一次のスティーフェル・ホイットニー類は滑らかな実直線束を分類する。特に、実直線束（の同値類）全体の成す集まりは Z/2Z-係数の一次コホモロジーの元に対応する。この対応は実はアーベル群の同型である（直線束の間の群演算はテンソル積であり、コホモロジーの群演算は通常の加法とする）。同じように、一次のチャーン類が滑らかな複素直線束を分類し、直線束全体の成す群は整数係数の二次のコホモロジー群に同型となる。ただし、同値な可微分構造を持つ（従って同じ一次チャーン類に属する）が異なる正則構造 (holomorphic structure) を持つ束が存在し得る。チャーン類に関する言明は、多様体上の層の指数写像列を用いて容易に示せる。より一般に、分類問題をホモトピー論的観点から見ることができる。実直線束に対する普遍束、および複素直線束に対する普遍束が存在することを見るのである。分類空間の一般論に従って、経験論的にそれぞれ群 C₂ および S¹が自由に作用するような群作用を持つ可縮空間を探すと、それらの空間は普遍主束として与えられ、その群作用による商として分類空間 BG が与えられる。今の場合にはこれらは明示的に求まったが、無限次元の実または複素射影空間に関する類似対応が存在する。さて分類空間 BC₂ は斉次座標の無限列によって与えられる実射影空間 RP∞のホモトピー型とする。これは普遍実直線束を持ち、ホモトピー論の言葉で言えば CW-複体上の任意の実直線束が X から RP∞ への分類写像を決定して、L が普遍束の引き戻しに束同型となるようにすることができる。この分類写像は、X の Z/2Z 係数の一次コホモロジーにおいて、 L のスティーフェル・ホイットニー類を RP∞ の標準類から定義するのに用いることができる。同様の方法により、複素射影空間 CP は普遍複素直線束を持つ。この場合、分類写像は一次のチャーン類を整係数コホモロジーH²(X) において引き起こす。これにはさらに四元数直線束（実四次元）の場合の類似概念を考えることもできる。これは、実四次次元コホモロジーにおいてポントリャーギン類を生じる。この方法の基本的な場合は、直線束のみに依存する特性類の理論に対するものである。一般分裂原理に従えば、これは（明示的でなくとも）理論の残りの部分を決定することができる。複素多様体上の正則直線束に関する理論、および代数幾何学における可逆層に関する理論など、それぞれの分野における直線束の理論がよく構築されている。
ウィリアム・アジャー・モフェットは1869年10月31日、サウスカロライナ州チャールストンで、ジョージ・ホール・モフェット（1829年-1975年）の息子として生まれる。ジョージはアメリカ連合国陸軍の軍人で、ハグード旅団サウスカロライナ第25連隊の副将などを務めた。モフェットは海軍兵学校（アナポリス）に進学し、1890年に31位の成績で卒業したが、この頃はアナポリスの在校生の数は少なく、卒業年次から「アナポリス1890年組」と呼称されたモフェットの同期は、たったの34名であった。アナポリス卒業後、モフェットは士官候補生となり、練習艦「ペンサコラ」および防護巡洋艦「ボルチモア」 (USS Baltimore, C-3) に配属される。1892年に少尉に任官後も、海軍大学校受講時代を挟んで海上勤務が続いた。1898年、ハバナでの戦艦「メイン」 (USS Maine, ACR-1) の爆沈事件をきっかけに米西戦争が勃発する。モフェットは米西戦争にてスループ「モヒカン」および、故郷の名前を冠した防護巡洋艦「チャールストン」 (USS Charleston, C-2) 乗り組みとなり、1898年5月1日のマニラ湾海戦と7月から8月にかけてのマニラの戦いにも参加した。戦争終結後は「ボルチモア」に再び配属され、1912年に戦艦「アーカンソー」 (USS Arkansas, BB-33) の副長となるまで水上艦勤務の他にグァンタナモ基地司令、海軍大学校教官などを歴任した。1912年10月、中佐に昇進していたモフェットは軽巡洋艦「チェスター」 (USS Chester, CL-1) 艦長に就任。1910年以来続いていたメキシコ革命に際しては、アメリカ国民と財産を保護するためメキシコ湾に向かう。4月21日、モフェットは「チェスター」陸戦隊を率いて他の艦艇の陸戦隊とともにベラクルスに上陸し、税関を巡って戦闘を繰り広げる。戦闘の大勢は4月22日には決し、税関を占領することができた（ベラクルス戦役）。この功績が認められ、モフェットは名誉勲章を授与された。この時、モフェット以外に名誉勲章を授与された者の中には、空母任務群を指揮したフランク・J・フレッチャー（アナポリス1906年組）や室蘭艦砲射撃を行ったオスカー・C・バジャー2世（アナポリス1911年組）、両用戦部隊を率いたセオドア・S・ウィルキンソン（アナポリス1909年組）などがいる。名誉勲章感状階級と所属：アメリカ海軍、生地と年月日：1869年10月31日, チャールストン, サウスカロライナ、推薦：チャールストン第177番, 1915年12月4日付、他の受章歴：殊勲章1914年4月21日及び22日のベラクルスにおける戦闘において、モフェット中佐は4月21日から22日にかけての夜半に、明かりもない暗闇の中で艦をベラクルスの内港に乗り入れさせ、4月22日の朝にはすでに発砲体制を整えていた。夜間における中佐の技術は巧みの極みである。モフェット中佐はまた、最も敵に近いところに位置して発砲を命じ、反撃をほぼ一手に引き受けた。1914年9月、モフェットはグレートレイクス海軍訓練施設長となる。アメリカの第一次世界大戦参戦を経て、大佐に昇進後の1918年から1921年の間は戦艦「ミシシッピ」 (USS Mississippi, BB-41) 艦長を務めた。1921年、アメリカ海軍航空局（航空局）が設置され、モフェットは初代局長に就任し、少将に昇進する。局長としてのモフェットは、航空戦術の創案や航空母艦の導入、民間航空機産業との関係強化を重要視した。また、空軍力の重要性や独自の空軍創設を説いていたビリー・ミッチェル陸軍准将の主張に賛同する。モフェットがこのような辣腕を振るえたのは、1913年にウッドロウ・ウィルソン大統領によって海軍次官に任命されていたフランクリン・ルーズベルトと昵懇の仲だったからというのも一つの理由であるが、局長としてのモフェットや政治家との関係については、項を改めて述べる。モフェットはさらに、飛行船導入や、飛行船から発進する軽航空機の開発にも取り組んだ。しかし、1933年4月4日に「アクロン」 (USS Akron, ZRS-4) に搭乗してニュージャージー州上空を飛行中に悪天候に見舞われ、「アクロン」は墜落して「アクロン」乗員とともにモフェットも殉職した。63歳没。モフェットはアーリントン国立墓地に、妻であるジャネット・ホイットン・モフェットとともに埋葬されている。モフェットの3人の息子のうち、ウィリアム・アジャー・モフェット・ジュニアは父同様に海軍に進んだのち2001年に死去し、父と同様にアーリントン国立墓地に埋葬されている。