震災予防調査会では愛橘らの地磁気調査を受けて、地震予知には地磁気の測定が必要不可欠なものという施策が打ち出され重要視された。これにより同調査会では地磁気の研究も活発に行われることとなった。明治26年（1893年）から明治29年（1896年）にかけて同調査会による日本全国の地磁気調査が実施される。この調査は愛橘が中心となって進められた。調査地は富士山及び浅間山近傍、フォッサマグナ沿線地域、北海道、本州北部、西日本、中国、九州に及んだ。この全国地磁気測量の結果は、明治37年（1904年）に英文で発表された。更に愛橘は調査会において地磁気の時間変動による観測を提案した。これによりフランスからマスカール式自記磁力計を4台購入することとなる。明治26年から明治30年（1897年）にかけて名古屋（愛知県尋常師範学校内に設置、愛知県名古屋測候所に観測委託）と仙台（第二高等中学校）に恒温観測室が設けられ、この磁力計を用いた連続観測が始められた。後に、根室（根室測候所）と熊本（第五高等学校）においてもマスカール式自記磁力計による観測が開始された。明治27年（1894年）3月、万国測地学協会の委員に任命された。国際観測事業として世界の北緯39度8分地点の6箇所に観測所が設置されることとなり、日本がそのうちの一つに選ばれる。愛橘は調査のうえ岩手県胆沢郡水沢町（現在の奥州市）を選定し、明治32年（1899年）9月に臨時緯度観測所（現在の国立天文台 水沢VLBI観測所）として設立された。所長には教え子の木村栄が就任した。明治35年（1902年）、「地球磁力の国際同時特別観測」が国際的に実施された際には、愛橘と長岡の主導により京都市上賀茂に臨時の観測所が設けられ、名古屋よりマスカール式自記磁力計を移設して1年間に亘る観測が行われた。明治37年1月、上賀茂臨時地磁気観測所は震災予防調査会によって洛北上賀茂地磁気観測所として正式に設置された。前年にデンマークのコペンハーゲンで開催された万国測地学協会 第14回総会では、地磁気脈動（geomagnetic pulsation）や磁気嵐（magnetic storm）の急始（sudden commencement）が問題となっており、愛橘は洛北上賀茂地磁気観測所に於いてこれらの観測を目指した。観測はマスカール式磁力計の早廻しにより行われたが、マスカール式磁力計の感度の不足や長すぎた時定数の設定などにより、この観測は失敗に終わった。明治43年（1910年）、マスカール式磁力計の不備を補うべく連続早廻し自記磁力計を製作する。愛橘はこの磁力計を三浦半島の三崎油壷にある東京帝国大学理科大学の臨海実験所の近くに設置する。この磁力計の設置により、日本初となる短周期の地磁気変動の観測がもたらされた。大正3年（1914年）4月には文部省測地学委員会の委員長に就任した。
van Roomen (1596) の解法は、2つの双曲線の交差に基づいている。与円をそれぞれ C₁, C₂, C₃ とする。ファン・ルーメンは、C₁ と C₂ のような 2 つの与円に接する円を探すという、より単純な問題を解くことで問題全体を解いた。ファン・ルーメンが注意したのは、2つの与円に接する円の中心は双曲線上に存在するということであった。この双曲線の焦点は、2つの与円の中心に等しい。これを理解するために、解円の半径を rₛ, 2つの与円の半径をそれぞれ r₁ と r₂ とする（図 3）。解円の中心と C₁ の距離 d₁ は、この 2 つの円が外接するか内接するかに応じて、rₛ + r₁ あるいは rₛ − r₁ である。これと同様に、解円の中心と C₂ の距離 d₂ は、外接か内接かに応じて rₛ + r₂ あるいは rₛ − r₂ である。したがって、これらの距離の差 d₁ − d₂ は必ず、rₛ によらない定数である。この焦点に対して、「一定の距離の差」を持つという性質は双曲線を特徴づけるものであり、このため、解円の中心となりうる点は双曲線上に存在するのである。2つめの双曲線は与円 C₂ と C₃ の対に対して描くことが可能であるが、ここでは解と C₂ の内接・外接は、最初の双曲線のものと矛盾のないように選ばれなければいけない。この2つの双曲線の交差は、（もし交差が存在すれば）3つの与円に内接あるいは外接するような解円の中心を与える。アポロニウスの問題に対する解の完全な集合は、3つの与円に対する、すべての可能な解円の内接・外接の組み合わせを考えることで探すことができる。Newton (1687) はファン・ルーメンの解法を、解円の中心が、直線と円の交点になるように改良した。ニュートンはアポロニウスの問題を三辺測量の問題として再定義した。すなわち、点 Z から3つの与えられた点 A, B, C までの距離の差が既知の値であるときに、これらの3つの点から点 Z の位置を特定する問題である。これらの4つの点（点 Z と点 A, B, C）は、解円の中心（点 Z）と3つの与円の中心（点 A, B, C）に対応している。上記のように2つの双曲線を求めるかわりに、ニュートンはそれらの準線を描いた。任意の双曲線に対して、点 Z から焦点 A の距離と点 Z からの準線 (directrix) の距離の比率は一定であり、これは離心率と呼ばれる。2つの準線は点 T で交差し、これらの2つの既知の距離の比率から、ニュートンは、点 T を通り、さらにその線上に点 Z が存在するような直線を描いた。しかしながら、距離の比 TZ/TA もまた既知の値であるため、点 Z は既知の円上にも存在する。なぜなら、円が、2つの固定された点に対して所与の距離の比率を持つ点の集合だと定義することができるとアポロニウスが示したためである（この定義は双曲座標の基礎となっている）。このため、アポロニウスの問題に対する解は円と直線の交点となるのである。