香川県高松市出身。高松第一高等学校、上智大学外国語学部英語学科を卒業。1980年上智大卒業後は電通に入社する。1986年に同社を退社、その後、1987年11月より1999年まで西日本放送代表取締役社長、1993年11月に丸亀平井美術館を設立・館長に就任、1995年4月より親族が経営する高松中央高等学校理事長を務めた。1996年、第41回総選挙に新進党公認で香川1区から出馬したが、自由民主党公認の現職・藤本孝雄に敗れる。続く2000年の第42回総選挙でも再び香川1区から出馬。無所属ながら自民党加藤派の支援を受けたことに加え、民主党・自由党が公認候補を擁立しなかったこともあり、自民党公認の藤本や社会民主党公認の元職・加藤繁秋らを破り初当選。当選後は森田健作が代表世話人を務める21世紀クラブに入会。2000年の第2次森内閣不信任決議案をめぐる加藤の乱では不信任案に反対票を投じ、同年に自民党へ入党。2003年の第43回総選挙では初めて自民党の公認を得て香川1区から出馬し、民主党新人の小川淳也らを破って再選。なお前回香川1区で議席を争った藤本孝雄は比例四国ブロックに転出して落選、政界を引退した。続く2005年の第44回総選挙でも小川らを破り3選（小川も比例復活）。直後に発足した第3次小泉改造内閣では内閣府大臣政務官（科学技術政策、食品安全及びIT関係の政策等担当）に、2007年8月に発足した安倍改造内閣と続く福田康夫内閣では国土交通副大臣（災害対策、国土関係及び社会資本整備関係施策の統括係）に起用された。また2008年8月には自民党政務調査会副会長に就任した。2009年の第45回総選挙では香川1区で小川に敗北したものの、重複立候補していた比例四国ブロックで復活し4選。選挙後には自民党広報戦略局長・IT戦略特命委員長に任命され、同年9月には自民党ネットメディア局局長となり、合わせて自民党ネットサポーターズクラブ（J-NSC）代表を兼任することになった。2011年9月、自民党総務部会長（自由民主党シャドウ・キャビネット総務大臣）に就任した。2012年8月頃に松野頼久・松浪健太・小熊慎司ら超党派の国会議員と共同で「道州制型統治機構研究会」を発足。同会参加者の大半は日本維新の会の結成に加わったが、平井は自民党に残留した。同年9月に行われた自民党総裁選では林芳正の推薦人に名を連ねている。同年12月に執行された第46回総選挙では前回敗れた小川を香川1区で下し、5選（小川も比例復活）。直後の国会で衆議院内閣委員長に就任した。2013年10月に内閣委員長および自民党ネットメディア局長・自民党ネットサポーターズクラブ代表を退任し、自民党IT戦略特命委員長に復帰した。2014年12月に執行された第47回総選挙では香川1区で再び小川を下し、6選。2017年10月に執行された第48回総選挙で7選。2018年10月に発足した第4次安倍改造内閣で内閣府特命担当大臣（クールジャパン戦略、知的財産戦略、科学技術政策、宇宙政策）・情報通信技術(IT)政策担当として初入閣。
2007年（平成19年）4月27日に「イオン大垣ショッピングセンター」として正式開業した。（仮称はイオン大垣南ショッピングセンターで2007年（平成19年）2月28日開業を目指していた。）大垣駅から南へ約4kmの岐阜県道50号大垣環状線沿いにあり、地上2階建ての建物内に開業時点では「（2代目）ジャスコ大垣店」を核店舗に125店が出店するモール型ショッピングセンターであった。年間売り上げ目標は、隣接する三重県や滋賀県の一部からの来店客も見込んで年間売上高約200億から250億円を目指した。しかし、大垣駅東方約1km、2004年（平成16年）4月まで23年間営業を続けた「ジャスコシティ大垣ショッピングセンター（（初代）ジャスコ大垣店）」の跡地に「マックスバリュ大垣東店」を核店舗に80店が出店しているモール型ショッピングセンター「ロックシティ大垣ショッピングセンター」が、2005年（平成17年）7月29日に開業したのを皮切りに、大垣駅東方約2.5km、2006年（平成18年）11月25日に平和堂東海（平和堂グループ）が同年1月末に閉店した「グランドタマコシ鶴見店」の跡地に直営店を核店舗に74店が出店しているショッピングセンター「アル・プラザ鶴見」を開業しており、「ロックシティ大垣ショッピングセンター」が約130億円、「アル・プラザ鶴見」が約110億円と年間売上100億円以上を目指した大型ショッピングセンターが、当店に先行して相次いで出店していた。さらに、当店の開業のちょうど半年後の2007年（平成19年）10月27日にユニーが「アピタ大垣店」を核店舗に135店が出店しているモール型ショッピングセンター「アクアウォーク大垣」を大垣駅北口に駅舎と通路で連結する形で開業させており、目標とする年間売上高が約220億円と当店とほぼ同じ水準を目指していた。この様に、人口約14.8万人の大垣市に競合施設がひしめいて十分な商圏を確保出来ない状況で無理に開業させた形となり、当施設はファッション関連のショッピングセンターへの出店常連企業で構成される研究会SPACを主宰する小島健輔から、2006年（平成18年）秋から2008年（平成20年）春に開業した大型ショッピングセンターの中で、ワーストワンという最悪の評価を受け、2008年（平成20年）度に多数のテナントが退店することになった。当店と競合する「アクアウォーク大垣」も同じSPACの2006年（平成18年）秋から2008年（平成20年）春に開業した大型ショッピングセンターに対する評価で低い評価を受けているもののワースト5には入っていないことから当館の方が厳しい位置付けにあり、「アクアウォーク大垣」が大垣市では地域一番店とされていることから同店の売上を下回っているとみられる。なお、当館の名称は、2011年（平成23年）から進められたイオンの大型ショッピングセンターの名称の「イオンモール」への統一に伴い、同年11月21日に「イオン大垣ショッピングセンター」から「イオンモール大垣」に変更されている。さらに、2013年（平成25年）11月からイオンリテールの運営していた大型ショッピングセンターをイオンモールの運営に委託することになったことに伴い、同社の管理運営に移行した。また、核店舗の「（2代目）ジャスコ大垣店」は2011年（平成23年）3月1日にイオングループの総合スーパーをイオンに店名統一することに伴って「イオン大垣店」に改称した。2019年春全館リニューアルする予定。