Question: Кто первым начал использовать дробные числа?

Дробь (математика)
















8


/


13


{\displaystyle 8~/~13}







8
13




{\displaystyle {\frac {8}{13}}}

числительчислительзнаменательзнаменательДве записи одной дроби
Дробь в математике — число, состоящее из одной или нескольких равных частей (долей) единицы[1]. Дроби являются частью поля рациональных чисел. По способу записи дроби делятся на два формата: обыкновенные вида 



±


m
n




{\displaystyle \pm {\frac {m}{n}}}

 и десятичные вида 



0,123
4


{\displaystyle 0{,}1234}

.
В записи дроби вида 



X

/

Y


{\displaystyle X/Y}

 или 





X
Y




{\displaystyle {\frac {X}{Y}}}

 число перед или над чертой называется числителем, а число после или под чертой — знаменателем. Первый играет роль делимого, второй — делителя.
Виды дробей
Обыкновенные дроби

Обыкновенная (или простая) дробь — запись рационального числа в виде 



±


m
n




{\displaystyle \pm {\frac {m}{n}}}

 или 



±
m

/

n
,


{\displaystyle \pm m/n,}

 где 



n
≠
0.


{\displaystyle n\neq 0.}

 Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем.
Обозначения обыкновенных дробей
Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:
½
1/2 или 






1



/




2




{\displaystyle {}^{1}/{}_{2}}

 (наклонная черта называется «солидус»[2])
выключная формула: 





1
2




{\displaystyle {\frac {1}{2}}}


строчная формула: 






1
2





{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}


Правильные и неправильные дроби
Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной, и представляет рациональное число, по модулю большее или равное единице.
Например, дроби 





3
5




{\displaystyle {\frac {3}{5}}}

, 





7
8




{\displaystyle {\frac {7}{8}}}

 и 





1
2




{\displaystyle {\frac {1}{2}}}

 — правильные дроби, в то время как 





8
3




{\displaystyle {\frac {8}{3}}}

, 





9
5




{\displaystyle {\frac {9}{5}}}

, 





2
1




{\displaystyle {\frac {2}{1}}}

 и 





1
1




{\displaystyle {\frac {1}{1}}}

 — неправильные дроби. Всякое отличное от нуля целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1.
Смешанные дроби
Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой.
Например, 



2


3
7


=
2
+


3
7


=


14
7


+


3
7


=


17
7




{\displaystyle 2{\frac {3}{7}}=2+{\frac {3}{7}}={\frac {14}{7}}+{\frac {3}{7}}={\frac {17}{7}}}

. В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь, а также из-за более громоздкой записи и менее удобных вычислений.
Составные дроби
Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт:






1
2



/



1
3




{\displaystyle {\frac {1}{2}}/{\frac {1}{3}}}

 или 






1

/

2


1

/

3





{\displaystyle {\frac {1/2}{1/3}}}

 или 






12


3
4



26




{\displaystyle {\frac {12{\frac {3}{4}}}{26}}}


Десятичные дроби

Десятичной дробью называют позиционную запись дроби. Она выглядит следующим образом:




±

a

1



a

2


…

a

n



,


b

1



b

2


…


{\displaystyle \pm a_{1}a_{2}\dots a_{n}{,}b_{1}b_{2}\dots }


Пример: 



3,141
5926


{\displaystyle 3{,}1415926}

.
Часть записи, которая стоит до позиционной запятой, является целой частью числа (дроби), а стоящая после запятой — дробной частью. Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную, которая в этом случае либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью.
Вообще говоря, для позиционной записи числа́ можно использовать не только десятичную систему счисления, но и другие (в том числе и специфические, такие, как фибоначчиева).
Значение дроби и основное свойство дроби
Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.
Если умножить числитель и знаменатель дроби на одинаковую величину:






P
R


=



C
⋅
P


C
⋅
R





{\displaystyle {\frac {P}{R}}={\frac {C\cdot P}{C\cdot R}}}


то значение дроби останется прежним, хотя дроби — разные.
Например:






3
4


=


9
12


=


12
16




{\displaystyle {\frac {3}{4}}={\frac {9}{12}}={\frac {12}{16}}}


И обратно, если числитель и знаменатель заданной дроби имеют общий делитель, то обе части можно разделить на него; такая операция называется сокращением дроби. Пример:






12
16


=



12
:
4


16
:
4



=


3
4




{\displaystyle {\frac {12}{16}}={\frac {12:4}{16:4}}={\frac {3}{4}}}

 — здесь числитель и знаменатель дроби сократили на общий делитель 4.
Несократимой называется дробь, числитель и знаменатель которой взаимно просты, то есть не имеют общих делителей, кроме 



±
1.


{\displaystyle \pm 1.}


Для десятичной дроби запись почти всегда однозначна, однако имеются исключения. Пример:




0
,

999...
=
1


{\displaystyle 0,\!999...=1}

 — две разные дроби соответствуют одному числу.
Действия с дробями
В этом разделе рассматриваются действия над обыкновенными дробями. О действиях над десятичными дробями см. Десятичная дробь.
Приведение к общему знаменателю
Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать (привести) к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби: 





a
b




{\displaystyle {\frac {a}{b}}}

 и 





c
d




{\displaystyle {\frac {c}{d}}}

. Порядок действий:
Находим наименьшее общее кратное знаменателей: 



M
=
[
b
,
d
]


{\displaystyle M=[b,d]}

.
Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на 



M

/

b


{\displaystyle M/b}

.
Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на 



M

/

d


{\displaystyle M/d}

.
После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны M). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве M любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение.
Сравнение
Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́льшим числителем будет больше.
Пример. Сравниваем 





3
4




{\displaystyle {\frac {3}{4}}}

 и 





4
5




{\displaystyle {\frac {4}{5}}}

. НОК(4, 5) = 20. Приводим дроби к знаменателю 20.






3
4


=


15
20


;



4
5


=


16
20




{\displaystyle {\frac {3}{4}}={\frac {15}{20}};\quad {\frac {4}{5}}={\frac {16}{20}}}


Следовательно, 





3
4


<


4
5




{\displaystyle {\frac {3}{4}}<{\frac {4}{5}}}


Сложение и вычитание
Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:







1
2




{\displaystyle {\frac {1}{2}}}

 + 





1
3




{\displaystyle {\frac {1}{3}}}

 = 





3
6




{\displaystyle {\frac {3}{6}}}

 + 





2
6




{\displaystyle {\frac {2}{6}}}

 = 





5
6




{\displaystyle {\frac {5}{6}}}


НОК знаменателей (здесь 2 и 3) равно 6.
Приводим дробь 





1
2




{\displaystyle {\frac {1}{2}}}

 к знаменателю 6, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 3. 
 Получилось 





3
6




{\displaystyle {\frac {3}{6}}}

.
Приводим дробь 





1
3




{\displaystyle {\frac {1}{3}}}

 к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 2. Получилось 





2
6




{\displaystyle {\frac {2}{6}}}

.

Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:







1
2




{\displaystyle {\frac {1}{2}}}

 — 





1
4




{\displaystyle {\frac {1}{4}}}

 = 





2
4




{\displaystyle {\frac {2}{4}}}

 — 





1
4




{\displaystyle {\frac {1}{4}}}

 = 





1
4




{\displaystyle {\frac {1}{4}}}


НОК знаменателей (здесь 2 и 4) равно 4. Приводим дробь 





1
2




{\displaystyle {\frac {1}{2}}}

 к знаменателю 4, для этого надо числитель и знаменатель умножить на 2. Получаем 





2
4




{\displaystyle {\frac {2}{4}}}

.
Умножение и деление
Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:






a
b


⋅


c
d


=



a
c


b
d



.


{\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.}


В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же:






2
3


⋅
3
=


6
3


=
2


{\displaystyle {\frac {2}{3}}\cdot 3={\frac {6}{3}}=2}


В общем случае, числитель и знаменатель результирующей дроби могут не быть взаимно простыми, и может потребоваться сокращение дроби, например:






5
8


⋅


2
5


=


10
40


=


1
4


.


{\displaystyle {\frac {5}{8}}\cdot {\frac {2}{5}}={\frac {10}{40}}={\frac {1}{4}}.}


Чтобы поделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй:






a
b


:


c
d


=


a
b


⋅


d
c


=



a
d


b
c



,

b
,
c
,
d
≠
0.


{\displaystyle {\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}},\quad b,c,d\neq 0.}


Например:






1
2


:


1
3


=


1
2


⋅


3
1


=


3
2


.


{\displaystyle {\frac {1}{2}}:{\frac {1}{3}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{1}}={\frac {3}{2}}.}


Преобразование между разными форматами записи

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной периодической дробью. Примеры:






1
2


=


5
10


=
0

,

5


{\displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {5}{10}}=0{,}5}








1
7


=
0,142
857142857142857
⋯
=
0

,

(
142857
)


{\displaystyle {\frac {1}{7}}=0{,}142857142857142857\dots =0{,}(142857)}

 — бесконечно повторяющийся период принято записывать в круглых скобках.
Чтобы преобразовать десятичную дробь в дробь обыкновенную, следует представить её дробную часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень 10. Затем к результату приписывается целая часть со знаком, формируя смешанную дробь. Пример:




71,147
5
=
71
+


1475
10000


=
71


1475
10000


=
71


59
400




{\displaystyle 71{,}1475=71+{\frac {1475}{10000}}=71{\frac {1475}{10000}}=71{\frac {59}{400}}}


История и этимология термина
Русский термин дробь, как и его аналоги в других языках, происходит от Latin: fractura, который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ломать, раздроблять. Фундамент теории обыкновенных дробей заложили греческие и индийские математики. Через арабов термин, в переводе на латинский, перешёл в Европу, он упоминается уже у Фибоначчи (1202 год). Слова числитель и знаменатель ввёл в оборот греческий математик Максим Плануд.
Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с шестидесятеричными. Современное обозначение обыкновенных дробей происходит из Древней Индии — вначале его позаимствовали арабы, а затем, в XII-XVI веках, — европейцы. Вначале в дробях не использовалась дробная черта: числа 






1
4



,
2



1
5





{\displaystyle {\tfrac {1}{4}},2{\tfrac {1}{5}}}

 записывались таким способом: 








1




4





,





2





I





5





.


{\displaystyle {\begin{smallmatrix}1\\4\end{smallmatrix}},{\begin{smallmatrix}2\\\mathrm {I} \\5\end{smallmatrix}}.}

 Использование черты дроби стало постоянным лишь около 300 лет назад. В Европе первым учёным, который использовал и распространял индийскую систему счёта (известную как «арабские цифры»), в том числе способ записи дробей, стал итальянский купец, путешественник, сын городского писаря — Фибоначчи (Леонардо Пизанский)[3].Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке (Тарталья, Клавиус).
На Руси дроби называли долями. В первых российских учебниках математики — в XVII веке — дроби назывались ломаными числами[3]. Термин дробь, как аналог латинского fractura, используется в «Арифметике» Магницкого (1703) как для обыкновенных, так и для десятичных дробей.
Дроби вычислялись ещё в Древнем Египте. До наших дней сохранились математические источники о египетских дробях: Математический папирус Ринда (ок. 1550 год до н. э.)[4],  Египетский математический кожаный свиток (XVII век до н. э.)[5], Московский математический папирус (ок. 1850 год до н.э.),  (ок. 1950 год до н.э.)[6].
Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную[7]. Персидский математик и астроном Джамшид Гияс-ад-дин ал-Каши (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах Ал-Уклидиси, жившего на пять веков раньше[8].
В Европе первые десятичные дроби ввёл Иммануил Бонфис около 1350 года, но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585). Стевин записывал десятичные дроби сложными способами: например, число 42,53 записывалось как 





4


0



2



5


1






3


2





{\displaystyle {\overset {\underset {0}{}}{4}}2~{\overset {\underset {1}{}}{5}}~{\overset {\underset {2}{}}{3}}}

 или 42 ⓪ 5 ① 3 ②, где 0 в круге или над строкой означал целую часть, 1 — десятые, 2 — сотые, и так далее. Запятую для отделения целой части стали использовать с XVII века[3].
Обобщения
Кольцо частных
Рациональная функция — дробь, составленная из многочленов.
См. также

Дроби в Юникоде
Цепная дробь
Египетские дроби
Литература

Примечания



Категория:Алгебра
Категория:Арифметика
Категория:Числа
Категория:Дроби