釣りや延縄、各種の網など沿岸漁業で漁獲されることがあるが、鋭い歯で網や釣り糸を切断したり、暴れて網をもつれさせたりする上、水揚げしても咬みついてくる危険が大きいので十分に注意を要する。釣り上げた場合には道糸ごと切断して逃がす釣り人もいる。生息するほとんどの地域では利用されないが、食用にする地域も各地に点在する。日本では南房総・紀伊半島・四国・九州・沖縄、中国では福建省・広東省・海南省などでウツボ漁が行われている。多くは長い筒状の筌（うけ）を多数海底に沈めて漁獲し、この中に餌を入れて誘い込む場合もある。これらの筌は地方によって「うつぼ篭」「戻り篭」「もんどり」などと呼ばれる。地域によって食用にする種には違いがある。ウツボ属の魚でも骨などが多く食用に適さない種類やドクウツボのようにシガテラ毒を持つものもおり、大型個体を食用にする際は咬みつきに加え中毒にも注意が必要となる。厚い皮と小骨があって調理に手間がかかるが、白身で美味とされている。ハモと同様に骨切りを行うことが多い。地方により食べ方も異なる。日本ではウツボ、ドクウツボ、トラウツボなどを漁獲し、刺身、湯引き、たたき、干物、蒲焼、煮魚、鍋料理、天ぷら、佃煮などで食用にする。千葉県館山市相浜地区では、房州弁で「ナマダ」と呼ばれ、開いてタワシでこすったあと、塩漬けして天日干しにする。和歌山県南部では正月料理の食材として珍重される。すさみ町ではウツボの干物を千切りにして唐揚げにした後、水飴と醤油のタレを絡ませたウツボの揚げ煮が間食的に食べられているが、サビウツボやワカウツボなど、他の種は小骨が多いなどの理由で食用にされない。中国の広東料理ではアセウツボやマメウツボなどを「油追」（ヤウジョイ yau4jeui1）と称し、唐揚げやスープなどにする。食用以外にも、厚く丈夫な皮膚をなめし、皮革として利用することがある。また、体色が多種多彩なこと、大きな威嚇の動作をすること、共生動物が多いこと、前述した様に餌に釣られることなどから、スキューバダイビングなどでは観察や撮影の対象となりやすい。
全てが温暖な地域の浅海に生息し、特にサンゴ礁や岩礁に生息する種類が多い。一部の種類はマングローブを含む汽水域や淡水域にも侵入する。表皮が湿っていれば粘膜を介した皮膚呼吸によって30分ほどは水中でなくても活動が可能なので（日本に居る種でも）、強力な嗅覚で、潮溜まりに這い上がって小魚を狩ったり、岩場で魚をさばいている釣り人のところへ上がってきたりすることがあり、注意を要する。基本的には巣穴からあまり動かず、岩陰や洞窟に潜んで獲物を待ち伏せるが、夜になると海底近くを泳ぎ回ることもある。食性は肉食性で、魚類・甲殻類・頭足類などの小動物を大きな口で捕食する。特にタコ類にとっては有力な天敵の一つとなっている。またテトラポッドや岩礁の食物ピラミッドの頂点である。自分より大きな敵が近づいた時は大きな口を開けて威嚇し、それでも敵が去らない場合は咬みつく。毒はないが歯は鋭く顎の力も強いので、人間が咬みつかれると深手を負うことになる。ウツボ類の分布域では、潜水や釣りなどの際に十分な注意が必要である。ただし見た目のイメージと違い臆病な所もあり、人間の側から無用な攻撃や接近をしない限りは積極的に噛み付いてくることは少ない。潜水中にウツボと遭遇した際にはゆっくりと離れれば攻撃を受けることは少ない。またダイバーが魚の切身や魚肉ソーセージ等の餌を見せると、巣穴から出てきてそれに喰らいつくことがある。ダイバーに慣れたウツボの中には巣穴から出てきて餌をねだったりする行動も見られる。他の動物にとっては危険な肉食魚ではあるが、ウツボ類の周囲にはオトヒメエビ、アカシマシラヒゲエビ、ゴンズイの若魚、ホンソメワケベラなどの小動物が見られる。これらはウツボ類の皮膚表面や口の中の寄生虫を掃除することでウツボ類と相利共生しており、ウツボ類もこれらの小動物を捕食することはまずない。また、イセエビ類とも相利共生の関係にあり、この場合は、イセエビは天敵であるタコから守ってもらえ、ウツボの方は大好物のタコがイセエビに吊られて自分から寄ってきてくれるというものとなっている。サンゴ礁付近ではハタ類と協力して狩りを行うことも報告されている。またウツボ類の食事のおこぼれにあずかろうと多くの小魚がウツボの採餌についていくといった行動も観察されている。
対角化可能でない行列の場合にはジョルダン標準形が利用できる。 すべての固有値が正の実数であるような任意の複素行列が、同じ条件の平方根を持つことを見るには、ジョルダンブロックの場合に証明すれば十分である。そのようなブロックは実数 λ > 0 および冪零行列 N を用いて λ(I + N) の形に書ける。平方根の二項級数展開 (1 + z)1/2 = 1 + a₁ z + a₂  z² + ⋯（収束域は |z| < 1）に対し、形式冪級数としての平方は 1 + z に等しい。z を N に置き換えれば、冪零性により有限個を除く全ての項は零となり、S = √λ(I + a₁ N + a₂ N² + ⋯) が固有値 √λ に属するジョルダンブロックの平方根を与える。一意性を見るには λ = 1 の場合に確認すれば十分である。上で構成した平方根を S = I + L の形に書けば、L は定数項を持たない N の多項式である。固有値が正の実数となる他の任意の平方根 T は T = I + M の形で M が冪零かつ N と（したがって L と）可換となるようにとれる。しかしこのとき 0 = S² − T² = 2(L − M)(I + (L + M)/2) であり、また L と M の可換性により L + M は冪零ゆえ I + (L + M)/2 は可逆（逆行列はノイマン級数で与えられる）となるから、したがって L = M.すべての固有値が正の実数であるような行列 A の最小多項式を p(t) とするとき、A の一般固有空間へのジョルダン分解は p(t)⁻¹ の部分分数分解から導かれる。すなわち、対応する一般固有空間の上への射影は A の実係数多項式として与えられ、各固有空間上で A は上記の通り λ(I + N) の形をしている。固有空間上での平方根の冪級数展開は、A の主平方根が実係数多項式 q(t) に対する q(A) の形をしていることを示すものである。