P(x)- Laplace operatörünü içeren Steklov sınır değer problemi için çözümlerinin incelenmesi
Examining the solution of Steklov boundary value problem involving the p(x)-Laplace operator
Yazar: MUHAMMED ABDULLAHELNIMIR
Danışman: Prof. Dr. ZEHRA YÜCEDAĞ
Dicle Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Laplace operatörü = Laplace operator ; Lebesque uzayı = Lebesque space ; Varyasyonel yöntemler = Variational methods

Özet:
Bu tezde, 𝑝(𝑥)− Laplace operatörünü içeren Steklov sınır değer probleminin sıfırdan farklı bir tane zayıf çözümünün varlığı değişken üslü Sobolev uzayında araştırılmıştır. Bu çözümler araştırılırken varyasyonel yaklaşım yöntemi kullanılmıştır.
Birinci bölümde, başlangıçta üzerinde çalıştığımız değişken üslü uzayların tarihsel gelişimi ile ilgili bilgi verilmiştir. Ayrıca 𝑝(𝑥)− Laplace operatörünü içeren farklı sınır değer koşullarına sahip problemlerin varyasyonel yaklaşım altında çözümlerinin varlığı, katlılığı, en az bir zayıf çözümünün varlığı, sıfırdan farklı en az bir zayıf çözümünün varlığı, sonsuz çözümün varlığı veya en az üç çözümün varlığı üzerinde yapılan çalışmaların bazıları verilmiştir. En sonda da üzerinde çalışacağımız problem ve kullanılacak yöntem tanımlanmıştır.
İkinci bölümde, tezin içerisinde geçen bazı temel tanım ve teorem hakkında bilgi verilmiştir. Daha sonra da, problemimizin çözümlerini araştırdığımız uzaylar olan değişken üslü Lebesgue uzayı ve değişken üslü Sobolev uzayının tanımı ve bu uzaylarda kullanılan teoremler hakkında bilgi verilmiştir.
Üçüncü bölümde, standart ve standart olmayan büyüme koşulunu içeren farklı sınır değer koşullarına sahip problemlerin çözümlerinin varlığını araştırırken kullanılan yöntem olan varyasyonel yaklaşım ile ilgili bilgi verilmiştir. Bu yaklaşım kullanılırken ihtiyaç duyulan bazı teoremlere yer verilmiştir. Ayrıca bu teoremler için gerekli olan bazı tanımlarda tanımlanmıştır. Daha sonra da, bu teoremlerin kullanıldığı bazı çalışmalar hakkında bilgi verilmiştir.
Dördüncü bölümde, tez çalışmasının orijinal kısmını oluşturmaktadır. Bu kısımda, standart olmayan büyüme koşullarını içeren ağırlıklı eliptik Steklov problemi üzerinde çalışılacaktır. Çalışmada, uygun koşullar altında problemin sıfırdan farklı en az bir zayıf çözümünün varlığı değişken üslü Sobolev uzayında araştırılmıştır. Problemin sıfırdan farklı en az bir zayıf çözümünün varlığı araştırılırken Mountain-Pass teoremi ile birlikte Ambrosetti-Rabinowitz koşulu bir arada kullanılmıştır.
Anahtar Kelimeler: 𝑝(𝑥)− Laplace, Steklov problem, Varyasyonel yaklaşım, Mountain-Pass teoremi, Ambrosetti-Rabinowitz koşulu, Zayıf çözüm, Steklov problemi.

Abstract:
In this thesis, the existence of a nontrivial weak solution to the Steklov boundary value problem involving the 𝑝(𝑥)−Laplacian operator is investigated in the variable exponent Sobolev space. The variational approach method is employed in the exploration of these solutions.
In the first section, information is given about the historical development of variable exponent spaces that we initially worked on. In addition, the existence of solutions to problems with different boundary value conditions involving the 𝑝(𝑥)−Laplacian operator under the variational approach, their multiplicity, the existence of at least one weak solution, the existence of at least one non-zero weak solution, the existence of infinite solutions or the existence of at least three solutions are examined. Some of the studies are given. Finally, the problem we will work on and the method to be used are defined.
In the second section, information about some basic definitions and theorems in the thesis is given. Then, information is given about the definition of variable exponent Lebesgue space and variable exponent Sobolev space, which are the spaces where we search for solutions to our problem, and the theorems used in these spaces.
In the third section, information is given about the variational approach, which is the method used when investigating the existence of solutions to problems with different boundary value conditions, including standard and non-standard growth conditions. Some theorems needed when using this approach are included. In addition, some definitions necessary for these theorems are defined. Then, information is given about some studies using these theorems.
In the fourth section, the original contribution of the thesis is presented. This section focuses on the weighted elliptic Steklov problem with nonstandard growth conditions. Under suitable conditions, the existence of at least one nontrivial weak solution to the problem is explored in the variable exponent Sobolev space using both the Mountain-Pass theorem and the Ambrosetti-Rabinowitz condition.
Keywords: 𝑝(𝑥)− Laplacian, Steklov problem, Variational approach, Mountain-Pass theorem, Ambrosetti-Rabinowitz condition, Weak solution, Steklov problem.