サーストンの幾何化予想は、3次元位相空間は関連付けることのできる一意な幾何学構造を持っているという予想である。幾何化予想は、2次元曲面の一意化定理の類似であり、一意化定理はすべての単連結なリーマン面は 3つの幾何学（ユークリッド幾何学、球面幾何学、双曲幾何学）のうちのひとつとなるという定理である。3次元では、位相空間全体をひとつの幾何学に関連付けることが常にできるとは限らない。代わって、幾何化予想はすべての閉 3次元多様体は、標準的な方法でそれぞれのピースが 8つのタイプのうちのひとつの幾何学構造を持つようなピースへと分解することができるという予想である。この予想は、ポアンカレ予想やサーストンの楕円化予想など、いくつかの他の予想を含む予想として、William Thurston (1982) で提出された。
双曲3次元多様体は、完備な定断面曲率 -1 のリーマン計量を持つ3次元多様体である。言い換えると、双曲3次元多様体は、3次元双曲空間を、それに自由かつ固有不連続に作用する双曲的等距離写像の成す適当な部分群で割った商である。クライン模型の項を参照。その thick-thin 分解は、thin 成分として、閉測地線からなる管状近傍およびまたはユークリッド曲面と閉半直線の積となる端点をもつ。多様体が有限体積となるための必要十分条件は、thick 成分がコンパクトになることである。この場合、終点はトーラスと閉じた半直線との交差の形をしていて、尖点と呼ばれる。結び目補空間は最もよく研究されている尖点を持つ多様体である。
位相空間 X のすべての点が 3次元ユークリッド空間と同相な近傍を持つとき、X を 3次元多様体と呼ぶ。位相多様体、区分線型多様体（PL多様体）、滑らかな多様体の圏は、すべて 3次元の場合には同値であるので、3次元では、位相多様体と滑らかな多様体の差異はほとんどない。3次元での現象は、他の次元での現象とは非常に異なっていて、3よりも大きな次元へは一般化できない非常に特別なテクニックが普及している。この特別なテクニックの役割は、他の分野の多様性との密接な関係をもたらした。たとえば、結び目理論, 幾何学的群論、双曲幾何学、数論、タイヒミューラー空間、位相的場の理論、ゲージ理論、フレアーホモロジー、や偏微分方程式がある。3次元多様体論は、低次元位相幾何学や幾何学的位相幾何学の一部と考えられる。
一意化定理は、すべての単連結なリーマン面は、次の 3つのうちのどれかひとつと共形同値であるという定理である。単連結リーマン面は、開単位円板、複素数平面、リーマン球面のいづれかであり、特に、定曲率のリーマン計量をもっている。これはリーマン面を、普遍被覆に従い、楕円型（正の曲率をもつ、正の定数曲率をもつ）と放物型（平坦）と双曲型（負の定数曲率）へと分類する。一意化定理は、リーマン写像定理を、平面の単連結な開部分集合から任意の単連結なリーマン面へ一般化した定理である。
数学において、（実）位相空間 X のタイヒミューラー空間 TX は、恒等写像と同位な同相写像の作用を除いて X 上の複素構造をパラメータ付ける空間である。TX 上の各点は、「印」をつけたリーマン面の同型類とみなすことができる。ただし、「印」とは X から自分自身への同相写像の同位類である。タイヒミューラー空間は、（リーマン）モジュライ空間の普遍被覆軌道体である。タイヒミューラー空間は、標準的な複素多様体の構造と豊かな自然計量を持っている。タイヒミューラー空間の台となる位相空間は、フリッケ(Fricke)により研究され、その上のタイヒミュラー計量は Oswald Teichmüller (1940) で導入された。
曲面は 2次元の位相多様体である。最も馴染みのある例は、通常の三次元ユークリッド空間 R³ 内の立体図形の境界として現れるもの、例えば球体の境界面としての球面である。他方、クラインの壷のように、特異点や自己交叉を持つことなしに 3次元ユークリッド空間へ埋め込むことができない曲面もある。
常緑性の低木。茎は直立するか斜めに伸び、あまり分枝をしない。茎の断面は丸いが節の部分では平らになる。托葉が節ごとに2枚ずつあり、3角形で普通は早くに脱落する。葉は対生し、革質で縁は滑らかで裂けたりはしない。一つの枝の葉は1平面上に展開し、葉先は少し伸び出す傾向があり、側脈は先で葉先に向かって弧を描く。花は葉腋から出るごく短い花序の軸に数個を束にして生じる。頭状に集まって生じる例もある。花序には普通は苞を伴う。萼は筒状で短く、先端が浅く5つ程度に割れている場合もあるが、割れない例もある。花冠は漏斗状で筒の部分は長く、内側には軟毛を密生している。花冠の先端は5裂しており、蕾の時にはそれらはすり合わせ状に重なる。雄蘂は5本で花冠の筒の部分の口近くに着いている。柱頭は糸状でその先端は5裂し、花冠の筒上部の入り口に顔を出す。子房は下位で5室だが、希に4-9室の例もあり、胚珠は各室に1個。果実は液果で、球茎で中に3-5個の種子を含む。黒か瑠璃色に熟す。種子は３角状楕円形。学名は「毛」と「花」を意味するギリシャ語から作られたもので、花冠の内側にビロードのように毛を密生することからの命名である。