量子ウォークの時間発展作用素はで定義される 。ここで、はコイン作用素と呼ばれる作用素である 。但し、は上のユニタリ作用素で、量子コインと呼ばれる 。また、はシフト作用素と呼ばれる作用素で、を満たす 。但し、である 。量子ウォークでは、初期状態（但し、 とする）を与え、以下のように上のユニタリ作用素を繰り返し作用させる 。つまり、によって時間発展を定義する 。ここで、のユニタリ性からノルムが保存され、が全ての時刻で成り立つ 。時刻での状態の成分をと書くことにする 。このとき、は量子ウォークの時刻、場所、カイラリティの確率振幅と呼ばれる 。さらに、を、 と表現したときの、量子コインの行列表現をとして、となるようにを考えると、量子ウォークの時間発展と等価な表現として、が得られる 。これは、量子ウォークがランダムウォークの量子的類推と考えられる理由の一つである. つまり、左に遷移する際に行列の重みがかかり、逆に右に遷移する際に行列の重みがかかると解釈するのである 。
量子ウォークの全空間はで定義される 。但し、は粒子の場所を、は粒子の自由度をそれぞれ表すヒルベルト空間である 。非自明な時間発展を与えるユニタリ作用素を定義するために、粒子の場所を記述する空間に2次の自由度を持つ空間が付随する 。
ここでは、Gudder (1988)とMeyer (1996)に基づく一次元格子上の離散時間量子ウォークの定義を与える 。一般のグラフに関する情報は、例えばAmbainis (2004)やその参考文献を辿ることで得られる 。説明の便宜上、Gudderが導入したモデルの修正版を導入するが、どれも本質的に等価である 。より詳細についてはKonno (2008)等を参照されたい 。量子ウォークは、以下の全空間、その空間上の時間発展作用素、これらから決まる分布列 の3つから成り立っている 。但し、は時刻を表す 。
量子ウォークには離散時間量子ウォークと連続時間量子ウォークがあるが、ここでは離散時間量子ウォークについて述べる 。離散時間量子ウォークのプライオリティーに関しては諸説あるが、少なくともGudderによる本 (1988)の中に、既に現れている 。他にもAharonov et al. (1993)、Meyer (1996)などにより、量子情報、量子セルオートマトンの視点でそれぞれ独立に導入されている 。また、Watrous (2001)では、一般のグラフ上での量子ウォークの原型にあたるものを見ることができる 。さらに、Severini (2002)には、より詳細で数学的な量子ウォークの構成が述べられている 。量子情報の分野では、Shor (1994)、Grover (1996)により、それぞれ因数分解、探索問題に関する量子力学に基づいた超高速計算アルゴリズムが提案され、量子コンピュータの実効性が示された 。そのような中、Ambainis et al. (2001)によって、量子情報の観点から離散時間量子ウォークが扱われ、詳細な結果が得られたことが、量子ウォークが着目されるきっかけになったと考えられている 。実際に超高速計算を実現する量子探索では、量子ウォークがアルゴリズムの主要な一部分を担うことがある 。現在では、グラフの同型問題、単位円周上の固有値解析、ランダムウォークとの統計的性質の比較、アンダーソン局在等が量子ウォークに関連付けられて盛んに議論されている 。さらに光格子、イオントラップ、光子などを用いて、量子ウォークを実験室で実現できることが、幾つかの研究グループによって報告されている 。より詳細な量子情報の観点からのレビューとしてVenegas-Andraca (2008)、(2012)が挙げられる 。また、日本語の解説書として今野(2008)、(2014)、町田(2018)、図解本として町田(2015)がある。
高校への全入運動が定着し、低学力・非行・貧困・不登校・病弱・障害など特殊な事情で高校進学が困難な場合を除いてほとんどの中学生が高校へ進学し、高校への進学率が90％を超えたことで「高校も（事実上の）義務教育」と化するようになった。それに加え1985年（昭和60年）にプラザ合意があったバブル時代以降は、円高に伴い製造業が生産拠点を次々と日本国外に移転するようになり、中卒者向けの仕事はますます減少した。さらに、平成初期までは中卒でも理容師や美容師になることができたが、現在ではほとんどで中卒で美容師・理容師になることはできなくなり、高校を卒業して美容学校に入学する方法に変更されたほか、パートやアルバイトなどの非正規雇用ですら高卒以上の学歴条件を課す企業もあり、中卒者にとっての就職はハードルが高くなった。その後大学全入時代が到来し、大学の進学率も2009年（平成21年）には50％を超え、高学歴化が進行し、中卒者が社会的少数者となった現在の日本では中卒で就職することは一般的ではなくなった。一方で、調理師や伝統工芸、鳶職などの職人、相撲の力士、囲碁・将棋棋士、伝統芸能の役者や舞妓などは現在でも実力主義が根付いており、個人の技量や意欲に依存しやすいため若年者の起用が優遇され、高い学力を要求されないことから現在でも中卒後に仕事を始める人もいる。また、競馬の騎手などでも年齢的および身体の成長面などから、高卒が不利な職業も存在する。トヨタ自動車に中卒後に採用されるトヨタ工業学園（認定職業訓練を実施する職業能力開発校）をはじめとする企業内学校の社員兼生徒や、自衛隊に中卒後に採用される陸上自衛隊少年工科学校（陸上自衛隊生徒）など、満15歳の中学校卒業後に就職するものもいて、これらの労働者はかつての「金の卵」と同じような雇用形態である。