バナッハの不動点定理は、反復合成写像が不動点を持つことを保証するために満たすべき条件に関する一般的な判定法を与える。。一方、ブラウワーの不動点定理は構成的な方法ではなく、「n-次元ユークリッド空間における閉単位球からそれ自身への連続関数は必ず不動点をもつ」ことを述べる が、どのように不動点を求めればよいかについて何も言及しない（スペルナーの補題も参照）。たとえば、余弦関数 cos は区間 [−1, 1] において連続な [−1, 1] への函数であるから、不動点を持たねばならない。グラフを書けば明らかに、余弦曲線 y = cos(x) は直線 y = x と交わり、そこに不動点を持つ。この不動点は、数値的にはおよそ x = 0.73908513321516… である。代数的位相幾何学におけるレフシェッツの不動点定理（およびニールセンの不動点定理）は、ある意味で「不動点の個数を数える方法」を示すものであるため重要である。これらは、バナッハ空間や他のさらに抽象的な空間への一般化が数多く知られており、偏微分方程式論に応用されている。詳しくは無限次元空間における不動点定理を参照されたい。このほか、コラージュ定理はフラクタル圧縮の分野における定理であり、多くの画像に対して、ある比較的小さな式で表される関数が存在して「どんな初期値の画像から始めても、その関数を繰り返し適用すれば、急速に目的の画像に収束する」ようにできることが証明するものである。
数学における不動点定理（ふどうてんていり、英: fixed-point theorem）は、ある条件の下で自己写像 f: A → A は少なくとも 1 つの不動点 （f(x) = x となる点 x ∈ A）を持つことを主張する定理の総称を言う。不動点定理は応用範囲が広く、分野を問わず様々なものがある。
長崎県出身。9歳からバレエ、14歳から体操を習い、純心女子高等学校で体操部に所属した。長崎県立女子短期大学体育科時代には、九州学生体操競技選手権大会で優勝する。卒業後、体操指導者の内村和久と結婚。諫早市の自宅に体操教室を開き、航平も3歳のときからこの教室で指導した。長女の内村春日も日本体育大学在学中の2011年に全日本学生体操競技選手会で個人総合優勝を達成し、「体操一家」とも呼ばれる。2014年の第69回国民体育大会では長崎県の体操成年女子チームの監督を務めた（和久は成年男子の監督）。2014年9月の第47回体操全日本シニア選手権に出場、21位（50歳以上の部ではトップ）の成績であった。
内閣総理大臣は、指定された期間内であっても、部隊等の出動の必要がなくなったと認める場合には、速やかに、部隊等の撤収を命じなければならない（自衛隊法81条の2第3項）。
太平洋戦争の敗戦後、日本はあらゆる面において窮迫した状況であったが、特に緊急の課題となったのは食糧不足であった。配給もままならぬ状態で国民の怒りは1946年（昭和21年）5月19日の食糧メーデーにおいて25万人が皇居に集まる事態に発展した。連合国軍最高司令官総司令部 (GHQ) は治安維持の観点から備蓄食糧を放出すると同時に河川開発による灌漑整備によって食糧増産を図る方策を採った。北上川上流改修計画もこの観点に沿った計画変更がなされ、日本最大級の面積を有する胆沢扇状地を流域に抱える胆沢川の石淵ダム建設を先に行うこととなり、田瀬ダムは施設維持を行うだけで建設再開はされなかった。同時に、食糧増産を行うため一旦離村した水没住民に対し帰村を許可し耕作を行わせた。ところが北上川流域では1947年（昭和22年）9月のカスリーン台風、翌1948年（昭和23年）9月のアイオン台風と二年連続で大型台風が上陸、北上川水系に致命的な被害を与えた。カスリーン台風は推定で毎秒9,000立方メートルという北上川過去最悪の洪水量を記録し、アイオン台風では一関市を中心に死者・行方不明者709人、被害額約127億5,000万円（当時）という壊滅的な被害をもたらした。当時の日本は戦中の森林乱伐による保水力の低下、河川改修中断による治水の停滞に起因する水害が頻発。昭和28年西日本水害や紀州大水害など死者・行方不明者が1,000人を超える災害も発生していた。こうした水害の続発が戦災からの経済復興に対して大きな阻害要因となることを懸念した内閣経済安定本部は、内務省より河川行政を継承した建設省 に対して新たな治水計画の策定を命じ、建設省は治水調査会を設置して計画の検討を開始した。治水調査会は1949年（昭和24年）日本の主要10水系において河川改訂改修計画をまとめ、その中で北上川を始め鳴瀬川・江合川、利根川、木曽川、淀川、吉野川、筑後川の各水系については多目的ダムを建設し、治水に重点を置いた河川改修を打ち出した。こうした経緯があり従来実施されていた北上川上流改修計画は北上川上流改訂改修計画として変更され、北上川五大ダム計画はより強力に推進された。さらに1950年（昭和25年）には国土総合開発法が施行され、本格的な経済発展を目指すためには食糧不足に対応するための灌漑整備、および深刻な電力不足を解消するための水力発電といった利水を河川開発によって総合的に実施するという方策が採られ、日本の22地域が特定地域総合開発計画の対象地域に指定された。背景にはアメリカ合衆国大統領・フランクリン・ルーズベルトによるニューディール政策の一環として実施されたテネシー川流域開発公社、いわゆるTVAの成功がある。世界恐慌以降の財政建て直しに成功し、太平洋戦争勝利の原動力となったTVAは敗戦による国力の疲弊から抜け出せなかった日本においていわば成功例の見本であった。北上川水系では岩手県と宮城県でそれぞれ別個に河川総合開発事業が実施されていたが、これを統合する形で北上特定地域総合開発計画 (KVA) が策定された。これにより北上川五大ダムに加え迫川の花山ダム・江合川の鳴子ダムなどといった多目的ダムが計画されたが、田瀬ダムは洪水調節・水力発電に加え稗貫郡・和賀郡の農地灌漑が新たな目的として付加され、1950年10月に建設が6年ぶりに再開された。