n × n 行列 A := (ai,j) のパーマネントは  で与えられる。右辺の和は、対称群 Sₙ の任意の元 σ（つまり、番号 1, 2, …, n の置換）に亙ってとるものとする。例えば、任意の二次正方行列に対して  であり、任意の三次正方行列に対して  となる。A のパーマネントの定義において、A の行列式のそれと異なる点は、各置換（に対応する項）に対して行列式が置換の符号を考慮するのに対してパーマネントは考慮しないことである。行列 A のパーマネントは記号で per A, perm A, Per A などと書く（引数をパーレンで括ることもある）。Minc (1984) は A が矩形行列の場合に Per(A), 正方行列には per(A) と使い分けている。Muir (1882) は  で括る記法を用いている。術語「パーマネント」はもともとはコーシーが1812年に “fonctions symétriques permanentes” として関連する函数の一種に対して用いた。より特定した現代的な意味での使用は Muir (1882) による。
線型代数学における正方行列のパーマネント（英: Permanent）は、行列式 (determinant) によく似た行列変数の函数である。パーマネントは、行列式と同様に、行列の成分を変数とする多項式である。Permutation（置換）と determinant（行列式）を合成したカバン語をもじったものである。英単語の「Permanent」から永久式または恒久式と訳されたこともある。中国語の名称は積和式。パーマネントと行列式はともに、より一般の行列函数イマナントの特別の場合である。
才賀藤吉が1910年（明治43年）5月に事業許可を受け、10月丹波電気を設立し発電所（瓦斯力、出力60kw）を建設。1911年（明治44年）10月に事業開始したが、1912年（明治45年）7月に宮津電燈、丹波電気、丹後電気三社合併し、両丹電気へ社名変更した
八木町の歴史は古く、古代から地方豪族の古墳が多数作られ、645年頃、在桑田郡行程上一日下半日の地（現在の北屋賀か）に丹波国国府が置かれたと言われている。中世には、吉富荘と船井荘の荘園が存在し、1180年頃、神護寺を復興した文覚上人が吉富荘室橋に文覚池を造った。室町時代初頭、内藤季継が足利尊氏より桑田、船井を授けられ、八木城を築城し、さらに室町時代中期、丹波の守護細川勝元は、八木城を修築し、守護代内藤氏をして丹波の防衛を堅めさせた。 安土桃山時代ころから大堰川の舟が盛んになり、鳥羽が重要な港のひとつとされるに至った。 江戸時代になると、角倉了以が大堰川をひらき嵯峨に通じる水路を開通させた。鳥羽は中継地となり木材、米、塩の類埠頭に集散する市場となった。1660~70年ごろ、八木城周辺から、今の街の位置へ移り住む様になり、現在の八木の街が形成され始めた。
1926年、国民革命軍に加わり、東路軍総指揮部（司令：何応欽）少校参謀、中校科長。北伐に参加。営長、団長を歴任。1928年の第2次北伐では軍事委員会軍械処統計科長。北伐後は呉淞要塞司令部参謀長を経て上海兵工廠軍械科長（兵器主任）。金九の要請で爆弾を製造し提供したこともあり桜田門事件で使用された手榴弾、上海天長節爆弾事件で使用された爆弾は金弘壹が金九に提供した物だった。1931年に満州事変が起こると臨時稽査長を兼任して日本の動向を探った。1932年、上海事変勃発により上海兵工廠が後方に疎開され、第19路軍後方諜報科長を兼任する。フランス租界に滞在し金九、安昌浩らと連絡を取りながら朝鮮人を動員して日本軍の後方攪乱や情報収集を行った。そして虹口埠頭に接岸していた出雲に上海派遣司令部が同居していることを察知、出雲を爆破しようとしたが失敗に終わる。また金九と共に日本軍の飛行機格納庫と軍需倉庫の焼却を企て、時限式の焼夷弾を兵站機関に雇われている朝鮮人に仕掛けさせる計画を立てたが爆弾が出来上がる前に停戦となったので、計画は沙汰止みになった。上海天長節爆弾事件により、日本の捜査が及ぶと王逸曙に改名して南京へ行き、城外にある工兵学校の副官処長となる。その後も金九と密接に連絡していたが、1935年9月頃に金九の専横を警告したことが原因で喧嘩となり、金九とは距離を置いたという。1932年10月、朝鮮革命軍事政治幹部学校の設立を後援。1933年2月、江西紅軍の囲剿に参加。第2路軍総指揮部上校参謀、第2路軍第102師参謀主任を歴任。剿共作戦を終えると軍需設計委員に任命。1934年から1938年まで中央陸軍軍官学校の教官を務める。1934年から洛陽分校韓人特別班に入校した朝鮮人生徒、1937年12月から星子県特別訓練班に入校した朝鮮民族革命党の青年党員を育成した。これらの生徒は後に光復軍や朝鮮義勇隊の中核要員となった。