Genelleşmiş parabolik tipli potansiyeller ve onlarla ilişkili yeni anizotropik dalgacık dönüşümler
Generalized parabolic-type potentials and associated new anisotropic wavelet transforms
Yazar: ÇAĞLA SEKİN
Danışman: PROF. DR. İLHAM ALİYEV
Akdeniz Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Harmonik Analizin önemli teknik araçlarından olan, klasik parabolik Bessel ve parabolik Riesz potansiyelleri, ∆ Laplace operatörü ve I birim operatör olmak üzere, (I − ∆ + ∂/∂t) ve (−∆ + ∂/∂t) diferansiyel operatörlerinin negatif kesirsel kuvvetleri olarak tanımlanırlar. Bu tezde, klasik parabolik Bessel ve parabolik Riesz potansiyellerinin genelle¸smeleri
olan Hα β f = I + (−∆)β/2 + ∂/∂t−α/β f ve Hα β f = (−∆)β/2 + ∂/∂t−α/β f operatörleri tanımlanarak, onların Lebesgue uzaylarında davranı¸sları incelenmi¸s ve β = 2 özel durumunda klasik potansiyeller için iyi bilinen sonuçlar elde edilmi¸stir. Laplace operatörü yerine, Laplace-Bessel diferansiyel operatörü alınarak olusturulan singüler parabolik-tipli potansiyeller için de benzer sonuçlar bulunmu¸stur. Ayrıca, klasik Gauss ve Poisson çekirdeklerinin ikisini de genelle¸stiren bir çekirdek fonksiyonu ve bir özel "dalgacık ölçümü" yardımıyla yeni anizotropik dalgacık (wavelet) dönü¸sümleri tanımlanarak, bu dönü¸sümler için Calderon tipli ters çevirme formülleri bulunmu¸stur. Bunların yanısıra, anizotropik dalgacık dönü¸sümleri ile, parabolik tipli Hα β f ve Hα β f potansiyellerini ili¸skilendiren bir boyutlu integral gösterimler elde edilmi¸stir. 
ANAHTAR KEL˙IMELER: Anizotropik dalgacık-tipli dönü¸sümler, Calderon-tipli ters çevirme formülleri, genelle¸smi¸s parabolik Riesz potansiyeli, genelle¸smi¸s parabolik Bessel
potansiyeli, Hardy-Littlewood-Sobolev teoremi, singüler parabolik-tipli potansiyelle

Abstract:
Classical parabolic Bessel and parabolic Riesz potentials, which are
important technical tools of Harmonic Analysis, are defined as negative
fractional powers of differential operators $\left( I-\Delta +\partial
/\partial t\right) $ and $\left( -\Delta +\partial /\partial t\right) $ ,
where $\Delta $ is the Laplacian and $I$ is the unit operator. In this
thesis, the operators $\mathcal{H}_{\beta }^{\alpha }f=\left( I+(-\Delta
)^{\beta /2}+\partial /\partial t\right) ^{-\alpha /\beta }f$ and $H_{\beta
}^{\alpha }f=\left( (-\Delta )^{\beta /2}+\partial /\partial t\right)
^{-\alpha /\beta }f$ are defined and their behavior are examined in Lebesgue
spaces. These operators being the generalizations of the classical parabolic
Bessel and parabolic Riesz potentials, turn into them in special case $\beta
=2$.
Similar results have been found for singular parabolic-type potentials
created by using the Laplace-Bessel differential operator instead of the
Laplace operator. Moreover, new anisotropic wavelet transforms are defined
with the help of a special "wavelet measure" and a kernel function that
generalizes both the classical Gauss and Poisson kernels, and then the
Calderon type inversion formulas have been obtained for these transforms. In
addition, one-dimensional integral representations relating parabolic type
potentials $\mathcal{H}_{\beta }^{\alpha }f$ and $H_{\beta }^{\alpha }f$
with the anisotropic wavelet transforms, are established.