着目している集合の元の量N は、時間が経てば減少し究極的にはゼロになるわけであるが、平均寿命τは集合から取り除かれて消えるまでの期待値とも解釈できる。特にもし集合の元の個々の寿命が経過した時間によってある時間を参照して個々の個体が集合から取り除かれていくというのであれば平均寿命とは個々の寿命の算術平均であるといえるであろう。はじめに人口減少の公式からはじめよう。われわれはc を正規化因子として確率空間へと変換する式変形によりを得る。われわれは指数関数的減衰が指数分布のスカラー倍であることを見出したのであり（i.e. 対象の個々の平均寿命はそれぞれ指数分布にしたがっているわけである）、指数分布の期待値はよく知られている。ここで部分積分により個々の寿命から全体の平均寿命を次のように計算することができる：
指数関数的減衰は微分方程式を用いるとと表せる。式変形するととなり、これを積分することによってを得る。ここでC は積分定数であり、となる。最後の計算で N₀ = eC は初期条件t = 0 としたときの初期値と定義する。この式は指数関数的減衰を記述するときにもっともよく使われる式である。崩壊定数、平均寿命、半減期のいずれを用いても十分に表現することが可能である。λを崩壊定数として用いるのは固有値の名残である。この場合λは微分作用素の反数の固有値であり、N (t ) が固有関数に対応する。
より直感的に指数関数的減衰の特徴を理解するには、多くの人間にとって減衰する量が最初の量から半分になるのに必要な時間が馴染みやすいであろう。このような時間を半減期とよび、t 1/2 のような記号がよく使われる。半減期は、崩壊定数λあるいは平均寿命τを用いて次のように書かれる：ここで平均寿命τについて解けばであるが、これを上記指数関数に代入すると、exp(ln 2) = 2 となるから、のようになる。ゆえに、何回の半減期が経過したかによって、N が何回半減したかがわかる。たとえば、3回の半減期が経過したのであれば、N は初期値の1/2³ = 1/8 まで減少したということがただちにわかる。たとえば、ポロニウム210は半減期138日を持ち、平均寿命は200日である。
着目している量N (t ) が、離散的な元からなる集合である場合、その集合における元の残っている平均時間を計算することができる。このような量を平均寿命（あるいは単に寿命、しばしば指数関数的時定数とも呼ばれる）と呼び、τと書く。下記でも示されるように、寿命τは崩壊定数λによって決まり、その関係はとなる。平均寿命はスケーリング時間（scaling time)とみなすことができ、指数関数的減衰の式は平均寿命τを崩壊定数λの代わりに用いてと書くことができる。これは時間がτだけ経過すれば、N は約36.8%（ネイピア数e の逆数）まで減少すると理解できる。たとえば人口が指数関数的減衰をするとし、時刻t = 0 における初期人口が1000人いたとすれば、平均寿命τだけ時間が経過すれば368人にまで減少しているということである。
指数関数的減衰（しすうかんすうてきげんすい、exponential decay）、または指数的減衰とは、ある量が減少する速さが減少する量に比例することである。数学的にいえば、この過程は微分方程式によって表される。ここでN (t ) は時刻t における減衰する量であり、λは崩壊定数と呼ばれる正の数である。崩壊定数の単位は s⁻¹ である。この微分方程式を解くと（詳細は後述）、この現象は指数関数によって表される。ここでN₀ = N (0) は初期値である。
17歳の女子高生である雛乃は、在宅デザイナーの弥生と付き合い始めたばかりである。恋人らしいことと言えば、一緒に家でのんびりしてみたり、夏祭りや学校の文化祭を一緒に回ってみたり、ハロウィンやクリスマスには少し背伸びをしてみたり。大人っぽくなりたい雛乃と、そんな彼女の健気さに癒されてばかりいる弥生の日常はゆっくりと紡がれていく。
清代の直隷は現在の河北省の地域にほぼ該当する（厳密には直轄市となっている北京・天津は河北省から外れており、もとは内モンゴル（熱河省）の熱河周辺が河北省に編入されている）。「直隷」という字面の通り、「中華皇帝のおひざもと」の地域をいう。元々は明初期に首都とされた応天府（南京）周辺を直隷と呼んでいた。しかし永楽帝が北平府（北京）を根拠として簒奪を行い（靖難の変）、首都を北京に移したことで北京周辺（現在の河北省）は北直隷と呼ばれ、南京周辺は南直隷（現在の江蘇省・安徽省）と呼ばれるようになった。その次の清は北京に都を置くとともに北直隷のみを存続させて直隷総督（Jyli uheri kadalara amban）を任命した。直隷総督は首都を総括する地方長官ということもあり、地方官で最も地位の高いものとされた（清末の光緒33年（1907年）に設置された東三省総督は直隷総督と同地位とみなされた）一方、南直隷は廃止されて江蘇・安徽の両省に分割された。民国17年（1928年）に中華民国が北京から南京に首都を変更したときに、河北省と変更され、地域の多少の異動を含みつつ現代に至っている。