外眼角（瞳子髎穴）に起こり、上って側頭部に抵り、耳の後に下り、頚を循ったのち、肩に上る。大椎穴で左右が交わり、肩を循ったのち缺盆穴に入る。その支なるものは耳後より耳中に入り、耳前に出て目じりに至る。その支なるものは外眼角より別れて大迎穴に下り、頬に上り、手の少陽三焦経に合し、下って下顎角へ行き、ついで缺盆穴の先のものと合する。缺盆穴から胸中に下り、横隔膜を貫いて肝を絡い胆に属する。その直なるものは肩から側胸部、季肋部を循り、別支は胆に属したのち脇を循り、鼠径部の気衝穴に入り、ともに股関節のあたりに入り合する。股関節のあたりから大腿および下腿の外側を下り、足の第4指の末端に終わる。その支なるものは足背から分かれて母指に行き、足の厥陰肝経に連なる。
文政8年（1825年）7月27日、陸奥相馬中村藩主・相馬益胤の三男として生まれる。なお、佐竹家と相馬家は相互に養子をとるなど親戚関係にあり、義堯は久保田藩の第3代藩主・佐竹義処の直系子孫にあたる。天保10年（1839年）に元服し、相馬宗胤（むねたね）と名乗る。嘉永2年（1849年）2月26日、久保田新田藩（後の岩崎藩）主・佐竹義純の養子となる。それに伴い佐竹義核（よしざね）と改名した。4月2日、養父・義純の娘と婚儀を行う。4月26日、将軍徳川家慶に御目見する。10月26日に養父・義純の隠居により、佐竹壱岐守家の家督を相続して新田藩の第7代藩主となった。安政4年（1857年）7月1日、久保田藩主・佐竹義睦が病死したのに伴い、7月20日に義核は末期養子として佐竹宗家の家督を相続して同藩の第12代藩主となり、同時に佐竹義就（よしたか）と改名する。新田藩は実弟（益胤の四男）の佐竹義諶が相続した。12月16日、従四位下・侍従・右京大夫に叙任された。文久2年（1862年）に佐竹義堯と改名している。安政6年（1859年）5月、秋田に入部した。入部間もない7月1日、男鹿半島沖合にロシア汽船が現れ、領民を驚かせた。当時は攘夷論が叫ばれる時期であったが、義堯はロシア船員の薪の求めを許可した。藩内の情勢に目をやると、当時の久保田藩は財政事情が悪化しており、就封早々に人事刷新を始めとする藩治の改革を行う。自ら範を垂れ質素倹約に励み、文武を奨励した。文久2年（1862年）4月に江戸に上る。同年9月28日、将軍徳川家茂に従い上洛する許可を得る。文久3年（1863年）1月12日に江戸を出発し、27日に京都に到着する。同年2月9日、孝明天皇に拝謁する。同年3月14日、帰藩する許可を得る。同年4月1日に江戸に到着し、9日に秋田に出発する。同年7月25日、上洛を命じられるものの、病気を理由に代理として重臣・戸村義效を派遣する。同年11月15日、将軍の上洛中にともない、幕府から江戸の警備を命じられる。元治元年（1864年）2月19日、幕府から京都警備を命じられる。その財源として、2万両の新札発行と3万5,000石の用米調達に取りかかった。同年4月17日、従四位上左少将に任官する。慶応元年（1865年）11月8日、幕府から翌年春の京都警備を命じられる。同年12月22日、病気を理由に翌年秋の京都警備へ変更することを許可される。慶応2年（1866年）7月、病気を理由として名代小野岡右衛門を上洛させた。同年8月13日に義堯も秋田を出発し、29日に江戸へ到着するものの、病気のためそのまま江戸に留まった。慶応3年（1867年）8月11日、左中将に任官する。同年8月25日、前年の凶作に苦しむ領民の救恤のため帰藩を願い出たが許可されず、その間に持病が再発する。同年11月に重臣を上洛させて、12月23日に義堯は秋田へ向けて出発した。江戸に逗留中、王政復古の大号令がなされた。慶応4年（1868年）の1月に帰藩し、3月に名代として小野岡右衛門を上洛させることに決定する。慶応4年に戊辰戦争が勃発すると、新政府から4月6日に庄内征討、4月27日に会津征討の命令を受ける。同年閏4月9日、奥羽鎮撫使副総督・澤為量から庄内征討への出発の遅れを責められる。同年5月、澤が薩長藩兵とともに久保田藩領へ撤退してくる。澤らが城下に逗留すると藩内の尊王派を刺激しかねないため、義尭を含む藩高官は澤らを弘前藩に追い払おうとするものの、藩境が封鎖されていたため失敗し、澤らは領内に留まることになる。同年7月、奥羽鎮撫使総督・九条道孝らが久保田藩領に到着する。その受け入れを責める仙台藩の使者への対応に苦慮するうち、勢いづいた尊王派の藩士が使者を殺害したことから、久保田藩は明確に新政府側へ与することになった（秋田戦争）。戊辰戦争は明治2年（1869年）に終結し、同年2月13日、戦争による領内疲弊のために新政府から20万両を賜った。明治2年6月17日、版籍奉還がなされると義堯は久保田藩知事に任命される。明治4年（1871年）の廃藩置県により免職となり、その後東京に転居した。明治5年（1872年）8月2日に隠居し、甥（弟・義諶の長男）で養嗣子（婿養子）の義脩に家督を譲った。明治14年（1881年）8月16日、義脩を隠居させて、再び家督を相続した。明治17年（1884年）7月7日に侯爵となる。直後の10月23日、病気のために死去した。享年60。明治41年（1908年）に正二位を追贈される。佐竹侯爵家は次男の義生が継承した。