高次 K-群の受け入れられている定義は、Quillen (1973) により与えられ、その後数年の間に、いくつかの整合性をもたない定義が示唆された。プログラムの目的は、K(R) や K(R,I) の定義を分類空間の項で定義することを見つけ、その結果、R ⇒ K(R) と (R,I) ⇒ K(R,I) が空間のホモトピー圏(homotopy category)への函手となり、相対 K-群の長完全系列がホモトピーの長完全系列(long exact homotopy sequence)として、ファイバー構造(fibration) K(R,I) → K(R) → K(R/I) をもたらす。キレン(Quillen)は、2つの構成を与え、ひとつは「プラス構成(plus-construction)」でもうひとつは「Q-構成(Q-construction)」であり、後者は結局、異なる方法で変形される。2つの構成は、同一の K-群を構成する。
体 F 上の中心的単純代数 A の場合には、被約ノルムが行列式の一般化 K₁(A) → F∗ を与え、SK₁(A) はその核として定義することができる。ワンの定理(Wang's theorem)は、A が素数の次数を持つと、SK₁(A) が自明になるという定理であり、これは平方因子をもたない次数へ一般化することができる。Shianghao Wangも、SK₁(A) が数体上の任意の中心的単純代数 A に対して自明であることを示したが、しかしプラトノフ(Platonov)は SK₁(A) が非自明となるような、次数が素数の二乗である代数の例を与えた。
A を可換環とすると、射影加群のテンソル積は再び射影的であり、従って、 K₀(A) はテンソル積を積とすることにより単位元としてクラス [A] を持つ可換環となる。外積は同様に λ-環(λ-ring)の構造を引き起こす。 A のピカール群は単数群 K₀(A)∗ の部分群として埋め込まれる。
山村 美樹（やまむら みき、1976年8月13日 - ）は、北日本放送の元アナウンサー。富山県西礪波郡福光町（現在の南砺市）出身。1999年に入社し、1年目から夕方ワイド番組『KNBわいどプラス1』の司会を担当する。2007年に出産のため退社。2010年11月よりセラピストとして活動を開始し、富山市内にサロン「ボディーワーク Jalan-Jalan」を開店した。
2011年6月からウィークリー番組「週刊ファイターズTV」としてリニューアルされ、月刊としての放送は2011年5月で発展終了する。放送時間も毎週月曜22：30-23：00（最終週のみ22：45-23：30）となる
コップ座の神話はよく分からないが、このコップは小さなコップではなく、大きな杯であることが分かっている。一説によれば太陽神アポロンのゴブレットを表すと言われるが、酒の神ディオニュソスの所持品など他の説もある（古代メソポタミア神話の王ギルガメシュは水の神ともされ、コップが彼を象徴するという）。 ディオニュソスがアテネに滞在している際にアテネの王から恩恵を受けた。ディオニュソスは王へのお礼としてお酒の作り方を教えた。後に王は、農民たちにディオニュソスから教えられた酒を振舞ったが、酒をしらない農民たちは酔いがまわったのを「毒を飲まされた」と早合点してしまい、農民たちは王を打ち殺してしまったといわれている。
ビスマルクが対墺戦争を目指す外交をしている間、参謀総長モルトケはその軍事的準備を行っていた。分散進撃・集中攻撃というモルトケの戦略を実施しやすいように鉄道と電信に力を入れた。これは軍制改革で動員能力が上がっていたことと合わせてプロイセンの軍事的効率性を大いに高めていた。開戦直前の1866年6月2日に軍司令官への命令権が認められていたモルトケは、指揮権もないのに軍の命令系統に介入してくるビスマルクを抑えながら全軍の指揮を執った。プロイセン軍は6月15日より北ドイツ三国のザクセン王国、ハノーファー王国、ヘッセン選帝侯国に侵攻し、6月27日のランゲンザルツァの戦いでハノーファー軍を破った。さらに7月にはバイエルン軍も撃破して、連邦議会のあるフランクフルト・アム・マインを占領した。ビスマルクは7月1日に国王とともに対オーストリア戦線の大本営に入った。こちらの戦線もプロイセン軍が有利に戦況を進め、7月3日のケーニヒグレーツの戦いでオーストリア・ザクセン連合軍に決定的勝利を収めた。皇太子フリードリヒ率いる援軍が間に合ったことが大きく影響したため、ビスマルクは国王の侍従武官から「閣下、閣下は今や偉大な人物になられました。もし皇太子殿下の軍の到着が遅すぎたら、閣下は最大の悪人になるところでした」という戦勝報告を受けた。皇太子はこの戦争に反対していたが、一たび開戦した後は軍司令官の役割をしっかり果たした。ビスマルクも戦勝後に真っ先に皇太子と会見して彼を称えた。二人は生涯を通じて仲が悪かったが、この戦争中には稀に見る友好的な雰囲気だった。オーストリア軍は包囲を脱して撤退に成功したものの、すでに趨勢は決しており、プロイセンと講和に入るしかなかった。一方プロイセン軍の方はウィーン進軍の機運が高まっていたものの、占領地域の拡大により補給不足に陥っていた。プロイセン軍による現地調達が容赦なく行われ、ボヘミア、モラヴィア、シュレージエンなどではそれに反発する地元民の蜂起が発生していた。これらが拡大すればこの戦争がオーストリアの反プロイセン国民戦争と化す恐れがあった。ビスマルクにとっての主目標（ドイツ連邦解体、オーストリアの覇権除去、プロイセンの北ドイツにおける行動の自由）はすでに達せられており、ビスマルクは早急の講和を希望していた。