正方行列はユークリッド空間 Rⁿ（n は行列の次元）上の線形作用素を表現する。そのような空間は有限次元であるから、この作用素は実際に有界である。正則汎函数計算の道具立てを用いると、複素数平面内の開集合上で定義された正則関数 f(z) および有界作用素 T に対し、f(z) が T のスペクトル上で定義される限りにおいて、f(T) を計算することができる。関数 f(z) = ln z は、複素数平面内の原点を含まない任意の単連結開集合上で定義することができて、かつそのような領域上で正則である。このことは T のスペクトルが原点を含まず、原点から無限遠点へ向かう T のスペクトルを横切らない径路が存在するならば ln T が定義できることを示している（例えば、T のスペクトルがその内側に原点がくるような円ならば、ln T は定義できない）。ユークリッド空間の場合に立ち戻ると、この空間上の線形作用素のスペクトルはその表現行列の固有値全体の成す集合であり、それは有限集合である。そのスペクトルに原点が含まれない（行列が可逆）である限りにおいて、前段落で述べた径路に関する条件などは明らかに満たされるので、その論法により ln T が定義可能である。この種の行列の対数が一意でないことは、行列の固有値集合上で定義される対数函数の分枝が複数選びうるという事実から生じる。
「与えられた行列に対数が存在するか否か」という問題は、複素係数の範囲で考えるときに最も簡単純な答を持つ。この場合、与えられた行列が対数を持つための必要十分条件は、それが可逆であることである。対数を持つ場合においても対数が一意とは限らないが、その行列が負の実固有値を持たないならば、そのすべての固有値が帯状領域 {z ∈ C | −π < ℑm z < π} に載っているような対数はただ一つ定まり、主値あるいは「主対数 (principal logarithm)」と呼ばれる。実係数の範囲内で考えるならば答はより込み入ってくる。実行列が実行列を対数に持つための必要十分条件は、それが可逆かつ負の固有値に属する各ジョルダン細胞が偶数回あらわれることである。可逆な実行列が、このジョルダン細胞に関する条件を満たさないならば、その対数は実でない複素行列の中でしか考えられない。この状況はスカラーの場合にすでに生じていることであり、実際 −1 の（複素）対数は実数でない複素数である。2×2 実行列の実対数の存在性については後述する。
数学において、行列の対数（英語: Logarithm of a matrix）とは、行列の指数関数を施したとき与えられた行列と一致するようなもう一つの行列をいう。つまり行列の対数函数は、スカラー変数スカラー値の対数函数の一般化であり、また行列の指数関数のある意味での逆関数を与えるものとなる。必ずしも全ての行列がその対数を持つわけではなく、また対数を持つ場合であっても複数の行列を対数として持ち得る。対数を持つ行列は何らかのリー群に属し、かつ、その対数はそのリー群に付随するリー代数の元に対応するため、行列の対数函数の研究はリー理論につながる。
1900年、ロンドン生まれ。ハイゲート校、王立音楽アカデミーで学ぶ。後にベルリンに留学し、音楽学と哲学を学び、さらに作曲をジョン・アイアランドに師事するようになった。ピアノをベンノ・モイセイヴィチとアルトゥル・シュナーベルに師事した。1925年から1978年まで王立音楽アカデミーで教鞭をとった。教え子にマイケル・ナイマン等がいる。マルクス主義の支持者として知られ、ロンドン労働者合唱連盟の指揮者の職にあり、1936年からは労働者音楽連合の議長となった。その影響はオペラ「ワット・タイラー」（1948-50年）や、最終楽章に共産主義者のテクストによる男声合唱が付いているピアノ協奏曲などからうかがうことができる。他の作品には第1番ハ調、第2番「ノッティンガム」、第3番「バイロン」、第4番「ラスコー」の4つの交響曲、ピアノと管弦楽のための「イギリスの海の歌による変奏曲、夜想曲とフィナーレ」などがある。1995年、ワトフォードにて逝去。94歳没。
「ナガサキ」(Nagasaki) は、1928年に発表された、ハリー・ウォレンとモート・ディクソンによるジャズ・ソングで、ティン・パン・アレーのヒット曲として人気を博した。 馬鹿げた下品な歌詞の内容は、日本の港湾都市である長崎市とは、ほとんど無関係である。この曲は、「エキゾチック」な場所を歌い込んで人気を博した、アメリカ合衆国における一連のノベルティ・ソングのひとつで、その起源は1919年のアルバート・フォン・ティルザーのヒット曲「オー・バイ・ジンゴ」とされているが、「ナガサキ」の歌詞には、この原型への言及も盛り込まれている。さらに直接的な曲として、「On the Isle of Wicki Wacki Woo」が1923年にウォルター・ドナルドソンとガス・カーンによって書かれている。1920年代後半から1940年代にかけても時期には、多数のビッグ・バンド・ジャズ楽団が「ナガサキ」をカバーし、この曲は今日でもジャズの即興演奏の基礎となる曲として人気がある。最も有名なカバーには、ベニー・グッドマン・カルテットによるものがある。この曲を演奏した人々の中には、ファッツ・ウォーラー、フレッチャー・ヘンダーソン、キャブ・キャロウェイ、ドン・レッドマン、ジャンゴ・ラインハルト、アドルフ・ロビンソン (Adolph Robinson)、ステファン・グラッペリ、チェット・アトキンスらがいた。ウィリー・ザ・ライオン・スミスは、そのキャリアを通してこの曲を演奏し、録音し続けたが、歌詞は、彼がヴォードヴィル時代に書き換えたものを使っていた。リチャード・コーリスは、『タイム』誌への寄稿で、「ナガサキ」について次のように述べている。「さあ立ち上がってチャールストンを踊らなきゃという感じの決定版のような曲で、ウィレンの生き生きとしたシンコペーションは人々をダンスフロアへと導き、モート・ディクソンの歌詞は彼らをシングアロングへと駆り立てる。'Hot ginger and dynamite / There's nothing but that at night / Back in Nagasaki where the fellas chew tobaccy / And the women wicky-wacky-woo'」。