ベクトルの長さおよびベクトル間の角度の概念は任意の n-次元内積空間に対して一般化することができるから、ベクトルの直交射影、別のベクトルに対する射影・反射影の概念も同じくそのような状況設定に対して一般化することができる。内積空間によってはその内積を点乗積で与えることができるものもあるが、そうでない場合には射影や反射影の厳密な定義においては点乗積ではなくその空間における内積を用いることにしなければならない。例えば三次元内積空間に対して、ベクトルの射影・反射影の概念は「平面への」射影および「平面からの」反射影という形で一般化される。ベクトルの平面への射影とはその平面への直交射影のことであり、平面からの反射影はその平面に直交する直線の上への直交射影として与えられる。これらはともにベクトルであり、前者は平面と平行、後者は平面に垂直である。与えられたベクトルと平面の組に対して、そのベクトルのその平面に関する射影と反射影との和はもとのベクトルに一致することに注意する。同様に、より高次元の内積空間ではベクトルの射影・反射影の概念を超平面に対する射影・反射影として一般化できる。幾何代数においては、射影・反射影の概念はさらに拡張されて、任意の可逆 k-ブレードに対する一般の多重ベクトルの射影・反射影の概念が与えられる。
適当なベクトル方向への射影は射影行列として表現することができる。単位ベクトル a := (aₓ, ay, az) への射影は行列  を掛ければよい。
線型代数学における空間ベクトル a の適当な非零ベクトル b 方向およびその法方向への分解（ぶんかい、英: vector resolution） を考えるとき、b-方向成分 (vector component) a₁ = a∥b は、a と b の成す角を ϑ とすれば  で与えられる。これは a の始点を通り b に平行な直線への正射影ベクトルであり、a の b（の上）への(ベクトル)射影 (vector projection) とも呼ばれ、その「符号付き」大きさ |a|cos ϑ = a⋅ はしばしば b へのスカラー射影 (scalar projection) とも呼ばれる。大きさの「符号」は射影 a∥b と b の向き（プラスならば同方向、マイナスならば逆方向）を表している。a の b の法方向の成分ベクトル a₂ = a⊥b はしばしば a の b からの(ベクトル)反射影 (vector rejection from b) と呼ばれ、b に直交する平面（一般には超平面）（の上）への a の正射影ベクトルとして与えられる。a = a∥b + a⊥b に注意すれば、反射影ベクトルは  と書ける。
1972年、ゲス・フーを脱退したランディ・バックマン(G,V)は、同じく元ゲス・フーのチャド・アラン(Key,V)、弟ロビー・バックマン(D)らとブレイヴ・ベルトを結成。セカンドアルバムでチャド・アランが抜け、弟ティム・バックマン(G)、C.F.ターナー(B,V)が参加。その後、ブレイヴ・ベルトはバックマン・ターナー・オーヴァードライヴとバンド名を変え、1973年、ファーストアルバム『バックマン・ターナー・オーヴァードライブ』をリリースする。1973年12月、セカンドアルバム『バックマン・ターナー・オーヴァードライブ II』をリリース。米ポップアルバムチャートの4位となり、シングルカットされた「仕事に御用心」（原題「Takin' Care of Business」）が、米ビルボード12位、「レット・イット・ライド」が同23位となる。1974年、ティム・バックマンが脱退し、ブレア・ソーントン(G)が加入。ランディとブレアのツインリード体制となり『驚異のロックン・ロール・マシーン ノット・フラジャイル』をリリースする。アルバムは米ポップアルバムチャートの1位となり、同アルバムからシングルカットされた「恋のめまい」（原題「You Ain't Seen Nothing Yet」）が米ビルボード1位、英ヒットチャート2位。「ハイウェイをぶっ飛ばせ！」（原題「Roll On down the Highway」）が米ビルボード14位となり、トップバンドの地位を得る。翌1975年のアルバム『四輪駆動』は、前作の延長線上にあるともいえ、米ポップアルバムチャート5位となり「ヘイ・ユー」のシングルヒットを生み、続いて、以前よりもポップ色の強い『ヘッド・オン』(1975)をリリース。米ポップアルバムチャート23位となり、「テイク・イット・ライク・ア・マン」、「ボサノバNo.1」（原題「Lookin’ Out for #1」）のシングルヒットを生み出す。1976年に来日し、そのライヴは『ジャパン・ツアー/B.T.O.ライブ・イン・ジャパン』としてリリースされた。1977年、『爆走フリーウェイ』をリリースするが、ランディ・バックマンと他のメンバーとの音楽的志向のずれが深まり、ランディはバンドを去る。その後、ジム・クレンチ(B,V)が加入し、C.F.ターナーはサイド・ギターにコンバートし、バンド名もBTOと短縮して再出発を計り、『ストリート・アクション』(1978)と、原点回帰的な『ロックン・ロール・ナイツ』(1979)をリリースするが、いずれもセールスは伸びず、ツアー後にバンドは解散する。1983年、ランディ・バックマン、ティム・バックマン、C.F.ターナーのオリジナルメンバーにゲイリー・パターソン(D)が加わり再結成し、スタジオアルバムとライヴアルバムをリリース。その後ランディ、ティム、C.F.、ブレアの最盛期のメンバーでの再結成なども行うが、いずれも散発的で2005年には再び解散してしまう。2009年、ランディ・バックマンはC.F.ターナーと合流し、プロジェクト的なバンド、バックマン&ターナーを結成。ライヴではバックマン・ターナー・オーヴァードライヴの曲の再演などを行った。