İspat imajının dinamiklerinin sonsuz kümelerin denkliği bağlamında incelenmesi
Examining the dynamics of the proof image in the context of the equivalence of infinite sets
Yazar: OZAN PALA
Danışman: PROF. DR. SERKAN NARLI
Dokuz Eylül Üniversitesi / Eğitim Bilimleri Enstitüsü / Matematik ve Fen Bilimleri Eğitimi Ana Bilim Dalı / İlköğretim Matematik Öğretmenliği Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2020
Konu: Eğitim ve Öğretim = Education and Training
Dizin: Matematik eğitimi = Mathematics education ; Matematik öğretimi = Mathematics teaching ; Sonsuzluk = Infinity ; İmaj = Image ; İspat = Proof

Özet:
İspatlama aktivitelerinin hem matematikçiler hem de matematik eğitimcileri açısından önemli bir aktivite olduğu söylenebilir. Bu nedenle ileri düzey matematikte ispatlama yeteneğinin geliştirilmesi birçok dersin amaçları arasında yer almaktadır. Bununla birlikte ispatlamanın önemine sıklıkla vurgu yapılmasına rağmen araştırmalar üniversite öğrencilerinin bu konuda güçlük çektiğini göstermektedir. Bu güçlüklerin aşılabilmesi ve ispatın karmaşık yapısının anlamlandırılabilmesi için pek çok teorik çerçeve sunulmuştur. Ancak bu çerçevelerden çok azının ispatlama aktivitesine bir süreç bakış açısı ile yaklaştığı söylenebilir. Diğer yandan ispatlamaya bilgi oluşturma perspektifinden yaklaşan ve bu süreçteki sezgisel-mantıksal etkileşimi mikro-analitik düzeyde inceleyen Kidron & Dreyfus (2014) Bağlamda Soyutlama (AiC) teorik çatısı kapsamında RBC soyutlama teorisinden de yararlanarak ispat imajı kavramına ulaşmıştır. Ancak aradan geçen zamana rağmen bu teorik çerçeve ile ilgili araştırmaların yeterli sayıya ulaşamadığı görülmektedir. Bununla birlikte yazarların da belirttiği gibi bu çerçevede derinleşmenin sağlanabilmesi için daha çok araştırma yapılması gerektiği açıktır. Çünkü ispatlama sürecinin önemli bir boyutunu oluşturan "ispat imajı" yapısının anlamlandırılması ile dinamikleri arasındaki çok boyutlu yapının çözümlenebileceği ve bu sayede ortaya çıkan güçlüklerin önüne geçilebileceği düşünülebilir. Bu perspektif doğrultusunda tasarlanan doktora çalışması ile ispat imajına ilişkin anlayışın derinleştirilmesi ve teorik çerçevede açık bırakılan noktalara ışık tutulması amaçlanmıştır. Kidron & Dreyfus' un (2014) görüşleri ve buna ek olarak uygulamalarda ortaya çıkan eksiklikler de dikkate alınarak bu çalışmada "ispat imajı ile formal ispat arasındaki ilişki", "ispat imajının düzeyleri" ve "ispat imajının sosyo-kültürel boyutu" başlıkları incelenmiştir.
Çalışmada ilköğretim matematik öğretmenliği bölümünde 2. sınıfa devam eden öğretmen adayları, amaçlı örnekleme yöntemlerinden ölçüt örnekleme yöntemi kullanılarak seçilmiştir. Bu düzeyin tercih edilmesinin nedeni Cantor Küme Teorisi ve "sonsuzluk" ile ilgili konuların bu düzeyde yer almasıdır. Sonsuzluk konusunun ispat imajı incelemeleri için uygun bir bağlam olduğu düşünülmüştür. Çünkü literatürdeki pek çok çalışma, öğretmen adaylarının sonsuzluk ile ilgili anlayışlarının tıpkı ispat imajında olduğu gibi sezgiselden formele doğru gelişim gösterdiğini ifade etmektedir. Çalışmada nitel araştırma desenlerinden durum çalışması (ilk iki alt problem) ile söylem analizi (üçüncü alt problem) birlikte kullanılmıştır. Bununla birlikte etkinlik temelli mülakatlarda veri toplama aracı olarak Pala (2016) tarafından geliştirilen bireysel görüşme formlarından yararlanılmıştır. Diğer yandan veriler analiz edilirken ilk iki soruda betimsel analiz ve üçüncü soruda sosyo-kültürel etkileşim perspektifi ile söylem çözümlememesi tekniğinden yararlanılmıştır.
Çalışmanın birinci alt problemine ilişkin analizler sonucunda ispat imajının formal ispata ulaşmak için bir kesinlik sağlamayacağı belirlenmiştir. Pek çok uygulamada bireylerin bir ispat imajı oluşturabildikleri halde formal ispata geçiş yapamadıkları görülmüştür. Bu durumun olası sebepleri alt bileşenler bağlamında detaylı olarak tartışılmıştır. Bununla birlikte bir ispat imajına sahip olan bireylerin formal ispata ulaşamamasında öne çıkan sebeplerden bazıları kavramsal bilgi eksikliği, sezgisel varsayımlara ya da kabullere sıkça yer verilmesi, teoremin olduğundan daha kısıtlı algılanması şeklinde sıralanabilir. Çalışmanın ikinci alt problemi bağlamında ispat imajı ile formal ispat arasında ortaya çıkan durumların tamamı formal bilginin rolü bağlamında ayrı ayrı yorumlanmıştır. Böylece ispat imajını içeren ve içermeyen durumlar için 4 farklı durum belirlenmiştir. İspat imajı içeren durumların "formal ispat ile sonuçlanan" ve "kısmi doğrulamalar ile sonuçlanan" iki sonucunun olduğu görülmüştür. Bununla birlikte ispat imajı içermeyen durumların ise ya sadece mantıksal bağlantıları içeren ezber ve tekrar gibi uygulamalardan (Tip 1) ya da kişisel anlayışa dayalı mantıksal bağlantıları içeren yetersiz gerekçelendirmelerden (Tip 2) kaynaklanabileceği görülmüştür. Son olarak çalışmanın üçüncü alt problemi bağlamında etkileşimli ispat süreci gerçekleştirilmiş ve elde edilen veriler üzerinde söylem çözümlemesi yapılmıştır. Bu bağlamda katılımcıların ispat süreçlerine etki eden 9 farklı söylem biçimi belirlenmiştir. Bu söylem biçimleri "1. Soru sorma, 2. Kavramlar hakkında tanım yapma, 3. Ön bilgi hatırlatma, 4. İspat yöntemi-yaklaşımı önerme, 5. Doğrulayıcı veya yanlışlayıcı bir örnek sunma, 6. Yorum veya açıklama yapma, 7. Çıkarımda bulunma, 8. Duyuşsal deneyimlerin dışa vurumu, 9. Tahminde ya da öngörüde bulunma" olarak kodlanmıştır. Ayrıca, transkripsiyon metni üzerindeki ilişkiden hareketle ispat imajının her bir bileşeni ile bağlantılı olduğu söylem biçimleri belirlenmiştir. Sonuç olarak söylemlerin ve formal bilginin ispat imajının oluşumuna katkıları maddeler halinde sınıflanmış ve ispat imajını içeren ispat uygulamaları için öneriler sunulmuştur.

Abstract:
It can be said that proving activities are an important activity for both mathematicians and mathematics educators. Thus, developing the proving ability is among the aims of many courses in advanced mathematics. However, although the importance of proof is frequently emphasized, studies show that undergraduates have difficulty in this regard. To overcome these difficulties and to make sense of the complex structure of the proof, many theoretical frameworks have been presented. However, it can be said that very few of these frameworks deal with the proving activity from a process perspective. On the other hand, Kidron and Dreyfus (2014), who approaching proof from a knowledge construction perspective and analyzing affective-logical interaction in this process in the micro-analytical level, reached the concept of "proof image" in the context of the Abstraction in Context (AiC) framework. However, despite the elapsed time, it can be seen that the researches on this framework have not reached sufficient numbers. As stated by the authors, it is clear that more research is required to deepen this framework. Because, by making sense of the proof image, which constitutes a significant dimension of the proof process, the multidimensional structure of dynamics of the proof can be clarified, and thus difficulties experienced in this activity can be avoided. In this doctoral study designed with this perspective, it was aimed to deepen the understanding of "proof image" and to shed light on the spots left open in the theoretical framework. Taking into account both the views of Kidron & Dreyfus (2014) and the deficiencies emerged in the practices, the issues of "the relationship between the proof image and the formal proof", "the levels (or types) of the proof image" and "the socio-cultural dimension of the proof image" were examined in this study.
In the study, sophomore pre-service teachers in the primary school mathematics education department were selected by using the criterion sampling method, one of the purposive sampling methods. The reason for the selection of this class level is that the subjects related to Cantorian Set Theory and "infinity" take place at this level. The subject of infinity has been considered to be a suitable context for investigations. Because many studies in the literature indicate that pre-service teachers' understanding of infinity has developed from intuitive to formal just like the proof image. In the study, the case study (for the first two sub-problems) which is one of the qualitative research designs, and discourse analysis (for the third sub-problem) were used together. In addition, individual interview forms developed by Pala (2016) were used as a data collection tool in task-based interviews. On the other hand, while analyzing the data, descriptive analysis was used for the first two questions and, the discourse analysis technique with a socio-cultural interaction perspective was used for the third question.
As a result of the analysis related to the first sub-problem of the study, it was determined that the proof image would not provide a certainty to reach the formal proof. In many tasks, it has been observed that participants cannot make a transition to formal proof even though forming a proof image. Possible reasons for this situation are discussed in detail in the context of subcomponents. On the other hand, some of the prominent reasons for individuals, who formed a proof image, failed to reach the formal proof can be listed as "lack of conceptual knowledge", "frequent use of intuitive assumptions", and "limited perception of the theorem". In the context of the second sub-problem of the study, all these situations that arise between the proof image and the formal proof had been interpreted separately in the context of the role of formal knowledge. Thus, 4 different possibilities were determined for situations that include and do not include the image of proof. It was observed that situations involving a proof image may result in two cases that "result in formal proof" and "result in partial verification". However, it was observed that situations, which do not contain a proof image, may result from either practice such as memorization and repetition that contain only inauthentic connections (Type 1) or insufficient justification (Type 2) that includes logical connections based on personal understanding. Lastly, in the context of the third sub-problem of the study, an interactive proof process was carried out and discourse analysis was made on the obtained data. In this context, 9 different discourse styles that affect the participants' proving processes were determined. These forms of discourse are "1. Questioning, 2. Making a definition of concepts, 3. Reminding the pre-knowledge, 4. Proposing a proving method, 5. Presenting a confirmatory or falsifying example, 6. Making comments or explanations, 7. Making inferences, 8. Expression of affective experiences, 9. Guessing or predicting". Besides, with reference to the relationship on the transcription text, the discourse forms associated with each component of the proof image were determined. Consequently, the contributions of both discourses and formal knowledge to the formation of the proof image were explained and, suggestions for proving applications, which may involve a proof image, were presented.