ユークリッド空間におけるベクトルの全体は線型空間を成すが、さらに各ベクトル x は「長さ」、つまりノルム ‖x‖ を持つ。ノルムを備えた（実または複素）線型空間はノルム空間と呼ばれる。任意のノルム空間は、位相線型空間でも距離空間でもある。完備なノルム空間はバナッハ空間という。多くの数列空間や函数空間が無限次元のバナッハ空間を成す。ノルムが 1 より小さいベクトル全体の成す集合はノルム空間の単位球体と呼ばれる。これは凸かつ点対称な集合で一般には楕円体でない（例えば、平面上である種のノルムを考えたとき、その単位球体は多角形になりうる）。ノルム空間において、中線定理 ‖x − y‖² + ‖x + y‖² = 2‖x‖² + 2‖y‖² は一般には成立しない。これがユークリッド空間のベクトルに対しては成立するのは、ユークリッド空間において、各ベクトルのユークリッドノルムの平方が同ベクトル二つの内積に一致するという事実による。内積空間は、内積と呼ばれる特定の条件を満足する双線型形式（または半双線型形式）を備えた実または複素線型空間である。任意の内積空間はノルム空間であるが、逆にノルム空間が内積空間であるための必要十分条件は、中線定理が成立すること、あるいは同じことだがその単位球体が楕円体となることである。ベクトルの成す角は内積空間において一般に定義される。ヒルベルト空間は完備な内積空間として定義される（文献によってはヒルベルト空間として複素線型空間であることを要求するものもあるが、実ヒルベルト空間を考えるものもある）。多くの数列空間や函数空間が無限次元のヒルベルト空間を成す。ヒルベルト空間は量子論において非常に重要である。n-次元実内積空間はどれも互いに同型である。n-次元ユークリッド空間は n-次元内積空間から原点を忘れたものということができる。
二点間の距離は距離空間において定義される。任意の距離空間は位相空間でもある。有界集合やコーシー列は（単に位相空間であるというだけではダメで）距離空間において定義される概念である。距離空間の間の同型写像は等長写像と呼ばれる。距離空間が完備であるとは、任意のコーシー列が収斂するときにいう。完備でない距離空間は、必ずその完備化と呼ばれる完備距離空間に等長に埋め込める。コンパクト距離空間は常に完備であり、コンパクトでない完備距離空間の例として実数直線が挙げられる。一方、単位開区間 (0, 1) は完備でない。位相空間が距離化可能（あるいは距離付け可能）であるとは、それが距離空間の台にできることをいう。任意の多様体は距離化可能である。任意のユークリッド空間は完備距離空間である。さらにユークリッド空間に内在する幾何学的概念は全て距離空間の言葉で特徴付けられる。例えば、与えられた二点 A, C を結ぶ線分は、A と B との間の距離と B と C の間の距離との和が、A と C の間の距離に等しくなるような点 B の全体として得られる。一様空間に距離を入れることはできないが、それでも一様連続性、コーシー列、完備性や完備化といった概念を定義することができる。任意の一様空間は位相空間にもなる。任意の位相線型空間は（距離化可能か否かは決まらないが）必ず一様空間になる。もっと一般に、任意の位相アーベル群は一様空間になるが、他方で非可換な位相群は左不変と右不変の二種類の一様構造を持ちうる。有限次元位相線型空間は必ず完備になるが、無限次元の場合は必ずしも完備とは限らない。
1848年、ハンプシャー州ボーンマスに生まれ、その後グロスターシャーに育った。イートン・カレッジとエグゼスター・カレッジで教育を受け、シュトゥットガルトで英国人作曲家のヘンリー・ヒューゴー・ピーアソンに、ロンドンで作曲家ウィリアム・スタンデール・ベネットとピアニストで音楽史家のエドワード・ダンロイターに師事する。最初の主要な作品は1880年に作曲されたピアノ協奏曲と、シェリーの詩による合唱曲『縛められたプロメテウス』である。合唱曲『縛められたプロメテウス』の初演によってイギリス音楽の「ルネサンス」が始まったと言われるが、オード "Blest Pair of Sirens" (1887年) のほうが成功した作品であり、これによってイングランドの指導的な合唱曲の作曲家という評価を得た。一連の合唱曲の中で最も成功した作品は、『聖セシリアの日のオード』（"Ode on Saint Cecilia's Day"）(1889年)やオラトリオ『ユーディット』、『ヨブ』(それぞれ1888年と1892年)、詩篇唱『深き淵より』（"De Profundis"）(1891年)、カンタータ『ハーメルンの笛吹き』（"The Pied Piper of Hamelin"）(1905年)である。この時期の管弦楽曲は4つの交響曲のほか、『書かれざる悲劇への序曲』（"Overture to an Unwritten Tragedy"）(1893年)、『ブラームスへの哀歌』（"Elegy for Brahms"）交響的変奏曲（Symphonic Variations）(1897年)がある。1884年、王立音楽大学の教員となる。1894年、学長に任命され、その後生涯その地位にあった。1900年、ジョン・ステイナーを継いでオックスフォード大学音楽科の教授に就任する。後期の作品では6つの「倫理的なカンター」の連作があり、その中で伝統的なオラトリオやカンタータの形態を乗り越えようとしたが、聴衆からは好評を得ることができなかった。しかし、エルガーは『生命の幻影』（"The Vision of Life"）(1907年)に称賛を惜しまず、『魂のあがない』（"The Soul's Ransom"）(1906年)は近年になって数回演奏されている。1908年、医師の助言でオックスフォード大学を辞任し、その後いくつかの最も優れた作品を書き上げた。当時の主な作品は、交響的幻想曲（交響曲 第5番）（Symphonic Fantasia）、『降誕祭のオード』（"Ode on the Nativity"）(ともに1912年)、『イェルサレム』(1916年、管弦楽伴奏はエルガーの編曲による)、『告別の歌』(1916年～1918年)が挙げられる。1914年の交響詩『死から生へ』（"From Death to Life"）(1914年)は持続力に欠け、やや散漫である。