Kısmi diferansiyel denklemlerin singüler ve singüler olmayan kompleksiton çözümleri
Singular and non-singular complexiton solutions of partial differential equations
Yazar: SUKRI KHARENG
Danışman: DOÇ. DR. ÖMER ÜNSAL
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Bilgisayar Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Kısmi diferensiyel denklemler = Partial differential equations ; Tam çözüm = Exact solution ; Yürüyen dalgalar = Travelling waves

Özet:
Son yıllarda, lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin dalga çözümlerini elde etmek ve elde edilen çözümlerin yapılarını incelemek için çeşitli metotlar geliştirilmiştir. Bu metotlarla elde edilen çözüm tiplerinin en yeni üyelerinden biri kompleksiton dalgalardır. Kompleksiton dalgalar, şekilleri ve karakteristik yapıları itibariyle diğer dalgalar arasında kolayca ayırt edilebilirler.

Bu tezde, ilk olarak basitleştirilmiş Hirota yönteminin anlaşılabilmesi için gerekli olan temel kavramlardan bahsedilmiştir. Bu temel kavramlar; tam çözümler, dalga çözüm tipleri, Hirota bilineer türevler, Hirota bilineer formlar, genelleştirilmiş bilineer türevler ve Bell polinomlarıdır.

Devam eden bölümde, basitleştirilmiş Hirota yöntemi ile (1+1) boyutlu 6. mertebeden Ramani, (2+1) boyutlu 4. mertebeden genişletilmiş Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff ve (2+1) boyutlu 4. mertebeden Hirota-Satsuma-Ito denklemlerinin singüler ve singüler olmayan kompleksiton, soliton ve etkileşimli çözümleri elde edilmiştir. Bu metot uygulanırken, literatürde mevcut olan çalışmalara ek olarak N=3 durumu da analiz edilmiştir. Boyut ne kadar artarsa, elde edilen çözüm tiplerinin sayısı da o kadar fazla olur. Elde edilen çözümlerin grafikleri, parametrelere özel değerler verilerek resmedilmiştir. Çözümlere ilişkin sunulan bu görseller, elde edilen dalga çözümlerinin yayılımlarının ve karakteristik yapılarının anlaşılması için bize kolaylık sağlamaktadır.

Abstract:
In recent years, various methods have been developed to obtain wave solutions of nonlinear partial differential equations and examine structures of obtained solutions. One of the newest members of solution types derived by these methods is complexiton wave. Complexiton wave can easily be distinguished among other waves by their characteristic shapes and structures.

In this thesis, firstly, some fundamental concepts which are necessary to understand simplified Hirota method, are given. These fundamental concepts are exact solutions, types of wave solutions, Hirota bilinear derivatives, Hirota bilinear forms, generalized bilinear derivatives and Bell polynomials.

In following section, by simplified Hirota method, singular and non-singular complexiton solutions, soliton solutions and interaction solutions of  (1+1)-dimensional sixth-order Ramani equation, (2+1)-dimensional fourth-order extended Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff equation and (2+1)-dimensional fourth-order Hirota-Satsuma-Ito equation are derived. During the application process of simplified Hirota method, the case N=3 has also been studied which is and additional case compared with existing studies in literature. The more dimension is, the more number of types of derived solutions are. Derived solutions are illustrated by giving some specific values to parameters. These presented illustrations of solutions help us in understanding propagations and characteristic structures of derived wave solutions.