Belirli tam sayı dizilerinin cebirsel özellikleri
Algebraic properties of certain integer sequences
Yazar: ALBULENA BYTYQI BEQIRI
Danışman: DOÇ. DR. GÜL KARADENİZ GÖZERİ
İstanbul Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Fibonacci dizileri = Fibonacci sequences ; Fibonacci sayıları = Fibonacci numbers ; Lucas sayıları = Lucas numbers ; Pell denklemi = Pell equation

Özet:
Bu tez çalışmasında, en tanınmış tam sayı dizilerinden olan Fibonacci, Lucas, Pell ve Pell-Lucas dizileri ele alınmıştır. Bu tezin amacı, ele alınan bu dört tam sayı dizisi arasındaki benzerlikleri, farklılıkları ve bağlantıları inceleyerek ve analiz ederek yeni özdeşlikler elde etmektir. 
Bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır. 
İlk bölüm, Fibonacci sayılarının ortaya çıkışını ve bunun Sayılar Teorisi alanındaki ve esasen Matematik tarihindeki etkisini içermektedir. Bu bölümde, çalışmamız boyunca tam olarak hangi tür diziler ile ilgilenileceği belirtilmiştir.
İkinci bölüm sekiz alt bölümden oluşmaktadır. İlk alt bölümde, tam sayı dizilerinin cebirsel özellikleri kapsamında rekürans bağıntısı ve üreteç fonksiyonun tanımları ve ayrıca tam sayı dizileri arasındaki bazı bağıntılara yer verilmiştir. Bu alt bölümü takip eden dört alt bölümde, incelediğimiz dört tam sayı dizisinin her biri için temel tanımlar, özdeşlikler ve bazı cebirsel özellikler verilmiştir. Altı ve yedinci alt bölümde, Fibonacci ve Lucas ile Pell ve Pell-Lucas arasındaki ilişkilere yer verilmiştir. Son alt bölümde ise, ele alınan dört tam sayı dizisi arasındaki cebirsel bağlantılar ifade edilmiştir.
Üçüncü bölümde, bu çalışma sırasında kullanılan yöntemlerden bahsedilmektedir.
Dördüncü bölümde, araştırmamız sırasında elde ettiğimiz bazı özgün teoremlere ve sonuçlara yer verilmiştir. Bu bölüm üç alt bölümden oluşmaktadır. Birinci alt bölüm, Pell ile Pell-Lucas dizileri arasındaki cebirsel özdeşlikleri, ikinci alt bölüm ele aldığımız dört tam sayı dizisinin birbirleri ile ilişkisini gösteren cebirsel özdeşlikleri, üçüncü alt bölüm ise bu tam sayı dizileri ile ilgili toplam formülleri içermektedir.
Beşinci bölümde, tez çalışmamızdan elde edilen sonuçlar özetlenmiş ve tezin genel değerlendirilmesi yapılmıştır.

Abstract:
This thesis discusses Fibonacci, Lucas, Pell and Pell-Lucas sequences, which are among the most well-known integer sequences. The aim of this thesis is to obtain new identities by examining and analyzing the similarities, differences and connections between these four integer sequences.
This study consists of five parts.
The first chapter covers the emergence of Fibonacci numbers and their impact in the field of Number Theory, mainly in the history of Mathematics itself. In this chapter, it is specified exactly which types of sequences will be dealt with throughout our study.
The second chapter consists of eight subsections. In the first subsection, the definitions of recurrence relation and generating functions as well as the relations between them are given within the scope of the algebraic properties of integer recurrence sequences. The main definitions, identities, and some algebraic properties are given in the next four subsections for each of the four series we have examined. In the sixth and seventh subsections, the relations between Fibonacci and Lucas and between Pell and Pell-Lucas are given. In the last subsection, algebraic connections between the four integer sequences are expressed.
In the third chapter, the methods that have been used during this study are mentioned.
In the fourth chapter, some original theorems and results that we obtained during our research are given. This section consists of three subsections. The first subsection contains the algebraic identities between Pell and Pell-Lucas sequences, the second subsection includes the algebraic identities that show the relationship between the four integer sequences we have discussed and the third subsection contains sum formulas related to these integer sequence.
In the fifth chapter, the results obtained from our thesis study are summarized and the general evaluation of the thesis is made.