文脈によっては、距離函数 d が値として無限大 (∞) をとることを許容する（即ち、二点間の距離は拡張実数直線における非負値であるとする）こともある。このような距離函数を称して拡張距離 (extended metric) と言う。任意の拡張距離函数は、適当な方法で（連続性や収斂性といった）位相的な概念を変えないという意味で等価な（有限値をとる通常の）距離函数に変形することができる。それを為すには、0 を 0 に写す劣加法性単調減少函数を使い、例えば d′(x, y) = d(x, y) / (1 + d(x, y)) や d′′(x, y) = min(1, d(x, y))) などとすればよい。距離函数が有限非負実数値をとるという条件は、もっと別の有向集合に値をとるという方向に緩めることもできる。このような方法で公理を定式化しなおして、一様空間（異なる点の間での局所位相を比較可能にする抽象構造を備えた位相空間）の構成を導くことができる。
距離の公理の条件を緩める方法はいくつかあるので、それぞれ（あるいはいくつかの組み合わせ）に応じて距離空間を一般化する方法も複数存在する。それら一般化された距離の概念についての用語法は完全に標準化されているわけではないことに注意を要する。とりわけ、函数解析学においてベクトル空間上の半ノルムから生じる擬距離は、半ノルムから生じる距離だから「半距離」と呼ぶとしても不自然ではないけれども、そうすると位相空間論における用語法と齟齬をきたす。
番組の最後に行われていたクイズ形式のミニコーナーで、毎回視聴者に映画に関するクイズを出題していた。「○○の最大のヒット作は?」や「○○が初めてアカデミー賞にノミネートされた作品は?」といったように、映画興行成績や興行成績TOP10にランクインした作品の関係人物、映画賞などをテーマにしたクイズが主体だった。その答えは、CM明けの提供スーパー表示直後に表示していた。他に、「SHOWBIZ TRIVIA」というコーナーもあった。このコーナーでは、映画原題の意味を問うクイズや、映画制作当初にキャスティングされていた俳優を当てるクイズなどを出題していた。
エンディングでは、次週の予告や視聴者プレゼントの発表などを行っていた。また、日本国内での映画興行成績最新データを字幕で紹介する「日本の興行成績TOP10」（こちらは放送時点での最新データ）や、スターのゴシップ他最新情報を紹介する「SHOZBIZ NEWS」などのミニコーナーも実施していた。
海外のミュージシャン達の最新プロモーションビデオを紹介していたコーナーで、毎週2組のミュージシャンのビデオを放送していた。また、海外で行われたライブや来日時に行われたライブの映像を放送することもあった。夏には野外フェス特集を、グラミー賞授賞式のシーズンには同賞ノミネート作品特集を放送していた。時々、"Hi, I'm ○○, you're watching SHOWBIZ COUNTDOWN." といったようなコメントをくれるミュージシャンもいた。また、このコーナーでは毎回音楽ランキングTOP10（ビルボードチャートを利用したもの）も併せて紹介していたが、2011年度の放送では音楽関連のコーナー自体が3分ないしは4分程度しか行われなくなったため、ランキングも相対的に行われなくなっていった。これは前述の通り、『JAPAN COUNTDOWN』のランキングで洋楽が紹介されるようになったためである。
アメリカ国内で公開された注目映画の予告編を放送していたコーナーで、毎週1本ないしは2本の映画予告編を放送していた。公開がまだ当分先の大作映画の予告編や、日本で近日公開予定のミニシアター系映画の予告編を放送することもあり、その場合にも日本公開版の予告編ではなくアメリカ公開版の予告編を放送していた。
リミックスアルバムとしては『ayu-mi-x III』から約7ヵ月ぶりのリリースで、『ayu trance』シリーズの第1弾。24thシングル「Dearest」、リミックスアルバム『SUPER EUROBEAT presents ayu-ro mix 2』と同時発売。これまで発売された楽曲から13曲をトランスにリミックス。また、浜崎のリミックスアルバムには、通常歌詞カードがないが、本作にはある。初回盤はスリーブケース仕様。本作に先駆けて、収録されている楽曲のダブ・バージョンを抜粋したものを、「M EP」としてアナログ12インチ2枚組で少数限定リリースしている。「Depend on you」「M」「appears」「UNITE!」のリミックスは、ヨーロッパ各国でDrizzlyレーベルからシングルとしてリリースされた。なお、Drizzlyレーベルからはこれらの曲に加え「Connected」「Naturally」もシングルカットされた。
パートナーとなる以前からすでに、ロジャースもハマースタインもそれぞれ成功をおさめていた。ロジャースは20年以上ロレンツ・ハートとコラボレートしており、『A Connecticut Yankee 』(1927年)、『Babes in Arms 』(1937年)、『The Boys from Syracuse 』(1938年)、『Pal Joey 』(1940年)、『By Jupiter 』(1942年)などのブロードウェイ・ミュージカルのほか、映画でも多くのヒット作を生み出していた。ハマースタインはルドルフ・フリムルと共にオペレッタ『Rose-Marie 』(1924年)を、シグマンド・ロンバーグと共にオペレッタ『The Desert Song 』(1926年)、『The New Moon 』(1928年)を共作し、ジェローム・カーンとの『Sunny 』(1925年)のヒットで成功しはじめた。カーンとのミュージカル『ショウボート』(1927年)はアメリカのミュージカルの最高傑作の1つとみなされている。カーンとのコラボレーションにはほかに『Sweet Adeline 』(1929年)、『Very Warm for May 』(1939年)などがある。『Very Warm for May 』は批評家から酷評されたが、使用楽曲『All the Things You Are 』はカーンとハマースタインのコラボ作品の中でもっとも人気の曲となった。1940年代初頭までに、ハートは深刻なアルコール依存症および情緒不安定に陥り仕事にならなくなり、ロジャースはハマースタインにコラボレーションを持ちかけた 。