（生没年不詳）初代豊竹若太夫（後の豊竹越前少掾）の門弟。1717年に豊竹座に初出演。1725年に江戸で終生活動。没年不詳。一時師名の2代目若太夫を名乗る（代外）。
旧制市岡中学から早稲田大学へ進学。在学時、東京六大学リーグ戦全試合に出場し、最終学年では主将を務める。リーグ通算92試合出場、341打数94安打、打率.276、2本塁打、38打点。74得点は2008年に上本博紀が83得点で更新するまでリーグ記録であった。1950年に南海ホークスに入団。翌年にはリーグ2位の打率.315を記録し、新人王に選ばれた。1953年にもリーグ5位となる.303を残すなど活躍。球を良く見る打者で四球を多く選び、高い出塁率を誇った。1951年から1953年まで3年連続で30盗塁以上を記録するなど俊足で、リーグ最多三塁打を4回記録した。守備力も高く、飯田徳治、木塚忠助らと共に「百万ドルの内野陣」を形成し、リードオフマンとしてチームに大きく貢献した。1959年限りで現役引退。その後はヘッドコーチとなり、監督の鶴岡一人を支える名参謀ぶりを発揮した。1962年には途中休養した鶴岡に変わって監督代行を務めた。球界でも有数の理論家として知られ、現役時代の野村克也の良き理解者だったといわれる。その理論家ぶりには阪急ブレーブス監督だった西本幸雄も目を付け、フロントの矢形勝洋（蔭山とはビリヤード仲間だった）を通じてヘッドコーチへの招聘を図り、蔭山も「西本さんの野球には興味がある」と前向きだったが、後述の南海監督就任のため、実現しなかった。蔭山は1965年のオフ、ヘッドコーチの辞表をいったん球団に提出している。1965年11月13日に鶴岡の勇退を受けて南海監督に就任したが、4日後の17日に急性副腎皮質機能不全で急死した。享年38。奇しくもこの日は第1回ドラフト会議の日でもあった。蔭山の死去を受けて鶴岡は勇退を撤回し、1968年まで指揮を執った。
1976年、「陽だまりの中で」でレコードデビュー。デビュー時のキャッチフレーズは「昇れ!太陽くん」。芸名は都倉俊一によるものと言われているが、実はサンミュージックプロダクション創業者の相沢社長が決めたもので、「太陽という文字を入れてみました」とのことである。翌1977年、3曲目の「Lui-Lui」が太川自身最大のヒット曲となり、同年暮れの第19回日本レコード大賞を初め、各音楽大賞の新人賞を総なめにした。歌詞の最後で「Lui-Lui(ルイルイ)!」と叫ぶポーズが、太川のトレードマークとなっている。1979年よりNHK総合「レッツゴーヤング」の司会を務めるなど、昭和50年代を代表するアイドルであった。明るい曲調でヒットした「Lui-Lui」の次の曲が硬派路線の「Cry Cry Cry」だった。太川は「ルイルイの後はクライを三連発する曲となったけど、本当はB面の方が明るい曲でそちらを歌いたかった」と語ったことがある。その後、アイドル歌手から主にタレント・司会者・俳優業に転向、1989年のミュージカル『エニシング・ゴーズ』に起用されたことがきっかけで舞台俳優として頭角を現す。舞台版の『細雪』では1998年より「啓坊」こと奥畑啓三郎役を演じている。もともとアイドルとしては茶目っ気や庶民性を前面に出すタイプであったこともあり、ホームドラマやコメディに適した俳優としてNHKなどでは特に厚遇された。ラジオパーソナリティ、旅番組などでも幅広く活動している。1995年、女優の藤吉久美子と結婚（太川は初婚だったが藤吉は再婚）。2001年には長男が誕生した。芸能界のおしどり夫婦として有名で、なれそめは1994年にNHK大阪で藤山直美主演のドラマ新銀河『大阪で生まれた女やさかい』の撮影で共演したこと。撮影終了後に新大阪駅に向かうタクシーで相乗りし、そのまま新幹線で東京まで一緒に帰り、東京で食事をし、交際につながった。ちなみに前述のドラマでは、二人が一緒に出てくるシーンは一度しかなかった。また、それ以前はお互い顔と名前を知る程度で特に面識は無かったという。2007年10月から2017年1月まで蛭子能収とともに『ローカル路線バス乗り継ぎの旅』に出演していた。太川のリーダーシップと計画性、さらにはチームメンバーに対する細やかな気遣いには定評があった。なかでも正反対の性格である蛭子とのやりとりが好評で、ベストコンビとも言われていた。このことは業界でも高く評価されており、水道橋博士は「蛭子さんを扱えるのは太川さんだけ」「自分たちの中で太川さんの何が凄いかといったら、蛭子さんと3泊4日一緒に過ごせること。なおかつ番組として成立させられてしまうのだから本当に凄い」と、評価していた。これは問題行動や問題発言をよく繰り返す蛭子にうまく対処できない人が多いからであった（だからといって、それでも常に蛭子をコントロールできていたというわけではなく、道中で蛭子の心無い一言に激怒して感情的になったりしていた のは日常茶飯事）。「ぶらり途中下車の旅」の旅人としても長く活躍しており、旅番組のイメージが強い。また、近年では旅番組にかぎらず太川が出演すると視聴率が跳ね上がることが多く、業界内では「太川は何かを持っている」という評価を持たれているとされる。実家は丹後ちりめんの卸販売をしている株式会社つぼりゅう。香川県の高松市に叔母がいる。2017年12月14日、妻で女優の藤吉と大阪・朝日放送の50歳代既婚男性プロデューサーとのダブル不倫疑惑を報じられ、謝罪会見を行った。