襲名のきっかけは、自身がバラエティ番組などのメディア活動ではある程度の評価を得ているのに対し、寄席や落語会等に出て本業の落語を披露してもウケないことに悩んでいたころ、鈴本演芸場の席亭から「新しい名前を襲名したらどう?」と言われ、本人はてっきり父の使用していた名跡「林家三平」を継ぐものだと思っていたが、後々、祖父が7代目として使用した名跡「林家正蔵」の9代目だという事を聞かされる。これは8代目と海老名家の約束であるためだが、本人は正蔵襲名を目標としていなかった。本人は断るつもりだったが周囲の薦めで襲名することになったという。また、襲名の際は上方では真っ先に3代目桂南光に相談をしている。先述の通り、若くしてタレント活動に重点を置きながら、半ば「七光り」のような形でビッグネームを襲名したものの、テレビでの「だめなボンボン」のイメージは払拭したとは言い切れず、また女性、金銭などで「チョンボ」も多いことから、同業者からは才能の欠片もない「できない落語家」の代名詞としてネタにされることが多い。ただし、襲名決定後、高座に積極的に取り組んでいる。小朝によると、正蔵は襲名に備えて3年間で50席の古典落語を覚えたという。正蔵の襲名に関して否定的な意見がマスコミや落語関係者以外から挙がっていることについて、「まずは彼の落語を聴いてから文句を言って欲しい」ともコメントしている（以上『笑点』正蔵襲名披露口上での小朝の発言）。ちなみに、「こぶ平」の名前は、自身の子息が弟子入りを希望した際に名乗らせたいとしている。2013年に弟子入りした長男・泰良は現在のところ「林家たま平」を名乗っている。
初代林家三平と海老名香葉子の長男。実姉は、元女優の海老名美どりとシンガーソングライターの泰葉で、実弟は落語家2代目林家三平。祖父は7代目林家正蔵。伯父は釣竿職人の中根喜三郎（母・香葉子の兄）。下嶋兄は甥。正蔵の実子・泰良（やすよし）も噺家として正蔵に弟子入りし、自身の協会副会長就任後の2014年8月に「林家たま平」として落語協会前座となる（2017年11月に二つ目昇進）。
2006年（平成18年）7月20日に富田が生前に昭和天皇、および側近の発言などを記録した日記が遺族によって日本経済新聞に一部が公表された。いわゆる「富田メモ」である。「昭和天皇が靖国神社が戦争責任者であるA級戦犯を合祀したことに不快感を抱いたために、1975年11月21日の参拝を最後に靖国神社へ行くことを止めた」といった内容だとされ、その解釈をめぐり議論を呼んだ。
1988年（昭和63年）6月14日宮内庁長官を辞任し、後任には、同次長の藤森昭一が昇格した。以後、宮内庁参与、国家公安委員会委員などの公職や財団法人菊葉文化協会理事長、財団法人昭和聖徳記念財団理事を務め、昭和天皇の聖蹟について講演活動を行うなど皇室を見守った。
昭和62年（1987年）昭和天皇は、十二指腸乳頭周囲癌の治療のため、バイパス手術を行うこととなったが、富田は歴代天皇最初の開腹手術の実施を宮内庁長官として決断した。かつては直接の鍼灸さえもためらわれた天皇の開腹手術は衝撃的な出来事であった。
父は富田朝一（東北帝国大学水産学科＝現北海道大学水産学部卒業）。岳父は島本融。政治学者の富田広士は長男。 沖縄反基地運動家の富田晋は孫。
内務省を経て、警察庁に入り警視庁交通部長、警察庁長官官房長、警察庁警備局長を歴任する。警備局長時代の警察庁長官は後藤田正晴であさま山荘事件などを担当した。その後、警視庁副総監、内閣調査室長を経て、1974年（昭和49年）11月26日宮内庁次長、1978年（昭和53年）宮内庁長官に就任した。1992年（平成4年）11月3日勲一等瑞宝章受章。平成15年（2003年）11月13日、心不全のため東京都内の自宅で死去した。83歳没。叙・正三位。
函館中学、旧制二高を経て、昭和18年（1943年）東京帝国大学法学部を卒業後、海軍を志願し、同年9月30日海軍三校のひとつ海軍経理学校に入学。
嘉永2年（1849年）3月15日、久保田城下（現、秋田県秋田市）に生まれる。若くして久保田藩の右筆を務めた。明治維新後、太政大臣に士族授産を建議し、容れられて明治12年（1879年）、秋田県に秋成社をおこした。以後、帰農した130名の士族とともに秋田県河辺郡大張野の開拓に従事し、養蚕や機業を奨励し、さらに養蚕所や農学校を開設した。一方で、同県南秋田郡将軍野の開拓にもたずさわっている。明治14年（1881年）8月13日、気吹舎の門人であった小谷部甚左衛門らが、秋田市日吉八幡神社境内に平田篤胤を祀る「平田神社」の創建を秋田県令石田英吉に願い出ているが、氏熟もそれに名を連ねた。平田神社は、今日の彌高神社にあたる。明治23年（1890年）、久保田城址が陸軍省から旧藩主佐竹氏に払い下げられ、うち本丸・二の丸部分は秋田市が佐竹氏から借り受け、公園とすることが決まった。これが現在の千秋公園であるが、明治25年（1892年）、氏熟らの「有終会」は、桜の苗木1170株を公園に植栽するため、市に寄贈している。明治28年（1895年）7月16日、第2代秋田市長に就任した。同年11月22日、市長を辞任。明治35年（1902年）、秋成社解散ののち、秋田県勧業課長・第四十八国立銀行取締役・秋田電気取締役などを歴任し、地方の産業発展のため力を尽くした。大正元年（1912年）10月、氏熟は、安政から慶応にかけて（1855年 - 1867年）、久保田藩士であった平田銕胤・延胤（当時はすでに2人とも故人）が京都・江戸に奔走し、国事秘密を探偵して藩主佐竹義堯に奉じた自筆報告の書である『風雲秘密探偵録』（東京大学史料編纂所所蔵）の序文を書いている。昭和7年（1932年）1月9日死去。84歳。