大橋は鎌倉市出身で、横須賀中学校を経て海軍兵学校に入校した。1925年（大正14年）に卒業した(53期)の同期生には海軍青年士官運動の中心人物である藤井斉がおり、他の10名が特別高等警察作成のブラックリストに掲載されているが、大橋の名はない。大橋の卒業席次は下位であった。駆逐艦「蓼」航海長などを経て、潜水艦専攻士官（将校）となり、「呂67」潜水艦長を経て、「伊156」潜水艦長として太平洋戦争の開戦を迎えた。
『笑点』降板後に出演した『徹子の部屋』（テレビ朝日、2006年6月5日放送）では落語家として引退はせず、後輩の指導にあたると発言した。また同年7月20日放送の『クイズ$ミリオネア』（フジテレビ）では、初代 林家木久蔵（現：林家木久扇）の応援としてVTR出演している。2007年（平成19年）2月25日に落語会「国立名人会」で高座に復帰することとなり、自分の進退をかけ本番の半年前から稽古をして臨んだ。しかし、その出来に納得がいかずに引退を決意。口演後の記者会見で現役引退を表明した。弟弟子の6代目三遊亭圓窓が「まだやれるじゃないの。高座に上がらない圓楽兄さんなんて考えられない」などと説得をしたものの決意は固かった。引退記念の高座が予定されていなかったことから、この日演じた『芝浜』が最後の高座となった。また同年4月1日放送『いつみても波瀾万丈』（日本テレビ）の出演をもって、テレビ出演の引退も表明した（2008年3月9日放送『笑点』には弟子の真打昇進披露口上のため出演した）。なお、1967年（昭和42年）から担当していた日本香堂のCMは2009年（平成21年）まで出演を継続していた。生前の圓楽の言によれば「ギャラもらってるからね」という理由でCMのみの出演を続けていたとのことであるが、実際は日本香堂の会長と私的にも交流のあったためであり、また引退後も自分の健在をアピールできる唯一の場であった為と圓楽没後に前述の会長がテレビで語っている。同年11月に胃癌の手術を受け、翌2008年（平成20年）3月には肺癌の手術を受けた。2008年8月、愛弟子の楽太郎に自らの名跡である圓楽を6代目として襲名させることが明らかとなった（林家木久扇による、子息の2代目木久蔵襲名以来となる生前贈与となる予定であった）。このことは弟子の好楽や後任司会者の歌丸により『笑点』でもネタにされている。圓楽は「私はもう落語家を引退した身ですから」として楽太郎の6代目圓楽襲名後は落語界から完全に引退し、隠居することを表明していた。名前については、木久扇の師匠である林家彦六（8代目林家正蔵、彦六は三遊亭圓楽を3代目として名乗っていたこともあった）のように隠居名を名乗らず、本名の「吉河寛海」に戻すことを明らかにしたが、「師匠が落語家でなくなってしまうのは嫌だ」という楽太郎の反対により「5代目圓楽」「6代目圓楽」とを並立させる（楽太郎は〈圓〉ではなく〈円〉を通すと表明）予定であった。2009年（平成21年）5月、肺癌が再発。同時期に脳梗塞も再発し、半身不随となった。9月に慶應義塾大学病院に入院し、本人の意向により10月23日に退院。自宅（および近所に住む長男宅での）療養に入った。10月29日、転移性肺癌のため長男宅で、76歳で死去。訃報は翌日の10月30日に公表された。圓楽の逝去を受け、愛弟子の楽太郎を始め、桂歌丸、立川談志、林家こん平、8代目橘家圓蔵、鈴々舎馬風など多くの落語家が哀悼のコメントを発表した。またかつては『笑点』の裏番組（『ヤングおー!おー!』）の司会を長年担当し、東西の噺家タレントとしてライバルであり戦友でもあった桂三枝（現：6代桂文枝）は自らのブログで圓楽へ向けた哀悼のメッセージを綴った。圓楽は2010年（平成22年）2月に行われることになっていた楽太郎の6代目圓楽襲名を楽しみにしており、襲名に際し2代の圓楽揃い踏みが行われるはずであったが、目前にして叶わぬ夢となってしまった。死去の一報を受けた日本香堂は自社のホームページにて哀悼の意を表した。その後、日本香堂・毎日香のCFナレーションは、2010年（平成22年）2月28日より、同日の『笑点』をもって名跡を襲名した直弟子・6代目圓楽が継承している。また、死去翌日の『NNN Newsリアルタイム』（日本テレビ）ではその死がトップニュースで報じられた。戒名は、「光岳院情誉圓楽寛海居士」（こうがくいんじょうよえんらくかんかいこじ）。遺影も圓楽が生前に選んでおり、国立演芸場での高座で『芝浜』を演じている際の写真が使われた。死去直後の週の11月1日の笑点は歌丸が喪服で追悼する特番が大喜利の前に組まれ、生前の若いころの落語を演芸コーナーで放送し、死去前に収録した大喜利が放送された。死の翌週、2009年（平成21年）11月8日の『笑点』では追悼特別企画として生前を振り返り、後半では「ありがとう円楽さん、追悼大喜利」を放送し、5代目を偲んだ。副音声での解説放送は休止された。一門・親族による、通夜・密葬は2009年（平成21年）11月4日・5日の両日に代々幡斎場で非公表にて執り行われ、同年11月21日に一門主催による「お別れの会」が東京會舘にて行われた。この「お別れの会」の席の中で、これまでの「円楽一門会」をそのまま「五代目圓楽一門会」（会長：三遊亭鳳楽）へ改称・改組する方向であることが明らかになった。