Segment Lemma ve uygulamaları
Segment Lemma and its applications
Yazar: SAYED ABDUL HANNAN SADAT
Danışman: PROF. DR. VAKIF CAFER
Anadolu Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2019
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez çalışmasında segment lemma ve uygulamaları (segment polinomlarının kararlılğı), ele alınmıştır. İki kararlı polinomları birleştiren polinom segmentlerinin kararlılık problemi birçok uygulamaya sahiptir. Kenar Teoremine göre (The Edge Theorem), bir polinomlar politopunun kararlı olması için gerekli ve yeterli koşul politopun uç noktalarını birleştiren polinom segmentlerinin kararlı olmasıdır. Bu polinom segmentlerinden kararlılık sınırında köke sahip olan bir kenar, segment lemma ile belirlenir. Hurwitz segment lemma ile gerçel ve kompleks katsayılı polinomlar aileleri incelenmiştir. Schur segment lemmalar ele alınmış ve örneklerle açıklanmıştır. İki kararlı monik polinomun konveks kombinasyonlarının kararlılıkları Hurwitz matrisi yardımıyla incelenmiştir. Gerçel ve kompleks katsayılı kararlı polinomlar ailesine Sturm dizisi uygulanmış, kompleks katsayılı kararlı polinomlar için bir algoritma verilmiştir. Möbius dönüşümü ele alınmış, bu dönüşümün yardımıyla \left[p_1\left(z\right),p_2\left(z\right)\right] Schur kararlı polinom segmenti, \left[{\widetilde{p}}_1\left(z\right),{\widetilde{p}}_2\left(z\right)\right] Hurwitz kararlı polinom segmentine dönüştürülmüştür. Sektör kararlılıkta  gerçel katsayılı polinomlar z=se^{\pmj(\frac{\pi}{2}-\phi)} dönüşümüyle kompleks katsayılı polinomlarla değiştirilmiştir. Gürbüz kararlı polinomlar politopları inşa edilmiştir.

Anahtar Kelimeler: Polinomlar politopu, Hurwitz ve Schur segment lemma, Konveks kombinasyon, Möbius dönüşümü, Sektör kararlılık

Abstract:
In this thesis, segment lemma and its applications (stability of segment polynomials) are discussed. The stability problem of polynomial segments connecting two stable polynomials has many applications. According to the Edge Theorem, the necessary and sufficient condition for a polynomial polytope to be stable is that the polynomial segments joining the extreme points of the polytope are stable. From these polynomial segments, an edge having a root at the stability boundary is determined by the segment lemma. The families of real and complex coefficient polynomials were examined by Hurwitz segment lemma. Schur segment lemmas are discussed and illustrated by examples. The stability of convex combinations of two stable monic polynomials with the help of Hurwitz matrix is investigated. Sturm sequence is used for the family of real and complex coefficient stable polynomials and an algorithm for stability of polynomials with complex coefficients is given. The Möbius transformation is discussed, with the help of this transformation Schur stable polynomial segment \left[p_1\left(z\right),p_2\left(z\right)\right] is transformed into Hurwitz stable polynomial segment \left[{\widetilde{p}}_1\left(z\right),{\widetilde{p}}_2\left(z\right)\right]. The polynomials with real coefficients in the sector stability problem have been reduced to complex coefficient polynomials by the transformation z=se^{\pmj(\frac{\pi}{2}-\phi)}. Robust stable polynomial polytopes are constructed.

Keywords: Polynomial Polytope, Hurwitz and Schur Segment Lemma, Convex Combination, Möbius Transformation, Sector Stability