原籍は江蘇省無錫市で、1911年7月17日に北京市に生まれた。父の楊蔭杭は日本の早稲田大学の卒業生。1923年、父親に連れられ江蘇省蘇州市に引っ越す。1928年に蘇州東呉大学（現在の蘇州大学）に入学し、1932年7月に卒業。卒業後北京清華大学に進学、在学中に夫となる銭鍾書と知り合う。1935年に結婚し、同年にイギリスやフランスへ留学した。1938年、銭鍾書を連れて帰国。上海震旦女子文理学院外語系教授、清華大学西語系教授を歴任する。1953年、北京大学文学研究所、中国科学院文学研究所、中国社会科学院外国文学研究所の研究員にも就任した。文化大革命から五七幹部学校に下放され労働に従事、文化大革命で受けた攻撃も激しかった。1981年、『幹校六記』を発表。1997年3月4日、彼女の娘の銭瑗が脊椎癌で亡くなった。1998年12月19日、夫の銭鍾書が亡くなった。2001年、『従丙午到流亡』を発表。2003年、『我們仨』（『私たち三人』）を発表。96歳だった2008年には『走到人生辺上：自問自答』を出版した。2016年5月25日、北京協和医院で死去。104歳没。
例えば n = 15 では d(15) = σ₀(15) = 1⁰ + 3⁰ + 5⁰ + 15⁰ = 4, σ(15) = σ₁(15) = 1¹ + 3¹ + 5¹ + 15¹ = 24, σ₂(15) = 1² + 3² + 5² + 15² = 260
約数関数 σₓ(n) は自然数 n の約数 d の x 乗の総和を値として持つ関数であり、式ではのように表される。x = 0 のとき σ₀(n) は n の約数の個数を表し、d(n)と表記されることもある。x = 1 のとき σ₁(n) は n の約数の総和であり、単に σ(n) と表記する場合もある。
約数関数（やくすうかんすう、英: divisor function）は、自然数 n を変数とする関数で、n の全ての約数を整数乗した数の総和を値にとるものである。
岩手県出身。京都大学経済学部卒業。京都大学大学院人間・環境学研究科博士後期課程研究指導認定退学。2009年より京都精華大学専任講師、2015年より同大学准教授。2018年より現職。
御三家である尾張徳川家、紀州徳川家、水戸徳川家には、御附家老というものが存在した。御附家老とは、単純に言えば将軍家から派遣された藩主のお目付け役であり、尾張では成瀬隼人正（なるせはやとのかみ）家と竹腰兵部少輔（たけのこしひょうぶしょうゆう）家が知行高も大きく著名であった。藩主も遠慮しなければならない家柄からその権力は強大であり、藩内は自然、成瀬派と竹腰派に分かれた。このうち、より幕府に近い立場を取り続けたのが竹腰派であり、古くは幕府に反抗的だった7代藩主徳川宗春を隠居謹慎に追い込んだこともあった。幕末のこの時期、藩内は尊皇攘夷を唱える「金鉄組」と、佐幕的な立場を執る「ふいご党」とに分かれ、成瀬家は金鉄組、竹腰家はふいご党に近かった。そもそも尾張徳川家は、藩祖である徳川義直の時代から代々勤皇の家風であり、一度も将軍を出さず徳川将軍家への反発もあったことから、14代藩主に就任した徳川慶勝も尊皇攘夷の立場をとり、特にペリー来航以来藩政の刷新を進める中で竹腰家を初めとするふいご党と対立することが多かった。大老井伊直弼の弾圧により慶勝が隠居すると、金鉄組は没落し、竹腰兵部少輔が新藩主茂徳のもとで藩政を取り仕切ったが、桜田門外の変以降竹腰兵部少輔は失脚、慶勝が隠居の身ながら藩政の前面に出、金鉄組とともに頻繁に上洛して政局にあたった。その間、茂徳が隠居して慶勝の子義宜が藩主となり、ふいご党は日の目を見なかった。大政奉還後、1868（慶応4）年1月3日から5日にかけての鳥羽・伏見の戦いで幕府軍が敗北した。その一報が名古屋に届くと、京都に派兵するかどうかで、派兵を主張する金鉄組と派兵に慎重なふいご党との対立が深まった。このとき、京都にいた慶勝は、手勢を率いて上洛した監察吉田知行から、城代間宮正萬の言付けという形で尾張藩内の情勢を聞いた。鳥羽・伏見の戦いで勝利した官軍は、同月4日に仁和寺宮嘉彰（小松宮彰仁）親王を征夷大将軍に任じ、同月7日に慶喜追討令を発出していたが、名古屋以東には幕府譜代の大名が多く、江戸に戻っていた慶喜の反撃も考えられたため、征討軍の通過に不安を感じていた。同月15日、朝廷は慶勝を呼び出し、「自国の姦徒誅鋤ならびに勤皇の者誘引のため」、すなわち、交通の要衝にあたる尾張藩内の佐幕派勢力を粛清し、近隣の大名を朝廷側につくよう説得するため、帰国を命じた。