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Sparsity-certifying Graph Decompositions
Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity Ileana Streinu1*, Louis Theran2 1 Departamento de Ciencias de la Computación, Smith College, Northampton, MA. Correo electrónico: streinu@cs.smith.edu 2 Departamento de Ciencias de la Computación, Universidad de Massachusetts Amherst. Correo electrónico: theran@cs.umass.edu Resumen. Describimos un nuevo algoritmo, el (k, `)-pebble juego con colores, y usarlo para obtener un charac- la terización de la familia de gráficos (k, `)-sparse y soluciones algorítmicas a una familia de problemas ing árbol descomposicións de gráficos. Casos especiales de gráficos escasos aparecen en la teoría de la rigidez y tienen ha recibido una mayor atención en los últimos años. En particular, nuestros guijarros de colores generalizan y fortalecen los resultados anteriores de Lee y Streinu [12] y dar una nueva prueba de la Tutte-Nash-Williams carácteri- Zación de arboricidad. También presentamos una nueva descomposición que certifica la esparcidad basada en la (k, `)-pebble juego con colores. Nuestro trabajo también expone conexiones entre los algoritmos de juego de guijarros y anteriores algoritmos gráficos escasos de Gabow [5], Gabow y Westermann [6] y Hendrickson [9]. 1. Introducción y preliminares El foco de este documento son las descomposicións de (k, `)-sparse gráficos en bordes-disjunto subgraphs que certifique la escasez. Usamos el gráfico para significar un múltiplo, posiblemente con bucles. Nosotros decimos que un grafo es (k, `)-sparse si ningún subconjunto de n′ vértices abarca más de kn ` bordes en el gráfico; a (k, `)-sparse gráfico con kn ` bordes es (k, `)-estrechado. Llamamos al rango k ≤ 2k−1 el superior rango de gráficos escasos y 0≤ k el rango inferior. En este artículo, presentamos algoritmos eficientes para encontrar descomposicións que certifiquen la escasez en el rango superior de `. Nuestros algoritmos también se aplican en el rango inferior, que ya era ad- vestido por [3, 4, 5, 6, 19]. Una descomposición certifica la escasez de un gráfico si los gráficos dispersos y los gráficos que admiten la descomposición coinciden. Nuestros algoritmos se basan en una nueva caracterización de gráficos escasos, que llamamos el juego de guijarros con colores. El juego de guijarros con colores es una regla de construcción de gráficos simples que produce un gráfico escaso junto con una descomposición certificadora de la escasez. Definimos y estudiamos una clase canónica de construcciones de juego de guijarros, que corresponden a previamente estudiado las descomposiciones de los gráficos escasos en los árboles disjuntos del borde. Nuestros resultados proporcionan un marco unificador para todos los casos especiales conocidos anteriormente, incluidos Nash-Williams- Tutte y [7, 24]. De hecho, en el rango inferior, las construcciones canónicas de juego de guijarros capturan la propiedades de las rutas de aumento utilizadas en los algoritmos de unión de matroides y de intersección[5, 6]. Dado que los gráficos escasos en el rango superior no se sabe que son uniones o intersecciones de la matroides para los que hay algoritmos de ruta de aumento eficiente, estos no se aplican fácilmente en * Investigación de ambos autores financiada por la NSF bajo subvenciones NSF CCF-0430990 y NSF-DARPA CARGO CCR-0310661 al primer autor. 2 Ileana Streinu, Louis Theran Significado del término Gráfico escaso G Cada subgrafo no vacío en n′ vértices tiene ≤ kn ` bordes El gráfico ajustado G G = (V,E) es escaso y V = n, E= kn− ` El bloque H en G G es escaso, y H es un subgrafo apretado El componente H de G G es escaso y H es un bloqueo máximo Gráfico cartográfico que admite una orientación de grado-exactamente-uno (k, `)-maps-and-trees Edge-disjunt union de ` árboles y (k- `) map-grpahs `Tk Unión de ` árboles, cada vértice está exactamente en k de ellos Conjunto de piezas arbóreas de un `Tk inducido en V ′ ́V Piezas de árboles en el `Tk extendido por E(V ′) `Tk Apropiado Cada V ′ V contiene ≥ ` pedazos de árboles de la `Tk Cuadro 1 Gráfico escaso y terminología de descomposición utilizada en este artículo. el rango superior. Pebble juego con construcciones de colores por lo tanto puede ser considerado un fortalecimiento de caminos de aumento a la gama superior de gráficos de la escasez matroidal. 1.1. Gráficos escasos Un gráfico es (k, `)-sparse si para cualquier subgrafo no vacío con bordes m′ y n′ vértices, m′ ≤ kn `. Observamos que esta condición implica que 0 ≤ ` ≤ 2k− 1, y a partir de ahora en este Haremos esta suposición. Un gráfico escaso que tiene n vértices y exactamente bordes kn se llama apretado. Para un gráfico G = (V,E), y V ′ V, utilizamos el intervalo de notación (V ′) para el número de bordes en el subgráfico inducido por V ′. En un gráfico dirigido, out(V ′) es el número de bordes con la cola en V ′ y la cabeza en V −V ′; para un subgráfico inducido por V ′, llamamos a tal borde un borde superior. Hay dos tipos importantes de subgrafías de gráficos escasos. Un bloque es un subgrafo apretado de un gráfico escaso. Un componente es un bloque máximo. La Tabla 1 resume la escasa terminología gráfica utilizada en este artículo. 1.2. Descomposiciónes de certificación de la sparsidad Un k-arborescencia es un gráfico que admite una descomposición en k borde-desjunto que abarca los árboles. La Figura 1(a) muestra un ejemplo de una 3-arborescencia. Se describen los gráficos k-arborescentes por los conocidos teoremas de Tutte [23] y Nash-Williams [17] como exactamente el (k,k) apretado gráficos. Un map-graph es un gráfico que admite una orientación tal que el grado de cada vértice es Exactamente uno. Un k-map-graph es un gráfico que admite una descomposición en k borde-disjunto mapa- gráficos. La Figura 1(b) muestra un ejemplo de un 2-map-graphs; los bordes están orientados en uno posible configuración que certifica que cada color forma un mapa gráfico. Los mapas pueden ser equivalentes definido (véase, por ejemplo, [18]) como tener exactamente un ciclo por componente conectado.1 A (k, `)-maps-and-trees es un gráfico que admite una descomposición en k− ` borde-disjunta - mapas y árboles que se extienden por los árboles. Otra caracterización de los mapas, que utilizaremos ampliamente en este artículo, es la siguiente: los gráficos (1,0) ajustados [8, 24]. Los k-map-graphs son evidentemente (k,0)-stight, y [8, 24] muestran que lo contrario se sostiene también. 1 Nuestra terminología sigue a Lovász en [16]. En la literatura matroide los mapas a veces se conocen como bases del matroide de la bicicleta o pseudobosques que se extienden. Descomposiciones del gráfico de certificación de la Sparsity 3 Fig. 1. Ejemplos de descomposiciones certificadoras de la escasez: a) una 3-arborescencia; b) una 2-map-graph; c) una (2,1)-maps-y-árboles. Los bordes con el mismo estilo de línea pertenecen al mismo subgrafo. El 2-map-graph es se muestra con una orientación certificadora. Un `Tk es una descomposición en `árboles disjuntos de borde (que no necesariamente abarcan) de tal manera que cada uno vértice está en exactamente k de ellos. La figura 2 a) muestra un ejemplo de un 3T2. Dado un subgrafo G′ de un gráfico `Tk G, el conjunto de piezas arbóreas en G′ es la colección del componentes de los árboles en G inducidos por G′ (dado que G′ es un subgrafo cada árbol puede contribuir piezas múltiples en el conjunto de piezas de árbol en G′). Observamos que estas piezas de árboles pueden venir del mismo árbol o ser un solo vertex “árboles vacíos.” También es útil tener en cuenta que la definición de un árbol-pieza es relativo a un subgrafo específico. Una descomposición `Tk es apropiada si el conjunto de las piezas arbóreas de cualquier subpárrafo G′ tienen un tamaño mínimo `. La Figura 2(a) muestra un gráfico con una descomposición 3T2; observamos que uno de los árboles es un vértice aislado en la esquina inferior derecha. El subgrafo de la Figura 2(b) tiene tres árboles negros- piezas y un árbol-pieza gris: un vértice aislado en la esquina superior derecha, y dos bordes individuales. Estos cuentan como tres árboles-piezas, a pesar de que vienen del mismo árbol trasero cuando el Gráfico completo considerado. La figura 2 c) muestra otro subgráfico; en este caso hay tres piezas de árboles grises y una negra. En el cuadro 1 figura la terminología de descomposición utilizada en este documento. El problema de descomposición. Definimos el problema de descomposición para gráficos escasos como tak- • un gráfico como su entrada y producción como salida, una descomposición que se puede utilizar para certificar sity. En el presente documento se estudiarán tres tipos de productos: mapas y árboles; descomposiciones adecuadas de `Tk; y la descomposición de guijarros-juego-con-colores, que se define en la siguiente sección. 2. Antecedentes históricos Los conocidos teoremas de Tutte [23] y Nash-Williams [17] relacionan los gráficos (k,k) ajustados a la existencia de descomposicións en los árboles que se extienden por los bordes. Tomando un punto de vista matroidal, 4 Ileana Streinu, Louis Theran Fig. 2. (a) Un gráfico con una descomposición 3T2; uno de los tres árboles es un único vértice en la parte inferior derecha esquina. (b) El subgrafo resaltado dentro del conteo rayado tiene tres piezas de árbol negro y una gris pieza de árbol. (c) El subgrafo resaltado dentro del conteo rayado tiene tres piezas de árbol grises (uno es un solo vértice) y una pieza de árbol negro. Edmonds [3, 4] dio otra prueba de este resultado usando uniones de matroide. La equivalencia de los mapas- los gráficos y árboles y los gráficos ajustados en el rango inferior se muestran utilizando uniones de los matroides en [24], y rutas de aumento matroide son la base de los algoritmos para el rango inferior de [5, 6, 19]. En la teoría de la rigidez un teorema fundacional de Laman [11] muestra que (2,3)-ajustado (Laman) los gráficos corresponden a marcos de barras y conjuntos genéricamente mínimamente rígidos en el plano. Tay [21] ha demostrado ser un resultado análogo para los marcos de la barra del cuerpo en cualquier dimensión utilizando (k,k) gráficos. Rigidez por conteos de interés motivado en el rango superior, y Crapo [2] probó la equivalencia de gráficos Laman y gráficos 3T2 apropiados. Tay [22] utilizó esta condición para dar un prueba directa del teorema de Laman y generalizada la condición 3T2 a todos `Tk para k≤ 2k−1. Haas [7] estudió detalladamente las descomposicións de `Tk y demostró la equivalencia de gráficos ajustados y gráficos `Tk apropiados para el rango superior general. Observamos que aparte de nuestro nuevo guijarro... game-with-colors descomposición, todas las caracterizaciones combinatoria de la gama superior de Los gráficos escasos, incluidos los conteos, tienen una interpretación geométrica [11, 21, 22, 24]. Un algoritmo de juego de guijarros fue propuesto por primera vez en [10] como una alternativa elegante a Hendrick- algoritmos de gráfico Laman de hijo [9]. Berg y Jordania [1], facilitaron el análisis formal de la juego de guijarros de [10] e introdujo la idea de jugar el juego en un gráfico dirigido. Lee y Streinu [12] generalizó el juego de guijarros a toda la gama de parámetros 0≤ 2k−1, y izquierda como un problema abierto utilizando el juego de guijarros para encontrar la escasez certificando las descomposicións. 3. El juego de guijarros con colores Nuestro juego de guijarros con colores es un conjunto de reglas para la construcción de gráficos indexados por no negativos enteros k y `. Usaremos el juego de guijarros con colores como la base de un algoritmo eficiente para el problema de descomposición más adelante en este documento. Puesto que la frase “con colores” es necesaria Sólo en comparación con [12], lo omitiremos en el resto del documento cuando el contexto sea claro. Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity 5 Ahora presentamos el juego de guijarros con colores. El juego es jugado por un solo jugador en un conjunto finito fijo de vértices. El jugador hace una secuencia finita de movimientos; un movimiento consiste en el adición y/o orientación de un borde. En cualquier momento, el estado del juego es capturado por un gráfico dirigido H, con guijarros de colores sobre vértices y bordes. Los bordes de H son de color por los guijarros en ellos. Mientras que jugando el juego de guijarros todos los bordes están dirigidos, y utilizamos el notación vw para indicar un borde dirigido de v a w. Describimos el juego de guijarros con colores en términos de su configuración inicial y el permitido se mueve. Fig. 3. Ejemplos de juego de guijarros con movimientos de colores: (a) add-edge. b) Deslizamiento de guijarros. Guijarros sobre vértices se muestran como puntos negros o grises. Los bordes están coloreados con el color de la rocalla en ellos. Inicialización: Al principio del juego de guijarros, H tiene n vértices y no tiene bordes. Comenzamos colocando k guijarros en cada vértice de H, uno de cada color ci, para i = 1,2,...,k. Add-edge-with-colors: Dejar v y w ser vértices con al menos â € 1 guijarros en ellos. Asumir (w.l.o.g.) que v tiene al menos un guijarro en él. Recoger un guijarro de v, añadir el borde orientado vw a E(H) y poner el guijarro recogido de v en el nuevo borde. La Figura 3(a) muestra ejemplos del movimiento de add-edge. Pebble-slide: Dejar w ser un vértice con un guijarro p en él, y dejar vw ser un borde en H. Reemplazar vw con wv en E(H); poner el guijarro que estaba en vw en v; y poner p en wv. Tenga en cuenta que el color de un borde puede cambiar con un movimiento de guijarros. La figura 3 b) muestra ejemplos. La convención en estas figuras, y a lo largo de este documento, es que los guijarros sobre los vértices se representan como puntos de color, y que los bordes se muestran en el color de la rocalla en ellos. A partir de la definición del movimiento de guijarros-deslizamiento, es fácil ver que un guijarro en particular es siempre en el vértice donde empezó o en un borde que tiene este vértice como la cola. Sin embargo, al hacer una secuencia de movimientos de guijarros que invierten la orientación de un camino en H, es a veces es conveniente pensar en esta secuencia de inversión del camino como trayendo un guijarro desde el final del camino al principio. La salida de jugar el juego de guijarros es su configuración completa. Salida: Al final del juego, obtenemos el gráfico dirigido H, junto con la ubicación y los colores de los guijarros. Observe que ya que cada borde tiene exactamente un guijarro en él, el guijarro la configuración del juego colorea los bordes. Decimos que el gráfico G de H subyacente no dirigido es construido por el juego (k, `)-pebble o que H es un gráfico de juego de guijarros. Puesto que cada borde de H tiene exactamente un guijarro, las particiones de configuración del juego de guijarro los bordes de H, y así G, en k diferentes colores. Llamamos a esta descomposición de H un guijarro... juego-con-colores descomposición. La Figura 4(a) muestra un ejemplo de un gráfico ajustado (2,2) con un Descomposición de juego de guijarros. Que G = (V,E) sea gráfico de juego de guijarros con la coloración inducida por los guijarros en los bordes, y dejar que G′ sea un subgrafo de G. Entonces la coloración de G induce un conjunto de con- 6 Ileana Streinu, Louis Theran a) b) c) Fig. 4. A (2,2)-término gráfico con una posible descomposición del juego de guijarros. Los bordes están orientados a mostrar (1,0)-esparsidad para cada color. a) El gráfico K4 con una descomposición del juego de guijarros. Hay un árbol negro vacío en el vértice central y un árbol gris que se extiende. b) El subgráfico resaltado consta de dos: árboles negros y un árbol gris; los bordes negros son parte de un ciclo más grande pero aportan un árbol al subgrafo. c) El subgrafo resaltado (con fondo gris claro) tiene tres árboles grises vacíos; los bordes negros contienen un ciclo y no aportan un pedazo de árbol al subgrafo. Significado de la notación longitud (V ′) Número de bordes que se extienden en H por V ′ V ; es decir, EH(V ′) Peb(V ′) Número de guijarros en V ′ ́V fuera (V ′) Número de bordes vw en H con v ́V ′ y w ́V −V ′ pebi(v) Número de guijarros de color ci en v • V outi(v) Número de bordes vw coloreados ci para v â € € TM V Cuadro 2 Pebble notación de juego utilizado en este papel. Subgrafías de G′ (puede haber más de uno del mismo color). Tan monocromático subgraph se llama un mapa-foto-pieza de G′ si contiene un ciclo (en G′) y un árbol-pieza de G′ De lo contrario. El conjunto de piezas arbóreas de G′ es la colección de piezas arbóreas inducidas por G′. Al igual que con la definición correspondiente para `Tk s, el conjunto de piezas arbóreas se define en relación con un sub- grafo; en particular, una pieza de árbol puede formar parte de un ciclo más grande que incluye bordes que no se extienden por G′. Las propiedades de las descomposicións del juego de guijarros se estudian en la Sección 6 y en el Teorema 2 muestra que cada color debe ser (1,0)-sparse. La orientación de los bordes en la Figura 4(a) muestra Esto. Por ejemplo, la Figura 4(a) muestra un gráfico ajustado (2,2) con un posible decom de juego de guijarro- posición. El gráfico completo contiene una pieza de árbol gris y una pieza de árbol negro que es un aislado vértice. El subgrafo de la Figura 4(b) tiene un árbol negro y un árbol gris, con los bordes del negro árbol procedente de un ciclo en el gráfico más grande. En la Figura 4(c), sin embargo, el ciclo negro no contribuir con una pieza de árbol. Las tres piezas de árbol en este subgrafo son árboles grises de un solo vértex. En la siguiente discusión, utilizamos la notación peb(v) para el número de guijarros en v y pebi(v) para indicar el número de guijarros de colores i en v. La Tabla 2 enumera la notación de juego de guijarros utilizada en este artículo. 4. Nuestros resultados Describimos nuestros resultados en esta sección. El resto del periódico proporciona las pruebas. Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity 7 Nuestro primer resultado es un fortalecimiento de los juegos de guijarros de [12] para incluir los colores. Dice que los gráficos escasos son exactamente gráficos de juego de guijarros. Recuerde que a partir de ahora, todos los juegos de guijarros discutidos en este artículo son nuestro juego de guijarros con colores a menos que se anote explícitamente. Teorema 1 (Los gráficos Sparse y los gráficos de juego de guijarros coinciden). Un gráfico G es (k, `)-sparse con 0≤ 2k−1 si y sólo si G es un gráfico de juego de guijarros. A continuación consideramos las descomposiciones de juego de guijarros, mostrando que son una generalización de las descomposiciones adecuadas de `Tk que se extienden a toda la gama matroidal de gráficos dispersos. Teorema 2 (La descomposición de guijarros-juego-con-colores). Un gráfico G es un juego de guijarros gráfico si y sólo si admite una descomposición en k borde-discoint subgraphs tales que cada uno es (1,0)-sparse y cada subgrafo de G contiene al menos ` piezas de árbol de la (1,0)-sparse gráficos en la descomposición. Las subgrafías de (1,0)-parse en la declaración de Teorema 2 son los colores de los guijarros; por lo tanto Teorema 2 da una caracterización de las descomposicións de guijarros-juego-con-colores obtenidos jugando el juego de guijarros definido en la sección anterior. Nótese la similitud entre el requisito de que el conjunto de piezas arbóreas tenga por lo menos un tamaño ` en el Teorema 2 y la definición de un propiamente dicho `Tk. Nuestros siguientes resultados muestran que para cualquier gráfico de juego de guijarros, podemos especializar su juego de guijarros construcción para generar una descomposición que es un mapa-y-árboles o `Tk. Nosotros llamamos a estos especializada construcción de juegos de guijarros canónicos, y el uso canónico juego de guijarros construc- ciones, obtenemos nuevas pruebas directas de los resultados de arboricidad existentes. Observamos Teorema 2 que los mapas-y-árboles son casos especiales del juego de guijarros decompo- Situación: tanto los árboles que se extienden y los mapas que se extienden son (1.0)-parse, y cada uno de la extensión los árboles aportan al menos un pedazo de árbol a cada subgrafo. El caso de los gráficos `Tk apropiados es más sutil; si cada color en una descomposición del juego de guijarros es un bosque, entonces hemos encontrado un adecuado `Tk, pero esta clase es un subconjunto de todos los posibles apropiados `Tk descomposiciones de un gráfico apretado. Demostramos que esta clase de descomposiciones apropiadas `Tk es suficiente para certificar la escasez. Ahora declaramos el teorema principal para el rango superior e inferior. Teorema 3 (Teorema Principal): Mapas y árboles coinciden con el juego de guijarros grafos). Que 0 ≤ ` ≤ k. Un gráfico G es un gráfico de juego de guijarro apretado si y sólo si G es un (k, `)- mapas y árboles. Teorema 4 (Teorema principal): Los gráficos `Tk adecuados coinciden con el juego de guijarros grafos). Deje k≤ 2k−1. Un gráfico G es un gráfico de juego de guijarros apretado si y sólo si es un adecuado `Tk con kn− ` bordes. Como corolarios, obtenemos los resultados de descomposición existentes para gráficos escasos. Corollario 5 (Nash-Williams [17], Tutte [23], White y Whiteley [24]). Deja k. Un gráfico G es estrecho si y sólo si tiene una descomposición (k, `)-maps-and-trees. Corollario 6 (Crapo [2], Haas [7]). Dejar k ≤ 2k−1. Un gráfico G es estrecho si y sólo si es un propiamente dicho `Tk. Encontrar eficientemente construcciones canónicas de juego de guijarros. Las pruebas de Teorema 3 y Theo- rem 4 conduce a un algoritmo obvio con O(n3) tiempo de ejecución para el problema de descomposición. Nuestro último resultado mejora en esto, mostrando que una construcción canónica juego de guijarros, y por lo tanto 8 Ileana Streinu, Louis Theran un mapa-y-árboles o `Tk descomposición apropiada se puede encontrar usando un algoritmo de juego de guijarros en O(n2) tiempo y espacio. Estos límites de tiempo y espacio significan que nuestro algoritmo puede combinarse con los de [12] sin ningún cambio en la complejidad. 5. Gráficos de juego de pebble En esta sección demostramos Teorema 1, un fortalecimiento de los resultados de [12] al juego de guijarros con colores. Dado que muchas de las propiedades relevantes del juego de guijarros con colores directamente de los juegos de guijarros de [12], nos referimos al lector allí para las pruebas. Comenzamos estableciendo algunas invariantes que se mantienen durante la ejecución del juego de guijarros. Lemma 7 (invariantes de juego de pebble). Durante la ejecución del juego de guijarros, lo siguiente los invariantes se mantienen en H: (I1) Hay por lo menos ` guijarros en V. [12] (I2) Para cada vértice v, span(v)+out(v)+peb(v) = k. [12] (I3) Para cada V ′ ́V, span(V ′)+out(V ′)+peb(V ′) = kn′. [12] (I4) Por cada vértice v V, outi(v)+pebi(v) = 1. (I5) Cada ruta máxima que consiste sólo de bordes con ci de color termina en el primer vértice con un guijarro de color ci o un ciclo. Prueba. (I1), (I2), y (I3) vienen directamente de [12]. (I4) Este invariante se mantiene claramente en la fase de inicialización del juego de guijarros con colores. Esa reserva de movimientos de bordes añadidos y guijarros (I4) está clara de la inspección. (I5) Por (I4), un camino monocromático de los bordes se ve obligado a terminar sólo en un vértice con un guijarro de el mismo color en ella. Si no hay guijarros de ese color alcanzable, entonces el camino debe eventualmente Visita un vértice dos veces. De estos invariantes, podemos mostrar que los gráficos constructibles del juego de guijarros son escasos. Lemma 8 (Los gráficos de los juegos de pelota son escasos [12]). Dejar H ser un gráfico construido con el Juego de guijarros. Entonces H es escasa. Si hay exactamente ` guijarros en V (H), entonces H es apretado. El paso principal para probar que cada gráfico escaso es un gráfico de juego de guijarros es el siguiente. Recordemos que al traer un guijarro a v nos referimos a reorientar H con movimientos de guijarro-deslizamiento para reducir el grado de v por uno. Lemma 9 (La condición de guijarro â € 1 [12]). Dejar vw ser un borde tal que H + vw es escaso. Si peb({v,w}) < â € 1, entonces un guijarro no en {v,w} se puede llevar a v o w. Se deduce que cualquier gráfico escaso tiene una construcción de juego de guijarros. Teorema 1 (Los gráficos Sparse y los gráficos de juego de guijarros coinciden). Un gráfico G es (k, `)-sparse con 0≤ 2k−1 si y sólo si G es un gráfico de juego de guijarros. 6. La descomposición de guijarros-juego-con-colores En esta sección demostramos Teorema 2, que caracteriza todas las descomposicións de juego de guijarros. Nosotros empezar con los siguientes lemas sobre la estructura de los componentes monocromáticos conectados en H, el gráfico dirigido mantenido durante el juego de guijarros. Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity 9 Lemma 10 (los subgrafos monocromáticos del juego de guijarros son (1,0)-sparse). Deja que Hi sea el sub- gráfico de H inducido por los bordes con guijarros de color ci en ellos. Entonces Hi es (1,0)-parso, para i = 1,...,k. Prueba. Por (I4) Hi es un conjunto de bordes con grado a lo sumo uno para cada vértice. Lemma 11 (Piezas de árbol en un gráfico de juego de guijarros). Cada subgrafo del gráfico dirigido H en una construcción de juego de guijarros contiene por lo menos ` piezas monocromáticas de árboles, y cada uno de estos tiene sus raíces en un vértice con un guijarro en él o un vértice que es la cola de un borde. Recordemos que un borde superior a un subpárrafo H ′ = (V ′,E ′) es un borde vw con v′ V y vw /′ E. Prueba. Dejar que H ′ = (V ′,E ′) sea un subgrafo no vacío de H, y asumir sin pérdida de generalidad que H ′ es inducida por V ′. Por (I3), fuera (V ′)+ peb(V ′) ≥ `. Mostraremos que cada guijarro y cola de borde es la raíz de una pieza de árbol. Considerar un vértice v V ′ y un color ci. Por (I4) hay un único monocromático dirigido ruta de color ci a partir de v. Por (I5), si este camino termina en una rocalla, no tiene un ciclo. Del mismo modo, si este camino alcanza un vértice que es la cola de un borde también en color ci (es decir, si el trayectoria monocromática desde v hojas V ′), entonces la trayectoria no puede tener un ciclo en H ′. Dado que este argumento funciona para cualquier vértice en cualquier color, para cada color hay una partición de los vértices en aquellos que pueden alcanzar cada guijarro, cola de borde superior, o ciclo. De ello se deduce que cada uno de guijarros y cola de borde superior es la raíz de un árbol monocromático, como se desee. Aplicado a todo el gráfico Lemma 11 nos da lo siguiente. Lemma 12 (Los pebbles son las raíces de los árboles). En cualquier configuración de juego de guijarros, cada guijarros de color ci es la raíz de un (posiblemente vacío) monocromático árbol-pieza de color ci. Nota: Haas mostró en [7] que en un `Tk, un subgráfico inducido por n′ ≥ 2 vértices con m′ los bordes tienen exactamente piezas de árbol knm′ en él. Lemma 11 refuerza el resultado de Haas al ampliarlo a la gama inferior y dando una construcción que encuentra las piezas de árbol, mostrando la conexión entre la condición de guijarro â € 1 y la condición hereditaria en la adecuada `Tk. Concluimos nuestra investigación de construcciones arbitrarias de juego de guijarros con una descripción de la descomposición inducida por el juego de guijarros con colores. Teorema 2 (La descomposición de guijarros-juego-con-colores). Un gráfico G es un juego de guijarros gráfico si y sólo si admite una descomposición en k borde-discoint subgraphs tales que cada uno es (1,0)-sparse y cada subgrafo de G contiene al menos ` piezas de árbol de la (1,0)-sparse gráficos en la descomposición. Prueba. Deja que G sea un gráfico de juego de guijarros. La existencia de la k borde-disjunta (1,0)-sparse sub- Los gráficos fueron mostrados en Lemma 10, y Lemma 11 prueba la condición en subgrafías. Para la otra dirección, observamos que un ci de color con piezas de árbol ti en un subgrafo dado puede espacio a lo sumo n- ti bordes; sumando sobre todos los colores muestra que un gráfico con un guijarro-juego la descomposición debe ser escasa. Aplique el Teorema 1 para completar la prueba. Observación: Observamos que una descomposición del juego de guijarros para un gráfico de Laman puede ser leída de la coincidencia bipartita utilizada en el algoritmo de extracción de gráficos Laman de Hendrickson [9]. De hecho, las orientaciones de juego de guijarros tienen una correspondencia natural con los emparejamientos bipartitos utilizados en 10 Ileana Streinu, Louis Theran Mapas y árboles son un caso especial de descomposición de juegos de guijarros para gráficos apretados: si hay no son ciclos en ` de los colores, entonces los árboles enraizados en los ` guijarros correspondientes deben ser que se extienden, ya que tienen n - 1 bordes. Además, si cada color forma un bosque en un rango superior la descomposición del juego de guijarros, entonces la condición de piezas de árbol asegura que el juego de guijarros de- la composición es un `Tk. En la siguiente sección, mostramos que el juego de guijarros puede ser especializado para corresponder a los mapas- y árboles y las correspondientes descomposicións `Tk. 7. Construcciones Canónicas de Juego de Pebble En esta sección demostramos los principales teoremas (Teorema 3 y Teorema 4), continuando las inves- de las descomposiciones inducidas por las construcciones de juego de guijarros mediante el estudio del caso en el que un Se crea un número mínimo de ciclos monocromáticos. La idea principal, capturada en Lemma 15 e ilustrado en la Figura 6, es evitar la creación de ciclos al recoger piedras. Demostramos que esto es siempre posible, lo que implica que los mapas monocromáticos se crean sólo cuando añadir más de k(n1) bordes a algún conjunto de n′ vértices. Para el rango inferior, esto implica que Cada color es un bosque. Cada caracterización de descomposición de gráficos ajustados discutidos arriba sigue inmediatamente del teorema principal, dando nuevas pruebas de los resultados anteriores en un un marco unificado. En la prueba, vamos a utilizar dos especializaciones de los movimientos de juego de guijarros. El primero es un modi- ficación del movimiento de add-edge. Add-edge canónico: Al realizar un movimiento de add-edge, cubra el nuevo borde con un color que está en ambos vértices si es posible. Si no, entonces tome el color numerado más alto presente. La segunda es una restricción en la que los movimientos de guijarros-deslizamiento que permitimos. Deslizamiento canónico de guijarros: Un movimiento de guijarros se permite sólo cuando no crea un ciclo monocromático. Llamamos a una construcción de juego de guijarros que utiliza sólo estos movimientos canónicos. En esta sección vamos a mostrar que cada gráfico de juego de guijarros tiene una construcción canónica de juego de guijarros (Lemma 14 y Lemma 15) y que las construcciones canónicas de juego de guijarros corresponden a `Tk y las descomposicións de mapas y árboles (Teorema 3 y Teorema 4). Comenzamos con un lema técnico que motiva la definición de juego canónico de guijarros construcciones. Muestra que las situaciones desaprobadas por los movimientos canónicos son todas las maneras para que los ciclos se formen en los colores más bajos. Lemma 13 (creación del ciclo monocromático). Let v â € ¢ V tener un guijarro p de color ci en él y dejar w ser un vértice en el mismo árbol de color ci como v. Un ciclo monocromático de color ci se crea exactamente de una de las siguientes maneras: (M1) El borde vw se añade con un movimiento de add-edge. (M2) El borde wv es invertido por un movimiento de guijarro-deslizamiento y el guijarro p se utiliza para cubrir el reverso edge vw. Prueba. Observe que las condiciones previas en la declaración del lema están implícitas en Lemma 7. Por Lemma 12 ciclos monocromáticos se forman cuando el último guijarro de color ci se elimina de un Subgrafía monocromática conectada. (M1) y (M2) son las únicas maneras de hacer esto en un guijarro construcción del juego, ya que el color de un borde sólo cambia cuando se inserta la primera vez o un guijarro nuevo es puesto en él por un movimiento de guijarro-deslizamiento. Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity 11 vw vw Fig. 5. Crear ciclos monocromáticos en un juego (2.0)-pebble. a) Un movimiento de tipo (M1) crea un ciclo por añadir un borde negro. (b) Un movimiento de tipo (M2) crea un ciclo con un movimiento de guijarros-deslizamiento. Los vértices son etiquetado de acuerdo a su papel en la definición de los movimientos. La figura 5 a) y la figura 5 b) muestran ejemplos de movimientos de creación de mapas (M1) y (M2), respectivamente, en una construcción de juego (2.0)-pebble. A continuación mostramos que si un gráfico tiene una construcción de juego de guijarros, entonces tiene un peb canónico- ble construcción de juegos. Esto se hace en dos pasos, considerando los casos (M1) y (M2) sepa- - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. La prueba da dos construcciones que implementan el add-edge canónico y canónico movimiento de guijarros-deslizamiento. Lemma 14 (El movimiento canónico de add-edge). Let G ser un gráfico con un juego de guijarros construc- tion. Los pasos de creación de ciclo de tipo (M1) se pueden eliminar en colores ci para 1 ≤ i ≤, donde = min{k,. Prueba. Para los movimientos de add-edge, cubra el borde con un color presente en v y w si es posible. Si esto no es posible, entonces hay â € 1 colores distintos presentes. Usar el color numerado más alto para cubrir el nuevo borde. Observación: Observamos que en el rango superior, siempre hay un color repetido, por lo que no canónico los movimientos de add-edge crean ciclos en el rango superior. El movimiento canónico de guijarros se define por una condición global. Para demostrar que obtenemos la misma clase de gráficos usando sólo movimientos canónicos de rocalla-deslizamiento, tenemos que extender Lemma 9 a sólo movimientos canónicos. El paso principal es mostrar que si hay alguna secuencia de movimientos que reorienta un camino de v a w, entonces hay una secuencia de movimientos canónicos que hace lo mismo Cosa. Lemma 15 (El movimiento canónico de guijarros). Cualquier secuencia de deslizamiento de guijarros se mueve llevando a un movimiento de add-edge se puede reemplazar por uno que no tiene pasos (M2) y permite el mismo add-edge move. En otras palabras, si es posible recoger 1 guijarros en los extremos de un borde a añadir, entonces es posible hacer esto sin crear ningún ciclo monocromático. 12 Ileana Streinu, Louis Theran La Figura 7 y la Figura 8 ilustran la construcción utilizada en la prueba de Lemma 15. Nosotros llamamos a esto la construcción de atajos por analogía a la unión matroide y caminos de aumento de intersección utilizados en trabajos anteriores en el rango inferior. La Figura 6 muestra la estructura de la prueba. La construcción de acceso directo elimina un paso (M2) al principio de una secuencia que reorienta un camino de v a w con deslizamientos de guijarros. Desde uno la aplicación de la construcción abreviada reorienta un camino simple de un vértice w′ a w, y un ruta de v a w′ se conserva, la construcción de acceso directo se puede aplicar inductivamente para encontrar la secuencia de movimientos que queremos. Fig. 6. Esquema de la construcción del atajo: (a) Un camino sencillo arbitrario de v a w con líneas curvas indicando caminos simples. b) Una etapa (M2). El borde negro, a punto de ser volteado, crearía un ciclo, se muestra en gris rayado y sólido, del (único) árbol gris enraizado en w. Los bordes grises sólidos eran parte de la ruta original de (a). (c) El camino acortado a la rocalla gris; el nuevo camino sigue el gris árbol todo el camino desde la primera vez que el camino original tocó el árbol gris en w′. La ruta de v a w′ es simple, y la construcción del atajo se puede aplicar inductivamente a él. Prueba. Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que nuestra secuencia de movimientos reorienta un simple camino en H, y que el primer movimiento (el final del camino) es (M2). El paso (M2) mueve un guijarro de color ci de un vértice w en el borde vw, que se invierte. Porque el movimiento es (M2), v y w están contenidos en un árbol monocromático máximo de color ci. Llame a este árbol H ′i, y observar que está arraigado en w. Ahora considere los bordes invertidos en nuestra secuencia de movimientos. Como se ha señalado anteriormente, antes de hacer cualquiera de los movimientos, estos bosquejan un camino simple en H que termina en w. Que z sea el primer vértice en este camino en H ′i. Modificamos nuestra secuencia de movimientos de la siguiente manera: eliminar, desde el principio, cada mover antes de la que invierte algunos yz borde; prepend en lo que queda una secuencia de movimientos que mueve el guijarro en w a z en H ′i. Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity 13 Fig. 7. Eliminando movimientos (M2): (a) un movimiento (M2); (b) evitando el (M2) moviéndose por otro camino. El camino donde se mueven los guijarros está indicado por líneas duplicadas. Fig. 8. Eliminación (M2) movimientos: (a) el primer paso para mover el guijarro negro a lo largo del camino doble es (M2); (b) evitando el (M2) y simplificando el camino. Puesto que ningún borde cambia de color en el comienzo de la nueva secuencia, hemos eliminado el movimiento (M2). Porque nuestra construcción no cambia ninguno de los bordes involucrados en el cola restante de la secuencia original, la parte de la ruta original que queda en el nuevo secuencia seguirá siendo un camino simple en H, cumpliendo con nuestra hipótesis inicial. El resto del lema sigue por inducción. Juntos Lemma 14 y Lemma 15 prueban lo siguiente. Lemma 16. Si G es un gráfico de juego de guijarros, entonces G tiene una construcción canónica de juego de guijarros. Usando construcciones canónicas de juego de guijarros, podemos identificar los gráficos apretados de juego de guijarros con mapas y árboles y gráficos `Tk. 14 Ileana Streinu, Louis Theran Teorema 3 (Teorema Principal): Mapas y árboles coinciden con el juego de guijarros grafos). Que 0 ≤ ` ≤ k. Un gráfico G es un gráfico de juego de guijarro apretado si y sólo si G es un (k, `)- mapas y árboles. Prueba. Como se observó anteriormente, una descomposición de mapas y árboles es un caso especial del juego de guijarros descomposición. Aplicando el Teorema 2, vemos que cualquier mapa y árbol debe ser un juego de guijarros gráfico. Para la dirección inversa, considere la construcción canónica de un juego de guijarros de un gráfico apretado. Desde Lemma 8, vemos que quedan piedras en G al final de la construcción. Los definición del movimiento canónico de add-edge implica que debe haber al menos un guijarro de cada ci para i = 1,2,........................................................................................................... Se deduce que hay exactamente uno de cada uno de estos colores. Por Lemma 12, cada uno de estos guijarros es la raíz de una pieza arbórea monocromática con n - 1 bordes, dando los árboles de separación de bordes necesarios. Corollario 5 (Nash-Williams [17], Tutte [23], White y Whiteley [24]). Deja k. Un gráfico G es estrecho si y sólo si tiene una descomposición (k, `)-maps-and-trees. A continuación consideramos las descomposicións inducidas por las construcciones canónicas de juego de guijarros cuando k +1. Teorema 4 (Teorema Principal): Árboles y árboles adecuados coinciden con el ble-game graphs). Deje k≤ 2k−1. Un gráfico G es un gráfico de juego de guijarro apretado si y sólo si es un `Tk con bordes kn− ` adecuado. Prueba. Como se ha señalado anteriormente, una descomposición adecuada de `Tk debe ser escasa. Lo que tenemos que mostrar es que una construcción canónica de un juego de guijarros de un gráfico apretado produce una adecuada `Tk. Por Teorema 2 y Lemma 16, ya tenemos la condición en los árboles-piezas y el decom- posición en `árboles de borde-desconectado. Por último, una aplicación de (I4), muestra que cada vértice debe en exactamente k de los árboles, según sea necesario. Corollario 6 (Crapo [2], Haas [7]). Dejar k ≤ 2k−1. Un gráfico G es estrecho si y sólo si es un propiamente dicho `Tk. 8. Algoritmos de juego de pebble para encontrar descomposicións Una ejecución naïve de las construcciones en la sección anterior conduce a un algoritmo re- tiempo para recoger cada guijarro en una construcción canónica: en el peor de los casos aplicaciones de la construcción en Lemma 15 requiriendo tiempo cada uno, dando un total de ejecución tiempo de فارسى(n3) para el problema de descomposición. En esta sección, describimos algoritmos para el problema de descomposición que se ejecutan en el tiempo O(n2). Comenzamos con la estructura general del algoritmo. Algoritmo 17 (El juego canónico de guijarros con colores). Entrada: Un gráfico G. Salida: Un gráfico de juego de guijarros H. Método: – Conjunto V (H) = V (G) y colocar un guijarro de cada color en los vértices de H. – Para cada borde vw E(G) tratar de recoger al menos 1 guijarros en v y w utilizando guijarros deslizante movimientos según lo descrito por Lemma 15. Descomposiciones del gráfico de certificación de la Sparsity 15 – Si al menos 1 guijarros se puede recoger, añadir vw a H utilizando un movimiento de borde añadido como en Lemma 14, por lo demás descarte vw. – Finalmente, devolver H, y las ubicaciones de los guijarros. Correcto. Teorema 1 y el resultado de [24] que los gráficos escasos son los independientes conjuntos de un matroide muestran que H es un subgrafo de tamaño máximo escaso de G. Desde la construcción encontrado es canónico, el teorema principal muestra que el color de los bordes en H da un mapa- y-árboles o descomposición adecuada `Tk. Complejidad. Comenzamos observando que el tiempo de ejecución del Algoritmo 17 es el tiempo necesario para proceso O(n) bordes añadidos a H y O(m) bordes no añadidos a H. Primero consideramos el costo de un borde de G que se añade a H. Cada uno de los movimientos de juego de guijarros se puede implementar en tiempo constante. Lo que queda es a describir una manera eficiente de encontrar y mover los guijarros. Utilizamos el siguiente algoritmo como un Subrutina de Algoritmo 17 para hacer esto. Algoritmo 18 (Encontrar un camino canónico a una rocalla.). Entrada: Vertices v y w, y una configuración de juego de guijarros en un gráfico dirigido H. Salida: Si se encontró un guijarro, ‘sí’ y ‘no’ de otra manera. Se actualiza la configuración de H. Método: – Comience por hacer una búsqueda de profundidad desde v en H. Si no se encuentra ningún guijarro en w, detener y devolver «no.» – De lo contrario se encontró un guijarro. Ahora tenemos una ruta v = v1,e1,. ..,ep−1,vp = u, donde el vi son vértices y ei es el borde vivi+1. Que c[ei] sea el color del guijarro en ei. Usaremos la matriz c[] para hacer un seguimiento de los colores de los guijarros en los vértices y los bordes después de moverlos y el array s[] para dibujar un camino canónico de v a u encontrando un sucesor para cada uno borde. – Establecer s[u] = «end′ y establecer c[u] al color de una piedra arbitraria en u. Caminamos en el camino en orden inverso: vp,ep−1,ep−2,. ..,e1,v1. Para cada i, verifique si c[vi] está configurado; si es así, vaya a la siguiente i. De lo contrario, compruebe si c[vi+1] = c[ei]. – Si lo es, establece s[vi] = ei y establece c[vi] = c[ei], y pasa al siguiente borde. – De lo contrario c[vi+1] 6= c[ei], tratar de encontrar un camino monocromático en color c[vi+1] de vi a vi+1. Si un vértice x se encuentra para el cual c[x] se establece, tenemos una ruta vi = x1, f1,x2,. .., fq−1,xq = x que es monocromático en el color de los bordes; establecer c[xi] = c[fi] y s[xi] = fi para i = 1,2,...,q−1. Si c[x] = c[ fq−1], pare. De lo contrario, comprobar recursivamente que no hay un monocro- c[x] ruta mática de xq−1 a x usando este mismo procedimiento. – Finalmente, deslizar guijarros a lo largo del camino desde los puntos finales originales v a u especificado por el array sucesor s[v], s[s[v],... La corrección de Algoritmo 18 viene del hecho de que está implementando el atajo construcción. La eficiencia viene del hecho de que en lugar de potencialmente mover el guijarro hacia atrás y adelante, Algoritmo 18 pre-computa un camino canónico que cruza cada borde de H a lo sumo tres times: una vez en la primera búsqueda de profundidad inicial, y dos veces al convertir la ruta inicial a una Canónico. De ello se deduce que cada borde aceptado toma O(n) tiempo, para un total de O(n2) tiempo los bordes de procesamiento gastados en H. Aunque no hemos discutido esta explicitación, para que el algoritmo sea eficiente necesitamos mantener los componentes como en [12]. Después de cada borde aceptado, los componentes de H se pueden actualizar en el tiempo O(n). Por último, los resultados de [12, 13] muestran que los bordes rechazados toman un O(1) amortizado tiempo cada uno. 16 Ileana Streinu, Louis Theran Resumiendo, hemos demostrado que el juego canónico de guijarros con colores resuelve la decom- problema de posición en el tiempo O(n2). 9. Un caso especial importante: Rigidez en la dimensión 2 y slider-pinning En esta breve sección presentamos una nueva solicitud para el caso especial de importancia práctica, k = 2, ` = 3. Como se explica en la introducción, el teorema de Laman [11] caracteriza mínimamente gráficos rígidos como los gráficos ajustados (2,3). En el trabajo reciente sobre el slider pinning, desarrollado después de la El documento actual fue presentado, introdujimos el modelo de slider-pinning de rigidez [15, 20]. Com- binatoriamente, modelamos los marcos bar-slider como gráficos simples junto con algunos bucles colocados en sus vértices de tal manera que no haya más de 2 bucles por vértice, uno de cada uno color. Caracterizamos los gráficos de deslizadores de barras mínimamente rígidos [20] como gráficos que son: 1. (2,3)-parse para subgrafías que no contengan bucles. 2. (2,0)-ajustado cuando se incluyen los bucles. Llamamos a estos gráficos (2,0,3)-clasificados-ajustados, y son un caso especial de la clasificación-parse gráficos estudiados en nuestro artículo [14]. La conexión con los juegos de guijarros en este artículo es la siguiente. Corollary 19 (juegos de pebble y slider-pinning). En cualquier gráfico de juego (2,3)-pebble, si Reemplazar los guijarros por los bucles, obtenemos un gráfico ajustado (2.0,3)-calificado. Prueba. Seguidos de invariantes (I3) de Lemma 7. En [15], estudiamos un caso especial de slider pinning donde cada slider es vertical o horizontal. Modelamos los deslizadores como bucles precoloreados, con el color que indica la dirección x o y. Para este caso de deslizador paralelo eje, los gráficos mínimamente rígidos se caracterizan por: 1. (2,3)-parse para subgrafías que no contengan bucles. 2. Admitir un 2-coloración de los bordes para que cada color sea un bosque (es decir, no tiene ciclos), y cada uno árbol monocromático abarca exactamente un bucle de su color. Esto también tiene una interpretación en términos de juegos de guijarros de colores. Corollary 20 (El juego de guijarros con colores y slider-pinning). En cualquier canónico (2,3)- Guijarro-juego-con-colores gráfico, si reemplazamos los guijarros por bucles del mismo color, obtenemos el gráfico de un marco de eje-paralelo de barra-slider mínimamente fijado. Prueba. Sigue desde el Teorema 4, y Lemma 12. 10. Conclusiones y problemas pendientes Presentamos una nueva caracterización de (k, `)-sparse gráficos, el juego de guijarros con colores, y lo utilizó para dar un algoritmo eficiente para encontrar descomposicións de gráficos escasos en el borde- árboles desarticulados. Nuestro algoritmo encuentra tales descomposiciones certificadoras de esparcimiento en el rango superior y se ejecuta en el tiempo O(n2), que es tan rápido como los algoritmos para reconocer gráficos escasos en el rango superior a partir de [12]. También usamos el juego de guijarros con colores para describir una nueva descomposición de la sparsity-certificating- ciones que se aplican a toda la gama matroidal de gráficos dispersos. Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity 17 Definimos y estudiamos una clase de construcciones canónicas de juego de guijarros que corresponden a o bien una descomposición de mapas y árboles o bien una descomposición adecuada de `Tk. Esto da una nueva prueba de la Tutte-Nash- Teorema de arboricidad Williams y una prueba unificada de la descomposición previamente estudiada cer- tificates de la esparzidad. Las construcciones canónicas de juego de guijarros también muestran la relación entre la condición de guijarro â 1, que se aplica a la gama superior de â, para aumentar la unión de los matroides rutas, que no se aplican en el rango superior. Consecuencias algorítmicas y problemas abiertos. En [6], Gabow y Westermann dan un O(n3/2) algoritmo para reconocer gráficos escasos en el rango inferior y extraer subtítulos escasos de Densos. Su técnica se basa en la búsqueda eficiente de caminos de aumento de unión de matroides, que extienden una descomposición de mapas y árboles. El algoritmo O(n3/2) utiliza dos subrutinas para encontrar rutas de aumento: exploración cíclica, que encuentra rutas de aumento uno a la vez, y lote escaneado, que encuentra grupos de caminos de aumento disjuntos. Observamos que Algoritmo 17 se puede utilizar para reemplazar el escaneo cíclico en Gabow y Wester- algoritmo de mann sin cambiar el tiempo de ejecución. Las estructuras de datos utilizadas en la aplicación de guijarros, detallado en [12, 13] son más simples y más fáciles de implementar que los utilizado para apoyar el escaneo cíclico. Los dos principales problemas algorítmicos abiertos relacionados con el juego de guijarros son entonces: Problema 1. Desarrollar un algoritmo de juego de guijarros con las propiedades de escaneado por lotes y obtener un algoritmo O(n3/2) implementable para el rango inferior. Problema 2. Extender la exploración por lotes a la condición de guijarro â € 1 y derivar un guijarro O(n3/2) algoritmo de juego para el rango superior. En particular, sería de importancia práctica encontrar un algoritmo O(n3/2) implementable para las descomposiciones en los árboles que se extienden por los bordes. Bibliografía 1. 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Describimos un nuevo algoritmo, el juego de $(k,\ell)$-pebble con colores, y el uso obtener una caracterización de la familia de $(k,\ell)$-sparse gráficos y soluciones algorítmicas a una familia de problemas relativos a las descomposiciones arbóreas de gráficos. Casos especiales de gráficos escasos aparecen en la teoría de la rigidez y tienen ha recibido una mayor atención en los últimos años. En particular, nuestro color los guijarros generalizan y fortalecen los resultados anteriores de Lee y Streinu y dar una nueva prueba de la caracterización Tutte-Nash-Williams de la arboricidad. Nosotros también presentar una nueva descomposición que certifica la esparcidad basada en el $(k,\ell)$-pebble juego con colores. Nuestro trabajo también expone conexiones entre Algoritmos de juego de guijarros y algoritmos de gráficos anteriores por Gabow, Gabow y Westermann y Hendrickson.
Introducción y preliminares El foco de este documento son las descomposicións de (k, `)-sparse gráficos en bordes-disjunto subgraphs que certifique la escasez. Usamos el gráfico para significar un múltiplo, posiblemente con bucles. Nosotros decimos que un grafo es (k, `)-sparse si ningún subconjunto de n′ vértices abarca más de kn ` bordes en el gráfico; a (k, `)-sparse gráfico con kn ` bordes es (k, `)-estrechado. Llamamos al rango k ≤ 2k−1 el superior rango de gráficos escasos y 0≤ k el rango inferior. En este artículo, presentamos algoritmos eficientes para encontrar descomposicións que certifiquen la escasez en el rango superior de `. Nuestros algoritmos también se aplican en el rango inferior, que ya era ad- vestido por [3, 4, 5, 6, 19]. Una descomposición certifica la escasez de un gráfico si los gráficos dispersos y los gráficos que admiten la descomposición coinciden. Nuestros algoritmos se basan en una nueva caracterización de gráficos escasos, que llamamos el juego de guijarros con colores. El juego de guijarros con colores es una regla de construcción de gráficos simples que produce un gráfico escaso junto con una descomposición certificadora de la escasez. Definimos y estudiamos una clase canónica de construcciones de juego de guijarros, que corresponden a previamente estudiado las descomposiciones de los gráficos escasos en los árboles disjuntos del borde. Nuestros resultados proporcionan un marco unificador para todos los casos especiales conocidos anteriormente, incluidos Nash-Williams- Tutte y [7, 24]. De hecho, en el rango inferior, las construcciones canónicas de juego de guijarros capturan la propiedades de las rutas de aumento utilizadas en los algoritmos de unión de matroides y de intersección[5, 6]. Dado que los gráficos escasos en el rango superior no se sabe que son uniones o intersecciones de la matroides para los que hay algoritmos de ruta de aumento eficiente, estos no se aplican fácilmente en * Investigación de ambos autores financiada por la NSF bajo subvenciones NSF CCF-0430990 y NSF-DARPA CARGO CCR-0310661 al primer autor. 2 Ileana Streinu, Louis Theran Significado del término Gráfico escaso G Cada subgrafo no vacío en n′ vértices tiene ≤ kn ` bordes El gráfico ajustado G G = (V,E) es escaso y V = n, E= kn− ` El bloque H en G G es escaso, y H es un subgrafo apretado El componente H de G G es escaso y H es un bloqueo máximo Gráfico cartográfico que admite una orientación de grado-exactamente-uno (k, `)-maps-and-trees Edge-disjunt union de ` árboles y (k- `) map-grpahs `Tk Unión de ` árboles, cada vértice está exactamente en k de ellos Conjunto de piezas arbóreas de un `Tk inducido en V ′ ́V Piezas de árboles en el `Tk extendido por E(V ′) `Tk Apropiado Cada V ′ V contiene ≥ ` pedazos de árboles de la `Tk Cuadro 1 Gráfico escaso y terminología de descomposición utilizada en este artículo. el rango superior. Pebble juego con construcciones de colores por lo tanto puede ser considerado un fortalecimiento de caminos de aumento a la gama superior de gráficos de la escasez matroidal. 1.1. Gráficos escasos Un gráfico es (k, `)-sparse si para cualquier subgrafo no vacío con bordes m′ y n′ vértices, m′ ≤ kn `. Observamos que esta condición implica que 0 ≤ ` ≤ 2k− 1, y a partir de ahora en este Haremos esta suposición. Un gráfico escaso que tiene n vértices y exactamente bordes kn se llama apretado. Para un gráfico G = (V,E), y V ′ V, utilizamos el intervalo de notación (V ′) para el número de bordes en el subgráfico inducido por V ′. En un gráfico dirigido, out(V ′) es el número de bordes con la cola en V ′ y la cabeza en V −V ′; para un subgráfico inducido por V ′, llamamos a tal borde un borde superior. Hay dos tipos importantes de subgrafías de gráficos escasos. Un bloque es un subgrafo apretado de un gráfico escaso. Un componente es un bloque máximo. La Tabla 1 resume la escasa terminología gráfica utilizada en este artículo. 1.2. Descomposiciónes de certificación de la sparsidad Un k-arborescencia es un gráfico que admite una descomposición en k borde-desjunto que abarca los árboles. La Figura 1(a) muestra un ejemplo de una 3-arborescencia. Se describen los gráficos k-arborescentes por los conocidos teoremas de Tutte [23] y Nash-Williams [17] como exactamente el (k,k) apretado gráficos. Un map-graph es un gráfico que admite una orientación tal que el grado de cada vértice es Exactamente uno. Un k-map-graph es un gráfico que admite una descomposición en k borde-disjunto mapa- gráficos. La Figura 1(b) muestra un ejemplo de un 2-map-graphs; los bordes están orientados en uno posible configuración que certifica que cada color forma un mapa gráfico. Los mapas pueden ser equivalentes definido (véase, por ejemplo, [18]) como tener exactamente un ciclo por componente conectado.1 A (k, `)-maps-and-trees es un gráfico que admite una descomposición en k− ` borde-disjunta - mapas y árboles que se extienden por los árboles. Otra caracterización de los mapas, que utilizaremos ampliamente en este artículo, es la siguiente: los gráficos (1,0) ajustados [8, 24]. Los k-map-graphs son evidentemente (k,0)-stight, y [8, 24] muestran que lo contrario se sostiene también. 1 Nuestra terminología sigue a Lovász en [16]. En la literatura matroide los mapas a veces se conocen como bases del matroide de la bicicleta o pseudobosques que se extienden. Descomposiciones del gráfico de certificación de la Sparsity 3 Fig. 1. Ejemplos de descomposiciones certificadoras de la escasez: a) una 3-arborescencia; b) una 2-map-graph; c) una (2,1)-maps-y-árboles. Los bordes con el mismo estilo de línea pertenecen al mismo subgrafo. El 2-map-graph es se muestra con una orientación certificadora. Un `Tk es una descomposición en `árboles disjuntos de borde (que no necesariamente abarcan) de tal manera que cada uno vértice está en exactamente k de ellos. La figura 2 a) muestra un ejemplo de un 3T2. Dado un subgrafo G′ de un gráfico `Tk G, el conjunto de piezas arbóreas en G′ es la colección del componentes de los árboles en G inducidos por G′ (dado que G′ es un subgrafo cada árbol puede contribuir piezas múltiples en el conjunto de piezas de árbol en G′). Observamos que estas piezas de árboles pueden venir del mismo árbol o ser un solo vertex “árboles vacíos.” También es útil tener en cuenta que la definición de un árbol-pieza es relativo a un subgrafo específico. Una descomposición `Tk es apropiada si el conjunto de las piezas arbóreas de cualquier subpárrafo G′ tienen un tamaño mínimo `. La Figura 2(a) muestra un gráfico con una descomposición 3T2; observamos que uno de los árboles es un vértice aislado en la esquina inferior derecha. El subgrafo de la Figura 2(b) tiene tres árboles negros- piezas y un árbol-pieza gris: un vértice aislado en la esquina superior derecha, y dos bordes individuales. Estos cuentan como tres árboles-piezas, a pesar de que vienen del mismo árbol trasero cuando el Gráfico completo considerado. La figura 2 c) muestra otro subgráfico; en este caso hay tres piezas de árboles grises y una negra. En el cuadro 1 figura la terminología de descomposición utilizada en este documento. El problema de descomposición. Definimos el problema de descomposición para gráficos escasos como tak- • un gráfico como su entrada y producción como salida, una descomposición que se puede utilizar para certificar sity. En el presente documento se estudiarán tres tipos de productos: mapas y árboles; descomposiciones adecuadas de `Tk; y la descomposición de guijarros-juego-con-colores, que se define en la siguiente sección. 2. Antecedentes históricos Los conocidos teoremas de Tutte [23] y Nash-Williams [17] relacionan los gráficos (k,k) ajustados a la existencia de descomposicións en los árboles que se extienden por los bordes. Tomando un punto de vista matroidal, 4 Ileana Streinu, Louis Theran Fig. 2. (a) Un gráfico con una descomposición 3T2; uno de los tres árboles es un único vértice en la parte inferior derecha esquina. (b) El subgrafo resaltado dentro del conteo rayado tiene tres piezas de árbol negro y una gris pieza de árbol. (c) El subgrafo resaltado dentro del conteo rayado tiene tres piezas de árbol grises (uno es un solo vértice) y una pieza de árbol negro. Edmonds [3, 4] dio otra prueba de este resultado usando uniones de matroide. La equivalencia de los mapas- los gráficos y árboles y los gráficos ajustados en el rango inferior se muestran utilizando uniones de los matroides en [24], y rutas de aumento matroide son la base de los algoritmos para el rango inferior de [5, 6, 19]. En la teoría de la rigidez un teorema fundacional de Laman [11] muestra que (2,3)-ajustado (Laman) los gráficos corresponden a marcos de barras y conjuntos genéricamente mínimamente rígidos en el plano. Tay [21] ha demostrado ser un resultado análogo para los marcos de la barra del cuerpo en cualquier dimensión utilizando (k,k) gráficos. Rigidez por conteos de interés motivado en el rango superior, y Crapo [2] probó la equivalencia de gráficos Laman y gráficos 3T2 apropiados. Tay [22] utilizó esta condición para dar un prueba directa del teorema de Laman y generalizada la condición 3T2 a todos `Tk para k≤ 2k−1. Haas [7] estudió detalladamente las descomposicións de `Tk y demostró la equivalencia de gráficos ajustados y gráficos `Tk apropiados para el rango superior general. Observamos que aparte de nuestro nuevo guijarro... game-with-colors descomposición, todas las caracterizaciones combinatoria de la gama superior de Los gráficos escasos, incluidos los conteos, tienen una interpretación geométrica [11, 21, 22, 24]. Un algoritmo de juego de guijarros fue propuesto por primera vez en [10] como una alternativa elegante a Hendrick- algoritmos de gráfico Laman de hijo [9]. Berg y Jordania [1], facilitaron el análisis formal de la juego de guijarros de [10] e introdujo la idea de jugar el juego en un gráfico dirigido. Lee y Streinu [12] generalizó el juego de guijarros a toda la gama de parámetros 0≤ 2k−1, y izquierda como un problema abierto utilizando el juego de guijarros para encontrar la escasez certificando las descomposicións. 3. El juego de guijarros con colores Nuestro juego de guijarros con colores es un conjunto de reglas para la construcción de gráficos indexados por no negativos enteros k y `. Usaremos el juego de guijarros con colores como la base de un algoritmo eficiente para el problema de descomposición más adelante en este documento. Puesto que la frase “con colores” es necesaria Sólo en comparación con [12], lo omitiremos en el resto del documento cuando el contexto sea claro. Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity 5 Ahora presentamos el juego de guijarros con colores. El juego es jugado por un solo jugador en un conjunto finito fijo de vértices. El jugador hace una secuencia finita de movimientos; un movimiento consiste en el adición y/o orientación de un borde. En cualquier momento, el estado del juego es capturado por un gráfico dirigido H, con guijarros de colores sobre vértices y bordes. Los bordes de H son de color por los guijarros en ellos. Mientras que jugando el juego de guijarros todos los bordes están dirigidos, y utilizamos el notación vw para indicar un borde dirigido de v a w. Describimos el juego de guijarros con colores en términos de su configuración inicial y el permitido se mueve. Fig. 3. Ejemplos de juego de guijarros con movimientos de colores: (a) add-edge. b) Deslizamiento de guijarros. Guijarros sobre vértices se muestran como puntos negros o grises. Los bordes están coloreados con el color de la rocalla en ellos. Inicialización: Al principio del juego de guijarros, H tiene n vértices y no tiene bordes. Comenzamos colocando k guijarros en cada vértice de H, uno de cada color ci, para i = 1,2,...,k. Add-edge-with-colors: Dejar v y w ser vértices con al menos â € 1 guijarros en ellos. Asumir (w.l.o.g.) que v tiene al menos un guijarro en él. Recoger un guijarro de v, añadir el borde orientado vw a E(H) y poner el guijarro recogido de v en el nuevo borde. La Figura 3(a) muestra ejemplos del movimiento de add-edge. Pebble-slide: Dejar w ser un vértice con un guijarro p en él, y dejar vw ser un borde en H. Reemplazar vw con wv en E(H); poner el guijarro que estaba en vw en v; y poner p en wv. Tenga en cuenta que el color de un borde puede cambiar con un movimiento de guijarros. La figura 3 b) muestra ejemplos. La convención en estas figuras, y a lo largo de este documento, es que los guijarros sobre los vértices se representan como puntos de color, y que los bordes se muestran en el color de la rocalla en ellos. A partir de la definición del movimiento de guijarros-deslizamiento, es fácil ver que un guijarro en particular es siempre en el vértice donde empezó o en un borde que tiene este vértice como la cola. Sin embargo, al hacer una secuencia de movimientos de guijarros que invierten la orientación de un camino en H, es a veces es conveniente pensar en esta secuencia de inversión del camino como trayendo un guijarro desde el final del camino al principio. La salida de jugar el juego de guijarros es su configuración completa. Salida: Al final del juego, obtenemos el gráfico dirigido H, junto con la ubicación y los colores de los guijarros. Observe que ya que cada borde tiene exactamente un guijarro en él, el guijarro la configuración del juego colorea los bordes. Decimos que el gráfico G de H subyacente no dirigido es construido por el juego (k, `)-pebble o que H es un gráfico de juego de guijarros. Puesto que cada borde de H tiene exactamente un guijarro, las particiones de configuración del juego de guijarro los bordes de H, y así G, en k diferentes colores. Llamamos a esta descomposición de H un guijarro... juego-con-colores descomposición. La Figura 4(a) muestra un ejemplo de un gráfico ajustado (2,2) con un Descomposición de juego de guijarros. Que G = (V,E) sea gráfico de juego de guijarros con la coloración inducida por los guijarros en los bordes, y dejar que G′ sea un subgrafo de G. Entonces la coloración de G induce un conjunto de con- 6 Ileana Streinu, Louis Theran a) b) c) Fig. 4. A (2,2)-término gráfico con una posible descomposición del juego de guijarros. Los bordes están orientados a mostrar (1,0)-esparsidad para cada color. a) El gráfico K4 con una descomposición del juego de guijarros. Hay un árbol negro vacío en el vértice central y un árbol gris que se extiende. b) El subgráfico resaltado consta de dos: árboles negros y un árbol gris; los bordes negros son parte de un ciclo más grande pero aportan un árbol al subgrafo. c) El subgrafo resaltado (con fondo gris claro) tiene tres árboles grises vacíos; los bordes negros contienen un ciclo y no aportan un pedazo de árbol al subgrafo. Significado de la notación longitud (V ′) Número de bordes que se extienden en H por V ′ V ; es decir, EH(V ′) Peb(V ′) Número de guijarros en V ′ ́V fuera (V ′) Número de bordes vw en H con v ́V ′ y w ́V −V ′ pebi(v) Número de guijarros de color ci en v • V outi(v) Número de bordes vw coloreados ci para v â € € TM V Cuadro 2 Pebble notación de juego utilizado en este papel. Subgrafías de G′ (puede haber más de uno del mismo color). Tan monocromático subgraph se llama un mapa-foto-pieza de G′ si contiene un ciclo (en G′) y un árbol-pieza de G′ De lo contrario. El conjunto de piezas arbóreas de G′ es la colección de piezas arbóreas inducidas por G′. Al igual que con la definición correspondiente para `Tk s, el conjunto de piezas arbóreas se define en relación con un sub- grafo; en particular, una pieza de árbol puede formar parte de un ciclo más grande que incluye bordes que no se extienden por G′. Las propiedades de las descomposicións del juego de guijarros se estudian en la Sección 6 y en el Teorema 2 muestra que cada color debe ser (1,0)-sparse. La orientación de los bordes en la Figura 4(a) muestra Esto. Por ejemplo, la Figura 4(a) muestra un gráfico ajustado (2,2) con un posible decom de juego de guijarro- posición. El gráfico completo contiene una pieza de árbol gris y una pieza de árbol negro que es un aislado vértice. El subgrafo de la Figura 4(b) tiene un árbol negro y un árbol gris, con los bordes del negro árbol procedente de un ciclo en el gráfico más grande. En la Figura 4(c), sin embargo, el ciclo negro no contribuir con una pieza de árbol. Las tres piezas de árbol en este subgrafo son árboles grises de un solo vértex. En la siguiente discusión, utilizamos la notación peb(v) para el número de guijarros en v y pebi(v) para indicar el número de guijarros de colores i en v. La Tabla 2 enumera la notación de juego de guijarros utilizada en este artículo. 4. Nuestros resultados Describimos nuestros resultados en esta sección. El resto del periódico proporciona las pruebas. Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity 7 Nuestro primer resultado es un fortalecimiento de los juegos de guijarros de [12] para incluir los colores. Dice que los gráficos escasos son exactamente gráficos de juego de guijarros. Recuerde que a partir de ahora, todos los juegos de guijarros discutidos en este artículo son nuestro juego de guijarros con colores a menos que se anote explícitamente. Teorema 1 (Los gráficos Sparse y los gráficos de juego de guijarros coinciden). Un gráfico G es (k, `)-sparse con 0≤ 2k−1 si y sólo si G es un gráfico de juego de guijarros. A continuación consideramos las descomposiciones de juego de guijarros, mostrando que son una generalización de las descomposiciones adecuadas de `Tk que se extienden a toda la gama matroidal de gráficos dispersos. Teorema 2 (La descomposición de guijarros-juego-con-colores). Un gráfico G es un juego de guijarros gráfico si y sólo si admite una descomposición en k borde-discoint subgraphs tales que cada uno es (1,0)-sparse y cada subgrafo de G contiene al menos ` piezas de árbol de la (1,0)-sparse gráficos en la descomposición. Las subgrafías de (1,0)-parse en la declaración de Teorema 2 son los colores de los guijarros; por lo tanto Teorema 2 da una caracterización de las descomposicións de guijarros-juego-con-colores obtenidos jugando el juego de guijarros definido en la sección anterior. Nótese la similitud entre el requisito de que el conjunto de piezas arbóreas tenga por lo menos un tamaño ` en el Teorema 2 y la definición de un propiamente dicho `Tk. Nuestros siguientes resultados muestran que para cualquier gráfico de juego de guijarros, podemos especializar su juego de guijarros construcción para generar una descomposición que es un mapa-y-árboles o `Tk. Nosotros llamamos a estos especializada construcción de juegos de guijarros canónicos, y el uso canónico juego de guijarros construc- ciones, obtenemos nuevas pruebas directas de los resultados de arboricidad existentes. Observamos Teorema 2 que los mapas-y-árboles son casos especiales del juego de guijarros decompo- Situación: tanto los árboles que se extienden y los mapas que se extienden son (1.0)-parse, y cada uno de la extensión los árboles aportan al menos un pedazo de árbol a cada subgrafo. El caso de los gráficos `Tk apropiados es más sutil; si cada color en una descomposición del juego de guijarros es un bosque, entonces hemos encontrado un adecuado `Tk, pero esta clase es un subconjunto de todos los posibles apropiados `Tk descomposiciones de un gráfico apretado. Demostramos que esta clase de descomposiciones apropiadas `Tk es suficiente para certificar la escasez. Ahora declaramos el teorema principal para el rango superior e inferior. Teorema 3 (Teorema Principal): Mapas y árboles coinciden con el juego de guijarros grafos). Que 0 ≤ ` ≤ k. Un gráfico G es un gráfico de juego de guijarro apretado si y sólo si G es un (k, `)- mapas y árboles. Teorema 4 (Teorema principal): Los gráficos `Tk adecuados coinciden con el juego de guijarros grafos). Deje k≤ 2k−1. Un gráfico G es un gráfico de juego de guijarros apretado si y sólo si es un adecuado `Tk con kn− ` bordes. Como corolarios, obtenemos los resultados de descomposición existentes para gráficos escasos. Corollario 5 (Nash-Williams [17], Tutte [23], White y Whiteley [24]). Deja k. Un gráfico G es estrecho si y sólo si tiene una descomposición (k, `)-maps-and-trees. Corollario 6 (Crapo [2], Haas [7]). Dejar k ≤ 2k−1. Un gráfico G es estrecho si y sólo si es un propiamente dicho `Tk. Encontrar eficientemente construcciones canónicas de juego de guijarros. Las pruebas de Teorema 3 y Theo- rem 4 conduce a un algoritmo obvio con O(n3) tiempo de ejecución para el problema de descomposición. Nuestro último resultado mejora en esto, mostrando que una construcción canónica juego de guijarros, y por lo tanto 8 Ileana Streinu, Louis Theran un mapa-y-árboles o `Tk descomposición apropiada se puede encontrar usando un algoritmo de juego de guijarros en O(n2) tiempo y espacio. Estos límites de tiempo y espacio significan que nuestro algoritmo puede combinarse con los de [12] sin ningún cambio en la complejidad. 5. Gráficos de juego de pebble En esta sección demostramos Teorema 1, un fortalecimiento de los resultados de [12] al juego de guijarros con colores. Dado que muchas de las propiedades relevantes del juego de guijarros con colores directamente de los juegos de guijarros de [12], nos referimos al lector allí para las pruebas. Comenzamos estableciendo algunas invariantes que se mantienen durante la ejecución del juego de guijarros. Lemma 7 (invariantes de juego de pebble). Durante la ejecución del juego de guijarros, lo siguiente los invariantes se mantienen en H: (I1) Hay por lo menos ` guijarros en V. [12] (I2) Para cada vértice v, span(v)+out(v)+peb(v) = k. [12] (I3) Para cada V ′ ́V, span(V ′)+out(V ′)+peb(V ′) = kn′. [12] (I4) Por cada vértice v V, outi(v)+pebi(v) = 1. (I5) Cada ruta máxima que consiste sólo de bordes con ci de color termina en el primer vértice con un guijarro de color ci o un ciclo. Prueba. (I1), (I2), y (I3) vienen directamente de [12]. (I4) Este invariante se mantiene claramente en la fase de inicialización del juego de guijarros con colores. Esa reserva de movimientos de bordes añadidos y guijarros (I4) está clara de la inspección. (I5) Por (I4), un camino monocromático de los bordes se ve obligado a terminar sólo en un vértice con un guijarro de el mismo color en ella. Si no hay guijarros de ese color alcanzable, entonces el camino debe eventualmente Visita un vértice dos veces. De estos invariantes, podemos mostrar que los gráficos constructibles del juego de guijarros son escasos. Lemma 8 (Los gráficos de los juegos de pelota son escasos [12]). Dejar H ser un gráfico construido con el Juego de guijarros. Entonces H es escasa. Si hay exactamente ` guijarros en V (H), entonces H es apretado. El paso principal para probar que cada gráfico escaso es un gráfico de juego de guijarros es el siguiente. Recordemos que al traer un guijarro a v nos referimos a reorientar H con movimientos de guijarro-deslizamiento para reducir el grado de v por uno. Lemma 9 (La condición de guijarro â € 1 [12]). Dejar vw ser un borde tal que H + vw es escaso. Si peb({v,w}) < â € 1, entonces un guijarro no en {v,w} se puede llevar a v o w. Se deduce que cualquier gráfico escaso tiene una construcción de juego de guijarros. Teorema 1 (Los gráficos Sparse y los gráficos de juego de guijarros coinciden). Un gráfico G es (k, `)-sparse con 0≤ 2k−1 si y sólo si G es un gráfico de juego de guijarros. 6. La descomposición de guijarros-juego-con-colores En esta sección demostramos Teorema 2, que caracteriza todas las descomposicións de juego de guijarros. Nosotros empezar con los siguientes lemas sobre la estructura de los componentes monocromáticos conectados en H, el gráfico dirigido mantenido durante el juego de guijarros. Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity 9 Lemma 10 (los subgrafos monocromáticos del juego de guijarros son (1,0)-sparse). Deja que Hi sea el sub- gráfico de H inducido por los bordes con guijarros de color ci en ellos. Entonces Hi es (1,0)-parso, para i = 1,...,k. Prueba. Por (I4) Hi es un conjunto de bordes con grado a lo sumo uno para cada vértice. Lemma 11 (Piezas de árbol en un gráfico de juego de guijarros). Cada subgrafo del gráfico dirigido H en una construcción de juego de guijarros contiene por lo menos ` piezas monocromáticas de árboles, y cada uno de estos tiene sus raíces en un vértice con un guijarro en él o un vértice que es la cola de un borde. Recordemos que un borde superior a un subpárrafo H ′ = (V ′,E ′) es un borde vw con v′ V y vw /′ E. Prueba. Dejar que H ′ = (V ′,E ′) sea un subgrafo no vacío de H, y asumir sin pérdida de generalidad que H ′ es inducida por V ′. Por (I3), fuera (V ′)+ peb(V ′) ≥ `. Mostraremos que cada guijarro y cola de borde es la raíz de una pieza de árbol. Considerar un vértice v V ′ y un color ci. Por (I4) hay un único monocromático dirigido ruta de color ci a partir de v. Por (I5), si este camino termina en una rocalla, no tiene un ciclo. Del mismo modo, si este camino alcanza un vértice que es la cola de un borde también en color ci (es decir, si el trayectoria monocromática desde v hojas V ′), entonces la trayectoria no puede tener un ciclo en H ′. Dado que este argumento funciona para cualquier vértice en cualquier color, para cada color hay una partición de los vértices en aquellos que pueden alcanzar cada guijarro, cola de borde superior, o ciclo. De ello se deduce que cada uno de guijarros y cola de borde superior es la raíz de un árbol monocromático, como se desee. Aplicado a todo el gráfico Lemma 11 nos da lo siguiente. Lemma 12 (Los pebbles son las raíces de los árboles). En cualquier configuración de juego de guijarros, cada guijarros de color ci es la raíz de un (posiblemente vacío) monocromático árbol-pieza de color ci. Nota: Haas mostró en [7] que en un `Tk, un subgráfico inducido por n′ ≥ 2 vértices con m′ los bordes tienen exactamente piezas de árbol knm′ en él. Lemma 11 refuerza el resultado de Haas al ampliarlo a la gama inferior y dando una construcción que encuentra las piezas de árbol, mostrando la conexión entre la condición de guijarro â € 1 y la condición hereditaria en la adecuada `Tk. Concluimos nuestra investigación de construcciones arbitrarias de juego de guijarros con una descripción de la descomposición inducida por el juego de guijarros con colores. Teorema 2 (La descomposición de guijarros-juego-con-colores). Un gráfico G es un juego de guijarros gráfico si y sólo si admite una descomposición en k borde-discoint subgraphs tales que cada uno es (1,0)-sparse y cada subgrafo de G contiene al menos ` piezas de árbol de la (1,0)-sparse gráficos en la descomposición. Prueba. Deja que G sea un gráfico de juego de guijarros. La existencia de la k borde-disjunta (1,0)-sparse sub- Los gráficos fueron mostrados en Lemma 10, y Lemma 11 prueba la condición en subgrafías. Para la otra dirección, observamos que un ci de color con piezas de árbol ti en un subgrafo dado puede espacio a lo sumo n- ti bordes; sumando sobre todos los colores muestra que un gráfico con un guijarro-juego la descomposición debe ser escasa. Aplique el Teorema 1 para completar la prueba. Observación: Observamos que una descomposición del juego de guijarros para un gráfico de Laman puede ser leída de la coincidencia bipartita utilizada en el algoritmo de extracción de gráficos Laman de Hendrickson [9]. De hecho, las orientaciones de juego de guijarros tienen una correspondencia natural con los emparejamientos bipartitos utilizados en 10 Ileana Streinu, Louis Theran Mapas y árboles son un caso especial de descomposición de juegos de guijarros para gráficos apretados: si hay no son ciclos en ` de los colores, entonces los árboles enraizados en los ` guijarros correspondientes deben ser que se extienden, ya que tienen n - 1 bordes. Además, si cada color forma un bosque en un rango superior la descomposición del juego de guijarros, entonces la condición de piezas de árbol asegura que el juego de guijarros de- la composición es un `Tk. En la siguiente sección, mostramos que el juego de guijarros puede ser especializado para corresponder a los mapas- y árboles y las correspondientes descomposicións `Tk. 7. Construcciones Canónicas de Juego de Pebble En esta sección demostramos los principales teoremas (Teorema 3 y Teorema 4), continuando las inves- de las descomposiciones inducidas por las construcciones de juego de guijarros mediante el estudio del caso en el que un Se crea un número mínimo de ciclos monocromáticos. La idea principal, capturada en Lemma 15 e ilustrado en la Figura 6, es evitar la creación de ciclos al recoger piedras. Demostramos que esto es siempre posible, lo que implica que los mapas monocromáticos se crean sólo cuando añadir más de k(n1) bordes a algún conjunto de n′ vértices. Para el rango inferior, esto implica que Cada color es un bosque. Cada caracterización de descomposición de gráficos ajustados discutidos arriba sigue inmediatamente del teorema principal, dando nuevas pruebas de los resultados anteriores en un un marco unificado. En la prueba, vamos a utilizar dos especializaciones de los movimientos de juego de guijarros. El primero es un modi- ficación del movimiento de add-edge. Add-edge canónico: Al realizar un movimiento de add-edge, cubra el nuevo borde con un color que está en ambos vértices si es posible. Si no, entonces tome el color numerado más alto presente. La segunda es una restricción en la que los movimientos de guijarros-deslizamiento que permitimos. Deslizamiento canónico de guijarros: Un movimiento de guijarros se permite sólo cuando no crea un ciclo monocromático. Llamamos a una construcción de juego de guijarros que utiliza sólo estos movimientos canónicos. En esta sección vamos a mostrar que cada gráfico de juego de guijarros tiene una construcción canónica de juego de guijarros (Lemma 14 y Lemma 15) y que las construcciones canónicas de juego de guijarros corresponden a `Tk y las descomposicións de mapas y árboles (Teorema 3 y Teorema 4). Comenzamos con un lema técnico que motiva la definición de juego canónico de guijarros construcciones. Muestra que las situaciones desaprobadas por los movimientos canónicos son todas las maneras para que los ciclos se formen en los colores más bajos. Lemma 13 (creación del ciclo monocromático). Let v â € ¢ V tener un guijarro p de color ci en él y dejar w ser un vértice en el mismo árbol de color ci como v. Un ciclo monocromático de color ci se crea exactamente de una de las siguientes maneras: (M1) El borde vw se añade con un movimiento de add-edge. (M2) El borde wv es invertido por un movimiento de guijarro-deslizamiento y el guijarro p se utiliza para cubrir el reverso edge vw. Prueba. Observe que las condiciones previas en la declaración del lema están implícitas en Lemma 7. Por Lemma 12 ciclos monocromáticos se forman cuando el último guijarro de color ci se elimina de un Subgrafía monocromática conectada. (M1) y (M2) son las únicas maneras de hacer esto en un guijarro construcción del juego, ya que el color de un borde sólo cambia cuando se inserta la primera vez o un guijarro nuevo es puesto en él por un movimiento de guijarro-deslizamiento. Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity 11 vw vw Fig. 5. Crear ciclos monocromáticos en un juego (2.0)-pebble. a) Un movimiento de tipo (M1) crea un ciclo por añadir un borde negro. (b) Un movimiento de tipo (M2) crea un ciclo con un movimiento de guijarros-deslizamiento. Los vértices son etiquetado de acuerdo a su papel en la definición de los movimientos. La figura 5 a) y la figura 5 b) muestran ejemplos de movimientos de creación de mapas (M1) y (M2), respectivamente, en una construcción de juego (2.0)-pebble. A continuación mostramos que si un gráfico tiene una construcción de juego de guijarros, entonces tiene un peb canónico- ble construcción de juegos. Esto se hace en dos pasos, considerando los casos (M1) y (M2) sepa- - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. La prueba da dos construcciones que implementan el add-edge canónico y canónico movimiento de guijarros-deslizamiento. Lemma 14 (El movimiento canónico de add-edge). Let G ser un gráfico con un juego de guijarros construc- tion. Los pasos de creación de ciclo de tipo (M1) se pueden eliminar en colores ci para 1 ≤ i ≤, donde = min{k,. Prueba. Para los movimientos de add-edge, cubra el borde con un color presente en v y w si es posible. Si esto no es posible, entonces hay â € 1 colores distintos presentes. Usar el color numerado más alto para cubrir el nuevo borde. Observación: Observamos que en el rango superior, siempre hay un color repetido, por lo que no canónico los movimientos de add-edge crean ciclos en el rango superior. El movimiento canónico de guijarros se define por una condición global. Para demostrar que obtenemos la misma clase de gráficos usando sólo movimientos canónicos de rocalla-deslizamiento, tenemos que extender Lemma 9 a sólo movimientos canónicos. El paso principal es mostrar que si hay alguna secuencia de movimientos que reorienta un camino de v a w, entonces hay una secuencia de movimientos canónicos que hace lo mismo Cosa. Lemma 15 (El movimiento canónico de guijarros). Cualquier secuencia de deslizamiento de guijarros se mueve llevando a un movimiento de add-edge se puede reemplazar por uno que no tiene pasos (M2) y permite el mismo add-edge move. En otras palabras, si es posible recoger 1 guijarros en los extremos de un borde a añadir, entonces es posible hacer esto sin crear ningún ciclo monocromático. 12 Ileana Streinu, Louis Theran La Figura 7 y la Figura 8 ilustran la construcción utilizada en la prueba de Lemma 15. Nosotros llamamos a esto la construcción de atajos por analogía a la unión matroide y caminos de aumento de intersección utilizados en trabajos anteriores en el rango inferior. La Figura 6 muestra la estructura de la prueba. La construcción de acceso directo elimina un paso (M2) al principio de una secuencia que reorienta un camino de v a w con deslizamientos de guijarros. Desde uno la aplicación de la construcción abreviada reorienta un camino simple de un vértice w′ a w, y un ruta de v a w′ se conserva, la construcción de acceso directo se puede aplicar inductivamente para encontrar la secuencia de movimientos que queremos. Fig. 6. Esquema de la construcción del atajo: (a) Un camino sencillo arbitrario de v a w con líneas curvas indicando caminos simples. b) Una etapa (M2). El borde negro, a punto de ser volteado, crearía un ciclo, se muestra en gris rayado y sólido, del (único) árbol gris enraizado en w. Los bordes grises sólidos eran parte de la ruta original de (a). (c) El camino acortado a la rocalla gris; el nuevo camino sigue el gris árbol todo el camino desde la primera vez que el camino original tocó el árbol gris en w′. La ruta de v a w′ es simple, y la construcción del atajo se puede aplicar inductivamente a él. Prueba. Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que nuestra secuencia de movimientos reorienta un simple camino en H, y que el primer movimiento (el final del camino) es (M2). El paso (M2) mueve un guijarro de color ci de un vértice w en el borde vw, que se invierte. Porque el movimiento es (M2), v y w están contenidos en un árbol monocromático máximo de color ci. Llame a este árbol H ′i, y observar que está arraigado en w. Ahora considere los bordes invertidos en nuestra secuencia de movimientos. Como se ha señalado anteriormente, antes de hacer cualquiera de los movimientos, estos bosquejan un camino simple en H que termina en w. Que z sea el primer vértice en este camino en H ′i. Modificamos nuestra secuencia de movimientos de la siguiente manera: eliminar, desde el principio, cada mover antes de la que invierte algunos yz borde; prepend en lo que queda una secuencia de movimientos que mueve el guijarro en w a z en H ′i. Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity 13 Fig. 7. Eliminando movimientos (M2): (a) un movimiento (M2); (b) evitando el (M2) moviéndose por otro camino. El camino donde se mueven los guijarros está indicado por líneas duplicadas. Fig. 8. Eliminación (M2) movimientos: (a) el primer paso para mover el guijarro negro a lo largo del camino doble es (M2); (b) evitando el (M2) y simplificando el camino. Puesto que ningún borde cambia de color en el comienzo de la nueva secuencia, hemos eliminado el movimiento (M2). Porque nuestra construcción no cambia ninguno de los bordes involucrados en el cola restante de la secuencia original, la parte de la ruta original que queda en el nuevo secuencia seguirá siendo un camino simple en H, cumpliendo con nuestra hipótesis inicial. El resto del lema sigue por inducción. Juntos Lemma 14 y Lemma 15 prueban lo siguiente. Lemma 16. Si G es un gráfico de juego de guijarros, entonces G tiene una construcción canónica de juego de guijarros. Usando construcciones canónicas de juego de guijarros, podemos identificar los gráficos apretados de juego de guijarros con mapas y árboles y gráficos `Tk. 14 Ileana Streinu, Louis Theran Teorema 3 (Teorema Principal): Mapas y árboles coinciden con el juego de guijarros grafos). Que 0 ≤ ` ≤ k. Un gráfico G es un gráfico de juego de guijarro apretado si y sólo si G es un (k, `)- mapas y árboles. Prueba. Como se observó anteriormente, una descomposición de mapas y árboles es un caso especial del juego de guijarros descomposición. Aplicando el Teorema 2, vemos que cualquier mapa y árbol debe ser un juego de guijarros gráfico. Para la dirección inversa, considere la construcción canónica de un juego de guijarros de un gráfico apretado. Desde Lemma 8, vemos que quedan piedras en G al final de la construcción. Los definición del movimiento canónico de add-edge implica que debe haber al menos un guijarro de cada ci para i = 1,2,........................................................................................................... Se deduce que hay exactamente uno de cada uno de estos colores. Por Lemma 12, cada uno de estos guijarros es la raíz de una pieza arbórea monocromática con n - 1 bordes, dando los árboles de separación de bordes necesarios. Corollario 5 (Nash-Williams [17], Tutte [23], White y Whiteley [24]). Deja k. Un gráfico G es estrecho si y sólo si tiene una descomposición (k, `)-maps-and-trees. A continuación consideramos las descomposicións inducidas por las construcciones canónicas de juego de guijarros cuando k +1. Teorema 4 (Teorema Principal): Árboles y árboles adecuados coinciden con el ble-game graphs). Deje k≤ 2k−1. Un gráfico G es un gráfico de juego de guijarro apretado si y sólo si es un `Tk con bordes kn− ` adecuado. Prueba. Como se ha señalado anteriormente, una descomposición adecuada de `Tk debe ser escasa. Lo que tenemos que mostrar es que una construcción canónica de un juego de guijarros de un gráfico apretado produce una adecuada `Tk. Por Teorema 2 y Lemma 16, ya tenemos la condición en los árboles-piezas y el decom- posición en `árboles de borde-desconectado. Por último, una aplicación de (I4), muestra que cada vértice debe en exactamente k de los árboles, según sea necesario. Corollario 6 (Crapo [2], Haas [7]). Dejar k ≤ 2k−1. Un gráfico G es estrecho si y sólo si es un propiamente dicho `Tk. 8. Algoritmos de juego de pebble para encontrar descomposicións Una ejecución naïve de las construcciones en la sección anterior conduce a un algoritmo re- tiempo para recoger cada guijarro en una construcción canónica: en el peor de los casos aplicaciones de la construcción en Lemma 15 requiriendo tiempo cada uno, dando un total de ejecución tiempo de فارسى(n3) para el problema de descomposición. En esta sección, describimos algoritmos para el problema de descomposición que se ejecutan en el tiempo O(n2). Comenzamos con la estructura general del algoritmo. Algoritmo 17 (El juego canónico de guijarros con colores). Entrada: Un gráfico G. Salida: Un gráfico de juego de guijarros H. Método: – Conjunto V (H) = V (G) y colocar un guijarro de cada color en los vértices de H. – Para cada borde vw E(G) tratar de recoger al menos 1 guijarros en v y w utilizando guijarros deslizante movimientos según lo descrito por Lemma 15. Descomposiciones del gráfico de certificación de la Sparsity 15 – Si al menos 1 guijarros se puede recoger, añadir vw a H utilizando un movimiento de borde añadido como en Lemma 14, por lo demás descarte vw. – Finalmente, devolver H, y las ubicaciones de los guijarros. Correcto. Teorema 1 y el resultado de [24] que los gráficos escasos son los independientes conjuntos de un matroide muestran que H es un subgrafo de tamaño máximo escaso de G. Desde la construcción encontrado es canónico, el teorema principal muestra que el color de los bordes en H da un mapa- y-árboles o descomposición adecuada `Tk. Complejidad. Comenzamos observando que el tiempo de ejecución del Algoritmo 17 es el tiempo necesario para proceso O(n) bordes añadidos a H y O(m) bordes no añadidos a H. Primero consideramos el costo de un borde de G que se añade a H. Cada uno de los movimientos de juego de guijarros se puede implementar en tiempo constante. Lo que queda es a describir una manera eficiente de encontrar y mover los guijarros. Utilizamos el siguiente algoritmo como un Subrutina de Algoritmo 17 para hacer esto. Algoritmo 18 (Encontrar un camino canónico a una rocalla.). Entrada: Vertices v y w, y una configuración de juego de guijarros en un gráfico dirigido H. Salida: Si se encontró un guijarro, ‘sí’ y ‘no’ de otra manera. Se actualiza la configuración de H. Método: – Comience por hacer una búsqueda de profundidad desde v en H. Si no se encuentra ningún guijarro en w, detener y devolver «no.» – De lo contrario se encontró un guijarro. Ahora tenemos una ruta v = v1,e1,. ..,ep−1,vp = u, donde el vi son vértices y ei es el borde vivi+1. Que c[ei] sea el color del guijarro en ei. Usaremos la matriz c[] para hacer un seguimiento de los colores de los guijarros en los vértices y los bordes después de moverlos y el array s[] para dibujar un camino canónico de v a u encontrando un sucesor para cada uno borde. – Establecer s[u] = «end′ y establecer c[u] al color de una piedra arbitraria en u. Caminamos en el camino en orden inverso: vp,ep−1,ep−2,. ..,e1,v1. Para cada i, verifique si c[vi] está configurado; si es así, vaya a la siguiente i. De lo contrario, compruebe si c[vi+1] = c[ei]. – Si lo es, establece s[vi] = ei y establece c[vi] = c[ei], y pasa al siguiente borde. – De lo contrario c[vi+1] 6= c[ei], tratar de encontrar un camino monocromático en color c[vi+1] de vi a vi+1. Si un vértice x se encuentra para el cual c[x] se establece, tenemos una ruta vi = x1, f1,x2,. .., fq−1,xq = x que es monocromático en el color de los bordes; establecer c[xi] = c[fi] y s[xi] = fi para i = 1,2,...,q−1. Si c[x] = c[ fq−1], pare. De lo contrario, comprobar recursivamente que no hay un monocro- c[x] ruta mática de xq−1 a x usando este mismo procedimiento. – Finalmente, deslizar guijarros a lo largo del camino desde los puntos finales originales v a u especificado por el array sucesor s[v], s[s[v],... La corrección de Algoritmo 18 viene del hecho de que está implementando el atajo construcción. La eficiencia viene del hecho de que en lugar de potencialmente mover el guijarro hacia atrás y adelante, Algoritmo 18 pre-computa un camino canónico que cruza cada borde de H a lo sumo tres times: una vez en la primera búsqueda de profundidad inicial, y dos veces al convertir la ruta inicial a una Canónico. De ello se deduce que cada borde aceptado toma O(n) tiempo, para un total de O(n2) tiempo los bordes de procesamiento gastados en H. Aunque no hemos discutido esta explicitación, para que el algoritmo sea eficiente necesitamos mantener los componentes como en [12]. Después de cada borde aceptado, los componentes de H se pueden actualizar en el tiempo O(n). Por último, los resultados de [12, 13] muestran que los bordes rechazados toman un O(1) amortizado tiempo cada uno. 16 Ileana Streinu, Louis Theran Resumiendo, hemos demostrado que el juego canónico de guijarros con colores resuelve la decom- problema de posición en el tiempo O(n2). 9. Un caso especial importante: Rigidez en la dimensión 2 y slider-pinning En esta breve sección presentamos una nueva solicitud para el caso especial de importancia práctica, k = 2, ` = 3. Como se explica en la introducción, el teorema de Laman [11] caracteriza mínimamente gráficos rígidos como los gráficos ajustados (2,3). En el trabajo reciente sobre el slider pinning, desarrollado después de la El documento actual fue presentado, introdujimos el modelo de slider-pinning de rigidez [15, 20]. Com- binatoriamente, modelamos los marcos bar-slider como gráficos simples junto con algunos bucles colocados en sus vértices de tal manera que no haya más de 2 bucles por vértice, uno de cada uno color. Caracterizamos los gráficos de deslizadores de barras mínimamente rígidos [20] como gráficos que son: 1. (2,3)-parse para subgrafías que no contengan bucles. 2. (2,0)-ajustado cuando se incluyen los bucles. Llamamos a estos gráficos (2,0,3)-clasificados-ajustados, y son un caso especial de la clasificación-parse gráficos estudiados en nuestro artículo [14]. La conexión con los juegos de guijarros en este artículo es la siguiente. Corollary 19 (juegos de pebble y slider-pinning). En cualquier gráfico de juego (2,3)-pebble, si Reemplazar los guijarros por los bucles, obtenemos un gráfico ajustado (2.0,3)-calificado. Prueba. Seguidos de invariantes (I3) de Lemma 7. En [15], estudiamos un caso especial de slider pinning donde cada slider es vertical o horizontal. Modelamos los deslizadores como bucles precoloreados, con el color que indica la dirección x o y. Para este caso de deslizador paralelo eje, los gráficos mínimamente rígidos se caracterizan por: 1. (2,3)-parse para subgrafías que no contengan bucles. 2. Admitir un 2-coloración de los bordes para que cada color sea un bosque (es decir, no tiene ciclos), y cada uno árbol monocromático abarca exactamente un bucle de su color. Esto también tiene una interpretación en términos de juegos de guijarros de colores. Corollary 20 (El juego de guijarros con colores y slider-pinning). En cualquier canónico (2,3)- Guijarro-juego-con-colores gráfico, si reemplazamos los guijarros por bucles del mismo color, obtenemos el gráfico de un marco de eje-paralelo de barra-slider mínimamente fijado. Prueba. Sigue desde el Teorema 4, y Lemma 12. 10. Conclusiones y problemas pendientes Presentamos una nueva caracterización de (k, `)-sparse gráficos, el juego de guijarros con colores, y lo utilizó para dar un algoritmo eficiente para encontrar descomposicións de gráficos escasos en el borde- árboles desarticulados. Nuestro algoritmo encuentra tales descomposiciones certificadoras de esparcimiento en el rango superior y se ejecuta en el tiempo O(n2), que es tan rápido como los algoritmos para reconocer gráficos escasos en el rango superior a partir de [12]. También usamos el juego de guijarros con colores para describir una nueva descomposición de la sparsity-certificating- ciones que se aplican a toda la gama matroidal de gráficos dispersos. Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity 17 Definimos y estudiamos una clase de construcciones canónicas de juego de guijarros que corresponden a o bien una descomposición de mapas y árboles o bien una descomposición adecuada de `Tk. Esto da una nueva prueba de la Tutte-Nash- Teorema de arboricidad Williams y una prueba unificada de la descomposición previamente estudiada cer- tificates de la esparzidad. Las construcciones canónicas de juego de guijarros también muestran la relación entre la condición de guijarro â 1, que se aplica a la gama superior de â, para aumentar la unión de los matroides rutas, que no se aplican en el rango superior. Consecuencias algorítmicas y problemas abiertos. En [6], Gabow y Westermann dan un O(n3/2) algoritmo para reconocer gráficos escasos en el rango inferior y extraer subtítulos escasos de Densos. Su técnica se basa en la búsqueda eficiente de caminos de aumento de unión de matroides, que extienden una descomposición de mapas y árboles. El algoritmo O(n3/2) utiliza dos subrutinas para encontrar rutas de aumento: exploración cíclica, que encuentra rutas de aumento uno a la vez, y lote escaneado, que encuentra grupos de caminos de aumento disjuntos. Observamos que Algoritmo 17 se puede utilizar para reemplazar el escaneo cíclico en Gabow y Wester- algoritmo de mann sin cambiar el tiempo de ejecución. Las estructuras de datos utilizadas en la aplicación de guijarros, detallado en [12, 13] son más simples y más fáciles de implementar que los utilizado para apoyar el escaneo cíclico. Los dos principales problemas algorítmicos abiertos relacionados con el juego de guijarros son entonces: Problema 1. Desarrollar un algoritmo de juego de guijarros con las propiedades de escaneado por lotes y obtener un algoritmo O(n3/2) implementable para el rango inferior. Problema 2. Extender la exploración por lotes a la condición de guijarro â € 1 y derivar un guijarro O(n3/2) algoritmo de juego para el rango superior. En particular, sería de importancia práctica encontrar un algoritmo O(n3/2) implementable para las descomposiciones en los árboles que se extienden por los bordes. Bibliografía 1. 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The evolution of the Earth-Moon system based on the dark matter field fluid model
La evolución del sistema Tierra-Luna basado en el modelo de fluido oscuro La evolución del sistema Tierra-Luna basado en el modelo de fluido de campo de materia oscura Hongjun Pan Departamento de Química Universidad del Norte de Texas, Denton, Texas 76203, U.S. A. Resumen La evolución del sistema Tierra-Luna es descrita por el fluido del campo de materia oscura modelo con un enfoque no newtoniano propuesto en la Reunión de la División de Partículas y Field 2004, American Physical Society. El comportamiento actual de la Luna-Tierra sistema está de acuerdo con este modelo muy bien y el patrón general de la evolución de la El sistema Luna-Tierra descrito por este modelo concuerda con la evidencia geológica y fósil. La distancia más cercana de la Luna a la Tierra era de unos 259000 km en 4.500 millones de años atrás, que está mucho más allá del límite del Roche. El resultado sugiere que la fricción de marea puede no ser la causa principal de la evolución del sistema Tierra-Luna. La oscuridad media La constante de fluido de campo de materia derivada de los datos del sistema Tierra-Luna es 4,39 × 10-22 s-1m-1. Este modelo predice que la rotación de Marte también se está desacelerando con la aceleración angular tasa alrededor de -4.38 × 10-22 rad s-2. Palabras clave. materia oscura, fluido, evolución, Tierra, Luna, Marte 1. Introducción La teoría aceptada popularmente para la formación del sistema Tierra-Luna es que la Luna se formó a partir de escombros de un fuerte impacto por un gigante planetesimal con el La Tierra al final del período de formación del planeta (Hartmann y Davis 1975). Desde el formación del sistema Tierra-Luna, que ha estado evolucionando en toda escala de tiempo. Está bien. sabe que la Luna se está alejando de nosotros y de la rotación de la Tierra y de la Luna La rotación se está desacelerando. La teoría popular es que la fricción de mareas causa todos esos cambios. basado en la conservación del impulso angular del sistema Tierra-Luna. Los la situación se complica al describir la evolución pasada de la Luna-Tierra sistema. Debido a que la Luna se está alejando de nosotros y la rotación de la Tierra se está desacelerando, esto significa que la Luna estaba más cerca y la rotación de la Tierra era más rápida en el pasado. Creacionistas argumentan que sobre la base de la teoría de la fricción de mareas, la fricción de mareas debe ser más fuerte y la la tasa de recesión de la Luna debe ser mayor en el pasado, la distancia de la Luna caería rápidamente dentro del límite de Roche (para la tierra, 15500 km) en el que la Luna sería desgarrado por la gravedad en 1 a 2 mil millones de años atrás. Sin embargo, las pruebas geológicas indica que la recesión de la Luna en el pasado fue más lenta que la tasa actual, es decir, la recesión se ha acelerado con el tiempo. Por lo tanto, debe concluirse que las mareas la fricción fue mucho menos en el pasado remoto de lo que deduciríamos sobre la base de Observaciones actuales (Stacey 1977). Esto se llamó “escala de tiempo geológica dificultad” o “crisis lunar” y es uno de los principales argumentos de los creacionistas contra el teoría de la fricción de mareas (Brush 1983). Pero tenemos que considerar el caso cuidadosamente en varios aspectos. Una posible escenario es que la Tierra ha estado experimentando una evolución dinámica en toda escala de tiempo desde su creación, las condiciones geológicas y físicas (como las posiciones del continente y a la deriva, la corteza, fluctuación de la temperatura superficial como el efecto glacial/snowball, etc.) pasado remoto podría ser sustancialmente diferente de la actual, en la que la fricción de mareas podría ser mucho menos; por lo tanto, la tasa de descenso de la Luna podría ser más lenta. Varios En el pasado se propusieron modelos de fricción de mareas para describir la evolución de la Tierra- Sistema lunar para evitar tal dificultad o crisis y poner a la Luna en un lugar bastante cómodo distancia de la Tierra hace 4.500 millones de años (Hansen 1982, Kagan y Maslova 1994, Ray et al. 1999, Finch 1981, Slichter 1963). Las teorías de la fricción de marea explican que el presente la tasa de disipación de las mareas es anomalosamente alta porque la fuerza de las mareas está cerca de una resonancia en la función de respuesta del océano (Brush 1983). Kagan dio una revisión detallada sobre los modelos de fricción de mareas (Kagan 1997). Estos modelos se basan en muchos supuestos sobre condiciones geológicas (posición continental y deriva) y físicas en el pasado, y muchos parámetros (como el ángulo de retardo de fase, la aproximación multimodo con el tiempo frecuencias dependientes de los modos de resonancia, etc.) tienen que ser introducidos y cuidadosamente ajustados para hacer sus predicciones cerca de la evidencia geológica. Sin embargo, los los supuestos y parámetros siguen siendo cuestionados, en cierta medida, como brebaje. El segundo escenario posible es que otro mecanismo podría dominar el la evolución del sistema Tierra-Luna y el papel de la fricción de mareas no es significativo. In la Reunión de la División de Partículas y Campo 2004, American Physical Society, Universidad de California en Riverside, el autor propuso un modelo de fluido de campo de materia oscura (Pan 2005) con un enfoque no newtoniano, los datos actuales de la Luna y la Tierra están de acuerdo con este modelo muy bien. Este documento demostrará que la evolución pasada de la Luna-Tierra sistema puede ser descrito por el modelo de fluido de campo de materia oscura sin ninguna suposición sobre las condiciones geológicas y físicas del pasado. Aunque el tema de la evolución de el sistema Tierra-Luna ha sido ampliamente estudiado analítica o numéricamente, a la conocimiento del autor, no hay teorías similares o equivalentes a este modelo. 2. Materia invisible En la cosmología moderna, se propuso que la materia visible en el universo es aproximadamente el 2 ~ 10 % de la materia total y alrededor del 90 ~ 98% de la materia total es actualmente invisible que se llama materia oscura y energía oscura, tal materia invisible tiene un anti- propiedad de gravedad para hacer que el universo se expanda más y más rápido. Si la proporción de los componentes de materia del universo está cerca de esta hipótesis, entonces, la evolución del universo debe ser dominada por el mecanismo físico de tal materia invisible, tal mecanismo físico podría estar mucho más allá de la corriente La física newtoniana y la física Einsteiniana, y la física Newtoniana y la Einsteiniana la física podría reflejar sólo un rincón del iceberg de la física mayor. Si la proporción de los componentes de materia del universo está cerca de esta hipótesis, entonces, debería ser más razonable pensar que tal materia invisible dominante se propaga en en todas partes del universo (la densidad de la materia invisible puede variar de un lugar a otro lugar); en otras palabras, todos los objetos de materia visible deben estar rodeados por tales invisibles materia y el movimiento de la materia visible objetos deben ser afectados por el invisible materia si hay interacciones entre la materia visible y la materia invisible. Si la proporción de los componentes de materia del universo está cerca de esta hipótesis, entonces, el tamaño de las partículas de la materia invisible debe ser muy pequeño y por debajo de la límite de detección de la tecnología actual; de lo contrario, se detectaría hace mucho tiempo con tal cantidad dominante. Con esta materia invisible en mente, nos movemos a la siguiente sección para desarrollar la Modelo de fluido de campo de materia oscura con enfoque no newtoniano. Para la simplicidad, todos invisibles materia (materia oscura, energía oscura y otros términos posibles) se llama materia oscura aquí. 3. El modelo de fluido de campo de materia oscura En este modelo propuesto, se supone que: 1. Un cuerpo celeste gira y se mueve en el espacio, que, para la simplicidad, es uniforme lleno de la materia oscura que está en estado de quiescencia relativa al movimiento del cuerpo celeste. La materia oscura posee una propiedad de campo y una propiedad fluida; puede interactúe con el cuerpo celeste con sus propiedades de fluido y campo; por lo tanto, puede tener intercambio de energía con el cuerpo celeste, y afectan el movimiento del cuerpo celeste. 2. La propiedad del fluido sigue el principio general de la mecánica del fluido. La materia oscura partículas de líquido de campo pueden ser tan pequeñas que fácilmente pueden impregnarse en ordinario materia “barionica”; es decir, los objetos de materia ordinaria podrían estar saturados con tal materia oscura fluido de campo. Por lo tanto, todo el cuerpo celestial interactúa con el fluido del campo de materia oscura, en el forma de una esponja que se mueve a través del agua. La naturaleza de la propiedad de campo de la materia oscura se desconoce el líquido del campo. Se asume aquí que la interacción del campo asociado con el fluido del campo de materia oscura con el cuerpo celestial es proporcional a la masa del cuerpo celeste. El fluido del campo de materia oscura se supone que tiene una fuerza repulsiva contra el fuerza gravitatoria hacia la materia bariónica. La naturaleza y el mecanismo de tal repulsivo La fuerza es desconocida. Con las suposiciones anteriores, uno puede estudiar cómo el fluido del campo de materia oscura puede influir en el movimiento de un cuerpo celeste y comparar los resultados con las observaciones. Los la forma común de los cuerpos celestes es esférica. Según la ley de Stokes, un rígido no- esfera permeable que se mueve a través de un líquido quiescente con un Reynolds suficientemente bajo número experimenta una fuerza de resistencia F rvF 6−= (1) donde v es la velocidad de movimiento, r es el radio de la esfera, y μ es la viscosidad del fluido constante. La dirección de la fuerza de resistencia F en Eq. 1 es opuesto a la dirección de la velocidad v. Para una esfera rígida que se mueve a través del fluido del campo de materia oscura, debido al doble propiedades del fluido del campo de materia oscura y su permeación en la esfera, la fuerza F puede no ser proporcional al radio de la esfera. Además, F puede ser proporcional a la masa de la esfera debido a la interacción de campo. Por lo tanto, con los efectos combinados de fluido y campo, la fuerza ejercida en la esfera por el fluido del campo de materia oscura es se supone que es de la forma escalonada (2) mvrF n= 16 donde n es un parámetro derivado de la saturación por el fluido de campo de materia oscura, el r1-n puede ser visto como el radio efectivo con la misma unidad que r, m es la masa de la esfera, y η es la constante del fluido del campo de materia oscura, que es equivalente a μ. La dirección de la Fuerza de resistencia F en Eq. 2 es opuesto a la dirección de la velocidad v. La fuerza descrita por Eq. 2 es dependiente de la velocidad y causa una aceleración negativa. De acuerdo con Segunda ley del movimiento de Newton, la ecuación del movimiento para la esfera es mvr m n= 16 (3) Entonces (4) )6exp( 10 vtrv No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. donde v0 es la velocidad inicial (t = 0) de la esfera. Si la esfera gira alrededor de un centro gravitacional masivo, hay tres fuerzas en la línea entre la esfera y el centro gravitacional: (1) la fuerza gravitatoria, (2) la fuerza de aceleración centrípeta; y (3) la fuerza repulsiva del fluido del campo de materia oscura. La fuerza de arrastre en Eq. 3 reduce la velocidad orbital y hace que la esfera se mueva hacia el centro gravitacional. Sin embargo, si la suma de la fuerza de aceleración centrípeta y la fuerza repulsiva es más fuerte que la fuerza gravitacional, entonces, la esfera se moverá hacia afuera y se retirará de el centro gravitacional. Este es el caso del interés aquí. Si la velocidad cambia en Eq. 3 es suficientemente lento y la fuerza repulsiva es pequeña en comparación con la fuerza gravitacional y fuerza de aceleración centrípeta, entonces la tasa de retroceso será en consecuencia relativamente Lentamente. Por lo tanto, la fuerza gravitacional y la fuerza de aceleración centrípeta puede ser aproximadamente tratados en equilibrio en cualquier momento. La ecuación pseudo equilibrio es GMm 2 2 = (5) donde G es la constante gravitacional, M es la masa del centro gravitacional, y R es el radio de la órbita. Insertar v de Eq. 4 en Eq. 5 rendimientos )12exp( 1 R n−= (6) (7) )12exp( 10 trRR n−= donde R = (8) R0 es la distancia inicial al centro gravitacional. Tenga en cuenta que R aumenta exponencialmente con el tiempo. El aumento de la energía orbital con el retroceso proviene del repulsivo fuerza del fluido de campo de materia oscura. La tasa de recesión de la esfera es dR n−= 112 (9) La aceleración de la recesión es ( Rr Rd n 21 12 − = ). (10) La aceleración recesiva es positiva y proporcional a su distancia a la centro gravitacional, así que la recesión es cada vez más rápida. Según la mecánica de los fluidos, para una esfera rígida no permeable giratoria alrededor de su eje central en el fluido quiescente, el par T ejercido por el fluido en la esfera 38 rT − = (11) donde • es la velocidad angular de la esfera. La dirección del par en Eq. 11 es opuesta a la dirección de la rotación. En el caso de una esfera que gira en el quiescente Líquido de campo de materia oscura con velocidad angular, similar a Eq. 2, la T propuesta ejerció en la esfera es ( ) mrT n 318 = (12) La dirección del par en Eq. 12 es opuesto a la dirección de la rotación. Los el par causa la aceleración angular negativa = (13) donde estoy el momento de inercia de la esfera en el fluido del campo de materia oscura ( )21 2 nrmI = (14) Por lo tanto, la ecuación de rotación para la esfera en el fluido del campo de materia oscura es * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * d = 120 (15) Resolver esta ecuación produce (16) )20exp( 10 tr No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. donde ­0 es la velocidad angular inicial. Uno puede ver que la velocidad angular de la esfera disminuye exponencialmente con el tiempo y la desaceleración angular es proporcional a su velocidad angular. Para la misma esfera celestial, combinando Eq. 9 y Eq. 15 rendimientos (17) El significado de Eq. 17 es que sólo contiene datos observados sin suposiciones y parámetros indeterminados; por lo tanto, es una prueba crítica para este modelo. Para dos esferas celestes diferentes en el mismo sistema, combinando Eq. 9 y Eq. 15 rendimientos 67,1 1 −=−= (18) Esta es otra prueba crítica para este modelo. 4. El comportamiento actual del sistema Tierra-Luna concuerda con el modelo El sistema Luna-Tierra es el sistema gravitacional más simple. El sistema solar es complejo, la Tierra y la Luna experimentan no sólo la interacción del Sol, sino también interacciones de otros planetas. Consideremos el sistema gravitacional Tierra-Luna local como un sistema gravitacional local aislado, es decir, la influencia del Sol y otros planetas sobre la rotación y el movimiento orbital de la Luna y sobre la rotación de la Tierra asumido insignificante en comparación con las fuerzas ejercidas por la luna y la tierra en el otro. Además, la excentricidad de la órbita de la Luna es lo suficientemente pequeña como para ser ignorada. Los datos sobre la Luna y la Tierra a partir de referencias (Dickey et.al., 1994, y Lang, 1992) listado a continuación para la conveniencia de los lectores para verificar el cálculo porque los datos pueden varían ligeramente con diferentes fuentes de datos. Luna: Radio medio: r = 1738,0 km Masa: m = 7,3483 × 1025 gramos Período de rotación = 27,321661 días Velocidad angular de la Luna = 2,6617 × 10-6 rad s-1 Distancia media a la Tierra Rm= 384400 km Velocidad orbital media v = 1.023 km s-1 Excentricidad de la órbita e = 0,0549 Velocidad de aceleración de rotación angular = -25,88 ± 0,5 arcoseg siglo-2 = (-1,255 ± 0,024) × siglo rad 10-4-2 = (-1.260 ± 0.024) × 10-23 rad s-2 Tasa de retroceso de la Tierra = 3,82 ± 0,07 cm año-1 = (1,21 ± 0,02) × 10-9 m s-1 Tierra: Radio medio: r = 6371,0 km Masa: m = 5,9742 × 1027 gramos Período de rotación = 23 h 56m 04.098904s = 86164.098904s Velocidad angular de rotación = 7,292115 × 10-5 rad s-1 Distancia media al Sol Rm= 149.597.870,61 km Velocidad orbital media v = 29,78 km s-1 Aceleración angular de la Tierra = (-5,5 ± 0,5) × 10-22 rad s-2 Velocidad angular de rotación de la Luna y aumento de la distancia media a la Tierra (tasa de descenso) se obtuvieron de la gama de láser lunar del Programa Apollo (Dickey et.al., 1994). Insertando los datos de la rotación y recesión de la Luna en Eq. 17, el resultado es 039.054,1 10662,2121,1 1092509.31026.1 (19) La distancia R en Eq. 19 es desde el centro de la Luna hasta el centro de la Tierra y el número 384400 km se supone que es la distancia de la superficie de la Luna a la superficie de la Tierra. Eq. 19 está en buen acuerdo con el valor teórico de -1.67. El resultado está de acuerdo con el modelo utilizado aquí. La diferencia (alrededor del 7,8%) entre los valores de -1,54 y - 1.67 pueden provenir de varias fuentes: 1. El orbital de la Luna no es un círculo perfecto 2. La Luna no es una esfera rígida perfecta. 3. El efecto del Sol y otros planetas. 4. Errores en los datos. 5. Posibles otras razones desconocidas. Los dos parámetros n y η en Eq. 9 y Eq. 15 se puede determinar con dos datos Sets. El tercer conjunto de datos se puede utilizar para seguir probando el modelo. Si este modelo es correcto describe la situación actual, debe dar resultados coherentes para diferentes movimientos. Los los valores de n y η calculados a partir de tres conjuntos de datos diferentes se enumeran a continuación (Nota: la distancia media de la Luna a la Tierra y los radios medios de la Luna y la Tierra son utilizado en el cálculo). El valor de n: n = 0,64 De la rotación de la Luna: η = 4,27 × 10-22 s-1 m-1 De la rotación de la Tierra: η = 4,26 × 10-22 s-1 m-1 De la recesión de la Luna: η = 4,64 × 10-22 s-1 m-1 Se puede ver que los tres valores de η son consistentes dentro del rango de error en los datos. El valor medio de η: η = (4,39 ± 0,22) × 10-22 s-1 m-1 Al insertar los datos de la rotación de la Tierra, la recesión de la Luna y el valor de n en Eq. 18, el resultado es 14.053.1 6371000 1738000 1021.11029.7 1092509,3105.5 )64.01( (20) Esto también está de acuerdo con el modelo utilizado aquí. La fuerza de arrastre ejercida sobre el movimiento orbital de la Luna por el campo de materia oscura fluido es -1.11 × 108 N, esto es insignificantemente pequeño en comparación con la fuerza gravitacional entre la Luna y la Tierra ~ 1,90 × 1020 N; y el torque ejercido por el campo de materia oscura fluido en las rotaciones de la Tierra y la Luna es T = -5,49 × 1016 Nm y -1,15 × 1012 Nm, respectivamente. 5. La evolución del sistema Tierra-Luna Sonett et al. encontró que la longitud del día terrestre hace 900 millones de años fue alrededor de 19,2 horas sobre la base de los sedimentos de marea laminadas en la Tierra (Sonett y otros, 1996). De acuerdo con el modelo presentado aquí, en ese tiempo, la duración del día fue alrededor de 19,2 horas, esto concuerda muy bien con Sonett et al.El resultado. Otro aspecto crítico de modelar la evolución del sistema Tierra-Luna es: dar una estimación razonable de la distancia más cercana de la Luna a la Tierra cuando la El sistema se estableció hace 4.500 millones de años. Basado en el fluido del campo de materia oscura modelo, y el resultado anterior, la distancia más cercana de la Luna a la Tierra fue 259000 km (centro a centro) o 250900 km (superficie a superficie) en 4.500 millones de años atrás, Esto está mucho más allá del límite del Roche. En el moderno libro de texto de astronomía de Chaisson y McMillan (Chaisson y McMillan, 1993, p.173), la distancia estimada en 4.500 millones hace 250000 km, este es probablemente el número más razonable que Los astrónomos creen y concuerdan excelentemente con el resultado de este modelo. El más cercano distancia de la Luna a la Tierra por los modelos de Hansen era de unos 38 radios de la Tierra o 242000 km (Hansen, 1982). De acuerdo con este modelo, la longitud del día de la Tierra fue de aproximadamente 8 horas a 4.5 Hace miles de millones de años. Fig. 1 muestra la evolución de la distancia de la Luna a la Tierra y el longitud del día de la Tierra con la edad del sistema Tierra-Luna descrito por este modelo junto con datos de Kvale et al. (1999), Sonett y otros (1996) y Scrutton (1978). Uno puede ver que esos datos encajan muy bien en este modelo en su rango de tiempo. Fig. 2 muestra los datos geológicos de los días solares año-1 de Wells (1963) y de Sonett et al. (1996) y la descripción (línea sólida) de este modelo de fluido de campo de materia oscura desde hace 900 millones de años. Se puede ver que el modelo está de acuerdo con el datos fósiles maravillosamente. La diferencia importante de este modelo con los modelos tempranos en la descripción de la la evolución del sistema Tierra-Luna es que este modelo se basa sólo en los datos actuales de la Sistema Luna-Tierra y no hay suposiciones sobre las condiciones de la Tierra anterior rotación y deriva continental. Basado en este modelo, el sistema Tierra-Luna ha sido evolución a la situación actual desde que se estableció y la tasa de recesión de la Luna ha ido aumentando gradualmente, sin embargo, esta descripción no lo toma en cuenta que podría haber acontecimientos especiales sucedidos en el pasado para causar el repentino cambios significativos en los movimientos de la Tierra y la Luna, tales como fuertes impactos por asteroides y cometas gigantes, etc., porque esos impactos son muy comunes en el universo. El patrón general de la evolución del sistema Luna-Tierra descrito por este modelo está de acuerdo con las pruebas geológicas. Basado en Eq. 9, la tasa de recesión exponencialmente aumenta con el tiempo. Se puede imaginar entonces que la tasa de recesión se convertirá rápidamente Muy grande. De hecho, el aumento es extremadamente lento. La tasa de recesión de la Luna será 3,04 × 10-9 m s-1 después de 10 mil millones de años y 7,64 × 10-9 m s-1 después de 20 mil millones de años. Sin embargo, si la recesión de la Luna continuará o en algún momento más tarde otro No se sabe si el mecanismo asumirá el control. Se debe entender que la fricción de mareas afecta a la evolución de la propia Tierra, como la estructura de la corteza superficial, continental la deriva y la evolución del biosistema, etc; también puede jugar un papel en la desaceleración de la Tierra la rotación, sin embargo, ese papel no es un mecanismo dominante. Desafortunadamente, no hay datos disponibles sobre los cambios en la órbita de la Tierra. movimiento y todos los demás miembros del sistema solar. De acuerdo con este modelo y los resultados anteriores, la tasa de recesión de la Tierra debe ser de 6,86 × 10-7 m s-1 = 21,6 m año-1 = 2,16 km siglo-1, la longitud de un año aumenta alrededor de 6,8 ms y el cambio de la temperatura es -1.8 × 10-8 K año-1 con constante nivel de radiación del Sol y el entorno estable en la Tierra. La duración de un año, hace mil millones de años, sería el 80% de la duración actual. del año. Sin embargo, muchas pruebas (bandas de crecimiento de corales y mariscos, así como de otras pruebas) sugieren que no ha habido ningún cambio aparente en la duración de la año sobre los mil millones de años y el movimiento orbital de la Tierra es más estable que su rotación. Esto sugiere que el líquido del campo de materia oscura está circulando alrededor del Sol con el mismo dirección y velocidad similar de la Tierra (al menos en el rango orbital de la Tierra). Por lo tanto, el El movimiento orbital de la Tierra experimenta muy poca o ninguna fuerza de arrastre de la materia oscura fluido de campo. Sin embargo, se trata de una conjetura, hay que llevar a cabo una amplia investigación para verificar Si este es el caso. 6. Descripción escéptica de la evolución del Marte La Luna no tiene líquido líquido en su superficie, incluso no hay aire, por lo tanto, no hay una fuerza de fricción mareomotriz similar al océano para ralentizar su rotación; sin embargo, la rotación de la La Luna todavía se está desacelerando a un ritmo significativo de (-1.260 ± 0.024) × 10-23 rad s-2, lo que está de acuerdo con el modelo muy bien. En base a esto, uno puede pensar razonablemente que los la rotación también debería ser más lenta. El Marte es nuestro vecino más cercano que ha atraído la gran atención de los humanos Desde la antigüedad. La exploración de Marte se ha estado calentando en las últimas décadas. NASA, Agencia Espacial Rusa y Europa enviaron muchas naves espaciales a Marte para recolectar datos y estudiar este misterioso planeta. Hasta ahora todavía no hay suficientes datos sobre el historia de este planeta para describir su evolución. Igual que la Tierra, el Marte gira alrededor su eje central y gira alrededor del Sol, sin embargo, el Marte no tiene una masa (Marte tiene dos pequeños satélites: Fobos y Deimos) y no hay líquido líquido en su superficie, por lo tanto, no hay aparente fuerza de fricción mareo-como el océano a ralentizar su rotación por teorías de fricción de mareas. Sobre la base del resultado anterior y actual Los datos de Marte, este modelo predice que la aceleración angular del Marte debería ser alrededor de -4.38 × 10-22 rad s-2. La figura 3 describe la posible evolución de la duración del día y la días solares / año de Marte, la línea vertical marca la edad actual del Marte con asumir que el Marte se formó en un período de tiempo similar de la formación de la Tierra. Tal descripción no fue dada antes de acuerdo con el conocimiento del autor y es completamente escéptico debido a la falta de datos confiables. Sin embargo, con una mayor expansión de la investigación y exploración en Marte, nos sentiremos seguros de que los datos confiables sobre la aceleración angular de rotación del Marte estará disponible en el futuro próximo que proporcionará una prueba vital para la predicción de este modelo. También hay otros factores que puede afectar a la tasa de rotación de Marte, como la redistribución de masa debido a la temporada cambio, vientos, posibles erupciones volcánicas y terremotos de Marte. Por lo tanto, los datos deben ser cuidadosamente analizados. 7. Discusión sobre el modelo De los resultados anteriores, se puede ver que los datos actuales Tierra-Luna y el datos geológicos y fósiles están de acuerdo con el modelo muy bien y la evolución pasada de la Sistema Tierra-Luna puede ser descrito por el modelo sin introducir ningún adicional parámetros; este modelo revela la interesante relación entre la rotación y Retirada (Eq. 17 y Eq. 18) del mismo cuerpo celestial o diferentes cuerpos celestes en el mismo sistema gravitacional, tal relación no se conoce antes. Tal éxito puede no debe explicarse por “coincidencia” o “suerte” debido a la gran cantidad de datos Los datos de la Tierra y la Luna y los datos geológicos y fósiles) si uno piensa que esto es sólo un “ad hoc” o un modelo equivocado, aunque la posibilidad de que “coincidencia” o “suerte” podría ser mayor que ganar un premio mayor de la lotería; el futuro de Marte los datos aclararán esto; de lo contrario, se puede desarrollar una nueva teoría a partir de un enfoque diferente dar la misma o mejor descripción como lo hace este modelo. Es cierto que este modelo es no perfecto y puede tener defectos, se puede llevar a cabo un mayor desarrollo. James Clark Maxwell dijo en el 1873 “El vasto interplanetario e interestelar regiones ya no serán considerados como lugares de desecho en el universo, que el Creador tiene no se considera apto para llenar con los símbolos de la orden múltiple de Su reino. Encontraremos estar ya llenos de este maravilloso medio; tan lleno, que ningún poder humano puede quitarlo de la porción más pequeña del espacio, o producir el más mínimo defecto en su infinito continuidad. Se extiende ininterrumpidamente de estrella a estrella...”. El medio que habló Maxwell alrededor es el éter que fue propuesto como portador de la propagación de la onda de luz. Los El experimento Michelson-Morley sólo demostró que la propagación de la onda de luz no depende de tal medio y no rechaza la existencia del medio en el interestelar espacio. De hecho, el concepto de medio interestelar se ha desarrollado dramáticamente recientemente como la materia oscura, la energía oscura, el fluido cósmico, etc. El campo de la materia oscura fluido es sólo una parte de tan maravilloso medio y “precisamente” descrito por Maxwell. 7. Conclusión La evolución del sistema Tierra-Luna puede ser descrita por el campo de materia oscura modelo fluido con enfoque no newtoniano y los datos actuales de la Tierra y la Luna Se adapta muy bien a este modelo. Hace 4.500 millones de años, la distancia más cercana de la Luna La Tierra podría estar a unos 259000 km, que está muy por encima del límite de Roche y de la longitud de El día era alrededor de 8 horas. El patrón general de la evolución del sistema Luna-Tierra descrita por este modelo concuerda con la evidencia geológica y fósil. La fricción de mareas puede no sea la causa principal de la evolución del sistema Tierra-Luna. La rotación de Marte también se está desacelerando con la velocidad de aceleración angular alrededor de -4,38 × 10-22 rad s-2. Bibliografía S. G. Brush, 1983. L. R. Godfrey (editor), Fantasma del siglo XIX: Argumentos creacionistas para una Tierra joven. Los científicos se enfrentan al creacionismo. W. W. Norton & Company, Nueva York, Londres, pp. E. Chaisson y S. McMillan. 1993. Astronomía Hoy, Sala Prentice, Englewood Cliffs, NJ 07632. J. O. Dickey, et al., 1994. Ciencia, 265, 482. D. G. Finch, 1981. Tierra, Luna y Planetas, 26(1), 109. K. S. Hansen, 1982. Rev. Geophys. y Space Phys. 20(3), 457. W. K. Hartmann, D. R. Davis, 1975. Ícaro, 24, 504. B. A. Kagan, N. B. Maslova, 1994. Tierra, Luna y Planetas 66, 173. B. A. Kagan, 1997. Prog. Oceanog. 40, 109. E. P. Kvale, H. W. Johnson, C. O. Sonett, A. W. Archer, y A. Zawistoski, 1999, J. Sedimento. Res. 69(6), 1154. K. Lang, 1992. Datos Astrofísicos: Planetas y Estrellas, Springer-Verlag, Nueva York. H. Pan, 2005. Internat. J. Phys modernos. A, 20(14), 3135. R. D. Ray, B. G. Bills, B. F. Chao, 1999. J. Geophys. Res. 104 (B8), 17653. C. T. Scrutton, 1978. P. Brosche, J. Sundermann, (Editors.), la fricción de mareas y el La rotación de la Tierra. Springer-Verlag, Berlín, pp. 154. L. B. Slichter, 1963. J. Geophys. Res. 68, 14. C. P. Sonett, E. P. Kvale, M. A. Chan, T. M. Demko, 1996. Ciencia, 273, 100. F. D. Stacey, 1977. Física de la Tierra, segunda edición. John Willey & Sons. J. W. Wells, 1963. Naturaleza, 197, 948. Título Figura 1, la evolución de la distancia de la Luna y la longitud del día de la tierra con la era del sistema Tierra-Luna. Las líneas sólidas se calculan según la materia oscura modelo de fluido de campo. Fuentes de datos: las distancias de la Luna son de Kvale y et al. y para el longitud del día: (a y b) son de Scrutton (página 186, fig. 8), c es de Sonett y et al. La línea marca la edad actual del sistema Tierra-Luna. Figura 2, la evolución de los días solares del año con la edad de la Luna-Tierra sistema. La línea sólida se calcula según el modelo de fluido de campo de materia oscura. Los datos son de Wells (3.9 ~ 4.435 millones de años de rango), Sonett (3.600 millones de años) y actual edad (4.500 millones de años). Figura 3, la descripción escéptica de la evolución de la longitud del día de Marte y el días solares/año de Marte con la edad de Marte (suponiendo que la edad de Marte es de aproximadamente 4.5 miles de millones de años). La línea vertical marca la edad actual de Marte. Figura 1, distancia de la Luna y la longitud del día de la Tierra cambio con la era del sistema Tierra-Luna La edad del sistema Tierra-Luna (109 años) 0 1 2 3 4 5 Distancia Duración del día Límite de Roche Resultado de Hansen Figura 2, los días solares / año vs. la edad de la Tierra La edad de la Tierra (109 años) 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6
La evolución del sistema Tierra-Luna es descrita por el campo de materia oscura modelo fluido propuesto en la Reunión de la División de Partículas y Campo 2004, Sociedad Física Americana. El comportamiento actual del sistema Tierra-Luna está de acuerdo con este modelo muy bien y el patrón general de la evolución de la Sistema Luna-Tierra descrito por este modelo está de acuerdo con geológico y fósil pruebas. La distancia más cercana de la Luna a la Tierra fue de unos 259000 km a 4,5 hace miles de millones de años, que está mucho más allá del límite de Roche. El resultado sugiere que la fricción de mareas puede no ser la causa principal de la evolución de la Sistema Tierra-Luna. La constante media del fluido del campo de materia oscura derivada de Los datos del sistema Tierra-Luna son 4,39 x 10^(-22) s^(-1)m^(-1). Este modelo predice que la rotación del Marte también se está desacelerando con la velocidad de aceleración angular alrededor de -4,38 x 10^(-22) rad s^(-2).
Introducción La teoría aceptada popularmente para la formación del sistema Tierra-Luna es que la Luna se formó a partir de escombros de un fuerte impacto por un gigante planetesimal con el La Tierra al final del período de formación del planeta (Hartmann y Davis 1975). Desde el formación del sistema Tierra-Luna, que ha estado evolucionando en toda escala de tiempo. Está bien. sabe que la Luna se está alejando de nosotros y de la rotación de la Tierra y de la Luna La rotación se está desacelerando. La teoría popular es que la fricción de mareas causa todos esos cambios. basado en la conservación del impulso angular del sistema Tierra-Luna. Los la situación se complica al describir la evolución pasada de la Luna-Tierra sistema. Debido a que la Luna se está alejando de nosotros y la rotación de la Tierra se está desacelerando, esto significa que la Luna estaba más cerca y la rotación de la Tierra era más rápida en el pasado. Creacionistas argumentan que sobre la base de la teoría de la fricción de mareas, la fricción de mareas debe ser más fuerte y la la tasa de recesión de la Luna debe ser mayor en el pasado, la distancia de la Luna caería rápidamente dentro del límite de Roche (para la tierra, 15500 km) en el que la Luna sería desgarrado por la gravedad en 1 a 2 mil millones de años atrás. Sin embargo, las pruebas geológicas indica que la recesión de la Luna en el pasado fue más lenta que la tasa actual, es decir, la recesión se ha acelerado con el tiempo. Por lo tanto, debe concluirse que las mareas la fricción fue mucho menos en el pasado remoto de lo que deduciríamos sobre la base de Observaciones actuales (Stacey 1977). Esto se llamó “escala de tiempo geológica dificultad” o “crisis lunar” y es uno de los principales argumentos de los creacionistas contra el teoría de la fricción de mareas (Brush 1983). Pero tenemos que considerar el caso cuidadosamente en varios aspectos. Una posible escenario es que la Tierra ha estado experimentando una evolución dinámica en toda escala de tiempo desde su creación, las condiciones geológicas y físicas (como las posiciones del continente y a la deriva, la corteza, fluctuación de la temperatura superficial como el efecto glacial/snowball, etc.) pasado remoto podría ser sustancialmente diferente de la actual, en la que la fricción de mareas podría ser mucho menos; por lo tanto, la tasa de descenso de la Luna podría ser más lenta. Varios En el pasado se propusieron modelos de fricción de mareas para describir la evolución de la Tierra- Sistema lunar para evitar tal dificultad o crisis y poner a la Luna en un lugar bastante cómodo distancia de la Tierra hace 4.500 millones de años (Hansen 1982, Kagan y Maslova 1994, Ray et al. 1999, Finch 1981, Slichter 1963). Las teorías de la fricción de marea explican que el presente la tasa de disipación de las mareas es anomalosamente alta porque la fuerza de las mareas está cerca de una resonancia en la función de respuesta del océano (Brush 1983). Kagan dio una revisión detallada sobre los modelos de fricción de mareas (Kagan 1997). Estos modelos se basan en muchos supuestos sobre condiciones geológicas (posición continental y deriva) y físicas en el pasado, y muchos parámetros (como el ángulo de retardo de fase, la aproximación multimodo con el tiempo frecuencias dependientes de los modos de resonancia, etc.) tienen que ser introducidos y cuidadosamente ajustados para hacer sus predicciones cerca de la evidencia geológica. Sin embargo, los los supuestos y parámetros siguen siendo cuestionados, en cierta medida, como brebaje. El segundo escenario posible es que otro mecanismo podría dominar el la evolución del sistema Tierra-Luna y el papel de la fricción de mareas no es significativo. In la Reunión de la División de Partículas y Campo 2004, American Physical Society, Universidad de California en Riverside, el autor propuso un modelo de fluido de campo de materia oscura (Pan 2005) con un enfoque no newtoniano, los datos actuales de la Luna y la Tierra están de acuerdo con este modelo muy bien. Este documento demostrará que la evolución pasada de la Luna-Tierra sistema puede ser descrito por el modelo de fluido de campo de materia oscura sin ninguna suposición sobre las condiciones geológicas y físicas del pasado. Aunque el tema de la evolución de el sistema Tierra-Luna ha sido ampliamente estudiado analítica o numéricamente, a la conocimiento del autor, no hay teorías similares o equivalentes a este modelo. 2. Materia invisible En la cosmología moderna, se propuso que la materia visible en el universo es aproximadamente el 2 ~ 10 % de la materia total y alrededor del 90 ~ 98% de la materia total es actualmente invisible que se llama materia oscura y energía oscura, tal materia invisible tiene un anti- propiedad de gravedad para hacer que el universo se expanda más y más rápido. Si la proporción de los componentes de materia del universo está cerca de esta hipótesis, entonces, la evolución del universo debe ser dominada por el mecanismo físico de tal materia invisible, tal mecanismo físico podría estar mucho más allá de la corriente La física newtoniana y la física Einsteiniana, y la física Newtoniana y la Einsteiniana la física podría reflejar sólo un rincón del iceberg de la física mayor. Si la proporción de los componentes de materia del universo está cerca de esta hipótesis, entonces, debería ser más razonable pensar que tal materia invisible dominante se propaga en en todas partes del universo (la densidad de la materia invisible puede variar de un lugar a otro lugar); en otras palabras, todos los objetos de materia visible deben estar rodeados por tales invisibles materia y el movimiento de la materia visible objetos deben ser afectados por el invisible materia si hay interacciones entre la materia visible y la materia invisible. Si la proporción de los componentes de materia del universo está cerca de esta hipótesis, entonces, el tamaño de las partículas de la materia invisible debe ser muy pequeño y por debajo de la límite de detección de la tecnología actual; de lo contrario, se detectaría hace mucho tiempo con tal cantidad dominante. Con esta materia invisible en mente, nos movemos a la siguiente sección para desarrollar la Modelo de fluido de campo de materia oscura con enfoque no newtoniano. Para la simplicidad, todos invisibles materia (materia oscura, energía oscura y otros términos posibles) se llama materia oscura aquí. 3. El modelo de fluido de campo de materia oscura En este modelo propuesto, se supone que: 1. Un cuerpo celeste gira y se mueve en el espacio, que, para la simplicidad, es uniforme lleno de la materia oscura que está en estado de quiescencia relativa al movimiento del cuerpo celeste. La materia oscura posee una propiedad de campo y una propiedad fluida; puede interactúe con el cuerpo celeste con sus propiedades de fluido y campo; por lo tanto, puede tener intercambio de energía con el cuerpo celeste, y afectan el movimiento del cuerpo celeste. 2. La propiedad del fluido sigue el principio general de la mecánica del fluido. La materia oscura partículas de líquido de campo pueden ser tan pequeñas que fácilmente pueden impregnarse en ordinario materia “barionica”; es decir, los objetos de materia ordinaria podrían estar saturados con tal materia oscura fluido de campo. Por lo tanto, todo el cuerpo celestial interactúa con el fluido del campo de materia oscura, en el forma de una esponja que se mueve a través del agua. La naturaleza de la propiedad de campo de la materia oscura se desconoce el líquido del campo. Se asume aquí que la interacción del campo asociado con el fluido del campo de materia oscura con el cuerpo celestial es proporcional a la masa del cuerpo celeste. El fluido del campo de materia oscura se supone que tiene una fuerza repulsiva contra el fuerza gravitatoria hacia la materia bariónica. La naturaleza y el mecanismo de tal repulsivo La fuerza es desconocida. Con las suposiciones anteriores, uno puede estudiar cómo el fluido del campo de materia oscura puede influir en el movimiento de un cuerpo celeste y comparar los resultados con las observaciones. Los la forma común de los cuerpos celestes es esférica. Según la ley de Stokes, un rígido no- esfera permeable que se mueve a través de un líquido quiescente con un Reynolds suficientemente bajo número experimenta una fuerza de resistencia F rvF 6−= (1) donde v es la velocidad de movimiento, r es el radio de la esfera, y μ es la viscosidad del fluido constante. La dirección de la fuerza de resistencia F en Eq. 1 es opuesto a la dirección de la velocidad v. Para una esfera rígida que se mueve a través del fluido del campo de materia oscura, debido al doble propiedades del fluido del campo de materia oscura y su permeación en la esfera, la fuerza F puede no ser proporcional al radio de la esfera. Además, F puede ser proporcional a la masa de la esfera debido a la interacción de campo. Por lo tanto, con los efectos combinados de fluido y campo, la fuerza ejercida en la esfera por el fluido del campo de materia oscura es se supone que es de la forma escalonada (2) mvrF n= 16 donde n es un parámetro derivado de la saturación por el fluido de campo de materia oscura, el r1-n puede ser visto como el radio efectivo con la misma unidad que r, m es la masa de la esfera, y η es la constante del fluido del campo de materia oscura, que es equivalente a μ. La dirección de la Fuerza de resistencia F en Eq. 2 es opuesto a la dirección de la velocidad v. La fuerza descrita por Eq. 2 es dependiente de la velocidad y causa una aceleración negativa. De acuerdo con Segunda ley del movimiento de Newton, la ecuación del movimiento para la esfera es mvr m n= 16 (3) Entonces (4) )6exp( 10 vtrv No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. donde v0 es la velocidad inicial (t = 0) de la esfera. Si la esfera gira alrededor de un centro gravitacional masivo, hay tres fuerzas en la línea entre la esfera y el centro gravitacional: (1) la fuerza gravitatoria, (2) la fuerza de aceleración centrípeta; y (3) la fuerza repulsiva del fluido del campo de materia oscura. La fuerza de arrastre en Eq. 3 reduce la velocidad orbital y hace que la esfera se mueva hacia el centro gravitacional. Sin embargo, si la suma de la fuerza de aceleración centrípeta y la fuerza repulsiva es más fuerte que la fuerza gravitacional, entonces, la esfera se moverá hacia afuera y se retirará de el centro gravitacional. Este es el caso del interés aquí. Si la velocidad cambia en Eq. 3 es suficientemente lento y la fuerza repulsiva es pequeña en comparación con la fuerza gravitacional y fuerza de aceleración centrípeta, entonces la tasa de retroceso será en consecuencia relativamente Lentamente. Por lo tanto, la fuerza gravitacional y la fuerza de aceleración centrípeta puede ser aproximadamente tratados en equilibrio en cualquier momento. La ecuación pseudo equilibrio es GMm 2 2 = (5) donde G es la constante gravitacional, M es la masa del centro gravitacional, y R es el radio de la órbita. Insertar v de Eq. 4 en Eq. 5 rendimientos )12exp( 1 R n−= (6) (7) )12exp( 10 trRR n−= donde R = (8) R0 es la distancia inicial al centro gravitacional. Tenga en cuenta que R aumenta exponencialmente con el tiempo. El aumento de la energía orbital con el retroceso proviene del repulsivo fuerza del fluido de campo de materia oscura. La tasa de recesión de la esfera es dR n−= 112 (9) La aceleración de la recesión es ( Rr Rd n 21 12 − = ). (10) La aceleración recesiva es positiva y proporcional a su distancia a la centro gravitacional, así que la recesión es cada vez más rápida. Según la mecánica de los fluidos, para una esfera rígida no permeable giratoria alrededor de su eje central en el fluido quiescente, el par T ejercido por el fluido en la esfera 38 rT − = (11) donde • es la velocidad angular de la esfera. La dirección del par en Eq. 11 es opuesta a la dirección de la rotación. En el caso de una esfera que gira en el quiescente Líquido de campo de materia oscura con velocidad angular, similar a Eq. 2, la T propuesta ejerció en la esfera es ( ) mrT n 318 = (12) La dirección del par en Eq. 12 es opuesto a la dirección de la rotación. Los el par causa la aceleración angular negativa = (13) donde estoy el momento de inercia de la esfera en el fluido del campo de materia oscura ( )21 2 nrmI = (14) Por lo tanto, la ecuación de rotación para la esfera en el fluido del campo de materia oscura es * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * d = 120 (15) Resolver esta ecuación produce (16) )20exp( 10 tr No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. donde ­0 es la velocidad angular inicial. Uno puede ver que la velocidad angular de la esfera disminuye exponencialmente con el tiempo y la desaceleración angular es proporcional a su velocidad angular. Para la misma esfera celestial, combinando Eq. 9 y Eq. 15 rendimientos (17) El significado de Eq. 17 es que sólo contiene datos observados sin suposiciones y parámetros indeterminados; por lo tanto, es una prueba crítica para este modelo. Para dos esferas celestes diferentes en el mismo sistema, combinando Eq. 9 y Eq. 15 rendimientos 67,1 1 −=−= (18) Esta es otra prueba crítica para este modelo. 4. El comportamiento actual del sistema Tierra-Luna concuerda con el modelo El sistema Luna-Tierra es el sistema gravitacional más simple. El sistema solar es complejo, la Tierra y la Luna experimentan no sólo la interacción del Sol, sino también interacciones de otros planetas. Consideremos el sistema gravitacional Tierra-Luna local como un sistema gravitacional local aislado, es decir, la influencia del Sol y otros planetas sobre la rotación y el movimiento orbital de la Luna y sobre la rotación de la Tierra asumido insignificante en comparación con las fuerzas ejercidas por la luna y la tierra en el otro. Además, la excentricidad de la órbita de la Luna es lo suficientemente pequeña como para ser ignorada. Los datos sobre la Luna y la Tierra a partir de referencias (Dickey et.al., 1994, y Lang, 1992) listado a continuación para la conveniencia de los lectores para verificar el cálculo porque los datos pueden varían ligeramente con diferentes fuentes de datos. Luna: Radio medio: r = 1738,0 km Masa: m = 7,3483 × 1025 gramos Período de rotación = 27,321661 días Velocidad angular de la Luna = 2,6617 × 10-6 rad s-1 Distancia media a la Tierra Rm= 384400 km Velocidad orbital media v = 1.023 km s-1 Excentricidad de la órbita e = 0,0549 Velocidad de aceleración de rotación angular = -25,88 ± 0,5 arcoseg siglo-2 = (-1,255 ± 0,024) × siglo rad 10-4-2 = (-1.260 ± 0.024) × 10-23 rad s-2 Tasa de retroceso de la Tierra = 3,82 ± 0,07 cm año-1 = (1,21 ± 0,02) × 10-9 m s-1 Tierra: Radio medio: r = 6371,0 km Masa: m = 5,9742 × 1027 gramos Período de rotación = 23 h 56m 04.098904s = 86164.098904s Velocidad angular de rotación = 7,292115 × 10-5 rad s-1 Distancia media al Sol Rm= 149.597.870,61 km Velocidad orbital media v = 29,78 km s-1 Aceleración angular de la Tierra = (-5,5 ± 0,5) × 10-22 rad s-2 Velocidad angular de rotación de la Luna y aumento de la distancia media a la Tierra (tasa de descenso) se obtuvieron de la gama de láser lunar del Programa Apollo (Dickey et.al., 1994). Insertando los datos de la rotación y recesión de la Luna en Eq. 17, el resultado es 039.054,1 10662,2121,1 1092509.31026.1 (19) La distancia R en Eq. 19 es desde el centro de la Luna hasta el centro de la Tierra y el número 384400 km se supone que es la distancia de la superficie de la Luna a la superficie de la Tierra. Eq. 19 está en buen acuerdo con el valor teórico de -1.67. El resultado está de acuerdo con el modelo utilizado aquí. La diferencia (alrededor del 7,8%) entre los valores de -1,54 y - 1.67 pueden provenir de varias fuentes: 1. El orbital de la Luna no es un círculo perfecto 2. La Luna no es una esfera rígida perfecta. 3. El efecto del Sol y otros planetas. 4. Errores en los datos. 5. Posibles otras razones desconocidas. Los dos parámetros n y η en Eq. 9 y Eq. 15 se puede determinar con dos datos Sets. El tercer conjunto de datos se puede utilizar para seguir probando el modelo. Si este modelo es correcto describe la situación actual, debe dar resultados coherentes para diferentes movimientos. Los los valores de n y η calculados a partir de tres conjuntos de datos diferentes se enumeran a continuación (Nota: la distancia media de la Luna a la Tierra y los radios medios de la Luna y la Tierra son utilizado en el cálculo). El valor de n: n = 0,64 De la rotación de la Luna: η = 4,27 × 10-22 s-1 m-1 De la rotación de la Tierra: η = 4,26 × 10-22 s-1 m-1 De la recesión de la Luna: η = 4,64 × 10-22 s-1 m-1 Se puede ver que los tres valores de η son consistentes dentro del rango de error en los datos. El valor medio de η: η = (4,39 ± 0,22) × 10-22 s-1 m-1 Al insertar los datos de la rotación de la Tierra, la recesión de la Luna y el valor de n en Eq. 18, el resultado es 14.053.1 6371000 1738000 1021.11029.7 1092509,3105.5 )64.01( (20) Esto también está de acuerdo con el modelo utilizado aquí. La fuerza de arrastre ejercida sobre el movimiento orbital de la Luna por el campo de materia oscura fluido es -1.11 × 108 N, esto es insignificantemente pequeño en comparación con la fuerza gravitacional entre la Luna y la Tierra ~ 1,90 × 1020 N; y el torque ejercido por el campo de materia oscura fluido en las rotaciones de la Tierra y la Luna es T = -5,49 × 1016 Nm y -1,15 × 1012 Nm, respectivamente. 5. La evolución del sistema Tierra-Luna Sonett et al. encontró que la longitud del día terrestre hace 900 millones de años fue alrededor de 19,2 horas sobre la base de los sedimentos de marea laminadas en la Tierra (Sonett y otros, 1996). De acuerdo con el modelo presentado aquí, en ese tiempo, la duración del día fue alrededor de 19,2 horas, esto concuerda muy bien con Sonett et al.El resultado. Otro aspecto crítico de modelar la evolución del sistema Tierra-Luna es: dar una estimación razonable de la distancia más cercana de la Luna a la Tierra cuando la El sistema se estableció hace 4.500 millones de años. Basado en el fluido del campo de materia oscura modelo, y el resultado anterior, la distancia más cercana de la Luna a la Tierra fue 259000 km (centro a centro) o 250900 km (superficie a superficie) en 4.500 millones de años atrás, Esto está mucho más allá del límite del Roche. En el moderno libro de texto de astronomía de Chaisson y McMillan (Chaisson y McMillan, 1993, p.173), la distancia estimada en 4.500 millones hace 250000 km, este es probablemente el número más razonable que Los astrónomos creen y concuerdan excelentemente con el resultado de este modelo. El más cercano distancia de la Luna a la Tierra por los modelos de Hansen era de unos 38 radios de la Tierra o 242000 km (Hansen, 1982). De acuerdo con este modelo, la longitud del día de la Tierra fue de aproximadamente 8 horas a 4.5 Hace miles de millones de años. Fig. 1 muestra la evolución de la distancia de la Luna a la Tierra y el longitud del día de la Tierra con la edad del sistema Tierra-Luna descrito por este modelo junto con datos de Kvale et al. (1999), Sonett y otros (1996) y Scrutton (1978). Uno puede ver que esos datos encajan muy bien en este modelo en su rango de tiempo. Fig. 2 muestra los datos geológicos de los días solares año-1 de Wells (1963) y de Sonett et al. (1996) y la descripción (línea sólida) de este modelo de fluido de campo de materia oscura desde hace 900 millones de años. Se puede ver que el modelo está de acuerdo con el datos fósiles maravillosamente. La diferencia importante de este modelo con los modelos tempranos en la descripción de la la evolución del sistema Tierra-Luna es que este modelo se basa sólo en los datos actuales de la Sistema Luna-Tierra y no hay suposiciones sobre las condiciones de la Tierra anterior rotación y deriva continental. Basado en este modelo, el sistema Tierra-Luna ha sido evolución a la situación actual desde que se estableció y la tasa de recesión de la Luna ha ido aumentando gradualmente, sin embargo, esta descripción no lo toma en cuenta que podría haber acontecimientos especiales sucedidos en el pasado para causar el repentino cambios significativos en los movimientos de la Tierra y la Luna, tales como fuertes impactos por asteroides y cometas gigantes, etc., porque esos impactos son muy comunes en el universo. El patrón general de la evolución del sistema Luna-Tierra descrito por este modelo está de acuerdo con las pruebas geológicas. Basado en Eq. 9, la tasa de recesión exponencialmente aumenta con el tiempo. Se puede imaginar entonces que la tasa de recesión se convertirá rápidamente Muy grande. De hecho, el aumento es extremadamente lento. La tasa de recesión de la Luna será 3,04 × 10-9 m s-1 después de 10 mil millones de años y 7,64 × 10-9 m s-1 después de 20 mil millones de años. Sin embargo, si la recesión de la Luna continuará o en algún momento más tarde otro No se sabe si el mecanismo asumirá el control. Se debe entender que la fricción de mareas afecta a la evolución de la propia Tierra, como la estructura de la corteza superficial, continental la deriva y la evolución del biosistema, etc; también puede jugar un papel en la desaceleración de la Tierra la rotación, sin embargo, ese papel no es un mecanismo dominante. Desafortunadamente, no hay datos disponibles sobre los cambios en la órbita de la Tierra. movimiento y todos los demás miembros del sistema solar. De acuerdo con este modelo y los resultados anteriores, la tasa de recesión de la Tierra debe ser de 6,86 × 10-7 m s-1 = 21,6 m año-1 = 2,16 km siglo-1, la longitud de un año aumenta alrededor de 6,8 ms y el cambio de la temperatura es -1.8 × 10-8 K año-1 con constante nivel de radiación del Sol y el entorno estable en la Tierra. La duración de un año, hace mil millones de años, sería el 80% de la duración actual. del año. Sin embargo, muchas pruebas (bandas de crecimiento de corales y mariscos, así como de otras pruebas) sugieren que no ha habido ningún cambio aparente en la duración de la año sobre los mil millones de años y el movimiento orbital de la Tierra es más estable que su rotación. Esto sugiere que el líquido del campo de materia oscura está circulando alrededor del Sol con el mismo dirección y velocidad similar de la Tierra (al menos en el rango orbital de la Tierra). Por lo tanto, el El movimiento orbital de la Tierra experimenta muy poca o ninguna fuerza de arrastre de la materia oscura fluido de campo. Sin embargo, se trata de una conjetura, hay que llevar a cabo una amplia investigación para verificar Si este es el caso. 6. Descripción escéptica de la evolución del Marte La Luna no tiene líquido líquido en su superficie, incluso no hay aire, por lo tanto, no hay una fuerza de fricción mareomotriz similar al océano para ralentizar su rotación; sin embargo, la rotación de la La Luna todavía se está desacelerando a un ritmo significativo de (-1.260 ± 0.024) × 10-23 rad s-2, lo que está de acuerdo con el modelo muy bien. En base a esto, uno puede pensar razonablemente que los la rotación también debería ser más lenta. El Marte es nuestro vecino más cercano que ha atraído la gran atención de los humanos Desde la antigüedad. La exploración de Marte se ha estado calentando en las últimas décadas. NASA, Agencia Espacial Rusa y Europa enviaron muchas naves espaciales a Marte para recolectar datos y estudiar este misterioso planeta. Hasta ahora todavía no hay suficientes datos sobre el historia de este planeta para describir su evolución. Igual que la Tierra, el Marte gira alrededor su eje central y gira alrededor del Sol, sin embargo, el Marte no tiene una masa (Marte tiene dos pequeños satélites: Fobos y Deimos) y no hay líquido líquido en su superficie, por lo tanto, no hay aparente fuerza de fricción mareo-como el océano a ralentizar su rotación por teorías de fricción de mareas. Sobre la base del resultado anterior y actual Los datos de Marte, este modelo predice que la aceleración angular del Marte debería ser alrededor de -4.38 × 10-22 rad s-2. La figura 3 describe la posible evolución de la duración del día y la días solares / año de Marte, la línea vertical marca la edad actual del Marte con asumir que el Marte se formó en un período de tiempo similar de la formación de la Tierra. Tal descripción no fue dada antes de acuerdo con el conocimiento del autor y es completamente escéptico debido a la falta de datos confiables. Sin embargo, con una mayor expansión de la investigación y exploración en Marte, nos sentiremos seguros de que los datos confiables sobre la aceleración angular de rotación del Marte estará disponible en el futuro próximo que proporcionará una prueba vital para la predicción de este modelo. También hay otros factores que puede afectar a la tasa de rotación de Marte, como la redistribución de masa debido a la temporada cambio, vientos, posibles erupciones volcánicas y terremotos de Marte. Por lo tanto, los datos deben ser cuidadosamente analizados. 7. Discusión sobre el modelo De los resultados anteriores, se puede ver que los datos actuales Tierra-Luna y el datos geológicos y fósiles están de acuerdo con el modelo muy bien y la evolución pasada de la Sistema Tierra-Luna puede ser descrito por el modelo sin introducir ningún adicional parámetros; este modelo revela la interesante relación entre la rotación y Retirada (Eq. 17 y Eq. 18) del mismo cuerpo celestial o diferentes cuerpos celestes en el mismo sistema gravitacional, tal relación no se conoce antes. Tal éxito puede no debe explicarse por “coincidencia” o “suerte” debido a la gran cantidad de datos Los datos de la Tierra y la Luna y los datos geológicos y fósiles) si uno piensa que esto es sólo un “ad hoc” o un modelo equivocado, aunque la posibilidad de que “coincidencia” o “suerte” podría ser mayor que ganar un premio mayor de la lotería; el futuro de Marte los datos aclararán esto; de lo contrario, se puede desarrollar una nueva teoría a partir de un enfoque diferente dar la misma o mejor descripción como lo hace este modelo. Es cierto que este modelo es no perfecto y puede tener defectos, se puede llevar a cabo un mayor desarrollo. James Clark Maxwell dijo en el 1873 “El vasto interplanetario e interestelar regiones ya no serán considerados como lugares de desecho en el universo, que el Creador tiene no se considera apto para llenar con los símbolos de la orden múltiple de Su reino. Encontraremos estar ya llenos de este maravilloso medio; tan lleno, que ningún poder humano puede quitarlo de la porción más pequeña del espacio, o producir el más mínimo defecto en su infinito continuidad. Se extiende ininterrumpidamente de estrella a estrella...”. El medio que habló Maxwell alrededor es el éter que fue propuesto como portador de la propagación de la onda de luz. Los El experimento Michelson-Morley sólo demostró que la propagación de la onda de luz no depende de tal medio y no rechaza la existencia del medio en el interestelar espacio. De hecho, el concepto de medio interestelar se ha desarrollado dramáticamente recientemente como la materia oscura, la energía oscura, el fluido cósmico, etc. El campo de la materia oscura fluido es sólo una parte de tan maravilloso medio y “precisamente” descrito por Maxwell. 7. Conclusión La evolución del sistema Tierra-Luna puede ser descrita por el campo de materia oscura modelo fluido con enfoque no newtoniano y los datos actuales de la Tierra y la Luna Se adapta muy bien a este modelo. Hace 4.500 millones de años, la distancia más cercana de la Luna La Tierra podría estar a unos 259000 km, que está muy por encima del límite de Roche y de la longitud de El día era alrededor de 8 horas. El patrón general de la evolución del sistema Luna-Tierra descrita por este modelo concuerda con la evidencia geológica y fósil. La fricción de mareas puede no sea la causa principal de la evolución del sistema Tierra-Luna. La rotación de Marte también se está desacelerando con la velocidad de aceleración angular alrededor de -4,38 × 10-22 rad s-2. Bibliografía S. G. Brush, 1983. L. R. Godfrey (editor), Fantasma del siglo XIX: Argumentos creacionistas para una Tierra joven. Los científicos se enfrentan al creacionismo. W. W. Norton & Company, Nueva York, Londres, pp. E. 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Ciencia, 273, 100. F. D. Stacey, 1977. Física de la Tierra, segunda edición. John Willey & Sons. J. W. Wells, 1963. Naturaleza, 197, 948. Título Figura 1, la evolución de la distancia de la Luna y la longitud del día de la tierra con la era del sistema Tierra-Luna. Las líneas sólidas se calculan según la materia oscura modelo de fluido de campo. Fuentes de datos: las distancias de la Luna son de Kvale y et al. y para el longitud del día: (a y b) son de Scrutton (página 186, fig. 8), c es de Sonett y et al. La línea marca la edad actual del sistema Tierra-Luna. Figura 2, la evolución de los días solares del año con la edad de la Luna-Tierra sistema. La línea sólida se calcula según el modelo de fluido de campo de materia oscura. Los datos son de Wells (3.9 ~ 4.435 millones de años de rango), Sonett (3.600 millones de años) y actual edad (4.500 millones de años). Figura 3, la descripción escéptica de la evolución de la longitud del día de Marte y el días solares/año de Marte con la edad de Marte (suponiendo que la edad de Marte es de aproximadamente 4.5 miles de millones de años). La línea vertical marca la edad actual de Marte. Figura 1, distancia de la Luna y la longitud del día de la Tierra cambio con la era del sistema Tierra-Luna La edad del sistema Tierra-Luna (109 años) 0 1 2 3 4 5 Distancia Duración del día Límite de Roche Resultado de Hansen Figura 2, los días solares / año vs. la edad de la Tierra La edad de la Tierra (109 años) 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6
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A determinant of Stirling cycle numbers counts unlabeled acyclic single-source automata
Un determinante de los números de ciclo de Stirling cuenta sin etiqueta Automata de una sola fuente acíclica DAVID CALLAN Departamento de Estadística Universidad de Wisconsin-Madison 1300 University Ave Madison, WI 53706-1532 callen@stat.wisc.edu 30 de marzo de 2007 Resumen Demostramos que un determinante de los números de ciclo Stirling cuenta sin etiqueta acíclica autómatas de una sola fuente. La prueba implica una bijección de estos autómatas a algunos caminos de celosía marcados y una involución de inversión de signos para evaluar la disuasión Minant. 1 Introducción El propósito principal de este artículo es mostrar bijectamente que un determinante de los números de ciclo Stirling cuenta autómatas acíclicos de una sola fuente sin etiqueta. Específicamente, deje que Ak(n) denote la matriz kn × kn con (i, j) entrada [ i−1 i−1 1+i−j , donde es el número del ciclo de Stirling, el número de permutaciones en [i] con ciclos j. Por ejemplo, A2(5) = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6 11 6 0 0 0 0 0 0 0 1 6 11 6 0 0 0 0 0 0 0 1 10 35 50 24 0 0 0 0 0 1 10 35 50 0 0 0 0 0 0 1 15 85 0 0 0 0 0 0 0 1 15 http://arxiv.org/abs/0704.004v1 Como es evidente en el ejemplo, Ak(n) se forma a partir de k copias de cada una de las filas 2 a n+1 del triángulo del ciclo de Stirling, dispuesto de modo que la primera entrada no cero en cada fila es un 1 y, después de la primera fila, este 1 ocurre justo antes de la diagonal principal; en otras palabras, Ak(n) es una matriz de Hessenberg con 1s en la infradiagonal. Vamos a mostrar Teorema Principal. El determinante de Ak(n) es el número de mono- autómatas de origen con n estados transitorios en un alfabeto de entrada (k + 1) letras. En la sección 2 se examina la terminología básica para contar las relaciones automatizadas y recurrentes autómatas acíclicos finitos. En la sección 3 se introducen las vías subdiagonales marcadas con columnas, que jugar un papel intermedio, y una manera de codificarlos. En la sección 4 se presenta una estos caminos subdiagonales marcados con columnas a autómatas acíclicos sin etiquetar de una sola fuente. Fi- nally, la sección 5 evalúa detAk(n) usando una involución de inversión de signos y muestra que la determinante cuenta los códigos para las rutas subdiagonales con marca de columna. 2 Automatas Un autómata (completa, determinista) consiste en un conjunto de estados y un alfabeto de entrada cuyas letras transforman los estados entre sí: una carta y un estado producen otro Estado (posiblemente el mismo). Un autómata finito (conjunto finito de estados, alfabeto de entrada finito de, digamos, k letras) se puede representar como un multógrafo dirigido k-regular con bordes ordenados: los vértices representan los estados y el primero, segundo,. .. borde de un vértice dan el efecto del primero, segundo,. .. letra del alfabeto en ese estado. Un autómata finito no puede ser acíclico en el sentido habitual de no ciclos: elegir un vértice y seguir cualquier camino de él. Este camino debe finalmente golpeó un vértice previamente encontrado, creando así un ciclo. Así que el término acíclico se utiliza en el sentido más suelto que sólo un vértice, llamado el fregadero, está involucrado en ciclos. Esto significa que todos los bordes del lazo del fregadero de nuevo a sí mismo (y puede ser omitida) y todos los otros caminos se alimentan en el fregadero. Un estado no-sumidero se llama transitorio. El tamaño de un autómata acíclico es el número de estados transitorios. Un autómata acíclico de tamaño n por lo tanto tiene estados transitorios que etiquetamos 1, 2,........................................................................................................................................................................................... Liskovets [1] utiliza el principio de inclusión-exclusión (más sobre esto a continuación) para obtener la siguiente relación de recurrencia para el número ak(n) de autómatas acíclicos del tamaño n en un alfabeto de entrada de letra k (k ≥ 1): ak(0) = 1; ak(n) = (−1)n−j−1 (j + 1)k(n−j)ak(j), n ≥ 1. Una fuente es un vértice sin bordes entrantes. Un autómata acíclico finito tiene al menos una fuente porque un camino atravesó hacia atrás v1 ← v2 ← v3 ←. .. debe tener distinto vértices y así no pueden continuar indefinidamente. Un autómata es de una sola fuente (o inicialmente conectado) si sólo tiene una fuente. Deje que Bk(n) denote el conjunto de una fuente acíclica autómatas finitos (SAF) en un alfabeto de entrada de letra k con vértices 1, 2,...., n + 1 donde 1 es la fuente y n + 1 es el fregadero, y set bk(n) = Bk(n). La representación en dos líneas de un autómata en Bk(n) es la matriz de 2×kn cuyas columnas listan los bordes en orden. Por ejemplo, 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 5 5 2 4 6 6 6 6 6 6 3 5 3 2 2 6 está en B3(5) y las rutas de origen a fregadero en B incluyen 1 → 6, 1 → 6, 1 → 6, donde el alfabeto es {a, b, c}. Proposición 1. El número bk(n) de SAF autómata del tamaño n en un alfabeto de entrada de letra k (n, k ≥ 1) bk(n) = (−1)n−i (i+1)k(n-i)ak(i) Nota Esta fórmula es un poco más sucinta que la recurrencia en [1, Teorema 3.2]. Prueba Considere el conjuntoA de autómatas acíclicos con vértices transitorios [n] = {1, 2,..., n} en la que 1 es una fuente. Llamar 2, 3,..., n los vértices interiores. Para X [2, n], vamos f(X) = # autómatas en A cuyo conjunto de vértices interiores incluye X, g(X) = # autómata en A cuyo conjunto de vértices interiores es precisamente X. Entonces f(X) = Y:XY[2,n] g(Y) y por Möbius inversión [2] en la celosía de subconjuntos de [2, n], g(X) = Y:XY[2,n] μ(X, Y)f(Y) donde μ(X, Y) es la función Möbius para esto Enrejado. Desde μ(X, Y) = (−1)Y X si X Y, tenemos en particular que g(­) = Y[2,n] (−1) Y f(Y ). 1).......................................................................................................................................................... Dejar Y = n − i de modo que 1 ≤ i ≤ n. Cuando Y consiste enteramente de fuentes, los vértices en [n+1]\Y y sus bordes de incidente forman un subautomatón con i estados transitorios; allí son ak(i) tales. También, todos los bordes de los n − i vértices que componen Y ir directamente en [n + 1]\Y : (i + 1)k(n-i) opciones. Así f(Y) = (i + 1)k(n-i)ak(i). Por definición, g(­) es el número de autómatas en A para los cuales 1 es la única fuente, es decir, g(­) = bk(n) y la La propuesta se deriva ahora de (1). Un autómata SAF sin etiquetar es una clase de equivalencia de autómatas SAF bajo reetiquetado de los vértices interiores. Liskovets nota [1] (y demostramos a continuación) que Bk(n) no tiene automorfismos no triviales, es decir, cada uno de los (n− 1)! reetiquetados de los vértices interiores de B-Bk(n) produce un autómata diferente. Así que autómatas SAF sin etiqueta de tamaño n en un alfabeto de letra-k se cuenta por 1 (n−1)! bk(n). El siguiente resultado establece un canon representante en cada clase de reetiquetado. Proposición 2. Cada clase de equivalencia en Bk(n) bajo reetiquetado de vértices interiores tiene ¡Tamaño (n− 1)! y contiene exactamente un autómata SAF con las “últimas ocurrencias ing” propiedad: las últimas ocurrencias de los vértices interiores—2, 3,..., n—en la fila inferior de su representación de dos líneas se producen en ese orden. Prueba La primera afirmación se deriva del hecho de que los vértices interiores de un au- bk(n) se puede distinguir intrínsecamente, es decir, independientemente de su etiquetado. Para ver esto, primero marque la fuente, a saber, 1, con una marca (nueva etiqueta) v1 y observe que existe al menos un vértice interior cuyo único borde(s) entrante(s) son de la fuente (el único vértice actualmente marcado) para de lo contrario un ciclo estaría presente. Para cada uno de ellos vértice interior v, elija el último borde del vértice marcado a v utilizando el incorporado orden de estos bordes. Esto determina un orden en estos vértices; marquelos en orden v2, v3,. .., vj (j ≥ 2). Si aún quedan vértices interiores sin marcar, al menos uno de ellos tiene bordes entrantes sólo de un vértice marcado o de nuevo un ciclo estaría presente. Por cada tal vértice, utilizar el último borde entrante de un vértice marcado, donde ahora los bordes son arreglados en orden de vértice inicial vi con los lazos de ruptura incorporados en orden, a orden y marca estos vértices vj+1, vj+2,.... Proceda de manera similar hasta que todos los vértices interiores estén marcados. Por ejemplo, para 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 5 5 2 4 6 6 6 6 6 6 3 5 3 2 2 6 v1 = 1 y sólo hay un vértice interior, a saber, 4, cuyo único borde entrante es de la fuente, y así v2 = 4 y 4 se convierte en un vértice marcado. Ahora todos los bordes entrantes a 3 y 5 son de vértices marcados y los últimos tales bordes (construido en orden entra en jugar) son 4 → 5 y 4 → 3 poner vértices 3, 5 en el orden 5, 3. Así v3 = 5 y v4 = 3. Finalmente, v5 = 2. Esto demuestra la primera afirmación. Por la construcción de la vs, reetiquetando cada uno vértice interior i con el subíndice de su correspondiente v produce un autómata en Bk(n) con la propiedad “últimas ocurrencias aumentando” y es el único reetiquetado que lo hace. El ejemplo da resultados 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 5 5 5 2 6 4 3 4 5 5 6 6 6 6 6 6 Ahora deje que Ck(n) denote el conjunto de autómatas canónicos SAF en Bk(n) que representan un- etiquetada autómata; así Ck(n) = (n−1)! bk(n). De ahora en adelante, identificamos un au- tomate con su representante canónico. 3 Rutas subdiagonales marcadas por columnas Un camino subdiagonal (k, n, p) es una trayectoria de celosía de los pasos E = (1, 0) y N = (0, 1), E para Este y N para el norte, de (0, 0) a (kn, p) que nunca se elevan por encima de la línea y = 1 x. Vamos. Ck(n, p) indica el conjunto de tales rutas.Para k ≥ 1, está claro que Ck(n, p) es no vacío solamente para 0 ≤ p ≤ n y se conoce (teorema de votación generalizada) que Ck(n, p) = kn− kp+ 1 kn+ p+ 1 kn+ p + 1 Una ruta P en Ck(n, n) puede ser codificada por las alturas de sus pasos de E por encima de la línea y = −1; esto da una secuencia (bi) i=1 sujeto a las restricciones 1 ≤ b1 ≤ b2 ≤. ≤ bkn y b ≤ i/k para todos los i. Un camino subdiagonal marcado por la columna (k, n, p) es uno en el que, para cada i+ [1, kn], uno de se marcan los cuadrados de celosía por debajo del paso ith E y por encima de la línea horizontal y = −1, decir con un ‘ * ’. Let C k(n, p) denota el conjunto de estas rutas marcadas. b b b b b b b b b b b * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (0,0) (8,4) y = −1 y = 1 Un camino en C 2, 4, 3) Una trayectoria marcada P* en C k(n, n) se puede codificar por una secuencia de pares (ai, bi) donde i=1 es el código para la ruta subyacente P y ai â € [1, bi] da la posición de la â € en la ith columna. El ejemplo está codificado por (1, 1), (1, 1), (1, 2), (2, 2), (1, 2), (3, 3), (1, 3), (2, 3). Una suma explícita para C k(n, n) es k(n, n) = 1≤b1≤b2≤...≤bkn, b ≤ i/k para todos los i b1b2. .. bkn, porque la suma b1b2. .. bkn es el número de maneras de insertar los ‘ * ’ en el subyacente ruta codificada por (bi) También es posible obtener una recurrencia para C k(n, p), y luego, usando Prop. 1, a mostrar analíticamente que C k(n, n) = Ck+1(n). Sin embargo, es mucho más agradable a dar una bijección y en la siguiente sección lo haremos. En particular, el número de FAS autómatas en un alfabeto de 2 letras es C2(n) = C 1 n, n) = 1≤b1≤b2≤...≤bn b ≤ i para todos los i b1b2. .. bn = (1, 3, 16, 127, 1363,.......................................................................................................................................... secuencia A082161 en [3]. 4 Biyección de Rutas a Automata En esta sección exhibimos una bijección de C k(n, n) a Ck+1(n). Usando la ilustración ruta como ejemplo de trabajo con k = 2 y n = 4, b b b b b b b b b b b * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (0,0) (8,4) y = −1 y = 1 primero construir la fila superior de una representación de dos líneas que consta de k + 1 cada 1s, 2s, . ............................................................................................................................................................................................................................................................... El último paso en el camino es necesariamente un paso N. Para el segundo último, tercer último,...N pasos en el camino, cuente el número de pasos que lo siguen. Esto da una secuencia i1, i2,. ............................................................................ que cumplan 1 ≤ i1 < i2 <. .. < in−1 e ij ≤ (k + 1)j para todos j. Círculo de las posiciones i1, i2,. ............................................ la segunda fila en las posiciones en círculo: 2 3 4 Estas serán las últimas ocurrencias de 2, 3,...., n en la segunda fila. Trabajando desde el último columna en la ruta de vuelta a la primera, rellenar los espacios en blanco en la segunda fila de izquierda a derecha como sigue. Contar el número de cuadrados desde el * hasta el camino (incluyendo el * cuadrado) http://www.research.att.com:80/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=A082161 y añadir este número al número negrita más cercano a la izquierda de la entrada en blanco actual (si no hay números en negrita a la izquierda, añada este número a 1) e inserte el resultado en el cuadrado en blanco actual. En el ejemplo los números de cuadrados son 2,3,1,2,1,2,1,1 rendimiento 2 4 5 3 3 5 4 5 4 5 5 Esto llenará todas las entradas en blanco excepto la última. Tenga en cuenta que * s en la fila inferior corresponden para hundir (es decir, n+1) etiquetas en la segunda fila. Por último, insertar n+1 en el último resto espacio en blanco para dar el autómata de la imagen: 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 2 4 5 3 3 5 4 5 4 5 5 5 Este proceso es completamente reversible y el mapa es una bijección. 5 Evaluación de detAk(n) Para simplificar, tratamos el caso k = 1, dejando la generalización a arbitrario k como un ejercicio no demasiado difícil para el lector interesado. Escriba A(n) para A1(n). Por lo tanto A(n) = 1≤i,j≤n . A partir de la definición de detA(n) como una suma de productos firmados, nosotros mostrar que detA(n) es el peso total de ciertas listas de permutaciones, cada lista que lleva peso ±1. Entonces una involución que invierte el peso cancela todos los −1 pesos y reduce el problema para contar las listas de sobrevivientes. Estas listas supervivientes son esencialmente los códigos para rutas en C 1 (n, p), y el Teorema Principal sigue del § 4. Para describir las permutaciones dando una contribución no cero a detA(n) =  sgn i=1 ai,(i), definir el código de una permutación  en [n] para ser la lista c = (ci) i=1 con ci = (i)−(i−1). Desde la entrada (i, j) de A(n), , es 0 a menos que j ≥ i−1, debemos tener (i) ≥ i−1 para todos los i. Es bien sabido que hay 2n−1 tales permutaciones, correspondientes a las composiciones de n, con códigos caracterizados por las cuatro condiciones siguientes: i) ci ≥ 0 para todos los i, ii) c1 ≥ 1, iii) cada ci ≥ 1 es inmediatamente seguido de ci − 1 ceros en la lista, i=1 ci = n. Llamemos a tal lista una composición acolchada de n: borrar los ceros es una bijección a composiciones ordinarias de n. Por ejemplo, (3, 0, 0, 1, 2, 0) es un acolchado composición de 6. Para una permutación  con código de composición acolchado c, el no cero las entradas en c dan las longitudes del ciclo de . Por lo tanto sgnđ, que es la paridad de “nciclos (−1)#0s in c. Tenemos detA(n) =  sgn  i=1 ai,(i) =  sgn  2i(i) , y así detA(n) = (−1)#0s in c i+ 1− ci cuando la suma se limite a composiciones acolchadas c de n con ci ≤ i para todos i (A002083) porque i+1−ci = 0 a menos que ci ≤ i. A partir de ahora, escribamos todas las permutaciones en forma de ciclo estándar por el cual el más pequeño la entrada se produce primero en cada ciclo y estas entradas más pequeñas aumentan de izquierda a derecha. Por lo tanto, con los ciclos de separación de guiones, 154-2-36 es la forma estándar del ciclo de la permutación ( 1 2 3 4 5 65 2 6 1 4 3 ). Definimos una entrada no primera para ser una que no comienza un ciclo. Por lo tanto, la la permutación anterior tiene 3 entradas no primeras: 5,4,6. Tenga en cuenta que el número de nonfirst entradas es 0 sólo para la permutación de identidad. Denotamos una permutación de identidad (de cualquier (tamaño) por. Por definición del número de ciclo de Stirling, el producto en (2) listas de recuentos ( i=1 de permu- En los casos en que se trate de una permutación en [i+1] con ciclos i+1− ci, equivalentemente, con ci ≤ i nonfirst entrys. Definir Ln para ser el conjunto de todas las listas de permutaciones i=1 donde πi es una permutación en [i + 1], #nonfirst en cada permutación de no identidad πi es seguida inmediatamente por ci − 1 • s donde ci ≥ 1 es la número de entradas que no son las primeras (por lo que el número total de entradas que no son las primeras es n). Asignar a peso en peso a η ° Ln por wt(η) = (−1) # Está en π. Entonces detA(n) = wt(l). Ahora definimos una involución de inversión de peso en (la mayoría de) Ln. Teniendo en cuenta el número de Ln, escanee el lista de sus permutaciones de componentes η1 = (1, 2), η2, η3,. .. de izquierda a derecha. Detente al principio. una que: i) tenga más de una entrada que no sea la primera, o ii) tenga sólo una entrada que no sea la primera, b decir, y b > máximo nonfirst entrada m de la siguiente permutación en la lista. Digamos que lk es el Permutación donde nos detenemos. http://www.research.att.com:80/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=A002083 En el caso i) decremento (es decir, Disminuir en 1) el número de personas que figuran en la lista dividiendo la cantidad de personas que figuran en la lista en dos permutaciones de no identidad como sigue. Deje m ser la entrada más grande nonfirst de ηk Y que yo sea su predecesor. Sustitúyase ηk y su sucesor en la lista (necesariamente un ) por las dos permutaciones siguientes: primero la transposición (l,m) y segundo la permutación obtenido de ηk borrando m de su ciclo y convirtiéndola en un singleton. Aquí están. dos ejemplos de este caso (recordar las permutaciones están en forma de ciclo estándar y, para mayor claridad, ciclos singleton no se muestran). i 1 2 3 4 5 6 12 13 23 14-253 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # i 1 2 3 4 5 6 12 13 23 25 14-23 i 1 2 3 4 5 6 12 23 14 13-24 23 i 1 2 3 4 5 6 12 23 14 24 13 23 El lector puede comprobar fácilmente que esto envía el caso (i) al caso (ii). En el caso ii), ηk es una transposición (a, b) con b > máximo nonfirst entry m de ηk+1. In en este caso, aumentar el número de los de la lista mediante la combinación de ηk y ηk+1 en un solo permutación seguida de un : en ηk+1, b es un singleton; borrar este singleton e insertar b inmediatamente después de una in ηk+1 (en el mismo ciclo). El lector puede comprobar que esto invierte el resultado en los dos ejemplos anteriores y, en general, envía el caso ii) al caso i). Desde el mapa altera el número de los de la lista por 1, que es claramente el peso-reversing. El mapa falla sólo para las listas que consisten en su totalidad de transposiciones y tienen la forma (a1, b1), (a2, b2),. ............................................................................................................................................................................................................................................................... ≤ bn. Tales listas tienen peso 1. Por lo tanto detA(n) es el número de listas (ai, bi) Satisfacción 1 ≤ ai < bi ≤ i+ 1 para 1 ≤ i ≤ n, y b1 ≤ b2 ≤. ≤ bn. Después de restar 1 de cada uno bi, estas listas codifican las rutas en C 1 (n, n) y utilizando §4, detA(n) = C 1 n, n) = C2(n). Bibliografía [1] Valery A. Liskovets, enumeración exacta Tomata, Disc. Appl. Math., en la prensa, 2006. Versión anterior disponible en http://www.i3s.unice.fr/fpsac/FPSAC03/articles.html http://www.i3s.unice.fr/fpsac/FPSAC03/articles.html [2] J. H. van Lint y R. M. Wilson, A Course in Combinatorics, 2nd ed., Cambridge University Press, NY, 2001. [3] Neil J. Sloane (fundador y encargado), La Enciclopedia en Línea de Integer Se- quences http://www.research.att.com:80/njas/sequences/index.html?blank=1 http://www.research.att.com:80/~njas/sequences/index.html?blank=1
Demostramos que un determinante de los números de ciclo Stirling cuenta sin etiqueta acíclica autómatas de una sola fuente. La prueba implica una bijección de estos autómatas a algunos caminos de celosía marcados y una involución de inversión de signos para evaluar el determinante.
Introducción El propósito principal de este artículo es mostrar bijectamente que un determinante de los números de ciclo Stirling cuenta autómatas acíclicos de una sola fuente sin etiqueta. Específicamente, deje que Ak(n) denote la matriz kn × kn con (i, j) entrada [ i−1 i−1 1+i−j , donde es el número del ciclo de Stirling, el número de permutaciones en [i] con ciclos j. Por ejemplo, A2(5) = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6 11 6 0 0 0 0 0 0 0 1 6 11 6 0 0 0 0 0 0 0 1 10 35 50 24 0 0 0 0 0 1 10 35 50 0 0 0 0 0 0 1 15 85 0 0 0 0 0 0 0 1 15 http://arxiv.org/abs/0704.004v1 Como es evidente en el ejemplo, Ak(n) se forma a partir de k copias de cada una de las filas 2 a n+1 del triángulo del ciclo de Stirling, dispuesto de modo que la primera entrada no cero en cada fila es un 1 y, después de la primera fila, este 1 ocurre justo antes de la diagonal principal; en otras palabras, Ak(n) es una matriz de Hessenberg con 1s en la infradiagonal. Vamos a mostrar Teorema Principal. El determinante de Ak(n) es el número de mono- autómatas de origen con n estados transitorios en un alfabeto de entrada (k + 1) letras. En la sección 2 se examina la terminología básica para contar las relaciones automatizadas y recurrentes autómatas acíclicos finitos. En la sección 3 se introducen las vías subdiagonales marcadas con columnas, que jugar un papel intermedio, y una manera de codificarlos. En la sección 4 se presenta una estos caminos subdiagonales marcados con columnas a autómatas acíclicos sin etiquetar de una sola fuente. Fi- nally, la sección 5 evalúa detAk(n) usando una involución de inversión de signos y muestra que la determinante cuenta los códigos para las rutas subdiagonales con marca de columna. 2 Automatas Un autómata (completa, determinista) consiste en un conjunto de estados y un alfabeto de entrada cuyas letras transforman los estados entre sí: una carta y un estado producen otro Estado (posiblemente el mismo). Un autómata finito (conjunto finito de estados, alfabeto de entrada finito de, digamos, k letras) se puede representar como un multógrafo dirigido k-regular con bordes ordenados: los vértices representan los estados y el primero, segundo,. .. borde de un vértice dan el efecto del primero, segundo,. .. letra del alfabeto en ese estado. Un autómata finito no puede ser acíclico en el sentido habitual de no ciclos: elegir un vértice y seguir cualquier camino de él. Este camino debe finalmente golpeó un vértice previamente encontrado, creando así un ciclo. Así que el término acíclico se utiliza en el sentido más suelto que sólo un vértice, llamado el fregadero, está involucrado en ciclos. Esto significa que todos los bordes del lazo del fregadero de nuevo a sí mismo (y puede ser omitida) y todos los otros caminos se alimentan en el fregadero. Un estado no-sumidero se llama transitorio. El tamaño de un autómata acíclico es el número de estados transitorios. Un autómata acíclico de tamaño n por lo tanto tiene estados transitorios que etiquetamos 1, 2,........................................................................................................................................................................................... Liskovets [1] utiliza el principio de inclusión-exclusión (más sobre esto a continuación) para obtener la siguiente relación de recurrencia para el número ak(n) de autómatas acíclicos del tamaño n en un alfabeto de entrada de letra k (k ≥ 1): ak(0) = 1; ak(n) = (−1)n−j−1 (j + 1)k(n−j)ak(j), n ≥ 1. Una fuente es un vértice sin bordes entrantes. Un autómata acíclico finito tiene al menos una fuente porque un camino atravesó hacia atrás v1 ← v2 ← v3 ←. .. debe tener distinto vértices y así no pueden continuar indefinidamente. Un autómata es de una sola fuente (o inicialmente conectado) si sólo tiene una fuente. Deje que Bk(n) denote el conjunto de una fuente acíclica autómatas finitos (SAF) en un alfabeto de entrada de letra k con vértices 1, 2,...., n + 1 donde 1 es la fuente y n + 1 es el fregadero, y set bk(n) = Bk(n). La representación en dos líneas de un autómata en Bk(n) es la matriz de 2×kn cuyas columnas listan los bordes en orden. Por ejemplo, 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 5 5 2 4 6 6 6 6 6 6 3 5 3 2 2 6 está en B3(5) y las rutas de origen a fregadero en B incluyen 1 → 6, 1 → 6, 1 → 6, donde el alfabeto es {a, b, c}. Proposición 1. El número bk(n) de SAF autómata del tamaño n en un alfabeto de entrada de letra k (n, k ≥ 1) bk(n) = (−1)n−i (i+1)k(n-i)ak(i) Nota Esta fórmula es un poco más sucinta que la recurrencia en [1, Teorema 3.2]. Prueba Considere el conjuntoA de autómatas acíclicos con vértices transitorios [n] = {1, 2,..., n} en la que 1 es una fuente. Llamar 2, 3,..., n los vértices interiores. Para X [2, n], vamos f(X) = # autómatas en A cuyo conjunto de vértices interiores incluye X, g(X) = # autómata en A cuyo conjunto de vértices interiores es precisamente X. Entonces f(X) = Y:XY[2,n] g(Y) y por Möbius inversión [2] en la celosía de subconjuntos de [2, n], g(X) = Y:XY[2,n] μ(X, Y)f(Y) donde μ(X, Y) es la función Möbius para esto Enrejado. Desde μ(X, Y) = (−1)Y X si X Y, tenemos en particular que g(­) = Y[2,n] (−1) Y f(Y ). 1).......................................................................................................................................................... Dejar Y = n − i de modo que 1 ≤ i ≤ n. Cuando Y consiste enteramente de fuentes, los vértices en [n+1]\Y y sus bordes de incidente forman un subautomatón con i estados transitorios; allí son ak(i) tales. También, todos los bordes de los n − i vértices que componen Y ir directamente en [n + 1]\Y : (i + 1)k(n-i) opciones. Así f(Y) = (i + 1)k(n-i)ak(i). Por definición, g(­) es el número de autómatas en A para los cuales 1 es la única fuente, es decir, g(­) = bk(n) y la La propuesta se deriva ahora de (1). Un autómata SAF sin etiquetar es una clase de equivalencia de autómatas SAF bajo reetiquetado de los vértices interiores. Liskovets nota [1] (y demostramos a continuación) que Bk(n) no tiene automorfismos no triviales, es decir, cada uno de los (n− 1)! reetiquetados de los vértices interiores de B-Bk(n) produce un autómata diferente. Así que autómatas SAF sin etiqueta de tamaño n en un alfabeto de letra-k se cuenta por 1 (n−1)! bk(n). El siguiente resultado establece un canon representante en cada clase de reetiquetado. Proposición 2. Cada clase de equivalencia en Bk(n) bajo reetiquetado de vértices interiores tiene ¡Tamaño (n− 1)! y contiene exactamente un autómata SAF con las “últimas ocurrencias ing” propiedad: las últimas ocurrencias de los vértices interiores—2, 3,..., n—en la fila inferior de su representación de dos líneas se producen en ese orden. Prueba La primera afirmación se deriva del hecho de que los vértices interiores de un au- bk(n) se puede distinguir intrínsecamente, es decir, independientemente de su etiquetado. Para ver esto, primero marque la fuente, a saber, 1, con una marca (nueva etiqueta) v1 y observe que existe al menos un vértice interior cuyo único borde(s) entrante(s) son de la fuente (el único vértice actualmente marcado) para de lo contrario un ciclo estaría presente. Para cada uno de ellos vértice interior v, elija el último borde del vértice marcado a v utilizando el incorporado orden de estos bordes. Esto determina un orden en estos vértices; marquelos en orden v2, v3,. .., vj (j ≥ 2). Si aún quedan vértices interiores sin marcar, al menos uno de ellos tiene bordes entrantes sólo de un vértice marcado o de nuevo un ciclo estaría presente. Por cada tal vértice, utilizar el último borde entrante de un vértice marcado, donde ahora los bordes son arreglados en orden de vértice inicial vi con los lazos de ruptura incorporados en orden, a orden y marca estos vértices vj+1, vj+2,.... Proceda de manera similar hasta que todos los vértices interiores estén marcados. Por ejemplo, para 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 5 5 2 4 6 6 6 6 6 6 3 5 3 2 2 6 v1 = 1 y sólo hay un vértice interior, a saber, 4, cuyo único borde entrante es de la fuente, y así v2 = 4 y 4 se convierte en un vértice marcado. Ahora todos los bordes entrantes a 3 y 5 son de vértices marcados y los últimos tales bordes (construido en orden entra en jugar) son 4 → 5 y 4 → 3 poner vértices 3, 5 en el orden 5, 3. Así v3 = 5 y v4 = 3. Finalmente, v5 = 2. Esto demuestra la primera afirmación. Por la construcción de la vs, reetiquetando cada uno vértice interior i con el subíndice de su correspondiente v produce un autómata en Bk(n) con la propiedad “últimas ocurrencias aumentando” y es el único reetiquetado que lo hace. El ejemplo da resultados 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 5 5 5 2 6 4 3 4 5 5 6 6 6 6 6 6 Ahora deje que Ck(n) denote el conjunto de autómatas canónicos SAF en Bk(n) que representan un- etiquetada autómata; así Ck(n) = (n−1)! bk(n). De ahora en adelante, identificamos un au- tomate con su representante canónico. 3 Rutas subdiagonales marcadas por columnas Un camino subdiagonal (k, n, p) es una trayectoria de celosía de los pasos E = (1, 0) y N = (0, 1), E para Este y N para el norte, de (0, 0) a (kn, p) que nunca se elevan por encima de la línea y = 1 x. Vamos. Ck(n, p) indica el conjunto de tales rutas.Para k ≥ 1, está claro que Ck(n, p) es no vacío solamente para 0 ≤ p ≤ n y se conoce (teorema de votación generalizada) que Ck(n, p) = kn− kp+ 1 kn+ p+ 1 kn+ p + 1 Una ruta P en Ck(n, n) puede ser codificada por las alturas de sus pasos de E por encima de la línea y = −1; esto da una secuencia (bi) i=1 sujeto a las restricciones 1 ≤ b1 ≤ b2 ≤. ≤ bkn y b ≤ i/k para todos los i. Un camino subdiagonal marcado por la columna (k, n, p) es uno en el que, para cada i+ [1, kn], uno de se marcan los cuadrados de celosía por debajo del paso ith E y por encima de la línea horizontal y = −1, decir con un ‘ * ’. Let C k(n, p) denota el conjunto de estas rutas marcadas. b b b b b b b b b b b * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (0,0) (8,4) y = −1 y = 1 Un camino en C 2, 4, 3) Una trayectoria marcada P* en C k(n, n) se puede codificar por una secuencia de pares (ai, bi) donde i=1 es el código para la ruta subyacente P y ai â € [1, bi] da la posición de la â € en la ith columna. El ejemplo está codificado por (1, 1), (1, 1), (1, 2), (2, 2), (1, 2), (3, 3), (1, 3), (2, 3). Una suma explícita para C k(n, n) es k(n, n) = 1≤b1≤b2≤...≤bkn, b ≤ i/k para todos los i b1b2. .. bkn, porque la suma b1b2. .. bkn es el número de maneras de insertar los ‘ * ’ en el subyacente ruta codificada por (bi) También es posible obtener una recurrencia para C k(n, p), y luego, usando Prop. 1, a mostrar analíticamente que C k(n, n) = Ck+1(n). Sin embargo, es mucho más agradable a dar una bijección y en la siguiente sección lo haremos. En particular, el número de FAS autómatas en un alfabeto de 2 letras es C2(n) = C 1 n, n) = 1≤b1≤b2≤...≤bn b ≤ i para todos los i b1b2. .. bn = (1, 3, 16, 127, 1363,.......................................................................................................................................... secuencia A082161 en [3]. 4 Biyección de Rutas a Automata En esta sección exhibimos una bijección de C k(n, n) a Ck+1(n). Usando la ilustración ruta como ejemplo de trabajo con k = 2 y n = 4, b b b b b b b b b b b * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (0,0) (8,4) y = −1 y = 1 primero construir la fila superior de una representación de dos líneas que consta de k + 1 cada 1s, 2s, . ............................................................................................................................................................................................................................................................... El último paso en el camino es necesariamente un paso N. Para el segundo último, tercer último,...N pasos en el camino, cuente el número de pasos que lo siguen. Esto da una secuencia i1, i2,. ............................................................................ que cumplan 1 ≤ i1 < i2 <. .. < in−1 e ij ≤ (k + 1)j para todos j. Círculo de las posiciones i1, i2,. ............................................ la segunda fila en las posiciones en círculo: 2 3 4 Estas serán las últimas ocurrencias de 2, 3,...., n en la segunda fila. Trabajando desde el último columna en la ruta de vuelta a la primera, rellenar los espacios en blanco en la segunda fila de izquierda a derecha como sigue. Contar el número de cuadrados desde el * hasta el camino (incluyendo el * cuadrado) http://www.research.att.com:80/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=A082161 y añadir este número al número negrita más cercano a la izquierda de la entrada en blanco actual (si no hay números en negrita a la izquierda, añada este número a 1) e inserte el resultado en el cuadrado en blanco actual. En el ejemplo los números de cuadrados son 2,3,1,2,1,2,1,1 rendimiento 2 4 5 3 3 5 4 5 4 5 5 Esto llenará todas las entradas en blanco excepto la última. Tenga en cuenta que * s en la fila inferior corresponden para hundir (es decir, n+1) etiquetas en la segunda fila. Por último, insertar n+1 en el último resto espacio en blanco para dar el autómata de la imagen: 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 2 4 5 3 3 5 4 5 4 5 5 5 Este proceso es completamente reversible y el mapa es una bijección. 5 Evaluación de detAk(n) Para simplificar, tratamos el caso k = 1, dejando la generalización a arbitrario k como un ejercicio no demasiado difícil para el lector interesado. Escriba A(n) para A1(n). Por lo tanto A(n) = 1≤i,j≤n . A partir de la definición de detA(n) como una suma de productos firmados, nosotros mostrar que detA(n) es el peso total de ciertas listas de permutaciones, cada lista que lleva peso ±1. Entonces una involución que invierte el peso cancela todos los −1 pesos y reduce el problema para contar las listas de sobrevivientes. Estas listas supervivientes son esencialmente los códigos para rutas en C 1 (n, p), y el Teorema Principal sigue del § 4. Para describir las permutaciones dando una contribución no cero a detA(n) =  sgn i=1 ai,(i), definir el código de una permutación  en [n] para ser la lista c = (ci) i=1 con ci = (i)−(i−1). Desde la entrada (i, j) de A(n), , es 0 a menos que j ≥ i−1, debemos tener (i) ≥ i−1 para todos los i. Es bien sabido que hay 2n−1 tales permutaciones, correspondientes a las composiciones de n, con códigos caracterizados por las cuatro condiciones siguientes: i) ci ≥ 0 para todos los i, ii) c1 ≥ 1, iii) cada ci ≥ 1 es inmediatamente seguido de ci − 1 ceros en la lista, i=1 ci = n. Llamemos a tal lista una composición acolchada de n: borrar los ceros es una bijección a composiciones ordinarias de n. Por ejemplo, (3, 0, 0, 1, 2, 0) es un acolchado composición de 6. Para una permutación  con código de composición acolchado c, el no cero las entradas en c dan las longitudes del ciclo de . Por lo tanto sgnđ, que es la paridad de “nciclos (−1)#0s in c. Tenemos detA(n) =  sgn  i=1 ai,(i) =  sgn  2i(i) , y así detA(n) = (−1)#0s in c i+ 1− ci cuando la suma se limite a composiciones acolchadas c de n con ci ≤ i para todos i (A002083) porque i+1−ci = 0 a menos que ci ≤ i. A partir de ahora, escribamos todas las permutaciones en forma de ciclo estándar por el cual el más pequeño la entrada se produce primero en cada ciclo y estas entradas más pequeñas aumentan de izquierda a derecha. Por lo tanto, con los ciclos de separación de guiones, 154-2-36 es la forma estándar del ciclo de la permutación ( 1 2 3 4 5 65 2 6 1 4 3 ). Definimos una entrada no primera para ser una que no comienza un ciclo. Por lo tanto, la la permutación anterior tiene 3 entradas no primeras: 5,4,6. Tenga en cuenta que el número de nonfirst entradas es 0 sólo para la permutación de identidad. Denotamos una permutación de identidad (de cualquier (tamaño) por. Por definición del número de ciclo de Stirling, el producto en (2) listas de recuentos ( i=1 de permu- En los casos en que se trate de una permutación en [i+1] con ciclos i+1− ci, equivalentemente, con ci ≤ i nonfirst entrys. Definir Ln para ser el conjunto de todas las listas de permutaciones i=1 donde πi es una permutación en [i + 1], #nonfirst en cada permutación de no identidad πi es seguida inmediatamente por ci − 1 • s donde ci ≥ 1 es la número de entradas que no son las primeras (por lo que el número total de entradas que no son las primeras es n). Asignar a peso en peso a η ° Ln por wt(η) = (−1) # Está en π. Entonces detA(n) = wt(l). Ahora definimos una involución de inversión de peso en (la mayoría de) Ln. Teniendo en cuenta el número de Ln, escanee el lista de sus permutaciones de componentes η1 = (1, 2), η2, η3,. .. de izquierda a derecha. Detente al principio. una que: i) tenga más de una entrada que no sea la primera, o ii) tenga sólo una entrada que no sea la primera, b decir, y b > máximo nonfirst entrada m de la siguiente permutación en la lista. Digamos que lk es el Permutación donde nos detenemos. http://www.research.att.com:80/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=A002083 En el caso i) decremento (es decir, Disminuir en 1) el número de personas que figuran en la lista dividiendo la cantidad de personas que figuran en la lista en dos permutaciones de no identidad como sigue. Deje m ser la entrada más grande nonfirst de ηk Y que yo sea su predecesor. Sustitúyase ηk y su sucesor en la lista (necesariamente un ) por las dos permutaciones siguientes: primero la transposición (l,m) y segundo la permutación obtenido de ηk borrando m de su ciclo y convirtiéndola en un singleton. Aquí están. dos ejemplos de este caso (recordar las permutaciones están en forma de ciclo estándar y, para mayor claridad, ciclos singleton no se muestran). i 1 2 3 4 5 6 12 13 23 14-253 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # i 1 2 3 4 5 6 12 13 23 25 14-23 i 1 2 3 4 5 6 12 23 14 13-24 23 i 1 2 3 4 5 6 12 23 14 24 13 23 El lector puede comprobar fácilmente que esto envía el caso (i) al caso (ii). En el caso ii), ηk es una transposición (a, b) con b > máximo nonfirst entry m de ηk+1. In en este caso, aumentar el número de los de la lista mediante la combinación de ηk y ηk+1 en un solo permutación seguida de un : en ηk+1, b es un singleton; borrar este singleton e insertar b inmediatamente después de una in ηk+1 (en el mismo ciclo). El lector puede comprobar que esto invierte el resultado en los dos ejemplos anteriores y, en general, envía el caso ii) al caso i). Desde el mapa altera el número de los de la lista por 1, que es claramente el peso-reversing. El mapa falla sólo para las listas que consisten en su totalidad de transposiciones y tienen la forma (a1, b1), (a2, b2),. ............................................................................................................................................................................................................................................................... ≤ bn. Tales listas tienen peso 1. Por lo tanto detA(n) es el número de listas (ai, bi) Satisfacción 1 ≤ ai < bi ≤ i+ 1 para 1 ≤ i ≤ n, y b1 ≤ b2 ≤. ≤ bn. Después de restar 1 de cada uno bi, estas listas codifican las rutas en C 1 (n, n) y utilizando §4, detA(n) = C 1 n, n) = C2(n). Bibliografía [1] Valery A. Liskovets, enumeración exacta Tomata, Disc. Appl. Math., en la prensa, 2006. Versión anterior disponible en http://www.i3s.unice.fr/fpsac/FPSAC03/articles.html http://www.i3s.unice.fr/fpsac/FPSAC03/articles.html [2] J. H. van Lint y R. M. Wilson, A Course in Combinatorics, 2nd ed., Cambridge University Press, NY, 2001. [3] Neil J. Sloane (fundador y encargado), La Enciclopedia en Línea de Integer Se- quences http://www.research.att.com:80/njas/sequences/index.html?blank=1 http://www.research.att.com:80/~njas/sequences/index.html?blank=1
704.001
From dyadic $\Lambda_{\alpha}$ to $\Lambda_{\alpha}$
DE DÍA A DÍA WAEL ABU-SHAMMALA Y ALBERTO TORCHINSKY Resumen. En este artículo mostramos cómo calcular la norma â € ¢, α ≥ 0, usando la cuadrícula dyádica. Este resultado es una consecuencia de la descripción de el Hardy espacios Hp(RN) en términos de átomos dyadic y especiales. Recientemente, varios métodos novedosos para calcular la norma BMO de una función f en dos dimensiones fueron discutidos en [9]. Dada su importancia, es también de interés por explorar la posibilidad de calcular la norma de una función de OMG, o más generalmente una función en la clase Lipschitz, usando la cuadrícula dyádica en RN. Resulta que la cuestión de los OMG está estrechamente relacionada con la de los OMG. funciones de aproximación en el espacio Hardy H1(RN) por el sistema Haar. La aproximación en H1(RN ) por los sistemas afín se demostró en [2], pero este el resultado no se aplica al sistema Haar. Ahora, si HA(R) denota el cierre del sistema Haar en H1(R), no es difícil ver que la distancia d(f,HA) de f-H1(R) a HA f(x) dx •, véase [1]. Por lo tanto, ni los átomos dyádicos suficiente para describir los espacios Hardy, ni la evaluación de la norma en BMO puede reducirse a un cálculo sencillo utilizando los intervalos dyádicos. En este documento abordamos ambas cuestiones. Primero, damos una caracterización de los espacios Hardy Hp(RN ) en términos de átomos dyadic y especiales, y luego, por un argumento de dualidad, mostramos cómo calcular la norma en â € (R N ), α ≥ 0, usando la cuadrícula dyádica. Comenzamos por introducir algunas anotaciones. Deja que J denote una familia de cubos Q en RN, y Pd la colección de polinomios en R N de grado inferior o igual a igual a d. Dado α ≥ 0, Q â € J, y una función localmente integrable g, dejar pQ(g) denotar el polinomio único en P[α] de tal manera que [g − pQ(g)]χQ ha desaparecido momentos hasta el orden [α]. Para una función localmente integrable cuadrado g, consideramos la función máxima α,J g(x) dado por α,J g(x) = sup X-Q-Q-J. Q/N g(y)− pQ(g(y) 1991 Clasificación del sujeto de las matemáticas. 42B30,42B35. http://arxiv.org/abs/0704.0005v1 2 WAEL ABU-SHAMMALA Y ALBERTO TORCHINSKY El espacio Lipschitz,J consiste en esas funciones g tal que M α,J g es en L­, g,J = M α,J g; cuando la familia en cuestión contiene todos los cubos en RN, simplemente omitimos el subíndice J. Por supuesto, 0 = BMO. Otras dos familias, de naturaleza dyádica, son de interés para nosotros. Intervalos en R de la forma In,k = [ (k−1)2 n, k2n], donde k y n son enteros arbitrarios, positivos, negativo o 0, se dice que es dyádico. En RN, cubos que son el producto de intervalos dyádicos de la misma longitud, es decir, de la forma Qn,k = In,k1 · In,kN, se llaman dyádicos, y la colección de todos estos cubos se denota D. También está la familia D0. Deja que yo... n,k = [(k− 1)2 n, (k+ 1)2n], donde k y n son enteros arbitrarios. Claramente ′n,k es dyadic si k es impar, pero no si k es par. Ahora, la colección {I ′n,k : n, k enteros} contiene todos los intervalos dyádicos también como los cambios [(k − 1)2n + 2n−1, k 2n + 2n−1] de los intervalos dyádicos por su La mitad de largo. En RN, poner D0 = {Q n,k : Q n,k = I × · · × I ′n,kN }; Q n,k es llamado cubo especial. Tenga en cuenta que D0 contiene D correctamente. Por último, dado I ′n,k, dejar que yo n,k = [(k − 1)2 n, k2n], y I n,k = [k2 n, (k + 1)2n]. Los subcubos 2N de Q′n,k = I × · · · × I ′n,kN del formulario I × · · · × I Sj = L o R, 1 ≤ j ≤ N, se llaman subcubes dyádicos de Q Que Q0 denote el cubo especial [−1, 1] N. Dado α ≥ 0, construimos un familia Sα de splines polinomios a trozos en L 2 (Q0) que será útil en caracterizando a â € â € TM. Dejar A ser el subespacio de L 2-Q0) que consiste en todas las funciones con momentos de desaparición hasta el orden [α] que coinciden con un polinomio en P[α] sobre cada uno de los 2 N subcubes dyádicos de Q0. A es una dimensión finita subespacio de L2(Q0), y, por lo tanto, por la ortogonalización Graham-Schmidt proceso, digamos, A tiene una base ortonormal en L2(Q0) que consiste en funciones p1,. ..., pM con momentos de desaparición hasta el orden [α], que coinciden con un polinomio en P[α] en cada subintervalo diádico de Q0. Junto con cada p también consideramos todas las dilaciones dyádicas y traducciones enteras dadas por pLn,k,α(x) = 2 n(N)pL(2nx1 + k1,. 2........................................................... nxN + kN ), 1 ≤ L ≤ M, y dejar que Sα = {p n,k,α : n, k enteros, 1 ≤ L ≤ M}. Nuestro primer resultado muestra cómo se puede utilizar la cuadrícula dyadic para calcular la norma en la letra a). Teorema A. Dejar g ser una función localmente integrable cuadrado y α ≥ 0. Entonces, g + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + g, p # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Además, D + Aα(g). Además, también es cierto, y la prueba se da en la Proposición 2.1 ser- bajo, que â â € â € â € â € â € â € â € â â € â € â â € â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â, D0. Sin embargo, en esta formulación más simple, el árbol la estructura de los cubos en D se ha perdido. DE DÍA A DÍA 3 La prueba de Teorema A se basa en una investigación a fondo de la predual de â € ¢, a saber, el espacio Hardy H p(RN) con 0 < p = (α + N)/N ≤ 1. En el proceso que caracterizamos Hp en términos de subespacios más simples: H , o Hp dyádico, y H , el espacio generado por los átomos especiales en Sα. Específicamente, nosotros Teorema B. Let 0 < p ≤ 1, y α = N(1/p− 1). Entonces tenemos Hp = H donde la suma se entiende en el sentido de espacios Banach cuasinormed. El documento se organiza de la siguiente manera. En la Sección 1 mostramos que el individuo Los átomos de Hp pueden ser escritos como una superposición de átomos dyádicos y especiales; este hecho puede ser considerado como una extensión del resultado unidimensional de Fridli relativo a los átomos L- 1, véase [5] y [1]. Entonces, probamos Teorema B. En la sección 2 se discute cómo pasar de â € € TM, D, y â €, D0, a la Lipschitz espacio. 1. Caracterización de los espacios Hardy Hp Adoptamos la definición atómica de los espacios Hardy Hp, 0 < p ≤ 1, ver [6] y [10]. Recuerde que una función de soporte compacto a con [N(1/p− 1)] momentos de desaparición es un L2 p -átomo con el cubo definitorio Q si supp(a) Q, y Q1/p a(x) 2dx ≤ 1. El espacio Hardy Hp(RN) = Hp consiste en las distribuciones f que pueden ser escrito como f = ♥jaj, donde los aj’s son H p átomos, j p < فارسى, y la convergencia es en el sentido de distribuciones, así como en Hp. Además, # FHp # # Inf # j donde el infimum es tomado sobre todas las posibles descomposiciones atómicas de f. última expresión se ha llamado tradicionalmente la norma atómica Hp de f. Las colecciones de átomos con propiedades especiales se pueden utilizar para obtener un mejor comprensión de los espacios Hardy. Formalmente, dejar A ser un subconjunto no vacío de L2 p -átomos en la bola de unidad de Hp. El espacio atómico H Ampliado por A consiste en los ♥ en Hp de la forma *Jaj, aj* *A* j p < فارسى. Se ve fácilmente que, dotado de la norma atómica Hp = inf j • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, se convierte en un espacio cuasinombrado completo. Claramente, H Hp, y, para f • H , + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 4 WAEL ABU-SHAMMALA Y ALBERTO TORCHINSKY Dos familias son de especial interés para nosotros. Cuando A es la colección de todos los L2 p -átomos cuyo cubo definidor es dyádico, el espacio resultante es H o Hp dyádico. Ahora, aunque "f"Hp ≤ "f"Hp , las dos cuasinormas no son equivalente en H . De hecho, para p = 1 y N = 1, las funciones fn(x) = 2 n[χ[1−2−n,1](x) − χ[1,1+2−n](x)], satisfacer «fn»H1 = 1, pero «fn»H1 n tiende a la infinidad con n. A continuación, cuando Sα es la familia de splines polinomios a trozos construidos arriba con α = N(1/p − 1), en analogía con los resultados unidimensionales en [4] y [1], H se conoce como el espacio generado por átomos especiales. Ahora estamos listos para describir los átomos de Hp como una superposición de dyádico y átomos especiales. Lemma 1.1. Dejar ser un L2 p -átomo con el cubo definitorio Q, 0 < p ≤ 1, y α = N(1/p − 1). A continuación, una se puede escribir como una combinación lineal de 2N átomos dyádicos ai, cada uno apoyado en uno de los subcubes dyádicos de los más pequeños cubo especial Qn,k que contiene Q, y un átomo especial b en Sα. Más precisamente, a(x) = i=1 di ai(x) + L=1 cL p −n,−k,α(x), con di, cL ≤ c. Prueba. Supongamos primero que el cubo definitorio de a es Q0, y dejar Q1,. .., Q2N denotan los subcubos dyádicos de Q0. Además, {e) i,. .., e i } denotar un base ortonormal del Ai subespacial de L 2-Qi) compuesto de polinomios en P[α], 1 ≤ i ≤ 2 N. Pon αi(x) = a(x)χQi (x)− * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * j(x), 1 ≤ i ≤ 2 y observar que i, e i = 0 para 1 ≤ j ≤ M. Por lo tanto, αi ha desaparecido [α] momentos, se apoya en Qi, y 2 ≤ 1 × 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ≤ (M + 1) ≤ (M + 1) ≤ (Qi+2) ≤ (M + 1) ≤ (M + 1) ≤ (M + 1) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ai(x) = 2N(1/2−1/p) M + 1 αi(x), 1 ≤ i ≤ N, es un átomo L2 p - dyádico. Por último, poner b(x) = a(x) − M + 1 2N(1/2−1/p) ai(x). DE DÍA A 5 Claramente b tiene [α] momentos de desaparición, se apoya en Q0, coincide con un polinomio en P[α] en cada subcubo diádico de Q0, y â € TM bâ € 22 ≤ aχQi, e 2 ≤ M â € a € 22. Por lo tanto, b A, y, en consecuencia, b (x) = L=1 cL p L(x), donde cL = b, p L ≤ c, 1 ≤ L ≤ M. En el caso general, que Q sea el cubo definitorio de a, la longitud lateral Q = l, y dejar n y k = (k1,. .., kN ) ser elegido de modo que 2 n−1 ≤ l < 2n, y Q â € [(k1 − 1)2 n, (k1 + 1)2 n]× ·· · × [(kN − 1)2 n, (kN + 1)2 Entonces, (1/2)N ≤ Q/2nN < 1. Ahora, dado x â € ¢ Q0, dejar un ′ ser la traducción y la dilatación de un dado por a′(x) = 2nN/pa(2nx1 − k1,. 2........................................................... nxN − kN ). Claramente, [α] los momentos de un ′ desaparecen, y 2 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 nN/p 2−nN/2+a+2 ≤ c Q 1/pQ1/2â > 2 ≤ c. Por lo tanto, a′ es un múltiplo de un átomo con el cubo que define Q0. Por la primera parte de la prueba, a′(x) = i(x) + L(x), x(+) Q0. El soporte de cada a′i está contenido en uno de los subcubos dyadic de Q0, y, En consecuencia, hay una k tal que ai(x) = 2 −nN/pa′i(2 − nx1 − k1,. 2........................................................... − nxN − kN ) ai es una L 2p -átomo apoyado en uno de los subcubos dyadic de Q. Del mismo modo para los pL. Por lo tanto, a(x) = di ai(x) + − n,− k,N(1/p−1)(x), y hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Teorema B sigue fácilmente de Lemma 1.1. Claramente, H Hp. Por el contrario, dejar f = j j aj ser en H p. Por Lemma 1.1 cada aj se puede escribir como una suma de átomos dyádicos y especiales, y, al distribuir la suma, podemos escribir f = fd + fs, con fd en H , fs en H , y â € € TM TM fdâ € TM Hp , â € ¢fsâ € ¢Hp j Tomando el infimum sobre las descomposiciones de f obtenemos â € â € â € TM TM Hp c + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + p H . Esto completa la prueba. 6 WAEL ABU-SHAMMALA Y ALBERTO TORCHINSKY El significado de esta descomposición es el siguiente. Los cubos en D son con- contenido en uno de los cuadrantes 2N no superpuestos de RN. Para permitir la información transportada por un cubo dyádico para ser transmitida a un dyádico adyacente cubo, deben estar conectados. El pLn,k,α canal de información a través de anuncios cubos dyádicos jacent que de otro modo permanecerían desconectados. El lector no tendrá dificultad alguna para demostrar la versión cuantitativa de esta observación: Que T sea una asignación lineal definida en Hp, 0 < p ≤ 1, que asume valores en un espacio de Banach cuasinombrado X. Entonces, T es continua si, y sólo si, la restricciones de T a H y H son continuas. 2. Caracterizaciones de Teorema A describe cómo pasar de â € ¢, D a â € TM, y lo probamos a continuación. Desde (Hp)* = y (H) )* =,D, del Teorema B se sigue fácilmente que # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # )*, por lo que sólo queda por demostrar que (H )* se caracteriza por por la condición Aα(g) < فارسى. Primera nota que si g es una función localmente integrable cuadrado con Aα(g) < y f = j,L cj,L p nj,kj,α , desde 0 < p ≤ 1, g, f ≤ cj,L g, p nj,kj,α ≤ Aα(g) cj,L y, en consecuencia, tomar el ínfimo sobre todas las descomposiciones atómicas de f en , obtenemos g # (H )* (Hp)* (Hp)****************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************** )* ≤ Aα(g). Para probar lo contrario procedemos como en [3]. Que Qn = [−2 N, 2n]N. Comenzamos observando que las funciones f en L2(Qn) que han desaparecido momentos hasta orden [α] y coinciden con polinomios de grado [α] en los subcubos dyadic de Qn pertenecen a H â € â € TM € TM TM TM TM Hp ≤ Qn 1/p-1/2°f+2. Teniendo en cuenta la letra h) del apartado 1 del artículo 4 del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se establece la organización común de mercados en el sector de la leche y de los productos lácteos y por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se establecen disposiciones de aplicación del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, por el que se establecen disposiciones de aplicación del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, por el que se establecen disposiciones de aplicación del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, por el que se establece la organización común de mercados en el sector de la leche y de los productos lácteos )*, para un n fijo consideremos la restricción de l al espacio funciones de L2 f con [α] momentos de desaparición que se soportan en Qn. Desde l(f) ≤ â â € â € â € € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM ≤ Qn 1/p-1/2°f+2, esta restricción es continua con respecto a la norma en L2 y, en consecuencia, se puede extender a una función lineal continua en L2 y se representa como l(f) = f(x) gn(x) dx, DE DÍA A DÍA 7 donde gn â € L 2(Qn) y satisface las condiciones siguientes: 1/p−1/2. Claramente, gn es determinado exclusivamente en Qn hasta un pn polinomio en P[α]. Por lo tanto, gn(x) − pn(x) = gm(x)− pm(x), a.e. x Qmin(n,m). En consecuencia, si g(x) = gn(x)− pn(x), x • Qn, g(x) está bien definido a.e. y, si f L2 tiene [α] momentos de desaparición y es apoyado en Qn, tenemos l(f) = f(x) gn(x) dx f(x) [gn(x)− pn(x)] dx f(x) g(x) dx. Además, dado que cada 2nN/ppL(2n k) es un L2 p-átomo, 1 ≤ L ≤ M, fácilmente De ello se desprende que: Aα(g) = sup 1≤L≤M n,kÃ3z g, 2−n/ppL(2n k) ≤ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + «pL», «Hp» ≤ «l», y, en consecuencia, Aα(g) ≤ , y (H) )* es el espacio deseado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. El lector no tendrá ninguna dificultad en demostrar que este resultado implica la siguiente: Dejar que T sea un operador lineal limitado de un espacio cuasinombrado X en â € TM a â € TM a â € TM a â TM a â TM a â TM a â TM a â TM a, D. Entonces, T se limita de X a si, y sólo si, Aα(Tx) ≤ c x x x por cada x x x. El proceso de promedio de las traducciones de funciones de BMO dyadic conduce a BMO, y es una herramienta importante para obtener resultados en BMO una vez que son Se sabe que es cierto en su homólogo dyádico, BMOd, véase [7]. También se conoce que BMO se puede obtener como la intersección de BMOd y uno de sus desplazados homólogas, véase [8]. Estos resultados motivan nuestra próxima propuesta, que esencialmente dice que g â € ¬ si, y sólo si, g â € €, D y g está en el Lipschitz clase obtenida de la cuadrícula dyádica desplazada. Tenga en cuenta que los cambios involucrados en esta clase están en todas las direcciones paralelas al eje de coordenadas y dependen de la longitud lateral del cubo. Proposición 2.1. # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Prueba. Es obvio que "g", D0 ≤ "g". Para mostrar la otra desigualdad nosotros Invoque el Teorema A. Dado que D • D0, basta con estimar Aα(g), o equiva- lenty, g, p para p Sα, α = N(1/p − 1). Por lo tanto, pick p = p n,k,α en Sα. Los definir cubo Q de pLn,k,α está en D0, y, desde p n,k,α tiene [α] momentos de desaparición, 8 WAEL ABU-SHAMMALA Y ALBERTO TORCHINSKY PLn,k,α, pQ(g) = 0. Por lo tanto, g, pLn,k, = g − pQ(g), p n,k, ≤ pLn,k,2 °g − pQ(g)°L2(Q) ≤ Q/N Q1/2pLn,k,2 g,D0. Ahora, un simple cambio de variables da Q/N Q1/2pLn,k,2 ≤ 1, y, con- Secuencialmente, también Aα(g) ≤ g,D0. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Bibliografía [1] W. Abu-Shammala, J.-L. Shiu, y A. Torchinsky, Caracterizaciones del Hardy espacio H1 y BMO, preimpresión. [2] H.-Q. Bui y R. S. Laugesen, Aproximación y extensión en el espacio Hardy, por sistemas de afina, Constr. Aprox., para aparecer. [3] A. P. Calderón y A. Torchinsky, Funciones máximas parabólicas asociadas a un distibución, II, Avances en matemáticas., 24 (1977), 101–171. [4] G. S. de Souza, Espacios formados por átomos especiales, I, Rocky Mountain J. Matemáticas. 14 (1984), No. 2, 423-431. [5] S. Fridli, Transición del diádico al verdadero espacio Hardy no periódico, Acta Math. Acad. Pedagogo. Niházi (N.S.) 16 (2000), 1–8, (electrónica). [6] J. Gara-Cuerva y J. L. Rubio de Francia, Desigualdades de normas ponderadas y relacionadas temas, Notas de Matemáticas 116, Holanda del Norte, Amsterdam, 1985. [7] J. Garnett y P. Jones, BMO de dyadic BMO, Pacific J. Matemáticas. 99 (1982), No. 2, 351–371. [8] T. Mei, BMO es la intersección de dos traducciones de BMO dyádico, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 336 (2003), no. 12, 1003–1006. [9] T. M. Le y L. A. Vese, descomposición de la imagen utilizando variación total y div( BMO)*, Modelo multiescala. Simul. 4, (2005), no. 2, 390-423. [10] A. Torchinsky, Métodos reales variables en el análisis armónico, Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2004. Departamento de Matemáticas, Universidad de Indiana, Bloomington IN 47405 Dirección de correo electrónico: wabusham@indiana.edu Departamento de Matemáticas, Universidad de Indiana, Bloomington IN 47405 Dirección de correo electrónico: torchins@indiana.edu 1. Caracterización de los espacios Hardy Hp 2. Caracterizaciones de Bibliografía
En este artículo mostramos cómo calcular la norma $\Lambda_{\alpha}$, $\alpha\ge 0$, usando la cuadrícula dyádica. Este resultado es una consecuencia de la descripción de los espacios Hardy $H^p(R^N)$ en términos de átomos dyádicos y especiales.
DE DÍA A DÍA WAEL ABU-SHAMMALA Y ALBERTO TORCHINSKY Resumen. En este artículo mostramos cómo calcular la norma â € ¢, α ≥ 0, usando la cuadrícula dyádica. Este resultado es una consecuencia de la descripción de el Hardy espacios Hp(RN) en términos de átomos dyadic y especiales. Recientemente, varios métodos novedosos para calcular la norma BMO de una función f en dos dimensiones fueron discutidos en [9]. Dada su importancia, es también de interés por explorar la posibilidad de calcular la norma de una función de OMG, o más generalmente una función en la clase Lipschitz, usando la cuadrícula dyádica en RN. Resulta que la cuestión de los OMG está estrechamente relacionada con la de los OMG. funciones de aproximación en el espacio Hardy H1(RN) por el sistema Haar. La aproximación en H1(RN ) por los sistemas afín se demostró en [2], pero este el resultado no se aplica al sistema Haar. Ahora, si HA(R) denota el cierre del sistema Haar en H1(R), no es difícil ver que la distancia d(f,HA) de f-H1(R) a HA f(x) dx •, véase [1]. Por lo tanto, ni los átomos dyádicos suficiente para describir los espacios Hardy, ni la evaluación de la norma en BMO puede reducirse a un cálculo sencillo utilizando los intervalos dyádicos. En este documento abordamos ambas cuestiones. Primero, damos una caracterización de los espacios Hardy Hp(RN ) en términos de átomos dyadic y especiales, y luego, por un argumento de dualidad, mostramos cómo calcular la norma en â € (R N ), α ≥ 0, usando la cuadrícula dyádica. Comenzamos por introducir algunas anotaciones. Deja que J denote una familia de cubos Q en RN, y Pd la colección de polinomios en R N de grado inferior o igual a igual a d. Dado α ≥ 0, Q â € J, y una función localmente integrable g, dejar pQ(g) denotar el polinomio único en P[α] de tal manera que [g − pQ(g)]χQ ha desaparecido momentos hasta el orden [α]. Para una función localmente integrable cuadrado g, consideramos la función máxima α,J g(x) dado por α,J g(x) = sup X-Q-Q-J. Q/N g(y)− pQ(g(y) 1991 Clasificación del sujeto de las matemáticas. 42B30,42B35. http://arxiv.org/abs/0704.0005v1 2 WAEL ABU-SHAMMALA Y ALBERTO TORCHINSKY El espacio Lipschitz,J consiste en esas funciones g tal que M α,J g es en L­, g,J = M α,J g; cuando la familia en cuestión contiene todos los cubos en RN, simplemente omitimos el subíndice J. Por supuesto, 0 = BMO. Otras dos familias, de naturaleza dyádica, son de interés para nosotros. Intervalos en R de la forma In,k = [ (k−1)2 n, k2n], donde k y n son enteros arbitrarios, positivos, negativo o 0, se dice que es dyádico. En RN, cubos que son el producto de intervalos dyádicos de la misma longitud, es decir, de la forma Qn,k = In,k1 · In,kN, se llaman dyádicos, y la colección de todos estos cubos se denota D. También está la familia D0. Deja que yo... n,k = [(k− 1)2 n, (k+ 1)2n], donde k y n son enteros arbitrarios. Claramente ′n,k es dyadic si k es impar, pero no si k es par. Ahora, la colección {I ′n,k : n, k enteros} contiene todos los intervalos dyádicos también como los cambios [(k − 1)2n + 2n−1, k 2n + 2n−1] de los intervalos dyádicos por su La mitad de largo. En RN, poner D0 = {Q n,k : Q n,k = I × · · × I ′n,kN }; Q n,k es llamado cubo especial. Tenga en cuenta que D0 contiene D correctamente. Por último, dado I ′n,k, dejar que yo n,k = [(k − 1)2 n, k2n], y I n,k = [k2 n, (k + 1)2n]. Los subcubos 2N de Q′n,k = I × · · · × I ′n,kN del formulario I × · · · × I Sj = L o R, 1 ≤ j ≤ N, se llaman subcubes dyádicos de Q Que Q0 denote el cubo especial [−1, 1] N. Dado α ≥ 0, construimos un familia Sα de splines polinomios a trozos en L 2 (Q0) que será útil en caracterizando a â € â € TM. Dejar A ser el subespacio de L 2-Q0) que consiste en todas las funciones con momentos de desaparición hasta el orden [α] que coinciden con un polinomio en P[α] sobre cada uno de los 2 N subcubes dyádicos de Q0. A es una dimensión finita subespacio de L2(Q0), y, por lo tanto, por la ortogonalización Graham-Schmidt proceso, digamos, A tiene una base ortonormal en L2(Q0) que consiste en funciones p1,. ..., pM con momentos de desaparición hasta el orden [α], que coinciden con un polinomio en P[α] en cada subintervalo diádico de Q0. Junto con cada p también consideramos todas las dilaciones dyádicas y traducciones enteras dadas por pLn,k,α(x) = 2 n(N)pL(2nx1 + k1,. 2........................................................... nxN + kN ), 1 ≤ L ≤ M, y dejar que Sα = {p n,k,α : n, k enteros, 1 ≤ L ≤ M}. Nuestro primer resultado muestra cómo se puede utilizar la cuadrícula dyadic para calcular la norma en la letra a). Teorema A. Dejar g ser una función localmente integrable cuadrado y α ≥ 0. Entonces, g + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + g, p # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Además, D + Aα(g). Además, también es cierto, y la prueba se da en la Proposición 2.1 ser- bajo, que â â € â € â € â € â € â € â € â â € â € â â € â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â, D0. Sin embargo, en esta formulación más simple, el árbol la estructura de los cubos en D se ha perdido. DE DÍA A DÍA 3 La prueba de Teorema A se basa en una investigación a fondo de la predual de â € ¢, a saber, el espacio Hardy H p(RN) con 0 < p = (α + N)/N ≤ 1. En el proceso que caracterizamos Hp en términos de subespacios más simples: H , o Hp dyádico, y H , el espacio generado por los átomos especiales en Sα. Específicamente, nosotros Teorema B. Let 0 < p ≤ 1, y α = N(1/p− 1). Entonces tenemos Hp = H donde la suma se entiende en el sentido de espacios Banach cuasinormed. El documento se organiza de la siguiente manera. En la Sección 1 mostramos que el individuo Los átomos de Hp pueden ser escritos como una superposición de átomos dyádicos y especiales; este hecho puede ser considerado como una extensión del resultado unidimensional de Fridli relativo a los átomos L- 1, véase [5] y [1]. Entonces, probamos Teorema B. En la sección 2 se discute cómo pasar de â € € TM, D, y â €, D0, a la Lipschitz espacio. 1. Caracterización de los espacios Hardy Hp Adoptamos la definición atómica de los espacios Hardy Hp, 0 < p ≤ 1, ver [6] y [10]. Recuerde que una función de soporte compacto a con [N(1/p− 1)] momentos de desaparición es un L2 p -átomo con el cubo definitorio Q si supp(a) Q, y Q1/p a(x) 2dx ≤ 1. El espacio Hardy Hp(RN) = Hp consiste en las distribuciones f que pueden ser escrito como f = ♥jaj, donde los aj’s son H p átomos, j p < فارسى, y la convergencia es en el sentido de distribuciones, así como en Hp. Además, # FHp # # Inf # j donde el infimum es tomado sobre todas las posibles descomposiciones atómicas de f. última expresión se ha llamado tradicionalmente la norma atómica Hp de f. Las colecciones de átomos con propiedades especiales se pueden utilizar para obtener un mejor comprensión de los espacios Hardy. Formalmente, dejar A ser un subconjunto no vacío de L2 p -átomos en la bola de unidad de Hp. El espacio atómico H Ampliado por A consiste en los ♥ en Hp de la forma *Jaj, aj* *A* j p < فارسى. Se ve fácilmente que, dotado de la norma atómica Hp = inf j • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, se convierte en un espacio cuasinombrado completo. Claramente, H Hp, y, para f • H , + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 4 WAEL ABU-SHAMMALA Y ALBERTO TORCHINSKY Dos familias son de especial interés para nosotros. Cuando A es la colección de todos los L2 p -átomos cuyo cubo definidor es dyádico, el espacio resultante es H o Hp dyádico. Ahora, aunque "f"Hp ≤ "f"Hp , las dos cuasinormas no son equivalente en H . De hecho, para p = 1 y N = 1, las funciones fn(x) = 2 n[χ[1−2−n,1](x) − χ[1,1+2−n](x)], satisfacer «fn»H1 = 1, pero «fn»H1 n tiende a la infinidad con n. A continuación, cuando Sα es la familia de splines polinomios a trozos construidos arriba con α = N(1/p − 1), en analogía con los resultados unidimensionales en [4] y [1], H se conoce como el espacio generado por átomos especiales. Ahora estamos listos para describir los átomos de Hp como una superposición de dyádico y átomos especiales. Lemma 1.1. Dejar ser un L2 p -átomo con el cubo definitorio Q, 0 < p ≤ 1, y α = N(1/p − 1). A continuación, una se puede escribir como una combinación lineal de 2N átomos dyádicos ai, cada uno apoyado en uno de los subcubes dyádicos de los más pequeños cubo especial Qn,k que contiene Q, y un átomo especial b en Sα. Más precisamente, a(x) = i=1 di ai(x) + L=1 cL p −n,−k,α(x), con di, cL ≤ c. Prueba. Supongamos primero que el cubo definitorio de a es Q0, y dejar Q1,. .., Q2N denotan los subcubos dyádicos de Q0. Además, {e) i,. .., e i } denotar un base ortonormal del Ai subespacial de L 2-Qi) compuesto de polinomios en P[α], 1 ≤ i ≤ 2 N. Pon αi(x) = a(x)χQi (x)− * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * j(x), 1 ≤ i ≤ 2 y observar que i, e i = 0 para 1 ≤ j ≤ M. Por lo tanto, αi ha desaparecido [α] momentos, se apoya en Qi, y 2 ≤ 1 × 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ≤ (M + 1) ≤ (M + 1) ≤ (Qi+2) ≤ (M + 1) ≤ (M + 1) ≤ (M + 1) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ai(x) = 2N(1/2−1/p) M + 1 αi(x), 1 ≤ i ≤ N, es un átomo L2 p - dyádico. Por último, poner b(x) = a(x) − M + 1 2N(1/2−1/p) ai(x). DE DÍA A 5 Claramente b tiene [α] momentos de desaparición, se apoya en Q0, coincide con un polinomio en P[α] en cada subcubo diádico de Q0, y â € TM bâ € 22 ≤ aχQi, e 2 ≤ M â € a € 22. Por lo tanto, b A, y, en consecuencia, b (x) = L=1 cL p L(x), donde cL = b, p L ≤ c, 1 ≤ L ≤ M. En el caso general, que Q sea el cubo definitorio de a, la longitud lateral Q = l, y dejar n y k = (k1,. .., kN ) ser elegido de modo que 2 n−1 ≤ l < 2n, y Q â € [(k1 − 1)2 n, (k1 + 1)2 n]× ·· · × [(kN − 1)2 n, (kN + 1)2 Entonces, (1/2)N ≤ Q/2nN < 1. Ahora, dado x â € ¢ Q0, dejar un ′ ser la traducción y la dilatación de un dado por a′(x) = 2nN/pa(2nx1 − k1,. 2........................................................... nxN − kN ). Claramente, [α] los momentos de un ′ desaparecen, y 2 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 nN/p 2−nN/2+a+2 ≤ c Q 1/pQ1/2â > 2 ≤ c. Por lo tanto, a′ es un múltiplo de un átomo con el cubo que define Q0. Por la primera parte de la prueba, a′(x) = i(x) + L(x), x(+) Q0. El soporte de cada a′i está contenido en uno de los subcubos dyadic de Q0, y, En consecuencia, hay una k tal que ai(x) = 2 −nN/pa′i(2 − nx1 − k1,. 2........................................................... − nxN − kN ) ai es una L 2p -átomo apoyado en uno de los subcubos dyadic de Q. Del mismo modo para los pL. Por lo tanto, a(x) = di ai(x) + − n,− k,N(1/p−1)(x), y hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Teorema B sigue fácilmente de Lemma 1.1. Claramente, H Hp. Por el contrario, dejar f = j j aj ser en H p. Por Lemma 1.1 cada aj se puede escribir como una suma de átomos dyádicos y especiales, y, al distribuir la suma, podemos escribir f = fd + fs, con fd en H , fs en H , y â € € TM TM fdâ € TM Hp , â € ¢fsâ € ¢Hp j Tomando el infimum sobre las descomposiciones de f obtenemos â € â € â € TM TM Hp c + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + p H . Esto completa la prueba. 6 WAEL ABU-SHAMMALA Y ALBERTO TORCHINSKY El significado de esta descomposición es el siguiente. Los cubos en D son con- contenido en uno de los cuadrantes 2N no superpuestos de RN. Para permitir la información transportada por un cubo dyádico para ser transmitida a un dyádico adyacente cubo, deben estar conectados. El pLn,k,α canal de información a través de anuncios cubos dyádicos jacent que de otro modo permanecerían desconectados. El lector no tendrá dificultad alguna para demostrar la versión cuantitativa de esta observación: Que T sea una asignación lineal definida en Hp, 0 < p ≤ 1, que asume valores en un espacio de Banach cuasinombrado X. Entonces, T es continua si, y sólo si, la restricciones de T a H y H son continuas. 2. Caracterizaciones de Teorema A describe cómo pasar de â € ¢, D a â € TM, y lo probamos a continuación. Desde (Hp)* = y (H) )* =,D, del Teorema B se sigue fácilmente que # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # )*, por lo que sólo queda por demostrar que (H )* se caracteriza por por la condición Aα(g) < فارسى. Primera nota que si g es una función localmente integrable cuadrado con Aα(g) < y f = j,L cj,L p nj,kj,α , desde 0 < p ≤ 1, g, f ≤ cj,L g, p nj,kj,α ≤ Aα(g) cj,L y, en consecuencia, tomar el ínfimo sobre todas las descomposiciones atómicas de f en , obtenemos g # (H )* (Hp)* (Hp)****************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************** )* ≤ Aα(g). Para probar lo contrario procedemos como en [3]. Que Qn = [−2 N, 2n]N. Comenzamos observando que las funciones f en L2(Qn) que han desaparecido momentos hasta orden [α] y coinciden con polinomios de grado [α] en los subcubos dyadic de Qn pertenecen a H â € â € TM € TM TM TM TM Hp ≤ Qn 1/p-1/2°f+2. Teniendo en cuenta la letra h) del apartado 1 del artículo 4 del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se establece la organización común de mercados en el sector de la leche y de los productos lácteos y por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se establecen disposiciones de aplicación del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, por el que se establecen disposiciones de aplicación del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, por el que se establecen disposiciones de aplicación del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, por el que se establece la organización común de mercados en el sector de la leche y de los productos lácteos )*, para un n fijo consideremos la restricción de l al espacio funciones de L2 f con [α] momentos de desaparición que se soportan en Qn. Desde l(f) ≤ â â € â € â € € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM ≤ Qn 1/p-1/2°f+2, esta restricción es continua con respecto a la norma en L2 y, en consecuencia, se puede extender a una función lineal continua en L2 y se representa como l(f) = f(x) gn(x) dx, DE DÍA A DÍA 7 donde gn â € L 2(Qn) y satisface las condiciones siguientes: 1/p−1/2. Claramente, gn es determinado exclusivamente en Qn hasta un pn polinomio en P[α]. Por lo tanto, gn(x) − pn(x) = gm(x)− pm(x), a.e. x Qmin(n,m). En consecuencia, si g(x) = gn(x)− pn(x), x • Qn, g(x) está bien definido a.e. y, si f L2 tiene [α] momentos de desaparición y es apoyado en Qn, tenemos l(f) = f(x) gn(x) dx f(x) [gn(x)− pn(x)] dx f(x) g(x) dx. Además, dado que cada 2nN/ppL(2n k) es un L2 p-átomo, 1 ≤ L ≤ M, fácilmente De ello se desprende que: Aα(g) = sup 1≤L≤M n,kÃ3z g, 2−n/ppL(2n k) ≤ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + «pL», «Hp» ≤ «l», y, en consecuencia, Aα(g) ≤ , y (H) )* es el espacio deseado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. El lector no tendrá ninguna dificultad en demostrar que este resultado implica la siguiente: Dejar que T sea un operador lineal limitado de un espacio cuasinombrado X en â € TM a â € TM a â € TM a â TM a â TM a â TM a â TM a â TM a, D. Entonces, T se limita de X a si, y sólo si, Aα(Tx) ≤ c x x x por cada x x x. El proceso de promedio de las traducciones de funciones de BMO dyadic conduce a BMO, y es una herramienta importante para obtener resultados en BMO una vez que son Se sabe que es cierto en su homólogo dyádico, BMOd, véase [7]. También se conoce que BMO se puede obtener como la intersección de BMOd y uno de sus desplazados homólogas, véase [8]. Estos resultados motivan nuestra próxima propuesta, que esencialmente dice que g â € ¬ si, y sólo si, g â € €, D y g está en el Lipschitz clase obtenida de la cuadrícula dyádica desplazada. Tenga en cuenta que los cambios involucrados en esta clase están en todas las direcciones paralelas al eje de coordenadas y dependen de la longitud lateral del cubo. Proposición 2.1. # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Prueba. Es obvio que "g", D0 ≤ "g". Para mostrar la otra desigualdad nosotros Invoque el Teorema A. Dado que D • D0, basta con estimar Aα(g), o equiva- lenty, g, p para p Sα, α = N(1/p − 1). Por lo tanto, pick p = p n,k,α en Sα. Los definir cubo Q de pLn,k,α está en D0, y, desde p n,k,α tiene [α] momentos de desaparición, 8 WAEL ABU-SHAMMALA Y ALBERTO TORCHINSKY PLn,k,α, pQ(g) = 0. Por lo tanto, g, pLn,k, = g − pQ(g), p n,k, ≤ pLn,k,2 °g − pQ(g)°L2(Q) ≤ Q/N Q1/2pLn,k,2 g,D0. Ahora, un simple cambio de variables da Q/N Q1/2pLn,k,2 ≤ 1, y, con- Secuencialmente, también Aα(g) ≤ g,D0. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Bibliografía [1] W. Abu-Shammala, J.-L. Shiu, y A. Torchinsky, Caracterizaciones del Hardy espacio H1 y BMO, preimpresión. [2] H.-Q. Bui y R. S. Laugesen, Aproximación y extensión en el espacio Hardy, por sistemas de afina, Constr. Aprox., para aparecer. [3] A. P. Calderón y A. Torchinsky, Funciones máximas parabólicas asociadas a un distibución, II, Avances en matemáticas., 24 (1977), 101–171. [4] G. S. de Souza, Espacios formados por átomos especiales, I, Rocky Mountain J. Matemáticas. 14 (1984), No. 2, 423-431. [5] S. Fridli, Transición del diádico al verdadero espacio Hardy no periódico, Acta Math. Acad. Pedagogo. Niházi (N.S.) 16 (2000), 1–8, (electrónica). [6] J. Gara-Cuerva y J. L. Rubio de Francia, Desigualdades de normas ponderadas y relacionadas temas, Notas de Matemáticas 116, Holanda del Norte, Amsterdam, 1985. [7] J. Garnett y P. Jones, BMO de dyadic BMO, Pacific J. Matemáticas. 99 (1982), No. 2, 351–371. [8] T. Mei, BMO es la intersección de dos traducciones de BMO dyádico, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 336 (2003), no. 12, 1003–1006. [9] T. M. Le y L. A. Vese, descomposición de la imagen utilizando variación total y div( BMO)*, Modelo multiescala. Simul. 4, (2005), no. 2, 390-423. [10] A. Torchinsky, Métodos reales variables en el análisis armónico, Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2004. Departamento de Matemáticas, Universidad de Indiana, Bloomington IN 47405 Dirección de correo electrónico: wabusham@indiana.edu Departamento de Matemáticas, Universidad de Indiana, Bloomington IN 47405 Dirección de correo electrónico: torchins@indiana.edu 1. Caracterización de los espacios Hardy Hp 2. Caracterizaciones de Bibliografía
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Polymer Quantum Mechanics and its Continuum Limit
La mecánica cuántica de polímeros y su límite de continuidad Alejandro Corichi,1, 2, 3, ∗ Tatjana Vukašinac,4, † y José A. Zapata1, ‡ Instituto de Matemáticas, Unidad Morelia, Universidad Nacional Autónoma de México, UNAM-Campus Morelia, A. Postal 61-3, Morelia, Michoacán 58090, México Instituto de Ciencias Nucleares, Universidad Nacional Autónoma de México, A. Postal 70-543, México D.F. 04510, México Instituto de Física Gravitacional y Geometría, Departamento de Física, Pennsylvania State University, University Park PA 16802, EE.UU. Facultad de Ingeniería Civil, Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, Morelia, Michoacán 58000, México Una representación cuántica bastante no estándar de las relaciones canónicas de conmutación de sistemas mecánicos de tom, conocidos como la representación del polímero ha ganado cierta atención en los últimos años, debido a su posible relación con la física a escala de Planck. En particular, este enfoque ha sido el siguiente: seguido en un sector simétrico de la gravedad cuántica del bucle conocido como cosmología cuántica del bucle. Aquí vamos. explorar diferentes aspectos de la relación entre la teoría ordinaria de Schrödinger y el polímero descripción. El periódico tiene dos partes. En el primero, derivamos la mecánica cuántica del polímero a partir de la teoría ordinaria de Schrödinger y mostrar que la descripción del polímero surge como un límite adecuado. En la segunda parte consideramos el límite continuo de esta teoría, a saber, el proceso inverso en el que se parte de la teoría discreta e intenta recuperar de nuevo lo ordinario Schrödinger mecánica cuántica. Consideramos varios ejemplos de interés, incluyendo el armónico oscilador, la partícula libre y un modelo cosmológico simple. Números PACS: 04.60.Pp, 04.60.Ds, 04.60.Nc 11.10.Gh. I. INTRODUCCIÓN La llamada mecánica cuántica polimérica, una no- representación regular y algo «exótica» de la las relaciones canónicas de conmutación (CCR) [1], utilizado para explorar tanto las cuestiones matemáticas y físicas en teorías independientes de fondo tales como la grav cuántica- ity [2, 3]. Un ejemplo notable de este tipo de cuantificación, cuando se aplica a modelos minisuperespacio ha dado paso a lo que se conoce como cosmología cuántica de bucle [4, 5]. Al igual que en cualquier situación modelo de juguete, uno espera aprender sobre el sutiles cuestiones técnicas y conceptuales que están presentes en la gravedad cuántica completa por medio de di- simple, finito Ejemplos mensionales. Este formalismo no es una excepción a este respecto. Aparte de esta motivación que viene de física en la escala de Planck, uno puede preguntar independientemente para la relación entre la representación continua estándar las sentaciones y sus primos poliméricos a nivel de matemáticas... Física emática. Una comprensión más profunda de esta relación se vuelve importante por sí solo. La cuantificación del polímero está hecha de varios pasos. El primero es construir una representación de la álgebra Heisenberg-Weyl en un espacio Kinematical Hilbert que es “independiente en el fondo”, y que a veces es conocido como el poliespacial polimérico Hilbert Hpoly. Los la segunda y más importante parte, la aplicación de dinámica, se ocupa de la definición de un Hamiltonian (o Constreñimiento hamiltoniano) en este espacio. En los ejemplos * Dirección electrónica: corichi@matmor.unam.mx †Dirección electrónica: tatjana@shi.matmor.unam.mx ‡Dirección electrónica: zapata@matmor.unam.mx estudiado hasta ahora, la primera parte es bastante bien entendido, dando el espacio cinemático Hilbert Hpoly es decir, cómo- Nunca, no-separable. Para el segundo paso, un im natural la aplicación de la dinámica ha demostrado ser un poco más difícil, dado que una definición directa de la Hamiltonian de, digamos, una partícula en un potencial en el espacio Hpoly es no es posible ya que una de las principales características de esta representación sentation es que los operadores qâ € y pâ € no pueden ser a la vez definido simultáneamente (ni sus análogos en las teorías con variables más elaboradas). Por lo tanto, cualquier operador que implica (poderes de) la variable no definida tiene que estar regulados por un operador bien definido que normalmente implica la introducción de una estructura adicional en la configuración ración (o impulso) espacio, es decir, una celosía. Sin embargo, esta nueva estructura que juega el papel de un regulador puede no se retira cuando se trabaja en Hpoly y se deja uno con la ambigüedad que está presente en cualquier regularización. La libertad a la hora de elegirla puede ser asociada a veces con una escala de longitud (el espaciado de celosía). En el caso de las personas de edad ordinaria sistemas cuánticos tales como un oscilador armónico simple, que se ha estudiado en detalle desde el punto de vista del polímero punto, se ha argumentado que si se toma esta escala de longitud para ser «suficientemente pequeño», se puede aproximar arbitrariamente Mecánica cuántica estándar de Schrödinger [2, 3]. En el caso de cosmología cuántica de bucle, la brecha de área mínima A0 de la teoría de la gravedad cuántica completa impone tal escala, que entonces se considera fundamental [4]. Una pregunta natural es preguntar qué sucede cuando nosotros cambiar esta escala e ir a ‘distancias’ aún más pequeñas, que es, cuando refinamos la celosía en la que la dinámica de la teoría está definida. ¿Podemos definir la consistencia con- ¿diciones entre estas escalas? O incluso mejor, ¿podemos tomar el límite y encontrar así un límite continuo? Como ella. http://arxiv.org/abs/0704.0007v2 mailto:corichi@matmor.unam.mx mailto:tatjana@shi.matmor.unam.mx mailto:zapata@matmor.unam.mx se ha mostrado recientemente en detalle, la respuesta a ambos las preguntas son afirmativas [6]. En este caso, una la noción de escala se definía de tal manera que se podía definir los refinamientos de la teoría y posar en un preciso forma la cuestión del límite continuo de la teoría. Estos resultados también podrían ser vistos como la entrega de un procedimiento para eliminar el regulador cuando se trabaja en el apro- se comió el espacio. El propósito de este documento es explorar más a fondo diferentes aspectos de la relación entre el continuum y la representación del polímero. En particular, en la primera parte planteamos una nueva manera de derivar el polímero representación del ordinario Schrödinger represen- sión como límite adecuado. In Sec. II derivamos dos versiones de la representación del polímero como diferente lim- es de la teoría de Schrödinger. In Sec. III mostramos que estas dos versiones pueden ser vistas como diferentes polarizaciones de la representación «abstracta» del polímero. Estos resultados, a lo mejor de nuestro conocimiento, son nuevos y no han sido notificada en otro lugar. In Sec. IV planteamos el problema de la aplicación de la dinámica en el polímero representa- tion. In Sec. V motivamos aún más la cuestión de la límite continuo (es decir, la eliminación adecuada del regulador) y recordar las construcciones básicas de [6]. Varios exámenes... ples se consideran en Sec. VI. En particular, un simple oscilador armónico, la partícula libre de polímero y un sim- Se considera el modelo cuántico de cosmología. El libre la partícula y el modelo cosmológico representan un lización de los resultados obtenidos en [6], en los que sólo los sistemas con un espectro discreto y no degenerado, Sidered. Terminamos el trabajo con una discusión en Sec. VII. Con el fin de hacer el papel autónomo, vamos a mantener el nivel de rigor en la presentación a la que se encuentra en el literatura física teórica estándar. II. CUANTIZACIÓN Y POLÍMER REPRESENTACIÓN En esta sección derivamos el llamado repre- envío de la mecánica cuántica a partir de un reformulación de la representación ordinaria de Schrödinger. Nuestro punto de partida será el más simple de todos los posibles espacios de fase, a saber, • = R2 correspondientes a una partícula viviendo en la línea real R. Elijamos las coordenadas (q, p) sobre el mismo. Como primer paso consideraremos la cuantificación de este sistema que conduce a la teoría cuántica estándar en la descripción de Schrödinger. Una ruta conveniente es a introducir la estructura necesaria para definir el Fock rep- el resentimiento de tal sistema. Desde esta perspectiva, el el paso al caso polimérico se vuelve más claro. Aproximadamente hablando por una cuantificación uno significa un pasaje del soporte algebraico clásico, el soporte Poisson, {q, p} = 1 (1) a un soporte cuántico dado por el conmutador de la los operadores correspondientes, [ qâ, pâ €] = i~ 1â € (2) Estas relaciones, conocidas como la conmutación canónica re- ración (CCR) se convierten en la piedra más común de la esquina de la (kinemática de la) teoría cuántica; deben ser satisfecho por el sistema cuántico, cuando se representa en un Hilbert Space H. Hay puntos de partida alternativos para el cuántico cinemática. Aquí consideramos el álgebra generada por las versiones exponenteadas de qâ € y pâ € que se denotan U(α) = ei(α q)/~ ; V (β) = ei(β p)/~ donde α y β tienen dimensiones de impulso y longitud, respectivamente. El CCR ahora se convierte en U(α) · V (β) = e(−iα β)/~V (β) · U(α) (3) y el resto del producto es U(α1)·U(α2) = U(α12) ; V (β1)·V (β2) = V (β1+2) El álgebra W de Weyl se genera tomando lineal finito combinaciones de los generadores U(αi) y V (βi) donde el producto (3) se amplía por linealidad, (Ai U(αi) +Bi V (βi)) Desde esta perspectiva, la cuantificación significa encontrar un representación unitaria del álgebra W de Weyl en una Hilbert espacio H′ (que podría ser diferente de los ordi- nary Schrödinger representación). Al principio podría parecer raro para intentar este enfoque dado que sabemos cómo para cuantificar un sistema tan sencillo; ¿qué necesitamos? ¿Un objeto complicado como W? Es infinitamente dimensional, mientras que el conjunto S = {1», q», p, el punto de partida de la la cuantificación ordinaria de Dirac, es bastante simple. Está en la cuantificación de sistemas de campo que las ventajas de el enfoque de Weyl se puede apreciar plenamente, pero es también útil para la introducción de la cuantificación del polímero y comparándolo con la cuantificación estándar. Esta es la estrategia que seguimos. Una pregunta que uno puede hacer es si hay alguna libertad en la cuantificación del sistema para obtener lo ordinario Representación de Schrödinger. A primera vista podría parecer que no hay ninguno dado el único Stone-Von Neumann- Teorema de ness. Repasemos cuál sería el argumento. para la construcción estándar. Pidamos que el representante... El envío que queremos construir es del tipo Schrödinger, a saber, donde los estados son funciones de onda de configuración espacio (q). Hay dos ingredientes en la construcción de la representación, a saber, la especificación de cómo la los operadores básicos (qá, pá) actuarán, y la naturaleza del espacio de las funciones a las que • pertenece, que normalmente se fija por la elección del producto interior en H, o la medida μ en R. La opción estándar es seleccionar el espacio Hilbert a ser, H = L2(R, dq) el espacio de funciones integrables cuadradas con respecto a la medida de Lebesgue dq (invariante bajo constante trans- lations) en R. Los operadores se representan entonces como, qâ · â € (q) = (q â €)(q) y pâ · â € (q) = −i ~ •(q) (4) ¿Es posible encontrar otras representaciones? Con el fin de apreciar esta libertad vamos al álgebra de Weyl y construir la teoría cuántica al respecto. La representación del álgebra de Weyl que se puede llamar del ‘tipo Fock’ implica la definición de una estructura adicional en la fase espacio: una estructura compleja J. Es decir, un mapa lineal. Ping de a sí mismo de tal manera que J2 = −1. En dos dimensiones. sions, toda la libertad en la elección de J está contenida en la elección de un parámetro d con dimensiones de longitud. Lo siento. También es conveniente definir: k = p/~ que tiene dimensiones de 1/L. Tenemos entonces, Jd : (q, k) 7→ (−d2 k, q/d2) Este objeto junto con la estructura simpléctica: (q′, p′)) = q p′ − p q′ define un producto interior en * por la fórmula gd(· ; ·) = (· ; Jd ·) de tal manera que: gd(q, p); (q ′, p′)) = q q′ + que es sin dimensión y positiva definida. Tenga en cuenta que con estas cantidades se puede definir coordenadas complejas (, ) como de costumbre: q + i p ; = q − i d a partir de la cual se puede construir el estándar Fock representa- tion. Por lo tanto, se puede ver alternativamente la introducción del parámetro de longitud d como la cantidad necesaria para de- Coordenadas complejas finas (sin dimensión) en la fase espacio. Pero ¿cuál es la relevancia de este objeto (J o d)? La definición de coordenadas complejas es útil para la construcción del espacio Fock ya que de ellos uno puede definir, de una manera natural, la creación y la aniquilación operadores. Pero para la representación de Schrödinger somos Interesado aquí, es un poco más sutil. La sutileza es que dentro de este enfoque se utiliza la prop algebraica erties de W para construir el espacio Hilbert a través de lo que es conocido como el Gel’fand-Naimark-Segal (GNS) tion. Esto implica que la medida en el asunto Schrödinger representación se convierte en no trivial y por lo tanto la momen- el operador adquiere un término adicional con el fin de renderizar el operador autoadjunto. La representación del Weyl álgebra es entonces, cuando se actúa sobre las funciones فارسى(q) [7]: *(α) ·*(q) := (eiα q/~ ♥)(q) (β) · (q) := e (q/2) (q − β) La estructura espacial de Hilbert es introducida por el defini- ión de un estado algebraico (un funcional lineal positivo) D : W → C, que debe coincidir con la expectativa valor en el espacio Hilbert tomado en un estado especial ref- ered a como el vacío: d(a) = vac, para todos un W. En nuestro caso, esta especificación de J induce a un único de que los rendimientos, (α)vac = e− d2 α2 ~2 (5) Vócalo (β)Vócalo = e− d2 (6) Tenga en cuenta que los exponentes en la expectativa de vacío los valores corresponden a la métrica construida a partir de J : d2 α2 = gd(0, α); (0, α)) y = gd(β, 0); (β, 0). Las funciones de onda pertenecen al espacio L2(R, dμd), donde la medida que dicta el producto interior en este rep- la resensión es dada por, dμd = d2 dq En esta representación, el vacío es dado por el iden- función de la tity Ł0(q) = 1 es decir, al igual que cualquier onda de plano, normalizado. Tenga en cuenta que para cada valor de d > 0, el rep- la resención es bien definida y continua en α y β. Tenga en cuenta también que hay una equivalencia entre la q- representación definida por d y la k-representación de- multado por 1/d. ¿Cómo podemos recuperar entonces la representación estándar en la que la medida es dada por la medida Lebesgue y los operadores están representados como en (4)? Es fácil de ver que hay un isomorfismo isométrico K que mapea la d-representación en Hd a la norma Schrödinger representación en Hschr por: (q) = K · (q) = e d1/2η1/4 Hschr = L2(R, dq) Así vemos que todas las representaciones d son unitariamente equiv- Alent. Esto era de esperar en vista de la Stone-Von Resultado de la singularidad de Neumann. Tenga en cuenta también que el vacío ahora se convierte en 0(q) = d1/2η1/4 2 d2, Así que incluso cuando no hay información sobre el param- eter d en la representación en sí, está contenida en el estado de vacío. Este procedimiento para la construcción del GNS- Schrödinger representación para la mecánica cuántica ha también se generalizó a los campos escalares sobre curvas arbitrarias espacio en [8]. Nótese, sin embargo, que hasta ahora el tratamiento ha todos fueron cinemáticos, sin ningún conocimiento de un Hamil- Tonian. Para el Oscilador Armónico Simple de masa m y la frecuencia, hay una opción natural compatible con la dinámica dada por d = , en el que algunos los cálculos se simplifican (por ejemplo, para los estados coherentes), pero en principio se puede utilizar cualquier valor de d. Nuestro estudio se simplificará concentrándose en la las entidades mentales en el Hilbert Space Hd, a saber, los los estados generados por la acción con فارسى(α) en el vacío 0(q) = 1. Vamos a denotar esos estados por, (q) = ­(α) · ­0(q) = ei El producto interno entre dos de estos estados es dado por , d = dμd e ~ = e− ()2 d2 4 ~2 (7) Note, por cierto, que, contrariamente a alguna creencia común, las ‘ondas del avión’ en este espacio GNS Hilbert son de hecho normalizable. Consideremos ahora la representación del polímero. Por que, es importante tener en cuenta que hay dos posibles casos límite para el parámetro d: i) El límite 1/d 7→ 0 y ii) El caso d 7→ 0. En ambos casos, tenemos ex- presiones que se definan mal en la representación o medida, por lo que uno necesita tener cuidado. A. El caso 1/d 7→ 0. La primera observación es que de las expresiones (5) y (6) para el estado algebraico........................................................................................................................................................................................................................................................... En efecto, los casos están bien definidos. En nuestro caso obtenemos, A := lim1/d→0 A (α) =,0 y A (β) = 1 (8) A partir de esto, de hecho podemos construir la representación mediante la construcción del GNS. Con el fin de hacer eso y para mostrar cómo se obtiene esto vamos a considerar varios expresiones. Sin embargo, hay que tener cuidado, ya que el límite tiene que ser tomado con cuidado. Consideremos la medida sobre la representación que se comporta como: dμd = d2 dq 7→ 1 por lo que las medidas tienden a una medida homogénea, pero cuya ‘normalización constante’ va a cero, por lo que el límite se vuelve algo sutil. Volveremos a este punto. Más tarde. Veamos ahora qué pasa con el producto interior. entre las entidades fundamentales en el Hilbert Space Hd dado por (7). Es inmediato ver que en el 1/d 7→ 0 limitar el producto interior se convierte, , d 7→, con Kronecker como el delta de Kronecker. Vemos entonces que el ondas planas (q) se convierten en una base ortonormal para el nuevo espacio Hilbert. Por lo tanto, hay una interacción delicada entre los dos términos que contribuyen a la medida en mantener la normalidad de estas funciones; Necesitamos que la medida se humedezca (por 1/d) en orden evitar que las ondas planas adquieran una norma infinita (como sucede con la medida estándar de Lebesgue), pero por otro lado la medida, que para cualquier valor finito de d es un gaussiano, se vuelve cada vez más extendido. Es importante señalar que, en este límite, los operadores • (α) llegar a ser discontinuo con respecto a α, dado que para cualquier α1 y α2 (diferente), su acción en un determinado vector base (q) produce vectores ortogonales. Desde el continuidad de estos operadores es uno de los hipotesis de el teorema de Stone-Von Neumann, el resultado de la singularidad no se aplica aquí. La representación es inequivalente al estándar. Analicemos ahora el otro operador, a saber, el acción del operador Vó (β) sobre la base de (q): (β) · (q) = e− ~ e(β/d 2+iα/~)q que en el límite 1/d 7→ 0 va a, (β) · (q) 7→ ei ~ (q) que es continuo en β. Por lo tanto, en el límite, el operador = −iq está bien definido. Además, tenga en cuenta que en este límite el operador tiene (q) como su propio estado con valor propio dado por α: · (q) 7→ (q) Para resumir, la teoría resultante obtenida por el límite 1/d 7→ 0 de la descripción ordinaria de Schrödinger sión, que llamaremos la «representación de polímeros de tipo A», tiene las siguientes características: los operadores U(α) están bien definidos pero no continuos en α, por lo que no hay generador (sin operador asociado a q). La base vec- tors son ortonormales (para α tomando valores en un contin- y son autovectores del operador que es bien definido. El espacio resultante Hilbert HA será el (A-versión de la) representación del polímero. Vamos ahora. considerar el otro caso, a saber, el límite cuando d 7→ 0. B. El caso d 7→ 0 Exploremos ahora el otro caso limitante de la representaciones de Schrödinger/Fock etiquetadas por el eter d. Al igual que en el caso anterior, la limitación algebraica el estado se convierte, B := limd→0 •d de tal manera que, B(α) = 1 y B(V® (β)) = 0 (10) A partir de esta función lineal positiva, uno puede de hecho con- structe la representación usando la construcción GNS. Primero tomemos nota de que la medida, incluso cuando el límite debe ser tomado con el debido cuidado, se comporta como: dμd = d2 dq 7→ (q) dq Es decir, como distribución delta de Dirac. Es inmediato a ver que, en el límite d 7→ 0, el producto interior entre los estados fundamentales (q) se convierte, , d 7→ 1 (11) Esto de hecho significa que el vector = − pertenece al Kernel del producto interior limitante, por lo que uno tiene que mod hacia fuera por estos (y todos) estados de la norma cero con el fin de Conseguir el espacio de Hilbert. Analicemos ahora el otro operador, a saber, el acción del operador Vâr (β) sobre el vacío Ø0(q) = 1, que para arbitrario d tiene la forma, := Vó (β) · 0(q) = e (q/2) El producto interno entre dos de estos estados es dado por , d = e− ()2 En el límite d → 0,, d →,β. Podemos ver entonces. que son estas funciones las que se vuelven ortonormales, ‘bases discretas’ en la teoría. Sin embargo, la función (q) en este límite se vuelve mal definido. Por ejemplo, para β > 0, crece sin límite para q > β/2, es igual a uno si q = β/2 y cero de lo contrario. Con el fin de superar estos las dificultades y hacer más transparente el resultado de ory, vamos a considerar la otra forma de la representación en la que la medida se incorpora a los Estados (y el espacio resultante de Hilbert es L2(R, dq). Por lo tanto, la nueva estado (q) := K · (Vâ ° (β) · Ø0(q)) = (q)2 Ahora podemos tomar el límite y lo que obtenemos es d 7→0 (q) := ♥ 1/2(q, β) donde por Ł1/2(q, β) nos referimos a algo como ‘el cuadrado raíz de la distribución de Dirac». Lo que realmente queremos decir es un objeto que satisface la siguiente propiedad: 1/2(q, β) · 1/2(q, α) = 1/2(q, β) Es decir, si α = β entonces es sólo el delta ordinario, otro- sabiamente es cero. En cierto sentido, este objeto puede ser considerado como medias densidades que no pueden integrarse por sí mismas, pero cuyo producto puede. Concluimos entonces que el interior el producto es, , = dq (q)(q) = dq (q, α), α = α,α que es justo lo que esperábamos. Nótese que en esta repre- sentation, el estado de vacío se convierte en 0(q) := 1/2(q, 0), a saber, la mitad delta con apoyo en el origen. Lo es. importante tener en cuenta que estamos llegando de una manera natural a estados como medias densidades, cuyos cuadrados se pueden integrar sin necesidad de una medida no trivial en la configuración espacio de racionamiento. La invarianza del difeomorfismo surge entonces en un natural pero sutil. Tenga en cuenta que como resultado final recuperamos el Kronecker producto interior delta para los nuevos estados fundamentales: (q) := ♥ 1/2(q, β). Así, en esta nueva representación de B-polímero, el Hilbert espacio HB es la terminación con respecto al interior producto (13) de los estados generados por la toma (finito) combinaciones lineales de elementos de base de la forma : (q) = bi i(q) (14) Ahora vamos a introducir una descripción equivalente de esto Espacio Hilbert. En lugar de tener los elementos de base ser medio-deltas como elementos del espacio Hilbert donde el producto interior es dado por la medida ordinaria de Lebesgue dq, redefinimos tanto la base como la medida. Nosotros podría considerar, en lugar de una media-delta con soporte β, una Kronecker delta o función característica con soporte sobre β: (q) := ♥q,β Estas funciones tienen un comportamiento similar con respecto a el producto como media delta, a saber: (q) · (q) = # # # # #, # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # La principal diferencia es que ninguna de las dos χ ′ ni sus Los cuadrados son integrables con respecto al Lebesgue mea- seguro (tiene cero norma). Con el fin de solucionar ese problema nosotros tiene que cambiar la medida para que recuperemos la base producto interior (13) con nuestra nueva base. La mea necesaria... seguro resulta ser la medida de conteo discreto en R. Por lo tanto, cualquier estado en la «base de la media densidad» se puede escribir (utilizando la misma expresión) en términos de «Kronecker base». Para más detalles y más motivación vea el siguiente sección. Nótese que en esta representación de polímero B, ambos sus roles intercambiados con el de la Representación de A-polímero: mientras que U(α) es discontinuo y, por lo tanto, qâ € no se define en la representación-A, nosotros tener que es V (β) en la representación B que tiene este propiedad. En este caso, es el operador el que no puede se definan. Vemos entonces que dado un sistema físico para que el espacio de configuración tiene un fisico bien definido en la posible representación en la que funciones de onda son funciones de la variable de configuración q, las representaciones de polímeros A y B son radicalmente dif- Ferent e inequivalente. Dicho esto, también es cierto que la A y B representaciones son equivalentes en un sentido diferente, por medios de la dualidad entre q y p representaciones y la dualidad d↔ 1/d: La representación de A-polímero en la “representación q” es equivalente al polímero B representación en la "p-representación", e inversamente. Cuando se estudia un problema, es importante decidir desde el comienzo de la representación del polímero (en su caso) debe ser utilizado (por ejemplo en la q-polarización). Esto tiene como consecuencia una implicación sobre qué variable es naturalmente “cuantificada” (incluso si continua): p para A y q para B. Podría haber, por ejemplo, un criterio físico para esta elección. Por ejemplo, una simetría fundamental podría Sugiere que una representación es más natural que una... otro. Esto ha sido observado recientemente por Chiou. en [10], donde se investiga el grupo Galileo y se demuestra que la representación B se comporta mejor. En la otra polarización, es decir, para las funciones de onda de p, la imagen se invierte: q es discreto para el A- representación, mientras que p es para el caso B. Terminemos con esto. , señalando que el procedimiento de obtención de la cuantificación del polímero mediante un límite adecuado de las representaciones Fock-Schrödinger podrían resultar útiles en ajustes más generales en teoría de campo o gravedad cuántica. III. MECANISMOS DE CUANTO POLÍMICO: KINEMÁTICAS En secciones anteriores hemos derivado lo que tenemos las llamadas representaciones poliméricas A y B (en la polarización) como casos limitantes de la representación ordinaria de Fock Enviaciones. En esta sección, describiremos, sin cualquier referencia a la representación de Schrödinger, la «ab- representación de polímero de estrazo y luego hacer contacto con sus dos posibles realizaciones, estrechamente relacionadas con la A y B casos estudiados anteriormente. Lo que vamos a ver es que uno de ellos (el caso A) corresponderá a la p-polarización mientras que el otro corresponde a la representación q, cuando se toma una decisión sobre el significado físico de las variables. Podemos empezar por definir kets abstractos etiquetados por un número real μ. Estos pertenecerán al espacio de Hilbert. Hpoly. A partir de estos estados, definimos un 'cilindro genérico estados’ que corresponden a una elección de una colección finita de Números μi-R con i = 1, 2,...., N. Asociados a esto elección, hay N vectores i, por lo que podemos tomar un lineal combinación de ellos = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 ai i (15) El producto interior del polímero entre los kets fundamentales es administrado por, =,μ (16) Es decir, los kets son ortogonales entre sí (cuando ν 6= μ) y se normalizan ( = 1). Inmediatamente, esto implica que, dado que cualquier dos vectores = j=1 bj j y = i=1 ai i, el producto interior entre ellos es administrado por, = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * b̄k ak donde la suma es sobre k que etiqueta los puntos de intersección entre el conjunto de etiquetas j} y i}. El Hilbert espacio Hpoly es la terminación Cauchy de finito lineal com- de la forma (15) con respecto al pro blema interno uct (16). Hpoly no es separable. Hay dos básicos operadores en este espacio Hilbert: el «operador de etiquetas» : := μ y el operador de desplazamiento.. (.......................................................................................................................................................................................................................................................... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # El operador es simétrico y el(los) operador(es) define una familia de un parámetro de operadores unitarios en Hpoly, donde su contiguo es dado por () = (). Esto la acción es, sin embargo, discontinuo con respecto a que y + son siempre ortogonales, no importa que tan pequeño es. Por lo tanto, no hay operador (hermitano) que podría generar... (.......................................................................................................................................................................................................................................................... Hasta ahora hemos dado la caracterización abstracta de el espacio Hilbert, pero uno quisiera hacer contacto con realizaciones concretas como funciones de onda, o por iden- • la adaptación de los operadores abstractos a las condiciones físicas de trabajo; Erators. Supongamos que tenemos un sistema con un espacio de configuración con coordenada dada por q, y p denota su canónico conjugate momenta. Supongamos también que para la física rea- hijos decidimos que la configuración coordin q will tienen algún “carácter discreto” (por ejemplo, si se trata de se identifican con la posición, se podría decir que hay una posición discreta subyacente en pequeña escala). ¿Cómo podemos aplicar estos requisitos por medio de ¿La representación del polímero? Hay dos posibilidades, dependiendo de la elección de las ‘polarizaciones’ para la ola- funciones, a saber, si serán funciones de Figuración q o momenta p. Vamos a dividir el disco- sión en dos partes. A. Polarización momentánea En esta polarización, los estados serán denotados por, (p) = (p) donde (p) = p = ei ¿Cómo están representados entonces los operadores y? Nota que si asociamos el operador multiplicativo Vá r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r s r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r s r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ~ = ei () p = ()(p) Vemos entonces que el operador VÃ3r (­) corresponde exactamente para el operador de turnos. Por lo tanto, también podemos concluir que el operador no existe. Ahora es fácil identificar al operador qÃ3r con: q · (p) = −i~ (p) = μ e ~ = (p) a saber, con el operador abstracto. La razón por la que decir que qâ € es discreto es porque este operador tiene como su eigenvalue la etiqueta μ del estado elemental (p), y esta etiqueta, incluso cuando puede tomar valor en un continuum de los posibles valores, debe entenderse como un conjunto discreto, dado que los estados son ortonormales para todos los valores de μ. Dado que los estados son ahora funciones de p, el interior el producto (16) debe definirse mediante una medida μ en la espacio en el que se definen las funciones de onda. En orden saber cuáles son estos dos objetos, a saber, el quan- el espacio "configuración" C y la medida correspondiente1, tenemos que hacer uso de las herramientas disponibles para nosotros desde la teoría de C*-álgebras. Si consideramos a los operadores Vócalo, junto con su producto natural y su relación con dado por Váš ∗() = Váš (), que tienen la estructura de a Abelian C*-álgebra (con unidad) A. Sabemos por la teoría de la representación de tales objetos que A es iso- mórfico al espacio de las funciones continuas C0(­) en una espacio compacto, el espectro de A. Cualquier representación de A en un espacio Hilbert como operador de multiplicación será sobre los espacios de la forma L2(­, dμ). Es decir, nuestro cuántico espacio de configuración es el espectro del álgebra, que en nuestro caso corresponde a la compactación de Bohr Rb de la línea real [11]. Este espacio es un grupo compacto y hay una medida de probabilidad natural definida en ella, el Medida Haar μH. Por lo tanto, nuestro Hilbert espacio Hpoly será isomórfico al espacio, Hpoly,p = L2(Rb, dμH) (17) En términos de «funciones periódicas cuasi» generadas por (p), el producto interior toma la forma := dμH (p)(p) := = lim L 7° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° dp(p)(p) =, nota que en la p-polarización, esta caracterización cor- responde a la «versión A» de la representación del polímero de Sec. II (donde se intercambian p y q). B. Q-polarización Consideremos ahora la otra polarización en la que la ola las funciones dependerán de la coordenada de configuración q: (q) = (q) + (q) + (q) + (q) = (q) + (q) + (q) = (q) + (q) = (q) + (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) Las funciones básicas, que ahora se llamará (q), debe ser, en cierto sentido, el dual de las funciones (p) de la subsección anterior. Podemos tratar de definirlos a través de un «Fourier transform»: (q) := q = q dμHpp que es dada por (q) := dμHqp(p) = dμH e −i p q ~ = q,μ (19) 1 aquí utilizamos la terminología estándar de ‘espacio de configuración’ para denotar el dominio de la función de onda incluso cuando, en este caso, corresponde al momento físicoa p. Es decir, los objetos básicos en esta representación son Kro- cuello deltas. Esto es precisamente lo que habíamos encontrado en Sec. II para la representación del tipo B. ¿Cómo está ahora el los operadores básicos representados y cuál es la forma de la ¿Producto interior? En cuanto a los operadores, esperamos que están representados de la manera opuesta como en el p-polarización anterior, pero que preservan el las mismas características: p® no existe (la derivada de la Kro- cuello delta está mal definido), pero su versión exponencial En el caso de Vázquez, se entiende por: VÃ3r (­) · (­) = (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) y el operador qâ € que ahora actúa como multiplicación ha como sus propios estados, las funciones (q) =,q: q · (q) := μ (q) ¿Cuál es ahora la naturaleza de las configuraciones cuánticas espacio Q? ¿Y cuál es la medida sobre dμq? que define el producto interior que deberíamos tener: (q), (q) =, La respuesta viene de una de las caracterizaciones de la compactación de Bohr: sabemos que es, en un preciso sentido, dual a la línea real, pero cuando está equipado con el topología discreta Rd. Además, la medida relativa a Rd será la «medida de contabilidad». De esta manera recuperamos el las mismas propiedades que teníamos para la caracterización anterior del espacio del polímero Hilbert. Así podemos escribir: Hpoly,x := L2(Rd, dμc) (20) Esto completa una construcción precisa del poli-tipo B representación mer bosquejada en la sección anterior. Nota que si hubiéramos elegido la situación física opuesta, a saber q, la configuración observable, ser el quan- dad que no tiene un operador correspondiente, entonces habríamos tenido la realización opuesta: en el q- polarización habríamos tenido el polímero tipo A rep- resentimiento y el tipo-B para la p-polarización. As veremos que ambos escenarios han sido considerados en el literatura. Hasta ahora sólo hemos centrado nuestra discusión en el Aspectos cinemáticos del proceso de cuantificación. Déjanos Ahora considere en la siguiente sección la cuestión de la dinam- y recordar el enfoque que se había adoptado en el informe de la Comisión de Asuntos Económicos y Monetarios y de Política Industrial. literatura, antes de la cuestión de la eliminación del regulador fue reexaminado en [6]. IV. MECANISMOS DE CUANTO POLÍMICO: DINÁMICA Como hemos visto la construcción del polímero la representación es bastante natural y conduce a un teoría de tum con diferentes propiedades que la habitual Schrödinger homólogo como su no separabilidad, la no existencia de determinados operadores y la existencia de eigen-vectores normalizados que dan un valor preciso para una de las coordenadas espaciales de fase. Esto se ha hecho. sin tener en cuenta a un Hamiltoniano que dota a la sistema con una dinámica, energía y así sucesivamente. Primero consideremos el caso más simple de una partícula de masa m en un potencial V (q), en el que el Hamiltonian H adopta la forma, p2 + V (q) Supongamos además que el potencial es dado por un no- función periódica, como un polinomio o una función racional tion. Podemos ver inmediatamente que una implementación directa- de los Hamiltonianos está fuera de nuestro alcance, para el simple la razón de que, como hemos visto, en el polímero representa- ¡Podemos representar q o p, pero no los dos! ¿Qué? ¿Se ha hecho hasta ahora en la literatura? La más simple. cosa posible: aproximar el término no existente por un bien definida función que se puede cuantificar y la esperanza de el mejor. Como veremos en las próximas secciones, hay más de lo que uno puede hacer. En este punto también hay una decisión importante que debe ser hecho: que la variable q o p debe ser considerada como “des- ¿Cerveza? Una vez que se hace esta elección, entonces implica que la otra variable no existirá: si q se considera como dis- ocre, entonces p no existirá y tenemos que aproximarnos el término cinético p2/2m por otra cosa; si p va a ser la cantidad discreta, entonces q no se definirá y luego tenemos que aproximar el potencial V (q). ¿Qué hap- ¿lápices con potencial periódico? En este caso uno podría ser modelar, por ejemplo, una partícula en una celosía regular como un fonón que vive en un cristal, y luego el natural elección es tener q no bien definido. Por otra parte, la po- tential estará bien definido y no hay aproximación necesario. En la literatura se han considerado ambos escenarios. Por ejemplo, cuando se considera un mecánico cuántico sistema en [2], la posición fue elegida para ser discreta, así que p no existe, y uno está entonces en el tipo A para la polarización del momento (o el tipo B para el q- polarización). Con esta elección, es el término cinético el uno que tiene que ser aproximado, así que una vez que se ha hecho esto, entonces es inmediato considerar cualquier potencial que Por lo tanto, se definirá bien. Por otro lado, cuando con- cosmología cuántica del bucle lateral (LQC), el estándar elección es que la variable de configuración no está definida [4]. Esta elección se hace teniendo en cuenta que LQC se considera como el sector simétrico de la gravedad cuántica del bucle completo donde la conexión (que se considera como la configuración vari- no puede ser promovido a un operador y se puede sólo definir su versión exponencial, a saber, el holón- Omy. En ese caso, la variable canónicamente conjugada, estrechamente relacionado con el volumen, se convierte en «discreto», al igual que en la teoría completa. Este caso es, sin embargo, diferente de la partícula en un ejemplo potencial. Primero podríamos mencionar que la forma funcional de la restricción hamiltoniana que implementa dinámica tiene una estructura diferente, pero la diferencia más importante radica en que el sistema es constreñido. Volvamos al caso de la partícula en una po- tential y para la definición, comencemos con el aux- Marco iliar cinemático en el que: q es discreto, p no pueden ser promovidos y por lo tanto tenemos que aproximarnos el término cinético pÃ3s/2/2m. ¿Cómo se hace esto? El Stan... prescripción dard es definir, en el espacio de configuración C, un «gráfico» regular 0. Esto consiste en un numerable conjunto de puntos, equidistante, y caracterizado por un pa- rameter μ0 que es la separación (constante) entre puntos. El ejemplo más sencillo sería considerar la set 0 = {q R q = nμ0, Esto significa que los kets básicos que se considerarán Se corresponderá precisamente con las etiquetas μn pertenecientes a el gráfico 0, es decir, μn = nμ0. Por lo tanto, sólo considerar los estados de la forma, = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 bn n. (21) Este espacio ‘pequeño’ Hilbert H0, el espacio gráfico Hilbert, es un subespacio del polímero ‘grande’ Hilbert Space Hpoly pero es separable. La condición para un estado de la forma (21) pertenecer al espacio Hilbert H0 es que el co- efficients bn satisfacer: n bn2. Consideremos ahora el término cinético pÃ2/2m. Tenemos para aproximarlo mediante funciones trigonométricas, que se puede construir a partir de las funciones de la forma ei. p/~. Como hemos visto en secciones anteriores, estas funciones pueden ser promovidos a los operadores y actuar como traducción operadores en los kets. Si queremos permanecer en el γ, y no crear ‘nuevos puntos’, entonces uno es a considerar a los operadores que desplazan los kets por la cantidad justa. Es decir, queremos lo básico el operador de turno Vâ ° ° ° ° ° sea tal que mapee el ket con etiqueta nÃ3 al siguiente ket, es decir n+1Ã3. Esto puede... acción realizada mediante la fijación, de una vez por todas, del valor de la se permite que el parámetro  sea  = μ0. Tenemos entonces, Vóz (μ0) · nó = n + μ0ó = n+1ó que es lo que queríamos. Este «operador de turnos» básico ser el bloque de construcción para aproximar cualquier (polinomio) función de p. Con el fin de hacer eso nos damos cuenta de que la función p se puede aproximar por, * * * ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ (μ0 p ~ − e−i donde la aproximación es buena para p • ~/μ0. Por lo tanto, se puede definir un operador regulado p0 que depende de la «escala» μ0 como: = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = [V (μ0) − V (0)] (n+1â − n−1â > ) (22) Para regular el operador, hay (al menos) dos posibilidades, a saber, componer el operador p0 con sí mismo o para definir una nueva aproximación. La operación... ator p0 · p0 tiene la característica que cambia los estados dos pasos en el gráfico a ambos lados. Sin embargo, hay un... otro operador que sólo implica el cambio una vez: 2μ0 · n := [2 − Vâr (μ0) − Vâr (0)] · nâr = (23) lo que corresponde a la aproximación p2 2~ cos(μ0 p/~)), válido también en el régimen p • ~/μ0. Con estas consideraciones, uno puede definir el operador 0, el Hamiltoniano a escala μ0, que en la práctica «vive» en el espacio H0 como, 0 := p+2μ0 + V+ (q), (24) que es un operador bien definido, simétrico en H0. No... que el operador también se define en Hpoly, pero hay su interpretación física es problemática. Por ejemplo, resulta que el valor de expectativa del término cinético calculados en la mayoría de los estados (estados que no están adaptados a al valor exacto del parámetro μ0) es cero. Incluso si uno toma un estado que da expectativas “razonables” valores del término μ0-cinético y lo utiliza para calcular el valor de expectativa del término cinético correspondiente a una ligera perturbación del parámetro μ0 se obtendría cero. Este problema, y otros que surgen cuando se trabaja sobre Hpoly, obliga a uno a asignar una interpretación física a los hamiltonianos 0 sólo cuando su acción está restringida al subespacio H0. Ahora exploremos la forma que toma el Hamiltoniano en las dos posibles polarizaciones. En la q-polarización, la base, etiquetada por n viene dada por las funciones χn(q) = *q,μn. Es decir, las funciones de onda sólo tendrán sup- puerto en el conjunto 0. Alternativamente, se puede pensar en un como completamente caracterizado por el ‘Fourier coeffi- an: فارسى(q) ↔ an, que es el valor que la ola función •(q) toma en el punto q = μn = nμ0. Por lo tanto, el Hamiltoniano toma la forma de una ecuación de diferencia cuando actúa sobre un estado general............................................................................................................................................................................................................................................................ Resolver el tiempo Ecuación independiente de Schrödinger · para resolver la ecuación de diferencia para los coeficientes a. La polarización del impulso tiene una estructura diferente. En este caso, el operador pâ € 2μ0 actúa como una multiplicación operador, = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 1 − cos (μ0 p •(p) (25) El operador correspondiente a q se representará como un operador derivado p): = i~ Łp (p). Para un potencial genérico V (q), tiene que ser definido por medios de teoría espectral definidos ahora en un círculo. ¿Por qué? ¿En un círculo? Por la sencilla razón de que al restringir nosotros mismos a un gráfico regular 0, las funciones de p que preservarlo (cuando actúa como operador de turnos) son de la forma e(i m μ0 p/~) para m entero. Es decir, lo que tenemos son modos Fourier, etiquetados por m, del período 2η ~/μ0 en p. ¿Podemos pretender entonces que la variable de espacio de fase p es ¿Ahora compactado? La respuesta es afirmativa. Los producto interno en las funciones periódicas 0(p) de p que viene del espacio completo Hilbert Hpoly y dado por (p)(p)polio = lim L 7° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° dp (p) (p) (p) es exactamente equivalente al producto interior en el círculo dado por la medida uniforme (p)(p)0 = ∫ /μ0 /μ0 dp (p) (p) (p) con p (/μ0, /μ0). Mientras uno restrinja a... la atención a la gráfica 0, uno puede trabajar en este separable Hilbert espacio H0 de funciones integrables cuadradas en S Inmediatamente, se pueden ver las limitaciones de este descrip- tion. Si el sistema mecánico a cuantificar es tal que sus órbitas tienen valores de los momenta p que son no pequeño en comparación con /μ0 entonces la aproximación tomado será muy pobre, y no esperamos ni el descripción clásica eficaz ni su cuantificación para ser cerca de la estándar. Si, por otro lado, uno es al- en la región en la que la aproximación puede ser Considerado como fiable, entonces tanto clásico como cuántico de- las inscripciones deben aproximarse a la descripción estándar. ¿Qué hace «cerca de la descripción estándar» exactamente necesidades medias, por supuesto, algunas aclaraciones adicionales. In particular está asumiendo la existencia de la habitual Schrödinger representación en la que el sistema tiene un be- havior que también es coherente con las observaciones. Si esto es el caso, la pregunta natural es: ¿cómo podemos ¿Aparear tal descripción de la foto del polímero? ¿Está ahí? un gráfico bastante fino 0 que se aproximará al sistema ¿De tal manera que todas las observaciones sean indistinguibles? O mejor aún, ¿podemos definir un procedimiento, que implica un refinamiento del gráfico 0 tal que uno recupera el ¿Un cuadro estándar? También podría ocurrir que un límite continuo puede ser de- multada, pero no coincide con la «esperada». Pero también podría haber sistemas físicos para los que hay ninguna descripción estándar, o simplemente no tiene sentido. Puede en esos casos la representación del polímero, si ex- ists, proporcionar la descripción física correcta de la sys- ¿Tem en consideración? Por ejemplo, si existe un limitación física de la escala mínima fijada en μ0, como podría ser el caso de una teoría cuántica de la gravedad, entonces la descripción del polímero proporcionaría un verdadero por el valor de determinadas cantidades, como p en nuestro ejemplo. Este podría ser el caso para el lazo cuántico cosmología, cuando exista un valor mínimo para la volumen (proviene de la teoría completa), y el espacio de fase puntos cerca de la “singularidad” se encuentran en la región donde el la aproximación inducida por la escala μ0 se aparta de la descripción clásica estándar. Si en ese caso el poli- sistema cuántico mer se considera más fundamental que el sistema clásico (o su estándar Wheeler-De Witt cuantización), entonces uno interpretaría este dis- crepancias en el comportamiento como señal de la avería de descripción clásica (o su cuantificación ‘naive’). En la siguiente sección presentamos un método para eliminar el regulador μ0 que se introdujo como comieron el paso para construir la dinámica. Más precisamente, nosotros considerará la construcción de un límite continuo de la descripción del polímero mediante una renormalización procedimiento. V. LÍMITE CONTINUO Esta sección consta de dos partes. En el primero motivamos la necesidad de una noción precisa del límite continuo de la representación polimérica, explicando por qué más El enfoque directo e ingenuo no funciona. En la segunda fase: en parte, presentaremos las principales ideas y resultados de el papel [6], donde el hamiltoniano y el físico El espacio de Hilbert en la mecánica cuántica polimérica es... como un continuum límite de teorías eficaces, seguir- Las ideas del grupo de renormalización de Wilson. El resultado El espacio físico Hilbert resulta ser unitariamente isomor- phic a las Hs ordinarias = L2(R, dq) del Schrödinger teoría. Antes de describir los resultados de [6] debemos discutir el significado preciso de llegar a una teoría en el contin- uum. Consideremos, para mayor concreción, la representación del tipo B. sentacion en la q-polarizacion. Es decir, los estados son func... ciones de q y la base ortonormal (q) es dada por funciones características con soporte en q = μ. Déjanos Ahora supongamos que tenemos un estado de Schrödinger L2(R, dq). ¿Cuál es la relación entre Ł(q) y un estado? ¿En Hpoly, X? También estamos interesados en las preguntas opuestas. sión, es decir, nos gustaría saber si hay una preferencia estado en Hs que es aproximado por un estado arbitrario (q) en Hpoly,x. La primera observación obvia es que un Estado Schödinger (q) no pertenece a Hpoly,x ya que tendría una norma infinita. Para ver esa nota que incluso cuando el Estado aspirante puede ser formalmente ampliado en el base como, (q) = (μ) (q) donde la suma es sobre el parámetro μ â € R. Su associ- ated norma en Hpoly,x sería: (q)2polio = (μ)2 → que explota. Tenga en cuenta que para definir una asignación P : Hs → Hpoly, x, hay una gran ambigüedad desde el se necesitan los valores de la función فارسى(q) con el fin de ampliar la función de la onda polimérica. Por lo tanto, sólo podemos definir un mapping en un denso subconjunto D de Hs donde los valores de la funciones están bien definidas (recordemos que en Hs el valor de funciones en un punto dado no tiene significado ya que los estados son clases de equivalencia de funciones). Podríamos, por ejemplo, pedir que la asignación se defina para los representantes de la clases de equivalencia en Hs que son continua por partes. A partir de ahora, cuando nos referimos a un elemento del espacio Nos referiremos a uno de esos representantes. Observe entonces que un elemento de Hs define un elemento de Cyl, el dual al espacio Cylγ, es decir, el espacio de funciones de cilindro con soporte en la celosía (finita) γ = 1, μ2,. .., μN}, de la siguiente manera: (q) : Cylγ C de tal manera que *(q)[(q)] = ( := (μ) - ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No! • (μi) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Nótese que este mapeo podría ser visto como consistente en dos partes: Primero, una proyección Pγ : Cyl ∗ → Cylγ de tal manera que Pγ() = (q) := i-(μi)i(q)-Cylγ. El Estado se refiere a veces como la «sombra de Ł(q) en la celosía γ». El segundo paso es entonces tomar el interior producto entre la sombra (q) y el estado (q) con respecto al producto interno del polímero poliγ. Ahora este producto interior está bien definido. Note que para cualquier celosía dada γ el proyector correspondiente Pγ puede ser intuitivamente interpretado como una especie de ‘granulación gruesa mapa’ del continuum a la celosía γ. En términos de funciones de q la proyección está reemplazando un continuo función definida en R con una función sobre la celosía γ R, que es un conjunto discreto simplemente restringiendo a γ. Cuanto más fina sea la celosía, más puntos tendremos. en la curva. Como veremos en la segunda parte de este sección, hay de hecho una noción precisa de grano grueso que implementa esta idea intuitiva de una manera concreta. En particular, tendremos que sustituir la celosía γ por una descomposición de la línea real en intervalos puntos de celosía como puntos finales). Consideremos ahora un sistema en el polímero represen- en la que se eligió una celosía particular γ0, por ejemplo con puntos de la forma {qk â R qk = ka0, â k â Z}, es decir, una celosía uniforme con espaciamiento igual a a0. En este caso, cualquier función de onda Schrödinger (del tipo que considerar) tendrá una sombra única en la celosía γ0. Si refinamos la celosía γ 7→ γn dividiendo cada intervalo en 2n nuevos intervalos de longitud a = a0/2 Tenemos una nueva sombra... ows que tienen más y más puntos en la curva. Intu- itativamente, refinando infinitamente el gráfico nos recuperaríamos la función original فارسى(q). Incluso cuando en cada paso finito la sombra correspondiente tiene una norma finita en el poli- mer Hilbert espacio, la norma crece ilimitadamente y el el límite no se puede tomar, precisamente porque no podemos em- cama Hs en Hpoly. Supongamos ahora que estamos interesados en el proceso inverso, es decir, a partir de un polímero teoría sobre una celosía y pidiendo la "onda continua función’ que se aproxima mejor por una función de onda sobre un gráfico. Supongamos, además, que queremos con- sider el límite de la gráfica cada vez más fino. En orden para dar respuestas precisas a estas (y otras) preguntas necesidad de introducir algunas nuevas tecnologías que nos permitirán para superar estas aparentes dificultades. En el resto de esta sección recordaremos estas construcciones para el beneficio del lector. Los detalles se pueden encontrar en [6] (que es una aplicación del formalismo general discutido en [9]). El punto de partida de esta construcción es el concepto de una escala C, que nos permite definir la eficacia de y el concepto de límite continuo. En nuestro caso, un escala es una descomposición de la línea real en la unión de intervalos cerrados-abiertos, que cubren toda la línea y hacen no se intersectan. Intuitivamente, estamos cambiando el énfasis desde los puntos de celosía a los intervalos definidos por el los mismos puntos con el objetivo de aproximar funciones tinuas definidas en R con funciones que son constante en los intervalos definidos por la celosía. Ser precisa, definimos una incrustación, para cada escala Cn de Hpoly a Hs por medio de una función escalonada: •(hombre) χman(q) → *(hombre) m(q)* Hs con n(q) una función característica en el intervalo αm = [hombre, (m + 1)an). Por lo tanto, las sombras (viviendo en la celosía) eran sólo un paso intermedio en el con- estructuración de la función de aproximación; esta función es constante por pieza y se puede escribir como un com- lineal bination de funciones de escalón con los coeficientes proporcionados por las sombras. El desafío ahora es definir en un sentido apropiado cómo se pueden aproximar todos los aspectos de la teoría por medio de esta constante por piezas funciones. Entonces el estrategia es que, para cualquier escala dada, se puede definir un teoría eficaz mediante la aproximación del operador cinético por una combinación de los operadores de traducción que cambian entre los vértices de la descomposición dada, en otros palabras por una función periódica en p. Como resultado uno tiene un conjunto de teorías eficaces a escalas determinadas que son mutuamente relacionados con mapas de granulación gruesa. Este marco era el siguiente: desarrollado en [6]. Para la comodidad del lector nosotros Recordemos brevemente parte de ese marco. Vamos a denotar el espacio cinemático polímero Hilbert en la escala Cn como HCn, y sus elementos de base como eαi,Cn, donde αi = [ian, (i + 1)an) • Cn. Por la construcción de este la base es ortonormal. Los elementos de base en la dualidad Hilbert espacio H*Cn se denotan por i,Cn; también son Ortonormal. Los estados i, Cn tienen una acción simple en Cyl, i,Cn(lx0,q) = i,Cn(lx0). Es decir, si x0 está en el intervalo αi de Cn el resultado es uno y es cero si es No está ahí. Dado cualquier m ≤ n, definimos d*m,n : H*Cn → H como el mapa de ‘granulación gruesa’ entre el doble Hilbert espacios, que envía la parte de los elementos del dual base a cero manteniendo la información del resto: d*m,n(i,Cn) = j,Cm si i = j2 n-m, en el caso contrario d*m,n(i,Cn) = 0. En cada escala la teoría efectiva correspondiente es dado por el hamiltoniano Hn. Estos Hamiltonianos lo harán. ser tratados como formas cuadráticas, hn : HCn → R, dado por hn(­) =  (,Hn), (27) en la que 2Cn es un factor de normalización. Veremos más tarde. que este reescalamiento del producto interior es necesario en para garantizar la convergencia de los renormalizados teoría. La teoría completamente renormalizada a esta escala se obtiene como hrenm := lim - Sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí, sí., sí., sí, sí., sí. (28) y los Hamiltonianos renormalizados son compatibles con el uno al otro, en el sentido de que - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. n = h Con el fin de analizar las condiciones para la convergencia en (28) vamos a expresar el hamiltoniano en términos de su eigen-covectores fin eigenvalues. Trabajaremos con... tiva Hamiltonianos que tienen un espectro puramente discreto (marcado por: · Hn ·, Cn = E/, Cn, Cn. También lo haremos. introducir, como paso intermedio, un corte en la energía niveles. El origen de este corte está en la aproximación del Hamiltoniano de nuestro sistema en una escala dada con a Hamiltoniano de un sistema periódico en un régimen de pequeño energías, como explicamos antes. Por lo tanto, podemos escribir h vcut-offm = vcut-off E/,Cm,Cm ,Cm,(29) donde los covectores eígenos,Cm se normalizan de acuerdo- al producto interior redistribuido por 1 , y el corte... off puede variar hasta una escala dependiente unida, νcut−off ≤ vmax(Cm). El espacio Hilbert de los covectores junto con tal producto interno se llamará H.renCm. En presencia de un corte, la convergencia de la Hamiltonianos microscópicamente corregidos, ecuación (28) es equivalente a la existencia de los dos límites siguientes. El primero es la convergencia de los niveles de energía, E/Cn = E /. (30) Segundo es la existencia de la completamente renormalizada covectores autóctonos, m,n,Cn = - ¿Qué es esto? - ¿Qué es esto? * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 31) Aclaramos que la existencia del límite anterior significa que la letra c) del apartado 1 del artículo 3 del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, relativo a la aplicación de los regímenes de seguridad social a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta ajena, No... que esta convergencia punto a punto, si se puede llevar a cabo en absoluto, requerirá la afinación de los factores de normalización 2Cn. Pasamos ahora a la cuestión del límite del continuum de los covectores renormalizados. En primer lugar podemos pedir por el existencia del límite El Tribunal de Primera Instancia decidió, en primer lugar, si la Decisión de la Comisión de 17 de diciembre de 1994 (en lo sucesivo, «Decisión impugnada»), que, en el caso de autos, debía interpretarse en el sentido de que la Decisión de la Comisión de 17 de diciembre de 1994 (en lo sucesivo, «Decisión impugnada») no había sido adoptada por el Tribunal de Primera Instancia en el sentido de que la Decisión de la Comisión de 21 de diciembre de 1995 (en lo sucesivo, «Decisión impugnada») no había sido adoptada por el Tribunal de Justicia en el sentido de que la Decisión de la Comisión de 21 de diciembre de 1995 (en lo sucesivo, «Decisión impugnada») no había sido adoptada por el Tribunal de Justicia en el sentido de que la Decisión de la Comisión de 21 de diciembre de 1995 (en lo sucesivo, «Decisión impugnada»). para cualquier فارسىx0,q Cyl. Cuando estos límites existen hay una acción natural de los covectores autóctonos en el continuum límite. A continuación consideramos otra noción del continuum límite de los covectores autóctonos renormalizados. Cuando los covectores autóctonos completamente renormalizados existen, forman una colección que es compatible, - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. = Ren/,Cm. Una secuencia de d - Compatibles ni compatibles. Los covectores maleables definen un elemento de , que es el límite proyectivo de los espacios renormalizados de covec- HerenCn. 33) El producto interior en este espacio está definido por (Cn}, Cn})R := lim (Cn,ΦCn) La inclusión natural de C­0 en es por un antilineal mapa que asigna a cualquier â € â € € â € TM Câ € TM el dâ €-compatible colección shadCn := i(L(αi)) Se le llamará a ShadCn la sombra de # a escala Cn y actúa en Cyl como una función constante a trozos. Claramente otro tipos de funciones de prueba como las funciones de Schwartz son también naturalmente incluidos en . En este contexto una sombra es un estado de la teoría efectiva que se aproxima a un estado en la teoría del continuum. Desde el producto interior en es degenerado, el espacio físico Hilbert se define como Höphys := / ker(·, ·)ren Hphys := Hóphys La naturaleza del espacio físico Hilbert, si es isomórfico al espacio de Schrödinger Hilber, Hs, o no, es determinado por los factores de normalización se obtiene de las condiciones que exigen la compatibil- ity de la dinámica de las teorías eficaces en diferentes básculas. La dinámica del sistema que se examina selecciona el límite del continuum. Volvamos ahora a la definición de la Hamilto- nian en el límite del continuum. En primer lugar considerar la continuación de uum límite del Hamiltoniano (con corte) en el sentido de su convergencia puntual como forma cuadrática. Lo siento. resulta que si el límite de la ecuación (32) existe para todos los covectores autóctonos permitidos por el corte, tenemos vcut-off ren : Hpoly,x → R definido por vcut-off ren (­x0,q) := lim h/cut−off Renn ([lx0,q]Cn). (34) Esta forma cuadrática hamiltoniana en el continuum puede ser de grano grueso a cualquier escala y, como puede ser ex- , produce el Hamilto completamente renormalizado- Nian forma cuadrática a esa escala. Sin embargo, esto no es un límite de continuum completamente satisfactorio porque podemos no retirar el corte auxiliar νcut−off. Si lo intentamos, como incluimos más y más covectores propios en el Hamilto- nian los cálculos hechos a una escala dada divergerían y hacerlos en el continuum es igual de divergente. A continuación exploramos un camino más exitoso. Podemos utilizar el producto interno renormalizado para inducir una acción de los hamiltonianos de corte en vcut-off ren (Cn} := lim h/cut­off renn ((­)Cn, ·)renCn ), donde hemos utilizado el hecho de que (­Cn, ·)renCn • HCn. Los la existencia de este límite es trivial porque el renormalizado Hamiltonianos son sumas finitas y el límite existe término por término. Estos hamiltonianos de corte descienden a lo físico Espacio Hilbert vcut-off ren ([Cn}]):= h vcut-off ren (Cn} para cualquier representante Cn} [Cn}] Hóphys. Por último, podemos abordar la cuestión de la eliminación de la Fuera. El hamiltoniano hren → R se define por la límite := lim & cct−off & cclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclcl vcut-off ren cuando el límite existe. Su correspondiente forma ermitaña en Hphys se define siempre que exista el límite anterior. Esto concluye nuestra presentación de los principales resultados de [6]. Vamos. ahora consideremos varios ejemplos de sistemas para los que el límite del continuum puede ser investigado. VI. EJEMPLOS En esta sección vamos a desarrollar varios ejemplos de sistemas que han sido tratados con el polímero cuanti- Zation. Estos ejemplos son simples mecánicos cuánticos sistemas, como el oscilador armónico simple y el partículas libres, así como un modelo cosmológico cuántico conocido como cosmología cuántica del bucle. A. El Oscilador Armónico Simple En esta parte, vamos a considerar el ejemplo de un simple Har- Oscilador mónico (SHO) con parámetros m y sicamente descrito por el siguiente Hamiltonian 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 Recuerde que a partir de estos parámetros se puede definir una longitud escala D = - Sí. En el tratamiento estándar se utiliza esta escala para definir una estructura compleja JD (y un r producto de la misma), como hemos descrito en detalle que Selecciona de forma única la representación estándar de Schrödinger. A escala Cn tenemos un Hamiltoniano eficaz para el Oscilador Armónico Simple (SHO) dado por HCn = 1 − como anp má2x2. (35) Si intercambiamos posición e impulso, este Hamilto... nian es exactamente el de un péndulo de masa m, longitud l y sujeto a un campo gravitatorio constante g: Cn = − +mgl(1 − cos ) cuando esas cantidades estén relacionadas con nuestro sistema, m-a-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-d-e-e-d-d-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e- , g = ............................................................... Es decir, estamos aproximando, para cada escala Cn el SHO por un péndulo. Hay, sin embargo, un importante diferencia. De nuestro conocimiento del sistema del péndulo, Sabemos que el sistema cuántico tendrá un espectro para la energía que tiene dos behav asintóticos diferentes - iors, el SHO para bajas energías y el rotor planar en el extremo superior, correspondiente a oscilación y rotación soluciones, respectivamente2. A medida que refinamos nuestra escala y ambos la longitud del péndulo y la altura del periódico aumento potencial, esperamos tener un aumento de num- br de estados oscilantes (para un sistema de péndulo dado, sólo hay un número finito de tales estados). Por lo tanto, se justifica considerar el corte en el eigenval de la energía Como se ha dicho en la última sección, dado que sólo esperar un número finito de estados del péndulo a ap- Eigenstatos de SHO próximos. Con estas consideraciones en mente, la pregunta relevante es si las condiciones para el continuum límite a existir está satisfecho. Esta pregunta se ha respondido afirmativamente en [6]. ¿Qué fue? se demostró que los valores propios y eigen func- ciones de los sistemas discretos, que representan un y no degenerados, aproximándose a los de los contin- uum, es decir, del oscilador armónico estándar cuando el producto interior se vuelve a normalizar por un factor 2Cn = 1/2 Esta convergencia implica que existe el límite continuo como lo entendemos. Consideremos ahora la más simple sistema posible, una partícula libre, que tiene sin embargo la particular característica de que el espectro de la energía es Tinuous. 2 Tenga en cuenta que ambos tipos de soluciones están, en el espacio de fase, cerrados. Esta es la razón detrás del espectro puramente discreto. Los la distinción que estamos haciendo es entre esas soluciones dentro de la separatrix, que llamamos oscilante, y aquellos que están por encima de ella que llamamos rotación. B. Partícula libre de polímero En el límite فارسى → 0, el Hamiltoniano de lo Simple El oscilador armónico (35) va al Hamiltoniano de un partícula libre y el tiempo correspondiente independiente La ecuación de Schrödinger, en la p-polarización, está dada por (1 − cos anp ) − CEn (p) = 0 donde ahora tenemos que p â € S1, con p â € ( Por lo tanto, tenemos ECn = 1 − cos ≤ CEn,max. 2 . (36) A cada escala podemos describir la energía de la partícula. está limitado desde arriba y el límite depende de la escala. Nótese que en este caso el espectro es continuo ous, lo que implica que las funciones propias ordinarias de El Hilbert no es normal. Esto impone una limitada en el valor que la energía de la partícula puede tienen, además de los límites en el impulso debido a su “compactación”. Busquemos en primer lugar soluciones eigen a la hora inde- péndulo Schrödinger ecuación, es decir, para la energía eigen- estados. En el caso de la partícula libre ordinaria, estos corresponden a ondas planas de impulso constante de la forma e±( ) y de tal manera que la dispersión ordinaria re- ión p2/2m = E está satisfecho. Estas ondas planas son no cuadrado integrable y no pertenecen a lo ordinario Hilbert espacio de la teoría Schrödinger, pero todavía son útil para extraer información sobre el sistema. Por la partícula libre de polímero que tenemos, Cn(p) = c1♥(p− PCn) + c2/23370/(p+ PCn) donde PCn es una solución de la ecuación anterior consid- , con un valor fijo de ECn. Es decir, PCn = P (ECn) = arccos − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − El inverso Fourier transforma los rendimientos, en el ‘x represen- dad», Cn(xj) = ∫ /un /un (p) e p j dp = ixjPCn /~ + c2e - ixjPCn /~ .(37) con xj = un j para j â € Z. Tenga en cuenta que las funciones propias son todavía funciones delta (en la representación p) y por lo tanto no (cuadrado) normalizable con respecto al polímero producto interno, que en la polarización p se acaba de dar por la medida ordinaria de Haar en S1, y no hay la cuantificación del impulso (su espectro sigue siendo verdaderamente continuum). Consideremos ahora el tiempo dependiente Schrödinger ecuación, (p, t) = · (p, t). Que ahora toma la forma, (p, t) = (1 − cos (un p/~)) (p, t) que tiene como solución, (p, t) = e− (1−cos (un p/~)) t (p) = e(−iECn /~) t (p) para cualquier función inicial (p), donde la CEn satisface la relación de persión (36). La función de onda (xj, t), la xj-representación de la función de onda, se puede obtener para cualquier tiempo dado t por Fourier transformando con (37) la función de onda (p, t). Con el fin de comprobar la convergencia de la micro- scopicamente corregido Hamiltonians debemos analizar el la convergencia de los niveles de energía y de la ectors. En el límite n → فارسى, ECn → E = p2/2m tan podemos estar seguros de que los valores propios para la energía convergen (al fijar el valor de p). Vamos a escribir el el covector adecuado como Cn = (Cn, ·)ren Cn • H . Entonces nosotros puede traer correcciones microscópicas a escala Cm y mirar para la convergencia de dichas correcciones *RenCm* = lim cn.......................................................................................................................... Es fácil ver que dado cualquier vector de base eαi HCm el límite siguiente: renCm(eαi,Cm) = limCn Cn(dn,m(eαi,Cm)) existe y es igual a (eαi,Cm) = [d Schr](eαi,Cm) = Schr(iam) donde se calcula el valor de la sustancia problema utilizando la partícula libre Hamilto- Nian en la representación de Schrödinger. Esta expresión define el covector adecuado completamente renormalizado en la escala Cm. C. Cosmología cuántica de polímeros En esta sección vamos a presentar una versión de cuántica cosmología que llamamos cosmología cuántica polimérica. Los La idea detrás de este nombre es que la entrada principal en el quan- tización del modelo mini-superespacio correspondiente es el uso de una representación de polímero tal como se entiende aquí. Otra aportación importante es la elección de los elementos fundamentales variables a utilizar y la definición del Hamiltoniano restricción. Distintos grupos de investigación han diferen- ent opciones. Vamos a tomar aquí un modelo simple que tiene recibió mucha atención recientemente, a saber, un isotrópico, cosmología homogénea del FRW con k = 0 y acoplada a un campo escalar sin masa. Como veremos, un el tratamiento del límite continuo de este sistema requiere nuevos instrumentos en desarrollo que están más allá del ámbito de aplicación de este trabajo. Por lo tanto, nos limitaremos a la introducción miento del sistema y de los problemas que deben Resuelto. El sistema a cuantificar corresponde a la fase espacio de espacios cosmológicos que son homogéneos e isotrópico y para los cuales la homogeneidad espacial las rebanadas tienen una geometría intrínseca plana (k = condición 0). El único contenido de materia es un campo escalar sin masa. In este caso la geometría espacio-tiempo es dada por las métricas de el formulario: ds2 = −dt2 + a2(t) (dx2 + dy2 + dz2) donde la función a(t) lleva toda la información y grados de libertad de la parte gravitatoria. En términos de la Coordenadas (a, pa, ­, p­) para el espacio de fase de la Ory, todas las dinámicas son capturadas en el con- strantest C := −3 + 8ηG 2a3 El primer paso es definir la restricción sobre la kine- matical Hilbert espacio para encontrar estados físicos y luego un producto interior físico para construir el Hilbert físico espacio. Primero note que se puede reescribir la ecuación como: p2a a 2 = 8ηG Si, como se hace normalmente, se opta por actuar como un in- tiempo, el lado derecho sería promovido, en la teoría cuántica, a una segunda derivada. La izquierda lado de la mano es, además, simétrico en a y pa. En este punto tenemos la libertad en la elección de la variable que será cuantificado y la variable que no será bien definido en la representación del polímero. El estándar elección es que pa no está bien definido y por lo tanto, a y cualquier cantidad geométrica derivada de ella, se cuantifica. Piel... termorre, tenemos la opción de polarización en la onda función. A este respecto, la elección estándar es seleccionar la a-polarización, en la que una actúa como multiplicación y la aproximación de pa, a saber, sin( diferencia operador en las funciones de onda de a. Para más detalles: esta elección particular véase [5]. En este contexto, adoptaremos la op- posite polarización, es decir, tendremos funciones de onda (pa, فارسى). Al igual que hicimos en los casos anteriores, con el fin de ganar intuición sobre el comportamiento del polímero cuantificado la teoría, es conveniente mirar el prob equivalente- en la teoría clásica, a saber, el sistema clásico Estaríamos aproximándonos a lo no bien definido. servible (pa en nuestro caso actual) por un objeto bien definido (hecho de funciones trigonométricas). Vamos a la simplicidad opte por reemplazar pa 7→ sin( Con esta opción Obtenemos una restricción clásica Hamiltoniana eficaz que depende de : C. := − sin(l pa) - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. + 8ηG 2a3 Ahora podemos calcular ecuaciones efectivas de movimiento por medios de las ecuaciones: := {F, C, para cualquier observable F. C. C. C. C. C., y donde estamos utilizando la eficacia (primero orden) acción: *(pa N C con la opción N = 1. Lo primero que hay que notar es que la cantidad de p.o.p. es una constante de la moción, dado que la variable فارسى es cíclica. La segunda observación es que = 8ηG tiene la misma señal que pÃ3 y nunca desaparece. Por lo tanto, puede ser utilizado como una variable de tiempo (n interna). Los siguiente observación es que la ecuación para , a saber: la ecuación efectiva de Friedman, tendrá un cero para un valor no cero de un dado por 2p2o. Este es el valor en el que se rebotará si el la trayectoria comenzó con un gran valor de a y fue Tracciones. Note que el ‘tamaño’ del universo cuando el rebote se produce depende tanto de la constante dicta la densidad de la materia) y el valor de la celosía tamaño ♥. Aquí es importante subrayar que para cualquier valor (que fija de manera única la trayectoria en el (a, pa) avión), habrá un rebote. En la descripción original en términos de las ecuaciones de Einstein (sin la No hay tal rebote. Si < 0 inicialmente, permanecerá negativo y el universo colapsa, alcanzando la singularidad en un tiempo finito apropiado. ¿Qué sucede dentro de la descripción efectiva si re- afinar la celosía y pasar de ¿N? El único que cambia, para la misma órbita clásica etiquetada por pŁ, es que el rebote se produce en un ‘tiempo posterior’ y para un valor menor de un* pero el cuadro cualitativo sigue siendo Lo mismo. Esta es la principal diferencia con los sistemas considerados antes. En esos casos, uno podría tener trayectoria clásica... rs que quedaron, para una determinada elección de parámetro dentro de la región donde el pecado es una buena Por supuesto, también había trayectorias clásicas. que estaban fuera de esta región, pero entonces podríamos refinar el retícula y encontrar un nuevo valor para el cual el nuevo clas- La trayectoria sical está bien aproximada. En el caso de la cosmología polimérica, este nunca es el caso: Cada clásico la trayectoria pasará de una región donde la sión es buena para una región en la que no lo es; esto es precisamente donde las ‘correcciones cuánticas’ entran en juego y los universos rebotes. Dado que en la descripción clásica, el «original» y las descripciones ‘corregidas’ son tan diferentes que esperamos que, tras la cuantificación, el cuántico correspondiente el- ories, a saber, el polimérico y el Wheeler-DeWitt estar relacionado de manera no trivial (si es que existe). En este caso, con la elección de la polarización y para una particular el orden de los factores que tenemos, sin(lpa) · (pa, ­) = 0 como la ecuación Polymer Wheeler-DeWitt. A fin de abordar el problema del continuo límite de esta teoría cuántica, tenemos que darnos cuenta de que la la tarea es ahora algo diferente que antes. Esto es así. dado que el sistema es ahora un sistema limitado con un operador de restricción en lugar de un no-singular regular sistema con una evolución Hamiltoniana ordinaria. Fortu... nalmente para el sistema que se examina, el hecho de que puede ser considerado como un tiempo interno permite para interpretar la restricción cuántica como una Klein-Gordon ecuación de la forma # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cuando el operador sea «independiente en el tiempo». Esta al- nos reduce a dividir el espacio de soluciones en ‘positivos y frecuencia negativa», introducir un producto interior físico sobre las soluciones de frecuencia positiva de esta ecuación y un conjunto de observables físicos en función de los cuales de- escriba el sistema. Es decir, se reduce en la práctica la sistema a uno muy similar al caso Schrödinger por tomando la raíz cuadrada positiva de la ecuación anterior: # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # La pregunta que nos interesa es: si el continuum límite de estas teorías (marcado y si se corresponde con el Wheeler- La teoría de DeWitt. Un tratamiento completo de este problema Desgraciadamente, está fuera del ámbito de este trabajo y se informará en otro lugar [12]. VII. DEBATE Resumamos nuestros resultados. En la primera parte de la artículo mostramos que la representación del polímero de la las relaciones canónicas de conmutación se pueden obtener como la el caso limitador de la Fock-Schrödinger ordinario represen- en términos del estado algebraico que define el representación. Estos casos limitantes también pueden ser inter- pretendidos en términos de los estados coherentes definidos naturalmente asociado a cada representación etiquetada por el eter d, cuando se vuelven infinitamente ‘estrujados’. Los dos posibles límites de compresión conducen a dos polímeros diferentes descripciones que, sin embargo, se pueden identificar, como nosotros también han demostrado, con las dos posibles polarizaciones para una representación polímero abstracta. El resultado fue el siguiente: ory tiene, sin embargo, un comportamiento muy diferente como el estándar Uno: El espacio Hilbert no es separable, el representa- es inequivalente unitariamente a la de Schrödinger, y los operadores naturales como pÃ3n ya no están bien definidos. Esta construcción limitante particular del polímero el- Ory puede arrojar algo de luz para sistemas más complicados como las teorías de campo y la gravedad. En los tratamientos regulares de la dinámica dentro de la poli- representación mer, uno necesita introducir algunos extra estructura, como una celosía en el espacio de configuración, a con- construir un Hamiltoniano e implementar la dinámica para el sistema mediante un procedimiento de regularización. ¿Cómo es que esto re- teoría sulting comparar con la teoría del continuum original uno tenía desde el principio? ¿Puede uno esperar eliminar el regulador en la descripción del polímero? Tal como están. no hay relación directa o mapeo del polímero a una teoría de continuum (en caso de que haya una definida). As hemos demostrado, uno puede construir de hecho en un sistema dad, por medio de alguna enmienda apropiada que no se refiera a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos y a las libertades fundamentales, y a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos y a las libertades fundamentales, ciones relacionadas con la definición de una escala, a la celosía uno tenía que introducir en la regularización. Con este importante cambio en la perspectiva, y una renormalización priato del producto interior del polímero en cada escala uno puede, sujeto a alguna condición de consistencia- ciones, definir un procedimiento para eliminar el regulador, y llegar a un Hamiltoniano y un espacio Hilbert. Como hemos visto, para algunos ejemplos simples como una partícula libre y el oscilador armónico uno de hecho recupera la descripción de Schrödinger. Para otros sistemas: tems, como los modelos cosmológicos cuánticos, la respuesta no es tan claro, ya que la estructura del espacio de classi- Las soluciones de cal son tales que la «descripción eficaz» producido por la regularización del polímero a diferentes escalas es cualitativamente diferente de la dinámica original. A el tratamiento adecuado de esta clase de sistemas está en marcha y se informará de ello en otro lugar [12]. Tal vez la lección más importante que tenemos En este sentido, se ha aprendido que existe en efecto una riqueza intergubemamental. juego entre la descripción del polímero y el ordinario Representación de Schrödinger. La estructura completa de esta re- dad de la Unión Europea y de los Estados miembros de la Unión Europea, así como de los Estados miembros de la Unión Europea y de los Estados miembros de la Unión Europea. Sólo podemos esperar que una comprensión completa de estas cuestiones arrojará algo de luz en el objetivo final de tratar la dinámica cuántica de los sistemas sobre el terreno independientes de antecedentes, como relatividad. Agradecimientos Agradecemos a A. Ashtekar, G. Hossain, T. Pawlowski y P. Singh para discutir. Este trabajo fue apoyado en parte por subvenciones CONACyT U47857-F y 40035-F, por NSF PHY04-56913, por los Fondos de Investigación Eberly de Penn Estado, por el programa de intercambio AMC-FUMEC y por fondos del CIC-Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo. [1] R. Beaume, J. Manuceau, A. Pellet y M. Sirugue, “Estados Invariantes de Traducción en Mecánica Cuántica,” Comun. Matemáticas. Phys. 38, 29 (1974); W. E. Thirring y H. Narnhofer, “Covariante QED sin ric”, Rev. Matemáticas. Phys. 4, 197 (1992); F. Acerbi, G. Mor- chio y F. Strocchi, “Campos singulares infrarrojos y no- representaciones regulares de la conmutación canónica rela- álgebras de tion”, J. Matemáticas. Phys. 34, 899 (1993); F. Cav- allaro, G. Morchio y F. Strocchi, “Una generalización de el teorema de Stone-von Neumann a la representación no regular- sentaciones del CCR-álgebra”, Lett. Matemáticas. Phys. 47 307 (1999); H. 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Una representación cuántica no estándar de la conmutación canónica relaciones de los sistemas mecánicos cuánticos, conocidos como la representación del polímero recibió cierta atención en los últimos años, debido a su posible relación con Planck física a escala. En particular, este enfoque se ha seguido de forma simétrica. sector de la gravedad cuántica del bucle conocido como cosmología cuántica del bucle. Aquí vamos a explorar diferentes aspectos de la relación entre la teoría ordinaria de Schroedinger y la descripción del polímero. El periódico tiene dos partes. En el primero, derivamos la mecánica cuántica del polímero a partir de la teoría ordinaria de Schroedinger y demostrar que la descripción del polímero se presenta como un límite adecuado. En el segunda parte consideramos el límite continuo de esta teoría, a saber, lo contrario proceso en el que se parte de la teoría discreta e intenta recuperar la mecánica cuántica ordinaria de Schroedinger. Consideramos varios ejemplos de interés, incluyendo el oscilador armónico, la partícula libre y un simple modelo cosmológico.
La mecánica cuántica de polímeros y su límite de continuidad Alejandro Corichi,1, 2, 3, ∗ Tatjana Vukašinac,4, † y José A. Zapata1, ‡ Instituto de Matemáticas, Unidad Morelia, Universidad Nacional Autónoma de México, UNAM-Campus Morelia, A. Postal 61-3, Morelia, Michoacán 58090, México Instituto de Ciencias Nucleares, Universidad Nacional Autónoma de México, A. Postal 70-543, México D.F. 04510, México Instituto de Física Gravitacional y Geometría, Departamento de Física, Pennsylvania State University, University Park PA 16802, EE.UU. Facultad de Ingeniería Civil, Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, Morelia, Michoacán 58000, México Una representación cuántica bastante no estándar de las relaciones canónicas de conmutación de sistemas mecánicos de tom, conocidos como la representación del polímero ha ganado cierta atención en los últimos años, debido a su posible relación con la física a escala de Planck. En particular, este enfoque ha sido el siguiente: seguido en un sector simétrico de la gravedad cuántica del bucle conocido como cosmología cuántica del bucle. Aquí vamos. explorar diferentes aspectos de la relación entre la teoría ordinaria de Schrödinger y el polímero descripción. El periódico tiene dos partes. En el primero, derivamos la mecánica cuántica del polímero a partir de la teoría ordinaria de Schrödinger y mostrar que la descripción del polímero surge como un límite adecuado. En la segunda parte consideramos el límite continuo de esta teoría, a saber, el proceso inverso en el que se parte de la teoría discreta e intenta recuperar de nuevo lo ordinario Schrödinger mecánica cuántica. Consideramos varios ejemplos de interés, incluyendo el armónico oscilador, la partícula libre y un modelo cosmológico simple. Números PACS: 04.60.Pp, 04.60.Ds, 04.60.Nc 11.10.Gh. I. INTRODUCCIÓN La llamada mecánica cuántica polimérica, una no- representación regular y algo «exótica» de la las relaciones canónicas de conmutación (CCR) [1], utilizado para explorar tanto las cuestiones matemáticas y físicas en teorías independientes de fondo tales como la grav cuántica- ity [2, 3]. Un ejemplo notable de este tipo de cuantificación, cuando se aplica a modelos minisuperespacio ha dado paso a lo que se conoce como cosmología cuántica de bucle [4, 5]. Al igual que en cualquier situación modelo de juguete, uno espera aprender sobre el sutiles cuestiones técnicas y conceptuales que están presentes en la gravedad cuántica completa por medio de di- simple, finito Ejemplos mensionales. Este formalismo no es una excepción a este respecto. Aparte de esta motivación que viene de física en la escala de Planck, uno puede preguntar independientemente para la relación entre la representación continua estándar las sentaciones y sus primos poliméricos a nivel de matemáticas... Física emática. Una comprensión más profunda de esta relación se vuelve importante por sí solo. La cuantificación del polímero está hecha de varios pasos. El primero es construir una representación de la álgebra Heisenberg-Weyl en un espacio Kinematical Hilbert que es “independiente en el fondo”, y que a veces es conocido como el poliespacial polimérico Hilbert Hpoly. Los la segunda y más importante parte, la aplicación de dinámica, se ocupa de la definición de un Hamiltonian (o Constreñimiento hamiltoniano) en este espacio. En los ejemplos * Dirección electrónica: corichi@matmor.unam.mx †Dirección electrónica: tatjana@shi.matmor.unam.mx ‡Dirección electrónica: zapata@matmor.unam.mx estudiado hasta ahora, la primera parte es bastante bien entendido, dando el espacio cinemático Hilbert Hpoly es decir, cómo- Nunca, no-separable. Para el segundo paso, un im natural la aplicación de la dinámica ha demostrado ser un poco más difícil, dado que una definición directa de la Hamiltonian de, digamos, una partícula en un potencial en el espacio Hpoly es no es posible ya que una de las principales características de esta representación sentation es que los operadores qâ € y pâ € no pueden ser a la vez definido simultáneamente (ni sus análogos en las teorías con variables más elaboradas). Por lo tanto, cualquier operador que implica (poderes de) la variable no definida tiene que estar regulados por un operador bien definido que normalmente implica la introducción de una estructura adicional en la configuración ración (o impulso) espacio, es decir, una celosía. Sin embargo, esta nueva estructura que juega el papel de un regulador puede no se retira cuando se trabaja en Hpoly y se deja uno con la ambigüedad que está presente en cualquier regularización. La libertad a la hora de elegirla puede ser asociada a veces con una escala de longitud (el espaciado de celosía). En el caso de las personas de edad ordinaria sistemas cuánticos tales como un oscilador armónico simple, que se ha estudiado en detalle desde el punto de vista del polímero punto, se ha argumentado que si se toma esta escala de longitud para ser «suficientemente pequeño», se puede aproximar arbitrariamente Mecánica cuántica estándar de Schrödinger [2, 3]. En el caso de cosmología cuántica de bucle, la brecha de área mínima A0 de la teoría de la gravedad cuántica completa impone tal escala, que entonces se considera fundamental [4]. Una pregunta natural es preguntar qué sucede cuando nosotros cambiar esta escala e ir a ‘distancias’ aún más pequeñas, que es, cuando refinamos la celosía en la que la dinámica de la teoría está definida. ¿Podemos definir la consistencia con- ¿diciones entre estas escalas? O incluso mejor, ¿podemos tomar el límite y encontrar así un límite continuo? Como ella. http://arxiv.org/abs/0704.0007v2 mailto:corichi@matmor.unam.mx mailto:tatjana@shi.matmor.unam.mx mailto:zapata@matmor.unam.mx se ha mostrado recientemente en detalle, la respuesta a ambos las preguntas son afirmativas [6]. En este caso, una la noción de escala se definía de tal manera que se podía definir los refinamientos de la teoría y posar en un preciso forma la cuestión del límite continuo de la teoría. Estos resultados también podrían ser vistos como la entrega de un procedimiento para eliminar el regulador cuando se trabaja en el apro- se comió el espacio. El propósito de este documento es explorar más a fondo diferentes aspectos de la relación entre el continuum y la representación del polímero. En particular, en la primera parte planteamos una nueva manera de derivar el polímero representación del ordinario Schrödinger represen- sión como límite adecuado. In Sec. II derivamos dos versiones de la representación del polímero como diferente lim- es de la teoría de Schrödinger. In Sec. III mostramos que estas dos versiones pueden ser vistas como diferentes polarizaciones de la representación «abstracta» del polímero. Estos resultados, a lo mejor de nuestro conocimiento, son nuevos y no han sido notificada en otro lugar. In Sec. IV planteamos el problema de la aplicación de la dinámica en el polímero representa- tion. In Sec. V motivamos aún más la cuestión de la límite continuo (es decir, la eliminación adecuada del regulador) y recordar las construcciones básicas de [6]. Varios exámenes... ples se consideran en Sec. VI. En particular, un simple oscilador armónico, la partícula libre de polímero y un sim- Se considera el modelo cuántico de cosmología. El libre la partícula y el modelo cosmológico representan un lización de los resultados obtenidos en [6], en los que sólo los sistemas con un espectro discreto y no degenerado, Sidered. Terminamos el trabajo con una discusión en Sec. VII. Con el fin de hacer el papel autónomo, vamos a mantener el nivel de rigor en la presentación a la que se encuentra en el literatura física teórica estándar. II. CUANTIZACIÓN Y POLÍMER REPRESENTACIÓN En esta sección derivamos el llamado repre- envío de la mecánica cuántica a partir de un reformulación de la representación ordinaria de Schrödinger. Nuestro punto de partida será el más simple de todos los posibles espacios de fase, a saber, • = R2 correspondientes a una partícula viviendo en la línea real R. Elijamos las coordenadas (q, p) sobre el mismo. Como primer paso consideraremos la cuantificación de este sistema que conduce a la teoría cuántica estándar en la descripción de Schrödinger. Una ruta conveniente es a introducir la estructura necesaria para definir el Fock rep- el resentimiento de tal sistema. Desde esta perspectiva, el el paso al caso polimérico se vuelve más claro. Aproximadamente hablando por una cuantificación uno significa un pasaje del soporte algebraico clásico, el soporte Poisson, {q, p} = 1 (1) a un soporte cuántico dado por el conmutador de la los operadores correspondientes, [ qâ, pâ €] = i~ 1â € (2) Estas relaciones, conocidas como la conmutación canónica re- ración (CCR) se convierten en la piedra más común de la esquina de la (kinemática de la) teoría cuántica; deben ser satisfecho por el sistema cuántico, cuando se representa en un Hilbert Space H. Hay puntos de partida alternativos para el cuántico cinemática. Aquí consideramos el álgebra generada por las versiones exponenteadas de qâ € y pâ € que se denotan U(α) = ei(α q)/~ ; V (β) = ei(β p)/~ donde α y β tienen dimensiones de impulso y longitud, respectivamente. El CCR ahora se convierte en U(α) · V (β) = e(−iα β)/~V (β) · U(α) (3) y el resto del producto es U(α1)·U(α2) = U(α12) ; V (β1)·V (β2) = V (β1+2) El álgebra W de Weyl se genera tomando lineal finito combinaciones de los generadores U(αi) y V (βi) donde el producto (3) se amplía por linealidad, (Ai U(αi) +Bi V (βi)) Desde esta perspectiva, la cuantificación significa encontrar un representación unitaria del álgebra W de Weyl en una Hilbert espacio H′ (que podría ser diferente de los ordi- nary Schrödinger representación). Al principio podría parecer raro para intentar este enfoque dado que sabemos cómo para cuantificar un sistema tan sencillo; ¿qué necesitamos? ¿Un objeto complicado como W? Es infinitamente dimensional, mientras que el conjunto S = {1», q», p, el punto de partida de la la cuantificación ordinaria de Dirac, es bastante simple. Está en la cuantificación de sistemas de campo que las ventajas de el enfoque de Weyl se puede apreciar plenamente, pero es también útil para la introducción de la cuantificación del polímero y comparándolo con la cuantificación estándar. Esta es la estrategia que seguimos. Una pregunta que uno puede hacer es si hay alguna libertad en la cuantificación del sistema para obtener lo ordinario Representación de Schrödinger. A primera vista podría parecer que no hay ninguno dado el único Stone-Von Neumann- Teorema de ness. Repasemos cuál sería el argumento. para la construcción estándar. Pidamos que el representante... El envío que queremos construir es del tipo Schrödinger, a saber, donde los estados son funciones de onda de configuración espacio (q). Hay dos ingredientes en la construcción de la representación, a saber, la especificación de cómo la los operadores básicos (qá, pá) actuarán, y la naturaleza del espacio de las funciones a las que • pertenece, que normalmente se fija por la elección del producto interior en H, o la medida μ en R. La opción estándar es seleccionar el espacio Hilbert a ser, H = L2(R, dq) el espacio de funciones integrables cuadradas con respecto a la medida de Lebesgue dq (invariante bajo constante trans- lations) en R. Los operadores se representan entonces como, qâ · â € (q) = (q â €)(q) y pâ · â € (q) = −i ~ •(q) (4) ¿Es posible encontrar otras representaciones? Con el fin de apreciar esta libertad vamos al álgebra de Weyl y construir la teoría cuántica al respecto. La representación del álgebra de Weyl que se puede llamar del ‘tipo Fock’ implica la definición de una estructura adicional en la fase espacio: una estructura compleja J. Es decir, un mapa lineal. Ping de a sí mismo de tal manera que J2 = −1. En dos dimensiones. sions, toda la libertad en la elección de J está contenida en la elección de un parámetro d con dimensiones de longitud. Lo siento. También es conveniente definir: k = p/~ que tiene dimensiones de 1/L. Tenemos entonces, Jd : (q, k) 7→ (−d2 k, q/d2) Este objeto junto con la estructura simpléctica: (q′, p′)) = q p′ − p q′ define un producto interior en * por la fórmula gd(· ; ·) = (· ; Jd ·) de tal manera que: gd(q, p); (q ′, p′)) = q q′ + que es sin dimensión y positiva definida. Tenga en cuenta que con estas cantidades se puede definir coordenadas complejas (, ) como de costumbre: q + i p ; = q − i d a partir de la cual se puede construir el estándar Fock representa- tion. Por lo tanto, se puede ver alternativamente la introducción del parámetro de longitud d como la cantidad necesaria para de- Coordenadas complejas finas (sin dimensión) en la fase espacio. Pero ¿cuál es la relevancia de este objeto (J o d)? La definición de coordenadas complejas es útil para la construcción del espacio Fock ya que de ellos uno puede definir, de una manera natural, la creación y la aniquilación operadores. Pero para la representación de Schrödinger somos Interesado aquí, es un poco más sutil. La sutileza es que dentro de este enfoque se utiliza la prop algebraica erties de W para construir el espacio Hilbert a través de lo que es conocido como el Gel’fand-Naimark-Segal (GNS) tion. Esto implica que la medida en el asunto Schrödinger representación se convierte en no trivial y por lo tanto la momen- el operador adquiere un término adicional con el fin de renderizar el operador autoadjunto. La representación del Weyl álgebra es entonces, cuando se actúa sobre las funciones فارسى(q) [7]: *(α) ·*(q) := (eiα q/~ ♥)(q) (β) · (q) := e (q/2) (q − β) La estructura espacial de Hilbert es introducida por el defini- ión de un estado algebraico (un funcional lineal positivo) D : W → C, que debe coincidir con la expectativa valor en el espacio Hilbert tomado en un estado especial ref- ered a como el vacío: d(a) = vac, para todos un W. En nuestro caso, esta especificación de J induce a un único de que los rendimientos, (α)vac = e− d2 α2 ~2 (5) Vócalo (β)Vócalo = e− d2 (6) Tenga en cuenta que los exponentes en la expectativa de vacío los valores corresponden a la métrica construida a partir de J : d2 α2 = gd(0, α); (0, α)) y = gd(β, 0); (β, 0). Las funciones de onda pertenecen al espacio L2(R, dμd), donde la medida que dicta el producto interior en este rep- la resensión es dada por, dμd = d2 dq En esta representación, el vacío es dado por el iden- función de la tity Ł0(q) = 1 es decir, al igual que cualquier onda de plano, normalizado. Tenga en cuenta que para cada valor de d > 0, el rep- la resención es bien definida y continua en α y β. Tenga en cuenta también que hay una equivalencia entre la q- representación definida por d y la k-representación de- multado por 1/d. ¿Cómo podemos recuperar entonces la representación estándar en la que la medida es dada por la medida Lebesgue y los operadores están representados como en (4)? Es fácil de ver que hay un isomorfismo isométrico K que mapea la d-representación en Hd a la norma Schrödinger representación en Hschr por: (q) = K · (q) = e d1/2η1/4 Hschr = L2(R, dq) Así vemos que todas las representaciones d son unitariamente equiv- Alent. Esto era de esperar en vista de la Stone-Von Resultado de la singularidad de Neumann. Tenga en cuenta también que el vacío ahora se convierte en 0(q) = d1/2η1/4 2 d2, Así que incluso cuando no hay información sobre el param- eter d en la representación en sí, está contenida en el estado de vacío. Este procedimiento para la construcción del GNS- Schrödinger representación para la mecánica cuántica ha también se generalizó a los campos escalares sobre curvas arbitrarias espacio en [8]. Nótese, sin embargo, que hasta ahora el tratamiento ha todos fueron cinemáticos, sin ningún conocimiento de un Hamil- Tonian. Para el Oscilador Armónico Simple de masa m y la frecuencia, hay una opción natural compatible con la dinámica dada por d = , en el que algunos los cálculos se simplifican (por ejemplo, para los estados coherentes), pero en principio se puede utilizar cualquier valor de d. Nuestro estudio se simplificará concentrándose en la las entidades mentales en el Hilbert Space Hd, a saber, los los estados generados por la acción con فارسى(α) en el vacío 0(q) = 1. Vamos a denotar esos estados por, (q) = ­(α) · ­0(q) = ei El producto interno entre dos de estos estados es dado por , d = dμd e ~ = e− ()2 d2 4 ~2 (7) Note, por cierto, que, contrariamente a alguna creencia común, las ‘ondas del avión’ en este espacio GNS Hilbert son de hecho normalizable. Consideremos ahora la representación del polímero. Por que, es importante tener en cuenta que hay dos posibles casos límite para el parámetro d: i) El límite 1/d 7→ 0 y ii) El caso d 7→ 0. En ambos casos, tenemos ex- presiones que se definan mal en la representación o medida, por lo que uno necesita tener cuidado. A. El caso 1/d 7→ 0. La primera observación es que de las expresiones (5) y (6) para el estado algebraico........................................................................................................................................................................................................................................................... En efecto, los casos están bien definidos. En nuestro caso obtenemos, A := lim1/d→0 A (α) =,0 y A (β) = 1 (8) A partir de esto, de hecho podemos construir la representación mediante la construcción del GNS. Con el fin de hacer eso y para mostrar cómo se obtiene esto vamos a considerar varios expresiones. Sin embargo, hay que tener cuidado, ya que el límite tiene que ser tomado con cuidado. Consideremos la medida sobre la representación que se comporta como: dμd = d2 dq 7→ 1 por lo que las medidas tienden a una medida homogénea, pero cuya ‘normalización constante’ va a cero, por lo que el límite se vuelve algo sutil. Volveremos a este punto. Más tarde. Veamos ahora qué pasa con el producto interior. entre las entidades fundamentales en el Hilbert Space Hd dado por (7). Es inmediato ver que en el 1/d 7→ 0 limitar el producto interior se convierte, , d 7→, con Kronecker como el delta de Kronecker. Vemos entonces que el ondas planas (q) se convierten en una base ortonormal para el nuevo espacio Hilbert. Por lo tanto, hay una interacción delicada entre los dos términos que contribuyen a la medida en mantener la normalidad de estas funciones; Necesitamos que la medida se humedezca (por 1/d) en orden evitar que las ondas planas adquieran una norma infinita (como sucede con la medida estándar de Lebesgue), pero por otro lado la medida, que para cualquier valor finito de d es un gaussiano, se vuelve cada vez más extendido. Es importante señalar que, en este límite, los operadores • (α) llegar a ser discontinuo con respecto a α, dado que para cualquier α1 y α2 (diferente), su acción en un determinado vector base (q) produce vectores ortogonales. Desde el continuidad de estos operadores es uno de los hipotesis de el teorema de Stone-Von Neumann, el resultado de la singularidad no se aplica aquí. La representación es inequivalente al estándar. Analicemos ahora el otro operador, a saber, el acción del operador Vó (β) sobre la base de (q): (β) · (q) = e− ~ e(β/d 2+iα/~)q que en el límite 1/d 7→ 0 va a, (β) · (q) 7→ ei ~ (q) que es continuo en β. Por lo tanto, en el límite, el operador = −iq está bien definido. Además, tenga en cuenta que en este límite el operador tiene (q) como su propio estado con valor propio dado por α: · (q) 7→ (q) Para resumir, la teoría resultante obtenida por el límite 1/d 7→ 0 de la descripción ordinaria de Schrödinger sión, que llamaremos la «representación de polímeros de tipo A», tiene las siguientes características: los operadores U(α) están bien definidos pero no continuos en α, por lo que no hay generador (sin operador asociado a q). La base vec- tors son ortonormales (para α tomando valores en un contin- y son autovectores del operador que es bien definido. El espacio resultante Hilbert HA será el (A-versión de la) representación del polímero. Vamos ahora. considerar el otro caso, a saber, el límite cuando d 7→ 0. B. El caso d 7→ 0 Exploremos ahora el otro caso limitante de la representaciones de Schrödinger/Fock etiquetadas por el eter d. Al igual que en el caso anterior, la limitación algebraica el estado se convierte, B := limd→0 •d de tal manera que, B(α) = 1 y B(V® (β)) = 0 (10) A partir de esta función lineal positiva, uno puede de hecho con- structe la representación usando la construcción GNS. Primero tomemos nota de que la medida, incluso cuando el límite debe ser tomado con el debido cuidado, se comporta como: dμd = d2 dq 7→ (q) dq Es decir, como distribución delta de Dirac. Es inmediato a ver que, en el límite d 7→ 0, el producto interior entre los estados fundamentales (q) se convierte, , d 7→ 1 (11) Esto de hecho significa que el vector = − pertenece al Kernel del producto interior limitante, por lo que uno tiene que mod hacia fuera por estos (y todos) estados de la norma cero con el fin de Conseguir el espacio de Hilbert. Analicemos ahora el otro operador, a saber, el acción del operador Vâr (β) sobre el vacío Ø0(q) = 1, que para arbitrario d tiene la forma, := Vó (β) · 0(q) = e (q/2) El producto interno entre dos de estos estados es dado por , d = e− ()2 En el límite d → 0,, d →,β. Podemos ver entonces. que son estas funciones las que se vuelven ortonormales, ‘bases discretas’ en la teoría. Sin embargo, la función (q) en este límite se vuelve mal definido. Por ejemplo, para β > 0, crece sin límite para q > β/2, es igual a uno si q = β/2 y cero de lo contrario. Con el fin de superar estos las dificultades y hacer más transparente el resultado de ory, vamos a considerar la otra forma de la representación en la que la medida se incorpora a los Estados (y el espacio resultante de Hilbert es L2(R, dq). Por lo tanto, la nueva estado (q) := K · (Vâ ° (β) · Ø0(q)) = (q)2 Ahora podemos tomar el límite y lo que obtenemos es d 7→0 (q) := ♥ 1/2(q, β) donde por Ł1/2(q, β) nos referimos a algo como ‘el cuadrado raíz de la distribución de Dirac». Lo que realmente queremos decir es un objeto que satisface la siguiente propiedad: 1/2(q, β) · 1/2(q, α) = 1/2(q, β) Es decir, si α = β entonces es sólo el delta ordinario, otro- sabiamente es cero. En cierto sentido, este objeto puede ser considerado como medias densidades que no pueden integrarse por sí mismas, pero cuyo producto puede. Concluimos entonces que el interior el producto es, , = dq (q)(q) = dq (q, α), α = α,α que es justo lo que esperábamos. Nótese que en esta repre- sentation, el estado de vacío se convierte en 0(q) := 1/2(q, 0), a saber, la mitad delta con apoyo en el origen. Lo es. importante tener en cuenta que estamos llegando de una manera natural a estados como medias densidades, cuyos cuadrados se pueden integrar sin necesidad de una medida no trivial en la configuración espacio de racionamiento. La invarianza del difeomorfismo surge entonces en un natural pero sutil. Tenga en cuenta que como resultado final recuperamos el Kronecker producto interior delta para los nuevos estados fundamentales: (q) := ♥ 1/2(q, β). Así, en esta nueva representación de B-polímero, el Hilbert espacio HB es la terminación con respecto al interior producto (13) de los estados generados por la toma (finito) combinaciones lineales de elementos de base de la forma : (q) = bi i(q) (14) Ahora vamos a introducir una descripción equivalente de esto Espacio Hilbert. En lugar de tener los elementos de base ser medio-deltas como elementos del espacio Hilbert donde el producto interior es dado por la medida ordinaria de Lebesgue dq, redefinimos tanto la base como la medida. Nosotros podría considerar, en lugar de una media-delta con soporte β, una Kronecker delta o función característica con soporte sobre β: (q) := ♥q,β Estas funciones tienen un comportamiento similar con respecto a el producto como media delta, a saber: (q) · (q) = # # # # #, # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # La principal diferencia es que ninguna de las dos χ ′ ni sus Los cuadrados son integrables con respecto al Lebesgue mea- seguro (tiene cero norma). Con el fin de solucionar ese problema nosotros tiene que cambiar la medida para que recuperemos la base producto interior (13) con nuestra nueva base. La mea necesaria... seguro resulta ser la medida de conteo discreto en R. Por lo tanto, cualquier estado en la «base de la media densidad» se puede escribir (utilizando la misma expresión) en términos de «Kronecker base». Para más detalles y más motivación vea el siguiente sección. Nótese que en esta representación de polímero B, ambos sus roles intercambiados con el de la Representación de A-polímero: mientras que U(α) es discontinuo y, por lo tanto, qâ € no se define en la representación-A, nosotros tener que es V (β) en la representación B que tiene este propiedad. En este caso, es el operador el que no puede se definan. Vemos entonces que dado un sistema físico para que el espacio de configuración tiene un fisico bien definido en la posible representación en la que funciones de onda son funciones de la variable de configuración q, las representaciones de polímeros A y B son radicalmente dif- Ferent e inequivalente. Dicho esto, también es cierto que la A y B representaciones son equivalentes en un sentido diferente, por medios de la dualidad entre q y p representaciones y la dualidad d↔ 1/d: La representación de A-polímero en la “representación q” es equivalente al polímero B representación en la "p-representación", e inversamente. Cuando se estudia un problema, es importante decidir desde el comienzo de la representación del polímero (en su caso) debe ser utilizado (por ejemplo en la q-polarización). Esto tiene como consecuencia una implicación sobre qué variable es naturalmente “cuantificada” (incluso si continua): p para A y q para B. Podría haber, por ejemplo, un criterio físico para esta elección. Por ejemplo, una simetría fundamental podría Sugiere que una representación es más natural que una... otro. Esto ha sido observado recientemente por Chiou. en [10], donde se investiga el grupo Galileo y se demuestra que la representación B se comporta mejor. En la otra polarización, es decir, para las funciones de onda de p, la imagen se invierte: q es discreto para el A- representación, mientras que p es para el caso B. Terminemos con esto. , señalando que el procedimiento de obtención de la cuantificación del polímero mediante un límite adecuado de las representaciones Fock-Schrödinger podrían resultar útiles en ajustes más generales en teoría de campo o gravedad cuántica. III. MECANISMOS DE CUANTO POLÍMICO: KINEMÁTICAS En secciones anteriores hemos derivado lo que tenemos las llamadas representaciones poliméricas A y B (en la polarización) como casos limitantes de la representación ordinaria de Fock Enviaciones. En esta sección, describiremos, sin cualquier referencia a la representación de Schrödinger, la «ab- representación de polímero de estrazo y luego hacer contacto con sus dos posibles realizaciones, estrechamente relacionadas con la A y B casos estudiados anteriormente. Lo que vamos a ver es que uno de ellos (el caso A) corresponderá a la p-polarización mientras que el otro corresponde a la representación q, cuando se toma una decisión sobre el significado físico de las variables. Podemos empezar por definir kets abstractos etiquetados por un número real μ. Estos pertenecerán al espacio de Hilbert. Hpoly. A partir de estos estados, definimos un 'cilindro genérico estados’ que corresponden a una elección de una colección finita de Números μi-R con i = 1, 2,...., N. Asociados a esto elección, hay N vectores i, por lo que podemos tomar un lineal combinación de ellos = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 ai i (15) El producto interior del polímero entre los kets fundamentales es administrado por, =,μ (16) Es decir, los kets son ortogonales entre sí (cuando ν 6= μ) y se normalizan ( = 1). Inmediatamente, esto implica que, dado que cualquier dos vectores = j=1 bj j y = i=1 ai i, el producto interior entre ellos es administrado por, = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * b̄k ak donde la suma es sobre k que etiqueta los puntos de intersección entre el conjunto de etiquetas j} y i}. El Hilbert espacio Hpoly es la terminación Cauchy de finito lineal com- de la forma (15) con respecto al pro blema interno uct (16). Hpoly no es separable. Hay dos básicos operadores en este espacio Hilbert: el «operador de etiquetas» : := μ y el operador de desplazamiento.. (.......................................................................................................................................................................................................................................................... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # El operador es simétrico y el(los) operador(es) define una familia de un parámetro de operadores unitarios en Hpoly, donde su contiguo es dado por () = (). Esto la acción es, sin embargo, discontinuo con respecto a que y + son siempre ortogonales, no importa que tan pequeño es. Por lo tanto, no hay operador (hermitano) que podría generar... (.......................................................................................................................................................................................................................................................... Hasta ahora hemos dado la caracterización abstracta de el espacio Hilbert, pero uno quisiera hacer contacto con realizaciones concretas como funciones de onda, o por iden- • la adaptación de los operadores abstractos a las condiciones físicas de trabajo; Erators. Supongamos que tenemos un sistema con un espacio de configuración con coordenada dada por q, y p denota su canónico conjugate momenta. Supongamos también que para la física rea- hijos decidimos que la configuración coordin q will tienen algún “carácter discreto” (por ejemplo, si se trata de se identifican con la posición, se podría decir que hay una posición discreta subyacente en pequeña escala). ¿Cómo podemos aplicar estos requisitos por medio de ¿La representación del polímero? Hay dos posibilidades, dependiendo de la elección de las ‘polarizaciones’ para la ola- funciones, a saber, si serán funciones de Figuración q o momenta p. Vamos a dividir el disco- sión en dos partes. A. Polarización momentánea En esta polarización, los estados serán denotados por, (p) = (p) donde (p) = p = ei ¿Cómo están representados entonces los operadores y? Nota que si asociamos el operador multiplicativo Vá r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r s r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r s r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ~ = ei () p = ()(p) Vemos entonces que el operador VÃ3r (­) corresponde exactamente para el operador de turnos. Por lo tanto, también podemos concluir que el operador no existe. Ahora es fácil identificar al operador qÃ3r con: q · (p) = −i~ (p) = μ e ~ = (p) a saber, con el operador abstracto. La razón por la que decir que qâ € es discreto es porque este operador tiene como su eigenvalue la etiqueta μ del estado elemental (p), y esta etiqueta, incluso cuando puede tomar valor en un continuum de los posibles valores, debe entenderse como un conjunto discreto, dado que los estados son ortonormales para todos los valores de μ. Dado que los estados son ahora funciones de p, el interior el producto (16) debe definirse mediante una medida μ en la espacio en el que se definen las funciones de onda. En orden saber cuáles son estos dos objetos, a saber, el quan- el espacio "configuración" C y la medida correspondiente1, tenemos que hacer uso de las herramientas disponibles para nosotros desde la teoría de C*-álgebras. Si consideramos a los operadores Vócalo, junto con su producto natural y su relación con dado por Váš ∗() = Váš (), que tienen la estructura de a Abelian C*-álgebra (con unidad) A. Sabemos por la teoría de la representación de tales objetos que A es iso- mórfico al espacio de las funciones continuas C0(­) en una espacio compacto, el espectro de A. Cualquier representación de A en un espacio Hilbert como operador de multiplicación será sobre los espacios de la forma L2(­, dμ). Es decir, nuestro cuántico espacio de configuración es el espectro del álgebra, que en nuestro caso corresponde a la compactación de Bohr Rb de la línea real [11]. Este espacio es un grupo compacto y hay una medida de probabilidad natural definida en ella, el Medida Haar μH. Por lo tanto, nuestro Hilbert espacio Hpoly será isomórfico al espacio, Hpoly,p = L2(Rb, dμH) (17) En términos de «funciones periódicas cuasi» generadas por (p), el producto interior toma la forma := dμH (p)(p) := = lim L 7° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° dp(p)(p) =, nota que en la p-polarización, esta caracterización cor- responde a la «versión A» de la representación del polímero de Sec. II (donde se intercambian p y q). B. Q-polarización Consideremos ahora la otra polarización en la que la ola las funciones dependerán de la coordenada de configuración q: (q) = (q) + (q) + (q) + (q) = (q) + (q) + (q) = (q) + (q) = (q) + (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) Las funciones básicas, que ahora se llamará (q), debe ser, en cierto sentido, el dual de las funciones (p) de la subsección anterior. Podemos tratar de definirlos a través de un «Fourier transform»: (q) := q = q dμHpp que es dada por (q) := dμHqp(p) = dμH e −i p q ~ = q,μ (19) 1 aquí utilizamos la terminología estándar de ‘espacio de configuración’ para denotar el dominio de la función de onda incluso cuando, en este caso, corresponde al momento físicoa p. Es decir, los objetos básicos en esta representación son Kro- cuello deltas. Esto es precisamente lo que habíamos encontrado en Sec. II para la representación del tipo B. ¿Cómo está ahora el los operadores básicos representados y cuál es la forma de la ¿Producto interior? En cuanto a los operadores, esperamos que están representados de la manera opuesta como en el p-polarización anterior, pero que preservan el las mismas características: p® no existe (la derivada de la Kro- cuello delta está mal definido), pero su versión exponencial En el caso de Vázquez, se entiende por: VÃ3r (­) · (­) = (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) y el operador qâ € que ahora actúa como multiplicación ha como sus propios estados, las funciones (q) =,q: q · (q) := μ (q) ¿Cuál es ahora la naturaleza de las configuraciones cuánticas espacio Q? ¿Y cuál es la medida sobre dμq? que define el producto interior que deberíamos tener: (q), (q) =, La respuesta viene de una de las caracterizaciones de la compactación de Bohr: sabemos que es, en un preciso sentido, dual a la línea real, pero cuando está equipado con el topología discreta Rd. Además, la medida relativa a Rd será la «medida de contabilidad». De esta manera recuperamos el las mismas propiedades que teníamos para la caracterización anterior del espacio del polímero Hilbert. Así podemos escribir: Hpoly,x := L2(Rd, dμc) (20) Esto completa una construcción precisa del poli-tipo B representación mer bosquejada en la sección anterior. Nota que si hubiéramos elegido la situación física opuesta, a saber q, la configuración observable, ser el quan- dad que no tiene un operador correspondiente, entonces habríamos tenido la realización opuesta: en el q- polarización habríamos tenido el polímero tipo A rep- resentimiento y el tipo-B para la p-polarización. As veremos que ambos escenarios han sido considerados en el literatura. Hasta ahora sólo hemos centrado nuestra discusión en el Aspectos cinemáticos del proceso de cuantificación. Déjanos Ahora considere en la siguiente sección la cuestión de la dinam- y recordar el enfoque que se había adoptado en el informe de la Comisión de Asuntos Económicos y Monetarios y de Política Industrial. literatura, antes de la cuestión de la eliminación del regulador fue reexaminado en [6]. IV. MECANISMOS DE CUANTO POLÍMICO: DINÁMICA Como hemos visto la construcción del polímero la representación es bastante natural y conduce a un teoría de tum con diferentes propiedades que la habitual Schrödinger homólogo como su no separabilidad, la no existencia de determinados operadores y la existencia de eigen-vectores normalizados que dan un valor preciso para una de las coordenadas espaciales de fase. Esto se ha hecho. sin tener en cuenta a un Hamiltoniano que dota a la sistema con una dinámica, energía y así sucesivamente. Primero consideremos el caso más simple de una partícula de masa m en un potencial V (q), en el que el Hamiltonian H adopta la forma, p2 + V (q) Supongamos además que el potencial es dado por un no- función periódica, como un polinomio o una función racional tion. Podemos ver inmediatamente que una implementación directa- de los Hamiltonianos está fuera de nuestro alcance, para el simple la razón de que, como hemos visto, en el polímero representa- ¡Podemos representar q o p, pero no los dos! ¿Qué? ¿Se ha hecho hasta ahora en la literatura? La más simple. cosa posible: aproximar el término no existente por un bien definida función que se puede cuantificar y la esperanza de el mejor. Como veremos en las próximas secciones, hay más de lo que uno puede hacer. En este punto también hay una decisión importante que debe ser hecho: que la variable q o p debe ser considerada como “des- ¿Cerveza? Una vez que se hace esta elección, entonces implica que la otra variable no existirá: si q se considera como dis- ocre, entonces p no existirá y tenemos que aproximarnos el término cinético p2/2m por otra cosa; si p va a ser la cantidad discreta, entonces q no se definirá y luego tenemos que aproximar el potencial V (q). ¿Qué hap- ¿lápices con potencial periódico? En este caso uno podría ser modelar, por ejemplo, una partícula en una celosía regular como un fonón que vive en un cristal, y luego el natural elección es tener q no bien definido. Por otra parte, la po- tential estará bien definido y no hay aproximación necesario. En la literatura se han considerado ambos escenarios. Por ejemplo, cuando se considera un mecánico cuántico sistema en [2], la posición fue elegida para ser discreta, así que p no existe, y uno está entonces en el tipo A para la polarización del momento (o el tipo B para el q- polarización). Con esta elección, es el término cinético el uno que tiene que ser aproximado, así que una vez que se ha hecho esto, entonces es inmediato considerar cualquier potencial que Por lo tanto, se definirá bien. Por otro lado, cuando con- cosmología cuántica del bucle lateral (LQC), el estándar elección es que la variable de configuración no está definida [4]. Esta elección se hace teniendo en cuenta que LQC se considera como el sector simétrico de la gravedad cuántica del bucle completo donde la conexión (que se considera como la configuración vari- no puede ser promovido a un operador y se puede sólo definir su versión exponencial, a saber, el holón- Omy. En ese caso, la variable canónicamente conjugada, estrechamente relacionado con el volumen, se convierte en «discreto», al igual que en la teoría completa. Este caso es, sin embargo, diferente de la partícula en un ejemplo potencial. Primero podríamos mencionar que la forma funcional de la restricción hamiltoniana que implementa dinámica tiene una estructura diferente, pero la diferencia más importante radica en que el sistema es constreñido. Volvamos al caso de la partícula en una po- tential y para la definición, comencemos con el aux- Marco iliar cinemático en el que: q es discreto, p no pueden ser promovidos y por lo tanto tenemos que aproximarnos el término cinético pÃ3s/2/2m. ¿Cómo se hace esto? El Stan... prescripción dard es definir, en el espacio de configuración C, un «gráfico» regular 0. Esto consiste en un numerable conjunto de puntos, equidistante, y caracterizado por un pa- rameter μ0 que es la separación (constante) entre puntos. El ejemplo más sencillo sería considerar la set 0 = {q R q = nμ0, Esto significa que los kets básicos que se considerarán Se corresponderá precisamente con las etiquetas μn pertenecientes a el gráfico 0, es decir, μn = nμ0. Por lo tanto, sólo considerar los estados de la forma, = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 bn n. (21) Este espacio ‘pequeño’ Hilbert H0, el espacio gráfico Hilbert, es un subespacio del polímero ‘grande’ Hilbert Space Hpoly pero es separable. La condición para un estado de la forma (21) pertenecer al espacio Hilbert H0 es que el co- efficients bn satisfacer: n bn2. Consideremos ahora el término cinético pÃ2/2m. Tenemos para aproximarlo mediante funciones trigonométricas, que se puede construir a partir de las funciones de la forma ei. p/~. Como hemos visto en secciones anteriores, estas funciones pueden ser promovidos a los operadores y actuar como traducción operadores en los kets. Si queremos permanecer en el γ, y no crear ‘nuevos puntos’, entonces uno es a considerar a los operadores que desplazan los kets por la cantidad justa. Es decir, queremos lo básico el operador de turno Vâ ° ° ° ° ° sea tal que mapee el ket con etiqueta nÃ3 al siguiente ket, es decir n+1Ã3. Esto puede... acción realizada mediante la fijación, de una vez por todas, del valor de la se permite que el parámetro  sea  = μ0. Tenemos entonces, Vóz (μ0) · nó = n + μ0ó = n+1ó que es lo que queríamos. Este «operador de turnos» básico ser el bloque de construcción para aproximar cualquier (polinomio) función de p. Con el fin de hacer eso nos damos cuenta de que la función p se puede aproximar por, * * * ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ (μ0 p ~ − e−i donde la aproximación es buena para p • ~/μ0. Por lo tanto, se puede definir un operador regulado p0 que depende de la «escala» μ0 como: = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = [V (μ0) − V (0)] (n+1â − n−1â > ) (22) Para regular el operador, hay (al menos) dos posibilidades, a saber, componer el operador p0 con sí mismo o para definir una nueva aproximación. La operación... ator p0 · p0 tiene la característica que cambia los estados dos pasos en el gráfico a ambos lados. Sin embargo, hay un... otro operador que sólo implica el cambio una vez: 2μ0 · n := [2 − Vâr (μ0) − Vâr (0)] · nâr = (23) lo que corresponde a la aproximación p2 2~ cos(μ0 p/~)), válido también en el régimen p • ~/μ0. Con estas consideraciones, uno puede definir el operador 0, el Hamiltoniano a escala μ0, que en la práctica «vive» en el espacio H0 como, 0 := p+2μ0 + V+ (q), (24) que es un operador bien definido, simétrico en H0. No... que el operador también se define en Hpoly, pero hay su interpretación física es problemática. Por ejemplo, resulta que el valor de expectativa del término cinético calculados en la mayoría de los estados (estados que no están adaptados a al valor exacto del parámetro μ0) es cero. Incluso si uno toma un estado que da expectativas “razonables” valores del término μ0-cinético y lo utiliza para calcular el valor de expectativa del término cinético correspondiente a una ligera perturbación del parámetro μ0 se obtendría cero. Este problema, y otros que surgen cuando se trabaja sobre Hpoly, obliga a uno a asignar una interpretación física a los hamiltonianos 0 sólo cuando su acción está restringida al subespacio H0. Ahora exploremos la forma que toma el Hamiltoniano en las dos posibles polarizaciones. En la q-polarización, la base, etiquetada por n viene dada por las funciones χn(q) = *q,μn. Es decir, las funciones de onda sólo tendrán sup- puerto en el conjunto 0. Alternativamente, se puede pensar en un como completamente caracterizado por el ‘Fourier coeffi- an: فارسى(q) ↔ an, que es el valor que la ola función •(q) toma en el punto q = μn = nμ0. Por lo tanto, el Hamiltoniano toma la forma de una ecuación de diferencia cuando actúa sobre un estado general............................................................................................................................................................................................................................................................ Resolver el tiempo Ecuación independiente de Schrödinger · para resolver la ecuación de diferencia para los coeficientes a. La polarización del impulso tiene una estructura diferente. En este caso, el operador pâ € 2μ0 actúa como una multiplicación operador, = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 1 − cos (μ0 p •(p) (25) El operador correspondiente a q se representará como un operador derivado p): = i~ Łp (p). Para un potencial genérico V (q), tiene que ser definido por medios de teoría espectral definidos ahora en un círculo. ¿Por qué? ¿En un círculo? Por la sencilla razón de que al restringir nosotros mismos a un gráfico regular 0, las funciones de p que preservarlo (cuando actúa como operador de turnos) son de la forma e(i m μ0 p/~) para m entero. Es decir, lo que tenemos son modos Fourier, etiquetados por m, del período 2η ~/μ0 en p. ¿Podemos pretender entonces que la variable de espacio de fase p es ¿Ahora compactado? La respuesta es afirmativa. Los producto interno en las funciones periódicas 0(p) de p que viene del espacio completo Hilbert Hpoly y dado por (p)(p)polio = lim L 7° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° dp (p) (p) (p) es exactamente equivalente al producto interior en el círculo dado por la medida uniforme (p)(p)0 = ∫ /μ0 /μ0 dp (p) (p) (p) con p (/μ0, /μ0). Mientras uno restrinja a... la atención a la gráfica 0, uno puede trabajar en este separable Hilbert espacio H0 de funciones integrables cuadradas en S Inmediatamente, se pueden ver las limitaciones de este descrip- tion. Si el sistema mecánico a cuantificar es tal que sus órbitas tienen valores de los momenta p que son no pequeño en comparación con /μ0 entonces la aproximación tomado será muy pobre, y no esperamos ni el descripción clásica eficaz ni su cuantificación para ser cerca de la estándar. Si, por otro lado, uno es al- en la región en la que la aproximación puede ser Considerado como fiable, entonces tanto clásico como cuántico de- las inscripciones deben aproximarse a la descripción estándar. ¿Qué hace «cerca de la descripción estándar» exactamente necesidades medias, por supuesto, algunas aclaraciones adicionales. In particular está asumiendo la existencia de la habitual Schrödinger representación en la que el sistema tiene un be- havior que también es coherente con las observaciones. Si esto es el caso, la pregunta natural es: ¿cómo podemos ¿Aparear tal descripción de la foto del polímero? ¿Está ahí? un gráfico bastante fino 0 que se aproximará al sistema ¿De tal manera que todas las observaciones sean indistinguibles? O mejor aún, ¿podemos definir un procedimiento, que implica un refinamiento del gráfico 0 tal que uno recupera el ¿Un cuadro estándar? También podría ocurrir que un límite continuo puede ser de- multada, pero no coincide con la «esperada». Pero también podría haber sistemas físicos para los que hay ninguna descripción estándar, o simplemente no tiene sentido. Puede en esos casos la representación del polímero, si ex- ists, proporcionar la descripción física correcta de la sys- ¿Tem en consideración? Por ejemplo, si existe un limitación física de la escala mínima fijada en μ0, como podría ser el caso de una teoría cuántica de la gravedad, entonces la descripción del polímero proporcionaría un verdadero por el valor de determinadas cantidades, como p en nuestro ejemplo. Este podría ser el caso para el lazo cuántico cosmología, cuando exista un valor mínimo para la volumen (proviene de la teoría completa), y el espacio de fase puntos cerca de la “singularidad” se encuentran en la región donde el la aproximación inducida por la escala μ0 se aparta de la descripción clásica estándar. Si en ese caso el poli- sistema cuántico mer se considera más fundamental que el sistema clásico (o su estándar Wheeler-De Witt cuantización), entonces uno interpretaría este dis- crepancias en el comportamiento como señal de la avería de descripción clásica (o su cuantificación ‘naive’). En la siguiente sección presentamos un método para eliminar el regulador μ0 que se introdujo como comieron el paso para construir la dinámica. Más precisamente, nosotros considerará la construcción de un límite continuo de la descripción del polímero mediante una renormalización procedimiento. V. LÍMITE CONTINUO Esta sección consta de dos partes. En el primero motivamos la necesidad de una noción precisa del límite continuo de la representación polimérica, explicando por qué más El enfoque directo e ingenuo no funciona. En la segunda fase: en parte, presentaremos las principales ideas y resultados de el papel [6], donde el hamiltoniano y el físico El espacio de Hilbert en la mecánica cuántica polimérica es... como un continuum límite de teorías eficaces, seguir- Las ideas del grupo de renormalización de Wilson. El resultado El espacio físico Hilbert resulta ser unitariamente isomor- phic a las Hs ordinarias = L2(R, dq) del Schrödinger teoría. Antes de describir los resultados de [6] debemos discutir el significado preciso de llegar a una teoría en el contin- uum. Consideremos, para mayor concreción, la representación del tipo B. sentacion en la q-polarizacion. Es decir, los estados son func... ciones de q y la base ortonormal (q) es dada por funciones características con soporte en q = μ. Déjanos Ahora supongamos que tenemos un estado de Schrödinger L2(R, dq). ¿Cuál es la relación entre Ł(q) y un estado? ¿En Hpoly, X? También estamos interesados en las preguntas opuestas. sión, es decir, nos gustaría saber si hay una preferencia estado en Hs que es aproximado por un estado arbitrario (q) en Hpoly,x. La primera observación obvia es que un Estado Schödinger (q) no pertenece a Hpoly,x ya que tendría una norma infinita. Para ver esa nota que incluso cuando el Estado aspirante puede ser formalmente ampliado en el base como, (q) = (μ) (q) donde la suma es sobre el parámetro μ â € R. Su associ- ated norma en Hpoly,x sería: (q)2polio = (μ)2 → que explota. Tenga en cuenta que para definir una asignación P : Hs → Hpoly, x, hay una gran ambigüedad desde el se necesitan los valores de la función فارسى(q) con el fin de ampliar la función de la onda polimérica. Por lo tanto, sólo podemos definir un mapping en un denso subconjunto D de Hs donde los valores de la funciones están bien definidas (recordemos que en Hs el valor de funciones en un punto dado no tiene significado ya que los estados son clases de equivalencia de funciones). Podríamos, por ejemplo, pedir que la asignación se defina para los representantes de la clases de equivalencia en Hs que son continua por partes. A partir de ahora, cuando nos referimos a un elemento del espacio Nos referiremos a uno de esos representantes. Observe entonces que un elemento de Hs define un elemento de Cyl, el dual al espacio Cylγ, es decir, el espacio de funciones de cilindro con soporte en la celosía (finita) γ = 1, μ2,. .., μN}, de la siguiente manera: (q) : Cylγ C de tal manera que *(q)[(q)] = ( := (μ) - ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No! • (μi) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Nótese que este mapeo podría ser visto como consistente en dos partes: Primero, una proyección Pγ : Cyl ∗ → Cylγ de tal manera que Pγ() = (q) := i-(μi)i(q)-Cylγ. El Estado se refiere a veces como la «sombra de Ł(q) en la celosía γ». El segundo paso es entonces tomar el interior producto entre la sombra (q) y el estado (q) con respecto al producto interno del polímero poliγ. Ahora este producto interior está bien definido. Note que para cualquier celosía dada γ el proyector correspondiente Pγ puede ser intuitivamente interpretado como una especie de ‘granulación gruesa mapa’ del continuum a la celosía γ. En términos de funciones de q la proyección está reemplazando un continuo función definida en R con una función sobre la celosía γ R, que es un conjunto discreto simplemente restringiendo a γ. Cuanto más fina sea la celosía, más puntos tendremos. en la curva. Como veremos en la segunda parte de este sección, hay de hecho una noción precisa de grano grueso que implementa esta idea intuitiva de una manera concreta. En particular, tendremos que sustituir la celosía γ por una descomposición de la línea real en intervalos puntos de celosía como puntos finales). Consideremos ahora un sistema en el polímero represen- en la que se eligió una celosía particular γ0, por ejemplo con puntos de la forma {qk â R qk = ka0, â k â Z}, es decir, una celosía uniforme con espaciamiento igual a a0. En este caso, cualquier función de onda Schrödinger (del tipo que considerar) tendrá una sombra única en la celosía γ0. Si refinamos la celosía γ 7→ γn dividiendo cada intervalo en 2n nuevos intervalos de longitud a = a0/2 Tenemos una nueva sombra... ows que tienen más y más puntos en la curva. Intu- itativamente, refinando infinitamente el gráfico nos recuperaríamos la función original فارسى(q). Incluso cuando en cada paso finito la sombra correspondiente tiene una norma finita en el poli- mer Hilbert espacio, la norma crece ilimitadamente y el el límite no se puede tomar, precisamente porque no podemos em- cama Hs en Hpoly. Supongamos ahora que estamos interesados en el proceso inverso, es decir, a partir de un polímero teoría sobre una celosía y pidiendo la "onda continua función’ que se aproxima mejor por una función de onda sobre un gráfico. Supongamos, además, que queremos con- sider el límite de la gráfica cada vez más fino. En orden para dar respuestas precisas a estas (y otras) preguntas necesidad de introducir algunas nuevas tecnologías que nos permitirán para superar estas aparentes dificultades. En el resto de esta sección recordaremos estas construcciones para el beneficio del lector. Los detalles se pueden encontrar en [6] (que es una aplicación del formalismo general discutido en [9]). El punto de partida de esta construcción es el concepto de una escala C, que nos permite definir la eficacia de y el concepto de límite continuo. En nuestro caso, un escala es una descomposición de la línea real en la unión de intervalos cerrados-abiertos, que cubren toda la línea y hacen no se intersectan. Intuitivamente, estamos cambiando el énfasis desde los puntos de celosía a los intervalos definidos por el los mismos puntos con el objetivo de aproximar funciones tinuas definidas en R con funciones que son constante en los intervalos definidos por la celosía. Ser precisa, definimos una incrustación, para cada escala Cn de Hpoly a Hs por medio de una función escalonada: •(hombre) χman(q) → *(hombre) m(q)* Hs con n(q) una función característica en el intervalo αm = [hombre, (m + 1)an). Por lo tanto, las sombras (viviendo en la celosía) eran sólo un paso intermedio en el con- estructuración de la función de aproximación; esta función es constante por pieza y se puede escribir como un com- lineal bination de funciones de escalón con los coeficientes proporcionados por las sombras. El desafío ahora es definir en un sentido apropiado cómo se pueden aproximar todos los aspectos de la teoría por medio de esta constante por piezas funciones. Entonces el estrategia es que, para cualquier escala dada, se puede definir un teoría eficaz mediante la aproximación del operador cinético por una combinación de los operadores de traducción que cambian entre los vértices de la descomposición dada, en otros palabras por una función periódica en p. Como resultado uno tiene un conjunto de teorías eficaces a escalas determinadas que son mutuamente relacionados con mapas de granulación gruesa. Este marco era el siguiente: desarrollado en [6]. Para la comodidad del lector nosotros Recordemos brevemente parte de ese marco. Vamos a denotar el espacio cinemático polímero Hilbert en la escala Cn como HCn, y sus elementos de base como eαi,Cn, donde αi = [ian, (i + 1)an) • Cn. Por la construcción de este la base es ortonormal. Los elementos de base en la dualidad Hilbert espacio H*Cn se denotan por i,Cn; también son Ortonormal. Los estados i, Cn tienen una acción simple en Cyl, i,Cn(lx0,q) = i,Cn(lx0). Es decir, si x0 está en el intervalo αi de Cn el resultado es uno y es cero si es No está ahí. Dado cualquier m ≤ n, definimos d*m,n : H*Cn → H como el mapa de ‘granulación gruesa’ entre el doble Hilbert espacios, que envía la parte de los elementos del dual base a cero manteniendo la información del resto: d*m,n(i,Cn) = j,Cm si i = j2 n-m, en el caso contrario d*m,n(i,Cn) = 0. En cada escala la teoría efectiva correspondiente es dado por el hamiltoniano Hn. Estos Hamiltonianos lo harán. ser tratados como formas cuadráticas, hn : HCn → R, dado por hn(­) =  (,Hn), (27) en la que 2Cn es un factor de normalización. Veremos más tarde. que este reescalamiento del producto interior es necesario en para garantizar la convergencia de los renormalizados teoría. La teoría completamente renormalizada a esta escala se obtiene como hrenm := lim - Sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí, sí., sí., sí, sí., sí. (28) y los Hamiltonianos renormalizados son compatibles con el uno al otro, en el sentido de que - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. n = h Con el fin de analizar las condiciones para la convergencia en (28) vamos a expresar el hamiltoniano en términos de su eigen-covectores fin eigenvalues. Trabajaremos con... tiva Hamiltonianos que tienen un espectro puramente discreto (marcado por: · Hn ·, Cn = E/, Cn, Cn. También lo haremos. introducir, como paso intermedio, un corte en la energía niveles. El origen de este corte está en la aproximación del Hamiltoniano de nuestro sistema en una escala dada con a Hamiltoniano de un sistema periódico en un régimen de pequeño energías, como explicamos antes. Por lo tanto, podemos escribir h vcut-offm = vcut-off E/,Cm,Cm ,Cm,(29) donde los covectores eígenos,Cm se normalizan de acuerdo- al producto interior redistribuido por 1 , y el corte... off puede variar hasta una escala dependiente unida, νcut−off ≤ vmax(Cm). El espacio Hilbert de los covectores junto con tal producto interno se llamará H.renCm. En presencia de un corte, la convergencia de la Hamiltonianos microscópicamente corregidos, ecuación (28) es equivalente a la existencia de los dos límites siguientes. El primero es la convergencia de los niveles de energía, E/Cn = E /. (30) Segundo es la existencia de la completamente renormalizada covectores autóctonos, m,n,Cn = - ¿Qué es esto? - ¿Qué es esto? * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 31) Aclaramos que la existencia del límite anterior significa que la letra c) del apartado 1 del artículo 3 del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, relativo a la aplicación de los regímenes de seguridad social a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta ajena, No... que esta convergencia punto a punto, si se puede llevar a cabo en absoluto, requerirá la afinación de los factores de normalización 2Cn. Pasamos ahora a la cuestión del límite del continuum de los covectores renormalizados. En primer lugar podemos pedir por el existencia del límite El Tribunal de Primera Instancia decidió, en primer lugar, si la Decisión de la Comisión de 17 de diciembre de 1994 (en lo sucesivo, «Decisión impugnada»), que, en el caso de autos, debía interpretarse en el sentido de que la Decisión de la Comisión de 17 de diciembre de 1994 (en lo sucesivo, «Decisión impugnada») no había sido adoptada por el Tribunal de Primera Instancia en el sentido de que la Decisión de la Comisión de 21 de diciembre de 1995 (en lo sucesivo, «Decisión impugnada») no había sido adoptada por el Tribunal de Justicia en el sentido de que la Decisión de la Comisión de 21 de diciembre de 1995 (en lo sucesivo, «Decisión impugnada») no había sido adoptada por el Tribunal de Justicia en el sentido de que la Decisión de la Comisión de 21 de diciembre de 1995 (en lo sucesivo, «Decisión impugnada»). para cualquier فارسىx0,q Cyl. Cuando estos límites existen hay una acción natural de los covectores autóctonos en el continuum límite. A continuación consideramos otra noción del continuum límite de los covectores autóctonos renormalizados. Cuando los covectores autóctonos completamente renormalizados existen, forman una colección que es compatible, - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. = Ren/,Cm. Una secuencia de d - Compatibles ni compatibles. Los covectores maleables definen un elemento de , que es el límite proyectivo de los espacios renormalizados de covec- HerenCn. 33) El producto interior en este espacio está definido por (Cn}, Cn})R := lim (Cn,ΦCn) La inclusión natural de C­0 en es por un antilineal mapa que asigna a cualquier â € â € € â € TM Câ € TM el dâ €-compatible colección shadCn := i(L(αi)) Se le llamará a ShadCn la sombra de # a escala Cn y actúa en Cyl como una función constante a trozos. Claramente otro tipos de funciones de prueba como las funciones de Schwartz son también naturalmente incluidos en . En este contexto una sombra es un estado de la teoría efectiva que se aproxima a un estado en la teoría del continuum. Desde el producto interior en es degenerado, el espacio físico Hilbert se define como Höphys := / ker(·, ·)ren Hphys := Hóphys La naturaleza del espacio físico Hilbert, si es isomórfico al espacio de Schrödinger Hilber, Hs, o no, es determinado por los factores de normalización se obtiene de las condiciones que exigen la compatibil- ity de la dinámica de las teorías eficaces en diferentes básculas. La dinámica del sistema que se examina selecciona el límite del continuum. Volvamos ahora a la definición de la Hamilto- nian en el límite del continuum. En primer lugar considerar la continuación de uum límite del Hamiltoniano (con corte) en el sentido de su convergencia puntual como forma cuadrática. Lo siento. resulta que si el límite de la ecuación (32) existe para todos los covectores autóctonos permitidos por el corte, tenemos vcut-off ren : Hpoly,x → R definido por vcut-off ren (­x0,q) := lim h/cut−off Renn ([lx0,q]Cn). (34) Esta forma cuadrática hamiltoniana en el continuum puede ser de grano grueso a cualquier escala y, como puede ser ex- , produce el Hamilto completamente renormalizado- Nian forma cuadrática a esa escala. Sin embargo, esto no es un límite de continuum completamente satisfactorio porque podemos no retirar el corte auxiliar νcut−off. Si lo intentamos, como incluimos más y más covectores propios en el Hamilto- nian los cálculos hechos a una escala dada divergerían y hacerlos en el continuum es igual de divergente. A continuación exploramos un camino más exitoso. Podemos utilizar el producto interno renormalizado para inducir una acción de los hamiltonianos de corte en vcut-off ren (Cn} := lim h/cut­off renn ((­)Cn, ·)renCn ), donde hemos utilizado el hecho de que (­Cn, ·)renCn • HCn. Los la existencia de este límite es trivial porque el renormalizado Hamiltonianos son sumas finitas y el límite existe término por término. Estos hamiltonianos de corte descienden a lo físico Espacio Hilbert vcut-off ren ([Cn}]):= h vcut-off ren (Cn} para cualquier representante Cn} [Cn}] Hóphys. Por último, podemos abordar la cuestión de la eliminación de la Fuera. El hamiltoniano hren → R se define por la límite := lim & cct−off & cclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclcl vcut-off ren cuando el límite existe. Su correspondiente forma ermitaña en Hphys se define siempre que exista el límite anterior. Esto concluye nuestra presentación de los principales resultados de [6]. Vamos. ahora consideremos varios ejemplos de sistemas para los que el límite del continuum puede ser investigado. VI. EJEMPLOS En esta sección vamos a desarrollar varios ejemplos de sistemas que han sido tratados con el polímero cuanti- Zation. Estos ejemplos son simples mecánicos cuánticos sistemas, como el oscilador armónico simple y el partículas libres, así como un modelo cosmológico cuántico conocido como cosmología cuántica del bucle. A. El Oscilador Armónico Simple En esta parte, vamos a considerar el ejemplo de un simple Har- Oscilador mónico (SHO) con parámetros m y sicamente descrito por el siguiente Hamiltonian 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 Recuerde que a partir de estos parámetros se puede definir una longitud escala D = - Sí. En el tratamiento estándar se utiliza esta escala para definir una estructura compleja JD (y un r producto de la misma), como hemos descrito en detalle que Selecciona de forma única la representación estándar de Schrödinger. A escala Cn tenemos un Hamiltoniano eficaz para el Oscilador Armónico Simple (SHO) dado por HCn = 1 − como anp má2x2. (35) Si intercambiamos posición e impulso, este Hamilto... nian es exactamente el de un péndulo de masa m, longitud l y sujeto a un campo gravitatorio constante g: Cn = − +mgl(1 − cos ) cuando esas cantidades estén relacionadas con nuestro sistema, m-a-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-d-e-e-d-d-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e- , g = ............................................................... Es decir, estamos aproximando, para cada escala Cn el SHO por un péndulo. Hay, sin embargo, un importante diferencia. De nuestro conocimiento del sistema del péndulo, Sabemos que el sistema cuántico tendrá un espectro para la energía que tiene dos behav asintóticos diferentes - iors, el SHO para bajas energías y el rotor planar en el extremo superior, correspondiente a oscilación y rotación soluciones, respectivamente2. A medida que refinamos nuestra escala y ambos la longitud del péndulo y la altura del periódico aumento potencial, esperamos tener un aumento de num- br de estados oscilantes (para un sistema de péndulo dado, sólo hay un número finito de tales estados). Por lo tanto, se justifica considerar el corte en el eigenval de la energía Como se ha dicho en la última sección, dado que sólo esperar un número finito de estados del péndulo a ap- Eigenstatos de SHO próximos. Con estas consideraciones en mente, la pregunta relevante es si las condiciones para el continuum límite a existir está satisfecho. Esta pregunta se ha respondido afirmativamente en [6]. ¿Qué fue? se demostró que los valores propios y eigen func- ciones de los sistemas discretos, que representan un y no degenerados, aproximándose a los de los contin- uum, es decir, del oscilador armónico estándar cuando el producto interior se vuelve a normalizar por un factor 2Cn = 1/2 Esta convergencia implica que existe el límite continuo como lo entendemos. Consideremos ahora la más simple sistema posible, una partícula libre, que tiene sin embargo la particular característica de que el espectro de la energía es Tinuous. 2 Tenga en cuenta que ambos tipos de soluciones están, en el espacio de fase, cerrados. Esta es la razón detrás del espectro puramente discreto. Los la distinción que estamos haciendo es entre esas soluciones dentro de la separatrix, que llamamos oscilante, y aquellos que están por encima de ella que llamamos rotación. B. Partícula libre de polímero En el límite فارسى → 0, el Hamiltoniano de lo Simple El oscilador armónico (35) va al Hamiltoniano de un partícula libre y el tiempo correspondiente independiente La ecuación de Schrödinger, en la p-polarización, está dada por (1 − cos anp ) − CEn (p) = 0 donde ahora tenemos que p â € S1, con p â € ( Por lo tanto, tenemos ECn = 1 − cos ≤ CEn,max. 2 . (36) A cada escala podemos describir la energía de la partícula. está limitado desde arriba y el límite depende de la escala. Nótese que en este caso el espectro es continuo ous, lo que implica que las funciones propias ordinarias de El Hilbert no es normal. Esto impone una limitada en el valor que la energía de la partícula puede tienen, además de los límites en el impulso debido a su “compactación”. Busquemos en primer lugar soluciones eigen a la hora inde- péndulo Schrödinger ecuación, es decir, para la energía eigen- estados. En el caso de la partícula libre ordinaria, estos corresponden a ondas planas de impulso constante de la forma e±( ) y de tal manera que la dispersión ordinaria re- ión p2/2m = E está satisfecho. Estas ondas planas son no cuadrado integrable y no pertenecen a lo ordinario Hilbert espacio de la teoría Schrödinger, pero todavía son útil para extraer información sobre el sistema. Por la partícula libre de polímero que tenemos, Cn(p) = c1♥(p− PCn) + c2/23370/(p+ PCn) donde PCn es una solución de la ecuación anterior consid- , con un valor fijo de ECn. Es decir, PCn = P (ECn) = arccos − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − El inverso Fourier transforma los rendimientos, en el ‘x represen- dad», Cn(xj) = ∫ /un /un (p) e p j dp = ixjPCn /~ + c2e - ixjPCn /~ .(37) con xj = un j para j â € Z. Tenga en cuenta que las funciones propias son todavía funciones delta (en la representación p) y por lo tanto no (cuadrado) normalizable con respecto al polímero producto interno, que en la polarización p se acaba de dar por la medida ordinaria de Haar en S1, y no hay la cuantificación del impulso (su espectro sigue siendo verdaderamente continuum). Consideremos ahora el tiempo dependiente Schrödinger ecuación, (p, t) = · (p, t). Que ahora toma la forma, (p, t) = (1 − cos (un p/~)) (p, t) que tiene como solución, (p, t) = e− (1−cos (un p/~)) t (p) = e(−iECn /~) t (p) para cualquier función inicial (p), donde la CEn satisface la relación de persión (36). La función de onda (xj, t), la xj-representación de la función de onda, se puede obtener para cualquier tiempo dado t por Fourier transformando con (37) la función de onda (p, t). Con el fin de comprobar la convergencia de la micro- scopicamente corregido Hamiltonians debemos analizar el la convergencia de los niveles de energía y de la ectors. En el límite n → فارسى, ECn → E = p2/2m tan podemos estar seguros de que los valores propios para la energía convergen (al fijar el valor de p). Vamos a escribir el el covector adecuado como Cn = (Cn, ·)ren Cn • H . Entonces nosotros puede traer correcciones microscópicas a escala Cm y mirar para la convergencia de dichas correcciones *RenCm* = lim cn.......................................................................................................................... Es fácil ver que dado cualquier vector de base eαi HCm el límite siguiente: renCm(eαi,Cm) = limCn Cn(dn,m(eαi,Cm)) existe y es igual a (eαi,Cm) = [d Schr](eαi,Cm) = Schr(iam) donde se calcula el valor de la sustancia problema utilizando la partícula libre Hamilto- Nian en la representación de Schrödinger. Esta expresión define el covector adecuado completamente renormalizado en la escala Cm. C. Cosmología cuántica de polímeros En esta sección vamos a presentar una versión de cuántica cosmología que llamamos cosmología cuántica polimérica. Los La idea detrás de este nombre es que la entrada principal en el quan- tización del modelo mini-superespacio correspondiente es el uso de una representación de polímero tal como se entiende aquí. Otra aportación importante es la elección de los elementos fundamentales variables a utilizar y la definición del Hamiltoniano restricción. Distintos grupos de investigación han diferen- ent opciones. Vamos a tomar aquí un modelo simple que tiene recibió mucha atención recientemente, a saber, un isotrópico, cosmología homogénea del FRW con k = 0 y acoplada a un campo escalar sin masa. Como veremos, un el tratamiento del límite continuo de este sistema requiere nuevos instrumentos en desarrollo que están más allá del ámbito de aplicación de este trabajo. Por lo tanto, nos limitaremos a la introducción miento del sistema y de los problemas que deben Resuelto. El sistema a cuantificar corresponde a la fase espacio de espacios cosmológicos que son homogéneos e isotrópico y para los cuales la homogeneidad espacial las rebanadas tienen una geometría intrínseca plana (k = condición 0). El único contenido de materia es un campo escalar sin masa. In este caso la geometría espacio-tiempo es dada por las métricas de el formulario: ds2 = −dt2 + a2(t) (dx2 + dy2 + dz2) donde la función a(t) lleva toda la información y grados de libertad de la parte gravitatoria. En términos de la Coordenadas (a, pa, ­, p­) para el espacio de fase de la Ory, todas las dinámicas son capturadas en el con- strantest C := −3 + 8ηG 2a3 El primer paso es definir la restricción sobre la kine- matical Hilbert espacio para encontrar estados físicos y luego un producto interior físico para construir el Hilbert físico espacio. Primero note que se puede reescribir la ecuación como: p2a a 2 = 8ηG Si, como se hace normalmente, se opta por actuar como un in- tiempo, el lado derecho sería promovido, en la teoría cuántica, a una segunda derivada. La izquierda lado de la mano es, además, simétrico en a y pa. En este punto tenemos la libertad en la elección de la variable que será cuantificado y la variable que no será bien definido en la representación del polímero. El estándar elección es que pa no está bien definido y por lo tanto, a y cualquier cantidad geométrica derivada de ella, se cuantifica. Piel... termorre, tenemos la opción de polarización en la onda función. A este respecto, la elección estándar es seleccionar la a-polarización, en la que una actúa como multiplicación y la aproximación de pa, a saber, sin( diferencia operador en las funciones de onda de a. Para más detalles: esta elección particular véase [5]. En este contexto, adoptaremos la op- posite polarización, es decir, tendremos funciones de onda (pa, فارسى). Al igual que hicimos en los casos anteriores, con el fin de ganar intuición sobre el comportamiento del polímero cuantificado la teoría, es conveniente mirar el prob equivalente- en la teoría clásica, a saber, el sistema clásico Estaríamos aproximándonos a lo no bien definido. servible (pa en nuestro caso actual) por un objeto bien definido (hecho de funciones trigonométricas). Vamos a la simplicidad opte por reemplazar pa 7→ sin( Con esta opción Obtenemos una restricción clásica Hamiltoniana eficaz que depende de : C. := − sin(l pa) - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. + 8ηG 2a3 Ahora podemos calcular ecuaciones efectivas de movimiento por medios de las ecuaciones: := {F, C, para cualquier observable F. C. C. C. C. C., y donde estamos utilizando la eficacia (primero orden) acción: *(pa N C con la opción N = 1. Lo primero que hay que notar es que la cantidad de p.o.p. es una constante de la moción, dado que la variable فارسى es cíclica. La segunda observación es que = 8ηG tiene la misma señal que pÃ3 y nunca desaparece. Por lo tanto, puede ser utilizado como una variable de tiempo (n interna). Los siguiente observación es que la ecuación para , a saber: la ecuación efectiva de Friedman, tendrá un cero para un valor no cero de un dado por 2p2o. Este es el valor en el que se rebotará si el la trayectoria comenzó con un gran valor de a y fue Tracciones. Note que el ‘tamaño’ del universo cuando el rebote se produce depende tanto de la constante dicta la densidad de la materia) y el valor de la celosía tamaño ♥. Aquí es importante subrayar que para cualquier valor (que fija de manera única la trayectoria en el (a, pa) avión), habrá un rebote. En la descripción original en términos de las ecuaciones de Einstein (sin la No hay tal rebote. Si < 0 inicialmente, permanecerá negativo y el universo colapsa, alcanzando la singularidad en un tiempo finito apropiado. ¿Qué sucede dentro de la descripción efectiva si re- afinar la celosía y pasar de ¿N? El único que cambia, para la misma órbita clásica etiquetada por pŁ, es que el rebote se produce en un ‘tiempo posterior’ y para un valor menor de un* pero el cuadro cualitativo sigue siendo Lo mismo. Esta es la principal diferencia con los sistemas considerados antes. En esos casos, uno podría tener trayectoria clásica... rs que quedaron, para una determinada elección de parámetro dentro de la región donde el pecado es una buena Por supuesto, también había trayectorias clásicas. que estaban fuera de esta región, pero entonces podríamos refinar el retícula y encontrar un nuevo valor para el cual el nuevo clas- La trayectoria sical está bien aproximada. En el caso de la cosmología polimérica, este nunca es el caso: Cada clásico la trayectoria pasará de una región donde la sión es buena para una región en la que no lo es; esto es precisamente donde las ‘correcciones cuánticas’ entran en juego y los universos rebotes. Dado que en la descripción clásica, el «original» y las descripciones ‘corregidas’ son tan diferentes que esperamos que, tras la cuantificación, el cuántico correspondiente el- ories, a saber, el polimérico y el Wheeler-DeWitt estar relacionado de manera no trivial (si es que existe). En este caso, con la elección de la polarización y para una particular el orden de los factores que tenemos, sin(lpa) · (pa, ­) = 0 como la ecuación Polymer Wheeler-DeWitt. A fin de abordar el problema del continuo límite de esta teoría cuántica, tenemos que darnos cuenta de que la la tarea es ahora algo diferente que antes. Esto es así. dado que el sistema es ahora un sistema limitado con un operador de restricción en lugar de un no-singular regular sistema con una evolución Hamiltoniana ordinaria. Fortu... nalmente para el sistema que se examina, el hecho de que puede ser considerado como un tiempo interno permite para interpretar la restricción cuántica como una Klein-Gordon ecuación de la forma # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cuando el operador sea «independiente en el tiempo». Esta al- nos reduce a dividir el espacio de soluciones en ‘positivos y frecuencia negativa», introducir un producto interior físico sobre las soluciones de frecuencia positiva de esta ecuación y un conjunto de observables físicos en función de los cuales de- escriba el sistema. Es decir, se reduce en la práctica la sistema a uno muy similar al caso Schrödinger por tomando la raíz cuadrada positiva de la ecuación anterior: # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # La pregunta que nos interesa es: si el continuum límite de estas teorías (marcado y si se corresponde con el Wheeler- La teoría de DeWitt. Un tratamiento completo de este problema Desgraciadamente, está fuera del ámbito de este trabajo y se informará en otro lugar [12]. VII. DEBATE Resumamos nuestros resultados. En la primera parte de la artículo mostramos que la representación del polímero de la las relaciones canónicas de conmutación se pueden obtener como la el caso limitador de la Fock-Schrödinger ordinario represen- en términos del estado algebraico que define el representación. Estos casos limitantes también pueden ser inter- pretendidos en términos de los estados coherentes definidos naturalmente asociado a cada representación etiquetada por el eter d, cuando se vuelven infinitamente ‘estrujados’. Los dos posibles límites de compresión conducen a dos polímeros diferentes descripciones que, sin embargo, se pueden identificar, como nosotros también han demostrado, con las dos posibles polarizaciones para una representación polímero abstracta. El resultado fue el siguiente: ory tiene, sin embargo, un comportamiento muy diferente como el estándar Uno: El espacio Hilbert no es separable, el representa- es inequivalente unitariamente a la de Schrödinger, y los operadores naturales como pÃ3n ya no están bien definidos. Esta construcción limitante particular del polímero el- Ory puede arrojar algo de luz para sistemas más complicados como las teorías de campo y la gravedad. En los tratamientos regulares de la dinámica dentro de la poli- representación mer, uno necesita introducir algunos extra estructura, como una celosía en el espacio de configuración, a con- construir un Hamiltoniano e implementar la dinámica para el sistema mediante un procedimiento de regularización. ¿Cómo es que esto re- teoría sulting comparar con la teoría del continuum original uno tenía desde el principio? ¿Puede uno esperar eliminar el regulador en la descripción del polímero? Tal como están. no hay relación directa o mapeo del polímero a una teoría de continuum (en caso de que haya una definida). As hemos demostrado, uno puede construir de hecho en un sistema dad, por medio de alguna enmienda apropiada que no se refiera a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos y a las libertades fundamentales, y a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos y a las libertades fundamentales, ciones relacionadas con la definición de una escala, a la celosía uno tenía que introducir en la regularización. Con este importante cambio en la perspectiva, y una renormalización priato del producto interior del polímero en cada escala uno puede, sujeto a alguna condición de consistencia- ciones, definir un procedimiento para eliminar el regulador, y llegar a un Hamiltoniano y un espacio Hilbert. Como hemos visto, para algunos ejemplos simples como una partícula libre y el oscilador armónico uno de hecho recupera la descripción de Schrödinger. Para otros sistemas: tems, como los modelos cosmológicos cuánticos, la respuesta no es tan claro, ya que la estructura del espacio de classi- Las soluciones de cal son tales que la «descripción eficaz» producido por la regularización del polímero a diferentes escalas es cualitativamente diferente de la dinámica original. A el tratamiento adecuado de esta clase de sistemas está en marcha y se informará de ello en otro lugar [12]. Tal vez la lección más importante que tenemos En este sentido, se ha aprendido que existe en efecto una riqueza intergubemamental. juego entre la descripción del polímero y el ordinario Representación de Schrödinger. La estructura completa de esta re- dad de la Unión Europea y de los Estados miembros de la Unión Europea, así como de los Estados miembros de la Unión Europea y de los Estados miembros de la Unión Europea. Sólo podemos esperar que una comprensión completa de estas cuestiones arrojará algo de luz en el objetivo final de tratar la dinámica cuántica de los sistemas sobre el terreno independientes de antecedentes, como relatividad. Agradecimientos Agradecemos a A. Ashtekar, G. Hossain, T. Pawlowski y P. Singh para discutir. Este trabajo fue apoyado en parte por subvenciones CONACyT U47857-F y 40035-F, por NSF PHY04-56913, por los Fondos de Investigación Eberly de Penn Estado, por el programa de intercambio AMC-FUMEC y por fondos del CIC-Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo. [1] R. Beaume, J. Manuceau, A. Pellet y M. Sirugue, “Estados Invariantes de Traducción en Mecánica Cuántica,” Comun. Matemáticas. Phys. 38, 29 (1974); W. E. Thirring y H. Narnhofer, “Covariante QED sin ric”, Rev. Matemáticas. Phys. 4, 197 (1992); F. Acerbi, G. Mor- chio y F. Strocchi, “Campos singulares infrarrojos y no- representaciones regulares de la conmutación canónica rela- álgebras de tion”, J. Matemáticas. Phys. 34, 899 (1993); F. Cav- allaro, G. Morchio y F. Strocchi, “Una generalización de el teorema de Stone-von Neumann a la representación no regular- sentaciones del CCR-álgebra”, Lett. Matemáticas. Phys. 47 307 (1999); H. 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704.001
Numerical solution of shock and ramp compression for general material properties
Solución numérica de choque y compresión de rampa para propiedades materiales generales Damian C. Swift* División de Ciencia y Tecnología de Materiales, Laboratorio Nacional Lawrence Livermore, 7000, East Avenue, Livermore, CA 94550, U.S.A. (Fecha: 7 de marzo de 2007; versión revisada el 8 de abril de 2008 y el 1 de julio de 2008 – LA-UR-07-2051) Resumen Se elaboró una formulación general para representar modelos de materiales para aplicaciones en dinámica cargando. Se diseñaron métodos numéricos para calcular la respuesta a la compresión de golpes y rampas, y descompresión de rampa, generalizando soluciones previas para ecuaciones escalares de estado. El número se encontró que los métodos eran flexibles y robustos, y que los resultados analíticos se ajustaban a una alta precisión. Los métodos básicos de la rampa y la solución de choque se acoplaron para resolver la deformación compuesta rutas, tales como impactos inducidos por choque, e interacciones de choque con una interfaz planar entre diferentes materiales. Estos cálculos captan gran parte de la física de las dinámicas materiales típicas experimentos, sin requerir simulaciones de resolución espacial. Se hicieron cálculos de ejemplo de historia de la carga en metales, ilustrando los efectos del trabajo plástico en las temperaturas inducidas en experimentos cuasi-isentrópicos y de liberación de choque, y el efecto de una transición de fase. Números PACS: 62.50.+p, 47.40.-x, 62.20.-x, 46.35.+z Palabras clave: dinámica material, choque, isentropo, adiabat, solución numérica, comportamiento constitutivo * Dirección electrónica: damian.swift@physics.org http://arxiv.org/abs/0704.0008v3 mailto:damian.swift@physics.org I. INTRODUCCIÓN La representación continua de la materia se utiliza ampliamente para la dinámica material de la ciencia y la tecnología. Ence e ingeniería. Las simulaciones de dinámica de continuum espacialmente resueltas son las más generalizado y familiar, resolviendo el problema de valor inicial discretizando el dominio espacial e integrar las ecuaciones dinámicas hacia adelante en el tiempo para predecir el movimiento y defor- nes de los componentes del sistema. Este tipo de simulación se utiliza, por ejemplo, para estudiar problemas de impacto hipervelocidad tales como la vulnerabilidad de la armadura a los proyectiles [1, 2], el rendimiento de los escudos de desechos de satélites [3], y el impacto de los meteoritos con los planetas, en particular la formación de la luna [4]. El problema se puede dividir en las ecuaciones dinámicas del continuum, el campo de estado de los componentes s(~r), y las propiedades inherentes de los materiales. Teniendo en cuenta el estado material local s, las propiedades materiales permiten el estrés por determinar. Teniendo en cuenta el campo de tensión (~r) y el campo de densidad de masa (~r), la dinámica ecuaciones describen los campos de aceleración, compresión y trabajo termodinámico realizado sobre los materiales. Las ecuaciones de la dinámica del continuum describen el comportamiento de una deformación dinámica sistema de complejidad arbitraria. Trayectorias de deformación particulares y más simples se pueden describir más compactamente por diferentes conjuntos de ecuaciones, y resuelto por diferentes técnicas que las utilizadas para la dinámica del continuum en general. Caminos de deformación más simples ocurren a menudo en experimentos diseñado para desarrollar y calibrar modelos de propiedades del material. Estos caminos pueden ser considerados como diferentes formas de interrogar las propiedades materiales. Los principales ejemplos en material la dinámica son la compresión de choque y rampa [5, 6]. Los experimentos típicos están diseñados para inducir tales historias de carga y medir o inferir las propiedades del material en estos estados antes de ser destruidos por liberación de los bordes o por ondas reflejadas. El desarrollo del campo de la dinámica material fue impulsado por aplicaciones en el física de los impactos a hipervelocidad y de los sistemas de explosivos elevados, incluidas las armas nucleares [7]. En los regímenes de interés, por lo general los componentes con dimensiones que van desde ters a metros y presiones de 1GPa a 1TPa, el comportamiento material está dominado por el Ecuación escalar del estado (EOS): la relación entre presión, compresión (o masa) densidad), y la energía interna. Otros componentes del estrés (específicamente esfuerzos de corte) son: mucho más pequeño, y los explosivos químicos reaccionan rápidamente por lo que puede ser tratado por Els de detonación completa. EOS se desarrollaron como ajuste a los datos experimentales, en particular a series de estados de choque y a mediciones de compresión isotérmica [8]. Es relativamente directo para construir estados de compresión de choque y rampa de un EOS algebraicamente o numéricamente dependiendo del EOS, y para ajustar un EOS a estas mediciones. Más recientemente, las aplicaciones y el interés científico han crecido para incluir una gama más amplia de presiones y escalas de tiempo, tales como la fusión inercial de confinamiento impulsado por láser [9], y los experimentos son El objetivo de este estudio es medir otros aspectos distintos de la EOS, tales como la cinética de los cambios de fase, Comportamiento estetutivo que describe tensiones de corte, reacciones químicas incompletas y los efectos de microestructura, incluyendo orientación de grano y porosidad. Las técnicas teóricas también tienen evolucionó para predecir el EOS con una precisión de +1% [10] y contribuciones elásticas al estrés por cizallamiento con una precisión ligeramente inferior [11]. Se describe una convención general para representar estados materiales, y métodos numéricos se informan para calcular los estados de compresión de choque y rampa de las representaciones generales de propiedades materiales. II. ESTRUCTURA CONCEPTUAL PARA PROPIEDADES MATERIALES La estructura deseada para la descripción del estado del material y las propiedades bajo dy- la carga namic se desarrolló para ser lo más general posible con respecto a los tipos de material o modelos que deben estar representados en el mismo marco, y diseñados para dar la mayor cantidad de similitud entre simulaciones espacialmente resueltas y cálculos de choque y rampa compresiones. En la materia condensada en escalas de tiempo sub-microsegundo, la conducción de calor es a menudo demasiado lenta para tienen un efecto significativo en la respuesta del material, y es ignorado aquí. Las ecuaciones de la dinámica del continuum no relativista son, en forma lagrangiana, es decir. a lo largo de las características movimiento con la velocidad de material local ~u(~r), (~r, t) = (~r, t)div~u(~r, t) (1) D~u(~r, t) (~r, t) (~r, t) (2) De(~r, t) = (~r, t)grad~u(~r, t) (3) donde la densidad de masa y la energía interna específica. Los cambios en e pueden estar relacionados a los cambios en la temperatura T a través de la capacidad de calor. Las propiedades inherentes de cada material en el problema se describen por su relación constitutiva o ecuación de estado (s). Además de experimentar la compresión y el trabajo de la deformación mecánica, el local El estado del material s(~r, t) puede evolucionar a través de procesos internos como el flujo de plástico. En general, Ds(~r, t) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * que también puede incluir las ecuaciones para /­t y ­e/­t. Por lo tanto, las propiedades del material deben Describa como mínimo los siguientes elementos para cada material: Si también describen T (s), la conductividad, y ė(ė), entonces la conducción del calor puede ser tratada. Otras funciones pueden ser: necesarios para determinados métodos numéricos en la dinámica del continuum, como la necesidad de velocidades (por ejemplo, la velocidad de sonido longitudinal), que se necesitan para el control del paso del tiempo en forma explícita integración del tiempo. Internamente, dentro de los modelos de propiedades materiales, es deseable reutilizar software tanto como sea posible, y otras funciones del estado son por lo tanto deseables para permitir modelos que se construirán de forma modular y jerárquica. Las manipulaciones aritméticas deben se realiza en el estado durante la integración numérica, y estos se pueden codificar cuidadosamente utilizando sobrecarga del operador, por lo que el operador del tipo apropiado se invoca automáticamente sin tener que incluir estructuras «si-entonces-else» para cada operador, como es el caso en lenguajes de programación orientados a objetos como Fortran-77. Por ejemplo, si se calcula en un método numérico de tiempo de avance entonces los cambios de estado se calculan utilizando numérico ecuaciones de evolución tales como s(t+ ­t) = s(t) + ­t». 5) Por lo tanto, para un estado general s y su derivado de tiempo, que tiene un conjunto equivalente de compo- nents, es necesario multiplicar un estado por un número real y agregar dos estados juntos. Para una implementación de software específica, pueden ser necesarias otras operaciones, por ejemplo: crear, copiar o destruir una nueva instancia de un estado. La atracción de este enfoque es que, al elegir una forma razonablemente general para el relación constitutiva y operaciones asociadas, es posible separar el continuum dinámica parte del problema del comportamiento inherente del material. Relaciones describiendo las propiedades de diferentes tipos de material se puede encapsular en una forma de biblioteca donde el programa de dinámica continua no necesita saber nada sobre las relaciones para tipo cífico de material, y viceversa. Los programas de dinámica continua y el material las relaciones de propiedades pueden ser desarrolladas y mantenidas independientemente unas de otras, siempre y cuando que la interfaz sigue siendo la misma (cuadro I). Esta es una manera eficiente de complicar modelos de materiales disponibles para simulaciones de diferentes tipos, incluyendo Lagrangian y Eule- rios que funcionan en diferentes números de dimensiones, y cálculos de historial de carga o calefacción, como el choque y la carga en rampa que se examina a continuación. Programas informáticos en- terfaces se han desarrollado en el pasado para escalar EOS con una sola estructura para el estado [12], pero las técnicas orientadas a objetos hacen práctico extender el concepto a mucho más estados complicados, a combinaciones de modelos, y a tipos alternativos de modelos seleccionados cuando se ejecuta el programa, sin tener que encontrar un solo estado super-set que abarque todo posibles estados como casos especiales. Una gama muy amplia de tipos de comportamiento material se puede representar con este formalismo. En el nivel más alto, diferentes tipos de comportamiento se caracterizan por diferentes estructuras para el estado s (cuadro II). Para cada tipo de estado, se pueden definir diferentes modelos específicos, tales como: como gas perfecto, politrópico y Grüneisen EOS. Para cada modelo específico, diferentes materiales se representan eligiendo diferentes valores para los parámetros en el modelo, y diferentes los estados materiales locales se representan a través de diferentes valores para los componentes de s. jerga de programación orientada a objetos, la capacidad de definir un objeto cuyo tipo preciso no está determinado hasta que el programa se ejecuta se conoce como polimorfismo. Para nuestra aplicación, polimorfismo se utiliza en varios niveles en la jerarquía de objetos, desde el tipo general de un material (como «uno representado por un EOS de presión-densidad-energía» o «uno representado por un modelo de estrés desviatorio») a través del tipo de relación utilizado para describir las propiedades de tipo de material (como gas perfecto, politrópico, o Grüneisen para una densidad de presión-energía EOS, o Steinberg-Guinan [13] o Preston-Tonks-Wallace [14] para un modelo de estrés desviatorio, al tipo de función matemática general utilizada para representar algunas de estas relaciones (como como polinomio o representación tabular de γ(l) en un EOS politrópico) (Tabla III). Estados o modelos pueden definirse extendiendo o combinando otros estados o modelos - esto puede ser se aplica utilizando el concepto de herencia basado en la programación orientada a los objetos. Así desviatoria modelos de estrés pueden definirse como una extensión a cualquier presión-densidad-energía EOS (que son Por lo general escrito asumiendo un tipo específico, como la forma cúbica Grüneisen de Steinberg), homo- las mezclas genéticas pueden definirse como combinaciones de cualquier EOS a presión-densidad-temperatura, y mezclas heterogéneas pueden definirse como combinaciones de materiales representados cada uno por cualquier tipo de modelo de material. Las implementaciones de prueba se han hecho como bibliotecas en la programación C++ y Java idiomas [15]. La interfaz externa con las propiedades del material era general a nivel de representar un tipo y estado de material genérico. El tipo de estado y modelo eran entonces seleccionado cuando los programas que utilizan la biblioteca de propiedades de material se ejecutaron. En C++, objetos que eran polimórficos en el tiempo de ejecución tuvo que ser representado como punteros, lo que requiere adicional construcciones de software para asignar y liberar la memoria física asociada con cada objeto. Era posible incluir funciones reutilizables generales como objetos polimórficos al definir modelos: funciones reales de un parámetro real podrían ser polinomios, trascendentales, tabular con diferentes sistemas de interpolación, definiciones por partes en diferentes regiones de la línea dimensional, sumas, productos, etc; otra vez definido específicamente en el tiempo de ejecución. Orientado a los objetos El polimorfismo y la herencia eran por lo tanto técnicas muy poderosas para aumentar el software reutilizar, haciendo el software más compacto y más fiable a través de un mayor uso de funciones que ya se habían puesto a prueba. Dadas las estructuras conceptuales y de software diseñadas para representar lazos adecuados para su uso en simulaciones de dinámica de continuum espacialmente resueltos, ahora consideramos el uso de estos modelos genéricos de material para calcular las rutas de carga idealizadas. III. CARGA DE UN DIMENSIONAL IDEALIZADA Experimentos para investigar la respuesta de los materiales a la carga dinámica, y para calibrar los parámetros en los modelos de su comportamiento, son generalmente diseñados para aplicar como simple una carga la historia como es consistente con el estado transitorio de interés. Los tipos canónicos más simples de el historial de carga son el choque y la rampa [5, 6]. Los métodos de solución se presentan para el cálculo el resultado del choque y la carga en rampa para los materiales descritos por los modelos de materiales generalizados se examina en la sección anterior. Tal solución directa elimina la necesidad de utilizar un tiempo- y simulación de la dinámica del continuum resuelta desde el espacio, que permite calcular los estados con mucho mayor eficiencia y sin la necesidad de tener en cuenta y tener en cuenta los atributos de simulaciones resueltas como la resolución numérica finita y el efecto de la resolución numérica y viscosidades artificiales. A. Compresión de rampas La compresión de la rampa se toma aquí para significar compresión o descompresión. Si el material está representado por un EOS escalar invisible, es decir. ignorando procesos disipativos y no escalares efectos de la tensión elástica, la compresión de la rampa sigue un isentrope. Esto ya no es cierto. cuando se producen procesos disipativos como el calentamiento de plástico. El término «cuasi-isentrópico» es a veces utilizados en este contexto, especialmente para la compresión sin golpes; aquí preferimos se refieren a las trayectorias termodinámicas como adiabats, ya que se trata de un término más adecuado: ningún calor se intercambia con el entorno en las escalas de tiempo de interés. Para la compresión adiabática, el estado evoluciona de acuerdo con la segunda ley de termo- los namics, de = T dS − p dv (6) donde T es la temperatura y S la entropía específica. Por lo tanto ė = T − p v = T − pdiv~u , (7) o para un material más general cuyo tensor de tensión sea más complicado que una presión escalar, de = T dS + n dv  ė = T + * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * en la que el componente del estrés es normal a la dirección de la deformación. La velocidad El gradiente se expresó a través de un factor de compresión η ° ° ° ° ° ° y una tasa de deformación. En total experimentos en rampa utilizados en el desarrollo y calibración de modelos de materiales precisos, la cepa se ha aplicado uniaxialmente. Vías de deformación más generales, por ejemplo isotrópicas o incluyendo un componente de corte, puede ser tratado por el mismo formalismo, y que el trabajo tasa es entonces un producto interno completo de los tensores de tensión y tensión. La aceleración o desaceleración del material normal a la onda a medida que se comprime o expandido adiabáticamente es , (9) de la cual puede deducirse que donde cl es la velocidad de onda longitudinal. Como con la dinámica del continuum, la evolución interna del estado material se puede calcular simultáneamente con las ecuaciones de continuum, o operador dividido y calculado periódicamente a compresión constante [16]. Los resultados son iguales al segundo orden en la compresión incremento. El fraccionamiento del operador permite realizar los cálculos sin un explici- tropy, si las ecuaciones del continuum están integradas isentrópicamente y los procesos disipativos son capturado por la evolución interna en constante compresión. La división del operador es deseable cuando la evolución interna puede producir altamente no lineal cambios, como la reacción del sólido al gas: cambios rápidos en el estado y las propiedades pueden que los esquemas numéricos sean inestables. El reparto de operadores también es deseable cuando la integración el paso del tiempo para la evolución interna es mucho más corto que el paso del tiempo de la dinámica continua. Ninguna de estas consideraciones es muy importante para la compresión de rampas sin res- olución, pero el operador-splitting se utilizó como una opción en los cálculos de compresión de rampa para la coherencia con las simulaciones de dinámica continuum. Las ecuaciones de compresión de rampa se integraron usando Runge-Kutta nu- esquemas mericos de segundo orden. El esquema del cuarto orden es una extensión trivial. Los la secuencia de operaciones para calcular un incremento de compresión de rampa es la siguiente: 1. Incremento de tiempo: T = − ln 2. Predictor: s(t + t/2) = s(t) + (m(s)(t), ) (12) 3. Corrector: s(t+ ­t) = s(t) + ­t­óm(s(t+ ­t/2), ) (13) 4. Evolución interna: s(t+ t) → s(t+ t) + ∫ tÃ3 °t •i(s)(t) ′), ) dt′ (14) donde m es la evolución del estado dependiente del modelo a partir de la cepa aplicada, y i es interna evolución en constante compresión. La variable independiente para la integración es volumen específico v o densidad de masa los pasos finitos de integración numérica son tomados en ♥ y v. El tamaño del paso se puede controlar así que el error numérico durante la integración permanece dentro de los límites elegidos. Un adiabat tabular se puede calcular mediante la integración en un rango de v o ♥, pero al simular experimental escenarios el límite superior para la integración suele ser que uno de los otros termodinámicos las cantidades alcanzan un valor determinado, por ejemplo, que el componente normal del estrés alcanza cero, que es el caso en la liberación de un estado de alta presión en una superficie libre. Específico condiciones finales se encontraron mediante el seguimiento de la cantidad de interés hasta que entre corchetes por un finito paso de integración, a continuación, biseccionar hasta que la condición de parada se satisfizo a una precisión elegida. Durante la bisección, cada cálculo de ensayo se realizó como una integración desde el primer lado del soporte por la compresión del ensayo. B. Compresión por choque La compresión de choque es la solución de un problema de Riemann para la dinámica de un salto en compresión moviéndose con velocidad constante y con un espesor constante. El Rankine... Las ecuaciones de Hugoniot (RH) [5] que describen la compresión de choque de la materia se derivan en la aproximación del continuum, donde el choque es una discontinuidad formal en el continuum campos. En realidad, la materia está compuesta de átomos, y los choques tienen un ancho finito gobernado por la cinética de los procesos disipativos – a un nivel fundamental, la materia no distingue entre compresión de choque y compresión de rampa con una alta tasa de deformación, pero el RH las ecuaciones se aplican siempre y cuando la anchura de la región de la materia donde los procesos no resueltos ocurren es constante. En comparación con los estados isentrópicos inducidos por la compresión de rampa en un material representado por un EOS, un choque siempre aumenta la entropía y por lo tanto la temperatura. Con procesos disipativos incluidos, la distinción entre una rampa y una El shock se puede desdibujar. Las ecuaciones RH expresan la conservación de la masa, el impulso y la energía a través de un la discontinuidad en movimiento en estado. Por lo general se expresan en términos de la presión, pero son fácilmente generalizado para materiales que soportan tensiones de cizallamiento mediante el uso del componente de estrés normal al choque (es decir, paralelo con la dirección de propagación del choque), u2s = −v N-N-N-N-O-N-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O v0 − v , (15) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • — (ln) — (l) — (l) — (l) — (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) e = e0 − (ln + ln0)(v0 − v), (17) donde nosotros es la velocidad de la onda de choque con respecto al material, arriba es el cambio en velocidad del material normal a la onda de choque (es decir, paralela a su dirección de propagación), y El subíndice 0 se refiere al estado inicial. Las relaciones RH se pueden aplicar a los modelos de material general si una escala de tiempo o velocidad de deformación se impone, y una orientación elegida para el material con respecto al choque. Shock la compresión en la dinámica del continuum es casi siempre uniaxial. Las ecuaciones RH implican sólo los estados inicial y final en el material. Si un material tiene propiedades que dependen de la trayectoria de deformación – tales como flujo de plástico o viscosidad – entonces físicamente la estructura de choque detallada puede hacer una diferencia [17]. Esto es una limitación. de choques discontinuos en la dinámica del continuum: puede abordarse como se ha señalado anteriormente mediante la inclusión de procesos disipativos y la consideración de la compresión en rampa, si la Los procesos pueden representarse adecuadamente en la aproximación del continuum. Resuelto desde el punto de vista espacial simulaciones con diferenciación numérica para obtener derivados espaciales y tiempo de avance las diferencias no suelen ser capaces de representar las discontinuidades de choque directamente, y un la viscosidad artificial se utiliza para la compresión de choque de frotis en unas pocas células espaciales [18]. Los trayectoria seguida por el material en el espacio termodinámico es un adiabat suave con dissi- calefacción pative suministrada por la viscosidad artificial. Si el trabajo de plástico también se incluye durante este compresión adiabática, el calentamiento total para una compresión dada es mayor que desde el Ecuaciones RH. Para ser consistente, el flujo de plástico debe ser descuidado mientras la viscosidad artificial no es cero. Esta desactivación localizada de los procesos físicos, en particular los que dependen del tiempo, durante el paso de la conmoción no físicamente manchada se encontró previamente necesario para simulaciones numéricamente estables de ondas de detonación por flujo reactivo [19]. Las ondas de detonación son ondas de choque reactivas. Detonación plana constante (el Chapman- Estado de Jouguet [20]) puede calcularse utilizando las relaciones RH, mediante la imposición de la condición que el estado material detrás del shock es totalmente reaccionado. Varios métodos numéricos se han utilizado para resolver las ecuaciones RH para los materiales repré- enviado por un EOS únicamente [21, 22]. Las ecuaciones generales de RH pueden ser resueltas numéricamente para un compresión de choque dada variando la energía interna específica e hasta el estrés normal del modelo material es igual a la de la ecuación de energía RH, Eq. 17. El shock y Las velocidades de partículas se calculan a partir de Eqs 15 y 16. Este método numérico es particu- larly conveniente para EOS de la forma p(l, e), ya que e puede variar directamente. Las soluciones todavía pueden se encuentran para los modelos de material general que utilizan (ė), por lo que la energía puede ser variada hasta se encuentra la solución. Numéricamente, la solución se encontró por soporte y bisección: 1. Para la compresión dada, tomar el extremo de baja energía para el soporte como un estado cercano s− (por ejemplo: el estado anterior, de compresión inferior, en el Hugoniot), adia comprimida baticamente (estado s"), y se enfría por lo que la energía interna específica es e(s-). 2. Bracket el estado deseado: aplicar incrementos de calefacción sucesivamente más grandes en cada estado de ensayo internamente, hasta que el (los) n(s) del modelo de material supere el (e − e0) de Eq. 17. 3. Bisecte en la e, evolucionando cada estado de prueba internamente, hasta que el n(s) es igual al n(e − e0) a la precisión deseada. Al igual que con la compresión en rampa, la variable independiente para la solución fue la densidad de masa y pasos finitos fueron tomados. Cada estado de shock fue calculado independientemente del resto, así que los errores numéricos no se acumularon a lo largo del shock Hugoniot. La exactitud de la la solución era independiente de. Un Hugoniot tabular se puede calcular resolviendo sobre un rango de............................................................................................................................ calcular el estado de choque en el que una de las otras cantidades termodinámicas alcanza una determinada valor, a menudo que hasta y Łn coinciden con los valores de otro, cálculo de choque simultáneo para otro material – la situación en los problemas de transmisión de impactos y choques, discutido abajo. Las condiciones específicas de parada se comprobaron mediante el control de la cantidad de interés hasta entre corchetes por un paso de solución finita, luego bisecar hasta que la condición de parada se satisfizo a un Precisión elegida. Durante la bisección, cada cálculo de ensayo se realizó como un shock de la condiciones iniciales para la compresión de choque del ensayo. C. Precisión: aplicación al aire La precisión de estos esquemas numéricos fue probada comparando con el choque y la rampa compresión de un material representado por un EOS de gas perfecto, p = (γ − 1) (18) La solución numérica requiere que se elija un valor para cada parámetro del material modelo, aquí γ. El aire fue elegido como material de ejemplo, con γ = 1.4. Aire en el tem- la peratura y la presión tienen unas dimensiones aproximadas de 10 a 3 g/cm3 y de 0,25 MJ/kg. Isentropos para el gas perfecto EOS tienen la forma p = constante, (19) y el shock Hugoniots tienen la forma p = (γ − 1) 2e0-0 p0( ­0) (γ + 1)}0 − (γ − 1) . (20) Las soluciones numéricas reprodujeron el isentrope principal y Hugoniot al 10-3% y al 0,1% respectivamente, para un incremento de compresión del 1% a lo largo del isentrope y una tolerancia a la solución de 10-6GPa por cada estado de shock (fig. 1). Sobre la mayor parte del rango, el error en el Hugoniot fue igual o inferior al 0,02%, aproximándose sólo al 0,1% cerca de la compresión máxima de choque. IV. COMPLEJO COMPATIBILIDAD DE LA IMPORTACIÓN CONDENADA La capacidad de calcular choque y loci rampa en el espacio de estado, es decir. en función de la diversidad de las condiciones de carga, es particularmente conveniente para investigar aspectos complejos de la respuesta de la materia condensada a la carga dinámica. Cada locus puede ser obtenido por un solo serie de soluciones de choque o rampa, en lugar de tener que realizar una serie de tiempo y espacio- simulaciones de dinámica continua resueltas, variando las condiciones iniciales o de frontera, y reducir la solución. Consideramos el cálculo de la temperatura en el escalar EOS, el efecto de la fuerza material y el efecto de los cambios de fase. A. Temperatura Las ecuaciones de dinámica continua se pueden cerrar usando un EOS mecánico relacionado con el estrés a la densidad de masa, la tensión y la energía interna. Para un EOS escalar, la forma ideal para cerrar el ecuaciones continuum es p(l, e), con s =, e} la elección natural para el estado primitivo campos. Sin embargo, la temperatura es necesaria como parámetro en las descripciones físicas de muchos contribuciones a la respuesta constitutiva, incluidos el flujo de plástico, las transiciones de fase, y reacciones químicas. Aquí, discutimos el cálculo de la temperatura en diferentes formas de la escalar EOS. 1. Ecuaciones de densidad-temperatura del estado Si el EOS escalar se construye a partir de sus contribuciones físicas subyacentes para el continuum la dinámica, puede tomar la forma e(l, T ), a partir de la cual p(l, T ) se puede calcular utilizando la segunda ley de la termodinámica [10]. Un ejemplo es la forma ‘SESAME’ de EOS, basada en relaciones tabulares interpoladas para {p, e}(l, T ) [23]. Un par de relaciones {p, e}(l, T ) puede ser utilizado como un EOS mecánico mediante la eliminación de T, que es equivalente a invertir e(l, T ) para encontrar T (l, e), sustituyéndolo en p(l, T ). Para una relación general e(l, T ), por ejemplo para la SESAME EOS, el inverso se puede calcular numéricamente según sea necesario, a lo largo de un isochore. In de esta manera, un {p, e}(l, T ) puede ser utilizado como un p(l, e) EOS. Alternativamente, la misma relación p(l, T ) se puede utilizar directamente con un campo de estado primitivo incluyendo la temperatura en lugar de la energía: s =, T}. La evolución del estado bajo El trabajo mecánico implica entonces el cálculo de (ė), es decir. el recíproco del calor específico capacidad, que es un derivado de e(l, T ). Dado que este cálculo no requiere que e(l, T ) sea invertido, es computacionalmente más eficiente para utilizar {p, e}(l, T ) EOS con una temperatura- Estado basado, en lugar de basado en la energía. La principal desventaja es que es más difícil para garantizar la conservación exacta de la energía a medida que las ecuaciones de dinámica continua se integran en tiempo, pero cualquier desviación de la conservación exacta está en el nivel de precisión del algoritmo utilizado para integrar la capacidad de calor. Ambas estructuras de EOS han sido implementadas para cálculos de propiedades materiales. Tomando a SESAME tipo EOS, los loci termodinámicos fueron calculados con, e} o, T} primitivos los estados, para la comparación (Fig. 2). Para un EOS monotónico, los resultados fueron indistinguibles dentro de las diferencias de interpolación hacia adelante o hacia atrás de las relaciones tabulares. Cuándo el EOS, o la superficie efectiva utilizando un orden dado de función de interpolación, no fue monotónicos, los resultados variaron mucho debido a la no-unidad al eliminar T para el , e} estado primitivo. 2. Modelo de temperatura para ecuaciones mecánicas de estado EOS mecánicos a menudo están disponibles como empíricas, algebraicas relaciones p(l, e), derivadas de Datos de choque. La temperatura se puede calcular sin alterar el EOS mecánico añadiendo a relación T (l, e). Si bien esta relación podría adoptar cualquier forma en principio, también se puede seguir la lógica del Grüneisen EOS, en la que la presión se define en términos de su desviación (p, e-er) de una curva de referencia {pr, er}(l). Por lo tanto, las temperaturas se pueden calcular por referencia a una curva de compresión a lo largo de la cual la temperatura y la energía interna específica son conocidos, {Tr, er}(l), y una capacidad calorífica específica definida como función de la densidad cv(l). En los cálculos, esta EOS aumentada se representó como una forma «mecánica-térmica» que comprende cualquier p(e), e) EOS más las curvas de referencia – un ejemplo de herencia de software y polimorfismo. Una curva de referencia natural para la temperatura es la curva de frío, Tr = 0K. La curva de frío puede estimarse a partir del isentrope principal e(l)s0 utilizando la variación de densidad estimada del parámetro Grüneisen: er(l) = e(l)s0 − T0cpe a(10/l) )γ0−a [24]. En este trabajo, el isentropo principal se calculó en forma tabular a partir de la mecánica EOS, usando el algoritmo de compresión de rampa descrito anteriormente. El EOS empírico se calibra con datos experimentales. Amortiguación y compresión adiabática medidas en materiales fuertes inevitablemente incluyen contribuciones elásticas-plásticas, así como el EOS escalar en sí mismo. Si las contribuciones elásticas-plásticas no se tienen en cuenta sistemáticamente, la EOS puede incluir implícitamente contribuciones de la fuerza. Un único EOS escalar se puede construir para reproducir el estrés normal en función de la compresión para cualquier trayectoria de carga única: choque o adiabat, para una tensión constante o que varíe suavemente tasa. Tal EOS generalmente no predeciría la respuesta a otras historias de carga. Los EOS y propiedades constitutivas de los materiales considerados aquí fueron construidos auto- consistentemente a partir de datos de choque – esto no significa que los modelos son precisos para otras cargas caminos, ya que ni el EOS ni el modelo de fuerza incluye todos los términos físicos que real exposición de materiales. Esto no importa en ningún caso a los efectos de demostrar propiedades de los esquemas numéricos. Este procedimiento mecánico-térmico se aplicó a Al utilizando un Grüneisen EOS instalado en el los mismos datos de choque utilizados para calcular el {p, e}(l, T ) EOS analizado anteriormente [24]. Temperaturas estaban de acuerdo (Fig. 2). Los cálculos mecánicos-térmicos requirieron un similar esfuerzo computacional para el tabular {p, e}(l, T ) EOS con un, T} estados primitivos (y eran por lo tanto mucho más eficiente que el EOS tabular con, e} estados), y describió el EOS mucho más compacto. B. Dosis Para compresiones dinámicas a o(10GPa) y superiores, en escalas de tiempo de microsegundo, el flujo El estrés de los sólidos a menudo se trata como una corrección o una pequeña perturbación del EOS escalar. Sin embargo, se ha observado que el estrés de flujo es mucho mayor en las escalas de tiempo de nanosegundos [25], y las interacciones entre ondas elásticas y plásticas pueden tener un efecto significativo sobre la compresión y la propagación de ondas. Las ecuaciones de Rankine-Hugoniot deben ser resueltas auto-consistente con la fuerza incluida. 1. Representación preferida de la fuerza isotrópica Existe una inconsistencia en el tratamiento de la dinámica continua estándar de escalar (pres- respuesta del tensor (estrés). El EOS escalar expresa la presión p(l, e) como la cantidad dependiente, que es la forma más conveniente para su uso en las ecuaciones de continuum. La práctica habitual consiste en utilizar la elasticidad subhookea (forma hipoelástica) [16] (cuadro II), en que los parámetros de estado incluyen el desviador de estrés = G(s) (22) donde G es el módulo de corte y el desviador de la tasa de deformación. Por lo tanto, el isotrópico y el devia- las contribuciones técnicas al estrés no se tratan de manera equivalente: la presión se calcula de un estado local que implica un parámetro similar a la deformación (densidad de masa), mientras que el estrés de- viator evoluciona con el tiempo-derivado de la cepa. Esta inconsistencia causa problemas a lo largo de rutas de carga complicadas porque G varía fuertemente con la compresión: si un material es sub- se inyecta a una cepa de cizallamiento, a continuación, compresión isotrópica (aumento del módulo de cizallamiento de G a G′, dejando sin cambios ), después la descarga de cizallamiento a la tensión isotrópica, la descarga verdadera la cepa es, mientras que el cálculo hipoelástico requeriría una cepa de G/G′. Uso Ser y el modelo de fuerza Steinberg-Guinan como ejemplo de la diferencia entre cálculos poelásticos e hiperelásticos, considerar una cepa inicial a un esfuerzo de flujo de 0.3GPa seguido de compresión isotrópica isotrópica a 100GPa,. la cepa a descargar a un estado de estrés isotrópico es 0,20% (hiperelástico) y 0,09% (hipoelástico). La discrepancia surge porque el modelo hipoelástico no aumenta el estrés desviatorio en la compresión en tensión desviatoria constante. El estrés puede ser considerado como una respuesta directa del material al estado instantáneo de cepa elástica: (, T ). Esta relación puede predecirse directamente con la estructura electrónica cálculos del tensor de tensión en un sólido para un determinado estado de compresión y tensión elástica [11], y es una generalización directa de la ecuación escalar del estado. Una representación más coherente de los parámetros de estado es utilizar el desviador de la deformación más bien que el desviador de la deformación, y calcular a partir de rascar cuando sea necesario utilizando  = G(s)® (23) – una formulación hiperelástica. Los parámetros de estado son entonces, e,, p}. Las diferentes formulaciones dan diferentes respuestas cuando se acumula tensión desviatoria a diferentes compresiones, en cuyo caso la formulación hiperelástica es correcta. Si la cizalla El módulo varía con el desviador de deformación – es decir, para la elasticidad no lineal – a continuación, la definición de G(­) debe ajustarse para dar el mismo estrés para una determinada cepa. Muchos modelos de resistencia isotrópica utilizan medidas escalares de la tensión y el estrés para terilizar el trabajo endurecimiento y aplicar un modelo de rendimiento de tensión de flujo: F2, = - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. (24) Los diferentes trabajadores han utilizado convenios inconsistentes para medidas escalares equivalentes. En el presente trabajo, se utilizó la convención de física de choque común que el estrés de flujo componente de la Y donde Y es el estrés de flujo. Por coherencia con las velocidades publicadas y amplitudes para ondas elásticas, , en contraste con otros valores utilizados anteriormente para una deformación de menor velocidad [26]. En principio, los valores de las letras f) y f) no importan mientras los parámetros de resistencia fueron calibrados utilizando los mismos valores utilizados en cualquier simulación. 2. Berilio La tensión de flujo medida a partir de los experimentos de choque impulsados por láser en los cristales de Be unas pocas decenas de micrómetros de espesor es, en torno a 5-9GPa [25], mucho mayor que el seguro en escalas de tiempo de microsegundos. Un modelo de plasticidad cristalina dependiente del tiempo para Be está siendo desarrollado, y el comportamiento bajo carga dinámica depende del tiempo detallado depen- Dence de la plasticidad. Los cálculos se realizaron con el modelo de resistencia Steinberg-Guinan desarrollados para datos a escala de microsegundos [24], y, a efectos de comparación aproximada, con respuesta elástica-perfectamente plástica con un esfuerzo de flujo de 10GPa. El plástico elástico perfectamente modelo descuidado presión- y trabajo- endurecimiento. Se hicieron cálculos del principal adiabat y el shock Hugoniot, y de una liberación adiabat de un estado en el principal Hugoniot. Los cálculos se hicieron con y sin fuerza. Teniendo en cuenta las trayectorias del estado en el espacio de volumen de estrés, es interesante notar que el calentamiento del flujo de plástico puede empujar el adiabat por encima del Hugoniot, debido a la mayor calentamiento obtenido mediante la integración a lo largo del adiabat en comparación con el salto de el estado inicial al final en el Hugoniot (Fig. 3). Incluso con un plástico elástico perfecto modelo de fuerza, las curvas con fuerza no mienten exactamente 2 Y por encima de las curvas sin fuerza, porque la calefacción a partir del flujo de plástico contribuye a aumentar la cantidad de energía interna a la EOS a medida que aumenta la compresión. Una característica importante para la siembra de inestabilidades por variaciones microestructurales en respuesta de choque es el estrés de choque en el que una onda elástica no se ejecuta por delante de la Choque. En Be con el alto estrés de flujo de la respuesta nanosegundo, la relación entre el choque y la velocidad de las partículas es significativamente diferente de la relación para el bajo esfuerzo de flujo (Fig. 4). Por bajo esfuerzo de flujo, la onda elástica viaja a 13,2 km/s. Un choque de plástico viaja más rápido que esto para presiones superiores a 110GPa, independientemente del modelo constitutivo. La velocidad de un choque de plástico después de la onda elástica inicial es similar a la caja de baja resistencia, porque el el material ya está en su tensión de flujo, pero la velocidad de un solo choque de plástico es sensiblemente Más alto. Para la compresión a una tensión normal dada, la temperatura es significativamente más alta con flujo de plástico incluido. La calefacción adicional es particularmente llama- abat: la temperatura se aparta significativamente del isentropo principal. Así la onda de la rampa la compresión de materiales fuertes puede conducir a niveles significativos de calefacción, contrariamente a la hipótesis de pequeñas subidas de temperatura [27]. El flujo de plástico es en gran parte irreversible, así que la calefacción se produce tanto en la descarga como en la carga. Por lo tanto, en la liberación adiabática de un shock- estado comprimido, se produce calefacción adicional en comparación con el caso sin resistencia. Estos los niveles de calentamiento son importantes ya que el choque o el derretimiento de la liberación pueden ocurrir a una presión de choque de lo que cabría esperar ignorando el efecto de la fuerza. (Fig. 5.) C. Cambios de fase Una propiedad importante de la materia condensada son los cambios de fase, incluyendo polisólidos sólidos Morfismo y líquido sólido. Un diagrama de fase de equilibrio se puede representar como un solo superficie total de EOS como antes. Múltiples fases competidoras con cinética para cada fase trans- formación se puede representar convenientemente utilizando la estructura descrita anteriormente para general propiedades materiales, por ejemplo, al describir el estado local como un conjunto de fracciones de volumen fi de cada posible fase de EOS simple, con tasas de transición y equilibrio entre ellas. Este modelo se describe con más detalle en otras partes [19]. Sin embargo, es interesante investigar puerta la robustez del esquema numérico para calcular el choque Hugoniots cuando el EOS tiene las discontinuidades en valor y gradiente asociadas con los cambios de fase. El EOS de metal fundido, y la transición de fase sólido-líquido, se puede representar a un aproximación razonable como ajuste a la EOS del sólido: pdosfase(l, e) = psólido(l, ) (25) donde e : T (l, e) < Tm(l) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ehm : de lo contrario es el calor específico latente de la fusión. Tomando el EOS y un Lindemann modificado la curva de fusión para Al [24], y utilizando el algoritmo de choque Hugoniot fue se encontró que funciona de forma estable a lo largo de la transición de fase (Fig. 6). V. PATOS COMPUESTOS DE CARGO Dados los métodos para calcular el choque y las rutas de carga adiabáticas desde el inicial arbitrario los estados, una variedad considerable de escenarios experimentales se pueden tratar a partir de la interacción de ondas de carga o descarga con interfaces entre diferentes materiales, en geometría plana para la compresión uniaxial. La restricción física clave es que, si dos materiales diferentes son para permanecer en contacto después de una interacción como un impacto o el paso de un shock, el la velocidad normal de la tensión y la velocidad de las partículas en ambos materiales deben ser iguales a ambos lados de la interfaz. El cambio en la velocidad de las partículas y el estrés normal a las ondas fueron calculados arriba para ondas de compresión que corren en la dirección de aumentar la ordenación espacial (de izquierda a derecha). A través de una interfaz, el sentido se invierte para el material a la izquierda. Por lo tanto, un proyectil impacto en un objetivo estacionario a la derecha se desacelera a partir de su velocidad inicial por el choque inducidos por el impacto. El problema general en una interfaz se puede analizar considerando los estados en el instantánea del primer contacto – en el impacto, o cuando un shock viaja a través de un sandwich de ma- terials primero llega a la interfaz. Los estados iniciales son {ul, sl; ur, sr}. Los estados finales son {uj, s l; uj, r r} donde uj es la velocidad de la partícula de la junta, ­n(s) l) = n(s) r), y s i está conectado a si por un shock o un adiabat, comenzando con la velocidad inicial y el estrés adecuados, y con la orientación dada por el lado del sistema cada material se produce en. Cada tipo de onda se considera a su vez, en busca de una intersección en el plano ascendente. Ejemplos de ello Las interacciones de ondas son el impacto de un proyectil con un objetivo estacionario (Fig. 7), liberación de un estado de choque en una superficie libre o un material (por ejemplo, a ventana) de menor impedancia de choque (de ahí reflejando una onda de liberación en el material conmocionado – Fig. 8), que chocan en una superficie con una material de mayor impedancia al choque (fig. 8), o tensión inducida como materiales tratar de separar en direcciones opuestas cuando se une una interfaz enlazada (Fig. 9). Cada uno de estos escenarios puede ocurrir a su vez después del impacto de un proyectil con un objetivo: si el objetivo está en capas entonces un choque se transmite a través de cada interfaz con una liberación o una réplica reflejada en la espalda, dependiendo de los materiales; la liberación se produce en última instancia en la parte trasera del proyectil y el el extremo lejano del objetivo, y las ondas de liberación que se mueven opuestamente sujetan el proyectil y objetivo a tensiones de tracción cuando interactúan (Fig. 10). Como ilustración de la combinación de cálculos de choque y carga en rampa, considere el problema de un proyectil Al, viajando inicialmente a 3,6 km/s, impactando en un objetivo compuesto estacionario que comprende una muestra de Mo y una ventana de liberación de LiF [28, 29]. Los estados de shock y liberación fueron calculados utilizando propiedades de materiales publicados [24]. El estado de shock inicial se calculó para tiene un estrés normal de 63.9GPa. Al llegar a la LiF, el shock fue calculado para transmitir a 27.1GPa, reflejándose como un lanzamiento en el Mo. Estos esfuerzos coinciden con la dinámica del continuum simulación a dentro de 0,1GPa en el Mo y 0,3GPa en el LiF, utilizando el mismo material propiedades (Fig. 11). Las velocidades de onda y partícula asociadas coinciden con una precisión similar; Las velocidades de onda son mucho más difíciles de extraer de la simulación de la dinámica de continuum. Una extensión de este análisis se puede utilizar para calcular la interacción de choques oblicuos con una interfaz [30]. VI. CONCLUSIONES Se elaboró una formulación general para representar modelos de materiales para aplicaciones en carga dinámica, adecuada para la implementación de software en la programación orientada a objetos lan- ¡Guages! Se diseñaron métodos numéricos para calcular la respuesta de la materia representada por los modelos de material general para la compresión de golpes y rampas, y la descompresión de rampas, mediante la evaluación directa de las vías termodinámicas para estas compresiones en lugar de simulaciones espacialmente resueltas. Este enfoque es una generalización de la labor anterior sobre soluciones para los materiales representados por una ecuación escalar de estado. Los métodos numéricos fueron encontrados ser flexible y robusto: capaz de aplicarse a materiales con propiedades muy diferentes. Las soluciones numéricas combinaban los resultados analíticos con una alta precisión. Se necesita atención con la interpretación de algunos tipos de respuesta física, como por ejemplo: flujo tic, cuando se aplica a la deformación a altas tasas de deformación. La dependencia temporal subyacente deben tenerse en cuenta los procesos que se produzcan durante la deformación. La historia real la carga y el calentamiento experimentados por el material durante el paso de un choque puede influir el estado final – esta historia no se captura en la aproximación continuum al material dinámica, donde los choques se tratan como discontinuidades. Por lo tanto, la atención también es necesaria en el spa. simulaciones resueltas cuando los choques se modelan utilizando la viscosidad artificial para untarlos unphysically sobre un espesor finito. Se demostró que los cálculos demuestran el funcionamiento de los algoritmos de choque y compresión de rampa con modelos de material representativos de sólidos complejos, incluida la resistencia y las transformaciones de fase. Los métodos básicos de la rampa y la solución de choque se acoplaron para resolver Vías de comunicación, tales como impactos inducidos por choque, e interacciones de choque con una interfaz planar entre diferentes materiales. Tales cálculos captan gran parte de la física de la experimentos de dinámica terial, sin requerir simulaciones de resolución espacial. Resultados de la solución directa de las condiciones de choque y de carga en rampa pertinentes se compararon con simulaciones de hidrocódigo, mostrando consistencia completa. Agradecimientos Ian Gray presentó al autor el concepto de propiedades materiales multimodelo ware. Lee Markland desarrolló un prototipo de programa informático de cálculo de Hugoniot para ecuaciones de estado mientras trabaja para el autor como estudiante de verano de pregrado. El trabajo evolutivo sobre las bibliotecas de propiedades materiales fue apoyado por el U.K. Atomic Establecimiento de Armas, Fluid Gravity Engineering Ltd, y Wessex Científico y Técnico Services Ltd. Los refinamientos de la técnica y las aplicaciones a los problemas descritos fueron: realizado en el Laboratorio Nacional de Los Alamos (LANL) y Lawrence Livermore National Laboratorio (LLNL). El trabajo se llevó a cabo parcialmente en apoyo de, y financiado por, programa de fusión de confinamiento inercial de la Agencia de curidad en LANL (gestionado por Steven Batha), Proyecto de Investigación y Desarrollo Dirigido a Laboratorios y LLNL 06-SI-004 (Principal Investigador: Héctor Lorenzana). El trabajo se llevó a cabo bajo los auspicios de los Estados Unidos. Departamento de Energía en virtud de los contratos W-7405-ENG-36, DE-AC52-06NA25396 y DE- AC52-07NA27344. Bibliografía [1] J.K. Dienes, J.M. Walsh, en R. Kinslow (Ed), “High-Velocity Impact Phenomenas” (Academic Press, Nueva York, 1970). [2] D.J. Benson, Comp. Mech. 15, 6, pp 558-571 (1995). [3] J.W. Gehring, Jr, en R. Kinslow (Ed), “High-Velocity Impact Phenomenas” (Prensa Académica, Nueva York, 1970). [4] R.M. Canup, E. Asphaug, Nature 412, pp 708-712 (2001). [5] Para una revisión e introducción recientes, véase, por ejemplo: M.R. Boslough y J.R. Asay, en J.R. Asay, M. Shahinpoor (Eds), “Compresión de choque de alta presión de sólidos” (Springer-Verlag, New York, 1992). [6] Por ejemplo, C.A. Hall, J.R. Asay, M.D. Knudson, W.A. Stygar, R.B. Spielman, T.D. Pointon, D.B. Reisman, A. Toor y R.C. Cauble, Rev. Sci. Instrum. 72, 3587 (2001). [7] M.A. Meyers, “Comportamiento dinámico de los materiales” (Wiley, Nueva York, 1994). [8] G. McQueen, S.P. Marzo, J.W. Taylor, J.N. Fritz, W.J. Carter, en R. Kinslow (Ed), “High- Fenómenos de Impacto de Velocidad” (Prensa Académica, Nueva York, 1970). [9] J.D. Lindl, “Inertial Confinament Fusion” (Springer-Verlag, Nueva York, 1998). [10] D.C. Swift, G.J. Ackland, A. Hauer, G.A. Kyrala, Phys. Rev. B 64, 214107 (2001). [11] J.P. Poirier, G.D. Price, Phys. de la Tierra y los Interiores Planetarios 110, págs. 147 y 56 (1999). [12] I.N. Gray, P.C. Thompson, B.J. Parker, D.C. Swift, J.R. Maw, A. Giles y otros (AWE Aldermaston), inédito. [13] D.J. Steinberg, S.G. Cochran, M.W. Guinan, J. Appl. Phys. 51, 1498 (1980). [14] D.L. Preston, D.L. Tonks, y D.C. Wallace, J. Appl. Phys. 93, 211 (2003). [15] Una versión del software, incluyendo partes representativas de la biblioteca de modelos de material y la Los algoritmos para calcular el adiabat rampa y el choque Hugoniot, está disponible como un supplemen- archivo tary proporcionado con la preimpresión de este manuscrito, arXiv:0704.008. Apoyo a programas informáticos, y versiones con modelos adicionales, están disponibles comercialmente de Wessex Scientific y Technical Services Ltd (http://wxres.com). [16] D. Benson, Métodos informáticos en Appl. Mecánica e Ing. 99, 235 (1992). http://arxiv.org/abs/0704.0008 http://wxres.com [17] J.L. Ding, J. Mech. y Phys. de Solids 54, págs. 237 y 265 (2006). [18] J. von Neumann, R.D. Richtmyer, J. Appl. Phys. 21, 3, págs. 232 a 237 (1950). [19] R.M. Mulford, D.C. Swift, en preparación. [20] W. Fickett, W.C. Davis, “Detonación” (Universidad de California Press, Berkeley, 1979). [21] R. Menikoff, B.J. Plohr, Rev. 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Swift, J. Appl. Phys. 103, 023518 (2008). CUADRO I: Interfaz con los modelos materiales necesarios para una dinámica de continuidad explícita en el futuro simulaciones. llamadas de interfaz de propósito configuración del programa lectura/escritura de datos de material continuo dinámica ecuaciones estrés (estado) tiempo paso control de la velocidad del sonido (estado) evolución del estado (deformación) d(estado)/dt(estado,grado ~u) Evolución del estado (calentamiento) d(estado)/dt(estado,ė) evolución interna del estado d(estado)/dt manipulación de estados crear y eliminar añadir estados multiplicar el estado por un escalar comprobar la autocoherencia Los paréntesis en las llamadas de la interfaz denotan funciones, por ejemplo. “estrés (estado)” para “estrés en función de las funciones de evolución se muestran en la estructura de operador-dividido. que es más robusto para soluciones numéricas explícitas de tiempo de avance y también se puede utilizar para cálculos del choque Hugoniot y compresión de rampa. Los cheques de auto-coherencia incluyen que la densidad de masa es positiva, el volumen o las fracciones de masa de los componentes de una mezcla se suman a una, CUADRO II: Ejemplos de tipos de modelo material, distinguidos por diferentes estructuras en el estado vector. modelo de estado efecto vectorial de la tensión mecánica s(s), gradú Ecuación mecánica del estado, e div~u,-pdiv~u/ Ecuación térmica del estado, T div~u,-pdiv~u/lcv mezcla heterogénea, e, fv}i div~u,−pdiv~u/l, 0}i mezcla homogénea, T, {fm}i div~u,−pdiv~u/Ćcv, 0i la fuerza desviatoria tradicional, e, , p div~u, −pdiv~u+fpp , Ge, F Los símbolos son: densidad de masa; e: energía interna específica, T: temperatura, fv: fracción de volumen, fm: fracción de masa, : desviador de tensión, fp: fracción de trabajo de plástico convertido al calor, gradup: Parte plástica del gradiente de velocidad, G: módulo de corte, e,p: partes elásticas y plásticas de la tasa de deformación desviador, p: cepa plástica equivalente escalar, f: factor en la magnitud efectiva de la cepa. Reaccionando Los explosivos sólidos pueden representarse como mezclas heterogéneas, siendo un componente la reacción productos; reacción, un proceso de evolución interna, transfiere material de no reaccionado a reaccionado componentes. La reacción en fase gaseosa puede representarse como una mezcla homogénea, reacciones transferencia de masa entre componentes que representan diferentes tipos de molécula. Simétrico tensores como el desviador de tensión se representan más compactamente por su 6 superior único componentes triangulares, por ejemplo: utilizando la notación Voigt. CUADRO III: Esquema de la jerarquía de los modelos materiales, que ilustra el uso del polimorfismo (en el sentido de programación orientado a objetos). Tipo de modelo de material (o estado) ecuación mecánica del estado politrópico, Grüneisen, basado en energía Jones-Wilkins-Lee, (­, T ) mesa, etc. ecuación térmica del estado basado en la temperatura Jones-Wilkins- Lee, mesa cuasiarmoníaca, ecuación reactiva de estado politrópico modificado, reactivo Jones- Wilkins-Lee spall Cochran-Banner estrés desviatorio elástico-plástico, Steinberg-Guinan, Steinberg-Lund, Preston-Tonks... Wallace, etc. modelos homogéneos de mezcla y reacción modelos heterogéneos de equilibrio y reacción de la mezcla Los programas de dinámica continua pueden referirse a las propiedades materiales como un ‘tipo material’ abstracto con un estado material abstracto. El tipo real de un material (e.g. ecuación mecánica de state), el tipo de modelo específico (por ejemplo, politrópico), y el estado del material de ese tipo son todos manejado transparentemente por la estructura de software orientada a objetos. La ecuación reactiva de estado tiene un parámetro de estado adicional ♥, y las operaciones de software se definen extendiendo los de la ecuación mecánica de estado. Los materiales de espaciado pueden ser representado por un estado sólido más una fracción de vacío fv, con operaciones definidas mediante la extensión de las de el material sólido. Las mezclas homogéneas se definen como un conjunto de ecuaciones térmicas de estado, y el estado es el conjunto de estados y fracciones de masa para cada uno. Las mezclas heterogéneas se definen como conjunto de propiedades de material puro de cualquier tipo, y el estado es el conjunto de estados para cada componente más su fracción de volumen. 0,0001 0,001 0,01 0,001 0,01 densidad de masa (g/cm3) isentrope Hugoniot 0,0001 0,001 0,01 0,001 0,01 densidad de masa (g/cm3) isentrope Hugoniot FIG. 1: Principal isentrope y choque Hugoniot para el aire (gas perfecto): cálculos numéricos para modelos de materiales generales, en comparación con soluciones analíticas. 0 1000 2000 3000 4000 5000 temperatura (K) Sólido: Grueneisen chasquido: SESAME 3716 FIG. 2: Shock Hugoniot para Al en el espacio a presión-temperatura, para las diferentes representaciones de la ecuación de estado. 0,7 0,75 0,80,85 0,90,95 1 compresión de volumen cada par de líneas: la parte superior es Hugoniot, inferior es adiabat FIG. 3: Principal adiabat y choque Hugoniot para Estar en el espacio normal de la compresión del estrés, descuidando resistencia (dashed), para la resistencia Steinberg-Guinan (sólida), y para el plástico elástico-perfectamente con Y = 10GPa (punto). 0 20 40 60 80 100 120 140 estrés normal (GPa) onda elástica choque de plástico FIG. 4: principal adiabat y choque Hugoniot para Estar en choque velocidad-espacio de estrés normal, descuidando resistencia (dashed), para la resistencia Steinberg-Guinan (sólida), y para el plástico elástico-perfectamente con Y = 10GPa (punto). 0 1000 2000 3000 4000 5000 temperatura (K) principal adiabat principal Hugoniot liberación adiabat FIG. 5: principal adiabat, choque Hugoniot, y lanzamiento de adiabat para Be en la temperatura de estrés normal espacio, despreocupando la fuerza (dashed), para Steinberg-Guinan fuerza (sólida), y para el elástico-perfectamente plástico con Y = 10GPa (punto). 0 1000 2000 3000 4000 5000 temperatura (K) locus de fusión Hugoniot sólido FIG. 6: Demostración de la solución de choque Hugoniot a través de un límite de fase: la fusión de choque de Al, para diferentes porosidades iniciales. estado inicial velocidad de las partículas estado inicial de proyectil director Hugoniot del objetivo principal Hugoniot de proyectil Estado de shock: intersección del objetivo FIG. 7: Interacciones de onda para el impacto de un proyectil plano que se mueve de izquierda a derecha con una objetivo estacionario. Las flechas estrujadas son una guía de la secuencia de estados. Para un proyectil en movimiento de derecha a izquierda, la construcción es la imagen del espejo reflejada en el eje de tensión normal. estados velocidad de las partículas secundaria Hugoniot del objetivo estado de choque inicial en el objetivo Director Hugoniot: ventana de alta impedancia baja impedancia ventana isentrope de liberación objetivo liberación objetivo en superficie libre ventana liberación FIG. 8: Interacciones de onda para la liberación de un estado de choque (choque que se mueve de izquierda a derecha) en un material estacionario de «ventana» a su derecha. El estado de liberación depende de si la ventana tiene una impedancia de choque mayor o menor que el material conmocionado. Las flechas estrujadas son una guía para el secuencia de estados. Para un choque que se mueve de derecha a izquierda, la construcción es la imagen del espejo reflejado en el eje de tensión normal. Liberación de proyectil en proyectil y objetivo Estado de tracción final en proyectil y objetivo velocidad de las partículas liberación de objetivo liberación de objetivo Liberación de proyectil estado de choque inicial FIG. 9: Interacciones de ondas para la liberación de un estado escandalizado por la tensión inducida por los materiales para separarse en direcciones opuestas cuando se une una interfaz enlazada. Daños materiales, escalofríos y la separación se descuidan: la construcción muestra el esfuerzo de tracción máximo posible. Por cuestiones generales propiedades del material, por ejemplo: si se incluye el flujo de plástico, el estado de tensión máxima no es sólo el negativo del estado de choque inicial. Las flechas estrujadas son una guía de la secuencia de estados. Los el gráfico muestra el estado inicial después de un impacto por un proyectil que se mueve de derecha a izquierda; para un choque moviéndose de derecha a izquierda, la construcción es la imagen del espejo reflejada en el eje de tensión normal. tensión - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. objetivo choques de impacto choque transmitido; onda reflejada superficie libre liberación interacciones de liberación: FIG. 10: Esquema de las interacciones de ondas uniaxiales inducidas por el impacto de un proyectil plano con una objetivo compuesto. 0 5 10 15 20 posición (mm) LiFAl Mo reflejados transmitidos liberación shock original estado de shock FIG. 11: Simulación de hidrocódigo del proyectil Al a 3,6 km/s impactando un objetivo Mo con un LiF ventana de liberación, 1,1μs después del impacto. Las estructuras en las ondas son precursores elásticos. Lista de cifras 1. Principal isentrope y choque Hugoniot para el aire (gas perfecto): cálculos numéricos para modelos de material general, en comparación con soluciones analíticas. 2. Shock Hugoniot para Al en el espacio a presión-temperatura, para diferentes representaciones de la ecuación del estado. 3. Principal adiabat y choque Hugoniot para estar en el espacio normal de la compresión del estrés, Abandonar la fuerza (dashed), para la resistencia Steinberg-Guinan (sólida), y para el elástico- perfectamente plástico con Y = 10GPa (punto). 4. Principal adiabat y choque Hugoniot para estar en choque velocidad-espacio de estrés normal, Abandonar la fuerza (dashed), para la resistencia Steinberg-Guinan (sólida), y para el elástico- perfectamente plástico con Y = 10GPa (punto). 5. Principal adiabat, choque Hugoniot, y liberar a adiabat para estar en el estrés normal- espacio de temperatura, resistencia despreocupante (dashed), para la fuerza Steinberg-Guinan (sólido), y para plástico elástico-perfectamente con Y = 10GPa (punto). 6. Demostración de la solución de choque Hugoniot a través de un límite de fase: Al, para diferentes porosidades iniciales. 7. Interacciones de onda para el impacto de un proyectil plano que se mueve de izquierda a derecha con una objetivo estacionario. Las flechas estrujadas son una guía de la secuencia de estados. Para un proyectil moviéndose de derecha a izquierda, la construcción es la imagen del espejo reflejada en el normal eje de esfuerzo. 8. Interacciones de onda para la liberación de un estado de choque (choque que se mueve de izquierda a derecha) en un material estacionario de «ventana» a su derecha. El estado de liberación depende de si la ventana tiene una impedancia de choque mayor o menor que el material conmocionado. Dashed Las flechas son una guía para la secuencia de estados. Para un choque que se mueve de derecha a izquierda, la construcción es la imagen del espejo reflejada en el eje de tensión normal. 9. Interacciones de ondas para la liberación de un estado de choque por la tensión inducida como materiales tratar de separarse en direcciones opuestas cuando se une con una interfaz enlazada. Material se descuidan los daños, la caída y la separación: la construcción muestra el máximo Es posible el estrés por tracción. En el caso de las propiedades materiales generales, por ejemplo: si se incluye el flujo de plástico, el estado de tensión de tracción máxima no es sólo el negativo del estado de choque inicial. Las flechas estrujadas son una guía de la secuencia de estados. El gráfico muestra el estado inicial después de un impacto por un proyectil que se mueve de derecha a izquierda; para un choque que se mueve de de derecha a izquierda, la construcción es la imagen del espejo reflejada en el eje de tensión normal. 10. Esquema de interacciones de ondas uniaxiales inducidas por el impacto de un proyectil plano con un objetivo compuesto. 11. Simulación de hidrocódigo del proyectil Al a 3,6 km/s impactando un objetivo Mo con un LiF ventana de liberación, 1,1μs después del impacto. Las estructuras en las ondas son precursores elásticos. Introducción Estructura conceptual para propiedades del material Carga unidimensional idealizada Compresión de rampas Compresión por choque Precisión: aplicación al aire Comportamiento complejo de la materia condensada Temperatura Ecuaciones de densidad-temperatura del estado Modelo de temperatura para ecuaciones mecánicas de estado Dosis Representación preferida de la fuerza isotrópica Berilio Cambios de fase Vías de carga compuestas Conclusiones Agradecimientos Bibliografía Bibliografía Lista de cifras
Se elaboró una formulación general para representar modelos materiales para aplicaciones en carga dinámica. Se diseñaron métodos numéricos para calcular respuesta a la compresión de golpes y rampas, y descompresión de rampas, generalizando soluciones previas para ecuaciones escalares de estado. Los métodos numéricos fueron: se encontró flexible y robusto, y se emparejaron los resultados analíticos a un alto precisión. La rampa básica y los métodos de solución de choque se acoplaron para resolver vías de deformación compuesta, tales como impactos inducidos por choque, y choque interacciones con una interfaz plana entre diferentes materiales. Estos los cálculos captan gran parte de la física de la dinámica material típica experimentos, sin requerir simulaciones de resolución espacial. Ejemplo los cálculos se hicieron de los historiales de carga en metales, ilustrando los efectos de trabajos de plástico sobre las temperaturas inducidas en cuasi-isentrópicas y experimentos de liberación de choque, y el efecto de una transición de fase.
Introducción Estructura conceptual para propiedades del material Carga unidimensional idealizada Compresión de rampas Compresión por choque Precisión: aplicación al aire Comportamiento complejo de la materia condensada Temperatura Ecuaciones de densidad-temperatura del estado Modelo de temperatura para ecuaciones mecánicas de estado Dosis Representación preferida de la fuerza isotrópica Berilio Cambios de fase Vías de carga compuestas Conclusiones Agradecimientos Bibliografía Bibliografía Lista de cifras
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Partial cubes: structures, characterizations, and constructions
Cubos parciales: estructuras, caracterizaciones, y construcciones Sergei Ovchinnikov Departamento de Matemáticas Universidad Estatal de San Francisco San Francisco, CA 94132 sergei@sfsu.edu 8 de mayo de 2006 Resumen Los cubos parciales son subgrafías isométricas de hipercubes. Estructuras en un grafo definido por medio de semicubos, y la rela de Djoković y Winkler ciones desempeñan un papel importante en la teoría de los cubos parciales. Estos struc- se emplean en el papel para caracterizar gráficos bipartitos y par- cubos de dimensión arbitraria. Se establecen nuevas caracterizaciones y se dan nuevas pruebas de algunos resultados conocidos. Las operaciones del producto cartesiano y el pegado, y la expansión y procesos de contracción se utilizan en el papel para construir nuevo parcial cubos de los viejos. En particular, las dimensiones isométricas y retícula de se calculan los cubos parciales finitos obtenidos por medio de estas operaciones. Palabras clave: hipercubo, cubo parcial, semicubo 1 Introducción Un hipercubo H(X) en un conjunto X es un gráfico que los vértices son los subconjuntos finitos de X ; dos vértices se unen por un borde si difieren por un singleton. Un parcial cubo es un gráfico que puede ser isométricamente incrustado en un hipercubo. Hay tres estructuras generales grafo-teóricas que juegan un papel destacado papel en la teoría de los cubos parciales, a saber, semicubos, la relación de Djoković, y La relación de Winkler. Utilizamos estas estructuras, en particular, para caracterizar gráficos de partite y cubos parciales. El problema de caracterización para cubos parciales fue considerado como uno importante y se conocen muchas caracterizaciones. Enumeramos las contribuciones en el orden cronológico: Djoković [9] (1973), Avis [2] (1981), Winkler [20] (1984), Roth y Winkler [18] (1986), Chepoi [6, 7] (1988) y 1994). En el artículo, presentamos nuevas pruebas para los resultados de Djoković [9], Winkler [20], y Chepoi [6], y obtener dos caracterizaciones más de cubos. http://arxiv.org/abs/0704.0010v1 El documento también se ocupa de algunas formas de construir nuevas cubos de los viejos. Propiedades de las subcubas, el producto cartesiano de se investigan los cubos y la expansión y contracción de un cubo parcial. Nosotros introducir una construcción basada en pegar dos gráficos juntos y mostrar cómo nuevos cubos parciales se pueden obtener de los antiguos pegando juntos. El documento se organiza de la siguiente manera. Hipercubes y cubos parciales se introducen en la sección 2 junto con dos ejemplos básicos de cubos parciales infinitos. Los conjuntos vértices de cubos parciales son descrito en términos de familias bien calificadas de conjuntos finitos. En la Sección 3 se introducen los conceptos de un semicubo, Djoković y Win- las relaciones de kler, y establecer algunas de sus propiedades. Gráficos bipartitos y cubos parciales se caracterizan por medio de estas estructuras. Un charac más... la terización de cubos parciales se obtiene en la sección 4, donde se llama fundamental se introducen conjuntos en un gráfico. El resto del papel está dedicado a las construcciones: subcubes y la Carta- producto sian (Sección 6), pegado (Sección 7), y expansiones y contracciones (Sección 8). Demostramos que estas construcciones producen nuevos cubos parciales a partir de Los viejos. Se calculan las dimensiones isométricas y de celosía de los nuevos cubos parciales. Estas dimensiones se introducen en la Sección 5. Pocas palabras sobre las convenciones utilizadas en el periódico están en orden. La suma A+B de dos conjuntos A y B es la unión ({1} ×A) ({2} ×B). Todos los gráficos en el papel son simples gráficos no dirigidos. En la notación G = (V,E), el símbolo V representa el conjunto de vértices del gráfico G y E. por su conjunto de bordes. Por abuso del lenguaje, a menudo escribimos ab para un borde en un grafo; si este es el caso, ab es un par no ordenado de vértices distintos. Denotamos El gráfico inducido por el conjunto de vértices U V. Si G es un gráfico conectado, entonces dG(a, b) representa la distancia entre dos vértices a y b del gráfico G. Dondequiera que sea claro desde el contexto que el gráfico está siendo considerado, nosotros soltar el subíndice G en dG(a, b). Un subgrafo H G es un subgrafo isométrico si dH(a, b) = dG(a, b) para todos los vértices a y b de H ; es convexo si es más corto camino en G entre los vértices de H pertenece a H. 2 Hipercubos y cubos parciales Deja que X sea un set. Denotamos Pf (X) el conjunto de todos los subconjuntos finitos de X. Definición 2.1. Un gráfico H(X) tiene el conjunto Pf (X) como el conjunto de sus vértices; a un par de vértices PQ es un borde de H(X) si la diferencia simétrica Singleton. El gráfico H(X) se llama hipercubo en X [9]. Si X es un finito conjunto de cardinalidad n, entonces el gráfico H(X) es el n-cubo Qn. La dimensión de el hipercubo H(X) es la cardinalidad del conjunto X. La distancia de ruta más corta d(P,Q) en el hipercubo H(X) es el Hamming distancia entre los conjuntos P y Q: d(P,Q) = PÃ3Q para P,Q â € Pf. (2.1) El conjunto Pf (X) es un espacio métrico con la d métrica. Definición 2.2. Un gráfico G es un cubo parcial si puede ser isométricamente incrustado en un hipercubo H(X) para algunos conjuntos X. A menudo identificamos a G con su isometría imagen en el hipercubo H(X), y decir que G es un cubo parcial en el conjunto X. Figura 2.1: Un gráfico y su incrustación isométrica en Q3. Un ejemplo de un cubo parcial y su inserción isométrica en el cubo Q3 se muestra en la Figura 2.1. Claramente, una familia F de subconjuntos finitos de X induce un cubo parcial en X si y sólo si para cualquier dos subconjuntos distintos P,Q + F hay una secuencia R0 = P,R1,. .., Rn = Q de conjuntos en F de tal manera que d(Ri, Ri+1) = 1 para todos los 0 ≤ i < n, y d(P,Q) = n. (2.2) Las familias de conjuntos de condiciones satisfactorias (2.2) se conocen como bien calificados fam- ilies de conjuntos [10]. Tenga en cuenta que una secuencia (Ri) satisfactoria (2.2) es un camino más corto de P a Q en H(X) (y en el subgráfico inducido por F). Definición 2.3. Una familia F de subconjuntos arbitrarios de X es una familia wg (bien calificado familia de conjuntos) si, para cualquiera de los dos subconjuntos distintos P,Q-F, el conjunto P-Q- es finito y hay una secuencia R0 = P,R1,. .., Rn = Q de conjuntos en F tales que RiRi+1 = 1 para todos los 0 ≤ i < n y PQ = n. Ejemplo 2.1. El gráfico inducido puede ser un cubo parcial en un conjunto diferente si La familia F no está bien calificada. Considere, por ejemplo, la familia F =, {a}, {a, b}, {a, b, c}, {b, c} de subconjuntos de X = {a, b, c}. El gráfico inducido por esta familia es un camino de longitud 4 en el cubo Q3 (cf. Figura 2.2). Claramente, F no está bien calificado. Por otro lado mano, como se puede ver fácilmente, cualquier camino es un cubo parcial. Figura 2.2: Una trayectoria no isométrica en el cubo Q3. Cualquier familia F de subconjuntos de X define un gráfico GF = (F, EF), donde EF = P,Q} F : P,Q = 1}. Teorema 2.1. El gráfico GF definido por una familia F de subconjuntos de un conjunto X es isomórfico a un cubo parcial en X si y sólo si la familia F está bien calificado. Prueba. Sólo tenemos que demostrar la suficiencia. Deja que S sea un conjunto fijo en F. Definimos a mapeo f : F → Pf (X) por f(R) = R­S para R • F. Entonces d(f(R), f(T)) = (RÍOS)(TÍOS) = RÍOT. Así f es una incrustación isométrica de F en Pf (X). Dejar (Ri) ser una secuencia de conjuntos en F tales que R0 = P, Rn = Q, PQ = n, y RiRi+1 = 1 para todos 0 ≤ i < n. A continuación, la secuencia (f(Ri)) cumple las condiciones (2.2). El resultado sigue. Se dice que un conjunto R • Pf (X) es retícula entre los conjuntos P, Q • Pf (X) si P # Q # R # P # Q. Es métricamente entre P y Q si d(P,R) + d(R,Q) = d(P,Q). El siguiente teorema es un resultado bien conocido acerca de estas dos las laciones en Pf (X) (véase, por ejemplo, [3]). Teorema 2.2. Las relaciones entre celosías y métricas coinciden con Pf (X). Dejar F ser una familia de subconjuntos finitos de X. El conjunto de todos los R â € TM a F que son entre P,Q-F es el intervalo I(P,Q) entre P y Q en F. Por lo tanto, I(P,Q) = F (+) [P +)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+) donde [P • Q, P • Q] es el intervalo habitual en la retícula Pf. Dos conjuntos distintos de P,Q,F son adyacentes en F si J(P,Q) = {P,Q}. Si pone P y Q forman un borde en el gráfico inducido por F, entonces P y Q son adyacentes en F, pero, en general, no viceversa. Por ejemplo, en el ejemplo 2.1, la vértices y {b, c} son adyacentes en F, pero no definen un borde en el inducido gráfico (cf. Figura 2.2). El siguiente teorema es una caracterización ‘local’ de las familias de conjuntos. Teorema 2.3. Una familia F Pf (X) está bien calificado si y sólo si d(P,Q) = 1 para cualquier dos conjuntos P y Q que estén adyacentes en F. Prueba. (Necesidad.) Que F sea una familia de conjuntos. Supongamos que P y Q son adyacente en F. Hay una secuencia R0 = P,R1,. .., Rn = Q que satisface condiciones (2.2). Dado que la secuencia (Ri) es un camino más corto en F, tenemos d(P, Pi) + d(Pi, Q) = d(P,Q) para todos los 0 ≤ i ≤ n. Por lo tanto, Pi I(P,Q) = {P,Q}. De ello se desprende que d(P,Q) = n = 1. (Suficiencia.) Que P y Q sean dos conjuntos distintos en F. Demostramos por inducción En n = d(P,Q) que hay una secuencia (Ri) F que cumple las condiciones (2.2). La declaración es trivial para n = 1. Supongamos que n > 1 y que el la instrucción es verdadera para todos k < n. Dejar que P y Q sean dos conjuntos en F de tal manera que d(P,Q) = n. Desde d(P,Q) > 1, los conjuntos P y Q no son adyacentes en F. Por lo tanto existe R â € F que se encuentra entre P y Q y es diferente de Estos dos juegos. Entonces d(P,R) + d(R,Q) = d(P,Q) y ambas distancias d(P,R) y d(R,Q) son menos de n. Por la hipótesis de inducción, hay una secuencia (Ri) P = R0, R = Rj, Q = Rn para unos 0 < j < n, que cumplan las condiciones (2.2) para 0 ≤ i < j y j ≤ i < n. De ello se deduce que F es una Wg-familia de conjuntos. Concluimos esta sección con dos ejemplos de cubos parciales infinitos (más los ejemplos se encuentran en [17]). Ejemplo 2.2. Dejar Z ser el gráfico en el conjunto Z de enteros con los bordes definidos por pares de enteros consecutivos. Este gráfico es un cubo parcial desde su conjunto vértice es isométrico a la familia wg de intervalos {(,m) : m Z} en Z. Ejemplo 2.3. Consideremos Zn como un espacio métrico con respecto a la l1- métrica. El gráfico Zn tiene Zn como el conjunto vértice; dos vértices en Zn están conectados si están a la distancia de la unidad entre sí. Vamos a mostrar en la Sección 6 (Corollary 6.1) que Zn es un cubo parcial. 3 Caracterizaciones Sólo se consideran gráficos conectados en esta sección. Definición 3.1. Let G = (V,E) ser un gráfico y d ser su función de distancia. Por cualquier dos vértices adyacentes a, b V dejar Wab ser el conjunto de vértices que están más cerca a a b: Wab = {w • V : d(w, a) < d(w, b)}. A continuación [11], llamamos a los conjuntos Wab y subgrafos inducidos el gráfico G. Las semicuebas Wab y Wba se llaman semicuebas opuestas. Observación 3.1. El subíndice ab en Wab representa un par ordenado de vértices, no para un borde de G. En su artículo original [9], Djoković utiliza la notación G(a, b) (cf. [8]). Utilizamos la notación de [15]. Claramente, dos semicuebas opuestas están desarticuladas. Pueden ser utilizados para... terize los gráficos bipartitos de la siguiente manera. Teorema 3.1. Un gráfico G = (V,E) es bipartito si y sólo si el Wab semicubos y Wba forman una partición de V para cualquier borde ab E. Prueba. Recordemos que un gráfico G conectado es bipartito si y sólo si por cada vértice x no hay borde ab con d(x, a) = d(x, b) (véase, por ejemplo, [1]). Por cualquier borde ab E y vértice x V claramente tenemos d(x, a) = d(x, b) â € x /â € Wab â € € Wba. El resultado es el siguiente. El siguiente lema es instrumental y se utilizará con frecuencia en el resto del periódico. Lemma 3.1. Let G = (V,E) ser un gráfico y w â € Wab para algún borde ab â € E. d(w, b) = d(w, a) + 1. En consecuencia, Wab = {w + V : d(w, b) = d(w, a) + 1}. Prueba. Por la desigualdad del triángulo, tenemos d(w, a) < d(w, b) ≤ d(w, a) + d(a, b) = d(w, a) + 1. El resultado sigue, ya que d toma valores en N. Hay dos relaciones binarias en el conjunto de bordes de un gráfico que juegan un papel central en la caracterización de cubos parciales. Definición 3.2. Dejar G = (V,E) ser un gráfico y e = xy y f = uv ser dos bordes de G. i) (Djoković [9]) e. f. f. se une a un vértice en Wxy con un vértice en Wyx. La notación puede ser elegida de tal manera que u â € € ¢ Wxy y v â € € TM Wyx. ii) (Winkler [20]) d(x, u) + d(y, v) 6= d(x, v) + d(y, u). Está claro que las dos relaciones son reflexivas y simétricas. Lemma 3.2. La relación es una relación simétrica en E. Prueba. Suponga que xy uv con u â € € TM Wxy y v â € TM Wyx. Por Lemma 3.1 y la desigualdad del triángulo, tenemos d(u, x) = d(u, y)− 1 ≤ d(u, v) + d(v, y)− 1 = d(v, y) = = d(v, x)− 1 ≤ d(v, u) + d(u, x) − 1 = d(u, x). Por lo tanto, d(u, x) = d(v, x) − 1 y d(v, y) = d(u, y)− 1. Por lo tanto, x • Wuv y y â € ¢ Wvu. De ello se deduce que uv Ł xy. Lemma 3.3........................................................... Lemma 3.3.............................. Lemma 3.3........................... Lemma................................................... Prueba. Suponga que xy uv con u â € € ¢ Wxy, v â € € TM Wyx. Por Lemma 3.1, d(x, u) + d(y, v) = d(x, v) − 1 + d(y, u)− 1 6 = d(x, v) + d(y, u). Por lo tanto, xy-Uv. Ejemplo 3.1. Es fácil verificar que la relación de identidad en el conjunto de bordes del ciclo C3. Por otro lado, cualquier dos bordes de C3 están en el la relación entre el hombre y la mujer. Por lo tanto, en este caso, 6 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° Los gráficos bipartitos se pueden caracterizar en términos de relaciones de la siguiente manera. Teorema 3.2. Un gráfico G = (V,E) es bipartito si y sólo si Prueba. (Necesidad.) Supongamos que G es un gráfico bipartito, dos bordes xy y uv se encuentran en la relación................................................................................................................................................ d(x, u) + d(y, v) 6= d(x, v) + d(y, u), y que los bordes xy y uv no se paran en la relación. Por el teorema 3.1, nosotros puede suponer que u, v â € ¢ Wxy. Por Lemma 3.1, tenemos d(x, u) + d(y, v) = d(y, u)− 1 + d(x, v) + 1 = d(x, v) + d(y, u), una contradicción. De ello se deduce que, en el caso de autos, se trata de un asunto que se refiere a un litigio entre la Comisión y el Estado miembro de que se trate. Por Lemma 3.3, . (Suficiencia.) Supongamos que G no es bipartito. Por Teorema 3.1, hay un borde xy de tal manera que Wxy Wyx es un subconjunto adecuado de V. Dado que G está conectado, hay un edge uv con u /â € Wxy â € Wyx y v â € Wxy â € Wyx. Claramente, uv lo hace. no estar de pie en la relación de........................................................................................................................................................................................................................................................... Por otra parte, d(x, u) + d(y, v) 6= d(x, v) + d(y, u), ya que u /â € € Wxy â € Wyx y v â € € Wxy â € € Wyx. Por lo tanto, xy-uv, una contradicción, ya que Supusimos que "" = "". En el Teorema 3.2, las relaciones entre las dos partes coinciden en gráficos bipartitos. Por Esta es la razón por la que usamos la relación.... en el resto del papel. Lemma 3.4. Let G = (V,E) ser un gráfico bipartito tal que todos sus semicubes son Conjuntos convexos. A continuación, dos bordes xy y uv se paran en la relación de si y sólo si el pares correspondientes de semicubos mutuamente opuestos forman particiones iguales de V : xy Uv {Wxy,Wyx} = {Wuv,Wvu}. Prueba. (Necesidad) Asumimos que la notación es elegida de tal manera que u • Wxy y contra Wyx. Vamos a z â € Wxy â € TM Wvu. Por Lemma 3.1, d(z, u) = d(z, v) + d(v, u). Puesto que z, u, Wxy y Wxy es convexo, tenemos v, Wxy, una contradicción con el Asumir que v. Wyx. Por lo tanto, Wxy Wvu =. Desde dos semicubos opuestos en un gráfico bipartito formar una partición de V, tenemos Wuv = Wxy y Wvu = Wyx. Un argumento similar muestra que Wuv = Wyx y Wvu = Wxy, si u Wyx y contra Wxy. (Suficiencia.) Sigue de la definición de la relación. Necesitamos otra propiedad general de la relación (cf. Lemma 2.2 in [15]). Lemma 3.5. Dejar P ser un camino más corto en un gráfico G. Entonces no hay dos bordes distintos de P se sitúan en la relación. Prueba. Dejar i < j y xixi+1 y xjxj+1 ser dos bordes en un camino más corto P de x0 a xn. Entonces d(xi, xj) < d(xi, xj+1) y d(xi+1, xj) < d(xi+1, xj+1), por lo que xi, xi+1 • Wxjxj+1. De ello se deduce que los bordes xixi+1 y xjxj+1 no están la relación................................................................................................................................................................... La declaración inversa es verdad para los gráficos bipartitos (omitimos la prueba); un contraejemplo es el ciclo C5 que no es bipartito. Lemma 3.6. Que G = (V,E) sea un gráfico bipartito. Las declaraciones que figuran a continuación son las siguientes: equivalente i) Todos los semicubos de G son convexos. (ii) La relación فارسى es una relación de equivalencia sobre E. Prueba. i)  ii). Sigue desde Lemma 3.4. ii) El inciso i) de la parte dispositiva. Supongan que es transitivo y que hay un semicubo no convexo Wab. A continuación, hay dos vértices u, v Wab y un camino más corto P de u a V que intersecta Wba. Esta ruta contiene dos bordes distintos e y f uniendo vértices de semicubos Wab y Wba. Los bordes e y f se sitúan en la relación hasta el borde ab. Por la transitividad de la palabra, tenemos e........................................................................................... Esto contradice el resultado de Lemma 3.5. Así todos los semicubos de G son convexos. Ahora establecemos algunas propiedades básicas de cubos parciales. Teorema 3.3. Que G = (V,E) sea un cubo parcial. Entonces i) G es un gráfico bipartito. (ii) Cada par de semicubos opuestos forman una partición de V. iii) Todos los semicubos son subconjuntos convexos de V. iv) Es una relación de equivalencia sobre E. Prueba. Podemos suponer que G es un subgrafo isométrico de algún hipercubo H(X), es decir, G = (F, EF) para una familia de wg F de subconjuntos finitos de X. (i) Basta con señalar que si dos conjuntos en H(X) están conectados por un borde entonces tienen una paridad diferente. Por lo tanto, H(X) es un gráfico bipartito y así es G. ii) Sigue el inciso i) y el teorema 3.1. (iii) LetWAB ser un semicubo de G. Por Lemma 3.1 y Teorema 2.2, tenemos WAB = {S + F : S + B + A S + B}. Que Q,R,WAB y P sean un vértice de G de tal manera que d(Q,P ) + d(P,R) = d(Q,R). Por Teorema 2.2, Q R P Q R. Desde Q,R,WAB, tenemos Q B A A Q B y R B A R B, lo que implica (Q) B (Q) B (A) B (Q) B (S) B (B) B (B) Por lo tanto, P • WAB, y el resultado sigue. iv) Seguimientos de iii) y Lemma 3.6. Observación 3.2. Puesto que los semicúbitos de un cubo parcial G = (V,E) son subconjuntos convexos del espacio métrico V, son semiespacios en V [19]. Esta terminología se utiliza en [6, 7]. El siguiente teorema presenta cuatro caracterizaciones de cubos parciales. Los Los dos primeros se deben a Djoković [9] y Winkler [20] (cf. Teorema 2.10 en [15]). Teorema 3.4. Que G = (V,E) sea un gráfico conectado. Las siguientes declaraciones: son equivalentes: i) G es un cubo parcial. ii) La G es bipartita y todas las semicubas de la G son convexas. (iii) La G es bipartita y la G es una relación de equivalencia. iv) G es bipartito y, para todos los xy, uv e, xy, uv, {Wxy,Wyx} = {Wuv,Wvu}. (3.1) (v) G es bipartito y, para cualquier par de vértices adyacentes de G, hay un único par de semicubos opuestos que separan estos dos vértices. Prueba. Por Lemma 3.6, las declaraciones ii) y iii) son equivalentes y, por orem 3.3, i) implica tanto ii) como iii). iii) El inciso i) del párrafo 1 de la parte dispositiva. Por Teorema 3.1, cada par {Wab,Wba} de semicubos opuestos de G forma una partición de V. Orientamos estas particiones llamando, en un arbitrario way, uno de los dos semicubos opuestos en cada partición un semicubo positivo. Asignemos a cada x V el conjunto W+(x) de todos los semicubos positivos que contienen x. En el siguiente párrafo demostramos que la familia F = {W+(x)}xÃ3v está bien graduado y que la asignación x 7→ W+(x) es una isometría entre V y F. Que x e y sean dos vértices distintos de G. Decimos que un semicubo positivo Wab separa x e y si x â € ¢ Wab, y â € TM Wba o x â € TM Wba, y â € Wab. Lo es. claro que Wab se separa x e Y si y sólo si Wab W +(x)•W+(y). Let P ser un camino más corto x0 = x, x1,. .., xn = y de x a y. Por Lemma 3.5, no dos los bordes distintos de P se sitúan en la relación فارسى. Por Lemma 3.4, bordes distintos de P definir distintos semicubos positivos; claramente, estos semicubos separan x e y. Vamos. Wab ser un semicubo positivo separando x e y, y, por ejemplo, x â € € € TM € TM € TM Wba. Hay un borde f P que une los vértices en Wab y Wba. Por lo tanto, f se encuentra en la relación de Ab y, por Lemma 3.4, Wab se define por f. De ello se deduce que cualquier semicubo inW+(x)•W+(y) se define por un borde único en P y cualquier borde en P define un semicubo en W+(x)•W+(y). Por lo tanto, d(W+(x),W+(y)) = d(x, y), que es x 7→W+(x) es una isometría. Claramente, F es una familia de conjuntos. Por Teorema 2.1, la familia F es isométrica a una familia wg de conjuntos finitos. Por lo tanto, G es un cubo parcial. iv) El inciso ii) del párrafo 4 de la parte dispositiva. Supongamos que existe un borde ab tal que semicube Wba es no convexo. Dejar p y q ser dos vértices en Wba tal que hay un más corto ruta P de p a q que intersecta Wab. Hay dos bordes distintos xy y uv en P tal que x, u â € Wab e y, v â € € Wba. Desde que ab-xy y ab-uv, tenemos, por (3.1), Wab = Wxy = Wuv. Por lo tanto, u â € Wxy y v â € Wyx. Por Lemma 3.1, d(x, u) = d(x, v) − 1 = 1 + d(v, y)− 1 = d(v, y), una contradicción, ya que P es un camino más corto de p a q. ii)  iv). Sigue desde Lemma 3.4. Está claro que los incisos iv) y v) son equivalentes. 4 Conjuntos fundamentales en cubos parciales Las semicubes desempeñaron un papel importante en la sección anterior. En esta sección introducir tres clases más de subconjuntos útiles de gráficos. También establecemos uno. más caracterización de cubos parciales. Que G = (V,E) sea un gráfico conectado. Para un borde dado e = ab E, nosotros definir los siguientes conjuntos (cf. [15, 16]: Fab = (f) E : e (f) = (uv) E : u (Wab), v (Wba), Uab = {w Wab : w es adyacente a un vértice en Wba}, Uba = {w Wba : w es adyacente a un vértice en Wab}. Los cinco conjuntos se muestran esquemáticamente en la Figura 4.1. Figura 4.1: Conjuntos fundamentales en un cubo parcial. Observación 4.1. En el caso de un cubo parcial G = (V,E), las semicubas Wab y Wba son semiespacios complementarios en el espacio métrico V (cf. Observación 3.2). Entonces el set Fab puede ser considerado como un ‘hiperplano’ que separa estos semi-espacios (véase [17] donde esta analogía se formaliza en el contexto de la organización del hiperplano- ciones). El siguiente teorema generaliza el resultado obtenido en [16] para la mediana gráficos (véase también [15]). Teorema 4.1. Dejar ab ser un borde de un gráfico bipartito conectado G. Si el semicubos Wab y Wba son convexos, luego el set Fab es un emparejamiento e induce un isomorfismo entre los gráficos de Uabá y Ubaá. Prueba. Supongamos que Fab no es una coincidencia. Luego hay bordes distintos xu y xv con, por ejemplo, x Uab y u, v Uba. Por la desigualdad del triángulo, d(u, v) ≤ 2. Dado que G no tiene triángulos, d(u, v) 6= 1. Por lo tanto, d(u, v) = 2, lo que implica que x se encuentra entre u y v. Esto contradice la convexidad de Wba, ya que x • Wab. Por lo tanto Fab es una coincidencia. Para demostrar que Fab induce un isomorfismo, deja que xy, uv Fab y xu E, donde x, u, Uab y y, v, Uba. Dado que G no tiene ciclos impares, d(v, y) 6= 2. Por la desigualdad del triángulo, d(v, y) ≤ d(v, u) + d(u, x) + d(x, y) = 3. Dado que Wba es convexo, d(v, y) 6= 3. Así d(v, y) = 1, es decir, vy es un borde. Los resultado seguido por la simetría. Por Teorema 3.4(ii), tenemos el siguiente corolario. Corolario 4.1. Que G = (V,E) sea un cubo parcial. Para cualquier borde ab el conjunto Fab es un emparejamiento e induce un isomorfismo entre gráficos inducidos # Uba # # # Uba # # # Uba # # # Uba # # # Uba # # # # Uba # # # Uba # # # # Uba # # # Uba # # # Uba # # # Uba # # # Uba # # # # Uba # # # # Uba # # # # Uba # # # # Uba # # # # # Uba # # # # # Uba # # # # # # # # # # # # # # Uba # # # # # # # # # Uba # # # # Uba # # # # # # Uba # # # # # # # # # # # Uba # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Figura 4.2: Gráfico G. Ejemplo 4.1. Que G sea el gráfico representado en la Figura 4.2. El conjunto Fab = {ab, xu, yv} es una coincidencia y define un isomorfismo entre los gráficos inducidos por subconjuntos Uab = {a, x, y} y Uba = {b, u, v}. El conjunto Wba no es convexo, por lo que G no es un cubo parcial. Por lo tanto, el contrario del corolario 4.1 no se sostiene. Ahora establecemos otra caracterización de cubos parciales que utiliza un propiedad geométrica de las familias Fab. Teorema 4.2. Para un gráfico G conectado, las siguientes instrucciones son equivalentes: i) G es un cubo parcial. ii) La G es bipartita y d(x, u) = d(y, v) y d(x, v) = d(y, u), (4.1) para cualquier ab E y xy, uv Fab. Prueba. i)el inciso ii) del apartado b) del párrafo 1 del artículo 4 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013. Podemos asumir que x, u â € Wab y y, v â € Wba. Puesto que Ł es un la relación de equivalencia, tenemos xy uv Łab. Por Lemma 3.4, Wuv = Wxy = Wab. Por Lemma 3.1, d(x, u) = d(x, v) − 1 = d(v, y) + 1− 1 = d(y, v). También tenemos d(x, v) = d(y, v) + 1 = d(y, u), por el mismo lema. ii)el inciso i) de la parte dispositiva. Supongamos que G no es un cubo parcial. Luego, por Teorema 3.4, allí existe un borde ab tal que, por ejemplo, Wba semicubo no es convexo. Que p y q sean dos vértices en Wba de tal manera que hay un camino más corto P de p a q que se intersecta Wab. Que uv sea el primer borde en P que pertenece a Fab y xy sea el último borde en P con la misma propiedad (ver Figura 4.3). Figura 4.3: Una ilustración de la prueba del teorema 4.2. Puesto que P es un camino más corto, tenemos d(v, y) = d(v, u) + d(u, x) + d(x, y) 6= d(x, u), que contradice la condición (4.1). Así todos los semicubos de G son convexos. Por Teorema 3.4, G es un cubo parcial. Observación 4.2. Uno puede decir que cuatro vértices que satisfacen las condiciones (4.1) definen un rectángulo en G. Entonces el teorema 4.2 indica que un gráfico conectado es un parcial cubo si y sólo si es bipartito y para cualquier borde ab pares de bordes en Fab definir rectángulos en G. 5 Dimensiones de cubos parciales Hay muchas maneras diferentes en que un cubo parcial dado puede ser isométricamente Incrustado en un hipercubo. Por ejemplo, el gráfico K2 puede ser isométricamente incrustado de diferentes maneras en cualquier hipercubo H(X) con X > 2. Siguiendo Djoković [9] (véase también [8]), definimos la dimensión isométrica, dimI(G), de un cubo parcial G como dimensión mínima posible de un hipercubo H(X) en la que G es isométricamente incrustable. Recordar (véase la sección 2) que la dimensión de H(X) es la cardinalidad del conjunto X. Teorema 5.1. (Teorema 2 en [9].) Que G = (V,E) sea un cubo parcial. Entonces dimI(G) = E/, (5.1) donde Djoković es la relación de equivalencia en E y E/ clases de alence (el cociente-set). El conjunto de cocientes E / / puede ser identificado con la familia de todos los conjuntos distintos Fab (véase la sección 4). Si G es un cubo parcial finito, podemos considerarlo como un isométrico Subgrafía de un hipercubo Qn. Entonces los bordes en cada familia Fab son paralelos bordes en Qn (cf. Teorema 4.2). Esta observación prueba esencialmente (5.1) en el Caso finito. Dejar G ser un cubo parcial en un conjunto X. El vértice conjunto de G es un wg-familia F de subconjuntos finitos de X (véase la sección 2). Definimos la retracción de F como una familia F′ de subconjuntos de X ′ = â € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € €. Está claro que F′ cumple las condiciones F′ = F′ y F′ = X ′. (5.2) Proposición 5.1. Los cubos parciales inducidos por un wg-familia F y su retracción F′ son isomórficos. Prueba. Basta probar que los espacios métricos F y F′ son isométricos. Claramente, α : P 7→ P X ′ es una cartografía de F a F′. Para P, Q, F, tenemos (P-X)-(Q-X) = (P-Q)-(P-Q)-(P-Q)-(P-Q)-(F-F)-(P-Q)-(P-Q)-(P-Q)-(P-Q). Así, d(α(P), α(Q)) = d(P,Q). En consecuencia, α es una isometría. Deja que G sea un cubo parcial en algún conjunto X inducido por un wg-familia F satisfactorio condiciones (5.2), y dejar que PQ sea un borde de G. Por definición, hay x X tal que P.Q. = {x}. Los dos lemas siguientes son instrumentales. Lemma 5.1. Dejar que PQ sea un borde de un cubo parcial G en X y dejar que P­Q = {x}. Los dos conjuntos {R] {F} {x} {R} {R} {F} {x} {R} {R} {R} {R} {R} {R} {F} {R} {R} {R} {R} {R} {R} {R} {F} : x {R} {R} {R} {R} {R} {R} {R} {R} {R} {R} {R} forman la misma bipartición de la familia F como semicubes WPQ y WQP. Prueba. Podemos asumir que Q = P + {x}. Entonces, para cualquier R-F, (P + {x}) = (R­P) + {x}, si x ­ R, Râ € P, si x / â € R. Por lo tanto, RP < RQ si y sólo si x R. Se deduce que WPQ = {R + F : x + R}. Un argumento similar muestra que WQP = {R • F : x / • R}. Lemma 5.2. Si F es una familia de conjuntos de condiciones satisfactorias (5.2), entonces para cualquier x x x hay sets P,Q F de tal manera que P.Q = {x}. Prueba. Por condiciones 5.2, para un x dado â € ¢ X hay conjuntos S y T en F tales Que x S y x /+ T. Let R0 = S,R1,. .., Rn = T ser una secuencia de conjuntos en F que cumplen las condiciones (2.2). Es claro que hay i tal que x â € ~ Ri y +1 +1 +2 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 Por lo tanto, Rio Ri + 1 = {x}, por lo que podemos elegir P = Ri y Q = Ri + 1. Por Lemmas 5.1 y 5.2, hay correspondencia uno-a-uno entre el conjunto X y el conjunto de cocientes E/ De Teorema 5.1 obtenemos el siguiente resultado. Teorema 5.2. Dejar F ser una familia wg de subconjuntos finitos de un conjunto X tal que "F = "F" y "F" = "X" y dejar que G sea un cubo parcial en "X" inducido por "F". dimI(G) = X. Claramente, un gráfico que es isométricamente incrustable en un cubo parcial es un cubo parcial en sí mismo. Mostraremos en la Sección 6 (Corollary 6.1) que el entero celosía Zn es un cubo parcial. Por lo tanto, un gráfico que es isométricamente incrustable en una celosía entera es un cubo parcial. Se deduce que un gráfico finito es un parcial cubo si y sólo si es incrustable en algún entero celosía. Ejemplos de infinito cubos parciales isométricamente incrustables en una celosía entera dimensional finita se encuentran en [17]. Llamamos a la dimensión mínima posible n de un entero celosía Zn, en la que un gráfico G dado es isométricamente incrustable, su dimensión de celosía y denota it dimZ(G). La dimensión de celosía de un cubo parcial se puede expresar en términos de los emparejamientos máximos en los llamados gráficos semicubos [11]. Definición 5.1. El gráfico semicubo Sc(G) tiene todos los semicubos en G como el conjunto de sus vértices. Dos vértices Wab y Wcd están conectados en Sc(G) si Wab • Wcd = V y Wab • Wcd 6 = • •. (5.3) Si G es un cubo parcial, entonces condición (5.3) es equivalente a cada uno de los dos condiciones equivalentes: Wba-Wcd-Wdc-Wab, (5.4) donde se refiere a la inclusión adecuada. Teorema 5.3. (Teorema 1 en [11].) Que G sea un cubo parcial finito. Entonces dimZ(G) = dimI(G) − M, donde M es un emparejamiento máximo en el gráfico semicubo Sc(G). Ejemplo 5.1. Que G sea el gráfico que se muestra en la Figura 2.1. Es fácil ver que dimI(G) = 3 y dimZ(G) = 2. Ejemplo 5.2. Dejar T ser un árbol con n bordes y m hojas. Entonces dimI(T ) = n y dimZ(T ) = m/2 (cf. [8] y [14], respectivamente). Ejemplo 5.3. Para el ciclo C6 tenemos (ver Figura 8.2). dimI(C6) = dimZ(C6) = 3. 6 Subcubes y productos cartesianos Deja que G sea un cubo parcial. Decimos que G′ es un subcubo de G si es un isométrico subgrafo de G. Claramente, un subcubo es en sí mismo un cubo parcial. Lo contrario no se sostiene; a subgrafo de un gráfico G puede ser un cubo parcial pero no un subgrafo isométrico de G (cf. Ejemplo 2.1). Si G′ es un subcubo de un cubo parcial G, entonces dimI(G) ′) ≤ dimI(G) y dimZ(G ′) ≤ dimZ(G). En general, las dos desigualdades no son estrictas. Por Por ejemplo, el ciclo C6 es un subgrafo isométrico del cubo Q3 (ver Figura 8.2). dimI(C6) = dimZ(C6) = dimI(Q3) = dimZ(Q3) = 3. Los semicúbitos de un cubo parcial son ejemplos de subcubos. De hecho, por Theo- rem 3.4, las semicúbicas son subgrafías convexas y por lo tanto isométricas. En general, lo contrario no es cierto; un camino que conecta dos vértices opuestos en C6 es un Subgrafía isométrica pero no convexa. Otra forma común de construir nuevos cubos parciales a partir de los antiguos es por que forman sus productos cartesianos (véase [15] para más detalles y pruebas). Definición 6.1. Dados dos gráficos G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2), Producto cartesiano G = G1 G2 tiene vértice conjunto V = V1 × V2; un vértice u = (u1, u2) es adyacente a un vértice v = (v1, v2) si y sólo si u1v1 â ¬ E1 y u2 = v2, o u1 = v1 y u2v2 â ¬ E2. La operación es asociativa, así que podemos escribir G = G1 · · · Gn = para el producto cartesiano de los gráficos G1,. .., Gn. Un producto cartesiano i=1Gi está conectado si y sólo si los factores están conectados. Entonces tenemos dG(u, v) = dGi(ui, vi). (6.1) Ejemplo 6.1. Deja {Xi} i=1 ser una familia de conjuntos e Y = i=1 sea su suma. Entonces el producto cartesiano de la hipercubes H(Xi) es isomórfico a la hi- percubo H(Y ). El isomorfismo es establecido por el mapeo f : (P1,. .., Pn) 7→ La fórmula (6.1) arroja inmediatamente los siguientes resultados. Proposición 6.1. Let Hi ser subgrafías isométricas de gráficos Gi para todos 1 ≤ i ≤ n. Luego el producto cartesiano i=1Hi es un subgrafo isométrico del cartesiano producto i=1Gi. Corolario 6.1. El producto cartesiano de una familia finita de cubos parciales es un cubo parcial. En particular, el entero enrejado Zn (cf. Ejemplos 2.2 y 2.3) un cubo parcial. Los resultados de los siguientes dos teoremas se pueden extender fácilmente a arbitrarios productos finitos de cubos parciales finitos. Teorema 6.1. Que G = G1 G2 sea el producto cartesiano de dos parciales finitos cubos. Entonces dimI(G) = dimI(G1) + dimI(G2). Prueba. Podemos asumir que G1 (resp. G2) es inducido por una familia de wg F1 (resp. F2) de subconjuntos de un conjunto finito X1 (resp. X2) de tal manera que â € TM = â € TM y â € TM F1 = X1 (resp. •F2 = • y •F2 = X1) (véase la sección 5). Por Teorema 5.2, dimI(G1) = X1 y dimI(G2) = X2. Está claro que el gráfico G es inducido por el wg-familia F = F1 + F2 de subconjuntos del conjunto X = X1 + X2 (cf. Ejemplo 6.1) con "F" = "F" = "F" = "X". Por Teorema 5.2, dimI(G) = X = X1 X2 = dimI(G1) + dimI(G2). Teorema 6.2. Que G = (V,E) sea el producto cartesiano de dos parciales finitos cubos G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2). Entonces dimZ(G) = dimZ(G1) + dimZ(G2). Prueba. Que W(a,b)(c,d) sea un semicubo del gráfico G. Hay dos posibles casos: i) c = a, bd • E2. Que (x, y) sea un vértice de G. Entonces, por (6.1), dG(x, y), (a, b)) = dG1(x, a) + dG2(y, b) dG(x, y), (c, d)) = dG1(x, c) + dG2(y, d). Por lo tanto, dG(x, y), (a, b)) < dG(x, y), (c, d)) dG2(y, b) < dG2(y, d). De ello se deduce que W(a,b)(c,d) = V1 ×Wbd. (6.2) ii) d = b, ac E1. Como en (i), tenemos W(a,b)(c,d) =Wac × V2. (6.3) Claramente, dos semicubos dados por (6.2) forman un borde en el gráfico semicubo Sc(G) si y sólo si sus segundos factores forman un borde en el gráfico semicubo Sc(G2). Lo mismo es cierto para las semicuebas en la forma (6.3) con respecto a su los primeros factores. También está claro que las semicuebas en la forma (6.2) y en la forma (6.3) no están conectados por un borde en Sc(G). Por lo tanto, el gráfico semicubo Sc(G) es isomórfico a la unión disjunta de los gráficos semicubo Sc(G1) y Sc(G2). Si M1 es un emparejamiento máximo en Sc(G1) y M2 es un emparejamiento máximo en Sc(G2), entonces M = M1 M2 es una coincidencia máxima en Sc(G). El resultado es el siguiente: teoremas 5.3 y 6.1. Observación 6.1. El resultado del corolario 6.1 no es válido para el Cartesiano infinito productos de cubos parciales, ya que estos productos están desconectados. Por otro lado la mano, se puede demostrar que los productos cartesianos débiles arbitrarios (com- los ponentes de los productos cartesianos [15]) de los cubos parciales son cubos parciales. 7 Encolar cubos parciales En esta sección utilizamos la técnica de pegado de conjuntos [5, cap. I, §2.5] para construir una nueva parcial cubos de los viejos. Que G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2) sean dos gráficos, H1 = (U1, F1) y H2 = (U2, F2) ser dos subgrafías isomórficas de G1 y G2, respectivamente, y • : U1 → U2 ser una bijección que define un isomorfismo entre H1 y H2. Los bijection define una relación de equivalencia R sobre la suma V1+V2 de la siguiente manera: cualquier elemento en (V1 \U1) (V2 \U2) es equivalente a sí mismo sólo y elementos u1 U1 y u2 • U2 son equivalentes si y sólo si u2 = • (u1). Decimos que el cociente set V = (V1 + V2)/R se obtiene uniendo los conjuntos V1 y V2 a lo largo los subconjuntos U1 y U2. Dado que los gráficos H1 y H2 son isomórficos, el pegado de los conjuntos V1 y V2 se puede extender naturalmente a un encolado de conjuntos de bordes E1 y E2 resultando en el conjunto E de bordes que unen vértices en V. Decimos que el gráfico G = (E, V ) se obtiene pegando los gráficos G1 y G2 a lo largo de los subgráficos isomórficos H1 y H2. La construcción encolada permite para identificar de forma natural los gráficos G1 y G2 con los subtítulos de G, y los gráficos isomórficos H1 y H2 con un subgrafo H común de ambos gráficos G1 y G2. A menudo seguimos esta convención a continuación. Observación 7.1. Tenga en cuenta que en la construcción anterior el gráfico resultante G de- no sólo en los gráficos G1 y G2 y sus subgráficos isomórficos H1 y H2 pero también en la biyección • definir un isomorfismo de H1 a H2 (ver los dibujos de las figuras 7.1 y 7.2). Figura 7.1: Pegado de dos árboles. Figura 7.2: Otro pegado de los mismos árboles. En general, pegado de dos cubos parciales G1 y G2 a lo largo de dos isomórficos los subgrafos H1 y H2 no producen un cubo parcial incluso bajo fuerte como Supuestos acerca de estos subgrafías como el siguiente ejemplo ilustra. Figura 7.3: Pegar cubos parciales G1 y G2. Ejemplo 7.1. Pegado de dos cubos parciales G1 = C6 y G2 = C6 a lo largo Los subpárrafos H1 y H2 se muestran en la Figura 7.3. El gráfico G resultante no es un cubo parcial. De hecho, el semicuboWab no es un conjunto convexo. Tenga en cuenta que las subgrafías H1 y H2 son subgrafías convexas de los respectivos cubos parciales. En esta sección estudiamos dos simples pegaduras de gráficos conectados juntos, el vértice-pegadura y el borde-pegadura, y mostrar que estos pegados producen cubos parciales de cubos parciales. También calculamos la isometría y la celosía dimensiones de los gráficos resultantes. Que G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2) sean dos gráficos conectados, a1 • V1, a2 • V2 y H1 = ({a1}, • H2 = ({a2}, •). Dejar G ser el gráfico obtenido pegando G1 y G2 a lo largo de los subpárrafos H1 y H2. En este caso decimos que el gráfico G se obtiene de los gráficos G1 y G2 mediante pegado de vértice. También decimos que G se obtiene de G1 y G2 identificando los vértices a1 y a2. Gráfico 7.4 ilustra esta construcción. Tenga en cuenta que el vértice a = {a1, a2} es un vértice cortado de G, puesto que G1 G2 = G y G1 G2 = {a}. (Seguimos nuestra convención y identificar los gráficos G1 y G2 con los subtítulos de G.) Figura 7.4: Un ejemplo de pegar vértice. En lo que sigue usamos superíndices para distinguir los subgrafos de los gráficos G1 y G2. Por ejemplo, W representa el semicubo de G2 definido por dos vértices adyacentes a, b â € V2. Teorema 7.1. Gráfico G = (V,E) obtenido por pegado de vértice a partir de cubos G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2) es un cubo parcial. Prueba. Denotamos a = {a1, a2} el vértice de G obtenido mediante la identificación de vértices a1 V1 y a2 V2. Claramente, G es un gráfico bipartito. Que xy sea un borde de G. Sin la pérdida de la generalidad podemos asumir que xy E1 y un Wxy. Nota que cualquier camino entre los vértices en V1 y V2 debe pasar por una. Desde un Wxy, tenemos, para cualquier v • V2, d(v, x) = d(v, a) + d(a, x) < d(v, a) + d(a, y) = d(v, y), que implica V2 Wxy y Wyx V1. De ello se deduce que Wxy = W xy V2 y Wyx = W yx. Los conjuntos W xy, W yx y V2 son subconjuntos convexos de V. Desde xy V2 = {a}, el conjunto Wxy = W xy V2 también es convexo. Por el teorema 3.4 ii), el gráfico G es un cubo parcial. La construcción de vértice-pegadura introducida arriba puede ser generalizada como sigue. Let G = {Gi = (Vi, Ei)}iJ ser una familia de gráficos conectados y A = {ai Gi}iJ ser una familia de vértices distinguidos de estos gráficos. Let G ser el gráfico obtenido de los gráficos Gi identificando vértices en el conjunto A. Decimos que G se obtiene por vértice-pegar juntos los gráficos Gi (a lo largo de la set A). Ejemplo 7.2. Dejar J = {1,...., n} con n ≥ 2, G = {Gi = ({ai, bi}, {aibi})}iJ, y A = {ai}iJ. Claramente, cada Gi es K2. Al pegar vértice estos gráficos a lo largo de A, obtenemos el Gráfica de n-estrella K1,n. Puesto que la estrella K1,n es un árbol, también se puede obtener de K1 por sucesivos vértice-pegadura como en el ejemplo 7.3. Ejemplo 7.3. Dejar G1 ser un árbol y G2 = K2. Al pegar vértice estos gráficos Obtenemos un nuevo árbol. Por el contrario, dejar G ser un árbol y v ser su hoja. Dejar G1 ser un árbol obtenido de G mediante la eliminación de la hoja v. Claramente, G se puede obtener por vértice-pegadura G1 y K2. De ello se deduce que cualquier árbol puede obtenerse de la gráfica K1 por sucesivo vértice-pegadura de copias de K2 (cf. Teorema 2.3 e) en [12]). Cualquier gráfico G conectado puede ser construido por vértice sucesivo-pegadura de sus bloques utilizando su estructura de bloques cortados-vertex [4]. Dejar G1 ser un bloque final de G con un vértice de corte v y G2 ser la unión de los bloques restantes de G. Entonces G se puede obtener de G1 y G2 por vértice-pegadura a lo largo del vértice v. sigue que cualquier gráfico conectado puede ser obtenido de sus bloques por sucesivos Pegaduras de vértice. Que G = (V,E) sea un cubo parcial. Recordamos que la dimensión isométrica dimI(G) de G es la cardinalidad del cociente conjunto E/..................................................................................................................................................................................................................................................... relación de equivalencia en el conjunto E (cf. fórmula (5.1)). Teorema 7.2. Que G = (V,E) sea un cubo parcial obtenido por pegar vértice juntos cubos parciales G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2). Entonces dimI(G) = dimI(G1) + dimI(G2). Prueba. Basta con probar que no hay bordes xy E1 y uv E2 que están en la relación de Djoković entre sí. Supongamos que G1 y G2 son vértice pegado a lo largo de los vértices a1 E1 y a2 E2 y dejar a = {a1, a2} E. Let xy E1 y uv E2 son dos aristas en E. Podemos suponer que u Wxy. Desde a es un corte-vertex de G y u Wxy, tenemos d(u, a) + d(a, x) = d(u, x) < d(u, y) = d(u, a) + d(a, y). Por lo tanto, d(a, x) < d(a, y), lo que implica d(v, x) = d(v, a) + d(a, x) < d(v, a) + d(a, y) = d(v, y). De ello se deduce que v. Wxy. Por lo tanto, el borde xy no se mantiene en la relación al vértice uv. El siguiente resultado sigue inmediatamente del teorema anterior. Tenga en cuenta que bloques de un cubo parcial son cubos parciales ellos mismos. Corolario 7.1. Dejar G ser un cubo parcial y {G1,. ............................................................... - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Entonces dimI(G) = dimI(Gi). En el caso de la dimensión de celosía de un cubo parcial podemos reclamar sólo mucho resultado más débil que uno indicado en el Teorema 7.2 para la dimensión isométrica. Nosotros omitir la prueba. Teorema 7.3. Dejar G ser un cubo parcial obtenido por vértice-pegadura juntos parcial cubos G1 y G2. Entonces max{dimZ(G1), dimZ(G2)} ≤ dimZ(G) ≤ dimZ(G1) + dimZ(G2). El siguiente ejemplo ilustra posibles casos de desigualdades en la rem 7.3. Recordemos que la dimensión de celosía de un árbol con m hojas es m/2 (cf. [14]). Ejemplo 7.4. La estrella K1,6 se puede obtener de las estrellas K1,2 y K1,4 por vértice pegando estas dos estrellas a lo largo de sus centros. Claramente, max{dimZ(K1,2), dimZ(K1,4)} < dimZ(K1,6) = dimZ(K1,2) + dimZ(K1,4). La misma estrella K1,6 se obtiene de dos copias de la estrella K1,3 por vértice- pegando a lo largo de sus centros. Tenemos dimZ(K1,3) = 2, dimZ(K1,6) = 3, así que max{dimZ(K1,3), dimZ(K1,3)} < dimZ(K1,6) < dimZ(K1,3) + dimZ(K1,3). Vamos a pegar vértice dos estrellas K1,3 a lo largo de sus dos hojas. El resultado El gráfico T es un árbol con cuatro vértices. Por lo tanto, max{dimZ(K1,3), dimZ(K1,3)} = dimZ(T) < dimZ(K1,3) + dimZ(K1,3). Ahora consideramos otra manera simple de pegar dos gráficos juntos. Que G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2) sean dos gráficas conectadas, a1b1 E1, a2b2 E2 y H1 = ({a1, b1}, {a1b1}), H2 = ({a2, b2}, {a2b2}). Deja que G sea el Gráfica obtenida pegando G1 y G2 a lo largo de los subgráficos H1 y H2. En este caso decimos que el gráfico G se obtiene de los gráficos G1 y G2 por borde-pegadura. Las figuras 7.1, 7.2 y 7.5 ilustran esta construcción. Figura 7.5: Un ejemplo de encolado de bordes. Como antes, identificamos los gráficos G1 y G2 con subgrafías del gráfico G y denotar a = {a1, a2}, b = {b1, b2} los dos vértices obtenidos por pegado juntos vértices a1 y a2 y, respectivamente, b1 y b2. El borde ab E es obtenido pegando los bordes a1b1 E1 y a2b2 E2 (cf. Figura 7.5). A continuación G = G1°G2, V1°V2 = {a, b} y E1°E2 = {ab}. Usamos estas anotaciones. en el resto de esta sección. Proposición 7.1. Un gráfico G obtenido por encolado de bordes gráficos bipartitos G1 y G2 es bipartito. Prueba. Que C sea un ciclo en G. Si C G1 o C G2, entonces la longitud de C es incluso, ya que los gráficos G1 y G2 son bipartitos. De lo contrario, los vértices a y b separar C en dos caminos cada uno de longitud impar. Por lo tanto C es un ciclo de par longitud. El resultado es el siguiente. El siguiente lema es instrumental; describe los semicubos del gráfico G en términos de semicubos de los gráficos G1 y G2. Lemma 7.1. Deja que Uv sea un borde de G. Entonces i) En el caso de Uv E1, a, b, Wuv Wuv Wuv = W V2, Wvu = W ii) En el caso de Uv E2, a, b, Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv V1, Wvu = W iii) a Wuv, b Wuv, wvu, wav = wab. Figura 7.6: Pegadura de bordes de los gráficos G1 y G2. Prueba. Demostramos las partes i) y iii) (véase la figura 7.6). (i) Puesto que cualquier camino de w â € V2 a u o v contiene a o b y a, b â € € TM Tengo a WWuv. Por lo tanto, Wuv = W V2 y Wvu = W (iii) Desde el ab auv en G1, tenemos W uv = W , por Teorema 3.4 iv). Let w ser un vértice en W Uv. Entonces, por la desigualdad del triángulo, d(w, u) < d(w, v) ≤ d(w, b) + d(b, v) < d(w, b) + d(b, u). Puesto que cualquier camino más corto de w a u contiene a o b, tenemos d(w, a) + d(a, u) = d(w, u). Por lo tanto, d(w, a) + d(a, u) < d(w, b) + d(b, u). Desde ab Uv en G1, tenemos d(a, u) = d(b, v), por Teorema 4.2. De ello se deduce que d(w, a) < d(w, b), es decir, w • W . Demostramos que W uv W simetría, W vu W . Puesto que dos semicubos opuestos forman una partición de V2, Tenemos a W. uv = W . El resultado es el siguiente. Teorema 7.4. Un gráfico G obtenido por encolado de bordes juntos cubos parciales G1 y G2 es un cubo parcial. Prueba. Por Teorema 3.4(ii) y Proposición 7.1, tenemos que demostrar que para cualquier borde uv de G el semicubo Wuv es un subconjunto convexo de V. Hay dos posibles casos. i) uv = ab. El semicubo Wab es la unión de semicubos W y W que son subconjuntos convexos de V1 y V2, respectivamente. Está claro que cualquier más corto ruta que conecta un vértice en W con un vértice en W contiene vértice a y por lo tanto, está contenido en Wab. Por lo tanto, Wab es un conjunto convexo. Un argumento similar prueba que el conjunto Wba es convexo. ii) uv 6= ab. Podemos asumir que uv â € E1. Para demostrar que el semicubo Wuv es un conjunto convexo, consideramos dos casos. a) a, b) Wuv. (El caso en que se trata de manera similar a, b • Wvu.) Por Lemma 7.1(i), el semicubo Wuv es la unión del semicubo W uv y el conjunto V2 que son ambos conjuntos convexos. Cualquier camino más corto P de un vértice en V2 a un vértice en W uv contiene a o b. De ello se deduce que P W uv V2 = Wuv. Por lo tanto, el semicubo Wuv es convexo. b) a • Wuv, b • Wvu. (El caso cuando b • Wuv, un • Wvu se trata similarmente.) Por Lemma 7.1 (ii), Wuv = Wab. El resultado es el resultado de la parte i) de la prueba. Teorema 7.5. Dejar G ser un gráfico obtenido por borde-pegar juntos parcial finito cubos G1 y G2. Entonces dimI(G) = dimI(G1) + dimI(G2)− 1. Prueba. Las relaciones de Djoković en E, E1 y E2, respectivamente. Por Lemma 7.1, para uv, xy E1 (resp. Uv, xy E2) tenemos uv Ł xy Ł uv Ł1xy (resp. uv  xy uv Ł2xy). Let uv E1, xy E2 y uv Ł xy. Supón que (uv, ab) /ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Podemos Asumir que a, b-Wuv. Por Lemma 7.1(i), V2 (Wuv), una contradicción, ya que xy E2. Por lo tanto, uv xy ab. De ello se deduce que cada clase de equivalencia de la o bien una clase de equivalencia de 1o, una clase de equivalencia de 2o o bien clase que contiene el borde ab. Por lo tanto E/ = E1/1 E2/2 − 1. El resultado sigue, ya que la dimensión isométrica de un cubo parcial es igual a la cardinalidad del conjunto de clases de equivalencia de la relación de Djoković (formula (5.1)). Necesitamos algunos resultados sobre gráficos semicubo con el fin de probar un análogo de Teorema 7.3 para un cubo parcial obtenido por encolado de borde de dos cubos parciales. Lemma 7.2. Dejar G ser un cubo parcial y WpqWuv, WqpWxy ser dos bordes en el gráfico Sc(G). Entonces WxyWuv es un borde en Sc(G). Prueba. Por condición (5.4), Wqp Wuv y Wyx Wqp. Por lo tanto, Wyx-Wuv. Por la misma condición, WxyWuv Sc(G). Como antes, identificamos los cubos parciales G1 y G2 con subgrafías de lo parcial cubo G. Entonces G1 G2 = G y G1 G2 = ({a, b}, {ab}) = K2 (cf. Gráfico 7.6). Lemma 7.3. Dejar G ser un cubo parcial obtenido por borde-pegadura juntos parcial cubos G1 y G2. Dejad que W xy (resp. W xy ) ser un borde en el semicubo Sc(G1) (resp. Sc(G2)). Entonces WuvWxy es un borde en Sc(G). Figura 7.7: Semicubes formando un borde en Sc(G1). Prueba. Basta considerar el caso de Sc(G1) (véase la figura 7.7). Por condiciones... ión (5.4),W vu â € â € TM TM xy y W Yx â € € TM TM Uv. Suponga que un â € TM a W vu y b â € € TM TM (en el caso de b • O vu y a W yx se trata de manera similar). A continuación, ab 1xy y ab 1uv. Por transitividad de 1o, tenemos uv 1xy, una contradicción, desde semicubos uv y W xy son distintos. Por lo tanto, podemos asumir que, por ejemplo, a, b Luego, por Lemma 7.1, Wvu = W vu â € ¢ V1. Desde W vu â € € TM W xy Wxy, tenemos Wvu, Wxy. Por condición (5.4), WuvWxy es un borde en Sc(G). Lemma 7.4. LetM1 y M2 son coincidencias en los gráficos Sc(G1) y Sc(G2). Ahí está. es una M correspondiente en Sc(G) de tal manera que M ≥ M1 M2 − 1. Prueba. Por Lemma 7.3, M1 y M2 inducen coincidencias en Sc(G) que denotamos por los mismos símbolos. La intersección M1 M2 está vacía o es un subgrafo del gráfico vacío con vértices Wab y Wba. Si M1 M2 está vacío, entonces M = M1 M2 es una coincidencia en Sc(G) y la El resultado es el siguiente. Si M1 M2 es un gráfico vacío con un solo vértice, digamos, en M1, eliminamos desde M1 el borde que tiene este vértice como su vértice final, resultando en la coincidencia M ′1. Claramente, M = M 1 M2 es una coincidencia en Sc(G) y M = M1 M2 − 1. Supongamos ahora que M1 M2 es el gráfico vacío con vértices Wab y Wba. Deja WabWuv, WbaWpq (resp. WabWxy, WbaWrs) ser bordes en M1 (resp. M2). Por Lemma 7.2, WxyWrs es un borde en Sc(G2). Vamos a reemplazar los bordesWabWxy y WbaWrs en M2 por un solo borde WxyWrs, resultando en la M 2. Entonces M = M1 â € M 2 es una coincidencia en Sc(G) y M = M1 M2 − 1. Corolario 7.2. Dejar que M1 y M2 sean coincidencias máximas en Sc(G1) y Sc(G2), respectivamente, y M sea una coincidencia máxima en Sc(G). Entonces M ≥ M1 M2 − 1. (7.1) Por Teorema 5.3, tenemos dimI(G1) = dimZ(G1) + M1, dimI(G2) = dimZ(G2) + M2, dimI(G) = dimZ(G) + M, donde M1 y M2 son los máximos emparejamientos en Sc(G1) y Sc(G2), respectivamente, y M es una coincidencia máxima en Sc(G). Por lo tanto, por Teorema 7.5 y (7.1), tenemos el siguiente resultado (cf. Teorema 7.3). Teorema 7.6. Dejar G ser un cubo parcial obtenido por borde-pegadura de parcial cubos G1 y G2. Entonces max{dimZ(G1), dimZ(G2)} ≤ dimZ(G) ≤ dimZ(G1) + dimZ(G2). Ejemplo 7.5. Consideremos dos bordes-pegaduras de las estrellas G1 = K1,3 y G2 = K1,3 de la dimensión de celosía 2 que se muestra en las figuras 7.1 y 7.2. En el primer caso el gráfico resultante es la estrella G = K1,5 de la dimensión de celosía 3. Entonces tenemos max{dimZ(G1), dimZ(G2)} < dimZ(G) < dimZ(G1) + dimZ(G2). En el segundo caso el gráfico resultante es un árbol con 4 hojas. Por lo tanto, max{dimZ(G1), dimZ(G2)} = dimZ(G) < dimZ(G1) + dimZ(G2). Dejar c1a1 y c2a2 ser bordes de las estrellas G1 = K1,4 y G2 = K1,4 (cada uno de los que tiene la dimensión de celosía 2), donde c1 y c2 son centros de los respectivos estrellas. Vamos a borde-pegar estos dos gráficos identificando c1 con c2 y a1 con a2, respectivamente. El gráfico G resultante es la estrella K1,7 de la dimensión de celosía 4. Por lo tanto, max{dimZ(G1), dimZ(G2)} ≤ dimZ(G) = dimZ(G1) + dimZ(G2). 8 Expansiones y contracciones de cubos parciales El procedimiento de expansión del gráfico fue introducido por Mulder en [16], donde es muestra que un gráfico es un gráfico mediano si y sólo si se puede obtener de K1 por una secuencia de expansiones convexas (véase también [15]). Un resultado similar para cubos parciales se estableció en [6] (véase también [7]) como un corolario a un más general resultado relativo a la incrustabilidad isométrica en los gráficos de Hamming; también fue establecido en [13] en el marco de la teoría de los matroides orientados. En esta sección se investigan las propiedades de la expansión (isométrica) y con- operaciones de tracción y, en particular, demostrar de dos maneras diferentes que un gráfico es un cubo parcial si y sólo si se puede obtener del gráfico K1 por una secuencia de expansiones. Una observación sobre las anotaciones está en orden. En el producto {1, 2} × (V1+V2), nosotros denotar V ′i = {i} × Vi y x i = (i, x) para x • Vi, donde i, j = 1, 2. Definición 8.1. Dejar G = (V,E) ser un gráfico conectado, y dejar G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2) ser dos subgrafías isométricas de G de tal manera que G = G1 + G2. La expansión de G con respecto a G1 y G2 es el gráfico G ′ = (V ′, E′) construido de la siguiente manera a partir de G (véase la figura 8.1): i) V ′ = V1 + V2 = V 1 V ii) E′ = E1 + E2 + M, donde M es el equivalente X+V1+V2 {x1x2}. En este caso, también decimos que G es una contracción de G′. Figura 8.1: Procesos de expansión/contracción. Está claro que los gráficos G1 y â € ~ V 1° son isomórficos, así como los gráficos G2 y V Definimos una proyección p : V ′ → V por p(xi) = x para x • V. Claramente, la la restricción de p a V ′1 es una biyección p1 : V 1 → V1 y su restricción a V 2 es un biyección p2 : V 2 → V2. Estos bijectos definen los isomorfismos V 1 → G1 y • V ′2° → G2. Dejar P ′ ser un camino en G′. Los vértices de G obtenidos de los vértices de P ′ bajo la proyección p definir una caminata P en G; llamamos a esta caminata P la proyección de la trayectoria P ′. Está claro que l(P ) = l(P ′), si P ′ ′ V ′2°. (8.1) En este caso, P es una ruta en G y P = p1(P ′) o P = p2(P ′). En el la otra mano, l(P ) < l(P ′), si P ′ â € € € € € € € € € 6= € € y P ′ ° ° ° V ′ 2 ° ° 6 ° ° °, (8.2) y P no es necesariamente un camino. Utilizaremos con frecuencia los resultados del siguiente lema en esta sección. Lemma 8.1. i) En el caso de u1, v1+V ′1, cualquier trayectoria más corta Pu1v1 en G ′ pertenece a ′V ′1 ′ y su proyección Puv = p1(Pu1v1) es un camino más corto en G. En consecuencia, dG′(u 1, v1) = dG(u, v) es un subpárrafo convexo de G ′. Una declaración similar se mantiene para u2, v2 â V ′2. ii) En el caso de u1 • V ′1 y v 2 ° V ′2, dG′(u 1, v2) = dG(u, v) + 1. Deje Pu1v2 ser un camino más corto en G ′. Hay un borde único x1x2 M tal que x1, x2 Pu1v2 y las secciones Pu1x1 y Px2v2 de la ruta Pu1v2 son más cortas rutas en V ′1 y V 2 °, respectivamente. La proyección Puv de Pu1v2 en G ′ es una sendero más corto en G. Prueba. (i) Que Pu1v1 sea un camino en G ′ que intersecta V ′2. Ya que V1 es un isométrico subgrafo de G, hay un camino Puv en G que pertenece a â € ¢ V1â € TM. Entonces p 1 (Puv) es una trayectoria en V ′1 de la misma longitud que Puv. Por (8.1) y (8.2), l(p−11 (Puv)) < l(Pu1v1). Por lo tanto, cualquier camino más corto Pu1v1 en G ′ pertenece a ́V ′1 ́. El resultado es el siguiente. (ii) Deje Pu1v2 ser un camino más corto en G ′ y Puv sea su proyección a V. Por (8.2), dG′(u 1, v2) = l(Pu1v2) > l(Puv) ≥ dG(u, v). Puesto que no hay borde de G uniendo vértices en V1 \ V2 y V2 \ V1, un más corto ruta en G de u a v debe contener un vértice x • V1 • V2. Desde G1 y G2 son subgrafías isométricas, hay rutas más cortas Pux en G1 y Pxv en G2 tales que su unión es un camino más corto de u a v. Entonces, por la desigualdad del triángulo y parte (i) de la prueba, tenemos (cf. Gráfico 8.1) dG′(u 1, v2) ≤ dG′(u 1, x1) + dG′(x 1, x2) + dG′(x 2, v2) = dG(u, v) + 1. Las dos últimas fórmulas mostradas implican dG′(u 1, v2) = dG(u, v) + 1. Desde u1 • V ′1 y v 2 V ′2 el camino Pu1v2 debe contener un borde, digamos x 1x2, en M. Dado que este camino es un camino más corto en G′, este borde es único. Luego el segundo... ciones Pu1x1 y Px2v2 de Pu1v2 son los caminos más cortos en V 1 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 2o, respectivamente. Claramente, Puv es un camino más corto en G. Dejar a1a2 ser un borde en el emparejamientoM = xV1~V2{x 1x2}. Este borde define cinco conjuntos fundamentales (cf. Sección 4: los semicubos Wa1a2 y Wa2a1, los conjuntos de vértices Ua1a2 y Ua2a1, y el conjunto de bordes Fa1a2. El siguiente teorema sigue inmediatamente desde Lemma 8.1. Da una pista a una conexión entre el proceso de expansión y cubos parciales. Teorema 8.1. Que G′ sea una expansión de un gráfico G conectado y anotaciones se elijan como se ha indicado anteriormente. Entonces i) Wa1a2 = V 1 y Wa2a1 = V 2 son semicubos convexos de G (ii) Fa1a2 =M define un isomorfismo entre subgrafías inducidas "Ua2a1", que son isomórficos para el subgrafo G1 "G2". El resultado del Teorema 8.1 justifica la siguiente definición constructiva de el proceso de contracción. Definición 8.2. Dejar ab ser un borde de un gráfico G′ conectado = (V ′, E′) tal i) Semicubos Wab y Wba son convexos y forman una partición de V (ii) el conjunto Fab es un emparejamiento y define un isomorfismo entre subgrafías "Uab" y "Uba". Un gráfico G obtenido de los gráficos Wabá y Wabá por pegarlos a lo largo de Se dice que las subgrafías Uab y Uba son una contracción del gráfico G Observación 8.1. Si G′ es bipartito, entonces semicubesWab y Wba forman una partición de su vértice. Entonces, por Teorema 4.1, la condición (i) implica la condición (ii). Por lo tanto cualquier par de semicubos convexos opuestos en un gráfico bipartito conectado define un contracción de este gráfico. Por Teorema 8.1, un gráfico es una contracción de su expansión. No es difícil. para ver que cualquier gráfico conectado es también una expansión de su contracción. Los siguientes tres ejemplos dan ilustraciones geométricas para la expansión y procedimientos de contracción. Ejemplo 8.1. Que a y b sean dos vértices opuestos en el gráfico G = C4. Claramente, los dos caminos distintos P1 y P2 de a a b son subgrafías isométricas de G que define una expansión G′ = C6 de G (véase la figura 8.2). Tenga en cuenta que P1 y P2 no son subconjuntos convexos de V. Ejemplo 8.2. Se muestra otra expansión isométrica del gráfico G = C4 En la figura 8.3. Aquí, el camino P1 es el mismo que en el ejemplo anterior y G2 = G. Ejemplo 8.3. Lemma 8.1 afirma, en particular, que la proyección de un ruta en una extensión G′ de un grafG es un camino más corto en G. En términos generales, Figura 8.2: Expansión del ciclo C4. Figura 8.3: Otra expansión isométrica del ciclo C4. lo contrario no es cierto. Considere el gráfico G que se muestra en la Figura 8.4 y dos rutas en G: V1 = abcef y V2 = bde. El gráfico G′ de la figura 8.4 es la expansión convexa de G con respecto a V1 y V2. El camino abdef es un camino más corto en G; no es una proyección de un más corto ruta en G′. Figura 8.4: Un camino más corto que no es una proyección de un camino más corto. Se puede decir que, en el caso de los cubos parciales finitos, el procedimiento de contracción se define por una proyección ortogonal de un hipercubo sobre una de sus facetas. Por el teorema 8.1, los conjuntos V ′1 y V 2 son semicubos opuestos del gráfico G definido por los bordes en M. Sus proyecciones son los conjuntos V1 y V2 que no son necesariamente semicubos de G. Para otros semicubos en G′ tenemos lo siguiente resultado. Lemma 8.2. Para dos vértices adyacentes u, v â € V, Wuivi = p −1(Wuv) para u, v • Vi e i = 1, 2. Prueba. Por Lemma 8.1, dG′(x j, ui) < dG′(x j, vi) dG(x, u) < dG(x, v) para x V e i, j = 1, 2. El resultado es el siguiente. Corolario 8.1. Si uv es un borde de G1 â ¬ G2, entonces Wu1v1 = Wu2v2. El siguiente lema es una consecuencia inmediata de Lemma 8.1. Lo haremos. usarlo implícitamente en nuestros argumentos más tarde. Lemma 8.3. Let u, v • V1 y x • V1 • V2. Entonces x1 â € ¢Wu1v1 â € ~ x 2 â € ¢Wu1v1. El mismo resultado se mantiene para semicubos en la forma Wu2v2. En términos generales, la proyección de un subgráfico convexo de G′ no es una vex subgraph de G. Por ejemplo, la proyección de la ruta convexa b2d2e2 en Figura 8.4 es la ruta bde que no es un subgrafo convexo de G. En el otro mano, tenemos el siguiente resultado. Teorema 8.2. Que G′ = (V ′, E′) sea una expansión de un gráfico G = (V,E) con respecto a los subpárrafos G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2). La proyección de un semicubo convexo de G′ diferente de â € ¢V ′1â € y â € € TM V 2 es un semicubo convexo de G. Prueba. Basta con considerar el caso cuando Wuv = p(Wu1v1) para u, v. Teorema 8.2). Let x, y â € ¢Wuv y z â € € TM V ser un vértice tal que dG(x, z) + dG(z, y) = dG(x, y). Tenemos que demostrar que z â € ¢Wuv. Figura 8.5: Un camino más corto de x a y. (i) x, y V1 (el caso en que x, y V2 es tratado de manera similar). Supón que z â € ¢ V1. Entonces x 1, y1, z1 + V ′1 y, por Lemma 8.1, dG′(x 1, z1) + dG′(z 1, y1) = dG′(z 1, y1). Desde x1, y1 â € ¢ Wu1v1 y Wu1v1 es convexo, z 1 Wu1v1. Por lo tanto, z ́Wuv. Supongamos ahora que z â ¬ V2 \ V1. Considere un camino más corto Pxy en G de x a y que contiene z. Esta ruta contiene vértices x′, y′ â € ¢ V1 â € TM V2 tales que (ver Gráfico 8.5) dG(x, x ′) + dG(x ′, z) = dG(x, z) y dG(y, y ′) + dG(y ′, z) = dG(y, z). Puesto que Pxy es un camino más corto en G, tenemos dG(x, x ′) + dG(x ′, y) = dG(x, y), dG(x, y ′) + dG(y ′, y) = dG(x, y), ′, z) + dG(z, y ′) = dG(x ′, y′). Desde x, x′, y V1, tenemos x 1, x′1, y1 V ′1. Porque x 1, y1 Wu1v1 y Wu1v1 es convexo, x′1 • Wu1v1. Por lo tanto, x ′ Wuv y, de manera similar, y ′ Wuv. Desde x′2, y′2, z2 V ′2 y Wu1v1 es convexo, z 2 â € ¢Wu1v1. Por lo tanto, z ́Wuv. ii) x V1 \V2 y y V2 \V1. Podemos suponer que z â € V1. Por Lemma 8.1, dG′(x 1, y2) = dG(x, y) + 1 = dG(x, z) + dG(z, y) + 1 = dG′(x 1, z1) + dG′(z 1, y2). Ya que x1, y2 Wu1v1 y Wu1v1 es convexo, z 1 Wu1v1. Por lo tanto, z ́Wuv. Al utilizar los resultados de Lemma 8.1, no es difícil demostrar que la clase de los gráficos bipartitos conectados se cierra bajo la expansión y la contracción operaciones. El siguiente teorema establece este resultado para la clase de parcial cubos. Teorema 8.3. (i) Una expansión G′ de un cubo parcial G es un cubo parcial. ii) Una contracción G de un cubo parcial G′ es un cubo parcial. Prueba. i) Que G = (V,E) sea un cubo parcial y que G′ = (V ′, E′) sea su expansión con respecto a los subgráficos isométricos G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2). Por Teorema 3.4 ii), basta con demostrar que las semicubas de G′ son convexas. Por Lemma 8.1, las semicúbicas "V" y "V" 2° son convexos, por lo que consideramos un semicubo en la formaWu1v1 donde uv E1 (el otro caso se trata de manera similar). Que Px′y′ sea un camino más corto que conecta dos vértices en Wu1v1 y Pxy sea su Proyección a G. Por Teorema 8.2, x, y Wuv y, por Lemma 8.1, Pxy es un sendero más corto en G. Puesto que Wuv es convexo, Pxy pertenece a Wuv. Dejad z ′ ser a vértice en Px′y′ y z = p(z) ′) • Pxy. Por Lemma 8.1, dG(z, u) < dG(z, v)  dG′(z) ′, u1) ≤ dG′(z ′, v1). Dado que G′ es un gráfico bipartito, dG′(z ′, u1) < dG′(z ′, v1). Por lo tanto, Px′y′ Wu1v1, Wu1v1 es convexo. ii) Que G = (V,E) sea una contracción de un cubo parcial G′ = (V ′, E′). Por Teorema 3.4, tenemos que demostrar que las semicubas de G son convexas. Por... orem 8.2, todos los semicúbitos de G son proyecciones de semicúbitos de G′ distintas de V ′1° y V 2o.............................................................................................................................................. Por Teorema 8.2, las semicubas de G son convexas. Corolario 8.2. (i) Un gráfico conectado finito es un cubo parcial si y sólo si se puede obtener de K1 por una secuencia de expansiones. ii) El número de expansiones necesarias para producir un cubo parcial G a partir de K1 es dimI(G). Prueba. i) Sigue inmediatamente desde el Teorema 8.3. ii) Seguimientos de los teoremas 8.2 y 5.1 (véase el análisis de la sección 5 antes del teorema 5.2 ). Los procesos de expansión y contracción admiten descripciones útiles en el caja de cubos parciales en un set. Let G = (V,E) ser un cubo parcial en un conjunto X, es un subgrafo isométrico del hipercubo H(X). Entonces es inducido por algunos wg-familia F de subconjuntos finitos de X (cf. Teorema 2.1). Podemos asumir (ver En la sección 5 ) se indica que « F » = » y « F » = « X ». En lo que sigue presentamos pruebas de los resultados de Teorema 8.3 y Corol- 8.2 dado en términos de wg-familias de conjuntos. El proceso de expansión de un cubo parcial G en X se puede describir de la siguiente manera: Que F1 y F2 sean wg-familias de subconjuntos finitos de X de tal manera que F1 â € TM F2 6= â € TM, F1°F2 = F, y la distancia entre cualquiera de los dos conjuntos P °F1 \F2 y Q °F2 \F1 es mayor que uno. Nótese que F1 y F2 son cubos parciales, F1 y F2 y F1oF2oF2oF = F2oF = G. Let X ′ = X + {p}, donde p /+ X, y 2 = {Q+ {p} : Q {F2], F ′ = F1 + F Es bastante claro que los gráficos â € ¢ F′2â € TM y â € TM F2â € TM son isomórficos y el gráfico G′ = F es una expansión isométrica del gráfico G. Teorema 8.4. Una expansión de un cubo parcial es un cubo parcial. Prueba. Tenemos que verificar que F′ es una familia wg de subconjuntos finitos de X ′. Por Teorema 2.3, basta con demostrar que la distancia entre cualquiera de dos adyacentes conjuntos en F′ es 1. Es obvio si cada uno de estos dos conjuntos pertenecen a una de las familias F1 o F 2. Supongamos que P â € F1 y Q+ {p} â € F 2 son adyacentes, es decir, para cualquier S, F, tenemos P (Q+ {p}) S P (Q+ {p}) S = P o S = Q+ {p}. (8.3) Si Q â € ¢ F1, entonces P • (Q + {p}) • • Q P • (Q+ {p}), Desde p/ P. Por (8.3), Q = P implica d(P,Q + {p}) = 1. Si Q â € F2 \ F1, hay R â € F1 â € F2 tales que d(P,R) + d(R,Q) = d(P,Q), ya que F está bien calificado. Por Teorema 2.2, P #Q # R # P # Q # lo que implica P (Q + {p}) R+ {p} P (Q+ {p}). Por (8.3), R + {p} = Q+ {p}, una contradicción. Es fácil reconocer los conjuntos fundamentales (cf. Sección 4) en un isométrico expansion G′ de un cubo parcial G = â € € ¢ Fâ € € TM. Let P-F1-F2 y Q = P-P-P-F ser dos vértices que definan un borde en G′ de acuerdo con la definición 8.1 ii). Claramente, las familias F1 y F 2 son los semicubos WPQ y WQP del gráfico G ′ (cf. Lemma 5.1) y por lo tanto son subconjuntos convexos de F′. El set FPQ es el set de bordes definidos por p como en Lemma 5.1. Además, UPQ = F1 + F2 y UQP = {R+ {p} : R • F1 • F2}. Dejar G ser un cubo parcial inducido por un wg-familia F de subconjuntos finitos de un conjunto X. Al igual que antes, suponemos que "F" = "F" y "F" = "X". Que PQ sea un borde de G. Se puede suponer que Q = P + {p} para algunos p / P. Entonces (ver Lemma 5.1) WPQ = {R + F : p /+ R} y WQP = {R + F : p + R}. Let X ′ = X \ {p} y F′ = {R \ {p} : R {F}. Está claro que el gráfico G′ inducido por la familia F′ es isomórfica a la contracción de G definida por el Edge PQ. Geométricamente, el gráfico G′ es la proyección ortogonal del gráfico G a lo largo del borde PQ (cf. Figuras 8.2 y 8.3). Teorema 8.5. i) Una contracción G′ de un cubo parcial G es un cubo parcial. ii) Si G es finito, entonces dimI(G ′) = dimI(G)− 1. Prueba. (i) En el caso de las palabras " X " definimos " F1 = " R " ; " F2 " ; " R " ; " F2 " ; " R " ; " F2 " ; " F2 " ; " P " ; " R " ; y F′2 = {R \ {p} {F}: p {R}. Tenga en cuenta que F1 y F2 son semicubos de G y F′2 es isométrica a F2. Por lo tanto, F1 y F 2 son wg-familias de subconjuntos finitos de X ′. Tenemos que demostrar que F′ = F1 + F 2 es una familia wg. Por Teorema 2.3, basta con demostrar que d(P,Q) = 1 para cualquiera de los dos conjuntos adyacentes P,Q • F′. Esto es cierto si P,Q + F1 o P,Q + F 2, ya que estas dos familias están bien calificadas. Por F1 \ F 2 y Q-F 2 \ F1, los conjuntos P y Q + {p} no son adyacentes en F, ya que F está bien calificado y Q /+ F. Por lo tanto hay R + F1 tal que P (Q+ {p}) R P (Q + {p}) y R 6= P. Desde p /+ R, tenemos P # Q # R # P # Q. Puesto que R 6= P y R 6= Q, los conjuntos P y Q no son adyacentes en F′. El resultado sigue. (ii) Si G es un cubo parcial finito, entonces, por Teorema 5.2, dimI(G) ′) = X = X − 1 = dimI(G)− 1. 9 Conclusión El documento se centra en dos temas de carácter matemático bastante general. 1. El problema de la caracterización. Es una práctica común en matemáticas caracterizar una clase particular de objeto en términos diferentes. Presentamos nuevo caracterizaciones de las clases de gráficos bipartitos y cubos parciales, y dar nuevas pruebas de resultados de caracterización conocidos. 2. Construcciones. El problema de construir nuevos objetos a partir de objetos antiguos es un tema estándar en muchas ramas de las matemáticas. Para la clase de parcial cubos, discutimos las operaciones de la formación del producto cartesiano, la expansión y la contracción, y pegar. Se muestra que la clase de cubos parciales está cerrada en el marco de estas operaciones. Debido a que los cubos parciales se definen como gráficos isométricamente incrustables en hipercubes, la teoría de cubos parciales tiene un sabor geométrico distintivo. Los tres estructuras principales en un gráfico—semicubes y Djoković’s y Winkler’s relaciones—se definen en términos de la estructura métrica en un gráfico. Uno puede decir que esta teoría es una rama de la geometría métrica discreta. No es de extrañar, geo- estructuras métricas juegan un papel importante en nuestro tratamiento de la caracterización y problemas de construcción. Bibliografía [1] A.S. Asratian, T.M.J. Denley, y R. Häggkvist, gráficos bipartitos y sus solicitudes, Cambridge University Press, 1998. [2] D. Avis, Espacios hipermétricos y el cono de Hamming, Canadian Journal of Matemáticas 33 (1981) 795–802. [3] L. Blumenthal, Teoría y Aplicaciones de la Geometría a Distancia, Oxford University Press, Londres, Gran Bretaña, 1953. [4] J.A. Bondy, Teoría básica del gráfico: Caminos y circuitos, en: R.L. 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Matemáticas. 8 (1984) 209–212. http://arxiv.org/abs/math.CO/0512282 Introducción Hipercubos y cubos parciales Caracterizaciones Conjuntos fundamentales en cubos parciales Dimensiones de cubos parciales Subcubes y productos cartesianos Pegar cubos parciales Expansiones y contracciones de cubos parciales Conclusión
Los cubos parciales son subgrafías isométricas de hipercubes. Estructuras en un gráfico definida por medio de semicubos, y el juego de relaciones de Djokovi\'{c} y Winkler un papel importante en la teoría de los cubos parciales. Estas estructuras están empleadas en el papel para caracterizar gráficos bipartitos y cubos parciales de arbitrarios dimensión. Nuevas caracterizaciones se establecen y nuevas pruebas de algunos conocidos se dan los resultados. Las operaciones del producto cartesiano y el pegado, y la expansión y procesos de contracción se utilizan en el papel para construir nuevos cubos parciales de los viejos. En particular, las dimensiones isométrica y celosía de finito se calculan los cubos parciales obtenidos mediante estas operaciones.
Introducción Un hipercubo H(X) en un conjunto X es un gráfico que los vértices son los subconjuntos finitos de X ; dos vértices se unen por un borde si difieren por un singleton. Un parcial cubo es un gráfico que puede ser isométricamente incrustado en un hipercubo. Hay tres estructuras generales grafo-teóricas que juegan un papel destacado papel en la teoría de los cubos parciales, a saber, semicubos, la relación de Djoković, y La relación de Winkler. Utilizamos estas estructuras, en particular, para caracterizar gráficos de partite y cubos parciales. El problema de caracterización para cubos parciales fue considerado como uno importante y se conocen muchas caracterizaciones. Enumeramos las contribuciones en el orden cronológico: Djoković [9] (1973), Avis [2] (1981), Winkler [20] (1984), Roth y Winkler [18] (1986), Chepoi [6, 7] (1988) y 1994). En el artículo, presentamos nuevas pruebas para los resultados de Djoković [9], Winkler [20], y Chepoi [6], y obtener dos caracterizaciones más de cubos. http://arxiv.org/abs/0704.0010v1 El documento también se ocupa de algunas formas de construir nuevas cubos de los viejos. Propiedades de las subcubas, el producto cartesiano de se investigan los cubos y la expansión y contracción de un cubo parcial. Nosotros introducir una construcción basada en pegar dos gráficos juntos y mostrar cómo nuevos cubos parciales se pueden obtener de los antiguos pegando juntos. El documento se organiza de la siguiente manera. Hipercubes y cubos parciales se introducen en la sección 2 junto con dos ejemplos básicos de cubos parciales infinitos. Los conjuntos vértices de cubos parciales son descrito en términos de familias bien calificadas de conjuntos finitos. En la Sección 3 se introducen los conceptos de un semicubo, Djoković y Win- las relaciones de kler, y establecer algunas de sus propiedades. Gráficos bipartitos y cubos parciales se caracterizan por medio de estas estructuras. Un charac más... la terización de cubos parciales se obtiene en la sección 4, donde se llama fundamental se introducen conjuntos en un gráfico. El resto del papel está dedicado a las construcciones: subcubes y la Carta- producto sian (Sección 6), pegado (Sección 7), y expansiones y contracciones (Sección 8). Demostramos que estas construcciones producen nuevos cubos parciales a partir de Los viejos. Se calculan las dimensiones isométricas y de celosía de los nuevos cubos parciales. Estas dimensiones se introducen en la Sección 5. Pocas palabras sobre las convenciones utilizadas en el periódico están en orden. La suma A+B de dos conjuntos A y B es la unión ({1} ×A) ({2} ×B). Todos los gráficos en el papel son simples gráficos no dirigidos. En la notación G = (V,E), el símbolo V representa el conjunto de vértices del gráfico G y E. por su conjunto de bordes. Por abuso del lenguaje, a menudo escribimos ab para un borde en un grafo; si este es el caso, ab es un par no ordenado de vértices distintos. Denotamos El gráfico inducido por el conjunto de vértices U V. Si G es un gráfico conectado, entonces dG(a, b) representa la distancia entre dos vértices a y b del gráfico G. Dondequiera que sea claro desde el contexto que el gráfico está siendo considerado, nosotros soltar el subíndice G en dG(a, b). Un subgrafo H G es un subgrafo isométrico si dH(a, b) = dG(a, b) para todos los vértices a y b de H ; es convexo si es más corto camino en G entre los vértices de H pertenece a H. 2 Hipercubos y cubos parciales Deja que X sea un set. Denotamos Pf (X) el conjunto de todos los subconjuntos finitos de X. Definición 2.1. Un gráfico H(X) tiene el conjunto Pf (X) como el conjunto de sus vértices; a un par de vértices PQ es un borde de H(X) si la diferencia simétrica Singleton. El gráfico H(X) se llama hipercubo en X [9]. Si X es un finito conjunto de cardinalidad n, entonces el gráfico H(X) es el n-cubo Qn. La dimensión de el hipercubo H(X) es la cardinalidad del conjunto X. La distancia de ruta más corta d(P,Q) en el hipercubo H(X) es el Hamming distancia entre los conjuntos P y Q: d(P,Q) = PÃ3Q para P,Q â € Pf. (2.1) El conjunto Pf (X) es un espacio métrico con la d métrica. Definición 2.2. Un gráfico G es un cubo parcial si puede ser isométricamente incrustado en un hipercubo H(X) para algunos conjuntos X. A menudo identificamos a G con su isometría imagen en el hipercubo H(X), y decir que G es un cubo parcial en el conjunto X. Figura 2.1: Un gráfico y su incrustación isométrica en Q3. Un ejemplo de un cubo parcial y su inserción isométrica en el cubo Q3 se muestra en la Figura 2.1. Claramente, una familia F de subconjuntos finitos de X induce un cubo parcial en X si y sólo si para cualquier dos subconjuntos distintos P,Q + F hay una secuencia R0 = P,R1,. .., Rn = Q de conjuntos en F de tal manera que d(Ri, Ri+1) = 1 para todos los 0 ≤ i < n, y d(P,Q) = n. (2.2) Las familias de conjuntos de condiciones satisfactorias (2.2) se conocen como bien calificados fam- ilies de conjuntos [10]. Tenga en cuenta que una secuencia (Ri) satisfactoria (2.2) es un camino más corto de P a Q en H(X) (y en el subgráfico inducido por F). Definición 2.3. Una familia F de subconjuntos arbitrarios de X es una familia wg (bien calificado familia de conjuntos) si, para cualquiera de los dos subconjuntos distintos P,Q-F, el conjunto P-Q- es finito y hay una secuencia R0 = P,R1,. .., Rn = Q de conjuntos en F tales que RiRi+1 = 1 para todos los 0 ≤ i < n y PQ = n. Ejemplo 2.1. El gráfico inducido puede ser un cubo parcial en un conjunto diferente si La familia F no está bien calificada. Considere, por ejemplo, la familia F =, {a}, {a, b}, {a, b, c}, {b, c} de subconjuntos de X = {a, b, c}. El gráfico inducido por esta familia es un camino de longitud 4 en el cubo Q3 (cf. Figura 2.2). Claramente, F no está bien calificado. Por otro lado mano, como se puede ver fácilmente, cualquier camino es un cubo parcial. Figura 2.2: Una trayectoria no isométrica en el cubo Q3. Cualquier familia F de subconjuntos de X define un gráfico GF = (F, EF), donde EF = P,Q} F : P,Q = 1}. Teorema 2.1. El gráfico GF definido por una familia F de subconjuntos de un conjunto X es isomórfico a un cubo parcial en X si y sólo si la familia F está bien calificado. Prueba. Sólo tenemos que demostrar la suficiencia. Deja que S sea un conjunto fijo en F. Definimos a mapeo f : F → Pf (X) por f(R) = R­S para R • F. Entonces d(f(R), f(T)) = (RÍOS)(TÍOS) = RÍOT. Así f es una incrustación isométrica de F en Pf (X). Dejar (Ri) ser una secuencia de conjuntos en F tales que R0 = P, Rn = Q, PQ = n, y RiRi+1 = 1 para todos 0 ≤ i < n. A continuación, la secuencia (f(Ri)) cumple las condiciones (2.2). El resultado sigue. Se dice que un conjunto R • Pf (X) es retícula entre los conjuntos P, Q • Pf (X) si P # Q # R # P # Q. Es métricamente entre P y Q si d(P,R) + d(R,Q) = d(P,Q). El siguiente teorema es un resultado bien conocido acerca de estas dos las laciones en Pf (X) (véase, por ejemplo, [3]). Teorema 2.2. Las relaciones entre celosías y métricas coinciden con Pf (X). Dejar F ser una familia de subconjuntos finitos de X. El conjunto de todos los R â € TM a F que son entre P,Q-F es el intervalo I(P,Q) entre P y Q en F. Por lo tanto, I(P,Q) = F (+) [P +)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+) donde [P • Q, P • Q] es el intervalo habitual en la retícula Pf. Dos conjuntos distintos de P,Q,F son adyacentes en F si J(P,Q) = {P,Q}. Si pone P y Q forman un borde en el gráfico inducido por F, entonces P y Q son adyacentes en F, pero, en general, no viceversa. Por ejemplo, en el ejemplo 2.1, la vértices y {b, c} son adyacentes en F, pero no definen un borde en el inducido gráfico (cf. Figura 2.2). El siguiente teorema es una caracterización ‘local’ de las familias de conjuntos. Teorema 2.3. Una familia F Pf (X) está bien calificado si y sólo si d(P,Q) = 1 para cualquier dos conjuntos P y Q que estén adyacentes en F. Prueba. (Necesidad.) Que F sea una familia de conjuntos. Supongamos que P y Q son adyacente en F. Hay una secuencia R0 = P,R1,. .., Rn = Q que satisface condiciones (2.2). Dado que la secuencia (Ri) es un camino más corto en F, tenemos d(P, Pi) + d(Pi, Q) = d(P,Q) para todos los 0 ≤ i ≤ n. Por lo tanto, Pi I(P,Q) = {P,Q}. De ello se desprende que d(P,Q) = n = 1. (Suficiencia.) Que P y Q sean dos conjuntos distintos en F. Demostramos por inducción En n = d(P,Q) que hay una secuencia (Ri) F que cumple las condiciones (2.2). La declaración es trivial para n = 1. Supongamos que n > 1 y que el la instrucción es verdadera para todos k < n. Dejar que P y Q sean dos conjuntos en F de tal manera que d(P,Q) = n. Desde d(P,Q) > 1, los conjuntos P y Q no son adyacentes en F. Por lo tanto existe R â € F que se encuentra entre P y Q y es diferente de Estos dos juegos. Entonces d(P,R) + d(R,Q) = d(P,Q) y ambas distancias d(P,R) y d(R,Q) son menos de n. Por la hipótesis de inducción, hay una secuencia (Ri) P = R0, R = Rj, Q = Rn para unos 0 < j < n, que cumplan las condiciones (2.2) para 0 ≤ i < j y j ≤ i < n. De ello se deduce que F es una Wg-familia de conjuntos. Concluimos esta sección con dos ejemplos de cubos parciales infinitos (más los ejemplos se encuentran en [17]). Ejemplo 2.2. Dejar Z ser el gráfico en el conjunto Z de enteros con los bordes definidos por pares de enteros consecutivos. Este gráfico es un cubo parcial desde su conjunto vértice es isométrico a la familia wg de intervalos {(,m) : m Z} en Z. Ejemplo 2.3. Consideremos Zn como un espacio métrico con respecto a la l1- métrica. El gráfico Zn tiene Zn como el conjunto vértice; dos vértices en Zn están conectados si están a la distancia de la unidad entre sí. Vamos a mostrar en la Sección 6 (Corollary 6.1) que Zn es un cubo parcial. 3 Caracterizaciones Sólo se consideran gráficos conectados en esta sección. Definición 3.1. Let G = (V,E) ser un gráfico y d ser su función de distancia. Por cualquier dos vértices adyacentes a, b V dejar Wab ser el conjunto de vértices que están más cerca a a b: Wab = {w • V : d(w, a) < d(w, b)}. A continuación [11], llamamos a los conjuntos Wab y subgrafos inducidos el gráfico G. Las semicuebas Wab y Wba se llaman semicuebas opuestas. Observación 3.1. El subíndice ab en Wab representa un par ordenado de vértices, no para un borde de G. En su artículo original [9], Djoković utiliza la notación G(a, b) (cf. [8]). Utilizamos la notación de [15]. Claramente, dos semicuebas opuestas están desarticuladas. Pueden ser utilizados para... terize los gráficos bipartitos de la siguiente manera. Teorema 3.1. Un gráfico G = (V,E) es bipartito si y sólo si el Wab semicubos y Wba forman una partición de V para cualquier borde ab E. Prueba. Recordemos que un gráfico G conectado es bipartito si y sólo si por cada vértice x no hay borde ab con d(x, a) = d(x, b) (véase, por ejemplo, [1]). Por cualquier borde ab E y vértice x V claramente tenemos d(x, a) = d(x, b) â € x /â € Wab â € € Wba. El resultado es el siguiente. El siguiente lema es instrumental y se utilizará con frecuencia en el resto del periódico. Lemma 3.1. Let G = (V,E) ser un gráfico y w â € Wab para algún borde ab â € E. d(w, b) = d(w, a) + 1. En consecuencia, Wab = {w + V : d(w, b) = d(w, a) + 1}. Prueba. Por la desigualdad del triángulo, tenemos d(w, a) < d(w, b) ≤ d(w, a) + d(a, b) = d(w, a) + 1. El resultado sigue, ya que d toma valores en N. Hay dos relaciones binarias en el conjunto de bordes de un gráfico que juegan un papel central en la caracterización de cubos parciales. Definición 3.2. Dejar G = (V,E) ser un gráfico y e = xy y f = uv ser dos bordes de G. i) (Djoković [9]) e. f. f. se une a un vértice en Wxy con un vértice en Wyx. La notación puede ser elegida de tal manera que u â € € ¢ Wxy y v â € € TM Wyx. ii) (Winkler [20]) d(x, u) + d(y, v) 6= d(x, v) + d(y, u). Está claro que las dos relaciones son reflexivas y simétricas. Lemma 3.2. La relación es una relación simétrica en E. Prueba. Suponga que xy uv con u â € € TM Wxy y v â € TM Wyx. Por Lemma 3.1 y la desigualdad del triángulo, tenemos d(u, x) = d(u, y)− 1 ≤ d(u, v) + d(v, y)− 1 = d(v, y) = = d(v, x)− 1 ≤ d(v, u) + d(u, x) − 1 = d(u, x). Por lo tanto, d(u, x) = d(v, x) − 1 y d(v, y) = d(u, y)− 1. Por lo tanto, x • Wuv y y â € ¢ Wvu. De ello se deduce que uv Ł xy. Lemma 3.3........................................................... Lemma 3.3.............................. Lemma 3.3........................... Lemma................................................... Prueba. Suponga que xy uv con u â € € ¢ Wxy, v â € € TM Wyx. Por Lemma 3.1, d(x, u) + d(y, v) = d(x, v) − 1 + d(y, u)− 1 6 = d(x, v) + d(y, u). Por lo tanto, xy-Uv. Ejemplo 3.1. Es fácil verificar que la relación de identidad en el conjunto de bordes del ciclo C3. Por otro lado, cualquier dos bordes de C3 están en el la relación entre el hombre y la mujer. Por lo tanto, en este caso, 6 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° Los gráficos bipartitos se pueden caracterizar en términos de relaciones de la siguiente manera. Teorema 3.2. Un gráfico G = (V,E) es bipartito si y sólo si Prueba. (Necesidad.) Supongamos que G es un gráfico bipartito, dos bordes xy y uv se encuentran en la relación................................................................................................................................................ d(x, u) + d(y, v) 6= d(x, v) + d(y, u), y que los bordes xy y uv no se paran en la relación. Por el teorema 3.1, nosotros puede suponer que u, v â € ¢ Wxy. Por Lemma 3.1, tenemos d(x, u) + d(y, v) = d(y, u)− 1 + d(x, v) + 1 = d(x, v) + d(y, u), una contradicción. De ello se deduce que, en el caso de autos, se trata de un asunto que se refiere a un litigio entre la Comisión y el Estado miembro de que se trate. Por Lemma 3.3, . (Suficiencia.) Supongamos que G no es bipartito. Por Teorema 3.1, hay un borde xy de tal manera que Wxy Wyx es un subconjunto adecuado de V. Dado que G está conectado, hay un edge uv con u /â € Wxy â € Wyx y v â € Wxy â € Wyx. Claramente, uv lo hace. no estar de pie en la relación de........................................................................................................................................................................................................................................................... Por otra parte, d(x, u) + d(y, v) 6= d(x, v) + d(y, u), ya que u /â € € Wxy â € Wyx y v â € € Wxy â € € Wyx. Por lo tanto, xy-uv, una contradicción, ya que Supusimos que "" = "". En el Teorema 3.2, las relaciones entre las dos partes coinciden en gráficos bipartitos. Por Esta es la razón por la que usamos la relación.... en el resto del papel. Lemma 3.4. Let G = (V,E) ser un gráfico bipartito tal que todos sus semicubes son Conjuntos convexos. A continuación, dos bordes xy y uv se paran en la relación de si y sólo si el pares correspondientes de semicubos mutuamente opuestos forman particiones iguales de V : xy Uv {Wxy,Wyx} = {Wuv,Wvu}. Prueba. (Necesidad) Asumimos que la notación es elegida de tal manera que u • Wxy y contra Wyx. Vamos a z â € Wxy â € TM Wvu. Por Lemma 3.1, d(z, u) = d(z, v) + d(v, u). Puesto que z, u, Wxy y Wxy es convexo, tenemos v, Wxy, una contradicción con el Asumir que v. Wyx. Por lo tanto, Wxy Wvu =. Desde dos semicubos opuestos en un gráfico bipartito formar una partición de V, tenemos Wuv = Wxy y Wvu = Wyx. Un argumento similar muestra que Wuv = Wyx y Wvu = Wxy, si u Wyx y contra Wxy. (Suficiencia.) Sigue de la definición de la relación. Necesitamos otra propiedad general de la relación (cf. Lemma 2.2 in [15]). Lemma 3.5. Dejar P ser un camino más corto en un gráfico G. Entonces no hay dos bordes distintos de P se sitúan en la relación. Prueba. Dejar i < j y xixi+1 y xjxj+1 ser dos bordes en un camino más corto P de x0 a xn. Entonces d(xi, xj) < d(xi, xj+1) y d(xi+1, xj) < d(xi+1, xj+1), por lo que xi, xi+1 • Wxjxj+1. De ello se deduce que los bordes xixi+1 y xjxj+1 no están la relación................................................................................................................................................................... La declaración inversa es verdad para los gráficos bipartitos (omitimos la prueba); un contraejemplo es el ciclo C5 que no es bipartito. Lemma 3.6. Que G = (V,E) sea un gráfico bipartito. Las declaraciones que figuran a continuación son las siguientes: equivalente i) Todos los semicubos de G son convexos. (ii) La relación فارسى es una relación de equivalencia sobre E. Prueba. i)  ii). Sigue desde Lemma 3.4. ii) El inciso i) de la parte dispositiva. Supongan que es transitivo y que hay un semicubo no convexo Wab. A continuación, hay dos vértices u, v Wab y un camino más corto P de u a V que intersecta Wba. Esta ruta contiene dos bordes distintos e y f uniendo vértices de semicubos Wab y Wba. Los bordes e y f se sitúan en la relación hasta el borde ab. Por la transitividad de la palabra, tenemos e........................................................................................... Esto contradice el resultado de Lemma 3.5. Así todos los semicubos de G son convexos. Ahora establecemos algunas propiedades básicas de cubos parciales. Teorema 3.3. Que G = (V,E) sea un cubo parcial. Entonces i) G es un gráfico bipartito. (ii) Cada par de semicubos opuestos forman una partición de V. iii) Todos los semicubos son subconjuntos convexos de V. iv) Es una relación de equivalencia sobre E. Prueba. Podemos suponer que G es un subgrafo isométrico de algún hipercubo H(X), es decir, G = (F, EF) para una familia de wg F de subconjuntos finitos de X. (i) Basta con señalar que si dos conjuntos en H(X) están conectados por un borde entonces tienen una paridad diferente. Por lo tanto, H(X) es un gráfico bipartito y así es G. ii) Sigue el inciso i) y el teorema 3.1. (iii) LetWAB ser un semicubo de G. Por Lemma 3.1 y Teorema 2.2, tenemos WAB = {S + F : S + B + A S + B}. Que Q,R,WAB y P sean un vértice de G de tal manera que d(Q,P ) + d(P,R) = d(Q,R). Por Teorema 2.2, Q R P Q R. Desde Q,R,WAB, tenemos Q B A A Q B y R B A R B, lo que implica (Q) B (Q) B (A) B (Q) B (S) B (B) B (B) Por lo tanto, P • WAB, y el resultado sigue. iv) Seguimientos de iii) y Lemma 3.6. Observación 3.2. Puesto que los semicúbitos de un cubo parcial G = (V,E) son subconjuntos convexos del espacio métrico V, son semiespacios en V [19]. Esta terminología se utiliza en [6, 7]. El siguiente teorema presenta cuatro caracterizaciones de cubos parciales. Los Los dos primeros se deben a Djoković [9] y Winkler [20] (cf. Teorema 2.10 en [15]). Teorema 3.4. Que G = (V,E) sea un gráfico conectado. Las siguientes declaraciones: son equivalentes: i) G es un cubo parcial. ii) La G es bipartita y todas las semicubas de la G son convexas. (iii) La G es bipartita y la G es una relación de equivalencia. iv) G es bipartito y, para todos los xy, uv e, xy, uv, {Wxy,Wyx} = {Wuv,Wvu}. (3.1) (v) G es bipartito y, para cualquier par de vértices adyacentes de G, hay un único par de semicubos opuestos que separan estos dos vértices. Prueba. Por Lemma 3.6, las declaraciones ii) y iii) son equivalentes y, por orem 3.3, i) implica tanto ii) como iii). iii) El inciso i) del párrafo 1 de la parte dispositiva. Por Teorema 3.1, cada par {Wab,Wba} de semicubos opuestos de G forma una partición de V. Orientamos estas particiones llamando, en un arbitrario way, uno de los dos semicubos opuestos en cada partición un semicubo positivo. Asignemos a cada x V el conjunto W+(x) de todos los semicubos positivos que contienen x. En el siguiente párrafo demostramos que la familia F = {W+(x)}xÃ3v está bien graduado y que la asignación x 7→ W+(x) es una isometría entre V y F. Que x e y sean dos vértices distintos de G. Decimos que un semicubo positivo Wab separa x e y si x â € ¢ Wab, y â € TM Wba o x â € TM Wba, y â € Wab. Lo es. claro que Wab se separa x e Y si y sólo si Wab W +(x)•W+(y). Let P ser un camino más corto x0 = x, x1,. .., xn = y de x a y. Por Lemma 3.5, no dos los bordes distintos de P se sitúan en la relación فارسى. Por Lemma 3.4, bordes distintos de P definir distintos semicubos positivos; claramente, estos semicubos separan x e y. Vamos. Wab ser un semicubo positivo separando x e y, y, por ejemplo, x â € € € TM € TM € TM Wba. Hay un borde f P que une los vértices en Wab y Wba. Por lo tanto, f se encuentra en la relación de Ab y, por Lemma 3.4, Wab se define por f. De ello se deduce que cualquier semicubo inW+(x)•W+(y) se define por un borde único en P y cualquier borde en P define un semicubo en W+(x)•W+(y). Por lo tanto, d(W+(x),W+(y)) = d(x, y), que es x 7→W+(x) es una isometría. Claramente, F es una familia de conjuntos. Por Teorema 2.1, la familia F es isométrica a una familia wg de conjuntos finitos. Por lo tanto, G es un cubo parcial. iv) El inciso ii) del párrafo 4 de la parte dispositiva. Supongamos que existe un borde ab tal que semicube Wba es no convexo. Dejar p y q ser dos vértices en Wba tal que hay un más corto ruta P de p a q que intersecta Wab. Hay dos bordes distintos xy y uv en P tal que x, u â € Wab e y, v â € € Wba. Desde que ab-xy y ab-uv, tenemos, por (3.1), Wab = Wxy = Wuv. Por lo tanto, u â € Wxy y v â € Wyx. Por Lemma 3.1, d(x, u) = d(x, v) − 1 = 1 + d(v, y)− 1 = d(v, y), una contradicción, ya que P es un camino más corto de p a q. ii)  iv). Sigue desde Lemma 3.4. Está claro que los incisos iv) y v) son equivalentes. 4 Conjuntos fundamentales en cubos parciales Las semicubes desempeñaron un papel importante en la sección anterior. En esta sección introducir tres clases más de subconjuntos útiles de gráficos. También establecemos uno. más caracterización de cubos parciales. Que G = (V,E) sea un gráfico conectado. Para un borde dado e = ab E, nosotros definir los siguientes conjuntos (cf. [15, 16]: Fab = (f) E : e (f) = (uv) E : u (Wab), v (Wba), Uab = {w Wab : w es adyacente a un vértice en Wba}, Uba = {w Wba : w es adyacente a un vértice en Wab}. Los cinco conjuntos se muestran esquemáticamente en la Figura 4.1. Figura 4.1: Conjuntos fundamentales en un cubo parcial. Observación 4.1. En el caso de un cubo parcial G = (V,E), las semicubas Wab y Wba son semiespacios complementarios en el espacio métrico V (cf. Observación 3.2). Entonces el set Fab puede ser considerado como un ‘hiperplano’ que separa estos semi-espacios (véase [17] donde esta analogía se formaliza en el contexto de la organización del hiperplano- ciones). El siguiente teorema generaliza el resultado obtenido en [16] para la mediana gráficos (véase también [15]). Teorema 4.1. Dejar ab ser un borde de un gráfico bipartito conectado G. Si el semicubos Wab y Wba son convexos, luego el set Fab es un emparejamiento e induce un isomorfismo entre los gráficos de Uabá y Ubaá. Prueba. Supongamos que Fab no es una coincidencia. Luego hay bordes distintos xu y xv con, por ejemplo, x Uab y u, v Uba. Por la desigualdad del triángulo, d(u, v) ≤ 2. Dado que G no tiene triángulos, d(u, v) 6= 1. Por lo tanto, d(u, v) = 2, lo que implica que x se encuentra entre u y v. Esto contradice la convexidad de Wba, ya que x • Wab. Por lo tanto Fab es una coincidencia. Para demostrar que Fab induce un isomorfismo, deja que xy, uv Fab y xu E, donde x, u, Uab y y, v, Uba. Dado que G no tiene ciclos impares, d(v, y) 6= 2. Por la desigualdad del triángulo, d(v, y) ≤ d(v, u) + d(u, x) + d(x, y) = 3. Dado que Wba es convexo, d(v, y) 6= 3. Así d(v, y) = 1, es decir, vy es un borde. Los resultado seguido por la simetría. Por Teorema 3.4(ii), tenemos el siguiente corolario. Corolario 4.1. Que G = (V,E) sea un cubo parcial. Para cualquier borde ab el conjunto Fab es un emparejamiento e induce un isomorfismo entre gráficos inducidos # Uba # # # Uba # # # Uba # # # Uba # # # Uba # # # # Uba # # # Uba # # # # Uba # # # Uba # # # Uba # # # Uba # # # Uba # # # # Uba # # # # Uba # # # # Uba # # # # Uba # # # # # Uba # # # # # Uba # # # # # # # # # # # # # # Uba # # # # # # # # # Uba # # # # Uba # # # # # # Uba # # # # # # # # # # # Uba # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Figura 4.2: Gráfico G. Ejemplo 4.1. Que G sea el gráfico representado en la Figura 4.2. El conjunto Fab = {ab, xu, yv} es una coincidencia y define un isomorfismo entre los gráficos inducidos por subconjuntos Uab = {a, x, y} y Uba = {b, u, v}. El conjunto Wba no es convexo, por lo que G no es un cubo parcial. Por lo tanto, el contrario del corolario 4.1 no se sostiene. Ahora establecemos otra caracterización de cubos parciales que utiliza un propiedad geométrica de las familias Fab. Teorema 4.2. Para un gráfico G conectado, las siguientes instrucciones son equivalentes: i) G es un cubo parcial. ii) La G es bipartita y d(x, u) = d(y, v) y d(x, v) = d(y, u), (4.1) para cualquier ab E y xy, uv Fab. Prueba. i)el inciso ii) del apartado b) del párrafo 1 del artículo 4 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013. Podemos asumir que x, u â € Wab y y, v â € Wba. Puesto que Ł es un la relación de equivalencia, tenemos xy uv Łab. Por Lemma 3.4, Wuv = Wxy = Wab. Por Lemma 3.1, d(x, u) = d(x, v) − 1 = d(v, y) + 1− 1 = d(y, v). También tenemos d(x, v) = d(y, v) + 1 = d(y, u), por el mismo lema. ii)el inciso i) de la parte dispositiva. Supongamos que G no es un cubo parcial. Luego, por Teorema 3.4, allí existe un borde ab tal que, por ejemplo, Wba semicubo no es convexo. Que p y q sean dos vértices en Wba de tal manera que hay un camino más corto P de p a q que se intersecta Wab. Que uv sea el primer borde en P que pertenece a Fab y xy sea el último borde en P con la misma propiedad (ver Figura 4.3). Figura 4.3: Una ilustración de la prueba del teorema 4.2. Puesto que P es un camino más corto, tenemos d(v, y) = d(v, u) + d(u, x) + d(x, y) 6= d(x, u), que contradice la condición (4.1). Así todos los semicubos de G son convexos. Por Teorema 3.4, G es un cubo parcial. Observación 4.2. Uno puede decir que cuatro vértices que satisfacen las condiciones (4.1) definen un rectángulo en G. Entonces el teorema 4.2 indica que un gráfico conectado es un parcial cubo si y sólo si es bipartito y para cualquier borde ab pares de bordes en Fab definir rectángulos en G. 5 Dimensiones de cubos parciales Hay muchas maneras diferentes en que un cubo parcial dado puede ser isométricamente Incrustado en un hipercubo. Por ejemplo, el gráfico K2 puede ser isométricamente incrustado de diferentes maneras en cualquier hipercubo H(X) con X > 2. Siguiendo Djoković [9] (véase también [8]), definimos la dimensión isométrica, dimI(G), de un cubo parcial G como dimensión mínima posible de un hipercubo H(X) en la que G es isométricamente incrustable. Recordar (véase la sección 2) que la dimensión de H(X) es la cardinalidad del conjunto X. Teorema 5.1. (Teorema 2 en [9].) Que G = (V,E) sea un cubo parcial. Entonces dimI(G) = E/, (5.1) donde Djoković es la relación de equivalencia en E y E/ clases de alence (el cociente-set). El conjunto de cocientes E / / puede ser identificado con la familia de todos los conjuntos distintos Fab (véase la sección 4). Si G es un cubo parcial finito, podemos considerarlo como un isométrico Subgrafía de un hipercubo Qn. Entonces los bordes en cada familia Fab son paralelos bordes en Qn (cf. Teorema 4.2). Esta observación prueba esencialmente (5.1) en el Caso finito. Dejar G ser un cubo parcial en un conjunto X. El vértice conjunto de G es un wg-familia F de subconjuntos finitos de X (véase la sección 2). Definimos la retracción de F como una familia F′ de subconjuntos de X ′ = â € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € €. Está claro que F′ cumple las condiciones F′ = F′ y F′ = X ′. (5.2) Proposición 5.1. Los cubos parciales inducidos por un wg-familia F y su retracción F′ son isomórficos. Prueba. Basta probar que los espacios métricos F y F′ son isométricos. Claramente, α : P 7→ P X ′ es una cartografía de F a F′. Para P, Q, F, tenemos (P-X)-(Q-X) = (P-Q)-(P-Q)-(P-Q)-(P-Q)-(F-F)-(P-Q)-(P-Q)-(P-Q)-(P-Q). Así, d(α(P), α(Q)) = d(P,Q). En consecuencia, α es una isometría. Deja que G sea un cubo parcial en algún conjunto X inducido por un wg-familia F satisfactorio condiciones (5.2), y dejar que PQ sea un borde de G. Por definición, hay x X tal que P.Q. = {x}. Los dos lemas siguientes son instrumentales. Lemma 5.1. Dejar que PQ sea un borde de un cubo parcial G en X y dejar que P­Q = {x}. Los dos conjuntos {R] {F} {x} {R} {R} {F} {x} {R} {R} {R} {R} {R} {R} {F} {R} {R} {R} {R} {R} {R} {R} {F} : x {R} {R} {R} {R} {R} {R} {R} {R} {R} {R} {R} forman la misma bipartición de la familia F como semicubes WPQ y WQP. Prueba. Podemos asumir que Q = P + {x}. Entonces, para cualquier R-F, (P + {x}) = (R­P) + {x}, si x ­ R, Râ € P, si x / â € R. Por lo tanto, RP < RQ si y sólo si x R. Se deduce que WPQ = {R + F : x + R}. Un argumento similar muestra que WQP = {R • F : x / • R}. Lemma 5.2. Si F es una familia de conjuntos de condiciones satisfactorias (5.2), entonces para cualquier x x x hay sets P,Q F de tal manera que P.Q = {x}. Prueba. Por condiciones 5.2, para un x dado â € ¢ X hay conjuntos S y T en F tales Que x S y x /+ T. Let R0 = S,R1,. .., Rn = T ser una secuencia de conjuntos en F que cumplen las condiciones (2.2). Es claro que hay i tal que x â € ~ Ri y +1 +1 +2 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 Por lo tanto, Rio Ri + 1 = {x}, por lo que podemos elegir P = Ri y Q = Ri + 1. Por Lemmas 5.1 y 5.2, hay correspondencia uno-a-uno entre el conjunto X y el conjunto de cocientes E/ De Teorema 5.1 obtenemos el siguiente resultado. Teorema 5.2. Dejar F ser una familia wg de subconjuntos finitos de un conjunto X tal que "F = "F" y "F" = "X" y dejar que G sea un cubo parcial en "X" inducido por "F". dimI(G) = X. Claramente, un gráfico que es isométricamente incrustable en un cubo parcial es un cubo parcial en sí mismo. Mostraremos en la Sección 6 (Corollary 6.1) que el entero celosía Zn es un cubo parcial. Por lo tanto, un gráfico que es isométricamente incrustable en una celosía entera es un cubo parcial. Se deduce que un gráfico finito es un parcial cubo si y sólo si es incrustable en algún entero celosía. Ejemplos de infinito cubos parciales isométricamente incrustables en una celosía entera dimensional finita se encuentran en [17]. Llamamos a la dimensión mínima posible n de un entero celosía Zn, en la que un gráfico G dado es isométricamente incrustable, su dimensión de celosía y denota it dimZ(G). La dimensión de celosía de un cubo parcial se puede expresar en términos de los emparejamientos máximos en los llamados gráficos semicubos [11]. Definición 5.1. El gráfico semicubo Sc(G) tiene todos los semicubos en G como el conjunto de sus vértices. Dos vértices Wab y Wcd están conectados en Sc(G) si Wab • Wcd = V y Wab • Wcd 6 = • •. (5.3) Si G es un cubo parcial, entonces condición (5.3) es equivalente a cada uno de los dos condiciones equivalentes: Wba-Wcd-Wdc-Wab, (5.4) donde se refiere a la inclusión adecuada. Teorema 5.3. (Teorema 1 en [11].) Que G sea un cubo parcial finito. Entonces dimZ(G) = dimI(G) − M, donde M es un emparejamiento máximo en el gráfico semicubo Sc(G). Ejemplo 5.1. Que G sea el gráfico que se muestra en la Figura 2.1. Es fácil ver que dimI(G) = 3 y dimZ(G) = 2. Ejemplo 5.2. Dejar T ser un árbol con n bordes y m hojas. Entonces dimI(T ) = n y dimZ(T ) = m/2 (cf. [8] y [14], respectivamente). Ejemplo 5.3. Para el ciclo C6 tenemos (ver Figura 8.2). dimI(C6) = dimZ(C6) = 3. 6 Subcubes y productos cartesianos Deja que G sea un cubo parcial. Decimos que G′ es un subcubo de G si es un isométrico subgrafo de G. Claramente, un subcubo es en sí mismo un cubo parcial. Lo contrario no se sostiene; a subgrafo de un gráfico G puede ser un cubo parcial pero no un subgrafo isométrico de G (cf. Ejemplo 2.1). Si G′ es un subcubo de un cubo parcial G, entonces dimI(G) ′) ≤ dimI(G) y dimZ(G ′) ≤ dimZ(G). En general, las dos desigualdades no son estrictas. Por Por ejemplo, el ciclo C6 es un subgrafo isométrico del cubo Q3 (ver Figura 8.2). dimI(C6) = dimZ(C6) = dimI(Q3) = dimZ(Q3) = 3. Los semicúbitos de un cubo parcial son ejemplos de subcubos. De hecho, por Theo- rem 3.4, las semicúbicas son subgrafías convexas y por lo tanto isométricas. En general, lo contrario no es cierto; un camino que conecta dos vértices opuestos en C6 es un Subgrafía isométrica pero no convexa. Otra forma común de construir nuevos cubos parciales a partir de los antiguos es por que forman sus productos cartesianos (véase [15] para más detalles y pruebas). Definición 6.1. Dados dos gráficos G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2), Producto cartesiano G = G1 G2 tiene vértice conjunto V = V1 × V2; un vértice u = (u1, u2) es adyacente a un vértice v = (v1, v2) si y sólo si u1v1 â ¬ E1 y u2 = v2, o u1 = v1 y u2v2 â ¬ E2. La operación es asociativa, así que podemos escribir G = G1 · · · Gn = para el producto cartesiano de los gráficos G1,. .., Gn. Un producto cartesiano i=1Gi está conectado si y sólo si los factores están conectados. Entonces tenemos dG(u, v) = dGi(ui, vi). (6.1) Ejemplo 6.1. Deja {Xi} i=1 ser una familia de conjuntos e Y = i=1 sea su suma. Entonces el producto cartesiano de la hipercubes H(Xi) es isomórfico a la hi- percubo H(Y ). El isomorfismo es establecido por el mapeo f : (P1,. .., Pn) 7→ La fórmula (6.1) arroja inmediatamente los siguientes resultados. Proposición 6.1. Let Hi ser subgrafías isométricas de gráficos Gi para todos 1 ≤ i ≤ n. Luego el producto cartesiano i=1Hi es un subgrafo isométrico del cartesiano producto i=1Gi. Corolario 6.1. El producto cartesiano de una familia finita de cubos parciales es un cubo parcial. En particular, el entero enrejado Zn (cf. Ejemplos 2.2 y 2.3) un cubo parcial. Los resultados de los siguientes dos teoremas se pueden extender fácilmente a arbitrarios productos finitos de cubos parciales finitos. Teorema 6.1. Que G = G1 G2 sea el producto cartesiano de dos parciales finitos cubos. Entonces dimI(G) = dimI(G1) + dimI(G2). Prueba. Podemos asumir que G1 (resp. G2) es inducido por una familia de wg F1 (resp. F2) de subconjuntos de un conjunto finito X1 (resp. X2) de tal manera que â € TM = â € TM y â € TM F1 = X1 (resp. •F2 = • y •F2 = X1) (véase la sección 5). Por Teorema 5.2, dimI(G1) = X1 y dimI(G2) = X2. Está claro que el gráfico G es inducido por el wg-familia F = F1 + F2 de subconjuntos del conjunto X = X1 + X2 (cf. Ejemplo 6.1) con "F" = "F" = "F" = "X". Por Teorema 5.2, dimI(G) = X = X1 X2 = dimI(G1) + dimI(G2). Teorema 6.2. Que G = (V,E) sea el producto cartesiano de dos parciales finitos cubos G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2). Entonces dimZ(G) = dimZ(G1) + dimZ(G2). Prueba. Que W(a,b)(c,d) sea un semicubo del gráfico G. Hay dos posibles casos: i) c = a, bd • E2. Que (x, y) sea un vértice de G. Entonces, por (6.1), dG(x, y), (a, b)) = dG1(x, a) + dG2(y, b) dG(x, y), (c, d)) = dG1(x, c) + dG2(y, d). Por lo tanto, dG(x, y), (a, b)) < dG(x, y), (c, d)) dG2(y, b) < dG2(y, d). De ello se deduce que W(a,b)(c,d) = V1 ×Wbd. (6.2) ii) d = b, ac E1. Como en (i), tenemos W(a,b)(c,d) =Wac × V2. (6.3) Claramente, dos semicubos dados por (6.2) forman un borde en el gráfico semicubo Sc(G) si y sólo si sus segundos factores forman un borde en el gráfico semicubo Sc(G2). Lo mismo es cierto para las semicuebas en la forma (6.3) con respecto a su los primeros factores. También está claro que las semicuebas en la forma (6.2) y en la forma (6.3) no están conectados por un borde en Sc(G). Por lo tanto, el gráfico semicubo Sc(G) es isomórfico a la unión disjunta de los gráficos semicubo Sc(G1) y Sc(G2). Si M1 es un emparejamiento máximo en Sc(G1) y M2 es un emparejamiento máximo en Sc(G2), entonces M = M1 M2 es una coincidencia máxima en Sc(G). El resultado es el siguiente: teoremas 5.3 y 6.1. Observación 6.1. El resultado del corolario 6.1 no es válido para el Cartesiano infinito productos de cubos parciales, ya que estos productos están desconectados. Por otro lado la mano, se puede demostrar que los productos cartesianos débiles arbitrarios (com- los ponentes de los productos cartesianos [15]) de los cubos parciales son cubos parciales. 7 Encolar cubos parciales En esta sección utilizamos la técnica de pegado de conjuntos [5, cap. I, §2.5] para construir una nueva parcial cubos de los viejos. Que G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2) sean dos gráficos, H1 = (U1, F1) y H2 = (U2, F2) ser dos subgrafías isomórficas de G1 y G2, respectivamente, y • : U1 → U2 ser una bijección que define un isomorfismo entre H1 y H2. Los bijection define una relación de equivalencia R sobre la suma V1+V2 de la siguiente manera: cualquier elemento en (V1 \U1) (V2 \U2) es equivalente a sí mismo sólo y elementos u1 U1 y u2 • U2 son equivalentes si y sólo si u2 = • (u1). Decimos que el cociente set V = (V1 + V2)/R se obtiene uniendo los conjuntos V1 y V2 a lo largo los subconjuntos U1 y U2. Dado que los gráficos H1 y H2 son isomórficos, el pegado de los conjuntos V1 y V2 se puede extender naturalmente a un encolado de conjuntos de bordes E1 y E2 resultando en el conjunto E de bordes que unen vértices en V. Decimos que el gráfico G = (E, V ) se obtiene pegando los gráficos G1 y G2 a lo largo de los subgráficos isomórficos H1 y H2. La construcción encolada permite para identificar de forma natural los gráficos G1 y G2 con los subtítulos de G, y los gráficos isomórficos H1 y H2 con un subgrafo H común de ambos gráficos G1 y G2. A menudo seguimos esta convención a continuación. Observación 7.1. Tenga en cuenta que en la construcción anterior el gráfico resultante G de- no sólo en los gráficos G1 y G2 y sus subgráficos isomórficos H1 y H2 pero también en la biyección • definir un isomorfismo de H1 a H2 (ver los dibujos de las figuras 7.1 y 7.2). Figura 7.1: Pegado de dos árboles. Figura 7.2: Otro pegado de los mismos árboles. En general, pegado de dos cubos parciales G1 y G2 a lo largo de dos isomórficos los subgrafos H1 y H2 no producen un cubo parcial incluso bajo fuerte como Supuestos acerca de estos subgrafías como el siguiente ejemplo ilustra. Figura 7.3: Pegar cubos parciales G1 y G2. Ejemplo 7.1. Pegado de dos cubos parciales G1 = C6 y G2 = C6 a lo largo Los subpárrafos H1 y H2 se muestran en la Figura 7.3. El gráfico G resultante no es un cubo parcial. De hecho, el semicuboWab no es un conjunto convexo. Tenga en cuenta que las subgrafías H1 y H2 son subgrafías convexas de los respectivos cubos parciales. En esta sección estudiamos dos simples pegaduras de gráficos conectados juntos, el vértice-pegadura y el borde-pegadura, y mostrar que estos pegados producen cubos parciales de cubos parciales. También calculamos la isometría y la celosía dimensiones de los gráficos resultantes. Que G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2) sean dos gráficos conectados, a1 • V1, a2 • V2 y H1 = ({a1}, • H2 = ({a2}, •). Dejar G ser el gráfico obtenido pegando G1 y G2 a lo largo de los subpárrafos H1 y H2. En este caso decimos que el gráfico G se obtiene de los gráficos G1 y G2 mediante pegado de vértice. También decimos que G se obtiene de G1 y G2 identificando los vértices a1 y a2. Gráfico 7.4 ilustra esta construcción. Tenga en cuenta que el vértice a = {a1, a2} es un vértice cortado de G, puesto que G1 G2 = G y G1 G2 = {a}. (Seguimos nuestra convención y identificar los gráficos G1 y G2 con los subtítulos de G.) Figura 7.4: Un ejemplo de pegar vértice. En lo que sigue usamos superíndices para distinguir los subgrafos de los gráficos G1 y G2. Por ejemplo, W representa el semicubo de G2 definido por dos vértices adyacentes a, b â € V2. Teorema 7.1. Gráfico G = (V,E) obtenido por pegado de vértice a partir de cubos G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2) es un cubo parcial. Prueba. Denotamos a = {a1, a2} el vértice de G obtenido mediante la identificación de vértices a1 V1 y a2 V2. Claramente, G es un gráfico bipartito. Que xy sea un borde de G. Sin la pérdida de la generalidad podemos asumir que xy E1 y un Wxy. Nota que cualquier camino entre los vértices en V1 y V2 debe pasar por una. Desde un Wxy, tenemos, para cualquier v • V2, d(v, x) = d(v, a) + d(a, x) < d(v, a) + d(a, y) = d(v, y), que implica V2 Wxy y Wyx V1. De ello se deduce que Wxy = W xy V2 y Wyx = W yx. Los conjuntos W xy, W yx y V2 son subconjuntos convexos de V. Desde xy V2 = {a}, el conjunto Wxy = W xy V2 también es convexo. Por el teorema 3.4 ii), el gráfico G es un cubo parcial. La construcción de vértice-pegadura introducida arriba puede ser generalizada como sigue. Let G = {Gi = (Vi, Ei)}iJ ser una familia de gráficos conectados y A = {ai Gi}iJ ser una familia de vértices distinguidos de estos gráficos. Let G ser el gráfico obtenido de los gráficos Gi identificando vértices en el conjunto A. Decimos que G se obtiene por vértice-pegar juntos los gráficos Gi (a lo largo de la set A). Ejemplo 7.2. Dejar J = {1,...., n} con n ≥ 2, G = {Gi = ({ai, bi}, {aibi})}iJ, y A = {ai}iJ. Claramente, cada Gi es K2. Al pegar vértice estos gráficos a lo largo de A, obtenemos el Gráfica de n-estrella K1,n. Puesto que la estrella K1,n es un árbol, también se puede obtener de K1 por sucesivos vértice-pegadura como en el ejemplo 7.3. Ejemplo 7.3. Dejar G1 ser un árbol y G2 = K2. Al pegar vértice estos gráficos Obtenemos un nuevo árbol. Por el contrario, dejar G ser un árbol y v ser su hoja. Dejar G1 ser un árbol obtenido de G mediante la eliminación de la hoja v. Claramente, G se puede obtener por vértice-pegadura G1 y K2. De ello se deduce que cualquier árbol puede obtenerse de la gráfica K1 por sucesivo vértice-pegadura de copias de K2 (cf. Teorema 2.3 e) en [12]). Cualquier gráfico G conectado puede ser construido por vértice sucesivo-pegadura de sus bloques utilizando su estructura de bloques cortados-vertex [4]. Dejar G1 ser un bloque final de G con un vértice de corte v y G2 ser la unión de los bloques restantes de G. Entonces G se puede obtener de G1 y G2 por vértice-pegadura a lo largo del vértice v. sigue que cualquier gráfico conectado puede ser obtenido de sus bloques por sucesivos Pegaduras de vértice. Que G = (V,E) sea un cubo parcial. Recordamos que la dimensión isométrica dimI(G) de G es la cardinalidad del cociente conjunto E/..................................................................................................................................................................................................................................................... relación de equivalencia en el conjunto E (cf. fórmula (5.1)). Teorema 7.2. Que G = (V,E) sea un cubo parcial obtenido por pegar vértice juntos cubos parciales G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2). Entonces dimI(G) = dimI(G1) + dimI(G2). Prueba. Basta con probar que no hay bordes xy E1 y uv E2 que están en la relación de Djoković entre sí. Supongamos que G1 y G2 son vértice pegado a lo largo de los vértices a1 E1 y a2 E2 y dejar a = {a1, a2} E. Let xy E1 y uv E2 son dos aristas en E. Podemos suponer que u Wxy. Desde a es un corte-vertex de G y u Wxy, tenemos d(u, a) + d(a, x) = d(u, x) < d(u, y) = d(u, a) + d(a, y). Por lo tanto, d(a, x) < d(a, y), lo que implica d(v, x) = d(v, a) + d(a, x) < d(v, a) + d(a, y) = d(v, y). De ello se deduce que v. Wxy. Por lo tanto, el borde xy no se mantiene en la relación al vértice uv. El siguiente resultado sigue inmediatamente del teorema anterior. Tenga en cuenta que bloques de un cubo parcial son cubos parciales ellos mismos. Corolario 7.1. Dejar G ser un cubo parcial y {G1,. ............................................................... - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Entonces dimI(G) = dimI(Gi). En el caso de la dimensión de celosía de un cubo parcial podemos reclamar sólo mucho resultado más débil que uno indicado en el Teorema 7.2 para la dimensión isométrica. Nosotros omitir la prueba. Teorema 7.3. Dejar G ser un cubo parcial obtenido por vértice-pegadura juntos parcial cubos G1 y G2. Entonces max{dimZ(G1), dimZ(G2)} ≤ dimZ(G) ≤ dimZ(G1) + dimZ(G2). El siguiente ejemplo ilustra posibles casos de desigualdades en la rem 7.3. Recordemos que la dimensión de celosía de un árbol con m hojas es m/2 (cf. [14]). Ejemplo 7.4. La estrella K1,6 se puede obtener de las estrellas K1,2 y K1,4 por vértice pegando estas dos estrellas a lo largo de sus centros. Claramente, max{dimZ(K1,2), dimZ(K1,4)} < dimZ(K1,6) = dimZ(K1,2) + dimZ(K1,4). La misma estrella K1,6 se obtiene de dos copias de la estrella K1,3 por vértice- pegando a lo largo de sus centros. Tenemos dimZ(K1,3) = 2, dimZ(K1,6) = 3, así que max{dimZ(K1,3), dimZ(K1,3)} < dimZ(K1,6) < dimZ(K1,3) + dimZ(K1,3). Vamos a pegar vértice dos estrellas K1,3 a lo largo de sus dos hojas. El resultado El gráfico T es un árbol con cuatro vértices. Por lo tanto, max{dimZ(K1,3), dimZ(K1,3)} = dimZ(T) < dimZ(K1,3) + dimZ(K1,3). Ahora consideramos otra manera simple de pegar dos gráficos juntos. Que G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2) sean dos gráficas conectadas, a1b1 E1, a2b2 E2 y H1 = ({a1, b1}, {a1b1}), H2 = ({a2, b2}, {a2b2}). Deja que G sea el Gráfica obtenida pegando G1 y G2 a lo largo de los subgráficos H1 y H2. En este caso decimos que el gráfico G se obtiene de los gráficos G1 y G2 por borde-pegadura. Las figuras 7.1, 7.2 y 7.5 ilustran esta construcción. Figura 7.5: Un ejemplo de encolado de bordes. Como antes, identificamos los gráficos G1 y G2 con subgrafías del gráfico G y denotar a = {a1, a2}, b = {b1, b2} los dos vértices obtenidos por pegado juntos vértices a1 y a2 y, respectivamente, b1 y b2. El borde ab E es obtenido pegando los bordes a1b1 E1 y a2b2 E2 (cf. Figura 7.5). A continuación G = G1°G2, V1°V2 = {a, b} y E1°E2 = {ab}. Usamos estas anotaciones. en el resto de esta sección. Proposición 7.1. Un gráfico G obtenido por encolado de bordes gráficos bipartitos G1 y G2 es bipartito. Prueba. Que C sea un ciclo en G. Si C G1 o C G2, entonces la longitud de C es incluso, ya que los gráficos G1 y G2 son bipartitos. De lo contrario, los vértices a y b separar C en dos caminos cada uno de longitud impar. Por lo tanto C es un ciclo de par longitud. El resultado es el siguiente. El siguiente lema es instrumental; describe los semicubos del gráfico G en términos de semicubos de los gráficos G1 y G2. Lemma 7.1. Deja que Uv sea un borde de G. Entonces i) En el caso de Uv E1, a, b, Wuv Wuv Wuv = W V2, Wvu = W ii) En el caso de Uv E2, a, b, Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv V1, Wvu = W iii) a Wuv, b Wuv, wvu, wav = wab. Figura 7.6: Pegadura de bordes de los gráficos G1 y G2. Prueba. Demostramos las partes i) y iii) (véase la figura 7.6). (i) Puesto que cualquier camino de w â € V2 a u o v contiene a o b y a, b â € € TM Tengo a WWuv. Por lo tanto, Wuv = W V2 y Wvu = W (iii) Desde el ab auv en G1, tenemos W uv = W , por Teorema 3.4 iv). Let w ser un vértice en W Uv. Entonces, por la desigualdad del triángulo, d(w, u) < d(w, v) ≤ d(w, b) + d(b, v) < d(w, b) + d(b, u). Puesto que cualquier camino más corto de w a u contiene a o b, tenemos d(w, a) + d(a, u) = d(w, u). Por lo tanto, d(w, a) + d(a, u) < d(w, b) + d(b, u). Desde ab Uv en G1, tenemos d(a, u) = d(b, v), por Teorema 4.2. De ello se deduce que d(w, a) < d(w, b), es decir, w • W . Demostramos que W uv W simetría, W vu W . Puesto que dos semicubos opuestos forman una partición de V2, Tenemos a W. uv = W . El resultado es el siguiente. Teorema 7.4. Un gráfico G obtenido por encolado de bordes juntos cubos parciales G1 y G2 es un cubo parcial. Prueba. Por Teorema 3.4(ii) y Proposición 7.1, tenemos que demostrar que para cualquier borde uv de G el semicubo Wuv es un subconjunto convexo de V. Hay dos posibles casos. i) uv = ab. El semicubo Wab es la unión de semicubos W y W que son subconjuntos convexos de V1 y V2, respectivamente. Está claro que cualquier más corto ruta que conecta un vértice en W con un vértice en W contiene vértice a y por lo tanto, está contenido en Wab. Por lo tanto, Wab es un conjunto convexo. Un argumento similar prueba que el conjunto Wba es convexo. ii) uv 6= ab. Podemos asumir que uv â € E1. Para demostrar que el semicubo Wuv es un conjunto convexo, consideramos dos casos. a) a, b) Wuv. (El caso en que se trata de manera similar a, b • Wvu.) Por Lemma 7.1(i), el semicubo Wuv es la unión del semicubo W uv y el conjunto V2 que son ambos conjuntos convexos. Cualquier camino más corto P de un vértice en V2 a un vértice en W uv contiene a o b. De ello se deduce que P W uv V2 = Wuv. Por lo tanto, el semicubo Wuv es convexo. b) a • Wuv, b • Wvu. (El caso cuando b • Wuv, un • Wvu se trata similarmente.) Por Lemma 7.1 (ii), Wuv = Wab. El resultado es el resultado de la parte i) de la prueba. Teorema 7.5. Dejar G ser un gráfico obtenido por borde-pegar juntos parcial finito cubos G1 y G2. Entonces dimI(G) = dimI(G1) + dimI(G2)− 1. Prueba. Las relaciones de Djoković en E, E1 y E2, respectivamente. Por Lemma 7.1, para uv, xy E1 (resp. Uv, xy E2) tenemos uv Ł xy Ł uv Ł1xy (resp. uv  xy uv Ł2xy). Let uv E1, xy E2 y uv Ł xy. Supón que (uv, ab) /ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Podemos Asumir que a, b-Wuv. Por Lemma 7.1(i), V2 (Wuv), una contradicción, ya que xy E2. Por lo tanto, uv xy ab. De ello se deduce que cada clase de equivalencia de la o bien una clase de equivalencia de 1o, una clase de equivalencia de 2o o bien clase que contiene el borde ab. Por lo tanto E/ = E1/1 E2/2 − 1. El resultado sigue, ya que la dimensión isométrica de un cubo parcial es igual a la cardinalidad del conjunto de clases de equivalencia de la relación de Djoković (formula (5.1)). Necesitamos algunos resultados sobre gráficos semicubo con el fin de probar un análogo de Teorema 7.3 para un cubo parcial obtenido por encolado de borde de dos cubos parciales. Lemma 7.2. Dejar G ser un cubo parcial y WpqWuv, WqpWxy ser dos bordes en el gráfico Sc(G). Entonces WxyWuv es un borde en Sc(G). Prueba. Por condición (5.4), Wqp Wuv y Wyx Wqp. Por lo tanto, Wyx-Wuv. Por la misma condición, WxyWuv Sc(G). Como antes, identificamos los cubos parciales G1 y G2 con subgrafías de lo parcial cubo G. Entonces G1 G2 = G y G1 G2 = ({a, b}, {ab}) = K2 (cf. Gráfico 7.6). Lemma 7.3. Dejar G ser un cubo parcial obtenido por borde-pegadura juntos parcial cubos G1 y G2. Dejad que W xy (resp. W xy ) ser un borde en el semicubo Sc(G1) (resp. Sc(G2)). Entonces WuvWxy es un borde en Sc(G). Figura 7.7: Semicubes formando un borde en Sc(G1). Prueba. Basta considerar el caso de Sc(G1) (véase la figura 7.7). Por condiciones... ión (5.4),W vu â € â € TM TM xy y W Yx â € € TM TM Uv. Suponga que un â € TM a W vu y b â € € TM TM (en el caso de b • O vu y a W yx se trata de manera similar). A continuación, ab 1xy y ab 1uv. Por transitividad de 1o, tenemos uv 1xy, una contradicción, desde semicubos uv y W xy son distintos. Por lo tanto, podemos asumir que, por ejemplo, a, b Luego, por Lemma 7.1, Wvu = W vu â € ¢ V1. Desde W vu â € € TM W xy Wxy, tenemos Wvu, Wxy. Por condición (5.4), WuvWxy es un borde en Sc(G). Lemma 7.4. LetM1 y M2 son coincidencias en los gráficos Sc(G1) y Sc(G2). Ahí está. es una M correspondiente en Sc(G) de tal manera que M ≥ M1 M2 − 1. Prueba. Por Lemma 7.3, M1 y M2 inducen coincidencias en Sc(G) que denotamos por los mismos símbolos. La intersección M1 M2 está vacía o es un subgrafo del gráfico vacío con vértices Wab y Wba. Si M1 M2 está vacío, entonces M = M1 M2 es una coincidencia en Sc(G) y la El resultado es el siguiente. Si M1 M2 es un gráfico vacío con un solo vértice, digamos, en M1, eliminamos desde M1 el borde que tiene este vértice como su vértice final, resultando en la coincidencia M ′1. Claramente, M = M 1 M2 es una coincidencia en Sc(G) y M = M1 M2 − 1. Supongamos ahora que M1 M2 es el gráfico vacío con vértices Wab y Wba. Deja WabWuv, WbaWpq (resp. WabWxy, WbaWrs) ser bordes en M1 (resp. M2). Por Lemma 7.2, WxyWrs es un borde en Sc(G2). Vamos a reemplazar los bordesWabWxy y WbaWrs en M2 por un solo borde WxyWrs, resultando en la M 2. Entonces M = M1 â € M 2 es una coincidencia en Sc(G) y M = M1 M2 − 1. Corolario 7.2. Dejar que M1 y M2 sean coincidencias máximas en Sc(G1) y Sc(G2), respectivamente, y M sea una coincidencia máxima en Sc(G). Entonces M ≥ M1 M2 − 1. (7.1) Por Teorema 5.3, tenemos dimI(G1) = dimZ(G1) + M1, dimI(G2) = dimZ(G2) + M2, dimI(G) = dimZ(G) + M, donde M1 y M2 son los máximos emparejamientos en Sc(G1) y Sc(G2), respectivamente, y M es una coincidencia máxima en Sc(G). Por lo tanto, por Teorema 7.5 y (7.1), tenemos el siguiente resultado (cf. Teorema 7.3). Teorema 7.6. Dejar G ser un cubo parcial obtenido por borde-pegadura de parcial cubos G1 y G2. Entonces max{dimZ(G1), dimZ(G2)} ≤ dimZ(G) ≤ dimZ(G1) + dimZ(G2). Ejemplo 7.5. Consideremos dos bordes-pegaduras de las estrellas G1 = K1,3 y G2 = K1,3 de la dimensión de celosía 2 que se muestra en las figuras 7.1 y 7.2. En el primer caso el gráfico resultante es la estrella G = K1,5 de la dimensión de celosía 3. Entonces tenemos max{dimZ(G1), dimZ(G2)} < dimZ(G) < dimZ(G1) + dimZ(G2). En el segundo caso el gráfico resultante es un árbol con 4 hojas. Por lo tanto, max{dimZ(G1), dimZ(G2)} = dimZ(G) < dimZ(G1) + dimZ(G2). Dejar c1a1 y c2a2 ser bordes de las estrellas G1 = K1,4 y G2 = K1,4 (cada uno de los que tiene la dimensión de celosía 2), donde c1 y c2 son centros de los respectivos estrellas. Vamos a borde-pegar estos dos gráficos identificando c1 con c2 y a1 con a2, respectivamente. El gráfico G resultante es la estrella K1,7 de la dimensión de celosía 4. Por lo tanto, max{dimZ(G1), dimZ(G2)} ≤ dimZ(G) = dimZ(G1) + dimZ(G2). 8 Expansiones y contracciones de cubos parciales El procedimiento de expansión del gráfico fue introducido por Mulder en [16], donde es muestra que un gráfico es un gráfico mediano si y sólo si se puede obtener de K1 por una secuencia de expansiones convexas (véase también [15]). Un resultado similar para cubos parciales se estableció en [6] (véase también [7]) como un corolario a un más general resultado relativo a la incrustabilidad isométrica en los gráficos de Hamming; también fue establecido en [13] en el marco de la teoría de los matroides orientados. En esta sección se investigan las propiedades de la expansión (isométrica) y con- operaciones de tracción y, en particular, demostrar de dos maneras diferentes que un gráfico es un cubo parcial si y sólo si se puede obtener del gráfico K1 por una secuencia de expansiones. Una observación sobre las anotaciones está en orden. En el producto {1, 2} × (V1+V2), nosotros denotar V ′i = {i} × Vi y x i = (i, x) para x • Vi, donde i, j = 1, 2. Definición 8.1. Dejar G = (V,E) ser un gráfico conectado, y dejar G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2) ser dos subgrafías isométricas de G de tal manera que G = G1 + G2. La expansión de G con respecto a G1 y G2 es el gráfico G ′ = (V ′, E′) construido de la siguiente manera a partir de G (véase la figura 8.1): i) V ′ = V1 + V2 = V 1 V ii) E′ = E1 + E2 + M, donde M es el equivalente X+V1+V2 {x1x2}. En este caso, también decimos que G es una contracción de G′. Figura 8.1: Procesos de expansión/contracción. Está claro que los gráficos G1 y â € ~ V 1° son isomórficos, así como los gráficos G2 y V Definimos una proyección p : V ′ → V por p(xi) = x para x • V. Claramente, la la restricción de p a V ′1 es una biyección p1 : V 1 → V1 y su restricción a V 2 es un biyección p2 : V 2 → V2. Estos bijectos definen los isomorfismos V 1 → G1 y • V ′2° → G2. Dejar P ′ ser un camino en G′. Los vértices de G obtenidos de los vértices de P ′ bajo la proyección p definir una caminata P en G; llamamos a esta caminata P la proyección de la trayectoria P ′. Está claro que l(P ) = l(P ′), si P ′ ′ V ′2°. (8.1) En este caso, P es una ruta en G y P = p1(P ′) o P = p2(P ′). En el la otra mano, l(P ) < l(P ′), si P ′ â € € € € € € € € € 6= € € y P ′ ° ° ° V ′ 2 ° ° 6 ° ° °, (8.2) y P no es necesariamente un camino. Utilizaremos con frecuencia los resultados del siguiente lema en esta sección. Lemma 8.1. i) En el caso de u1, v1+V ′1, cualquier trayectoria más corta Pu1v1 en G ′ pertenece a ′V ′1 ′ y su proyección Puv = p1(Pu1v1) es un camino más corto en G. En consecuencia, dG′(u 1, v1) = dG(u, v) es un subpárrafo convexo de G ′. Una declaración similar se mantiene para u2, v2 â V ′2. ii) En el caso de u1 • V ′1 y v 2 ° V ′2, dG′(u 1, v2) = dG(u, v) + 1. Deje Pu1v2 ser un camino más corto en G ′. Hay un borde único x1x2 M tal que x1, x2 Pu1v2 y las secciones Pu1x1 y Px2v2 de la ruta Pu1v2 son más cortas rutas en V ′1 y V 2 °, respectivamente. La proyección Puv de Pu1v2 en G ′ es una sendero más corto en G. Prueba. (i) Que Pu1v1 sea un camino en G ′ que intersecta V ′2. Ya que V1 es un isométrico subgrafo de G, hay un camino Puv en G que pertenece a â € ¢ V1â € TM. Entonces p 1 (Puv) es una trayectoria en V ′1 de la misma longitud que Puv. Por (8.1) y (8.2), l(p−11 (Puv)) < l(Pu1v1). Por lo tanto, cualquier camino más corto Pu1v1 en G ′ pertenece a ́V ′1 ́. El resultado es el siguiente. (ii) Deje Pu1v2 ser un camino más corto en G ′ y Puv sea su proyección a V. Por (8.2), dG′(u 1, v2) = l(Pu1v2) > l(Puv) ≥ dG(u, v). Puesto que no hay borde de G uniendo vértices en V1 \ V2 y V2 \ V1, un más corto ruta en G de u a v debe contener un vértice x • V1 • V2. Desde G1 y G2 son subgrafías isométricas, hay rutas más cortas Pux en G1 y Pxv en G2 tales que su unión es un camino más corto de u a v. Entonces, por la desigualdad del triángulo y parte (i) de la prueba, tenemos (cf. Gráfico 8.1) dG′(u 1, v2) ≤ dG′(u 1, x1) + dG′(x 1, x2) + dG′(x 2, v2) = dG(u, v) + 1. Las dos últimas fórmulas mostradas implican dG′(u 1, v2) = dG(u, v) + 1. Desde u1 • V ′1 y v 2 V ′2 el camino Pu1v2 debe contener un borde, digamos x 1x2, en M. Dado que este camino es un camino más corto en G′, este borde es único. Luego el segundo... ciones Pu1x1 y Px2v2 de Pu1v2 son los caminos más cortos en V 1 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 2o, respectivamente. Claramente, Puv es un camino más corto en G. Dejar a1a2 ser un borde en el emparejamientoM = xV1~V2{x 1x2}. Este borde define cinco conjuntos fundamentales (cf. Sección 4: los semicubos Wa1a2 y Wa2a1, los conjuntos de vértices Ua1a2 y Ua2a1, y el conjunto de bordes Fa1a2. El siguiente teorema sigue inmediatamente desde Lemma 8.1. Da una pista a una conexión entre el proceso de expansión y cubos parciales. Teorema 8.1. Que G′ sea una expansión de un gráfico G conectado y anotaciones se elijan como se ha indicado anteriormente. Entonces i) Wa1a2 = V 1 y Wa2a1 = V 2 son semicubos convexos de G (ii) Fa1a2 =M define un isomorfismo entre subgrafías inducidas "Ua2a1", que son isomórficos para el subgrafo G1 "G2". El resultado del Teorema 8.1 justifica la siguiente definición constructiva de el proceso de contracción. Definición 8.2. Dejar ab ser un borde de un gráfico G′ conectado = (V ′, E′) tal i) Semicubos Wab y Wba son convexos y forman una partición de V (ii) el conjunto Fab es un emparejamiento y define un isomorfismo entre subgrafías "Uab" y "Uba". Un gráfico G obtenido de los gráficos Wabá y Wabá por pegarlos a lo largo de Se dice que las subgrafías Uab y Uba son una contracción del gráfico G Observación 8.1. Si G′ es bipartito, entonces semicubesWab y Wba forman una partición de su vértice. Entonces, por Teorema 4.1, la condición (i) implica la condición (ii). Por lo tanto cualquier par de semicubos convexos opuestos en un gráfico bipartito conectado define un contracción de este gráfico. Por Teorema 8.1, un gráfico es una contracción de su expansión. No es difícil. para ver que cualquier gráfico conectado es también una expansión de su contracción. Los siguientes tres ejemplos dan ilustraciones geométricas para la expansión y procedimientos de contracción. Ejemplo 8.1. Que a y b sean dos vértices opuestos en el gráfico G = C4. Claramente, los dos caminos distintos P1 y P2 de a a b son subgrafías isométricas de G que define una expansión G′ = C6 de G (véase la figura 8.2). Tenga en cuenta que P1 y P2 no son subconjuntos convexos de V. Ejemplo 8.2. Se muestra otra expansión isométrica del gráfico G = C4 En la figura 8.3. Aquí, el camino P1 es el mismo que en el ejemplo anterior y G2 = G. Ejemplo 8.3. Lemma 8.1 afirma, en particular, que la proyección de un ruta en una extensión G′ de un grafG es un camino más corto en G. En términos generales, Figura 8.2: Expansión del ciclo C4. Figura 8.3: Otra expansión isométrica del ciclo C4. lo contrario no es cierto. Considere el gráfico G que se muestra en la Figura 8.4 y dos rutas en G: V1 = abcef y V2 = bde. El gráfico G′ de la figura 8.4 es la expansión convexa de G con respecto a V1 y V2. El camino abdef es un camino más corto en G; no es una proyección de un más corto ruta en G′. Figura 8.4: Un camino más corto que no es una proyección de un camino más corto. Se puede decir que, en el caso de los cubos parciales finitos, el procedimiento de contracción se define por una proyección ortogonal de un hipercubo sobre una de sus facetas. Por el teorema 8.1, los conjuntos V ′1 y V 2 son semicubos opuestos del gráfico G definido por los bordes en M. Sus proyecciones son los conjuntos V1 y V2 que no son necesariamente semicubos de G. Para otros semicubos en G′ tenemos lo siguiente resultado. Lemma 8.2. Para dos vértices adyacentes u, v â € V, Wuivi = p −1(Wuv) para u, v • Vi e i = 1, 2. Prueba. Por Lemma 8.1, dG′(x j, ui) < dG′(x j, vi) dG(x, u) < dG(x, v) para x V e i, j = 1, 2. El resultado es el siguiente. Corolario 8.1. Si uv es un borde de G1 â ¬ G2, entonces Wu1v1 = Wu2v2. El siguiente lema es una consecuencia inmediata de Lemma 8.1. Lo haremos. usarlo implícitamente en nuestros argumentos más tarde. Lemma 8.3. Let u, v • V1 y x • V1 • V2. Entonces x1 â € ¢Wu1v1 â € ~ x 2 â € ¢Wu1v1. El mismo resultado se mantiene para semicubos en la forma Wu2v2. En términos generales, la proyección de un subgráfico convexo de G′ no es una vex subgraph de G. Por ejemplo, la proyección de la ruta convexa b2d2e2 en Figura 8.4 es la ruta bde que no es un subgrafo convexo de G. En el otro mano, tenemos el siguiente resultado. Teorema 8.2. Que G′ = (V ′, E′) sea una expansión de un gráfico G = (V,E) con respecto a los subpárrafos G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2). La proyección de un semicubo convexo de G′ diferente de â € ¢V ′1â € y â € € TM V 2 es un semicubo convexo de G. Prueba. Basta con considerar el caso cuando Wuv = p(Wu1v1) para u, v. Teorema 8.2). Let x, y â € ¢Wuv y z â € € TM V ser un vértice tal que dG(x, z) + dG(z, y) = dG(x, y). Tenemos que demostrar que z â € ¢Wuv. Figura 8.5: Un camino más corto de x a y. (i) x, y V1 (el caso en que x, y V2 es tratado de manera similar). Supón que z â € ¢ V1. Entonces x 1, y1, z1 + V ′1 y, por Lemma 8.1, dG′(x 1, z1) + dG′(z 1, y1) = dG′(z 1, y1). Desde x1, y1 â € ¢ Wu1v1 y Wu1v1 es convexo, z 1 Wu1v1. Por lo tanto, z ́Wuv. Supongamos ahora que z â ¬ V2 \ V1. Considere un camino más corto Pxy en G de x a y que contiene z. Esta ruta contiene vértices x′, y′ â € ¢ V1 â € TM V2 tales que (ver Gráfico 8.5) dG(x, x ′) + dG(x ′, z) = dG(x, z) y dG(y, y ′) + dG(y ′, z) = dG(y, z). Puesto que Pxy es un camino más corto en G, tenemos dG(x, x ′) + dG(x ′, y) = dG(x, y), dG(x, y ′) + dG(y ′, y) = dG(x, y), ′, z) + dG(z, y ′) = dG(x ′, y′). Desde x, x′, y V1, tenemos x 1, x′1, y1 V ′1. Porque x 1, y1 Wu1v1 y Wu1v1 es convexo, x′1 • Wu1v1. Por lo tanto, x ′ Wuv y, de manera similar, y ′ Wuv. Desde x′2, y′2, z2 V ′2 y Wu1v1 es convexo, z 2 â € ¢Wu1v1. Por lo tanto, z ́Wuv. ii) x V1 \V2 y y V2 \V1. Podemos suponer que z â € V1. Por Lemma 8.1, dG′(x 1, y2) = dG(x, y) + 1 = dG(x, z) + dG(z, y) + 1 = dG′(x 1, z1) + dG′(z 1, y2). Ya que x1, y2 Wu1v1 y Wu1v1 es convexo, z 1 Wu1v1. Por lo tanto, z ́Wuv. Al utilizar los resultados de Lemma 8.1, no es difícil demostrar que la clase de los gráficos bipartitos conectados se cierra bajo la expansión y la contracción operaciones. El siguiente teorema establece este resultado para la clase de parcial cubos. Teorema 8.3. (i) Una expansión G′ de un cubo parcial G es un cubo parcial. ii) Una contracción G de un cubo parcial G′ es un cubo parcial. Prueba. i) Que G = (V,E) sea un cubo parcial y que G′ = (V ′, E′) sea su expansión con respecto a los subgráficos isométricos G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2). Por Teorema 3.4 ii), basta con demostrar que las semicubas de G′ son convexas. Por Lemma 8.1, las semicúbicas "V" y "V" 2° son convexos, por lo que consideramos un semicubo en la formaWu1v1 donde uv E1 (el otro caso se trata de manera similar). Que Px′y′ sea un camino más corto que conecta dos vértices en Wu1v1 y Pxy sea su Proyección a G. Por Teorema 8.2, x, y Wuv y, por Lemma 8.1, Pxy es un sendero más corto en G. Puesto que Wuv es convexo, Pxy pertenece a Wuv. Dejad z ′ ser a vértice en Px′y′ y z = p(z) ′) • Pxy. Por Lemma 8.1, dG(z, u) < dG(z, v)  dG′(z) ′, u1) ≤ dG′(z ′, v1). Dado que G′ es un gráfico bipartito, dG′(z ′, u1) < dG′(z ′, v1). Por lo tanto, Px′y′ Wu1v1, Wu1v1 es convexo. ii) Que G = (V,E) sea una contracción de un cubo parcial G′ = (V ′, E′). Por Teorema 3.4, tenemos que demostrar que las semicubas de G son convexas. Por... orem 8.2, todos los semicúbitos de G son proyecciones de semicúbitos de G′ distintas de V ′1° y V 2o.............................................................................................................................................. Por Teorema 8.2, las semicubas de G son convexas. Corolario 8.2. (i) Un gráfico conectado finito es un cubo parcial si y sólo si se puede obtener de K1 por una secuencia de expansiones. ii) El número de expansiones necesarias para producir un cubo parcial G a partir de K1 es dimI(G). Prueba. i) Sigue inmediatamente desde el Teorema 8.3. ii) Seguimientos de los teoremas 8.2 y 5.1 (véase el análisis de la sección 5 antes del teorema 5.2 ). Los procesos de expansión y contracción admiten descripciones útiles en el caja de cubos parciales en un set. Let G = (V,E) ser un cubo parcial en un conjunto X, es un subgrafo isométrico del hipercubo H(X). Entonces es inducido por algunos wg-familia F de subconjuntos finitos de X (cf. Teorema 2.1). Podemos asumir (ver En la sección 5 ) se indica que « F » = » y « F » = « X ». En lo que sigue presentamos pruebas de los resultados de Teorema 8.3 y Corol- 8.2 dado en términos de wg-familias de conjuntos. El proceso de expansión de un cubo parcial G en X se puede describir de la siguiente manera: Que F1 y F2 sean wg-familias de subconjuntos finitos de X de tal manera que F1 â € TM F2 6= â € TM, F1°F2 = F, y la distancia entre cualquiera de los dos conjuntos P °F1 \F2 y Q °F2 \F1 es mayor que uno. Nótese que F1 y F2 son cubos parciales, F1 y F2 y F1oF2oF2oF = F2oF = G. Let X ′ = X + {p}, donde p /+ X, y 2 = {Q+ {p} : Q {F2], F ′ = F1 + F Es bastante claro que los gráficos â € ¢ F′2â € TM y â € TM F2â € TM son isomórficos y el gráfico G′ = F es una expansión isométrica del gráfico G. Teorema 8.4. Una expansión de un cubo parcial es un cubo parcial. Prueba. Tenemos que verificar que F′ es una familia wg de subconjuntos finitos de X ′. Por Teorema 2.3, basta con demostrar que la distancia entre cualquiera de dos adyacentes conjuntos en F′ es 1. Es obvio si cada uno de estos dos conjuntos pertenecen a una de las familias F1 o F 2. Supongamos que P â € F1 y Q+ {p} â € F 2 son adyacentes, es decir, para cualquier S, F, tenemos P (Q+ {p}) S P (Q+ {p}) S = P o S = Q+ {p}. (8.3) Si Q â € ¢ F1, entonces P • (Q + {p}) • • Q P • (Q+ {p}), Desde p/ P. Por (8.3), Q = P implica d(P,Q + {p}) = 1. Si Q â € F2 \ F1, hay R â € F1 â € F2 tales que d(P,R) + d(R,Q) = d(P,Q), ya que F está bien calificado. Por Teorema 2.2, P #Q # R # P # Q # lo que implica P (Q + {p}) R+ {p} P (Q+ {p}). Por (8.3), R + {p} = Q+ {p}, una contradicción. Es fácil reconocer los conjuntos fundamentales (cf. Sección 4) en un isométrico expansion G′ de un cubo parcial G = â € € ¢ Fâ € € TM. Let P-F1-F2 y Q = P-P-P-F ser dos vértices que definan un borde en G′ de acuerdo con la definición 8.1 ii). Claramente, las familias F1 y F 2 son los semicubos WPQ y WQP del gráfico G ′ (cf. Lemma 5.1) y por lo tanto son subconjuntos convexos de F′. El set FPQ es el set de bordes definidos por p como en Lemma 5.1. Además, UPQ = F1 + F2 y UQP = {R+ {p} : R • F1 • F2}. Dejar G ser un cubo parcial inducido por un wg-familia F de subconjuntos finitos de un conjunto X. Al igual que antes, suponemos que "F" = "F" y "F" = "X". Que PQ sea un borde de G. Se puede suponer que Q = P + {p} para algunos p / P. Entonces (ver Lemma 5.1) WPQ = {R + F : p /+ R} y WQP = {R + F : p + R}. Let X ′ = X \ {p} y F′ = {R \ {p} : R {F}. Está claro que el gráfico G′ inducido por la familia F′ es isomórfica a la contracción de G definida por el Edge PQ. Geométricamente, el gráfico G′ es la proyección ortogonal del gráfico G a lo largo del borde PQ (cf. Figuras 8.2 y 8.3). Teorema 8.5. i) Una contracción G′ de un cubo parcial G es un cubo parcial. ii) Si G es finito, entonces dimI(G ′) = dimI(G)− 1. Prueba. (i) En el caso de las palabras " X " definimos " F1 = " R " ; " F2 " ; " R " ; " F2 " ; " R " ; " F2 " ; " F2 " ; " P " ; " R " ; y F′2 = {R \ {p} {F}: p {R}. Tenga en cuenta que F1 y F2 son semicubos de G y F′2 es isométrica a F2. Por lo tanto, F1 y F 2 son wg-familias de subconjuntos finitos de X ′. Tenemos que demostrar que F′ = F1 + F 2 es una familia wg. Por Teorema 2.3, basta con demostrar que d(P,Q) = 1 para cualquiera de los dos conjuntos adyacentes P,Q • F′. Esto es cierto si P,Q + F1 o P,Q + F 2, ya que estas dos familias están bien calificadas. Por F1 \ F 2 y Q-F 2 \ F1, los conjuntos P y Q + {p} no son adyacentes en F, ya que F está bien calificado y Q /+ F. Por lo tanto hay R + F1 tal que P (Q+ {p}) R P (Q + {p}) y R 6= P. Desde p /+ R, tenemos P # Q # R # P # Q. Puesto que R 6= P y R 6= Q, los conjuntos P y Q no son adyacentes en F′. El resultado sigue. (ii) Si G es un cubo parcial finito, entonces, por Teorema 5.2, dimI(G) ′) = X = X − 1 = dimI(G)− 1. 9 Conclusión El documento se centra en dos temas de carácter matemático bastante general. 1. El problema de la caracterización. Es una práctica común en matemáticas caracterizar una clase particular de objeto en términos diferentes. Presentamos nuevo caracterizaciones de las clases de gráficos bipartitos y cubos parciales, y dar nuevas pruebas de resultados de caracterización conocidos. 2. Construcciones. El problema de construir nuevos objetos a partir de objetos antiguos es un tema estándar en muchas ramas de las matemáticas. Para la clase de parcial cubos, discutimos las operaciones de la formación del producto cartesiano, la expansión y la contracción, y pegar. Se muestra que la clase de cubos parciales está cerrada en el marco de estas operaciones. Debido a que los cubos parciales se definen como gráficos isométricamente incrustables en hipercubes, la teoría de cubos parciales tiene un sabor geométrico distintivo. Los tres estructuras principales en un gráfico—semicubes y Djoković’s y Winkler’s relaciones—se definen en términos de la estructura métrica en un gráfico. Uno puede decir que esta teoría es una rama de la geometría métrica discreta. No es de extrañar, geo- estructuras métricas juegan un papel importante en nuestro tratamiento de la caracterización y problemas de construcción. Bibliografía [1] A.S. Asratian, T.M.J. Denley, y R. Häggkvist, gráficos bipartitos y sus solicitudes, Cambridge University Press, 1998. [2] D. Avis, Espacios hipermétricos y el cono de Hamming, Canadian Journal of Matemáticas 33 (1981) 795–802. [3] L. Blumenthal, Teoría y Aplicaciones de la Geometría a Distancia, Oxford University Press, Londres, Gran Bretaña, 1953. [4] J.A. Bondy, Teoría básica del gráfico: Caminos y circuitos, en: R.L. 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Matemáticas. 8 (1984) 209–212. http://arxiv.org/abs/math.CO/0512282 Introducción Hipercubos y cubos parciales Caracterizaciones Conjuntos fundamentales en cubos parciales Dimensiones de cubos parciales Subcubes y productos cartesianos Pegar cubos parciales Expansiones y contracciones de cubos parciales Conclusión
704.001
Computing genus 2 Hilbert-Siegel modular forms over $\Q(\sqrt{5})$ via the Jacquet-Langlands correspondence
COMPUTANDO GENUS 2 HILBERT-SIEGEL MODULAR FORMULARIOS SOBRE Q( 5) VIA LAS JACQUETAS-LANGLANDAS CORRESPONDENCIA CLIFTON CUNNINGHAM Y LASSINA DEMBÉLÉ Resumen. En este artículo presentamos un algoritmo para la computación de Hecke eigensystems de Hilbert-Siegel formas cúspide sobre los campos cuadráticos reales de clase estrecha número uno. Damos algunos ejemplos ilustrativos usando el Campo cuadrático Q( 5). En esos ejemplos, identificamos a Hilbert-Siegel eigenforms que son posibles levantamientos de Hilbert eigenforms. Introducción Dejar F ser un campo cuadrático real de clase estrecha número uno y dejar B ser el singular (hasta isomorfismo) quaternion álgebra sobre F que se ramifica en ambos lugares arquimedienses de F y no ramificados en todas partes. Dejar GU2(B) ser el grupo de similitudes unitarias de B+2. Este es el conjunto de puntos Q-racionales de un grupo algebraico GB definido sobre Q. El grupo GB es una forma interna de G := ResF/Q(GSp4) de tal manera que G B(R) es un módulo compacto de su centro. (Estos las nociones se revisan al principio de la sección 1.) En este artículo desarrollamos un algoritmo que calcula las formas automórficas sobre GB en el siguiente sentido: dado un idealN inOF y un entero k mayor que 2, el algoritmo devuelve los sistemas Hecke eigen de todos los automórficos formas f del nivel N y el peso paralelo k. Más precisamente, dado un p primo en OF, el algoritmo devuelve los valores propios Hecke de f en p, y por lo tanto el Euler factor Lp(f, s), para cada eigenform f del nivel N y peso paralelo k. El algoritmo es una generalización del desarrollado en [D1 2005] a la Caso del género 2. Aunque sólo hemos descrito el algoritmo en el caso de un campo cuadrático real en este documento, debe quedar claro de nuestra presentación que se puede adaptar a cualquier campo de número totalmente real de clase estrecha Número uno. La correspondencia Jacquet-Langlands del título se refiere a la conjec- mapa turístico JL : Π(GB) → Π(G) de las representaciones automórficas de GB a representaciones automórficas de G, que es inyectora, coincide con las funciones L y disfruta de otras propiedades compatibles con el principio de funcionamiento; Fecha: 29 de octubre de 2018. 1991 Clasificación del sujeto de las matemáticas. Primaria: 11F41 (Hilbert e Hilbert-Siegel) formas modulares). Palabras y frases clave. Hilbert-Siegel formas modulares, Jacquet-Langlands Correspon- Dence, matrices de Brandt, parámetros de Satake. http://arxiv.org/abs/0704.001v3 2 CLIFTON CUNNINGHAM Y LASSINA DEMBÉLÉ en particular, la imagen de la correspondencia Jacquet-Langlands debe ser contenido en el espacio de representaciones automórficas holomórficas. Si nosotros admitir esta conjetura, a continuación, el algoritmo anterior proporciona una manera de producir ejemplos de formas modulares cúspides Hilbert-Siegel del género 2 sobre F y nos permite calcular los factores L de la réplica automórfica correspondiente- sentaciones para los primos finitos arbitrarios p de F. De hecho, también somos capaces de utilizar estos cálculos para proporcionar pruebas para la Correspondencia de Jacquet-Langlands comparando los factores de Euler encontramos con las de formas modulares conocidas Hilbert-Siegel obtenidas por elevación. Esto lo hacemos en la sección final del documento donde observamos que algunos de los factores Euler que calculamos coinciden con los de los ascensores de Hilbert formas modulares, para los primos que calculamos. A pesar de que esto no establece definitivamente que estas formas modulares Hilbert-Siegel son de hecho ascensores, en principio uno puede establecer la igualdad de esta manera, utilizando un análogo de la unión Sturm. El primer enfoque sistemático de las formas modulares de Siegel a partir de un computa- El punto de vista nacional se debe a Skoruppa [Sk 1992] que utilizó Jacobi símbolos para generar espacios de tales formas. Su algoritmo, que ha sido extensamente explotado por Ryan [R 2006], se aplica sólo al caso de la estructura de nivel completo. Más recientemente, Faber y van der Geer [FvdG1 2004] y [FvdG2 2004] También produjo ejemplos de formas modulares de Siegel contando puntos en hy- curvas perelípticas del género 2; de nuevo sus resultados sólo están disponibles en el Caso de estructura de nivel completo. El progreso más sustancial hacia la com- la colocación de formas modulares Siegel para la estructura de nivel adecuada es por Gunnells [Gu 2000] que extendió la teoría de los símbolos modulares al simplés grupo Sp4/Q. Sin embargo, este trabajo no ve la cohomología cúspida, que es la única parte de la cohomología que es relevante para la aritmética aplicaciones geométricas. Hasta donde sabemos, no hay numerador... ejemplos de formas modulares Hilbert-Siegel para la estructura de nivel adecuada en la literatura, con la excepción de los producidos a partir de levantamientos de Hilbert formas modulares. El esbozo del documento es el siguiente. En la Sección 1 recordamos lo básico propiedades de Hilbert-Siegel formas modulares y formas automórficas algebraicas junto con la correspondencia Jacquet-Langlands. En la Sección 2 damos una descripción detallada de nuestro algoritmo. Finalmente, en la Sección 3 presentamos resultados numéricos para el campo cuadrático Q( Agradecimientos. Durante la preparación del presente documento, el segundo autor tuvo intercambios de correo electrónico útiles con varias personas includ- ing Alexandru Ghitza, David Helm, Marc-Hubert Nicole, David Pollack, Jacques Tilouine y Eric Urban. Los autores desean darles las gracias a todos. Además, nos gustaría agradecer a William Stein por permitirnos usar el SAGE clúster de computadoras en la Universidad de Washington. Y finalmente, el segundo... ond autor quisiera dar las gracias al Instituto PIMS por su postdoctoral apoyo de becas, y la Universidad de Calgary por su hospitalidad. COMPETENCIA DE FORMAS MODULARES HILBERT-SIEGEL 3 1. Hilbert-Siegel formas modulares y Jacquet-Langlands correspondencia A lo largo de este artículo, F denota un campo cuadrático real de clase estrecha Número uno. Los dos lugares arquimedienses de F y las incrustaciones reales de F será denotado v0 y v1. Por cada â € ¢ F, escribimos a0 (resp. a1) para la imagen de un sub v0 (resp. v1). El anillo de números enteros de F se denota por OF. Para cada ideal principal p en OF, la terminación de F y OF en p será denotado por Fp y OFP, respectivamente. Que B sea el único (hasta el isomorfismo) totalmente definido quaternion al- gebra sobre F que no se ramified en todos los primos finitos de F. Fijamos un máximo Orden OB de B. Además, elegimos un campo de división K/F de B que es Ga- lois sobre Q y tal que existe un isomorfismo j : OB Z OK M2(OK)+M2(OK), donde M2(A) denota el anillo de 2× 2 matrices con entradas de un anillo A. Por cada p primo finito en F, arreglamos un isomorfismo Bp = M2(Fp) que se restringe a un isomorfismo del OB, p a M2(OFP ). El grupo algebraico G = ResF/Q(GSp4) se define como sigue. Para cualquier Q-álgebra A, el conjunto de puntos A-racionales de G es dado por G(A) = γ GL4 (AQ F ) t = /G(γ)J2 /G(γ) (AQ F )× donde −12 0 Este grupo admite un modelo integral con puntos A-racionales para cada Z- álgebra A dado por GZ(A) = γ GL4(AZ DE ) t = /G(γ)J2 /G(γ) (AZ de )× Para cualquier Q-álgebra A, la conjugación en B se extiende de una manera natural a la matriz álgebra M2(B Q A). El grupo algebraico GB/Q se define como sigue. Para cualquier Q-álgebra A, el conjunto de puntos A-racionales de GB es dado por GB(A) = γ M2(B Q A) t = /GB(γ)12 /GB (γ) (AQ F )× Este grupo también admite un modelo integral con puntos A-racionales para cada Álgebra-Z dada por GBZ (A) = γ M2(OB Z A) t = /GB(γ)12 /GB (γ) (AZ de )× El grupo GB/Q es una forma interna de G/Q tal que GB(R) es compacto modulo su centro. Combinación del isomorfismo j (véase más arriba) con con- por una matriz de permutación, se obtiene un isomorfismo GBZ (OK) = 4 CLIFTON CUNNINGHAM Y LASSINA DEMBÉLÉ GZ(OK), que arreglamos a partir de ahora. Para cada p ideal primo en F, el split- el valor de GB en p equivale a la división del álgebra cuaternión B en p; nos remitimos a [D1 2005] para más detalles. Por la elección del álgebra cuaternión B, tenemos GB(Q+) = G(Q+). (Nosotros denota los adèles finitos de Q (resp. Z) de Qáš (resp. )). 1.1. Hilbert-Siegel formas modulares. Fijamos un entero k ≥ 3 y, para simplicidad, nos limitamos a Hilbert-Siegel formas modulares de paralelo peso k. Las incrustaciones reales v0 y v1 de F se extienden a G(Q) = GSp4(F) de una manera natural. Denotamos por GSp+4 (F) el subgrupo de elementos γ con factor de similitud totalmente positivo /G(γ). Recordamos que la mitad superior de Siegel el plano del género 2 está definido por H2 = GL2(C) γt = γ e Im(γ) es positivo definido }. También recordamos que GSp+4 (F) actúa en H (­0, ­1) := (a0-0 + b0)(c0-0 + d0) −1, (a11,1 + b1)(c1,1 + d1) Esto induce una acción en el espacio de funciones f : H22 → C por , f kγ() = /G(γi) det(ciđi + di)k f(l). Deja que N sea un ideal en OF y set 0(N) = GSp+4 (OF) * c * 0 (N) Una forma modular Hilbert-Siegel de nivel N y peso paralelo k es un función holomórfica f : H22 → C tal que = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ; = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = El espacio de Hilbert-Siegel formas modulares de peso paralelo k y nivel N es Mk(N). Cada f-Mk(N) admite una expansión de Fourier, que por el principio Koecher toma la forma H22, f(l) = {Q0} 2ηiTr(Ql), donde Q â € M2(F ) pasa por encima de todo simétrico totalmente positivo y semi-definido matrices. A Hilbert-Siegel formas modulares f es una forma cúspide si, para todos γ 4 (F), el término constante en la expansión de Fourier de f kγ es cero. Los espacio de Hilbert-Siegel formas cúspide se denota Sk(N). COMPETENCIA DE FORMAS MODULARES DE HILBERT-SIEGEL 5 1.2. El álgebra de Hecke. El espacio Sk(N) viene equipado con un Hecke acción, que ahora recordamos. Tómese u • GSp+4 (F ) • M4(OF ), y escriba el unión finita desarticulada 0(N)u0(N) = 0(N)ui. A continuación, el operador Hecke en Sk(N) es dado por [­0(N)u­0(N)]f = f kui. Dejar p ser un ideal principal en OF y dejar πp ser un generador totalmente positivo de p; dejar que T1(p) y T2(p) sean los operadores Hecke correspondientes al doble Cosetes de las matrices de similitudes simplécticas 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ηp 0 0 0 0 ηp 1 0 0 0 0 γp 0 0 0 0 γ2p 0 0 0 0 ηp respectivamente. (Recordamos al lector de la forma simpléctica J2 fijado en el comienzo de la sección 1.) El álgebra Hecke Tk(N) es la álgebra Z generado por los operadores T1(p) y T2(p), donde p se ejecuta sobre todos los primos no dividiendo N. 1.3. Algebraico Hilbert-Siegel formas autormórficas. Sólo consideramos estructura de nivel del tipo Siegel. Es decir, definimos el subgrupo abierto compacto U0(N) de G(Q®) por U0(N) = GSp4(OFP)× ep ), donde N = pN p ep y ep ) := GSp4(OFP) # C # 0 mod pep # La representación del peso se define de la siguiente manera. Que Lk sea el representante... envío de GSp4(C) de mayor peso (k− 3, k− 3). Dejamos que Vk = Lk Lk y definir la representación compleja (lk, Vk) por lk : G B(R) GL(Vk), donde la acción sobre el primer factor es a través de v0, y la acción sobre el segundo uno es a través de v1. El espacio de las formas modulares algebraicas Hilbert-Siegel de peso k y nivel N viene dado por MBk (N) := f : GB(Q+)/U0(N) → Vk # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 6 CLIFTON CUNNINGHAM Y LASSINA DEMBÉLÉ donde f kγ(x) = f(γx)γ, para todos los x GB(Q)/U0(N). Cuando k = 3, dejamos IBk (N) := f : GB(Q)\GB(Q)/U0(N) → C # F es constante # Entonces, el espacio algebraico Hilbert-Siegel cúsp formas de peso k y nivel N está definido por SBk (N) := MBk (N) si k > 3, MBk (N)/I k (N) si k = 3. La acción del álgebra de Hecke en SBk (N) se da como sigue. Para cualquier u G(Q®), escriba la unión finita disjunta U0(N)uU0(N) = uiU0(N), y definir [U0(N)uU0(N)] : S k (N) → SBk (N) f 7→ f k[U0(N)uU0(N)], f k[U0(N)uU0(N)](x) = f(xui), x (+) G(+). Para cualquier primo p N, que p sea un uniformizador local en p. El local Hecke alge- bra en p es generado por los operadores Hecke T1(p) y T2(p) correspondientes al doble U0(N)-cosetes 1(p) y 2(p) de las matrices 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 p 0 0 0 0 p 1 0 0 0 0 p 0 0 0 0 2 0 0 0 p respectivamente. Dejamos que TBk (N) sea el álgebra Hecke generada por T1(p) y T2(p) para todos los primos p N. 1.4. La Correspondencia Jacquet-Langlands. Los módulos Hecke Sk(N) y SBk (N) están relacionados por la siguiente conjetura conocida como el Jacquet- Correspondencia de Langlands para grupos de similitud simpléctica. Conjetura 1. Los álgebras Hecke Tk(N) y T k (N) son isomórficos y hay un isomorfismo compatible de los módulos de Hecke SK(N) SBk (N). Es común, pero tal vez no del todo exacto, atribuir esta Yeso a Jacquet-Langlands. Por lo que sabemos, el correspon- dence en esta forma fue discutido por primera vez por Ihara [Ih 1964] en el caso F = Q. In [Ib 1984], Ibukiyama proporcionó algunas pruebas numéricas. Por otra parte, es apropiado referirse a la conjetura 1 como el Jacquet-Langlands Corre- spondence (para GSp(4)) ya que es un análogo de los Jacquet-Langlands COMPETENCIA DE FORMAS MODULARES HILBERT-SIEGEL 7 Correspondencia (para GL(2)) que relaciona representaciones automórficas de el grupo multiplicativo de un álgebra cuaternión con cierto automórfico representaciones de GL(2) (véase [JL 1970]). Ambas correspondencias son, a su vez, las consecuencias especiales del principio de funtorialidad, tal como lo expone Lang- tierras. Por último, parece que la conjetura 1 puede ser pronto un teorema debido a el trabajo de [So 2008] y el próximo libro de James Arthur sobre auto- Representaciones mórficas de grupos clásicos. 2. El Algoritmo En esta sección, presentamos el algoritmo que usamos para calcular el módulo Hecke de formas modulares (algebraicas) Hilbert-Siegel. El principal suposición en esta sección es que el número de clase del género principal de GB es 1. (Nos referimos a [D3 2007] para ver cómo se puede relajar esta condición en el número de clase.) Recordamos que como B es totalmente definitiva, GB satis- fies Proposición 1.4 en Gross [Gr 1999]. Por lo tanto, el grupo GB(R) es compacto modulo su centro, y = GB(Z)/O×F es finito. Para cualquier p primo en F, dejar Fp = OF /p ser el campo de residuos en p y definir el mapa de reducción M2(OB, p) → M4(Fp) g 7→ g donde utilizamos la división de OB,p que se fijó al principio de la Sec- 1o período de sesiones de la Conferencia de las Partes en calidad de reunión de las Partes en el Protocolo de Kyoto. Ahora, elegir un generador totalmente positivo πp de p y poner *1(p) :=* u M2(OB) • uūt = ηp12 y rango(gū) = 2 *2(p) :=* u M2(OB) • uūt = η2 12 y rango(gΦ) = 1 Dejamos H20(N) = G()/U0(N). A continuación, el grupo actúa en H20(N), por lo tanto, en el espacio de funciones f : H20(N) → Vk por *x* H20(N),*, f kγ(x) := f(γx)γ. Teorema 2. Hay un isomorfismo de los módulos de Hecke MBk (N) f : H20(N) → Vk f kγ = f, γ donde la acción Hecke en el lado derecho es dada por f kT1(p) = u1(p) f ku, f kT2(p) = u2(p) f ku. Prueba. El mapa canónico *: GB(Z)\GB()/U0(N) → GB(Q)\GB(Q)/U0(N) es una inyección. Haciendo uso del hecho de que el número de clase en el principal género de GB es uno (GB(Q+) = GB(Q)GBZ ()), vemos que 8 CLIFTON CUNNINGHAM Y LASSINA DEMBÉLÉ Biyección. Dado que cada elemento f • MBk (N) está determinado por sus valores en una conjunto de representantes coset de GB(Q)\GB(Q)/U0(N), el mapa isomorfismo de espacios vectoriales complejos MBk (N) f : H20(N) → Vk f kγ = f, γ f 7 f â â € ¬. Convertimos esto en un isomorfismo del módulo Hecke definiendo la acción Hecke en el lado derecho, como se indica en la declaración del teorema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. En el resto de esta sección, explicamos los pasos principales del algoritmo proporcionado por el Teorema 2. 2.1. El cociente H20(N). Mantener las anotaciones de la sección anterior, Recordamos que N = pN p ep. Let p ser una primera división N y considerar la rango 4 libre OFp/pep -módulo L = OFp/pep dotado con el simplés emparejamiento, dado por la matriz −12 0 donde 12 es la matriz de identidad en M2(OFP/pep ). Deja que M sea un rango 2 OFp/pep -submódulo que es un factor directo en L. Decimos que M es isótropo si, v = 0 para todos u, v + M. Recordamos que GSp4(OFP ) actúa transicionalmente en el conjunto de rango 2, isotrópico OFp/pep -submódulos de L y que el estabilizador del submódulo generado por e1 = (1, 0, 0, 0) T y e2 = (0, 1, 0, 0) T es U0(p ep ). El cociente H20(pep ) = GSp4(OFP )/U0(pep ) es el conjunto de rango 2, isotrópico OFp/pep -submódulos de L. A través de la reducción mapa ÔF → OF /N, el cociente GZ()/U0(N) se puede identificar con el producto H20(N) = H20(pep ). La cardinalidad de H20(N) es extremadamente útil y se determina utilizando el siguiendo el lema. Lemma 1. Dejar p ser un primo en F y ep ≥ 1 un entero. Entonces, el cardi... nalidad del conjunto H20(pep ) es dada por #H20(pep) = N(p)3(ep−1)(N(p) + 1)(N(p)2 + 1). Prueba. Para ep = 1, la cardinalidad de la variedad Lagrange sobre lo finito campo Fp = OF /p se da por (N(p) + 1)(N(p)2 + 1). Proceder por inducción en ep. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Tenemos más que decir sobre los elementos de H20(pep) en la subsección 2.5. COMPETENCIA DE FORMAS MODULARES HILBERT-SIEGEL 9 2.2. Matrices de Brandt. Let F = {x1,. .., xh} ser un dominio fundamental para la acción de Ł sobre H20(N) y, para cada i, dejar que Łi sea el estabilizador de xi. Entonces, cada elemento en MBk (N) está completamente determinado por sus valores en F. Por lo tanto, hay un isomorfismo de espacios complejos MBk (N) → f 7→ (f(xi)), donde V es el subespacio de los invariantes en Vk. Para cualquier x, y H20(N), permitimos 1(x, y, p) := u â € â € 1(p) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 2(x, y, p) := u â € â € 2(p) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Proposición 3. Las acciones de los operadores de Hecke Ts(p), s = 1, 2, son: dado por las matrices de Brandt Bs(p) = (bsij(p)), donde bsji(p) : V k → V v 7→ v · us(xi, xj,p) 1u u Prueba. La prueba de la Proposición 3 sigue las líneas de [D1 2005, §3]. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 2.3. Cálculo del grupo GB(Z). Es suficiente para calcular el subgrupo • que consiste en los elementos en GB(Z) con el factor de similitud 1. Pero es fácil. para ver eso. u, v â € ¢ O1B u, v â € ¢ O1B donde O1B es el grupo de elementos de la norma 1. 2.4. Cálculo de los sets 1(p) y 2(p). Consideremos la cuadrática forma en el espacio vector V = B2 dado por V → F a, b) 7→ (a, b) := nr(a) + nr(b), donde nr es la norma reducida en B. Esto determina una forma interior V × V → F (u, v) 7→ «U», «Vá», «Vá». Un elemento de 1(p) (resp. M2(OB) es una matriz unitaria respeto a esta forma interior de tal manera que la norma de cada fila es p (resp. η y el rango de la matriz reducida es 1). Así que primero empezamos por la computación todos los vectores u = (a, b) O2B tales que u = p (resp. u = γ2p). Y Para cada vector u tal, calculamos los vectores v = (c, d) O2B de la misma 10 CLIFTON CUNNINGHAM Y LASSINA DEMBÉLÉ norma de tal manera que â € ¬u, vâ € = 0. La matriz correspondiente γ = pertenece a 1 p) (resp. 2(p)) cuando su reducción mod p tenga el rango apropiado. Listamos todas estas matrices hasta la equivalencia y nos detenemos cuando llegamos a la Cardinalidad derecha. 2.5. La implementación del algoritmo. La aplicación de la El algoritmo es similar al de [D1 2005]. Sin embargo, es importante tener en cuenta cómo representamos los elementos en H20(N) para que podamos recuperarlos fácilmente una vez almacenado. Al igual que en [D1 2005] elegimos trabajar con el producto H20(N) = H20(pep ). Usando las coordenadas de Plucker, podemos ver H20(pep) como un subespacio cerrado de P5(OFp/pep ). A continuación, representamos cada elemento en H20(pep ) mediante la elección de un punto x = (a0 : · · · : a5) = [u M generada por u y v es un submódulo Lagrange, y el primer invertible Coordenada es escalado a 1. Observación 1. En [LP 2002], Lansky y Pollack describen un algoritmo que calcula formas modulares algebraicas en la misma forma interna de GSp4/Q que Usamos. Nos gustaría señalar que hay algunas diferencias entre el Dos algoritmos. Aunque [LP 2002] también utiliza la variedad de bandera H20(N) en para determinar el espacio de doble coset GB(Q)\GB(Q+)/U0(N), más tarde vuelve a la configuración de adelia con el fin de calcular las matrices de Brandt. In contraste, Teorema 2 y Proposición 3 nos permiten evitar que innecesario paso al describir la acción Hecke sobre la variedad de bandera H20(N) directamente. As un resultado, obtenemos un algoritmo que es más eficiente. 3. Ejemplos numéricos: F = Q( 5) y B = −1,−1 En esta sección, proporcionamos algunos ejemplos numéricos usando el cuadrático campo F = Q( 5). Está probado en K. Hashimoto y T. Ibukiyama [HI 1980] que, para el Hamilton quaternion álgebra B sobre F, el número de clase de el género principal de GB es uno. Utilizamos nuestro algoritmo para calcular todo el sistemas de Hecke autovalores de Hilbert-Siegel formas de cúspide de peso 3 y nivel N que se definen sobre campos cuadráticos reales, donde N se ejecuta sobre todos ideales principales de norma menos de 50. A continuación, determinamos cuál de las formas hemos obtenido son posibles levantamientos de Hilbert formas cúspide comparando el Hecke eigenvalues para esos primos. 3.1. Tablas de Hilbert-Siegel formas de cúspide de peso paralelo 3. In Tabla 1 listamos todos los sistemas de valores propios de Hilbert-Siegel formas cúspide de peso 3 y nivel N que se definen sobre campos cuadráticos reales, donde N tiene sobre todos los ideales principales en F de la norma menos de 50. Aquí están las convenciones Usamos en las mesas. COMPETENCIA DE FORMAS MODULARES DE HILBERT-SIEGEL 11 (1) Para un campo cuadrático K del discriminante D, dejamos que D sea un generador del anillo de enteros OK de K. (2) La primera fila contiene el nivel N, dado en el formato (Norm(N), α) para algún generador α â € F de N, y las dimensiones de la espacios. (3) La segunda fila enumera los operadores Hecke que han sido calculados. (4) Para cada eigenform f, los valores propios de Hecke se dan en una fila, y la última entrada de esa fila indica si el formulario f es un ascensor probable. (5) Los niveles y los eigenforms se enumeran hasta Galois conjuga- tion. Para un eigenform f y un primo dado p N, dejar a1(p, f) y a2(p, f) ser el valores propios de los operadores Hecke T1(p) y T2(p), respectivamente. Entonces el Euler factor Lp(f, s) se indica (por ejemplo, en [AS 2001, §3.4]) por Lp(f, s) = Qp(q − s)−1, donde Qp(x) = 1− a1(p, f)x+ b1(p, f)x2 − a1(p, f)q2k−3x3 + q4k−6x4, b1(p, f) = a1(p, f) 2 − a2(p, f)− q2k−4, q = N(p). 3.2. Tablas de Hilbert formas de cúspide de peso parellel 4. En la Tabla 2, lista todas las formas de cúspide Hilbert de peso paralelo 4 y nivel N que se definen sobre campos cuadráticos reales, con N corriendo sobre todos los ideales principales de la norma menos más de 50. (Se calculan utilizando el algoritmo en [D1 2005]). Usamos estos datos con el fin de determinar los formularios de la tabla 1 que son posibles elevaciones de GL2. 3.3. Elevadores. Hay dos tipos de ascensores de GL2 a GSp4. El primero. corresponde al homomorfismo de los grupos L determinado por la raíz larga incrustado en GSp4, y el segundo por la inserción de raíz corta. (Véase [LP 2002] para más detalles). Que f sea una forma de cúspide de Hilbert paralelo peso k y nivel N con Hecke eigenvalues a(p, f), donde p es un primo no Dividir N. Dejar ser el ascensor de f a GSp4 a través de la raíz larga, y • el uno a través de la raíz corta. A continuación, los valores propios Hecke de......................................................................................... a1(p, ) = a(p, f) N(p) 2 +N(p)2 +N(p) a2(p, ) = a(p, f) N(p) 2 (N(p) + 1) +N(p)2 − 1, y los valores propios Hecke de.......................................................................................................................... a1(p, ) = a(p, f) 2 − 2 a(p, f) N(p) a2(p, ) = a(p, f) N(p)4−2k − 3 a(p, f)2 N(p)3−k +N(p)2 − 1. La segunda elevación es la llamada elevación de cubos simétricos. 12 CLIFTON CUNNINGHAM Y LASSINA DEMBÉLÉ N = (4, 2) : dimMB (N) = 2, dimSB (N) = 1 T1(2) T2(2) T1( 5) T2( 5) T1(3) T2(3) ¿Elevación? f1 −4 0 20 −36 140 580 sí N = (5, 2 + 5) : dimM (N) = 2, dimSB (N) = 1 T1(2) T2(2) T1( 5) T2( 5) T1(3) T2(3) ¿Elevación? f1 20 15 -5 0 40 -420 sí N = (9, 3) : dimMB (N) = 3, dimSB (N) = 2 T1(2) T2(2) T1( 5) T2( 5) T1(3) T2(3) ¿Elevación? f1 25- 3- 41 40- 15- 41 30 + 6- 41 24 + 36- 41 - 9 0 sí N = (11, 3 + 5) : dimM (N) = 3, dimSB (N) = 2 T1(2) T2(2) T1( 5) T2( 5) T1(3) T2(3) ¿Elevación? f1 24 35 34 48 88 60 sí f2 −20 35 −10 4 0 60 n N = (19, 4 + 5) : dimM (N) = 5, dimSB (N) = 4 T1(2) T2(2) T1( 5) T2( 5) T1(3) T2(3) ¿Elevación? f1 4 11 −20 28 6 76 n f2 7 −50 15 −66 73 −90 sí f3 24 + ­161 35 + 5­161 36− ­161 60− 6­161 98− 3­161 160− 30­161 sí N = (29, 5 + 5) : dimM (N) = 9, dimSB (N) = 8 T1(2) T2(2) T1( 5) T2( 5) T1(3) T2(3) ¿Elevación? f1 −4 11 10 20 30 60 n f2 8 −45 30 24 50 −320 sí f3 17 0 9 - 102 86 40 sí N = (31, 5 + 2­5) : dimM (N) = 12, dimSB (N) = 11 T1(2) T2(2) T1( 5) T2( 5) T1(3) T2(3) ¿Elevación? f1 13 −20 20 −36 76 −60 sí N = (41, 6 + 5) : dimM (N) = 19, dimSB (N) = 18 T1(2) T2(2) T1( 5) T2( 5) T1(3) T2(3) ¿Elevación? f1 10 20 −10 29 30 −20 n f2 −1 1 5 14 −2 −56 f3 27 50 40 84 124 420 sí f4 −12 19 30 65 0 0 n f5 16 - 2 - 21 - 5 - 10 - 21 21 + 4 - 21 + 30 + 24 - 21 72 - 2 - 21 - 100 - 20 - 21 sí f6 2− 6­5 11­ 2­5 8 + 4­5 11­ 4­5 − 12 + 54­5 160 + 40­5 no N = (49, 7) : dimMB (N) = 26, dimSB (N) = 25 T1(2) T2(2) T1( 5) T2( 5) T1(3) T2(3) ¿Elevación? f1 5 - 60 46 120 40 - 420 sí f2 4 + 4­65 32 + 3­65 12­ 4­65 44­ 4­65 −6­ 12­65 145 + 8­65 no Cuadro 1 Hilbert-Siegel eigenforms del peso 3 COMPETENCIA DE FORMAS MODULARES HILBERT-SIEGEL 13 N (4, 2) (5, 2 + 5) (9, 3) (11, 3 + 5) N(p) p a(p, f1) a(p, f1) a(p, f1) a(p, f1) 4 2 - 4 0 5 - 3 - 41 4 5 2 + 5 − 10 − 5 6 − 41 4 9 3 50 −50 −9 −2 11 3 + 2o 5 −28 32 −18− 6o 41 −10 11 3 + 5 − 28 32 − 18 − 6 − 41 − 11 19 4 + 3­5 60 100 −40 + 24­41 −94 19 4 + 5 60 100 − 40 + 24 41 28 N (19, 4 + 5) (29, 5 + 5) N(p) p a(p, f1) a(p, f2) a(p, f1) a(p, f2) 4 2 −13 5− −161 −12 −3 5 2 + 5 − 15 5 + 161 0 − 21 9 3 -17 5 + 3 -161 -40 -4 11 3 + 2+5 −6 2 + 8+161 −68 37 11 3 + 5 33 7 - 7 161 30 − 66 19 4 + 3+5 −139 −15− 9+161 −28 −40 19 4 + 5 19 − 19 84 − 9 N (31, 5 + 2­5) (41, 6 + ­5) N(p) p a(p, f1) a(p, f1) a(p, f2) 4 2 - 7 7 - 4 - 2 - 21 5 2 + • 5 − 10 10 − 9 + 4 • 21 9 3 - 14 34 - 18 - 2 - 21 11 3 + 2o 5 −20 −60 −19 11 3 + • 5 • 28 • 2 • 24 • 4 • 21 19 4 + 3o 5 − 12 74 4− 50o 21 19 4 + ­5 28 16 −29 + 44­21 N (49, 7) N(p) p a(p, f1) a(p, f2) 4 2 −15 −2 5 2 + 5 16 − 10 9 3 −50 −11 11 3 + 2o 5 −8 −7− 28o 13 11 3 + 5 - 8 - 35 + 28 - 13 19 4 + 3­5 −110 −26 + 14­13 19 4 + • 5 • 110 − 12 • 14 • 13 Cuadro 2 Hilbert eigenforms de peso 4 Observación 2. Hasta ahora, nuestro algoritmo ha sido implementado sólo para la congruencia subgrupos de tipo Siegel. Tenemos la intención de mejorar la aplicación en la en un futuro próximo a fin de incluir más estructuras de nivel adicional, como la Tipo klingen. De hecho, Ramakrishnan y Shahidi [RS 2007] mostraron recientemente la existencia de elevadores de cubo simétricos para curvas elípticas no CM E/Q a GSp4/Q. Y su resultado debería ser para otros campos de números totalmente reales, con las estructuras de nivel de los ascensores de tipo Klingen. Desafortunadamente, 14 CLIFTON CUNNINGHAM Y LASSINA DEMBÉLÉ esos ascensores no se pueden ver en nuestras mesas actuales. Por ejemplo, hay curvas elípticas modulares sobre Q( 5) cuyos conductores tienen las normas 31, 41 y 49, pero los ascensores cúbicos simétricos correspondientes no aparecen en la Tabla 1. Quisiéramos remediarlo en nuestra próxima aplicación. Bibliografía [D1 2005] L. 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La implementación del algoritmo 3. Ejemplos numéricos: F=Q(5) y B=(-1,-1F) 3.1. Tablas de Hilbert-Siegel formas de cúspide de peso paralelo 3 3.2. Tablas de Hilbert formas de cúspide de peso parellel 4 3.3. Elevadores Bibliografía
En este artículo presentamos un algoritmo para la computación Hecke eigensystems de Hilbert-Siegel forma cúspide sobre campos cuadráticos reales de número de clase estrecho Uno. Damos algunos ejemplos ilustrativos usando el campo cuadrático $\Q(\sqrt{5})$. En esos ejemplos, identificamos a Hilbert-Siegel eigenforms que son posibles ascensores de Hilbert eigenforms.
Introducción Dejar F ser un campo cuadrático real de clase estrecha número uno y dejar B ser el singular (hasta isomorfismo) quaternion álgebra sobre F que se ramifica en ambos lugares arquimedienses de F y no ramificados en todas partes. Dejar GU2(B) ser el grupo de similitudes unitarias de B+2. Este es el conjunto de puntos Q-racionales de un grupo algebraico GB definido sobre Q. El grupo GB es una forma interna de G := ResF/Q(GSp4) de tal manera que G B(R) es un módulo compacto de su centro. (Estos las nociones se revisan al principio de la sección 1.) En este artículo desarrollamos un algoritmo que calcula las formas automórficas sobre GB en el siguiente sentido: dado un idealN inOF y un entero k mayor que 2, el algoritmo devuelve los sistemas Hecke eigen de todos los automórficos formas f del nivel N y el peso paralelo k. Más precisamente, dado un p primo en OF, el algoritmo devuelve los valores propios Hecke de f en p, y por lo tanto el Euler factor Lp(f, s), para cada eigenform f del nivel N y peso paralelo k. El algoritmo es una generalización del desarrollado en [D1 2005] a la Caso del género 2. Aunque sólo hemos descrito el algoritmo en el caso de un campo cuadrático real en este documento, debe quedar claro de nuestra presentación que se puede adaptar a cualquier campo de número totalmente real de clase estrecha Número uno. La correspondencia Jacquet-Langlands del título se refiere a la conjec- mapa turístico JL : Π(GB) → Π(G) de las representaciones automórficas de GB a representaciones automórficas de G, que es inyectora, coincide con las funciones L y disfruta de otras propiedades compatibles con el principio de funcionamiento; Fecha: 29 de octubre de 2018. 1991 Clasificación del sujeto de las matemáticas. Primaria: 11F41 (Hilbert e Hilbert-Siegel) formas modulares). Palabras y frases clave. Hilbert-Siegel formas modulares, Jacquet-Langlands Correspon- Dence, matrices de Brandt, parámetros de Satake. http://arxiv.org/abs/0704.001v3 2 CLIFTON CUNNINGHAM Y LASSINA DEMBÉLÉ en particular, la imagen de la correspondencia Jacquet-Langlands debe ser contenido en el espacio de representaciones automórficas holomórficas. Si nosotros admitir esta conjetura, a continuación, el algoritmo anterior proporciona una manera de producir ejemplos de formas modulares cúspides Hilbert-Siegel del género 2 sobre F y nos permite calcular los factores L de la réplica automórfica correspondiente- sentaciones para los primos finitos arbitrarios p de F. De hecho, también somos capaces de utilizar estos cálculos para proporcionar pruebas para la Correspondencia de Jacquet-Langlands comparando los factores de Euler encontramos con las de formas modulares conocidas Hilbert-Siegel obtenidas por elevación. Esto lo hacemos en la sección final del documento donde observamos que algunos de los factores Euler que calculamos coinciden con los de los ascensores de Hilbert formas modulares, para los primos que calculamos. A pesar de que esto no establece definitivamente que estas formas modulares Hilbert-Siegel son de hecho ascensores, en principio uno puede establecer la igualdad de esta manera, utilizando un análogo de la unión Sturm. El primer enfoque sistemático de las formas modulares de Siegel a partir de un computa- El punto de vista nacional se debe a Skoruppa [Sk 1992] que utilizó Jacobi símbolos para generar espacios de tales formas. Su algoritmo, que ha sido extensamente explotado por Ryan [R 2006], se aplica sólo al caso de la estructura de nivel completo. Más recientemente, Faber y van der Geer [FvdG1 2004] y [FvdG2 2004] También produjo ejemplos de formas modulares de Siegel contando puntos en hy- curvas perelípticas del género 2; de nuevo sus resultados sólo están disponibles en el Caso de estructura de nivel completo. El progreso más sustancial hacia la com- la colocación de formas modulares Siegel para la estructura de nivel adecuada es por Gunnells [Gu 2000] que extendió la teoría de los símbolos modulares al simplés grupo Sp4/Q. Sin embargo, este trabajo no ve la cohomología cúspida, que es la única parte de la cohomología que es relevante para la aritmética aplicaciones geométricas. Hasta donde sabemos, no hay numerador... ejemplos de formas modulares Hilbert-Siegel para la estructura de nivel adecuada en la literatura, con la excepción de los producidos a partir de levantamientos de Hilbert formas modulares. El esbozo del documento es el siguiente. En la Sección 1 recordamos lo básico propiedades de Hilbert-Siegel formas modulares y formas automórficas algebraicas junto con la correspondencia Jacquet-Langlands. En la Sección 2 damos una descripción detallada de nuestro algoritmo. Finalmente, en la Sección 3 presentamos resultados numéricos para el campo cuadrático Q( Agradecimientos. Durante la preparación del presente documento, el segundo autor tuvo intercambios de correo electrónico útiles con varias personas includ- ing Alexandru Ghitza, David Helm, Marc-Hubert Nicole, David Pollack, Jacques Tilouine y Eric Urban. Los autores desean darles las gracias a todos. Además, nos gustaría agradecer a William Stein por permitirnos usar el SAGE clúster de computadoras en la Universidad de Washington. Y finalmente, el segundo... ond autor quisiera dar las gracias al Instituto PIMS por su postdoctoral apoyo de becas, y la Universidad de Calgary por su hospitalidad. COMPETENCIA DE FORMAS MODULARES HILBERT-SIEGEL 3 1. Hilbert-Siegel formas modulares y Jacquet-Langlands correspondencia A lo largo de este artículo, F denota un campo cuadrático real de clase estrecha Número uno. Los dos lugares arquimedienses de F y las incrustaciones reales de F será denotado v0 y v1. Por cada â € ¢ F, escribimos a0 (resp. a1) para la imagen de un sub v0 (resp. v1). El anillo de números enteros de F se denota por OF. Para cada ideal principal p en OF, la terminación de F y OF en p será denotado por Fp y OFP, respectivamente. Que B sea el único (hasta el isomorfismo) totalmente definido quaternion al- gebra sobre F que no se ramified en todos los primos finitos de F. Fijamos un máximo Orden OB de B. Además, elegimos un campo de división K/F de B que es Ga- lois sobre Q y tal que existe un isomorfismo j : OB Z OK M2(OK)+M2(OK), donde M2(A) denota el anillo de 2× 2 matrices con entradas de un anillo A. Por cada p primo finito en F, arreglamos un isomorfismo Bp = M2(Fp) que se restringe a un isomorfismo del OB, p a M2(OFP ). El grupo algebraico G = ResF/Q(GSp4) se define como sigue. Para cualquier Q-álgebra A, el conjunto de puntos A-racionales de G es dado por G(A) = γ GL4 (AQ F ) t = /G(γ)J2 /G(γ) (AQ F )× donde −12 0 Este grupo admite un modelo integral con puntos A-racionales para cada Z- álgebra A dado por GZ(A) = γ GL4(AZ DE ) t = /G(γ)J2 /G(γ) (AZ de )× Para cualquier Q-álgebra A, la conjugación en B se extiende de una manera natural a la matriz álgebra M2(B Q A). El grupo algebraico GB/Q se define como sigue. Para cualquier Q-álgebra A, el conjunto de puntos A-racionales de GB es dado por GB(A) = γ M2(B Q A) t = /GB(γ)12 /GB (γ) (AQ F )× Este grupo también admite un modelo integral con puntos A-racionales para cada Álgebra-Z dada por GBZ (A) = γ M2(OB Z A) t = /GB(γ)12 /GB (γ) (AZ de )× El grupo GB/Q es una forma interna de G/Q tal que GB(R) es compacto modulo su centro. Combinación del isomorfismo j (véase más arriba) con con- por una matriz de permutación, se obtiene un isomorfismo GBZ (OK) = 4 CLIFTON CUNNINGHAM Y LASSINA DEMBÉLÉ GZ(OK), que arreglamos a partir de ahora. Para cada p ideal primo en F, el split- el valor de GB en p equivale a la división del álgebra cuaternión B en p; nos remitimos a [D1 2005] para más detalles. Por la elección del álgebra cuaternión B, tenemos GB(Q+) = G(Q+). (Nosotros denota los adèles finitos de Q (resp. Z) de Qáš (resp. )). 1.1. Hilbert-Siegel formas modulares. Fijamos un entero k ≥ 3 y, para simplicidad, nos limitamos a Hilbert-Siegel formas modulares de paralelo peso k. Las incrustaciones reales v0 y v1 de F se extienden a G(Q) = GSp4(F) de una manera natural. Denotamos por GSp+4 (F) el subgrupo de elementos γ con factor de similitud totalmente positivo /G(γ). Recordamos que la mitad superior de Siegel el plano del género 2 está definido por H2 = GL2(C) γt = γ e Im(γ) es positivo definido }. También recordamos que GSp+4 (F) actúa en H (­0, ­1) := (a0-0 + b0)(c0-0 + d0) −1, (a11,1 + b1)(c1,1 + d1) Esto induce una acción en el espacio de funciones f : H22 → C por , f kγ() = /G(γi) det(ciđi + di)k f(l). Deja que N sea un ideal en OF y set 0(N) = GSp+4 (OF) * c * 0 (N) Una forma modular Hilbert-Siegel de nivel N y peso paralelo k es un función holomórfica f : H22 → C tal que = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ; = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = El espacio de Hilbert-Siegel formas modulares de peso paralelo k y nivel N es Mk(N). Cada f-Mk(N) admite una expansión de Fourier, que por el principio Koecher toma la forma H22, f(l) = {Q0} 2ηiTr(Ql), donde Q â € M2(F ) pasa por encima de todo simétrico totalmente positivo y semi-definido matrices. A Hilbert-Siegel formas modulares f es una forma cúspide si, para todos γ 4 (F), el término constante en la expansión de Fourier de f kγ es cero. Los espacio de Hilbert-Siegel formas cúspide se denota Sk(N). COMPETENCIA DE FORMAS MODULARES DE HILBERT-SIEGEL 5 1.2. El álgebra de Hecke. El espacio Sk(N) viene equipado con un Hecke acción, que ahora recordamos. Tómese u • GSp+4 (F ) • M4(OF ), y escriba el unión finita desarticulada 0(N)u0(N) = 0(N)ui. A continuación, el operador Hecke en Sk(N) es dado por [­0(N)u­0(N)]f = f kui. Dejar p ser un ideal principal en OF y dejar πp ser un generador totalmente positivo de p; dejar que T1(p) y T2(p) sean los operadores Hecke correspondientes al doble Cosetes de las matrices de similitudes simplécticas 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ηp 0 0 0 0 ηp 1 0 0 0 0 γp 0 0 0 0 γ2p 0 0 0 0 ηp respectivamente. (Recordamos al lector de la forma simpléctica J2 fijado en el comienzo de la sección 1.) El álgebra Hecke Tk(N) es la álgebra Z generado por los operadores T1(p) y T2(p), donde p se ejecuta sobre todos los primos no dividiendo N. 1.3. Algebraico Hilbert-Siegel formas autormórficas. Sólo consideramos estructura de nivel del tipo Siegel. Es decir, definimos el subgrupo abierto compacto U0(N) de G(Q®) por U0(N) = GSp4(OFP)× ep ), donde N = pN p ep y ep ) := GSp4(OFP) # C # 0 mod pep # La representación del peso se define de la siguiente manera. Que Lk sea el representante... envío de GSp4(C) de mayor peso (k− 3, k− 3). Dejamos que Vk = Lk Lk y definir la representación compleja (lk, Vk) por lk : G B(R) GL(Vk), donde la acción sobre el primer factor es a través de v0, y la acción sobre el segundo uno es a través de v1. El espacio de las formas modulares algebraicas Hilbert-Siegel de peso k y nivel N viene dado por MBk (N) := f : GB(Q+)/U0(N) → Vk # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 6 CLIFTON CUNNINGHAM Y LASSINA DEMBÉLÉ donde f kγ(x) = f(γx)γ, para todos los x GB(Q)/U0(N). Cuando k = 3, dejamos IBk (N) := f : GB(Q)\GB(Q)/U0(N) → C # F es constante # Entonces, el espacio algebraico Hilbert-Siegel cúsp formas de peso k y nivel N está definido por SBk (N) := MBk (N) si k > 3, MBk (N)/I k (N) si k = 3. La acción del álgebra de Hecke en SBk (N) se da como sigue. Para cualquier u G(Q®), escriba la unión finita disjunta U0(N)uU0(N) = uiU0(N), y definir [U0(N)uU0(N)] : S k (N) → SBk (N) f 7→ f k[U0(N)uU0(N)], f k[U0(N)uU0(N)](x) = f(xui), x (+) G(+). Para cualquier primo p N, que p sea un uniformizador local en p. El local Hecke alge- bra en p es generado por los operadores Hecke T1(p) y T2(p) correspondientes al doble U0(N)-cosetes 1(p) y 2(p) de las matrices 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 p 0 0 0 0 p 1 0 0 0 0 p 0 0 0 0 2 0 0 0 p respectivamente. Dejamos que TBk (N) sea el álgebra Hecke generada por T1(p) y T2(p) para todos los primos p N. 1.4. La Correspondencia Jacquet-Langlands. Los módulos Hecke Sk(N) y SBk (N) están relacionados por la siguiente conjetura conocida como el Jacquet- Correspondencia de Langlands para grupos de similitud simpléctica. Conjetura 1. Los álgebras Hecke Tk(N) y T k (N) son isomórficos y hay un isomorfismo compatible de los módulos de Hecke SK(N) SBk (N). Es común, pero tal vez no del todo exacto, atribuir esta Yeso a Jacquet-Langlands. Por lo que sabemos, el correspon- dence en esta forma fue discutido por primera vez por Ihara [Ih 1964] en el caso F = Q. In [Ib 1984], Ibukiyama proporcionó algunas pruebas numéricas. Por otra parte, es apropiado referirse a la conjetura 1 como el Jacquet-Langlands Corre- spondence (para GSp(4)) ya que es un análogo de los Jacquet-Langlands COMPETENCIA DE FORMAS MODULARES HILBERT-SIEGEL 7 Correspondencia (para GL(2)) que relaciona representaciones automórficas de el grupo multiplicativo de un álgebra cuaternión con cierto automórfico representaciones de GL(2) (véase [JL 1970]). Ambas correspondencias son, a su vez, las consecuencias especiales del principio de funtorialidad, tal como lo expone Lang- tierras. Por último, parece que la conjetura 1 puede ser pronto un teorema debido a el trabajo de [So 2008] y el próximo libro de James Arthur sobre auto- Representaciones mórficas de grupos clásicos. 2. El Algoritmo En esta sección, presentamos el algoritmo que usamos para calcular el módulo Hecke de formas modulares (algebraicas) Hilbert-Siegel. El principal suposición en esta sección es que el número de clase del género principal de GB es 1. (Nos referimos a [D3 2007] para ver cómo se puede relajar esta condición en el número de clase.) Recordamos que como B es totalmente definitiva, GB satis- fies Proposición 1.4 en Gross [Gr 1999]. Por lo tanto, el grupo GB(R) es compacto modulo su centro, y = GB(Z)/O×F es finito. Para cualquier p primo en F, dejar Fp = OF /p ser el campo de residuos en p y definir el mapa de reducción M2(OB, p) → M4(Fp) g 7→ g donde utilizamos la división de OB,p que se fijó al principio de la Sec- 1o período de sesiones de la Conferencia de las Partes en calidad de reunión de las Partes en el Protocolo de Kyoto. Ahora, elegir un generador totalmente positivo πp de p y poner *1(p) :=* u M2(OB) • uūt = ηp12 y rango(gū) = 2 *2(p) :=* u M2(OB) • uūt = η2 12 y rango(gΦ) = 1 Dejamos H20(N) = G()/U0(N). A continuación, el grupo actúa en H20(N), por lo tanto, en el espacio de funciones f : H20(N) → Vk por *x* H20(N),*, f kγ(x) := f(γx)γ. Teorema 2. Hay un isomorfismo de los módulos de Hecke MBk (N) f : H20(N) → Vk f kγ = f, γ donde la acción Hecke en el lado derecho es dada por f kT1(p) = u1(p) f ku, f kT2(p) = u2(p) f ku. Prueba. El mapa canónico *: GB(Z)\GB()/U0(N) → GB(Q)\GB(Q)/U0(N) es una inyección. Haciendo uso del hecho de que el número de clase en el principal género de GB es uno (GB(Q+) = GB(Q)GBZ ()), vemos que 8 CLIFTON CUNNINGHAM Y LASSINA DEMBÉLÉ Biyección. Dado que cada elemento f • MBk (N) está determinado por sus valores en una conjunto de representantes coset de GB(Q)\GB(Q)/U0(N), el mapa isomorfismo de espacios vectoriales complejos MBk (N) f : H20(N) → Vk f kγ = f, γ f 7 f â â € ¬. Convertimos esto en un isomorfismo del módulo Hecke definiendo la acción Hecke en el lado derecho, como se indica en la declaración del teorema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. En el resto de esta sección, explicamos los pasos principales del algoritmo proporcionado por el Teorema 2. 2.1. El cociente H20(N). Mantener las anotaciones de la sección anterior, Recordamos que N = pN p ep. Let p ser una primera división N y considerar la rango 4 libre OFp/pep -módulo L = OFp/pep dotado con el simplés emparejamiento, dado por la matriz −12 0 donde 12 es la matriz de identidad en M2(OFP/pep ). Deja que M sea un rango 2 OFp/pep -submódulo que es un factor directo en L. Decimos que M es isótropo si, v = 0 para todos u, v + M. Recordamos que GSp4(OFP ) actúa transicionalmente en el conjunto de rango 2, isotrópico OFp/pep -submódulos de L y que el estabilizador del submódulo generado por e1 = (1, 0, 0, 0) T y e2 = (0, 1, 0, 0) T es U0(p ep ). El cociente H20(pep ) = GSp4(OFP )/U0(pep ) es el conjunto de rango 2, isotrópico OFp/pep -submódulos de L. A través de la reducción mapa ÔF → OF /N, el cociente GZ()/U0(N) se puede identificar con el producto H20(N) = H20(pep ). La cardinalidad de H20(N) es extremadamente útil y se determina utilizando el siguiendo el lema. Lemma 1. Dejar p ser un primo en F y ep ≥ 1 un entero. Entonces, el cardi... nalidad del conjunto H20(pep ) es dada por #H20(pep) = N(p)3(ep−1)(N(p) + 1)(N(p)2 + 1). Prueba. Para ep = 1, la cardinalidad de la variedad Lagrange sobre lo finito campo Fp = OF /p se da por (N(p) + 1)(N(p)2 + 1). Proceder por inducción en ep. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Tenemos más que decir sobre los elementos de H20(pep) en la subsección 2.5. COMPETENCIA DE FORMAS MODULARES HILBERT-SIEGEL 9 2.2. Matrices de Brandt. Let F = {x1,. .., xh} ser un dominio fundamental para la acción de Ł sobre H20(N) y, para cada i, dejar que Łi sea el estabilizador de xi. Entonces, cada elemento en MBk (N) está completamente determinado por sus valores en F. Por lo tanto, hay un isomorfismo de espacios complejos MBk (N) → f 7→ (f(xi)), donde V es el subespacio de los invariantes en Vk. Para cualquier x, y H20(N), permitimos 1(x, y, p) := u â € â € 1(p) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 2(x, y, p) := u â € â € 2(p) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Proposición 3. Las acciones de los operadores de Hecke Ts(p), s = 1, 2, son: dado por las matrices de Brandt Bs(p) = (bsij(p)), donde bsji(p) : V k → V v 7→ v · us(xi, xj,p) 1u u Prueba. La prueba de la Proposición 3 sigue las líneas de [D1 2005, §3]. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 2.3. Cálculo del grupo GB(Z). Es suficiente para calcular el subgrupo • que consiste en los elementos en GB(Z) con el factor de similitud 1. Pero es fácil. para ver eso. u, v â € ¢ O1B u, v â € ¢ O1B donde O1B es el grupo de elementos de la norma 1. 2.4. Cálculo de los sets 1(p) y 2(p). Consideremos la cuadrática forma en el espacio vector V = B2 dado por V → F a, b) 7→ (a, b) := nr(a) + nr(b), donde nr es la norma reducida en B. Esto determina una forma interior V × V → F (u, v) 7→ «U», «Vá», «Vá». Un elemento de 1(p) (resp. M2(OB) es una matriz unitaria respeto a esta forma interior de tal manera que la norma de cada fila es p (resp. η y el rango de la matriz reducida es 1). Así que primero empezamos por la computación todos los vectores u = (a, b) O2B tales que u = p (resp. u = γ2p). Y Para cada vector u tal, calculamos los vectores v = (c, d) O2B de la misma 10 CLIFTON CUNNINGHAM Y LASSINA DEMBÉLÉ norma de tal manera que â € ¬u, vâ € = 0. La matriz correspondiente γ = pertenece a 1 p) (resp. 2(p)) cuando su reducción mod p tenga el rango apropiado. Listamos todas estas matrices hasta la equivalencia y nos detenemos cuando llegamos a la Cardinalidad derecha. 2.5. La implementación del algoritmo. La aplicación de la El algoritmo es similar al de [D1 2005]. Sin embargo, es importante tener en cuenta cómo representamos los elementos en H20(N) para que podamos recuperarlos fácilmente una vez almacenado. Al igual que en [D1 2005] elegimos trabajar con el producto H20(N) = H20(pep ). Usando las coordenadas de Plucker, podemos ver H20(pep) como un subespacio cerrado de P5(OFp/pep ). A continuación, representamos cada elemento en H20(pep ) mediante la elección de un punto x = (a0 : · · · : a5) = [u M generada por u y v es un submódulo Lagrange, y el primer invertible Coordenada es escalado a 1. Observación 1. En [LP 2002], Lansky y Pollack describen un algoritmo que calcula formas modulares algebraicas en la misma forma interna de GSp4/Q que Usamos. Nos gustaría señalar que hay algunas diferencias entre el Dos algoritmos. Aunque [LP 2002] también utiliza la variedad de bandera H20(N) en para determinar el espacio de doble coset GB(Q)\GB(Q+)/U0(N), más tarde vuelve a la configuración de adelia con el fin de calcular las matrices de Brandt. In contraste, Teorema 2 y Proposición 3 nos permiten evitar que innecesario paso al describir la acción Hecke sobre la variedad de bandera H20(N) directamente. As un resultado, obtenemos un algoritmo que es más eficiente. 3. Ejemplos numéricos: F = Q( 5) y B = −1,−1 En esta sección, proporcionamos algunos ejemplos numéricos usando el cuadrático campo F = Q( 5). Está probado en K. Hashimoto y T. Ibukiyama [HI 1980] que, para el Hamilton quaternion álgebra B sobre F, el número de clase de el género principal de GB es uno. Utilizamos nuestro algoritmo para calcular todo el sistemas de Hecke autovalores de Hilbert-Siegel formas de cúspide de peso 3 y nivel N que se definen sobre campos cuadráticos reales, donde N se ejecuta sobre todos ideales principales de norma menos de 50. A continuación, determinamos cuál de las formas hemos obtenido son posibles levantamientos de Hilbert formas cúspide comparando el Hecke eigenvalues para esos primos. 3.1. Tablas de Hilbert-Siegel formas de cúspide de peso paralelo 3. In Tabla 1 listamos todos los sistemas de valores propios de Hilbert-Siegel formas cúspide de peso 3 y nivel N que se definen sobre campos cuadráticos reales, donde N tiene sobre todos los ideales principales en F de la norma menos de 50. Aquí están las convenciones Usamos en las mesas. COMPETENCIA DE FORMAS MODULARES DE HILBERT-SIEGEL 11 (1) Para un campo cuadrático K del discriminante D, dejamos que D sea un generador del anillo de enteros OK de K. (2) La primera fila contiene el nivel N, dado en el formato (Norm(N), α) para algún generador α â € F de N, y las dimensiones de la espacios. (3) La segunda fila enumera los operadores Hecke que han sido calculados. (4) Para cada eigenform f, los valores propios de Hecke se dan en una fila, y la última entrada de esa fila indica si el formulario f es un ascensor probable. (5) Los niveles y los eigenforms se enumeran hasta Galois conjuga- tion. Para un eigenform f y un primo dado p N, dejar a1(p, f) y a2(p, f) ser el valores propios de los operadores Hecke T1(p) y T2(p), respectivamente. Entonces el Euler factor Lp(f, s) se indica (por ejemplo, en [AS 2001, §3.4]) por Lp(f, s) = Qp(q − s)−1, donde Qp(x) = 1− a1(p, f)x+ b1(p, f)x2 − a1(p, f)q2k−3x3 + q4k−6x4, b1(p, f) = a1(p, f) 2 − a2(p, f)− q2k−4, q = N(p). 3.2. Tablas de Hilbert formas de cúspide de peso parellel 4. En la Tabla 2, lista todas las formas de cúspide Hilbert de peso paralelo 4 y nivel N que se definen sobre campos cuadráticos reales, con N corriendo sobre todos los ideales principales de la norma menos más de 50. (Se calculan utilizando el algoritmo en [D1 2005]). Usamos estos datos con el fin de determinar los formularios de la tabla 1 que son posibles elevaciones de GL2. 3.3. Elevadores. Hay dos tipos de ascensores de GL2 a GSp4. El primero. corresponde al homomorfismo de los grupos L determinado por la raíz larga incrustado en GSp4, y el segundo por la inserción de raíz corta. (Véase [LP 2002] para más detalles). Que f sea una forma de cúspide de Hilbert paralelo peso k y nivel N con Hecke eigenvalues a(p, f), donde p es un primo no Dividir N. Dejar ser el ascensor de f a GSp4 a través de la raíz larga, y • el uno a través de la raíz corta. A continuación, los valores propios Hecke de......................................................................................... a1(p, ) = a(p, f) N(p) 2 +N(p)2 +N(p) a2(p, ) = a(p, f) N(p) 2 (N(p) + 1) +N(p)2 − 1, y los valores propios Hecke de.......................................................................................................................... a1(p, ) = a(p, f) 2 − 2 a(p, f) N(p) a2(p, ) = a(p, f) N(p)4−2k − 3 a(p, f)2 N(p)3−k +N(p)2 − 1. La segunda elevación es la llamada elevación de cubos simétricos. 12 CLIFTON CUNNINGHAM Y LASSINA DEMBÉLÉ N = (4, 2) : dimMB (N) = 2, dimSB (N) = 1 T1(2) T2(2) T1( 5) T2( 5) T1(3) T2(3) ¿Elevación? f1 −4 0 20 −36 140 580 sí N = (5, 2 + 5) : dimM (N) = 2, dimSB (N) = 1 T1(2) T2(2) T1( 5) T2( 5) T1(3) T2(3) ¿Elevación? f1 20 15 -5 0 40 -420 sí N = (9, 3) : dimMB (N) = 3, dimSB (N) = 2 T1(2) T2(2) T1( 5) T2( 5) T1(3) T2(3) ¿Elevación? f1 25- 3- 41 40- 15- 41 30 + 6- 41 24 + 36- 41 - 9 0 sí N = (11, 3 + 5) : dimM (N) = 3, dimSB (N) = 2 T1(2) T2(2) T1( 5) T2( 5) T1(3) T2(3) ¿Elevación? f1 24 35 34 48 88 60 sí f2 −20 35 −10 4 0 60 n N = (19, 4 + 5) : dimM (N) = 5, dimSB (N) = 4 T1(2) T2(2) T1( 5) T2( 5) T1(3) T2(3) ¿Elevación? f1 4 11 −20 28 6 76 n f2 7 −50 15 −66 73 −90 sí f3 24 + ­161 35 + 5­161 36− ­161 60− 6­161 98− 3­161 160− 30­161 sí N = (29, 5 + 5) : dimM (N) = 9, dimSB (N) = 8 T1(2) T2(2) T1( 5) T2( 5) T1(3) T2(3) ¿Elevación? f1 −4 11 10 20 30 60 n f2 8 −45 30 24 50 −320 sí f3 17 0 9 - 102 86 40 sí N = (31, 5 + 2­5) : dimM (N) = 12, dimSB (N) = 11 T1(2) T2(2) T1( 5) T2( 5) T1(3) T2(3) ¿Elevación? f1 13 −20 20 −36 76 −60 sí N = (41, 6 + 5) : dimM (N) = 19, dimSB (N) = 18 T1(2) T2(2) T1( 5) T2( 5) T1(3) T2(3) ¿Elevación? f1 10 20 −10 29 30 −20 n f2 −1 1 5 14 −2 −56 f3 27 50 40 84 124 420 sí f4 −12 19 30 65 0 0 n f5 16 - 2 - 21 - 5 - 10 - 21 21 + 4 - 21 + 30 + 24 - 21 72 - 2 - 21 - 100 - 20 - 21 sí f6 2− 6­5 11­ 2­5 8 + 4­5 11­ 4­5 − 12 + 54­5 160 + 40­5 no N = (49, 7) : dimMB (N) = 26, dimSB (N) = 25 T1(2) T2(2) T1( 5) T2( 5) T1(3) T2(3) ¿Elevación? f1 5 - 60 46 120 40 - 420 sí f2 4 + 4­65 32 + 3­65 12­ 4­65 44­ 4­65 −6­ 12­65 145 + 8­65 no Cuadro 1 Hilbert-Siegel eigenforms del peso 3 COMPETENCIA DE FORMAS MODULARES HILBERT-SIEGEL 13 N (4, 2) (5, 2 + 5) (9, 3) (11, 3 + 5) N(p) p a(p, f1) a(p, f1) a(p, f1) a(p, f1) 4 2 - 4 0 5 - 3 - 41 4 5 2 + 5 − 10 − 5 6 − 41 4 9 3 50 −50 −9 −2 11 3 + 2o 5 −28 32 −18− 6o 41 −10 11 3 + 5 − 28 32 − 18 − 6 − 41 − 11 19 4 + 3­5 60 100 −40 + 24­41 −94 19 4 + 5 60 100 − 40 + 24 41 28 N (19, 4 + 5) (29, 5 + 5) N(p) p a(p, f1) a(p, f2) a(p, f1) a(p, f2) 4 2 −13 5− −161 −12 −3 5 2 + 5 − 15 5 + 161 0 − 21 9 3 -17 5 + 3 -161 -40 -4 11 3 + 2+5 −6 2 + 8+161 −68 37 11 3 + 5 33 7 - 7 161 30 − 66 19 4 + 3+5 −139 −15− 9+161 −28 −40 19 4 + 5 19 − 19 84 − 9 N (31, 5 + 2­5) (41, 6 + ­5) N(p) p a(p, f1) a(p, f1) a(p, f2) 4 2 - 7 7 - 4 - 2 - 21 5 2 + • 5 − 10 10 − 9 + 4 • 21 9 3 - 14 34 - 18 - 2 - 21 11 3 + 2o 5 −20 −60 −19 11 3 + • 5 • 28 • 2 • 24 • 4 • 21 19 4 + 3o 5 − 12 74 4− 50o 21 19 4 + ­5 28 16 −29 + 44­21 N (49, 7) N(p) p a(p, f1) a(p, f2) 4 2 −15 −2 5 2 + 5 16 − 10 9 3 −50 −11 11 3 + 2o 5 −8 −7− 28o 13 11 3 + 5 - 8 - 35 + 28 - 13 19 4 + 3­5 −110 −26 + 14­13 19 4 + • 5 • 110 − 12 • 14 • 13 Cuadro 2 Hilbert eigenforms de peso 4 Observación 2. Hasta ahora, nuestro algoritmo ha sido implementado sólo para la congruencia subgrupos de tipo Siegel. Tenemos la intención de mejorar la aplicación en la en un futuro próximo a fin de incluir más estructuras de nivel adicional, como la Tipo klingen. De hecho, Ramakrishnan y Shahidi [RS 2007] mostraron recientemente la existencia de elevadores de cubo simétricos para curvas elípticas no CM E/Q a GSp4/Q. Y su resultado debería ser para otros campos de números totalmente reales, con las estructuras de nivel de los ascensores de tipo Klingen. Desafortunadamente, 14 CLIFTON CUNNINGHAM Y LASSINA DEMBÉLÉ esos ascensores no se pueden ver en nuestras mesas actuales. Por ejemplo, hay curvas elípticas modulares sobre Q( 5) cuyos conductores tienen las normas 31, 41 y 49, pero los ascensores cúbicos simétricos correspondientes no aparecen en la Tabla 1. Quisiéramos remediarlo en nuestra próxima aplicación. Bibliografía [D1 2005] L. Dembélé, Cálculos explícitos de formularios modulares de Hilbert en Q( 5). Exper... íntes. Matemáticas. 14 (2005), No. 4, 457–466. [D2 2007] L. Dembélé, Simbolos Quaterniónicos M, matrices Brandt e Hilbert modulares formas. Matemáticas. Comp. 76, no 258, (2007), 1039-1057. También está disponible electrónicamente. [D3 2007] L. Dembélé, Sobre el cálculo de los formularios modulares algebraicos (presentado). [AS 2001] Mahdi Asgari y Ralf Schmidt, formas modulares y representaciones de Siegel, Manuscripta Math. 104 (2001), 173–200. [FvdG1 2004] Carel Faber y Gerard van der Geer, Sur la cohomologie des systèmes locaux sur les espaces de modules des courbes de genre 2 et des surfaces abéliennes. Yo, C.R. Math. Acad. Sci. Paris 338 (2004), No. 5, 381-384. [FvdG2 2004] Carel Faber y Gerard van der Geer, Sur la cohomologie des systèmes locaux sur les espaces de modules des courbes de genre 2 et des surfaces abéliennes. II, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 338 (2004), No. 6, 467-470. [JL 1970] Hervé Jacquet y Robert Langlands, formularios automórficos en GL(2), Conferencia notas en matemáticas 114 y 278, 1970. [Gr 1999] Benedict H. Gross, Formas modulares algebraicas. Israel J. Matemáticas. 113 (1999), 61–93. [Gu 2000] P. Gunnells, símbolos modulares simpléticos, Duke Math. J. 102 (2000), No. 2, 329-350. [HI 1980] K. Hashimoto y T. Ibukiyama, Sobre los números de clase de positivos definidos formas hermitanas de cuaternión binario. J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math. 27 (1980), 549-601. [Ib 1984] T. Ibukiyama, Sobre factores simpléticos de Euler del género 2. J. Fac. Sci. Univ. Tokio 30 (1984), 587614. [Ih 1964] Y. Ihara, En ciertas series de Dirichlet, J. Matemáticas. Soc. Japón 16 (1964), 214-225. [LP 2002] J. Lansky y D. Pollack, Hecke álgebras y formas automórficas. Compositio Matemáticas. 130 (2002), No. 1, 21–48. [RS 2007] Dinakar Ramakrishnan y Freydoon Shahidi, Siegel formas modulares de género 2 unidos a curvas elípticas (preimpresión). Se puede consultar en www.math.arxiv. [R 2006] N. C. Ryan, Computing the Satake p-parameters of Siegel modular forms. (sub- admitida). [Sk 1992] Nils-Peter Skoruppa, Computations of Siegel modular forms of genus dos. Matemáticas. Comp. 58 (1992), No. 197, 381–398. [Así que 2008] Claus M. Sorensen, Potencial descenso de nivel para GSp(4), arXive:0804.0588v1. Departamento de Matemáticas, Universidad de Calgary Dirección de correo electrónico: astic@math.ucalgary.ca Institut für Experimentelle Mathematik, Universität Duisburg-Essen Dirección de correo electrónico: lassina.dembele@uni-duisburg-essen.de Introducción 1. Hilbert-Siegel formas modulares y la correspondencia Jacquet-Langlands 1.1. Formas modulares Hilbert-Siegel 1.2. El álgebra de Hecke 1.3. Algebraico Hilbert-Siegel formas autormórficas 1.4. La correspondencia Jacquet-Langlands 2. El Algoritmo 2.1. El cociente H02(N) 2.2. Matrices de marca 2.3. Cálculo del grupo GB(Z) 2.4. Cálculo de los conjuntos 1 p) y 2 p) 2.5. La implementación del algoritmo 3. Ejemplos numéricos: F=Q(5) y B=(-1,-1F) 3.1. Tablas de Hilbert-Siegel formas de cúspide de peso paralelo 3 3.2. Tablas de Hilbert formas de cúspide de peso parellel 4 3.3. Elevadores Bibliografía
704.001
Distribution of integral Fourier Coefficients of a Modular Form of Half Integral Weight Modulo Primes
DISTRIBUCIÓN DE CUARTOS COEFICIENTES INTEGRALES DE UNA FORMA MODULAR DE MÓDULO DE PESO INTEGRAL PRIMES D. CHOI Resumen. Recientemente, Bruinier y Ono clasificaron las formas cúspides f(z) := af n)q Sâ € 1 • Z[[q] que no satisface una determinada propiedad de distribución para el módulo p impares primos. En este artículo, utilizando Rankin-Cohen Bracket, ampliamos este resultado a formas modulares de medio peso integral para primos p ≥ 5. Como aplicaciones de nuestro principal teorema derivamos propiedades de distribución, para módulo primos p ≥ 5, de trazas de singular moduli y Hurwitz número de clase. También estudiamos un análogo de la conjetura de Newman para sobreparticiones. 1. Introducción y resultados Dejemos que Mâ € 1 (­0(N), χ) y S­1 (­0(N), χ) ser los espacios, respectivamente, de las formas modulares y formas de cúspide de peso  + 1 en el punto 0(N) con un carácter Dirichlet χ cuyo conductor divide N. Si f(z) â € Mâ € 1 (­0(N), χ), entonces f(z) tiene el formulario f(z) = a(n)qn, donde q := e2điz. Es bien sabido que los coeficientes de f están relacionados con interesante objetos en teoría de números tales como los valores especiales de la función L, número de clase, rastros de módulo singular y así sucesivamente. En este artículo, estudiamos las propiedades de congruencia del Fourier Coeficiente de f(z) â € Mâ € 1 (+0(N), χ) • Z[[q] y sus aplicaciones. Hace poco, Bruinier y Ono probaron en [3] que g(z) (+0(N), χ) • Z[[q] tiene un forma especial (véase (2.1)) por módulo p cuando p es un primo impar y los coeficientes de f(z) no satisfacer la siguiente propiedad para p: Propiedad A. IfM es un entero positivo, decimos que una secuencia α(n) Z satisface la propiedad A para M si para cada entero r 1 ≤ n ≤ X α(n)  r (mod M) y gcd(M,n) = 1} en caso de que r 6-0 (mod M), X if r 0 (mod M). 2000 Clasificación de Materias Matemáticas. 11F11,11F33. Palabras y frases clave. Formas modulares, Congruencias. http://arxiv.org/abs/0704.0012v1 2 D. CHOI (f(z)):= f(z) = n · a(n)qn. Usando Rankin-Cohen Bracket (véase (2.3), demostramos que existe f?(z) â € € € € TM p+1+ 1 (+0(4N), χ) + Z[[q] de manera que la letra f) del apartado z) del presente artículo sea la misma que la letra f) del apartado z) del presente artículo (mod p). Extendemos los resultados en [3] a formas modulares de la mitad peso integral. Teorema 1. Let ♥ ser un entero no negativo. Asumimos que f(z) = n=0 a(n)q Mâ € 1 (­0(4N), χ) Z[q], donde χ es un verdadero carácter Dirichlet. Si p ≥ 5 es un primo y existe un entero positivo n para el cual gcd(a(n), p) = 1 y gcd(n, p) = 1, entonces al menos uno de los siguientes es cierto: (1) Los coeficientes de ­p−1(f(z)) satisfacen la propiedad A para p. (2) Hay finitamente muchos enteros cuadrados libres n1, n2, · · ·, nt para los cuales (1.1) p−1(f(z)) a(nim) 2)qnim (mod p). Además, si gcd(4N, p) = 1 y un primo impar l divide algunos ni, entonces p(l− 1)l(l+ 1)N o l N. Observación 1.1. Tenga en cuenta que para cada primo impar p ≥ 5, P−1(f(z)) a(n)qn (mod p). Como aplicaciones del Teorema 1, estudiamos la distribución de trazas de módulo singular módulo primos p ≥ 5. Que j(z) sea la función j-invariante habitual. Denotamos por Fd el conjunto de formas binarias cuadráticas definidas positivas F (x, y) = ax2 + bxy + cy2 = [a, b, c] con discriminante −d = b2−4ac. Para cada F (x, y), dejar que αF sea el número complejo único en el plano medio superior complejo, que es una raíz de F (x, 1). Definimos "F" {1, 2, 3} como * F := 2 si F [a, 0, a], 3 si F [a, a, a], 1 en caso contrario, donde := SL2(Z). Aquí, F [a, b, c] denota que F (x, y) es equivalente a [a, b, c]. A partir de estas anotaciones, definimos el rastro Hecke de módulo singular. DISTRIBUCIÓN DE LOS FUENTES DE COEFICIENCIA INTEGRAL MODULO PRIMES 3 Definición 1.2. Si m ≥ 1, entonces definimos el rastro mth Hecke del módulo singular de discriminante −d como tm(d) := F.F.D./ jm(αF ) donde Fd/l denota un conjunto de clases de equivalencia de Fd y jm(z) := j(z)T0(m) = az + b Aquí, T0(m) denota el peso mth normalizado del operador Hecke cero. Nótese que t1(d) = t(d), donde t(d) := F.F.D./ j(αF)− 744 es el rastro habitual de módulo singular. Vamos. h(z) := η(z)2 η(2z) · E4(4z) η(4z)6 y Bm(1, d) denotan el coeficiente de q d en h(z)T (m2, 1, χ0), donde E4(z) := 1 + 240 d3qn, η(z) := q (1- qn), Y χ0 es un carácter trivial. Aquí, T (m 2,....................................................................................................................................................  + 1 con un dirichlet chracter χ (ver VI. § 3. en [5] o (2,5)). Zagier demostró en [11] que para todos los m y d (1.2) tm(d) = −Bm(1, d). Utilizando estas funciones generadoras, Ahlgren y Ono estudiaron las propiedades de divisibilidad de rastros y Hecke rastros de módulo singular en términos de la factorización de primos en campos cuadráticos imaginarios (véase [2]). Por ejemplo, demostraron que una proporción positiva de los primos l tiene la propiedad que tm(l 3n) 0 (mod ps) por cada entero positivo n coprime a l tal que p es inerte o ramificado en Q . Aquí, p es un primo impar, y s y m son enteros con p m. En el siguiente teorema, damos la distribución de rastros y Hecke rastros de singular modulo modulo primos p. 4 D. CHOI Teorema 2. Supongamos que p ≥ 5 es un primo tal que p • 2 (mod 3). (1) Entonces, para cada entero r, p r, 1 ≤ n ≤ X t1(n) Ł r (mod p)} en caso de que r 6-0 (mod p) X if r 0 (mod p). (2) Entonces, una proporción positiva de los primos l tiene la propiedad que 1 ≤ n ≤ X tl(n) r (mod p)} en caso de que r 6-0 (mod p) X if r 0 (mod p). para cada entero r, p r. Como otra aplicación estudiamos la distribución de Hurwitz clase número modulo primos p ≥ 5. La clase Hurwitz número H(−N) se define de la siguiente manera: el número de clase de formas cuadráticas del discriminante −N donde cada clase C se cuenta con multiplicidad Aut(C) . El siguiente teorema da la distribución de Hurwitz clase número modulo primos p ≥ 5. Teorema 3. Supongamos que p ≥ 5 es un primo. Entonces, para cada entero r 1 ≤ n ≤ X H(n) Ł r (mod p)} en caso de que r 6-0 (mod p), X if r 0 (mod p). También utilizamos el teorema principal para estudiar un análogo de la conjetura de Newman para titions. La conjetura de Newman se refiere a la distribución de la función de partición ordinaria módulo primos p. Conjetura de Newman. Que P (n) sea una función de partición ordinaria. Si M es un positivo entero, entonces para cada entero r hay infinitamente muchos entero no negativo n para el cual P n) Ł r (mod M). Esta conjetura ya fue estudiada por muchos matemáticos (véase el capítulo 5. en [8]). La sobrepartición de un número natural n es una partición de n en la que la primera ocurrencia de un número puede ser overlined. Que P̄ (n) sea el número de la sobrepartición de un entero n. Como análogo de la conjetura de Newman, el siguiente teorema da una distribución propiedad de P̄ (n) módulo impar primos p. Teorema 4. Supongamos que p ≥ 5 es un primo tal que p • 2 (mod 3). Entonces, por cada entero r, 1 ≤ n ≤ X P̄ (n) r (mod p)} en caso de que r 6-0 (mod p), X if r 0 (mod p). Observación 1.3. Cuando se probaron r 0 (mod p), el teorema 2, 3 y 4 en [2] y [10]. DISTRIBUCIÓN DE LOS FUENTES INTEGRALES DE COEFICIENCIAS MODULO PRIMES 5 Las siguientes secciones son pruebas detalladas de los teoremas: La sección 2 da una prueba de Teorema 1. In Sección 3, damos las pruebas del Teorema 2, 3 y 4. 2. Prueba de Teorema 1 Comenzamos declarando el siguiente teorema probado en [3]. Teorema 2.1 ([3]). Let ♥ ser un entero no negativo. Supongamos que g(z) = n=0 ag(n)q Sâ € 1 (­0(4N), χ) Z[q], donde χ es un verdadero carácter Dirichlet. Si p es un primo impar y un entero positivo n existe para el cual gcd(ag(n), p) = 1, entonces al menos uno de los siguientes es cierto: (1) Si 0 ≤ r < p, entonces 1 ≤ n ≤ X ag(n) Ł r (mod p)} en caso de que r 6-0 (mod p), X if r 0 (mod p). (2) Hay finitamente muchos enteros cuadrados libres n1, n2, · · ·, nt para los cuales (2.1) g(z) ag(nim) 2)qnim (mod p). Por otra parte, si gcd(p, 4N) = 1, 1}, y l 4Np es un primo con {0, para 1 ≤ i ≤ t, entonces (l−1)g(z) es un módulo eigenformo p del peso semiintegral Hecke operator T (l2, , χ). En particular, tenemos (2.2) (l - 1)g(z)T (l2, , χ) (p) (−1) 1 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° (l-1)g(z) (mod p). Recuerde que f(z) = a(n)qn â € Mâ € 1 (+0(4N), χ) • Z[[q]]. Por lo tanto, para aplicar Teorema 2.1, demostramos que existe una forma cúspide f a p primo ≥ 5. Lemma 2.2. Supongamos que p ≥ 5 es un primo y f(z) = a(n)qn â € Mâ € 1 (0(N), χ) Z[[q]]. A continuación, existe una forma de cúspide fû(z) â € € € € TM (p+1)(p−1)+ 1 (­0(N), χ) Z[q] de forma que: f. z.............................................................................................................................................................................................................................................................. Prueba de Lemma 2.2. En el caso de F (z) â € Mk1 (­0(N), χ1) y G(z) ­Mk2 (­0(N), χ2), let 2.3) [F (z), G (z)]1 := (F (z)) ·G(z)− F (z) · (G(z)). Este operador se conoce como un 1-bracket Rankin-Cohen, y se demostró en [4] que [F (z), G (z)]1 + S k1+k2 (+0(N), χ1χ2χ 6 D. CHOI donde = 1 si k1 y k2 Z, (d) = 2 si ki Z y k3-i + Z, y (d) = ) k1+k2 2 si k1 y k2 Para incluso k ≥ 4, dejar Ek(z) := 1− dk−1qn ser la serie normalizada habitual Eisenstein de peso k. Aquí, el número Bk denota la Número Kth Bernoulli. La función Ek(z) es una forma modular de peso k en SL2(Z), y (2.4) Ep−1(z) 1 (mod p) (véase [6]). De (2.3) y (2.4), tenemos [Ep−1(z), f(z)]1(z)(f(z)) (mod p) y [Ep−1(z), f(z)]1 â € € Sâ € p+1+ 1 (­0(N), χ). Repitiendo este método p− 1 veces, com- Aproveche la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Usando el siguiente lema, podemos lidiar con la divisibilidad de ag(n) para números enteros positivos n, p n, donde g(z) = n=1 ag(n)q n.o S.o 1 (0(N), χ) Z[[q]]. Lemma 2.3 (véase el capítulo 3 en [8]). Supongamos que g(z) = n=1 ag(n)q n.o S.o 1 (­0(N), χ) tiene coeficientes en OK, los enteros algebraicos de algún número campo K. Además, supongamos que ♥ ≥ 1 y que m • OK es una norma ideal M. (1) Entonces, una proporción positiva de los primos Q -1 (mod 4MN) tiene la propiedad g(z)T (Q2), , χ) 0 (mod m). (2) Entonces una proporción positiva de los primos Q 1 (mod 4MN) tiene la propiedad que g(z)T (Q2), , χ) 2g(z) (mod m). Ahora podemos probar el Teorema 1. Prueba de Teorema 1. De Lemma 2.2, existe una forma cúspide f­(z) ­(p+1)(p−1)+ 1 (0(N), χ) Z[[q]] de tal manera que f. z.............................................................................................................................................................................................................................................................. Tenga en cuenta que, para F (z) = n=0 aF (n)q n+ Mk+ 1 (­0(N), χ) y cada Q N primo, la peso semiintegral Hecke operator T (Q2, , χ) se define como (2.5) F (z)T (Q2, k, χ) aF (Q) 2n) + (Q) Qk−1aF (n) + χ *(Q2)Q2k−1aF (n/Q DISTRIBUCIÓN DE CUARTOS COEFICIENTES INTEGRALOS MODULO PRIMES 7 donde (n) := (n) (−1)k y aF (n/Q) 2) = 0 si Q2 n. Si F (z) T (Q2, k, χ) (mod p) para un Q N primo, entonces tenemos aF (Q) 2 ·Qn) + (Q) Qk−1aF (Qn) + χ *(Q2)Q2k−1aF Qn/Q2 AF (Q3n) 0 (mod p) para cada entero positivo n tal que gcd(Q, n) = 1. Por lo tanto, tenemos lo siguiente: Lemma 2.3-(1): 1 ≤ n ≤ X a(n) 0 (mod p) y gcd(p, n) = 1} X. Aplicamos el Teorema 2.1 con la letra (z). Entonces el propósito de la parte restante de la prueba es mostrar lo siguiente: si gcd(p, 4N) = 1, un primo impar l divide algo de ni, y (2.6) P−1(f(z)) a(nim) 2)qnim (mod p), entonces p(l− 1) l(l+ 1) N o l N. Asumimos que existe un l1 primario tal que l1n1, p (l1 − 1) l1(l1 + 1) N y l N. También suponemos que nt = 1 y que ni n1 para cada i, 2 ≤ i ≤ t − 1. Entonces, podemos tomar un li prime para cada i, 2 ≤ i ≤ t − 1, tal que lini y li n1. Para la convención, definimos (−1)(n−1)2/8 si n es impar, 0 en caso contrario, y χQ(d) := para un Q principal. Let â € (d) := i=2 χli(d). Tomamos un primo β tal que (n1)(n1) = −1. Si denotamos el -twist de fû(z) por f(z) y el -twist de fû(z) por f(z), entonces F2 z) − f(z) 2 gcd(m,β lj)=1 a(n1m 2)qn1m (mod p) y f(z) â € (p+1)(p−1)+ 1 (­0(Nα) 2β2), χ) Z[[q] (véase el capítulo 3 en [8]). Tenga en cuenta que gcd(Nα2β2, p) = gcd(Nα2β2, l1) = 1. Por lo tanto, (f(z)− f(z))T (l21, (p+ 1)(p− 1), χ) satisface la fórmula (2.2) del teorema 2.1 para los dos tipos de â € = 1 y â € = -1. Esto resulta en una contradicción ya que (f(z)− f(z))T (l 1 (p + 1) (p - 1), χ) 6 ° 0 (mod p) y p ≥ 5. Por lo tanto, completamos la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 8 D. CHOI 3. Pruebas del Teorema 2, 3 y 4 3.1. Prueba de Teorema 2. Tenga en cuenta que h(z) = η(z)2 η(2z) ·E4(4z) η(4z)6 es una forma modular meromórfica. En [2] se obtuvo una forma modular holomórfica en 0°(4p 2) cuyos coeficientes de Fourier generar trazas de módulo módulo singular p (véase la fórmula (3.1) y (3.2)). Desde el nivel de esta forma modular no es relativamente primo a p, necesitamos la siguiente propuesta. Proposición 3.1 ([1]. Supongamos que p ≥ 5 es un primo. También, supongamos que p N, j ≥ 1 es un número entero, y g(z) = a(n)qn â € Sâ € 1 (­0(Np) j)) Z[q]. Entonces, existe una forma de cúspide G(z) S 1 En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo. G(z) g(z) (mod p), donde + 1 = (+ 1 )pj + pe(p− 1) para una e • N suficientemente grande. Utilizando el Teorema 1 y la Proposición 3.1, damos la prueba del Teorema 2. Prueba de Teorema 2. Vamos. (3.1) h1,p(z) := h(z)− hχp(z), donde hχp(z) es el χp-twist de h(z). A partir de (1.2), tenemos h1,p(z) := −2 − 0 <d­03,3 (mod 4) t1(d)q d − 2 0 <d­03,3 (mod 4) (−dp )=−1 t1(d)q hm,p(z) := h1,p(z)T (m2, 1, χ0) = −2 − 0 <d­03,3 (mod 4) tm(d)q d − 2 0 <d­03,3 (mod 4) (−dp )=−1 tm(d)q para cada entero positivo m. Let Fp(z) := η(4z)p η(4pz) Se demostró en [2] que si α es un número entero positivo suficientemente grande, entonces h1,p(z)Fp(z) (+0(4p) 2)) y (3.2) h1,p(z)Fp(z) α  h1,p(z) (mod p), DISTRIBUCIÓN DE LOS FUENTES DE COEFICIENCIA INTEGRAL MODULO PRIMES 9 donde k0 = α · p . Lemma 2.2 y la Proposición 3.1 implican que existe f1,p(z) S 1 (­0(4)) Z[q] de forma que: f1,p(z) • −2 0 <d­03,3 (mod 4) (−dp )=−1 tm(d)q d (mod p), donde = (k0 + 1 + (p− 1)(p+ 1) + 12)p 2 + pe(p− 1) para un e â € N suficientemente grande. Asumimos que los coeficientes de f1,p(z) no satisfacen la propiedad A para un primo impar p. 2 (mod 3). Tenga en cuenta que = −1 y que p (3−1)3(3+1). Por lo tanto, el teorema 1 implica 2t1(3) 0 (mod p). Esto resulta en una contradicción desde 2t1(3) = 2 4 ·31. Así, obtenemos una prueba cuando m = 1. Por cada primo l impar, tenemos F1, p(z) T (l2,, χ0) P−1(h1, p(z)) T (l2,, χ0) (l2, 1, χ0)) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) Por otra parte, Lemma 2.3 implica que una proporción positiva de los primos l satisface la propiedad f1,p(z)T (l2,, χ0) 2f1,p (mod p). Esto completa la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 3.2. Pruebas de Teorema 3. El siguiente teorema da la fórmula para el Hurwitz número de clase en términos de los coeficientes de Fourier de una forma modular de medio peso integral. Teorema 3.2. Dejar T (z) := 1 + 2 n=1 q n2. Si los enteros r3(n) se definen como r3(n)q n := T (z)3, r(n) = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 12H(−4n) si no se cumplen las condiciones siguientes: 1, 2 (mod 4), 24H(−n) si n ≤ 3 (mod. 8), r(n/4) si n+ 0 (mod 4), 0 si n° 7 (mod. 8). Tenga en cuenta que T (z) es una forma modular de peso de medio peso integral 1 sobre el punto 0(4). Combinación Teorema 1 y Teorema 3.2, derivamos la prueba de Teorema 3. Prueba de Teorema 3. Deja que G(z) sea el -Twist de T (z)3. Entonces, desde Teorema 3.2, nosotros G(z) = 1 + No1 (mod 4) 12H(−4n)qn + No3 (mod 8) 24H(−n)qn 10 D. CHOI y G(z) M3 (I0(16)). Note que 24H(−3) = 8. Esto da la prueba completa por Teorema 1. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 3.3. Pruebas de Teorema 4. A continuación, probamos el Teorema 4. Prueba de Teorema 4. Vamos. W (z) := η(2z) η(z)2 Se sabe que W (z) = P̄ (n)qn y que W (z) es una forma modular débilmente holomórfica en el artículo 0(16). Vamos. G(z) := W (z)− Wχp(z) Fp(z) donde Fp(z) = η(4z)p η(4p2z) y β son enteros positivos. Entonces tenemos G(z) 2 (−np )=−1 P̄ (n)qn + P̄ (n)qn (mod p). Afirmamos que existe un entero positivo β tal que G(z) es un holomorphic modular forma de la mitad del peso integral en £0(16p) 2). Para demostrar nuestra afirmación, seguimos los argumentos de Ahlgren y Ono ([1], Lemma 4.2). Tenga en cuenta que, por un criterio bien conocido, Fp(z) es un forma modular holomórfica en 0°(4p) 2) que desaparece en cada cúspide Q para los cuales p2 c (véase [7]). Esto implica que G(z) es una forma modular débilmente holomórfica en Ł0(16p 2). Si β es suficientemente grande, entonces G(z) es holomórfico excepto en cada cúspide para los cuales p2c′. Por lo tanto, demostramos que G(z) es holomórfico en 1 para 0 ≤ m ≤ 3. Let, para impar d, * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1 si d • 1 (mod 4), i si d • 3 (mod 4). Si f(z) es una función en el plano de la mitad superior compleja, definimos el operador de slash usual por f(z) 1 )2+1 1−2ld (cz + d) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 az + b cz + d Let g := e2πiv/p sea la suma habitual de Gauss. Tenga en cuenta que Wχp(z) = W (z) 1 1 −v/p Elija un kv entero satisfactorio 16kv 15v (mod p). DISTRIBUCIÓN DE CUARTOS COEFICIENTES INTEGRALOS MODULO PRIMES 11 Entonces, tenemos (3.3) 2mp2 1 = γv,m 2mp2 1 1 −16v + 16kv donde γv,m = 1− 2m+4p(v + kv + 2mv2p− 2mvkvp) 1p(15v − 16kv − 2 m+4(v2p+ vkvp)) 22mp2(−16vp+ 16kvp) 2m+4vp− 2m+4kvp+ 1 Tenga en cuenta que W (z) tiene su único polo en z â € 0 hasta â € 0(16). Desde γv,m 0(16), el fórmula (3.3) implica que Wχp(z) es holomórfico en 2 mp2 para 1 ≤ m ≤ 3. Por lo tanto, G(z) es holomorphic a 2mp2 para 1 ≤ m ≤ 3. Si m = 0, entonces tenemos W (z) 1 γv,0 = −16vp3 + 16kvp3 16vp− 16kvp+ 1 W (z) = p2(−vp+ kvp) 16vp− 16kvp + 1 W (z) = W (z). Tenga en cuenta que (3.4) W (z) 1 = α · q− 16 + O(1) donde α es un número complejo no cero. La expansión q de Wχp(z) en es dada por (3,5) Wχp(z) 1 Usando (3.3) y (3.4), el único término en (3.5) con un exponente negativo en q es el término (v-kv). Si N se define por 16N • 1 (mod p), entonces tenemos (v-kv) = Por lo tanto, tenemos que (W (z)-Wχp(z)) 1 = O(1). Esto implica que G(z) es una forma modular holomórfica de la mitad de peso integral en 0(16p Observando que P̄ (3) = 8, la parte restante de la prueba es similar a la del Teorema 3. Por lo tanto, se omite. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 12 D. CHOI Bibliografía [1] S. Ahlgren y M. Boylan, Valores críticos centrales de funciones modulares en L y Coeffients de la mitad Formas modulares integrales de peso Modulo l, para aparecer en Amer. J. Matemáticas. [2] S. Ahlgren y K. Ono, Aritmético de módulo singular y polinomios de clase, Compos. Matemáticas. 141 (2005), no. 2, 293-312. [3] J. H. Bruinier y K. Ono, Coeficiente de formas modulares de peso semiintegral, J. Teoría Número 99 (2003), no. 1, 164–179. [4] H. Cohen, Sumas que implican los valores en números enteros negativos de las funciones L de caracteres cuadráticos, Matemáticas. Ann. 217 (1975), No. 3, 271–285. [5] N. Koblitz, Introducción a curvas elípticas y formas modulares, Springer-Verlag New York, GTM 97, 1993. [6] S. Lang, Introducción a los formularios modulares, Grundl. d. Matemáticas. Wiss. No. 222, Springer: Berlin Heidelberg Nueva York, 1976 Berlín, 1995. [7] B. Gordon y K. Hughes, Propiedades multiplicativas del eta-producto, Cont. Matemáticas. 143 (1993), 415-430. [8] K. Ono, La red de modularidad: aritmética de los coeficientes de las formas modulares y de la serie q, Amer. Matemáticas. Soc., CBMS Regional Conf. Serie en matemáticas, vol. 102, 2004. [9] J.-P. Serre, Divisibilite de ciertos fonctions arithmetiques, Enseignement Math. 2) 22 (1976), No. 3-4, 227–260. [10] S. Treneer, Congruencias para los Coeficientes de Formas Modulares Debilitadas Holomórficas, para aparecer en las Actas de la Sociedad Matemática de Londres. [11] D. Zagier, Trazas de módulo singular, Motivos, polilogaritmos y teoría de Hodge, Parte I, Int. Prensa Lect. Ser., 3, I, Int. Press, Somerville, MA, 2002, pp.211-244. Escuela de Matemáticas, KIAS, 207-43 Cheongnyangni 2-dong 130-722, Corea Dirección de correo electrónico: choija@postech.ac.kr 1. Introducción y resultados 2. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ 3. Pruebas de Teorema♪ ♪ ♪ ♪ y ♪♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ 3.1. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ 3.2. ¿Pruebas de Teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ 3.3. ¿Pruebas de Teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ Bibliografía
Recientemente, Bruinier y Ono clasificados cúspide formas $f(z) := \sum_{n=0infty} a_f(n)q ^n \in S_{\lambda+1/2}(\Gamma_0(N),\chi)\cap \mathbb{Z}[[q]$ que hace no satisfacer una cierta propiedad de distribución para modulo impar primos $p$. En este de papel, utilizando Rankin-Cohen Bracket, ampliamos este resultado a formas modulares de medio peso integral para primos $p \geq 5$. Como aplicaciones de nuestro principal teorema derivamos propiedades de distribución, para módulo primos $p\geq5$, de trazas de módulo singular y Hurwitz número de clase. También estudiamos un análogo de Newman's conjetura de sobreparticiones.
Introducción y resultados Dejemos que Mâ € 1 (­0(N), χ) y S­1 (­0(N), χ) ser los espacios, respectivamente, de las formas modulares y formas de cúspide de peso  + 1 en el punto 0(N) con un carácter Dirichlet χ cuyo conductor divide N. Si f(z) â € Mâ € 1 (­0(N), χ), entonces f(z) tiene el formulario f(z) = a(n)qn, donde q := e2điz. Es bien sabido que los coeficientes de f están relacionados con interesante objetos en teoría de números tales como los valores especiales de la función L, número de clase, rastros de módulo singular y así sucesivamente. En este artículo, estudiamos las propiedades de congruencia del Fourier Coeficiente de f(z) â € Mâ € 1 (+0(N), χ) • Z[[q] y sus aplicaciones. Hace poco, Bruinier y Ono probaron en [3] que g(z) (+0(N), χ) • Z[[q] tiene un forma especial (véase (2.1)) por módulo p cuando p es un primo impar y los coeficientes de f(z) no satisfacer la siguiente propiedad para p: Propiedad A. IfM es un entero positivo, decimos que una secuencia α(n) Z satisface la propiedad A para M si para cada entero r 1 ≤ n ≤ X α(n)  r (mod M) y gcd(M,n) = 1} en caso de que r 6-0 (mod M), X if r 0 (mod M). 2000 Clasificación de Materias Matemáticas. 11F11,11F33. Palabras y frases clave. Formas modulares, Congruencias. http://arxiv.org/abs/0704.0012v1 2 D. CHOI (f(z)):= f(z) = n · a(n)qn. Usando Rankin-Cohen Bracket (véase (2.3), demostramos que existe f?(z) â € € € € TM p+1+ 1 (+0(4N), χ) + Z[[q] de manera que la letra f) del apartado z) del presente artículo sea la misma que la letra f) del apartado z) del presente artículo (mod p). Extendemos los resultados en [3] a formas modulares de la mitad peso integral. Teorema 1. Let ♥ ser un entero no negativo. Asumimos que f(z) = n=0 a(n)q Mâ € 1 (­0(4N), χ) Z[q], donde χ es un verdadero carácter Dirichlet. Si p ≥ 5 es un primo y existe un entero positivo n para el cual gcd(a(n), p) = 1 y gcd(n, p) = 1, entonces al menos uno de los siguientes es cierto: (1) Los coeficientes de ­p−1(f(z)) satisfacen la propiedad A para p. (2) Hay finitamente muchos enteros cuadrados libres n1, n2, · · ·, nt para los cuales (1.1) p−1(f(z)) a(nim) 2)qnim (mod p). Además, si gcd(4N, p) = 1 y un primo impar l divide algunos ni, entonces p(l− 1)l(l+ 1)N o l N. Observación 1.1. Tenga en cuenta que para cada primo impar p ≥ 5, P−1(f(z)) a(n)qn (mod p). Como aplicaciones del Teorema 1, estudiamos la distribución de trazas de módulo singular módulo primos p ≥ 5. Que j(z) sea la función j-invariante habitual. Denotamos por Fd el conjunto de formas binarias cuadráticas definidas positivas F (x, y) = ax2 + bxy + cy2 = [a, b, c] con discriminante −d = b2−4ac. Para cada F (x, y), dejar que αF sea el número complejo único en el plano medio superior complejo, que es una raíz de F (x, 1). Definimos "F" {1, 2, 3} como * F := 2 si F [a, 0, a], 3 si F [a, a, a], 1 en caso contrario, donde := SL2(Z). Aquí, F [a, b, c] denota que F (x, y) es equivalente a [a, b, c]. A partir de estas anotaciones, definimos el rastro Hecke de módulo singular. DISTRIBUCIÓN DE LOS FUENTES DE COEFICIENCIA INTEGRAL MODULO PRIMES 3 Definición 1.2. Si m ≥ 1, entonces definimos el rastro mth Hecke del módulo singular de discriminante −d como tm(d) := F.F.D./ jm(αF ) donde Fd/l denota un conjunto de clases de equivalencia de Fd y jm(z) := j(z)T0(m) = az + b Aquí, T0(m) denota el peso mth normalizado del operador Hecke cero. Nótese que t1(d) = t(d), donde t(d) := F.F.D./ j(αF)− 744 es el rastro habitual de módulo singular. Vamos. h(z) := η(z)2 η(2z) · E4(4z) η(4z)6 y Bm(1, d) denotan el coeficiente de q d en h(z)T (m2, 1, χ0), donde E4(z) := 1 + 240 d3qn, η(z) := q (1- qn), Y χ0 es un carácter trivial. Aquí, T (m 2,....................................................................................................................................................  + 1 con un dirichlet chracter χ (ver VI. § 3. en [5] o (2,5)). Zagier demostró en [11] que para todos los m y d (1.2) tm(d) = −Bm(1, d). Utilizando estas funciones generadoras, Ahlgren y Ono estudiaron las propiedades de divisibilidad de rastros y Hecke rastros de módulo singular en términos de la factorización de primos en campos cuadráticos imaginarios (véase [2]). Por ejemplo, demostraron que una proporción positiva de los primos l tiene la propiedad que tm(l 3n) 0 (mod ps) por cada entero positivo n coprime a l tal que p es inerte o ramificado en Q . Aquí, p es un primo impar, y s y m son enteros con p m. En el siguiente teorema, damos la distribución de rastros y Hecke rastros de singular modulo modulo primos p. 4 D. CHOI Teorema 2. Supongamos que p ≥ 5 es un primo tal que p • 2 (mod 3). (1) Entonces, para cada entero r, p r, 1 ≤ n ≤ X t1(n) Ł r (mod p)} en caso de que r 6-0 (mod p) X if r 0 (mod p). (2) Entonces, una proporción positiva de los primos l tiene la propiedad que 1 ≤ n ≤ X tl(n) r (mod p)} en caso de que r 6-0 (mod p) X if r 0 (mod p). para cada entero r, p r. Como otra aplicación estudiamos la distribución de Hurwitz clase número modulo primos p ≥ 5. La clase Hurwitz número H(−N) se define de la siguiente manera: el número de clase de formas cuadráticas del discriminante −N donde cada clase C se cuenta con multiplicidad Aut(C) . El siguiente teorema da la distribución de Hurwitz clase número modulo primos p ≥ 5. Teorema 3. Supongamos que p ≥ 5 es un primo. Entonces, para cada entero r 1 ≤ n ≤ X H(n) Ł r (mod p)} en caso de que r 6-0 (mod p), X if r 0 (mod p). También utilizamos el teorema principal para estudiar un análogo de la conjetura de Newman para titions. La conjetura de Newman se refiere a la distribución de la función de partición ordinaria módulo primos p. Conjetura de Newman. Que P (n) sea una función de partición ordinaria. Si M es un positivo entero, entonces para cada entero r hay infinitamente muchos entero no negativo n para el cual P n) Ł r (mod M). Esta conjetura ya fue estudiada por muchos matemáticos (véase el capítulo 5. en [8]). La sobrepartición de un número natural n es una partición de n en la que la primera ocurrencia de un número puede ser overlined. Que P̄ (n) sea el número de la sobrepartición de un entero n. Como análogo de la conjetura de Newman, el siguiente teorema da una distribución propiedad de P̄ (n) módulo impar primos p. Teorema 4. Supongamos que p ≥ 5 es un primo tal que p • 2 (mod 3). Entonces, por cada entero r, 1 ≤ n ≤ X P̄ (n) r (mod p)} en caso de que r 6-0 (mod p), X if r 0 (mod p). Observación 1.3. Cuando se probaron r 0 (mod p), el teorema 2, 3 y 4 en [2] y [10]. DISTRIBUCIÓN DE LOS FUENTES INTEGRALES DE COEFICIENCIAS MODULO PRIMES 5 Las siguientes secciones son pruebas detalladas de los teoremas: La sección 2 da una prueba de Teorema 1. In Sección 3, damos las pruebas del Teorema 2, 3 y 4. 2. Prueba de Teorema 1 Comenzamos declarando el siguiente teorema probado en [3]. Teorema 2.1 ([3]). Let ♥ ser un entero no negativo. Supongamos que g(z) = n=0 ag(n)q Sâ € 1 (­0(4N), χ) Z[q], donde χ es un verdadero carácter Dirichlet. Si p es un primo impar y un entero positivo n existe para el cual gcd(ag(n), p) = 1, entonces al menos uno de los siguientes es cierto: (1) Si 0 ≤ r < p, entonces 1 ≤ n ≤ X ag(n) Ł r (mod p)} en caso de que r 6-0 (mod p), X if r 0 (mod p). (2) Hay finitamente muchos enteros cuadrados libres n1, n2, · · ·, nt para los cuales (2.1) g(z) ag(nim) 2)qnim (mod p). Por otra parte, si gcd(p, 4N) = 1, 1}, y l 4Np es un primo con {0, para 1 ≤ i ≤ t, entonces (l−1)g(z) es un módulo eigenformo p del peso semiintegral Hecke operator T (l2, , χ). En particular, tenemos (2.2) (l - 1)g(z)T (l2, , χ) (p) (−1) 1 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° (l-1)g(z) (mod p). Recuerde que f(z) = a(n)qn â € Mâ € 1 (+0(4N), χ) • Z[[q]]. Por lo tanto, para aplicar Teorema 2.1, demostramos que existe una forma cúspide f a p primo ≥ 5. Lemma 2.2. Supongamos que p ≥ 5 es un primo y f(z) = a(n)qn â € Mâ € 1 (0(N), χ) Z[[q]]. A continuación, existe una forma de cúspide fû(z) â € € € € TM (p+1)(p−1)+ 1 (­0(N), χ) Z[q] de forma que: f. z.............................................................................................................................................................................................................................................................. Prueba de Lemma 2.2. En el caso de F (z) â € Mk1 (­0(N), χ1) y G(z) ­Mk2 (­0(N), χ2), let 2.3) [F (z), G (z)]1 := (F (z)) ·G(z)− F (z) · (G(z)). Este operador se conoce como un 1-bracket Rankin-Cohen, y se demostró en [4] que [F (z), G (z)]1 + S k1+k2 (+0(N), χ1χ2χ 6 D. CHOI donde = 1 si k1 y k2 Z, (d) = 2 si ki Z y k3-i + Z, y (d) = ) k1+k2 2 si k1 y k2 Para incluso k ≥ 4, dejar Ek(z) := 1− dk−1qn ser la serie normalizada habitual Eisenstein de peso k. Aquí, el número Bk denota la Número Kth Bernoulli. La función Ek(z) es una forma modular de peso k en SL2(Z), y (2.4) Ep−1(z) 1 (mod p) (véase [6]). De (2.3) y (2.4), tenemos [Ep−1(z), f(z)]1(z)(f(z)) (mod p) y [Ep−1(z), f(z)]1 â € € Sâ € p+1+ 1 (­0(N), χ). Repitiendo este método p− 1 veces, com- Aproveche la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Usando el siguiente lema, podemos lidiar con la divisibilidad de ag(n) para números enteros positivos n, p n, donde g(z) = n=1 ag(n)q n.o S.o 1 (0(N), χ) Z[[q]]. Lemma 2.3 (véase el capítulo 3 en [8]). Supongamos que g(z) = n=1 ag(n)q n.o S.o 1 (­0(N), χ) tiene coeficientes en OK, los enteros algebraicos de algún número campo K. Además, supongamos que ♥ ≥ 1 y que m • OK es una norma ideal M. (1) Entonces, una proporción positiva de los primos Q -1 (mod 4MN) tiene la propiedad g(z)T (Q2), , χ) 0 (mod m). (2) Entonces una proporción positiva de los primos Q 1 (mod 4MN) tiene la propiedad que g(z)T (Q2), , χ) 2g(z) (mod m). Ahora podemos probar el Teorema 1. Prueba de Teorema 1. De Lemma 2.2, existe una forma cúspide f­(z) ­(p+1)(p−1)+ 1 (0(N), χ) Z[[q]] de tal manera que f. z.............................................................................................................................................................................................................................................................. Tenga en cuenta que, para F (z) = n=0 aF (n)q n+ Mk+ 1 (­0(N), χ) y cada Q N primo, la peso semiintegral Hecke operator T (Q2, , χ) se define como (2.5) F (z)T (Q2, k, χ) aF (Q) 2n) + (Q) Qk−1aF (n) + χ *(Q2)Q2k−1aF (n/Q DISTRIBUCIÓN DE CUARTOS COEFICIENTES INTEGRALOS MODULO PRIMES 7 donde (n) := (n) (−1)k y aF (n/Q) 2) = 0 si Q2 n. Si F (z) T (Q2, k, χ) (mod p) para un Q N primo, entonces tenemos aF (Q) 2 ·Qn) + (Q) Qk−1aF (Qn) + χ *(Q2)Q2k−1aF Qn/Q2 AF (Q3n) 0 (mod p) para cada entero positivo n tal que gcd(Q, n) = 1. Por lo tanto, tenemos lo siguiente: Lemma 2.3-(1): 1 ≤ n ≤ X a(n) 0 (mod p) y gcd(p, n) = 1} X. Aplicamos el Teorema 2.1 con la letra (z). Entonces el propósito de la parte restante de la prueba es mostrar lo siguiente: si gcd(p, 4N) = 1, un primo impar l divide algo de ni, y (2.6) P−1(f(z)) a(nim) 2)qnim (mod p), entonces p(l− 1) l(l+ 1) N o l N. Asumimos que existe un l1 primario tal que l1n1, p (l1 − 1) l1(l1 + 1) N y l N. También suponemos que nt = 1 y que ni n1 para cada i, 2 ≤ i ≤ t − 1. Entonces, podemos tomar un li prime para cada i, 2 ≤ i ≤ t − 1, tal que lini y li n1. Para la convención, definimos (−1)(n−1)2/8 si n es impar, 0 en caso contrario, y χQ(d) := para un Q principal. Let â € (d) := i=2 χli(d). Tomamos un primo β tal que (n1)(n1) = −1. Si denotamos el -twist de fû(z) por f(z) y el -twist de fû(z) por f(z), entonces F2 z) − f(z) 2 gcd(m,β lj)=1 a(n1m 2)qn1m (mod p) y f(z) â € (p+1)(p−1)+ 1 (­0(Nα) 2β2), χ) Z[[q] (véase el capítulo 3 en [8]). Tenga en cuenta que gcd(Nα2β2, p) = gcd(Nα2β2, l1) = 1. Por lo tanto, (f(z)− f(z))T (l21, (p+ 1)(p− 1), χ) satisface la fórmula (2.2) del teorema 2.1 para los dos tipos de â € = 1 y â € = -1. Esto resulta en una contradicción ya que (f(z)− f(z))T (l 1 (p + 1) (p - 1), χ) 6 ° 0 (mod p) y p ≥ 5. Por lo tanto, completamos la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 8 D. CHOI 3. Pruebas del Teorema 2, 3 y 4 3.1. Prueba de Teorema 2. Tenga en cuenta que h(z) = η(z)2 η(2z) ·E4(4z) η(4z)6 es una forma modular meromórfica. En [2] se obtuvo una forma modular holomórfica en 0°(4p 2) cuyos coeficientes de Fourier generar trazas de módulo módulo singular p (véase la fórmula (3.1) y (3.2)). Desde el nivel de esta forma modular no es relativamente primo a p, necesitamos la siguiente propuesta. Proposición 3.1 ([1]. Supongamos que p ≥ 5 es un primo. También, supongamos que p N, j ≥ 1 es un número entero, y g(z) = a(n)qn â € Sâ € 1 (­0(Np) j)) Z[q]. Entonces, existe una forma de cúspide G(z) S 1 En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo. G(z) g(z) (mod p), donde + 1 = (+ 1 )pj + pe(p− 1) para una e • N suficientemente grande. Utilizando el Teorema 1 y la Proposición 3.1, damos la prueba del Teorema 2. Prueba de Teorema 2. Vamos. (3.1) h1,p(z) := h(z)− hχp(z), donde hχp(z) es el χp-twist de h(z). A partir de (1.2), tenemos h1,p(z) := −2 − 0 <d­03,3 (mod 4) t1(d)q d − 2 0 <d­03,3 (mod 4) (−dp )=−1 t1(d)q hm,p(z) := h1,p(z)T (m2, 1, χ0) = −2 − 0 <d­03,3 (mod 4) tm(d)q d − 2 0 <d­03,3 (mod 4) (−dp )=−1 tm(d)q para cada entero positivo m. Let Fp(z) := η(4z)p η(4pz) Se demostró en [2] que si α es un número entero positivo suficientemente grande, entonces h1,p(z)Fp(z) (+0(4p) 2)) y (3.2) h1,p(z)Fp(z) α  h1,p(z) (mod p), DISTRIBUCIÓN DE LOS FUENTES DE COEFICIENCIA INTEGRAL MODULO PRIMES 9 donde k0 = α · p . Lemma 2.2 y la Proposición 3.1 implican que existe f1,p(z) S 1 (­0(4)) Z[q] de forma que: f1,p(z) • −2 0 <d­03,3 (mod 4) (−dp )=−1 tm(d)q d (mod p), donde = (k0 + 1 + (p− 1)(p+ 1) + 12)p 2 + pe(p− 1) para un e â € N suficientemente grande. Asumimos que los coeficientes de f1,p(z) no satisfacen la propiedad A para un primo impar p. 2 (mod 3). Tenga en cuenta que = −1 y que p (3−1)3(3+1). Por lo tanto, el teorema 1 implica 2t1(3) 0 (mod p). Esto resulta en una contradicción desde 2t1(3) = 2 4 ·31. Así, obtenemos una prueba cuando m = 1. Por cada primo l impar, tenemos F1, p(z) T (l2,, χ0) P−1(h1, p(z)) T (l2,, χ0) (l2, 1, χ0)) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) Por otra parte, Lemma 2.3 implica que una proporción positiva de los primos l satisface la propiedad f1,p(z)T (l2,, χ0) 2f1,p (mod p). Esto completa la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 3.2. Pruebas de Teorema 3. El siguiente teorema da la fórmula para el Hurwitz número de clase en términos de los coeficientes de Fourier de una forma modular de medio peso integral. Teorema 3.2. Dejar T (z) := 1 + 2 n=1 q n2. Si los enteros r3(n) se definen como r3(n)q n := T (z)3, r(n) = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 12H(−4n) si no se cumplen las condiciones siguientes: 1, 2 (mod 4), 24H(−n) si n ≤ 3 (mod. 8), r(n/4) si n+ 0 (mod 4), 0 si n° 7 (mod. 8). Tenga en cuenta que T (z) es una forma modular de peso de medio peso integral 1 sobre el punto 0(4). Combinación Teorema 1 y Teorema 3.2, derivamos la prueba de Teorema 3. Prueba de Teorema 3. Deja que G(z) sea el -Twist de T (z)3. Entonces, desde Teorema 3.2, nosotros G(z) = 1 + No1 (mod 4) 12H(−4n)qn + No3 (mod 8) 24H(−n)qn 10 D. CHOI y G(z) M3 (I0(16)). Note que 24H(−3) = 8. Esto da la prueba completa por Teorema 1. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 3.3. Pruebas de Teorema 4. A continuación, probamos el Teorema 4. Prueba de Teorema 4. Vamos. W (z) := η(2z) η(z)2 Se sabe que W (z) = P̄ (n)qn y que W (z) es una forma modular débilmente holomórfica en el artículo 0(16). Vamos. G(z) := W (z)− Wχp(z) Fp(z) donde Fp(z) = η(4z)p η(4p2z) y β son enteros positivos. Entonces tenemos G(z) 2 (−np )=−1 P̄ (n)qn + P̄ (n)qn (mod p). Afirmamos que existe un entero positivo β tal que G(z) es un holomorphic modular forma de la mitad del peso integral en £0(16p) 2). Para demostrar nuestra afirmación, seguimos los argumentos de Ahlgren y Ono ([1], Lemma 4.2). Tenga en cuenta que, por un criterio bien conocido, Fp(z) es un forma modular holomórfica en 0°(4p) 2) que desaparece en cada cúspide Q para los cuales p2 c (véase [7]). Esto implica que G(z) es una forma modular débilmente holomórfica en Ł0(16p 2). Si β es suficientemente grande, entonces G(z) es holomórfico excepto en cada cúspide para los cuales p2c′. Por lo tanto, demostramos que G(z) es holomórfico en 1 para 0 ≤ m ≤ 3. Let, para impar d, * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1 si d • 1 (mod 4), i si d • 3 (mod 4). Si f(z) es una función en el plano de la mitad superior compleja, definimos el operador de slash usual por f(z) 1 )2+1 1−2ld (cz + d) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 az + b cz + d Let g := e2πiv/p sea la suma habitual de Gauss. Tenga en cuenta que Wχp(z) = W (z) 1 1 −v/p Elija un kv entero satisfactorio 16kv 15v (mod p). DISTRIBUCIÓN DE CUARTOS COEFICIENTES INTEGRALOS MODULO PRIMES 11 Entonces, tenemos (3.3) 2mp2 1 = γv,m 2mp2 1 1 −16v + 16kv donde γv,m = 1− 2m+4p(v + kv + 2mv2p− 2mvkvp) 1p(15v − 16kv − 2 m+4(v2p+ vkvp)) 22mp2(−16vp+ 16kvp) 2m+4vp− 2m+4kvp+ 1 Tenga en cuenta que W (z) tiene su único polo en z â € 0 hasta â € 0(16). Desde γv,m 0(16), el fórmula (3.3) implica que Wχp(z) es holomórfico en 2 mp2 para 1 ≤ m ≤ 3. Por lo tanto, G(z) es holomorphic a 2mp2 para 1 ≤ m ≤ 3. Si m = 0, entonces tenemos W (z) 1 γv,0 = −16vp3 + 16kvp3 16vp− 16kvp+ 1 W (z) = p2(−vp+ kvp) 16vp− 16kvp + 1 W (z) = W (z). Tenga en cuenta que (3.4) W (z) 1 = α · q− 16 + O(1) donde α es un número complejo no cero. La expansión q de Wχp(z) en es dada por (3,5) Wχp(z) 1 Usando (3.3) y (3.4), el único término en (3.5) con un exponente negativo en q es el término (v-kv). Si N se define por 16N • 1 (mod p), entonces tenemos (v-kv) = Por lo tanto, tenemos que (W (z)-Wχp(z)) 1 = O(1). Esto implica que G(z) es una forma modular holomórfica de la mitad de peso integral en 0(16p Observando que P̄ (3) = 8, la parte restante de la prueba es similar a la del Teorema 3. Por lo tanto, se omite. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 12 D. CHOI Bibliografía [1] S. Ahlgren y M. Boylan, Valores críticos centrales de funciones modulares en L y Coeffients de la mitad Formas modulares integrales de peso Modulo l, para aparecer en Amer. J. Matemáticas. [2] S. Ahlgren y K. Ono, Aritmético de módulo singular y polinomios de clase, Compos. Matemáticas. 141 (2005), no. 2, 293-312. [3] J. H. Bruinier y K. Ono, Coeficiente de formas modulares de peso semiintegral, J. Teoría Número 99 (2003), no. 1, 164–179. [4] H. Cohen, Sumas que implican los valores en números enteros negativos de las funciones L de caracteres cuadráticos, Matemáticas. Ann. 217 (1975), No. 3, 271–285. [5] N. Koblitz, Introducción a curvas elípticas y formas modulares, Springer-Verlag New York, GTM 97, 1993. [6] S. Lang, Introducción a los formularios modulares, Grundl. d. Matemáticas. Wiss. No. 222, Springer: Berlin Heidelberg Nueva York, 1976 Berlín, 1995. [7] B. Gordon y K. Hughes, Propiedades multiplicativas del eta-producto, Cont. Matemáticas. 143 (1993), 415-430. [8] K. Ono, La red de modularidad: aritmética de los coeficientes de las formas modulares y de la serie q, Amer. Matemáticas. Soc., CBMS Regional Conf. Serie en matemáticas, vol. 102, 2004. [9] J.-P. Serre, Divisibilite de ciertos fonctions arithmetiques, Enseignement Math. 2) 22 (1976), No. 3-4, 227–260. [10] S. Treneer, Congruencias para los Coeficientes de Formas Modulares Debilitadas Holomórficas, para aparecer en las Actas de la Sociedad Matemática de Londres. [11] D. Zagier, Trazas de módulo singular, Motivos, polilogaritmos y teoría de Hodge, Parte I, Int. Prensa Lect. Ser., 3, I, Int. Press, Somerville, MA, 2002, pp.211-244. Escuela de Matemáticas, KIAS, 207-43 Cheongnyangni 2-dong 130-722, Corea Dirección de correo electrónico: choija@postech.ac.kr 1. Introducción y resultados 2. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ 3. Pruebas de Teorema♪ ♪ ♪ ♪ y ♪♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ 3.1. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ 3.2. ¿Pruebas de Teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ 3.3. ¿Pruebas de Teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ Bibliografía
704.001
$p$-adic Limit of Weakly Holomorphic Modular Forms of Half Integral Weight
LÍMITE PÁDICO DE LOS CUARTOS COEFICIENCIAS DE LA DEBILIDAD FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DE PESO INTEGRAL D. Choi e Y. Choie Resumen. Serre obtuvo el límite p-ádico de los coeficientes integrales de Fourier de los módulos formularios en SL2(Z) para p = 2, 3, 5, 7. En este documento, extendemos el resultado de Serre a débilmente formas modulares holomórficas de la mitad del peso integral en 0-0(4N) para N = 1, 2, 4. La prueba se basa en relaciones lineales entre coeficientes de Fourier de formas modulares de la mitad integral peso. Como aplicaciones de nuestro resultado principal, obtenemos congruencias en varios módulos objetos, como los para los exponentes de Borcherds, para los coeficientes de Fourier de cocientes de Serie Eisentein y para coeficientes Fourier de formas modulares Siegel en el espacio Maass. 4 de noviembre de 2018 1. Introducción y declaración de los principales resultados Serre obtuvo los límites p-ádicos de los coeficientes integrales de Fourier de las formas modulares en SL2(Z) para p = 2, 3, 5, 7 (véase Théorème 7 y Lemma 8 en [20]). En este documento, extendemos el resultado de Serre a formas modulares débilmente holomórficas de mitad de peso integral sobre el valor 0(4N) forN = 1, 2, 4. La prueba se basa en las relaciones lineales entre coeficientes de Fourier modulares formas de medio peso integral. Como aplicaciones de nuestro resultado principal, obtenemos congruencias para varios objetos modulares, como los de los exponentes de Borcherds, para coeficientes de Fourier de cocientes de la serie Eisentein y para coeficientes Fourier de formas modulares Siegel sobre el Espacio Maass. Para impar d, vamos := γtÃ30(4N)tγ donde γt = ( c ) • • (1) y γt(t) = •. Denotamos la expansión q de una forma modular f. M. 1 (l0(4N)) a cada cúspide t de °0(4N) por (1.1) (f 1 γt(z) = (cz + d) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 az + b cz + d atf (n)q t, qt := q donde (1.2) r(t) • 2000 Clasificación de Materias Matemáticas. 11F11,11F33. Palabras y frases clave. formas modulares, límite p-ádico, Borcherds exponentes, espacio Maass. Este trabajo contó con el apoyo parcial de KOSEF R01-2003-00011596-0, ITRC y BRSI-POSTECH. http://arxiv.org/abs/0704.0013v2 2 D. Choi e Y. Choie Cuando t â € ¬, denotamos atf (n) por af (n). Tenga en cuenta que el número r(t) es independiente de la elección de f â € Mâ € 1 (l0(4N)) y l. Llamamos a t una cúspide regular si r(t) = 0 (véase el capítulo IV. § 1. de [15] para una definición más general de una Observación 1.1. Nuestra definición de una cúspide regular es diferente de la habitual. Que U4N := {t1, · · ·, t v(4N)} sea el conjunto de todos los cúspides regulares inequivalentes de 0(4N). Nota que el género de la categoría 0(4N) es cero si y sólo si 1 ≤ N ≤ 4. LetMâ € 1 (­0(4N)) ser el espacio de formas modulares débilmente holomórficas de peso  + 1 sobre el punto 0(4N) y dejar que el punto 1 de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I. (­0(N)) denotar el conjunto de f(z) â € Mâ € 1 (­0(N)) tal que el término constante de su expansión q en cada cúspide es cero. Let Up es el operador definido por (f Up(z) := af(pn)q Dejar que OL sea el anillo de números enteros de un número campo L con un ideal primo p • OL. Por f(z) := af(n)q n y g(z) := ag(n)q n * L[[q−1, q]] escribimos f(z) فارسى g(z) (mod p) si y solo si af (n)− ag(n) • p por cada número entero n. Con estas anotaciones indicamos el siguiente teorema. Teorema 1. Para N = 1, 2, 4 considerar f(z) := af n)q n.o M.o.p. (l0(4N)) L[[q−1, q]]. Suponga que p OL es cualquier ideal primario tal que pp, p prime, y que af(n) es p-integral para cada número entero n ≥ n0. (1) Si p = 2 y af (0) = 0, entonces existe un entero positivo b tal que (f (Up)b(z) 0 (mod pj) por cada j N. (2) Si p ≥ 3 y f(z) • M0 0(4N)) con 2 o 2+ (mod p−1 ), a continuación, allí existe un entero positivo b tal que (f (Up)b(z) 0 (mod pj) por cada j N. Observación 1.2. El límite p-ádico de una suma de coeficientes de Fourier de f â € M 3 En el caso de autos, el importe total de la ayuda fue de €0(4N) estudiado en [13]. Nuestro método sólo permite probar un resultado más débil si f(z) 6o M0 (­0(4N)). EL LÍMITE PÁDICO DE LAS FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DEFICIOSAS 3 Teorema 2. Para N = 1, 2 o 4, dejar f(z) := af n)q n â € Mâ € 1 (l0(4N)) L[[q−1, q]]. Supongamos que p OL es cualquier ideal primo con pp, p prime, p ≥ 5, y que af (n) es p-integral para cada entero n ≥ n0. En caso de que el valor de la sustancia activa sea superior al valor de la sustancia activa, el valor de la sustancia activa deberá ser igual o superior al valor de la sustancia activa de conformidad con el artículo 4, apartado 1, letra b), del Reglamento (UE) n.o 575/2013. (mod p−1 ), entonces existe un entero positivo b0 tal que p2b−m(p: tâ € € € TM ~ U4N •4N,3 •(p:l)(z) R4N (z) e®(4N) (0)atf (0) (mod p) para cada entero positivo b > b0 (véase la sección 3 para la notación detallada ). Ejemplo 1.3. Recordemos que la función generadora de la sobrepartición P̄ (n) de n (véase [11]) P̄ (n)qn = η(2z) η(z)2 está en M− 1 (­0(16)), donde η(z) := q n=1(1− qn). Por lo tanto, el teorema 2 implica que P̄ (52b) 1 (mod 5), N. 2. Aplicaciones: Más Congruencias En esta sección se estudian las congruencias para diversos objetos modulares como los Borcherds exponentes y para cocientes de la serie Eisenstein. 2.1. Límites pádicos de los expositores de Borcherds. Deja que MH denote el conjunto de meromorphic formas modulares de peso integral en SL2(Z) con divisor Heegner, coeficientes enteros y Coeficiente 1. Vamos. {0(4)) := {f(z) = af(n)q n â € M 1 (­0(4)) a(n) = 0 para n+2,3 (mod 4)}. Si f(z) = af(n)q n° M+1 (l0(4)), a continuación, definir la letra (f(z)) por (f(z)):= q−h (1- qn)af (n2), donde h = − 1 af(0) + (mod 4) af (−n)H(−n). Aquí H(−n) denota lo usual Hurwitz clase número de discriminante − n. Lo siguiente fue probado por Borcherds. Teorema 2.1 ([4]). El mapa es un isomorfismo de M+1 (­0(4)) a MH, y el El peso de la sustancia (f(z)) es af (0). 4 D. Choi e Y. Choie Que j(z) sea la función j-invariante habitual con la expansión del producto j(z) = q−1 (1- qn)A(n). Let F (z) := q−h n=1(1 − qn)c(n) ser una forma modular meromórfica de peso k en HM. El límite p-ádico de dn d · c(d) se estudió en [5] para p = 2, 3, 5, 7. Aquí obtenemos el límite p-ádico de c(d) para p = 2, 3, 5, 7. Teorema 3. Let F (z) := q−h n=1(1− qn)c(n) ser una forma modular meromórfica de peso k en MH. (1) Si p = 2, entonces para cada j • N existe un entero positivo b tal que c(mpb) 2k (mod pj) por cada entero positivo m. (2) Si p {3, 5, 7}, entonces, para cada j N existe un entero positivo b tal que 5c(mpb)(F)A(mpb) 10k (mod pj) para cada entero positivo m. Aquí, (F) es una constante determinada por la constante término de la expansión q de 1(F) en 0. 2.2. Sumas de n-Squares. Para u â € Z>0, vamos rn(u) := (s1, · · ·, sn) Zn : s21 + · · s2n = u}. Teorema 4. Supongamos que p ≥ 5 es un primo. En caso de que el valor de la sustancia activa sea inferior o igual a 2 o 3 (mod. p−1) ), entonces existe un entero positivo C0 tal que r2â € 1 p2b−m(p: • − (14− 4α (p : ♥)) + 16 )[ lp−1 ](p:l)m(p:l) (mod p), por cada b > C0. Observación 2.2. Como para un ejemplo, si ♥ فارسى 2 (mod p− 1) y p es un primo impar, entonces allí existe un entero positivo C0 tal que r2â € 1 10 (mod p), b > C0 2.3. Cocientes de la Serie Eisenstein. Congruencias para los coeficientes de cocientes de La serie elíptica Eisenstein se ha estudiado en [3]. Consideremos el Cohen Eisenstein Serie Hr+ 1 z) := N=0H(r,N)q n de peso r+ 1 , r ≥ 2 (véase [7]). Obtenemos congruencias. para los coeficientes de cocientes de Hr+ 1 (z) y la serie Eisenstein. EL LÍMITE PÁDICO DE LAS FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DEFICIOSAS 5 Teorema 5. Vamos. F (z) := E4(z) aF (n)q G(z) := E6(z) aG(n)q W (z) := E6(z) aW (n)q Entonces existe un entero positivo C0 tal que aF (11 2b+1) 1 (mod. 11), aG(11) 2b+1) 6 (mod. 11), aW (11) 2b+1) 2 (mod. 11) para cada entero b > C0. 2.4. El espacio Maass. A continuación nos ocupamos de las congruencias para los coeficientes de Fourier de una forma modular de Siegel en el espacio Maass. Para definir el espacio Maass, vamos a introducir notación dada en [17]: que T • M2g(Q) sea un racional, semiintegral, simétrico, no- matriz degenerada de tamaño 2g con discriminante DT := (−1)g det(2T ). Dejar DT = DT,0f T, donde DT,0 es el discriminante fundamental correspondiente. Además... más, vamos G8 := * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 2 0 −1 0 0 0 0 0 0 2 0 −1 0 0 0 0 −1 0 2 −1 0 0 0 0 0 −1 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 −1 2 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * y G7 sea la submatriz superior (7, 7) de G8. Definir Sg := (g−1)/8 2, si g • 1 (mod 8), (g–7)/8 G7, si g • − 1 (mod 8). 6 D. Choi e Y. Choie Para cada m N tal que (−1)gm 0, 1 (mod 4), definir un racional, semi-integral, sim- métrica, matriz definida positiva Tm de tamaño 2g por Tm := * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 0 m/4 , si se trata de m ­0 (mod 4), e2g−1 e′2g−1 [m+ 2 + (−1)n]/4 , si me (−1) g (mod 4) Aquí e2g−1 Z(2n−1,1) es el vector de columna estándar y e′2g−1 es su transpuesta. Definición 2.3. (El espacio de Maass) Tomar g, k, N tal que g, 0, 1 (mod 4) y g k (mod 2). Vamos. SMaassk+g (2g) F (Z) = A(T )qtr(TZ) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * A(T) = ak-1-1-(a;T )A(TDT /a2) (véase (6.2) para más detalles). Este espacio se llama el espacio Maass del género 2g y peso g + k. En [17] se demostró que el espacio Maass es el mismo que la imagen de la elevación de Ikeda cuando g 0, 1 (mod 4). Usando este hecho junto con el Teorema 1, derivamos lo siguiente Congruencias para los coeficientes de Fourier de F (Z) en SMaassk+g (­2g). Teorema 6. En el caso de g 0, 1 (mod 4), F (Z) := A(T )qtr(TZ) con coeficientes integrales A(T ), T > 0. Si k • 2 o 3 (mod p−1 ) para algunos p primo, entonces, para cada j N, existe un entero positivo b para el cual A(T ) 0 (mod pj) por cada T > 0, det(2T ) 0 (mod pb). El presente documento está organizado de la siguiente manera. La sección 3 da una relación lineal entre Fourier coeficientes de formas modulares de medio peso integral. Las secciones restantes contienen: pruebas detalladas de los principales teoremas. 3. Relación lineal entre Coeficiente de Fourier de formas modulares de la mitad Peso integral Let V (N; k, n) ser el subespacio de Cn generado por los primeros coeficientes n de la q- Expansión de f en el caso de f en el caso de f en el caso de Sk(­0(N)), donde Sk(­0(N) denota el espacio de las formas de cúspide del peso k â € ¢ Z en â € € ¢ 0 (N). Que L(N; k, n) sea el complemento ortogonal de V (N; k, n) EL LÍMITE PÁDICO DE LAS FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DEFICIOSAS 7 en Cn con el producto interno habitual de Cn. El espacio vectorial L(1; k, d(k) + 1), d(k) = dim(Sk((1))), fue estudiado por Siegel para evaluar el valor de la función zeta Dedekind en cierto momento. El espacio vectorial L(1; k, n) se describe explícitamente en términos de la parte principal de las formas modulares de peso negativo en [9]. Estos resultados se ampliaron en [8] a los grupos 0(N) del género cero. Para 1 ≤ N ≤ 4, 4N, â € ¢ at1f (0), · · ·, a t/(4N) f (0), af(1), · · ·, af(n) Cn(4n) f # Mâ € 1 (­0(4N)) donde U4N := {t1, · · ·, t v(4N)} es el conjunto de todos los cúspides regulares inequivalentes de 0(4N). Nosotros definir EL(4N, â € 1 ;n) ser el complemento ortogonal de EV (4N, + 1 ;n) en Cn(4N). Let â € € TM € TM = q (4N)+O(q(4N)+1) estar en MÃ1 (­0(4N) con el orden máximo en ­, es decir, su orden en es mayor que la de cualquier otra forma modular del mismo nivel y peso. Además, vamos a R4(z) := η(4z)8 η(2z)4 , R8(z) := η(8z)8 η(4z)4 R12(z) := η(12z)12η(2z)2 η(6z)6η(4z)4 y R16(z) := η(16z)8 η(8z)4 Para l, n° N, definir m(l : n) := 0 (mod 2) 1 (mod 2) α(l : n) := n− l− 1 Let •(4N) ser el orden de cero de R4N (z) en •. Tenga en cuenta que R4N (z) su único cero en................................................................................................................................... Por lo tanto, utilizando la definición de η(z) = q 124 n=1(1− qn), encontramos que (3.1) •(4) = 1, •(8) = 2, •(12) = 4, •(16) = 4. Para cada g •Mr+ 1 (­0(4N)) y e • N, let (3.2) R4N (z)e e+(4N)+ b(4N, e, g; ν)q +O(1) at. Con estas nociones indicamos el siguiente teorema: Teorema 3.1. Supóngase que el número entero y 1 ≤ N ≤ 4. Para cada e-N De tal manera que e ≥ − 1, tomar r = 2e −  + 1. El mapa lineal Φr,e(4N): Mr+1 (­0(4N)) → 8 D. Choi e Y. Choie EL(4N, â € 1 ; e · •(4N)), definido por Φr,e(4N)(g) R4N (z) (0), · · ·, ht/(4N)a t/(4N) R4N (z) (0), b(4N, e, g; 1), · · ·, b(4N, e, g; e · (4N)) es un isomorfismo. Prueba de Teorema 3.1. Supongamos que G(z) es una forma modular meromórfica de peso 2 en 0(4N). Para el caso de la letra H+C4N, déjenos ser la imagen de la letra D® bajo el mapa canónico de la letra H®C4N. a una superficie compacta de Riemann X0(4N). Aquí H es el habitual complejo plano de la mitad superior, y C4N denota el conjunto de todos los cúspides inequivalentes de 0(4N). El residuo ResD­Gdz de G(z) en D.o D.o X0(4N) está bien definido, ya que tenemos una correspondencia canónica entre un forma modular meromórfica de peso 2 en Ø0(4N) y una forma meromórfica de 1 de X0(4N). Si Rescata G denota el residuo de G en el punto H, entonces ResD­Gdz = Resläg. Aquí es el orden del grupo de la isotropía en. El residuo de G en cada cúspide de C4N es (3.3) ResDtGdz = ht · atG(0) Ahora damos una prueba de Teorema 3.1. Para probar el teorema 3.1, tome G(z) = R4N (z)e f(z), donde g •Mr+ 1 (­0(4N)) y f(z) = n=1 af(n)q n â € Mâ € 1 (­0(4N)). Tenga en cuenta que G(z) es holomorphic en H. Desde g(z), R4N (z) y f(z) son holomorphic y R4N (z) no tiene cero En H, basta con calcular los residuos de G(z) sólo en absoluto cúspides inequivalentes para aplicar el teorema de residuos. La expansión q de R4N (z) ef(z) en R4N(z)e f(z) = e+(4N)+ b(4N, e, g; /)q + a g(z) R4N (z) (0) +O(q) af(n)q Puesto que R4N (z) no tiene cero en t R4N (z)e γt = a R4N (z) (0)af(0) +O(qt). Nótese además que, para una cúspide irregular, at g(z) R4N (z) (0)af(0) = 0. EL LÍMITE PÁDICO DE LAS FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DEFICIOSAS 9 Así que el teorema de residuos y (3.3) implican que (3.4) tâ € € € TM ~ U4N e®(4N) (0)atf(0) + e+(4N)+ b(4N, e, g; v)af( v) = 0. Esto muestra que Φr,e(4N) está bien definido. La linealidad del mapa Φr,e(4N) es clara. Queda por comprobar que Φr,e(4N) es un isomorfismo. Puesto que no existe holomórfico forma modular de peso negativo excepto la función cero, obtenemos la inyectividad de Φr,e(4N). Tenga en cuenta que para e ≥ 12, 4N ;+ , e • •(4N) = e · (4N) + ν (4N)− dimC Mâ € 1 (­0(4N)) No obstante, el conjunto C4N, 1 ≤ N ≤ 4, de todos los cúspides inequivalentes de 0, 1 0, 1 C12 = 0, 1 C16 = 0, 1 y se puede comprobar que (3.5) /(4) = 2, /(8) = 3, /(12) = 4, /(16) = 6 (véase el punto 1 del capítulo 4. en [15] para más detalles). La fórmula de la dimensión de Mâ € 1 (I0(4N)) (véase La tabla 1) junto con los resultados en (3.1) y (3.5), implica que 4N, â € ¢ ; e · • (N) = dimC(Mr+ 1 (­0(4N)) desde r = 2e− â € 1. Cuadro 1 Fórmula de dimensión para Mk(­0(4N)) N k = 2n + 1 k = 2n+ 3 k = 2n N = 1 n + 1 n + 1 n + 1 N = 2 2n+ 1 2n+ 2 2n+ 1 N = 3 4n+ 1 4n+ 3 4n+ 1 N = 4 4n+ 2 4n+ 4 4n+ 1 Así que Φr,e(4N) es sujetivo ya que el mapa Φr,e(4N) es inyector. Esto completa nuestra reclamación. D. Choi e Y. Choie 4. Pruebas del Teorema 1 y 2 4.1. Prueba de Teorema 1. Primero, obtenemos relaciones lineales entre los coeficientes de Fourier de formas modulares de medio peso integral modulo p. Let Op := L α es p-integral}. M 1 , p(­0(4N)):= {H(z) = aH(n)q n • Op/pOp[[q−1, q]] H • h (mod p) para algunos h • Op[[q−1, q]] • M • 1 - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. S 1 , p(­0(4N)):= {H(z) = aH(n)q n • Op/pOp[[q−1, q]] H • h (mod p) para algunos h • Op[[q−1, q]] • S • 1 - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. El siguiente lema da la dimensión de M 1 , p(­0(4N)). Lemma 4.1. Táchese lo que no proceda. p ≥ 3 si N = 1, 2, 4, p ≥ 5 si N = 3. Ahora tomar cualquier ideal primo p OL, pp. Entonces dim M 1 , p(­0(4N)) = dimM­1 (­0(4N)) dim S 1 , p(­0(4N)) = dimS­1 (­0(4N)). Prueba. Vamos. j4N (z) = q −1 +O(q) ser una función modular meromórfica con un polo sólo a la altura de la altura. Explícitamente, estas funciones j4(z) = η(z)8 η(4z)8 + 8, j8(z) = η(4z)12 η(2z)4η(8z)8 j12(z) = η(4z)4η(6z)2 η(2z)2η(12z)4 , j16(z) = η2(z)η(8z) η(2z)η2(16z) Desde los coeficientes de Fourier de η(z) y 1 son integrales, la expansión q de j4N (z) tiene coeficientes integrales. Recordemos que el valor de 4N = q = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N , = 4 N = 4 N, 4 N, 4 N, 4 N, 4 N, 4 N = 4 N , = 4 N, = 4 N (4N) + O(q(4N)+1) es la forma modular de peso  + 1 De tal manera que el orden de su cero en ­ es más alto que el de cualquier otra forma modular EL LÍMITE PÁDICO DE LAS FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DEFICIOSAS 11 del mismo nivel y peso. Denote el orden de cero de 4N, en 4N por 4N. Entonces la base de Mâ € 1 (­0(4N)) puede ser elegido como (4.1) 4N,♥(z)j4N (z)e 0 ≤ e ≤ (4N)}. Si el término «4N», el término «z» es p-integral, entonces el término «4N», el término «j4N» (z)e «0» ≤ «e» ≤ «4N»} también forma una base de M 1 ,p(­0(4N)). Nótese que (4N) = dimM® 1 0(4N)− 1. Así que de la Tabla 1 tenemos (4.2) ­4N,­(z) = ­4N,­j(z)R4N (z) en los que  Ł j (mod 2), j {0, 1}. Más precisamente, se puede elegir 4N,j(z) como sigue: • 4,0(z) = • (z), • 4,1(z) • (z) +8,0(z) = •(z), •8,1(z) = (l) (z)3 − (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) ) (l) (l) (l) (l) () () () () () (l) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ) () () () () ) () ) ) ) ) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () *12,0(z) = *(z), *12,1(z) = x,y,zÃ3zq 3x2+2(y2+z2+yz) − x,y,zÃ3zq 3x2+4y2+4z2+4yz *16,0(z) = (l) (z)- (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) 3 − 3o(z)2o(4z) + 3o(z)o(4z)2o(4z)3).............................................................................................................................................................................................................................................. Desde el punto de vista de la letra z) = 1+ 2 n=1 q n, los coeficientes de la expansión q de los valores de «4N,j(z), j» {0, 1}, son: P-integral. Esto completa la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Observación 4.2. La prueba de Lemma 4.1 implica que los espacios de Mâ € 1 (­0(4N)) para N = 1, 2, 4 son generados por eta-quotients ya que فارسى(z) = η(2z)5 η(z)2η(4z)2 Para 1 ≤ N ≤ 4 conjuntos 4N, â € ¢ (f(1), · · · ·, af(n) • Fnp f • S 1 (­0(4N)) ,Fp := Op/pOp. Definimos LûS(4N,  + ;n) ser el complemento ortogonal de S(4N,  + ;n) en Fn Utilizando Lemma 4.1, obtenemos la siguiente proposición. Proposición 4.3. Suponga que el número entero es positivo y 1 ≤ N ≤ 4. Para cada e-N, e ≥  - 1, tomar r = 2e1. El mapa lineal r,e(4N) : Mśr+ 1 ,p(­0(4N)) → L­S(­4N, ­ ; e · •(4N)), definido por r,e(4N)(g) = (b(4N, e, g; 1), · · ·, b(N, e, g; e · (4N)), es un isomorfismo. Aquí b(4N, e, g; v) se define en (3.2). Prueba. Tenga en cuenta que dimS 3 (4N) = 0 y que dimSâ € 1 (4N) +N + 1 + = dimMâ 1 (véase [10]). Por lo tanto, a partir de Lemma 4.1 y Tabla 1, es suficiente para mostrar que r,e(4N) es inyector. Si g está en el núcleo de Łr,e(4N), entonces R4N (z) e · R4N (z)e 0 (mod p) por la fórmula de Sturm (véase [21]). Así que tenemos g(z) 0 (mod p) desde R4N(z)e 6 siguientes (mod p). Esto completa el prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 12 D. Choi e Y. Choie Teorema 4.4. Toma un p,N = 1, 2, 4 y f(z) := af(n)q n.o S.o 1 (­0(4N)) L[[q]]. Suponga que p OL es cualquier ideal primo con pp y que af (n) es p-integral para cada número entero n ≥ n0. En caso de que el valor de la sustancia activa sea superior al valor de la sustancia activa, el valor de la sustancia activa deberá ser igual o superior al valor de la sustancia activa de conformidad con el artículo 4, apartado 1, letra b), del Reglamento (UE) n.o 575/2013. (mod p−1 ) o p = 2, entonces existe un positivo entero b tal que 0 (mod p), N. Prueba de Teorema 4.4. i) Primero, supongamos que p ≥ 3: Tome los enteros positivos l y b tales (4.3) 3− 2α(p : ) p2b + p.m.(p.o.p.) + l(p.o. 1) = 2. Tenga en cuenta que si b es lo suficientemente grande, es decir, b > logp 3−2α(p: p.m.(p.o.p.) − 2 , entonces allí existe un entero l positivo satisfactorio (4.3). También tenga en cuenta que atf(0) = 0 para cada cúspide t de *0(4N) ya que f(z) es una forma cúspide. Por lo tanto, si r = 2e− α(p : ♥) + 1, entonces el teorema 3.1 implica que, en el caso de g(z) â € Mñr+ 1 (­0(4N)), e+(4N)+ b(4N, e, g; ν) af(/p) 2b-m(p:)) 0 (mod p), desde R4N (z)e f(z)p m(p:) Elp−1(z) e+(4N)+ b(4N, e, g; ν)qp + a g(z) R4N (z) (0) + a g(z) R4N (z) n)qnp af(n)q npm(p: (mod p). Así que la Proposición 4.3 implica que p2b−m(p: 2p2b−m(p: , · · ·, a e • (4N)p2b−m(p: â â € TM TM â TM TM â TM TM S 4N,α(p : ) + 1 Si α(p : ) = 2 o 2 + , entonces dimSα(p:)+ 1 (­0(4N)) = dim S 4N,α(p : ) + EL LÍMITE PÁDICO DE LAS FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DEFICIOSAS 13 ii) p = 2: Tenga en cuenta que 4N,1(z) R4N (z) = q−1+O(1) para N = 1, 2, 4. Por lo tanto, existe un polinomio F (X) • Z[X] de tal manera que F (j4N(z)) 4N,1(z) R4N (z) = q−n +O(1). Para un entero b, 22 > â € ¢ 2, vamos G(z) := F (j4N(z)) 4N,1(z) R4N(z) f (z)(z)2 1+2b−2+3. Desde el punto de vista de la letra z) del punto 1 (mod 2), el teorema 3.1 implica que af(2b · n) del punto 0 (mod p). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Para aplicar el Teorema 4.4, necesitamos las dos proposiciones siguientes. Proposición 4.5 (Proposición 3.2 en [22]). Supongamos que p es un primo impar, k y N son enteros con (N, p) = 1. Vamos. f(z) = a(n)qn â € Mâ € 1 (­0(4N)). Supongamos que:= cp2 d , con ac > 0. Entonces existe n0, h0 N con h0N, una secuencia {a0(n)}n≥n0 y r0 {0, 1, 2, 3} de forma que: (f Upm 1 (z) = 4n+r0­0 (mod p a0(n)q 4n+r0 m, m ≥ 1. Proposición 4.6 (Proposición 5.1 en [1]). Supongamos que p es un primo impar tal que p N y tener en cuenta g(z) = a(n)qn â € Sâ € 1 (­0(4Np) j)) L[[q], por cada j N. Supóngase además que p OL es cualquier ideal primo con pp y que a(n) es p-integral para cada entero n ≥ 1. Entonces existe G(z) S 1 (­0(4N)) «OL[[q]] de forma que: G(z) g(z) (mod p), donde + 1 = (+ 1 )pj + pe(p− 1) con eN grande. Observación 4.7. La propuesta 4.6 se demostró para p ≥ 5 in [1]. Uno puede comprobar que esto se mantiene También para p = 3. Ahora probamos el Teorema 1. Prueba de Teorema 1. Toma Gp(z) := η(8z)48 η(16z)24 Si p = 2, M12(­0(16)) η(z)27 η(9z)3 M12(0(9)) si p = 3, η(4z)p η(4p2z) •M p2−1 (+0(p) 2)) si p ≥ 5. 14 D. Choi e Y. Choie Usando las propiedades de eta-quotients (véase [12]), tenga en cuenta que Gp(z) desaparece en cada cúspide de •0(16) excepto • si p = 2, y desaparece a cada cúspide ac de •0(4Np 2) con p2 N si p ≥ 3. Así, la Proposición 4.5 implica que existen enteros positivos l,m,k tales que (f Upm(z)Gp(z)l • Sk+ 1 (­0(16)) si p = 2, (f Upm(z)Gp(z)l • Sk+ 1 (+0(4p) 2N)) si p ≥ 3. Nótese que k (mod p− 1). Usando la Proposición 4.6, podemos encontrar F (z) Sk 1 (­0(4N)) tal que F (z) (z) (f(z)Upm) Gp(z)l (f Upm) (z) (mod p) y k′ (k) (mod p − 1). Teorema 4.4 implica que existe un número entero positivo b tal que (F Up2b)(z) (mod p). Por lo tanto, hemos demostrado hasta ahora que si?? p \ p2, todos los coeficientes de Fourier de · F (z)Upm+2b son p-integral. Repite este argumento para completar nuestra afirmación. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 4.2. Prueba de Teorema 2. El teorema 2 puede derivarse del teorema 3.1 tomando un forma modular especial. Prueba de Teorema 2. Tome un entero positivo l y un entero positivo incluso u tales que 3− 2α(p : ) p.m.(p.o.p.) + l(p.o. 1) = 2. Let F (z) := •4N,3 •(p:l)(z) R4N (z) y G(z) := Ep−1(z) lf(z)p m(p:) . Desde Ep−1(z) (mod p), tenemos F (z)G(z) a) 4N,3 °(p:l)(z) R4N (z) n)qnp af(n)q nm(p:) (mod p). Si los coeficientes de Fourier de f(z) en cada cúspide son p-integrales, entonces ((F ·G)2γt) (z) atF (n)q atG(n)q atf (n)q En la página 4N, en la página 3(p:l)(z) R4N (z) (mod p) para t . Desde aF (z)G (z)(0)(0)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c(c)(c)(c(c)(c)(c(c)(c)(c(c)(c)(c)(c(c)(c(c)(c)(c(c)(c)(c(c)(c)(c(c)(c)(c)(c(c)(c)(c)(c(c)(c)(c(c)(c(c)(c)(c)(c)(c(c)(c)()()(c)(c()(c()()()()()(c()()()()()(c()()(c()()()(c)()()()()()()()()(c)()()()()()(c()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(c()()())()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(()()()(()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()( R4N (z) (0)af (0) + af (p u-m(p:)) (mod p), F (z) G (z) (0) En la página 4N, 3(p:l)(z) R4N (z) (0) atf (0) (mod p) para t , para u grande, el teorema de residuos implica teorema 2 dejando u = 2b. Por lo tanto, es suficiente para comprobar una propiedad p-integral de los coeficientes de Fourier de f(z) en cada cúspide: tomar un entero positivo e de tal manera que فارسى(z)ef(z) es una forma modular holomórfica, donde EL LÍMITE PÁDICO DE LAS FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DEFICIOSAS 15 (z) := q n=1(1− qn)24. Obsérvese que las extensiones q de j4N (z) y 4N,12e(z) en cada una de ellas. cúspide son p-integral. Así (4.1) implica que (z)ef(z) = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * cnj4N (z) No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Por otra parte, cn es p-integral desde j4N (z) (z) = q *12e(4N)−n +O qŁ12e(4N)−n+1 y f(z) • OL[[q, q−1]]. Nótese que p 4N desde 1 ≤ N ≤ 4 y p ≥ 5 es un primo. Así Coeficientes de Fourier de j4N (z), N,12e(z) y a cada cúspide son p-integral. Esto completa nuestra reclamación. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 5. Prueba de Teorema 3 El teorema 3 sigue del teorema 1 y del teorema 2.1. Prueba de Teorema 3. Tenga en cuenta que j(z) • MH. Vamos. g(z) := 1(j(z)) y f(z) := 1(F (z)) = af n)q Se sabe (véase §14 en [4]) que g(z) = E10(4z) 4l(4z) * z) d) (E10(4z)) 80.i.(4z) فارسى(z). Puesto que los términos constantes de las extensiones q en ­ de f(z), ­(z) y g(z) son 0, a0 (0) = y a0g(0) = · 456 , respectivamente, tenemos f(z)− kŁ(z)− a0f(0) + k(1− i)/2 a0g(0) g(z) â € M01 (­0(4)). Aplicando el Teorema 1, se obtiene el resultado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 6. Pruebas de Teorema 4 y 5 Comenzamos con la siguiente propuesta. Proposición 6.1. Dejar p ser un primo impar y f(z) := af n)q n â € Mâ € 1 (­0(4)) Zp[[q]]. En caso de que el valor de la sustancia activa sea inferior o igual a 2 o 3 (mod. p−1) ), entonces p2b−m(p: -(14 − 4α(p : ♥))af(0) + 28 2−1 − 2−1i )pb(7−2α(p: a0f (0) (mod p) 16 D. Choi e Y. Choie para cada entero b > logp 2α(p:♥)−3 p.m.(p.o.p.) + 2 Prueba de la Proposición 6.1. En el caso de Z≥0, p.m.(p.o.p.) := ν · (p.o. 1) + α(p.o.:) + 1 Para un entero b con 3− 2α(p : ) p.m.(p.o.p.) − 2 existe un l â € N tal que 3− 2α(p : ) p2b + p.m.(p.o.p.) + l(p.o. 1) = 2, desde 3− 2α(p : ) p2b + p.m.(p.o.p.) − 2 = 3− 2α(p.o.: (p2b − 1) + (p− 1). Tenemos F (z) فارسى n=0 af (n)q npm(p:) (mod p), G(z) فارسى q−pb + 14− 4α(p : ) + aG(1)q + · · · (mod p). Tenga en cuenta que aG(n) es p-integral para cada entero n. Además, obtenemos F (z) G (z) 2 ( 0 −11 0 ) a0f (0) + · · · −26pb )pb(7−2α(p: + · · · (mod p), donde a0f (0) se indica en (1.1). Tenga en cuenta que 0, 1 es el conjunto de cúspides de 0(4), por lo que Teorema 2 implica que af (p 2b−m(p:n)) + (14− 4α(p: ))af(0)− 28a0f (0) )pb(7−2α(p: 0 (mod p). Esto prueba la Proposición 6.1. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 6.1. Prueba de Teorema 4. Ahora probamos el Teorema 4. Prueba de Teorema 4. Toma f(z) := ­2­1­z) = 1 + r2â € 1(l)q af(n)q Nótese que f(z) â € Mâ € 1 (­0(4)). Desde ( 1 ( 0 −11 0 )(z) = , obtenemos af(0) = 1 y a f (0) = )2+1 EL LÍMITE PÁDICO DE LAS FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DEFICIOSAS 17 Desde el punto de vista de los datos siguientes: 2, 3 (mod. p−1) ) y , tenemos )p2u(7−2α(p: a0f (0) p.m.(p.e.) )p2u(7−2α(p: )pm(p:l)(2α(p:l)+(p−1)(2[ l)p−1 ]+m(p:l))+1) )(7−2α(p:))(p2u−1)( )8+2(p−1)[ )8+2[ ♥p−1 ](p−1)+2α(p: )[ lp−1 ](p:l)m(p:l) (mod p), Para algunos u â € N. Aplicando la Proposición 6.1, obtenemos el resultado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 6.2. Prueba de Teorema 5. Considere la serie Cohen EisensteinHr+ 1 z) := N=0H(r,N)q de peso r + 1 , donde r ≥ 2 es un entero. Si (−1)rN 0, 1 (mod 4), entonces H(r,N) = 0. Si N = 0, entonces H(r, 0) = −B2r . Si N es un entero positivo y Df 2 = (−1)rN, donde D es un discriminante fundamental, entonces (6.1) H(r,N) = L(1− r, χD) μ(d)χD(d)d r−12r−1(f/d). Aquí μ(d) es la función Möbius. El siguiente teorema implica que los coefi- Científicos de Hr+ 1 (z) son p-integral si p−1 Teorema 6.2 ([6]). Que D sea un discriminante fundamental. Si D es divisible por al menos dos diferentes primos, entonces L(1−n, χD) es un entero para cada entero positivo n. Si D = p, p > 2, entonces L(1−n, χD) es un entero para cada entero positivo n a menos que gcd(p, 1D(g)gn) 6= 1, donde g es una raíz primitiva (mod p). Prueba de Teorema 5. Tenga en cuenta que E10(z) = E4(z)E6(z). Por lo tanto, E10(z)F (z), E10(z)G(z) y E10(z)W (z) son formas modulares de pesos, 8 · 12, 7 · y 8 · 1 respectivamente. Por otra parte, el Los coeficientes de Fourier de estas formas modulares son 11-integrales, ya que los coeficientes de Fourier de H 5 z), H 7 z) y H 9 (z) son 11-integrales por Teorema 6.2. Tenemos E10(z)F (z) = +O(q), E10(z)F (z) 17 ( 0 −11 0 ) = (1 + i)(2i)−5 +O E10(z)G(z) = +O(q), E10(z)G(z) 15 ( 0 −11 0 ) = (1− i)(2i)−7 +O E10(z)W (z) = +O(q), E10(z)W (z) 17 ( 0 −11 0 ) = (1 + i)(2i)−9 +O 18 D. Choi e Y. Choie donde B2r es el número 2r Bernoulli. La conclusión ahora viene de la Proposición 6.1. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 6.3. Prueba de Teorema 6. Comenzamos por introducir algunas anotaciones (ver [17]). Vamos. V := (F2np, Q) ser el espacio cuadrático sobre Fp, donde Q es la forma cuadrática obtenida a partir de una forma cuadrática x 7→ T [x](x • Z2np ) mediante la reducción del módulo p. Denotamos por < x, y >:= Q(x, y)−Q(x)−Q(y), x, y • F2np, la forma bilineal asociada y let R(V ) := {x • F2np : < x, y = 0, •y • F2np, Q(x) = 0} ser el radical de R(V ). Después de [14], definir un polinomio Hn,p(T;X) := 1 si sp = 0,[(sp−1)/2] j=1 (1− p2j−1X2) si sp > 0, sp impar, (1 + p(T)p (sp−1)/2X) [(sp−1)/2] j=1 (1− p2j−1X2) si sp > 0, sp par, donde para incluso sp denotamos P(T ) := 1 si W es un espacio hiperbólico o sp = 2n, − 1 en caso contrario. Después de [16], para un entero no negativo μ, definir μ) por T (p μ)Xμ := (1−X2)Hn,p(T;X), si pfT, 1 de lo contrario. Extendemos las funciones de la T multiplicativamente a los números naturales N mediante la definición T (p μ)X := ((1−X2)Hn,p(T;X)). D(T ) := GL2n(Z) \ {G •M2n(Z) •GL2n(Q): T [G−1] semiintegral}, donde GL2n(Z) opera por multiplicación izquierda y T [G] −1) = T ′G−1T. Entonces D(T) es finito. Para un N con afT, vamos (6.2) ♥(a;T ) := GÓD(T),det(G)d T [G−1](a/d Nótese que "(a;T )" (Z) para todos los a. Con estas nociones indicamos el siguiente teorema: Teorema 6.3 ([17]). Suponga que g 0, 1 (mod 4) y dejar k N con g K (mod 2). Una forma modular de Siegel F es en SMaassk+n (2g) si y sólo si existe una forma modular f(z) = c(n)qn • Sk+ 1 (­0(4)) EL LÍMITE PÁDICO DE LAS FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DEFICIOSAS 19 Tal que A(T ) = ak−1♥(a;T )c DT para todos los T. Aquí, DT := (−1)g · det(2T ) y DT = DT,0f T con DT,0 el discriminante fundamental correspondiente y fT N. Observación 6.4. Una prueba del Teorema 6.3 dada en [17] implica que si A(T )-Z para todos los T, entonces c(m) â € Z para todos los m â € N. Prueba de Teorema 6. Del teorema 6.3 podemos tomar f(z) = c(n)qn • Sk+ 1 (­0(4)) Zp[[q] de tal manera que F (Z) = A(T)qtr(TZ) = ak−1♥(a;T )c DT qtr(TZ). Por el teorema 1, existe un entero positivo b tal que, para cada entero positivo m, c(pbm) 0 (mod pj), desde k • 2 ó 3 (mod p−1 ). Supongamos que pb+2j DT. Si pja y afT, entonces ak−1♥(a;T )c DT 0 (mod pj). Si pj a y afT, entonces pb DT a2 y a k-1-0(a;T )c DT 0 (mod pj). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Agradecimientos Agradecemos al árbitro por muchos comentarios útiles que han mejorado nuestra exposición. Bibliografía [1] S. Ahlgren y M. Boylan Valores críticos centrales de funciones modulares en L y coeffients de la mitad Formas modulares integrales de peso Modulo l, Amer. J. Matemáticas. 129 (2007), No. 2, 429–454. [2] A. Balog, H. Darmon, K. Ono, Congruencias para los coeficientes de Fourier del modus operandi de peso medio entero formas lar y valores especiales de las funciones L, Teoría del número analítico, 105–128. Progr. Matemáticas. 138 Birkhauser, 1996. [3] B. Berndt y A. Yee, Congruencias para los coeficientes de cocientes de la serie Eisenstein, Acta Arith. 104 (2002), No. 3, 297–308. [4] R. E. 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Jenkins y K. Ono, Criterios de divisibilidad para los números de clase de campos cuadráticos imaginarios, Acta Arith. 125 (2006), no. 3, 285–289. [19] T. Miyake, Formas modulares, Traducido del japonés por Yoshitaka Maeda, Springer-Verlag, Berlín, 1989 [20] J.-P. Serre, Formes modulaires et fonctions zeta p-adiques, Lecture Notes in Math. 350, modular Funciones de una variable III. Springer, Berlín Heidelberg, 1973, pp. 191–268. [21] J. Sturm, Sobre la congruencia de las formas modulares, Teoría de los números (Nueva York, 1984–1985), 275–280, Lecture Notes in Math., 1240, Springer, Berlín, 1987. [22] S. Treneer, Congruencias para los Coeficientes de Formas Modulares Debilitadas Holomórficas, para aparecer en las Actas de la Sociedad Matemática de Londres. [23] D. Zagier, Trazas de módulo singular, Motivos, polilogaritmos y teoría de Hodge, Parte I, Int. Prensa Lect. Ser., 3, I, Int. Press, Somerville, MA, 2002, pp.211–244. Escuela de Artes y Ciencias Liberales, Universidad Aeroespacial de Corea, 200-1, Hwajeon- dong, Goyang, Gyeonggi, 412-791, Corea Dirección de correo electrónico: choija@postech.ac.kr Departamento de Matemáticas e Instituto Matemático Pohang, POSTECH, Pohang, 790–784, Corea Dirección de correo electrónico: yjc@postech.ac.kr 1. Introducción y declaración de los principales resultados 2. Aplicaciones: Más Congruencias 2.1. Límites pádicos de los exponentes de Borcherds 2.2. Sumas de n-cuadras 2.3. Cocientes de la serie Eisenstein 2.4. El espacio Maass 3. Relación lineal entre Coeficiente de Fourier de formas modulares de medio peso integral 4. ¿Pruebas de Teorema? ¿Y?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ 4.1. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ 4.2. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ 5. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ 6. ¿Pruebas de Teorema? ¿Y?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ 6.1. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ 6.2. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ 6.3. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ Agradecimientos Bibliografía
Serre obtuvo el límite p-ádico del coeficiente integral de Fourier de formularios modulares en $SL_2(\mathbb{Z})$ por $p=2,3,5,7$. En este documento, extendemos el resultado de Serre a formas modulares débilmente holomórficas de medio peso integral en $\Gamma_{0}(4N)$ por $N=1,2,4$. Una prueba se basa en relaciones lineales entre Coeficientes de Fourier de formas modulares de medio peso integral. Como aplicaciones obtenemos congruencias de los exponentes de Borcherds, congruencias de cociente de Serie de eisenteína y congruencias de valores de $L$-funciones en un determinado punto También se estudian. Además, las congruencias de los coeficientes de Fourier de Las formas modulares de Siegel en Maass Space se obtienen mediante la elevación Ikeda.
Introducción y declaración de los principales resultados Serre obtuvo los límites p-ádicos de los coeficientes integrales de Fourier de las formas modulares en SL2(Z) para p = 2, 3, 5, 7 (véase Théorème 7 y Lemma 8 en [20]). En este documento, extendemos el resultado de Serre a formas modulares débilmente holomórficas de mitad de peso integral sobre el valor 0(4N) forN = 1, 2, 4. La prueba se basa en las relaciones lineales entre coeficientes de Fourier modulares formas de medio peso integral. Como aplicaciones de nuestro resultado principal, obtenemos congruencias para varios objetos modulares, como los de los exponentes de Borcherds, para coeficientes de Fourier de cocientes de la serie Eisentein y para coeficientes Fourier de formas modulares Siegel sobre el Espacio Maass. Para impar d, vamos := γtÃ30(4N)tγ donde γt = ( c ) • • (1) y γt(t) = •. Denotamos la expansión q de una forma modular f. M. 1 (l0(4N)) a cada cúspide t de °0(4N) por (1.1) (f 1 γt(z) = (cz + d) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 az + b cz + d atf (n)q t, qt := q donde (1.2) r(t) • 2000 Clasificación de Materias Matemáticas. 11F11,11F33. Palabras y frases clave. formas modulares, límite p-ádico, Borcherds exponentes, espacio Maass. Este trabajo contó con el apoyo parcial de KOSEF R01-2003-00011596-0, ITRC y BRSI-POSTECH. http://arxiv.org/abs/0704.0013v2 2 D. Choi e Y. Choie Cuando t â € ¬, denotamos atf (n) por af (n). Tenga en cuenta que el número r(t) es independiente de la elección de f â € Mâ € 1 (l0(4N)) y l. Llamamos a t una cúspide regular si r(t) = 0 (véase el capítulo IV. § 1. de [15] para una definición más general de una Observación 1.1. Nuestra definición de una cúspide regular es diferente de la habitual. Que U4N := {t1, · · ·, t v(4N)} sea el conjunto de todos los cúspides regulares inequivalentes de 0(4N). Nota que el género de la categoría 0(4N) es cero si y sólo si 1 ≤ N ≤ 4. LetMâ € 1 (­0(4N)) ser el espacio de formas modulares débilmente holomórficas de peso  + 1 sobre el punto 0(4N) y dejar que el punto 1 de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I. (­0(N)) denotar el conjunto de f(z) â € Mâ € 1 (­0(N)) tal que el término constante de su expansión q en cada cúspide es cero. Let Up es el operador definido por (f Up(z) := af(pn)q Dejar que OL sea el anillo de números enteros de un número campo L con un ideal primo p • OL. Por f(z) := af(n)q n y g(z) := ag(n)q n * L[[q−1, q]] escribimos f(z) فارسى g(z) (mod p) si y solo si af (n)− ag(n) • p por cada número entero n. Con estas anotaciones indicamos el siguiente teorema. Teorema 1. Para N = 1, 2, 4 considerar f(z) := af n)q n.o M.o.p. (l0(4N)) L[[q−1, q]]. Suponga que p OL es cualquier ideal primario tal que pp, p prime, y que af(n) es p-integral para cada número entero n ≥ n0. (1) Si p = 2 y af (0) = 0, entonces existe un entero positivo b tal que (f (Up)b(z) 0 (mod pj) por cada j N. (2) Si p ≥ 3 y f(z) • M0 0(4N)) con 2 o 2+ (mod p−1 ), a continuación, allí existe un entero positivo b tal que (f (Up)b(z) 0 (mod pj) por cada j N. Observación 1.2. El límite p-ádico de una suma de coeficientes de Fourier de f â € M 3 En el caso de autos, el importe total de la ayuda fue de €0(4N) estudiado en [13]. Nuestro método sólo permite probar un resultado más débil si f(z) 6o M0 (­0(4N)). EL LÍMITE PÁDICO DE LAS FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DEFICIOSAS 3 Teorema 2. Para N = 1, 2 o 4, dejar f(z) := af n)q n â € Mâ € 1 (l0(4N)) L[[q−1, q]]. Supongamos que p OL es cualquier ideal primo con pp, p prime, p ≥ 5, y que af (n) es p-integral para cada entero n ≥ n0. En caso de que el valor de la sustancia activa sea superior al valor de la sustancia activa, el valor de la sustancia activa deberá ser igual o superior al valor de la sustancia activa de conformidad con el artículo 4, apartado 1, letra b), del Reglamento (UE) n.o 575/2013. (mod p−1 ), entonces existe un entero positivo b0 tal que p2b−m(p: tâ € € € TM ~ U4N •4N,3 •(p:l)(z) R4N (z) e®(4N) (0)atf (0) (mod p) para cada entero positivo b > b0 (véase la sección 3 para la notación detallada ). Ejemplo 1.3. Recordemos que la función generadora de la sobrepartición P̄ (n) de n (véase [11]) P̄ (n)qn = η(2z) η(z)2 está en M− 1 (­0(16)), donde η(z) := q n=1(1− qn). Por lo tanto, el teorema 2 implica que P̄ (52b) 1 (mod 5), N. 2. Aplicaciones: Más Congruencias En esta sección se estudian las congruencias para diversos objetos modulares como los Borcherds exponentes y para cocientes de la serie Eisenstein. 2.1. Límites pádicos de los expositores de Borcherds. Deja que MH denote el conjunto de meromorphic formas modulares de peso integral en SL2(Z) con divisor Heegner, coeficientes enteros y Coeficiente 1. Vamos. {0(4)) := {f(z) = af(n)q n â € M 1 (­0(4)) a(n) = 0 para n+2,3 (mod 4)}. Si f(z) = af(n)q n° M+1 (l0(4)), a continuación, definir la letra (f(z)) por (f(z)):= q−h (1- qn)af (n2), donde h = − 1 af(0) + (mod 4) af (−n)H(−n). Aquí H(−n) denota lo usual Hurwitz clase número de discriminante − n. Lo siguiente fue probado por Borcherds. Teorema 2.1 ([4]). El mapa es un isomorfismo de M+1 (­0(4)) a MH, y el El peso de la sustancia (f(z)) es af (0). 4 D. Choi e Y. Choie Que j(z) sea la función j-invariante habitual con la expansión del producto j(z) = q−1 (1- qn)A(n). Let F (z) := q−h n=1(1 − qn)c(n) ser una forma modular meromórfica de peso k en HM. El límite p-ádico de dn d · c(d) se estudió en [5] para p = 2, 3, 5, 7. Aquí obtenemos el límite p-ádico de c(d) para p = 2, 3, 5, 7. Teorema 3. Let F (z) := q−h n=1(1− qn)c(n) ser una forma modular meromórfica de peso k en MH. (1) Si p = 2, entonces para cada j • N existe un entero positivo b tal que c(mpb) 2k (mod pj) por cada entero positivo m. (2) Si p {3, 5, 7}, entonces, para cada j N existe un entero positivo b tal que 5c(mpb)(F)A(mpb) 10k (mod pj) para cada entero positivo m. Aquí, (F) es una constante determinada por la constante término de la expansión q de 1(F) en 0. 2.2. Sumas de n-Squares. Para u â € Z>0, vamos rn(u) := (s1, · · ·, sn) Zn : s21 + · · s2n = u}. Teorema 4. Supongamos que p ≥ 5 es un primo. En caso de que el valor de la sustancia activa sea inferior o igual a 2 o 3 (mod. p−1) ), entonces existe un entero positivo C0 tal que r2â € 1 p2b−m(p: • − (14− 4α (p : ♥)) + 16 )[ lp−1 ](p:l)m(p:l) (mod p), por cada b > C0. Observación 2.2. Como para un ejemplo, si ♥ فارسى 2 (mod p− 1) y p es un primo impar, entonces allí existe un entero positivo C0 tal que r2â € 1 10 (mod p), b > C0 2.3. Cocientes de la Serie Eisenstein. Congruencias para los coeficientes de cocientes de La serie elíptica Eisenstein se ha estudiado en [3]. Consideremos el Cohen Eisenstein Serie Hr+ 1 z) := N=0H(r,N)q n de peso r+ 1 , r ≥ 2 (véase [7]). Obtenemos congruencias. para los coeficientes de cocientes de Hr+ 1 (z) y la serie Eisenstein. EL LÍMITE PÁDICO DE LAS FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DEFICIOSAS 5 Teorema 5. Vamos. F (z) := E4(z) aF (n)q G(z) := E6(z) aG(n)q W (z) := E6(z) aW (n)q Entonces existe un entero positivo C0 tal que aF (11 2b+1) 1 (mod. 11), aG(11) 2b+1) 6 (mod. 11), aW (11) 2b+1) 2 (mod. 11) para cada entero b > C0. 2.4. El espacio Maass. A continuación nos ocupamos de las congruencias para los coeficientes de Fourier de una forma modular de Siegel en el espacio Maass. Para definir el espacio Maass, vamos a introducir notación dada en [17]: que T • M2g(Q) sea un racional, semiintegral, simétrico, no- matriz degenerada de tamaño 2g con discriminante DT := (−1)g det(2T ). Dejar DT = DT,0f T, donde DT,0 es el discriminante fundamental correspondiente. Además... más, vamos G8 := * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 2 0 −1 0 0 0 0 0 0 2 0 −1 0 0 0 0 −1 0 2 −1 0 0 0 0 0 −1 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 −1 2 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * y G7 sea la submatriz superior (7, 7) de G8. Definir Sg := (g−1)/8 2, si g • 1 (mod 8), (g–7)/8 G7, si g • − 1 (mod 8). 6 D. Choi e Y. Choie Para cada m N tal que (−1)gm 0, 1 (mod 4), definir un racional, semi-integral, sim- métrica, matriz definida positiva Tm de tamaño 2g por Tm := * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 0 m/4 , si se trata de m ­0 (mod 4), e2g−1 e′2g−1 [m+ 2 + (−1)n]/4 , si me (−1) g (mod 4) Aquí e2g−1 Z(2n−1,1) es el vector de columna estándar y e′2g−1 es su transpuesta. Definición 2.3. (El espacio de Maass) Tomar g, k, N tal que g, 0, 1 (mod 4) y g k (mod 2). Vamos. SMaassk+g (2g) F (Z) = A(T )qtr(TZ) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * A(T) = ak-1-1-(a;T )A(TDT /a2) (véase (6.2) para más detalles). Este espacio se llama el espacio Maass del género 2g y peso g + k. En [17] se demostró que el espacio Maass es el mismo que la imagen de la elevación de Ikeda cuando g 0, 1 (mod 4). Usando este hecho junto con el Teorema 1, derivamos lo siguiente Congruencias para los coeficientes de Fourier de F (Z) en SMaassk+g (­2g). Teorema 6. En el caso de g 0, 1 (mod 4), F (Z) := A(T )qtr(TZ) con coeficientes integrales A(T ), T > 0. Si k • 2 o 3 (mod p−1 ) para algunos p primo, entonces, para cada j N, existe un entero positivo b para el cual A(T ) 0 (mod pj) por cada T > 0, det(2T ) 0 (mod pb). El presente documento está organizado de la siguiente manera. La sección 3 da una relación lineal entre Fourier coeficientes de formas modulares de medio peso integral. Las secciones restantes contienen: pruebas detalladas de los principales teoremas. 3. Relación lineal entre Coeficiente de Fourier de formas modulares de la mitad Peso integral Let V (N; k, n) ser el subespacio de Cn generado por los primeros coeficientes n de la q- Expansión de f en el caso de f en el caso de f en el caso de Sk(­0(N)), donde Sk(­0(N) denota el espacio de las formas de cúspide del peso k â € ¢ Z en â € € ¢ 0 (N). Que L(N; k, n) sea el complemento ortogonal de V (N; k, n) EL LÍMITE PÁDICO DE LAS FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DEFICIOSAS 7 en Cn con el producto interno habitual de Cn. El espacio vectorial L(1; k, d(k) + 1), d(k) = dim(Sk((1))), fue estudiado por Siegel para evaluar el valor de la función zeta Dedekind en cierto momento. El espacio vectorial L(1; k, n) se describe explícitamente en términos de la parte principal de las formas modulares de peso negativo en [9]. Estos resultados se ampliaron en [8] a los grupos 0(N) del género cero. Para 1 ≤ N ≤ 4, 4N, â € ¢ at1f (0), · · ·, a t/(4N) f (0), af(1), · · ·, af(n) Cn(4n) f # Mâ € 1 (­0(4N)) donde U4N := {t1, · · ·, t v(4N)} es el conjunto de todos los cúspides regulares inequivalentes de 0(4N). Nosotros definir EL(4N, â € 1 ;n) ser el complemento ortogonal de EV (4N, + 1 ;n) en Cn(4N). Let â € € TM € TM = q (4N)+O(q(4N)+1) estar en MÃ1 (­0(4N) con el orden máximo en ­, es decir, su orden en es mayor que la de cualquier otra forma modular del mismo nivel y peso. Además, vamos a R4(z) := η(4z)8 η(2z)4 , R8(z) := η(8z)8 η(4z)4 R12(z) := η(12z)12η(2z)2 η(6z)6η(4z)4 y R16(z) := η(16z)8 η(8z)4 Para l, n° N, definir m(l : n) := 0 (mod 2) 1 (mod 2) α(l : n) := n− l− 1 Let •(4N) ser el orden de cero de R4N (z) en •. Tenga en cuenta que R4N (z) su único cero en................................................................................................................................... Por lo tanto, utilizando la definición de η(z) = q 124 n=1(1− qn), encontramos que (3.1) •(4) = 1, •(8) = 2, •(12) = 4, •(16) = 4. Para cada g •Mr+ 1 (­0(4N)) y e • N, let (3.2) R4N (z)e e+(4N)+ b(4N, e, g; ν)q +O(1) at. Con estas nociones indicamos el siguiente teorema: Teorema 3.1. Supóngase que el número entero y 1 ≤ N ≤ 4. Para cada e-N De tal manera que e ≥ − 1, tomar r = 2e −  + 1. El mapa lineal Φr,e(4N): Mr+1 (­0(4N)) → 8 D. Choi e Y. Choie EL(4N, â € 1 ; e · •(4N)), definido por Φr,e(4N)(g) R4N (z) (0), · · ·, ht/(4N)a t/(4N) R4N (z) (0), b(4N, e, g; 1), · · ·, b(4N, e, g; e · (4N)) es un isomorfismo. Prueba de Teorema 3.1. Supongamos que G(z) es una forma modular meromórfica de peso 2 en 0(4N). Para el caso de la letra H+C4N, déjenos ser la imagen de la letra D® bajo el mapa canónico de la letra H®C4N. a una superficie compacta de Riemann X0(4N). Aquí H es el habitual complejo plano de la mitad superior, y C4N denota el conjunto de todos los cúspides inequivalentes de 0(4N). El residuo ResD­Gdz de G(z) en D.o D.o X0(4N) está bien definido, ya que tenemos una correspondencia canónica entre un forma modular meromórfica de peso 2 en Ø0(4N) y una forma meromórfica de 1 de X0(4N). Si Rescata G denota el residuo de G en el punto H, entonces ResD­Gdz = Resläg. Aquí es el orden del grupo de la isotropía en. El residuo de G en cada cúspide de C4N es (3.3) ResDtGdz = ht · atG(0) Ahora damos una prueba de Teorema 3.1. Para probar el teorema 3.1, tome G(z) = R4N (z)e f(z), donde g •Mr+ 1 (­0(4N)) y f(z) = n=1 af(n)q n â € Mâ € 1 (­0(4N)). Tenga en cuenta que G(z) es holomorphic en H. Desde g(z), R4N (z) y f(z) son holomorphic y R4N (z) no tiene cero En H, basta con calcular los residuos de G(z) sólo en absoluto cúspides inequivalentes para aplicar el teorema de residuos. La expansión q de R4N (z) ef(z) en R4N(z)e f(z) = e+(4N)+ b(4N, e, g; /)q + a g(z) R4N (z) (0) +O(q) af(n)q Puesto que R4N (z) no tiene cero en t R4N (z)e γt = a R4N (z) (0)af(0) +O(qt). Nótese además que, para una cúspide irregular, at g(z) R4N (z) (0)af(0) = 0. EL LÍMITE PÁDICO DE LAS FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DEFICIOSAS 9 Así que el teorema de residuos y (3.3) implican que (3.4) tâ € € € TM ~ U4N e®(4N) (0)atf(0) + e+(4N)+ b(4N, e, g; v)af( v) = 0. Esto muestra que Φr,e(4N) está bien definido. La linealidad del mapa Φr,e(4N) es clara. Queda por comprobar que Φr,e(4N) es un isomorfismo. Puesto que no existe holomórfico forma modular de peso negativo excepto la función cero, obtenemos la inyectividad de Φr,e(4N). Tenga en cuenta que para e ≥ 12, 4N ;+ , e • •(4N) = e · (4N) + ν (4N)− dimC Mâ € 1 (­0(4N)) No obstante, el conjunto C4N, 1 ≤ N ≤ 4, de todos los cúspides inequivalentes de 0, 1 0, 1 C12 = 0, 1 C16 = 0, 1 y se puede comprobar que (3.5) /(4) = 2, /(8) = 3, /(12) = 4, /(16) = 6 (véase el punto 1 del capítulo 4. en [15] para más detalles). La fórmula de la dimensión de Mâ € 1 (I0(4N)) (véase La tabla 1) junto con los resultados en (3.1) y (3.5), implica que 4N, â € ¢ ; e · • (N) = dimC(Mr+ 1 (­0(4N)) desde r = 2e− â € 1. Cuadro 1 Fórmula de dimensión para Mk(­0(4N)) N k = 2n + 1 k = 2n+ 3 k = 2n N = 1 n + 1 n + 1 n + 1 N = 2 2n+ 1 2n+ 2 2n+ 1 N = 3 4n+ 1 4n+ 3 4n+ 1 N = 4 4n+ 2 4n+ 4 4n+ 1 Así que Φr,e(4N) es sujetivo ya que el mapa Φr,e(4N) es inyector. Esto completa nuestra reclamación. D. Choi e Y. Choie 4. Pruebas del Teorema 1 y 2 4.1. Prueba de Teorema 1. Primero, obtenemos relaciones lineales entre los coeficientes de Fourier de formas modulares de medio peso integral modulo p. Let Op := L α es p-integral}. M 1 , p(­0(4N)):= {H(z) = aH(n)q n • Op/pOp[[q−1, q]] H • h (mod p) para algunos h • Op[[q−1, q]] • M • 1 - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. S 1 , p(­0(4N)):= {H(z) = aH(n)q n • Op/pOp[[q−1, q]] H • h (mod p) para algunos h • Op[[q−1, q]] • S • 1 - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. El siguiente lema da la dimensión de M 1 , p(­0(4N)). Lemma 4.1. Táchese lo que no proceda. p ≥ 3 si N = 1, 2, 4, p ≥ 5 si N = 3. Ahora tomar cualquier ideal primo p OL, pp. Entonces dim M 1 , p(­0(4N)) = dimM­1 (­0(4N)) dim S 1 , p(­0(4N)) = dimS­1 (­0(4N)). Prueba. Vamos. j4N (z) = q −1 +O(q) ser una función modular meromórfica con un polo sólo a la altura de la altura. Explícitamente, estas funciones j4(z) = η(z)8 η(4z)8 + 8, j8(z) = η(4z)12 η(2z)4η(8z)8 j12(z) = η(4z)4η(6z)2 η(2z)2η(12z)4 , j16(z) = η2(z)η(8z) η(2z)η2(16z) Desde los coeficientes de Fourier de η(z) y 1 son integrales, la expansión q de j4N (z) tiene coeficientes integrales. Recordemos que el valor de 4N = q = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N , = 4 N = 4 N, 4 N, 4 N, 4 N, 4 N, 4 N = 4 N , = 4 N, = 4 N (4N) + O(q(4N)+1) es la forma modular de peso  + 1 De tal manera que el orden de su cero en ­ es más alto que el de cualquier otra forma modular EL LÍMITE PÁDICO DE LAS FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DEFICIOSAS 11 del mismo nivel y peso. Denote el orden de cero de 4N, en 4N por 4N. Entonces la base de Mâ € 1 (­0(4N)) puede ser elegido como (4.1) 4N,♥(z)j4N (z)e 0 ≤ e ≤ (4N)}. Si el término «4N», el término «z» es p-integral, entonces el término «4N», el término «j4N» (z)e «0» ≤ «e» ≤ «4N»} también forma una base de M 1 ,p(­0(4N)). Nótese que (4N) = dimM® 1 0(4N)− 1. Así que de la Tabla 1 tenemos (4.2) ­4N,­(z) = ­4N,­j(z)R4N (z) en los que  Ł j (mod 2), j {0, 1}. Más precisamente, se puede elegir 4N,j(z) como sigue: • 4,0(z) = • (z), • 4,1(z) • (z) +8,0(z) = •(z), •8,1(z) = (l) (z)3 − (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) ) (l) (l) (l) (l) () () () () () (l) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ) () () () () ) () ) ) ) ) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () *12,0(z) = *(z), *12,1(z) = x,y,zÃ3zq 3x2+2(y2+z2+yz) − x,y,zÃ3zq 3x2+4y2+4z2+4yz *16,0(z) = (l) (z)- (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) 3 − 3o(z)2o(4z) + 3o(z)o(4z)2o(4z)3).............................................................................................................................................................................................................................................. Desde el punto de vista de la letra z) = 1+ 2 n=1 q n, los coeficientes de la expansión q de los valores de «4N,j(z), j» {0, 1}, son: P-integral. Esto completa la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Observación 4.2. La prueba de Lemma 4.1 implica que los espacios de Mâ € 1 (­0(4N)) para N = 1, 2, 4 son generados por eta-quotients ya que فارسى(z) = η(2z)5 η(z)2η(4z)2 Para 1 ≤ N ≤ 4 conjuntos 4N, â € ¢ (f(1), · · · ·, af(n) • Fnp f • S 1 (­0(4N)) ,Fp := Op/pOp. Definimos LûS(4N,  + ;n) ser el complemento ortogonal de S(4N,  + ;n) en Fn Utilizando Lemma 4.1, obtenemos la siguiente proposición. Proposición 4.3. Suponga que el número entero es positivo y 1 ≤ N ≤ 4. Para cada e-N, e ≥  - 1, tomar r = 2e1. El mapa lineal r,e(4N) : Mśr+ 1 ,p(­0(4N)) → L­S(­4N, ­ ; e · •(4N)), definido por r,e(4N)(g) = (b(4N, e, g; 1), · · ·, b(N, e, g; e · (4N)), es un isomorfismo. Aquí b(4N, e, g; v) se define en (3.2). Prueba. Tenga en cuenta que dimS 3 (4N) = 0 y que dimSâ € 1 (4N) +N + 1 + = dimMâ 1 (véase [10]). Por lo tanto, a partir de Lemma 4.1 y Tabla 1, es suficiente para mostrar que r,e(4N) es inyector. Si g está en el núcleo de Łr,e(4N), entonces R4N (z) e · R4N (z)e 0 (mod p) por la fórmula de Sturm (véase [21]). Así que tenemos g(z) 0 (mod p) desde R4N(z)e 6 siguientes (mod p). Esto completa el prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 12 D. Choi e Y. Choie Teorema 4.4. Toma un p,N = 1, 2, 4 y f(z) := af(n)q n.o S.o 1 (­0(4N)) L[[q]]. Suponga que p OL es cualquier ideal primo con pp y que af (n) es p-integral para cada número entero n ≥ n0. En caso de que el valor de la sustancia activa sea superior al valor de la sustancia activa, el valor de la sustancia activa deberá ser igual o superior al valor de la sustancia activa de conformidad con el artículo 4, apartado 1, letra b), del Reglamento (UE) n.o 575/2013. (mod p−1 ) o p = 2, entonces existe un positivo entero b tal que 0 (mod p), N. Prueba de Teorema 4.4. i) Primero, supongamos que p ≥ 3: Tome los enteros positivos l y b tales (4.3) 3− 2α(p : ) p2b + p.m.(p.o.p.) + l(p.o. 1) = 2. Tenga en cuenta que si b es lo suficientemente grande, es decir, b > logp 3−2α(p: p.m.(p.o.p.) − 2 , entonces allí existe un entero l positivo satisfactorio (4.3). También tenga en cuenta que atf(0) = 0 para cada cúspide t de *0(4N) ya que f(z) es una forma cúspide. Por lo tanto, si r = 2e− α(p : ♥) + 1, entonces el teorema 3.1 implica que, en el caso de g(z) â € Mñr+ 1 (­0(4N)), e+(4N)+ b(4N, e, g; ν) af(/p) 2b-m(p:)) 0 (mod p), desde R4N (z)e f(z)p m(p:) Elp−1(z) e+(4N)+ b(4N, e, g; ν)qp + a g(z) R4N (z) (0) + a g(z) R4N (z) n)qnp af(n)q npm(p: (mod p). Así que la Proposición 4.3 implica que p2b−m(p: 2p2b−m(p: , · · ·, a e • (4N)p2b−m(p: â â € TM TM â TM TM â TM TM S 4N,α(p : ) + 1 Si α(p : ) = 2 o 2 + , entonces dimSα(p:)+ 1 (­0(4N)) = dim S 4N,α(p : ) + EL LÍMITE PÁDICO DE LAS FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DEFICIOSAS 13 ii) p = 2: Tenga en cuenta que 4N,1(z) R4N (z) = q−1+O(1) para N = 1, 2, 4. Por lo tanto, existe un polinomio F (X) • Z[X] de tal manera que F (j4N(z)) 4N,1(z) R4N (z) = q−n +O(1). Para un entero b, 22 > â € ¢ 2, vamos G(z) := F (j4N(z)) 4N,1(z) R4N(z) f (z)(z)2 1+2b−2+3. Desde el punto de vista de la letra z) del punto 1 (mod 2), el teorema 3.1 implica que af(2b · n) del punto 0 (mod p). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Para aplicar el Teorema 4.4, necesitamos las dos proposiciones siguientes. Proposición 4.5 (Proposición 3.2 en [22]). Supongamos que p es un primo impar, k y N son enteros con (N, p) = 1. Vamos. f(z) = a(n)qn â € Mâ € 1 (­0(4N)). Supongamos que:= cp2 d , con ac > 0. Entonces existe n0, h0 N con h0N, una secuencia {a0(n)}n≥n0 y r0 {0, 1, 2, 3} de forma que: (f Upm 1 (z) = 4n+r0­0 (mod p a0(n)q 4n+r0 m, m ≥ 1. Proposición 4.6 (Proposición 5.1 en [1]). Supongamos que p es un primo impar tal que p N y tener en cuenta g(z) = a(n)qn â € Sâ € 1 (­0(4Np) j)) L[[q], por cada j N. Supóngase además que p OL es cualquier ideal primo con pp y que a(n) es p-integral para cada entero n ≥ 1. Entonces existe G(z) S 1 (­0(4N)) «OL[[q]] de forma que: G(z) g(z) (mod p), donde + 1 = (+ 1 )pj + pe(p− 1) con eN grande. Observación 4.7. La propuesta 4.6 se demostró para p ≥ 5 in [1]. Uno puede comprobar que esto se mantiene También para p = 3. Ahora probamos el Teorema 1. Prueba de Teorema 1. Toma Gp(z) := η(8z)48 η(16z)24 Si p = 2, M12(­0(16)) η(z)27 η(9z)3 M12(0(9)) si p = 3, η(4z)p η(4p2z) •M p2−1 (+0(p) 2)) si p ≥ 5. 14 D. Choi e Y. Choie Usando las propiedades de eta-quotients (véase [12]), tenga en cuenta que Gp(z) desaparece en cada cúspide de •0(16) excepto • si p = 2, y desaparece a cada cúspide ac de •0(4Np 2) con p2 N si p ≥ 3. Así, la Proposición 4.5 implica que existen enteros positivos l,m,k tales que (f Upm(z)Gp(z)l • Sk+ 1 (­0(16)) si p = 2, (f Upm(z)Gp(z)l • Sk+ 1 (+0(4p) 2N)) si p ≥ 3. Nótese que k (mod p− 1). Usando la Proposición 4.6, podemos encontrar F (z) Sk 1 (­0(4N)) tal que F (z) (z) (f(z)Upm) Gp(z)l (f Upm) (z) (mod p) y k′ (k) (mod p − 1). Teorema 4.4 implica que existe un número entero positivo b tal que (F Up2b)(z) (mod p). Por lo tanto, hemos demostrado hasta ahora que si?? p \ p2, todos los coeficientes de Fourier de · F (z)Upm+2b son p-integral. Repite este argumento para completar nuestra afirmación. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 4.2. Prueba de Teorema 2. El teorema 2 puede derivarse del teorema 3.1 tomando un forma modular especial. Prueba de Teorema 2. Tome un entero positivo l y un entero positivo incluso u tales que 3− 2α(p : ) p.m.(p.o.p.) + l(p.o. 1) = 2. Let F (z) := •4N,3 •(p:l)(z) R4N (z) y G(z) := Ep−1(z) lf(z)p m(p:) . Desde Ep−1(z) (mod p), tenemos F (z)G(z) a) 4N,3 °(p:l)(z) R4N (z) n)qnp af(n)q nm(p:) (mod p). Si los coeficientes de Fourier de f(z) en cada cúspide son p-integrales, entonces ((F ·G)2γt) (z) atF (n)q atG(n)q atf (n)q En la página 4N, en la página 3(p:l)(z) R4N (z) (mod p) para t . Desde aF (z)G (z)(0)(0)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c(c)(c)(c(c)(c)(c(c)(c)(c(c)(c)(c)(c(c)(c(c)(c)(c(c)(c)(c(c)(c)(c(c)(c)(c)(c(c)(c)(c)(c(c)(c)(c(c)(c(c)(c)(c)(c)(c(c)(c)()()(c)(c()(c()()()()()(c()()()()()(c()()(c()()()(c)()()()()()()()()(c)()()()()()(c()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(c()()())()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(()()()(()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()( R4N (z) (0)af (0) + af (p u-m(p:)) (mod p), F (z) G (z) (0) En la página 4N, 3(p:l)(z) R4N (z) (0) atf (0) (mod p) para t , para u grande, el teorema de residuos implica teorema 2 dejando u = 2b. Por lo tanto, es suficiente para comprobar una propiedad p-integral de los coeficientes de Fourier de f(z) en cada cúspide: tomar un entero positivo e de tal manera que فارسى(z)ef(z) es una forma modular holomórfica, donde EL LÍMITE PÁDICO DE LAS FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DEFICIOSAS 15 (z) := q n=1(1− qn)24. Obsérvese que las extensiones q de j4N (z) y 4N,12e(z) en cada una de ellas. cúspide son p-integral. Así (4.1) implica que (z)ef(z) = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * cnj4N (z) No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Por otra parte, cn es p-integral desde j4N (z) (z) = q *12e(4N)−n +O qŁ12e(4N)−n+1 y f(z) • OL[[q, q−1]]. Nótese que p 4N desde 1 ≤ N ≤ 4 y p ≥ 5 es un primo. Así Coeficientes de Fourier de j4N (z), N,12e(z) y a cada cúspide son p-integral. Esto completa nuestra reclamación. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 5. Prueba de Teorema 3 El teorema 3 sigue del teorema 1 y del teorema 2.1. Prueba de Teorema 3. Tenga en cuenta que j(z) • MH. Vamos. g(z) := 1(j(z)) y f(z) := 1(F (z)) = af n)q Se sabe (véase §14 en [4]) que g(z) = E10(4z) 4l(4z) * z) d) (E10(4z)) 80.i.(4z) فارسى(z). Puesto que los términos constantes de las extensiones q en ­ de f(z), ­(z) y g(z) son 0, a0 (0) = y a0g(0) = · 456 , respectivamente, tenemos f(z)− kŁ(z)− a0f(0) + k(1− i)/2 a0g(0) g(z) â € M01 (­0(4)). Aplicando el Teorema 1, se obtiene el resultado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 6. Pruebas de Teorema 4 y 5 Comenzamos con la siguiente propuesta. Proposición 6.1. Dejar p ser un primo impar y f(z) := af n)q n â € Mâ € 1 (­0(4)) Zp[[q]]. En caso de que el valor de la sustancia activa sea inferior o igual a 2 o 3 (mod. p−1) ), entonces p2b−m(p: -(14 − 4α(p : ♥))af(0) + 28 2−1 − 2−1i )pb(7−2α(p: a0f (0) (mod p) 16 D. Choi e Y. Choie para cada entero b > logp 2α(p:♥)−3 p.m.(p.o.p.) + 2 Prueba de la Proposición 6.1. En el caso de Z≥0, p.m.(p.o.p.) := ν · (p.o. 1) + α(p.o.:) + 1 Para un entero b con 3− 2α(p : ) p.m.(p.o.p.) − 2 existe un l â € N tal que 3− 2α(p : ) p2b + p.m.(p.o.p.) + l(p.o. 1) = 2, desde 3− 2α(p : ) p2b + p.m.(p.o.p.) − 2 = 3− 2α(p.o.: (p2b − 1) + (p− 1). Tenemos F (z) فارسى n=0 af (n)q npm(p:) (mod p), G(z) فارسى q−pb + 14− 4α(p : ) + aG(1)q + · · · (mod p). Tenga en cuenta que aG(n) es p-integral para cada entero n. Además, obtenemos F (z) G (z) 2 ( 0 −11 0 ) a0f (0) + · · · −26pb )pb(7−2α(p: + · · · (mod p), donde a0f (0) se indica en (1.1). Tenga en cuenta que 0, 1 es el conjunto de cúspides de 0(4), por lo que Teorema 2 implica que af (p 2b−m(p:n)) + (14− 4α(p: ))af(0)− 28a0f (0) )pb(7−2α(p: 0 (mod p). Esto prueba la Proposición 6.1. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 6.1. Prueba de Teorema 4. Ahora probamos el Teorema 4. Prueba de Teorema 4. Toma f(z) := ­2­1­z) = 1 + r2â € 1(l)q af(n)q Nótese que f(z) â € Mâ € 1 (­0(4)). Desde ( 1 ( 0 −11 0 )(z) = , obtenemos af(0) = 1 y a f (0) = )2+1 EL LÍMITE PÁDICO DE LAS FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DEFICIOSAS 17 Desde el punto de vista de los datos siguientes: 2, 3 (mod. p−1) ) y , tenemos )p2u(7−2α(p: a0f (0) p.m.(p.e.) )p2u(7−2α(p: )pm(p:l)(2α(p:l)+(p−1)(2[ l)p−1 ]+m(p:l))+1) )(7−2α(p:))(p2u−1)( )8+2(p−1)[ )8+2[ ♥p−1 ](p−1)+2α(p: )[ lp−1 ](p:l)m(p:l) (mod p), Para algunos u â € N. Aplicando la Proposición 6.1, obtenemos el resultado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 6.2. Prueba de Teorema 5. Considere la serie Cohen EisensteinHr+ 1 z) := N=0H(r,N)q de peso r + 1 , donde r ≥ 2 es un entero. Si (−1)rN 0, 1 (mod 4), entonces H(r,N) = 0. Si N = 0, entonces H(r, 0) = −B2r . Si N es un entero positivo y Df 2 = (−1)rN, donde D es un discriminante fundamental, entonces (6.1) H(r,N) = L(1− r, χD) μ(d)χD(d)d r−12r−1(f/d). Aquí μ(d) es la función Möbius. El siguiente teorema implica que los coefi- Científicos de Hr+ 1 (z) son p-integral si p−1 Teorema 6.2 ([6]). Que D sea un discriminante fundamental. Si D es divisible por al menos dos diferentes primos, entonces L(1−n, χD) es un entero para cada entero positivo n. Si D = p, p > 2, entonces L(1−n, χD) es un entero para cada entero positivo n a menos que gcd(p, 1D(g)gn) 6= 1, donde g es una raíz primitiva (mod p). Prueba de Teorema 5. Tenga en cuenta que E10(z) = E4(z)E6(z). Por lo tanto, E10(z)F (z), E10(z)G(z) y E10(z)W (z) son formas modulares de pesos, 8 · 12, 7 · y 8 · 1 respectivamente. Por otra parte, el Los coeficientes de Fourier de estas formas modulares son 11-integrales, ya que los coeficientes de Fourier de H 5 z), H 7 z) y H 9 (z) son 11-integrales por Teorema 6.2. Tenemos E10(z)F (z) = +O(q), E10(z)F (z) 17 ( 0 −11 0 ) = (1 + i)(2i)−5 +O E10(z)G(z) = +O(q), E10(z)G(z) 15 ( 0 −11 0 ) = (1− i)(2i)−7 +O E10(z)W (z) = +O(q), E10(z)W (z) 17 ( 0 −11 0 ) = (1 + i)(2i)−9 +O 18 D. Choi e Y. Choie donde B2r es el número 2r Bernoulli. La conclusión ahora viene de la Proposición 6.1. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 6.3. Prueba de Teorema 6. Comenzamos por introducir algunas anotaciones (ver [17]). Vamos. V := (F2np, Q) ser el espacio cuadrático sobre Fp, donde Q es la forma cuadrática obtenida a partir de una forma cuadrática x 7→ T [x](x • Z2np ) mediante la reducción del módulo p. Denotamos por < x, y >:= Q(x, y)−Q(x)−Q(y), x, y • F2np, la forma bilineal asociada y let R(V ) := {x • F2np : < x, y = 0, •y • F2np, Q(x) = 0} ser el radical de R(V ). Después de [14], definir un polinomio Hn,p(T;X) := 1 si sp = 0,[(sp−1)/2] j=1 (1− p2j−1X2) si sp > 0, sp impar, (1 + p(T)p (sp−1)/2X) [(sp−1)/2] j=1 (1− p2j−1X2) si sp > 0, sp par, donde para incluso sp denotamos P(T ) := 1 si W es un espacio hiperbólico o sp = 2n, − 1 en caso contrario. Después de [16], para un entero no negativo μ, definir μ) por T (p μ)Xμ := (1−X2)Hn,p(T;X), si pfT, 1 de lo contrario. Extendemos las funciones de la T multiplicativamente a los números naturales N mediante la definición T (p μ)X := ((1−X2)Hn,p(T;X)). D(T ) := GL2n(Z) \ {G •M2n(Z) •GL2n(Q): T [G−1] semiintegral}, donde GL2n(Z) opera por multiplicación izquierda y T [G] −1) = T ′G−1T. Entonces D(T) es finito. Para un N con afT, vamos (6.2) ♥(a;T ) := GÓD(T),det(G)d T [G−1](a/d Nótese que "(a;T )" (Z) para todos los a. Con estas nociones indicamos el siguiente teorema: Teorema 6.3 ([17]). Suponga que g 0, 1 (mod 4) y dejar k N con g K (mod 2). Una forma modular de Siegel F es en SMaassk+n (2g) si y sólo si existe una forma modular f(z) = c(n)qn • Sk+ 1 (­0(4)) EL LÍMITE PÁDICO DE LAS FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DEFICIOSAS 19 Tal que A(T ) = ak−1♥(a;T )c DT para todos los T. Aquí, DT := (−1)g · det(2T ) y DT = DT,0f T con DT,0 el discriminante fundamental correspondiente y fT N. Observación 6.4. Una prueba del Teorema 6.3 dada en [17] implica que si A(T )-Z para todos los T, entonces c(m) â € Z para todos los m â € N. Prueba de Teorema 6. Del teorema 6.3 podemos tomar f(z) = c(n)qn • Sk+ 1 (­0(4)) Zp[[q] de tal manera que F (Z) = A(T)qtr(TZ) = ak−1♥(a;T )c DT qtr(TZ). Por el teorema 1, existe un entero positivo b tal que, para cada entero positivo m, c(pbm) 0 (mod pj), desde k • 2 ó 3 (mod p−1 ). Supongamos que pb+2j DT. Si pja y afT, entonces ak−1♥(a;T )c DT 0 (mod pj). Si pj a y afT, entonces pb DT a2 y a k-1-0(a;T )c DT 0 (mod pj). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Agradecimientos Agradecemos al árbitro por muchos comentarios útiles que han mejorado nuestra exposición. Bibliografía [1] S. Ahlgren y M. Boylan Valores críticos centrales de funciones modulares en L y coeffients de la mitad Formas modulares integrales de peso Modulo l, Amer. J. Matemáticas. 129 (2007), No. 2, 429–454. [2] A. Balog, H. Darmon, K. Ono, Congruencias para los coeficientes de Fourier del modus operandi de peso medio entero formas lar y valores especiales de las funciones L, Teoría del número analítico, 105–128. Progr. Matemáticas. 138 Birkhauser, 1996. [3] B. Berndt y A. Yee, Congruencias para los coeficientes de cocientes de la serie Eisenstein, Acta Arith. 104 (2002), No. 3, 297–308. [4] R. E. 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Escuela de Artes y Ciencias Liberales, Universidad Aeroespacial de Corea, 200-1, Hwajeon- dong, Goyang, Gyeonggi, 412-791, Corea Dirección de correo electrónico: choija@postech.ac.kr Departamento de Matemáticas e Instituto Matemático Pohang, POSTECH, Pohang, 790–784, Corea Dirección de correo electrónico: yjc@postech.ac.kr 1. Introducción y declaración de los principales resultados 2. Aplicaciones: Más Congruencias 2.1. Límites pádicos de los exponentes de Borcherds 2.2. Sumas de n-cuadras 2.3. Cocientes de la serie Eisenstein 2.4. El espacio Maass 3. Relación lineal entre Coeficiente de Fourier de formas modulares de medio peso integral 4. ¿Pruebas de Teorema? ¿Y?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ 4.1. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ 4.2. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ 5. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ 6. ¿Pruebas de Teorema? ¿Y?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ 6.1. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ 6.2. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ 6.3. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ Agradecimientos Bibliografía

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