1994 FIFAワールドカップ予選・北中米カリブ/オセアニア大陸間プレーオフのカナダ戦で代表デビュー。2006 FIFAワールドカップ予選・南米/オセアニア大陸間プレーオフでは南米5位ウルグアイと1勝1敗でPK戦となり、2本のPKを止める活躍を見せ、1974年以来のワールドカップ出場に貢献した。本大会第1戦日本戦、第2戦ブラジル戦に出場したが、第3戦クロアチア戦では控えGKのジェリコ・カラッツにポジションを奪われた。決勝トーナメントイタリア戦で再び出場したが、後半ロスタイムにフランチェスコ・トッティにPKを決められ0-1で敗退した。2012年9月6日のレバノン戦で通算100試合出場を達成。オーストラリア代表のゴールキーパーでは歴代最多のキャップ数を誇る。2013年11月6日、代表引退を表明した。
ドイツ系オーストラリア人（両親が1968年にドイツからオーストラリアに移住）である。1990年、オーストラリア国内リーグNSLのマルコーニ・スタリオンズで18歳でデビュー。ドイツのディナモ・ドレスデン、1.FCカイザースラウテルン、イングランドのブラッドフォード・シティAFCを経て、1997年にミドルズブラFCに入団。 ミドルズブラには2008年まで在籍し、11年間で通算367試合に出場。デニス・ベルカンプがアーセナルFC時代に作った外国人選手の1クラブ最多出場記録315試合を更新した。FCバイエルン・ミュンヘンやユヴェントスFCからオファーを受けたが、正GKの保証がなかったため契約には至らなかった。2008年5月22日にフラムFCと2年契約を結んだ。2012-13年シーズン終了後、契約満了に伴いフラムFCから退団した。2013年7月9日、ペトル・チェフの控えとしてチェルシーFCに1年契約で加入した。同年12月11日、UEFAチャンピオンズリーグ 2013-14のステアウア・ブカレスト戦で41歳と66日でのデビューを飾り、チャンピオンズリーグの歴史上最高齢記録となったとともに、1-0と完封勝利に貢献した。2015年1月6日、レスター・シティFCに移籍した。2015-16シーズン終了後、レスターを退団。
フイニイは尾形厩舎に入厩し、1966年10月13日の東京芝1000ｍ戦でデビューしたが、この時は3着に敗れ、初勝利は3戦目になる12月17日の中山芝1200m戦であった。3歳時は、結局3戦1勝3着2回で終えた。翌1967年、年明け早々の条件戦と3月21日の特別戦を勝って3戦2勝(通算6戦3勝)となり、クラシックへの足掛かりを掴んだ。クラシック初戦の皐月賞は、厩務員ストの煽りを受けたが良く立て直して臨み、後方から追い込んでリュウズキの3着に入った。2番人気に押されたダービーでは、レース直前に振り出した突然の雷雨に戦意を失い、人気を裏切る8着惨敗を喫した。ダービー直後の特別戦を制し、続く中山での日本経済賞では、鋭く追い込んでムネヒサの鼻差2着に入った。秋の緒戦に京都杯を選んだフイニイは、5着とまずまずの成績を残したが、出走するはずだった菊花賞は、体調不良で出走取り消しに終わった。しかし、体調を回復した後は、京都記念（秋）・阪神大賞典を連勝し、古馬とも互角の能力を示した。なお、フイニイが勝利した阪神大賞典は、フイニイの勝利よりもキーストンの悲劇的な最期によって競馬ファンに強く記憶されているレースである。フイニイは、翌年の金杯（2着・勝馬アトラス）と日本経済新春杯（5着・勝馬リュウファーロス）の2戦に出走し、関西遠征を終えた。関西から帰還以降の1968年シーズンは、春シーズンを休養に充て、目標を古馬の最高峰・天皇賞(秋)制覇に立て、夏の札幌競馬から復帰した。オープンを4戦1勝し、続く目黒記念ではメジロタイヨウに及ばず2着に敗れ、本番では、ゴール直前でニットエイトの強襲を食らい、2着に終わった。1969年シーズンを迎えたフイニイは、休養を挟んで札幌記念まで7戦したが2着2回に終わり、秋の中山開催では条件クラスに降下したが、特別戦を快勝して久々の勝利を飾ると、続くハリウッド・ターフクラブ賞でマーチスを退けて勝利し、復調ぶりを示した。しかし、続く京阪杯では12着と大敗し、やや不安を残したまま臨んだ二度目の天皇賞（1969年・秋）では、雨に祟られメジロタイヨウの3着に敗れた。続く有馬記念でも、良い所なくスピードシンボリの8着に終わった。1970年シーズンは、得意の京都で2連勝したが、関東に戻って3連敗し、3度目の天皇賞（1970年・春）は、阪神競馬場の短い直線を鋭く追い込んだものの、関西の新鋭・リキエイカンにクビ差の惜敗。オープンを3回叩いて（3戦1勝）4度目の挑戦となった1970年・秋の天皇賞も、春に続いて騎乗した名手・野平祐二の騎乗で後方から良く追い上げたものの、調教師となったばかりで、しかもフイニイの主戦騎手でもあった保田隆芳厩舎所属メジロアサマを、1/2馬身差捕らえ切れずに敗れた。本来は1970年を最後に引退し種牡馬入りする予定で、永田から吉田の手元に戻ったフイニイだったが、「能力に相応しい勝利を得ていない」と言う尾形調教師の考えから、1971年も現役続行となった。吉田の勝負服で臨んだアメリカジョッキークラブカップと東京新聞杯では、共に5着と敗れ、続いて出走したダイヤモンドステークスでは、当時は新鋭だった岡部幸雄鞍上のスピーデーワンダーに惜敗し、勝ち鞍こそなかったものの最後の天皇賞に向けて順調に向かっていた筈であったが、直前に左膝の故障が発覚し遠征は中止となった。種付けシーズンの関係から、年末まで現役続行となったフイニイは、体調が戻ると秋へ向けての特訓が始まるはずだった。しかし、5月22日夕方に引き起こした腹痛が夜になって悪化、翌日午前2時頃に死亡した。母ラザニナも既に死亡しており、フイニイの後に唯一産んだ産駒（父ガーサント）は牝馬だった為、吉田の望んだ良血の種牡馬を手にする事は、叶わなかった