もともと、ポロ・グラウンズの土地はクーガンの窪地と呼ばれ農地であった。またバックネット裏の観覧席の後ろにはクーガン・ブラフと呼ばれる崖が聳えていて、この崖の上から無料で野球観戦ができる場所があった。また初期は外野フェンスが無く、ロープが張られていてそこへ馬車を止めて野球を観戦する上流階級の人々の姿が今日に残っている当時の写真が写されている。こうした外野のオープンフィールドは1910年頃には姿を消した。またポロ・グラウンズのフィールドは特殊な形状（その名の通り、本来はポロ競技用）をしていて、センターまでが異様に長く(右中間で450フィート、センターの一番奥深い所まで475フィート)、両翼が短く(レフト279フィート、ライト258フィート)、ポールまで短いためポップフライでもポール際なら本塁打になることが多かった。スタンドは典型的な馬蹄型で、アメリカン・フットボールには適しているが、野球の場合は歪な形態のフィールドであった。そして1923年に外野席まで屋根を建設し、空から見ると≪バスタブ≫のような形になり、後にニックネームとなった。なお1925年に誕生した阪神甲子園球場は建設前に当時野球場の研究対象のモデルとしてこのポロ・グラウンズを参考としている。
そして同じ1889年にプレイヤーズ・リーグが創設されて、加盟した新チームが「ニューヨーク・ジャイアンツ」を名乗り(元のニューヨーク・ジャイアンツから移籍した選手が多かった)、1890年にニューヨークには「ジャイアンツ」という野球チームが二つ存在していた。そしてプレイヤーズ・リーグのジャイアンツはポロ・グランズの北隣りにあるブラザーフッド・パークを本拠とした。この年は同じ「ニューヨーク・ジャイアンツ」というチームが主催して、隣り合わせのグラウンドで試合を行い、高い所にいる観客は同時に2つの試合が観戦できて、しかも外野手が後逸した球がお互いに相手の試合グラウンドに入り、プレーが中断することもあったと言われている。しかしプレイヤーズ・リーグのニューヨーク・ジャイアンツは、わずか1年で解散に追い込まれ、選手の多くはナショナル・リーグのジャイアンツに戻った。ナショナル・リーグのジャイアンツは翌1891年シーズンからこのブラザーフッド・パークを本拠地とし、球場名をポロ・グラウンズに改称して木造スタンドを建て増設していった。これが後に「ポロ・グラウンズ」の開場とされ、1957年までニューヨーク・ジャイアンツの本拠地として使われている。このポロ・グラウンズⅢはこの後のポロ・グラウンズⅣの両翼の狭い歪な球場とは違い、両翼335フィート、センター500フィートの球場であったと言われている。しかしこのスタンドが木造であったため、1911年4月14日に火災を起こし全焼してしまった。
やがて収益の高いゴッサムズにメトロポリタンズの有力選手を移籍させてメトロポリタンズは他に売却され1887年に歴史を閉じた。ゴッサムズは1985年にジャイアンツに改称されたが、1889年になって、ニューヨーク市の都市計画に伴って、最初のオリジナル・グラウンズは使えなくなり、この後に少し移動して八番街155丁目にある敷地をジャイアンツはポロ・グラウンズと呼び使った。この新しいグラウンドは実際はポロ用の競技場ではなく、後にマンハッタン・フィールドと呼ばれてサッカーや陸上競技の会場として使われた。
1876年にナショナル・リーグが結成され、ニューヨークではニューヨーク・ミューチュアルズが加盟したがわずか1年で脱退した。ニューヨークには他にも複数の球団があり、その後1880年にニューヨーク・メトロポリタンズが結成され、当初はリーグに加盟しない独立系のチームとして活動し、他のニューヨークの球団と同じようにブルックリンにあったユニオン・グラウンズやホーボーケンにあったエリシアン・フィールドなどで試合を行っていた。同年9月にニューヨーク・メトロポリタンズオーナーのジョン・B・デイとジム・マトリーが、マンハッタンの五番街110丁目にあったポロ用の競技場ポロ・グラウンズで野球の試合の利用許可を取り付け、以後そこを本拠地とした。このチームはマンハッタンに本拠地を構えたことで興行は成功し、メトロポリタンズは1882年にナショナルリーグとアメリカン・アソシエーションの両リーグから加盟の誘いを受けた。この時ジョン・B・デイらは、密かに両方のリーグに対し加盟の受けいれを打診していたが、デイは当時ナショナルリーグに加盟していて同年解散したトロイ・トロージャンズのフランチャイズ権を買い取り、新たなチーム「ニューヨーク・ゴッサムズ」を設立して1883年にナショナルリーグに加盟した。この結果、同じオーナーのメトロポリタンズとゴッサムズは同じポロ・グラウンズを本拠地とすることになり、当時ポロ・グラウンズにはダイヤモンドが2面設置され、グラウンドを二つに仕切って試合を行っていた。
入射層 F とは、アーベル層の圏における入射対象を言う。すなわち、A から F への準同型はつねに A を含む任意の層 B に持ち上げることができる。アーベル層の圏は十分多くの入射対象を持つ。このことは、任意の層が何らかの入射像の部分層となっていることを意味する。グロタンディークによるこの結果は、圏の「生成元」（これは陽に書き下すことができ、部分対象分類子と関係がある）の存在から従う。これは、任意の左完全函手に右導来函手が存在すること、および標準同型を除いて一意であることを示すのに十分である。技術的な目的では、入射層は上で述べたほかの層のクラスに対してふつうは上位互換である。つまり、ほかのクラスでできることは入射層でも大抵できて、その理論はより簡素かつより一般である。実は、入射層は脆弱、軟弱かつ非輪状である。しかし、これら他のクラスの層が自然に表れる状況というのが存在し、具体的な計算の場面では特にそうである。双対概念である射影層が余り用いられないのは、層の成す一般の圏においてそれらが十分に存在しないことによる。つまり、必ずしも任意の層が射影層の商となっているわけでなく、特に射影分解は必ずしも存在しない。これは例えば、ザリスキー位相に関する射影空間上の層の圏をみればわかる。この場合、右完全函手（例えば Tor）の左導来函手の定義を試みれば問題が起きる。これはアドホックに解決されることもある（例えば Tor の左導来函手は射影分解でなく平坦分解を通じて定義することができる）が、その場合に得られる函手が分解の取り方に依らないことはいささかの議論を以って示さなければならないことである。無論、どんな層の圏でもこの問題が生じるというわけではなく、例えばアフィンスキーム上の層の圏は十分射影的である。