一般に、非コンパクト群に対して、どの表現がユニタリ化可能かを問う問題はより深刻である。数学における重要な未解決問題の1つはユニタリ双対の記述、すべての実簡約リー群の既約ユニタリ表現の有効な分類である。すべての既約ユニタリ表現（というよりもそれらのハリッシュ・チャンドラ加群）は許容的 (admissible)であり、許容表現はラングランズ分類によって与えられ、それらの表現のうちどれが非自明な不変半双線型形式を持つかを知ることは容易である。問題は、いつ二次形式が正定値であるのかを知ることが一般には難しいことである。多くの簡約リー群に対してこの問題は解かれている。例えば SL2(R) の表現論やローレンツ群の表現論を参照。
ユニタリ表現は完全可約である。つまり、任意の閉不変部分空間に対し、直交補空間は再び閉不変部分空間である。これは観察のレベルであるが、基本的な性質である。例えば、有限次元ユニタリ表現は代数的な意味で必ず既約表現の直和であることが従う。ユニタリ表現は一般の場合よりも扱うのがはるかに容易なため、ユニタリ化可能な表現、つまり適切な複素ヒルベルト空間の構造の導入によってユニタリになる表現を考えることは自然である。これは、任意のエルミート構造に対し平均を取る議論によって、有限群やより一般にコンパクト群に対して、非常にうまくいく。例えば、マシュケの定理の自然な証明はこの手法によってなされる。
群のユニタリ表現の理論は調和解析と密接な関係にある。群がアーベル群 G の場合には、G の表現論の完全な描像はポントリャーギン双対性によって与えられる。一般に、G の既約ユニタリ表現のユニタリ同値類（下記参照）はそのユニタリ双対 (unitary dual) をなす。この集合は群 C* 環の構成によって G と結びつけられた C* 環のスペクトルと同一視できる。これは位相空間である。プランシュレルの定理の一般形はユニタリ双対上の測度によって L²(G) 上の G の正則表現を記述するものである。G が可換群の場合には、これはポントリャーギンの双対性の理論によって与えられる。G がコンパクト群の場合には、これはピーター・ワイルの定理によってなされる。このときユニタリ双対は離散空間であり、測度は各点においてその次数である。
数学において、群 G のユニタリ表現（英: unitary representation）とは、複素ヒルベルト空間 V 上の G の線型表現 π であって、π(g) が任意の g ∈ G に対してユニタリ作用素となるようなものである。一般論は G が局所コンパクト（ハウスドルフ）位相群であり表現が強連続である場合にはよく発展している。理論は1920年代から量子力学において広く応用されており、とくにヘルマン・ワイルの1928年の本 Gruppentheorie und Quantenmechanik に影響を受けている。応用において有用な特定の群だけでなく任意の群 G に対してユニタリ表現の一般論を構成したパイオニアの1人はジョージ・マッキーであった。
日本では鉄道事業法の許可、または、軌道法の特許を得て敷設される。トロリーバス（無軌条電車）は、架線が張られたルートを集電装置（トロリー）により集電した電気を動力として走行するバスであるが、鉄道事業法に基づく「鉄道」、または、軌道法上の「軌道に準ずる」軌道として扱われる。ロープウェイも鉄道事業法、または、軌道法の対象であるが、索道という扱いとなる。英語でのrailwayやrailroadに対応する日本語の訳語として「鉄道」を作ったのは福沢諭吉だとされている（ただし、軌条という意味での「鉄道」は福沢以前に江木鰐水や横井小楠による使用例がある）。
ミシシッピ州アヴァロン（Avalon）で育ち、彼は9歳でギターを学んだ。若い時期のほとんどは、1920年代に入るまで、農作業のかたわら、友人やダンスのためにオールドタイム音楽（w:old time music）を演奏して過ごした。1923年、彼は時々、いつものパートナーのシェル・スミスの代理で、フィドル奏者のウィリー・ナムール（w:Willie Narmour）をパートナーにした。ナムールが1928年のフィドル・コンテストで優勝してオーケー・レコーズ（w:Okeh Records）で録音するチャンスを得た時に、彼はオーケー・レコーズのプロデューサー、トミー・ロックウェルにジョン・ハートを推薦した。彼の自宅での「マンデー・モーニング・ブルース（"Monday Morning Blues"）」を聞いて選考した後に、彼はメンフィスとニューヨークシティで二つのレコーディングのセッションに参加した。「ミシシッピ」という名前は、セールス用のギミックとしてオーケーによって加えられた。完成した盤の商業的な失敗と、不況の間にオーケー・レコーズが業務を辞めたことで、ハートはアヴァロンに戻って、小作人として人目につかない仕事をしながら地元のパーティやダンスで演奏した。しかし1963年、録音物に影響を受けた民俗音楽学者のトム・ホスキンズ（w:Tom Hoskins）が、ミシシッピ州アヴァロン近くのジョン・ハートを探し当てることができた。実際、初期の録音で、ハートは「アヴァロン、マイホームタウン」という曲を歌っていたのだ。彼のギターの腕はまだ健在で、ホスキンズはハートに、ワシントンD.C.へ移ってもっと広い舞台で演奏を始めることを奨励した。彼の最初のリリースが世界恐慌と同時に起こったのに対して、彼の新しい経歴はおそらくよいタイミングではなかった。1963年のニューポート・フォーク・フェスティバルでの花形のパフォーマンスは、新しい「フォーク・リバイバル」の観衆たちの間にスターとして映り、1966年に死亡するまで彼は大学、コンサートホール、コーヒーハウス、あるいはジョニー・カーソンの番組「トゥナイト・ショウ」で、広範囲にわたって演奏し、ヴァンガード・レコーズに3つ以上のアルバムを録音した。ジョン・ハートの影響は、ブルース、カントリー、ブルーグラス、フォーク、同時代のロックンロールの、いくつかの音楽ジャンルに広がっている。柔らかな口調で、彼の性格は曲にも反映されて、最後までカントリー、ブルース、オールドタイムの穏やかな混合が残った。