ホッジ予想を支持する最も強い証拠は、Cattani, Deligne & Kaplan (1995) の示している代数性である。単連結な基底の上の X の複素構造を変形すると仮定すると、X のトポロジカルなコホモロジーは変わらないが、ホッジ分解は変化する。もしホッジ予想が正しければ、ファイバーのコホモロジーがホッジ類となっている基底上のすべての点の軌跡は、実際、代数的な部分集合、つまり多項式でカットした部分集合となっている。カッターニ (Cattani) とドリーニュ (Deligne) とカプラン (Kaplan) は1995年にホッジ予想を仮定することなしに、これらが正しいことを証明した。
ホッジ予想を自然に一般化すると次のように言うことができるであろう。ホッジ予想のケーラー多様体のナイーブなバージョン  X を複素ケーラー多様体とすると、すべての X 上のホッジ類は、X の複素部分多様体のコホモロジー類の有理数係数の線形結合であろう。この予想も楽観的すぎる。何故ならば、これを行うための豊富に部分多様体が存在するとは言えないからである。次の一つか二つの問題を問うことができる状況になっている。ケーラー多様体のホッジ予想のベクトルバンドルのバージョン  X を複素ケーラー多様体とする。すべての X のホッジ類は X 上のベクトルバンドルのチャーン類の有理係数の線形結合である。ケーラー多様体のホッジ予想の連接層のバージョン  X を複素ケーラー多様体とする。すべての X のホッジ類は X 上の連接層のチャーン類の有理係数の線形結合である。Voisin (2002) は、連接層のチャーン類がベクトルバンドルのチャーン類よりもより厳密なホッジ類を与えることと、連接層のチャーン類であってもすべてのホッジ類を生成するには不十分であることを証明した。結局、ケーラー多様体についてのホッジ予想で現在知られている定式化は、皆、誤りであることが判明している。
大半のアーベル多様体に対し、代数 Hdg*(X) は次数 1 で生成されるので、ホッジ予想が成り立つ。特に、ホッジ予想は、十分一般的なアーベル多様体、楕円曲線の積や単純アーベル多様体に対して成り立つ。しかし、Mumford (1969) では、Hdg²(X) が因子クラスの積によって生成されないようなアーベル多様体の例を構成した。この例を Weil (1977) で、一般化した。このことは、多様体が虚二次体によって虚数乗法を持つときは、いつでも Hdg²(X) が因子類の積によっては生成されないことを示すことでなされた。Moonen & Zarhin (1999)は 5 より次元の小さい場合に対し、Hdg*(X) が次数 1 で生成されるか、あるいは多様体が虚二次体の虚数乗法を持つかのいずれかであることを証明した。後者の場合には、ホッジ予想が成り立つ例は、特別ないくつかの場合だけしか知られていない。
2002年のNBAドラフトでメンフィス・グリズリーズから1巡目4位で指名を受けて入団した。ルーキーイヤーの2002-03シーズン、主にベンチからの出場だったものの、時に先発出場で起用されるなど、新人フォワードにしては上々の成績を残していた。ところがシーズン途中、トレードでオーランド・マジックへ移籍した。11月の最優秀月間新人選手賞を受賞し、さらにはオールールーキー・ファーストチームにも選出されている。2003-04シーズン、マジックはデンバー・ナゲッツからジュワン・ハワードを獲得。グッデンとポジションが被っていたため、前年度好成績を残していたものの、シーズンの大半をベンチからの出場となってしまった。チームは連敗を重ねるなどして低迷。21勝61敗という不名誉な記録を打ちたて、チーム再建を迫られることになった。2004年7月、トニー・バティと2巡目指名権とのトレードによって、アンダーソン・ヴァレジャオ、スティーブン・ハンターらと共にクリーブランド・キャバリアーズに移籍した。2004-05シーズンは先発出場に定着。既にチームのエースであったレブロン・ジェームズを支える形で活躍。プレイオフには届かなかったが、チームトップの平均9.2リバウンドを記録した。平均得点も前年を上回り、さらにはフリースロー成功率は.810の好成績を残した。2005-06シーズンも前年同様に先発出場を続けた。チームはレベルアップして勝率も上昇し、6年ぶりのプレイオフ出場を果たした。グッデン自身は2003年のマジック時代以来、3年ぶりの出場となった。チームはカンファレンスセミファイナルでデトロイト・ピストンズに惜敗を喫した。2006-2007シーズンのプレイオフではカンファレンスファイナルでピストンズとの激闘を制し、グッデン自身、そしてキャバリアーズのフランチャイズ史上初となるNBAファイナルに進出。レブロンを始めとする他のチームメイトが実力を葉発揮できず苦戦する中、グッデンはファイナルでも安定した得点とリバウンド数を稼ぎ出したが、チームは経験豊富なサンアントニオ・スパーズに4戦全敗で敗れた。トレードデッドラインの2008年2月21日、3チーム11人が絡む大型トレードにてクリーブランド・キャバリアーズからシカゴ・ブルズへラリー・ヒューズらと移籍した。2009年2月にまたもやトレードでアンドレス・ノシオニらと共にサクラメント・キングスへ移籍した。キングスでは1試合プレイした後にバイアウトで解雇され、その後サンアントニオ・スパーズと契約し、残りシーズンを過ごした。2008-09シーズン後、ダラス・マーベリックスへ移籍するも、2010年2月13日､ジョシュ・ハワードらとともに､カロン・バトラー､ブレンダン・ヘイウッドと交換トレードで､1度は､ワシントン・ウィザーズへ移籍。しかし､わずか4日後の2月17日に､クリーブランド・キャバリアーズ､ロサンゼルス・クリッパーズが絡む､三角トレードで､グッデンは､ロサンゼルス・クリッパーズへ移籍した。2009-10シーズン終了後､FAとなり､ミルウォーキー・バックスへ移籍。 2013年7月16日、バックスにアムネスティ条項を行使され、放出された。2014年2月26日、ワシントン・ウィザーズと契約。2015-16シーズン終了後解雇された。