解析学あるいはより具体的に函数解析学において、特定の性質を共有するスカラー値またはベクトル値の函数からなり位相線型空間を成すような集合を函数空間と呼ぶ。例えば、コンパクト台付き（つまり、適当なコンパクト集合の外側では常に零となる）滑らかな実函数全体の成す集合は、シュヴァルツ超函数論の基盤となる函数空間を成す。函数空間ではその代数的および位相的性質を利用して函数の性質を調べることができるようになるから、より進んだ解析学において函数空間は基本的な役割を果たすことになる。例えば、常微分方程式や偏微分方程式における解の存在や一意性を言うすべての定理は函数空間を調べることで得られた結果である。
終域の元がベクトルとなっているような函数はベクトル値函数と呼ばれる。ベクトル値函数は、（例えば物理的性質をモデル化するような）応用において特に有用で、例えば流束の各点においてその点での速度ベクトルを割り当てる函数はベクトル値函数になる。ℝⁿ（あるいは多様体のように ℝⁿ と似た幾何学的または位相的性質を持つ空間）上で定義されたベクトル値函数を考えることもできて、そのようなベクトル値函数はベクトル場と呼ばれる。
17世紀にはじまった函数の概念は、新しい無限小解析の基礎付けとなった（函数概念の歴史を参照）。当時は、実変数の実数値函数しか考えられておらず、どの函数も滑らかな函数であることが仮定されていたが、直に多変数函数や複素変数函数に定義が拡張されていった。19世紀後半には数学的に厳密な函数の定義が導入され、任意の定義域および終域を持つ函数も扱われ始めた。いまや函数は数学のあらゆる分野において用いられる。初歩の基礎解析学では単に「函数」といえば一変数の実数値函数の意味である。より一般の定義が導入され厳密な設定のもとで函数を扱うようになるのは実解析や複素解析においてであろう。
有限集合、あるいは自然数または整数全体で定義された函数を表示するのに、棒グラフもまたよく用いられる。この場合、各元 x は x-軸上の区間を表しており、函数の値は x の表す区間を底辺とする高さ f(x) の長方形として表現できる。
函数のグラフは函数の直観的描像を与えるために広く用いられる。グラフからは、例えば函数がどのように増減するかといった函数の性質を読み取ることができて、函数の理解に役立つ。函数によっては、その表現に棒グラフなども利用できる。
定義域が非負整数であるような函数（つまり数列）はしばしば漸化式によって定義される。基本的な例として、非負整数にその階乗を対応させる函数  は漸化式  と初期条件  によって決まる。
有限集合上で定義された函数の場合には、定義域の各点に割り当てられる終域の元をすべて書き並べることで函数を定義することができる。例えば  のとき函数  を  として与えることができる。
函数 f が与えられたとき、定義により、f の定義域の各点 x に対して f の x における値 f(x) がただ一つ割り当てられる。x を f(x) に（陰に陽に）関係付ける方法を特定あるいは記述するやり方は様々である。場合によっては、（函数が具体的にどのような姿かたちをしているかについては一切言及せずに）適当な性質を持つ函数の存在を定理や公理によって保証することもあるが、大抵は函数 f の定義の一部としてその特定法や記述法は言及される。
数学の特定の分野では、その他の特別な記法が使われたりもする。例えば線型代数学や函数解析学では線型形式をベクトルに作用させるときに、それらの間に成り立つ双対性を明らかにするために内積の記法が用いられる（量子力学でも同様のブラケット記法が用いられる）。数理論理学や計算理論ではラムダ計算の記法が、函数の抽象化や適用などの基本概念を明示的に表すために用いられる。圏論やホモロジー代数では、上で見た函数の矢印記法を延長あるいは一般化するように、函数からなる図式およびそれらの合成が可換図式を満たすという意味でどのような可換性を持つかという形で記述される。
矢印記法 x ↦ f(x) において、記号 x は何の値を表すものでもなくむしろ単にプレースホルダとしての意味しか持っていない。つまり、左辺の x を任意の値で置き換えたとき、右辺の x も同じ値で置き換えなければならないことを示すものである。したがって、x の代わりにどんな記号を使ってもよいのであって、そのためによく中黒 "•" が用いられる。こうすると、函数自身を f(•) と書いて、任意の点 x における函数の値 f(x) と区別をつけることができる。たとえば x ↦ ax² を表すのに  と書いたり、上の限界が変数である定積分  を  と書いたりもできる。
2001年以降、ワロップス飛行施設のエンジニアは新しい射場技術やシステムを開発しているほか、得られた予算と計画スケジュールの制約下での飛行テスト活動と打ち上げでのコストと反応性の改善のための取り組みなどを行っており、自動飛行安全システム（AFSS）と低コストTDRSS無線通信（LCT2）の2つの射場技術の開発計画を主導しているAFSSは自立的オンボードシステムの開発計画であり、これは伝統的な地上指令の射場安全飛行完了システムを補足、あるいは置き換える計画である。AFSSは軌道の監視のために余剰センサーと打ち上げ機のオンボードプロセッサを使い、飛行の終了にはロケット発射の起動のみですむようにするとしている。LTC2は打ち上げ機が水平飛行に達した後、NASAのTDRSSを通して交信を行える低コストの無線通信機を生産する計画であり、LTC2はケネディ宇宙センターと協力して宇宙配備型の射場通信実証・認証（Space Based Range Demonstration and Certification、旧称Space Based Telemetry and Range Safety (STARS)）計画の一部として進められている。