Question: В каких единицах измеряется кинетическая энергия?

Кинетическая энергия


Кинети́ческая эне́ргия — скалярная функция, являющаяся мерой движения материальных точек, образующих рассматриваемую механическую систему, и зависящая только от масс и модулей скоростей этих точек[1]. Для движения со скоростями значительно меньше скорости света кинетическая энергия записывается как




T
=
∑




m

i



v

i


2



2




{\displaystyle T=\sum {{m_{i}v_{i}^{2}} \over 2}}

,
где индекс 




i


{\displaystyle \ i}

 нумерует материальные точки. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательного движения[2]. Более строго, кинетическая энергия есть разность между полной энергией системы и её энергией покоя; таким образом, кинетическая энергия — часть полной энергии, обусловленная движением[3]. Когда тело не движется, его кинетическая энергия равна нулю. Возможные обозначения кинетической энергии: 



T


{\displaystyle T}

, 




E

k
i
n




{\displaystyle E_{kin}}

, 



K


{\displaystyle K}

 и другие. В системе СИ она измеряется в джоулях (Дж).
История понятия
Впервые понятие кинетической энергии было введено в трудах Готфрида Лейбница (1695 г.), посвящённых понятию «живой силы»[4].
Кинетическая энергия в классической механике
Случай одной материальной точки
По определению, кинетической энергией материальной точки массой 



m


{\displaystyle m}

 называется величина




T
=



m

v

2



2




{\displaystyle T={{mv^{2}} \over 2}}

,
при этом предполагается, что скорость точки 



v


{\displaystyle v}

 всегда значительно меньше скорости света. С использованием понятия импульса (






p
→



=
m



v
→





{\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}

) данное выражение примет вид 




T
=

p

2



/

2
m


{\displaystyle \ T=p^{2}/2m}

.
Если 






F
→





{\displaystyle {\vec {F}}}

 — равнодействующая всех сил, приложенных к точке, выражение второго закона Ньютона запишется как 






F
→



=
m



a
→





{\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}

. Скалярно умножив его на перемещение материальной точки 





d





s
→



=



v
→





d


t


{\displaystyle {\rm {d}}{\vec {s}}={\vec {v}}{\rm {d}}t}

 и учитывая, что 






a
→



=


d





v
→




/



d


t


{\displaystyle {\vec {a}}={\rm {d}}{\vec {v}}/{\rm {d}}t}

, причём 





d


(

v

2


)

/



d


t
=


d


(



v
→



⋅



v
→



)

/



d


t
=
2



v
→



⋅


d





v
→




/



d


t


{\displaystyle {\rm {d}}(v^{2})/{\rm {d}}t={\rm {d}}({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})/{\rm {d}}t=2{\vec {v}}\cdot {\rm {d}}{\vec {v}}/{\rm {d}}t}

, получим 







F
→





d





s
→



=


d


(
m

v

2



/

2
)
=


d


T


{\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}(mv^{2}/2)={\rm {d}}T}

.
Если система замкнута (внешние силы отсутствуют) или равнодействующая всех сил равна нулю, то стоящая под дифференциалом величина 




T


{\displaystyle \ T}

 остаётся постоянной, то есть кинетическая энергия является интегралом движения.
Случай абсолютно твёрдого тела
При рассмотрении движения абсолютно твёрдого тела его можно представить как совокупность материальных точек. Однако, обычно кинетическую энергию в таком случае записывают, используя формулу Кёнига, в виде суммы кинетических энергий поступательного движения объекта как целого и вращательного движения:




T
=



M

v

2



2


+



I

ω

2



2


.


{\displaystyle T={\frac {Mv^{2}}{2}}+{\frac {I\omega ^{2}}{2}}.}


Здесь 




M


{\displaystyle \ M}

 — масса тела, 




v


{\displaystyle \ v}

 — скорость центра масс, 






ω
→





{\displaystyle {\vec {\omega }}}

 и 



I


{\displaystyle I}

 — угловая скорость тела и его момент инерции относительно мгновенной оси, проходящей через центр масс[5].
Кинетическая энергия в гидродинамике
В гидродинамике вместо массы материальной точки рассматривают массу единицы объёма, то есть плотность жидкости или газа 



ρ
=


d


M

/



d


V


{\displaystyle \rho ={\rm {d}}M/{\rm {d}}V}

. Тогда кинетическая энергия, приходящаяся на единицу объёма, двигающегося со скоростью 






v
→





{\displaystyle {\vec {v}}}

, то есть плотность кинетической энергии 




w

T


=


d


T

/



d


V


{\displaystyle w_{T}={\rm {d}}T/{\rm {d}}V}

 (Дж/м3), запишется:





w

T


=
ρ




v

α



v

α



2


,


{\displaystyle w_{T}=\rho {\frac {v_{\alpha }v_{\alpha }}{2}},}


где по повторяющемуся индексу 




α

=
x
,
y
,
z


{\displaystyle {\alpha }=x,y,z}

, означающему соответствующую проекцию скорости, предполагается суммирование.
Поскольку в турбулентном потоке жидкости или газа характеристики состояния вещества (в том числе, плотность и скорость) подвержены хаотическим пульсациям, физический интерес представляют осреднённые величины. Влияние гидродинамических флуктуаций на динамику потока учитывается методами статистической гидромеханики, в которой уравнения движения, описывающие поведение средних характеристик потока, в соответствии с методом О. Рейнольдса, получаются путём осреднения уравнений Навье-Стокса[6]. Если, в согласии с методом Рейнольдса, представить 




ρ
=


ρ
¯


+

ρ
′



{\displaystyle \ \rho ={\overline {\rho }}+\rho '}

, 




v

α


=



v

α


¯


+

v

α

′



{\displaystyle v_{\alpha }={\overline {v_{\alpha }}}+v'_{\alpha }}

, где черта сверху — знак осреднения, а штрих — отклонения от среднего, то плотность кинетической энергии приобретёт вид:







w

T


¯


=


1
2





ρ

v

α



v

α



¯


=

E

s


+

E

s
t


+

E

t


,


{\displaystyle {\overline {w_{T}}}={\frac {1}{2}}{\overline {\rho v_{\alpha }v_{\alpha }}}=E_{s}+E_{st}+E_{t},}


где 




E

s


=


ρ
¯






v

α


¯






v

α


¯



/

2


{\displaystyle E_{s}={\overline {\rho }}\,{\overline {v_{\alpha }}}\,{\overline {v_{\alpha }}}/2}

 — плотность кинетической энергии, связанной с упорядоченным движением жидкости или газа, 




E

t


=


ρ
¯







v

α

′



v

α

′


¯



/

2
+




ρ
′


v

α

′


v

α

′


¯



/

2


{\displaystyle E_{t}={\overline {\rho }}\,{\overline {v'_{\alpha }\,v'_{\alpha }}}/2+{\overline {\rho 'v'_{\alpha }v'_{\alpha }}}/2}

 — плотность кинетической энергии, связанной с неупорядоченным движением («плотность кинетической энергии турбулентности»[6], часто называемой просто «энергией турбулентности»), а 




E

s
t


=

S

α





v

α


¯




{\displaystyle E_{st}=S_{\alpha }{\overline {v_{\alpha }}}}

 — плотность кинетической энергии, связанная с турбулентным потоком вещества (




S

α


=




ρ
′


v

α

′


¯




{\displaystyle S_{\alpha }={\overline {\rho 'v'_{\alpha }}}}

 — плотность флуктуационного потока массы, или «плотность турбулентного импульса»). Эти формы кинетической энергии жидкости обладают разными трансформационными свойствами при преобразовании Галилея: кинетическая энергия упорядоченного движения 




E

s




{\displaystyle E_{s}}

 зависит от выбора системы координат, в то время как кинетическая энергия турбулентности 




E

t




{\displaystyle E_{t}}

 от него не зависит. В этом смысле кинетическая энергия турбулентности дополняет понятие внутренней энергии.
Подразделение кинетической энергии на упорядоченную и неупорядоченную (флуктуационную) части зависит от выбора масштаба осреднения по объёму или по времени. Так, например, крупные атмосферные вихри циклоны и антициклоны, порождающие определённую погоду в месте наблюдения, рассматриваются в метеорологии как упорядоченное движение атмосферы, в то время как с точки зрения общей циркуляции атмосферы и теории климата это — просто большие вихри, относимые к неупорядоченному движению атмосферы.
Кинетическая энергия в квантовой механике
В квантовой механике кинетическая энергия представляет собой оператор, записывающийся, по аналогии с классической записью, через импульс, который в этом случае также является оператором (






p
^



=
−
j
ℏ
∇


{\displaystyle {\hat {p}}=-j\hbar \nabla }

, 




j


{\displaystyle \ j}

 — мнимая единица):







T
^



=






p
^




2



2
m



=
−



ℏ

2



2
m



Δ


{\displaystyle {\hat {T}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta }


где 



ℏ


{\displaystyle \hbar }

 — редуцированная постоянная Планка, 



∇


{\displaystyle \nabla }

 — оператор набла, 



Δ


{\displaystyle \Delta }

 — оператор Лапласа. Кинетическая энергия в таком виде входит в важнейшее уравнение квантовой механики — уравнение Шрёдингера[7].
Кинетическая энергия в релятивистской механике
Если в задаче допускается движение со скоростями, близкими к скорости света, кинетическая энергия материальной точки определяется как




T
=



m

c

2




1
−

v

2



/


c

2





−
m

c

2


,


{\displaystyle T={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2},}


где 




m


{\displaystyle \ m}

 — масса, 




v


{\displaystyle \ v}

 — скорость движения в выбранной инерциальной системе отсчёта, 




c


{\displaystyle \ c}

 — скорость света в вакууме (



m

c

2




{\displaystyle mc^{2}}

 — энергия покоя). Как и в классическом случае, имеет место соотношение 







F
→





d





s
→



=


d


T


{\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}T}

, получаемое посредством умножения на 





d





s
→



=



v
→





d


t


{\displaystyle {\rm {d}}{\vec {s}}={\vec {v}}{\rm {d}}t}

 выражения второго закона Ньютона (в виде 







F
→



=
m
⋅


d


(



v
→




/



1
−

v

2



/


c

2




)

/



d


t


{\displaystyle \ {\vec {F}}=m\cdot {\rm {d}}({\vec {v}}/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}})/{\rm {d}}t}

).
Выражение для 




T


{\displaystyle \ T}

 можно переписать в форме 



T
=
m

v

2



/

(
1
−

v

2



/


c

2


+


1
−

v

2



/


c

2




)
.


{\displaystyle T=mv^{2}/(1-v^{2}/c^{2}+{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}).}

 При малых скоростях (



v
≪
c


{\displaystyle v\ll c}

) оно переходит в классическую формулу 




T
=
1

/

2
⋅
m

v

2




{\displaystyle \ T=1/2\cdot mv^{2}}

.
Свойства кинетической энергии
Аддитивность. Это свойство означает, что кинетическая энергия механической системы, состоящей из материальных точек, равна сумме кинетических энергий всех материальных точек, входящих в систему[1].
Инвариантность по отношению к повороту системы отсчёта. Кинетическая энергия не зависит от положения точки, направления её скорости и зависит лишь от модуля скорости или, что то же самое, от квадрата её скорости[1].
Неинвариантность по отношению к смене системы отсчёта в общем случае. Это ясно из определения, так как скорость претерпевает изменение при переходе от одной системы отсчёта к другой.
Сохранение. Кинетическая энергия не изменяется при взаимодействиях, изменяющих лишь механические характеристики системы. Это свойство инвариантно по отношению к преобразованиям Галилея[1]. Свойства сохранения кинетической энергии и второго закона Ньютона достаточно, чтобы вывести математическую формулу кинетической энергии[1][8].
Физический смысл кинетической энергии
Работа всех сил, действующих на материальную точку при её перемещении, идёт на приращение кинетической энергии[9]:






A

12


=

T

2


−

T

1


.


{\displaystyle \ A_{12}=T_{2}-T_{1}.}


Это равенство актуально как для классической, так и для релятивистской механики (получается интегрированием выражения 







F
→





d





s
→



=


d


T


{\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}T}

 между состояниями 1 и 2).
Соотношение кинетической и внутренней энергии
Кинетическая энергия зависит от того, с каких позиций рассматривается система. Если рассматривать макроскопический объект (например, твёрдое тело видимых размеров) как единое целое, можно говорить о такой форме энергии, как внутренняя энергия. Кинетическая энергия в этом случае появляется лишь тогда, когда тело движется как целое.
То же тело, рассматриваемое с микроскопической точки зрения, состоит из атомов и молекул, и внутренняя энергия обусловлена движением атомов и молекул и рассматривается как следствие теплового движения этих частиц, а абсолютная температура тела прямо пропорциональна средней кинетической энергии такого движения атомов и молекул. Коэффициент пропорциональности — постоянная Больцмана.
См. также
Теорема о кинетической энергии системы
Потенциальная энергия
Закон сохранения энергии
Хаос
Энтальпия
Негэнтропия
Термодинамика
Парадокс кинетической энергии
Примечания

Литература


Категория:Динамика
Категория:Энергия