インパルス応答 \ h[n] の離散な線型時不変系があるとき、入力 \ x[n] と出力 \ y[n] の関係は次のように表される。\ y[n] = h[n] * x[n]ここで、* は畳み込みを意味する。したがって、畳み込みの定義から次が導かれる。\ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty}{h[k] x[n-k]}\| x \|_{\infty} を \ |x[n]| の最大値（無限大ノルム）とする。\left|y[n]\right| = \left|\sum_{k=-\infty}^{\infty}{h[n-k] x[k]}\right|\le \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h[n-k]\right| \left|x[k]\right|} （三角不等式による）\le \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h[n-k]\right| \| x \|_{\infty}}= \| x \|_{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h[n-k]\right|}= \| x \|_{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h[k]\right|}もし h[n] がBIBO安定なら、\sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h[k]\right|} = \| h \|_1  < \infty となり\| x \|_{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h[k]\right|} = \| x \|_{\infty} \| h \|_1したがって、\| x \|_{\infty} < \infty なら（有界なら）、\| x \|_{\infty} \| h \|_1 < \infty であるため、\left|y[n]\right| も有界である。連続時間の場合の証明も同じ論法である。
繁殖サイクルは特殊で、両半球でほぼ同じ時期（半年ずれることなく）に行われる。これは繁殖が水温や日照時間の影響をあまり受けないことを意味し、おそらく生理的に内温性であることによるものである。交尾は主に9-11月に行われるが、シェトランド諸島では1月に、交尾による真新しい噛み傷のついた雌が報告されている。雄は雌の胸鰭・鰓の周囲・体側に噛み付いて体を固定し交尾を行う。北西大西洋ではニューファンドランド島と、メイン湾内のジョージバンク上の2箇所の繁殖地が知られている。成体雌は右側の卵巣と両側の子宮が機能する。おそらく毎年繁殖し、1つの子宮に2匹の胎児が互いに逆向きに入るため、典型的な産仔数は4となる。稀に、産仔数は1-5の幅で変動することがある。妊娠期間は8–9ヶ月。ネズミザメ科の他種と同様に、卵食型の無胎盤性胎生であり、胎児は母体が供給する未受精卵を食べて成長する。このため妊娠期間の前半の雌は、長さ7.5cm程度の卵殻に包まれた小さな卵を子宮内に大量に排卵する。胎児は最初、卵黄嚢によって成長し、3.2-4.2cmで孵化する。この時点の胎児はよく発達した外鰓と螺旋腸を持つ。4.2-9.2cmで外鰓と卵黄嚢はほぼ再吸収されるが、まだ卵殻に包まれた卵を食べることはできない。10-12cmになると、胎児は下顎に2本の大きな"牙"状の歯を発達させ、これで卵殻を破ることができるようになる。上顎にもこれよりは小さいが、2本の歯が発達する。その後、胎児は卵を貪欲に食べ始め、胃は大きく膨らむ。これに伴って腹の筋肉は中央で断裂し、皮膚は大きく伸びる。20-21cm程度の胎児は、色素を欠いているために眼を除いてピンク色であり、頭部と鰓はゼラチン質で横に膨らんでいる。30-42cmの時点で、胎児の体重の81%は胃に蓄えた卵黄となっている。34-38cmで胎児は色素を獲得し始め、牙が抜け落ちる。このあたりで雌は排卵を停止する。胎児は子宮内に残る卵を顎で潰すか丸呑みすることで消費し続けるが、やがて胃に蓄えた卵黄に主な栄養を頼るようになる。胎児は栄養を胃から肝臓に移し始め、胃の収縮に伴って肝臓は急速に拡大していく。40cmになると色素が完全に生成され、58cmで出生時の外見を獲得すると想定される。この時点で胃は収縮しており、腹部の筋肉は再結合して、実態は異なるが"臍"のような痕を残す。両顎には数列の単尖頭の歯が生え揃うが、これは倒れており、出生までは機能しない。出生時は58-67cmで、5kgを超えない。重量の1/10程度が肝臓で、胃内部にはまだ卵黄が残っており、食事を覚えるまではその栄養で成長する。胎児の成長率は全体として7-8cm/月程度である。時折、子宮内の一方の胎児がもう一方よりかなり小さくなることがある。これは、子宮内で前向きの胎児が母体の排卵する卵をほとんど食べてしまうことや、母体が全体に行き渡るほど十分な卵を排卵できないことによる。出産は4-9月で、北大西洋では4-5月（春から夏）、南半球では6-7月（冬）に最も盛んである。北西大西洋では、出産はサルガッソ海の深度500m程度の場所で行われる。成熟するまでの成長速度は雌雄であまり変わらないが、雌は性成熟が遅いためにより大きくなる。生後4年までの成長率は年間16-20cmで、両半球であまり変わらない。その後は、南西太平洋の個体は北大西洋の個体より成長速度が落ちる。北大西洋では、雄は尾叉長1.6-1.8m・6-11歳、雌は2.0-2.2m・12–18歳、南西太平洋では、雄は1.4-1.5m・8–11歳、雌は1.7-1.8m・15–18歳で性成熟する。最高齢個体の記録は26歳で、全長2.5mだった。最大寿命は大西洋で30–40年、南太平洋で65年程度と推定される。