北海道釧路市出身。北海道釧路湖陵高等学校卒、青山学院大学在学中に中川一郎衆議院議員の秘書となる。中川の急死後に大学を中退し、中川の筆頭秘書であった鈴木宗男釧路事務所長となる。自民党所属の釧路市議会議員を2期、北海道議会議員を3期務める。2008年、伊東良孝釧路市長が第45回衆議院議員総選挙への出馬を表明し市長を辞職したため、蝦名は2008年11月に道議を辞職。自民党出身ながら民主党・新党大地の支援も受けて、「市民党」を標榜、無所属で釧路市長選挙に出馬し、当選（自民党釧路市支部は、上田徳郎市議と共に市長選では異例の二名同時推薦という機関決定で支持表明をした）。2012年10月21日、無所属で市長選に臨み、中家治子（市民団体役員・元横浜市議、日本共産党推薦）8,408票、八村弘昭（浄土真宗本願寺派弘宣寺副住職、無所属）1,393票に対し、40,977票を得るという圧倒的大差で再選された（投票率34.45%）。2016年の市長選挙で3選。
開山：日貞　二世：日朝　三世：日源　四世：日範　五世：日衛　六世：日東　七世：日光　八世：日住　九世：日義　十世：日継 十一世：日隆　十二世：日安　十三世：日純　十四世：日体　十五世：日運　十六世：日行　十七世：日元　十八世：日瑞　十九世：日達　二十世：日観 二十一世：日境　二十二世：日導　二十三世：日妥　二十四世：日宏　二十五世：日淳　二十六世：日勇　二十七世：日周　二十八世：日山　二十九世：日昌　三十世：日済 三十一世：貫名英勇（日道）　三十二世：大樹院日秀（野口行進）　三十三世：大平智覺（日光）　三十四世：大平智瑩（日憲）　三十五世：大平智円　三十七世：大平明定　三十八世：大平純士
広田は最終弁論を前に、弁護人を通じて「高位の官職にあった期間に起こった事件に対しては喜んで全責任を負うつもりである」という言葉を伝えている。広田は55の訴因で訴えられていたが、そのうち「侵略戦争の共同謀議」、「満州事変以降の侵略戦争」、「戦争法規遵守義務の無視」の三つの訴因で有罪と判定された。判決では首相期の国策基準、日独防共協定、特に支那事変期の外相としての責任が言及された。支那事変について、「広田はこれらの計画をすべて十分に知っており、そしてこれを支持した」「外交交渉で日本の要求が満たされるに至らないときは、武力を行使することに終始賛成していた」とした。また南京事件に関しては「かれがとることができた他のどのような措置もとらなかったということで、広田は自己の義務に怠慢であった」と指摘し、「彼の不作為は、犯罪的な過失に達するものであった」としている。この有罪言い渡しの後、法廷はしばらく休廷に入った。この時弁護人の花井忠に「量刑というものは情状で軽くなるものでしょうか」と聞き、花井が「そうです」と答えると「困ったナァ、長くつながれるのが一番困る」と述べた。その後、再開した法廷で広田には死刑宣告が行われた。この後、広田に「残念でなりません」と語りかけてきた元ドイツ大使の大島浩に対しては、「雷に打たれた様なものだ」と飄々とした表情で返答したという。なお、11人の裁判官中3人（インド、オランダ、フランス）が無罪、2人（オーストラリア、ソ連）が禁錮刑を主張している。オランダのベルト・レーリンク判事は「広田が戦争に反対したこと、そして彼が平和の維持とその後の平和の回復に最善を尽くしたということは疑う余地が無い」と明確に無罪を主張している。近衛文麿が自決していたために、文官の大物戦犯である広田は注目されていた。そんな中で文官で唯一の死刑判決に広く衝撃が走った。「戦争を止めようとしていた」という印象を国民の間にも強く持たれていた広田に対する死刑判決には、多くの疑問の声が上がった。占領軍の決定に対する反対運動などが皆無だった当時において、減刑するように全国から数十万という署名が集められた程である。また、死刑を求刑していたはずの連合国の検察側からですら判決は意外だったとの声もあり、最終弁論で「彼らは誰一人として、人類の品位というものを尊重していない」と被告人達に罵詈雑言を浴びせた首席検事のジョセフ・キーナンですら「なんという馬鹿げた判決か。どんなに重い刑罰を考えても終身刑までではないか」とのコメントを残している。また玄洋社に対して、GHQの調査分析課長であったエドガートン・ハーバート・ノーマンが「日本の国家主義と帝国主義のうちで最も気違いじみた一派」という見解を示していたことや、大陸で工作活動をした黒龍会を設立した内田良平と広田が友人であったこと、1944年（昭和19年）に没した頭山満の葬儀委員長を務めたこと（副委員長は緒方竹虎）妻・静子の父親が国粋主義者であったことなどから「広田＝右翼」という先入観があったと見る説もある。なお広田の妻・静子は東京裁判開廷前の1946年（昭和21年）5月18日に鵠沼の別邸で服毒自殺している。自殺の理由として、国粋団体の幹部を親に持つ自分の存在が夫の裁判に影響を与えると考えていたためとされている。死因は初め狭心症と発表されており、自殺であったことは1953年（昭和28年）の広田の追悼記念会で公にされた。