近軸モードには、他にも極座標系において複素振幅が合流型超幾何関数に比例する一連のモードがある。これらのモードは位相特異点をもち、光子の軌道角運動量の固有関数である。強度分布は中心に振幅がゼロとなる特異点を持つ、単一の明いリング状になる。振幅は正規化された無次元の動径座標 ρ = r/w₀ と縦座標 Ζ = z/zR を用いて以下のように書き下される。ここで m は整数、 p ≥ −|m| は実数、 Γ(x) はガンマ関数、₁F₁(a, b; x)  は合流型超幾何関数である。超幾何ガウシアン (英: hypergeometric-Gaussian, HyGG) モードの部分集合として、ベッセル・ガウシアンモード、修正指数ガウシアンモード、修正ラゲール・ガウシアンモードがある。超幾何ガウシアンモードは過完備基底系を成し、直交基底系ではない。このモードは全体としては複雑な分布を持つが、瞳面 (Z = 0) においては非常に単純な分布を示す。
楕円座標系においては、高次のモードはインス多項式を用いて書き下せる。偶数および奇数インス・ガウシアンモードは以下のように与えられる。ここで、 ξ, η はそれぞれ楕円座標系の動径座標と偏角座標であり、以下のように定義される。 は次数 p 、度数 m の偶数インス多項式であり、 ε は楕円度パラメータである。エルミート・ガウシアンモードとラゲール・ガウシアンモードはインス・ガウシアンモードのそれぞれ ε = ∞ および ε = 0  の場合に相当する。
円筒対称性のある場合、近軸波動方程式の自然な解はラゲール・ガウシアンモードを与える。このモードは、円筒座標系とラゲール多項式を用いて以下のように書ける。ここで、 Llp は動径指数 p ≥ 0 、偏角指数 l の一般化ラゲール関数である。 CLGlp は適当な正規化因子、w(z), R(z), ζ(z)  は前述のビームパラメータである。
ガウシアンビームは近軸近似の下であり得る無数のモードのうちの一つにすぎない。これらの互いに直交するモードもレーザービームのモデリングに用いられる。一般に、基底系が完全であれば、その線形結合をとることによってあらゆる実際のレーザービームを記述することができる。レーザーの設計によって、どのモードがそのレーザービームのモデルに適しているかが決まる。出力されるレーザーがある一つの高次モードによりよく近似されることもありうる。 多くのレーザー系はビームの伝播方向に直交する面での反転対称性をもつため、エルミート・ガウシアンモードが特によく用いられる。
ガウシアンビームの数学的形式は、以下に示す自由空間または一様な誘電率をもつ媒質における電磁波の波動方程式を基礎とする。U は , , , , ,  の六つの成分のうちどれかを表わす。ガウシアンビームの数式を導出するために、この方程式の解を次のように書き下す。ここで、ビームは十分にコリメートされている、すなわち z 軸に対して十分平行であるため、&PartialD;²u/&PartialD;z² は無視できるものと仮定している。この解を上の波動方程式に代入すると、下に示す近軸近似の下での波動方程式が得られる。この微分方程式は無限の解関数を持つが、ガウシアンビームはそれらのうち最も低次のモードである。
光軸上のビームウェストから距離 z の点におけるピーク放射照度は、半径 r の円を通るパワーを πr² で割ったものの極限をロピタルの定理を用いて計算すれば以下のように求めることができる。よって、放射照度のピーク値は、半径 w(z) の円の面積でパワーの総計値を割って求められる、「平均強度」のちょうど2倍である。
位置 z の光軸に垂直な面上の半径 r をもつ円を通過するパワー P は以下のように表わされる。ここで、はビームの運ぶパワーの総計である。円の半径が r = w(z) のとき、この円を通過するパワーの全体に占める比率は以下の定数である。同じように、パワー全体の90%は半径 r = 1.07w(z) の円を通過し、95%が半径 r = 1.224w(z) の円、99%が半径 r = 1.52w(z) の円を通過する。
第二次ダキア戦争（紀元105年頃）の際、オルテニア西部がダキア属州の一部となり、ワラキアの一部がモエシア属州（モエシア・インフェリオル、下モエシア）に併合された。ローマのリメスがオルト川沿いに建設された（119年）。2世紀中に国境線は東へわずかに伸び、ドナウ川からカルパチア山脈にあるルカル（Rucăr）へ拡張した。国境線は245年にオルト川まで退却し、271年にローマ人らはこの地域から撤退した（短期間のローマ支配で、ローマ文化とキリスト教が伝播した）。ムレシュ＝チェルナエホフ文化（Chernyakhov culture）をもたらしたゴート族やサルマタイ人や、さらに別の遊牧民族が、現在のルーマニアの大半を侵略した民族移動時代にも、ローマ文化の浸透は進んだ。328年、ローマ人がスキダヴァ（現在のゴルジュ県チェレイ）とオエスクス（現在のブルガリア・プレヴェン州ウルピア・エスクス）の間に橋を架けた。これはドナウ川北方の民族との大規模な交易があったことを示唆するものである。332年、コンスタンティヌス1世が、ドナウ川北岸に定住していたゴート族を攻撃し、その後コンスタンティヌス1世の下で短期間ワラキアが支配されていたことが立証されている。ゴート族はドナウ川北岸、のちに南岸に定住した。ゴート族支配は、フン族がパンノニア平原へ到着し、アッティラの統率下、ドナウ両岸にあった約170箇所のゴート族の定住地が攻撃され破壊されて終焉を迎えた。