Sürekli dinamik sistemlerin kararlılık ve çatallanma analizi
Stability and bifurcation analysis of continuous dynamical systems
Yazar: NESLİ BURKANKULU
Danışman: DOÇ. DR. GİZEM SEYHAN ÖZTEPE
Ankara Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Dinamik sistemler = Dynamical systems ; Kararlılık = Stability ; Sürekli sistemler = Continuous systems ; Çatallanma = Bifurcation

Özet:
Bu tezde sürekli dinamik sistemler ele alınmaktadır. Bu sistemlerin çatallanma özellikleri incelenmekte ve bunlar yardımıyla oluşturulan farklı matematiksel modeller irdelenmektedir.
Bu tez sekiz bölümden oluşmaktadır. İlk bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. Burada dinamik sistemlerin tarihi, bilim insanlarının bu alandaki çalışmaları ve bazı temel kavramlar açıklanmıştır. İkinci bölümde tek boyutlu akışlardan bahsedilip grafik yöntemi, kararlılık analizi, varlık-teklik teoreminin önemi üzerinde durulmuştur. Ayrıca bu kesimde bazı matematiksel modeller ele alınıp bunların kararlılık analizi grafik yöntemi kullanılarak yapılmıştır. Üçüncü bölümde tek boyutlu sistemler için çatallanma türleri ele alınmıştır. Burada çatallanma türüne göre parametredeki değişim göz önüne alınarak grafikler analiz edilmiştir. Dördüncü bölümde çember üzerindeki bir vektör alanı incelenmiş ve bu vektör alanının oluşturduğu salınım sisteminin periyodik çözümlerinin kararlılıkları sınıflandırılmıştır. Beşinci bölümde çok boyutlu sistemlerin en temel sınıfı olan iki boyutlu lineer sistemler incelenip sınıflandırılmıştır. Altıncı bölümde iki boyutlu lineer olmayan sistemler üzerinde durulmuştur. Önce genel özellikler ele alınıp daha sonra beşinci bölümde
işlenen lineer sistemler ile ilgili bilgilere dayanarak oluşabilecek sabit nokta türleri
sınıflandırılmıştır. Yedinci bölümde limit döngüsü ve bunun bazı türleri hakkında temel bilgiler edinilip verilen bir sistemin periyodik bir çözüme sahip olup olmadığını anlamak için kullanılan bazı yöntemler incelenmiştir. Son bölümde ise, iki boyutlu sistemler için çatallanma türleri incelenmiştir. Bunların tek boyutlu sistemlerle benzer olan durumları açıklanmış ancak iki boyutlu sistemlerde, bunlara ek olarak kapalı yörüngelerin durumları da göz önüne alınmıştır.

Abstract:
In this thesis continuous dynamical systems are discussed. The bifurcation properties of these systems are examined and different mathematical models created with the help of them are studied. 
This thesis consists of eight chapters. The first chapter is devoted to the introduction. Here, the history of dynamical systems, the work of scientists in this field and some basic concepts are explained. In the second chapter, one-dimensional flows are mentioned and the importance of graphical method , stability analysis, existence-uniquness theorem is emphasized and some methods are developed. In addition, in this section, some mathematical models are discussed and their  stability analysis made using the graphical method. In the third chapter, bifurcation types for one-dimensional systems are discussed. Here, the graphs are analyzed by considering the change in the parameter according to the bifurcation type . In the fourth chapter, a vector field on the circle is examined and the stability of the periodic solutions of the oscillation system formed by this vector field is classified. In the fifth chapter, two-dimensional linear systems, which are the most basic class of multidimensional systems, are examined and classified. In the sixth chapter, two-dimensional nonlinear systems are emphasized. First, the general properties are discussed and then the types of fixed points that can be formed are classified based on the information about linear systems, which are covered in the fifth chapter. In the seventh chapter, basic information about the limit cycle and some of its types is obtained and some methods used to understand whether a given system has a periodic solution are examined. In the last chapter, bifurcation types for two-dimensional systems are examined. Their similar situations with one-dimensional systems are explained, but in two-dimensional sysems, the cases of closed orbits are also considered.