既にみたように、任意の n × n 行列  に対してケイリー–ハミルトンの定理の主張を得るには、二つの段階を踏む必要がある。第一には固有多項式を t の多項式として展開してその各項の係数 cᵢ を決定すること:  第二にこれらの係数を用いて作った A の冪たちの線型結合が零行列に等しいと示すこと:  である。この左辺は A の成分 aᵢⱼ 全てを変数に持つ（非常に巨大な）多項式を成分とする一つの n × n 行列であり、したがってケイリー–ハミルトンの定理はこれら n² 個の式の各々がすべて恒等的に 0 に等しいことを述べるものである。行列のサイズ n の値を一つに（どのような値にせよ）止めて考えるとき、これら恒等式を（うんざりするような、しかし）完全に代数的な直截手計算を行って得ることは原理的には可能である。しかしそれでは任意のサイズ n に対して成立すると主張するケイリー–ハミルトンの定理を証明したことにはならないので、すべての n に一様に適用できる証明を与える必要がある。
代数的整数の最小多項式の計算においてもケイリー–ハミルトンの定理は有用である。例えば、Q の有限次拡大 Q[α₁, …, αₖ] とその代数的整数 α（これは添加された元の冪積 α n₁1 ⋯α nₖk  の非自明な Q-線型結合に書ける）が与えられたとき、α を掛けるという Q-線型変換  の表現行列を A と書けば、A にケイリー–ハミルトンの定理を適用することにより α の最小多項式が求まる。
ケイリー–ハミルトンの定理は A の冪の間に成り立つ（もっとも単純とは限らないが）関係を記述するものであるから、それにより A の十分大きな指数の冪を含む式の計算において、式を簡単化して A の（n 以上の指数が大きな）冪を直接計算することなく値を評価することができるようになる。例えば二次の場合に、 とすれば定理より だから、A⁴ を計算したければ、順に  のように次数の低い多項式表示に帰着される。同様に 二次の場合には二つの項の和で書けるということが上での計算からわかる。事実として、任意の k-乗がその正方行列のサイズ n に対して次数高々 n − 1 の多項式として書き表せる。これは定理を行列函数の表示に利用できることの一つの実例であり、次の節でより系統的に述べる。
固有多項式の各 i-次の係数は A の固有値たちのなす (n − i)-次基本対称式に等しく、とくに定数項（0 次の係数）は固有値の総乗ゆえそれは A の行列式に等しい。したがって、ケイリー–ハミルトンの定理が保証する等式を (∗) の形に書くことができる。ニュートンの公式を用いれば、基本対称式は冪和対称式 で書き表せることに注意すれば、上記の cᵢ は固有値の冪和対称式 sₖ たちで表されることがわかるが、各  は A の累乗 Aᵏ のトレースである。したがって、cᵢ は Aᵏ のトレースたちで書き表せる。
一般の 2×2 行列を  と書けば、固有多項式は  p(λ) := λ² − (a + d)λ + (ad − bc) で与えられ、ケイリー–ハミルトンの定理の述べるところによれば  が成り立つはずであるが、これは実際に A² の成分を具体的に書きだせば、確かに成り立っていることが確認できる。
1×1 行列 A = (a) に対し、その固有多項式は p(λ) := λ − a であり、p(A) = (a) − a⋅I₁ = (0) は明らかである。
産業の成長を見込んでいる2番目の都市としてフォーブス誌に紹介された。記事によると、パシフィック・ノースウェスト国立研究所や地域の農地による採用者の増加を見込んでいる、という。
Nauru bwiema, ngabena ma auwe.Ma dedaro bwe dogum, mo otata bet egom.Atsin ngago bwien okor, ama bagaduguEpoa ngabuna ri nan orre bet imur.Ama memag ma nan epodan eredu won engiden,Miyan aema ngeiyin ouge,Nauru eko dogin!
本作のアニメ化は吹奏楽経験者にはおおむね好評だった。エキサイトレビューではホルン経験者のライターが「Twitterを見ると、吹奏楽部経験者たちが悶絶していた」「あるあるすぎる」とリアルな描写を解説、管楽器専門誌『楽器族。ブラストライブ』はTwitterで「経験者にはドンピシャで納得できる台詞や演出がテンポよく決まる。これは凄いアニメだ。」と絶賛。一方、Newtypeアニメアワード2014-2015中間結果発表では作品賞(TV作品)で14位、最終結果でも10位以内に入ることはできなかった。しかし、吹奏楽部ではマイナー楽器の代名詞だったユーフォニアムを第一希望にする人も増えており、人気楽器の仲間入りをした。第20回文化庁メディア芸術祭では、『劇場版 響け！ ユーフォニアム ～北宇治高校吹奏楽部へようこそ～』がアニメーション部門・審査委員会推薦作品に選出される。『劇場版 響け！ ユーフォニアム ～届けたいメロディ～』を鑑賞した指揮者の下野竜也は、演奏シーンのリアルさに驚き、「ひと昔前なら楽器の持ち方が変だったり、演奏と絵が微妙にずれるアニメもあったけど、この映画は全ての奏者の指使いが音と見事に一致していました。そういう感動は『トムとジェリー』のピアノ演奏以来です。」と感想を述べた。