1945年のサミュエル・アイレンベルグとソーンダース・マックレーンによる、代数的位相幾何学において直感的／組み合わせ的に定義されていたホモロジー・コホモロジーを公理化する研究の中で圏、関手および自然変換が実際に定義された。アイレンベルグとマックレーンの目的は、位相空間の理論と可換群の理論のような異なる数学的体系の間の自然変換を理解することだったが、そのためには関手の概念が必要であり、関手を定義するためには圏の概念が必要だったのである。その後アレクサンドル・グロタンディークらによるホモロジー・コホモロジー理論を圏論に基づいて定式化する試みの中で、アーベル圏・三角圏など、関手を計算するうえで期待される重要な性質を持つクラスの圏が公理化されていった。一方、ガロア理論の圏論化を通じ、群が作用する集合の圏と通常の位相空間を圏論の枠組みで包括的にとらえるようなトポスの概念が得られた。
(O, ≤) が順序集合のとき、これを次のような圏 CO と同一視することができる：obj(CO) = O とし、p, q ∈ O = obj(CO) について p ≤ q のとき、およびそのときに限り p から q への射がただ 1 つ存在する、として CO における射を定める。ここで順序関係の推移律が射の合成に、反射律が恒等射に対応している。特に位相空間 X に対してその開集合系 O(X) を圏と見なすことができる。G が群のとき、対象 Y ただ 1 つからなり、Hom (Y, Y) ≡ G であるような圏を G と同一視することができる。また、位相空間の基本亜群や「被覆」のホロノミー亜群など、様々な亜群による幾何学的な情報の定式化が得られている。これらは様々な種類の数学的対象を圏によって言い換えていることになる。層やトポスの概念によってこれらを共通の文脈の中におくことが可能になる。
圏が与えられているとき、そこからより複雑な高次圏を考えることができる。簡潔には、2 つの対象の間の射を「一方の対象からもう一方への対応関係」とみなすならば、これを高次圏において「高次の対応関係」を考慮することで、より有益な一般化が可能となる。例えば、「二次元の圏」である双圏（bicategory) もしくは 2-圏 (2-category) は「射の間の射」、つまり、ある射を別の射に変換する対応関係によって得られる圏である。これらの「2-射」(2-cell) は水平・垂直に「合成」することができ、かかる 2 つの合成則においては 2 次元の「交換則」(exchange law) が成り立つ。この最も標準的な例は Cat、つまり全ての（小さな）圏から成る 2-圏であり、この例において、射には関手が、2-射には、関手の自然変換が当てはまる。もう 1 つの基本的な例としては、対象 1 つから成る 2-圏である—これは(狭義)モノイド圏である。この手法を任意の自然数 n で拡張し、n-圏（n-category、n 次圏）を定義することができる。さらに順序数 ω に対する ω-category と呼ばれる高次圏もある。このアイデアに関する堅苦しくない入門文献としてJohn Baez: The Tale of n-categoriesが挙げられる。
建材を積み上げて外壁、内壁といった壁面をつくり、壁によって屋根、天井などの上部構造物を支える。組積構造、組積式構造とも言われ、柱と梁で屋根を支える「架構式構造」に対するものである。日本など、良質な木材が豊富に入手できる地域では柱と梁で屋根を支える架構式構造が一般的であるが、中東などのように建築材に適した木材の入手が困難であった地域では、土、日乾煉瓦、焼成煉瓦や石材などを用いて壁をつくり、それによって上部建造物を支える構造が広く利用された。ただし組積造においても壁面が直接天井、屋根全体を支えるケースは稀であり、原始的なものでは、壁面を穿って通した木造の梁（腕木）によって屋根の重みを壁面に伝えたり、建造物内部に木造の小屋組みを構築し、それによって屋根を支えたりする方法が一般的である。ただし、アーチやそこから派生したヴォールト、ドームなどは組積材自身によって上部建造物を支える仕組みとなっており、古代エジプトなど、屋根の梁に使う木材さえ不足した地域では古くから利用されていた。なお、組積造の主な建築材は煉瓦や石材であるが、木材においては、校倉（あぜくら）造りやログハウスなどがあり、「圧雪ブロック」を使用したものとしては北米先住民であるイヌイットの作る簡易住居はとしてのイグルーがあり、「氷のブロック」を積み上げ融接した建築物が、北欧や日本の寒冷地の冬季限定の宿泊施設などとして利用され、様々な資材を使った組積造がある。組積造の場合、石などの硬い材料で厚く頑丈な壁となるため、外敵から守る壁と言う意味合いも強く持つ。古代ローマでは壁の内部を煉瓦、外側の見える部分を石造とする例が多い。中央アジアでは、日乾煉瓦や土を積み上げて壁としている。古代ギリシアの神殿建築は石造であるが、柱と梁で屋根を支える構造が残されており、元来は木造建築であったことが推察される。ヨーロッパでは当初、木造建築が主流だったが、オリエントから優秀な石造技術が伝えられると、防火の目的などで組積式を用いた石造建築が広まった。しかしその際も屋根や床は木造であったが、ロマネスク形式・ゴシック形式が広まって以後は、教会堂や城郭などの建物に、ヴォールトを利用した総石造りのものが多く造られるようになった。しかし一般的な家屋は、煉瓦を積んで表面を石材で覆い、木製の床や天井、切妻屋根を備えたものが主流だった。また木材を用いて骨組みを造り、壁には骨組みの枠にレンガや石をはめ込む、木骨造りの建物も古くからあった。日乾煉瓦の家屋や中世ヨーロッパの城郭建築の場合も、屋根や床は木造であったので、壁面に腕木を通すための穴を穿ち、この腕木によって屋根や床を支えた。