Genelleştirilmiş toplamsal modellerin irdelenmesi ve bir uygulama
A research on generalized additive models and an application
Yazar: NURETTİN SAVAŞ
Danışman: DOÇ. DR. MEHMET ALİ CENGİZ
Ondokuz Mayıs Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2009
Konu: İstatistik = Statistics
Dizin: Doğrusal modeller = Linear models ; Genelleştirilmiş doğrusal modeller = Generalized linear models

Özet:
Biyolojik, ekonomik veya teknolojik verilerin değerlendirilmesinde özellikler arası ilişkişler incelenirken en çok kullanılan istatistiksel tekniklerden biri de çoklu regresyon analizidir. Varsayımları sağlandığında oldukça güçlü bir parametrik değerlendirme yöntemidir. Bu varsayımlardan biri de açıklayıcı değişkenlerle bağımlı değişkenler arasındaki ilişkilerin tanımlı bir matematiksel fonksiyon olmasıdır (doğrusal, polinomial veya üstel gibi). Bununla beraber bir çok uygulamada böyle bir matematiksel fonksiyonun tanımlanması çok zor hatta imkansız olabilmektedir.Genelleştirilmiş toplamsal modeller (GAM), böyle klasik bir fonksiyonu anılmama yerine var olan ilişkileri belirleyen model, parametrik olmayan bir düzleştirici terim ekleyerek bu varsayımın etkisini ortadan kaldırmaya çalışır. Birkaç farklı düzgünleştirici kullanılabilmektedir. Ancak bunlardan en çok kullanılanı ?zincir?(splayn) ya da ?loess?dır. Düzleştiriciler trendin veriye uyumunun yakınlığını kontrol etmek için kullanılabilecek bir parametreye sahiptir. GAM toplamsal modeldir, Çünkü bağımsız değişkenlerin her birinin etkisi eş anlı olarak modele dahil edilir. Her bir etki ya bir düzleştirici ya da tanımlı bir matematiksel fonksiyon kullanılarak tahmin edilebilir. Bu da GAM'ın yarı parametrik tanımını verir. Karşılıklı etkileşimlerin varlığı durumunda da GAM kullanılabilir. GAM ayrıca normal olmayan hata dağılımlarının mevcudiyetinde de toplamsal esnekliğe de izin verir. Bu da bağımlı değişkenlerin Binom ve Poisson gibi dağılımlara sahip olduğu durumları modellemeye müsaade eder.GAM bir genelleştirilmiş doğrusal model olarak da tanımlanabilir(GLM). Bu durumda GLM'nin doğrusal tahmincisi açıklayıcı değişkenlerinin düzgün fonksiyonlarının bir toplamı olarak belirlenir. Yapılması gereken işlemler düzleştirici fonksiyonlar için uygun parametrik gösterimler bulmak, uygun düzleştirici derecesini seçmek ve kontrol işlemlerini gerçekleştirmeksürecini içerir.Bu tezde ilk olarak kısaca Genelleştirilmiş Doğrusal Modeller ve Toplamsal Modeller incelendi. Daha sonra Genelleştirilmiş Toplamsal Modeller karşılaştırmalı olarak irdelendi. Son olarak da Genelleştirilmiş Toplamsal Modeller zeka testi yapılan kişilere ait anket verisine uygulanarak sonuçlar karşılaştırmalı olarak yorumlandı.Anahtar Kelimeler: Doğrusal Modeller, Toplamsal Modeller, Genelleştirilmiş Doğrusal Modeller, Genelleştirilmiş Toplamsal Modeller.

Abstract:
Multiple regression analysis is one of the most widely used statistical techniques to evaluate the relationships among one response and several predictors optained from biological, economical and tecnical data sets.. It is a powerful tool when the assumptions are met, including that the relationships between the predictors and the response are well described with a defined mathematical function (e.g., straight-line, polynomial, or exponential). In many applications, however, the reliance on a defined mathematical function is limiting. Many phenomena do not have a relationship that can be easily defined.Generalized additive models (GAM) enable us to relax this assumption by replacing a defined function with a non-parametric smoother to uncover existing relationships. Smoothing is a method that will highlight a trend by separating it from variability due to noise. Several different smoothers are available, but the most commonly used are spline or loess. Smoothers have a parameter that can be used to control the closeness of the fit of the trend to the data. GAM are additive models because they simultaneously fit the distinct effects of each independent variable. Each effect can be estimated using either a smoother or a defined mathematical function, leading to the description of GAM as semiparametric. GAM are appropriate under the assumption of the absence of interaction effects. GAM also offers the added flexibility of permitting non-normal error distributions. This allows modeling response variables with distributions such as binomial and Poisson.A GAM is described as a generalized linear model in which part of the linear predictor is speci ? ed as a sum of smooth functions of predictor variables. The challenge is to ? nd suitable parametric representations for the smooth functions, and to control and choose the degree of smoothness appropriately.In this thesis, we firstly describe briefly Generalized Linear Model and additive models. Secondly, Generalized Additive Models are given in detail. Lastly GAMs are applied to real IQ test data obtained from a survey.Key Words: Linear Models, Additive Models, Generalized Linear Model, Generalized Additive Models.