Gyrotrigonometryはジャイロの概念を双曲三角法（hyperbolic trigonometry）の研究に用いるものである。通常研究される双曲三角法はcosh, sinhのような双曲線関数を用いる。一方、球面三角法はcos, sinのようなユークリッド三角関数を用いるが通常の三角形の合同の代わりに球面上の三角形の合同を用いる。Gyrotrigonometryは、普通のユークリッド三角関数を用いつつ、ジャイロ三角形の合同を用いるアプローチである。
sを正の定数とする。(V,+,.) を実内積空間とし、Vₛ={v  ∈  V :|v|<s}とする。メビウスジャイロベクトル空間(Vs,  , ) は、メビウスジャイロ群(Vₛ, )にスカラー倍 r v = s tanh(r tanh⁻¹(|v|/s))v/|v| （r は任意の実数、v  ∈ Vₛ, v ≠ 0、 r  0 = 0） を加えたものである。ここで、 v  r = r  vと表記する。メビウススカラー倍は上述のアインシュタインスカラー倍と一致する。これは、メビウス加算とアインシュタイン加算が平行な2ベクトルに対しては一致することから得られる。
ジャイロ群に対して、coadditionと呼ばれる別の演算を定義することができる。coadditionは  により定義される。ジャイロ可換ジャイロ群においてはcoadditionは可換性を持つ。
ジャイロ群  がジャイロ可換（gyrocommutative）であるとは、二項演算  がジャイロ可換律  を満たすことを言う。特殊相対性理論における速度の加算の観点からは、この性質は1914年にLudwik Silbersteinにより示されたとを関係づける回転を表すものになっている。
ジャイロ群（gyrogroup）は弱い結合性を持つ、群に似た構造である。Ungarはジャイロ可換性を持つジャイロ群をジャイロ可換ジャイロ群（gyrocommutative gyrogroup）と呼び、ジャイロ群という用語は必ずしもジャイロ可換ではないジャイロ群を指すように提案した。ジャイロ群はボルループの一種である。ジャイロ可換ジャイロ群はK-ループと一致する。Bruckループやdyadic symsetという用語も使用される。
ことえりの名は、源氏物語の一巻・帚木にある「文を書けど、おほどかに言選りをし」に由来し、「言葉を選ぶ」ことを意味する。ことえり以前、同様の役割は2.0変換と2.1変換が担った。初期は日本語解析辞書の収録単語が少なく、変換効率が悪かった。Mac OS 8に搭載された「ことえり2」で辞書を大幅に強化し、固有名詞などについてはサードパーティの製品を上回る性能を発揮したものの、文脈を考慮した変換ができなかったため、形態素解析に基づくAI変換を採用した他社製品に変換効率で水をあけられていた。一方、Mac OS 8.5に搭載された「ことえり2.2」では早期からUnicodeに対応し、Mac OS X v10.0に搭載された「ことえり2.5」では1万数千文字以上が利用できるようになっている。Mac OS X v10.1に搭載された「ことえり3」で、はじめてAI変換を採用。変換効率が格段に向上し、Mac OS X v10.2の「ことえり3」ではAdobe-Japan 1-5での異体字の入力に最も早く対応している。Mac OS X v10.3に搭載された「ことえり4」では、Mac OS X上で競合するATOKやEGBRIDGEなどの製品とシェア争いを繰り広げられるほどになった。すなわち、変換効率を向上するためにわざわざインプットメソッドを購入するというユーザが減った。ただし、ローマ字かな変換ルールなどのカスタマイズ性についてはOS X 10.10時点でも乏しいため、依然選択の余地は残っている。Mac OS X Lionに搭載された「ことえり4.3」では、変換ウインドウのユーザインタフェースを一新し、OS Xに搭載されている国語辞典（『大辞泉』）から、単語の定義を表示する機能などが追加された。「ことえり4」以降での特徴的な機能としては「アイヌ語」の入力、モードの切り替え作業なしに話し言葉や「関西弁」の入力ができ、部品の共通な漢字の検索、関連文字への変換がキーボードショートカットで可能なこと、Microsoft IMEに近いキーバインドも選択可能なことなどが挙げられる。このほか「英数」キーを2回押すことで誤って入力したかなをアルファベットに変換したり、「かな」キーを2回押すことで確定した文字を変換前の状態に戻したりすることができる（かな英数キー2度押し機能）。現在のショートカットは、例えば平仮名に変換するcontrol+J、片仮名に変換するcontrol+Kなどが用意されていて（UNIXで一般的なWnnのキーバインド）、メニューにもそう記載されている。ことえり初期バージョンで使用されていたもの（平仮名変換は⌥ Option+Z、片仮名変換は⌥ Option+Xなど）も使用することができるため、昔から使っていたユーザも違和感なく使うことが可能である。小書きの仮名をローマ字入力を入力する際「ぁ」はXAと打つが、Microsoft IME風のLAにすることもできる。「ことえり2」までは、変換候補表示から文節長や変換対象の変更などの操作が、マウスで行えた。現在はその数こそ減ったものの、まだいくつか残っている。iOS搭載のインプットメソッドはことえりではなく、米アップルで増井俊之ら日本人開発者により新たに開発された専用のものである。Mac OS X Server 1.0ではことえりは採用されずCannaを搭載していた。 2014年10月16日に発売されたOS X Yosemite（OS X バージョン10.10）からは、ことえりは全く別の日本語入力プログラム (Japanese Input Method）に置き換えられ、OS X El Capitan（OS X バージョン10.11）には、日本語ライブ変換が実装された。