Kuantum matris grupları ve h deformasyonu
Quantum matrix groups and h deformation
Yazar: KEREM DEMİR
Danışman: YRD. DOÇ. DR. NEBİ ÖNDER
Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2009
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Deformasyon = Deformation ; Düzlemler = Planes ; Gruplar = Groups ; Kuantum matris grupları = Quantum matrice groups ; Matrisler = Matrices ; Vektör uzayları = Vector spaces

Özet:
GL(n,C) genel lineer matris grubu iki farklı deformasyon kabul eder. Bunlardan birisi q deformasyonu diğeri de h deformasyonudur. Bu kuantum grupları xy=qyx bağıntısı ile q düzlemi ve xy-yx= ? hy ? ^2 bağıntısı ile de h düzlemi üzerine etki eder. GL(n,C) Genel lineer matris grubunun kuantum deformasyonu ? GL ? _q (n,C) ile gösterilir. Bu çalışmada ? GL ? _q (2,C) kuantum grubunun özellikleri incelenmiştir. Klasik matris gruplarının deformasyonlarının nasıl yapıldığına değinilmiş ve elde edilen ? GL ? _q (2,C) grubuna ait bir T^' matrisinin Bazı kuantum özellikleri anlatılmıştır. Ayrıca T^'? ? GL ? _q (2,C) matrisi incelenerek bu matrisin elemanları arasındaki komutasyon bağıntıları bulunmuştur. Bu matrisin kuantum determinantına ait yeni formüller hesaplanmıştır. Ayrıca kuantum matrisinin tersi incelenmiştir. ? (T^' ) ? ^(-1) Matrisinin deformasyon parametresinin ? q ? ^(-1) olduğu görülmüş ve ? GL ? _q (2,C) kuantum grubunun bilinen anlamda grup yapısı incelenmiştir. Özel olarak seçilmiş R_q matrisinin R_q ? T_1 ? ^' ? T_2 ? ^'= ? T_2 ? ^' ? T_1 ? ^' R_q Eşitliği ile bilinen komutasyon bağıntılarını sağladığı görülmüştür. Elde edilen GL(n,C) nin q deformasyonunda yeni bir h deformasyonu elde etmek çalışmanın amaçlarındandır. GL(2,C) nin q deformasyonundan bir transformasyonun singüler limiti kullanılarak GL(2,C) nin h deformasyonu elde edilmiştir. ayrıca bileşenlerin xy-yx= ? hy ? ^2 bağıntılarını sağlayan X vektörlerinin oluşturduğu h deforme düzlem tanıtılmıştır. ? GL ? _q (2,C) Grubuna ait T^' matrisinin T^'=gT ? g ? ^(-1) dönüşümü ile T? ? GL ? _h (2,C) matrisinin elemanları arasında sağlanan komutasyon bağıntıları bulunmuş ve q?1 limiti için yeniden düzenlenmiştir. Ayrıca T? ? GL ? _h (2,C) matrisinin determinantı ve tersine ait yeni formüller hesaplanmıştır. Ayrıca R_q matrisinden yola çıkarak R_h matrisi tekrar q?1 limiti için yeniden hesaplanmıştır. Bu çalışmada ? GL ? _q (2) nin bir alt grubu olan ? SU ? _q (2) Üniter kuantum matris grupları tanıtılmıştır.

Abstract:
GL(n,C)General linear matrix group considers two different deformations. One of them is a deformation and the other one is h deformation. These quantum groups affect on xy=qyx relations with q plane and xy-yx= ? hy ? ^2 relations with h plane. GL(n,C) Quantum Deformation of general linear matrix group is shown wi ? th GL ? _q (n,C). Features of quantum groups have been researched in this study. How the conventional matrix groups are deformed have been touched on and some of the quantum features T^' matrix belonging to obtained ? GL ? _q (2,C) group has been illustrated. By scrutinizing T^'? ? GL ? _q (2,C)matrix commutation relations between the components of the matrix have been found out. New formulas related to quantum determinant of this quantum have been calculated. Also, adverse of quantum matrix has been researched. It is seen that the deformation parameter of ? (T^' ) ? ^(-1) matrix is ? q ? ^(-1) and the structure of ? GL ? _q (2,C) quantum group has been researched. It is seen that distinctively selected R_q matrix provides R_q ? T_1 ? ^' ? T_2 ? ^'= ? T_2 ? ^' ? T_1 ? ^' R_(q ) equation and conventional communication relations. Acquiring a new h deformation from the obtained GL(n,C) q deformation is among the aims of the study. It deformation of GL(2,C) has been obtained by using a singular limit of a transformation from a deformation of GL(2,C). Also, h deformation plane which provides xy-yx= ? hy ? ^2relation for components and consists of X vectors. T^'=gT ? g ? ^(-1) transformation of T^' matrix belonging to GL(2,C) and commutation relations between the elements of T? ? GL ? _h (2,C) matrix have been found and arranged for q?1 limit. Also, the determinant of T? ? GL ? _h (2,C) matrix and adverse formulas have been calculated. And also considering Rq Matrix, Rh matrix has been calculated for q?1 limit.