Genelleştirilmiş elastik bir ortamda iki boyutlu dalga yayılımı
Two dimensional wave propagation in a generalized elastic medium
Yazar: CENİ BABAOĞLU DUHANYAN
Danışman: PROF.DR. SAADET ERBAY
İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü
Derece: Yüksek Lisans, 1999
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Doğrusal denklemler = Linear equations ; Esneklik = Flexibility ; Schrödinger denklemi = Schrödinger equation

Özet:
genelleştirilmiş elastik bir ortamda iki boyutlu dalga yayılımı ÖZET Klasik elastisite teorisinde lineer dalgaların dispersif dalgalar olmadığı bilinmektedir. Dispersif dalga karakterini teoriye katmak için son yıllarda yüksek mertebe teori, lokal olmayan teori ve mikromorfik teori gibi çeşitli genelleştirilmiş sürekli ortam teorileri üretilmiştir. Klasik elastisitenin tersine, bu teoriler lineer yaklaşımda dispersif dalga yayılımını kabul ederler. Modellerin dispersif karakteri nonlineerliğin de içerilmesi ile solitonlar ve yalnız dalgalar (solitary waves) gibi düzgün yapıların oluşmasına yol açar. Bu çalışmada sonsuz, homojen, zayıf nonlineer ve zayıf dispersif elastik bir ortamda dalga yayılımı ele alınmış, dalgaların asimptotik davranışını tanımlamak için değişik nonlineer evolüsyon denklemleri elde edilmiştir. Bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır: Birinci bölüm giriş olup nonlineer sistemler hakkında genel bir bilgi vermektedir. Dalga yayılımı ile ilgili tanım ve terminoloji ikinci bölümde verilmiştir. Üçüncü bölümde yüksek mertebe türevlere sahip genelleştirilmiş elastik bir katının alan denklemleri kısaca özetlenmiştir. Dördüncü bölümde, uzun dalga yaklaşımında iki boyutlu durumdaki indirgeyici pertürbasyon yöntemi verilmiştir, Nonlineer evolüsyon denklemlerini türetirken alan denklemleri ile işlem yapmak yerine Lagrange yoğunluk fonksiyonu ile çalışılmış ve bu fonksiyon küçük bir parametre cinsinden seriye açılmıştır. iki boyutlu durumda, uzun enine dalgaların uzun zaman içindeki davranışlarının asimptotik olarak küple modifiye Kadomtsev-Petviashvili (CMKP) denklemleri olarak adlandırılabilen iki simetrik küple nonlineer evolüsyon denklemleri ile tanımlandığı gösterilmiştir. Bazı özel durumlarda bu denklemler, modifiye Kadomtsev-Petviashvili (MKP) denklemi olarak adlandırılabilen tek bir evolüsyon denklemine veya küple modifiye Korteweg-de Vries (KMKdV) denklemlerine indirgenmektedir. Aynı bölümde nonlineer evolüsyon denklemlerinin gezen dalga çözümleri değiştirilmiş bir Hirota metodu kullanılarak elde edilmiştir. Beşinci bölümde, zayıf nonlineer ve zayıf dispersif elastik bir ortamda yayılan enine bir dalga için nonlineer dalga modülasyonu problemi ele alınmıştır. Bunun için aynı yöntem yani indirgeyici pertürbasyon yöntemi kullanılmıştır. İki boyutlu durumda enine dalganın genlik modülasyonunun tek bir (2+1) Nonlineer Schrödinger (NLS) denklemi ile karakterize edilebileceği gösterilmiştir. NLS denkleminin bir özel çözümü de yine değiştirilmiş bir Hirota metodu ile verilmiştir. Son olarak da çalışmanın sonucu altıncı bölümde verilmiştir. iv

Abstract:
TWO DIMENSIONAL WAVE PROPAGATION IN A GENERALIZED ELASTIC MEDIUM SUMMARY It is well known that the linear waves are non dispersive in classical elasticity theory. To incorporate the dispersive wave character into the theory, various generalized continuum theories such as higher order gradient theory, nonlocal theory, micromorphic theory etc., have been proposed in the recent years. Contrary to the classical elasticity, these theories admit dispersive wave propagation in the linear approximation. The dispersive character of the models may give rise to coherent structures such as solitons or solitary waves if nonlinearity is included. The present study considers wave propagation in an infinite, homogeneous, weakly nonlinear and weakly dispersive elastic medium. Various nonlinear evolution equations are obtained for the asimptotic description of the waves. The outline of the present study is as follows: The first section is the introduction and gives a general information about nonlinear systems. Related terminology and definitions regarding wave propagation are given in Section 2. Then, the governing equations for an elastic solid with higher order gradients are briefly summarized in Section 3. In Section 4, the general procedure of the reductive perturbation method which is used in the long wave approximation for two dimensional case is presented. In deriving the nonlinear evolution equations; the Lagrangian density function, instead of operating on the equations of motion, is expanded in terms of a small parameter. It is shown that the long time behavior of two dimensional long transverse waves is characterized asymptotically by two symmetrical coupled nonlinear evolution equations which may be called the coupled modified Kadomtsev-Petviashvili (CMKP) equations. For some special cases these equations reduce to a single evolution equation which may be called the modified Kadomtsev-Petviashvili (MKP) equation or coupled modified Korteweg-de Vries (CMKdV) equations. In the same section travelling wave solutions of the nonlinear evolution equations are also considered by means of a modified Hirota method. In Section 5, the problem of nonlinear wave modulation of a transverse wave propagating in a weakly nonlinear and a weakly dispersive elastic medium is considered. To this end, the same method, the reductive perturbation method, is used. It is shown that, in two dimensional case, wave modulation of a transverse wave is governed by the single (2+1) Nonlinear Schrödinger (NLS) equation. A special solution of the NLS equation is also given again by the modified Hirota method. Finally, a conclusion of the present study is presented in Section 6.