上の図のような単体複体でのベッチ数を計算する。これは0-単体として a, b, c, d, 1-単体として E, F, G, H, I, 2-単体として色のついた部分 J ただ一つをもつものである。この図の連結成分はただ一つであり、1 次元の穴は色のついてない部分すなわち頂点 a, c, d をもつ三角形の部分である。また平面上にあり、「空洞」をもたない。以上の事からb₀=1, b₁=1,b₂=0 であり、ポアンカレ多項式は 1+t となる。
k を非負の整数 として、空間 X の k 次ベッチ数 bₖ(X) は、X の k 次ホモロジー群 Hₖ(X) のランクとして定義される。ホモロジー群は有理数体 Q 上のベクトル空間とすることもできるので、Hₖ(X; Q) のベクトル空間の次元としてベッチ数を定義することもできる。普遍係数定理は、ねじれのない単純な場合には（係数の取り方に依存せず）これらの定義が同じであることを示している。またベッチ数を係数にもつ多項式としてポアンカレ多項式を定義する。すなわち、X のポアンカレ多項式 PX(t) とは b₀(X)+b₁(X)t+b₂(X)t²+...+bₙ(X)tⁿ のことである。
1952年（昭和27年）4月26日、海上保安庁の付属機関として海上警備隊が発足し、地方機関として海上警備隊横須賀地方監部が設置された。同年8月1日、保安庁警備隊発足と同時に横須賀地方隊が新編された。警備区域は、主に岩手県以南で三重県以東の太平洋（岩手県、宮城県、福島県、茨城県、栃木県、群馬県、埼玉県、千葉県、東京都（沖ノ鳥島を除く）、神奈川県、山梨県、長野県、岐阜県、静岡県、愛知県および三重県の区域並びに青森県と岩手県の境界線が海岸線と交わる点から90度に引いた線と三重県と和歌山県の境界線が海岸線と交わる点から170度に引いた線との間にある東京都（沖ノ鳥島を除く）およびこれらの県の沿岸海域）。主な任務は、担当警備区域の防衛・警備、災害派遣、自衛艦隊等の正面部隊に対する後方支援業務、機雷・爆発性危険物の除去及び処理、民生協力等である。横須賀地方隊が対応する補給、造修については、全海上自衛隊艦艇の約1/3を担当しており、海外派遣艦艇（南極輸送を含む。）の支援に関しては、横須賀所在の艦艇に限らず全て支援している。横須賀地方隊所属の艦艇の実力部隊としては、第41掃海隊のみであるが、横須賀地方総監は、必要に応じフォースユーザー（事態対処責任者）として護衛艦隊や航空集団から提供された護衛艦や回転翼機を運用して事態対処にあたる。また、記念艦「三笠」の保存を支援している。
他の公害と同様で、光害を防ぐのは非常に難しい。明かりを消せば、暗い空がすぐに戻ってくる。しかし実際には、光害は社会の工業化と深く関わっている。街灯は、上部に反射材を伴う覆いを付けるなどして、不必要な方向への漏れ光を防ぐとともに、それらを適切に反射し、必要な方向だけに効率よく光が当たるようにした街灯への切り替えが求められる。また、使用光源に関しても、水銀灯に代表されるエネルギー効率の悪い光源の使用を避け、効率の良い光源の利用の促進が求められる。しかし、まだまだそのような対策が全くなされていない照明も多い。光害は、屋外での不要な照明を消すなどしても防ぐことができる。例えば、スポーツ場などの照明を、人が中にいるときにだけつけるなどの対策をとれば、その分光害を防ぐとともにエネルギーを節約できることになる。また、より暗い照明を使うことで、グレアを軽減させることができる。アメリカでは、主な天文台の周囲に、直径数十kmの、光の放射が厳しく制限されている地域が設けられていることがある。1980年には、カリフォルニア州のサンノゼで、近くにあるリック天文台への影響を防ぐために、全ての街灯が低圧ナトリウムランプに取り替えられた。アリゾナ州ツーソン市では条例により市内全域に光源規制を行っている。特に、キットピーク国立天文台(Kitt Peak National Observatory)の半径35マイル及びマウントホプキンス天文台(Mount Hopkins Observatory)の半径25マイルについては屋外照明として石英灯(quartz lamp)、メタルハライドランプを使用禁止としているほか、その他の光源についても完全遮光、あるいは上方集束の遮光を求めている。似たような事業がハワイ州などでも行われている。日本でも、1988年から、光害と大気汚染問題に関心を持ってもらおうと、全国の一般市民に参加を募り全国星空継続観察が開始された。また、1998年3月30日には、環境庁（現環境省）により、「光害対策ガイドライン」が策定された。全国各地の自治体でも、パチンコ店などから発せられる無駄なサーチライトを禁止する条例が制定されている。岡山県美星町（現井原市）で、1989年11月22日に、美しい星空を守るための「光害防止条例」が制定されたのをはじめ、岡山県、佐賀県、熊本県では県としてサーチライト禁止条例を制定している。また、群馬県では群馬県立ぐんま天文台の設置を機に「星空憲章」を制定し、群馬県高山村では「高山村の美しい星空を守る光環境条例」を1998年3月10日に制定している。漁火の問題への対策としては、青色発光ダイオードを用いた集魚灯が試験中である。従来のメタルハライド灯を用いる集魚灯と比較して消費電力は1/50～1/100程度で、指向性が高いために必要外の方向への漏れ光も少なく、機器の寿命も長い。現段階では必ずしも従来のメタルハライド灯と同等の漁獲を得られるわけではないといった問題点もあるが、実用化されればイカ漁業者の経費の大幅削減、イカ漁船による二酸化炭素排出量の大幅削減、周辺地域の星空の改善といった効果が期待されている。