R を固定して考えるとき、半径 R の n-次元球体の体積は n が無限大へ近づく極限において零に近づく。これは二次元の漸化式を用いて示すことができる。実際、各段階において体積に掛かる新しい因子は ¹⁄ₙ に比例し（比例定数 2πR² は n に依らないことに注意せよ）、最終的には n が十分大きければこの新しい因子は 1 よりも小さくなる。それにより、n-次元球体の体積は少なくとも幾何級数的に減少しなければならず、従ってそれは零に収斂する。同様の証明は一次元の漸化式を用いても示すことができる。この場合は、新しい因子はガンマ函数の商に比例する。ゴーチの不等式はこの商を n-1/2 で上から抑えるものである。体積が少なくとも幾何級数的に減少することを示すという論法は、先と同じである。体積の高次元における振る舞いのより詳細な記述は、スターリング近似を用いて与えられる。これにより漸近公式  が導かれる。この近似における誤差は 1 + O(n⁻¹) の因子である。スターリングの近似は実はガンマ函数の下からの評価であり、従って上記の式は上界を与えている。これにより n-次元球体の体積が指数函数的に減少することの別証明が得られる（n が十分大きいとき、因子 R√2πe/n は 1 より小さく、従って先ほどと同じ論法が適用できる）。
超球体の体積は様々な再帰的関係式を満足する。それらの式は直接的に証明することもできるし、上で述べた一般の体積公式からの帰結として示すこともできる。最も簡明な主張は、n-次元球体の体積を、同半径の (n − 2)-次元球体のそれで表す式  である。n-次元球体の体積を同半径の (n − 1)-次元球体の体積で表す式  も存在する。ふたたびガンマ函数に対する明示公式を用いて、一次元の漸化式を  と書くこともできる。
初等幾何学における球体は決められた点から決められた距離以内にある点の全体が空間において占める領域であった。同様のことを n-次元ユークリッド空間で行って n-次元超球体が定義される。n-次元超球体の体積率は数学全般を通して現れる重要な定数の一種である。
ナムコとベネッセの共同運営。2001年10月に第1号店が神奈川県川崎市高津区のマルイファミリー溝口内にオープン。全店舗とも室内型で、ショッピングモール内で営業していた。1歳から6歳の就学前の児童を対象とし、料金は児童のほうが高くなっていた。
趣味・特技はゲーム・ショッピング・お散歩・コスプレ。約145cmの低めの身長がチャームポイントだと語っている。高校生まで保育士になろうとしていたが、所属していた高校の放送部で「変な声してるな」と言われ、アニメも好きだったことから声優という職業に興味を持った。専門学校アートカレッジ神戸を卒業後、EARLY WING準所属となった。
2015年12月より声優ガールズユニット「Twinkle☆Girls」のメンバーとなる（2018年6月からはT☆Gとして活動中。）。メンバーカラーはピンク。
長崎県出身。1914年早稲田大学専門部政治経済科卒。コロンビア大学大学院に留学し、記者として二六新聞社などで勤務する。その後、1947年、諫早市長選挙に立候補して当選。初代公選市長となった。市長在任中は市立中学の開校、市役所機構の再編、自治体警察の設置、諫早球場の開場など市制改革に追われた。1951年に再選。翌1952年に退任し、第25回衆議院議員総選挙で改進党から立候補したが落選。翌1953年の第26回衆議院議員総選挙で当選し、2期務めた。1958年の第28回衆議院議員総選挙で落選して、政界を引退した。
日本では、コーチングという言葉は1950年代から1990年代まで、スポーツ分野で使われていたが、1990年代から2000年代にかけてビジネス分野での使用が急増し、スポーツ分野と逆転する勢いを見せた。1997年に、ライフ・ダイナミックス系の大手自己啓発セミナーIBD（It’s a Beautiful Day）の主宰者伊藤守 (実業家)が、コーチU（レナード）のフランチャイズとしてコーチ・トゥエンティワン（現在のコーチ・エィ）を設立した。これが、日本で最初の自己啓発セミナーの系譜のコーチングの組織的な導入であり、日本でもアメリカ同様に、自己啓発セミナー関係者たちが、初期のコーチングを広めていった。2000年にリクルート出身の榎本英剛がCTIジャパン（ウィットワース）を設立。コーチ・エィ（コーチ・トゥエンティワン）もコーチ・トレーニング・インスティテュート（CTI）も自己啓発セミナーから派生した国際コーチ連盟系で、日本でコーチングといえば国際コーチ連盟の影響が強い。コーチ・トゥエンティワンは伊藤守が設立したコーチ・エィと2001年に統合されている。カルロス・ゴーン率いる日産では、「上にも下にもはっきりとものが言えない」日産管理職の典型的な傾向を解決するため、外部に研修を委託し、コーチ・エィのコーチング研修を取り入れ、2002年度から部長・課長職を対象にコミュニケーション能力向上のための研修を行った。日産のコーチング研修は、他の改革と相まって業績回復に寄与したと考えられており、日本でコーチングが知られるひとつの契機になったようである。研修はコーチングのスキルを活用したものとされ、日産は「コーチング研修」としてテレビなどのメディアに取材させた。原口佳典は、日産の研修はコミュニケーションのスキルを身に着けさせるためのものであり、コーチングを「役割」ではなく「スキル」であるとしており、従来のコーチングとはかなり変質しているとし、日産の研修の取材を通し日本のメディアに誤ったコーチング観が広まった可能性を指摘している。1990年代から2000年代には、患者やリハビリに関する医療関係者向けのコーチング、教師向けの教育に関するコーチング、親向けの子育てに関するコーチングの書籍も増加している。2008年には日本を拠点とするオーストラリア出身のプロコーチのアンソニー・クルカス（Anthony Clucas）らが、コーチのための大規模組織や大きなイベントの必要性を感じ、ICF東京チャプターを設立、クルカスが代表に就任した。当初公用語は英語だったが、2010年に日本語も加えられて日本人コーチの参加も増え、2013年に国際コーチ連盟日本支部に改名している。NHKがクローズアップ現代で、2003年に日産のコーチング研修を紹介しており、日本でコーチは600人いると述べていた。2011年に社長向けのコーチングを紹介している。