t検定は、母集団が正規分布をしており標本の分散がχ² 分布をしているという前提の下において、「完全に」正確な確率を計算することができる（ウェルチ検定では「ほぼ」正確な値を計算できる）。逆の言い方をすると、母集団が正規分布に従っていない場合は、標本平均はt値からは多かれ少なかれ乖離する。実務的に標本から母集団が正規分布をしているかどうかという事を判断する事は、色々な検定方法があるとは言うものの、非常に困難である。ただし、中心極限定理によると、母集団の分布が正規分布に従わない標本でさえも、サンプル数が多くなればなるほど、標本平均は正規分布に近似していく。したがって、標本サイズが多ければ多いほど、標準検定値であるはZ値に近似することになる。このような基礎に基づくと、母集団が正規分布から完全に逸脱した分布に従っていて、標本サイズが十分に大きな場合（大学の初等の統計の教科書などではn＞30などと載っている場合があるが、勿論多ければ多いほど良い）、Z検定で近似的な確率を計算できる。ただしt値は自由度が上がるとZ値に近似するため、計算上はt検定を用いても殆ど大差ない結果を得られる（哲学的には異なるが）。それがt検定が頑強（robust）であると言われる所以である。
一つ目の母集団の平均値μ₁が二つ目の母集団の平均値μ₂と等しいかどうかの帰無仮説を検定する際に使用する。言い換えるとμ₁－μ₂＝0かどうかの帰無仮説を検定する。
文久2年（1862年）冬、天保の無利子年賦令から20年後に、幕府は3度目の札差仕法改革を行った。天保の無利子年賦返済令発令以後も増大し続けてきた未償還の債務を、年利10パーセントから7パーセントに下げ、返済は金額に応じて10年・20年と年賦にするという内容である。これを、安利・年賦済み仕法（やすりねんぷずみしほう）と呼ぶ。この法令が発布された時、札差はさほど目立った動きをしていない。前2回の棄捐令ほど厳しい内容でないことと、この法令を適用した場合、債務者である旗本・御家人の負担はかえって増加する場合もあったからである。
この法令の発布後、当時の札差91軒のうち、半数以上にあたる49軒が店を閉じてしまい、返済金だけを受取り金を貸さないという立場に変わってしまった。これに対し、幕府は札差に2万両の資金貸下げをし（6ヶ年賦、年利5パーセント）、当時の有力な札差4人に仲間内に融資をはかるよう諭した。さらに、勘定所御用達・町方御用達の15人の商人に対して、新規に札差を開業せよと命じた。しかし、業務が複雑である、開店のための適当な敷地が無い等理由をつけ、金1万両を札差助成料に差出すだけで、15人のうち10人がこの申渡しを辞退してしまった。閉店を宣言した49軒の札差のうち38軒は、幕府・御用達それぞれの出資や有力な同業者の助成等もあり、再開店にふみ切った。
寛政の改革の後、札差は一時勢いが衰えたものの、年毎に旗本・御家人の借金は再び増加し、文化・文政（1804－1829年）時代には再び繁昌し、旗本・御家人の生活は窮乏に陥った。このため、無利子年賦返済令が出される前にも、天保13年（1842年）8月3日、猿屋町会所から旗本・御家人に貸付けていた金を棄捐し、翌年6月1日には旗本・御家人に対する御貸付金、拝借金などの公金の棄捐も行っていた。
天保14年（1843年）の時にも、「無利子年賦返済令」の名目で天保の改革の一環として発令されている（この時点で、水野忠邦は失脚し老中の地位にはいなかった）。同年12月14日、札差に対して出された無利子年賦返済令は、札差が旗本・御家人に貸出した未返済の債権は全て無利子、元金の返済は原則として20年賦、ただし知行高に比して借財の多い者へは、さらに軽減した償還の措置をとる、というものである。ただし、これと引き換えに幕府が札差に貸し付けていた御下げ金も無利息とした。
1820年の作品には進歩と形式の成熟が見られる。小作品の数々に混じって『詩篇23番（D706）』『聖霊の歌（D705）』『弦楽四重奏断章ハ短調（D703）』、ピアノ曲『さすらい人幻想曲（D760）』などが誕生している。6月14日に『双子の兄弟（D647）』が、8月19日に『魔法の竪琴（D644）』が公演された。これまで、ミサ曲を別にして彼の大きな作品はグンデルホーフでのアマチュア・オーケストラに限定されていた。それは家庭でのカルテット演奏会から育って大きくなった社交場だった。ここへきて彼はより際立った立場を得て、広く一般に接することが求められ始めた。相変わらず出版社は冷淡だったが、友人のフォーグルが1821年2月8日にケルントナートーア劇場で『魔王』を歌い、ようやくアントニオ・ディアベリ（作曲家・出版業者、1781 - 1858）がシューベルトの作品の取次販売に同意した。作品番号で最初の7曲（すべて歌曲）がこの契約に従って出版された。その後、この契約が終了し、大手出版社が彼に応じてわずかな版権を受け取り始めた。シューベルトが世間から問題にされないのを生涯気にしていたことについては、多くの記事が見られる。2つの劇作品を生み出したことを契機に、シューベルトの関心がより舞台に向けられた。1821年の年の瀬にかけて、シューベルトはおよそ3年来の屈辱感と失望感に浸っていた。『アルフォンソとエストレラ（D732）』は受け入れられず、『フィエラブラス（D796）』も同じだった。『陰謀者（D787）』は検閲で禁止された（明らかに題名が根拠だった）。劇付随音楽『ロザムンデ（D797）』は2夜で上演が打ち切られた。これらのうち『アルフォンソとエストレラ』と『フィエラブラス』は、規模の点で公演が困難だった（たとえば『フィエラブラス』は1000ページを超える手書き楽譜）。しかし『陰謀者』は明るく魅力的な喜劇であり、『ロザムンデ』はシューベルトが作曲した中でも素晴らしい曲が含まれていた。