Van der Waerden (1926) はn × n 二重確率行列の中で最小のパーマネントは n!/nⁿ で、それは全ての成分が 1/n に等しい行列によって達成されると予想した。この予想の証明は、(B. Gyires 1980) および (G. P. Egorychev 1980, 1981) および (D. I. Falikman 1981)として出版された。Egorychev の証明はアレクサンドロフ–フェンケル不等式の一つの応用である。この業績により Egorychev と Falikman はファルカーソン賞を1982年に受賞している。
任意の正方行列 A := (aᵢⱼ) を、頂点集合 {x₁, x₂, xₙ} および {y₁, y₂, …, yₙ} を持つ二部グラフで、頂点 xᵢ から頂点 yⱼ へ結んだ辺の重みが aᵢⱼ であるようなものの隣接行列と見ることもできる。xᵢ を yⱼ にマッチさせる 完全マッチング σ の重みを、このマッチングに現れる辺すべての重みの総乗と定義するならば  と書けるから、A のパーマネントはこの二部グラフの完全マッチングすべてに亙る重み付き和に等しいことがわかる。
任意の正方行列 A := (aᵢⱼ) は適当な重み付き有向グラフの隣接行列と見なすことができて、各 aᵢⱼ は頂点 i から j へ結ぶ弧の重み付けを表す。重み付き有向グラフの閉路被覆とは、その有向グラフの点素 (vertex-disjoint) な有向閉路のあつまりで、グラフのすべての頂点を被覆するものを言う。このとき、有向グラフの各頂点 i は、その閉路被覆において一意的な「後続点」σ(i) を持ち、σ は {1, 2, …, n}（n はグラフの頂点数）の置換となる。逆に、{1, 2, …, n} 上の任意の置換 σ は、各 i に対して頂点 i から σ(i) へ結ぶ弧がある閉路被覆に対応する。「閉路被覆の重み」を各閉路における重みの総乗と定めるならば、 と書ける。n × n 行列 A のパーマネントの定義 （σ は {1, 2, …, n} 上の置換）と比較すれば、隣接行列 A のパーマネントが、対応する有向グラフの閉路被覆すべてに亙る重み付き和に等しいことが分かる。
パーマネントはヒルベルト空間上の対称テンソル冪の研究において自然に生じてくる。具体的に、H をヒルベルト空間とし、その対称テンソル全体の成す空間である対称テンソル冪を  と書くと、特に  は H の元からなる対称（テンソル）積によって生成されることに注意する。x₁, x₂, …, xₖ ∈ H の対称積は  と定義される。 を（H の k-次テンソル冪  の部分空間として）考えるとき、その上に内積 ⟨,⟩ が定義されれば、それに応じて  となることが分かる。コーシー–シュヴァルツの不等式を適用すれば、 および  が確かめられる。
行列式の場合とは違い、パーマネントは平易な幾何学的解釈はない。主な応用先として、組合せ論、量子力学におけるボソンのグリーン関数の扱いにおいて、およびボソンサンプリングシステムの状態可能性の決定においてなどがある。ただし、2種類のグラフ理論的解釈をもつ（有向グラフの閉路被覆の重み付き和、および二部グラフにおける完全マッチングの重み付き和）。
創建は景行天皇年間とも天武天皇在位年間ともいわれる。本宮からみて北西方向、「こころの小径」と呼ばれる参拝道の奥まったところにあるが、現在地には1893年（明治26年）に移転したもので、それ以前には現本宮の南東付近にあった。祭神として天照大神荒魂（あまてらすおおかみあらみたま）を祀る。荒魂とは激しく動的な事象を生み出す神霊をいい、勇猛さ・進取の象徴ともなる。熱田神宮でこれが祀られる由縁も、伊勢神宮に荒祭宮（位置）があることと同義とされる。「宮中第一の摂神」とされ、本宮とのきわめて近しい関係のほか、忠誠心の強い側近のような印象もうかがわれる。本宮での神事の際、古くは必ず最初に当社に供物を奉じることが慣わしとなっており、このことは「鬼食い」（毒味）の意味を持つともいう。このことから、祭神の別説、あるいは相神として、大伴武日命（おおとものたけひのみこと）を祀ったとする説も古くからみられる。天野信景や深田正韶がこの説を支持する一方、津田正生は「信じがたし」と切り捨てている。『尾張志』によれば、大伴武日命は日本武尊の東征時に吉備武彦命（きびたけひこのみこと）と共に左右の副将軍として尊を支えた武人で、龍神社（祭神は吉備武彦命）と当社が本宮の両脇に衛士のように座することもこの故事に由縁があるという。江戸時代以前は龍神社と相殿であったようで、それぞれ別社とすることの要望が大宮司宛口上書（1686年6月5日（貞享3年4月15日）付）として残っている。この願いは聞き届けられ、以来、一之御前神社と龍神社は現在に至るまで独立して存在している。社名の由来としては、「魂」を「美佐岐（みさき）」と訓ずることが『倭姫命世記』などで知られており、ゆえに「一ノ魂（いちのみさき）」と書かれたとする説、686年（朱鳥元年）に朝廷から還座した草薙神剣（くさなぎのみつるぎ）がまず納められた仮宮であったとする説、本宮5神のうち第1の御前（ごぜん）である天照大神そのものを指すとする説などが知られる。「一神前（いちのみさき）」、「一御崎（いちのみさき）」とも書かれた。