J・R・R・トールキンは、これらの北欧やドイツの伝承をベースとして、自身の想像した架空世界である中つ国に住む種族としてドワーフを導入した。中つ国におけるドワーフは背の低い頑健な種族であり、女性も含め全員がひげを生やしている。他種族に対して植物や動物を含めてあまり親密とは言えず、植物を愛でることや乗馬などを苦手とし、ホビットに対してはまだ友好的な場合が多いが、エルフに対しては昔から不信感を抱いている。典型的なドワーフは鍛冶や石工を職業としており、かれらが作り出す作品の中にはエルフの作品よりも優れたものもある。本来、英語における「dwarf」の複数形は「dwarfs」であったが、トールキンが『ホビットの冒険』と『指輪物語』で「dwarves」を使ったことにより、特にファンタジー文学では後者の綴りも多く用いられるようになった。トールキンによるドワーフの描写は後世の創作に大きな影響を与え、矮躯でありながら屈強、豊かな髭を生やしているといったイメージが共有されるようになった。髭が生えるのは男性だけとするものと女性にも生えるとするものに設定が分かれる。大酒飲みで意地汚いが、手先が器用であり、鉱夫あるいは細工師や鍛冶屋などの職人であると同時に戦士のイメージが強い。
『グリム童話』に収載されたドイツ民話白雪姫に登場する「7人の小人」はドイツ語では「sieben Zwerge」といい、つまりドワーフである。民間伝承の中の妖精ドワーフは更に奇怪な姿をしており、その姿は醜く、老人のような皮膚を持ち、立った姿勢のままで腕が地面に付くほど長いとも言われる。3歳で成人し、7歳で老人になるといわれる。また、女性が存在しない為、新しいドワーフは石から作られるともいわれる。
北欧神話には闇の妖精ドヴェルグがいる。太古の巨人ユミル（Ymir）の死体（=大地）から生じた。生まれた当時はうじ虫だったが、神々の決定により人に似た姿と知性を与えられる。その後も地中を好み、岩穴で暮らす。彼らは信仰の対象ではなく、しばしば神々と対立する立場で登場するが、対価に応じて神々の象徴となる魔力のある武器や宝の制作をする優れた匠としても描かれる。ドヴェルグは太陽の光を浴びると石になる、もしくは体が弾け飛んで死ぬといわれる。現在残されている資料では地に住まう闇のエルフ、デックアールヴ（døkkálfar）と共通する部分も見られ、古エッダの「巫女の予言（Völuspá）」には名前の接尾に"-álfar"をもつドヴェルグも登場する。
μ(n) =  0 となる必要十分条件は、n が素数の2乗で割り切れることである。このような n の数列は次のようになる。（オンライン整数列大辞典の数列 A013929）: 4,  8,  9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44,45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63, ...n が素数であれば、μ(n) =  −1 となる。しかし、逆は成り立たない。最初に μ(n) =  −1 となる合成数 n は30 = 2·3·5 である。3つの異なる素数の積からなる数（楔数という）からできる数列は次のようになる。(A007304) : 30,  42,  66,  70,  78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, ...同様に5つの異なる素数の積からなる数列は、(A046387) : 2310, 2730, 3570, 3990, 4290, 4830, 5610, 6006, 6090, 6270, 6510, 6630,  7410, 7590, 7770, 7854, 8610, 8778, 8970, 9030, 9282, 9570, 9690, 9870, 10010, 10230, 10374, 10626, 11130, 11310, 11730, 12090, 12210, 12390, 12558, 12810,13090, 13110, ...上の数列と似ているが、5種類の素数の積で表される（素数の 2乗で割り切れてもよい）数列である。この中には μ(n) = 0 となる n も含まれる。例えば、4620 = 2²・3・5・7・11 であり、μ(4620) = 0である。(A051270) : 2310, 2730, 3570, 3990, 4290, 4620, 4830, 5460, 5610, 6006, 6090, 6270,  6510, 6630, 6930, 7140, 7410, 7590, 7770, 7854, 7980, 8190, 8580, 8610, 8778, 8970, 9030, 9240, 9282, 9570, 9660, 9690, 9870, 10010, 10230, 10374,10626, 10710, 10920, 11130, ...