Reaksiyon-difüzyon denklem sistemlerinin çözümleri için trigonometrik B-spline kolokasyon algoritmaları
Trigonometric B-spline collocation algorithms for the solutions of reaction-diffusion equation systems
Yazar: AYSUN TOK ONARCAN
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ NİHAT ADAR
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Elektrik-Elektronik Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Telekomünikasyon  - Sinyal İşleme Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2020
Konu: Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrol = Computer Engineering and Computer Science and Control

Özet:
Bu tezde fizik, kimya, biyoloji gibi bir çok bilim dalındaki bazı problemleri matematiksel olarak modellemek üzere tanımlanmış olan reaksiyon-difüzyon denklem sistemlerinin sayısal çözümleri için, farklı derecelerdeki trigonometrik B-spline taban fonksiyonları kullanılarak algoritmalar geliştirilmesi amaçlanmıştır. Reaksiyon-difüzyon denklem sistemlerinin literatürde bulunan dört farklı örneği üzerinde önerilen çözüm yöntemi uygulanarak elde edilen sonuçlar karşılaştırılmıştır. Bu sistemlerden, analitik çözümü bilinen lineer problemin yanısıra Brusselator modeli, Schnakenberg modeli ve Gray-Scott modeli test problemi olarak seçilmiştir. Çalışmada reaksiyon-difüzyon denklem sistemlerinin yaklaşık çözümünü elde etmek amacıyla sonlu elemanlar yöntemlerinden kolokasyon yöntemi uygulanmış, denklem sisteminin zaman ayrıştırması içinse Crank-Nicolson yöntemi kullanılmıştır.
Tezin ilk kısmında uygulanacak çalışmanın tanımı yapılmış olup, hangi amaçla bu konunun ele alındığından bahsedilmiştir. Buna bağlı olarak çözümü yapılacak olan reaksiyon-difüzyon denklem sistemi ve test problemleri tanımlanmıştır. Yaklaşık çözümleri elde edilen reaksiyon-difüzyon denklem sistemlerine dair literatürdeki çalışmalara yer verilmiş ve bu problemlerin farklı çözüm yöntemlerine de değinilmiştir. Ardından tezde kullanılacak temel kavramlar ve yöntemlerden bahsedilmiştir. Zaman ayrıştırması ve konum ayrıştırmasında kullanılan metodlar; sonlu farklar yöntemlerinden Crank-Nicolson yöntemi ve sonlu elemanlar yöntemlerinden kolokasyon yöntemi açıklanmıştır. Model sistemin çözümünde uygulanan kolokasyon yönteminin içinde yer alan farklı derecelerdeki B-spline taban fonksiyonları; trigonometrik kuadratik, trigonometrik kübik, trigonometrik kuartik ve trigonometrik kuintik B-spline fonksiyonlar anlatılmıştır. Test problemlerini genel olarak modelleyen denklem sistemi oluşturulmuş, ayrıca bu denklem sistemini çözmek için kullanılan matris çözüm algoritmaları verilmiştir.  Seçilen test problemleri üzerinde önerilen yöntemin uygulanması ile elde edilen yaklaşık çözümler tablolar ve izdüşüm grafikleri yardımıyla gösterilmiştir. Yöntemin doğruluğunu değerlendirmek için lineer problemde hata normları ve lineer olmayan problemlerde bağıl hata kullanılmış ayrıca matris sisteminin kararlılığı incelenmiştir. Tezin son bölümünde ise elde edilen sonuçlarla ilgili yorumlar ve öneriler yer almaktadır.

Abstract:
In this thesis, it is aimed to develop algorithms for numerical solutions of reaction-diffusion equation systems which are defined to mathematically model some problems in many sciences such as physics, chemistry and biology by using trigonometric B-spline base functions of different degrees. The results, obtained by applying the proposed solution method on four different examples of reaction diffusion equation systems in the literature, were compared. Among these systems, besides the linear problem whose analytical solution is known, Brusselator model, Schnakenberg model and Gray-Scott model were chosen as test problems. In the study, collocation method, one of the finite element methods, was applied in order to obtain the approximate solution of reaction-diffusion equation systems and Crank-Nicolson method was used for the time discretization of the equation system.
In the first part of the thesis, definition of the study is implemented and the purpose of the subject has been mentioned. Accordingly, the reaction-diffusion equation system and test problems are defined. The studies in the literature on approximate solutions of reaction-diffusion equation systems are given and different solution methods of these problems are mentioned. After than, the basic concepts and methods that are used in the study are discussed. The Crank-Nicolson method which is used for time discretization from finite difference methods and the collocation method, which is used to obtain approximate solution from finite element methods, are explained. Base functions at different degrees of collocation method which are applied in the solution of the model system; trigonometric quadratic, trigonometric cubic, trigonometric quartic and trigonometric quintic B-spline functions are defined. The equation system that models all test problems in general has been created, also the matrix solution algorithms which is used to solve this equation system are given. The approximate solutions obtained by applying the proposed method on the selected test problems are shown with the help of tables and graphs. In order to determine the accuracy of the method, error norms are used for linear problem and relative error is used for nonlinear problems also the stability of the matrix system is analysed. In the last part of the thesis, there are comments and suggestions about the results obtained.