Stokastik diferansiyel denklemler için çözümlerin sınırlılığını koruyan nümerik metotların incelenmesi
An investigation of numerical methods preserving boundedness of the solutions to the stochastic differential equations
Yazar: SAMİ DEMİR
Danışman: DOÇ. DR. UTKU ERDOĞAN
Eskişehir Teknik Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Modern olasılık teorisi = Modern probability theory ; Sayısal analiz = Numerical analysis ; Stokastik diferensiyel denklemler = Stochastic differential equations

Özet:
Stokastik Diferansiyel Denklemler, içerdikleri gürültü teriminden kaynaklı olarak deterministik diferansiyel denklemlerden ayrı bir kategoride incelenirler. Stokastik diferansiyel denklemlerin katsayı fonksiyonları global Lipschitz koşulunu sağladıklarında ve lineer büyümeye sahip olduklarında tam çözümleri ve açık Euler-Maruyama  metodu ile türetilen nümerik çözümleri sonlu momentlere sahiptir. Fakat bu koşullar gevşetildiğinde tam çözüm sonlu momentlere sahip olmasına rağmen  açık Euler Maruyama metodu ile türetilen nümerik çözümlerin sonlu zamanda sınırsız büyüdüğü 2011 yılında Hutzenthaler vd. tarafından kanıtlanmıştır. İlerleyen yıllarda global Lipschitz koşulunu sağlamayan stokastik diferansiyel denklemler için kuvvetli  yakınsamayı garanti eden açık Euler-Maruyama metotlarının oluşturulması ve analiz edilmesi stokastik nümerik analizin güncel problemlerinden birisi olmuştur.
Bu tez çalışmasında  önbilgiler verildikten sonra, açık Euler Maruyama metodunun hangi koşullar altında ıraksak çözümler türettiği ifade edilmiş ve bu sonuç nümerik olarak  doğrulanmıştır. Söz konusu koşullar altında da kuvvetli yakınsak olan  tamed, izdüşümsel ve kesmeli Euler Maruyama metotları tanıtılmış ve tamed Euler-Maruyama metodunun detaylı yakınsaklık analizi incelenmiştir. Ayrıca bu metotların nümerik performansları da  çeşitli stokastik diferansiyel denklemler üzerinden test edilmiştir.

Abstract:
Stochastic Differential Equations are treated in a different category from Deterministic Differential Equations because of the noise term. When coefficients of Stochastic Differential Equations satisfy global Lipschitz condition and linear growth condition, the exact solution to the Stochastic Differential Equation and the numerical solution obtained by explicit Euler- Maruyama  scheme have bounded moments. If the conditions are relaxed, it is proved  by Hutzenthaler et. al. in 2011  that the numerical solution obtained by explicit Euler- Maruyama  scheme explodes although the exact solution stays bounded. In the following years, the design and analysis of explicit, strongly convergent  methods for   Stochastic DifferentialEquations with non-globally Lipschitz condition have become  one of the current problems in stochastic numerical analysis.      
In this thesis, after preliminaries it is explained and numerically verified that under what conditions explicit Euler Maruyama method diverges. The tamed, projected and truncated Euler Maruyama methods which are strongly convergent under the relaxed conditions are introduced briefly and detailed strong convergence analysis of the tamed Euler-Maruyama Method is given. Additionally, the numerical performances of these methods are compared over some Stochastic Differential Equations.