Reel simetrik olmayan matrislerin özdeğerlerinin bir indirgeme algoritması ile hesabı üzerine
On the computation of eigenvalues of real nonsymmetric matrices by a reduction algorithm
Yazar: MELTEM TURAN
Danışman: PROF. DR. İBRAHİM ÇANAK
Ege Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2021
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez esas olarak beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, tez konusu hakkında kısaca bilgi verilmiştir. Ayrıca üniter dönüşüm matrislerinin bir dizisini kullanarak simetrik olmayan matrislerin özdeğerini hesaplayan Jacobi-benzeri algoritmaların tarihçesinden söz edilmiştir. 
İkinci bölümde bu çalışmaya temel olacak matris teorisine ait gerekli kavramlar verilmiştir. 
Üçüncü bölümde üniter dönüşüm matrislerinin bir dizisiyle simetrik olmayan matrislerin özdeğer ve özvektörlerini  hesaplayan Jacobi-benzeri algoritmalar özetlenmiştir.
Çalışmamızın orijinal kısmını oluşturan dördüncü bölümde simetrik olmayan matrislerin özdeğer hesabı için iki Jacobi-benzeri algoritma önerilmiştir. Modern bilgisayarların gelişmesi büyük boyutlu simetrik olmayan matrislerin özdeğerlerinin hesaplanmasına olanak sağlamıştır. Büyük boyutlu simetrik olmayan matrisler ise çok sayıda birbirine neredeyse eşit özdeğerlere veya birbiri arasındaki açının oldukça küçük olduğu özvektörlere sahip olabilmektedir. Fakat bilinen klasik bazı Jacobi-benzeri algoritmalar bu tür matrisler için oldukça yavaş (neredeyse durağan) yakınsamaktadır. Bu sorunu aşacak algoritmaların geliştirilmesi tezin dördüncü bölümünün esas amacıdır. Geliştirilen algoritmaların asimptotik kuadratik yakınsaklığının ispatı verilmiş olup neredeyse eşit çok sayıda özdeğeri olan büyük boyutlu matris örneklerine uygulanmış ve bu örnekler için asimptotik kuadratik yakınsadığı gösterilmiştir. Ayrıca kompleks kökler için modifiye edilmemesine rağmen algoritmalardan ikincisi bazı özvektörleri arasındaki açının oldukça küçük olduğu matris örneklerine uygulanmış ve lineer yakınsamıştır. İndirgenen çeşitli özelliklerdeki matris örnekleri için her iki algoritmada da durağan faz gözlemlenmemiştir. Bu tezin dördüncü bölümünde araştırılan bir diğer konu ise geliştirilen algoritmalarda hesaplanan köklerin detaylı bir incelemesidir. Bu inceleme sayesinde algoritmalardaki aritmetik işlem sayısı azaltılmıştır.

Abstract:
This thesis essentially consists of five chapters. In the first chapter, information concerning the subject of the thesis is shortly given. Additionally, some definitions of matrix reductions and a brief history of Jacobi-like algorithms that compute eigenvalues of nonsymmetric matrices by using a sequence of unitary transformation matrices are mentioned. 
The second chapter is devoted to necessary concepts which will be the foundation of our work of matrix theory. 
The third chapter is devoted to Jacobi-like algorithms, which are transformation methods for eigenvalues and eigenvectors of nonsymmetric matrices. 
In the fourth chapter, which constitutes the original part of our study, two Jacobi-like algorithms are proposed for the eigenvalue calculation of nonsymmetric matrices. The development of modern computers has enabled the eigenvalues of large size nonsymmetric matrices to be calculated. Large dimensional nonsymmetric matrices can have many almost equal eigenvalues or eigenvectors with very small angles between each other. But some classical Jacobi-like algorithms known for such matrices converge very slowly (almost stationary). Developing algorithms to overcome this problem is the main goal of the fourth part of the thesis. The proof of the asymptotic quadratic convergence of the developed algorithms is given and applied to large-sized matrix samples with an almost equal number of eigenvalues and it has been shown for these examples that the asymptotic quadratic convergence is shown. In addition, the second algorithm, which has not been modified for complex roots, has been applied to matrix examples where the angle between some eigenvectors is very small and is linearly converged. The stationary phase was not observed in both algorithms for the matrix samples with various properties to be reduced. Another subject explored in the fourth part of this thesis is a detailed examination of the roots calculated in the algorithms. Thanks to this analysis, the number of arithmetic operations performed in the algorithms was reduced.