Operatör katsayılı bir diferansiyel operatörün negatif özdeğer sayısının asimtotik davranışı
Asymptotic behaviour of the number of negative eigenvalues of a differential operator with operator coefficient
Yazar: SERPİL ŞENGÜL
Danışman: PROF. DR. EHLİMAN ADIGÜZELOV
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2006
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
ÖZETH sonsuz boyutlu ayrılabilir bir Hilbert uzayı olamak üzere [0, â) aralığında tanımlı vedeğerleri H ye ait olan Bochner anlamında ölçülebilir veâ2â« f ( x) dx < â0koşulunu sağlayan tüm f fonksiyonlarının kümesini L2 (0, â; H ) ile gösterelim. L2 (0, â; H )kümesi bir lineer uzaydır. Bu uzayın herhangi iki f ve g elemanlarının iç çarpımınıâ( f , g ) (0,â ) = â« ( f ( x), g ( x))dx0formülü ile tanımlarsak L2 (0, â; H ) sonsuz boyutlu, ayrılabilir bir Hilbert uzayı oluşturur.?Operatör Katsayılı Bir Diferansiyel Operatörün Negatif Özdeğer Sayısının AsimtotikDavranışı? adlı bu tez çalışmasında L2 (0, â; H ) uzayındaâ²l ( y ) = â( p( x) y â²( x)) â Q( x) y ( x)diferansiyel ifadesi ve Î± â (ââ, â) bir sabit olmak üzerecos Î± . y (0) + sin Î± . y â²(0) = 0sınır koşuluyla oluşturulan bir diferansiyel operatörün kapanışının kendine eş olduğu ve bukendine eş operatörün alttan yarı sınırlı olduğu, spektrumunun negatif kısmının ayrık olduğuispatlanmış ve â Îµ dan ( Îµ >0) küçük olan özdeğerlerinin N (Îµ ) sayısı için Îµ â 0 ikenÎ± j ( x) â Îµ[ ]N (Îµ ) = Ï â1 1 + O(Îµ t0 ) â â« dx ,p ( x)j Î± j ( x ) â¥ÎµÎ± j ( x) â Îµ[ ]N (Îµ ) = Ï â1 1 + O(e âÎµ ) ââÎ²â« dxp ( x)j Î± j ( x ) â¥Îµşeklinde asimtotik formüller bulunmuştur. Bu formüllerde Î±1 ( x), Î± 2 ( x),â¦ ile tam süreklikendine eş Q ( x ) : H â H operatörünün özdeğerleri gösterilmiştir. t 0 ve Î² pozitifsabitlerdir.Anahtar Kelimeler: Hibert uzayı, kendine eş operatör, simetrik operatör, kapalı operatör,kapanabilir operatör, Bochner integrali, özdeğer, ayrık spektrum.vi

Abstract:
ABSTRACTLet L2 (0, â; H ) denote the set of all functions f , defined in the interval [0, â ) with values inan infinite dimensional seperable Hilbert space H , which are measurable in the sense ofBochner and satisfy the conditionâ2â« f ( x) dx < â .0The set L2 (0, â; H ) is a linear space. The space L2 (0, â; H ) becomes an infinite dimensionalseperable Hilbert space by defining the inner-product for any f and g in L2 (0, â; H ) asâ( f , g ) ( 0,â ) = â« ( f ( x), g ( x))dx .0In this thesis, entitled with ?Asymptotic Behaviour of the Number of Negative Eigenvalues ofa Differential Operator with Operator Coefficient?, we prove that the closure of a symmetricoperator formed by the differential expressionâ²l ( y ) = â( p( x) y â²( x) ) â Q( x) y ( x)and the boundary conditioncos Î± . y (0) + sin Î± . y â²(0) = 0where Î± â (ââ, â) is a constant, is self adjoint and this self adjoint operator is semi boundedbelow and negative part of its spectrum is discrete in the space L2 (0, â; H ) . Morover, fornumber N (Îµ ) of eigenvalues smaller than âÎµ (Îµ > 0 ) we find asymptotic formulas of theformÎ± j ( x) â Îµ[ ]N (Îµ ) = Ï â1 1 + O(Îµ t0 ) â â« dxp ( x)j Î± j ( x ) â¥ÎµÎ± j ( x) â Îµ[ ]N (Îµ ) = Ï â1 1 + O(e âÎµ ) ââÎ²â« dxp ( x)j Î± j ( x ) â¥Îµwhen Îµ â 0 . Î±1 ( x), Î± 2 ( x),â¦ ,in the above formulas, denote the eigenvalues of the operatorQ ( x ) : H â H which is completly continuous and self adjoint. t 0 and Î² are positiveconstants.Key Words: Hilbert space, self adjoint operator, symmetric operator, closed operator,closable operator, Bochner integral, eigenvalue, discrete spectrum.vii