式(11)を解くと、　　　　　(12)となる。(A,B,C₁,D₁,C₂,D₂は任意の定数)いま、の領域からx軸の正の向きに進む波(入射波)を考える。これは、式(11)の第一式の第一項にあたるが、振幅は任意なので、C₁=1とする。また、で負の向きに進む波はないとすると、D₂=0となる。D₁=r ,C₂=tとおいて整理すると、　　(13)となる。境界での連続性と微分可能性の条件である式(6)と式(7)から求まる4つの式を、A,B,t,rについて解くと、　　　　　(14)　　　　　(15)　　　　　(16)　　　　　(17)が求まる。(とおいた。）式(14)､式(15)に式(16)を代入し、それらの値と式(16)､式(17)を式(13)に代入したものが、散乱状態での解である。
解の数は、と、のグラフの交点の数である。このことから、解の数は、ポテンシャルの2乗根と井戸の幅の積が　　　　　(10)の範囲にあるとき、n個の解を持つ(n=1,2,3,…)ということが分かる。解の個数と同じ数だけ取り得るkの値が存在し、そのkの値によってエネルギー固有値Eの値が決まる。　Eがいちばん小さい状態を基底状態という。このときの波動関数は偶関数である。その次にEが小さい状態での波動関数は、奇関数である。以降、解はEが小さいものから順に偶、奇、偶、奇、…と繰り返している。
式(3)を解くと、　　　　　(4)となる。 (A,B,C₁,D₁,C₂,D₂は任意の定数)これに、無限遠方で波の存在確率が０となる条件　　　　　(5)を適用すると、D₁=C₂=0となる。さらに、各境界で波動関数が連続かつ微分可能である条件　　　　　(6)　　　　　(7)を適用すると、解はのとき、　　　　　(8)のとき、　　　　　(9)となる。式(8)は偶関数で、式(9)は奇関数になっている。
この章では、解の偶奇性を考慮し、の領域を考える。ポテンシャルV(x)が、　　　　　(1)のときの粒子の運動を調べる。
フレーベルは、テューリンゲン州・ザールフェルト＝ルドルシュタット郡のオーベルヴァイスバッハという村の敬虔派の牧師の息子として生まれた。5人の兄姉のいる末子である。しかし生後9ヵ月で母を亡くし、孤独な幼少年期を過ごす。4歳で継母を持つことになったが、新しい母の実子が生まれるにいたり、疎まれるようになる。自然と宗教的な情操教育が、唯一彼の糧となる。10歳の時、実母の兄ホフマンが、彼の家を訪問し、実情を察知し、フレーベルをその年の暮れ、自らの元に引き取ってくれ、以後4年の間、そこで暮らす。伯父も聖職者であったが、穏やかで彼を暖かく受容し、この地の学校ではフレーベルは多くの学友に恵まれた。ここでの生活は、1796年、彼の堅信礼を持って終わる。14歳で彼は進学するだけの経済力がなかったため、ヒルシェンベルクの林務官ヴィッツの元で2年間働きながら学ぶ。その後、1799年10月、哲学科の学生としてイェーナ大学に入る。フリードリヒ・フォン・シラーが歴史を、フリードリヒ・シェリングが哲学を教えていた当時である。だが、学費が続かず、1801年には退学。翌1802年には、父が死去する。以後、バンベルクの山林局で書記、測量師の助手、貴族の農場での会計など職を転々とし、1805年アントン・グルーナーの紹介でフランクフルト・アム・マインの模範学校の教師になる。このとき彼は23歳であった。学校教師になった後、1805年8月イヴェルドンにペスタロッチを訪ね、彼の実践と思想に強く影響を受け、1808年から2年間ペスタロッチのもとに滞在。1811年ゲッティンゲン大学に入学、翌年ベルリンに転じる。1813-14年、ドイツ解放戦争には義勇軍の一兵士として参加、従軍中に生涯の協力者ヴィルヘルム・ミッテデンドルフとハインリヒ・ランゲタールを得る。1816年、テューリンゲンのグリースハイムに学校を開き、翌年、この学校はカイルハウに移され、「一般ドイツ教育舎」と改称される。1826年には主著『人の教育』を刊行する。彼はまずロマン主義の立場から、子供の本質を神的なものとして捉え、この児童観に基づいて受動的、追随的な教育を主張した。園丁が植物の本性に従って、水や肥料をやり、日照や温度を配慮し、また剪定するように、教育者も子供の本質に追随的に、その無傷の展開を保護し、助成するように働きかけなければならないとされ、そこから彼のKindergarten―幼稚園（子供達の庭）という名称が生まれた。また、彼は人間の発達の連続性を主張し、この立場から子供の共感的理解と、それに基づく教育を擁護し、早教育に反対した。神を不断の創造者として捉えた彼は、神的本質を有する子供は不断に創造すべきものと考えた。この立場から、彼は幼稚園の教育内容は、遊びや作業を中心にすべきものと考え、そのために遊具を考案し、花壇や菜園や果樹園からなる庭を幼稚園に必ず設置すべきであると主張した。1837年、世界初の幼稚園として「一般ドイツ幼稚園」が開設されると共に、幼稚園の教員養成も積極的に行った。これを皮切りに、プロイセン全土に幼稚園が拡大していった。しかし、フレーベルがルター派のプロテスタントであることを警戒したプロイセン政府は、「幼稚園は子供を無神論に導き、フレーベルは子供に社会主義を吹き込む」として禁止命令を出した。これには彼の甥のユリウス・フレーベルが1848年の革命に深く関与していたこともある。そのため、フレーベルの晩年は必ずしも良いものではなかった。ニーダーザクセン州のマリエンタールで死去。