Bir radikal halkanın Adjoint grubu ve Lie halkası üzerine çalışmalar
On the associated Lie ring and the Adjoint group of a radical ring
Yazar: ZÜLAL KABALAK
Danışman: DOÇ. DR. FERİDE KUZUCUOĞLU
Hacettepe Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2005
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
R bir halka olsun. Eğer R halkasının Jacobson radikali kendisine eşit ise, diğer birg s gdeyişle R halkası, her a, b â R işin aob = a + b + ab işlemi ile bir grup formundas c sise R halkasına radikal halka denir. Bu grup R halkasının adjoint grubu olarakadlandırılır. Lie halka, şarpma işlemi olarak [a, b] alındığında aşağıdaki iki üzelliğic s g sg o gsağlayan birleşmeli olmayan ve birimsiz bir halka olarak tanımlanır.g s(i) [a, a] = 0 (anti-commutativity)(ii) [[a, b], c] + [[b, c], a] + [[c, a], b] = 0 (Jacobi identity)Bir Lie halkanın I ve J idealleri güz ününe alındığında, {[a, b] | a â I, b â J}o ou gkümesi tarafından uretilen toplamsal alt grubunun, aynı zamanda Lie halkanınu übir ideali olduğu, Jacobi identity üzelliğinden yararlanarak kolayca gürülür.g o g o uuS.A. Jennings ?Radical Rings with Nilpotent Associated Groups? başlıklısmakalesinde, bir radikal halkanın, Lie halkasının nilpotent olması işin gerek vecyeter koşulun adjoint grubunun nilpotent olması gerektiğini kanıtlamıştır. S.A.s g sJennings bu iki yapının nilpotentlik sınıï¬arının aynı olduğu savını ortaya atmışg sve bunu, karakteristiği sıfır olan nilpotent cebirler işin kanıtlamıştır. Bu savıng c sradikal halkalar işin kanıtı X. Du tarafından yapılmıştır.c sBu şalışmada S.A. Jennings'in ?Radical Rings with Nilpotent AssociatedcsGroups?, X. Du'nun ?The Centers of Radical Rings?, B. Amberg ve Y.P.Sysak'ın ?Radical Rings with Soluble Adjoint Groups? adlı makalelerini inceledik.ü cü u o uUşuncü bülümde, S.A. Jennings ve X. Du'nun şalışmalarının detaylı ve aşıkcs ckanıtlarını verdik. Calışmamızın son bülümünde, B. Amberg ve Y.P. Sysak'ın,şs ou uher radikal halkanın bazı koşullar altında Lie-şüzülebilir olduğunda G(R) adjoints co u ggrubunun şozülebilir olduğunu güsterdikleri makalelerini inceledik.cü u g oAnahtar Kelimeler: Radikal halka, adjoint grup, Lie halka.ğ üDanışman: Doş. Dr. Feride KUZUCUOGLU, Hacettepe Universitesi, Fens cFakültesi, Matematik Bülümü.u ou ui

Abstract:
A ring R is called radical ring if it coincides with its Jacobson radical, whichmeans that R forms a group under the operation aob = a + b + ab for all a and bin R. This group is called the adjoint group of R. A Lie ring is a nonassociativering without identity, whose multiplication which is usually denoted by brackets[a, b] satisï¬es the following axioms:(i) [a, a] = 0 (anti-commutativity)(ii) [[a, b], c] + [[b, c], a] + [[c, a], b] = 0 (Jacobi identity)From the Jacobi identity it is not diï¬cult to deduce that if I and J are the idealsof a Lie ring, then the additive subgroup generated by the set of commutators{[a, b] | a â I, b â J} is also an ideal of the Lie ring.It was shown by S.A. Jennings in his article whose name is ?Radical Rings withNilpotent Associated Groups? that the associated Lie ring of a radical is nilpotentif and only if its adjoint group is nilpotent. He conjectured that the nilpotentclasses of them are the same in this case, and he could prove this for nilpotentalgebras of characteristic 0. The conjecture is proved by X.Du.In this thesis, we study the papers of S.A. Jennings, X. Du, B. Amberg and Y.P.Sysak entitled respectively ?Radical Rings with Nilpotent Associated Groups?,?The Centers of a Radical Ring? and ?Radical Rings with Soluble AdjointGroups?. In chapter three, we oï¬er a clariï¬ed and detailed proofs of the works ofS.A. Jennings and X. Du. In the last chapter of our thesis, we studied the paperof B. Amberg and Y.P. Sysak which it is proved that adjoint group G(R) of aradical ring R which is Lie-soluble and satisï¬es some conditions must be soluble.Key Words: Radical ring, adjoint group, Lie ring.ğAdvisor: Associate Prof. Dr. Feride KUZUCUOGLU, Hacettepe University, Fac-ulty of Science, Department of Mathematcis.i