Konsol bir kirişin geometrik lineer olmayan statik incelenmesi
Geometrically non-linear static analysis of a cantilever beam
Yazar: ŞEREF DOĞUŞCAN AKBAŞ
Danışman: PROF. DR. TURGUT KOCATÜRK
Yıldız Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / İnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2009
Konu: İnşaat Mühendisliği = Civil Engineering
Dizin: Konsol kirişler = Cantilever beams ; Sonlu elemanlar yöntemi = Finite element method

Özet:
Bu çalışmada, düzgün yayılı izleyici olmayan (non-follower) yük etkisi altında hiperelastik malzemeden yapılmış konsol bir kirişin geometrik lineer olmayan statik davranışı yer almaktadır. Konsol kirişin incelenmesinde düzlem sürekli ortam kabulü yapılmıştır.Katı sürekli ortam modeli kullanılarak, maddesel veya Lagrangian koordinat tarifi yaklaşımıyla çalışılarak hareketi belirleyen denklemler elde edilmiştir. Söz konusu denklemler iki boyutlu bir eleman olan levha için elde edilmiştir. Toplam Langrangian formülasyonunda tüm büyüklükler başlangıç konumu esas alınarak ölçülür. Konsol kirişin malzemesi homojen, izotrop ve hiperelastiktir. Bu çalışmada, kirişin sonlu eleman modelinde, iki boyutlu dörtgensel (quadratic), 12 düğüm noktalı toplam Lagrangian sonlu elemanlar modeli kullanılmıştır. Gerilme-şekil değiştirme ilişkisi doğrusal elastik olarak ele alınmıştır. Bilindiği gibi geometrik nonlineer durumda şekil değiştirmiş konum önceden bilinmediğinden yönetici eşitlikler doğrudan çözülemez. Lineer durumda ise yer değiştirmeler sonsuz küçük kabul edildiğinden cismin konumu değişmez. Bu durum lineer olmayan ve lineer analizler arasındaki önemli bir farktır. Büyük şekil değiştirme analizinde cismin konumunun sürekli değişiyor olması gerçeğine özel bir dikkat verilmelidir. Sonlu eleman ifadeleri artımsal formda lineerleştirilmiş olarak elde edilmiştir. Eleman rijitlik matrisleri kullanılarak sistem rijitlik matrisleri elde edilerek Newton-Raphson prosedürünün kullanımı ile lineer olmayan eşitlikler sisteminin çözümü elde edilmiştir. Bilindiği gibi kuvvetli nonlinerite olması durumunda yükün de birkaç adımda uygulanması gerekli olabilmektedir ve bu çalışmada da yük parçalara bölünerek son adımda nihai yüke ulaşılmıştır. Bu çalışmada MATLAB programı kullanılarak bir bilgisayar programı yazılmıştır.Bu çalışmada, büyük yer değiştirmelerin ve büyük dönmelerin normal gerilme ve kayma gerilmelerinin kiriş yüksekliği boyunca dağılımı üzerindeki etkisi detaylı olarak incelenmiştir. Yatay ve düşey doğrultularda çeşitli sayıda sonlu elemanlar alınarak yakınsana çalışması yapılmıştır. Sayısal sonuçlar göstermektedir ki geometrik lineer olmayan durum ile geometrik lineer durum arasındaki fark, belirli bir yük düzeyinden sonra kirişin statik cevapları üzerinde çok belirgin olmaktadır.

Abstract:
In this study, geometrically non-linear static analysis of a cantilever beam made of hyperelastic material subjected to a non-follower transversal uniformly distributed load is studied. In the analysis, the cantilever beam is assumed to be a two dimensional continua.By using the solid continua model and the definition of the material or Lagrangian coordinates, the governing equations are obtained. Finite element model of the beam is constructed by using total Lagrangian finite element model of two dimensional continua for a twelve-node quadratic element. In the total Lagrangian formulation, all quantities are measured with respect to the initial configuration. The material of the beam is assumed as homogeneous, isotropic and hyperelastic. The relationship between the stresses and strains is linear-elastic. As it is known, in the nonlinear case, since the deformed configuration is not known previously, the governing equations cannot be solved directly. However, in the linear case, since the displacements and strains are infinitesimal, the configuration of the solid body is not changed. This is the important difference between the linear and the non-linear analysis. In the large deflection analysis, special attention should be given to the fact that the configuration of the body is changed continuously. The considered highly non-linear problem is solved by using incremental displacement-based finite element method in connection with Newton-Raphson iteration method. In order to use the solution procedures of Newton-Raphson type, there is need to linearized equilibrium equations, which can be achieved through the linearization of the principle of virtual work in its continuum form. As it is known, when the nonlinearity is strong, it is needed to apply the external load step by step. In this study, the above mentioned solution procedure is applied. The necessary computer programs are developed by using MATLAB program.In the study, the effect of the large deflections and rotations on the displacements and the normal stress and the shear stress distributions through the thickness of the beam is investigated in detail. The convergence study is performed for various numbers of finite elements in the horizontal and the vertical directions. Numerical results show that the difference between the geometric linear and the geometric nonlinear cases are significant on the static responses of the beam after a certain load level.