Modüler a-metrik uzaylar ve özellikleri
Modular a-metric spaces and their properties
Yazar: ELİF KAPLAN
Danışman: PROF. DR. SERVET KÜTÜKCÜ
Ondokuz Mayıs Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2021
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez çalışmasında, modüler A-metrik uzaylar kavramı tanımlanmıştır, bu metrik uzaya ait bir takım özellikler incelenmiştir ve bu uzaylar üzerinde bağdaşabilir, alfa tip bağdaşabilir ve beta tip bağdaşabilir dönüşümlerin tanımları verilerek bu tanımlar yardımıyla bazı ortak sabit nokta teoremleri ispatlanmıştır. Bu tez beş ana bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde, metrik uzay ve sabit nokta teorisinin tarihsel gelişimi ile ilgili kısa bir giriş verilmiştir. İkinci bölümde, tez çalışması boyunca kullanılacak olan bazı temel kavramlar ön bilgi olarak sunulmuştur. İkinci bölümün ilk kısmında, metrik uzaylardan kısaca bahsedilmiştir. İkinci kısmında, sabit nokta teorisi ile ilgili bazı kavramlar verilmiştir. Son kısmında ise, ortak sabit nokta teoremlerinde kullanılan 
değişmeli, zayıf değişmeli ve bağdaşabilir dönüşüm kavramları verilmiştir ve bu dönüşümler arasındaki ilişkiden bahsedilmiştir.
Üçüncü bölümde, tezin esas kısmı için gerekli olan zemini oluşturmak adına fuzzy metrik uzaylar, A-metrik uzaylar ve modüler metrik uzaylarla ilgili bazı tanımlar verilmiştir ve bu uzaylara ait bir takım özelliklere kısaca değinilmiştir. Bu uzaylar arasındaki ilişkiler araştırılmıştır. Tezin orijinal kısmını oluşturan bulgular ve tartışma bölümünde, modüler metrik ve A-metrik uzay kavramlarından daha genel olan modüler A-metrik uzaylar tanıtılmış ve bu uzayın çeşitli özellikleri incelenmiştir. Daha sonra modüler A-metrik uzaylar üzerinde bağdaşabilir, alfa tip bağdaşabilir ve beta tip bağdaşabilir dönüşüm tanımları yapılmıştır. Bu tanımlar arasındaki ilişkiler incelenmiştir. Modüler A-metrik uzay üzerinde Banach sabit nokta teoreminin bir genelleştirilmesi verilmiştir.
Ayrıca verilen bağdaşabilir dönüşüm tanımları yardımıyla çeşitli ortak sabit nokta teoremleri elde edilmiştir ve bu sabit noktaların varlığı ve tekliği gösterilmiştir. Son bölümde, genelleştirilmiş metrik uzaylar ve sabit nokta teorisi üzerine çalışmalar yapacak araştırmacılar için detaylı öneriler verilmiştir.

Abstract:
In this thesis the concept of modular A-metric spaces is defined. Some properties of this metric space are examined and some common fixed point theorems are proved by giving the definitions of compatible, alpha type compatible and beta type compatible mappings on these spaces. This thesis consists of five main chapters. In the first chapter, a brief introduction to the historical development of metric space and fixed point theory is given. In the second chapter, some basic concepts used throughout the thesis are presented as preliminary information. In the first part of the second chapter, metric spaces are briefly mentioned. In the second part, some concepts related to fixed point theory are given. In the last part, the concepts of commuting mappings, weakly
commuting mappings and compatible mappings used in common fixed point theorems are given and the relationship between these mappings is mentioned.
In the third chapter, some definitions of fuzzy metric spaces, A-metric spaces and modular metric spaces are given to form the basis for the main part of the thesis, and some properties of these spaces are briefly mentioned. Finally, the relationships between these spaces are investigated.
In the findings and discussion section, which constitute the original part of the thesis, modular A-metric spaces, which are more general than modular metric and Ametric space concepts, are introduced and various properties of this space are examined. Later, compatible, alpha type compatible and beta type compatible map definitions were made on modular A-metric spaces. Relationships between these
definitions have been examined. A generalization of the Banach fixed point theorem on modular A-metric space is given. In addition, various common fixed point theorems are obtained with the help of compatible mappings definitions and the existence and uniqueness of these fixed points are shown.
In the last chapter, detailed suggestions are given for researchers who will study generalized metric spaces and fixed point theory.