任意のアーベル群は、群の元に対する整数によるスカラー倍を： と定義して整数環 Z 上の加群と考えることができる。 自由加群とはその係数環の直和として表現できる加群のことであるから、自由アーベル群と自由 Z-加群は同値な概念である（任意の自由アーベル群は上で述べたスカラー倍のもとで自由 Z-加群であり、また任意の自由 Z-加群は自由アーベル群からこのようにして得られる。ベクトル空間の場合とは異なり、すべてのアーベル群が基底をもつわけではないから、基底を持つ場合に対して特別な名前を与えるのである。実例として、任意のねじれ Z-加群、したがって任意の有限アーベル群は自由アーベル群ではない。実際、零元 0 は複数の線型結合に（基底の候補となり得るどのような元の集合上でも）分解することができる（少なくとも適当な正整数 n に対して  と書ける）。一方、自由アーベル群の多くの重要な性質は単項イデアル整域上の自由加群に一般化できる。自由アーベル群は2つのケースを除いて自由群ではないことに注意しよう： 空基底をもつ自由アーベル群（ランク 0 で、自明群になる）あるいはただ1つの元を基底にもつ自由アーベル群（ランク 1 で、無限巡回群になる）。他のアーベル群は自由群でない、なぜならば自由群において ab は a と b が基底の異なる元であれば ba とは異ならなければならないが、自由アーベル群においてそれらは等しくなければならない。自由群は群の圏において自由対象である、つまり、与えられた数の生成元での"最も一般的な"あるいは"最も制約のない"群である一方で、自由アーベル群はアーベル群の圏における自由対象である。一般の群の圏において、ab = ba を要求することは付加的な制約であるが、アーベル群の圏においてはこれは必要な性質である。
与えられた集合 B に対して群  が定義できる。ここに Z は、集合としては B 上で定義された有限台を持つ整数値函数全体の成す集合であり（上付き添字のパーレンは、すべての函数を含む Zᴮ と異なり、台が有限な函数のみを含むということを指し示すために付けられている）、そのような二つの函数 f, g に対して函数 f + g を、その各点での値が f, g 各々のその点における値の和として与えられるもの（つまり、(f + g)(x) := f(x) + g(x) (∀x ∈ B)）とすれば、この点ごとの加法演算によって  にアーベル群の構造が与えられる。与えられた集合 B の各元 x を  の元 eₓ に、 によって対応付ければ、 のすべての関数 f はと基底元に対応する函数の有限線型結合として一意的に表されるから、したがってこれらの元 eₓ は  の基底をなし、 は自由アーベル群である。この方法で、任意の集合 B を自由アーベル群の基底にすることができる。基底 B をもった自由アーベル群は同型を除いて一意であり、その元は B の元の形式和 (formal sum) と呼ばれる。それらはまた B の有限個の元の符号付き多重集合と解釈することもできる。例えば、代数的位相幾何学において、鎖は単体の形式和であり、鎖群は元が鎖であるような自由アーベル群である。代数幾何学において、リーマン面の因子（有理型関数の零点と極の組み合わせの記述）は不可算自由アーベル群をなし、それは面の点の形式和からなる。
ジャイナ教の在家信者は自分の家を守り職に就くことを強いられているため、出家信者の五大誓戒を守ることはできない。それゆえ彼らはアニュヴラタ、つまり、出家者の五大誓戒と同内容ではあるがあまり厳密に守られない五小誓戒を守っている。在家信者にとって生業、調理、自己防衛等々の過程で、ある意味で不動の存在を傷つけるのは避けがたい。このために彼らは必要な目的や断固とした意図がない限りは運動や感覚の能力がある存在を、それが無害なら殺さないと誓う。それに伴って、怒りやその他の激情に汚染されているような、傷つけたり、破壊したり、重荷を背負わせたり、心を持つ動物や人間から食料や飲料を奪うことは、アヒンサーの戒律の五つのアティチャーラ(aticāra)つまり咎である。しかし、五大誓戒が遵守されなければ限定された形でしか魂が発展しないし解放されることはないと理解されている。在家信者によるアヒンサーの実践ジャイナ教は厳格な菜食主義を要求するおそらく世界でも唯一の宗教である。根菜、鱗茎、たくさんの種子を持つ野菜その他のような生物を傷つけることにかかわるような植物性の食品ですら厳格なジャイナ教徒は避ける。アヒンサーの重要性は他にもジャイナ教徒の多くの生活様式に現れている。そのためしばしば在家信者は、生物に対して暴力をふるうことが最も少ない職業である商業に携わることになる。毛皮、羽毛、絹などでできた服は着ない。革の使用は最小限に抑えられ、何らかの出来事で自然死した動物のものだけが使われなければいけない。食事は可能な限り日中に食べられる、というのは夜間に調理を行うと虫を殺してしまう可能性が高いからである。迷い込んだ虫が死んでしまうことのないように、ジャイナ教徒たちは燈火を囲っておき、水を入れた器に覆いをかける。同種の用心として、水は使う前に必ず濾しておく。長い年月の間、ジャイナ教徒は暴力を必然的に伴う職業に就くことを避け続けてきており、このために不釣り合いな割合のジャイナ教徒が銀行業、商業、その他商取引関係の職に就いている。