栃木県（当時は宇都宮県）河内郡宇都宮市出身。父は元宇都宮藩藩士の青井雅造。栃木県中学校（その後の宇都宮中学校、現在の栃木県立宇都宮高等学校）を卒業後、1892年（明治25年）に旧制一高へ進学。一高ベースボール部で主戦投手として活躍した。「千本素振り」は鉞男の練習方法の真骨頂であった。一高時代、横浜の外国人居留地を尋ね、そこでドロップを体得した。「日本に敵なし」と言われた一高ベースボール部の主戦投手となった鉞男は、この外国人居留地の米国人チーム『横浜アマチュアクラブ』に一高と試合するよう申し込むが、当時の日本人の体格は小さく技術も稚拙であるとしてクラブは試合を拒否。それに挫けず当時の一高の英語教授・メーソンを通して試合を申し入れたことにより、1896年（明治29年）5月23日、横浜の外国人居留地運動場で外人チーム（横浜アマチュアクラブ）との国際試合（記録上では日本初）が実現する。この試合で鉞男は投手として活躍し、立ち上がりの1回に4失点したのみの29対4で大勝、これが記録上はじめて日本の野球チームが米国人チームに勝利した試合である。一高が米国人チームに勝利したことは、当時の新聞各紙で報じられたという。これに対して横浜アマチュアクラブは雪辱戦を一高側に申し入れる。外人クラブチームは米国東洋艦隊チャールストン号、デトロイト号の精鋭を揃え、チーム全員米国人で試合に臨んだ。第2戦が行われた6月5日、再度一高ベースボールチームが32対9で米国人チームに大勝、連勝を飾ることとなった。この第2戦で応援に駆けつけた横浜商業学校（Y校）の関係者は、「あんぱん」をもって一高の戦勝を祝った。これに応えた一高側はお礼にボールとバットを贈呈したのをきっかけに、Y校は同年野球部を創設、鉞男をコーチとして迎える。鉞男はY高のみでなく、たとえば出身校の栃木県立宇都宮中学校にも足を運び後輩球児を熱心に指導するなど、後進の野球選手の育成に取り組んだ。また、はじめて野球規則を日本語文に翻訳したり、ロジンバッグや各種野球用具の開発にも関わるなど、野球の草分け期にその発展に寄与することとなった。なお、多くの資料で青井の名前を「鉞男」とし「えつお」と呼んでいるが、戸籍上の本名は「銊男」と書いて「じゅつお」である。当時の身内では「よきお」で通っていたという。実際に学校では級友が「えつお」と呼んでいたことから、青井自身それを受け入れ、学生時代は自分の名前を「えつお」で通したと云われている。墓所は栃木県宇都宮市の観専寺。
州首相就任早々、連邦 CDU のみならずヘッセン州の CDU にも不正献金疑惑が持ち上がる。コッホは関与を否定しつつも解明を約束したが、疑惑は消えなかった。野党に辞任を要求されたが、盟友のフランツ・ヨーゼフ・ユングが身代りに州大臣を辞任する格好で切り抜けた。野党はまた1999年の州議会選挙でのコッホの資金に不明朗を指摘して選挙の無効を訴えたが、選挙管理委員会に却下された。コッホは CDU の嫡流として連邦首相の座も狙える位置にいたが、これらの疑惑によってその威信は後退した。2002年の連邦議会選挙では、CDU 党首アンゲラ・メルケルの実力がなおも疑問視されていたため、連邦首相候補選出が難航してコッホの名が取りざたされることもあったが、結局経験豊富なバイエルン州首相のエドムント・シュトイバーが連邦首相候補に立てられた（この選挙で CDU は惜敗）。コッホは1998年の州首相就任と同時にドイツ最大のフランクフルト空港を経営するフラポート (Fraport) 株式会社の監査役に就任したが（同社の株の45％をヘッセン州政府が所有）、 空港の拡張工事が進む中、州首相と監査役の兼任が批判され、2003年に退任した。疑惑の多いコッホ州首相だが、景気テコ入れのため大企業を優遇した税制や積極的な景気回復策が経済界に評価され、2003年の州議会選挙では連立与党の自由民主党 (FDP) 抜きで過半数の絶対多数議席を獲得する大勝利をおさめ、二期目を迎えた。コッホは新自由主義的な政策をさらに推進し、補助金削減や弾力性のある組織改革などの改革案を提示した。2003年にはそれまで無料だったヘッセン州の大学に授業料制度を導入する法案を成立させ、学生の大規模な抗議行動を招いた。この法案にはヘッセン州憲法に抵触すると訴えた裁判や、78000人の署名を集めた反対運動が2008年まで続いた。2004年にはギーセン大学とマールブルク大学の医学部を統一して有限会社化し、その経営権を民間企業に売却する法案を成立させている。2006年には連邦政府が決めている原子力発電所全廃計画に公然と反対意見を述べた。コッホは3選を目指してヘッセン州議会選挙に臨んだが、折りしも発生した外国人少年による傷害事件を利用し、外国人犯罪対策の強化を訴えた。事前に不利が予想されていたコッホのこうした選挙戦は、「外国人敵視を煽るポピュリズム」と CDU 党内からさえも批判された。2008年1月に行われた投票では、CDU は SPD に得票率で僅か0.1％差まで迫られた上、これまで議席の無かった左翼党が躍進するという結果に終わり、FDP との連立のみでは議会過半数を得ることが不可能になった。SPD 側の連立政権樹立構想が不調に終わったため、4月からコッホは暫定的に首相に留任することになった。2009年1月に行われた州議会のやり直し選挙では、CDU が微増、連立相手のFDPが大幅に議席を増やしたのに対して、党内の混乱をさらけ出した SPD が大幅に議席を減らし、コッホの3選が正式に決まった。