弘治3年（1557年）、 伊勢国の海賊で、今川氏や武田氏に水軍の将として仕えた向井正重の子として誕生。天正7年（1579年）9月19日、三河国の徳川氏の駿河侵攻において徳川家臣・牧野康成らが駿河国用宗城（静岡県静岡市）を攻め、この合戦により父・正重や義兄・政勝が討死した。政綱はこれにより家督を継承し、同年10月16日には武田勝頼から遺領を安堵されている。天正8年（1580年）4月25日には武田氏の伊豆浦攻めにおいて、政綱は武田水軍の小浜景隆とともに相模国・後北条氏の梶原備前守率いる北条水軍と戦う。天正9年（1581年）3月29日には、小浜景隆のもとで政綱や海賊衆の伊丹虎康らが伊豆久料津（静岡県沼津市）において、北条水軍の梶原備前守を撃破する。政綱はこの功績により同年4月8日付で勝頼から感状を与えられている。天正10年（1582年）3月に織田氏の甲州征伐により甲斐武田氏が滅亡すると、水軍を欲しがっていた徳川家康の命をうけた本多重次の誘いを受けて、他の武田水軍衆であった小浜氏、千賀氏、間宮氏らと共に召抱えられた。はじめ本多重次の配下として200俵の扶持を得て、伊豆国攻めや小牧・長久手の戦いなどに従軍。北条水軍の梶原景宗や、織田（羽柴）水軍の九鬼嘉隆ら名だたる水軍の将を破るなど目覚しい活躍をし徳川水軍の中心となっていった。その後、家康の乗る船を預かる御船手奉行に任じられ、小田原征伐においては相模湾での包囲を担当した。徳川氏が江戸へ移封されると、相模国・上総国で2千石を得て、相模国三崎に入った。関ヶ原の戦いでは海路が荒れて遅参するものの、その地位は変わらず江戸湾の警護・発展に貢献した。寛永2年（1625年）、死去。墓所は神奈川県三浦市の紫陽山見桃寺。
鈴木かほるによれば、氏祖は仁木義長の子長宗であり、向氏の発祥地は伊賀・伊勢の国境に位置する伊賀国向庄である。この地は太閤検地により伊勢国に属した伊勢国鈴鹿郡関町大字加太向井である。おそらく義兄長谷川長久の招きであろうが、正綱の父正重のとき駿河に渡海し今川義元に仕えている。正重は今川氏滅亡の後は武田信玄より「海賊の儀」として招かれ、「駿州四海賊」の一として度々の感状を賜っている。ところが天正7年(1579年)9月、徳川家康の攻撃を受け駿河持舟城において城代三浦義鏡とともに死守し、養子政勝(実父は長谷川長久)とともに自害し果てている。武田勝頼が滅亡すると、子正綱は徳川家康の帰属し海上軍事官僚として御召船奉行として活躍している。「向」を「向井」と書くようになったのは正綱からであり、将監と称したのは子忠勝である。
声のトーンの高低を変えるだけで低い時には渋い二枚目に、高い時にはマンガ的なキャラクターへと全く違った印象を与える巧みさを持つ。特に後者についてコメディー作品における台本にない台詞を吹き替えに収めて作品の魅力を引き出す卓越した演技と「ようっとな」「いいんでないかい」「なんともはや」「…っちゃったりなんかして」「はた?」「恥ずらかしい」「きらーん♪」と駄洒落を交えた台詞などファンの間で「広川節」「広川太一郎調」と呼ばれる独特の語り口で知られる。テレビアニメ『MEZZO -メゾ-』の黒川健一や特撮『獣拳戦隊ゲキレンジャー』の臨獣ピッグ拳タブーでは台詞にこれらの演出があり、吹き替えファンへのサービス的なパロディネタがされている。特にゲキレンジャーに出演の際、広川がタブーの声を演じる事を知った番組アクション監督の石垣広文が「広川さんが(声を)やるなら俺がスーツの中に入るから殺陣師は別の人を立ててくれ」と言うほどスタッフ間でも話題になった。クールな口調のナレーションからハイテンションなナレーションまでこなしており、特にCMナレーションを全盛期には月に30〜40本も務め「広川太一郎の声を聞かない日はない」とも評されている。『キャノンボール』のテレビ吹き替えでは、マイケル・ホイにロジャー・ムーアという似ても似つかぬ役を一人二役でこなした。また、洋画の吹き替えでは、同一の俳優を羽佐間道夫と別音源で担当するケースも多かった。しばしばアドリブと誤解される吹き替えでの独特のフレーズは、最初からシナリオ通りだったとTBSラジオにて発言。その軽妙洒脱な持ち味から一般に「アドリブの天才」「アドリブの達人」と評されることもあるが厳密には事前にもらった台本に自身が考えた駄洒落やフレーズをびっしりと書き込み、これを基に打ち合わせして収録するのだという。とりわけ香港映画のコメディー『Mr.BOO!』シリーズがフジテレビで放送される際、担当したマイケル・ホイの台詞が「もたもたして古臭い。吹き替えで面白くしないと」とディレクターと相談してオリジナルにない台詞を連発、オリジナルより面白くなったと評判になった。2005年にユニバーサルから『Mr.BOO!』シリーズのDVDが発売された際に、一部作品を除いて吹き替え版が収録されている。なお、普段はのべつ幕無しにギャグを発したりはしなかった。また、演出家の伊達康将は『007 美しき獲物たち』のリハーサルの際に「ヘンなアドリブは入れません」と自分から公言しており、広川は（『007シリーズ』のロジャー・ムーアの吹き替えを）最初からアドリブはしないと決めていたんだろうと当時の出来事を回想している。同じく小山悟も自分から注文を出したわけではないものの、アドリブを控えてもらおうという自分の考えを理解して演じてくれたんだろうと語っている。