Bessel kaymasının doğurduğu Riesz potansiyellerinden oluşan fonksiyonel uzaylar ve onların dalgacık tipli dönüşümler yardımıyla nitelendirilmesi
The functional spaces formed by the Riesz potentials, generated by Bessel shift and their characterization with the aid of wavelet type translation
Yazar: ESRA SAĞLIK
Danışman: PROF. DR. İLHAM ALİYEV
Akdeniz Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2018
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Dalgacık dönüşümleri = Wavelet transforms ; Riesz potansiyeli = Riesz potential

Özet:
Laplace diferansiyel operatörü diye adlandırılan
	Δ=((∂²)/(∂x₁²))+((∂²)/(∂x₂²))+⋅⋅⋅+((∂²)/(∂x_{n}²))
diferansiyel operatörü, matematiğin en ünlü diferansiyel operatörlerinden biridir. Örne-ğin, n boyutlu Euclid uzayı ℝⁿ'de klasik dalga denklemi ve ısı geçirme denklemi bu diferansiyel oparatör yardımıyla ifade edilir. Bu tez çalışmasında üzerinde çalışılan konu, Laplace diferansiyel operatörü ile singüler Bessel diferansiyel operatörünün toplamı olarak ortaya çıkan ve Laplace-Bessel diferansiyel operatörü diye adlandırılan hibrit bir diferansiyel operatörün doğurduğu ve Fourier-Bessel Harmonik Analiz denilen harmonik analiz ile ilgilidir.
1950'li yıllardan sonra gelişmeye başlayan Fourier-Bessel Harmonik Analiz'in en önemli vasıtalarından biri de, Bessel kayması (genelleşmiş kayma) ile ilişkilendirilen Riesz potansiyelleri olmuştur.
Klasik Fourier Harmonik Analizinde Riesz potansiyellerinin oynadığı rolü Fourier-Bessel Harmonik Analizinde genelleşmiş Riesz potansiyelleri üstlenmektedir.
 Fourier-Bessel Harmonik Analizinin önemli teknik araçlarından biri olan genelleş-miş Riesz potansiyellerinin ele alındığı bu tez çalışmasının esas amacı, söz konusu potansiyeller ve onların tersleri için yeni gösterim vermek ve bu potansiyellerin doğurduğu uzaylar için bir karakterizasyon sunmaktır. Bunun için, öncelikle Abel-Poisson ve Gauss-Weierstrass yarı gruplarının ikisini de genelleyen yeni bir yarı grup tanımlanmış ve bu yarı grup yardımıyla genelleşmiş Riesz potansiyelleri için bir boyutlu yeni bir integral göste-rimi verilmiştir. Bir dalgacık tipli dönüşüm tanımlanarak, ters bulma formülü elde edilmiş ve bu potansiyellerin tersi bulunmuştur. Bundan başka, değişkenlerden yalnız birine değil, birkaçına genelleşmiş kayma uygulanarak ortaya çıkan genelleşmiş Riesz potansiyelleri için yeni bir gösterim daha sunulmuş ve son olarak da bu potansiyellerin doğurduğu uzayın karakterizasyonu (nitelendirilmesi) verilmiştir.

Abstract:
The differantial operator, named Laplace differential operator,
	Δ=((∂²)/(∂x₁²))+((∂²)/(∂x₂²))+⋅⋅⋅+((∂²)/(∂x_{n}²))
is one of the most famous operators in mathematics. For example, classical wave equation and heat equation in n-dimensional space ℝⁿ, are expressed with the aid of this differential operator. The subject, studied in this thesis, is related to Harmonic Analysis which is named Fourier-Bessel Harmonic Analysis, arised as the sum of Laplace differential operator and singular Bessel differential operator and generated by a hibrit differential operator named Laplace-Bessel differential operator.
One of the most important means of Fourier-Bessel Harmonic Analysis, starting to develop after the 1950s, is the Riesz potentials which is associated with Bessel shift.
 The role of Riesz potentials in Classical Fourier Harmonic Analiysis, plays generalized Riesz potentials in Fourier-Bessel Harmonic Analysis.
 The real aim of this thesis study which deals with the generalized Riesz potentials, one of the important technical tools of Fourier-Bessel Harmonic Analysis, is to give a new presentation for this potentials and its inverse and a new characterization for the spaces generated by these potentials. Firstly for this, a new semi group was identified which is generalized both of Abel-Poisson and Gauss-Weierstrass semi groups and a new one dimensional integral repesentation is given with the aid of this semi group. A wavelet type transform is identified, the inverse formula is obtained and the opposite of this potentials are found. Moreover, a new representation is given to generalized Riesz potentials, by applying generalized shift to a few of the variables, not only to one variable, and finally, the characterization of the space which is generated by these potentials, is presented.