共円四辺形でなおかつ直交対角線である（つまり二つの対角線が互いに垂直である）ようなものに対し、二つの対角線の交点が一方の対角線を長さ p₁ および p₂ の線分に分け、他方の対角線を長さ q₁ および q₂ の線分に分けるものとすると （最初の等号は、アルキメデスの『補題の書』の命題11による）が成り立つ。ここで D は外接円の直径である。これが成り立つのは、二つの対角線が円の弦に垂直であることによる。これら等式から、外半径 R は  と表せることが分かる。これはまた辺の長さを用いて  とも書ける。あるいはまた  も成り立つ。ゆえに、オイラーの四辺形定理に従えば、外半径は二つの対角線の長さ p, q とそれら対角線の中点間の距離 x を用いて  と表せる。共円直交対角線四辺形の面積 K を四辺の長さで表す公式は、トレミーの定理と直交対角線四辺形の面積公式を組合わせることで直接的に得られる。それは  というものである。
ブラーマグプタ (Brahmagupta) の四辺形とは、辺の長さおよび対角線の長さが全て整数で面積も整数となる共円四辺形をいう。すべてのブラーマグプタの四辺形は、その辺の長さを a, b, c, d, 対角線の長さを e,f とし、面積を K, 外半径を R と書けば、有理数の範囲を動くパラメータ t, u, v を用いて書ける以下の公式 　から、分母を払う ことで得られる。
四辺形において、一辺に垂直で対辺の中点を通る線分は（「中点からの垂線」の短縮形として）中垂線 (maltitude) と呼ばれる。共円四辺形の各辺に引いた四つの中垂線は一点で交わる。このときの共通交点は反中心 (anticenter) と呼ばれる。反中心は、「頂点重心」の外心に関する鏡像になっているという特徴を持つ点である。したがって、共円四辺形では外心、「頂点重心」、反中心は同一直線上にある。共円四辺形のふたつの対角線の交点を P とし、対角線の中点をそれぞれ M, N とするならば、その共円四辺形の反中心は三角形 △MNP の垂心に一致する。
共円四辺形の辺を隣り合う順に a, b, c, d とし、その半周長を s := (a + b + c + d)/2 と書けば、その四辺形の外半径（外接円の半径）R は  で与えられる。これは15世紀のインドの数学者 Vatasseri Parameshvara によって導かれた。ブラーマグプタの公式を用いれば、上記の公式は  と書き直せる。ただし K はこの共円四辺形の面積である。
1997年7月25日初登場以来、約2年にもわたってドーバー海峡のリレー横断を目的に行なわれていた。放送回数全43回。1997年、内村、ウド、勝俣、有野の4人(+マネージャー千秋)をメンバーとしてスタート。リレーに必要な人数（6人）を満たすため、濱口、藤崎を勧誘、入部させた。堀部は「鬼教官」として見守っていた。専用練習場で実力を高め、国内の大会出場・予行演習などを繰り広げたが、あまりに過酷な活動と各々のドーバーに対する不安が大きくなり勝俣(のちに「鬼コーチ」として登場)、有野、藤崎が脱落。その後、新入部員を応募したところ、猿岩石・TIM・島崎俊郎・オセロの中島知子が応募。入部テストとして、面接と部員が普段の練習メニューとしている100m泳10本+200m泳5本+1km泳を実施したところ、レッド吉田と中島のみ泳ぎ切った。泳ぎ切れなかった猿岩石の2人・ゴルゴ松本・島崎俊郎がその場で入部を辞退することを表明、しかもレッドと中島も後日入部を辞退することを表明し、白紙となった。そこでさらなる参加メンバーを呼びかけたところ、今度は川合俊一・石塚英彦・宮本和知の3人が名乗りを上げ、宮本のみが入部を表明。それでも参加メンバーが足りず廃部にまで追い込まれたが、堀部が「鬼部員」に転身、さらにウリナリ審査委員として関わっていた日本テレビアナウンサーの藤井貴彦が参加した。だが、宮本がプロ野球の取材や相次ぐ故障で結局退部となるも、代わりに元テニスプレイヤーの神尾米を紹介、入部を果たす。(部員が少ない状態の間は、当時人気だったCM、セガの湯川専務のパロディが放送されていた)。最終的に1999年8月31日「内村、濱口、神尾、藤井、堀部、ウド」(横断時のリレー順)の6人(+マネージャー千秋)で16時間37分を掛けドーバー海峡の横断に成功しチャネルスイマーとなる(England/France - One Way 260組目)。横断達成記念に堀部圭亮デザインのオリジナルリングを作成。内村は滅多にアクセサリーを付けないがこのリングだけは左薬指に付けており、ファンに混乱を呼んだ。ウリナリ最終回である「ウリナリ祭り」において「ウリジェクトX（プロジェクトXのパロディの先駆けであった）」としてその歴史が紹介された。ウリジェクトXのタイトルコール・司会担当は内村光良。なお、最後の出番が終わったときに内村が発した「もう泳げない!何度やめようかと思った!」という魂がこもった発言は、他の企画でもしばしば話題に上がり、そのたびに内村は赤面していた。この時の専用練習場は、放映時に秘密とされていたが、現在の日本テレビ汐留新社屋の予定地に建てられていた。建物自体も、近くを通る首都高速道路からわずかだが見えていた。同時期にやっていた電波少年の企画物もその隣で行われていた。ドーバー海峡横断終了後も年に一度のドーバー会を開いている。ダウンタウンの浜田雅功が『ダウンタウンのガキの使いやあらへんで!!』（1999年8月22日放送）の中で「ドーバーは無理」という主旨の発言をしたことがある（台本かアドリブかは不明）。一方で松本と共に堀部の応援VTRに登場している（堀部は『ガキの使い-』の放送作家である）。「戦友」と呼ぶ交流の深いウンナンという事で普段ゲスト出演をほとんどしない彼らとしては大変珍しい形での出演となった。