Katsayıların da rastgele hatalı olduğu dengeleme modeli için çözüm yöntemleri
Solution methods for errors in variables model
Yazar: MERVE UYGUR
Danışman: DOÇ. DR. CÜNEYT AYDIN
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Harita Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Geometri Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2016
Konu: Jeodezi ve Fotogrametri = Geodesy and Photogrammetry

Özet:
Yaygın olarak, bir dengeleme modelinde yalnız "ölçüler" rasgele hatalıdır. Ancak koordinat dönüşümü gibi problemlerde her iki sistem koordinatları da rasgele hatalı olabilir. Bu durumda klasik dengeme modeli yerine "katsayıların da rasgele hatalı olduğu dengeleme modeli" (Errors-In-Variables/EIV model) düşünülmelidir. EIV modelin çözümü toplam en küçük kareler (Total Least Squares /TLS) yöntemi ile gerçekleştirilir. Koordinatların ağırlıklarının farklı olması durumunda ise "ağırlıklı toplam en küçük kareler" (Weighted TLS/WTLS) yöntemi kullanılır. Söz konusu yöntemler ile doğrudan çözüm gerçekleştirilemez. Çözüm için iteratif algoritmalar kullanılır. Çalışmada başlıca üç WTLS algoritması göz önüne alınmış ve iki boyutlu benzerlik ve Afin dönüşümü problemleri üzerinden irdelemeleri yapılmıştır. 
WTLS algoritmaları, ilgili kestirim problemine uygun olarak düşünülmesi gereken bir kofaktör matrise ihtiyaç duyar. Bu matrisin elde edilmesi özel bir çabayı gerektirir. Yanı sıra, algoritmaların çözüm eşitlikleri, bilinen en küçük kareler kestirim işlemi eşitliklerine göre oldukça karmaşıktır. Bu da bazı nümerik ve istatistiki yöntemlerin bu algoritmalara uyarlanmasını sınırlandırır. Bu nedenlerle, çalışmada EIV modelin doğrusal olmayan bir Gauss-Helmert modeli biçiminde ele alınarak bilinen dengeleme çözümlerine benzer yöntemlerle nasıl çözüleceği ele alınmıştır. Bu amaçla "klasik dengeleme çözümü" başlığı altında üç farklı yöntem irdelenmiştir. Yanı sıra, koordinat sistemlerinin varyans bileşenlerinin de bilinmeyen olduğu EIV model için ilgili çözüm yöntemi incelenmiştir. 
Söz konusu üç WTLS algoritması, üç klasik dengeleme çözüm yöntemi ve varyans bileşenleri bilinmeyen EIV model için çözüm yöntemi bir 25 noktalı Afin dönüşüm probleminde uygulanmıştır. Uygulama sonuçlarına göre, WTLS algoritmaları arasında önemli bir fark gözlenmemiştir. Klasik dengeleme çözüm yöntemlerinden ilkinin WTLS çözümüne iyi bir yaklaşım olduğu sonucuna ulaşılmış, diğerlerinin ise WTLS ile özdeş olduğu gösterilmiştir. Son olarak, söz konusu Afin dönüşümünde varyans bileşenleri kestirilmiştir. Uygulamada karşılaşılan problem ve elde edilen sonuçlara göre varyans bileşenlerinin EIV model altında kestirimi için göz önüne alınması gereken kriterler sunulmuştur.

Abstract:
A usual adjustment model constitutes random errors in only "observations". However, in some problems like coordinate transformations, both system coordinates may have random errors. In that case, classical adjustment model should be replaced by "Errors-In-Variables (EIV) model". This model is solved by the method of "Total Least Squares (TLS)". When the coordinates have different weights, instead of TLS, "Weighted TLS (WTLS)" method should be considered. The EIV problem may not be solved directly by these methods. For this aim, some iterative algorithms are applied. In this thesis, three WTLS algorithms, which are commonly applied in geodesy, are considered. They are discussed detaily under two dimensional similarity and affin transformation problems. 
Each WTLS algorithm requires a special cofactor matrix which should be established properly for the corresponding estimation problem. Setting this cofactor matrix needs a special effort. Furthermore, the solution equations of these algorithms are complex compared to the ones of the common least-squares estimation process. This restricts the application of some numerical and statistical methods to the algorithms. Therefore, this study also considers how to solve the EIV model by the methods similar to the classical adjustment ways setting a nonlinear Gauss-Helmert model. For this aim, three methods are examined under the name of "classical adjustment solution". Moreover, a method for solving the EIV model with different variance components for both coordinate systems is studied. 
The corresponding three WTLS algorithms, three classical adjustment solution methods for the EIV model and the method for solving the EIV model with different variance components are applied to the Affin transformation example with 25 points. According to the numerical results, it is shown that three WTLS algorithms yield the same results. Moreover, it is depicted that the first classical adjustment solution is a good approximation for WTLS solution while the other classical adjustment solutions are equal to the WTLS solution. Finally, variance components in the corresponding transformation problem are estimated. According to the problems encountered during numerical solutions and according to the numerical results, some criteria are presented in estimating of variance components of EIV model.