2012年、前年に練習参加を経験したJ1・川崎フロンターレに入団。プロ入り後、2年間は公式戦出場機会は無かった。プロ3年目の2014年、J2・ジェフユナイテッド千葉へ期限付き移籍。同年8月20日の天皇杯3回戦・柏戦で公式戦初出場を果たすと、9月28日の東京V戦では先発でJリーグ初出場を記録した。その後は出場機会を確保し、リーグ戦初出場から4試合連続で無失点を記録するなど好調を維持。岡本昌弘からポジションを奪い、天皇杯準決勝とJ1昇格プレーオフ決勝でも先発フル出場を果たすが、共に山形に敗れ天皇杯決勝進出とJ1昇格を逃す形となった。翌2015年シーズンも期限付き移籍を継続し、第1ゴールキーパーとしてリーグ戦31試合に出場した。2016年、川崎に復帰。9月25日の2nd第13節・横浜F・マリノス戦（等々力陸上競技場）の後半開始早々に、先発GKの新井章太が脳震盪を起こしプレー続行が不可能となった為、高木が交代出場しJ1デビューを果たした。翌節の2nd第14節・神戸戦では先発で出場したが、3失点で敗戦し残りの公式戦は出場機会が無かった。2017年、出場機会を求めJ2・大分トリニータに完全移籍。加入当初はGKを起点とするビルドアップスタイルへの戸惑いを見せながらも、開幕節・福岡戦と第2節・東京V戦と2試合連続で先発出場を果たした。翌第3節・山口戦からは大学時代にユニバー代表の座を争った上福元直人がGKのスタメンとなり、以後第41節・徳島戦まで出場機会無く計4試合の出場に留まった。ただ、試合に出られなかった期間にピッチの外から試合を観て気付いた課題を練習で試す事をルーティンとして繰り返したことで「パスを受けて、どこを見て、どこが空いているのかが分かるようになった。初めは自分と近いポジションの選手しか見えなかったが、今では最前線の選手からサイドの選手まで見ることができるようになった」と語っている。2018年、上福元の移籍もあり開幕から先発に定着し、リーグ戦全42試合にフルタイム出場。積極性が裏目に出て失点に絡んだシーンもあったが、好セーブにより数多くの試合でチームを勝利に導き、チーム6年振りとなるJ1昇格に貢献した。
小学5年生次から東京ヴェルディの下部組織に入団。東京Vユース卒業後は明治大学に進学し、体育会サッカー部に入部（同期に宮阪政樹・丸山祐市・田中恵太など）。1年次のリーグ戦からレギュラーポジションをつかみ、2年次にはインカレ優勝を果たし最優秀ゴールキーパーに選出される。3年時には関東大学リーグ制覇、ベストイレブンにも2年連続で選出された。4年次の2011年には田中恵太と共に副主将を務めた。また、全日本大学選抜にも安定して招集され、第26回ユニバーシアード競技大会では3試合に出場し優勝に貢献した。
ボリビア空軍（西：Fuerza Aérea Boliviana：FAB）は、ボリビアの空軍。ラパス市近郊のエル・アルト国際空港（軍民共用）を主要拠点とし、旅客輸送（TAM）と貨物輸送（TAB）の事業運営をも行う。
2013年5月24日、リヴァプールのリヴァプール・オリンピアでデビュー戦を行い、初回1分14秒KO勝ちを収め白星発進をした。2015年10月10日、マンチェスターのマンチェスター・アリーナでロバート・カナラスとWBOヨーロピアンバンタム級王座決定戦を行い、2回TKO勝ちを収め王座獲得に成功した。2015年11月21日、マンチェスターのマンチェスター・アリーナでジェイソン・ブースとBBBofC英国バンタム級王座決定戦を行い、12回3-0（3者とも120-107）の判定勝ちを収め王座獲得に成功した。2016年2月27日、マンチェスターのマンチェスター・アリーナでアンソニー・セトゥルとWBCインターナショナルバンタム級王座決定戦を行い、10回3-0（100-90、100-89×2）の判定勝ちを収め王座獲得に成功した。2016年7月30日、リーズのファースト・ダイレクト・アリーナでセサール・ラミレスと対戦し、10回3-0の判定勝ちを収めWBCインターナショナル王座の初防衛に成功した。2016年10月15日、リヴァプールのエコー・アリーナ・リヴァプールでライアン・ファラグと対戦し、12回3-0（118-111、117-111、118-110）の判定勝ちを収めBBBofC王座の初防衛に成功した。2017年6月10日、ベルファストのオデッセイ・アリーナでIBF世界バンタム級王者のリー・ハスキンスと対戦し、12回2-1（119-107×2、108-118）の判定勝ちを収め王座獲得に成功した。試合後、クラーク・サンマルティノ以外の2者が119-107と採点しバーネットを支持したのに対しサンマルティノのみが118-108と採点しハスキンスを支持したことが問題視され、BBBofCは「彼（サンマルティノ氏）はこの国に戻って来ることはないだろう。」と話し、エディ・ハーン氏も「彼（サンマルティノ氏）は10-8でハスキンス優勢と採点した回が2回もある。これは明らかな間違いだ。」と80歳のサンマルティノ氏を批判するなどIBFが説明を求められる事態となり、IBFは「バーネットがユナニマス・デジションで勝っていた試合を集計ミスでスプリット・デジションでの勝利としてしまった。」と全面的に非を認め、再発防止を約束した。2017年10月21日、ベルファストのSSEアリーナでWBA世界バンタム級スーパー王者のザナト・ザキヤノフと王座統一戦を行い、12回3-0（118-110、119-109、116-112）の判定勝ちを収め、IBF王座の初防衛とWBAスーパー王座の獲得に成功し、王座統一を果たした。2018年2月12日、マッチルーム・スポルトがバーネットがIBF王座を返上したことを発表した。2018年3月31日、カーディフのプリンシパリティ・スタジアムでWBA世界バンタム級2位のヨンフレス・パレホと対戦し、12回3-0（120-108×2、116-112）の判定勝ちを収め初防衛に成功した。2018年5月9日、イギリス・ロンドンで記者会見を開き、World Boxing Super Seriesに出場することを発表。7月20日にロシア・モスクワで抽選会が開催され、初戦で5階級制覇王者ノニト・ドネアと対戦することが決定した。2018年11月3日、グラスゴーのSSEハイドロで5階級制覇王者ノニト・ドネアとWBSS一回戦を行うが、試合中に右側の腹斜筋を痛めてしまい棄権を申し出た為、4回終了TKO負けを喫し2度目の防衛に失敗し王座から陥落した。2019年4月29日、ボブ・アラムのトップランク社と契約を結んだ。2019年5月17日、ベルファストのアルスター・ホールで、ジェルバート・ゴメラと空位のWBCインターナショナル・スーパーバンタム級王座決定戦を行い、6回1分56秒でTKO勝ちを収めた。