Portföy seçiminde temel bileşenler analiziyle yeni dayanıklı ve bulanık modeller: Teori ve uygulamalar
New robust and fuzzy models with the principal components analysis in portfolio selection: theory and applications
Yazar: FURKAN GÖKTAŞ
Danışman: DOÇ. DR. AHMET DURAN
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2019
Konu: Maliye = Finance ; Matematik = Mathematics
Dizin: Bulanık mantık = Fuzzy logic ; Portföy optimizasyonu = Portfolio optimization ; Robust optimizasyon = Robust optimization ; Çok kriterli optimizasyon = Multi criteria optimization

Özet:
Olabilirlik Teorisi, kesin olmayan olasılığın modellenebilmesine ve kişisel yargılar ve beklentiler ile birlikte veri setindeki çarpıklığın portföy seçimi problemine entegre edilebilmesine imkan verir. Öte yandan risk faktörlerinin marjinal olabilirlik dağılımlarının üçgensel bulanık sayılar ile verildiği varsayımı altında eski olabilirlik ortalama – varyans (OV) modelinin matematiksel analizi bildiğimiz kadarıyla yapılmamıştır. Bu tez çalışmasında portföy yönetiminde temel kavramlar ve modeller verildikten sonra bu model, bu varsayım altında teorik olarak incelenmiştir. Bu kapsamda performansı ya da faydayı maksimum yapan portföyler analitik olarak elde edilmiştir. Ayrıca farklı etkin sınır yapıları örnekler ile açıklanmıştır. Bununla birlikte bu modelin önemli sorunları olduğu gösterilmiştir. Bu nedenle Temel Bileşenler Analizine dayanan yeni bir olabilirlik OV modeli önerilmiştir. Önerilen bulanık model, bu sorunları ortadan kaldırmaktadır ve Markowitz'in OV modelinin çözüm yollarıyla çözülebilmektedir. Önerilen bulanık model, teorisi oluşturulduktan sonra Borsa İstanbul üzerine bir uygulama ile tanıtılmıştır.
Marjinal olabilirlik dağılımların belirlenmesinde farklı yaklaşımlar kullanılabilir. Bu nedenle önerilen bulanık model, kullanıcıya büyük oranda esneklik sağlar ve doğru ellerde değerli bir araç olabilir. Bu tez çalışmasında tercih edilen yaklaşımda ise ortalama vektörünün belirsizliği önemli bir sorundur. Dayanıklı optimizasyon, bu tür sorunlarla mücadelede önemli bir araçtır. Bu nedenle yeni olabilirlik OV modelinin bir dayanıklı versiyonu önerilmiştir. Benzer şekilde OV modelinin Temel Bileşenler Analizine dayanan yeni bir dayanıklı versiyonu da önerilmiştir. Çünkü literatürdeki dayanıklı OV modellerinin önemli sorunları vardır. Önerilen dayanıklı modellerde temel bileşenlerin ortalama vektörü kutu tipi bir belirsizlik kümesine aittir. Her bir portföy alternatifi için buradaki en kötü durum dikkate alınır. En kötü duruma göre karar vermenin maliyetini kontrol altına almak için ise bir belirsizlik parametresi tanımlanmıştır. Bu parametrenin belirlenmesinde ise kovaryans matrisin maksimum özdeğerine dayanan bir yaklaşım kullanılmıştır. Belirsizlik parametresi sıfır iken söz konusu modellerle bunların dayanıklı versiyonları özdeştir. Bu nedenle önerilen dayanıklı modeller, söz konusu modellerin genel halidir. Önerilen dayanıklı modellerin analitik çözümleri, portföyde risksiz varlık ve kısa pozisyon bulunabiliyorken elde edilmiştir. Önerilen dayanıklı modeller, teorileri oluşturulduktan sonra Borsa İstanbul üzerine bir uygulama ile tanıtılmıştır.

Abstract:
Possibility Theory enables to model the imprecise probability and incorporate the asymmetry in the past data with the subjective judgments into the portfolio selection problem. On the other hand, to the best of our knowledge, mathematical analysis of the old possibilistic mean – variance (MV) model has not been performed under the assumption that marginal possibility distributions of the risk factors are given with triangular fuzzy numbers. In this thesis, after introducing the fundamental concepts and models in portfolio management, we theoretically examine this model under this assumption. In this context, we analytically obtain portfolios that maximize performance or utility. We also illustrate different efficient frontier structures with examples. On the other hand, we show that it has significant problems. Thus, we propose a new possibilistic MV model based on Principal Components Analysis. The proposed fuzzy model eliminates these problems and can be solved with the methods used for the Markowitz's MV model. After laying down the theoretical points, we illustrate the proposed fuzzy model with an application on the Borsa Istanbul.
Different approaches can be used to determine the marginal possibility distributions. Therefore,
the proposed fuzzy model gives the practitioners a great deal of flexibility and could be a valuable
tool in the right hands. However, the uncertainty of the mean vector remains a significant problem
in the approach preferred in this thesis. Robust optimization is an effective tool to deal with such
problems. Hence, we propose a robust version of the new possibilistic MV model.
We also propose a robust version of the MV model based on the Principal Component Analysis
because robust MV models in the literature have serious shortcomings. In the proposed robust
models, the mean vector of the principal components belongs to a box-type uncertainty set. Here,
the worst-case situation is taken into account for each portfolio alternative. To control the cost of decision making based on the worst-case situation, we define an ambiguity parameter. In
determination of this parameter, we use an approach based on the maximum eigenvalue of the
covariance matrix. When the ambiguity parameter is equal to zero, the (possibilistic) MV model is
obtained. That is, the proposed robust (possibilistic) MV model is the generalization of the
(possibilistic) MV model. We derive their analytical solutions when the risk-free asset and short
positioning are allowed. After laying down the theoretical points, we illustrate them with an
application on the Borsa Istanbul.