Genel toplanabilme metodu ile Bernsteın-Chlodovsky tipioperatörlerin yaklaşımı
General summability methods in the approximation byBernstein-Chlodovsky operators
Yazar: MERYEM ECE ALEMDAR
Danışman: PROF. DR. OKTAY DUMAN
TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2020
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu yüksek lisans tezinde toplanabilme teorisindeki yöntemler ile özellikle de regüler
toplanabilme matrisleri kullanılarak Bernstein-Chlodovsky operatörlerinin yaklaşım
özellikleri incelenmiştir ve yaklaşımdaki yakınsaklık oranları hesaplanmıştır.
Bilindiği üzere Weierstrass Yaklaşım Teoremi ifade etmektedir ki, kapalı bir [a,b]
aralığı üzerinde sürekli olan her fonksiyona, polinomlarla düzgün olarak
yaklaşılabilir. Bu teoremin ilk orijinal versiyonu 1885 yılında Weierstrass tarafından
verilmiştir. Daha sonra Bernstein, 1912 yılında tanımladığı polinomlarla bu teoremin
in¸saya dayanan bir başka ispatını vermiştir. Bu yaklaşım fikri pek çok araştırmacı
tarafından uygulanmış ve bu durum yeni ve etkin yaklaşım operatörlerinin
tanımlanmasına imkan sağlamıştır.
1937 yılında Chlodovsky, [0;+∞) aralığında tanımlı olan fonksiyonlara
yaklaşabilmek için Bernstein'nın polinomlarını genelleştirmiştir. Daha sonra bu
alanda günümüze kadar literatürde pek çok çalışma yapılmıştır. Fakat bu çalışmaların
hemen hemen tamamında yaklaşımın gerçeklenebilmesi için
                      lim(bn/n)=0
                      n→∞
zayıflatılması amaçlanmıştır. Hatırlatmalıyız ki regüler toplabilme metotları, örneğin
aritmetik ortalama yakınsaklık metodu, yakınsak dizileri koruduğu gibi klasik
anlamda yakınsak olmayan pek çok diziyi de toplayabilmektedir. Dolayısıyla
toplanabilme metotlarıyla elde edilecek yaklaşım teoremleri, klasik sonuçları bir adım
daha ileriye götürmektedir. Literatürde pozitif lineer operatörlerin yaklaşımlarında
toplanabilme metotları sıklıkla kullanılmasına rağmen Bernstein-Chlodovsky
operatörlerinin yaklaşımı üzerinde henüz bu yönde bir inceleme yapılmamıştır. Bu tez
çalışmasında literatürdeki bu bo¸slu˘gun doldurulması hedeflenmiştir.
Tezde öncelikle klasik Bernstein-Chlodovsky operatörlerinin yaklaşım özellikleri
hatırlatılacak, sonra bunların toplanabilme metotları yardımıyla bir modifikasyonu
tanımlanacak ve daha sonra da bu yeni operatörün klasik yaklaşımdan daha genel ve
güçlü yaklaşım özelliklerine ulaşılacaktır. Yakınsaklık oranları da hesaplanacaktır.
Bunun için yaklaşımlar teorisinde önemli bir araç olan süreklilik modülü kavramı
kullanılacaktır. Klasik durumu gerçeklemeyen fakat bu yeni modifikasyona göre
yaklaşıma imkan sağlayan bir uygulama verilecek ve sonuçlar grafiksel olarak
gözlemlenecektir.
Tezin bir diğer hedefi ise elde edilen sonuçların çok değişkenli fonksiyonlara
aktarılması üzerine olacaktır. Burada genel bir yaklaşım teoremi verildikten sonra
özellikle iki değişkenli fonksiyonlara yaklaşım durumu grafiklerle desteklenecektir.
Son olarak, tezde elde edilen sonuçlar tartışılacak ve gelecekte konuyla ilgili
yapılabilecek olası araştırmalar değerlendirilecektir.

Abstract:
In this master thesis, the approximation properties of Bernstein-Chlodovsky
operators has been investigated by using methods in summability theory, especially
regular summability matrices, and rate of convergences in the approximation have
been computed.
As is known, the Weierstrass Approximation Theorem states that any function that is
continuous on a closed interval [a,b] can be approximated uniforomly by
polynomials. The first original version of this theorem was introduced by Weierstrass
in 1885. Later, Bernstein gave another proof of this theorem in 1912, which was
based on the construction with the polynomials. The idea of this approach has been
applied by many researchers and this situation has enabled to determine new and
effective approximation operators.
In 1937, Chlodovsky generalized Bernstein's polynomials to approximate the
functions defined in the interval [0;+∞). Later, many studies in this field have been
conducted in the literature so far. However, in almost all of these studies, the
following limit condition on a given sequence (bn) of positive real numbers
                        lim(bn/n)=0
                        n→∞
is needed to achieve the approximation. In this thesis, it is aimed to weaken this limit
condition with the help of regular summability methods. We should remind that
regular summability methods, such as the method of arithmetic mean convergence,
preserve the usual convergence as well as able to sum many sequences that are not the
classical convergent. Therefore, the approximation theorems obtained with
summability methods take the classical results one step further. Although
summability methods are frequently used in the approximation by positive linear
operators in the literature, no approach has yet been made on the approximation by
Bernstein-Chlodovsky operators. In this thesis, it is aimed to fill this gap in the
literature.
In the thesis, first of all, the approximation properties of the classical
Bernstein-Chlodovsky operators will be reminded, then a modification of them will
be defined with the help of summability methods, and then more general and strong
approximation results for this new operators will be reached. Rate of convergences in
the approximation will also be calculated. For this, the concept of modulus of
continuity, which is an important tool in approximation theory, will be used. An
application that does not satisfy the classical situation but allows an approximation
according to this new modification will be given and the results will be graphically
observed.
Another aim of the thesis will be on extending the obtained results to multivariable
functions. After giving a general approximation theorem here, the situation of
approximation to functions of two variables will be supported with graphics.
Finally, the results obtained in the thesis will be discussed and possible future research
on the topic will be evaluated.