Diçatılara genelleştirilmiş bazı topolojik kavramlar
Some topological properties generalized to diframes
Yazar: ESRA KORKMAZ
Danışman: PROF. DR. RIZA ERTÜRK
Hacettepe Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2018
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezin amacı, ditopolojik doku uzaylarının bir genelleştirmesi olarak diçatı kavramını tanımlamak ve bu yapı üzerinde, ayırma aksiyomları ve kompaktlık gibi topolojik özellikleri çalışmaktır. Bu çalışma altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde tez konusuna kısa bir giriş yapılmıştır.
İkinci bölümde, tezde kullanılacak olan ve çatı teorisi ile ditopolojik doku uzayları konu edinen bazı temel bilgilere yer verilmiştir.
Üçüncü kısım koçatı teorisi üzerine yapılan çalışmalara ayrılmıştır. Burada, çatı teorisine dual olarak bazı yeni tanımlar ve özellikler sunulmuştur.
Dördüncü kısımda, diçatıların kategorisi oluşturulmuştur. Bunun için önce, doku uzayların kategorisi olan drTex'in morfizmaları ile çatıların kategorisi olan Frm'nin morfizmaları arasındaki ilişkiler incelenmiş, daha sonra ise Frm'nin dolu bir alt kategorisi olan frTex elde edilmiştir. Elde edilen bu bağlantıdan yararlanılarak diçatıların ve diçatı homomorfizmalarının kategorisi olan diFrm inşa edilmiştir. Bu kısımda ayrıca diçatılarda taban, alt taban ve altdilokal kavramları da tanımlanmıştır.
Beşinci bölümde, diçatılarda ayırma aksiyomları incelenmiştir. Özel olarak, bu aksiyomlar için bazı karakterizasyonlar verilmiş ve aralarındaki ilişkiler incelenmiştir.
Son bölümde, diçatılarda kompaktlık ve dengelilik kavramları araştırılmıştır. Bu bölüm iki kısımdan oluşmaktadır. Birinci kısımda, bu özelliklerin kalıtsal olup olmadığı ve belli koşulları sağlayan morfizmalar altında korunup korunmadığı soruları tartışılmıştır. Dengelilik, bir diçatının, çatı ve koçatı kısımlarını birbirine bağlayan bir özellik olduğundan, ayırma aksiyomları ve kompaktlığı ilişkilendiren topolojik özelliklerin diçatılardaki karşılıkları oluşturulurken, kompaktlık yerine dengelilik kullanılmıştır.
Burada aynı zamanda Alexander alt taban teoreminin bir genelleştirmesine yer verilmiştir. İkinci kısımda, diçatılarda yerel dengelilik ve yerel kompaktlık kavramları tanımlanmıştır. Bu kavramların ikili topolojik uzaylardaki karşılıkları, nokta-tabanlı bir yapı olan komşulukları kullanırken, burada yapılan tanımlarda belirli özelliklere sahip ikili bağıntılardan yararlanılmıştır. Son olarak, bu lokal özelliklerin bazı özel koşulları sağlayan morfizmalar altındaki görüntüleri incelenmiştir.

Abstract:
The aim of this thesis is to define the notion of diframe as a generalization of ditopological texture spaces and to study the topological concepts such as separation axioms and compactness in diframe setting. This work consists of six chapters. In the first chapter, we give a brief introduction.
In the second chapter, we present some necessary preliminaries including frame theory and ditopological texture spaces.
Chapter three is devoted to the study of coframes. We provide some new definitions and properties dual to those in frame theory.
In chapter four, we establish the category of diframes. We first provide a link between morphisms of the category drTex of texture spaces and the category frames (Frm) and then obtain a full subcategory frTex of Frm. This connection allows us to construct the category diFrm of diframes and diframe homomorphisms. In this chapher, we also give the definitions of base, subbase and subdilocale of a diframe.
In chapter five, we study separation axioms in diframes. In particular, we provide alternative characterizations of these axioms and investigate the connections between them.
The final chapter deals with the compactness and stability in diframes. This chapter is divided into two section. In the first section, we discuss the questions of whether these properties are hereditary, and whether they are preserved by any reasonable kind of homomorphisms. Since stability is a property relating the frame and the coframe parts of a diframe, we replace compactness by stability to obtain diframe versions of topological results relating separation axioms and compactness. We also give a generalization of Alexander's subbase theorem. In the second section, we introduce two main concepts, that of locally compactness and locally stability in diframes. These concepts are defined in terms of suitable binary relations whereas their bitopological versions use the notion of neighbourhood which is a point-based structure. We also show that locally compactness and locally stability are preserved by morphism satisfying appropriate conditions.