Question: Когда впервые применили знак бесконечности?

Пи (число)









π


{\displaystyle \pi }

 (произносится «пи») — математическая постоянная, равная отношению длины окружности к её диаметру[1]. Обозначается буквой греческого алфавита «π».
Свойства
Трансцендентность и иррациональность




π


{\displaystyle \pi }

 — иррациональное число, то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби 





m
n




{\displaystyle {\frac {m}{n}}}

, где 



m


{\displaystyle m}

 и 



n


{\displaystyle n}

 — целые числа. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим. Иррациональность числа 



π


{\displaystyle \pi }

 была впервые доказана Иоганном Ламбертом в 1761 году[2] путём разложения тангенса в непрерывную дробь. В 1794 году Лежандр привёл более строгое доказательство иррациональности чисел 



π


{\displaystyle \pi }

 и 




π

2




{\displaystyle \pi ^{2}}

.




π


{\displaystyle \pi }

 — трансцендентное число, то есть оно не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми коэффициентами. Трансцендентность числа 



π


{\displaystyle \pi }

 была доказана в 1882 году профессором Кёнигсбергского, а позже Мюнхенского университета Линдеманом. Доказательство упростил Феликс Клейн в 1894 году[3].
Поскольку в евклидовой геометрии площадь круга и длина окружности являются функциями числа 



π


{\displaystyle \pi }

, то доказательство трансцендентности 



π


{\displaystyle \pi }

 положило конец спору о квадратуре круга, длившемуся более 2,5 тысяч лет.
В 1934 году Гельфонд доказал трансцендентность числа 




e

π




{\displaystyle e^{\pi }}

[4]. В 1996 году Юрий Нестеренко доказал, что для любого натурального 



n


{\displaystyle n}

 числа 



π


{\displaystyle \pi }

 и 




e

π


n






{\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}}}

 алгебраически независимы, откуда, в частности, следует трансцендентность чисел 



π
+

e

π


,
π

e

π




{\displaystyle \pi +e^{\pi },\pi e^{\pi }}

 и 




e

π


n






{\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}}}

[5][6].




π


{\displaystyle \pi }

 является элементом кольца периодов (а значит, вычислимым и арифметическим числом). Но неизвестно, принадлежит ли 



1

/

π


{\displaystyle 1/\pi }

 к кольцу периодов.
Соотношения
Известно много формул для вычисления числа 



π


{\displaystyle \pi }

:

:






2
π


=



2

2


⋅



2
+


2



2


⋅



2
+


2
+


2





2


⋅
…


{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \ldots }


Это первое известное явное представление 



π


{\displaystyle \pi }

 с бесконечным числом операций. Применив тождество 



sin
⁡
2
φ
=
2
sin
⁡
φ
cos
⁡
φ


{\displaystyle \sin 2\varphi =2\sin \varphi \cos \varphi }

 рекурсивно и перейдя к пределу, получим




φ
cos
⁡



φ
2



cos
⁡


φ
4


⋯
=
sin
⁡
φ
.


{\displaystyle \varphi \cos {\dfrac {\varphi }{2}}\cos {\frac {\varphi }{4}}\cdots =\sin \varphi .}


Остаётся подставить 



φ
=


π
2




{\displaystyle \varphi ={\frac {\pi }{2}}}

 и воспользоваться формулой косинуса двойного угла: 



cos
⁡
2
φ
=

cos

2


⁡
φ
−

sin

2


⁡
φ
.


{\displaystyle \cos 2\varphi =\cos ^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi .}


Формула Валлиса:






2
1


⋅


2
3


⋅


4
3


⋅


4
5


⋅


6
5


⋅


6
7


⋅


8
7


⋅


8
9


⋯
=


π
2




{\displaystyle {\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}}


Ряд Лейбница:






1
1


−


1
3


+


1
5


−


1
7


+


1
9


−
⋯
=


π
4




{\displaystyle {\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}}


Другие ряды:








π



=


1
2



∑

k
=
0


∞




1

16

k





(



8

8
k
+
2



+


4

8
k
+
3



+


4

8
k
+
4



−


1

8
k
+
7




)

=






=


1
4



∑

k
=
0


∞




1

16

k





(



8

8
k
+
1



+


8

8
k
+
2



+


4

8
k
+
3



−


2

8
k
+
5



−


2

8
k
+
6



−


1

8
k
+
7




)

=






=



∑

k
=
0


∞





(
−
1

)

k




4

k





(



2

4
k
+
1



+


2

4
k
+
2



+


1

4
k
+
3




)







{\displaystyle {\begin{aligned}\pi &={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {8}{8k+2}}+{\frac {4}{8k+3}}+{\frac {4}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+7}}\right)=\\&={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {8}{8k+1}}+{\frac {8}{8k+2}}+{\frac {4}{8k+3}}-{\frac {2}{8k+5}}-{\frac {2}{8k+6}}-{\frac {1}{8k+7}}\right)=\\&=\;\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{4^{k}}}\left({\frac {2}{4k+1}}+{\frac {2}{4k+2}}+{\frac {1}{4k+3}}\right)\end{aligned}}}






π
=
2


3



∑

k
=
0


∞





(
−
1

)

k






3

k



(
2
k
+
1
)





{\displaystyle \pi =2{\sqrt {3}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{\,3^{k}\,(2k+1)}}}


Кратные ряды:




π
=
8

∑

k
=
1


∞



∑

m
=
1


∞




1

(
4
m
−
2

)

2
k





=
4

∑

k
=
1


∞



∑

m
=
1


∞






m

2


−

k

2




(

m

2


+

k

2



)

2





=



360

∑

k
=
1


∞



∑

m
=
1


k




1

m
(
k
+
1

)

3







4







{\displaystyle \pi =8\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(4m-2)^{2k}}}=4\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {m^{2}-k^{2}}{(m^{2}+k^{2})^{2}}}={\sqrt[{4\,\,}]{360\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{k}{\frac {1}{m(k+1)^{3}}}}}}


Пределы:




π
=

lim

m
→
∞





(
m
!

)

4





2


4
m






[

(
2
m
)
!

]


2



m





{\displaystyle \pi =\lim \limits _{m\rightarrow \infty }{\frac {(m!)^{4}\,{2}^{4m}}{\left[(2m)!\right]^{2}\,m}}}






π
=



6


lim

n
→
∞



∏



k
=
1



p

k


∈

P





n




(

1
−


1

p

k


2





)






→


{\displaystyle \pi ={\sqrt {\frac {6}{\lim \limits _{n\to \infty }\prod \limits _{k=1 \atop p_{k}\in \mathbf {P} }^{n}\,\left(1-{\frac {1}{p_{k}^{2}}}\right)}}}\quad \to }

 здесь 




p

k




{\displaystyle p_{k}}

 — простые числа




π
=

lim

n
→
∞



2

n




2
−


2
+


2
+


2
+
⋯
+


2










,


{\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }2^{n}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}}}}}},}

 где 



n


{\displaystyle n}

 равно числу корней в выражении.[7]
Тождество Эйлера:





e

i
π


+
1
=
0



{\displaystyle e^{i\pi }+1=0\;}


Другие связи между константами:






π
e


=
2

∏

k
=
1


∞




(



2
k
+
1


2
k
−
1



)


2
k
−
1




(


k

k
+
1



)


2
k




{\displaystyle {\frac {\pi }{e}}=2\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+1}{2k-1}}\right)^{2k-1}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}}






π
⋅
e
=
6

∏

k
=
1


∞




(



2
k
+
3


2
k
+
1



)


2
k
+
1




(


k

k
+
1



)


2
k




{\displaystyle \pi \cdot e=6\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+3}{2k+1}}\right)^{2k+1}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}}


Т. н. интеграл Пуассона или интеграл Гаусса





∫

−
∞


+
∞




e

−

x

2





d
x

=


π




{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\ e^{-x^{2}}{dx}={\sqrt {\pi }}}







∫

0


∞





B
r
(
x
)



e

B

r

4


(
x
)





d
x
=


π


,


{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {Br(x)}{\displaystyle e^{Br^{4}(x)}}}dx={\sqrt {\pi }},}

 где 



B
r
(
x
)


{\displaystyle Br(x)}

 — корень Бринга.
Интегральный синус:





∫

−
∞


+
∞






sin
⁡
x

x


d
x

=
π


{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{{\frac {\sin x}{x}}dx}=\pi }


Выражение через дилогарифм:[8]




π
=


6

ln

2


⁡
2
+
12


Li

2


⁡

(


1
2


)





{\displaystyle \pi ={\sqrt {6\ln ^{2}2+12\ \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)}}}


Через несобственный интеграл





∫

0


+
∞





d
x


(
x
+
1
)


x





=
π


{\displaystyle \int \limits _{0}^{+\infty }{\frac {dx}{(x+1){\sqrt {x}}}}=\pi }


История

Впервые обозначением этого числа греческой буквой 



π


{\displaystyle \pi }

 воспользовался британский математик Джонс в 1706 году,[9] а общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера в 1737 году.
Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов  — окружность, периферия и  — периметр.
История числа 



π


{\displaystyle \pi }

 шла параллельно с развитием всей математики. Некоторые авторы разделяют весь процесс на 3 периода: древний период, в течение которого 



π


{\displaystyle \pi }

 изучалось с позиции геометрии, классическая эра, последовавшая за развитием математического анализа в Европе в XVII веке, и эра цифровых компьютеров.
Геометрический период
То, что отношение длины окружности к диаметру одинаково для любой окружности, и то, что это отношение немногим более 3, было известно ещё древнеегипетским, вавилонским, древнеиндийским и древнегреческим геометрам, древнейшие приближения относятся к третьему тысячелетию до н. э. В Древнем Вавилоне принимали 



π


{\displaystyle \pi }

 равным трём. При этом оно определялось через формулу: площадь круга равна квадрату длины окружности, делённому на 12.[10]
Самые ранние из известных приближений, отличных от числа 3, датируются ок. 1900 года до н. э.: это 25/8 (глиняная табличка из Суз периода Старовавилонского царства)[11] и 256/81 (египетский папирус Ахмеса периода Среднего царства); оба значения отличаются от истинного не более, чем на 1 %. Ведийский текст «Шатапатха-брахмана» даёт 



π


{\displaystyle \pi }

 как 339/108 ≈ 3,139.
В священных книгах джайнизма, написанных в V—VI веках до н. э., обнаружено, что тогда в Индии 



π


{\displaystyle \pi }

 принимали равным 





10




{\displaystyle {\sqrt {10}}}

[12]

Архимед, возможно, первым предложил математический способ вычисления 



π


{\displaystyle \pi }

. Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку. Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед получил оценку 



3


10
71


<
π
<
3


1
7




{\displaystyle 3{\frac {10}{71}}<\pi <3{\frac {1}{7}}}

 и предложил для приближенного вычисления 



π


{\displaystyle \pi }

 верхнюю из найденных им границ: — 22/7 ≈ 3,142857142857143.
Следующее приближение в европейской культуре связано с астрономом Клавдием Птолемеем (ок. 100 — ок. 170), который создал таблицу хорд с шагом в полградуса, что позволило ему получить для 



π


{\displaystyle \pi }

 приближение 377/120, равное приближённо вычисленной им половине периметра 720-угольника, вписанного в единичную окружность.[13] Леонардо Пизанский (Фибоначчи) в книге «Practica Geometriae» (около 1220 г.), видимо, принимая приближение Птолемея за нижнюю границу для 



π


{\displaystyle \pi }

, приводит свое приближение — 864/275.[14] Но оно оказывается хуже, чем у Птолемея, поскольку последний ошибся при определении длины хорды в полградуса в большую сторону, в результате чего приближение 377/120 оказалось верхней границей для 



π


{\displaystyle \pi }

.
В Индии Ариабхата и Бхаскара использовали приближение 3,1416. Варахамихира в VI веке пользуется в «Панча-сиддхантике» приближением 





10




{\displaystyle {\sqrt {10}}}

.
Около 265 года н. э. математик Лю Хуэй из царства Вэй предоставил простой и точный  для вычисления 



π


{\displaystyle \pi }

 с любой степенью точности. Он самостоятельно провёл вычисление для 3072-угольника и получил приближённое значение для 



π


{\displaystyle \pi }

 по следующему принципу:




π
≈

A

3072


=

3
⋅

2

8


⋅


2
−


2
+


2
+


2
+


2
+


2
+


2
+


2
+


2
+
1



















≈
3
,
14159.


{\displaystyle \pi \approx A_{3072}={3\cdot 2^{8}\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\approx 3,14159.}


Позднее Лю Хуэй придумал быстрый метод вычисления 



π


{\displaystyle \pi }

 и получил приближённое значение 3,1416 только лишь с 96-угольником, используя преимущества того факта, что разница в площади следующих друг за другом многоугольников формирует геометрическую прогрессию со знаменателем 4.
В 480-х годах китайский математик Цзу Чунчжи продемонстрировал, что 



π


{\displaystyle \pi }

 ≈ 355/113, и показал, что 3,1415926 < 



π


{\displaystyle \pi }

 < 3,1415927, используя алгоритм Лю Хуэя применительно к 12288-угольнику. Это значение оставалось самым точным приближением числа 



π


{\displaystyle \pi }

 в течение последующих 900 лет.
Классический период
До II тысячелетия было известно не более 10 цифр 



π


{\displaystyle \pi }

. Дальнейшие крупные достижения в изучении 



π


{\displaystyle \pi }

 связаны с развитием математического анализа, в особенности с открытием рядов, позволяющих вычислить 



π


{\displaystyle \pi }

 с любой точностью, суммируя подходящее количество членов ряда.
Ряд Мадхавы — Лейбница
В 1400-х годах Мадхава из Сангамаграмы нашёл первый из таких рядов:





π

=


4
1


−


4
3


+


4
5


−


4
7


+
⋯


{\displaystyle {\pi }={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+\cdots }


Этот результат известен как ряд Мадхавы — Лейбница, или ряд Грегори — Лейбница (после того как он был заново обнаружен Джеймсом Грегори и Готфридом Лейбницем в XVII веке). Однако этот ряд сходится к 



π


{\displaystyle \pi }

 очень медленно, что приводит к сложности вычисления многих цифр числа на практике — необходимо сложить около 4000 членов ряда, чтобы улучшить оценку Архимеда. Однако преобразованием этого ряда в




π
=


12




(

1
−


1

3
⋅
3



+


1

5
⋅

3

2





−


1

7
⋅

3

3





+
⋯

)



{\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\,\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\cdots \right)}


Мадхава смог вычислить 



π


{\displaystyle \pi }

 как 3,14159265359, верно определив 11 цифр в записи числа. Этот рекорд был побит в 1424 году персидским математиком Джамшидом ал-Каши, который в своём труде под названием «Трактат об окружности» привёл 17 цифр числа 



π


{\displaystyle \pi }

, из которых 16 верные.
Лудольфово число
Первым крупным европейским вкладом со времён Архимеда был вклад голландского математика Людольфа ван Цейлена, затратившего десять лет на вычисление числа 



π


{\displaystyle \pi }

 с 20-ю десятичными цифрами (этот результат был опубликован в 1596 году). Применив метод Архимеда, он довёл удвоение до n-угольника, где n = 60·229. Изложив свои результаты в сочинении «Об окружности» («Van den Circkel»), Лудольф закончил его словами: «У кого есть охота, пусть идёт дальше». После смерти в его рукописях были обнаружены ещё 15 точных цифр числа 



π


{\displaystyle \pi }

. Лудольф завещал, чтобы найденные им знаки были высечены на его надгробном камне. В честь него число 



π


{\displaystyle \pi }

 иногда называли «лудольфовым числом» или «константой Лудольфа».
Лудольфово число — приближённое значение для числа 



π


{\displaystyle \pi }

 с 32 верными десятичными знаками.
Формула Виета для приближения π
Примерно в это же время в Европе начали развиваться методы анализа и определения бесконечных рядов. Первым таким представлением была :






2
π


=



2

2


⋅



2
+


2



2


⋅



2
+


2
+


2





2


⋅
⋯


{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \cdots }

,
найденная Франсуа Виетом в 1593 году.
Формула Валлиса
Другим известным результатом стала формула Валлиса:






π
2


=


2
1


⋅


2
3


⋅


4
3


⋅


4
5


⋅


6
5


⋅


6
7


⋅


8
7


⋅


8
9


⋯


{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots }

,
выведенная Джоном Валлисом в 1655 году.
Аналогичные произведения:





π
=
3
⋅



3

2



∏

k
=
1


∞





k

2




k

2


−


(


1
3


)


2







{\displaystyle \pi =3\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {1}{3}}\right)^{2}}}}






π
=


3
2


⋅



3

2



∏

k
=
1


∞





k

2




k

2


−


(


2
3


)


2







{\displaystyle \pi ={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}}}}






π
=
4
⋅



2

2



∏

k
=
1


∞





k

2




k

2


−


(


1
4


)


2







{\displaystyle \pi =4\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}}}






π
=


4
3


⋅



2

2



∏

k
=
1


∞





k

2




k

2


−


(


3
4


)


2







{\displaystyle \pi ={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}}}}






π
=
6
⋅


1
2



∏

k
=
1


∞





k

2




k

2


−


(


1
6


)


2







{\displaystyle \pi =6\cdot {\frac {1}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {1}{6}}\right)^{2}}}}






π
=


6
5


⋅


1
2



∏

k
=
1


∞





k

2




k

2


−


(


5
6


)


2







{\displaystyle \pi ={\frac {6}{5}}\cdot {\frac {1}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {5}{6}}\right)^{2}}}}






π
=
4
⋅

∏

k
=
1


∞






k

2


+
k



k

2


+
k
+


1
4







{\displaystyle \pi =4\cdot \prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {1}{4}}}}}






π
=


9
2


⋅



3

2



∏

k
=
1


∞






k

2


+
k



k

2


+
k
+


2
9







{\displaystyle \pi ={\frac {9}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {2}{9}}}}}






π
=


16
3


⋅



2

2



∏

k
=
1


∞






k

2


+
k



k

2


+
k
+


3
16







{\displaystyle \pi ={\frac {16}{3}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {3}{16}}}}}






π
=


36
5


⋅


1
2



∏

k
=
1


∞






k

2


+
k



k

2


+
k
+


5
36







{\displaystyle \pi ={\frac {36}{5}}\cdot {\frac {1}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {5}{36}}}}}



Произведение, доказывающее родственную связь с числом Эйлера e




π
=
2


3



∏

k
=
1


∞







(

2
k
−
1

)




1
2


−
k




(

2
k
+
3

)


k
+


1
2






2
k
+
1





(


k

k
+
1



)


2
k




{\displaystyle \pi =2{\sqrt {3}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(2k-1\right)^{{\frac {1}{2}}-k}\left(2k+3\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}{2k+1}}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}}


Методы, основанные на тождествах
В Новое время для вычисления 



π


{\displaystyle \pi }

 используются аналитические методы, основанные на тождествах. Перечисленные выше формулы малопригодны для вычислительных целей, поскольку либо используют медленно сходящиеся ряды, либо требуют сложной операции извлечения квадратного корня.
Формулы Мэчина
Первый эффективный и современный способ нахождения числа π (а также натуральных логарифмов и других функций), основанный на развитой им теории рядов и математического анализа, дал в 1676 году Исаак Ньютон во втором письме к Ольденбургу[15], разлагая в ряд 




a
r
c
t
g



1
2




{\displaystyle \mathrm {arctg} {\frac {1}{2}}}

. На основе этого метода наиболее эффективную формулу нашёл в 1706 году 






π
4


=
4


a
r
c
t
g



1
5


−

a
r
c
t
g



1
239




{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\,\mathrm {arctg} {\frac {1}{5}}-\mathrm {arctg} {\frac {1}{239}}}


Разложив арктангенс в ряд Тейлора





a
r
c
t
g


x
=
x
−



x

3


3


+



x

5


5


−



x

7


7


+
⋯


{\displaystyle \mathrm {arctg} \ x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots }

,
можно получить быстро сходящийся ряд, пригодный для вычисления числа 



π


{\displaystyle \pi }

 с большой точностью.
Формулы такого типа, в настоящее время известные как , использовались для установки нескольких последовательных рекордов и остались наилучшими из известных методов для быстрого вычисления 



π


{\displaystyle \pi }

 в эпоху компьютеров. Выдающийся рекорд был поставлен феноменальным счетчиком , который в 1844 году по распоряжению Гаусса применил формулу Мэчина для вычисления 200 цифр 



π


{\displaystyle \pi }

. Наилучший результат к концу XIX века был получен англичанином , у которого ушло 15 лет для того, чтобы вычислить 707 цифр, хотя из-за ошибки только первые 527 были верными. Чтобы избежать подобных ошибок, современные вычисления подобного рода проводятся дважды. Если результаты совпадают, то они с высокой вероятностью верные. Ошибку Шенкса обнаружил один из первых компьютеров в 1948 году; он же за несколько часов подсчитал 808 знаков 



π


{\displaystyle \pi }

.
Пи — трансцендентное число
Теоретические достижения в XVIII веке привели к постижению природы числа 



π


{\displaystyle \pi }

, чего нельзя было достичь лишь только с помощью одного численного вычисления. Иоганн Генрих Ламберт доказал иррациональность 



π


{\displaystyle \pi }

 в 1761 году, а Адриен Мари Лежандр в 1774 году доказал иррациональность 




π

2




{\displaystyle \pi ^{2}}

. В 1735 году была установлена связь между простыми числами и 



π


{\displaystyle \pi }

, когда Леонард Эйлер решил знаменитую Базельскую проблему — проблему нахождения точного значения






1

1

2




+


1

2

2




+


1

3

2




+


1

4

2




+
⋯


{\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots }

,
которое оказалось равно 






π

2


6




{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}}

. И Лежандр, и Эйлер предполагали, что 



π


{\displaystyle \pi }

 может быть трансцендентным, что было в конечном итоге доказано в 1882 году Фердинандом фон Линдеманом.
Символ «



π


{\displaystyle \pi }

»
Считается, что книга Уильяма Джонса «Новое введение в математику» c 1706 года первая ввела в использование греческую букву 



π


{\displaystyle \pi }

 для обозначения этой константы, но эта запись стала особенно популярной после того, как Леонард Эйлер принял её в 1737 году. Он писал:
Существует множество других способов отыскания длин или площадей соответствующей кривой или плоской фигуры, что может существенно облегчить практику; например, в круге диаметр относится к длине окружности как 1 к 




(



16
5


−


4
239



)

−


1
3


⋅

(



16

5

3




−


4

239

3





)

+
⋯
=
3,141
59
⋯
=
π


{\displaystyle \left({\frac {16}{5}}-{\frac {4}{239}}\right)-{\frac {1}{3}}\cdot \left({\frac {16}{5^{3}}}-{\frac {4}{239^{3}}}\right)+\cdots =3{,}14159\cdots =\pi }



Эра компьютерных вычислений
Эпоха цифровой техники в XX веке привела к увеличению скорости появления вычислительных рекордов. Джон фон Нейман и другие использовали в 1949 году ЭНИАК для вычисления 2037 цифр 



π


{\displaystyle \pi }

, которое заняло 70 часов. Ещё одна тысяча цифр была получена в последующие десятилетия, а отметка в миллион была пройдена в 1973 году (десяти знаков числа 



π


{\displaystyle \pi }

 



(
π
=
3,141
592653
…
)


{\displaystyle (\pi =3{,}141592653\ldots )}

, что вполне достаточно для всех практических целей)[16]. Такой прогресс имел место не только благодаря более быстрому аппаратному обеспечению, но и благодаря алгоритмам. Одним из самых значительных результатов было открытие в 1960 году быстрого преобразования Фурье, что позволило быстро осуществлять арифметические операции над очень большими числами.
В начале XX века индийский математик Сриниваса Рамануджан обнаружил множество новых формул для 



π


{\displaystyle \pi }

, некоторые из которых стали знаменитыми из-за своей элегантности и математической глубины. Одна из этих формул — это ряд:






1
π


=



2


2



9801



∑

k
=
0


∞





(
4
k
)
!
(
1103
+
26390
k
)


(
k
!

)

4



396

4
k







{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}}

.
Братьями Чудновскими в 1987 году найдена похожая на неё:






1
π


=


1

426880


10005






∑

k
=
0


∞





(
6
k
)
!
(
13591409
+
545140134
k
)


(
3
k
)
!
(
k
!

)

3


(
−
640320

)

3
k







{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {1}{426880{\sqrt {10005}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}}

,
которая даёт примерно по 14 цифр на каждый член ряда. Чудновские использовали эту формулу для того, чтобы установить несколько рекордов в вычислении 



π


{\displaystyle \pi }

 в конце 1980-х, включая то, в результате которого в 1989 году было получено 1 011 196 691 цифр десятичного разложения.
Эта формула используется в программах, вычисляющих 



π


{\displaystyle \pi }

 на персональных компьютерах, в отличие от суперкомпьютеров, которые устанавливают современные рекорды.
В то время как последовательность обычно повышает точность на фиксированную величину с каждым следующим членом, существуют итеративные алгоритмы, которые на каждом шагу умножают количество правильных цифр, требуя, правда, высоких вычислительных затрат на каждом из таких шагов.
Прорыв в этом отношении был сделан в 1975 году, когда Ричард Брент и  независимо друг от друга открыли , который, используя лишь арифметику, на каждом шагу удваивает количество известных знаков[17]. Алгоритм состоит из установки начальных значений





a

0


=
1




b

0


=


1

2







t

0


=


1
4






p

0


=
1


{\displaystyle a_{0}=1\quad \quad \quad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\quad \quad \quad t_{0}={\frac {1}{4}}\quad \quad \quad p_{0}=1}


и итераций:





a

n
+
1


=




a

n


+

b

n



2






b

n
+
1


=



a

n



b

n






{\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\quad \quad \quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}}







t

n
+
1


=

t

n


−

p

n


(

a

n


−

a

n
+
1



)

2






p

n
+
1


=
2

p

n




{\displaystyle t_{n+1}=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2}\quad \quad \quad p_{n+1}=2p_{n}}

,
пока an и bn не станут достаточно близки.
Тогда оценка 



π


{\displaystyle \pi }

 даётся формулой




π
≈



(

a

n


+

b

n



)

2




4

t

n





.


{\displaystyle \pi \approx {\frac {(a_{n}+b_{n})^{2}}{4t_{n}}}.}


При использовании этой схемы 25 итераций достаточно для получения 45 миллионов десятичных знаков. Похожий алгоритм, увеличивающий на каждом шаге точность в четыре раза, был найден  [18]. При помощи этих методов Ясумаса Канада и его группа, начиная с 1980 года, установили большинство рекордов вычисления 



π


{\displaystyle \pi }

 вплоть до 206 158 430 000 знаков в 1999 году. В 2002 году Канада и его группа установили новый рекорд — 1 241 100 000 000 десятичных знаков.
Хотя большинство предыдущих рекордов Канады были установлены при помощи алгоритма Брента — Саламина, вычисление 2002 года использовало две формулы типа мэчиновских, которые работали медленнее, но радикально снижали использование памяти.
Вычисление было выполнено на суперкомпьютере Hitachi из 64 узлов с 1 терабайтом оперативной памяти, способном выполнять 2 триллиона операций в секунду.

Важным развитием недавнего времени стала формула Бэйли — Боруэйна — Плаффа, открытая в 1997 году  и названная по авторам статьи, в которой она впервые была опубликована[19].
Эта формула,




π
=

∑

k
=
0


∞




1

16

k





(



4

8
k
+
1



−


2

8
k
+
4



−


1

8
k
+
5



−


1

8
k
+
6




)

,


{\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right),}


примечательна тем, что она позволяет извлечь любую конкретную шестнадцатеричную или двоичную цифру числа 



π


{\displaystyle \pi }

 без вычисления предыдущих[19]. С 1998 до 2000 года распределённый проект PiHex использовал видоизменённую формулу ББП Фабриса Беллара для вычисления квадриллионного бита числа 



π


{\displaystyle \pi }

, который оказался нулём[20].
В 2006 году Саймон Плафф, используя PSLQ, нашёл ряд красивых формул[21]. Пусть q = eπ, тогда






π
24


=

∑

n
=
1


∞




1
n



(



3


q

n


−
1



−


4


q

2
n


−
1



+


1


q

4
n


−
1




)



{\displaystyle {\frac {\pi }{24}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left({\frac {3}{q^{n}-1}}-{\frac {4}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}\right)}









π

3


180


=

∑

n
=
1


∞




1

n

3





(



4


q

n


−
1



−


5


q

2
n


−
1



+


1


q

4
n


−
1




)



{\displaystyle {\frac {\pi ^{3}}{180}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}\left({\frac {4}{q^{n}-1}}-{\frac {5}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}\right)}


и другие вида





π

k


=

∑

n
=
1


∞




1

n

k





(



a


q

n


−
1



+


b


q

2
n


−
1



+


c


q

4
n


−
1




)



{\displaystyle \pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {a}{q^{n}-1}}+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\right)}

,
где q = eπ, k — нечётное число, и a, b, c — рациональные числа. Если k — вида 4<i data-parsoid='{"dsr":[32136,32141,2,2]}'>m + 3, то эта формула имеет особенно простой вид:




p

π

k


=

∑

n
=
1


∞




1

n

k





(




2

k
−
1




q

n


−
1



−




2

k
−
1


+
1



q

2
n


−
1



+


1


q

4
n


−
1




)



{\displaystyle p\pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {2^{k-1}}{q^{n}-1}}-{\frac {2^{k-1}+1}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}\right)}


для рационального p, у которого знаменатель — число, хорошо разложимое на множители, хотя строгое доказательство ещё не предоставлено.
В августе 2009 года учёные из японского университета Цукубы рассчитали последовательность из 2 576 980 377 524 десятичных разрядов[22].
31 декабря 2009 года французский программист Фабрис Беллар на персональном компьютере рассчитал последовательность из 2 699 999 990 000 десятичных разрядов[23].
2 августа 2010 года американский студент Александр Йи и японский исследователь  рассчитали последовательность с точностью в 5 триллионов цифр после запятой[24][25].
19 октября 2011 года Александр Йи и Сигэру Кондо рассчитали последовательность с точностью в 10 триллионов цифр после запятой[26][27].
Голландский математик Брауэр в первой половине XX века привёл в качестве примера бессмысленной задачи поиск в десятичном разложении 



π


{\displaystyle \pi }

 последовательности 



0123456789


{\displaystyle 0123456789}

 — по его мнению, нужная для этого точность никогда не будет достигнута. В конце XX века эта последовательность была обнаружена, она начинается с -го знака после запятой[28].
Рациональные приближения







22
7




{\displaystyle {\frac {22}{7}}}

 — Архимед (III век до н. э.) — древнегреческий математик, физик и инженер;






377
120




{\displaystyle {\frac {377}{120}}}

 — Клавдий Птолемей (II век н. э.) и Ариабхата (V век н. э.) — индийский астроном и математик;






355
113




{\displaystyle {\frac {355}{113}}}

 — Цзу Чунчжи (V век н. э.) — китайский астроном и математик.
Сравнение точности приближений

Нерешённые проблемы

Неизвестно, являются ли числа 



π


{\displaystyle \pi }

 и 



e


{\displaystyle e}

 алгебраически независимыми.
Неизвестна точная мера иррациональности для чисел 



π


{\displaystyle \pi }

 и 




π

2




{\displaystyle \pi ^{2}}

 (но известно, что для 



π


{\displaystyle \pi }

 она не превышает 7,6063)[29][30].
Неизвестна мера иррациональности ни для одного из следующих чисел: 



π
+
e
,
π
−
e
,
π
⋅
e
,


π
e


,

π

e


,

π


2



,
ln
⁡
π
,

π

π


,

e


π

2




.


{\displaystyle \pi +e,\pi -e,\pi \cdot e,{\frac {\pi }{e}},\pi ^{e},\pi ^{\sqrt {2}},\ln \pi ,\pi ^{\pi },e^{\pi ^{2}}.}

 Ни для одного из них неизвестно даже, является ли оно рациональным числом, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом[5][31][32][33][34].
Неизвестно, является ли 







n


π



{\displaystyle {^{n}\pi }}

 целым числом при каком-либо положительном целом 



n


{\displaystyle n}

 (см. тетрация).
Неизвестно, принадлежит ли 





1
π




{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}}

 к кольцу периодов.
До сих пор ничего неизвестно о нормальности числа 



π


{\displaystyle \pi }

; неизвестно даже, какие из цифр 0—9 встречаются в десятичном представлении числа 



π


{\displaystyle \pi }

 бесконечное количество раз.
Метод иглы Бюффона

На разлинованную равноудалёнными прямыми плоскость произвольно бросается игла, длина которой равна расстоянию между соседними прямыми, так что при каждом бросании игла либо не пересекает прямые, либо пересекает ровно одну. Можно доказать, что отношение числа пересечений иглы с какой-нибудь линией к общему числу бросков стремится к 





2
π




{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}}

 при увеличении числа бросков до бесконечности[35]. Данный метод иглы базируется на теории вероятностей и лежит в основе метода Монте-Карло[36].
Мнемонические правила
Стихотворения для запоминания 8—11 знаков числа π:






Чтобы нам не ошибаться,

Надо правильно прочесть:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть.



Надо только постараться

И запомнить всё как есть:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть.


Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девять, два, шесть, пять, три, пять.

Чтоб наукой заниматься,

Это каждый должен знать.



Можно просто постараться

И почаще повторять:

«Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девять, двадцать шесть и пять».

Запоминанию может помогать соблюдение стихотворного размера:

Три, четырнадцать, пятнадцать, девять два, шесть пять, три пять

Восемь девять, семь и девять, три два, три восемь, сорок шесть

Два шесть четыре, три три восемь, три два семь девять, пять ноль два

Восемь восемь и четыре, девятнадцать, семь, один

Существуют стихи, в которых первые цифры числа π зашифрованы в виде количества букв в словах:






Это я знаю и помню прекрасно:

Пи многие знаки мне лишни, напрасны.

Доверимся знаньям громадным

Тех, пи кто сосчитал, цифр армаду.


Раз у Коли и Арины

Распороли мы перины.

Белый пух летал, кружился,

Куражился, замирал,

Ублажился,

Нам же дал

Головную боль старух.

Ух, опасен пуха дух!

Подобные стихи существовали и в дореформенной орфографии.
Например, следующее стихотворение, сочинённое преподавателем Нижегородской гимназии Шенроком[37]:
Кто и шутя и скоро пожелаетъ

Пи узнать, число ужъ знаетъ.

Дополнительные факты

Мировой рекорд по запоминанию знаков числа 



π


{\displaystyle \pi }

 после запятой принадлежит 21-летнему индийскому студенту Раджвиру Мина (Rajveer Meena), который в марте 2015 года воспроизвёл 70 000 знаков после запятой за 9 часов 27 минут.[38] До этого, на протяжении почти 10 лет, рекорд держался за китайцем Лю Чао, который в 2006 году в течение 24 часов и 4 минут воспроизвёл 67 890 знаков после запятой без ошибки[39][40]. В том же 2006 году японец Акира Харагути заявил, что запомнил число 



π


{\displaystyle \pi }

 до 100-тысячного знака после запятой[41], однако проверить это официально не удалось[42]. В России рекорд по запоминанию принадлежит Владимиру Кондрякову (13 183 знака)[43].
В штате Индиана (США) в 1897 году был выпущен Билль о числе пи, законодательно устанавливающий его значение равным 3,2[44]. Данный билль не стал законом благодаря своевременному вмешательству профессора Университета Пердью, присутствовавшего в законодательном собрании штата во время рассмотрения данного закона.
«Число Пи для гренландских китов равно трем» написано в «Справочнике китобоя» 1960-х годов выпуска[45].
Программа «супер Пи», фиксирующая время, за которое вычисляется заданное количество знаков (до 32 миллионов) числа Пи, может быть использована для тестирования производительности компьютеров.
В культуре
Существует художественный фильм, названный в честь числа Пи.
Неофициальный праздник «День числа пи» ежегодно отмечается 14 марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3.14, что соответствует приближённому значению числа 



π


{\displaystyle \pi }

. Считается[46], что праздник придумал в 1987 году физик из Сан-Франциско Ларри Шоу, обративший внимание на то, что 14 марта ровно в 01:59 дата и время совпадают с первыми разрядами числа Пи = 3,14159.
Ещё одной датой, связанной с числом 



π


{\displaystyle \pi }

, является 22 июля, которое называется «Днём приближённого числа Пи» (English: Pi Approximation Day), так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближённым значением числа 



π


{\displaystyle \pi }

.
См. также
Точка Фейнмана
Число τ
Примечания

Литература



. Переиздание: ЁЁ Медиа, ISBN 978-5-458-62773-3.


Ссылки

 на Wolfram Alpha
(sequence A000796 in the OEIS)

 (мировой рекорд)

Категория:Критерии подобия

Категория:Положительные числа