独裁官就任から4年後の紀元前336年、クラッススは執政官に就任、同僚執政官はカエソ・ドゥイリウスであった。この年の主なできごとは、カレス（en）を中心としたアウソニ族（en）がシディキニ族（en）と同盟してローマに反乱したことであった。ローマはアウソニとシディニキに勝利し、敗走させた。野戦での勝利後、クラッススとドゥイリウスは敵兵を積極的には追撃しなかった。しかしながら、元老院は、これまで度々ローマに敵対していたシディキニに嫌悪感を抱いており、これを追撃しなかった両執政官に対して冷淡であった。このため、元老院は翌年の執政官で著名な将軍であるマルクス・ウァレリウス・コルウスにカレス周辺での作戦を担当させ（通常、各執政官の担当戦線はくじ引き）、クラッススはカレスを包囲し陥落させた。
紀元前340年、ローマ軍はウェスウィウスの戦い（en）でラティウム同盟軍に勝利したものの、執政官プブリウス・デキウス・ムスは戦死、もう一人の執政官ティトゥス・マンリウス・インペリオスス・トルクァトゥスはローマに戻って凱旋式を実施したが、その後に病を得た。このため、トルクァトゥスはクラッススを独裁官に任命した。クラッススはルキウス・パピリウス・クルソルをマギステル・エクィトゥム（騎兵長官）に指名した。アンティウム（現在のアンツィオ）軍はオスティア、アルデア、ソロニウムに農村地帯に襲撃をかけてきたが、クラッススは顕著な勝利を得ることはできなかった。
パエトゥスは、パトリキ（貴族）であるパピリウス氏族のパピリウス・クラッスス家の出身である。父も祖父もプラエノーメン（第一名、個人名）はルキウスである。
貝殻の種類に加えその分布などから、20-30万年前の氷河期には福知山盆地内全てが湖の底であったと考えられており、この湖は福知山湖と呼ばれる。東西は約18km、南北は2-5km。東西に走る断層が形成した断層盆地である。由良川の中流域にあり、由良川が形成する沖積平野や河岸段丘からなる。由良川は盆地東端から西流し、土師川、和久川、牧川などを集めて西端から流れ出る。周囲には洪積台地が発達しており、標高450m程度の山地に囲まれている。盆地の東端には綾部市の市街地、西端には福知山市の市街地がある。由良川が盆地を出る部分は狭隘であり、また河床勾配が緩やかなため、しばしば福知山盆地では洪水が起こっている。1924年には上流に戸奈瀬ダム（由良川ダム）が竣工しており、1961年には洪水対策として由良川上流に大野ダムが建設された。明治時代以降に養蚕業や製糸業が盛んとなり、かつては河岸段丘に桑畑が多かった現在の福知山盆地では低地での稲作が盛んである。内陸型工業団地が形成され、都市化が進んでいる。盆地の中央部をJR山陰本線が横断しており、東端の綾部市で舞鶴線が、西端の福知山市で福知山線が分岐している。
点の間の位相的不可識別性は位相空間における同値関係を与える。どのような位相空間 X を考えるかに依らず、この同値関係で割って得られる商位相空間は常に T₀ になり、この商空間は X のコルモゴロフ商 (Kolmogorov quotient) と呼ばれ、KQ(X) で表される。もちろん、もともとの X がそもそも T₀ であったならば、KQ(X) と X とは自然 同相になる。圏論的に述べれば、コルモゴロフ空間の圏は位相空間の圏の反射的部分圏であり、コルモゴロフ商はその反射子である。二つの位相空間 X, Y がコルモゴロフ同値であるとは、それらのコルモゴロフ商が同相となることを言う。位相空間に対する多くの性質が、このコルモゴロフ同値関係で保たれる（つまり、コルモゴロフ同値な X と Y について、X がそういった性質を満たすことと Y が同性質を満たすこととが同値になる）。他方、位相空間における別の性質は T₀-性を含意する（つまり、空間 X がその性質を持つならば X は T₀ でなければならない）ものが大半であって、わずかに（離散空間であるという性質のような）いくつかの性質がこの経験則の例外となっているばかりである。さらに良いことは、位相空間の上に定義される多くの構造が X と KQ(X) の間で翻訳することができる。というわけで、ある種の性質や構造を備えた非-T₀ な位相空間があったならば、普通は同じ性質や構造を持った T₀ な位相空間をコルモゴロフ商をとることで作れるのである。先に挙げた L²(R) の例もこの特徴を備えている。位相的な観点でいえば、この例でもととした半ノルム線型空間にはたくさんの余計な構造が入っている（例えば、ベクトル空間の構造や、半ノルムおよびそれが定める（位相と両立する）擬距離や一様構造など）し、それらの構造が持つ様々な性質（例えば半ノルムが中線定理を満たすことや、一様構造が完備であることなど）も持っているのだが、この半ノルム線型空間が T₀ でないことは殆ど至る所等しい二つの可測函数が位相的に識別不能だからなのであって、そのコルモゴロフ商（つまり実際の L²(R)）は先ほど述べた余分な性質や構造はそのまま保って「中線定理を満たす完備半ノルム空間」となり、それだけではなくていまや T₀ であるという性質が加わるのである。半ノルムがノルムとなる必要十分条件は考えている位相が T₀ となることであったから、L²(R) は実際に「中線定理を満たす完備ノルム空間」（ヒルベルト空間と呼ばれる）になる。そして、数学（や量子力学などの物理学）が一般に扱うのは、このヒルベルト空間についてである、というわけである。さてこの例において記号 L²(R) が、この記号が示唆するところの自乗可積分函数そのものの成す空間ではなくて、可積分函数の同値類の成す空間であるところのコルモゴロフ商を指しているのが普通である、ということに注意されたい。