Kısmi diferansiyel denklemlerin nümerik çözümleri için Fibonacci sıralama (Collocation) metodu ve residüel hata analizi
Fibonacci collocation method for numerical solutions of partial differential equations and residual error analysis
Yazar: AYŞE KURT BAHŞI
Danışman: PROF. DR. MEHMET SEZER
Celal Bayar Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2017
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezde kısmi diferansiyel denklemlerin bazı sınıfları için Fibonacci polinomları kullanılarak matris işlemlerine dayalı Fibonacci sıralama metodu geliştirilmiştir. Fibonacci sıralama metodu, Fibonacci polinomlarının matris formları kullanılarak, denklemin her bir teriminin matris bağıntısının bulunmasını temel alır. Bulunan matris bağıntıları ile ele alınan denklem matris denklemine dönüştürülüp sıralama noktaları bu denkleme uygulanır. Temel matris denklemi elementer satır işlemleri kullanılarak satırca indirgenmiş eşelon forma dönüştürülür. Bulunan satırca indirgenmiş matris denkleminin çözülmesi ile Fibonacci polinom çözümü elde edilmiş olur.  Fibonacci sıralama metodu, hiperbolik telgraf denklemlerine, bir boyutlu konveksiyon difüzyon probleminin denklemine, bir boyutlu değişken katsayılı kesirli türevli difüzyon denklemlerine ve Helmholtz tipi eliptik sınır değer problemlerine uygulanmıştır. Ayrıca Helmholtz tipi eliptik sınır değer problemlerinin bir alt sınıfı olan Poisson tipi eliptik sınır değer problemine de yöntem uygulanmıştır. Bahsedilen kısmi diferansiyel denklemlerin her biri için residüel hata fonksiyonuna dayalı hata analizi algoritmaları geliştirilerek, elde edilen Fibonacci polinom çözümleri için tahmini hata fonksiyonları bulunmuştur. Bu tahmini hata fonksiyonları ile Fibonacci polinom çözümleri iyileştirilmiştir. Yöntemin doğruluğunu ve etkinliğini ortaya koymak amacıyla her bir denklem tipi için örnekler ele alınmıştır. Bu örnekler için bulunan Fibonacci polinom çözümleri ile ele alınan problemlerin tam çözümleri şekil ve tablolar yardımıyla karşılaştırılmıştır. Ayrıca tahmini hata fonksiyonları ile tam çözümü bilinen problemlerin hata fonksiyonları karşılaştırılarak, algoritmalarının doğruluğu test edilmiştir. Tahmini hata fonksiyonu kullanılarak bulunan iyileştirilmiş çözümler şekiller ve tablolarda karşılaştırmalı olarak sunulmuştur. Ele alınan kısmi diferansiyel denklemlerin çözülmesi ve analizi için sembolik programlama dilleri kullanılmıştır. Fibonacci sıralama metodunun kolay programlanabilen ve hızlı sonuç veren bir sayısal yöntem olduğu sonucuna varılmıştır.

Abstract:
In this thesis, Fibonacci collocation method based on matrix operations using Fibonacci polynomials has been developed for some classes of partial differential equations. The Fibonacci collocation method is based on the matrix relation of each term of the equation using the matrix forms of Fibonacci polynomials. The matrices found are transformed into the matrix equation and the collocation points are applied to this equation. The fundamental matrix equation is transformed into a reduced row echelon form using the elementary row operations. Fibonacci polynomial solution is obtained by solving the reduced matrix equation which is found. Fibonacci collocation method has been applied to hyperbolic telegraph equations, one dimensional convection diffusion problem equation, one dimensional variable coefficient fractional diffusion equations and Helmholtz type elliptic boundary value problems. In addition, the Poisson type elliptic boundary value problem, which is a subclass of the Helmholtz type elliptic boundary value problem, has also been applied. Error analysis algorithms based on the residual error function are developed for each of the partial differential equations, and the error functions for the obtained Fibonacci polynomial solutions are found. Fibonacci polynomial solutions have been improved with these estimated error functions. Examples are given for each type of equation in order to demonstrate the accuracy and effectiveness of the method. Fibonacci polynomial solutions for these examples have been compared with the exact solutions of the problems discussed with the aid of figures and tables. In addition, the accuracy of the algorithms is tested by comparing the error functions of the error estimation functions with those of known solutions. The improved solutions found using the estimated error function are presented in figures and tables comparatively. Symbolic programming languages are used for solving and analyzing the examples. Fibonacci collocation method has been seen to be a numerical method that can be easily programmable and give fast results.