Topolojik oyunlar ve bazı ilgili konular
Topological games and some related topics
Yazar: SERVET SOYARSLAN
Danışman: PROF. DR. ÇETİN VURAL ; PROF. DR. SÜLEYMAN ÖNAL
Gazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2021
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu çalışmada, Banach-Mazur, Choquet ve nokta-açık oyunlarının genelleştirilmelerini yaptık. Genelleştirilmiş nokta açık oyunu ile kompakt dağınık uzayları karakterize ettik. Diğer genelleştirilmiş oyunlar ile yönlendirilmiş tam uzaylar arasındaki bazı ilişkileri sunduk. Choquet oyununda DOLUCU'nun Markov stratejisi varken 1-taktiğinin olup olmadığı bir açık sorudur (Galvin). Choquet oyununda DOLUCU'nun Markov stratejisi varken 2-taktiğinin olduğunu ispatladık. Bu sonuç Galvin'in sorusuna kısmi bir cevaptır. Bu soru daha genel olarak şöyle sorulabilir: Choquet oyununda DOLUCU'nun k-Markov stratejisi varken k-taktiği var mıdır? Biz bu genel soruya bazı özel topolojik uzaylarda olumlu cevaplar verdik. Örneğin, topolojik gruplar veya bazı özel tabanı olan uzaylardaki Choquet oyununda DOLUCU'nun k-Markov stratejisi varken k-taktiğinin olduğunu ispatladık. DOLUCU'nun bazı uygun Nöderyan tabanı olan uzaylar üzerindeki Choquet oyununda kazanma stratejisi varken 1 taktiğinin olduğunu da gördük. Benzer sonuçları Banach-Mazur oyunu için de araştırdık. Bazı sonlu topolojik oyunlar tanımlayarak Ind ve ind boyut fonksiyonlarını karakterize ettik. Bu sonlu oyunlardan birisi ile bir oyun boyut fonksiyonu (ab) elde ettik. X kalıtsal normal uzay iken ab(X)=Ind(X) olduğunu ve X normal uzayken Ind(X) değerinin ab(X) değerini geçmediğini ispatladık.

Abstract:
In this study, we generalize the Banach-Mazur, Choquet and point-open games. By using generalized point-open game, we find a characterization of compact scattered spaces. We get some relations between the other generalized games and directed complete spaces. There is an open question in the Choquet game about existence of NONEMPTY's 1-tactic, whenever s/he has a Markov strategy in this game (Galvin). We prove that if NONEMPTY has a Markov strategy in the Choquet game, then s\he has a 2-tactic in this game. This result is a partial answer for Galvin's question. More general version of this question is that if NONEMPTY has a k-Markov strategy in the Choquet game, does NONEMPTY have a k-tactic in this game? In some special topological spaces, we give some affirmative answers to this general question. For instance, we prove that if NONEMPTY has a k-Markov strategy in the Chouquet game on topological groups or on some spaces with some special bases, then s\he has a k-tactic in that game. We also show that if NONEMPTY has a winning strategy in the Choquet game on some spaces with some proper Noetherian bases, then NONEMPTY has a 1-tactic, in that game. We investigate some similar results for the Banach-Mazur game. We define some finite topological games and by using them we get some dimension functions which characterize the dimension function Ind and ind. By using one of the finite games, we get a game dimension function (ab). We prove that ab(X) = Ind(X) where X is a hereditarily normal space and Ind(X) does not exceed ab(X) where X is a normal space.