イタリア語でスクーデリア (Scuderia)は馬小屋や厩舎から転じてモータースポーツにおける「チーム」、トロ (Toro) は「（去勢されていない）雄牛」、ロッソ (Rosso) は「赤色」を意味し、英語に訳すとTeam Red Bullとなる。コンストラクター（シャーシ）銘柄はSTRと表記される。当初は「スクアドラ・トロ・ロッソ（Squadra Toro Rosso）」というチーム名を使用したが、この「スクアドラ」は主にサッカークラブなどに対して用いるものではないかという意見が多数寄せられたため、後に似た意味であるが通常レーシングチームに対して用いられる「スクーデリア（Scuderia）」に変更された。なお、かつて1980年代にF1にエントリーしていたイタリアのコンストラクターのオゼッラのチーム名は「オゼッラ・スクアドラ・コルセ（Osella Squadra Corse）」だった。なお、2020年からレッドブルのファッションブランドである『アルファタウリ』にチーム名を変更する計画が進行中である。
2005年11月1日、世界的エナジードリンクメーカーであるレッドブル社がF1チームのミナルディを買収して設立した。チーム代表のフランツ・トストほか主要人事は交代しているが、ファエンツァの本拠地とチームクルーはミナルディから引き継いだ形となっている。レッドブル社は、ジャガー・レーシングを買収して、2005年からレッドブル・レーシングとしてF1に参戦しており、トロ・ロッソはそのジュニアチームにあたる。レッドブル社が後援する若手ドライバー養成プログラム（レッドブル・ジュニアチーム）の契約ドライバーを起用して経験を積ませ、才能が認められれば本家のレッドブル・レーシングへ昇格させるというシステムを採用している。レッドブル・レーシングは本拠地がイギリス、チーム国籍はレッドブル本社のあるオーストリア登録となっているが、トロ・ロッソの場合はミナルディ時代と変わらぬイタリア国籍である。この2チームはマシンのカラーリングも似ているが、トロ・ロッソはノーズが金色で、エンジンカウルに雄牛のイラストが描かれている点で識別することができる。このイラストはJos Pirknerがデザインし、Knud Tirochがすべてのカウルにエアブラシでペイントしている。ただし、2017年からブルーとシルバーがメインの新しいコンセプトによるカラーリングに変わったため、外見での識別が容易となった。当初、レッドブルは2チームで同じマシンを使用し、開発の効率化とコスト低減を図ろうとした。コンコルド協定には2チーム間のマシン売買を禁じる「カスタマーカー禁止条項」が存在するため、2009年までは関連会社のレッドブル・テクノロジーがマシンを開発し、レッドブル・レーシングと本チームにその知的所有権を譲渡するという方法を採っていた。しかし、スーパーアグリとともにスパイカーから提訴されるなどの結果、この手法はレギュレーションで明確に禁じられることになり、2010年より自社でマシンを開発・製造する「コンストラクター化」を迫られることになった。
沖縄県の出身である。沖縄一中を経て1931年（昭和6年）11月、海軍兵学校（59期）を123名中32番の席次で卒業。運動神経に恵まれ、柔道は三段である。当山は潜水艦専攻士官となり、潜水学校甲種を卒業して潜水艦長を歴任する。「伊169」、「伊38」潜水艦長として歴戦し、「伊48」艤装員長となる。同艦は竣工後に第六艦隊に編入となり、1945年（昭和20年）1月8日、回天特別攻撃隊金剛隊として4隻の「回天」を載せ出撃した。この作戦行動はウルシー泊地に在泊する米国艦隊を攻撃目標とするものであったが、当山は作戦計画に反対であった。同泊地に対しては、前年の11月に回天菊水隊による攻撃が行われ戦果を挙げたが、1945年（昭和20年）1月11日に攻撃を行い、さらに1月21日に攻撃を行うというもので、当山には21日の攻撃が命じられた。同じ攻撃を三度繰り返す危険を訴えたが受け入れられず、当山は出撃し、同泊地に向かった。しかし、西太平洋における米国艦隊の重要拠点の警戒は厳重であり、「伊48」は離脱することができず撃沈され、当山は戦死した。
初年度となるこの年はレースドライバーにヴィタントニオ・リウッツィとスコット・スピード、リザーブ&テストドライバーにニール・ジャニという若手で揃えたラインナップとし、3名全てレッドブル・ジュニアチーム出身のドライバーを起用した。F1で使用されるエンジンはこの年からV8・2.4リッターエンジンに変更されたが、トロ・ロッソだけはプライベーターであるという理由によって、エンジンは前年度にミナルディが使用していたコスワース製のV10・3リッターエンジンにリストリクター（吸気制限装置）を装着し、さらに最高回転数を制限されたものを使用した。シャーシは前年にレッドブルが使用したRB1と酷似したSTR1で出走した。これらの点については公平性という観点から疑問の声が上がった。制限付きのV10エンジンの使用については、元々ごく小規模なチームで常に資金難に喘いでいたミナルディからの要請であったことから他チームも使用を認めたという経緯があり、その後にミナルディを買収して資金的にはその気になればコスワースを会社ごと買収できるほど潤沢であったトロ・ロッソにおいても認める必要があるのかという点で疑問視され、V10エンジンを使用することで他チームに対して有利となる局面が生じるのではないかと指摘する声も少なくなかった。実際にFIAはV10エンジンを使用するトロ・ロッソがレースにおいて大きなアドバンテージを得ていると判断した場合には、最高回転数をさらに引き下げる準備を行なっていた。シャシーについても、2006年に参戦を開始したスーパーアグリがB・A・Rチームの2005年もしくはそれ以前に用いたシャシーを使用しようとしてFIAに禁じられたケースと矛盾があり、疑問の声が聞かれる。シャシーについては元々はこのシャシーがレッドブルの前身となるジャガー・レーシング時代に設計されたものであり、すでに存在しないコンストラクターであるジャガーのシャシーであることが使用が許可されている理由であると理解されているが、この点はB・A・Rのケースにおいても同様である。シーズン開幕後、リストリクターと回転数を16,700rpmに制限する規制により最高速は抑えられたものの、エンジンを低回転で最大トルクが出るようにチューニングしたことにより、中低速コーナーからの加速性能に優れるようになり、特に低速サーキットではグリッド上位に上がるようになった。これに対して、改めてトロ・ロッソにV10エンジンの使用を認めるか否かの議論が起きた。しかし、シーズンが進むにつれて各チームがV8エンジンの性能を上げてきたため、他チームの疑問視する声もシーズン中盤には治まることとなった。2007年からはレッドブルが所有していたフェラーリエンジンの供給契約を引き継ぐ事が発表された。当時の共同オーナーだったベルガーはこのエンジン騒動について「規制されたエンジンが一番遅くなければいけないという根拠はない。ルールの中で我々が最善を尽くした結果だ」とコメントしている。