Gama ve beta fonksiyonlarının Hahn analizindeki benzerleri
Analogues of gamma and beta functions in Hahn calculus
Yazar: MÜZEYYEN YÜKSEL
Danışman: DOÇ. DR. FATMA HIRA
Ondokuz Mayıs Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Beta = Beta ; Gama fonksiyonu = Gamma function ; Üstel belirsizlikler = Exponential uncertainty

Özet:
Klasik türev tanımının limit kullanılmadan tanımlanmasıyla oluşturulan  kuantum analizin veya kısaca q-analizin bir türü de Hahn kuantum analizidir. 1949 yılında W. Hahn tarafından tanımlanan Hahn fark operatörü aslında q-fark operatörü ve ileri fark operatörünün birleşiminden oluşmaktadır. 2009 yılında bu türev operatörünün tersinin (integralinin) ve onunla ilgili analizsel teoremlerin oluşturulmasıyla bu konudaki çalışmalar hız kazanmıştır. 
Klasikte var olan ifadelerin q-analizindeki karşılıklarına q-benzerleri, Hahn analizindeki karşılıklarına da q,w-benzerleri denilmektedir. Bu tezde, Gama ve Beta fonksiyonlarının Hahn analizindeki benzerleri tanımlanarak, klasikteki temel özelliklerinin q,w-benzerleri oluşturulmuştur. 
Klasikteki üstel fonksiyonun benzeri q-analizinde dolayısıyla q,w-analizinde  birinci tür E ve ikinci tür e üstel fonksiyonları ile tanımlıdır. Bu nedenle  Gama ve Beta fonksiyonları da her iki üstel fonksiyon için tanımlanarak birinci tür q,w-Gama ve q,w-Beta fonksiyonları ile ikinci tür q,w-Gama ve q,w-Beta fonksiyonları ayrı ayrı oluşturulmuştur. 
Tezin birinci bölümünde, q-analizi ve q,w-analizi ile ilgili literatür özetine yer verilmiştir. Tezin ikinci bölümünde, q-analizi ve özellikle q,w-analiziyle ilgili temel tanım, teorem ve özellikler verilmiştir. Tezin üçüncü bölümü iki alt bölümden oluşmaktadır: Birinci bölümde, Eq,w üstel fonksiyonu kullanılarak birinci tür q,w- Gama ve q,w-Beta fonksiyonları tanımlanmış, integrallerin yakınsaklıkları incelenerek klasikteki temel özelliklerin q,w-benzerleri elde edilmiştir. İkinci bölümde, aynı fonksiyonların ikinci tür q,w-benzerleri e üstel fonksiyonu kullanılarak oluşturulmuş ve her iki tür arasındaki geçiş bağıntıları verilmiştir. 
Tezde sunulan bulgular özellikle q,w-Laplace dönüşümünün incelenmesi ve kesirli Hahn analizi için temel kaynak oluşturmaktadır. Tezin son bölümünde diğer sonuç ve önerilere yer verilmiştir.

Abstract:
The Hahn quantum calculus is another type of quantum calculus, or q-calculus, which is created by defining the classical derivative definition without using limits. The Hahn difference operator, which W. Hahn defined in 1949,  consists of combining the q-difference operator and the forward difference operator. In 2009, studies on this subject gained momentum by creating the inverse (integral) of this derivative operator and the analytical theorems related to it.
The equivalents of classically existing expressions in q-calculus are called q- analogs, and their equivalents in Hahn's calculus are called q,w-analogs. In this thesis, the analogs of Gamma and Beta functions in Hahn's calculus are defined and q,w-analogs of their basic properties in classical are created.
Similar to the classical exponential function, in the q-calculus, therefore, in the q,w-calculus, the first type is defined by the E and the second type e  exponential functions. Therefore, Gamma and Beta functions are defined for both, and the first type q,w-Gamma and q,w-Beta functions and the second type q,w-Gamma and q,w-Beta functions are formed separately.
In the first part of the thesis, a literature summary about q-calculus and q,w-calculus is given. In the second part of the thesis, basic definitions, theorems and properties related to q-calculus and especially q,w-calculus are given. The third part of the thesis consists of two sub-sections: In the first part, the first type of q,w- Gamma and q,w-Beta functions are defined by using the E exponential function, the convergence of the integrals is examined and the q,w-analogs of the basic properties of the classical are obtained. In the second part, the second kind of q,w-analogs functions of the same functions are constructed using the exponential function e and the transition relations between both types are given.
The findings presented in the thesis are the primary source for the analysis of the q,w-Laplace transform and fractional Hahn calculus. In the last part of the thesis, other conclusions and suggestions are given.