Regresyonda kalıntı (residual) analizi /
Yazar: SUAT ŞAHİNLER
Danışman: DOÇ. DR. MUSTAFA AKAR
Çukurova Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Zootekni Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 1993
Konu: Ziraat = Agriculture ; İstatistik = Statistics
Dizin: Kalıntılar = Residues ; Koyunlar = Sheep ; Melez = Hybrid ; Nabız = Pulse ; Regresyon analizi = Regression analysis ; Solunum hızı = Respiration rate ; Zootekni = Zootechnics

Özet:
Regresyon analizi, sebep-sonuç ilişkisi bulunan iki veya daha fasla değişken arasındaki ilişkiyi saptamada uygulanan istatistik yöntemlerden birisidir. Gözlem çiftlerini en iyi temsil eden regresyon doğrusunun aşağıdaki gibi olduğunu varsayalım. yi = a+p3q (1) Burada a ve B sırasıyla a ve B parametrelerinin tahminlerini^ bağımsız değişkeni ve y'de bağımlı değişkeni göstermekte olup x'iri değeri verildiğinde y'nın ortalama olarak değeri bulunabilmektedir. Regresyon analizinde amaç tahmin yapmanın yanısıra gözlem çiftlerini en iyi temsil eden regresyon eşitliğini bulmaktır. Bu da kalıntı analizinin konusunu oluşturur. Çünkü bir kalıntı analizi, tahmin edilen eşitlik ile veri arasındaki uyumu veya uyumsuzluğu ortaya kovan bir analiz şeklidir. Aynı zamanda kalıntı analizi, tahmin eşitliğinin verilere uygunluğunun istatistik olarak belirlenmesinden sonra tahmini değer ile gözlemler arasındaki farklılıkların dikkatli bir şekilde incelenmesini ve verilerdeki zayıf parametre tahminlere neden olan herhangi bir anormalliğin tespit -edilmesini de sağlar (Cook ve Weisberg, 1982). Kalıntı analizi doğrusal regresyon modelleri yanında doğrusal olmayan regresyon modelleri ve varyans analizinde de kullanılabilmektedir. Gerçekte uydurulmuş herhangi bir modelin uygulanması ve tir grup veri için açıklanamayan-67- varyasyonun ölçülmesi konularının incelenmesi için de yararlıdır (Draper ye Smith, 1981). Uydurulan bir modelin doğru olup olmadığım kontrol için bazı kalıntı test metotları uygulanır. Bu metotlar içinde çoğunlukla tahminler doğru olmadığında bunu genelde açığa çıkaran ve yapılması kolay olan grafik metotlar kullanılır. Bu nedenle bizde bu çalışmada grafik metotları incelenmiştir. Regresyon analizinde kalıntıyı oluşturan önemli ayrılış tipleri şunlardır. 1) Anormal gözlemlerin varlığı 2} İlgisiz faktörlerin bulunması; model (1.1)' den çıkarılır ve bu faktörlerin seviyelerine karşı kalıntı grafikleri oluşturularak incelenebilir. 3) Model (1.1) "e dahil edilen bir faktörle doğrusal olmayan bir ilişkinin bulunması; Yamy'=a+|3x gibi bir,A #\.A. ilişki yerine y= o: +ps2 gibi bir ilişkinin olması; Bu ilişki, faktörün seviyelerine karşı çizilen.kalıntı. grafiği ve. elde edilen ilişki eğrisi ile incelenebilir. 4) Farklı ej '1er arasında ilişki (korelasyon) bulunması; Bu faktör kısmi kalıntı analizi veya kalıntı peryod grafiklerinde incelenebilir. 5) Varyansın sabit olmaması; Bu durum kalıntıların veya karelerinin uydurulmuş değerlere veya varyansı etkileyen faktörlere karşı grafikleri çizilerek incelenebilir. 6) ej'lerin normal dağılım göstermemesi ; bu durum sıralı kalıntıların standart normal dağılımdan beklenen sıralı istatistiklere karşı grafikleri oluşturularak incelenebilir. Bu çalışmanın amacı, kalıntı analizinde uygulanan özellikle grafiksel metotlar kullanılarak, verileri temsil edebilecek en uygun modeli, daha gerçekçi bir yaklaşımla grafiksel analizler kullanılarak kalıntı analizleri ile birlikte-68- regresyon uygulamalarım yapmanın sağladığı faydalan karşılaştırmalı olarak göstermektir. Bu çalışmada materyal olarak Ç.Ü. Ziraat Fakültesi Döner Sermaye İşletmesindeki Ost-Frizsîvesi ırkı 36 koyuna ait birer hafta ara ile 9 hafta süreyle alınan solunum sayısı(dk), nabız Sayısı (dk) delerlerinin ortalamaları ve laktasyon süt verimleri (kg/koyun) kullanılmıştır. Analizlerde aşağıda verilen hesaplama şekillerine göre farklı üç tip kalıntı incelenmiştir. Bunlar; 1. Basit (ordinary) kalıntılar ; ej = yi - yi, (2) 2. Standart kalıntılar ; rj = ei/Sei, (3) A 3. Kısmi (partial) kalıntılar ; ej*= e + xjSj (4) Materyalde verilen solunum sayısı sj, nabız sayısı Sg, süt verimleri ise bağımlı değişken y olarak alınır ve en küçük kareler regression doğrusu tahmin edilirse, A yi = 226-1.22 xj - 0. 034 x2 (5) olur ve yi = 226 - 1.22 xt - 0.034 x2 + ei (6) eşitliği elde edilir. Regresyon katsayısının önem kontrolü için yapılan varyans analiz sonuçlarına göre, koyunların süt verimleri ile solunum sayısı veya nabız sayısı arasındaki azalış istatistik bakımdan önemlidir(p < 0.01). Fakat örneğe ait R2 = % 55.69 olup yüksek bâr değer sayılmaz. Yani koyunların dakikadaki solunum sayılan ve nabız sayılan laktasyon süt verimlerindeki-69- varyasyonun ancak % 55.6'sını açıklayabilmektedir. Regresyon önemli olduğu halde R2'nin yüksek çıkmaması, gözlemler içerisinde anormal gözlemlerin olabileceğini gösterir. Eğer gözlemler içerisinde anormal gözlemler varsa bunu ortaya çıkarmanın bir yolu kalıntı analizi yapmaktır. Yapılan değişken eleme testi sonucu koyunlarda dakikadaki nabız sayısının süt verimine önemli bir etkisi olmadığı yani süt verimlerindeki varyasyonun önemsiz bir kısmım oluşturduğu görülmüştür. Diğer bir deyişle sadece dakikadaki solunum sayısı Y'deki açıklanabilen varyasyonun büyük bir kısmını açıklayabilmektedir. Bu nedenle bu çalışmada dakikadaki solunum sayısı (x) ile laktasyon süt verimleri (y) arasındaki ilişkiyi gösteren regresyon- modeli üzerinde çalışılmıştır. Uydurulan bu yeni model ise, yi = 225- 1.22 xt (?) dir ve yapılan varyans analizi sonucuna göre yine solunum sayısı ile laktasyon süt verimleri arasındaki regresyon katsayısı önemli bulunmuştur (p<0.01). Uydurulan bu eşitlik yardımıyla, 1) (2) nolu eşitlik kullanılarak basit, kalıntı değerleri hesaplanmıştır. Hesaplanan bu değerler daha sonra, - Kalıntıların tümünün grafiği, - Eğer sıralama biliniyorsa kalıntıları zaman serisinde gösterme, - Uydurulan yj değerlerine karşı grafik çizme, - j=l,2,...J,k için bağımsız %$ değişkenlerine karsı grafik çizilerek incelenmiştir. Sonuçta, örneğe ait var yansın sabit olmadığı, bu nedenle- en küçük kareler yöntemi yerine. tartılı en küçük kareler yöntemi uygulanması veya gözlemlerde analizden önce bir transformasyon yapılması gerektiği görülmüştür.2) (7) nolu eşitlikten elde edilen tahmini delerlerden (3) sayılı formül yardımıyla standart kalıntı değerleri hesaplanmış ve bu değerlerin önce serpme grafiği daha sonra da normal grafikleri oluşturarak kalıntılaran normalik varsayımının mevcut. olup olmadıkının kontrolünde kullanılmıştır. Örneğimizde bu grafiker incelendiğinde normalliği bozan bir gözlemin olduğu görülmüştür. 3) (5) nolu eşitlikten elde edilen tahmini değerlerden (4) sayılı formül yardımıyla kısmi kalıntı değerleri hesaplanmış ve grafikleri incelenmiştir. Grafikler dikkatli, bir şekilde incelendiğinde varyansın xj ile birlikte önce artıp sonra azaldığı,. X2 ^8 birlikte sürekli arttığı görüşmüştür Dolayısıyla varyans sabit olmayıp bu varsayım bu örnek için mevcut değildir. Bu durumda ise tartılı en küçük kareler yöntemi uygulanmalıdır Ayrıca xg için düzeltilen bağımlı değişken y, xj ile kuvvetli bir negatif korelasyon içerisinde olduğu, Xı için düzeltilen y ise X2 ile sadece zayıf bir negatif korelasyona sahip olduğu görülmüştür. Diğer bir ifade ile xi'in y üzerinde oldukça yüksek bir azalış, x^.'nin ise oldukça düşük bir azalışa neden olduğunu göstermektedirler.

Abstract:
The regression analysis is one of the statistical methods vhich is applied to determination of relationship between one or more variables. We assume that the regression equation vhich is the best fitted to the data is yj = a+p3q (1).Where & and 6 are the estimation of parameters cc and. B, x is independent variable, y is dependent variable. When the value of x is given, estimation of y can be found. The aim of the regression analysis is the prediction and fitting" of a regression equation to the pairs of observation which must represent the observations better than others. This is also subject to residual analysis. Because, the residual analysis is a type of analysis vhich examines disagreement betveen assumed model and. the data. However, after determining the regression equation the residual analysis provides examining the differences betveen observed and predicted values carefully(Coofe and Weisberg, 1982). Residual analysis is not only a usefull tool for linear regression models, but also for non-linear regression models and analysis of variance models. In fact, residual analysis applies to any situation where a model is fitted and measures of unexplained variation(in the form of a set of residuals) are available for examination. --There- are some residuals test methods to test the fitted regression model whether the model fits the data appropriately or not. However, we applied the graphical analysis method because the applicatin of it was easy and uses-72- extensively. The main types of departures in regression analysis are, 1 ) The presence of outliers; 2) The revelance of a further factor, omitted frommodel(l), detected by plotting the residuals against the lewis of that factor; 3) Non-linear regression on a factor already included in model (1), detected by plotting- the residuals against the levels of that factor and obtaining a curved relationship; 4) Correlation between differen Si's, detected from partial residual analysis or a periodogram analysis of residuals. 5) Non-constancy of variance; detected, by plotting residuals or square residuals against factors thought to affect the variance or against fitted values; 6} Non-normality of the distribution of the Si's, detected by plotting the ordered residuals against the expected order statistics from a standard normal distribution. The aim of this study is to determine sufficiency of the regression model by using graphical analysis method of residuals which were calculated in different ways. The data of this study was the lactation milk yield (kg), the average of respiration (mm) and pulse rate (min) which were obtained during the nine weeks period in one week interval from 36 East-Friesian x Awassi crossbreed sheep. In this study the following types of residuals were examined. 1. Ordinary residuls ; ej = yi-yj, (2) 2. Standardized, residuals ; t{ = e.{ / Sej, (3) S. Partial residuals ; ej*= e.j + xjSj (4) If the respiration pulse rate and lactation milk yield were-73- represent by Xj and 2%, dependent arable y and the following equations is obtained, JÎ = 226 - 1.22 X!- 0.034X2 (5) Yt = 226 - 1.22 Xj - 0.034 x2 + ei (6) As a result of the analysis of variance whieh was made for testing of coefficient ' of regression that between the lactation milk yield with the respiration and. pulse rate were significant(p<0.01). But the coefficient of determination (R2) was found to be 55.69 % which was not so high. This means that the respiration and pulse rate can expain 55.69 % variation in y. The R2 was insignificant while the coefficient of regression were significant which mean that there were some outlier observations in data. If so, the residual analysis should have been done'. The pulse rate was eliminatedby using the Backward Semination method. Therefore, we defined a regression equation between tha lactation milk yield and respiration as follows: yi= 223 -1.22xi (7) The regression coefficient between lactation milk yield and respiration were found to be significant by using the method analysis of variance (p<0.01). Therefore, the drove some graphs with respect to the fitted regression equation (?) as follows: 1)-The ordinary residuals were calculated by using equation (2) after that this calculated values were plotted as follows, -Overall - In time squance, if the order is known-74- -, Against the fitted values y - Against the independent variable xjj, for j=l,2,...,k ?In the results it was seen that the variance is not constant. So that, the weighted least squares method, must be applied instead of the least squares method or a transformation on the observations before the analysis. 2) Standardized residuals were calculated by using equation (3), examined the scatter diagram and constructed a normal plot of the standardized residuals and was used as a yardstick in assessing whether the scatter of points reflects any obvious deviation from normality. In our case, we saw an observation which departures from the normality. 3) The partial residuals were calculated by using equation (5), plotted the graphics and examined. When the plots were examined carefully we saw the variance is increasing with xl and after decreasing. Therefore, the variance of the error terms is not constant. In this case, the weighted least squares method must be applied. The dependent variable corrected for X2 has a definite negative correlation with xj, the dependent variable corrected for xj has a slightly negative correlation with xg.