行政審判において行政委員会が認定した事実が一定の場合に裁判所を拘束することをいう。現在では電波監理審議会が適法に認定した事実（電波法99条）と、裁定委員会が認定した事実（鉱業等に係る土地利用の調整手続等に関する法律52条）に拘束力が認められている。人事院の審決について認められるかについては争いがあり、判例は否定するが、通説はこれを肯定する。なお、特許法に基づく特許庁の審決については法律に明文の規定がないため実質的証拠法則は採用されていないというのが通説的立場であるが（中山信弘 特許法276p他）、審決取消訴訟においては新たな無効理由の主張について制限される（外部リンク参照）。この場合、その無効理由について新たな特許無効審判を別途請求すべきである。公正取引委員会による審判制度は、2015年4月1日に廃止された。このため、公正取引委員会が認定した事実に対する実質的証拠法則（独占禁止法旧80条）は撤廃された。
エド・スコットの仲介でニグロリーグのインディアナポリス・クラウンズに入団して、最初は遊撃手として力をつけ、ルーキー・イヤーの1952年に早速ボストン・ブレーブス（現・アトランタ・ブレーブス）のスカウトの目にとまり、契約を結ぶこととなる。この時、アーロンのバットの持ち方がクロスハンド（右打者の場合、構えたとき左手が右手より上になるバットのグリップ）なのに、凄いパワーの持ち主だと周囲を驚かせた。ブレーブス入団後、チームはミルウォーキーにフランチャイズを移転したため、アーロンの所属チームの1年目は「ミルウォーキー・ブレーブス」である。1954年にニューヨーク・ジャイアンツから移籍し左翼手のレギュラーと目されていたボビー・トムソン（1951年のナショナルリーグ優勝決定プレイオフ最終戦でサヨナラ3ランを放った選手）が、春季キャンプの練習試合で2塁へのスライディングの際に足首を骨折するアクシデントが発生。翌日の試合で左翼手で先発出場したアーロンは、本塁打を放ち、これをきっかけにメジャー契約を勝ち取った。当時は通算363勝の大エースウォーレン・スパーンや通算512本塁打の主砲エディ・マシューズを擁したチームだった。1957年にはフレッド・ヘイニー監督に率いられ、ボストンマラソントレーニングのような地獄のキャンプを経て、「ミルウォーキーの奇跡」と呼ばれるナショナルリーグ優勝、ワールドシリーズ制覇を果たす。9月23日ミルウォーキーでのカージナルス戦、スコア2対2で迎えた延長11回裏、一死でジョニー・ローガンを一塁に置き、午後11時34分にアーロンはビリー・マフェットのカーブボールを叩くと、打球は中堅手ウォーリー・ムーンの頭上を越え、カウンティ・スタジアムのセンター後方にある「ペリニの森」に飛んでいくサヨナラ2ラン本塁打となり、チームは8連勝してリーグ優勝を決めた。9月24日にはシーズン44号満塁弾（通算110号）を放ち、本塁打と打点の二冠王となり、シーズンMVPを獲得。同年のワールドシリーズはケーシー・ステンゲル監督率いる、ミッキー・マントルらを擁する強豪ニューヨーク・ヤンキースと対決。ニューヨークで対戦を開始し、ニューヨークでの第7戦までもつれこむ激戦となり、アーロンは3本塁打、7打点、11安打、22塁打、打率.393の活躍を見せ、チームはヤンキースを4勝3敗で破ってワールドチャンピオンとなり、ニューヨークでは「ド田舎が勝った」と評された。これがアーロンの唯一体験したワールドチャンピオンとなった（シリーズMVPはルー・バーデット投手）。なお、10月6日ミルウォーキーでの第4戦の4回裏、ローガン3塁、マシューズ2塁の場面、ステンゲルは「この強風ではベーブ・ルースでも本塁打を打てないだろう」とトム・スターディバント投手にアーロンと勝負させるも、アーロンは3ラン本塁打を放ち、ステンゲルは「奴はベーブ・ルースではなかった」とコメントしている。その後ブレーブスは1966年にアトランタに移転するが、アーロンの存在は実績に比べてさほど注目されておらず、注目されはじめたのは1970年代に入ってウィリー・メイズの本塁打数を塗り替えた頃であった。1973年、ルースの記録に追いつくまであと1本のところでシーズンを終える。しかしこのシーズンオフは、アーロンにとって長いものとなった。ルースの記録を信奉する者や、白人のルースの記録を黒人のアーロンが破ろうとしていることに反感を抱く白人至上主義者による執拗な嫌がらせや、身の危険となる脅迫が相次いだのである。アーロンは当初、この事実を隠していたが、ある時ふとした事がきっかけでこれに触れたところ、今度は全米中からアーロンを支持する激励の手紙が届いた。「貴方への嫌がらせの手紙を処分するいい物を送りましょう」と、マッチを送ってきた白人もいた。当時アーロンは「ベーブ・ルースを忘れてほしいとは思っていない。ただ、私を覚えてもらいたいのです」と訴えている。1974年4月4日シンシナティでのシンシナティ・レッズとの開幕戦の初回一死でラルフ・ガーとマイク・ラムを走者に置いて、ジャック・ビリンガム投手がカウント3ボール1ストライクで投じた5球目の低めの直球をシーズン最初のスイングで叩いて714号3ラン本塁打を放ち、ルースの記録に並ぶ。その4日後の月曜日、4月8日午後7時7分、本拠地フルトン・カウンティ・スタジアム（当時ブレーブス本拠地）での第3打席、4回二死一塁にダレル・エバンスを置いて、ロサンゼルス・ドジャースのアル・ダウニング投手のカウント1ボールでの2球目の真ん中低めのスライダーを叩いたラインドライブの打球は715号2ラン本塁打となり、ルースの記録を破り、試合成立前ではあったが試合を一時中断してセレモニーが行われた。アーロンは「Thank God it's over.（すべてが終わりました。神様に感謝します）」とコメントした。ホームランボールはレフトフェンスとスタンドの間にあったブレーブスのブルペンに飛び、リリーフ投手トム・ハウスが直接グラブでキャッチした。なお、セレモニー途中から一時的な降雨があったが、試合とアーロンの記録は成立し、ブレーブスが7対4で勝利している。同年の秋には日米野球で来日し、読売ジャイアンツの王貞治と本塁打競争を行い、10対9でアーロンが勝っている。また王に手土産としてスパイクとグラブをプレゼントした。スパイクは王の足には大きすぎたり、グラブも右利き用（王は左利き）だったりしたが、王は喜んで受け取ったというエピソードがある。王が後にアーロンの通算本塁打記録を塗り替えた時、米メディアの多くは日本の球場の狭さや投手レベルを引き合いに出したが、アーロン自身は王の記録達成に心から敬意を表し、紳士的に祝福した。そしてフラミンゴのはく製を記念として王に贈っている。以降、王とは長い親交があり、1990年にはアサヒビール飲料（現・アサヒ飲料）の缶コーヒー「JO」のCMでも共演している。