複素解析で、複素平面（またはリーマン球面）上の有理型関数とは、正則関数 f と g の比 f/g である。 複素数全体への写像としては、g = 0 である限り、これは定義されない。 しかし、g = 0 であっても、複素射影直線への正則写像 (f, g) は整合的に定義され、これを含む。 この構成法は正則および有理型関数の研究に有用である。 例えば、コンパクトなリーマン球面上には定数でない複素数値正則写像が存在しないが、複素射影直線への正則写像は沢山存在する。リーマン球面は物理学で多くの応用を有する。 量子力学において、複素射影直線上の点は、光子の偏光状態、スピン 1/2 の有質量粒子のスピン状態、および一般に 2 状態の粒子の自然な値を示す。 リーマン球面は、天球の相対論的モデルに使用することも推奨されてきた。 弦理論 では、弦の世界面 (worldsheet) はリーマン球面であり、最も単純なリーマン面としてのリーマン球面は重要な役割を演じる。 これは、ツイスター理論においても重要である。
あらゆる数学的対象の研究は、自己同型群、つまりその対象から自身への写像であって、同対象の主要な構造を保存するものがなす群を理解することにより促進される。 リーマン球面の場合、自己同型は、リーマン球面から自身への可逆な双正則写像である。 このような写像は、メビウス変換（英：Möbius transformation）とも呼ばれる一次分数変換のみであることが知られている。一次分数変換はなる形に書かれる関数である。ここに a, b, c, d は ad − bc ≠ 0 を満たす複素数である。一次分数変換には、伸縮と回転（ζ → aζ）、平行移動（ζ → ζ + b）、相似・実軸対称（ζ → 1/ζ）等がある。実際のところ、任意の一次分数変換はこれらの合成により記述できる。一次分数変換は複素射影曲線上の変換と見るとわかり易い。変換 f は射影座標によりと書くことができる。 この様に、一次分数変換は、2-次複素正則行列により記述することができる。 ここで、二つの行列は、それらが非零定数倍だけ異なるとき、かつその場合に限り、同一の一次分数変換を表す。したがって、一次分数変換の全体は射影線型変換の全体 PGL₂(C) に完全に一致する。リーマン球面にフビニ・スタディー計量を入れると、全ての一次分数変換が等長になるとは限らない。 例えば、伸縮と平行移動はそうでない。 等長写像全体は PGL₂(C) の真の部分群 PSU₂ を形成する。この部分群は回転群 SO(3), つまり R³ 内の単位球面の等長変換群と同型である。
リーマン球面は、3 次元実空間 R³ 内の単位球面 x² + y² + z² = 1 として視覚化できる。 そのため、点 (0, 0, 1) を除いた単位球面から平面 z = 0 への立体射影を考え、ζ = x + iy により複素平面と同一視する。 直交座標 (x, y, z) と球座標 (φ, θ) （φ は天頂角、θ は方位角） により、立体射影は、以下のとおり書ける。同様に、点 (0, 0, −1) から平面 z = 0 への立体射影は、ξ = x − iy によりもう 1 つの複素平面の複写と同一視し、と書ける。 （二つの複素平面は、平面 z = 0 と異なる方法で同一視される。 球面上の向きを整合的に保つため、双方の向きを反対にすることが必要であり、特に、複素共軛は推移写像を正則にする。） ζ-座標と ξ-座標の推移写像は、一方の射影と他方の逆数を組み合わせて得られる。 これは、上記のとおり ζ = 1/ξ および ξ = 1/ζ である。 この様にして、単位球面はリーマン球面に可微分同相である。この可微分同相により、ζ-局所座標系の単位円、ξ-局所座標系の単位円、単位球面の赤道は、すべて同一視される。 単位円盤 |ζ| < 1 は南半球 z < 0 と同一視され、単位円盤 |ξ| < 1 は北半球 z > 0 と同一視される。
デ・ソトの遠征の正確なコースは、歴史家や地方政治家の間で議論の的となる。もっとも広く使われているデ・ソトの旅程のバージョンはアメリカ合衆国議会のものである。人類学者のジョン・R・スワントンを議長にした委員会は、「アメリカ合衆国のデ・ソト遠征任務の最終報告」を1939年に発行した。遠征コースの最初の部分(アラバマでのデ・ソトのマビラの戦いまで)は今日詳細のみが議論されており、マビラ以降のデ・ソトの旅程は争われている。議会の出したデ・ソトの旅程は、そこからミシシッピ州、アーカンソー州、テキサス州を通っている。他の説では、マビラからテネシー州、ケンタッキー州、インディアナ州を通る北のルートとされている。考古学的な復元とインディアンの口承の歴史が考察されだしたのはごく最近である。しかし、新しい建物の建設や、出現物とその叙述との間に450年以上の年月が経過していることもあり、調査は困難である。遠征に決定的に関連している唯一の場所は、現在のフロリダ州タリャハシーのフロリダ州都庁舎のおよそ1マイル東に位置する、フロリダ州アンハイカのアパラチー族の村にあるガバナー・マーティン遺跡である。1987年3月に考古学者のB・カルヴァン・ジョーンズが発見した。最新の説は、遠征隊の生存者でありデ・ソトの秘書をしていたロドリゴ・ランヘルと、デ・ソトと共にいた王の代理人、ルイス・エルナンデス・デ・ビエドマの、ふたつの日記を基にしている。それらの中ではデ・ソトの旅程を、出航したキューバのハバナ、陸沿いに進んだメキシコ湾、2年目の間に到達した大西洋、その後すぐに越えた高い山々、そして旅程にあったその他のいくつかの地理的特徴(大きな川や沼)に関して、合間をあけた記録として記述している。地球の地理はデ・ソトの時代から変化していないことを受け、現代の地形学的知識に基づいて分析されたこれらの日記は、旅程をより細かくしている。