指数関数が固有関数であるという性質は、LTIシステムの解析や予測に役立つ。そのZ変換を使えば、インパルス応答から固有値を得ることができる。特に興味深いのは純粋な正弦波の場合（ の形式の指数関数、ただし ）である。これは引数が純粋な虚数であっても、一般に複素指数関数と呼ばれる。離散時間フーリエ変換 (DTFT)  により、純粋な複素正弦波の固有値が求められる。 と  は共にシステム関数、システム応答、伝達関数などと呼ばれる。Z変換は一般に、t がある値より小さいとき信号がゼロとなるような信号で使われる。通常、その信号がゼロでなくなる時点をスタート時点とする。フーリエ変換は、無限に続く信号を処理するシステムの解析に使われる。これらの変換は畳み込み属性があるため、システムの出力を与える畳み込みを畳み込み定理によって個別に変換したあとに積を求める形に変換できる。これにより変換や逆変換が容易になるだけでなく、システム応答からシステムの挙動についての洞察を得ることができる。システム関数の絶対値 |H(z)| から、入力  がシステムを通過できるか、それとも減衰してしまうかを見ることができる。
固有関数とは、上述の作用素の出力が入力された関数に何らかのスケーリングを施した同じ関数になるときの入力された関数をいう。数式で表すと次の通り。ここで、f が固有関数であり、 は固有値と呼ばれる定数である。指数関数 （）は、線型時不変作用素の固有関数である。 はサンプリング間隔であり、 である。これについての簡単な証明を示す。入力を  とする。インパルス応答  でのシステムの出力は次のようになる。畳み込みの交換律から、これを次のように変形できる。ここではパラメータ s にのみ依存する。従って、システムの応答は入力に定数  をかけたものと同じであるから、 はLTIシステムの固有関数である。
このシステムに離散デルタ関数を入力したとき、デルタ関数は理想的なインパルスであるため、LTI変換の結果がインパルス応答となる。これを式に表すと次のようになる。 これにはデルタ関数のシフト属性を利用している。なお、ここで次が成り立つ。従って  はそのシステムのインパルス応答である。インパルス応答を使うと、任意の入力に対する応答を求めることができる。再び  のシフト属性を使い、任意の入力をデルタ関数群の重ね合わせとして表せる。この入力をシステムに適用すると、次のようになる。（ は線型であるため、総和の内側に移動できる）（ は n に対して一定であり、 は線型であるため）（ の定義から）システムに関する全ての情報は、インパルス応答  に含まれている。
ここでは、時間を独立変数とし、そのインパルス応答が2次元関数であるシステムを想定し、時不変性によってそれを1次元に還元できることを示す。例えば、入力信号  において、その添え字集合が整数であるとする（すなわち、）。線型作用素  はその入力信号に対して処理をするシステムを表している。この添え字集合に対して適切な作用素は、次のような2次元関数である。 は線型作用素なので、入力信号  に対するシステムの動作は、以下の重ね合わせ総和で表される線型写像となる。線型作用素  が時不変でもある場合、次のようになる。ここで、次のように設定する。すると、次のようになる。 の第二引数がゼロなら、通常それを簡潔さのために削除するので、上記の重ね合わせ積分はフィルタ設計でよく使われる畳み込み総和になる。従って、この畳み込み総和は任意の入力関数についての線型時不変系の作用を表している。有限次元のアナログについては、巡回行列を参照されたい。
多くの場合、離散時間 (DT) システムはより大きな連続時間 (CT) システムの一部となっている。例えば、デジタル録音システムはアナログの音響を入力とし、それをデジタイズして、必要に応じてデジタル信号を処理し、最終的に再生して人間が聴くためにアナログに戻してやる。形式的には、研究されているDT信号のほとんどは、CT信号を一定間隔で標本化したものである。CT信号を  としたとき、アナログ-デジタル変換回路によってそれがDT信号  に次のように変換される。ここで T はサンプリング間隔である。DT信号が元の信号を正確に表現するには、入力信号の周波数の範囲を制限することが非常に重要である。標本化定理によれば、DT信号は  までの範囲の周波数しか扱えない。さもなくば、高周波成分がその範囲に折り返し雑音として出てくる。
皇室の系図は『古事記』『日本書紀』を始めとする史書に基づいて作られ、その起源は神武天皇元年（紀元前660年）に即位した神武天皇、更にはその始祖である天照大御神に始まるとされている。明治政府から戦時中までの日本では史書の記述を真実の歴史とする考えが支配的であり、国定教科書では神武天皇元年を紀元元年とする神武天皇紀元（皇紀）が採られていた。しかし『日本書紀』は天武天皇の勅命により編纂されたものであり、歴史学的に証明の難しい神話・伝説などを多く含んでいる事から、皇室の祖先にまつわる伝承や事績や初期の天皇の存在については疑問視されている。特に欠史八代の天皇については、古代中国の革命思想（讖緯説）に則って皇室の歴史を水増ししたのではないかと指摘する学説が主流となっているが、一方八代の父子関係を兄弟継承順に並べ替えた場合、他の豪族達の系図と世代数が符合するなど実在説もあり、未だ決着を見ていない。歴史学的に証明できる皇室の起源は、ヤマト王権の支配者・治天下大王（大王「おおきみ」）が統治していた古墳時代辺り迄である。3世紀中葉以降に見られる前方後円墳の登場は日本列島における統一的な政権の成立を示唆しており、この時に成立した王朝が皇室の祖先だとする説や、神話に描かれる素戔鳴尊が弥生時代に朝鮮半島から北九州に渡来した皇室の始祖で、この6世孫の神武天皇が東征して大和を開いたとする説、弥生時代の北九州または近畿地方にあった邪馬台国の卑弥呼の系統を皇室の祖先とする説、皇室祖先の王朝は4世紀に成立したとする説、など多くの説が提出されており定まっていない。