Zaman skalasında ikinci dereceden dinamik kapsamaların salınımı
Oscillation of second order dynamic i̇nclusions on time scales
Yazar: YUNUS ONAR
Danışman: YRD. DOÇ. DR. CAN MURAT DİKMEN
Bülent Ecevit Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2016
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Zaman skalası = Time scale

Özet:
Sürekli ve ayrık analizi birleştirmek için 1990 yılında Hilger tarafından bulunan Zaman Skalası teorisi son zamanlarda pek çok ilgi görmüştür. Salınım problemleri son zamanlarda fark denklemleri ve diferansiyel denklemler alanlarında çok ilgi çekici hale gelmiştir. Bu alanlar, çeşitli yazarlar tarafından daha güçlü ve genelleştirilmiş teoremler ile derinleştirilmeye başlanmış; bu yüzden zaman skalasında dinamik denklemler olarak birleştirilmiştir. Dinamik kapsamalar, dinamik denklemlerin önemli bir genelleştirilmesini temsil eder. Bir dinamik kapsamanın çözümü tek bir eğri yerine ulaşılabilir bir kümedir. Dinamik kapsamalar, optimal kontrol teorisinin bazı kavramları için temel teşkil etmektedir. Dinamik kapsamalar pek çok dinamik değişimsel eşitsizlik durumlarından doğmuştur; dinamik sistemler, dinamik Coulomb sürtünme problemleri ve fuzzy kümeleri aritmetiği gibi.

Son yıllarda, zaman skalasında çeşitli dinamik denklemlerin salınımı ve salınımsızlığı konusunda çok fazla araştırma olmuştur. Buna rağmen, zaman skalasında ikinci dereceden dinamik kapsamaların salınımı ve dağılımlı sapma parametreli ikinci dereceden dinamik kapsamalar ile ilgili daha az sonuç vardır. Bu tezin amacı bu tipteki ikinci dereceden dinamik kapsamalar için bazı salınım kriterlerinin incelenmesidir.

Birinci bölümde zaman skalası ile ilgili temel bilgiler verilmiştir. f : 𝕋 -> ℝ fonksiyonları için zaman skalasında delta ve nabla türevleri açıklanarak bu türevler ile ilgili temel tanımlar ve örnekler ele alınmıştır. Ayrıca zaman skalasında delta ve nabla integral kavramına yer verilerek delta ve nabla integrallerin özellikleri de incelenmiştir.

İkinci bölümde Ravi P. Agarwal, Said Grace ve Donal O'Regan tarafından aynı ikinci dereceden bir diferensiyel kapsama için 2003 ve 2009 yıllarında yapılan iki çalışma üzerinde durulmuştur. Dinamik kapsama formu üçüncü bölümde çalışılacak olan bu çalışmalarda ikinci dereceden bir diferensiyel kapsama için salınım kriterleri ile ilgili temel teoremler verilmiştir.

Üçüncü bölümde Elvan Akın-Bohner ve Shurong Sun tarafından 2012 yılında yapılan bir çalışma üzerinde durulmuştur. Bu çalışmada zaman skalasında ikinci dereceden güçlü süperlineer ve güçlü altlineer dinamik kapsamalar için bazı salınım kriterleri incelenmiştir.

Son bölümde Said Grace, Elvan Akın ve Rawi Agarwal tarafından 2015 yılında yapılan yeni bir çalışma üzerinde durulmuştur. Bu çalışmada dağılımlı sapma parametreli lineer olmayan ikinci dereceden sönümlü dinamik kapsamaların tüm çözümlerinin salınımlılığı üzerine bazı teoremler verilmiştir. Son olarak, elde edilen sonuçlar için mümkün olan birkaç genişletme araştırılmıştır.

Abstract:
Time scale theory which was found in 1990 by Hilger to connect the continuous and discrete analysis, has received a lot of interest recently. Oscillation problems recently has become very attractive in the area of difference and differential equations. These areas, have been throughly studied by several authors with more generalised and strong theorems; since it was compiled as dynamic equations on time scales. Dynamic inclusions, represents an important generelation of dynamic equations. Solution of a dynamic inclusion instead of a single curve it is a reachable set. Dynamic inclusions are fundamental for some concepts of optimal control theory. Dynamic inclusions arise from several dynamical inequality situations; such as dynamic systems, dynamic Coulomb friction problems and fuzzy sets arithmetic.

In the recent years there is a lot of research on oscillation or non-oscillation of several dynamic equations on time scales. However, there are few results dealing with the oscillation of second order dynamic inclusions on time scales and for second order dynamic inclusions with distributed deviating arguments. The purpose of this thesis is to investigate the some oscillation criteria of this type of second order dynamic inclusions.

In the first chapter, some basic knowledge about time scale is given. Delta and nabla derivatives for the functions f : 𝕋 -> ℝ on time scales are explained and some basic definitions an examples are given regarding these derivatives. Also, concepts of delta and nabla integral are given and properties of delta and nabla integrals are investigated.

In the second chapter, we look into the two studies of Ravi P. Agarwal, Said Grace and Donal O'Regan in 2003 and 2009, which are on the same second order differential inclusion. In these studies basic theorems on oscillation criteria of a second order differential inclusion, whose dynamic inclusion form will be used in chapter three, are given.

In the third chapter we investigated the study of Elvan Akın-Bohner and Shurong Sun in 2012. In this work they investigated some oscillation criteria of second order strong superlinear and strong sublinear dynamic inclusions on time scales.

In the last chapter we looked into a new study given by Said Grace, Elvan Akın and Rawi Agarwall in 2015. In this study oscillatory theorems for certain second order damped dynamic inclusions with distributed deviating arguments are given. Finally, some possible generalisations are investigated for the found results.