Tekillikli nicem dizgelerin beklenen değerlerinde olasılıkçıl evrim kuramı,ağırlıklar,sözde beklenen değerler,saptırım açılımları,pade türü yakınsatış
Expectation values dynamics of quantum system with singularities via probabilistic evolution approach, pseudo expactation values, weights, perturbasion expansion and padé approximation
Yazar: BERFİN KALAY
Danışman: PROF. DR. METİN DEMİRALP
İstanbul Teknik Üniversitesi / Bilişim Enstitüsü / Hesaplamalı Bilimler ve Mühendislik Ana Bilim Dalı / Hesaplamalı Bilim ve Mühendislik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2020
Konu: Mühendislik Bilimleri = Engineering Sciences

Özet:
Nicem dizgelerin devinimi, çok çeşitli bilimcil araştırım 
ve uygulayım alanlarında etkin biçimde incelenmekte ve 
son birkaç on yıllık zaman diliminde bilimcil yazında, 
teknolojideki gelişmelere de bağlı olarak 
giderek artan bir oranda yer almaktadır. Buna rağmen, 
var olan kuram ve yöntemler ile kesin çözümü belirlenebilen dizge sayısı çok çok azdır.
Nicem bir dizgenin devinimini betimleyen temel denklem dizge 
Schrödinger denklemi olarak adlandırılan bir 
doğrucul (ing: linear) göre türevli denklemdir ve 
çözümcül olmadığı durumlar için, bilgisayar 
teknolojisindeki gelişmelere bağlı olarak 
etkinliği giderek artmakta olan yaklaştırım 
uzişleri (ing: algorithm) geliştirilmektedir. 
Bu sav çalışmasının odağı ise Schrödinger denklemi çözümü için 
bir yöntem geliştirmek değil, ancak Metin Demiralp 
öncülüğünde bilimsel yazına kazandırılan çok yeni 
ve geliştirimi devam etmekte olan uzbilimcil yöntem
ve uzişlerin önemli bir uygulayım alanı olarak nicem 
dizgelerde sınanması ve nicem devinbilim ve doğrucul cebirin 
kuramlarıyla geliştirimi ve dahası Schrödinger denklemini 
çözmeden işleyebilecek bir devinim belirleyim uzişinin 
bilimsel yazına kazandırılması olmuştur.

Bu sav kapsamında yapılan çalışmalar burada verilen 
sıraya göre özetlenecek olursa, önce nicem devinbilimin 
temel kuramları anımsatılarak, uygulayımların odağında
bulunan salt uzaklığa bağımlı etkileşimli iki nesnecikli nicem 
dizgeler için en yalın uzbilimcil biçe oluşturulmuştur. 
Daha sonra en özelsiz durumda bir nicem dizgenin temel 
işleçleri ile dizge Hamilton işleci arasındaki Poisson 
kümesimgelisi denklemleri üzerinden bir beklenen değer 
devinbilimi biçelendirilmiştir. Bu yapılırken, dizge 
Hamiltoniyeni en özelsiz yapıda ele alınarak, dizge 
temel işleçleri olan devinirlik ve konum işleçleri için 
Poisson kümesimgelisi denklemleri üzerinden yapılan 
inceleyiş, bu temel işleçleri de içeren $N$ tane 
işlecin olduğu yapıya genişletilmiştir. Bu en özelsiz 
durum için, dizge Poisson kümesimgelisi denklem takımı, 
işleçleri öğe olarak içeren bir $\widehat{\mathbf{s}}$ dizge 
yöneyi tanımı ve kullanımıyla tıkız olarak betimlenmiştir. 
Bu denklem takımı, dizge yöneyinin Kronecker üslüleri 
türünden toplamdiziye açılarak elde edilen yaklaştırımda 
sağ yanda beliren çokçokterimliliğin derecesinin ikiye
düşürülmesi için uzay genişletimi uygulanmıştır. Elde
edilen ikinci derecelilik altında, beklenen değer devinim 
denklemlerini sendelenimsizlik ereyinde "Olasılıkçıl Evrim 
Kuramı (OLEVKU) ile çözülebilecek yapıya kavuşmakta olduğu gösterilmiştir ve suzödekçil (ing: Hydrogen-like) dizgeler %
için bir uygulayış yapılmıştır. 

Bir sonraki bölümde, Coulomb etkileşimli dizgeler 
üzerinde Sendelenim kuramı tabanlı bir inceleyişle 
tekilliklere odaklanılmıştır. Bu inceleyişte, bir 
işlecin beklenen değerinin zamanda evrimi için 
Maclaurin toplamdizisi açılımı yazılabileceği öngörülerek, 
bu toplamdizinin, Hamilton işleci zamana belirtik olarak 
bağlı olmayan dizgeler için aslında bir sendelenim 
açılımına karşılık geldiği gösterilmiştir. Suözdekçil 
dizgeler için yapılan uygulamayla her işleç için  
sendelenim açılımı katsayılarının belirlenebilir 
olmadığı gösterilmiştir. Bu durum dizge Hamilton işlecin
deki tekillikten kaynaklanmaktadır. Böyle tekilliklerin 
varlığında başlangıç dalga işlevinin Hamilton işleci 
altındaki görüntüsü, başlangıç dalga işlevinin bulunduğu uzaydan 
taşabilmektedir. Dolayısıyla sendelenim işlecinin doğalsayı 
üslülerinin başlangıç dalga işlevine etkisinin ürettiği görüntü 
işlevleri uzayında çalışmak uygun görülmüş ve suözdekçil dizgeler 
için uygulanmıştır. Burada elde edilen yapıda görüntü işlevleri ikililerinin yer aldığı tümlevlerin tümünün tanımlı olmayabileceği görülmüştür. Bu durumda tümlevlenebilirliğin bir ağırlık işleci 
kullanımıyla sağlanabileceği gösterilmiştir. Bu ağırlığın 
sendelenim giderimi tabanlı olarak nasıl belirlenebileceği 
üzerinde durulmuştur. 

Tüm bu inceleyişlerin ve elde edilen bulguların yardımıyla 
örtülenmiş Coulomb gizilgüçlü dizgelerin izgecil özelliklerinin 
saptırım açılımı tabanlı bir inceleyiş ile belirlenimine odakla%
nılmıştır. Burada yapay bir saptırım değiştirgesi yerine 
dizgenin özünden kaynaklanan örtüleyiş değiştirgesi bir saptırım 
değiştirgesi olarak ele alınmış ve saptırım katsayılarının nasıl 
belirleneceği gösterilmiştir. Örtüleyiş değiştirgesinin 
eksisiz (ing: positive) değerleri için saptırım toplamdizilerinin 
ıraksayacağı görüldüğünden, Pad\'e çizelgeleri oluşturulmuş ve 
yakınsayışın sağlanabildiği gösterilmiştir.

Abstract:
Since every physical system, living or non-living, is made up of 
quantum systems, understanding the dynamics of quantum systems is 
important in diverse fields of science and quantum dynamics 
has become an active field of research in recent decades. 
Yet, existing tools are not enough to exactly solve the dynamical 
equations for most quantum systems. In this thesis study, 
strong mathematical tools that have been developed 
in our research group's studies supervised by Professor Metin 
Demiralp are used to overcome this non-solvability, combined 
with other tools and new ideas to propose efficient mathematical 
algorithms to deal with the difficulties arising from the 
singularities in Hamiltonian systems. To this end, Hydrogen-like and screened Coulomb potential systems has been the other main focus of the study.  

Probabilistic Evolution Theory (PREVTH) is one of the mentioned 
tools and has been devoloped mainly to solve inital value 
problems of first order autonomus explicit ODE sets, but also 
has been used successfully in recent studies to construct 
expectation value dynamics for certain quantum 
systems. The main idea of using PREVTH for quantum dynamics 
applications is to investigate the dynamics of the 
systems without explicitly solving Schrödinger equation, 
as it is not exactly solvable for most quantum systems. 
PREVTH enables us to use linear algebra tools and then can be 
manipulated by using Kronecker algebra. 

Thesis is organised as follows. Second section focuses on 
constructing the mathematical model for quantum systems 
under consideration in a way to ease the investigations. 

In the third section, PREVTH is revisited to construct 
expectation value dynamics. An ODE set over expectation 
values of quantum mechanical operators which then can be 
solved by using PREVTH, is constructed using Poisson
Bracket algebra. This means Poisson brackets of momentum 
and position operators with system Hamiltonian are evaluated. 
This set of system's fundamental operators is not multinomially 
closed under the Poisson Bracket operation.
To this end, new operators might be defined 
using existing operators and introduced to system's operator basis 
set to obtain a closed set under Poisson bracket operation. %
To achieve a concise format, a vector 
including the basis set operators as elements is defined 
and called "system vector" The Poisson bracket 
of system vector with Hamiltonian is expressed as an infinite 
Kronecker power series in system vector and then approximated 
by taking the first n term into consideration, resulting 
in nth degree multinomial right hand side. Here another tool 
which we have called "space extension" is used 
to achieve conicality. A recursive formula is obtained 
between the expactation values of extended space elements 
by applying Fluctuationlessness Theorem. An implementation 
has been done for Hydrogen-like systems.

The fourth section focuses on singularities through  
Fluctuation Approximation based investigations. Assuming 
that the evolution of expectation value of an quantum operator 
can be expressed as a Maclaurin series, it is shown that 
this series is actually the equivalent of fluctuation 
expansion if the system Hamiltonian is autonamous. 
Implementation for Hydrogen-like systems shows that
fluctuations may not be evaluated for every operator due to 
the singularities in system Hamiltonian. To overcome this, one 
way would be chosing an appropriate wave function, but this 
will reduce the set of inital wave functions. Another way 
might be constructing a different structure for the 
operator to suppress the singularity which seems more appropriate 
for this study. The image of initial wave function under 
Hamilton operator may also not stay in the same space with 
the inital wave function due to the Hamiltonian singularities. 
And more generally, staying in the space  
under j'nth power of Hamiltonian operator does not guarantee to stay in the 
space under j+1 st power of Hamiltonian operator where j is a positive integer. 
The space which is closed under all positive integer powers 
of Hamilton operator will be spanned by the eigenfunctions 
of Hamilton operator. Since constructing this space is not
an easy way to go, working in the space spanned by the image 
functions seems a better option. To this end, 
singularity suppressing structure has been searched first, to 
be introduced as a weight operator into the integrals that are 
needed to be evaluated. This leads to a new definition for the 
expectation values which we call "pseuodo expectation values" 
and can be considered as weighted expectation values. 
Although they are not the actual expectation values, they still 
can give information about the system. 
Implementing these findings to hydrogen-like systems converted 
the process of evaluating the integrals into derivation and linear 
algebra operations. 

The fifth section is focused on derivation of perturbation series 
expansions for the energy and the relevant wave function of a 
screened Coulomb potential system.The perturbed problem is 
defined by manipulating system's Schrodinger equation, and 
instead of introducing an artificial perturbation parameter 
to the equation, screening parameter is taken as the 
perturbation parameter. Expanding all operators and functions
appearing in the equation into Maclaurin series with respect to 
screening parameter, relevant recursions are obtained in an uncomplicated way. Perturbation components and convergence issues 
are investigated.The state identity number seems to have impact 
on convergence, as well as asymptotic behaviors of Maclaurin 
coefficients of the screening function. These perturbation
based investigations are also used to evaluate expactation values 
and fluctuations of position and momentum operators. 
It has shown that phase spaces based on momentum and position 
are not good options to investigate system dynamics. 
Taking initial wave function from Hamilton eigenspace, spaces based on Hamilton and position operators are shown to be more 
convenient. Also it has seen that Maclaurin series in screening 
parameter for expectation values are divergent for 
all screening parameter values. However investigations on 
asymptotic behaviour shows that this divergence can be 
converted into convergence. To this end, Borel sum 
type applications have been considered. Trials and searches 
carried out for this purpose has shown that the diagonal 
sequences in Padé table seem to be more fruitful. 
Satisfactory results have been obtained using the main 
diagonal sequences for energy perturbation series. 
Also it has been found that the Padé
approximant sequence with denominator polynomial's
degree greater than numerator polynomial's degree by 2 as giving 
the best approximation for the expectation values. 
Numerical implementations have been proposed and 
graphics for energy perturbation approximants 
have been obtained by MuPAD scripts. 
The main contribution of this section is showing that  
accurate information can be produced from divergent series. 

The sixth section finalizes the thesis remarking important
findings in itemized format. There have been also some other 
trials that have failed or not haven't been finalized 
for quantum systems, yet brought important findings in 
mathematical sense. The most fruitful ivestigations from those    
trials also given in additions section. The first one 
proposes a method for PREVTH applications where second 
degree right hand side can not be achieved. The second
one proposes a detailed Mathematical Fluctuation Theory 
based investigation to evaluate time dependent expectation 
values.