Evrim cebirleri üzerine
On evoluti̇on algebras
Yazar: ALPASLAN AKÇA
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ BERNA ARSLAN
Aydın Adnan Menderes Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezde, evrim cebirleri üzerine günümüze kadar yapılan çalışmalarda elde edilen
bazı cebirsel sonuçlar derlenerek, bu alanda çalışma yapılması durumunda konu ile ilgili
temel bilgilerin bir araya getirilmesi amaçlanmıştır.
Tamamen teorik olan bu tez hazırlanırken evrim cebirleri hakkında daha önce yapılmış
çalışmalar incelenmiştir. Bu konuya temel oluşturmak için kitaplardan ve internet
kaynaklarından faydalanılmıştır.
Keyfi boyuttaki evrim cebirleri incelenerek evrim alt cebirleri, evrim idealler ve
dejenere olmama kavramları araştırılmış, bu kavramlara ilişkin örnekler sunulmuştur.
Ayrıca köşeleri evrim cebirinin taban elemanları ile etiketlenen bir yönlü graf
tanımlanarak evrim cebirlerine ait bazı cebirsel özellikler incelenmiştir. Bir evrim
cebirinin ideallerini ve ilişkili grafın köşelerinin kalıtsal alt kümelerini içeren bir ilişki
tanıtılmış ve aralarında bazı özellikler kurulmuştur. Bu ilişki, bir evrim cebirine ait
maksimal idealleri ve absorbsiyon özelliğine sahip idealleri, ilişkili grafı temel alarak
belirlemeyi sağlar. Ayrıca, biri bir evrim cebirinin idealler kümesinden ilgili grafın
kalıtsal alt kümelerine tanımlı, diğeri de ters yönde tanımlı olmak üzere bir çift sıra
koruyan dönüşüm ele alınmıştır. Uygun koşullar altında bu dönüşüm, monoton bir Galois
bağlantısı oluşturur. Ayrıca belirli kısıtlamalar altında keyfi boyutlu sonlu üretilmiş
(cebir olarak) evrim cebirleri, ilişkili grafa göre karakterize edilmiştir. Sonlu üretilmiş
mükemmel evrim cebirlerinin basitliği, grafın basitliği temelinde incelenmiştir.
Evrim cebirleri üzerine çalışmak, bu yapının bilinen diğer cebirsel yapılarla
bağlantısının daha iyi anlaşılmasına yardımcı olacaktır. Bu sebeple literatürde bu konu
ile ilgili çalışmaları kavramak ve evrim cebirinin yapısal özelliklerini ilişkili grafa göre
incelemek, ileri çalışmalara önemli katkılar sağlayacaktır.

Abstract:
In this thesis, it is aimed to compile some algebraic results obtained in the studies on
evolution algebras to date and to bring together the basic information about the subject in
case of a study in this field.
While preparing this thesis, which is purely theoretical, previous studies on evolution
algebras were examined. Books and internet resources have been utilized to provide a
basis for this subject.
By analyzing evolution algebras of arbitrary dimension, the concepts of evolution
subalgebras, evolution ideals and non-degeneracy are investigated and examples are
presented. Moreover, some algebraic properties of evolution algebras are studied by
defining a directed graph whose vertices are labeled with the base elements of the
evolution algebra. A relation involving the ideals of an evolution algebra and the
hereditary subsets of the vertices of the associated graph is introduced and some properties
are established between them. This relation allows to determine the maximal ideals of an
evolution algebra and the ideals with the absorption property based on the associated
graph. We also consider a pair of order-preserving maps, one defined from the set of
ideals of an evolution algebra to the inherited subsets of the associated graph, and one
defined in the opposite direction. Under favorable conditions, this map forms a monotone
Galois connection. Also, under certain restrictions, finitely generated evolution algebras
of arbitrary dimension (as algebras) are characterized with respect to the associated graph.
The simplicity of finitely generated perfect evolution algebras is studied in terms of the
simplicity of the graph.
The study of evolution algebras will help to better understand the connection of
this structure with other known algebraic structures. For this reason, comprehending the
related works in the literature and analyzing the structural properties of the evolution algebra according to the associated graph will make important contributions to further
studies.