実際、特定の階数因数分解を次の手順で構成することが出来る： の行既約階段形  は計算することで得られる。このとき、上述の行列  は  から全ての非ピボット列を除くことで得られ、 は  から全てのゼロ行を除くことで得られる。
階数因数分解から直ちに従う帰結として、 の階数はその転置行列  の階数と等しい、というものがある。すると  の列は  の行であることから、 の列階数と行階数は等しいことが分かる。証明：これが真であることを示すために、はじめに行列の「階数」とはその「列階数」を意味するものであると定義しておく。 より、 が従う。行列乗算の定義から、この等式は  の各列が  の列の線型結合であることを意味する。したがって、 の列空間は  の列空間に含まれるものであることが分かり、したがって rank() ≤ rank() が成立する。今  は × 行列であるので、 には  個の列が存在し、したがって rank() ≤  = rank() が成立する。これより rank( ≤ rank() が示された。続いて、その逆の不等式が成立することを示すために、 に対して上述の結果を適用する。 =  なので、rank() = rank( ≤ rank() と書くことが出来る。このことから rank( ≤ rank() が示される。したがって、rank( ≤ rank() かつ rank() ≤ rank() であることから、rank() = rank() が示された。
広島県の農村部に生まれ、歯科医を志す13歳の少年、折免滋は1945年8月6日、自宅の畑の家庭菜園で採れた米と麦と大豆で作った炊き込みご飯、大根とジャガイモの油炒めを母・シゲ子に弁当箱に詰めてもらった。決して豊かな食事ではなかったものの、家庭菜園で採れた野菜と穀物を食べられることに対し、滋はとても嬉しがっていた・・・。しかし、そんな幸せな日々も長くは続かなかった。8月15日午前8時15分、原爆投下地点から600m離れた所の疎開先の広島の作業場でついに滋は弁当箱と水筒を抱えながら息絶えてしまう。滋の持っていた弁当は原爆の熱によって炭化してしまった。変わり果てた息子の亡骸を見て悲しみに暮れる母は、「しげる！ お前は弁当も食べないで死んだの！」と号泣してしまった。普段、我々が何気なく食べている弁当を通して戦争によって当たり前の生活が戦争と核兵器によって破壊されてしまう悲劇を描いている。
古くは柿崎村だったが、1889年（明治22年）、町村制の施行により須崎村、白浜村と合併して浜崎村となる。さらに1955年の合併で下田町に帰属し、1971年、下田町が市制を敷くと下田市の一部となった。日本最初のアメリカ公使館がおかれた玉泉寺、吉田松陰が海外渡航を企て、黒船に乗り込むべく小船を漕ぎ出した弁天島がある。
下田市東部、須崎半島の付け根にあたる。北で白浜、南で須崎、西部の海岸沿いで外ケ岡・武ガ浜、北西で中と接する。下田港が置かれる。外浦海水浴場などの観光地も多い。
古武術を伝承する水神家本家党首の息子で、長髪を後ろで束ねた隻眼の青年。ほくとは異父妹で、七瀬は同父妹（＝実妹）。かつて分家党首（ほくとの父）と対峙し、谷底に突き落とされ全ての記憶を失った。それ以降、「汝、己をもって極めんとすべし」という言葉を頼りに、修羅道を歩む。そんな中で血の封印を解かれたほくとによって再び谷底に突き落とされ、この際に失われた記憶を取り戻す（その影響で『EX2』以降は満身創痍の白髪となり、容姿が大幅に変化した）。それからは自分の生のため、さらに修羅道を進むことになる。『EX2』の自身の通常エンディングでは、ほくととの闘いの末、七瀬の思いによって護るべき者を見出して呪縛から解き放たれ、過去の記憶喪失の原因が幼少期にほくとの父に谷底に突き落とされ誤殺されそうになったためで、己を突き動かす殺意もその時に植え付けられたものと判明。『EX2』で七瀬がカイリを倒した場合や、『EX3』で七瀬がカイリとコンビを組んだ場合も、成長した七瀬との邂逅で全ての記憶を思い出し、忌まわしき過去と決別する。また、『EX3』で七瀬が兄姉両方と組んだ場合も闘いに終止符が打たれるが、こちらはカイリと、それを見届けるため彼を追うほくとがどこかへ去るというものになっている。それ以外においては「仮初の和解」か「ほくとと死合い、どちらかが倒れる」結末で終わる。なお、『ストリートファイターEX』開発当初はカイリが主人公になる予定だったが、製品版では従来シリーズと同様リュウが主人公となり、カイリは隠しキャラクターとして登場することになった。以降の『EX』シリーズでも乱入ボスキャラクター的な立場で引き続き登場している。妹のほくとについては武神流の血筋を引いていることが明かされているが、水神家やカイリと武神流との関係については明言されていない。『ストリートファイターV』の公式ホームページ「シャドルー格闘家研究所」の「キャラ図鑑」にて、容姿が変化する前と後の2通りの個人プロフィールが明かされた。『ファイティングEXレイヤー』では記憶を失っており、強氣に惹かれ戦い続けている。彼から放たれる強者怨（つわもののおん）がハヤテの封念を破り、ガルダを復活させるに至ってしまった。