2つの自由アーベル群の直積はそれ自身自由アーベル群であり、2つの群の基底の（集合としての）直和が基底になる。より一般に自由アーベル群の任意有限個の直積は自由アーベル群である。例えば d-次元整数格子は整数の加法群 Z の d 個のコピーの直積に同型である。自明群 {0} もまた空集合を基底とする自由アーベル群と考えられる。これは Z の 0 個のコピーの直積と解釈できる。自由アーベル群の無限族に対しては、その直積（各群から一つずつ元をとってきて作られる組全体の成す族に点ごとの加法を入れたもの）は自由アーベル群とは限らない。例えばベーア–スペッカー群 （ の可算個のコピーの直積として構成される不可算群）は1937年にラインホルト・ベーアによって自由アーベル群でないことが証明された。エルンスト・スペッカーは1950年に  のすべての可算部分群は自由アーベル群であることを証明した。有限個の群の直和は直積と同じものだが、直和因子が無限個の場合には直積と異なり、その元は有限個を除いてすべてが単位元に等しいような各群からの元の組からなる。直和因子が有限個の場合と同様、無限個の自由アーベル群の直和は自由アーベル性を保ち、その基底は直和因子の基底の非交和（の像）によって与えられる。二つの自由アーベル群のテンソル積はつねに、積をとる二つの群の基底のカルテシアン積を基底にもつ自由アーベル群になる。任意の自由アーベル群は、基底の各元に対して一つずつ Z のコピーを与えて、Z のコピーの直和として記述できる。この構成は、任意の集合 B を自由アーベル群の基底にすることを可能にする。
アントニオ・ジョアン・デ・ブラガンサ・イ・オルレアンス・イ・ヴィッテルスバシュ（Antônio João de Orléans e Bragança e Wittelsbach, 1950年6月24日 リオ・デ・ジャネイロ - ）は、ブラジルの旧皇帝家ブラガンサ家の子孫の1人で、ヴァソウラス系オルレアンス＝ブラガンサ家の一員。全名はアントニオ・ジョアン・マリア・ジョゼ・ミゲル・ハファエル・ガブリエル・ゴンザーガ（Antônio João Maria José Jorge Miguel Gabriel Rafael Gonzaga）。一般には「ドン・アントニオ（Dom Antônio）」と呼ばれる。ヴァソウラス系ブラジル皇帝家家長ペドロ・エンリケと、その妻でバイエルン王子フランツの娘であるマリア・エリーザベトの間の第7子、六男として生まれた。1976年、リオ・デ・ジャネイロ州バラ・ド・ピライの大学で工学の学位を取得している。1981年9月25日（民事婚）および26日（宗教婚）、ブロイユ（ベルギー領エノー州）において、リーニュ公アントワーヌの娘クリスティーヌ（1955年 - ）と結婚した。その半年前の同年3月に、アントニオの妹エレオノーラと、クリスティーヌの兄ミシェル公世子が結婚しており、この結婚は二重の縁組だった。夫妻は間に2男2女の4人の子女をもうけた。ヴァソウラス系ブラジル皇帝家では、ペドロ・エンリケの8人の息子たちのうち、5人が家内法に抵触する貴賤結婚により家督相続権（帝位継承権）を放棄している。長男で現当主のルイス・ガスタンと三男のベルトランドは生涯独身で嫡出子が無く、ヴァソウラス系の皇統はアントニオ・ジョアンの子孫に受け継がれる予定である。2009年、アントニオの長男でヴァソウラス系の次世代の後継者として君主制支持者の期待を一身に集めていたペドロ・ルイスがエールフランス447便墜落事故で早世したことは、ヴァソウラス系にとって大きな痛手となった。アントニオは風景画家であり、ポルトのイパネマ公園やクリチバ、ジョインヴィレなどの諸都市で個展を開催している。現在は家族と一緒にペトロポリスに住んでいる。
北欧神話において、スリヴァルディもしくはスリーヴァルディ（古ノルド語: Þrívaldi。Thrívaldi または Thrivaldi のように英語化される）という、名前が「3倍強い("thrice mighty")」を意味する人物は、トールによって殺される霜の巨人である。この事実は、『詩語法』(4) の中でスノッリ・ストゥルルソンによって解説される。それによると、"スリヴァルディの殺害者"（"vegandi Þrívalda"）はトールを表すケニングである。スノッリは、ブラギ・ボッダソン(en)によってトールが「スリヴァルディの9つの首を割る者」("cleaver apart of Þrívaldi's nine heads")("sundrkljúfr níu höfða Þrívalda")と呼ばれる1節、および、スリヴァルディを叩き潰し("lemja")たことでトールを賛美する詩人ヴェトルリジ(Vetrliði Sumarliðason)による他の節を引用している。スリヴァルディはまた、スールルの中にも記載されている。
左兵衛少尉・右衛門少尉・左近衛将監といった武官や六位蔵人を経て、天慶8年（945年）従五位下・侍従に叙任される。のち、天暦6年（952年）従五位上、天暦10年（956年）正五位下と昇進する傍ら、近衛少将や五位蔵人を務め、天徳2年（958年）には従四位下・右近衛中将に叙任される等、村上朝の中期以降は父・顕忠の昇進に伴って、元輔自身も順調に昇進した。応和3年（963年）従四位上、康保4年（967年）左近衛中将を経て、安和元年（968年）冷泉天皇の蔵人頭に任ぜられる。しかし、安和2年（969年）円融天皇の即位に伴って蔵人頭に任ぜられた源保光・藤原為光が、翌安和3年（970年）に蔵人頭在任1年程で参議に任ぜられる一方で、元輔は蔵人頭を5年務めて天禄3年（972年）になってようやく参議に任ぜられ公卿に列している。元輔は時平の男系の孫では唯一公卿に列せられたが、外戚政策に成功した師輔と比べると37年も遅れ、円融天皇の摂政となっていた伊尹（太政大臣）を筆頭に兼家（権大納言）・兼通（権中納言）・為光（参議、元輔より2年早く任官）、他にも実頼の子である頼忠（右大臣）・斉敏（参議）と既に忠平の孫世代では6人も公卿に列せられており、時平の系統はますます振るわなくなっていた。天延2年（974年）正四位下に叙せられるが、翌天延3年（975年）10月17日卒去。享年60。最終官位は参議治部卿正四位下兼美濃権守。この後、時平の男系子孫で公卿に昇った者はなく、元輔が時平流で最後の公卿となった。