以下では、対称行列（あるいはエルミート行列）に限定した行列の平方根についての性質を示す。「正定値行列」とは、対称行列（あるいはエルミート行列）で、その全ての固有値が正の実数であるものをいう。「半正定値行列」とは、対称行列（あるいはエルミート行列）で、その全ての固有値がゼロまたは正の実数であるものをいう。
実数の平方根がで求まることと同様に、n次実数値正方行列の全ての特性根の実数部分が正である場合、行列対数関数をと定義し（cは任意の正数、級数が収束すればに係らず同じ値に収束する）行列指数関数をと定義すれば（はn次実数値正方行列）、2乗するととなり、かつ全ての特性根の実数部分が正となる行列は、により計算でき、かつこの行列に一意に定まる。この方法は、固有値を全て求める必要がないこと（「全ての特性根の実数部分が正」という条件は、特性根を全て求めなくても、十分条件がいくつか知られている）、収束計算が速いこと、対称行列に限らず一般の行列に利用可能であることなど、現実的かつ速い計算方法になっている。また、行列の平方根に限らず、ｎ乗根も同様に計算することができる。
「対角化」の方法でも「ジョルダン分解」の方法でも、すべての固有値を算出することが必要となるが、それは行列の特性方程式（あるいは最小方程式）のすべての解を求めることと同じであり、行列の次数が大きくなれば非現実的となる。このため、現実的な平方根の求め方が必要となる。
対角化可能行列 A に対し、適当な行列 V と対角行列 D が存在して A = VDV⁻¹ と書ける。これは A が Cⁿ を張る n 個の固有値を持つことと同値である。このとき V はその列ベクトルが n 個の固有ベクトルであるように選べる。そうして A の平方根は D の任意の平方根を用いて  と書ける。実際、 である。A が対称行列ならば対角化に用いる行列 V は固有ベクトルを適当に選んで直交行列となるようにとれる。この場合、V の逆行列はたんに転置をとるだけであるから、 と書ける。
2 × 2 行列の場合は、すべての成分を明示的に計算することによって平方根を求めることはそう難しくない。固有値が退化していない場合の平方根は明示公式として記述できる。D が n × n 対角行列ならば、D の対角成分の任意の平方根を対応する位置の対角成分に持つ対角行列 R を作れば平方根が得られる。D の対角成分が非負の実数ならば、先の対角行列 R で各成分の符号を全て正としたものは D の主平方根である。冪等行列の平方根は、自身を平方根に持つ。
機械・機構部品としては、耐摩耗性を生かした用途に用いられる。これはギア・歯車やガスケット類などの小物から、農機具やブルドーザーのブレードなど工作機器部品、さらにはサイロやホッパーなどプラント用大型設備にも用いられる。潤滑性に着目した利用例では、氷を使わないスケートリンクがある。一方、物性の温度依存性の低さから、低温環境で用いる分野でも使用される。機械類のガイドレール、スキー板スキーの滑走面、スノーモービルのギアレールなどがそれに当てはまる。生体安全性の特徴から人工骨や義肢用材料などにも用いられる。粉体はコンパウンド用材料としても利用される。耐摩耗性を向上させる用途では四フッ化エチレン樹脂(PTFE)や二硫化モリブデンよりもブレンド性や価格に優れる。UHMWPEは糸状に成形すると非常に強靭な繊維を得られる。これは同じ重量でピアノ線の8倍に相当する強度を有するため、船舶用や登山・レジャー用ロープなどに用いられる。フィルムは、離型フィルム状に圧縮成形またはインフレーション法などの方法で製造され、皮膜材や保護フィルムなどとして用いられる。戦闘用ヘルメットの素材として使用する研究も進められており、ECHなどが実用化しつつある。
1940年代後半、飛躍的な経済発展を遂げた南ローデシアは、北ローデシアの資源とニヤサランドの黒人の労働力の獲得、および、アフリカ人の民族主義を阻害する目的で、これら3つのイギリス領による連邦制の構築を主張し、これを受けて1953年8月1日にローデシア・ニヤサランド連邦が成立した。しかし、成立した連邦では南ローデシアの白人入植者を優遇する政策が多く、人口の99%以上を黒人が占めるニヤサランドには連邦制のメリットが少なかったことや、アフリカ諸国で独立への機運が高まっていたことがあり、1959年にはニヤサランド内で叛乱が発生することとなった。また、その前年の1958年7月29日には、アメリカテネシー州のナッシュビルにあるメハリー医科大学（en:Meharry Medical College）で1937年に学位を取得し、イギリスとガーナで診療所を開いていたヘイスティングズ・カムズ・バンダがニヤサランドへ帰国。その後すぐにニヤサランドアフリカ人会議の指導者へと就任した。同会議は翌年にバンダを含む主要メンバーの逮捕により瓦解しかけるが、逮捕されなかった残りのメンバーによりマラウイ会議党 (MCP) が結成された。バンダは北ローデシアのグウェロ刑務所（Gwelo Prison）へ送られたものの、翌1960年には出所してマラウイ会議党の指導者に就任するとともに、ロンドンで行われた連邦の憲法に関する協議会に出席した。1961年4月15日、バンダ率いるマラウイ会議党は、新たに制定された憲法の下で行われた1961年ニヤサランド立法議会選挙に圧勝した。バンダは立法議会で重要な役割を得て、1年後の1962年には実質的なニヤサランドの統治者となっていた。また、1962年11月にロンドンで第2回目の憲法協議会が行われ、イギリス政府は翌1963年からニヤサランドに、自治権を与えることに同意した。