0.999⋯ = 1 のいくつかの証明は、通常の実数がアルキメデス順序体であること、すなわち、"0 でない無限小は存在しない" ことに依存している。特に、差 1 − 0.999⋯ は任意の正の有理数よりも小さいはずであるから、それは（0 か）無限小でなければならないが、実数の体系には 0 でない無限小は無いので、差は 0、つまり二つの値は等しいことが結論付けられる。それでも、実数の非アルキメデス的代替となりうる様々な体系を含む、数学的に一貫した順序代数系は存在する。
公理的集合論を用いて、実数の集合を有理数の集合上で組み立てられたある種の構造として明示的に定義する方法はいくつか存在する。まず、自然数とは、ものを数えるときに用いる番号のことであり、0 から始めて 0, 1, 2, ... と、+1 ずつ添加していくことにより得られる。自然数を拡張して整数全体を得るには、各自然数の反数を添加すればよい。さらにそれらの商を添加すると、有理数全体が得られる。これらの数体系には、加減乗除という四則演算が付随しており、さらに、任意の2数を比較しての大小関係（どちらが大きいか、小さいか、等しいか）という順序をも備えている。有理数から実数への拡張は（自然数から整数や有理数への拡張と比べて）大きな飛躍である。この拡張の方法は、少なくとも2つの手法がよく知られている。ともに1872年に発表された有理数の切断によるものとコーシー列によるものである。これらの実数の構成法により 0.999⋯ = 1 を証明している実解析の教科書は見られない。現代数学では、解析学的に実数を構成し、それが数の公理を満たすかどうかに注意が払われる。公理による解析的手法により 0.999⋯ = 1 を証明することになるからである。しかしながら、実数の構成をより適切に、論理的に行うことにより、0.999⋯ = 1 の証明はもっと直接的になされる (self-contained) と主張する人もいる。
0.999⋯ という小数点以下の位に無数の 9 を加えていくという定義自体が解析的である。これが 1 に等しいことを厳密に証明するには、実解析の手法を必要とする。0.999⋯ という無限小数を正確にとらえるには、小数部分の位が無数に並ぶことを明確に定義し直すことが必要となる。
以上の2つの証明で用いた、無数の桁に対する位ごとの操作（つまり、掛け算や引き算）を一斉に行う（つまり⋯の部分に行う）ことは、その正当性が直ちに明らかというわけではない。有限小数に関しては、この過程は実数の計算法則にのみ依存している。この操作が無限小数にも適用できることを証明するためには、次節に述べる実解析の手法を必要とする。日本の数学教育においては、高校数学の数学Iで循環小数の足し算・引き算・10倍が公理として採用されているため、上記の代数的な操作は高校数学の範囲内では正しい証明とされる。
0.999⋯ という実数を明確にとらえるには、やはり小数点以下の位がすべて 9 であることを利用する。位取り記数法で表された有限小数における"位ごとの操作（四則演算）"が無限小数の各位についても一斉にできる、と見なすと、0.999⋯ = 1 を初等的に導くことができる。
平和安全法制の施行に反対するデモが起こった際、自由と民主主義のための学生緊急行動参加メンバー（以下「SEALDs」）に向けた「SEALDsの皆さんへ」と題した記事を自身のウェブサイト上で公開し、「デモに参加すると結婚や就職に悪影響を及ぼすおそれがある」という趣旨の発言をした。これについて、SEALDs側は、「もし就職活動で『デモに参加したから』という理由で落とされたら、ラッキーです。『そんな基準で選んでいる会社なら入らなくてよかった』と考えます」などと反論している。
スイス兵の水の間（fr）は、ヴェルサイユ宮殿の庭園にある池で、1679年から1683年にかけ拡張された。名称はルイ14世に仕えるスイス人兵にちなむ。ルイ14世はメゾン・ミリテール・デュ・ロワをエリート集団に一新させた。メゾン・ミリテール・デュ・ロワの軍は、新たな連隊が創設された太陽王ルイの時代に飛躍的に人数が増加した。1668から1671年、スイス衛兵隊の大佐ピエール・ストッパと戦争大臣ルーヴォワ侯爵は、スイスのカントンに知らせることなく独立した中隊を雇用することに同意した。これは王にとってそれほど高い買い物ではなかった。妥協した部隊のうち7部隊は月額6エキュ（six écus par mois）であった。カントンの承認を受けない、独立した中隊の徴兵は、王室政府によって1660年から1701年まで続けられた。1690年代まで中隊はシュレンヌ、リュエイユ＝マルメゾン、ナンテール、コロンブ、サン＝ドニといった郊外に駐留していた。ルイ14世時代の末期には大隊はパリのグランジュ・バトリエール通りに駐留していた。王は中隊を教区に閉じ込めるため、住宅を求めた。ルイ14世時代末期、後継者はメゾン・ミリテール・デュ・ロワに対し批判を繰り広げた。1709年のポール・ロワイヤル修道院におけるフランス人衛兵隊や、国会議員の逮捕の責務を負う銃士のように、外国人ではない、警察の役割を果たす特定の団体が現れた。スイス人兵の軍事的重要性は、デッティンゲンの戦いやフォントノワの戦いで明らかなように衰え、別の原因も生じた。政治が安定した時代、武装蜂起の可能性が低くなり、肥大化した衛兵隊を維持する必要がなくなったのである。最後に、多くの隊編成に費用がかかりすぎ、そのうちのいくつかは儀礼的な役割しか持たず、王国の債務はある時期になると非常に増加していた。