Zaman skalası üzerinde birinci basamaktan dinamik denklemler için Ulam kararlılığı
Ulam stability for first order dynamic equations on time scale
Yazar: BÜŞRA AYDIN
Danışman: PROF. DR. ADİL MISIR
Gazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2021
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu araştırmada birinci basamaktan homogen olan ve homogen olmayan dinamik denklemler için zaman skalası üzerinde Ulam kararlılığı çalışılmıştır. Wisconsin üniversitesinde 1940 yılında yapılan bir konuşmada Stanislav Ulam'ın sorduğu sorulardan birine ertesi yıl  Hyres'in yanıtladığı cevapla ele alınan bu kararlılık teorisi şu anda Hyres-Ulam kararlılığı olarak bilinmektedir. Bu araştırmada öncelikle birinci basamaktan diferensiyel denklemler ardından da bu diferensiyel denklemlerde kararlılık ve fonksiyonel denklemlerin Hyers-Ulam kararlılığı gibi temel tanım ve kavramlara yer verilmiştir. Ardından zaman skalası konusunun temel kavramlarından olan delta (Hilger) türev, delta integral, kompleks Hilger düzlemi, genelleştirilmiş üstel fonksiyon ve birinci basamaktan lineer dinamik denklemlerin özellikleri incelenmiş olup bunlara ait tanımlar verilmiştir. Daha sonra Onitsuka ve  Anderson'nun yaptıkları çalışmaları da dikkate alarak birkaç özel hallerde ayrık ve sürekli dinamik denklemleri içerisine alan sabit katsayılı birinci basamaktan lineer dinamik denklemlerin zaman skalası üzerinde Hyers-Ulam kararlılığı (HUS) çalışılmıştır. Burada bilhassa zaman skalasının granül fonksiyonuyla ilişkili birkaç parametre değerleri için minimum Hyres-Ulam kararlılık sabitleri araştırılmıştır. Son kısma geldiğimizde Yonghong Shen'in çalışması göz önünde bulundurularak öncelikle lineer birinci basamaktan dinamik denklemlerin eşlenik denklemin integral alma metodu uygulanarak Ulam kararlılığı ele alınmıştır. Ardından bu denklemin genelleştirilmiş üstel fonksiyonun özellikleri ve bu denklemin sonuçları vasıtasıyla lineer birinci basamaktan dinamik denklemin Ulam kararlılığı araştırılmıştır.

Abstract:
In this research, Ulam stability in time scale for first order homogeneous and inhomogeneous dynamical equations was investigated. This stability theory, which was addressed by Hyres's answer to one of the questions Stanislav Ulam asked in a speech at the University of Wisconsin in 1940, is known today as the Hyres-Ulam stability. In this research, basic definitions and concepts such as first-order differential equations and then stability in these differential equations and Hyers-Ulam stability of functional equations are given. Then, the basic concepts of time scale, delta (Hilger) derivative, delta integral, complex Hilger plane, generalized exponential function and first-order linear dynamical equations are examined and their definitions are given. Then, taking into account the work of M. Onitsuka and D. R. Anderson, Hyers-Ulam stability (HUS) is studied in the time scale of constant coefficient first order linear dynamical equations including discrete and continuous dynamical equations in a few special cases. Here, the minimum Hyres-Ulam stability constants are searched for a few parameter values related to the granule function of the time scale. When we come to the last part, Ulam stability is discussed by applying the method of integrating the conjugate equation of linear first order dynamical equations, taking into account the work of Yonghong Shen. Then, the Ulam stability of the linear first-order dynamical equation is investigated through the properties of the generalized exponential function of this equation and the results of this equation.