定義より、アーベル多様体は群多様体であり、点の群は可換であることを証明することができる。よって、C に対しては、レフシェッツの原理によって、標数がゼロのすべての代数的閉体上の次元 g のアーベル多様体の捩れ群は、(Q/Z)²ᵍ と同型となる。従って、アーベル多様体の n-トーション部分は (Z/nZ)²ᵍ、すなわち、位数が n の巡回群の 2g 個の積に同型となる。基礎体が標数 p 代数的閉体のときには、n と p が互いに素とすると、n-トーションは (Z/nZ)²ᵍ に同型である。n と p 互いに素でないときは、n-トーションがランク 2g の有限で平坦な群スキームを定義することと同じと解釈することが可能である。n-トーションの上の全スキーム構造を見ることに代わりに、幾何学的な点のみを考えると、標数 p の（いわゆる n = p のときの p-ランク）多様体の新しい不変量を得る。大域体 k の k-有理点は、モーデル・ヴェイユの定理により有限生成である。よって、有限生成アーベル群の構造定理により、自由アーベル群 Zʳ と、に対しアーベル多様体の ランク(rank)と呼ばれるある非負な整数 r が存在して r 個の有限な可換群との積となる。同様な結果が k の他のクラスに対しても成立する。
アーベル函数(abelian function)はアーベル多様体上の有理型函数であり、独立な 2n 個の周期を持ち、従って n 個の複素変数の周期函数とみなすことができる。同じことだが、アーベル多様体の函数体上の函数である。例えば、19世紀には楕円積分のことばで表現される超楕円積分(hyperelliptic integral)へ大きな興味が集まった。このことは、J が同種の中の違いを除いて楕円曲線の積となるかと問うことに帰結する。
種数 g ≥ 1 のすべての代数曲線 C は、次元 g のアーベル多様体 J が存在して、C から J への解析的写像によって関係付けることができる。トーラスの場合、J が可換な群構造を持ち、C の像は J を生成し群をなす。また、J の任意の点は C の g 個の点からなる組により作られる Cᵍ により被覆される。C 上の微分形式の研究は、同時に始まったアーベル積分の研究を促し、より単純な見方に変えても変わることのない J 上の微分形式の理論から導くことができる。アーベル多様体 J を複素数体上の任意の非特異曲線 C の ヤコビ多様体という。双有理幾何学の観点からは、函数体は、Cᵍ の函数体の上に作用する g 個の点についての対称群の固定的な体である。
リーマンによる次の判定法は、与えられた複素トーラスが代数多様体であるか否か、すなわち射影空間へ埋め込むことができるか否か、を決定する。X を X = V/L として与えられる g-次元トーラスとしよう。ここで V は次元 g の複素ベクトル空間とし、L は V の格子である。このとき X がアーベル多様体であることと、V 上の正定値二次形式のエルミート形式で、その虚部が L×L 上で整数となるエルミート形式が存在することとが同値である。そのような X 上の（二次）形式は、通常、非退化リーマン形式と呼ばれる。V と L の基底を選ぶと、この条件はさらに明確とすることができる。これと同値ないくつかの条件があり、これらはすべてリーマンの条件として知られている。
2013年夏の移籍市場では、カルロス・テベスらを放出する一方、アルバロ・ネグレド、ヘスス・ナバス、フェルナンジーニョ、ステヴァン・ヨヴェティッチ、マルティン・デミチェリスを獲得した。2013-14シーズンは序盤は1試合平均3点を越すようなハイペースで得点を重ねる一方、アウェイでの戦いでは格下相手に不覚を取るなど好不調の差が目立った。しかし徐々に安定感が増していき、勝ち点を積み重ね続ける。4月13日に行われたリヴァプールとのプレミア頂上決戦は一時は2点差を追いつきながらも2-3で惜敗し、その後第26節の延期分サンダーランド戦にも2-2で何とか引き分け、自力優勝はおろか2位の可能性も一度は消滅したものの、リヴァプールが控えメンバー主体のチェルシーにアンフィールドで0-2で敗れた事で自力優勝の可能性が復活。諦めずにサンダーランド戦以降の5戦は全勝し、2シーズンぶりにプレミアリーグの覇権を奪回した。シティがこのシーズン首位に立ってた期間はわずか14日であった。（これはキャピタルワンカップで決勝まで勝ち進んだことによってリーグ戦が延期され、常に消化試合数がリヴァプールやチェルシーやアーセナルに比べて少なかったのが大きい。）またリーグカップも決勝でサンダーランドを3-1で下し二冠を達成した。また、チャンピオンズリーグでは初めてグループステージを突破したものの、トーナメント一回戦でFCバルセロナにホームでの第1戦で膠着状態の後半にマルティン・デミチェリスがリオネル・メッシに犯した微妙な位置でのファールがPK&デミチェリスの退場と判定されたのが大きく響き、2試合合計1-4で破れベスト16に終わった。6月13日、アーセナルからフランス代表DFバカリ・サニャを獲得した。チームへの加入は、来シーズンの7月1日以降となった。6月16日、ルーマニア代表GKコステル・パンティリモンがサンダーランドに移籍することになった。6月26日、ポルトからブラジル人MFフェルナンドを獲得した。チームへの加入は、来シーズンの7月1日以降となった。