Modüller üzerindeki zincir koşularının S-versiyonları
On S-versions of chain conditions over modules
Yazar: OSAMA A.A. NAJI
Danışman: PROF. DR. MEHMET ÖZEN ; PROF. DR. ÜNSAL TEKİR
Sakarya Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Cebir ve Sayılar Teorisi Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2022
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Cebir = Algebra ; Halkalar = Rings ; Modüller = Modules ; İdealler = Ideals

Özet:
Bu tezin amacı, artan ve azalan zincir koşullarının çeşitli genellemelerini tanımlamak ve tanıtmaktır. Bu genellemeleri kullanarak tez, birçok halka ve modül için geniş bir karakterizasyon yelpazesi sunar.
Tezin 2. bölümünde kuvvetli dccr^⋆ modüller kavramı tanıtılmıştır ve incelenmiştir. Kuvvetli dccr^⋆ koşulu Artinian modüllerinin sınıfını genelleştirir ve dccr^⋆ koşulundan daha güçlüdür. Konsept, mükemmel halkalar ve esas olarak eş üretilmiş modüller açısından tamamen karakterize edilmiştir. Daha sonra, kuvvetli dccr^⋆ kavramı ve kuvvetli özel modüller arasındaki ilişkiler incelenmiştir. Ayrıca, Birleşim Teoremi ve Nakayama'nın Lemmasının versiyonları, kuvvetli dccr^⋆ kavramının ışığında verilmiştir.
Tezin 3. bölümünde S, çarpımsal kapalı küme olmak üzere tez, S-Artinian modüllerin sınıfını tanımlar. S-Artinian kavramı, Artinian modüller kavramından daha geniştir. Ayrıca, sonlu S-eş üretilmiş modüller kavramı tanımlanmıştır. Bu iki kavram arasındaki ilişki incelenmiş ve S-Artinian'ın birçok karakterizasyonu çeşitli modüller ve halkalar cinsinden verilmiştir.
Tezin 4. bölümünde S-Noetherian spektrum koşulu tanıtılmıştır. S-Noetherian spektrum koşulunun birçok özelliği ve karakterizasyonu incelenmiştir. Ayrıca, S-Noetherian spektrum koşulunu sağlayan modüller için Cohen teoreminin bir versiyonu kanıtlanmıştır. Daha sonra, Noetherian spektruma sahip modüller, S-Noetherian spektrum koşulunu karşılayan modüller açısından karakterize edilmiştir.
Tezin son bölümünde S-dccr (S-dccr^⋆) koşulunu sağlayan modüllerin sınıfı tanıtılmıştır. S-dccr (S-〖dccr〗^⋆) koşulu, S-Artinian modüllerin bir genellemesidir. Bu bölüm Artinian, S-Artinian ve dccr modüllerinin birçok özelliğini ve karakterizasyonunu S-dccr durumuna genişletmiştir. Ayrıca, S-dccr kavramı ışığında Birleşim Teoreminin ve Nakayama'nın Lemmasının S-versiyonları verilmiştir.

Abstract:
The aim of this study is to define and introduce various generalizations of ascending and descending chain conditions. Using these generalizations, the thesis provides a wide range of characterizations for many rings and modules.
In Section 2, the concept of strongly dccr^⋆ modules is introduced and studied. Strongly dccr^⋆ condition generalizes the class of Artinian modules and it is stronger than dccr^⋆ condition. The concept is fully characterized in terms of perfect rings and in terms of principally cogenerated modules. Also, the relationships between the concept and strongly special modules are examined. Moreover, versions of Union Theorem and Nakayama's Lemma are given in light of strongly dccr^⋆ concept.
In Section 3, the thesis defines the class of S-Artinian modules, where S is a multiplicatively closed set. S-Artinian notion is broader than the notion of Artinian modules. Furthermore, the concept of finitely S-cogenerated modules is defined. The relationship between these two concepts is studied, and many characterizations of S-Artinian are given in terms of several modules and rings.
In Section 4, S-Noetherian Spectrum condition is introduced. Many properties and characterizations of S-Noetherian spectrum condition are examined. Moreover, an analogous result to Cohen's theorem for modules satisfying S-Noetherian spectrum condition is proven. Furthermore, modules having Noetherian spectrum are characterized in terms of modules satisfying the S-Noetherian spectrum condition.
In the last part of the thesis, the class of modules satisfying S-dccr (S-dccr^⋆) condition is introduced. S-dccr (S-dccr^⋆) condition is a generalization of S-Artinian modules. This section extends many properties and characterizations of Artinian, S-Artinian and dccr modules to S-dccr condition. Furthermore, S-versions of Union Theorem and Nakayama's Lemma are given in light of S-dccr concept.