チームを去ったデビッド・リチャーズの後継としてプロドライブのニック・フライがチームCEOに就任。また、サンマリノGPからは元インディカードライバーのジル・ド・フェランをスポーティング・ディレクターとして招聘した。B・A・Rは2004年シーズン開幕前と同様に、前年型シャーシに2005年用パーツを組み込んだハイブリッドマシンで冬季テストに臨んだが、前年ほど好タイムを連発、という事はなかった。開幕後もマシンの熟成は十分でなく、開幕戦のオーストラリアGPから第3戦バーレーンGPまで1ポイントすら獲得できないと言う事態に陥った。カタロニア、ポール・リカールのテストで非公式コースレコードタイムを更新して、迎えた第4戦サンマリノGPではバトンが3位、佐藤は5位でフィニッシュし、前年の競争力が復活したように見えた。しかしレース終了後の車検で重量規定違反を問われて失格となり、獲得した10ポイントを剥奪されたばかりでなく、第5戦スペインGP、第6戦モナコGPも出場停止処分が下された（詳細はB・A・R 007を参照）。この様に前半戦は惨憺たる成績であったが、バトンが第8戦カナダGPでポールポジションを獲得、第10戦フランスGPから最終戦中国GPまで10戦連続ポイント獲得（第12戦ドイツGPと第16戦ベルギーGPでは3位表彰台）と後半戦では見事に復調した。これに対して、佐藤は不振を極め、年間でハンガリーGPでの1ポイントのみしか獲得できなかった。コンストラクターズ年間順位は6位（38点）。この間、前年から引きずってきたバトンとの契約問題は、ウィリアムズ側が一貫して保有権を主張するも、2005年のウィリアムズのパフォーマンスの低さを見たバトンが一転して残留を望んだことから、依然として解決しないままの状態が続いた。チームはバトン移籍という事態へのリスク管理のため、ルーベンス・バリチェロと2006年のドライバー契約を結んだ。9月末のブラジルGP直前、バトンがウィリアムズへ違約金を払うことで契約解除を勝ち取り、2006年もチームに残留することが決まったが、結果的に、バトンの離脱を前提に交渉していた佐藤がチームを去ることになった。一方ヨーロッパではたばこ広告規制の強化が進み、ハンガリーGPの決勝日（7月31日）以降はたばこ広告が禁止されていない国のレースであっても、ヨーロッパでテレビ放映されれば違反に問われる、という話がささやかれた（実際にはこの件はその後うやむやとなる）。こうした流れを受け、BATはチーム運営から降りることを決断し、10月4日にBARHリミテッドの株式持分55％全てをホンダに売却した。BARチームを取得したホンダは、翌年から自社名義のフルワークスチームに変更して参戦することを発表。これにより、B・A・Rの7年間のF1活動に終止符が打たれることとなった。
任意の連結グラフのカットセットは、グラフの頂点を2つのサブセットに分けたとき、この2つのサブセットどうしをつなぐ辺の集合である。グラフからカットセットを取り除くと、必然的にグラフは少なくとも2つの連結成分に分割される。最小カットセット（ボンドとも呼ばれる）は、カットセットのすべてのサブセットがそれ自体カットではないという特性を持つカットセットである。連結グラフの最小カットセットは、必然的にそのグラフを2つのグラフに分割する。単純なサイクルは、連結サブグラフのうち、サイクルの各頂点が2つの辺を持つようなものである。接続平面グラフGはGのすべての単純サイクルは、Gの双対の最小カットセットとみなすことができ、またその逆も成り立つ。これは、ジョルダン曲線定理の一種として見ることができる。単純な各サイクルは、Gの面をサイクルの内側の面とサイクルの外側の面に分離し、サイクル辺の双対は内部から外部へと交差する辺となる。任意の平面グラフの内周（グラフがもつ最小サイズのサイクル）はその双対グラフの辺連結度（グラフがもつ最小サイズのカットセット）に等しい。この二重性は個々のカットセットとサイクルから定義されたベクトル空間まで及ぶ。グラフのサイクル空間とは の集合であるすべての頂点が偶数の次数を持っているようなサブグラフ（オイラーグラフ）の集合である。サイクル空間は2要素有限体上のベクトル空間と見なすことができ、2組の辺の対称差はベクトル空間でのベクトル加算演算として機能する。同様の加算により、グラフのカット空間はすべてのカットセットのファミリーとして定義される。その場合、任意の平面グラフのサイクル空間とその双対グラフのカット空間は同型なベクトル空間となる したがって、平面グラフのランク（カットスペースの次元）は、その双対のサイクルランク（サイクル空間の次元）に等しく、その逆も成り立つ。グラフのサイクル基底はグラフに含まれる単純サイクルのうち、サイクル空間の基底を構成するようなものの集合である（全ての偶数次数の部分グラフがそれらのサイクルの対称差として一意に定まる）辺重み付き平面グラフ（2つのサイクルが同じ重みを持たないような十分に一般的な重みを持つ）の場合、グラフの最小重みサイクル基底は双対グラフのゴモリ・フー木と双対になる。最小重みサイクル基底の各サイクルには、ゴモリ・フー木のいずれかのカットの辺と双対となる辺の集合をもつ。もしサイクルどうしの重みが等しくなる場合、最小重みサイクルの基底は一意でなくなる可能性があるが、双対グラフのゴモリ・フー木が最小重みサイクルの基底に対応することに変わりはない。有向平面グラフでは、単純な有向サイクルは有向カット（頂点を2つの部分集合に分割し、すべてのエッジが一方の部分集合から他方の部分集合に向かう）に対して双対となる。強く方向付けられた平面グラフ（含まれる無向グラフの全ての辺が1つのサイクルに属しているグラフ）は、辺が1つのサイクルに属していない有向非巡回グラフに対して双対となる。別の言い方をすると、連結平面グラフの強い向き（強い連結グラフとなるグラフのエッジへの方向の割り当て）は、非巡回方向（有向非巡回グラフを生成する方向の割り当て）に対して双対となる。