Aₚ のようなアーベル多様体に対し、局所ゼータ函数の定義が有効である。A 自身のL-函数を得るために、そのような局所ゼータ函数の適切なオイラー積を取る。悪い素数に対しての因子が有限個しかないことを理解することは、A のテイト加群(Tate module)を理解する必要があり、テイト加群はエタール・コホモロジー群 H¹(A) （の双対）であり、それ自身の上への群作用である。この方法により、A のハッセ・ヴェイユのL-函数の自然な定義を得る。一般に、この性質、つまり函数等式は未だに予想の段階であり、まさに特別な場合である谷山志村予想で2001年に証明されたが、驚くほど難しい。このL-函数のことばで、バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想が提唱されている。特に、この議論は、整数値 s でのL-函数 L(s) についての一般論の興味深い側面となっていて、これを支持する多くの経験的な証拠がある。
K の（整数の）素イデアルを modulo とする、— 言わば、素数 p を modulo として有限体上のアーベル多様体 Aₚ を得ること — アーベル多様体 A のリダクションは、ほとんど全て(almost all)の p に対してとることができる。特異点として知られる退化したリダクションとなる悪い素数は、非常に興味深い情報をもたらすことが知られている。数論では良くあることであるが、悪い素数は理論の中でむしろ活発な役目を果たす。ここにネロンモデルと呼ばれる mod p のリダクションへの右随伴な常に成り立つ精密な理論がある。楕円曲線の場合は、ジョン・テイト(John Tate)のこのことを記述するアルゴリズムである。
アーベル多様体上には、二次形式である標準的なネロン・テイトの高さ函数が存在して、注目すべき性質を持っている。特に、高さ函数 h は、大まかに言うと、座標の対数的サイズである高さの点を A(K) から取り出すようになっている。
基本的結果（モーデル・ヴェイユの定理）は、K 上のアーベル多様体 A の点（有理点）の群 A(K) は、有限生成アーベル群であると言っている。少なくとも A が楕円曲線の場合は、捩れ部分群については多くのことが知られている。ランクの問題は、L-函数の境界をもたらすと考えられている。（以下を参照）トルソー(torsor)の理論は、ここでセルマー群(Selmer group)やテイト・シャファレヴィッチ群(Tate–Shafarevich group)を導いた。後者は（予想としては有限と考えられている）が、研究がむずかしい。
概念の間にはいくらかの差異がある。整数点(integer point)はアフィン幾何学(affine geometry)の考え方に属し、一方、アーベル多様体は射影幾何学上で定義された性格を持っている。楕円曲線は整数点を有限個しか持たないという基本的な結果は、ディオファントス近似から出てきた。
生き生きとした壁画が居住区のいたるところ、部屋の内側や壁の外側で発見される。チャタル・ヒュユクでは、前述したように壁に上塗りを繰り返したので、壁に彩色をしてある部屋の上塗り層の断面には塗色面が何層にもなっている。壁画はそのたびに上塗りされたため一時的にしか見られなかったことになる。反面そのために壁画が腐食せず良好に保存されて今日でも見ることができるのである。壁画は細かい毛のブラシを用いて塗料を塗って描かれたと考えられている。塗料の原料は、赭土、藍銅鉱、辰砂、孔雀石、方鉛鉱、マンガンなどアナトリアで入手できる鉱物から作られた。地は、白かクリーム色で、壁画には赤や赤褐色が主に用いられたが、黒、黄色、藍色、青、灰色が使われている例もある。多くの壁画は柱と柱の間におさまる大きさであったが、例外的におおきな壁画も描かれた。人や動物を描いたもの、幾何学文様、真っ赤に塗られたもの、人の手を並べて描いたものなど描かれた主題は多様であった。層の異なる二つの儀式が行なわれたと推察される部屋で、狩猟の様子を描いたと思われる壁画が発見されたが、北側の壁に2mもの巨大な赤い雄牛を描き、その周りに何人かがヒョウの毛皮のふんどしをして踊っている姿を描いていた。描かれた人物は多くは男性であり、体を赤く塗った姿で表現されていた。この壁画より古い層のV層では、壁四面を使って、いのしし、鹿、熊、狼、オナガーと呼ばれる野生のロバ、ライオンやそのほかの動物を描いた壁画が発見されている。研究者たちは、狩猟の光景ではなくミケーネ文化に見られる儀式や現在の闘牛のような動物を使った祭りのような象徴的なものを描いたと推察している。第III層では、部分的であるが犬のような動物を使って男性の狩人が牡鹿を矢で射ている絵が発見されている。VI層からは、アシと筵でできた納骨堂に織物がしかれ目のくぼんだ頭骨が置かれている絵が発見され、死者に関して何かを表す絵であるということ以外わかっていない。多くみられるのは狩猟をしている男性たちがペニスをいきり立たせている場面である。また現在では、絶滅しているバイソン類を赤く描いていることもある。また、頭のない人間にワシやタカなどの猛禽類が飛びかかるように舞い降りてくる場面も描かれる。この壁画の猛禽類は、なぜか人間の足をもっているものがあり、儀式の際に鳥の姿に扮装した祭司の間に頭のない遺体が置かれている様子を描いていると考えられている。また、死体の処理の方法としてシロエリハゲワシなどに死体の肉をついばませていたことを表しているのかもしれない。壁には動物の頭、特に牡牛のものが多く、牡牛の頭骨や角を芯にして土で復元するように塗り固めているものがみられる一方、牡牛や牡鹿の頭が取り付けられている例もある。動物の頭像は、3個、5個、7個といった単位で低い基壇や壁にとりつけられたり、新しい時期の角がついたささげ物を置くのに使用した台と似た土柱に取り付けられることもあった。このような動物の頭像で、特に牡牛の角は男性の神格を表しているとかんがえられている。一方で、第Ⅶ層で発見されたようなヒョウの壁画や乳房の模型には、土偶ともに地母神や出産の女神を表していると考えられている。背景にチャタル・ヒュユクから140kmの位置にあるハッサン火山ないしHasan Dağ火山の二つの峰を背景に集落の様子を描いているものもあり、世界最古の地図ないしは風景画とみなせるかもしれない。