Bazı cebirsel yapılara esnek (soft) yaklaşım
Soft approach to some algebraic structures
Yazar: GÜLAY OĞUZ
Danışman: PROF. DR. İLHAN İÇEN ; DOÇ. DR. MUSTAFA HABİL GÜRSOY
İnönü Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2018
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Çaprazlanmış modüller = Crossed modules

Özet:
Klasik mantığın ¸çozümleyemediği belirsizlik problemlerinin matematiksel olarak modellenmesi için geliştirilen en önemli teorilerden biri soft küme teorisidir. Reel dünyadaki olay ve olguların içerdiği tam ve kesin olmayan kavramlara yeni bir yaklaşım sunan bu teori uzun bir geçmişe sahip olmamasına rağmen bir çok alanda geniş bir ¸çalışma potensiyeline ulaşmıştır. Özellikle matematikteki birçok cebirsel, topolojik ve kategorik yapılara uygulanabilirliği açısından dikkatleri çeken bu teori, büyük bir matematikçi kitlesi tarafından çalışılmaktadır.

Etki, grupoid, grup-grupoid ve çaprazlanmış modül gibi yapılara bir soft yaklaşım sunarak yeni bir kategori denkliğinin elde edilmesini amaçlayan bu tez çalışması beş bölümden oluşmaktadır. İlk bÖlümde, tezdeki bilgi akışının sürekliliğini korumak adına bazı temel tanımlar ve teoremler ifade edilmiştir.

İkinci bölümde ise bir grubun bir küme üzerine etkisi kavramından haraketle bir soft grubun bir soft küme üzerine etkisi tanımlanmış ve temel özellikleri incelenmiştir. Ayrıca, soft etki ile yeni bir kavram olarak tanımlanan soft simetrik grup arasındaki ilişkiyi açıklayan önemli sonuçlar elde edilmiştir. Üçüncü bölümde, grupoid teori ile soft küme teorisine ortak bir zemin kazandıran soft grupoid ve soft grup-grupoid kavramları tanıtılarak bunlara ait bazı özellikler araştırılmıştır. Sırasıyla, SGd ve SGpGd ile gösterilen soft grupoidlerin kategorisi ile soft grup-grupoidlerin kategorisi inşa edilmiştir.

Dördüncü bölümde, önemli bir cebirsel yapı olan çaprazlanmış modüle bir soft yaklaşım sunularak soft çaprazlanmış modül kavramı tanımlanmıştır. Soft çaprazlanmış modüllerin ve onlar arasındaki homomorfizmlerin SCMod kategorisi oluşturulmuştur. Ayrıca, soft grup-grupoidlerin kategorisi ile soft çaprazlanmış modüllerin kategorisinin denkliği  de bu bölümde gösterilmiştir.

Son bölümde ise elde edilen sonuçlar genel çerçevede değerlendirilerek konunun sonraki çalışmalar için literatüre kazanımları ile ilgili öneriler sunulmuştur.

Abstract:
Soft set theory is one of the most important theories developed for mathematical modeling of uncertainty problems which classical logic can not solve. This theory, which presents a new approach to the incomplete and uncertain concepts involved in events and phenomena in the real world, has reached a wide range of working possibilities in many areas, although it has not had a long history. In particular, this theory, which draws attention due to its applicability to many algebraic, topological and categorical structures in mathematics, is being studied by a great numbers of mathematicians.

This thesis, which aims to obtain a new category equivalence by presenting a soft approach to constructions such as action, groupoid, groupgroupoid and crossed module, consists of five chapters. In the first chapter, some basic definitions and theorems are expressed in order to preserve the continuity of the flow of information in the thesis. In the second chapter, the soft action of a soft group on a soft set is defined by using the concept of action of a group on a set and the basic properties are examined. In addition, significant results are obtained that explain the relationship
between the soft action and the soft symmetric group which is defined as a new concept.

In the third chapter, the concepts of soft groupoid and soft group-groupoid, which they give a common ground to groupoid theory and soft set theory, are introduced and some properties of them are investigated. The category of soft group-groupoids and the category of soft groupoids are constructed, which denoted by SGd and SGpGd , respectively.

In the fourth chapter, the concept of soft crossed module is defined by presenting a soft approach to a crossed module which is an important algebraic structure. The category of soft crossed module is established with soft crossed module morphism, indicated by SCMod. Also, it has been shown that the category of soft group-groupoids and the category of soft crossed modules are equivalent.

In the last chapter, the results obtained are evaluated in the general framework and suggestions about the contribution to the literature for the subsequent studies
are discussed.