古代にもいくつかの積分法のアイデアは存在したが、厳密あるいは体系的な方法でそれらのアイデアを発展させようという動きは見られない。積分法の基本的機能である体積や面積の計算は、エジプトのモスクワパピルス（紀元前1820年頃）まで遡り、その中で角錐の切頭体の体積を正しく求めている。ギリシア数学では、エウドクソス（紀元前408年 - 355年頃）が極限の概念の先駆けとなる取り尽くし法で面積や体積を計算し、アルキメデス（紀元前287年 - 212年頃）がそれを発展させて積分法によく似たヒューリスティクスを考案した。取り尽くし法は紀元3世紀ごろ、中国の劉徽も円の面積を求めるのに使っている。5世紀には祖沖之が後にカヴァリエリの原理と呼ばれるようになる方法を使って球の体積を求めた。
日本の旧有限会社（YK）（2006年5月新会社法施行により廃止）はドイツの有限会社（GmbH）に由来しており、また合同会社の起源であるアメリカ合衆国のLLCもこれに影響を受けて設けられたものである。日本では法人格のある私企業はほとんどの場合には株式会社（KK）の組織を取るが、ドイツでは大企業でも株式会社（AG）ではなく有限会社（GmbH）であることが多い。
10月14日、この時点でフランス軍主力の集結は完全に終わっておらず、ナポレオンの手元にある戦力は45,000名、砲100門前後だった。ナポレオンは砲兵をラントグラフェルベルク山に上げ、火力支援が加えられるようにした。これに対し、プロイセン軍はホーエンローエ軍33,000名、砲120門。ザールフェルトでの損害に加え、ドルンブルクに側面防御のための5,000名を派遣していたため、さらに劣勢となっていた。ホーエンローエは前日のうちにリュッヒェルに援軍を要請していたが、彼らが到着する前にフランス軍は行動を開始した。午前6時、フランス軍は攻撃を開始した。この日は濃霧が漂っていたが、それはフランス軍の行動を秘匿することとなり、一種の奇襲効果を生み出した。ランヌの第5軍団20,000名が先陣を切って中央へ進み、続いて右翼からスールトの第4軍団先鋒9,000名、左翼からはオージュローの第7軍団16,000名が進んだ。奇襲効果もあり、ほどなく第5軍団はクロズヴィッツとコスペダのプロイセン軍を撃退、戦線の中央を押し込んだ。これによってプロイセン軍の戦線は大きく歪み、崩壊の危機にさらされた。午前9時、ホーエンローエは予備の部隊を投入してフランス軍の攻撃を防ぎ、その間に戦列の再編に取り掛かった。フィールツェンハイリゲンを中心として、左翼はヘルムスフォッド、右翼はイゼルシュタットに至る防衛線を形成し、これに拠ってワイマール方面から向かってくるリュッヒェルの援軍を待つつもりであった。ナポレオンはここを好機と見て、全軍に積極的攻勢を命じた。この直後、ネイの第6軍団の先鋒4,000名が戦場に到着、ナポレオンからの命令を待たず、独断で第5軍団の左翼をすり抜けて突撃を開始した。しかし、すでにプロイセン軍は戦列を整えることに成功しており、第6軍団の突撃はプロイセン軍の反撃によって跳ね返された。突出して敵中に嵌まり込んだ第6軍団は、プロイセン騎兵の猛攻にさらされた。ナポレオンはベルトランに親衛隊の騎兵二個連隊を与えて救出に派遣するとともに、ランヌにネイの支援を命じた。午前10時、ドルンブルクに派遣されていたプロイセン軍の分遣隊5,000名が戦場に到着、右翼のスールトの第4軍団へ攻撃を仕掛けた。スールトは歩兵と騎兵の協同によってこれを完全に撃退し、側面の安全を確保することに成功した。続けて第4軍団はヘルムスフォッドのプロイセン軍左翼を押し込み、グロス・ロムスタッドまで後退させた。午前11時、第5軍団がフィールツェンハイリゲンを制圧、再びプロイセン軍の戦線中央に危機が訪れた。ここにおいてホーエンローエは全軍を後退させ、ワイマールへ至る街道方面へと全部隊を集中させた。いまやプロイセン軍の取れる選択肢は、リュッヒェルの支援を得て、戦場から撤退することだけであった。しかし、この街道上への集結により、プロイセン軍は遮蔽物のない状態で、村落の生垣を利用するフランス軍と銃撃戦を繰り広げることとなった。午後1時、この時点でフランス軍は後続の集結も終わり、ほぼ全力が整っていた。一方、プロイセン軍は、2時間にわたる銃撃戦で痛めつけられ、崩壊の一歩手前の状態であった。すでに一部の部隊が横列を組んでフランス軍の攻撃に耐えているのみだった。勝利を確信したナポレオンは総攻撃を命令した。午後2時、リュッヒェルの援軍13,000名が戦場に到着。ところが、リュッヒェルは友軍の撤退を援護するのではなく、フランス軍へ向けて突撃を開始した。第5軍団・第6軍団・第7軍団がこれを迎え撃ち、優勢な兵力によって徹底的に撃破した。ここにおいて最後の予備兵力も消滅し、プロイセン軍は完全に崩壊した。総崩れに陥ったプロイセン軍に対し、フランス軍は追撃に移行、これにミュラの騎兵予備軍団も加わって敗兵を掃討した。プロイセン軍のわずかな残党は散り散りになって北方へと逃亡して行った。このイエナの戦いでプロイセン軍は兵員25,000名、砲112門を失った。これに対し、フランス軍の損害は5,000名ほどに過ぎず、完全勝利と言えるものだった。もともと彼我の兵力差には大きな開きがあり、当然ともいえる勝利だったが、プロイセン軍主力を撃破したと考えていたナポレオンは勝利を大いに祝った。しかしながら、この同じ日、より重要な勝利が北方のアウエルシュタットで達成されていた。