固体材料の破壊は大きくぜい性破壊（脆性破壊、英: brittle fracture）と延性破壊（英: ductile fracture）に分けられる。ぜい性破壊は鋳鉄・ガラス・コンクリート・岩石・金属間化合物・セラミックスなどに生じるもので、荷重あるいは応力を増やしてくとほぼ弾性状態（応力σとひずみεの線形性）を保ったまま破壊（図1, 点2）に至るケースである。破壊に至るときの応力をぜい性破壊強度（図1, 点1）と呼ぶ。実際には完全な弾性状態からは多少外れて若干の塑性変形を伴うことがある。一方、延性破壊は金属材料の多くに見られるものである。小さい応力の限りでは延性材料は弾性を示すが、降伏点（図2, 点2）を上回ると材料にはまず大きな塑性変形（図2, 領域4）が見られるようになる。この間材料内の各所で小さな亀裂が発生し、それが進展して最終的に図2, 点3の破断（英: rupture）に至る。延性破壊というときは亀裂発生から破断に至るまでの一連の過程を含めて称することが多い。このほか、材料の降伏点より少し小さい応力であっても、わずかな塑性変形を繰り返すことによって材料内に微視的な亀裂を多数生じ、それが進展して破壊に至る疲労破壊（英: fatigue fracture）や、持続応力の作用により時間の経過とともにひずみが増大して破壊に至るクリープ破壊がある。材料の破壊を調べる時、しばしば数値解析によるシミュレーションが用いられ、その手法はフックの法則などの各種基本式をどのように解くかで大きく2つに分けられる。1つはリメッシュやX-FEMで、破壊面を表現するため新しく節点を増やすなど、行列の次元を変化させる手法。もう一つは個別要素法など、剛体ブロックとバネで固体を表現し、破壊時にはそのバネを切るという、剛性マトリクスそのものを変化させることで破壊を表現する方法である。
古代ギリシャのアポロニウスが円錐曲線論の体系を著書にまとめ、中世ヨーロッパではケプラーによって天体の軌道との関連が見出された。またアポロニウスによる総合幾何学的な円錐曲線論はオイラーによって解析幾何学を用いて現代的に書き換えられた。
二輪車の運転では、ライダーがシートに真っ直ぐ座り、脚を閉じて膝でタンクを挟み（ニーグリップ）、カーブでは車体と身体を真っ直ぐ一体にして傾ける（リーンウィズ）のが基本とされる。ハングオフ（ハングオン）はこの基本姿勢から大きく逸脱しており、視覚的にも分かりやすいため、レースやレーシングライダーに憧れる一般ライダーが模倣する例が見られる。膝を路面に擦るといった独特のフォームに固執するあまり、スムーズで安全な運転操作になっていない場合も多い。そういった低レベルな模倣に対し、「無理膝」（膝だけを無理に突き出して路面に擦る）などの俗称も存在する。ハングオフ（ハングオン）ではライダーが腰を内側に落とし膝を開くため、ライディングスーツ（レーシングスーツ）の膝の外側を路面に擦ることが多い。路面に膝を擦るとライディングスーツが削れて穴が空いてしまうため、現在のライディングスーツの中には、この部分にプラスチック製や革製の「バンクセンサー」あるいは「ニースライダー」などと呼ばれる突起物が付いているものもある。多くの場合、バンクセンサーは交換できるので、路面に擦って削れても問題ない。バンクセンサーが考案される前は、膝の部分にガムテープなどを厚く貼って対処する例も見られた。
ハングオンは２輪車でカーブを旋回する際に、乗員がシートからカーブの内側方向へ腰をずらして乗車する技法である。傾斜させた車体に乗員がぶら下がっているように見えることから「ハングオフ」（英語でぶらさがるという意味）と呼ばれるようになった。しかし日本では「ハングオン」と誤認され、間違った呼称が定着してしまっている。乗員の身体の重心をカーブの内側方向の低い位置に移動させることで、車体を大きく傾斜させなくても遠心力に拮抗させられるため、安定した旋回が可能となる。同時に、カーブ内側のひざを開いて路面に接触させ、車体の傾斜角度の目安とする方法もとられる場合が多い。元々はロードレースのレーシングライダーが使用する特殊なテクニックだったが、現在では一般道を走る一般のライダーが使用する例も見られる。
全ての自然数はn\ge0,k\ge0,a\in\{1,2,3,5,6,7\}として4^k(8n+a)で表される。その中でa\ne7のものは高々三個の平方数の和で表され、a=7のものは4^k(8n+6)+(2^k)^2として高々四個の平方数の和で表される。従って、全ての自然数は高々四個の平方数の和で表される。なお、四個の平方数の和については初等的な証明（→多角数定理）が知られている。
一般に鉄道運行計画は、列車計画→車両運用計画→構内作業計画→乗務員運用計画の順で定められる。まず車両運用計画を立てる対象となる列車計画、続いて構内作業計画を立てるために必要な車両運用計画が作られる。構内作業計画で決まる入換を実際に担当するのは運転士であるので、乗務員運用計画は最後に決定される。しかし車両運用計画を考える際に編成の過不足が発生する場合は列車計画に戻って回送列車の設定を行う必要があり、同様に構内作業計画や乗務員運用計画に不都合が生じれば前段階に戻ってやり直す。したがって現実には順序どおり計画が立てられることはなく、各段階の担当者の間で細かく調整が繰り返されながら同時並行的に計画作業が行われることになる。路線網が広範囲に渡る場合は、地域別に分担して運行計画を作成することが多い。このとき相互に関連する地域間で担当者が打ち合わせて運行計画を作成することは手間と時間のかかる作業となる。さらに異なる事業者に乗り入れる場合も、担当者間で綿密な打ち合わせが必要となる。地域別に分割して計画作成を行う場合は、まず乗り入れを行う列車の境界駅での時刻を決め、それを軸に各地域内の運行計画を作成するという手段がよく用いられる。ヨーロッパのように国際列車が多国間を結んで運行されている場合にはさらに難しい問題となる。この場合も長距離列車を中心に国際列車の時刻を全体の会議などで打ち合わせて決定した上で、国内のローカル列車の時刻をそれぞれで決定していくという作業になる。乗務員が国境駅で交代することが多いのは乗務員運用計画を国別に分割できるようになるためであるし、機関車が客車を牽引する形態の列車が多いのは、同様に機関車の運用を国別に分割できるためである。もちろん機関車を交換するのは国別に異なる電化方式や信号システムの影響も大きい。日本では、列車計画と車両運用計画は本社や支社の運行計画担当者が、乗務員運用計画は乗務員所属区所が、構内作業計画は駅や車両基地の担当者が、それぞれ計画を作成することが多い。