Yüksek mertebeden türevlenebilir fonksiyonlar için simpson tipli eşitsizlikler ve uygulamaları
Simpson-type inequalities for higher order differentiable functions and applications
Yazar: CANMERT DEMİR
Danışman: DOÇ. DR. SAMET ERDEN
Bartın Üniversitesi / Lisansüstü Eğitim Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
İntegral eşitsizlikleri hem teorik hem de uygulamalı matematikte kullanılan en önemli araçlardan biridir. Bazı problemlerde integralin tam değeri hesaplanamaz. Böyle durumlarda yaklaşım metotları geliştirmek gereklidir. Bu yüzden, bazı matematikçiler fonksiyonların çeşitli sınıfları için integral eşitsizlikleri üzerine çalışmıştır. Hermite-Hadamard, Simpson, Ostrowski, Chebyshev, Grüss ve Ostrowski-Grüss eşitsizlikleri, literetürdeki önemli eşitsizliklerden bazılarıdır. Örneğin, Simpson tipi integral eşitsizlikleri, matematiksel analizde ve sayısal entegrasyon yöntemlerindeki kesinlik ve güvenilirlik sorunlarının çözümünde kritik bir rol oynamaktadır. Thomas Simpson tarafından ortaya konulan Simpson Kuralları, nümerik integrasyonda kullanılan önemli yaklaşım metotlarındandır. Bunların ilki Simpson 1/3 formulü olarak bilinen iki çekirdekli modeldir. Aynı zamanda Simpson'ın ikinci formula ya da Newton formulü olarak bilinen Simpson 3/8 kuralı ise Thomas Simpson tarafından ortaya konulan başka bir yaklaşım metodudur. Bu yaklaşım metotları bir integralin yaklaşık değerini vermektedir. Yaklaşım metotları ve integraller arasındaki farkın sınırlarını belirlemek için kullanılan yöntemlerden biri ise integral eşitsizlikleridir. Bu doğrultuda, Simpson kurallarını taban alarak üretilen integral eşitsizliklerine Simpson tipli eşitsizlikler denir. Son zamanlarda, bir çok araştırmacı Simpson eşitsiliği ile ilgili çok sayıda sonuç bulmuşlardır. Bu kapsamda klasik Simpson eşitsizliğinin daha hassas sonuçları, eşdeğerleri ve genelleştirilmiş versiyonlarının yanı sıra fonksiyonların farklı kabulleri altında yeni Simpson tipli eşitsizlikler incelenmiştir. 

Bu tez kapsamında, konveks fonksiyonları taban alan Simpson tipli eşitsizlikler üzerine devam eden çalışmaların ışığında,yüksek mertebeden türevlenebilir fonksiyonlar için Simpson tipli eşitsizlikler incelenecektir. İlk olarak ikili çekirdek yardımıyla yüksek mertebeden türevlenebilir fonksiyonlar içeren bir integral özdeşliği kurulacaktır. Daha sonra, bu özdeşlik ve konveks fonksiyon özellikleri kullanılarak Simpson tipli integral eşitsizlikleri bulunacaktır. Ek olarak, bu eşitsizlikleri ararken ortaya çıkan sonuçlar yardımıyla nümerik integrasyonda kullanılabilecek yeni Simpson tipli yaklaşım metotları geliştirilecektir.  Ayrıca, ortaya çıkan Simpson tipli sonuçlardan elde edilen yaklaşık değerler ve integrallerin gerçek değerleri arasındaki ilişkiler incelenecektir.

Abstract:
Integral inequalities are one of the most important tools used in both theoretical and applied mathematics. In some problems, the exact value of the integral cannot be calculated. In such cases it is necessary to develop approximation methods. Therefore, some mathematicians have studied integral inequalities for various classes of functions. Hermite-Hadamard, Simpson, Ostrowski, Ostrowski, Chebyshev, Grüss and Ostrowski-Grüss inequalities are some of the important inequalities in the literature. For example, Simpson-type integral inequalities play a critical role in mathematical analysis and in solving precision and reliability problems in numerical integration methods. Simpson's Rules, introduced by Thomas Simpson, are important approximation methods used in numerical integration. The simplest of these is the two-core model known as the Simpson 1/3 formula. Simpson's 3/8 rule, also known as Simpson's second formula or Newton's formula, is another approximation method introduced by Thomas Simpson. These approximation methods give the approximate value of an integral. One of the most effective methods used to determine the boundaries of the difference between approximation methods and integrals is integral inequalities. Accordingly, integral inequalities based on Simpson's rules are called Simpson-type inequalities. Recently, many researchers have found many results related to Simpson's inequalities. In this context, more precise results, equivalents and generalised versions of the classical Simpson inequality as well as new Simpson-type inequalities under different assumptions of functions have been studied.

In this thesis, in the light of the ongoing work on Simpson-type inequalities based on convex functions, Simpson-type inequalities for higher order differentiable functions will be studied. Firstly, an integral identity involving higher order differentiable functions will be established with the help of the dual kernel. Then, using this identity and convex function properties, Simpson-type integral inequalities will be found. In addition, new Simpson-type approximation methods that can be used in numerical integration will be developed with the help of the results obtained while searching for these inequalities.  Furthermore, the relations between the approximations obtained from the Simpson-type results and the real values of the integrals will be analysed.