双曲 n-多様体は、断面曲率が定数 -1 であるような完全 n-次元リーマン多様体である。負の定曲率 −1 であるすべての完全、連結、単連結多様体は、実双曲空間 \mathbb{H}^n と等長である。その結果、負の定曲率 −1 である任意の閉多様体 M の普遍被覆は \mathbb{H}^n である。したがって、そのようなすべての M は、\mathbb{H}^n 上の等長写像の捩れのない離散群を Γ とすると、\mathbb{H}^n/\Gamma と書くことが出来る。すなわち、Γ は SO^+_{1,n}\mathbb{R} の離散部分群である。多様体の体積が有限であるための必要十分条件は、Γ が束であることである。その厚薄分解は、閉測地線の管状近傍からなる薄い部分と、ユークリッド n-1-次元多様体と閉半直線の積である厚い部分からなる。多様体の体積が有限であるための必要十分条件は、その厚い部分がコンパクトであることである。n > 2 に対し、双曲 n-次元多様体の有限体積上の双曲構造は、モストウの剛性定理によって一意であり、したがって幾何的不変性は位相的不変性である。
数学において双曲多様体（そうきょくたようたい、英: hyperbolic manifold）とは、すべての点が局所的にはある次元の双曲空間であるように見える空間のことを言う。特に 2 次元および 3 次元において研究され、そのような場合には双曲曲面および双曲3次元多様体とそれぞれ呼ばれる。それらの次元においてこの多様体が重要となる理由として、殆どの多様体は位相同型によって双曲多様体に作り変えることが出来る、という点が挙げられる。これは曲面に対する一意化定理や、ペレルマンによって証明された 3 次元多様体に対する幾何化定理の帰結である。
1980年代の中国の料理人の間では、「新派」と呼ばれる諸外国の料理の手法を取り入れた中華料理を創作する動きが加速していた。その中で香港・ペニンシュラホテルの広東料理レストラン「嘉麟楼」の料理長だった許成が高級食材をふんだんに使った新しい調味料を開発した。それがXO醤である。XO醤は新しいもの好きな香港人の心をとらえ、その名に恥じぬ味も相まって瞬く間に大流行。今日では世界各地に広まっている。
XOとはブランデーの最高の等級を示すエクストラオールド(eXtra Old)からの命名である。あくまで高級感を持たせるための修飾語であり、実際には古く熟成させる工程はない。また、各種素材をブランデーにて加工した醤と思われることがあるがこれも誤解である（但し、風味づけとしてブランデーを使用している製造元もある）。中国語の「醤（ジャン）」はペースト状の調味料のこと。他の醤と異なり、乾物を主原料とするXO醤は、香港では調味料としてだけでなく、高級な酒の肴や箸休めとしても食され、レストランでも単品メニューとして載せている場合がある。日本においては、白飯にXO醤と刻んだ青ネギを盛りつけた「XO丼」をメニューに置く中華料理店もある。また、高級レストランの中には自慢の自家製XO醤を瓶詰めにし、販売をする例もある。XO醤は各レストランや店舗によって材料・作り方に大きく差があり、またそれぞれそのレシピを秘密にしていることが多い。人気の高さに目をつけた、香港の調味料メーカーも製造販売を始め、ついで、中国本土でも製造がはじまり、家庭にまで普及した。
ムハンマド・アリー・ハーンの治世は46年に及び、カルナータカ地方政権は依然として南インドに広大な領土を領有していたが、彼はムガル帝国の主権を認め、皇帝シャー・アーラム2世と書簡のやり取りをしていた。1760年、ムハンマド・アリー・ハーンは皇帝シャー・アーラム2世より、「ワッラー・ジャー」の称号を賜った。この称号は彼の一族の家名であるワッラー・ジャー家となり、アンワーリーヤ朝は別名ワッラー・ジャー朝とも呼ばれるようになった。だが、ムハンマド・アリー・ハーンは第二次カーナティック戦争中にイギリスから軍事的援助を受けていたが、その援助にかかる費用はムハンマド・アリー・ハーンが負担することとなっていた。そのうえ、イギリスはカルナータカ地方政権があまり関与していない第三次戦争に関しても、太守の領土の保全に尽力したと主張してその支払いを求め、イギリスに対して巨額の負債を抱え込むこととなった。また、ムハンマド・アリー・ハーンはイギリス東インド会社のみならず、東インド会社の幹部、ヨーロッパ人の商人、インド人の商人などの個人からも多額の借金をしていた。第二次戦争中、ムハンマド・アリーはマイソール軍の援助も受けていたが、1752年にマイソール側のティルチラーパッリの割譲要求を断ったため、マイソールは途中からフランス側と同盟する事態にも陥っていた。両国は戦争終了後もティルチラーパッリ周辺で争い、1755年4月にマイソール側が諦めて撤退したものの、これ以降長く対立が続くこととなってしまい、その脅威に怯えなければならなかった。ムハンマド・アリー・ハーンは自身の地位を守るため、イギリス軍を駐留させておかねばならず、その駐留費は莫大なものとなって負債に加算された。ついにはイギリスも対策を考え、第三次戦争終結後の1763年10月16日にマドラス周辺の土地一帯をジャーギール（給与地）として割譲させた。また、1767年にはアルコットからマドラスへと首府を移した。1773年9月17日、ムハンマド・アリー・ハーンは財政難を打開するため、マドラスの東インド会社職員らの援助を得て、タンジャーヴール・マラーター王国を併合した（タンジャーヴール包囲戦）。だが、併合後も財政は悪化し続け、さらには私的債権者である東インド会社の職員らとの癒着も指摘、不当な併合に対して会社の内外で批判が高まる結果となった。そのため、1776年4月11日、タンジャーヴール・マラーター王国はイギリスによって復活し、その君主トゥラジャージー2世は復位したため、この併合は何の意味も成さなかった。