1900年に当時マイナー・リーグであったウエスタン・リーグがアメリカン・リーグに改称した時に、ミシガン州グランドラピズを本拠地としていたチームをクリーブランドに移転させたことでチームの歴史が始まった。翌1901年、マイナー・リーグであったアメリカンリーグがメジャー・リーグ宣言すると、クリーブランド・ブルーバーズという名前で、リーグ創設以来の球団となった。初年度の1901年こそ、54勝78敗と負け越し、リーグ7位で終わってしまったが、翌1902年クリーブランド・ブロンコスと改め、そしてこのシーズン途中に、フィラデルフィア・アスレチックス（現:オークランド・アスレチックス）からナップ・ラジョイを獲得した。ラジョイは期待にたがわぬ活躍でチームを牽引し、ファンから絶大な人気を誇った。この年に一般公募によって、チーム名もクリーブランド・ナップスと改めて、1905年にはラジョイが選手兼任監督に就任し、文字通りラジョイのチームとなった。ラジョイは1903年、1904年と2年連続で首位打者を獲得し、監督を退いた後の1910年には、タイ・カッブが首位打者を獲得したものの、打率.384で打率1位を記録している（当時の記録では、カッブがラジョイの打率をわずかに上回っていたが、後にカッブの記録の誤りが見つかり、カッブの打率は.383となった。しかし公式な首位打者はカッブのまま変更はされなかった）。他にもアディ・ジョスやエルマー・フリックといった選手が活躍し、チームは勝ち越しを続けるものの、なかなか優勝には手が届かなかった。1909年、サイ・ヤングがクリーブランドに復帰し、42歳という高齢にもかかわらず、防御率2.26・19勝15敗という成績を残した。翌1910年には、アスレチックスでくすぶっていたジョー・ジャクソンを獲得。1911年には打率.408を記録し、1912年、1913年と2年連続で最多安打を放った。しかし、この頃にはジョスの急死やヤングの移籍で投手陣が脆弱なものとなり、チームは更に低迷した。ついに1914年には、51勝102敗と大きく負け越し最下位になってしまった。翌1915年には、ラジョイが古巣のフィラデルフィア・フィリーズに復帰し、1915年のシーズン途中には、ジャクソンがシカゴ・ホワイトソックスに移籍したことで、57勝95敗と2年連続で大きく負け越した。この年には、チーム名も現在のクリーブランド・インディアンスに変わっている（この名前の由来は1897年から1899年まで、MLB初のインディアンのプロ野球選手であり、スパイダーズで活躍したルイス・ソカレキスに敬意を表してつけられたといわれる）。
1977年シーズン最終盤、公私混同を理由に南海ホークスの監督を解任された野村の後を受け、南海ホークスの監督に就任。1978年から3年間にわたって務めた。しかしこの交代は突然だったため、「球団代表も困り果てていて、『何とか引き受けてくれ』という感じで頼まれては断りきれるものではない」として否応なく承諾した。就任後は野村解任騒動でバラバラになった選手の気持ちをまとめようと「団結と和」を基本理念に掲げてスタートを切ったが、広瀬が監督に就任した段階で江夏豊、柏原純一は野村に同調し、球団のやり方には納得できないとして江夏が広島東洋カープへ、柏原は日本ハムファイターズへ移籍した。いきなり投打の軸を失った南海と広瀬だったが、在任中には金城基泰の抑え転向（1979年に最優秀救援投手）、片平晋作の一塁レギュラー定着（1979年には打率.329）、村上之宏の新人王（1978年）など明るい話題もあった。しかし野村退団による江夏、柏原の移籍、主砲・門田博光のアキレス腱断裂（1979年）もあり、戦力は整わず成績は下位に低迷した。広瀬は恩師・鶴岡の「古き良き鶴岡時代」への回帰を目指し、野村の野球を継承せず、「泥まみれ野球」を標榜、ユニフォームも復古調の物へ変更（鶴岡監督時代の象徴だった、肩と袖の太いラインが復活）することも含め、野村カラーを一掃した。また、広瀬はスコアラーの提出するデータをあまり重視しなかったため、南海に29年もの長きにわたり在籍していた尾張久次は退団、西武ライオンズへ移籍した。結局、広瀬の提唱する「団結と和」は達成されたものの、成績には結びつかなかった。藤原満は「広瀬さんが監督になられて、従来とは全く違う野球になった。（野村さんの）良い所だけを上手く継承しても良かったかなとは思いました」と語っている。広瀬自身も「（監督をやる人物が）『誰もおらんからやってくれ』、そんな感じだった」「その頃の南海電鉄には昔のように資金も無いし、球団の人気も無い。だから選手を集めることも出来ない」「投手不足でマネージャーの上田さんを現役復帰させたりした」「（南海時代は）楽しい思い出が殆ど無い監督生活だった」と語っている。監督辞任後は、1981年から1990年にかけてNHK野球解説者（この時は全国中継にも出演）を務め、1990年にはスポーツニッポン野球評論家も兼務した。1991年からは古巣・南海の後身である福岡ダイエーホークスの守備走塁コーチに就任し、現役時代に武器とした俊足と走塁技術を徹底的に叩き込み、大野久（42個、盗塁王獲得）・佐々木誠（36個）・湯上谷宏（30個）とチームから30盗塁以上の選手を3人輩出させ、両リーグトップとなるチーム141盗塁を記録した。1992年には佐々木に自身以来史上2人目となる首位打者・盗塁王を同時に獲得させ、同年限りで退任した。1999年、野球殿堂入り。1993年からはNHK広島放送局の野球解説者（基本的にローカル放送のみ出演）を2015年まで務め、現在は日刊スポーツの野球評論家を担当、居住地も大阪府から故郷の広島県に移している。