中学生の時にサッカーを始める。その後は北陽高校を経て、桃山学院大学に進学し体育会サッカー部に入部。2年次（1995年）の夏にセレッソ大阪の練習に参加し、翌1996年にC大阪に加入した。以来110試合連続先発出場を果たすなど長年正GKを務めていたが、2003年途中から若手の多田大介の台頭により出場機会が減少。シーズン終了後に戦力外通告を受け、C大阪を退団した。2004年、川崎フロンターレへ移籍。同年は終盤に吉原慎也に代わってレギュラーとなった。J1昇格した2005年は開幕戦含め3試合連続で先発起用されたが、第4節以降は相澤貴志が正GKとなり、その後はリーグ戦の出場機会は無かった。契約満了により同年を以て川崎を退団。2006年、西川周作以外のGKが全て退団していた大分トリニータに移籍。同年は控えとしてのベンチ入りが中心であったが、シーズン終盤に西川が負傷離脱しリーグ戦4試合に出場した。2007年は西川の負傷やそれに伴うコンディション不良もあって、レギュラー奪取に成功し23試合に出場した。2008年は、序盤はナビスコ杯予選リーグ等に出番は限られリーグ戦では中々出場機会を得られずにいたが、9月13日の浦和レッズ戦にて西川が負傷離脱すると、以降は正GKを務めた。11月1日の清水エスパルスとのナビスコ杯決勝にも出場し、無失点に抑え優勝に貢献した。2009年はリーグ戦は西川が全試合フル出場を果たした為プロ1年目以来の出場無しに終わり、ナビスコ3試合・天皇杯1試合の出場にとどまった。ただ、天皇杯2回戦横河武蔵野FC戦ではPK戦にて3本のシュートを止める活躍を見せ、勝利の立役者となった。J2に降格し西川がサンフレッチェ広島に移籍した2010年は、背番号を1に変更。リーグ中盤戦まで先発出場を続けるも、後半からは清水圭介の台頭により出場機会が減少。シーズン終了後に戦力外通告を受けた。同年限りで現役を引退し、ヴィッセル神戸アカデミースクールコーチに就任。
山梨県甲府市生まれ。旧制巣鴨中学校（現巣鴨中学校・高等学校）、第一高等学校文科甲類を経て、1934年東京帝国大学文学部国文学科卒業。1936年東京帝国大学文学部副手、1939年第一高等学校講師、1940年同教授、1950年東京大学教養学部助教授、1954年同大文学部助教授、1957年同教授。文部省国文学研究資料館の設立に尽力し、1972年、東大定年退官とともに初代館長に就任。1954年 東京大学 文学博士。論文の題は「中世小説の研究 」。中世文学研究のほか、『日本文学全史』（学燈社）全６巻の監修、執筆に当たるほか、『日本文学大年表』（桜楓社）の編纂、『国書総目録』（岩波書店）の編纂の総指揮をとった。1973年紫綬褒章受章、1984年文化功労者となる。1976年から日本学士院会員、2000年、同院長に就任するが、2001年健康上の問題で辞職。1990年、主として『国書総目録』編纂の功績により、日本文学研究者として初めての文化勲章を受章。全国大学国語国文学会代表理事、日本古典文学会理事長等も歴任した。妻は関泰祐、関みさをの娘、弟に東洋史学者の市古宙三、息子は国文学者の市古夏生（お茶の水女子大名誉教授）。
今村昌平監督の映画作品『神々の深き欲望』（1968年公開）に蒸気機関車の走行風景があるが、撮影時には既に廃車となっており、列車の後ろからディーゼル機関車が押していたという。
高校時代に演劇部で演劇に目覚め、親に「早稲田大学を受験する」と偽って上京、舞台芸術学院の入学試験を受けた。ところが面接で与謝野晶子の「君死にたまふことなかれ」を朗読したところ、あまりの訛りの強さに試験官からひと言「やめとけ」と言われ、不合格となった。そこで牧は標準語を猛勉強し、4カ月間聴講生として通い、その熱意を買われて入学となった。1952年に新星映画の映画作品『箱根風雲録』（1952年、山本薩夫監督）に出演したが、当時は着物の着方を知らず、周りから「この役者の値打が分かった」と言われ悔しい思いをし、これをきっかけに一人で着物の着付けができるようになったという。テレビドラマデビュー作の『豹の眼』の現地人を撃ち殺した後で大笑いするシーンがあり、監督からOKがなかなか出ないため、テストされていると思い、そのまま演技を続けていた。『仮面の忍者 赤影』では、ピアノ線で吊り下げた「大凧」に赤影（演：坂口祐三郎）や青影（演：金子吉延）らと乗るシーンが多かったが、よくピアノ線が切れたという。その際には必ず子役の金子を抱え、落ちるようにしたという。乗馬での爆発シーンでは、馬が転倒し、牧をかばって死んでしまい、今でも涙が出ると偲んでいる。京都の撮影所ではロケ弁当が出ないので、坂口祐三郎の祖母が牧の弁当をいつも作ってくれたという。夏場の撮影となった『赤影』第三部では、冷やした梅酒をロケに持ち込んでいたが、金子吉延がこれを飲んでしまい、酔っぱらったまま演技をしたことがある（第28話）。「霧の遁兵衛」や「白影」は水に入ってのアクションが多いが、「学生時代に水泳で鍛えていたことが生かせた」と後に述懐している。『仮面の忍者 赤影』の主演・坂口祐三郎は泳ぎが不得手だったため、坂口は水に入るシーンはすべて牧に任せていた。潜水したのち水面にガソリン着火するシーンでは、火の海となったことがあり、このときは「もう駄目だ」と覚悟したという。1989年10月8日にTBS系で放送されたバラエティ番組『テレビ探偵団』特番では、これまでに番組で取り上げた映像での最多登場人物としてゲストに招かれ、感謝状を渡された。牧は「表彰されたことがなかったので、大変うれしい」とコメントしていた。『変身忍者嵐』で主演を務めた南城竜也は、共演者で一番お世話になった人として牧の名前を上げ、寝起きの顔での演技を避けるため、ロケバスの中で寝ないよう指導されたエピソードを語っている。夫人は歌手、タレントの牧吉佐登（旧芸名:藤吉佐登）。元は別の女性と結婚し東京都高田馬場 に住んでいたが、『隠密剣士』の撮影で京都を訪れた際に料理屋で藤と知り合い、離婚の後、藤と再婚した。夫人と2人で京都先斗町に「吉佐登（きちざと）」というクラブを開いていた（2005年閉店）。店には「白影」を訪ねての来客が引きも切らなかったという。『ワタリ』『赤影』『河童の三平』などで共演した金子吉延のことを褒めちぎっており、牧の息子は金子に対して嫉妬していたという。金子は牧について「仕事に対しては完璧で、凄くやさしい人だった」と述べている。『赤影』『河童の三平』などをプロデュースした東映の平山亨は、牧を「名脇役であると同時に番組のまとめ役として貴重な俳優だった」とコメントしている。