立方体グラフのハミルトン性については多くの研究結果がある。1980年にP.G. テイトは、すべての立方多面体グラフはハミルトン閉路を持つと予想した。このテイトの予想に対する反例は、ウィリアム・トーマス・トゥッテの 46-頂点タットグラフによって、1946年に挙げられた。そのトゥッテは 1971年、すべての 2部立方体グラフはハミルトンであると予想した。しかし、ジョセフ・ホートンは 96-頂点ホートングラフをこの反例として挙げた。その後、マーク・エリンガムはさらに二つの反例を挙げた：エリンガム-ホートングラフである。未だに解決のなされていない、テイトとトゥッテの予想の組合せであるバーネットの予想では、すべての二部立方多面体グラフはハミルトンである、としている。立方体グラフがハミルトンであるとき、LCF表記によってそれを正確に表現することが出来る。すべての n-頂点立方体グラフの中から一様にランダムに一つの立方体グラフが選ばれるとき、それはハミルトンであることが非常に多い： n が無限大へと向かう極限において、n-頂点立方体グラフがハミルトンである割合は 1 となる。デビッド・エプシュタインは、すべての n-頂点立方体グラフは多くとも 2ⁿ/3 個（およそ 1.260ⁿ 個）の異なるハミルトン閉路を含むと予想し、そのような多くの閉路を含む立方体グラフの例を提供した。異なるハミルトン閉路の数について証明された最良の上界は、1.276ⁿ である。
立方体グラフは位相幾何学の分野において、いくつかの方法によって自然に現れる。例えば、1-次元CW複体であるようなグラフを考えた時、立方体グラフは、そのグラフの 0-スケルトンと最大 1-セル接着写像が互いに素であるようなジェネリック（generic）である。立方体グラフはまた、どの頂点においても三つの面が接している正十二面体のような、三次元における単純多面体のグラフとして構成される。二次元平面上の任意のグラフ埋め込みは、graph-encoded map として知られる立方体グラフの構造によって表現される。この構造において、立方体グラフの各頂点は埋め込みの旗、すなわち、互いに付帯した頂点、辺および平面の表面からなる組を表す。各旗の三つの隣（neighbor）は、その組の内のどれか一つを変更し、他の二つはそのままにしたものとして得られるような三つの旗である。
グラフ理論によると、完全グラフ K₄ 以外のすべての立方体グラフは、多くとも 3色によって彩色される。したがって、K₄ 以外のすべての立方体グラフは、少なくとも n/3 個の頂点の独立集合を持つことになる。ここで n はそのグラフ内の頂点の数とする：例えば、3-彩色における最大の色の類は、少なくともこのくらい多くの頂点を含む。ビジングの定理によると、すべての立方体グラフは、その辺彩色のために 3色か 4色を必要とする。3-辺彩色はテイト彩色として知られ、そのグラフの辺を三つの完全マッチングへと区分する。ケーニヒの線彩色定理によれば、すべての2部立方体グラフにはテイト彩色が存在する。テイト彩色が存在しない、橋のない立方体グラフはスナークとして知られる。ピーターセングラフや、ティーツェのグラフ、ブラヌサスナーク、フラワースナーク、ダブルスタースナーク、スゼッケルスナーク、ワトキンススナークなどが、これに該当する。スナークは無数に存在する。
商業及び武雄温泉等による観光業が中心である。1998年に大型商業施設のゆめタウンが進出し、この影響で武雄温泉通り商店街をはじめとする市内各地の商店の閉鎖やスーパーマーケットの撤退が続き、空洞化が問題となった。2004年に地場大手で創業地である市内に本部があるオサダの破綻、2007年に創業店の武雄店も閉店した。その後、新たに閉店された数店舗に新たにスーパーマーケットが進出して新たに開店、さらに複合商業施設（メリーランド武雄・アクロスプラザ武雄）が相次いでオープンした。武雄温泉通り商店街も空き店舗対策や独自に「楼門朝市」や「灯篭まつり」などのイベントを行うなど奮闘している。また、市内の物産館などの店舗で前述のレモングラス・イノシシ肉の加工品の販売と食材に利用して市内の飲食店で提供している。2011年11月に武雄市が通販サイトF&B良品を開設、武雄市の特産品などの販売を開始したが、武雄sg、自治体特選ストア武雄を経て2018年3月29日をもって終了した。武雄市の観光客数は1975年から増減があるものの現在まで増加傾向にある。武雄市の観光客数推多をみると、1987年の武雄北方ICが供用開始などによる交通利便性の向上により1990年に観光客数が急増し、1999年に佐賀県立宇宙科学館がオープンしたことによって2000年の観光客数が大きく増加していると考えられる。しかし、最近の動向としては減少傾向にある。日帰り観光客数は年々増加する一方で、宿泊客数は減少している。その傾向を示して、2004年に武雄温泉楼門の目前に建ち明治時代創業の歴史があった「ホテル武雄館」、2007年に北ヶ倉山頂にあり武雄市街を一望できる武雄保養センターを市が購入、県内の業者に売却して「奥武雄温泉・四季のそら」として同年にオープンしたが2011年に営業を停止した。市も『佐賀のがばいばあちゃん』のロケ誘致や武雄の観光宣伝隊「GABBA」での知名度アップや地元の商工会議所青年部、商工会青年部やまちおこし・まちづくり団体と協力・連携して、様々な企画・イベントを行うなどして観光客の増加に挑んでいる。