極めて一般に、K に係数を持つ射影変換群が射影直線 P¹(K) に作用する。この群はこれら変換が射影的な特性を持つことを強調して PGL₂(K) と書かれる。この作用は推移的であり、したがって P¹(K) は PGL₂(K) の等質空間となる。作用が推移的であるとは、任意の点 Q を別の任意の点 R に写すような射影変換が必ず存在するということである。従って P¹(K) 上の「無限遠点」とは座標系を選んだことによって生じた「人工物」に過ぎないのである。実際、斉次座標 [X : Y] ~ [λX : λY] は二次元平面の非零な点 (X, Y) が載った一次元部分空間を表すが、射影直線の対称性によって点 ∞ = [1 : 0] は他の点に写されるのだから、それらを区別する必要はない。より強い事実が成立する。相異なる任意の三点 Qᵢ (i = 1, 2, 3) が与えられたとき、それを適当な射影変換を選んで他の任意の三点 Rᵢ (i = 1, 2, 3) に写すことができる（三重推移性）。組に属する点の数は、PGL₂(K) は三次元なので、これ以上増やすことができない。即ち、この群作用は鋭三重推移的である。このことの計算論的側面として 複比がある。実際、逆のことが一般化された形で成り立つ: 「体」を「KT-体」（乗法逆元をとる操作を適当な種類の対合に一般化する）に置き換え、「PGL」もそのような場合の射影線型写像に一般化して考えるとき、任意の鋭三重推移的群作用は必ず射影直線への一般化された PGL₂(K) の作用に同型である。
q-元からなる有限体 Fq 上の射影直線は q + 1 点からなる。他の全ての側面に関して他の種類の体上の射影直線と何ら変わることはない。例えば、斉次座標 [x : y] を用いれば、このうちの q 点は [a : 1] (a ∈ Fq) の形で得られ、残る無限遠点は [1 : 0] で表される。
複素数体 C 上の射影直線を複素射影直線と呼ぶ。複素直線（複素数平面、ガウス平面）C = C¹ に一つの無限遠点 ∞ を付け加えて得られる空間は、位相的には球面となる。故に複素射影直線はリーマン球面とも呼ばれる（ガウス球面と呼ばれることもある）。これはもっとも単純なコンパクトリーマン面の例として複素解析、代数幾何学、複素多様体論などで常用される。
実数体 R 上の射影直線を実射影直線と呼ぶ。これは実数直線 R = R¹ に理想化された一つの無限遠点 ∞ を付け加えたものとしても考えられ、R¹ の両端点は無限遠で接合されて閉路（位相的な意味での円周）を成す。これは例えば、実平面 R² の各点を単位円周の上への射影して対蹠点を同一視することで得られる。群論の言葉で言えば、円周群をその部分群 {1, −1} で割った剰余群である。実数直線 R¹ に相異なる二つの無限遠点 ∞, −∞ を付け加えて得られる補完数直線の場合と比較せよ。
枢軸軍の補給はヨーロッパから来ており、配達は陸路で行われた。コンパス作戦（1940年12月-1941年2月）の後、枢軸軍が使える港はトリポリのみが残った。トリポリは最大4隻の軍艦または5隻の貨物船で1か月あたり約46,000トン輸送可能な能力を持った。トリポリからベンガジまでは、バルビア通りに沿って970 kmで、アレクサンドリアへの距離の約半分に値する。道路は浸水する可能性があり、英砂漠空軍（DAF）の影響を受けやすく、代替の砂漠のトラックは車両の摩耗を増加させた。1941年初頭の枢軸軍のエジプト国境手前480 kmの進軍により、補給路の輸送距離が1,800 kmに増加した。ベンガジは4月に制圧されたが、沿岸船は15,241トンしか運搬できず、港はDAFの制圧区域だった。トブルクでは1日あたり約1,524トンを摂取できたが、輸送が不足している以上その制圧も無意味であった。ドイツ軍自動車化師団では1日あたり360トンを要し、補給物資を480 km移動するには1,170台の2トントラックが必要だった。7個枢軸師団、空軍および海軍部隊では、1か月あたり71,000トンの補給が必要だった。ヴィシー・フランス政府はフランス保護領チュニジアのビゼルトを補給拠点とする事に同意したが、1942年後半まで物資が同地を通過することはなかった。1941年2月から5月にかけて、46,000トンの余剰物資が配達された。マルタからの攻撃は何らかの影響を及ぼしたが、船の損失が最も多かった5月に、91％の物資が到着した。リビアの輸送不足はトリポリにドイツ軍の物資を残し、イタリア人は225,000人に配達するために7000台のトラックしか保有していなかった。6月に記録的な量の物資が到着したが、前線では不足が悪化した。6月からマルタに対する枢軸軍の攻撃は少なくなり、輸送船の損失は7月には19％だったが、ベンガジが爆撃されて船がトリポリに転向した9月には25％に増加した。10月の給気はほとんど差がなかった。補給は、7月から10月まで月平均73,000トンだったが、陸路による燃料供給の30〜50％の消費が削減され、前線へと補給を運ぶトラックの35％が使用不能となった。11月、クルーセーダー作戦中に5隻の船団が沈没し、道路の輸送部隊も対地攻撃を受けたためは昼間の移動を停止した。供給の不足と英国第8軍の攻撃により、12月4日からエルアゲイラへの退却を余儀なくされ、バルビア通りは連合軍の待ち伏せにより破壊された残り約半分の枢軸軍輸送車の残骸で溢れかえった。