Zaman kesirsel türevli Zakharov-Kuznetsov denkleminin çatallanma analizi ve hareketli dalga çözümleri
Bifurcation analysis and traveling wave solutions of time fractional Zakharov-Kuznetsov equation
Yazar: SEBAHAT SARGIN
Danışman: DOÇ. DR. SAİT SAN
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Bilgisayar Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Diferansiyel denklemler  uygulamalı bilimlerde önemli bir yere sahiptir. Çeşitli problemlerin, özellikle karmaşık problemlerin çözülmesinde fazlaca kullanılmıştır. Zakharov-Kuznetsov (ZK) denklemi özellikle plazma fiziğinde ve manyetize plazmadaki dalgaların incelenmesinde  kullanılan kısmi diferansiyel denklemdir. Bu çalışmada Riemann-Liouville (R-L) zaman kesirli türev operatörü ile verilen doğrusal olmayan (2+1) boyutlu zaman kesirsel türevli ZK denkleminin kesin çözümleri Genelleştirilmiş Üstel Rasyonel Fonksiyon Metodu (GERFM) ve Alt Denklem Metodu ile elde edilmiştir. Verilen kısmi diferansiyel denklemin uygun dalga dönüşümü ile birlikte adi diferansiyel denkleme dönüştürülmüştür. Homojen dengelenme sabiti bulunarak, kesin çözümleri homojen denge prensibine uygun şekilde aranmıştır ve sembolik hesaplama programlarıyla çözülerek gerekli parametreler bulunmuştur.
Dinamik sistemler teorisinde, çatallanma olgusu literatürde bir çok açıdan kapsamlı bir şekilde çalışılmıştır. Çatallanma, dinamik sistemdeki hafif bir parametrik pertürbasyonun çözümlerin yapısında niteliksel değişiklikler ürettiği bir olgudur. Hafif bir parametre değişikliği nedeniyle, diferansiyel denklemlerin kararlı dengesinin aniden kararsız hale gelmesi ve denge yakınında kararlı bir periyodik yörüngenin ortaya çıkabilmesi çatallanma olarak yorumlanabilir. Bu tür fenomenleri analiz etmek için, çatallanma teorisi incelenmiş ve sistem biyolojisi, sentetik biyoloji, güç sistemi,  salgın hastalık model analizi vb. gibi birçok araştırma alanında karmaşık davranışın analizi ve sentezi için yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu çalışmada zaman kesirsel türevli ZK denkleminin dinamik sistem faz düzlem analizi çalışılmıştır. İlk olarak kesirsel dönüşüm ile  kısmi diferansiyel denklem ikinci mertebeden adi diferansiyel denkleme indirgenmiş ve dinamik sistem olarak yazılmıştır. Jakobi determinantı oluşturularak  kritik noktalar belirlenmiştir. Denklem içerisindeki parametrelerin farklı durumları ele alınarak sistemin faz düzlem analizi yapılarak,  faz portreleri  çizdirilmiştir.

Abstract:
Differential equations have an important place in applied sciences. They have been widely used in solving various problems, especially complex problems. The ZK equation is a partial differential equation used especially in plasma phiysics and in the study of waves in magnetized plasma. In this study, the exact solutions of the nonlinear (2+1) dimensional ZK equation given with the Riemann-Liouville (R-L) time fractional derivative operator were obtained by Generalized Exponential Rational Function Method (GERFM) and the Sub-Equation Method. The given partial differential equation was transformed into an ordinary differential equation with the appropriate wave transformation. By finding the homogeneous equilibrium constant, exact solutions were sought in accordance with the homogeneous equilibrium principle, and the necessary parameters were found by solving with symbolic calculation programs.
In dynamical systems theory, the phenomenon of bifurcation has been extensively studied in the literature from many perspectives. Bifurcation is a phenomenon in which a slight parametric perturbation in a dynamical system produces qualitative changes in the structure of the solutions. It can be interpreted as a bifurcation when, due to a slight parameter change, the stable equilibrium of the differential equations suddenly becomes unstable and a stable periodic orbit appears near the equilibrium. To analyze such phenomena, bifurcation theory has been studied and applied to systems biology, synthetic biology, power system, epidemic disease model analysis, etc. It is widely used for the analysis and synthesis of complex behavior in many research areas such as. In this study, the dynamic system phase plane analysis of the (2+1) dimensional equation was studied. . First, by fractional transformation, the partial differential equation was reduced to a second-order ordinary differential equation and written as a dynamic system. Critical points were determined by establishing the Jakobi determinant. Phase plane analysis of the system was carried out by considering different situations of the parameters in the equation. Again, phase plane graphs were drawn for different states of the parameters.