k-サイクルとは、2k個に分割できるサイクルである：奇数からなる単調増加数列k個と、偶数からなる単調減少数列k個からなる。例えばサイクルが、奇数による単調増加数列１個と、偶数による単調減少数列１個で構成されたなら、1-cycleと呼ぶ。Steiner (1977)は、1-cycleが、自明なサイクル(1;2)のみであることを証明した。Simons (2004) は、Steinerの方法を使って、2-cycleが存在しないことを証明した。Simons & de Weger (2005)はこの証明を68-cyclesまで拡張しました：k = 68まで、k-cycleは存在しない。68を超えたところでは、この方法はサイクルの要素の上限を与える：例えば、75-cycleが存在したとすると、その中の要素の少なくとも１つは2385×2⁵⁰より小さいといえる。そのため、コンピュータによる検証が進んでいくと、より大きなサイクルが除外されていく。より直観的にいうと、多くとも68以下の数列(各数列は単調増加数列と単調減少数列の連結)をつなげて作ったサイクルを探す必要はない。
以下は擬似コードによるプログラミング例である。与えられた初期値に対するコラッツ数列を計算できる。def collatz(n)  show n  if n.odd? and n > 1    collatz(3n + 1)  else if n.even?    collatz(n / 2)このプログラムは 1, 4, 2, 1 の無限サイクルを省くために 1 に到達すると停止するようになっている。もしコラッツ予想が正しければ、いかなる正の整数の初期値を与えても停止する。この問題を、初期のコンピュータで計算することで研究したのがスタニスワフ・ウラムであった。
コラッツの問題(コラッツのもんだい、Collatz problem)は、数論の未解決問題のひとつである。1937年にローター・コラッツが問題を提示した。問題の結論の予想を指してコラッツの予想と言う。固有名詞に依拠しない表現としては3n+1問題とも言われ、初期にこの問題に取り組んだ研究者の名を冠して、角谷(かくたに)の問題、米田の予想、ウラムの予想、他にはSyracuse問題などとも呼ばれる。数学者ポール・エルデシュは「数学はまだこの種の問題に対する用意ができていない」と述べ、解決した人に500ドルを提供すると申し出た。コンピュータを用いた計算により、5 × 2⁶⁰ までには反例がないことが確かめられている。また、2011年度大学入試センター試験数学IIB第6問に題材として取り上げられた。
竹中は「1曲1曲大切にというテーマのところの部分は、おおむねできていたと思います。」と評価した。また、michitomoは他のアイドルグループとの差別化や、メンバーの体力面に課題があるとした。2013年4月3日には、六本木決戦を映像化したDVDアップアップガールズ（仮） 2nd LIVE 六本木決戦（仮）が一般発売された。同DVDは2枚組となっており、Disc1にはライブの映像、Disc2には六本木決戦までに至るメイキング映像が収録されている。
アップアップガールズ（仮）は、2012年9月2日、代官山UNITにて『アップアップガールズ（仮）1st LIVE 代官山決戦（仮）』を開催したが、その中で12月15日に第2弾の単独ライブ（六本木決戦）をキャパシティ1000人のラフォーレミュージアム六本木で開催することを発表した。9月17日には『アニカンR ヤンヤン!!』の取材を受け、六本木決戦に対する意気込みを語った。メンバーの新井愛瞳はメジャーデビューすることを発表したいと考え、森咲樹は会場が代官山UNITより大きくなったことで不安を抱えているものの「絶対埋めてみせる」と決意を表明した。六本木決戦の約3週間前にメンバーにセットリストが発表され、マネージャーからは、六本木決戦の目標・テーマが発表された。テーマは「初心に帰る」であり、1曲ごとの完成度を上げることを目標とした。代官山決戦ではメンバーに余裕がなく、曲の詳細なところがおろそかにされていたのである。11月29日にリハーサルがスタートし、振付師の竹中夏海からは「曲ごとの違い」を表現することを求められた。12月1日には「意識を変えるだけでこうも動きが変わるかと」と竹中は評価している。
スキャンダルの後、トマスはニューヨークへ移り住んだ。以降は、テニュア職には就かなかった。1923年から1928年にかけて、彼はニュースクール大学の前身であるニュー・スクール・フォー・ソーシャル・リサーチという当時の進歩的な、しかし周縁的な影響力しかもっていなかった学術組織で、授業を担当した。1919年にこの学校を共同創設したひとりであったソースティン・ヴェブレンも、トマスと似た経緯で学界の表舞台から転落した経験をしており、この学校はトマスの苦境に同情的であった。トマスは、様々な慈善家や組織の支援を得て、研究を続けた。社会学研究へのトマスの最大の貢献のひとつは、高く評価された『The Unadjusted Girl』（1923年）として提示された。トマスが、有名な概念である「状況の定義 (Definition of the situation)」を導入し、展開したのはこの著作においてであった。トマスのいう「状況の定義」は、何らかの意思決定に先んじて、人々が、「行動する前に、一般的にその帰結について検討、計画する」ことを意味している。ジョージ・ハーバート・ミードの諸理念とともに、トマスの「状況の定義」の概念は、後に起こった構造機能主義に対するシンボリック相互作用論の反乱において重要な役割を果たすこととなった。1927年、若手世代の研究者たちの支持を集めたトマスは、体制側からの反対にも関わらずアメリカ社会学会の名誉会長に選出された。トマスが1928年に、研究助手だったドロシー・スウェイン・トマスとの共著で出した『The Child in America』には、社会学の基本的法則のひとつとなった一文が書かれていた。それは、後に「トマスの公理」として知られるようになった、「もし、人がある状況をリアル（現実）であると捉えたなら、それは結果においてリアルである。」という一文であった。 (Thomas & Thomas, 1928, p. 572)1935年、ハリエット・パークと離婚したトマスは、36歳年下のドロシー・スウェイン・トマスと再婚した。1936年、ハーバード大学社会学部の学部長ピティリム・ソローキンはトマスを客員教授として招聘した。トマスはこの招聘に応じ、1937年までハーバードに留まった。