Bulanık alt grupların ve kodların sayısı ile bazı uygulamalar
The number of fuzzy subgroups and codes with some applications
Yazar: ESENGÜL SALTÜRK
Danışman: PROF. DR. İRFAN ŞİAP
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2013
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Bulanık grup = Fuzzy group ; Doğrusal kod = Linear code

Özet:
Klasik mantıkta bir önerme ya doğrudur ya da yanlıştır, üçüncü bir durum söz konusu olamaz. Ancak bazen, hatta genelde dünyadaki olayları açıklamak için kesin tanımlamalar yetersiz kalır. Bu olayları açıklamak için belli terim ve ölçülere ihtiyaç duyulur. İşte bu yeni mantık "Bulanık Mantık (Fuzzy Logic)"olarak adlandırılır. Bulanık Mantık ilk olarak, M.Ö. 500 yılında Buda tarafından ve ondan 200 yıl kadar sonra da Yunan filozof Aritoteles tarafından ortaya atılmıştır. Bu alanda matematiğe uygulanması bakımından yapılan en önemli çalışma 1965 yılında University of California, Berkeley'den Lotfi A. Zadeh'in klasik mantık yaklaşımının kesin çizgilerini yok eden "Fuzzy Sets (Bulanık Kümeler)" (Zadeh [19]) adlı çalışmasıdır. Bu eser, var olan çizgilerin dışına çıkmış ve bu alandaki diğer araştırmacılara öncü olmuştur. Bulanıklık ile ilgili cebirsel alt yapı ise A. Rosenfeld (Rosenfeld [1]) ve P. S. Das (Das [2]) tarafından inşa edilmiştir. "Fuzzy" kelime anlamı olarak bulanıklığı ifade eder. Bulanık kümelerin elemanlarından bahsederken "kümeye aittir ya da değildir" gibi kesin ifadeler kullanılmaz. Bunun yerine "belli derecelerle kümenin elemanıdır" şeklinde ifadeler kullanılır. Güzellik, gençlik, yaşlılık, uzun boyluluk, çalışkanlık, zeka kavramları bulanıklık ifade eden ve kişiden kişiye göre değişen ifadeler olduğundan bulanık küme mantığı konusu içerisinde yer alan başlıklardan bazılarıdır. xiv Öte yandan bu çalışmada yer verilen, cebirin en önemli uygulama alanlarından biri olan Cebirsel Kodlama Teorisi, son zamanlarda birçok matematikçi tarafından çalışılmaktadır. Teori ilk olarak 1948'de Claude Shannon'ın "A Mathematical Theory of Communication" (Shannon [7]) adlı meşhur makalesi ile başladı. İlk zamanlarda tüm çalışmalar cisimler üzerinde iken, 1994'den itibaren, P. V. Kumar ve arkadaşlarının çalışması (Hammons [8]) ile birlikte halkalar üzerinde kodlar çalışılmaya başlandı. Son yıllarda ise bazı özel halkalar üzerinde kodlar ve özellikleri oldukça popüler olmuştur. Bu çalışmaların yanı sıra, lineer kodları kombinatorik açıdan incelemek, yani lineer kodların alt lineer kodlarının sayılarını bulmak oldukça önemli bir problemdir. Bu problem, cisimler üzerinde lineer kodlar için tamamıyla çözülmüştür ve kodların sayısı Gauss binom katsayıları ile gösterilmektedir. Öte yandan, halkalar üzerinde kodların sayıları ile ilgili de çok çeşitli çalışmalar ([9], [10], [11], [42]) yapılmıştır. Bu nedenle, 7. Bölüm'de, bazı halkalar üzerinde kodlar incelenerek bunların sayılarını çok basit bir şekilde bulmaya yarayan formüller elde edilmiştir. Bu çalışmada; 2. ve 5. Bölümlerde genel cebirsel bilgiler, 3. ve 4. Bölümlerde Bulanık Teori ile ilgili kavramlar ve bazı Abel gruplarının bulanık alt gruplarının sayısı, 6., 7. ve 8. Bölümlerde ise Cebirsel Kodlama Teorisi ile ilgili kavramlar, bazı lineer kodların sayısı ve bazı uygulamaları verilmektedir. Anahtar Kelimeler: Bulanık alt gruplar, Denklik sınıfları, Maksimal zincirler, Cebirsel Kodlama Teorisi, Gauss binom katsayıları, Dizaynlar, Sayı dizileri.

Abstract:
Any statement in classical logic is true or not, there is no third case. However sometimes even general definite descriptions are not enough to explain things. In order to define these things we need some grades. The new logic with grades of elements is called "Fuzzy Logic". Fuzzy Logic was first born in 500 B.C. with Buddha and also with Aristoteles after 200 years. However the most important scientific study that lightens the studies about fuzzy logic for the last half century is Professor Zadeh's -from the University of California, Berkeley- original paper: "Fuzzy Sets" (Zadeh [19]). This work is the pioneer of the fuzzy studies. Algebraic constructions related with fuzzy is due to A. Rosenfeld (Rosenfeld [1]) and P. S. Das (Das [2]). The word "fuzzy" means blurriness. When talking about the elements of any fuzzy set, we do not use definite expressions such as "an element or not" but "an element with any degree". Beauty, youth, senility, lankiness, diligence, intelligence are some examples of fuzzy expressions since they vary from person to person. On the other hand, Algebraic Coding Theory, one of the most important field of application of algebra, has being studied recently by mathematicians. This theory was first begun with the marvellous paper of Claude Shannon: "A mathematical theory of xvi communication" (Shannon [7]). While in the earlier stages everything was over finite fields, in 1994, by the work (Hammons [8]) of P.V. Kumar and his collaborates, codes over finite rings have been studied. In recent years, codes over some special rings and their properties are popular. Besides, examining linear codes in terms of combinatorial structure, namely finding the number of the subcodes of a linear code, is a really important problem. This problem is completely solved for the codes over finite fields and presented by Gaussian binomial coefficients. On the other hand, a wide range of studies about the number of the codes over rings ([9], [10], [11], [42]) has been done. Hence, in Section 7, linear codes over some finite rings were examined and formulas which makes easier to find their number were obtained. In this work; we give some fundamentals of abstract algebra in Sections 2 and 5, concepts of fuzzy algebra and number of fuzzy subgroups of some Abelian groups in Sections 3 and 4, notions about Algebraic Coding Theory, number of linear codes and some applications in Sections 6, 7 and 8. Key words: Fuzzy subgroups, Equivalence classes, Maximal chains, Algebraic Coding Theory, Gaussian binomial coefficients, Designs, Number sequences