Konveks cisimlerin destek fonksiyonunun temsilleri ve bu temsillerle kümeler üzerindeki işlemler
Representations of the support function of convex bodies and operations on sets with these representations
Yazar: KEMAL TÜRK
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ DİDEM TOZKAN
Eskişehir Teknik Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2021
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez çalışmasında, konveks cisimlerin destek fonksiyonunun temsilleri ve temel özellikleri incelenmiştir. Destek fonksiyonlarına uygulanan bazı cebirsel işlemler ile konveks kümeler üzerindeki geometrik işlemler arasındaki ilişkiler açıklanmıştır. Ayrıca konveks cisimleri temsil etmede kullanılan bazı temsil şemalarının, destek fonksiyonu temsiliyle aynı temsil sınıfına ait olduğu gösterilmiştir. Konveks olmayan şekillerin destek fonksiyonu benzeri bir temsille nasıl ifade edilebileceği tartışılmıştır. Özel olarak konveks poligonların sınırlarının temsil edilmesini sağlayan ve Minkowski işlemlerinin hesaplanmasını kolaylaştıran bazı geometrik yöntemler incelenmiştir. Bu amaçla, destek fonksiyonu vektörleri ile hesaplama, eğim diyagramı temsili ve sınır toplamı işlemiyle hesaplama yöntemleri ele alınmıştır. Daha sonra, konveks polihedronların Minkowski işlemleri araştırılmıştır. Konveks polihedronların eğim diyagramları ile yapılan hesaplamalara ilişkin açıklayıcı örnekler verilmiştir. Çalışmanın devamında, konveks poligonlar kümesi özelinde daha detaylı sonuçlar ifade edilmiştir. Öncelikle "negatif şekil" kavramına ulaşmak amacıyla, konveks poligonlar kümesinin uygun bir parçalanışı verilmiştir. Bu parçalanışta yer alan denklik sınıflarının vektörel bir temsili ile negatif şekil kavramına ulaşılmıştır. Ek olarak, pozitif ve negatif konveks poligonların Minkowski işlemlerinin kolaylıkla hesaplanabilmesine olanak sağlayan genişletilmiş bir sınır toplamı tekniği incelenmiştir. Negatif şekil ve sınır toplamı kavramlarının basit poligonlara genelleştirilmesi çalışılmış ve eğim diyagramı temsilleri yardımıyla örnekler üzerinde incelenmiştir.

Abstract:
In this thesis, the representations of the support function of convex bodies and some basic properties are investigated. The relationships between some algebraic operations on support functions and geometric operations on convex sets are expressed. It is also shown that some other representation schemes belong to the same class as the support function representation. It is discussed how non-convex shapes can be represented with a support function-like representation. In particular, some geometric methods providing boundary-representation of convex polygons and facilitating the computation of Minkowski operations are studied. For this purpose, calculation methods with support function vectors, slope diagram representation and boundary sum operation are discussed. Then, Minkowski operations of convex polyhedrons are investigated. Illustrative examples on calculations with slope diagrams for convex polyhedrons are given. In the sequel of the study, detailed results are expressed for convex polygons. First, a decomposition of the set of convex polygons is given in order to arrive at the concept of "negative shape". The concept of negative shape is reached with a vector representation of the equivalence classes in this decomposition. An extended boundary addition technique, which allows easy computation of Minkowski operations of positive and negative convex polygons is investigated. The generalizations of negative shape and boundary addition to simple polygons is studied and examined on some examples.