円上の点 P における接線は、P を通る直径に垂直である。したがって、円の中心を (a, b), 半径を r とし、P := (x₁, y₁) とすれば、垂直条件により接線の方程式は (x₁ − a)x + (y₁ – b)y = c の形をしていなければならない。これが (x₁, y₁) を通るから c は決定できて、接線の方程式は  または  の形に書ける。y₁ ≠ b ならばこの接線の傾きは  であるが、これを陰函数微分法を用いて求めることもできる。中心が原点にあるときは、接線の方程式は  となり、傾きは である。原点を中心とする円では、各点の位置ベクトル (x, y) と接ベクトル (dx, dy) が常に直交する（つまり、内積が零になる）から、 は微分形の円の方程式である。
複素数平面を用いれば、平面上の円は複素数を用いても記述できる。中心が c で半径が r の円の方程式は、複素数の絶対値を用いて  と書ける。これは本質的に円のベクトル方程式と同じものである（複素数平面における複素数の加法および実数倍は、成分表示された平面ベクトルの加法および実数倍と同一であり、複素数の絶対値はユークリッドノルムと同一視できる）。極形式を考えれば、|z − c| = r という条件は、z − c = r⋅exp(iθ) (θ は任意) と同値であることがわかる（これは上記の媒介変数表示に対応する）。複素数の積に関して |z|² = z⋅z が成り立つことに注意すれば、この方程式は実数 p, q および複素数 g を用いて  の形に書ける（）。この形の方程式は、円だけでなく一般には一般化された円を表すものである（一般化された円とは、通常の円となるか、さもなくば直線である）。極方程式も極形式を用いれば複素数で記述できる。
射影平面上の円の方程式は、円上の任意の点の斉次座標を（埋め込み (x, y) ↦ [x : y : 1] のもとで） [x : y : z] と書くとき、その一般形を  と書くことができる。
1月23日、改定法案が上院に提出された。ミズーリ妥協に関する修正に加えて、ネブラスカがネブラスカとカンザスという2つの準州に分割され、その境界は北緯37度線に設定されていた。この分割は、既にネブラスカに入っている開拓者と共に、当初の大きな準州が創設された場合に準州政府を置く位置について心配したアイオワ州の上院議員が表明した心配の結果だった。新しい準州においてアメリカ合衆国の他の全ての法律を適用することを確認した現存する法案は、ピアース大統領が同意した言辞が付加されており、「通常妥協手段と呼ばれていた1820年3月6日に承認されたミズーリ州の合衆国加盟のために準備された法の第8章は、1850年協定で撤廃されたので、これを除き、無効と宣言する」となっていた。同じ法案が直ぐに下院に提案された。歴史家のアラン・ネビンスは「2つの相互に関連した戦闘が激しさを増した。1つは議会の中で、もう1つは国全体だった。それぞれはウィルモット条項の当時では考えられなかった根気強さ、苦渋、および憎しみをもって戦われた。」と記した。議会では自由土地派が明らかに劣勢だった。民主党は上下両院で多数を制しており、「恐ろしい戦士、合衆国議会始まって以来と言われる最も激しくて最も冷酷で最も無節操な」スティーブン・ダグラスがしっかりと党の規律を引き締めていた。ネブラスカの反対者が道徳的勝利を期待したのは国全体の方だった。ニューヨーク・タイムズは以前からピアース大統領を支持してきたが、これが北部の奴隷制勢力支持者にとって最後の「藁」になり、「あらゆる障害とあらゆる犠牲を払ってその政治力を潰すであろう制度の根深く、激しく根絶できない憎しみを生む」ことになるだろうと予言した。法案が提出された翌日、下院議員ジョシュア・ギディングスと上院議員サーモン・チェイスの2人のオハイオ州人が『アメリカ合衆国住民に宛てて議会の独立自民党員の訴え』と題する自由土地支持者の反応を出版した。その訴えには次のように書かれていた。我々はこの法案を神聖な誓約を大きく侵すものとして、貴重な権利の犯罪的裏切りとして、広大な無人の地域から旧世界の移民と合衆国各州の自由労働者を排除し、主人と奴隷達の住む専制政治の荒涼とした地域に転換するたちの悪い計画の部分と一組として非難する。ダグラスはこの訴えを自ら持ってきて、議論が開始される1月30日に満員の議場とすし詰めの聴衆の前で議会に披露した。ダグラスの伝記作者ロバート・W・ジョハンセンがこの時の演説の一部をつぎのように書き留めた。ダグラスは『訴え』の著者達を演説の間「奴隷制度廃止論の共謀者」と呼び、その抗議の中で「嘘で塗り固める」愚行を犯していると非難した。ダグラスは裏切りということについて自身の考えるところを表明し、チェイスは「顔で微笑み友好的外観を現しながら」彼がまだ法案に慣れていないという根拠で議論を先延ばししようと訴えたことを思い出させた。ダグラスは「あの礼儀ある行動を認めたときに露ほども想像しなかった」ことは、チェイスとその同国人が「私の信用の犯罪的裏切りについて」、悪い信念について、および自由な政府に反対する計画を抱いてことについて「罪あるものとして私を非難した」文書を出版したと注釈した。他の上院議員が神聖な礼拝に臨んでいる間、彼らは「秘密会議に結集し」彼ら自身の共謀と欺瞞の目的のために安息日を捧げたと述べた。議論は4ヶ月間も続くことになった。ダグラスは一貫して法案を提唱する者であり、チェイスとニューヨーク州選出のウィリアム・スワードおよびマサチューセッツ州選出のチャールズ・サムナーが反対者を率いた。ニューヨーク・トリビューンは3月2日に次の記事を掲載した。北部の異口同音の感情は憤然とした抵抗である。...全人民は憤懣で満ち溢れている。1848年の感覚はその強度と普遍性で遥かにこれに劣っていた。上院での議論は3月4日に終わった。スティーブン・ダグラスが3月3日の深夜近くから延々5時間半の演説をしたのが最後だった。最終投票結果は賛成37票、反対14票となった。自由州の上院議員は14対12で賛成であり、奴隷州の上院議員は23対2で圧倒的賛成だった。