1988年、アリゾナ州フェニックス (アリゾナ州)に生まれる。メスキート高校では2005-06シーズンに1試合平均17.5得点、リバウンド数8.5、ブロックショット3.3の成績をあげ、地区最優秀選手と、全州のオナラブル・メンションに選出された。また高校では通算100以上のブロックショットを記録し、メスキート高校史上最多記録を残した。2006年にコネチカット大学に進学し、4年間で123試合に出場、1試合平均5.1得点、3.4のリバウンドだった。最後の2009-10シーズンでは平均10.6得点、6.5リバウンドの成績を残した。
バッハマンはヨーゼフ・ジークムント・オイゲン（Josef Sigmund Eugene）としてケッタースハウゼンに生まれた。音楽教育は父のフランツ・アントン・バッハマン（Franz Anton-）から受けた。彼はその後さらに母方の祖父でビベルバッハ（Biberbach）教区教会の合唱指揮者、オルガニストであったF.J.シュメーガー（Schmöger）の下で、修業を積んだと思われる。彼はエルヒンゲン寺院で学んだ後、1766年からはフルテンバッハ寺院のベネディクト会の修道院で研鑽を積んだ。同年、ビベルバッハにおける12歳の優れたピアノとオルガンの奏者であったバッハマンは、2歳年下のモーツァルトとオルガン勝負を行った。結果は両者が共に高く称賛されるものだったと記録されている。1771年、バッハマンはプレモントレ修道会のマルフタール寺院へと入った。1773年には正式な宗教家となり、宗教名であるジクストゥスを授かった。1778年には司祭に任ぜられる。音楽面では、彼は引き続き独学での修練を続けていた。修道院において、バッハマンは合唱指揮者並びに音楽と神学の講師を務めた。マルフタール寺院はかつてイスフリート・カイザーが活躍するなど、華やかな音楽文化を有していた。バッハマンはゲオルク・ヨーゼフ・フォーグラーの音楽理論書を研究した。彼は1800年には神学の教授職に就任している。彼は1803年にマルフタール寺院から近隣のロイトリンゲンドルフの司祭となった。彼はこの時期に詩人のゼバスティアン・ザイラー（1714年−1777年）の遺作を持ち出している。バッハマンは生涯を通じて精力的に作曲を行った。
2010年1月10日にシンシナティ・レッズと総額3025万ドルの6年契約を結んだ。開幕はAAA級ルイビル・バッツで迎え、先発で起用されるも6月に0勝4敗・防御率5.84と不振に陥り、シーズン途中にクローザーへ転向。8月27日のコロンバス・クリッパーズ戦で105mph（約169km/h）をマークした。8月31日にメジャーに昇格し、その日のミルウォーキー・ブルワーズ戦の8回にメジャー初登板。1回無安打、1奪三振、無失点でメジャーデビューを果たした。投球した8球のうち速球は6球で全て98mph（約158km/h）以上をマークし、最速は球場表示で102mph（約164km/h）を、テレビ中継では103mph（約166km/h）をマーク。翌日にはPITCHf/xで103.9mph（約167.2km/h）をマークし、ジョエル・ズマヤに次ぐ歴代2位の球速と公式に認定され、9月24日のサンディエゴ・パドレス戦で史上最速となる105.1mph（約169.1km/h）を記録。この時に打席に入っていたトニー・グウィン・ジュニアは「目の前を通り過ぎるまで見えなかった」とコメントした。2011年4月18日のピッツバーグ・パイレーツ戦では、球場の表示で106mph（約170.6km/h）をマーク。しかし、テレビ中継の表示では105mph（約169km/h）、PITCHf/xでは102.4mph（約164.8km/h）と計時され、公式記録としては認定されなかった。本人は「調子は良かった。でもスピードのことなんて気にしないで投げている」とコメントし、監督のダスティ・ベイカーは「彼は休み明け、106マイルを出しても不思議ではない」とコメントした。この年の最高球速は103.4mph（約166.4km/h）。2012年は開幕直後に抑えに回り、与四球率を前年よりも大幅に改善するなど38セーブを挙げた。この年の最高球速は102.7mph（約165.3km/h）。2013年の最高球速は104.0mph（約167.4km/h）。2014年1月28日にレッズと500万ドルの1年契約に合意した。スプリングトレーニング中の3月19日に行われたカンザスシティ・ロイヤルズ戦でサルバドール・ペレスの打球が顔面に直撃。翌日左目の手術を行い、投球練習までには10日から14日間かかり、実戦復帰には4週間から5週間かかった。5月10日に故障者リストから外れた。復帰後は例年どおりの調子を取り戻し、54試合に登板した。7月11日のパイレーツ戦で、リリーフとして歴代最高となる40試合連続奪三振を記録し、その後記録を49試合まで伸ばした。54イニングで106奪三振は、9イニングあたりの奪三振率は17.7であり、これは2012年にクレイグ・キンブレルが記録した16.7を上回り、歴代最高記録（50イニング以上が対象）である。この年の最高球速は103.8mph（約167.0km/h）。また、シーズンを通してのフォーシームの平均球速が初めて100mphを超えた。2015年7月19日、史上最速となる292イニングでの通算500奪三振を達成し、クレイグ・キンブレルが持っていた記録を更新した。