1926 年、Tibor Radó は単位円の単位円板への任意の同相写像（あるいは微分同相写像）の調和拡大 (harmonic extension) は開円板上の微分同相写像を生むかどうか問うた。エレガントな証明がすぐ後に ヘルムート・クネーザー (Hellmuth Kneser) によって提出され、全く異なる証明がギュスタヴ・ショケ (Gustave Choquet) によって 1945 年に、明らかに定理が既に知られていたことに気付かずに、発見された。円の（向きを保つ）微分同相写像群は弧状連結である。これは任意のそのような微分同相写像は f(x+1) = f(x) + 1 を満たす実数全体の微分同相写像 f に持ち上げられることに注意することによってわかる； この空間は凸でありしたがって弧状連結である。恒等写像への滑らかな eventually constant path は円から開円板への微分同相写像を拡張する第二のより初等的な方法を与える（これはアレクサンダーのトリックの特別な場合である）。さらに、円の微分同相写像群は直交群 O(2) のホモトピー型を持つ。高次元の球面 Sⁿ⁻¹ の微分同相写像に対する対応する拡張問題はルネ・トム (René Thom)、ジョン・ミルナー (John Milnor)、スティーヴン・スメイル (Stephen Smale) の顕著な貢献とともに 1950 年代と 1960 年代に多く研究された。そのような拡張の障害は有限アーベル群 Γₙ 、"group of twisted spheres" によって与えられる。これは微分同相写像群のアーベル component group の、球 Bⁿ の微分同相写像に拡張する類の部分群による商として定義される。
連結多様体 M に対して微分同相写像群は M 上推移的に作用する。より一般に、微分同相写像群は configuration space CₖM 上推移的に作用する。M の次元が少なくとも 2 であれば微分同相写像群は configuration space FₖM 上推移的に作用する： M 上の作用は多重可移である (Banyaga 1997, p. 29)。
M を第二可算かつハウスドルフな可微分多様体とする。M の微分同相写像群 (diffeomorphism group) は M から自身へのすべての Cʳ 微分同相写像の群であり、Diffʳ(M) あるいは r がわかっているときには Diff(M) と表記される。これは（M が 0 次元でなければ）局所コンパクトでないという意味で「大きい」群である。
多様体 M の部分集合 X と多様体 N の部分集合 Y が与えられると、関数 f: X → Y は次のとき滑らか (smooth) であると言われる。すべての p ∈ X に対して p のある近傍 U ⊂ M と滑らかな関数 g: U → N が存在して制限が一致する  （g は f の拡張であることに注意）。全単射、滑らか、かつ逆関数も滑らかなとき、f は微分同相写像 (diffeomorphism) であると言う。
2 つの多様体 M と N が与えられたとき、可微分写像 f: M → N は全単射かつ逆写像 f⁻¹: N → M も可微分なとき微分同相（写像） (diffeomorphism) と呼ばれる。この関数が r 回連続微分可能であれば、f は Cʳ（級）微分同相（写像） (Cʳ-diffeomorphism) と呼ばれる。2 つの多様体 M と N が微分同相 (diffeomorphic) である（記号では通常 ≃）とは、M から N への微分同相写像 f が存在するということである。それらが Cʳ 微分同相 (Cʳ diffeomorphic) であるとは、それらの間の r 回連続微分可能な全単射が存在して逆写像もまた r 回連続微分可能であるということである。
鬼の動労と呼ばれた動労も、1975年（昭和50年）のスト権ストの敗北によってストライキ戦術がもはや効果的でないと判断、国労と内々に協議しストライキ戦術の放棄を決める。「まず動労が決めないと国労は意見がまとまらない」との国労側の声で先にストライキ放棄を宣言したが、国労内部では意見が分裂し、方針を決めることができなかった。国労に梯子を外された格好の動労は激怒し、両者の路線対立は決定的となる。貨物列車の衰退がトラックへの移行で著しくなる中、職場を守るため1978年（昭和53年）には貨物列車に関するストを行わない旨を決定する（ゴーサントオ改正にあわせたもので、「貨物安定宣言」としてその旨を宣言した。また、ストライキによって貨物輸送が減ったという批判に対し、反論するためという理由もあった）。1982年（昭和57年）から1984年（昭和59年）頃には、外部からの批判によって国鉄の職場荒廃（カラ出張、ヤミ休暇など）への改善運動が実施されたが、動労はこれにも国労と比較すれば協力する姿勢をとっている。国鉄分割民営化にあたっては国労が徹底抗戦の構えを見せる一方、動労は松崎明委員長の下、組合員の雇用を絶対に守るという方針から民営化賛成に転換し、1986年（昭和61年）1月、鉄労、全施労とともに国鉄当局と「労使共同宣言」を締結、国労と共に分割民営化反対を唱えていた総評を脱退している。その結果、ほとんど不採用者・脱落者を出すことなく新会社に採用されたが、組合員個人の意思に反した広域配転（北海道・九州→首都圏へなど）が行われたり50歳以上の組合員に対しては採用が控えられ一律に勧奨退職の対象となったり結果的に国鉄を追われる形で辞めた組合員は多い。また一部に不採用となった動労役員がいたが、民営化後に子会社役員に招聘されるなど、見せかけだけの「不採用」は、予定調和だったとされている。その後鉄労などと国鉄改革労組協議会を組織し、それを母体に民営化後のJRでは統合して全日本鉄道労働組合総連合会（鉄道労連、のちJR総連）を結成、民営化された新会社における労働運動で主導権を握った。