午前9時37分45秒、ハイジャックされたアメリカン航空77便（ボーイング757）が、バージニア州アーリントン郡のアメリカ国防総省本庁舎（ペンタゴン）に突入した。アメリカン77便はビルの西壁に衝突して爆発炎上し、77便の乗客・乗員全員が死亡したほか、ペンタゴンに居た125人の国防総省職員（民間人70人、軍関係者55人）が死亡、106人が重傷を負った。77便の衝突と続いて発生した火災によってペンタゴンは激しく損傷し、ビルは部分的に倒壊した。ペンタゴンに突入する直前、旅客機の翼は地上の街灯をなぎ倒し、さらに発電機に接触した。77便はペンタゴン西側外壁の1階部分に激突したが、衝突の瞬間にボーイング757の胴体前部はバラバラになり、その後一瞬のうちに機体中央部と尾翼部が勢いを保ったまま外壁を突き抜けた。最も深くまで到達したのは尾翼部の破片であり、5層ある外壁のうち3層を突き破り、94m内側まで貫通していた。その後10時10分には、衝突で損傷したビルの一部分が倒壊した。ビルの倒壊部分は最大で幅29m、奥行き15mにわたった。77便の衝突からビルの崩壊まで時間的猶予があったため、4-5階に居た職員は全員が安全に避難することができた。旅客機の突入時、ペンタゴンでは約1万8000人が働いていたが、この数字は1998年に始まった改修工事によって通常より4000人ほど少なかった。この直前に起きたワールドトレードセンター・ツインタワーへの他の飛行機の突入の影響で情報は錯綜し、最初の報道は単にペンタゴンが爆発炎上したというだけであったが、後に付近を通行中のドライバーや歩行者によってアメリカン航空機が北側から旋回して激突したとの目撃が証言され報じられた。さらに激突の瞬間の映像がペンタゴンの駐車場の監視カメラによって記録され、すぐにFBIによって回収、調査された。
ニューアーク（ニューアーク空港）発サンフランシスコ（サンフランシスコ国際空港）行きユナイテッド航空93便（ボーイング757-200、機体記号N591UA）は、午前8時42分、乗客37名（日本人1名を含む）（乗客37名中4人はテロリスト）・乗員7名を乗せて、滑走路の混雑で30分遅延で出発した。93便離陸の僅か数分後、アメリカン航空11便が世界貿易センター北棟に激突した。乗客の機内電話からの通報によると、午前9時27分にハイジャックされ、コックピットを乗っ取られた。オハイオ州クリーブランド付近で進路を南に変え、さらに南東へ向かった。ワシントンD.C.へ向かうことを管制官に通告、標的はアメリカ合衆国議会議事堂かホワイトハウスであったと推測されている。午前9時57分、機内電話や携帯電話による外部との連絡で、ハイジャックの目的を自爆テロと認識した乗客が機の奪還に乗り出す。その僅か数分後、ワールドトレードセンター・ツインタワー南棟が完全崩壊した。午前10時03分、93便は、490ノット(時速563マイル、時速907km)の速度でペンシルベニア州ピッツバーグ郊外シャンクスヴィル（ワシントンD.C.北西240kmの場所）に墜落した。離着陸時の速度の倍以上の高速で地上に衝突したため、機体の残骸はほとんど原形を留めていなかった。なお、地震計のデータから墜落の時刻を午前10時6分と公式記録と異なる報告がなされたが、後にこの時刻を算出した地震学者本人により撤回されている。乗客たちがハイジャッカーたちに反撃した際に「Let's Roll.（さあやろうぜ）」を合図にしたと言われている。この「Let's Roll」は、9・11事件以降のアフガニスタンへの「報復戦争」において一種のスローガンとして用いられた。9・11事件の調査委員会は乗客はコックピット内に進入できなかったと結論づけているが、一部の遺族はCVR音声に乗客がコックピットに進入した証拠が記録されていると主張している。なお、離陸からハイジャック、墜落までの乗員乗客の行動を基にした映画『ユナイテッド93』が2006年に公開された。
計算複雑性理論で扱う計算問題の多くは決定問題である。決定問題とは、答えが「はい」か「いいえ」になる問題を指す。決定問題を主に扱うのは、任意の計算問題を何らかの決定問題に還元することが常に可能だからである。例えば、HAS-FACTOR を与えられた整数 n と k（どちらも二進数で与えるとする）について、n が k より小さい素因数をもつかどうかに答える決定問題とする。すると、計算問題 FACTORIZE（素因数分解）の解法は、HAS-FACTOR を使って実現でき、その際に追加の資源はそれほど要しない。具体的には k について二分探索を行い、n の最小素因数を探索し、その値で n を割る。そして、商について再び同じ作業を繰り返していけばよい。このことは、HAS-FACTOR の解法をある計算資源量で実現できるか否かが分れば、FACTORIZE の解法についても分るということを意味する。計算複雑性理論では、答えが「はい」かどうかを確認する問題と、答えが「いいえ」かどうかを確認する問題を区別する。「はい」と「いいえ」を逆転させた問題は、元の問題の補問題と呼ばれる。例えば、決定問題 IS-PRIME（素数判定問題）は、入力が素数の場合に「はい」、そうでなければ「いいえ」を返す。一方、問題 IS-COMPOSITE は与えられた整数が素数でない（すなわち合成数である）ことを決定する。IS-PRIME が「はい」を返すなら、IS-COMPOSITE は「いいえ」を返す。逆も成り立つ。したがって IS-COMPOSITE は IS-PRIME の補問題であり、同様に IS-PRIME は IS-COMPOSITE の補問題である。ある問題の解を求める計算量とその補問題の解を求める計算量は同じであるが、問題のあるインスタンスについて「はい」となる証拠を与えられて、その証拠が正しいかを判定する計算量は同じとは限らない。例えば、IS-COMPOSITE問題で、ある整数について、証拠として素因子を一つ与えられれば、除算を行うことで検算することができる。しかし、IS-PRIME問題では、どのような証拠を与えればよいかは、しばらくの間、自明ではなかった。補問題を区別することは、後述する複雑性クラスNPとco-NPなどで重要となる。計算複雑性理論の重要な成果の1つとして、ある難しい問題があったとき（それがいかに大量の時間資源や空間資源を要したとしても）、それよりさらに難しい問題が必ず存在するという事実がある。時間計算量については時間階層定理によってこれが証明されている。同様に領域階層定理も導かれる。