増加数列 \{ a_n \} が上に有界であるなら、それは収束し、その極限は \sup\limits_n \{a_n\} であることを証明する。\{ a_n \} が空でないことと仮定により、それは上に有界であるため、実数の最小上界性から、c = \sup_n \{a_n\} は存在し、有限である。今、すべての \varepsilon > 0 に対して a_N > c - \varepsilon  であるような a_N が存在することが分かる。実際、そうでないならば、c - \varepsilon  は \{ a_n \} の上界となるが、これは c が \sup_n \{a_n\} であることに反する。このとき、\{ a_n \} は増加であるため、\forall n > N , |c - a_n| = c - a_n \leq c - a_N < \varepsilon  が成り立つことから、定義により、\{ a_n \} の極限は \sup_n \{a_n\} であることが分かる。
\{ a_n \} が単調実数列（すなわち aₙ ≤ aₙ₊₁ が成立する）であるとき、この数列が有限な極限を持つための必要十分条件は、それが有界数列であることである。
文化人類学および文化地理学において、文化伝播（ぶんかでんぱ、英語：Cultural diffusion）とは、思想、観念、宗教、技術、言語などの文化的産物が単一文化内あるいは複数文化間で伝播することである。en:Leo Frobeniusの著書『Der westafrikanische Kulturkreis』（1897/98）で概念化された。文化伝播の例として、戦闘用馬車や古代の鉄製錬術、そして20世紀における自動車や西洋のビジネススーツの普及が挙げられる。(→文化循環も参照)
2011年より中国代表に選出される。同年7月28日のFIFAワールドカップ予選ラオス戦(6-1)でデビュー。2013年10月15日のアジアカップ予選インドネシア戦(1-1)で初得点を決めた。代表では主に中盤（ボランチ）で起用される。
2008年、乙級リーグに所属する河北天工でデビュー。2009年より超級リーグの上海申花に加入。ミロスラヴ・ブラジェビッチのもと、右サイドバックのレギュラーとしてプレー。時にボランチや攻撃的ミッドフィールダーを務めた。2013年、江蘇舜天（のちに江蘇蘇寧）に移籍。2016年からキャプテンを務める。2015年にFAカップ優勝。2015年、2016年と2年連続でリーグのベスト11に選出されている。
『アンセム』は、フルアルバムを含む多くの音楽作品の着想の元になってきた。 テノール歌手のエンゾ・ストゥアルティ（Enzo Stuarti）の2枚組レコード「Stuarti Arrives at Carnegie Hall」に収録された「プレリュード」（Prelude）という歌は、『アンセム』の次の一節から始まる。"I know not if this earth on which I stand is the core of the universe or if it is but a speck of dust lost in eternity. "（わたしが立っているこの大地が、宇宙の中核なのか、もしくは永遠の中に埋没した小さなしみのような塵芥なのか、わたしにはわからない。）この歌を締めくくる次の節も、『アンセム』の引用である。"I guard my treasures: my thought, my will, my land, and my freedom. And the greatest of these is freedom."（わたしは、わたしの宝物であるわたしの思想や、わたしの意志や、私の自由を守る。これらの宝物の中で最高のものは、自由である。）エンゾ・ストゥアルティによれば、「プレリュード」はパット・ブーン（Pat Boone）が作曲し、ストゥアルティの友人のフランク・ラブジョイ（Frank Lovejoy）からの示唆に触発され作詞された。1964年5月5日付けのランド宛のメモにこの無認可の翻案に関する言及があるが、ランドが法的措置を講じたことを示す記録はない。作家ロバート・シルヴァーバーグ（Robert Silverberg）の1971年の小説『禁じられた惑星』（A Time of Changes）も、一人称が禁じられた世界で主人公がこの禁止に挑む物語である。2009年に再版されたこの小説の序文で、シルヴァーバーグは、1953年に『アンセム』を読んでいたが、『禁じられた惑星』を執筆した時にはそのことをすっかり忘れていたと書いている。彼は、『アンセム』のストーリーを再読して『禁じられた惑星』との類似性に驚いたが、この2作品は非常に異なっていると述べている。ハードロック/プログレッシブ・ロックバンドのラッシュの「西暦2112年」（2112）という曲は、筋書き、構成、主題が『アンセム』と相似しており、作者のニール・パート（Neil Peart）は『アンセム』の影響を認めている。パートによれば、彼は『アンセム』を読んだことはあったが、この曲を書く時に『アンセム』のストーリーを意識していたわけではなかった。しかしこの曲と『アンセム』の類似性を指摘されると、何らかの無意識の影響があったに違いないと理解し、ライナーノーツのクレジットに「アイン・ランドの非凡な才能」（"the genius of Ayn Rand"）を加えた。ラッシュのアルバム「フライ・バイ・ナイト」（Fly By Night）には「アンセム」（Anthem）という曲が収録されている。ラッシュのカナダにおけるレコード・レーベルは「アンセム・レコード」（Anthem Records）である。レビューアーのジェームズ・バウルズ（James Bowls）は、アーシュラ・K・ル＝グウィン（Ursula K. Le Guin]）の短編小説 『アカシヤの種子に残された文章の書き手』（The Author of the Acacia Seeds）と『アンセム』の類似性を指摘している。『アンセム』では、冒頭シーンで主人公がトンネルの中で一人で座り、自分が生まれた集産主義的な社会に抵抗する気持ちを書き記す。『アカシヤの種子に残された文章の書き手』では、読み書きができる個人主義者のアリが、使われなくなったトンネルに同じように一人で座り、アリ塚社会に対する反乱の声明文をアカシアの種に書く。バウルズは、「ル＝グウィンのリバタリアニズムはランドとは非常に異なっているが、この類似性は注目に値する」と述べている。