Lognormal dağılım için olabilirlik tabanlı alternatif testler
Likelihood based alternative tests for lognormal distribution
Yazar: MEHMET ÇAKMAK
Danışman: PROF. DR. MERAL EBEGİL ; PROF. DR. FİKRİ GÖKPINAR
Gazi Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / İstatistik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2022
Konu: İstatistik = Statistics
Dizin: Hesaplamalı modelleme = Computational modeling ; Skor testleri = Score tests ; Test eforu = Testing effort ; Test güvenilirliği = Test reliability

Özet:
Lognormal dağılım, pozitif ve sağa çarpık verileri modellemek için yaygın olarak kullanılan sürekli dağılımlardan birisidir. Bu dağılım; mühendislik, jeoloji, madencilik, tıp, çevre, sosyal bilimler ve ekonomi başta olmak üzere çok geniş uygulama alanlarına sahiptir. Uygulamalı istatistikte yaygın kullanımı nedeniyle bu dağılımın parametrelerini gerçeğe en yakın şekilde tahmin etmek yapılacak bilimsel çalışmalar için oldukça önemlidir. Lognormal dağılımla ilgili karşılaşılan problemlerin başında, lognormal dağılıma sahip kitlenin ortalamasına ilişkin karşılaştırma testleri gelmektedir. İki veya ikiden fazla (𝑘 grup) normal ya da lognormal dağılıma sahip kitlenin ortalamalarının eşitliğini test etme problemi için kullanılan klasik testler; kitlelerin normalliği, varyansların eşitliği ve hataların bağımsızlığı gibi birtakım varsayımlara dayanır. Bu varsayımlar sağlandığında, test istatistiğinin dağılımının kesin şekli kolayca bulunur ve ANOVA için kullanılan F testi gibi klasik testler güvenilir bir şekilde kullanılabilir. Ancak, bu varsayımlar sağlanmadığında test istatistiğinin dağılımı bilinmeyen parametrelere bağlıdır. Böyle durumlarda, asimptotik yöntemler kullanılarak test istatistiğinin dağılımı ancak yaklaşık olarak bulunabilmektedir. Dağılımı yaklaşık olarak bulunan test istatistiğine dayanarak tam olasılıklı hipotez testleri kurmak ve güven aralıklarını elde etmek çoğu zaman mümkün değildir. Dolayısıyla, böyle problemler için kullanılan asimptotik testler özellikle küçük hacimli örneklemler ile yapılan çalışmalarda araştırmacıları yanlış sonuçlara götürebilmektedir. Son yıllarda bilgisayar teknolojisindeki gelişmeler, çok karmaşık istatistiksel hesaplamaları bile daha hızlı çözülebilir hale getirmiştir. Bu sayede, asimptotik yöntemlerle tam olasılıklı çözümü elde edilemeyen problemler parametrik bootstrap ve parametrik bootstrap'ın özel bir hali olan hesaplamalı yaklaşım testi (CAT) gibi yeniden örneklemeye dayalı geliştirilen yöntemler ile kolayca çözülebilmektedir. Bu tez çalışmasında, 𝑘 grup lognormal dağılımın ortalamalarının eşitliğini test etmek amacıyla olabilirlik tabanlı olan Skor ve Wald test istatistikleri bulunmuş ve bu test istatistiklerinin CAT yöntemine adapte edilmiş olan test istatistikleri elde edilmiştir. Bu testler, lognormal dağılımın ortalamalarının eşitliğini test etmek amacıyla literatürde kullanılmış olan testlere karşı farklı grup boyutları, farklı örneklem çapları ve farklı parametre kombinasyonları altında deneysel I. tip hata değerleri ve testin gücü bakımından karşılaştırılmıştır. Benzetim sonuçları, önerilen testlerin deneysel I.tip hata değerlerinin, örneklem büyüklüğüne bakılmaksızın nominal seviyeye çok yakın olduğunu ve bu testlerin güç değerlerinin, neredeyse dikkate alınan tüm durumlar için literatürde kullanılmış olan diğer testlere kıyasla oldukça yüksek olduğunu göstermiştir. Ayrıca hem sayısal hem de gerçek bir veri örneği ele alınarak, önerilen testler ile literatürde var olan diğer testler karşılaştırılmış ve aynı işlevselliği sağladıkları ortaya koyulmuştur.

Abstract:
Lognormal distribution is one of the widely used continuous distributions for modeling positive and right skewed data. It has a wide range of applications, especially in engineering, geology, mining, medicine, environment, social sciences and economics. Because of its prevalent use in applied statistics, the accurate estimation of the parameters of the lognormal distribution is very important for scientific studies. One of the main problems encountered in lognormal distribution is the testing the equality of several lognormal means. The classical tests used for the problem of testing the equality of the two or more (𝑘 groups) means of normal or lognormal distribution are based on the assumptions of normality, equality of variances, and independence of errors. When these assumptions are satisfied, the exact form of the distribution of the test statistic is easily found, and classical tests such as the F test for ANOVA can be used reliably. However, when these assumptions are not satisfied, the distribution of test statistics depends on unknown population parameters. In such cases, the distribution of test statistics can only be found approximately using the asymptotic methods. It is mostly not possible to construct hypothesis tests and obtain confidence intervals based on the approximate distribution of test statistics. Therefore, asymptotic tests used for such problems can lead researchers to false conclusions, especially in small sample sizes. In recent years, the rapid advances in computer technology have made even very complex statistical calculations solvable. Thus, problems that cannot be solved by asymptotic methods can be easily solved by resampling methods such as parametric bootstrap and a special case of parametric bootstrap, CAT. In this thesis study, likelihood-based Score and Wald test statistics were found and test statistics which were adapted to CAT method of these test statistics were obtained to test the equality of several lognormal means. These proposed tests were compared in terms of type I error rate and power of test under different group sizes, different sample sizes and different parameter combinations against the tests used in the literature in order to test the equality of several lognormal means. Simulation results indicate that the type I error rates of the proposed tests are very close to the nominal level regardless of the sample size and powers of these tests are outstandingly higher compared to its competitors for all the considered cases. In addition, both a numerical and a real data example were analyzed and the proposed tests were compared with the other tests in the literature and it was shown that they provide the same functionality.