2015年10月に行われた新小牧市立図書館建設に関する住民投票で、市長は計画に対する広報活動において中立性を保持する義務があったが、その広報活動が市の主張のみを載せた「賛成投票に誘導する偏った内容だった」として、同年12月、市民約160人が山下に対し、広報資料の印刷代や住民説明会の経費など約300万円を市に返還するよう求める住民監査請求を起こした。2016年2月29日に監査委員が監査結果を発表。「条例に違反したとまでは言えない」として訴えを棄却した。なおこの結果を不服とする市民25人が同年3月29日山下に対し、広報資料の印刷代や住民説明会の経費など約300万円を市に返還するよう求める訴訟を名古屋地裁に起こしている。また25人の市民の中の一人で元市議の男性は、新聞で「市民の意見を聞かずに計画を進め、中立性を欠いたうその説明をしたことは問題だ」「広報紙の内容には市の当初の図書館計画と異なる部分があり、十分な説明がされておらず放置できない」と主張している。小牧市の新図書館建設計画を巡り、広報冊子の発行費用を市に返還するよう求めた住民訴訟について、2016年6月8日に名古屋地裁が棄却し、同年6月控訴されたものの、同年11月24日に名古屋高裁が棄却した。。
2015年4月に開園予定（当時）だった小牧市が建設し指定管理者制度で民間委託されることとなっていた小牧市立みなみ保育園の委託業者に、山下の妻が代表を務めている社会福祉法人が応募していたことがわかり、市議会で問題とされた。山下自身もこの法人の非常勤職員として報酬を得ていた。2015年3月に行われた市議会で同問題を追及された山下は「応募したのは妻ではなく法人」「公正な審査の結果落選したため市長として市政を歪めた事実はない」「全く問題ない」などと回答している。さらに同年6月の市議会で山下は「政治倫理の確立のための小牧市長の資産等の公開に関する条例」第4条に基づいた関連会社等報告書で当初この法人から報酬を得ていたことを記載していたが「報酬を得ていたが法人の役員としてではなく、確認したところその場合は記載の必要がないことがわかった」として、記述を削除し該当なしとしたと回答している。
2014年山下は小牧市外に住む市職員に対し、同市のふるさと納税制度「こまき応援寄附金制度」を使って小牧市に率先して寄付するよう求めたが、それが「寄付の強制にあたる」と市議会で問題となった。同年8月の記者会見で「600人も寄付者が出るか」と言う質問に対し、山下は「（市職員約1000人のうち）市外に住む職員400人に期待してる」と回答。さらに同年9月12日の市議会で「職員に協力を求めるのは実質強制になるのでは」と言う質問に対し「確定申告をすれば2千円を超える寄付金額分は税金から還付される」としたうえで「広く寄付をいただくには、職員が姿勢を示すことが大事」と回答した。
近世、京都には「町組」という住民自治の組織があったが、明治維新の前後に町組は「上京（下京）○○番組」という通し番号のついた地域的なまとまりを持つ組織に再編され、「番組」と呼ばれるようになった。1869年（明治2年）には、27程度の町を1番組として、上京に33の番組、下京に32の番組、合計65（同年、下京で1番組が分離し、番組の数は66となった。）に再編されるとともに、1つの番組に対して自治会所機能を併せ持つ小学校が1つ作られることになり、同年中に64校の小学校が開校された。（番組の数が66であるのに対して、小学校数が64校なのは、番組2つで1つの小学校を設置したところが2箇所あったため。）京都府は、各番組に対して、新築校舎の模範設計を示している。校舎は2階建てであり、1階中央の玄関を入ると、左右に大小の差のある男女の筆道場が配置されている。2階には広間の講堂、出勤場（職員室）、算術教室が置かれた。建設費は、各番組に対して、京都府から800円が貸与され、半額が無利子の10年年賦で返済の予定とされたが、実態は番組ごとに異なっていた。また、各番組の全戸別に対して、半年に1分の軒金が課せられ、有志による寄付と合わせて、恒久的な運営費に充当するものとされた。番組によっては、「上(下)京○○番会社」を設立して、資金運用に当てたところもあった。1870年（明治3年）正月、各番組小学校において「稽古はじめ」式が催され、授業が開始された。京都府が作成した式次第によれば、孔子と菅原道真の2学神像が祀られたという。京都市学校歴史博物館には、下京七番組小学校の像が展示されている。授業科目は、「句読」「暗誦」「習字」「算術」の4科であった。この番組は1872年（明治5年）には「区」として再編され、さらに1879年（明治12年）郡区町村編制法により上京区・下京区が置かれると、「組」と改められた。市制によって誕生した京都市が、1892年（明治25年）に学区制度を確立。番組をルーツとする学区は、1893年（明治26年）に上京区28学区、下京区32学区となり、この形は1941年（昭和16年）の国民学校令により学区による小学校の運営が廃止されるまで存続した。その後、戦後の6・3・3・4制になり、もとの小学校を新制中学の校舎に利用するなどによって小学校の通学区の変化があったが、戦前の学区制度廃止前の学区は「元学区」という住民自治の単位として現在も生き残っている。