Question: Есть идеальный газ в природе?

Идеальный газ


Идеа́льный газ — теоретическая модель, широко применяемая для описания свойств и поведения реальных газов при умеренных давлениях и температурах.
В этой модели, во-первых, предполагается, что составляющие газ частицы не взаимодействуют друг с другом, то есть их размеры пренебрежимо малы, поэтому в объёме, занятом идеальным газом нет взаимных столкновений частиц. Частицы идеального газа претерпевают столкновения только со стенками сосуда.
Второе предположение, — между частицами газа нет дальнодействующего взаимодействия, например, электростатического или гравитационного.
Дополнительное условие упругих столкновений между молекулами и стенками сосуда в рамках молекулярно-кинетической теории приводит к термодинамике идеального газа .
В различных расширенных моделях идеального газа предполагается, что частицы имеют внутреннюю структуру и протяженные размеры, что можно представить частицы в виде эллипсоидов или сфер, соединённых упругими связями (например, двухатомные молекулы).
Представление частиц газа в виде многоатомных молекул приводит к возникновению дополнительных степеней свободы, что побуждает учитывать энергию не только поступательного, но и вращательно-колебательного движения частиц, а также не только центральные, но и нецентральные столкновения частиц[1].
Модель широко применяется для решения задач термодинамики газов и аэрогазодинамики. Например, воздух при атмосферном давлении и комнатной температуре с достаточной для практических расчётов точностью хорошо описывается моделью идеального газа.
В случае очень больших давлений требуется применение более точных уравнений состояния реальных газов, например, полуэмпирического уравнения Ван-дер-Ваальса, в котором учитывается притяжение между молекулами и их конечные размеры.
При очень высоких температурах молекулы реальных газов могут диссоциировать на составляющие их атомы, или атомы могут ионизироваться с отщеплением электронов. Поэтому в случаях высоких давлений и/или температур уравнения состояния идеального газа применимы только с некоторыми допущениями, либо неприменимы совсем.
Различают классический идеальный газ (его свойства выводятся из законов классической механики и подчиняются статистике Максвелла — Больцмана), квазиклассический идеальный газ[2] (для которого — в отличие от классического идеального газа — не выполняется закон равномерного распределения энергии по степеням свободы[3][4]) и квантовый идеальный газ (его свойства определяются законами квантовой механики и описываются статистиками Ферми — Дирака или Бозе — Эйнштейна).
Очень часто — в том числе и в данной статье, — когда различия между классическим и квазиклассическим приближениями не играют роли, термин «классический идеальный газ» рассматривают как синоним выражения «неквантовый идеальный газ». При макроскопическом подходе идеальными классическими и квазиклассическими газами называют гипотетические (реально не существующие) газы, подчиняющиеся термическому уравнению состояния Клапейрона[5][6] (Клапейрона — Менделеева[7][6]). Иногда дополнительно указывают, что для классического идеального газа справедлив закон Джоуля[8][9][10][11]. Термодинамика утверждает, что закон Джоуля выполняется для любого флюида с уравнением состояния вида 





p
T


=
f
(
V
)


{\displaystyle {\frac {p}{T}}=f(V)}

, где 



p


{\displaystyle p}

 — давление, 



T


{\displaystyle T}

 — абсолютная температура и 



V


{\displaystyle V}

 — объём (см. [12][13]). Поэтому, давая дефиницию классическому идеальному газу, упоминать о законе Джоуля необязательно. С другой стороны, если рассматривать данный закон как обобщение экспериментальных данных, то изложение макроскопической теории классического идеального газа требует привлечения только самых элементарных сведений из термодинамики.
Популярность модели «идеальный газ» в учебных курсах термодинамики обусловлена тем обстоятельством, что результаты, получаемые с помощью уравнения Клапейрона, представляют собой не слишком сложные математические выражения и обычно допускают простой аналитический и/или графический анализ поведения входящих в них величин. Квазиклассическое приближение используют для вычисления термодинамических функций газов по их молекулярным данным[3][4].
История

История возникновения понятия идеальный газ восходит к успехам экспериментальной физики, начало которым было положено в XVII веке. В 1643 г. Эванджелиста Торричелли впервые доказал, что воздух имеет вес (массу), и, совместно с В. Вивиани, провёл опыт по измерению атмосферного давления с помощью запаянной с одного конца стеклянной трубки, заполненной ртутью. Так появился на свет первый ртутный барометр. В 1650 г. немецкий физик Отто фон Герике изобрёл воздушный насос и провёл в 1654 году знаменитый эксперимент с магдебургскими полушариями, наглядно подтвердивший существование атмосферного давления. Эксперименты английского физика Роберта Бойля по уравновешиванию ртутного столба давлением сжатого воздуха привели в 1662 году к выводу газового закона, названного впоследствии законом Бойля — Мариотта[14], в связи с тем, что французский физик Эдм Мариотт в 1679 г. провёл аналогичное независимое исследование.
В 1802 году французский физик Гей-Люссак опубликовал в открытой печати закон объёмов (называемый в русскоязычной литературе законом Гей-Люссака)[15], однако сам Гей-Люссак считал, что открытие было сделано Жаком Шарлем в неопубликованной работе, относящейся к 1787 году. Независимо от них этот закон был открыт в 1801 году английским физиком Джоном Дальтоном. Кроме того, качественно он был описан французским учёным Гийомом Амонтоном в конце XVII века. Гей-Люссак также установил, что коэффициент объёмного расширения одинаков для всех газов, несмотря на общепринятое мнение, что разные газы расширяются при нагревании различным образом.
Гей-Люссак (1822)[16][17][18] и Сади Карно (1824)[19][20][18] были первыми, кто объединил в едином уравнении законы Бойля — Мариотта и Шарля — Дальтона — Гей-Люссака. Поскольку, однако, Гей-Люссак найденным им уравнением не пользовался, а с полученными Карно результатами знакомились не по его ставшей библиографической редкостью[21] книге «Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу»[19], а по изложению идей Карно в работе Бенуа Клапейрона «Мемуар о движущей силе огня»[22], то и вывод термического уравнения состояния идеального газа приписали Клапейрону[23][20], а уравнение стали называть уравнением Клапейрона, хотя сам этот учёный никогда не претендовал на авторство обсуждаемого уравнения[18]. Не вызывает, между тем, сомнения, что именно Клапейрон первый понял плодотворность применения уравнения состояния, существенно упрощавшего все связанные с газами расчёты.
Экспериментальные исследования физических свойств реальных газов в те годы были не вполне точны и проводились в условиях не сильно отличавшихся от нормальных (температура 0 ℃, давление 760 мм рт. ст.). Предполагалось также, что газ, в отличие от пара, представляет собой субстанцию, неизменную в любых физических условиях. Первый удар по этим представлениям нанесло сжижение хлора в 1823 г. В дальнейшем выяснилось, что реальные газы представляют собой перегретые пары, достаточно удалённые от областей конденсации и критического состояния. Любой реальный газ может быть превращён в жидкость путём конденсации, либо путём непрерывных изменений однофазового состояния. Таким образом выяснилось, что реальные газы представляют одно из агрегатных состояний соответствующих простых тел, а точным уравнением состояния газа может быть уравнение состояния простого тела. Несмотря на это, газовые законы сохранились в термодинамике и в её технических приложениях как законы идеальных газов — предельных (практически недостижимых) состояний реальных газов[11]. Уравнение Клапейрона было выведено при некоторых допущениях на основе молекулярно-кинетической теории газов (Августом Крёнигом в 1856 г.[24] и Рудольфом Клаузиусом в 1857 г.)[25].
Клаузиусом было введено и само понятие «идеальный газ»[26] (в отечественной литературе конца XIX — начала XX веков вместо названия «идеальный газ» использовали термин «совершенный газ»[27]).
Следующий важный шаг в формулировке термического уравнения состояния идеального газа — переход от индивидуальной для каждого газа постоянной к универсальной газовой постоянной — сделал русский инженер Илья Алымов[28][20][18], работа которого, опубликованная в малоизвестном среди физиков и химиков издании, не обратила на себя внимание. Этот же результат был получен Менделеевым в 1874 году[27][20][18]. Независимо от работ русских ученых  (1866)[29], Като Гульдберг (1867)[30] и  (1873)[31] пришли к выводу, что произведение индивидуальной для каждого газа постоянной в уравнении Клапейрона на молекулярный вес газа должно быть постоянной для всех газов величиной.
В 1912 году при выводе постоянной Нернста был впервые применён принцип разделения фазового пространства на равновеликие ячейки. Впоследствии в 1925 году Ш. Бозе опубликовал статью «Закон Планка и гипотеза о световых квантах», в которой развил эту идею применительно к фотонному газу. Эйнштейн сказал о данной статье, что «использованный здесь метод позволяет получить квантовую теорию идеального газа» [32]. В декабре того же года Энрико Ферми разработал статистику частиц с полуцелым спином, подчиняющихся принципу Паули, которые позднее назвали фермионами[33][34].
В отечественной литературе, изданной до конца 1940-х годов, термическое уравнение состояния идеального газа называли уравнением Клапейрона[35][36][37][38][39][40] или уравнением Клапейрона для 1 моля[41]. В фундаментальной отечественной монографии 1948 года, посвящённой различным уравнениям состояния газов[42], Менделеев — в отличие от Клапейрона — вообще не упоминается. Фамилия Менделеева в названии рассматриваемого нами уравнения появилась после начала «борьбы с низкопоклонством перед Западом» и поиска «русских приоритетов». Тогда-то и стали в научной и учебной литературе использовать такие варианты названия, как уравнение Менделеева[27][43], уравнение Менделеева — Клапейрона[44][45][46] и уравнение Клапейрона — Менделеева[43][47][48][49].

Классический идеальный газ

Молекулярно-кинетическая теория идеального газа

Свойства идеального газа на основе молекулярно-кинетических представлений определяются исходя из физической модели идеального газа, в которой приняты следующие допущения:
Размеры молекул пренебрежимо малы по сравнению со средним расстоянием между ними, так что суммарный объём, занимаемый молекулами, много меньше объёма сосуда[50][51][52];
импульс передаётся только при соударениях, то есть силы притяжения между молекулами не учитываются, а силы отталкивания возникают только при соударениях[52];
соударения частиц между собой и со стенками сосуда абсолютно упруги[52];
количество молекул в газе велико и фиксированно, что позволяет вычислять средние величины по малому (по сравнению с размерами системы) объёму, система является эргодической, для того чтобы средние по ансамблю были равны средним по времени;
газ находится в термодинамическом равновесии со стенками сосуда и дополнительно отсутствуют макроскопические потоки вещества. Тут следует уточнить, что градиенты термодинамических величин могут иметь место, как например при включении внешнего поля, к примеру гравитационного.
В этом случае частицы газа движутся независимо друг от друга, давление газа на стенку равно полному импульсу, передаваемому при столкновении частиц с участком стенки единичной площади в единицу времени[52], внутренняя энергия — сумме энергий частиц газа[52].
По эквивалентной макроскопической формулировке идеальный газ — такой газ, который одновременно подчиняется закону Бойля — Мариотта и Гей-Люссака[51][53], то есть:




p
V
=

c
o
n
s
t

⋅
T
,


{\displaystyle pV=\mathrm {const} \cdot T,}


где 



p


{\displaystyle p}

 — давление, 



V


{\displaystyle V}

 — объём, 



T


{\displaystyle T}

 — абсолютная температура.
Термическое уравнение состояния и термические коэффициенты идеального газа

Термические свойства классического и квазиклассического идеального газа описываются уравнением Клапейрона[54][55][45]:




p
V
=


m
M


R
T
,


{\displaystyle pV={\frac {m}{M}}RT,}


где R — универсальная газовая постоянная (8.3144598 ), m — масса газа, M — его молярная масса, или




p
V
=
ν
R
T
,


{\displaystyle pV=\nu RT,}


где
ν — количество газа в молях.
В формулах статистической физики принято использовать постоянную Больцмана k (1.3806·10−23 ), массу частицы 






m
´





{\displaystyle {\acute {m}}}

 и число частиц N.
Статистические и термодинамически величины связаны соотношениями:




m
=



m
´



N
,



ν
=


N

N

A




,



R
=
k

N

A


,



k
N
=
ν
R
,


{\displaystyle m={\acute {m}}N,~~~\nu ={\frac {N}{N_{A}}},~~~R=kN_{A},~~~kN=\nu R,}


где NА — число Авогадро (6.02214·1023 ). С использованием обозначений статистической физики уравнение Клапейрона принимает вид




p
V
=
N
k
T
,


{\displaystyle pV=NkT,}


или




p
=
n
k
T
,


{\displaystyle p=nkT,}


где n — концентрация частиц.
Материал, касающийся термических коэффициентов идеального газа, изложен в статье Уравнение состояния.
Смесь идеальных газов
Смесь идеальных газов тоже идеальный газ. Каждой компоненте газа соответствует своё парциальное давление и общее давление смеси есть сумма парциальных давлений компонент смеси 



p
=

p

1


+

p

2


+

p

3




{\displaystyle p=p_{1}+p_{2}+p_{3}}

… Также можно получить общее количество молей в смеси газов как сумму 



ν
=

ν

1


+

ν

2


+

ν

3




{\displaystyle \nu =\nu _{1}+\nu _{2}+\nu _{3}}

… Тогда уравнение состояния для смеси идеальных газов[53]




p
V
=
ν
R
T
.


{\displaystyle pV=\nu RT.}



Совершенный газ (гидроаэромеханика)
В отличие от термодинамики в гидроаэромеханике газ, подчиняющийся уравнению Клапейрона, называют совершенным. У совершенного газа молярные изохорная 




C

V




{\displaystyle C_{V}}

 и изобарная 




C

P




{\displaystyle C_{P}}

 теплоёмкости постоянны. В то же время идеальным в гидроаэромеханике называют газ, у которого отсутствуют вязкость и теплопроводность. Модель совершенного газа широко применяют при исследовании течения газов[56].
Теплоёмкость
Определим теплоёмкость при постоянном объёме для идеального газа как








c
^




V


=


1

ν
R



T


(



∂
S


∂
T



)


V


=


1

ν
R





(



∂
U


∂
T



)


V


,


{\displaystyle {\hat {c}}_{V}={\frac {1}{\nu R}}T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}={\frac {1}{\nu R}}\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V},}


где S — энтропия. Это безразмерная теплоёмкость при постоянном объёме, которая обычно зависит от температуры из-за межмолекулярных сил. При умеренных температурах это константа: для одноатомного газа ĉV = 3/2, для двухатомного газа и многоатомных газов с линейными молекулами это ĉV = 5/2, а для многоатомного газа с нелинейными молекулами ĉV = 5/2. Видно, что макроскопические измерения теплоемкости могут дать информацию о микроскопической структуре молекул.
В отечественной учебной литературе, где понятие безразмерной теплоёмкости не получило распространения, для классического идеального газа его теплоёмкость при постоянном объёме CV полагают не зависящей от температуры и, согласно теореме о равнораспределении, равной[13]: 3<i>Rν/2 для всех одноатомных газов, 5<i>Rν/2 для всех двухатомных газов и многоатомных газов с линейными молекулами, 3<i>Rν для всех многоатомных газов с нелинейными молекулами. Отличие квазиклассического идеального газа от классического состоит в ином виде зависимости внутренней энергии газа от его температуры[57]. Для классического идеального газа его теплоёмкость при постоянном объёме CV не зависит от температуры (она составляет), то есть внутренняя энергия газа всегда пропорциональна его температуре; для квазиклассического идеального газа его теплоёмкость 




C

V




{\displaystyle C_{V}}

 зависит от химического состава газа и температуры, то есть имеет место нелинейная зависимость внутренней энергии газа от температуры[3].
Теплоёмкость при постоянном давлении 1/R моль идеального газа:








c
^




P


=


1

ν
R



T


(



∂
S


∂
T



)


P


=


1

ν
R





(



∂
H


∂
T



)


P


=




c
^




V


+
1
,


{\displaystyle {\hat {c}}_{P}={\frac {1}{\nu R}}T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{P}={\frac {1}{\nu R}}\left({\frac {\partial H}{\partial T}}\right)_{P}={\hat {c}}_{V}+1,}


где H = U + PV — энтальпия газа.
Иногда проводится различие между классическим идеальным газом, где ĉV и ĉP могут меняться с температурой и квазиклассическим идеальным газом, для которого это не так.
Для любого классического и квазиклассического идеального газа справедливо соотношение Майера[51]:





C

P


−

C

V


=
R
,


{\displaystyle C_{P}-C_{V}=R,}


где 




C

P




{\displaystyle C_{P}}

 — молярная теплоёмкость при постоянном давлении.
Соотношение теплоёмкостей при постоянном объёме и постоянном давлении




γ
=



c

P



c

V






{\displaystyle \gamma ={\frac {c_{P}}{c_{V}}}}


называется показателем адиабаты. Для воздуха, представляющего собой смесь газов, это соотношение составляет 1,4. Для показателя адиабаты справедлива теорема Реша[58]:
Filter:
Энтропия и термодинамические потенциалы

Выражая CV в терминах ĉV как было показано в предыдущем разделе, дифференцируя уравнение состояния идеального газа и интегрируя можно получить выражение энтропии[53]:




Δ
S
=




c
^




V


N
k
ln
⁡

(


T

T

0




)

+
N
k
ln
⁡

(


V

V

0




)

,


{\displaystyle \Delta S={\hat {c}}_{V}Nk\ln \left({\frac {T}{T_{0}}}\right)+Nk\ln \left({\frac {V}{V_{0}}}\right),}





Данное выражение, после ряда преобразований позволяет получить термодинамические потенциалы для идеального газа как функции T, V, и N в виде[53]:





















U



{\displaystyle U\,}





=




c
^




V


N
k
T



{\displaystyle ={\hat {c}}_{V}NkT\,}





A



{\displaystyle A\,}





=
U
−
T
S



{\displaystyle =U-TS\,}





=
μ
N
−
N
k
T



{\displaystyle =\mu N-NkT\,}





H



{\displaystyle H\,}





=
U
+
P
V



{\displaystyle =U+PV\,}





=




c
^




P


N
k
T



{\displaystyle ={\hat {c}}_{P}NkT\,}





G



{\displaystyle G\,}





=
U
+
P
V
−
T
S



{\displaystyle =U+PV-TS\,}





=
μ
N



{\displaystyle =\mu N\,}


где, как и раньше,








c
^




P


=




c
^




V


+
1.


{\displaystyle {\hat {c}}_{P}={\hat {c}}_{V}+1.}


Применение теории идеального газа
Физический смысл температуры газа


В рамках молекулярно-кинетической теории давление молекул газа на стенку сосуда 



p
=


F
S




{\displaystyle p={\frac {F}{S}}}

 равно отношению силы 



F


{\displaystyle F}

, действующей на стенку со стороны молекул, к площади стенки 



S


{\displaystyle S}

. Силу можно вычислить как отношение суммарного импульса 



K


{\displaystyle K}

, переданного стенке при столкновениях молекул за время 



Δ
t


{\displaystyle \Delta t}

, к длительности этого интервала:




p
=


K

S
Δ
t



.




{\displaystyle p={\frac {K}{S\Delta t}}.\qquad \qquad }

(1)
При упругом соударении  молекула массы 



m


{\displaystyle m}

 передаёт стенке импульс 





k

m


=
2
m
v
cos
⁡
ϑ
,




{\displaystyle k_{m}=2mv\cos \vartheta ,\qquad \qquad }

(2) 
где 



ϑ


{\displaystyle \vartheta }

 — угол между импульсом молекулы до соударения и нормалью со стенкой и 



v


{\displaystyle v}

 — скорость молекулы[51]. Число соударений со стенкой равно 




N


s
t



=
n
v
S
cos
⁡
ϑ
Δ
t
.


{\displaystyle N_{\rm {st}}=nvS\cos \vartheta \Delta t.}

  Усреднение выражения 



K
=

k

m



N


s
t





{\displaystyle K=k_{m}N_{\rm {st}}}

 по всем возможным углам и скоростям, даёт:




K
=


2
3


n

ε


k
i
n



S
Δ
t
,




{\displaystyle K={\frac {2}{3}}n\varepsilon _{\rm {kin}}S\Delta t,\qquad \qquad }

(3)
где 





ε


k
i
n





{\displaystyle \ \varepsilon _{\rm {kin}}}

 — средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа. Подставив (3) в (1), получаем, что давление молекул газа на стенку сосуда определяется по формуле 



p
=


2
3


n

ε


k
i
n





{\displaystyle p={\frac {2}{3}}n\varepsilon _{\rm {kin}}}

[51],  Подставив 



p


{\displaystyle p}

 в уравнение Клапейрона в форме 



p
=
n
k
T


{\displaystyle p=nkT}

, получаем выражение 





ε


k
i
n



=


3
2


k
T


{\displaystyle \ \varepsilon _{\rm {kin}}={\frac {3}{2}}kT}

, откуда следует, что температура газа прямо пропорциональна средней энергии поступательного движения молекул[51].
Распределение Больцмана


Равновесное распределение частиц классического идеального газа по состояниям можно можно получить следующим образом. Используя выражение для потенциальной энергии газа в гравитационном поле и уравнение Клапейрона, выводят барометрическую формулу[51] и с её помощью находят распределение молекул газа по энергиям в гравитационном поле. Больцман показал, что полученное таким образом распределение справедливо не только в случае потенциального поля сил земного тяготения, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения[51]. Это распределение и носит название распределения Больцмана:








n
¯




j


=
a

e

−




ε

j




k
T





,


{\displaystyle {\bar {n}}_{j}=ae^{-{{\varepsilon _{j}} \over {kT}}},}


где 







n
¯




j




{\displaystyle {\bar {n}}_{j}}

 — среднее число частиц, находящихся в 



j


{\displaystyle j}

-ом состоянии с энергией 




ε

j




{\displaystyle \varepsilon _{j}}

, а константа 



a


{\displaystyle a}

 определяется условием нормировки:




∑


n

j



=
N
,


{\displaystyle \sum {n_{j}}=N,}


где 



N


{\displaystyle N}

 — полное число частиц.
Распределение Больцмана является предельным случаем распределений Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна для больших температур, и, соответственно, классический идеальный газ является предельным случаем Ферми-газа и Бозе-газа. Данный предельный случай соответствует ситуации, когда заполнение энергетических уровней невелико и квантовыми эффектами можно пренебречь[59].
Адиабатический процесс


C помощью модели идеального газа можно предсказать изменение параметров состояния газа при адиабатическом процессе. Запишем уравнение Клапейрона в таком виде:




p
V
=
ν
R
T
.


{\displaystyle pV=\nu RT.}


Продифференцировав обе части, получаем:




p
d
V
+
V
d
p
=
ν
R
d
T
.
(
1
)


{\displaystyle pdV+Vdp=\nu RdT.(1)}


Согласно экспериментально установленному закону Джоуля (закону Гей-Люссака — Джоуля) внутренняя энергия идеального газа не зависит от давления или объёма газа[9]. По определению молярной теплоёмкости при постоянном объёме, 





(



∂
U


∂
T



)


V


=

C

V




{\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}=C_{V}}

[52]. Поэтому получаем


Filter:
где 



ν


{\displaystyle \nu }

 — число молей идеального газа.
Учитывая отсутствие теплообмена с окружающей средой имеем[52]:


Filter:
C учётом этого уравнение (1) приобретает вид




p

d

V
+
V

d

p
=
−
p

d

V
⋅


R

C

V




,


{\displaystyle p\mathrm {d} V+V\mathrm {d} p=-p\mathrm {d} V\cdot {\frac {R}{C_{V}}},}


далее, введя коэффициент 





γ


=
1
+
R

/


C

V




{\displaystyle {\mathsf {\gamma }}=1+R/C_{V}}

, получаем получаем окончательно уравнение Пуассона:




p

⋅

V


γ



=

c
o
n
s
t

.


{\displaystyle p\,\cdot V^{\mathsf {\gamma }}=\mathrm {const} .}


Для нерелятивистского невырожденного одноатомного идеального газа 





k


=
5

/

3


{\displaystyle {\mathsf {k}}=5/3}

[60], для двухатомного 





k


=
7

/

5


{\displaystyle {\mathsf {k}}=7/5}

[60].
Скорость звука

Скорость звука в идеальном газе определяется[53]





c

s


=




(



∂
P


∂
ρ



)


s




=




γ
P

ρ



=




γ
R
T

M



,


{\displaystyle c_{s}={\sqrt {\left({\frac {\partial P}{\partial \rho }}\right)_{s}}}={\sqrt {\frac {\gamma P}{\rho }}}={\sqrt {\frac {\gamma RT}{M}}},}


где γ — показатель адиабаты (ĉP/ĉV), s — энтропия на частицу газа, ρ — плотность газа, P — давление газа, R — универсальная газовая постоянная, T — температура, M — молярная масса газа. Так как колебания плотности быстрые, то процесс в целом происходит без обмена теплом, что объясняет появление показателя адиабаты в выражении для скорости звука. Для воздуха возьмём γ = 1,4, M =28,8, T = 273 К, тогда cs=330 м/с.
Квантовый идеальный газ
Понижение температуры и увеличение плотности газа может привести к ситуации, когда среднее расстояние между частицами становится соизмеримым с длиной волны де Бройля для этих частиц, что приводит к переходу от классического к квантовому идеальному газу (см. Вырожденный газ).
В таком случае поведение газа зависит от спина частиц: в случае полуцелого спина (фермионы) действует статистика Ферми — Дирака (Ферми-газ), в случае целого спина (бозоны) — статистика Бозе — Эйнштейна (Бозе-газ)[61].
Ферми-газ
Для фермионов действует принцип Паули, запрещающий двум тождественным фермионам находиться в одном квантовом состоянии[62]. Вследствие этого при абсолютном нуле температуры импульсы частиц и, соответственно, давление и плотность энергии Ферми-газа отличны от нуля и пропорциональны числу частиц в единице объёма[59]. Существует верхний предел энергии, который могут иметь частицы Ферми-газа при абсолютном нуле (Энергия Ферми 




E

F




{\displaystyle E_{F}}

). Если энергия теплового движения частиц Ферми-газа значительно меньше энергии Ферми, то это состояние называют вырожденным газом[59].

Примерами Ферми-газов являются электронный газ в металлах, сильнолегированных и вырожденных полупроводниках, вырожденный газ электронов в белых карликах[59].
Бозе-газ

Так как бозоны могут быть строго тождественны друг другу[63][64] и, соответственно, принцип Паули на них не распространяется, то при снижении температуры Бозе-газа ниже некоторой температуры 




T

0




{\displaystyle T_{0}}

 возможен переход бозонов на наинизший энергетический уровень с нулевым импульсом, то есть образование конденсата Бозе — Эйнштейна. Поскольку давление газа равно сумме импульсов частиц, переданной стенке в единицу времени, при 



T
<

T

0




{\displaystyle T<T_{0}}

 давление Бозе-газа зависит только от температуры. Этот эффект в 1995 году наблюдался экспериментально, а в 2001 году авторам эксперимента была присуждена Нобелевская премия[65].
Примерами Бозе-газов являются различного рода газы квазичастиц (слабых возбуждений) в твёрдых телах и жидкостях, сверхтекучая компонента гелия II, конденсата Бозе — Эйнштейна куперовских электронных пар при сверхпроводимости. Примером ультрарелятивистского бозе-газа является фотонный газ (тепловое излучение)[63][64]. Примером бозе-газа, состоящего из квазичастиц является фононный газ[59].
Идеальный газ в гравитационном поле

В ОТО-релятивистской термодинамике при термическом равновесии газовой (жидкой) сферы собственная температура, измеряемая местным наблюдателем, понижается при перемещении по радиусу от центра сферы к её поверхности. Этот релятивистский эффект невелик (исключая случай сверхсильных гравитационных полей) и у поверхности Земли им пренебрегают[66].
Реальное воздействие гравитационного поля на газ (жидкость) проявляется в первую очередь через зависимость гидростатического давления от высоты столба газа (жидкости). Влияние поля тяготения на термодинамические свойства системы можно не учитывать в том случае, когда изменение давления по высоте много меньше абсолютной величины давления. Не выходя за рамки термодинамики, Дж. Максвелл установил[67][68][69], что «…в вертикальной колонне газа, предоставленного самому себе, температура повсюду одинакова после того, как колонна достигла теплового равновесия посредством теплопроводности; другими словами, тяжесть не оказывает никакого влияния на распределение температур в колонне», и что этот вывод справедлив для любых газов (жидкостей), то есть равенство температур по всему объёму системы есть необходимое условие равновесия в гравитационном поле[70][71][72][73]. Методами молекулярно-кинетической теории этот же результат для газов был получен Л. Больцманом[74].
Зависимость давления от высоты изотермического столба идеального газа даёт барометрическая формула. В простейшей термодинамической модели, объясняющей наблюдаемую неизотермичность земной атмосферы, рассматривают не равновесное, а стационарное состояние столба идеального газа, достигаемое равновесным адиабатическим процессом циркуляции воздуха[75], когда теплопередача в сторону убыли температуры (вверх), уравновешивается переносом потенциальной энергии молекул воздуха в обратном направлении[76].
Пределы применимости теории идеального газа


Если плотность газа повышается, то столкновения молекул начинают играть всё бо́льшую роль и пренебрегать размерами и взаимодействием молекул становится невозможным. Поведение такого газа плохо описывается моделью идеального газа, в связи с чем его называют реальным газом[1]. Аналогично моделью идеального газа нельзя пользоваться при описании плазмы, в которой присутствует значительное взаимодействие между отдельными молекулами[77]. Для описания реальных газов применяются различные модифицированные уравнения состояния, например, вириальное разложение.
Другое широко используемое уравнение получается, если учесть, что молекула не бесконечно мала, а имеет определённый диаметр 



d


{\displaystyle d}

, то уравнение Клапейрона для одного моля газа примет вид[53]:




p
(
V
−
b
)
=
R
T
,


{\displaystyle p(V-b)=RT,}


при этом величина 



b


{\displaystyle b}

 равна[53]:




b
=



2
π

3


N

d

3


,


{\displaystyle b={\frac {2\pi }{3}}Nd^{3},}


где 



N


{\displaystyle N}

 — число молекул в газе. Учёт дополнительно сил межмолекулярного притяжения (сил Ван-дер-Ваальса) приведёт к изменению уравнения до уравнения Ван-дер-Ваальса[53]:





(

p
+



a

ν

2




V

2





)


(


V

−

b
ν


)

=
ν
R
T
.


{\displaystyle \left(p+{\frac {a\nu ^{2}}{V^{2}}}\right)\left({V}-{b\nu }\right)=\nu RT.}


Существует ряд эмпирических уравнений состояния, например Бертло и Клаузиуса, которые ещё лучше описывают поведение реального газа в определённых условиях[53].
См. также
Бозе-газ
Парадокс Гиббса
Реальный газ
Уравнение состояния
Ферми-газ
Примечания

Литература

Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: date and year (link)



Cite journal requires |journal= (help)




CS1 maint: multiple names: authors list (link)
Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: date and year (link)





URL–wikilink conflict (help)



CS1 maint: multiple names: authors list (link)


CS1 maint: multiple names: authors list (link)

CS1 maint: multiple names: authors list (link)

Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: date and year (link)



CS1 maint: multiple names: authors list (link)

Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: date and year (link)
CS1 maint: multiple names: authors list (link)



CS1 maint: multiple names: authors list (link)
CS1 maint: multiple names: authors list (link)




















Категория:Термодинамика
Категория:Статистическая физика
Категория:Модели в физике
Категория:Газы