「高円宮」の宮号は昭和天皇から賜ったもので、父宮の宮号の由来となった奈良市東部の三笠山の近くにある高円山から採られた。当主の憲仁親王が男子をもうけないまま2002年（平成14年）に薨去したため、現行の皇室典範においては、久子妃および、子の承子女王の薨去、または皇籍離脱をもって宮家が断絶することになる。2014年（平成26年）5月27日、典子女王の婚約が発表され、結婚と同時に高円宮家から臣籍降嫁した。2018年（平成30年）6月26日、絢子女王の婚約が発表され、結婚と同時に高円宮家から臣籍降嫁した。
エディンバラで生まれた。父親は有名な法律家で、異母弟にインドの爬虫類の研究で知られるパトリック・ラッセルらがいる。エディンバラ大学で医学を学んだ。1740年にロンドンに出て、その年、アレッポのイギリスの会社で医師として働くためにアレッポに渡り、医師として現地の首長の信頼を得た。アレッポでアラビア語を学んだ。1950年に弟のパトリックもアレッポで働き始め、1953年にアレキサンダーがイギリスに戻った後、その仕事を継いだ。同窓の医師で植物収集家のジョン・フォザーギルにアレッポに薬用植物のヒルガオの種を送り、これはイギリスでの栽培に成功した。その他に イチゴノキ属のArbutus Andrachneなどの植物もフォザーギルの植物園にもたらした。フォザーギルの勧めで、1755年に「アレッポの自然史」（Natural History of Aleppo）を出版した。1756年に王立協会のフェローに選ばれた。1760年に王立内科医協会の開業資格を得、クラスゴー大学から学位（M.D.）を取得した。セントトーマス病院でその後、働いた。
代数的整数論は他の多くの数学分野と係わっている。代数的整数論はホモロジー代数の道具を用いる。関数体と数体の類似を通して、代数幾何の技術や思想に依拠する。さらに、整数環の代わりに Z 上の高次元スキームを研究する分野は数論幾何と呼ばれる。代数的整数論はまた数論的双曲3次元多様体の研究においても用いられる。
ディリクレの単数定理は整数環 O の単数のなす乗法群 O× の構造の記述を与える。具体的には、O× は G × Zʳ に同型であるという定理で、ここで G は O のすべての1の冪根からなる有限巡回群であり、r = r₁ + r₂ − 1 である（ここで r₁ と 2r₂ はそれぞれ K の実埋め込みと複素埋め込みの個数である）。言い換えると、O× は有限生成アーベル群で、階数は r₁ + r₂ − 1 で、捩れ部分は O の1の冪根からなる。
代数的整数論における古典的な結果の1つは代数体 K のイデアル類群が有限であることである。類群の位数は類数と呼ばれ、しばしば文字 h で書かれる。
777town.netはパソコンを利用し、インターネット接続によりパチスロ・パチンコなどを遊技できる。仮想都市（タウン）の形式を採用しており、タウンは複数のエリアを含みエリアは複数の店舗を含むという階層構造になっている。各店舗は基本的に20時間営業となっており、開店時刻を調整することによって、サーバーメンテナンスの時間以外は実質24時間遊技できる。会員には無料会員と有料会員があり、無料会員は遊技可能な時間と機種が制限される。遊技できる機種アプリは、同じセガサミーグループであるサミー系に限らず、実機市場ではライバルとなる他メーカーの機種も設置されている。機種アプリの開発は継続して行われており、常に開発中やテスト中の機種がある。機種アプリは基本的には過去に発売された実機のシミュレーションであり、同機種の役物や液晶演出、ボタン操作などをパソコンのグラフィックスで再現している。機種によってパソコンへの負担が違うため、基本的な動作環境とは別に機種別動作環境が提示されている。パチスロ・パチンコ店舗ではユーザーが持つ仮想通貨「ドルバ」をコインや玉に交換して遊技し、遊技終了時にコインや玉が残っていればドルバに戻す。「ドルバ」が0になっても補充が可能なのでゲームは続行できる。麻雀とカジノのプレイにはそれぞれ別々のプレイチケットが必要で、ゲームセンターにはゲームコインが必要となっている。コインやチケットは有料と無料があり、体験プレイできる程度の枚数は月々無料で配布されるが、なくなっても補充されず、それ以上に遊技したい場合は有料となる。ドルバの現金化はできないが、仮想アイテムの購入や景品の応募に使用することができる。仮想アイテムの購入や景品の応募には「777SHOP」を利用する。777SHOPではドルバのほか、会員が現金で購入する仮想通貨「WAT」や、チームを作って獲得する「TP（チームポイント）」、料金支払いによって付与される「SP（サービスポイント）」や「777タウンポイント」での取引も扱っている。遊技清算の際、パチスロで1万枚以上の差枚数もしくはパチンコで5万玉以上の差玉数を獲得すると「勲章」が得られる。勲章は機種ごとに獲得数が記録されるので、それを集めるという楽しみ方もある。また、パチスロで2,000枚以上の差枚数もしくはパチンコで1万玉以上の差玉数を獲得すると「バッジ」が得られる。そのほか、獲得枚数などを競う「イベント」や条件達成を目指す「クエスト」などによって仮想アイテムを得たり、会員ごとの仮想の部屋「マイルーム」を購入した家具などでレイアウトしたり、マイルームでペットを飼うという楽しみ方もある。