Lineer olmayan kısmi türevli denklemlerin haar dalgacıkları ile nümerik çözümleri
Numerical solutions of nonlinear partial differential equations with the help of haar wavelets
Yazar: ÖMER ORUÇ
Danışman: PROF. DR. ALAATTİN ESEN ; YRD. DOÇ. DR. FATİH BULUT
İnönü Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2016
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Doğrusal olmayan diferensiyel denklemler = Nonlinear differential equations ; Kısmi diferensiyel denklemler = Partial differential equations

Özet:
Bu tez altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde dalgacıklarla ilgili genel bilgiler verildikten sonra tezde kullanılan Haar dalgacıkları, Haar dalgacıklarıyla fonksiyonlara yaklaşım ve Haar dalgacıklarının integralleri ile ilgili bilgiler verilmiştir. İkinci bölümden altıncı bölüme kadar olan kısımlar tezin özgün kısımlarıdır. Bu bölümlerde ele alınan model problemler Haar dalgacık yöntemiyle çözülmüştür.
İkinci bölümde, düzenli uzun dalga (RLW) denklemi ele alınmıştır. Haar dalgacık yöntemi, tek soliter dalga, iki soliter dalganın etkileşimi ve dalga gelişimi olmak üzere üç model probleme uygulanmıştır. Elde edilen nümerik sonuçlar tam çözümler ve literatürdeki mevcut bazı sonuçlarla karşılaştırılmış hata normları ve korunum sabitleri tablolar halinde verilmiştir. Ayrıca nümerik sonuçların grafikleri çizilmiştir.
Üçüncü bölümde, Korteweg-de Vries (KdV) denklemi ele alınmıştır. Tek soliton dalga problemi ve iki soliton dalganın etkileşimi problemi Haar dalgacık yöntemiyle nümerik olarak çözülmüştür. Elde edilen nümerik sonuçlar tablolar halinde verilip grafikleri çizilerek tam çözümler ve literatürdeki mevcut bazı sonuçlarla karşılaştırılmıştır.
Dördüncü bölümde, ikili (coupled) lineer olmayan Schrödinger-KdV (NLS-KdV) denklemi ele alınmıştır. Haar dalgacık yöntemi ile nümerik çözümler ve korunum sabitleri hesaplanmıştır. Elde edilen nümerik sonuçlar tablolar yardımıyla verilmiştir. Sonuçların grafikleri çizildikten sonra tam çözümler ve literatürdeki mevcut bazı sonuçlarla karşılaştırılmıştır.
Beşinci bölümde, dördüncü merteben parabolik kısmi türevli denklemler ele alınmıştır. Haar dalgacık yöntemiyle değişken ve sabit katsayılı, homogen ve homogen olmayan model problemler nümerik olarak çözülmüştür. Elde edilen nümerik sonuçlar tam çözümler ve literatürdeki mevcut bazı sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Ayrıca nümerik sonuçların grafikleri çizilmiştir.
Altıncı bölümde, kesirli mertebeden türevli Burgers denklemi ve kesirli mertebeden türevli ikili Burgers denklemi ele alınmıştır. Kesirli mertebeden türevler literatürde L1 formülü olarak bilinen bir formülle ayrıklaştırıldıktan sonra Haar dalgacık yöntemiyle göz önüne alınan model problemler nümerik olarak çözülmüştür. Elde edilen nümerik sonuçlar tablolaştırılıp grafikleri çizildikten sonra tam çözümler ve literatürdeki mevcut bazı sonuçlarla karşılaştırılmıştır. 
Bu tezdeki nümerik hesaplamalar GNU Octave özgür yazılımı ve Python programlama dilinde yazılan kodlar yardımıyla yapılmıştır.

Abstract:
This thesis consists of six chapters. In the first chapter after giving some general knowledge about wavelets, Haar wavelets, function approximation by Haar wavelets and Haar integrals that used in the thesis are introduced. The parts in the second to sixth chapters are the original parts of the thesis where considered problems are solved by Haar wavelet method. 
In the second chapter, regularized long wave (RLW) equation is considered. Haar wavelet method is applied to three model problems: single soliter wave, interaction of two solitary waves and wave undulation problems. The obtained numerical results are compared with exact solution and with existing results in the literature. The error norms and the invariants are given in tables. Also the numerical results are plotted.
In the third chapter, Korteweg-de Vries (KdV) equation is regarded. Single soliton wave problem and interaction of two soliton waves problem are solved by Haar wavelet method. The obtained numerical results are given in tables and are plotted. Also they are compared with the analytical solution and with those already exist in the literature.
In the fourth chapter, coupled nonlinear Schrödinger-KdV (NLS-KdV) equation is taken into account. Numerical solutions and invariants are computed with Haar wavelet method. After tabulating and plotting the obtained numerical results they are compared with the exact solution and with available results in the literature.
In the fifth chapter, fourth order parabolic partial differential equations are considered. With the help of Haar wavelet method, variable and constant coefficient, homogeneous and non-homogeneous model problems are solved numerically. The obtained numerical results are compared with the analytical solution and with previous results that exist in the literature. Also numerical results are depicted graphically.
In the sixth chapter, Fractional Burgers' and Fractional Coupled Burgers' equations are taken into account. The fractional derivatives are discretized by a formula which is known as L1 formula in the literature and then the considered model problems are solved numerically by the aid of Haar wavelet method. The results are given in tables and are plotted. After that they are compared with the exact solution and with those already exist in the literature. 
The numerical computations in this thesis are done with the codes written in free software GNU Octave and Python programming language.