Bazı lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin özel dönüşümler yardımıyla dalga çözümleri ve bu çözümlerin analizleri
Solutions of some nonlinear partial differential equations by using special transformations and analysis of these solutions
Yazar: SERBAY DURAN
Danışman: PROF. DR. DOĞAN KAYA
Fırat Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2012
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Analitik yöntem = Analytical method ; Burgers denklemi = Burgers equation ; Dalga denklemleri = Wave equations ; Dengeleme = Balancing ; Korteweg-de Vries = Korteweg-de vries ; Soliton teorisi = Soliton theory

Özet:
Bu çalışma beş bölüm halinde oluşturulmuştur.Birinci bölümde temel tanımlar verilmiştir.İkinci bölümde, lineer olmayan kısmi diferensiyel denklemlerin dalga çözümlerini elde etmek için kullanılan bazı metotların tarihsel olarak analizi yapılmıştır. Bu metotların hepsi göz önüne alınan denklemlerde en yüksek mertebeden lineer olan terim ile en yüksek mertebeden lineer olmayan terimin dengelenmesiyle dengeleme terimini bulma esasına dayanır. Bu yüzden bu metotlar sadece lineer olmayan kısmi diferensiyel denklemlere uygulanabilir. Ayrıca, bu metotlar bir kısmi diferensiyel denklemi bir adi diferensiyel denkleme dönüştürür. Böylece çözüme daha kolay ulaşılabilir.Üçüncü bölümde, ikinci bölümde analizleri yapılan metotlardan Kudryashov metodundan ilham alarak bu metotta kullanılan Bernoulli yardımcı denklemi üzerinde bazı genişlemeler yapılarak Bernoulli denklemi F'=B*F^n-A*F şeklinde seçilmiştir. Bu yardımcı denklemde n=2 ve n=3 alınarak Burgers denklemi, KdV denklemi ve sığ su dalga denklem sistemi için bazı dalga çözümleri elde edilmiştir.Dördüncü bölümde, üçüncü bölümde elde edilen dalga çözümlerinin genelleştirilmesi yapılarak n için formülize edilmiştir.Beşinci bölümde, bu çalışmada elde edilen sonuçlar literatürde bulunan çalışmalar ile desteklenerek genel bir değerlendirme yapılmıştır.

Abstract:
This study was formed into five sections.In the first section, the basic definitions were given.In the second section, historical analysis of some of the methods used to obtain wave solutions of nonlinear partial differential equations was conducted. All these methods are based on finding the balance term, for the equation that take into account, balancing the higher order linear term with higher order nonlinear term. So these methods can be applied only non-linear partial differential equations. Furthermore these methods convert a partial differential equation into an ordinary differential equation. Thus, it can be reached more easily to the solution.In the third section, from the analyzed methods in second section by taking inspiration to the Kudryashov method, by being made some expansions on the auxiliary Bernoulli equation which is used in this method, Bernoulli equation was chosen in the form of F'=B*F^n-A*F. In this auxiliary, equation by taking n=2 and n=3 some wave solutions have been obtained for Burgers equation, KdV equation and the shallow water wave equation system.In the fourth section, the wave solutions obtained by the generalization was formulated for n in the third section.In the fifth section, it was made a general assessment by the obtained results in this study have been supported with the studies in the literature.