1160年、マリーの継父でコンスタンスの2度目の夫、ルノー・ド・シャティヨンがヌールッディーンと同盟したアレッポの支配者に捕らわれた。コンスタンスは救出に動くよう訴えたが、公国の貴族らはコンスタンスの長子ボエモン3世支持にまわった。エルサレム王ボードゥアン3世はボエモンをアンティオキア公にし、ルノーの仇敵エメリー・ド・リモージュ（アンティオキア総司教）を摂政に任命した。この措置に、コンスタンスは公国の宗主国である東ローマ帝国の宮廷で抗議した。1159年の後半、マヌエル1世皇后エイレーネーが死去した。マヌエルは、後添えを十字軍国家の姫の中から選ぼうと考えた。大使をエルサレムへ向かわせ、2人の候補が挙がった。アンティオキア公女マリーと、トリポリ伯レーモン2世の娘メリザンドである。2人とも美女で知られていたが、マリーの方が勝っていたと伝えられている。彼女は長身でブロンドの髪をしており、先祖のノルマン人の血がありありとうかがえた。エルサレム王ボードゥアン3世と、メリザンドの兄トリポリ伯レーモン3世はメリザンドを推し、多くの持参金を用意すると伝えた（メリザンドの母・トリポリ伯妃オディエルヌと、メリザンドの伯母・エルサレム女王メリザンドからも贈り物が届けられた）。大使らはこれに満足せず、結婚を1年以上遅らせた。オディエルヌは奔放な女性で不貞を多々犯し、よってメリザンドが嫡出かどうか疑わしいという噂を耳にしたためである。結局、マヌエル1世が選んだのはマリーだった。トリポリ伯レーモン3世は恥をかかされ、仕返しに帝国領キプロスを攻撃した。1161年12月、コンスタンティノープルのハギア・ソフィアで挙式がおこなわれた。3人の正教会の高位聖職者たち、コンスタンティノープル総主教ルカス・クリソベルゲス、アレクサンドリア総主教ソフォロニオス3世、アンティオキア総主教アタナシオス3世が式をとりおこなった。式は盛大なもので、教会への寄進がなされ、民衆には華麗な競馬レースが競技場でおこなわれた。この結婚で、アンティオキア公国と帝国の同盟は強化された。歴史家ニケタス・コニアテスは、皇后マリア（Μαρία、ギリシャ語名に改名した）の美しさをアプロディーテーやヘーラーになぞらえた。1169年、マリアは待望の男子アレクシオスを生んだ。彼女は政治の場でも、外交の場でも重要な役割を持つようになった。母語であるフランス語が話せるため、通訳の役割をしたという。1180年にマヌエル1世が亡くなると、マリアは修道服をまとい「クセネ」（Xene）という尼僧名を名乗ったが、実際は息子アレクシオス2世コムネノスの摂政となった。マリアは助言者として別のアレクシオス、マヌエル1世の甥をそばにおき、彼は皇后の恋人だと民衆の間に醜聞を引き起こした。イタリアの商人を好む西ヨーロッパ人の常として、マリアはギリシャ人と対立し、摂政政治は無秩序化した。反マリアの旗頭になったのは、マヌエル1世の娘マリア・コムネナ（前皇后ベルタとの娘）とその夫でカエサルのモンフェラート侯ラニエリだった。マリア・コムネナは、マヌエル1世の年長の子である自分が正統な皇位継承者だと考えていた（二人のマリアはほぼ同年齢だった）。マリアとラニエリは総主教の援助を得、ハギア・ソフィアを拠点とした。摂政の助言者アレクシオスは総主教を捕らえ、コンスタンティノープルの市街は戦闘状態となった。マヌエルの在位中、亡命を余儀なくされていたアンドロニコス・コムネノス（マヌエル1世の従弟）が、マリア・コムネナの招きで1182年に帰国した。彼は、ヴェネツィア商人やジェノヴァ商人など、多くのラテン人の虐殺を煽った。首都を掌握したアンドロニコスは、次はマリア・コムネナとラニエリを捕らえ、毒殺した。同時に、皇后マリアは聖ディオメデス修道院か牢獄のどちらかに幽閉された。マリアは、義理の弟であるハンガリー王ベーラ3世（妹アニェスの夫）に助けを求めたが、甲斐はなかった。アンドロニコスは、アレクシオス2世に実母の処刑許可書の署名をさせ、刑の執行を自身の息子のマヌエルに命じたが、マヌエルは拒絶した。伝えられるところによると、マリアは首を絞められたあとに溺死させられ、海岸に何の目印もないままに埋められたという。
分離公理自体の定義をする前に、位相空間における分離集合（分離点）の概念の具体的な意味を与える。（分離集合は次節で定義する「分離空間」と同じ意味でない）。分離公理は交わりを持たない集合や相異なる点を位相的な意味で区別する仕方を述べたものである。位相空間の元に対して、それらが相異なるというだけでは不十分で、それらがさらに「位相的に識別可能」であってほしいし、同様に位相空間の部分集合が交わりを持たないというだけでは不十分で、それらがさらに（いろんな意味で）「分離される」ことが望ましい。種々の分離公理があれやこれやと述べるのは、それらの点や集合がある弱い意味で識別されたり分離されたりすれば、あるより強い意味でも識別されたり分離されたりするということである。X を位相空間とし、X の二点 x, y が位相的に識別可能 (topologically distinguishable) とは、二点が全く同じ近傍系を持たないこと（あるいは同じことだが、同じ開近傍系を持たないこと）である。これはつまり、二点のうち少なくとも一方が、他方の近傍とならないような近傍を持つ（あるいは同じことだが、一方を含み他方を含まない開集合が存在する）ことを言うものである。x と y とが位相的に識別可能な点ならば一元集合 {x} と {y} とは必ず交わりを持たない。二点 x, y が分離される (separated) とは、二点の各々一方が他方の近傍とならない近傍を持つことを言う。これはつまり、二点の何れの一方も他方の閉包に属さないということである。より一般に、X の二つの部分集合 A と B とが分離されるとは、各々一方が他方の閉包と交わらないことを言う（閉包同士は交わるかもしれない）。二点 x, y が分離されるための必要十分条件は単元集合 {x}, {y} が分離されることである。以下、集合同士の間の条件について単元集合を考えることで、点同士あるいは点と集合の間の条件として適用することができる。引き続き、部分集合 A と B とが、近傍で分離されるとはそれらが交わらない近傍を持つことを言い、閉近傍で分離されるとはそれらが交わりを持たない閉近傍を持つことを言う。またそれらが函数で分離されるとは、 X から実数直線 R への連続函数 f が存在して、像 f(A) が {0} に等しく、かつ f(B) が {1} に等しくできることを言う。最後に、それらが函数でちょうど分離される (precisely separated by a function) とは、X から R への連続函数 f で原像 f⁻¹({0}) が A に等しく、かつ f⁻¹({1}) が B に等しいようなものが存在することを言う。これらの条件は挙げた順に従ってより強い制約になっている。例えば、任意の位相的に識別可能な二点は相異なるし、任意の分離された点は位相的に識別可能である。そして、任意の分離された集合は必ず交わらないし、二つの集合が近傍で分離されるならば分離される。他も同様である。これらの条件の（分離公理に関する以外でのことも含めて）より詳しくは分離集合および位相的識別可能性を見よ。