8代藩主・徳川宗勝（当時は高須藩主で松平義淳と名乗った）の次男として誕生した。母は側室の一色氏（英厳院）。幼名は熊五郎。宝暦11年（1761年）、父の死去により跡を継ぐ。父同様に才能に優れ、山村良由や樋口好古らを登用して藩政改革に乗り出した。その結果に行なわれた新田開発や殖産興業政策、治水工事（熱田での開墾）の多くで成功を収めている。また、問題化していた役人の不正を防止するため、代官制度の整備も行なった。農村の支配強化も行ない、徴税の確実性を務めている。さらに父の時代に少々厳しくなりすぎていた刑法を改め、寛容なものにしている。藩士に対しても相続制度を確実なものとした。文化的にも父の代に基礎が築かれていた藩校・明倫堂（現・愛知県立明和高等学校）の創設して藩の教育普及に努めた。寛政9年からは家臣からの封書による政策提言を受けつける制度を実施し、人心収攬を図った。ところがこのような改革を行い過ぎた結果、宗睦の晩年には財政赤字が見え始める。これを解決するために藩札を発行したが、これがかえって物価騰貴など経済の大混乱を助長してしまった。寛政11年（1799年）12月20日、67歳で死去。法号は天祥院。宗睦は尾張藩の「中興の祖」と言われている。確かに藩政においては前半と中盤では大いに成功を収め、藩政を発展、安定化に導いた。しかし晩年の財政政策の失敗は、その後の尾張藩における財政破綻の一因を成したのであった。
(1) D でf (z) が単葉正則であるが、f′(z) の零点が存在すると仮定して矛盾を導く。まず、f′(z) の零点の内の一つを任意に選んでz₀とする。z₀ の近傍 U を、その閉包  がコンパクトで D に含まれるように選ぶ。上の仮定の下では、で f′(z) の零点の個数は有限である。なぜなら、零点が無限個存在するとすれば、はコンパクトであるからボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理により全ての零点の集合は少なくとも1個の集積点を持つことになり、一致の定理から f′(z) は U で 0 となり、f (z) は単葉正則という仮定に反するからである。U  上にz₀以外に零点が存在する場合は、 U  の内部に、その閉包がz₀のみを零点として含む近傍を選んでこれを新たに U と置く(このような操作は零点が有限個であるから可能である)。g (z) = f (z) − f (z₀) と置けば、g (z₀) = 0 であり、g′(z) = f′(z) であるからg′(z₀) = 0 である。従って、m をある自然数として、g (z) = (z − z₀)ᵐ g₁ (z) 、g₁ (z₀) ≠ 0と置くことができる。g′(z) = m (z − z₀)ᵐ ⁻ ¹ g₁ (z) + (z − z₀)ᵐ g₁′(z) であるから、g′(z₀) = 0 であるためにはm ≥ 2 が条件になる。g (z) は 上で零点を持たず、また  はコンパクトであるから、  上の|g (z) | の最小値は正数である。これをα₀とし、その絶対値がα₀より小さな正数となる複素数αを任意に選べば、で |α| < |g (z) |であり、ルーシェの定理から U 上で g (z) とg (z) + α の零点の全位数(位数nの零点はn個として数えた零点の総数)は等しく m となる。h (z) = g (z) + αと置く。 h′ (z) = f′(z) である。h (z₀) = α ≠ 0 であり、h′ (z) は U で z₀以外に零点を持たないので、 U の h (z) の零点の位数は1である（重根を持たない）。 U の h (z)の位数は m (≥ 2) であるからh (z) は U で相異なる位数1の零点を m 個持つことになる。f (z) = h (z) − α + f (z₀) であるから、f (z) は U で同じ値となる相異なる点を2個以上持つことになり、f (z) が D で単葉であるという仮定に反する。(2) g (z) = f (z) − f (z₀) と置き、z₀ の近傍 U を、 はコンパクトで、その上では g (z) の零点が z₀ 以外ないように選ぶ (これは (1)と同じ論議で可能である)。g′(z₀) = f′(z₀) ≠ 0 であるから z₀ は g (z) の1位の零点である。g (z) は  上で零点を持たず、また  はコンパクトであるから、  上の|g (z) | の最小値は正数である。これをα₀とし、その絶対値がα₀より小さな正数となる複素数αを任意に選べば、上で |−α| < |g (z) |であり、ルーシェの定理から U 上で g (z) と g (z) − α の零点の全位数は共に1に等しい。これは |−α| < α₀ であれば U 上で α = g (z) となる U の点 z が唯一存在することを意味する。従って、 V = {z | |g (z) | < α₀} と置けば、 V ⊂ U であり、 V と半径α₀の開円板は1対1対応することになる。つまり f (z) = g (z) + f (z₀)は V 上で単葉である。