五次方程式は主標準形よりもさらに単純化することが可能で、二次の項も消去したブリング–ジェラード標準形 (Bring–Jerrard normal form):  が導かれる。チルンハウスが試みたように、三次のチルンハウス変換とやはり冪和の公式を用いたのではこれは上手く行かないのだが、1796年にブリングは、主標準形の根をブリング–ジェラード標準形の根に結びつける四次のチルンハウス変換  を用いることで、問題をうまく回避する方法を発見した。この四次のチルンハウス変換からくる新たなパラメータによって、ブリングは他のパラメータの次数を下げることに成功し、六つの未知数を含む二次と三次の五つの方程式からなる連立方程式が導かれた。同じ方法を1852年にジェラードも発見しているが、ジェラードはこの分野においてブリングによる既存の結果があることはおそらく知らなかったようである。五次方程式の一般形からこの標準形への完全な変換は MathematicaやMapleのような計算機代数システムを用いれば容易に得られるだろうけれども、これら複雑な変換を経る必要からも分かる通り、得られる式は（特に四次以下の場合の冪根を用いた解と比べて）膨大であり、係数を変数記号とする五次の一般方程式に対するそれは、計算機にとっても多くのストレージを消費するものとなる。解を係数の代数函数と見なすと、 の解は二つの変数 d₁, d₀ の函数ということになるが、実はこのブリング–ジェラード標準形はさらに単純な形  に還元できる（この形は後で用いる）ので、冪根と非常によく似た性質を持つ一変数の代数函数が実際には導かれる。
五次方程式の一般形から、主標準形 (principal quintic form) と呼ばれる三次と四次の項のない形  に簡約することができる。一般形の方程式と主標準形の方程式の根が、二次のチルンハウス変換  で関係付けられると仮定すると、二つの係数 α, β は終結式から、あるいは根の冪和とニュートンの公式を用いて、求めることができる。これは α, β の（一次と二次の）連立方程式を与えることとなり、二組の解の何れかを用いてそれらに対応する三つの係数を持つ主標準形方程式が得られる。この標準形はフェリックス・クラインによる五次方程式の解法に用いられた。
五次方程式の解を直接得ることは難しい。最も一般の形では  と五つの独立した係数を考慮しなければならない。五次方程式の解法として開発された様々な方法において、独立な係数の数を減らすためにチルンハウス変換を用いて、より簡単な形の五次方程式に帰着するという方法が一般的に行われる。
現在入手するのが簡単ということから使われるのはアマガエルなどではあるが、アマガエルには欠点があり、アマガエルというのは体長がオスで4㎝弱大きくても6㎝程のカエルで、あまり解剖に向いているとは言えないものである。そこで解剖しやすい大きさのものであるのものが、アフリカツメガエルやウシガエルなどの比較的体長の大きい種類のものである。 アフリカツメガエルは5㎝～12㎝と比較的大きい。またウシガエルは15㎝～20㎝という大きさである。
第二次世界大戦中の1943年（昭和18年）7月1日に、東京市と東京府が廃止され、東京都が設置された。初代東京都長官は、内務省出身の大達茂雄であった。第二次世界大戦末期の1945年（昭和20年）3月10日には東京大空襲によって下町は焼失し、それに前後する空襲による被害も合わせて、東京市街の多くが「焼け野原」と化した。また、小笠原諸島の硫黄島では地上戦が行われ、日米両軍で多くの損害を出した。戦後の政府は首都たる東京の復興を最優先し、東京都戦災復興都市計画では放射状に延びる幹線道路34路線や環状線8路線および、都内の道路の整備が計画されたものの、結局は挫折したとされる。1964年（昭和39年）開催の東京オリンピックによって戦後復興は終結し、東京は高度経済成長の中で新しい日本の政治・経済の中心として大発展を遂げる。1962年（昭和37年）には東京都の常住人口（夜間人口）が世界で初めて推計1千万人を突破、経済面においても烈しい東京一極集中が進み、現在もこの傾向は加速する一方である。また、東京都内でも新宿・渋谷（渋谷区）・池袋（豊島区）などの都区内西部にあるターミナル駅周辺が副都心として急速に発展した反面、浅草の衰退に象徴される都区内東部の停滞傾向が問題とされた。ドーナツ化現象により都区内人口は1966年（昭和41年）の810万人をピークに緩やかな減少を始めた。一方、多摩地域では都区内への通勤者により急激な人口増が起こり、戦前には八王子市と立川市のみだった市の数が26にまで増加し、人口比も高まった。多摩市から八王子市にかけての多摩丘陵には多摩ニュータウンが建設され、それ以外でも農地や武蔵野の丘陵・森林・原野から団地など住宅地への転用が進められた。1968年（昭和43年）、小笠原諸島および火山列島が米国より返還され、東京都へ編入された。1991年（平成3年）には新宿に都庁新庁舎が完成し、東京の新たな象徴となり、新宿は「新都心」と称されるようになった。1999年（平成11年）に石原慎太郎が都知事に就任して以降は、品川、丸の内、汐留および臨海副都心などの都市再開発、幹線道路の整備が進められるが、区画整備は行われず複雑な道路事情となっている。超過密都市であるため、震災に対する全体としての不燃化や安全化などが都の条例などで進められている。東京では高度経済成長期からバブル景気期にかけて賃金や資産価格の高騰が著しく進み、1980年代〜1990年代には地価や物価が世界でもトップレベルであった。1990年代初めのバブル崩壊に伴い地価は暴落。1998年（平成10年）以降はデフレを背景に物価の下落が進み、為替レートの変動もあって、2010年代には既に世界のトップレベルの物価ではなくなっている。東京の地価もバブル期以降長らく下落傾向にあったが、2012年頃には大半の地点で上昇に転じた。2020年に2度目の開催となる東京オリンピックが予定されており、それに向けてインフラをはじめとする資本整備が新たに進められていく予定である。