良いハッシュ関数は、考えられる入力範囲が出力範囲全体になるべく一様に分布するようにマッピングを行う。つまり、出力範囲のそれぞれのハッシュ値はほぼ同じ確率で生成されるべきである。このような条件があるのは、異なる入力が同じハッシュ値にマッピングされてしまう「衝突」が発生すると、ハッシュに基づく各種技法のコストは衝突発生回数と共に増大するためである。あるハッシュ値が他のハッシュ値より生成されやすいなら、参照操作で衝突しているエントリ間でどれが探しているエントリかを調べる作業が基本的に大きな部分を占めることになる。注意しなければならないのは、「一様分布」が必要なのであって「無作為」である必要はないという点である。よい無作為化関数はハッシュ関数にも適していることが多いが、ハッシュ関数が無作為化関数である必要はない。ハッシュテーブルには可能な入力のうちのごく一部が格納されているということが多い。例えば、ある会の会員名簿には100人ほどの会員の名前が並んでいるが、それはこの世に存在する人名のごく一部である。その場合、一様性はほぼ全ての典型的な部分集合に対して成り立てばよいのであって、全ての可能なエントリ全体の集合に対して成り立たせる必要はない。言い換えれば、典型的な m 個のレコードの集合を n 個のバケットにマッピングする場合、1つのバケットに対応するレコード数が m/n より大きくなる可能性をなるべく小さくすればよい。特に m が n より小さい場合、一部のバケットだけが1つまたはせいぜい2つのレコードを格納するようにすべきである。理想的な完全ハッシュ関数では、各バケットには最大でも1つのレコードしか格納されない。しかし、n が m よりずっと大きくても、衝突を完全に無くすことはできない（誕生日のパラドックスを参照）。ハッシュ関数を評価する場合、ハッシュ値の分布の一様性はカイ二乗検定で評価できる。
ハッシュを使った手法は決定的でなければならない。つまり、ある入力が与えられたとき、生成するハッシュ値は常に同じでなければならない。言い換えれば、数学的な意味で関数になっていなければならない。したがってハッシュ関数は、時刻などに基づいた擬似乱数のような外部パラメータに依存してはならない。また、ハッシュ対象オブジェクトのメモリアドレスが処理中に変化する可能性があるなら（ガベージコレクションが行われるシステムでは変化する可能性がある）、それもパラメータとして利用することはできないが、時にはアドレス変更と同時にハッシュのやり直しを行うこともある。
その後100年ほどは大きな動きはなかったものの、フランス革命が勃発し、1792年にフランス革命戦争がはじまると様相は一変した。フランスはまず南ネーデルラントへ侵攻し、1794年には南ネーデルラントとラインラントをほぼ占領した。さらに1795年にはオランダを占領してバタヴィア共和国を建国させ、ライン川以南を割譲させた。同年にはバーゼルの和約によってプロイセン王国もフランスと講和し、ラインラント西岸の諸小国はフランス共和国へと併合された。以後20年ほどは自然国境説の通り、ライン川がフランスの国境となっていた。この状況は1797年のカンポ・フォルミオの和約ならびに1801年のリュネヴィルの和約によって追認されたが、この時にライン西岸の領土を失った大諸侯の領土をライン東岸において保障することが定められ、1803年の帝国代表者会議主要決議によって聖界諸侯の領土の没収（世俗化）と帝国騎士など群小の領主の陪臣化がおこなわれ、このときに沿岸の群小諸侯の領土はかなりが吸収・整理され、ある程度の大きさの諸公国へとまとめられていった。1806年にはフランスの圧力のもと、ライン東岸の諸公国が連合してライン同盟が設立され、ライン両岸はフランスの影響下に置かれることとなった。しかし、1813年にライプツィヒの戦いにフランスが敗れるとともにライン同盟は空中分解し、結局1815年のウィーン会議によって国境はフランス革命以前の線にまで戻り、フランスはアルザスこそ確保したもののラインラントとネーデルラントを手放した。ライン両岸には、新しくゆるやかな連合体であるドイツ連邦が成立し、ラインラントは新たにプロイセンの領土となった。19世紀中ごろになると、資源と水運に恵まれたライン中流域、とくにプロイセン領となっていたルール地方が石炭の埋蔵を利用して大工業地帯となった。1833年にドイツ関税同盟が成立すると、中流域各国の関税障壁が撤廃され、おりからの産業革命の波も到達したことで、ライン地方の経済は大きく発展していく。1816年にはイギリスの蒸気船がライン川をはじめて航行し、1827年には定期航行が開始された。一方、ライン川の航行に関してはギルドによる制限が1831年まで続いていたが、19世紀に入るとライン川の安定航行を求める声が高まり、1831年にはフランス、オランダ、プロイセン、バイエルン、バーデン、ヘッセン、ナッサウのライン沿岸7カ国によってライン川航行協定（マインツ協定）が締結され、マインツにライン水運中央委員会が設立され、これによって協定が結ばれて円滑なライン川の航行が行われるようになった。これらの協定は参加国消滅後も後継国家によって引き継がれ、また新規参加もあって、21世紀に入っても存続している。またこの時期、技術の発達と工業化によって大規模な治水工事が可能となり、ライン地溝帯においてはそれまで幾度となく変転し蛇行していた河道が直線化・安定化し、ストラスブールなどはこの時期に支流沿いからライン本流へと都市を拡大していった。19世紀後半になると、この地域の政治情勢は再び大きく動く。ドイツ統一への動きが高まる中、1866年の普墺戦争で勝利したプロイセンはドイツの主導権を握り、同年北ドイツ連邦を結成してライン中部の諸邦を事実上併合した。この動きに警戒心を高めたフランス帝国との間で1870年に普仏戦争が起こるもののプロイセンは大勝して、1871年に南部ドイツ諸邦をも含めたドイツ帝国が成立。ドイツはライン東岸のほとんどの部分を自国領とし、さらに同年のフランクフルト講和条約においてフランスはドイツにアルザス＝ロレーヌを割譲。ライン沿岸からフランスは駆逐され、下流と上流の一部を除くライン本流の大部分がドイツ領となった。ドイツ領となったアルザス＝ロレーヌ（エルザス・ロートリンゲン）であるが、この地方はドイツ帝国政府の直轄統治下におかれ、居住するドイツ系のアルザス人の間には二級市民扱いされる不満があり、1913年にはツァーベルン事件がおきてこの地方の政治は大きく動揺する。しかし、翌年の第一次世界大戦の勃発により、この対立が致命的なものとなることはなかった。