Kararlı homotopi grupları
Stable homotopy groups
Yazar: ELİF TUĞÇE KAYA
Danışman: PROF. DR. İSMET KARACA
Ege Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Topoloji Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2012
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Homotopi gruplar = Homotopy groups ; Homotopi teorisi = Homotopy theory ; Kararlılık = Stability ; Küreler = Spheres

Özet:
Matematikte çözülmemiş problemlerden biri, aşikar olmayan CW-komplekslerin homotopi gruplarının belirlenmesidir. Bu gruplar bazı geometrik problemlerin çözümünde ve CW-komplekslerin homotopiye bağlı sınıflandırılmasında anahtar rol oynar.Bu gruplara ilk yaklaşım Freudenthal süspansiyon teoremi ile olmustur.Kararl (stable) homotopi teorisi 1937 yl sralarnda bu teoremle baslamstr. Adams'In adını alan spektral dizinin tanıtılması ve Hopf invaryant 1 probleminin Çözümündeki kararlılık fenomeninin çarpıcı kullanmıyla cebirsel topolojinin farklı bir dalı olarak belirmiştir.Bu alandaki ana problem kürenin kararlı homotopi gruplarının belirlenmesidir. Bugün biz sadece k = 1000 e kadar kararlı k-kökleri biliyoruz. Bu hala bir açık problemdir.Kararlı homotopinin modern işleyişinde uzaylar spektra ile değistirilir. Bu kavram 1958 de Elon L. Lima tarafından tanıtılmış, 1960 ların başlarında Michael Atiyah ve George W. Whitehead tarafından genellestirilmiş homolojiteorisi üzerine olan çalsmalarına uygulanmıştır. J. Michael Bordman 1964doktora tezinde kararlı homotopi teorisinde çalışmak için kullanşlı olduğundan dolayı spektra ve onlar arasındaki dönüşümler kategorisinin tanımını vermistir.Bu tezde kararlı homotopi grupları ve Adams spektral dizisi hakkında bilgi vererek kararlı köklerin bu spektral dizi ile hesaplanmasından bahsedeceğiz. Son olarak bu konu ile ilgili açık problemleri sunacağız.

Abstract:
One of the unsolved problems in mathematics is determination ofthe homotopy groups of any nontrivial nite CW-complex X. Thesegroups play a key role in the solution of certain geometric problems and the classication of CW-complexes up to homotopy.A first approximation to this groups is provided by the Freudenthal suspension theorem. Stable homotopy theory began around 1937 with this theorem. It was emerged as a distinct branch of algebraic topology with Adams' introductionof his eponymous spectral sequence and his spectacular conceptual use of the notion of stable phenomena in his solution to the Hopf invariant one problem.The main problem of this area is the determination of the stablehomotopy groups of spheres. We know only k-stems up to k = 1000 today. This is still an open problem.In modern treatment of stable homotopy, spaces are typically replaced by spectra. This notion were introduced by Elon L. Lima in 1958 and adopted by Michael Atiyah and George W. Whitehead in their work on generalised homology theories in the early 1960s. The 1964 doctoral thesis of J. Michael Bordman gave a workable denition of a category of spectra and of maps between them as useful in the stable homotopy theory.In this thesis we will try to obtain information about stable homotopy groups, Adams spectral sequence and mention about calculations of stable stems with this spectral sequence. Finally we will represet open problems in this area.