行列 M が冪等とは M² = M となることである。冪等行列は 0 および 1 が持つ冪等性の一般化である。方程式  の平方完成による解法は適当な冪等 2 × 2 行列が ab-平面において円周で媒介変数表示されることを示すものと解釈できる。実際、 なるとき行列  は冪等であり、既にみた平方完成  は ab-平面において中心 (1/2, 0) および半径 1/2 の円の方程式である。
複素数 z に対する式  において b は複素数、z*, b* はそれぞれ z, b の複素共軛で c は実数とする。複素数に対する恒等式 |u|² = uu* を用いて、式を  の形に書けば、これは明らかに実数である。このような形に書けることは  からわかる。別の例として、a, b, c, x, y を実数とする式  は、a > 0, b > 0 のとき、複素数の絶対値の平方を用いて書くことができる。すなわち、 と置けば  から  を得る。
解析幾何学における任意の二次函数のグラフは xy-平面において抛物線を描く。二次函数が  の形で与えられたとき、定数 h, k はその抛物線の頂点（停留点）のデカルト座標と解釈できる。つまり、h は対称性の軸の x-座標で、k はその二次函数の最小値（最高次係数を a として a < 0 のときは最大値）に一致する。
平方完成は任意の二次方程式を解くために用いることができる。因数分解による解法は根が有理数である場合には確かな解法であるが、平方完成による解法は根が無理数や複素数でもそのまま適用できる。最高次係数 1 でない場合には、まず方程式の両辺を x² の係数で割ればよく、したがってこの方法で二次方程式の一般形から二次の根の公式が導出できる。
通常は平方完成とは u² + 2uv の形の式に第三項 v² を加えて完全平方式を作る操作を考えるものである。当然 u² + v² の形の式に中間項 2uv または −2uv を加えても完全平方式は得られる。そのような手法が有効な例として、ある正の数とその逆数との和を  と平方完成すれば、正の数 x とその逆数の和が常に 2 以上であることが確かめられる。あるいはまた、複二次式  の因数分解において、この式は  と見ることができるから、中間項 2(x²)(18) = 36x² を考え、 と因数分解できる。
二次方程式  に対する平方完成を考える。x² とは一辺の長さ x の正方形の面積であり、bx は二辺の長さが b と x の長方形の面積と解釈することができる。そこで平方完成の過程を、この長方形に対する操作として視覚化しよう。正方形 x² に長方形 bx をうまく貼り付けてカドの欠けたより大きな正方形を作ることを思えば、平方完成のおける方程式の両辺に (b/2)² の項を加える操作は、まさにその欠けたカドの面積を埋める作業に他ならない。
ダート（Dart ）は、ロールス・ロイスが1947年に進空させた、実用機種としては事実上世界初となるターボプロップエンジンである。名称の由来はロールス・ロイス社の伝統に則り、イギリス南西部を流れるダート川から。
音楽好きな父親の影響で幼いころよりピアノやバイオリンを習うなどの音楽に親しむ。両親は京都府に在住しており、会社経営をするなど比較的裕福な家庭に育つ。京都府内の高校、短大と進み、ライブハウスなどで活動を続ける中、後に所属することとなるビーイングの関係者に見出され、B`zの松本孝弘を紹介される、スタジオ制作に入る中で松本のプロデュースのもとデビュー準備を進めていく。
12世紀より西国修験道の一大拠点として栄えた。元弘3年（1333年）、後伏見天皇第八皇子の長助法親王（後の助有法親王）を座主に迎えて以降、助有法親王の直系が座主を世襲制する事となった。現在の社家の高千穂家はその末裔である。当時僧坊3000余、四十九窟（行場）を有するといわれたが天正年間（1573年～92年）秋月氏・大友両氏の兵火が及んで奉幣殿をはじめ社殿が焼失、江戸時代初期１６１６年に小倉藩主細川忠興が奉幣殿（当時は大講堂）を再建した。焼き打ちや寺領廃止もあり打撃を受け、江戸時代以降は衰微した。元禄9年（1696年）に天台修験の別格本山となった。享保14年（1729年）、霊元法皇より、天下に抜きん出た霊山であるとして「英」の字が授けられ、「英彦山」と称するようになった。明治の神仏分離により修験道が廃止され、彦山座主であった教有は還俗し高千穂と称した。九州彦山山伏の本山であった霊仙寺（を廃し神社となって「英彦山神社」に改称し，教有は大宮司となった。1883年に宮司の高千穂宣麿が男爵を授けられ、華族に列した。1898年（明治30年）に官幣中社に列した。1975年、現在の「英彦山神宮」に改称した。