この基本定理には、正規拡大であり分離拡大である無限次代数拡大へ適用できるバージョンも存在する。これには、ガロア群にクルル位相というある位相構造を定義することが必要で、閉集合である部分群だけが上記の対応と関連している。
この定理は拡大体 E/F の中間体の分類という難しく聞こえる問題を、ある有限群の部分群を列挙せよというより扱い易い問題へ変換している。例えば、一般の五次方程式は冪根によって解けない（アーベル-ルフィニの定理を参照）ことを証明するため、まず最初に、冪根拡大（α を F のある元の n 乗根としたときに F(α) となるような拡大）により問題を言い換え、この基本定理を使い、冪根拡大の問題を直接対応できる群の問題へ変換する。クンマー理論と類体論のような理論は、この基本定理から予想することができる。
基本定理の証明は、自明なことではない。通常の扱いで最も重要な点は、与えられた自己同型群により固定された中間体の次元を制御することができるという、エミール・アルティンによる幾分繊細な結果である。ガロア拡大 K/F の自己同型写像は、体 K 上の函数として線型独立である。この事実は、より一般的な事実である指標の線型独立性から従う。原始元定理を使うかなり簡単な証明もあるが、有限体の場合に異なる（しかしより簡単な）証明をする必要があるため、現代的な取扱いではほとんど用いられない。抽象的な言葉では「ガロア対応が存在する」と述べられる。その多くの性質は単に形の上でのことであるが、実際の順序集合の同型写像を記述するにはいくらか作業を要する。
芸能人が最新鋭の特殊メイク技術を施して別人に扮し、一般人として行きたい場所を楽しむ。一般人としての姿は本人が希望した有名人をモデルにメイクが行われる。番組タイトルは「特殊メイク」の短縮語（トクメイ）と「匿名希望」を掛けたもの。
橘の実が図案化されている。古来、橘の実は「非時香実（ときじくのかぐのこのみ）」とも呼ばれ、夏に実り、秋冬もなお木にあって爽やかな香りを放つ。橘の校章には、地に着いた研鑽による結実と、いつまでも変わらずに香気を放つ人間として社会に貢献できる人材を育てたいという本校の思いが込められている。
1965年（昭和40年）、京都学芸大学附属高等学校として創立。京都学芸大学附属京都中学校旧校舎（京都市北区）を仮校舎としていたが、1966年（昭和41年）、京都市伏見区深草越後屋敷町に移転、校名も「京都教育大学教育学部附属高等学校」となる。2004年（平成16年）国立大学法人化に伴い現校名となる。京都教育大学の附属学校として、研究に裏付けられた授業を行い、自ら目標を立て、課題を設定し、調べ、考察する学習を行っている。大学進学を意識しており、高2からはサイエンスコース (S) とグローバルコース (G)、Sクラス（深い探求と高度な演習）とAクラス（学習状況を踏まえ、効果的な探求と演習）の2×2=4つの選択制を実施し、希望進路に対応できる柔軟なカリキュラムとなっている。2002年（平成14年）に自然科学コースを設置し、以来、文部科学省のスーパーサイエンスハイスクール (SSH) の認定を4期連続で（2019年まで）受けている。
ウェダーバーンの小定理により、任意の有限可除環は可換、従って有限体を成す。環の可換性を保証する別な条件として、ジャコブソンによる条件「R の任意の元 r に対して適当な自然数 n > 1 が存在して rⁿ = r を満たすこと」というものがある。任意の r に対して r² = r であるような環はブール環と呼ばれる。環の可換性を保証する、より一般の条件も知られている。
文化6年3月14日（1809年4月28日）、島津斉興の長男として江戸薩摩藩邸（薩摩藩上屋敷）で生まれる。母・弥姫（周子）は「賢夫人」として知られた人物で、この時代には珍しく斉彬はじめ弥姫出生の3人の子供は乳母をつけず、弥姫自身の手で養育された。また、青年期まで存命であった曽祖父第8代藩主・重豪の影響を受けて洋学に興味をもつ。これが周囲の目に蘭癖と映ったことが、皮肉にも薩摩藩を二分する抗争の原因の一つになったとされる。斉彬が次の藩主となれば、重豪のように公金を湯水のごとく費やし藩財政の困窮に一層の拍車をかけかねないと、特に藩上層部に心配され、斉興は斉彬が40歳を過ぎても家督を譲らなかった。また家老・調所広郷（笑左衛門）や斉興の側室・お由羅の方らは、お由羅の子で斉彬の異母弟に当たる久光の擁立を画策した。斉彬派側近は久光やお由羅を暗殺しようと計画したが、情報が事前に漏れて首謀者13名は切腹、また連座した約50名が遠島・謹慎に処せられた。斉彬派の4人が必死で脱藩し、斉興の叔父にあたる筑前福岡藩主・黒田斉溥に援助を求めた。斉溥の仲介で、斉彬と近しい幕府老中・阿部正弘、伊予宇和島藩主・伊達宗城、越前福井藩主・松平慶永らが事態収拾に努めた。こうして嘉永4年（1851年）2月に斉興が隠居し、斉彬が第11代藩主に就任した。この一連のお家騒動はお由羅騒動（あるいは高崎崩れ）と呼ばれている。