Sınırlı dağılımlı örgüler, priestley uzayları ve onların arasındaki dual kategorik denklikler
Bounded distributive lattices, priestley spaces and dual categorical equivalences between them
Yazar: KENAN AYKUR
Danışman: PROF. DR. MUSTAFA DEMİRCİ
Akdeniz Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2020
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
Bu tez çalışmasında, kategori teorisi baz alınarak ağırlıklı olarak iki konu üzerinde durulmuştur. Bu konular "Priestley Dualitesi" ve "Priestley Dualitesinin Bir Genişlemesi" başlıkları altında ele alınmıştır.
Priestley dualitesi, sınırlı ve dağılımlı örgülerin kategorisi ile Priestley uzaylarının kategorisinin denk kategoriler olduğunu ifade eder. Bunu yaparken denk izleç (equivalence functor) denilen bir çeşit kategorik fonksiyonlardan yararlanılmıştır. Bu izleçler tez içerisinde açıkça ifade edilmiştir. Bu şekilde; Stone cebirleri, Kleene cebirleri, Ockham cebirleri, De Morgan cebirleri, Wajsberg cebirleri gibi bir çok alanda matematiğe katkı sağladığı görülen örgü teorisinin geliştirilmesine katkı sağlanması amaçlanmıştır. Bu alanda özellikle 1970'li yılların başlarında Hilary Priestley'in yaptığı çalışmalar oldukça ünlüdür.
Priestley Dualitesinin Bir Genişlemesi başlığı altında ise aslında Priestley dualitesinin bir genellemesi aynı yöntemle formülüze edilmiştir. Bu genellemeyi vermemizin sebebi; Priestley dualitesinin çok fazla koşul içermesidir. Çünkü matematikte böyle yapılar her zaman bulunamayabilir. Bunu yaparken de örgü homomorfizmlerini bitişme koruyan fonksiyonlar ve sürekli ve sıra-korur fonksiyonları ise Priestley bağıntıları olarak genişlettik. Bu genellemeyi vermemizin tek sebebi Priestley dualitesinin yapısı değildir. Bu dualiteden yararlanılarak, Halmos-Wright dualitesi denilen, Boole cebirlerinin bir genişletilmiş kategorisi için bir dualite formülüze edilmiştir.
Ayrıca, Boole cebirlerinin kategorisi ile Stone uzaylarının kategorisi arasında bir dual denklik ifade eden meşhur Stone dualitesi, Priestley dualitesinin bir sonucu olarak elde edilmiştir.

Abstract:
In this thesis, two main topics are emphasized based on category theory. These issues are discussed under the sections "Priestley Duality" and "An Extension of Priestley Duality".
Priestley duality states that the category of bounded and distributive lattices and the category of Priestley spaces are equivalent categories. To show this, a pair of categorical functions called equivalence functors are used. These functors are clearly expressed in the thesis. In this way, in many areas, such as Stone algebras, Kleene algebras, Ockham algebras, De Morgan algebras, Wajsberg algebras; contributing to the development of the theory of lattice theory is intended to contribute to mathematics. The work of Hilary Priestley, especially in the early 1970s, is well known in this field.
In the section of "An Extension of Priestley Duality" a generalization of Priestley duality is formulated in the same way. The aim of this generalization is that, Priestley duality involves too many conditions. Because in mathematics, such structures may not always be found. In doing so, we have extended the lattice homomorphisms to join-homomorpisms and the continuous and order-preserving functions to Priestley relations. The structure of Priestley duality is not the only reason to give this generalisation. By making use of this duality, a duality for an extended category of Boolean algebras, the so-called Halmos-Wright duality, has been formulated.
In addition, the renowned Stone duality, that is stating a dual equivalence between the category of Boolean algebras and the category of Stone spaces, is obtained as a consequence of Priestley duality.