2004年、清水エスパルスのヘッドコーチとして初めてJ1に関わることとなった。第3節ガンバ大阪戦に0-4で敗れた後、クラブ側から石崎に対してもっと自分の色を出してほしいという要望があり、それ以降は監督のアントニーニョに代わって石崎がチームの戦術面を担うようになった。選手起用や試合中の指揮権についてはなおアントニーニョ側にあり、事実上の両頭体制となったが、アントニーニョとプレッシングサッカーを志向する石崎のあいだにはサッカー観に隔たりがあり、チーム運営はちぐはぐなものになった。同年7月にはアントニーニョの辞任に伴って監督に昇任。J1で初采配を振ることになったが、アラウージョやチョ・ジェジンという強力なFWを擁しながらもセカンドステージは守備が崩壊し16位中14位に終わった。石崎は翌シーズンも引き続き指揮を執ることが内々に決まっていたが、それが地元紙にスクープされるとサポーターたちから不満が噴出し、結局クラブOBの長谷川健太を新監督に据えるために、石崎は身を引くことになった。
2001年7月、J2に降格し低迷する川崎フロンターレの監督に就任。リーグ戦では7位の成績でシーズンを終えたがその年の第81回天皇杯ではベスト4の成績を残した。2002年には川崎を4位に押し上げ、2003年には最終節まで昇格争いに絡みながら、サンフレッチェ広島と勝ち点差1の年間3位でシーズンを終えた。同年の第83回天皇杯を最後に川崎監督を退任した。
1999年、大分トリニータの監督に就任。この年の大分は最終節を前に2位に浮上。勝てば自力でJ1昇格を決めることが出来たが、ホームでの最終節で古巣の山形に引き分け、2位と勝ち点1差の3位の成績でJ1昇格を逃す。翌年の2000年も再び優勝を争ったが最終節で浦和に逃げ切られ、またも勝ち点1差で3位となり昇格を逃す。2001年はスタートダッシュに失敗し低迷、5月に監督を解任された。
選手生活の晩年には既にコーチ稼業にも踏み出していたが、引退から2年後の1995年にジャパンフットボールリーグ（旧JFL）のNEC山形（1996年以降はモンテディオ山形）の監督に就任（元々はコーチとしての就任要請だったが、直前に監督への就任を要請されている。#監督就任のきっかけ参照）。4シーズン指揮を取った中で1998年には優勝争いの末、山形を旧JFL3位にまで押し上げる結果を残した。
実家は旧広島市民球場の近くで、身近なスポーツは野球だったが、広島市立広瀬小学校4年生のときに友達の誘いでサッカーを始める。ポジションは中学生の時から常にディフェンダーだったという。県立広島工業高校時代は河内勝幸、金田喜稔、楚輪博、木村和司、猿沢茂、室野哲雄らと共に全国高校選手権ベスト4を経験した。指導者として手本は高校時代の松田輝幸監督という。その後東京農業大学を経て1980年に日本サッカーリーグ (JSL) 2部の東芝に加入。チームではいわゆる「ストッパー」の役割を任され、ハードなディフェンスで JSL2部時代には5年連続ベストイレブンに選ばれるなど活躍する。JSL1部に昇格した1988年からは選手兼コーチに就任。1991年に一旦コーチ兼主務となるがシーズン序盤に選手として追加登録される。1992年はコーチに専念していたが、他のコーチ陣と反りが合わないため監督の高橋武夫に選手復帰を懇願し、1993年に再び選手としてプレーしてから現役を引退した。引退後は東芝のパソコン液晶モニター生産管理部門で1年間社業に専念したのちに退社。
特別支援教育コーディネーター(とくべつしえんコーディネーター)は、発達障害者の特別支援をするための教育機関や医療機関への連携、その者の関係者(家族など)への相談窓口を行う専門職を担う教員のこと。
1941年（昭和16年）12月太平洋戦争を宇佐海軍航空隊教官として迎える。この時に実用機教程を指導された艦上爆撃機搭乗員に豊田穣がいる。1942年（昭和17年）7月、第三艦隊の空母「翔鶴」飛行隊長に就任。第三艦隊の攻撃隊総隊長を兼任。なお「翔鶴」艦上攻撃機隊を率いたのは、同期生の村田重治であった。1942年（昭和17年）8月24日、第二次ソロモン海戦に参戦。第二航空戦隊航空参謀奥宮正武によれば、太平洋戦争における関の初陣であったが、すでに日中戦争において実戦を経験しており、貫禄は十分であったという。同海戦で、関は第一次攻撃隊、九九式艦上爆撃機（九九艦爆）27機、零式艦上戦闘機（零戦）10機を率い米空母「エンタープライズ」に爆弾3発を命中させるなどの戦果を挙げた。この攻撃に九七式艦上攻撃機（九七艦攻）が参加していないのは、咄嗟の会敵であったため準備が間に合わなかったためであった。1942年（昭和17年）10月26日、南太平洋海戦に参加。関は第二次攻撃隊指揮官として九九艦爆19機と護衛の零戦5機で攻撃に向かった。攻撃隊の機数が少ないのは、同時に出撃する予定であった空母「瑞鶴」隊は母艦にレーダーがなかったため準備が遅れたこと、また第二次ソロモン海戦などで被った損害の補充ができていなかったことが原因である。先に攻撃に向かった村田隊は米空母「ホーネット」に爆弾6発、魚雷2発を、関隊は「エンタープライズ」に爆弾3発を命中させた（うち1発は至近弾）。ただし関隊を第一次攻撃隊とし「ホーネット」を攻撃したとする資料もある。日本側の目撃証言で、関は被弾後に駆逐艦への突入して自爆したとされたが、米側の記録との照会で、「ホーネット」に突入したことがわかった。戦死による特進で海軍中佐。