Genelleştirilmiş Davey-Stewartson sisteminin patlama çözümleri: Analitik ve sayısal sonuçlar
Blow-up solutions of the generalized Davey-Stewartson system: Analytical and numerical results
Yazar: GÜLÇİN MİHRİYE MUSLU
Danışman: PROF. DR. HÜSNÜ ATA ERBAY
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2007
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezde, Genelleştirilmiş Davey-Stewartson (GDS) sisteminin patlama çözümleriniaraştırmak için yapılmış bir çalışmanın analitik ve sayısal sonuçları sunulmaktadır.GDS sistemi, genelleştirilmiş elastik bir malzemeden oluşan sonsuz bir ortamdaki zayıfnonlineer dalgaların yayılımını karakterize eden model olarak ortaya çıkmıştır. Bu tezçalışmasında, GDS sisteminin hiperbolik-eliptik-eliptik (HEE) ve eliptik-eliptik-eliptik(EEE) durumları gözönüne alınmıştır. Düzgün başlangıç datasına sahip bir çözümünherhangi bir normu sonlu zamanda sınırsız oluyorsa, bu çözüm GDS sistemininpatlama çözümü olarak adlandırılır. Bu tez altı temel sonuç içermektedir. Birinciolarak, HEE durumda, GDS sisteminin pseudo-konformal invaryantlığını kullanarakbir analitik patlama çözümü elde edilmiştir. İkinci olarak, EEE durumda, p > 2 içinçözümlerin Lp -normlarının t ? ? iken sıfıra gittiği gösterilmiştir. Üçüncü olarak, EEEdurumda, sonlu zamanda patlama ve global varlık hakkında yeni sonuçlar sunulmuştur.Dördüncü olarak, GDS sisteminin bir özel hali olan Yozlaşmış GDS sisteminin birnonlineer dönüşüm yardımıyla Davey-Stewartson sistemine dönüştüğü gösterilmiştir.Beşinci olarak, GDS sistemini çözmek için rölaksasyon sayısal yöntemi kullanılmış vesayısal şemanın patlama olayını yakalamakta başarılı olduğu gözlenmiştir. Altıncıolarak, GDS sistemini çözmek için bir diğer sayısal yöntem olan split-step Fourieryöntemi kullanılmış ve bu yöntemin rölaksasyon yöntemi ile karşılaştırılmasından splitstepyönteminin hesaplama zamanı açısından rölaksasyon yönteminden daha etkinolduğu bulunmuştur.Anahtar Kelimeler: Patlama çözümleri, Pseudo-konformal dönüşüm, Rölaksasyonsayısal yöntemi, Split-step Fourier yöntemi, Davey-Stewartson sistemi

Abstract:
This thesis presents the analytical and numerical results of a study conducted toinvestigate blow-up solutions of the generalized Davey-Stewartson (GDS) system. TheGDS system arises as a model for the propagation of weakly nonlinear waves in a bulkmedium composed of an elastic material with couple stresses. The hyperbolic-ellipticelliptic(HEE) and elliptic-elliptic-elliptic (EEE) cases of the GDS system are consideredin this thesis study. A solution of the GDS system with smooth initial data is said to be ablow-up solution if some norm of the solution becomes unbounded in finite time. Thereare six main results in this thesis. First, in the HEE case an explicit blow-up solution isobtained using the pseudo-conformal invariance of the GDS system. Second, in the EEEcase it is shown that for p > 2 the Lp -norms of the solutions decay to zero as t ? ? .Third, in the EEE case, new results about global existence and blow-up in finite time arepresented. Fourth, it is shown that the degenerate GDS system, which is a special case ofthe GDS system, reduces to the Davey-Stewartson system through a nonlineartransformation. Fifth, the relaxation numerical method is used to solve the GDS systemand it is observed that the numerical scheme is successful in detecting blow-upphenomena. Sixth, the split-step Fourier method is another numerical method used forsolving the GDS system and a comparison with the relaxation method shows that it iscomputationally more efficient than the relaxation method.Keywords: Blow-up solutions, Pseudo-conformal transformation, Relaxation numericalmethod, Split-step Fourier method, Davey-Stewartson system