Grobner tabanları üzerine
On Grobner bases
Yazar: NİL ORHAN
Danışman: YRD. DOÇ. DR. DERYA KESKİN
Hacettepe Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2001
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Gröbner bazları = Gröbner bases

Özet:
IV ÖZET Bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm çalışma için gerekli olan temel bilgileri içermektedir. R = k[x\,...,xn] değişmeli polinomlar halkası (yani, değişmeli polinom &-cebiri) olsun. iTnin bir I ideali için Gröbner taban elde edebilmek için R üzerinde bir terim sıralamasına ve bir bölme algoritmasına ihtiyaç vardır. Bu sebeple tezin ikinci bölümünde bölme algoritmaları ve terim sıralamaları üzerinde duruldu. İlk olarak Buchberger 1965-1985 yıllarında R = k[xı,...,xn] üzerinde Gröbner taban kavramını tanımladı ve bazı denklerini verdi. Tezin üçüncü bölümünde bu çalışmalar incelendi. R'de sıfırdan farklı her idealin bir Gröbner tabana sahip olduğu ispatlandı ve bu tabanı veren Buchberger Algoritması inşa edildi. Bir ideal için Gröbner tabanın tek olmak zorunda olmadığı ve iî'deki bir idealin Gröbner tabanındaki elemanlar tarafından üretildiği görüldü. H'ııin bir / ide alinin bir Gröbner tabanından minimal ve indirgenmiş Gröbner tabanların nasıl elde edildiği gösterildi. Minimal Gröbner tabanların da tek olmak zorunda ol madığı, fakat indirgenmiş Gröbner tabanın tek olduğu ispatlandı. Buchberger'den sonra Mora 1986-1994 yıllarında k{xi)i^r serbest k- cebiri üzerinde Gröbner taban tanımını verdi. Böylece " Değişmeli Olmayan Gröbner Taban Teorisi " üzerindeki çalışmalar için ilk adım atılmış oldu. Mora'dan sonra Green 1993'te herhangi bir A;- cebiri için, cebirin &- tabanı üzerine bazı koşullar ko yarak, Gröbner taban tanımını verdi. Green'in çalışmaları değişmeli durumda Buchberger'in çalışmaları ile çakışmaktadır. Ayrıca Green'in çalışmaları k(x{)ieı serbest k- cebirine uygulanırsa Mora'nın çalışmaları elde edilebilmektedir. Tezin dördüncü bölümünde sırasıyla bu çalışmalar ele alındı ve Green'in yol cebirleri üzerindeki çalışmaları incelendi. Değişmeli Gröbner Taban Teorisi ve Değişmeli Olmayan Gröbner Taban Teorisi temelde aynıdır. Fakat; k[xı,...,xn] k-cebm Noether olduğu için buradaki her I ideali için bulunan Gröbner taban sonlu olurken, her k- cebir Noether olmak zorunda olmadığından değişmeli olmayan &- cebirlerde herhangi bir ideal için sonsuz elemanlı Gröbner tabanlar elde etmek mümkündür. Beşinci bölümde, Gröbner tabanların iki uygulaması olarak, ideale ait olma ve radikale ait olma problemleri ele alındı.

Abstract:
ABSTRACT This work consists of five chapters. The first chapter is a preparatory chapter consisting of material that we use. Let R = k[xi,...,xn] be the commutative polynomial ring (namely, commutative polynomial A;- algebra). We need a monomial order and a divison algorithm so that we can have a Gröbner basis for an ideal i" of R. Therefore, in the second chapter division algorithms and monomial orders are investigated. Firstly; Buchberger, in the years 1965-1985, defined the notion of Gröbner basis on R = k[xi,...,xn] and gave some equivalent conditions of it. In Chapter 3, these studies are investigated. It is proved that every non-zero ideal of R has a Gröbner basis and Buchberger's Algorithm which gives this basis is constructed. It is seen that the Gröbner basis for an ideal need not be unique and any ideal in R. is generated by the elements in the Gröbner basis of that ideal. It is shown how minimal and reduced Gröbner bases can be obtained from any Gröbner basis of an ideal of R. It is proved that also minimal Gröbner basis need not be unique although reduced Gröbner basis is unique. After Buchberger, Mora, in the years 1986-1994, gave the notion of Gröbner basis on the free A;- algebra k(xi)i?i. Therefore the first studies were given for Noncommutative Gröbner Basis Theory. After Mora, Green gave the definition of Gröbner basis by adding some conditions on the A;- bases of the algebras in 1993. In commutative case Green's work coincides with Buchberger's work. Furthermore if Green's work is applied to the free &- algebra k(xi)i^i, then Mora's results can be obtained. In Chapter 4, these studies are considered respectively, and Green's studies on path algebras are investigated. Basically, Commutative Gröbner Basis Theory and Noncommutative Gröbner Basis Theory are the same. But, since k[x\, :.,xn] is Noetherian then every ideal J in k[x\,...,xn] has a Gröbner basis with finite elements while in noncommutative algebras any ideal can have Gröbner bases with infinite elements since every &- algebra need not be Noetherian. In Chapter 5, as two applications of Gröbner bases, Ideal Membership Problem and Radikal Membership Problem are considered.