非アルキメデス付値体 \scriptstyle (K,\ |\cdot|) に対する完備化を \scriptstyle (\tilde{K},\ |\cdot|_{\tilde{K}}) とする。\tilde{K} の K における分離閉包を K' とおき、|\cdot|_{\tilde{K}} の K' への制限を |\cdot|' とおくと、付値体 \scriptstyle (K',\ |\cdot|') では、ヘンゼルの補題が成立する。よって、\scriptstyle (K',\ |\cdot|') は |\cdot| に関する体 K のヘンゼル化となる。完備化という手法をとらずに純粋に代数的な手法でヘンゼル化を得ることができる。非アルキメデス付値体 \scriptstyle (K,\ |\cdot|) の分離閉包を \bar{K} とし、|\cdot| の \bar{K} への延長を |\cdot|' とする。\bar{K} の |\cdot|' に対する分解群をG_{|\cdot|'} = \{\sigma\in\mbox{Gal}(\bar{K}/K) | |\sigma(\alpha)|' = |\alpha|'\ \ (\mbox{for any}\ \alpha\in\bar{K}^{\times}) \}とし、この分解群に対する \bar{K}/K の分解体をK_{|\cdot|'} = \{\alpha\in\bar{K} | \sigma(\alpha) = \alpha\ \ (\mbox{for any}\ \sigma\in G_{|\cdot|'}) \}とおけば、K_{|\cdot|'} は、|\cdot| に関する体 K のヘンゼル化となる。
非アルキメデス付値による完備体で得られる結果の多くは、その証明にヘンゼルの補題が使われているが、ヘンゼルの補題は完備体でなくても成立する場合がある。その様な体上では、完備体で得られた多くの結果が成り立つことになる。ヘンゼルの補題が成立する付値体のことをヘンゼル体という。また、与えられた付値体 \scriptstyle (K,\ |\cdot|) の拡大体で、乗法付値 |\cdot| の延長でヘンゼル体になるとき、その体のことを、付値 |\cdot| に関する体 K のヘンゼル化という。付値体 \scriptstyle (K,\ |\cdot|) がヘンゼル体であるとき、|\cdot| をヘンゼル付値、|\cdot| の付値環をヘンゼル付値環という。任意の非アルキメデス付値体に対する完備化は必ず存在するので、ヘンゼル化も存在する。
非アルキメデス付値に対する完備体の性質として、以下のものが挙げられる。(1) 非アルキメデス付値に対する完備体 \scriptstyle (K,\ |\cdot|) 内のコーシー列 \scriptstyle\{ a_n \}_{n\ge 0} の収束点を α としたとき、α が 0 でないならば、十分大きな全ての n に対して|\alpha| = |a_n|が成立する。(2) 非アルキメデス付値体 \scriptstyle (K,\ |\cdot|) の完備化を \scriptstyle (K',\ |\cdot|') とする。このとき、K が代数閉体であるならば、K' も代数閉体である。このことから、例えば、p進体 \mathbb{Q}_p の代数閉包を \overline{\mathbb{Q}_p} とし、p進付値をこの代数閉包に延長したもので完備化した体を \mathbb{C}_p とおくと、 \mathbb{C}_p は代数閉体となる。
付値体 \scriptstyle (K,\ |\cdot|_K) は、|\cdot|_K によって完備であり、L を K の代数拡大体とすると、 |\cdot|_K は、L に一意的に延長が可能である。もし、L が K の有限次拡大であるならば、L の乗法付値を |\cdot|_L とおくと、L は |\cdot|_L で完備となり、|\alpha|_L = \sqrt[n]{|N_{L/K}(\alpha)|_K}が成立する。但し、n は L の K に対する拡大次数である。注意として、L が K の無限次代数拡大体であるとき、L が完備になるとは限らない。 例えば、p進体の代数閉包は完備ではない。
聞役の制度が出来たのは、正保4年（1647年）にポルトガル船が長崎に来航した際に諸藩から出兵した時から元禄元年（1688年）までの間である。ポルトガル人の追放後、鎖国政策が確立してゆくのに伴い、異国船来航などの緊急時の情報収集や、平時での長崎奉行と国元の間の連絡等のために、西国各藩から派遣されるようになった。寛永の頃までは、どの藩も蔵屋敷はあったが、それは町屋を借りたもので、身分の低い軽輩の者を置くか、長崎の町人に管理させ、奉行所からの飛脚の取り次ぎをする程度で、藩の家臣を常駐させる事は無かった。しかし、ポルトガル船の来航の際は、諸藩が長崎へ軍勢を出陣させるに至った。この事件で長崎の重要性を感じた各藩が、附人を派遣するようになったという。この「附人」が後の聞役である。「聞役」という名称が使われるようになるのは、宝暦から明和にかけての時期（1751年から1771年）と推測されている。1年中長崎に詰めている聞役を定詰（じょうづめ）または定居（じょうきょ）と称し、オランダ船が長崎に入港し滞在する5月中旬～9月下旬の5ヶ月間だけ長崎に詰める聞役を夏詰（なつづめ）と呼んだ。前者は佐賀藩・福岡藩（秋月藩・筑前藩）・対馬藩・熊本藩（肥後藩）・小倉藩・平戸藩の6藩で、後者は鹿児島藩（薩摩藩）・萩藩（長州藩）・久留米藩・柳川藩・島原藩・唐津藩・大村藩・五島藩（福江藩）の8藩である。平戸藩の職制では聞役は使番であり、これは近習など藩主の御側勤めの経験がある中級家臣の任じられる役職で、郡代や町奉行よりも上であったし、薩摩藩では江戸や京都・大坂の留守居役などと並ぶ重要な役職であった。一方で、柳河藩の分限帳では代官や徒士頭より下位の位置づけである。また、聞役は基本的に単身赴任であって、妻子は国元に置いてきた。