Çeşitli kesit alanlı kanallarda gelişmekte olan akışta ısı transferinin numerik hesaplanması
Numerical calculation of heat transfer for developing flow for ducts of arbitrary cross-sectional area
Yazar: ERTUĞRUL CİHAN
Danışman: PROF. DR. TUNCAY YILMAZ
Çukurova Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü
Derece: Doktora, 1995
Konu: Makine Mühendisliği = Mechanical Engineering
Dizin: Isı geçişi = Heat transfer ; Laminer akış = Laminar flow ; Sayısal hesaplama = Numerical calculation

Özet:
Bu çalışmada, çeşitli kesit alanlı kanallarda dört ayrı laminar akış türünde (HGA, TGA, HTGA ve GA) ısı transferi katsayısı çeşitli sınır şartlarında (Sabit duvar sıcaklığı ve sabit ısı akımı) nümerik olarak hesaplanmıştır. Kanallarda ısı transferinin hesaplanması için Navier-Stokes ve enerji denkleminin birlikte çözülmesi gerekir. Hidrodinamik olarak gelişmekte olan akışta (HGA) Navier-Stokes denklemi çeşitli kanallarda çözülerek hız dağılımları, basınç kayıpları, sürtünme katsayıları ve giriş bölgesi ek basınç kayıp katsayıları bulunmuştur. Bulunan hız dağılımları enerji denklemine taşınarak sıcaklık dağılımları, ortalama ve yerel Nusselt sayılan hesaplanmıştır. Diferansiyel denklemlerin çözümünde sayısal metodlardan değişken adımlı sonlu farklar metodu kullanılmıştır. Sonlu farklar metodunun kanal bölgesine uygulanmasında bazı zorluklar meydana gelmiştir. Özellikle bu zorluklar koordinat sistemine göre düzgün geometriye sahip olmayan kanallarda duvara yakın bölgelerdeki noktalarda ortaya çıkmıştır. Buralarda adım uzunluklarının eşit olmaması türev ve integral işlemlerinde sıkıntılara yol açmıştır. Duvara yakın bölgelerde adım uzunluklarının eşit olmaması, türev büyüklüklerinin yeniden oluşturulmasını gerektirmektedir. Bu durum diferansiyel denklemlerin sistematik çözümünü engellemektedir. Bu gibi zorluklan ortadan kaldırmak için kanal bölgesine koordinat transformasyonu yöntemi uygulanmıştır. Bu yöntemle kanal geometrisi kare biçimine getirilmekte ve yeni koordinat sistemine geçilmektedir. Koordinat transformasyonundan sonra kare biçimine getirilen kanal geometrisine sonlu farklar metodunun uygulaması kolaylaşmaktadır. Aynı zamanda türev ve integral işlemleri rahatlıkla yapılabilmektedir. Bilindiği gibi, diferansiyel denklemlerin çözümlerinin istenilen hassasiyette olabilmesi için adım saydamım yeterince yüksek alınması gerekmektedir. Bu durumda adım sayısının yüksek alınması işlem yükünü artırmakta ve hesaplama süresi de uzamaktadır. Bu olumsuz durumu önlemek için duvara yakın yerlerde nokta yoğunluğu artırılan bir sistem düşünülmüştür. Bu sistemde adım uzunluklarına bağlı olarak sıklık derecesi adında bir sayı tanımlanmış olup, sıklık derecesi ile kanaldaki-100- nokta yoğuluğu istenildiği gibi ayarlanmaktadır. Sıklık derecesi birden büyük seçildiğinde nokta yoğunluğu duvara yaklaşmakta, birden küçük seçildiğinde ise duvardan uzaklaşmaktadır. Dolayısıyla herhangi bir noktadaki adım uzunlukları eşit olmamaktadır. Adım uzunluklarının eşit olmaması nedeniyle, türev büyüklükleri ve integral formülleri değişken adım uzunluğunda yeniden çıkarılmıştır. Farklı adımlarda çıkardan türev büyüklükleri diferansiyel denklemlerde yerine yazılarak sonlu farklar eşitliği elde edilmiştir. Diferansiyel denklemin çözümünün stabil olabilmesini sağlamak için implisit yöntem kullanılmıştır. Bu yöntemle diferansiyel denklemin daha hızlı yakınsaması sağlanabilmektedir. Bu yöntemde bilinenler düzleminin (1-|3) katı bilinmeyenler düzleminin 3 katı alınarak sonlu farklar eşitliği yeniden oluşturulmuştur. |3 katsayısı 0 ile 1 arasında değişen sabit bir sayı olup, P=0.5 Crank-Nicholson yöntemi olarak adlandırılmaktadır. Yapılan hesaplamalarda P=0.75 olarak alınmıştır. Sonlu farklar eşitliği başlangıç ve sınır şartlan altında yeni koordinatlarda meydana getirilen ağ sistemine uygulanarak lineer denklem takımı oluşturulmuştur. Bant genişliği 9 ve bol sıfırlı katsayısılar matrisine sahip olan lineer denklem takımının çözümü dolaylı metodlardan Gaus-Seidel iterasyon metodu ile yapılmıştır. Navier-Stokes denkleminin çözümünden elde edilen hızlar (u,v,w) her Az adımda matrislerde depolanarak sonradan kullanılmak üzere dosyalarda saklanmaktadır. Enerji denkleminin çözümü Navier-Stokes denkleminde olduğu gibi aynı metotla çözülmüştür. Hidrodinamik ve termik olarak gelişmekte olan akışta (HTGA) enerji denkleminin çözümü ile kanal kesitindeki sıcaklık dağılımları, ortalama sıcaklık, ortalama ve yerel Nusselt sayıları hesaplanmıştır. Aynı zamanda enerji denklemi çeşitli Prandtl sayılarında (Pr=0, 0.7, 5, 20 ve oo) çözülmüştür. Pr=oo çözümü gelişmiş akıştaki hız dağılımı kullanılarak TGA durumundan, Pr=0 çözümü ise, w*=l alınarak TGA durumundaki çözümden elde edilmiştir.-101- Termik olarak gelişmekte olan akışta (TGA) ısı transferinin hesaplanabilmesi için gelişmiş akışta hız dağılımının bilinmesi gerekir. Bunun için gelişmiş akışta Navier- Stokes denklemi çözülerek hız dağılımları ve gelişmiş akış için biçim faktörleri hesaplanmıştır. Bulunan hız dağılımları kullanılarak TGA durumunda enerji denklemi yardımı ile çeşitli kanallar için (Dikdörtgen, daire, kare, dik üçgen, ikizkenar üçgen ve elips) Nusselt sayılan hesaplanmıştır. Yapılan literatür araştırmasında çeşitli kesit alanlı kanallarda ısı transferini hesaplayacak genel eşitliklere rastlanmamıştır. Termik olarak gelişmekte olan akış durumunda sabit duvar sıcaklığı ve sabit ısı akımı sınır şartı durumlarında ısı transferini hesaplayacak genel eşitlikler çıkarılmıştır. Bu eşitlikler mevcut nümerik ve literatürdeki teorik değerlerle karşılaştırılmış olup, maksimum hata SDS sınır şartında %-8.0/+8.7, SIA sınır şartında ise %-6. 1/+6.4 arasında değişmektedir.

Abstract:
In this work, heat transfer coefficients for four types of laminar (HGA, TGA, HTGA and GA) ducts flows were numerically calculated for various boundary conditions in several cross-sectional ducts. To calculate heat transfer in ducts, Navier- Stokes and energy equations must be solved simultaneously. Velocity distributions, pressure drops, friction factors and incremental pressure drop numbers were calculated by solving Navier-Stokes equation for hydrodynamically developing flow (HGA) in various ducts. Also temperature distributions, local and mean Nusselt numbers were obtained transporting the velocity distributions to energy equation. Variable step finite difference method was employed to solve the differential equations. We encountered with a series of difficulties while applying the method to channel region. These difficulties has especially arisen near the walls of the non uniform channel geometries. In these regions integral and derivations caused the difficulties due to different grid spaces. It was necessary to rearrange the derivation and integral formulas if grid points were not equal near walls. This situation doesn't permit to reach a systematic way to solve the equations. Coordinate transformations were applied to channel region for the elimination of the arising difficulties. Channel geometries were transformed to square and then new coordinate system was used. Application of the finite difference method to square shaped channel geometry becomes easy after transformation and, derivation and integration were also calculated easily. As already known that the accurate solutions can be obtained when the grid lines are fine. But computation times will be longer due to increasing arithmetic operations. To prevent this unwanted situation, we developed a method to obtain fine grids near walls. In this method, a number called 'fining scale' which depends on size was described and the number of the grid lines in the channel can be easily adjusted by this fining scale. If fining scale is greater than 1, grid spaces contract while closing the wall. Otherwise, if fining scale is smaller than 1 grid spaces expand. This means none of the grid spaces can be equal. Derivation and integration formulas were derived for-103- variable step sizes. Obtained derivation formulas were written in differential equations and finite differential equations were found. An implicit method was used for stability. Faster convergence can be achieved by using this method. In this method, knowns and unknowns were multiplied by P and (l-f3) respectively and then finite difference equation was rewritten. 3 number varies between 0 and 1. The method is called as Crank-Nicholson method if 3 is 0.5. 3=0.75 was used in this work. Finite difference equation was applied to new grid system and obtained a system of linear equations. Band width of the obtained matrix from the system of linear equations was 9 and the other elements of the matrix was zero. This band matrix was solved using Gauss-Seidel iterative method. Obtained velocities (u, v, w) were stored for each Az in matrixes to use later. Energy equation was solved using the same method as Navier-Stokes. Temperature distributions, mean temperatures and mean and local Nusselt number in the channel were calculated for thermally and hydrodynamically developing flows. Also, the equations were solved for various Pr number such as 0, 0.7, 5, 20 and oo. Pr=oo is obtained when the flow is hydrodynamically developed and thermally developing flow and Pr=0 was obtained when the flow is thermally developing flow (TGA) and w*=l. Velocity distribution must be known to calculate heat transfer for thermally developing flow (TGA). For this reason, velocity distributions and shape factors for fully developed flows was calculated solving Navier-Stokes equations. Nusselt number for thermally developing flows (TGA) in various channels (Rectangular, circular, square, rightangle triangular, equilateral triangular and ellipse) were calculated by the aid of the velocity distribution. Literature survey showed that there is no general equation which can calculate the heat transfer in various cross-sectional ducts. General equations for constant wall temperature and constant heat flux were derived to calculated heat transfer for thermally developing flow (TGA). The results of these equations were compared with available numerical and theoretical results and maximum deviations were between -8% and +8.7% for constant wall temperature and -6.1% and +6.4% for constant heat flux.