環 R 上の加群 M の元 m は、環の正則元 r が存在して、m を零化する、すなわち r m = 0 となるとき、加群の捩れ元 (torsion element) という。加群 M の捩れ元すべてからなる集合を t(M) と表す。環 R 上の加群 M は、t(M) = M であるとき、捩れ加群 (torsion module) と呼ばれ、t(M) = 0 であるとき、捩れがない (torsion-free) と言う。t(M) が M の部分加群をなすとき、t(M) を捩れ部分加群 (torsion submodule) という。環 R が整域(可換性だけでは足りない。実際Z/6Zを自分の上の加群と見てみればよい)であれば、t(M) は捩れ部分加群である。R が非可換であれば t(M) は部分加群になるとは限らない。R が右Ore環であることと、t(M) がすべての右 R 加群に対して M の部分加群であることとは同値である。右ネーター域は Ore であるので、これは、R が右ネーター域の場合を含んでいる。より一般的に、M を環 R 上の加群とし、S を R の積閉集合とする。このとき標準的な写像 M → MS の核を tS(M) と表す。tS(M) = M のとき、つまり M のすべての元 m は、S のある元 s によって零化されるとき、M は S-捩れ (S-torsion) と呼ばれる。また tS(M) = 0 のとき、M はS-捻れなし (S-torsionless) という。特に、S を環 R の正則元全体の集合ととると上記の定義が再現される。
群 G の元 g は、有限位数を持つとき、つまり、正の整数が存在し、gᵐ = e となるようなとき、群の捩れ元 (torsion element) と呼ぶ。ここで e は群の単位元を、 gᵐ は m 個の g のコピーの積を表す。群は、すべての元が捩れ元であるとき、捩れ群 (torsion group)、あるいは周期群 (periodic group) といい、捩れ元が単位元のみ場合を捩れのない群 (torsion-free group) という。アーベル群 A の捩れ元全体 T は部分群をなし、捩れ部分群 (torsion-subgroup) と呼ばれる。このとき A/T は捩れのない群である。
捩れは群の元と環上の加群の元とに対してそれぞれ定義される。任意のアーベル群は整数環 Z の上の加群と見ることができ、この場合は 2つの捩れの考え方は一致する。
熊本県八代市の医王寺や、熊本県阿蘇市の西巌殿寺には、足手荒神として青面金剛が祀られているという。青面金剛は、庚申信仰の本尊であり、病魔退散の力を有するとされているものである。一方で、西巌殿寺の足手荒神はお鏡石という丸い霊石が信仰の対象で、大分県竹田市飛田川や熊本県小国町の足手荒神などはこの分霊で、信仰圏は大野郡、直入郡、さらに宇和海を渡り四国にまで及ぶとの報告もある。熊本市中央区にある本覚寺境内の足手荒神では、22世住職が掘り出したという五輪塔の丸石を祀り、玉名市岱明町の手足荒神では、五輪塔の石を寄せ集めた六輪塔をご神体とする。熊本県山鹿市の宗泉寺では、「足手三宝大荒神」を祀り、八代市の医王寺についても、三宝荒神の文字と梵字が刻まれ、荒神の祭りが庚申祭りであるとの民俗学者による記録があり、三宝荒神信仰との結びつきも見られる。手足を負傷して死んだという武将・甲斐親英（宗立）を祀る熊本県嘉島町の甲斐神社は足手荒神の総本社と称し、熊本県和水町や菊池市下古閑集落の足手荒神、熊本県大津町の西鶴甲斐神社、荒尾市の府本甲斐神社、熊本県美里町の砥用甲斐神社（現在廃社）などは、この分霊を勧請したものという。もっとも、同じ熊本の中でも、旧飽託郡の足手荒神について、手足の疾病のため敵に追いつかれて落命した託麻某という武士の後身であるとする、甲斐宗立とは別の伝来も報告されている。また、別府市南立石の「手足荒神」は、やはり手足の疾病平癒を祈願し、手型足型を奉納するという信仰であるが、これにも手足を痛めていて不覚をとった武士についての由緒があり、概略は次のようなものである。慶長5年（1600年）、九州の関ヶ原と言われる石垣原の戦い（黒田如水 対 大友義統）の前日の夜半、斥候中に崖から落ち、手足を骨折した黒田方の侍が大友の兵に捕らえられた。侍は、『手を挫かずば、お前共の手に掛かる者ではない。切って手柄にせよ。死して百年の後まで、魂はこの世にとどまり、手足を挫いた者を救うであろう』と言い残し斬首された。哀れんだ大友の将・吉弘統幸が侍を手厚く埋葬したとの伝説、この合戦で傷を負った兵がこの地で傷を癒したとの伝説があり、手足を挫いた者がここを参詣すると不思議に治ることから、祠を建て「手足荒神」として信仰されるようになったのだという。元は個人の屋敷神であったらしいが、その信仰圏は大分方面や速見郡などに広がっているとされる。大分県九重町の二日市足手荒神社は、少彦名神などを祭神とし、薬師如来が刻まれた室町時代のものと推定される石造宝塔をご神体とする。少彦名神も薬師如来も、医薬の神仏とされるものである。