体積公式はガウス積分を用いることにより直接証明することができる。関数  を考えると、この関数は回転不変かつ各々一変数の函数の積になっている。これが積に書けるという事実とガウス積分の公式を適用して  が得られる。ここで dV は n-次元体積要素である。回転不変性を用いれば、同じ積分を球座標に関して  と計算できる。ここで Sⁿ⁻¹(r) は半径 r の (n − 1)-次元球面であり、dA は表面積要素（すなわち (n − 1)-次元体積要素）である。球面の表面積は、球体の体積に関するのと同様の比例関係を満足する。すなわち Aₙ−1(r) を半径 r の(n − 1)-次元球面の表面積とすれば  が成り立つ。上記の積分にこれを適用すると  なる式を得る。置換 t = r²/2 を適用すれば、この式は  と変形でき、これはガンマ関数の n/2 における値である。二つの積分を併せれば  が示される。この式から半径 R の n-次元球体の体積を導出するには、半径 r (0 ≤ r ≤ R) の球面の表面積を積分し、関数等式 zΓ(z) = Γ(z + 1) を適用すればよい。そうして  が得られる。
体積を球座標における体積要素の積分によって計算することができる。球面座標系は動径座標 r と偏角座標 φ₁, …, φₙ−1 を持つ。ここで φₙ−1 を除く各 φᵢ の変域は [0, π) であり、φₙ−1 の変域は [0, 2π) である。球体積要素は  で与えられる。そして求める体積は、r は 0 から R までと、角は取りうるすべての値に亘って取った積分  に等しい。被積分関数の各因子は一変数のみに依存するため、従ってこの逐次積分は積分の積  として書くことができる。動径成分の積分は Rⁿ/n に等しく、また偏角成分の積分区間を対称性により [0, π/2] と書き換えれば  を得る。残った各々の積分はいまやベータ関数の特定の値で、 となる。ベータ関数はガンマ関数に書き換えることができ、 を得るが、この積は連鎖的に約分して畳み込める。値 Γ(1/2) = √π, Γ(1) = 1 関数等式 zΓ(z) = Γ(z + 1) を組み合わせて  が導かれる。
比例関係は n-次元球体と (n − 1)-次元球体の体積の関係に関する漸化式の証明にも使われる。比例式の証明の際に見たように、n-次元球の体積は (n − 1)-次元球体の体積の積分として書くことができる。置換の代わりに、比例関係を被積分関数に現れる (n − 1)-次元球体の体積に適用し、 を得る。被積分関数は偶関数であるため、対称性によって積分区間を [0, R] に制限することができる。区間 [0, R] 上で u = (x/R)² なる置換を適用することができるから、式は  と書き換えられる。この積分はベータ関数 Β(x) と呼ばれるよく知られた特殊関数のある値に等しく、求める体積はベータ関数を用いて  となる。階乗と二項係数との関係とほぼ同じ意味で、ベータ関数はガンマ関数を用いて表されるから、その関係式を適用して  が得られる。値 Γ(1/2) = √π を用いて1次元漸化式  が得られる。2次元漸化式と同様に、体積公式の帰納法による証明を得るために同じ手法を使用することができる。
広島市で開かれる平和記念式典に参列するため、2019年8月5日、渡辺は市内3校の中学生6人とともに2泊3日の予定で同市を訪れた。8月6日朝、平和記念式典に参列。市内のホテルで夕食をとったあと、生徒6人はとうろう流しに参加したが、渡辺はとうろう流しには行かず、近くの飲食店で21時すぎから閉店の23時半まで市職員2人と酒を飲んだ。3人は8月7日0時頃ホテルに戻り、そこから渡辺は「ジュースを買いに行く」と言って一人で外出した。同日2時半頃、中区新天地にある雑居ビル4階のバーの女性店員と代金支払いを巡って口論になり、女性をエレべーターの中に無理やり引きずり込み、顔面を数回殴るなどした疑いで現行犯逮捕された。渡辺は「身に覚えがない。なぜこんなことになったかわからない」と述べ、容疑を否認している。渡辺は2012年から平和記念式典に参加しているが、市の発表によれば、ほぼ毎回飲酒していたという。渡辺の逮捕を受け、幸手市は8月8日から9日まで、副市長の成田博を職務代理者として設置する対応をとった。8月8日、広島地方検察庁は処分保留で渡辺を釈放した。釈放の理由は明らかにされていない。釈放後には幸手市に戻り、8月9日15時より幸手市役所第二庁舎2階第1会議室で釈明会見を開いた。会見では市民や関係者に対して迷惑をかけたと謝罪した上で「青天の霹靂。全く身に覚えのないこと」と逮捕容疑についてあらためて否定し、代金支払いを巡った口論についても「余裕を持って1万円を支払ったところ、大変喜んでいた。したがって、女性店員との間で料金トラブルは全くない」と完全否定した。自身の進退についても11月の任期満了まで市長を務め、辞任しない考えを示した。しかし、同月20日15時より開かれる臨時市議会において、議員側から「市政への信頼を大きく失墜させた」として市長に対する不信任決議案が提出されることになっていたことを受け、同日中に渡辺側より市議会に辞職願を提出し、同日の臨時市議会で翌21日付での辞職が許可された。臨時会の終了後、市役所で記者会見し、「事件は事実無根で今後も争う」と暴行容疑を改めて否定した。渡辺の退職後、幸手市は新たに市長が就任するまでの間、再度副市長の成田博を職務代理者として設置する対応をとった。渡辺の辞職に伴い行われた10月6日投開票の市長選挙の結果、2015年の同選挙で渡辺に敗れた元市助役の木村が当選した。