ロンドンに生まれた。父親は画家で、弟や妹にギリシア文学の教授となるドナルド・ロバートソン、肖像画家になるジャネット・ロバートソン、詩人、キーツについての著作を行うマーガレット・ロバートソンがいる。父親から絵画の練習を受けたことが、後に植物学の図版を自ら描くために役立った。8歳から女子教育を推進したフランセス・バス（Frances Buss）が運営する学校に入り、科学の女性教師に植物学の関心を開かれ、1894年に校内紙に研究を発表し、優秀な成績を得ることで、女性植物学者のエセル・サージェント（Ethel Sargent）の指導を受けた。1897年からユニヴァーシティ・カレッジ・ロンドンで学び、1899年にケンブリッジ大学のニューナム・カレッジに進み1902年に卒業し、エセル・サージェントの個人研究所、ユニヴァーシティ・カレッジ・ロンドンで研究を進め、1905年に博士号を得た。1909年に古生物学者のエドワード・アーバー（Edward Alexander Newall Arber）と結婚し、ケンブリッジに移り、1912年にニューナム・カレッジの研究職（Research Fellowship）を得て、最初の著作、 "Herbals, their origin and evolution" を発表した。1818年に夫を病で失うが研究を続けた。女性が運営する科学研究所であるバルフォア研究所（Balfour Laboratory）で、結婚後から施設が閉鎖される1927年まで研究した。その後も自宅の研究所で1940年代まで研究を続けた。研究分野としては、当初、エセル・サージェントの指導を受けて、植物組織の顕微鏡観察する技術を学び、1903年に最初の論文'Notes on the anatomy of Macrozamia heteromera'「マタバオニザミア（ザミア科の植物）の植物解剖学的知見」をケンブリッジ大学の紀要に発表した。ユニヴァーシティ・カレッジ・ロンドンでは裸子植物の形態学、解剖学の研究をした。最初の著作"Herbals, their origin and evolution"は植物学史の分野のもので、スタンダードワークとして評価された。1920年までに2冊の書籍と94の論文、記事を執筆した。1925年に出版した著書"Monocotyledons"（「単子葉植物」）はケンブリッジの植物学ハンドブックのシリーズとして、サージェントに執筆を依頼されたもので、健康の優れなかった、サージェントが1918年にアーバーを推薦したことによって執筆されたものである。その後は植物学史や生物学の哲学に関する著作を多く行った。1908年にロンドン・リンネ協会の会員に選ばれ、1948年に女性として初めてリンネ・メダルを受賞した。1946年に王立協会のフェローに選ばれた。アメリカ植物学会の通信会員でもあった。
旧称日本船舶振興会時代の2010年（平成22年）決算時点で、資産総額2661億円。年間助成額226億円であり、当時日本全体の助成金およそ600億の内、3分の1以上を占めている日本最大の財団とされる。ただし、2010年（平成22年）時点で、特殊法人の側面が強かったために、助成財団センターが作成した「日本の上位20財団資産総額ランキング」からは掲載を除外されている。1962年（昭和37年）、笹川良一によって創立され、没後に二代曽野綾子を経て、現会長は笹川良一の三男である笹川陽平が就任した。海事科学の普及を目的として、日本海事科学振興財団（船の科学館）、青少年の健全育成のためにブルーシー・アンド・グリーンランド財団（B&G財団）、海洋分野におけるシンクタンクである海洋政策研究財団など、多くの公益法人を設立してきた。日本のハンセン病問題の解決など、ハンセン病の世界的な差別撲滅活動に長年取り組んでいる。財団法人ではあるが、モーターボート競走法（昭和26年法律第242号）第22条の2の規定によって設置された関係上、特殊法人の性格をも併せ持っていたが、2007年（平成19年）の競走法の改正により、完全な民間の財団法人になる。財源には、モーターボート競走法の規定によって、競艇の収益金の2.6%（2007年（平成19年）3月、モーターボート競走法の改正がされる前は約3.3%）が充当されており、競艇と密接に結びついている。1962年（昭和37年）に創立以来、長らく設立者かつ初代会長の良一の指導力により、特殊法人の枠を超えた独自性のある活動を行ってきた。日本国政府全額出資の特殊法人である競馬（日本中央競馬会 = JRA）や、かつては社団法人が担当した競輪・オートレース（特殊法人日本自転車振興会・日本小型自動車振興会を経て現在は公益財団法人JKA）などの他の公営競技とは違って、民間の運営する財団法人であることから、所管官庁（当時は運輸省、現国土交通省）の干渉や天下りを受けない、独立的な傾向が強かった。振興会が事業を実施するには所管の官庁である国土交通大臣（省庁再編前は運輸大臣）の許認可を得る必要があり、その意味では金銭の使途は制限されていた。また、良一や陽平が規則や規定により財団では支援することができない活動に対して財団の事業とは別に自らの財産を寄付することもある。1995年（平成7年）の良一死去後は、笹川色を薄める意見が出たため、財団の非常勤理事であった曽野綾子を2代目会長として迎え入れた。1996年から現在の正式名である「日本財団」を愛称として用いるようになった。2005年、第三代会長に笹川良一の三男・笹川陽平が就任。現会長の意向もあり、ハンセン病の世界制圧と彼らに対する差別撤廃と人権回復、ミャンマー政府と少数民族武装勢力との和解の実現にも注力している。2003年（平成15年）には、日本財団、海上保安庁の支援の下、海事、漁業関係者が一同に参加した民間沿岸監視団体「海守」が創設された。海守は主に密漁、密航対策を目的としている。なお、海守の事務局業務は海上保安庁の外郭団体である海上保安協会が行っている。2011年（平成23年）4月1日に、公益財団法人になると共に、正式名も「日本財団」になった。これにより、国土交通省は所管官庁ではなくなった（ただし、モーターボート競走法上の監督は引き続き受けている）。2016年（平成28年）4月16日に発生した平成28年熊本地震の影響を受け、同年4月19日に都内で緊急支援策第1弾発表会見を開き、日本三大名城「熊本城」再建支援金30億円など、計93億円の支援金を用意したことを発表した。