Çok değişkenli ortogonal polinomlar
Orthogonal polynomials of several variables
Yazar: RABİA AKTAŞ
Danışman: PROF.DR. ABDULLAH ALTIN
Ankara Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2007
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez sekiz bölümden oluşmaktadır.Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır.İkinci bölümde, iki değişkenli ortogonal polinomların temel özellikleri verilmiştir.Üçüncü bölümde, bir aralıkta ortonormal olan polinomlar aracılığıyla, bir bölgedeortonormallik koşulunu sağlayan iki değişkenli polinomlar ele alınmıştır. Ayrıca klasikortogonal polinomların farklı çarpımları yardımıyla ortogonal polinom aileleri eldeedilmiştir.Dördüncü bölümde, iki değişkenli klasik Appell polinomları incelenmiştir.Beşinci bölümde, polinom çözümlere sahip olan kabul edilebilir lineer kısmidiferensiyel denklemlerin genel formu ele alınmış ve ikinci basamaktan böylesidenklemlerin uygun afin dönüşümü altında normal formları elde edilmiştir.Altıncı bölümde, ikinci basamaktan kısmi diferensiyel denklemler için self-adjointlikve potansiyel self-adjointlik koşulları ele alınmıştır. Ayrıca kabul edilebilir vepotansiyel self-adjoint denklemler için ağırlık fonksiyonları ve ortogonallik bölgelerielde edilmiş ve Rodrigues formülleri verilmiştir.Yedinci bölümde, çok değişkenli polinomları çözüm kabul eden ikinci basamaktankabul edilebilir kısmi diferensiyel denklemlerin genel formu elde edilip, böylesidenklemlere potansiyel self-adjointlik koşulu uygulanarak ağırlık fonksiyonlarıbulunmuştur. Ayrıca bu denklemlere ilişkin polinom çözümlerin ortogonallik koşuluincelenip, çok değişkenli ortogonal polinomların bazı örnekleri ele alınmıştır.Son bölümde ise Laplace denklemini sağlayan harmonik polinomlar hakkında bilgiverilmiş ve çok değişkenli harmonik polinomların ortogonalliği üzerinde durulmuştur.Anahtar Kelimeler: İki değişkenli ortogonal polinom, Kabul edilebilir kısmidiferensiyel denklem, Potansiyel self-adjoint denklem, Çok değişkenli ortogonalpolinom, Harmonik polinom.

Abstract:
This thesis consists of eight chapters.The first chapter is devoted to the introduction.The second chapter deals with general properties of orthogonal polynomials in twovariables.In the third chapter, orthonormal polynomials in two variables over a domain havebeen examined with the help of orthonormal polynomials on an interval. Also,orthogonal polynomial families have been obtained by means of different products ofclassical orthogonal polynomials.In the fourth chapter, clasic Appell polynomials in two variables have been studied.In the fifth chapter, admissible differential equations in the general form which havepolynomial solutions have been examined and for such differential equations of thesecond order, the normal forms have been given with the help of appropriate afinetransformations.The sixth chapter deals with the conditions of the self-adjointness and potential selfadjointnessof the partial differential equations of the second order. Moreover, in thissection the domains of the orthogonality and weight functions for admissible andpotentially self-adjoint equations have been found and for such differential equations,Rodrigues formulas have been given.In the seventh chapter, admissible partial differential equations of the second order inthe general form which have polynomial solutions of several variables have beenobtained and by applying the conditions of the potential self-adjointness, weightfunctions have been found. Furthermore, orthogonality conditions for the polynomialsolutions which satisfy such differential equations have been examined and someexamples of orthogonal polynomials of several variables have been given.The last chapter gives some information about harmonic polynomials that satisfyLaplace equation and examines the orthogonality of harmonic polynomials of severalvariables.Key Words: Orthogonal polynomial in two variables, Admissible partial differentialequation, Potentially self-adjoint equation, Orthogonal polynomial of several variables,Harmonic polynomial.