立憲君主制期のエジプトでは、1918年頃の独立運動時に独立を求めた民族主義運動派がサアド・ザグルールを中心にワフド党を結成し、王党派およびムハンマド・アリー朝王家との間の対立が当時の政治を動かした。1919年にエジプト革命を起こし、1922年にエジプトは独立を達成し、1924年には当時の政権に就いた。1936年には第二次世界大戦に備えてエジプトとの関係を改善したいイギリスとの間で同盟条約を結んでイギリス軍の駐留を縮小させることに成功した。しかし、1952年のムハンマド・ナギーブ、ガマール・アブドゥン＝ナーセルの自由将校団によるエジプト革命が起こり、他の政党とともに解散を命じられ、政治活動を禁止された。
藤沢は数学では菊池大麓についで2人目の日本人教授であった。教育行政などの政治的方面で忙しかった菊池に対し、藤沢は初めて研究論文を書き続けた日本人数学者と云われている。藤沢は大学数学科教育の改革に尽力し、ドイツ式のゼミナールを導入して後進の指導に当たり、高木貞治などの優れた数学者を生み出した。また中等数学教育にも力をいれ、中学校向け数学教科書を多数編纂し、多くの中学校・師範学校で使われた。またその一方で、西欧の純粋数学を移入するだけではなく、応用である統計学を紹介して、日本の諸統計を用いて「本邦死亡生残表」をつくって生命保険業発足に貢献し、第1回普通選挙（1928年、第16回衆議院議員総選挙）の結果の出来るだけ正確な統計を取って分析し、選挙法改正に役立たせるなどの活動も行った。
整数 Z が加法についてなす群と、すべての偶数からなる部分群 2Z を考える。これは Z が可換群なので正規部分群である。剰余類は2つしかない：偶数全体の集合と奇数全体の集合である；したがって、商群 Z/2Z は2つの元を持つ巡回群である。この商群は2を法とする加法をもつ集合 {0, 1} に同型である；インフォーマルには、Z/2Z は2を法とする加法をもつ集合 {0, 1} に「等しい」と言うこともある。この例を少し一般化する。再び整数が加法についてなす群 Z を考える。n を任意の正整数とする。n のすべての倍数からなる Z の部分群 nZ を考える。Z は可換なのでその部分群 nZ は正規である。剰余類たちの集合は {nZ, 1 + nZ, ..., (n − 2) + nZ, (n − 1) + nZ} である。整数 k は、k を n で割った余りを r とすると、剰余類 r + nZ に属する。商 Z/nZ は n で割った「余り」の群と考えることができる。これは位数 n の巡回群である。1 の 12 乗根全体を考えると、これは単位円周に乗っているが、乗法についてアーベル群 G をなす。数が色つきの点で偏角とともに絵に描かれている。赤い点で示されている、1の4乗根全体のなす部分群 N を考える。この正規部分群は群を赤、緑、青で示されている、3つの剰余類に分ける。剰余類たちが3元からなる群をなすことを確認できる（赤の元と青の元の積は青、青の元の逆元は緑、など）。したがって、商群 G/N は3色の群で、3つの元をもつ巡回群であることが分かる。実数が加法についてなす群 R とその整数からなる部分群 Z を考える。R における Z の剰余類はすべて、0 ≤ a < 1 を実数として a + Z の形の集合である。そのような剰余類を足すことは対応する実数を足し、結果が 1 以上ならば 1 を引くことによってなされる。商群 R/Z は円周群 S¹ に同型であり、これは絶対値 1 の複素数が乗法についてなす群、あるいはそれに対応して、2次元で原点についての回転のなす群、すなわち特殊直交群 SO(2) である。同型は f(a + Z) = exp(2πia) によって与えられる（オイラーの公式を参照）。G が可逆 3 × 3 実行列全体の乗法群で、N がその行列式 1 の部分群であるとき、N は G において正規である（なぜなら行列式を取る準同型の核なので）。N の剰余類は与えられた行列式を持つ行列全体の集合であり、したがって G/N は非零実数のなす乗法群に同型である。群 N は特殊線型群 SL(3) と呼ばれる。アーベル群 Z₄ = Z/4Z（すなわち 4 を法とする加法をもつ集合 {0, 1, 2, 3}）とその部分群 {0, 2} を考える。商群 Z₄/{0, 2} は {{0, 2}, {1, 3}} である。これの群の単位元は {0, 2} であり、群の演算は {0, 2} + {1, 3} = {1, 3} などとなる。部分群 {0, 2} と商群 {{0, 2}, {1, 3}} はともに Z₂ に同型である。乗法群  を考える。n 乗剰余の集合 N は  に同型な乗法的部分群である。このとき N は G で正規であり、商群 G/N は剰余類 N, (1+n)N, (1+n)²N, ..., (1+n)ⁿ⁻¹N である。Paillier暗号は G のランダムな元の剰余類を n の因数分解を知らずに決定することは難しいという予想に基づいている。