Çeşitli elemanlar taşıyan bir kiriş (çubuk) halinde karakteristik denklemin elde edilmesi ve ilgili özdeğer hassasiyetlerinin hesaplanması
Obtaining eigenvalues and eigenvalue sensitivities of a beam (rod) carrying various lumped attachments
Yazar: SALİH DEMİRTAŞ
Danışman: PROF. DR. METİN GÜRGÖZE
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Makine Mühendisliği Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2014
Konu: Makine Mühendisliği = Mechanical Engineering
Dizin: Mekanik titreşim = Mechanical vibration ; Serbest titreşimler = Free vibrations

Özet:
Üzerinde çeşitli ayrık elemanlar taşıyan kirişlerin (çubukların) serbest titreşimleri
konusu uzun zamandır mühendisler tarafından ayrıntılı ve yoğun bir biçimde
araştırılmaktadır. Bu konu ile ilgili zengin bir literatür bulunmaktadır. Ancak
pekçok çalışmada çubuk veya kiriş üzerine eklenen ayrık elemanlar, yay-kütle sistemi,
noktasal kütle, yay-sönüm elemanı-kütle sistemi gibi, benzer tipdedir.
Philip D. Cha [J.S.V vol.286, pp.921-939 (2005)] çalışmasında, özel mesnetleme
şartlarından bağımsız bir Bernoulli-Euler kirişi üzerine, ayrık kütle, yay, burulma
yayı, viskoz sönüm elemanı, yay-sönüm elemanı-kütle sistemi, burulmalı viskoz
sönüm elemanı ve belirli bir kütle atalet momentine sahip ayrık elemanın bir veya
bir kaçının birlikte eklenmesi ile oluşacak olan bileşik sistemlerin özdeğerlerinin
belirlenmesi için etkili bir yöntem önermiştir. Sistemin özdeğerlerini elde etmek
için bir genelleştirilmiş özdeğer probleminin çözülmesi yerine, Lagrange Denklemleri
Yöntemi (Assumed Modes Method) kullanılarak sayısal olarak kolayca çözülebilen bir
karakteristik denklem formüle edilmiştir.
P.D. Cha ve Andrew B. Sabater [AIAA Journal, vol.49, No.11, pp.2470-2481 (2011)]
çalışmalarında ise, ayrık elemanların fiziksel parametrelerine ve eklenmiş oldukları
konumlara göre bileşik sistemlerin özdeğer hassasiyetlerini kapalı fonksiyonlar
teoremi kullanılarak belirlenmesi için bir yaklaşım önermişlerdir. Ayrıca, bu
makalede ayrık elemanların fiziksel parametreleri ve eklenmiş oldukları konumlarda
küçük değişimlerin meydana gelmesi hali de ele alınmıştır. Böyle bir durum için
değişen özdeğerler yeni bir analize gerek duyulmaksızın özdeğer hassasiyetlerinden
faydalanılarak, Taylor serisi açılımı ile yaklaşık olarak hesaplanmıştır.
Bu tez çalışmasının ikinci kısmında, yukarıda bahsi geçen Philip D. Cha'nın [J.S.V
vol.286, s.921-939 (2005)] ve P.D. Cha ve Andrew B. Sabater'in [AIAA Journal,
vol.40, No.11, s.2470-2481 (2011)] makaleleri titiz bir şekilde incelenerek gerekli tüm
ara işlemler ve sayısal hesaplamalar yapılmıştır.
Bu tezdeki esas katkı ise, çalışmanın üçüncü kısmında, ikinci kısmında önerilen
ve açıklanan yöntemin, boyuna titreşen, üzerinde çeşitli ayrık elemanlar taşıyan bir
çubuğa uygulanması olmuştur. Çalışmaya konu olan bu çubuğun üzerinde, yay,
noktasal kütle, sönüm elemanı, yay-kütle sistemi, yay-sönüm elemanı-kütle sistemi
ve çubuğun ucunda bir yay bulunmaktadır. Yaklaşık karakteristik denklem, Lagrange
Denklemleri Yöntemi kullanılarak elde edilmiştir. İkinci kısıma paralel olarak, çeşitli
bileşik sistemler için ayrık elemanların fiziksel parametreleri ve eklenmiş oldukları
konumlara göre özdeğer hassasiyetleri sayısal olarak hesaplanmıştır. Son olarak
sistem parametrelerinde küçük değişimlerin olduğu durum gözönüne alınarak değişen
özdeğerler yaklaşık olarak hesaplanmıştır.
Bir veya birden fazla ayrık eleman taşıyan bileşik sistemlerin özdeğerlerinin ve
özdeğer hassasiyetlerinin, önerilen bu yaklaşım kullanılarak hesaplanmasının birçok
avantajı vardır. İlk olarak, elde olunan karakteristik denklemin bir paket program
kullanılarak kodlanması kolaydır. Taşıyıcı kirişin özfonksiyonlarının ve özdeğerlerinin
bilinmesi durumunda kolay bir şekilde programlanabilir ve sayısal olarak çözülebilir.
İkinci olarak, önerilen bu yaklaşım taşıyıcı kirişin(çubuğun) özfonksiyonlarının
belirlenebilmesinin mümkün olması halinde, çeşitli mesnetlenme durumları için
uygulanabilir. Son olarak, ayrık elemanların fiziksel parametreleri ve eklenmiş
oldukları konumlarda küçük değişimlerin olması durumunda, değişen özdeğerlerin
Taylor serisi açılımı kullanılarak yaklaşık olarak belirlenmesi için kullanılabilir.

Abstract:
The eigenvalues and eigenvalue sensitivities of combined system consisting of
arbitrary supported linear structures, such as beams vibrating on transverse axis and
rods vibrating on longitudinal axis, that carrying various lumped attachments are
thoroughly analysed in this study. In the second part of the study, inspired from
the work of Philip D. Cha [J.S.V vol.286, pp.921-939 (2005)], a simple approach
is proposed that can be used to easily determine the eigenvalues of an arbitrarily
supported single-span or multi-span beam carrying lumped mass, rotary inertia,
grounded translational or torsional spring, grounded translational or torsional viscous
damper and an undamped or damped oscillator with a rigid body degree of freedom.
Rather than solving a generalized eigenvalue problem to obtain the eigenvalues of the
system, a characteristic equation is formulated instead whose solution can be easily
solved either numerically or graphically. 
The eigenvalue sensitivities with respect to the physical parameters of the lumped elements and their attachment locations are computed by taking the partial derivatives of the characteristic equation. An efficient approach is proposed by P.D. Cha ve Andrew B. Sabater [AIAA Journal, vol.49,No.11, pp.2470-2481 (2011)] to determine the eigenvalue sensitivities with respectto the physical parameters of the lumped elements and their attachment locations using the implicit function theorem.
The main contribution of this study is applied to longitudinally vibrating rods which
carrying various lumped attachments, including point masses, translational springs
and dampers, undamped and damped oscillators with rigid body degree of freedom,
using proposed method given in the second part of the study.
Determining eigenvalues and eigenvalue sensitivities of combined system consisting of
an arbitrarily supported linear structure carrying any number of lumped attachments,
the proposed scheme of calculating the eigenvalues and the eigenvalue sensitivities of
the combined systems offers numerous advantages. First, proposed method is simple
to code. Given the eigenfunctions of the host linear structure, characteristic
equations can be easily programmed and solved either graphically or numerically using
any existing root solvers. Second, the proposed approach can be used to determine
the eigenvalues and eigenvalue sensitivities with respect to any physical parameter of
the lumped attachments. Third, the formulation of the present study is general, and
the results can be easily extended to encompass any one- or two-dimensional linear
structure onto which one or more lumped elements are attached. Finally, the eigenvalue
sensitivities can be used in conjunction with the Taylor series expansion to compute the
perturbed eigenvalues of a slightly modified system without performing a potentially
costly reanalysis. As a result, numerical case studies are illustrated the validity of
the proposed method when approximate eigenvalues and eigenvalue sensitivities are
compared with those obtained exactly.