Parabolik tipten bazı denklemlerin çözümlerinin patlaması
Blow-up of solutions of some parabolic equations
Yazar: SABAHAT GÜNEŞ AYGÜN
Danışman: PROF. DR. ERHAN PİŞKİN
Dicle Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezin ilk bölümünde, diferansiyel denklemler genel hatlarıyla ele alınmıştır. Öncelikle, adi diferansiyel denklemler ve kısmi diferansiyel denklemler hakkında temel bilgiler verilmiş, ardından kısmi türevli denklemler arasında yer alan parabolik ve hiperbolik denklemlerin özel olarak evolüsyon denklemi olduğu vurgulanmıştır. Bu denklemlerin çeşitli bilim dallarında nasıl analiz edildiği ve matematiksel modellerinin nasıl oluşturulduğu üzerinde durulmuştur. Diferansiyel denklemlerin patlaması ile ilgili bir adi diferansiyel denklem ve bir kısmi diferansiyel denklem örneği verilmiştir. Tezin ikinci bölümünde, çalıştığımız tipten parabolik denklemler ve bunlar ile ilgili literatürde yapılmış çalışmalara yer verilmiştir. Tezin ana amacı olarak, viskoelastik Kirchhoff denklem sistemi ile parabolik tipten m-Laplasyan ve Kirchhoff terimli denklemlerin çözümünün patlamasının araştırması ifade edilmiştir. Son yıllarda yapılan çalışmalar, tarihi gelişimi ile verilmiştir. Üçüncü bölümde, tezin temelini oluşturan bazı uzaylar, tanımlar ve eşitsizlikler sunulmuştur. İlk kısımda, diferansiyel denklemler hakkında genel bilgiler verilmiş; adi diferansiyel denklemler ve kısmi diferansiyel denklemlerin tanımları, elde ediliş yöntemleri ve çözüm teknikleri anlatılmıştır. İkinci kısımda, Lebesgue uzayı tanımlanmış ve bu uzayın özellikleri açıklanmıştır. Üçüncü kısımda ise, Sobolev uzayı ve Sobolev gömülme teoremi hakkında bilgi verilmiştir. Dördüncü kısımda, Cauchy eşitsizliği, Young eşitsizliği, Minkowski eşitsizliği, Green özdeşliği gibi tezin temelini oluşturan diğer eşitsizlikler ifade edilmiştir. Dördüncü bölüm, tezin özgün araştırma kısmıdır. Bu bölümde, viskoelastik Kirchhoff denklem sistemi ve parabolik tipten m-Laplasyan ve Kirchhoff terimli denklem üzerinde çalışılmıştır. Denklemlerin çözümünde kullanılan teorem ve lemmalar ifade edilmiş, viskoelastik Kirchhoff denklem sistemi ile m-Laplasyan ve Kirchhoff terimli denklemlerin çözümlerinin patlaması, tezde yer alan teorem ve lemmalar kullanılarak ispatlanmıştır. Beşinci bölümde ise, çalışmanın sonuçları ve gelecekte yapılacak araştırmalar için öneriler sunulmuştur.

Abstract:
In the first section of this thesis, differential equations are discussed in general terms. Initially, basic information about ordinary differential equations and partial differential equations is provided, followed by an emphasis on parabolic and hyperbolic equations among partial differential equations, highlighting their role as evolution equations. The analysis of these equations in various scientific fields and the development of their mathematical models are discussed in detail. Examples of an ordinary differential equation and a partial differential equation related to the phenomenon of blow-up in differential equations are presented. In the second section of the thesis, parabolic equations of the type studied and related works in the literature are reviewed. The main objective of the thesis is stated as investigating the blow-up solutions of the viscoelastic Kirchhoff equation system and m-Laplacian equations with Kirchhoff terms of parabolic type. Recent studies, along with their historical development, are provided. In the third section, some fundamental spaces, definitions, and inequalities that form the basis of the thesis are presented. The first part provides general information about differential equations, including the definitions, derivation methods, and solution techniques for ordinary differential equations and partial differential equations. The second part defines the Lebesgue space and explains its properties. The third part provides information about the Sobolev space and the Sobolev embedding theorem. The fourth part discusses other fundamental inequalities such as the Cauchy inequality, Young's inequality, Minkowski inequality, and Green's identity The fourth section is the original research part of the thesis. In this section, the viscoelastic Kirchhoff equation system and the parabolic type m-Laplacian and Kirchhoff term equations are studied. The theorems and lemmas used in solving these equations are stated, and the blow-up of the solutions of the viscoelastic Kirchhoff equation system and the m-Laplacian and Kirchhoff term equations is proven using the theorems and lemmas presented in the thesis. In the fifth section, the results of the study and recommendations for future research are presented.