1902年（明治35年）12月14日、宮城県仙台市立町（現在の同県同市青葉区立町）に生まれる。本籍は山形県東置賜郡和田村（現在の同県同郡高畠町和田地区）にあった。仙台市立立町尋常小学校（旧制尋常小学校、現在の仙台市立立町小学校）、宮城県立仙台第二中学校（旧制中学校、現在の宮城県仙台第二高等学校）を卒業、旧制専門学校の青山学院英文科（現在の青山学院大学）に入学する。同学在学中に当時、松竹蒲田撮影所脚本部に在籍していた伊藤大輔の指導を受けつつ、脚本執筆の手伝いをはじめる。伊藤は、1923年（大正12年）には松竹キネマを退社し帝国キネマ演芸に移籍するが、清瀬は変わらず師事、池田義臣監督の『船頭小唄』（松竹蒲田、1923年）、若山治監督の『足跡』（帝国キネマ、1924年）、松本英一監督の『復讐鬼』（同左）は伊藤が脚本を書いたとされているが、実際には清瀬が書いたものだという。1925年（大正14年）、青山学院を卒業と同時に伊藤の許を離れ、日活大将軍撮影所時代劇部の脚本部に入社する。辻吉郎監督の『逝く春は悲し』『炬火を翳して』等の脚本を書き、3か月で助監督部に異動、池田富保作品に就く。1926年（大正15年）の後半には、伊藤も同撮影所に入社してきている。1927年（昭和2年）には監督に昇進、谷崎十郎を主演に『紀雲乱舞』（のちの『紅雪乱舞』）を撮り始めるが、谷崎の降板で一旦製作を中断している。仕切りなおして、『半九郎捕物帳 剣』で監督デビューとなり、同年5月6日に公開された。同年10月1日に公開された池田富保の大作映画『建国史 尊王攘夷』では、再度チーフ助監督を務め「監督補」とクレジットされた。同作のセカンド助監督は渡辺邦男、サードは益田晴夫であった。『紀雲乱舞』は、タイトルを『紅雪乱舞』、主演を葛木香一に改めて製作再開、1928年（昭和3年）3月25日に公開された。当時、山中貞雄は清瀬の監督作『銀の蝙蝠』（1928年）を気に入り、1929年（昭和4年）夏、徴兵された折には清瀬の動向をつねに気にしており、「除隊の暁はきっと清瀬英次郎監督位になって見せる」と言っていたという。1934年（昭和9年）には、開業したばかりの日活多摩川撮影所に異動、トーキーの現代劇を撮る。1938年（昭和12年）7月13日に公開された『アパート交響曲』をもってしばし同撮影所を離れ、同年、南方に徴用され、小説家の土師清二、中村武羅夫、甲賀三郎、湊邦三、野村愛正、小山寛二、劇作家の長谷川伸、関口次郎、菊田一夫、北条秀司、映画監督の衣笠貞之助、音楽家の中川栄三、写真家の小石清、童話作家の天野雉彦とともに「南支従軍」に参加した。帰国後は撮影所に復帰、『花の舞曲』を監督して1939年（昭和14年）5月11日に公開された。同年8月3日に公開された『光われ等と共に』は、傷痍軍人をテーマにしたもので、発表当時、『キネマ旬報』誌上で激賞された。1941年（昭和16年）1月30日、石川達三の小説を原作に千葉泰樹が脚本を書き、清瀬が監督した『母系家族』が公開されたが、この作品を最後に、正確な時期・原因は不明であるが、清瀬は死去した。満38歳没。
趣味はアニメ、マンガ、鉄道。アニメや特撮番組を好む自他共に認めるアキバ系。とくに『魔法少女まどか☆マギカ』、『エウレカセブン』、『機動戦士ガンダムSEED』シリーズ、『マクロスF』などを好む。登場人物では『魔法少女まどか☆マギカ』の佐倉杏子、『マクロスF』の「シェリル」、『機動戦士ガンダムSEED』の「ディアッカ・エルスマン」を好む。コスプレも披露しており、宝島社の雑誌『smart』の企画では『魔法少女まどか☆マギカ』のキャラクター・暁美ほむらに、『AKB48 37thシングル 選抜総選挙』の選挙ポスターでは『キルラキル』のスタッフの協力の下、同作の主人公・纏流子に扮している。また、特撮番組に出演するスーツアクターのファンであることを公言しており、2014年7月27日放送分の『乃木坂って、どこ?』で「私の尊敬する人ベスト3」の第1位として、仮面ライダーシリーズなどでスーツアクターを務める高岩成二を尊敬していると語った。2018年公開の映画『劇場版 仮面ライダービルド Be The One』で「特撮デビュー」を果たす。グルメ漫画が好きで、乃木坂46での最後の出演となった『乃木坂工事中』2015年5月18日放送分の松井をフィーチャーした企画「松井玲奈の世界一教えたい授業」で、秋元真夏、生田絵梨花、生駒里奈、伊藤万理華、衛藤美彩、星野みなみ、松村沙友理を生徒に「グルメ漫画」をテーマに講義を繰り広げ、『おとりよせ王子 飯田好実』を「巻末の情報からお取り寄せができる」と紹介し、じゃんけんで敗北した伊藤以外の7人が松井がお取り寄せした「燻し鯖鮓」を堪能し、収録後に生駒から「大切な大先輩であり、ずっと乃木坂のメンバーなので、これからもよろしくお願いします」とエールが送られて番組が締め括られた。鉄道ファンで、ブログやTwitterなどで鉄道愛を綴っている。鉄道ファンになった契機は、2011年春に仕事でリニア・鉄道館に行き展示されていた新幹線車両を見たことである。特に新幹線が好きで、2011年9月16日に放送された『オシャレに恋したシンデレラ〜おかりえが夢を叶えるまで〜』の番宣で『PON!』にVTR出演した際には0系、N700系、E5系の形態模写を披露している。その後、2014年6月17日放送の『PON!』にスタジオゲストとして出演した際には、0系と200系との「顔」（前面形状）の見分け方やE5系とE6系の外見の微妙な違いなどを解説していた。新幹線で好きな車両は全てJR東日本所属車両で、200系・E3系・E4系・E5系・E6系である。さらに、NHK BSプレミアムの鉄道特集番組『驚き! ニッポンの底力 鉄道王国物語』、『東海道新幹線開業50周年 まるごと新幹線〜昨日・今日・明日 夢の超特急の50年』、日本テレビ系『笑神様は突然に…』鉄道BIG4の旅、テレビ朝日系『タモリ倶楽部』タモリ電車クラブついに西日本進出!!大阪環状線一周ツアーに出演している。『乃木坂工事中』2015年5月18日放送分では設楽統（バナナマン）に指示され、出演者を日村勇紀はラッセル車、設楽はゆりかもめ、白石麻衣は「日本一キレイ」と言われている阪急電車、川後陽菜は南海電気鉄道のラピート、西野七瀬は埼京線、川村真洋は都営地下鉄浅草線に例えた。スニーカー収集家としても知られており、50足を所持しているという。本人曰く「メンズスニーカーのデザインが好み」とのことである。『乃木坂工事中』2015年5月18日放送分では松村沙友理からスニーカーをおねだりされた。