枠（あるいはより正確には接枠 (tangent frame/接標構)）は特定の接空間の順序付き基底である。同様に、接枠は Rⁿ からこの接空間への線型同型写像である。動く接枠は定義域の各点での基底を与えるベクトル場の順序付きリストである。動く枠を枠束 F(M) 、M 上のすべての枠からなる集合からなる GL(n, R) 主束、の断面と見なすこともできる。M 上のテンソル場を F(M) 上の同変ベクトル値関数と見なすことができるので、枠束は有用である。
テンソル束は接束と余接束のすべてのテンソル積の直和である。テンソル束の各元はテンソル場であり、ベクトル場上、あるいは他のテンソル場上、多重線型作用素として作用することができる。テンソル束は可微分多様体にはなれない、なぜならば無限次元だからである。しかしながらスカラー関数の環上の多元環ではある。各テンソルはどれだけの接因子と余接因子をそれが持っているかを示すその階数によって特徴づけられる。ときどきこれらの階数は共変および反変階数、それぞれ接階数と余接階数を表す、と呼ばれることがある。
ベクトル空間の双対空間はベクトル空間上の実数値線型写像の集合である。ある点での余接空間はその点での接空間の双対であり、余接束はすべての余接空間の集まりである。接束と同様余接束は再び可微分多様体である。ハミルトニアンは余接束上のスカラーである。余接束の全空間はシンプレクティック多様体の構造を持つ。余接ベクトルを「余ベクトル」(covector) と呼ぶことがある。余接束を M から R への関数の 1-jet の束として定義することもできる。余接空間の元を無限小の変位と考えることができる。f が微分可能な関数であれば、各点 p において余接ベクトル dfₚ を定義することができる。これは接ベクトル Xₚ を Xₚ に伴う f の微分に送る。しかしながら、すべての余ベクトル場がこのように表現できるわけではない。そのようにできるものを完全微分形と呼ぶ。与えられた局所座標 xᵏ の集合に対し、微分 dx kp  は p における余接空間の基底を成す。
ある点の接空間はその点におけるあらゆる方向微分からなり、多様体と同じ次元 n を持つ。その点に局所的な（非特異）座標 xₖ の集合に対して、座標微分  は一般にその接空間の基底を定義する。すべての点における接空間の集まりに多様体の構造を入れることができ、接束 (tangent bundle) と呼ばれ、次元は 2n である。接束は接ベクトルが住んでいるところで、それ自身可微分多様体である。ラグランジアンは接束上の関数である。接束を R （実数直線）から M への 1-jet の束として定義することもできる。Uα × Rⁿ, ただし Uα は M のアトラスのチャートの1つを表す、に基づいたチャートからなる接束のアトラスを構成できる。これらの新しいチャートの各々はチャート Uα の接束である。このアトラスの変換関数はもとの多様体上の変換関数から定義され、もとの微分可能性のクラスを保つ。
可微分多様体上の関数の微分を定義する様々な方法があるが、最も基本的なのは方向微分である。方向微分の定義は多様体がベクトルを定義する適切なアフィン構造を欠いているという事実によって複雑である。したがって方向微分はベクトルの代わりに多様体内の曲線を見る。
異なるアトラスが本質的に同じ多様体を生じることがある。円を2つの座標チャートによって写すことができるが、これらのチャートの定義域をわずかに変えると同じ多様体に対する異なるアトラスが得られる。これらの異なるアトラスはより大きいアトラスに統合することができる。そのような統合されたアトラスの変換関数が構成成分のアトラスの変換関数ほど滑らかでないということが起こり得る。Cᵏ アトラスを Cᵏ アトラスを構成するために統合できれば、両立できる (compatible) という。アトラスの両立可能性は同値関係である。ある同値類のすべてのアトラスを統合することによって極大アトラス (maximal atlas) を構成できる。各 Cᵏ アトラスはある一意的な極大 Cᵏ アトラスに属する。
1270年に近くのオストルダ（Ostróda）にチュートン騎士団が砦を築いてステンバルクを含む一帯を支配し、ステンバルク村をタンネンベルク村と呼んだ。1410年、この村と隣村グルンヴァルトとの間の平原で、ポーランド・リトアニア連合軍とチュートン騎士団との決戦（グルンヴァルトの戦い、タンネンベルクの戦い）が行われ、ポーランド・リトアニア連合軍側が大勝利、講和条約（第一次トルニの和約）によってこの一帯は1411年よりポーランド王国の版図に入った。その後再度チュートン騎士団の残党がこの一帯を徐々に実効支配したが、1466年にポーランド王国とプロシア連合義勇兵の連合軍がドイツ騎士団に勝利しオストルダを奪回、この一帯を支配する（第二次トルニの和約）。1525年からプロシア公領。1772年のポーランド分割でプロイセン王国領となり、1945年まではドイツ領東プロイセンに属していた。第一次世界大戦中のタンネンベルクの戦いは、実際にはオルシュティン（アレンシュタイン）付近で戦われたが、古戦場タンネンベルクの名を取って呼称された。ナチス・ドイツが降伏した際にポーランド領に復帰し今に至る。