Hiperyüzeyler üzerinde eğrilik çizgilerinin diferensiyel geometrik özellikleri
The differential geometry properties of the lines of curvatures on the parametric hypersurfaces
Yazar: FATİH ÇELİK
Danışman: PROF. DR. MUSTAFA DÜLDÜL
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2020
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez çalışması sekiz bölümden oluşmaktadır.
Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmış olup, literatür özeti ve tezin amacını içermektedir. 
İkinci bölümde, bu tezde çalışılan üç ve dört boyutlu Öklid uzaylarındaki eğriler, yüzeyler ve hiperyüzeyler ile ilgili temel kavramlar tanıtılmıştır. 
Üçüncü bölümde, parametrik denklemiyle verilen bir yüzey üzerinde bir eğrilik çizgisinin elde edilişi ve bu eğrilik çizgisinin eğriliğinin ve burulmasının hesaplanması detaylı olarak incelenmiştir. Ayrıca eğriliği ve burulmayı hesaplarken ortaya çıkan singüler ve dejenere durumlar incelenmiştir. 
Dördüncü, beşinci ve altıncı bölümler tezin orjinal kısımlarını oluşturmaktadır. 
Dördüncü bölümde, $4$-boyutlu Öklid uzayında parametrik denklemiyle verilen bir hiperyüzey üzerindeki eğrilik çizgisinin nasıl elde edileceği gösterilmiştir.
Beşinci bölümde, dördüncü bölümde elde edilen eğrilik çizgilerinin Frenet eğrisi olmaları durumunda diferensiyel geometrik özellikleri, genişletilmiş Darboux çatısı kullanılarak hesaplanmıştır. Ayrıca, eğrilik çizgilerinin analitik olarak elde edilemediği durumlarda da bu eğrilerin eğriliklerinin nasıl hesaplanabileceği gösterilmiştir. Eğrilikler, Frenet vektörleri ve genişletilmiş Darboux vektörleri hesaplanırken $3$-boyutlu uzayda ortaya çıkan singüler ve dejenere durumlar gözlenmemiştir.
Altıncı bölümde, dört boyutlu Öklid uzayında dayanak eğrisi, ikinci ve üçüncü eğriliklerinin oranı sabit bir Frenet eğrisi olan bir regle hiperyüzey inşa edilerek, bu hiperyüzey üzerinde dayanak eğrisinin eğrilik çizgisi olduğu gösterilmiştir. Buna ek olarak, elde edilen hiperyüzeyin singüler noktaları ile açılabilirliği araştırılmıştır. 
Yedinci bölümde, tezin orjinal kısmında yapılan çalışmalar bir örnekle desteklenmiştir. 
Sekizinci bölümde, orjinal kısımdaki sonuçlardan bahsedilmiş ve gelecek çalışmalar için önerilerde bulunulmuştur.

Abstract:
This thesis consists of eight chapters.
The first chapter is devoted to the introduction which includes the literature review and the purpose of the thesis.
In the second chapter, basic concepts related to curves, surfaces and hypersurfaces in three and four dimensional Euclidean spaces studied in this thesis are introduced.
In the third chapter, obtaining a line of curvature on a parametric surface and computing the curvature and torsion of this line of curvature are examined in detail. In addition, the singular and degenerate cases that occur while computing curvature and torsion are examined.
The fourth, the fifth and the sixth chapters constitute the original parts of the thesis.
In the fourth chapter, it is shown how the lines of curvature on a parametric hypersurface in the Euclidean four space are obtained.
In the fifth chapter, if the lines of curvature obtained in the fourth section are Frenet curves, their differential geometric properties are computed using the extended Darboux frame along the curve. Moreover, it is shown that how the curvatures of these curves can be computed even when the lines of curvature cannot be obtained analytically. While computing the curvatures, Frenet vectors and extended Darboux vectors, the singular and degenerate cases appearing in $3$-dimensional space were not observed.
In the sixth chapter, by constructing a ruled hypersurface whose base curve is a Frenet curve with the ratio of its second and third curvatures is constant in Euclidean 4-space, it is shown that the base curve is a line of curvature on the obtained hypersurface. In addition, the singular points and developability of the obtained ruled hypersurface is investigated.
In the seventh chapter, the studies in the original part of the thesis are illustrated by an example.
In the eighth chapter, the results in the original part are mentioned and some future projects arising from this thesis are suggested.