1882年（明治15年）、父の死により家督を相続し、1884年（明治17年）7月8日に子爵を叙爵した。1901年（明治34年）7月に学習院高等学科を卒業して、東京帝国大学法科大学に入り、1905年（明治38年）に卒業した。同年11月、高等文官試験に合格し、大蔵省に入り、主計局に配属された。その後、大蔵書記官、主計局主計課長、専売局主事、大蔵参事官、専売局理事、東京地方専売局長などを歴任した。1924年（大正13年）、貴族院議員に当選。1947年（昭和22年）まで在職した。第二次世界大戦中は、翼賛選挙における選挙干渉の危険性を指摘し、1945年（昭和20年）3月10日の東京大空襲の翌日開かれた帝国議会では「人貴キカ物貴キカ」と人命を優先するよう政府を追及した。
大河内 輝耕（おおこうち きこう、1880年（明治13年）11月18日 - 1955年（昭和30年）5月2日）は、上野国高崎藩最後の藩主大河内輝声の長男で、貴族院議員。子爵。妻は徳川慶喜の八女の国子。
三角形の内部に1点をとり、その点と三角形の各頂点を線分で結んだ図形のうち、三角形の3辺を含む6つの線分のなす角度が全て整数となるものを整角三角形という。また、右図の整角三角形において、角度 a, b, c, d が与えられて角度 e を求める（または角度 e がその値となることを証明する）ような問題を整角三角形問題と呼ぶこともある。整角三角形は、平面上の4点のうち2つずつを結んだ6本の直線同士のなす角度が全て整数であるという意味において、整角四角形に準ずるものとみなされる。
四角形の4辺及び対角線のなす角度が全て整数となるものを整角四角形という。また、右図の整角四角形において、角度 a, b, c, d が与えられて角度 e を求める（または角度 e がその値となることを証明する）ような問題を整角四角形問題と呼ぶ。ラングレーの問題は、整角四角形問題のうち (a, b, c, d, e) = (20, 60, 50, 30, 30) となるものに相当する。一般の四角形では、a, b, c, d がいずれも整数であっても、e が整数となるとは限らない。例えば (a, b, c, d) = (20, 60, 40, 40) の場合は、e = 16.91751... という無理数となる。a, b, c, d, e がいずれも10°の倍数となる問題群については、日本でも初等幾何による証明を網羅した研究例が存在する。海外では、1970年代末にイギリスの J. F. Rigby が、一部の問題群を除いた全ての整角四角形問題（整角三角形の問題も含む）の初等幾何による証明を体系的に示した例がある。Rigbyが初等幾何で証明できなかった問題群については、2015年10月までに全て初等幾何による解法が出揃った。
Aを中心としてABを半径とする円を描くと、BCはその円に内接する正十八角形の1辺となり、問題に登場する他の線は同じ正十八角形の対角線の一部になる。
この問題は、1922年の The Mathematical Gazette 10月号にラングレーによって"A Problem"のタイトルで発表され、翌年5月号の特集記事で複数の解法が紹介されている。しかし、たとえば、1916年のケンブリッジ大学学問検査において出ているなどもっと古くからある古典的な伝説の難問とされている。日本では1967年と1971年の2度、『数学セミナー（日本評論社）』の『エレガントな解答を求む』で出題されている。受験算数では、1972年に灘中の2日目の1番に出題されたことにより広まった。
フランドレンシス大公国は2008年9月4日に建国され、中世のフランドル伯領(オランダ語:Pagus Flandrensis)の影響を受けている。建国者は趣味のミクロネーションであると認めている一方で、独自の身分証明書や通貨、新聞、憲法、国歌を持っている。APPF(海賊党)、DRP(王党派)、NPF(ナショナリズム)、FDUP(統一党)、FL-AL(連帯)、Lijst Govaert(自由主義)、L&S(共和主義)といった政党があり、年に一度選挙が行われることから、政治のシミュレーションにもなっている。ニューカッスル大学のAlastair Bonnett教授は、フランドレンシスについて若年者が意思決定をするようになった市議会に影響を受けたミクロネーションの一例であると評している。また、建国者はフランドレンシスは文化的組織でもあるとしている。2012年には、異なる28の国籍からなる128名の市民により構成されていた。インターネット以外ではフランドレンシスの活動はルーセラーレ周辺地域に限定されている が、大使館は西フランドル地方のLangemarkという町にある。またオランダ語圏のミクロネーションのみからなるコモンウェルスを持つ。この連合体にはフランドレンシスの他に、Arkel公国、Campinia公国が含まれる。フランドレンシスはKrant van West-VlaanderenやRoeselareテレビといった地方メディアで取り上げられてきた。Polination 2012 (2012年7月14日、ロンドンにて開催された第2回ミクロネーション国際会議)  に参加後、Het Nieuwsblad、Het Belang van Limburg、Gazet van Antwerpenといったベルギー紙がヨーロッパのミクロネーション報道の一部としてフランドレンシスについての記事を書くと、注目を集めるようになった。フランドレンシスは地元メディアにより選挙報道がなされる数少ないミクロネーションの一つである。2014年には、ベルギーのÉénチャンネルのTVショー『Normale Mensen』に取り上げられた。2015年にはペルージャで開かれた第3回ミクロネーション国際会議にも参加した。