元弘3年（1333年）12月、足利尊氏の弟・直義は相模守に補任され、成良親王を奉じて鎌倉に下向、鎌倉府の前身となる鎌倉将軍府が成立した。その背景としては、当時の鎌倉は尊氏の子・義詮を中心とする足利勢の占領下にあったが、公式には認められておらず、新田義貞の巻き返しもあったため、鎌倉幕府滅亡後の関東が不安定な状態だったことがある。鎌倉将軍府の設置により、尊氏は鎌倉占領の合法化に成功する。後醍醐天皇は中央集権を志向していたため、このように強大な権限を持つ広域地方行政機関には消極的だった。しかし、関東で勢いを増す尊氏を牽制するために、北畠顕家に対し、義良親王を奉じて、広域地方行政機関・陸奥国府を奥羽（現在の東北地方）に設けることを認めると、尊氏はこれを逆手にとって、関東にも鎌倉将軍府の設置を認めさせたとされ、通説となっている。これとは逆に、後醍醐天皇は鎌倉将軍府に積極的だったという意見もある。元弘3年（1333年）8月、尊氏を武蔵守に補任しているが、その背景には、北畠顕家の陸奥下向と同様、尊氏も関東に下向させる意向があったと考えられる。さらに関東では武蔵国の他にも、多くの国司や守護の地位が足利一門に与えられていることから、この時期には尊氏を信頼しており、後醍醐天皇は関東の安定化のために、尊氏自身による鎌倉将軍府を積極的に構想していたとも考えられている。
後醍醐天皇が建武の新政の一環として、関東統治を目的に皇子・成良親王を鎌倉へ下向させて創設した鎌倉将軍府が起源。実権は幼い親王を奉じた足利直義にあった。観応の擾乱が発生すると、足利尊氏は子である足利基氏を鎌倉へ派遣し、以来、長官の鎌倉公方は基氏とその子孫、これを補佐する関東管領は上杉氏が世襲する鎌倉府となった。管国は関東10か国(相模・武蔵・安房・上総・下総・常陸・上野・下野・伊豆・甲斐)で、1392年に陸奥・出羽が追加された（ただし、1400年に奥州探題の設置によって陸奥・出羽両国に対する鎌倉府の権限が事実上削減される）。鎌倉公方・足利氏と関東管領・上杉氏はやがて対立し、1439年の永享の乱では、関東管領・上杉憲実、幕府・足利義教と戦った第4代鎌倉公方・足利持氏が敗死し、鎌倉府は長官が一時不在となった。その後、持氏の遺児・足利成氏が鎌倉公方となるが、享徳の乱で室町幕府・上杉氏と再び対立。上杉氏援軍の今川範忠勢に鎌倉を占領されると、本拠を下総・古河城にあらため、鎌倉府は古河公方・成氏の古河府へ継承された。幕府は新たな鎌倉公方として足利政知（義教の子）を派遣したが、上杉氏との確執から伊豆の堀越御所に根拠を定め（堀越公方）、源頼朝の時代から東国政治の中心だった鎌倉には入れなかった。
鎌倉府（かまくらふ）は、室町時代（南北朝時代）に、室町幕府が関東10か国を統治するために設置した機関である。長官の鎌倉公方は足利基氏とその子孫、それを補佐する関東管領は上杉氏が世襲した。
父は旗本荒川練賢、母は片桐氏。竹本家に養子に入る。安政6年（1859年）10月外国奉行に就任、翌月神奈川奉行を兼ねた。翌万延元年12月23日（1861年1月24日）、全権委員として日普修好通商条約に調印。文久2年（1862年）10月大目付となり、12月再び外国奉行を兼ねる。12月9日（1863年1月28日）、英国代理公使ジョン・ニールを訪れ、御殿山に建設中の新公使館の使用中止を依頼した。公使館はこの3日後に、高杉晋作らに焼き討ちされた（英国公使館焼き討ち事件）。ニールとの会談の際、将軍が天皇の説得に失敗した場合には内乱となる可能性があること、その場合には英国は幕府を援助してくれるかを尋ね、ニールから肯定的な回答を得た。この縁もあり、生麦事件の交渉にあたっては、幕府側の窓口を務めた。生麦事件の賠償金として英国は10万ポンド（加えて第二次東禅寺事件の賠償金が1万ポンド）と莫大なものであった（文久3年2月19日に伝達）。しかし幕府が賠償金を支払い、かつ条約順守の姿勢を見せた場合、英仏両国は幕府を軍事的に援助すると申し出た。当時将軍徳川家茂は京都にあり、江戸の留守政府では重大な決断はできなかった。このため、竹本は京都へ出向き、4月8日（1863年5月25日）、横浜に戻り、軍事援助の申し出を断ると同時に、一両日中に賠償金の支払い方法を決定することに合意した。ところが竹本は「病気」になってしまい、その後の最終的交渉には参加しなかった（結果としては5月9日（6月24日）に11万ポンドが支払われている）。竹本は5月5日（6月20日）に咸臨丸で江戸を離れ、大坂で老中小笠原長行らの率兵上洛計画を阻止しようとしたが、説得には失敗した（小笠原らは淀まで進軍したが、家茂から入京を見合わせるようとの命令が下り、率兵上洛は結局実現しなかった）。6月12日（7月27日）に咸臨丸に乗船し大坂を後にした。7月外国奉行専任となり、横浜鎖港交渉を担当した。翌元治元年（1864年）8月、下関戦争の処理交渉に当たった。11月外国奉行を免ぜられ外交の第一線を退く。幕府倒壊後、程なく病没した。