Hermite çokterimlilerinin belirleniminde saptırım açılımları ve üçgencil işlev çarpanlı toplamdizi açılımları
Perturbation expansions and series expansions with trigonometric function factors
Yazar: BAHAR YOLCU
Danışman: PROF. DR. METİN DEMİRALP
İstanbul Teknik Üniversitesi / Bilişim Enstitüsü / Hesaplamalı Bilimler ve Mühendislik Ana Bilim Dalı / Hesaplamalı Bilim ve Mühendislik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2019
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Hermite çokterimlilerinin köklerini (sıfırlarını) belirlemek amaçlı yöntem geliştirimine dayalı bu savda, değişik arayışlara yönelik araştırımlara girişilmiş, ve bunlardan ulaşılan vargılarla bir kesim sonuçlara erişilmiştir.

Savda, bilimsel yazında varolan ve iyi bilinen "sonsuz derece ereyinde üçgencil işlevli Hermite çokterimli yanaşık anlatımlarının" derecenin en az hangi değerinde istenildiğince iyi yaklaştırım oluşturduğu sorusuna yanıt aranmıştır. Bu en az değerin, en düşük sayılabilecek duyarlılıklarda bile, pek öyle 9-10 gibi sayılara inemediği gözlenmiştir. Oysaki istenen ve beklenen bu inişin sağlanabileceğiydi ve bu işlevcil yapıdan kök belirlenişi de beklenmekteydi.

Hermite çokterimlileri ile ilgili bilimsel kaynaklarda bulunabilecek temel tanımlar ve özellikler savda yeterince vurgulanmıştır. Gerekli olanlarının yeniden kanıtlanışı gerçekleştirilmiştir.

Sendelenimsizlik kanıtsavları ve sendelenimsizlik yaklaştırımları savda yeterince anımsatılmıştır. Doğrucul işleçler içeren sorunların yaklaşık çözümlerini elde edebilmek için, sonlu sayıda taban işlevi ile örtülen doğrucul yöney uzayları üzerinde işleçlerin dizey gösterilimleri kullanılabilir. Böylece doğrucul yöney uzayının boyutu arttırılarak istenilen yaklaştırım niteliğine ulaşılabilir.

Savda, sonsuz derece ereyinde Hermite işlevleriyle ilgili türlü yanaşık davranışlar belirtilmiştir. "Baskın yanaşım" olarak alınan bu yaklaştırımın çok ham olduğu savıyla baskın yanaşımdan başlayan bir saptırım açılımı oluşturarak niteliksiz yaklaştırımı nitelikliye çevirişin olanaklı olabilecği düşünülmüştür. Bu bağlamda, uygun bir STD oluşturup 1/n ile orantılı toplamcıl anlatıma saptırım gözüyle bakıp bir açılım gerçekleştirilmiştir. Ancak, buradan oluşturulan kesimcil yaklaştıranlar, daha düşük düzeyde olsa da, yine de niteliksiz sonuçlar vermiştir. Dolayısıyla, kullanılışı pek de yararlı gözükmemektedir.

Savda Hermite çokterimli kökleri belirlenişinde, sonsuz derece ereyinde sönümlü saptırım açılımına da odaklanılmıştır. Saptırım açılımında her saptırım anlatımı belirlenişinde bağdaşık çözümler sıfır alınmıştır. Oradaki nitelik olumsuzluğunun bundan kaynaklandığı düşünülerek bağdaşıklık sıfırlanımından kaçınılarak bir açılım oluşturuş, yoluna gidilmiştir. Böylece, daha nitelikli sonuçlar beklentisine karşın yine de olumsuzluk,azalsada,sürmüştür. Buda,sorunun salt bağdaşıklısız olmadığı vargısına ulaşılmıştır.

Savda, ayrıca, Hermite çokterimli kökleri belirlenşinde sonsuz derece ereyinde sönümlü, ekkoşullandırımlı saptırım açılımına da odaklanılmıştır. Olumsuzlukların kaynağının sonsuz boylu saptırım işlecinden kaynaklanabileceği düşünülerek, aralık (−∞,∞)'den sonlu bir x konumu yöresindeki sonlu bir aralığa dönüştürülerek ilerlenmek istenmiştir. Ancak, yine de sonuçların niteliği iyileşse de, bir yerlerden sorun kaynağı etkileri olabileceği yargısına varılmıştır. 

Nitelik olumsuzluğunu gidermek için, sonsuzluktan sonluluğa indirgenen saptırım işleç boyunu bastırmak için bağdaşıklığın eniyileyişi, daha da doğrusu ineçleyişi (enküçükleyişi) gündeme getirilmis, ve bağdaşıklık katsayıları saptanmıştır.

İneçleyiş, sonrası ele geçen bağdaşıklık katsayılarının kullanımıyla saptırım işlecinin doğrucul bir tümlev işlecine dönüşeceği uzbilimcil (matematiksel) olarak kanıtlanmıştır.

Doğrucul Tümlev işlecinde yalınlık elde edilişi açısından yukarıda sözü edilen aralığın gerçel değeri az olan ucunun x konumuna yerleşik oluşunun en uygun durum sayılabileceği gösterilmiştir. Aralığın sağ ucunun yerleşim konumunun x+π oluşunun sonsuz derece ereyinde en iyi seçim olacağı da, ayrıca, gösterilmiştir.

Yukarıdaki kuramcıl başarılara karşın elde edilen yöntemin etkin bir sayıcıl yöntem durumuna getirilebilişi için sonuca erişilmez bir durum olmasa da, uygulayımcıllık açısından, sav araştırım çizemi bağlamında yüksek bir çaba gerekeceği yargısına sav danışmanınca varılmış, bu saptırım açılımları olgusu bu içeriğinde bırakılmıs ̧ ve basşka arayışlara gidilmiştir. Savdan bütünüyle uzaklaştırım istenmemis ̧ ve olası okuyucuların durumu görebilişleri için savda sunuluşunda yarar görülmüştür.

Savda, tüm bunlardan sonra, çift Hermite çokterimlilerinin üçgencil işlevli (trigonometrik fonksiyonlu) Maclaurin açılımı anlatılmaktadır. Savın hem kuramcıl hem de uygulayımcıl açıdan en başarılı olan kesimi verilmiştir. Orada odaktaki Hermite işlevi için, ölçeklenmis ̧ bağımsız değişken olan x değişkenine göre biri kosinüs, ötekisi sinüs işlevi ile çarpılan toplamdizilerin toplamı olan bir anlatım kullanılmıs ̧ ve toplamdizilerin kesimcil çokterimli yaklaştırımları kullanılarak yaklaştıranlar oluşturulup onların kökleri belirlenmiştir.

Sonuçlar, yöntemin istenilen duyarlılıkta işediğini ve sonuçlar elde edilirken sıfıra uzak köklerin küçük sayılabilecek dereceler için daha yüksek kesimcil yapılar gerektirip çalıştırılış ̧ sürelerinin daha büyük süreler gerektireceği gözlenmiştir. Ama, sonuçta, uygulayımcıl açıdan da başarılı bir yöntem geliştirilmiş, bulunmaktadır. Bu yöntemde, kökler'n bulunuşunda saptırım açılımı değil sıradan kök belirleyiş, yöntemleri kullanılmıştır. Bu bağlamda, MuPAD simgecil yorumlayıcısının olanakları kullanılmıştır. Öteki bir deyişle, daha önceden odağa alınıp sonuçta dışlanan saptırım açılımı uygulamalarında kökler de saptırım açılımıyla belirlendiğinden niteliksizlikle ya da az nitelilikle yüzleşildiği düşünülmüştür. Gerçekten de, işlev yaklaştırımındaki yanılgılar kök belirlenişlerinde çok daha yüksek yanılgılara neden olabilmektedir. Bu da gürbüzlük kuramından (ing: Robustness Theory) iyi bilinen bir gerçektir.

Üçgencil işlevli Maclaurin açılımı yönteminin saptırım açılımıyla bütünleştirimi olanaklı görünmekle birlikte, savda buraya doğru bir yönelim gerçekleştirilmemiştir. BEBBYT araştırımları bağlamında gelecek için bir tasarı olarak yapılandırılabilecek gibi görünmektedir.

Abstract:
In this thesis based on the development of the method to determine the roots (zeros) of the Hermite polynomials, research has been initiated for different searches and some deductions have been reached with the conclusions produced from them.

We have also focused on the answer to the question of the well-known cosine function asymptotically for even Hermite polynomials and sine function asymptotically for odd Hermite polynomials in a more detailed form than existing in the related scientific literature (these forms asymptotically hold for infinite polynomial degree limit and works quite well when the degree grows unboundedly). We have investigated the situation for quite moderate polynomial degree values like two or even one digit integers. What we have observed that the cosinusoidal or sinusoidal asymptotically are needed to be combined to get asymptotic behaviors working well even two or one digit integer polynomial degrees.

The basic definitions and features that can be found in the scientific resources related to Hermite polynomials are revisited and the practically necessary ones have been reaffirmed.

The assertions of fluctuation and the fluctuation approximations are revisited and sufficiently explained. Mathematical Fluctuation Theory uses the matrix representation of the operator multiplying an appropriate arbitrary function of independent variable such that the truncated finite matrix representations on certain number of first consecutive basis functions. These representations can be approximated by using Hermite polynomials' roots and the related Hermite polynomials' values at those roots when the relevant interval of integration in the matrix representation matches the entire real number line. These roots are in fact the eigenvalues of the truncated matrix representation of the algebraic operator which multiplies its operand by the value of the independent variable at the same time and can be obtained by solving the relevant matrix eigenvalue problem. However, this becomes a tedious and numerically complicated problem when the truncation order tends to go to infinity. Essential numerical difficulty comes from the eigenvalue determination not from the eigenvector determination. On the other hand, these eigenvalues asymptotically related to the roots of cosine and sine function respectively for even and odd degree Hermite polynomials. This asymptotically comes from the solution of the ODE for Hermite polynomials at the infinite degree limit by using appropriate scalings and considerations of the term tending to vanish at that limit as perturbation. This enables us to develop a perturbative expansion for the solution of that perturbation equation to get terms involving powers of the independent variable and the cosine and sine functions. This series of terms can be truncated for approximations and the perturbative approximant roots can also be expanded to a similar type perturbation series whose truncations can be used as truncation approximants. This thesis involves certain important issues of this approach as the content size allows.

All kinds of asymptotic behaviors related to Hermite functions are stated in here, the thesis. It is thought that it may be possible to change the unqualified approximation into qualified ones by creating a perturbation expansion starting from the dominant asymptotic approach which is very crude in accordance with the observation. In this context, an appropriate ODE has been created and an expansion has been realised by looking at the terms proportional to 1/n as perturbations. However, the truncated perturbation approximations formed here still produced quite low quality results, or even diverging perturbation series. Regarding with these observations the considered perturbation expansions do not seem to be very useful (even useful).

Hermite polynomial roots are also tried to be identified with infinite degree of damped perturbation expansions. In defining each perturbation expression in the perturbation expansion homogeneous perturbative solutions had been taken as zero. Later we have considered that this omittance negatively affects the numerical approximation quality. This urged us not to discard homogeneities to get better qualities. Despite these efforts seemed to decrease the negativity in the obtention of quality, it has been observed that the situation was still far from the acceptability.

In this thesis, Hermite polynomial roots have also been tried to be identified via perturbation expansion of the solution of an ODE not on infinite interval (real axis) but also certain finite intervals. Considering that the source of the quality negativities may be caused by infinite perturbation operator, we have tried to change the interval (−∞, ∞) to a finite range around a finite x position. However, although the quality of the results improves, at the end, we have had to consider that there might be still another problem negatively affecting the truncation approximation quality.

In order to remove or suppress negativity in quality we have considered the optimization to suppress the perturbation operator norm even in the finite interval case we have taken the homogeneity coefficients and the interval endpoint as the optimisation agents. to finite and coherence coefficients were determined. In this way we have expected that a more convenient integral operator appearing in the analysis can be obtained.

The optimisation analysis has shown that the best interval on which the integration is performed should locate its left endpoint on the value x. Beyond this the right endpoint of the interval on which integration is performed should be located at the point x+ π

In spite of the above theoretical successes, although it is not an inaccessible situation for the method to be turned into an effective numerical method, it has been concluded by the thesis supervisor that in terms of applicability, a quite high effort will be required in the completion of the method construction and therefore we have no longer desired to continue on this route and we have left the perturbational efforts. However, all these perturbational investigations have not been discarded from the thesis and we have considered that it was beneficial to present it to the readers who are possibly willing to see the situation.

The construction of the triangular function coefficiented Maclaurin expansion of even Hermite polynomials is explained in sufficient details. We have not given the case for the odd Hermite polynomials. The most successful part of the thesis, in both theoretical and practical point of views, for the Hermite polynomial representation has been this part of research.

In the construction of the triangular function coefficiented Maclaurin expansion we have proposed two power series in the scaled independent variable x such that first and second power series are individually multiplied by cos(x) and sin(x) respectively and are of even and odd functions. Appropriate recursions have been constructed to evaluate the coefficients these power series. So the power series become to be determined uniquely as long as necessary initial values are given these recursions. After having the capability of evaluating these power series, their certain degree polynomial truncations have been used for numerical approximations. After all these, the the roots of the truncated approximants have been evaluated individually for the desired roots. What we have observed in the evaluations has been the fact that the roots far from the origin need more numerical effort for a specified numerical precision.

Although it seems possible to combine this latest proposed method with the perturbation expansion, we have not attempted to do so in this thesis. In the context of G4SMC (Group for Science and Methods of Computing) research studies, this can be considered as a project for the future.