システムが有界入力-有界出力安定（BIBO安定）であるとは、全ての入力が有界なら出力も有界であることを意味する。数学的には、入力が次の条件を満たすとき出力が次を満足する。すなわち、 の有限の最大絶対値があれば、 の有限の最大絶対値が存在する。このとき、システムは安定であるという。必要十分条件は、インパルス応答  が L¹ にあることである（有限のL¹ノルムを持つ）。周波数領域では、収束領域に虚数軸  が含まれていなければならない。システムを伝達関数としてモデル化するとき、系の極（伝達関数の分母多項式または特性多項式の根）を複素平面の左半平面に置かなければならない。ラウス・フルビッツの安定判別法によって特性多項式の係数から安定性が見える。例としては、インパルス応答がSinc関数と等しい理想的なローパスフィルタは、BIBO安定ではない。これはSinc関数が有限のL¹ノルムを持たないためである。従って何らかの有界な入力では、理想的なローパスフィルタの出力は無限となる。特に  のとき入力がゼロで  のときカットオフ周波数の正弦波となる場合、出力は原点以外では常に無限となる。
出力が現在と過去の入力のみに依存する場合、システムは「因果的; causal」であるという。「因果性; causality」の必要十分条件は次が成り立つことである。ここで  はインパルス応答である。ラプラス変換は逆変換が一意に定まらないため、そこから因果性を判断することは通常不可能である。収束領域が示される場合、因果性を判断できる。
システムについて最も重要な属性として、因果性と安定性がある。実世界でシステムを利用する場合、因果性は多かれ少なかれ必要である。非安定的なシステムも構築でき、様々な状況で有効である。
LTI作用素の簡単な例として導関数がある。導関数のラプラス変換をとってみたとき、ラプラス変数 s によって単純な乗算に変形される。導関数がこのような単純なラプラス変換の形式となることは、変換の有効性の証でもある。別の単純なLTI作用素として、平均化作用素がある。これは、積分が線型性をもつため、線型である。また、時不変でもある。 は次のような畳み込みとして記述することもできる。なお  は次のように定義される。
指数関数が固有関数であるという性質は、LTIシステムの解析や予測に役立つ。そのラプラス変換を使えば、インパルス応答から固有値を得ることができる。特に興味深いのは純粋な正弦波の場合（ の形式の指数関数、ただし  であり、かつ ）である。これは引数が純粋な虚数であっても、一般に複素指数関数と呼ばれる。フーリエ変換  により、純粋な複素正弦波の固有値が求められる。 と  は共にシステム関数、システム応答、伝達関数などと呼ばれる。ラプラス変換は一般に、t がある値より小さいとき信号がゼロとなるような信号で使われる。通常、その信号がゼロでなくなる時点をスタート時点とし、ゼロから無限大までの積分とする（一方、負の無限大から積分するラプラス変換を一般に「両側ラプラス変換; bilateral Laplace transform」と呼ぶ）。フーリエ変換は、無限に続く信号を処理するシステムの解析に使われる。例えば、変調された正弦波などだが、二乗可積分でない入力信号や出力信号には直接適用できない。スタート時点以前の信号がゼロなら、ラプラス変換は二乗可積分でなくとも適用可能である、フーリエ変換は、その信号のフーリエ変換が存在しない場合でも、ウィーナー・ヒンチンの定理を使って無限信号のスペクトルに適用される。これらの変換は畳み込み属性があるため、システムの出力を与える畳み込みを畳み込み定理によって個別に変換したあとに積を求める形に変換できる。これにより変換や逆変換が容易になるだけでなく、システム応答からシステムの挙動についての洞察を得ることができる。システム関数の絶対値 |H(s)| から、入力  がシステムを通過できるか、それとも減衰してしまうかを見ることができる。
固有関数とは、上述の作用素の出力が入力された関数に何らかのスケーリングを施した同じ関数になるときの入力された関数をいう。数式で表すと次の通り。ここで、f が固有関数であり、 は固有値と呼ばれる定数である。指数関数 （）は、線型時不変作用素の固有関数である。これについての簡単な証明を示す。入力を  とする。インパルス応答  でのシステムの出力は次のようになる。畳み込みの交換律から、これを次のように変形できる。ここではパラメータ s にのみ依存する。従って、システムの応答は入力に定数  をかけたものと同じであるから、 はLTIシステムの固有関数である。
火災は朝の11時15分、女王の専用礼拝堂にあったカーテンが押しつけられたスポットライトにより発火したことに端を発する。王室の職員たちは芸術作品を調査するために当時礼拝堂にいた。消防部長が受け持っていた城の消防隊の監視室で火災報知器が作動した。火災の場所は城のグリッドマップの点灯によって明らかになった。最初はブランスウィック塔を示すランプが点灯したが、隣の部屋に火災が広がったことを示すランプもすぐに点滅し始めた。公式諸間（State Apartment）の大部分はすぐに燃え上がった。近くの部屋で働いている建築請負業者は、消火器を使用して火災に取り組もうと試みた。その場に居合わせた人々は大急ぎで礼拝堂から絵画を避難させ始めたが、強烈な熱と雨のように降ってくる火の粉により11時32分には避難せざるをえなくなった。長さ30フィート（9メートル）あったカーテンはついに床に落ち、なおも燃え続けた。11時36分に消防部長はレディング消防署の管制室へ警報を発するスイッチを押した。そして城の公衆火災警報器を作動させ、ロイヤル・バークシャー消防救助隊への直通電話で「こちらはウィンザー城です。専用礼拝堂で火災が発生しました。手はず通りに中庭に来てください。」と伝えた。ウィンザー城には当時まだ20名からなる自衛消防隊が設置されており、その内6人は常勤だった。彼らの本拠地である城の2マイル南の厩舎にはランドローバーとポンプ車が装備されており、11時41分に火災現場に到着した。消防救助隊からの消防車も11時44分に到着した。11時56分までには17台のポンプ車が火災現場に集まることとなった。城の職員、建築請負業者、女王の息子アンドルー王子を巻き込んだ家具と芸術作品を守る作業を、火災のすぐ近傍にある部屋で始めた。