このアプローチでは、与円のうち2つが互いに接するように、与円の半径は適宜Δrの大きさだけ変更される。これら2つの与円の接点は、接する円のそれぞれに2箇所で交わる円における反転の中心になるように選ばれる。反転することによって、互いに接している2つの円は2つの平行な直線となる。この2つの円の接点だけが反転することにより無限へと送られるため、これらの点が互いに交わったりすることはない。同様の反転は3つめの円を、別の異なる円へと変える。反転された問題の解は、(1)変換された3つめの円に接する、与えられた平行な2つの直線に平行する直線、あるいは、(2)定数の半径を持ち、与えられた2つの平行な直線と変換された3つめの与円に接する円、のどちらかでなくてはいけない。もういちど反転を行い、すべての円の半径をΔrずつ調整することで、元々の3つの与円に接する解円を得る。
最初のアプローチにおいては、ひとつの与円が点 P に縮められるまで、すべての与円を（接点を保ったまま）縮めたり膨らませたりする。その場合は、アポロニウスの問題の極限の場合として「円円点」(CCP) の問題に「退化」することになり、点 P を通る（2つの）与円および点 P に接する解円を探す問題へと変換される。P を中心とする円に関する反転は、2つの与円を新たな円に変え、解円を直線へと変える。よって、変換された問題に対する解は、2つの（変換された）与円に接する直線である。そのような解となる直線は4つあり、これは2つの与円の外部および内部の相似の中心により作図されうるものである。P において再反転し、また大きさの変更を元に戻すことで、このような解となる直線を、元々のアポロニウスの問題への答えである解円へと変換することができる。すべての8つの一般解は、それぞれの解の内部・外部どちらの接点なのかの違いに従って円を縮めたり膨らませたりすることによって得られる。しかしながら、相異なる与円は点になるまで縮めることも可能であり、この場合は（円だけの場合とは）異なる解を得る。
反転という手法は、大きさの変更（Resizing）によってより便利になる。ビエトの作図でも述べられているように、この3つの与円と解円は、接点を保ったまま、その大きさの変更が可能である。よって、初期のアポロニウスの問題は、より解くのが簡単であろう別の問題へと変換される。例えば、これら4つの円は、このうち1つの円が点に縮まるまで大きさの変更をすることができる。あるいは、しばしば、このうち2つの与円が互いに接するように大きさを変更される。また、いずれかのオブジェクトに交わっている与円は、円環へと変換する手法を用いると、交わりを解消するように大きさの変更ができる。このようなケースにおいて、元々のアポロニウスの問題の解に関しては、大きさの変更や反転によって変換された問題の解を得て、この変換された問題を、元々の問題に戻すことによって、元々の問題の解が得られる。
アポロニウスの問題に対する解は一般には対で生じる、つまり各解円に対して共役な解円が存在する（図 6）。一方の解円は、他方の解円の内側に存在する与円に外接する。逆もまた同様である。例えば、図 6においては、一方の解円（左上のピンクの円）は2つの与円（黒い円）を内包しているが、3番目の円には外接する。これとは対照的に、共役解（右下のピンクの円）はこの3番目の与円を内包するが、他のふたつには外接する。このふたつの共役な解円は、次の議論において反転に関連している。一般に、任意の3つの相異なる円は、その3つすべてに垂直に交わるただ1つの円（根円）を持ち、この円の中心を3つの円の根心と呼ぶ。具体例を挙げれば、図 6のオレンジの円が与円である黒い円に垂直に交わっている。この根円に関する反転は、与円を変化させることはないが、2つの共役な解円（ピンクの円）をお互いへと変換する。同じ反転の下では、対応するふたつの解円の接点もお互いへと変換される。具体例を言えば、図 6において、それぞれの緑の直線上の2つの青い点が、互いへと変換される。よって、これら共役接点を結ぶ直線は反転の下では不変である。よって、これら直線は反転の中心を通らねばならず、そしてこれは根心と呼ばれる（図6でいうと、オレンジの点に交わる緑の直線）。
これらのゲームはその性質上、消費者によっては不快感を催させるため、業界団体などではレーティングを設けるなどの自主規制を敷いている場合も多いが、その一方で公的な規制に対しては表現の自由などに絡んで反発も見られる。日本では有害図書指定やゲーム脳論を支持する教育者などの動きもあり、児童への販売も厳に規制されているが、米国では州法等で児童（18歳未満）への販売・貸し出し規制を設けようという動きも見られる（→成人向けゲーム）。これは前出の少年らによる事件との関連性を懸念しての動きではあるが、法案では児童に残酷ゲームなどの規制すべきと見なされたゲームソフトを販売した場合に、販売店側に数百ドルの罰金を科すものとされた。しかしこれが表現の自由に絡んで違憲性の問題を招き、規制法制定に絡んで係争を招いている。この問題に関して、2003年にワシントン州やミズーリ州セントルイス郡で、2005年にはミシガン州とイリノイ州・カリフォルニア州で規制法が制定ないし制定される予定であったが、米業界団体のエンターテインメントソフトウェアレイティング委員会（ESRB）が「言論の自由を制限するおそれがある」として違憲訴訟を起こし、これに勝訴している。その後、2011年6月27日に、合衆国最高裁判所は、ブラウン対エンターテインメント商業協会事件で、カリフォルニア州の法律は「合衆国憲法が保障する表現の自由を侵害している」とし、違憲判決を下した。残酷ゲームの規制法に関しては、米連邦レベルでの制定も上院議員のヒラリー・クリントンを中心とした議員団体により進められているが、施行は困難と見られている。日本では業界団体であるCEROが2005年7月にレーティングに基く販売自主規制を行うとし、販売店にも協力を求めるという発表を行っている。これは自主規制であるため強制力は無いが、販売店側からも95％の賛同が得られていると発表している。