郡内最大の雇用主はオハイオ大学である。その他の雇用主としては、アパラチアン行動医療管理、ホッキング・カレッジ、ダイグノスティック・ハイブリッド、オーブルネス記念病院、ロッキー・ブランド、ウェイン国立の森があり、また増加しつつある小売店やレストランがある。地方政府、教育学区、非営利団体も多くの住人を雇用している。かつて最初に生じた大規模産業は製塩だった。石炭鉱業と木材伐採業も大きな役割を果たし、さらに精神疾患の医療と看護も経済に貢献した。石炭鉱業はその最盛期から急激に衰退した。トリンブル郡区グロスターの北にあるバッキンガム石炭が唯一残っている炭坑である。郡内の幾つかの石切場では砂利や石灰岩も採掘されている。生産中の石油や天然ガスの井戸は少ない。林業は民間でも公共部門でも郡経済に貢献し続けている。ウェイン国立の森の本部はアセンズとネルソンビルの間にある。農業と市場向け野菜栽培は繁盛している。大型農場は牛肉と酪製品の生産に特化している。屋外市場であるアセンズ農業市場は人気を高め続けている。夏季には地元で採れた有機栽培作物が豊富に見られる。観光業も郡経済では大きく、成長を続けている要素である。地域では音楽の中心であり、多くの芸術と工作の事業がある。多くの観光客は自然資源と豊富な野生生物に惹かれて来る。狩猟と釣りが人気のあるアウトドア活動である。アセンズやネルソンビルとその間には舗装された自転車道が19マイル (30 km) 以上ある。特に州立公園や国有林の中ではハイキングやマウンテンバイクが人気がある。高等教育も郡経済の基盤であり続けている。郡住人の4分の1以上がホッキング・カレッジあるいはオハイオ大学に通うかあるいは働いている。
アメリカ合衆国国勢調査局に拠れば、郡域全面積は508.44平方マイル (1,316.9 km²)であり、このうち陸地503.60平方マイル (1,304.3 km²)、水域は4.84平方マイル (12.5 km²)で水域率は0.95%である。アセンズ郡はアレゲニー山地の氷河作用を受けていない地域にある。急な勾配の岩が多い丘陵があり、標高差は150フィート (45 m) から400フィート (120 m) となる。水流によって深く抉られており、その多くはティーズ川流域の名残である。郡内の大半はホッキング川流域にあり、小部分がシェイド川とラクーン・クリークの流域に入っている。ホッキング川は郡内の未編入村であるホッキングポートでオハイオ川と合流している。
初めにガンマ関数が正の実軸上で対数凸であることを確かめる。ヘルダーの不等式により、であり、対数をとるとであるから、故にガンマ関数は対数凸である。また、ともガンマ関数の特徴として周知のものであるから、ガンマ関数はボーア・モレルップの定理の要求を充足する。次に未知の関数がボーア・モレルップの定理の要求を充足するものと仮定してであることを証明する。は実軸上で対数凸であるからである。また、であるから、合わせてとなる。を整数とし、とすれば不等式の両端が一致してを得る。以上により、でが示されたが、一致の定理により正則な定義域全体でとなる。
初めにガンマ関数が正の実軸上で対数凸であることを確かめる。ワイエルシュトラスの乗積表示からであり、対数の二階微分が正であるからガンマ関数は正の実軸上で対数凸である。また、ともガンマ関数の特徴として周知のものであるから、ガンマ関数はボーア・モレルップの定理の要求を充足する。次に未知の関数がボーア・モレルップの定理の要求を充足するものと仮定してであることを証明する。と定義する。であるからであり、を任意の自然数としてである。また、であるからである。背理法を用い、となる点が実軸上に存在すると仮定する。しかし、であるから、が存在するためにはが存在しなければならず、延いてはが存在しなければならない。これはを意味する。しかし、とするとであるからとならなければならず、が対数凸であるという要求に反する。故に背理法の仮定は成立せず、常にであり、である。以上により、でが示されたが、一致の定理により正則な定義域全体でとなる。
ボーア・モレルップの定理 (Bohr-Mollerup Theorem ) は、ガンマ関数を特徴づける定理である。デンマーク人数学者のハラルト・ボーアとヨハネス・モレルップにより証明された。この定理によると、正の実軸上で対数凸であり、であり、である複素解析関数は唯一ガンマ関数のみである。
1852年閏2月場所で初土俵（序ノ口）を踏んだ。苦節12年、1864年10月場所で東十両9枚目（十枚目格）に昇進。1867年11月場所では千羽ヶ嶽兵右エ門（当時東前頭5枚目）との取組で、勝負結果を巡って、千羽ヶ嶽のお抱えの藩である徳島藩の藩主・蜂須賀斉裕が千羽ヶ嶽を含む、自身のお抱え力士を当場所に限りボイコットさせる事件が起きている（詳細は、千羽ヶ嶽の頁を参照。尚、千羽ヶ嶽はこれが生涯最後の取組となり、翌1868年に急死した）。1868年6月場所（江戸時代最後の場所）で新入幕を果たした。翌1868年11月場所（明治時代最初の場所）では、初日に全幕内力士で唯一黒星を喫するという珍記録を残している。当場所は初日から5連敗に終わり、ショックから6日目以降は休場してしまった。1869年11月場所以降は、尾張藩のお抱え力士となり、小ノヶ崎仙吉，甲喜三郎と共に「尾張三人衆」と呼称される名力士となった。1872年4月場所前に現役引退。引退後の1873年11月場所以降は、高砂浦五郎の高砂改正組に加わって、頭取(副締)となった。その後、帰郷し愛知相撲の取締を務めた。また、高砂改正組，愛知相撲でも國見山の名前で年寄として後進の指導に当たった。1887年12月4日に死去。57歳だった。幕内通算 9場所 18勝34敗3分1預34休の成績を残した（うち10休は引退後の場所で番付が記載された事による物）。改名歴は1回ある：宮ノ森→國見山 半五郎。2代歌川国政によって描かれた化粧廻し姿の錦絵が複数現存している。