スティーフェル・ホイットニー類 wₖ は、(Wu 1955) で吳文俊(Wu Wenjun)により定義されたウー類(Wu classes) vₖ のスティンロッドの平方根(Steenrod square)である。単純に、全スティーフェル・ホイットニー類は、全ウー類の全スティンロッドの平方根 Sq(v) = w である。ウー類はいつも暗にスティンロッドの平方根の項でスティンロッドの平方根を表現するコホモロジー類として定義される。多様体 X を n 次元とすると、次数 n-k のコホモロジー類 x に対し、 となる。特に、狭く  を要求すると、再び、次数 n-k のコホモロジー類 x に対し同じことになる。
写像 w₁ : Vect₁(X) → H¹(X; Z/2Z) は全単射であるにもかかわらず、対応する写像は高次元では必ずしも単射となるわけではない。たとえば、n を偶数として、接バンドル TSⁿ を考えると、Rⁿ⁺¹ への Sⁿ の標準的な埋め込みを持つ Sⁿ への法バンドル ν はラインバンドルである。Sⁿ は向きつけ可能であるので、ν は自明である。和 TSⁿ ⊕ ν はまさに TRⁿ⁺¹ から Sⁿ への制限であり、Rⁿ⁺¹ は可縮であるので、和は自明である。従って w(TSⁿ) = w(TSⁿ)w(ν) = w(TSⁿ ⊕ ν) = 1 である。しかし TSⁿ → Sⁿ は自明ではない。そのオイラー類  である。ここに [Sⁿ] は Sⁿ の基本類を表し、χ はオイラー標数を表す。
Vect₁(X) をテンソル積作用素の下の群と考えると、スティーフェル・ホイットニー類は同型である。w₁: Vect₁(X) → H¹(X; Z/2Z) は同型、つまり、すべての直線束 λ, μ → X に対し、w₁(λ ⊗ μ) = w₁(λ) + w₁(μ) である。たとえば、H¹(S¹; Z/2Z) = Z/2Z であるので、束同型を除き、円上には 2つの直線束しか存在しない、つまり自明直線束と開いたメビウスの帯（すなわち境界を消したメビウスの帯）である。同じ構成を複素ベクトル束に対して行うと、チャーン類が X 上の複素直線束と H²(X; Z) の間の全単射を定義することが示される。何故ならば、対応する分類空間は、P∞(C), a K(Z/2Z, 2) であるからである。この同型は、位相的なラインバンドルに対し成立し、代数的ベクトルバンドルのチャーン類の単射性への障害は、ヤコビ多様体である。
本記事を通して、Hⁱ(X; G) で群 G に係数を持つ空間 X の特異コホモロジーを表すこととする。写像 (map) という用語はいつも位相空間の間の連続写像を意味することとする。
右京区と左京区の間を走る府道であるが、大半は北山の山深い中を灰屋川および貴船川沿いに走る狭隘路。全区間舗装済みであるが未改良区間が大半である。特に右京区京北芹生町から左京区鞍馬貴船町までの区間は対向車両とのすれ違いに苦労する個所が非常に多い。貴布禰総本宮貴船神社に通じる唯一の車道であり、最寄り駅となる叡山電鉄鞍馬線貴船口駅からの区間は、休日および行楽シーズン中、歩行者と車で大変混雑し、渋滞が発生する。これは、幅員が大変狭く、歩道もバイパスも設置されていないことや、道路脇の土産店や民宿旅館が府道沿線に多数あり、改良拡幅の余地がないこと、駐車場への出入りする車両が多数あること、一方通行や車両進入規制といった交通規制が実施されていないこと等が原因となっている。ただし、 大型・大特車については路線バスを除き京都府道38号京都広河原美山線の市原から貴船間がゴールデンウィークや夏休みのほぼ毎日と、春秋シーズンの週末に通行禁止になる。
京都府道361号上黒田貴船線（きょうとふどう361ごうかみくろだきぶねせん）は、京都府京都市右京区京北上黒田町から京都府京都市左京区鞍馬貴船町に至る一般府道である。
『芸術の原理』（げいじゅつのげんり、英: The Principles of Art）とは1938年に発表されたイギリスの哲学者ロビン・ジョージ・コリングウッド(R.G.Collingwood)による芸術の研究である。
萬里は『東潜夫論』で西力東漸に備え洋式大艦建造、大砲･鉄砲の充実と訓練を唱えている。帆足万里は反射炉と大砲鋳造を宇佐郡佐田村の賀来惟熊に薦めており成功している。またこの大砲を製造のための顧問に関讃蔵を推薦したのも帆足萬里である。関讃蔵は嘉永2年に藩命により、長崎で高島秋帆と山本重知について西洋砲術を3年間学んだ人物であり萬里の弟子でもあった。またこの関讃蔵の父は、日出藩家老でかつ萬里の門弟十哲のひとり関焦川である。日出の郷土歴史家の大竹義則の著した『陽城人物像』、あるいは『大分県偉人伝』によると、「この兵法改革は、藩主・木下俊程が企てたもので、米良東嶠、秋山太郎、そして関讃蔵に立案を命じ、その兵法改革案の稿は振武流と命名された」とある。米良東嶠や関讃蔵といった帆足万里の弟子たちがこの兵法改革に関わっており、また晩年の帆足万里自身も、この計画のために弟子の関讃蔵を推薦し、賀来惟熊に反射炉を作らせ、大砲鋳造を命じていることから、この兵法改革は、かなり萬里の意見が、藩主・木下俊程に聞き入れられ実行されたものであることが分かる。