Süreksiz etkili diferansiyel denklemlerin çözümlerinin nitel analizi
Qualitative analysis of solutions of differential equations with discontinuous effects
Yazar: NUR CENGİZ
Danışman: DOÇ. DR. DUYGU ARUĞASLAN ÇİNÇİN
Süleyman Demirel Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2021
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezin temel amacı, fizik, mühendislik ve ekonomi gibi alanlarda karşılaşılan bazı gerçek süreçlerin genelleştirilmiş parçalı sabit argüman, genelleştirilmiş parçalı sabit argümana fonksiyonel bağlılık, impals gibi süreksiz etkilerle modellenmesi ve çözümlerinin varlık-teklik, kararlılık, periyodiklik gibi nitel özelliklerinin incelenmesidir. Bu incelemelerin sunuluş şekli aşağıda verilmektedir. 

Giriş Bölümü'nde, analizlerin amacı ve kapsamı belirtilerek tezin genel hatları açıklanmaktadır.  

Kaynak Özetleri Bölümü, tezde dikkate alınan konulara ve olgulara ilişkin tarihsel bir arka plan sunmaktadır.

Üçüncü, dördüncü ve beşinci bölümlerde, tezin temel araştırma konusu için dikkate alınan literatür bilgileri verilmektedir. Süreksiz etkili diferansiyel denklemlerin teorisine ilişkin bilgiler, üçüncü bölümde yer almaktadır. Dördüncü bölüm, tezde kullanılan nitel teorilere ilişkin literatürde mevcut bazı sonuçlarla ilgilenmektedir. Tezde ele alınan gerçek problemlerin modellenme, tanımlanma süreçleri beşinci bölümde açıklanmaktadır. 

Ardından, tez kapsamında gerçekleştirilen tüm analiz sonuçları altıncı bölüm olan Araştırma Bulguları Bölümü'nde verilmektedir. Bölüm 6.1, sönüm kuvvetinin ve dışarıdan sisteme etkiyen kuvvetlerin ihmal edilmediği mekanik bir sistemin genelleştirilmiş parçalı sabit argüman ile modellenmesini ve böylece düzgün asimptotik kararlı çözümün varlığını garanti eden yeter koşullara dair analizi konu almaktadır. Bu anlamda, Lyapunov-Razumikhin ve Lyapunov-Krasovskii metotları ışığında ulaşılan sonuçlar ilgili bölümde aktarılmaktadır. Bölüm 6.2 ve 6.3, 6.4, sırasıyla, Liénard türü bir denklem ve üçüncü mertebeden diferansiyel denklem sistemlerinin düzgün asimptotik kararlılıkları üzerine teorik sonuçları içermektedir. Bu sonuçlara, Lyapunov-Razumikhin veya Lyapunov-Krasovskii metotları yardımıyla ulaşılmıştır. Ayrıca, bu sistemlerin çözümlerinin varlığı ve tekliği için yeter koşullar verilmiştir. Sonra, genelleştirilmiş parçalı sabit argümana fonksiyonel bağımlı yinelemeli bir sinir ağının kararlılık, sınırlılık, periyodiklik araştırmalarına ilişkin sonuçlar Bölüm 6.5'te yer almaktadır. Bu bölümde kullanılan yöntemler, integral denklemlere dayanan bir yaklaşıma ve Green fonksiyonlarının inşasına karşılık gelmektedir. Bir sonraki bölümde, doğrusal olmayan, otonom olmayan, genelleştirilmiş parçalı sabit argümanlı, impalsif, yinelemeli bir sinir ağı modelinin kararlı, periyodik çözümlerini garanti eden koşullar araştırılmaktadır. Bu bölümdeki araştırmalar bir önceki bölümde kullanılan metotlar ile yürütülmüştür. Ancak bu iki bölümde sistemlerin ele alınış şekilleri ve bu metotların uygulanışı, farklı argümanlar ve farklı bakış açıları ile sonuçların sunulmasına ve böylece farklı zenginlikler ile koşulların vurgulanmasına sebep olmuştur. Son bölümde, süreksiz etkiler ile kurulan Huang-Li kaotik finansal modelinin dinamik özellikleri analiz edilmiştir. Bu analiz, sistemin aşikâr çözümünün ve periyodik çözümünün global üstel kararlılıkları hakkında bilgi vermektedir. Tüm bu araştırmalar, ayrık denklemler kullanılmaksızın gerçekleştirilmiştir. Analizler sonucunda modellerin parametrelerine bağlı teorik bulgulara ulaşılmıştır. Elde edilen bulgular, örnekler ve nümerik simülasyonlar ile desteklenmiştir.

Son olarak, Tartışma ve Sonuçlar Bölümü'nde, tez çalışmasında gerçekleştirilen çalışmaların özgünlüğü, literatüre sağladıkları katkılar ve bilim dünyasına kazandırdıkları yenilikler açıklanmıştır. Bu katkılar ve yenilikler literatürde mevcut bilgilerle kıyaslanmıştır.

Abstract:
The main purpose of this thesis is to model some real processes encountered in fields such as physics, engineering and economics with discontinuous effects such as piecewise constant argument of generalized type, functional dependence on piecewise constant argument of generalized type, impulse, and to examine the qualitative properties of their solutions such as existence-uniqueness, stability, periodicity. The presentation of these examinations is given below.

In the Introduction Section, the general lines of the thesis are explained by specifying the purpose and scope of the analysis.

The Summary of References Section provides a historical background regarding the issues and the facts considered in the thesis.

In the third, fourth and fifth chapters, the literature information considered for the main research topic of the thesis is given. Information on the theory of differential equations with discontinuous effects takes part in the third chapter. The fourth chapter deals with some of the results available in the literature concerning the qualitative theories used in the thesis. Modeling and identification processes of the real problems considered in the thesis are explained in the fifth chapter.

Then, all analysis results performed within the scope of the thesis are given in the Research Findings Section which is the sixth section. Section 6.1 deals with the modeling of a mechanical system with piecewise constant argument of generalized type in which the damping force and external forces acting on the system are not neglected, and then an analysis of sufficient conditions that guarantee the existence of uniformly asymptotically stable solution. In this sense, the results obtained in the light of Lyapunov-Razumikhin and Lyapunov-Krasovskii methods are presented in the relevant section. Chapter 6.2 and Chapter 6.3, 6.4 contain theoretical results on the uniform asymptotic stability of systems of a Liénard type equation and of third order differential equations, respectively. These results are reached with the help of Lyapunov-Razumikhin or Lyapunov-Krasovskii methods. In addition, sufficient conditions for the existence and uniqueness of the solutions of these systems are given. Then, results concerning the stability, boundedness, periodicity investigations of a recurrent neural network with functional dependence on piecewise constant argument of generalized type take part in Section 6.5. The methods used in this section correspond to an approach based on integral equations and the construction of Green functions. In the next section, conditions that guarantee stable, periodic solutions of a nonlinear, non-autonomous, impulsive recurrent neural network model with generalized piecewise constant argument are investigated. The research in this section has been carried out with the methods used in the previous section. However, the ways in which the systems in these two sections are handled and the application of these methods have led to the presentation of results with different arguments and different perspectives, and thus to emphasize the conditions by different productiveness. In the last section, dynamical properties of Huang-Li chaotic financial model established with discontinuous effects are analyzed. This analysis gives information about the global exponential stability of the trivial solution and the periodic solution of the system. All these investigations were carried out without using discrete equations. As a result of the analyses, theoretical findings related to the parameters of the models were reached. The obtained findings were supported by examples and numerical simulations.

Finally, in the Discussion and Results Section, the originality of the studies carried out in the thesis, their contributions to the literature and the innovations they have brought to the world of science are explained. These contributions and innovations have been compared with the available information in the literature.