Kesir mertebeli diferensiyel denklemlerin tam çözümleri
Exact solutions of fractional differential equations
Yazar: ÖZKAN GÜNER
Danışman: DOÇ. DR. AHMET BEKİR
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2014
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Kesirli Analiz, tamsayı mertebeli türev ve integralin keyfi (tamsayı olmayan)
mertebeye genişlemesidir. Doğadaki ve uygulamalı bilimlerdeki birçok olay
matematiksel olarak modellendiğinde, lineer olmayan kısmi diferensiyel denklemlerle
tanımlanır. Bununla birlikte; uygulamalı matematik, fizik, kimya, biyoloji ve
mühendislik gibi alanlarda pek çok sistem ve süreç kesir mertebeli türevler kullanılarak
gerçeğe daha yakın modellenebilir. Bundan dolayı kesir mertebeli diferensiyel
denklemler bu tür bilim alanlarında sıklıkla karşımıza çıkmaktadır. Son yıllarda pek çok
araştırmacı kesir mertebeli diferensiyel denklemlerin yaklaşık ve tam çözümleri üzerine
yoğunlaşmış, farklı ve etkili birçok metot ortaya konmuştur.
Bu tezin amacı, lineer olmayan kesir mertebeli diferensiyel denklemlerinin,
diferensiyel denklem sistemlerinin, diferensiyel fark denklemlerinin tam çözümlerini
bulmak, bu tür denklemler için farklı çözüm yöntemleri geliştirmek, elde edilen
çözümleri karşılaştırmak ve fiziksel anlamlarını tartışmaktır.
Tez çalışmasında; kesirli analiz ve kullanım sahaları hakkında kısa bir bilgi verilmiş,
sonrasında bu tezde kullanılacak olan bazı özel fonksiyonların tanım ve özellikleri
belirtilmiştir. Bunun yanı sıra, kesir mertebeli diferensiyel denklemleri adi diferensiyel
denklemlere dönüştüren kesirsel karmaşık dönüşüm ile birlikte tam çözüm yöntemleri
olan üstel fonksiyon, ilk integral ve G'/G açılım metotları verilmiştir. Daha sonra, bir
önceki bölümde tanıtılan dönüşüm ve metotlar, çeşitli kesir mertebeli diferensiyel
denklem ve denklem sistemlerine uygulanmış ve bu denklemlerin farklı tiplerde tam
çözümleri elde edilmiştir. Bu tezde önereceğimiz tam çözüm yöntemleri kesir mertebeli
diferensiyel denklemler ile ilgili literatüre önemli katkı sağlayacaktır.
Anahtar Kelimeler: Kesir mertebeli diferensiyel denklem, Modifiye Riemann-Liouville
türevi, Kesirsel karmaşık dönüşüm, Tam çözüm

Abstract:
Fractional calculus is extension of integer order derivatives and integral. Many
events in the nature and applied sciences can be modeled by using non-linear partial
differential equations. However in some disciplines; such as applied mathematics,
physics, chemistry, biology and engineering too many systems are modeled by
fractional order derivatives. So we frequently come face to face with fractional order
differential equations in those science areas. Therefore, finding solutions of fractional
order differential equations has gained an crucial importance. In recent years, applied
mathematicians are concentrated on approximate and exact solutions of fractional order
differential equations and have dealt with many different and efficient new methods.
The main purpose of this thesis is to find the exact solution of nonlinear
fractional differential equation, differential equation systems, differential difference
equation, to develop different solution methods for these equations, to compare the
solutions obtained and to discuss the physical meaning.
In this thesis, we give some information about fractional calculus and its applied
areas, then definitions and properties of some special functions which we will use were
given. In addition, after fractional complex transform method which converts fractional
order differential equations into ordinary differential equations was given, the exact
solution methods which are exponential function, first integral and G'/G expansion
methods were explained in detail. Later, the introduced methods and transforms were
applied on some kinds of fractional order differential equations and equation systems.
The solutions of these equations in different types were obtained. Complete solution
methods which will be proposed in our thesis will provide an important contribution to
literature regarding the fractional-order differential equations.
Keywords: Fractional differential equation, Modified Riemann-Liouville derivative,
Fractional complex transform, Exact solution