特にことわらない限り、辺の長さが a の n 次元超立方体について述べる。超体積は超表面積はである。ファセット (n - 1 次元面) は n - 1 次元超立方体である。したがって一般に、m (0 ≤ m ≤ n - 1) 次元面は m 次元超立方体である。たとえば、正八胞体（4次元超立方体）の面（2次元面）は正方形（2次元超立方体）、胞（3次元面）は立方体（3次元超立方体）である。対角線の長さは、である。m 次元面の個数はである。これはパスカルのピラミッドの第 n + 1 段の三角形の第 m + 1 段（頂点を下にした場合）の数字の総和に等しい。対角線に沿って見た場合、次元面たちは数字通りのグループに分割される。これは、 を二項展開し、 を三項展開することで示すことができる。特に、頂点（0次元面）は  個、辺（1次元面）は  個、ファセットは  個である。 はパスカルの三角形の第 n + 1 段の m + 1 番目の数字であり、n - 1 次元単体の m - 1 次元面の個数である。m (0 ≤ m ≤ n - 2) 次元面に集まるl (m + 1 ≤ l ≤ n - 1) 次元面の個数はである。これはパスカルの三角形の第 n - m + 1 段の l - m + 1 番目の数字であり、n - m - 1 次元単体の l - m - 1 次元面の個数である。双対は正軸体である。任意の l 次元面と m 次元面（l ≠ m でもよい）は、接する場合直交し、それ以外は直角（ねじれの位置で）か平行である。特に、隣り合うファセットは直交し、それ以外のファセットは平行である。また、頂点には n 本の辺が集まり、互いに直交する。
超立方体を作図するには、を頂点とし、最も近い（距離2の）頂点同士を辺で結べばよい。複号は全ての組み合わせを取る。こうして作図された超立方体は、n 次元ユークリッド空間を  で表してでも定義できる。
超立方体（ちょうりっぽうたい、hypercube）とは、2次元の正方形、3次元の立方体、4次元の正八胞体を各次元に一般化した正多胞体である。なお、0次元超立方体は点、1次元超立方体は線分である。正測体（せいそくたい）、γ体（ガンマたい）とも言い、n 次元超立方体を  と書く。正単体、正軸体と並んで、5次元以上での3種類の正多胞体の1つである。単に超立方体と言った場合は特に四次元の超立方体(tesseract)を指すこともある。右図は、四次元超立方体を二次元に投影した図である。立方体を二次元に投影した場合と同様に、各辺の長さや成す角度は歪んでいるが、実際の辺の長さはすべて等しく、角も直角である。胞（立方体）の数は、投影図において外側の大きな立方体、内側の立方体、これら2つの対応する面をそれぞれ結ぶ（対応する稜線を4つ選ぶ）部分に6つあり、胞は計8つである。
中学卒業の1979年（昭和54年）3月場所に初土俵。後に北勝海と同じく「花のサンパチ組」が次々幕内上位で活躍する事となる。尚同期生には横綱・双羽黒がいる他、のちにプロレスラーとなった安田忠夫（孝乃富士）も同部屋で同期であった。さらに昭和の大横綱と言われる九重部屋の兄弟子・千代の富士との激しい稽古を重ねて強くなり、順調に出世していった。1983年（昭和58年）3月場所、19歳で新十両。北勝海と同じ北海道・十勝地方（河西郡芽室町）出身であり、中学時代には地方に名の知れた柔道選手でもあった、一学年齢上の大乃国がこの場所新入幕で、同郷のライバルといわれ始める。同年9月場所に20歳で新入幕、いずれも同期生のなかでは一番早かった。1985年（昭和60年）から三役での好成績が目立ち始め、当時「将来の大関候補」とも呼ばれている。1986年（昭和61年）3月場所、兄弟子の横綱・千代の富士が3日目から途中休場するが、それに奮起した保志が13勝2敗で自身念願の幕内初優勝を果たした。その次の5月場所は11勝4敗で、関脇の地位で3場所合計32勝を挙げたが、当時大関は5人も居たことや終盤優勝争いから完全脱落した理由などで不運にも見送られる。しかし翌7月場所も12勝3敗の好成績により、関脇で3場所計36勝で異論無しに当場所後ようやく大関昇進となった（尚この7月場所は北尾（のち双羽黒）の横綱昇進も懸かっており、その北尾が横綱昇進を決め大関が1人減ることも有り「6大関」は成らず）。ちなみに、この1986年の九重部屋の新年会では「関脇維持では格好悪い」という事で言い出して大関を目標としていたが、それが達成された形となった。初土俵から本名の「保志」で相撲をとり続けていたため、大関昇進が決まると、師匠は四股名を考えたが、出身地の「十勝（とかち）地方」にちなんで、「北十海」「十勝海」「十勝富士」などが候補だった。しかし十勝の「十」の字は、『勝ち星が10勝止まりになりそうで止めた方が良い』と九重が発言、「十勝」から読みは十（と）ではあるが字は「勝」として、「北勝海」と決めた。当時『「勝」の字を「と」と読ませるのは無理がある』という声も聞かれたが、その後の本人の横綱昇進や、八角部屋創設後、所属力士の四股名に多用されたこともあり、現在では違和感なく受け入れられている。大関昇進後、大関4場所目の1987年（昭和62年）3月場所には、上位陣総崩れの中12勝3敗の成績ながらも6場所ぶり2回目の幕内優勝となる。自身初の綱獲りだった翌5月場所は、12日目迄大関（当時）大乃国と共に12戦全勝だったが、13日目初対戦の平幕・両国に苦杯を喫し1敗に後退。千秋楽で14戦全勝の大乃国と対戦するも、結局寄り倒されて13勝2敗と優勝次点の成績に終わる。15戦全勝優勝の大乃国とは2勝の差があり、千秋楽の後に日本相撲協会から横綱審議委員会へ諮問するとの公表も「横綱昇進は微妙」と報道された。しかし、それまでの北勝海の稽古熱心な所と品格の良さが横審委員会から高評価を得たことなどにより、満場一致で同場所後に大関5場所目での横綱昇進が決定した（同時に関脇小錦も大関に昇進となる）。横綱昇進伝達式では「横綱の名をけがさぬよう、これからも一生懸命稽古し、努力します」と口上を述べた。