各hom集合 Hom(A,B) は可換群であるので、ゼロ元 0 を持つ。これは、A から B へのゼロ射である。射の合成が双線形であることから、ゼロ射との合成(どちらの向きでも)はまたゼロ射になる。簡単な直観として、合成を乗法のようなものだと思えば、これはゼロとの積がいつでもゼロになることを言っている。この考えを進めると、合成の双線形性は加法に関する乗法の分配法則であることが分かる。前加法圏のひとつの対象 A に注目すると、これらの事実から自己準同型のhom集合 Hom(A,A) は合成を乗法にとると環になることが分かる。この環はAの自己準同型環である。逆に、全ての(単位元を持つ)環はある前加法圏の自己準同型環である。実際、環 R について、前加法圏 R をただひとつの対象 A を持ち、Hom(A,A) を R とし、合成を環の積とすることで定義することができる。Rは可換群であり乗法は環の双線形(分配法則を満たすこと)であるので、R は前加法圏となる。圏論の研究者は環 R と 圏 R を同じものの異なる表現と考えることがよくある。さらに一部のひねくれた研究者は環をちょうどひとつの対象からなる前加法圏であると定義しようとする(モノイドをひとつの対象からなる圏とみなすことと同様である ― そして、環の加法的な構造を忘れるとモノイドになる)。このように、前加法圏は環の一般化であるとみることができる。環論の多くの概念、例えばイデアル、ジャコブソン根基、剰余環はこの設定の下でそのまま一般化可能である。この一般化を行う場合は、前加法圏の射を「一般化された環」の「元」だと考えるとよい。この記事ではこれ以上は踏み込まないことにする。
数学、特に圏論において、前加法圏とは可換群のなすモノイド圏で豊穣化した圏のことである。言い換えると、圏Cが前加法的であるとは、Cの各hom集合 Hom(A,B) が可換群の構造を持ち、さらに射の合成について双線形であることをいう。可換群の圏 を Ab と書く記法に由来して、前加法圏を「Ab-圏」と呼ぶこともある。著者によっては前加法圏を加法圏と呼ぶこともあるが、ある特別な前加法圏(以下の#特別な場合を参照)のことを加法圏と呼ぶのが最近の傾向である。
慶応4年（1868年）、現在の佐賀県杵島郡白石町牛間田に、佐賀藩士・武藤信直の次男として生まれる。教師を志して佐賀師範学校に入学するも、失望して中退したのちは陸軍を志して陸軍教導団へ入団する。卒業後、陸軍歩兵二等軍曹（後の伍長に相当する。）に任官。陸軍士官学校を1892年（明治25年）7月23日卒業（3期生）。翌年3月13日に陸軍歩兵少尉に任官。卒業後、歩兵第24連隊小隊長として日清戦争に出征。戦後は陸軍大学校に入校。1899年（明治32年）、第13期の首席の成績を修めて恩賜の軍刀を授けられる。日露戦争における鴨緑江会戦勝利の功により、鴨緑江軍参謀に進む。日露戦帰還後は、ロシア公使館付武官補佐官、1908年（明治41年）12月21日に参謀本部欧米課長。1911年（明治44年）1月26日に陸軍大佐、1912年（大正元年）12月18日から近衛歩兵第4連隊長、大正4年（1915年）4月10日から参謀本部作戦課長を務める。1916年（大正5年）5月2日陸軍少将、歩兵第23旅団長。1918年（大正7年）7月24日に参謀本部附を命ぜられてハルピン特務機関長。同年11月9日からオムスク特務機関長、シベリア出兵にあっては現地支援した。1919年（大正8年）1月15日参謀本部第1部長、同年7月25日陸軍中将、総務部長に移る。1921年（大正10年）5月5日第3師団長に親補、翌年11月24日参謀次長。1925年（大正14年）5月1日に軍事参議官に親補、翌年3月2日から東京警備司令官を兼ねて陸軍大将に親任。同年7月28日に関東軍司令官に就任。1927年（昭和2年）8月26日、教育総監。1932年（昭和7年）5月15日に五・一五事件が起った事により引責辞任、5月26日から軍事参議官に退く。1932年（昭和7年）8月8日、再び関東軍司令官に就任、満州国駐在特命全権大使と関東長官を兼務。9月15日に同国務総理・鄭孝胥との間で日満議定書を調印。満州国内の治安維持や熱河平定の軍功により、1933年（昭和8年）5月3日に元帥号を賜る。1933年7月22日に黄疸に罹る。一旦回復したものの、25日に腹膜炎を併発して新京の官邸で倒れ、7月28日午前7時47分薨去。翌29日新京で告別式が行われ、棺は防護巡洋艦平戸に載せられて30日に大連を出発、8月1日に下関に到着した。3日に東京駅に到着し、7日に日比谷公園で葬儀が営まれた。薨去に際し、7月27日付で正二位勲一等旭日桐花大綬章・功一級金鵄勲章が授与された。またこの際、男爵位の授爵を打診されたものの、家族が辞退した事によって8月6日に改めて授爵した。昭和天皇から御沙汰書を賜る。墓所は東京都文京区・護国寺墓地。