Hilbert uzaylarında Fourier serilerinin yakınsakılığı
Convergence of Fourier series in Hilbert spaces
Yazar: JAMAL GADIROV
Danışman: PROF. DR. ERHAN ÇALIŞKAN
İstanbul Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2017
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu çalışma iki ana bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde Fourier serilerinin tarihi, önemi
ve daha sonra trigonometrik seriler ile olan bağlantısına yer verilmiştir. İlginçtir ki,
Fourier serileri her ne kadar matematik konusu olarak gözükse de tarihi açıdan aslında
bu kavram 2
utt  a uxx biçiminde tanımlı daha sonra da bahsedeceğimiz tel titreşimi için
dalga denkleminin incelenmesiyle doğmuştur. Dolayısıyla Fourier serileri belirttiğimiz
matematiksel fiziğin temel denkleminin genel çözümünün bulunması için
geliştirilmiştir. Tel titreşim denklemiyle ilk kez Jean le Rond D'Alambert uğraşmıştır
bu nedenle trigonometrik seriler teorisi için ilk adımı o atmıştır diyebiliriz. Bu ve
benzeri fiziksel problemleri matematiksel yöntemlerle çözmek için fonksiyonları sinüs,
kosinüs fonksiyonlarının lineer kombinasyonları ile ifade etmeye ihtiyaç duyulmuştur.
Bu problemin matematiğe bakan yönü Fourier serilerinin yakınsaklığını araştırmaktan
başka bir şey değildir. Bu nedenle tezimizin ikinci bölümünde   1 L  , uzayına ait
fonksiyonların Fourier serilerinin yakınsaklığı için belirlenmiş bazı önemli kriterler
gösterilmiştir. Fourier serileri teorisi ile ilgili neredeyse tüm kaynaklarda 1L fonksiyon
uzayı esas alınmış ve bu uzay dışındaki fonksiyonlar için çalışmanın pek merak konusu
olmadığı belirtilmektedir. Bilindiği üzere   1 f L  , için
 
1
f x cos nxdx

  
 ,  
1
f x sin nxdx

  

Fourier katsayıları iyi tanımlıdır. Genel olarak trigonometrik seriler
vii
  0
1
cos sin n n
n
A a nx b nx


 
biçiminde tanımlanır ve eğer na , nb sayıları uygun olarak yukarıda verilen integrallerle
tanımlanırsa buna f fonksiyonunun belirlediği Fourier serisi denir. Asıl problemler,
hangi koşullar altında fonksiyonun belirlediği Fourier serisi yakınsar ve hangi koşullar
altında bu seri orijinal fonksiyonun kendisine yakınsar şeklindeki problemlerdir. Fourier
serileri için birçok yakınsaklık tipi mevcuttur: noktasal yakınsaklık, düzgün yakınsaklık,
mutlak yakınsaklık, norma göre yakınsaklık, hemen hemen her yerde yakınsaklık, vs.
İkinci bölüm yani genel kısımlar bölümünde tezimizin ana konusu Fourier serilerinin
Hilbert uzaylarında yakınsaklığını incelemek olduğundan önce iç çarpım uzayları ve
özellikle Hilbert uzayları teorisinde Ortonormal baz, ortogonallik gibi bazı önemli
kavram ve sonuçlar verilmiştir. kavramlar bunlara örnektir. pL uzayları içinde tek
Hilbert uzayı olan 2L uzayına ait bazı önemli sonuçlar verilmiştir. 2L uzayına ait
fonksiyonun Fourier serisinin norma göre yakınsaklığı tartışılmış, Fourier serileri
teorisinde önemli ve ispatı oldukça zor olan Carleson teoremi sadece hipotez olarak
ifade edilmiştir. Belirtelim ki, norma göre yakınsaklık noktasal ve dolayısıyla hemen
hemen her yerde yakınsaklığı gerektirmez bunu bir karşıt örnekle açıkladık.
Fourier serilerinin yakınsaklığı kadar ıraksaklığı da merak konusu olduğundan son
olarak Fourier serilerinin ıraksaklığı hakkında bazı önemli sonuçları inceledik. Fourier
serilerinin yakınsaklığı için ilk bilimsel çalışma Dirichlet'ye mahsustur ve o parçalı
düzgün fonksiyonların Fourier serilerinin sürekli olduğu noktalarda kendisine, birinci
çeşit süreksizlik noktalarında ise fonksiyonun bu noktada sağ ve sol limitlerinin
aritmetik ortalamasına yakınsadığını göstermiştir. Daha sonra ise bu ispatı sürekli
fonksiyonlar için ispatlama tutkusuna kapılmıştı. Cantor, Dedekind, Fourier gibi ünlü
matematikçiler de aynı hataya düşmüştüler. Bunun bir yanılgı olduğu ilk kez D. Bois
Reymond tarafından ispatlanacaktı.
Bu tez çalışmasının devamında Fourier serisi noktada ıraksak olan sürekli
fonksiyonların varlığı hakkında bilinen bazı sonuçlar incelenmiştir. Bununla ilgili ilk
somut örnek Fejer tarafından verilmiştir. Son olarak Kolmogorov'un göstermiş olduğu
karşıt örnekleri ele alınmıştır. Şöyleki o, 1922 yılında 1L uzayına ait Fourier serisi
hemen hemen her yerde ıraksak olan fonksiyonun varlığını göstermiş, daha sonra bu
çalışmasını daha da ileri götürerek 1926 yılında Fourier serisi her yerde ıraksak olan
fonksiyon örneği vermiştir. Onun makalelerinde fonksiyonların nasıl oluşturulduğu
belirtilmiyor bu nedenle başka kaynaklar da referans alınmıştır. Tabi ıraksaklık ile ilgili
karşıt örnekler bunlarla sınırlı değildir. Biz konuya sadece tarihsel olarak yaklaştık ve
belirttiğimiz sonuçları tartıştık.

Anahtar kelimeler: Fourier serileri, Ortonormal baz, Ortogonallik

Abstract:
This work consists of two parts. In the first part we considered history and importance
of Fourier series and then gave relations with trigonometric series. Even if Fourier
series seems to be as a topic of mathematics it is interesting that in the historical point
of view this notion, in fact, arose from researches on the string wave equation defined
by 2
utt  a uxx , which we will mention later. So Fourier series was developed to find
general solution of this basic equation of mathematical physics. Jean le Rond
D'Alambert was the first mathematician who researched string wave equation, therefore
we can say that the one who initiated the theory of trigonometric series was
D'Alambert. To solve such physical problems by using mathematical methods it is
needed to represent a function in terms of linear combinations of sine and cosine
functions.
The mathematical side of this problem is nothing else to research the convergence of
Fourier series. That is why in the second part of the thesis we discussed some important
criterions about convergence of Fourier series of functions in   1 L  , . Essentially, it
is considered the function space 1L since it is not interesting to work by functions which
do not belong this space. As is known, for   1 f L  , Fourier coefficients
 
1
f x cos nxdx

  
 ,  
1
f x sin nxdx

  

are well – defined. In general a trigonometric series is defined by
  0
1
cos sin n n
n
A a nx b nx


 
ix
and if the numbers n a , n b are defined by the integrals given above then we say that this
series is Fourier series determined by the function f . The main problems are : under
which conditions Fourier series of a function converges and under which conditions
Fourier series of a function converges to the original function. There are many
convergence types for Fourier series : pointwise convergence, uniform convergence,
norm convergence, almost everywhere convergence and so on.
Since our main aim in this thesis is to examine convergence of Fourier series in Hilbert
spaces, in the second part i.e, in the general parts first of all, inner product spaces and
especially, in the theory of Hilbert spaces some important notions and results such as
orthonormal basis, orthogonality were given. Some results were given in 2L , which is
the only Hilbert space among pL spaces. The convergence of Fourier series with
respect to 2L -norm was discussed and Carleson theorem was given as a hypothesis
which has an important role in the theory of Fourier series and a quite difficult proof.
Note that norm convergence does not imply pointwise convergence and therefore
almost everywhere convergence which we explained this fact by a counterexample.
The divergence of Fourier series is object of curiosity like its convergence therefore
finally we examined some important results on the divergence of them. The first
scientific work on the convergence of Fourier series was due to Dirichlet and he proved
that Fourier series of piecewise smooth function converges to itself whenever the
function is continuous and converges to the average value of left and right limits of the
function at first kind discontinuities. Afterwards he was besotted with development of
his results for continuous functions. As him some great mathematicians, like Cantor,
Dedekind, Fourier etc., made the same mistake. That this was an error was proved for
the first time by D. Bois Reymond.
Later on in this work we examined some known results about the existence of
continuous functions which have divergent Fourier series at a point. The first concrete
example about it was given by Lipot Fejer. Finally, we considered counterexamples
given by Kolmogorov. In 1922, he constructed a function in 1L whose Fourier series
diverges almost everywhere, and then in 1926 he improved his result by constructing a
function in 1L whose Fourier series diverges everywhere. In his articles the construction
process of the functions was not discussed, therefore we used some other references. Of
course these are not only counterexamples about divergence of Fourier series. We just
try to examine the topic by historical approach and discussed the stated results.

Keywords: Fourier series, Orthonormal basis, orthogonality