岡山県岡山市北区出身。小学校（岡山市立弘西小学校（現・岡山市立岡山中央小学校））、中学校（岡山市立旭中学校（現岡山市立岡山中央中学校））、高校（県立岡山朝日高校）とも法務大臣江田五月と同じである。東京大学法学部にも江田に3年遅れて入学したものの、江田が一旦退学した後に再入学したため、江田より1年遅れての卒業となった。主に刑事裁判畑を歩む。最高裁判所事務総局勤務も長く、司法行政経験が豊富である。第二小法廷所属。1988年、陪審制度研究のため、当時の最高裁長官矢口洪一の命を受けて特別研究員としてアメリカ合衆国へ派遣された。帰国後の報告書は陪審制を徹底的に批判するものだったが、裁判員法成立後は裁判員制度を利用することで司法に国民の信頼を繋ぎとめようと考えるようになった。2008年11月17日、前任の最高裁長官である島田仁郎は、自身の退任記者会見において竹﨑を評して「彼を思うと坂本龍馬が浮かぶ。先を見通す力が抜群に優れている。」と述べた。最高裁判所判事を経験せずに就任した最高裁長官は横田喜三郎以来48年ぶりである。2008年11月25日の就任記者会見で、最高裁判事を経ずに長官に就任したことから小法廷での審理にも関与したいと述べ、2009年3月9日、福島県青少年保護育成条例違反被告事件で裁判長として上告棄却判決を言い渡した。司法行政としては、2009年に司法修習生の国籍条項を撤廃した（最高裁は司法修習生について、1977年に国籍条項は残したまま「相当と認めるものに限り、採用する」との方針を示していた）。また、刑事部門の判検交流を2012年度から廃止した。最高裁長官として国政選挙の一票の格差問題にも取り組み、2011年3月23日に衆院選選挙区の議席配分の基準となる1人別枠方式について2009年衆院選の時点においてもはや合理性を有しておらず憲法違反となっているとの判断を、2012年10月17日に2010年参院選に関して参院選選挙区（旧地方区）における都道府県単位を選挙区とする選挙制度に否定的な判断を、最高裁大法廷裁判長として最高裁判決を出した。香川県選挙管理委員会委員長で百十四銀行会長の竹﨑克彦は実兄であったことから、2009年の衆院選の訴訟における2010年9月の最高裁審理では、高松高裁判決の上告案件部分については克彦が被告である選挙管理委員会の代表者であることから回避を行っている。最高裁長官としての任期は70歳の誕生日を迎える前日の2014年7月7日までであったが、2014年2月26日、突如として依願退官することを表明し、同年3月末日に任期を3ヵ月余り残して退官した。任期途中で最高裁長官が退官するのは異例であり、過去には草場良八が任期の8日前に依願退官したケースしかない。最高裁長官在任中、個別意見（補足意見・意見・反対意見）を一つも書かなかった。最高裁長官に就任した人物が長官在任中に一度も個別意見を残さなかったのは、初代長官の三淵忠彦以来である。ただし、最高裁判事→最高裁長官と任命された者で、最高裁判事時代に個別意見を書き、長官時代には書かなかった者は存在する。趣味は園芸と音楽鑑賞。以前は渓流釣りも趣味としていた。
1958年12月、ニュース・スポーツ・音楽を編成の三本柱とした開局したラジオ関東（当時）が、翌1959年シーズンより在京局に先駆けて完全中継を行って以来の同局の看板番組。第1回は同年5月2日に平和台野球場で開催された西鉄ライオンズ対大毎オリオンズ。この年は巨人戦48試合を中心にしたセ・リーグ55試合、パ・リーグ48試合、その他オールスター2試合の合計105試合を送った。1977年10月に同局が読売新聞ニュースを放送する見返りとして、読売ジャイアンツ主催ゲームを独占中継する事となり、1979年シーズンより番組タイトルを従来の「ラジオ関東バッチリナイター（ - かんとう - 、Radio Kanto Bacchiri Nighter）」から「ラジオ関東ジャイアンツナイター」へ改称。巨人軍を徹底的に追い掛ける番組となった。2005年までは「絶対巨人主義!!」をキーワードに、ニッポン放送・文化放送が独占中継権を持つヤクルト主催ゲームを除く巨人戦のほぼ全試合を完全中継した。2006年以降はビジターの試合中継数は減少している。なお、祝日にデーゲームを生放送する場合でもタイトルの変更はせず、「ジャイアンツナイター」のまま放送する。クライマックスシリーズに関しては巨人が出場するステージのみ放送するが、シーズンと同様の放映権の制約があるうえ、巨人が関与していてもビジター扱いとなるステージは中継しないこともある。また、巨人主催の場合でも、デーゲーム開催の場合はシーズン中と同様競馬中継を優先する（体育の日の祝日デーゲームの場合も、競馬が開催される場合は競馬中継を特番として放送する）。2009・10年はライブチャット配信サイト「スティッカムJAPAN」で、2011年はUstreamにラジオ日本のIDを立ててジャイアンツナイターをインターネットラジオで放送した（デーゲーム試合開催時は、サイト上でライブ配信を行い、ラジオでの放送は中央競馬実況中継と重なるため録音での放送となる)。2006年8月には、ラジオ業界初の試みとして、アメリカ・グアムのFM局FM104での生中継を実施した。2009年シーズンより基本的に土曜・日曜の巨人ビジターゲームは中継せずレインコート番組を放送するようになった（2011年以後は金曜日から始まる3連戦が巨人ビジターとなる場合は対戦相手に関わらず金曜日も放送されず、レインコート番組を編成。2015年度は火-木曜に巨人ビジターカードが組まれる場合であっても放送されない試合が増えていた）。また土・日曜の巨人主催デーゲームはぎふチャンへ裏送り生中継を開始した。さらに甲子園球場や大阪ドームなどの関西地区の試合もラジオ日本制作となった。ただし、2014年まではラジオ日本の実況+ラジオ関西と契約した解説者の組み合わせとなることはあった。また2015年度以降、土・日・祝日に巨人主管のデーゲームがある場合のRF自社製作による録音ナイターと、GBS向けの事前の裏送り生中継は実施しないようになった。したがって巨人主管のデーゲームが行われる場合は、放送不可となるビジターの試合日とほぼ準じる形でレインコート番組を組むことになる。このため、関東地区において巨人戦の放送を聞くことができない場合が発生するようになった（この場合、対戦相手の球団の本拠地に当たる地域のラジオ局で中継していれば、有料会員制「radikoプレミアム」で聴取できる）。なお、RFでは2016年・2017年はTBSラジオおよびJRN加盟各局で放送する巨人戦中継の制作に協力し、RFの自社制作による巨人のホームゲーム中継の一部をJRN加盟各局に送出した。またTBS以外のJRN加盟各局が制作する巨人のビジターゲーム中継の一部を同時ネットした。このため、当番組で放送する巨人戦の試合数は、この2年間は一時的に増加した（後述）・。しかし、2017年限りでTBSラジオがナイター中継放送から撤退したため、提携も終了。2018年は中継体制が2015年以前に近い形に戻ることになった。後述。