Dual uzay üzerinde iç çarpım yapıları ve E.Study dönüşümü
Inner product structures on the dual space and E.Study maps
Yazar: MAİDE KOLAY
Danışman: PROF. DR. SALİM YÜCE
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu çalışmada 4 bölüm yer almaktadır. İlk bölümde literatür özeti, tezin amacı ve bulgulara yer verilmiştir. İkinci bölümde, literatürde var olan dual sayılar kümesi, dual sayılar kümesi üzerindeki cebirsel yapılar, iç çarpım, kutupsal gösterim, mutlak değer ve dual sayılarda sıralama yapıları incelenmiştir. Üçüncü bölümde, Dual uzay ve Dual Lorentz uzay tanımlanmış olup üzerinde tanımlı temel işlemlerle beraber cebirsel yapıları incelenmiştir. Bu uzaylar üzerinde literatürde var olan iç çarpım ve norm kavramları verilmiştir. Ayrıca literatürde var olan Dual uzay ve Dual Lorentz uzayı üzerinde tanımlı iç çarpım yapılarıyla birlikte E.Study dönüşümleri verilmiştir. Bu çalışmalarda, E.Study dönüşümleri sonucunda Dual birim küre üzerindeki bir noktanın R^3 uzayındaki yönlü bir doğruya; Dual Lorentz birim küre üzerindeki bir noktanın R^3_1 uzayındaki spacelike doğruya, Dual Hiperbolik birim küre üzerindeki bir noktanın R^3_1 uzayındaki
timelike doğruya ve light koni üzerindeki bir noktanın R^3_1 uzayındaki null dogruya karşılık geldiği elde edilmiştir. Bu çalışmalarda, bahsi geçen doğruların doğrultman vektörleri ve spacelike doğrunun vektörel momentinin sadece timelike olma durumu incelenmiştir. Fakat vektörel momentin spacelike veya null olma durumları yer almadığından bu çalışmada incelenmiştir. Ayrıca timelike ve null doğruların vektörel momentleri de literatürde yer almadığından bu çalışma ile birlikte literatüre kazandırılmıştır. Dördüncü bölümde, D^n dual uzayının R cismi üzerinde yeni bir iç çarpım fonksiyonu tanımlanmıştır. Bu iç çarpım fonksiyonu ile D^n uzayına 'Dual Reel İç Çarpım Uzayı' adı verilmiştir. D^n dual uzayının D-Modül üzerinde yeni bir iç çarpım fonksiyonu tanımlanmıştır. Bu iç çarpım fonksiyonu ile D^n uzayına ise 'Dual Eşlenik İç
Çarpım Uzayı' adı verilmiştir. Galile iç çarpımına benzer olarak D^n uzayı üzerinde bir iç çarpım fonksiyonu tanımlanmış ve bu iç çarpım fonksiyonu ile beraber D^n uzayına 'Dual Galile İç Çarpım Uzayı' adı verilmiştir. E.Study dönüşümlerinin bu bölümde tanımlanan iç çarpım uzayları için varlığı araştırılmıştır.

Abstract:
This study consists of 4 chapters. In the first chapter, literature review, the aim of the thesis and the results are given. In the second chapter, the set of dual numbers and its algebraic structures, inner product, polar representation, absolute value and order in dual numbers are studied. In the third chapter, Dual space and Dual Lorentz space are defined and their algebraic structures are examined with respect to basic operations over them. For these spaces, the concepts of inner product and norm are given. In addition, the E.Study maps with inner product structures defined on Dual space and Dual Lorentz space are given. According to the literature, in these studies, as a result of E.Study maps, it is obtained that, the trajectory of a point on the Dual unit sphere corresponds to a directed line in R^3, the trajectory of a point on the Dual Lorentz unit sphere corresponds to a spacelike line in R^3_1, the trajectory of a point on the Dual hyperbolic unit sphere corresponds to a timelike line in R^3_1, the trajectory of a point on the light cone corresponds to a null line in R^3_1. In these studies, direction vectors of the mentioned lines and the vector moment of the spacelike line are only timelike. However, since the vector moment is not spacelike or null, it is investigated in this study. Since the vector moments of the timelike and null lines are not included in the literature, this study brought them to the literature. In the fourth chapter, a new inner product function is defined on the dual space D^n over the field R. With this inner product function, the space D^n is called 'Dual Real Inner Product Space'. A new inner product function is defined on the D-module of the dual space D^n. The space D^n with this inner product function is called 'Dual Conjugate Inner Product Space'. Similar to the Galilean dot product, an inner product function is defined on dual space D^n and the dual space with this dot product is called a 'Dual Galilean Space'. Since this space is an inner product space, it is also called 'Dual Galilean Inner Product Space'. The existence of E.Study maps is examined for the inner product spaces defined in this section.