紀元前7世紀にギリシア人によって建てられた植民市であるトミスが、コンスタンツァの起源となった。古代ローマ帝国の時代に、オクタヴィアヌスの怒りをかった詩人のオヴィディウスが、この地に追放された。4世紀、コンスタンティヌス1世が妹の名にちなんでコンスタンツァと改称し、大規模な街の改築を推進した。1413年、オスマン帝国の支配下に入ると、街は衰退へとむかった。1878年、露土戦争をめぐり国際関係が紛糾することを懸念したドイツのオットー・フォン・ビスマルクによって開催されたベルリン会議において、ドブロジャ地方北部（コンスタンツァを含む）がルーマニアに帰属することが認められた。その後はルーマニアの統治下で港湾都市として繁栄を取り戻していった。
1928年（民国17年）、道制廃止後の新疆では区行政長制度が実施された。新疆省政府は管轄区域が広大であり、省政府よりかなり距離のある地域に対しては中間行政機構が不可欠であること、新疆省はソ連及びイギリス植民地に接している関係から各地に領事館が設置され、各区行政長官が外交特使の名目で各国と外交業務を実施していること、そして司法機構が未整備のため暫定的に県政府に司法権が委ねられており、司法と独立した監督機構が必要であることから中間行政区の暫時存続を国民政府に求めた。国民政府は第181次会議により新疆省の行政区長制度の保留を決定した。新疆省の特殊性から、他省で行政督察区制度が施行された後もこの行政機構は維持され、1943年（民国32年）には行政督察専員が派遣され、行政区は専区と改称されている。新疆省に設置された行政区（専区）は迪化、伊犂、塔城、阿山、焉耆、喀什、阿克蘇、和闐、哈密、莎車の10区である。
雲南省はフランス領インドシナ及びイギリス領ビルマと国境を接しており、地方外交事務は重要な行政事務のひとつであった。道制廃止以前、地方外交業務はその重要性と事務量から道尹とは別に道尹同弁が担当し民政事務と分離されていた。道制廃止後の1929年（民国18年）11月、雲南省政府は殖辺弁公署を新設し、外交事務を担当させることとした。殖辺弁公署は省政府の指導の下、国境地帯の各県の国境警備、殖産開拓、国境地帯の交通、経済、教育、衛生管理等をその職責とし、各県の警察機構の指揮権を有し、有事の際には省政府への事後報告で事態に対処する権限を付与されていた。
1932年（民国21年）5月31日に公布された『県政督察専員章程』により県政督察専員が実施された。これは全省を12区に分割し、各区には管轄区内の県長より県政督察専員が長官として就任した。その職責は3カ月に1度区内を巡察し把握した状況の省政府に対する報告、各県への行政指導、区内の治安維持、褒賞懲戒対象者の省政府への報告等であった。
1932年（民国21年）4月、呉忠信が安徽省主席に就任すると首席県長制度が実施された。これは全省を10区に区分し、各区に首席県長を設置、首席県長は担当県の県長と兼任するものとした。首席県長の職責は区内の行政及び地方自治を推進するものと定められた。
1931年（民国20年）末、江蘇省政府は『行政区監督署組織規定』を制定、全省を15区に分割する行政区監督制度を施行した。各行政区は管轄県の県長が兼任する行政区監督1名が設置され、管轄県の首県と定められ、上海、鎮江、松江、武進、呉県、嘉定、南通、江都、塩城、泰県、淮陰、銅山、東海、宿遷が首県と定められた。行政監督の職務は省政府主管官庁の命令による管轄区内の各県への行政指導、管轄区の県長の人事考課、軍警の指揮等であった。
最もよく知られる結合的な多元体の例は有限次元実多元体（つまり、実数体 R 上の多元環で、R 上のベクトル空間として次元が有限なもの）である。フロベニウスの定理によれば、そのような多元体は同型の違いを除いて三種類、実数体（一次元）・複素数体（二次元）、四元数体（四次元）しかない。ウェダーバーンの小定理によれば D が位数有限なる多元体ならば、D は実は有限体である。（例えば複素数体 C のような）代数閉体 K 上には、K それ自身を除けば有限次元の結合多元体は存在しない。結合的多元体は零因子を持たない。逆に（任意の体上の）有限次元の単位的結合多元環が多元環となる必要十分条件は、それが零因子を持たないことである。A が体 F 上の単位的結合多元環で、S が A 上の単純加群ならば、S の自己準同型環は F 上の多元体であり、F 上の任意の結合多元体はこの方法で得られる。体 K 上の結合多元体 D の中心 C(D)は、K を含む体となる。D をその中心 C(D) 上の多元体と見たときの次元は、それが有限であるならば必ず平方数 n² であり、次数 (degree) と呼ばれる n は D の極大可換部分体の中心 C(D) 上の次元と一致する。体 F を一つ固定するとき、F 上有限次元の、（自明でない両側イデアルを持たないという意味で）単純な、結合多元環で中心が F となるようなものの同値類は、体 F のブラウアー群と呼ばれる群を成す。任意の体上で有限次元の結合多元体を構成するひとつの方法として、一般四元数環を用いる方法が挙げられる（四元数の項も参照）。有限次元の結合多元体に対して、それらの作る空間が何らかの意味のある位相を備えている場合が特に重要である。例えばノルム付き多元体やバナッハ代数が挙げられる。