Matris denklemleri ile ilişkili bazı özel tipli matrisler için matris yakınlık problemi
The matris nearness problem for some special type of matrices associated with matrix equations
Yazar: SİNEM ŞİMŞEK
Danışman: PROF. DR. HALİM ÖZDEMİR ; YRD. DOÇ. DR. MURAT SARDUVAN
Sakarya Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2016
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Anahtar Kelimeler: minimum kalan problemi, matris yakınlık problemi, en iyi yaklaşık çözüm, Moore-Penrose ters.  
İlk bölümde lineer matris denklem problemleri ile ilgili literatür bilgisine yer verilmiş ve çalışmanın içeriğini oluşturan problemler tanıtılmıştır.   
İkinci bölümde çalışmada kullanılan bazı tanımlar ve temel teoremlerden bahsedilmiştir.  Üçüncü bölümün ilk kısmında $\left( {{A_1}X{B_1},{A_2}X{B_2}, \ldots ,{A_k}X{B_k}} \right) = \left( {{C_1},{C_2}, \ldots ,{C_k}} \right)$ matris denkleminin simetrik ve ters-simetrik matrisler için genel çözümlerinin kümesi ve en küçük kareler çözümlerinin kümesi, Moore-Penrose ters ve Kronecker çarpım kullanılarak incelenmiştir. Bu matris denkleminin en iyi yaklaşık simetrik çözümü ve en iyi yaklaşık ters-simetrik çözümü ortaya konulmuştur. İkinci kısmında AXB=C matris denkleminin (P,Q)-ortogonal simetrik ve (P,Q)-ortogonal ters-simetrik matrisler için genel çözümlerinin kümesi ve en küçük kareler çözümlerinin kümesi Moore-Penrose ters ve spektral ayrışım kullanılarak incelenmiştir. Daha sonra, en iyi yaklaşık (P,Q)-ortogonal simetrik çözümü ve (P,Q)-ortogonal ters-simetrik çözümü elde edilmiştir. Son olarak, her iki kısmın sonunda ele alınan problemlerin çözümünü elde etmek için kullanılan bir algoritma, iki örnek ve literatürden seçilmiş örnekler için karşılaştırmalı bir tablo verilmiştir.  
Dördüncü bölümde (AXB,CXD)=(E,F) kuaterniyon matris denkleminin merkezi-hermityen ve ters-merkezi-hermityen matrisler üzerinde minimum kalan problemi Moore-Penrose ters, Kronecker çarpım ve vec operatörü kullanılarak incelenmiştir. Daha sonra ise (AXB,CXD)=(E,F) kuaterniyon matris denkleminin en iyi yaklaşık merkezi-hermityen çözümü ve ters-merkezi-hermityen çözümü verilmiştir. Son olarak, bölüm sonunda ele alınan problemlerin çözümünü elde etmek için kullanılan bir algoritma ve iki sayısal örnek verilmiştir.  
Son bölüm ise sonuçların kısa bir tartışmasına ayrılmıştır.

Abstract:
Keywords: minimum residual problem, matrix nearness problem, the best approximate solution, Moore-Penrose inverse.  
In the first section, literature review related to the lineer matrix equation problems is provided and the problems that constitute the content of the study are introduced.  
In the second section, some definitions and fundamental theorems used within the study are mentioned.  
In the first part of the third section, the sets of general solutions and least squares solutions of the matrix equation $\left( {{A_1}X{B_1},{A_2}X{B_2}, \ldots ,{A_k}X{B_k}} \right) = \left( {{C_1},{C_2}, \ldots ,{C_k}} \right)$ for symmetric and skew-symmetric matrices are examined by using Moore-Penrose inverse and Kronecker product. The best approximate symmetric solution and skewsymmetric solution of this matrix equation are established. In the second part, the sets of general solutions and least squares solutions of the matrix equation AXB=C for (P,Q)-orthogonal symmetric and (P,Q)-orthogonal skew-symmetric matrices are examined by using Moore-Penrose inverse and spectral decomposition. Then, the best approximate (P,Q)-orthogonal symmetric solution and (P,Q)-orthogonal skew-symmetric solution of this matrix equation are obtained. Finally, an algorithm to get the solutions of the considered problems, two numerical examples and a comparative table for the numerical examples taken from the literature are given at the end of the both parts.  
In the fourth section, the minimum residual problem of the quaternion matrix equation (AXB,CXD)=(E,F) is examined for centrohermitian and skewcentrohermitian matrices by using Moore-Penrose inverse, Kronecker product and vec operator. Then, the best approximate centrohermitian solution and skewcentrohermitian solution of this matrix equation are given. Finally, an algorithm to get the solutions of the considered problems and two numerical examples are given at the end of the section.  
The last section is devoted to a brief discussion of the results.