1858年に、シャルル・エルミートは楕円超越函数を用いた最初の一般五次方程式の解法を発表した（同時期にフランチェスコ・ブリオッシとレオポルト・クロネッカー もまた同値な解法を得ている）。エルミートは、既によく知られていた三次方程式に対する三角函数を用いた解法を一般化する形でこの解法に到達し、ブリング–ジェラード標準形  に対する解を求めた（既にみたように一般の五次方程式は、チルンハウス変換でこの標準形に帰着できる）。エルミートは三次方程式における三角函数の役割を、ブリング–ジェラード標準形の方程式において果たすのが楕円函数であることを観察したのである。このような取り扱いは、冪根を一般化する過程とみることもできる。冪根が  あるいはもっと明確に  と表せることに注意すると、エルミート–クロネッカー–ブリオッシの方法は、本質的にはこの式に現れる指数函数 exp を楕円モジュラー函数で、同じく積分 を楕円積分で、それぞれ置き換えるものである。クロネッカーはこの一般化すら任意の高次方程式に適用できる一般定理の特別の場合に過ぎないものと考えていた。そのような一般定理はトマエの公式と呼ばれ、完全な記述は1984年に梅村浩によって与えられた。それは、上記の式の exp（あるいは楕円モジュラー函数）のところをジーゲル・モジュラー形式 で、積分のところを超楕円積分で、それぞれ置き換えるものになっている。
ブリング根の特徴付けはさまざま知られているが、その最初のものは1858年にシャルル・エルミートの手になる楕円モジュラー函数を用いたもので、その後さまざまな数学者が更なる手法を開発している。
まず、ブリング–ジェラード標準形の任意の多項式  の根はブリング根を用いて  と書けるものとその四つの代数共軛元である。上で見たように、ブリング–ジェラード標準形への帰着は求根可能な多項式方程式によって記述されていたし、そのためのチルンハウス変換では四次以下の方程式の根を係数とする多項式しか現れていなかったから、したがって、これらの変換を逆にたどることは冪根で解ける多項式の求根という形で実現できるということがわかる。もちろんこのように変換を逆にたどろうとする方法では無関係で余分な解も出てくることになるが、数値的な方法で正しい解を一つ見つけられるならば、その根を平方根・立方根およびブリング根によって書き下すこともできるということだから、したがってそれは一変数の代数函数を用いて書けるという意味で「代数的解」であり、これで五次の一般方程式に対する代数的解法（「解の公式」）が与えられたとみることができる。
五次方程式の一径数標準形には、ほかにもブリオッシ標準形 (Brioschi normal form) と呼ばれる形  があり、これは有理チルンハウス変換  によって一般形の根とブリオッシ標準形の根が関係付けられるものになっている。二つのパラメータ λ, μ の値はリーマン球面上で定義された多面体函数を用いて導出でき、またそれら値は正二十面体対称性を持つ対象の正四面体対称性を持つ五つの対象への分割に関係がある。注目すべき点として、このチルンハウス変換は主標準形をブリング–ジェラード標準形にするために用いた複雑な変換と比べればより単純なものとなっていることが挙げられる。
小銃とは、兵士が両手で保持し照準して発射する火器を言う。近代から現代にかけて、主に歩兵一個人が携行する最も基本的な武器（歩兵銃）として使用されている。近距離から遠距離まで、広い範囲の射撃をこなせる万能性を持つ。1人で持ち運べることや、射撃の自由度が高いことが求められるため、重量や反動が過大で立射ができない銃は小銃とは呼びがたく、この点から火力支援用の機関銃や、対物ライフル（対戦車ライフル）などは小銃に含まれない。ただし、初期の小銃には軽量化が不十分で支え棒（一脚）を用いるものが存在した。小銃の前身は、16世紀頃まで存在していたハンド・カノン（Hand cannon）やハンド・ガン（Hand gun）と呼ばれる小型の大砲である。15世紀頃からは小型化が進められ、現在小銃と呼ばれる銃器に近い形状のものが現れ始めていた。この中で大砲と小銃という区別が生まれ始め、火縄式発火装置（マッチロック）の発明がこれを決定づけた。固定式照門を備えた火縄銃は照準および発砲が非常に容易く行える為、これによって小銃は個人用の携帯火器として大砲と明確に区別されるようになったのである。最も初期の小銃としては、スペインで開発されたアルクビュス銃がある。これを装備したスペイン銃兵やドイツ傭兵は、剣類を主に配備された他国軍を各地で打ち破った。16世紀には火縄式の火種に関する欠点の克服を試みた歯輪式発火装置（ホイールロック）が開発されたが、火縄式よりも高価であり、また構造の複雑性故信頼性も低かった。そのため、歯輪式の採用は狩猟用や騎兵用といった限定的な範囲に留まった。16世紀を通じて小銃は普及・発展し、旧来の重装騎馬戦術を完全に無価値なものとした。一方で当時の小銃は再装填に時間がかかり、装填時の隙を突いて行われる騎兵や槍兵の攻撃に銃兵隊は対処できなかった。その為、各国の軍全体に占める銃兵の割合は徐々に増加してはいたものの、16世紀末の時点でも全体の半分には達しない程度だったという。1640年頃には銃剣（バヨネット）が発明された。これによって従来装填の合間を狙って行われていた騎兵の突撃にも対処しうるようになり、小銃兵の戦術的価値は大いに高められた。後に近接戦闘能力の高いアサルトライフルが普及し、かつてほど重要なものとはみなされなくなった。しかしいまだ着剣装置は小銃に必須のものと見做されていることがほとんどである。ライフルと呼ばれる小銃が登場した頃は、前装式（マズルローダー）かつ火縄式（マッチロック）の銃が主流であった。その後、着火方式は燧発式（フリントロック）、管打式（パーカッションロック）へと発展した。19世紀後半には弾丸と発射薬、雷管を一体化させた実包（カートリッジ）が発明され、これを用いた後装式（ブリーチローダー）の小銃が普及し、さらなる連発式小銃の研究も進められた。実包自体の研究も盛んに行われ、従来の黒色火薬よりも高いガス圧を安定して得られる無煙火薬の登場により、弾丸を小口径化・軽量化しても十分な威力が得られるようになった。実包の小型化は連発式小銃の開発をさらに推し進め、やがて次弾の装填を自動で行う自動小銃へと繋がっていった。