環 A 上の射影直線 P(A) は加群 A ⊗ A 内の射影加群全体の成す空間とも同一視することができる。つまり P(A) の各元は A ⊗ A の直和因子になる。このより抽象的なやり方により、射影幾何学を線型空間の線型部分空間の幾何学とみる視点が与えられ、またバーコフの束論やラインホルト・ベーアの著書 Linear Algebra and Projective Geometry と関連付けられることもある。有理整数環 Z の場合、P(Z) を定義する因子加群は m, n が互いに素であるような U(m, n) に絞って考えればよいし、A が位相環のとき P(A) の主要な特徴である埋め込みも落ちている。Benz, Samaga & Scheaffer (1981) はこの直和因子による定義に触れている。論文 "Projective representations: projective lines over rings"（「射影表現: 環上の射影直線」）では、環上の射影直線の定義に、行列環 M₂(R) の単元群および、加群、両側加群の概念が用いられている。この単元群は（ふつうは R が体の場合に考える一般線型群の記法を流用して）GL(2, R) と書かれる。この場合の射影直線は、R × R の自由巡回部分加群 R(1,0) の GL(2,R) による軌道全体の成す集合になる。ベンツの可換理論を拡張して、環の元の右または左逆元の存在は P(R) と GL(2,R) に関係する。デデキント有限性が特徴付けられる。最も著しいことは、P(R) の可除環 K 上の射影空間における表現は、(K,R)-両側加群 U（つまり、U は左 K-線型空間かつ右 R-加群）となることである。P(R) の各点は、その補加群が P(K, U × U) に同型となるような部分空間である。
射影直線 P(A) の二点が平行 (parallel) であるとは、それらを結ぶ鎖が存在しないときに言う。点が多数の場合にも同様の言い方を適用する。互いに平行であるという関係は、この射影直線上の射影変換で不変である。どの二つも平行でない三点が与えられたとき、その三点を通る鎖が一意に存在する
ミサキウナギ Scolecenchelys aoki Jordan and Snyder, 1901 、クマイタチウオ Monomitopus kumae Jordan and Hubbs, 1925 は、青木に対する献名により学名（種小名）が付けられている。
1875年、来日中のドイツの生物学者フランツ・ヒルゲンドルフ (Franz Hilgendorf) が江の島の土産物店で貝殻を購入し、帰国後にこれが新種であることを確認され、1877年に新種として学会で発表した。これを受けて大英博物館から東京帝国大学に、この貝の採集が依頼され、青木が一本釣りでその採集に成功した。当時としては大金の40円の賞金を受けた青木は、「長者になったようだ」といったとされ、ここから、この貝を「長者貝」と称するようになった。しかし、その後の調べで、1844年の武蔵石壽の著書『目八譜』に「オキナエビス」の名で記載があることが判明し、「オキナエビスガイ」が正式な名称となった。「長者貝」は異名として現在も用いられることがある。
スカシカシパンなど、カシパン類の名は、青木の命名によるとされる。また、タコノマクラについても、青木の命名によるとする説が流布しているが、青木が三崎臨海研究所に関わった時期より以前に出版された丹波敬三・柴田承桂『普通動物学』（1883年）に記載があり、青木による命名とする説は誤解に基づくものである。
相模国三崎入船町（後の神奈川県三崎町、現在の三浦市の一部）に、漁師のひとり息子として生まれ、正規の教育は受けないまま漁師となる。1886年に当時の東京帝国大学が三崎に臨海実験所（後の東京大学大学院理学系研究科附属臨海実験所：通称「三崎臨海実験所」）を設けると、そこで研究に従事する研究者たちの海洋生物採集に興味を持ち、1888年ころから自ら進んでその手伝いをするようになり、箕作佳吉、丘浅次郎、飯島魁、田中茂穂、岸上鎌吉、石川千代松、大島正満など多数の研究者たちと交わりながら海洋生物の採集に従事し、「三崎の熊さん」の愛称で研究者たちから親しまれた。青木は、その優れた操船や採集の能力を評価され、特に延縄漁法による深海のガラス海綿やウミユリの採集の技量は高く評価され、これらに関する箕作や飯島の研究につて『熊さんなしでは実現しなかったにちがいない』とまで言われている。1898年、青木は正式に、採集人として臨海実験所に雇用された。1925年に青木が採集人として定年となった際には、研究者たちの間で養老慰労金が募られた。青木はその後も、嘱託として活動を続けた。1940年に青木が喜寿を迎えた際には、『動物学雑誌』が第52巻第9号を「青木熊吉翁喜寿祝賀特輯号」とした。
この件に関して複数の原告が個人または集団で賠償訴訟を起こしている。その原告のうち最も大きな団体は漁業関係者、地元住民、原油除去を行った清掃関係者で作られた原告グループで、事故による経済的損失や健康被害に対して訴えを起こしており、関係する原告人数は10万人に上る。2012年3月3日、この最大原告団体とBP社の間で和解が成立した。和解金は約78億ドル(約6400億円)。BP社の発表によれば、同社はこれまで賠償基金として自社で蓄えておいた約200億ドル(約1兆6300億円)があるため、和解金はこの基金から支払われる。2012年3月4日、アメリカ政府は和解しない事を発表した。米政府として、78億ドルの和解にBP社の誠意は認めるが同社は赤字計上しているわけではなくまだ経済的余力があり、痛い出費だとは言いがたい。メキシコ湾や周辺の環境に及ぼした影響は大きいため、和解せず訴訟を続行して責任追及すると声明を出した。2012年11月15日、BPは米政府当局と45億ドル（3,650億円）の支払いで和解した。この中には罰金12.56億ドルと、SEC、NASとの和解金が含まれるが、メキシコ湾岸4州や民間との訴訟は含まれない。2015年5月現在、BPによる沿岸清掃費用は140億＄、訴訟和解金支払いは131億＄である（まだ増加する可能性あり）。その費用を賄うために12年度に380億ドルの資産売却をし、さらに100億＄を売却中で、北海の天然ガスパイプラインの売却を決定している。2015年7月、米連邦政府、5州、400地方自治体との和解が成立し、BPは総額最大187億ドルを18年間にわたり年平均11億ドルを支払う（訴訟費用131億ドル、清掃費用141億ドルは別に支払い済み）。結局BPの支払い総額は約460億ドルになる（民間への支払いは含まれない）。