1983年10月12日に東京地方裁判所で行われたロッキード事件の第一審判決公判で元内閣総理大臣田中角栄に対し懲役4年、追徴金5億円の実刑判決が言い渡される。無罪を主張していた田中は不退転の決意を示し、衆議院議員辞職を拒否、即日控訴を表明する。元首相の実刑判決に国会は紛糾。野党は田中への議員辞職勧告決議案の上程、採決を強硬に主張し、国会審議は空転する。田中が中曽根総理に衆議院の解散を唆した上に、福田一衆議院議長と木村睦男参議院議長が連名で、政府提出の重要法案の審議を促進させることを野党に同意させた上で、衆議院解散をする斡旋案を提示。与野党がそれを受け入れたため、重要法案成立後に中曽根内閣が衆議院解散を決定した。この解散を受け行われた同年12月18日の第37回衆議院議員総選挙では、田中は新潟3区で自身最高の22万761票を獲得して1位当選を果たすが、自民党は田中判決の逆風にあい、過半数割れとなった。自民党は政権を維持するために新自由クラブと連立政権（第2次中曽根内閣）を組むこととなり、1955年から28年続いた自民党単独政権が一旦は終了した。なお衆議院解散から衆議院議員総選挙の投票日までの期間は史上最短の20日間である。
初代ダートマス伯爵ウィリアム・レッグとアン・フィンチ（初代エイルズフォード伯爵ヘニッジ・フィンチの娘）の四男として、1708年5月29日に生まれた。1726年3月29日にオックスフォード大学クライスト・チャーチに入学して、1733年3月1日に民法学博士として卒業したとされる。ヘレフォード主教ヘンリー・エジャートンによると、レッグはイギリス海軍に入隊したが、1、2度航海しただけで辞めてしまい、その後はサー・ロバート・ウォルポールの信頼を得てその秘書になったという。ホレス・ウォルポールによると、レッグはダートマス伯爵が最も好んだ息子だったが、ウォルポールの娘と駆け落ちしようとして父から捨てられたという。1739年10月、アイルランド総督のデヴォンシャー公爵によってアイルランド担当大臣に任命され、その際に父に対しウォルポールの秘書職と両立できると述べた。1740年11月の補選でイースト・ロウ選挙区で当選した後、1741年イギリス総選挙でオーフォード選挙区で当選、以降1759年12月まで同選挙区の議員を務めた。1742年にウォルポール内閣が崩壊すると、ウィリアム・パルトニーによって罷免されたが、ベッドフォード公爵の介入により同年7月にSurveyor General of Woodsに任命された。また、1744年5月3日には法務総裁のダドリー・ライダーによる、貴族院のジェームズ・フランシス・エドワード・ステュアートの息子たちと文通することを大逆罪と定める修正案を庶民院でも通過する動議に賛成した。前述のSurveyor Generalの職を辞めると、1745年4月20日に海軍本部委員に就任、1747年2月まで務めた。1745年10月17日に国王ジョージ2世の演説に対する感謝決議を提起し、1746年6月4日に大蔵委員会委員に任命された。1748年1月、ニューカッスル公爵の推薦でプロイセン王フリードリヒ2世への特命公使に任命された。オスナブリュック司教領に関する交渉への介入で国王ジョージ2世に嫌われたが、ヘンリー・ペラムが擁護したこともあってジョージ2世の怒りは一時的に和らいだ。1749年4月、サー・ジョージ・リトルトン準男爵が海軍会計長官の職を拒否したため、その代わりとして任命され、大蔵委員会委員の後任にはヘンリー・ヴェーン（後にダーリントン伯爵に叙される）が務めた。1754年4月6日、レッグは海軍会計長官を辞任して第1次ニューカッスル公爵内閣で財務大臣に就任したが、ジョージ2世に嫌われたままであり、レッグは亡き王太子フレデリック・ルイスの党派と秘密裏に提携した。1755年8月にはヘッセン＝カッセル方伯領への援助金の条約を拒否、11月には大ピットとともに議会で条約に反対した。その結果、20日に北部担当国務大臣のホルダーネス伯爵から罷免を告知された。1756年2月、後任の財務大臣サー・ジョージ・リトルトン準男爵が提出した予算を攻撃して名声を得て、ホレス・ウォルポールがヘンリー・シーモア・コンウェイへの手紙でビルソン＝レッグを称えた。第1次ニューカッスル公爵内閣が崩壊すると、後任のピット＝デヴォンシャー公爵内閣で再び財務大臣に任命されたが（1756年11月16日）、1757年4月に大ピットとともに罷免された。1757年7月2日の第2次ニューカッスル公爵内閣で三たび財務大臣に任命されたが、1758年に窓と家屋に課税して大ピットの不興を買ったため、翌年に大ピットへの追従として糖蜜税の案を一般的な品物税に変更せざるをえなかった。1759年12月、オーフォード選挙区の議席を放棄して代わりにハンプシャー選挙区の代表として登院すると、ハンプシャー選挙区でシメオン・ステュアート候補を支持していたビュート伯爵に嫌われ、和解案として以降ビュート伯爵が指名した候補を支持する声明を出すことが提案されるもビルソン＝レッグは支持者たるホイッグ党を裏切れないとして拒否した。ビュート伯爵はさらにビルソン＝レッグに総選挙でサウサンプトンを諦めるよう要求したが、ビルソン＝レッグは拒否して王太子ジョージが指名した2人の候補を支持した。1761年3月、ビルソン＝レッグはヘッセン＝カッセル方伯領に多額の援助金を与える議案の提出を拒否して、財務大臣を罷免された。続く4月の1761年イギリス総選挙で再びハンプシャー選挙区で当選した後、1762年12月に暫定講和条約に反対、1763年3月には借款案に反対した。1764年8月23日、タンブリッジ・ウェールズで病死、ヒントン・アンプナーで埋葬された。