Lineer olmayan denklemlerin integrallenebilirliği
Integrability of nonlinear equations
Yazar: ÖMER ÜNSAL
Danışman: PROF. DR. MEHMET NACİ ÖZER
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Bilgisayar Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2016
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Lineer olmayan diferensiyel denklemlerin çözümlerinin elde edilmesi her zaman mümkün olmamakla beraber daha çok bu tip denklemlerin integrallenebilirliği üzerinde yoğunlaşılmıştır. İntegrallenebilirlik, yıllardır üzerine çalışılan, çeşitli problemlerle iç içe ve eş zamanlı çözüm gerektiren, birçok alanda uygulaması bulunan bir kavramdır. Literatürde, integrallenebilirlik üzerine yapılmış çok sayıda çalışma bulunmaktadır.
Bu tez çalışmasında, genel olarak lineer olmayan kısmi diferensiyel denklemlerin uygun dönüşümler altında bilineer formları elde edildikten sonra, integrallenebilirliğini gösteren kriterler ve dalga çözümleri araştırılmıştır. Bell polinomu yaklaşımı kullanılarak (2+1) boyutlu BKP denklemi için bilineer form, Bäcklund dönüşümü, soliton çözüm, Lax çifti ve korunum kanunları bulunurken, (2+1) boyutlu Burgers denklem sistemi için bilineer form, soliton çözüm, Bäcklund dönüşümü ve Lax çifti elde edilmiştir. Genelleştirilmiş bilineer türevler yardımıyla ifade edilen genelleştirilmiş bilineer denklemlerin N-dalga çözümleri trigonometrik ve hiperbolik tipten elde edilmiş, bu çözümler için gerek ve yeter şartları ihtiva eden teoremler verilmiştir. İlgili teoremlerin daha iyi anlaşılması için uygulamalar yapılmıştır. Literatürde yeni bir çözüm tipi olarak göze çarpan kompleksiton çözümler, Sawada Kotera ve dokuzuncu mertebeden KdV denklemleri için elde edilmiştir.

Anahtar Kelimeler: Bilineer Form, Soliton Çözüm, Hirota Bilineer Metodu, Bäcklund Dönüşümü, Lax Çifti, Genelleştirilmiş Bilineer Türevler, N-dalga Çözüm, Kompleksiton Çözüm.

Abstract:
It is not always possible to get solutions of nonlinear differential equations,   integrability of this kind of equations is concentrated on commonly. Integrabilty is a notion that has been studied on for years, needs to be solved with some other problems simultaneously and employed in many areas. There have been many works done on integrability, in the literature.
In this dissertation, upon finding corresponding bilinear forms of nonlinear partial differential equations under appropriate transformations, integrability criteria and wave solutions have been investigated. Bilinear form, Bäcklund transformation, soliton solution, Lax pair and conservation laws of (2+1) dimensional BKP equation and Bilinear form, Bäcklund transformation, soliton solution, Lax pair of (2+1) dimensional coupled Burgers system have been obtained by using Bell polynomial approach. N-wave solutions to generalized bilinear equations which are expressed in terms of generalized bilinear derivatives have been obtained in terms of hyperbolic and trigonomeric, theorems that contain necessary and sufficient conditions for these solutions have been given. Some applications have been made so that related theorems can be understood well. Complexiton solutions, which has been introduced in the recent past, has been obtained for Sawada Kotera and ninth order KdV equations.

Keywords: Bilinear Form, Soliton Solution, Hirota Bilinear Method, Bäcklund  Transformation, Lax Pair, Generalized Bilinear Derivatives, N-wave Solution, Complexiton Solution.