関手F: C→Dが圏同値の片方であるとすると、同値のもう片方の左随伴である。つまり、unitとcounitがともに同型である随伴である。全ての随伴〈F, G, ε, η〉はある部分圏の同値性を拡張する。Cの対象XでεXが同型射であるものからなるCの充満部分圏をC₁とする。Dの対象YでηYが同型射であるものかならるDの充満部分圏をD₁とする。こおとき、FとGをそれぞれD₁ と C₁に制限した関手はこれらの部分圏の同値の反転となっている。この意味で、随伴は一般化された逆元である。しかし、Fの右逆(つまり、関手GであってFGが1Dに自然同型なもの)は必ずしもFの右または左随伴になるとは限らない。随伴は2方向に一般化された逆である。
初めに書いたように、圏CとDの随伴は2つの普遍射の族に持ち上げることができる。片方はCの対象について、もう片方はDの対象についての普遍射である。逆に、Dの各対象から関手G : C → Dへの普遍射が存在するとき、Gは左随伴である。しかし、普遍的構成は随伴関手よりもっと一般的である。普遍的構成は最適化問題に似ていて、随伴の対に持ち上げられるのは、この問題が全てのDの対象について解を持つときであり、またそのときに限る(Cの対象についても同様)。
全ての関手 G: 𝒞 → 𝒟 が左随伴を持つわけではない。𝒞 が完備圏であるときは、左随伴を持つ関手はPeter J. Freydの随伴関手定理「G が左随伴を持つための必要十分条件は、それが連続(極限を保つ)かつ、ある種の「集合性(小ささ)」条件をみたすことである」で特徴付けられる。具体的には、𝒟 の各対象 Y に対して、集合(つまり真クラスでない集合という意味で「小さい」) I の元で添字付けられた射の族 fᵢ: Y → G(Xᵢ) が存在して、任意の射 h : Y → G(X) が適当な元 i ∈ I と射 t: Xᵢ → X ∈ C を用いて h = G(t) ∘ fᵢ と書けることが条件である。同様のことが右随伴に関しても成り立つ。
自由対象は全て忘却関手の左随伴の例となる。ここで忘却関手は代数的対象をその台集合に写す。これらの代数的な自由関手に対しても、上記の自由群に詳細に記述したものと同様のことが一般に成り立つ。
数学者は一般的には完全な随伴関手の概念を必要としているわけではない。彼らの解こうとしている問題にあっているかや証明に必要かどうかで必要な概念かどうかを判定している。圏論の初期段階である1950年代にはこれらの動機に大きく引っ張られていた。アレクサンドル・グロタンディークの時代になって、圏論は他の仕事における指針として使われるようになった。はじめは関数解析とホモロジー代数であり最終的には代数幾何で使用された。彼が随伴関手の概念を分離したというのはおそらく誤っているといえるが、随伴の特別な役割についてグロタンディーク固有の認識はあった。例えば、彼の著名な業績のひとつに、相対型のセール双対性、くだいていうと、代数多様体の連続な族に関するセール双対性がある。この証明の全体は結局のところある関手の右随伴が存在するかということになる。これは完全に抽象的で非構成的であるが、それなりに強力でもある。
1962年（昭和37年）1月5日、銀座松屋で開催された若い写真家のグループ展「NON」展に、「薔薇刑」というタイトルで写真20点が出品された。この「薔薇刑」という名は、三島が複数挙げた候補名（「受苦のエスキース」「男と薔薇」「悪夢遁走曲」「受難変奏曲」「死と饒舌」「薔薇刑」）の中から細江が選んだもので、出版本のタイトルも三島により、この命名にした。そして翌年1963年（昭和38年）3月25日に集英社より杉浦康平の装幀で写真集『薔薇刑』が刊行された。当時の定価は3,500円だったが、その後、稀覯書として国際的に評価が上がり、2003年（平成15年）の段階で古書値は数十万円の高値となった。海外からの強い再版の要望により、三島の新たな付記を加え、1971年（昭和46年）に横尾忠則の装幀による『薔薇刑 新輯版』が集英社より刊行された。この本は三島事件の翌年の刊行となり（打ち合わせは三島の生前にされたもの）、これも古書で約十数万円台する。写真集を入れる函を開くと、横尾デザインの三島の涅槃像のインド的な絵が現れる。1984年（昭和59年）にも集英社より粟津潔装幀による『薔薇刑・新版』（ISBN 408532019X）が刊行されたが、これは古書で約2 - 3万円台である。21世紀初頭に出された、同じ装幀の『英語版 薔薇刑』の方が、ネットなどでは購入しやすい。完全復刻版は、2008年（平成20年）11月に細江の署名入りで日本版と海外版で各500部出されたが、日本では定価52,500円（税込特別価格）にも関わらず、約1日半で完売した。三島没後45年の2015年には、パリのギャラリーSAGE Paris（1月22日-3月28日）と東京築地のふげん社（3月5日-3月31日）で「薔薇刑」展が開かれた。