ブダペストに生まれ、ライプツィヒ音楽院に学ぶ。1927年に同地で《弦楽三重奏曲 作品1》を作曲。1931年にパリに移住し、《管弦楽のための主題と変奏、終曲 作品13》《小オーケストラのためのセレナーデ 作品10》を上演する。1937年にロンドンに渡り、最初の映画音楽を作曲。その後アメリカ合衆国で映画音楽の作曲家として活躍し、『深夜の告白』（1944年）、『白い恐怖』（1945年）や『二重生活』（1947年）、『クォ・ヴァディス』（1951年）、『緑の火・エメラルド』（1954年）、『ベン・ハー』（1959年）などで名声を博した。『白い恐怖』はロマン派的な、どことなくシューマンやラフマニノフを思わせるピアノ協奏曲の様式で作曲されており、またテルミンが利用されていることで有名。『ベン・ハー』の音楽は、後に管弦楽組曲としても編み直された。1970年にはビリー・ワイルダー監督の『シャーロック・ホームズの冒険』にも楽曲を提供し、1970年代の終わりまで映画音楽の作曲を続けた。この間にも芸術音楽の作曲を止めてはおらず、1956年にハイフェッツの依嘱により《ヴァイオリン協奏曲 作品24》を、また1962年にハイフェッツとピアティゴルスキーのために《ヴァイオリンとチェロ、管弦楽のための主題と変奏 作品29a》などを作曲。これらの作品は、よりロマン派的な映画音楽とは異なり、新古典主義音楽とハンガリーの民族音楽を独自に折衷した作風となっている。室内楽は初期に数多く手懸けた。1943年に結婚して2児をもうけた。
1977年に登場したグラウンド・エフェクト・カーである「ロータス・78」のカラクリにいち早く気づきベンチュリー構造を導入したのがウルフWR5であった。WR5はサイドウィングを有しグラウンド・エフェクトを狙ってはいたが、大きな1枚のフロントウイングが装着されていたり（サイドポッドへの空気流入を阻害する）、リアサスペンションのレイアウトがアウトボード形式であったり（気流の抜けを阻害する）など細部は洗練されてはいなかった。ウイングカーとしての設計レベル的にはロータス78よりも劣っていたと言える。またコクピット前にオイルクーラーを配する独特なスタイリングをしており、「空飛ぶ犬小屋（フライング・ドッグハウス）」などと揶揄されたりもした。第13戦オランダGPから投入されたWR6は基本的なものはWR5と共通だが、ホイールベースを伸ばしたことが大きな特徴である。それまでのWR5はかなりショートホイールベースであった。第15戦アメリカGPからボビー・レイホールがウルフ・レーシングのNo.2として参加しWR5をドライブした。最終戦カナダGPもWR5で出走の予定だったが、予選中にマシンを壊したため急遽展示用のWR1がレース用に再整備され、決勝でも使用された。シャーシの名前はWR1からWR9まであるが、このうちWR6はWR5と同一である。1979年用マシンはWR7となる。
第71回（平成16年度）NHK全国学校音楽コンクール中学校の部課題曲として混声三部合唱版･女声三部合唱版が作曲された。当初は約5分40秒程度の曲だったが、Nコンの演奏時間の都合により間奏や歌詞を一部カットした短縮版（約4分30秒）が作られ、結局後者が課題曲として採用された。同年度のコンクールのテーマは「信じる」であり、小学校・高等学校の課題曲は「信じる対象への思い」が、詩が立ち上がる契機となっているが、中学校のこの曲だけは「信じる行為そのもの」がうたわれる中心となっている。谷川は「抽象的な言葉を避けようと思いました。そして人間にとってもっとも大切な信じる対象を考えました。（中略）はじめ私は「信じよう」という呼びかけが合唱にふさわしいと思っていたのですが、書いているうちにそれが押しつけのように思えてきました。信じることは、ひとりの人間のもっとも深いところ、静かなところで起こる心の働きだと気づいたからです。」とし、松下は「谷川さんの、選び抜かれた言葉の数々は、それらそのものにメロディーがあり、ハーモニーがある。これらの言葉を殺さないように、誰もが容易に理解でき、なお深い内容を深く表現できうる曲を書こうとしても、なかなか書き出すことができなかった。中学生が対象となる曲ではあるが、老若男女誰でも歌えるメロディーが書きたかった。そして、歌う人それぞれが、信じあい、祈りあえるような、そんな曲を目指した。」「コンクールの課題曲ではあるが、作曲者は、「技巧的に素晴らしいが、感動のない演奏」は望んでいない。むしろ、粗削りでもいいから、心からの叫びを聞きたい。」とする。この曲の最も重要な旋律（冒頭のピアノの前奏に現れ、曲の終結部で合唱に朗々と響きわたるメロディー）は、松下が電車に乗っているときにふいに浮かび、すぐにその場で五線紙に書きとったとされ、後に全日本合唱連盟主催のワークショップにおいて「どういう時にメロディーが浮かびますか?」との問いに松下は「仕事だから、ピアノを弾いてひねり出します。ただ『信じる』という作品だけは、天から降ってきました。京王線の調布で電車を乗り換える時に、メロディーがふっと。不思議な体験でした。あの曲は「谷川俊太郎作詩/松下耕作曲」となってるけど、それは嘘で、神様がくれたので、作曲は神様（笑）。だから今でもみんなに愛されているんですね」と述懐している。ロング女声版は、女声合唱曲集『そのひとがうたうとき』に収録された。2010年には、新たに男声合唱に編曲した版も男声合唱曲集『そのひとがうたうとき』に収録され出版されている。課題曲版はコンクール終了後も人気を博し、現在でも主に中学校の合唱コンクールや卒業式で歌われている。また石毛里佳編曲によるオーケストラ版（混声四部合唱）もある。