一般の添字集合 I に対する I-次数線型空間の間の線型写像 f: V → W が次数付き線型写像であるとは、それが斉次元の次数付けを保つとき、すなわち  を満たすときに言う。次数線型写像のことを、次数線型空間の間の準同型または射とも、あるいは斉次線型写像とも呼ぶ。係数体および添字集合を固定して考えるとき、次数付き線型空間の全体は次数線型写像を射として圏を成す。I が可換モノイドであるときには（たとえば自然数の集合 ℕ のときはそう）、より一般に任意の i ∈ I に対する斉次性を  なる条件によって定義することができる。ここで "+" はモノイドの演算とする。さらに I が消約性を満足し、したがって適当な可換群に埋め込めるときは（たとえば自然数の集合 ℕ のときはそう）、I の生成する可換群 A の任意の元 i を次数として斉次線型写像を同じ式（ただし "+" を A の群演算として）で定義できる。とくに、任意の i ∈ I に対し、(−i)-次の斉次準同型は  で定義される。ただし、j − i が I に入らないときには f(Vⱼ) := 0 とする。線型空間からそれ自身への線型写像全体が自己準同型環と呼ばれる結合多元環を成すのとまったく同様にして、次数線型空間上の斉次自己準同型全体は（次数をモノイド I に制限しても、群 A の元となることを許しても、それぞれで次数付けられる）結合的な次数付き多元環を成す。
次数付きベクトル空間の各斉次成分は、自然数の集合 ℕ に限らず、任意の添字集合 I で添字付けることができる。すなわち、I-次数付き線型空間 V は集合 I の各元 i で添字付けられた部分線型空間の直和  に書けるベクトル空間を言う。特に、添字集合 I が整数の剰余類環 Z/2Z の場合は物理学において重要で、Z/2Z-次数付き線型空間は超ベクトル空間とも呼ばれる。
非負整数全体の成す集合 ℕ に対し、ℕ で次数付けられたベクトル空間はしばしば単に次数線型空間のように ℕ を落として呼ばれる。次数付きベクトル空間 V は、各 Vₙ がベクトル空間となるような形の直和分解  を持つベクトル空間を言う。また各 n に対し Vₙ を次数 n の斉次成分、その各元を次数 n の斉次元と呼ぶ。次数付き線型空間は一般的によく用いられる概念である。例えば、のように一変数（あるいは多変数）の多項式全体の成す集合は次数付き線型空間を成し、その次数 n の斉次元はちょうど斉次次数 n の斉次多項式——次数 n の単項式からなる線型結合——によって与えられる。他にもベクトル空間 V に対して、そのテンソル代数 T(V) や対称代数 S(V) あるいは外積代数  などにも自然に次数を定義することができる。
1度は定年退職した元刑事があることをきっかけに嘱託刑事として復帰し、娘婿で同じ警察署の刑事とともに事件解決をしていく。第1作、第2作は主人公らのいる警察署は警視庁本郷西警察署となっていたが第3作では警視庁調布北警察署に舞台が変わった。それに伴い、主人公が1度定年退職したのも本郷西署から調布北署に変更された。
三島由紀夫は、公安活動という〈地味で、扱ひにくい題材を用ひて、観客をアッといはせるやうなスリルに富んだ、面白い芝居を書いてやれ〉という意気込みだったとし、素材が地味だから、背景の事件を派手にしたと述べている。芝居といふものは、絵空事で、絵空事のうちに真実を描くのだ、といふ確信は、近松門左衛門が、「虚実ハ皮膜ノ間ニアリ」と言つてゐるとほりである。この「喜びの琴」も例外ではないのに、かた苦しい一面ばかりが世間に喧伝されてしまつたと思ふのである。「喜びの琴」は、扱つてゐる世界が、公安警察といふぢみなものであるだけに、それだけに、芝居の技巧はいつそうはでにしてある。技巧だけからいへば、私の芝居の中で、もつとも華美な部類に属するといへるかもしれない。 — 三島由紀夫「私がハッスルする時―『喜びの琴』上演に感じる責任」また三島は、『喜びの琴』の主人公の若い巡査・片桐を〈一面気の毒な存在であるが、一面幸福な人間である〉とし、彼が受ける裏切りと、作品主題について以下のように解説している。彼はその純粋な生一本な心情によつて、誰からも愛されてゐる。同僚から愛され、上司から愛されてゐる。しかし彼は、もつとも信頼する上司から裏切られて、見るも無残な目に会ひながら、なほその裏切りの彼方から自分が愛されてゐることに気づかない。それはもつとも厳しい、もつとも苦い愛であるが、彼は知らずに（怒り憎みながら）、この愛のなかを通りぬける。片桐ばかりではない。われわれはしじゆう体を貫いてゐる宇宙線に気づかぬやうに、この種の愛、この種の恩寵に気づかないのである。片桐はこの愛によつて、一旦、すべての目的と理想を失つた地獄へ叩き込まれる。そして川添巡査の琴の音の力で、地獄から這ひ上るとき、はじめて彼は自覚的な人間になるのである。この琴の音が何であるかについては、私はわざと注解を加へない。 — 三島由紀夫「『喜びの琴』について」なお、三島は1963年（昭和38年）2月に評論『林房雄論』を発表しているが、同時期に発表された他の作品との関連について、〈僕の考えを批評の形で出したのが『林房雄諭』だし、小説にしたのが『午後の曳航』や『剣』で、『喜びの琴』はその戯曲といふことになります〉と述べている。