現役時代はセント・ミレンFC、マザーウェルFCなどに所属し、スコットランド代表のMFとして活躍した。ボルシア・ドルトムント時代はUEFAチャンピオンズリーグ 1996-97優勝を経験した。2005-06シーズンにリヴィングストンFCで選手兼任監督として在籍したが、結果が残せず、2006年2月に監督を解任され、同時に選手としてのキャリアも終えた。監督転身後は2008年3月までイングランドフットボールリーグ最下層であるリーグ2に所属するウィコム・ワンダラーズFCの監督を務めた。2012年よりアストン・ヴィラFCの監督を務めている。
射影 R → C* は R を C* の被覆空間として実現する。実はこれは、（(z, θ) を (z, θ + 2π) に写す同相写像が生成する）Z に同型なデッキ変換群を持つガロワ被覆になる。複素多様体として R は、logR を通じて C に双正則である（逆写像は z を (eᶻ, Im z) に写す）。これは R が単連結であることを示しており、したがって R は C* の普遍被覆となる。
上でやったように、特定の枝を選んで貼り合わせる代わりに、log z のすべての枝をとって、枝の対 L₁: U₁ → C, L₂: U₂ → C を U₁ ∪ U₂ の L₁ と L₂ が一致する最大の開部分集合に沿って貼り合わせることを、任意の対に対して同時に行っても、前節のと同じリーマン面 R と函数 logR が得られる。このやり方は、絵に描くことはやや困難だが、特定の枝をどのように選ぶかは問わない点で、より自然である。 U′ が R の開部分集合で、その射影像 U ∈ C* と全単射ならば、logR の U′ への制限は U 上定義された log z の枝に対応する。log z の任意の枝はこの方法で得られる。
各枝の定義域はそれらの値が一致する開集合に沿ってしか貼り合わされないから、貼り合わせで一つの矛盾なく定義された函数logR: R → C が与えられる。この函数は各点 (z, θ) ∈ R を ln |z| + iθ に写す。もともとの枝 Log に両立する正則函数を貼り合わせて拡張する過程は解析接続と呼ばれる。リーマン面 R から C* への（螺旋を「平らに」押しつぶす）「射影」が存在して、(z, θ) は z に写される。任意の z ∈ C* に対して、z の「真上」にある全ての点 (z, θ) ∈ R をとって、それらの点を logR で評価すれば、z の対数がすべて得られる。
開集合 U 上で定義された log z の各枝は複素指数函数の制限（具体的には U の L による像への制限）の逆函数である。指数函数は正則（つまり複素微分可能）かつその導函数が消えることはないから、複素函数版の逆写像定理が適用できて、L(z) は U の各点において正則で、L′(z) = 1/z が成り立つ。これはコーシー–リーマン方程式の成立を見ることによっても証明できる。
先に述べた単位円を用いた論法を一般化すれば、原点 0 を周る閉曲線を含む開集合 U 上で定義された log z の枝が存在しないことが示せる。この論法を回避するために、U は典型的には原点から適当な方向に無限遠まで延びる半直線や半曲線（端点として原点は含む）の補集合が選ばれる。この場合、そのような曲線は分岐切断 (branch cut) と呼ぶ。例えば、主値は負の実軸に沿った分岐切断を持つ。函数 L(z) がその分岐切断上の一点において定義されるように拡張されるならば、L はその点で不連続でなければならない。よくて、負の実数における主値 Log z のように、「片側」連続になるだけである。
ブラウンシュヴァイク＝リューネブルク公国の一部を統治するヴォルフェンビュッテル侯フェルディナント・アルブレヒト2世と妃アントイネッテ・アマーリエの娘として、ヴォルフェンビュッテル（現在のドイツ・ニーダーザクセン州）で生まれた。長兄はブラウンシュヴァイク＝ヴォルフェンビュッテル公カール1世。次兄アントン・ウルリヒはロシア皇帝イヴァン6世の父。姉達のうち、長姉エリーザベト・クリスティーネはプロイセン王フリードリヒ2世の妃になり、次姉ルイーゼ・アマーリエはフリードリヒ2世の弟アウグスト・ヴィルヘルムの妃となりフリードリヒ・ヴィルヘルム2世を産んだ。1752年、最初の王妃ルイーセを亡くして寡夫となっていたフレデリク5世と結婚し、一人息子フレデリク（1753年 - 1805年）をもうけた。フレデリク王子はデンマーク王クリスチャン8世の父である。王妃としてのユリアーネは目立つ存在ではなかった。彼女が重要性を増すのは、王太后となってからである。1766年、フレデリクと死別した。継子であるクリスチャン7世が即位したが政治的なことには無関心であったため、権力を王妃カロリーネ・マティルデとその愛人ヨハン・フリードリヒ・ストルーエンセ達に握られた。2人は自由政治の信奉者で、貴族の反対を押し切ってより民主的な法の成立を急いだ。その改革策は周囲の反感を招き、ユリアーネは反ストルーエンセ派の貴族達の中心に位置するようになっていった。彼女は王妃とストルーエンセの姦通を理由に彼らの政権を覆したクーデターの旗印となった。1772年、ストルーエンセは処刑され、カロリーネ・マティルデはドイツへと追放された。ユリアーネの息子フレデリクは摂政となった。しかし現実には、彼は母の操り人形であり、摂政政治の真の統治者はユリアーネであった。1784年、王太子が即位しフレデリク6世の親政が始まると、ユリアーネと摂政フレデリクは政治の表舞台から遠ざけられた。1796年、フレデンスボーで死去し、ロスキレ大聖堂に葬られた。