3+1 boyutta integre edilebilir sistemler ve bi-hamiltonyen yapıları
3+1 boyutta integre edilebilir sistemler ve bi-hamiltonyen yapilari
Yazar: BAŞAK MEMİŞOĞLU
Danışman: YRD. DOÇ. DR. DEVRİM YAZICI
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Fizik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2010
Konu: Fizik ve Fizik Mühendisliği = Physics and Physics Engineering

Özet:
Bu çalışmada son günlerde gelişme gösteren 3+1 boyutlu integre edilebilir bi-Hamiltonyen sistemler çalışılmıştır. Genel olarak bir bağımlı değişken ile x, y, z ve t şeklinde dört bağımsız değişkenden oluşan ikinci mertebeden lineer olmayan diferansiyel denklemler ele alınacaktır. Reel dört boyutta Öklid veya ultra-hiperbolik imzada (signature) ?(anti)-self-dual gravity? içeren Kompleks Monge-Ampere denklemi, bu denklemlere bir örnek oluşturmaktadır. Kompleks Monge-Ampere denkleminin, reel birinci mertebeden 2-bileşenli formda tanımlandığında bi-Hamiltonyen yapıya sahip olduğu gösterilmiştir. Böylece Kompleks Monge-Ampere denklem sistemi, Magri teoremine göre dört boyutta tamamen integre edilebilir bir sistemdir. Birinci Hamiltonyen ve simplektik yapıyı elde etmek için Dirac'ın bağ teorisi 2-bilişenli sistem için tanımlanan yeni Lagranjyen'e uygulanarak elde edilmiştir. Sistemin Frechet türevini elde etmek için sadece bağımlı değişkenleri içeren Lie grup dönüşümüne, integre edilebilirlik şartı (compatibility) uygulanmıştır. Tekrarlama operatörü ve Frechet türevi komütatörünün, sistemi yeniden oluşturduğu için Olver-Ibragimov-Shabat tipi Lax çifti oluşturdukları gösterilmiştir. Daha sonra tekrarlama operatörü inşa edilmiş ve sistemin ikinci Hamiltonyen yapısı, tekrarlama operatörünün birinci Hamiltonyen operatörüne uygulanmasıyla elde edilmiştir. Son olarak Hamiltonyen operatörleri için Jacobi özdeşliği, Olver'in yöntemi kullanılarak kanıtlanmıştır. Böylece Magri teoremine göre reel dört boyutta ?self-dual gravity? nin tamamen integre edilebilir olduğu sonucuna varılabilmiştir.

Abstract:
In this work we study 3+1 dimensional bi-Hamiltonian integrable systems which are developed considerably in recent years. In general we are interested in nonlinear second order differential equations with one dependent variable and four independent variables x, y, z and t. One of the examples of these equations is the Complex Monge-Ampere equation which governs the (anti)-self-dual gravity in the real four-dimensional space with either Euclidean or ultra-hyperbolic signature. It is shown that Complex Monge-Ampere equation when set in a real first-order 2-component form admits a bi-Hamiltonian structure. Therefore by Magri?s theorem this is proven to be a completely integrable system in four dimensions. For a 2-component system a new Lagrangian is introduced and Dirac?s constraint theory is applied to obtain the symplectic and first Hamiltonian structure. In order to get Frechet derivative of the system the compatibility condition is applied to the Lie group transformation which is only considered for a dependent variable. It is also shown that the commutator of the recursion operator and Frechet derivative reproduce the system and therefore form a Lax pair Olver-Ibragimov-Shabat type. Then the real Recursion operator is constructed and the second Hamiltonian structure for this system is obtained by applying the recursion operator on the first Hamiltonian operator. Finally Jacobi identity for Hamiltonian structure is proven by using Olver?s method. Therefore we conclude that self-dual gravity is completely integrable in four real dimensions by Margi?s theorem.