集合論の創始者ゲオルク・カントールはユークリッド空間の開集合や閉集合などについても研究したが、これが位相空間の研究のはじまりである。カントールの行ったような位相空間の古典的な研究は、点集合論と呼ばれる。その後、モーリス・フレシェはユークリッド空間から離れて距離空間において極限の概念を考察し、さらにその後フェーリクス・ハウスドルフ、カジミェシュ・クラトフスキらによって、次第に現代のような一般の位相空間の形に整えられていった。
代数的な演算が定義された位相空間X は、その演算の作用がX 上連続になるとき、演算と位相は両立するという。そのような例として代表的なものには位相群、位相環および位相体、位相線型空間などがある。
位相ゲームとは、2人のプレイヤーにより位相空間上で行われるゲームで、プレイヤー達が自分の手番のとき、何らかの位相的な対象(開集合や閉集合など)を指定する事でゲームが進んでいく。位相空間上の様々な性質、例えばベールの性質が位相ゲームのゲーム理論的な性質と関連する(バナッハ・マズール・ゲーム)。他にも完備性、収束性、分離公理といったものもゲーム理論的な性質と関連する。
位相空間X がベール空間であるとは、X 上の稠密開集合の可算個の共通部分が必ず稠密になることを言う。完備疑距離空間の開集合はベール空間になる(ベールの第一範疇定理)。また局所コンパクトハウスドルフ空間もベール空間になる(ベールの第二範疇定理)。ベールの範疇定理は関数解析学において、開写像定理や閉グラフ定理を証明するのに用いられる。
一般の位相空間についても、連続性や収束を大枠において論じることができる。しかし、当然のことながら、ユークリッド空間がもつような「都合のよい」性質がすべての位相空間で成り立つ訳ではない。個々の位相空間を取り扱うには、その位相空間がどのような点でユークリッド空間に類似し、どのような点が違うのかを明確に知っておくことが重要である。位相空間についての性質は、上に挙げたコンパクト性、連結性などの他にも色々考えられるが、よく用いられるものの多くはユークリッド空間について成り立つ性質の一つを取り出してきたものである。このような性質の有無を知ることにより、どのような議論がユークリッド空間と並行してできるのかを識別できる。例えば局所コンパクト性とは、各点がコンパクトな近傍をもつという性質であるが、これはユークリッド空間について成り立つ性質の一つである。しかし、この性質は整数論で用いられるp-進数体 Qₚ についても成立する。一方、有理数全体 Q は局所コンパクトではない。ユークリッド空間については成立しない性質の中にも注目に値するものがあり、時として利用される。たとえば、連結な部分空間が一点に限られる空間を完全不連結というが、これはユークリッド空間にはない性質である。Q はこの性質を満たすし、また p-進数体 Qₚ もこの性質を満たす。
距離空間は自然に位相空間になるが、では逆に位相空間がどのような条件を満たせば距離空間になるであろうか。すなわち、位相空間 が距離化可能であるとは、X 上の距離 d が(少なくとも一つ)存在し、d がX 上に定める位相がと一致する事を言う。学部レベルの教科書には距離化可能性の十分条件であるウリゾーンの距離化可能定理が載っていることが多いが、現在は距離化可能性の必要十分条件である長田＝スミルノフの距離化定理やビングの距離化定理が知られている。
連結性とは、直観的には位相空間が「ひとつながりである」という性質である。閉区間 [0,1] は連結性をもつ（連結である）が、二つの交わらない閉区間を合併した  という位相空間は連結ではない。
位相空間の定義それ自身は可能な限り一般的に定義されているため、個々の応用では位相空間にプラスアルファの性質を付け加えたものを考えることが多い。本節では、そうしたプラスアルファの性質のうち代表的なものを紹介する。
2007年、OMSB'EatsらとヒップホップグループSIMI LABを結成。話題を集めた同グループの楽曲「WALKMAN」のミュージック・ビデオの監督を務めた。2010年7月、1stソロ・アルバム『THE SHELL』を発表。2011年3月、Earth No Mad名義での1stアルバム『Mud Day』を発表。同年7月に発売されたDyyPRIDEの1stソロ・アルバム『In The Dyyp Shadow』をトータル・プロデュース。同年12月、2ndソロ・アルバム『Dead Man Walking 1.9.9.0』を発表。2012年5月、OMSB'Eatsへのディス曲「Omsbeef」を発表し、6月12日にSIMI LABからの脱退を公式に発表。6月15日、アルバム『New Country』を発売。6月21日にはNORIKIYOへのディス曲「My Street Knock」を発表。2014年8月20日、アルバム『DQN忠臣蔵〜どっきゅんペチンス海物語〜』を発売。2015年、アーティスト名をQNから菊地一谷に改名。これは予てから菊地成孔と共演していた事や、女優の菊地凛子による音楽作品に参加した流れで菊地ファミリーの傘下に入れさせてほしいと思った事に由来する。また、QNという名前はSIMI LAB時代に知られたものである為、別のスタンスでやりたいという思いになったとしている 。3月18日、アルバム『CONCRETE CLEAN 千秋楽』をPヴァインより発売。同アルバムには2012年にディスしBEEF関係にあったNORIKIYOが客演。その他、SEEDA、菊地成孔、MARIA（SIMI LAB）らが客演。2017年、アーティスト名を菊地一谷からQNに改名。9月13日、QN offical siteを開設。 。