被積分函数の冪指数がもっと別の偶数次多項式に変わった場合も、級数解は容易に計算することができる。例えば四次多項式を冪指数とする指数函数の積分は(5.1)で表される。n + p = 0 mod 2 であることが要求されるのは、−∞ から 0 までの積分が各項に (−1)ⁿ ⁺ ᵖ/2 なる因子として寄与し、0 から +∞ までの積分が各項に 1/2 の因子として寄与することによる。これらの積分は場の量子論に属する話題である。
A = (αᵢⱼ) をやはり正定値対称行列として(3.1)が成り立つ。ただし、b = (bᵢ) で ᵗ は行列の転置とする。
A = (αᵢⱼ) が正定値対称（従って可逆な）共変行列（二階共変テンソル）ならば(2.1)が成り立つ。ここで積分は Rⁿ 全体でとる。この事実は多変数正規分布の研究に応用される。また、(2.2)が成立する。ここで、σ は {1, ..., 2N} の置換であり、右辺に現れる余分な因子は A⁻¹ の N 個のコピーを {1, ..., 2N} の組合せ対 (combinatorial pairing) の全体に亘って加えた和を意味する。あるいはまた、A⁻¹ = (βᵢⱼ) として(2.3)がいくつかの解析関数 f に対して成立する。f は増加具合が適当に制限されているとかあるいはほかの技術的な判定条件を満足する必要がある。これは特定の関数に対してはうまく行くがそうでないものもある。たとえば多項式ならば成立する。また微分作用素変数の指数関数 exp は冪級数として理解され、あらたな微分作用素を定めるものである。さらに無限次元への一般化としての汎関数積分には厳密な定義は無く、多くの場合それは計算的でさえないが、ガウス汎関数積分を有限次元の場合の類似物として「定義」することができる。もちろん問題はあって、単純に有限次元の場合の式を無限次元の場合に適用しようとすれば (2π)∞ は無限大に発散してしまうし、汎函数行列式 (functional determinant) も一般には無限大となりうる。これらのことを考慮して比(2.4)のみを考えることにするならばガウス汎関数積分を扱うことができるという意味である。ドヴィット記法 (deWitt notation) を使えば、この等式は有限次元の場合と同じ形に書くことができる。
東京市芝区（現在の東京都港区）高輪4丁目に生まれる。父は横河グループ創業者で建築家の横河民輔、母は教育者棚橋絢子の娘の下枝であり、三男であった。慶應義塾幼稚舎、中等部を経て、慶應義塾大学経済学部に入学。大学時代は蹴球部（ラグビー部）に所属していた。1937年3月に大学を卒業して、同年4月に横河電機の前身・横河電機製作所に入社。入社後はグループ会社の株式会社東亜鉄工所（現・横河東亜工業株式会社）、株式会社横河橋梁製作所（現・横河ブリッジ）で修行。1938年10月、横河電機製作所に移る。1939年1月徴兵により陸軍に入隊することになる。陸軍では輜重兵第一連隊に配属され、その後、幹部候補生試験に合格し、予備士官学校を経て陸軍主計少尉に任官した。その後中尉に進級。中国で旅団勤務を経て、1942年（昭和17年）、病気により除隊し、会社に復帰した。復帰後間もなく、川越工場総務部長に就任。その後、本社総務部長を経て、1955年（昭和30年）5月、40歳で取締役に就任。1960年（昭和35年）11月に常務取締役に就任。1963年（昭和38年）9月にヒューレット・パッカードとの合弁企業の横河ヒューレット・パッカード株式会社を設立してその初代社長に就任。1974年（昭和49年）、横河電機製作所の代表取締役社長（7代目）に就任。1981年（昭和56年）には、米国ゼネラル・エレクトリック社との合弁会社横河メディカルシステム株式会社（現・GE横河メディカルシステム株式会社）を設立。翌年には、同業の株式会社北辰電機製作所との合併を実現。新会社横河北辰電機株式会社の代表取締役社長に就任した。当時、横河電機製作所も北辰電機製作所もそれぞれ計測・制御機器メーカの1位、2位のメーカーであったが、両社とも従業員数が3,000名程度の中規模メーカーであった。この横河・北辰の合併により、新会社は、6,000名を超える従業員と、1,000億円以上の売上高を擁する大規模メーカーへの脱皮の契機となった。両社の合併には同業者同士であり、競合関係にあったため、困難を伴ったが、結果的に合併の成功例として讃えられた。1985年（昭和60年）、横河北辰電機はCIを実施し、横河電機株式会社と社名を変更。その後も、社長、会長、名誉会長として会社の発展に尽くし、相談役に退いた。社長時代、横河・北辰の合併により、余剰となった人材をリストラせずに、活用する方法にこだわり、多数のグループ会社を設立。計測・制御機器事業を中心に、事業を多角化。現在の横河電機グループの発展を実現させた。また、社内のスポーツ振興に力を注ぎ、横河電機サッカー部（現・東京武蔵野シティFC）やラグビー部（現・横河武蔵野アトラスターズ）などを育成した。その他、慶應義塾評議員などの公職も兼任した。2005年12月26日、心不全により死去。