山蔭の確立した庖丁式は、藤原北家魚名流の藤原隆季を祖とする四条家に家職として伝えられ「四条流」と呼ばれることになる。なお、山蔭も魚名流（鷲取系）であるが、四条家（末茂系）とは別流であり、系譜的には直系ではない（詳細は藤原北家の各流系図を参照）。鎌倉時代中期に中御門流持明院基家の三男で園家を興した園基氏が、四条流を学んで別派を興し「四条園流（もしくは単に園流）」と称された（なお基氏は華道にも通じ、青山流を創始している）。室町時代には足利将軍家に仕えた四条流の庖丁人（料理人）・大草公次（三郎左衛門）が「大草流」を、また室町時代末期には細川晴元に仕えた進士次郎左衛門尉が進士流を創始したと言われ、公家社会のみならず武家社会における料理においても、四条流の分派が浸透しはじめた。また四条流を学んだ園部和泉守という庖丁人が三河松平氏に仕えていたが、松平元康（徳川家康）が天下人となり江戸幕府を創始すると、「四条園部流」が幕府の台所を預かることとなり、江戸時代には各藩へも普及が進んだ。
小学校時代から中田昌宏とバッテリーを組み、1950年に鳴尾高に揃って入学。1951年の春の選抜では六番打者、三塁手として出場。決勝に進出するが鳴門高に9回サヨナラ逆転負けを喫した。1年上のチームメートに山田清三郎、鈴木武がいる。翌1952年の春の選抜では正捕手となり準決勝に進出するが、またも鳴門高に敗れる。この大会では1試合で6度の牽制・盗塁刺を記録して高校生ベストナイン捕手に選出された。1953年に読売ジャイアンツに入団。2年目の1954年からベストナイン捕手であった広田順の控えとなる。1955年には51試合にマスクを被って打率.286と、広田（.222）を大きく上回る成績を残す。さらに、同年の南海との日本シリーズでは、巨人が1勝3敗と追い詰められた第5戦に広田に代わってマスクを被って3番に抜擢され、初回に先制3点本塁打を放つ活躍で巨人の日本一に大きく貢献、藤尾はそのまま捕手のレギュラーポジションに定着した。翌1956年からは6番を打って、打率.276（リーグ5位）、14本塁打、打点58を挙げ、3部門ともリーグ5位以内に入り、オールスターゲームにファン投票で選出されるとともに、ベストナインも獲得した。1957年も前半戦は好調であったが、8月の阪神戦（甲子園）で満員の観客をバックスクリーンに入場させたことから、阪神の渡辺省三のシュートを避けきれずに顔面に死球を受ける。このアクシデントにより約1ヶ月戦列を離れた上に後遺症から調子を崩して、105試合の出場に留まり、打率も.256と成績を落とした。1958年は外角球に対して逆らわずに右翼へ打て、との川上哲治の助言を受けて死球の後遺症によるスランプを脱し、打率.283（リーグ5位）、11本塁打、58打点と好成績を残す。この年も投票総数153票のうち149票の圧倒的な支持を集め3年連続のベストナインに選出された。1959年のシーズン前に、川上哲治ヘッドコーチにインサイドワークを認められた森昌彦が正捕手とされ、藤尾は俊足と持ち前の長打力を生かす目的もあり、引退した川上の後釜として一塁手に移った与那嶺要に替わって、守備の負担の少ない外野手にコンバートされ、5番打者としてクリーンナップを打った。しかしこの年も藤尾は捕手として36試合に出場し、オールスターゲームファン投票の捕手部門で1位になるとともに、ベストナイン捕手にも選ばれた。打撃を活かすためのコンバートであったが、打たなくてはならないとの意識が力みを生んで夏場にスランプに陥り、打率は.264（リーグ14位）に終わったが、チーム2位の70打点を挙げた。1960年は開幕からハイペースで本塁打を打ち、5月28日には早くも10号を放ちリーグのトップを快走する。しかし、6月から極端なスランプに陥り、終盤に左足首の捻挫で戦列を離れるなどもあって、5月末以降は5本しか打てず、結局打率.245、15本塁打、54打点に終わる。1961年には川上新監督の下で主将を務め、捕手に復帰するが、この頃より急激な打撃不振に陥る。同年夏には逆転本塁打を打たれた伊藤芳明を投手コーチの別所毅彦が叱責しようとしたところを庇ったことが首脳陣批判ととられて、罰金の上に主将を剥奪されるなどもあって89試合の出場に留まる。1962年には急激に出場機会が減少する中で、なぜ藤尾を使わないのかと調べ回っていた新聞記者に対して、ある首脳陣が（森に比べて）藤尾はインサイドワークが悪いと洩らす。そのため、マスコミに藤尾は頭が悪いとの表現で喧伝されてしまい、藤尾は精神的にも不安定になり大きく調子を崩した。追い打ちをかけるように、同年6月の阪神戦（札幌市円山球場）で左翼の守備時に打球を追って右鎖骨を骨折して3ヶ月間出場できず、治癒後も強肩を誇った右肩がすっかり弱ってしまった。1963年は春の宮崎キャンプで前年度負傷した右肩を再び痛め、6月後半にようやく一軍ベンチ入りする。出場は25試合に留まったが、同年19勝を挙げて沢村賞を獲得した伊藤芳明とよくバッテリーを組み、伊藤が挙げた勝利の約半分の9勝が藤尾がマスクをかぶった際のものであった。1965年には公式戦出場のないままシーズン終了後に現役を引退した。引退後は、金融業・不動産業への勤務を経て、1977年にゴルフ用品を扱う上山実業に入社。また、サラリーマン生活の傍らで西宮市にあるスポーツクラブの鳴尾クラブの館長を務め、休日に小中学生に野球の指導を行っていた。1987年に京都府の総合リゾート施設レイクフォレストリゾートの理事兼支配人に就任したのち、三重県鈴鹿市のゴルフ場・鈴鹿カンツリークラブの副社長を務めた。