n-次元球体と (n − 2)-次元球体の間の体積の漸化式の証明は、上記の比例式と円筒座標系における積分を用いて与えられる。球の中心を通る平面を固定する。r を球面の中心と平面上の点との距離とし、θ を方位角とする。n-次元球体と、半径と方位角を固定して定まる (n − 2)-次元平面とを交わらせれば、半径 √R² − r² の (n − 2)-次元球体が与えられる。球の体積は、従って (n − 2)-次元球体の体積の、取りうる半径および方位角に亘る逐次積分  として書くことができ、この方位角座標に関する積分は直ちに計算できる。比例関係を適用することで、この体積が  に等しいことが示される。u = 1 − (r/R)² と置換することによって積分を評価することができ、 を得る。これが2次元漸化式である。体積公式の帰納法による証明に同じ手法を用いることができる。帰納法の基底段階は 0-次元球体と 1-次元球体であり、ここで Γ(1) = 1 と Γ(3/2) = (1/2)Γ(1/2) = √π/2 という事実を用いて簡単に直接確認できる。再帰段階は上記と同様であるが、(n − 2)-次元球体の体積に比例関係を適用する代わりに、帰納法の仮定が適用される。
n-次元球の体積についてのいくつかの証明においての重要なステップであり、それ以外にも有用性のある一般的な事実は、半径 R の n-次元球の体積は Rⁿ に比例すること、つまり  である。このときの比例定数は単位球の体積に等しい。上記の関係は帰納法による簡単な証明がある。基底段階は n = 0 であり、比例することは自明である。帰納段階は、次元 n − 1 で比例することが真であると仮定する。n-次元球体と一つの超平面との交わりは (n − 1)-次元球体であることに注意する。n-次元球体の体積を (n − 1)-次元球体の体積の積分  として書く時、帰納法の仮定により n − 1-次元球体の半径から R-倍の因子を括りだして  と書くことができる。変数変換 t = x/R を施して導かれる は次元 n における比例関係を示すものになっている。帰納法によって、全ての次元で比例関係は真である。
半径 R の n-次元超球面の表面積を Aₙ(R) と書くことにする。この n-次元球面は半径 R の (n + 1)-次元球体の境界である。この (n + 1)-次元球体は同心球面の合併であり、その帰結として体積と表面積との間には  なる関係が成立する。体積は半径の冪に比例するから、上記の関係式により n-次元球体の表面積と (n + 1)-次元球体の体積とを関連付ける簡単な漸化式が導かれる。二次元の漸化式を適用することにより、n-次元球体の表面積と (n − 1)-次元球体の体積を関係付ける漸化式も  と与えられる。
L'Arc〜en〜Cielがインディーズバンドとして大阪を本拠に活動していた時期に唯一リリースされたアルバムで、アルバムタイトルの「DUNE」とはフランス語で「砂丘」の意味。なお、本作のレコーディング以前にも1992年に一度アルバムのレコーディング自体は行われていたが、メンバーがアルバムの出来栄えに納得できなかった為、録音を終えていたほとんどの楽曲がお蔵入りの憂き目となっている。ちなみに、1992年にリリースされたシングル「Floods of tears／夜想花」は、アルバムレコーディングに費やした制作費の一部を埋める為にリリースされたものである。hydeは「最初は『DUNE』を「I'm in Pain」や「No Truth」とかも入れてもっと攻撃的なアルバムにするつもりだった」と語っているが、作曲を手がけた前ギターのhiro側から「自分の曲は収録しないでほしい」との申し出もあり、このアルバムには収録されなかった。また、本作にはhiroが原曲を手掛けた楽曲として「Shutting from the sky」と「追憶の情景」が収録されているが、hydeは「hiroの原曲に近いものはカットしてバンドアレンジし直した」と述べており、原曲からタイトルを変更し、作曲者のクレジットもL'Arc〜en〜Cielとしている。上記の事情からレコーディングできる楽曲に限りがあった為、kenがL'Arc〜en〜Ciel加入前に作っていた楽曲を本作に急遽収録することとなった。これについてkenは「MTRでしか曲を録ったことがなかったから、それをレコーディング出来るってことが凄く嬉しかった」と述べている。4月10日に特別仕様ジャケットの初回特装盤が通信販売のみでリリース。この初回盤は中古で手に入れるのも困難で、一部では現在でも高値で取引されている。4月27日に10曲目の「失われた眺め」が新たに追加された通常版がリリース。この通常版発売後、5月10日付けのオリコンインディーズアルバムチャートで1位を獲得し、L'Arc〜en〜Cielのインディーズでの人気を表す結果となった。また、同年10月21日にはアルバム収録曲の「Dune」、「Floods of tears」、「As if in a dream」の計3曲のミュージック・ビデオを収録したクリップ集『TOUCH OF DUNE』が1万本限定でリリースされている。2004年4月21日にはデビュー10周年を記念し、インディーズ時代に限定で発売されたシングル曲「Floods of tears」(pero所属時に収録されたテイク)、「夜想花」、このアルバム発売後に発行された音楽専科社の音楽雑誌「SHOXX」のおまけとして付属していたCD『The Monster Of Shock Age』に収録された「予感」のボーナストラック3曲を追加し『DUNE 10th Anniversary Edition』として再発された。また、本作はジャケットが一新されている他、全収録曲が田中三一（Bernie Grundman Mastering）によりデジタルリマスタリングされている。