上（resp. 下）正則三角行列全体の成す集合は群、実際にはリー群を成し、正則行列全体の成す一般線型群の部分群となる。三角行列が可逆となるのはちょうどすべての対角成分が可逆つまり非零となるときであることに注意する。実係数で考えれば、この群は非連結で、各対角成分が正または負となることに応じて 2ⁿ 個の連結成分を持つ。単位成分は対角成分が全て正の正則三角行列全体に等しく、また正則三角行列全体の成す群はこの単位成分の群と対角線上に ±1 が（各連結成分に対応して）並ぶ対角成分との半直積になる。正則上三角行列全体の成すリー群に付随するリー環は、必ずしも正則でない上三角行列全体の成す集合であり、それは可解リー環である。これらはそれぞれ、一般線型リー群 GLₙ の標準ボレル部分群 B および、一般線型リー環  の標準ボレル部分リー環と呼ばれる。上三角行列はちょうど標準旗を固定する行列である。そのなかで正則三角行列の全体は一般線型群の部分群として、その共軛部分群が適当な完全旗 (complete frag) の固定群として定義されるような群である。これらの部分群はボレル部分群と総称される。正則下三角行列全体の成す群がそのような群であることは、それが標準基底を逆順にしたものに対応する標準旗の固定部分群となることからわかる。標準旗の適当な部分を忘れて得られる部分旗の固定部分群は、区分行列として上三角な（つまり各区分は上三角であるとは限らない）行列の成す集合として記述することができる。そのような部分群の共軛は適当な部分旗の固定部分群として定義される。これらの部分群を放物型部分群と総称する。例えば、二次の上単三角行列全体の成す群は係数体の加法群に同型である。複素係数の場合にはその群は放物型メビウス変換からなる群に対応する。三次の上単三角行列の全体はハイゼンベルク群を成す。
上三角行列全体の成す集合は結合多元環を成すのであった。これは函数解析学においてヒルベルト空間上のnest algebraに一般化される。主対角線の上（resp. 下）の成分が全て零の非正方行列は、その非零成分が台形に並ぶから、下（resp. 上）台形行列と呼ばれる。
正規三角行列は対角行列である。これは正規三角行列 A に対して A*A および AA* の対角成分を見ればわかる。上三角行列の転置行列は下三角であり、下三角の転置は上三角である。三角行列の行列式は対角成分の積である。任意の三角行列 A に対して λI − A もまた三角行列で、その行列式は A の固有多項式であるから、実は A の対角成分の全体は A の固有値全体の成す多重集合を与える（重複度 m の固有値はちょうど m 個が対角成分に現れる）。
単三角行列が原子的 (atomic; アトミック) とは、ただ一つの列を除いて非対角成分が全て零であるときに言う。そのような行列をフロベニウス行列やガウス行列（ガウス変換行列）などとも呼ぶ。つまり、下半フロベニウス行列は  という形をしている。フロベニウス行列の逆行列はふたたびフロベニウスで、もとのフロベニウス行列の非対角成分をすべて符号反転したものによって与えられる。
鄭大世は父親の国籍と同じく韓国籍だが、朝鮮学校で教育を受けたため心の祖国は北朝鮮であり、かねてから「ずっと祖国（北朝鮮）の代表になりたかった」と語っていた。そのため韓国籍を放棄して朝鮮籍を取得しようとしたが、韓国政府は北朝鮮を国家として承認していないため拒否され、在日本朝鮮人蹴球協会の助けを得て、韓国籍のまま北朝鮮のパスポートを取得し、FIFA（国際サッカー連盟）に北朝鮮代表としての出場を認めさせている。鄭と同じ在日コリアンのスポーツライター・慎武宏は、韓国籍ながら北朝鮮代表として出場する鄭大世の人生について「歴史が生んだ矛盾」だと語っている。在日韓国人3世でありながら朝鮮語も非常に堪能ではあるが、母語は日本語であるため日本語訛りは抜けていない（在日朝鮮語）。北朝鮮・韓国メディアからの取材、番組出演には朝鮮語で対応している。日韓リーグオールスター戦ではJリーグ代表として出場し、韓国Kリーグと対戦する心境を「国家の代表としては北朝鮮代表だが、今回は日本代表として出て少し複雑な心境だ」と吐露していた。夢は「北朝鮮代表としてワールドカップに出ること」であり、出場した2010 FIFAワールドカップの初戦・ブラジル戦では、国歌斉唱時の愛国歌に感極まって涙した。試合後に「サッカーを始めたときから、この日をずっと想像していた。この大きな場所で、世界一のブラジルと戦えたことをうれしく思う」と語った。この涙は大韓民国でも話題となり「人民のルーニー」と呼ばれた。2010年7月に中央日報のインタビューを受け、2010 FIFAワールドカップの対ポルトガル戦で雨天用スパイクが足りず、性能も悪かったというエピソードを話し、記者から「韓国代表や日本代表に入ったほうが条件がいいのでは」と質問され、「金銭的な面や良い環境はプロチームで追求すればよい。自分にとって国家代表はお金ではなく信念を確認する舞台」と返答している。また「祖国は母のような存在で、変えることはできない」とも述べている。また韓国の印象について聞かれ「Wonder Girlsのファン。かわいいのもよいが、表現力が感動的なほど優れている。日本人の同僚とカラオケに行けば『独島は我が領土』をよく歌う。日本の友達も韓国語を聞き取れないので‘ウリタン（わが領土）’という部分を一緒に歌う」と返答している。2011年2月にZDFのインタビューにおいて、「自分はスポーツ選手であり、政治家ではない」 として、北朝鮮の政治状況に関する質問には回答していない一方、前述の通り竹島に関しては政治的な立場を明確にしている。水原時代の2013年2月、チームメイトとどんな話をするかと聞かれ「女性の話、サッカーの話、テレビの話などをする。 北朝鮮の話をする時もあるが、あまり関心がない。 政治的な話をする理由はないのでは」 と答えている。2013年6月21日、鄭大世が、海外のテレビ番組で金正日を「尊敬している」と発言したことを受けて、韓国の検察は国家保安法違反容疑で鄭大世を捜査していると報道された。