上述の定義を使って、ある ATM の構成が受理状態なのか拒絶状態なのかを決定する場合、現在の構成から到達可能なあらゆる構成を全て調べる必要はない。特に存在的構成は、そこから遷移する構成に受理状態のものが1つでもあれば、受理状態であると言えるし、全称構成は、そこから遷移する構成に拒絶状態のものが1つでもあれば、拒絶状態であると言える。ATM は、長さ  の任意の入力が特定の形式言語に属するかを時間  で決定する。すなわち、初期構成が受理状態か拒絶状態かを決定するのに、高々  ステップまで構成を調べればよい。また、必要な領域は  で十分である。ATM で、時間 （ は定数）で決定される言語は、クラス  に属し、領域  で決定される言語は、クラス  に属する。
k回の交替のある交替性チューリング機械とは、存在的状態から全称的状態への切り替え、あるいはその逆の切り替えが k 回以上発生しない交替性チューリング機械である。この場合、状態は k 個の集合に分割される。状態が偶数個の集合に分割されるなら、全体として全称的であり、奇数個なら存在的となる（あるいは逆。初期状態がどちらであるかに依存する）。集合 i に含まれる状態と、j < i であるような集合 j に含まれる状態との間に遷移は存在しない。例として回路最小化問題を考える。あるブール関数 f を計算する回路 A と数 n があるとき、最大 n 個の論理ゲートで同じ関数 f を計算する回路が存在するかどうかを決定する問題である。1回の交替のある交替性チューリング機械で存在的状態から動作を開始する場合、この問題を多項式時間で解くことができる。最大 n ゲートの回路 B を想定し、全称状態に交替し、入力を想定し、B にその入力を与えたときの出力と A に同じ入力を与えたときの出力を比較する。k回の交替のある交替性チューリング機械が存在的状態から動作開始する場合、クラス  に属する問題を多項式時間で解くことができる（あるいは、全称的状態から動作開始する場合は、）。詳しくは多項式階層を参照されたい。
NP の定義では、計算の「存在的様式 (existential mode)」が使われる。すなわち、任意の選択が受理状態に到達すれば、計算全体が受理されたことになる。co-NP の定義では、計算の「全称的様式 (universal mode)」が使われる。すなわち、全ての選択が受理状態に到達すれば、計算状態が受理されたことになる。交替性チューリング機械（より正確に言えばそのような機械における受理の定義）はこれら2つの様式を混在して利用する。交替性チューリング機械は非決定性チューリング機械の一種であり、その状態は2つの集合、「存在的状態 (existential states)」と「全称的状態 (universal states)」に分けられる。存在的状態では、受理状態となる遷移が1つでもあれば受理される。全称的状態では、全ての遷移が受理状態となる場合にのみ受理される。従って、遷移のない全称状態は無条件で受理され、遷移のない存在状態は無条件で拒絶される。機械全体としては、初期状態が受理される場合に受理する。
交替性チューリング機械（こうたいせいチューリングきかい、英: Alternating Turing Machine, ATM）は、非決定性チューリング機械 (NTM) の一種であり、複雑性クラス NP および co-NP の定義で使われる規則を一般化した計算受理規則を持つ。1976年、Chandra と Stockmeyer が ATM の概念を定式化した。
2001年10月、選手キャリアの晩年を過ごしたセリエAのACヴェネツィアの監督に就任し指導者キャリアをスタートさせた。しかしコーチングライセンスを所持していなかったため6カ月の出場停止を科され、ヴェネツィアはセリエBへ降格した。2002年にはセリエC1のACチェゼーナ、2003年にはセリエBのヴィチェンツァ・カルチョ、2004年にはセリエBのピアチェンツァ・カルチョで指揮を執り経験を積んだ。2007年6月、セリエBへ降格したACキエーヴォ・ヴェローナの監督に招聘され1シーズンでのセリエA復帰を果たした。セリエAで迎えた2008-09シーズンは好調なスタートを切ったが、2008年11月4日に解任された。2009年10月4日、セリエBのブレシア・カルチョの監督に就任。2009-10シーズンを3位で終え、昇格プレーオフでは準決勝でASチッタデッラ、決勝でトリノFCを破り昇格を果たした。セリエA昇格後の2010-11シーズンは降格ゾーンに沈み、2010年12月6日に解任。しかし2011年1月30日に後任のマリオ・ベレッタが2カ月で解任されたため復帰した。2011年11月14日、セリエBで低迷していたUCサンプドリアの監督に就任。イアキーニ就任後は復調を見せリーグを6位で終えると、ヴァレーゼ・カルチョSSDと昇格プレーオフ決勝を制しセリエAへ昇格した。2012年12月17日、セリエAに所属するACシエナの監督に就任。しかしクラブは降格した。2013年9月25日、ジェンナーロ・ガットゥーゾの後任として選手時代にもプレーしたUSチッタ・ディ・パレルモと2年契約を締結した。2013-14シーズンにはチームをセリエB優勝に導きセリエA復帰。翌2014-15シーズンには昇格1年目ながら11位につける健闘を見せたが、2015年11月10日に解任された。パレルモはイアキーニ解任後にマウリツィオ・ザンパリーニ会長主導の元で1カ月間で4人の指揮官を就任させる混乱を見せたが復調せず、2016年2月15日にイアキーニを再び監督の座に据えた。しかし3月6日に行われたインテル戦後のザンパリーニの発言を受け3月8日に辞任した。ウディネーゼ・カルチョで5カ月指揮を執り解任され、2017年11月27日にUSサッスオーロ・カルチョの監督に就任した。