コクセター群 W は有限個の位数 2 の元で生成されるから、そのアーベル化は基本アーベル 2-群（つまり巡回群 Z/2Z のいくつかのコピーの直和に同型）である。これは W の一次のホモロジー群の言葉に読み替えられる。二次のホモロジー群に関係するシューア乗因子 M(W) は、有限鏡映群については (Ihara & Yokonuma 1965) で、アフィン鏡映群については (Yokonuma 1965) で計算されている。(Howlett 1988) も参照。いずれの場合においても、そのシューア乗因子は基本アーベル 2-群である。有限またはアフィンのワイル群からなるいかなる無限族 {Wₙ} も M(W) の階数は n を無限大に飛ばした極限で安定である。
一般次元正多胞体の対称変換群 (symmetry group) は必ず有限コクセター群になり、互いに双対な多胞体は同じ対称変換群を持つ。任意の次元において、三種類の正多面体の系列を考えることができる。正 n-次元単体の対称変換群は対称群 Sₙ₊₁ であり、これを Aₙ 型のコクセター群という。n-次元超立方体およびその双対である n-次元交叉多胞体の対称変換群は BCₙ 型のコクセター群であり、超八面体群とも呼ばれる。二次元、三次元、四次元の例外的正多面体が上記以外のコクセター群に対応する。二次元の場合は、正多角形の対称変換群である二面体群が系列 I₂(p) を成す。三次元であれば、正十二面体およびその双対である正二十面体の対称変換群 H₃ が全二十面体群 (full icosahedral group) として知られる。四次元のときは、正24胞体・正120胞体・正600胞体という三種の特別な正多胞体が存在する。はじめの一つは F₄ を対称変換群としてもち、残りの二つは互いに双対で対称変換群 H₄ を共有する。Dₙ, E₆, E₇, E₈ 型のコクセター群は、ある種の半正多胞体の対称変換群になる。
有限コクセター群のコクセター-ディンキン図形を用いた分類が (Coxeter 1935) に述べられている。有限コクセター群は有限次元ユークリッド空間の鏡映群として表現される。具体的には、有限コクセター群は階数をひとつのパラメータとする三つの無限族 Aₙ, BCₙ, Dₙ と二次元で一つのパラメータを持つ族 I₂(p) がひとつ、さらに六つの例外群 E₆, E₇, E₈, F₄ H₃, H₄ のいずれかとなる。
Sₙ₊₁ を n + 1 次対称群とする。n 個の互換 sᵢ = (i, i + 1) (i = 1, 2, 3, ..., n) をとると Sₙ₊₁ は {s₁, s₂, ..., sₙ} を生成系とするコクセター群となる。また二面体群もコクセター群である。
小田原3丁目 - 4丁目のキリンビールの敷地（仙台駅 - 東照宮間）に新駅を設置する案が何度か出て、1986年12月には市議会に仮称小田原駅が請願されたが、今のところ実現には至っていない。また、青葉区中江付近から北仙台駅までを高架化し、新石巻街道踏切付近に新駅（中江駅）を設ける構想もある。高架化案に対しては東照宮駅付近の景観を害するものだとして、地元住民から反発の声も上がっている。市議会の議事録における議員や市当局の発言をまとめると、中江付近の立体交差についてはJRも同意しているので、時期は未定だが建設される見込みである。一方で、複線化は難しいとのことである。
快速列車の合間をぬうように普通列車が運行されている。1時間あたり1 - 2本程度の運行頻度である。近年は高速バスの台頭により仙台駅 - 山形駅間の通しの客は減少傾向であるが、それほど利用が少ないわけではない。この区間は作並温泉や松尾芭蕉のおくのほそ道でも有名な「山寺」、スキー場のある「面白山」などの観光地、行楽地があるため、観光・行楽シーズンは混雑する。一部を除く快速の停車しない駅は沿線人口が少なく、愛子駅 - 作並駅間とほぼ同程度の運行頻度である。
兵庫県養父郡畑村（のち養父町、現養父市）で、梅谷伊平の長男として生まれる。第一高等学校を卒業。1908年、東京帝国大学法科大学法律学科（独法）を卒業。同年11月、文官高等試験行政科試験に合格。1909年1月、内務省に入省し警視庁警部となる。1910年11月、警視庁警視に昇進。以後、岩手県警察部長、栃木県警察部長等、警察畑の要職を歴任した。1916年6月、台湾総督府に転出し、警視・民政部警察本署保安課長に就任。その後、警察官及司獄官練習所長事務取扱、台北庁長、総督府事務官、兼参事官、新竹州知事などを歴任。1923年1（大正12年）2月、山梨県知事として帰国。大正11年7月には朝香宮が南アルプス登山を行うと、山梨県内では山岳会結成の機運が高まり、1924年（大正13年）6月11日には甲斐山岳会（後の山梨県登山連盟・山梨県山岳連盟）が発足した。梅谷は同会の総裁となり、会長に若尾金造、副会長に石塚末吉が就任した。富士北麓などの開発、山系の縦走路の改修などを行い、観光山梨の基礎を築いた。1924年6月、長野県知事に就任。在任中に川井訓導事件が発生。さらに自らの失政から警廃事件を招き、1926年8月、依願免本官となり退官した。免官後は、海外移民組合連合会専務理事としてブラジル移民事業を指導した。満州事変後、陸軍省嘱託として関東軍特務部に勤務し、満州移民計画の立案にあたった。