Bazı geometrik özellikler ve sabit nokta iterasyonları
Some geometrical properties and new fixed point iteration 
procedures
Yazar: KADRİ DOĞAN
Danışman: PROF. DR. VATAN KARAKAYA
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2016
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu çalışmada ilk olarak tez metni içerinde (3.8) ile gösterilen yeni bir iterasyon yöntemi tanımlandı. Bu iterasyon yönteminde eğer    alınırsa Ishikawa iterasyonu elde edileceği görüldü. Bu nedenle ilk önce bu iterasyon yönteminin kuvvetli yakınsak olduğu sonucu ispatlandı ve iterasyonun kararlılığı gösterildi. Daha sonra (3.8) iterasyon yöntemi ile Mann iterasyon yönteminin yakınsaklıklarının denkliğine ilşkin bir sonuç elde edildi ve devamında, tanımlanan iterasyon yönteminin kullanışlı olduğunu kanıtlamak için Ishikawa iterasyon yöntemi ile yakınsaklık hızı karşılaştırması yapıldı. Bu iterasyon yöntemi için son olarak, gecikmeli diferansiyel denklemlerin çözümünü bulmak için etkili bir araç olacağı sonucu ispatlandı. Tanımlanan bir sonraki iterasyon yöntemi (3.8) ve Halpern iterasyonu olarak bilinen iterasyon yöntemlerinin hibrid formudur. Bu iterasyon yöntemi için   normalleştirilmiş dualite dönüşümüne sahip bir Banach uzayı ve   sıfırda demiclosed özelliği ile (Teorem 3.1.38),   normalleştirilmiş dualite dönüşümüne sahip bir Banach uzayı ve  sıfırda demiclosed özelliği ile (Teorem 3.1.39),   weakly dizisel dualite dönüşümüne sahip bir Banach uzayı ve   accretive operatörlerin sonsuz bir ailesi ve ayrıca   operatörü A'nın resolvent operatörü olmak üzere (Teorem 3.1.40) ve Gâteaux diferansiyellenebilir norma sahip bir Banach uzayı ve   accretive operatörlerin sonsuz bir ailesi ayrıca   operatörü A'nın resolvent operatörü olmak üzere (Teorem 3.1.41) ifadeleri için kuvvetli yakınsaklık sonuçları kanıtlandı. Bundan sonra literatüre yeni giren ve araştırmacılar tarafından yoğun bir şekilde çalışılan Picard-Mann iterasyon yönteminden esinlenerek tez metninde (3.24) ile gösterilen Mann-Picard iterasyon yöntemi tanımlanmıştır. Bu iterasyon yöntemi için de kuvvetli yakınsaklık, kararlılık, yakınsaklık denkliği, veri bağlılığı ve yakınsaklık hız karşılaştırması sonuçları kanıtlanmıştır. Dördüncü ve son iterasyon yöntemi olarak Kirk-MP ile gösterilen (3.25) sabit nokta iterasyon yöntemi tanımlanmıştır. Bu iterasyon yöntemi için güçlü yakınsaklık ve veri bağlılığı sonuçları araştırılmıştır.

Abstract:
In this thesis, firstly, (3.8) fixed point iteration process was introduced. If  , then  this iteration process reduce to Ishikawa (3.12) iteration process. Hence the strong convergence and stability results were proven for (3.8) iteration process. Later, it was shown that (3.8) iteration process equivalent to Mann (3.7) iteration process. To show that this iteration method is useful, the comparison of the rate of convergence between (3.8) and (3.12) iteration processes was made. Finally, it was proven that this iteration process is effective tool to find the solution of delay differential equations. Another iteration process, it is hybrid form of (3.8) iteration process and as known Halpern (3.9) iteration process, is defined. Teorem 3.1.38, Teorem 3.1.39, Teorem 3.1.40 and Teorem 3.1.41 were proven for this iteration process. From now on, Mann-Picard (3.24) iteration process was introduced by inspired Picard-Mann (3.23) hybrid iteration process which is extensively studied by researchers. The strong convergence, the stability, the equivalance of convergenge, data dependence and the rate of convergence resluts were also proved fort his iteration process. The fourth and finally, MP-Kirk Fixed Point iteration process it was introduced and proved that the strong convergence and data dependence results
Key words: New iterative scheme, New hybrid-type iterative scheme, S-iterative scheme, Kirk iterative scheme, Halpern type iterative scheme, Convergence, Equivalence of convergences, Stability, Data dependence of fixed points, Contractive-like operators, Weak contraction operators.