前加法圏のhom集合はゼロ射を持っているので、核と余核の概念が意味を持つ。それは、f: A → B を前加法圏の射としたとき、f の核は f と A から B へのゼロ射とのイコライザーであり、fの余核は f とこのゼロ射の余イコライザーである。積と余積の場合と異なり、前加法圏では f の核と余核は一般には等しくない。可換群や環上の加群に特化すると、核の概念は通常の準同型の核と一致する、ただし、f: A → B の通常の核 K とその埋め込み K → A を同一視する。しかし、一般の前加法圏では核や余核の存在しない射も存在する。核と余核とhom集合の群構造には便利な関係がある。f と g を平行射とするとき、f と g のイコライザーと g − f の核は片方が存在すれば一致する。同様のことが余イコライザーに関しても成り立つ。この事実から二項イコライザーには「差核」という別の名前がある。双積と核と余核が全て存在する前加法圏を前アーベル圏と呼ぶ。前加法圏の核と余核は前アーベル圏において主に有用であり、さらに多くの性質を見出すことができる。
CとDを前加法圏とする。このとき、関手 F: C → D が加法的であるとは、圏Abで豊穣化した関手であることをいう。すなわち、F が加法的であるとは C の各対象 A と B に対して、射関数 f: Hom(A,B) → Hom(F(A),F(B)) が群の準同型であることをいう。前加法圏の研究対象の関手はほとんどが加法的である。簡単な例として、環 R と S をひとつの対象からなる前加法圏 R と S で表現している場合は、R から S への環の準同型は R から S への加法的関手で表現される。逆もまたいえる。C が圏であり、 D は前加法圏であるとすると、関手圏 Fun(C,D) もまた前加法圏である。なぜなら、自然変換を自然なやり方で足すことができるからである。さらに C も前加法圏である場合、加法的関手と自然変換からなる圏 Add(C,D) も前加法圏である。最後の例は環上の加群の一般化を導く。C を前加法圏としたとき、Mod(C) := Add(C,Ab) は C 上の 加群圏 と呼ばれる。C が環 R に対応した前加法的圏である場合は、これは通常の(左)R加群の圏になる。前と同様に、事実上全ての加群の概念は、この方法により一般化できる。
大学1年生になって2週目の月曜日。僕は秋好寿乃と出会う。秋好は大学の授業中に子供のような理想論を発表するために周りから敬遠されていた。誰かの意見に反する意見をできるだけ口にしない事を信条としていた僕は秋好を受け入れてしまう。秋好は痛く青臭く自分の理想を追求していた。そんな秋好が満足するサークルはなかなか見つからない。そんな時僕は不用意に自分でサークルを作ればと発言してしまい、秋好とサークル「モアイ」を設立する。「モアイ」は目立つことが嫌だという僕の意見を取り入れ、こっそりと納得のいくやり方で秘密結社のようなもとして設立された。「モアイ」の名前は目的や用途や定義があいまいということで僕がその時着ていたモアイのTシャツから取った。大学4年生の時点で秋好との交流はなくなり、僕は「モアイ」から脱退していた。2人の秘密結社のような存在として設立されたモアイだが徐々に規模が大きくなり50人の大所帯のサークルまで成長していた。秋好が「明日世界が変わるかもしれない」、「明日全員が銃を下す理由があれば、戦争は終わる」など理想に燃えて設立し、小さなボランティアや災害支援の活動をする程度だった「モアイ」は変わり、学生の就職活動支援をメインにするサークルに変貌していた。僕はあの時秋好が残していたものの先に今があるのだから、結局秋好は嘘をついたなと思う。そして秋好の嘘を本当にするために今の「モアイ」を壊すことを決意する。僕はバイト友達の薫介とともに「モアイ」のスキャンダルを探り「モアイ」を潰すためにモアイに近づく。その後「モアイ」のスキャンダルをつかみそれをネットに流し、「モアイ」は大学から処分されることとなった。「モアイ」の部員説明会の日、リーダーのヒロと出会う。「叶えたいものに辿り着くためには努力と手段がいる、時間が立てば変化することは当たり前。変わらないものが偉くて、変わるものが悪いなんてことはあるわけない」と訴えるヒロに対し、僕は「願う力を信じなくなったらそれはもう理想ではない」と否定する。そして、「お前と出会わない方が幸せだった」という言葉を投げつけ、その場をあとにする。その言葉は秋好を強く傷つけ、説明会で秋好は突然、「モアイ」の解散を宣言する。そして「理想を信じてきたけれど、私は傷つけてきてしまった人のことを無視することはできません」と続ける。その時に僕は突然強い吐気に襲われる。今までの怒りが後悔と恥に変わっていくことを感じていく。それまで自分が傷つけられたとしか感じていなかった。相手を傷つけたことなど考えていなかった。秋好を記憶にあった形の決まった存在、傷つかない存在だと思っていたことに気づく。そして秋好を傷つけることなんてしたくなかったことに気づき激しく後悔した。その後、脇坂の力を借り、かつての自分がそうであったように「モアイ」を居場所と感じている人たちのために奔走する。社会人になってから、川原たちが立ち上げた「モアイ」の後継団体の交流会に僕は参加する。その団体は「成長」をテーマにしていた。学生から「学生時代に成長した出来事を教えてください」と質問され「大事な人を傷つけたこと」と語る。その際視線を上にあげると秋好が目に入った。休憩時間秋好を探した。秋好はホールから歩きだし、並木道を歩いているところだった。僕はその後ろ姿を追いかけた。僕はあらゆる自分の行動が相手を不快にさせる可能性を感じ、傷つきたくない、怖いと感じる。でも、間違った自分、弱かった自分、それを受け入れられる今の自分、秋好のおかけでそういう自分になれた。それでもやはり自分は変わらないから怖いけれど、無視されてもいい、拒絶されてもいい、その時は「もう一度ちゃんと傷つけ」と思う。