Nonlineer Schrödinger denkleminin tam çözümleri
Exact solutions of nonlinear Schrödinger equation
Yazar: HALİDE GÜMÜŞ
Danışman: DOÇ. DR. HALİS YILMAZ
Dicle Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2018
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezin ilk bölümünde nonlineer olguda önemli rol oynayan lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemler ile ilgili kısa bir bilgi verdik. Bu olguyu anlamamız için matematikçiler ve hatta fizikçiler nonlineer denklemlerin  daha fazla tam çözümlerini bulmaya çalışmışlar ve büyük emek harcamışlardır. Bu sebeple lineer olmayan denklemlerin çözümlerini bulmak için  ters saçılım yöntemi (Zakharov ve Shabat 1972) ve Hirota metodu (Hirota 2004) gibi etkili yöntemler  ileri sürmüşlerdir. Bu bölümde ayrıca en önemli lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerden biri olan  Nonlineer Schrödinger denklemi (NLS) hakkında bilgiler verilmiştir.
İkinci bölümde NLS denkleminin tarihsel gelişimi verildi. 1834 yılında  Russell tarafından gözlenen 'büyük tekil dalga' KdV ve NLS gibi geniş çözülebilir lineer olmayan evolüsyon denklemlerinin matematiksel özelliklerinin gelişimi olarak verilmiştir.
Üçüncü bölümde  diferansiyel denklemler ile ilgili temel tanımlar verilmiştir. Ayrıca adi diferansiyel  denklemlerin ve özellikle de kısmi diferansiyel denklemlerin çözümünü bulmada kullanılan en önemli metodlardan biri olan Kompleks Fourier Dönüşümünü verdik. Bu dönüşümle çözülebilen dalga denklemini örnek olarak verdik. Ayrıca bu bölümde Burgers ve KdV gibi lineer olmayan bazı evolüsyon denklemlerinin ilerleyen dalga çözümlerini elde ettik. Bunun dışında KdV ve NLS gibi integrallenebilir lineer olmayan evolüsyon denklemlerinin multi-soliton çözümlerini veren Hirota metodunu ele aldık. Bu metodu KdV denkleminin 1-soliton ve 2-soliton çözümlerini elde ederek detaylandırdık.
Dördüncü bölüm Nonlineer Schrödinger denklemine ayrılmıştır.  Öncelikle ilerleyen dalga çözümünü elde ettik ve daha sonra Hirota metodunu kullanarak NLS denkleminin 1-soliton ve  2-soliton çözümünü verdik. Sonuç ve tartışma kısmı da beşinci bölümde verilmiştir.

Abstract:
In the first chapter, of this thesis,we present a brief information about nonlinear partial differantial equations (NPDEs) which play an important role in nonlinear phenomena. In order to better understanding these nonlinear phenomena, many mathematicians as well as physicists have been made big efforts to seek more exact solutions to NPDEs. Therefore, several powerful methods have been proposed to obtain exact solutions , such as inverse scattering method (Zakharov and Shabat 1972) and Hirota direct method (Hirota 2004). In this chapter, we also give a brief information about Nonlinear Schrödinger Equation(NLS) which is one of the most important NPDEs.
 In the second chapter, historical developments of NLS are given. We also review the history of soliton, since the first recorded observation of the 'great solitary wave' by Russell in 1834, as means of developing the mathematical properties of a large class of solvable nonlinear equations such as the KdV and the NLS.
In the third chapter ,the basic definitions about differantial  equations  are given. In addition, we present the Complex Fourier Transform (CFT) which is one of the  most important tool when solving ODEs and in particular PDEs. We solve the wave equation which is an example of using the CFT. In this chapter, we also construct the travelling wave solutions for some nonlinear evolution equations such as the Burgers equation and KdV equation. Furthermore, in this chapter, we present Hirota's direct method of constructing multi-soliton solutions to integrable nonlinear evolution equations such as the KdV and NLS. 
Chapter four is devoted to NLS Equation. Firstly, we construct a travelling wave solution for the NLS equation. Furthermore, by using Hirota's direct method we present one-soliton and two soliton solutions for the NLS. Results and discussion are given in chapter five.