その後、プロ野球マスターズリーグの東京ドリームスに所属。2005年からは東北楽天ゴールデンイーグルスジュニアコーチとして選手・コーチとともに仙台市を中心とした小学校への訪問を行ったり、 ｢楽天イーグルス・BASEBALL SCHOOL｣の常勤講師や、同球団が東北各地で主催する少年野球塾の講師などとして活動。その他、スカイ・A、楽天イーグルスTV（インターネット放送）での解説を担当した。2010年より楽天の一軍打撃コーチ補佐に就任したが、総得点やチーム打率がともにリーグ最下位に低迷するなど打撃面で成績を残せず、7月25日付で礒部公一二軍育成コーチ（打撃担当）と入れ替わった。2011年は二軍打撃コーチを務めていたが、5月15日付で二軍育成コーチ（打撃担当）に配置転換となりシーズン終了後に退任。2012年から西武の一軍打撃コーチに就任。2013年、10月15日に球団から来季の契約を結ばない事が発表される。2014年より韓国プロ野球・高陽ワンダーズのコーチに就任する。2015年から韓国・ハンファ・イーグルスの二軍打撃コーチに就任。同年10月8日に来季の契約を結ばないことが明らかになった。2017年4月から高千穂大学硬式野球部監督に就任。
岩手県大船渡市立第一中学校卒。進学した東北高校では、一塁手として、同期のエース中条善伸らとともに甲子園に4度出場。「東北の掛布」の異名を持つ強打者だった。2年生時の1979年第51回選抜では1回戦で下関商に敗れる。同年第61回全国選手権も1回戦で済々黌高に大敗。翌1980年第52回選抜は2回戦（初戦）で松江商を破ったが、準々決勝で丸亀商に惜敗。同年第62回全国選手権は、1回戦で瓊浦高のエース本西厚博を打ち崩し勝利。2回戦では後関昌彦のいた習志野高を完封で下すが、3回戦で浜松商に逆転負け。中条以外の高校同期に三塁手の佐藤洋がいた。1980年度ドラフト会議で、西武ライオンズから4位指名を受けて入団。入団後は二軍暮らしが続いたが、1983年のアメリカマイナーリーグのサンノゼ・ビーズへの野球留学を経て（秋山幸二、駒崎幸一、白幡隆宗らと共に留学した）、1987年6月13日の対南海ホークス戦でプロ入り初本塁打となる満塁本塁打を放ち頭角を現す。同年の日本シリーズではAK砲の後続の5番打者を任され、1988年の初アーチも満塁本塁打を放つなど、チャンスに強いバッティングを遺憾なく発揮し、一躍全国のファンに名前を売った。西武黄金時代にはレフトの準レギュラー、代打として黄金時代を支えた。ペナントレースでは不振でも、日本シリーズでは打ちまくり「シリーズ男」と言われた。特に巨人の桑田真澄に強かった。チームの若返りに伴い1996年オフに戦力外通告を受け、近鉄バファローズの入団テストを受けて合格。藤井寺球場近辺の寮で単身赴任しつつ若手選手を育て、1997年は好成績を挙げ復活した。近鉄では主に一塁手や代打として活躍、吉岡雄二が台頭した1999年限りで現役を引退。現役最終試合は9月23日の西武ドームにおける古巣・西武戦であり、試合終了後、西武・近鉄両軍ナインが安部を胴上げして18年間にわたる現役生活への別れを労った。その為、この胴上げは多くのプロ野球ファンを感動させた。
1996年に、ドラフト1巡目でフィラデルフィア・フィリーズから指名を受け、プロ入り。1999年11月10日にアンディ・アシュビーとのトレードでカールトン・ローワー、スティーブ・モントゴメリーと共にサンディエゴ・パドレスに移籍。2000年5月30日にメジャーデビューを果たし、以後先発ローテーションに入り、22試合に登板。防御率4.13、7勝を記録した。2001年も先発ローテーションに入って投げ、17試合の登板で8勝を挙げる活躍を見せていたが、7月にトミー・ジョン手術を受ける事になり、その後のシーズンを棒に振ってしまった。2002年も手術の影響で6試合にしか登板出来なかったが、2003年に復活。先発ローテーションに入って183イニングを投げ、自身初の規定投球回をクリアした。2004年も前年に引き続く活躍を見せた。しかし、2005年は右手中指を痛め、3年ぶりに規定投球回到達を逃した。だが、24試合の登板で11勝を挙げるなど、実力を見せ付けた。2006年1月6日にエイドリアン・ゴンザレス、ターメル・スレッジ、クリス・ヤングとのトレードで大塚晶則、ビリー・キリアンとともにテキサス・レンジャーズへ移籍。2006年、またしても指を痛めてしまい、13試合の登板に終わった。2006年11月30日、3年総額2,450万ドルでフィラデルフィア・フィリーズへ移籍。2007年は2年ぶりの2桁勝利を記録したが、実質リーグワースト・自己ワーストの防御率の6.29（規定投球回に0.1イニング足りなかった。リーグワーストがスコット・オルセンの5.81。）を記録するなど、精彩を欠いた。また、プレーオフではロースターから外された。2008年は7月12日の時点で3勝8敗・防御率5.71の成績で、7月18日にジョー・ブラントンがトレードで加入してからは先発ローテーションの座を奪われてしまった。7月28日にはマイナーへ降格。マイナーでも7試合に先発し、0勝5敗で防御率7.01という内容だったが9月のロースター拡大でメジャーへ復帰。しかし復帰後は登板の機会は無く、ポストシーズンもロースターから外された。2009年2月27日、フィリーズはイートンの解雇を発表した。2009年3月1日にボルチモア・オリオールズと契約したが、不振が続いたため5月22日に解雇された。6月6日にコロラド・ロッキーズとマイナー契約。8月12日にメジャーへ復帰した。9月9日に戦力外通告を受けた。10月6日にフリーエージェントになった。