Kılcal yüzeylere bağlı vektör alanları ile duallerin bazı özellikleri /
Yazar: FİLİZ KÖSE
Danışman: PROF. DR. AFET ÖZOK
Marmara Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Bilim Dalı
Derece: Doktora, 1996
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Dualler = Duals ; Vektörler = Vectors

Özet:
Bu araştırmada esas olarak kılcal yüzeylerin tanım bölgesinin sınır yüzeyi üzerinde R. Finn tarafından [1] tanımlanmış olan vektör alanları ile bunların duallerinin Killing ve Haraıonik vektör alanı olması şartlan araştırılmış ve ilk defa K. Amur ve D.J. Shetty [2] tarafından 3- boyutlu Öklid uzaymdaki yüzeyler üzerinde tanımlanan dual alan kavramı, tek boyutlu Öklid uzaylarının hiperyüzeylerine genişletilmiştir. Parametrik olmayan, yerçekimsiz " kılcallık problemi ", n-boyutlu Öklid uzayının (n a 2) bir Q bölgesinde tanımlanmış, sabit ortalama eğriliğini haiz ve bölgenin sının boyunca dikey silindirin duvarlannı belirli bir y sabit açısı altında kesen bir S yüzeyinin belirlenmesi problemidir.Bu şekilde belirlenen S yüzeylerine de "kılcal yüzeyler" adı verilir. Gerek kılcal yüzeylerin varlık şartlan, gerekse özellikleri hakkında pek çok araştırma yapılmıştır. R. Finn' in 1979 yılında yayınlanan bir makalesinde, kılcal yüzeylerin, n- boyutlu Öklid uzaymdaki Q tanım bölgesinde, kılcal yüzey ve tanım bölgesinin seçimi ile tamamen belirli olan bir vektör alanı tanımlanmıştır. Bu vektör alanının önemi, daha önce Guisti tarafından [3] kılcal yüzeylerin sınır değer ve varlık problemleri için elde edilen gerek ve yeter şartlan tek başına karakterize etmesidir, yani alanın varlığı sözkonusu gerek ve yeter şartlara denk olmaktadır, dolayısı ile bu vektör alanının özelliklerinin incelenmesi, kılcal yüzeyler teorisine katkıda bulunmaktadır. [4] nolu araştırmada, bağlı vektör alanları Killing, Konform Killing ve Homotetik Konform Killing Vektör alanları olan kılcal yüzeylerin belirlenmesi problemi ele alımıştır.Bilindiği üzere yukarıda sözkonusu edilen vektör alanları uzayın izometrilerini ( hareketlerini) tanımlar ve bu sonsuz küçük hareketler ile harmonik vektör alanlarının özellikleri bir çok araştırmacı tarafından incelenmiştir. Özellikle B.Kostant [5], C.C Bosch [6] ve G. Bitiş [7]Riemann Manifolduları üzerinde Killing alanları ve harmonik vektör alanlarının önemli bazı özelliklerini elde etmişlerdir. Dört bölümden oluşan bu çalışmanın I.Bölümünde, konu ile ilgili kısa önbilgiler, ileride kullanılmaya elverişli şekilleri ile verilmiştir. II. Bölümde, 4 - boyutlu Öklid uzayında alman bir S kılcal yüzeyine bağlı olarak, kılcal yüzeyin 3 - boyutlu Q tanım bölgesinin, 2 smır yüzeyi üzerinde tanımlanan vektör alanı, 2 mn elemanları cinsinden ifade edilerek, bu alanın 2 nın teğet düzlemi üzerindeki iz düşümü olan teğetsel vektör alanı bulunmuş, bulunan alanın Killing vektör alanı olması şartlan araştırılmış ve sözkonusu teğetsel vektör alanının hiçbir zaman Killing vektör alanı olamayacağı gösterilmiştir. Daha sonra alanın invaryantlarmdan olan 8 açısının ( alanm, 2 yüzeyinin birinci parametre eğrisi ile yaptığı açı) 2 boyunca sabit olması için gerek ve yeter şart bulunmuş, bu şartı sağlayan yüzeyler için, sözkonusu teğetsel vektör alanının Harmonik vektör alanı olması şartları 2 yüzeyinin Birinci ve İkinci esas formuna bağlı bir gerek ve yeter şart ile verilmiştir. Bölümün sonunda da, elde edilen sonuçlar bir örneğe uygulanmıştır. Çalışmanın III.Bölümünde önce 2 yüzeyinin teğetsel vektör alanının duali elde edilmiş, daha sonra yine 9 açısının 2 boyunca sabit olması halinde, sözkonusu dual alanın önce Killing, sonra da Harmonik vektör alanı olması şartlan araştırılmış ve bulunan gerek ve yeter şartlar birer teorem olarak verilmiştir.Daha sonra 2 yüzeyinin Minimal Yüzey olarak seçilmesi halinde elde edilen gerek ve yeter şartlann çok sade bir hal aldığı görülmüş ve bunlar da birer teorem ile ifade edilmiştir. IV.Bölümtinde, bir Kılcal Yüzeye bağlı olarak, n - boyutlu ( n > 3 ) Öklid uzayında tanımlanan sözkonusu vektör alanının, 2 nın elemanlan cinsinden ifadesi elde edilmiş, bu alanın 2 nın teğet düzlemi üzerindeki iz düşümü alınarak bulunan teğetselvektör alanının yine Killing ve Harmonik vektör alanları olması şartlan birer teorem ile verilmiştir. Aynı bölümde daha sonra, ilk defa K. Amur ve D.J. Shetty [2] tarafından 3 - boyutlu Öklid uzayının yüzeyleri üzerinde tanımlanan dual alan kavramı, tek boyutlu Öklid uzaylarının hiperyüzeylerine genişletilmiş ve Çift boyutlu 2 hiper yüzeyleri üzerindeki teğetsel vektör alanlarının duallerinin ifadeleri verilmiştir. m

Abstract:
The purpose of this research is to determine some necessary and sufficient conditions for the related vector fields of capillary surfaces and their dual vector fields to be Killing and Harmonic vectors and to extend the concept of dual fields, first defined over surfaces in three - dimensional Euclidean space by K. Amur and D. J.Shetty [2], to hypersurfaces of odd dimensional Euclidean spaces. In the non- parametric " capillary problem " in the absence of gravity, one seeks a surface S of constant mean curvature H, defined over a base domain Q in n - dimensional Euclidean space, such that S meets vertical cylinder walls over £ = dQ in a prescribed constant angle y. The surface S defined in this manner is called a "capillary surface ". There are many studies on the existence conditions of capillary surfaces and their properties. R. Finn [1] defined a vector field which is totally determined by selecting its domain and capillary surfaces on n - dimensional domain Q in Euclidean space. The importance of this vector field given by Guisti [3] is that it characterizes by itself necessary and sufficient conditions for the existence and boundary value problems of capillary surfaces. That is, the existence of the field is equivalent to these necessary and sufficient conditions so that studying these properties of this vector field to contributes to the theory of capillary surfaces. In [4] certain necessary and sufficient conditions are given for the related vector fields of capillary surfaces to be Killing, Conformal Killing and Homothetic Conformal Killing vectors in the n - dimensional domain Q. As known, these vector fields define the isometries (motions ) of space and the infinitesimal motions and Harmonic vector fields was studied by many researchers. Particularly, B.Kostant [5], C.C.Bosch and G.Bitis [7] obtained important properties about Killing fields, Harmonic vector fields on Riemannian Manifolds. IVThis study consists of four chapters. İn the first chapter, the background of the subject is given. In the second chapter, a vector field is defined on the surfaces 2 = dQ which is dependent on the capillary surface S in the four - dimensional Euclidean space. Q is the domain of S and 2 is the surface boundary of Q.The vector field is expressed in terms of the members of the surface 2- Then the tangent vector field which is a projection of this vector field on the tangent plane of 2 is found. The conditions for this vector field to be a Killing vector field are investigated and it is shown that such a vector field can not be a Killing vector field. In the same chapter the necessary and sufficient condition for angle 8, an invariant of the vector field, to be constant on all 2 is obtained. For surfaces which satisfy this condition, a necessary and sufficient condition is given for the relevant vector fields of capillary surfaces to be Harmonic vector fields and the results are applied to an example. In the third chapter, first the dual of the tangent vector fields of surface 2 is obtained. Then, the case of angle 9 being constant on all 2 is considered and the conditions of the dual vector field to be Killing and Harmonic vector fields are studied and tiie necessary and sufficient conditions are given as theorems. It is shown that the necessary and sufficient conditions obtained here are very easy when the surface 2 is selected as a minimal surface. The relevant necessary and sufficient conditions are given as theorems. In the fourth chapter, this vector field which is defined on an n - dimensional ( n > 3 ) Euclidean space and related to a capillary surface is expressed in terms of the members of the surface 2- Getting a projection on tangent plane of 2 for this vector field, the conditions of the tangent vector field to be Killing and Harmonic vector fields are given as theorems. In the same chapter, the concept of dual field, first defined over surfaces in three - dimensional Euclidean space, by K. Amur and D. J.Shetty [2] is extended to hypersurfaces of odd dimensional Euclidean spaces. An expression of dual fields of tangent vector fields on even dimensional hypersurfaces 2 is also given.