タイ国立ナノテクノロジー研究センター (タイ語:ศูนย์นาโนเทคโนโลยีแห่งชาติ、タイ略語:นาโนเทค、英語：National Nanotechnology Center 英略称：NANOTEC）は、タイ王国 内閣科学技術省タイ国立科学技術開発庁監督下の研究所。2003年8月13日に設立。タイ王国におけるナノテクノロジーの育成、発展のために研究開発、知識の普及を行い、さらに社会のために産業化していくことを目的とする。パトゥムターニー県タイランド・サイエンスパーク内に立地。タイ国立ナノテクノロジーセンターとも記述される。
ホースシュー滝（英語、Horseshoe Falls）とは、イギリスのウェールズ北部のデンビーシャーを流れるディー川を利用して作られた、人工の滝である。場所は、北緯52度58分52秒西経3度11分57秒。この人工滝における2009年の1日の平均的な流量は、約6230万リットルであった。なお、この滝の周辺は、散歩したりするのに人気のある場所の1つとなっている。
マグヌスの娘はノルウェーの貴族と結婚した。その子孫の一人はオークニー伯と結婚した。その子孫のイングランド王ジェームズ1世はスコットランド王にもなり、その子孫のデンマーク王クリスチャン7世はマグヌスの血を引くはじめてのノルウェー王となった。
1028年から1035年の間、ノルウェーから追放されていたが、クヌーズ大王の死後、デンマークの支配に疲弊していたノルウェーの貴族達に呼び戻された。また、デンマーク王ハーデクヌーズと一方が後継者なく死去した場合は他方がその王位を継承するという協定を結んでいたため、1042年にハーデクヌーズが死去した際、クヌーズの姉エストリズの息子スヴェンを王にする声があったにもかかわらず、デンマークの王にもなった。デンマークの南方国境で大騒乱があり、1043年にマグヌスが重要な勝利をLyrskov Hedeでおさめた。こうして彼は善王と呼ばれるようになった。ライバルであったスヴェンは諦めずに彼らの間には無数の闘争があった。事態はスヴェンをデンマークの伯爵にする事で解決がはかられた。また、マグヌスの権力を奪い取ろうとする叔父のハーラルともノルウェーで紛争を起こした。1046年、マグヌスはハーラルに権力を割譲する事を強いられた。1047年、スヴェンはスウェーデン王アーヌンド・ヤーコブの助けを借りてデンマークから追い出された。スヴェンは充分な支持を集める事ができずに、スカニアへ追われた。マグヌスは1047年に落馬して死んだ。死の床で彼はデンマークの後継者がスヴェン、ノルウェーの後継者がハーラルであることを宣言した。遺骸はノルウェーへ運ばれ、彼の父と同じくトロンハイムのニーダロス大聖堂に埋められた。彼の死により、聖オーラヴの直系による王位は途絶え、それが復活したのは1280年にマグヌスの実の姉妹ヴルフヒルト（ザクセン公オルドルフと結婚、ザクセン公マグヌスの母）の子孫を母に持つエイリーク2世が王位を継いだ1回限りであった。
すべての平面グラフに有効な頂点や面の数え上げ公式は、双対性によって、頂点と面の役割が入れ替わった同等の式に変換することができる。自己双対的であるオイラーの公式はその一例である。また別の例ではHararyによるハンドシェイク補題がある。これによると、平面グラフの各頂点の次数の合計は、グラフの辺の数の2倍に等しい。この補題の双対形式は、平面グラフの各面を囲む辺の数を全ての面について合計した数は、グラフの辺の数の2倍に等しいことを示す。平面グラフの中間グラフは元のグラフの双対の中間グラフと同型となる。また、2つの平面グラフは、それらが互いに双対である場合にのみ同形の中間グラフを持つことができる。4つ以上の頂点を持つ平面グラフは、その双対グラフが3頂点接続と3正規の両方である場合に限り、最大（平面性を保ちながらそれ以上の辺を追加することができない）となる。連結平面グラフは、その双対グラフが2部グラフである場合に限り、オイラー路（すべての頂点の次数が偶数）となる。平面グラフGにおけるハミルトン路は、双対グラフの頂点を2つの部分集合（サイクルの内側と外側）に分割することに対応し、その誘導部分グラフは両方とも木となる。特に、3次2部多面体グラフのハミルトン性に関するBarnette予想は、すべてのオイラー路最大平面グラフを2つの誘導木に分割できるという推測と同等である。平面グラフGがTutte多項式TG(x,y)を持つ場合、その双対グラフのTutte多項式はxとy交換することによって得られる。このため、Tutte多項式がGの特定の構造に関する情報を持つ場合、Tutte多項式の引数を交換すると、Gの双対についてそれに対応する情報が得られる。例えば、Gの強い配向の数はTG(0,2)あり、非閉路配向の数はTG(2,0) である。ブリッジレス平面グラフの場合、k色のグラフの色付けは剰余kのゼロフローに対応する。4色定理は、すべてのブリッジレス平面グラフの双対は全て剰余4のゼロフローがあることと同等である。k色付けの数はTutte多項式の値TG(1 − k,0)によって数えられ、その双対である剰余kのゼロフローの数はTG(0,1 − k)によって数えられる。st-平面グラフとは双極配向をもつグラフである。双極配向とは、一対のソースとシンクによる、循環なしの方向付けで、ソースとシンクが同一の面に属しているようなものである。このようなグラフは、ソースとシンクを結ぶもう一つの辺を加えることで強い結合をもつグラフにすることができる。この補完されたグラフの双対はそれ自身、別のst-平面グラフの補完となる。