Weyl manifoldları üzerinde bazı özel konneksiyonlar
Some special connections on Weyl manifolds
Yazar: İLHAN GÜL
Danışman: DOÇ. DR. ELİF CANFES
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2017
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Doğrusal konneksiyon = Linear connection ; Weyl manifoldu = Weyl manifold

Özet:
Weyl manifoldları, H. Weyl tarafından 1918 yılında fizikteki birleşik alanlar teorisini formüle etmek için tanımlanmıştır. Weyl'in birleşik alanlar teorisi fiziksel nedenlerle başlangıçta kabul görmemesine rağmen, Weyl manifoldları hem fizikçilerin hem de matematikçilerin ilgisini çekmiş ve bu konuda bir çok çalışma yapılmıştır. Uygun bir $\omega$ $1$-formu, burulmasız $D$ konneksiyonu ve konform metrikler sınıfından alınan herhangi bir $g$ Riemann metriği için
\begin{equation*}
Dg=2\omega\otimes g
\end{equation*}
uygunluk koşulunu sağlayan manifolda Weyl manifoldu denir ve $M_n(g, \omega)$ ile gösterilir. $\tilde{g}=\lambda^2g$ konform dönüşümü altında $\omega$ $1$-formu,
\begin{equation*}
\tilde{\omega}= \omega + d \ln \lambda
\end{equation*}
şeklinde değişir.


Bu tez çalışmasında ilk olarak Weyl manifoldları üzerinde simetrik olmayan bazı özel konneksiyonlar çalışılmıştır. Daha sonra, yarı-Einstein Weyl manifoldları tanımlanıp bu manifoldlara bir örnek oluşturulmuştur. Son olarak, Weyl manifoldları üzerinde Lie türevi kullanılarak sonsuz küçük dönüşümler incelenmiştir.

Tez çalışmasının ilk bölümünde, Weyl manifoldlarıyla ilgili genel bir literatür taraması verilmiştir.

İkinci bölümde, Riemann ve Weyl manifoldları ile ilgili temel tanım ve teoremler verilmiştir. Ayrıca, Riemann manifoldları üzerinde bazı özel vektör alanlarından bahsedilip, Riemann manifoldları üzerinde sonsuz küçük dönüşümler ile ilgili bir literatür taraması sunulmuştur. Son kısımda ise, Weyl manifoldlarıyla ilgili olarak tez çalışmasında kullanılacak olan temel tanım ve teoremler ifade edilmiştir.

Tez çalışmasının üçüncü bölümünde, yarı-simetrik ve Ricci çeyrek-simetrik konneksiyonlu Weyl manifoldları incelenmiştir. Yarı-simetrik konneksiyona sahip Weyl manifoldları ile ilgili olarak bilinen sonuçlar sunulduktan sonra, Ricci çeyrek-simetrik konneksiyonlu Weyl manifoldları tanımlanmış ve her Weyl manifoldunda ilgili bir forma bağlı olarak değişen bir ve yalnız bir Ricci çeyrek-simetrik konneksiyonun varlığı ispatlanmıştır. Bununla birlikte, Ricci çeyrek-simetrik konneksiyona göre elde edilen eğrilik tensörü ile ilgili özellikler sunulduktan sonra Ricci tensörünün simetrik olması için gerek ve yeter koşullar ifade edilmiştir. Son kısımda ise, kesitsel eğriliğin seçilen düzlemden bağımsız olduğu Ricci çeyrek-simetrik konneksiyonlu Weyl manifoldunun lokal olarak bir Einstein manifolduna konform olduğu ispatlanmıştır.

Tez çalışmasının dördüncü bölümü, beş alt bölümden oluşmaktadır. İlk önce, Einstein-Weyl manifoldları ile ilgili kısa bir literatür taraması verilmiştir. Bilinen bazı önemli sonuçlar ifade edilmiş ve üç boyutta bazı örnekler verilmiştir. Daha sonra, yarı-Einstein Weyl ve neredeyse yarı-Einstein Weyl manifoldları tanımlanmıştır. İlgili skaler fonksiyonlarının genelleştirilmiş kovaryant türevlerinin sıfır olduğu pozitif skaler eğriliğe sahip yarı-Einstein Weyl manifoldlarının lokal olarak bir Einstein-Weyl manifolduna konform olduğu ispatlanmıştır. Ayrıca, yarı-Einstein Weyl manifoldlarının varlığı için bir gerek koşul ifade edilmiştir. Ardından, üç boyutlu yarı-Einstein Weyl manifoldlarına bir örnek oluşturulmuştur. Bununla birlikte, yarı-simetrik ve Ricci çeyrek-simetrik konneksiyonlu yarı-Einstein Weyl manifoldları incelendikten sonra, yarı-Einstein Weyl manifoldlarında konform ve genelleştirilmiş çemberleri koruyan konform dönüşümler (concircular) incelenmiştir.

Tez çalışmasının beşinci bölümünde, kompleks Weyl manifoldlarından Kahler Weyl ve hemen hemen değme Weyl manifoldları ele alınmıştır. İlk olarak, Kahler Weyl manifoldlarda bilinen bazı saf ve hibrit tensörlerle ilgili denklemlerden bahsedilmiş ve bu tensörlerle ilgili bazı bilinen sonuçlara yer verilmiştir. Sonra, konform eğrilik tensörü ve genelleştirilmiş çemberleri koruyan konform eğrilik tensörünün sıfır olduğu Kahler Weyl manifoldlarının Einstein Weyl manifoldu olduğu ispatlanmıştır. Diğer taraftan, projektif eğrilik tensörünün sıfır olduğu Kahler Weyl manifoldlarının sıfır skaler eğriliğe sahip olduğu gösterilmiştir. Daha sonra, Kahler Weyl manifoldlarında çeyrek-simetrik konneksiyon tanımlanmış ve bu konneksiyonun varlığı ispatlanmıştır. Kahler Weyl manifoldlarında, çeyrek-simetrik konneksiyona göre elde edilen tensörler arasındaki ilişkiler incelenmiş ve bazı özel koşullar altında çeyrek-simetrik konneksiyonun Weyl konneksiyonuna indirgendiği gösterilmiştir.
Son kısımda ise, çeyrek-simetrik konneksiyonlu hemen hemen değme Weyl manifoldları ele alınmıştır. Çeyrek-simetrik konneksiyonun hemen hemen değme Weyl manifoldlarında varlığı ispatlandıktan sonra, bu konneksiyona göre elde edilen tensörler arasındaki ilişkiler incelenmiştir.

Tez çalışmasının altıncı ve son bölümünde ise Weyl manifoldlarında Lie türevi ve uygulamaları çalışılmıştır. İlk olarak, Weyl manifoldlarında sonsuz küçük dönüşümler sunulmuştur. Genelleştirilmiş Lie türevi tanımı kullanılarak, Weyl manifoldlarında Lie türevinin özellikleri elde edilmiştir. Genelleştirilmiş hareket tanımlandıktan sonra genelleştirilmiş hareket olan her sonsuz küçük dönüşümün bir afin dönüşüm olması için gerek ve yeter koşulun Weyl manifoldunun lokal olarak bir Riemann manifolduna konform olması gerektiği ispatlanmıştır. Sonsuz küçük dönüşümlerin genelleştirilmiş hareket olduğu Weyl manifoldlarında eğrilik tensörü, Ricci tensörü ve skaleri eğriliğin genelleştirilmiş Lie türevi ifadeleri bulunmuştur.

Daha sonra, özel olarak reküran Weyl manifoldlarında genelleştirilmiş hareketler incelenmiştir. Reküran Weyl manifoldlarında, hem genelleştirilmiş hareket hem de projektif hareket olan sonsuz küçük dönüşümün afin dönüşüm olduğu veya konharmonik eğrilik tensörünün sıfır olduğu ispatlanmıştır.

Son olarak, Riemann manifoldlarında soliton kavramı göz önüne alınarak benzer şekilde Weyl manifoldlarında soliton kavramını ifade eden denklem tanımlanmıştır. Bu denklemi sağlayan Weyl manifoldlarında, bazı özel vektör alanları göz önüne alınarak sonuçlar elde edilmiştir.

Abstract:
Weyl Geometry was introduced by H. Weyl to formulate unified field theory in 1918. Although his theory failed for physical reasons, it was interesting not only for physicists but also for mathematicians. A differentiable manifold of dimension $n$ which has a torsion-free connection $D$ and a representative metric $g$ in the conformal class of metrics preserved by $D$ is called a Weyl manifold  which satisfies the compatibility condition
\begin{equation*}
Dg=2\omega\otimes g,
\end{equation*}

where $\omega$ is a $1$-form. Such a manifold will be denoted by $M_n(g, \omega)$.

Under the conformal transformation of the metric ~$\tilde{g}=\lambda^2g$, the $1$-form $\omega$ changes by the law

\begin{equation*}
\tilde{\omega}= \omega + d \ln \lambda.
\end{equation*}

The pair $(\tilde{g},\tilde{\omega})$ generates the same Weyl manifold and the process of passing from $(g,\omega)$ to $(\tilde{g},\tilde{\omega})$ is called a gauge transformation.

In this work, fist we have primarily examined Weyl manifolds and complex Weyl manifolds with some special non-symmetric connections. Then, we have introduced the notion of quasi-Einstein Weyl manifolds, and we have constructed an example to quasi-Einstein Weyl manifold. Finally, we have studied some applications of Lie derivatives on Weyl manifolds. This work contains six chapters.

In chapter I, a brief literature review of Weyl manifolds is given.

In chapter II, first, the fundamental definitions and theorems concerning Riemannian manifolds and Weyl manifolds are stated. Then, Riemannian manifolds having semi-symmetric connections, quarter-symmetric connections and Ricci quarter-symmetric connections are reviewed. Moreover, infinitesimal transformations on Riemannian manifolds are given. Finally, some special vector fields on Weyl manifolds are defined.

In chapter III, Weyl manifolds with semi-symmetric and Ricci quarter-symmetric connections are studied. First, the known results about Weyl manifolds with semi-symmetric connection are stated. Then, Ricci quarter-symmetric connections are defined on Weyl manifolds and it is proved that on every Weyl manifold, there exists a unique Ricci quarter-symmetric connection associated to every one form. Furthermore, some properties of the curvature tensor according to Ricci quarter-symmetric connection are examined and the necessary and sufficient conditions for the Ricci tensor to be symmetric are obtained. Finally, it is proved that a Weyl manifold with a Ricci quarter-symmetric connection whose sectional curvature is independent of the each plane is locally conformal to an Einstein manifold with a Ricci quarter-symmetric connection.

Chapter four consists of five sections. In the first section, a review of Einstein-Weyl manifolds with some known examples and results is given. In the second section, quasi-Einstein Weyl manifolds and nearly quasi-Einstein Weyl manifolds are defined. It is proved that if the associated scalar functions of a quasi-Einstein Weyl manifold having positive scalar curvature are prolonged covariantly constant then the manifold is locally conformal to an Einstein manifold. The necessary condition for the existence of the quasi-Einstein Weyl manifolds is also given.
In the third section, an example of  three dimensional quasi-Einstein Weyl manifold is constructed. In the last two sections, quasi-Einstein Weyl manifolds with semi-symmetric and Ricci quarter-symmetric connections are examined. Moreover, conformal and generalized concircular transformations of quasi-Einstein Weyl manifolds are studied. The following theorems concerning quasi-Einstein Weyl manifolds are proved:

Theorem. A quasi-Einstein Weyl manifold is transformed into a quasi-Einstein Weyl manifold under any generalized concircular mapping.

Theorem. Assume that there is a conformal mapping between two Weyl manifolds. If the symmetric parts of the corresponding Ricci tensors of the manifolds are preserved, then the conformal transformation is concircular.

In chapter five, complex Weyl manifolds are examined. Particularly, Kahler Weyl and almost contact Weyl manifolds are studied. First, some important pure and hybrid tensors on Kahler Weyl manifolds are reviewed and certain known results are presented. Then, it is proved that a Kahler Weyl manifold with a vanishing conformal curvature tensor or concircular curvature tensor is an Einstein-Weyl manifold. On the other hand, it is showed that the scalar curvature of the Kahler Weyl manifold is zero if the projective curvature tensor of the Kahler Weyl manifold vanishes. After that, Kahler Weyl manifolds with quarter-symmetric connections are introduced and the existence of this connection is proved. Finally, some important tensors according to the quarter-symmetric connections are examined and some related theorems are proved.

In the last section of the chapter five, almost contact Weyl manifolds are considered. After giving the basic definitions and equations about almost contact Weyl manifolds, quarter-symmetric connections are defined on them. The existence of the quarter-symmetric connections on almost contact Weyl manifolds is also proved and the properties of the curvature tensor according to quarter-symmetric connection are examined.

In chapter six, first,  applications of Lie derivative and  infinitesimal transformations on Weyl manifolds are studied. Then, the properties of prolonged Lie derivative are obtained. After giving the definition of the generalized motion, the necessary and sufficient condition for a generalized motion to be an affine motion is obtained. Also, the following theorem concerning  generalized motions and projective motions is proved:

Theorem. An infinitesimal transformation which is both generalized motion and projective motion on a Weyl manifold  is an affine motion or the conharmonic curvature tensor of the manifold vanishes.

In particular, generalized motions are examined on recurrent Weyl manifolds and some theorems are proved. Finally, by making analogy to solitons on Riemannian manifolds, the notion of solitons on Weyl manifolds is introduced and Weyl manifolds satisfying particular equations are studied by considering some special vector fields.