Pairs of oriented abelian groups
Yönlendirilmiş değişmeli grup çiftleri
Yazar: MELİSSA ÖZSAHAKYAN
Danışman: DOÇ. DR. AYHAN GÜNAYDIN
Boğaziçi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Mantık Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
İlk olarak ele aldığımız problem, $(\Z,+,0,P_r)$ yapısının model kuramsal özellikleri\-ni bulmaktı. Burada $r>1$  irrasyonel bir sayı ve $P_r$, $\big\{\lfloor nr\rfloor: n\in \Z\setminus \{0\}\big\}$ kümesini temsil eden bir yüklemdir.
		Daha önce \cite{G-O}'de, $\Z$ ile birim çember $\mathbb{S}$'nin bir altgrubu arasındaki izomorfizma kullanılarak bu yapının bazı model kuramsal özelliklerini inceledik. Yani, bir $n$ tamsayısını $\exp (\frac{2\pi i n}{r})$'ye gönderen $h:\Z\rightarrow \Gamma_r$ grup izomorfizmasını ele aldığımızda şu izomorfizma elde edilir:
		\beq \nonumber h: (\Z,+,-,0,1,P_r)\rightarrow \big(\Gamma_r, \cdot,^{-1},1,h(1),h(P_r)\big).\eeq
		$\Gamma_r$ birim çemberin bir alt grubu olduğundan, kendi üzerinde bir yönelimi vardır. Böylece, $h(P_r)$ bir yönelim aralığı olur. Dahası $\mathcal{O}$, birim çemberin yöneliminin $\Gamma_r$'ye kısıtlaması olmak üzere,  $\big(\Gamma_r, \cdot,^{-1},1,h(1),h(P_r)\big)$ ve $\big(\Gamma_r, \cdot,\mathcal{O},h(1)\big)$ yapıları  birbirleriyle tanımlana\-bilirdir. Bu nedenle, $\Z$'yi $P_r$ ile genişletmek, birim çemberin bir alt grubunu bir yönelim aralığı ile genişletmekle aynıdır. Bu yüzden \emph{yönlendirilmiş değişmeli gruplar} olarak adlandırılan bu gruplar üzerinde çalışmak daha uygun hale gelir.
		
		Öncelikle yönlendirilmiş değişmeli grupları tanıtıp  sıralı değişmeli gruplarla olan ilişkisini vereceğiz. Özellikle, düzenli yoğun yönlendirilmiş değişmeli gruplara odaklanacağız ve bu grupların model kuramsal sonuçlarını vereceğiz. Sıralı değişmeli grup\-lardaki  o-minimalliğe benzer bir kavram olan yönlendirilmiş değişmeli grupların $\mathcal{O}$-minimalliğini tanımlayacağız. Sonra $\mathcal{O}$-minimalliğin NIP özelliğini sağladığını gösterece\-ğiz. Son olarak, yönlendirilmiş değişmeli grup çiftleri hakkında bazı sonuçlar vereceğiz.

Abstract:
Let $r>1$ be an irrational number and $P_r$ be a predicate standing for the set $\big\{\lfloor nr\rfloor: n\in \Z\setminus \{0\}\big\}$. The first problem we tackled was to find the tameness properties of the expansion $(\Z,+,0,P_r)$ of the group of integers. 
In \cite{G-O} we give some tameness results of this structure by using the isomorphism between $\Z$ and a subgroup of the unit circle $\mathbb{S}$. Namely, let $h:\Z\rightarrow \Gamma_r$ be the group isomorphism sending an integer $n$ to 
		$\exp (\frac{2\pi i n}{r})$. 
		So we have an isomorphism 
		\beq   h: (\Z,+,-,0,1,P_r)\rightarrow \big(\Gamma_r, \cdot,^{-1},1,h(1),h(P_r)\big).\eeq
		Since $\Gamma_r$ is a subgroup of the unit circle $\mathbb{S}$, it has an orientation on itself. Then  $h(P_r)$ becomes an orientation interval. Indeed, the structures $\big(\Gamma_r, \cdot,^{-1},1,h(1),h(P_r)\big)$ and $\big(\Gamma_r, \cdot,\mathcal{O},h(1)\big)$ are interdefinable where $\mathcal{O}$ is the restriction of the orientation of the unit circle $\mathbb{S}$ to $\Gamma_r$.
		Therefore expanding $\Z$ by $P_r$ is the same as expanding a subgroup of the unit circle by an orientation interval. So it is more convenient to study on these groups called \emph{oriented abelian groups}.
		
		First we introduce oriented abelian groups and give the relation with ordered abelian groups. Specifically, we focus on regularly dense oriented
		abelian groups and give model theoretic results of these groups. We define
		the $\mathcal{O}$-minimality of oriented abelian groups, which is a similar concept to the
		o-minimality for ordered abelian groups. Then we show that $\mathcal{O}$-minimality
		implies NIP. Finally, we give some results about pairs of oriented abelian
		groups.