Yaklaşım teorisinde q-pozitif lineer operatör dizilerinin genelleştirilmesi
On the construction of q-analogues for some positive linear operators
Yazar: ERSİN ŞİMŞEK
Danışman: DOÇ. DR. TUNCAY TUNÇ
Mersin Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2019
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Weierstrass teoremini ispatlamanın kullanışlı yollarından bir tanesi pozitif ve lineer
operatör dizilerini kullanmaktan geçer. Bu operatör dizilerinin en iyi bilineni Bernstein
polinomlarının oluşturduğu dizidir. Bernstein polinomları baz alınarak çok sayıda operatör
dizileri üretilmiştir. Bu tezin ana konusu bu tür operatör dizileridir. Diğer taraftan, bu tezin
uygulama alanı olan q-analizin temelleri birkaç yüzyıl önce atılmasına rağmen analizdeki
uygulamaları son yıllarda gelişmiştir. Bunun sonucu olarak yaklaşım teorisinde kullanılan bütün
operatörler q-analize uyarlanmıştır. Bu tezde ayrık tipli operatörlerin q-benzerlerini üreten bir
genel operatör tanımlanmıştır. Bunun için belli düzgünlük koşullarına sahip fonksiyonlardan
yararlanılmıştır. İyi bilinen bazı operatör dizileri için üreteç fonksiyonu bulunmuştur. Bu
operatör dizileri Bernstein, Chlodowsky, Lupaş, Meyer-König ve Zeller ve Bleiman-Butzer-Hahn
operatör dizilerinin q-benzerleridir. Bunların yanı sıra seçilen uygun bir üreteç fonksiyonun
yardımıyla Baskakov operatörünün yeni bir q-genellemesi elde edilmiştir.
Elde edilen genel operatör dizisinin momentleri üreteç fonksiyonu cinsinden
belirlenmiştir. Momentler yardımıyla bu operatör dizisinin bazı yaklaşım özellikleri verilmiştir.
Daha açık bir ifadeyle, bu dizi için Korovkin tipi teorem ispatlanmıştır ve bazı bilinen fonksiyon
sınıfları için Jackson tipi ve Voronovskaya tipi teoremler elde edilmiştir.

Abstract:
One of the useful ways to prove the Weierstrass theorem is through the use of positive
and linear operator sequences. The best known of these operator sequences is the sequence of
Bernstein polynomials. Numerous operator arrays were produced based on Bernstein
polynomials. The main subject of this thesis is such operator sequences. On the other hand,
although the fundamentals of q-analysis, which is the field of application of this thesis, were
discarded a few hundred years ago, its applications in analysis developed in recent years. As a
result, all operators used in the theory of approximation are adapted to the q-analysis. In this
thesis, a general operator who produces q-analogous of discrete type operators is defined. For
this purpose, certain smoothness conditions have been used. A generating function has been
found for some well-known operator sequences. These operator sequences are q-analogs of the
operator sequences of Bernstein, Chlodowsky, Lupaş, Meyer-König and Zeller and Bleiman-
Butzer-Hahn. In addition, a new q-generalization of the Baskakov operator was obtained with the
help of a suitable generator function selected.
The moments of the overall operator sequence were determined in terms of the generator
function. Some approximation properties of this operator sequence are given with the help of
moments. In other words, the Korovkin type theorem has been proved for this series and Jackson
type and Voronovskaya type theorems for some known class of functions have been obtained.