Question: Что такое «система Элера»?

Уравнение Эйлера



Уравнение Эйлера — одно из основных уравнений гидродинамики идеальной жидкости. Названо в честь Л. Эйлера, получившего это уравнение в 1752 году (опубликовано в 1757 году). По своей сути является уравнением движения жидкости. До сих пор неизвестно, существует ли гладкое решение уравнения Эйлера в трёхмерном случае, начиная с заданного момента времени.[1]
Классическое уравнение Эйлера
Рассмотрим движение идеальной жидкости. Выделим внутри неё некоторый объём V. Согласно второму закону Ньютона, ускорение центра масс этого объёма пропорционально полной силе, действующей на него. В случае идеальной жидкости эта сила сводится к давлению окружающей объём жидкости и, возможно, воздействию внешних силовых полей. Предположим, что это поле представляет собой силы инерции или гравитации, так что эта сила пропорциональна напряжённости поля и массе элемента объёма. Тогда





∫

V





d

v



d
t




d
m
=

∫

V



g


d
m
−




∮






S


⁡
p

d

S

,


{\displaystyle \int \limits _{V}{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\,dm=\int \limits _{V}\mathbf {g} \,dm-\oint \limits _{S}p\,d\mathbf {S} ,}


где 




S



{\displaystyle \mathbf {S} }

 — поверхность выделенного объёма, 




g



{\displaystyle \mathbf {g} }

 — напряжённость поля. Переходя, согласно формуле Гаусса — Остроградского, от поверхностного интеграла к объёмному и учитывая, что 



d
m
=
ρ

d
V


{\displaystyle dm=\rho \,dV}

, где 



ρ


{\displaystyle \rho }

 — плотность жидкости в данной точке, получим:





∫

V


ρ




d

v



d
t




d
V
=

∫

V


ρ


g


d
V
−

∫

V


∇
p

d
V
.


{\displaystyle \int \limits _{V}\rho \,{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\,dV=\int \limits _{V}\rho \,\mathbf {g} \,dV-\int \limits _{V}\nabla p\,dV.}


В силу произвольности объёма 



V


{\displaystyle V}

 подынтегральные функции должны быть равны в любой точке:




ρ



d

v



d
t



=
ρ

g

−
∇
p
.


{\displaystyle \rho {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=\rho \mathbf {g} -\nabla p.}


Выражая полную производную через конвективную производную и частную производную:







d

v



d
t



=



∂

v



∂
t



+
(

v

⋅
∇
)

v

,


{\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} ,}


получаем уравнение Эйлера для движения идеальной жидкости в поле тяжести:








∂

v



∂
t



+
(

v

⋅
∇
)

v

=

g

−


1
ρ


∇
p
,


{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =\mathbf {g} -{\frac {1}{\rho }}\nabla p,}



где 




ρ

(

x
,
y
,
z
,
t

)



{\displaystyle \rho \left(x,y,z,t\right)}

 — плотность жидкости, 





p

(

x
,
y
,
z
,
t

)



{\displaystyle p\left(x,y,z,t\right)}

 — давление в жидкости, 






v


(

x
,
y
,
z
,
t

)



{\displaystyle \mathbf {v} \left(x,y,z,t\right)}

 — вектор скорости жидкости, 






g


(

x
,
y
,
z
,
t

)



{\displaystyle \mathbf {g} \left(x,y,z,t\right)}

 — вектор напряжённости силового поля, 





∇


{\displaystyle \nabla }

 — оператор набла для трёхмерного пространства.
Частные случаи
Стационарный одномерный поток
Для случая стационарного одномерного потока жидкости или газа уравнение Эйлера принимает вид:




v



d
v


d
x



=
−


1
ρ


⋅



d
p


d
x



.


{\displaystyle v{\frac {dv}{dx}}=-{\frac {1}{\rho }}\cdot {\frac {dp}{dx}}.}


В этой форме уравнение часто используется для решения различных прикладных задач гидродинамики и газодинамики. В частности, интегрированием этого уравнения по 



x


{\displaystyle x}

 при постоянной плотности жидкости 



ρ


{\displaystyle \rho }

 получается известное уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости:







ρ

v

2



2


+
p
=
c
o
n
s
t
.


{\displaystyle {\frac {\rho v^{2}}{2}}+p=const.}


Несжимаемая жидкость
Пусть 



ρ
=
c
o
n
s
t


{\displaystyle \rho =const}

. Используя известную формулу






1
2



grad


v

2



=

[

v


rot


v

]

+


(

v
∇

)


v

,


{\displaystyle {\frac {1}{2}}\,\operatorname {grad} \,v^{2}\,=\,[\mathbf {v} \,\operatorname {rot} \,\mathbf {v} ]\,+\,\left(\mathbf {v\nabla } \right)\mathbf {v} ,}


перепишем соотношение в форме







∂

v



∂
t




+


1
2



grad


v

2



=

[

v


rot


v

]

−
grad
⁡


p
ρ


.


{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}\,+{\frac {1}{2}}\,\operatorname {grad} \,v^{2}\,=\,[\mathbf {v} \,\operatorname {rot} \,\mathbf {v} ]\,-\operatorname {grad} {\frac {p}{\rho }}.}


Беря ротор и учитывая, что




rot

grad

ϕ
=
0
,


{\displaystyle \operatorname {rot} \,\operatorname {grad} \,\phi =0,}


а частные производные коммутируют, получаем что







∂

∂
t




rot


v


=

rot

[

v


rot


v

]
.


{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\,\operatorname {rot} \,\mathbf {v} \,=\,\operatorname {rot} \,[\mathbf {v} \,\operatorname {rot} \,\mathbf {v} ].}



Адиабатическое течение
В случае, если происходит адиабатическое движение жидкости, то уравнение Эйлера можно переписать с использованием тепловой функции 



w


{\displaystyle w}

 следующим образом:




d
w

=

V

d
p

+

T

d
s

=

V

d
p


{\displaystyle dw\,=\,V\,dp\,+\,T\,ds\,=\,V\,dp}

 в силу того, что при адиабатическом процессе энтропия 



s


{\displaystyle s}

 постоянна.
Следовательно:







∂

v



∂
t




+


(

v
∇

)


v


=

−
grad

w
.


{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}\,+\,\left(\mathbf {v\nabla } \right)\mathbf {v} \,=\,-\operatorname {grad} \,w.}


Используя известное соотношение:






1
2



grad


v

2



=

[

v


rot


v

]

+


(

v
∇

)


v



{\displaystyle {\frac {1}{2}}\,\operatorname {grad} \,v^{2}\,=\,[\mathbf {v} \,\operatorname {rot} \,\mathbf {v} ]\,+\,\left(\mathbf {v\nabla } \right)\mathbf {v} }


и применяя операцию ротор к уравнению Эйлера получим искомое представление в виде:






∂

∂
t




rot


v


=

rot

[

v


rot


v

]
.


{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\,\operatorname {rot} \,\mathbf {v} \,=\,\operatorname {rot} \,[\mathbf {v} \,\operatorname {rot} \,\mathbf {v} ].}


См. также
Уравнения Лагранжа
Уравнение Эйлера в форме Громеки — Лэмба
Уравнения движения вязкой жидкости
Конформные преобразования — метод нахождения формы невязких течений, решений уравнения Эйлера.
Уравнение вихря
Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера
Примечания

Литература



Ссылки


Категория:Гидродинамика
Категория:Физические законы и уравнения
Категория:Дифференциальные уравнения в частных производных
Категория:Нелинейные уравнения
Категория:Именные законы и правила