20世紀には、情報理論の起こりとともに有限アーベル群は特に重要となった。暗号理論と誤り訂正符号の両方に用いられる。暗号理論において、多くのアルゴリズムの基礎として巡回群が用いられる。合同算術により、例えばフェルマーの判定法やミラー–ラビンの判定法のような素数判定が可能となる。有限アーベル群の利用はそれだけにとどまらない。一つの本質的な構造として有限ベクトル空間すなわち有限体上の有限次元ベクトル空間は、有限アーベル群に対応するものであり、これによりある種の調和解析が定義できるようになる。係数体が二元からなるとき、その上のベクトル空間で定義される複素数値函数はブール函数であり、フーリエ変換はウォルシュ変換になる。暗号理論は、例えば置換テーブルの研究などに対して、ブール函数およびウォルシュ変換を広汎に用いさせる。誤り訂正符号の理論、特に線型符号もまた例外ではない。これには例えばマクウィリアムの恒等式を通じた双対符号の解析に関し、任意の有限ベクトル空間上の調和解析が用いられる。コンパクトディスクに用いられるリード・ソロモン型の符号は、（有限アーベル群の乗法に基づく構造である）256元体上のベクトル空間を利用する。
任意の有限体 K に対し、その加法群 (K, +) は素数位数の巡回群の冪であり、乗法群 (K*, ⋅) は巡回群である。
有限アーベル群はガロワ理論において特別な役割を持つ。アーベル–ルフィニの定理の帰結として、可換なガロワ群を持つ多項式は冪根によって解ける（逆はやや複雑で、ガロワ群が可解群となるのにアーベルであることは必要でない）。そのような多項式の分解体はアーベル拡大、つまり拡大のガロワ群がアーベルである。この結果は、アーベル拡大とそのガロワ群に注目するものである。これは19世紀の数学者たちがクロネッカー–ヴェーバーの定理の証明に熱心であった理由である。ガロワやクロネッカーとヴェーバーの発見よりもずっと以前に、ガウスは特定の場合「正17角形の定木とコンパスを用いた作図を求めるための、指数17の円分方程式」を扱ったが、この多項式のガロワ群がアーベルであることはこの方法の本質的な要素であった。
代数的整数論で広く用いられる構造として、整数の合同類環 Z/pZ と特にその単数群 (Z/pZ)× がある。このアプローチは合同算術の基礎になっている。p が素数ならば、この単数群は位数 p − 1 の巡回群であり、素数以外の場合でも有限アーベルであることは変わりない。この構造は、フェルマーの小定理（や、その一般化であるオイラーの定理）のようなディオファントス方程式を解くのに利用できる。フェルマーの二平方定理のデデキントによる証明でも用いられた。有限アーベル群上の調和解析もまた数論に多くの応用を持つ。それらはガウスやルジャンドルらのような数学者が示した結果の現代的定式化に相当する。ルジャンドル記号はこんにちでは巡回群（したがって有限かつアーベル）の {−1, 1} に値をとる指標と考えられる。ガウス和やガウス周期もそれらを計算可能にする有限アーベル群の指標を用いて表すことができる。そのような方法は平方剰余の相互法則の証明の基本である。ディリクレはガウスとルジャンドルの予想「既約合同類群 (Z/pZ)× の各類は無限個の素数を含む」に着目した。オイラーはオイラー積に対応させる一つのよい方法を考案したが、素数はすべて一つの類に属するものと考えられた。ディリクレは調和解析を用いて、こんにち算術級数定理と呼ばれるこの定理を証明し、ディリクレによる成果は解析数論の礎となった。
有限アーベル群は特筆すべき群指標を持ち、その指標群は自身に同型である。ゆえに、そのような群上の調和解析は単純で確立されていて、フーリエ変換や畳み込みを定義することができる。よく知られた結果として、パーシヴァルの等式、プランシュレルの定理やポワソン和公式などが挙げられる。
Aqoursではリーダーとして活動しているが、自身はもともとラブライバー（『ラブライブ!』及びμ'sのファン）であるとのことであり、実際、本人のツイッターでは、μ'sの5thライブに現地鑑賞したり、小泉花陽推しである趣旨のことが綴られたことがある。Aqoursの活動において、自身が演じる高海千歌が感じたことを一緒に感じていくことを大切にしていると述べている。そのような活動姿勢を大切にしているからこそ、「（Aqoursのみならず、『ラブライブ!』そのものの）プロジェクト（物語）全体に流れる『みんなで叶える物語』という言葉にすごく強い実感が湧く」、「それを感じられることがとても幸せだし、だからこそ走り続けていたいと思える、その気持ちが強い、と述べている。その上で、「レールは曲がっているからこそ面白い。困難にぶつかっているときに最も必要なのは、みんなの力。それをもっとこれから実感、実現していきたいし、それができたときの千歌ちゃんが見ている世界を、私も見たい」という趣旨の発言をしている。このような活動姿勢を抱くようになったきっかけとして、2016年1月のAqoursの単独イベントで、初めてステージに立った際に「千歌ちゃんが見ている世界を自分も見ているという不思議な感覚を抱いた」ことを挙げており、それが活動における心の支えになっている、と述べている。千歌については、「とにかく明るくて元気で、常に前向きで、どんなことにも決してめげない子」」とのことで、「千歌ちゃんのおかげで明るくポジティブな思考を持てるようになった」と述べている。Aqoursのメンバーについて、「9人それぞれいろんな個性があるし人間性もバラバラだけど、まとまったときの一体感や安心感がすごい」「個性豊かな9人が集まったからこそ、御互いに切磋琢磨していくことで、個々が持っている以上の力を、この9人だからこそ発揮できるような、よいチームができ上がると思います」」と述べている。特に、2年生組でもある逢田梨香子、斉藤朱夏は、「自分自身の見せ方をはっきりと持っていて、見習うことが多い」」「互いに助け合い高め合い、尊敬し合える関係を築けている」」、それ故に、活動における心の支えになっているとのこと」。Aqoursの活動を始めるにあたって、メンバーとの初顔合わせの際、「出身地から年齢から趣味から、とにかく片っ端からメモ書きして覚えよう」と臨んだとのことで、メンバーの高槻かなこ曰く、「かなりの勢いで、びっしりとメモ書きされていてすごいと思った」と述べている。