Modifiye edilmiş bazı atnalı dönüşümlerinin dinamiklerinin incelenmesi
Investigation of the dynamics of some horseshoe maps which are modificated
Yazar: SALİHA ŞEKER
Danışman: DOÇ. DR. MUSTAFA SALTAN
Eskişehir Teknik Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Topoloji Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Dinamik sistemler = Dynamical systems ; Kaos = Chaos ; Kümeler = Clusters ; Periyodik fonksiyonlar = Periodic functions

Özet:
Dinamik sistemler bir çok bilim dalında uygulaması olan önemli araştırma konularından birisidir. Özellikle bir dinamik sistemin kaotik olup olmadığını araştırmak dinamik sistem hakkında bize önemli bilgiler verir. Literatürde en yaygın olan kaos tanımı Devaney tarafından verilmektedir. Bu tanımda başlangıç şartlarına hassas bağımlılık, periyodik noktaların yoğunluğu ve topolojik geçişkenlik incelenmektedir. Bu tezde, en temel dinamik sistem örnekleri olan Kaydırma dönüşümü, Katlama dönüşümü, [0, 1] aralığı ve Cantor kümesi üzerinde Çadır dönüşümü ve Smale'in Atnalı dönüşümü detaylı olarak incelenmekte ve bu yapıların ikilik ve üçlük sistemdeki ifadeleri elde edilerek periyodik noktaları araştırılmaktadır. Temel olarak Smale'in Atnalı dönüşümünü detaylı olarak ele alındıktan sonra bu dönüşümden esinlenerek Smale'in Atnalı dönüşümünün 1. modifikasyonu olarak adlandırdığımız yeni bir dönüşüm tanımlanmaktadır ve bu tanımlanan dönüşüm üçlük tabanda ifade edildikten sonra periyodik noktaları hesaplanmaktadır. Smale'in Atnalı dönüşümünün 1. modifikasyonunun C ×C üzerinde Devaney anlamında kaotik bir dinamik sistem olduğu detaylı olarak gösterilmektedir. Ayrıca, tanımladığımız Smale'in Atnalı dönüşümünün 1. modifikasyonuna topolojik eşlenik olan Smale'in Atnalı dönüşümünün 2. modifikasyonu olarak adlandırdığımız bir dönüşüm elde edilmektedir. Son olarak, Smale'in Atnalı dönüşümünün farklı bir modifikasyonu daha elde edilerek bazı periyodik noktaları hesaplanmakta ve Smale'in Atnalı dönüşümü ve Smale'in Atnalı dönüşümlerinin 1. ve 2. modifikasyonlarına topolojik eşlenik olmadığı gösterilmektedir.

Abstract:
Dynamic systems are one of the important research topics that have applications in many disciplines. In particular, investigating whether a dynamical system is chaotic gives us important informations about the dynamical system. The most
common definition of chaos in the literature is given by Devaney. In this definition, sensitive dependence on initial conditions, density of periodic points and topological transitivity are examined. In this thesis, Shift map, Folding map, Tent maps on the interval [0, 1] and Cantor set and Smale's Horseshoe map, which are the most basic examples of dynamical systems, are examined in detail and their periodic points are investigated by obtaining the expressions of these structures in binary and triple system. Basically, after the Smale's Horseshoe map is discussed in detail, a new mapping, which we call the first modification of Smale's Horseshoe, is defined, inspired by this map, and then this defined transformation is expressed in ternary system, and then its periodic points are calculated. It is shown in detail that the
modified Horseshoe map is a chaotic dynamical system in the Devaney sense on C ×C. In addition, we obtain a map that we call the second modification of Smale's Horseshoe, which is topologically conjugate to the first modifications of Smale's Horseshoe map. Finally, a different modification of Smale's Horseshoe map is obtained and some periodic points are calculated. And then we show that Smale's Horseshoe map, first and second modifications of Smale's Horseshoe map are not topological conjugate to the last modification.