Zaman gecikmeli bir sürdürülebilir turizm modelinin dinamiği ve Hopf çatallanması
Dynamics and Hopf bifurcation of a sustainable tourism model with time delay
Yazar: BÜNYAMİN KURTKAYA
Danışman: PROF. DR. MUSTAFA TAYLAN ŞENGÜL
Marmara Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu çalışmada, koruma alanlarını ziyarete gelen turistler, çevre kirliliği ve sermaye stoku arasındaki ilişkileri sürdürülebilir turizm başlığı altında dikkate alarak, bir çevre koruma alanı modeli oluşturulacaktır. Bu model ziyaretçi turistlerin, çevre kirliliğinin ve sermaye stokunun dinamiğini tanımlayan üç adet doğrusal olmayan adi diferansiyel denklem sistemi ile modellenmiştir. Çevre koruma harcamaları ve sürdürülebilir turizmin gelişimi için, araştırmacıların büyük bir kısmı sosyo-ekolojik sistemlerin analizi; ekolojik, sosyal ve ekonomik faktörlerin beraber değerlendirmesini mümkün kılan çeşitli modellemeler geliştirip bunlar üzerine çalışmalar yapmaktadır. Bu çalışmalar sürdürülebilir turizm için bir stratejik planlama yapabilme olanağı sağlamaktadır. Turistik tesisler sosyo-ekolojik sistem kabul edildiği gibi benzer şekilde çevre koruma alanları da sosyo-ekolojik sistem kabul edilmektedir. Koruma alanlarının çekiciliği bölgeye gelecek turist sayısını arttıracak ve bu durum ekonomik anlamda kalkınmaya katkı sağlasa bile bilinçsiz kitle turizmi nedeniyle ekolojik olarak bölgeye zarar verecektir. Ayrıca bölgenin çekiciliği nedeniyle artan turist sayısı belli bir eşikten sonra kalabalık etkisi yaratıp, bölgenin çekiciliği için olumsuz bir etkiye neden olacaktır. Turizm kalkınma için bir araçtır fakat bu araç düzgün kullanılmazsa ekosistemin yenilenebilir ve yenilenemeyen doğal kaynaklarının kalitesini bozabilmektedir. Bu bağlamda koruma alanlarının günümüzde çok fazla zarar görmesi üzerine, yapılan çalışmalar her zaman biz araştırmacılar için yol gösterici olmuştur. 

Bu çalışmada tasarlanan modelde dinamikler kurgulanırken gerçeğe ve mantığa uygun olacak şekilde tasarlanmıştır. Önerilen modelde ziyaretçilerin sermaye ve ekonomik anlamda olumlu bir etkisi olduğu düşünülürken ekosistem bağlamında çevreye karşı olumsuz bir etkisinin olduğu düşünülmektedir. Ayrıca turistlerin sermayeye katkısı sayesinde, sermayedeki artış ve bu artışın getirisiyle sermayenin bir kısmı çevrenin iyileştirilmesi, temizlenmesi yani onarımı için kullanılmaktadır. Öncelikle modelin pozitif bir denge noktasının varlığı gösterilecektir. Ardından bu denge noktasının kararlılık ve çatallanma analizi yapılacaktır. Zaman gecikmesi çatallanma parametresi olarak seçildiğinde pozitif dengenin yakınında Hopf çatallanma analizi yapılacaktır. Oluşturulan modelde Hopf çatallanmasının varlığı ve kararlılığı analiz edilerek incelenecektir. Hopf çatallanması matematiksel çatallanma teorisinde bir sistemin denge çözümünün kararlılığının değişmesi ve periyodik bir çözümün ortaya çıkması ile ilgilidir. Çatallanan periyodik çözümün kararlılığı ve Hopf çatallanmasının yönü ile ilgili formüller, normal form teorisi ve merkez katman teoremi uygulanarak gösterilecektir.

Abstract:
In this study, an expenditure model for an environmental protection area will be proposed, taking into account the relationships between tourists visiting the protected areas, the environmental pollution, and the capital stock. This problem is modeled by a system of three nonlinear ordinary differential equations that describe the dynamics of visiting tourists, the environmental pollution, and the capital stock. For environmental protection expenditures and the development of sustainable tourism, most researchers analyze socio-ecological systems. They develop and work on various models that make it possible to evaluate ecological, social, and economic factors together. These studies provide the opportunity to make strategic planning for sustainable tourism. Both touristic facilities and environmental protection areas are accepted as socio-ecological systems. The attractiveness of the protected areas will increase the number of tourists visiting the region. Even if this contributes to economic development, it may also ecologically damage the region due to mass tourism. In addition, the increasing number of tourists due to the attractiveness of the region will create a crowding effect after a certain threshold and will cause a negative effect on the attractiveness of the region. Tourism is a tool for development, but if this tool is not used properly, it can degrade the quality of the renewable and non-renewable natural resources of the ecosystem.

In the model designed in the study, the dynamics are designed to be in accordance with reality and logic. In our model, while the visitors have a positive effect in terms of capital and economy, it is thought that they have a negative effect on the environment in the context of the ecosystem. In addition, thanks to the contribution by the tourists to the capital, a part of the capital is stable used for the improvement of the environment. It is shown that the system possesses a positive equilibrium solution. If is shown that without time delay, this station is stable. When the time delay is selected as the bifurcation parameter, a Hopf bifurcation analysis is performed near the positive equilibrium. The existence and the stability of Hopf bifurcation in the proposed model is analyzed. Hopf bifurcation is associated with the change of stability of an equilibrium solution and the emergence of a time periodic solution. The formulas for the stability of the bifurcated periodic solution and the direction of the Hopf bifurcation are analyzed by applying the normal form theory and the center manifold theorem.