名門の政治家に生まれた楊震は、『後漢書』では「自震至彪、四世太尉（震より彪に至るまで、四世が太尉）」の一文で紹介されている。これは楊震、楊秉（楊震の三男で嫡子）、臨晋侯の楊賜、楊彪と子孫四代に亘って宰相に任じられたことを示し、一般には「四世三公」とも称された。楊牧や楊奉の子孫も後漢朝に仕え史書に名を残している。なお、『隋書』によると隋を創立した楊堅は楊震を祖と称している。
先祖は前漢初期の赤泉侯の楊喜とその曾孫の安平侯の楊敞（司馬遷の女婿、昭帝のときの丞相）。父は銜環の故事で有名な楊宝である。楊震は「四世太尉、徳業相継」の第一代に当たる人物。
楊 震（よう しん、54年 - 124年）は、後漢前期の政治家。字は伯起。楊牧・楊里・楊秉・楊譲・楊奉らの父。楊賜・楊敷（楊奉の子）の祖父。楊琦・楊彪・楊衆（楊敷の子）の曾祖父。楊亮・楊修の高祖父。弘農郡華陰県（現在の陝西省華陰市）の出身。『後漢書』に伝がある。
n が 3 よりも大きいときの n 次元多様体の完全な分類は不可能であることが知られている；少なくとも群論における語の問題と同じくらい難しく，それはアルゴリズム的に決定不能であることが知られている．実は，与えられた多様体が単連結であるかどうかを決定するアルゴリズムは存在しない．しかしながら，次元 ≥ 5 の単連結多様体の分類は存在する．
0次元多様体は単に離散空間である．そのような空間は濃度によって分類される．任意の離散空間はパラコンパクトである．離散空間が第二可算であることと可算であることは同値である．
領域不変性定理 により，空でない n 次元多様体は n ≠ m に対して m 次元多様体ではありえない．空でない n 次元多様体の次元は n である．n 次元多様体であることは位相的性質である，つまり n 次元多様体に同相な任意の位相空間も n 次元多様体である．1次元多様体はしばしば曲線と呼ばれ，2次元多様体は曲面と呼ばれる．高次元多様体は通常単に n 次元多様体と呼ばれる．n = 3, 4, 5 については，3次元多様体，4次元多様体，5次元多様体を参照．
多様体が距離化可能であることとパラコンパクトであることは同値である．距離化可能性は位相空間のそのような望むべき性質であるから，多様体の定義にパラコンパクト性を加えることが一般的である．いずれにせよ，パラコンパクトでない多様体は一般に病的と見なされる．パラコンパクトでない多様体の例は長い直線によって与えられる．パラコンパクト多様体は距離空間のすべての位相的性質を有する．特に，完全正規ハウスドルフ空間である．多様体は第二可算であることを要求することも一般的である．これはちょうど，多様体がある有限次元ユークリッド空間に埋め込めることを保証するための条件である．任意の多様体に対して，第二可算であること，リンデレフであること，σコンパクトであることはみな同値である．任意の第二可算多様体はパラコンパクトであるが，逆は成り立たない．しかしながら，逆はほぼ正しい：パラコンパクト多様体が第二可算であることと可算個の連結成分を持つことは同値である．特に，連結多様体がパラコンパクトであることと第二可算であることは同値である．任意の第二可算多様体は可分かつパラコンパクトである．さらに，多様体が可分かつパラコンパクトならば，第二可算でもある．任意のコンパクト多様体は第二可算かつパラコンパクトである．
ハウスドルフの性質は局所的なものではない；なのでユークリッド空間はハウスドルフであるにもかかわらず，局所ユークリッド空間はハウスドルフであるとは限らない．しかしながら，すべての局所ユークリッド空間が T₁ であることは正しい．ハウスドルフでない局所ユークリッド空間の例は2つの原点を持つ直線である．この空間は実数直線の原点を「2つの」点で置き換え，各原点の開近傍は原点を含むある開区間のすべての 0 でない数を含むものとして作られる．この空間は2つの原点を分離できないのでハウスドルフでない．
シャルル2世（禿頭王）は後継ぎ息子のアキテーヌ王ルイ吃音王の妃に、アデライードを選んだ。ところがルイ吃音王はアンスガルド・ド・ブルゴーニュと秘密結婚をして4人の子供をもうけていた。シャルル禿頭王は教皇ヨハネス8世に頼んで息子とアンスガルドの婚姻の無効を宣言してもらい、875年2月にアデライードはルイ吃音王と結婚した。しかし教会側は血縁関係にある夫妻の結婚の正統性に疑義を唱えており、878年9月に教皇がルイ吃音王の戴冠式を執り行った際、教皇側はアデライードの王妃戴冠を拒否した。879年4月にルイ吃音王が死去したとき、アデライードには息子がおらず、先妻アンスガルド所生の2人の息子、ルイ3世とカルロマン2世がランス大司教ヒンクマールの支持を受けて共同で王位に就いた。しかしアデライードは妊娠しており、夫の死の5カ月後の879年9月17日、シャルル3世（単純王）となる王子を出産した。シャルルの誕生は先妻アンスガルドとの間に新たな対立の火種をまくことになった。アンスガルドと彼女の息子たちはアデライードが不貞を働いていたと非難し、アデライードは逆にアンスガルドの産んだ息子たちの王位継承の正統性を疑問視した。898年にロベール家のウード王が亡くなると、アデライードは息子のシャルルを西フランク王に選出させることに成功した。901年に死去し、コンピエーニュの聖コルネイユ修道院に葬られた。