Question: Храм Святого Семейства Гауди достроен на апрель 2019?

Математика и архитектура



Как и в других искусствах, в архитектуре используют математику по нескольким причинам. Даже если отбросить необходимость математики для проектирования здания, архитекторы используют геометрию для определения пространственной формы здания. Начиная со времён пифагореизма (VI в. до н. э.) для создания пространственных форм предполагалась гармония, а потому предполагалось проектирование зданий и их окружения согласно математическим, эстетическим и, иногда, религиозным принципам. Математику используют также для облицовки зданий с помощью математических объектов, таких как замощения, а также для достижения экологических целей, таких как минимизация скорости ветра около основания высотных зданий.
В Древнем Египте, Древней Греции, Индии и исламском мире здания, включая пирамиды, храмы, мечети, дворцы и мавзолеи, были спроектированы со специфичными пропорциями по религиозным причинам. В исламской архитектуре геометрические формы и  использовали для облицовки зданий как внутри, так и снаружи. Некоторые индусские дворцы имеют подобные фракталам структуры, в которых часть имеет сходство с целым, передавая сообщение о бесконечности в индуистской космологии. В архитектуре Китая тулоу в провинции Фуцзянь — это круглые структуры коллективной защиты. В двадцать первом веке математические орнаменты снова начали использоваться для облицовки общественных зданий.
В архитектуре Возрождения симметрия и пропорции преднамеренно подчёркивались архитекторами, как это делали Леон Баттиста Альберти, Себастьяно Серлио и Андреа Палладио, находящиеся под влиянием трактата Десять книг об архитектуре Витрувия, жившем в Древнем Риме, и арифметики пифагорейцев, религиозно-философского учения Древней Греции.
В конце девятнадцатого века Владимир Шухов в России и Антонио Гауди в Барселоне положили начало использованию гиперболоидных конструкций. В Храме Святого Семейства Гауди также использовал гиперболические параболоиды, мозаики, , катеноиды, геликоиды и линейчатые поверхности. В двадцатом веке, стили, такие как архитектурный модернизм и деконструктивизм исследовали различные геометрии для получения желаемого эффекта. Минимальные поверхности используются в виде похожих на палатки крыш, как в Денверском Международном аэропорте. Ричард Бакминстер Фуллер положил начало применению усиленных тонкостенных оболочек, известных как геодезические купола.
Связанные области

Архитекторы Майкл Освальд и Ким Уильямс, рассматривая связь архитектуры и математики, заметили, что по общему пониманию эти две области связаны слабо, поскольку архитектура относится к практическому строительству зданий, в то время как математика является чистой теорией, изучающей числа и другие абстрактные объекты. Но, как они утверждают, эти две области сильно связаны и связаны они ещё с античности. В Древнем Риме Витрувий описывал архитектора как человека, знающего достаточно большой объём других дисциплин, главным образом геометрию, что позволяет ему контролировать квалифицированных ремесленников в других сферах деятельности, таких как каменщики и плотники. То же самое относится к средним векам, когда выпускники высших заведений учили арифметику, геометрию и эстетику наравне с базовыми курсами грамматики, логики и риторики (тривиум) в элегантных аудиториях, сделанных строителями, которые руководили многими рабочими. Строителям на вершине их профессии давался титул архитектора или инженера. В эпоху Возрождения, квадривиум арифметики, геометрии, музыки и астрономии стал дополнительной программой, которую должны были знать люди эпохи Возрождения, такие как Леон Баттиста Альберти. Аналогично в Англии, сэр Кристофер Рен, сегодня известный как архитектор, был первоначально заметным астрономом[3].
Уильям и Оствальд, рассматривая позднее взаимодействие математики и архитектуры с 1500 согласно подходу немецкого социолога Теодора Адорно, определили три тенденции архитектуры, а именно — революционная, предлагающая полностью новые идеи, реакционная, противящаяся нововведениям, и , на самом деле идущие назад. Они утверждали, что архитекторы избегали использование математики для получения вдохновения во времена возрождения традиций. Это может объяснить, почему во времена возрождения традиций, таким как неоготика в 19-м веке в Англии архитектура имела малую связь с математикой. Также они заметили, что во времена реакции, такие как итальянский маньеризм примерно с 1520 по 1580, или барокко и палладианство 17-го века, математика мало принималась во внимание. Для контраста, революционные движения ранних годов 20-го века, такие как футуризм и конструктивизм активно отбрасывали старые идеи, использовали математику и вели к модернизму в архитектуре. К концу 20-го века фрактальная геометрия была быстро подхвачена архитекторами, как и непериодичные замощения, позволяющие осуществить интересные и привлекательные облицовки зданий [3].
Архитекторы используют математику по нескольким причинам, если даже оставить в стороне необходимость использования математики в [4]. Во-первых, они используют геометрию, поскольку она определяет пространственные формы здания[5]. Во-вторых, они используют математику для проектирования форм, считающихся прекрасными или гармоничными[6]. Со времён пифагореизма с их религиозной философией чисел[7], архитекторы Древней Греции, Древнего Рима, исламского мира и итальянского Ренессанса выбрали пропорции строительного окружения — зданий и их окружения — согласно эстетическим и религиозным принципам[8][9][10][11]. В третьих, они могут использовать математические объекты, такие как замощения, для украшения зданий[12][13]. В четвёртых, они могут использовать математику в виде компьютерного моделирования для достижения экологических целей, таких как минимизация вихрей при огибании основания высоких здания [1].
Гармония пространственных форм
Светская эстетика
Древний Рим

Витрувий

Влиятельный древний римский архитектор Витрувий утверждал, что планирование здания, такого как храм, зависит от двух качеств, пропорций и симметрии. Пропорции обеспечивают, чтобы каждая часть здания соотносилась гармонично с остальными частями. Симметрия в понимании Витрувия означает нечто более близкое к модульности, чем к зеркальной симметрии, так как это относится к сборке (модульных) частей в единое строение. В его базилике в городе Фано он использовал отношения малых целых чисел, в частности, треугольных чисел (1, 3, 6, 10, …) как пропорции структуры [lower-alpha 1]. Так, ширина базилики относится к длине как 1:2, нефы вокруг неё имеют такую же высоту, как и ширину, 1:1, толщина колонн составляет пять футов, а высота — пятьдесят футов, 1:10[8].

Витрувий назвал три свойства, требуемые от архитектуры в трактате Десять книг об архитектуре (15 век до нашей эры) — прочность, практичность и приятный вид. Эти свойства можно использовать как категории для классификации способов использования математики в архитектуре. Прочность охватывает использование математики для обеспечения устойчивости зданий, поскольку математические средства используются для проектирования и поддержки конструкций, например, для обеспечения стабильности и для качественного моделирования. Практичность достигается отчасти путём эффективного применения математики, обосновывая и анализируя пространственные и другие связи при проектировании. Приятный вид является атрибутом здания, получающимся воплощением математических связей в здании. Он включает эстетику, чувственные и интеллектуальные свойства[3].
Пантеон

Сохранившийся невредимым Пантеон в Риме иллюстрирует классическую структуру римских строений, пропорции и украшение. Основной структурой является купол, высшая точка которого оставлялась открытой в качестве круглого окулюса, пропускающего свет. Пантеон с фасада снабжён колоннадой с треугольным фронтоном. Высота окулюса и диаметр внутреннего круга совпадают, 43,3 м, так что полностью внутренняя часть помещается в куб[15]. Эти размеры будут более понятны, если обратить внимание на список древнеримских единиц — купол имеет диаметр 150 [lower-alpha 2]). Окулюс равен 30 римским футам в диаметре, дверной проём имеет высоту 40 римских футов[16]. Пантеон остаётся крупнейшим в мире бетонным сводом без арматуры[17].
Возрождение

Первым трактатом эпохи возрождения по архитектуре был трактат Леона Баттиста Альберти (1450)  (Об искусстве строительства). Трактат стал первой печатной книгой по архитектуре в 1485. Трактат частично базировался на книге Витрувия Десять книг об архитектуре и, через Никомаха, пифагоровой арифметике. Альберти начинает с куба и выводит из него пропорции. Так, диагонали грани дают отношение 1:√2, а диаметр сферы, описанный вокруг куба имеет отношение 1:√3[18][19]. Альберто также описывает открытие Филиппо Брунеллески , разработанной для планирования зданий, которые выглядят вполне пропорционально, если рассматривать с удобного расстояния[11].

Следующим важным текстом была книга Себастьяна Серлио Regole generali d’architettura (Основные правила архитектуры). Первый том книги вышел в Венеции в 1537. Том 1545-го года (книги 1 и 2) охватывают геометрию и . Два метода Серлио построения перспективы были ошибочными, но это не остановило широкое использование книги[21].

В 1570 Андреа Палладио опубликовал авторитетные I quattro libri dell’architettura (Четыре книги об архитектуре) в Венеции. Эти книги получили широкое распространение и распространяли идеи итальянского возрождения на остальную Европу в содействии со сторонниками идей, такими как английский дипломат Генри Уоттон, выпустивший в 1624 Элементы архитектуры[22]. Пропорции каждого помещения внутри особняка вычислялись с помощью простых математических отношений, таких как 3:4 и 4:5, и различные помещения внутри дома были связаны этими соотношениями. Ранние архитекторы использовали эти формулы для балансирования симметрии фасада. Однако, проекты Палладио относились, как правило, к квадратным особнякам[23]. Палладио допускал ряд отношений в Quattro libri, утверждая[24][25]:
Имеется семь типов помещений, наиболее прекрасных и хорошо пропорциональных. Это круглые, хотя они редки, квадратные или их длина равна диагонали квадрата ширины, ширине с третью, ширине с половиной, ширине и две трети и две ширины.[lower-alpha 3]

В 1615-м году Винченцо Скамоцци опубликовал в позднее Возрождение трактат L’Idea dell’Architettura Universale (Идея Универсальной Архитектуры)[26]. Он попытался соотнести планирование городов и зданий с идеями Витрувия и пифагореан и более свежих идей Палладио[27].
Девятнадцатый век

Гиперболоидные конструкции начали использоваться с конца девятнадцатого века Владимиром Шуховым для мачт, маяков и градирен. Их поразительные формы как эстетически интересны, так и крепки, при этом используют материал экономно. Первая гиперболоидная башня Шухова была представлена на выставке в Нижнем Новгороде в 1896[28][29][30].
Двадцатый век


В движении начала двадцатого века «архитектурный модернизм», у истоков которого лежал русский [lower-alpha 4] конструктивизм[31], использовалась евклидова геометрия. В движении общества художников Де Стейл горизонталь и вертикаль рассматриваются как составляющие вселенной. Архитектурные формы заключаются в помещении этих двух направлений вместе с использованием плоскости крыш, плоскостей стен и балконов, которые либо заходят одна за другую, либо пересекаются, как в доме Шрёдер 1924-го года Геррита Ритвельда[32].

Архитекторы модернизма были свободны в использовании кривых наравне с плоскостями.  Чарльза Холден 1933-го года имеет круглый кирпичный кассовый зал с плоским бетонным полом[33]. В 1938-м году художник из высшей школы строительства и художественного конструирования Баухаус Ласло Мохой-Надь заимствовал семь биотехнических элементов , а именно, кристалл, сфера, конус, плоскость, (кубовидная) лента, (цилиндрический) стержень и спираль в качестве базовых строительных архитектурных блоков, навеянных природой[34][35].
Ле Корбюзье предложил антропометрический масштаб пропорций в архитектуре «модулор», систему пропорций, основанную на высоте человека[36]. В церкви Нотр-Дам-дю-О (Ле Корбюзье, 1955) используются кривые произвольной формы, не описываемые математическими формулами[lower-alpha 5]. Конструкция имеет только большие масштабы — нет иерархии меньших масштабов, а потому никаких фрактальных размерностей. То же самое имеет место для других знаменитых зданий двадцатого века, таких как Сиднейский оперный театр, Денверский Международный аэропорт и Музей Гуггенхейма в Бильбао[37].
Мнения об  90 ведущих архитекторов, которые участвовали в  2010-го года, крайне расходятся. Лучшим считается Музей Гуггенхейма в Бильбао Фрэнка Гери[39].

Здание терминала Международного аэропорта Дэнвера, построенного в 1995, имеет  поддерживаемую в состоянии минимальной поверхности (то есть её средняя кривизна равна нулю) стальными тросами. Здание напоминает снежные вершины Колорадо и палатки типи коренных народов США (часто их неверно называют вигвамами)[40].
Архитектор Ричард Бакминстер Фуллер известен созданием крепких тонкостенных структур известных как геодезические купола. Купол Биосферы в Монреале имеет высоту 61 м, а его диаметр равен 76м[41].
Сиднейский оперный театр имеет крышу, состоящую из взмывающих белых сводов, напоминающих паруса корабля. Чтобы сделать возможным построение из стандартных компонентов, своды составлены из треугольных секций сферической оболочки одинакового радиуса. Это требовало соблюдения одинаковой кривизны в любом направлении[42].
Движение конца двадцатого века деконструктивизм создаёт обдуманный беспорядок, который Никос Салингарос в книге A Theory of Architecture (Теория архитектуры) называет случайными формами[43] высокой сложности[43]. Беспорядок создаётся непараллельными стенами, наложенными решётками и сложными двумерными поверхностями, как в концертном зале имени Уолта Диснея (архитектор Фрэнк Гери) и музее Гуггенхейма в Бильбао[44][45]. До двадцатого века студенты архитектурных институтов обязаны были изучать основы математики. Салингарос утверждает, что первый «черезвычайно упрощённый, политически мотивированый» модернизм, а затем «антинаучный» деконструктивизм эффективно отделили архитектуру от математики. Он убеждён, что эта «отмена математических значений» губительна, так как «повсеместная эстетика» нематематической архитектуры ведёт людей «к отказу от математической информации в окружающей среде города». Он утверждает, что это имеет негативный эффект на общество[37].

 —  Вальтера Гропиуса Баухаус, Дессау, 1925
Цилиндр —   Чарльза Холдена, 1933
Геодезический купол — Биосфера в Монреале  Ричарда Бакминстера Фуллера, 1967
Однородная кривизна —  Сиднейский оперный театр, 1973
Деконструктивизм — Концертный зал имени Уолта Диснея, Лос-Анжелес, 2003

Религиозные принципы
Древний Египет


Пирамиды Древнего Египта были погребениями, построенными с преднамеренно выбранными пропорциями, но каковы они были, ведутся споры. Лицевой угол составляет около 51°85’ и отношение наклонной высоты на середину основания равно 1,619, что на 1 % меньше золотого сечения. Если это был метод расчёта, из этого следовало бы использование треугольника Кеплера (угол 51°49’)[46][47]. Однако, более вероятно, что наклон пирамиды выбирался исходя из  (угол 53°8’), известного из папируса Ахмеса (1650—1550 до нашей эры), или из треугольника, отношение основания которого к гипотенузе составляет 1:4/π (угол 51°50’)[48].
Часто констатируется использование треугольника 3-4-5 для построения прямых углов, например для планирования основания пирамиды, и подразумеваемое знание теоремы Пифагора [49]. Сначала это предположил историк Мориц Бенедикт Кантор в 1882[49]. Известно, что прямые углы были построены в древнем Египте точно[49], что землемеры того времени использовали  для измерения [49], что Плутарх записал в сочинении Об Исиде и Осирисе (около 100 года нашей эры), что египтяне восторгались треугольником 3-4-5[49], и что  из Среднего царства (до 1700 года до нашей эры) утверждает, что «квадрат, имеющий площадь 100, имеет ту же площадь, что и два меньших квадрата. Сторона одного равна ½ + ¼ стороне другого.»[50]. Историк математики Роджер Л. Кук заметил: «Трудно представить кого-либо, заинтересованного в таких вещах и не знающих теорему Пифагора.» [49]. Однако, Кук заметил, что ни в каком египетском тексте до 300-го года до нашей эры не упоминается использование теоремы для нахождения сторон треугольника и имеется более простой путь построения прямого угла. Кук заключает, что предположение Кантора остаётся сомнительным — он предположил, что древние египтяне, возможно, знали теорему Пифагора, но «нет свидетельств, что они использовали её для построения прямых углов»[49].
Древняя Индия


Наука Васту-шастра, правила архитектуры и планирования городов древней Индии, использовала симметричное рисование, называемое мандала. Для определения размеров зданий и их компонентов использовались сложные вычисления. Планирование предполагало интеграцию архитектуры с природой, отдельных частей структуры и древних верований, использующих геометрические орнаменты (янтры), симметрию и размещение по [51][52]. Однако ранние строители могли натолкнуться на математические пропорции случайно. Математик Джорж Ифрах заметил, что простые «хитрости» с верёвкой и колом могли быть использованы для разметки геометрических объектов, таких как эллипсы и прямые углы[11][53].

Математика фракталов использовалась для того, чтобы здания имели универсальную притягательность, поскольку они обеспечивали наблюдателю чувство масштаба с любого расстояния. Например, в высоких гопурамах индусских храмов, таких как Храм Вирупакши в Хампи, построенном в седьмом веке, и таких как храм Кандарья-Махадева в , у которых части и целое имеют одинаковые характеристики с фрактальной размерностью в границах от 1,7 до 1,8. Группа меньших башен (шикхара) вокруг более высокой центральной башни, которая представляет святую гору Кайлас, обиталище божества Шива, изображаемого в виде бесконечного повторения вселенных индуистской космологии[2][54].
Храм Минакши в городе Мадурай является большим комплексом с множеством усыпальниц, с улицами, расходящимися концентрично от храма согласно Шастрам. Четверо ворот являются высокими башнями (гопурамы) с повторяющейся структурой, подобной фракталу. Участки вокруг каждого святилища прямоугольны и окружены высокими каменными стенами[55].
Древняя греция

Пифагор (569—475 до нашей эры) и его последователи, пифагорейцы, считали, что «всё есть числа». Они наблюдали гармонию, получаемую звучанием с малыми целочисленными отношениями частот, и утверждали, что здания также должны планироваться с теми же отношениями. Греческое слово симметрия означало гармонию архитектурных форм с соблюдением точных отношений размеров от малых деталей до всего здания [11].

Парфенон имеет длину 69,5 м, ширину 30,9 м и высоту 13,7 м до карниза. Это даёт отношение ширины к длине 4:9, и то же самое отношение высоты к ширине. Собирая всё вместе, получим высота: ширина: длина = 16:36:81, или, к восторгу [56] пифагорейцев, 42:62:92. Прямоугольник 4:9 может быть построен как три последовательных прямоугольника с отношением сторон 3:4. Половина каждого прямоугольника тогда получается привычным прямоугольным треугольником 3:4:5, что позволяло углы и стороны проверить с подходящей верёвкой с узлами. Аналогично, внутренняя область (наос) имеет пропорции 4:9 (21,44 м ширины к 48,3 м длины). Отношение диаметра внешних колонн (1,905м) к расстоянию между их центрами (4,293) равно также 4:9[11].
Парфенон считается авторами, такими как Джон Юлиус Нарвич, «самым совершенным храмом дорийцев из когда-либо построенных»[57]. Тщательно разработанные архитектурные детали храма включают «тонкое соответствие между кривизной стилобата, плавное изменение толщины стен целлы и энтазис стобов»[57]. Энтазис — это едва уловимое уменьшение диаметра колонн. Стилобат — это платформа, на которой колонны стоят. Как и в других классических греческих храмах[58], платформа имеет небольшую параболическую кривизну (выпуклость), чтобы дождевая вода сливалась и чтобы укрепить здание в случае землетрясения. Колонны, поэтому, могли бы падать наружу, но, в действительности, наклонены слегка внутрь, так что если их продлить вверх, они встретятся в миле над зданием. Поскольку они все имеют одинаковую высоту, кривизна внешнего края стилобата отражается в архитрав и крышу над ним: «всё следует правилу построения по утончённым кривым»[59].
Золотое сечение известно с 300 года до нашей эры, когда Евклид описал метод геометрического построения[60]. Он утверждал, что золотое сечение использовалось при планировании Парфенона и других древних греческих зданий, как и в скульптурах, картинах и вазах[61]. Более современные авторы, такие как Никос Салингарос, однако, сомневаются в этих утверждениях[62]. Эксперименты специалиста по информатике Джоржа Марковски не смогли найти какой-либо связи с золотым прямоугольником[46].
Исламская архитектура


Историк исламского искусства Антонио Фернандес-Пуэртас высказал предположение, что Альгамбра, подобно Кóрдовской соборной мечети в Кордове[63], был спроектирован с помощью испано-мусульманского фута (или кодо, около 0,62м). В дворцовом львином дворике пропорции составляют рад радикалов. Дворик представляет прямоугольник со сторонами 1 и √2 и имеет (по теореме Пифагора) диагональ √3. Серия продолжается числом √4 (дающим отношение 1:2), √5 и так далее. Декоративные узоры имеют аналогичные пропорции, √2 образует квадраты внутри окружностей и восьмиугольных звёзд, √3 образует шестиугольные звёзды. Нет свидетельств использования золотого сечения в Альгамбра[9][64]. Львиный дворик окружён Залом Двух Сестёр и Залом Абенсеррахов. Из центров этих двух залов и четырёх внутренних углов львиного дворика может быть нарисован правильный шестиугольник[65].

Мечеть Селимие в городе Эдирне, Турция, была построена Мимаром Синаном таким образом, что михраб можно видеть с любой точки внутри здания. Очень большое внутреннее пространство оформлено в виде восьмиугольника, образованного 8 огромными столбами и покрытого круглым куполом диаметром 31,25 м и высотой 43 м. Восьмиугольник образован внутри квадрата с четырьмя полукуполами и четырьмя исключительно высокими (83м) минаретами. План здания выглядит как круг внутри восьмиугольника внутри квадрата[66].
Монгольская архитектура


Архитектура Великих Моголов, как видно в заброшенном имперском городе Фатехпур-Сикри и комплексе Тадж-Махал, имеет отличительное математическое устройство и сильную эстетику, опирающуюся на симметрию и гармонию[10][67].
Тадж-Махал служит примером монгольской архитектуры, одновременно представляя рай[68] и показывающий своими размерами, симметрией и дорогим убранством могущество монгольского императора Шах-Джахана. Белый мраморный мавзолей, украшенный , главные ворота, другие здания, суды и дорожки образуют единый иерархический дизайн. Здания, включая мечеть, из красного песчаника на западе и почти идентичное здание, Джаваб (ответ), на востоке служат поддержке двусторонней симметрии комплекса.  (сад в четырёх частях) имеет четыре части, символизирующие четыре реки рая и дающие отражения мавзолея в воде. Каждая часть разделена на 16 партеров[69].

Комплекс Тадж-Махал был вычерчен на решётке, разделённой на более мелкие решётки. Ширина комплекса составляет 374 монгольских ярдов или зир[lower-alpha 6]. Главная часть составляет три 374-ярдовых квадратов. Они были разделены в местах базаров и караван-сараев на модули по 17 зир. Сад и террасы разделены на модули по 23 зиры шириной 368 зир (16 x 23). Мавзолей, мечеть и гостевой дом вычерчены на решётке 7 зир. Кох и Барро заметили, что если восьмиугольник, использованный неоднократно в комплексе, имеет стороны 7 единиц, тогда он имеет ширину 17 единиц[lower-alpha 7], что может помочь объяснить выбор отношений в комплексе [69].
Христианская архитектура


Христианская патриаршая базилика собора Святой Софии в городе Византий (ныне Стамбул), построенный в 537 (и дважды перестроенный), был в течение тысячи лет[lower-alpha 8] наибольшим кафедральным собором. Он стимулировал построение многих более поздних зданий, включая Мечеть Султанахмет и другие мечети города. Архитектура Византии включает притвор, увенчанный круглым куполом и двумя полукуполами, все одного диаметра (31м), с пятью меньшими полукуполами, образующими апсиду и четыре круглых угла просторного прямоугольного внутреннего пространства[70]. Это интерпретировалось средневековыми архитекторами как представление земного внизу (квадратное основание) и святых небес сверху (устремлённый ввысь сферический купол)[35]. Император Юстиниан I использовал двух геометров, Исидора Милетского и Анфимия из Тралл в качестве архитекторов. Исидор собрал труды Архимеда по стереометрии и был под его влиянием[11][71].
Важность крещения в воде в христианстве была отражена в архитектуре баптистерий. Наиболее старый, Латеранский баптистерий в Риме, построенный в 440[72], установил тенденцию восьмиугольных баптистерий. Купель внутри этих строений была часто восьмиугольной, хотя наиболее крупный итальянский баптистерий в Пизе, построенный между 1152 и 1363, имеет круглую форму с восьмиугольным резервуаром. Баптистерий имеет высоту 54,86 метра с диаметром 34,13 метра (отношение 8:5)[73]. Амвросий Медиоланский писал, что резервуары и баптистерии имели восьмиугольную форму, «поскольку на восьмой день[lower-alpha 9] было вознесение»[74][75].
Аврелий Августин аналогично описывает восемь дней как «вечность … освящённая воскрешением Христа»[75][76]. Восьмиугольный баптистерий Сан-Джованни, Флоренция, построенный между 1059 и 1128, является одним из наиболее старых зданий в городе и одним из последних прямых традиций античности. Оно крайне сильно повлияло на флорентийских архитекторов и главные архитекторы той эпохи, включая Франческо Таленти, Альберти и Филиппо Брунеллески, использовали его в качестве модели классической архитектуры[77].
Число пять использовалось «восторженно»[78] в церкови Святого Иоанна Непомука (1721) в городе Зелена гора близ Ждяр-над-Сазавоу в Чешской республике, спроектированной Яном Блажей Сантини-Айхлем. Неф имеет форму круга, окружённого пятью парами колонн и пятью овальными куполами со стрельчатыми апсидами. Церковь имеет пять ворот, пять капелл, пять алтарей и пять звёзд. Легенда утверждает, что когда Ян Непомуцкий был предан мученической смерти, над его головой появились пять звёзд[78][79]. Пятикратная архитектура может также символизировать  и пять писем «Tacui» (латинский: «я храню молчание» [о секретах исповедальни])[80].
Антонио Гауди использовал широкий круг геометрических структур, некоторые из которых имеют минимальные поверхности, в храме Святого Семейства, Барселона, заложенного в 1882 (и не завершённого к 2015). В них входят гиперболические параболоиды и гиперболоиды вращения,[81] замощения, , катеноиды, геликоиды и линейчатые поверхности. Вариации геометрий креативно комбинируются различными путями вокруг церкви. Например, на Фасаде Страстей Христовых храма Саграда-Фамилия, Гауди собрал каменные «ветви» в форме гиперболических параболоидов, которые соприкасаются в вершинах без сходимости в одну точку. Для контраста, в колоннаде имеются гиперболические параболоидные поверхности, гладко соединяющие другие структуры с образованием несвязных поверхностей. Гауди использовал природные узоры, являющиеся сами по себе математическими, с колоннами, напоминающими деревья, и притолоками, сделанными из базальта, естественным образом расколотого (при охлаждении расплавленной лавы) на [82][83][81].
 (Сан-Франциско) 1971-го года имеет двускатную крышу, состоящую из восьми сегментов гиперболических параболоидов, расположенных так, что нижние горизонтальные сечения крыши являются квадратами, а верхние сечения являются крестами. Здание квадратно с длиной стороны 77,7 м и имеет высоту 57,9м[84]. Кафедральный собор Бразилии Оскара Нимейера (1970) использует гиперболоидную структуру другим образом. Собор построен из 16 идентичных бетонных лучей, каждый весом 90 тонн, расположенных в круге с образованием гиперболоида вращения. Белые лучи создают форму наподобие рук, молящихся небу[85][86][87][88].
Некоторые средневековые , включая четыре церкви на датском острове Борнхольм. Одна из самых старых,  1160-го года, имеет круглый неф вокруг массивных каменных колонн вокруг здания, пронизанный арками и украшенный фресками. Круговая структура имеет три этажа и церковь была, несомненно, укреплена, а верхний этаж служил для защиты [89][90]

Своды нефа Собора Святой Софии, Стамбул, 562
Восьмиугольный баптистерий Сан-Джованни, Флоренция, завершён в 1128
Пятикратная симметрия: Церковь Святого Иоанна Непомука архитектора Яна Сантини в Зелена гора, 1721
Фасад Страстей Христовых Саграда-Фамилия арзитектора Антонио Гауди, Барселона, заложен в 1882
Кафедральный обор Бразилии архитектора Оскара Нимейера, 1970
, 1971
Центральная колонна   в Борнхольме, Дания

Математическое украшение
Исламское архитектурный декор


Исламские здания часто украшаются , в которых, как правило, используются математические мозаики, образованные керамическими плитками (гирих, зулляйдж), которые могут быть простыми или украшены полосками[11].В исламских орнаментах используются смметричные фигуры, такие как звёзды с шестью, восемью или кратными восьми углами. Некоторые из них основываются на мотивах печати Соломона, восьмиугольной звезды, сделанной из двух квадратов, повёрнутых на 45 градусов относительно друг друга[91]. Исламские орнаменты используют многие из 17 возможных . В 1944 Эдит Мюллер показала, что в украшении ансамбля Альгамбра используется 11 групп обоев, а в 1986 Бранко Грюнбаум заявил, что нашёл 13 групп обоев в Альгамбра, настаивая при этом, что оставшиеся 4 группы не были найдены нигде в исламских орнаментах [91].
Современное архитектурное украшение

К концу 20-го века новые математические конструкции, такие как фрактальная геометрия и апериодичные замощения были подхвачены архитекторами для обеспечения интересной и привлекательной облицовки зданий [3]. В 1913, архитектор-модернист Адольф Лоз провозгласил: «Орнамент — это преступление»[92], оказав влияние на архитектурное мышление до конца 20-го века. В 21-м веке архитекторы снова начали использовать орнаменты, но орнаменты 21-го века сильно отличаются. Концертный зал и конференц-центр  2011года в Рейкьявике выглядит подобно стене из кристаллов и сделан из больших блоков стекла[92]. Здание Форейн Офис Аркитект 2010-го года  в Лондоне покрыт 28,000 анодированными алюминиевыми плитками красного, белого и коричневого цветов, связывая круглые окна различных размеров. Покрытие использует три типа плитки — равносторонний треугольник и два неправильных пятиугольника[93][94][lower-alpha 10]  (архитекторы Кадзуми Кудо и Хироси Хориба из Coelacanth K&H Architects) имеет декоративную решётку сделанную из маленьких круглых блоков стекла, вставленных в плоские бетонные стены [92].

, Лондон, 2010
, Япония, 2011
Музей искусства Соумайя, Мехико, 2011

Крепости
Европа

Архитектура фортификационных сооружений эволюционировала из , которые имели высокие каменные стены, к низкой симметричной бастионной системе укреплений, способной сопротивляться артиллерийскому обстрелу, между серединой пятнадцатого и серединой девятнадцатого веков. Геометрия звёздной формы диктовалась необходимостью не допустить мёртвых зон, в которых атакующая пехота могла бы укрыться от огня защищающейся стороны. Стороны выступающих точек образовывали угол для возможности покрытия огнём всю поверхность и позволяли перекрёстный огонь (с двух сторон) с каждой выступающей точки. Хорошо известны архитекторы, разрабатывающие такую защиту, — Микеланджело, Бальдассаре Перуцци, Винченцо Скамоцци и Себастьен Ле Претр де Вобан[95][96].
Историк архитектуры Зигфрид Гидион говорил, что фортификационные сооружения в виде звёзд имели определяющее влияние на компоновку идеальных городов эпохи возрождения: «Эпоха возрождения была загипнотизирована одним типом городов, который в течение полутора веков — от Филарета до Скамоцци — был отпечатком всех утопических схем, это был город в виде звезды.»[97].

План фортификационного сооружения 17-го века города Куворден
Пальманова, Италия, Венецианский город с a бастионной системой укреплений. 17-й век
 Нёф-Бризах, Эльзас, одно из 

Китай

В архитектуре Китая датируемые шестнадцатым веком тулоу провинции Фуцзян — это круглые структуры общественной защиты, главным образом, со сплошными стенами и одной покрытой железом деревянной дверью. Стены покрыты крышами, которые немного наклонены во внешнюю и внутренние стороны, образуя кольцо. Центр кольца является открытым мощёным внутренним двором, часто со стеной, окружающей укреплённые галереи высотой до пяти этажей [98].
Экологические цели

Архитекторы могут также выбирать форму здания из экологических соображений[78]. Например, небоскрёб Мэри-Экс архитектурного бюро Foster and Partners, Лондон, известный как «Корнишон» за его подобную огурцу форму, является телом вращения. Здание разработано с использованием системы автоматизированного проектирования. Геометрия здания была выбрана не только исходя из эстетических причин, а чтобы минимизировать вихри воздуха у основания здания. Вопреки явно кривой поверхности, все панели стекла, образующие поверхность, являются плоскими, за исключением линзы на вершине здания. Большинство панелей квадратны, поскольку это позволяет вырезать стёкла с меньшими отходами[1].
Традиционный Яхчал (ледяная яма) в Персии функционирует подобно испарительному охладителю. Над поверхностью структура имеет вид купола, но имеет подземное место хранения для льда, а иногда и для пищи. Подземное пространство и толстая теплонепроницаемая конструкция изолирует пространство круглый год. Внутреннее пространство часто остужалось ветроуловителями. Лёд был доступен летом для приготовления холодного десерта фалуде[99].
См. также
Математика и изобразительное искусство
Закономерности в природе
Пояснения

Примечания

Литература

 Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: date and year (link)
 Cite web requires |website= (help)



 Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: date and year (link)









 Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: date and year (link)


 Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: date and year (link)

 Cite journal requires |journal= (help)
 Год изиния оригинала — 1570
 Год изиния оригинала −1615


 Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: date and year (link)

 Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: date and year (link)
 Cite journal requires |journal= (help)


 Год издания оригинала −1954, 1958
 Cite web requires |website= (help)

 Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: extra punctuation (link) CS1 maint: date and year (link)
 Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: date and year (link)

 Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: date and year (link)

CS1 maint: multiple names: authors list (link)

 Cite journal requires |journal= (help)
 Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: date and year (link)




 Missing or empty |title= (help)


 Cite journal requires |journal= (help)Template:Недоступная ссылка
 Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: extra punctuation (link)

 Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: date and year (link)


 Год оригинального издания =1851
 Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: date and year (link)
 Cite web requires |website= (help)
 Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: date and year (link)
 Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: date and year (link)
 Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: date and year (link)

 Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: date and year (link)

 Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: date and year (link)Template:Недоступная ссылка




CS1 maint: multiple names: authors list (link)


 Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: date and year (link)

 Cite web requires |website= (help)



 Cite web requires |website= (help)

 Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: extra punctuation (link) CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: date and year (link)
 Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: date and year (link)


 Cite journal requires |journal= (help)
 Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: extra punctuation (link) CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: date and year (link)

 Cite web requires |website= (help)
CS1 maint: multiple names: authors list (link)

 Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: date and year (link)
 Cite web requires |website= (help)
 Unknown parameter |deadlink= ignored (|dead-url= suggested) (help); Cite web requires |website= (help)
 Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: extra punctuation (link) CS1 maint: date and year (link)
 Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: date and year (link)
 Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: date and year (link)
 Cite web requires |website= (help); Check date values in: |accessdate= (help)


 Год издания оригинальной статьи — 1941
 Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: date and year (link)
 Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: date and year (link)

Ссылки


Категория:Теории архитектуры
Категория:Прикладная математика