Kontrol sistemi olarak sabit nokta iterasyonları ve kaotik diskrit dinamik sistemler
Fixed point iterations as control systems and chaotic discrete dynamical systems
Yazar: DERYA SEKMAN
Danışman: PROF. DR. VATAN KARAKAYA
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2023
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Dinamik sistemler = Dynamical systems ; Kaos = Chaos ; Lyapunov üstelleri = Lyapunov exponents ; Sabit noktalar = Fixed points ; İterasyon = Iteration

Özet:
Bilinmezlik ve tahmin edilemezlik olarak ortaya konan kaotik sistemler doğal olarak yapılarında dinamik sistemleri barındırmaktadır. Mevcut çalışmada, diskrit dinamik sistemleri temel alarak bilinmezlik olarak ortaya çıkan kaotik sistemler sabit nokta teorinin dinamik yapısıyla göz önüne alınmıştır. Evrende büyüme oranıyla birlikte fenomenler üzerinde meydana gelen kontrol edilemez büyüme oranları bir taraftan dinamik bir sistem iken sınırsızlıktan kaynaklı olarak da kaotik davranışlıdır. Çalışmamızın ana hipotezi, geniş bir çalışma alanı olan sabit nokta iterasyon yöntemlerini dinamik sistem olarak göz önüne alıp bu dinamik sistemlerde meydana gelen kaotik davranışların parametrelere bağlı olarak kontrol aralıklarını elde etmeyi içermektedir. Genel olarak, reel uzayda keyfi kaotik fonksiyonların belirli iterasyonlar altında adi türev yoluyla kontrol aralıklarının bulunması ile birlikte Banach uzaylarında da keyfi kaotik operatörlerin belirli iterasyon sınıfları altında Gâteaux ve Fréchet türevleri ile kontrol parametre aralıklarını elde etmek çalışmanın temel hedeflerindendir. Bununla birlikte; çalışmada büyümeye karşılık gelen sabit nokta iterasyon metotları multi-step adıma kadar genellenerek hiyerarşik bir kapsam ilişkisi kurulmuştur. Ayrıca, sabit nokta iterasyon sınıflarının en belirleyici karakteristiği olan algoritmik olarak hızlı olma özelliklerine göre literatürde var olan hızlı iterasyonlar Banach uzaylarında incelenmiştir. Diğer taraftan, uygulamaya dönük olan kaos kontrol parametreleri kaotik lojistik fonksiyon üzerinden örneklendirilip güncel bir problem olan trafik akış modeline uygulanmıştır. Benzer kontrol sistemlerinden, dinamik yörüngelerin başlangıç koşullarına bağlı olarak ıraksamasını ölçen Lyapunov üsteli tekniği ile ıraksayan sabit ve periyodik yörüngelerin yakınsaması sağlanmıştır. Dokuz bölüm olarak planlanmış bu çalışmada, ilk bölümde tezin literatür özeti, ikinci ve üçüncü bölümlerde matematiksel kavramların felsefi temelleri ve günlük hayat ilişkileri verilmiştir.  Daha sonraki bölümler tezin orijinal bölümleri olarak çalışılmıştır. Son olarak da sonuç bölümü eklenmiştir.

Abstract:
Chaotic systems, which are revealed as obscurity and unpredictability, naturally contain dynamical systems in their structures. In our current study, chaotic systems that emerge as obscurity based on discrete dynamical systems are considered with the dynamic structure of fixed point theory. While the uncontrollable growth rates that occur on the phenomena with the growth rate in the universe are on the one hand a dynamical system, it also has a chaotic behavior due to infinity. The main hypothesis of our study is to consider the fixed point iteration methods, which is a wide field of study, as a dynamical system and to obtain the control ranges of the chaotic behaviors occurring in these dynamical systems depending on the parameters. In general, control parameter ranges are obtained by Gâteaux and Fréchet derivatives of arbitrary chaotic operators under certain iteration classes in Banach spaces, together with finding control intervals of arbitrary chaotic functions in real space by means of ordinary derivatives under certain iterations. However, a hierarchical scope relationship was established by generalizing the growth corresponding fixed point iteration methods up to the multi-step. In addition, fast iterations in the literature are examined in Banach spaces according to their fastness, which is the most decisive characteristic of fixed point iteration classes. On the other hand, application-oriented chaos control parameters were exemplified over the chaotic logistic function and applied to the traffic flow model, which is a current problem. Among similar control systems, the convergence of the diverging fixed and periodic trajectories is achieved by the Lyapunov exponent technique, which measures the divergence of dynamic trajectories depending on the initial conditions. In this study, which is planned as nine chapters, the literature summary of the thesis is given in the first chapter, the philosophical foundations of mathematical concepts and daily life relations are given in the second and third chapters. The following chapters were studied as the original chapters of the thesis. Finally, the conclusion section has been added.