Dedekind asal halkalar ve genelleştirmeleri
Dedekind prime rings and their generalizations
Yazar: GÖZDE KOÇAK
Danışman: DOÇ. DR. EVRİM AKALAN
Hacettepe Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2015
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Literatürde Dedekind tamlık bölgelerinin değişmeli halkalar için oldukça iyi geliştirilmiş
bir teorisi olmasının yanında, ideallerin aritmetiği ve Dedekind tamlık bölgeleri üzerindeki
modüllerin yapısı hakkında da pek çok şey bilinmektedir. Geçen yüzyılın ortalarından
itibaren değişmeli halkaların Dedekind tamlık bölgesi düşüncesinin değişmeli olmayan
halkalara genelleştirilmesi konusu üzerinde sıklıkla çalışılmıştır. Bu tezin amacı, değişmeli
olmayan halkalarda bu genellemenin doğurduğu Dedekind asal halkalar, Asano sağ düzen
halkaları, kalıtsal halkalar ve G-Dedekind asal halka sınıfları ile Asano sağ düzen halkalarındaki
yerelleştirme probleminin incelenmesidir. Giriş bölümü, tez konusunun tarihsel gelişimi ve önemi ile ilgili bilgilerden oluşmaktadır.İkinci bölüm, sonraki bölümlerde gerekli olan temel tanım ve teoremleri içermektedir. Üçüncü bölümde, Dedekind asal halkalar ve genelleştirmesi olan Asano sağ düzen halkaları incelenmiş, dördüncü bölümde Asano sağ düzen halkalarında yerelleştirme problemi ele alınmıştır. Son bölümde, hem Dedekind asal halkaları hem de Noether tek türlü çarpanlarına ayırma halkalarını (TÇH) kapsayan GDedekind asal halka sınıfının tanım ve karakterizasyonları verilmiştir. Ayrıca bu bölümde konuya ilişkin ilerideki çalışmalarımıza yön verebilecek problemlere yer verilmiştir.

Anahtar Kelimeler: Dedekind asal halka, Asano sağ düzen halkası , kalıtsal halka, maksimal
sağ düzen halkası, yerelleştirme, G-Dedekind asal halka.

Abstract:
The commutative theory of Dedekind domains is well developed in literature and much is
known about the arithmetic of ideals and also the structure of modules over a Dedekind
domain. There have been many studies on the generalization of the commutative idea of
a Dedekind domain to noncommutative rings. The aim of this thesis is to investigate the
class of rings which arose from this idea of generalization namely; Dedekind prime rings,
Asano right orders, hereditary rings and G-Dedekind prime rings and to investigate the
localization problem on the ring of Asano right orders. The introductory chapter consists of
informations about the significance and the historical improvement of the subject. Second
chapter contains the definitions and theorems needed in the third, fourth and the fifth
chapters. In the third chapter, the class of Dedekind prime rings and the class of Asano
right orders which is a generalization of the class of Dedekind prime rings are investigated,
and in the fourth chapter the problem of localization on the ring of Asano right orders
is studied. In the last chapter, definition and the characterizations of G-Dedekind prime
rings which contain both the class of Dedekind prime rings and the class of Noetherian
unique factorization rings is introduced. Moreover, open problems on the subject are given
in this chapter.

Keywords: Dedekind prime ring, Asano right order, hereditary ring, maximal right order,
localization, G-Dedekind prime ring.