自己共役作用素の類は、数理物理学の分野において本質的に重要となる。すべての自己共役作用素は稠密に定義され、閉かつ対称である。その逆は、有界作用素に対しては成立するが、一般には成立しない。自己共役性は実質、それら三つの性質よりも制限の強いものなのである。自己共役作用素に対しては、有名なスペクトル定理が成り立つ。この定理と一径数ユニタリ群に関するストーンの定理を組み合わせることにより、自己共役作用素は、強連続1パラメータユニタリ群の無限小生成素であるということが示される（自己共役作用素を参照されたい）。そのようなユニタリ群は、古典力学や量子力学の分野における時間発展を表現する上で、特に重要となる。
非有界作用素の理論は、1920年代後半、量子力学に対する厳密な数学的基盤を構築するという試みから生じた。理論の系統的な発展はジョン・フォン・ノイマン と マーシャル・ストーンによるものであった。非有界作用素を解析するためにグラフを用いる手法は、フォン・ノイマンにより  において導入された(Reed & Simon 1980, Notes to Chapter VIII, page 305)。
現役引退を機に、アスリートマネジメント会社「M.H.B」の代表へ就任した。トレーニングの知識が豊富なダルビッシュ有と日本ハム時代に自主トレーニングを積んだ経験と、独学で身に付けたトレーニング理論を基に、パーソナルトレーナーとしても活動。また、2016年4月までに保険関連の資格を6つ取得したことを機に、保険代理業も営んでいる。
天文22年（1553年）8月、甲斐武田家への人質として7歳で甲斐国へ下り、武田晴信（武田信玄）の奥近習衆に加わった。なお、『甲陽軍鑑』（以下『軍鑑』）によれば、この時の奥近習衆は昌幸の他に金丸平八郎、曽根与一、三枝勘解由、三枝新十郎、曽根総次郎が挙げられている。昌幸は永禄年間に信玄の母系・大井氏の支族である武藤家の養子となり、「武藤喜兵衛」を称し足軽大将に任じられ、その軍役は騎馬15騎、足軽30人と伝えられている。なお、武藤家は武藤三郎左衛門尉の時に実子の武藤与次が早世したため、昌幸を養子にとったとされている。永禄7年（1564年）頃に、山手殿（山之手殿、信幸、信繁らの母）を妻に迎えている。山手殿は公家・菊亭晴季の娘とされているが、晴季の生年などから否定的見方がなされており、出自には諸説がある（山手殿の項を参照）。初陣は『軍鑑』によれば、永禄4年（1561年）9月の第四次川中島の戦いと言われ、足軽大将として武田家奉行人にも加わったと言われている。ただし『軍鑑』以外の史料が無く、昌幸が川中島に出陣したかどうかの傍証は無い。ただし昌幸は15歳であり、元服前後の年齢で出陣していた可能性も否定はできない。永禄9年（1566年）春、甲府一蓮寺で歌会が開かれた際には奥近習衆として信玄の配膳役を勤めた。永禄10年（1567年）11月に武田勝頼の嫡男・信勝が生まれた際には山県昌景・馬場信春・内藤昌豊（昌豊）・土屋昌続（昌次）と共に信玄の使者として高遠城の勝頼の下に出向いた。昌幸以外の顔ぶれはいずれも武田家の譜代宿老・重臣クラスであり、この頃の昌幸は武藤家を継いで既に重臣クラスかそれに準ずる地位にあったと見られている。ただし出典が『軍鑑』のみで傍証が無いのも事実である。永禄12年（1569年）10月6日、北条氏康・氏政・氏照親子との三増峠の戦いでは先陣の馬場信春への使番を務めた。『軍鑑』によれば北条軍との戦いで一番槍の高名を挙げたとされている。信玄は昌幸の父・幸隆にも劣らぬ才能を見抜いていた。『軍鑑』によれば、元亀元年（1570年）に武田軍が伊豆に侵攻して韮山城を攻めている時、北条氏政が援軍を率いて箱根を越えて三島に着陣したので、信玄は決戦を主張した。これに状況を見極めるべきではと慎重論を唱えた馬場信春に、「信玄の両眼の如き者たちを物見に派遣しておる」と信玄は答えた。諸将が信玄の両目に比肩される武将は誰なのかと訝しんでいると、まもなく曽根昌世と昌幸が帰還して報告をして、その両名が両眼であることがわかった。この話に出てくる昌世がそうであるように、昌幸も、父と兄の信綱、昌輝と並び、武田二十四将にも数えられる事があり、父と兄弟3人が武田二十四将に数えられるような家は、この真田家だけである。元亀3年（1572年）10月から信玄の西上作戦に参陣し、12月の三方ヶ原の戦いにも参加しているが、この際に昌幸は浜松城に敗走した徳川家康らを追撃・総攻撃すべきという意見に反対したとされている。『軍鑑』によれば、昌幸は「武藤喜兵衛尉、騎馬15騎、足軽30人」を率いて出陣したとされている。当時の昌幸の所領の場所や規模は明らかではないが、武田家の親族衆である信玄の弟・武田信実が昌幸とほぼ同じ規模の兵を保有しており、信実は397貫文を知行としていたため、昌幸も同等かそれより上くらいと推測されている。なお、この頃には養父の武藤三郎左衛門尉は戦死していたとされており、昌幸がその遺領を継いでいたと見られている。なお、信玄の晩年には武田家の奉行人に列されており、元亀3年（1572年）2月4日の佐久郡岩村田の竜雲寺宛の竜朱印状の奉者として確認できる。