閉曲面のオイラー標数は純粋に位相幾何学的な概念であるが、一方でベクトル場の指数は純粋に解析的な概念である。従って、この定理は一見関連のなさそうな分野間の深い関係を与えている。証明に際して積分、特にストークスの定理が要となることも興味深いだろう。ストークスの定理とは、微分形式の外微分の積分が、その微分形式の境界上の積分に等しいという定理である。特に境界を持たない多様体上での積分は 0 になる。しかし湧出点や流入点の十分小さな近傍でベクトル場を解析すると、これらの点から積分結果に整数（指数として知られる）の寄与があることが分かる。よって、それら全ての和は 0 となる。この結果は、幾何的、解析的、および物理的な概念の間の深い関係性を示す一連の定理のなかで最も早期の定理のひとつと考えられる。これらの定理は、各分野での現代の研究において重要な役割を果たしている。
航空機動軍団向けの予備役部隊であり、輸送機・空中給油機など訓練・運用している。11個航空団・2個群が主力であり、アメリカ各地の基地に展開している。第4空軍は南西航空地区隊(Southwest Air District)を改編して1940年12月18日にアメリカ陸軍航空隊の部隊として設立された。当初の任務はアメリカ合衆国本土南西部の防空であった。後に訓練部隊としての任務も課せられている。1946年からは防空軍団(Air Defense Command)の傘下で防空任務に就いた。上級部隊は1948年に大陸航空軍団となったものの、引き続き1960年まで防空任務に就いていた。1960年以降は編成解除の状態にあり、1966年に航空宇宙防衛軍団下で防空部隊として再編成されたが、これも1969年に編成解除された。予備役部隊として1976年10月8日に再編成され今日に至っている。
多くの優れた作品を生みだした映画人の功績をたたえる目的で、1969年にオマージュ賞として始まり、1971年から現在の形となった。日本人では黒澤明が1982年に、宮崎駿が2005年に受賞している。2005年の第63回ヴェネツィア国際映画祭では、授賞式に続いて『風の谷のナウシカ』などが特別上映された。
第3代ラトランド公爵は1742年より美術品を購入しはじめ、以降20年間ロンドンの美術品オークションで絵画を購入し、代理人を通じてほかのオークションで買い入れをしたり、ディーラーを通じて購入したりした。ｍた1721年に父である第2代公爵から家族コレクションを継承した。小さな絵画を好んだため、絵画購入に費やした金額はより高価な大型絵画の収集家より少なかった。そのため、ジョシュア・レノルズのパトロンである孫第4代ラトランド公爵よりも出費が少なかった。それでもラファエロ・サンティ、ティツィアーノ・ヴェチェッリオ、ヤコポ・バッサーノ、パオロ・ヴェロネーゼ、グイド・レーニなどヨーロッパにおける主な画家の小型作品を多く購入した。絵画購入に少なくとも3,210ポンドを費やし、同時期にロンドンのタウンハウス建設の出費である4,432ポンドと比較することができる。しかし、第3代ラトランド公爵は1758年から1759年にかけて、絵画を200点売却した。1779年5月29日に死去、長男がすでに死去していたため孫チャールズがラトランド公爵の爵位を継承した。
第2代ラトランド公爵ジョン・マナーズとキャサリン・ラッセルの長男として、1696年10月21日に生まれた。1719年1月から1721年2月まで、ラトランド選挙区選出の庶民院議員を務めた。1722年11月13日にガーター勲章を授与され、1727年7月17日に枢密顧問官に任命された。1721年から死去までレスターシャー知事を、1721年から1727年まで寝室侍従を、1727年から1736年までランカスター公領大臣を、1754年から1761年まで王室家政長官を、1761年から1766年まで主馬頭を務めた。また、1739年に創設された捨子養育院の初代総裁の1人だった。米国バーモント州ラトランドは第3代ラトランド公爵に因んで名づけられた。
半導体のように光を照射すると電流が誘起する素材に対して適用される。レーザー光を照射して誘起した電流で生じた磁気をSQUIDにより計測するのでレーザー光の収束した径が事実上の分解能になるので従来のSQUID顕微鏡単体よりも高分解能になる。レーザ光をライトチョッパーにより1kHzで、明滅させてSQUIDの出力を同期検波することで、信号雑音比を向上させる。光起電力を有する試料であれば特別な処理をしなくても室温、大気中で観察可能。
原子間力顕微鏡(AFM)にSQUIDを組み合わせて力を検出することにより、表面の磁気像を得る。STM-SQUIDでは測定できなかった絶縁体の表面形状の観察が可能。
引退後は横浜マリノス、横浜フリューゲルス、京都サンガF.C.、ザスパ草津のコーチを歴任。2004年に日本サッカー協会の公認S級コーチライセンスを取得し、2009年に草津の監督を務めた。2010年から当時JFLに所属していたV・ファーレン長崎の監督に就任し、2012年にクラブをJFL優勝、および2013年度からのJリーグ昇格に導いたが、2012年11月20日、クラブ側から「監督も含め、もっと県民に親しまれ、愛されるチームをつくるための一つの方策」との理由で同年度限りでの退任が発表された。長崎退任後の2013年から北信越リーグに所属するサウルコス福井のゼネラルマネージャー兼トップチーム監督を3年間務め、2016年にJFL所属のヴェルスパ大分の監督に就任。2年間チームを率いた後に契約満了で退任し、Jリーグ・ギラヴァンツ北九州の強化育成本部長に就任することが発表されたが、2018年11月2日に契約満了で退任すると発表された。2018年12月10日、セビージャFCが前年に福島県郡山市に設立した育成組織「セビージャFCサッカーアカデミー福島」のゼネラルマネージャー兼ジュニアユース総監督に就任すると発表された。