上にもあるが、R₂ (3, 3)=6は「6人いれば、互いに知り合いである3人組か、互いに知り合いでない3人組が存在する」として有名である。これを示す。なお、上の図より、R₂ (3, 3)>5であり、5人いても互いに知り合いである3人組も互いに知り合いでない3人組も存在しない場合がある。6つの点があり、その中のどの2つの点も赤い線か青い線で結ばれているとする。赤一色の三角形か青一色の三角形が存在することを示せばよい。6つの点のうち、どれでも良いので1つの点に着目し、その点をAとする。Aからは5本の線が出ているので、そのうちの3本以上は同じ色の線である筈である。Aから赤い線が3本以上出ている場合を考える。Aと赤い線でつながっている点は3つ以上あるが、そのうちの3点をB,C,Dとする。BとCが赤い線で結ばれている場合、三角形ABCはどの辺も赤い赤一色の三角形である。CとD、DとBが赤い線で結ばれている場合も同様に赤一色の三角形が存在する。よって、B,C,Dの中のいずれか2点が赤い線で結ばれている場合は赤一色の三角形が存在する。そうでない場合、即ち、B,C,Dのうちどの2点も青い線で結ばれている場合、三角形BCDはどの辺も青い青一色の三角形である。よってこの場合も一色の三角形が存在する。Aから青い線が3本以上出ている場合も同様である。これとは別の方法で、一色の三角形が2個以上存在することを示すこともできる。相異なる3つの点の組(x,y,z)で、辺xyの色と辺yzの色が異なるものの個数をNとする。ただし、(x,y,z)において、xとzの順番は区別しないものとする。y=Aのとき、そのような組(x,y,z)の個数は、0×5=0(yから出ている線が全て同じ色である場合)、1×4=4(yから赤い線が1本だけ、または青い線が1本だけ出ている場合)、2×3=6(yからある色の線が2本出ており、他方の色の線は3本出ている場合)のいずれかである。よって、y=Aのとき、そのような組の個数は最大でも6である。yが他の点である場合も同様なので、Nは6×6=36以下である。一方、一つの一色でない三角形はそのような組(x,y,z)を2つ含む。よって、一色でない三角形の個数は36/2=18以下である。三角形は₆C₃=20個あるので、一色の三角形は20-18=2個以上ある。
主席宮廷画家（しゅせききゅうていがか、英語: Principal Painter in Ordinary）は、イングランド王国、グレートブリテン王国、グレートブリテン及びアイルランド連合王国の官職。十数名の芸術家が歴任し、そのほとんどが肖像画家である。王宮画家とは別の官職であり、テューダー朝の国王専属画家（King's Painter）と類似した官職である。ニコラス・ヒリアードなども似たような役割を果たしたものの「主席宮廷画家」と正式に任命されることはなく、最初の任命は1689年に就任したジョン・ライリーとされる。
台湾の選挙制度の萌芽期は日本統治時代に実施された州、市、街、庄の議員選挙に遡ることができる。三一法により選挙権は25歳以上の年間納税額5円以上の男性に限定し、400万の台湾住民の中で僅か28,000人に選挙権が付与されたに過ぎない制限選挙であるが1935年に初めての協議員選挙が実施された。1939年には第2回選挙が実施されたが、第二次世界大戦の激化に伴いその後の選挙は実施されることなく日本統治時代は終了した。1945年に中華民国に接収された台湾は、翌年台湾省行政長官公署による各郷鎮市民代表の普通選挙が実施された。これは宣誓を行った240万の住民が参加したものであり、市民代表を選出し更に間接選挙で各県参議員を選出するものであり、1,180人が立候補、30名が当選している。1950年代の台湾での選挙は、普通、平等、直接、無記名による選挙が実施された。選挙権は満20歳以上の公民権停止及び禁治産者を除く全ての台湾人に選挙権と被選挙権を認める内容であり、一人一票の投票権を直接及び無記名で投票するというものであった。しかし、民主化以前の台湾では、地方選挙の多く、たとえば省議会や直轄市市議員、県市長、県市議員、郷鎮市長、郷鎮市民代表、村里長の選挙が実施されたものの、本来行われるべき国会（国民大会、立法院、監察院）や台湾省の首長および省と同格である直轄市市長の選挙が実施されなかった。国会については国政選挙であるが、蒋介石・経国政権は台湾だけでの国政選挙を拒否した。というのも、中華民国は全中国を代表する政府だと主張しており、台湾だけで選出された国会の選出は中華民国の存在理由を否定するものとされたからである。省については、特に台湾省が中華民国の実効支配領域とほぼ重なるため、民選の台湾省長が総統の権威を削ぐ恐れがあったからである。さらに、台北市は当初、非国民党員の市長が選出された時代もあった。しかし、国民党政府は、臨時首都でのこうした事態を快く思わなかった。そこで、台北市長選挙を中止する口実として、台北市を省と同格の直轄市に指定してしまった。総統民選以前の総統選は7度実施されている。これは国民大会を通した間接選挙であり6年に1度実施されるものであった。1996年以前は大陸地区の代表が半数以上を占め、また大陸地区で選出された国民大会代表の改選が行われなかったため、定員3,045名の国民大会代表が、第7回では病没などで1,090人にまで減少していた。