Lineer karma modellerde kalın kuyruklu dağılımlara dayalı parametre tahminleri
Parameter estimations in linear mixed models with heavy tailed distributions
Yazar: FULYA GÖKALP YAVUZ
Danışman: YRD. DOÇ. DR. DOĞAN YILDIZ ; PROF. DR. OLCAY ARSLAN
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / İstatistik Ana Bilim Dalı / İstatistik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2015
Konu: İstatistik = Statistics

Özet:
Lineer karma modeller (LMMs), gözlem içi ve gözlemler arası değişkenliği, dengeli olmayan veri setleri için bile açıklayabilen, geniş kapsamlı bir modelleme tekniğidir. Boylamsal, panel, kümelenmiş veri yapılarında, deneysel tasarımlarda mevcut olan rassal bloklarda; lineer formun yanısıra, genelleştirilmiş lineer ve lineer-olmayan durumlar için de kullanılabilmektedir. LMM'nin temel varsayımı normal dağılımlı rassal etkiler ve hata terimlerine sahip olmasıdır. Ancak aykırı gözlemlerin varlığı veya veri yapısının kalın kuyruklu olması gibi durumlarda, (çok değişkenli) normalden daha kalın kuyruklu dağılımlara ihtiyaç duyulmaktadır. Bu çalışmada, normal dağılımın kalın kuyruklu bir alternatifi olan (çok değişkenli) Laplace dağılımı ele alınmıştır. Bu dağılımın normalin ölçek karması formatında yazılabiliyor olması, LMM'yi hiyerarşik formda tanımlayabilme avantajı sağlamaktadır. Ayrıca Laplace dağılımı, LMM'de kullanılmış kalın kuyruklu bir dağılım olan t-dağılımdan daha az parametre içermekte ve bu durum çıkarımları t-dağılımına dayalı tahmin çıkarımlarından daha kolay hale getirmektedir. Yalnızca rassal etkilerin ve hem rassal etkilerin hem de hata terimlerinin Laplace dağıldığı varsayımları için önerilen bu yeni model tanımlarında, ilgilenilen parametre tahminleri EM algoritması yardımıyla iki farklı durum için elde edilmiştir. Laplace dağılımlı LMM'nin performans değerlendirmesi için, kontaminasyon ve aykırı gözlem olması durumunda veri setleri üretilerek, simülasyon çalışması gerçekleştirilmiştir. Ayrıca, gerçek bir veri seti üzerinde LMM modeli ayrıntılandırılarak; önerilen tahmin edicilerin davranışları incelenmiştir.

Abstract:
Linear Mixed Models (LMMs) gain its popularity being a comprehensive technique to explain within and between observations variability even for unbalanced data. It's used for clustered, panel, longitudinal data and random blocks in experimental designs with generalized linear and nonlinear forms in addition to linear forms. The main assumption of classical LMM is having normally distributed random effects and error terms. However, there are several situations for that we need to use heavier tails distributions than the (multivariate) normal to handle outliers and/or heavy tailness in data.  In this study, we focus on LMM using the multivariate Laplace distribution which is known as the heavy tailed alternative to the normal distribution. Being able to write Laplace distribution as a scale mixture of normal distribution allows us to define the proposed model as hierarchical form of the proposed model. Additionally, the number of parameters of Laplace distribution is less than t-distribution that makes the estimation procedures simpler than the estimations based on the latter one. The parameter estimators of interest are generated with EM algorithm for LMM with Laplace distributed random effects and errror terms and also with only Laplace distributed random effects. A simulation study is provided to illustrate the performance of the Laplace distribution over the normal distribution for LMM. Data sets are generated under the contamination and with outliers. Also, a real data example is used to explore the behavior of the proposed estimators over the counterparts.