有理タングル(rational tangle)とは 2-タングルであって、自明な 2-タングル(交差を持たないタングル)と同相なもののことを言う。通常、その四つの端点は方位からの類推で NE(北東)、NW(北西)、SW(南西)、SE(南東) と呼ばれる。有理タングルの任意の表示をとると、それはとても複雑に見えるが、実は単純な表示がある。まず水平[resp. 垂直]な二本の曲線を持つタングルの表示を考え、それに「ひねり」を追加する。即ち NE と SE [resp. SW と SE] の端点を入れ替えることによって交差を一つ追加する。これらの操作を繰り返すことによって有理タングルの表示が得られる。ちなみに上記の操作の際、ひねりを加えた端点に近いところだけが変化し、それ以外の部分は変化しないとしてよい。有理タングルのこのような表示を、端点同士を連続してひねった数の組として記述することができる。例えば (-2,1,3) という数の組は、水平な二本の曲線からなるタングル表示から始めて、まず NE/SE の端点を 2回ひねり、次に SW/SE の端点を 1回ひねり、そして NE/SE の端点を 3回、前回とは逆方向にひねってできる表示を表している。数の組が 0 から始まっている場合、二本の垂直な曲線からなるタングルから始めることにする。すると水平な二本の曲線からなるタングル表示は (0) と表せるが、垂直な二本の曲線からなるタングル表示は (0,0) となる。この約束は「正」「負」のひねりを記述するのに必要だ。 しばしばここまで説明してきたような数の組を指して、「有理タングル」と呼ぶこともある。有理タングル  に対する分数とは  によって与えられる連分数である。(0,0) に対応する分数は  とする。コンウェイは、有理タングルに対する分数は矛盾なく定義され、有理タングルを(タングルの同値による差を除いて)完全に決定することを証明した。また、彼はアレクサンダー多項式を用いて任意のタングルに対して分数を定義した。タングルの間には和、積、逆数をとる「数論的な」操作がある。有理タングルの 分子閉包 とはタングルの「北側の」端点どうしと「南側の」端点どうしを結んで得られる絡み目のことである。また 分母閉包 とは同様に「東側の」端点と「西側の」端点を結んで得られる。有理絡み目 はこれらのような閉包として表すことのできる絡み目として定義される。
一般性を失うことなしに、(タングルの端点が写る)3次元球の境界上の指定された点はある大円上にあると仮定してよい。タングルは、この大円を境界とする平らな円盤への射影が一般的な位置となるように変形することができ、射影図に交差の上下の情報を加えたものを(結び目の正則表示のように) (正則)表示と呼ぶ。タングル(の表示)は結び目や絡み目の表示の中にしばしば現れ、絡み目を構成するブロックとして使われることもある。(例：モンテシーノス絡み目)
n-タングル (n-tangle)とは、交わらない n 本の(両端のある)曲線の 3次元球への適切な埋め込みのことである。各曲線の各端点は 3次元球の境界にあらかじめ指定された 2n 個の点のいずれかに写されなければならない。二つの n -タングルは、片方のタングルを他方に移す、境界を固定する全同位が存在するときに同値であるとする。タングルの理論は結び目理論の類似としてとらえられるが、閉曲線の代わりに端点が固定された紐を扱うというところが異なっている。タングルはジョン・ホートン・コンウェイによって導入された。
宝暦3年（1753年）、信州飯山の光蓮寺に生まれる。光蓮寺の開祖は武田信玄の弟信繁の孫、正善とされている。生まれてすぐに実父が亡くなり、その後継父と実母の間に弟が生まれる。5歳で出家。青年期になって越後に遊学することを望んだが生来病弱であったことから両親が反対し想いを果たせずいるうち、近くの学僧から学問を志すなら江戸と勧められて、家出をした。江戸では荻生徂徠の門人・宇佐美灊水や林家学頭の関松窓に入門し儒学を学ぶ。また市河寛斎に就いて詩文を学び才能を開花させた。安永3年（1774年）の10ヶ月間、京都に上り西本願寺の学寮に籠もって仏典の研究をしている。画は南蘋系の諸葛監に学んだとされるがはっきりしない。宋・元・明の名画を目標に独学で研鑽を続け山水画を得意とした。その学才が認められて天明元年（1781年）、昌平黌の学職に挙げられた。天明6年（1786年）に田沼意次が失脚し松平定信が老中になると師の関松石が罷免され、替わって柴野栗山が起用されたがこの栗山とは意見が合わなかった。また同じ頃、江戸大火で居宅を焼失し浦賀の浄誓寺に仮寓。このころ浦賀や藤沢など各地で儒学の講義を行なっている。天明8年（1788年）、上尾宿で二賢堂をたて「聚正義塾」を開き、郷党の指導にあたった。寛政2年（1790年）に昌平黌の助教授を辞任。甲州に遊歴したとき学友の森島子輿に出会い、彼の援助を受けて同4年（1792年）40歳のとき、江戸西久保光明寺（現東京都港区虎ノ門）の住職となり二十六世を嗣ぐ。住職を務めながら余暇に儒学の講義、詩作、画作などを続けた。寛政12年（1800年）に詩文結社・小不朽吟社を結ぶ。この結社では詩作と画作を奨励し結果として文人画の普及に一役買うことになる。盟主に広瀬台山を迎え、渡辺玄対・片桐桐隠・鏑木梅渓・渡辺赤水・大西圭斎・春木南湖・谷文晁・柏木如亭・金井烏洲など錚々たるメンバーが連なった。その他に亀田鵬斎・大窪詩仏・沢田東江・鈴木芙蓉などの交際が知られる。文政10年（1827年）、光明寺で遷化。行年75歳。