Düzgün konveks metrik uzaylarda bazı sabit nokta iterasyon yaklaşımları ve optimizasyon
Some iterative approximation of fixed points and optimization in uniformly convex metric spaces
Yazar: MUHAMMET KNEFATI
Danışman: PROF. DR. VATAN KARAKAYA
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
$CAT _{p}(0)$ uzaylarının ve $p$-düzgün konveks metrik uzayların Hadamard uzaylarından daha genel olan jeodezik metrik uzaylar olduğu bilinmektedir. Mevcut tez çalışmasında, jeodezik metrik uzaylarda genişlemeyen tipten dönüşümler kullanılarak minimizasyon ve bazı sabit nokta problemlerinin çözüm ve uygulamaları araştırılacaktır. Altı bölüm olarak tasarlanan bu çalışmada;
birinci bölümde literatür özeti, tezin amacı ve hipotezi verilmiştir. İkinci bölüm ise tezin tamamında kullanılacak olan temel kavramları, tanımları ve teoremleri içermektedir.
Üçüncü bölümde; p- düzgün konveks metrik uzaylarda alışılmış metrik topolojiden daha zayıf olan, zayıf yakınsama sağlayan ve $\tau_{{w}}$ olarak adlandırılacak olan yeni bir topoloji inşa edilmiştir. Bu yeni zayıf topolojiyle Banach uzaylarındaki kompaktlık kavramına benzer yeni sonuçlar elde edilmiştir. Ayrıca, p-düzgün konveks metrik uzaylarda kapalı konveks alt kümeler üzerinde iz düşüm dönüşümleri incelenerek bu uzaylarda Hilbert uzayları ve Banach uzaylarında var olan Opial ve Kadec Klee gibi geometrik özelliklerin benzer tanımları elde edilmiştir.
Dördüncü bölümde; ${CAT}_{{p}}(0)$ uzaylarında ${CN}^{*}$ eşitsizliğinin bir genellemesi verilmiş ve daha sonra bu uzaylarda S-iterasyonu, genişlemeyen dönüşümler altında dönüşümün sabit noktasına kuvvetli ve $\Delta$- yakınsak olduğu gösterilmiştir.  Bununla birlikte, elde edilen yakınsama sonuçları $CAT(0)$ uzaylarında minimizasyon problemlerini çözmek için uygulanmıştır. 
Beşinci bölümde, ilk olarak, doğrusal olmayan Lebesgue uzayları Hadamard uzaylarından p-düzgün konveks metrik uzaylara genişletilmiştir. Daha sonra, p-düzgün konveks metrik uzaylarda yeni tanımlanan genelleştirilmiş genişlemeyen dönüşüm sınıfı için bazı $\Delta$-yakınsaklık ve kuvvetli yakınsaklık teoremleri ispatlanmıştır. Ayrıca, bu sınıfın sabit noktalarına yaklaşmak için yeni tanımladığımız JK-iterasyon yöntemi kullanılmıştır.
Son bölümde ise $p$-düzgün konveks metrik uzaylarda ağırlıklı ortalama iz düşüm dizileri için bazı eşitsizlikler kurulmuştur. Bununla birlikte elde edilen eşitsizlikler kullanılarak ağırlıklı ortalama iz düşüm dizisinin asimptotik regülerliği ve $\Delta$- yakınsaklığı ispatlanmıştır. Ayrıca, $p$-düzgün konveks metrik uzaylarda belirli regülarite veya kompaktlık koşulları altında dizinin kuvvetli yakınsaklığı gösterilmiştir. Son olarak, $p$-düzgün konveks metrik uzaylarda Ishikawa iz düşüm dizisi tanımlanarak belirli şartlar altında $\Delta$- yakınsaklığı ve kuvvetli yakınsaklığı ispatlanmıştır.

Abstract:
The present thesis aims to investigate the solution and applications of fixed point problems in geodesic metric spaces utilizing transformations of nonexpansive type. Geodesic metric spaces, which are more general than Hadamard spaces, include $CAT_P(0)$ spaces and p-uniformly convex metric spaces. These spaces are known to possess geodesic convex structures, which enable the definition of the shortest path distance between any two points within them. This study is designed as six chapters;
the first chapter summarizes the literature, the aim, and the hypothesis of the thesis. The second chapter contains the basic concepts, definitions, and theorems that will be used throughout the thesis.
In the third chapter, a new topology, named $\tau_{\mathrm{w}}$, is constructed which is weaker than the usual metric topology for p-uniformly convex metric spaces and provides weak convergence. With this new topology, compactness results similar to the notion of compactness in Banach spaces are obtained. Moreover, by studying projection mappings on closed convex subsets in p-smooth convex metric spaces, similar definitions of geometric properties such as Opial and Kadec Klee, which exist in Hilbert spaces and Banach spaces, are obtained.
In the fourth section, a generalization of the inequality ${CN}^{*}$ on $CAT_{p}(0)$ spaces is given and then S-iteration on these spaces is shown to be strongly and $\Delta$- convergent to the fixed point of the mapping under nonexpansive transformations. Moreover, the obtained convergence results are applied to solve minimization problems on $CAT(0)$ spaces. 
In the fifth section, we first extend nonlinear Lebesgue spaces from $CAT(0)$ spaces to p-uniformly convex metric spaces. Then, some $\Delta$-convergence and strong convergence theorems are proved for the newly defined class of generalized nonexpansive maps on p-smooth convex metric spaces. Moreover, our newly defined JK-iteration method is used to approximate the fixed points of this class. Finally, new examples of this class in terms of p-smooth convex metric spaces are given.
In the last section, we define weighted average projection and Ishikawa projection iteration methods in $p$-uniformly convex metric spaces. We employ these methods to solve the feasibility problem in these spaces.