完備体 \scriptstyle (K,\ |\cdot|) が離散付値体、つまり |\cdot| が離散付値である場合を考える。 すると、K の 0 ではない元 α は、以下の形に一意的に表現される：\alpha = \sum_{n=r}^\infty c_n \pi_n\ \ \ \ (c_n\in\Gamma,\ c_r\ne 0)但し、\scriptstyle R_{|\cdot|}\supset\Gamma は、|\cdot| の剰余体 \scriptstyle R_{|\cdot|}/\mathfrak{m}_{|\cdot|} の 0 を含む完全代表系、\scriptstyle\{\pi_n\}\! は |\cdot| の素元である。特に π を素元とし、\pi_n = \pi^n とすれば\alpha = \sum_{n=r}^\infty c_n \pi^n\ \ \ \ (c_n\in\Gamma,\ c_r\ne 0)と表される。付値イデアルを \mathfrak{p}=(\pi) としたとき、上記の展開のことを K の \mathfrak{p} 進展開という。例として、p進体 \mathbb{Q}_p の元 α は\alpha = \sum_{n=r}^{\infty} c_n p^n\ \ \ \ (c_n = 0,1,\ldots,p-1,\ c_r\ne 0)と表現される。これを p進体のp進展開という。
付値体(ふちたい、英: valued field, valuation field)とは、乗法付値により得られる距離に対する距離空間の位相が入った位相体のことを付値体という。体 K の乗法付値 |\cdot| で付値体になるとき、\scriptstyle (K,\ |\cdot|) と表す。付値体 \scriptstyle (K,\ |\cdot|) に対して、乗法付値 |\cdot| がアルキメデス付値であるとき、アルキメデス付値体、非アルキメデス付値のとき、非アルキメデス付値体という。付値体の位相体としての性質は、項目位相体を参照のこと。
織田政権下における尾張知多郡の国衆佐治一成（母は市の姉・お犬の方）、豊臣政権下における秀吉の養子（甥）豊臣秀勝との婚姻の後、徳川将軍家に正室として嫁ぐ。家康の嫡男で後に徳川2代将軍となる徳川秀忠の妻（御台所）となり、3代将軍徳川家光や中宮源和子（後水尾天皇の中宮（正室）となり、明正天皇の生母）たちを産む。自らの子孫を後代に残せなかった姉2人とは対照的に、多くの子をもうけた彼女の血筋は現在の明仁上皇・今上天皇・悠仁親王にまで続いている。（崇源院#系譜参照）。なお、諱については諸説（江、江与など）があって未だにはっきりしていない。
京極高次の正室として京極家に入った。京極家は、室町幕府の侍所の長官を世襲した四職の家門であり、出雲国・隠岐国・飛騨国などの守護を兼ねた名門の武家であった。京極家はまた北近江の元の領主であり、浅井家の主筋でもあった。初は三姉妹の中で最も格上の武家に嫁いだとも言えるが、当時の京極家は下克上により衰退し、浅井家や、後には羽柴家の庇護を受けていた。また、高次の母（京極マリア）は浅井長政の姉であり、高次と初は従兄妹の間柄であった。夫・高次は関ヶ原の戦いに先立って近江大津城で西軍の軍勢を足止め（大津城の戦い）した功により、若狭一国を与えられて小浜藩主となった。高次に先立たれた後、初は出家して常高院と名乗る。大坂の陣の際には、姉妹の嫁いだ豊臣・徳川両家の関係を改善すべく、豊臣方の使者として仲介に奔走した。夫を支え、衰退した京極家を大名家として再興させ、三姉妹の中では一番多く落城（小谷城、北ノ庄城、大津城、大坂城）を経験している。
『呻吟語』は始め寧陵で板行されたが、広く行き渡らないで中々入手に困難であった。その後、清の康熙26年4月、正定諸州県の役人の会合があり、その席上役人の修養が問題になった際、呂氏の郷人で央益仲と言う者がこの書を持っており、これを新たに刊行しようと言うことを提議した。これが正定刊本となる。この刊本に当時の程朱学派の儒者・陸隴其が序している。それによれば、明の末世の朱子学の末流は、低級固陋でほとんど時代の人心と没交渉になり、陸王学派の流れを酌む者も空疎な観念の遊戯に走って、民衆が政治的混乱の中で精神的不安に迷っていた時、呂氏独り俗流の上に卓出して身を以て正学を修めたことを賛美し、今同じく自ら俗流を抜かんとする人々によってこの書が刊行されることは、晋の永和9年春3月3日山陽の蘭亭に当時の名士41人が集まって、曲水に盃を流して詩を賦し、王羲之がこの序を作った彼の有名な蘭亭の会よりも結構なことでは無いかと述べている。因みに、後に陸隴其は『呻吟語疑』17則を著述している。しかし、この正定刊本も広く世に流布するに至らず、その後乾隆の始め陳宏謀の節録本ができ、別に陳笠帆の節抄本も出たが、全書は正定本の次に呂氏23世の孫燕昭が金陵で役人をしていて、乾隆59年に刊行した。これがいわゆる金陵本で、その後では道光2年、呉蔗郷・鮑鉄帆・恒輔之・雲蘭舫・呉澗蒓・鄂敬亭諸氏の手に成るいわゆる関中本が出た。間もなく7年10月には河南開封の知事で寧陵の令もしたことのある栗毓美が最初の版（呂坤の祠に蔵されているので祠版と言う）を標準に諸書を比較考証して刊行された。