やや深めのグリップで安定したラケット角度を作りやすい握り方で、特徴的なのは親指が立ち気味になっている点（サムアップ）と、腕を伸ばしたときにラケットの先端がやや上を向くこと。親指を立てることで安定した角度のバックカットをする。従来のカット主戦型は、カットで粘り、相手のミスをひたすら誘うタイプが多かった。しかし、松下はカットでチャンスを窺いながら、隙あらば攻撃を仕掛けていた。中学時代のときは「カットマンなのに攻撃ばかりしてせこい」という野次をあびたことがあったと本人もインタビューで語っている。カット主戦型は戦術上あまり弾まないラケットを使うが、日ごろのトレーニングとフルスイングによって、攻撃の際は威力のあるスマッシュ、ドライブを連打するスタイルであった。攻撃だけでなく、武器であるカットも非常に回転が重く、元全日本監督の前原正浩によれば「相手は鉄アレイを持ち上げながらスイングするようなもの」と解説している。サーブはバックサーブがメインで、短いトスのサーブとミドルトス（頭を少し越える程度のトス）のサーブを使い分ける。また、勝負をかけるときにはフォアサーブに切り替える。長期に渡って活躍してきた事により培ってきた経験、その豊富な経験を活かした巧みな戦術も持ち味で、これらは40歳を過ぎても健在であった。
2009年（平成21年）1月の全日本選手権を最後に現役を引退した。2010年1月、自ら志願し卓球用品総合メーカー「VICTAS」の社長に就任した。2012年11月、プロ野球球団の北海道日本ハムファイターズがドラフト1位指名した大谷翔平（花巻東高）と入団交渉した際、提示した資料「夢への道しるべ～日本スポーツにおける若年期海外進出の考察～」に、資料作成協力者として、日本ハム球団ホームページ内の資料に名前が記載されている。2017年、2018年より発足を目指す新リーグ「Tリーグ」の専務理事に就任。
1997年には、世界選手権マンチェスター大会の男子ダブルスにおいて渋谷とのペアで3位に入賞し、日本勢として世界選手権の個人戦で14年ぶりにメダルを獲得。また、国内での所属をミキハウスに変えるとともに、ドイツ・ブンデスリーガ2部のプリューダーハオゼンに移籍し、日本人選手として初めてブンデスリーガでプレーした。2部リーグで35勝3敗の成績を挙げ、翌シーズンからは1部リーグのボルシア・デュッセルドルフに移籍、1999・2000年シーズンではヨーロッパチャンピオンズリーグで優勝を果たす。2000年の世界選手権クアラルンプール大会男子団体では9勝1敗の成績で3位入賞の立役者となった。このとき、予選リーグのドイツ戦で当時19歳のティモ・ボルをゲームオールの激戦の末に下したゲームを、後にベストゲームとして松下自身が挙げている。2000年シドニーオリンピックでは男子シングルスでベスト16に入った。2000/2001年シーズンにはフランスリーグのセスタスへ移籍し、フランスリーグでプレーした初めての日本人選手となる。その後、国内へ活動の拠点を移し、2001年と2002年の全日本選手権男子シングルスで連続優勝を達成、2004年アテネオリンピックで4度目のオリンピック出場を果たした。2005年4月からは再びグランプリに所属している。2007年4月には早稲田大学大学院スポーツ科学研究科修士課程に入学し、11月からはフランスリーグ1部のメスでもプレーした。
その後、協和発酵に入社し、1992年バルセロナオリンピックに出場。1993年の1月に日産自動車へ移籍、同年4月に日本卓球界初のレジスタード・プロプレーヤーとなった（後にレジスタード・プロ制度は廃止され、プロ選手とアマチュア選手の区別は撤廃されている）。プロ選手となった直後の世界選手権イエテボリ大会の代表には選出されなかったが、その年の全日本選手権男子シングルスで初優勝を果たした。1995年にはグランプリへ移籍し、全日本選手権男子シングルスで二度目の優勝を飾る。1996年アトランタオリンピックでは、男子シングルスでベスト16、男子ダブルスでベスト8の成績を残した。
小学3年生のときに、双子の弟の松下雄二とともに卓球を始める。全国中学校卓球大会では2年生と3年生の時にシングルスで決勝に進出するも、同い年でその後ダブルスのパートナーかつライバルとなる渋谷浩に敗れる。桜丘高等学校に進学し、インターハイでは2年生と3年生の時にシングルスの決勝に進むものの、再び2年連続で渋谷に敗れた。その後、明治大学文学部に進学して渋谷とチームメイトとなり、ダブルスのペアを組むようになる。1987年の世界選手権ニューデリー大会で世界選手権初出場を果たし、同年の全日本選手権男子ダブルスで初優勝。1989年にはスウェーデンリーグ1部のファルケンベリに1シーズン所属してプレーした。この時の経験が、後にプロ選手となることに影響を与えたと本人は語っている。
前身は、1938年（昭和13年）に麻生太賀吉が日本精神文化振興のために福岡市に財団法人斯道文庫を設立し、文庫・研究所を置いた。だが、大東亜戦争の戦災の影響により施設の維持が困難になったため、蔵は一時期九州大学に一括寄託して閉鎖を余儀なくされた。その後、再度典籍の蒐集を始めた麻生は1958年（昭和33年）に創立100周年を迎えた慶應義塾に蔵書を改めて寄贈する。慶應義塾大学側は麻生氏の意向を汲んで、大学附属の研究機関として斯道文庫を再興し、三田校舎内に施設を設置した。2010年に開設50年を迎えた。蔵書は約十六万冊を超え、財団法人センチュリー文化財団との提携により、蔵書が年々増えている。内、約600点が古今集注釈書、漢籍古鈔本、宋元版等の貴重書で、椎本文庫、安井文庫、亀井家文庫といった江戸時代以来の国学者および儒学者の旧蔵書、自筆本がある。他にも旧熊本藩主細川家所蔵の永青文庫などから寄託された3万5千冊を所蔵している。麻生が寄贈した和書・漢籍の蒐集事業を続けるとともに、日本全国の貴重な典籍のマイクロフィルム化などを通じた副本作成を行い、さらにそれを元にした比較・校勘作業を行っている。近年は内外の研究者と共同研究プロジェクトを行い、書誌学講座の開講などを行っている。研究成果は毎年刊行の紀要『斯道文庫論集』を中心に示され、『江戸時代書林出版書籍目録集成』（1962年-1964年）、『古今集注釈書伝本目録』（2007年）を編纂した。