Kesirsel mertebeden diferansiyel denklemler ile matematiksel modelleme ve mobbing modeli örneği
Mathematical modeling with fractional order differential equations and mobbing model example
Yazar: ENGİN IŞIK
Danışman: DOÇ. DR. BAHATDİN DAŞBAŞI
Kayseri Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Hesaplamalı Bilimler ve Mühendislik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Kesirli türev ve integral kavramları, geleneksel türev ve integral işlemlerinin genişletilmiş bir versiyonu olup, matematiksel modellerin daha esnek ve hassas bir şekilde çözülmesine olanak sağlar. Bu tezde kesirli türev tanımları ve SIR modeli tabanlı kompartıman modelleri ele alınmış, sosyal bilimlerde bir uygulama sunulmuştur.
Tezin ilk bölümünde, kesirli mertebeli diferansiyel denklemlerin tanımında kullanılan Caputo ve Riemann-Liouville türevlerine yer verilmiştir. Bu tanımlar ışığında, diferansiyel denklem sistemlerinin denge noktalarının kararlılık analizi yapılmış, sistemlerin kararlılığı incelenmiştir.
İkinci bölümde, bulaşıcı hastalıkların yayılımını modelleyen SIR, SI, SIS ve SEIR kompartıman modelleri tanıtılmıştır. Bu modellerin denge noktalarının kararlılık analizi yapılmış ve bu analizlerin hastalık yayılımı üzerinde nasıl bir etkiye sahip olduğu incelenmiştir.
Üçüncü bölümde, kesirli türevler kullanılarak sosyal bilimler alanında gerçek bir dünya örneği üzerine bir uygulama geliştirilmiştir. Mobbinge maruz kalan, mobbinge maruz kalmayan veya mobbinge karşı direnç kazanan ve mobbing uygulayan bireyleri içeren bir model oluşturulmuş, denge noktaları ve kararlılık analizi yapılmıştır. Modelin çözümü negatif sonuç vermemiş ve parametrik analizlerle desteklenmiştir. 
Son bölümde, kesirli diferansiyel denklemlerin gerçek dünya uygulamaları üzerindeki avantajları tartışılmıştır. Bulgular, bu tür modellerin karmaşık sistemlerin analizi için güçlü bir araç olduğunu göstermektedir.
Anahtar Kelimeler: Kesirli Mertebeden Diferansiyel Denklem, Matematiksel Modelleme, Mobbing Modeli, Kalitatif Analiz, Sayısal Analiz.

Abstract:
The concepts of fractional derivatives and integrals are extended versions of traditional derivatives and integrals, allowing for more flexible and precise solutions to mathematical models. In this thesis, fractional derivative definitions and compartmental models based on the SIR model are explored, and an application in social sciences is presented.
The first chapter introduces the Caputo and Riemann-Liouville fractional derivatives used in defining fractional-order differential equations. Based on these definitions, a stability analysis of the equilibrium points of differential equation systems is performed, examining the stability of these systems.
The second chapter presents the SI, SIS, SIR, and SEIR compartmental models that describe the spread of infectious diseases. A stability analysis of the equilibrium points of these models is conducted, exploring their impact on disease transmission.
In the third chapter, an application was developed using fractional derivatives on a real-world example in the field of social sciences. A model was created involving individuals who are subjected to mobbing, those who are not affected by mobbing or have developed resistance to it, and those who engage in mobbing. Equilibrium points and stability analyses were conducted. The model's solution did not yield negative results and was supported by parametric analyses.
The final chapter discusses the advantages of applying fractional differential equations in real-world scenarios. The findings demonstrate that such models serve as a powerful tool for analyzing complex systems.
Keywords: Fractional-Order Differential Equation, Mathematical Modeling, Mobbing Model, Qualitative Analysis, Numerical Analysis.