シューア補行列は上記の行列 M にブロック下半三角行列 （Iₚ は p × p 単位行列）を右から掛けるという形でガウス消去法を施した結果として生じる（L を掛ければ、上側の p × p 行列としてシューア補行列が現れる）。実際、行列の積は  となっている。これはLDU分解のブロック行列版となるもので、実際 M について解けば  であり、M の逆行列は D が正則かつ D に関するシューア補行列の逆行列が（存在するならば）既知のときには、D, M/D の逆行列だけから  と計算できる。行列の反転補題の項では、上記の式と A, D の役割を入れ替えて同様の導出をした式との間の関係性が詳しく述べられる。
行列 A, B, C, D のサイズをそれぞれ p × p, p × q, q × p, q × q として区分行列  を考える。全体として M は (p + q) × (p + q) 行列になっている。以下本項で M と書けば断りなくこの区分行列を意味するものとする。D が正則であるとき、区分行列 M の区画 D に関するシューア補行列とは  で定義される p × p 行列を言う。同様に A が正則であるとき、M の A に関するシューア補行列とは  で定義される q × q 行列を言う。A や D が正則でない場合にも、逆行列の代わりに一般化逆行列を用いることにより、一般化シューア補行列を定義することはできる。
線型代数学関連分野におけるシューア補行列（シューアほぎょうれつ、英: Schur complement; シューア補元）は区分行列に対して定義される。名称はイサイ・シューアがシューアの補題の証明に用いたことに由来するが、それ以前からの使用が認められる。これを Schur complement と呼び始めたのはエミリー・ヘインズワースである。シューア補行列は数値解析 (特に数値線形代数) や統計学、行列解析の分野では主要な道具の一つとなっている。
グレイバックは1954年7月1日にカリフォルニア州ヴァレーホのメア・アイランド海軍造船所で起工した。1957年7月2日にジョン・A・ムーア夫人（グレイバック (USS Grayback, SS-208) 艦長の未亡人）によって命名、進水し、1958年3月7日に艦長ヒュー・G・ノット少佐の指揮下就役する。グレイバックは当初攻撃型潜水艦として指定されたが、1958年に SSG-574 （ミサイル潜水艦）に艦種変更された。アメリカ海軍初のレギュラス巡航ミサイル搭載用に設計されたミサイル潜水艦として、グレイバックは西海岸沿いに試験および整調を行った。1958年9月にカリフォルニア州ポートワイニーミ沖合において初の潜水艦によるレギュラス発射に成功し、艦艇からの地上基地に対する攻撃力の革命的な発展の転換点となった。10月30日にカリフォルニア州サンディエゴを出航したグレイバックは11月8日に真珠湾に到着し、1ヶ月間の訓練および艦隊演習の後メア・アイランドに帰還、「10,000マイルの点検」が行われた。レギュラスIIミサイルの開発支援も行っていたが、1959年2月9日、グレイバックはメア・アイランドを出航し母港の真珠湾に向かう。ポートワイニーミ、ロングビーチ、メキシコのマサトランを経由してハワイには3月7日に到着した。ハワイでの一連の演習の後、グレイバックはアラスカ州のダッチハーバー、ウンマク島、セクアム島、コディアックを訪問し、7月3日から31日までミサイル演習を行った。その後第1の戦略抑止哨戒が9月21日から行われ、11月12日に横須賀で完了した。その後12月8日に真珠湾に帰還する。1960年2月22日、グレイバックはミサイル発射システムの改良と電気回路の改修を行う。その後再び抑止哨戒を行い、続く2年以上に渡って7度の任務を完了し、合計18ヶ月間を海上で過ごす。そのほとんどの活動は海中で行われた。横須賀に加えてアラスカ州エイダック、真珠湾がこれらの哨戒の終了地として加えられた。グレイバックは9度の哨戒で20ヶ月以上を海で過ごし、130,000カイリ (209,000 km) 以上の巡航を行った。1963年8月27日、充電中のグレイバックは強い波の直撃を受ける。波によって主電源のブレーカーがショートし、停泊用コンパートメントで火災が生じた。一人の水兵がコンパートメントからの脱出に失敗し煙と有毒ガスによって負傷した。主推進力は短時間失われたもののすぐに回復した。グレイバックは自力で真珠湾に帰還し、修理には2週間を要した。ポラリスミサイル搭載潜水艦が多数運用される様になると、グレイバックと姉妹艦のグロウラーの任務は縮小されていった。レギュラスミサイル運用計画は1964年に終了し、グレイバックは任務から外されることとなった。グレイバックは1964年5月25日にメア・アイランドで海軍造船所で退役した。2度目の改修が1967年11月にメア・アイランド海軍造船所で始まった。改修には当初1,520万ドルかかるものと見積もられたが、結局3,000万ドル以上が費やされた。グレイバックは1968年8月30日に LPSS-574 （揚陸輸送潜水艦）に艦種変更された。改修によってグレイバックはセイルが10フィート高くなり、機関室前方に2個の補助タンクが増設されたことで船体長も12フィート延長された。そして、改修によって最も大きく変化した点はミサイル室が67名のSEALsおよびSDV (Swimmer Delivery Vehicles) を運搬できる様になった点であり、これには右舷格納庫の減圧室増設も含まれた。グレイバックは1984年1月15日にフィリピンのスービック海軍基地において2度目の退役をした。その後、1986年4月13日に南シナ海で標的艦として海没処分された。