2002年11月16日にプレストン・ウィルソン、チャールズ・ジョンソンらとのトレードで、フアン・ピエールプラス金銭と共にフロリダ・マーリンズに移籍。2日後の11月18日に1対2の交換トレードで、アトランタ・ブレーブスへ移籍した。この時点で契約が6年8,450万ドル残っていたが、ブレーブスが3,950万ドル、残りをロッキーズとマーリンズが負担することとなった。2003年、14勝8敗・防御率3.84を記録し、復活を果たす。自身初のゴールドグラブ賞を受賞し、チームメイトのグレッグ・マダックスの連続受賞を13年でストップさせた。2005年は、12試合に登板したところでトミー・ジョン手術を受けた。その為2006年、2007年は1試合にも登板できず、2006年には膝の手術も受けている。2008年7月26日におよそ3年ぶりにメジャー復帰。復帰3戦目となった8月5日のサンフランシスコ・ジャイアンツ戦で7回を2失点に抑え2005年8月15日以来、1087日ぶりとなる勝利を挙げた。
2000年12月9日にコロラド・ロッキーズと投手として当時史上最高額となる総額1億2100万ドルの8年契約で合意した。2001年4月2日のカージナルスとの開幕戦で先発し、8.1回を無失点に抑え勝利投手となった。その後5連勝するなど5月までは7勝2敗・防御率2.68と好調だったが、後半戦は5勝8敗・防御率7.46と絶不調に陥る。シーズン通算では14勝13敗・防御率5.41と期待を裏切った。2002年は開幕から3試合で3敗、防御率10.26。その後も防御率が1度も6点台を下回ることがなく、7勝15敗・防御率6.15、被安打率.313と不振を極めた。
1999年12月23日にオクタビオ・ドーテル、ロジャー・セデーニョらとのトレードで、デレク・ベルと共にニューヨーク・メッツへ移籍した。2000年は制球難に陥り、開幕3連敗を喫する。4月までは2勝4敗・防御率6.48と低迷するがその後は持ち直し、最終的に15勝10敗・防御率3.14を記録し、チームのワイルドカード獲得に貢献する。セントルイス・カージナルスとのリーグチャンピオンシップシリーズ第5戦では「生涯最高の投球をしてみせる」と宣言し、3安打完封勝利で、チームを14年ぶりのワールドシリーズ進出へ導いた。また、同シリーズでは16イニング連続無失点を記録し2勝を挙げMVPを受賞した。ニューヨーク・ヤンキースとのワールドシリーズでは第2戦に先発したが、6回4失点で敗戦投手となり、チームも1勝4敗で敗退した。2000年シーズン終了後FAとなるため、メッツはトレードで獲得した際に長期契約の下交渉を行うつもりでいたが、ハンプトン側の要望で交渉はシーズン終了後に見送られた。
1993年12月10日にエリック・アンソニーとのトレードで、マイク・フェルダーと共にヒューストン・アストロズへ移籍した。1994年はリリーフで44試合に登板。1995年からは先発に転向する。1999年には22勝4敗・防御率2.90を記録。最多勝のタイトルを獲得し、1979年にジョー・ニークロがマークした球団記録の21勝を更新した。サイ・ヤング賞の投票ではランディ・ジョンソンに次ぐ2位に入った。
1990年のMLBドラフト6巡目（全体161位）でシアトル・マリナーズから指名され、プロ入り。1991年5月31日にはマイナーリーグA+級サンバーナディーノ・スピリットでノーヒットノーランを達成。1993年4月17日にメジャーデビューを果たす。
帝政ロシアの支配下にあった西トルキスタンは、帝国がロシア革命で倒された後は社会主義共和国が作られ、ソ連の傘下に組み込まれた。その際、各共和国の国境線は人為的に引かれたため、民族分布とは必ずしも合っていない。1991年のソビエト連邦崩壊後、旧ソ連から5つのテュルク系民族の共和国が悲願の独立を果たす。これら諸共和国やタタール人などのロシア領内のテュルク系諸民族と、トルコ共和国のトルコ人たちとの間で、汎テュルク主義の再台頭ともみなしうる新たな協力関係が構築されつつある一方、独立以降も経済的・軍事的には未だにロシアの影響は強い。また中央アジア連合創設への提案も行われている。東トルキスタンは清の乾隆帝に征服されて以来、清朝→中華民国→中華人民共和国と異民族による支配が続いている。辛亥革命によって清が滅亡した際、東トルキスタンはイリ地方の軍事政権、東部の新疆省勢力圏などに分かれたが、やがて漢人勢力の新疆省がイリ地方を取り込んだ。この結果、藩部のうち、民族政権が維持されていたチベットとモンゴルは手をたずさえて「中国とは別個の国家」であることを宣言（チベット・モンゴル相互承認条約）したのに対し、漢人科挙官僚によって直接支配が維持された東トルキスタンは、中華民国への合流を表明することとなった。ただし、中華民国中央が軍閥による内戦状態にあったため、新疆省は以後数十年に渡り事実上の独立国のような状態であった。1933年および1944年から 1946年にかけてソ連の後援でウイグル人主体の独立政権である東トルキスタン共和国の建国が試みられたが、1949年の中国共産党による中華人民共和国成立およびウイグル侵攻によって併合され、その支配下に入った。その後大量の漢民族が国策的に移民してきており、駐留する人民解放軍とあわせるとウイグル人よりも多くなると言われている。1955年には新疆ウイグル自治区が設置された。