ブレイド群 Bₙ の元は、行列によりより具体的に表現することができる。一つの古典的なそのような表現は、ブーラウ表現(Burau representation)であり、そこでは行列要素は一変数のローラン多項式である。ブーラウ表現が忠実であるか否かは長い間問題となっていたが、解答として n ≥ 5 に対しては否定的であることが判明した。さらに一般的に、ブレイド群が線型であるか否かは大きな未解決問題であった。1990年、ラス・ローレンス(Ruth Lawrence)は、複数のパラメータに依存するより一般的な「ローレンス表現」の族を記述した。1996年、ナヤカ(C. Nayak)とフランツ・ウィルチェック(Frank Wilczek)は、SO(3) の類似を考え、ブレイド群の射影表現がような分数量子ホール効果でのある擬粒子に関する物理的意味を持っていることを提唱した。2001年頃、ステファン・ビゲロー(Stephen Bigelow)とダン・クラマー(Daan Krammer)は、独立に、すべてのブレイド群は線型であることを証明した。彼らの仕事には、変数 q と t に依存しない次元 n(n−1)/2 のローレンス・クラマー表現(Lawrence–Krammer representation)が使われた。これらの変数を適切に特殊化することにより、ブレイド群 Bₙ は複素数上の一般線型群の部分群として実現することができる。
ブレイド関係式の語の問題(word problem)は、有効に解くことができ、Bₙ の元を生成子 σ₁, ..., σₙ−1 の項として正規化して表す表現方法が存在する。（本質的には、ブレイドの正規化形式を計算することは、上の図の第二の図式で説明されているように、糸の引っ張ることの代数的な類似物である。）GAP (数式処理システム)は、元がこれらの生成子の項で与えられれば、Bₙ の計算を実行することができる。 また、GAP3 の CHEVIE と呼ばれるシステムでは、特別な種類のブレイド群をサポートしている。語の問題は、ローレンス・クラマー表現(Lawrence-Krammer representation)を通した有効に解くことができるかという問題でもある。それにもかかわらず、ブレイド群についての計算問題は非常に困難な問題があるため、暗号理論への応用が提案されている。
ブレイドが与えられ、最初の左側の点の集まりから右の点の集まりへ新しい糸を使って繋ぎ合わせることができ、第一の図式の左側の点と第二の図式の右側の点が関係付けられる（新しく糸でブレイドを作成することなく）るとすると、絡み目や、結び目が得られる。組み紐理論のアレクサンダーの定理は、逆もまた成立するという定理であり、すべての結び目と絡み目は少なくとも一つのブレイドから得られる形となる。そのようなブレイドは、絡み目を切断することにより得ることができる。ブレイドは生成子 σᵢ での語(word)として与えられるので、計算機プログラムで結び目を扱う方法として採用されている。
ブレイド群 Bₙ は、n 個の穴のあいた穴あき円板の写像類群(mapping class group)と同型であることを示すことができる。これは境界円板の各穴を糸で繋げるというイメージで最も容易に可視化される。即ち、写像類群の元は穴空き円板の穴を入れ替えるので、これを糸のホモトピー、つまり糸のブレイディングと見做すことができる。この写像類群というブレイドの解釈を通し、各々のブレイドは、周期的で規約な、あるいは、擬アノソフ的なニールセン・サーストン分類(Nielsen-Thurston classification)として分類することができる。
ブレイド群は1925年にエミール・アルティン(Emil Artin)により明示的に導入された。、しかし、（1974年にウィルヘルム・マグナス(Wilhelm Magnus)が指摘しているように、)すでに暗には、ブレイドは、1981年のアドルフ・フルヴィッツ(Adolf Hurwitz)のモノドロミーの仕事の中に現れていた。実際、マグナスは、フルヴィッツはブレイド群を配置空間の基本群として解釈していて（組みひも理論を参照）、1962年にラルフ・フォックス(Ralph Fox)とレー・ノイヴィルス(Lee Neuwirth)により再発見されるまで、この見方をもたらす解釈は失われていた。
1957年に青森県青森市で電飾施工会社「電巧堂」として創業。その後ラジオ等の家電製品販売を行う株式会社電巧堂チェーンを経て、1965年に青森県八戸市に株式会社電巧堂を設立。東北地方太平洋側へ多店舗展開する（株式会社デンコードー）。1990年、北斗電気を吸収合併して北海道に進出。1991年に株式会社電巧堂チェーンと株式会社デンコードーが統合した。デンコードーは、社員教育に力を注ぎ競合先が「家電量販店」であるのに対し、自社は「家電専門店」であるとの認識の下、東北在来の競合店に打勝ち、関東圏から進出した家電量販店とも激しいシェア争いを繰り広げた。2004年に神奈川県を中心に店舗を展開していたワットマンが家電事業から撤退した為、同県と東京都の一部店舗を継承。「デンコードー」として初めて首都圏へ出店したものの、2009年までに撤退している。しかし、2007年にケーズホールディングスに買収されることが決定し、同年4月1日の株式交換によって同社の完全子会社とされた。これに先立ち同年3月末に上場廃止となった。また同年10月1日、東北ケーズデンキ（本社・水戸市）を、2008年4月1日にはフジヤ（本社・釧路市）を吸収合併している。なおケーズHDとの経営統合前、デンコードーは単年度売上1千億円以上を達成しており、東北地方売上№1の家電量販店に成長していた。2015年8月1日、ケーズHDが株式交換によって完全子会社化した池田を吸収合併した。2005年に誕生した、プロ野球東北楽天ゴールデンイーグルスのオフィシャル・スポンサーとなり、2006年・泉区に竣工した練習グラウンドの野球場の命名権を取得。「デンコードースタジアム泉」と命名された。ただし、ケーズデンキにブランドを統合したため2007年で命名権を返上。現在は「イーグルス泉練習場」という本来の名称に戻された。オフィシャルスポンサーはケーズデンキに移行後も継続している。