Grupoid ve kategorik uygulamaları
Grupoid and categorical applications
Yazar: AHMET YÜZAK
Danışman: PROF. DR. OSMAN MUCUK
Erciyes Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Topoloji Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Grupoidler = Groupoids

Özet:
Örtü uzayları, grupoidler ve örtü grupoidleri önemli uygulamalara sahiptir (Brown
[3], Mackenzie [19], P.Higgins [12]). Bu sahada iki temel teoreme sahibiz:
Birincisi, X bir evrensel örtü uzayına sahip yol baglantılı topolojik uzay ise, X 'in
topolojik örtü uzaylarının kategorisi TCov/X ile πX temel grupoidinin örtülerinin
kategorisi GdCov/πX denktir (Brown [3]). Grup-grupoid durumunda benzer sonuç
Brown-Mucuk [5]'de verilmiştir. Bir digeri ise bir G grupoidinin kümeler üzerindeki
etkimeleri ile örtü grupoidleri kategorik olarak denktir(Gabriel-Zisman [10]).
Bu tez çalışmasında, çarpım grupoidinin örtüsünü ve etkimesini tanımlamak; ardından kategori denkliklerini çarpım durumuna genellemek amaçlanmaktadır:  Birinci olarak; X × Y çarpım uzayının örtülerinden oluşan kategori  TCov/(X × Y ) olsun. X ve Y örtü uzaylarından oluşan ve TCov/(X ×Y ) kategorisinin alt kategorisi olan TACov/(X ×Y )kategorisi tanımlanır. TACov/(X ×Y ) ile (TCov X)×(TCov Y )  kategorilerinin denkliği elde edilir.  İkinci olarak, G ve H grupoidlerinin örtülerinden oluşan ve GdCov/(G × H) kategorisinin alt kategorisi olan GdACov/(G × H) kategorisi tanımlanır. Bu bize GdACov/(G × H) ile (GdCov/G) × (GdCov/H) kategorilerinin denkliğini verecektir.  Daha sonra X × Y çarpım kümesi üzerine etkiyen G × H  çarpım grupoidinin etkimesi ve bu etkimeler ile aralarındaki morfizmlerden oluşan ActGd(G × H) kategorisini tanımlarız. G, X kümesi üzerine ve H'de Y kümesi üzerine etkiyen birer grupoid olmak üzere ActAGd(G × H) alt kategorisini tanımlarız. Böylece ActAGd(G × H) ile ActGd(G)×ActGd(H)kategorilerini karşılaştırabiliriz.  Son olarak; TACov/(X × Y ) ve GdACov/(πX × πY ) kategorilerinin, GdCov/(G × H) ve ActGd(G × H)kategorilerinin denkliklerini elde ederiz. 
Anahtar Kelimeler:  Örtü grupoidi;  etkime grupoidi; çarpım grupoidi; temel grupoid; kategori denkliği

Abstract:
Covering spaces, groupoids, and covering groupoids have important applications
(Brown [3], Mackenzie [19], P.Higgins [12]). We have two basic theorems in this field:
First, if X is a path-connected topological space which has a universal covering space,
then the category TCov/X of the covering spaces of X and the category GdCov/πX
of covering groupoids of the fundamental groupoid of X are equivalent (Brown [3]). In
Group-groupoid, a similar result is given in Brown-Mucuk [5]. Another is that actions
of a G groupoid on sets constitute a category which is also equivalent to the category
of the covering groupoids of the same groupoid (Gabriel-Zisman [10]).
In this thesis, defining the covering and acting of the product groupoid; we aimed to generalize the categorical equivalences to the product case:  Firstly; Let TCov(X × Y ) be the category of covering spaces of  X × Y  products paces.  We define a subcategory TACov/(X × Y) of TCov/(X × Y) to be pairs of covering spaces of X and Y and obtain an equivalence between TACov/(X × Y ) and (TCov X)×(TCov Y ). Second we define a subcategory GdACov/(G × H) of GdCov/(G × H) to be the pairs of covering groupoids of G and H. This gives us an equivalence between the categories  GdACov/(G ×H) and (GdCov/G)×(GdCov/H).  Then we define action of product groupoids G × H on the product set X × Y and then obtain a category denoted by ActGd(G ×H) of these actions together  with the morphisms among them. Let G is a groupoid acting on the set X and H acting on the set Y , we define subcategory ActAGd(G ×H). Then we compare the categories ActAGd(G ×H) and ActGd(G)×ActGd(H).  Finally we give the equivalences between the categories TACov/(X × Y ) and GdACov/(πX ×πY); and between GdCov/(G × H) and ActGd(G × H).
Keywords: Covering groupoid; action groupoid; product groupoid; fundamental groupoid; equivalence of categories