『片聾記』（伊藤作之助）および『続片聾記』（山崎英常：福井市立郷土歴史博物館所蔵）『遺訓（新左衛門が書き残したもので、実際には書名はない）』（神奈川県立公文書館所蔵）『福岡新兵衛歴史のあらまし』（福岡清：鯖江市文化の館に写しの保管あり）『新編武蔵風土記稿』『砂村新田内割絵図と裏書』（堀江家文書：首都大学東京図書情報センター所蔵）『砂村新左衛門』（溝手正儀：とびら出版）ISBN 9784904318034
福岡家の言い伝えや年齢等から推定すると、新左衛門の父は福岡新兵衛の弟、福岡新左衛門と思われるが証拠はない。砂村の姓は越前の福井藩主松平忠昌から賜った可能性があるが、これも証拠はない。妻はいたが、嫡子が生まれ育ったという記録はない。三国に妾がいて（三国を出るとき、そこの事業を任せた）倅がいたという言い伝えがある。砂畑の出身であることや妾の倅のことは福井藩の非公式代々記である「片聾記」に記載されている。兄弟としてはっきり記録に残るのは三郎兵衛と新右衛門の二人である（正業寺過去帳）。三郎兵衛は上福島の新田を任され子孫（太兵衛家）も上福島に続いたものと推定される。新右衛門は砂村新田で亡くなったが、妻帯していたという記録がなく子孫はいない。新左衛門の指導の下、砂村新田を開拓した新四郎および内川新田を開拓した新三郎の二人と新左衛門の関係について明確な記録はない。新三郎は隠居して三郎兵衛を名乗っていることから三郎兵衛の子であると思われるが、新四郎に関しては手掛かりがない（三郎兵衛の庶子、新左衛門の末弟、新左衛門の庶子またはその夫などの候補はあるが）。。新左衛門の遺産（主として砂村新田と内川新田）を平等に相続した新四郎、新三郎はそれぞれ二代目であり、新左衛門の養子であったと推定される。二代目新四郎、新三郎は内川新田で二組の名主となって代々続いた。後に新四郎家は浦賀の宮井家（与兵衛）に買収され、新三郎家は善六という者が砂村家を継いだ。砂村新田では新四郎家傍系の金三郎家が、上福島では三郎兵衛の子孫である太兵衛家がそれぞれ明治維新まで代々名主を務めた。
生年月日に関する記録は残っていない。生年に関しても寛文6年（1666年）に書かれた新左衛門の遺訓の写しである「砂村先祖伝書写」（横須賀市の久里浜天神社所蔵）に「私年六十六歳」という記載があるのみである。没年月日に関しては正業寺（横須賀市）の新左衛門墓碑、過去帳に記載されており、かなり確実である。毎年の命日には正業寺で「新左衛門祭（法要）」が執り行われている。
大坂の紀州藩藩邸にて紀州藩士・陸奥宗光と元芸妓の妻・蓮子の長男として生まれる。紀州藩士の子弟は胆力を養うために刑場に連れていかれ、幼いころから斬首や他の処刑の現場を見るなどの教育を受けた。晩年のインタビュー「父陸奥宗光を語る」では、広吉は、父親の外交官としての手腕を評して「『イエス』よりも多く『ノー』と云った。」と答えている。中津藩の屋敷の中に塾舎があった慶應義塾に紀州藩がその費用を負担して、紀州藩出身者の寄宿のための「紀州塾」が設置されると、藩士の岡本柳之助や三宅米吉、鎌田栄吉らと上京して慶應義塾（現・慶應義塾大学）に入塾。明治38年（1905年）12月に慶應義塾特選塾員となる。明治20年（1887年）にイギリスに留学しケンブリッジ大学に入学、次いでロンドン法学院を卒業して法廷弁護士（バリスター）の称号を受けて明治27年（1894年）に帰国。その間、広吉は父から送られた渡米資金を受け取りに長明治22年（1889年）の夏、父が公使をしていたアメリカで夏休みを過ごすことになり星亨を知る。渡英中にイギリス人女性のエセル・パッシガム（Ethel Passigham　日本名はイソ）と交際し明治38年（1905年）に結婚。明治28年（1895年）に外務省に入省し通訳官となる。明治30年（1897年）に父宗光が死去し、伯爵の爵位を襲爵。明治31年（1898年）サンフランシスコ領事として米国に赴任するが、病にかかる。駐英大使・小村寿太郎時代の在イギリス日本大使館一等書記官を経て、明治40年（1907年）駐英臨時代理大使となる。他、北京、ローマ、マルセイユなどに赴任。明治43年（1910年）に開催された日英博覧会に事務官として開催に尽力。日英博覧会の世話役という大役を果たした廣吉は明治43年（1910年）、日本に帰国。大正3年（1914年）、特命全権公使に進み、ベルギー駐在となったが、病気のためまもなく退官。当時、陸奥家の邸宅は東京府高輪にあったが、療養の地として大正元年（1912年）に鎌倉に転居。以後は、祖父の伊達千広の教育などに関する社会普及や弟の関係する古河財閥や古河家、古河鉱業の支援、史跡保存、風景美化などに尽力した。また大きな援助のもと、鎌倉女学校（のちの鎌倉女学院）を設立した。社会事業家として社団法人「鎌倉同人会」や「雨潤会」（若くして亡くなった弟・潤吉の遺贈金による）を発足させるなど文人として活動した。