Çok serbestlik dereceli sistemlerin harmonik diferensiyel quadrature (HDQ) metodu ile lineer ve lineer olmayan dinamik analizi
Linear and non-linear dynamic analysis of multi degree of freedom systems by the method of harmonic differential quadrature (HDQ)
Yazar: ÖMER CİVALEK
Danışman: PROF. DR. HİKMET HÜSEYİN ÇATAL
Dokuz Eylül Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Yapı Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2003
Konu: İnşaat Mühendisliği = Civil Engineering

Özet:
Gerçek fiziksel sistemler yada mühendislik problemleri yaygın olarak lineer veya lineer olmayan bir kısmi türevli diferansiyel denklem ile ifade edilirler ve bunların kapalı matematiksel çözümlerini elde etmek bazen zordur. Sonuç olarak bu kısmi türevli denklemlerin sayısal çözümü hemen hemen bütün mühendislik alanında kullanılmaktadır. Bu tarz kapalı matematik çözümün olmadığı uygulamalarda çok yaygın olarak kullanılan sonlu farklar ve sınır elemanlar olup, pek çok mühendislik problemi bu yöntemler ile yeterli sayıda düğüm noktası alındığında kabul edilebilir sonuçlar vermektedir. Bununla birlikte fiziksel manada ancak özel birkaç noktada yeter doğrulukta sonuçların istendiği problemlerde sonlu farklar yine de yüksek sayıda düğüm noktasına ve büyük kapasitede hesaplayıcıya ihtiyaç duyduğundan uygun olmamakta ve özellikle lineer olmayan problemlerde yüksek sayıda iterasyonlar kaçınılmaz olmaktadır. Sonuç olarak hem çözüm için gereken hesap süresi ve hem de bilgisayar bellek ihtiyacı artmaktadır. Modern bilgisayar teknolojisi ile, kısmi veya adi diferansiyel denklemler şeklinde tanımlanan pek çok mühendislik ve bilim problemini çözecek birkaç sayısal hesap yöntemi geliştirilmiş olup yaygın olarak kullanılmaktadır. Daha az düğüm noktası kullanarak daha hassas sonuçlar elde edebilecek sayısal yöntemlerin araştırılması sırasında diferansiyel quadrature yöntemi bulunmuştur. Diferansiyel quadrature yöntemi; koordinat doğrultusuna göre bir fonksiyonun türevi, çepeçevre saran bir çözüm bölgesindeki yüksek dereceden bir polinom yardımıyla yaklaşım kurabilen sürekli bir fonksiyon ve o doğrultu boyunca bütün ağ noktalarındaki fonksiyon değerlerinin tümünün lineer toplamı olarak ifade edilebileceği prensibine dayanır. Sonlu elemanlar ve sonlu farklar gibi diğer sayısal yöntemlerde olduğu gibi diferansiyel quadrature yöntemi de verilen diferansiyeldenklemi, çözüm bölgesi için önceden seçilen düğüm noktalarında bilinmeyen fonksiyon değerlerine bağlı bir lineer denklem takımına indirger. Bu tezde tek ve çok serbestlik dereceli sistemlerin serbest ve zorlanmış titreşimleri harmonik diferansiyel quadrature metoduyla incelenmiştir. İlk önerilen diferansiyel quadrature (DQ) yöntemi ve daha sonra ortaya çıkan genelleştirilmiş diferansiyel quadrature (GDQ) yöntemlerinde kullanılan polinomal formda fonksiyonlar yerine, harmonik diferansiyel quadrature (HDQ) metodunda test fonksiyonu olarak sinüs veya kosinüs gibi trigonometrik fonksiyonlar kullanılır. Bu nedenle metot harmonik diferansiyel quadrature olarak adlandırılır. Hesaplarda hem lineer hem de lineer olmayan davranış göz önüne alınmıştır. Metodun doğruluğu, yeterliliği ve verimliliği sayısal örnekler ile gösterilmiştir. Elde edilen sonuçlar, mevcut diğer sayısal analiz yöntemleriyle ve analitik çözüm ile elde edilen değerler ile karşılaştırılmıştır. Metot tek ve çok serbestlik dereceli sistemlerin lineer ve lineer olmayan analizi amacıyla yeter doğrulukta sonuçlan kısmen daha kısa süreli bilgisayar zamanı ve daha az düğüm noktası için vermiştir. Anahtar Kelimeler : Harmonik diferansiyel quadrature; Lineer olmayan dinamik analiz; Tek serbestlik dereceli sistemler, Çok serbestlik dereceli sistemler, Yapı dinamiği.

Abstract:
Real physical systems or engineering problems are often described by partial differential equations, either linear or nonlinear and in most cases, their closed form solutions are extremely difficult to establish. As a result, approximate numerical methods have been widely used to solve partial differential equations which arise in almost all engineering disciplines. The most commonly used numerical methods for such applications are the finite difference and boundary element methods, and most engineering problems can be solved by these methods to satisfactory accuracy if a proper and sufficient number of grid points are used. However, in a large number of practical applications where only reasonably accurate solutions at few specified physical coordinates are of interest, the finite difference method becomes inappropriate since they still require a large number of grid points and so large a computer capacity, especially in the cases of nonlinear problems where iteration becomes inevitable. Consequently, both CPU time and storage requirements are often considerable for the standard methods. With the modern computer technology, various numerical methods were well developed and widely used to solve various kinds of engineering and science problems, which are described by the partial or ordinary differential equations. In seeking a more efficient numerical method which requires fewer grid points yet achieves acceptable accuracy, the method of differential quadrature (DQ) was introduced. The basic idea of the differential quadrature method is that the derivative of a function, with respect to a space variable at a given sampling point, is approximated as a weighted linear sum of the sampling points in the domain of that variable. As with other numerical analysis techniques, such as finite element or finiteVII difference methods, the DQM also transforms the given differential equation into a set of analogous algebraic equations in terms of the unknown function values at the reselected sampling points in the field domain. In this thesis, free and forced vibration analysis of a single and multi degree of freedom systems are made by the harmonic differential quadrature (HDQ) method. Unlike the differential quadrature and generalized differential quadrature that use the polynomial functions, harmonic differential quadrature uses trigonometric functions as the test functions. As the name of the test function suggested, this method is called the HDQ method. Both the linear and the nonlinear behavior are taken into consideration in the numerical applications. The accuracy, efficiency and convenience of HDQ are demonstrated throughout the numerical examples. The obtained results are compared with existing solutions available from other numerical methods and analytical results. The method presented gives efficient accurate results in a gradually little CPU time and grid points for the linear and nonlinear dynamic analysis of the single and multi degree of freedom systems. Key Words: Harmonic differential quadrature; Non-linear dynamic analysis; Single- degree-of-freedom systems, Multi degree-of-freedom systems, Structural dynamic.