Simetri indirgemesi ile elde edilen yeni (2+1)-boyutlu ikili-Hamiltoniyen sistem ve hareket sabitleri
New (2+1)-dimensional bi-Hamiltonian system obtained by symmetry reduction and constants of motion
Yazar: SALİH YAMAN
Danışman: PROF. DR. DEVRİM YAZICI
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Fizik Ana Bilim Dalı / Fizik Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2023
Konu: Fizik ve Fizik Mühendisliği = Physics and Physics Engineering

Özet:
Evrimsel tipte doğrusal-olmayan kısmi türevli diferansiyel denklemler doğada bulunan dinamik sistemleri başarılı bir şekilde modelleyebildikleri için literatürde sıklıkla yer alırlar. Bu tür denklemlerin tam çözümlerini elde edebilmek için araştırmalar uzun yıllardır süregelmektedir. Bu çalışmada, yakın zamanda keşfedilmiş ve $(3+1)$-boyutlu ikili-Hamiltoniyen yapı oluşturduğu gösterilmiş olan evrimsel Hirota tipinde bir denklem ele alınmıştır. Lie cebiri yöntemleri kullanılarak, denklemi $(2+1)$-boyutta elde edebilmek için özel bir simetri birleşimi seçimi ile simetri indirgemesi yapılmıştır. İndirgenmiş denklem $(2+1)$-boyutlu yeni sistem oluşturan iki bileşenli gösterimde yazılmıştır. $(3+1)$-boyutlu sisteme ait tüm parametreler aynı simetri seçimi ile indirgenmiştir. Helmholtz koşulunun sağlandığı gösterilerek indirgenmiş denklemin varyasyonel bir problemi temsil ettiği doğrulanmıştır. İndirgenmiş Euler-Lagrange denklemi için tanımlı Lagrange yoğunluğu Homotopi formülü kullanılarak elde edilip iki bileşenli gösterime göre yeniden düzenlenmiştir. Legendre dönüşümü kullanılarak birinci Hamiltoniyen yoğunluğu bulunmuştur. Dirac bağ analizi yardımıyla yeni sisteme ait simplektik ve birinci Hamilton operatörler bulunmuştur. Bu sisteme ait simetri koşulunun asimetrik çarpanlar biçimine dönüştürülmesi sayesinde tekrarlama operatörü elde edilmiştir. Bu sayede, tekrarlama operatörü birinci Hamilton operatörüne uygulanarak ikinci Hamilton operatörüne ulaşılmıştır. Bu yöntem ile elde edilen $(2+1)$-boyutlu tüm parametrelerin $(3+1)$-boyuttan doğrudan indirgenerek elde edilen parametreler ile tam olarak aynı olduğu gözlenmiştir. Yeni sistemin Magri teoremine göre ikili-Hamiltoniyen yapı oluşturduğu gösterilmiştir. Noether teoremi sayesinde, yeni sistem tarafından belirlenen akışa ait korunumlu nicelikler ortaya çıkarılmıştır. Son olarak, korunumlu nicelikler toplam diverjans formuna getirilerek gerçekten korunum yasalarını temsil ettikleri gösterilmiştir.

Abstract:
Nonlinear partial differential equations of evolutionary type appear frequently in physics due to their utility in modeling dynamical phenomena in nature. Therefore, there has been an ongoing quest for decades in order to find exact solutions of these kind of equations. In this study, exact solutions of a recently discovered evolutionary Hirota type equation that is known to form a $(3+1)$-dimensional bi-Hamiltonian system are investigated. By using methods of Lie algebra, symmetry reduction is performed with a specific choice of symmetry combination in order to get the equation in $(2+1)$-dimension. The reduced equation is written in a two component form that composes the new $(2+1)$-dimensional system. All parameters of the $(3+1)$-dimensional system are reduced with the same symmetry choice. It is verified that the reduced equation represents a variational problem by showing that Helmholtz condition is satisfied. Lagrange function defined for the reduced Euler-Lagrange equation is obtained by Homotopy formula and rearranged according to two-component form. First Hamiltonian density is obtained by using Legendre transformation. Symplectic and first Hamilton operators belonging to the new system are found with the aid of Dirac constraint analysis. By converting the symmetry condition of the new system into skew factorized form, the recursion operator is obtained which in turn leads to the second Hamilton operator by applying the recursion operator to the first Hamilton operator. 
All the parameters in $(2+1)$-dimension obtained with this method are observed to be exactly the same with the parameters obtained by direct reduction from $(3+1)$-dimension. It is shown that the new system forms a bi-Hamiltonian structure according to Magri's theorem. Constants of motion along the flow governed by the new system are revealed by utilizing Noether's theorem. Finally, constants of motion are cast into total divergence form in order to demonstrate that they indeed represent conservation laws.