共円四辺形の頂点が隣り合う順に A, B, C, D であり、各辺の長さを a := AB, b := BC, c := CD, d := DA とするとき、対角線の長さ p := AC, q := BD は辺の長さを用いて  と表せる。よって、トレミーの定理  も示せる。同じ設定のもと、トレミーの第二定理に従えば  である。対角線の長さの和に関して不等式  が成り立つ。ここで等号が成り立つための必要十分条件が、二つの対角線の長さが一致することであるということを、相加相乗平均の関係式を用いて示せる。さらに  が成り立つ。任意の凸四辺形が二つの対角線によって四つの三角形に分割されるが、共円四辺形においてそれら四つの三角形の向かい合う対は互いに相似になる。二つの対角線 AC, BD の中点をそれぞれ M, N とすれば  が成り立つ。ここに点 E, F は向かい合う辺を延長したときにできる交点とする。共円四辺形 □ABCD の二辺 AC と BD が E で交わるとすると  が成り立つ。共円四辺形を成す辺の集合が一つ与えられれば、それらの並びだけを替えて、外接円と面積を変えることなく、三つの相異なる共円四辺形を作ることができる（面積が変わらないことはブラーマグプタの公式からわかる）。そのような共円四辺形のどの二つも、ひとつの対角線の長さは共通である。
共円四辺形の面積 K は、その四辺の長さを a, b, c, d とすれば、ブラーマグプタの公式により と与えられる。ここに、s := (a + b + c + d) は半周長である。これは一般の四辺形に対して成立するブレートシュナイダーの公式において、共円の場合に向かい合う角が補角であることを適用した系として得られる。さらに d = 0 であるとすれば、共円四辺形は三角形に退化するから、ブラーマグプタの公式もヘロンの公式に退化する。共円四辺形は、各辺がそれぞれ決まった長さの並びであるようなすべての四辺形の中で最大の面積を持つ（これもまたブレートシュナイダーの公式の系であるし、微分積分学を用いても証明できる）。ブラーマグプタの公式を見れば、各辺の長さがどの二つも異なり他の三つの辺の長さの和よりも小さいという条件のもとで、そのような長さの辺を持つ共円四辺形は面積が決まれば合同の違いを除いて三種類しかないことが分かる。具体的に言えば、各辺の長さが隣り合う順に a, b, c, d であったときに、長さ a の辺と残りの長さ b, c, d の辺のどれとでもよいから入れ替えるならば、面積は同じで、しかも合同にはならない。共円四辺形の面積は、辺の長さが隣り合う順に a, b, c, d で長さ a および b の辺の成す角度が B であるとき  と表せる。あるいは日本の対角線の成す角度を θ とすれば  である。また A が直角でないならば  とも書ける。もっと別の形では、外半径を R として、 というものもある。すると直ちに  がわかるが、ここで等号が成り立つのは考える四辺形が正方形のときであり、かつそのときに限る。
バロック調の石造りを基調としたボンガッセ20（以前の番地は515）の建物は1700年頃の古い地下室のアーチ天井の上部に建てられている。選帝侯時代の建築としては現存する数少ないもののひとつである。当時は宮廷に仕える者が好むような、城、市場を備えた市役所そしてライン川の堤防に囲まれた街の中央に位置していた。今日ではボン・ベートーヴェン・ホールと歌劇場に近い観光地となっている。19世紀前半、背後にやや小ぶりな木造の家が建てられた。 1836年に正面扉が拡張され門扉へと改装された。1840年頃になると施設の後部がベートーヴェンの生誕地であると、彼の友人で医師のフランツ・ゲルハルト・ヴェーゲラー及びカール・モーリッツ・クナイゼルによって明らかにされた。教師であったクナイゼルは1873年にその1階にレストランを開店し、ベートーヴェンの生家（Beethoven's Geburtshaus）と名付けた。1887年には庭にビアハウスとコンサートホールが建てられる。1888年に食料雑貨商が施設を購入するも翌年には手放してしまう。1889年に創設されたベートーヴェン・ハウス協会が保存の役割を担うことになり、施設は解体を免れた。それ以降の年月をかけて改装、改築を行い施設は記念史跡へと変貌を遂げた。その時点では建屋の大半は18世紀後半そのままの姿で残されていた。広さを要する展示室を残すために中心となる建物の間取りは変更され、協会の事務所、図書室と管理人の居室が設けられた。ベートーヴェンの住居に手を加えるような変更は階段と正面の建屋へ抜ける通路のみにとどめられた。中庭は格子垣や砂石による装飾を施され、ビアホールは庭園に置き換えられた。この形が現在まで続いている。 ベートーヴェンの生誕地を当時の環境のままとどめて建物を保存するべく、協会は1893年に近所にあった22番の家屋を購入、防火壁を整備した後再び売りに出した。1907年に18番の家屋「"Im Mohren"」を購入したのは土地の拡張のためであった。当初は賃貸住宅として使用されていたが、1927年になると新たに創設されたベートーヴェン・アーカイヴがそこに移された。1930年代中頃に両建物で大改修が行われた。 ベートーヴェン・ハウスは2つの大戦をほぼ無傷で切り抜けた。第二次世界大戦時には上級役員でその後に協会の議長となったテオドール・ヴィルデマンが、地方学芸員として収蔵品をジーゲンの地下シェルターに持ち込み、確実に戦火を逃れるようにした。1944年10月18日にボン中心部を襲った空襲では、ベートーヴェンの生家の屋根に焼夷弾が投下された。管理人のハインリヒ・ハッセルバッハ、ヴィルデマン、そしてライン国立博物館から来たフランツ・ラーデマッハーにより、弾頭が炸裂するという悲劇は回避された。ハッセルバッハとヴィルデマンはドイツ連邦共和国功労勲章を授与されている.。受けた損傷は1950年代初頭に修復が行われた。1960年代終盤になり3度目の改修が実施されている。4度目となる基礎的な改修は1994年から1996年に行われ、ベートーヴェン・ハウスは1998年にドイツの施設として始めてヨーロッパ・ノストラの文化遺産として表彰を受けた。2003年1月、ドイツポストはベートーヴェン・ハウスをデザインした切手を発行した。この切手は普通切手シリーズ「"Sights"」の中の1枚である。