上で述べたω の冪もある種の指数函数と思えるが、実数体上定義された指数函数の延長として望ましい性質を持つものではない。しかしこれも e を底とする指数函数を作るうえで必要であり、以下 ωˣ と書いたときには、この指数函数を意味するものとする。y が二進分数であるとき、x ∈ 𝐍𝐨 を変数とする冪函数 x ↦ xʸ は、それぞれが帰納的に定義できる乗法・乗法逆元・平方根を使って、それらの合成によって得られる。この函数の値は、基本関係式 xʸ⁺ᶻ = xʸ⋅xᶻ から完全に決定され、ただしそれは存在できるほかの任意の冪と必然的に一致するように定められる。
各自然数（有限順序数）n に対し、Sₙ において生成されたすべての数が二進分数（すなわち、既約分数に書いたとき適当な整数 a, b (0 ≤ b < n) を用いて ᵃ⁄₂ᵇ の形に書ける有理数）である。有限な n に対する適当な Sₙ において生成される超現実数全体の成す集合を  と書くことにする。三種類の異なる形、   に分類すれば、S∗ はこれらの合併である。個々の Sₙ は（S₀ 以外は）加法および乗法について閉じていないが、S∗ は閉じている（これは二進分数全体の成す有理数体の部分環である）。適当な無限順序数 β が存在して、誕生日が β より小さい超現実数全体の成す集合が別の算術演算で閉じているようにすることができる。任意の順序数 α に対し、誕生日が β := ωα（ω の冪節を参照）より小さい超現実数全体の成す集合は加法のもとで閉じていて、群を成す。ωωα より小さい誕生日に対しては、乗法のついても閉じており、環を成す。また誕生日が（順序）イプシロン数 εα より小さいとすれば乗法逆元をとる操作でも閉じていて、体を成す。この最後の集合は Kruskal および Gonshor によって定義された指数函数のもとでも閉じている。しかし、与えられた集合の任意の元より大きな超現実数を構成することは（構成子の左集合にその集合を含めることにより）常に可能であり、したがって超現実数全てからなる集まりは真のクラスとなる。このクラスは（それが集合でないという但し書きの上で）その大小比較を定める順序関係とこれら算術の四則に関して順序体を成す。実はこれは、最も大きな順序体という非常に特別なものになっている（ほかの任意の順序体は、超現実数体に演算と順序まで込めて埋め込める）。超現実数全体の成すクラスは 𝐍𝐨 で表される。
京都府京都市出身。西京高校では1952年春季近畿大会府予選で準決勝に進むが、山城高に敗退。夏も府予選準々決勝で洛北高に敗れ、甲子園には届かなかった。卒業後は同志社大学に進む。大学同期に青木稔、伊香輝男がいた。1年生時から投手として活躍。2年限りで大学を中退し、青木とともに1955年に読売ジャイアンツに入団。同年から一軍で起用され、10月には初先発も果たす。しかし結果を残せず三年目の1957年から外野手に転向。1958年はほとんど活躍の場がなかったが、同年の西鉄との日本シリーズでは3試合に代打として起用された。1959年には主に右翼手として一軍に定着、53試合に先発出場を果たす。翌1960年には初の規定打席に到達（21位、打率.238）。その後も強肩俊足を活かして外野手のレギュラーを確保し、ON砲の脇を固める巧打者としてV9時代前半を支えた。1961年には監督推薦で、1963年にはファン選抜でオールスターゲームに出場。しかし1963年のシーズン終盤は故障欠場、この影響もあって1964年は打撃不振に陥る。1965年には打棒も復活し、同年の南海との日本シリーズは全5試合に先発出場、16打数3安打ながら4打点を挙げる。1966年には自己最高の打率.272（12位）を記録した、1967年の阪急との日本シリーズでは第5戦で米田哲也、佐々木誠吾から連続本塁打、シリーズ通算25打数7安打4打点と活躍した。しかし1970年には末次民夫の台頭もあって出場機会が減り、千本安打まで残り21本であったが、同年限りで現役引退。引退後も巨人に残り、一軍打撃コーチ（1971年 - 1973年, 1976年 - 1979年）、二軍監督（1974年 - 1975年, 1981年 - 1985年）、ヘッドコーチ（1986年 - 1988年）を務めた。東京の和菓子店・亀屋万年堂の創業者である引地末治の娘と結婚し、その縁で巨人の同僚であった王貞治が亀屋万年堂のCMに出演することとなる。球界引退後の1995年、亀屋万年堂の副社長に就任し、2002年に代表取締役社長となり、2011年に社長の座を甥の引地大介に譲り、会長に就任した。球界と実業界での経験を買われて、各地で人材育成に関する講演も行う。また左利きゴルファーの代表として、日本レフティゴルフ協会の会長を務めていた（現在は最高顧問）。ちなみに同会の終身名誉会長は巨人V9の指揮官でもある川上哲治。口より先に手が出る性格で、のちに中央公論誌上で福島敬光に「国松コーチにはよくたたかれた」とコメントされた。同期は森祇晶と馬場正平らがいる。