パレートの法則は、働きアリの法則と同じ意味合いで使用されることが多く、組織全体の2割程の要人が大部分の利益をもたらしており、そしてその2割の要人が間引かれると、残り8割の中の2割がまた大部分の利益をもたらすようになるというものである。経済以外にも自然現象や社会現象など、さまざまな事例に当て嵌められることが多い。ただし、パレートの法則の多くは、法則と言うよりもいわゆる経験則の類である。自然現象や社会現象は決して平均的ではなく、ばらつきや偏りが存在し、それを集約すると一部が全体に大きな影響を持っていることが多い、というごく当たり前の現象をパレートの法則の名を借りて補強している場合が少なくない。
ケン・ビンモアは、ゲーム理論に関する自身の著書の中で、研究集会の際になぜ彼の講演に多くの経済学者が参加するのか角谷に尋ねられたことを記している。ビンモアが、それはおそらく角谷の不動点定理のせいだろうと答えると、角谷は困惑してこのように答えたという。「角谷の不動点定理とは何だ？」。
n-単体に対する角谷の定理は、任意のコンパクトな凸集合 S に対する定理の証明において用いることが出来る。ここでもまた、より細かい部分集合を作っていく手順は同じである。しかし、n-単体の場合に考えた直線的な辺を持つ三角形の代わりに、曲がった辺を持つ三角形を考えることになる。正式に言うと、S を覆う単体を見つけ、変位レトラクトを使うことで問題を S からその単体に移す。すると、n-単体に対してすでに得られた結果を利用することが出来るのである。
経済学における一般均衡の理論において、角谷の定理は、すべての市場における需要と供給を同時に等しいものとする価格の集合の存在を示すために用いられる。そのような価格の存在は、少なくともレオン・ワルラスの時代にはすでに経済学における未解決問題として知られていた。その最初の証明は、ライオネル・マッケンジーによって与えられた。この場合、S は商品価格のタプルの集合である。φ(x) は、価格タプル x が至る所で需要と供給を等しいものとしない限り、その引数とは異なる結果をもたらす函数として選ばれる。ここでは、このような性質を持ちながら、同時に角谷の定理の条件を満たす φ を構成することを目指す。これが達成されれば、定理より φ は不動点を持つこととなる。この構成方法より、そのような不動点は需要と供給を至る所で等しいものとする価格タプルに対応する。
角谷の不動点定理は、ゼロ和ゲームの理論におけるミニマックス定理を証明するために利用することが出来る。この応用は角谷の原著論文において具体的に議論されていた。数学者ジョン・ナッシュは、ゲーム理論における主要な結果を証明するために角谷の不動点定理を利用した。平たく言うと、この定理は、任意のプレイヤー数で混合戦略のすべての有限ゲームにおいてナッシュ均衡が存在することを保証するものである。この業績により、彼は後にノーベル経済学賞を受賞した。この場合、S はゲームの各プレイヤーによって選ばれる混合戦略のタプルの集合である。函数 φ(x) は、x における他のプレイヤーの戦略に対する各プレイヤーの最善の反応のタプルである。同程度に良い反応が複数存在することもあり得るため、φ は単一の値ではなく集合値である。このとき、ゲームのナッシュ均衡は φ の不動点、すなわち各プレイヤーの戦略が他のプレイヤーの戦略に対する最善の反応となっているような戦略のタプルである。角谷の定理は、この不動点の存在を保証するものである。
f(x) は閉区間 [0, 1] 上で定義される集合値函数で、点 x を閉区間 [1 − x/2, 1 − x/4] に写すものとする。このとき、f(x) は角谷の定理のすべての仮定を満たすため、必ず不動点を持つ。例えば 0.72 ∈ [1 − 0.72/2, 1 − 0.72/4] なので x = 0.72 は不動点である。特にこの場合は無限個の不動点が存在する。
『指環』四部作で、もっとも演奏時間が長いのは『神々の黄昏』であるが、リブレットの量では『ジークフリート』（2770行）が最大である。『ジークフリート』は、ワーグナーのオペラのなかでリブレットが最も長い『ニュルンベルクのマイスタージンガー』（3098行）には及ばないが、単独の幕で見ると、『ジークフリート』第1幕（1142行）は『マイスタージンガー』でもっとも長い第3幕（1133行）よりも長く、ワーグナーの舞台作品中最大である。その量は、『パルジファル』全3幕分（1250行）にあと100行足りない程度に迫っている。このことは、『ジークフリート』のとりわけ第1幕においてテンポの速いやりとりが多いことを物語る。このなかでワーグナーは、ジークフリートの歌唱やオーケストラに聴き手の受忍限度を超えるような動機の執拗な反復を詰め込み、これによって、英雄ジークフリートの仕事がいかに「人間業」を越えたものであるかを強調している。また本作では、音楽外の人物・事物・観念を特定するというライトモティーフ本来の用法を越えて、純粋に音楽的な観点から、簡単な動機を念入りに展開する交響曲の表現領域に踏み込んだものとなっている。例えば、第1幕で示される「苛立ちの動機」の簡潔な音型は、「小鳥のさえずり」を表すモチーフとしても使用され、さらに第3幕では「愛の絆の動機」に変容していく。