この証明法は、全ての正規言語にその言語を受理する有限状態機械 (FSA) が存在するという事実を利用している。正規言語が有限であれば、十分に大きいに対して  が常に偽になるため、反復補題が真であることは自明である（  が偽であれば、  という論理式全体は、  の右側の式の真偽値によらず真になる。そのため、十分に大きいに対して、この条件式は真となるため、正規言語が有限であれば、  という条件を常に満たすことになる）。正規言語が無限の場合、その言語を受理する最小 FSA が存在しなければならない。FSA の状態数は有限であるから、その個数を反復長 p とする。文字列長が p 以上の場合、反復される状態が少なくとも1つ存在する（この状態を S とする）。状態 S から S への遷移は何らかの文字列に対応する。この文字列を反復補題における y とすれば、y を含まない文字列（繰り返し部分に相当する遷移をしない場合）も、y を繰り返す文字列もFSAで受理されるため、反復補題が成り立つことがわかる。例を見てみればより理解しやすいだろう。以下の状態遷移図は、ある FSA を示している。この FSA は文字列 abcbcd を受理する。この文字列は状態数より多くの文字からなるので、状態を繰り返していることがわかる。この例では q1 と q2 が繰り返される状態である。文字列 abcbcd の部分文字列 bcbc は、状態 q1 から始まって状態 q1 に戻る遷移で形成されるので、この文字列部分はFSAによる繰り返しが可能であり、abcbcbcbcd のような文字列も受理される。また、その遷移のループを通らない文字列 ad も同様に受理される。反復補題に当てはめると、文字列 abcbcd は、x に a、y に bc、z に bcd が対応する。もちろん、他の当てはめ方もある（y に bcbc を対応させる）が、|xy| ≤ p を満たしていない。
正規言語の反復補題（以下、単に反復補題と略記）は、全ての正規言語が持つと保証されている属性を表している。より正確に言えば、正規言語に属する文字列の持つ属性を表している。ここで扱う正規言語の文字列は長さ p 以上（p は定数。形式的定義での p と同じ）で、これを反復長（pumping length）と呼ぶ。反復長は個々の正規言語によって異なる。s が長さ p 以上のある文字列で、正規言語 L に含まれるものとする。反復補題によれば、何らかの方法で s を3つに分割して  としたとき、その（空ではない）中央部分 yを（0回を含む）任意回数繰り返した文字列も L に含まれる。このように文字列の一部の複製を追加していくことを「反復; pumping」と呼び、そのため反復補題と呼ばれている。さらに、反復補題は xy の長さが最大でも p となるような s の分割があることを保証している。反復補題は、ある言語が正規言語ではないことを証明するのに使われる（補題と呼ばれるのはそのためである）。その場合、反復補題に示される属性をその言語に属する文字列が持たないことを示せばよい。正規言語が有限の場合、つまりその正規言語に含まれる文字列の長さに上限がある場合、をその正規言語に含まれる最大の文字列長より大きいと仮定すると、反復補題の形式的表現の論理式は常に真となる。つまり反復補題が意味するところは、正規言語は有限か、無限であれば、任意の文字列の中間に表れる文字列に対する反復（任意回数の繰り返し）を、その正規言語が許容するということであり、いずれの場合でもないものは、正規言語ではないということである。
正規言語の反復補題（英: Pumping lemma for regular languages）とは、全ての正規言語が持つ属性を与える補題である。反復補題一般の具体例の一つである。その主たる用法は、ある言語が正規言語でないことを証明することである。この反復補題は1961年に Y. Bar-Hillel、M. Perles、E. Shamir によって最初に示された。
阪急電車の伝統を踏襲し、マホガニー木目の化粧板とゴールデンオリーブ色のアンゴラヤギの毛織物の座席表地を採用している。天井部は淡いベージュ系の化粧板とし、照明はLEDの直接照明を採用している。このLED照明は、停電時などの非常時には全体数の25 %が点灯するよう制御される。また、万一の急ブレーキ時に乗客と車内設備または乗客同士の二次的衝突を防止するため、阪急電鉄の車両で初めて座席端部に大型の袖仕切りと縦方向の手すりが設置されている。側窓は3連窓および2連窓となり、いずれも側扉寄りの窓が開閉可能である。側窓の分割位置は、座席の中間仕切りの中心と揃えているため、各窓の左右寸法は均一にはなっていない。側窓にはUVカット複層ガラスが、前面窓にはIRカットガラスが採用されている。天井のグリルや側窓の間柱は、9000系のブロンズ色から、シルバーに変更された。座席は、ロングシート配置で座席1人あたりの幅を約480 mmとし、中間仕切りを設けることで座席定員を明確にしている。日よけは9000系で採用された引き下げ式のフリーストップカーテンを基本に、カーテン上部には外部が透視できる生地が採用されているほか、床には全面に滑り止めのエンボス加工が施されている。また、阪急電車は伝統的に車内にスタンションポールを設けていなかったが、本形式からは各シート端にスタンションポールが設置されているため、車内の印象に変化が見られる。2014年7月15日より営業運転を開始した1002F以降では、製造当初から優先座席のモケットが新色になっている。車内案内表示器は、東芝製の32インチハーフサイズのフルハイビジョン対応の大型液晶ディスプレイを採用し、1両に3か所側扉上に千鳥配置で設置している。行先、種別、停車駅案内のほか、駅間では画面を2分割しニュースや天気予報、広告の動画も表示できる。旅客案内はインバウンド対応として4か国語で表示し、日本語（漢字・ひらがな）、英語、中国語、韓国語の順に表示を行う。フォントにはユニバーサルデザイン対応フォントが採用されている。パワーウインドウや貫通路の自動扉は、手動式に戻った。貫通路の扉は、連結時の片側にストッパーがなく開放状態で放置できないようになっている。1000系の車内自動放送装置は搭載準備に留まっているため、現在は阪急列車区間・能勢列車区間とも車内自動放送は行われていない。