彼は三角形の面積が減少するに連れて三角形の内角の和が増加するという非ユークリッド幾何の結果を証明し、このことで半径が虚数の球面上の幾何という考えに思いを巡らせることとなったが、しかし彼はこれ以上のこの考えを追求しなかった
ハイヤームやサッケーリが平行線公準を証明するために鋭角仮定や鈍角仮定といった別の可能性が誤りであるということを証明しようと試みたのに対し、19世紀に数学者たちはこれら別の可能性をむしろ発展させ、最終的に論理的に矛盾のない幾何学を発見した
1829年、ニコライ・ロバチェフスキーは無名のロシアの学術誌に鋭角仮定下の幾何学に関する記事を掲載する（1840年にまとめ直したものがドイツで出版されている）
1831年、ボーヤイ・ヤーノシュは彼の父ボーヤイ・ファルカシュの本の付録にて、やはり鋭角仮定下の幾何学を説明した
ボーヤイがロバチェフスキーと独立に理論を発展させたことには疑いがない
カール・フリードリヒ・ガウスも同様の問題を研究しており、1822年には手紙の中で非ユークリッド幾何学について言及しているものの、結果を公表しなかった
ガウスは友人であったファルカシュから息子ヤーノシュの結果について手紙で意見を求められた際、こう返答している
「もし私がこの業績を称賛するわけにはいかないという言葉で始めれば、あなたは一瞬驚くことでしょう
しかし、そう言わざるをえないのです
これを称賛することは、私自身を称賛することになるのです
実際のところ、あなたのご子息がたどった道、導いた結論、全ての研究は、ここ30年から35年もの間、私の頭の中の一部分を占めていた考えとほぼ完全に一致するのです」結果として得られた幾何学はニコライ・ロバチェフスキー、ベルンハルト・リーマン、そしてアンリ・ポアンカレによって双曲幾何学（鋭角の場合）と楕円幾何学（鈍角の場合）へと発展していった
平行線公準とユークリッドの他の公準が論理的に独立であることは、最終的には1868年、ユージニオ・ベルトラミによって示された

平行線公準（へいこうせんこうじゅん）とは、ユークリッド幾何学における特色のある公準である。平行線公理、ユークリッド原論における5番目の公準であったことから、ユークリッド（エウクレイデス）の第5公準（公理）とも呼ばれる。これは2次元幾何学において次のようなことを述べている。1つの線分が2つの直線に交わり、同じ側の内角の和が2直角より小さいならば、この2つの直線は限りなく延長されると、2直角より小さい角のある側において交わる。ユークリッド幾何学は平行線公準を含む全てのユークリッドの公準を満たすような幾何学を研究するものである。平行線公準が成立しない幾何学は非ユークリッド幾何学と呼ばれる。平行線公準から独立した幾何学（つまり、ユークリッド公準のうち、最初の4つの公準しか仮定しない幾何学）を絶対幾何学（もしくは中立幾何学）と呼ぶ。
7月場所は中日まで6勝2敗の成績だったが、そこからこれまで苦手として来た力士に加え阿覧や豊真将にも完敗するなど5連敗し、千秋楽にも鶴竜に土俵際の逆転で敗れ7勝8敗と負け越し、9月場所は12場所目の小結へ陥落した
その9月場所でも把瑠都を破ったものの7勝8敗と負け越し、11月場所は前頭筆頭に転落した
11月場所、2日目には63連勝中の白鵬を寄り切りで破って連勝記録を止め、同時に自身3個目の金星獲得ともなった
最終的には10勝5敗となり、殊勲賞を受賞した
白鵬からの大金星を挙げたことを受けて、部屋では鯛を用意して稀勢の里を祝った
稀勢の里が鳴戸親方に褒められたのはこの金星を取ったときが唯一である
2011年、1月場所は11日目に23連勝中だった白鵬を押し出しで破った
最終的に11月場所と同じ10勝5敗で取り終え、2場所連続で殊勲賞を受賞した
関脇での二桁勝利は自身初
ただし西関脇の琴奨菊が11勝を挙げたため、次の5月技量審査場所では西関脇に番付を下げた
この場所では、不戦勝の琴欧洲戦を除く上位の外国人力士には全敗を喫するなど不振で、千秋楽で8勝7敗と勝ち越したが、東関脇の琴奨菊が10勝を挙げたため7月場所の番付は西関脇を維持した
7月場所は終盤に5連勝し、千秋楽では14戦全勝で優勝を決めていた日馬富士に土をつけ全勝優勝を阻むなど10勝5敗を挙げ、3度目の三役での二桁勝利となったが、東関脇の琴奨菊は11勝を挙げたため9月場所の番付も西関脇のまま維持となった
その9月場所は初日から8連勝で幕内では初の中日勝ち越しを決めたが、9日目に初黒星を喫し、その後も2連敗したが、12日目に白鵬を小手投げで破り最終的に12勝3敗で取り終えた
この時点では優勝決定戦による逆転優勝の可能性があったが、結びの一番で白鵬が勝ったため優勝はならなかった
しかし白鵬を破ったことが評価されて殊勲賞を受賞した
大関挑戦の場所となった11月場所の直前に師匠の鳴戸親方（元横綱・隆の里）が急逝
初日から4連勝の後、5日目に平幕の豪栄道に敗れる
14日目に10勝目をあげ、この時点で大関昇進の目安である直前3場所33勝まであと1勝の32勝となったが、最近6場所中5場所で二桁勝利を挙げていること、横綱白鵬に対し3勝3敗と互角であることや相撲内容から千秋楽の結果を待たずに審判部が会議を開き、臨時理事会を開催するよう放駒理事長（元大関・魁傑）に満場一致で要請し、30日に理事会の開催が決定
理事会で大関昇進が見送られた例がない（横綱昇進の場合のみ）ため事実上大関昇進が決定した
千秋楽は新大関の琴奨菊に敗れて（この敗戦により対琴奨菊戦は前年の11月場所から6連敗となった）10勝5敗に終わったが、相撲内容が評価されて技能賞を受賞した
しかし一部のマスコミ関係者などには、稀勢の里の大関昇進に対し疑問の声も存在した
本人も千秋楽の琴奨菊戦で黒星を喫したことに関しては心底悔しがっており、2017年1月場所千秋楽にも「また千秋楽に負けて、あのときのような気持ちには絶対になりたくない」と構えていた