平面代数曲線は、アフィン平面内の曲線で多項式方程式 f(x, y) = 0 によって定義されるもの、または射影平面内の曲線で斉次多項式方程式 F(x, y, z) = 0 で定義されるものを言う。任意の平面代数曲線は、その定義多項式の次数をその曲線の次数として持つ。代数閉体上で考える場合には、曲線の次数はそれが一般の位置にある直線と交わるときの交点数に等しい。例えば、方程式 x² + y² = 1 で与えられる円の次数は 2 である。次数 2 の非特異平面代数曲線は円錐曲線であり、それらの射影完備化は全て円 x² + y² = 1 の射影完備化（つまり x² + y² - z² = 0) の定める射影曲線）に同型である。次数 3 の平面代数曲線は平面三次曲線といい、それが非特異ならば楕円曲線となる。次数 4 の平面代数曲線は平面四次曲線と呼ぶ。
弧長変数で媒介表示された曲線 β(s) に対し、β′(s) はその単位接ベクトルである。さらに函数 k: I → R; s ↦ k(s) := || β″(s) || ≥ 0 はこの曲線の曲率と呼ばれる。曲線が陽表示 y = f(x) を持てば曲率も  と陽に計算できる。陰伏表示 F(x, y) = 0 の場合は  となる。空間内の（十分正則な）曲線はその任意の点において、フレネ標構と呼ばれる「接ベクトル」「法ベクトル」「陪法ベクトル」の三つ組からなる参照系を持つが、このような曲線が平面的となるための必要十分条件はその陪法ベクトルが常に零となることである。弧長表示 β(s) = (φ(s), ψ(s) に対して単位接ベクトル  および単位法ベクトル  は直ちに求められる（ただし i は虚数単位）。曲率を用いれば単位法ベクトルを  と与えることもできる。T′ は T に直交し、N に平行である。これらをまとめると「平面曲線に関するフレネの公式」および曲率は、任意の媒介表示曲線 α(t) に対して  と与えられる。
曲線上の座標系または弧長変数（弧長パラメータ）s とは、特別な種類の媒介変数表示で、積分の下の限界 a を固定し上の限界 t を変数と見るとき、積分  が上の限界 t のみに依存して決まるものを言う。この積分函数 s は幾何学的には、固定された点 a から測った（必要ならば符号付きで考えた）弧長である。これにより常に曲線上にはこの曲線座標系に基づく座標を入れることが可能となる（弧長変数による媒介表示）。実際、 ゆえ s(t) は逆を持ち、それを t := t(s) と書けば、弧長変数への媒介変数の取り換え  を得る。この場合、曲線上の一点における接線を決定することは、単位接ベクトルに平行となる直線をとることに等しい。すなわち  ゆえ、接ベクトルは単位ベクトルである。
I 上の可微分曲線 α(t) = (φ(t), ψ(t)) と区間 [a, b] ⊂ I に対し、曲線の α(a) から α(b) までの弧長とは  で与えられる弧長は媒介変数の取り換えに関して不変である。すなわち、β(s) := α(t(s)) (t: J → I; s ↦ t := t(s)) を媒介変数の取り換えとすれば、 が成り立つ。曲線が y = f(x) と陽に与えられれば、x′ = 1 かつ df/dx = dy/dx となるから、弧長を  と書くことができる。媒介変数の取り方として数学および幾何学的研究および応用において重要と考えられるものの一つに、平面極座標が挙げられる。曲線の極座標表示が r := r(θ) (c ≤ θ ≤ d) で与えられれば、直交座標系における θ に関する媒介変数表示は  で与えられ、これらの微分は  となるから、さらに弧長は  と書ける。
亜寒帯海流が西経150度付近から二分し、南に向かうものはカリフォルニア沖合いを南南東に流れるカリフォルニア海流となる。したがって、この海流は南太平洋のペルー海流と同様に寒流の特性を示し、カリフォルニア沖合いの水温や塩分は比較的低い。流れの中心は岸から約700km沖合いにあり、幅は広いが流速は遅く約0.5ノット程度。流量は毎秒1000万トン程度である。北緯25度あたりから西よりに流れ始め、北赤道海流へとつながる。この間大気からの加熱と西側の高温水との混合によって、水温が高くなるとともに、盛んな蒸発と相まって塩分も高くなる。この流域でもっとも顕著な現象は沿岸域における下層水の湧昇である。このために、下層の栄養分に富んだ水が表層に上がってくるので、プランクトンが大量に発生し、ニシン、タラ、カニなどのよい漁場となっている。特に春から夏にかけては、洋上の高気圧と大陸上の低気圧が発達するため、カリフォルニア沖には北北西の風が吹き、沿岸域の表層水は沖合いのほうに押しやられ、下層水の湧昇が顕著となる。湧昇のはげしいのは南部では四、五月ごろで、北に行くほど遅れ、オレゴン州沖では八月が最盛である。沿岸域の200mより下層にはこの海流と逆に北に流れるダビドソン海流とよばれる反流があり、北よりの風が弱い秋から冬にかけては、表面までその影響が現れる。