通常表現論においては、任意の直既約加群は既約であり従って任意の加群が射影的となる。しかし、標数が群の位数を割るような単純加群が射影的となるのは希である。実際、単純加群が射影的ならば、それはその単純加群が自身のブロックに属する場合に限り、従ってそれは台となる線型空間の自己準同型多元環である全行列環と同型にならねばならない。この場合、そのブロックは「不足数 0」を持つという。一般に、射影加群の構造は決定が困難である。有限群の群環については、直既約射影加群（の同型類）は単純加群（の同型類）と一対一に対応する。各直既約射影加群の座（あるいは底）は単純（かつ最大元に同型）であり、先の全単射によって互いに同型でない直既約射影加群は、その座も互いに同型にならない。（正則表現と見た）群環の直和因子としての直既約射影加群の重複度は、その座の次元に一致する（標数 0 の十分大きな体に対しては、各単純加群が正則表現の直和因子としての次元に等しい重複度で現れるという事実が、これにより回復される）。正標数 p の任意の直既約射影加群は（従ってまた、任意の射影加群は）標数 0 の加群に持ち上げることができる。上述した剰余体 K を持つ環 R を用いて、G の単位元を K[G] の互いに直交する（必ずしも中心的でない）原始冪等元の和として分解することができて、任意の直既約射影 K[G]-加群はこの分解に現れる適当な原始冪等元 e に対する e.K[G] に同型である。冪等元 e を R[G] のある冪等元 E に持ち上げると、左加群 E.R[G] は e.K[G] に同型な法 p-還元を持つ。
モジュラー表現論において、マシュケの定理は標数が群の位数を割る場合には成立しないけれども、群環はブロックと呼ばれる両側イデアルの極大集合の直和に分解することができる（体 K の標数が 0 または群の位数と互いに素であるときにも、群環 K[G] をブロック（何れも単純加群に同型）の直和に分解することができるが、この状況は（少なくとも K が十分大きな場合には）比較的わかりやすい。各ブロックは K 上の全行列環であり、それは対応する単純加群の台となる線型空間の自己準同型環である）。ブロックを得るために、群 G の単位元を F の極大整環 R 上の群環の中心 Z(R[G]) に属する原始冪等元（原始中心冪等元）の和に分解する。原始冪等元 e に対応するブロックは、両側イデアル e.R[G] である。任意の直既約 R[G]-加群に対し、そのような原始冪等元で加群を零化しないものはただ一つしかなく、またそのような加群は対応するブロックに属する（または含まれる）という（今の場合、群の組成因子はすべてこのブロックに属する）。特に、任意の単純加群はただ一つのブロックに属する。任意の通常既約指標も、その既約指標の和への分解に従ってただ一つのブロックに割り当てられる。自明加群を含むブロックは主ブロック (principal block) と呼ばれる。
1800年12月20日、第2代准男爵サー・フランシス・リンドリー・ウッドとその妻アン（旧姓バック）の長男として生まれる。イートン校を経てオックスフォード大学オリオル・カレッジに進学。1821年にバチェラー・オブ・アーツ（BA）、1824年にマスター・オブ・アーツ（MA）の学位を取得。1826年から1831年にかけてグレート・グリムズビー選挙区から庶民院議員に選出された。その後も1831年から1832年にかけてはウェアハム選挙区、1832年から1865年にかけてはハリファックス選挙区、1865年から1866年にかけてはリポン選挙区から選出された。ホイッグ党に所属し、1829年には同党幹部の第2代グレイ伯爵チャールズ・グレイの娘メアリーと結婚した。グレイ伯爵は要職を親族で固める傾向があったため、彼もこの結婚以降党の重職に登用されるようになった。ホイッグ党が政権をとっていた期間には閣僚職を歴任した。グレイ伯爵内閣期の1832年から1834年にかけては大蔵省政務次官、第二次メルバーン子爵内閣期の1835年から1839年にかけては海軍省政務次官、第一次ジョン・ラッセル卿内閣期の1846年から1852年には財務大臣を務めた。財務大臣時代には財政問題をめぐって首相ラッセルと対立を深めた。この対立は同時期のラッセルと外務大臣パーマストン子爵の対立と合わせて、1848年から1850年頃にかけてのラッセルの権威低下の一因となった。1846年には父から准男爵位を継承した。ピール派（保守党自由貿易派）との連立には否定的な立場をとっていたが、1852年から1855年にかけて成立したホイッグ党とピール派の連立政権アバディーン伯爵内閣にはインド庁長官として入閣している。1853年にはインド統治法案の議会通過に尽力した。また同内閣でラッセルが推進していた選挙法改正に対しては、クリミア戦争勃発前には前向きな姿勢をとっていたが、1854年の戦争勃発後は他の閣僚たちと同様に延期を主張するようになった（アバディーン伯爵の決定で延期された）。つづく第一次パーマストン子爵期の1855年から1858年にかけては海軍大臣として入閣した。1858年から1859年にかけてはクラレンドン伯爵やグランヴィル伯爵ら他のホイッグ党幹部とともにパーマストン子爵とラッセルの和解を推進することで自由党結成に尽力した。自由党政権の第二次パーマストン子爵内閣と第二ラッセル伯爵内閣期の1859年から1866年にかけてはインド大臣を務めた。1866年にハリファックス子爵に叙せられ、貴族院議員に列した。第一次グラッドストン内閣期の1870年から1874年にかけて王璽尚書を務めた。1885年8月8日に84歳で死去した。