原産地は、中国大陸南部、および、インドシナ半島。国別で言えば、中華人民共和国中部地域および南部地域、台湾、ベトナム、ラオス、ミャンマーに分布する。日本では江戸時代から輸入された外来種である。観察された地域は、東京，神奈川，大阪，兵庫，福島，栃木，愛知，大阪，京都，和歌山，香川，鹿児島，先島。神奈川、兵庫などでは繁殖の記録もある。なお、沖縄県与那国島・鹿児島県など南日本での観察記録は、台湾などから飛来した迷鳥（すなわち自然渡来）の可能性もある。カナダでは、移入されたものが外来種として繁殖し、問題となっている。
点列の収束の概念は、一般の位相空間においても収束先の近傍系をもちいて定式化される。しかし、一般的な位相空間の位相構造は、どんな点列が収束しているかという条件によって特徴付けできるとは限らない。そこで、ネットやフィルターといった、点列を拡張した構成とその収束の概念が必要になる。任意の位相空間 X に対し、X 上で収束している（収束先の情報も込めた）フィルターの全体 CN(X) や、あるいは収束しているフィルターの全体 CF(X) を考えると、これらからは X の位相が復元できる。
とする。{fₙ} が f に I 上各点収束するとは、が成り立つことである。これは、各  に対して、 と同値である。これを各点収束の定義とすることもある。{fₙ} が f  に I 上一様収束するとは、が成り立つことである。これは、と同値である。上で定義したノルムをスープノルム（または無限大ノルム、上限ノルム）と言う。スープノルムの収束をもって一様収束を定義することもある。また、区間 I の任意のコンパクト集合上一様収束することを広義一様収束という。I の任意の有界閉区間上一様収束することを広義一様収束ということもある。定義より、「fₙ が I 上一様収束⇒fₙ が I 上各点収束」が成り立つ（逆は必ずしも成り立たない）。関数の一様収束性は、lim と ∫ の順序交換や、函数項級数の項別積分や項別微分の可能性を保証する（逆に言えば、一様収束が保証されていない段階では、勝手に lim と ∫ の順序を交換したりなどしてはいけない）。関数の一様収束性を証明するには、上のようにスープノルムの収束を示すのが一般的である。関数項級数の一様収束性ではワイエルシュトラスのM判定法も用いられる。
ユークリッド空間のように、距離 d の定まった空間における点の列についての収束の概念を、実数の列の収束の概念を拡張して定めることができる。すなわち、点列 (xₙ)ₙが点 y に収束するとは、正の実数列 (d(xₙ, y))ₙ が 0 に収束することである。この概念をさらに一般化して、自然数によって数え上げられるとは限らない「列」とその収束性を一般の位相空間に対して定式化することができる。（#位相空間節を参照のこと）距離 d に関する極限であることを明示するために lim の代わりに d-lim などと書くこともある。
実数の列 (xₙ)ₙ がある数 R について R < xₙ を満たしているとき（数列 (xₙ)ₙ が下に有界なとき） (xₙ)ₙ の下極限と呼ばれる数を定めることができる。同様にして、上に有界な数列に対しその上極限、 が定義される。数列 (xₙ)ₙ が極限を持つのは  となる場合であり、このとき。となる。さらに、有界な数列のなすベクトル空間 l∞N に対して抽象的な関数解析の構成を適用し、任意の有界な数列 (xₙ)ₙ に対してバナッハ極限と呼ばれる数 LIM xₙ を、古典的な極限の拡張となるように定めることができる。
永禄10年（1567年）、毛利元就の九男として生まれる。母は乃美大方で、同母兄に穂井田元清と天野元政がいる。秀包が生まれた時点で長兄（異母兄）の隆元は死去しており、父の元就は71歳、甥の輝元は14歳だった。元亀2年（1571年）1月、元就の意向によって備後国戸坂氏の75貫の遺領と遺臣を与えられるが、同年5月に同じ備後国の国人・大田英綱が死去し、その遺臣である平対馬守と渡辺河内守に懇願されて大田氏の後継となり、大田元綱（おおた もとつな）と名乗った。この時から白井景俊が家老を務めている。そして天正7年（1579年）に母の乃美大方が小早川氏庶流・乃美氏の出身であるという縁もあり、兄の小早川隆景の養子となり、元服した後は小早川元総（こばやかわ もとふさ）を名乗る。小早川氏に入った際には、隆景より椋梨景家・亀門景信・横山景義など多くの家臣を付けられている。天正11年（1583年）、人質として甥の吉川広家と共に大坂の羽柴秀吉の下に送られた際に「秀」の字を賜り、秀包（ひでかね）と改名する。人質でありながらもその行動は制限されたものではなく、翌天正12年（1584年）3月の小牧・長久手の戦いや5月の竹鼻城水攻にも秀吉に従い出陣している。秀吉の下にある秀包を母の乃美大方は大変心配し、早期の帰還が叶うよう秀吉に働きかけてほしいと毛利輝元に訴えている。