1960年代後半に建設された旧日本住宅公団（都市再生機構）の集合住宅である町田山崎団地のうち、一街区（自主管理の分譲棟）は1989年（平成元年）頃より建て替え構想が存在した。その後、2006年（平成18年）に所有者で建て替えが決議され、建替組合による自主建て替えが行われることになった。高層化することで余る土地は、公園用地及び戸建住宅用地として市及び不動産業者へ売却され、2009年（平成21年）秋に建て替えが完了した（名称はサンヒルズ町田山崎としている）。これは所有者による自主立て替えの成功例として業界でも話題となった。
町田市の中部に位置する。北東には山崎町、南には木曽東四丁目、西には木曽西五丁目がある。地区の大部分が旧町田山崎団地一街区だった土地で、その跡地は大型マンション「サンヒルズ町田山崎」および宅地造成された新興住宅地となっている。この為、旧来から存在する商店や住宅といった建物は地区外周部に集中している。
統計力学においては、状態のアンサンブルを混合状態と考えることができる。量子統計力学では、あるハミルトニアンの各エネルギー固有状態が混合していると考えて密度行列を表現することがよくある。密度行列 ρ は、たとえば混合の比率がカノニカル分布で表せるとすると、グランドカノニカル分布では、で表される。ここで β = 1/kBT は逆温度、kB はボルツマン定数、Ω はグランドポテンシャル、HG はグランドカノニカル分布でのハミルトニアンである。このときオブザーバブルの期待値 〈A〉 は、と書くことができる。特に A が恒等演算子 A = Id の場合、を満たす。また、A がハミルトニアン A = H の場合、ハミルトニアンの固有値を {Eᵢ} とすれば、と書き換えられる。
密度演算子の時間発展は、次のフォン・ノイマン方程式 (von Neumann equation ) で記述される。フォン・ノイマン方程式は古典論におけるリウヴィル方程式 (Liouville equation ) に対応するので、リウヴィル＝フォン・ノイマン方程式 (Liuville–von Neumann equation)、あるいは単に（量子）リウヴィル方程式とも呼ばれる。ここで ħ = h/2π は換算プランク定数（h はプランク定数）、 はハミルトニアン、括弧 [·,·] は交換子である。フォン・ノイマンの式は、純粋状態（状態ベクトル）の時間発展を記述するシュレーディンガー方程式と密度演算子の定義式だけを用いて導出できる。ここでブラ・ベクトル 〈Ψ| はケット・ベクトル |Ψ〉 の双対であること 〈Ψ| = |Ψ〉† に注意。
密度行列は何らかの混合状態を表し、混合状態とは純粋状態の集合に何らかの確率分布を付与したものである。よってこの確率分布に対して情報理論におけるシャノンエントロピー（情報量）を定義することができ、これにボルツマン定数をかけたものを密度行列のフォン・ノイマンエントロピーという。本項ではまず、シャノンエントロピーの概念を復習し、これをベースにフォン・ノイマンエントロピーの概念を定義する。
前の章で述べたように、混合状態を単純な方法で記述した場合、見かけ上の記述が異なるにも関わらず、実質的に同一の量子状態を表している（＝観測結果では両者を区別できない）、という事が起こりうる。しかし密度行列を用いて混合状態を記述した場合にはこのような問題は生じない。実際、２つの量子状態が実質的に同一である（＝観測結果では両者を区別できない）という事は、この２つの量子状態に対する関数が同一であるということを意味し、が同一であるという事は対応する密度行列ρが同一だという事を意味するからである。したがって実質的に同一の量子状態が相異なる２つの密度行列で表示できる事はありえない。
本章では密度行列を全く別の角度から公理的に特徴づける。そしてこの特徴づけができる事の結果として、前述した単純な表記方法の持つ欠点が密度行列では解消されている事を見る。
密度行列は、混合状態を数学的に記述する為の道具立てであり、しかも上述した単純な記述方法のような欠点を持たない事である。本章では、密度行列の定義とその性質を述べ、次章において単純な記述方法の欠点が解消されている事を見る。
公共交通機関を利用する際、乗車時・降車時に読取機に情報を読み取らせるだけで運賃の支払いが可能なカードである。通常のプリペイドカードと同様に事前に代金を支払って購入し、残額がゼロになるまで繰り返し利用できる。ICカードの場合はチャージ（積み増し）して繰り返しカードを使用することもできる。バス・路面電車においては、乗降客が整理券を取る、小銭を両替する、運賃を確認し運賃箱に入れるなどの煩わしさから解放される利点がある。鉄道においては、乗客は出札口や自動券売機に並んで乗車券を購入する必要がなく、事業者側は自動券売機の設置台数を減らせるなどの利点がある。さらに非接触型ICカードの場合、カードを財布などから出し入れする必要すらない。乗車カードによってはプレミアム（割増）やポイントが付くこともあるほか（後述）、カードに乗車情報を書き込むことができるので、乗車カード利用者限定の乗り継ぎ割引制度を設けている事業者もある。読み取り機・自動改札機で直接使用する他に、乗車カードによっては、自動券売機での乗車券・料金券（特急券など）の購入や自動精算機での不足運賃の精算（乗り越し）などにも使用できる場合もある。システムとしてはストアードフェアシステム（後述）である。鉄道においては磁気乗車券用改札機の実用化が要件であった。当初は事業者ごと、乗車カードごとに独立したシステムで共通化されていなかったが、非接触型ICカード式システムの普及とともに、複数の事業者でカードが共通化されることも多くなった。