Jeodezikler için bazı integral geometri problemlerinin çözülebilirliğinin ve yaklaşık çözümlerinin araştırılması
Investigation of the solvability and approximate solutions of some integral geometry problems for geodesics
Yazar: İSMET GÖLGELEYEN
Danışman: YRD. DOÇ. DR. MUSTAFA YILDIZ ; YRD. DOÇ. DR. YUSUF KAYA
Zonguldak Karaelmas Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2011
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Eğrilik = Curvature ; Jeodezik = Geodesic ; Ters problemler = Inverse problems ; Transport denklemleri = Transport equations ; Çözülebilirlik = Solvability ; İntegral geometri problemleri = Integral geometry problems

Özet:
Bu tez çalışmasında, eğriliği olan bir eğriler ailesi için bir integral geometri problemi (IGP) ele alınmış ve bu problemle ilgili ters problemlerin çözülebilirlikleri ve yaklaşık çözümleri araştırılmıştır. Eğriliğin ifadesindeki fonksiyonların iki değişkenli olarak alınması, IGP ile jeodezik eğriler arasında bir ilişki kurulabilmesi açısından önemlidir.Tezin genel yapısı şöyledir: Birinci bölümde, yapılan çalışmanın kapsam ve önemi ile gerekli temel tanım ve teoremler verilmiştir. İkinci bölümde, direkt problem ve ters problem tanımları ifade edildikten sonra bu problemlere örnekler verilmiştir. Üçüncü bölüm, IGP nin tanımına ve bazı uygulama alanlarına ayrılmıştır. Dördüncü bölümde, transport denklemlerin ortaya çıktığı bazı önemli uygulama alanları ve transport denklemler için bazı önemli ters problemler verilmiştir.Beşinci bölümde, ele alınan problemlerin yaklaşık çözümlerini elde edebilmek amacıyla kullanılan sembolik hesaplama ve sonlu fark yöntemlerinden bahsedilmiştir. Son bölüm olan altıncı bölümde, jeodezikler boyunca bir IGP ile ilgili olan transport ve transport benzeri denklemler için bazı ters problemlerin çözülebilirlikleri araştırılmıştır. Ayrıca bu ters problemlerin yaklaşık çözümleri hesaplanmış ve önerilen çözüm yöntemleri değişik örnekler üzerinde test edilmiştir.

Abstract:
In this thesis, an integral geometry problem (IGP) for a family of curves with curvature is considered and solvability and approximate solution of the related inverse problems are investigated. The functions in the statement of the curvature depend on two variables and this is important in order to establish a connection between IGP and geodesics.The outline of the thesis as follows: In the first chapter, the scope and importance of the study and some basic definitions and theorems which are used throughout the thesis are given. In the second chapter, definitions and examples of direct and inverse problems are presented. Third chapter devoted to the statement of IGP and its applications. Fourth chapter contains some important transport equations arising in different areas of science and engineering and some important inverse problems for transport equations. In the fifth chapter, a symbolic computation approach and a finite difference method are described, which are used to obtain the approximate solution of the problems. In the final section, the solvability of the inverse problems for transport and transport-like equations which are related to IGP along geodesics is investigated. Also the approximate solutions of these inverse problems are computed and proposed methods are tested on different examples.