現在、日本では氏の取得と変動は民法の規定によって定まる。夫婦は、婚姻の際に定めるところに従い、夫又は妻の氏を称する（民法750条）。嫡出である子は父母の氏を称し、嫡出でない子は母の氏を称する（民法790条）。また、養子は養親の氏を称する（民法810条）。この法では、夫婦の「氏」は夫婦が互いの氏から自由に選べる。しかし慣習的に多くの夫婦は、夫の氏を選択している（2005年度（平成17年度）の1年間に婚姻した夫婦を対象とする調査によれば、全体の96.3%の夫婦が夫の氏を選択した）。これは1948年（昭和23年）の改正前民法（家族法）に見られるように、婚姻を妻が夫の「家」に入ると考える（家制度）と、全ての「家」の構成員が、夫を筆頭とする「家の氏」にまとめられるという、男系家制度の慣習を反映している。婚姻又は養子縁組によって氏が変更があると、もとの氏を「旧姓」という。なお、夫婦同氏制（夫婦同姓）については、1996年（平成8年）に法制審議会が出した「民法改正案要綱」で、選択的夫婦別氏制度（夫婦別姓）が定められたことをきっかけに、その賛否が論じられている。尚、アジアの多くの国、韓国、中国、インドでは、夫婦別姓であり、日本も明治31年以前は夫婦別姓であった。夫婦同氏のみを原則とする国家は以前はタイ、ドイツ等あったが、現在では、日本以外の国家はすべて選択的夫婦別姓制度に移行し、夫婦同氏のみを原則とする国家は日本のみとなっており、人権的にも国際的な批判がある。
明治維新によって新政府が近代国家として国民を直接把握する体制となると、新たに戸籍を編纂し、旧来の氏（姓）と家名（苗字）の別、および諱と通称の別を廃して、全ての人が国民としての姓名を公式に名乗るようになった。この際、今まで自由だった改名の習慣が禁止された。明治以降の日本人の戸籍人名は、氏は家名の系譜を、名は諱と通称の双方の系譜を引いている要素が大きい。例えば夏目漱石の戸籍名である夏目金之助は通称系、野口英世は諱系の名である。日本人の名前は、法律上、原則として「氏」（うじ）と「名」（な）との組み合わせから成る「氏名」（しめい）で呼称され、戸籍上「氏」「名」で記録される。「氏」は民法の規定によって定まり（民法750条、810条等）、「名」は戸籍法に定める出生届に際して定められる（戸籍法29条柱書、50条、57条2項等）。「氏」は現代においては姓（せい）または苗字・名字（みょうじ）とも呼ばれ、古くは一定の身分関係にある一団の、近代以降は家族の人間の共通の呼称として、個人がその集団に属することを示す。「名」はさらにその集団の中の個人を示す役割を果たしている。日本人の氏名を含む身分関係（家族関係）は、戸籍に登録される。例外として、天皇及び皇族の身分関係は、戸籍ではなく皇統譜に登録される（皇室典範26条）。また、天皇及び皇族は、「氏」を持たない。これは歴史的に氏や姓が身分が上の者から与えられるものだったためである。
紀元前1000年頃のエジプトで帯分数がすでに使われており、紀元前600年頃のインド「シュルバ・スートラ」（サンスクリット語で「コードの規則」）では無理数の使用や円周率の近似値として 3.16 が与えられている。数の体系としての実数をとらえる試みは古代ギリシャにおける「大きさの理論」にさかのぼることができる。この「大きさ」とは大小比較や加法、自然数倍ができるようなものとして定式化される。幾何学における線分の長さなどがこの大きさの理論を適用できる概念になるが、こうして考えられた量が自然数（あるいは整数）の比である有理数だけではとらえきれないという紀元前500年頃のピタゴラス学派による発見は大きな意義をもっていた。6世紀にはインドの数学者によって負数の概念が発明されており、ほどなくして中国の数学者たちも独立にその概念を発明した。ヨーロッパでは16世紀まで負数が用いられていなかったし、1700年代後半のレオンハルト・オイラーでさえ方程式の負の解をあり得ないものとして切り捨てている。17世紀にアイザック・ニュートンとほぼ同時に微分の概念に到達したゴットフリート・ライプニッツは数の無限小変動（モナド）の考え方によって微分をとらえようとした。彼の考え方は十分に形式化されず、厳密性を欠いたものだった。18～19世紀にベルナルト・ボルツァーノ、オーギュスタン・コーシー、カール・ワイエルシュトラスらによりイプシロン-デルタ論法にもとづく微分の定式化が達成された。これにより数のコーシー列の「収束先」の存在を保証するものとして実数の体系がはっきりとした存在意義を持つようになった。また、18世紀から19世紀にかけて無理性や超越性についての研究が大きく進展した。代表的な成果に、ヨハン・ハインリッヒ・ランベルトによる円周率の無理性の証明（1761年）、パオロ・ルフィニとニールス・アーベルによる五次以上の代数方程式が一般には冪根を用いて解けないこと（1799年、1842年）の証明、ジョゼフ・リウヴィルによる超越数の存在証明、シャルル・エルミートによるネイピア数の超越性の証明、フェルディナント・リンデマンによる円周率の超越性の証明（1882年）などがある。ゲオルク・カントールはフーリエ級数の収束の問題を研究するうちに実数の部分集合を考察するようになり、整数や有理数などのよく知られていたクラスの数の集合と実数の集合が本質的に異なるサイズのものであることを示した。このような実数の超越性によりレオポルト・クロネッカーなど一部の数学者たちは嫌悪を示した。カントールが提起した「実数集合はどの程度大きいか」という問題は通常採用される数学の枠組み（ZFC 集合論）からは独立であることが後になってわかった。アンリ・ルベーグはルベーグ積分の理論によって積分論の構造化を達成する過程で「積分可能」な関数のクラスである可測関数の概念と、それらによって指定されるような実数の部分集合である可測集合の概念をえた。この可測集合は具体的に構成できるような実数の集合を尽くしていて、選択公理を仮定しなければ非可測な集合の存在を導くことができない。ライプニッツの無限小の概念はその曖昧さ故に ε–δ 論法の陰に葬り去られていたが、1960年代に超準解析という枠組みのもとで厳密な定式化が達成された。