スティーヴン・コール・クリーネの実現可能性解釈は、直観主義的算術の証明を再帰的関数とその関数が論理式を実現していることを表す論理式の証明とに分離する。これにより、例えば「任意の自然数 a と b に対して、a と b を割り切る最大の自然数 c が存在する」ことを直観主義的に証明できたならば、ここから最大公約数を計算する再帰的関数と、それが最大公約数を計算していることの証明を抽出できる。ゲオルク・クライゼルにより変更された実現可能性解釈を高階の直観主義論理に適用することで、もとの論理式の証明からそれを実現する単純型付けされたラムダ項を帰納的に抽出できることが示せる。命題論理の場合、これはカリー＝ハワード対応のステートメントと一致する：抽出されたラムダ項はもとの証明（をラムダ項と見做したもの）と一致し、実現可能性のステートメントは抽出されたラムダ項がもとの論理式の意味する型を持つということの言い換えである。クルト・ゲーデルのディアレクティカ解釈は計算可能汎関数を備えた直観主義的算術（のある拡張）を実現する。これのラムダ計算との繋がりは自然演繹ほど明白ではない。
BHK解釈は直観主義的な証明の含意と全称化を関数として解釈するが、解釈における関数のクラスがどのようなものであるかを指定してはいない。もし関数のクラスとしてラムダ計算を取るならば、BHK解釈は自然演繹とラムダ計算との間の対応と同じことを述べていることになる。
ニコラース・ホーバート・ド・ブランはラムダ記法を証明検証器Automathにおいて用い、また命題をその証明の類として表現した。これはハワードが（CH対応に関する）原稿を書いた同時期の1960年後半のことであった。ド・ブランはハワードの仕事を知らず独立してこの対応を述べた（Sørensen & Urzyczyn [1998] 2006, pp 98–99）。一部の研究者は、カリー＝ハワード対応という代りにカリー＝ハワード＝ド・ブラン対応という語を使用する。
カリー＝ハワード同型対応（カリー＝ハワードどうけいたいおう、英語: Curry-Howard correspondence）とは、プログラミング言語理論と証明論において、計算機プログラムと証明との間の直接的な対応関係のことである。「プログラム＝証明」(proofs-as-programs)・「型＝命題」(formulae-as-types)などとしても知られる。これはアメリカの数学者ハスケル・カリーと論理学者ウィリアム・アルヴィン・ハワードにより最初に発見された形式論理の体系とある種の計算の体系との構文論的なアナロジーを一般化した概念である。通常はこの論理と計算の関連性はカリーとハワードに帰属される。しかしながら、このアイデアはブラウワー、ハイティング、コルモゴロフらが定式化した直観主義論理の操作的解釈の一種と関係している。
アーベル多様体の捩れ元は、捩れ点、あるいは、古い用語では、分割点と呼ばれる。楕円曲線上では、捩れ元は分割多項式(division polynomials)の項として計算される。
捩れの概念はホモロジー代数において重要な役割を果たす。M と N を可換環 R 上の加群とすると、Tor函手は R-加群 TorRi(M, N) の族を与える。R-加群 M の S-捩れ tS(M) は、標準的に TorR1(M, RS/R) と同型となる。この函手を表す記号 Tor はこの代数的な捩れとの関係を反映している。非可換環の場合でも S が右支配的集合である限りは、同じ結果が成り立つ。
7世紀にイスラム教のもとに結束したアラブ人が各地へと征服戦争を展開し始めると、彼らの勢力は北アフリカの西部に達した。711年にイスラーム勢力はジブラルタル海峡を渡ってイベリア半島に進出し、西ゴート王国を滅ぼした。715年までに最北部を除くイベリア半島全域はイスラーム勢力の支配下に入るが、アラブ人と征服活動に従軍していたベルベル人の間で内戦が起きる。755年にイベリア半島に上陸したウマイヤ家のアブド・アッラフマーンは内乱を鎮定し、翌756年にこの地で後ウマイヤ朝を創始した。イスラーム勢力の影響下に置かれなかったイベリア半島北部では、718年に西ゴート系の貴族ペラーヨを王とするアストゥリアス王国が建国された。1031年に後ウマイヤ朝が断絶した後、イベリア半島にはタイファと呼ばれる小王国が乱立したため、イスラーム勢力は弱体化する。イベリア半島のイスラーム化の波はポルトガルにも及び、キリスト教徒とユダヤ教徒は信仰を容認されていたが、大部分のポルトガル人はイスラム教に改宗した。イスラーム勢力下の地域では従来どおりラテン語が常用語の地位を保っていたが、植物、道具、度量衡、馬車、馬具に関する専門用語はアラビア語から借用された。ポルトガルの科学と文化の発展には、イスラーム世界の学者が大きな役割を果たしている。インド洋を航行するためのイスラーム世界の造船技術は、ポルトガルに入った後に大西洋の航行に適した形に応用された。レンガ舗装、有蓋煙突、タイル張りの壁と言ったイスラーム建築の特徴がポルトガルの建築に導入され、後の時代にはイスラム風の幾何学模様のタイル壁画に代わって、戦争や日常生活を描いたタイル壁画がキリスト教徒の手によって制作される。農業の分野では水を汲み上げる水車の導入によって灌漑技術が発達し、手動の粉砕機に代わる機械が普及した。10世紀頃からレオン王国、アストゥリアス王国などがレコンキスタと呼ばれる「国土回復運動」を展開し始めた。868年にアストゥリアス王アルフォンソ3世はドーロ川河口の都市ポルトゥカーレを征服し、ヴィマラ・ペレスにこの地を与える。1064年にはキリスト教国家とイスラーム勢力の係争の地となっていたコインブラがレオン王国に征服され、レオン王フェルナンド1世はモサラベのセズナンドにコインブラの支配を委ねた。ドーロ川とミーニョ川の間に広がるポルトゥカーレ伯領、ドーロ川とモンデゴ川の間に広がるコインブラ伯領が、後のポルトガル王国の中核になる。1096年、カスティーリャ＝レオン連合王国のアルフォンソ6世は、娘婿でブルゴーニュ家の騎士アンリ・ド・ブルゴーニュ（エンリケ・デ・ボルゴーニャ）にポルトゥカーレ伯領とコインブラ伯領を併せて与えた。アンリの領土は北部のガリシア地方では領主制が支配的であったのに対して、南部には広く自治権を認められた都市共同体が組織されており、南北の地域格差はポルトガル独立の一因になる。1086年に北アフリカからイベリア半島に進出したムラービト朝とカスティーリャ王国の軍隊がサグラハスの戦いで衝突し、勝利を収めたムラービト朝はアンダルス地方を併合する。ムラービト朝が衰退した後、1145年に北アフリカのベルベル人のイスラーム国家ムワッヒド朝がイベリア半島に進出した。