2018年9月24日付けのオリコンシングル週間ランキングとBillboard Japan Hot 100において、ともに同日リリースのNEWS「「生きろ」」に次ぐ2位にランクインした。リリース初週の売上枚数は、オリコンが推定115,451枚、ビルボードが137,807枚、と発表している。両チャートで1位を獲得した前作「進化理論」から初週売上枚数を落としている。オリコンの2018年度年間シングルランキングにおいて60位にランクイン。ビルボード・ジャパンの年間ランキングにおいては、Top Single Saleで54位、Hot 100は圏外、という結果である。ビルボード・ジャパンはサウンドスキャンジャパンによる地域別売上データから、「炎・天下奪取」は前々作・前作と比較すると活動拠点の名古屋を擁する中部地方以外の地方での売上比率が上がっており、全国的にファンが広がっていることがうかがえる、という検証結果を発表している。
リアルサウンドは、「アンセムという呼び方がピッタリくるコーラス、力強いポップネスを前面に押し出したサウンド、迷いのないポジティブ感を放つ歌詞がひとつになったこの曲からは、現在のボイメンの勢いが真っ直ぐに伝わってくる」・「『炎・天下奪取』には、ボイメンを構成する男気、笑い、温かさといった三大要素が詰め込まれている」と評している。
2010年2月19日付オリコンアルバムチャートで初登場5位を記録。初動売り上げは40,686枚を記録し、前作の初動35,299枚から約5千枚近く増加。累計売上でも65,010枚を記録した。
MUSEUM（美術館）の名の通り、これまでのシングルのディスクジャケットに描かれたアイテムを美術館の展示室を思わせる構成で配置している。ちなみにディスクジャケットとフォトブックの撮影は水樹自身による。初回製造分は、スペシャルフォトブック仕様となっており、DVD付属の2枚組になっている。それまでに発表してきたシングル作品より、水樹自身が選出した楽曲を収録。収録に際して、「TRANSMIGRATION」の新録バージョンが「TRANSMIGRATION 2007」として、また、新曲「Crystal Letter」が収録されている。
あるマンションに住む木村拓哉が宅配ピザを頼んだ所、おまけの商品として「TV局開局キット」を渡された。それは自分の映像がテレビで放送され、視聴率80%を取るまで終わらないというゲームだった。
『TV's HIGH』（ティーヴィーズ・ハイ）は、フジテレビで2000年10月から2001年3月まで毎週金曜日に放送されていた深夜番組であり、テレビドラマ仕立てのバラエティ番組。主演はSMAPの木村拓哉。当番組終了後の2001年4月から2009年3月までの同時間帯は「チョナン・カン」（チョナン・カン2も含む）が放送され、長くSMAPメンバーがメインMCの番組が放送された事になる。
「海軍条約文書事件」および「黄色い顔」に「第二の汚点」事件についての記述が見られる。「海軍条約文書事件」では、「私（ワトスン）の結婚直後の7月」の事件として「第二の汚点」事件が挙げられているが、本作では「年代の10の位も伏せておかねばならない」としており、記述が矛盾する。「黄色い顔」では、「第二の汚点」事件をホームズが間違いを犯した事件の一つとしてあげているが、ホームズはこの事件で（真相を見誤った部分はあるものの）間違いを犯したとは言えないと考える研究家が大半である。研究家の中には、本作の他に「海軍条約文書事件」「黄色い顔」のそれぞれで言及されている合計3つの「第二の汚点」事件があると考えている者もいる。
この短編は発表から3年後の1907年（明治40年）、「二つの汚点（しみ）」のタイトルで翻訳され、『静岡民友新聞』に12回の分割で掲載された。シャーロック・ホームズシリーズの地方新聞への翻訳掲載としては唯一の例で、本作の日本語訳としては最も早いものであった。舞台はロンドンのままだが、名前はホームズが堀江、ワトスンが和藤、ハドスン夫人が夫人鳩子、レストレード警部が須土禮太郎などと日本名に変えられている。訳者は梅水郎と記されているものの、詳細は不明である。
テグムは双骨竹 (両側に溝がある竹) で作れば良い音が出る。竹でできた管の上端はふさがっており、少し下に横向きに吹くための吹き口があり、さらに少し下に清孔が開けられるが、ここに葦の内皮をつけ、その振動で特殊な音色を出す。管の中央には上面に6個の指孔が開けられ、下面には使われない七星孔が1つから5つ開けられる。演奏法は宗廟楽および唐楽系音楽を演奏するときと、郷楽系音楽を演奏するときでは異なる。
時代劇『水戸黄門』をモチーフとしているが、主人公・ミト王子の衣装や城のデザインなどは中世ヨーロッパ風のデザインとなっている。江戸幕府の中心地「江戸」をエドン国とみなし、江戸幕府に属する各領地をエドン国に属する同盟星とみなしている。本来の徳川光圀は老人だが、ミト王子は少年として描かれる。この特性を生かす形で、各星の悪人を懲らしめて各同盟星に平和をもたらすだけでなく、ミト王子自身の成長をも描く物語となっている。番組の基本的パターンも『水戸黄門』を踏襲しており、私利私欲のために無力な民衆を苦しめている悪党達に向かって「鎮まれ! こちらにおわすはミト王子なるぞ!」と王子のお供であるスケード・カークスらが一喝するが、悪党達は「ミト王子がこんな所にいるはずがない!」と罵倒するのが常で、「ならば、その目で然（しか）と見よ!」と王子達が乗る三体のロボットがダイオージャに合体、その胸に輝く紋章を見て民衆および悪党の手下達は「ははーっ!」と平伏するものの、悪党の首領だけは開き直る、もしくは自棄になる等して、自分のロボットでダイオージャに立ち向かい、最後は雷鳴剣の一撃で成敗されるというものである。次回予告はナレーターの永井一郎が行い、最後にミト王子の「その目で、然（しか）と見よ!」というセリフで締められている。