İstatistiksel süreç kontrolünde ortalama koşum uzunluğu hesaplamalarına kopula-markov yaklaşımı
Copula-markov approach to average run length calculations in statistical process control
Yazar: ÖZLEN ERKAL SÖNMEZ
Danışman: PROF. DR. ŞÜKRÜ ALP BARAY
İstanbul Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Endüstri Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Endüstri Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2017
Konu: Endüstri ve Endüstri Mühendisliği = Industrial and Industrial Engineering

Özet:
Bu çalışma, İstatistiksel Süreç Kontrolü'nde kullanılan kontrol diyagramlarının performans analizi üzerinedir. Çalışmada; ölçülebilir özelliğe sahip, bir değişkenli, iki taraflı CUSUM süreç kontrol diyagramlarında, verideki otokorelasyonun Ortalama Koşum Uzunluğu (ARL) ölçütüne olan etkisi incelenmiştir. ARL, kontrol diyagramlarının tasarımında ve performanslarının karşılaştırılmasında kullanılan diyagram performans ölçütlerinden biridir. Ancak otokorelasyonun kontrol diyagramlarının istatistiksel özellikleri üzerindeki bozucu etkisi de bilinmektedir. Otokorelasyon nedeniyle diyagram kontrol limitlerinin genellikle ihtiyaç duyulandan daha dar şekilde üretilmesi, diyagramların hatalı sinyal oranında artışa ve ARL etkinliğinde düşüşe yol açabilmektedir. Bu çalışma, kopula fonksiyonlarının SKD'ler üzerindeki uygulamasını içeren az sayıda, güncel çalışmadan biri olup normal dağılan verinin AR(1) otoregresif Markov sürecine uyduğu durumda CUSUM ARL hesabı için kopula fonksiyonlarının kullanıldığı, şimdiye kadar yapılmış tek çalışmadır. Daha özel anlamda bu çalışma, normal dağılan verinin AR(1) modeline uyduğu durumda, bağımlılık yapısının Joe ve Clayton kopula aileleriyle modellenerek CUSUM Faz II analizlerinin tamamlandığı ilk çalışmadır. Çalışmanın amacı, otokorelasyon içeren stasyoner bir seri boyunca, kontrol içi CUSUM ARL'nin daha güvenilir şekilde hesaplanmasını sağlayacak Kopula-Markov tabanlı yeni bir yaklaşım sunmaktır. Yeni yaklaşımda, tek değişkenli bir zaman serisini ifade eden örnek ortalamaları kullanılarak Faz I'de, Shewhart tipi diyagram kabulleriyle 3-sigma limitleri hesaplanmış ve limit dışı noktalar buna göre elenmiştir. Kalıcı limitlerin elde edilmesinin ardından, CUSUM diyagramının Faz II Analizi'nde kullanılmak üzere parametreler, kopula tabanlı olarak hesaplanmıştır. Parametre tahmininde, R istatistiksel yazılımı üzerinde çalışan Copula.Markov paketi aracılığıyla uygulanabilen Maksimum Olabilirlik Tahmin Metodu (MLE) kullanılmıştır. Faz II CUSUM ARL hesaplamasında ise kopula tabanlı yaklaşımla tahmin edilen bu parametrelerin Markov Zinciri Yakınsaması (MCA) metodunda kullanılması söz konusudur. Uygulama için 3 farklı pozitif otokorelasyon seviyesi, 3 farklı örnek hacmi ve 2 farklı kopula tipinin kombinasyonlarından oluşmak üzere 18 deney grubu oluşturulmuş ve bunlardan uygun olan 17'si için değerlendirme yapılmıştır. Yeni yaklaşımın sonuçları, aynı veri grupları için kopula kullanılmadan yapılan MCA tabanlı CUSUM ARL hesaplamalarıyla karşılaştırılmıştır. Buna göre, yeni yaklaşımla elde edilen kontrol içi ARL (𝐴𝑅𝐿0) değerleri, %95 güven aralığında, özellikle yüksek otokorelasyon seviyelerindeki belirli tip bağımlılıklar için geleneksel hesaplama yöntemine kıyasla anlamlı bir farklılık sergilemiştir.

Abstract:
This study is about the performance analysis of control charts which are used for Statistical Process Control. In the study, the impact of autocorrelation in data on Average Run Lenth (ARL) performance measure is examined on univariate and two-sided CUSUM chart, which is a chart for variables. ARL is one of the measures which can be used for the design and performance analysis of control charts. However, the negative effects of autocorrelation on the statistical properties of control charts are also a well-known issue. Due to the existance of autocorrelation, by usually generating the control limits of charts tighter than required, a result may be obtained by an increase in false alarm rate (FAR) and a decrease in the efficiency of ARL. This study is one of the recent phenomenal studies that encapsulates the application of copula functions on control charts. Its uniqueness is being the only study that copula functions are used for CUSUM ARL calculation for the normally distributed Auto-Regressive AR(1) Markov data so far. Typically, this study is the only one that CUSUM Phase II Analysis is completed while the dependence structure is modelled by Clayton and Joe copula families for normally distributed AR(1) data. Aim of the study is to propose a Copula-Markov based new approach which enables a more reliable calculation of in-control CUSUM ARL measure throughout an autocorrelated stationary serie. In this new approach,  by using the sample averages which represent a univariate time serie, 3-sigma limits are calculated in a Shewhart type diagram in Phase I ritual and outliers are filtered accordingly. After obtaining the reliable limits, parameters are calculated in a copula based approach in order to use them in Phase II Analysis of CUSUM control chart. For the parameter estimation, Maximum Likelihood Estimation (MLE) Method is used via Copula.Markov package within R statistical software. As for the CUSUM ARL calculation, these parameters estimated copula based approach are used in Markov Chain Approximation (MCA) Method. For the application, 18 experiment sets are generated including the combinations of 3 positive autocorrelation levels, 3 types of sample sizes and 2 types of copulas. Proper 17 out of these 18 sets are evaluated. The results of new approach are compared to MCA based CUSUM ARL calculations without the use of copulas. Hereunder, in-control ARL (𝐴𝑅𝐿0) values of the new approach show significant difference in comparison to the conventional calculation method in %95 confidence interval, especially at high level of autocorrelation, under specific types of copula dependence.