Matris gruplarının lie teorisi açısından incelenmesi
A survey of matri̇x groups in lie theory
Yazar: GÖKÇE YILDIRIM
Danışman: DR. ÖĞR. ÜYESİ SULTAN SÜTLÜ
Haliç Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Lie cebirleri = Lie algebras ; Lie grupları = Lie groups ; Manifoldlar = Manifolds ; Matrisler = Matrices

Özet:
Matris grupları, matematiğin birçok alanında ve uygulamalarda önemli bir role sahiptir. Matris grupları özellikle cebirsel (soyut cebir ve lineer cebir anlamında)  yapıları ile ele alınmakla birlikte, bu tez çalışmasında matris gruplarının topolojik yapısı da ele alınmıştır. Daha önceki yıllarda yapılan çalışmalarda da görülmüştür ki, matris grupları cebir ve geometrinin matematiksel olarak ilginç bir şekilde iç içe geçmiş bir örneği olarak görülebilir.Lie teorisi, Lie grupları ve Lie cebirleri ile bunların uygulamalarından oluşan matematiğin bir alt dalıdır ve 19. yüzyılın sonlarında Norveçli matematikçi Sophus Lie tarafından ortaya atılmıştır. Temelde sürekli ya da diferansiyellenebilir soyut grupların teorisine dayanır. Bu tez çalışmasında n-boyutlu Euclid uzayı üzerinde lineer dönüşümlere karşılık gelen matrislerin gruplarını ele alınmıştır. Bunun için çeşitli kaynaklardan matris gruplarının yapıları ve bunlar üzerindeki ilgili önerme ve teoremleri kullanılmıştır. Diğer taraftan, Lie teorisi temel olarak topoloji ve diferansiyellenebilir manifoldların grup yapısına dayanmaktadır. Bu sebeple bütünlük açısından, diferansiyellenebilir manifoldların teorisindeki ilgili tanım ve teoremler ile ilgili topolojik temellere değinilmiştir. Bir Lie grubu kendisine ilişik bir yapı olan Lie cebiri kavramı ile birlikte anılır. Lie grupları ile Lie cebirleri arasındaki ilişki üstel tasvir ile sağlanır. Bazı çalışmalarda Lie grupları ile çalışırken, bunlar yerine Lie cebirleri ile çalışmak daha pratik ve uygun olabilir. Herhangi bir matris grubunu, üzerinde kurduğumuz diferansiyellenebilir yapı ile birlikte bir manifold ve işlem ile birlikte bir Lie grup yapısına sahiptir. Bu tez çalışmasında özel olarak genel lineer grup, özel lineer grup ve ortogonal grup ele alınarak bunların Lie cebirleri de ayrıntılı incelenmiştir.

Abstract:
Matrix groups have an important role in many fields of mathematics and its applications. Matrix groups are discussed especially with their algebraic structures (in the sense of abstract algebra and linear algebra), in this thesis the topological structure of matrix groups is also discussed. It has also been seen in previous studies that matrix groups can be seen as an interesting mathematically intertwined example of algebra and geometry. Lie theory is a subbranch of mathematics consisting of Lie groups and Lie algebras and their applications, and was introduced by the Norwegian mathematician Sophus Lie in the late 19th century. It is basically based on the theory of continuous or differentiable abstract groups. In the thesis, groups of matrices corresponding to linear  transformations on n-dimensional Euclidean space are discussed. For doing this, the structures of matrix groups from various sources and their related propositions and theorems are used. On the other hand, Lie theory is mainly based on topology and group structure of properly differentiable manifolds. For this reason, for the sake of completeness, topological foundations related to the related definitions and theorems in the theory of differentiable manifolds are mentioned. A Lie group is associated with its associated structure, the concept of Lie algebra. The relationship between Lie groups and Lie algebras is provided by exponential map. In some studies, when working with Lie groups, it may be more practical and appropriate to work with Lie algebras instead. Any matrix group has a manifold and a Lie group structure with the operation, along with the differentiable structure we build on it. In this thesis, the general linear group, the special linear group and the orthogonal group have been dealt with and their Lie algebras have been examined in detail.