4月2日、アポゴンは3回目の哨戒で日本近海に向かった。2日後の4月4日にジョンストン島で給油した後、哨戒海域に向かった。しかし、出港の翌日に乗組員が20ミリ機銃を整備していた際、弾倉に残っていたカートリッジが乗組員の足の上に落ち負傷させたため、アポゴンはこの負傷した乗組員を上陸させるべくジョンストン島に戻った。負傷した乗組員を上陸させた後、4月6日に再出撃した。この哨戒では目立った戦果はなかった。5月22日、アポゴンは49日間の行動を終えてマジュロに帰投した。6月8日、アポゴンは4回目の哨戒でガードフィッシュ (USS Guardfish, SS-217) 、スレッシャー (USS Thresher, SS-200) 、ピラーニャ (USS Piranha, SS-389) とウルフパックを構成しルソン海峡方面に向かった。7月12日、アポゴン以下のウルフパックは、バタン諸島近海でモマ01船団を発見。アポゴンはそのうちの1隻である日蘭丸（南洋海運、6,503トン）を攻撃しつつあった時、日蘭丸はアポゴンの潜望鏡を発見し突進してきた。アポゴンは艦尾発射管からの攻撃に切り替えて攻撃態勢を整えつつあったその時、アポゴンの右手にあった陸軍特殊船摩耶山丸（三井船舶、9,433トン）がアポゴンの潜望鏡に向けて体当たり攻撃と爆雷投下を行った。潜望鏡は2本とも破損し、レーダーもねじ曲げられた。アポゴンは哨戒を打ち切り、7月22日にミッドウェー島に到着して潜望鏡を応急修理した。7月26日、アポゴンは37日間の行動を終えて真珠湾に帰投。潜望鏡やエンジンの交換を含む改装工事を受けた。艦長がアーサー・C・ハウス・ジュニア（アナポリス1934年組）に代わった。
1944年1月15日、アポゴンは2回目の哨戒でマリアナ諸島方面に向かった。2月1日、アポゴンは6隻の輸送船で構成された船団を発見し攻撃した。爆発音を聞いた乗組員は潜望鏡で観測し、大鯨型潜水母艦あるいは帝亜丸（帝国船舶、元フランス船アラミス/日本郵船委託、17,537トン）級客船と目された第一の目標が燃えていると判断した。アポゴンは別の目標を選び攻撃。これは護衛艦と判断された。この攻撃を通じてアポゴンは2隻24,000トンの戦果を挙げたと信じたが、戦後に記録を洗いなおした結果、実際の戦果はゼロであった。3月9日、アポゴンは55日間の行動を終えて真珠湾に帰投。潜水母艦ブッシュネル (USS Bushnell, AS-15) による改修を受けた。また、3月15日から19日にかけてはドック入りし、スクリューの交換を行った。
11月3日、アポゴンは最初の哨戒でトラック諸島方面に向かった。当時、ギルバート諸島攻略のためのガルヴァニック作戦が進められており、アポゴンを含んだいくつかの潜水艦はその支援を行った。アポゴンの哨戒海域は春島（モエン島）から半径110キロの海域を含み、トラックからクェゼリン環礁間の大洋航路に沿ったものであった。11月5日にジョンストン島で給油した後、哨戒海域に到着した。この哨戒を通じて、アポゴンは少なくとも4つの接触を持ち、うち3度の攻撃機会が得られた。その1つは、12月4日にポンペイ島北東250キロ地点で発見した、マーシャル諸島に向かう途中の5012船団に対する攻撃であり、アポゴンは特設砲艦大同丸（大阪商船、2,962トン）を撃沈した。12月18日、アポゴンは45日間の行動を終えてミッドウェー島に帰投、さらに12月26日に真珠湾に回航された。
アポゴンは1942年12月9日にメイン州キタリーのポーツマス海軍造船所で起工した。1943年3月10日にトーマス・ウィザーズ提督夫人によって命名、進水し、1943年7月16日に艦長ワルター・P・シューニ少佐（アナポリス1931年組）の指揮下就役する。就役後、ニューイングランド沖合で整調を行い、9月13日にニューロンドンを出航、ハワイに向かう。9月25日にパナマ運河を通過し、同日太平洋艦隊に合流した。10月11日に真珠湾に到着し、3週間の訓練を行った。給油および哨戒準備が完了すると、あとは最初の出撃の待つのみとなった。
メビウスは、著書『重心算法』(Baricentric Calculus, 1827) および1855年の論文「純幾何学的表現における相互関係の理論」("Theorie der Kreisverwandtschaft in rein geometrischer Darstellung") においてメビウス変換を研究した。また、フォイエルバッハとプリュッカーは斉次座標の創始者として名を知られている。1898年にシュトゥーディおよび1908年にエリ・カルタンが、それぞれドイツ語およびフランス語版の『数学百科事典』に記した超複素数系 (hypercomplex numbers) の項目では、その算術を用いたメビウス変換とよく似た一次分数変換が定義されている。1902年にファーレンは、クリフォード環のある線型汎函数変換について調べた短いがよく参照される論文(Valen 1902)を寄稿する。二重数の環 D に対する射影直線 P(D) は Grünwald (1906) が提示の機会を得ており、この環については Segre (1912) が引き続いて展開した。コンウェイは、双四元数変換を通じて相対性を採用した初期の学者の一人で、相対性を研究した(Conway 1911, p. 9)で四元数逆数変換を考えた。1947年には、反転四元数幾何のいくつかの要素をゴルムレイが論文(Gormley 1947)で記述している。1968年にはイザーク・ヤグロムのロシア語で書かれた本が『幾何学における複素数』(Complex Numbers in Geometry) として英訳されて、P(D) がユークリッド平面における直線幾何を、分解型複素数上の射影直線 P(M) がロバチェフスキー平面を、それぞれ記述するのに用いられている。またヤグロムの教科書『ある単純な非ユークリッド幾何』(A Simple Non-Euclidean Geometry) も1979年に英訳されている。その174ページから200ページにかけて、ミンコフスキー幾何が展開され、P(M) が「反転ミンコフスキー平面」("inversive Minkowski plane") として記述されている。ヤグロムの教科書のロシア語原版が出版されたのは1969年であり、英訳版が出るまでの間に出版された Bentz (1973) では分解型複素数の環 M に値を取る斉次座標の概念が含まれている。