実数すべてから成る集合とそこでの四則（加減乗除の算法、すなわち足し算・引き算・掛け算・割り算）との組は、典型的な代数系である。この例では、足し算・引き算・掛け算は任意の二つの数の組について実行可能であるが、割り算は、0での割り算ができないという意味で局所的（あるいは非全域的）である。代数系の算法には一般には、こういうような局所的（あるいは非全域的）算法も含まれる。たとえば行列の足し算・掛け算も、あらゆるサイズの行列から成る集合での算法とみなせば、局所的である。こういう局所的算法を含む代数系の理論は複雑であるので、数学の分野では避けられる傾向がある。たとえば行列の足し算・掛け算も、数学者の間でさえ、上記のような意味での局所的算法と捉えて説明されることは稀である。また、上記の実数と四則とから成る代数系は体の典型であるが、体の概念も環の概念も、局所的算法である除法を用いないで説明するのが通例である。一方で、数理論理学では、研究対象として形式言語を代数系の一種と捉えるが、形式言語における算法は局所的のものが一般的である。たとえば、述語論理学における形式言語である述語言語（論理式と項とから成る）では、論理記号 ∧, ∨, ￢, ⇒, ∀x, ∃x は論理式に対してのみ実行可能な局所算法を表し、関数記号や述語記号は、項のみに対して実行可能な局所算法を表すと解される。また、推論規則も局所的算法と解される。たとえば三段論法は、二つの論理式 A と A ⇒ B とから第三の論理式 B を導き出す推論規則であるが、これは、第二の論理式が A ⇒ B という特別な形のときだけ実行可能な局所算法と解される。
代数系についての基本概念には、代数系の部分代数系（部分系）と、同種の代数系の間の準同型写像（準写）とがある。代数学の一分科である線型代数学に例をとれば、線型空間が研究対象とする代数系に当たり、線型部分空間が部分系に当たり、線型写像が代数系間の準写に当たる。代数系についての副次的概念には、生成系・直積（直和）・商・拡大・普遍性・表現等々がある。
10人以上もの大家族である税所家は家計が苦しく、敦子は生計のために、島津藩士の婦女子に習字や和歌を指導した。城中の腰元たちには、薙刀の手解きもした。このことで敦子は、さらに評判を呼んだ。当時の薩摩藩主である島津斉彬は敦子の才徳を見込み、六男の哲丸の守役を命じた。斉彬は西郷隆盛を見出したように、身分に拘らず人材を登用する人物であった。敦子はありがたがりながらも、藩内には良い家柄の立派な女性が多かったため、控えめで慎み深い性格から「その任は重すぎます」と慎んで辞退した。しかし再三にわたる斉彬の申し出の末、役を引き受けた。1857年（安政4年）、敦子は名を「喜代」（後に『春野』）と改め、哲丸に仕えた。斉彬も「立派な守役を得て幸せ」と言って、敦子の勤めぶりに満足していた。哲丸の初節句には、敦子は喜びの歌を詠んだ例（ためし）なき五月待ちえてあやめ草 千代のねさしやなおふかむらんしかし翌1858年（安政5年）に斉彬が死去し、翌1859年（安政6年）には哲丸も病死した。敦子は、神仏にすがったにも関らず哲丸が死去したことをひどく悲しんで歌を詠み、その歌は人々の涙を誘った。ねぎかけし神てふ神のちからもて この君をだにとどめかねつや島津斉彬と異母弟・島津久光の対立から、斉彬親子を毒殺と疑う騒動に、敦子もまた巻き込まれた。敦子は哲丸の死の悲しみのあまり、殉死を試みた。しかし、かつて「鬼婆」であった姑から「杖とも柱とも頼むお前さあに死なれては、この婆も生きてはおいもはん」と泣きつかれた。この姑の想いや、自分が死んでは税所家の生活が苦しくなること、斉彬の小姓である谷村昌武の懇願などもあって、敦子は殉死を思い留まった。敦子は谷村宛ての手紙に、当時の苦しい心中をしたため、以下の歌を添えた。姑（おや）というしがらみなくば涙川 ありてう身を投げましものを姑は自らの言葉通り、死去のときも敦子の膝を枕とした。1863年（文久3年）、敦子は薩摩藩主を継いだ島津斉彬の異母弟・島津久光に取り立てられた。彼の養女である貞姫が近衛忠房に嫁ぐ際に、その後見人として、京都生まれで当地の習慣をわきまえている人物として、敦子が選ばれた。敦子はすでに姑が死去したこともあって、老女として「千代瀬」と改名し、貞姫の供として10年ぶりに京に上った。娘の徳子が13歳であることが敦子の気がかりであったが、貞姫もまだ17歳であり、貞姫から「遊び相手の小間使に加えてほしい」との温情により、母娘共々の上京であった。京では、貞姫がまだ年少であったこと、田舎育ちであったことから、敦子は貞姫に書道、和歌、『源氏物語』などの古典文学などを教えた。これにより敦子の名声は高まり、公家の姫たちも教えを受けに集まった。その1人である女性が、後の明治天皇の皇后（昭憲皇太后）になることなど、敦子は知る由も無かった。9年後に近衛忠房が死去した後、1873年（明治6年）6月、貞姫に従って東京市麹町（後の東京都千代田区麹町）へ移住した。未亡人となった貞姫は「光蘭院」と改名し、敦子を頼りにした。敦子も夫と死別した身を、光蘭院に重ねた。敦子が幼少時より抱いていた仏教への信仰心は、この頃は特に深くなり、父の師である福田行誡について仏道の修行にも努めていた。敦子は貞姫と共に仏道や和歌の研究などに心を入れ、余生を静かに送ることを決意していた。