u のヒルベルト変換は u(t) とコーシー核と呼ばれる函数 h(t) := 1/πt との畳み込みと考えることができる。h(t) は可積分でないから畳み込みの定義積分は収束しないが、代わりにコーシー主値（ここでは p.v. と書く）を用いることでヒルベルト変換は定義される。陽に書けば、函数（あるいは信号）u(t) のヒルベルト変換は  で—上記の積分が主値の意味で存在する限りにおいて—定義される。これはちょうど、u と緩増加超函数 p.v. 1/πt との畳み込みになっている。あるいはまた、変数変換を施すことにより、上記の主値積分を  と明示的に書くことができる。函数 u にヒルベルト変換 H を続けて二回施すとき、定義に現れる二度の積分が適当な意味で収束する限りにおいて、得られる結果は u の符号反転:  である。特に、H の逆変換は −H になる。この事実を確認するには、u のフーリエ変換のもとでのヒルベルト変換の振る舞い（後述）を見ることがもっとも簡便である。上半平面上の解析函数に対し、ヒルベルト変換は境界値の実部と虚部との間の関係を記述する。つまり、複素函数 f(z) が平面 ℑm z > 0 上で解析的かつ u(t) := ℜe f(t + 0⋅i) と書くとき、u のヒルベルト変換が存在する限りにおいて ℑm f(t + 0⋅i) = H(u)(t) が定数を加える違いを除いて成立する。
数学および信号処理におけるヒルベルト変換（ヒルベルトへんかん、英: Hilbert  transform）は、実変数函数 u(t) を別の実変数函数 H(u)(t) へ写すある特定の線型作用素を言う。具体的にこの作用素は ¹⁄πt との畳み込み:  で与えられる。ただし、現れる広義積分はコーシー主値の意味でとる。このヒルベルト変換は周波数領域において特に単純な表現 —引数となる函数の各フーリエ成分に π/2(90°) の位相ずれ (phase shift) を生じさせる— を持つ。例えば、余弦函数 cos(ωt) (ω > 0) のヒルベルト変換は cos(ωt − π/2) となる。信号処理におけるヒルベルト変換は、それが実数値信号 u(t) の解析的表現を導くという点において重要である。具体的に、u のヒルベルト変換を v とすれば、v は u の調和共軛となる。すなわち、v は実変数 t の函数であって、複素数値函数 u+iv がコーシー–リーマン方程式を満足するように複素上半平面まで延長可能となる。この設定でヒルベルト変換を最初に導入したのはダフィット・ヒルベルトで、解析函数に対するリーマン–ヒルベルト問題の特別の場合を解決するためであった。
ビクターエンタテインメントでディレクター、プロデューサーとして活躍した後、独立して田村制作所を設立、同社の代表取締役となる。現在は、音楽関連ソフトやライブ・コンサートの企画、制作などのプロデュースをメインとしている。
アリストテレスが説明したこの理論は古代広く受け入れられ、中世ヨーロッパの学者たちがアリストテレスを再評価するにつれてこの理論も復活した。ショーペンハウアーとハーバート・スペンサーは共にテレゴニーを信憑性のある理論だと思っていた。ギリシャ神話にはテレゴニー的な妊娠という考え方はあった。同神話に登場する英雄たちでは、父親が二人いて一人は不死の存在（神）でもうひとりは死すべき者（人間）、というのはよくある話だったのである。例えばテーセウスは、人間および神を父として、一夜で二重に宿される形となった。古代当時の性の理解では、精液がまざることでテーセウスは神の性質と人間の性質を同時に受け継ぐ、と考えられたのである。このようにして英雄が人間を超えた性質を示すことを説明したのである。1361年にエドワード黒太子は父エドワード3世の従妹ジョーン・オブ・ケントと結婚したが、既に2度の結婚をしているジョーンとの結婚には反対が多かった。テレゴニーはこの反対理由の一部であった。ウァレンティヌスに追従するグノーシス主義者らは生理学的分野の概念を、その影響範囲を女性の思考にまで広げることによって、心的あるいは霊的な分野にまで取り入れた。フィリポによる福音書には以下のような記述がある。女が誰を愛そうとも、生まれてくる子はその相手に似る。仮に相手が夫ならば子も夫に似、姦夫ならば姦夫に似る。ある女が夫と共に寝ているとき、その女の心は常習的に交わっている姦夫のところにあるというのはたびたびある。女は愛する男の子を生むのだから、子は姦夫に似るのだ。19世紀には最も広く信じられたテレゴニーの例、モートン卿の牝馬が登場し、これは一流の外科医、エヴェラード・ホーム卿（Sir Everard Home）によって報告され、チャールズ・ダーウィンも引用した。モートン卿は白い牝馬と野生のクアッガの種牡馬を飼育していた。そして後に同じ牝馬と別の白い種牡馬を飼育したところ、奇妙なことに子の足にはクアッガのような縞模様があった。アウグスト・ヴァイスマンは以前からこの理論に対し疑念を表明していたが、1890年代まで科学的な反論は出来ずにいた。スコットランドのJames Cossar Ewart、およびドイツやブラジルの研究者らによる一連の実験ではこの現象の如何なる証拠も発見できなかった。現在この事例については対立遺伝子を用いて遺伝学的に説明できる。分子生物学の発展以前の遺伝学では、「哺乳類においては受精卵の染色体の半分は精子、つまり父親から受け継がれるもので、もう半分は卵子、つまり母親から受け継がれる」とされるようになっているので、テレゴニーは当時の遺伝学および生殖過程に関する知識と根本的に合致しなかった。それにもかかわらず、テレゴニーは19世紀後半の人種差別主義者の会話にも影響を与えていた。例えば、「非アーリア人との子供を一度でも持てば、二度と純粋なアーリア人の子を持つことは出来ない」といった具合である。このアイディアはナチズムに採用された。