上述の様な全有界性は、部分的には選択公理に依るものである。選択公理が無い場合、全有界性とプレコンパクト性は区別されなければならない。すなわち、全有界性は初等的な用語で定義出来るが、プレコンパクト性はコンパクト性とコーシー完備化の観点から定義される。全てのプレコンパクト空間は全有界である、すなわち、ある空間の完備化がコンパクトであるならその空間は全有界であるということは、選択公理を要さずに証明できる。しかし、全ての全有界空間がプレコンパクトであるということは、選択公理が無い場合には証明できない。すなわち、選択公理が無い場合には、ある全有界空間の完備化はコンパクトとならないこともあり得る（そのような全有界空間を持つZF集合論のモデルが存在する）。
全有界性とコンパクト性の間には、次の良い関係が存在する：すべてのコンパクト距離空間は、全有界である。一様空間がコンパクトであるための必要十分条件は、それが全有界であって、コーシー完備であることである。これはユークリッド空間から任意の空間へのハイネ・ボレルの被覆定理の一般化と見なされる：その場合、有界性を全有界性に（そして閉性を完備性に）代える必要がある。全有界性とコーシー完備化の間には相互補完的な関係がある。すなわち、ある一様空間が全有界であるための必要十分条件は、そのコーシー完備化が全有界であることである（これは、ユークリッド空間においてある集合が有界であることと、その閉包が有界であることは同値という事実に対応する）。これらの定理を組み合わせて、ある一様空間が全有界であるための必要十分条件は、その完備化がコンパクトであること、ということが分かる。これは全有界性の代替的な定義となる。あるいは、全有界性とは異なる定義が使われるが、プレコンパクト性の定義とされることもある。すると、ある空間が全有界であるための必要十分条件は、それがプレコンパクトであること、という定理が得られる（この方法で定義を分けることは、選択公理が無い場合に有用となる。次節参照）。
距離空間  が全有界（totally bounded）であるための必要十分条件は、全ての実数  に対して、 内に半径  の開球の有限個の集まりでその合併が  を覆う様なものが存在することである。また同値であるが、距離空間  が全有界であるための必要十分条件は、全ての  に対して、各元の半径が高々  であるような有限被覆が存在することである。これは有限 ε-ネットの存在と同値である。全有界空間は（有限個の有界集合の合併は有界なので）有界である。しかしその逆は一般には成り立たない。例えば、離散距離を備える無限集合は有界であるが、全有界ではない。M をユークリッド空間とし、d をユークリッド距離とするとき、（部分空間位相を伴う）部分集合が全有界であるための必要十分条件は、それが有界であることである。
位相幾何学および関連する数学の分野において、全有界空間（ぜんゆうかいくうかん、英: totally bounded space）とは、任意の固定された「大きさ」（但し「大きさ」の意味する所は文脈によって異なる）の有限個の部分集合によって覆うことの出来る空間のことを言う。その大きさがより小さく固定される程、覆うためにはより多くの部分集合が必要となるが、どのような大きさであっても必ず有限個の部分集合によって覆うことが出来る。関連する概念として、空間内のある部分集合のみが覆われる場合の全有界集合（totally bounded set）がある。全有界空間の全ての部分集合は、全有界集合である。しかし、たとえ空間が全有界でなくとも、その部分集合の幾つかは全有界であることがあり得る。しばしばプレコンパクト（precompact）という語も同様の意味で用いられる。しかしプレコンパクトは相対コンパクトの意味でも用いられる。完備距離空間においてそれらの意味は一致するが、一般には同一のものではない。詳しくは後述の「選択公理の使用」の節を参照されたい。
オールジャンルではあるが、出演者のほとんどはヴィジュアル系バンドである。後にメジャーで活躍することとなるバンドがインディーズ時代ライヴを行っていることが少なくない。2010年頃からは、アイドル（地下アイドル）の公演や、アイドルとヴィジュアル系バンドの対バン形式イベントも行われている。
正則函数は実数の上での滑らかな函数よりも強い条件を満たすから、微分可能多様体の理論と複素多様体の理論とでは大きな違いがある。また、コンパクトな複素多様体は、微分可能多様体よりも代数多様体に非常に近い多様体である。例えば、ホイットニーの埋め込み定理により、すべての n-次元微分可能多様体は  の中へ微分可能部分多様体として埋め込まれるが、複素多様体がCⁿ の中へ正則に埋め込まれるようなことは『まれ』である。例えば、コンパクトな連結多様体 M を考えてみると、M 上の任意の正則函数は、リウヴィルの定理により局所定数となる。ここで、もしも Cⁿ の中への M の正則な埋め込みがあったとすると、Cⁿ の座標函数は M の上の定数ではない正則函数に限定されてしまう。これは、M が一点の場合を除き、コンパクト性と矛盾する。Cⁿ へ埋め込むことができる複素多様体のことをシュタイン多様体と言い、たとえば微分可能な複素アフィン代数多様体などを含む、非常に特別な多様体のクラスとなる。複素多様体の分類は、微分可能多様体の分類よりも微妙である。例えば、次元が4以外では、与えられた位相多様体は高々有限個の微分可能構造を持つのに対して、複素構造を持った位相多様体は非可算個の複素構造を持つことができる場合もよくある。リーマン面は複素構造を持った2次元の多様体のことを言い、種数で分類され、この現象の重要な例となる。与えられた向きづけ可能な曲面上の複素構造の集合は、双正則同値を同一視して、モジュライ空間と呼ばれる複素代数多様体を形成する。この構造は現在、活発に研究されている領域である。座標変換は双正則であるので、複素多様体は微分可能であり、標準的に向きづけられている（複素多様体であれば、向き付け可能である：Cⁿ （の部分集合）への双正則写像は、向きづけを保存する。)