（延享4年〈1747年〉 - 文化8年6月12日〈1811年7月31日〉）本名は黒沢幸右衛門（後の幸八）。初代の実子。父同様に一月寺、鈴法寺の指南役を務め、江戸中に稽古場を作り庶民の普及にも一役買った。琴古流という名称を用いたのもこのころだといわれる。実子が3代目琴古、4代目琴古。
（宝永7年〈1710年〉 - 明和8年4月23日〈1771年6月5日〉）本名は黒沢幸八。黒田美濃守の家臣であったとされる。若くして普化宗に入り一月寺、鈴法寺の指南役を務め、曲の収集、整理を行い、琴古流として30余りの曲を制定し普化宗尺八の基礎を築いた。実子が2代目琴古、弟子には一閑流の宮地一閑がいる。
滑らかな写像と滑らかな多様体の圏は望まれる性質をいくらか欠いており、人々はこれを修正するために滑らかな多様体を一般化しようとしてきた。微分空間は "plot" と呼ばれるチャートの異なる概念を用いる。他の試みに Frölicher space や軌道体 (orbifold) がある。修正可能集合 (rectifiable set) は区分的に滑らかあるいは求長可能な曲線の概念を高次元に一般化する。しかしながら、修正可能集合は一般の多様体にない。
リー群は C∞ 多様体であって群でもあり積と逆元を取る演算が多様体の写像として滑らかであるようなものである。これらの対象は対称性の記述において自然に生じる。
シンプレクティック多様体とは閉非退化2形式を伴った多様体である。この条件からシンプレクティック多様体の次元は偶数でなければならない。ハミルトン力学において相空間として生じる余接束は動機づけとなる例であるが、多くのコンパクト多様体もまたシンプレクティック構造を持つ。ユークリッド空間に埋め込まれたすべての向き付け可能な曲面はシンプレクティック構造、ユークリッド内積に誘導された各接空間上の符号付き面積形式、を持つ。すべてのリーマン面はそのような曲面の例であり、したがって、実多様体と考えてシンプレクティック多様体の例である。
リーマン多様体とは接空間に微分可能なような内積を入れた可微分多様体である。内積構造はリーマン計量と呼ばれる対称2階テンソルの形式で与えられる。この計量はベクトルと余ベクトルを相互変換するために、そして階数4のリーマン曲率テンソルを定義するために、使うことができる。リーマン多様体には、長さ、体積、角度の概念がある。任意の可微分多様体にはリーマン構造を与えることができる。擬リーマン多様体はリーマン多様体の変種で、計量テンソルが（正定値とは対照的に）不定値符号を持つことも許したものである。符号 (3, 1) の擬リーマン多様体は一般相対論において重要である。すべての可微分多様体に擬リーマン構造を与えられるわけではない。位相幾何学的な制限があるのである。フィンスラー多様体はリーマン多様体の一般化で、内積をベクトルノルムに置き換えたものである。長さは定義できるが、角度は定義できない。
1, 2, 3次元のすべての位相多様体は（微分同相の違いを除いて）一意的な微分構造を持つ。したがって位相多様体と可微分多様体の概念は高次元でしか区別がない。各高次元で滑らかな構造を持たない位相多様体や複数の微分同相でない構造を持つ位相多様体が存在することが知られている。滑らかにできない多様体の存在は Kervaire (1960) によって証明され、Kervaire多様体参照、後にドナルドソンの定理の文脈で説明された（ヒルベルトの第五問題と比較せよ）； 滑らかにできない多様体の良い例は E₈ 多様体である。複数の両立不能な構造を持つ多様体の古典的な例はジョン・ミルナー (John Milnor) のエキゾチック 7 次元球面である。
外微分法によって勾配、発散、回転作用素の一般化ができる。各点における微分形式の束はその点における接空間上のすべての反対称多重線型写像からなる。それは自然に多様体の次元以下の各 n に対し n 形式に分割される。n 形式は n 変数の形式で、n 次の形式とも呼ばれる。1 形式は余接ベクトルであり、0 形式は単にスカラー関数である。一般に、n 形式は余接ランク n で接ランク 0 のテンソルである。しかしすべてのそのようなテンソルが形式であるわけではない。形式は反対称でなければならないからである。
元来、ポントリャーギンの最大原理は最適性におけるひとつの必要条件である、一方で、動的計画法はひとつの十分条件を提供する。他方では、動的計画法は（系における状態の関数の）ひとつの閉じたループ　（仏: boucle）上の制御でふるまうものであるのに、最大原理は（時間の関数の）ひとつの開じたループ上の解として与える。しかしながら、最大原理の制御の解は、閉じたループにおけるひとつの制御の形から見た適用である、この好都合な場合において、与えられる。しかしながら、動的計画法における最大原理のひとつの大きな利点は、前者そのものが、（問題が<<重端での>>事柄によって、しかしながら酷く複雑であるものである分解の）常微分方程式のその分解であるままの場合に対し、後者が、（ハミルトン-ヤコビ-ベルマン方程式の）偏微分を通した或る方程式の分解を導く、連続な時間でのその系にそれらが適用される場合に、仕事での簡単さをさらに大きく付け加えることである。動的計画法それ自体は確率的な系におけることと同じく決定的な系にも同じ程度に適用される。しかしながら最大原理は（少しの例外をもって）決定論の場合のようには適用できない。