東京府にて森本重雄の二男として生まれ、牟田寛六海軍大佐の養嗣子となる。東京陸軍幼年学校、陸軍士官学校予科を経て陸軍士官学校本科入校。任官後しばらくは兵科は騎兵であったが、途中で航空兵に転科し戦闘機操縦者となる。太平洋戦争開戦当時は新鋭の一式戦「隼」を装備する飛行第59戦隊において編隊長（「牟田編隊」）を務め、南方作戦の各地において飛行第64戦隊と共に大きな戦果を挙げた。後も戦闘隊指揮官として独立飛行第84中隊長・飛行第21戦隊長を歴任し、最終的には第6航空軍隷下の第100飛行団長であった。戦後は空自に入隊し、第1航空団司令・中部航空方面隊司令官・航空総隊司令官等の要職を経て、第6代航空幕僚長に就任。さらには空自出身者初となる第4代統合幕僚会議議長となった。
2019年3月24日、大正製薬「RAIZIN」商品PRイベントでライブペインティングを行った際に描いた絵が、他のイラストレーターの作品に酷似しているとの指摘があり、多くのメディアが採りあげたことで「騒動」とも呼べる状況に陥ったが、これに関連して同年4月、師匠の丸山は師弟関係解消を発表した。また、武蔵野美術大学での卒業製作で優秀賞を受賞した作品「still life」や、個展で発表した作品にも多数の作家の作品に酷似しているという指摘もなされ騒動が拡大したほか、本人が日常的にTwitterで呟いていた出来事の中に、他人のツイートを一部改変し複写した内容（いわゆる「パクツイ」）が多数見つかったとされ、様々な議論や報道がなされた。同年4月26日、所属芸能事務所のウェブサイトにて謝罪文を発表し、ライブペインティングで描いた作品に関して指摘されていた他のイラストレーターの作品の構図を無断で使用したことを認め、権利関係等の認識に甘さがあったと謝罪した。また、事務所の代表を務める八谷隆晴も、今回の件について悪意が無いこと、および本人に事務所として法律を勉強させ、一から修行させるといった内容の謝罪文を同時に発表した。同日、構図を無断で使用されたイラストレーター側の所属事務所からも公式に和解が成立した事が発表された。しかし、イラストレーター側の事務所の発表では商品PRイベントを企画したサニーサイドアップ社を交えて協議を行い所属事務所、本人が無断でイラストレーターの作品を模倣したことを認めたと述べており、構図を無断で使用したという本人からの発表と齟齬が生じている。なお、本人、所属事務所代表ともに、師弟関係を解消した元師匠の丸山は、上述のライブペインティングにおける盗作疑惑とは一切無関係であると謝罪文にて述べている。
医師の家庭に育ち幼稚園から高校まで雙葉学園に通う。武蔵野美術大学造形学部空間演出デザイン学科卒業後、東京藝術大学大学院美術研究科デザイン専攻描画･装飾研究室に進学した一方で、武蔵野美術大学在学中からモデルとしても活動を始めている。2019年4月現在の所属事務所は渋谷区の合同会社Cruva management・HelaHela。銭湯絵師になりたいとして銭湯絵師の丸山清人に2017年に弟子入りし、様々な媒体で取り上げられるほか、アーティストとしても個展を開くなどの活動を行っている。並行して活動しているモデル業においても活躍の場を広げ、2018年6月にはパリ市庁舎で行われたコシノジュンコプロデュースによる京都・パリ友情盟約締結60周年記念事業「能×ファッションショー」に出演した。
「アウガ」は、Attraction（引きつける力）、Upbeat（上昇、陽気）、Gusto（心からの喜び）、Amusement（娯楽、楽しみ）の四つの英単語の頭文字からつけられ「いつも笑顔と喜びにあふれ、多くの人びとが引きつけられる魅力的な場所」をイメージしている。
1908年7月、東京帝大文科大学独文科を卒業。病気療養を理由に休学したため卒業まで通常より1年多く要し、卒業時は小宮豊隆と同期であったが、東郷は後年会った際に小宮を知らなかったという。卒業に際しては母校の七高から来たドイツ語教授招聘の話を断り、明治大学のドイツ語講師を務めたりしたのち、1912年（大正元年）に外交官及領事官試験に3度目の受験で合格し、外務省に入省した。同期に天羽英二（元内閣情報局総裁）。1919年（大正8年） - 1921年（大正10年）に対独使節団の一員としてベルリンに東郷が赴任した。このときドイツは、第一次世界大戦敗戦後に成立したワイマール共和国下での、カップ一揆が勃発するなどの混乱期にあったが、日独関係は比較的安定した状態にあった。また、東郷はこの赴任時にユダヤ系[15]ドイツ人エディ・ド・ラロンド（建築家ゲオルグ・デ・ラランデの未亡人、旧姓ピチュケ Pitsschke）と出会い、恋仲となる。ドイツから帰国後、反対する両親を説得して、1922年帝国ホテルで挙式した。1937年（昭和12年） - 1938年（昭和13年）に駐独大使となったが、この際にはナチスが勃興しており、状況は一変していた。対外的にはオーストリア、チェコスロバキアなどへ侵攻しつつある状態にあり、ドイツ国内的にはベルリンのシナゴーグがナチスによって焼き討ちされるなど、ユダヤ人迫害が顕在化しつつあった。元々ドイツ文学に傾倒し、ドイツ文化に深い理解があった東郷はナチスへの嫌悪を感じざるを得ず、ナチスと手を結びたい陸軍の意向を受けていたベルリン駐在陸軍武官大島浩や、日本と手を結びたいナチスの外交担当ヨアヒム・フォン・リッベントロップと対立し、駐独大使を罷免される。