朝鮮総督府の役人だった祖父を持ち、1942年、日本統治時代の朝鮮半島・京城府（現・ソウル特別市）で生まれる。父の転勤により移り住んだ咸興市でソ連軍の参戦・侵攻を受け、収容所生活を送るが、1946年に脱出して日本に引き揚げ、高校時代まで熊本県で育つ。関西大学法学部卒業後の1965年、 NHKに記者として入局し、福岡放送局を初任地に、京都放送局放送部副部長、高知放送局放送部長、大阪放送局広報部長などを歴任した。戦争時代の体験などを背景に、記者時代は人権問題を取材活動のメインテーマにしていたという。1998年、NHKを退職し、市長が厚生年金の不正受給事件で逮捕された東大阪市の出直し市長選に無所属で立候補したが、共産党が推薦する長尾淳三に敗れた。大阪経済法科大学アジア研究所の客員教授を務めたあと、2002年の同市長選挙に再び立候補。西野陽衆議院議員をはじめとする自民党の一部や、公明党、民主党などの相乗りによる支援を受け、塩川正十郎財務大臣や自民党市議団が支援する東口貞男前市議、共産党が推薦する長尾市長を破り、初当選した。東大阪市長在任中は、中小事業所の減少などによって地盤沈下が指摘されていた地場産業の再生を目指した。「勝ち組」企業を増やすことによる地元経済への波及効果を狙い、企業の国内外への販路拡大を支援した。また中小企業への支援を柱にした「モノづくり経済特区」構想を公約に掲げ、2005年には国の構造改革特区指定を実現した。一方で起債残高が1600億円（2006年7月時点）に達するという、従前からの市政運営がもたらした深刻な財政難に足を引っ張られる形となった。団塊世代の職員の大量退職などにより、さらなる財政悪化が避けられない見通しの中で、大阪府内で最高水準にあった給与水準の見直し、特別勤務手当のカットなどの行財政改革を打ち出した。2003年、行財政改革の一環として、違法な長期採用が常態化していたアルバイト職員を非常勤職員に一本化する制度を導入したが、採用過程で多額の予算超過が発生したことをめぐり議会で批判を浴び、自らの減給処分を行った。この問題では同市の住民が「公正な採用手続きを定めた地方自治法に違反する」と指摘し住民訴訟を提起したが、1審では住民側が敗訴した。2006年、任期満了に伴う東大阪市長選に再選を目指して出馬したが、西野陽が松見を支援する一方で、西野の実弟の西野茂が自ら立候補するという2002年に続く自民分裂の構図となり、返り咲きを目指す共産党推薦の長尾淳三に破れ、落選した。なおNHK在籍時代の1996年に出版された著書『キャプテン月川物語』では、明治時代に日本とニュージーランドの架け橋となった月川喜代平の生涯について記している。NHK記者時代の1974年、東大阪市の寿司店でキモの入ったてっちりを食べて中毒にかかり、重体に陥った経験を持つ。強心剤や人工呼吸などで何とか一命をとりとめた。2007年からは、福岡県柳川市に居住している。
福岡県北九州市門司区出身。3歳年の離れた姉の影響で小学校3年生よりバレーを始める。高校時代はチームでの全国大会の経験はないが、1995年、世界ユース選手権に出場し優勝を経験した。1996年、NECレッドロケッツに入団。1997年、全日本代表初選出。同年開催のワールドグランドチャンピオンズカップでは、正セッターの大貫美奈子の控えとして出場した。その後しばらく全日本代表から遠ざかったが、1999/2000Vリーグでは正セッターとしてNECの全勝優勝に貢献し、2000年の全日本代表に招集される。当時は大貫のセッター転向が頓挫し、1999年ワールドカップで正セッターを務めた板橋恵も不調だった為、葛和伸元監督は竹下を正セッターに抜擢してシドニーオリンピック世界最終予選に臨んだ。しかし日本は3勝4敗の6位で敗退し、日本女子バレー初となる五輪出場権を逃がす結果に終わったことから、敗因として「セッターが159cmの身長では世界を相手に通用しない」と竹下の低身長が槍玉にあげられ、激しいバッシングにさらされた。2001年、ワールドグランドチャンピオンズカップに出場し銅メダルを獲得したものの、シドニーオリンピックの出場権を逃した責任を感じ続けていた竹下は、2002年4月、所属していたNECを退社し、一時期バレーボールから離れた。退社後は地元の北九州に帰郷し、体力を活かして介護の仕事をしようと考え、ハローワークに通っていた。しかし、当時の一柳昇JT監督から、「一緒にVリーグ昇格、そして制覇という夢に挑戦してほしい。楽しいバレーをしよう」と再三の誘いを受けて、同年8月、当時、V1リーグ（現・チャレンジリーグ） のJTマーヴェラスで復帰。その熱意に応えた竹下はチームをVリーグ（現：プレミアリーグ）昇格に導いた。2003年に全日本に復帰し、2003年ワールドカップで最優秀敢闘賞受賞。翌2004年アテネオリンピックに出場し、5位入賞を果たす。2004年5月20日、JTと現役日本人女子選手唯一（当時）のプロ選手契約を結んだ。マネジメントはスポーツビズが行っている。2005年、全日本代表キャプテンに指名される。同年のワールドグランプリ2005から主将としてチームを牽引する。2006年世界選手権では大会MVPを受賞した。2007年1月27日、浜松市で行われたプレミアリーグのトヨタ車体戦でレシーブの際、リベロの菅山と接触、右手親指第1関節開放脱臼の怪我を負った。2月17日、途中出場で7試合ぶりにコートに復帰し、2月25日にスタメンに戻った。同年9月のアジア選手権で24年ぶりの優勝を果たした。2008年4月、Vリーグ出場試合が232試合となり、2007年にリーグ40回大会を記念し創設された『Vリーグ特別表彰制度』の表彰基準を達成したため、長期活躍選手として特別表彰された。同年8月、北京オリンピックに出場。2009年11月、グラチャンバレーからは、全日本のキャプテンを降り（後任は荒木）、コーチ兼任の選手となる。2010年11月、世界選手権に出場し、銅メダルを獲得した。2010/11Vプレミアリーグでチーム史上初のリーグ優勝と第60回黒鷲旗大会で優勝し、2冠を達成した。2011年11月のワールドカップに出場し4位となった。2012年6月、ロンドンオリンピックの代表メンバーに選出され、自身3大会連続出場となった。大会直前の練習中に左手人差し指を負傷するアクシデントに見舞われたが、テーピングを巻いて出場し、ロサンゼルスオリンピック以来28年ぶりとなる銅メダルの獲得に貢献した。同年9月28日、JTマーヴェラスは竹下が退団し、休養に入ることを発表した。2013年5月、現役登録競技者として異例となる日本バレーボール協会理事に就任。その後、7月25日に現役を引退することを発表。今後は協会理事を務める傍ら、バレーボールの普及活動に力を入れる意向を明らかにしている。2015年5月24日、第1子となる男児を出産。2016年6月7日、兵庫県姫路市を拠点に発足したバレーボール女子チーム「ヴィクトリーナ姫路」の監督に就任。