D を行列環 Mₙ(R ) の対角行列全体の集合、すなわち 0 でない成分があればすべて主対角線上にあるような行列全体の集合とする。すると D は行列の加法と行列の乗法で閉じており、単位行列を含むので、それは Mₙ(R ) の部分多元環である。R 上の多元環として、D は R の n 個のコピーの直積に同型である。それは次元 n の自由 R-加群である。D の冪等元は対角成分が 0 か 1 であるような対角行列である。
壬生（みぶ）は京都市中京区の地名。地名はかつて、湿地帯であったことに由来する。平安京造営の際に開発されたが衰退し、元の湿地帯に戻った。朱雀院跡がNISSHA本社の敷地から発掘されている。中世以後、この地に壬生寺が建立され、寺の東側周辺は門前町と集落として形成された（西側はほとんどが田畑であった）。さらに文明年間には壬生構という囲いが作られていた（晴富宿禰記）。寺の境内には水茶屋が設けられ、後に花街として発展した。近世にも京都西郊の村落として、享保14年（1729年）段階では村高1,244石余、35の領主が存在した（山口（泰）家文書）。江戸時代末期、新撰組が現在建物が残っている八木邸に滞在していた。また元治元年には1万3800坪におよぶ細川家の藩邸が坊門高辻に設けられている（南部（彰）家文書）。一方、花街としての壬生は京都市左京区の川端二条に存在した二条新地の出稼ぎ地として許可され、明治を迎えたが機能せず、1880年（明治13年）に消滅した。明治22年の市制町村制により壬生村、西ノ京村、聚楽廻の各村とともに葛野郡朱雀野村の一部となった。また、西高瀬川の開通により木材流通の拠点となった。戦前までは壬生寺の西側は田畑が多く残っており、江戸時代の「拾遺都名所図会 巻之一　平安城51頁：壬生隼社」（現代で言う所の絵解き京都観光ガイドブック）にも登場する壬生菜の産地として名を馳せていたが、現在は開発が進み完全に市街地と化して田畑は全く残っていない。現在、壬生菜の生産は郊外の畑で行われている。（壬生から見て西南方向の西院（西大路五条以西）では今でもわずかに田畑が残る）現在、中京区の四条大宮から西大路通にかけての一部が壬生の名を冠する。住宅地としても近くには西新道商店街があり、また、新撰組ゆかりの観光地として賑わっている。2007年までは京都市交通局の所在地でもあり、京都市電・トロリーバス・京都市営バスの車庫（操車場）として機能していた。交通局の移転後庁舎は解体され、跡地は京都府に譲渡されて京都府警察中京警察署となる。現在は壬生操車場のみが残っている状態。
親は誰だかわからず、戸籍では島岡春吉姉よね私生児川口竹次郎庶子認知入籍とされる。貴族の落胤との説もあった。養父の川口竹次郎は大酒飲みの左官職であった。山谷堀小学校時代の同級生に溝口健二がいた。小学校卒業後、洋服屋や、警察署の給仕、1915年（大正4年）の夏から約1年間、栃木県芳賀郡にあった祖母井郵便局に電信技士として勤務などする。1915年、久保田万太郎に師事する。1915年小山内薫門下の脚本研究会員。17歳の時に「流罪人藤助」で文壇デビューを果たす。1919年から、講談師の悟道軒円玉の家に住み込んでその口述筆記を手伝い、漢詩や江戸文学の素養も積んだ。1923年（大正12年）の関東大震災の後、大阪のプラトン社に勤め、直木三十五と共に働き、『苦楽』の編集に当たる。1926年（大正15年）に帰京し、小説や随筆、戯曲などを執筆。劇団新生新派主事1938年（昭和12年）、大映製作担当専務1947年（昭和21年）、同取締役1960年（昭和35年）、明治座取締役制作部長、浪花楽天地監査役。1935年（昭和10年）、『鶴八鶴次郎』などで第1回直木賞を受賞。代表作の『愛染かつら』（1937～1938）は、1938年（昭和13年）に映画化され、田中絹代・上原謙の主演で人気を博した。1964年（昭和39年）、文京区小石川水道町（現在の春日）へ移住、ここから亡くなるまで約20年間暮らすこととなる。1966年（昭和41年）、日本芸術院会員（第三部・演劇）。1973年（昭和48年）、文化功労者。東宝のプロデューサー池野満の企画により、1960年には劇作家の生活向上を目的として、川口松太郎、中野実、北條秀司、菊田一夫で「劇作家四人の会」を結成。数多くの時代小説のほか恋愛小説などを多く書いた。『新吾十番勝負』などが代表作。妻の死後『愛子いとしや』を上梓して話題となった。『しぐれ茶屋おりく』は2007年（平成19年）、ロイヤル・タイラーによって英訳が刊行された。筒井康隆の小説『大いなる助走』の鰊口冗太郎のモデルである。東京都文京区春日の自宅建て替えを兼ね完成した重厚なデラックスマンション“川口アパートメント”は現存。1982年（昭和57年）1月18日、後妻・三益愛子を膵臓癌により71歳で先立たれる不幸に見舞われる。その頃から体調を崩して入退院を繰り返し、三益の死から3年後の1985年（昭和60年）6月9日、肺炎により東京女子医科大学病院にて死去。享年85歳。