Hiperbolik ve yarı-hiperbolik uzaylarda sonlu tipten genelleştirilmiş Gauss tasvirine sahip alt manifoldlar
Submanifolds of hyperbolic and pseudo-hyperbolic spaces with finite type generalized Gauss map
Yazar: RÜYA ŞEN
Danışman: PROF. DR. UĞUR DURSUN
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2016
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Öklid uzaylarında sonlu tipten alt manifoldlar 
kavramı 1970'lerin sonlarında B.-Y. Chen 
tarafından verilmiştir. Öklid veya yarı-Öklid uzaylarında 
kompakt bir Riemann alt manifoldunun yer vektörü, alt manifold 
üzerinde metrik tarafından indirgenen Laplace operatörünün sonlu sayıda 
özvektörlerinin toplamı olarak yazılabiliyorsa, alt 
manifolda sonlu tipten bir alt manifold denir. Bu özvektörler, 
Laplace operatörünün $k$ tane ayrık özdeğerine karşı geliyorsa 
alt manifolda $k$-tipinden bir alt manifold denir.
Öklid ve yarı-Öklid uzaylarında sonlu tipten alt manifoldlarının 
sınıflandırılması ve karakterizasyonu ile ilgili çok sayıda 
çalışma yapılmıştır.
Daha sonra, sonlu tipten alt manifold kavramı, 
kompakt manifoldlardan Öklid uzayı veya yarı-Öklid 
uzayı içine tanımlanan düzgün tasvirlere, özellikle 
alt manifoldların Gauss tasvirlerine 
genişletilmiştir ve sonlu tipten Gauss tasvirine 
sahip alt manifoldların sınıflandırılması ile 
ilgili birçok çalışma yapılmıştır.
Küresel bir alt manifold aynı zamanda Öklid uzayının bir 
alt manifoldu olduğundan, küresel alt manifoldlar için 
Gauss tasviri, klasik Gauss tasvirinden farklı değildir ve 
Obata küresel alt manifoldların Gauss tasvirinde değişiklik 
yaparak genelleştirilmiş (küresel veya hiperbolik) Gauss 
tasvirini tanımlamıştır. $\textbf{x}: M^n \rightarrow \widetilde M^m$,
$n$-boyutlu yönlendirilebilir bir $M^n$
Riemann manifoldundan, $m$-boyutlu bir 
$\widetilde M^m$ uzay formuna izometrik bir
daldırma olmak üzere, $M^n$ manifoldunun her $p$ noktasını, 
$\textbf{x}(p)$ noktasında
$\textbf{x}(M^n)$ manifolduna teğet olan $\widetilde M^m$
manifoldunun bir $n$-boyutlu tümden jeodezik
uzayına götüren tasvire Obata anlamında genelleştirilmiş 
Gauss tasviri denir.  $\widetilde M^m$ manifoldunun 
$\mathbb  S^{m}(1)$
birim küresi (ya da $\mathbb  H^{m}(-1)$ hiperbolik uzay)
olması durumunda genelleştirilmiş Gauss tasvirine küresel Gauss 
(ya da hiperbolik Gauss) tasviri denir.
Son zamanlarda, sonlu tipten küresel (veya hiperbolik) Gauss 
tasvirine sahip küresel (veya hiperbolik) alt manifoldların 
bazı sınıflandırılması ve karakterizasyonu yapılmıştır. 
Bu çalışmada, hiperbolik ve 
yarı-hiperbolik uzayların 
sonlu tipten genelleştirilmiş Gauss tasvirine sahip alt 
manifoldları incelenmiştir. İlk olarak, yarı-hiperbolik uzayların
alt manifoldları için Obata anlamında genelleştirilmiş Gauss tasviri 
tanımlanmıştır. Ardından, hiperbolik ve yarı-hiperbolik uzaylarda  
sonlu tipten hiperbolik ve yarı-hiperbolik Gauss tasvirine 
sahip alt manifoldların bazı karakterizasyonları verilmiş
ve sınıflandırılması yapılmıştır. 
Tezin birinci bölümünde, 
literatür araştırmasına yer verilmiştir. 
Bugüne kadar yapılmış olan çalışmalar ve
içerikleri açıklanmıştır. Ayrıca, tez çalışmasında 
elde edilen sonuçlar özetlenmiştir.
İkinci bölümde, tez çalışmasında kullanılan 
bazı temel tanımlar ve denklemler yarı-Riemann 
manifoldlarının yarı-Riemann alt manifoldları 
düşünülerek verilmiştir. $n$-boyutlu, $t$ indeksli ve 
yönlendirilebilir bir 
$M^n_t$ yarı-Riemann manifoldundan 
$\mathbb{E}^m_s$ yarı-Öklid 
uzayına tanımlanmış bir daldırma için
klasik Gauss tasvirinden 
bahsedilmiştir.
Üçünde bölümde ise, ilk olarak Obata
anlamında Gauss tasviri detaylı olarak
açıklanmıştır. Obata anlamında
Gauss tasviri kullanılarak hiperbolik ve
yarı-hiperbolik Gauss tasvirleri
tanımlanmıştır. Ayrıca, yarı-hiperbolik Gauss tasvirinin 
Laplace operatörü hesaplanmıştır. 
Son olarak, $M^n_t$ yarı-Riemann manifoldundan
$\mathbb{E}^m_s$
yarı-Öklid uzayı içine tanımlanmış sonlu tipten
düzgün bir tasvir için 
minimal polinom kriteri verilmiştir.
Çalışmanın dördüncü bölümünde, hiperbolik uzaylarda sonlu tipten 
hiperbolik Gauss tasvirine sahip alt manifoldlar incelenmiştir.
Bu bölüm iki kısımdan oluşmaktadır.
İlk kısımda, 
hiperbolik uzaylarda 1-tipinden hiperbolik Gauss tasvirine
sahip alt manifoldlar için bir karakterizasyon verilmiştir.
$\mathbb{H}^{n+1}(-1)$
hiperbolik uzayı içinde tümden jeodezik $\mathbb{H}^{n}(-1)$ 
hiperbolik uzayının 1-tipinden hiperbolik Gauss tasvirine sahip 
yegane minimal izoparametrik hiperyüzey olduğu gösterilmiştir.
$\mathbb{H}^{m-1}(-1)\subset \mathbb{E}_1^m$
hiperbolik uzayı içindeki 
bir yüzeyin 1-tipinden hiperbolik Gauss tasvirine sahip
olması için gerek ve yeter koşullar elde edilmiştir. 
Ayrıca, $\mathbb{H}^{m-1}(-1)\subset \mathbb{E}_1^m$ 
hiperbolik uzayı içinde
spektral açılımında sıfırdan farklı 
sabit terimi olan 1-tipinden hiperbolik
Gauss tasvirine sahip alt manifoldlar sınıflandırılmıştır.
İkinci kısmında ise, hiperbolik uzaylarda
2-tipinden hiperbolik Gauss tasvirine
sahip uzaysal hiperyüzeylerin bir 
karakterizasyonu verilmiştir. $\mathbb{H}^{n+1}(-1)$
hiperbolik uzayı içinde bir horohiperkürenin 
biharmonik Gauss tasvirine sahip olduğu gösterilmiştir. Ayrıca, bu
bölümde, 3-boyutlu hiperbolik
uzayın tümden ombilik olmayan, 
sıfırdan farklı
sabit ortalama eğrilikli 
2-tipinde hiperbolik Gauss
tasvirine sahip yüzeyleri
sınıflandırılmıştır.
Son bölümde ise, yarı-hiperbolik uzaylarda sonlu tipten
yarı-hiperbolik Gauss tasvirine sahip alt manifoldlar incelenmiştir.
Bu bölüm, iki kısımdan oluşmaktadır
İlk kısımda, $\mathbb{H}_s^{m-1}(-1)\subset \mathbb{E}^m_{s+1}$
yarı-hiperbolik uzayında 1-tipinden yarı-hiperbolik Gauss tasvirine 
sahip yarı-Riemann alt manifoldlar için gerek ve yeter koşullar 
verilmiştir. $\mathbb{H}_2^{m-1}(-1)\subset \mathbb{E}^m_{3}$
yarı-hiperbolik uzayı içinde 
maksimal yüzeyler için sınıflandırma
yapılmıştır. Ayrıca, $\mathbb{H}_1^{4}(-1)\subset \mathbb{E}^5_{2}$ 
yarı-hiperbolik uzayı içinde ışıksal ortalama
eğrilik vektörüne 
sahip uzaysal ve 1-tipinden yarı-hiperbolik
Gauss tasvirine sahip yüzeyler sınıflandırılmıştır. 
Bununla birlikte, $\mathbb{H}_s^{m-1}(-1)\subset \mathbb{E}^m_{s+1}$
yarı-hiperbolik uzayı içinde $n$-boyutlu $t$ indeksli, ışıksal 
olmayan ortalama eğrilik vektörüne sahip ve yönlendirilebilir bir
$M^n_t$ yarı-Riemann manifoldunun spektral 
açılımında sıfırdan farklı sabit terimi olan 1-tipinden 
yarı-hiperbolik Gauss tasvirine sahip olması için gerek 
ve yeter koşullar belirlenmiştir. 
İkinci kısımda ise, indeksi 1 ya da 2 olan yarı-hiperbolik uzaylarda 
2-tipinden yarı-hiperbolik Gauss tasvirine 
sahip uzaysal alt manifoldlar araştırılmıştır.
$\mathbb{H}_1^{n+1}(-1)$ yarı-hiperbolik 
uzayı içinde uzaysal, sıfırdan farklı sabit ortalama eğrilikli 
bir hiperyüzeyin 2-tipinden yarı-hiperbolik Gauss tasvirine sahip
olması için gerek ve yeter koşullar verilmiştir. 
$\mathbb{H}_1^{3}(-1)\subset \mathbb{E}^4_{2}$
yarı-hiperbolik uzayın tümden ombilik olmayan, sıfırdan 
farklı sabit ortalama eğrilikli, 2-tipinden yarı-hiperbolik 
Gauss tasvirine sahip uzaysal yüzeyleri sınıflandırılmıştır.
Ayrıca, hiperbolik Veronese yüzeyinin 2-tipinden 
yarı-hiperbolik Gauss tasvirine sahip 
olduğu gösterilmiştir. Son olarak, tamamen 
$\mathbb{H}^{4}_2(-1)\subset\mathbb{H}^
{m-1}_2(-1)$ yarı-hiperbolik uzayı 
içinde uzaysal maksimal, 2-tipinden 
yarı-hiperbolik Gauss tasvirine sahip
yegane yüzeyin hiperbolik Veronese yüzeyi 
olduğu ispatlanmıştır.

Abstract:
The notion of finite type submanifolds of
a Euclidean space was introduced by B.-Y.
Chen in late 1970's. 
Since then the finite type
submanifolds of Euclidean spaces or 
pseudo-Euclidean spaces have been
studied extensively, 
and many important results
have been obtained. A Riemannian submanifold 
of a Euclidean space or pseudo-Euclidean 
space is said to be of finite type 
if its position vector can be written 
as a sum of finitely many eigenvectors of 
the Laplace operator. If these eigenvectors 
are corresponding to $k$ distinct eigenvalues 
of the Laplace operator, then the submanifold 
is said to be of $k$-type. 
For an isometric immersion 
${\bf x}: M^n \longrightarrow \mathbb{E}^m$ 
of a compact 
Riemannian manifold $ M^n$ into an Euclidean space $\mathbb{E}^m$, 
the constant vector ${\bf x_0}$ in the spectral 
decomposition is exactly the center of mass of $ M^n$ in 
$\mathbb{E}^m$, where $\bf{x_0}$ is the eigenfunction 
of the Laplacian with eigenvalue $\lambda_0=0$. 
A spherical finite type map ${\bf x}$ of
a Riemannian manifold $M^n$ into the unit sphere
$\mathbb S^{m-1}(1)$ centered at the origin 
of $\mathbb{E}^m$ is called mass-symmetric
if the vector $\bf{x_0}$ in its spectral decomposition
is the center of $\mathbb S^{m-1}(1)$.
Finite type non-compact submanifolds of Euclidean spaces 
and pseudo-Euclidean spaces are studied by many researcher.
When $ M^n$ is compact, the component $\bf{x_0}$ 
in the spectral decomposition is a constant vector. 
However, when $ M^n$ is non-compact the component 
$\bf{x_0}$ is not necessary a constant vector. 
If $ M^n$ is not compact,
we can not make the spectral decomposition of  
a map on $ M^n$ in general. 
But, it is possible to define the notion of 
a map of finite type on a non-compact  manifold. 	
Finite type submanifolds of Euclidean spaces and pseudo-Euclidean 
spaces have been studied by many geometers, and also 
many classifications and characterizations of finite 
type submanifolds have been obtained.
Later, the notion of finite type
was extended to differentiable  
maps on compact manifolds, in particular
to Gauss map of submanifolds. And many results 
have been obtained on the classification of 
submanifolds of Euclidean spaces and pseudo-Euclidean 
spaces with finite type Gauss map. 
Since a spherical submanifold can be viewed as 
a submanifold of a Euclidean space the Gauss map 
of the spherical submanifold can be determined 
in the ordinary sense. For the Gauss map to 
reflect the properties of submanifolds in sphere 
instead of Euclidean space, Obata modified the definition 
of Gauss map appropriately as follows:
Let $\textbf{x}: M^n \rightarrow \widetilde M^m$ 
be an oriented isometric immersion from a Riemannian 
$n$-manifold $M^n$ into a space form
$\widetilde M^m$ of constant curvature.
The generalized Gauss map in the Obata's sense is a
map which assigns to each $p\in M^n$ the totally geodesic 
$n$-space of $\widetilde M^m$ tangent to
$\textbf{x}(M^n)$ at $\textbf{x}(p)$.
In the case, $\widetilde M^m = \mathbb  S^{m}(1)$\; (or resp.  $\widetilde M^m = \mathbb  H^{m}(-1)$ the hyperbolic space)
the generalized Gauss map is also called the spherical
Gauss map\;(or resp. the hyperbolic Gauss map).
Recently, spherical (or hyperbolic)
submanifolds with finite type 
spherical (or hyperbolic) Gauss map have been 
characterized and classified in some papers.
It is known
that the geometric behavior
of classical and spherical Gauss map
are different. 
For example, the classical Gauss map of every compact
Euclidean submanifold is mass-symmetric;
but the spherical Gauss map of a spherical 
compact submanifold is not mass-symmetric in general.
In this thesis, submanifolds 
of hyperbolic spaces and pseudo-hyperbolic 
spaces with finite type generalized 
Gauss maps are studied. Firstly, 
the definition of pseudo-hyperbolic Gauss map of 
pseudo-hyperbolic submanifolds 
in the Obata's sense is given, and then characterization 
and classification of submanifolds of hyperbolic space 
and pseudo-hyperbolic space with finite type generalized 
Gauss map are obtained.
In the first chapter, it is mentioned about 
a review of literature. And then, results 
obtained this thesis are summarized.
In the second chapter, it is introduced 
some fundamental definitions and equations of
pseudo-Riemannian submanifolds 
of pseudo-Riemannian manifolds. It is 
mentioned about the classical Gauss map from
an oriented pseudo-Riemannian manifold 
into a pseudo-Euclidean space.
In the third chapter, firstly, by using the definition of
generalized Gauss map in Obata's sense, the definition of
hyperbolic Gauss map and pseudo-hyperbolic Gauss map 
are given. Laplacian of pseudo-hyperbolic Gauss map of
the pseudo-Riemannian $n$-submanifold 
$M^n_t$ with index $t$ in
a pseudo-hyperbolic $(m-1)$-space
$\mathbb{H}^{m-1}_s(-1)\subset \mathbb{E}_{s+1}^m$ with index $s$
is obtained. Then, the minimal polynomial criteria
is given for a finite type differentiable map 
from the pseudo-Riemannian $n$-submanifold $M_t^n$ with index $t$ to 
$\mathbb{E}^m_s$ pseudo-Euclidean space. 
In the fourth chapter, submanifolds of 
hyperbolic spaces with finite type hyperbolic Gauss map are
investigated. This chapter contains two sections. 
In the first section, the characterization and classification of 
submanifolds of hyperbolic 
space with 1-type hyperbolic Gauss map are obtained. 
It is concluded that a totally geodesic hyperbolic space  
$\mathbb{H}^{n}(-1)$ is the only minimal isoparametric 
hypersurface in $\mathbb{H}^{n+1}(-1)$ 
with 1-type hyperbolic Gauss map. Also, it is proved that 
an oriented surface $M$ in $\mathbb{H}^{m-1}(-1)\subset \mathbb{E}_1^m$ 
has  1-type hyperbolic Gauss map
if and only if $M$ is an open part of a 
totally geodesic hyperbolic 2-space $\mathbb{H}^{2}(-1)$ 
in $\mathbb{H}^{m-1}(-1)$.  Moreover, a classification theorem 
is given for a submanifold of 
$\mathbb{H}^{m}(-1)\subset \mathbb{E}_1^m$ with 
1-type hyperbolic Gauss map such that its spectral decomposition 
contains a non-zero constant component. 
In the second section, 
the necessary and sufficient condition 
for hypersurfaces with non-zero constant mean curvature of hyperbolic 
space having 2-type hyperbolic Gauss map is 
obtained. A horohypersphere 
in $\mathbb{H}^{n+1}(-1)$ is introduced and 
then, it is showed that the horohypersphere in $\mathbb{H}^{n+1}(-1)$ has biharmonic 
hyperbolic Gauss map. It is also obtained that the
standard product $\mathbb{H}^k(-\frac{1}{1+r^2})\times\mathbb{S}^{n-k}(\frac{1}{r^2})$
in $\mathbb{H}^{n+1}(-1)$ is the only 
isoparametric hypersurface in $\mathbb{H}^{n+1}(-1)$ with
2-type hyperbolic Gauss map. Finally, it is proved that
a non-totally umbilical surface with non-zero constant
mean curvature in $\mathbb{H}^{3}(-1)\subset \mathbb{E}_1^{4}$
has 2-type hyperbolic Gauss map
if and only if it is an open portion of 
the product surface $\mathbb{S}^1(a^{-2})\times\mathbb{H}^1(-b^
 {-2})$ in $\mathbb{H}^3(-1)$.
In the last chapter, 
the pseudo-Riemannian 
submanifolds of pseudo-hyperbolic spaces 
with finite type  pseudo-hyperbolic Gauss map 
are studied. It contains two sections.
In the first section,
a characterization of pseudo-Riemannian
submanifold of a pseudo-hyperbolic space  
$\mathbb  H^{m-1}_s (-1)$ 
with 1-type pseudo-hyperbolic Gauss map 
is obtained. It is given some examples of surfaces in 
$\mathbb{H}_1^3(-1)\subset \mathbb{E}^4_2$ and in
$\mathbb{H}_1^4(-1)\subset \mathbb{E}^5_2$ such 
that they have finite
type pseudo-hyperbolic Gauss map.
Then, the classification of maximal  
surfaces in 
$\mathbb  H^{m-1}_2 (-1) \subset \mathbb E^m_{3}$ 
with 1-type pseudo-hyperbolic Gauss map is obtained.
A classification theorem on space-like oriented
surfaces in the anti-de
Sitter 4-space with null mean curvature vector 
and 1-type pseudo-hyperbolic Gauss map is given. 
Finally, pseudo-Riemannian submanifolds in 
$\mathbb  H^{m-1}_s (-1) \subset \mathbb E^m_{s+1}$  
with 1-type pseudo-hyperbolic Gauss map
having non-zero constant component in 
its spectral decomposition are classified.
In the second section, a characterization of space-like hypersurfaces
with 2-type 
pseudo-hyperbolic Gauss map lying in 
$\mathbb{H}^{m-1}_1(-1)\subset \mathbb{E}^m_{2}$ is obtained. 
It is proved that a non-totally umbilical,
space-like, oriented hypersurface $M^n$ with non-zero constant 
mean curvature in 
$\mathbb{H}^{n+1}_1(-1)\subset \mathbb{E}_2^{n+2}$
has 2-type 
pseudo-hyperbolic Gauss map if and only if it has constant 
scalar curvature.
A classification is obtained for space-like oriented surfaces with constant mean curvature 
in $\mathbb{H}^{3}_1(-1)\subset \mathbb{E}_2^{4}$ 
having 2-type 
pseudo-hyperbolic Gauss map.
Moreover, it is proved that hyperbolic Veronese surface
in $\mathbb{H}_2^{4}(-1)$ is the only maximal surface 
fully lying in 
$\mathbb{H}_2^{4}(-1)\subset \mathbb{H}_2^{m-1}(-1) $,\;$m \geq 5$
with 2-type pseudo-hyperbolic Gauss map. 
Finally, it is concluded that 
there is no minimal space-like surface lying fully 
in $\mathbb{H}^4(-1)\subset \mathbb{E}^5_1$ with 2-type 
hyperbolic Gauss map and  
there is no maximal space-like surface lying fully 
in $\mathbb{H}^4_1(-1)\subset \mathbb{E}^5_2$ with 2-type 
pseudo-hyperbolic Gauss map.