いくつかの集合を扱い、その関係性について論じるとき、もともと考えていた集合たちから新しい集合を作って調べるというのは有効な手段の一つである。これらの操作は、集合に対する演算と見なすことによって、集合族に関するいくつかの代数系を提供する。それらの代数系を抽象代数系と見なせば、抽象代数学の一般論を適用することでまたいくつかの概念を提供することになる。
有限個の元からなる集合を有限集合 (ゆうげんしゅうごう、英: finite set) と呼び、集合 A の元の個数を #(A), |A|, card(A) などの記号で表すことが多い。有限集合でない集合を無限集合 (むげんしゅうごう、英: infinite set) という。無限集合に対しても「個数」の概念を広げて、濃度 (のうど、英: potency) 、または基数 (きすう、英: cardinal number, 英: cardinality) というものを考える。個数を数える代わりに、ある集合を使って、その元で別の集合をラベル付け (英: indexing; 添字付け) して、一対一の対応がとれるかどうかを調べるのである。そうすると有限集合の濃度はちょうど元の個数で決まるので、ちゃんと無限集合への「個数」の拡張となる概念が定まっていることが確認できる。無限集合はどれも「無限個」の元を持っているわけだが、どの無限もみな同じというわけではなく、濃度の概念ではたくさんの無限を区別して扱うことになる。たとえば、自然数と有理数が同じ濃度を持つ、自然数と実数は真に異なる濃度を持つといったような事実は数学を学ぶ者にとってよく知られた内容である。同様の事実に、平面 R² と数直線 R は同じ濃度を持ち、平面を覆いつくす平面充填曲線と呼ばれる不思議な平面曲線が何種類も存在することが述べられる。より次元の高い空間でも同様で、空間を埋め尽くす空間充填曲線が構築される。異なる次元をもつ空間が同じ濃度をもつというのは、次元や濃度が一方が他方を測るようなものではない異なる尺度であることを表しているのである。
国鉄分割民営化で発足したJR旅客各社のうち、本州以外で営業するJR北海道を含む3つの「三島（さんとう）会社」（他はJR四国、JR九州）は当初から経営基盤が脆弱であった。北海道の人口は減少が続き人口密度は日本一低く、札幌市への一極集中の傾向が続いており、札幌以外の道内市町村では人口減少が深刻化している。他のJRグループ各社と比較しても人口希薄地帯を走る路線が大半を占め、札幌一極集中による単価が高い長距離利用者の少なさ、道路網延伸や自家用車の普及（モータリゼーション）、航空や高速バスとの競争も逆風となった。加えて全道が豪雪地帯・寒冷地であるため、除雪や車両・施設の維持管理費や光熱費等をはじめとして膨大な経費を要し、経営基盤は非常に弱い。2013年（平成25年）3月期の連結決算では、営業収益約1650億円に対し、営業損失（約241億円）だった。後述する経営安定基金の運用益収入などの政策的補填による営業外収益（約259億円）により、辛うじて経常利益（約17億円）は確保しているが、最終的に、当期純損失（約26億円）となっている。全14路線のうち、2008年（平成20年）度の路線別営業係数が黒字なのは僅か3路線（千歳線、海峡線、石勝線）のみで、全国のJRグループ約200路線のワースト3を占める（留萌本線、日高本線、釧網本線）などワースト10の中にJR北海道が最多の5路線を占めている。2013年（平成25年）度の輸送密度（1キロメートル当たりの1日平均利用者数）においても、採算ラインとされる8000人を割り込む路線が約87%を占める。2014年度は全区間の営業収支が公表され、全区間が赤字だった。管理費を含む営業赤字は合計400億円、営業係数154であった。管理費を除いても札幌圏の区間以外は全区間赤字であった。なお、2008年度とは異なり、Kitacaエリア（千歳線、函館本線、札沼線の一部区間）については路線別の営業収支ではないことに留意する必要がある。2016年（平成28年）度に廃止された留萌本線留萌駅 - 増毛駅間は、営業係数が4161、1日の平均乗車人数は9駅中7駅が10人以下で、そのうち5駅が1人以下だった。会社発足以来、高速バスや航空など競合交通機関への対抗策として、新型車両（785系電車、281系気動車など）の投入によるスピードアップや、割引きっぷなどの各種商品展開により収益増を図ってきた。その一方で、地方ローカル線区におけるワンマン運転の拡大や、社員数の発足当時の14,000人から7,100人への半減、各種営業・保線管理業務等の外注化による人件費削減など徹底したコストカットを実施してきた。このほか、JRタワーに代表される駅ビル・不動産関連事業等からの利益創出に努めてきた。しかし、道内では無料区間を含む高速道路（道央自動車道、道東自動車道など）の延伸開通が次々と予定されており、さらなる苦境が続くことが予想されている。北海道新幹線の開通がJR北海道の経営を直ちに改善するわけではなく、当面はむしろ負担となる。想定乗車率が26 %であり、年額50億円の赤字が続く見通しである。また1988年（昭和63年）3月13日開通の青函トンネルの維持に年間21億円をかけている。