Genel rosenau rlw denkleminin ağsız çekirdek tabanlı çizgiler metodu ile sayısal çözümü
Numerical solution of the general rosenau equation by meshless 
kernel based method of lines
Yazar: MURAT ARI
Danışman: DOÇ. DR. YILMAZ DERELİ
Anadolu Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2016
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bilim ve mühendisliğin farklı alanlarında ortaya çıkan kısmi diferansiyel denklemlerin çoğu lineer olmayan denklemlerdir. Bu denklemleri çözmek için çeşitli nümerik metotlar kullanılır. Sonlu farklar metodu, sonlu elemanlar metodu ve sonlu hacimler metodu en çok kullanılan nümerik tekniklerdir. Bu metotlar ağa bağlı metotlardır. Bu metotlar ağ oluşturma, konuma bağımlı olma, yavaş yakınsama oranı, kararsızlık ve düşük doğruluk gibi sınırlamalara sahiptirler. Sayısal yöntemlerinin diğer bir sınıfı da ağsız metotlardır. Ağsız metotların ağ tabanlı metotlardan daha yüksek doğruluklu sayısal çözümler üretmesi beklenir. Radyal tabanlı fonksiyonları kullanan ağsız metotlar daha yüksek yakınsaklık oranına sahiptir. Bu metotlar büyük konum adım aralığı kullanarak yüksek doğrulukta nümerik çözümler üretirler.

Bu tezde radyal tabanlı fonksiyonları kullanan ağsız çekirdek tabanlı çizgiler metodu ile lineer olmayan zaman bağımlı Genel Rosenau-RLW denkleminin sayısal çözümü hesaplanır. Bahsedilen metot denkleme uygulandığında bir adi diferansiyel denklem sistemi elde edilir. Böylece elde edilen adi diferansiyel denklem sistemi çok adımlı bir metot olan Adams-Bashforth-Moulton metodu ile çözülür. Metot bazı test problemlerine uygulandı ve literatürdeki diğer sayısal sonuçlarla karşılaştırmalar yapıldı. Metodun performansı L2, L∞ hata normları, enerji ve kütle korunumları hesaplanarak incelendi. Metodun kararlılığı Von Neumann kararlılık analizi ile gösterildi. Sayısal sonuçlar kullanılan yöntemin etkili ve yüksek doğruluklu sonuçlar verdiğini gösterdi. Böylece ağsız çekirdek tabanlı çizgiler metodunun bu tip lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlere uygulanabileceği görüldü.
Anahtar Kelimeler: Çizgiler Metodu, Rosenau-RLW denklemi, Radyal Tabanlı Fonksiyonlar

Abstract:
Most of the partial differential equations are emerged from different areas of science
and engineering are non-linear equations. Several numerical methods are used
to solve these equations. Commonly used numerical techniques are finite differences,
finite elements and finite volume methods. These methods are depend on a mesh.
These mesh dependent methods posses some limitations such as mesh generation,
spatial dependence, slow convergence rate, instability and low accuracy. Another
class of numerical methods are meshfree methods. Meshfree methods are expected
to give superior numerical results than mesh based methods. Meshfree methods
using radial basis functions have higher convergence rate. These methods provide
accurate numerical solution by using large space step sizes.
In this thesis, numerical solution of General Rosenau-RLW equation which is
a nonlinear time dependent partial differential equation is evaluated by meshless
kernel based method of lines using radial basis functions. When the present method
is applied to the equation a system of ordinary differential equations is obtained.
Therefore this obtained system of ordinary differential equations is solved by using
Adams-Bashforth-Moulton method which is a multi-step method. The method
is applied to some test problems and results are compared with other numerical
techniques in literature. Performance of the method is studied by L2 and L∞ error
norms and conservation of mass and energy. Stability of the method is shown by
Von Neumann stability analysis. The numerical results show that using present
method is effective and provides very accurate solutions. Therefore it is seen that
the meshless kernel based method of lines can be applied to these types of non-linear
partial differential equations.
Keywords: Method of lines, Rosenau-RLW equation, Radial Basis Functions