位相幾何学における曲面は二次元の位相多様体として一般に定義される。すなわち、位相曲面とは、各点がユークリッド平面の開部分集合に同相な近傍を持つような位相空間を言う。任意の位相曲面は、任意のファセットが三角形となるような多面体曲面に同相である。それら三角形（より高次元も考える場合には、一般には単体）の排列に関する組合せ論的研究は代数的位相幾何学の出発点となる。そうして、曲面の性質は純粋に代数的な不変量（たとえば、種数やホモロジー群など）によって特徴付けることが可能となる。曲面の同相類は完全に分類されている（曲面 (位相幾何学)を参照）。
三次元射影空間内の射影曲面は、ひとつの三変数斉次多項式の零点を斉次座標に持つような点全体の成す集合である。より一般に、射影曲面とは射影空間の部分集合であって、二次元の射影多様体となっているようなものを言う。射影曲面はアフィン曲面（つまり通常の代数曲面）と強く関係する。射影曲面から対応するアフィン曲面を得るには、座標（あるいは不定元）の一つを 1 と置けばよい（最後の変数を 1 にすることが多い）。逆に、アフィン曲面から付随する射影曲面（もとの曲面の射影完備化と呼ばれる）を得るには、定義多項式を斉次化すればよい（高次元空間内の曲面の場合は、定義イデアルを斉次化する）。
もともとは、代数曲面とは三変数の実係数多項式 f に対する陰伏方程式 によって定義された曲面という意味であった。この概念を拡張するのにはいくつかの方向性が有る。例えば、任意の体上で定義された曲面を考えたり、任意次元の空間あるいは射影空間内の曲面を考えたりすることができるし、ほかの空間に陽に埋め込まれていない抽象代数曲面も考えることができる。
（R³ 内の）陰伏曲面の特異点とは、陰伏方程式を満足する点であって、その点において定義多項式の三つ全ての偏微分 0 となるようなものを言う。したがって、曲面の特異点の全体は 4 本の三変数多項式方程式からなる方程式系の解集合となる。ほとんどの場合にそのような方程式系には解がないことから、多くの曲面が特異点を全く含まないことがわかる。特異点を持たない曲面は正則 (regular) または非特異 (non-singular) であると言う。特異点付近の曲面の研究および特異点の分類は特異点論と言う。特異点が孤立するとは、その近傍に他の特異点を含まないときに言う。さもなくば特異点の集合は曲線を成す（自己交叉曲面の場合には特にそうである）。
曲面上の点は、f の少なくとも一つの偏微分が非零となるとき正則 (regular; 正常) であるという。正則点 (x₀, y₀, z₀) において、接平面および法方向は矛盾なく定義され、上記の定義式から陰函数定理により導出される。法方向は勾配すなわち なるベクトルで与えられ、接平面は陰伏方程式  によって定義される。
三次元のユークリッド空間（より一般にはアフィン空間）内の陰伏曲面は、三変数可微分函数の零点集合  を言う。陰伏的 (implicit) というのは、この方程式から一つの変数が「暗に」ほかの二つの変数の函数を定めているという意味で用いられている。より完全な意味は陰函数定理「f(x₀, y₀, z₀) = 0 かつ f の z に関する偏微分が (x₀, y₀, z₀) において零でないならば、可微分函数 φ(x, y) が存在して、(x₀, y₀, z₀) の近傍で  となるようにできる」として述べることができる。言葉を換えれば、この陰伏曲面は z の偏微分が非零となるような点の近傍における函数のグラフとして与えられる。したがって、陰伏曲面は（三つの偏微分が全て零となる点を除けば）局所的には媒介変数表示として捉えられる。
有理曲面は二変数の有理函数で媒介付けることのできる曲面を言う。つまり、fᵢ(t, u) が i = 0, 1, 2, 3 のすべてに対して二元多項式であるときの媒介曲面  が有理曲面である。有理曲面は代数曲面だが、ほとんどの代数曲面は有理曲面でない。
二変数の函数 z = f(x, y) が与えられたとき、これを  で媒介付けられた媒介曲面とみることができる。この曲面上の任意の点が正則であることは、最初の二列のヤコビ行列が階数 2 の単位行列となることからわかる。
天童織田家は、織田信長の次男・信雄の子孫で、信雄の四男・信良を祖とする。子孫は上野国小幡藩から出羽国高畠藩と渡ったのち、天童に陣屋を移した。当初は天童藩知藩事の織田信敏が東京の私邸内に「織田社」と称して祀っていたが、明治2年（1869年）11月8日に神祇官より「健織田社」（たけしおりたのやしろ）という神号が下賜された。この健織田社を明治3年（1870年）9月13日に天童市の城山（現 舞鶴山）山頂へ分祀したのが、建勲神社の起源である。同年（1870年）10月17日、健織田社は太政官の通知により「建勲社」へと改称し、太平洋戦争終結までこの名称は使われた。明治17年（1884年）に現在地に遷座した。これは当初建てられた舞鶴山山頂の社への道のりが急で転落事故が起きるなど不便があったためで、平坦な舞鶴山山腹が選ばれた。明治6年（1873年）5月22日、旧社格において県社に列した。