Bazı nonlineer kısmi diferansiyel denklemlerin çeşitli tam analitik çözümleri
Various exact analytical solutions of some nonlinear partial differential equations
Yazar: CANSU ALİ SARMAŞIK
Danışman: DOÇ. DR. MEHMET EKİCİ
Yozgat Bozok Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu çalıĢmada, optik fiberlerde bazı lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin analitik
bir incelemesi yapılmıĢtır. Bu denklemler, üç farklı birleĢtirilmiĢ modelden oluĢmaktadır:
Lineer olmayan Schrödinger denklemi, Lakshmanan-Porsezian-Daniel modeli ve SasaSatsuma denklemini kombine eden bir model; çift kırılımlı fiberlerde Kerr yasası
nonlineerliğini içeren bir model ve uzay-zamansal dispersiyon, Hamiltonian tipi
pertürbasyon terimleri ve çarpımsal beyaz gürültünün varlığında Kerr yasası
nonlineerliğini sahip bir model. Ele alınan denklemlere çoklu dalga çözümleri, iki soliter
dalga çözümleri, breather dalgaları, periyodik çapraz kink çözümleri, Peregrine benzeri
rasyonel çözümler ve üç dalga çözümleri gibi çeĢitli analitik çözümleri belirlemek için
Cole-Hopf dönüĢümü ve keyfi fonksiyonları içeren doğrudan varsayımlar kullanılmıĢtır.
Bu dalga çözümlerinin varlığı için gerekli koĢul olan parametre kısıtlamaları da
belirlenmiĢtir. Bu araĢtırmada rapor edilen bazı çözümlerin etkileĢimleri üzerine farklı
parametrelerin etkisini keĢfetmek ve göstermek amacıyla, bu iletim ve etkileĢim
özelliklerini canlı bir Ģekilde sergilemek için 3D grafikler ve bunların karĢılık gelen kontur
grafiklerine yer verilmiĢtir. ÇalıĢmanın sonuçları, optik fiberlerde belirli lineer olmayan
dalgaların deneysel olarak gerçekleĢtirilmesi ve yayılma dinamiklerinin daha iyi
anlaĢılması için faydalı olabilir.

Anahtar Kelimeler: Çoklu dalga çözümleri, Breather dalgaları, Periyodik çapraz kink
çözümleri, Peregrine benzeri rasyonel çözümler, BirleĢtirilmiĢ modeli, Çarpımsal beyaz
gürültü, Çift kırılımlı fiberler, Cole-Hopf dönüĢümü

Abstract:
In this study, an analytical investigation of certain nonlinear partial differential equations
in optical fibers is conducted. These equations consist of three different concatenation
models: A model that combines the nonlinear Schrödinger equation, the LakshmananPorsezian-Daniel model, and the Sasa-Satsuma equation; a model characterized by the
inclusion of the Kerr law of nonlinearity in birefringent fibers, and a model that
incorporates the Kerr law of nonlinearity in the presence of spatio-temporal dispersion,
Hamiltonian-type perturbation terms, and multiplicative white noise. The Cole-Hopf
transformation and direct assumptions with arbitrary functions are utilized to determine
several analytic solutions to the governing equations, including multi-wave solutions, two
solitary wave solutions, breather waves, periodic cross kink solutions, Peregrine-like
rational solutions, and three-wave solutions. The parameter constraints that serve as the
requisite condition for the existence of these wave solutions are also identified. To explore
and demonstrate the influence of different parameters on the interaction of some solutions
reported in this research, 3D graphics and their corresponding contour plots are provided to
vividly display these transmission and interaction characteristics. Results of this study may
be useful for the experimental realization of certain nonlinear waves in optical fibers and
further understanding of their propagation dynamics.

Keywords: Multi-wave solutions, Breather waves, Periodic cross kink solutions,
Peregrine-like rational solutions, Concatenation model, Multiplicative white noise,
Birefringent fibers, Cole-Hopf transformation