1861年5月にフアレスは選挙によって正式にメキシコの大統領に就任したが、地方では保守派軍がゲリラ化して抵抗を続け、さらに財政状況も長年の混乱のため絶望的になっていた。その最中に英仏は莫大な債務支払いを要求したが、メキシコにはもはや支払い能力がなかったためにフアレスがこれを拒否し、7月17日に債務不履行を宣言すると、イギリス、フランス、スペインは10月31日にメキシコ武力介入を決定し、ベラクルスが三国の軍隊によって占領された。1862年4月にイギリスとスペインは撤退したが、フランス第二帝国のナポレオン3世はメキシコ全土の占領を計画していたために英西軍との撤退には応じず、フランス外人部隊を含むフランス軍の精鋭をベラクルスから中央高原に送った。1862年5月5日にプエブラの会戦でメキシコ軍はこのフランス軍を撃退するが、しかし、メキシコにおける「カトリック帝国」樹立という野心を持つナポレオン3世は更に増援部隊を派遣し、1863年5月17日にプエブラが、6月10日にはメヒコ市がフランス軍によって攻略された。フアレスは北部に脱出して抵抗を続けたが、フアレス派の拠点は南部のポルフィリオ・ディアス将軍が抵抗するオアハカ州や、北部のフアレスが指導する数州のみとなり、若干の抵抗はあったものの戦争はフランス軍優勢で進んだ。首都が陥落するとナポレオン3世はオーストリア＝ハンガリー帝国皇帝フランツ・ヨーゼフ1世の弟マクシミリアンをメキシコ皇帝として送り込み、第二次メキシコ帝国が樹立された。この措置は保守派のメキシコ人によって支持されたが、マクシミリアンは信教の自由の容認、教会財産国有化などの措置により保守派メキシコ人が離反した。更に、1865年に南北戦争を終結させたアメリカ合衆国がフアレス軍に物資の供与を始めると事態は流動的になり、普仏戦争の勃発によって1866年フランス軍の撤退が決定されると後ろ盾を失った皇帝マクシミリアンは自由派軍に敗れて6月19日に銃殺され、メキシコ帝国は崩壊した。7月13日にディアス将軍の率いる自由派がメヒコ市に入城し、7月15日にフアレスが帰還してメキシコに共和制が復活した。
1492年にクリストファー・コロンブスがアメリカ大陸を「発見」すると、ヨーロッパ人によるアメリカ大陸の征服が始まった。1519年にスペイン人エルナン・コルテスがメキシコに上陸すると、スペイン人をアステカの神ケツァルコアトルと思った皇帝モクテスマ2世はスペイン人たちを招きいれた。1520年に先住民の反乱がおきると一時撤退するが、アステカ帝国に圧迫されていたトラスカラ王国の助けを得て反撃。一方のアステカ人はスペイン人の持ち込んだ麻疹や天然痘に苦しみ、スペイン人への抵抗は困難を極めた。モクテスマの甥である皇帝クアウテモックは首都から船で脱出しようとしたところをコルテス軍につかまり、1521年8月31日、アステカ帝国は滅亡した。
任意の位相空間 X に対して、空集合および全体集合 X はいずれも X の開かつ閉集合である。X を実数直線 R の 2 つの開区間 (0,1), (2,3) の和集合とする： X = (0,1)∪(2,3)。X に、R の通常の位相から作られる X 上の相対位相を導入する。そのとき、開区間 (0,1), (2,3) はいずれも X の開かつ閉集合である。これは非常に典型的な例である。このように、位相空間 X が有限個の X の連結成分の和集合の形に表されるならば、X の各連結成分は X の開かつ閉集合となる。もう少し非自明な例として、有理数全体の集合 Q に通常の位相（ R の通常の位相から作られる Q 上の相対位相）を導入し、A を正の有理数でその平方が 2 よりも大きくなるようなもの全体の集合とする： A = { x ∈ Q | x > 0, x² > 2 }。√2 が Q に属さないという事実を利用すれば、A が Q の開かつ閉集合であることを示すのは容易である（注意すべきは、A は R の開かつ閉集合ではない ことである。そもそも A は R の開集合にも閉集合にもならない）。
数学、特に位相幾何学や位相空間論において、ある位相空間の開かつ閉集合（かいかつへいしゅうごう、英: closed-open set）とは、その位相空間の開集合であり閉集合でもあるような集合である。普通の意味の開 と閉 とは対義語であるから、開かつ閉集合 というものが有り得るということは直観に反するように見えるかもしれない。しかし、数学的に定義された開 と閉 とは相互排他的な概念ではない。一般に、X を位相空間、A を X の部分集合とするとき、A とその補集合 X−A とがいずれも X の開集合であるならば、それらはいずれも X の開かつ閉集合である。英語では、closed-open set を clopen set ともいう。clopen set という語は closed-open set という語から作られたかばん語である。
1550年代から大友氏と毛利氏は豊前、筑前の二カ国を巡って度々戦いを繰り返してきていた（門司城の戦い）。一度は室町幕府第13代将軍・足利義輝の仲介によって講和したものの、1567年（永禄10年）1月に秋月種実が毛利元就の支援を得て旧領回復の兵を挙げたことから、再び戦争状態へと逆戻りすることとなる。大友宗麟は挙兵した秋月種実と、これに呼応した大友氏の重臣高橋鑑種を討伐すべく、戸次鑑連（道雪）、臼杵鑑速、吉弘鑑理の三家老に兵を与えて攻めさせたが、休松の戦いで秋月勢の奇襲を受け、敗北を喫してしまった。これにより、筑前、筑後国衆が動揺し、特に1568年（永禄11年）1月に筑前の大友方の重要拠点である立花山城の城主立花鑑載が叛旗を翻したことにより、大友勢は劣勢に立たされることになった。毛利元就はこの好機に援軍を送り込み、大友勢を筑前、豊前から駆逐しようとするが、大友勢は戸次鑑連ら3人の家老がこれを防ぐべく、1568年（永禄11年）4月より毛利方の重要拠点となった立花山城に攻め寄せた。3ヶ月に渡る攻城戦の末に内応者の出た立花山城は陥落し、立花鑑載は自害している。しかし、毛利元就も次男吉川元春、三男小早川隆景らを送り込むとともに、肥前の龍造寺隆信と連携し、大友方への圧力を強めるとともに、翌1569年（永禄12年）4月には立花山城に攻め寄せた。一方の大友宗麟は叛旗を翻した筑前国衆の秋月氏を攻め、筑前国衆の動揺を鎮めようとしたが、その間に立花山城は再び陥落して毛利元就の治めるところとなってしまった。立花山城を失いつつも筑前国衆の動揺を抑えた大友勢は立花山城を再奪還するため、立花山城に迫り、一方の吉川元春ら毛利勢も城から打って出て立花山城の南の多々良川付近（現在の福岡県福岡市東区多々良）で相見えることとなった。