環の局所化は、環に乗法逆元を機械的に添加する方法である。すなわち、環 R とその部分集合 S が与えられたとき、環 R′と R から R′への環準同型を構成して、S の準同型像が R′における単元（可逆元）のみからなるようにする。さらに、R′が「可能な限りで最良な」あるいは「最も一般な」ものとなるようにするということを考える（こういった状況はふつうは普遍性によって表されるべきものである）。環 R の部分集合 S による局所化は S⁻¹R で表され、あるいは S が素イデアル  の補集合であるときには  で表される。S⁻¹R のことを RS と表すこともあるが、通常混乱の恐れはない。非可換環の局所化はより難しく、単元を持つことが見込まれる集合 S の中にも局所化が存在しない場合がある。局所化の存在を保証する条件の一つにオアの条件 がある。非可換環が局所化を持つ場合で、明らかに興味の対象となるのが、微分作用素の環の場合である。局所化によって、例えば、微分作用素 D の形式逆元 D⁻¹ を解釈することができる微分方程式に対する D⁻¹ の解釈はいろいろなやり方が様々な文脈で行われるが、局所化の方法による解釈は超局所解析 (microlocal analysis) と呼ばれる、いくつかの分野にわたる大きな数学的理論を形成している。接頭辞 micro- は特にフーリエ理論とも関連がある。
アルティン・ウェダーバーンの定理は半単純環と半単純多元環の分類定理である。定理が述べているのは、（アルティン的）半単純環 R はある整数 nᵢ に対して可除環 Dᵢ 上の有限個の nᵢ 次行列環の積に同型である。nᵢ と Dᵢ は両方とも添え字 i の置換を除いて一意的に決定される。とくに、任意の単純左または右アルティン環は可除環 D 上の n 次行列環に同型で、n と D は両方とも一意的に決まる。直接の系として、アルティン・ウェダーバーンの定理は可除環上有限次元のすべての単純環（単純多元環）は行列環であることを意味する。これはジョセフ・ウェダーバーンのもともとの結果である。エミール・アルティンは後にそれをアルティン環の場合に一般化した。
ウェダーバーンの小定理はすべての有限域が可換体であることを述べるものである。言い換えると、有限環において、域、斜体、可換体の違いはない。アルティン・ツォルンの定理はこの定理を交代環へと一般化する： すべての有限単純交代環は体である。
12月14日、プランジャーは最初の哨戒でガジョン (USS Gudgeon, SS-211) およびポラック (USS Pollack, SS-180) とともに日本近海に向かった。この3隻は、2つの重要な新兵器を搭載していた。それは、マーク14型魚雷に取り付けられた磁気爆発突、もう一つは初期型のSDレーダーであった。プランジャーは紀伊水道周辺を哨戒し、1942年1月18日には潮岬近海で貨物船栄山丸（興国汽船、4,702トン）を撃沈した。2月4日、プランジャーは52日間の行動を終えて帰投した。このあと、プランジャーは事故に遭遇する。1942年2月17日、真珠湾でドック入りして整備中の際、船体を支えていたブロックが崩れてプランジャーは右舷側に倒れた。船体が岸壁に引っかかったため完全な横転は避けられたが、事故により次回の哨戒まで間が開くこととなった。プランジャーは6月5日のミッドウェー海戦に参加し、ミッドウェー島とハワイの中間海域の哨戒で15日間行動した。海戦後の6月9日、プランジャーは2回目の哨戒で東シナ海に向かった。主に上海沖を哨戒。この哨戒中、プランジャーはイタリア船籍の客船コンテ・ヴェルデ (SS Conte Verde 18,765トン) に遭遇した。この船は交換船であり、本国に引き揚げるジョセフ・グルー大使を含むアメリカ外交団が乗船していた。これより先の6月5日に、太平洋艦隊潜水部隊司令官ロバート・H・イングリッシュ少将は、交換船コンテ・ヴェルデおよび浅間丸（日本郵船、16,975トン）に関する情報を哨戒中の潜水艦に通知した。6月25日に浅間丸が出航したのを受けて、イングリッシュ少将は改めて交換船に関する情報を送信した。しかし、プランジャーのホワイトはこの情報をこの時点では受信しなかったが、6月26日と28日に至って、重ねて送信された交換船情報が届いた。2日後の6月30日朝7時、プランジャーは北緯30度08分 東経123度16分の地点で、規定どおりの塗装と照明をしているコンテ・ヴェルデに800ヤードまで接近し、コンテ・ヴェルデの写真を撮影して攻撃はしなかった。プランジャーは、もう少しで後年のクイーンフィッシュの失態に先んじる失態を演じるところであった。コンテ・ヴェルデ撮影より先、プランジャーは貨物船に対して浮上攻撃を行う。アメリカ側の記録では、この攻撃によりプランジャーは海軍徴傭船第五雲海丸（中村汽船、2,841トン）を撃沈したとするが、同船は1944年11月14日にレイトン (USS Raton, SS-270) が撃沈している。7月2日には、プランジャーは北緯30度19分 東経123度27分の長江河口付近で第131船団を攻撃し、船団から遅れていた陸軍徴傭船第三雲洋丸（中村汽船、2,977トン）を撃沈した。7月15日、プランジャーは36日間の行動を終えてミッドウェー島に帰投。真珠湾に回航されて改修を受けた。