invariant basis number の条件の主たる目的は、IBN 環上の自由加群はベクトル空間に対する次元定理の類似を満たすことである。すなわち、IBN 環上の自由加群の 2 つの基底は同じ濃度を持つ。（選択公理よりも真に弱い）ultrafilter lemma を仮定すると、この結果は実は上で与えた定義と同値であり、これを別の定義とすることができる。IBN 環 R 上の自由加群 Rⁿ の階数 (rank) は Rⁿ に同型な勝手な（したがってすべての）R-加群 Rᵐ の指数 m の濃度と定義される。したがって IBN property は自由 R-加群のすべての同型類は一意的な階数を持つことを主張する。階数は IBN を満たさない環に対しては定義されない。ベクトル空間に対しては、階数は次元とも呼ばれる。したがってこれまでの結果をまとめると： 階数がすべての自由 R-加群に対して一意的に定義されることと、それがすべての有限生成自由 R-加群に対して一意的に定義されることは同値である。
環 R が invariant basis number (IBN) を持つとは、どんな正の整数 m と n に対しても、Rᵐ が Rⁿ に（左 R-加群として）同型ならば m = n であることをいう。同じことだが、これは相異なる正整数 m, n であって Rᵐ が Rⁿ に同型となるようなものが存在しないということである。行列の言葉で invariant basis number の定義を言い換えると、A が R 上の m × n 行列で B が R 上の n × m 行列で、AB = I および BA = I であれば、必ず m = n となるということである。この形にすれば定義が左右対称なことがわかり、IBN を左加群で定義しても右加群で定義しても同じになる。定義の同型は環としての同型ではなく加群としての同型であることに注意する。
数学、具体的には環論において、環が invariant basis number (IBN) property を持つとは、R 上のすべての有限生成自由左加群が well-defined な階数（ランク）を持つことをいう。体の場合には、IBN property は有限次元ベクトル空間は一意的な次元を持つという主張になる。
このアルバムのカヴァー写真の少年は、ボノの友人であるグッギ（ヴァージン・プルーンズの元メンバー）の弟で俳優のピーター・ローウェンである。彼の写真は他にも『ボーイ』や『ザ・ベスト・オブU2 1980-1990』といったアルバムのジャケットにも使われている。純粋であどけない表情だった『ボーイ』から一転､鋭い視線を投げかけており､U2の姿勢を端的に表現している。
全英チャート初登場1位獲得など、U2として初のビッグヒットを記録。シングルでもヒットした「ブラディ・サンデー」や「ニュー・イヤーズ・デイ」など、初期のU2を代表する楽曲が収録されている。北アイルランド紛争で起きた、1972年の血の日曜日事件の悲劇をテーマにした「ブラディ・サンデー」、核戦争を扱った「セカンド」、ポーランドの「連帯」をイメージした「ニュー・イヤーズ・デイ」などのメッセージソングを収め、「社会・政治問題に積極的に関わるロックバンド」という今日まで続くU2のイメージを決定付けた。タイトルの『WAR(闘)』についてボノは「『WAR』とは色々なレベルにある『戦い』を扱ったものなんだ。国と国の戦いもあれば、市民権の戦いもある。人と人同士の戦いもあるんだ。勿論、男女間の戦いもね。確かに『戦い』がテーマだけど、決して否定的なアルバムなんかじゃないんだよ」と繰り返し触れている。WAR TOURのライブで「ブラディ・サンデー」を歌う際には「これは抵抗の歌ではない」と語り、ステージ上で白い旗を振るパフォーマンスを見せた。緊迫感みなぎるアルバム前半から一転して、ラスト曲の「40」では穏やかな平和への祈りを聴くことができる（曲名は旧約聖書の詩篇40篇より）。この曲では通常とは逆に、ジ・エッジがベース、アダム・クレイトンがギターを弾いている。ジ・エッジは「セカンド」の一部でリードボーカルも担当している。『ローリング・ストーン誌が選ぶオールタイム・グレイテストアルバム500』に於いて、223位にランクイン。
1984年に大阪社会体育専門学校卒業後、神戸フットボールクラブにて、小学校高学年世代（9歳～12歳）の指導に従事したのを皮切りにサッカー指導者の道を歩み出す。1988年に西ドイツ・ケルン体育大学に留学して以後、オランダ、旧ユーゴスラビアなどでサッカーコーチングを学ぶ。ドイツ留学中にハンス・オフト（元サッカー日本代表監督）の知遇を得る。後にオフトが日本プロサッカーリーグのジュビロ磐田、京都パープルサンガ、浦和レッドダイヤモンズで指揮を執った際には専属通訳としてベンチ入りした。ジュビロ磐田、ジェフ千葉では育成年代、日本女子サッカーリーグ シロキFCセレーナの指導にあたる。また明海大学、名古屋学院大学のサッカー部監督や新潟県立新潟工業高等学校で臨時コーチを務めたり、横浜フリューゲルスでは当時の加茂周監督の下でズデンコ・ベルデニックと共にトップチーム、サテライトチームのアシスタントコーチを務めた。育成、グラスールーツ、女子サッカーと多岐に渡って指導経験を持つ。2007年、2009年日本国際協力機構（JICA）と日本サッカー協会の共同事業である アジア貢献プログラムで東南アジア カンボジアサッカー連盟へ派遣される。ナショナルユースダイレクター、カンボジアU-16代表チーム 監督としてAFC U-16 Championship 2008、2010 Qualifiers、などユース世代の強化育成プログラムに尽力し、指導者養成も手掛けた。 2013年2月よりミャンマーフットボールフェデレーションの要請によりU14代表監督に就任し、AFC U-14 Championship 2014 Qualifiers ネーピード（首都）・ミャンマー。そして U-16代表監督に就任し、AFF U-16 Championship 2013 ネーピード（首都）・ミャンマー、AFC U-16 Championship 2014 Qualifiers 中国・武漢市で中国で指揮を執る。2018年3月より 上海申梵足球倶楽部（2018 China League Two）監督、各カテゴリーチーム総監督の職務に就く。