東京市芝区南佐久間町（現・港区西新橋）で、米屋のかたわら貸家業を営む家庭に生まれる。幼少期は病弱だったため、人情深い大家だった両親に大事に育てられたという。大倉高等商業学校（現東京経済大学）を経て、旧制東京商科大学（現一橋大学）に進んだ。賀川豊彦の『死線を越えて』やマクシム・ゴーリキーの『母』に感動し、一方で自分が不労所得を得る地主階級である事に懊悩したが、大学で上田貞次郎の「企業者は公共社会への貢献を使命としている」という所説に接してアイデンティティーの確立に大きな影響を受けたという。また、1923年の関東大震災で実家の所有物件がほとんど倒壊した際には焼け跡の整理を手伝いながら、災害に強いコンクリート造への建て替えを進言している。1928年（昭和3年）に大学を卒業すると、関東学院高等部および大倉高等商業学校講師を経て、1932年（昭和7年）に京都高等蚕糸学校教授に就任した。第二次世界大戦が終わると、1946年（昭和21年）には新円切替にともなう預金封鎖の直前に引き出した資金をレーヨンに投資し、これが高騰して得られた売却益などで積極的に虎ノ門周辺の土地を買い進めた。その後、1946年に横浜市立経済専門学校教授に転じ、1949年に改組にともない横浜市立大学教授となる。1954年（昭和29年）からは同大の商学部長となった。横浜市大では大学に通うのは週に2-3日程度で、残りの時間は土地の整理やビル建設に取り組み、1955年（昭和30年）に森不動産を、翌1956年には泰成（現・森トラスト・ホールディングス）を設立して第1森ビルが竣工した。また、これに合わせて同年頃から江戸英雄と坪井東に依頼して貸しビル業についての助言を受けている。1957年（昭和32年）横浜市立大学の学長選挙に出馬するが、大学と会社経営を兼務していたことが批判を受け、結局1959年（昭和34年）に大学を辞職して不動産事業に専念し、森ビルを設立した。江戸が危ぶむほどのペースで積極的に事業展開を進め、1970年頃には資本金7,500万円に対して借入金が58億円まで膨らんだ時期もあったが、高度経済成長や都市集中のトレンドをうまく捉えて小規模な家業を行なっていた会社を大企業に成長させる事に成功した。長期保有を前提として虎ノ門周辺に一極集中して土地を買い集め、街の魅力を高めるために積極的に地域全体のデザインに取り組んでいった。また再開発事業にあたっては地権者全員の同意を得ることを重視し、典型的な例として赤坂アークヒルズは完成までに20年の月日をかけている。1986年には森ビルの所有する賃貸ビルとその延床面積は73棟、約100万平方メートルに達し、不動産業界で3位の規模になった。1993年（平成5年）1月30日、心不全により死去し、生前の約定により、遺産の中から約30億円が慶應義塾大学に寄付された。バブル期直後までは資産総額が1兆円超とも言われていた森であったが、借金も約60億円に上り、課税対象となった実質的な遺産は約39億円にとどまった。
高校時代は最終学年に打率.470・11本塁打・27打点を記録。全米No.1の高校生スラッガーとして注目を集め、2008年のMLBドラフト1巡目（全体3位）でカンザスシティ・ロイヤルズから指名を受けるも、代理人のスコット・ボラスが700万ドルの契約金を要求し、ロイヤルズとの入団交渉は難航した。決裂した場合にはアリゾナ州立大学へ進学する予定だったが、交渉期限の11分前に球団史上最高額となる600万ドルの契約金で入団に合意した。この年はルーキーリーグで3試合の出場に留まったが、その期待の大きさから、2009年の開幕前には「ベースボール・アメリカ」誌の有望株ランキングにおいて、球団内ではマイク・ムスターカスに次ぐ2位、マイナー全体では24位にランクインされた。2009年は乱視と右手甲の亀裂骨折の影響で不振に陥り、A級バーリントン・ビーズとA+級ウィルミントン・ブルーロックスの2球団合計で打率.241・6本塁打・OPS.695という成績に終わった。オフには乱視矯正のためのレーシック手術を受けた。2010年は本来の打撃を取り戻し、A+級ウィルミントンとAA級ノースウエストアーカンソー・ナチュラルズで打率.338、20本塁打、OPS.977を記録。オフには「ベースボール・アメリカ」誌の有望株ランキングで球団トップ、マイナー全体でも9位の評価を受けた。2011年はAAA級オマハ・ストームチェイサーズで打率.439、OPS1.107という好成績を残し、5月6日のオークランド・アスレチックス戦でメジャーデビューを果たした。5月11日のニューヨーク・ヤンキース戦でメジャー初本塁打を放つと、次の試合でも本塁打を放ち、ロイヤルズ側からは早くもホズマーの契約延長を望む声が上がり始めたが、将来のFA市場を優先するボラスはそれを一蹴した。7月にはアメリカンリーグのルーキー・オブ・ザ・マンスに選出。後半戦は3番を任され、1年目ながら打率.293、19本塁打、78打点という成績を残した。ア・リーグ新人王の投票ではジェレミー・ヘリクソン、マーク・トランボに次ぐ3位に入った。2012年は3番・一塁手として開幕を迎えたが、5月の後半まで打率が1割台に低迷する有様で、次第に下位打線へと回されるようになった。。2013年は怪我で離脱したマーク・テシェイラに代替選手として、第3回ワールド・ベースボール・クラシック(WBC)のアメリカ合衆国代表に選出された。シーズンでは自身初の.300以上となる打率.302・17本塁打・79打点という打撃成績を残す一方、守備・走塁でも活躍。3年連続での2桁盗塁、ゴールドグラブ賞を初めて受賞した。2014年1月17日にロイヤルズと360万ドルの1年契約に合意した。レギュラーシーズンでは、メジャーデビューから4年連続で規定打席に到達したが、本塁打・盗塁は自身初の二桁未達、得点・打点は自己最少となった。エラーの数がリーグ最多ながら2年連続でゴールドグラブ賞を受賞した。2015年は158試合に出場し、打率.297・18本塁打・自己最多の93打点をマークした。ファーストの守備では、154試合で守りに就いて4失策・守備率.997という成績を残した。また1261刺殺と101補殺はいずれも、リーグの一塁手としては最多であった。2016年は初めてオールスターにファン投票にて選出された。7月12日に行われたオールスターゲームでは2安打1本塁打2打点の活躍で、ロイヤルズの選手では1989年のボー・ジャクソン以来となるMVPに輝いた。この年は25本塁打を放って104打点 (リーグ9位タイ) を記録した。一塁手の守備は、154試合で6失策・守備率.995だった。2017年は開幕前の2月9日に第4回WBCのアメリカ合衆国代表に選出され、2大会連続2度目の選出を果たした。3月22日の決勝プエルトリコ戦に勝利し、初の優勝を果たした。大会最優秀一塁手賞を受賞した。オフの11月2日にFAとなった。球団はクオリファイング・オファーを提示したが、11月16日に拒否した。