一般にヒルベルト空間において、コンパクトな自己共役作用素に対するスペクトル定理の内容は、有限次元の場合と実質的に同じである。定理 A をあるヒルベルト空間 V 上のコンパクトな自己共役作用素とする。このとき A の固有ベクトルで構成されるような V の正規直交基底が存在する。対応する各固有値は実数である。エルミート行列の場合のように、証明のカギとなるのは、（少なくとも一つの）非ゼロの固有ベクトルの存在である。これを示す際、固有値の存在を示すための行列式の手法に頼ることは出来ないが、代わりに、固有値の変分的特徴付けと同様なある最大化に関する議論を利用することが出来る。そうして上述のスペクトル定理は、実あるいは複素ヒルベルト空間に対しても成立する。コンパクト性の仮定が除かれた場合、すべての自己共役作用素が固有ベクトルを持つとは限らなくなってしまうので、定理は成立しない。
数学の、特に線型代数学や函数解析学の分野において、スペクトル定理（スペクトルていり、英: spectral theorem）とは、線型作用素あるいは行列に関する多くの結果である。大雑把に言うと、スペクトル定理は、作用素あるいは行列が対角化可能（すなわち、ある基底において対角行列として表現可能）となる条件を与えるものである。この対角化の概念は、有限次元空間上の作用素については比較的直ちに従うものであるが、無限次元空間上の作用素についてはいくつかの修正が必要となる。一般にスペクトル定理は、乗算作用素によって出来る限り簡単にモデル化される線型作用素のクラスを明らかにするものである。より抽象的に、スペクトル定理は可換なC*-環に関して述べたものである。その歴史的観点については、スペクトル理論を参照されたい。スペクトル定理が適用できる作用素の例として、自己共役作用素や、より一般のヒルベルト空間上の正規作用素などがある。スペクトル定理はまた、スペクトル分解（spectral decomposition）や固有値分解（eigendecomposition）と呼ばれるような、作用素の定義されるベクトル空間の正準分解を与えるものである。オーギュスタン＝ルイ・コーシーは、自己随伴行列に関するスペクトル定理を証明した。すなわち、すべての実対称行列は対角化可能であることを証明した。その定理のジョン・フォン・ノイマンによる一般化は、今日の作用素論におけるもっとも重要な結果となっている。またコーシーは、行列式に関する系統的な理論を構築した第一人者である。この記事では主に、ヒルベルト空間上の自己共役作用素に関する、最も簡単な種類のスペクトル定理について述べる。しかし、上記のように、スペクトル定理はヒルベルト空間上の正規作用素についても成立するものである。
20世紀より前のポリオの大規模な流行は知られていないが、1900年ごろからヨーロッパとアメリカ合衆国で局地的な麻痺性ポリオの流行が出現し始めた。ポリオの複数症例が初めて報告されたのは1843年で、それは1841年のルイジアナ州でのアウトブレイクを記述したものであった。アメリカでの次の報告までには50年の隔たりがあり、1893年にボストンでの26症例が報告された。アメリカでポリオの流行が初めて認識されたのは、その翌年にバーモント州で起こった132症例 (死者18人) によってであり、それにはいくつかの成人の症例も含まれていた。さまざまな規模の多数の流行が国中で出現し始め、ニューヨークでは1907年までに約2500症例が報告された。1916年6月17日の土曜日、ポリオ感染の流行の公式発表がニューヨークのブルックリンでなされた。その年には、アメリカ合衆国で2万7000を超えるポリオの症例が発生し、6000人が死亡した。ニューヨークだけでも死者は2000人を超えた。ポリオと確認された人物の名前と住所は日ごとに新聞で公開され、彼らの住居はプラカードで示され家族は隔離された。ハイラム・M・ヒラー・ジュニアは自身が何を扱っているのかに気付いた医師の1人であったが、病気の性質はいまだ大部分が謎であった。1916年の流行は大規模なパニックを引き起こし、数千人が都市部から近隣の山間部のリゾート地へ脱出した。映画館は閉鎖され、会合は中止され、集会はほぼなくなった。子供たちは水飲み場の水を飲まないよう警告され、遊園地やプール、海水浴場へ行かないように言われた。1916年以降、夏ごとに国内のどこかでポリオの流行が出現し、1940年代と1950年代が最も深刻だった。1949年の流行では、アメリカ合衆国で2720人の死者が発生し、カナダとイギリスでも4万2173件の感染症例が報告された。20世紀より前には、生後6ヶ月以前の乳児のポリオ感染は稀であり、ほとんどの症例は6ヶ月から4歳までの小児に起こったものであった。ポリオに感染した幼児は概して軽度の症状を示すだけだったが、それによってこの病気に対する終生の免疫を獲得した。19世紀後半から20世紀初頭にかけての先進国では、下水処理の改善や清浄な給水など、地域の衛生環境が改善された。衛生状態の改善は、乳児や幼児がポリオと遭遇し免疫を獲得する機会が少なくなったことを意味した。それによってポリオウイルスへの曝露が小児期の後半や成人期にまで遅れ、麻痺性の感染が起こりやすくなった。ポリオによる麻痺は、小児では1000症例につき1例発生するが、成人では75症例に1例発生する。1950年までに、アメリカ合衆国で麻痺性の急性灰白髄炎が最も多く発生する年代は乳児から5–9歳の小児へと移り、症例の約1/3は15歳以上の人物が発症したものであった。そのため、この期間にポリオの感染による麻痺や死者の割合が増加した。アメリカ合衆国での1952年のポリオの流行は国家史上最悪のアウトブレイクであり、親の病気に対する恐怖が高まってワクチンの必要性へ大衆の意識が向けられたとされている。その年には5万7628件の症例が報告され、3145人が死亡し、2万1269人に軽度から重度の麻痺が残った。