を変数とする多項式に対し、の形で表される微分方程式を代数的微分方程式という。ガンマ関数はいかなる代数的微分方程式も満たさないことが知られている。ヘルダーが1887年に最初に証明を与えた後、E. H. ムーア、A. オストロフスキ 、E. バーンズ、ハウスドルフにより、別証明や一般化がなされた。
次の恒等式をガウスの乗法公式(multiplication formula)という。この証明を示す。両辺の比をとすると故に、任意に大きな自然数についてが成立する。スターリングの公式により途中でを適用した。であり、故にが成立する。
次の恒等式を相反公式(reflection formula)という。相補公式とも呼ばれる。この恒等式はオイラーの乗積表示から得られる。この分母は正弦関数の無限乗積展開であるから、である。相反公式にを代入すればとなりを得る。
での漸近展開として、ガンマ関数はスターリングの公式で近似される。この漸近近似は複素平面全体(負の実数を除く)で成立するが、に近づくにつれ近似の誤差が大きくなる(極限の収束が遅くなる)ため、応用上は相反公式などを用いて程度に制限することもある。
極座標表示を用いると、実軸の上側に沿う部分はでからまで、原点を回る部分はでからまで、実軸の下側に沿う部分はでからまでとなる。とするとでであるからである。しかし、左辺の被積分関数はが有界であるかぎり正則であるから、左辺は複素平面全体に解析接続する。従って、である。とすれば、同様にしてを得る。また、相反公式により、を得る。
ガンマ関数は次の周回積分で表される。積分経路は正の無限大から実軸の上側に沿って原点に至り、原点を正の向きに回り、実軸の下側に沿って無限大に戻るものとする。但し、その偏角はとする。これをハンケルの積分表示と呼ぶ。このハンケルの積分表示は、積分経路を適当に変形し、数値積分でガンマ関数の値を求めるために使われることがある。
実部が正となる複素数 z について、次の積分で定義される関数をガンマ関数と呼ぶ。この積分は、ルジャンドルの定義にしたがって、第二種オイラー積分とも呼ばれる。元は階乗の一般化としてオイラーが得たもので、Γ という記号は、1814年にルジャンドルが導入したものである。それ以前は Π(x) などと表記していた（ただし Π(x) = Γ(x + 1)）。一般の複素数 z については、解析接続もしくは次の無限乗積で定義される。
数学においてガンマ関数（ガンマかんすう、英: Gamma function）とは、階乗の概念を複素数全体に拡張した特殊関数である。互いに同値となるいくつかの定義が存在するが、1729年、数学者レオンハルト・オイラーが無限乗積の形で、最初に導入した。
浅草橋1丁目から5丁目まで設けられている。人形やビーズアクセサリー、雑貨、店舗用品等を取り扱う会社・店舗が多く建ち並んでいる。「浅草地域」の一部ではあるが、住居表示上の浅草とは蔵前、寿をはさんで約1.5km離れている。
細胞培養・細胞操作用には特に位相差倒立顕微鏡が用いられる。これは下からシャーレなどを覗き込むようにして観察できる構造とした顕微鏡で、シャーレ上の細胞の扱いなどに特化している。位相差電子顕微鏡が現在開発途上にある。位相板として炭素薄膜が有望視されている。
サトゥク・ボグラ・ハンがイスラム教に改宗する前のカラハン朝では仏教が主流であり、ほかにマニ教、ネストリウス派キリスト教、シャーマニズムなどが信仰されていた。サトゥク・ボグラ・ハンの改宗に関する最古の記録は14世紀初頭の文献内で引用された11世紀の史料に遡るが、この時点で既にサトゥクの改宗には伝説的な脚色が加えられていた。アラブの歴史家イブン・アスィールは960年に200,000戸のテュルクの集団改宗が起きたことを記録しているが、この記述はサトゥクの息子ムーサーの時代にカラハン朝が完全にイスラームを受容したことの表れだと考えられている。カラハン朝の君主がイスラム教に改宗した理由について、信徒に対して団結を求めるイスラームの教義、「聖戦」や「殉教」といった概念が支配の維持、勢力の拡大に貢献できる側面が指摘されている。サトゥク、ムーサーの時代にカシュガルで行われた強制的なイスラームへの改宗は国内の他の宗教の信徒の反発を引き起こし、于闐、天山ウイグル王国などの仏教国との関係を悪化させる。ムーサーは王位を巡る争いの中で強制的な改宗を進め、改宗政策においてはニーシャープール出身のスーフィー（神秘主義者）・カリマティが大きな役割を果たした。カラハン軍が于闐を破ってホータンを占領した後、城砦は破壊されたが、仏教寺院は破壊されずにモスクに改築された。1141年のカトワーンの戦いでカラハン朝がカラ・キタイに敗れた後、ベラサグンに近いセミレチエの地にカラ・キタイの軍隊が駐屯した。東西のカラハン朝はカラ・キタイの臣従国として存続し、徴税と定住生活を送るイスラム教徒の監督を命じられた。カラ・キタイの支配者層は仏教を信仰していたが、支配地の信仰には寛容な姿勢を取っていた。東カラハン朝の首都カシュガルはイスラム教の文化と権威が保たれながらも、東方におけるネストリウス派のキリスト教徒の中心都市となった。チュイ川の渓谷では、カラ・キタイへの従属時代に建てられたキリスト教徒の墓石が発見された。