ρ を体 F 上のベクトル空間 V における群 G の表現 ρ: G → GL(V) とする。V の基底をとれば、ρ を群から正則行列からなる適当な集合の上への写像（準同型）と見做すことができて、この文脈では行列表現と呼ばれるが、基底をとらずに空間 V を考えるほうが物事は非常に単純になる。V の線型部分空間 W が G-不変であるとは、任意の g ∈ G および w ∈ W に対して gw ∈ W が成り立つことを言う。表現 ρ を G-不変部分空間 W へ制限したものは部分表現と呼ばれる。表現 ρ: G → GL(V) が既約であるとは、それが自明でない部分表現を持たないことをいう（任意の表現は自明な G-不変部分空間、つまり全体空間 V と{0} を部分表現として必ず含むことに注意）。 真の非自明な不変部分空間を持つ表現 ρ は、可約 (reducible) であると言う。
群の表現論は1940年代頃からリチャード・ブラウアーにより一般化され、行列作用素が（実または複素数を成分とするベクトルではなく）任意標数の体 K 上作用するモジュラー表現論が与えられた。そうした理論における既約表現の類似構造物を単純加群と呼ぶ。
数学のとくに群あるいは多元環の表現論における（代数的構造の）既約表現（きやくひょうげん、英: irreducible representation; irrep） とは、真の閉部分表現を持たない非零表現を言う。複素内積ベクトル空間 V 上の任意の有限次元ユニタリ表現は、既約表現の直和である。既約表現は常に直既約である（すなわち、別の表現の直和にかくことができない）であり、この二つはしばしば混同されるが、例えば上半三角冪零行列として作用する実数の二次元表現など、一般には可約だが直既約な表現が無数に存在する。
兵庫県南淡町（現・南あわじ市）に生まれる。兵庫県立洲本高等学校卒業。1984年（昭和59年）3月、東京大学法学部卒業。同年4月、通商産業省に入省。1991年（平成3年）、ノースウェスタン大学経営大学院修了。資源エネルギー庁参事官（原子力損害対応室長）、中小企業庁経営支援部長などを歴任したのち、2013年（平成25年）7月から2016年（平成28年）6月まで東北経済産業局長を務めた。2017年（平成29年）1月29日告示、2月5日投票の南あわじ市長選挙において無投票で初当選した。2月13日、市長就任。
プロテスタント教会が、公共の図書館を運営している。連邦技術支援庁 (THW)はヴェヒタースバッハに拠点の一つを置いている。ここには技術車輌の他に爆発物専門チームも配備されている。
1994年、第2回パンクラス入門テストに合格し、パンクラスに入団。1995年1月26日、パンクラス生え抜き第1号選手としてプロデビュー。1995年7月、ネオブラッド・トーナメントに出場。ジェフ・マサギリ、稲垣克臣、柳澤龍志に勝利を収め優勝を果たした。ネオブラッド・トーナメント優勝後、2つの引き分けを挟んで9連敗を喫した。1997年1月17日、パンクラスでヘイガー・チンと対戦し、TKO勝ち。連敗から脱出した。1997年7月の道場分割では鈴木みのる率いる「横浜道場」（パンクラス横浜）所属となった。2001年6月10日、The CONTENDERSで鈴木みのるとタッグと組み、宇野薫&高瀬大樹組と対戦し、ドローとなった。2002年3月25日、初代ウェルター級（-75kg）王者決定トーナメント1回戦で港太郎に3-0の判定勝ち。7月28日、準決勝で長岡弘樹に3-0の判定勝ちを収めるも、決勝では國奥麒樹真に腕ひしぎ十字固めで一本負けを喫し王座獲得に失敗した。2002年6月9日、初参戦となったDEEPで日高郁人と対戦し、チョークスリーパーで一本勝ちを収めた。2003年11月30日のパンクラス大会のリング上でパンクラス顧問船木誠勝が「正直言って、ismどうしようもないっすね。ismは正直言って自分、解散して欲しいです」と発言。12月21日の大会でリンソン・シマンジュンタクにアームロックを一本勝ちを収めた後にリング上で「パンクラスismは解散なんかするか!アホ!」と反論した。2004年8月30日付けでパンクラスを退団したパンクラスism道場長國奥麒樹真に代わり、パンクラスismの道場長に就任した。2004年10月12日、パンクラスで門馬秀貴と対戦し、三角絞めで一本負け。試合後のリング上でキックボクシング挑戦を宣言した。11月28日、全日本キックボクシング連盟の公式プロテストを受験し、合格した。2005年4月17日、初参戦となった全日本キックボクシング連盟でジョン・ジュンヒョクと対戦し、1ラウンドに3度のダウンを奪いKO勝ちとなった。2005年10月16日、全日本キックボクシング連盟で小宮隆司と対戦し、2ラウンドに3度のダウンを奪われKO負けとなり、キックボクシング3戦目での初黒星となった。2006年2月18日、全日本スーパーウェルター級王座決定トーナメント1回戦で白川裕規と対戦し、右ストレートでKO負けを喫した。2008年1月7日付けで「活性化を図るため」にパンクラスism道場長を辞任し、新道場長には大石幸史が就任した。道場にはそのまま残った。2009年6月28日、DEEP TOYAMA IMPACTのセミファイナルでBarbaro44と対戦。サッカーボールキックからのパウンド連打でTKO負けを喫した。2011年3月6日のZERO1両国国技館大会で、栗栖正伸トレーニングジム時代の同期・日高郁人と初のプロレスルールでインターナショナルジュニアヘビー級王座を賭け対戦した。8月7日には日高と組んでNWAインターナショナルライトタッグ王座を奪取した。2015年10月10日、KEI山宮とタッグを組み、全日本プロレスに参戦。プロレスルールで団体期待の若手レスラー野村直矢、青柳優馬と対戦し勝利した。