波形の最大周波数の2倍を超えた周波数で標本化すれば完全に元の波形に再構成される。標本化とは、数学的には連続関数の値からある点の値だけを標本として取り出して離散関数に変換する操作であり、与えられた連続関数と標本化関数の積を求めることと等しい。標本化関数とは、ある離散値（連続でない、飛び飛びの値）xに対してのみg(x)=1となり、その他のxに対してはg(x)=0となるような関数である。対象となる関数f(x)と標本化関数g(x)の積を取ると、関数が得られる。g(x)=1となるxに対してのみとなり、その他のxに対してはh(x)=0となる。標本化定理とは、ある関数f(x)をフーリエ変換した関数F(s)の成分（スペクトル）が、の範囲でF(s)=0であるような関数f(x)に対して、に相当する周期より小さい周期をもつ標本化関数で標本化したときに得られる関数は、そのスペクトルのうちが原関数のスペクトルに一致するというものである。工学的には、原信号に含まれる最大周波数成分を f とすると、2f よりも高い周波数  で標本化した信号は、低域通過（ローパス）フィルターで高域成分を除去することによって原信号を完全に復元することができるということを示している。たとえば原信号に含まれる周波数が最高で f=22.05kHz だった場合、=44.1kHz よりも高い周波数で標本化（1秒間に44100回超、値を取得）すれば、原信号を完全に復元することができる。原信号が復元可能な最大周波数  を「ナイキスト周波数」と言い、ナイキスト周波数の逆数を「ナイキスト周期」と言う。標本化周波数が 2f 以下であった場合、原信号にはない偽の周波数  がエイリアス信号として、復元信号に現れる。よって、連続信号の標本化においては、ナイキスト周波数 2f よりも高い周波数で、標本化を行わなくてはならない。なお、アナログ信号からデジタル信号への変換については、標本化のほかに量子化が必要である。
標本化定理（ひょうほんかていり、英: sampling theorem: サンプリング定理とも）はアナログ信号をデジタル信号へと変換する際に、どの程度の間隔で標本化（サンプリング）すればよいかを定量的に示す定理。情報理論の分野において非常に重要な定理の一つである。
何人かの研究者は、立方体グラフに限定された指数関数時間アルゴリズムの計算量についての研究を行っている。例えば、グラフのパス分解に動的計画法を適用することにより、Fomin と Høie は時間 O(2) 内に彼らの最大独立集合を見つける方法を示した。巡回セールスマン問題は、立方体グラフによって時間 O(1.251ⁿ) 内に解くことが出来る。いくつかの重要なグラフ最適化問題はAPX困難である。すなわち、それらには近似率がある定数で評価されるような近似アルゴリズムが存在するが、（P=NPでない限り）近似率が 1 へと向かうような多項式時間近似スキームは存在しない。そのような問題には、最小の頂点被覆を見つける問題や最大独立集合、最小支配集合、最大カットを見つける問題などが含まれる。立方体グラフの交叉数（任意のグラフ描画において交叉する辺の最小数）もまた、NP困難であるが、近似出来ることもある。
任意の n-頂点立方体グラフのパス幅は、最大でも n/6 である。しかし、立方体グラフのパス幅の知られている下界のうち最良のものは、より小さく、0.082n である。グラフ理論を初めて扱った、1736年のレオンハルト・オイラーによる論文の一部分において証明された握手補題によると、すべての立方体グラフの頂点の数は偶数であることが分かる。ジュリウス・ピーターセンの定理は、橋の無いすべての立方体グラフには完全マッチングが存在する、というものである。ロヴァースとプラマーは、すべての橋の無い立方体グラフには、指数関数的な数の完全マッチングが存在すると予想した。この予想は近年、すべての橋の無い n 頂点立方体グラフには少なくとも 2n/3656 個の完全マッチングが存在する、という結果とともに証明された。
12歳の時に『六論』を書いたという。1057年に欧陽脩が主催する科挙の試験に、蘇軾・蘇轍の兄弟とともに合格し、以後の文風を一新させたことで有名。太平州司法参軍となり、中央に入って編校史館書籍（中央図書館）・館閣校勘・集賢校理・英宗実録検討官となる。地方に再度出て、越州・通州の通判、斉州・襄州・洪州・福州・明州・亳州などの知州を歴任し、よく民政に心を用い治績をあげた。斉州の知州をやめるときには、民衆がこれを惜しんで橋を壊し門を閉ざして去らせまいとしたので、夜に乗じてかろうじて去ることができたといわれる。ついで判三班院となったときに、国家の財政が近年になって膨張したことを憂いて上奏し、経費削減の必要を説いた。仁宗はこの意見を嘉納し、「五朝の治績は、曾鞏に判断させるのがよい」と言い、史館修撰に任命した。1082年に中書舎人となり翌年4月に没する。遠縁の姻戚関係にある王安石とは、1041年頃に直接知り合い、以後、終生親しい交友が続いた。ただ、弟の曾布は新法党の有力な一員であったが、曾鞏自身は新法に対して批判的だった。安石に直接、懇切な手紙を送りその反省をうながしたこともある。地味な人柄も手伝って官界ではあまり出世できず、その散文も華麗さには欠けるが、堅実な議論の展開が特徴で、清の桐城派の古文家・姚鼐は「曾公は能くその短とするところを避けて犯さず」と評している。唐宋八大家の一人で、序跋や雑記の類で優れているものが多く、古代の典籍の整理校勘に従事した時代の作、『戦国策目録の序』が有名。詩文集に『元豊類藁』50巻・『続元豊類藁』40巻・『隆平集』30巻がある。古典籍の校訂・保存にも尽力し、現存する『戦国策』33篇本のテクストは曾鞏が再校訂を施したものである。