n が奇数のとき、全ての鏡映は共役であるが、n が偶数のとき、2つの共役類に分かれる。一方の共役類は軸が正多角形の頂点を通るものであり、他方の共役類は軸が辺の中点を通るものである。抽象代数学的には、n が奇数のときに全ての鏡映が共役であることは、シローの定理より直ちに従う。Dₙ の位数 2n を割る最大の2冪は 2 であるから、各々の鏡映がなす位数2の群はシロー2-部分群であり、したがってシローの定理よりそのような部分群は全て共役である。一方、n が偶数のときは、2 が 2n を割る最大の2冪ではないから、各々の鏡映がなす群はシロー部分群ではない。
n ≥ 3 のとき、正多角形の頂点に番号を付けておけば、Dₙ の元は自然に n 個の番号の置換と見なせる。よって、Dₙ は対称群 Sₙ の部分群である。両者の位数を比較すれば明らかなように、D₃ は S₃ と一致し、n ≥ 4 の場合は Dₙ は Sₙ の真の部分群である。n ≥ 3 のときの Dₙ の性質は、n の偶奇によって若干異なる面がある。例えばその中心は、n が奇数のときは単位元のみからなるが、n が偶数のときは単位元と 180°の回転の2つからなる。実際、180°度の回転は、行列表示で単位行列の -1 倍であるから、任意の変換と可換であることは明らかである。なお、n = 1, 2 のときは、Dₙ はアーベル群であるから、中心は自分自身である。p が素数のとき、位数が 2p である群は巡回群と二面体群に限る。n が奇数のとき、D₂ₙ は Dₙ と Z₂ の直積に同型である。n の約数 m に対して、Dₙ の部分群としてひとつの巡回群 Zₘ と n/m 個の Dₘ が取れる。よって、Dₙ の部分群の総数は、約数関数を用いて σ₀(n) + σ₁(n) と表せる。ここに、σ₀(n) は n の約数の個数、σ₁(n) は n の約数の和である。
正多角形を不変とする合同変換を考えるならば、n は 3 以上でないと意味をなさないが、上記の行列による表現は n = 1, 2 でも意味を持ち、それらも二面体群に含める方が便利なことが多い。D₁ は位数2の巡回群であり、D₂ はクラインの四元群である。この2つはアーベル群であり、逆に n ≥ 3 では Dₙ は非可換群である。また、後述のように n ≥ 3 では Dₙ は対称群 Sₙ の部分群であるが、n = 1, 2 ではそうでない。
当駅は日光線と宇都宮線の分岐駅であり、南栗橋駅発着の急行・区間急行も停車するなど輸送上の主要駅として機能している。特急「けごん」「きぬ」は2006年3月18日に新設された早朝の当駅始発と深夜の当駅止まりの「けごん」以外は通過する。以前は東武日光駅・鬼怒川温泉駅などを発着する「けごん」・「きぬ」の一部も停車していたが、2001年3月28日より東日本旅客鉄道（JR東日本）両毛線の乗り換え客を考慮し栃木駅停車に変更された。日中時間帯は、南栗橋駅 - 当駅間の普通と栃木駅 - 東武宇都宮駅間の宇都宮線列車がそれぞれ1時間あたり各2本、当駅（一部は栃木駅または南栗橋駅） - 新鹿沼駅方面の普通が1時間に1本停車する。2006年3月18日に実施されたダイヤ改正をもって、浅草駅 - 当駅（一部東武日光）間で運行されていた準急は区間急行に名称変更のうえ朝夕のみの運行となり、代わって南栗橋駅始発・終着の半蔵門線・東急田園都市線直通の急行と接続する南栗橋駅 - 当駅間の普通が毎時2本設定された。同時に1時間あたり1本運転されていた快速の大半が区間快速に格下げされ、当初は日光線全線（東武動物公園駅以北）が各駅停車とされた。さらに2009年6月6日に実施されたダイヤ改正に伴い、区間急行の運転区間が当駅以南のみとなった。2011年、東日本大震災に伴う夏の節電ダイヤ実施時には、平日日中の南栗橋駅 - 当駅間の本数が1時間あたり2本に減便されていたほか、一部列車については6両編成から4両編成に減車されていた（当駅発着の1時間あたり2本の普通のうち1本を運休、区間快速は通常通り）。9月に節電ダイヤが終了した後も平日日中のこの区間においては引き続き1時間あたり2本のまま存置されていたが、2012年5月22日に震災前のダイヤに復帰した。2013年3月16日のダイヤ改正より区間快速は各駅停車区間が新大平下駅以北に変更された上で2時間間隔での運転となり、減便分は当駅（一部は栃木駅） - 東武日光駅または鬼怒川温泉方面の普通列車に変更された。同時に南栗橋駅 - 当駅間の普通列車は4両編成に変更された。また、当駅始発・終着の区間急行は6050系による1日1往復のみ（5時00分発・0時14分着）となり通勤車での運用が廃止された。2017年4月21日のダイヤ改正より当駅始発・終着の区間急行と快速・区間快速が廃止されたため、特急以外の種別で南栗橋以南（浅草方面）へ向かうには南栗橋駅での乗り継ぎが必須になった。