数学において、ゴールディーの定理 (Goldie's theorem) は、1950年代に Alfred Goldie によって証明された、環論における基本的な構造的結果である。今では右ゴールディー環と呼ばれている環 R は、自身の上の右加群としてユニフォーム次元が有限（＝"有限ランク"）で、R の部分集合の右零化イデアルについて昇鎖条件を満たすものである。ゴールディーの定理が述べているのは、半素右ゴールディー環はちょうど半単純アルティン右古典的商環 (classical ring of quotients) を持つ環であるということである。そしてこの商環の構造はアルティン・ウェダーバーンの定理によって完全に決定される。とくに、ゴールディーの定理は半素右ネーター環に適用できる、なぜならば定義によって右ネーター環はすべての右イデアルについて昇鎖条件が成り立つからである。これは右ネーター環が右ゴールディーであることを保証するのに十分である。逆は成り立たない： 全ての右オール域は右ゴールディー域であり、したがってすべての（可換）整域は右ゴールディー域である。ゴールディーの定理の結果の 1 つは、これもまたゴールディーによるものだが、すべての半素主右イデアル環は素主右イデアル環の有限個の直和に同型であるというものである。すべての素主右イデアル環は右オール域上の行列環に同型である。
オール条件は、分数体やより一般に環の局所化の構成を可換環でない場合にも拡張すると言う疑問に関連して、Øystein Ore によって導入された条件である。環 R の積閉集合 S に対する右オール条件は、a ∈ R と s ∈ S に対して、共通部分 aS ∩ sR ≠ ∅ というものである。右オール条件を満たす域を右オール域と呼ぶ。左の場合も同様に定義される。
可換体 K のブラウアー群は、アーベル群であって、その元は K 上有限ランクの中心的単純多元環の森田同値類であり、加法は多元環のテンソル積によって誘導されるものである。ブラウアー群は可換体上の可除多元環を分類しようとする試みから生じたものであり、代数学者 Richard Brauer にちなんで名づけられている。群はガロワコホモロジーのことばによって定義することもできる。より一般に、スキームのブラウアー群は東屋多元環のことばによって定義される。
森田同値とは、環論的な多くの性質を保つ環の間の関係のことを言う。これは1958年に同値関係と双対性に関する記号を定義した森田紀一にちなんで名付けられた。（結合的で単位元を持つ）環 R, S が（森田）同値であるとは、（左）R 加群の成す圏 R-Mod と（左）S 加群の成す圏 S-Mod との間に圏同値があることを言う。左加群の成す圏 R-Mod と S-Mod とが森田同値である必要十分条件は、右加群の成す圏 Mod-R と Mod-S とが森田同値であることを示すことができる。さらに圏同値を与えるどんな R-Mod から S-Mod への関手も自動的に加法的であることを示すことができる。
クライフはレバンテの退団後にワシントン・ディプロマッツを経て、同年秋に古巣のアヤックスに復帰したが、既に34歳となっており、年齢的な問題もあり選手としては限界と考えられていた。しかし同年12月6日に行われたHFCハールレム戦でのキーパーの意表を突くループシュートを決める活躍などにより4-1と勝利し、周囲でささやかれていた限界説を退けた。当時のアヤックスはマルコ・ファン・バステンやフランク・ライカールトやジェラルド・ファネンブルグといったオランダの次世代を担う選手達が在籍していたものの多くの結果を残すことが出来ずにいた。クライフが加入した1981年12月の時点でリーグ戦でAZアルクマールやPSVアイントホーフェンに敗れるなど4敗を喫し首位の座を明け渡していたが、クライフの加入後は17勝2分けの成績でAZやPSVを退けて1981-82シーズンのリーグ優勝を果たした。2年目の1982-83シーズンにはUEFAチャンピオンズカップ 1982-83に出場し、1回戦でスコットランドのセルティックFCと対戦。アウェーでの第1戦を2-2と引き分けて迎えたホームでの第2戦は1-1の同点で迎えた88分にクライフが交代すると、試合終了間際に失点を喫し合計3-4のスコアで敗退した。この試合は選手生活を通じて最後の国際大会での公式戦出場となった。1982年12月5日に行われたヘルモント・スポルト戦では印象的なトリックプレーを見せた。試合中にペナルティーキックを獲得するとクライフは自らシュートをせずに左斜め前に緩やかなパスを送り、後方から走りこんできたイェスパー・オルセンへと繋がり相手のキーパーと1対1の状況となった。オルセンはゴール前で待ち構えるクライフにパスを戻すとキーパーのいない無人のゴールにシュートを決めるというもので、結果的にクライフとオルセンのワンツーパスの形となった。ヘルモントの選手たちは主審に抗議を行ったがルール上においても正当なもので、一連のプレーに関するアイデアは練習中に考案されたものだった。リーグ戦ではフェイエノールトとの間でシーズン終盤まで優勝争いを続けていたが、1983年5月1日に行われたフェイエノールトとの直接対決を3-3と引分け、残り2試合を残して首位のアヤックスと2位のフェイエノールトとの勝ち点差4の状態を維持。5月1日に行われたヘルモント・スポルト戦ではクライフを累積警告による出場停止で欠いたものの4-1と勝利しリーグ連覇を達成した。この時期のクライフは継父の死や故障を繰り返していたことで精神的に困窮していたものの、同シーズンのリーグ戦とカップ戦との二冠獲得の原動力となった。一方、1983年に入るとクラブ会長のトン・ハルムセンがクライフに対し36歳という年齢を理由に引退を迫ったことや、クラブ側との間で締結していた入場料収入に応じた給与体系の更新を拒否されたこともあり確執を生んでいた。クライフは5月10日に行われたカップ戦決勝第一戦のNECナイメヘン戦の終了後に退団を表明し、5月14日に行われたリーグ戦最終節のフォルトゥナ・シッタート戦がアヤックスでの最後の試合出場となった。