I が可換環 R のイデアルのとき、I の冪が零元 0 の近傍系を成すものとして、R を位相環と見做すことができる。このときの位相を I-進位相といい、R をこの位相に関して完備化することができる。厳密に言えば、I-進完備化とは剰余環 R/Iⁿ の成す逆系の逆極限をいう。例えば、k を体として、k 上の一変数形式冪級数環 k[[X]] は、多項式環 k[X] の X が生成する主イデアル I による I-進完備化である。同様に、p-進整数環 Zₚ は有理整数環 Z の素数 p が生成する主イデアル I による I-進完備化である。自身の完備化と同型であるような任意の環は、完備環と呼ばれる。
与えられた環から別の環を作り出す操作がいくつか存在する。そういった構成の多くは、環に特定の性質を備えさせることで理解をより容易にする目的で行われる。例えば、整域がその商体の中で整閉であるとき、正規であるといい、これは例えば一次元正規環は必ず正則局所環であるなどの、望ましい性質を持っている。環が正規性を持つようにすることを「正規化」などと呼ぶ。
可換環の外部構造は環上の線型代数学を考えることで決定される。つまり、ベクトル空間と同様だがその係数が必ずしも体ではない任意の可換環となることを許した構造である環上の加群の理論を調べるのである。R-加群の理論はベクトル空間における線型代数学とは比べ物にならないほど難しい。加群の理論では、加群が基底を持たず（ベクトル空間の次元の概念の類似である）自由加群の階数がうまく定義できないことがあるとか、有限生成加群の部分加群が必ずしも有限生成にならないことがあるなどといった困難に取り組まなければならないのである。 環 R のイデアルは R の部分加群となるような R-加群として特徴づけられる。一方、R-加群をよく理解するには R についての十分な情報が必要である。しかし逆に R の構造を調べるための可換環論における多くの手法が、イデアルや一般に加群を調べることによるものである。
環の局所化は剰余環と対を成す概念で、剰余環 R/I がある種の元（もちろん I の元のこと）を零元にしてしまうものであるのに対し、局所化はある種の元を可逆元にするもの（つまり、乗法逆元を環に追加する操作）である。具体的には、S を R の積閉集合（つまり、s, t ∈ S ならば st ∈ S を満たす）とするとき、R の S における局所化 S⁻¹R は、任意の r ∈ R, s ∈ S に対する記号 ʳ⁄ₛ から成り、これらの対象がよく知られた有理数の約分と同様の一定の規則に従うものとして定められる。実際、有理数全体の成す環 Q の場合、これは Z の非零元全体の成す積閉集合における局所化になっている。Z の代わりに任意の整域でも同じことができて、局所化環 (R ∖ {0})⁻¹R は R の商体と呼ばれる。また S が固定した一つの元の冪全体からなる積閉集合のとき、それによる局所化を Rf とも書く。
任意の非零元が乗法的に可逆となる体の場合と対照的に、環についての理論はより複雑なものとなる。このような状況をうまく扱うために、いくつかの概念が存在する。まずは R の元 a が R の単元であるとは、a が R に乗法逆元を持つことを言う。他の特別な元は零因子で、これは非零元 a で ab = 0 を満たす非零元 b がその環の中にあるようなものである。可換環 R が零因子を持たないならば、これを整域と呼ぶ。これは様々な意味で整数の成す環に似ている。以下に挙げる概念の多くは可換環でなくとも存在するものだが、しかし可換性を仮定しなければその定義や性質は普通より複雑なものとなる。例えば、可換環における任意のイデアルは自動的に両側イデアルとなり、状況は大幅に簡単になる。
慶応4年（1868年）に熊本藩から明治新政府の参与に出仕した長岡護美が、菊池氏と加藤清正のために神社を創建する案を建議した。同年7月18日、太政官政府はこの建言を採択し、熊本藩に両者の祭祀を執行するよう命じた。そこで熊本藩は、清正のために熊本城内に錦山神社を建て（現加藤神社）、菊池氏のために菊池城址に菊池神社を建てた。菊池神社の鎮座祭は明治3年（1870年）4月28日に行われ、この時に主祭神を菊池武時とし、武重と武光を配祀神とした。明治6年（1873年）5月に郷社に列され、8年（1875年）7月には県社に昇格したが、その10月24日に楠木正成を祭る楠社（現湊川神社）が別格官幣社なのに菊池神社が県社では不公平だと白川県が教部省に願い出た。3年後の同11年（1878年）1月10日に名和神社とともに別格官幣社に列した。あわせて、その時まで配祀されていた武重、武士、武光、武政、武朝の5人に加え、菊池氏に従って戦った一族他家の将士も配祀することになった。同年6月3日に、菊池武時が戦死した元弘3年3月13日を太陽暦に換算した5月5日を例祭日に定めた。大正12年（1923年）に配祀されていた武重と武光を主神に加えた。昭和26年（1951年）に宗教法人法が公布されたのをうけ、昭和27年（1952年）9月13日に宗教法人菊池神社となった。