Uyumlu salınıcının doğrusal ikikutup işlevli, ikinci derece erek ve yaptırım terimli eniyilemeli denetim denklemlerinin elde edilmesi ve çözülmesi
Optimally controlled dynamics of one dimensional harmonic oscillator under linear dipole functions and quadratic objective and penalty terms
Yazar: BURCU TUNGA
Danışman: PROF. DR. METİN DEMİRALP
İstanbul Teknik Üniversitesi / Bilişim Enstitüsü / Hesaplamalı Bilimler ve Mühendislik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2004
Konu: Mühendislik Bilimleri = Engineering Sciences

Özet:
Bu çalışmada bir boyutlu kuvantum uyumlu salınıcının eniyilemeli denetimi sorunu ile ilgilenilmiştir. Dizgenin doğrusal ikikutup işlevli (dipole function) bir lazer alanı altında olduğu varsayılmış, erek ve yaptırım terimlerinde içerilen işleçlerin (operatör) konum ve momentum işleçlerine göre en çok ikinci dereceden oldukları öngörülmüştür. Çalışmada öncelikle eniyilemeli denetim denklemleri elde edilmiş, daha sonra elde edilen bu denklemler iki ayrı yöntem kullanılarak çözülmüştür.  

Kullanılan yöntemlerden ilki saptırım açılımıdır. Eniyilemeli denetim denklemleri bu yöntem ile çözülürken güçsüz alan varsayımı yapılmış ve saptırım açılımında yalnızca sıfırıncı ve birinci basamaktan terimler alıkonulmuştur. Yani, güçsüz alan varsayımı altında ileri doğru evrimi betimleyen $\psi$ dalga işlevi ile geriye doğru evrimi betimleyen $\lambda$ eşdüzey 
işlevinin birinci basamaktan yaklaştırımları yapılmış ve bu yaklaştırımlar kullanılarak amaçlanan çözüme ulaşılmıştır. Saptırım açılımında sıralama değiştirgeni (parametresi) olarak, yaklaştırım elde edildiğinde değeri 1 olarak alınacak olan, denklemlere dış alan genlik işlevini ölçekleyecek biçimde yerleştirilen yapay bir değişkenden yararlanılmış 
yani Neumann türü bir saptırım açılımı gerçekleştirilmiştir. 

Kullanılan ikinci yöntem işleçler cebri ile indirgeme tabanlıdır. Bu yöntem dizgenin kendisinde varolan evrim işleçlerinin (evolution operators) matrisler türünden yazılarak analitik olarak kolayca yapılamayan işlemlerin dolaylı ama daha kolay olarak gerçekleştirilmesine dayanır. Evrim işleçlerinin matris gösterilimlerinin elde edilebilmesi için önce evrim işleçleri çarpanlara ayrılarak çok boyutlu uzayda dönmeye karşı gelen birimsel işleçler elde edilir ve bu birimsel işleçler üzerinden üstel matrislere ulaşılır. Bu yöntemde güçsüz alan varsayımı kullanılmamış ve dış alan genliğine ait saptırım açılımları  yöntemi ile elde edilen doğrusal terimlerin yanısıra üçüncü dereceden terimlerin de içerildiği doğrusal olmayan kesin bir denkleme ulaşılmıştır. 

Böylece, her iki yöntemle de elde edilen denetim denklemleri bilinmeyen olarak yalnızca dış alan genliğini içeren tümlevli denklemler yapısında ortaya çıkmıştır. Bu denklemler, saptırım açılımı durumunda, kolayca sayılabilecek biçimde, iki koşulu dizge ile dış alan etkileşiminin başında, diğer iki koşulu ise aynı etkileşimin son anında verilen, dördüncü dereceden türevli denkleme dönüştürülebilmektedir. Değişmez katsayılı bu denklem zorlanmadan çözülebilmektedir. 

Doğrusal olmayan kesin denklem durumunda denklemin sıradan türevli biçime getirilmesi yine de mümkün olabilmekte ancak elde edilen denklem doğrusal olmadığından kesin çözüm bir çırpıda elde edilememektedir. Bunun yerine çok yakında geliştirilen bir yöntemden, etkileşim süresine göre açılım yönteminden yararlanılmaktadır. Tezde bu açılımın yalnızca ilk baskın terimi verilmiş ve çözüm sırasında çok önemli özgün bulgular elde edilerek kuvantum uyumlu salınıcının eniyilemeli denetimine doğrusal olmayan durumlar için önemli 
bir katkı yapılmış olunmaktadır.

Abstract:
In this work, we deal with optimal control of one dimensional quantum harmonic oscillator. 
It is assumed that the system is under an external field characterized by a linear 
dipole function. It is also assumed that the operators appearing in the objective and 
the penalty terms are at most second degree with respect to the state and the momentum 
operators. Firstly, optimal control equations are obtained. Then, these equations are solved by using two different methods.

One of these methods is the perturbation expansion method. When the optimal control equations are solved by using this method it is assumed that there is a weak field and under this assumption only the zeroth and the first order terms are kept in the perturbation expansion. In other words, the weak field assumption enables us to develop a first order perturbation approach to get approximate solutions to the wave function, $\psi$ and the costate function, $\lambda$ and by using these approximations the aimed solutions are obtained. An artificial parameter, which is placed into the equations to satisfy the scaling of the external field, is used as an order parameter in the perturbation expansion. This parameter will be set equal to $1$ when the approximation is obtained. Therefore, a Neumann type perturbation expansion is taken into consideration.  

The other method is based on the reduction using operator algebra. This method allows us to rewrite the evolution operators, appearing in the system, in terms of several matrices in order to be able to obtain the solutions of the problems which can not be easily solved analytically. To be able to obtain the matrix forms of the evolution operators, first the multiplicative terms of these operators are obtained for constructing the unitary operators corresponding to the rotation in the high dimensional space and by using these unitary operators the exponential matrices are obtained. Weak field assumption is not used in this method, and furthermore, in addition to linear terms obtained from perturbation expansion cubic terms are also determined.  

Hence, the control equations determined through these two methods appeared in the structure of integral equations including only the external field as an unknown. When the perturbation expansion method is used these equations can be easily transformed to the fourth order differential equation whose two conditions are given at the beginning 
instant of the interaction between the system and the external field, and the other two conditions are given at the final instant of the same interaction. This equation with constant coefficients can be easily solved. 

When the nonlinear exact equation is used, the transformation of the equation to the ordinary differential equation is also available but the solution cannot be evaluated easily because of the nonlinear structure of the obtained equation. Instead of this method, a recently developed method which is an expansion with respect to the interaction time can be used. In this thesis, only the first dominant term of the expansion is given and some very important peculiar findings are obtained during the solution. Using these findings important contributions are made for the optimal control of the harmonic oscillator in the nonlinear cases.