録音は、オペラ全曲盤をチェトラ、管弦楽曲をヴァンガードに行っている他、多くのライヴ録音や放送用録音盤が残されている。代表的な録音としては、「ウィリアム・テル」Guglielmo Tell、「シチリアの晩鐘」I vespri siciliani、 「ファルスタッフ」Falstaff、「アドリアーナ・ルクヴルール」Adriana Lecouvreurなどが挙げられる。ヴィヴァルディから、グルックの「パリーデとエレナ」Paride ed Elena(1968)やプロコフィエフの「アレクサンドル・ネフスキー」Alexander Nevsky(1954)、師レスピーギやペトラッシなどの現代作品の録音は、ロッシが18世紀前半から20世紀の現代作品まで、国籍に捉われず、「イタリア的」あるいは「慣用的」なスタイルに偏らない、作品本来の姿を忠実に描き出す、偉大な指揮者であることをよく示している。これほど幅広い範囲でそれぞれの時代や地域のスタイルに忠実でありえた指揮者は珍しく、特筆に値する。「シチリアの晩鐘」のイタリア語版とフランス語版での演奏スタイルの違いは、ロッシの作品へのアプローチの誠実さを端的に示している。
1902年3月29日、イタリア王国プッリャ州バーリ県ビテットに生まれる。ローマで教育を受け、サンタ・チェチーリア音楽院でオットリーノ・レスピーギに作曲を、ジャコモ・セタッチョーリに指揮を学び、1925年の卒業直後からベルナルディーノ・モリナーリの助指揮者を務めた。1923年から1926年にかけてローマで労働者のアマチュア合唱団を指揮して認められ、アウグステオ管弦楽団（現ローマ聖チェチーリア音楽院管弦楽団）の副指揮者に迎えられた。1936年にはアウグステオ管弦楽団を離れ、ヴィットリオ・グイの後任としてフィレンツェ五月音楽祭管弦楽団の常任指揮者(1937-1946)になり、1937年にピエトロ・マスカーニの歌劇「イリス」で指揮台へのデビューを飾り、翌年にはジャン・フランチェスコ・マリピエロの歌劇「アントニオとクレオパトラ」の初演を飾った。ロッシはイタリアの全ての主要な歌劇場で指揮をした。イタリアの標準的なレパートリーでの名声を確立するとともに、ガルッピの歌劇「田舎の哲学者」Il filosofo di campagna、クラウディオ・モンテヴェルディの歌劇「ウリッセの帰還」Il ritorno d'Ulisse in patria、ピッチンニの歌劇「チェッキーナ、または良い娘」La buona figliuoula (La Cecchina)などのリバイバルも行った。ロッシーニの「ウィリアム・テル」、「タンクレーディ」、「オリー伯爵」など、ロッシーニ・ルネッサンス以前から、「セビリアの理髪師」などの有名作品以外の紹介にも積極的であった。一方で、現代作品の紹介に積極的であったにもかかわらず、プッチーニについては、ウィーンでの「トゥーランドット」以外の録音が無いなど、レパートリーには拘りがあった。第二次世界大戦後にトスカニーニがイタリアに戻ってきたとき、それまでスカラ座にも客演していたロッシにスカラ座の芸術顧問の仕事を依頼したが、ロッシはこれを断り、1946年からトリノ・イタリア放送交響楽団の首席指揮者に就任し、1969年に勇退するまでにこのオーケストラをイタリア有数のオーケストラに育て上げた。トリノの他にもミラノ、ローマ、ナポリのイタリア放送交響楽団でも頻繁に演奏している。国外でも、ブリュッセル (1950年)、ウィーン (1951年以降)、ザルツブルク (1952年) 、ケルン（1953年以降）、ハンガリー動乱前夜のブダペストなどで公演を行なっている。1953年には現代音楽を積極的に取り上げた功績を認められ、シェーンベルク賞を贈られ、1960年にはヴィオッティ金メダルを授与されている。1992年、ローマにて没。
ビル・ラッセルが選手兼監督として初めてセルティックスを率いた最初のシーズン、チームはウィルト・チェンバレンを擁するフィラデルフィア・セブンティシクサーズに敗れ、優勝を逃した。しかし翌シーズンからは2連覇を成し遂げ、ボストン・セルティックスは13年間で11回の優勝を果たした。1969年にラッセルがチームを退くと、アワーバックはトム・ハインゾーンを監督に抜擢。1970年にはドラフトでデイブ・コーエンスを獲得し、セルティックスは1974年と1976年に再び優勝に返り咲いた。しかしその後チームの成績は徐々に低下していき、1978-79シーズンには29勝53敗まで落ち込んだ。この低迷期に、アワーバックは大学界で活躍するラリー・バードに目をつけた。1978年、まだ大学3年だったバードをアワーバックはドラフト6位で指名した。バードは初めに入学した大学を1年で退学しており、この当時には既に大学に入ってから4年目になっていたため、アワーバックはドラフト規則の盲点を突いてバード獲得に成功した。1979年にバードがセルティックスに加わると、セルティックスは前シーズンから32勝上乗せし61勝21敗でシーズンを終えた。バードは新人王に選ばれた。翌1980年のドラフトでセルティックスは1位の指名権を持っており、アワーバックはケビン・マクヘイル獲得を狙っていた。しかしアワーバックは1位指名権をゴールデンステート・ウォリアーズに譲り渡し、見返りにロバート・パリッシュと3位指名権を手に入れた。ドラフト上位指名権を持つ2チームはアワーバックの予想通りマクヘイルを指名せず、セルティックスは3位でマクヘイルを獲得。この一連の動きで入手したパリッシュとマクヘイル、そして既に入団していたラリー・バードは、ボストン・セルティックスの第2の黄金期を支える選手となった。1981年にセルティックスは優勝を果たし、以後は1980年代を通じて西海岸のロサンゼルス・レイカーズとともにリーグを代表するチームとなっていった。1984年に、チームはレイカーズと決勝で対戦し、80年代で2度目の優勝を果たした。この年からラリー・バードは3年連続でMVPを受賞、ケビン・マクヘイルは「シックススマン」として勝利に貢献した。1985年にセルティックスは再び決勝でレイカーズと戦い、このシーズンは優勝を逃した。再び優勝できる体制を整えるため、チームはビル・ウォルトンをトレードで獲得した。翌1985-86シーズン、セルティックスは空前の強さでリーグを席捲した。バード、マクヘイル、パリッシュは史上最高のフロントラインと呼ばれ、かつてのMVPウォルトンはベンチから出て効果的にチームに貢献した。このシーズン、セルティックスは80年代で3度目の優勝を果たした。1986年の優勝はアワーバックが監督また球団運営関係者として経験した16度目の優勝で、また最後の優勝経験となっている。アワーバックは1984年以降球団社長の役職に就いていたが、高齢から次第にチームの運営を他に任せることが多くなっていった。1997年から社長を退き球団副理事の身分となり、2001年に再び社長の役職に就いていたが、チームの業務に直接関わらずに近年は実家のあるワシントンD.C.で暮らしていた。