Some Hermite-Hadamard type integral inequalities for generalized fractional integrals
Genelleştirilmiş kesirli integraller için Hermite-Hadamard tipli integral eşitsizlikleri
Yazar: MERVE ESRA YILDIRIM
Danışman: PROF. DR. HÜSEYİN YILDIRIM
Kahramanmaraş Sütçü İmam Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2018
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez çalışması, genelleştirilmiş kesirli integraller yardımıyla elde edilen Hermite-Hadamard tipli eşitsizlikler üzerinedir. Eşitsizlik kavramı köklü bir tarihe sahip olup, 19.-20. yüzyılda bulunan eşitsizliklerin büyük bir kısmı konveks fonksiyonlarla elde edilerek temel eşitsizlikler haline getirilmiştir. Bu tarz elde edilen eşitsizliklerin en bilinenlerinden biri Hermite-Hadamard eşitsizliğidir. Hermite-Hadamard tipli eşitsizlik ile ilgili çalışmaların büyük bir çoğunluğu S.S. Dragomir ve C.E.M. Pearce tarafından çalışılmıştır. Konveks fonksiyonlar yardımıyla elde edilen eşitsizlikler üzerine çalışan bazı bilim insanları R. Agarval, G. Anastassiou, G.V. Milovanovic, A.M. Fink, N.S. Barnett, H. Yaldız, E. Set, M.E. Özdemir, U.S. Kırmacı, H. Yıldırım, M.Z. Sarıkaya, N. Ujevi´c, S. Varošanec, P.S. Bullen ve P. Cerone şeklinde sıralanabilir. Son yıllarda yapılan çalışmaların çoğu, kesirli interal ve kesirli türev yardımıyla yapılmıştır. Kesirli Türev ve İntegral 17. yüzyıldan itibaren Leibniz, Euler, Lagrange, Abel, Liouville ve diğer birçok matematikçi tarafından ele alınarak çeşitli fikirler ve yaklaşımlar sunulmuştur.
Dört bölüm olarak hazırlanan bu çalışmanın, birinci bölümde; konuya genel hatlarıyla giriş yapılmıştır. Birinci bölümün devamında; daha sonraki kısımlarda ihtiyaç duyulan tanım ve teoremler ile literatürde yer alan bazı teoremler verildi. İkinci bölümde; yararlanılan  kesirli integral ve kesirli türevin tarihi gelişimi ele alındı. Üçüncü bölümde; çalışmanın orijinal kısımlarını oluşturan alt başlıklar ele alınacaktır. Ele alınan alt başlıklarda Hermite-Hadamard eşitsizliğinin daha önceki tiplerini içeren integral eşitsizlikleri bazı özel fonksiyonlar yardımıyla tanımladığımız genelleştirilmiş kesirli integraller için yeniden verilecektir. Tezin son kısmı olan dördüncü bölümde sonuç ve tartışma kısmına yer verildi.

Abstract:
The goal of this dissertation is to obtain Hermite-Hadamard inequalities by using generalized fractional integrals. Concept of inequality has a deep root and ıt has become basic inequali-ties obtained by  convex functions of a large part of the inequalities found in the 19th cent-ury. One of the best known of such inequalities is the Hermite-Hadamard inequality. A great majority of Hermite-Hadamard type inequality studies have been conducted by S.S. Dragomir and C.E.M. Worked by Pearce. Some scientists working on inequalities in ach-ieving convex functions are R. Agarval, G. Anastassiou, G.V. Milovanovic, A.M. Fink, N.S. Barnett, H. Yaldız, E. Set, M.E. Özdemir, U.S. Kırmacı, H. Yıldırım, M.Z. Sarıkaya, N. Ujevi´c, S. Varošanec, P.S. Bullen ve P. Cerone. The latter is derived from the fracti-onal interal and fractional derivations provided by the studies. Fractional Derivative and Integral Since the 17th century, Leibniz, Euler, Lagrange, Abel, Liouville and many other mathematicians.
In the first part of this thesis, which is prepared in four chapters; the topic has been introduced with general lines. In the continuation of the first chapter; the definitions and theorems needed in the following sections and some of the theorems in the literature are given. In the second chapter; the historical development of the fractional integral and the fractional derivative used are discussed. In the third chapter; the subtitles that form the original parts of the work will be covered. In the subheadings discussed, integral inequalities involving the previous types of  Hermite-Hadamard inequalities will be given again for the generalized fractional integrals we have defined with some special functions. The final part of the thesis, the fourth section, contains the results and discussion section.