Popülasyon modellerinde diferensiyel ve fark denklemleri için kararlılık analizi
Stability analysis for differential and difference equations in population models
Yazar: FATMA BOZKURT
Danışman: PROF. DR. İLHAN ÖZTÜRK
Erciyes Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2010
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Asimptotik kararlılık = Asymptotic stability ; Fark denklemleri = Difference equations ; Lojistik = Logistics

Özet:
Dört bölümden oluşan bu tezin amacı, belirli koşullar altında oluşturulan lojistik diferensiyel denklemleri birer popülasyon modeli olarak ele almak ve bu denklemlerin çözümlerinin yerel ve global davranışlarını incelemektir. Ayrıca, düşük yoğunluktaki popülasyonun mevcut olduğu modellerde Allee etkisinin önemini tespit etmek olmuştur.Birinci bölümde lojistik diferensiyel denklemler ve bu tip denklemlerin modellenmesi ile ilgili kısa bir tarihçe verilmiştir.İkinci bölümde, fark ve diferensiyel denklemler ile bunların kararlılık teorisi ile ilgili temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Bu bölümün alt kısımlarında, bir lojistik diferensiyel denklem oluşturulmuş, bu denklemin çözümlerinin yerel davranışları incelenmiştir. Ayrıca, bu denklem Euler ve Runge-Kutta metotları kullanılarak fark denklemlerine dönüştürülmüş, çözümlerinin yerel kararlılığı incelenerek elde edilen sonuçlar anılan diferensiyel denklemin çözümleri ile karşılaştırılmıştır.Üçüncü bölümde, ?,ß0,ß1, ?1, ?2 ve r pozitif reel sayılar, t , t?[0,?) için t'nin tam değeri ve t zamanı göstermek üzere;dx t dt=r?x t 1???x t ?ß0?x t ?ß1?x t?1vedx(t)dt=x t r 1??x t ?ß0x t ?ß1x t?1 +?1x t +?2x t?1diferensiyel denklemlerin çözümlerinin yerel ve global davranışları Allee etkili ve Allee etkisiz olmak üzere tespit edilmiş, bulgular grafiklerle gösterilmiştir.Son bölümde, zamana göre gecikmeli (delay) lojistik diferensiyel denklemler ile ilgili belirli temel tanım ve teoremler verilmiş, ?,ß bilinen pozitif reel sayılar, r,??R? 0 ve ?>0 gecikme zamanı olmak üzeredx(t)dt=rx t 1??x t ?ßx t?? +?x t??vedx(t)dt=rx t?? 1??x t ?ßx t?? +?x tdiferensiyel denklemlerin çözümlerinin yerel ve global davranışları Allee etkili ve Allee etkisiz olmak üzere tespit edilmiş, bulgular grafiklerle gösterilmiştir.

Abstract:
The purpose of this thesis, which consists of four chapters, is to examine some logistic equations under spesific conditions as several population models and to investigate the local and global behavior of solutions for these equations. In addition, our goal is to show the importance of models whose population density are low.The first chapter presents, briefly, the history of logistic differential equations and their modelling.The second chapter illustrates fundamental definitions and theorems about difference and differential equations and explains their stability theory. In the sub sections of this chapter a logistic differential equation has been produced and it has been applied to examine the local behavior of the solutions of this equation. Euler and Runge-Kutta methods has been applied to this equation and difference equations have been obtained. The local stability of solutions of these difference equations have been investigated and the results have been compared with the solutions of the differential equation.In the third chapter, we examine the behaviors of the solutions of the equationsdx t dt=r?x t 1???x t ?ß0?x t ?ß1?x t?1anddx(t)dt=x t r 1??x t ?ß0x t ?ß1x t?1 +?1x t +?2x t?1with and without Allee effect, where ?,ß0,ß1, ?1, ?2 and r are positive real numbers, t denotes the integer part of t?[0,?) and t defines the time. The graphical presentation of these results have been provided.The last chapter gives fundamental definitions and theorems about delay logistic differential equations. It illustrates the local and global behavior of the differential equationsdx(t)dt=rx t 1??x t ?ßx t?? +?x t??anddx(t)dt=rx t?? 1??x t ?ßx t?? +?x twith and without Allee effect, where ?,ß are known real numbers, r,??R? 0 and ?>0 is delay time. The results have been presented graphically.