Kaustik eğriler, yüzeyler ve karakterizasyonları
Caustic curves, surfaces and characterizations
Yazar: FATMA ATEŞ
Danışman: PROF. DR. FAİK NEJAT EKMEKCİ
Ankara Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Geometri Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2018
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Küresel eğriler = Spherical curves

Özet:
Altı bölümden oluşan doktora tezinin birinci bölümünde; konunun tarihsel gelişimi veri-lerek kaustik eğrilerin tanımı verildi. İkinci bölümünde; Öklid 3-uzayında ve Minkowski 3-uzayında eğrilerin temel tanım ve teoremleri verildi. Üçüncü bölümde; parametrik ve polinom tipinde verilen bir düzlemsel eğrinin düzlemsel ortotomik ve kaustik eğrileri tanıtıldı. Dördüncü bölümde; S² Öklid 2- küresi üzerindeki birim hızlı eğriler için Sabban çatısı ve küresel evolüt kavramları verildi. S² küresi üzerindeki birim hızlı γ eğrisi ve u sabit noktası yardımı ile küresel ortotomik eğrilerin oluşturulabileceği gösterildi. Daha sonra, küresel ortotomik eğrilerin Sabban çatısının elemanları γ küresel eğrisinin Sabban çatısının elemanları cinsinden ifade edilerek, bu eğrilerin değme noktaları incelendi. Küresel ortotomik eğri yardımı ile γ eğrisinin küresel kaustik eğrisi tanımlandı. Ayrıca, küresel kaustik eğrinin Sabban elemanları hesaplanarak değme noktaları karakterize edilerek, bazı sonuçlar elde edildi. Beşinci bölümde; 3-boyutlu birim küre üzerinde bulunan γ küresel eğrisinin Sabban çatısı verildi ve bu çatı elemanları kullanılarak γ küresel eğrisinin S³ üzerindeki küresel evolütü hesaplandı. 3-boyutlu birim küre üzerinde teğet ve oskülatör küresel ortotomik eğriler tanımlanarak, Sabban çatı elemanları hesaplandı. Küresel ortotomik eğrilere karşılık gelen küresel kaustik eğriler incelenerek, eğrilerin singüler noktaları karakterize edildi. Altıncı bölümde; Minkowski 3-uzayındaki pseudo küreler S₁² ve H²(-1) üzerinde bulunan birim hızlı eğriler için Lorentz anlamında Sabban çatısı, pseudo küresel ortotomik eğri ve pseudo küresel kaustik eğri kavramları tanımlandı. Bu eğriler için dördüncü bölümde elde edilen sonuçlar bu bölümde de incelendi. Son bölümde; Öklid 3-uzayında verilen bir yüzeyin ortotomik yüzeyi tanımlanarak, bu ortotomik yüzey yardımıyla verilen yüzeyin kaustik yüzeyi hesaplandı ve bir örnek verildi.

Abstract:
In the first part of the doctoral thesis consisting of six chapters, the history of the subject and the definition of caustic curves are expressed. In the second chapter, basic definitions and theorems of curves are given in Euclidean 3-space and Minkowski 3-space. In the third chapter, orthotomic and caustic curves of the planar curve given by parametric and polynomial types are introduced. In the fourth chapter, the concepts of the Sabban frame and spherical evolute are given for the unit speed curves on the Euclidean 2-sphere S². The spherical orthotomic curve is obtained with the aid of unit speed spherical curve γ and fixed point u∈S². Then, the contact points of spherical orthotomic curve are examined in terms of the Sabban frame apparatus of the spherical curve γ. The spherical caustic curve of the curve γ is defined by using the spherical orthotomic curve. In addition, the contact points of this curve are characterized and some results are obtained by using the Sabban frame apparatus. In the fifth chapter, the Sabban frame of the spherical curve γ on the 3-dimensional unit sphere is given and the spherical evolute on S³ of the curve γ is calculated using Sabban frame apparatus. By defining tangent and osculating spherical orthotomic curves on S³, their Sabban frame elements are calculated. Also, their singular points are characterized by examining the spherical caustic curves corresponding to the spherical orthotomic curves. In the sixth chapter, the concepts of the Lorentz Sabban frame, the pseudo spherical orthotomic curve and the pseudo spherical caustic curve are defined for the unit speed pseudo spherical curves on the Lorentz spheres S₁² and H² in the Minkowski 3-space. For these curves, the results obtained in the fourth chapter are examined here. Finally, the orthotomic surface of a given surface in Euclidean 3-space is defined, a caustic surface of the given surface is calculated with the aid of the orthotomic surface and these calculations are visualized with the aid of an example.