Kesirli mertebeden değişken katsayılı diferansiyel denklem ve denklem sistemleri için fermat sıralama metodu ve residüel hata analizi
Fermat collocation method for fractional order variable coefficients differential equations and the system of such equations and residual error analysis
Yazar: DİLEK TAŞTEKİN
Danışman: PROF. DR. ALİ KONURALP
Manisa Celal Bayar Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Diferensiyel denklemler = Differential equations ; Fermat = Fermat ; Hata analizi = Error analysis ; Sıralama yöntemleri = Ordering methods

Özet:
Bilindiği üzere kesirli diferansiyel denklemlerin tam çözümleme noktasında farklı zorluklar oluşabilmektedir. Bu zorluklar genel olarak denklemlerin yapısal özellikleri gereği tanım bölgesinde integrallenememe veya lineer olmama gibi durumlarla karşımıza çıkmaktadır. Tezde amaçlanan tanım(çözüm) bölgelerinde belirli özelliğe sahip kesirli diferansiyel denklemler cebirsel denklemlere indirgenerek Fermat polinomu çözümleri elde etmektir. Bu amaçla duruma göre sayısal integral veya sayısal türevden yararlanıldı. Daha sonra kesirli diferansiyel denklemin başlangıç şartları, sınır şartları, başlangıç-sınır şartları veya karışık şartlarının verildiği özel problemin çözümü için, bir önceki adımda bulunan denklem sistemine bu bilgiler işlendi, böylelikle cebirsel denklem sistemi için nihai bir form elde edilmiş olundu. İşte bu denklem sisteminin çözümünün olması durumunda bu çözüm istenilen şartları sağlayan kesirli diferansiyel denklemin çözümünü yazmak için gerekli olan katsayıları vermiş oldu. Elde edilen katsayıların önerdiğimiz çözüm polinomunda yerine yazılması ile yarı-analitik olan Fermat polinom yapısında bir çözüm elde edilmiş oldu. Kesirli diferansiyel denklemin tam çözümlerinin olması durumunda elde edilen bu polinomun tam çözüme ne kadar yaklaştığı ve yaklaşımdaki maksimum hata belirlendi. Bunun yanında hatanın optimize edilerek en aza indirilebilmesi için çözüm polinomuna kalıntı fonksiyonu eklenerek daha hassas sayısal çözümler arandı. Bahsettiğimiz adımlar teorik olarak öncelikle gösterildi daha sonra Maple programı kullanılarak geliştirilen bir algoritma ile nümerik çözümlere ulaşıldı.

Abstract:
As it is known, due to the coefficients and structure of differential equations, different difficulties may arise at the point of analytical analysis. These difficulties are generally encountered with situations such as integrating in the domain of definition or non-linearity due to the structural features of the equations. In the method we discussed, we tried to find the coefficients of the Fermat polynomial solutions in the proposed series form, according to the algebraic equations to be formed with both fractional derivative and integral values in the fractional differential equation at points with certain properties in the domain of definition. Then, for the solution of the special problem where the initial conditions, boundary conditions, initial-boundary conditions or mixed conditions of the fractional differential equation were given, this information was processed into the system of equations found in the previous step, thus a final form for the system of algebraic equations was obtained. If there is a solution to this system of equations, this solution has given the necessary coefficients to write the solution of the fractional differential equation that meets the desired conditions. By substituting the obtained coefficients in the proposed solution polynomial, a solution in the semi-analytical Fermat polynomial structure was obtained. In case of exact solutions of the fractional differential equation, we determined how close this polynomial obtained to the exact solution and the maximum error in the approximation, besides, more precise numerical solutions were sought by adding the residual function to the solution polynomial in order to optimize and minimize the error. The steps we mentioned were theoretically first written step by step, and then noted as an algorithm we wrote, and the results obtained from the method we proposed were found quickly by using Maple program that worked at the optimum level, and again written by ourselves.