地元のBSG ロコモティブ・マールヒンでサッカーを始め、ハンザ・ロストックの下部組織を経て1983年にトップチームへ昇格した。1986年からはシュタージが支援するディナモ・ベルリンに移籍。ディナモでは1987年と1988年にリーグ優勝を経験した。ドイツ統一後、ドルは東ドイツ出身者の中で最も優秀な選手の一人として各クラブから勧誘を受け、1990年にブンデスリーガのハンブルガーSVへ移籍した。翌1991年には当時の記録となる1500万ドイツマルクの移籍金でイタリアのSSラツィオへ移籍し注目を集めた。ラツィオで3シーズン在籍した。1994年にはアイントラハト・フランクフルトへ移籍したが、怪我の影響もあってリーグ戦28試合出場に留まった。そしてASバーリを経て、1998年に古巣のハンブルガーSVへ復帰し2001年に現役を引退した。代表レベルでは東ドイツ代表として29試合出場7得点、ドイツ代表として1992年のUEFA欧州選手権1992に出場するなど18試合出場1得点を記録し、1993年に代表から退いた。引退後はハンブルガーSV・サテライトチームの監督を務め、2004年にトップチームの監督に昇格した。ハンブルクでは就任初年度にクラブを降格から救い、UEFAインタートトカップでも勝利を収めた。翌2005-06シーズンにはリーグ戦3位に導きUEFAチャンピオンズリーグ出場権を獲得するなどの成功を収めた。しかし2006-07シーズンはUEFAチャンピオンズリーグでは1次リーグ敗退に終わり、リーグ戦でも下位に低迷した。そして2007年2月1日に辞任した。同年3月からはボルシア・ドルトムントの監督に就任。2006-07シーズンのリーグ戦では9位に導いたが、2007-08シーズンは成績が低迷し、13位でシーズンを終えると2008年5月19日に監督を辞任した。その後トルコやサウジアラビアのクラブ監督を経て、2013年にハンガリーのフェレンツヴァーロシュTCの監督に就任。2015-16シーズンにて12年ぶりのリーグ優勝に導いたほか多くのカップ戦タイトルを獲得した。2017-18シーズンで同クラブを退任。2019年初頭、成績不振で解任されたアンドレ・ブライテンライターの後任としてハノーファー96の監督に就任し、5年半ぶりにブンデスリーガに復帰。
平均体重は 3.5-7 kg。気質は陽気で活発であり、人なつっこく社交的である。被毛に覆われていないため、暑さにも寒さにも弱く、室内で飼う必要がある。また皮脂を吸い取る被毛がないので皮膚が脂っぽくなりやすく、飼い主は毎日皮脂をふき取ってやる必要がある。ほかの猫種では被毛と皮膚に色のパターンが現れるが、この猫種では皮膚の色を直に確認できる。すべての色のパターンが認められる。体温が他の猫より4℃高い。
天正2年（1574年）、依田信蕃の次男として誕生。当初は兄・康国と共に甲斐武田氏の人質となり、武田氏滅亡後は徳川氏の人質となる。天正11年（1583年）に父が死去すると、家督は兄が継いだが、天正14年（1586年）には徳川氏の家臣として取り立てられ、徳川家康の前で元服し、家康から「康」の偏諱を受け、松平姓を名乗ることも許された。天正18年（1590年）、豊臣秀吉の小田原征伐に、徳川勢の一員として兄と共に従軍。後北条氏の上野国の拠点へ攻撃を開始する。同年4月、兄が上野石倉城攻めで戦死したが、その跡を継いで相模国津久井城などを攻めた。小田原征伐ののち、家督と兄の遺領の小諸領(春日城)を継ぐ。家康が関東に移ると、武蔵国と上野に計3万石の領地を預けられ、藤岡城主となった。慶長5年（1600年）1月23日、大坂の旅宿で囲碁をしていた際、同僚の小栗三助を喧嘩口論の末に殺害してしまう。小栗が囲碁で負けたのち、依田を罵ったことが原因とされている。また、康勝が兄の没後にその未亡人を妻としたことを揶揄され憤慨して事件を起こしたとも伝えられている。反省した康勝は大坂を出奔し、高野山にて謹慎するが改易となり、藤岡3万石は没収された。しばらく浪人となった後、結城秀康の家臣となった。秀康に仕える際、世間を憚り、母方の加藤氏の苗字から加藤康寛（加藤宗月）と改名した。越前での康勝の子孫は蘆田姓（もしくは芦田）を称したが、康勝自身は終生、依田姓で通していたという説もある。慶長6年（1601年）2月、秀康が越前国に封じられると、北ノ庄城（のちの福井城）受け取りのために、秀康譜代の家臣である本多富正と康勝が先行して越前に派遣された。秀康の下では食禄5,000石、美濃国との交通の要衝・越前大野郡木本を預けられた。同慶長6年、康勝は兄・康国の菩提を弔うために、父・信蕃、祖父・芦田信守が拠った信州春日城の麓に、一族の（信蕃の叔父）天外大雲禅師を開山として康国寺を建立した。同所に康国夫妻の墓が残る。慶長11年（1606年）の秀康の死に際し、幕府は複数の福井藩の重臣を指名し、殉死を行うことを固く禁じた。この中に康勝も含まれる。大坂の陣の際は「大野郡が一揆が多発する地域」という理由で大野城代として留守の防備に当った。元和9年（1623年）に死去したと言われるが、没年には異説もある。幕府の命により『芦田記』（依田記）という家伝を残し、祖父・芦田信守、父・信蕃、兄・康国、当人である康真までの事が綴られ、依田氏関連の重要な史料の一つとなっているが、これが成立したのは寛永20年（1643年）のこととされている。子孫は福井藩の重臣・芦田信濃家として、家老を輩出する高知席の17家の一席を担った。