Tek değişkenli disoriented polinomları üzerine
On single variable disoriented knot polynomials
Yazar: RABİA SARAÇOĞLU
Danışman: DOÇ. DR. MAHPEYKER ÖZTÜRK ; DOÇ. DR. İSMET ALTINTAŞ
Sakarya Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Topoloji Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2020
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezde, yönlendirilmiş düğüm ve halka diyagramlarının bir genelleştirmesi olan disoriented düğüm teorisi üzerine çalışılmıştır. Disoriented düğüm, Altıntaş tarafından ortaya atılan yeni bir kavramdır. Bu tezde Altıntaş'ın çalışması [1] takip edilerek, disoriented düğüm, disoriented halka ve disoriented kavşak kavramları tanıtılarak aşağıdaki çalışmalar yapılmıştır.
1.Disoriented diyagramlar için invaryant  ve klasik yönlendirilmiş düğümler için Reidemeister hareketlerin bir genişletmesi olan diyagramatik hareketler verimiştir. Bu hareketler bütün disoriented invaryantlarını ortaya çıkarmada temel yöntem olarak kullanılamaktadır. Herhangi bir kavramın bir disoriented düğüm ve halka invaryantı olduğunu ispatlamak için bu kavramın disoriented diyagramlar için genişletilmiş Reidemeister hareketleri altındaki davranışları incelenmiştir.
2.Disoriented halkalar için halkalanma sayısı tanımlanmış ve halkalanma sayısının disoriented halkanın bir invaryantı olduğunun ispatı verilmiştir. Klasik halkalanma sayısının bu yeni halkalanma sayısının bir özel durumu olduğu görülmüştür. Böylece disoriented düğüm ve halkalar için bir sayısal invaryant elde edilmiş ve bu sonuç doğrultusunda açıklayıcı örnekler ele alınmıştır.
3.Disoriented düğüm ve halkalar için bir sayısal değer olan tam burulma kavramı tanımlanmış ve tam burulmanın disoriented düğümler için regüler izotopinin bir invaryantı olduğu ispatlanmıştır. Tam burulma her ne kadar disoriented düğümün kuşatan izotopi invaryantı olmasa da bir düğümün bütün disoriented diyagramlarının tam burulma sayılarının eşit olduğu gösterilmiştir.
4.Disoriented düğüm ve halkalar için parantez polinomu, Jones Polinomu gibi tek değişkenli polinom invaryantları, yönlendirilmiş düğümler için kullanılan modellerle tanımlanmıştır. Disoriented düğümler için polinom invaryantı olan ve tam Jones polinomu adı verilen yeni bir polinom, tam burulma kavramı kullanılarak tanımlanmış ve bu yeni polinomun disoriented düğümlerin bir invaryantı olduğu ispatlanmıştır. Ayrıca, bazı az kavşaklı düğümlerin polinomları hesaplanmıştır.

Abstract:
In this thesis, it was studied on oriented knot theory. Directed knot is a new concept introduced by Altıntaş. In this thesis, pursuing the work of Altıntaş [1], by introducing the concepts of disoriented knot, disoriented link and disoriented crossing, the following studies are executed.
1.Reidemeister movements for classic oriented knots which are invariant for disoriented diagrams diagrammatic movements with an extension are given. These movements are used as the basic method to reveal all disoriented invariants. In order to prove that any concept is a disoriented knot and link invariance, the behaviors of this concept under extended Reidemeister movements for disoriented diagrams are examined.
2.Linking number is defined for disoriented links and it is proved that the number of linking is an invariant of the disoriented link. It has been observed that the number of classic linking is a special case of this new linking number. Thus, a numerical invariant is obtained for disoriented knots and links, and explanatory examples are discussed in line with this result.
3.The concept of complete writhe, a numerical value for disoriented knots and links, has been defined and proved to be an invariant of regular isotopy for disoriented knots and links. Although complete writhe is not the encompassing isotopy invariant of the disoriented knot, it is shown that the full torsion numbers of all disoriented diagrams of a knot are equal.
4.Univariate polynomial invariants such as the bracket polynomials, the Jones Polynomials for disoriented knots and links are defined by models used for oriented knots. A new polynomial called the full Jones polynomial, which is a polynomial invariant for disoriented knots, has been identified using the concept of complete writhe, and this new polynomial has been proven to be an invariance of disoriented knots. In addition, polynomials of some low crossing knots are calculated.