1979年12月1日、プロデビュー。1980年3月3日、3戦目でガーナフェザー級王座を獲得した。1981年9月26日、10戦目で英連邦フェザー級王座を獲得した。1982年7月21日、14戦目でWBC世界フェザー級王者サルバドル・サンチェスに挑戦。15回TKO負けで王座獲得に失敗するとともにキャリア初黒星となった。サンチェスは8月12日に自動車事故により死去したため、最後の対戦相手となった。1984年12月8日、21戦目でWBC世界フェザー級王者ウイルフレド・ゴメスに挑戦し、11回KO勝ちで世界王座を獲得した。1986年2月25日、フェザー級王座防衛戦でマルコス・ビジャサナと対戦し、12回判定勝ちで3度目の防衛に成功した。1987年8月29日、ビジャサナと再戦し、12回判定勝ちで6度目の防衛に成功した。その後、同王座は返上した。1988年2月29日、1階級上のWBC世界ジュニアライト級王座決定戦でマリオ・マルチネスと対戦し、12回判定勝ちで2階級制覇に成功した。1989年11月5日、ジュニアライト級王座防衛戦でジム・マクドナルと対戦し、12回KO勝ちで4度目の防衛に成功した。1990年5月19日、ジュニアライト級王座を保持したまま1階級上のWBC世界ライト級王者パーネル・ウィテカーに挑戦し、12回判定負けで3階級制覇に失敗した。1990年10月13日、ジュニアライト級王座防衛戦でファン・ラポルテと対戦し、12回判定勝ちで5度目の防衛に成功した。1991年6月28日、ジュニアライト級王座防衛戦でジェフ・フェネックと対戦し、12回判定ドローで6度目の防衛に成功した。1992年3月1日、フェネックと再戦し、8回TKO勝ちで7度目の防衛に成功した。1992年11月7日、ジュニアライト級王座防衛戦でカルビン・グローブと対戦し、12回判定勝ちで8度目の防衛に成功した。1993年2月20日、ガブリエル・ルエラスと対戦し、12回判定勝ちで9度目の防衛に成功した。1993年9月10日、ジュニアライト級王座防衛戦でジェシー・ジェームズ・レイハと対戦し、12回判定ドローで10度目の防衛に成功した。1994年5月7日、11度目の防衛戦でレイハと再戦し、12回判定負けで王座から陥落した。1995年12月1日、WBC世界ジュニアライト級王座をレイハから奪取したガブリエル・ルエラスに挑戦し、5回TKO勝ちで王座に返り咲いた。1996年6月1日、ジュニアライト級王座防衛戦でラバーマッチとなったレイハと対戦し、6回TKO勝ちで初防衛に成功した。1997年3月22日、2度目の防衛戦でヘナロ・エルナンデスと対戦し、12回判定負けで王座から陥落した。1998年7月11日、IBA世界ライト級王座決定戦で4度目の対戦となったレイハと対戦し、12回判定負け。レイハとは1勝2敗1分けとなった。この試合を最後に引退した。10年後の2008年6月24日、復帰戦でジェフ・フェネックと16年ぶりのラバーマッチを行い、判定負け。フェネックも12年ぶりの復帰戦であった。通算戦績は1勝1敗1分となった。
1932年、騎手免許を取得。翌1933年5月13日に横浜競馬場でデビューしたが、初戦から5頭が絡む落馬事故に巻き込まれ、初騎乗は落馬競走中止という成績に終わった。翌1934年9月23日に福島競馬場で初勝利。以後順調に成績を挙げていたが、20歳のとき、障害競走の騎乗中に落馬し、頭蓋骨骨折および内臓破裂という重傷を負う。さらに1カ月後、落馬のはずみで左眼の視力を失っていたことが判明した。視力が戻らないまま1年間の療養後に復帰。その後、25歳の時に再び落馬した際に今度は左右の腎機能に異常が見つかり、うち左腎臓の摘出を余儀なくされた。1941年に東原厩舎から東京競馬場の久保田彦之厩舎に移籍 。1944年、彦之の実弟・久保田金造（京都競馬場）が管理するカイソウが日本ダービーに向けて東上するに際し、従来の主戦騎手・杉村繁盛の代役を任された。前哨戦での勝利を経て6月18日にダービーを迎える。かねて戦況が悪化していた太平洋戦争の影響により、当年のダービーは能力検定競走として無観客で行われた。200人ほどの関係者が見守るなか、カイソウは第3コーナー先頭からゴールまで押し切り、5馬身差で圧勝。橋本はダービー初騎乗でダービージョッキーの称号を得た。競走後カイソウは帰厩して橋本の手を離れている。1945年に入ると正規の競馬開催は休止され、日本競馬会が全国各地に設置した支所へ疎開した競走馬と厩舎関係者でそれぞれ能力検定競走が行われた。橋本は故郷・静内に設置された北海道支所に久保田らと共に派遣され、騎手として能力検定競走に騎乗した。戦争終結後、競馬は翌1946年10月より国営で再開された（国営競馬）。1949年、橋本は鈴木勝太郎厩舎からクモノハナの手綱を任される。同馬は脚部に欠陥があったため、中村広、二本柳俊夫といった花形騎手に騎乗を断られ、「そこで、というと悪いが、近所にいた橋本輝雄君に乗ってもらった」（鈴木勝太郎）という縁であった。初勝利までに8戦を要した凡馬であったが、翌1950年5月、得意の不良馬場で行われた皐月賞を4馬身差で制すると、6月11日の日本ダービーも不良馬場のなか優勝し、春のクラシック二冠を達成した。同時に橋本は、当時喧伝されていた「ダービーを2度勝つことはできない」というジンクスを覆し、史上初のダービー2勝騎手となった。橋本は後にクモノハナについて、「水かきを付けているように重馬場が得意でしたよ」と評している。同年10月29日、橋本とクモノハナはセントライト以来9年ぶり、史上2頭目のクラシック三冠を目指して菊花賞に出走。最後の直線で抜け出したが、後方から追い込んだ浅見国一騎乗のハイレコードにゴール寸前でアタマ差交わされ、三冠は成らなかった。橋本は「ゴール手前200メートルの地点で先頭に立ち"やった!"と思った瞬間、ハイレコードに外から一気に来られた。並んでの競り合いなら負けなかったろうが、あれではどうしようもない。いい勉強になった」と述べている。その後はコマオーで第1回のダイヤモンドステークス、エツザンで中山記念・秋と2つの重賞勝利を挙げたのち、1953年10月に騎手を引退し、東京競馬場所属の調教師に転身した。なお、晩年の橋本は騎手会長も務めていた。