Question: Что такое Евклидовое пространство?

Евклидово пространство

Евкли́дово простра́нство (также эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность, равную 3.
В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: конечномерное вещественное векторное пространство 





R


n




{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}

 с введённым на нём положительно определённым скалярным произведением, либо метрическое пространство, соответствующее такому векторному пространству. В этой статье за исходное будет взято первое определение.




n


{\displaystyle n}

-мерное евклидово пространство обычно обозначается 





E


n




{\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}

;
также часто используется обозначение 





R


n




{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}

, когда из контекста ясно, что пространство снабжено естественной евклидовой структурой.
Формальное определение
Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятие скалярного произведения. Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на векторах которого задана вещественнозначная функция 



(
⋅
,
⋅
)
,


{\displaystyle (\cdot ,\cdot ),}

 обладающая следующими тремя свойствами:
Билинейность: для любых векторов 



u
,
v
,
w


{\displaystyle u,v,w}

 и для любых вещественных чисел 



a
,
b

(
a
u
+
b
v
,
w
)
=
a
(
u
,
w
)
+
b
(
v
,
w
)


{\displaystyle a,b\quad (au+bv,w)=a(u,w)+b(v,w)}

 и 



(
u
,
a
v
+
b
w
)
=
a
(
u
,
v
)
+
b
(
u
,
w
)
;


{\displaystyle (u,av+bw)=a(u,v)+b(u,w);}


Симметричность: для любых векторов 



u
,
v

(
u
,
v
)
=
(
v
,
u
)
;


{\displaystyle u,v\quad (u,v)=(v,u);}


Положительная определённость: для любого 



u

(
u
,
u
)
⩾
0
,


{\displaystyle u\quad (u,u)\geqslant 0,}

 причём 



(
u
,
u
)
=
0
⇒
u
=
0.


{\displaystyle (u,u)=0\Rightarrow u=0.}


Аффинное пространство, соответствующее такому векторному пространству, называется евклидовым аффинным пространством, или просто евклидовым пространством[1].
Пример евклидова пространства — координатное пространство 





R


n


,


{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}

 состоящее из всевозможных кортежей вещественных чисел 



(

x

1


,

x

2


,
…
,

x

n


)
,


{\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}

 скалярное произведение в котором определяется формулой 



(
x
,
y
)
=

∑

i
=
1


n



x

i



y

i


=

x

1



y

1


+

x

2



y

2


+
⋯
+

x

n



y

n


.


{\displaystyle (x,y)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}.}


Длины и углы
Заданного на евклидовом пространстве скалярного произведения достаточно для того, чтобы ввести геометрические понятия длины и угла. Длина вектора 



u


{\displaystyle u}

 определяется как 





(
u
,
u
)




{\displaystyle {\sqrt {(u,u)}}}

 и обозначается 




|

u

|

.


{\displaystyle |u|.}

[1][2] Положительная определённость скалярного произведения гарантирует, что длина ненулевого вектора ненулевая, а из билинейности следует, что 




|

a
u

|

=

|

a

|


|

u

|

,


{\displaystyle |au|=|a||u|,}

 то есть длины пропорциональных векторов пропорциональны.
Угол между векторами 



u


{\displaystyle u}

 и 



v


{\displaystyle v}

 определяется по формуле 



φ
=
arccos
⁡

(



(
x
,
y
)



|

x

|


|

y

|




)

.


{\displaystyle \varphi =\arccos \left({\frac {(x,y)}{|x||y|}}\right).}

 Из теоремы косинусов следует, что для двумерного евклидова пространства (евклидовой плоскости) данное определение угла совпадает с обычным. Ортогональные векторы, как и в трёхмерном пространстве, можно определить как векторы, угол между которыми равен 





π
2


.


{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}.}


Неравенство Коши — Буняковского — Шварца и неравенство треугольника
В данном выше определении угла остался один пробел: для того, чтобы 



arccos
⁡

(



(
x
,
y
)



|

x

|


|

y

|




)



{\displaystyle \arccos \left({\frac {(x,y)}{|x||y|}}\right)}

 был определён, необходимо, чтобы выполнялось неравенство 




|



(
x
,
y
)



|

x

|


|

y

|




|

⩽
1.


{\displaystyle \left|{\frac {(x,y)}{|x||y|}}\right|\leqslant 1.}

 Это неравенство действительно выполняется в произвольном евклидовом пространстве, оно называется неравенством Коши — Буняковского — Шварца. Из этого неравенства, в свою очередь, следует неравенство треугольника: 




|

u
+
v

|

⩽

|

u

|

+

|

v

|

.


{\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.}

 Неравенство треугольника, вместе с перечисленными выше свойствами длины, означает, что длина вектора является нормой на евклидовом векторном пространстве, а функция 



d
(
x
,
y
)
=

|

x
−
y

|



{\displaystyle d(x,y)=|x-y|}

 задаёт на евклидовом пространстве структуру метрического пространства (эта функция называется евклидовой метрикой). В частности, расстояние между элементами (точками) 



x


{\displaystyle x}

 и 



y


{\displaystyle y}

 координатного пространства 





R


n




{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}

 задаётся формулой 



d
(

x

,

y

)
=
‖

x

−

y

‖
=



∑

i
=
1


n


(

x

i


−

y

i



)

2




.


{\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.}


Алгебраические свойства
Ортонормированные базисы
Ортонормированный базис в евклидовом (векторном) пространстве — это базис, состоящий из попарно ортогональных векторов единичной нормы. Ортонормированные базисы наиболее удобны для вычислений. Так, например, скалярное произведение векторов с координатами 



(

a

1


,

a

2


,
…
,

a

n


)


{\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}

 и 



(

b

1


,

b

2


,
…
,

b

n


)


{\displaystyle (b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})}

 в ортонормированном базисе можно вычислять по формуле 



(
a
,
b
)
=

a

1



b

1


+

a

2



b

2


+
⋯
+

a

n



b

n


.


{\displaystyle (a,b)=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}.}

 В любом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Выбрав в двух евклидовых пространствах ортонормированные базисы и переведя один из них в другой линейным отображением, можно доказать, что любые два евклидовых пространства одинаковой размерности изоморфны (в частности, 



n


{\displaystyle n}

-мерное евклидово пространство изоморфно 





R


n




{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}

 со стандартным скалярным произведением).
Ортогональные проекции
Вектор называется ортогональным подпространству, если он ортогонален всем векторам этого подпространства. Ортогональная проекция вектора 



x


{\displaystyle x}

 на подпространство 



U


{\displaystyle U}

 — это вектор 



h
,


{\displaystyle h,}

 ортогональный 



U
,


{\displaystyle U,}

 такой что 



x


{\displaystyle x}

 представим в виде 



u
+
h
,


{\displaystyle u+h,}

 где 



u
∈
U
.


{\displaystyle u\in U.}

 Расстояние между концами векторов 



u


{\displaystyle u}

 и 



x


{\displaystyle x}

 является минимальным расстоянием среди расстояний от конца вектора 



x


{\displaystyle x}

 до подпространства 



U
.


{\displaystyle U.}

 Ортогональная проекция вектора на подпространство всегда существует, для её построения достаточно применить метод ортогонализации Грама — Шмидта к объединению ортонормированного базиса в подпространстве и этого вектора. Ортогональные проекции в пространствах больших размерностей используются, например, в методе наименьших квадратов.
Сопряжённые пространства и операторы
Любой вектор 



x


{\displaystyle x}

 евклидова пространства задаёт линейный функционал 




x

∗




{\displaystyle x^{*}}

 на этом пространстве, определяемый как 




x

∗


(
y
)
=
(
x
,
y
)
.


{\displaystyle x^{*}(y)=(x,y).}

 Это сопоставление является изоморфизмом между евклидовым пространством и двойственным к нему пространством[3] и позволяет их отождествлять без ущерба для вычислений. В частности, сопряжённые операторы можно рассматривать как действующие на исходном пространстве, а не на двойственном к нему, и определить самосопряжённые операторы как операторы, совпадающие с сопряжёнными к ним. В ортонормированном базисе матрица сопряжённого оператора является транспонированной к матрице исходного оператора, а матрица самосопряжённого оператора является симметричной.
Движения евклидова пространства
Движения евклидова пространства — это преобразования, сохраняющие метрику (также называются изометриями). Пример движения — параллельный перенос на вектор 



v


{\displaystyle v}

, переводящий точку 



p


{\displaystyle p}

 в точку 



p
+
v


{\displaystyle p+v}

. Нетрудно увидеть, что любое движение является композицией параллельного переноса и преобразования, сохраняющего неподвижной одну точку. Выбрав неподвижную точку за начало координат, любое такое движение можно рассматривать как ортогональное преобразование. Ортогональные преобразования n-мерного евклидова пространства образуют группу, обозначаемую O(n). Выбрав в пространстве ортонормированный базис, эту группу можно представить как группу матриц n × n, удовлетворяющих условию 




Q


T



Q
=
E


{\displaystyle Q^{\mathsf {T}}Q=E}

, где 




Q


T





{\displaystyle Q^{\mathsf {T}}}

 — транспонированная матрица, а 



E


{\displaystyle E}

 — единичная матрица.
Примеры
Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:






E


1




{\displaystyle \mathbb {E} ^{1}}

 размерности 



1


{\displaystyle 1}

 (вещественная прямая),






E


2




{\displaystyle \mathbb {E} ^{2}}

 размерности 



2


{\displaystyle 2}

 (евклидова плоскость),






E


3




{\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}

 размерности 



3


{\displaystyle 3}

 (евклидово трёхмерное пространство).
Более абстрактный пример:







P



n




{\displaystyle {\mathcal {P}}^{n}}

 пространство вещественных многочленов степени, не превосходящей 



n


{\displaystyle n}

, со скалярным произведением, определённым как интеграл произведения по конечному отрезку (или по всей прямой, но с быстро спадающей весовой функцией, например 




e

−

x

2






{\displaystyle e^{-x^{2}}}

).
Примеры геометрических фигур в многомерном евклидовом пространстве
Правильные многомерные многогранники (в частности, N-мерный куб, N-мерный октаэдр, N-мерный тетраэдр)
Гиперсфера
Связанные определения

Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика.
Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.
Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) — каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.
Вариации и обобщения
Замена основного поля с поля вещественных чисел на поле комплексных чисел даёт определение унитарного (или эрмитова) пространства.
Отказ от требования конечномерности даёт определение предгильбертова пространства.
Отказ от требования положительной определённости скалярного произведения приводит к определению псевдоевклидова пространства.
Примечания

Литература

CS1 maint: Multiple names: authors list (link)

Категория:Евклидова геометрия
Категория:Линейная алгебра
Категория:Топологические пространства
Категория:Топологические векторные пространства