Spektral ertelenmiş düzeltme zaman integrasyonu yöntemleri
Spectral deferred correction time integration methods
Yazar: DUYGUM ASYA BAHÇEKAPILI
Danışman: PROF. DR. SAMET YÜCEL KADIOĞLU ; DOÇ. DR. HÜLYA KADIOĞLU
İstanbul Teknik Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Diferensiyel denklemler = Differential equations ; Düzeltme yöntemleri = Correction methods ; Spektral yöntemler = Spectral methods

Özet:
Bu çalışmada, adi diferansiyel denklemler ile oluşturulmuş başlangıç değer problemlerinin sayısal çözümlerini yapabilmek için geliştirilmiş "spektral ertelenmiş düzeltme" yöntemleri incelenmiştir. Spektral ertelenmiş düzeltme yöntemlerinin özü, Euler yöntemlerine dayanmaktadır. Amaç, birer ilkel zaman integrasyonu yöntemi olan açık ve kapalı Euler yöntemlerinin doğruluk mertebesini keyfi mertebede arttırabilmektir. Problemler çözülürken, öncelikle, tez içinde "ara çözüm" olarak adlandırılacak olan başlangıç çözümü, denklemin yapısına uygun olarak, açık veya kapalı Euler yöntemleri ile elde edilmiştir. Ardında, ara çözüme düzeltme prosedürü uygulanarak "düzeltme çözümü" olarak adlandırılacak olan çözümler elde edilmiştir. Elde edilen sonuçların literatürle uyumlu olduğu ve keyfi mertebede doğruluk sağlanabildiği gözlemlenmiştir. Yine çalışmada, başlangıç değer problemlerinin çözümünde sıklıkla başvurulan sayısal yöntemlerden olan Runge - Kutta yöntemlerinin ve spektral ertelenmiş düzeltme yöntemlerinin kararlılık bölgesi analizleri yapılmıştır. Bu kararlılık bölgeleri şekiller aracılığıyla karşılaştırılmıştır. Ardından, spektral ertelenmiş düzeltme yöntemlerinin kararlılık davranışı hem açık hem kapalı şemalar için incelenmiş olup sonuçlar şekiller ile verilmiştir. Yine çalışmada, spektral ertelenmiş düzeltme yöntemleri, tek bir denklemden sisteme kadar dört adet başlangıç değer problemine uygulanarak elde edilen sonuçlar çizelgeler ile çalışmaya eklenmiştir. Ayrıca yine her bir problem için bir diferansiyel denklem çözücüsü olan ODE45 ile 5. mertebe açık spektral ertelenmiş düzeltme yönteminin çözümleri karşılaştırılmıştır. Gerçek çözümü bilinen problemler için her iki yöntemin de gerçek çözümle karşılaştırılması yapılıp, sonuçlar şekiller ile gösterilmiştir. Sonuç olarak, bu çalışmada hem kararlılık bölgesi analizleri yapılarak hem de problemlerin çözümünde kullanılarak, spektral ertelenmiş düzeltme yöntemlerinin başlangıç değer problemlerini çözmedeki doğruluk ve etki performansı incelenmiş ve yöntemin sıklıkla kullanılan diğer sayısal yöntemlerden bazıları ile karşılaştırılması yapılarak avantaj ve dezavantajlarından bahsedilmiştir.

Abstract:
In this study, the Spectral Deferred Correction (SDC) method developed to solve the initial value problems consisting of ordinary differential equations (ODEs) or the systems of ordinary differential equations with arbitrary order of accuracy has been examined. The essence of the spectral deferred correction method is based on an iterative correction procedure that increases the order of accuracy of a primitive time integration method such as forward or backward Euler methods. While solving the problems, in the first step, the initial solution, which will be called "provisional solution" in the following sections of the thesis, is obtained by forward or backward Euler methods in accordance with the structure of the equation in the problems. Then, by applying the correction procedure to these provisional solutions, that will be called "correction solutions" are obtained in the later parts of the thesis. It has been observed that the obtained results are consistent with the literature, and arbitrary order of accuracy can be achieved as desired. Then, stability region analysis of Runge - Kutta methods, which are among the most famous numerical method classes used in the solution of initial value problems and spectral deferred correction methods, are performed. The stability regions of the spectral deferred correction methods (SDC) were compared with the same order Runge-Kutta (RK) methods. Also in this study, several test problems are solved ranging from scalar to system of differential equations including stiff and non-stiff cases. Using the obtained results, the theoretical order of the method and the numerical order were compared. Also, the code is compared with MATLAB's built in ODE45 that is fifth order accurate. The solutions obtained with both ODE45 and 5th order spectral deferred correction methods are superimposed on same figures. As a result, in this study the stability, accuracy, and efficiency performance of spectral deferred correction methods for solving initial value problems were examined. Advantages and disadvantages of explicit versus implicit spectral deferred correction method are presented by providing stability region analysis and accuracy tables. Also, the SDC methods are compared with other frequently used methods such as RK methods and advantages and disadvantages are discussed.