前節で定義した絡み数は、絡み目の射影図によらず一定である。すなわち有向絡み目として不変量となっている。絡み目のうち片方の成分の向きを反転させると、絡み数の正負が反転するため、絡み数の絶対値を取るとこれは（向きを考えていない）絡み目の不変量となる。例えば2成分の絡み目であるホップ絡み目の絡み数の絶対値は1となるが、同じく2成分の絡み目であるホワイトヘッド絡み目の絡み数の絶対値は0なので、この2つの絡み目は同値でないことが分かる。分離可能な2成分の絡み目の絡み数は 0 となるが、逆は成り立たない（前述のホワイトヘッド絡み目が反例となる）。
2つの有向結び目 J , K からなる絡み目 {J, K} を考える。それに対する絡み数Lk(J, K) は、以下のようにして定義される。絡み目 {J, K} の射影図の交点のうち、J の成分と K の成分からなる交点に注目する。それらの交点は、以下のどちらかとなっているので左側の交点に +1, 右側の交点に −1 という符号を与え、射影図全体でのそれらの符号の総和を2で割ったものを絡み数 Lk(J, K) として定義する。2成分の絡み目では異なる成分からなる交点の個数は偶数なので、絡み数は整数値とる。あるいは、絡み目 {J, K} の射影図の交点のうち、J の成分と K の成分からなる交点の中でも、 K の成分が手前側にある交点のみに注目し、それらに対してさきほどと同様にして +1 または −1 の符号を与え、その総和を絡み数 Lk(J, K) として定義することもできる。このように定義しても Lk(J, K) = Lk(K, J) が成立する。
クリル・アイランド・ボブテイル（英: Kurile Island Bobtail，露: Курильский бобтейл）は、千島列島（ロシア名：クリル列島）に起源を有する、猫の一品種である。別名はクリリアン・ボブテイル（英: Kurilian Bobtail)、クリル・ボブテイル（英: Kuril Bobtail)、 クリレアン・ボブテイル（英: Kurilean Bobtail)、クリリスク・ボブテイル（英: Curilsk Bobtail)。この種は突然変異によって生まれ、18世紀以前から千島列島に生息してきた。その身体的な特色としては、広い肩を持つ筋肉質で頑丈な胴体、太くはなくも頑丈な脚、そして高い位置にある長毛を生やした球状の柔らかな尾などが挙げられる。短く巻いた尻尾を最たる特徴とする短尾種としては日本原産のジャパニーズボブテイルという品種がよく知られる。この種は短い尻尾という共通点と、遺伝的な類似がありはするものの、ジャパニーズボブテイルとは全く異なった種である。短尾種といえばジャパニーズボブテイルのみという状況が長らく存在してきたが、旧ソ連の国々に開放的な雰囲気が生まれ始めたことで、それまで知られていなかった珍しい猫種が続々と脚光を浴び始めた。クリルアイランドボブテイルもそのひとつである。
慶長5年（1600年）5月3日、徳川家康は会津征伐のため東国の諸大名を京都に招集した。義宣もこれに応じ、同年5月中旬、京都に到着した。同年6月6日、招集された諸大名の進撃路が発表され、義宣は仙道口を任されることとなり、水戸へ帰った。慶長5年（1600年）7月24日、小山に到着した家康は、水戸にいた義宣に使者を派遣し、上杉景勝の討伐を改めて命じた。この際、家康の使者は、人質を上洛させるよう要求したが、義宣は、会津征伐は豊臣秀頼に代わって実施されるものであり、自身は秀頼に逆らう意志はないから新たな人質を出す必要はないとしてこの要求を断った。また、家康は、佐竹氏に預けられていた花房道兼を呼び出して、義宣の動向を確認した。この時期の佐竹氏の動向は、東軍につくとも西軍につくともいえないものであった。義宣は、慶長5年（1600年）7月19日ころ、上杉景勝との間で上杉方に与する旨の密約を交わしたようであり、自軍の赤館以北への進軍を差し止めた。密約は交わしたものの、佐竹氏内部に積極的に石田方に付こうとする空気が醸成されておらず、義宣は内部の意志統一がなされていない状態で密約を交わしてしまったとも指摘されている。8月25日、義宣は突如として水戸城へ引き上げた。義宣は家康に対し、重臣・小貫頼久を使者として派遣し、水戸城へ帰った理由を釈明させ、また、上田城に拠る真田昌幸を攻撃していた徳川秀忠への援軍として、佐竹義久に率いさせた300騎を送った。関ヶ原の戦いが東軍の勝利に終わると、義宣は、徳川家康及び秀忠に対し、戦勝祝賀の使者を派遣した。これに対する秀忠からの礼状は届いたが、家康からの礼状があったか否かは不明である。義宣は、上杉景勝が未だ伊達軍及び最上軍と対峙しているのをみて、佐竹氏に累が及ぶことを恐れ、家康に陳謝すべく伏見へ向かった。途中、神奈川で会った秀忠に対して陳謝し、伏見に到着した後、家康にあって謝罪及び家名存続の懇願をした。『徳川実紀』によれば、徳川家康は、義宣のことを、「今の世に佐竹義宣ほどの律儀な者はみたことがない」「しかし、あまり律儀すぎても困る」と評したとされるが、これは会津征伐における義宣の態度を念頭に置いたものである。