Yönlü çizgelerin döngüsüzlük komplekslerinin topolojisi, renklendirme ve döngü-kıran sayıları
Topology of acyclic complexes of digraphs, coloring and feedback numbers
Yazar: ZAKİR DENİZ
Danışman: PROF. DR. YUSUF CİVAN
Süleyman Demirel Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2018
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Cebirsel topoloji = Algebraic topology

Özet:
Bu tez çalışmasında basit bağlantısız turnuvaların bir alt sınıfı olan üçbölünebilir turnuvaların döngüsüzlük komplekslerinin topolojik yapıları incelenmiştir. Buradan elde edilen bilgiler ile böyle turnuvaların kromatik sayısı ve döngü-kıran sayısı gibi kombinatoryal yapısı arasındaki ilişki incelenmiştir.
Çalışma beş bölümden oluşmaktadır; ilk iki bölümde çalışma motivasyonu açık bir şekilde ifade edilmiş ve kullanılan terminoloji ile beraber çalışma boyunca ihtiyaç duyulacak temel kavramlar ve araçlara yer verilmiştir. Üçüncü bölümde (Burzio ve Demaria, 1987a,b) makalelerinde tanıtılan basit bağlantısız turnuvaların kombinatoryal yapısı yardımıyla bu turnuvalara ilişkilendirilen döngüsüzlük komplekslerinin topolojik yapısı araştırılmıştır. T=R_3(P,R,K) formundaki kalıtsal turnuvalar üçbölünebilir olarak adlandırılmış ve bu bölümünün ana sonucu olarak bu turnuvaların döngüsüzlük komplekslerinin kürelerin kama toplamına homotopik olduğu ispatlanmıştır. Bu yapıdaki en büyük kürenin boyutu der(T) olarak tanımlanmıştır.
Dördüncü bölümde, üçüncü bölümde elde edilen üçbölünebilir turnuvaların topolojik yapısındaki der(T) parametresi ile turnuvanın kombinatoryal yapısı arasındaki ilişki incelenmiştir. İlk olarak T üçbölünebilir turnuvasının köşe renklendirmesi için sıkı bir üst sınır elde edilmiştir. Ayrıca turnuvaların diğer bir kombinatoryal parametresi olan döngü-kıran sayıları ele alınmış ve n köşeli bir T üçbölünebilir turnuvası için dk(T)=n-der(T)-1 eşitliği kanıtlanmıştır.
Tezin son bölümünde ise elde edilen sonuçlar değerlendirilmiştir.

Abstract:
In this thesis, the topological structure of acyclic complexes of "trisectionable
tournaments" which is a subclass of simply disconnected tournaments is studied. We
also investigate the relation between topological results and the combinatorial structure
such as their chromatic and feedback numbers of the tournaments.
This study consists of five chapters; in the first two chapters, we explicitly describe
our motivation for the studied problems, and provide the basic notations and tools that
are needed throughout the dissertation including the necessary terminology. In chapter
three, we study the topological structure of acyclic complexes associated to simply
disconnected tournaments which is introduced in (Burzio ve Demaria, 1987a,b) with
the help of its combinatorial structure. We call trisectionable the tournaments of the
form T = R_3(P,R,K) and prove the main result of this chapter, states that the acyclic
complexes of such tournaments is homotopy equivalent to a wedge of spheres where
der(T) is defined as the highest dimension of a sphere occurring in such a wedge of
sphere decomposition.
In chapter four, we investigate the relation between the combinatorial structure of
tournaments and the invariant der(T), related to topological structure of trisectionable
tournaments obtained in the previous chapter. Firstly, we deal with the vertex coloring of
tournaments and obtain a tight upper bound for the chromatic number of trisectionable tournaments. In the rest of this chapter, we study the feedback number of tournaments and we proved
that dk(T)=n-der(T)-1 for trisectionable tournament T.
The concluding chapter reviews the overall results of this thesis.