マレビ (Malebi) は、牛乳と米粉から作るプディングである。トルコのムハッレビ、さらにはアラブ人のムハラビーヤに由来し、ブラン・マンジェに似ている。果物のシロップをかけて供することがある。
スートラシュ (Cутляш / sutlash) またはムリャコ・ス・オリズ (Мляко с ориз / Mlyako s oriz) は、牛乳と米のプディングである。トルコのストラッチとほぼ同じ。
バクラヴァ (Баклава / baklava) は西アジアやバルカン半島一円で見られる甘いパイ菓子の一つ。紙のように薄いパイ生地（フィロ生地）の間にナッツ類を置いて重ねて焼き、シロップ漬けにしたもので、大変甘味が強い。ブルガリアではバラの蜂蜜の生産が大変盛んで、バクラヴァにも蜂蜜から作ったシロップが用いられる。
パラチンキ (Палачинки / Palachinki) は、薄いパンケーキである。蜂蜜、ナッツやスラートコを巻く他、肉や野菜のおかずを巻いて食べることもある。
ゲヴレク (Геврек/ Gevrek) はトルコのスィミットのような、ゴマをまぶしたドーナツ型のパンである。よく似たゲヴレツィ (Гевреци / Gevretsi) はゴマをまぶす前に茹でるという点でベーグルに類似する。
メキツァ (мекица/ Mekitsa) は、ヨーグルトを加えたパン生地を揚げた小ぶりの揚げパンである。粉砂糖をふったり、スラートコを添えて朝食やおやつとして食べる。通常、二つ以上食べるので、複数形でメキツィ (мекици/ Mekitzi) と呼ぶ。
4人兄弟の末っ子（兄2人に姉1人）として生まれる。父は東京消防庁勤務の消防士で、謹厳実直な家庭であったと関根自身が回想している。「勤」の名前の由来は、関根が生まれた年（1953年）が父にとって勤続25年目の年に当たったため。幼少時代は奔放かつ我が儘であり、父にはよく「勤、怒鳴るなよ」と窘められていた。港区立高輪台小学校、港区立高松中学校、東京都立八潮高等学校を経て、日本大学法学部管理行政学科に入学。1974年、大学在学中に出演したTBS『ぎんざNOW!』の「素人コメディアン道場」で5連続勝ち抜き、週初代チャンピオンとなる。その時の審査員の一人であった浅井企画社長・浅井良二に見出され、芸能界デビューを果たす。コサキンビデオ『マントヒヒ』内での回想によれば、放送後に浅井社長と川岸副社長に呼び止められ、近くの喫茶店で詳細について話し合ったという。関根自身はプロの芸人になるつもりはなかったので回答を渋っていたが、それまで沈黙していた浅井が「君なら出来る! 君なら出来るよ! ウチはコント55号を育てたんだから。明日の朝10時に事務所に来なさい! 太陽神戸銀行の横!」と一方的に捲し立てると、直ぐさま川岸を連れて帰ってしまった。関根は呆気にとられたが、翌日、事務所を訪れるとそこには浅井が契約書を持って待ち構えていた。交渉といっても「はい! これ契約書、よく読んで! ウチは怪しいモノじゃないから読み終わったらサインして!」と捲し立てる浅井に圧倒されてサインをしただけだったという。プロデビューに際して、TBSラジオ『ヤングタウンTOKYO 桂三枝の大放送』の前説を務めていた縁で、パーソナリティの桂三枝（現：六代目桂文枝）が1975年の干支であるうさぎ年に因み「ラビット関根」という芸名を名付けた。千葉真一・ジャイアント馬場・長嶋茂雄など、これまでやり手のいなかった人物のモノマネで次第に注目される。日本テレビ系列の『カックラキン大放送!!』では、「バカバカしいと思うなよ。やってる本人、大真面目！」と歌いながら披露する「カマキリ拳法」や、「田村正和拳法」などのシュールかつ特異なネタを編み出した。更にテレビ朝日系列の『欽ちゃんのどこまでやるの!?』に、事務所の後輩で親友でもある小堺一機と組んだ「コサキン」（当初は「コサラビ」）のコンビで出演し、「クロコとグレコ」で人気を博した。またこの時期に、同番組で共演した事務所の先輩・萩本欽一の指示で、芸名を本名と同じ関根勤に改めている。1985年にはフジテレビ系列『森田一義アワー 笑っていいとも!』にレギュラー出演を開始し、全国区の知名度を得る。同じく1985年から、小堺主演の舞台『小堺クンのおすましでSHOW』に出演。1989年には自らを座長とした舞台『カンコンキンシアター』をスタートさせ、テレビ以外にも活動の幅を広げる。また、コサキンコンビでメインパーソナリティーを務めたTBSラジオの番組『コサキンDEワァオ!』は、1981年のスタート以来放送時間や番組タイトルを変えながら、深夜番組としては驚異の27年半という記録を打ち立てた長寿番組となった（2009年3月放送終了）。同番組からは小堺との共著を含む数十冊の著書の他、「コント劇場」のビデオ、CD-ROM等が出版されたり、人気コーナー「似てねェモノマネ」で、現在の芸風の基盤であるモノマネの世界を作り上げる。2010年代以降もバラエティ番組を中心に第一線で活躍、ターゲットをごく一部に絞るような独特のモノマネやコメントで、老若男女問わず根強い人気を維持している。2015年5月23日に、初監督作品映画『騒音』が公開。2016年4月、TBS系サタデープラスの企画ロケで受けた心臓の検査で「冠動脈狭窄」と診断され、翌月の5月2日にステント手術を受けていたことを21日にサタデープラスで明かした。2016年11月より、ブランド買取店「なんぼや」のイメージキャラクターに就任。