Kesirli ısı denklemi için sönüm problemi
Quenching problem for a fractional heat equation
Yazar: SEVİM ERTUĞ
Danışman: PROF. DR. NURİ ÖZALP
Ankara Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2023
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Kesirli türevler = Fractional derivatives ; Maksimum prensibi = Maximum principle

Özet:
Bu çalışma üç bölümden oluşmaktadır. 
İlk bölüm olan giriş bölümünde klasik analizin kesirli basamaktan türev ve integrallere genelleştirmesi olarak bilinen kesirli analizin kısa bir tarihçesi verilmiştir. Ayrıca kesirli analizle ilgili bazı temel kavramlara değinilmiştir.
İkinci bölümde; ilk problem olarak parabolik denklemin tanımlı olduğu bölgenin içinde bir ısı kaynağına sahip olan ve sınırlarda akışın olmadığı tekil kaynaklı lineer olmayan kesirli bir yayılım denklemi ele alınmış ve zaman türevi Caputo kesirli türev olarak alınmıştır. Zaman yönünde kesirli basamaktan ısı denkleminin türev basmağı α; 0<α≤1 aralığındadır. İkinci problem olarak ise iki farklı tip tekil ısı kaynağına sahip (biri parabolik denklemin tanımlı olduğu bölgenin içinde ve diğeri parabolik bölgenin sınırında) parabolik denklem çalışılmıştır. Ayrıca bu çalışmada kullanılacak temel teorem, lemma ve tanımlar ile kullanılacak yöntemler açıklanmıştır. Ek olarak; denklemin çözümünün sönüm davranışı incelenmiştir. Sonlu zamanda denklem çözümünün söndüğü ve belirli şartlar altında zamana göre türevin patladığı ispatlanmıştır. 
Üçüncü bölüm olan son bölümde, zaman-kesirli yayılım denklemleri için sonlu fark metodu oluşturularak denklemin sayısal çözümleri incelenmiştir. Uygulanan metodun kesin çözüme yakınsama oranı (t_{j},x_{i}) noktasında Θ(Δt^{2α}+Δx²) olarak gösterilmiştir. Metodun tutarlılık ve yakınsaklık analizleri yapılmış ve önerilen sonlu metodun kararlılığı gösterilmiştir. Ek olarak; bir sönüm oranı ve bu sönüm oranından yararlanarak sönüm zamanı için bir alt sınır elde edilmiştir. Ayrıca elde edilen sonuçların sayısal ve grafiksel olarak karşılaştırıldığı bazı simulasyonlar verilmiştir. 
Dördüncü bölüm, sonuç kısmına ayrılmıştır.

Abstract:
The thesis consists of three chapters.
A brief history of fractional analysis and some basic concepts related to fractional analysis are given in the first chapter.
In the second chapter, a nonlinear fractional parabolic equation with homogeneous boundaries is considered as the first problem. The time derivative is taken as the Caputo fractional derivative. Two different types of singular heat sources, one inside the region where the parabolic equation is defined and the other at the boundary of the parabolic region are studied. The finite-time quenching and blow up of time derivative for the solution is proved. 
In the last chapter, a finite difference method for time-fractional parabolic problems is created and the numerical solutions of the problems are examined. The convergence rate of the method is shown to be Θ(Δt^{2α}+Δx²). Consistency and convergence analyses of the method are given and the stability of the proposed finite method is proved. In addition, a quenching ratio and a lower limit for the quenching time are obtained and some simulations are given. 
The fourth part is devoted to the conclusion part.