Neutrix calculus'un tam olmayan beta ve gama özel fonksiyonlarına ve kısmi türevlerine olan uygulamaları
Applications of the Neutrix calculus to special functions in conjuction with the incomplete beta and gamma functions and their partial derivatives
Yazar: İNCİ EGE
Danışman: PROF. DR. EMİN ÖZÇAĞ
Hacettepe Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2009
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Matematikçiler özellikle son yıllarda istatistik,finans, aktüerya gibi pek çok uygulama alanında kullanılan bazıözel fonksiyonları daha geniş bir kümede tanımlama ihtiyacıduymaktadırlar. Bu tezde neutrix calculus yardımıyla Gama, Beta,tam olmayan Gama, tam olmayan Beta özel fonksiyonlarının ve kısmitürevlerinin daha geniş bir küme üzerinde nasıl tanımlanabileceğiverilmiştir. Ayrıca, neutrix ve neutrix limit kavramlarınıngenelleştirilmiş fonksiyonlar teorisinde uygulamalarınınolmasından yola çıkarak, tam olmayan Gama fonksiyonu yardımıylaelde edilen genelleşti- \noindent rilmiş $\gamma(\alpha,x_{+})$fonksiyonunun türevi $\alpha$'nın negatif tamsayı değerleri içintanımlanmıştır.Tez dört bölümden oluşmaktadır.Birinci bölümde, genelleştirilmiş fonksiyonların tanımı,bazı temel özellikleri, neutrix ve neutrix limit kavramlarıörnekleri ile birlikte verilmiş ve neutrix limitingenelleştirilmiş fonksiyonlara olan bazı uygulamalarındanbahsedilmiştir.İkinci bölümde, Gama foksiyonu $\Gamma(x)$'in vetürevlerinin tanımı bütün $x$ gerçel değerleri için verilmiş,ayrıca Beta fonksiyonu $B(a,b)$ ve kısmi türevleri bütün $a$,$b$ gerçel değerleri için tanımlanmıştır.Üçüncü bölümde, tam olmayan $\gamma(\alpha,x)$fonksiyonunun ve türevinin negatif tamsayılarda tanımı yapılmış ve$\gamma(\alpha,x_{+})$ fonksiyonunun genelleştirilmiş fonksiyonanlamında türevinin tanımı verilmiştir.Son bölümde ise, $B_{x}(a,b)$ tam olmayan Betafonksiyonu ve kısmi türevleri $a$ ve $b$'nin negatif tamsayıolması durumu için tanımlanmış ve daha sonra da bu tanımlaryardımıyla elde edilen sonuçlar verilmiştir.

Abstract:
Mathematicians, especially in the last few years, havefelt the need to extend the domain of definition of certainspecial functions so that they can be used in applications in manyfields such as statistics, finance and actuarial science. In thisthesis, with the aid of the neutrix calculus, it is shown how thespecial functions; Gamma, Beta, incomplete Gamma and incompleteBeta functions, and their partial derivatives can be defined on alarger set. Also, in the light of applications to the theory ofgeneralized functions of the concept of neutrix and neutrix limit,the derivative of the generalized $\gamma(\alpha,x_{+})$ functiongiven with the help of the incomplete Gamma function is definedfor negative integer values of$\alpha$.The thesis consists of four chapters.In the first chapter, the definitions of generalizedfunction, some properties and the concept of neutrix and neutrixlimit are given with examples and also some applications ofthe neutrix limit to generalized functions are mentioned.In the second chapter, the definition of the Gammafunction $\Gamma(x)$ and its derivatives are given for all realvalues of $x$ and also the Beta function $B(a,b)$ and its partialderivativesare defined for all real values of $a$ and $b$.In the third chapter, the definition of the incomplete$\gamma(\alpha,x)$ function and its derivative are given fornegative integers, and the definition of the generalizedderivative of $\gamma(\alpha,x_{+})$ function is given.In the last chapter, the incomplete Beta function$B_{x}(a,b)$ and its partial derivatives are defined for negativeinteger values of $a$ and $b$, and after this the conclusionswhich are obtained with the help of these definitions aregiven.