Sonlu cisimler üzerinde ayrık fourier dönüşümü ve cebirsel kodlama teorisindeki bazı uygulamaları
Discrete fourier transform over finite fields and its applications on algebraic coding theory
Yazar: SULTAN SELÇUK
Danışman: YRD. DOÇ. DR. AYTEN ÖZKAN
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2011
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Fourier dönüşümü, kompleks fonksiyonlar teorisinde Fourier analizi konu başlığı altında incelenen, bilimin ve mühendisliğin çeşitli alanlarında karşımıza çıkan matematikçiler için ilginç bir yöntem, mühendisler için kullanışlı bir araç olan çok yönlü bir kavramdır. Matematikte daha çok kompleks sayılar cisminde Fourier dönüşümü incelense de, bu çalışmada sadece sonlu cisimler üzereki dönüşümleri incelendi. Bu amaçla öncelikle sonlu cisimler, cisim genişlemeleri ve bunlar için örnekler verildi. Fourier dönüşümünün tanımıyla birlikte matris gösterimi, tez içinde tanım ve teoremlerde kullanacağımız özellikleri ve genellikle mühendislerin aşina oldukları fakat matematiksel olarak da çok anlamlı olan lineer yineleme ve lineer kompleksite kavramları incelendi.Fourier dönüşümün kullanım alanlarından en önemlilerinden biri olan hata düzelten kodlar içinde devirli kodlar ve bunlara ait özellikler üzerinde duruldu. Bir devirli kodun Fourier dönüşümü sonucunda elde edilen frekans bölgesindeki spektral olarak ne anlam ifade ettiği incelendi. Devirli kodların klasik tanımının dışında, belirli spektral bileşenleri sıfıra eşit olan kodlar olarak tanımlanabileceği ve birçok kodun dekodlamasını da spektral olarak tanımlanabileceği gösterildi.Devirli kodlar içinde özel olarak, günümüzde iletişim sistemlerinde, kompakt disklerde ve dijital video işlemlerinde en çok kullanılan Reed-Solomon kodları ve bunların bir altcisim-alt kodu olarak BCH kodları araştırıldı. Bu kodların spektral tanımları ve bazı kodlama örnekleri incelendi. Ayrıca yine Reed-Solomon ve BCH kodlarının bir veya iki bileşen eklenerek genişletilmiş formlarının oluşturulması gösterildi.Reed-Solomon kodlar için kullanılan algoritmaların en kullanışlı olanlarının Fourier dönüşümüne dayandığı görülmüştür. Bunlar hata yerini bulan dekodlama sınıfına girip cebirsel olarak önemlidirler. Bu algoritmalardan bazılarını tanıtmak amacıyla polinom gösterimleri, sendromlar ve bunların spektral tanımları incelendi. Hatanın yerini ve değerini cebirsel metodlar kullanarak bulmaya yarayan Peterson-Gorenstein-Zierler dekodlayıcısı ve Sugiyama algoritması ayrıntılarıyla incelenmiştir.

Abstract:
The Fourier transform is a multidimensional concept which is investigated under the topic of Fourier analysis in theory of complex functions and which we see in various areas of science and engineering, as an interesting method for mathematicians and a useful tool for engineering. Although in mathematics, the Fourier transform in the field of complex numbers is a more widespread topic of investigation, this study only investigates the transforms on finite fields. With this aim, firstly finite fields, extension fields and examples of these have been given. Together with the definition of the Fourier transform, matrix form of the transform, its characteristics to be used within the thesis in definitions and theorems and the concepts of linear recursion and linear complexity ?usually more familiar to engineers but also very meaningful in terms of mathematics- have been analyzed.Error correcting codes in cyclic codes, which are one of the most important areas of use for the Fourier transform, and their characteristics have been studied. The spectral meaning of the codes in the frequency domain obtained as a result of the Fourier transform of a cyclic code has been investigated. It has been shown specifically for cyclic codes that the value of the code obtained as a result of the Fourier transform has certain specified spectral components equal to zero and that it may be used in coding and decoding algorithms.Specifically for cyclic codes, Reed-Solomon codes presently used most widely in communication systems, compact discs and digital video procedures and BHC codes as a subfield-subcode of these have been researched. The spectral definitions and some coding examples have been analyzed. In addition, the formation of the extended forms of the Reed-Solomon and BCH codes by adding one or two components has been shown.It has been seen that the most useful of the algorithms used for Reed-Solomon codes are based on the Fourier transform. These are part of the decoding class which finds error and algebraically important. In order to give information on some of these algorithms, polynomial representations, syndromes and their spectral definitions have been analyzed. The Peterson-Gorenstein-Zierler decoder and Sugiyama algorithm, which serve to find the location and value of the error using algebraic methods, have been put through detailed analysis.