少年期に叔父からリコーダーの手ほどきを受け、1977年に全日本リコーダーコンクールの高校の部で優秀賞。花岡和生に師事した後、1982年にアムステルダムのスヴェーリンク音楽院 (Sweelinck Conservatorium)（現在のアムステルダム音楽院）に留学し、ワルター・ファン・ハウヴェ (Walter van Hauwe) に師事。1991年にソリストディプロマを得て音楽院を修了。その後もアムステルダムに拠点を置きながら、ダルムシュタット夏季現代音楽講習会、国際現代音楽協会「世界音楽の日々」など欧米で各地のコンクールや音楽祭に参加するなど演奏活動を続け、日本でも1992年にリサイタル・デビューを果たし、秋吉台国際20世紀音楽セミナー&フェスティバル、武生国際音楽祭などに参加した。また、委嘱作品など、中村斉、野村誠、伊藤弘之、徳永祟、大村久美子といった作曲家たちの作品を初演する活動に継続して取り組んでいる。2001年からは笙奏者の宮田まゆみとの共演を軸に、他の楽器も交えた演奏にも取り組んでいる。1998年に秩父ミューズパーク音楽堂で行なったリサイタルの演奏を収めたCD『鈴木俊哉リコーダーリサイタル』（2001年、MusicScape）は、『レコード芸術』、『stereo』、『朝日新聞』で高く評価された。2002年にはダルムシュタット夏季現代音楽講習会で講師を務めた。2003年からは、拠点を日本に移している。音楽学者の伊東信宏は、鈴木について「リコーダー音楽において、他の誰もとって代わることのできない境位にあることは確かだ」と評している。鈴木は、2006年に、松平頼暁、野坂惠子とともに、第24回中島健蔵音楽賞を受賞した。
光市母子殺害事件の上告審口頭弁論公判を欠席したことについて遺族らが安田と足立修一の処分を求めた。このことがマスコミで大きく報道され、弁護人としての姿勢が非難された。死刑求刑裁判となっている凶悪事件の刑事裁判での弁護を数多く担当してきたことについて裁判を死刑廃止運動に利用しているとの批判があるが、安田は「死刑廃止を法廷で考えているとしたら弁護士失格だ。法廷は事実を争う場であって、政策や思想の場ではない。」と否定している。
1999年4月14日発生の光市母子殺害事件で安田は、足立修一とともに上告審における被告人の弁護士を担当（安田が主任弁護人）することになった。安田らは、弁護人選任前に指定されていた第1回公判期日について、事前に、最高裁に対して、日弁連が開催する裁判員裁判による模擬裁判のリハーサルがあることなどを理由として、公判期日の変更を求めた。しかし最高裁がこれを拒んだため、欠席する旨を事前に伝えたが、最高裁は、2006年3月、指定した通りの日時において、第1回公判手続を行った。また、後述する控訴審での主張等も含め、安田らの弁護手法が大きな波紋と批判を呼び、マスコミでは「ドタキャン」と報道された。次の期日指定（2006年4月）では出頭在廷命令が初適用された。2006年6月20日に、控訴審判決（広島高裁）が破棄され、原裁判所（広島高裁）へ差し戻された。2007年5月24日、広島高裁で差し戻しの控訴審が開始され、被告人側の第1審・第2審の主張とは180度異なった傷害致死の主張を展開したが、2008年4月22日の判決公判の判決理由において安田らが展開した主張は全て否定され、死刑判決が下された。
7月場所は横綱として初の土俵。16連勝の中で初日を迎え、白星を重ねていったが、10日目に琴光喜に敗れて連勝は25でストップした。12日目の魁皇戦では、土俵際で魁皇が突き落としたが行司・木村庄之助の軍配は白鵬に上がった。これに物言いが付き協議の結果取り直しとなった。この日の大相撲中継の解説であった北の富士勝昭、実況アナウンサーの刈屋富士雄は、魁皇の勝ちであるように見えたと発言している。この相撲で魁皇は負傷し、取り直しの一番は一方的に白鵬の勝利。翌日から魁皇は休場した。翌13日目の琴欧洲、14日目の千代大海との取り組みに敗れ、横綱として初の連敗を喫し、この時点で3敗に後退して3連覇の可能性が断たれた。千秋楽は2002年9月場所の武蔵丸 - 貴乃花以来、実に4年10か月振りとなる横綱同士の対戦で朝青龍に寄り切りで敗れ、3連敗を喫し11勝4敗に終わった。翌9月場所は朝青龍が自身の不祥事の為に出場停止処分となり、実質1人横綱となった。初日に安馬（当時、後の日馬富士）に敗れ、中日までは安美錦を追う形となった。さらに11日目には豊ノ島に敗れ（自身初の金星配給）、新入幕の豪栄道に優勝争いのトップを明け渡してしまったものの、13勝2敗で横綱昇進後初となる通算4度目の優勝を果たした。9月場所直前、白鵬は出場停止となった朝青龍を気遣い、同情的なコメントを寄せている。8月23日には朝青龍の外出について感想を求められて「いいんじゃないですか?」と答え、朝青龍帰国に際しては「けがを治すなら、落ち着いてやるのがいい。体よりも心の痛みが強いと思う」と語った。11月場所では朝青龍の休場（出場停止）もあり、自身初の東横綱の座に就いたがこの場所も初日に琴奨菊に寄り切られて黒星スタートとなった。14日目に11勝2敗の相星対決で負かした大関千代大海が右肘負傷により千秋楽を休場するアクシデントが発生した為、取組を待たずに5回目の優勝が決まった。その千秋楽結びの一番の琴光喜戦では下手投げで裏返しにされて敗北し、祝勝気分に自ら水を差した格好になった。なお、日本相撲協会によれば千秋楽に優勝を争う一方の力士が休場することによって幕内最高優勝が決まったのは、1927年（昭和2年）10月の不戦勝制度適用以来初めてのことだった。また同2007年、自身初となる年間最多勝（74勝16敗）を受賞した。