1916年（大正5年）、八女中学を卒業後、福岡師範学校第二部へ進学。父・作太郎の長男であるがゆえに強い期待をかけられ、教師の資格を取るべく、嫌々ながらも師範学校に入学する。ここで、恩師・東本貞二(とうもとていじ)と出会い、師範学校を終えた後、1917年（大正6年）20歳の春、福岡県八女郡上妻村の上妻高等小学校に奉職。この時に独学で絵画修業をするようになる。なお、この時に仲間の画学生らが催した洋画展に出品作を出し、田崎の作品だけ売れ、当時の価格にして、十二円(当時の教師の月給が十九円ほど)で絵が売れたという。買い手は、久留米市の大きな呉服屋の旦那で、最初に売れた作品は、「祈祷院の雪景色」という12号ほどの油絵だった。これを契機に名が売れ始め、以後活躍の幅が広くなったとされている。
1905年（明治38年）4月、北山村立北山尋常小学校から福岡県立八女中学校へ進学。自宅から町の中学まで、実に約二里(8キロ)ほどの距離があったため、当初は寄宿舎へ入れられたが、中学3年の時より寄宿舎を出て、自宅から通学しはじめる。特に雨が振り、地がぬかるむ日は、一張羅の長靴をぶら下げ、裸足で急いで学校まで走ったという。そして、後にこの時の経験が、彼の強靭な健脚を鍛え上げ、後年、画家になり、「山岳画家」と呼ばれる礎になったとされている。ゆえに老年、病気にならずに済んだのは、この時の経験の賜物であったと述懐している。また、この時、田崎の絵の才能を見込んだ恩師の強い期待と推薦により、美術学校を志願するが、父・作太郎の反対に遭い、くしくも断念することを余儀なくされたという。
広助という雅号については、本人曰く母方の姓に由来するという。母・モトの実家は立花藩漢学者の家柄で、助広と名乗っていた。その助広をひっくり返して広助にしたのが、雅号の由来とされている。また、中学時代にすでに「田崎草雲」という雅号を名乗り、得意げになっていたが、ほどなくして、父や親族らの話から、すでに幕末から明治初年にかけて南画の達筆な同姓同名の人物（田崎草雲）が存在していたことが判明し、意気消沈したという。しかし反面、草雲が没した年と広助の出生が同じだったことから、親族間では「草雲の生まれ変わりに違いない」などと囁かれたと伝えられている。その後、作家である長男の調査により、草雲と広助は人相や骨柄が酷似していたとされている。
8号の飛行が行われた1968年は、アメリカや多くの世界にとっても騒乱の年だった。この年にはヨーロッパやアメリカの街角ではプラハの春に代表されるような多くの政治的動乱や暗殺が発生したが、タイム紙は三人の飛行士を1968年に最も大きな影響を与えた人物であるパーソン・オブ・ザ・イヤー (Men of the Year) に選んだ。また人類として初めて地球の重力圏を離れ、他の天体を周回したのは彼らであった。成功する確率は飛行士たち自身も半々しかないと思っていたが、見事に成し遂げた。8号が与えた社会的影響は、すべてが終了した後にボーマンが受け取った発信者不明の電報に集約されている。そこには短く、こう記されていた。「ありがとうアポロ8号。あなたたちは1968年を生き延びた。」8号の飛行で最も有名なのは、月周回軌道四周目に撮影された地球の出の写真であろう。人類がこのような光景をカメラに収めたのは史上初めてのことで、これが1970年に初めて地球の日が制定される契機になったと信じられている。またこの写真はライフ紙によって、「世界を変えた100枚の写真」の第一位に選ばれた。11号のコリンズ飛行士は「8号の歴史的意義は際立っていた」と言い、またロバート・プール (Robert K. Poole) のような宇宙歴史家は、8号はアポロ計画のすべての飛行の中で歴史的に最も重要だったとしている。この飛行は1962年にジョン・グレン (John Glenn) 飛行士がマーキュリー6号でアメリカ初の有人宇宙飛行をして以来、最も多くメディアで採り上げられた。1200人のジャーナリストが取材をし、中でもBBCの放送は15の言語で54カ国に配信された。ソ連のインターコスモス計画の責任者ボリス・ニコラエヴィッチ・ペトロフ (Boris Nikolaevich Petrov) はプラウダ紙のインタビューで、8号について「アメリカの宇宙科学と技術の際立った業績である」とコメントした。軌道九周目のクリスマスの中継は、生または録画で当時の世界の四分の一の人々が見たであろうとされている。また8号の中継は、テレビ芸術科学アカデミー (Academy of Television Arts & Sciences) から与えられる最高の賞であるエミー賞を受賞した。無神論者のマダリン・マーレイ・オヘイア (Madalyn Murray O'Hair) は宇宙で創世記を読み上げたことでNASAを提訴し、論争を巻き起こした。彼女はアメリカの宇宙飛行士 (そのすべてが政府職員である) が、公共の場所である宇宙で祈りを捧げることを禁止するよう求めた。合衆国最高裁判所は管轄違いであるとして請求を棄却したが、この一件でNASAは以降のアポロ計画において宗教的な問題について神経質になった。11号でバズ・オルドリン飛行士は月面に着陸したあと、月で長老派教会の聖餐をした。これについて彼は何年もコメントすることを拒否し、後にわずかに遠回しに語っただけだった。1969年、アメリカ合衆国郵便公社は8号の月周回飛行の記念切手を発行した (スコットカタログ1371番)。この切手ではアンダース飛行士が撮影した有名な地球の出の写真を採用し、創世記の「初めに神は… (In the beginning God…)」の文字が添えられている。帰還からわずか18日後、飛行士たちは第3回スーパーボウルの開会式に招かれ、アニタ・ブライアント (Anita Bryant) が国歌を歌うのに先立って忠誠の誓いを読み上げた。