大学卒業後、東京都教育委員会に高等学校教員として採用される。初赴任は都立日本橋高校であった。1965年（昭和40年）戦後初の公立全寮制高校、都立秋川高校設立時から教諭、教頭、学校長として、また同校の寮、玉成寮において舎監、主任舎監、舎監長として生活指導にも携わり、通算26年同校に勤務した。1993年（平成5年）秋川高校の校長をもって定年退職。秋川高校在任中、宗方と図書館司書、図書委員が中心となり、多摩の寺院、文化の研究を行い、秋川高校図書館の図書館報増刊として郷土資料を発行した。
キルギス共和国のトクマク南西部には、ソグド人の住居跡、ネストリウス派キリスト教、仏教の寺院跡を含む、アク・ベシム（Ak Beshim）遺跡が存在する。1893年から1894年にかけて現地で調査を行ったワシーリィ・バルトリドの報告、アレクサンドル・ベルンシュタムによる1938年から1940年にかけて行われた発掘調査から、かつてアク・ベシム遺跡は西遼（カラ・キタイ）の首都クズオルド（ベラサグン）の遺構に比定されていた。1953年から1954年にかけて発掘を行ったキズラソフは、アク・ベシムは11世紀にはすでに放棄された都市であり、14世紀まで繁栄を保っていたベラサグンとは別の都市であると結論付け、アク・ベシムはかつてのスイアブの遺構であると証明された。アク・ベシム遺跡の面積は300,000m²に及ぶ。中国風の城砦、キリスト教の教会、ゾロアスター教徒の納骨堂、テュルク系民族が作った石人（バルバル）は活気に満ちた多様な文化の名残である。遺跡からは多くの仏像と石碑が出土している。仏教寺院のほか、7世紀以降に建立されたネストリウス派キリスト教徒の教会と墓地、フレスコ画とソグド語・ウイグル語による碑文が納められた10世紀の修道院が発見されている 。
実家は東京都北区王子本町の水道工事店「有限会社 音喜多設備」。いなり幼稚園、北区立王子第二小学校、海城中学校・高等学校、早稲田大学政治経済学部政治学科卒業。大学卒業後はLVMHモエヘネシー・ルイヴィトングループに入社し、香水・化粧品メーカーである「ゲラン」で営業・マーケティングを担当する。2012年、LVMHを退社。2013年、東京都議会議員選挙に北区選挙区（定数4）からみんなの党公認で出馬し、得票数は最下位の4位ながら、初当選を果たした。当選後間もなく、東京都議会のみんなの党会派の幹事長をめぐり、音喜多駿、両角穣、上田令子、塩村文夏の4人の都議の会派異動届が野上ゆきえ都議により提出されたため、会派は分裂し、音喜多を含む4人が新会派「みんなの党」を結成した。2013年9月、会派「みんなの党」政策調査会長に就任した。2014年11月、みんなの党の解党が決定され、会派が「かがやけTokyo」に改称された後も引き続き政調会長を務めた（2016年7月で退任）。2015年1月、みんなの党所属の参議院議員だった松田公太を党首に結党した日本を元気にする会に参加した。同年11月23日、シングルマザーだった江東区議会議員の三次由梨香と入籍し、三次の7歳の長女との養子縁組を行った。2016年1月、「日本を元気にする会」に離党届を提出し、以後は無所属で活動する意向を表明した。同年7月の東京都知事選挙では小池百合子を支持。2017年1月23日に所属する会派「かがやけTokyo」は「都民ファーストの会 東京都議団」に名称を変更し、その幹事長に就任。同時に、夏の都議会議員選挙における地域政党「都民ファーストの会」の1次公認候補となった。地元の北区選挙区は東京都議会自由民主党の幹事長を務める高木啓が盤石な地盤を持っていたが、前回より大幅に得票数を伸ばしてトップ当選した。同年7月22日、選挙後の役員人事を受け都民ファーストの会 東京都議団の幹事長を退任。2017年10月3日、東京都知事の小池百合子（希望の党代表）の国政関与は政治姿勢として疑問がある、という理由で、上田令子とともに都民ファーストの会を離党することを表明し、10月5日に記者会見を行った。その後、会派「かがやけTokyo」を上田都議と2人で設立した。2018年10月12日に地域政党「あたらしい党」の設立を発表し、代表に就任した。2018年10月、週刊文春が11月1日号において音喜多のスキャンダルを報道。音喜多は情報の提供元が上田の後援会事務局長である秦智紀だとして「かがやけTokyo」の会派解消を要求。上田がこれに応じなかったため、音喜多は日本維新の会の柳ヶ瀬裕文（音喜多とは海城中・高、早大の先輩にも当たる）と共に新会派「維新・あたらしい・無所属の会」を結成した。一方で、上田側は地域政党「自由を守る会」名義で音喜多の主張は事実無根であるとの声明を出した。2019年3月28日、第19回統一地方選挙で行われる北区長選挙にあたらしい党公認で立候補する意向を表明。同年4月21日に行われた区長選は現職の花川與惣太、日本共産党推薦の川和田博らとの戦いとなるも次点で落選した（花川：65,807票、音喜多：54,072票、川和田：22,213票）。投票率は51.74％。2019年6月3日、記者会見を開き第25回参議院議員通常選挙に日本維新の会公認、あたらしい党推薦で東京都選挙区での出馬を表明した。選挙中は比例区から立候補した柳ヶ瀬とともに選挙活動を行う。7月21日に投開票が行われ、526,575票を集め5位当選（定数6）。維新としては前身を含め初めての東京からの当選者となった。