Lineer olmayan sistemler için geçerli çözümler verebilecek yeni bir perturbasyon tekniğinin geliştirilmesi /
Yazar: NEDRET ELMAS
Danışman: PROF. DR. HAKAN BOYACI
Celal Bayar Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Makine Mühendisliği Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2013
Konu: Makine Mühendisliği = Mechanical Engineering ; Matematik = Mathematics
Dizin: Lineer olmayan denklemler =   ; Pertürbasyon = Perturbation ; Pertürbasyon yöntemleri = Perturbation methods

Özet:
Perturbasyon yöntemleri fiziksel problemlerin yaklaşık analitik çözümlerini bulmakta 
kullanılmaktadır. Perturbasyon yöntemlerinde çözüm, fiziksel küçük bir parametrenin seri açılımı 
şeklinde ifade edilir. 
''Doğrudan Açılım'' olarak adlandırılan temel Perturbasyon tekniği birçok hesaplamada yeterli 
olamamakta ve zaman içerisinde artan çözümler vermektedir. Lindstedt-Poincare Tekniği, 
Renormalizasyon yöntemi, Çok Zaman Ölçekli yöntem, Ortalama yöntemi ve Asimptotik 
Açılımların Uyumu yöntemi adları ile anılan çeşitli perturbasyon yöntemleri doğrudan açılımda 
karşılaşılan sorunları çözmek için zaman içerisinde geliştirilmiştir.
Bu metotlardaki fikirler geliştirilerek ihtiyaca uygun bir dönüşüm ortaya koyulmuştur. Bu zaman 
dönüşümü diferansiyel denklemlerde zaman parametresini hızlandırarak veya yavaşlatarak 
zaman parametresinin kontrolünü sağlamaktadır yada bu dönüşümü problem tipine göre 
belirlenmektedir. 
Çalışmada uygulama olarak Duffing, Van der Pol, sınır değer problemi ele alınmıştır.
Sunulan zaman dönüşümünün avantajı lineer olamayan diferansiyel denklemlerde yeni bir bakış 
açısı, istenen parametrenin kontrolünde ve problemin çözümünde basitlik sağlayacaktır. 

Anahtar Kelimeler: Nonlineer sistemler, Duffing Denklemi, Van der Pol Denklemi, Sınır değer
problemleri , Perturbasyon yöntemleri, Lindstedt Poincare tekniği, Çok Zaman Ölçekli yöntem, 
Zaman dönüşümü

Abstract:
Perturbation method is mathematical methods that are used to find an approximate solution to a problem which cannot be solved exactly.  Perturbation theory can be applied if the problem can be formulated by adding a "small" term to the mathematical description of the exactly solvable problem. Perturbation method leads to an expression for the desired solution in terms of a formal power series in some "small" parameter  -known as a perturbation series-   that quantifies the deviation from the exactly solvable problem. The leading term in this power series is the solution of the exactly solvable problem, while further terms describe the deviation in the solution, due to the deviation from the initial problem.  
Algebraic equations, integrals, differential equations, difference equations and integro-differential equations can be solved approximately with Perturbation techniques. The direct expansion method (pedestrian expansion) does not produce physically valid solutions for most of the cases and depending on the nature of the equation, many different perturbation techniques such as Lindstedt-Poincare technique, Renormalization method, Method of Multiple Scales, Averaging methods, Method of Matched Asymptotic Expansions etc. are developed within time.  
A time transformation has been put forward by developing these ideas. This time transformation provides control over the time at  differential equations, by accelerating  (larger steps advancing) or slowing down (smaller intervals advancing) the time parameter. In the application, Duffing, Van der Pol, in practice commonly used   boundary-value problems were discussed.
The advantage of the time transformation presented  will be a new perspective for nonlinear problems and control of the chosed parameters.

Keywords : Nonlinear systems, Duffing equation, Van der Pol equation, Perturbation methods, 
Lindstedt Poincare method, Multiple scales method, Numerical solutions, Time parameter, 
numerical solution