日本では、省エネルギー性や居住性の向上のために、単板ガラスから複層ガラスに切り替える需要が高まっている。単板ガラス用サッシを複層ガラス用サッシに交換し複層ガラスを利用するには多額の費用がかかるが、既存の単板ガラス用サッシを利用してアタッチメント付き複層ガラスを使用することにより、サッシ交換に比べ低価格で大規模な工事を必要とせず手軽に複層ガラスを利用することが出来る。通常の複層ガラスユニットの厚みは18mm(中間層12mm)以上だが、既存の単板ガラスのサッシを利用したままアタッチメント付き複層ガラスに交換する場合は網戸や雨戸との干渉を考慮してユニット全体の厚さを12mm(中間層6mm)以下にした断熱性能が低い商品が主流である。しかし日本板硝子製の複層ガラスで既存単板ガラス用サッシにLow-E複層ガラスを取り付けることを前提に製造されたアタッチメント付き複層ガラス「あんみつガラス(ガラスユニットの厚み16mm(中間層(アルゴンガス層)10mm))」や中間層を真空にして厚みを薄くした「真空ガラス」を利用すれば、網戸や雨戸との干渉を避け断熱性の高い複層ガラスを設置することもできる。
Low-Eとは、Low Emissivity（低放射）の略で、複層ガラスのうち、その内面部に特殊な金属膜を設けたものをいう。外側ガラスの内面側に特殊金属膜を設けたものを遮熱高断熱複層ガラス、内側ガラスの外面に設けたものを高断熱ガラスとする場合が多い。施工地域の寒暖や建物開口部（採光する窓）の向きによって使い分ける。金属膜が放射による熱の伝達を抑えるため、従来の複層ガラスに比べ断熱性能が高い。また冷暖房負荷を大きく削減することができ、数年で初期投資が回収できる。
複層ガラス（ふくそうガラス）とは、複数枚の板ガラスを重ね、その間に乾燥空気やアルゴンガス等が封入された（または真空状態にした）中間層を設ける形で1ユニットを構成するガラスを指す。中間層は密閉されているため、基本的に中間層の厚さが増すほど断熱性能が高まるが、封入された気体に対流が発生する程厚くなると断熱性能が頭打ちになる。ただし、中間層にガラスを追加することでこの問題は解消できる。多くの先進国では、エネルギー消費量を抑えるために複層ガラスの利用が義務化されているが、日本では特に規定されていない。
対称差は、和集合と差集合の記号を用いて次のように表すことができる：A△B = (A−B)∪(B−A)。X を 1 つの集合とし、A, B を X の 2 つの部分集合とする。集合 {0, 1} における二項演算として排他的論理和 ⊕ : {0, 1} × {0, 1} → {0, 1} を定義すれば、X における指示関数に関して次が成り立つ： X の任意の元 x に対してχ A△B (x) = χ A (x) ⊕ χ B (x)。アイバーソンの記法を用いれば次のようにも書ける：[ x ∈ A△B ] = [ x ∈ A ] ⊕ [ x ∈ B ]。対称差はまた、和集合、差集合、共通部分の記号を用いて次のように表すことができる：A△B = (A∪B)−(A∩B)。特に、A△B は A∪B の部分集合である： A△B ⊂ A∪B。また、A と B とが互いに素であるときかつそのときに限り A△B = A∪B である。さらには、A△B と A∩B とは互いに素であって、集合 {A△B, A∩B} は A∪B の 1 つの分割である。従って、対称差と共通部分とを最初に定義しておき、それらの記号を用いて、式A∪B = (A△B)△(A∩B)によって和集合を定義することもできる。
プロジェクションマッピングの歴史は古く、1960年代からあったと言われている。1969年にはアメリカのアナハイムにあるディズニーランドのホーンテッドマンションで実用化されていた。そして、1970年代のライトショーなどを経ながら、1990年代には研究者やアーティストの表現手法として多く使われていたが、当時はスライド映写装置を用いており、光源の不足もあって現在のように表現できなかった。高輝度のプロジェクターを使うようになり、屋外でもより明るく表現できるようになった2000年代から、「プロジェクションマッピング」や「ビデオマッピング」または「3Dプロジェクションマッピング」などと呼ばれ出し、YouTubeなどで話題を集めるようになった。日本では1968年に銀座のディスコ「キラージョーズ」で宮井陸郎のプロデュース、空間設計は早田保博であり、これが日本での商用利用の最初と思われる。この時はコダックのカルーゼル式プロジェクタが使用された。インテリア空間は音に反応し、変化するプロジェクションのスクリーンを兼ねるシルバーテントが使用された。映像演出は宮井陸郎が行った。海外でプロジェクションマッピングが有名になったきっかけは、2008年の北京オリンピックからといわれている。日本では2003年から始まったOsaka光のルネサンスの「ウォールタペストリー」や、2006年に京都で行われた「アーキテクチャープロジェクション」などがある。2009年5月、音楽興業としては日本初となるプロジェクションマッピング演出による公演が、赤坂BLITZにおける睡蓮のflow in her veins 2.5Dである。この模様は月白　flow in her veins 2.5DとしてDVD販売されている。2010年のライゾマティクスによるPerfume武道館ライブ演出でPerfumeメンバーの動きと同期したマッピングが行われ、最先端の表現技法として紹介されたことから一般層にこの技法が認知され、日本国内の各業界にも衝撃を与えることになった。さらに、2012年9月にはJR東京駅の丸の内駅舎で利用され、大型施設の壁面を用いてプロジェクションマッピングを実施可能なことが日本の一般層にも広く認知されるようになった。近年2010年代中盤に入り、オープンソースなソフトウェアフレームワークの整備と、PC、プロジェクタ、無線ネットワークなどの機材が昔に比べ個人でも入手しやすくなり、学校や個人宅における実施例も見られるようになった。