Global jeopotansiyel modeller için yüksek dereceli legendre fonksiyonlarının sayısal olarak incelenmesi
Numerical analyzing of high-degree legendre functions for global geopotential models
Yazar: NEVİN BETÜL AVŞAR
Danışman: YRD. DOÇ. DR. AYDIN ÜSTÜN
Selçuk Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü
Derece: Yüksek Lisans, 2009
Konu: Jeodezi ve Fotogrametri = Geodesy and Photogrammetry

Özet:
Yeryuvarının gravite alanının belirlenmesi ve modellenmesi, fiziksel jeodezinin temel konularının başında yer alır. Jeodezik gözlemleri doğrudan etkileyen ve yeryuvarının şeklini belirleyen gravite alanı, çekim ve merkezkaç kuvvetlerinin bileşkesiyle oluşan bir vektör alanıdır. Söz konusu kuvvetler irrotasyonel olduğundan skaler büyüklükler (çekim ve merkezkaç potansiyelleri) ile ifade edilebilirler. Merkezkaç potansiyeli, astrojeodezik gözlemler yardımıyla belirlenebilir. Ancak yeryuvarının kitle yoğunluk dağılımı tam olarak bilinmediğinden çekim potansiyelini doğrudan belirlemek zordur. Bu zorluğu aşmanın yolu, onun matematiksel özelliklerini ortaya çıkarmaktır. Yeryuvarının dışında çekim potansiyeli harmonik bir fonksiyondur. Bu nedenle çekim potansiyelinin belirlenmesi problemini, yeryuvarının dışında konuma bağlı harmonik bir fonksiyon bulunması şeklinde tanımlayabiliriz. Harmonik fonksiyonlar da seriye açılabildiğinden, çekim potansiyeli yakınsak bir seri ile ifade edilebilir.Uygulamada yeryuvarının dış çekim alanı ve fonksiyonellerini belirlemek için, global jeopotansiyel modeller kullanılır. Bu modellerin açınım dereceleri arttıkça, harmonik serilerde yer alan Legendre fonksiyonlarını hesaplamak güçleşir. Yineleme bağıntıları Legendre fonksiyonlarının sayısal değerlerinin bulunmasını kolaylaştırmaktadır. Ancak, sorun IEEE 754 standartına göre kayan noktalı sayıların bilgisayar belleğinde saklanabilme sınırları ile ilgilidir. Bu çalışma ile, günümüzde EGM08 ile maksimum açınım derecesi 2190'a kadar yükselen global jeopotansiyel modellerin mevcut bilgisayar olanaklarıyla değerlendirilmesinde Legendre fonksiyonları kaynaklı soruna, bir çözüm geliştirilmeye çalışılmıştır. Bu amaçla öncelikle fiziksel jeodezide harmonik serilerle ilişkili olarak Legendre fonksiyonları temel matematiksel özellikleriyle ele alınmış ve sayısal davranışları incelenmiştir. Daha sonra tam normalleştirilmiş Legendre fonksiyonlarının kullanılmasının, hangi derecelere kadar başarılı olduğu gözlemlenmiştir. Sonuç olarak, en güncel jeopotansiyel model olan EGM08 baz alınarak, normalleştirilmiş Legendre fonksiyonlarının değerlerinin mümkün olan en geniş aralık ile temsiline imkan sağlanmıştır. Bunun için IEEE 754 genişletilmiş çift duyarlıklı sayı formatından yararlanılmıştır.

Abstract:
Determining and modeling the gravity field of the Earth is one of the main subjects of physical geodesy. Gravity field of the Earth, affecting geodesic observations and determining the shape of the Earth, is the vector field of the gravitational and centrifugal forces. The mentioned forces can be derived from scalar quantaties (gravitational and centrifugal potentials) since they are irrotational. The centrifugal potential can be determined by astrogeodetic observations. However, it is hard to determine the gravitational potential directly, because of the irregularity of the mass density throughout the earth. Defining its mathematical properties are the way to overcome this difficulty. In outer space of the Earth, the gravitational potential is a harmonic function. Consequently, it can be expressed by harmonic functions that depend on the location of the attracted mass point. As harmonic functions can be expanded to series, gravitational potential can be represented by a convergent series.In practise, global geopotential models are used to determine the external gravity field and its functionals. Raising the degree of these models make it difficult to calculate the Legendre functions in the harmonic series. Recurrence relations simplify to calculate the numerical values of the Legendre functions. However, the problem is the limit values of the floating point numbers on computer memory according to the standard of IEEE 754. In this study, it is aimed to give a solution for the problem caused by Legendre functions during the evaluation of the global geopotential models, whose maximum degree raises to 2190 by EGM08 with the current computing facilities. For this purpose; basic mathematical features and numerical stabilities of Legendre functions were investigated. Then the evaluation success of normalized Legendre functions, according to its degree, was observed numerically. As a result, the extended double precision of IEEE 754 that use 12 byte on computer memory provides an improvement in the computation of high degree geopotential models up to degree 2190 in all latitudes.