B を n × n 行列とし、i, j ∈ {1, 2, ..., n} とする。簡単のため (i, j)-小行列 Mᵢⱼ をなす B の成分を  と書く。bᵢⱼ を因子に持つ |B| の展開項を考えるとそれらは各々、τ(i) = j を満たす適当な置換 τ ∈ Sₙ に対する の形に書くことができる。ここに τ と同じ小行列式成分をもつように選んだ σ ∈ Sₙ−1 は明らかに一意に定まり、同様に σ を選べば対応する τ が決まるから、それはつまり対応 σ ↔ τ は Sₙ−1 と {τ ∈ Sₙ | τ(i) = j} の間の全単射である。τ と σ の間の関係を陽に  と書くことにする。ただし、(←)ⱼ は巡回置換 (n, n −1, …, j + 1, j) に関するこの場だけの省略記法で、j より大きなすべての添字を1つ減らす操作（したがって、すべての添字がきちんと集合 {1, 2, …, n − 1} に入る）を意味するものとする。置換 τ は以下のようにして σ から導出される: 置換 σ′ ∈ Sₙ を σ′(k) = σ(k) (1 ≤ k ≤ n −1) かつ σ′(n) = n で定めると、σ′ は  と表せる。いま、先に (←)ᵢ を施してから σ′ を施す操作は、（置換 A の後に B を施す操作は、置換の二行記法では、A の逆を B の上の行に施すことと同値であることに注意すれば） と書ける（ここで (←)ᵢ は (n, n − 1, …, i + 1, i) に関する省略記法である）。τ を施してから (←)ⱼ を施す操作は  で、この2つの操作は一致するから、(←)ⱼτ = σ′(←)ᵢ したがって τ = (→)ⱼσ′(←)ᵢ を得る（ただし、(→)ⱼ は (←)ⱼ の逆である (j, j + 1, …, n) に対する省略記法である）。さて  が得られたわけだが、ここに現れる2つの巡回置換はそれぞれ n − 1 個と n − j 個の互換の積にかけるから  であり、また写像 σ ↔ τ が全単射であったから、 を得て、ここから所期の結果が従う。
1614年、ポワトゥーの聖職者たちの求めにより、リシュリューは教区の代表として全国三部会へ出席した。三部会において彼は精力的な教会の代弁者として活動し、教会の免税と司教の政治的権力の向上を主張した。彼はトレント公会議の布告の実施を主張する最も際立った聖職者だった。平民の第三部会が彼の努力に対する最大の敵対者となった。会議の終わりに第一部会（聖職者）は請願書や意思決定を読み上げる演説者に彼を選んだ。リシュリューの雄弁は摂政マリー・ド・メディシスとその寵臣コンチーノ・コンチーニの関心を引き、三部会の閉会後まもなく、リシュリューはルイ13世の王妃アンヌ・ドートリッシュの司祭として宮廷に仕えることになった。当時の宮廷では、9歳のルイ13世が即位したときに母后マリー・ド・メディシスは摂政となり、1614年にルイ13世が成人して摂政を終えた後も実権を握り続けていた。リシュリューは母后マリーの寵臣で当時最も有力な大臣だったコンチーノに忠実に仕えることによって、政治の世界へ踏み込んだ。1616年、リシュリューは国務卿となり外交を担当、コンチーニと共にマリーの助言者となった。だが、彼女の諸政策と寵臣コンチーニは国内では人気がなく、結果マリーとコンチーニは宮廷内の陰謀の標的となった。彼らの最大の敵はシャルル・ダルベールである。1617年4月、ダルベールの画策によりルイ13世はコンチーニの逮捕を命じ、その結果コンチーニは暗殺され、マリー・ド・メディシスの政権は倒された。コンチーニの遺体がパリの群衆によって寸断され、晒し物にされていたところを通りかかったリシュリューは、彼の馬車に誰何する群衆に「国王に対する忠誠である」と彼らの行為を称えて難を逃れている。ルイ13世はダルベールをリュイヌ公となし、寵臣リュイヌ公が新たな権力者となった。一方、パトロンの死により権力を失ったリシュリューは罷免され、宮廷から追放された。さらに1618年、リシュリューを依然として疑っていた国王は彼をアヴィニョンへ追いやった。この地でリシュリューは多くの時間を著作に費やし、"L'Instruction du chrétien"と題する公教要理を著している。1619年、マリー・ド・メディシスは幽閉されていたブロワ城から脱走し、貴族反乱軍の名目上の指導者となった。国王とリュイヌ公はリシュリューを召還して母后の説得に当たらせた。リシュリューはこれに成功して、母后と国王との調停を行った。この複雑な交渉はアングレーム和議が締結されて実を結び、マリー・ド・メディシスは自由を取り戻し、国王と和解した。この頃に母后マリーに仕えていた長兄リシュリュー侯アンリが決闘を行い死亡している。1621年にリュイヌ公が死ぬと、リシュリューは急速に権力を掌握し始める。翌1622年、リシュリューの国務会議入りを母后マリーから推薦されたルイ13世は、彼を悪魔のように憎んでいると拒絶していたが、国王はリシュリューを枢機卿に任命し、同年4月19日にローマ教皇グレゴリウス15世は彼を叙階した。フランスはユグノー（フランスのプロテスタント）の反乱などの危機に瀕しており、リシュリューは国王にとってなくてはならない助言者になりつつあった。1624年4月に国務会議の顧問官に任命されると、リシュリューは首席国務卿ラ・ヴィユーヴィル侯の失脚を企てた。同年8月にラ・ヴィユーヴィル侯は汚職容疑で逮捕され、リシュリューが代わって首席国務卿（宰相）となった。