İkinci mertebeden yarı-lineer diferensiyel denklemlerin salınım ve salınımsızlığı
Oscillation and nonoscillation of second-order linear differential equations
Yazar: AYŞENUR ÖNDER
Danışman: YRD. DOÇ. DR. PAKİZE TEMTEK
Erciyes Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Bölümü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Yüksek Lisans, 2009
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
İkinci mertebeden lineer diferensiyel denklemlerin çözümlerinin davranışı uygulamalı bilim dallarında geniş yer tutmaktadır. Diferensiyel denklemleri çözmeden çözümü hakkında konuşmak özellikle çözülemeyen diferensiyel denklemler için önemlidir. Lineer olmayan diferensiyel denklemlerin çözümünü analitik olarak bulmak her zaman mümkün olmamaktadır. Bu nedenle çözümün salınımlığı ya da salınımsızlığı hakkında konuşmak daha da zordur.Bu çerçevede, tezimiz salınım ve salınımsızlık üzerine dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm, giriş bölümünü ve ikinci bölüm, ileriki bölümlerde kullanacağımız temel tanım ve kavramları içermektedir.Üçüncü bölüm, ikinci mertebeden yarı-lineer diferensiyel denklemlerle ile ilgilidir. Esas amacımız, aşikar olmayan tüm çözümlerin salınımlı ve salınımsızlığı için yeni kriterler vermektir. Teoremlerimizde, bu tip diferensiyel denklemlerdeki katsayı fonksiyonları ile verilen parametrik eğri, tüm çözümlerin salınımlı veya salınımsız olup olmadığının incelenmesinde önemli bir rol oynamaktadır. Temel olarak, burada kullandığımız metot, ikinci mertebeden yarı-lineer diferensiyel denkleminde dönüşüm yaparak bu diferensiyel denkleme denk olan bir diferensiyel denklem sistemi elde etmek ve bu sistem için faz düzlem analizini yapmaktır.Dördüncü bölüm de ise, üçüncü bölümdeki aynı dönüşüm altında lineer diferensiyel denklemi sisteme dönüştürüp, bu sistem için faz düzlem analizini üzerinde durduk ve aynı zamanda bu durumlara örnekler vererek açıkladık.

Abstract:
The behaviour of solutions of second-order linear differential equations are researched much in the applied sciences. To talk about the solutions of differential equations without solving them is especially important for differential equations that can not be solved. It is not always possible to obtain analytic solution of non-linear differential equations. Hence, it is more difficult to talk about the solution that is oscillatory or nonoscillatory.This thesis consists of four chapters about oscillatory and nonoscillatory.The first chapter includes the introduction and the second one includes the main definitions and concepts that will be mentioned in the next chapters.The third chapter deals with the second-order half-linear differential equation. Our main purpose is to establish new criteria for all nontrivial solutions to be oscillatory and for those to be nonoscillatory. In our theorems, the parametric curve given by coefficient functions in this differential equations plays a critical role in judging whether all solutions are oscillatory or nonoscillatory. The method used here is mainly phase plane analysis for a system equivalent to the half-linear differential equation. If we take a new variable, then the second-order half-linear differential equation transform into a differential equation system.In the fourth chapter, we consider that phase plane analysis for a system. We get this system from the second order linear differential equation to use the same transformation in the third chapter. Global phase portraits are attached. Also some suitable examples are included to illustrate the main results.