ワイルポテンシャルは、式(8)を次のように与えればシュワルツシルト計量を生成する。(12)ここで、次のようにおく。(13)ニュートン力学における相当物の観点から、 ψSS は質量 M および長さ 2M の棒を z-軸上に対称に置いたときに生成される重力ポテンシャルに等しい。すなわち、一様質量線密度 σ = 1/2 を区間  においた場合に等しい（この類推に基いて、出典で議論されるようにシュワルツシルト解の重要な拡張が開発されている）。ψSS と γSS が与えられれば、ワイル計量の形式(1)は次のようになる。(14)そして、次の相互に無矛盾な関係式を代入すると、(15)次の、通常の球面座標系 {t, r, θ, φ} を用いた一般的な形式のシュワルツシルト計量が得られる。(16)式(14)の形式の計量は、標準的な円筒・球面変換 (t, ρ, z, φ) = (t, rsinθ, rcosθ, φ) により直接式(16)に変換することはできない。なぜなら、 {t, r, θ, φ} は完全である一方 {t, ρ, z, φ} は不完全だからである。これが、式(1)において {t, ρ, z, φ} を円筒座標系ではなくワイルの正準座標と呼んだ理由である。しかし、これら二つの座標系の間には多くの共通点がある。たとえば、式(7)に表われるラプラシアン  は円筒座標系における二次元幾何ラプラシアンに一致している。
式(1)に示されるワイル計量について、  であるから、弱場極限 ψ → 0 において次の近似が成り立つ。(9)従って、次の近似式が帰結する。(10)これは、次に示す太陽や地球のような低質量天体の作るよく知られた静的弱重力場に非常によく似ている。(11)ここで、 ΦN(ρ, z) は通常「ニュートンポテンシャル」と呼ばれ、ポアソン方程式  を満たす。これはワイル計量ポテンシャル ψ(ρ, z) が式(3.a)または式(4.a)を満すのと同様の意味を持つ。ψ(ρ, z) と ΦN(ρ, z) の類似性から、ワイル解の研究の際には  ψ(ρ, z) のニュートン力学における相当物を想定したくなる。つまり、ψ(ρ, z) を非相対論的にニュートン重力源から導きたくなる。ψ(ρ, z) のニュートン力学における相当物はワイル型の解を指定し、また拡張する際に非常に助けになることが実証されている。
格闘技を始める前はサッカーとサーフィンを経験し、サッカーでは石川県代表に選出された。18歳の頃に石川県加賀市の道場でキックボクシングを学び、その後、クラブ・バーバリアンで総合格闘技を始め、アマチュア総合格闘技で試合経験を積んだ。2011年5月22日、アマチュアシュートボクシングトーナメント-65kg級で優勝した。2011年7月10日、DEEP名古屋大会にてプロデビュー。石田ガリット勝也と対戦し、フックの連打によりTKO勝利。2012年3月25日、初代DEEPフライ級王者決定トーナメント1回戦で崎村暁東にアームロックで一本勝ち。7月22日、準決勝で加藤直之に判定勝利。決勝戦では木部亮に18秒でパウンドによりTKO勝利。DEEP最年少となる22歳での王座獲得に成功した。2013年8月25日、DEEP 63のDEEPフライ級タイトルマッチで挑戦者の和田竜光と対戦し、判定負けを喫し王座陥落した。2013年12月22日、DEEP 64でフライ級キング・オブ・パンクラシストの清水清隆と対戦し、判定勝利。2014年3月20日、DEEP 65で元DEEPバンタム級王者の今成正和と対戦し、判定勝利。2014年6月22日、DEEP 67で元DEEPバンタム級王者の前田吉朗と対戦し、腕ひしぎ十字固めにより一本勝ち。2014年8月23日、DEEP 68のDEEPフライ級タイトルマッチで王者の和田竜光と再戦し、リアネイキドチョークにより一本勝ちを収め、王座獲得に成功すると共にリベンジにも成功した。2014年12月31日、DEEP DREAM IMPACT 2014 〜大晦日SPECIAL〜で元RFAフライ級王者のマット・マンザナレスと対戦し、マウントパンチでTKO勝利。2015年10月17日、DEEP73のDEEPフライ級タイトルマッチで挑戦者の小島壮太と対戦し、5-0で判定勝ちを収め王座の初防衛に成功した。2015年12月29日、RIZIN初出場となったRIZIN FIGHTING WORLD GRAND-PRIX 2015 さいたま3DAYSでフェリペ・エフラインと対戦。左フックによりKOされるが、相手選手が前日計量で体重超過をしたため無効試合裁定となった。2016年4月17日、RIZIN.1でアラン・ナシメントと対戦予定であったが、元谷が前日の計量で契約体重をオーバーし体重が落ちず体調不良のため医師の診断を受けたところ、ドクターストップで試合中止となった。2016年4月23日、DEEPフライ級王座を返上。2016年10月18日、 DEEP CAGE IMPACT 2016にてDJ.taikiと対戦し、3-0の判定勝利。2016年12月29日、RIZIN FIGHTING WORLD GRAND-PRIX 2016 無差別級トーナメント 2nd ROUNDにてアラン・ナシメントと対戦し、2-1の判定勝利。2017年4月16日、RIZIN 2017 in YOKOHAMAにて堀口恭司と対戦し、3-0の判定負け。その後、シュートボクセ・アカデミー所属の対戦相手だったフェリペ・エフラインやアラン・ナシメントの縁から、シュートボクセ・アカデミーへ武者修行。所属がフリーとなる。2018年8月12日、RIZIN.12にて、修斗環太平洋バンタム級王者など三冠の祖根寿麻と対戦し、リアネイキドチョークで一本勝利。2018年10月27日、DEEP 86のDEEPバンタム級王座決定戦で釜谷真と対戦し、リアネイキドチョークにより勝利し王座獲得に成功。DEEP2階級制覇となった。2018年12月31日、RIZIN.14にて元UFCファイターのジャスティン・スコギンズと対戦し、ティーピーチョーク(変形三角絞め)で一本勝利。2019年3月9日、DEEP 88のDEEPバンタム級タイトルマッチにて挑戦者のビクター・ヘンリーと対戦。2Rにハイキックによりダウンするが、3Rにパウンドで盛り返すも、2-3の判定負けにより王座から陥落した。2019年7月28日、RIZIN.17にて扇久保博正と対戦。テイクダウンを奪われ主導権を握られ、3Rに打撃戦を展開し巻き返すも、1-2の判定負け。