Sabit adımlı hareketler ve kinematik uygulamaları
Motions with constant pitch and their kinematic applications
Yazar: DERYA KAHVECİ
Danışman: PROF. DR. YUSUF YAYLI
Ankara Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Yönetim ve Organizasyon (İngilizce) Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Katı cisimler = Solid bodies ; Lie cebirleri = Lie algebras ; Lie grupları = Lie groups ; Lorentz grubu = Lorentz group ; Regle yüzeyler = Regle surfaces ; Öklid uzayları = Euclidean spaces

Özet:
Bu tez çalışmasında, $3-$boyutlu Öklid ve Minkowski uzaylarında sabit adımlı (persistan) hareketlerin geometrik kinematiği incelenmeye çalışılmıştır. Bir hareketin persistan olması kavramı, hareketin ani bükümünün sabit bir adıma sahip olması özelliği ile tanımlanır. Bu tanımlama ile, sabit adımlı (persistan) hareketleri aksode yüzeyleri açısından incelemek mümkündür. Böylece persistan katı hareketler eğrilerin ve regle yüzeylerin klasik diferensiyel geometrisindeki bazı çözümü zor bağlantıları ortaya çıkarır.
Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm tezin kapsamı, amacı, önemi ve literatüre sağladığı katkıları içeren giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde tezde gerekli olan bazı kavramları, tanımları ve teoremleri sağlayan temel kavramlar kısmına yer verilmiştir. 
Üçüncü bölümde, $3-$boyutlu Öklid uzayında sabit adımlı (persistan) hareketlerin kinematiği ele alınmıştır. Frenet-Serret, Bishop, doğruya göre simetrik ve uyarlanmış çatı hareketleri gibi düzgün bir eğriye bağlı ve yine bu eğri boyunca hareket eden çatı tarafından üretilen bazı özel katı cisim hareketleri araştırılmış ve bunların persistan olup olamayacağı incelenmiştir. Daha sonra bu özel hareketlerin aksode yüzeyleri açısından sınıflandırmaları elde edilmiştir. Ayrıca slant helisler üzerinde hem Frenet-Serret hem de uyarlanmış çatı hareketinin persistan olduğu ispatlanmıştır. 
Dördüncü bölümde, $3-$boyutlu Minkowski uzayında sabit adımlı (persistan) hareketlerin kinematiği ele alınmıştır. Frenet-Serret, uyarlanmış çatı ve Bishop hareketleri dahil olmak üzere bir eğriye bağlı ve yine bu eğri boyunca hareket eden çatı tarafından üretilen bazı önemli çatı hareketlerinin persistan olmasını modellemek için gerekli ve yeterli kriterler belirlenmiştir. Daha sonra bu hareketlerin aksode yüzeyleri ve onların geometrik kavramları tanımlanmıştır. $3-$boyutlu Minkowski uzayında özel çatı hareketlerinin kapsamlı bir işleyişi için bu tez çalışması, persistan katı hareketlerin ve aksode yüzeylerinin bazı açıklayıcı örneklerini ortaya koymuştur. 
Son bölümde ise, yapılan çalışmaların genel bir değerlendirmesi yapılmış ve gelecekteki çalışmalara yön verebilecek bazı olası problemlerden bahsedilerek tez çalışması tamamlanmıştır.

Abstract:
This thesis investigates the geometric kinematics of motions with constant pitch (persistent) in three-dimensional Euclidean and Minkowski spaces. The notion of persistence of a motion is identified by the property that the instantaneous twist of the motion has a constant pitch. With this definition, it is feasible to examine motions with constant pitch (persistent) in terms of their axode surfaces. Thus, some subtle connections between persistent rigid motions and the classical differential geometry of curves and ruled surfaces are revealed. 
This thesis consists of five chapters. The first chapter is devoted to the introduction part, which includes the scope, purpose, importance, and contributions of the thesis to the literature. The second chapter is dedicated to the preliminaries part, which provides for some concepts, definitions, and theorems required in the thesis.
The third chapter discusses the kinematics of motions with constant pitch (persistent) in three-dimensional Euclidean space. We examine some special rigid-body motions and investigate whether they can be persistent. These motions include Frenet-Serret, Bishop, line-symmetric, and adapted frame motions, which are constructed by a frame connected to and moving through a smooth curve. Following that, these special motions are classified according to their axode surfaces. It has also been demonstrated that both Frenet-Serret and adapted frame motion are persistent on the slant helices. 
The fourth chapter discusses the kinematics of motions with constant pitch (persistent) in three-dimensional Minkowski space. This thesis establishes necessary and sufficient criteria for modeling the persistence of some significant frame motions connected to and moving through a smooth curve, including Frenet-Serret, adapted frame, and Bishop motions. Then, the axode surfaces of these special motions and their geometric concepts are defined. For a thorough treatment of special frame motions in three-dimensional Minkowski space, this thesis reveals some illustrative examples of persistent rigid motions and axode surfaces.
In the last chapter, a general assessment of the investigations is provided, some potential problems that might guide future studies are mentioned, and the thesis is concluded.