稲垣選手は3兄弟の末弟。兄が新潟工業高校でラグビーを始め、兄とパスをしたことがきっかけで、14歳から新潟市ジュニアラグビースクールでラグビーを始めた。2009年、新潟工業高校卒業後、関東学院大学に入る。なお新潟工業高校時代、高校日本代表に選ばれ、第32回高校東西対抗試合の参加メンバーに選出された。2012年、関東学院大学ラグビー部の主将に就任した。2013年、関東学院大学卒業後、パナソニックワイルドナイツにプロ選手として加入。同年8月31日に行われたジャパンラグビートップリーグ第1節の近鉄ライナーズ戦にて先発出場で公式戦初出場を果たす。また同年度シーズンの新人賞に堀江恭佑と共に選ばれた。2014年11月15日に行われたリポビタンDツアールーマニア戦で日本代表初キャップを獲得した。2015年、レベルズに加入。また同年8月にラグビーワールドカップ2015の日本代表に選出された。さらに同年12月にはスーパーラグビーの日本チームサンウルブズの2016年スコッドに入った。2019年8月、ラグビーワールドカップ2019の日本代表に選出された。
1988年、「アミューズ・10ムービーズオーディション」に合格し、映画『ほんの5g』でデビュー。同じ事務所の看板スターで映画主演5本目となる富田靖子の相手役で二番手待遇という、新人としては相当な厚遇であった。1991年10月 - 12月期でTBS金曜ドラマ『あしたがあるから』に出演。これ以前にもドラマの仕事を打診されたが、あくまでもミュージシャンになるのが夢だったので出演依頼を断っていた。しかし、尊敬するARBの石橋凌や映画『狂い咲きサンダーロード』で主演した山田辰夫がこのドラマに出演するということで福山も出演した。1992年4月 - 6月期のTBS金曜ドラマ『愛はどうだ』でレギュラー初出演となり、挿入歌となった「Good night」がスマッシュヒットとなる。この年は、10月 - 12月期のTBS同枠ドラマ『ホームワーク』にも出演している。1993年4月 - 6月期に放送されたフジテレビ系ドラマ『ひとつ屋根の下』に出演。平均視聴率28.4%、最高視聴率37.8%の大ヒットドラマとなる。1995年7月 - 9月期のフジテレビ系ドラマ『いつかまた逢える』で、ドラマ初主演と月9初主演を果たす。音楽活動を休止しているなか1997年4月 - 6月期に『ひとつ屋根の下2』に出演。役の設定上出演シーンは少ないが終盤では主役級の役柄となった。1998年に本格的な活動再開となり、4月 - 6月期にTBS系ドラマ『めぐり逢い』で主演を務める。1999年にはフジテレビ系『古畑任三郎』に犯人役でゲスト出演。7月 - 9月期にはフジテレビ系『パーフェクトラブ!』で2度目の月9主演となった。2003年1月2日、日本テレビ系スペシャルドラマ『天国のダイスケへ〜箱根駅伝が結んだ絆〜』に主演。その後1月 - 3月期にフジテレビ系『美女か野獣』で松嶋菜々子とダブル主演し共に報道関係者を演じる。2007年10月 - 12月期でフジテレビ系ドラマ『ガリレオ』に主演。天才物理学者・湯川学を演じ話題となった。ドラマは初回視聴率24.7%を記録した。2008年10月4日、映画初主演となる『容疑者Xの献身』が公開。全国公開前には地元長崎市のTOHOシネマズ長崎にて、全スクリーンを使った先行上映会と舞台挨拶を実施した。2009年には映画『アマルフィ 女神の報酬』に特別出演した。2010年、NHK大河ドラマ第49作『龍馬伝』において主人公・坂本龍馬を演じる。この演技が高評価され、第48回（2010年度）ギャラクシー賞テレビ部門個人賞を受賞した。2011年には映画『アンダルシア 女神の報復』に特別出演した。2013年4月 - 6月期にフジテレビ系ドラマ『ガリレオ』の続編が放送され、ドラマ放送終了後の週末には映画『真夏の方程式』が公開された。また、是枝裕和監督作品の『そして父になる』に初の父親役で主演し、作品が第66回カンヌ国際映画祭審査員賞を受賞した。2014年、第35回ヨコハマ映画祭で主演男優賞、第37回日本アカデミー賞で優秀主演男優賞、第28回高崎映画祭で最優秀主演男優賞を受賞した。映画『るろうに剣心 京都大火編 / 伝説の最期編』では比古清十郎役で出演した。2016年4月 - 6月期にフジテレビ系ドラマ『ラヴソング』に主演。2016年夏には、世界的名匠・ジョン・ウー監督が手がける香港・中国合作映画『マンハント』で中国の俳優「チャン・ハンユー」とW主演し日本国外デビュー。日本は2018年2月9日公開された。2016年10月、大根仁が監督を務める『SCOOP!』に写真週刊誌パパラッチ役で主演。2017年1月、是枝裕和監督との再タッグで、『三度目の殺人』で弁護士役に初挑戦。9月9日公開された。作品が2017年8月30日から9月9日まで開催される、第74回ヴェネツィア国際映画祭にてコンペティション部門に正式出品される。2018年8月、岩井俊二が監督を務める『Last Letter』に小説家役で出演。2020年に全国で公開予定。2018年9月、西谷弘が監督を務める『マチネの終わりに』に天才クラシックギタリスト役で主演。2019年11月1日公開予定。2019年4月 - 6月期にTBS系ドラマ『集団左遷!!』で日曜劇場初主演。福山演じる主人公の銀行員・片岡洋は、50歳を目前にして支店長への昇任人事を受けるも、異動先は廃店が決定している蒲田支店だった。蒲田支店の副支店長・真山徹役で香川照之が出演。福山と香川が共演するのは2010年放送の『龍馬伝』以来で約9年ぶり。