ユークリッド平面 R² を位相空間と考え、その上に任意に固定した点 p を考える。p の近傍であるような R² の部分集合は多種多様であるが、どのような近傍 V についても、十分に大きな正の整数 n を選べば、p を中心とする半径 1/n の開円板 B(p, 1/n) が V に含まれる。もちろんこの開円板は p の近傍である。以上から、開円板の族  がある意味で p の近傍たちを代表していると考えられるが、このような近傍の族を基本近傍系あるいは局所近傍基と呼ぶ。正確な定義は以下の通り。p が位相空間 X の点であるとき、p の近傍からなる族  が p の基本近傍系であるとは、p の任意の近傍 V に対して、 の要素 U が存在して、 が成立することである。もちろん、p が決まってもその基本近傍系は一通りには決まらない。たとえば上の例では、「p を中心として軸に平行な辺をもった一辺 1/n の開正方形全体」も基本近傍系である。また、p の近傍すべてからなる族も基本近傍系である。
すでにある位相空間を加工して、別の位相空間を作る方法を述べる。位相空間を加工する上で基本となるのは、「逆像位相」と「像位相」の概念、おそびそれらの拡張概念である「始位相」と「終位相」である。逆像位相と像位相、始位相と終位相は互いに双対の関係にあり、写像の向きを逆にすることでもう片方の概念を定式化できる。
これまで説明してきたように、連続性と収束性は、位相空間で定義可能な代表的な性質である。しかしこれらを強めた概念である一様連続性と一様収束性は、位相のみをベースにして定義する事はできない。これらの概念は、距離空間と位相空間の中間の強さを持つ概念である一様空間で定義可能である。
距離空間の場合、点列の収束の概念を用いることで連続性や閉集合といった基礎的概念を特徴づけることができたが、一般の位相空間ではそのような事はできない。(これが可能な空間を列型空間という)。これは点列という概念が、自然数という限定的な添え字しか許さないことや、点の列だけで集合の列を考慮していない事などが原因である。しかし、そうした側面に対して点列の概念を一般化したものである有向点族やフィルターの概念を用いれば、前述した基礎的概念をこれらの収束性で特徴づけることができる。これらの収束性を考える利点はもうひとつあり、点列の収束性では必要性しかいえない命題が、これらの収束性を用いれば、必要十分性が言えるときがある。例えば点列の収束の一意性は、前述したハウスドルフ性の必要条件に過ぎないが、有向点族の収束の一意性はハウスドルフ性の必要十分条件となる。
、を位相空間とし、f : X → Y を写像とするとき、f が同相写像であるとは、f が全単射で、しかもf と f⁻¹ が両方とも連続であることをいう。また、X、Y 間に同相写像が存在するとき、、は位相同型もしくは同相であるという。位相同型性は、位相空間のクラスにおける同値関係であることを簡単に確認できる。位相空間論や、その応用分野である位相幾何学では、「位相同型で不変」(位相不変性)な性質(位相的性質)を探ったり、そうした性質により、空間を分類する。
分離性を満たさない位相空間で代数学・数論的に重要なものとして素スペクトルや極大スペクトルが挙げられる。これは単位的な可換環に対して自然に定義されるもので、環 R のスペクトル  は点集合としては R の素イデアルの集合として与えられ、その閉集合系は  と書ける  の部分集合全体によって与えられる。極大スペクトルは極大イデアル（スペクトルにおける閉点）全体からなるスペクトルの部分空間として与えられる。特に整数のなす環 Z の極大スペクトルは素数全体の集合 P = {2, 3, 5, 7, ...} と同一視でき、その閉集合は P の任意の有限部分集合および P 全体としてあたえられる。
通常は頭頂部に装着して使用する。始動方法の異なる2種類、および飛行原理の異なる2種類の機種が存在する。始動方法の異なる2種類とは、体につけてボタンスイッチを押すと始動するタイプと、「飛びたい」という思念を受けると始動するのタイプの機種のこと。どちらもよく使われている。前者の場合、頭に乗せる前にスイッチを押すと、タケコプターが勝手に飛んでいってしまうおそれがある。飛行原理の異なる2種類とは、強力な揚力を発生させて飛ぶタイプと、反重力を発生させて飛ぶタイプのこと。作中では前者を使用しているとみられる場面が散見される。一方、1980年発表の図解では前者、1986年以降の現在に至り発表されている図解では後者だとしている。反重力を発生させて飛ぶタイプは、始動すると使用者を包むように反重力場が発生するようになっている。そのため、ボタンスイッチを押すと始動するタイプの場合は、体のどの部位に装着しても飛行できるようになっている。作品初期ではドラえもんが背中に付けている描写が見られる。一般的には頭部に装着して使用するため、頭部以外の場所に装着する者はほとんどいない。しかし揚力を発生させて飛ぶタイプは、タケコプターが揚力を有しており、衣服の上に装着すると衣服だけが飛んでいってしまうことがあり、それを防ぐためにドラえもんが背中に付けたこともある。空中だけでなく、水中（それも水圧のかなり高いところ）でも使用できる。ただし、暴風雨が吹き荒れる中の使用は困難である。またバッテリー駆動であり、80km/hで連続8時間利用するとバッテリーが上がってしまう。4時間駆動・20時間停止の間欠使用でバッテリーを長持ちさせられる。また極度の低温下ではバッテリーが冷えて機能しなくなることがある。『ドラえもん のび太と竜の騎士』からは充電式になった。