「定点からの距離が一定である点全体の成す集合」として円を定義するならば、定義に用いる「距離」の定義を変えれば異なる形状の「円」を考えることができるということになる。p-ノルムの誘導する距離は  で与えられる。ユークリッド幾何学における通常のユークリッド距離:  は p = 2 の場合である。タクシー幾何学で用いるマンハッタン距離（L¹-距離）は p = 1 の場合であり、この距離に関する円（タクシー円）は各辺が座標軸から45°ずれた正方形となる。半径 r のタクシー円の各辺の長さは、ユークリッド距離で測れば √2r だが、タクシー距離で測れば 2r である。よって、この幾何学で円周率（半径に対する周長の比）に相当するものは 4 ということになる。タクシー幾何学における単位円（半径が 1 の円）の方程式は、直交座標系では , 極座標系では  と書ける。これは、その中心のフォンノイマン近傍である。平面上のチェビシェフ距離（L∞-距離）に対する半径 r の円もまた各辺の長さが 2r の正方形（ただし、各辺は座標軸に平行）であるから、平面チェビシェフ距離は平面マンハッタン距離を回転およびスケール変換したものと看做せる。しかし L¹ と L∞ の間に成り立つこの同値性は他の次元に一般化することはできない。
2つの点（焦点と呼ばれる）からの距離の和が一定であるような点の軌跡を楕円という。楕円は一般に円を潰したような形をしており、楕円のうち特別な場合――2つの焦点が一点で一致する場合――が円である（このとき、焦点は「円の中心」と呼ばれる）。一般の楕円でなく円であることを特に明示したいときには、円のことを正円（せいえん）または真円（しんえん）と呼ぶことがある。
本は、ニコーロとマフィオがキプチャク・ハン国のベルケ王子が住むボルガール (en)へ向かう旅の記述から始まる。1年後、彼らはウケク (en) に行き、さらにブハラへ向かった。そこでレバントの使者が兄弟を招き、ヨーロッパに行ったことがないクビライと面会する機会を設けた。これは1266年に大都（現在の北京）で実現した。クビライは兄弟を大いにもてなし、ヨーロッパの法や政治体制について多くの質問を投げ、またローマの教皇や教会についても聞いた。兄弟が質問に答えるとクビライは、リベラル・アーツ（文法、修辞学、論理学、幾何学、算術、音楽、天文学）に通じた100人のキリスト教徒派遣を求めた教皇に宛てた書簡を託した。さらにクリスム（Chrism, エルサレムの、イエス・キリスト墓前に灯るランプの油）も持ってくるよう求めた。ローマ教会では1268年にクレメンス4世が没して以来、使徒座空位にあり、クビライの要請に応える教皇は不在のままだった。ニコーロとマフェオはテオバルド・ヴィスコンティ、次いでエジプト駐留の教皇使節から助言を受け、ヴェネツィアに戻り次期教皇の即位を待つことにした。彼らがヴェネツィアに着いたのは1269年もしくは1270年であり、ここで当時16歳か17歳だったマルコと初めて会うことになった。次期教皇はなかなか決まらず、1271年にニコーロとマフィオそしてマルコの3人はクビライへの説明のために旅に出発した。彼らが小アルメニアのライアスに到着した時、新教皇決定の知らせが届いた。彼らに、2人の宣教師ニコロ・ディ・ヴィツェンツァとグリエルモ・ディ・トリボリが同行することになったが、宣教師らは旅の困難さに直面し早々に逃亡してしまう。マルコ一行はまずアッコまで船で往き、ペルシャのホルモズガーン州でラクダに乗り換えた。彼らは船で中国まで行きたかったが当地の船は航海に適さず、パミール高原やゴビ砂漠を越える陸路でクビライの夏の都・上都（現在の張家口市近郊）を目指した。ヴェネツィアを出て3年半後、21歳前後まで成長したマルコを含む一行は目的地に到着し、カーンは彼らを歓迎した。マルコらが到着した正確な日付は不明だが、研究者によると1271年から1275年の間だと見なされている。宮廷にて、一行はエルサレムから持参した神聖なる油と、教皇からの手紙をクビライに渡した。一行は元の政治官に任命され、マルコは中国南西部の雲南や蘇州・楊州で徴税実務に就いたり、また使節として帝国の南部や東部、また南の遠方やビルマ、スリランカやチャンパ王国（現在のベトナム）など各所を訪れ、それを記録した。マルコはイタリア語の他に、フランス語、トルコ語、モンゴル語、中国語の4言語に通じ、一行はクビライにとって有用な知識や経験を数多く持っていたこともあり、マルコの役人登用は不自然ではない。17年間中国に滞在したマルコら一行は元の政治腐敗を危惧し、中国を去りたいという申し出をしたがクビライは認めなかった。しかし彼らは、もしクビライが亡くなれば重用された自分たちは政敵に狙われ無事にヨーロッパに戻れなくなるのでは、と危惧していた。1292年、イル・ハン国のアルグン・ハンの妃に内定したコカチンを迎えに来た使節団が、ハイドゥの乱のために陸路を取れず南海航路で帰国することになった際、航路に詳しいマルコらに同行を求めた。この許可を得た一行は同年に泉州市から14隻のジャンク船団を組んで南へ出航した。彼らはシンガポールに寄港し、スマトラ島では5ヶ月風待ちして過ごし、セイロン島を経由してインド南岸を通過し、マラバールや アラビア海を通って1293年2月頃にオルムス（Ormus, ホルムズとも）に至った。2年間にわたる船旅は決して平穏ではなく、水夫を除くと600人いた乗組員は到着時には18人にまで減ったが、コカチンやマルコら3人は無事に生き残った。オルムスに到着し行われた結婚の祝賀会が終わると、マルコらは出発し、陸路で山を超え黒海の現在ではトラブゾンに当たる港へ向かった。マルコらがヴェネツィアに戻ったのは1295年、通算24年間の旅を終えた。