Lie ve Noether simetrileri ile adi diferansiyel denklemlerin çözümleri
Solutions of ordinary differential equations with Lie and Noether symmetries
Yazar: SEVGİ KOÇ
Danışman: DOÇ. DR. MÜGE MEYVACI ; DR. ÖĞR. ÜYESİ AHMET BAKKALOĞLU
Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Değişmezlik = Invariability ; Lie simetrileri = Lie symmetries

Özet:
Bu tezde Lie ve Noether simetrileri ile adi diferansiyel denklemlerin çözümleri üzerinde durulmuştur. Diferansiyel denklemler birçok teknolojik problemin yanı sıra doğanın temel yasalarının çoğunun formüle edilmesinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Bazen denklemlerin analitik çözümünü elde etmek için geleneksel ve probleme özgü metotlar kullanıldığında denklemleri integre etmek mümkündür. Çoğu zaman bu denklemleri integre etmek mümkün değildir. Literatürde dört yüzden fazla integrallenebilir adi diferansiyel denklem bulunur ve bunların her biri kendilerine özgü çözüm yöntemlerine sahiptir. Lie grup analizi, tüm bu adi diferansiyel denklemleri dört farklı tipe indirgeyerek, çok daha genel bir çözüm yöntemi sağlamakta ve dolayısıyla Lie teorisi diferansiyel denklemlerin çözümünün elde edilmesinde çok önemli bir araç olarak karşımıza çıkmaktadır. Diferansiyel denklemlerin analizinde önemli rol oynayan bir diğer araç ise Noether simetri yöntemidir. Bu yöntem için birinci ve ikinci mertebeden Lagrangianlara karşılık gelen Noether teoremi ve ilk integraller verilmiştir. İlk integralleri elde etmek için diferansiyel denklemlerin simetrileri kullanılmaktadır. Bu tezde birinci ve ikinci mertebeden Lagrangianlara karşılık gelen ilk integralleri elde etmek için Noether teoremi kullanılmıştır. Noether, diferansiyel denklemler için varyasyon ilkesinden elde edilen, her simetri üretecine karşılık gelen bir ilk integralin bulunduğunu kanıtlamıştır. Bu simetrilere Noether simetri üreteci adı verilir ve eğer Noether simetri üreteci mevcut ise Noether teoremi her simetri üretecine karşılık gelen ilk integralleri kolaylıkla sağlamaktadır. Lie teorisi ve Noether teoremi, bir sistemin simetrilerini belirlemeyi ve ardından sabitlerinin karşılık gelen değişmezlerini bulmayı içermektedir. Lie teorisi söz konusu olduğunda diferansiyel denklem değişmez bırakılırken, Noether teoremi Eylem İntegralini değişmez bırakmaktadır. Bunların elde edilmesi diferansiyel denklemlerin mertebesinde indirgeme sağlamasından dolayı denklemleri çözmek için kolaylık sağlamaktadır. Buna dayanarak, tez kapsamında Lie ve Noether simetri yöntemleri ile Emden-Fowler denklemi ve adi diferansiyel denklemlerin analizleri yapılmıştır ve elde edilenlerin verilen denklemin çözümünü elde etmek için nasıl kullanılabileceği açıklayıcı bir şekilde çeşitli örnekler üzerinde gösterilmiştir. Böylece kendine özgü yapısı sebebiyle bilinen yöntemlerle çözülemeyen bazı lineer olmayan denklemler için Lie ve Noether simetri yöntemleri ile çözümün nasıl getirilebileceği tartışılmıştır.

Abstract:
In this thesis, Lie and Noether symmetries and solutions of ordinary differential equations are focused on. Differential equations are widely used in formulating many technological problems as well as many of the fundamental laws of nature. Sometimes it is possible to integrate equations when traditional and problem-specific methods are used to obtain the analytical solution of the equations. Most of the time it is not possible to integrate these equations. There are more than four hundred integrable ordinary differential equations in the literature, and each of them has its own unique solution methods. Lie group analysis provides a much more general solution method by reducing all these ordinary differential equations to four different types, and therefore Lie theory appears as a very important tool in obtaining the solution of differential equations. Another tool that plays an important role in the analysis of differential equations is the Noether symmetry method. For this method, Noether's theorem and first integrals corresponding to first and second order Lagrangians are given. The symmetries of the differential equations are used to obtain the first integrals. In this thesis, Noether's theorem is used to obtain the first integrals corresponding to first and second order Lagrangians. Noether proved that for differential equations there is a first integral corresponding to every symmetry generator, obtained from the variation principle. These symmetries are called Noether symmetry generators, and if a Noether symmetry generator exists, Noether's theorem easily provides the first integrals corresponding to each symmetry generator. Lie theory and Noether's theorem involve determining the symmetries of a system and then finding the corresponding invariants of its constants. While the differential equation is left invariant in the case of Lie theory, Noether's theorem leaves the Action Integral invariant. Obtaining these makes it easier to solve the equations because it reduces the order of differential equations. Based on this, within the scope of the thesis, Lie and Noether symmetry methods were analyzed with the Emden-Fowler equation and ordinary differential equations, and how the obtained data can be used to obtain the solution of the given equation is shown in an explanatory manner on various examples. Thus, it is discussed how to find solutions using Lie and Noether symmetry methods for some nonlinear equations that cannot be solved by known methods due to their unique structure.