天正10年（1582年）、最上氏の第11代当主・最上義光の次男として生まれる。伊達政宗は従兄にあたる。文禄3年（1594年）から徳川家康の近侍として仕え、13歳で元服する。初めは父より一字を与えられて義親（よしちか）と名乗っていたが、家康の偏諱を受けて家親と改名した。文禄4年（1595年）からは家康の三男・秀忠の家臣として仕えた。これは父・義光が豊臣秀吉の死後、徳川家康が天下人になる事を予見して、早くから家親を徳川氏に仕えさせたのである。慶長5年（1600年）の関ヶ原の戦いでは秀忠に従って、西軍の真田昌幸が守る上田城攻めに参加した。遅くとも慶長7年（1602年）以降、兄義康の所領であった旧寒河江氏所領を受け継いでいる。しかし、多忙な家親は寒河江城で家臣との面会はなかなか行えなかったようである。慶長8年（1603年）兄の義康が不慮の死を遂げ、慶長19年（1614年）に父が病死すると、その跡を継いで最上氏第12代当主、ならびに山形藩の第2代藩主となった。同年冬から大坂冬の陣が始まると、豊臣氏と懇意にあった弟・清水義親を誅殺し徳川方に与する事を表明、江戸城の留守居役を務めた。慶長20年（1615年）の大坂夏の陣でも江戸城留守居役を務めている。元和3年（1617年）、山形城にて急死した。享年36。家督は子の義俊が継いだ。
自らの製作会社"ShondaLand"を立ち上げ、これ以後の番組の製作に関わるようになる。2005年3月27日、ライムズの原案・主脚本・製作総指揮によるテレビドラマ『グレイズ・アナトミー 恋の解剖学』が、ABC系列のミッドシーズン番組として放送開始となった。ワシントン州シアトルにあるという設定の架空の大病院、シアトル・グレース病院（Seattle Grace Hospital）の外科医たちに焦点を当てた物語で、タイトル・キャラクターのメレディス・グレイ（演：エレン・ポンピオ）を含むアンサンブル・キャストが登場する。当初の放送枠は、『デスパレートな妻たち』直後の日曜22時枠であった。2006年5月16日、ABCは『グレイズ・アナトミー』を木曜夜の番組編成の要とするため、翌シーズンから木曜21時枠に移動することを発表した。アメリカ合衆国のプライムタイム番組編成において、木曜は最も競争が激しい曜日とされている。特に21時枠では、当時の週間視聴者数ランキングで不動の首位にあった『CSI:科学捜査班』（CBS系列）が放送されていた。その裏にあえて移動するということは、ABCが『グレイズ・アナトミー』に抱く自信を示すものであると、テレビ評論家たちは分析した。2019年夏現在、第15シーズンがすでに放送され、次シーズンの製作も決定している。2007年9月26日、『グレイズ・アナトミー』のスピンオフ・ドラマ『プライベート・プラクティス 迷えるオトナたち』がABC系列で放送開始。やはり、ライムズの原案・製作総指揮による番組である。『グレイズ・アナトミー』のレギュラー・キャラクター、アディソン・モンゴメリー医師（ケイト・ウォルシュ）が、シアトル・グレース病院に別れを告げ、友人たちがカリフォルニア州サンタモニカで開いている共同医療センターに開業医として参加することになったという設定である。こちらには、ティム・デイリー、エイミー・ブレネマン、オードラ・マクドナルド、テイ・ディグスというアンサンブル・キャストが登場。第1シーズンは2007年-2008年全米脚本家組合ストライキの影響で短縮され、わずか9話しか放送されなかった。2013年、第6シーズンをもって終了した。2010年、ライムズはABC系列向けのパイロット版『Inside the Box』を企画した。こちらは女性中心のアンサンブル・キャストによる、ワシントンD.C.のネットワーク・ニュース局を舞台としたドラマである。野心的なキャセリンという女性ニュース・プロデューサーやその仕事仲間たちが、特ダネを求めて躍起になる一方で、個人的な敵愾心と良心の呵責のバランスをうまく保とうとするという設定。この作品は、テレビ放送には至らなかった。2011年、ライムズは医療ドラマ『Off the Map』（ABC系列で、2011年1月12日から4月6日まで放送）の製作総指揮を務めた。原案者は『グレイズ・アナトミー』の脚本家、ジェナ・バンズで、アマゾン熱帯雨林の奥地で診療所を営む医師たちに焦点を当てた物語である。2011年5月13日、ABCは同番組の打ち切りを正式に発表した。2011年5月、ABCはライムズ脚本によるパイロット版『スキャンダル 託された秘密』の採用を決定。パブリック・リレーションズにおける危機管理のエキスパート、オリヴィア・ポープ（ケリー・ワシントン）を主人公とする政治ドラマである。そのモデルは、ジョージ・H・W・ブッシュ政権下で大統領の補佐を務めたジュディ・スミス。2012年4月5日に第1話が放送された。2018年春、シーズン7をもって完結した。2012年には『Gilded Lillys』というドラマのパイロット版も企画・製作したが、テレビ放送には至らなかった。2014年秋から始まった『殺人を無罪にする方法』では製作総指揮を務めている。同作は2019年秋開始のシーズン6をもって完結が決定している。2014年秋シーズンでは、ABCが木曜夜8時から『グレイズ・アナトミー』、『スキャンダル』、『殺人を無罪にする方法』の三番組を連続して放送し、すべてShondaLand製作の番組となっている。2017年、Netflixとの間で複数年にわたる独占契約を結んだ。