Lineer dinamiklerde bağlantılılık teoremleri
Connectedness theorems in linear dynamics
Yazar: SEMİHA BEKŞEN
Danışman: DOÇ. DR. ÖZGÜR MARTİN
Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2019
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tezde Banach uzayları üzerinde etki eden lineer operatörlerin topolojik geçişkenliği, aşırı dönüşselliği, çoklu aşırı dönüşselliği, aşırı dönüşsel vektörler kümesinin bağlantılılığı ve bu kavramlar ile ilişkili olarak Ansari, Bourdon-Feldman, Costakis-Peris teoremleri çalışılmıştır. 
     Aşırı dönüşsel operatörler yoğun yörüngeye sahip operatörlerdir ve bu operatörler altında yoğun yörüngeye sahip olan vektörler aşırı dönüşsel vektörler olarak adlandırılır. Dinamik sistemlerde topolojik geçişkenlik ve yoğun yörüngeye sahip olma kavramlarının denk oldukları Birkhoff geçişkenlik teoremi ile kanıtlanmıştır. Rolewicz operatörünün aşırı dönüşselliği bu teorem yardımı ile gösterilmiştir. 
     Aşırı dönüşsel vektörler kümesinin bağlantılılığını gösteren Herrero-Bourdon teoremi ve sonuçları verilmiştir. Aşırı dönüşsel bir  T operatörünün ve T'nin herhangi sayıda yinelemesi olan  T^n operatörünün aşırı dönüşsel vektörler kümelerinin aynı olduğunu gösteren Ansari teoremi ve lineer operatörlerin bir yerde yoğun olan yörüngelerinin her yerde yoğun olduğunu söyleyen Bourdon-Feldman teoremi kanıtlanmıştır. 
    Bir operatörün altındaki sonlu sayıda yörüngenin birleşimi olarak verilen küme eğer uzayda yoğun ise bu operatör çoklu aşırı dönüşsel olarak adlandırılır. Çoklu aşırı dönüşsel operatörlerin aşırı dönüşsel olduğunu kanıtlayan Costakis-Peris teoremi, Bourdon-Feldman teoreminin bir sonucu olarak gösterilmiştir.  Son olarak verilen bu teoremler için lineerliğin gerekliliğini kanıtlayan bir örnek verilmiştir.

Anahtar kelimeler:  Lineer dinamik sistemler, topolojik geçişkenlik, aşırı dönüşsel operatörler, çoklu aşırı dönüşsel operatörler, bağlantılılık, yoğun yörünge, bir yerde yoğun yörünge.

Abstract:
In this thesis, we study topological transitivity, hypercyclicity and multi hypercyclicity of linear operators acting on Banach spaces, connectedness of the set of hypercyclic vectors, and Ansari, Bourdon-Feldman, Costakis-Peris theorems.
     Hypercyclic operators are operators which has a dense orbit, and vectors with dense orbits under these operators are called as hypercyclic vectors. The equivalence of topological transitivity and the notion of having dense orbit is proved by Birkhoff's theorem. Rolewicz operator's hypercyclicity is proved with the help of this theorem. 
      Herrero-Bourdon's theorem about the connectedness of the set of hypercyclic vectors and its results have been studied. Ansari's theorem about the equality of the sets of hypercyclic vectors of an operator and its iterations and Bourdon-Feldman's result which states that somewhere dense orbits of a linear operator is everywhere dense is proved. 
      An operator is called  multi-hypercyclic  if the set given as a union of its finitely many orbits  is dense. The Costakis-Peris theorem which shows multi-hypercyclic operators are hypercyclic is proved as a consequence of Bourdon-Feldman theorem.  Finally, an example which shows that linearity is essential in these theorems is provided.

Keywords: Linear dynamical systems, topologically transitive, hypercyclic operators, multi-hypercyclic operators, connectedness, dense orbit, somewhere dense orbits.