一般に零写像は、未知函数 u に関する任意の斉次線型作用素方程式  を満足する。ただし、右辺の 0 は零写像の意味である。逆に、右辺を零写像以外に取り換えて得られる任意の非斉次線型作用素方程式において零写像は解にならない。
V, W がノルム空間で、それぞれのノルムを ‖ • ‖V, ‖ • ‖W とすれば、零写像の作用素ノルムは  となる。W = R に対して零写像自身が半ノルムを成す。
零写像は線型写像である。すなわち、ベクトル空間の間の準同型として  を満足する。したがって零写像は、線型写像全体の成すベクトル空間 L(V, W) に属し、そのベクトル空間の零ベクトルとなる。有限次元ベクトル空間の間の零写像は、それぞれの空間の基底をどのように選んでも、サイズ dim V × dim W の零行列で表現される。零写像の核は V 全体で、像 は {0W} であり、したがって階数は常に 0 である。V = W のとき、固有値はすべて 0 であり、固有空間は V となる。
線型代数学において、同じ体 K 上の二つのベクトル空間 V, W の間の写像 φ: V → W が零写像または零作用素であるとは、V の全てのベクトルを W の唯一の零ベクトル 0W へ写す写像  を言う。零写像も 0 で表すことがある（文脈から数値の 0 か零写像の 0 かが文脈から明らかである場合に限る）。零写像も定義域を部分集合 U ⊂ V に制限することができる。
零函数はコーシーの四つの函数方程式: の自明な解である。さらに、零函数は  なる形の斉次線型微分方程式の自明な解であり、また （K(x, y) は積分核、λ は前因子）なる形の積分方程式の自明な解である。逆に非斉次の線型微分または積分方程式が零函数を解に持つことはない。
零函数の定積分は、積分の限界の取り方に依らず常に零である。すなわち  が成り立つ。したがって、零函数は実数直線全体で可積分な唯一の多項式函数である。零函数の原始函数は、不定積分の積分定数は任意にとれるから、零函数自身も含めた任意の定数函数によって与えられる。
零函数は滑らかな函数、すなわち何回でも連続的微分可能であり、その各階の導函数は零函数で与えられる。すなわち  が成り立つ。指数函数を除けば、このような性質を持つ函数は零函数に限る。零函数自体は、定数函数の導函数として、あるいは一般に n-次多項式函数の (n + 1)-階導函数として得ることができる。
実解析における実零函数は、実函数 φ: R → R であって、すべての引数に 0 を割り当てるもの、すなわち  を満足するものを言う。恒等式の記法を用いれば、零函数であることを「φ ≡ 0」とも書ける。零函数のグラフは x-軸全体に一致する。場合によっては零函数の定義域を部分集合 Ω ⊂ R に制限することもある。
紀元前734年頃、ギリシアのコリントスの植民者たちがこの場所を発見し、低湿地帯を意味するシラコ (Sirako) と名づけたのが起源である。土地が肥沃であり、また原住民たちは彼らに好意的であった。都市は発展し、地中海においてギリシア植民市のうちで最も繁栄する都市国家となった。古典ギリシア語での名称はシュラクサイという。紀元前5世紀後半、ペロポネソス戦争でシチリアでも勢力を拡大しようとするアテナイに対してスパルタと結んで戦った。シュラクサイはアテナイの敵であるスパルタに援軍を送り、アテナイの船を破壊したり、島を包囲して餓死させるなどして、スパルタの勝利に貢献した。紀元前4世紀初頭、僭主ディオニュシオス1世はカルタゴに対して戦争を仕掛け、シチリア島全域を支配することに成功した。彼の死後支配権を継承した子のディオニュシオス2世は親戚（1世の義弟）のディオンによって廃位された。プラトンの弟子でもあり、哲人政治の理想を追い求めていたディオンは暗殺され、数名の僭主の後にディオニュシオス2世が復位した。その後、コリントスよりティモレオンが派遣されてきて、彼はディオニュシオス2世をはじめシチリアから僭主を一掃し、さらにヒケタスと結んで攻め込んできたカルタゴ軍をクリミソス川の戦いで破り、撃退した。しかし、紀元前317年にアガトクレスが僭主となり、僭主制が復活した（シケリア戦争中の四次にわたるシュラクサイ包囲戦は各項目参照）。紀元前264年から始まった、シチリア島の帰属を争う第一次ポエニ戦争では共和政ローマ側に付いてカルタゴと戦ったことにより、ローマの同盟市としてローマの属州に組み込まれることはなかった。しかし、第二次ポエニ戦争でのシラクサはローマとの同盟を破棄しカルタゴと結んだ。シラクサ出身で最も有名な一人が、自然哲学者のアルキメデスである。彼の発明品の中には、第二次ポエニ戦争におけるローマによるシラクサ包囲戦に対抗するための軍事兵器もあった。アルキメデス考案の兵器はローマ軍を大いに苦しめ、シラクサは3年間持ちこたえたが、紀元前212年に陥落した。落城の際、攻城戦を指揮したローマの将軍マルクス・クラウディウス・マルケッルスはアルキメデスを殺さぬよう厳命していたが、アルキメデスは彼と気付かれずにローマ兵によって殺された。ローマに敗れた都市国家シラクサは、ローマに併合されシキリア属州に組み込まれる。