栃木県那須郡西那須野村（現・那須塩原市）出身。本名吉也。大正から昭和にかけて北海道を拠点に活躍した。若くしてフランク・ロイド・ライトの影響を受け、確な腕を持つ棟梁の小島与市との出会った。特徴的な要素を持つ、北海道の気候風土に根ざした洋風建築を数多く残している。また、札幌新交響楽団の創立者でもあり、初代指揮者も兼務した。
上述のようなフラクタル次元の尺度は、形式的に定義されたフラクタルから得られたものである。しかしながら、生命体や現実世界の現象もまたフラクタルの特性を示すのであるから、一連の標本データのフラクタル次元を記述することは有用であることも多い。この場合のフラクタル次元は正確に求めることはできないが、概算は可能なはずである。例えば、自然界の海岸線は砂粒などの大きさという限界があるので厳密にはフラクタルではないが、リアス式海岸のような複雑な海岸線はフラクタル的な特性を示し、そのフラクタル次元は複雑さに応じて概ね 1 < D < 1.3 となる。フラクタル次元の概算は、物理学、画像解析、音響学、リーマンゼータ関数の零点、（電子）化学プロセス、医学など、さまざまな領域で用いられている。応用の一例として、人間の大腸粘膜表皮はフラクタル的な構造を示し、これは表面積を最大化するためと考えられるが、病変するとそのフラクタル次元に変化が現れる。良性腫瘍では1.38、癌では1.50前後となり有意差があるとする研究があり、サンプルのフラクタル次元概算による客観的な診断が目指されている。実際の次元の概算は数字的もしくは実験上のノイズに非常に敏感であり、また特にデータの量の制限に影響されやすい。極めて多くのデータ点の数が得られるのでない限り避けようのない限界が存在するので、フラクタル次元の概算に基づく主張、特に低次元での動的挙動の主張には注意が必要である。
フラクタル次元（フラクタルじげん、英: fractal dimension、D）とは、フラクタル幾何学において、より細かなスケールへと拡大するにつれあるフラクタルがどれだけ完全に空間を満たしているように見えるかを示す統計的な量である。フラクタル次元にはさまざまな定義がある。最も重要な理論的フラクタル次元はレニー次元、ハウスドルフ次元、パッキング次元の3つである。実用上ではボックス次元と相関次元の2つが実装が容易なこともあり広く使われている。古典的なフラクタルのいくつかではこれらの次元は全て一致するが、一般にはこれらは等価なものではない。例えば、コッホ雪片の位相次元は1であるが、これは決して曲線ではない――コッホ雪片上の任意の2点の間の弧長は無限大である。コッホ雪片の小片は線のようではないが、かといって平面やその他の何かの一部のようでもない。1次元の物体であると考えるには大きすぎるが、2次元の物体であると考えるには薄すぎるとも言え、ではその次元はある意味1と2の間の数値として表されるのではないかという考察に導かれる。これがフラクタル次元の概念を想像してみる簡単な方法の1つである。
父親は大学教授。モンタナ大学で作曲を学び、シアトルレパートリー劇場(Seattle Repertory Theatre)に参加。1992年にはブロードウェイにてミュージカル『ガイズ&ドールズ』に出演、1994年にはオペラにも出演した。2014年の映画『セッション』で厳格な音楽教師を演じ、「2014年公開の映画の中で、最も記憶に残った演技」と絶賛され、映画賞の助演男優賞を多数受賞。第87回アカデミー賞助演男優部門にも初ノミネートされ、受賞を果たした。テレビ出演も非常に多く、『ER緊急救命室』『LAW & ORDER:性犯罪特捜班』『LAW & ORDER:クリミナル・インテント』『NIP/TUCK マイアミ整形外科医』『FBI 失踪者を追え!』『NUMBERS 天才数学者の事件ファイル』『ザ・ホワイトハウス』などにゲスト出演している。
袁世凱死後に孫文（孫中山）が護法運動を開始すると、王正廷もこれを支持した。民国6年（1917年）8月、広州非常国会副議長に任じられた。9月、護法軍政府が成立すると、外交次長（暫行署理外交総長）に任じられている。1919年（民国8年）のパリ講和会議では、王は護法軍政府代表として、北京政府代表の陸徴祥・顧維鈞らとともに参加した。ヴェルサイユ条約で日本が山東半島におけるドイツの旧権益を引き継ぐことになると、代表の中でも王は特にこれに反対の主張を唱えた。結局、五四運動など国内情勢もあって、代表団はヴェルサイユ条約への調印を拒否した。帰国後、護法軍政府内の対立が発生したために、王正廷は下野に追い込まれた。1921年（民国10年）、中国大学校長に任命される。同年5月には、デン・ハーグの常設仲裁裁判所の仲裁人に任命された。1922年（民国11年）3月、王は北京政府により、魯案督弁に任命され、山東半島の懸案に関する日本との交渉を担当した。11月、汪大燮内閣で署理外交総長に任じられた。さらに12月から翌年1月まで、短期間ながら王が代理国務総理を務めた。同年3月より、王は北京政府から中ソ交渉の事務を委ねられ、1924年（民国13年）3月まで、懸案の解決に尽力した。この努力は、後任の顧維鈞により、同年5月に中ソ協定が結ばれ国交が回復するということで結実している。その後も、北京政府では外交総長や財務総長などを歴任した。