1879年（明治12年）6月、木町通小学校に付属する幼稚園が開園した。当時これは、東京以北で唯一の幼稚園とされた。同幼稚園は、1881年（明治14年）11月に分離・独立した。現在の東二番丁幼稚園の前身である。
江戸時代の仙台城下において、立町と定禅寺通櫓丁との中間地帯は、仙台藩から木材専売の特権を受けて材木商が繁盛した材木町であり、「木町（きまち）」と呼ばれていた。校名である「木町通」は、この”木町”に通じる通り、という意味であるという。また、明治9年から一時使われていた「培根小学校」の名称は、「根を深く培い、もってその枝を伸ばし広げる」という意味の、培根達枝に由来した。
2011年、京都サンガF.C.U-18よりトップチームに昇格。背番号は22番。J2に降格したチームが若手に切り替える方針になったこともあり、4月30日第9節の栃木SC戦で初のベンチ入り、後半の33分に中村充孝と交代で入り、Jリーグ初出場を果たした。6月29日第2節のロアッソ熊本　戦でJリーグ初スタメン、久保裕也、伊藤優汰と3トップを形成し、左のウイングで出場した。7月18日第21節の愛媛FC戦でJリーグ初ゴールを決めると、その後はウイングバックとしてコンスタントに試合に出場。9月1日第4節の愛媛FC戦でプロA契約締結条件である公式戦（J2）900分以上出場し、プロC契約からプロA契約変更を果たした。12月29日の天皇杯準決勝、横浜F・マリノス戦では久保裕也のアシストからダメ押しのゴールをあげ、決勝進出に貢献した。2012年、8月5日第27節のガイナーレ鳥取戦でシーズン初ゴールを含む2ゴールで勝利に貢献、スタメンに定着する。10月21日第39節のFC岐阜戦では、FW陣の不調、キープ力があり、つなげる事などから1トップで起用され、2ゴールの活躍を見せた。その後もシーズン終了となるJ1昇格プレーオフ準決勝まで1トップでスタメン出場。念願のJ1昇格は果たせなかったものの、鋭いドリブル突破を持ち味にチームの主力にまで成長した。2013年、背番号を7番に変更。3月3日のガンバ大阪戦にて自身初の開幕スタメン出場を果たす。3月17日第3節のアビスパ福岡戦でシーズン初ゴール。サイドハーフで出場していたが、久保裕也の移籍が決まった6月29日第21節の栃木SC戦からは、ウイングとして三平和司、山瀬功治らと3トップの一角を担った。リーグ戦39試合出場4得点を記録し「チャンスメイクを多くできた一方で、フィニッシュ精度に課題が出た」と自己分析。J1昇格プレーオフ決勝にもスタメンフル出場したが、2年連続で敗退。試合後には「まだ受け止められない。ここまできて負けるんだと…」と悔しさを語った。3年連続でJ1昇格を逃している現在、チームの中で唯一の京都府出身選手であり「京都人としてこのチームをもっと強くする」と飛躍を誓った。2014年、プロ入りから指揮を執っていた大木武が解任され、ヴァルデイル・バドゥ・ヴィエイラが新監督に就任したが、開幕戦からサイドハーフでレギュラーに定着した。成績不振からバドゥが解任され、森下仁志監督代行の元で挑んだ6月21日第19節のロアッソ熊本戦では、試合中に森下からサイドバックでのプレーを要求され「やる」と答えた。試合後には「サンガのためならどこでもプレーしたい」と語っている。それ以降、川勝良一新監督の元でもサイドバックとして約3ヶ月間プレーした。9月28日第34節の横浜FC戦でシーズン初ゴール。シーズン終盤にはボランチの位置でプレーするなど、京都の若手選手の中では唯一、年間を通して試合に出場したが、チームはＪ１昇格プレーオフ圏外の9位でシーズンを終えた。シーズン終了後の12月3日には、関西ステップアップリーグのセレッソ大阪戦にゲームキャプテンとして出場し、優勝に貢献した。2015年、22歳で京都サンガF.C.の副キャプテンに就任。和田昌裕新監督の元、シーズン開幕のアビスパ福岡戦から左サイドハーフでレギュラー出場。クロスでアシストを記録するなどの活躍を見せ、開幕勝利に貢献した。その後すぐ怪我により離脱したが、第12節からスタメンに復帰すると、奥川雅也との両翼コンビで躍動。5月31日第16節のロアッソ熊本戦でシーズン初ゴールを記録し、チームをシーズン初の連勝に導いた。7月10日に和田が成績不振により解任され石丸清隆が新監督に就任すると、7月18日の第24節セレッソ大阪戦にて、キャプテンの山口智と同じ副キャプテンの大黒将志がスタメンから外され、リーグ戦では初のゲームキャプテンを務めた。その後もゲームキャプテンとして若手主体となったチームを牽引。チームは8月以降1敗しかしなかったが、9試合連続ドローのＪリーグ記録を作るなど、17位でシーズンを終えた。2015年11月15日、Ｊ1リーグの浦和レッドダイヤモンズから駒井への正式オファーが報道された。11月23日、同点ゴールを記録した最終節の水戸ホーリーホック戦後『京都の未来には善成が必要』などの残留を願う横断幕を掲げるサポーター達の前で正式オファーを明かし「じっくり考えてから自分の信じる道を突き進みたい」と語った。2015年12月8日、 浦和レッドダイヤモンズへの完全移籍が発表された 。駒井は京都と来季終了までの2年契約を結んでいたため、違約金が発生しての移籍となった。また、移籍に関して京都サンガF.C.の公式サイトにファン・サポーターへの異例となる長文メッセージを掲載 。12月13日にはサンガタウンで「感謝の会」を開催し、集まった約350名のファンと別れを惜しんだ。