Riemann manifoldları üzerinde eğriler ve manyetik yörüngeler
Curves and magnetic trajectories on Riemannian manifolds
Yazar: OSMAN ATEŞ
Danışman: PROF. DR. İSMAİL GÖK
Ankara Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2020
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. İlk bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde, çalışma boyunca kullanacağımız temel kavramlar hatırlatılmıştır.
Üçüncü bölümde; RxS3 çarpım uzayında J-yörünge eğrilerinin hareket denklemleri elde edilmiştir. 
3-küre üzerindeki izdüşüm eğrileri, Legendre eğri olan J-yörüngelerin periyodikliği çalışılmıştır ve bir periyodik olma kriteri belirlenmiştir. Ayrıca, bir J-yörüngenin 3-küre üzerine izdüşüm eğrisinin kontak açısı elde edilmiştir.
Dördüncü bölümde; RxS3 çarpım manifoldu üzerindeki J-yörünge eğrilerinin, 3-küre üzerinde yatan bileşeninin dinamikleri araştırılmıştır. Hopf fibrasyon yardımıyla, 2-küre üzerindeki izdüşüm eğrilerinin çok sayıda geometrik özelliği elde edilmiştir ve Mathematica programıyla izdüşüm eğrilerinin bazı örnekleri verilmiştir. Bu izdüşüm eğrileri 3-boyutlu Öklid uzayında ele alınmıştır ve izdüşüm eğrilerinin eğriliği ve torsiyonu belirlenmiştir. Ayrıca uzay eğrilerinin temel teoreminden, bu iki karakteristik bir eğri tanımlar ve Mathematica programıyla, bu izdüşüm eğrilerin bazı örnekleri çizilmiştir. Son olarak, 2-küre üzerindeki izdüşüm eğrilerinin Hopf dönüşümü yardımıyla tam lift olarak tanımlanan, 3-küre üzerindeki Hopf tüpler incelenmiştir. 3-küre üzerindeki eğrilerin, izdüşüm eğrileri tarafından tanımlanan Hopf tüp üzerinde geodezik olması için gerek ve yeter şartın bu eğrilerin Legendre eğri olması olduğu ispatlanmıştır.
Beşinci bölümde; yapılan çalışmalar ile ilgili sonuçların analizine yer verilmiştir.

Abstract:
This thesis consist of five chapters. The first chapter is devoted to the introduction. In
the second chapter, basic concepts that we will use throughout the work are recalled.
In chapter three; the equations of motion for a J-trajectory are founded in the product
space RxS3. The periodicity of J-trajectories whose projection on the 3-sphere is a
Legendre curve are studied and a periodicity criterion is founded. Moreover, the contact
angle for the projection on 3-sphere of a J-trajectory is obtained.
In chapter four; the dynamics of the 3-sphere-component of a J-trajectory are investigated
in product manifolds RxS3. Several geometric properties are obtained for the projection
curve on 2-sphere via the Hopf fibration and some examples of the projection curve are
generated with Mathematica. The projection curve is regarded in 3-dimension Euclidean and determined
its curvature and torsion. Using the fundamental theorem of curves in space, these two
characteristics define a curve and some examples of the projection curve are plotted with a
Mathematica program. Finally, The Hopf tubes on the 3 -sphere, defined as the complete
lift via the Hopf map of the projection curve on the 2 -sphere, are investigated. It is also
proved that the curves in 3-sphere are geodesics on the Hopf tubes over the projection
curve on the 2 -sphere if and only if they are Legendre curves.
In chapter five; the analysis of the results considered in previous chapters are given.