方程式が自明な解 a = b = s = t = 0 以外に整数解を持たないことを、無限降下法で証明できる。非自明な整数解 (a₁, b₁, s₁, t₁) が存在すると仮定すると、より a₁² + b₁² は 3 の倍数である。平方数を 3 で割った余りは 0 か 1 であるから、a₁, b₁ ともに 3 の倍数でなければならないことが分かる。そこで、a₁ = 3a₂, b₁ = 3b₂ とおくと、となる。すなわち、新しい解 (s₁, t₁, a₂, b₂) を得た。4つの数の和についてであるから、新しい解の方が小さい。こうして次々に「小さい」解を得ることができるが、これは矛盾である。したがって、方程式は非自明な解を持たない。
2の平方根が無理数であることは古くから知られていたが、その証明を無限降下法で表現することもできる。2の平方根が有理数であると仮定すると、2つの自然数 p, q を用いてと表せる。平方して分母を払うとを得る。よって p は偶数である。p = 2P とすると、P も自然数であってとなる。両辺の2を払ってを得る。よって q も偶数である。q = 2Q とすると、であるから、分数表示としてより小さなものが見付かったことになる。この手続きは何度でも繰り返すことができるから、いくらでも小さなものを得ることができる。しかし、自然数の範囲では、それは不可能なはずである。したがって、仮定が誤りだったのであり、2の平方根は無理数である。
自然数に関する命題の証明に威力を発する場合があり、典型的には不定方程式に自然数解が存在しないことを示す際に用いられる。具体的には、自然数解が存在すると仮定し、ひとつの解から（ある意味で）より「小さい」別の自然数解が構成できることを示すのである。その構成法より、小さい解を次々に得ることができるはずであるが、自然数には最小のものがあるから、これは矛盾である。よって、仮定が間違っていたのであり、解が存在しないことが示されたことになる。小さい解を次々に得る様子が「無限に降下」していくように感じられることから、「無限降下法」と呼ばれる。この証明は次のように書き換えることもできる。解が存在するとすると、最も「小さい」ものが存在する。先の構成法から、より小さいものが得られるが、これは最も「小さい」という仮定に矛盾する。よって、解は存在しない。この証明のポイントは、最も「小さい」ものが存在するはずの、性質の良い「大小関係」を考えることである。必ずしも解そのものの大小関係である必要はなく、解に対してある自然数を対応させる関数の値の大小関係であれば十分である。
数学における無限降下法（むげんこうかほう、infinite descent）とは、自然数が整列集合であるという性質を利用した、証明の一手法である。背理法の一種であり、数学的帰納法の一型とも見なせる。17世紀の数学者ピエール・ド・フェルマーが創始者であり、彼はこの証明法を好んで用いた。紀元前3世紀にユークリッドが（例えば『原論』7-31で）使用していた、との主張もある。
第二次世界大戦後は東西ドイツ分断の影響を大きく受けてあたかも複数の路線であるかのように分断された。ビューヒェン - シュヴァンハイデ間で東西ドイツ国境を、アルブレヒトスホフ - ゼーゲフェルト間で東ドイツと西ベルリンの境界を跨ぐようになった。東ドイツではソビエト連邦への賠償のために単線化された。それでもベルリンからシュヴェリーンやヴィスマールへ向かう国内列車のほか、西ドイツと西ベルリンをノンストップで結ぶ回廊列車などが運行される東ドイツの重要路線であった。 西ドイツ国鉄でも東西境界区間になったビューヒェン - シュヴァルツェンベーク間は単線化された。1950年代から60年代にかけては東ドイツ国鉄03形蒸気機関車がハンブルク＝アルトナ駅への回廊列車を牽引していた。1973年夏以降はビューヒェン駅で東西の機関車を交換するようになった。1961年12月5日の夕方にはシュターケン付近にてベルリンの壁の一部として設置された有刺鉄線を列車ごと強行突破して東ドイツから西ベルリン領内に入る事件が発生した。事情を察知した乗客25人はそのまま西側に亡命し、他の乗客はそのまま東側に戻った。当時はベルリンの壁がまだ完全には強化されておらず、東ドイツ領内から西ベルリンに入る線路が残されていたためである。同日夜にその区間の線路は国境警備隊によって封鎖された。結果として、ベルリン - ハンブルク間の回廊列車はベルリン外環状線経由に変更され、西ベルリンへの出入域はグリープニッツ駅にて行われるようになった。1960年代には国境管理や迂回区間、単線区間の存在が原因で2都市間の所要時間は6時間以上に増大するようになった。ビューヒェンを経由する東西ドイツ間の貨物列車の本数は制限され、東行きは1日当たり貨物列車24本と旅客列車5本、西行きは17本の貨物列車17本と5本の旅客列車5本となった。これによって生じたハンブルク地区の輸送力の空白はハンブルクSバーンに振り分けられた。東西ドイツ分断前はハンブルクはベルリン方面、フレンスブルク方面、リューベック・ロストック方面、ハノーファー方面、ブレーメン方面の5方面への路線が分岐する交通の拠点であった。分断によってベルリン-ハンブルク線は西ドイツでの重要性を失い、ハンブルクの交通網は南北方向を中心とした体系に転換された。ハノーファー-ハンブルク線は1965年に、ハンブルク- ブレーメン線は1968年に電化され、後に両線の最高速度は200km/hに引き上げられた。1976年にはナウエンからの路線が再開業し、シュターケンに国境検問所が再設置された。これに前後してナウエン - ルートヴィヒスルスト間が複線化された。