Macaulay (1927) では、多項式のヒルベルトスキーム Hilb(n, P) が空ではないことが示され、Hartshorne (1966) は、Hilb(n, P) が空でないならば線型連結であることが示された。従って、射影空間の 2つの部分スキームが同じヒルベルトスキームの連結成分となることと、それらが同じヒルベルト多項式を持つこととは同値である。ヒルベルトスキームは、全ての点で被約ではない既約成分のように、悪い特異点を持つことがある。それらは予期せぬ高次元の既約成分を持つこともある。例えば、次元 n のスキームの d 個の点のヒルベルトスキーム（もう少し正確には、次元 0で長さ d の部分スキーム）は、次元 dn を持つことが期待されるが、n ≥ 3 の場合には既約成分がもっと大きな次元を持つことがありうる。
ヒルベルトスキーム Hilb(X)S は同じ方法で任意の射影スキーム X に対し定義され、構成される。非公式には、この点は X の閉点に対応している。
グロタンディエクは、ネータースキーム S 上のn-次元射影空間のヒルベルトスキーム Hilb(n)S を、様々な判別式を 0 とすることで定義されるグラスマン多様体(Grassmannian)の部分スキームとして定義した。ヒルベルトスキームの基本的性質は、S 上のスキーム T に対し、ヒルベルトスキームは、T 上に平坦な Pⁿ ×S T の閉部分スキームとなる T-に値を持つ点を持つ函手を表現する。X が n-次元射影空間の部分スキームであれば、X は  次数付き部分である IX(m) を持ち n + 1 変数の多項式環 S の次数付きイデアル IX へ対応する。X のヒルベルト多項式 P にのみ依存する充分大きな m に対し、O(m) に係数を持つ X の全ての高次コホモロジー群は、0 となるので、特に、IX(m) は次元 Q(m) − P(m) を持つ。ここの Q は射影空間のヒルベルト多項式である。m の値を充分大きくとる。(Q(m) − P(m))-次元空間 IX(m) は Q(m)-次元空間 S(m) の部分空間であるので、グラスマン多様体 Gr(Q(m) − P(m), Q(m)) の点を表現する。このことは、ヒルベルト多項式 P に対応するヒルベルトスキームの部分のグラスマン多様体への埋め込みを与える。この埋め込みの像のスキームの構造を記述することが残っている。言い換えると、それに対応するイデアルの元を充分記述することが残っている。そのような元は写像 IX(m) ⊗ S(k) → S(k + m) が、正の k に対し多くともランク dim(IX(k + m)) を持つ条件により与えられる。この条件は様々な判別式の消滅と同値である。（さらに注意深く分析すると、k = 1 を取るだけで十分であることが分かる。）
12月13日、ポラックは最初の哨戒でガジョン (USS Gudgeon, SS-211) およびプランジャー (USS Plunger, SS-179) と共に日本近海に向かった。ポラックは12月31日の真夜中の数時間前に本州沖に到着し、戦時において日本海域に到着した初のアメリカ海軍艦艇となった。1942年1月3日朝、ポラックは北緯35度00分 東経140度20分の地点で貨客船泰山丸（東亜海運、3,925トン）に対して魚雷を1本発射するも命中しなかった。2日後の1月5日夜には伊豆大島東岸沖で特設砲艦平壌丸（朝鮮郵船、2,627トン）に対して魚雷を発射して艦首に魚雷を命中させたが、平壌丸は沈没せず自力航行で横須賀に入港した。2日後の1月7日朝には伊豆諸島神子元島東南東で特設給炭船第一雲海丸（中村汽船、2,225トン）に魚雷を命中させ、第一雲海丸は船体の一部を亡失し、残りは犬吠埼近海まで漂流したのち、4日後の1月11日に爆撃処分された。これは太平洋艦隊潜水艦部隊による公式に確認された初の撃沈の戦果となった。第一雲海丸が未だ漂流を続けていた1月9日未明には、房総半島勝浦灯台沖で貨物船帝安丸（帝国船舶、5,387トン/元伊船Venezia Giulia）を夜間浮上して攻撃、撃沈した。1月21日、ポラックは39日間の行動を終えて真珠湾に帰投した。2月18日、ポラックは2回目の哨戒で台湾海峡および東シナ海方面に向かった。哨戒海域では台湾海峡から長崎へ向かう貨物船を攻撃した。3月10日深夜から翌11日朝にかけて、ポラックは北緯30度45分 東経126度25分の上海東方270海里の海域で福州丸（北日本汽船、1,454トン）に複数の攻撃を行って撃沈し、砲撃で陸軍船ばいかる丸（東亜海運、5,243トン）に損傷を与えた。4月8日、ポラックは49日間の行動を終えて真珠湾に帰投した。4月30日、ポラックは3回目の哨戒で日本近海に向かった。日本の本州沖で巡航したポラックは、5月12日に特設監視艇と浮上砲戦を行った。敵の船尾に命中弾を与え、敵艦は炎上した。帰途にミッドウェー海戦に参加。6月16日、ポラックは45日間の行動を終えて真珠湾に帰投。4ヵ月間のオーバーホールに入った。艦長がロビー・E・パルマー少佐（アナポリス1927年組）に代わった。