これらの位相についての極めて有効な事実は、それらの基底(basis)が特別な単純元、つまり、f の個別多項式（もしくは、射影多様体の同時多項式） D(f) からなることを示すことができることである。実際、これらが基底を形成することは、与えられた 2つのザリスキー閉集合の交叉の公式から理解することができる（これを繰り返し、(S) の生成元によち生成される主イデアルへ適用する）。これらを識別可能(distinguished)もしくは基本(basic)開集合と呼ぶ。ヒルベルトの基底定理とネーター環の基本性質により、全てのアフィン座標環と射影座標環はネーター環である。結果として、ザリスキー位相を持つアフィン空間も射影空間も、ネーター位相空間(Noetherian topological space)であり、これら空間の任意の部分空間はコンパクトであることを意味する。k が有限体でない場合は、多様体はハウスドルフ空間ですらない。古いトポロジーの文献では、「コンパクト」はハウスドルフの性質に含まれていると理解されていて、この考え方は未だに代数幾何学では尊重されている。現代的な意味でのコンパクト性は、代数幾何学では「準コンパクト性」と呼ばれる。しかし、全ての点 (a₁, ..., aₙ) は多項式 x₁ - a₁, ..., xₙ - aₙ の零点の集合であるので、点自体も閉点であり、全ての多様体はT1空間の公理(T₁ 公理)を満たす。全ての多様体の正則写像は、ザリスキー位相に関して連続である。事実、ザリスキー位相は（最も少ない開集合をもつ）最も弱いトポロジーで、そこでは上記は正しく、点は閉じている。このことは、容易に、ザリスキー閉集合が単純に多項式函数による 0 の逆像の交叉と単純に考えることにより理解されるので、 への正則写像と考えることができる。
k を複素数体とし、n = 1 とすると、アファイン空間  の閉集合は、すべての有限集合および全体集合である。したがって、ザリスキ位相の意味での閉集合は、ユークリッド位相の下でも閉集合であるが、ユークリッド位相での閉集合は、有限集合でなければ、全体集合でない限りザリスキ位相では閉集合とならない。例えば整数全体のなす集合 Z は閉集合でない。Z は  において稠密でもあり、通常の位相とは大きく異なる。一般に可算無限個の点を持つ集合は  の稠密な部分集合となる。さて、 から C（ と同一視してザリスキ位相を入れる）への正則関数とは多項式関数のことであり、この関数は連続である。さらに、可算無限個の相異なる点の行き先を定めれば、それらの点を通るような多項式関数は高々一つしか存在しない。このように、ザリスキ位相は  上の正則関数（多項式関数）と相性が良いことが分かる。
根っからの浄瑠璃好きな男が、浚いの会で「忠臣蔵」の四段目を語ったが大失敗。知り合いから「そんなら軒付けをしたらええがな。」と言われる。軒付けとは浄瑠璃愛好家が家の軒で一段語ることで、もちろん本を見ることは許されないし、下手なら「お通り」と追い返される。でもいい修行になるし、好きな家に気に入られたら、下をもおかぬもてなしを受け、この前も全員得意な浄瑠璃を一段ずつ語らしてもらい、お礼にと、鰻の茶漬けまで馳走になったという。「うわあ。わて鰻好物ですねん。さっそく行きますわ。」「これ！そんなん目当てで行くんやないで。」紹介状を書いてもらって男は早速集合場所に行く。すると肝心の三味線の伴奏者が来ていない。「えらいこっちゃな。」「いや。代役に勤めてもらうそうで。」代役は紙屑屋の天さん。これがまたたいへんな素人で、「テンツテンテン」「トテチントテチン」「チリトテチン」の3つの音しか弾けない。「誰や。こんな三味線雇たんは・・・」「まあしゃあおまへん。」みんな口々に不平を言いながら出かける。何軒か回るが、ある時は「うち病人いてまんねん。」と断られたり、別の家では「だだけもん（乱暴者）がきたとおもたわい。」と暴言を吐かれ、「ナニイ！オイ！何抜かしとんねん。お前日本人やろが。聞いてわからんのかい。こら、浄瑠璃じゃ。」「へえ。それ浄瑠璃か。」「おお。浄瑠璃じゃ。暗い外でな、語っとんのんじゃ。語れるもんなら語ってみい。」とやりこめると、「へ！聞けりゃ。聞いてみイ。」とあべこべにやりこめられ「・・・それもそうでんなあ。」「感心したらあかんがな。」テンツテンテンテン「弾かいでもええ！」｢鰻で御茶漬け」｢出えへん！」とドタバタが続く。しまいにはやっと静かに聞いていると思ったら「貸家」の札が・・・・「もう今日はあかん。軒付けは止めや。長屋の糊屋の婆さんの家に行って練習しよう。あこの婆さん耳遠いから気にせんと浄瑠璃語れるで。」と皆で行くと、ちょうど、婆さん味噌をオカズに晩飯の途中であった。早速語り出すが、天さんの三味線がヘタすぎてどうにもならず無茶苦茶になる。「あかんわ。こんな三味線ではやってられん。」とこぼしていると、婆さんは「あはは。あんさん方、浄瑠璃がお上手じゃな。」「オバン。嬲ったらあかんで！耳遠いくせに浄瑠璃上手いか下手か、分かるんかいな。」「何じゃ知らんが、最前から食べてる味噌の味がちっ～とも変わらん。」