関手 F : C ← D が左随伴関手であるとは、Cの各対象Xに対して、FからXへの普遍射が存在することである。Cの各対象Xに関してDの対象G₀XとFからXへの普遍射εX : F(G₀X) → Xを決めると、関手G : C → Dで、GX = G₀Xと、任意のCの射f : X → XʹについてεXʹ  FG(f) = f  εXが成り立つものが一意的に存在する。このとき、FはGの左随伴であるという。関手 G : C → D が右随伴関手であるとは、Dの各対象Yに対して、YからGへの普遍射が存在することである。Dの各対象Yに関してCの対象F₀YとYからGへの普遍射ηY : Y → G(F₀Y)を決めると、関手F : C ← Dで、FY = F₀Yと、任意のDの射g : Y → YʹについてGF(g)  ηY = ηYʹ  gが成り立つものが一意的に存在する。このとき、GはFの右随伴であるという。注意用語から分かるように、FがGの左随伴であることとGがFの右随伴であることが同値であることは正しい。これは下記の対称的な定義では明らかである。普遍射を用いた定義は、与えられた関手が左または右随伴関手であることだけを確かめたいときに、必要な証明が最小限となるため、しばしば有用である。また、普遍射を求めることは最適化問題を解くことと似ているため、直観的でもある。
随伴の理論は基礎付けに「左」と「右」という言葉を用い、また考えるべき二つの圏 𝒞 と 𝒟 の中にはたくさんの構成要素が存在している。そこで、「左」の圏 𝒞 からとったのか「右」の圏 𝒟 から取ったのかを、この左、右の順で付ける文字がアルファベット順となるようにし、またできうる限りこの順で書き下すようにすると非常に便利である。この記事では例えば、X、F、f、ε は圏Cから、Y、G、g、η は圏Dから取ってくるものとする。そして、可能な場合は、この順で左から右に使うもとのする(例えば、関手 F:C←D はCから取ってきたものと考える)
次に、関手Fから始めた場合では「Fがもっとも効率的な解となる問題は存在するのか？」という(曖昧な)質問が可能である。FがG問題のもっとも効率的な解であるということは、ある意味では正確に、GがFが解となるもっとも難しい問題であることと同値となる。これが随伴関手が対となって現れることの直観的な解釈であり、実際これは正しいが、普遍射を使った定義では自明ではない。随伴関手を用いた対称形の随伴の定義(FはGの左随伴であると言ってもよいし、GはFの右随伴であると言ってもよい)を使うことで、このことが明示的になるという利点がある。
"adjunct"と"adjunction"と"adjoint"というように、二つの異なる語根が使われる(例えば、この記事の英語版)。Oxford shorter English dictionaryによると、"adjunct"はラテン語由来であり、"adjoint"はフランス語由来である。Mac Lane 著 Categories for the working mathematician 第4章 "Adjoints" においては、次のように使われているのが確認できる。The hom-set bijection  is an "adjunction".If  an arrow in ,  is the right "adjunct" of  (p. 81).The functor  is left "adjoint" for .
父師義は山名氏の惣領であったが、天授2年/永和2年（1376年）の死後、長兄の山名義幸ではなく惣領に叔父の時義がなったことに強い不満を抱いていた。義幸の下で守護代として働いていたが、義幸が病の療養のため国もとの所領に下国すると師義流の家系の長となり室町幕府に出仕、弘和元年/永徳元年（1381年）に丹後・出雲・隠岐の3ヶ国の大守護となる。元中6年/康応元年（1389年）、時義が没してその子の時煕が惣領を継ぐことになると、山名氏嫡流の血筋を自認する満幸の不満が頂点に達した。翌元中7年/明徳元年（1390年）、将軍・足利義満に命じられて叔父で舅の氏清と共に、時熙およびその義兄弟（時義の養子）となっていた次兄の氏之を攻め勝利した。その功により氏之の領国伯耆が与えられた。これにより4ヵ国の守護を兼任する満幸の勢力は山名氏中最大となり、自他ともに認める惣領の地位に就いたかにみえた。しかし翌元中8年/明徳2年（1391年）11月、分国出雲の仙洞領（上皇の所領）横田荘を押領したという理由で義満から守護職を解任され京都からも放逐された。さらに先に満幸らが追討した山名時煕・氏之の復帰を義満が認めるという噂を聞き、怒った満幸は氏清の分国和泉を訪ねて誘い、ともに室町幕府と戦う約を誓う。12月、山名軍は丹波で挙兵して京都へ攻め込むが、幕府軍の応戦により敗れて氏清は戦死し、満幸は山陰へ逃れた（明徳の乱）。その後、満幸は剃髪して僧になり一旦は九州筑紫まで逃げるが、応永2年（1395年）、京都の五条坊門高倉に潜伏していたところを出雲守護京極高詮の手により捕らえられ、斬られた。満幸の死により再び嫡流の師義流から、時義流の時煕およびその子孫に惣領権が移った。『明徳記』には、満幸は怯懦な性格であると批難されている。