イングランド南西部のボーンマスに生まれる。1956年から1958年までロンドンの王立音楽アカデミーで学び、後にケンブリッジ・キングズ・カレッジのオルガン給費生になり、音楽修士号の学位を受ける。1962年にロンドンのロイヤル・フェスティバル・ホールで行われた演奏会で、ヤナーチェクの『グラゴル・ミサ』のオルガンを受け持って公式にデビューを飾る。1962年にウェストミンスター寺院の副オルガニストに就任し、1967年まで務める。1967年からは聖オールバン教会のオルガニスト及び合唱指揮者を務め、1970年からオックスフォード・キリスト教会のオルガニストと聖歌隊隊長を兼任した。1971年からはオックスフォード・バッハ合唱団の指揮者を務めている。教会のオルガニストの要職に務めながら、コンサートのオルガニストとして活動を開始し、ヨーロッパや北アメリカに演奏旅行を行っている。またジョージ・マルコムに影響を受け、チェンバロ奏者としての活動を始めて、名声を確立した。また指揮者としても活動し、イギリス・バッハ音楽祭でウィリアム・ウォルトンの『ユビラーテ』の世界初演を行って以降、指揮活動も活発に行っている。1981年にウェストミンスター大寺院の正オルガニストに就任し、1987年までその任を務めた。バロック音楽のみならず、古典派、ロマン派から現代音楽までの幅広いレパートリーを持つ。日本へは1988年に初来日し、NHKホールでリサイタルを行った。 1999年にはトランペット奏者のホーカン・ハーデンベルガーとともに東京オペラシティ コンサートホールでデュオ・リサイタルを開いた。
フィンチは1973年にホワイトハウスを辞し、南カリフォルニアへ戻った。フィンチはパサデナで弁護士業を再開したが、共和党員として政治への関与は残し続けた。フィンチは1976年に連邦上院議員を目指したが、共和党の指名獲得に失敗した。1995年、フィンチはカリフォルニア州パサデナにおいて、心不全により死去した。
1968年、フィンチは大統領選挙に立候補したリチャード・ニクソンを支持し、ニクソンの上級顧問となった。選挙の結果、ニクソンは民主党ヒューバート・ハンフリーを僅差で下した。ニクソンは当初、フィンチを副大統領候補として選挙に臨むつもりでいた。だがフィンチはニクソンの要請を辞退した。そのためニクソンは、副大統領候補としてメリーランド州知事スピロ・アグニューを起用した。かつてニクソンはカリフォルニア州から連邦議員に選出されたことがあったが、大統領選挙当時はニューヨーク州に居住していた。そのため、仮にカリフォルニア州に居住していたフィンチが副大統領候補となっていた場合でも、カリフォルニア州の選挙人はフィンチに投票することができた（アメリカ合衆国憲法修正第12条）。大統領選挙後、ニクソンはフィンチに対して新政権での閣僚ポストの選択権を与えた。フィンチは健康と教育の問題について関心を抱き続けていたため、保健教育福祉長官のポストを選択した。フィンチは社会問題について、ニクソンよりも穏健主義であった。だが政治的思想の違いは特に問題とならなかった。1969年にニクソンが大統領に就任すると、フィンチは保健教育福祉長官として新政権に加わった。1970年、フィンチは保健教育福祉長官を退き、ホワイトハウスのスタッフに転任した。フィンチは1973年まで国内問題担当の大統領顧問を務め、閣僚級のポストを維持し続けた。
1953年にリチャード・ニクソンがアメリカ合衆国副大統領に就任すると、フィンチはニクソン副大統領の補佐官となった。1960年の大統領選挙では共和党候補として擁立されたニクソンを全面支持し、ニクソンの選挙マネージャーを務めた。だが選挙の結果、ニクソンは民主党ジョン・F・ケネディに僅差で敗れた。1966年、フィンチはカリフォルニア州副知事に立候補し、当選した。フィンチは同時に行われた州知事選挙で当選したロナルド・レーガンよりも多くの票を獲得した。
前期青銅器時代にまで遡る歴史のあるサルトは、ヨルダン川東岸地域の中心都市であり、一時期はトランスヨルダンの首都としての機能を果たしていたこともある。現在のヨルダンの首都アンマンからは北西へ車で1時間ほどで、サルトに入ると、長いアーチ窓が特徴的なオスマン帝国末期からの石造建築が並ぶ古い街が広がる。ローマ帝国が支配した時期、サルトはラテン語で森林を意味するサルトゥス（Saltus）の名で知られており、後の東ローマ帝国時代には主教が置かれていた。この時期、サルトゥスはヨルダン川東岸の中心都市となっていた。モンゴル帝国の襲来によって破壊されたサルトは、マムルーク朝第5代スルタンのバイバルスの治世（1260年 - 1277年）に再建される。オスマン帝国による支配の後には再度ヨルダン川東岸の中心都市となった。1830年代初期、サルトはムハンマド・アリー朝エジプトの総督イブラーヒーム・パシャのシリア・パレスチナ遠征で攻撃され打撃を受けた。サルトの全盛期は19世紀末期、ヨルダン川西岸のナーブルスの貿易商人たちが交易路をヨルダン川の東へ延長してサルトに至った時期であった。サルトは自然の美しさや水の豊かさに恵まれており、大きな都市ができるには好ましい条件を備えていた。この時期にサルトには新しい住民が流入して急速に拡大し、それまでの農村集落から商業都市へと変貌し、近郊で切り出された山吹色の石灰岩を使って建てられたナーブルス風の立派な家々が並ぶようになった。今日でも19世紀末の伝統建築は多数残存し、すぐ近くの近代都市アンマンの喧噪とは対照的な古都の風情を楽しむために観光客が訪れる場所となっている。第一次世界大戦後、イギリスがパレスチナおよびトランスヨルダンに置いた高等弁務官ハーバート・サミュエルは、創設が予定されていたイギリス委任統治領パレスチナのうち、東部を分割して新設される「トランスヨルダン」の自治政府の場所にはサルトが望ましいと述べた。自治政府は1921年に承認され、ハーシム家出身のアブドゥッラー1世はその首長になることを受け入れた。小さな村ばかりであったトランスヨルダンにおいて、当時はサルトがトランスヨルダン最大の都市であり、唯一の高等学校もヨルダンのほとんどの商工業者もサルトにあったためここが新首都に選ばれるのは自然なことに思われた。しかしアブドゥッラー1世はサルトに到着すると住民の敵意を集めてしまう。アブドゥッラー1世はサルトの街の名士たちと合意に達せず、結局サルトを去ってヒジャーズ鉄道の沿線にあった人口わずか2万人の小都市アンマンに移動した。以後、アンマンがトランスヨルダンの首都となり、第二次世界大戦後の完全独立とパレスチナ難民流入でアンマンは大都会へと膨張し、サルトは時代の流れの中で取り残される町となった。