正の定数 c > 0 に対しM(ca,cb)=c M(a,b)が成り立つ。この数列の収束は|a_{n+1}-b_{n+1}| = \frac{(a_n-b_n)^2}{2(\sqrt{a_n}+\sqrt{b_n})^2} \leq C(a_n-b_n)^2を満たすので、1回のステップで精度が2倍になる。また次のことが知られている。 \frac{\pi}{2} = M(1,\sqrt{1-k^2}) \int_0^1 \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-k^2z^2)}}.右辺の積分は、楕円積分であり簡単には積分できない。しかし、算術幾何平均の収束が速いので、数値計算による円周率の計算に用いられることがある。
a,\ b が正の実数である場合、 a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2} \ge \sqrt{a_n\cdot b_n} = b_{n+1}が成り立ち（相加・相乗平均の関係式）、a_n \ge a_{n+1},b_{n+1} \ge b_n となることからa_0 \ge  a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge b_2 \ge b_1 \ge b_0という関係が成り立っている。{aₙ} は下に有界な単調減少数列であり、{bₙ} は上に有界な単調増加数列であるので、それぞれが収束する。{aₙ} の極限を α とし、{bₙ} の極限を β とすると定義の漸化式から\alpha = \frac{\alpha + \beta}{2}\beta = \sqrt{\alpha \beta}が両立しなければならない。2 式とも整理すれば α = β となるので、2 つの数列 {aₙ}, {bₙ} は n → ∞ とした極限で同じ値に収束することが確かめられる。
総譜は「恩師ニコライ・アンドレーヴィチ・リムスキー＝コルサコフ」に献呈されている。晩年のストラヴィンスキーが述べたところによると、1907年4月27日に宮廷楽長ヴァールリヒ（Hugo Wahrlich）の指揮とペテルブルク宮廷管弦楽団によって非公開で演奏され、その際に歌曲《牧神と羊飼いの娘》も併せて上演された。リムスキー＝コルサコフはストラヴィンスキーのそばに腰を下ろして、順々に説いた。曰く、「ずいぶんな厚ぼったい曲だ。中音域のトロンボーンを用いるときは注意しなくてはね」。グラズノフは上演後にストラヴィンスキーに会いに来て、「大変結構でした」と伝えた。しかしこの時にはまだ交響曲は完成しておらず、勘違いと思われる。実際には完成した第2・3楽章だけが4月14日と4月16日に演奏された。完全な形での初演は1908年1月22日にサンクトペテルブルクにおいて行われた。出版はずっと遅れて、ストラヴィンスキーが有名になった後の1914年にモスクワのユルゲンソンから出版された。
グラズノフの《交響曲 第5番》を模範にしたと言われる祝祭的な楽章。4小節にわたって民謡調の自作歌曲の断片を挿入しており、出版譜の該当部分にその題名（《チーチェル・ヤーチェル〔Чичер-Ячер〕）が記入されている。同じ旋律をストラヴィンスキーは、1913年の《3つの小さな歌》にも用いている。
変イ短調。全曲中最も長い楽章であり、ほぼ15分の長さを占めている。木管楽器の効果的な用法もあって、牧歌的な色彩を帯びた緩徐楽章である。
2015年12月31日から2016年1月1日にかけてケルン中央駅とケルン大聖堂前の広場にてアラブ人・北アフリカ人を主体とした1,000名によって女性に対する集団性的暴行・強盗事件が繰り広げられた。警察は性的暴行、強盗による女性からの被害届が516件（1月10日現在）に上ることを確認している。犯人たちは強姦・強盗・性的暴行だけでなくケルン中央駅前の広場に集う人々に対して花火を撃ち込みボトルを投げ込むなどの犯行も行った。また、酒を飲んだ暴徒は線路を越えて駅構内に侵入するといたるところで放尿、嘔吐を行った。警察署には大勢の女性被害者たちが詰めかけ皆が抑えきれずに泣き叫んでいた。被害者のほとんどが10代から20代前半の女性であった。被害女性の一人の証言では交際相手とともに電車を降りたところで若い外国人のギャングに囲まれると男たちによって設けられた200mの列を通され、その間に全身を100回以上つかまれたとしている。悲鳴をあげたり振り払っても行為はやむことがなかったとしている。この女性はジャケットを羽織り、ズボンを履いていたためにそれ以上の犯行を受けないで済んだとしている。被害女性には暴徒に下着を引き裂かれて下着がなくなって泣き叫んでいる若い女性達の姿もあった。また、男たちは"ficky, ficky," と性行為を意味するのスラングを叫んでいた。事件当時、警察は容疑者5名しか逮捕することが出来なかった。1月1日、ケルン警察は12月31日の夜はリラックスした雰囲気でおおむね平安であったと発表した。さらに警察は翌週になるまで事件についてメディアに公表を行わなかった。被害女性からの警察への届出は1月8日（170件）、1月9日（379件）、1月10日（516件）と日を追うごとに増加している。容疑者の半数強がアラブ地域・北アフリカからの難民であったことが警察の調べにより判明している。