X を標数 0 の体の上の小平次元が非負の多様体とし、B を X の標準モデル B = Proj R(X, KX) とすると、B の次元は X の小平次元に等しい。自然な写像 X → B が存在して、ブローアップ(blowing up)した X と B から得られる任意の射は、飯高ファイバー構造と呼ばれる。極小モデルとアバンダンス予想は、飯高ファイバー構造の一般のファイバーは、カラビ・ヤウ多様体であるように整形でき、特に小平次元 0 となるであろうことを意味している。さらに、有効な B 上の（一意ではないが） Q-因子 Δ が存在し、ペア (B, Δ) が川又対数端末(klt)、つまり、KB + Δ が豊富であり、X の標準環が (B, Δ) の標準環のある d > 0 倍の次数と同じである。 この意味で、X は一般型の (B, Δ) を底空間と小平次元 0 の多様体の族へ分解する。（注意することは、多様体 B 自身は一般型である必要はない。たとえば、飯高ファイバーが P¹ 上の楕円ファイバーである子だら次元 1 の曲面が存在する。）上記の予想が正しいとすると、代数多様体の分類は、小平次元−∞, 0 と一般型の場合へとほとんど帰結することができる。小平次元 −∞ と 0 に対しては、分類のアプローチが存在する。極小モデルやアバンダンス予想は、すべての小平次元 −∞ の多様体は、単線織多様体であり、標数 0 上のすべての単線織多様体はファノファイバー空間と双有理同値であることが知られている。極小モデルとアバンダンス予想は、すべての小平次元 0 の多様体は端末特異点を持つカラビ・ヤウ多様体と双有理同値であることを意味する。飯高予想は、ファイバーを持つ小平次元が、少なくとも基底空間の小平次元と一般のファイバーの小平次元の和となることを言っている。サーベイは Mori (1987) を参照。飯高予想は、1970年代、1980年代の極小モデル理論の発展を強く促した。多くの場合が、現在でも知られていなく、有名なアバンダンス予想は、極小モデルの理論の主予想に従うという予想である。
小平次元は、全ての代数多様体のいくつかのクラスへの大まかな分類に有効である。小平次元が低い多様体は、特別であると考えられることに対し、最大な小平次元を持つ多様体は、一般型であると言われている。幾何学的には、小平次元と曲率の間に非常に大まかな対応関係があり、小平次元が負である場合は正の曲率が対応し、小平次元がゼロの場合は平坦であることが対応し、最大の小平次元（一般型）の場合は負の曲率が対応する。低い小平次元の多様体の特別な性質は、正の曲率を持つリーマン多様体の特別な性質に類似している（一般型は非正な曲率の全体に対応している）。局所と大域をつなぐ古典的な定理、特に、挟まれた断面曲率と正曲率(Positive curvature)を参照のこと。これらの結果をさらに以下に詳しく述べる。
土地区画整理法自体はドイツの法律やその他の法律を参考に造られた制度であるが、その後は国内で主に発展してきた。災害復興や駅前整備、郊外の宅地造成など多くの事例がある。ドイツで1902年（明治35年）制定のアディケス法の場合、施行区域の35パーセント（施行区域の50％以上を所有する土地所有者が申請した場合は40％）までは、公共用地として無償で公共団体が取得できるものとしていた。日本で土地区画整理事業が行われる契機となったのは、1923年（大正12年）の関東大震災で、アディケス法も参考とされた。焼失区域に道路、公園を整備するため、土地の1割を無償提供するという案がつくられ、地元から反対を受けたが、最終的に国会が法案を可決し、実施できることとなった。また、土地区画整理事業を全国的に広げる契機となったのは、戦災復興都市計画である。街区と画地については、1927年（昭和2年）に内務省で土地区画整理審査標準を定めた。この基準によって各都市で区画整理事業が進むに連れて適当なのかどうか検証し実地にフィードバック出来るようになりはじめる。一般に土地の価格は、土地を購入するものと使用する者の見込み価値で売買価格に高低があるものとして価格が決められるが、土地区画整理事業の場合は、受益者負担、限界効用と実費弁済の関係を勘案して、従前の土地評価額と換地評価額が科学的根拠に基づいて算定される必要があった。1919年に制定をみた旧都市計画法では法が適用される都市計画区域の指定と、耕地整理事業手法の準用を定めて同法で区画整理事業を位置づけたが、1931年（昭和6年）の耕地整理法が改正され、これによって都市部における宅地化を目的とした耕地整理は禁止され、旧都市計画法が適用されない地域は土地区画整理事業が実施できないこととしていた。この耕地整理法改正の趣旨は、耕地整理施行認可の地方長官、つまり道府県知事の権限で農商務省や県の農政のための補助金を使用して宅地化することは目的外使用である、ということだったので、法改正後は事業者が自らの買収済み土地を宅地化し耕地整理を実施することがしばしば見られた。1949年（昭和24年）に耕地整理法は廃止され、1954年（昭和29年）、現行の「土地区画整理法」が公布された。ただし第3条第4項で、「旧組合は、前項の規定により新組合となろうとする場合においては、総会の議決を経なければならない。この場合においては、総会の議決は、第10条の規定による改正前の都市計画法第12条第2項において準用する旧耕地整理法（明治42年法律第30号）第50条の条件を備えなければならない」としている。日本では都市計画法と耕地整理法の二人三脚で区画整理事業を施行してきたが、過去には頑なな耕地整理（農地側）と宅地開発はうまく整合しないで困っていたようであるらしく、現代でも建設と農政が二重投資をしていると会計検査院から指摘を受けたり、農業投資をしてきたのに生かされていないと指摘されたり定まらないでいることがある。その後国財源で実施される土地区画整理事業である都市改造事業が創設される。この事業では地区内の公共施設整備、特に道路整備に重点がおかれ、1956年（昭和31年）から開始される道路整備五ヵ年計画で、未開通道路整備に力点が置かれていく。