[normattiva_dump]

L'approccio intuitivo ad alcuni concetti dell'analisi, quali ad es. quello di limite, non è in contraddizione con la loro effettiva genesi storica, cui si potrà eventualmente fare riferimento in sede didattica. A) Analisi. Convergenza e divergenza di successioni e serie numeriche, dedotte prima in modo empirico mediante l'elaboratore e poi trattate in modo rigoroso. Continuità, discontinuità, variazione di una funzione, dedotte prima dallo studio dei grafici e poi teorizzate mediante i limiti. Concetti elementari di topologia dell'insieme dei reali: intorno, classificazione dei punti. Limiti e loro proprietà. Derivazione: proprietà relative e interpretazioni. Studio analitico delle funzioni e verifica dei risultati. Primo approccio alle equazioni differenziali, mediante lo studio di y'=f(x). Integrali indefiniti, regole di integrazione. Integrali definiti e integrali impropri con applicazioni tipiche. B) Analisi numerica. Elementi di teoria degli errori: errori di misura, errori di troncamento, errori di approssimazione e loro propagazione. Verifica dei risultati mediante l'elaboratore. Studio di problemi di varia natura, aventi come modelli matematici sistemi lineari. Soluzione di sistemi lineari mediante metodi esatti e metodi approssimati. Interpolazione per punti ; derivazione e integrazione numerica. Laboratorio. L'elaboratore può risultare un valido strumento tecnologico atto a realizzare una prima fase di approccio sperimentale ai concetti fondamentali dell'analisi infinitesimale; diventa indispensabile nelle applicazioni all'analisi numerica. V Classe (5 ore, di cui 2 di laboratorio) I contenuti previsti per questa classe si collegano strettamente a quelli della quarta e ne costituiscono un ampliamento. L'utilizzazione degli strumenti acquisiti potrà essere finalizzata alla soluzione di problemi più complessi e alla progettazione di lavori interdisciplinari. A questo scopo l'insegnante potrà anche scegliere un argomento che esula dal programma, ma che sia attinente alla specializzazione come ad es.: operatori lineari e trasformate di Laplace e Fourier; linguaggi formali, sintassi, grammatica e semantica; assiomatizzazione di una teoria; problemi tratti dalla teoria dei numeri; ecc. A) Analisi. Sviluppi in serie di funzioni: serie di Taylor, serie di Mac-Laurin, formule di Eulero. Applicazioni grafiche realizzate mediante l'elaboratore. Sviluppo in serie di Fourier: scomposizione di un'onda quadra, a sega, a triangolo ed applicazioni a problemi fisici di varia natura. Verifica grafica dei risultati trovati. Cenni sulle funzioni di due o più variabili, derivate parziali. Generalizzazione di problemi di varia natura aventi come modelli matematici le equazioni differenziali. Equazioni differenziali del primo e secondo ordine, lineari e a coefficienti costanti. B) Analisi numerica. Risoluzione approssimata di equazioni algebriche e trascendenti. Cenni alle risoluzioni approssimate di equazioni differenziali note. Laboratorio. L'elaboratore, oltre ad essere utilizzato quale supporto didattico come negli anni precedenti, potrà diventare un utile supporto allo sviluppo di lavori di più ampio respiro a carattere progettuale. CALCOLO DELLE PROBABILITÀ, STATISTICA E RICERCA OPERATIVA Avvertenze Il programma di "Calcolo delle probabilità, statistica e ricerca operativa" si pone come obiettivi: a) la creazione delle premesse per un'ipotesi di ricerca applicata evidenziando la potenzialità degli strumenti di analisi nell'indagine e nell'interpretazione della realtà; b) lo sviluppo di un pensiero disciplinato in termini di quantità. Si ritiene indispensabile, cioè, far acquisire all'allievo la capacità di interpretare, in maniera corretta, strumenti e dati al fine di valutarne criticamente il loro significato e la loro attendibilità. In tal senso è necessario orientare i momenti di approfondimento della disciplina verso la convinzione che la "realtà" è il punto di partenza per qualsiasi elaborazione più o meno complessa. L'attenzione va quindi rivolta da una parte alla costruzione dei "modelli" intesi come schematizzazione di sistemi reali, dall'altra all'uso cosciente e corretto dei metodi quantitativi creando, così, le basi per uno sviluppo delle capacità di analisi, di sintesi e di generalizzazione. III Classe (3 ore, di cui 1 di laboratorio) La prima parte del programma, finalizzata essenzialmente allo studio di tipo empirico, verte sull'interpretazione dei fenomeni basata sulle modalità con cui si manifestano. Vengono perciò esaminati alcuni schemi di classificazione delle osservazioni che danno origine alle distribuzioni statistiche. Con la parte "B" si introducono il concetto di probabilità presentato anche nella sua evoluzione storica che ne amplia le possibilità interpretative e quello di variabile casuale. Per abituare lo studente al "modo di operare del caso" sarebbe opportuno proporre, dapprima, esempi semplici e concreti dai quali dedurre una definizione intuitiva di probabilità; sviluppare poi, definizioni più rigorose fino a giungere a vere a proprie schematizzazioni probabilistiche di casi, via via più complessi. In tal senso si propone una facile trattazione dei processi aleatori, con particolare riferimento alle catene di Markov, da concordare con il docente di "Sistemi, automazione". Nelle restanti parti vengono indicati alcuni metodi per sintetizzare e interpretare le informazioni contenute nelle variabili statistiche e in quelle casuali. A) La descrizione dei fenomeni. Il metodo statistico e le sue caratteristiche. La rilevazione statistica: natura e caratteri. Il piano di rilevazione, i modelli di rilevazione, critica e spoglio dei dati, elaborazione e tabulazione dei dati: le distribuzioni statistiche. La descrizione delle relazioni: le rappresentazioni grafiche. B) Elementi di calcolo combinatorio e di calcolo delle probabilità. Analisi combinatoria: disposizioni, permutazioni, combinazioni. Calcolo delle probabilità: Considerazioni sul concetto di probabilità e sue definizioni; definizione e tipi di eventi; costruzione di uno spazio di eventi; il principio delle probabilità totali e composte; esperimenti combinati: prove ripetute. La legge empirica del caso e il teorema di Bernoulli. Le variabili casuali: funzione di probabilità e di ripartizione. Variabili casuali doppie o bivariate: la funzione di probabilità congiunta e la funzione di probabilità marginale. Introduzione ai processi stocastici: Generalità; serie aleatorie: serie (catene) di Markov, serie stazionarie. serie ergodiche C) Parametri caratteristici delle distribuzioni. I valori medi. Concetto e tipi di medie; uso comparato delle medie. La variabilità e la concentrazione. Campo di variazione, differenze medie, scostamenti medi rapporto di concentrazione. D) Rapporti statistici e numeri indici. Laboratorio. Le ore di laboratorio saranno utilizzate per la verifica, mediante opportuni programmi già predisposti, delle esperienze acquisite con particolare riferimento ai programmi di simulazione per la generazione delle variabili aleatorie. IV Classe (3 ore, di cui 1 di laboratorio) Acquisiti nella terza classe i metodi per giungere ad una corretta conoscenza dei fenomeni, la parte A) del programma del quarto anno, dopo una trattazione delle principali distribuzioni teoriche, verte sulla rappresentazione analitica delle distribuzioni statistiche.