Reel sayı serilerinde istatistiksel yakınsama ve bazı özellikleri
Statistical convergence of real number series and some properties
Yazar: ALİ UMUT KÖPRÜLÜ
Danışman: PROF. DR. CENAP DUYAR
Ondokuz Mayıs Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2020
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu çalışma reel sayı serilerinde istatistiksel yakınsamayı belirlemek için yeni yöntemler ve bulgular elde etmek amacıyla hazırlanmıştır. Dizilerin Cauchy anlamında yakınsaklığını kavramını genelleştiren istatistiksel yakınsaklık kavramı reel sayı serilerinde incelenmiştir. Bu inceleme ile yeni tanımlar, özellikler ve özgün teoremler ortaya konup, elde edilen sonuçlar için bazı örnekler sunulmuştur. Çalışma beş ana bölümden oluşmaktadır. İlk olarak serilerde istatistiksel yakınsaklığı inceleyebilmek için gerekli olan diziler için önceden yazılmış tanım ve teoremler incelenmiş ve bu konuda farklı örneklere yer verilmiştir. Dizilerde istatistiksel yakınsaklık kavramı kullanılarak reel sayı serilerinin istatistiksel yakınsaklık ve istatistiksel sınırlılığın tanımları yapılmıştır. Serilerin Cauchy anlamında yakınsaklığıyla ilgili birtakım özellikler istatistiksel yakınsaklığa uyarlanmıştır. Yine serilerin terimlerinin gruplanması ve karılmasıyla ilgili özelliklere yer verilmiştir. Ayrıca istatistik yakınsaklığın, sınırlılık ve istatistiksel sınırlılık kavramlarıyla ilişkisi incelenmiş, buna dair bazı örnekler verilmiştir. Serilerde istatistiksel yakınsaklık kavramının doğal yoğunluk fonksiyonu ile ilgili ilişkisine değinilmiş, bu konuda özgün çalışmalara yer verilmiştir. Negatif terimi olmayan reel sayı serilerini genelledikten sonra herhangi işaretli serilerin istatistiksel yakınsaklığı incelenmiş, çarpım serilerinde kullanılan Abel, Dirichlet, Leibniz ve Mertens testlerindeki benzer fikirlerden yararlanılarak serilerin istatistiksel yakınsaklığıyla ilgili yeni testler geliştirilip, örnekler sunulmuştur.

Abstract:
This study was prepared to obtain new methods and findings to determine statistical convergence in real number series.The concept of statistical convergence, which generalizes the concept of convergence of the series in Cauchy sense, was examined in real numbers  series. With this review, new definitions, features and unique theorems and some examples are presented for the obtained results. This study consists of five main sections. Firstly, the pre-written definitions and theorems for the sequences required to examine the statistically convergence in the series are examined and different examples are given in this regard. Using the concept of statistically convergence in the series, the definition of statistically convergence and statistical limitation of the real number series are made. A number of features related to the convergence of the series in Cauchy sense were adapted to statistically convergence. Again, features related to grouping and mixing of the terms of the series are included. In addition, the relationship of statistically convergence with the concepts of boundedness and statistically boundedness is examined, some examples are given. In the series, the relationship between the concept of statistically convergence and the natural density function is mentioned, and original studies have been included. After generalizing the real number series without a negative term, the statistical convergence of any signed series is examined, and new tests related to the statistical convergence of the series are developed by using similar ideas in Abel, Dirichlet, Leibniz and Mertens tests and examples were presented.