1869年9月21日にスウェーデンを訪れ、10月7日にストックホルムを離れた。10月31日にデンマークを離れ、11月18日にオランダを出発した。1870年1月にベルリンを訪問し、交渉の結果、オットー・フォン・ビスマルク首相はイギリスと同様の清に有利な声明を発表した。
1869年1月2日、一行はパリに到着し、1月21日に皇帝ナポレオン3世に謁見した。しかしフランスの強硬な態度のために交渉は遅々として進まず、使節団は半年間滞在したが、結局アメリカやイギリスでのような成果を上げることができず、失意のうちにフランスを後にした。
9月19日、使節団はイギリスのロンドンに到着し、10月20日にウィンザー宮殿でヴィクトリア女王に謁見した。このとき、イギリスではウィリアム・グラッドストン内閣が成立し、クラレンドン伯爵が外務大臣に就任した。12月26日にクラレンドンはバーリンゲームらと会見し、28日に照会を発表した。イギリス政府は清朝と「和をもってことをなす」としながらも、条約の履行を強く迫った。1869年1月1日、バーリンゲームは照会に同意した。
1868年4月に一行はサンフランシスコに到着した。6月2日にワシントンに到着し、翌日に国務長官スワードと会見し、6月6日には大統領アンドリュー・ジョンソンに国書を手渡した。7月28日、バーリンゲームとスワードとの間で近代中国史上最初の対等な条約である『中米追加条約』（俗に『バーリンゲーム条約』といわれる）を調印した。条約は清を対等な国家として認め、清の領土の割譲に反対することを規定していた。さらに「清とアメリカは、両国民の往来・留学・貿易・居住に関して、これを妨げず、相互の利益を図る」と規定した。アメリカは清の内政に不干渉を表明するとともに、大陸横断鉄道の建設のための中国人労働者を得ることができた。
数学において、方程式（ほうていしき、英: equation）とは、まだわかっていない数（未知数）を表す文字を含む等式である。等式を成り立たせる未知数の値を方程式の解（かい、英: solution）といい、解を求めることを方程式を解くという。方程式には様々な種類があり、数学のすべての分野において目にする。方程式を調べるために使われる方法は方程式の種類に応じて異なる。代数学は特に2種類の方程式を研究する：多項式の方程式と、中でも一次方程式である。多項式方程式は、P をある多項式として、P(X) = 0 の形である。線型方程式は、a を線型写像、b をベクトルとして、a(x) + b = 0 の形である。それらを解くために、線型代数学や解析学から来る、アルゴリズム的あるいは幾何学的手法を用いる。変数の動く範囲を変えることにより方程式の性質が大幅に変わり得る。代数学はディオファントス方程式、すなわち係数と解が整数の方程式も研究する。用いられる手法は異なり、本質的に数論のものである。これらの方程式は一般に難しい。しばしば解の存在あるいは非存在を決定し、存在するときはその個数を調べるだけである。幾何学は図形を記述するために方程式を利用する。目的はやはり前の場合とは異なり、方程式は幾何学的性質を調べるために利用される。この文脈では方程式の種類に2つの大きなものがある。直交座標系における方程式とパラメトリック方程式である。解析学は f(x) = 0 の形の方程式を研究する。ここで f は、連続、微分可能、収縮、といったある種の性質を持った関数である。解析学の手法では方程式の解に収束する列を構成できる。目的はできるだけ正確に解を求められるようにすることである。微分方程式は1つ以上の関数とその導関数を含む方程式である。導関数を含まない関数の表示を見つけることによって解かれる。微分方程式は連続的に変化し得る対象のダイナミクスを調べるためにしばしば利用される。微分方程式によって特徴づけられる連続的な数理モデルは、物理学、化学、生物学、経済学など様々な分野において、それぞれの対象に対し用いられる。力学系は、解が列、あるいは、1変数あるいは多変数の関数であるような方程式によって定義される。中心的な問題が2つある。始状態（しじょうたい、英: initial state）と漸近的挙動（ぜんきんてききょどう、英: asymptotic behaviour）である。各初期条件、例えば列あるいは関数の 0 での値、に対し方程式は一意な解を持つ。大抵の系について、始状態を少しだけ変更した場合、解もまた僅かだけ変化することが期待され、実際そのように振る舞う。しかしすべての場合でそうというわけではなく、ある始状態の近傍では解が著しく異なることがある。このような初期条件に関する鋭敏性は第一の問題の目的である。解の極限でのあるいは漸近的振る舞いは変数が無限大に行くときの解の形に対応し、この振る舞いが第二の問題の目的である。解が発散しなければ、次のいずれかとなる。1つの値に近づくか、あるいは、循環的な振る舞い（周期関数か、値が同じ有限集合を同じ回数ずっと動き続ける列）に近づくか、あるいは、解が定義により決定的であったとしてもランダムに進展するように見えるカオスな振る舞いをする。"=" という記号はロバート・レコード (Robert Recorde, 1510–1558) によって発明された。同じ長さの平行な直線よりも等しかり得るものは存在しないと考えたのである。