sonuçlar
nümerik olarak grafiklendirilmi¸stir.
Bu ara¸stırmalar altı bölüm ¸seklinde sunulmu¸stur. ˙Ilk bölümde, diferansiyel denklemler
ve sapma argümanlı diferansiyel denklemler hakkında genel bilgiler verilmi¸s,
çözümlerin kararlılı˘gı için tanımlar ifade edilmi¸stir. Ayrıca, literatürde bu konular
üzerine yapılan çalı¸smalara yer verilmi¸stir. Devamında teorik sonuçların uygulanaca˘gı
mekanik bir sistem olan kütle-yay sistemi tanıtılmı¸s ve sistemin parametreleri
açıklanmı¸stır. Son olarak parçalı sabit argümanlı kısmi diferansiyel denklemler hakkında
genel bilgiler verilmi¸s ve literatürde yer alan ilgili çalı¸smalara de˘ginilmi¸stir.
˙Ikinci bölümde, çalı¸sma esnasında faydalanılan temel kaynaklar özet halinde verilmi¸stir.
Sonraki bölümde ise önceki bölümlerde verilen teorik sonuçlar birinci mertebeden
parçalı sabit argümanlı ve genelle¸stirilmi¸s parçalı sabit argümanlı adi diferansiyel
denklemlere uygulanmı¸s ve parametrelere göre elde edilen sonuçlar sunulmu¸stur. Bu
sonuçlar ile ele alınan diferansiyel denklemlerin çözümlerinin hangi durumlarda kararlı, asimptotik kararlı, kararsız ve salınımlı davranı¸s sergileyece˘gi ifade edilmi¸stir. Bu
sonuçların do˘grulu˘gu parametrelerin aldı˘gı farklı de˘gerler için örneklendirilerek nümerik
simülasyon ile desteklenmi¸stir.
Dördüncü bölüm olarak, yine önceki bölümlerde verilen teorik sonuçların
genelle¸stirilmi¸s parçalı sabit argüman ¸seklinde gecikme etkisine sahip kütle-yay
sistemine uygulanı¸sı ve parametrelere ba˘glı olu¸san sonuçlar sunulmu¸stur. Bu
sonuçlarla birlikte sistemin çözümlerinin hangi durumlarda kararlı, asimptotik kararlı,
kararsız ve salınımlı davranı¸s sergileyece˘gi bu bölümde ifade edilmi¸stir. Ula¸sılan
bulguların do˘grulu˘gu farklı parametreler için grafiklendirilerek nümerik simülasyonlarla
desteklenmi¸stir.
Be¸sinci bölümde ise ısı denklemi ve nötral tipte bir kısmi diferansiyel denklem
genelle¸stirilmi¸s parçalı sabit argümanlar ile birlikte ele alınmı¸stır. Denklemlerin
çözümlerinin sınırlı, sınırsız, sıfıra yakınsama, salınımlı, kararlı, asimptotik kararlı
ve kararsız davranı¸s sergileyece˘gi durumlar incelenmi¸stir.
Son bölümde, üçüncü, dördüncü ve be¸sinci bölümde elde edilen teorik ve uygulamaya
yönelik sonuçlar genel olarak de˘gerlendirilmi¸stir.

Abstract:
In this thesis, ordinary and partial differential equations with piecewise constant
arguments are solved and the qualitative behaviors of solutions are examined. In
addition, the solutions of ordinary and partial differential equations with generalized
piecewise constant argument and the qualitative behaviors of these solutions are handled.
The obtained solutions are graphed using the MATLAB package program and added to
the thesis in the form of figures.
During these investigations, ordinary differential equations with generalized piecewise
constant arguments are solved using the Laplace transform method. In addition, partial
differential equations with generalized piecewise constant arguments are solved by
Laplace transform method as well. The obtained theoretical results are graphed
numerically.
These studies are presented in the form of six chapters. In the first chapter, general
information about differential equations and differential equations with deviation
arguments is given and definitions for the stability of solutions are expressed. In addition,
studies related to these subjects that exist in the literature have been addressed. In the
sequel, the mass-spring system, a mechanical system in which theoretical results will be
applied, is introduced and the parameters of the system are explained. Finally, general
information about partial differential equations with piecewise constant arguments is
given and the related studies in the literature have been expressed.
In the second chapter, the keystone resources used during the study are given briefly.
In the next section, the theoretical results given in the previous chapters are applied
to the first order ordinary differential equations with piecewise constant argument and
with generalized piecewise constant argument and the results are presented in terms of
parameters. It is stated in this chapter that in which cases the solutions of the handled
differential equations are stable, asymptotically stable, unstable and oscillatory. Validity of these results are supported by numerical simulations through graphing for different
values of the parameters.
As the fourth chapter, the application of the theoretical results given in the previous
chapters to the mass-spring system with a delay effect in the form of a generalized
piecewise constant argument and the results depending on the parameters are presented.
With these results, it is stated in this section in which cases the solutions of the system
are stable, asymptotically stable, unstable and oscillatory. The accuracy of these results
has been supported via numerical simulation by graphing for different values of the
parameters.
In the fifth chapter, the heat equation and a neutral type partial differential equation are
discussed together with generalized piecewise constant arguments. The cases in which
the solutions of equations are bounded, unbounded, convergent, stable, asymptotically
stable, unstable, oscillatory have been examined.
In the last chapter, the theoretical and practical results obtained in the third, fourth and
fifth chapters are discussed in general.