アフィン空間と射影空間を以下のように線型空間から導入すると簡便である。(n + 1)-次元線型空間の n-次元線型部分空間は、それ自体が（等質でない）n-次元線型空間を成し、特別な点としての原点を含む。この線型部分空間の外にあるベクトルを使って、この線型部分空間を平行移動させたものとして、n-次元アフィン空間が得られる（これは等質である）。バエズによれば「アフィン空間は、ベクトル空間からその原点を忘れたものである」。こうして得られたアフィン空間における直線とは、定義により、その空間と（もとの (n + 1)-次元線型空間の）別の二次元線型部分空間（つまり原点を含む平面）との交線によって与えられる。任意の線型空間はアフィン空間でもある。またこのアフィン空間の各点は、（もとの (n + 1)-次元線型空間の）一次元線型部分空間（つまり原点を通る直線）との交点として与えられる。幾つかの一次元部分空間はこのアフィン空間において平行となるが、適当な意味でこれらは無限遠において交わると考えることができる。(n + 1)-次元線型空間の一次元線型部分空間の全体の成す集合は、定義により、n-次元射影空間を成す。前の如く n-次元アフィン空間を選べば、そのアフィン空間をこの射影空間の真の部分集合として埋め込めることがわかる。しかし、射影空間それ自体は等質でない。射影空間内の直線は定義により、もとの (n + 1)-次元線型空間の二次元線型部分空間に対応する。このやり方で定義されたアフィン空間と射影空間は、代数的な性質のものであって、実数体または複素数体あるいはもっと一般の体上で定義することができる。任意の実（または複素）アフィンまたは射影空間は位相空間でもある。アフィン空間は非コンパクトな位相多様体であり、射影空間はコンパクトな位相多様体である。
（連続性、収斂、開集合、閉集合などといった）位相的概念は任意のユークリッド空間で自然に定義される。すなわち、任意のユークリッド空間は位相空間である。二つのユークリッド空間の間の同型は、対応する位相空間の間の同型（つまり同相）でもあるが、逆は正しくない。すなわち、距離を歪める同相写像が存在しうる。ブルバキの語法では、「位相空間」は「ユークリッド空間」構造の台となる（underlying; 下敷きとなる）構造である。同様の概念は圏論においても生じる。つまり、ユークリッド空間の圏は位相空間の圏上の具体圏であり、前者の圏は忘却函手（「引き剥がし」函手）によって後者の圏へ写される。三次元ユークリッド空間はユークリッド空間の特別の場合である。ブルバキの語法では、三次元ユークリッド空間の種はユークリッド空間の種よりも豊饒 (rich) であるという。同様に、コンパクト位相空間の種は位相空間の種よりも豊饒である。ユークリッドの公理系には自由度がなく、空間の幾何学的性質はすべて公理系から一意的に決定される。もっとはっきり言えば、三次元ユークリッド空間はどれも全て互いに同型である。この意味で、単に三次元ユークリッド空間と呼び、具体的に「どのような」三次元ユークリッド空間であるかを通常は指示しない（英語では定冠詞  "the" を付けて呼ぶ）。ブルバキでは、対応する理論は一意 (univalent) であるという。対して、位相空間は一般には非同型であるから、それらの理論は多意 (multivalent) であるという。同様の考え方は数理論理学においても生じる。理論が範疇的であるとは、その濃度が等しい全てのモデルが互いに同型であるときにいう。ブルバキによれば、多意な理論の研究は古典数学から現代数学を峻別する最も著しい特徴である。
カール2世オットー（Karl II Otto, 1625年9月5日 - 1671年3月30日）は、プファルツ＝ツヴァイブリュッケン＝ビルケンフェルト公（在位：1669年 - 1671年）。プファルツ＝ツヴァイブリュッケン＝ビルケンフェルト公ゲオルク・ヴィルヘルムの子。1669年に亡くなった父の後を継いだが、僅か2年で死去。息子に先立たれていたので、遺領は従弟のプファルツ＝ツヴァイブリュッケン＝ビシュヴァイラー公クリスティアン2世が継承した。
明治9年に先収会社が解散した後、井上や木戸は農民たちの不平運動を抑えるために吉富に対して山口へ帰るように要望する。この時不平士族を集めた前原一誠による萩の乱がおこる。この時期には全国的にも佐賀の乱、秋月の乱、神風連の乱、西南戦争や自由民権運動が起こり、薩長藩閥体制への挑戦が連続していた。長州閥の政治家達はお膝元山口での不平農民や不平士族たち、自由民権運動を押さえ込むことを吉富に託したのである。山口に帰った吉富は民権派の地主たちを説得して回る。説得に当たって吉富は自由民権運動を頭からは否定しないが、世の民権運動は野蛮民権でありしっかりした政府がない状態での民権は混乱を招くだけなのでしっかりした政府の元で民権を徐々に達成していこうと言う。世界の大勢を説きながら説得する吉富に地主たちは賛同していく。明治12年（1879年）に始まった山口県議会で吉富は初代の県会議長に就任し、衆議院選挙に立候補するまで11年間県会議長を務める。地租引当米制度で巨利を得た井上らの不正を追及し続ける農民代表で県議になった町野周吉は県議2期目の明治17年（1884年）、井上・吉富らに罪を捏造されて逮捕、1年の禁固刑を受けて獄死する。明治15年（1882年）、吉富は地方政党・鴻城立憲政党を立ち上げる。綱領は大隈重信の立憲改進党の綱領と似通った綱領を採用したが、それは自由民権論者を懐柔して取り込むためである。しかし吉富の本音は自由民権論を敵視し、井上らの長州藩閥体制下での緩やかな民権を求めるものであり、井上らの主導権を守りこそすれ脅かす意図はなかった。このため、山口県では自由民権運動は大きな動きになることはなかった。明治17年頃からは全国的に自由民権運動は衰えていく。これに伴って自由民権論者を懐柔し取り込むための鴻城立憲政党も役割を終え解体されていく。吉富は鴻城立憲政党の機関紙として意図して準備した新聞を切り替え明治17年に「不偏不党、中正公明」をスローガンに掲げた防長新聞を創設する（昭和39年（1964年）創刊の防長新聞とは別物）。政府御用新聞と揶揄された東京日日新聞から派遣された保木利用が編集人になり「不偏不党、中正公明」をスローガンにしていても、実際にはその論調は薩長が主導する政府を擁護し、薩長政府に対抗する者を攻撃していた。吉富は防長新聞の社長を大正3年（1914年）まで29年以上にわたって続けている。