İçi akışkanla dolu değişken yarıçaplı elastik tüplerde nonlineer dalga yayılımı
Nonlinear wave propagation in fluid filled tapered elastic tubes
Yazar: İLKAY BAKIRTAŞ
Danışman: PROF. DR. HİLMİ DEMİRAY ; YRD. DOÇ. DR. NALAN ANTAR
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Mühendislik Bilimleri Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2003
Konu: Makine Mühendisliği = Mechanical Engineering

Özet:
Bu çalışmada, içi sıkışmaz bir akışkanla dolu, ön gerilmeli yarıçapı değişken, ince elastik tüplerde nonlineer dalga yayılımı incelenmiştir. Bölüm l'de konunun tarihsel gelişimi ve literatürde bu konudaki mevcut teorik çalışmalar sunulmuştur. Bölüm 2'de içi sıkışmaz viskoz/viskoz olmayan akışkanla dolu, ön gerilmeli, yarıçapı değişken, ince elastik bir tüpe ait alan denklemleri türetilmiştir. Bölüm 3'te çalışmada kullanılacak olan pertürbasyon yöntemleri hakkında kısa bir özet verilmiştir. Bölüm 4'te, indirgeyici pertürbasyon yöntemleri kullanılarak, içi sıkışmaz bir akışkanla dolu yarıçapı değişken elastik bir tüpte zayıf nonlineer dalgaların yayılımı problemi, viskoz olan ve viskoz olmayan akışkan halleri için ayrı ayrı incelenmiştir. Viskoz olmayan akışkan hali için, evolüsyon denklemi olarak değişken katsayılı Korteweg-de Vries denklemi elde edilmiştir. Viskoz akışkan hah için, iki farklı yaklaşım kullanılarak, pertürbasyon ve viskozite parametrelerinin farklı değerlerine bağlı olarak, evolüsyon denklemi olarak değişken katsayılı Korteweg-de Vries-Burgers denklemi ve pertürbe Korteweg-de Vries denklemi elde edilmiştir. Bu bölümün sonunda, bu evolüsyon denklemlerine ilerleyen dalga çözümleri sunulmuş ve dalga hızlarının, daralan tüpler için orijinden uzaklaştıkça artarken, genişleyen tüpler için orijinden uzaklaştıkça azaldığı gösterilmiştir. Bölüm 5, nonlineer dalga modülasyonuna ayrılmıştır. Bu problem, iki ayrı alt bölümde incelenmiştir, ilk alt bölümde, içi akışkanla dolu yarıçapı değişken elastik bir tüpte nonlineer dalgaların genlik modulasyonu incelenmiştir. Kanı sıkışmaz ve viskoz olmayan bir akışkan olarak kabul ederek ve indirgeyici pertürbasyon yöntemini probleme uygulayarak, evolüsyon denklemi olarak değişken katsayıh nonlineer Schrödinger denklemi elde edilmiştir. Bu evolüsyon denkleminin yalnız dalga tipi bir çözümü kabul ettiği gösterilmiş ve dalga hızı elde edilmiştir. İlgili grafiklerin çizilmesiyle, ilerleyen dalga ve zarf dalganın hızlarının, genişleyen tüplerde orijinden uzaklaştıkça arttığı; daralan tüplerde orijinden uzaklaştıkça azaldığı gözlemlenmiştir. Bölüm 5'in ikinci alt bölümde, içi akışkanla dolu ince elastik tüplerde, marjinal halde nonlineer dalga yayılımı incelenmiştir. Yarıçap değişiminin probleme etkisi işlemleri çok karmaşık hale getirdiği için bu etki ihmal edilmiştir. Yarıçap değişiminin ihmal edilmesinden dolayı, içi viskoz olmayan akışkanla dolu, yarıçapı sabit ince elastik bir tüpün hareketini yöneten alan denklemleri türetilmiştir, indirgeyici pertürbasyon yönteminin uygulanması ile evolüsyon denklemi olarak genelleştirilmiş nonlineer Schrödinger denklemi elde edilmiştir. Son olarak, bu evolüsyon denkleminin bazı kesin çözümleri sunulmuştur. Temel Denklemler Büyük damarlar, değişken yarıçaplı, ince, uzun, dairesel koni, ön gerilmeli, elastik tüp yapısında ve kan da sıkışmaz bir akışkan olarak kabul edilecek olursa, nonlineer hareket denklemleri aşağıdaki gibi verilir.Yarıçapt değişken elastik tüpün hareket denklemleri : ^ XlK ' (\e + 4>z + u)dt2~r (Xe + z + u) ^ \z{\e + z + u)d\2 1 d f( + Öu/dz)(Xz + $z) dZ K Xz(\e + (j>z + u)dz [ [ı + («£ + du/dzf}112 d\x Burada \z statik şekil değiştirmeden sonraki eksenel germeyi, $ ve , sırasıyla statik şekil değiştirmeden önceki ve sonraki yarıçap değişimini karakterize eden açıları, \ı S tüp malzemesinin şekil değiştirme enerjisi yoğunluğu fonksiyonunu, p akışkan basıncını, Aı ve A2 asal germeleri göstermektedir. Akışkan denklemleri : Viskoz akışkana ilişkin yaklaşık akışkan denklemleri aşağıdaki gibi verilir du (, du\ 1..,.dv,". _ + "^+_j + -(X,+^+u)_=0, (2) dv dv dp _ d2v 2v (dvz\ dt Vdz dz~Udz2 \e + (j>z + u \ dx ) x=Xg+ z+u' Burada, v hızın ortalama anlamda eksenel yöndeki bileşenini, vz akışkanın eksenel yöndeki hız bileşenini, u akışkanın viskozitesini göstermektedir. Eğer viskozite parametresi v sıfırlanacak olursa, viskoz olmayan bir akışkana ait alan denklemleri aşağıdaki formda elde edilir du f, du\ 1,.,.dv,Â. _ + e^+_j+_(A# + «, +.,_=o, (4) dv dv dp..",. Zayıf Nonlineer Dalgalar Bu bölümde, akışkanla dolu yarıçapı değişken elastik tüplerde zayıf nonlineer dalga yayılımı iki farklı hal için incelenmiştir. Hk olarak, indirgeyici pertürbasyon şeması sunulmuştur. Bu tür problemlerde, aşağıda verilen tipte bir koordinat dönüşümü tanımlamak uygundur ç = £<*(z-gt), r = ea+1z. (6) Burada, e nonlineerite ve dispersiyonun mertebesini ölçen bir parametre, g bir ölçek parametresi ve a, pertürbasyon parametresi olarak isimlendirilmiş olan pozitif bir sayıdır. Alan değişkenlerinin (£, r) değişkenlerinin ve e parametresinin bir fonksiyonu olduğu kabul edilecektir. Tüpün yarıçapının değişimini hesaba katmak için, (6) ile ifade edilen koordinat dönüşümü gözönünde bulundurulursa, yarıçap değişimini karakterize eden $ ve açılarım £a+2 mertebesinde kabul etmek gerekmektedir. Ayrıca, alan değişkenlerinin aşağıdaki formda asimptotik seriye açılabileceği varsayılacaktır u = euı + e2U2 +..., v = evx + s2v2 +..., vıııvz =evzı + e2vz2 +..., p = p0 + epi + e2p2 +.... (7) Burada ui,...p2, (Ç,t) değişkenlerinin bilinmeyen fonksiyonlarıdır. Bölüm 4'te ilk olarak, içi viskoz olmayan akışkanla dolu yarıçapı değişken elastik bir tüpte nonlineer dalga yayılımı incelenmiştir. Bu hal için, pertürbasyon parametresi a, 1/2 olarak seçilmiş ve (6), (7) açılımları, (1), (4), (5) alan denklemlerinde kullanılmıştır, e 'un benzer kuvvetlerinin katsayılarının sıfıra eşitlenmesi ile bir diferansiyel denklemler seti elde edilmiştir. Bu denklemler ardışık olarak çözülürse aşağıdaki değişken katsayılı Korteweg-de Vries denklemi elde edilir dU TTdU d3U dU n - + ^u^ + K-öp + /wâe = °- ^ Bu bölümde ikinci olarak, içi viskoz akışkanla dolu yarıçapı değişken elastik tüplerde zayıf nonlineer dalgaların yayılımı incelenmiştir. (1), (2) ve (3) alan denklemleri w, v, vz ve p bilinmeyenlerini belirlemek için yeterli olmadığından, bilinmeyenlerden birini (vz) elimine etmek için iki farklı yaklaşım kullanılacaktır. l.Yaklaşım: ilk yaklaşım olarak, sistemi kapatmak için, y = (Xff+u+ e*l-2S** S (%). (9) at az az az2 ke + çz + u \dy J y=Q (6), (7) açılımları (1), (2) ve (9) alan denklemlerinde yerine konur ve e'un benzer kuvvetlerinin katsayıları sıfıra eşitlenirse bir diferansiyel denklemler seti elde edilir. Bu denklemler ardışık olarak çözülürse aşağıdaki evolüsyon denklemleri elde edilir fi) a = 1/2 ve fi = 3/2 için aşağıdaki değişken katsayılı Korteweg-de Vries (KdV) denklemi elde edilir dU TTdU d3U dU n,in, ~d7 + ^ ~öj + ^W + ^8arâf = ( } (ii) a = 1/2 ve fi - 1/2 için aşağıdaki değişken katsayılı Korteweg-de Vries Burgers (KdVB) denklemi elde edilir dU ^ ndU. d*U u. dU _l d2U n nn â7+^^+^âf+^ar- + /lA - = 0. (11) 2.Yaklaşım: Bu halde sistemi kapatmak için başka bir yaklaşım kullanacağız. Bu yaklaşım aşağıdaki gibi ifade edilebilir dvz \ Sv - -u- \e + z + u \dx J x=Xg+(t>z+u (Aö + z + uf Bu durumda (3) denklemi aşağıdaki formu ahr (12) dv dv dp B_(d2v 8u. x dt az az \ozl (\ğ + açılarını e3 mertebesinde kabul etmek gerekmektedir. Bu durumda, sözkonusu açılar $ = Ae3, = ae3 biçiminde ifade edilebilirler. Burada A ve a sırasıyla şekil değiştirmeden önceki ve sonraki yarıçap değişimini karakterize eden sabitlerdir. Bu çalışmada, doğrultmanların, şekil değiştirmenin öncesi ve sonrasında birbirlerine paralel kaldığını varsayacağız. Bu durumda, a ve A parametreleri arasındaki ilişki a = Şf-A haline gelir. Ayrıca alan değişkenlerinin aşağıdaki formda e cinsinden asimptotik seriye açılabileceği varsayacağız. u = euı + e2v,2 + e3«3 +..., w = etüı + e2tü2 + e3tü3 +..., P = Po + epı + e2p2 + e3p3 +.... (16) Burada Mı,...p3, (z, t) hızlı değişkenleri ve (£, r) yavaş değişkenlerinin birer fonksiyonudurlar. (15) ve (16) açılımları (1), (4), (5) alan denklemlerinde yerine konur ve elde edilen denklemlerde e 'un benzer kuvvetlerinin katsayıları sıfıra eşitlenirse bir diferansiyel denklemler seti elde edilir. Bu denklemler ardışık olarak çözülürse aşağıdaki değişken katsayılı nonlineer Schrödinger denklemi elde edilir BU ri2 TT ATI ^+^W+ /İ2İ£7|2?7 + i/i3Tİf + fi4r2u + ^u = °' (17) Bu bölümün sonunda (17) ile verilen evolüsyon denklemine ilerleyen dalga tipi çözüm sunulmuş ve ilerleyen dalga ve zarf dalganın hız ifadeleri verilmiştir. Bu hızların bazı parametrelerle değişimi tartışılmıştır. ikinci bölümde ise, içinde viskoz olmayan akışkan bulunan, ince elastik tüplerde marjinal halde zayıf nonlineer dalgaların genlik modülasyonu problemi incelenmiştir. Yarıçap değişiminin probleme etkisi işlemleri çok karmaşık hale getirdiği için bu etki ihmal edilmiştir. Tanımlanan bu probleme ait boyutsuzalan denklemleri aşağıdaki gibi verilebilir Po + P ~ TeW + 7T0 dA0 ~ Afl dz { Az 8AZ dz J' Su.".dw " du n dw dw dp n,"". Bu modülasyon problemini inceleyebilmek için indirgeyici pertürbasyon yöntemi kullanılarak aşağıdaki koordinat dönüşümü tanımlanmıştır £ = ea(z - Xt), t = e2at. (19) Burada e nonlineeritenin zayıflığım ölçen küçük bir parametre, A daha sonra grup hızına eşit olduğu gösterilecek olan bir sabit ve a farklı sayısal değerler verilecek pozitif bir sayıdır. Ayrıca alan değişkenlerinin, e parametresinin, hızlı değişkenler (z,t) ve yavaş değişkenler (£, r)'nun fonksiyonu olduğu varsayılacaktır. Ayrıca alan değişkenlerinin, e parametresinin cinsinden aşağıda verilen biçimde asimptotik seriye açılabileceği varsayılacaktır u = euı + e2U2 + e3u3 +..., 2 3 w = ew\ + e W2 + e wz +..., p = epı + e2p2 + e3p3 +.... (20) (19) ve (20) açılımları, (18) ile verilen alan denklemlerinde kullanılırsa Mj,...,ps alan değişkenlerini içeren bir diferansiyel denklemler kümesi elde edilir. Bu çalışmada, iki ayrı durum incelenmiştir, ilk halde, a = 1 kabul edilmiştir. Bu durum keyfi bir dalga sayısı ve başlangıç deformasyonu için genlik modülasyonuna karşı gelir. Elde edilen bu denklemler kümesinde e 'un benzer kuvvetlerinin katsayıları sıfıra eşitlenirse bir diferansiyel denklemler seti elde edilir. Bu denklemler ardışık olarak çözülecek olursa aşağıdaki nonlineer Schrödinger denklemi elde edilir i^ + Vı~r + (*2\U\2U = 0. (21) /U1/J2 çarpımının sıfır olduğu durumda "marjinal hal" ortaya çıkar. p,\ katsayısı, grup hızının dalga sayısına göre türevine eşittir ve sıfır olması söz konusu değildir. Marjinal durumun oluşabilmesi için tek olasılık ^2 katsayısının sıfır olmasıdır. Bu özel halde, NLS denklemi lineer Schrödinger denklemine dejenere olur. Bu da, nonlineeritenin ölçeklendirilmesi değişmeden, bu başlangıç deformasyonunda ve kritik dalga sayısı civarında, nonlineeritenin band genişliği ile dengelenemeyeceğini gösterir. Bu işlem ikinci halde incelenmiştir. Aslında, bu özel durum band genişliğinin daha dar olduğu veya nonlineeritenin mertebesinin arttırıldığı hale karşı gelir. İlk durumda açıklanan işlem dizgesi uygulanarak, evolüsyon denklemi olarak aşağıdaki genelleştirilmiş nonlineer Schrödinger denklemi (GNLS) elde edilmiştir ^+wg + i/I,,V,'|+JwvŞ+w,^V = 0. (22) Bu bölümün sonunda, (GNLS) denkleminin bazı kesin çözümleri sunulmuştur.

Abstract:
In this work, nonlinear wave propagation in a prestressed tapered thin elastic tube rilled with an incompressible fluid is studied. In Chapter 1, the historical evolution of the subject and some theoretical works in the existing literature on this area are presented. In Chapter 2, the basic equations governing the motion of a prestressed tapered thin elastic tube filled with an incompressible viscous/inviscid fluid are derived. In Chapter 3, a brief summary of the perturbation methods that we shall utilize in this work is given. In Chapter 4, by employing the reductive perturbation method, the propagation of weakly nonlinear waves in a tapered elastic tube filled with an incompressible fluid is studied for both inviscid and viscous fluid cases. For inviscid fluid case, variable coefficient Korteweg-de Vries equation is obtained as the evolution equation. For viscous fluid case, by using two different approximations, depending on the perturbation and the viscosity parameters, variable coefficient Korteweg-de Vries-Burgers equation and variable coefficient perturbed Korteweg-de Vries equation are obtained as the evolution equations. At the end of this chapter, the progressive wave solutions to these evolution equations are given and it is shown that the wave speeds increase with distance for narrowing tubes while they decrease for expanding tubes. Chapter 5 is devoted to the nonlinear wave modulation. This problem is investigated in two different subsections. In the first subsection, the amplitude modulation of nonlinear waves in a fluid-filled tapered elastic tube is studied. By considering the blood as an incompressible inviscid fluid and employing the reductive perturbation method, the evolution equation is obtained as nonlinear Schrödinger equation with variable coefficients. It is shown that this evolution equation admits a solitary wave type of solution with variable wave speed. By sketching some graphs, it is observed that the speeds of both the progressive and enveloping waves increase with distance for expanding tubes whale they decrease with distance for narrowing tubes. In the second subsection of Chapter 5, nonlinear wave modulation in fluid-filled thin elastic tubes near the marginal state is investigated. Due to difficulties in calculations resulting from the inclusion of tapering, this effect is neglected for this case. The field equation for the case of constant radius are re-derived. By employing the reductive perturbation method, generalized nonlinear Schrödinger equation is obtained as the evolution equation. Finally, some exact solutions of this evolution equation are given. Basic Equations Treating the arterial tree as a tapered, thin walled, long and circularly conical prestressed elastic tube and blood as an incompressible fluid, the nonlinear equations of motion are given as follows.Nonlinear equations of a tapered elastic tube n =T(1 4- ^U/2 (*« + **) d*U u( +%) (! + $*)*/» as ^ A^ ^ (Aö + ^ + «)öi2 (\e + z + u) ^ \z(\g + (f>z + u)d\2 i a /(^ + öu/a5:)(A* + $«) as v A*(A* + ^ + u) dz [ [i + (^ + du/dz)2]112 d^ where Xz is the stretch ratio in the axial direction after the static deformation, $ is the tapering angle of the tube in undeformed configuration, is the tapering angle after the static deformation, //S is the strain energy density function of the tube material, p is the fluid pressure and Ai and A2 are the stretch ratios in the final configuration. Equations of fluid : The approximate equations of a viscous fluid may be given as follows du (, du\ 1.,,.dv â + "r+&J + 2(8 + 'Az + ")âî = 0' (2) dv dv dp _ d2v lv (dvz\ m+Vdz~ + dz~-Ud^ + Xe + tz + u \d^ ) x=Xe+4>z+u ' (3) where v is the averaged axial fluid velocity, vz is the velocity component in the axial direction and u is the viscosity of fluid. If we set the viscosity parameter v equal zero, we obtain the field equations of an inviscid fluid as du (, du \ 1.,,. dv â+H should be of ea+2. We further assume that the field quantities can be expressed as some asymptotic series of the form u = su\ + e2U2 + -.., v = evi + e2v2 +...,vz -evzl + e2vz2 +..., p = Po + epı+e2pı +..., (7) where u\,..,p2 axe some unknown functions of the stretched coordinates (£, r). In the first part of the Chapter 4, the propagation of weakly nonlinear waves in a tapered elastic tube filled with an inviscid fluid is investigated. In this case, the perturbation parameter a is set equal to 1/2 and the expansions (6), (7) are introduced into the field equations (1), (4), (5). By setting the coefficients of like powers of s to zero, we obtain a set of differential equations. If these equations are solved simultaneously, we obtain the following variable coefficient Korteweg-de Vries equation dU dU d*U dU -fr+^U-ğç+V2-ğ^+V3aT- = 0. (8) In the second part of this chapter, the propagation of weakly nonlinear waves in a tapered elastic tube filled with a viscous fluid is investigated. Since the field equations (1), (2) and (3) are not enough to determine the unknowns u, v, vz and p, two different approximations are used to eliminate one of the unknowns Case I: In this first case, we will use the transformation y = (Ag + u + 4>z - x)e2 and assume that v = e^v in order to close the system. Here, J3 characterizes the order of the fluid viscosity. Then equation (3) becomes | +,»+§g=^g|-2^». ' (%). (9) at oz dz ozl \g + z + u \oy J y=:Q By introducing the expansions (6), (7) into the field equations (1), (2) and (9) and setting the coefficients of like powers of e to zero we obtain a set of differential equations. By solving these differential equations the following evolution equations are obtained (i) For a = 1/2 and fl = 3/2 we obtain the following variable coefficient Korteweg-de Vries (KdV) equation as dU TTdU &U dU n (ii) For a = 1/2 and (3 = 1/2 we obtain the following variable coefficient Korteweg-de Vries Burgers (KdVB) equation as dU TTdU d3U ÖU d2U.,_ fr+nV^+K-öp+^-OZ+K-öçT-"- (H) Case II: In this case, we will use another approximation in order to close the system. This approximation can be given as follows 9VA -*M,!", X,- (12) Xe + z + u\ dx ) x=zXg+lj>z+u (Xe + 4>z + u)2 Then equation (3) becomes dv dv dp o_(d2v 8ü,,.,".By following the same procedure given in the Case I, for a - 1/2 and (3 = 3/2 we obtain the variable coefficient perturbed-KdV equation as follows dU dU d*U dU,, -fr+^U-+V2j^ + (izaT-+veU = 0. (14) At the end of the Chapter 4, the progressive wave solution to the evolution equations (10), (11) and (14) are presented. The propagation speeds are also given. Nonlinear Wave Modulation In Chapter 5, two different modulation problems are studied. In the first part, the amplitude modulation of nonlinear waves in a tapered elastic tube filled with an inviscid fluid is investigated. Analyzing the dispersion relations and considering that the problem of concern is the boundary value problem, the following stretched coordinates may be introduced i = e{z-Xt), r = e2z, (15) where e is a small parameter measuring the weakness of nonlinearity and A is a scale parameter to be determined from the solution. In order to take the effect of tapering into account, the order of the tapering angles should be e3. Hence, the tapering angles can be expressed as $ = Ae3, = ae3 where A and a are some finite constants describing the tapering angles before and after static deformation. We shall assume that the generators before and after finite static deformation remain parallel to each other. For this case, the relation between a and A becomes a = A#/AZA We assume that the field variables can be expanded into an asymptotic series of e as follows u = tuy + e2u2 + e3M3 +..., w = ew\ + e2W2 + e3W3 +..., p = po + epi + e2p2 + e3p3 +..., (16) where ui,...p3 are functions of the fast variables (z,t) and the slow variables (£,r). Introducing (15) and (16) into the field equations (1), (4), (5) and setting the coefficients of like powers of e to zero, we obtain a set of differential equations. By solving these equations simultaneously, we obtain the following variable coefficient nonlinear Schrödinger equation ^+,iiw+ ^{u{2u + *>3Tlr + IH7^U + ^u = ° (17) At the end of this part, a progressive wave type of solution is presented to equation (17) and the speeds of the progressive wave and the enveloping wave are given. The variation of these wave speeds with respect to some parameters are discussed. In the second part of this chapter, the modulations of nonlinear waves near the marginal state of instability in fluid filled elastic tubes are investigated. Since the tapering effect makes all the calculations very complicated, we consider the constant radius case. The non-dimensionalized field equations of the related problem may be given as follows Po + P ~ T0lW + Ao 8A0 Ae dz[ Az dAzW'ndu,_.dw n du dw dw dp n."_ er+,"&+£ = 0- <18> In order to investigate the modulation problem, we employ the reductive perturbation method and introduce the following coordinate stretching £ = ea(z - A*), r = t2at, (19) where e is a small parameter measuring the weakness of nonlinearity, A is a constant which will be shown to be the group velocity and a is a positive integer which will be specified later. We shall assume that the field quantities are functions of e, the fast variables (z,t) and slow variables (£,t). We assume that the field quantities can be expanded into an asymptotic series of e as u = eu\ + e2«2 + e3«3 + -, w = ewi + e W2 -f e^ws -\-..., p - epi+ c2P2 + e3p3 +.... (20) Introducing the expansions (19) and (20) into the field equations (18) we obtain a set of differential equations governing the functions ui,...,ps. In this work, two cases are studied separately. In the first case we set a = 1. This special case corresponds to the amplitude modulation for an arbitrary wave number and initial deformation. By setting the coefficients of like powers of e equal to zero we obtain a set of differential equations. By solving these equations simultaneously we obtain the following nonlinear Schrödinger equation dTT FPTT i~+m~r + M2u = o. (21) The marginal state occurs when ^1/^2 vanishes. The coefficient /ij is related to the derivative of group velocity with respect to wave number and does not vanish. The only possibility for such a critical state to occur is vanishing \i%. When ^ vanishes, the nonlinear Schrödinger equation degenerates into the linear one. This means that near this critical wave number and initial deformation, the nonlinearity cannot be balanced by the band-width unless one rescales the nonlinearity. This is done in the second case by setting a = 2. Actually, this special case corresponds to the narrower band- width or to stronger nonlinearity. Applying the same procedure explained in the first case, we obtain the following generalized nonlinear Schrödinger equation (GNLS) as the evolution equation At the end of this part, some exact solutions to GNLS equation are presented.