カナダ・メソジスト教会監督・平岩愃保、宣教師D・マクドナルドらに英語を学び、キリスト教に入信した。静岡教会に所属し、静岡バンドの一員になる。明治19年（1886年）10月31日 静岡教会で平岩愃保牧師より高木壬太郎らとともに洗礼を受ける。明治21年（1888年）2月には『國民之友』が創刊される。『國民之友』に有名な徳富蘇峰の「嗟呼國民之友生れたり」が掲載された。愛山は「これを越前福井の足羽山上に読み、山に上り山を下るの間遂に山光水色の何たるを知るに及ばなかつた」と言い大きな影響を受けたという。同年、上京して東洋英和学校神学部に入り神学教育を受ける。卒業の後、静岡教会で伝道師として3年働いた。この間初めて愛山の名で『女學雑誌』に投書した。
幕臣・山路一郎の子として、江戸淺草の天文屋敷に生まれた。山路家は幕府の天文方を代々歴任した。最後の天文方の一人山路彰常（金之丞）は祖父にあたる。愛山の母である奥留種敏の娘・けい子は彰常の従妹（一郎から見れば大叔母の娘）にあたった。慶応3年（1867年）に母が病死する。翌年、一郎は幕府方として彰義隊に加わり、上野戦争に従軍する。さらに、箱館に転戦し函館戦争に従軍する。政府軍と戦うが、降伏し捕虜になる。釈放されて後、祖父母とともに静岡に移った。戊辰戦争に敗れた失意の中で、一郎は酒癖が悪く、家庭を省みなかったため、愛山は幼くしてみずから家を支えなければならなかった。愛山は初め奥村孚について漢学を修め、静岡警察署の雇吏となりつつ、学問を好み倦むところを知らなかったという。
東京府東京市小石川区白山前町（現東京都文京区白山）生まれ。京華商業学校（現京華商業高等学校）、京北実業学校（現京北学園白山高等学校）を経て、1928年東京商科大学（現一橋大学）附属商学専門部卒業。1931年同大学学部卒業。高瀬荘太郎ゼミ出身。1961年主論文「安定価値会計の体系化」及び副論文「各国インフレーション会計の発展史的研究」により一橋大学商学博士の学位を取得。京北実業学校教諭を経て、1938年鹿児島高等商業学校（現鹿児島国際大学）教授。1940年善隣高等商業学校（のちの日本商科大学）教授。1943年東京商科大学附属商学専門部教授。1944年同大学附属工業経営専門部教授。1949年一橋大学教授。1952年公認会計士試験試験委員。1955年農業協同組合監査士試験委員。1957年文部省学術奨励審議会委員。1959年自治庁地方財務会計制度調査会委員。1961年司法試験考査委員。1965年文部省大学設置審議会委員及び視学委員。1966年第7期日本学術会議会員。1967年一橋大学定年退官、一橋大学名誉教授、成城大学経済学部教授。1974年成城大学定年退職、同非常勤講師。片野ゼミでの指導学生には安藤英義（一橋大学名誉教授）や白鳥庄之助（成城大学名誉教授）、山上武（元学習院大学教授）、大藪俊哉（横浜国立大学名誉教授）、久野光朗（小樽商科大学名誉教授）などがいる。
1983年12月4日にダート1200mの新馬戦でデビュー。このレースは7着に破れるが連闘で臨んだ芝マイル戦で初勝利を挙げる。その後は芝ダートの中長距離戦に出走するが3着が最高となり、1985年1月より障害競走に転じた。障害では全ての競走で田中剛が手綱を取った。デビュー戦となった東京競馬場の障害未勝利で勝利を挙げたが、昇級後3戦は8着、4着そして落馬競走中止に終わった。しかしここから400万そしてオープンを勝利、さらに6月の障害オープンで前年の最優秀障害馬メジロアンタレス3馬身差をつけて勝利し3連勝となった。秋シーズンは9月から始動。障害オープン2戦を3着、2着とした後に東京障害特別（秋）に出走した。ここではベルレンケルに次ぐ2番人気となったが、ベルレンケルは襷コースを越えた向こう正面最初の竹柵障害で転倒。オンワードボルガは中団からベルレンケルの転倒後にミホカウントの2番手につけ、最終障害を越えて先頭に立つとメジロアンタレスの追走を3馬身差振り切って重賞初勝利を挙げた。続く中山競馬場の障害オープンで中山の障害競走で初めての勝利を挙げると、迎えた中山大障害（秋）は1番人気となった。レースでもオンワードボルガは中団から徐々に進出し、直線入口で大生垣を過ぎて先頭に立っていたノースリーガルを捕らえ、ゴールでは3馬身の差をつけて優勝した。これにより、同年の最優秀障害馬に選出される。1986年は中山の障害勝入に勝ち、単勝1.8倍の1番人気で中山大障害に出走したが、大竹柵を越えて先頭に立ったライバコウハクを最終障害を越えて捕らえにかかったが逆に突き放され、8馬身差の2着となって連勝が4でストップした。その後も障害オープン戦を5戦して3連勝後2着2回とし、連続連対を11に伸ばした。そして同年の中山大障害（秋）でライバコウハクと共に単枠指定となり単勝2.4倍の2番人気に推されたが、水濠障害で後肢を落とし、この影響で右上腕骨を骨折。競走中止となり、予後不良と診断された。