このシステムにディラックのデルタ関数を入力したとき、デルタ関数は理想的なインパルスであるため、LTI変換の結果がインパルス応答となる。これを式に表すと次のようになる。これにはデルタ関数のシフト属性を利用している。なお、ここで次が成り立つ。従って  はそのシステムのインパルス応答である。インパルス応答を使うと、任意の入力に対する応答を求めることができる。再び  のシフト属性を使い、任意の入力をデルタ関数群の重ね合わせとして表せる。この入力をシステムに適用すると、次のようになる。（ は線型であるため、積分の内側に移動できる）（ は t に対して一定であり、 は線型であるため）（ の定義から）システムに関する全ての情報は、インパルス応答  に含まれている。
ここでは、時間を独立変数とし、そのインパルス応答が2次元関数であるシステムを想定し、時不変性によってそれを1次元に還元できることを示す。例えば、入力信号  において、その添え字集合が実数線であるとする（すなわち、）。線型作用素  はその入力信号に対して処理をするシステムを表している。この添え字集合に対して適切な作用素は、次のような2次元関数である。 は線型作用素なので、入力信号  に対するシステムの動作は、以下の重ね合わせ積分で表される線型写像となる。線型作用素  が時不変でもある場合、次のようになる。ここで、次のように設定する。すると、次のようになる。 の第二引数がゼロなら、通常それを簡潔さのために削除するので、上記の重ね合わせ積分はフィルタ設計でよく使われる畳み込み積分になる。従って、この畳み込み積分は任意の入力関数についての線型時不変系の作用を表している。有限次元のアナログについては、巡回行列を参照されたい。
LTIシステム理論（英語: LTI system theory）は、電気工学、特に電気回路、信号処理、制御理論といった分野で、線型時不変系（linear time-invariant system）に任意の入力信号を与えたときの応答を求める理論である。通常、独立変数は時間だが、空間（画像処理や場の古典論など）やその他の座標にも容易に適用可能である。そのため、線型並進不変（linear translation-invariant）という用語も使われる。離散時間（標本化）系では対応する概念として線型シフト不変（linear shift-invariant）がある。
三重交通のバスがある。北部の集落を通って緑が丘に行く路線と、近鉄名古屋線に沿って久居に向かうバスを利用出来、どちらもそれなりの本数がある。しかし、団地の内部には行かないほか、北東部のセントヨゼフ女子学園高等学校周辺が空白域となっている。
三重県道118号津久居線が当地区西部を通り、磨洞温泉に面している。また、その西側に半田バイパスがある。三重県道657号家所阿漕停車場線が北部の集落を横断している。三重県道776号久居停車場津線が東部を通っている。
大倉・西阿漕町岩田との境界上にJR紀勢本線 阿漕駅がある。近鉄名古屋線 南が丘駅の出口が当地と垂水の境界線上の道路に面している。
1873年に伊予町学校に半田分教場ができ、1875年に半田学校となったが、1884年に合併の対象となり（津市立神戸小学校のウェブサイトに、半田分教場についての記述があり、その内容は上記の文と食い違うが、どちらをとっても1873年に伊予町学校に半田分教場ができ、1884年に合併の対象となっている。津市立神戸小学校のウェブサイトにおける合併によって成立した学校は現在における津市立神戸小学校に相当する）、それ以来初等教育機関は置かれていない。『角川日本地名大辞典 24 三重県』、および津市によると1926年（三重県立津商業高等学校によると1922年）に三重県励精中学校が当地に移転し、1935年に津市に移管されて津市立励精商業学校となったが、これも1937年には下部田に移転した。1939年、津市立励精商業学校のあった地に津市立工業学校が移転し、1943年に三重県立津工業学校となった。三重県立津工業学校は戦災を受けた後久居に移転した。1952年に三重県立津工業高等学校が半田に移転した。1959年にセントヨゼフ女子学園高等学校が当地に開校、2年後の1961年に併設の中学校も開校した。
当社の創建時期は定かでないが、雄略天皇3年（皇紀1119年）に厳粛な祭祀が執り行われたという記録がある（『日本総国風土記』）。また、これまでに転社（移転）の記録はないが、同風土記では当社の鎮座地が「相模国鷹倉郡宇都母知郷」とある。なお、『延喜式神名帳』では「相模国十三座（式内社）の内 高座郡六座の内の一座 宇都母知神社」と記されている。天慶2年（939年）、大和国泊瀬より若日下部命の尊霊を遷座、相殿に合祀した。正応3年（1290年）、鎌倉幕府八代将軍久明親王の執権である北条貞時が社殿を改築、さらに寛永4年（1627年）、当地の領主である高木主水源正次が社地900坪（約3000m²）を寄進して本殿の改築を行なっている。当社の呼称として、江戸時代には「大神宮」「神明宮」とも称されていた。その後、明治6年（1873年）12月には郷社（近代社格制度）に列せられた。大正12年（1923年）の関東大震災により社殿（安政5年〈1858年〉造）を含み全壊したが、3年後の大正15年（1926年）9月には全復旧し現在に至っている。境内を西側に出て道を挟んですぐのところにある鐘楼の釣鐘は、昭和20年（1945年）の春に太平洋戦争の物資回収により献納されたため暫く設置のされないままだったが、昭和50年（1975年）になって再建された。また、境内の全域が風致林の指定を受けており、昭和49年（1974年）には自然環境保全地域に指定されている。