Kudryashov metodunun farklı türleriyle bazı lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin tam çözümleri
Exact solutions of some nonlinear partial differential equations with different types of Kudryashov method
Yazar: ZEYNEP AYDIN
Danışman: PROF. DR. FİLİZ TAŞCAN
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Doğrusal olmayan diferensiyel denklemler = Nonlinear differential equations ; Kısmi diferensiyel denklemler = Partial differential equations ; Tam çözüm = Exact solution

Özet:
Matematikte, bir ya da birden fazla fonksiyonu ve bunların türevlerini ilişkilendiren denklemlere diferansiyel denklem adı verilmektedir. Diferansiyel denklemler matematiksel problemleri çözmek için etkili bir araç olduğu için matematikte önemli bir yere sahiptir. Bundan dolayı matematik anabilim dalı içerisinde uygulamalı matematik alanında diferansiyel denklemlerin tam çözümleri araştırılmıştır. Diferansiyel denklemlerin tam çözümlerini bulmak için bazı metotlar öne sürülmüş ve literatürde yer almıştır. Bu tez çalışmasında ise bu metotlardan biri olan Kudryashov metodunun farklı türleri ile bazı lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin tam çözümleri araştırılmıştır.
Kudryashov metodu lineer olmayan diferansiyel denklemlerin tam çözümlerini araştırmada kullanılan, N. A. Kudryashov tarafından sunulmuş etkili yöntemlerden biridir. Kudryashov metodunun literatürde birçok türü bulunmaktadır. Bu tez çalışmasında ise bazı lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin çözümlerini bulmak için genelleştirilmiş ve yeni Kudryashov metotları kullanılmıştır. Bu metotlar kullanılarak lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerden oluşan Drinfeld-Sokolov-Wilson sistemi ve lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemler olan Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov, basitleştirilmiş modifiye Camassa Holm, Sawada-Kotera ve Kaup-Kupershmidt denklemlerinin tam çözümleri incelenmiştir. Kısmi diferansiyel denklemler hareketli dalga dönüşümleri kullanılarak adi diferansiyel denklemlere indirgenmiş ve bu adi diferansiyel denklemlerin çözümleri, kullanılan metotların çözüm algoritması ile incelenmiştir. Bulunan çözümler Maple yazılımı yardımıyla 3-boyutlu, kontur ve yoğunluk grafikleriyle desteklenmiştir.
Bu tez çalışmasında elde edilen çözümler; genelleştirilmiş ve yeni Kudryashov metotlarının verilen lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin tam çözümlerinin bulunmasında etkili bir araç olduğunu göstermiştir. Bu metotlar ile verilen diferansiyel denklemlerin çözülebilmesi bizlere genelleştirilmiş ve yeni Kudryashov metotlarının uygulanabilirliğini ve literatüre yeni tam çözümler katmak için önemini koruduğunu ifade etmektedir.

Abstract:
In mathematics, equations that relate one or more functions and their derivatives are called differential equations. Differential equations have an important place in mathematics because they are an effective tool for solving mathematical problems. Therefore, exact solutions of differential equations have been investigated in the field of applied mathematics within the department of mathematics. Some methods have been proposed and included in the literature to find exact solutions of differential equations. In this thesis, different types of Kudryashov's method, which is one of these methods, and exact solutions of some nonlinear partial differential equations have been investigated.
The Kudryashov method is one of the effective methods used in the search for exact solutions of nonlinear differential equations, presented by N. A. Kudryashov. There are many types of the Kudryashov method in the literature. In this thesis, generalized and new Kudryashov methods have been used to find solutions of some nonlinear partial differential equations. The Drinfeld-Sokolov-Wilson system of nonlinear partial differential equations and the Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov, simplified modified Camassa Holm, Sawada-
Kotera and Kaup-Kupershmidt equations, which are derivatives of the Kudryashov method, were studied for exact solutions. The partial differential equations were reduced to ordinary differential equations using moving wave transformations and the solutions of these ordinary differential equations were studied with the solution algorithm of the methods used. The solutions found were supported with 3-dimensional, contour and density graphics with the help of Maple software.
The solutions obtained in this thesis study showed that the generalized and new Kudryashov methods are an effective tool in finding exact solutions of the given nonlinear partial differential equations. The ability to solve the differential equations given by these methods indicates that the generalized and new Kudryashov methods are applicable and maintain their importance in adding new exact solutions to the literature.