クリチバの歴史は、1630年頃に金鉱を求めて周辺で始められた入植にその起源が求められる。徐々に村落を形成し、1693年3月29日に村として認められ、パラナマツ（Araucaria angustifolia）の広大な林を有していたことから、ノッサ・セニョーラ・ダ・ルース・ドス・ピニャイス（Nossa Senhora da Luz dos Pinhais、松林を守護したもう我らが光の聖母）という名で登録された。おそらくこの名前が言いにくかったこともあり、次第にクリチバという名前で呼ばれるようになり、1721年に町の名称を正式に「クリチバ（Curitiba）」に変更する。クリチバという名の由来については有力説が2説あり、ひとつは、先住民が使っていたトゥピ語で「松(coré)が多い(etuba)」という意味のCoré Etubaから転じたというもの、もうひとつは、やはりトゥピ語で、「大きな(yba)松(kurit)」という意味のKurit Ybaから転じたというものである。1842年に町に格上げとなり、1853年、サンパウロ地方が分割されたことに伴い新設されたパラナ地方の首府となった。周辺にそれほど金鉱を有していないことが明らかとなるにつれ、黄金を求めてきた入植者たちはミナス・ジェライス地方へと移っていった。クリチバは長い間、特にこれといった産業を持たず、牧畜が盛んな南部のリオ・グランデ・ド・スルと消費地帯であるサンパウロをはじめとする以北の地域との結節点という地理的優位性から、家畜売買とその中継地として収入を得た。1867年から移民団の受け入れが始まり、イタリア人、ポーランド人、ドイツ人、ウクライナ人を中心に、ヨーロッパ、特に中東欧から多数の移民が流入することとなる。1913年には、ブラジル初の大学となるパラナ大学（現在のパラナ連邦大学）が設置されるとともに、これもブラジル初となる路面電車が敷設された。1960年代頃までは、あくまで地方都市の枠を出ない存在であったが、以後、政策的な成功も寄与して、商工業が発展し、ブラジルでも有数の富裕な都市となる。その躍進をもたらした都市計画について、その先進事例として世界中に広くその名を知られるようになった。1955年から1972年までの間、クリチバ市長エラスト・ゲルトナー氏（ロマ字：Erasto Gaertner)が1953年亡くなる前に計画した癌治療病院、エラストゲルトナー病院が設立され、現在ブラジル国南部地域の最も大きい癌専門病院である。2014 FIFAワールドカップの開催都市の一つであった。
2004年にアマチュア・フリーエージェントとしてロサンゼルス・ドジャースと契約。ユースチームでは、アンドレルトン・シモンズやディディ・グレゴリウスとチームメイトだった。2006年まで捕手としてルーキーリーグでプレーした。2007年途中からA級に昇格した。2008年には打率.227ながら9本塁打を放った。2009年開幕前の3月に開催された第2回ワールド・ベースボール・クラシック(WBC)のオランダ代表に選出された。一次ラウンド初戦のドミニカ共和国戦では1点リードの9回裏に2008年のナリーグ盗塁王ウィリー・タベラスの三盗を刺し、座ったままの状態で二塁に鋭く送球するなど、強肩ぶりを発揮してオランダの躍進に貢献した。シーズンでは、秋から強肩を生かすため投手に転向している。2010年開幕はA+級インランド・エンパイア・シックスティシクサーズで迎えたが、シーズン途中からAA級チャタヌーガ・ルックアウツに昇格。7月24日のニューヨーク・メッツ戦でメジャーデビューを果たした。2011年は中継ぎとしてドジャースのブルペンを支えた。2012年シーズンはハビー・ゲラに代わる抑えに定着した。一方で、不整脈の持病を抱えており、シーズン終了後に手術を受けた。2013年は第3回WBCのオランダ代表の要請を受けたが、当初は前年の不整脈の手術をしたことを考慮し辞退していた。しかし、オランダ代表がベスト4となりサンフランシスコの決勝ラウンドに進出し、2次ラウンドで負傷離脱したジョナタン・イセニアに代わり決勝ラウンドから追加招集された。登板機会はなく、オランダは準決勝でドミニカ共和国に敗れた。レギュラーシーズンでは75試合に登板。4勝3敗28セーブ、防御率1.88だった。2014年2月11日にドジャースと430万ドルの1年契約に合意した。シーズンでは、自己最多の44セーブを記録した。2015年もクローザーとして起用され、54試合に登板。2勝1敗36セーブ、防御率2.41だった。2016年1月15日にドジャースと1,065万ドルの1年契約に合意。前半戦で40試合に登板し、3勝2敗27セーブ、防御率1.16と好投。7月にはオールスターゲームに初選出された。この年は71試合の登板で、3勝2敗47セーブ、防御率1.83だった。ポストシーズンではディビジョンシリーズ第4戦で4失点した以外は抑え込んだ。オフに最優秀救援投手賞を初受賞。11月3日にFAとなり、球団は1720万ドルのクオリファイング・オファーを提示したが、11月14日に拒否した。2017年1月10日にドジャースと5年8,000万ドルの契約で合意した。1月11日に契約延長記者会見が行われ、第4回WBCのオランダ代表へは不参加の意思を表明した。しかし、代表が決勝トーナメントに進出すると撤回し、代表に合流した。レギュラーシーズンでは6月11日のシンシナティ・レッズ戦で通算200セーブに到達。開幕から6月25日まで驚異の無四球三振記録51でMLB新記録を樹立するなどした。65試合登板で5勝無敗41セーブ・防御率1.32・WHIP0.75と圧倒的な投球を見せ、自身初タイトルとなる最多セーブを受賞した。ポストシーズンではNLCSまで無失点の完璧なリリーフを見せていた。ワールドシリーズでは3試合連続で1失点して敗戦投手になることもあった。2年連続で最優秀救援投手賞を獲得した。2018年は昨季の疲労の蓄積が考慮され、スプリングトレーニングではスロー調整を許されていた。オープン戦もわずか５試合の登板でシーズン開幕に臨んだが、3,4月は防御率5.59と不調で始まった。それでも5月に防御率0.60と復調を見せると、その後も安定して3年連続オールスター選出された。しかし、8月9日のコロラド・ロッキーズ戦後に宿泊ホテルで不整脈を訴え、そのまま病院に搬送され故障者リスト入りした。8月20日のセントルイス・カージナルス戦で復帰するもしばらくは精彩を欠き、その原因を本人は治療薬にあるとして服用を中止した。9月は調子を取り戻し、最終的に69登板で1勝5敗38セーブ・防御率3.01だった。ポストシーズンでは今季もNLCSまで無失点の完璧なリリーフを見せていたが、ワールドシリーズでは2試合連続でセーブ失敗することもあった。オフには2度目の心臓手術を受けた。2019年は62試合に登板して5勝3敗33セーブ・防御率3.71だった。特に後半戦は不調に陥るなど不安定な内容だったがセーブは積み重ね、9月25日のサンディエゴ・パドレス戦でMLB史上30人目、球団史上初の通算300セーブに到達した。