Kısmi diferansiyel denklemlerin nümerik çözümleri için Gegenbauer dalgacık Galerkin yöntemi
Gegenbauer wavelets Galerkin method for numerical solutions of partial differential equations
Yazar: NESLİHAN ÖZDEMİR
Danışman: DOÇ. DR. AYDIN SEÇER
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2019
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez çalışmasında, kısmi diferansiyel denklemlerin nümerik çözümleri Gegenbauer dalgacık Galerkin yöntemiyle, zaman kesirli mertebeden türevli kısmi diferansiyel denklem sistemlerinin nümerik çözümleri ise hem Gegenbauer dalgacık Galerkin yöntemi hem de Gegenbauer dalgacık sıralama yöntemiyle ele alınmıştır. Bu tez çalışmasının asıl amacı, bu yöntemleri kullanarak  bir boyutlu ısı denkleminin, KdV-Burgers-Kuramoto denkleminin, doğrusal ve doğrusal olmayan Klein-Gordon denklemlerinin ve zaman kesirli ikili Burgers denkleminin nümerik çözümlerini elde etmektir. Elde edilen nümerik sonuçlar tablolaştırılıp grafikleri çizildikten sonra hem analitik çözüm hem de elde edilen nümerik çözümler birbiri ile karşılaştırılmıştır. Bulunan sonuçlar değerlendirildiğinde, Gegenbauer dalgacık Galerkin yönteminin hem kısmi diferansiyel denklemlerin hem de  kesirli mertebeden türevli doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklem sistemlerinin nümerik çözümlerini elde etmede çok etkili ve pratik bir yöntem olduğu gösterilmiştir. 
		
Bu tez, yedi bölümden oluşmaktadır. Bölüm 1'de konu ile ilgili literatür taraması yapılıp tezin amacından ve hipotezden bahsedilmiştir.
		
Bölüm 2'de, ortogonal polinomlar ve dalgacıklar ile ilgili temel bilgiler verildikten sonra tezin alt yapısını oluşturan Gegenbauer dalgacıkları, Gegenbauer dalgacıklarıyla fonksiyonlara yaklaşım ve Gegenbauer dalgacıklarının yakınsaklık analizi ile ilgili bilgiler sunulmuştur. 
		
Bölüm 3'te bir boyutlu ısı denklemi Gegenbauer dalgacık Galerkin yöntemiyle nümerik olarak çözülmüştür. Elde edilen nümerik sonuçlar, tablolar halinde verilip grafikleri çizilerek analitik çözümlerle ve literatürde mevcut olan bazı sonuçlarla karşılaştırılmıştır.
		
Bölüm 4'te KdV- Burgers- Kuramoto denklemi ele alınmıştır. Bu denklemin nümerik çözümleri Gegenbauer dalgacık Galerkin yöntemiyle  elde edilmiştir. Elde edilen nümerik çözümler hem analitik çözümlerle hem de literatürde mevcut olan Legendre dalgacık yöntemiyle elde edilen nümerik sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Ayrıca nümerik sonuçların grafikleri çizilmiştir.
		
Bölüm 5'te doğrusal ve doğrusal olmayan Klein-Gordon denklemleri ele alınmıştır. Bu denklemler, Gegenbauer dalgacık Galerkin yöntemiyle nümerik olarak çözülmüştür. Elde edilen nümerik sonuçlar tablolar halinde verilip grafikleri çizilerek tam çözümler ile karşılaştırılmıştır.
				
Bölüm 6'da, zaman kesirli ikili Burgers denklemi hakkında bilgi verilmiştir. Ele alınan problem  hem Gegenbauer dalgacık Galerkin yöntemi hem de Gegenbauer dalgacık sıralama yöntemiyle çözülmüştür. Elde edilen nümerik sonuçlar tablolaştırılıp grafikleri çizildikten sonra elde edilen nümerik çözümler analitik çözümler ile karşılaştırılmıştır.
		
Bölüm 7'de elde edilen tüm sonuçların detaylı olarak değerlendirmesi yapılmıştır.

Bu tez çalışmasında, Maple 15  programlama dili kullanılmış ve tüm hesaplamalar bu program ile yapılmıştır.

Abstract:
In this thesis, Gegenbauer wavelet Galerkin method is applied to obtain the numerical solutions of partial differential equations, and both Gegenbauer wavelet Galerkin method and Gegenbauer wavelet collocation methods are applied to obtain the numerical solutions of time-fractional partial differential equation systems. The main purpose of this thesis is to obtain numerical solutions of one dimensional heat equation, Kdv-Burgers-Kuramoto equation, Klein-Gordon equation and the coupled system of Burgers' equations with time-fractional derivative. After the obtained numerical results  were tabulated and plotted, both analytical and numerical solutions were compared with each other. When the results were evaluated, it was shown that Gegenbauer wavelet Galerkin method is a very effective and practical method in numerical solutions of both partial differential equations and fractional nonlinear partial differential systems. 
		
This thesis consists of seven chapters. In Chapter 1, literature review is made and the aim of the thesis and the hypothesis are mentioned.

In Chapter 2, after giving basic information about orthogonal polynomials and wavelets,  the approximation of a function by using Gegenbauer wavelets, followed by Block Pulse functions and nonlinear term approximation by Gegenbauer wavelets that used in the thesis are introduced  and the convergence analysis of Gegenbauer wavelets  are presented. 

In Chapter 3, the one-dimensional heat equation is solved numerically by the Gegenbauer wavelet Galerkin method. The obtained numerical results are given in tables and are plotted. Moreover they are compared with the exact solutions and some results available in the literature. 

In Chapter 4, the Kdv-Burger-Kuramoto equation is considered. Numerical solutions of this equation are obtained by Gegenbauer wavelet Galerkin method. The obtained numerical solutions are compared to the analytical solution and the numerical results obtained by Legendre wavelet method which is available in the literature. In addition, numerical results are plotted. 

Chapter 5 deals with the linear and nonlinear Klein-Gordon equations. These equations are solved numerically by Gegenbauer wavelet Galerkin method. The obtained numerical results  are given in tables and are plotted. Also they are compared with the exact solutions. 

Chapter 6 provides information about the time-fractional-order coupled Burgers equation. Moreover, the problem is solved by both Gegenbauer wavelet Galerkin method and Gegenbauer wavelet collocation method. Then the numerical results are given in tables and are plotted. Also both analytical and numerical solutions were compared with each other.

In Chapter 7, conclusions are discussed in detail.

In this thesis, Maple 15 computer program was used and all calculations were calculated with this program.