Kesirli türevler, kesirli integraller ve uygulamaları
Fractional derivatives, fractional integrals and applications
Yazar: GÜLÇİN BOZKURT
Danışman: PROF. DR. AYŞE NEŞE DERNEK
Marmara Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2018
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Tezin ilk bölümünde, öncelikle çeşitli kesirli türev, kesirli integral ve integral
dönüşüm tanımlarına yer verilmiştir. Ardından, kesirli integral ve türevlerin Laplace
dönüşümlerinden bahsedilmiş ve Laplace dönüşümünün bazı özelliklerine yer
verilmiştir. Ayrıca, kesirli hesabın en önemli uygulamalarından biri olan kesirli diferansiyel
denklemler hakkında genel bilgilere ve kesirli diferansiyel denklemlerin
cözüm yöntemlerinden biri olan Laplace dönüşüm metoduna yer verilmiştir. Son
olarak, kesirli hesap çalışmalarında sıkça ortaya çıkan özel fonksiyonların tanımları
verilmiştir.
İkinci bölüm, kesirli hesabın çeşitli uygulamalarına ayrılmıştır. Öncelikle Weyl
kesirli integral ve türevinin Kratzel fonksiyonu üzerine uygulamalarına yer verilmiştir.
Ardından, kesirli hesabın en önemli uygulamalarından biri olarak görülen Abel integral
denklemi başta olmak üzere çeşitli kesirli denklemlerden bahsedilmiş ve bu
denklemlerin çözümleri verilmiştir. Son olarak, kesirli hesabın uygulamalarında kullanılan çeşitli integral dönüşümleri içeren eşitliklere yer verilmiştir.
Tezin üçüncü bölümünde, kesirli hesabın uygulamalarına ilişkin çeşitli bulgulara
yer verilmiştir. İlk olarak, kesirli hesabın Kratzel fonksiyonu ve Bessel tipi fonksiyonlar
üzerine uygulamaları geliştirilerek yeni eşitliklere ulaşılmıştır. Ardından, çeşitli
kesirli diferansiyel denklem ailelerin çözümlerine ulaşmayı sağlayan teoremler verilmiş ve bu teoremler kullanılarak, çeşitli kesirli diferansiyel denklemlerin çözümlerine
ulaşılmıştır. Son olarak, genelleştirilmiş Riemann-Liouville ve Weyl kesirli integralleri
tanımlanmış ve bu integralleri içeren çeşitli bağıntılara ulaşılmıştır.
Tezin son bölümünde, tez çalışması boyunca elde edilen sonuçlar sıralanmış ve
tezde elde edilen sonuçların kullanımı hakkında önerilerde bulunulmuştur.

Abstract:
In the first chapter, the definitions of various fractional integrals, fractional derivatives
and integral transforms are given. The Laplace transforms of fractional
integrals and fractional derivatives are also mentioned. In addition, basic properties
of fractional dierential equations are stated. Finally, some special functions that
are widely used in fractional calculus are introduced.
The second chapter is allocated for applications of fractional calculus. Some
identities concerning Weyl fractional integral and Weyl fractional derivative of the
Kratzel function are given. Moreover, solutions of some fractional equations including
Abel integral equation which is one of the most prominent applications of
fractional calculus are provided. Relations that include integral transformations that
are used in the study of fractional calculus are also given.
In the third chapter, some new results on the applications of fractional calculus
are stated. Firstly, the applications of fractional calculus on Kratzel function and on
Bessel type functions are extended and new relations are introduced. Then theorems
regarding the solutions for some families of fractional diferential equations are stated
and solutions for some particular equations are given. Moreover, the generalized
Riemann-Liouville and Weyl fractional integrals are introduced and some relations
including these integrals are proven.
In the last chapter, all of the results are listed and some possible applications
are given.