Φ: K → L を束 K, L の間の束準同型、F を L 上のフィルターとし、F の Φ による逆像 Φ⁻¹(F) = {x ∈ K : Φ(x) ∈ F} は空集合でないとする。このとき Φ⁻¹(F) は K 上のフィルターとなる。更に K, L が最小元を持つ束で Φ が最小限を保つ束準同型のとき、F が真のフィルターなら Φ⁻¹(F) も真のフィルターとなる。
1936年9月のブルバキ会合ではアンドレ・ヴェイユによる数学原論の「位相」の草稿に関して議論がなされた。その草稿でヴェイユは点列の収束を議論する上で空間に第二可算公理の成立を要求していたが（下の#位相幾何学におけるフィルターも参照）、この制限を除くためにアンリ・カルタンが会合中に見つけた解決の糸口がフィルターである。フィルターの概念の初出として一般に言及されるのは、ブルバキの他メンバーの勧めを基にカルタンが翌年に提出した2つの論文である。
フィルター (filter) とは半順序集合の特別な部分集合のことである。実際には半順序集合として、特定の集合の冪集合に包含関係で順序を入れた物が考察されることが多い。フィルターが初めて用いられたのは一般位相幾何学 (general topology) の研究であったが、現在では順序理論や束の理論でも用いられている。順序理論的な意味でのフィルターの双対概念はイデアルである。類似の概念として1922年にエリアキム・H・ムーアと H. L. スミスによって導入されたネットの概念がある。
第1番から第4番にかけての一連のピアノ協奏曲は、カール・フィリップ・エマヌエル・バッハやヨハン・ショーベルトらの作曲家のソナタの編曲であるため、モーツァルト最初のピアノ協奏曲であると同時に、モーツァルトのオリジナルなピアノ協奏曲の第1作でもある。だが、明らかにヨハン・クリスティアン・バッハの様式を模倣して作曲されたものであり、クリスティアンの影響を留めていると一般には評価されている。だが、オリヴィエ・メシアンは「試作というには、あまりに見事な腕前」と評価し、アルフレート・アインシュタインも「独奏楽器とオーケストラの釣合、ならびに規模の点で、既にヨハン・クリスティアンをはるかに越えている」と絶賛するなど、音楽研究家からは高く評価されている。第5番は1773年の12月にザルツブルクで作曲され、既に習作の範囲を越えて完成された様式を持っている。トランペットとティンパニを加えた祝祭的な作品で、おそらくモーツァルト自身あるいは姉のナンネルの演奏を目的としたものと思われる。後にモーツァルトはミュンヘンやウィーンでも演奏し、1777年頃にオーケストラに手を加えている。さらに1782年3月のウィーンでの演奏の際に新たな終楽章としてロンド（K.382）を作曲している。モーツァルトはこの協奏曲に愛着を持っており、最晩年まで演奏し続けた。
湖南大学校から2010年にJ2の徳島ヴォルティスに入団。序盤こそ日野優・上野秀章に次ぐ第3GKであったものの、終盤は7試合連続でスタメン出場した。2011年は開幕からレギュラーを獲得して34試合に出場したが、4位の成績でJ1昇格を逃した。2013年より京都サンガF.C.へ完全移籍。チームは3位の成績でJ1昇格プレーオフに進出したが、決勝戦で前年度まで所属していた徳島に敗れた。2014年シーズン終了後に京都を退団した。2015年より大田シチズンに加入。2016年から2年間は、兵役により尚州尚武FCに所属。2018年、蔚山現代FCへ移籍。2019年7月26日、J1リーグヴィッセル神戸の韓国代表GK金承奎の蔚山復帰に伴い、同じKリーグ1の済州ユナイテッドFCへ移籍。
1990年、州立イリノイ大学卒業後、女性将校として合衆国陸軍に採用され、翌年には湾岸戦争に従軍している。1995年10月、訓練指導係下士官（1等軍曹）と結婚し、1996年5月には陸軍大尉で名誉除隊した。在職中、空挺の降下長(Parachute Jumpmaster)及び衛生特級(Expert Field Medic)の称号を得ている。
2001年のアルバム『ゲット・レディー』は従来よりギター・サウンドを前面に出した作品となった。スマッシング・パンプキンズのビリー・コーガンが一部のレコーディングに参加したほか、アルバム発表後のツアーでもサポート・メンバーとしてステージに立った。また、このアルバムを最後にジリアン・ギルバートが脱退し、サポートメンバーだった元マリオンのフィル・カニンガムが正式なメンバーとして迎えられた。2005年には8作目となる『ウェイティング・フォー・ザ・サイレンズ・コール』を発表。日本盤にはボーナストラックとして「クラフティー」の日本語ヴァージョンが収録され、フジ・ロック・フェスティバルでの来日公演の際にも演奏された。2007年5月、ピーター・フックは複数のメディアで「バーナード（・サムナー）とは一緒にやっていない」と述べ「ニュー・オーダーは解散した」と明言。その一方で、サムナーとモリスは英BBC Newsに宛てた文書を通じて正式に「解散はせず今後も2人で活動を続けて行く」とコメントし、事実上フックは脱退したとの認識を明らかにした。これに対しフックはMySpace上の自身のページにて「バンドはもう終わった。残り三分の二（サムナーとモリス）に活動を続ける権利は無い。僕にも三分の一の権利がある」と改めて解散を宣言、交渉に応じるとも述べながら、裁判を示唆するコメントを残した。2009年、バーナード・サムナーはフィル・カニンガムと無名の新人ジェイク・エヴァンスと共に新バンドのバッド・ルーテナント（Bad Lieutenant）を結成。レコーディングには、ブラーのアレックス・ジェームスの他、ジョイ・ディヴィジョン時代からの旧友であるスティーヴン・モリスも参加した。