R-cebiroid çaprazlanmış modülleri üzerine
On the crossed modules of R-algebroid
Yazar: GİZEM KAHRIMAN
Danışman: PROF. DR. İBRAHİM İLKER AKÇA
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Bilgisayar Ana Bilim Dalı / Analiz ve Fonksiyonlar Teorisi Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Grup teorisi alanında, bir grubun başka bir gruba olan etkisi otomorfizma grubu
tarafından belirlenir. Bir grup A'nın bir grup B üzerindeki etkisi, homomorfizma A →
Aut(B) tarafından verilir. Bir grup A ve bir grup B'nin herhangi bir uzantısı da bir
homomorfizma A → Aut(B) ile ilişkilidir. Cebir durumunda, bir cebirin başka bir cebir
üzerindeki etkisi çarpım cebiriyle ilişkilidir. Cebirsel genişlemede, dış çarpım gerçekleşir.
Çarpım cebiri kavramı, Maclane S. tarafından tanımlanmıştır (Lane, 1958). (Arvasi ve Ege,
2003)'de, çarpım cebirlerini kullanarak, Ege U. ve Arvasi Z., komütatif cebirlerin aktör
çaprazlanmış modüllerini tanıtmış ve komütatif cebirlerin bazı yönlerini çaprazlanmış
modüllerin komütatif cebirlerine genelleştirmek için kullanmışlardır. R-cebiroidler özellikle
Mitchell tarafından (Mitchell, 1972), (Mitchell, 1978), (Mitchell, 1985) ve Amgott
tarafından (Amgott, 1986) incelenmiştir. Mitchell R-cebiroidlerin kategorik bir tanımını
vermiştir. Öte yandan Mosa, R-cebiroidlerin çaprazlanmış modüllerini tanıtmıştır (Mosa,
1986). Ardından Akca I.I. ve Avcıoğlu O., R-cebiroidlerin çaprazlanmış modüllerini
(Avcıoglu, 2017), (Avcıoglu O., 2018a), (Avcıoglu O., 2017a), (Avcıoglu O., 2017b) ve
(Avcıoglu O., 2017c)'de çalışmışlardır.
Lavendhomme ve Lucas, bileşik çarpan cebiri kavramı ile çaprazlanmış modül
yapısı arasındaki ilişkiyi çalışmışlardır. Bu çalışmada ise, R-cebiroid çaprazlanmış
modülünün (M, A, η) bileşik çarpanlarını tanımlanacak ve R-cebiroid çaprazlanmış
modülünün bileşik çarpanlarının kümesini Bim(M, A, η) ile gösterilecektir. Ardından, bu
kümenin bir R-cebiroid olduğu kanıtlanacaktır. R-cebiroid çaprazlanmışlanmış modül
morfizmalarının homotopisi Avcıoğlu (Avcıoglu, 2017) tarafından tanımlanmıştır. Burada
R-cebiroid çaprazlanmış modül bileşik çarpanlarının homotopisi tanımlanacak ve
R-cebiroid çaprazlanmış modül bileşik çarpanlarının homotopilerinin kümesi U
∗
(A, M) ile
gösterilecektir. Ardından, bu kümenin bir R-cebiroid olduğu kanıtlanacaktır. Ek olarak,
U
∗
(A, M) ve Bim(M, A, η) kullanılarak yeni bir çaprazlanmış modül
(U
∗
(A, M), Bim(M, A, η), α) elde edilecektir. Bu çaprazlanmış modül, (M, A, η)
çaprazlanmış modülünün A(M, A, η) ile gösterilen aktörünü temsil eder. Böylece, bir
R-cebiroid çaprazlanmış modülünün kendi üzerindeki etkisi, çaprazlanmış modül morfizmi
(M, A, η) → A(M, A, η) tarafından verilecektir.
Anahtar Kelimeler: R-cebiroid, R-cebiroid çaprazlanmışlanmış modülleri, Kesitler

Abstract:
In group theory, it is well known that the action of a group on another group is
determined by the automorphism group. The action of a group A on a group B is given by
the homomorphism A −→ Aut(B) . Any extension of group A and group B is also related
to a homomorphism A −→ Aut(B). In algebra case, the action of an algebra on another is
related to the multiplication algebra. In algebraic extension, the outher product takes place.
The concept of multiplication algebra is defined by Maclane S. (Lane, 1958). In (Arvasi ve
Ege, 2003), using multiplication algebras, Ege U. and Arvasi Z., introduce actor crossed
modules of commutative algebras and use it to generalise some aspects from commutative
algebras to crossed modules of commutative algebras. R-algebroids were especially studied
by Mitchell in (Mitchell, 1972), (Mitchell, 1978), (Mitchell, 1985) and by Amgott in
(Amgott, 1986). Mitchell gave a categorical definition of R-algebroids. Mosa on the other
hand, introduced crossed modules of R-algebroids and proved their equivalence to special
double algebroids with connections in (Mosa, 1986). Then Akca İ.İ. and Avcıoğlu O.
studied on crossed modules of R-algebroids in (Avcıoglu, 2017), (Avcıoglu O., 2018a),
(Avcıoglu O., 2017a), (Avcıoglu O., 2017b) and (Avcıoglu O., 2017c).
Lavendhomme and Lucas discussed the relationship between the concept of
bimultiplication algebra and the crossed module structure in their work. In this study, we
will define bimultipliers of an R-Algebroid crossed module (M, A, η) and will denote the
set of bimultipliers of an R-Algebroid crossed module (M, A, η) with Bim(M, A, η). Then
we will prove that this set is an R-Algebroid. Homotopy between R-Algebroid crossed
module morphisms was defined by Avcıoğlu (Avcıoglu, 2017). We will define the
homotopy of bimultipliers of R-Algebroid crossed modules and we will denote the set of
homotopies of bimultipliers of R-Algebroid crossed module with U
∗
(A, M). Then we will

prove that the set U
∗
(A, M) is an R-Algebroid. Additionally, we will obtain a new crossed

module (U
∗
(A, M), Bim(M, A, η), α) by using U
∗
(A, M) and Bim(M, A, η). This
crossed module represent the actor of the croseed module (M, A, η) denoted with
A(M, A, η) Thus, the action of an R-Cebiroid crossed module on itself will be given by the
crossed module morphism (M, A, η) → A(M, A, η).
Keywords: R-algebroid, Crossed module of R-algebroids, Sections