Üretici çekirdekli hilbert uzaylarında berezin dönüşümüile ilgili bazı operatör eşitsizlikleri
Some operator inequalities related to the berezi̇ntransform in reproducing kernel hilbert spaces
Yazar: HAMDULLAH BAŞARAN
Danışman: PROF. DR. MEHMET GÜRDAL
Süleyman Demirel Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez çalışması dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, tez konusunun
tarihsel gelişimi verilmiştir. İkinci bölümde, konunun yerinin belirlenmesi amacıyla
literatür özeti verilmiştir ve konunun amacı açıklanmıştır. Üçüncü bölümde, operatör
teorisinde ve üretici çekirdekli Hilbert uzaylarında bazı temel tanım ve yardımcı
teoremler verilmiştir. Dördüncü bölüm sekiz alt kısım halinde incelenmiştir. Birinci
alt kısımda bazı operatörlerin Berezin sayıları için konveks fonksiyonlara göre iç
çarpım eşitsizliklerinin geliştirilmesini içeren operatör teorisinin bazı problemleri
bulunmuştur. Burada pozitif operatörler için klasik operatör Jensen eşitsizliği,
kuvvet-anlamında eşitsizlik (Nikolski, 1986), Aujla ve Silva (2003) tarafından verilen
pozitif operatörün konveks fonksiyonunu içeren bir norm eşitsizliği ve Löwner–Heinz
tipli eşitsizliklere denk olan genel norm eşitsizliğinin özel durumunu içeren bazı
yardımcı teoremler yardımıyla Berezin sayı eşitsizlikleri elde edilmiştir. İkinci
alt kısımda Berezin sayısı için bazı yeni eşitsizlikler ve operatörlerin toplamı ve
çarpımı için Berezin sayısının kuvvetlerini içeren geliştirilmiş ve genelleştirilmiş
eşitsizlikler incelenmiştir. Bu kısımda ise r ≥ 1 olmak üzere f (t) = t^r konveks
fonksiyonu için Jensen eşitsizliği teknikleri (Furuta vd., 2005), pozitif operatörler
(Zhu, 2007) ve Jensen eşitsizliği için spektral teoremi, Young eşitsizliği ve ters
eşitsizliği (Kober, 1958), Dragomir eşitsizliği (Dragomir, 2009), Schwarz eşitsizliği
ve f (t) = t^r konveks fonksiyonu için Jensen eşitsizliğinin sonucunda elde edilen
eşitsizlikler kullanılarak yeni eşitsizlikler elde edilmiştir. Üçüncü alt kısımda artan
operatör konveks fonksiyonların Berezin sayıları için T sınırlı fonksiyonu kullanılarak
bazı yeni genel formları incelenmiştir. 2021'de Moradi ve Sababheh (2021) ve
Sababheh ve Moradi (2021) konveks fonksiyonları kullanarak bazı iyi bilinen nümerik
yarıçap eşitsizliklerinin iyileştirilmiş ve genelleştirilmiş formları ile ilgili teknikler,
artan operatör konveks fonksiyonlar yöntemi, k f (|S|)k ≤ f (k|S|k) eşitsizliği,
kartezyen ayrışımı ve adjoint operatörler teknikleri ve Kittaneh ve El-Haddad
(2007)'ın çalışmalarında kullanılan yöntemlerden yeni eşitsizlikler elde edilmiştir.
Dördüncü alt kısımda bazı operatörlerin Berezin sayıları için üst sınırlarını
veren problemler incelenmiştir. Bu kısımda kTk 2 ≤ w(T) ≤ kTk eşitsizliğini
iyileştiren Kittaneh (2003b, 2005)'in çalışmalarının sonucundaki tekniklerden ve
pozitif operatörler için klasik operatör Jensen eşitsizliği ve genelleştirilmiş karışık
Cauchy-Schwartz eşitsizliği olan Kittaneh'in sonucu, f (t) = t^r, r ≥ 1, konveks
fonksiyonun bir sonucu olan toplam formül eşitsizliği (Vasic ve Keckic, 1971),
operatörün kartezyen ayrışımı ve Cauchy-Schwarz eşitsizliği kullanılarak yeni
eşitsizlikler elde edilmiştir. Beşinci alt kısımda üretici çekirdekli Hilbert uzayındaki
operatörlerin Berezin sayısı ve Berezin normunun kuvvetlerini içeren keskin
eşitsizlikler bulunmuştur. Burada klasik Jensen eşitsizliğinin basit bir sonucu ve
diğer bir uygulaması, aritmetik ve geometrik eşitsizliği, bilinen klasik konvekslik
eşitsizlikleri ve üretici çekirdekli Hilbert uzay operatör eşitsizleri kullanılarak Berezin
yarıçap eşitsizliğinin genelleştirmeleri incelenmiştir. Altıncı alt kısımda üretici
çekirdekli Hilbert uzayındaki operatörlerin A-Berezin sayısı ve A-Berezin normu
için eşitsizlikler verilmiştir. Bu kısımda ilk olarak sıfır olmayan pozitif operatörler
üzerinde yarı iç çarpım uzayı ve yarı normlu uzaylar için Berezin kümesi, Berezin
sayısı ve Berezin norm kavramlarının genişletilmiş tanımları sınırlı lineer operatörlerin
Banach cebiri tanımlanmıştır. Ayrıca Douglas teoremi kullanılarak BA1/2 (H) uzayı
tanımlanmıştır. Ayrıca operatörün Moore-Penrose ters operatörü yardımıyla birtakım
özellikleri incelenmiştir. Feki (2020c)'nin elde ettiği operatörün A-nümerik yarıçapı ve
teknikleri kullanılarak üretici çekirdekli Hilbert uzaylarında operatörlerin A-Berezin
sayısı ve A-Berezin normu için bazı eşitsizliklerin elde edildiği görülmüştür. Yedinci
alt kısımda üretici çekirdekli Hilbert uzaylarında Specht oranı kullanılarak Berezin
sayı eşitsizlikleri incelenmiştir. Bir operatörün Berezin dönüşümü olan sınırlı
fonksiyon kullanılması sonucunda üretici çekirdekli Hilbert uzay operatörlerinin yeni
eşitsizlikleri gösterilmiştir. Specht oranı yardımıyla bazı eşitsizlikler genelleştirilmiştir
ve geliştirilmiştir. Bu geliştirmeler kullanılarak Berezin normu ve Berezin yarıçapı
için yeni eşitsizlikler ifade edilmiştir. Sekizinci alt kısımda Berezin yarıçapı
için yeni eşitsizlikler incelenmiştir. Fonksiyonel bir Hilbert uzayı üzerinde
tanımlanan sınırlı lineer operatörlerin Berezin normu ve Berezin sayısı için eşitsizlikler
gösterilmiştir. Ayrıca iki operatör için yeni Berezin sayı tahminlerinden bir araya
getirilmiştir. Daha sonra Kittaneh ve El-Haddad (2007) tarafından verilen eşitsizlikler
genelleştirilmiştir ve iyileştirilmiştir. Sonuç olarak, Cauchy-Schwarz eşitsizliği,
karışık Schwarz eşitsizliği, Jensen eşitsizliği, Hermite-Hardamard eşitsizlikleri gibi iyi
bilinen eşitsizlikler yardımıyla Berezin sembolü ile kullanılması operatörlerin Berezin
sayısı eşitsizliklerinin önemini arttırmıştır ve yeni eşitsizlikler kazandırmıştır.

Abstract:
There are four sections to this thesis. The historical development of the subject
of the PhD thesis is provided in the first chapter. A synopsis of the literature
is provided in the second section to observe readers locate the subject, and the
subject's relation with the literature has been addressed. In the third chapter, basic
concepts and auxiliary theorems in operator theory are presented for Hilbert spaces
with reproducing kernels. The fourth chapter is analyzed in eight subsections. In
the first subsection, some problems of operator theory have been found,including the
development of inner product inequalities with respect to convex functions for some
operators' Berezin numbers. Here, for positive operators, the classical operator Jensen
inequality, force-sense inequality (Nikolski, 1986), a norm inequality including the
convex function of the positive operator given Aujla and Silva (2003) and some Berezin
number inequalities have been obtained with the help of some auxiliary theorems,
which also include this particular case of the general norm inequality compatible with
Löwner-Heinz type inequalities. In the second subsection, some new inequalities for
Berezin number and refined and generalized inequalities including powers of Berezin
number for sum and multiplication of operators are examined. In this part, Jensen
inequality techniques (Furuta vd., 2005), positive operators (Zhu, 2007) and spectral
theorem for Jensen inequality, Young's inequality and inverse inequality (Kober, 1958),
Dragomir inequality (Dragomir (2009), Theorem 2), Schwarz inequality and the
inequalities obtained as a result of Jensen's inequality for the convex function f (t)=tr
are used to obtain new inequalities. In the third subsection, some new general forms
are examined by using T bounded function for Berezin numbers of some increasing
operator convex functions. In 2021, Moradi and Sababheh (2021) and Sababheh and
Moradi (2021) developed techniques dealing with refined and generalized versions of
various best-known numerical radius inequalities using convex functions, the method
of increasing operator convex functions, k f (|S|)k ≤ f (k|S|k) inequality, Cartesian
decomposition and adjoint operators techniques and the methods used in Kittaneh
and El-Haddad (2007) new inequalities are obtained. In the fourth subsection, some
problems that give the upper bounds of some operators for Berezin numbers are
examined. In this section, one of the resulting techniques from Kittaneh (2003b, 2005)
that improves the inequality kTk 2 ≤ w(T) ≤ kTk and the classical operator Jensen
inequality for positive operators and generalized mixed Cauchy-Schwartz inequality.
Kittaneh's result, f (t)= tr, r ≥ 1, the sum formula inequality as a result of the convex
function (Vasic and Keckic, 1971), the Cartesian decomposition of the operator, and
the Cauchy-Schwarz inequality are used in this section to introduce a new inequalities
have been found. In the fifth subsection, sharp inequalities including the Berezin
number of operators in Hilbert space with reproducing kernel and the powers of the
Berezin norm are found. Here, generalizations of the Berezin radius inequality using
a simple result and another application of the classical Jensen inequality, arithmetic
and geometric inequality, some classical convexity inequalities and Hilbert space
operator inequalities with reproducing kernel are examined. In the sixth part, some
inequalities are given for the A-Berezin number and A-Berezin norm of operators in
Hilbert space with reproducing kernel. In this section, firstly, extended definitions of
Berezin set, Berezin number and Berezin norm concepts for semi-inner product space
and semi-normed spaces on non-zero positive operators are defined Banach algebra
of bounded linear operators. Also the space BA1/2 (H) is defined using the Douglas's
theorem. In addition, some properties of the operator are examined with the help of
the Moore-Penrose inverse operator. Using the A-numerical radius and techniques
of the operator obtained by Feki (2020c), it has been seen that some inequalities
are obtained for the A-Berezin number of operators and the A-Berezin norm in
Hilbert spaces with reproducing kernel. In the seventh subsection, Berezin number
inequalities are examined using the Specht ratio in Hilbert spaces with reproducing
kernel. Some new inequalities of Hilbert functional operators are shown as a result
of using the bounded function, which is the Berezin transformation of an operator.
Some inequalities have been generalized and refined with the help of Specht ratio.
Also using these improvements new inequalities for Berezin radius and Berezin norm
presented. In the eighth subsection, some inequalities for the Berezin radius are
examined. Inequalities for the Berezin norm and the Berezin number of bounded linear
operators defined on a functional Hilbert space has been shown. It is also aggregated
from new Berezin number estimates for the two operators. Then the inequalities
given by Kittaneh and El-Haddad (2007) are generalized and refined. The Berezin
number inequalities of operators can thus be seen in a new light when the Berezin
symbol approach is used in combination with several well-known inequalities, such
as the Cauchy-Schwarz inequality, mixed Schwarz inequality, Jensen inequality, and
Hermite-Hardamard inequalities.