西宮市立津門小学校5年生か6年生の頃、アニメを観て声優に憧れた。児童会長を務めていた小学校6年の時に、1995年1月17日の阪神・淡路大震災に遭遇する。震災後に亮平は父親と阪神電車に乗った際に車窓から見た神戸市内の悲惨な状況に衝撃を受け、父親から「この景色を覚えておきなさい」と言われたことが忘れられないと言う。その震災のために小学校の卒業式を校庭で行い、児童会長として答辞を読んだ。西宮市立今津中学校時代には映画を好きになり、俳優になりたいと思うようになった。同級生の中で役者志望は珍しく、周囲に「何言ってんの?」というような目で見られていたのでかえって負けず嫌いに火が付いた。兵庫県立芦屋南高等学校（現・兵庫県立国際高等学校）を経て、2002年4月に東京外国語大学外国語学部に入学。大学では演劇サークルに入り、最初の公演時に観客に褒めてもらったり感動して泣いてもらった経験などから役者の仕事を一生の仕事にしようと決意。そこから大学生活は演劇漬けになるが、3年時に自分は「このままで本当に役者になれるのか?」と疑問を抱くように。このままではプロになれないと思い、芸能事務所・制作会社に履歴書を持って回ったが50社以上に断られる。キャスティング会社も回り始め、背が高いからということでモデル事務所を紹介してもらえることになった。2006年3月に東京外国語大学外国語学部欧米第一課程英語専攻を卒業。実用英語技能検定1級所有。学生時代にはNHKでアルバイトをしていた。また、在学時は演劇サークルに所属しており、そのサークルの同期には声優の利根健太朗がいた。かつては友近亮平の名でモデルをしていた。2006年、演技学校アクターズクリニックに所属し、塩屋俊の下で演技を学んだ。同年5月には、東レとデサント共同開発の男性用水着をPRする初代のキャンペーンボーイに選出される。東レによると、業界史上初の「水着キャンペーンボーイ」であるとのこと。同年7月、テレビドラマ『レガッタ〜君といた永遠〜』で俳優デビュー。2007年12月公開の『椿三十郎』で映画デビュー。2010年4月3日に放送された『オールスター感謝祭』の赤坂5丁目ミニマラソンで、ただ一人、優勝した蕨野友也を予想し的中。金50万円を獲得した。偶然、蕨野と同じスポーツジムに居たことがあり、身体能力が優れていることを知っていたとのこと。2011年7月28日、一般女性との結婚を発表。11月17日、女児誕生。12月4日に開催された「サントリー1万人の第九」第29回公演に、一般の合唱参加者に混じって、テノール・パートにて合唱参加。公演本番に至るまでの一連の行動が、BS-TBSにて放映されたドキュメンタリー番組『【1万人の第九】公式ガイド 大合唱はこうしてつくられる！〜舞台ウラ公開〜』にて紹介された。2012年4月より、FOXチャンネルの『FOX BACKSTAGE PASS』の司会も務める。2013年6月5日に師である塩屋俊が他界したことを受け、翌日追悼のコメントを発表した。2014年度上半期に放送されたNHK朝の連続テレビ小説『花子とアン』では、吉高由里子演じるヒロインの夫・村岡英治役を演じた。2015年10月31日に公開された映画「俺物語!!」では、型破りな高校生の主人公　剛田猛男役を演じた。2016年8月6日に公開された劇場アニメ『ルドルフとイッパイアッテナ』で声優初挑戦。2018年、第57回NHK大河ドラマ『西郷どん』で主人公の西郷隆盛を演じる。鈴木はNHK大河ドラマ初出演にして主演を務める。
映画の冒頭、梅宮辰夫扮するガラの悪い撮影所長が、スタッフを前に「おまえら、耳をかっぽじってよお聴けよ。わしが今から商業主義のリアリズムいうもんを教えたる。わが大東映画が栄えたんは、その独創性においてではなく、実に古今の名作を盗みまくってきたからなんじゃ。わしは企画者や監督のオリジナリティなんてもんは絶対に信用せん！ ええか、ここでヒットした作品を見てみい。『網走番外地』は『手錠のままの脱獄』、『不良番長』は『地獄の天使』とみんな盗んだもんやないか!  ま、一生懸命盗んでも、おまえらの才能ではモトネタと似ても似つかんものになるから問題も起きん」と演説するが、この撮影所長のモデルは岡田茂。山城は「その頃の東映をパロディにしたくて『ミスターどん兵衛』を作った」「当時はパクリばっかだったし、岡田さんが『こんなもん、何で原作使わないかんのか! パクれパクれ！』と言っていた」などと話している。このネタができたのは、岡田は山城の恩師だったためで、岡田は山城と花園ひろみの仲人だった。また『キネマ旬報』1976年6月上旬号の高田純との対談で 山城「僕は日本の映画が実録路線全盛の時に、なぜ『イヴの総て』や『サンセット大通り』をやらなかったのか、不思議で仕方ないんです。臭いものにはフタじゃなくて、映画界の腐敗ぶり、あせりみたいなものを面白おかしく出せる材料は幾らでもある筈でしょう。『実録・東映株式会社』なんてやったら面白いですよ。悪いヤツいっぱいいるもの(笑) それは広島ヤクザなんかより、よっぽど人脈が入り乱れてますからね...」 高田「『仁義なき戦い・東撮対京撮』なんて、今やっても大傑作になるんじゃないですか。撮影所の中を舞台にした作品は、日本でも何本かあった気はしますけど、本格的な内幕ものは無かったですね」 山城「これは苦肉の策でね。外へ出るのが高くつくみたいなことで、新東宝の末期なんかに『撮影所殺人事件』なんてのが確かにありました」というやりとりがあり、映画の構想はこの辺りからあり、エピソードの多くは1960年代～1970年代の東映と見られる。監督第一作を撮るにあたり、最初はシリアスものを考えたが、パロディが出来る世の中になったと踏んでコメディに方向転換、また青春ものとか自分の理想とする話とかはクサいと考え、あえて軽薄なコメディ、誰でも楽しめる娯楽映画を撮ることにした。山城は「中身もないのに本屋のオッサン（角川春樹）が金かけて作ったりしてる。それならそれを逆手にとって、イージーにイージーに作ってやろうと思った」などと述べている。映画についての博識ぶりをかねてから雑誌、テレビなどで披露していた山城は、当時の大作主義には批判的で、「これまで誰も描かなかった映画界内幕もの。斜陽化した映画界の実情も描きたいし、テレビのように15秒、30秒のギャグをつめ込んだ1時間45分の作品にしたい」」と意欲を述べた。2018年現在では「映画界内幕もの」「映画製作のバックステージを描いた映画」というと『蒲田行進曲』や『ザ・プレイヤー』『カメラを止めるな!』などが挙げられるが、それらの公開前のため、日本映画では前例のあまりない種類の映画だったかもしれない。当時の映画誌では『アメリカの夜』を引き合いに出すものが多かった。『アメリカの夜』の日本初公開時のタイトルは『映画に愛をこめて アメリカの夜』で、評論のタイトルに「〇〇から(に)愛をこめて」と書かれたものがあった。共同脚本の内藤誠は「山城は『不良番長シリーズ』や『夜遊びの帝王シリーズ』とかで、『カントクはいつも、コンテ、コンテで気の毒なショウバイだな』と、私を憐れんでいたが、やがて自分も監督をしたいと言い出した」と述べている。