カザンに生まれる。6歳から17歳までカザン音楽院に学ぶ。1971年に17歳でロン＝ティボー国際コンクールで4位入賞。その後モスクワ音楽院で6年間ヤコフ・ザークに師事。1974年にチャイコフスキー国際コンクールのピアノ部門で第3位に入賞、ブロンズ・メダルを獲得。1975年にはベルギーのエリザベート王妃国際音楽コンクールで3位入賞。1976年、ソヴィエト体制に抑圧されているとの実感から、ローマで演奏旅行中に亡命を敢行。1977年にはヴァン・クライバーン国際ピアノコンクールに参加、最終選考に残らなかったものの、聴衆の支持を得る。落胆した聴衆の中には、怒りのあまり審査員に詰め寄って、優勝者と同じ1万ドルの賞金をエゴロフに授与すべきだと言い出す者さえ現れた。1978年1月23日にニューヨーク・デビューを果たす。それから3日後のシカゴ・デビューは、批評筋から「世紀のデビュー」になぞらえられた。『ミュージカル・アメリカ・マガジン』誌 1978年7月号は、エゴロフを「今月の音楽家」に選んでいる。同年12月16日にはカーネギー・ホールにデビューし、その演奏はライヴ録音により残された。ハロルド・ショーンバーグはニューヨーク・タイムズ紙に寄稿して、エゴロフは「自由闊達なロマン様式の演奏をし、その解釈は、実に多くのコンクール勝利者たちとから全くかけ離れたものである」と述べた。1979年8月に、エゴロフの2枚のアルバムがビルボード誌上において、クラシックのベストセラーLPとして言及された。1980年代はもっぱらヨーロッパで演奏活動を行ない、アメリカ合衆国での最後のステージは、1986年・フロリダ州のリサイタルだった。オランダに亡命し、西側でゲイであることをカミングアウトした。1988年、アムステルダムにてエイズによる合併症のため死去、33歳。没年までに14点の録音を制作しており、さらにいくつかのリリースが待たれているところだった。
ポリュネイケースの子テルサンドロスの子ティーサメノスの子アウテシオーンの娘で、テーラースと兄弟。ヘーラクレイダイの1人アリストデーモスと結婚し、双生児エウリュステネース、プロクレースを生んだ。アルゲイアーは子を出産してすぐに夫を亡くした。スパルタ人は双生児のうち長子を王として養育しようとしたが、2人があまりにそっくりなためにどちらが長子なのか分からなかった。そこで2人を王にしたいと考えていたアルゲイアーは一計を案じた。どちらが長子か尋ねられたときに知っていたにもかかわらず判らないと答えたのである。困ったスパルタ人がデルポイの神託に頼ったところ、「どちらも王にすべし、ただし長子をより大事にせよ」とのことだった。そこでスパルタ人はメッセネー人パニテースの助言に従い、アルゲイアーがどちらを優先的に世話しているのかを観察することで見極めることができた。そこで長子のエウリュステネースを国費でもって養育した。2人の息子はアルゲイアーの望みどおりにともに王となったが、2人は生涯仲が悪かった。
フランスでは、1789年のバスティーユ監獄の襲撃に端を発したフランス革命とその後の第一次対仏大同盟との戦争を通じて、ナポレオン・ボナパルトが頭角を現した。ナポレオンは対仏大同盟の中核を担うイギリスに打撃を与えるため、イギリスと最重要の植民地インドとの中継交易路となっていたオスマン帝国領エジプトの制圧を試み、1798年にエジプト遠征を開始した。表向きの理由はオスマン帝国の権威を回復させることであり、フランス人がイスラームとクルアーンに敬意を払っていることを喧伝するプロパガンダが行われたものの、こうした建前が多くのエジプト人たちを納得させたということは無いであろう。ムラード・ベイとイブラーヒーム・ベイの指揮の下、マムルークを主体とするエジプトの軍団がフランス軍を迎え撃ったが、兵力的に劣るにも関わらず1798年7月21日のピラミッドの戦い（エムバベの戦い）はフランス軍の完勝に終わった。これはエジプトにおいて西欧の軍事的優位を証明する出来事となった。フランス軍はカイロに進駐し、部族長階級、マムルーク、そしてフランス人からなる市議会を組織した。その後、アレクサンドリアやその他の重要な都市からの代表も加わった。だが、この市議会は独裁的権力を行使していたナポレオンの命令を追認するだけであった。フランス軍によるカイロ入城直後の1798年8月1日、ネルソン提督率いるイギリス艦隊によってアレクサンドリアのアブキール湾に停泊していたフランス艦隊が壊滅させられ、また上エジプトに派遣されたフランス軍がムラード・ベイの身柄を確保することに失敗（彼らは第1急湍まで到達した）したことで、フランス軍の無敗というエジプト人の信仰は崩壊した。一連の好ましくない改革の結果、征服者たるフランス軍と被征服者たるエジプト人の関係は日に日に緊張を増し、最後には1798年10月22日の家屋税の導入によってカイロで暴動が発生した。この反乱の本拠地はアズハル大学であった。この時、カイロ副知事（lieutenant-governor）であったフランスの将軍ドミニク・マルタン・デュピュイが殺害された。ナポレオンの迅速な処置と、アレクサンドリアの将軍ジャン＝バティスト・クレベールの到着により、この暴動は速やかに鎮圧された。しかし、アズハル・モスクにフランスの騎兵隊が駐屯したことは大きな、そして消えることのない遺恨を残した。制海権を失ったナポレオンはシリア遠征によって状況打開を狙ったが成果を上げることはできなかった。ナポレオンは1799年6月初頭に運に恵まれなかったシリア遠征から帰還した。ムラード・ベイとイブラーヒーム・ベイはこの機会を利用して軍を集め、カイロでフランス軍に対する共同攻撃を試みた。しかしナポレオンは救援に間に合い、ムラード・ベイとイブラーヒーム・ベイは打ち破られた。7月の最後の週、ナポレオンはシドニー・スミス卿が指揮するイギリス艦隊の支援でアブキールに上陸したオスマン帝国軍を完全に撃破した。この勝利のすぐ後、ナポレオンは本国の戦況悪化を理由に少数の部下と共にエジプトを去り、クレベールに自分に代わってエジプトを統治するよう命じた。残留したフランス軍は求心力を喪失したが、フランス軍はオスマン帝国軍を撃破し、カイロで発生した暴動も鎮圧するなど、頑強に持ちこたえなお2年間エジプトに踏みとどまった。しかし1800年7月14日にはクレベールが暗殺され、後任のジャック＝フランソワ・メヌーは1801年3月、アブキールに上陸してきたラルフ・アバークロンビー率いるイギリス軍に敗れた。その後さらにオスマン帝国軍の増援がイギリス軍に加わった。5月30日、カイロのフランス軍指揮官オーギュスティン・ダニエル・ベリアールはジョン・ヒーリー・ハッチンソン率いるイギリス軍とユースフ・パシャ率いるオスマン帝国軍によって挟撃された。交渉の後、ベリアールはカイロからの撤収に同意し、13,734人の兵士と共にフランスへと渡った。8月30日、メヌーもほぼ同様の条件を飲むことを余儀なくされ、10,000人のフランス兵と共に9月にヨーロッパへと去った。これがフランスによるエジプト占領の終焉であった。遠征に同行したフランスの学者たちが編纂した『エジプト誌』は、この占領を記憶に留める永久の記念碑である。