彼は元々24題の問題を用意していたが、その内の1題は割愛された。この24番目の問題（簡潔性と総合的な方法の評価基準に関する証明論）は2000年にドイツの歴史学者リュディガー・ティーレによって発見されたヒルベルトの手記中に、その存在が初めて確認された。
変分法の研究の展開この分野でのカール・ワイエルシュトラス、クネーザー、アンリ・ポアンカレの貢献を評価して、変分法の重要性と研究課題を指摘することで、ヒルベルトはその後の関数解析や偏微分方程式論の発展を促した。変分法は数学と物理学が深く関連した研究分野である。ヒルベルトもクーラントとの共著『数理物理学の方法』で変分法を広範に論じた。
保型関数による解析関数の一意化パウル・ケーベとアンリ・ポアンカレがそれぞれ独立に肯定的に解決。一意化定理は1880年代からポアンカレが研究し、その一部を証明していたが、ヒルベルトは23の問題の一つとして取り上げて、その厳密な証明を求めた。
与えられたモノドロミー群をもつ線型微分方程式の存在証明リーマン・ヒルベルト問題とも呼ばれる。フレドホルム積分方程式に関するヒルベルトの研究を応用して、1908年にヨシップ・プレメルヒが積分方程式の問題に再定式化して、肯定的に解決。1913年にジョージ・デビット・バーコフがリーマン･ヒルベルト問題とは気づかずに別証明を与えた。だが、1989年にドミトリー・アノゾフとアンドレイ・ボリブルヒが正則であるがフックス型でない微分方程式系があることを示して、プレメルヒとバーコフの証明の誤りを明らかにし、リーマン・ヒルベルト問題が否定的に解決されることを証明した。モノドロミー表現が既約である場合にだけ、リーマン･ヒルベルト問題は肯定的に解決される。
ディオファントス方程式の可解性の決定問題1970年、ユーリ・マチャセビッチが否定的に解決。ディオファントス方程式がどのような場合に整数解を持つかを決定付けるような一般的な解法は存在しないことを示した。
物理学の諸公理の数学的扱い「物理学は公理化できるか。」ヒルベルトは「確率と力学」を「物理学者による理論立てを数学者によって検証すること」によって仮説を立証するという一連のシステムの構築を望んでいた。そのためこの第六問題は（確かに数学の範疇ではあるが）数学的問題を逸脱した部分が多く、数学と言うよりむしろ物理学に重きを置いている。そのため、その証明も力学や熱力学の権威の功績によるものが大きく、しかも「証明」というよりは「発展」に近いものである。
位相群がリー群となるための条件「関数の微分可能性を仮定しないとき、リーによる連続変換群（リー群）の概念は成立するか。」この問題は1930年にジョン・フォン・ノイマンによって証明されたのを皮切りに、レフ・ポントリャーギン、クロード・シュヴァレー、アナトリー・マルツェフ等により局所ビコンパクト群の理論が発展されていった。その後1952年にはアンドルー・M・グリースン、以降ディーン・モントゴメリー、レオ・ズイッピンらによっても解かれた。最終的には1957年にヴィクトル・グルシュコフが完全な形での証明を発表した。
直線が最短距離を与える幾何学の組織的研究「公理がユークリッド幾何学に近い幾何学を求めよ。ただし行列の定理は保持し、合同定理は弱まり、平行線定理は省略されるものとする。」ヒルベルトは問題発表時、自身の研究により既に問題にあるような幾何学を得ており、その上での問題発表となった。この問題は1901年にゲオルク・ハメルによって解かれたが多くの制約を余儀なくされた証明法だったので、1929年にヒルベルトの弟子パウル・フンクがこれを改善したものを発表した。また1943年にはハーバート・ビュースマンも改善に成功し、問題を測地線の幾何学に一般化した。しかしRowe & Grayはこの第4問題が解決されたかどうかはとても曖昧であると記している。
1859年（安政年間）10月11日、イギリス・スコットランドに生まれる。映画界に登場したのは、すでに満52歳となった1911年（明治44年）11月3日公開、セリグ・ポリスコープ・カンパニー製作、フランク・ウィード主演の短篇映画 His First Long Trousers の監督としてである。1914年（大正3年）にはレックス・ビーチの小説 The Spoilers（1906年）の初の映画化『スポイラース』をウィリアム・ファーナムおよびキャスリン・ウィリアムス主演に手がける。1915年（大正4年）、同社を退社、フォルスタッフ・コメディーズに転出、短篇コメディを量産するが、翌1916年（大正5年）にはセリグに復帰する。1918年（大正7年）、セリグを離れ、ユニヴァーサル・フィルム・マニュファクチュアリング・カンパニー（現在のユニバーサル・ピクチャーズ）に移籍、傘下のブルーバード映画で、マリー・ウォールキャンプ主演の Tongues of Flame, ファニタ・ハンセン主演の The Sea Flower を監督するが、多くが日本で公開されたブルーバード映画の中でも、この2作は公開されなかった。1919年（大正8年）以降は、キャサリン・マクドナルド、ダスティン・ファーナム、早川雪洲らのスタープロダクションが製作する彼らの主演作を手がけ、フォックス・フィルム（現在の20世紀フォックス）製作の作品を手がけた。満65歳を迎える1924年（大正13年）、ヘンリー・B・ウォルソール主演のサイレント映画 The Bowery Bishop を最後に映画界を去った。1928年（昭和3年）8月26日、カリフォルニア州ロサンゼルス市ハリウッドで脳血栓症により死去した。満68歳没。