定理の証明には、球に関して鏡像を取る反転を用いるのが易しい。一般に、中心 O、半径 Rの球に関する反転では、点 Pの写る先は、半直線 OP上の点であって、OP×OP'=R²を満たす点 P'である。この定義では、球の中心 Oの写る先が決められないが、便宜上、仮想的な無限遠点とOが互いに写りあうものとすれば、反転は1対1の写像であり、逆写像は自分自身である。6球連鎖の定理を示すには、いくつかの反転の性質に着目しておく必要がある。まず、球は反転によってやはり球となる。ただし、Oを通る球は平面となる。反転は1対1の写像であるから、接する2球は反転しても接している。ただし、Oで接する2球は、反転すると平行な2平面となる。平面は「半径が無限大の球」であり、平行な2平面は「無限遠点で接する」と解釈すれば、平面を特別扱いする必要はない。
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山形県立尾花沢高等学校と山形県立大石田高等学校の合併により誕生した。そのため、尾花沢市と大石田町の市境付近に設置されている。最北地区(最上地方および北村山地方)では唯一の情報処理関連学科設置校であり、これが本校の最大の特徴である。
第二次世界大戦の後、ニューハンプシャー州は大ボストン地域との経済的、文化的繋がりを強くしていった。このことは国家的な傾向でもあり、改善された高速道路網により大都市圏は元の田舎や近郷の都市にまで伸びていった。1952年にナシュア繊維に替わって電子技術の防衛産業サンダース・アソシエイツが造られ、1970年代早くにはパソコンの巨大企業ディジタル・イクイップメント・コーポレーションができて、ニューハンプシャー州南部の役割をアメリカ国道128号線回廊のハイテク結節点とすることになった。ニューハンプシャー州では4年ごとの大統領選挙で、毎回最初の予備選が行われ多くの注目を集めている。
繊維産業は不況とアメリカ南部の工場との競争激化によって打撃を受けた。1935年のエイモスキーグ紡績工場の閉鎖がマンチェスターの町に大きな衝撃となり、ナシュアでは1949年に元ナシュア・マニュファクチャリング会社の工場が閉鎖された。
1830年代、ニューハンプシャーは2つの大きな話題があった。1つは、州北部カナダとの国境にインディアン・ストリーム共和国を設立し、独立戦争後も未解決であった国境問題に決着を付けた。この共和国は、1832年に人口約300人で創設され、1835年にはニューハンプシャー州に吸収された。この吸収の時に、イギリス領カナダとの間に多少の暴力沙汰も起こった。最終的には 1842年のウェブスター＝アッシュバートン条約で国境問題が解決をみた。2つ目の話題は、ダートマス大学の奴隷制度廃止運動家が1835年にカナーンで実験的に多民族によるノイズ・アカデミーを創設したことだった。しかし、創設後数ヶ月も経たないうちに、この学校に反対する土地の者達が牛を使って建物を引き摺り倒し、その後で燃やしてしまった。奴隷制度廃止運動家の感情は州内の強い底流となり、ジョン・P・ヘイルの「自由の大地」党の大きな支援を得ていた。しかし、編集者のアイザック・ヒルの指導の下に保守的なジャクソン流民主党員が通常は支配を続けた。1856年、新しくエイモス・タックを頭に造られた共和党が政治的な改革を生み出した。
わずか二機種しか発売されなかった OASYS 30 直系機。ハードディスク(IDE)搭載モデル。一部を除き FMR と互換性がある。搭載されている CPU は VM technology VM865C110HL-V16 (80286互換) である（そのほか周辺機器制御用に RICOH RU6102MF や AMD N80186 が登載されているロットもある）。液晶パネルに致命的な欠陥を抱えているため（ビネガーシンドロームが発生しやすい）、直射日光を避け、キーボードを開いた状態で暗室かつ風通しの良い低温・低湿環境での保管が推奨される。OASYS 40AP は OASYS 30AP-101 のビジネスモデルである。ハードディスク容量は 170MB へ増量された。最後のトランスポータブル機（AS はボックス型）であり、最後の TYPE-W 型インクリボン対応機でもある。 MS-DOS は別売り。OASYS 40AS は 40 シリーズの最終機であり OASYS 40 AP から内蔵プリンターおよび関連ソフトウェア機能(名刺メーカー、文例集の一部、特殊印刷、別売りのPCプリンタサポートなど)を非搭載にして MS-DOS 3.1 と PCサーバ連携をプリインストールした LAN (Netware) 対応モデル（使用には専用 LAN カード OACFC-601 および MARS_NWE などの Netware 互換サーバーが必要）。メインボードと外装、システム以外は 40APと共通部品である。 キートップに MS-DOS (従来機では用紙送りのキーに対応する位置) の標記がありメニューからワンタッチで MS-DOS が起動できる。 SRAM カードに MS-DOS をインストールできるため、復旧用システムデータがあれば OASYS Pocket シリーズの復旧にも使用できる。末期まで販売された OASYS 40AP とは対照的に生産期間は一年と短いためか、中古市場ではほどんど流通してない希少機でもある。余談ではあるが、説明書がない場合は「拡張機能＋シフト＋文末」を押すことで、使い方ガイド（オンラインヘルプ）を表示でき、 OASYS 40AP ではハードコピー機能を使うことで簡易的な説明書を手に入れることも可能である。