数論において現れる多くの対象は自然にガロワ表現である。例えば、L が代数体 K のガロワ拡大であれば、L の整数環 OL は L/K のガロワ群に対して OK 上のガロワ加群である（ヒルベルト・シュパイザーの定理参照）。K が局所体であれば、その分離閉包の乗法群は K の絶対ガロワ群に対する加群であり、その研究は局所類体論につながる。大域類体論に対しては、代わりに K のすべての有限次分離拡大のイデール類群の和集合が用いられる。補助的な対象から生じガロワ群を研究するために使うことのできるガロワ表現も存在する。例の重要な族はアーベル多様体の ℓ-進テイト加群である。
古典的な代数的整数論において、L を体 K のガロワ拡大とし、G を対応するガロワ群とする。このとき L の整数環 OL を OK [G]-加群と考えることができ、その構造がどのようなものであるかを問うことができる。正規基底定理によって L はランク 1 の自由 K [G]-加群であることが分かっているという点で、これは数論的問題である。同じことが整数に対しても正しければ、それは正規整基底の存在、すなわち、α∈OL であってその G による共役元が OK 上の OL の自由基底を与えるようなものの存在と同値である。これは K が有理数体 Q であるときでさえ（あるいはもしかすると、このときに特に）面白い問題である。例えば、 のとき、正規整基底は存在するだろうか？ζ = exp(2πi / 3) として L = Q(ζ) であることから分かるように、答えは肯定的である。実は p が素数であるとき 1 の p 乗根に対する円分体のすべての部分体は（Z 上）正規整基底を持つ。これは Gaussian period の理論（ヒルベルト・シュパイザーの定理）から分かる。一方、Q(i) は正規整基底を持たない。これはエミー・ネーターにより発見された（ひょっとすると彼女以前に知られていたかもしれない）必要条件の例である。ここで問題となるのは順分岐である。K はなお Q とし、L の判別式 D のことばでは、どんな素数 p の p 乗も D を割り切らない。するとネーターの定理は、順分岐は OL が Z[G] 上射影加群であるために必要かつ十分であると述べている。したがって確かにそれが自由加群であるためにそれが必要である。自由と射影の間のギャップの問題が残っており、それに対して大きな理論が建設されているところである。ダフィット・ヒルベルトの結果に基づく古典的な結果の 1 つは、順分岐アーベル的代数体は正規整基底を持つというものである。このことはクロネッカー・ウェーバーの定理を使ってアーベル体を円分体に埋め込むことで分かる。
K を付値体とし（付値を v とし）L/K を有限次ガロワ拡大でそのガロワ群を G とする。v の L への延長 w に対し、Iw をその惰性群とする。ガロワ加群 ρ : G → Aut(V) は ρ(Iw) = {1} であるときに不分岐という。
1715年、スイスからパリに移住した医者の家系に生まれる。エルヴェシウスという名は、スイスのラテン語古名ヘルヴェティアのフランス語化。父親ジャン=クロード=アドリアンは、ルイ15世の王妃マリー・レクザンスカの筆頭侍医。イエズス会経営の学校で学び、1738年、23歳の時に王妃の引き立てで徴税請負人となり、1751年まで務めた。1751年にグラフィニー夫人の姪アンヌ=カトリーヌ・リニヴィル(愛称ミネット)と結婚。結婚後、王妃の司厨長の地位を購入し、冬場を除く一年の大半をパリ市内にある自分の領地で学問研究に没頭しつつ、領地住民のためには靴下工場を作った。徴税請負人の時代に詩作を始めてヴォルテールの指導を受けていたが、徐々に哲学へ関心を移していった。最初の著作『精神論』は、国王の出版許可を得て1758年7月に刊行されたが、その直後に反道徳的としてカトリック陣営から強い批判があり、同年8月出版許可が取り消され、公けに販売することができなくなった。しかしこの問題はその後さらに拡大し、11月、パリ大司教ボーモンによって弾劾され、翌年1月、刊行中の『百科全書』などとともにパリ高等法院に告発された。判決は、告発された書籍の内容に応じて出され、『精神論』は2月に焚書処分の裁定を受けた。この間、エルヴェシウスは自己批判の撤回文を数度公開した。これに続いて同年5月には、パリ大学神学部によって断罪された。一方、この騒動のあおりを受けて、『百科全書』も出版を継続することができなくなった。『精神論』出版許可取消にはじまる一連の出版弾圧は、「精神論事件」として知られている。これらの騒動にもかかわらず、1759年5月には、ドズリーによって『精神論』の英訳が出版され、エルヴェシウスの思想イギリス思想界にも影響を与えた。ただし、『精神論』刊行当時は英仏七年戦争の最中であり、エルヴェシウスが渡英してヒュームらイギリスの知識人と直接会うのは七年戦争終結後のことである。その後同じ思想のもとに『人間論』を書いたが、弾圧を怖れて生前は刊行せず、この著作はエルヴェシウスの死後に出版された。大富豪だったエルヴェシウスは自宅にサロンを開き、当時の啓蒙思想家であるヴォルテールや百科全書派のディドロ、ダランベール、ジャーナリストのシュアールやイタリアの経済学者フェルディナンド・ガリアーニなどと交流した。このサロンは、1771年にエルヴェウスが没した後も未亡人が引き続き主催し、同メンバーのほか下世代のイデオロジスト(観念学派）カバニスやデステュット・ド・トラシーなども参加するようになって、二つの潮流を結びつける場となった。折からアメリカ独立運動に対する支援を求めるために渡仏したフランクリンもこのサロンの客となり、エルヴェシウス未亡人に求婚している。エルヴェシウスと夫人とのあいだには二人の娘がおり、いずれも貴族に嫁した。