2004年、ハイペリオンはライオネル・ソーキンスとの間で起こった法的紛争に巻き込まれた。ソーキンスは音楽作品の校訂者であり、彼が校訂したミシェル＝リシャール・ドラランドの作品が、ハイペリオンの録音に使用されていた。ソーキンスは、自分の校訂版に係る音楽著作権のロイヤルティーを求めて、ハイペリオンに対する訴えを起こした。ハイペリオンは、当該版はソーキンス自身が作曲したオリジナルなものではないので著作権は発生しておらず、また、ソーキンスは印税（hire fee）という形で演奏家からその使用と引換えに支払を受けていると主張した。2004年5月に訴訟が提起されたが、裁判官はソーキンスの請求をほぼ認容する判決を下した。ハイペリオンは、2005年3月に控訴したが、控訴審は原審を維持した。ソーキンスが請求した損害賠償の額自体は少なかったものの、その訴訟のためにハイペリオンが投じた費用は数百万ポンドに上った 。そのため、ハイペリオンは一時期事業の存続が危ぶまれる事態にまで陥ったが、音楽家、消費者、作曲家から多くの金銭的援助が寄せられ、その危機を脱している。たとえば、ハイペリオンのピアニストであるマルカンドレ・アムランは、シャルル＝ヴァランタン・アルカンのピアノ独奏による協奏曲再録音の理由の一つに、この経営危機を挙げている。
ハイペリオンは、いわゆるマイナー作品、特にそれまで演奏家のレパートリーから外されていたロマン派のピアノ協奏曲や、スコットランドのロマン派の作曲家、ルネサンスからバロック期のイギリス音楽といった作品の録音を手掛けることにより、広く知られるようになっていった。中でも、レスリー・ハワードによるフランツ・リストピアノ独奏曲の全曲録音集は、非常に有名である。伴奏ピアニストのグレアム・ジョンソン監修の下行われたフランツ・シューベルトの歌曲全集録音や、ロバート・キング指揮によるヘンデルの多くのオラトリオ、パーセルの合唱曲でも高い評価を受けている。また、カール・レーヴェ、ロベルト・シューマン、フェリックス・メンデルスゾーン、リヒャルト・シュトラウスの歌曲全集も名盤の誉れ高い。大英帝国勲章受勲者であるカナダのピアニストのアンジェラ・ヒューイットは、ハイペリオンのためにバッハの鍵盤楽曲全集（そのうち平均律クラヴィーア曲集については2度）の録音を行っている。同様に、クリストファー・ヘリックも、自作のオルガン作品全曲をハイペリオンで録音している。最近では、スティーヴン・ハフが、ラフマニノフのピアノ協奏曲全曲と、作曲者オリジナル版によるパガニーニの主題による狂詩曲の録音を行った。ほか、ロマン派のヴァイオリン協奏曲とロマン派のチェロ協奏曲録音もリリースされている。ハイペリオンにおいて特筆すべきは、そのレパートリーの幅の広さであり、12世紀から21世紀にわたる音楽作品をカバーしている。ハイペリオンがリリースした録音は、1996年、1998年、2002年、及び2010年のグラモフォン賞を始め多くの賞を受賞している。
「ハイペリオン」という社名は、ギリシア神話に登場するティーターンの一人、ヒュペリーオーンにちなんでいる。ジョージ・エドワード・ペリー（「テッド」という愛称で広く知られている）によって、1980年に設立された。初期のLP盤録音には、ロビン・ミルフォード、アラン・ブッシュ、マイケル・バークレーといったの指揮者による、普段あまり録音されることのない20世紀のイギリス音楽も含まれている。中世音楽研究家であるクリストファー・ペイジと、彼の指揮する合唱団ゴシック・ヴォイスによるヒルデガルト・フォン・ビンゲンの作品の録音が、非常に高い評価を受け広く人気を集めたこともあり、ハイペリオンの事業は成功を収めた。現在、ハイペリオンの代表は、テッド・ペリーの息子であるサイモン・ペリーが務めている。
主祭神の尾治針名根連命は、尾張氏の祖先神で尾張国一宮の真清田神社の祭神でもある天火明命の十四世孫にあたるとされ、父の尾綱根命とともに犬山市の針綱神社にも祀られている。配神として、大巳貴命（大国主命とも）また、記紀神話の国造りの際に全国を回って国土開拓を協力した神とされる少彦名神を祀っている。なお八幡神を1909年（明治42年）に合祀している。
主に漫才を行う。2017年までは水田のキャラクターを強めに出したしゃべくり漫才を多く披露していたため「へりくつ漫才」と呼ばれた。それは自分たちのキャラクターをわかりやすく伝えるためだった。「へりくつ漫才」は、水田の細かい性格を活かしてネタを作ったらどうかと川西から提案を受けた水田が作り上げたことが起点となっている。後のインタビューで水田は「最初にぱぱっと作ったネタに、相方が笑った。その瞬間をすごい覚えてます」と語っている。まだ大きな結果を出せてなかった和牛に、「しゃべくり漫才をやったほうがよい」とアドバイスしたのは、水田をかわいがっていたモンスターエンジン西森だった。その後へりくつ漫才の原型を作りあげ、賞レースの常連となった。前半にコント漫才で伏線を張り、後半に伏線を成立させる「伏線回収」の技術をM-1 2017で強くそして観る側にもわかりやすい形で披露して以降、「へりくつ漫才」に続く和牛漫才の特徴としてテレビで紹介されている。正直で細かいところが気になる水田のキャラクターと川西の演技力が生かされた（女性役を演じることが多い）「コント漫才」の形式も多い。ネタを作るにあたり、整合性一貫性を持たせること、嘘をつかないことを意識している。結成当初は水田がネタを全て作っており、川西は「てにをは」まで指示を受けていたが、近年は2人で話し合いながらネタを作りあげている。細部にこだわる部分に変化はなく「漫才を行うにあたって無駄な言葉は1つもない」とお互い理解して作成してると述べている。自分たちがネタに対しこだわるポイントとして「『笑かしますよ』というよりは、2人の感情がすごく高ぶってるのを見てる人も共感して、心ごと持って行かれるような漫才」（水田）、「最初の20秒30秒見て、終わりの20秒30秒見た時に、『これ、なんでこんなことなってんの』ってとこにいけてたりしたら、なんかすごいじゃないですか。それでウケてたら、すごい。僕らの漫才の特色で言うたらそういうところかもしれない。」（川西）と、挙げている。舞台を降りた直後、後輩たちが止めに行った方がいいのか？と考えるほどの激しい話し合いをする。本人たちは舞台に出たあとネタの改善のために行っており、悪気はない。漫才とは『生きざま』であり『一生やっていこうと2人で決めていること』だという。