天文15年（1546年）、佐世清宗の次男として生まれる。初めは父や兄と共に尼子氏に仕えたが、永禄9年（1566年）の毛利元就による月山富田城の戦いの際に毛利氏に降伏しその家臣となった。なお、この時に弟の佐世大二郎が城内に取り残され、尼子氏に殺害された。毛利氏に仕えて以後は尼子氏旧臣ながらも、譜代家臣との区別無く重用された。天正14年（1586年）、元就の孫・毛利輝元が児玉元良の娘で杉元宣の妻であった二の丸殿を奪う際に、元嘉や杉山元澄・就澄親子に命じて略奪させたと言われている。天正20年（1592年）から始まる豊臣氏による朝鮮出兵で、主君の輝元が肥前名護屋城に滞陣している間は留守となっている毛利領の政治を任されている。また、輝元が朝鮮から帰国した文禄2年（1593年）8月以降、毛利氏の中央行政は、元嘉のほかに二宮就辰、榎本元吉、堅田元慶、張元至の5人の輝元出頭人が担うようになった。この5人は、様々な出自や経歴を持つ人物たちで出自や家格にとらわれず能力評価に基づいて人材登用を図る輝元の姿勢が窺える。文禄3年（1594年）9月10日、輝元から「石見守」の受領名を与えられた。慶長5年（1600年）の関ヶ原の戦いに際しても、広島城の留守居役を務め、毛利氏の防長移封後は旧所領の六ヶ国返租問題の解決に取り組み、その解決に導いた。長州藩の重職の当職になったのも元嘉が最初である。また、一国一城令で廃城になるまで周防国山口の高嶺城の城番を務めた。しかし、次第に輝元は嫡男・秀就の伯父である児玉元兼や譜代家臣筆頭格の福原広俊、有力国人筆頭格の益田元祥を重用するようになっていた。この3人は幕府との交渉に携わって上方へ滞在することも多いが、元嘉は在国していることが多いため幕閣との親交が深くなく、毛利氏減封の一因とされた伊予出兵に元嘉が深く関与していたことも影響し、そうした幕府との関係の浅さが元嘉の権限を制約していった。そのため、元嘉は慶長13年（1608年）頃には当職の座を退いている。翌慶長14年（1609年）には「佐世宗孚書案」を記した。慶長6年（1601年）7月2日に兄の正勝が嗣子のいないまま死去したため、元嘉の嫡男である元量が佐世氏の家督と正勝の知行300石を相続した。慶長8年（1603年）12月29日に輝元から「長門守」の受領名を与えられ、慶長18年（1613年）7月23日には2633石余の知行を与えられた。隠居に際しては子の元量に2000石の知行を譲り渡し、元和6年（1620年）7月9日に死去した。享年75。なお、幕末の志士で後に萩の乱の首謀者となった前原一誠は元嘉の末裔にあたる。
経済学者ジョン・メイナード・ケインズは、本書について「私が思うに、これは偉大な著作だと思う……道徳的にも哲学的にも、私は全面的に本書に同意を与えたい…ただ同意したというだけでなく、感動を込めて賛成の意を表明したい」と述べた。しかし、ケインズはハイエクの哲学が実用的だとは考えていなかった。同じ手紙の後半で、ケインズは「しかし必要なことは、財政政策を君が言うとおりに放任することではなく―その結果は君を絶望させるのに十分なものになるだろうから―それどころか、いっそう拡大させることだ。君にとって最大の実際的な危険は、君の哲学をアメリカで実践に移し、そして失敗することだと思う」ジョージ・オーウェルは『隷属への道』を批判と賞賛の両方をもって迎えた。「ハイエクの論文の問題点は、あまりにも多くの真実を語りすぎているということにある。常人にはとうてい考えつきもしない―少なくとも、集産主義と民主主義は両立し得ない、という点については十分に指摘されてこなかった。それどころか、少数の残虐な専制者たちに、あのスペインの審問官でさえ想像し得なかったような力を与えることになる」一方で、オーウェルはこうも警告する。「しかし、自由競争への回帰は、一般大衆にとってはむしろいばらの道となるだろう。なぜなら、市場による虐待は、国家によるそれとは異なり誰にも帰責できないからだ」ハイエクの著作は、1945年のイギリスの総選挙で引用されるに十分な知名度を博していた。ハロルド・マクミランによれば、ウィンストン・チャーチルは「労働党が政権を獲得することによって、『隷属への道』で描かれたとおりの未来が訪れるかもしれない」と懸念し、その政見放送において「社会主義体制は、ゲシュタポのような組織が常に存在する体制への回帰を意味する」と主張した。対する労働党のクレメント・アトリー党首は、「チャーチルの言ていたことは、みなあのオーストリア人の受け売りにすぎない。戦時中だった1945年の総選挙において、保守党は1.5トンもの貴重な紙資源を消費して『隷属への道』を刷り続けたが、結局何の役にも立たず、選挙は労働党の大勝に終わった」と皮肉を込めて語った。『隷属への道』は、ナショナル・レビュー誌における「20世紀のノンフィクション100選」において4位に輝いた。ニューヨークの出版社"Modern Library"による「読者が選ぶ20世紀100のノンフィクション」においても16位に輝いた。イギリスの詩人マーティン・セイモア=スミスによる「歴史上もっとも影響力のある本１００」にも入選し、2006年の「あらゆる共和党議員必読の書:人文科学」においては一位の座を射止めた。ミルトン・フリードマンは、本書を「ハイエクの『隷属への道』は、まるでアダム・スミスのような役割を(すなわち、20世紀末の社会主義の崩壊、すなわち市場主義の勝利と、それに続いて世界の一連の社会主義的政策が変化したということだ)果たした」と評している。歴史家のAlan Brinkleyは「2冊の本の出版は…まず知識階級(とその他多くの庶民)の間で拡がりつつあった全体主義についての懸念を加速させた。第一の書は、 ジェームズ・バーナムによる『大戦と経済秩序の変革――経営者革命論』であった。第二の書はF.A.ハイエクによる『隷属への道』であったが、こちらは飛躍的に影響力が強く、論争を呼び起こした。ハイエクはバーナム以上に、民主主義と福祉国家の両立性についての強い疑問を提起した。バーナムとハイエクの問いかけに応えて、リベラル派はいっせいにジェファーソン流自由主義に流れ込み、アメリカに新しい政治文化を確立した。もともとは福祉国家志向であったアメリカのリベラル派にとって、これは小さくない転機であった」とした。