グッドスタインの定理は（ペアノ算術を逸脱する技法を用いて）以下のようにして証明できる。まず、与えられたグッドスタイン数列G(m)について、これと並行する順序数の数列を作る。この並行する数列の各項は、元のグッドスタイン数列に含まれる各項よりも小さくはないこととする。もしこの並行数列の項が0に収束するならば、グッドスタイン数列も同じく0に収束しなければならない。並行数列を作るには、グッドスタイン数列の第(n − 1)番目の項のnを底とした遺伝的記法をもとに、そこに現れる全てのnを最初の超限順序数であるωで置換する。順序数は加算、乗算、冪乗についてWell-definedであり、かつ、結果として得られる順序数は元の項より小さくないことが明らかである。グッドスタイン数列における「底の変更」操作は、並行数列の項には影響しない。つまり、に現れる全ての「4」をωで置換する代わりに、全ての「4」を「5」で置換した後に改めてωで置換しても結果は同じである。ところが「1を引く」操作のほうは、並行数列の超限順序数を減算することに対応する。今の例では、この操作を施すとはに減算される。順序数は整列順序 (well-order) なので、無限に減り続けるような順序数の数列は存在しない。従って並行数列は有限個の項の後で必ず0で終わらなければならない。グッドスタイン数列も、並行数列によって頭を押えられているので、同じく0で終わることになる。グッドスタインの定理に関するこの証明はかなり易しいが、一方この定理がペアノ算術には含まれないと述べる「Kirby-Parisの定理」はテクニカルではるかに難しい。その中ではペアノ算術の可算で非標準的なモデルが利用される。そこでKirbyはグッドスタインの定理からゲンツェンの定理(en)が導かれることを示した。つまり、グッドスタインの定理はε₀までの帰納法の代わりとなるのである。
グッドスタイン数列を定義するに当たり、まず「nを底とした遺伝的記法」を定義する。ある自然数をｎを底とした遺伝的記法で表すためには、まずその数を（ただし、は0とn-1の間の値をとる整数）という形に書き換える。次に、ここに現れる各項を独立したnの積で表す。たとえば は という形になる。そのあと今度は全ての指数kをnを底とした遺伝的記法に書き換える。以下、再帰的に繰り返して、記述中に現れる全ての数字がnか0になるまで続ける。つまり指数でない全ての数字はnとなり、全ての指数（とその指数）はnまたは0になる（である点に注意）。例えば、35は2を底として普通に書くととなるが、遺伝的記法で書くととなる。数字mのグッドスタイン数列をG(m)と書き、次のように定義する。数列の初項はmとする。次項を得るには、mを2を底とした遺伝的記法で書いてから、現れる「2」を全て3に置換し、結果から1を引く。これがG(m)の第2項である。G(m)の第3項を得るには、一つ前の項（の3を底とした遺伝的記法）の「3」を全て4に置換し、結果からまた1を引く。以下、同様に繰り返し、結果が0になった時が数列の終わりである。
グッドスタインの定理（グッドスタインのていり、Goodstein's theorem）は、数理論理学における自然数に関する命題であり、「全てのグッドスタイン数列は必ず0で終わる」という主張。ペアノ算術の範囲では証明も否定の証明もできないが、集合論の公理系、特に無限集合の公理を用いると真であることが言える。たとえばゲーデルの不完全性定理から導かれる決定不能な命題などは、いかにも不自然だったり人工的に見えたりする場合があるのに対し、この定理は「自然な」決定不能命題の例として知られる。
De Camptown ladies sing dis song,Doo-dah! doo-dah!De Camptown racetrack five miles long,Oh! doo-dah-day!I come down dah wid my hat caved in,Doo-dah! doo-dah!I go back home wid a pock-et full of tin,Oh! doo-dah-day!chorusGwin to run all night! Gwin to run all day!I'll bet my mon-ey on de bob-tail nag,Somebody bet on de bay.
2005年1月、国際実務マーケティング協会を設立。特定の業種・業界に限らず幅の広いマーケティングの知識や実務を判断できることから業種・業界・年齢問わず様々な受験者が受けており、受験者は増え続けている。現在は、B級・C級を受験することが可能で、A級・準A級については実施準備中である。なお、この検定の合格者は貿易実務検定の貿易マーケティング試験が免除される。
1849年にロシアで司祭の家庭に生まれたパブロフはペテルブルク大学ですい臓の神経を研究し、卒業後に医学校に編入して『心臓の遠心性神経』の論文で学位を取得して生理学教授となる。1890年にサンクトペテルブルク大学の実験医学研究所生理学部を設置し、条件反射に関する研究を進めた。本書はこのような研究を踏まえてロシア陸軍軍医学校で行った講義の筆記記録を編集したものである。行動主義心理学の古典的な著作として評価されている。パブロフは必ずしも心理学的な観点ではなく、生理学的な観点から条件反射について研究している。つまりデカルトが述べているように、動物を環境に対して一定の対応をもたらすものとパブロフは見なしていた。その反応に注目することで環境への動物の対応を理解しようとし、犬の唾液反射を観察した。具体的には犬に対してさまざまな刺激を加えることで得られる唾液の分泌分量を測定した。与えられる刺激は聴覚刺激だけでなく、触覚刺激などであり、生理的な反応が調査された。パブロフはこのような研究を踏まえて無条件反射と条件反射の概念を提唱した。無条件反射とは生まれながら動物が持つ反射であり、犬が摂食の際に唾液を分泌する反応がこれに含まれる。条件反射とは無意識の学習によって得られた反射であり、犬がベルの音と食事を等しいと学習したことで、聴覚刺激により唾液分泌をもたらす反応が含まれる。したがって、動物は学習によって環境に適応した大脳皮質の神経経路を形成し、特定の反射を獲得することができることが分かる。人間と犬の大脳皮質には大きな差異が認められるため、このような条件反射の知識は即座に応用できるわけではない。しかし人間の教育の方法は犬の訓練と本質的に同等であり、人間も段階的学習により条件反射を獲得する。また外部からの刺激に適応することができない場合には神経症や精神病を患うことについても動物と人間は同じであり、衝撃に対しては神経衰弱や神経症的な興奮状態になってしまう。