Banach uzayında operatör yarı grupları ve evolüsyon denklemleri
Operator semigroups and evolution equations in Banach space
Yazar: SAMET KARASU
Danışman: DOÇ. DR. ERDAL GÜL
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Operatörlerin yarı grupları teorisi, uygulamalı matematiğin birçok alanına ek olarak analiz, olasılık teorisi, kısmi diferansiyel denklemler, dinamik sistemler ve kuantum teorisi alanlarında yaygın olarak kullanılan bir çalışma alanıdır. Tez çalışmasında,bu alanlardaki problemlerde sıkça karşıla¸sılan skaler diferansiyel denklemler, diferansiyel denklem sistemleri ve Banach uzaylarında diferansiyel denklemler genel olarak tanıtılacaktır. Göz önüne alınan bu tür denklem ya da sistemlerin her biri için çözümlerin varlığı ve tekliğinin gösterilmesinde operatörlerin yarı-gruplarının etkileri tartışılacaktır.Sonsuz boyutlu Banach uzayında tanımlı sınırlı lineer operatörlerin tek parametreli yarı-grupları ve üreteçleri incelenerek, yarı grupların düzgün ve güçlü süreklilik özellikleri için üreteçlerine ait koşullar detaylı olarak çalışılacaktır. Özellikle, güçlü sürekli büzülme yarı gruplarının(aynı zamanda zayıf sürekli büzülme yarı gruplarının)sonsuz küçük üreteçlerini spektral kavramlar vasıtasıyla karakterize eden Hille-Yoshida ve Lumer-Phillips teoremleri üzerinde durulacaktır. Bu teoremler, zayıf sürekli yarı gruplar için ifade edilecek ve ispatlanacaktır. Ayrıca güçlü sürekli yarı-grupların önemli bir alt sınıfı olan analitik yarı grupları ve özellikleri ele alınacaktır.Uygulamalar için göz önüne alınan farklı türden başlangıç değer problemlerine karşılık gelen evolüsyon denklemlerin çözümlerinin niteliksel özellikleri tek parametreli yarı gruplar vasıtasıyla irdelenecektir.

Abstract:
The theory of operator semigroups is a field of study widely used in many areas of applied mathematics, including analysis, probability theory, partial differential equations, dynamical systems, and quantum theory. In this thesis, scalar differential equations, differential equation systems, and differential equations in Banach spaces will be introduced in general for problems encountered in these areas. The effects of operator semigroups will be discussed in showing the existence and uniqueness of solutions for each equation or system considered. The one-parameter semigroups and generators of bounded linear operators defined in infinite-dimensional Banach spaces will be examined, and the conditions for their generators for the uniform and strong continuity properties of semigroups will be studied in detail. In particular, the Hille-Yoshida and Lumer-Phillips theorems, which characterize the infinitesimal generators of strongly continuous contraction semigroups(and also of weakly continuous conraction semigroups) through spectral concepts, will be emphasized. These theorems will be stated and proved for weak continuous semigroups.Additionally, analytical semigroups and their properties, which are an important subclass of strongly continuous semigroups, will be discussed. The qualitative properties of solutions of evolution equations corresponding to different types of initial value problems considered for applications will be analyzed through one-parameter semigroups.