コンウェイの実現を符号展開へ写す写像は f({L | R}) := σ(M, S) で与えられる。ただし、M := {f(x) : x ∈ L},  S := {f(x) : x ∈ R} とする。その逆写像として、符号展開による実現をコンウェイの実現へ写すには g(x) := {L | R} を L := {g(y) : y ∈ L(x)}, R := {g(y) : y ∈ R(x)} と与えればよい。
超現複素数 (surcomplex number) は、二つの超現実数 a, b に対して a + bi（i は虚数単位）の形をした数を言う。超現実数の全体は（それが真のクラスとなることを除いて）代数閉体を成す。それは有理数体に代数独立な超越元の成す適当な真クラスを添加して生成される体の代数閉包に同型である。この事実は、任意に固定した集合論の中で、体の同型を除いて超現複素数を特徴付けるものである。
一般の冪は xʸ := exp(y⋅log x) として定義することができ、2ω = exp(ω⋅log(2)) = ω のような式の解釈が与えられる。この場合でもやはり（特に ω を底とするときには）この定義と「ω の冪」として与えられるものとは絶対に区別をつけるべきものである。
超現実数変数の指数函数を定めるための帰納ステップは、実指数函数の場合の級数展開 exp(x) = ∑n≥0ˣⁿ⁄ₙ! に基づく。より具体的には、展開を途中で切った部分和が（基本的な代数学的操作のみで）残りの項の和よりも小さい正の値となることが示せる事実を利用する。正の x については [x]ₙ と書いて全ての部分和を含める。x が負の有限値のときは [x]₂ₙ₊₁ が初期値を実数成分が正の級数（常に存在する）としたときの奇数番目の部分和を表すものとする。負の無限大 x については、奇数番目の部分和だけ見れば狭義単調減少で [x]₂ₙ₊₁ は空集合となるが、これはこの帰納法においてこれらの元が必要ないということに対応するので問題ない。利用する関係式は、x < y なる実数に対して exp(x)⋅[y − x]ₙ < exp(y) および exp(y)⋅[x − y]₂ₙ₊₁ < exp(x) が成り立つこと、またこれは  なる定義のもとで超現実数を引数とするものへ延長することができる。これは任意の超現実数引数に対して矛盾なく定義される（つまり、この右辺の値は超現実数として存在して、その値は zL, zR の選び方に依らない）。
旅順要塞の陥落により旅順艦隊は無力化された。日本軍は本格的な攻城戦の経験が少なかった。陸軍全体に近代戦での要塞戦を熟知した人間が少なく、第1回総攻撃では空前の大損害が生じてしまった。要塞攻略に必要な坑道戦の教範の欠如に関しては、当時は日本だけでなく欧米列強において火力万能主義の時代であったため、坑道戦術自体が軽視されていた。戦争直前の工兵監であった上原勇作も坑道教育にはあまり重視しておらず、むしろ前任の矢吹秀一工兵監時代に非常に坑道教育に力を入れていた。旅順戦においては、矢吹工兵監時代の記憶を辿って攻城教程を作成した。戦後明治39年に坑道教範が作成され、小倉に駐屯していた工兵隊によって、初めての坑道戦訓練が敵味方に分かれて実施された。軽量化が図られた上に毎分500連発と実用性の高い機関銃であるマキシム機関銃は、この戦闘で世界で初めて本格的に運用され威力を発揮した。機関銃陣地からの十字砲火に対し、従来の歩兵による突撃は無力であることを実戦で証明した。この状況を打開する攻撃法を日露戦争後も暫くは見いだすことはできなかった。同時代のヨーロッパ各国でも、機関銃をごく少数配備していただけで運用法も確立されていなかった。この戦闘における機関銃の威力は各国観戦武官によって本国に報告されたが、辺境の特殊事例としてほとんど黙殺された。その結果数年後に起こる第一次世界大戦緒戦で欧米列強の陸軍指導層は、機関銃や榴散弾の風雨に歩兵を生身で突撃させるという旅順攻囲戦第一次総攻撃と全く同じ事を繰り返し、日本以上に犠牲を払う事になった。ヨーロッパ各国がこの事実に気づき、塹壕に籠る機関銃の攻撃に対して有効な解決策が考え出されるのは第一次世界大戦で戦車の開発や、歩兵による浸透戦術の採用まで待つことになった。当時の日露両軍は世界的に見ても例外的に機関銃を大量配備していたが、早くから防衛兵器としての運用を考え出したロシア軍に対し、日本軍側はあくまでも野戦の補助兵器として考えていたので、初期には効果的な運用は行われていなかった。後に日本側もロシア側の運用法を応用した。またロシア軍の激しい白兵による反撃に対峙した経験は、次第に歩兵の突撃力・精神力を偏重する日本軍の伝統形成を生んでいった。1905年1月にボリシェヴィキの機関誌『フペリョード』上でウラジーミル・レーニンは、旅順の失陥を「ロシア専制の歴史的な破局」と位置づけた。事実、旅順の失陥によって政府の威信は低下し、労働争議を禁じられ軍需産業の増産で酷使されていたサンクトペテルブルク市民は不満を噴出させた。1月22日に冬宮殿に集まった請願デモに対して、軍が発砲し多数の死者を出した血の日曜日事件が発生した。東京日日新聞は事件の翌日の紙面で、旅順の失陥が血の日曜日事件の大きな原因となったと論評している。首都で発生した混乱はゼネストや農民蜂起という形でロシア全土に広がり、ロシア第一革命に発展した。