2009年のNFLドラフト6巡でニューヨーク・ジェッツに指名されて入団した。当時のオフェンスラインコーチ、ビル・キャラハンは、ネブラスカ大学時代のヘッドコーチを務めたことがあり、スローソンを指導したことがあった。1年目の2009年は、ガードとセンターで3試合に出場した。2010年、ジェッツがアラン・ファニカを放出すると、ドラフトで指名されたヴラディミール・デュカスとポジションを争い、開幕から先発の座を確保した。2011年11月、デトロイト・ライオンズのエンダムカン・スーに批判が集まった際、大学時代のスーは、チームメートから慕われる存在ではなかったことを明かし、他の現役選手を現役引退に追い込むことができる力を持つスーを、コントロールする必要があると語った。同年12月、プレーオフ出場が厳しくなり、批判が集まるマーク・サンチェスを擁護した。2012年は、全試合に先発出場し、相手選手にサックを許さなかった。10月8日に行われたヒューストン・テキサンズ戦でブライアン・クッシングの膝下にカットブロックを行い、クッシングは左膝ACLを断裂し、シーズン絶望となった。このプレーで反則のコールはされなかったが、その後不正なピールバックブロックであったとして、1万ドルの罰金をNFLから課された。なお2013年からは、これまでタックルボックス内であれば認められていたピールバック・ブロックが、タックルボックス内でも禁止となり、15ヤードの反則になることが決まった。2013年3月29日、シカゴ・ベアーズと1年契約を結んだ。2014年1月2日、ベアーズと4年間の契約延長を果たした。
ネブラスカ大学に入学、1年次の2005年は、当初スペシャルチームの一員としてPATやFGの時に起用された。シーズン終盤には、オフェンスラインのローテーションにも入った。2年次の2006年には、右タックルとして11試合に先発出場、最後の2試合は足の負傷により欠場した。コットンボウルでチームに復帰したが、出場時間は限定的なものであった。この年チームのトータルオフェンスは全米14位となり、4人のランニングバックは合計で2,400ヤードを走り、26タッチダウンをあげた。またQBザック・テイラーは大学のシーズンパス記録を更新、カンファレンスの最優秀攻撃選手に選ばれた。スローソンもAP通信などのメディアから、カンファレンスのセカンドチームに選ばれた。3年次の2007年には、右ガード及び左右のタックルとして8試合の先発を含む12試合に出場した。シーズン当初は、右ガードの先発の座をマイク・ハフと交代交代で起用され、カンザス州立大学戦では左タックル、最終週のコロラド大学戦では右タックルとして先発した。この年チームのトータルオフェンスは1試合平均468.2ヤードを獲得、パスオフェンスは大学記録となる1試合平均323.8ヤードを獲得した。オフェンスラインはパス296回中、18サックしか許さなかった。4年次の2008年に右ガードとして全13試合に先発し、ビッグ12カンファレンスのセカンドチームに選ばれる活躍を見せた。
ニューヨーク・マンハッタン出身。両親はカトリック信者で、父親はアイルランド系、母親はドイツ人とイタリア人の混血であった。裕福な家庭とはいえなかったが、両親はともに教育熱心で、息子の知的・音楽的野心を熱烈に支援した。フィオレロ＝ラゴーディア音楽学校を卒業後、ジュリアード音楽院で指揮を学ぶ。1971年にスポレート音楽祭にてムソルグスキーのオペラ《ボリス・ゴドゥノフ》を指揮して公式にデビューを果たし、翌年マリア・カラスの推薦により《ラ・ボエーム》を指揮してニューヨーク・デビューを果たす。1974年にピエール・ブーレーズの招きでニューヨーク・フィルハーモニックと初共演を果たし、その後はボストン交響楽団やシカゴ交響楽団、ピッツバーグ交響楽団、クリーヴランド管弦楽団、フィラデルフィア管弦楽団、ミネソタ管弦楽団、ロサンジェルス・フィルハーモニック、ワシントン・ナショナル交響楽団など、北米やヨーロッパの主要なオーケストラに客演した。1976年にメトロポリタン歌劇場にデビューし、オペラハウスとの長い協力体制の足がかりを固める。同歌劇場には200回以上にわたって出演し、イタリア、ドイツ、フランス、ロシア、チェコのオペラを取り上げた。それ以降はスカラ座やロイヤル・オペラ・ハウス、シカゴ・リリック・オペラでも指揮を執っている。1983年から1991年までロッテルダム・フィルハーモニー管弦楽団の音楽監督に就任し、1989年から2002年までケルン市の総合音楽監督ならびにケルン・ギュルツェニヒ管弦楽団とケルン歌劇場との音楽監督をも務めた。1995年から2004年までパリ国立オペラの音楽監督も兼務し、350回の公演で32曲を指揮した。そのうち、パスカル・デュサパンの《 Perelá, l'Homme de Fumèe 》の世界初演と、ツェムリンスキーの《小人 Der Zwerg 》のフランス初演、ドヴォルザークの《ルサルカ》のパリ初演、ムソルグスキーの《ホヴァーンシチナ》のパリ国立オペラにおける初演が目立っている。ヨーロッパでは、ベルリン・フィルハーモニー管弦楽団やバイエルン放送交響楽団、シュターツカペレ・ドレスデン、ロンドン・フィルハーモニー管弦楽団、ロンドン交響楽団、バーミンガム市交響楽団、パリ管弦楽団、フランス国立管弦楽団、ローマ聖チェチーリア音楽院管弦楽団、マリインスキー劇場管弦楽団などを指揮している。合唱指揮者としては、1979年より「シンシナティ5月祭」の音楽監督を務めている。2005年にはラヴィニア音楽祭の音楽監督に就任した。また、2006年からロサンジェルス・オペラの音楽監督に就任した。コンロンはナチス・ドイツの犠牲となった作曲家の再評価に努めており、その作品を欧米のオーケストラとともに取り上げてきた。とりわけツェムリンスキーやシュレーカー、ヴィクトル・ウルマン、パヴェル・ハース、ボフスラフ・マルティヌー、コルンゴルト、カール・アマデウス・ハルトマン、エルヴィン・シュルホフの卓越した解釈によって知られる。2002年から2003年の定期にかけて、PBSの特別番組「協奏曲」において、6時間にわたってメイン司会者を務めるなど、同局の音楽番組にしばしば出演している。1999年、ツェムリンスキー作品の国際的な普及に貢献したとして、ツェムリンスキー賞の最初の受賞者となる。1996年にフランス政府より受勲され、2002年9月にはジャック・シラク大統領よりレジオンドヌール勲章を授与されている。