Kafeslerde tümleyenler
Supplements in lattices
Yazar: SULTAN EYLEM TOKSOY
Danışman: PROF. DR. GÜLHAN ASLIM ; PROF. DR. RAFAİL ALİZADE
Ege Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Bölümü / Matematik Ana Bilim Dalı / Topoloji Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2008
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezde temel olarak tümlenmiş, zayıf tümlenmiş, bol tümlenmiş, eşsonlu tümlenmiş, eşsonlu zayıf tümlenmiş ve bol eşsonlu tümlenmiş modüller hakkında bilinen sonuçların kafes teorisine genelleştirilmesi üzerine çalışılması amaçlanmıştır. L, en büyük elemanı 1 en küçük elemanı 0 olan tam modüler bir kafes olsun. Bir modülün herhangi bir küçük alt modülünün bir modül homomorfizması altındaki görüntüsü de küçük alt modüldür. Bu özellik kafeslerde her zaman doğru değildir. Bir modülün alt modülleri kafesi pseudo-bütünlenmiştir. Bu özellik her kafes için sağlanmak zorunda değildir. 1/a ve a/0 bölüm alt kafesleri zayıf tümlenmiştir ve a'nın L'de bir zayıf tümleyeni varsa L kafesi de zayıf tümlenmiştir. L kafesinin bol tümlenmiş olması için gerek ve yeter ko¸sulzayıf tümlenmi¸s olması ve L'nin her elemanının L'de bir eşkapanışının var olmasıdır. L kafesinin eşsonlu tümlenmiş (zayıf tümlenmiş) olması için gerek ve yeter koşul her maksimal elemanının L'de bir tümleyeninin (zayıf tümleyeninin) olmasıdır. Sonlu sayıda eşsonlu tümlenmiş (zayıf tümlenmiş) kafeslerin supremumu da eşsonlu tümlenmiştir (zayıf tümlenmiştir). a/0, L'nin eşsonlu tümlenmiş (zayıf tümlenmiş) bir alt kafesi ve 1/a'da hiç maksimal eleman yok ise L kafesi de eşsonlu tümlenmiştir (zayıf tümlenmiştir). Kompakt üretilmiş kafeslerde eşsonlu elemanların zayıf tümleyenleri kompakt elemanlar olarak kabul edilebilir. Bu özellik kompakt üretilmiş olmayan kafesler için doğru değildir. L kafesinin bol eşsonlu tümlenmiş olması için gerek ve yeter koşul her maksimal elemanının L'de bol tümleyenlerinin olmasıdır. Kompakt bir L kafesinin bol tümlenmiş olması için gerek ve yeter koşul her maksimal elemanının L'de bol tümleyenlerinin olmasıdır.Anahtar Sözcükler: Tümlenmiş, zayıf tümlenmiş, bol tümlenmiş, eşsonlu eleman, eşkapanış, eşsonlu tümlenmiş, eşsonlu zayıf tümlenmiş, bol eşsonlu tümlenmiş, kompakt üretilmiş, kompakt.

Abstract:
The main purpose of this thesis is to generalize some known results about supplemented, weakly supplemented, amply supplemented, cofinitely supplemented, cofinitely weak supplemented and amply cofinitely supplemented modules to lattices. Let L be a complete modular lattice with smallest element 0 and greatest element 1. A homomorphic image of a small element under a lattice homomor- fism need not be small unlike the module case. It is well known that the lattice of submodules of every module is pseudo-complemented. This fact need not be true in an arbitrary lattice. If 1/a and a/0 are weakly supplemented and a has a weak supplement in L, then L is also weakly supplemented. L is amply supplemented if and only if it is weakly supplemented and every element of L has a coclosure in L. L is a cofinitely (respectively weak) supplemented lattices if and only if every maximal element of L has a supplement (respectively weak supplement) in L. A finite join of cofinitely supplemented respectively weak supplemented) lattice is cofinitely supplemented respectively weak supplemented). If a/0 is a cofinitely supplemented (respectively cofinitely weak supplemented) sublattice of L and 1/a has no maximal element, then L is also a cofinitely supplemented (respectively cofinitely weak supplemented) lattice. For compactly generated lattices, without loss of generality, weak supplements of cofinite elements can be regarded as compact elements. This property need not be true for lattices that are not compactly generated. L is amply cofinitely supplemented if and only if every maximal element of L has ample supplements in L. A compact lattice L is amply supplemented if and only if every maximal element has ample supplements in L.Key Words: Supplemented, weakly supplemented, amply supplemented, cofinite element, coclosure, cofinitely supplemented, cofinitely weak supplemented, amply cofinitely supplemented, compactly generated, compact.