ナポレオンは、ムラード軍に向かって前進するよう命じた。5個師団はそれぞれ中空の長方形の陣形を形成し、方陣の内側には騎兵隊と物資を置き、四隅に砲を配置していた。フランス軍は梯形の陣形を組んで南進した。この陣形は正方形でなく長方形で、第1と第2の半旅団（demi-brigade）が前面と後面を形成し、第3の半旅団が左右の側面を支えた。右翼が前を進み、左翼はナイル川で護られていた。ナポレオンは右から左に、ドゼー、レニエ（Reynier）、デュギュワ（Dugua）、ヴィヤル（Vial）、ボン（Bon）の各師団を配置した。加えて、ドゼーは西側のすぐ近くにあるビクティル（Biktil）の村を占領するために、少数の分遣隊を派遣した。ムラードは自部隊の右側面を、エムバベ（Embabeh）の村のところでナイル川に密着させた。村は歩兵と若干の旧式砲で固められた。配下のマムルーク騎兵隊は砂漠側の正面に配置された。第2軍を率いるイブラヒムは、手の届かないナイル川東岸からなすすべもなく見守っていた。（チャンドラーは、ナポレオンの強力な25,000の軍は、ムラードのマムルーク騎兵6,000、歩兵15,000の軍を数の上でも上まわっていたと主張している。）午後3時30分頃に、マムルーク騎兵は前触れなくフランス軍に襲いかかった。しかしドゼー、レニエ、デュギュワの各師団の方陣は陣形を崩すことなく、狙いすましたマスケット銃の射撃と砲火で騎兵を撃退した。フランスの陣形に何の影響も与えられず、不満を覚えたマムルーク騎兵の一部はドゼーの別動隊の攻撃に向かったが、これも失敗に終わった。この間、川沿いではボン師団が縦隊に展開してエムバベを攻撃した。村に侵入したフランス軍は守備部隊をさんざんに打ち破った。川の方向に追い込まれたマムルーク騎兵と歩兵は川を泳ぎ渡ろうとし、何百人も溺死した。ナポレオン軍の損害は戦死29、負傷260だったのに対し、ムラードの損失ははるかに大きく、かけがえのないマムルーク騎兵のうちおよそ3,000と、数え切れないほどの歩兵を失った。ムラードは上エジプトに逃げ帰り、1799年後半にドゼーによって掃討されるまで活発なゲリラ活動を展開した。
1798年7月に、ナポレオンはアレクサンドリアに侵攻し、これを占領するとカイロに向かって進んだ。彼はカイロからわずか6km、ピラミッドから15kmの地点でその地を支配するマムルークの軍隊に遭遇した。マムルーク軍はムラード・ベイとイブラヒム・ベイによって指揮され、強力で高度に訓練された騎兵隊を有していた。ナポレオンは、エジプト軍の中で戦場で考慮すべきは騎兵隊だけであると判断した。彼はこう言って配下の軍隊を鼓舞した。「兵士諸君！あの遺跡の頂から40世紀の歴史が諸君を見下ろしている」
以上の議論で「冪級数の中心は  」としたが、一般の点を中心としても定理が成り立つ。同じく、「収束半径が1」、「円周上の点  」という仮定も本質的でない。これらは正規化された結果と見るべきであろう。実際、平行移動、拡大縮小、回転を施せば上の議論は一般化できる。
係数, 変数が実数の時、この定理は次のようになる。アーベルの連続性定理（実数版） ―  は収束するとし、中心  、収束半径が1の冪級数を  とおく。ここでは各 ,  は実数とする。このとき、 が  であるようにして1に近づくならば、  は  に近づく。係数, 変数が複素数の時、この定理は次のように拡張される。アーベルの連続性定理（複素数版） ―  は収束するとし、中心  、収束半径が1の冪級数を  とおく。ここでは各 ,  は複素数とする。このとき、 が で  が有界であるようにして1に近づくならば、  は  に近づく。 が有界とは、適当な正の実数 M が存在して  が成立することである。この条件は、「ストルツの角（英: Stolz angle）の中から近づく」という言い方をすることがある。その幾何学的な意味は、実軸上の区間  に対称で1を頂点としてその角が180°より小さい角領域の中に  があるということである。
アーベルの連続性定理とは、収束半径が1の冪級数が収束円周上の点において連続であるための十分条件を与える定理である。冪級数は収束円板の内部で広義一様に絶対収束するが、収束円上の一般の点での挙動はわからない。この定理はそこでの連続性を保証している。数学者ニールス・アーベルにちなんで名付けられた。
電子メールやネットニュースでuuencodeを用いる場合、本文中にuuencode文字列を直接貼付ける方法が取られた。MIMEでは意図的にuuencodeを除外したので、uuencodeをマルチパートで扱う手法は定義されていない。しかしながら、マルチパートの枠組みで扱う実装が多数登場した。大きく分けて2つの手法がある。一方はContent-Transfer-Encodingでx-uuencodeを表す。もう一方はContent-Typeでapplication/x-uuencodeを表す。前者の方が実装が多い。Content-Type: image/png; name="testimg.png"Content-Transfer-Encoding: x-uuencodeContent-Disposition: inline; filename="testimg.png"begin 644 testimg.pngMB5!.1PT*&@H````-24A$4@```"`````@"`8```!S>GKT````!&=!34$``+&/M"_QA!0```$=)1$%46$?MUK$-`"`(!$#<?VA$W0`*FR/Y4OU<@RLBLM*>S-'QM^^ZYH9TJ,!H%"!`@0(``@1CMTO<9F$4!`@0($"!`X+?`!I?UJM5MS!;U````)`$E%3D2N0F""`endContent-Type: application/x-uuencode; name="testimg.png"Content-Disposition: attachment; filename="testimg.png"Content-Transfer-Encoding: 7bitbegin 644 testimg.pngMB5!.1PT*&@H````-24A$4@```"`````@"`8```!S>GKT````!&=!34$``+&/M"_QA!0```$=)1$%46$?MUK$-`"`(!$#<?VA$W0`*FR/Y4OU<@RLBLM*>S-'QM^^ZYH9TJ,!H%"!`@0(``@1CMTO<9F$4!`@0($"!`X+?`!I?UJM5MS!;U````)`$E%3D2N0F""`end