再び、EQ の例である。確実性が求められないなら、アリスとボブは等しいかどうかの判定を O(log n) 個のメッセージで行うことができる。次のようなプロトコルを考える。アリスとボブは同じランダム列  にアクセスできるものとする。アリスは  を計算し、そのビット（b と呼ぶ）をボブに送信する。なお、 はGF(2)のドット積である。ボブは b と  を比較する。もし等しいならボブは x と y が等しいと言う事ができる。明らかに  なら  であり、従って  である。x と y が等しくない場合でも  である可能性はあり、その場合ボブは答えを間違う。これはどんなとき発生するだろうか？x と y が等しくない場合、それらの一部の位置で以下のように値が異なっているはずである: と  が等しいなら、 であり、これによりドット積も等しくなる。従って、等しい項は無視して  と  が異なる部分だけを注目すればよい。さらに、ドット積が等しいかどうかに関わらず、ビット  とビット  を入れ替えることができる。つまり、 に 0 であるビットを集め、 に 1 であるビットを集めるよう入れ替えを行うこともできる。この場合、 および  となる。問題は、 であるようなランダム列  が存在する可能性である。各  は  である可能性と  である可能性が同じであるため、これを満足する文字列である可能性は単に  となる。以上より、 と  が等しくない場合、 となる。アルゴリズムを繰り返すことによって、その正確性を上げていくことが可能である。これは、乱択通信アルゴリズムの要求にも合っている。以上により、「アリスとボブが n ビットのランダム列を共有した場合」に互いに 1 ビットを送ることで  を計算できることを示した。次節では、n ビットのランダム列を共有するのと同程度に O(log n) ビットのやり取りで目的を達成する方法を示す。それにより、EQ が O(log n) 個のメッセージで計算できることを示す。
上述の定義では、通信は決定論的に行われると見なしている。両者が乱数発生器にアクセスする場合、 の値をなるべく少ない通信量で決定することはできるだろうか？ ヤオは彼の論文[1979]で乱択通信複雑性を定義することでこの問題の回答を与えた。関数  のための乱択プロトコル  は、以下の両側誤りを持つ。乱択プロトコルは通常の入力以外に追加のランダム列を使用する決定論的プロトコルである。これには2種類のモデルがある。両者が事前に同じランダム列を共有している「公開ランダム列」と、一方が生成して他方に通信によって伝える必要のある「秘密ランダム列」である。後に説明する定理によれば、秘密ランダム列プロトコルで本来より O(log n) のビットを追加することで公開ランダム列プロトコルをシミュレート可能である。乱択複雑性とは単にこのようなプロトコルで交換するビット数として定義される。乱択プロトコルを片側誤りを持つような形式で定義することもでき、それに従って複雑性も同様に定義される。
: X  Y  Z としたとき、一般に  および  と仮定する。アリスは n ビットの文字列   X を持ち、ボブは n ビットの文字列   Y を持つ。1回につき1ビットずつ両者間で通信を行い（何らかの通信プロトコルが適用される）、アリスとボブは最終的にいずれかが  の値を計算できるようにしたい。取り決めとして、一方で答えが判明したらもう一方にあと 1ビットの通信をするだけで全通信が完了するものとする。この通信プロトコルの最悪の通信複雑性（ で表される）は次のように定義される。 アリスとボブの間で交換されるビット数の最悪ケースの最小値ここで関数  を行列 （入力行列と呼ぶ）として考えるのが便利である。この行列の行は   X に対応して並んでおり、列は   Y に対応して並んでいる。入力行列の各要素は  である。初期状態でアリスもボブも行列 A 全体を知っている（つまり、両者は関数  を知っている）。そうすると、関数の値の計算問題は対応する行列の要素を選び取る問題に変換される。この問題はアリスかボブのどちらかが  と  の両方を知った時点で答えがわかる。通信を開始するとき、答えとしてありうるのは行列の全要素なので  個存在する。その後、互いに 1ビットずつ通信すると、解ではあり得ない行や列が除外されていく。より形式的に表現すると、集合 R  X  Y があり、  R かつ   R のとき常に   R ならば、R を長方形であるという。また、R を R = M  N （ただし、M  X かつ N  Y）であるような A の部分行列と見ることもできる。既に  ビットの情報をやり取りした状態を考えて見よう。ある    について、次のように行列が定義される。 入力  でやり取りされた k ビットが  である ここで、  X  Y であり、 は長方形であると同時に A の部分行列である。
烏山寺町のメインストリートにあたる寺院通りは約600メートルの長さがある道路で、関東バスが5か所の停留所（寺院通一番- 寺院通五番）を設置している。そのうち中央自動車道の高架をくぐって間もないところに、「寺院通二番」バス停留所がある。この停留所でバスを降りて少し前に進んだところに、多聞院がある。真言宗豊山派に属し、本山は長谷寺、正式名称は「金剛山 悲願寺 多聞院」という。創建は1615年（元和元年）で、開山は述誉（1628年（寛永5年）寂）である。旧地は甲州街道沿いの角筈村（現在の新宿区西新宿1丁目）で、村の名主である渡辺与兵衛が寺地を寄進して創建したと伝わる。『新編武蔵風土記稿』巻之十一、豊島郡之三、角筈村の項では「多聞院 新義真言宗。江戸大塚護国寺末。金剛山慈願寺[ママ]ト号ス。（中略）本尊地蔵ヲ安ス（後略）」とあり、江戸時代は護国寺の末寺であった。 旧地に存したときは、甲州街道の北側に面した大きな寺院であった。新宿駅の南口から徒歩で十数分の交通至便な地域で、寺の西側には淀橋浄水場、北側には工学院と精華高等女学校などがあった。多聞院は1945年（昭和20年）5月25日の大空襲の被害に遭って、本堂、庫裏、大師堂などの堂宇はもとより、蔵していた文化財も全て焼失した。焼失後しばらくは旧地に仮本堂を建てていたが、1949年（昭和24年）に東京都が実施した区画整理事業の対象となって、まず墓地を烏山の現在地に移転した。さらに1954年（昭和29年）には、本堂と庫裏も現在地に再建した。多聞院は「烏山寺町」を構成する26の寺院の中では、最後に烏山に移転してきた寺院である。この寺院は、御府内八十八ヶ所霊場3番札所、玉川八十八ヶ所霊場44番札所と定められている。