Matematik bölümü öğrencilerinin ispat algıları
Mathematics undergraduates' perceptions of proof
Yazar: GÖKÇE TUNCER
Danışman: DOÇ. DR. IŞIKHAN UĞUREL
Dokuz Eylül Üniversitesi / Eğitim Bilimleri Enstitüsü / Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanları Eğitimi Ana Bilim Dalı / Matematik Öğretmenliği Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2014
Konu: Eğitim ve Öğretim = Education and Training
Dizin: Aday öğretmenler = Candidate teachers ; Matematik = Mathematics ; Matematik eğitimi = Mathematics education ; Matematik öğretimi = Mathematics teaching ; Öğrenci algısı = Students perceptions ; Üniversite öğrencileri = University students ; İspat = Proof

Özet:
Soyutlama ve genelleme süreci olarak değerlendirilen matematik disiplini, bu süreçte oluşturulan birçok kavramı içinde barındıran bir sistemi içerir. Söz konusu kavramlardan biri ve belki de en önemlisi 'ispat' kavramıdır. Dickerson'a (2008) göre ispat kesinlikle matematiğin merkezindedir. Öyle ki matematiğin bir ispatlama disiplini olduğu ve bunun diğer disiplinler arasındaki temel farkı gösterdiği de söylenir (Heinze & Reiss, 2003). Matematiğin tanımlar, aksiyomlar, önermeler, teoremler ve teoremlerin ispatlarından oluştuğu genel bir kanıdır.

İspat kavramının kökeni çok eski olup matematiğin tarihsel gelişiminde de mihenk noktalarından birini oluşturmuştur. Günümüzde ispat sadece matematik değil aynı zamanda matematik eğitimi alanı içinde önemli bir çalışma konuş haline gelmiştir. Bu alandaki araştırmalara genel olarak ele alınacak olursa karşımıza çıkan temel problemler içerisinde öğrencilerin (farklı seviyelerde) ispatı anlama, algılama durumları ve ispat yapma becerilerinin nasıl olduğu sıralanabilir. Bu çalışmada incelenen konu üniversite matematik bölümü öğrencilerinin ispat algılarıdır. Çalışmamızda fen fakültesi matematik bölümü öğrencilerinin ispat algılarının nasıl şekillendiğini ortaya çıkarmak için üç aşamalı bir veri toplama süreci gerçekleştirilmiştir. Katılımcılar, Dokuz Eylül Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü'nde öğrenim görmekte olan 8'i kız 4'ü erkek olmak üzere 12 kişi olup bunlar 3. ve 4. sınıfta öğrenim görmektedir. Öğrencilerin seçiminde başarı durumlarındaki heterojenlik ve gönüllülük esas alınmıştır.

Araştırmanın birinci aşamada öğrencilerin ispat kavramı için temel teşkil eden kavram tanımlarının ne olduğunu belirlemek için yapılan serbest yazma çalışması yer almaktadır. İkinci aşamada katılımcıların ispat yapma becerilerini ölçmeyi hedefleyen bir dizi teoremin sunulduğu ispatlama çalışması yapılmıştır. Son aşamada ise bizim hazırladığımız içinde belli sayıda doğrulama örneklerini içeren bir forma yönelik öğrencilerin görüşlerinin belirlenmesi yer almaktadır. Bu verilerin birleşiminden katılımcıların ispat algılarının nasıl şekillendiğinin belirlenmesi amaçlanmıştır.

Çalışma sonunda katılımcıların ispata ilişkin kavramları tanımlamada sıkıntı yaşadıkları görülmüştür. Kavramların tamamını doğru bir şekilde tanımlayan bir katılımcı olmamıştır. Ancak katılımcılar, bu kavramları bildiklerini, bütün ders içi uygulamalarında kullandıklarını ancak tanımlamakta zorluk yaşadıklarını dile getirmişlerdir. Katılımcıların tanımlarında ifade etmedikleri ancak diğer uygulamalarla dikkat ettikleri hususlar ortaya çıkmıştır. Örneğin ispat kavramı için doğrulama, şüphe içermeyen gösterme gibi tanımlar yaparken, bir sonraki uygulamalarda ispatta gerekli açıklamalarla ikna edici doğrulamalar olması gerektiğini söylemişlerdir. İkinci uygulamada her bir katılımcının yaptıkları 17 ispatı araştırmacı ve diğer katılımcılar incelemişlerdir. Araştırmacının incelemesiyle bulunan sonuçlar ise şöyledir; katılımcılar matematiksel dil kullanımına özen göstermişlerdir, ispat için gerekli bilgiyi hatırlayamadıklarında ispatı boş bıraktıkları, bazı katılımcıların ise bilgiyi hatırlasa da ispat yolunu da hatırlamaya çalıştığı ancak tam anlamıyla hatırlayamadığı ispatları yarım bıraktığı görülmüştür. Bu katılımcılar tarafından teoremlerin daha önceden herhangi bir kitapta veya ders ortamında gördüğü şekilde ispatlanması ezbere dayalı, otoriteye bağlı (kitap, öğretmen) cevaplar verildiğini göstermektedir. Her bir katılımcı toplamda 187 ispatı incelemiş ve puanlamıştır. Katılımcıların dikkat ettiği hususlar birbirine benzer olduğu kadar çok farklı da olabilmiştir. Puanlama yapılırken yine matematiksel dil kullanımına, açıklamalara, içeriğin doğruluğuna dikkat edilmiştir. Üçüncü uygulama kapsamında görüş alınan formda; tümevarım, doğrudan ve dolaylı ispat yöntemlerini; vektörel, sentetik ve analitik yaklaşımları içeren ve farklı ispat biçimlerini kapsayan (Sözsüz ispat, iki kolonlu (çift sütun) ispat, paragraf ispat, akış diyagramı ispat); bunların dışında, origami ile modellenen, sadece sonlu adımda örnekle doğrulamayı içeren ve sadece metinsel açıklamaya (düz yazı formatında, sayı, sembol, notasyon içermeyen) dayalı olmak üzere 17 doğrulama örneği mevcuttur. Bu görüşmeler sonucunda ise katılımcıların alışkanlıklarının dışına çıkmamış, tanıdık gelen doğrulamaları ispat olarak kabul etme eğiliminde oldukları görülmüştür. Farklı tarzda yapılan doğrulama örneklerinin ise ya kesin şekilde ispat olmadığını ya da çekimser kaldıkları gözlemiştir. Örneğin sözsüz (görsel) ispatın matematiksel sembol, notasyon vb içermemesi nedenlerle ispat olamayacağını düşünmektedirler.
Bu çalışma matematik bölümü öğrencilerinin ispat algısını ortaya çıkarmaya yönelik çok boyutlu veri toplama sürecine sahip bir yapıda tasarlanmış olup elde edilen bulguların ve ulaşılan sonuçların bu alanda çalışan araştırmacılara ve literatüre katkı sağlaması beklenmektedir.


Anahtar Kelimeler: İspat, İspatlama, İspat Algısı, Matematik Bölümü Öğrencisi, Matematik Eğitimi.

Abstract:
The discipline of mathematics regarded as the process of abstraction and generalization includes a system comprising many concepts formed in this process. One and perhaps the most important of the so-called concepts is the concept of 'proof'. According to Dickerson (2008), proof is certainly at the center of mathematics. In fact, it is said that mathematics is a discipline of proving and this shows the main difference among other disciplines (Heinze & Reiss,2003). It is a common idea that mathematics consists of definitions, axioms, propositions, theorems, and the proofs of the theorems. 
The origin of the concept of proof dates back to very early times and has formed one of the touchstones in the historical progress of mathematics. Proof has also nowadays become an important subject matter of study within  mathematical education. When the studies in this field are generally discussed, the students' (at different levels) states of understanding and comprehending the proof and how their abilities to make proofs are can be listed among the basic problems confronting us. The discussed subject in this study is the perception of proof of the students in mathematics department of universities. A three-phase data collecting process was carried out in our study in order to find out how the proof perception of the students of mathematics department in the faculty of science is formed. The participants are a total of 12 persons- 8 are female,4 are male- receiving education in the Mathematics Department, Faculty of Science , Dokuz Eylül University, being in the 3rd and 4th grades. In the selection of students, the heterogeneity in the success of students and the volunterism are taken as basis. 
In the first step of the study was the free-writing practice to determine what the students' conceptual definitions are for the proof concept. In the second step, proving study was carried out in which a series of theorems were submitted aiming to measure the participants' ability to make proofs. In the last step, there were the determination of students' opinions to a form including a certain number of correction samples in what we prepared. It was aimed to determine how the proof perceptions of the participants were formed from the combination of these data. 
At the end of the study it was observed that the participant had difficulties defining the concepts about proof. There was not one participant who defined all of the concepts accurately. However, the participants mentioned that they knew these concepts, used them in their intraclass practices but had difficulty defining them. There appeared some respects which the participants did not state in their definitions but paid attention to in other practices. For example, while defining the concept of proof as confirmation, demonstration with no doubt, they said , during other practices, that there must be convincing confirmations with necessary explanations in the proof. The researcher and other participants examined the seventeen proofs which each participant carried out. The results obtained through  the examination by the researcher are as follows; the participants paid attention to using a mathematical language ; it was observed that they left the proof blank when they could not remember the information necessary for the proof, some participants tried to remember the way of proof even if they remembered the information, but left the proofs blank which they couldn't remember completely. The fact that the theorems were proved by the participants in the same way as they were seen in any book or lesson shows that responses based on memorization or authority (book, teacher) were given. Each participant normally studied and scored a total of 187 proofs. The respects to which the participants paid attention could be similar as well as quite different. While scoring, they considered the usage of mathematical language, explanations, and the accuracy of the content. Within the frame of the third form for which opinions were taken, there are 17 confirmation samples containing induction, direct and indirect proof methods, and vectorial, synthetic and analytical approaches and including different ways of proofs (nonverbal proof, two column (two colums) proof, paragraph proof, flow chart proof); besides modeled by origami and comprising  the confirmation with only finite steps of samples and based only textual explanation (in the form of prose, not including numbers, symbols and notations). As the result of these discussions, it was observed that participants didn't go beyond the habits, had the tendency of accepting the familiar confirmations as the proofs. They either regarded the confirmations samples which were carried out in different ways as not-proofs or they abstained. For instance, they thought that non-verbal (visual) proof cannot be a proof because they do not include mathematical symbols, notations and etc. 
This study was designed with a structure of multi-dimensional data collecting for discovering the proof perceptions of mathematics department, and the obtained data and achieved results are expected to make contribution to the researchers in this field and to the literature. 



Key words:  Proof, Proving, Conception of proof, Student of Mathematics Department, Mathematical Education.