Kısıtlı optimizasyon problemlerinin çözümü için düzgünleştirilmiş ceza algoritması
Smoothed penalty algorithm for solving constrained optimization problems
Yazar: HATİCE ÖĞÜT
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ NURULLAH YILMAZ
Süleyman Demirel Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Yaşanan teknolojik gelişmelerle birlikte kaynakların verimli bir şekilde kullanılması amacı optimizasyon sürecinin önemini artırmıştır. Özellikle mühendislik, temel bilimler ve sağlık bilimlerinde ortaya çıkan gerçek hayat problemleri farklı tip ve yapıdaki optimizasyon problemlerine dönüşmektedir. Kısıtlı optimizasyon problemleri hemen her alanda karşılık bulan temel problemlerden biridir. Bu problemin çözümü için literatürde yer alan birçok metot vardır. Ceza fonksiyonu yaklaşımı bu metotların en popüler olanlarından biridir. Ceza fonksiyonu yaklaşımı kısıtlı optimizasyon problemini belirli özelliklere sahip fonksiyonlar yardımı ile bir dizi kısıtsız optimizasyon problemine dönüştürür. Bu yaklaşım yapılarına göre kendi içerisinde ayrı alt sınıflara ayrılmıştır. Bu sınıflardan biri olan tam ceza fonksiyonu yaklaşımı doğrusal olmayan programlama problemlerini çözmek için etkili araçlardan biridir. 

Bu tez çalışmasında, ilk olarak tamlık özelliğini taşıyan yeni bir tam ceza fonksiyonu sınıfı tanımlanmıştır. Bu ceza fonksiyon sınıfı literatürde tam ceza olarak tanıtılan diğer ceza fonksiyonlarını bünyesinde barındırmaktadır. Ceza fonksiyonları tamlık özelliği kazandığı takdirde elde edilen kısıtsız optimizasyon problemi türevlenebilirliğini kaybetmektedir. İkinci olarak, optimizasyon sürecinde oluşan bu alt problemi çözmek için  yeni bir düzgünleştirme tekniği ailesi tanıtılmıştır. Yeni düzgünleştirme tekniği sayesinde ceza fonksiyonunda tamlık özelliği korunurken türevlenebilirlik özelliği de elde edilmiş olur. Ayrıca bu düzgünleştirme tekniği literatürde var olan tam ceza fonksiyonları için uygulanabilir esnekliğe sahiptir. Sadece ceza fonksiyonları için değil düzgün olmayan (türevlenemeyen) optimizasyon problemleri için de kullanılabilir niteliktedir. Orijinal kısıtlı optimizasyon problemi, düzgün olmayan tam ceza ve düzgünleştirilmiş tam ceza problemleri arasında hata analizi yapılmıştır. Düzgünleştirilmiş ceza probleminin optimal çözümünün orijinal problemin optimal çözümüne yakınsadığı teorik olarak ispatlanmıştır. 

Teorik olarak elde edilen bilginin pratiğe etkisini anlamak adına yeni ceza ve düzgünleştirme tekniklerine dayalı bir düzgünleştirilmiş ceza fonksiyonu algoritması önerilmiş ve algoritmanın yakınsaklığı incelenmiştir. Önerilen algoritma üç farklı  tam ceza fonksiyonu ile kombine edilerek literatürde sıklıkla kullanılan nümerik test problemleri üzerinde algoritmanın etkinliği araştırılmış ve tatmin edici sonuçlar elde edilmiştir. Önerilen algoritmanın test problemlerine uygulanması ile elde edilen nümerik sonuçlar literatürde var olan algoritmalardan elde edilen nümerik sonuçlarla kıyaslandığında bu tez çalışmasında önerilen algoritmanın performansının daha verimli olduğu gözlemlenmiştir.

Abstract:
Along with the technological developments, the aim of using the resources efficiently has increased the importance of the optimization process. Real life problems that arise especially in engineering, basic sciences and health sciences turn into optimization problems of different types and structures. Constrained optimization problems are one of the basic problems that are found in almost every field. There are many methods in the literature to solve this problem. The penalty function approach is one of the most popular of these methods. The penalty function approach transforms the constrained optimization problem into a sequence of unconstrained optimization problems with the help of functions with certain properties. Penalty function approach is divided into separate subclasses according to their structures. The exact penalty function approach, which is one of these classes, is one of the effective tools for solving non-linear programming problems.

In this thesis, firstly, a new class of exact penalty functions with exactness property is defined. This penalty function class includes the exact penalty functions, which are introduced as exact penalties in the literature. If the penalty function gains exactness, the resulting unconstrained optimization problem loses its differentiability. Secondly, a new family of smoothing techniques is introduced to solve this sub-problem in the optimization process. Thanks to the new smoothing technique, while the exactness of the penalty function is preserved, the differentiability feature is also obtained. In addition, this smoothing technique has the flexibility to be applied for the exact penalty functions available in the literature. It can be used not only for penalty functions, but also for non-differentiable optimization problems. Error analysis is performed between the original constrained optimization problem, the non-smooth exact penalty and the smoothed exact penalty problems. It has been theoretically proven that the optimal solution of the smoothed penalty problem converges to the optimal solution of the original problem.

In order to understand the effect of theoretical knowledge on practice, a smoothed penalty function algorithm based on new penalty and smoothing techniques has been proposed and the convergence of the algorithm has been investigated. By combining the proposed algorithm with three different exact penalty functions, the efficiency of the algorithm on the numerical test problems frequently used in the literature has been investigated and satisfactory results have been obtained. When the numerical results obtained by applying the proposed algorithm to the test problems are compared with the numerical results obtained from the algorithms available in the literature, it has been observed that the performance of the algorithm proposed in this thesis is more efficient.