合成代数 (A, ∗, N) は体上の多元環 A, 対合 ∗ および「ノルム」N(x) = xx* からなる。任意の体 K に対して、K と自明なノルム（つまり N(x) = x²）から始まる合成代数の系列が生じてくる。この系列は、多元環の直和 A ⊕ A を作って新たな対合 (x, y)*  = x* − y を入れるという帰納的な手続きによって得られる。レオナード・E・ディクソンが四元数を二重化して八元数を得るためにこの構成を発明しており、直和 A ⊕ A を利用するこの二重化法はケイリー–ディクソン構成と呼ばれる。実例として、K = ℝ（実数体）から始めれば、系列として複素数、四元数、八元数、十六元数が生成される。また K = ℂ（複素数体）と自明なノルム N(z) = z² から始めれば、以下双複素数、双四元数、双八元数と続く。マックス・ツォルンは、古典的なケイリー–ディクソン構成では先の (ℂ, z²) の系列に属する代数の部分多元環として生じるいくつかの合成代数（特に分解型八元数）を取りこぼしてしまうことに気が付いた。そのために修正されたケイリー–ディクソン構成（これもまたもとの多元環 A から直和 A ⊕ A を作る方法に基づく）は、実数、分解型複素数、分解型四元数、分解型八元数の系列を作るのに利用される。
考えている加群が付加的な構造（例えばノルムや内積）をもっていれば、加群の直和もしばしばこの付加的な構造をもつようにできる。この場合、付加的な構造をもっているすべての対象の適切な圏における余積を得る。2つの顕著な例はバナッハ空間とヒルベルト空間に対して起こる。古典的なテクストには、さらに体上の多元環の直和の概念を導入するものもある。しかしながらその構成は、多元環の圏における余積ではなくて直積を与えるものになる（次の節の注意を参照、あるいは自明でない単位的環の無限族に加法群としての直和をとり成分ごとの積を入れたものは単位元を持たないことを想起せよ）。
直和は対象の集合に可換モノイドの構造を対象の和は定義されるが差はされないという意味で与える。実は、差を定義することができ、すべての可換モノイドはアーベル群に拡張することができる。この拡張はグロタンディーク群として知られている。拡張は対象のペアの同値類を定義することによってされる、これによってあるペアを逆元として扱うことができる。この構成（詳細はグロタンディーク群の項を見よ）は、一意であるという普遍性をもつ点で「普遍的」であり、アーベルモノイドのアーベル群への任意の他の埋め込みに準同型である。
M を R-加群とし、Mᵢ (i ∈ I) はすべて M の部分加群とする。すべての x ∈ M が Mᵢ の有限個の元の和として一通り、かつ一通りに限り書くことができるならば、M は部分加群の族 Mᵢ の内部直和 (internal direct sum) であると言う (Halmos 1974, §18)。この場合、M は、上で定義された Mᵢ たちの（外部）直和と自然同型である (Adamson 1972, p.61)。M の部分加群 N が M の直和成分または直和因子 (direct summand) であるとは、M の別の部分加群 N′ が存在して M は N と N′ の内部直和となるときにいう。このとき、N と N′ は互いに補（complementary submodule; 相補部分加群、ベクトル空間の場合相補部分空間）であるという。
まずこれら二つについて、対象が二つだけの場合と仮定して構成を与え、それからそれらを任意の加群の任意の族に一般化する。一般的な構成の重要な部分は、これら二つのケースを深く考えることによって、よりはっきり浮かび上がってくるだろう。
埼玉県深谷市の誘致に応じる形で、三軒茶屋病院（東京都世田谷区）などを経営する特定医療法人大坪会（東京都）を母体とする学校法人青淵学園が東都医療大学を設置した。2009年4月に看護師・保健師・助産師を養成するヒューマンケア学部看護学科単独で開学した。2018年には、幕張新都心に幕張キャンパス（千葉県千葉市美浜区）を新たに設置し、看護師・保健師を養成する幕張ヒューマンケア学部看護学科を開設するとともに、既設の深谷キャンパスには管理栄養士を養成する管理栄養学部管理栄養学科を開設した。2019年には、理学療法士を養成する理学療法学科を幕張ヒューマンケア学部に新設し、大学名を東都大学に変更した。
（訳註: 以下、アメリカ合衆国での状況が説明されています。ドルは米ドルを指すと思われます）ドメイン名における紛争は典型的にはUniform Domain-Name Dispute-Resolution Policyプロセスを用いて、Internet Corporation for Assigned Names and Numbers (ICANN) によって解決される。UDRPプロセスについては、大企業よりであり、しばしば紛争解決の規則と目的を踏みにじりがちであるとの批判がある。裁判もまたドメイン占拠対策に用いられうるが、裁判所の管轄の問題が付きまとう。原告の住所、被告の住所、ドメイン名を付与されたサーバの設置場所、どれを元にして管轄を決めるのか、裁判所によって異なる見解を持っているからである。訴訟費用と時間の点からUDRPを選択することがしばしばであるが、裁判所の判決はUDAPの決定を覆しうるし、実際にしばしばそうなる。国によっては、通常の商標登録制度よりも踏み込んだ、ドメイン占拠対策の特別な法律を持っている場合もある。例えばアメリカ合衆国では1999年に反サイバースクワッティング消費者保護法 (ACPA)が制定された。UDRPでは、原告が勝訴すればそのドメイン名を消させたり、所有権を移動させたりすることができる。前者はしばしば他の誰かに当該ドメイン名を登録されるだけに終わり、後者の場合も通常の所有者変更費用を支払って全てのドメイン名の所有権を受け取っておかないと、また他の誰かに登録されかねない。ACPAの下では、ドメイン占拠者はドメイン名一つあたり10万ドルを上限として、商標の侵害による実際の損害または法定の損害を賠償させられる可能性がある。企業や個人、政府機関が一般的なドメイン名を所有者から取り上げて自分のものにしようと、商標の侵害を謳った偽の訴えをおこすことがあり、それが成功したこともある。このようなやり口は「ドメイン名の逆ハイジャック」(reverse domain hijacking)と呼ばれ、同様に10万ドルを上限とした賠償の対象となる。サイバースクワッティングは時として誤用され、一般的（総称的）なドメイン名を売買することを指すことがある。そのような総称的ドメイン名、説明の役目を果たすようなドメイン名は不足しているので、貪欲な事業者はしばしばこの用語を悪用して、ドメイン名を権利者から取り上げようとする。