セルティックファンの一部のグループは、試合においてアイルランド共和主義とアイルランド共和軍に関する歌やチャントを披露することによって彼らへの支持を表明する。IRAチャントは攻撃的であると類型化されるが、彼らがセクタリアンであるかについては意見が分かれている。UEFA広報委員長William Gaillardは、2006年の事例について話した時、IRAチャントは民族主義者問題であり、それぞれの国の民族主義運動を支持しているバルセロナやアスレティック・ビルバオといった他クラブのファンと似ている、と述べた。またGaillardは、一部のファンが民族浄化に従事した機関への支持を示したバルカン諸国の事例とは状況が異なる、とも述べた。2008年と2010年、休戦記念日 (Remembrance Day) のためにポピーのシンボルをチームが身に付けることに対してファンのグループが抗議を行った。セルティックはこれらの抗議に対して彼らがクラブとファンのイメージを損っていると述べて不賛成の意を表明し、関与した者達を入場禁止にすると約束した。2011年11月、UEFAはセルティックファンが2011年11月3日に行われたヨーロッパリーグのレンヌとの試合中に親IRA歌を含む「不法チャント」が行われた疑惑に関して捜査を開始した。審問が2011年12月9日に行われ、クラブは1万2700ポンドの罰金を課せられた。2011年11月にはまた、スコティッシュ・プレミアリーグが前月のハイバーニアン戦でのファンによる「親IRA」チャントに関するセルティックへの調査を発表した。2011年12月5日、調査の結果SPLは「少数のセルティックファンがIRAを支持する歌およびチャントを行ったことは疑いようがない」と結論付けた。しかしながら、セルティックはそういった行動を防止するために全ての「合理的に実行可能な段階」を踏んでいると見なされ、クラブに対しては罰則は課されなかった。SPLはまた、監督のニール・レノンやCEOのピーター・ローウェルがこれらのチャントについて繰り返し激しい非難を行ったことも考慮された、と述べた。
セルティックの伝統的なライバルはレンジャーズである。まとめて、これら2つのクラブはオールドファームとして知られている。セルティックとレンジャーズはスコットランドサッカーの歴史を支配しており、1890年のスコットランドリーグの始まりからこれまで、97のタイトルを分け合っている（他クラブは全て合わせても19）。2つのクラブはスコットランドでこれまで最も支持されているクラブでもある。セルティックはアイルランドの人々ならびにアイルランド系のスコットランド人（どちらも大抵の場合はローマ・カトリック）と歴史的な結び付きがある。伝統的に、ライバルのレンジャーズのファンはスコットランドあるいは北アイルランドのプロテスタントから来ており、イギリス統一主義を支持している。クラブは北アイルランド問題の対立派閥の支持を引き付けてきている。一部のサポーターは試合でプロテスタントを罵るあるいはカトリック信仰への支持を示す歌やチャント、バナーを用い、IRAやUVFといった北アイルランド民兵組織への支持を表明する。2011年現在、400試合近くのオールドファームダービーが行われている。試合は、「スコットランドの至る所のコミュニティーでの暴力につながり続けている憎悪、宗教的緊張、威嚇の雰囲気」を持つと描写される。ライバル関係は多くの暴動をあおり、ダービーの日には死者が出ることもある。病院の緊急治療室への受け入れは通常の9倍に増加すると報告されており、1996年から2003年の期間では、数百件の暴動があり、8件の死亡事例がオールドファームダービーに直接的に結び付いていた。ハムデン・パークで行われた1980年スコティッシュカップ決勝では、セルティックの勝利後にピッチ上で双方のサポーターによる乱闘が起きた。1999年5月にセルティック・パークで行われたダービーでは、セルティックファンにより物が投込まれ、レフリーのHugh Dallasにその内一つが当たり治療が行われた。また、少数のファンがピッチに乱入した。セルティックはセクト主義を減らす方策を取ってきている。1996年、クラブはBhoys Against Bigotry（偏見）キャンペーンを開始し、その後「コミュニティーの全ての面 —全ての人種、全ての色、全ての信条— に対して敬意を持つよう若者を教育する」ためYouth Against Bigotryキャンペーンが行われた。2008年3月、UEFAはバルセロナとの試合においてセルティックのファンがセクタリアン・チャントを歌った疑惑について調査を行った。この訴えは、証拠に欠いていたため同月内に棄却された。
無類の酒好きで、いわゆる酒仙投手の異名を取った選手の一人である。試合が終わり宿舎に戻ると、ステテコ姿で日本酒を湯のみ茶碗で嗜むのが常であった。その風格に、チームメイトたちは “村長”の愛称を捧げ奉った。秋田銘醸の日本酒「爛漫」を愛飲し、生涯で一番呑んだ日には日本酒1升、ウイスキー4本、ビール10本以上を一晩で空けたという。打倒巨人に闘志を燃やし、巨人戦で勝利投手となった日には「幸せだ。俺はこの時の為に生きている。」と言って日本酒を飲み倒し、背広・ワイシャツ・下着の順番で脱いでゆき、最後はパンツ姿でぶっ倒れるまで飲んだという。その姿から、ファンの間からは「巨人キラー」と呼ばれる程であった。酒と博打にのめり込む余り、門限破り、朝帰りとなる事も数知れず。20勝を挙げた翌年の1969年のキャンプでは、朝帰りの際に怪しまれないようトレーニングウエアに着替えて宿舎に向かったところ、たまたま石戸を見かけた別所監督に「一人で朝練習をしている」と勘違いされ、「若手の模範である」と褒められたという珍事も発生した。国鉄の番記者で後にサンケイの正捕手ともなる岡本凱孝らとも親交があった三枝貢によると、石戸は故郷にスナックを開いた際も「毎晩飲んでいる常連客の一人が自分自身である」という程酒を呑みつづけていたといい、これらの大量の飲酒が、結果的に肝機能障害および肝硬変の発症と、39歳での早世につながる大きな原因になった。只し、武上四郎によると、豪快な生き様とは対照に、性格は繊細であったともいい、没後間もない1981年には秋田魁新報の吉田一雄ら、石戸と親交があった有志により石戸の全戦績を纏めた著作である『白球の軌跡』が上梓された。なお、酒仙投手とはチームの主軸投手である「主戦投手」のうち、特に酒豪と讃えられた者を示す言葉として大和球士が考案した称号で、戦前の西村幸生に始まり、戦後は大崎三男と石戸、その後は今井雄太郎へと受け継がれていった。また、漢数字のみで構成された名前の選手はNPB史上は10名ほどがいるが、大成した選手は石戸と関本四十四、高橋一三くらいであったとされる。