Euclid ve yarı-Euclid uzaylarının noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip alt manifoldları
Submanifolds of Euclidean and pseudo-Euclidean spaces with pointwise 1-type Gauss map
Yazar: NURETTİN CENK TURGAY
Danışman: PROF. DR. UĞUR DURSUN
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2013
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Gauss eğriliği = Gaussian curvature ; Geometrik yapılar = Geometric structures ; Geometrik şekiller = Geometric shapes ; Yüzeyler = Surfaces

Özet:
Euclid uzaylarında sonlu tipten alt manifoldlar kavramı 1970'lerin sonlarında B. Y. Chen tarafından tanıtılmıştır. Euclid veya yarı-Euclid uzayında bir altmanifoldun yer vektörü alt manifold üzerinde tanımlı Laplace operatörünün sonlu sayı da özvektörlerinin toplamı olarak yazılabiliyorsa, alt manifolda sonlutipten alt manifold denir. Eğer bu özvektörler Laplace operatörünün k tane ayrık özdeğerine karşı geliyorsa alt manifolda k-tipindendir denir. Euclid veyayarı-Euclid uzayında sonlu tipten alt manifoldlar,geometri ile uğraşan pek çok kişi tarafından çalışılmış ve önemli sonuçlar elde edilmiştir. Halen deüzerinde uğraşılan pek çok açık problem bulunmaktadır.Zaman içinde, sonlu tipten alt manifold kavramı Euclid ve yarı-Euclid uzaylarının alt manifoldları üzerinde tanımlı düzgün tasvirlere genişletilmiş ve sonlutipten tasvir tanımı verilmiştir. Özellikle alt manifoldların Gauss tasvirleri bir çok makalede bu yönüyle incelenmiştir. Euclid veya yarı-Euclid uzayınınbir alt manifoldunun \nu Gauss tasviri \Delta\nu=\lambda(\nu+C) denklemini bir \lambda sabiti ve bir C sabit vektörü için sağlıyorsa alt manifolda 1-tipindenGauss tasvirine sahiptir denir. Bununla birlikte, 3-boyutlu Euclid uzayında katenoid, helikoid gibi bazı önemli yüzeyler ile daha yüksek boyutlu Euclid veyarı-Euclid uzaylarında Clifford tor yüzeyi, küresel n-koniler, Enneper hiperyüzeyleri gibi bir çok ilginç alt manifoldun Gauss tasvirlerinin bu denklemi\lambda sabitinin bir fonksiyon olması durumunda sağladıkları iyi bilinmektedir.Euclid veya yarı-Euclid uzayının bir alt manifolduna \nu Gauss tasviri, \Delta\nu=f(\nu+C) denklemini düzgün bir f fonksiyonu ve bir C sabit vektörü içinsağlıyorsa, noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahiptir denir. Eğer bu denklem C=0 için sağlanıyorsa Gauss tasvirine birinci çeşit noktasal 1-tipinden;aksi taktirde, yani C\neq 0 ise ikinci çeşit noktasal 1-tipindendir denir. Diğer taraftan, \Delta\nu=0 ise alt manifolda harmonik Gauss tasvirine sahiptirdenir.Yakın geçmişte Euclid ve yarı-Euclid uzaylarında noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip dönel yüzeyler ile ilgili bir çok çalışma yapılmıştır. örneğin,E^4 Euclid uzayında noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip yegane düz Vranceanu yüzeyinin Clifford tor yüzeyi olduğu bir çalışmada gösterilmiştir. Ayrıca,ikinci çeşit noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip düz basit dönel yüzeylerin sınıflandırılması başka bir çalışmada elde edilmiştir.Diğer taraftan, E^4Euclid uzayında minimal olmayan bir yüzeyin birinci çeşit noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip olmasının ortalama eğrilik vektörünün paralel olmasınadenk olduğu yakın zamanda bir makalede gösterilmiştir. Ayrıca, E^4 Euclid uzayında bir minimal yüzeyin birinci çeşit noktasal 1-tipinden Gauss tasvirinesahip olması için gerek ve yeter koşulun normal demetinin düz olması olduğu; ikinci çeşit noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip olması için gerek veyeter koşulun ise yüzey üzerinde tanımlı, karşı gelen şekil operatörü A_3=diag(\rho,-\rho), A_4=adiag(\rho,\rho) formunda olan bir {e_1,e_2;e_3,e_4} çatıalanının mevcut olması olduğu da aynı çalışmada gösterilmiştir.Bu tez çalışmasında Euclid ve yarı-Euclid uzaylarında noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip, karşıt boyutu 2 olan alt manifoldlar ele alınmıştı r. İlkolarak keyfi boyuta ve keyfi indekse sahip bir yarı-Euclid uzayının yönlendirilmiş bir alt manifoldunun Gauss tasvirinin Laplasyeni elde edilmiştir. Ayrı ca,Euclid ve yarı-Euclid uzayları nda noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip alt manifoldların sınıflandırılmasında kullanılabilecek bazı yardımcı teoremlerverilmiştir. Daha sonra bu genel sonuçlar kullanılarak aşağıdaki yüzey sınıflarının Gauss tasvirleri incelenmiştir.İlk olarak E^4 Euclid uzayı nda meridyen eğrileri düzlemsel olan genel dönel yüzeyler ele alınmıştır. Bu yüzeylerden noktasal 1-tipinden Gauss tasvirinesahip olanları elde edilmiştir. E^4 Euclid uzayında birinci çeşit noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip bir basit dönel yüzeyin genelleştirilmiş bir toryüzeyinin açık bir parçasından ibaret olduğu gösterilmiştir. Ayrıca, E^4 Euclid uzayı nda psuedo-umbilical genel dönel yüzeylerin ve minimal genel dönelyüzeylerin sınıflandırmaları yapılmış, bu tip yüzeylerden ikinci çeşit noktasal 1-tipinden olanları belirlenmiştir.Daha sonra E^4 Euclid uzayında basit dönel yüzeyler incelenmiştir. Birinci çeşit noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip basit dönel yüzeylerin tamsınıflandırması verilmiştir. Ayrıca, bir basit dönel yüzeyin ikinci çeşit noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip olmasının ancak ve ancak koordinatfonksiyonlarından birinin üçüncü mertebeden bir adi diferansiyel denklemi sağlamasıyla mümkün olabileceği gösterilmiştir. Bu karakterizasyon kullanılarakikinci çeşit noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine ve sabit Gauss eğriliğine sahip basit dönel yüzeylerin sınıflandırması yapılmıştır.Son olarak E^4_1 Minkowski uzayında uzaysal yüzeyler çalışılmıştır. Bu yüzeylerden Gauss tasviri harmonik olanlarının bir karakterizasyonu elde edilmiştir.Bu karakterizasyon kullanılarak S^3_1(r^2) de Sitter uzayında veya H^3(-r^2) hiperbolik uzayında kalan harmonik Gauss tasvirine sahip yüzeylerin tamsınıflandırmaları verilmiştir. Ayrıca, E^4_1 Minkowski uzayında uzaysal bir yüzeyin birinci çeşit noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip olması içingerek ve yeter koşulun yüzeyin ortalama eğrilik vektörünün paralel olması olduğu gösterilmiştir. Diğer taraftan, E^4_1 Minkowski uzayında ikinci çeşitnoktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip uzaysal yüzeyler ile ilgili bazı sınıflandırma teoremleri ispatlanmıştır.

Abstract:
The notion of finite type submanifolds of Euclidean spaces and pseudo-Euclidean spaces was introduced by B. Y. Chen in the late 1970's. A submanifold of aEuclidean or a pseudo-Euclidean space is said to be of finite type if its position vector can be expressed as a sum of finitely many eigenvectors of theLaplace operator. If these eigenvectors are corresponding to k distinct eigenvalues of the Laplace operator, then the submanifold is said to be of k-type.Finite type submanifolds of Euclidean spaces and pseudo-Euclidean spaces have been extensively studied by several geometers and many results have beenpublished. Even now, there are several open problems on this subject which are currently being dealt with.In time, the notion of finite type submanifolds has been extended to the differentiable mapping defined on submanifolds of the Euclidean spaces or pseudo-Euclidean spaces. In particular, the Gauss map of oriented submanifolds has been studied in many works.The Gauss map of a submanifold of a Euclidean space or a pseudo-Euclidean space is said to be of (global) 1-type if its Gauss map nu satisfies the secondorder differential equation Deltanu=lambda(nu+C) for a constant lambda and constant vector C, where Delta denotes the Laplace operator of the submanifold.However, the Gauss map of several surfaces and hypersurfaces such as helicoids of the 1st, 2nd, and 3rd kind, conjugate Enneper's surface of thesecond kind and B-scrolls in the 3-dimensional Minkowski space E^3_1, generalized catenoids, spherical n-cones, hyperbolical n-cones and Enneper'shypersurfaces in E^{n+1}_1 satisfies Delta nu =f(nu +C) for some smooth function f and some constant vector C. A submanifold whose Gauss map satisfiesthat equation is said to have pointwise 1-type Gauss map. In particular, if C is zero, the pointwise 1-type Gauss map is said to be of the first kind.Otherwise, it is said to be of the second kind. Moreover, if f is a non-constant smooth function, then the submanifold is said to have proper pointwise 1-type Gauss map. On the other hand, a submanifold is said to have harmonic Gauss map if Laplacian of its Gauss map vanishes identically.Rotational surfaces in Euclidean spaces E^3 and E^4 with pointwise 1-type Gauss map was worked in several papers. For example, it was proved that rotationalsurfaces with pointwise 1-type Gauss map of the first kind in Euclid space E^3 coincide with rotational surfaces with constant mean curvature in E^3 andthe right cones are the only rational rotational surfaces in E^3 with pointwise 1-type Gauss map of the second kind. On the other hand, only some partialresults has been appeared on the surfaces in E^4. For example, in a paper, it was proved that Cliffors torus is the only flat Vranceanu rotational surfacewith pointwise 1-type Gauss map. The complete classification of flat simple rotational surfaces was given in another work.On the other hand, it was proved that a minimal surface in the Euclidean space E^4 has pointwise 1-type Gauss map of the first kind if and only if its normalbundle is flat, and also it has pointwise 1-type Gauss map of the second kind if it has a local orthonormal frame field {e_1,e_2;e_3,e_4} such that thecorresponding shape operators are of the form of A_3=diag(rho,-rho), A_4=adiag(rho,rho). Furthermore, a non-minimal surface in the Euclidean space E^4 haspointwise 1-type Gauss map of the first kind if and only if its mean curvature vector is parallel.In this thesis, the submanifolds of the Euclidean spaces and pseudo-Euclidean spaces of codimension 2 are studied in terms of having pointwise 1-type Gaussmap. Laplacian of the Gauss map of a submanifold of a pseudo-Euclidean space of arbitrary dimension and arbitrary index is obtained. Some lemmas which areuseful to classify submanifolds with pointwise 1-type Gauss map of the second kind are proved. By using these general results, the following type of surfacesare studied in terms of their Gauss map.First, general rotational surfaces in the Euclidean space E^4 whose meridian curves lie in two dimensional planes are considered. It is proved that such ageneral rotational surface has pointwise 1-type Gauss map of the first kind if and only if it is an open part of a generalized torus given by F(s,t)=(r_0cosfrac{s}{r_0} cos at,r_0cos frac{s}{r_0} sin at,r_0sin frac{s}{r_0} cos bt,r_0sin frac{s}{r_0} sin bt). It is also showed that upto congruency theonly general rotational surface with proper pointwise 1-type Gauss map of the first kind is the generalized torus given above with aneq b. Note that thegeneralized torus given above becomes the Clifford Torus if a=b. Furthermore, all minimal general rotational surfaces with pointwise 1-type Gauss map ofthe second kind are obtained. Finally, it is proved that if a general rotational surface in E^4 has flat normal bundle and proper pointwise 1-type Gauss mapof the second kind then it is nothing but a plane. Although it is not directly relevant with the subject of the thesis, the complete classifications ofminimal general rotational surfaces in E^4 and pseudo-umbilical general rotational surfaces in E^4 are also obtained. By using this classification, minimalgeneral rotational surfaces and pseudo-umbilical general rotational surfaces with pointwise 1-type Gauss map of the second kind are determined.Secondly, simple rotational surfaces in the Euclidean space E^4 with pointwise 1-type Gauss map are studied in terms of having pointwise 1-type Gauss map.Complete classification of simple rotational surfaces with pointwise 1-type Gauss map of the first kind is given. A characterization of simple rotationalsurfaces with pointwise 1-type Gauss map of the second kind is obtained. It is proved that a simple rotational surface which completely lies in the Euclideanspace E^4 has pointwise 1-type Gauss map of the second kind if and only if one of its coordinate functions satisfies a non-linear ordinary differentialequation of order 3. As a consequence of this characterization, it is proved that a simple rotational surface with constant Gauss curvature has pointwise 1-type Gauss map of the second kind if and only if it is an open part of a flat rotational surface whose meridian curve is a special helix.Next, space-like surfaces in the Minkowski space E^4_1 with pointwise 1-type Gauss map of the first kind are considered. Firstly, the complete classificationof maximal surfaces with harmonic Gauss map is given. A characterization theorem of non-maximal space-like surfaces in the Minkowski space E^4_1 withharmonic Gauss map is obtained. Furthermore, the complete classification of space-like surfaces with harmonic Gauss map lying in de-Sitter space S^3_1(r^2)E^4_1 is given. Namely, it is proved that a surface lying in S^3_1(r^2) has harmonic Gauss map if and only if it is congruent to a surface whose positionvector is given by x(u,v) = (r(u^2+v^2)/2+ 1/r,u,v,r(u^2+v^2)/2 right). A similar work on the surfaces lying in the hyperbolic space H^3(-r^2) is also done.Further, the characterization and classification of space-like surfaces with pointwise 1-type Gauss map of the first kind are given. It is proved that a space-like surface has such Gauss map if and only if its mean curvature vector is parallel. Some explicit examples are also mentioned. It is also proved thata surface with light-like mean curvature vector has pointwise 1-type Gauss map of the first kind if only if it has harmonic Gauss map.Finally, space-like surfaces in the Minkowski space E^4_1 with pointwise 1-type Gauss map of the second kind are studied. The maximal surfaces and space-like surfaces with constant mean curvature are dealt with. It is proved that there is no non-planar maximal surface in the Minkowski space E^4_1 with pointwise 1-type Gauss map of the second kind. A classification theorem on space-like surfaces in the Minkowski space E^4_1 with constant mean curvature and pointwise 1-type Gauss map of the second kind is also given. Namely, it is showed that an oriented space-like surface in the Minkowski space E^4_1 with flat normal bundle and non-zero constant mean curvature has pointwise 1-type Gauss map of the second kind if and only if it is congruent to some special helicial cylinders.