フランク・ラムゼイはどのような6人が集まっても、その中には常に互いに知り合いの3人か、互いに全く知らない3人が見つけられる、ということを証明した。証明は背理法による短いものである。この主張が正しくないと仮定する。これは、どの3人を見てもその中の2人は知り合いで、2人は知り合いではない、ということを意味している。ここで、この6人の中の1人を"A"としよう。残りの5人の中には"A"と知り合いである3人か、知り合いでない3人が存在する。これは、片方の否定がもう片方になることから明らかである。では、始めの方の条件をまず仮定する。このとき3人中2人以上は互いに知り合いである。なぜなら、そうでないとすると、互いに知り合いでない3人がいることになり仮定に反するからである。しかし、そうすると、その2人はAも知っているので、この3人が互いに知り合いになってしまう。これは最初の仮定に矛盾する。もう一方の条件 (残りの5人には"A"と知り合いでない3人が存在すること) を仮定する場合も同様な矛盾が導かれる。これはラムゼーの定理の特殊な場合である。無秩序な配置に秩序を見出すという考えからラムゼー理論は生まれた。一言で言うと、この理論は任意に大きな配置にはある別の種類の配置を少なくとも1つは含むことを主張している。
組合せ論のこの分野の単純な結果は序で述べたような集合を構成する問題に答えがあるのはnがq² + q + 1という形をしたときのみである、というものである。しかし、qが素数べきのときには解が存在し、qが2つの平方数の和であるときは解が存在するかもしれず、そして、それ以外の正整数qに対して解が存在しないということを証明するのはそれ程簡単ではない。この最後の結果はBruck-Chowla-Ryserの定理と呼ばれ、有限体に基づく構成的手法と二次形式の応用を組み合わせて証明された。このような構造が存在するとき、その構造は有限射影平面と呼ばれる。有限幾何と組合せ論が交わっていることを示す例である。
組合せ数学（くみあわせすうがく、combinatorics）や組合せ論（くみあわせろん）とは、特定の条件を満たす（普通は有限の）対象からなる集まりを研究する数学の分野。特に問題とされることとして、集合に入っている対象を数えたり（数え上げ的組合せ論）、いつ条件が満たされるのかを判定し、その条件を満たしている対象を構成したり解析したり（組合せデザインやマトロイド理論）、「最大」「最小」「最適」な対象をみつけたり（極値組合せ論や組合せ最適化）、それらの対象が持ちうる代数的構造をみつけたり（代数的組合せ論）することが挙げられる。
田中秀臣は「構造改革は慎重に進めないと、新たな権益を発生させる可能性がある。例えば、特定の集団・個人に企業を払い下げてしまえば、本来の構造改革と逆行することになる」と指摘している。経済学者の大竹文雄は「小泉政権では、経済財政諮問会議の民間委員は、市場主義を代表する経済学者2名と大企業主義を代表する財界2名で構成されていた。小泉政権の政策は、市場主義的な政策と財界の利益誘導・利権獲得の両方が混合したものと解釈できる。結果、市場主義が既存大企業主義と同一視されてしまった。構造改革に関わった大企業関係者が『官から民』への移行に伴って利益を享受していたとすれば、それは市場主義と無関係どころか相反するものである」と指摘している。
今やマリウスの権威は頂点に達し、平民出身である彼の権威はそのまま彼を支える民衆派議員の台頭へと繋がったが、その中でカトゥルスやスッラなど敵対する者も現れた。マリウスは副将であったカトゥルスを讃えることを忘れなかったが、民衆は前の戦いで失態を犯していたカトゥルスを殆ど無視し、反対にその前のアクアエ・セクスティアエで勝利を得ていたマリウスの功績だと評した。これはカトゥルスの自尊心を大いに傷付け、彼はマリウスと敵対する派閥へと転じる事となった。紀元前101年、凱旋式を終えたマリウスは最早慣例となっていた毎年の執政官就任について、これを続ける意向を示した。マリウスは既に5年連続で執政官となっており、これほど長期間（5年間）もインペリウム保持者である執政官としてローマに君臨し続けた例はなく、その上に平時もそれを続ければマリウスによる独裁を容認する事を意味した。加えてマリウスは戦争においては常に冷静でありそれが幾多の勝利に繋がっていたが、政治家としてはむしろ檄し易く、少しの理由で他者を粛清した。民衆派と共にマリウスを英雄として讃えていた閥族派は再び敵対し、これに対抗すべく一層にマリウスは民衆派による元老院支配を強めていった。同年にはサトゥルニヌスら民衆派議員の攻勢によってユグルタ戦争の指揮官だったメテッルスが議員資格を剥奪され、国外に追放されている。最終的に民衆派議員の支援と民衆支持を背景に、マリウスは6度目の執政官当選を決めた。マリウス当選により民衆派による元老院支配は決定的になったかに見えたが、腹心であったサトゥルニヌスの存在が思わぬ失敗なった。マリウスはサトゥルニヌスを通じて職業軍人となった軍団兵に退職金を用意する制度の整備を進めた。元老院は財源不足を理由に反対の空気が大きかったが、この時マリウスは独裁的な権限を有していたので逆らえず、元軍団兵士に占領地などの領地を分配する制度を認めさせた。だがサトゥルニヌスは次第にマリウスの権威を盾にして横暴な振る舞いを見せ、ついには護民官選挙の対立候補を暗殺するなどの暴挙を起こしたことで元老院最終勧告を言い渡されてしまった。サトゥルニヌスはクーデターを望んで武装蜂起したが、マリウスはこれに加わらず、軍を率いて反乱軍を議事堂に追い込み水の供給を止めて投降させた。この一件でマリウスは反逆者の汚名は避けられたものの民衆派自体の勢いは退潮し、政界からの引退を余儀なくされた。6度目の執政官任期が終わると、メテッルスらが国政に復帰する中でマリウスは家族を連れてカッパドキアやガラテアなど東方属州を旅行するなど隠遁生活を送った。