2012年12月11日にシンシナティ・レッズも含めた合計9選手が動く三角トレードにおいて、クリーブランド・インディアンスへ移籍した。2013年も前年に引き続き、先発として4試合に投げたが、防御率5.29・自己ワーストのWHIP1.82を記録するなど、前年からの不振が続いた。2014年、インディアンスの先発ローテーションの一角に定着し、26試合に先発で投げた。規定投球回には届かなかったが防御率4.18・5勝8敗という数字を残したほか、8.0を超える奪三振率もマークし、飛躍のシーズンを過ごした。2015年、フルシーズン先発ローテーションに入って投げ、規定投球回に達した。成績は、リーグ最多の79四球を与え、防御率も4.55まで上昇したが、自身初の二桁勝利 (11勝) を挙げて奪三振率も8.7をマークするなど、まずまずの成績を残した。2016年もローテーションの中心に据えられ、35試合中28試合で先発登板した。防御率4.26・12勝8敗・WHIP1.31・168奪三振という、前年とほぼ同水準の成績を残し、安定感を見せた。トロント・ブルージェイズとのALCSでは第3戦に先発登板したが、趣味のドローンをいじっていた際に負傷した小指から再出血した為、1回途中で降板した。ワールドシリーズでは第2戦と第5戦で先発したが、いずれも4回で降板し敗戦投手となった。2017年は、5月までは10試合で5勝4敗、防御率6.00と乱調であったが、夏場に調子を上げ、7月21日のブルージェイズ戦から9月10日のボルチモア・オリオールズ戦まで9連勝を記録。最終的には、防御率（4.19）・WHIP（1.37）こそ前年と同程度であったものの、リーグ4位タイの17勝を挙げ、奪三振率も規定投球回に到達した年では初めて9.0を上回るなど、先発投手として成長を見せた。2018年は開幕から好調を維持し、自身初のオールスター選出を果たした。8月11日のシカゴ・ホワイトソックス戦で右足首に打球を受け疲労骨折したことで、14日に故障者リスト入りし、約1ヶ月離脱した。シーズントータルでは、離脱の影響で登板こそ28試合（27試合先発）と前年から減ったが、12勝6敗、防御率2.21（リーグ2位）、奪三振221（同6位）、WHIP1.09（5位）、FIP2.44（1位）の好成績を挙げ、キャリア最高のシーズンとなった。2019年7月28日のカンザスシティ・ロイヤルズ戦で4回1/3、9安打8失点で8敗目を喫し降板を告げられると自身の投球に怒りを爆発させ持っていたボールをバックスクリーンへ大遠投し、物議を醸した。後に謝罪した。インディアンスでの成績は24試合に登板し9勝8敗、防御率3.79だった。
弘前藩（津軽藩士）・菊池新太郎の長男として弘前城下に生まれる。幼名は喜代太郎。藩校・稽古館に学び、皇漢の学を修め、1864年（元治元年）より藩の勤務。藩校・稽古館で司監を務める。戊辰戦争に際して藩論が新政府支待に傾くと脱藩して庄内藩に向かう。奥羽越列藩同盟のために奥羽各藩の間に、本多庸一と共に奔走して珠功があった。戊辰戦争後の維新の政変に際しては、弘前藩に捕えられ幽囚の身となったが、赦されて藩の参事となる。1868年（明治元年）弘前藩主、津軽承昭に随行して藩命により洋学の最高峰と言われていた慶應義塾（後の慶應義塾大学）に入る。弘前藩から慶應義塾への藩費留学生には、文久1年11月（1861年）入塾の木村滝弥、文久2年5月入塾の工藤浅次郎、元治2年1月（1864年）入塾の吉崎豊作、慶應元年5月入塾の神辰太郎、佐藤弥六、白戸雄司らが居る。1870年（明治3年）鹿児島へ留学して薩摩藩の西郷隆盛に心酔する。同藩の兵学校（鹿児島兵学校）に入り、兵制や砲術を研究。広く内外の形勢に触れ、開国進取の思想と育英事業の思想に開眼した。鹿児島から帰郷した後、旧藩主津軽承昭の援助をうけ、藩校・稽古館の校舎を利用して立漢英学校を興し東奥義塾と名付ける。教師の世話を頼むため、上京して福澤諭吉と面会し、永鳩貞次郎、吉川泰次郎の二人を教員として引き連れて帰郷。東奥義塾は津軽家の支援のもとに運営され、創立当初の東奥義塾は「慶應義塾弘前分校」的色彩が強く、慶應義塾出身の吉川泰次郎の下に教授、助教授、寮監三十六名、会計三名、漢学英学二学部の体制で、開校当初から生徒数は400名という大変な盛況であった。漢学の教授には漢学者の兼松成言が就任。1877年（明治10年）に西南戦争が勃発すると、東奥義塾の門下生を引き連れ上京。弘前を出発する前日の6月23日、メソジスト監督教会のジョン・イングから洗礼を受ける。教師、塾生20数名が参加し、菊池は一等中警部心得を命ぜられる。しかし、東京で待機中に西南戦争は終り、弘前藩士族の従軍は戦争に赴かなかった旅団に編入された。明治21年（1888年）11月22日、当時の青森県下唯一の有力紙は官僚の御用紙といわれた『陸奥新聞』であったが、菊池はこれに対抗して民権伸長の目的で『東奥日報』を誕生させ、初代社長となる。しかし、明治23年（1890年）になって経営難に陥り、株式会社を解散し、榊喜洋芽と蒲田広の3人による個人経営に切り替えた。以後数々の困難を克服して現在に至っている。1889年（明治22年）市町村制の実施とともに、弘前市はいち早く市制が採られ、初代弘前市長に就任。第1回衆議院議員総選挙に出馬し当選（弥生倶楽部所属後に憲政本党所属）。以後当選9回。1897年（明治30年）に第6代山形県知事となり、松方内閣が与党である進歩党から高官抜擢に際して、高等官二等に任官。明治31年（1898年）農商務省農務局長。日露戦争後に正五位勲四等を受ける。明治41年（1908年）立憲政友会、進歩党の両党から推されて衆議院全院委員長になった。同年、62歳で政界を引退。明治44年（1911年）に第7代弘前市長に再度就任。大正15年1月1日(1926年)藤沢市で死去する。葬儀は、東奥義塾葬としてキリスト教式で行われた。弘前公園に頌徳碑がある。甥に山田良政、山田純三郎兄弟がいる。