愛知県小牧市生まれ。父は小牧市議会議員・愛知県議会議員を務めた山下慶一郎。小牧市立小牧小学校、小牧市立小牧中学校、愛知県立旭丘高等学校、立命館大学政策科学部卒業。自由民主党愛知政治大学院の第1期生。鈴木政二参議院議員（元内閣官房副長官）の秘書を務める。2003年4月、引退する父の後継者として、愛知県議会議員選挙に小牧市選挙区から出馬し初当選を果たした（12,120票）。2007年の県議選で再選。県議時代は自由民主党に所属し、自由民主党小牧市支部長、自由民主党愛知県連青年部長。愛知県議会では、地方分権・道州制調査特別委員会副委員長、地域振興環境委員会副委員長、警察委員会委員長を務めた。2011年1月30日、県議2期目の任期途中に小牧市長選挙に無所属で立候補。5期目の当選を目指す現職の中野直輝を抑え初当選を果たした。なおこの市長選では中野、山下がいずれも無所属で立候補した。2015年2月の小牧市長選挙で再選。現在2期目。2015年4月、自由民主党小牧市支部から、同月行われた愛知県議会議員選挙で党の公認候補以外を支援したとして、除名処分（党籍剥奪）を受けた。なおこの際、山下が支援していた無所属の新人候補者は落選し、自民党と民主党が公認していた候補者は当選した。2018年9月小牧市長選に出馬し当選。現在３期目を務める。
ナチス政権に協力しなかったため、1945年の終戦後すぐにオーストリアの楽壇に復帰することができ、戦後ウィーン・フィルハーモニー管弦楽団とザルツブルク音楽祭を最初に指揮したひとりである（クナッパーツブッシュ、フルトヴェングラー、ベーム、カラヤンはナチ協力の嫌疑で復帰が遅れた）。巨匠不在のウィーン・フィルを支えた名匠といえる。モーツァルト、リヒャルト・シュトラウスの作品を得意とした。角のとれた優美なクリップスとウィーン・フィル（国立歌劇場管弦楽団）の芸風は、1968年の『コジ・ファン・トゥッテ』、1970年の『エジプトのヘレナ』などのライブ録音で偲ぶことができる。いわゆる「叩き上げ」の経歴をもち、歌劇場での稽古に手腕を発揮した。往年の名歌手エリーザベト・シュヴァルツコップは、「一番お世話になったのはクリップス！」と述懐したという。名ピアニストのリリー・クラウスも、もっとも優れたモーツァルト解釈者として彼の名を上げた。就いたポストが当時としては些か地味なものが多く、しかも短い在任期間ばかりだった（この点では同い年のドイツ圏の指揮者であるオイゲン・ヨッフムと対照的であった）こともあって、華々しい存在とはいえなかったが、ステレオ録音時代までウィーン生え抜きの香りを伝え続けた随一の存在であり、今なお根強いファンが存在する。レコード・ファンの間ではとかくドイツ・オーストリア音楽だけの専門家と見られがちであるが、実際は特にアメリカ時代には現代作品を含む幅広いレパートリーを誇った。来日公演でもストラヴィンスキー、コープランドなどの作品を指揮している。
森林監督官J・W・ハンフリー（J. W. Humphrey）のような人々は、ブライス・キャニオンのアンフィテアトルムの息を呑むような眺めを喧伝し、1918年までに全国に配布された記事も興味をかきたてるのに一役買った。しかし、辺鄙な場所で交通の便が悪く、宿泊施設がないため訪問者数は最小限に止まった。後にルビー・シレット（Ruby Syrett）、ハロルド・ボーマン（Harold Bowman）、ペリー兄弟（Perry brothers）は、この地に控えめな宿泊施設を建て、「旅行サービス」を開業した。シレットは後にブライス・キャニオンの最初の郵便局長を務めた。訪問者数は着実に増加し、1920年代前半までにユニオン・パシフィック鉄道は、より多くの観光客が宿泊できるようにするため、鉄道輸送をユタ州南西部に拡大することに興味を持つようになった。1929年の訪問者数は2万2千人だった。同じ時期に、自然保護論者は、コロラド高原への旅の野放し状態に加え、過放牧と伐採によりブライス・キャニオンの脆弱な地物に加えられた損害に警戒感を強めた。間もなくこの地を保護しようという運動が始まり、国立公園局長スティーヴン・マーザー（Stephen Mather）はブライス・キャニオンを州立公園にしようという提案で応えた。しかしながら、ユタ州政府とユタ州議会は、地域を国家の保護下に置こうと働きかけた。マーザーは折れ、ウォレン・ハーディング大統領に推薦状を送った。大統領は、1923年6月8日、ブライス・キャニオンを国定公園に指定した。同じ年にアンフィテアトルムの見晴らしの良い場所へ行きやすくするため、高原に道路が建設された。1924年から1925年にかけて、ブライス・キャニオン・ロッジが建てられた。1924年、米国議会議員は、ブライス・キャニオンの保護レベルを国定公園から国立公園へ引き上げ、ユタ国立公園を設立するために活動を開始することを決定した。国定公園内の私有地、州有地の所有権の連邦政府への譲渡手続きが始まった。ユタ・パークス・カンパニー（Utah Parks Company）が譲渡の大半の交渉を行った。4年後、提案された公園の境界線内の最後の土地が、連邦政府に売却された。そして、1928年2月25日、新たにブライス・キャニオン国立公園という名前で設立された。1931年、ハーバート・フーヴァー大統領は、公園の南に隣接する地域を併合し、1942年には、さらに2.57 km²（635 エーカー）が加えられた。これにより公園の総面積は現在の145.02 km²（35,835 エーカー）となった。リム・ロードは、今日でも利用されている景色の良い道路であるが、1934年、民間資源局（Civilian Conservation Corps）によって建設された。ブライス・キャニオンの最初の責任者が管理を始める1956年まで、公園の管理は隣のザイオン・キャニオン国立公園から行われた。