Eğri eksenli değişken kesitli çubukların statik ve dinamik problemleri
Static and dynamic problems of curved beams with varying cross-sections
Yazar: ÖZNUR ÖZDEMİRCİ YİĞİT
Danışman: DOÇ. DR. EKREM TÜFEKÇİ
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Makine Mühendisliği Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2009
Konu: Makine Mühendisliği = Mechanical Engineering
Dizin: Titreşim problemleri = Vibration problems

Özet:
Eğri eksenli çubuklar, en basit yapı elemanlarından biri olarak, çok sayıda modernmühendislik yapısının temelini oluşturmaktadır. Seneler boyunca araştırmacılarınilgilendiği bir konu olmakla birlikte, eğri eksenli çubuklar üzerine yapılan çalışmalarhala devam etmektedir.Bu çalışmada, eğri eksenli çubukların düzlem içi statik ve dinamik davranışları elealınmaktadır. Çubukların düzlem içi statik davranışını veren denklemlerin, kaymadeformasyonu ve eksenel uzama etkileri dikkate alınarak, kesin analitik çözümü eldeedilebilmektedir. Böylece, çubuk eksen eğrisi ve kesiti ne olursa olsun, yerdeğiştirme, kesit dönmesi ve kesit tesirleri değerleri eksen eğrisi boyuncabelirlenebilmektedir.Çubuk statik davranışını ifade eden denklemlerden hareketle, D'Alembertprensibiyle, dinamik davranışları ifade eden denklemlere ulaşılabilmektedir. Kaymadeformasyonu, dönme eylemsizliği ve eksenel uzama etkilerini göz önüne alandinamik denklemlerin kesin çözümü, başlangıç değerleri yöntemiyle elde edilmiştir.Kesin çözüm, sadece, sabit kesitli, çember eksenli çubuklar için söz konusudur.Eğri eksenli düzlemsel çubukların düzlem içi statik ve dinamik problemlerinin, kaymadeformasyonu, dönme eylemsizliği ve eksenel uzama etkileri dahil edilen kesinçözümleri, literatürdeki mevcut çalışmalarda verilmektedir. Bu çalışmanın temelamacı, çubuk statik ve dinamik davranışı için elde edilen kesin çözüm yönteminisunmak, daha sonra, elde edilen bu çözüm yönteminden yola çıkarak, eğri eksenliçubukların, düzlem içine ait statik ve dinamik problemlerinin çözümündekullanılabilecek farklı çözüm yöntemleri oluşturmaktır. Literatürdeki benzer örneklerçözülerek sonuçlar karşılaştırılmakta ve bazı problemler detayları ile verilmektedir.Birinci bölümde, çubuk teorisi hakkında kısaca bilgi verilmiş, çalışmanın amacı vekapsamı belirtilmiştir.İkinci bölümde, eğri eksenli çubuklarla ilgili literatürdeki mevcut çalışmalarincelenmiş, hem statik hem de dinamik problemlerin çözümünde kullanılanyöntemler hakkında bilgi verilmiştir. Literatürde, eğri eksenli kirişler hakkında çoksayıda araştırma bulunmakla birlikte, çalışmaların birçoğunda çubuğa aitdiferansiyel denklemler basitleştirerek kullanılmakta, kayma deformasyonu, dönmeeylemsizliği ve eksenel uzama etkileri ihmal edilmektedir. Bu sadeleştirilmişdiferansiyel denklemler, enerji metotları veya sonlu eleman gibi sayısal yöntemlerkullanılarak çözülmektedir.Üçüncü bölümde, eğri eksenli çubukların düzlem içi ve düzlem dışı geneldenklemleri verilmektedir. Eksen eğrisi herhangi bir uzaysal eğri olarak elealınmaktadır. Çubuk statiğinin genel denklemlerine bağlı olarak, çubuk titreşimleriningenel denklemleri elde edilmektedir.Dördüncü bölümde, eğri eksenli çubukların düzlem içi statik ve dinamikproblemlerinin kesin çözümü başlangıç değerler yöntemi ile verilmektedir. Başlangıçxvideğerleri yönteminin üstünlüğü; yüksek mertebe statik belirsizliklerin, probleminçözümüne ilave bir zorluk katmayışıdır. Herhangi bir bilinen sınır şartı ile çözümlerelde etmek mümkündür.Beşinci bölümde, sabit eğrilik yarıçapı ve sabit kesit alanına sahip çubuk için öncekibölümde elde edilen kesin çözüm yöntemi, değişken eğrilik yarıçapı ve değişkenkesit alanına sahip çubukların düzlem içi titreşim problemlerinin çözümü içinuygulanmaktadır. Sürekli değişken kesitli çubuk için yaklaşık çözüm yöntemlerindenbiri olan bu yöntemde, eleman sayısı arttıkça doğru sonuca olan yakınsama daartmaktadır. Literatürde yapılan benzer çalışmalar incelenmiş, sonuçlarkarşılaştırılmıştır.Altıncı bölümde, kesin çözüm yönteminde elde edilen ifadeler kullanılarak, eğrieksenli çubukların statik problemlerinin çözümünde kullanılacak bir sonlu elemanformülasyonu oluşturulmaktadır. Oluşturulan rijitlik (katılık) matrisi, eksenel uzamave kayma deformasyonu etkilerini içermekte, farklı yükleme koşulları ve farklı sınırşartları altında düzlem içi yer değiştirmeler ve kesit tesirleri hesaplanabilmektedir.Literatürde yer alan çok sayıda örnek incelenmiştir. Eğrilik yarıçapının değişkenolması durumu da göz önüne alınmış, spiral ve parabol eksenli çubukların statikdavranışına ait örnekler çözülmüştür.Yedinci bölümde, çubuğa ait kütle matrisi elde edilerek, statik problemlerinçözümünde kullanılan sonlu eleman formülasyonu, eğri eksenli çubuklara aitdinamik denklemlerin çözümünde de kullanılır hale getirilmiştir. Kütle matrisi, dönmeeylemsizliği etkisi de göz önüne alınarak, kinetik enerji ifadesi yardımıylaoluşturulmuştur Statik davranışın çözümünden elde edilen rijitlik matrisi, kütle matrisiile birlikte kullanılarak problem, özdeğer problemine uyarlanmıştır. Böylece eldeedilen özdeğer problemi çözülmüş, özdeğerler yani, çubuğa ait frekans değerlerihesaplanmıştır.Sekizinci bölüm, deneysel modal analiz çalışmasını içermektedir. Yapılan teorikçalışmaların gerçek durum ile karşılaştırılması amacıyla, eğri eksenli çubuklarıntitreşimleri deneysel olarak da incelenmektedir. Deneylerde hem sabit kesitli, hemde kademeli değişken kesitli çubuklar kullanılmıştır. Farklı sınır koşullarında, farklıkiriş açıklıklarına sahip çubuklarla yapılan deney sonuçları, analitik olarak eldeedilen sonuçlarla birlikte verilmektedir.Dokuzuncu bölümde, çalışmanın kapsamı kısaca ele alınmış, elde edilen sonuçlartartışılmıştır.

Abstract:
Arch elements are the most simple and the most commonly used structures inengineering area. Considerable amounts of attention has been devoted to theanalysis of such elements in recent years.The governing differential equations of in-plane deformations of a general curvedbeam can be solved exactly. The effects of the axial extension and the sheardeformation are included in the analyses. The geometry of the beam axis andboundary conditions may be arbitrary.The governing equations of vibrations of arches are six simultaneous lineardifferential equations of the first order. When the axial extension, shear deformationand rotatory inertia effects are taken into account, the governing equations of motionare very complicated. Because of this complexity, most of the researcherscalculated the natural frequencies of vibrations of arches, based on the classicaltheory in which the foregoing effects are neglected. Although exact methods areemployed for only the simple cases, Ritz, Galerkin and finite element methods areused extensively when the complicated cases are considered. The exact solutionexists only for a circular arch of uniform cross-section. The equations of motion,which take into account axial extension, shear deformation and rotatory inertiaeffects, can be solved exactly.The purpose of this study is to give analytical solutions of static and dynamicproblems of curved beams by considering axial extension, shear deformation androtatory inertia effects, and then to develop other new methods to solve either staticor dynamic problems by using exact solution.In the first chapter, a general view for curved beams and the aim of the presentstudy are given in summary.In the second chapter, a detailed review for the studies in the literature on both staticand dynamic problems is given. Reviewing the literature has shown that manyexcellent papers deal with in-plane vibrations of arches, there is very limited numberof studies available in the literature on the dynamic behavior of arches of variablecross-sections. It seems that the finite elements were the major tool in this research.Most work has been done within the scope of Bernoulli-Euler beam theory. Thistheory is recognized as adequate for common engineering problems. However, forarches having large cross-sectional dimensions in comparison with their span lengthand for arches in which higher modes of vibration are required, the Timoshenkobeam theory, which takes into account the rotatory inertia and the shear effects,gives a better approximation to the actual beam behavior. The most important effecton predicting the frequencies of the vibrations of an arch is the axial deformationeffect. Only a few works have taken into account the axial extension, sheardeformation and rotatory inertia effects. Almost all of them uses the numericalmethods and gives approximate results.xviiiIn the third chapter, the governing differential equations of a curved beam are givenfor the static and dynamic problems. The beam is represented by a space curvewhose every point is coupled with a rigid orthonormal vector diad. The vectors arechosen to be perpendicular to the tangent vector of the space curve in the initialstate and they represent the cross-section of the beam. In the deformedconfiguration, these directors still remain unit and perpendicular each other becauseof the assumption of a rigid cross-section.In the fourth chapter, the governing differential equations of static and dynamicproblems of arches are solved exactly by using initial value method. For the staticproblems, the curvature and the cross-section of the arch are considered asvariable. The solution does not depend on the loading and boundary conditions.The analytical expressions of the fundamental matrix are obtained for generalcases. It is possible to use these analytical expressions in order to obtain thedisplacements and the stress resultants for a curved beam with any loading andboundary conditions. The exact solution of the governing equations is possible onlyfor a uniform circular arch.The in-plane free vibration of circular arches with continuously varying cross-sectionis investigated by means of the exact solution in the fifth chapter. As anapproximation, such an arch is divided into a number of stepped arches withconstant cross-sections. The cross-section of each element is determined byaveraging the dimensions of upper and lower bounds of the element. Then, theexact solution of free vibrations for each stepped arch can be obtained by usinginitial value method. The axial extension, transverse shear deformation and rotatoryinertia effects are included in the governing differential equations of free vibrations.As the number of the stepped arches increase, the fast convergence to thefrequencies of the original arch is observed. Clamped-clamped, hinged-hinged,hinged-clamped, clamped-free and free-free boundary conditions are studied fordifferent opening angles. A comparison with available approximate solutions is alsoperformed. The agreement among all these methods is generally good.In the sixh chapter, the exact solution is adopted to the finite element method. Atwo-node six degree of freedom element is built by considering axial extension andshear deformation effects. The stiffness matrix is obtained from force-displacementrelations and used for solution of static problems of curved beams. The beams withvariable curvature are investigated besides the beams with constant curvature. Theexamples given in the literature are solved and the results are compared.The natural frequencies of curved beams for in-plane vibrations are investigated bymeans of finite element method in chapter seven. The element mass matrix isderived based on the equation of kinetic energy with rotatory inertia effect. Thenatural frequencies are obtained by solving the eigenvalue problem. Somenumerical examples in the literature are also solved in details and the results aregiven.The experimental studies and modal analysis of several curved beams are given inthe chapter eight. The experimental results are compared with the analytical solutionfor different curved beams and different boundary conditions. Vibration of beams isalso studied by using finite element package program ANSYS in order to comparenatural frequencies and mode shapes of the beam. The results show thatexperimental, analytical and finite element solutions are in good agreement witheach other.In the ninth chapter, the scope of the study is given with the results anddiscussions. Some suggestions are made to imrove the methods in advance.