Kesirli mertebeden lineer diferansiyel denklem ve sistemlerinin çözümleri için Lucas kollokasyon yöntemi
Lucas collocation method for solving fractional differantial equations and their systems
Yazar: GÜLÇİN GÖK
Danışman: DOÇ. DR. ŞUAYİP YÜZBAŞI
Akdeniz Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2021
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezde kesirli mertebeden lineer diferansiyel denklemleri ve denklem sistemlerini nümerik olarak çözmemize yardımcı olacak Lucas polinomları üzerine kurulmuş bir kollokasyon metodu kullanılır. Bu metotta ilk olarak, incelenen diferansiyel denklemin yaklaşık çözümü sınırlı sayıda terimi olan Lucas polinom serisi şeklinde kabul edilir. Lucas polinomların katsayıları bilinmeyen olarak belirlenir. Kesirli türevlerin hesaplanmasında Caputo kesirli türev kullanılır. Daha sonra, yaklaşık çözüm ve kollokasyon noktaları kullanılarak, incelenen denklem bilinmeyenleri Lucas katsayıları olan, matrislerle ifade edilebilen lineer cebirsel sisteme dönüştürülür. Son olarak, matris aritmetiği kullanılarak yaklaşık çözüm katsayıları bulunur. Nümerik örnekler üzerinde çalışılarak yöntemin sonuçlarının literatürdeki diğer çalışmaların sonuçları ile kıyaslanması sağlanır. Bu çalışmada, problemlerin çözümünde gama fonksiyonu, beta fonksiyonu ve kesirli türev tanımlarından yararlanılmıştır. Bu denklemler ile ilgili örnekler çok paradigmalı sayısal hesaplama yazılımı olan Matlab da yazılan kod ile çözülerek elde edilen sonuçlar için grafik ve tablolar hazırlanarak kullanılan yöntemin yeterli hassasiyeti olduğu gözlemlenir. Ayrıca sonuçlar başka yöntemlerin sonuçları ile karşılaştırılır ve karşılaştırmalardan yöntemin iyi sonuçlar verdiği görülmektedir.

Abstract:
In this thesis, a collocation method based on Lucas polynomials is used to solve fractional order linear differential equations and equation systems numerically. In this method, first, an approximate solution to the differential equation is expressed in terms of a finite series of Lucas polynomials with unknown coefficients. Then, using the approximate solution and collocation points, the initial differential equation is transformed into a linear algebraic system, in which Lucas coefficients are the unknowns. Caputo fractional derivative is used to calculate fractional derivatives. Then, using the approximate solution and collocation points, the studied equation is transformed into a linear algebraic system whose unknowns are Lucas coefficients, which can be expressed in matrices. Finally, using matrix arithmetic, approximate solution coefficients are found. By working on numerical examples, the results of the method are compared with the results of other studies in the literature. In this study, gamma function, beta function and fractional derivative definitions are used to solve problems. The examples related to these equations are solved with the code written in Matlab, a multi-paradigm numerical calculation software, and it is observed that the method used has sufficient precision by preparing graphics and tables for the results obtained. In addition, the results are compared with the results of other methods and it is seen from the comparisons that the method gives good results.