İdeal topolojik uzaylarda düzenli yerel fonksiyonlar
Regular local functions in ideal topological spaces
Yazar: ARİFE ATAY
Danışman: PROF. DR. HASAN İLHAN TUTALAR
Dicle Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Ana Bilim Dalı
Derece: Doktora, 2016
Konu: Matematik = Mathematics

Özet:
İdeal topolojik uzayların önemi çok iyi bilinmektedir ve öneminden ötürü güncel literatürde yeterince yer almaktadır. Son zamanlarda ideal topolojik uzaylar ile ilgili yerel fonksiyon fikrinden yola çıkılarak yapılan ve çeşitli yerel fonksiyonların tanımlandığı birçok araştırma makalesi bulunmaktadır. Bunlardan biri, topolojik uzaylardaki yarı-açık küme kavramı yardımı ile elde edilen "Yarı Yerel Fonksiyonlar" üzerine bir çalışmadır. Bir diğeri ise yine topolojik uzaylarda bilinen pre-açık (ön açık) kümeler ile elde edilen "(┤)^p-Operatörü" için yapılan çalışmadır. Ayrıca bir başka araştırma makalesinde topolojik uzaylarda açık kümenin kapanışı kullanılarak ideal topolojik uzaylarda "Kapanış Yerel Fonksiyonlar" tanımlanmış ve ilgili sonuçlara yer verilmiştir. İdeal topolojik uzaylarda yerel fonksiyonların yardımı ile bir Kuratowski Kapanış operatörünün elde edilişi önemli bir ayrıntıdır. Ancak bahsedilen araştırma makalelerinde yer alan bu yerel fonksiyonların birçoğunda bir Kuratowski kapanış operatörü elde etmek ve dolayısıyla devamında yer alan çalışmaları yapmak mümkün olmamıştır. Bu tezin ana amacı da bu olumsuzluğu içermeyen bir başka yerel fonksiyonun varlığını araştırmak olmuştur. Diğer taraftan ideal topolojik uzaylar için tanımlanmış düzenli yerel fonksiyonlara güncel literatürde rastlanmamıştır. Bu eksiği gidermek üzere ideal topolojik uzaylar için düzenli yerel fonksiyonlar ilk olarak bu tez kapsamında tanımlanmıştır. Üstelik düzenli yerel fonksiyonlar yardımı ile k_I^(*d) Kuratowski Kapanış operatörü ve τ^(*d) topolojisi elde edilebilmiştir. Yapılan yeni tanımlamaya göre literatürdeki ilgili birçok teorem revize edilmiştir. Revize edilmiş yeni teoremler ve bunlardan elde edilen diğer sonuçlar da bu tezde yer almaktadır.
Genel bilgiler verildikten sonra çalışma boyunca sıklıkla ihtiyaç duyulan düzenli açık kümeler ve yarı açık kümeler tanımlanarak çalışmanın asıl konusu olan düzenli yerel fonksiyonlar için zemin oluşturulmuştur. İdeal topolojik uzaylarda yerel fonksiyon, yarı-yerel fonksiyon ve düzenli yerel fonksiyon tanımları verilmiş ve karşılaştırmaları yapılmıştır. Daha sonra düzenli yerel fonksiyonlardan yararlanılarak tanımlanan ψ_d operatörünün sağladığı koşullar aktarılmıştır. Ayrıca ideal topolojik uzay üzerinde ideal ile topolojinin düzenli uyumu ve ψ_d-C küme tanımı başlıkları altında elde edilen sonuçlar araştırma bulguları bölümünde yer almaktadır.
Tez beş ana başlıktan meydana gelmektedir. Giriş bölümünden sonra, yapılan literatür taraması sonucu, tezin ortaya çıkması ve oluşturulması aşamasında yol gösterici olan kaynaklar kısa özetleri ile yer almaktadır. Çalışmanın kaynağında yer alan yarı açık kümeler ve düzenli (regüler) açık kümelerin tanıtımı, ideal topolojik uzaylar, yerel fonksiyonlar ve ilgili teoremler üçüncü bölümde verilmiştir. Dördüncü ana başlık Araştırma Bulguları olup, bu bölümde topolojik uzaylarda bilinen yerel fonksiyon tanımından yola çıkılarak elde edilen düzenli yerel fonksiyonların tanımı ile sağladığı ve sağlamadığı koşullar verilmiştir. Düzenli yerel fonksiyonlarla literatürde yer alan diğer yerel fonksiyonlar arasındaki ilişkilere değinilmiştir. Ayrıca düzenli yerel fonksiyonlar yardımı ile yeni bir kapanış operatörü ve yeni bir topoloji elde edilmiştir. Daha birçok alt başlık düzenli yerel fonksiyonlar tabanlı olarak bu bölümde incelenmiştir. Tartışma ve Sonuç beşinci bölümde verilmiştir.

Abstract:
The importance of ideal topological spaces is well known. Due to its importance, ideal topological spaces are discussed in the current literature. Recently many published works made on local function used in ideal topological spaces can be found in related literature. "Semi Local Functions in Ideal Topological Spaces", "Closure Local Functions", and " (┤)^p and ψ_p-Operator" can be mentioned among such works those aim to define such functions. In general, the researchers prefer using the generalized open sets instead of topology in ideal topological spaces. Obtaining a Kuratowski closure operator with the help of local functions is an important detail in ideal topological space. However, it is not possible to obtain a Kuratowski closure operator from many of these local functions proposed by the above mentioned works. In order to address the lack of such an operator, the main goal of this thesis is to introduce another local function to give possibility of obtaining a Kuratowski closure operator. On the other hand, regular local functions defined for ideal topological spaces have not been found in the current literature. Therefore, again to address the lack of such a function, regular local functions for the ideal topological spaces has been described within this thesis. This is the second goal of the thesis. Moreover, with the help of regular local functions Kuratowski closure operators k_I^(*d) and τ^(*d) topology are obtained. Many theorems in the literature have been revised according to the definition of regular local functions. The revised new theorems and other derived results are also included in this thesis.
With the respect of above mentioned goals first, the fundamentals of the subject are presented in the thesis. Later, the regular open sets and semi open sets those often needed throughout the study are defined to create a base for deriving regular local functions. Local functions, semi-local functions and regular local functions are defined in ideal topological spaces and their interrelations are compared. Then, the new conditions which provided by ψ_d-operators defined with the help of regular local functions are presented. Additionally, a new topology extracted from ψ_d-operator is given. The regular compatibility between the topology and ideality in the ideal topological space are also included by this thesis together with the obtained results presented under the title namely " ψ_d-C sets definition" as the research findings. 
This thesis consists of five chapters. After an introduction, a review on the published works available in current literature is presented. The works are summarized and briefly discussed in this chapter. Definition of semi-open sets and regular open sets, ideal topological spaces, local functions and related theorems are given in Chapter Three. The conditions of regular local functions which are extracted from definition of local functions in topological spaces can be found in the next chapter. Chapter Four includes comparison of regular local functions with the other local functions. A new closure operator and a new topology have obtained with the help of regular local functions in the same chapter. Finally, the study is discussed and concluded in the last part of the thesis.