The densities of the sets of natural numbers and applications in sequence spaces
Doğalsayı kümelerinin yoğunlukları ve dizi uzaylarında uygulamaları
Yazar: RENAS HAJI NAAMAN
Danışman: PROF. DR. RİFAT ÇOLAK
Fırat Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Analiz ve Fonksiyonlar Teorisi Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Tez yedi bölümden oluşmaktadır. Giriş olan Birinci bölümde, ana kavramların genel tarihi hatırlatıldıktan sonra, konu hakkında gerekli bazı bilgiler verilmektedir. İkinci bölümde, literatürdeki çeşitli kaynaklarda yer almış olan doğal yoğunluğun tanımı verildikten sonra, kavrama ilişkin bazı önermeler ve örnekler verilmiştir. Daha sonra bir doğal sayılar kümesinin α-yoğunluğu, λ- yoğunluğu, 𝑓- yoğunluğu ile modülüs fonksiyonu kavramlarının tanımları verilmiştir. Bir kümenin doğal yoğunluğu, α-yoğunluğu, λ-yoğunluğu ve 𝑓-yoğunluğu arasındaki ilişki de bu bölümde verilmiştir. Üçüncü bölümde, ikinci bölümde verilen yoğunluklar dışında olan logaritmik, ağırlıklı, üstel ve Schnirelmann yoğunlukları gibi bazı diğer yoğunluk türleri tanıtılmış ve her bir tür için örnekler verilmiştir. Dördüncü bölümde, doğal sayı kümelerinin yoğunlukları kullanılarak, sayı dizileri için istatistiksel yakınsaklık, istatistiksel sınırlılık ve istatistiksel Cauchy dizisi gibi bazı kavramlar tanıtılmak suretiyle yoğunlukların uygulamaları verilmiştir. Beşinci bölümde, λ-istatistiksel yakınsaklık, λ-istatistiksel sınırlılık kavramları incelenmiş ve sayı dizilerinin S_λ ve S_μ, [V,λ]^p ve [V,μ]^p kümeleri arasındaki içerme bağıntıları verilmiştir. Ayrıca bir 𝑓  modülüs fonksiyonu kullanılarak, 𝑓-istatistiksel yakınsaklık, 𝑓-istatistiksel sınırlılık, 𝑓-istatistiksel Cauchy dizisi kavramları verilmiştir. α. dereceden istatistiksel yakınsaklık ve α. dereceden istatistiksel sınırlılık konuları da bu bölümde verilmiştir. Altıncı bölümde, α. dereceden kuvvetli p-Cesàro toplanabilirlik kavramı incelenmiştir. Ayrıca istatistiksel yakınsaklık ile kuvvetli  p-Cesàro toplanabilirlik arasındaki ilişki bu bölümde verilmiştir. Tezin vardığı sonuçlar son olarak yedinci bölümde kapsamlı bir şekilde incelenmiştir.

Abstract:
The thesis consists of seven Chapters. In Introduction which is the Chapter one, we recall the general history of the main concepts, give some of the necessary information about our topic. In Chapter two, we mention the definition of natural density in some different literature and write some propositions, examples. Then we give the concepts of α-density, λ-density, 𝑓-density, and modulus function. Afterward, we give relationships between the natural density, α-density, λ-density, 𝑓-density. In Chapter three, we introduce some other density types, such as logarithmic, weighted, exponential, and Schnirelmann densities, and give the applications for each type. Later, we proceed with the comparisons of densities. In Chapter four, using densities, as applications of densities we define some kinds of convergence and boundedness for sequences, such as statistical convergence, statistical boundedness, and statistically Cauchy sequences. In Chapter five, we examine the concepts of λ-statistical convergence, λ-statistical boundedness. Moreover, give the inclusion relations between the sets S_λ and S_μ, [V,λ]^p and [V,μ]^p of number sequences. Furthermore, we introduce the concepts of 𝑓-statistical convergence, 𝑓-statistical boundedness, 𝑓-statistically Cauchy sequence, statistical convergence of order α, λ-statistical convergence of order α, 𝑓-statistical convergence of order α, statistical boundedness of order α, λ-statistical boundedness of order α. In Chapter six, we present the concept of Strong p-Cesàro summability of order α and additionally, we give the correlations between statistical convergence and strong p-Cesàro summability. The seventh chapter concludes with a thorough analysis of the thesis's results.