文久元年（1861年）現在の東京都新宿区牛込に生まれる。はじめ書家を志し、明治2年（1869年）8歳にして、高斎単山の門に入って書を学び、村田直景・島崎酔山・植村蘆洲に漢学などの指導を受け、17歳にして両国薬研堀に書塾を開く。明治17年（1884年）、勝海舟のすすめにより内閣印刷局（朝陽閣）に奉職し、明治、大正、昭和にわたり紙幣金銀貨公債等の文字を担当する。内閣印刷局漢字主任となり、内閣印刷局の蔵書を整理し、説文学の研究に励んだ。説文六書の学を研究し、三代より秦・漢に至る古文字の読法及び書写法を独修、後に説文学の大家となった。明治34年（1901年）、『朝陽閣字鑑』を著わした。これは大正10年（1921年）、補正され『補正朝陽閣字鑑』36巻が刊行された。また『漢字詳解』6巻を著わし、『古籀篇』（首巻1巻、本文100巻、補遺2巻、転注仮借説1巻、篆文索引6巻、隷文索引2巻、学古発凡6巻、すべて117巻。明治18年（1885年）起稿、大正7年（1918年）完成、大正11年（1922年）刊行）を著わすにおよんで、大正8年（1919年）、帝国学士院賞を受賞。三井財閥・三菱財閥が出資者、政府が発行者となり、皇室へ献上された。国内外の大学や公立図書館、海外は中国（当時支那）をはじめ欧米各国の大学図書館へ寄贈され、大絶賛を博した。十体の書体を自在に書き分けたという書家としてだけでなく、漢文、漢詩、南画等を研修し、高い評価を得ていたが、漢字の研究に最も尽力し、「学界の巨人」と呼ばれ、中国の研究者達を驚嘆させ、後世にも大きな影響を与えた。泰東書道院学術顧問、大東文化大学名誉教授。 昭和天皇より「高田忠周（竹山）は国宝、我が国唯一の説文学者」と称された。説文学における東洋の泰斗である。昭和21年（1946年）10月、東京都世田谷区成城の自邸において歿す。
1996年の世界ジュニアでは95kg超級に出場して優勝を飾った。その後階級を100kg級にすると、1999年の世界選手権決勝では井上康生と対戦するが、有効2つを取られて敗れた。2000年シドニーオリンピックでは3回戦で敗れた。2001年の世界選手権では3位となった。2002年に釜山で開催されたアジア大会では、決勝で鈴木桂治に1-2の判定で敗れた。2004年アテネオリンピックでは決勝でベラルーシのイハル・マカラウに技ありで敗れた。2006年のアジア大会では石井慧を破って優勝した。2008年北京オリンピックではモンゴルのナイダン・ツブシンバヤルに敗れて7位に終わった。その後引退して、2012年現在は韓国男子代表のコーチを務めている。
天正5年（1577年）3月、阿波国で実兄の三好長治が、長宗我部元親の後援を受けた異父兄の細川真之に敗れ自害する。また同年7月、讃岐に中国地方の小早川氏が上陸、西床城主の香川民部少輔を助け、長尾氏と羽床氏を攻めている（元吉合戦）。これに対し存保は、三好家中から擁立され、天正6年（1578年）に阿波勝瑞城に入り、阿波における三好家の勢力挽回に務めた。以後、三好家の実質的な当主として活動したためか、署名などでは十河姓よりも三好姓を名乗ることが多くなる（ただし、天野忠幸の研究によれば、「三好」姓を用いた文書の最古は天正2年（1574年）のもので、兄の存命中に既に三好を名乗っていたことになる）。その後、長宗我部氏への抗戦を呼びかけ、讃岐・阿波の国人の大半を糾合することに成功するが、香川之景はこれに応じず、長宗我部元親の子・親和を養子として受け入れ、長宗我部家の軍門に下る。その間、天正8年（1580年）に長宗我部氏の四国征服をよしとしない織田信長は臣従するよう迫るが、元親はこの要求を拒絶する。このため信長と元親は敵対関係になる。天正9年（1581年）3月、信長の助力を得た三好康長・十河存保は、長宗我部元親への反攻を開始する。康長は息子の康俊を寝返らせ、十河存保は中国で毛利氏と交戦している織田家臣の羽柴秀吉（後の豊臣秀吉）と通じて元親に圧迫を加えた。ところが、天正10年（1582年）6月2日、本能寺の変で信長が死去すると存保は後ろ盾を失う。これにより同年8月、香川親和が香西佳清が立て篭もる藤尾城に攻め入り、佳清が長宗我部氏に降伏すると、同月、香川氏と香西氏は、城代・十河存之が籠城する十河城を攻めるが、落城させることはできなかった。一方、阿波の存保は、中富川の戦いにて激戦を繰り広げるも長宗我部元親に敗北、存保は阿波と勝瑞城を放棄し、同年9月、讃岐の虎丸城に撤退した。長宗我部軍は香川軍と合流し、総勢3万6千の兵をもって十河城を攻めたが落城させることは出来ず、冬には土佐に帰国した（第一次十河城の戦い）。同年10月、存保は阿波に再侵攻し茅ヶ岡城を攻め、細川真之を自害に追い込んでいる（ただし、長宗我部軍の讃岐・阿波侵攻と時期が被るため、真之を討ったのは元親であるとする説もある）。その後、天正11年（1583年）2月より、後世良く知られる「存保」の名乗りを用い始めるが、8月になると「三好義堅」という名乗りを用いている。天野忠幸の研究によれば、存保の名乗りは十河一存の後継者として讃岐支配の立て直しを意図したものであったが、羽柴秀吉が自らの甥（後の豊臣秀次）を三好康長の養嗣子にして「三好信吉」と名乗らせたことに警戒感を強め、三好本宗家ゆかり（義興・義継）の「義」の字を加えて、阿波三好家や十河家ではなく三好本宗家継承の意思を表明したものとしている。しかし、天正12年（1584年）6月、十河城と虎丸城は長宗我部元親により落城、存保は大坂の羽柴秀吉（豊臣秀吉）を頼って落ち延びた（第二次十河城の戦い）。