Yüksek boyutlu model gösterilim yöntemleri ve tanım bölgesi geometrisi
High dimensional model representation methods and domain geometry
Yazar: CANER GÜLPINAR
Danışman: DOÇ. DR. N. A. BAKİ BAYKARA
Marmara Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2007
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu çalışmada, Yüksek Boyutlu Model Gösterilimi (YBMG) yönteminintemelleri ve değişik çeşitleri verilmiştir. Bunu, YBMG yaklaştırımı üzerine tanımbölgesi geometrisinin etkisi analizi takip etmiştir. Bundan sonra, toplamsallıkölçenleri de hesaplanmıştır. Yüksek Boyutlu Model Gösterilimi çok değişkenli birfonksiyonu sabit, tek değişkenli, iki değişkenli vs. fonksiyonların toplamı şeklindeifade etmektedir. Diğer bir deyişle, Yüksek Boyutlu Model Gösterilimi, çokdeğişkenli fonksiyonlar içeren problemler için böl ? yönet tekniğini kullanır. Buçalışmanın amacı, mevcut YBMG çeşitlerini irdelemek ve kullanılan tanım bölgesiiçinde ve dışında YBMG' nin ne çeşit sonuçlar verdiğini tespit etmektir. İşlemler içiniki farklı ağırlık fonksiyonu da kullanılmıştır ve bu farklı ağırlıklarınkullanılmasından doğan farklar incelenmiştir.Bu çalışmanın ikinci kısmında, değişik YBMG çeşitlerinin makul oldukçauzun yeniden gözden geçirimi verilmiştir. Bu çeşitlerin gelişimi, farklı tiptekiproblemlerin farklı gereksinimlerinden kaynaklanmıştır. Örneğin,Çarpımsallaştırılmış Yüksek Boyutlu Model Gösterilimi (ÇYBMG) çarpımsalyapıda fonksiyonlar için geliştirilmişken, Melez Yüksek Boyutlu Model Gösterilimi(MYBMG) toplamsal olduğu kadar çarpımsal yapı içeren fonksiyonlar içingeliştirilmiştir. Üçüncü bölümde, düşünülen problemin yapısına bağlı olarak, farklıYBMG çeşitleri detaylı bir şekilde analiz edilmiştir. Bu değişik çeşitlerin etkisi, konuile ilgili literatürden örnekler kullanarak, gösterilmiştir. Dördüncü bölümde, Tanımbölgesinin ve ağırlık fonksiyonunun etkisi araştırılmıştır. Tanımlı olduğu aralıkiçerisinde YBMG' nin etkili sonuçlar verdiği gözlemlenmiştir. Öte yandan, ilgiliaralığın dışında sonuçlar bir hayli tutarsızdır. Birim boylu doğrusal yapıdaki üstelVfonksiyonun araştırılması, tanım bölgesinin öneminin altını çizerek, benzer sonuçlarvermiştir. Bu sonuçlar, bölümün sonunda verilen grafiklerde kıyaslanmışlardır.Beşinci bölümde, Fourier katsayıları ile YBMG terimleri arasındaki ilişkinin oldukçayeni bir yaklaşımı verilmiştir.

Abstract:
In this work, first the Fundamentals of High Dimensional ModelRepresentation (HDMR) method and its various versions are given. This is followedby an analysis of the effect of domain geometry on HDMR approximation. To thisend, additivity measurers are also calculated. High Dimensional ModelRepresentation expresses a multivariable function as a sum of a constant, univariate,bivariate functions etc. . In other words, High Dimensional Model Representationuses a divide and conquer technique for problems having multi ? variate functions.The aim of this work, is to scrutinize the various existing versions of HDMR and todetermine what kind of results HDMR gives inside and outside the domain(s) used.Two different weight functions are also used for calculations and the differencesresulting from utilizing these different weights are investigated.In section two of this work, a reasonably lengthy review of various HDMRversions are given. The development of these versions have resulted from differentrequirements of different types of problems. Factorized High Dimensional ModelRepresentation (FHDMR), for example, was developed for use in the case offunctions having multiplicative nature whereas Hybrid High Dimensional ModelRepresentation (HHDMR) was developed for use in the case of functions havingadditive as well as multiplicative nature. In section three, different versions ofHDMR, depending on the structure of the problem considered, are analyzed in detail.The effectiveness of these various versions were shown by using examples fromrelevant literature. In section four, the effects of domain and weight function areinvestigated. It is observed that, HDMR gives effective results in the interval it isVIIdefined. However, outside the relevant interval, these results are quite inconsistent.Investigation of normalized linear exponential function gives similar resultsunderlining the importance of the domain. These results are also compared in thegraphs given at the end of this section. In section five, a rather novel approach isgiven to the relation between Fourier coefficients and HDMR terms.