Question: Kuka keksi pinta-ala yhtälön?

Matematiikan historia


Matematiikan historia on hyvin pitkä. Matematiikka on fysiikan ja tähtitieteen ohella vanhimpia tieteenaloja.
Matematiikan synty
Matematiikan ensimmäisten vaiheiden tarkka selvittäminen on mahdotonta, sillä ihmiskunta oppi laskemaan ennen kirjoitustaidon syntyä. Niinpä mitään kirjallisia dokumentteja ensimmäisistä laskusäännöistä tai geometrisista hahmotelmista ei ole jäljellä. Matematiikan varhaishistoriaa voidaan tutkia parhaiten arkeologisten löytöjen, kielitieteen ja eläinten tarkkailun avulla. On todettu, että monet eläimet kykenevät erottamaan ainakin viittä alkiota pienempien joukkojen kokoeron. Siten voidaan olettaa, että jonkinlainen luvun käsite on hyvin vanha. Tätä tukee myös monien kielten kieliopillisen luvun jaottelu yhteen ja moneen, jossain tapauksessa kahteen ja kolmeenkin. Siitä, että on ymmärretty kahden kiven ja kolmen kiven välinen ero on ollut todennäköisesti pitkä matka siihen, että on ymmärretty abstraktin käsitteen ”kolme” liittävän yhteen kolme kiveä ja kolme puuta.[1] Tätä ajatusta tukee se, että monet joukkojen kokoeroja hahmottavat eläimet eivät pysty tähän. Lisäksi ensimmäiset kieliin ilmaantuneet lukusanat ovat tarkoittaneet alun perin esimerkiksi kahta kiveä. Lukua on siis ollut vaikea hahmottaa yhteydestään irrallisena käsitteenä. Joidenkin teorioiden mukaan järjestysluvut olisivat syntyneet ennen kardinaalilukuja. Tätä on perusteltu sillä, että monissa rituaaleissa ja myyteissä tapahtumien ja henkilöiden järjestyksellä on ollut tärkeä osa.[1] Kielet eivät kuitenkaan tue tätä käsitystä, sillä lähes kaikissa kielissä järjestysluku muodostetaan kardinaalilukua taivuttamalla.
Vanhimmat arkeologiset todisteet lukumäärien laskennasta ovat noin 30000 vuotta vanhoja. Tšekistä löydetyssä luussa on yhteensä 55 lovea, jotka on jaoteltu viiden ryhmiin. Viisi on ollut luonnollinen valinta sopivaksi joukoksi, koska sormia on yhdessä kädessä viisi. Kymmenen (kahden käden sormet) ja kaksikymmentä (sormet ja varpaat) ovat olleet myös varhaisia lukujärjestelmien kantalukuja. Amerikan intiaaniheimoista tehdyssä tutkimuksessa kolmannes käytti viisijärjestelmää, kolmannes kymmenjärjestelmää, vajaa kolmannes binaarijärjestelmää ja loput kolmijärjestelmää. Kaksikymmenjärjestelmästä on todisteita lähinnä Euroopasta, missä sen jäänteitä näkyy yhä kielissä, ranskan 80 (quatre-vingt) on suomeksi neljä-kaksikymmentä. Varhaisimmat kirjoitetut todisteet näyttävät suosineen viisijärjestelmää, mutta kielen saadessa selvän formaalisen muodon kymmenjärjestelmä on noussut yleisimmäksi.[1]
Geometrian varhaisvaiheita on lukujen syntyäkin vaikeampi selvittää. Kreikkalaiset sijoittivat geometrian synnyn muinaiseen Egyptiin, jossa sitä tarvittiin maanmittaukseen. On kuitenkin selvää, ettei kehittynyt geometrinen ajattelu ole syntynyt tuolloin tyhjästä, vaan jo paljon aiemmin on ollut jonkinlaista geometrista hahmotuskykyä. Monet muutkin eläimet, etenkin apinat, pystyvät hahmottamaan muodon abstraktina, tietystä esineestä irrallisena asiana ja ryhmittelemään eri esineitä muodon perusteella ryhmiin. Vanhimmat todisteet luovasta geometrisesta ajattelusta voidaan nähdä geometrisia kuvioita esittävissä luolamaalauksissa ja erilaisissa punostöissä. Jo niissä on nähtävissä esimerkiksi ajatus kuvioiden yhdenmuotoisuudesta ja symmetriasta.[2] Yksi vanhimmista tällaisista töistä on Etelä-Afrikasta löydetty luola, jonka seiniin on raaputettu geometrisiä kuvioita arviolta jo 70000 vuotta sitten.[3]
Muinaisen Egyptin matematiikka (3000–500 eaa.)

Egyptiläiset ovat sumerilaisten ohella ensimmäinen kirjoitustaidon oppinut kansa. Varhaisimmat dokumentit egyptiläisestä kuvakirjoituksesta, hieroglyfeistä, ovat yli 5500 vuotta vanhoja, ja ensimmäiset säilyneet numeromerkinnät ovat yli 5000 vuotta vanhoja. Egyptiläiset käyttivät kymmenjärjestelmää, ja heidän tapansa merkitä numeroita oli saman tyyppinen kuin roomalaisilla. Kymmenen potensseille ainakin miljoonaan asti oli jokaiselle oma merkkinsä, ja näiden merkkien määrä ilmaisi kyseisen kymmenen potenssin määrän luvussa. Esimerkiksi 1362749 merkittiin  Myöhemmin otettiin käyttöön lyhentävä merkintä, jossa esimerkiksi neloselle oli oma merkki, vaakasuora viiva.[4]

Tärkeimmät muinaisen Egyptin matematiikan tasosta kertovat lähteet ovat tietyt säilyneet papyrukset, jotka sisältävät ohjeita ja tehtäviä. Laajin näistä on noin vuodelta 1650 eaa. oleva Ahmesin papyrus[5], toinen merkittävä lähde on noin vuodelta 1890 eaa. oleva Moskovan papyrus. Näiden perusteella on todettu egyptiläisten osanneen käyttää murtolukuja. He pitäytyivät kuitenkin yksikkömurtoluvuissa (muotoa 1/n) ja luvussa 2/3. Muiden murtolukujen he katsoivat olevan sieventämättömiä. Ahmesin papyruksessa esitetään muotoa 2/n olevat luvut yksikkömurtolukujen summana n:n arvoilla 5–101. Egyptiläiset eivät käyttäneet varsinaisesti kerto- tai jakolaskua, vaan he suorittivat nämä operaatiot kahdentamalla tai puolittamalla lukuja ja laskemalla niitä yhteen. Myös kymmenellä kertomista käytettiin. Ahmesin papyruksen kirjoittaja on myös osannut jakaa lukuja missä tahansa suhteessa, minkä voi kuvitella olleen tärkeää valtion verotuksen ja palkkojen kannalta.[4]
Aritmetiikan lisäksi egyptiläiset ovat osanneet algebran ja geometrian alkeet. Ahmesin papyruksessa esitetään menetelmä yksinkertaista muotoa olevien ensimmäisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi. Lisäksi siinä esiintyy ensimmäinen tunnettu matemaattinen todistus, jossa todistetaan laskemalla tietyn luvun toteuttavan yhtälön. Geometriassa egyptiläiset ovat osanneet laskea tasakylkisten ja suorakulmaisten kolmioiden sekä suunnikkaiden aloja hajottamalla ne sopiviin kolmioihin ja kokoamalla kolmioista suorakulmion. Samaa menetelmää kolmiulotteisesti käyttämällä he osasivat laskea katkaistun pyramidin tilavuuden. Toisin kuin usein mainitaan, Pythagoraan lauseen käytöstä ei ole mitään viitteitä säilyneissä lähteissä. Trigonometrisista suhteista Egyptin matemaatikoilla oli käytössä pyramidin rakentamisessa tarvittu nykyistä kotangenttia vastaava suhde.[4]
Egyptiläisten matematiikka näyttää kehittyneen varhain tasolle, joka on mahdollistanut pyramidien rakentamisen, tonttien mittauksen ja kehittyneen talouden toiminnan. Ahmesin papyruksen jälkeen sen kehitys tuntuu kuitenkin pysähtyneen. Ilmeisesti matematiikkaa kehitettiin vain käytännön tarpeisiin. Suurimpia heikkouksia egyptiläisten matematiikassa oli ehkä käytännöllisyydestä johtuva likimääräisyys. Egyptiläisten käyttämä piin arvo oli 3+13/81, mikä sinänsä ei ole huono likiarvo. He näyttävät kuitenkin olettaneen sen olevan tarkka, koska tiesivät sen olevan melkein oikein. Vastaavasti egyptiläiset laskivat nelikulmion pinta-alan olevan vastakkaisten sivujen keskiarvon tulo, mikä antaa lähellä neliötä oleville nelikulmioille tarkkoja likiarvoja. Tästä on johdettu myös kolmion alalle kaava, jonka mukaan ala on kahden sivun keskiarvo kerrottuna kolmannen puolikkaalla. Tämä osoittaa egyptiläisten osanneen johtaa kaavasta toinen kaava ja jopa käyttäneen yhden sivun pituutena nollaa. Kaava kuitenkin on alkuperäisestä likimääräisyysoletuksesta johtuen väärä.[4][6]
Matematiikka Mesopotamiassa (3000–500 eaa.)

Mesopotamian alueella kehitettyä matematiikkaa on tapana kutsua babylonialaiseksi, vaikka babylonialaisten lisäksi alueella asui muitakin kansoja. Syynä tähän on alueen melko yhtenäinen kulttuuri. Babylonialaisesta matematiikasta on säilynyt paljon enemmän todisteita kuin Egyptin matematiikasta, sillä alueen kansat käyttivät kirjoitusalustana papyrusta paremmin säilyviä savitauluja. Alueen ensimmäinen merkittävä kansa, sumerilaiset, oppi kirjoitustaidon yli 5000 vuotta sitten. He käyttivät nuolenpääkirjoitusta, minkä myöhemmin aluetta hallinneet kansat omaksuivat. Kymmenjärjestelmän sijaan käytössä oli 60-järjestelmä. Valinta oli tehty ilmeisesti tietoisesti siksi, että 60 on jaollinen monella eri luvulla ja siten kätevä laskennan kannalta. Babylonialaiset käyttivät kuitenkin kymmenjärjestelmää alijärjestelmänä, eli luvut 1–59 muodostettiin ykkösten ja kymmenten merkeistä.[7][8]
Noin 2500 eaa. alettiin myös numeroita merkitä nuolenpääkirjoituksen merkeillä, joten kaikki numerot ilmaistiin vaaka-ja pystysuorilla kiiloilla. Merkkien vähyys saattoi olla yksi syy siihen, että noin 4000 vuotta sitten alueella otettiin ensimmäisen kerran käyttöön paikkamerkintä. Ykkösiä merkittiin pystysuorilla kiiloilla ja kymmeniä vaakasuorilla. Samoilla merkeillä ilmaistiin myös kantaluvun muut potenssit, joten esimerkiksi luku 4862=3600+21·60+2 merkittiin Y →→Y YY.[7] Tämä oli merkittävä edistysaskel verrattuna egyptiläiseen merkintätapaan erityisesti siksi, että se ulotettiin myös kantaluvun negatiivisiin potensseihin, ja siten merkintä oli yhtä tehokas kuin nykyään käytössä oleva desimaalijärjestelmä. Ainoa puute oli nolla, jota ei ollut aluksi lainkaan. 300-luvulla eaa. alettiin kuitenkin käyttää luvun keskellä olevalle nollalle omaa merkkiä, mutta luvun lopussa olevaa nollaa ei merkitty mitenkään. Luvun suuruus tuli siis tällöin ymmärtää asiayhteydestä.[9]
Babylonialaisten lukujärjestelmän hyödyt näkyivät selkeimmin heidän likiarvojensa tarkkuudesa. Heidän arvonsa kahden neliöjuurelle oli 1,414222, joka on oikein viiden numeron tarkkuudella. Neliöjuuren laskemiseen babylonialaisilla oli yleinen menetelmä, joka perustui iteraatioon. Kuten Egyptin matemaatikot, babylonialaisetkaan eivät tehneet kuitenkaan selvää eroa likiarvon ja tarkan arvon välille. Siten heille riitti hyvä likiarvo, eikä babylonialaisten tiedetä tutkineen iteraatiomenetelmästä syntyviä päättymättömiä sarjoja. He osasivat kuitenkin ilmeisesti laskea äärellisen geometrisen sarjan summan ja osasivat muutenkin käsitellä äärellisiä sarjoja. Säilyneissä savitauluissa on paljon erilaisia laskemista helpottavia taulukoita. Babylonialaiset ovat merkinneet ylös käänteislukutaulukoita ja lukujen potensseja ja tehneet logaritmitauluja, joita on hyödynnetty käytännössä esimerkiksi korkolaskuissa. Taulukosta puuttuneille luvuille he ovat laskeneet arvoja interpoloimalla.[10]
Yhtälöratkaisussa babylonialaiset edistyivät huomattavasti egyptiläisiä pidemmälle. He oppivat ratkaisemaan kaikki toisen asteen yhtälöt, joilla on ainakin yksi positiivinen juuri. Heidän algebransa kehittyneisyyttä osoittaa, että he ratkaisivat muotoa ax²+bx+c=0 olevia toisen asteen yhtälöitä sijoitusmenetelmällä kertomalla molemmat puolet a:lla ja merkitsemällä ax=y. Samoin he osasivat ratkaista toiseen asteeseen sijoituksella palautuvat yhtälöt kuten x8+bx4+c=0. Babylonialaiset ratkaisivat myös ainakin kolmitermisiä kolmannen asteen yhtälöitä. Täydellisen kolmannen asteen yhtälön ratkaisusta ei ole varmoja todisteita. Matematiikan tason selvittämistä vaikeuttaa, etteivät babylonialaiset kirjoittaneet ratkaisumenetelmiään muistiin minkäänlaisina kaavoina, vaan käytännöllisinä, tiettyihin lukuihin sidottuna toimintaohjeena. Siksi on joskus mahdotonta tietää, ovatko he tunteneet ongelman yleisen ratkaisun vai vain tietyn erityistapauksen. Ainakin neliön lävistäjän osalta he ovat tienneet, että jokaisessa neliössä lävistäjän ja sivun suhde on √2.[10]
Babylonialaisten geometriakin oli egyptiläisiä kehittyneempää, joskin he suhtautuivat siihen lähinnä algebran sovelluksena. Siten mitään geometrisia todistuksia ei ole olemassa. Muutenkin heidän todistuksensa rajoittuvat siihen, että väite todistettiin laskemalla oikeaksi. Babylonialaiset kehittivät ensimmäisenä Pythagoraan lauseen. Lisäksi he olivat egyptiläisiä edellä siinä, että he pystyivät laskemaan kuvioiden pinta-aloja ja janojen pituuksia hyödyntämällä yhdenmuotoisia kuvioita. Varsinaista trigonometriaa babylonialaisilla ei ollut, mutta savitauluista on löydetty taulukoituja arvoja, jotka vastaavat sekantin neliötä kulman arvoilla 31°–45°. Tangentin arvojakin on luultavasti taulukoitu, mutta niitä ei ole säilynyt. Kulmaa ei silti pidetty mitattavana suureena, vaan arvot liittyvät tiettyjen kolmioiden sivujen suhteisiin, eikä sekantti tai tangentti ole siten ollut käytössä abstraktina funktiona. Matematiikan kehityksen kannalta ehkä merkittävin babylonialaisten uudistus oli osin käytännöstä irrotettu matematiikka. Osalle laskuista on mahdotonta kuvitella tuon ajan sovelluksia, joten Babylonian matemaatikot ovat ensimmäisinä tutkineet matematiikkaa sen itsensä takia.[10]
Antiikin matematiikka (600 eaa.–500 jaa.)
Kreikkalainen kulttuuri suosi tieteiden, etenkin filosofian, logiikan ja matematiikan harjoitusta. Siksi matematiikka kehittyi antiikin Kreikassa aivan uudelle tasolle verrattuna esihelleeniseen aikaan. Kreikkalaiset tekivät monia tärkeitä yksittäisiä matemaattisia löytöjä, mutta tärkeintä oli matematiikan muuttuminen omaksi tieteenalakseen, jollaisena se nykyään tunnetaan. Babyloniassa ja Egyptissä matematiikka oli ollut lähinnä käytännöllistä. Sitä ei hahmotettu abstraktina loogisena järjestelmänä, jossa tietyt aksioomat eli peruslauseet ja niistä johdetut säännöt ovat voimassa. Tämänkaltainen ajatusmalli syntyi antiikin Kreikassa.[11]
Helleeninen kausi (600–300 eaa.)

700-luvulta eaa. lähtien kreikkalaiset olivat alkaneet perustaa siirtokuntia Välimeren ja Mustanmeren rannikolle. Tämä toi lisää yhteyksiä myös vanhoihin matematiikan keskuksiin, Babyloniaan ja Egyptiin, ja oli ilmeisesti yksi syy nopeaan matematiikan kehittymiseen. Ensimmäiset nimeltä tunnetut kreikkalaiset matemaatikot olivat Thales (noin 624–548eaa.) ja Pythagoras (noin 580–500eaa.). Heidän teoksistaan yksikään ei ole säilynyt, mutta monet myöhemmät matemaatikot viittaavat heihin teoksissaan. On kuitenkin kiistanalaista, mitkä kaikki heidän nimiinsä yleensä laitettavista keksinnöistä olivat todella heidän itsensä kehittämiä. Thaleen ansioksi lasketaan yleensä geometrisen deduktiivisen päättelyn kehittäminen. Pythagoras ja hänen seuraajansa perustivat koulukunnan, jonka mukaan kaikki oli esitettävissä kokonaislukujen ja niiden suhteiden avulla. He olivat siis ensimmäisiä, jotka pyrkivät kuvaamaan luontoa säännönmukaisesti matematiikan avulla. Pythagoras havainnoi, kuinka värähtelevän kielen pituus vaikuttaa sävelkorkeuteen ja tutki, missä suhteessa kielten pituuksien tulee olla, jotta saadaan tuotettua yhteen oktaavialaan kuuluvat sävelet. He myös ottivat käyttöön alkuluvun ja kultaisen leikkauksen käsitteet. Pythagoralainen lukujen palvonta johti erilaisten lukujonojen tutkimiseen, ja tiettyjä lukuja pidettiin ”arvokkaampina” kuin toisia. Tämä johti siihen, että he erottivat toisistaan puhtaan matematiikan ja laskutekniikkaan keskittyvän logistiikan. Tämä saattoi hidastaa lukujen merkintätavan kehittymistä, kun käytännön laskemista pidettiin alempiarvoisena. Kreikkalaiset merkitsivät lukuja aluksi roomalaisia numeroita muistuttavalla järjestelmällä. Viimeistään 400-luvulla eaa. siirryttiin joonialaiseen merkintätapaan, joka muistutti paikkajärjestelmää. Täydellistä paikkajärjestelmää ei alettu koskaan käyttää, eikä joonialaista merkintää käytetty murtolukuihin. Pythagoralaiset pitivät niitä kahden kokonaisluvun suhteena eikä suuruudeltaan kokonaislukujen väliin sijoittuvina erillisinä lukuina.[12]
400-luvulla eaa. kreikkalainen matematiikka levisi ympäri helleenistä maailmaa Etelä-Italiaan, Traakiaan ja Vähään-Aasiaan. Vaikka tuolloin eli monia merkittäviä matemaatikkoja, yhtäkään heidän itsensä kirjoittamaa tekstiä ei ole säilynyt. Tuolloin syntyivät kolme klassista geometrian ongelmaa, ympyrän neliöiminen, kuution kahdentaminen ja kulman kolmiajako pelkästään harpin ja viivoittimen avulla. Vaikka kreikkalaiset eivät ratkaisseet ongelmia, niiden tutkiminen johti moniin uusiin löytöihin. Erityisesti täsmentyi tarkan arvon ja likiarvon käsitteiden ero. Kreikkalaiset ymmärsivät ensimmäisinä, ettei tarkkakaan likiarvo vastaa koskaan tarkkaa arvoa.[13] Hippokrates Khioslainen (noin 470–410eaa.)[14] onnistui ympyrän neliöintiä tutkiessaan neliöimään tietynmuotoisia kuunsirppejä ja onnistui siten ensimmäisenä laskemaan täsmällisesti käyräviivaisen kuvion pinta-alan. Ateenalainen Hippias (noin 460–400eaa.)[15] keksi tavan suorittaa kulman kolmiajako käyttämällä apuna kvadratrix-nimistä käyrää. Koska käyrää ei voinut luoda harpin ja viivoittimen avulla, ratkaisu ei ollut hyväksyttävissä. Hippias oli kuitenkin keksinyt ensimmäisen käyrän, joka ei ollut ympyränkaari tai suora. Ensimmäisen geometrisen ratkaisun kuution kahdentamiseen esitti tarentumilainen Arkhytas. Hänen ratkaisunsa perustui kahdennettavan kuution mukaan sopivasti piirrettävien kartion, lieriön ja reunapisteensä ympäri pyörähtävän ympyrän muodostaman toruksen leikkauspisteeseen, joka määritti uuden kuution kärjen paikan. Ratkaisu osoittaa kreikkalaisen matematiikan olleen hyvin abstraktilla tasolla ottaen huomioon, ettei heillä ollut käytössä nykyisenkaltaista analyyttistä geometriaa tai edes koordinaatistoa.[13]
Pythagoralainen ajatus kokonaislukujen ja niiden suhteiden hallitsemasta maailmasta romahti 400-luvulla eaa. Tuolloin onnistuttiin todistamaan, että esimerkiksi neliön sivu ja lävistäjä ovat yhteismitattomia, eli nykytermein ilmaistuna niiden suhde on irrationaaliluku. Kunnia tästä keksinnöstä annetaan usein Hippasokselle (noin 530–450 eaa.)[16], vaikka varmuutta asiasta ei ole. Myös kultaisen leikkauksen suhde todistettiin irrationaaliluvuksi. Yhdessä Zenonin (490–425 eaa.)[17] kehittämien paradoksien kanssa tämä johti siihen, että kaiken perustana alettiin pitää geometriaa eikä lukuja. Luvuilla katsottiin olevan diskreetti luonne, ja Zenon osoitti, että avaruuden kuvaaminen diskreetiksi aiheuttaa ristiriitoja. Siten luvuilla ei voitu kuvata todellista, jatkuvien suureiden maailmaa. Pitkälti tämän seurauksena syntyi geometrinen algebra, jossa algebran lauseille pyritään löytämään geometrinen todistus. Mitään laskutoimitusta, jossa esiintyi yhteismitattomien lukujen suhde, ei voinut suorittaa, vaan sen ratkaisua varten oli tehtävä geometrinen konstruktio.[18] Esimerkiksi toisen asteen yhtälöjä ja neliöjuurten arvoja alettiin ratkaista geometrisesti.[19]
300-luvulla eaa. Platon (427–347 eaa.) perusti Akatemiansa ja tuki siten matemaatikkoja ja matematiikan kehitystä. Hän ei itse päätynyt merkittäviin tuloksiin, mutta pyrki selventämään matematiikan määritelmiä ja todistusmenetelmiä. Platon sovelsi ideaoppiaan matematiikkaan ja painotti, että geometria ei käsittele piirrettyjä kuvioita vaan niiden edustamia ideoita. Siten matematiikka irtautui yhä selvemmin käytännöstä erilliseksi tieteeksi. Platonin Akatemiassa opiskellut Eudoksos (noin 408–335 eaa.) nousi ajan merkittävimmäksi matemaatikoksi. Hän ratkaisi yhteismitattomien suureiden verrantoihin aiheuttaman ongelman. Vaikeutena oli ollut kahden yhteismitattoman luvun suhteen suuruus verrattuna kahden kokonaisluvun suhteeseen (eli nykytermein irrationaaliluvun suhde rationaalilukuun), mutta Eudoksoksen uusi suhteen määritelmä ratkaisi ongelman.[20] Hänen määritelmänsä idea on hyvin lähellä Dedekindin 1800-luvulla esittelemää reaalilukujen määritelmää.[21] Eudoksos saavutti toisenkin merkittävän tuloksen kehittäessään integraalilaskentaa edeltäneen ekshaustiomenetelmän, jolla voitiin laskea tarkasti käyräviivaisten kuvioiden aloja. Jo häntä ennen esimerkiksi Demokritos oli yrittänyt laskea kappaleiden tilavuuksia infinitesimaaleja käyttäen[22], mutta vasta Eudoksos kehitti äärettömän pienillä suureilla suoritettavasta laskennasta eksaktia. Hän onnistui todistamaan lauseen, jonka mukaan vähentämällä annetusta suureesta vähintään puolet, jäljelle jääneestä suureesta vähintään puolet ja jatkamalla prosessia, saadaan luku, joka on mitä tahansa lukua pienempi. Tämä tarkoittaa nykymerkinnöin 




lim

n
→
∞


M
(
1
−
r

)

n


=
0


{\displaystyle \lim _{n\to \infty }M(1-r)^{n}=0}

, jossa 



M


{\displaystyle M}

 on alkuperäinen suure ja 



1

/

2
≤
r
<
1


{\displaystyle 1/2\leq r<1}

. Eudoksoksen oppilas Menaikhmos löysi kartioleikkaukset tutkiessaan kuution kahdentamista.[23]
Hellenistinen kausi (300–100 eaa.)


300-luvun lopulla eaa. Aleksanteri Suuri oli yhdistänyt Kreikan, Egyptin ja koko Lähi-idän valtansa alle. Helleenisen ja itäisen kulttuurin sulautuessa toisiinsa syntyi uusi hellenistinen kulttuuri. Matematiikan kehitykseen tämä vaikutti siten, että matematiikan keskus siirtyi Kreikasta Aleksandriaan. Hellenististä kautta sanotaan myös aleksandrialaiseksi kaudeksi, ja sitä pidetään kreikkalaisen matematiikan huipentumana.[24] Tänä aikana elivät kuuluisat matemaatikot Eukleides (325–265 eaa.)[25], Arkhimedes (287–212 eaa.) ja Apollonios Pergalainen (noin 262–190 eaa.).
Eukleides tunnetaan parhaiten teoksestaan Stoikheia, Alkeet¨. Teos tunnetaan myös latinankielisellä nimellään Elementa. Se on tärkein tietolähde antiikin Kreikan matematiikasta. Alkeet on nimensä mukaisesti matematiikan perusteiden oppikirja, eikä käsittele aikansa edistyksellisintä matematiikkaa. Eukleides on kirjoittanut teoksensa aiempien tutkimusten perusteella, ja luultavasti hyvin vähän sen sisällöstä on hänen itsensä kehittämää. Eukleideen ansio on kirjan loogisessa rakenteessa ja pyrkimyksessä matematiikan perusteiden selkeään esitykseen tietyistä aksioomista lähtien. Vaikka hänen logiikkansa ei täytä nykyisiä täsmällisyysvaatimuksia, se oli antiikin matemaatikoille täysin riittävää. 13 kirjasta koostuva Elementa alkaa tasogeometrialla, sisältää Eudoksoksen suhteen määritelmän pohjalta kehitetyn verrantojen teorian ja ekshaustiomenetelmän, käsittelee lukuteoriaa ja päättyy Platonin kappaleiden käsittelyyn. Eukleides kirjoitti muitakin teoksia, jotka sisälsivät enemmän hänen omaa tutkimustaan, mutta nämä ovat pääosin hävinneet. Muiden lähteiden viittausten mukaan hän oli tutkinut ainakin kartioleikkauksia ja kehittänyt jonkinlaista analyyttistä geometriaa.[26]
Arkhimedes oli paitsi matemaatikko, myös keksijä ja historian ensimmäinen matematiikkaa lähtökohtanaan käyttänyt fyysikko. Lukuun ottamatta Pythagoraan teoriaa kielen pituuden vaikutuksesta sävelkorkeuteen kaikki fysiikka oli Arkhimedekseen asti ollut spekulatiivista ja filosofista. Arkhimedes selitti matematiikan avulla nosteen ja vipulain, jolla hän saattoi laskea monimutkaistenkin kappaleiden painopisteitä. Nämä yhdistämällä hän pystyi laskemaan, miten erimuotoiset kappaleet ja veneet kelluvat ja loi siten hydrostatiikan perustan. Vipulakiaan apuna käyttäen Arkhimedes kehitti ekshaustiomenetelmän huippuunsa ja laski esimerkiksi pallosegmentin pinta-alan ja tilavuuden ja spiraalin sisään jäävän pinta-alan. Arkhimedes onnistui myös ensimmäisenä ratkaisemaan yleisen kolmannen asteen yhtälön reaaliarvoiset juuret.[27]
Apolloniosta voidaan pitää antiikin suurimpana geometrikkona. Toisin kuin Eukleides, hän kehitti itse valtavan määrän todistuksia ja uusia geometrian lauseita. Hänen töistään suurin osa on hävinnyt, mutta tärkein, Kartioleikkauksista, on säilynyt. Siinä Apollonios näyttää, kuinka kartioleikkauksia voidaan käsitellä tasossa ja kuinka samasta kartiosta voidaan saada kaikki kartioleikkaukset leikkauskulmaa muuttamalla. Hän käyttää ensimmäisenä koordinaatistoa, mutta ei pidä sitä itsenäisenä järjestelmänä, vaan liittää jokaiseen kartioleikkaukseen koordinaatiston käyrän halkaisijana ja tangenttina. Apollonioksen muusta geometrisesta työstä on hyvänä esimerkkinä hänen mukaansa nimetty Apollonioksen ongelma, jonka vaikeinta osaa, kolmea ympyrää sivuavaa ympyrää, Apollonius ei itse osannut ratkaista. Lisäksi Apolloniuksen ansioihin kuuluu ajatus planeettojen liikkeen kuvaamisesta episykleillä.[28]
Roomalainen kausi (100 eaa.–529)
Kreikka ja Egeanmeren alue liitettiin 100-luvulla eaa. Rooman valtakuntaan. Samaan aikaan alkoi myös kreikkalaisen matematiikan taantuminen ja muuttuminen käytännöllisemmäksi. Joidenkin tutkijoiden mielestä taantuman syynä oli Rooman kielteinen suhtautuminen tieteisiin. Käytännöllinen suuntaus näkyi trigonometrian kehittymisenä tähtitieteen ja muun mittauksen tarpeisiin. Trigonometriaa kehittivät erityisesti Hipparkhos (180-125 eaa.), joka vakiinnutti ympyrän jakamisen 360 asteeseen, ja Ptolemaios (85–165)[29], joka teki trigonometrisia kaavoja käyttäen trigonometrisia taulukkoja asteen neljänneksen välein. Taulukot julkaistiin hänen merkittävimmässä työssään Almagestissa. Kreikkalaiset eivät käyttäneet trigonometrisia funktioita samassa mielessä kuin nykyään, vaan heille funktioiden arvot liittyivät kiinteästi tiettyä kulmaa vastaavaan ympyrän jänteeseen. Kreikkalaiset tunsivät myös kaikki tärkeimmät nykyäänkin käytössä olevat trigonometriset kaavat, mutta käyttivät niitä geometrisessa muodossa erilaisina kaavoina ympyrän jänteille.[30]
Vaikka matematiikka ei kiinnostanutkaan Roomaa tai roomalaisia, kreikkalainen matematiikka nousi hiljaisemman kauden jälkeen uuteen kukoistukseen 200-luvulla. Tuolloin heräsi uudestaan kiinnostus lukuteoriaa kohtaan geometrian oltua pitkään lähes ainoa tutkittu matematiikan haara. Syynä tähän oli uusplatonismiin herättämä kiinnostus pythagoralaisten ajatuksiin lukujen hallitsemasta maailmasta ja Babyloniasta Rooman valloitusten mukana levinnyt kiinnostus algebraan. Uuden suuntauksen merkittävin edustaja oli Diofantos (noin 200–284)[31]. Häntä kutsutaan joskus algebran isäksi, koska hän vakiinnutti symbolien käytön matematiikassa tuohon asti käytössä olleiden sanallisten ohjeiden sijaan. Diofantos tutki indeterminoituja yhtälöitä ja ratkaisi niitä eksaktisti, tosin hän ei ollut kiinnostunut löytämään kaikkia mahdollisia ratkaisuja. Täsmällisen logiikan sijaan Diofantos keskittyikin ongelmien ratkaisemiseen käytännössä.[32]
Geometrian alalla matematiikan uusi nousu huipentui Pappokseen (290–350)[33]. Hän oli viimeinen merkittävä antiikin geometrikko. Tärkein hänen julkaisuistaan oli Kokoelma (Synagoge), jossa hän pyrkii kokoamaan yhteen silloisen geometrian osaamisen. Teos on viittaustensa ansiosta arvokas lähde aiempaan matematiikan kehitykseen. Lisäksi se sisältää Pappoksen omaa tutkimusta, lähinnä aiempien geometristen lauseiden yleistyksiä ja uusia todistuksia. Lisäksi hän esittää hypoteesin, että kolme klassista geometrian ongelmaa eivät ole ratkaistavissa harpilla ja viivottimella. Vasta moderni algebra mahdollisti hypoteesin todistamisen. Pappos myös todistaa kirjassaan Pappos-Guldinin teoreemana tunnetun lauseen.[34]
Pappoksen jälkeen matematiikan kehitys Euroopassa loppui vuosisadoiksi. Hänen jälkeensä vain etevimmät matemaatikot kykenivät ymmärtämään kokonaan antiikin tekstejä ja tyytyivät vain kommentoimaan ja selittämään niitä. Aleksandrian aika matematiikan keskuksena loppui vuonna 415, kun fanaattiset kristityt murhasivat vanhoja helleenisiä arvoja ja pakanuutta puolustaneen Hypatian, joka oli oppinut matemaatikko. Aleksandrian kirjaston yhteydessä toiminut yliopisto oli tosin suljettu jo aiemmin, mutta murha pelästytti muut oppineet, jotka jättivät kaupungin.[35] Länsi-Roomassa matematiikan harjoittaminen ei ollut koskaan saavuttanut merkittävää asemaa, ja valtakunnan romahdettua sekavat olot eivät antaneet mahdollisuuksia yliopistotoimintaan. Kauimmin antiikin matematiikka eli Bysantissa, jossa esimerkiksi Eutokios teki vielä 500-luvun alussa merkittäviä kommentaareja Arkhimedeen ja Apollonioksen töihin. Bysantissa matematiikan keskuksena oli säilynyt Platonin Akatemia, mutta keisari Justinianus I lakkautti opiston vuonna 527 pitäessään sen uusplatonistista filosofiaa uhkana kristinuskolle.[36]
Amerikan alkuperäiskansojen matematiikka (500 eaa.–1500)
Matematiikka ei ehtinyt kehittyä Amerikassa pitkälle ennen eurooppalaisten saapumista. Monissa alkuperäiskansojen kielissä ei ole edes kahta suurempia lukusanoja, vaan ne korvataan käsitteellä monta. Niissä kielissä, joissa lukusanoja oli enemmän, oli käytössä yleisimmin kolmi-, kymmen- tai 20-järjestelmä. Pisimmälle lukujen käsittely kehittyi Inkavaltiossa ja Keski-Amerikan kehittyneissä intiaanivaltioissa. Varsinaisesta matematiikasta voidaan kuitenkin puhua vain mayojen osalta. Noin 500-luvulla eaa. käyttöönotettu mayojen numerojärjestelmä oli maailman ensimmäinen täydellinen paikkajärjestelmä, ja mayat käyttivät siten nollaa ensimmäisinä maailmassa. Muilta osin mayat eivät kuitenkaan olleet samalla tasolla kuin aikalaisensa Egyptissä tai Mesopotamiassa. Minkäänlaista algebraa ei ollut ja matematiikkaa käytettiin vain käytännön tarkoituksiin. Tärkeimpiä sovellusaloja olivat tähtitiede, ajanlasku ja asemakaavoituksellinen suunnittelu. Mayat käyttivät geometriaa rakennusten mittojen ja sijainnin määrittämiseen uskonnon kannalta edullisiksi. Mayojen ajanlasku oli hyvin tarkka ja pohjautui tarkkoihin astronomisiin havaintoihin. He mittasivat esimerkiksi synodisen kuukauden pituuden 23 sekunnin tarkkuudella.[37],[38]
Kiinalainen matematiikka (300 eaa.–1600)

Matematiikka kehittyi Kiinassa ilman tiedonvaihtoa muiden korkeakulttuurien kanssa ainakin ajanlaskun alkuun asti, myöhemmistä yhteyksistä etenkin Intiaan on vain hajanaisia tietoja ja tiedonkulun suunta on epäselvä. Kuten helleenisellä alueella, myös Kiinassa suuri osa alkuperäisistä lähteistä on tuhoutunut, osin moniin dynastianvaihdoksiin liittyneiden murroskausien välillä. Vanhin säilynyt teos Zhou Bi Suan Jing on luultavimmin peräisin 300-luvulta eaa. Se käsittelee tähtitieteellisiä mittauksia, alkeisgeometriaa ja murtolukulaskentaa. Tätä kuuluisampi on noin vuodelta 250 eaa. oleva Yhdeksän lukua, joka on ilmeisesti varhaisin teos, jossa käytetään negatiivisia lukuja. Kumpikaan teoksista ei yllä kreikkalaisten tutkielmien loogisen täsmällisyyteen, vaan muistuttaa Babyloniassa ja Egyptissä tehtyjä ongelmakokoelmia, joissa tehtävät liittyvät käytännön mittauksiin.[39]
Kiinassa oli käytössä kymmenkantainen paikkajärjestelmä jo satoja vuosia ennen ajanlaskun alkua, mutta nolla otettiin käyttöön vasta 700-luvulla. Myös murtoluvut merkittiin desimaalijärjestelmällä. 200-luvulla jaa. Liu Hui käsitteli geometristen ongelmien lisäksi yhtälöryhmiä ja ratkaisi korkeampaa astetta olevia yhtälöitä nykyään Hornerin metodina tunnettua operaatiota muistuttavalla tavalla. Zu Chongzhi (430–501) laski piin arvon hämmästyttävän tarkasti (3,1415926<π<3,1415927). Kiinalaisen matematiikan huippu saavutettiin kuitenkin vasta 1200-luvulla. Merkittävin ajan matemaatikko oli Zhu Shijie, joka esittelee teoksessaan Neljän elementin kallisarvoinen peili nykyään Pascalin kolmiona tunnetun taulukon ja jopa 14. asteen yhtälöiden iteratiivisia Hornerin menetelmää muistuttavia likimääräisiä ratkaisuprosesseja. Toinen aikakauden matemaatikko Yang Hui kehitti suurimmillaan 10 kertaa 10 -kokoisia taikaneliöitä, joiden käsittelyä varten kiinalaiset olivat kehittäneet matriisioperaatioiden tapaisia menetelmiä. Kolmas merkittävä matemaatikko oli Qin Jiushao. 1200-luvun jälkeen kiinalaisen matematiikan kehittyminen hidastui, ja 1400-lukuun mennessä se oli jäänyt selvästi Arabian ja Euroopan matematiikan tasosta jälkeen.[40]
Intialainen matematiikka (0–1600)
Intian varhaisen matemaattisen kehityksen tarkastelu on vaikeaa lähteiden puutteen ja muinaisen hindulaisen ajanlaskun kuvitteellisuuden vuoksi. Alueen varhaisimman Indus-kulttuurin ajalta ei ole olemassa mitään lähteitä. Ensimmäinen säilynyt kirjallinen tuote on geometrisen tiedon kokoelma Sulvasutra, jonka synty ajoitetaan vuosiin 700 eaa.–100 jaa. Se käsittelee lähinnä maanmittaukseen liittyvää tasogeometriaa ja siinä on babylonialaisia vaikutteita. Seuraavat lähteet ovat Gupta-valtakunnan ajalta 300–500-luvuilta peräisin olevat Siddhantat. Ne ovat eeppisten säkeiden muotoon kirjoitettuja todistamattomien matemaattisten sääntöjen kokoelmia, jotka sisältävät myös virheellisiä kaavoja esimerkiksi kappaleiden tilavuuksille. Todistamattomuus ja intuitiivisuus ovat intialaiselle matematiikalle tyypillisiä piirteitä myöhemminkin. Siddhantoissa on havaittavissa kreikkalaisia vaikutteita, mutta intialaiset matemaatikot ovat muuttaneet ne itselleen ominaiseen muotoon. Hyvä esimerkki tästä on teosten merkittävin anti, nykymuotoiset trigonometriset funktiot. Kreikkalaiset olivat käyttäneet ympyrän jänteen suhdetta keskuskulmaan, mutta intialaiset ottivat käyttöön jänteen puolikkaan verrattuna keskuskulman puolikkaaseen.[41]

Merkittävä matemaatikko Aryabhata laajensi vuonna 499 julkaistussa teoksessaan Aryabhatiya trigonometristen funktioiden käyttöä. Teoksen merkittävin osa on kuitenkin sen intialaista lukujärjestelmää käsittelevä osa. Se osoittaa intialaisten ottaneen ensimmäisinä käyttöön modernin kokonaislukujen merkintätavan, jota nykyään kutsutaan arabialaisiksi numeroiksi. Hellä oli täydellinen paikkajärjestelmä, jonka kantaluku oli 10 ja jonka numeroiden merkintään käytettiin vain kymmentä merkkiä. Mikään näistä kolmesta ominaisuudesta ei ollut kehittynyt Intiassa, mutta siellä ne yhdistettiin ensimmäisen kerran. Kreikkalaisten joonialaiseen merkintätapaan nähden merkittävin muutos oli nollan lisääminen, lisäksi paikkajärjestelmän takia tarpeettomat omat merkit kymmenille ja sadoille jätettiin pois. Nollan synnyn tarkka ajoittaminen on mahdotonta, ja ilmeisesti sitä aluksi merkittiin vain tyhjällä paikalla. Varhaisin kiistaton nolla on löydetty vuodelta 876 olevasta kaiverruksesta. Intialaiset käyttivät paikkajärjestelmää kuitenkin vain kokonaislukujen merkintään.[42]
600-luvun tärkein intialainen matemaatikko Brahmagupta esitti ensimmäisenä yleisen ratkaisun muotoa ax+by=c olevalle Diofantoksen yhtälölle. Toinen merkittävä saavutus on ensimmäinen systemaattinen esitys negatiivisten lukujen ja nollan aritmetiikalle, joskin Brahmagupta esittää virheellisesti, että 0/0=0, yleiseen tapaukseen x/0 hän ei ota kantaa. Lisäksi hän esittää lukuisia geometriaan ja yhtälöratkaisuun liittyviä hyvin eritasoisia tuloksia, joista osa on täysin virheellisiä. Hiljaisemman kauden jälkeen Intian matematiikka saavutti huippunsa 1100-luvulla. Tuolloin elänyt Bhāskara II (1114–1185) laajensi Brahmaguptan nollaa koskevia laskusääntöjä toteamalla, että x/0=ääretön. Raja-arvoista intialaiset eivät kuitenkaan puhuneet, ja Bhaskara määritteli 0•a/0=a. Lisäksi hän esitti ratkaisuja Pellin yhtälölle.[43]
Arabialainen matematiikka (600–1600)

Rooman valtakunnan hajottua ja hellenistisen tieteen taannuttua Muhammadin perustamalla islamilaisella valtakunnalla oli oleellinen merkitys antiikin tiedon säilyttäjänä ja uuden tiedon luojana. Paimentolaisina eläneet arabit omaksuivat nopeasti Babylonian, Kreikan ja Intian matemaatikkojen saavutukset, yhdistelivät niitä ja laajensivat tuloksia. 750-luvulla kalifi al-Mansur alkoi kehittää valtakunnan pääkaupungista Bagdadista merkittävää oppineisuuden keskusta, ja vanhoja käsikirjoituksia alettiin kääntää arabiaksi. Hänen seuraajansa Harun al-Rašid ja Al-Mamun jatkoivat tieteiden suosimista, ja jälkimmäinen perusti Bagdadiin Viisauden talon, jonne kerättiin oppineita ympäri tunnettua maailmaa.
Ensimmäisiä merkittäviä Viisauden talon matemaatikkoja oli 800-luvun alussa elänyt Al-Khwarizmi, joka kirjoitti useita matematiikkaa ja tähtitiedettä käsitteleviä teoksia. Hänen kirjallisesta tuotannostaan tärkeimpiä ovat algebralle nimen antanut Al-jabr sekä arabien omaksumaa intialaista lukujärjestelmää käsittelevä kirja, joka tunnetaan vain latinankieliseltä nimeltään De numero indorum. Näistä kahdesta jälkimmäisen perusteellisuuden ja myöhemmän laajan leviämisen vuoksi Euroopassa alettiin intialaista järjestelmää pitää arabialaisten kehittämänä, ja numeroita alettiin kutsua arabialaisiksi numeroiksi. Al-jabrin ansiosta Al-Khwarizmia voidaan pitää Diofantoksen lisäksi algebran isänä, sillä hän käsitteli siinä johdonmukaisesti ja huolellisesti kokonaislukujen laskusääntöjä sekä ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöiden ratkaisemista. Toisen asteen yhtälöissä negatiivisia juuria ei hyväksytty todellisiksi ratkaisuiksi, vaikka negatiivisia lukuja käytettiinkin Arabiassa yleisesti. Teoksessa käytiin läpi niin laskujen algebralliset kuin geometrisetkin todistukset, mikä on osoitus sekä babylonialaisista että kreikkalaisista vaikutteista.[44]
Toinen merkittävä 800-luvun matemaatikko Thabit ibn-Qurra ansioitui etenkin antiikin edistyksellisimpien töiden käännättämisessä ja kommentoinnissa. Hän laajensi ja korjasi lauseita ja todistuksia esimerkiksi lukuteorian ja paraboloidien geometrian osalta. Viimeistään hänen aikanaan Arabiassa oli vakiintunut intialaisten käyttämä moderni trigonometristen funktioiden muoto kreikkalaisten vanhan tavan sijaan. Trigonometriaa kehitti edelleen 900-luvulla elänyt Abu al-Wafa, joka otti laajaan käyttöön sinin ja kosinin lisäksi muutkin trigonometriset funktiot ja yksikköympyrän sekä todisti lukuisia trigonometrisia identiteettejä. 1000-luvulla arabialainen tiede saavutti huippunsa. Optiikan isänä tunnettu Ibn-al-Haitham tutki valon kulkua ja silmän rakennetta. Niissä hän sovelsi ja laajensi antiikin aikaisia kartioleikkauksiin liittyviä avaruusgeometrisia tuloksia. ibn Yunus johti kaavan kahden kosinin tulolle. Myös runoilijana tunnettu persialainen Omar Khaijam kirjoitti al-Khawarizmin teosta laajemman algebran esityksen, joka sisälsi myös kolmannen asteen yhtälöiden positiivisten juurien ratkaisemisen geometrisella menetelmällä. Hän pyrki kaventamaan numeerisen ja geometrisen algebran välistä jakoa, eikä tutkinut tätä korkeamman asteen yhtälöiden ratkaisua, koska niille ei ollut vastinetta todellisuudessa. Lisäksi hän pyrki täsmentämään rationaaliluvun, reaaliluvun ja irrationaaliluvun määritelmiä. Khaijam esittää myös tuolloin Kiinassakin tunnetun Pascalin kolmion, jonka alkuperä on epäselvä.[45]
Khaijamin jälkeen 1100-luvulla islamilaisen maailman tieteen taso alkoi laskea yhdessä valtiollisen hajaannuksen kanssa. Matematiikan taso ei kuitenkaan laskenut yhtäkkiä. 1200-luvulla persialainen Nasir al-Din al-Tusi tutki geometriaa ja trigonometriaa ja tuotti ensimmäisen järjestelmällisen pallogeometrian esityksen. Viimeinen merkittävä matemaatikko oli 1400-luvulla elänyt al-Kashi, joka tutustui Samarkandissa kiinalaisten matemaattisiin tuloksiin. Hän on kuuluisa tarkoista laskennallisista saavutuksistaan. Kiinalaisilta oppimallaan Hornerin metodilla hän ratkaisi tarkkoja likiarvoja yhtälöille ja laski piin arvon 16 desimaalin tarkkuudella.[46]
Matematiikka keskiajan Euroopassa (529–1450)
Länsi-Euroopassa oli Rooman valtakunnan hajottua huonot mahdollisuudet tieteen harjoittamiseen. Valtiot eivät panostaneet tutkimukseen, ja oppineisuus keskittyi luostareihin. Koko keskiajan tieteellistä kehitystä hidasti monien kristittyjen oppineiden näkemys tieteellisen tutkimuksen tarpeettomuudesta uskonnon rinnalla.[47] Bysantissa vastaavaa poliittista sekasortoa ei syntynyt, ja siellä kulttuurin kehitys ei katkennut. Kristinusko hidasti sielläkin uutta tutkimusta, mutta luostareissa laadittiin antiikin teoksiin kommentaareja ja kopioitiin teoksia. Teologian merkityksen kasvu johti kuitenkin siihen, että kaikkia antiikin matemaattisia saavutuksia ei enää ymmärretty. Siten Bysantissa ei keskiajalla tehty merkittäviä uusia matemaattisia havaintoja.[48]
Kaarle Suuren yhdistettyä suuren osan Länsi-Eurooppaa Frankkien valtakuntaan 700-luvun lopulla oppineisuuden taso alkoi vähitellen kääntyä nousuun. Kaarle Suuri pyrki kehittämään valtakuntansa koululaitosta ja avasi kirjastoja tärkeimpiin kaupunkeihin. Kuuluisin valtakunnan oppinut oli Englannista kutsuttu matemaatikko Alkuin Yorkilainen. Antiikin matemaattisia teoksia ei kuitenkaan ollut juurikaan säilynyt tai saatavilla lännessä. Matematiikka rajoittui vielä geometrian alkeisiin ja ajanlaskun ylläpitoon. Lukuun ottamatta matematiikkaa harrastaneen paavi Sylvester I:n Boëthiuksen teoksiin laatimia kommentaareja Länsi-Euroopan matematiikan osaaminen ei juuri lisääntynyt ennen 1100-lukua.[49][50]

1100-luvulla eurooppalaisten yhteydet arabialaiseen maailmaan lisääntyivät ja arabian kielen taito levisi eurooppalaisten oppineiden piiriin. Tärkein yhteys oli Espanja, jossa Toledo kasvoi merkittäväksi oppineisuuden ja käännöstyön keskukseksi, mutta myös Sisilian ja Bysantin kautta saatiin tietoa Arabiasta. Ensimmäinen arabiasta käännetty matemaattinen teos oli Elementa vuonna 1142, Muita tärkeitä 1100-luvulla tehtyjä käännöksiä olivat Ptolemaioksen Almagest ja al-Khwarizmin Algebra. Käännökset levisivät yliopistoihin, joita alettiin perustaa 1100-luvulla taloudellisen kasvun turvin yhteiskunnallisten olojen vakauduttua. Erityisesti trigonometria saavutti vahvan aseman Länsi-Euroopassa. Käännösten myötä intialaiset numerot saapuivat Eurooppaan. Ne yleistyivät vähitellen, sillä jo paavi Sylvester I oli käyttänyt niitä kirjoituksissaan[51], mutta vasta 1200-luvulla ne syrjäyttivät roomalaisten numeroiden käytön matemaatikkojen piirissä. Intialaisten numeroiden käyttöönottoa edisti 1200-luvun merkittävin eurooppalainen matemaatikko Fibonacci kirjassaan Liber Abaci, jossa hän perusteli niiden etuja roomalaisiin numeroihin nähden. Matematiikassa hän keskittyi algebraan ja lukuteoriaan, hän tutki arabiasta käännettyjen teosten opastamana etenkin Diofantoksen suosimia indeterminoituja ongelmia ja laski likimääräisratkaisuja kolmannen asteen yhtälöille mahdollisesti Kiinasta arabialaisten kautta opitulla Hornerin metodilla. Toinen huomattava 1200-luvun matemaatikko oli Nemorarius, joka esitti ensimmäisenä oikein kaltevalla tasolla olevaan kappaleeseen vaikuttavan voiman ja kirjoitti lukuisia puolifilosofisia aritmetiikkaa ja geometriaa käsitteleviä teoksia.[51]
1300-luvulla Euroopan tärkeimmiksi matematiikan tutkimuksen keskuksiksi nousivat Oxfordin ja Pariisin yliopistot. Vaikka matemaattisten menetelmien osaaminen ei ollut vielä samalla tasolla kuin antiikin Kreikassa ja Arabiassa, 1200- ja 1300-luvun Euroopassa syntyi lukuisia uusia ajatuksia ja näkökulmia. Geometrian ja algebran puutteellisen osaamisen takia tutkimus suuntautui skolastikkoja kiinnostaneisiin optiikkaan ja kinematiikkaan liittyvään matematiikkaan. Thomas Bradwardine (1290–1349) otti käyttöön liikelakeja tutkiessaan kokonaislukupotenssit ja kokonaislukujuuret, ja pariisilainen Nicole Oresme (1323–1382) laajensi tämän yleisiin murtolukupotensseihin ja esitti nykyisiä potenssien laskusääntöjä vastaavat lait. Hankalat merkinnät ja puutteellinen teoria estivät häntä kehittämästä irrationaalipotenssien käsitettä. Oresme kuvasi ensimmäisenä muuttuvaa suuretta koordinaatiston käyränä. Hän kuitenkin rajoittui lineaarisiin funktioihin kuvatessaan nopeutta ajan funktiona, mutta esitti, että kappaleen kulkema matka saadaan laskemalla kuvaajan alle jäävä pinta-ala. Hän yritti laajentaa ajatustaan myös kahden muuttujan funktioihin, mutta algebrallisen osaamisen puuttuessa joutui tyytymään kuvallisiin hahmotelmiin. Toinen uusi 1300-luvulla syntynyt ajatus oli päättymättömien sarjojen summan laskeminen. Oresme osoitti ensimmäisenä harmonisen sarjan hajaantuvan ja laski monien suppenevien sarjojen summia. Hänen voidaan katsoa olevan viimeinen merkittävä keskiajan eurooppalainen matemaatikko. 1300-luvun puolivälissä musta surma levisi Eurooppaan, satavuotinen sota alkoi rasittaa Ranskaa ja Englantia ja matematiikan tason nousu pysähtyi. Renessanssin alkaessa 1400-luvulla tutkimuksen keskus siirtyi Italiaan, Saksaan ja Puolaan.[52]
Renessanssin matematiikka (1450–1600)
1400-luvun puolivälissä Eurooppa alkoi toipua mustan surman aiheuttamasta taloudellisesta ja väestöllisestä kriisistä. Samaan aikaan kulttuurissa tapahtui renessanssiksi kutsuttu murros. Humanististen arvojen voimistuminen ja kiinnostuksen kohdistuminen aiempaa enemmän maallisiin asioihin edistivät merkittävästi kaikkien tieteiden kehitystä, ja Johannes Gutenbergin keksimä kirjapaino nopeutti uusien teoksien levittämistä[53]. Ensimmäisenä painettiin Saksassa erilaisia aritmetiikan alkeisoppikirjoja.[54]

Vielä keskiajalla lähes kaikki kaavat olivat olleet sanallisessa muodossa, joskin yleisimmistä sanoista käytettiin lyhenteitä. Renessanssin aikana symbolien käyttö lisääntyi matemaattisessa kirjoituksessa huomattavasti, ja monet edelleen käytössä olevat matematiikan perusmerkinnät ovat peräisin 1400- ja 1500-luvuilta. Uudet merkinnät levisivät vähitellen, ja vaihtoehtoisiakin merkintätapoja oli aluksi käytössä.[55] Nicolas Chuquet otti 1484 käyttöön potensseille nykyisen merkinnän, jossa luvun x potenssi ilmaistaan sen oikeaan yläkulmaan kirjoitetulla eksponentilla[56]. Saksassa syntyneet symbolit + ja − korvasivat aiemmin käytössä olleet lyhenteet p ja m. Uudet symbolit esiintyvät ensimmäistä kertaa Johannes Widmannin Behende und hupsche Rechnung auf allen kauffmanschafft -teoksessa 1489.[57] Desimaaliosien nykyinen merkintätapa ja moderni juurimerkintä syntyivät myös Saksassa 1500-luvun alussa.[58] Kahta yhdensuuntaista suoraa kuvaavan yhtäsuuruusmerkin keksi englantilainen Robert Recorde 1551 julkaistua teostaan varten[59]. 1500-luvulla yleistyi myös jo Fibonaccin arabialaisilta oppiman jakoviivan käyttö[60]. Eroina nykyiseen merkintätapaan tuntematonta suuretta merkittiin usein pisteellä tai ylöspäin aukeavalla ympyränkaarella kirjaimen sijaan[61], ja kertolaskun ja erisuuruuksien symboleita ×, > ja < ei ollut vielä käytössä[62].
Algebra oli ensimmäinen matematiikan ala, jossa eurooppalaiset matemaatikot ylittivät selvästi antiikin ja Arabian tutkijoiden saavutukset. Sekä Nicolas Chuquet että italialainen Luca Pacioli julkaisivat 1400-luvun lopulla laajalle levinneet algebran kokoomateokset, ja myös Saksassa julkaistiin vastaavia kirjoja. Algebran kehityksen kannalta merkittävin teos oli kuitenkin Geronimo Cardanon 1545 julkaisema Ars magna, jossa hän esittelee kolmannen ja neljännen asteen yhtälöiden ratkaisukaavat. Hän ei ollut kehittänyt niitä itse, vaan kolmannen asteen yhtälölle ratkaisun oli kehittänyt Niccolo Tartaglia tai Scipione dal Ferro, ja neljännen asteen yhtälölle Cardanon oppilas Ludovico Ferrari. Ratkaisukaavoista ei ollut suurta käytännön hyötyä, sillä neljättä korkeammankin asteen yhtälöitä oli osattu ratkaista jo aiemmin likimääräisesti halutulla tarkkuudella. Sen sijaan ratkaisukaavat pakottivat matemaatikot hyväksymään negatiiviset luvut ja niiden neliöjuuret. Aiemmin oli todettu, ettei yhtälöille, joilla on imaginaarisia juuria, ollut ratkaisua. Nyt negatiivisen luvun neliöjuuri esiintyi kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavassa eräänlaisena välivaiheena, vaikka lopputulos oli reaaliluku.[63] Cardano osasi käyttää kaavoja ilman varsinaista kompleksiluvun käsitettä, mutta vuonna 1570 italialainen matemaatikko Rafael Bombelli esitteli imaginaariyksikön -1:n neliöjuurena ja muotoili laskusäännöt kompleksilukujen peruslaskutoimituksille. Hän käytti imaginaariyksiköstä nimityksiä "plussan miinus" ja "miinuksen miinus" riippuen sen merkistä.[64]
Ranskalainen juristi ja hallintomies Francois Viète eli Vieta uudisti matematiikkaa alkamalla käyttää tunnettujen ja tuntemattomien suureiden merkinnässä kirjaimia. Kirjassaan In artem analyticem isagoge vuodelta 1591 hän merkitsee vokaaleilla tuntemattomia suureita ja konsonanteilla tunnettuja suureita. Tosin hän ei korvannut aivan kaikkia sanoja merkeillä, vaan kaavoihin jäi yhä sanoja mm. ilmaisemaan potensseja. Hän yhdessä hollantilaisen insinöörin Simon Stevinin kanssa puolsi desimaalilukujen käyttöä seksagesimaalimurtolukujen sijaan.[65]
Geometriassa kiinnostuttiin renessanssin myötä uudelleen antiikin saavutuksista, mutta lukuun ottamatta saksalaisen Johannes Wernerin kartioleikkauksia käsittelevää teosta ja Arkhimedeen, Apollonioksen ja Pappoksen vielä kääntämättömien töiden julkaisua tutkimus keskittyi puhtaan geometrian sijaan sovelluksiin. Erityisesti tähtitieteessä paljon käytetty trigonometria kehittyi huomattavasti, kun Regiomontanus irrotti sen arabialaisten vaikutteiden inspiroimana tähtitieteestä omaksi matematiikan alakseen. Hänen teoksensa De Triangulis (1533) sisältää trigonometristen taulukoiden lisäksi lukuisia taso- ja pallogeometriaa käsitteleviä trigonometrisia lauseita ja niiden todistuksia. Tosin esitystapa oli täysin sanallinen, koska nykyisiä merkintätapaoja ei vielä ollut[54]. Itse sana trigonometria tuli käyttöön vasta 1500-luvun jälkipuoliskolla[54]. Hänen jälkeensä preussilainen Rheticus hylkäsi aiemman ympyrän kehän osan ja säteen suhteeseen perustuneen lähestymistavan ja määritteli trigonometriset funktiot suorakulmaisen kolmion sivujen suhteiden avulla. Toinen tärkeä sovellusala oli kartanpiirtäminen. Uusi Gerhardus Mercatorin kehittämä projektio ei vääristänyt suuntia tai muotoja, ja oli tärkeä askel parempien karttojen luonnissa. Lisäksi geometrian avulla kehitettiin perspektiivin teoria.[66]
Trigonometrian kehitys ja löytöretket toivat mukanaan tarpeen ratkaista monimutkaisia kerto- ja jakolaskuja. Tähän ongelmaan John Napier kehitti logaritmit. Logaritmien avulla voitiin palauttaa kaikki aritmeettiset laskutoimitukset yhteen- ja vähennyslaskuiksi. Napier esitteli järjestelmänsä ja ensimmäiset logaritmitaulukot kirjassaan Mirfici logarithmorum descrriptio eli kuvaus logaritmisen ihmeellisestä säännöstä vuonna 1614.[67] Logaritmitaulukoihin hän laski luvut geometrisista sarjoista iteroimalla. Myös sveitsiläinen koneenrakentaja Jobst Bürg keksi Napieristä riippumatta logaritmit vuonna 1588, mutta hänen keksintönsä tuli julkisuuteen vasta vuonna 1620. Hänen käyttämänsä menetelmä perustui luvun 1,0001 potensseihin.[54]
1600-luku

Nykymatematiikan kannalta tärkeät keksinnöt differentiaali- ja integraalilaskenta sekä analyyttinen geometria syntyivät 1600-luvulla. Tästä syystä vuosisataa voi pitää eräänä matematiikan historian suurista käännekohdista. Differentiaalilaskennan synty liitetään yleensä Newtoniin ja Leibniziin, analyyttinen geometria taas Descartesiin. On huomattava, että tuolloin integraalilaskenta kehittyi ennen differentiaalilaskentaa eli päinvastaisessa järjestyksessä, kuin niitä nykyään opetetaan. Ei ole varmmuutta siitä, keksivätkö Newton ja Leibniz differentiaali- ja integraalilaskennan toisistaan riippumatta vai ei[68].[69] Tämä riitely differentiaali- ja integraalilaskennan keksijästä jakoi tiedeyhteisöä; Englannissa oltiin Newtonin takana, kun taas Manner-Euroopassa kannatettiin Leibniziä.[70] Sanan integraali otti käyttöön Jakob Bernoulli vuonna 1690. Myös Leibniz, joka oli itse käyttänyt sanaa calculus summatorius, omaksui integraali-sanan. Bernoullille kuuluu myös kunnia tavanomaisimpien integrointitekniikoiden, kuten muuttujanvaihdon, kehittämisestä.[71]
Eräs keskeinen ongelma, johon matemaatikot törmäsivät differentiaali- ja integraalilaskennassa, oli infinitesimaalit eli äärettömän pienet suureet. Näihin törmättiin myös kehitettäessä erilaisia menetelmiä tangentin arvon laskemiseksi.[72] Tämä ongelma pysyi koko 1600-luvun ajan ja ratkaisu siihen saatiin vasta 1700-luvulla ranskalaisen Jean le Rond d’Alembertin työn tuloksena, joka keksi lähestyä ongelmaa raja-arvojen kautta.[73]
Descartesin pääteos analyyttisen geometrian alalla La Géométrie ilmestyi alun perin filosofian alaan kuuluvan teoksen Discours de la Mćthoden liitteenä vuonna 1637. Tässä teoksessaan Descartes osoitaa algebran ja geometrian riippuvuuden toisistaan ja esittelee käsitteet karteesinen koordinaatisto ja karteesinen tulo.[69]

Eräs aikakauden suuria nimiä oli myös Pierre de Fermat, jonka saavutukset liittyvät geometrian, analyysin ja lukuteorian aloihin. Tunnetuin hänen hänen saavutuksensa on Fermat’n suuri lause. Lause tunnettiin jo antiikin kreikassa, mutta Fermat kirjoitti Arithmetican marginaaliin, että pystyy todistamaan, että yhtälölle 




x

n


+

y

n


=

z

n




{\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}

 ei ole kokonaislukuratkaisuja, kun 



n
≥
3


{\displaystyle n\geq 3}

. Hän itse osoitti tämän tapauksessa 



n
=
4


{\displaystyle n=4}

. Meni yli 300 vuotta osoittaa, että Fermat oli oikeassa. Fermat esitti myös Fermat’n periaatteena tunnetun lain, jonka mukaan valo etenee aina sitä reittiä, mikä on sille nopein. Tämä johti heijastuslakien, kuten Snellin lain syntymiseen.[69]
Ranskalainen matemaatikko Blaise Pascal kehitti vuosisadalla todennäköisyyslaskennan perusteita.[74]
Vuosisadalla kehitettiin myös numeerista laskentaa. Alan kehitys alkoi logaritmeista ja trigonometriasta.[75] Myös maailman vanhimmat matemaattiset yhdistykset on perustettu 1600-luvulla.[76]
1700-luku
Vuosisadalla integraalilaskenta kehittyi nykyiselle tasolleen, mutta muuten vuosisadalla ei saavutettu sellaisia vallankumouksellisia edistysaskeleita kuin edeltävällä vuosisadalla.[71] Eräs vuosisadan huomattavimpia matemaatikkoja on englantilainen Abraham de Moivre, joka teki uraauurtavaa työtä todennäköisyyslaskennan parissa. Hän esitti ensimmäisenä virhefunktion 




e


x

2






{\displaystyle e^{x^{2}}}

 ja sen yhteyden binomijakaumaan. Lisäksi hän julkaisi vuonna 1718 kirjan Doctrine of Chances, joka on ensimmäisiä kattavia todennäköisyyslaskennan esityksiä. De Moivre käytti edeltäjiään luontevammin kompleksilukuja. De Moivre on myös vakuutusmatematiikan pioneereja.[77]

Vuosisadalla eli myös yksi kaikkien aikojen merkittävimmistä matemaatikoista Leonhard Euler. Kuten suurin osa muistakin 1700-luvun matemaatikoista, Eulerkin teki elämäntyönsä tiedeakatemioissa, joista pisimpään hän työskenteli Pietarin tiedeakatemiassa. Euler oli eräs kaikkien aikojen tuotteliaimmista matemaatikoista; laati keskimäärin 800 sivun verran matemaattista tutkimusta vuodessa. Elinaikanaan Euler julkaisi yli 500 tutkimusta, ja hänen tutkimuksiaan julkaistiin vielä 40 vuotta hänen kuoleman jälkeenkin. Yhteensä Eulerin julkaisujen määrä on 856. Eulerin tuotannon laajuutta kuvaa se, että Eulerin kootut teokset, joiden julkaiseminen on yhä kesken, tulee sisältämään 74 osaa ja tähän ei edes sisälly hänen usean tuhannen kirjeen suuruinen kirjeenvaihtonsa. Ensimmäisen tutkielmansa hän julkaisi 19-vuotiaana. Julkaisut käsittelevät käytännössä kaikkia tuolloin tunnettuja matematiikan ja fysiikan osa-alueita, mukaan lukien oppikirjat ja tieteen popularisointi. Tieteen popularisoinnin alalla hänen merkittävin teoksensa on Kirjeitä eräälle saksalaiselle prinsessalle, joka on toiminut esikuvana myöhemmille matematiikkaa popularisoiville kirjoille.[78]
Euler pani alulle elliptisten integraalien tutkimuksen, joka osoittautui myöhemmin erittäin tärkeäksi alaksi. Analyysin lisäksi Euler kehitti paljon myös lukuteoriaa. Hänen tunnetuin työnsä on kuitenkin Königsbergin siltaongelman ratkaisu vuodelta 1736. Tämä toimi pohjana mm. graafiteorian kehitykselle.[79]
Katso myös
Logiikan historia
Luettelo matemaatikoista
Lähteet
Citation error, replace with{{cite book| author = Boyer, Carl| title = Tieteiden kuningatar: Matematiikan historia. Osat I ja II| others = Translated by Kimmo Pietiläinen| location = Helsinki| publisher = Art House| year = 1994| version = (A history of mathematics, 1985.)| id = ISBN 951-884-150-0}}
Citation error, replace with{{cite book| author = Seife, Charles| title = Nollan elämäkerta| location = Helsinki| publisher = WSOY| year = 2000| version = (Zero: The biography of a dangerous idea, 2000.) Suomentanut Risto Varteva| id = ISBN 951-0-25065-1}}
Check date values in: |accessdate= (help)
Viitteet

Kirjallisuutta
Citation error, replace with{{cite book| author = Lehtinen, Matti| title = Matematiikan lyhyt historia| location = Helsinki| publisher = Yliopistopaino| year = 1995| id = ISBN 951-570-227-5}}
Citation error, replace with{{cite book| author = Oikkonen, Juha (toim.)| title = Katsauksia matematiikan historiaan| location = Helsinki| publisher = Gaudeamus| year = 1982| id = ISBN 951-884-150-0}}
Citation error, replace with{{cite book| author = Pulkkinen, Jarmo| title = Sudenluusta supertietokoneeseen| location = Helsinki| publisher = Art House| year = 2004| id = ISBN 951-884-388-0}}
Citation error, replace with{{cite book| author = Flegg, Graham (toim.)| title = Lukujen historia: Sormilla laskemisesta tietokoneisiin| location = Helsinki| publisher = Art House| year = 2002| version = (Numbers through the ages, 1989.) Suomentanut Hannu Karttunen| id = ISBN 951-884-335-X}}
Citation error, replace with{{cite book| author = Bell, Eric T.| title = Men of Mathematics| publisher = Simon & Schuster| year = 1965| id = ISBN 0-671-62818-6}}
Aiheesta muualla

CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: unrecognized language (link)
*
Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit