Semi-Riemann geometride spin yapılar ve Dirac operatörü üzerine
On spin structures and Dirac operator in semi-Riemannian geometrty
Yazar: GÜLŞAH AYDIN ŞEKERCİ
Danışman: PROF. DR. ABDİLKADİR CEYLAN ÇÖKEN
Süleyman Demirel Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2017
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Dirac operatörü = Dirac operator ; Lie cebirleri = Lie algebras ; Lif demeti = Fiber bundle ; Lorentz manifoldu = Lorentz manifold ; Vektör demeti = Vector bundle ; Yarı Riemann manifoldu = Semi Riemann manifold

Özet:
Bu tez çalışmasında, dejenere spin manifoldlar ile çalışılmış ve geometrisindeki farklılıkların ortaya çıkardığı sonuçlar incelenmiştir. İlk olarak, Riemann ve semi-Riemann spin manifoldların spin geometrisi ele alınmıştır. Sonrasında, ışık hızında hareket eden cisimlerin temsili olan lightlike manifoldlar için dejenerelik derecesine göre spinor demet üzerindeki kovaryant türev tanımlanmıştır. Bunun için de, dejenere spin grup tanımı kullanılarak, bu grup için asli demet kavramı elde edilmiştir. Bu asli demetten ve örtü dönüşümünden yararlanılarak, asli demet için konneksiyon form bulunmuştur. Böylece, spinor demet için konneksiyon form ifadesi elde edilerek, istenilen kovaryant türev kavramı verilmiştir. Ayrıca, lightlike manifoldlar üzerinde Dirac operatör ele alınmıştır. Ancak lightlike manifoldlar üzerindeki metrik dejenere olduğundan bu manifoldlar için Dirac operatörün yazılamayacağı gösterilmiştir. Son olarak, 4-boyutlu Lorentz manifoldun lightlike hiperyüzeyi için, Gauss denkleminin spinor demetteki ifadesi gibi görülebilecek olan Gauss spinorial formülü elde edilmiştir. Bunun için, Lorentz manifold üzerindeki spin yapının hiperyüzey üzerine kısıtlanması ile hiperyüzey üzerinde bir spin yapı tanımlanabileceği gösterilmiştir. Lorentz manifold ve onun lightlike hiperyüzeyinin spinor demetleri için Riemann eğrilikler ve Dirac operatörler arasındaki ilişki verilmiştir.

Abstract:
In this thesis, degenerate spin manifolds have been studied and the results of differences in geometry were examined. Firstly, the spin geometry of Riemannian and semi-Riemannian spin manifolds have been discussed. Later on, a covariant derivative on the spinor bundle according to the degeneracy degree has been defined for the lightlike manifolds which represents the objects moving on speed of light. For this, the notion of principal bundle for this group has been obtained by using the definiton of degenerate spin group. By benefiting from this principal bundle and cover map, a connection form for the principal bundle has been found. So, by obtaining the expression of the connection form for spinor bundle, the notion of the desired covariant derivative has given. Also, the situation of the Dirac operator on the lightlike manifolds has been discussed. However, since the metric on the lightlike manifolds is degenerate, it has been shown that the Dirac operator can not be written for these manifolds. Finally, a Gauss spinorial formula has been obtained for the lightlike hypersurface of the 4-dimensional Lorentzian manifold, which can be seen as the expression of the Gauss equation on the spinor bundle. For this, it has been shown that a spin structure on the hypersurface can be defined  by the restriction of the spin structure on the Lorentzian manifold to the hypersurface. The relationship between the Riemannian curvatures and Dirac operators for spinor bundles of the Lorentzian manifold and its lightlike hypersurface  has been given.