積空間 X は、自然な射影と合わせて、次の普遍性によって特徴づけることができる。Y が位相空間で、すべての i ∈ I に対して fᵢ: Y → Xᵢ が連続写像であれば、ちょうど1つの連続写像 f: Y → X が存在して、すべての i ∈ I に対して、以下の図式が可換図式となる：これは積空間が位相空間の圏における積であることを示している。上の普遍性から写像 f: Y → X が連続であることと fᵢ = pᵢ o f がすべての i ∈ I に対して連続であることが同値であることが従う。多くの場合において component function fᵢ が連続であることを確認する方が易しい。写像 f: Y → X が連続であるかどうかを確認することは通常より難しい。pᵢ が連続であるという事実を何らかの方法で使おうとする。自然な射影 pᵢ: X → Xᵢ は、連続であることに加えて、開写像である。つまり積空間の任意の開集合は Xᵢ に射影されても開集合のままである。逆は正しくない。W が積空間の部分空間であってすべての Xᵢ への射影が開であっても、W が X において開とは限らない。（例えば  を考えよ）。自然な射影は一般には閉写像ではない（例えば閉集合  を考えよ。これの両軸への射影は  である）。積位相は次の事実により各点収束の位相 (topology of pointwise convergence) とも呼ばれる。X における点列（あるいはネット）が収束することとその空間 Xᵢ へのすべての射影が収束することは同値である。とくに、I 上のすべての実数値関数からなる空間 X = Rᴵ を考えると、積空間における収束は関数の各点収束と同じである。Xᵢ の閉部分集合の任意の積は X における閉集合である。積位相についての重要な定理はチコノフの定理である：コンパクト空間の任意の積はコンパクトである。これは有限積に対して示すのは容易だが一般の場合の主張は選択公理と同値である。
旅烏の時次郎は、自分を慕ってついてくる身延の朝吉とともに気ままな旅を続けていたが、草鞋を脱いだ佐原の勘蔵一家と牛堀の権六一家の縄張り争いに巻き込まれそうになる。かつて飯岡助五郎と笹川繁蔵の争いに一宿一飯の義理で助っ人を申し出た時次郎は、多くの人間を斬り殺したことでやくざに嫌気がさしており、勘蔵の娘・お葉の懇願を振り切って立ち去るが、男を上げたい朝吉は時次郎を罵り、単身牛堀一家に殴りこんで返り討ちにあってしまう。朝吉の供養を済ませた時次郎は、渡し舟で子供を連れた女から真っ赤な柿を手渡され、しばしその母子と旅を共にして悲しみを癒す。その後訪れた鴻巣では鴻巣金兵衛一家のいざこざに巻き込まれる。もう人を斬りたくない時次郎は早々に立ち去ろうとするが、鴻巣一家と対立していた中野川一家最後の生き残りである六ツ田の三蔵を殺せば一宿一飯の義理は問わないと金兵衛に直接頼まれて、三蔵を殺しに行くことになる。三蔵を一騎討ちで討ち取った時次郎は、今わの際の三蔵から妻と子を連れて、妻のおきぬの故郷である熊谷の伯父の元へと送り届けてほしいと頼まれる。ところが、その家族のところへ行ってみると、三蔵の妻子おきぬと太郎吉とは、渡し舟で柿を手渡してくれ旅を共にした母子だと知って、時次郎は愕然とする。時次郎は涙ながらに自分が一宿一飯の義理で三蔵を斬ったと苦しい告白をした。熊谷に着いてみるとおきぬの伯父は年貢の厳しい取り立てを苦にして首をくくりすでにこの世になく、身寄りを失ったおきぬ母子に時次郎は「自分の故郷、信州・沓掛へ行こう」と誘う。しかし、時次郎と旅をするうちに彼に心を許し、いつしか恋心さえ抱くようになってしまったおきぬは、亡き夫への思いとの板挟みを苦にして時次郎の元から消えてしまう。一年後、真冬の高崎宿で、悲嘆にくれる時次郎は、外で門付の母子が弾く追分節の三味線を聞いて表に飛び出し、今は流れ者の門付にまで身を落としているおきぬ母子と再会を果たす。その追分節は、かつて別れる前日におきぬが時次郎を慰めるために歌った、時次郎の故郷の唄だった。こうして二人は再会するが、おきぬは肺を病んでおり、床に伏してしまう。おきぬを助けるためには高価な薬が必要であり、その金を稼ぐために時次郎は一度は捨てた刀を再度手にとって、もう一度だけと草鞋を脱いだ八丁徳一家の喧嘩の助っ人をする決意をするのだった。やがておきぬが病で亡くなり、その子どもを引き取って旅に出る時次郎を追ってくる男がいた。その男は搾取され続ける百姓に嫌気がさしてヤクザ稼業に憧れていた。時次郎は「昌太郎さん、悪いことは言わねぇ。百姓に戻りなせぇ。やくざってぇのはねぇ、虫けらみたいなもんさ」と宥めるが襲われ、彼を切ろうとしたが子どもが必死で止め、時次郎は殺すことを思いとどまり今度こそ刀を捨てた。