Zaman değişkenine bağlı kompleks potansiyelli özel gradyent terimli schrödinger denklemi için optimal kontrol probleminin sonlu farklar yöntemiyle çözümü
Finite difference solution of the optimal control problem for the schrödiinger equation with special gradient term with complex potential depending on the time variable
Yazar: İBRAHİM KILIÇ
Danışman: PROF. DR. GABİL YAGUB
Kafkas Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı / Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2024
Konu: Matematik = Mathematics
Dizin: Schrödinger denklemi = Schrödinger equation

Özet:
Bu tezde zamana bağlı kompleks potansiyelli özel gradyent terimli Schrödinger denklemi için optimal kontrol probleminin sonlu farklar yöntemiyle nümerik çözümü ele alındı. Bu çalışmanın 3.1.1. bölümünde önce zamana bağlı kompleks potansiyelli özel gradyent terimli Schrödinger denklemi için optimal kontrol problemi tanımlandı. 3.1.2. bölümünde zamana bağlı kompleks potansiyelli özel gradyent terimli Schrödinger denklemi için optimal kontrol probleminin sonlu farklar yönteminin yardımıyla diskritleştirilmesi yapıldı ve probleme karşılık gelen ayrık optimal kontrol problemi ve her bir olası kontrol için başlangıç sınır değer problemine karşılık fark şeması oluşturuldu.  Bu çalışmanın 4.1.1 bölümünde fark şemasının çözümü için kestirim elde edildi. 4.1.2 bölümünde ise fark şemasının hatası değerlendirilerek hata içim kestirim ispatlandı. 4.2.1 bölümünde fonksiyonellerin farkı değerlendirilerek fark için kestirim elde edildi. Nihayet çalışmanın 4.2.2 bölümünde sonlu fark yaklaşımlarının yakınsaklığı için iki yardımcı lemma ispatlanarak fonksiyonele göre yakınsaklık için kestirim gösterildi. Tezin tartışma ve sonuç bölümünde incelenen optimal kontrol probleminin konulma ve verilerin sağladığı şartlar açısından daha genel olduğu, bir önceki çalışmalarda yer alan optimal kontrol problemlerinden ciddi bir biçimde farklı olduğu gösterilmiştir. Bunların yanı sıra elde edilen sonuçların güncel olduğu ve bir önceki çalışmalardaki sonuçlarla örtüşmediği de vurgulanmıştır.

Abstract:
"In this thesis, the numerical solution of the optimal control problem for the Schrödinger equation with a special gradient term with time-dependent complex potential using the finite difference method is discussed. In section 3.1.1. of this study, the optimal control problem for the Schrödinger equation with time-dependent complex potential and special gradient term is first defined. In section 3.1.2, the optimal control problem for the Schrödinger equation with time-dependent complex potential and special gradient term is discretized with the help of the finite difference method and the discrete optimal control problem corresponding to the problem and the difference scheme corresponding to the initial boundary value problem for each possible control are constructed.  In section 4.1.1 of this paper, an estimate for the solution of the difference scheme is obtained. In section 4.1.2, the error of the difference scheme is evaluated and the estimation for fhe error is proved. In section 4.2.1, the difference of the functionals is evaluated and an estimate for the difference is obtained. Finally, in section 4.2.2 two auxiliary lemmas for the convergence of finite difference approximations are proved and the estimation for convergence with respect to the functional is shown. In the discussion and conclusion section of the thesis, it is shown that the optimal control problem studied is more general in terms of the setting and the conditions provided by the data, and is significantly different from the optimal control problems in previous works. In addition, it is emphasized that the results obtained are up-to-date and do not overlap with the results in previous works.