東京府芝区（現・東京都港区）出身。青山学院中学校野球部でエースを務め、当時の強豪であった一高（現・東京大学教養学部）を二度破っている。青山中学卒業後の1901年（明治34年）、東京専門学校（現・早稲田大学）文学部哲学科に入学するが、ベースボール部（現・野球部）にはすぐには入部しなかった。同年の冬になって、野球部部長・安部磯雄の説得により入部。翌年、初代主将の大橋武太郎が家庭の事情で退学したため2代目主将となる（ただし、この点については当時主将制を採っていなかったとして異論もある）。1903年（明治36年）、早大の他の部員2名とともに慶應義塾大学野球部寮を訪問して「挑戦状」を差し出し、これに応じた慶大との間で行われた野球の試合が、現在の早慶戦のルーツといわれている。この時の挑戦状は野球体育博物館に保存されているが、これを書いたのは橋戸だと言われている。また、橋戸が“使者”となったのには青山学院当時に慶大の練習に参加しており、慶大の選手たちと旧知の間柄であったからだと言われており、そもそも早慶戦のアイデアを考えたのが橋戸だという説もある（異説もある）。1905年（明治38年）には、野球部のアメリカ遠征のメンバーにも選ばれており、これは試合結果こそ芳しくなかったものの、当時まだ日本では知られていなかった数々の技術・戦略を学びとり、日本の野球技術を高めるのに一役買っている。また、これらの新技術について、野球部部長・安部磯雄の命によって同年『最近野球術』（博文館）という本にまとめ、広く紹介している。なお、この本の前書き（押川春浪筆）には、橋戸はこの頃から「頑鉄」の号を使っていたことが記されており、このペンネームは後年の新聞記者時代に使われはじめたという説は誤りである。1907年（明治40年）に大学を卒業すると、アメリカに渡り、約4年間暮らす。帰国後は萬朝報を経て1916年（大正5年）、大阪朝日新聞社に入社。全国中等学校優勝野球大会（現・全国高等学校野球選手権大会）の運営に関わった。1920年（大正9年）には押川清、河野安通志らと日本運動協会（日本初のプロ野球チーム）を設立し（資本金9万円）、無限責任社員3人のうちの1人に名を連ねた。1925年（大正14年）、東京日日新聞（現・毎日新聞）に入社。ここで、早大時代に行われたアメリカ遠征で、既にメジャーリーグで定着していたチームのフランチャイズ制度に着目していた橋戸は、日本の都市を代表するチームを競わせようとする大会の実施を発案。1927年（昭和2年）に都市対抗野球大会の開催にこぎつけた。1936年（昭和11年）、肝臓ガンで入院し、一旦は退院するも3月23日に急性肺炎を併発して死去。57歳没。墓所は東京都港区芝の実家安楽寺(浄土真宗本願寺派)。橋戸の死去を受けて1936年の都市対抗野球大会では、橋戸の功績を讃え、大会最優秀選手に与えられる賞として「橋戸賞」が設置された。1959年（昭和34年）に創設された野球殿堂において、特別表彰により第1回の殿堂入りを果たしている。
得意技は右四つ、寄り。もろ差しや掬い投げも得意とする。胸から強く当たり、相手の上体を起こして右を差す取り口。また他の力士には無い独特のやわらかさを誇り、後述のように課題の残る立合いの為、最初から守勢に回ることが多い反面、その柔らかさで相手の攻めを凌いで白星を拾う相撲も多い。2016年5月場所前の報道では、部屋の稽古場で兄弟子の豊ノ島が「最初からまわしを取りにいくと、勝てなくなってきた」と漏らしたことが伝えられた。しかし立合いで先制されると、あっさり後退する場面が目立つ。本人はこれについて「立ち遅れを避けたいし、当たり負けした時の対処もまだまだ」と自覚している。2016年9月場所前に開かれた座談会では36代木村庄之助が「今の正代は、結構前さばきもうまいじゃないですか」と評している。差せなくても引き技には頼らない傾向にある。2016年11月場所前の座談会では中立から「多分、強く当たろうと思えば思うほど、胸を広げると思うんだよね。だから、強く当たろうじゃなくて、普通に当たるぐらいでいいと思う」と分析しており、同席していた西岩は「天井を向くような立ち合いですね。自分も人のことを言えるようなあれではなかったですが（笑）。ただ、彼はまだ若いし修正はいくらでも効くんじゃないですか」と話している。本人は2016年9月場所前のインタビューで「本当ならもう少し状態を低くして立ち合いの勢いのまま、自分の形を作っていくのが一番いいんですけど。自分の悪い癖というか、どうしても待って受けてしまうんで、土俵際までかけて何とか相手の勢いを止めてから、という相撲が多いですね」とその同年5月場所と7月場所の相撲を振り返っており、加えて「前は自分の相撲を取り切ることだけを考えていて、相手によって立ち合いを変えることはなかったのですが、相手が左四つなら左を差させないとか、廻しを欲しがる相手なら取られないようにとか、ちょっとは意識するようになりました」戸と陸地の変化を語っている。元琴錦の朝日山は2017年1月場所前の論評で、上体が柔らかいため突き押しの力を吸収することや下から掬って相手の手を跳ね上げながら二本を差すことなどに触れており、体つきは違うが兄弟子の豊ノ島とタイプが同じであると分析している。同時に朝日山は「正代の相撲で関脇まで上がれたのは不思議」「今の幕内のレベルは明らかに落ちています。正代は今の時代にいて幸せ者です」と正代の取り口に対して辛辣な評価を下した。そして今後の課題として立合いで背中を丸めて立つことと稽古場で差さないことを挙げており、時に突っ張りや前ミツ、ハズ押しなどの技術を使いつつ馬力を付けることを具体的にアドバイスしている。それほど稽古熱心ではないが一門の横綱である鶴竜や弟弟子の小柳（現・豊山）など稽古相手に恵まれ、時天空が元気であったころは彼にも胸を出してもらって力を付けた。2017年7月場所前、舞の海は自身のコラムで「やや腰高なんですが、相手の隙を見て寄っていく、絶妙な相撲を取るんです。立い腰でも強い力士はいます。正代もあの体勢で強化してきたので、その相撲を伸ばした方がいいと思います。今から、膝を曲げて前傾姿勢でやろうとしたら、相撲が崩れてしまう可能性があります」と正代の取り口について私見を述べている。2017年7月場所前の二子山（元大関・雅山）コラムでは、突き押しに弱い点を指摘されている。四つ相撲の取り手だがツラ相撲傾向がある。2019年3月場所前のコラムで、花田虎上はやはり顎を上げて胸を出す相撲を、そして太り過ぎを指摘しており、「稽古不足」「あの相撲では30歳くらいで体がボロボロになる」と酷評した。