Doğrusal olmayan ısı geçişi ve akış problemlerinin parametrelerin değişimi yöntemi ile çözümü
Solving nonlinear heat transfer and fluid flow problems using variation of parameters method
Yazar: OSMAN GÜNGÖR
Danışman: PROF. DR. CİHAT ARSLANTÜRK
Atatürk Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Makine Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Termodinamik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2018
Konu: Makine Mühendisliği = Mechanical Engineering

Özet:
Bu çalışmada, çoğunlukla homojen olmayan doğrusal diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanılan ve doğrusal olmayan denklemlerin çözümü için de kullanılabileceği yakın zamanlarda kanıtlanan Parametrelerin Değişimi Yöntemi (PDY), doğrusal olmayan ısı geçişi ve akış problemlerinin çözümünde kullanılmış ve bu sayısal yöntemin etkinliği araştırılmıştır. Bu amaç için, ısı geçişi ve akışkanlar mekaniğinin yeni uygulamalarından üç model problem seçilmiştir. 
Problemlerden ilki bir gözenekli (poroz) kanattan olan ısı geçişi, ikincisi bir mikropolar akışkanın gözenekli bir kanalda akışı ve üçüncüsü ise dönen eğik bir disk üzerindeki yoğuşma problemidir. Bu problemlerin fiziksel temelleri açıklanmış ve matematiksel modelleri oluşturulmuştur. Kanat probleminin matematiksel modeli, ikinci mertebeden bir diferansiyel denklem iken, mikropolar akışkanın akışı probleminin modeli bir adet dördüncü mertebeden ve bir adet ikinci mertebeden denklemden oluşan bir diferansiyel denklem takımıdır. Yoğuşma probleminin modeli ise yine bir diferansiyel denklem takımı olup, bir adet üçüncü mertebe ve dört adet ikinci mertebe denklemden meydana gelmiştir.  Doğrusal olmayan bu modellerin PDY ile çözüm algoritması, yüksek mertebeden bir diferansiyel denklem göz önüne alınarak açıklanmıştır.  Parametrelerin Değişimi Yöntemi, doğrusal olmayan bir denklem takımının çözümünü, integrallerin sayısal olarak çözümüne indirgemektedir. Bu integraller, trapez kuralı ile çözülmüştür. Alt-bölge sayısından bağımsız bir çözüm elde etmek için sayısal deneyler yapılmış ve her bir model problem için güvenle kullanılacak alt-bölge sayıları belirlenmiştir.
PDY çözümünün doğruluğunu araştırmak için, doğrusal olmayan diferansiyel denklem takımı ayrıca MATLAB "bvp4c" fonksiyonu ile sayısal olarak çözülmüştür. Ayrıca PDY ile elde edilen sonuçlar, literatürde Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi, Homotopi Analiz Yöntemi ve Homotopi Pertürbasyon Yöntemi gibi yarı-analitik yöntemlerle elde edilen çözümlerle de karşılaştırılmıştır. Bu karşılaştırma, PDY'nin etkin bir yöntem olduğunu göstermiştir.

Abstract:
In this study, the variation of parameters method (VPM) which is generally used to solve nonmogenous lineer differential equations and is proved that it can also be used to solve nonlinear differential equations has been used to solve nonlinear heat transfer and flow problems and the effectiveness of this numerical method has been investigated. For this purpose, three model problems have been chosen from new applications of heat transfer and fluid mechanics. 
The first problem is the heat transfer in a porous fin, the second is the flow of a micropolar fluid in a porous channel, and the third is the problem of condensation on an inclined rotating disk. The physical fundamentals of these problems have been explained and mathematical models have been developed. Whereas the mathematical model of the fin problem consist of a second order differential equation, the model of the problem of the flow of the micropolar fluid is a set of differential equations consisting of a fourth order and a second order equation. The model of the condensation problem is again a set of differential equations, consisting of a third order and four second order equations. The solution algorithm of these nonlinear models with VPM is explained by considering a high order differential equation. The variation of parameters method reduces the solution of a set of nonlinear equations to a numerical solution of integrals. These integrals are solved with trapezoidal rule. Numerical experiments have been carried out to obtain a solution independent of the number of sub-regions and the number of sub-regions to be reliably used for every each of model problem has been determined. To investigate the accuracy of the solution obtained by applying VPM, the nonlinear differential equation set is also solved numerically with the function MATLAB "bvp4c". In addition, the results obtained with VPM are compared with the solutions obtained by semi-analytical methods such as Differential Transformation Method, Homotopy Analysis Method and Homotopy Perturbation Method in the literature. This comparison has shown that VPM is an effective method.