Doğal sayı ayrışımlarının sayma yöntemleri: Rank, Crank ve SPT
Combinatorial methods of partitions of natural nnumbers: Rank, Crank and SPT
Yazar: ESER OĞUZ
Danışman: PROF. DR. ALİ BÜLENT EKİN
Ankara Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2015
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bir n pozitif tamsayısının n = a_1+a_2+  +a_r; (a_1>=a_2>=...>=a_r>= 0) şeklinde yazımına
n sayısının bir ayrışımı ve a_i lere de ayrışımın parçaları denir. n nin bütün ayrışımlarının sayısı (sıra farkı gözetmeksizin) p(n) ile gösterilir. p(n) sayısı matematiğin değişik alanlarında karşımıza çıkmaktadır.
Beş bölümden oluşan tezin giriş kısmında üreteç fonksiyonu, çarpımsallık ve ayrışım arasındaki ilişki, ferrer grafiği, rank, vektör ayrışım, crank, spt tanımlarından bahsedilmiştir. Ramanujan tarafından 1919 yılında verilen kongrüanslar ayrışım teorisinin gelişmesinde önemli bir yer tutmaktadır. Bu kongrüanslarla beraber Hardy ve Ramanujan tarafından p(n) için bulunan asimptotik formül tezin ikinci bölümündedir. Euler beşgen sayı teoremi ve bu teorem yardımıyla p(n) için bulunan recursive formül de bu bölümde yer almaktadır. Ramanujan'ın kongrüanslarını kombinatoral yollarla ispatlayabilmek için Dyson tarafından verilmiş rank tanımı tezin üçüncü bölümünde yer almaktadır. Bu bölümde ayrıca rank ile ilgili birçok eşitlik verilmiş ve Ramanujan'ın p(11n+6)=0(mod11) kongrüansının
rank tansif yöntemiyle elde edilemeyeceği gösterilmiştir. Dyson tarafından ismi verilen
fakat tanımlanmayan crank tanımı tezimizin dördüncü bölümünde yer almaktadır. Garvan
tarafından tanımlanan vektör ayrışım ve bu ayrışım yardımıyla tanımlanan crank bu
bölümde ayrıntısıyla incelenmiş ve birçok sonuca yer verilmiştir. Daha sonra herhangi bir
ayrışım için crank tanımı verilmiştir.Son bölümde ise pozitif bir sayının ayrışımlarının
sayısı ile pozitif bölen sayısı arasındaki ilişkiden bahsedilmiştir. Sonra spt tanımı ve spt ile ilgili kongrüanslar verilmiştir.

Abstract:
The writing in the form of a positive integer n = a_1+a_2 +...+a_r; (a_1>=a_2>=...>=a_r>=0) is called a partition of n and the terms a_i called parts of the partition. Number of
partitions of n is shown by p(n) (regardless of sequence difference). The number p(n) is
encountered in different areas of mathematics.
Five sections of the thesis in the introduction consists of generating functions, the relationship between additive and multiplicative, ferrer graph, rank, vector partitions, crank and spt definitions are discussed.Congruences given by Ramanujan in 1919 holds an
important place in the development of the theory of parititions. With this congruence the
asymptotic formula for p(n) found by Hardy and Ramanujan is in the second part of the
thesis.Euler's pentagonal number theorem and the recursive formulas of p(n) which found
with the help of theorem are also included in this section.The definition of rank given by
the Dyson for proving Ramanujan's congruence with combinatoral methods is located on
the third part of the thesis.This section also given many equality about rank and shown
Ramanujan's last congruence p(11n+6)=0(mod11) can not be achieved with the rank
method.Crank called by the Dyson but not defined by him is located in the fourth chapter
of this thesis.Vector partitions defined by Garvan and crank defined using this partition
were examined in detail in this chapter and have been given many results.Then crank
definition is given for any partition.In the last section given the relationship between the number of partitions of any positive number and the number of positive divisors. Then thedefinition of spt and congruences related to spt are given.