実数という数のクラスが初めてはっきりと取り出されたのはカントールによる集合の研究においてだった。彼は集合論的には実数全体の集合は有理数全体の集合からはっきりと区別されるべき大きさ（濃度）を持っていること（実数の集合は可算でないこと）を示した。また、カントールは実数全体の集合と有理数全体の集合のちょうど中間の大きさの集合は存在することするかどうかいう問いをたてた。これは後になって連続体仮説とよばれ、結局通常用いられる集合論の体系からは証明も反証もできないことがわかった。実数の体系の持つ超越的な性格は集合論の初期から様々な数学者の嫌悪の的となった。実数を定めるのに便利な集合論的定式化はやがて多くの数学者に受け入れられるようになったが、20世紀初めに論理学者のブラウワーは直観主義とよばれる、具体的に構成できるようなものだけを認める論理の体系をつくったが、彼はそこでは実数について通常の数学におけるものとは著しく異なった結論を導きだせることを示した。これには Kripke-Joyal の層の意味論によって現代的な解釈が与えられる。
有理数体 Q の超準モデル（超有理数体） *Q を取る。ある正の有理数よりも絶対値の小さい超有理数は有限という。有限数の全体を F とおく。任意の正の有理数よりも絶対値の小さい超有理数は無限小という。無限小数の全体を I とおく。このとき剰余環 F/I は完備順序体となる。
有理数の集合 Q 上に通常の意味での大小関係を考えて、それをもとにした Q の分割の方法として実数を定めることもでき、この方法は切断と呼ばれる。この考え方では実数 r に対して Q を { q ∈ Q : q < r } と Uᵣ = { q ∈ Q : r ≤ q } に分ける方法が対応する。2の平方根のような無理数 r によって与えられる切断 Uᵣ は有理数の範囲では最小の数を持たない。一方実数の範囲ではその定義からいつでも r が Uᵣ の最小の数になっている。より公理的な実数の特徴付けとして、完備順序体として R を特徴づける方法がある。この方法では、加減乗除が定まっている集合で、その代数構造と両立しているような順序関係を持ち、その順序関係に関して完備であるものとして R が特徴付けられる。
実数の構成は有理数の空間 Q の完備化とよばれる手続きによる方法が一般的である。有理数の空間には二つの数の差の絶対値として定義される距離 d(a, b) = |a − b| から定まる点の近さを考えることができる。これについてのコーシー列たちを適当な同値関係によって同一視した空間として R が得られる。こうして構成された実数の空間の中では、収束数列によって近似的に与えられる対象が実際に実数として存在している。また、Q 上の距離が代数構造と両立するようになっているので、R の上でも Q の代数構造を基にした代数構造を考えることができる。この完備化による定義の変種として、コーシー列たちの空間のかわりに長さがどんどん小さくなっていくような閉区間の列たちを適当な同値関係によって同一視したものを考えてもやはり実数を得ることができる。この考え方はより一般的で強力な手法であるフィルターの特別な例と見なすことができる。
現代数学の体系において実数が定義されるときは#構成節で述べるような、数の表示に直接依存しない方法が用いられるが、個々の実数を表すときは −1.13 や 3.14159... のような（有限とは限らない）小数表示がよく用いられる。また、実数の集まりを幾何学的に表示する方法として数直線があげられる。これは実数 0 に対応する原点とよばれる点を持った一つの直線で、直線上のそれぞれの点と原点との向きをこめた位置関係が各実数に対応している。
オーストラリアが自国内で行われるイギリスの核実験を許可してきたのに対し、ニュージーランドは非核化を進め、1985年にはオーストラリアと共に南太平洋非核地帯条約（ラロトンガ条約）に加盟したばかりか、更に核兵器搭載艦艇の寄港も拒否したため、アメリカはニュージーランドの防衛義務を停止した。このため当3カ国条約は、現在では事実上、ほぼ米豪間のみの同盟条約となっている。
薩摩藩士・河島新五郎長寛の長男として鹿児島長田町に生まれる。藩校造士館で学ぶ。戊辰戦争に従軍。明治2年（1869年）、昌平学校に入り、さらに川田甕江塾で学び、明治3年12月（1871年1-2月）にドイツへ留学し、ローレンツ・フォン・シュタインに学ぶ。明治7年（1874年）3月に帰国。同年8月、外務省に入り八等出仕となる。9月、一等書記生に発令され、ドイツ公使館在勤を命ぜられた。さらに、露国公使館、オーストリア公使館で勤務し、明治14年（1881年）8月に帰国した。同年10月、大蔵省権大書記官となり議案局に勤務。さらに、外務権大書記官、参事院員外議官補を兼務した。明治15年（1882年）2月から翌年8月まで、参議・伊藤博文に随行して欧州に出張し、ドイツでシュタインから行政学を学んだ。明治17年（1884年）4月、大蔵省調査局勤務となり、大蔵大書記官、欧州出張（財務事務調査）、一等主税官、大蔵省参事官などを歴任した。明治23年（1890年）3月に退官し、同年7月、第1回衆議院議員総選挙に鹿児島県第五区から出馬し当選。その後、明治27年（1894年）9月の第4回総選挙まで連続4回当選した。その間、立憲自由党幹事などを務めた。明治30年（1897年）6月、日本勧業銀行初代総裁に就任。その後、滋賀県・福岡県の各知事、北海道庁長官を歴任。また、明治36年（1903年）7月15日、貴族院勅選議員に任命され、北海道庁長官在任中に死去するまで務めた。