Tek ve çok serbestlik dereceli sistemlerin Haar dalgacık yöntemiyle analizi
Analysis of single and multi degree of freedom systems with the Haar wavelet method
Yazar: ERTUĞRUL DOĞAN
Danışman: PROF. DR. SAFA BOZKURT COŞKUN
Kocaeli Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / İnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2022
Konu: İnşaat Mühendisliği = Civil Engineering
Dizin: Dalgacık dönüşümleri = Wavelet transforms ; Tek dereceli sistemler = Single degree systems ; Titreşim = Vibration ; İki dereceli serbestlik sistemleri = Two degree freedom systems

Özet:
Yapısal elemanların titreşim problemleri inşaat, makine ve havacılık mühendisliğindeki problemlerin önemli bir bölümünü oluşturmaktadır. Yapısal titreşim problemleri için sınırlı durumlar için analitik çözümler mevcut olmakla birlikte, analitik çözümlerin dışında, yarı-analitik (analitik tahmin) yöntemleri, integral dönüşüm yöntemleri ve çeşitli sayısal çözümleme teknikleri de yaygın olarak kullanılmaktadır. Bütün bu farklı çözüm tekniklerine ek olarak kullanılabilecek bir başka çözüm tekniği ise dalgacık dönüşümüdür. Bu teknik genellikle sinyal işleme problemlerinde yaygın olarak başarıyla kullanılmaktadır. Dalgacık dönüşümü sayesinde tıpkı Fourier dönüşümünde olduğu gibi belirli bir aralıkta tanımlı bir fonksiyon ortonormal bir taban cinsinden ifade edilebilmektedir. Bu anlamda kullanılabilecek an basit dalgacık dönüşümü tekniği kare şeklinde fonksiyon dizilerinden meydana gelen Haar dalgacıkları ile gerçekleştirilebilir. Haar dalgacık yönteminde problemin çözüm aralığı ikinin katı sayıda alt aralığa ayrılır. Çözüm fonksiyonunun en üst mertebeden türevi alt aralık sayısına eşit Haar dalgacık fonksiyonunun doğrusal kombinasyonu olarak ifade edilir ve elde edilen fonksiyonun türev mertebesi sıfıra kadar düşürülünceye kadar integrali alınır. Fonksiyonların hareket denkleminde yerine konulması ve başlangıç koşullarının uygulanması ile doğrusal kombinasyonu meydana getirdiğimiz bilinmeyen katsayılar elde edilir ve problem kapsamında aranan parametreler elde edilen katsayıların yerlerine konmasıyla türetilir. Bu çalışmada bir ve iki serbestlik dereceli titreşim problemleri Haar dalgacık dönüşümü ile ele alınmaktadır. Tanımlı aralık üzerinde farklı ayrıklaştırma seviyelerinde çözümün nasıl yakınsadığı ve bu ayrıklaştırmaların problemin çözümü üzerindeki etkisi de bu kapsamda değerlendirilmektedir. Elde edilen sonuçlar uygulanan yöntemin yapısal elemanların titreşim problemlerinin analizinde başarıyla kullanılabileceğini göstermektedir.

Abstract:
Vibration problems of structural elements constitute an important part of the problems in civil, mechanical and aerospace engineering. Although analytical solutions exist for limited cases for structural vibration problems, apart from analytical solutions, semi-analytical (analytical approximation) methods, integral transformation methods and various numerical analysis techniques are also widely used. In addition to all these different solution techniques, another solution technique that can be used is wavelet transform. This technique is widely used successfully in signal processing problems. Thanks to the wavelet transform, a function defined in a certain interval can be expressed in terms of an orthonormal basis, just like in the Fourier transform. The simplest wavelet transform technique that can be used in this sense can be realized with Haar wavelets consisting of square-shaped function sequences. In the Haar wavelet method, the solution interval of the problem is divided into many sub-intervals which are multiples of two. The highest-order derivative of the solution function is expressed as a linear combination of the Haar wavelet functions which are equal to the number of sub-intervals, and the obtained function is integrated until the derivative order is reduced to zero. By substituting the functions in the equation of motion and applying the initial conditions, the unknown coefficients for which we form the linear combination are obtained, and the parameters sought within the scope of the problem are derived by substituting the obtained coefficients. In this study, one and two degree of freedom vibration problems are handled with the Haar wavelet transform. How the solution converges at different discretization levels on the defined interval and the effect of these discretizations on the solution of the problem are also evaluated in this context. The results obtained show that the applied method can be used successfully in the analysis of vibration problems of structural elements.