Development of discontinuous Galerkin method 2 dimensional flow solver
Kesintili Galerkin methodu ile 2 boyutlu akış çözücü geliştirilmesi
Yazar: OSMAN GÜNGÖR
Danışman: PROF. DR. SERKAN ÖZGEN
Orta Doğu Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Havacılık ve Uzay Mühendisliği Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2019
Konu: Havacılık Mühendisliği = Aeronautical Engineering

Özet:
Bu çalışmada 2 boyutlu Euler denklemleri ile tanımlanan akışların çalışma kapsamında geliştirilmiş olan yapılsal olmayan ağlar için kesintili Galerkin sonlu eleman yöntemini kullanan çözücü ile elde edilen sonuçları sunulmuştur. Euler denklemleri ağdasız ve ısı alışverişi olmayan akışlar için geçerli olan hiperbolik denklemlerdir. Söz konusu denklemlerin kesintili Galerkin sonlu eleman yöntemi ile ayrıştırılması detaylı olarak anlatılmıştır. Kesintili Galerkin sonlu eleman yöntemi eleman bazlı olarak yüksek dereceli çözümü sağlar, dolayısıyla sadece ortak sınıra sahip eleman birbiri ile ilişkilendirilir. Eleman bazlı ve matematiksel operasyonlar tekrar ele alınmış ve gerekli olduğunda türetilmiştir. Kesintili Galerkin sonlu eleman yönteminin iki temel yaklaşımı arasından, şekilsel ve düğümsel, düğümsel yaklaşım tercih edilmiştir. Hacim ve yüzey integrali hesaplarında Gauss tümlevi kullanılmıştır. Elemanlar arası akı, sayısal akı fonksiyonları ile hesaplanmıştır. Literatürde yaygın olan birkaç akı fonksiyonun çözümleri karşılaştırma amaçlı olarak kullanılmıştır. Çözüm alanının sınırlarında uygun sınır koşulları uygulanmıştır. Literatürde yaygın olarak kullanılan sınama problemlerinin çözümleri geçerlilik ve doğrulama çalışmalarında kullanılmıştır. Kesintisiz problemlerde, yüksek dereceli hassasiyete sahip çözümlere rahatlıkla ulaşılmıştır. Fakat, şok ya da kesinti içeren problemlerde istikrarlaştırma teknikleri kullanılmıştır. İstikrarlaştırma teknikleri çözüm derecesini sınırlandırabilmekte ya da çözümün başarasını düşürebilmektedir. Çözücü ile elde edilen sonuçlar ve denklemlerin geçerliliğine uygun şekilde seçilmiş olan deney sonuçları arasında tatmin edici uyum yakalanmıştır. Bükülmüş duvar koşulu uygulamasının yüksek dereceli yöntemlerdeki önemi tecrübe edilmiştir. Dahası, şoklar etrafında çözüm ağı uyarlamasının önemine dikkat çekilmiştir.

Abstract:
In this work, 2 dimensional flow solutions of Euler equations are presented from the developed discontinuous Galerkin method finite element method (DGFEM) solver on unstructured grids. Euler equations govern the inviscid and adiabatic flows with a set of hyperbolic equations. The discretization of governing equations for DGFEM is given in detail. The DGFEM discretization provides high order solutions on an element-compact stencil hence only elements having common boundary are coupled. The required elementwise operations and mathematical operations are revisited and derivations are provided when necessary. Among the two major approaches, modal and nodal, nodal DGFEM is employed. Gaussian quadrature is utilized in the evaluation of volume and surface integrals. The flux through the cell boundaries are calculated through flux functions and several flux functions are implemented and compared.  Proper boundary conditions are employed on the solution space boundaries. Several test cases in literature are used for verification and validation purposes. The high order accuracy is easily achieved in problems with smooth solutions. On the other hand, problems with shocks requires stabilization techniques which may limit the order of accuracy or degrade solution success. The satisfactory results are obtained with comparison of experimental results which are carefully selected considering the fidelity of governing equations. Moreover, importance of curved wall boundary representations in high order methods are experienced. Furthermore, effect of grid adaptation around shocks or discontinues is pointed out.