毛利元春の五男、毛利広世が備後国の守護長井氏に養子に入ったことが、福原氏の始まりとなる。長井氏は鎌倉幕府政所初代別当大江広元の次男長井時広を初代とする大江氏の惣領家（毛利氏は広元の四男毛利季光を祖とするので同族）であった。長井時広は承久2年（1221年）の承久の乱の後、備後国に守護職を得て、次男長井泰重が六波羅評定衆となり、京都へと出仕した。泰重は備後のほか、備前・周防の守護職も得て、以降西国の所領はこの系統によって管理されるようになった（備後長井氏）。長井氏嫡流家（出羽長井氏）当主が長井泰秀であった宝治元年（1247年）に宝治合戦が起き、毛利氏当主の毛利季光は三浦泰村に味方して討死した。泰秀は北条氏に味方しており、越後にいた毛利季光の遺児、毛利経光を助け安芸国の所領の存続に尽力した。 建武の新政に係る混乱で備後守護職を失うものの、長井貞頼は足利尊氏に従って活動し、備後国の所領以外に播磨国浦上荘、越後国社荘、出雲国来次荘の地頭職を得た。しかし南朝:正平6年/北朝:観応2年（1351年）から始まる観応の擾乱の後、貞治2年（1363年）に討死した。子の貞広は今川了俊に従って九州を転戦し、永和元年（1375年）に筑後国で討死した。貞広は養子として毛利元春の子広世を迎えており、これが安芸福原氏の祖となるのである。長井広世は父の元春より安芸国内で福原村等を譲られ、後に広世は福原村に鈴尾城を築いて居城とし、長井から福原へと名字を変えた。養父長井貞広の縁もあり、足利将軍家等からも所領を安堵され、毛利氏宗家から独立した領主となった。
組合せ数学を確率の基礎として応用することがある。組合せの数がわかり、それぞれの個別の事象が独立であれば、確率は組合せの数で割れば求めることができるからである。
多くの極値的な問題では集合族を扱う。次はその簡単な例である。「要素数nの集合の部分集合の族で、どの2つも交わるようものの最大サイズはいくつだろうか？」 答えは、部分集合全体の数の半分であり、すなわち、2ⁿ⁻¹である。証明：Sを要素数nの集合とする。任意の部分集合Tとその補集合S − Tの中で高々1つしか選ぶことができない。これによって、選ぶ部分集合の最大数が部分集合の総数の半分以下になることが証明された。実際にこの数を達成できることを示すためには、Sの1要素xを持ってきて、xを含む全ての部分集合を選べばよい。より難しい問題は、極値解を特徴付けることである。この場合は、要求を満たしたまま他の選び方をすると最大数が達成できないことを示すことになる。極値f(n)を見つけることでさえ難しい場合もよくあり、そのときには漸近的な評価を与えることになる。
組合せ数学のこの分野は幾何学の一部を抽象化して、線形従属関係における特定の係数に依存しないベクトル空間におけるベクトルの (普通は有限な) 集合の性質を研究している。構造的な性質だけでなく数え上げ的性質もマトロイド理論の範疇に含まれる。例えば、ユークリッド空間におけるn個のベクトルの集合が与えられたとき、それらが生成できる平面の最大数はいくつだろうか？ (答えは二項係数C(n,2)である。) では、生成する平面の数がこれよりもちょうど1つだけ数が少なくなるベクトルの集合は存在するだろうか？ これらは幾何学における極値的な問題である。
この島は、南大西洋を航行する船の補給基地や、捕鯨船の拠点として利用された。しかし、南北戦争に伴ってアメリカの捕鯨業が打撃を受けたことや、スエズ運河の開通（1869年）、帆船から蒸気船への転換により、アジアへの航海の途中にこの島に寄港する船は少なくなった。島は孤立を深めたが、宣教師が訪れたり、難破船の救助活動が行われたりしているため、外界との交渉が完全に絶たれたわけではない。1885年には漁船の事故により、島の成年男性19人のうち15人が死亡するという悲劇にも見舞われた。このとき以来、島が困難に陥るたびに、ケープ植民地に移住するよう提案が行われることになるが、島民はこれを拒否し続ける。島を出た人々が家族を連れて帰島したり、新たな定住者を得たりすることによって、島のコミュニティは維持された。なお、1880年代に聖公会（イングランド国教会）宣教師兼教師としてこの島に滞在した人物に、ルイス・キャロルの末弟であるエドウィン・ドジソン (Edwin H. Dodgson) がいる。島が最も孤立した時期を迎えたのは、第一次世界大戦前後である。大戦中には、海軍が年に一度行っていた物資の補給が途絶えた。1919年7月、軽巡洋艦ヤーマスが大戦終結のニュースをもたらしたが、それまでの10年間、島は一通の郵便物も受け取らなかったという。1922年5月20日には、シャクルトン＝ローウェット遠征隊が南極遠征からの帰途トリスタンダクーニャに立ち寄って5日間滞在した。1938年1月12日、この島はセントヘレナに所属することとなった。第二次世界大戦中の1942年にはイギリス海軍の秘密基地（コードネーム「HMS Atlantic Isle」）として無線・気象観測拠点が建設され、南大西洋を航行するUボートなどのドイツ艦船の監視が行われた。施設の建設には島民が従事したが、当時の島には通貨がなかったため、労賃は現物（木材、ペンキ、茶）で支払われた。第二次世界大戦中に建設された重要な施設は、戦後もイギリスによって維持された。1949年にはトリスタン開発会社 (Tristan Development Corporation) が設立され、島にロブスター加工工場が建設された。1950年からはイギリス政府から管理官 (Resident British Administrator) が派遣されるようになり、貨幣が導入されるようになった。新聞「トリスタン・タイムス」が発行されるようになったのもこの頃である。1956年、アメリカ合衆国による大気圏内核実験（アーガス作戦）がトリスタンダクーニャ島の南西115kmの地点で行われた。1957年には、エリザベス2世の夫であるエディンバラ公フィリップが王室所有の船でこの島を訪問している。