2018年3月9日に山梨県庁発行の教材『リニアで変わるやまなしの姿』に対し、山梨県の市民団体「リニア・市民ネット山梨」が経済効果・人口増加について一部機関の希望観測だけを提示しており、環境問題・沿線住民問題を無視した偏向的な内容で、教育基本法第2条および学校教育法第21条の意図に反しており、教育の中立性を侵すものであるとして、配布先の教育機関から回収することを求める要望書を山梨県知事・教育委員会に提出している。同年5月20日には「開業のデメリットに触れていない」と山梨県監査委員に請求趣旨を陳述したが、同年6月15日に「（市民団体の）主張には理由がない」と棄却された。この問題に関しては2018年7月9日山梨県の住民を原告として、甲府地方裁判所で山梨県知事に対し地方自治法242条により提訴し、山梨県に教育関連諸法に違反するものと考え中立性を問うべきと主張している。この訴訟は「平成30年（行ウ）第2号 損害賠償命令請求住民訴訟事件」として、2018年10月16日に第1回口頭弁論を行った。2018年12月25日には第2回口頭弁論では準備書面確認・被告答弁書・原告の主張がなされた。第3回口頭弁論が2019年3月5日では被告への疑問を述べた。第4口頭弁論が2019年5月28日に騒音問題を追加要素とした主旨で決定している。第5回口頭弁論では2019年8月6日に「リニア新幹線の整備が政治的な問題ではないとする理由」「行政の裁量権の範囲」 「リニア環境未来都市整備方針に負の要素を盛り込まなかった理由」の3点で意見陳述がなされた上で準備書面が一般公開され、次回の口頭弁論は2019年11月5日に決定している。
リニア中央新幹線計画は、事業規模や建設費等が日本有数の巨大プロジェクトであり、また、超電導リニアというこれまでに類を見ない技術を導入する交通機関だけに、計画そのものの採算性や環境適応性などに関する懸念や批判、反対の声も存在している。2014年7月15日には、日本科学者会議が当路線の撤回・中止を求める声明を出している。沿線住民の市民団体は連携して「リニア新幹線沿線住民ネットワーク」として活動している。また、JR東海労働組合もリニア計画反対を表明している。2014年8月27日には日本共産党も議員チーム「リニア中央新幹線問題プロジェクトチーム」を結成している。自主的な市民運動としては、山梨県中央市での市民運動では立木トラスト運動を実施している。2017年6月1日には、北陸新幹線の長野 - 飯山駅間の高丘トンネル（長野県中野市）のトンネル工事にて、周辺の住宅の88世帯182棟にゆがみ・傾きが発生したことが明らかになっており、「トンネル工事で建物に影響が及ぶのは珍しいことではない。補償の詳細は住民のプライバシーもあり、明らかにできない」と独立行政法人鉄道建設・運輸施設整備支援機構が回答している。それに対し愛知県春日井市の市民団体「春日井リニアを問う会」は、先の整備新幹線での被害住民に対する不透明な回答やラドンの問題も含めた工事対応に不信感を持っている。
直観的には、開集合は二点を区別する方法を与える。例えば、位相空間内の一点について、もうひとつの（相異なる）点を含まない開集合がとれるならば、それら二点は位相的に区別できると言う。このようなやり方で、同じ位相空間のふたつの集合が「近い」ということを、その空間上に具体的な距離函数を定義することなしに言及することができる。したがって、位相空間は距離空間の一般化とみなすことができる。実数全体の成す集合 ℝ には、自然なユークリッド距離（二つの実数 x, y の違いを測る函数 d(x, y) := |x − y|）がある。これを用いて、与えられた実数に対して、その実数の近い点（つまり、与えられた実数を x として、x からの距離が ε 内にあるような点）全体の成す集合について述べることができる。本質的に、x と ε 以内にある点は、ε の精度で x を近似するものである。着目すべきは、ε > 0 を常に保ったまま ε をより小さくしていけば、x をより高い精度で近似する点が得られることである。例えば、x := 0, ε := 1 とすれば、x と ε 内の距離にある点全体は、ちょうど開区間 (−1, 1) に属する点（つまり、−1 から 1 までの任意の実数）の全体になっている。同様に、ε := 0.5 とすれば、x と ε 内の距離にある点全体は開区間 (-0.5, 0.5) に他ならず、明らかにこちらの点のほうが ε = 1 の場合と比べて精度が高い。このように、ε をどれほどでも小さく定義すれば、x の近似の精度はどれほどでも高くできる。特に、開区間(-ε, ε) の形の集合は x = 0 の近くの点に関するたくさんの情報を与えるものとなる。そこで、具体的なユークリッド距離の代わりに、このような集合を x に近い点の記述に用いることができる。この画期的な考えは広範にわたって重大な結果をもたらす。特に、0 を含む（(-ε, ε) ではない）別な種類の集合の集まりを定義することで、0 とほかの実数との距離に関する異なる結果を求めることができる。例えば、そのように「距離を測る」集合は ℝ のみと定めれば、0 を近似する精度はこの ℝ ただ一つなのであるから、ℝ の元である任意の実数が 0 に近い（ある意味では、0 と任意の実数との距離が 0 であると思える）ということになる。このような測り方はつまり、ℝ に入るならば 0 に近く、ℝ に入らないならば 0 に近くない、という二択条件と考えればよい。一般に、0 の近似に用いる、0 を含む集合族として開近傍系が定まり、その元は開集合と呼ばれる。実は、これらのことは実数の集合 ℝ に限らず任意の集合 X に対して一般化することができる。その場合、集合 X の与えられた点 x に対して、x の近似に用いる x の「周囲」の（つまり x を含む）集合の族を定義することができる。もちろん、そのような族は（公理と呼ばれる）ある種の性質を満足するようにしなければならない（そうでないと距離を測る方法がきちんと定義できない）。たとえば、X に属する任意の点は x を何らかの精度で近似するはずであるから、X は当該の集合族に入っているべきものである。ひとたび x を含む「より小さい」集合を定義し始めれば、x をより高い精度で近似する方向へ向かっていく。このようなことを念頭に、x の周りの集合族が満足することが求められるほかの公理も定めることができる。