分解型八元数の積は非結合的であるから、それを通常の行列として表すことはできない（行列の積は常に結合的である）。マックス・オーギュスト・ツォルンは、行列の積を少しく修正したものを用いて、スカラーとベクトルを混合的に成分に持つ「行列」として書き表す方法を発見した 具体的に、ベクトル行列は、実数 a, b および ℝ³ のベクトル v, w を成分に持つ 2 × 2 行列として  の形に書き表されるものと定義する。このベクトル行列の乗法規則は、三次元ベクトルの点乗積 ⋅ および交叉積 × を用いて  と定義される。加法とスカラー倍は通常の通り成分ごとに定めるものとすると、ベクトル行列の全体は ℝ 上八次元の単位的分配多元環を成し、ツォルンのベクトル行列代数と呼ばれる。ベクトル行列の「行列式」を  なる規則で定めれば、この「行列式」det はツォルンのベクトル行列代数上の二次形式として、合成律:  を満足する。実はこのベクトル行列代数は分解型八元数全体の成す多元環に同型になる。分解型八元数 x を実数 a, b および純虚四元数 v, w（これを ℝ³ のベクトルと見る）を用いて  と書けば、分解型八元数全体からベクトル行列代数への同型 φ が  で与えられる。この同型は、N(x) = det(φ(x)) が成り立つから、ノルムを保つ。
分解型八元数の全体は、通常の八元数と同様に非可換かつ非結合的である。またやはり通常の八元数と同様に合成代数を成す（これはノルム N が乗法的、すなわち  を満たすことを意味する）。分解型八元数の全体はムーファング恒等式を満足し、それゆえ交代代数を成す。したがって、アルティンの定理により、任意の二つの分解型八元数が生成する部分多元環は結合的である。可逆な分解型八元数の全体 {x | N(x) ≠ 0} はムーファングループを成す。
分解型八元数 x の共軛元は  で与えられる（これは八元数の場合と同じ）。x のノルム（計量二次形式）は  で与えられる。非零八元数 x で N(x) = 0 となるもの（等方元）が存在するから、このノルム N(x) は等方二次形式である。ノルム N を考えることで、分解型八元数の全体は ℝ 上八次元の擬ユークリッド空間となる（これをしばしばノルムの符号数を明示して ℝ4,4 と書く）。N(x) ≠ 0 ならば x は（両側）逆元 x⁻¹ を持ち、 で与えられる。
数学における分解型八元数（ぶんかいがたはちげんすう、英: split-octonion）の全体は、実八次元の分配多元環を成す。通常の八元数とは異なり、非可逆な非零元を含む。またその計量二次形式（（二次の）ノルム）の符号数も異なり、通常の八元数のが正定値符号数 (8, 0) を持つのに対して、分解型八元数のは分解型符号数 (4, 4) を持つ。八元数全体と分解型八元数全体の二者が、同型を除いて可能な実数体 ℝ 上の一般八元数環の全てを尽くす。任意の体 F 上でも対応する分解型の八元数環を考えることができる。
長野県高山村山田牧場にあるロッジやペンション11軒が温泉を引き湯して奥山田温泉と称するようになったが、現在でも両方の名称が併用されている。スキー場（山田牧場スキー場からYAMABOKUワイルドスノーパークに改称）やキャンプ場があり、標高1500mから眺望できる善光寺平は絶景。
本種とブチハイエナが同所的に分布している地域では、この2種が同じ生態学的なニッチを占めて対立することになる。時には全体の食糧の68.8%が重なってしまうことがある。本種はブチハイエナが襲ってきたり食物を奪いにきたりしない限りは相手にしないが、ブチハイエナは食物の有無により本種に対する反応がまったく異なる。本種は容易にブチハイエナを殺すことができるからである。ンゴロンゴロ保全地域では本種がブチハイエナの倒した獲物を奪うことが日常的になっていて、ブチハイエナの高い死亡率につながっている。ハイエナたちが食事をする時の呼び声をテープで再生すると、本種が現れるという報告例もある。命の危険に晒されたブチハイエナはすぐその場から立ち去るか、30-100mほど距離を置いて食事が終わるまで待ち続ける。一方でハイエナの数が圧倒的に優勢な時など場合によっては食事を続けたり、逆に本種に襲い掛かることもある。食糧とは関係ないところでもこの2種は対立することがあり、はっきりとした理由が見えないような状況で本種がハイエナに飛びかかり、傷を負わせたりする。1頭の雄ライオンが別々の場所でリーダー格の雌ハイエナ2頭をかみ殺した姿が記録されていて、このオスはハイエナを食事にしたわけではない。エトーシャ国立公園のハイエナの71%は本種に襲われて死んでいる。ブチハイエナはライオンが繰り返し自分たちの縄張りに侵入してくるプレッシャーに耐えているのだ。飼育されたブチハイエナである実験をすると、ライオンに全く接した経験のない個体はその姿を目にしても無関心であるが、匂いを嗅ぐと怯えだすということが明らかになった。チーターやヒョウといったライオンより小型のネコ科動物と共存している地域でも、ライオンは支配的な影響力を持つ傾向にあり、その獲物を奪うほか、子供たちや時には大人（成獣）でさえも捕食してしまう。チーターがその獲物をライオンや他の捕食者に奪われる確率は50%にもなる。ライオンはチーターの子供にとって最大の脅威であり、襲われて生後1週間で命を落とす子供は実に90%に達する。チーターは時間を細かくずらして狩りを行い競合を避け、子供たちは深い茂みに隠しておく。ヒョウも同じような戦略を使っているが、チーターと違ってヒョウは木登りが得意であり、そこに子供たちを置くことでライオンから身を守っている。しかし、雌ライオンは時々ヒョウの獲物を奪うために木に登ることがあるが、ヒョウ程高い所までは登れない。リカオンに対してもライオンは優位に立ち、獲物を奪いとるだけでなくリカオンの子供や大人を狩ることもある（後者はそれほど多いものではないが）。アフリカニシキヘビも彼らの捕食対象となる。ナイルワニもライオンの捕食対象の一つだが、同時にライオンもナイルワニの捕食対象の一つである。