3 次元ユークリッド空間においてある点からの距離が一定であるような点の集合を球面という。内部を含めた球面を球という。一般に、n を自然数とするとき、n + 1 次元ユークリッド空間においてある点からの距離が一定であるような点の集合のことを、n 次元球面といい、Sⁿ と書く。円は 1 次元球面である。
円に内接する六角形の対辺の延長線の交点は一直線上にある。さらに拡張して、二次曲線上に異なる6つの点 P₁～P₆ を取ると、直線 P₁P₂ と P₄P₅ の交点 Q₁、P₂P₃ と P₅P₆ の交点 Q₂、P₃P₄ と P₆P₁ の交点 Q₃ は同一直線上にある。また、Pᵢ における接線と Pⱼ における接線の交点を Rᵢⱼ とすると、3 直線 R₁₂R₄₅, R₂₃R₅₆, R₃₄R₆₁ は1点で交わる。一番初めの、円に内接する六角形の証明は、うまく補助円を書くことで、円の性質と三角形の相似だけですることができる。
三角形のそれぞれの頂点から下ろした垂線の足から他の二辺に下ろした、合計 6 個の垂線の足は、同一円周上にある、という定理。中学で習う円の性質だけで証明することができるが、かなり難解。
三角形や円に関する事柄を扱う幾何学（相似や面積を用いない）は円論と呼ばれ、古来非常に深く研究されてきた。最も平面幾何学らしい幾何学とも呼ばれる。
第7代アーガイル伯爵アーチボルド・キャンベルと第6代モートン伯爵ウィリアム・ダグラスの娘アグネスの長男として誕生、1638年に爵位を継ぎ第8代アーガイル伯となった。チャールズ1世がイングランド国教会の監督制をスコットランドに押し付けようとする姿勢に反発し、同年2月にモントローズ伯（後にモントローズ侯）ジェイムズ・グラハムやリーヴン伯アレクサンダー・レスリーらと共に長老派教会（長老制）堅持を掲げて国民盟約を結成、1641年に和睦を求めるチャールズ1世から侯爵に叙された。しかし、方針を巡りモントローズ伯と対立し盟約派の結束を弱めた。また、1642年に第一次イングランド内戦が始まると議会派に味方する一方でチャールズ1世に連隊（後のスコッツガーズ）を送るなど、この頃から両派を天秤にかける態度を取り始めている。1643年に議会派がスコットランドと接触すると、アーガイル侯は王党派のハミルトン公ジェイムズ・ハミルトンの反対を押し切り議会派のジョン・ピム、ヘンリー・ベインらと厳粛な同盟と契約を締結、リーヴン伯率いる援軍がイングランドに派遣された。だがその際、宗教など両国の様々な違いを棚上げして締結を急いだため、第一次内戦が終わると契約内容を巡りイングランドとスコットランドの関係が悪化、それを見計らったハミルトン公がチャールズ1世と和解契約を結んでエンゲージャーズを結成、1648年の第二次イングランド内戦勃発に繋がった。ところが、ハミルトン公が8月にプレストンの戦いで議会軍副司令官オリバー・クロムウェルに大敗すると（後に捕らえられ処刑）、余勢をかってスコットランドへ侵攻したクロムウェルと10月に急遽和睦、第二次内戦を短期間で終結させハミルトン派を排除した。勢力拡大のための和睦だったが、長老派と相容れない独立派に属するクロムウェルとの和睦は不安定で、1649年に独立派によるチャールズ1世の処刑に反対しイングランド共和国に敵対、リーヴン伯らと共に王党派に鞍替えしチャールズ2世を擁立して第三次イングランド内戦を勃発させた。他方、モントローズ侯とはスコットランドを舞台にして争い続け（スコットランド内戦）、1645年の当初は戦上手のモントローズ侯にインヴァロッヒーの戦い（2月2日）・キルシスの戦い（8月15日）で負け続けていたが、第一次内戦が終わりに近づきリーヴン伯の派遣軍がイングランドから戻ることが決まると形勢は逆転、味方に逃げられ弱体化したモントローズ侯の軍を9月13日のフィリップホフの戦いで勝利、敗れたモントローズ侯が大陸へ亡命したことでスコットランドはアーガイル侯の支配下に入った。1650年3月にチャールズ2世に呼応し再挙を図るモントローズ侯を4月27日のカービスデイルの戦いで破り、逃亡したモントローズ侯を捕らえ5月21日に処刑、チャールズ2世を手中に収めスコットランドの実権を握った。だが、クロムウェルに歯が立たず9月3日のダンバーの戦いでデビッド・レスリー（リーヴン伯の甥）が率いるスコットランド軍が共和国軍に大敗、スコットランド南部を占領され早くも存亡の危機に立たされたアーガイル侯は1651年1月1日にチャールズ2世の戴冠式を挙行、諸勢力の糾合を図った。しかしクロムウェルの勢いを止められず9月3日のウスターの戦いでスコットランド軍が連敗しチャールズ2世は大陸へ亡命、クロムウェルの部下ジョージ・マンクがスコットランド北部も制圧するにおよんで、アーガイル侯は1652年に観念して降伏した。こうしてスコットランドは独立を失い、イングランドとの合同で共和国に編入された。1658年にスコットランド選出議員となるが、1660年に共和国が終わり王政復古が成立すると、共和国での行動を反逆罪に問われ1661年4月27日に処刑された。54歳だった。アーガイル侯政権下で反逆者扱いされていたモントローズ侯は評価が逆転、英雄にされて国葬が執り行われ遺体はセント・ジャイルズ大聖堂に埋葬されたが、皮肉なことにアーガイル侯もセント・ジャイルズ大聖堂に埋葬され、現在は両者共に大聖堂で眠っている。所領と爵位は没収され息子のアーチボルド・キャンベルも投獄されてキャンベル氏族は危機に陥ったが、1663年にそれらを取り戻し復権した。