上の例はほとんど可換（すなわち積が可換）か余可換（すなわち Δ = T ∘ Δ ただし twist map T: H ⊗ H → H ⊗ H は T(x ⊗ y) = y ⊗ x によって定義される）である．他の面白いホップ代数は，可換でも非可換でもない，普遍包絡環や正則関数環，座標環のある種の「変形」あるいは「量子化」である．これらのホップ代数はしばしば量子群と呼ばれ，この用語は今のところ漠然としか定義されていない．それらは非可換幾何学において重要であり，思想は以下のようである：普通の代数群はその正則関数の普通のホップ代数によってよく記述される；このホップ代数の変形版をある種の「普通でない」あるいは「量子化された」代数群（もはや代数群ではない）と考えることができる．これらの対象を定義したり扱ったりする直接的な方法は存在しないように思われるが，ホップ代数を研究することはなおでき，実際それらをホップ代数と同一視する．したがって名前「量子群」である．
群的元とは非零元 x であって Δ(x) = x ⊗ x なるものである．群的元たちは対合射によって与えられる逆元を持つ群をなす．原始元 x は Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x を満たす．
分数体 K をもつ整域 R 上のホップ整環 O とは，K 上のホップ代数 H における整環であって，代数と余代数の演算で閉じている，特に余積 Δ は O を O⊗O に送る，もののことである．
対蹠射 S は K 線型逆写像を持つよう要求されることもある．これは有限次元の場合や，H が可換あるいは余可換（あるいはより一般に準三角）であるとき，自動的に成り立つ．一般に，S は反準同型なので，S² は準同型で，したがって S が可逆ならば同型である．対蹠射が対合、すなわち S² = idH ならば，ホップ代数は対合的 (involutive) といわれる（そして台となる対合付きの代数は *-環となる）．H が標数 0 の体上有限次元半単純，可換，あるいは余可換ならば，対合的である．双代数 B が対合射 S を持つならば，S は一意である（「双代数は高々 1 つのホップ代数構造を持つ」）．対合射は g を逆元 g⁻¹ に送る群上の写像の類似である．
数学において，ホップ代数（ホップだいすう，英: Hopf algebra）は，ハインツ・ホップに因んで名づけられた代数的構造であり，同時に（単位的結合）代数かつ（余単位的余結合的）余代数であり，これらの構造の整合性により双代数になっており，さらにある性質を満たす反自己同型を備えたものである．ホップ代数の表現論は特に見事である，なぜならば整合的な余積，余単位射，対合射の存在により，表現のテンソル積，自明表現，双対表現を構成できるからである．ホップ代数は，その起源であり H 空間の概念と関係する代数的位相幾何学，群スキームの理論，群論（群環の概念によって），そして多数の他の場所で，自然に生じ，おそらく双代数の最もよく知られた種類となっている．ホップ代数はそれ自身も研究されていて，一方では例の特定のクラスが，他方では分類問題が，多く研究されている．それらは物性物理学や量子的場の理論から弦理論まで多様な応用を持つ．定理 (ホップ) A を標数 0 の体上の有限次元次数付き可換次数付き余可換ホップ代数とする．このとき A は（代数として）奇数次の生成元による自由外積代数である．
プライドフィッシュ（PRIDE FISH）は、全国漁業協同組合連合会（全漁連）が中心となり、各都道府県の漁業協同組合連合会（漁連）・漁業協同組合（漁協）が選定した、漁師が自信をもって推奨する魚介類。都道府県を単位として季節ごとに旬を迎える魚介類を選定し、消費者へ訴求している。
初期には3-6Vの電源を使用した。しかしこの方法では、発光器やカメラの接点における接触抵抗のため、閃光電球に充分な電流が流れず、シャッターとの同調が不安定になることがある。そのため1950年代からはコンデンサーと積層電池を使用したBC型発光器が使われるようになり、従来型をB型と呼ぶようになった。BC型では15-22.5Vの電池で電解コンデンサーを充電し、フィラメントを通して放電させると、閃光電球には積層電池とほぼ同じ電圧が印加されることになる。燃焼とともにフィラメントは焼き切れ電路は断たれるので、それまでのごく短い時間だけ大電流が流れ、確実な発光が得られる。主に積層電池やボタン電池が利用される。もっともポピュラーなものは15VのW10積層電池、22.5Vの015(BL-015、15F20)である。ボタン電池としては水銀電池のMR9(H-D)やNR52等の比較的容量の大きな電池やごく普通の単3電池を使用するものもある。また特殊な積層電池を使うものなど多数である。現在W10電池や015電池は国内では生産されておらず、015よりも端子が数mm短いがほぼ同形で真空管ラジオ用に販売されている15F20や、電圧が24Vと高いものの015と完全に互換性のある形状のリチウム一次電池NC706がFDKから販売されている。W10に関しては現行のボタン電池を用いるアダプターを使用する以外、国内での購入は難しい。一部のユーザーは12Vの小型アルカリ電池27Aや3Vのリチウムコイン電池を複数組み合わせて自作の電源で代用することがある。なおアメリカにおいてはエバレディより015、W10ともに製造販売が行われており、海外の通販を利用すれば電池の購入は可能である。