等底・等高な四面体の等積性「等底・等高の四面体の等積性は、連続変形なしで証明できるか」底面積が等しく、高さが等しい三角錐（より一般には錐体）は体積が等しい。これは積分計算によって容易に示す事ができるが、積分のような連続的操作によらず、これが証明できるかどうか？と言うのが設問の動機である。即ち、底面積と高さの等しい二つの四面体A、Bがあるとするとき、有限個の四面体の組X₁…Xₙで、それらをパズルのピースのようにうまく組み合わせるとAにもBにも合同になるような組が常に存在するか？という事である。二次元の場合、つまり三角形の場合はこれが可能である（ボヤイの定理）。この問題はヒルベルトの弟子マックス・デーンによって、否定的に解決された。つまり、任意の四面体に対して、同体積でありながら有限個に分割して組みなおすのでは移りあわないような四面体が存在する。この問題は23問題中最初に解決されたものとなった。
算術の公理と無矛盾性「算術の公理が矛盾を導かないことを証明せよ。」ヒルベルト自身は、ここでいう「算術の公理」として実数を扱えるようなものを考えていたが、「算術」(arithmetik)という言葉のせいでしばしば自然数を扱える程度の、と受け取られてしまっている。後者については1936年にゲルハルト・ゲンツェンによって有限の立場に少し修正を施した上での無矛盾性の証明が発表された。
ゲオルク・カントールによって提起された連続体仮説「実数の部分集合には（高々）可付番集合と連続濃度集合の二種類しか存在しない。」一方では1938年にクルト・ゲーデルによってこの仮説が成り立つような集合論のモデルが構成され、もう一方で1963年にポール・コーエンによりこれが成り立たないようなモデルが構成された。両者を総合し、一般連続体仮説と選択公理がZFとは独立であることが示された。
半径 r の円の曲率 k を  で定義する。大きな円ほど曲率の絶対値は小さい。k が正であるとき、その円は他の円と外接するものとする（図中の黒い円）。同じく負であるとき、その円は他の円と内接（内包）するものとする（図中の大きな赤い円）。もし k が 0 であれば半径が無限に大きな円とみなし、直線を表すものとする。互いに接する4つの円（もしくは3つの円と1つの直線）の曲率を k₁、k₂、k₃、k₄ とする。デカルトの定理は、このとき以下の式が成り立つことを主張する。(1)先に3つの円（もしくは2つの円と1つの直線）が与えられたとき、4つめの円の曲率は上式を整理した以下の式で与えられる。(2)複号により解は2つ与えられる。直線への退化を無視すれば、一方の解は常に正で他方は正もしくは負である。負の解は先述したように3つの円を内包する円を表す。
互いに接する円の問題に対する関心は古く、紀元前三世紀のギリシャ人であるペルガのアポロニウスが多くの論述を残している。1643年、ルネ・デカルトはプファルツ公女エリーザベトへの手紙の中でこの問題を詳細に研究し、後述する式(1)と本質的に同じ結果を得た。フレデリック・ソディが1936年に式(1)を再発見し Nature に発表したため、この問題で扱われる4つの円はソディの円（英: Soddy circles）と呼ばれる。フレデリック・ソディはこの問題を球へと拡張し、さらにソロルド・ゴセは任意の次元へと拡張した。
幾何学におけるデカルトの定理とは、互いに接する4つの円の半径がある二次方程式を満たす、という主張である。1642年にこれを発表したルネ・デカルトにちなむ。
ジャージーシティで生まれた彼の両親は、ピアニストのマジョリー・ディクソンと、ガイアナ人の元俳優モーリス・ルーク。彼の兄弟にはダニエルとモーリスの2人がいる。ジャージーシティのスナイダーハイスクールを卒業。1998年には、歌手で女優のソフィア・アデラ・ヘルナンデスと結婚。ソニー・ピクチャーズ・エンタテインメントにあるStudio Emporiumのギフトショップで働いている際にスカウトされ、アントワン・フィッシャーの役をもらう。なお、この映画はソニー・ピクチャーズ・エンタテインメントのスタジオツアーで繰り返し流されている。スパイク・リーが監督した、2008年の戦争映画『セントアンナの奇跡』では、脱税で降板したウェズリー・スナイプスの代役としてメインキャラクターのひとりを演じた。2009年の伝記映画『ノトーリアスB.I.G.』ではショーン・コムズを演じる。アリシア・キーズのPV「Teenage Love Affair」では、彼女に恋する男を演じ、 モニカのPV「So Gone」では、モニカに恋する男性歌手の役を務め、マリオのPV「Let Me Love You」では歌手役を務めた。
ギター用チューニング・メーターはシールドケーブルを差すための入力ジャックが多くの場合備わっており、物によっては出力ジャックを備えているものもある。出力端子のあるギター/ベースの場合には通常、出力ジャックからチューニング・メーターの入力ジャックまでケーブルで結んで調律を行う。ギター/ベースに出力ジャックがない場合にはチューニング・メーター内蔵のマイクロフォンで音を拾うためチューニング・メーターをギターの近くに設置して調律を行うが、調律の感度は悪くなるため合わせづらくなる。調律は開放弦を基準として行う。ギターとベースは同じチューニング・メーターを用い、楽器（ギター/ベース）とどの弦を調律するかをスイッチで切り替えて調律を行うか、最近の多くの製品では入力された音に対する適切な弦を自動的（オートモード）に判断する。また殆どの場合、♭（半音下げ）と♯（半音上げ）を選択できるため、半音下げチューニングやオープン・チューニングにも対応している。調律の度合いはアナログの針であったり、モノクロ液晶表示の針であったり、LEDランプで示される（以降説明上は「針」で統一する）。調律が合った状態になると針が真ん中になる。逆に針が左に傾いていると低く、右に傾いていると高い事を示している。チューニングが合っていない場合には、一度弦を緩めてから音を出しつつだんだん弦の張りを強くして針を真ん中に合わせる。蛇足であるが、時々針が絶え間なく揺れている事があるがそれは、チューナーの故障ではなく、古い弦の可能性があるので交換が必要である。チューニング・メーター機能はエフェクター（特にマルチエフェクター）に内蔵されているものも多く、ステージ上でギターの結線を変えることなく迅速に調律できる。またギターショップなどでは壁にチューニング・メーターが備え付けられている事もある。