2007年夏に開催されたアニマックス主催の第1回全日本アニソングランプリにて、歌唱力とパフォーマンスを評価され優勝。これをきっかけに2008年1月に放送されたテレビアニメ『ペルソナ 〜トリニティ・ソウル〜』の第1期オープニング主題歌「Breakin' through」でデビュー、１万枚を超えるヒットを記録した。2009年3月1日よりSOLID VOXの所属となった。2009年11月1日発売のPlayStation Portable用ソフト『ペルソナ3 ポータブル』のテーマ曲『Soul Phrase』を歌唱、同曲を収録したサウンドトラックCDが11月25日に発売された。2009年11月11日、3rdシングルとなるTVアニメ『ミラクル☆トレイン』のEDテーマ『STORIES』をリリース。2010年5月7日、初の自作詞・作曲となる4thシングル『Secret Garden』（PSP専用ソフト『乙女的恋革命★ラブレボ!! Portable』主題歌）をリリース。以降も、5thシングル「世界で一番恋してる」のC/W曲『Spiral Lovers』、6thシングル「世界の果てに君がいても」のC/W曲『Starlight Rhapsody』、1stフルアルバム「ユメノキセキ」表題曲の『Flying High Again〜ユメノキセキ〜』、2ndフルアルバム「ユメミルセカイ」の表題曲『Beyond the Rainbow〜ユメミルセカイ〜』、同アルバムオリジナル曲として『EVERLASTING』『VOCAL LAND』と、自身の作詞・作曲による楽曲をリリースし続けている。2013年4月に放送されたテレビアニメ『宇宙戦艦ヤマト2199』の主題歌「宇宙戦艦ヤマト」に『Project Yamato 2199』の一員として参加、歌唱している。2013年7月24日、2ndフルアルバム『ユメミルセカイ』を発売。10月には東名阪アルバムLIVEツアーが開催された。
出雲大社は、各地の神社が大社を名乗る事は、ご神徳を汚すと表明している。その理由について出雲大社の機関紙「幽顕」では次のように説明している。【私達の御親大神さまは「おおやしろ」と敬仰されます。「杵築の大社」との尊称をもって「出雲さん」と親愛致しました。奈良平安の昔から「大社」と銘記されてきた神社は、出雲大社が唯一でした。大社といえばわが「いづもおおやしろ」であり、御親大神さまのお住居のミヤシロでした。この事も時の流れの中で、この呼称を用いる神社が、出来ました。唯神の信仰に適当とは、考えられません。幾世をかけての先人の祈りを正しく伝えることにならず、今の人達の勝手で、自己流の呼称はかえって、ご神徳を汚すことになると心配します】。
デビュー作品の『放浪息子』で共演した事務所の先輩水樹奈々とは姉妹のような間柄で親交を深めており、一緒に旅行したり食事に行くことが多い。『輪廻のラグランジェ』で共演した石原夏織とは同い年ということもあり互いに仲が良い。一時期石原とは同じ事務所になったこともある。茅野愛衣とは『あの日見た花の名前を僕達はまだ知らない』などで声優デビューを果たした間柄であり、『ちはやふる』を皮切りに共演作品も多くある。
中学生時代はバレーボール部、高校では新体操部に所属。アニメ以外に歴史番組や大河ドラマも好み、大学生時代は歴史学を専攻していた。姉がいる。アニメ『ちはやふる』の中谷敏夫プロデューサーは、人選が難航していた主役に瀬戸を選んだ理由について、「わざとらしさや、けれんみのない無垢な芝居が決め手になった」と彼女の演技を評している。特技はピアノ、歌、新体操、絵。漢検3級を取得。
中学生2年生の時、偶然視聴したアニメ『D.Gray-man』の主人公、アレン・ウォーカー（声：小林沙苗）に魅せられ、キャラクターだけでなく演者の声優にも興味が湧き、声優を志す。2009年、高校在学中に第3回シグマ・セブンオーディション合格。翌2010年より声優活動を開始する。2010年、初めて受けたオーディションでテレビアニメ『放浪息子』（2011年）の準主人公 "高槻よしの" 役に抜擢される。彼女にとって初仕事の収録だったが、演技などに関して事前の指示はほとんど必要としなかったと監督のあおきえいは述べている。2011年、日本テレビ系テレビアニメ『ちはやふる』で主演（ "綾瀬千早" 役）とエンディング主題歌の歌唱を担当。同局系列のテレビアニメ『HUNTER×HUNTER』の "クラピカ" 役オーディションに参加していた瀬戸の演技が『ちはやふる』番組関係者の目に留まり、改めて "綾瀬千早" 役のオーディションを行ったところ満場一致で瀬戸の起用が決定した。2015年4月1日付けで、シグマ・セブンeからシグマ・セブンへ移動。
発端は1986年に富山県立近代美術館で開催された「富山の美術 '86」展である。この展示で展示された当作品は10点が審議を経て購入、収蔵された。展示会では特に混乱は発生しなかったものの、展覧会終了後県会議員による県議会での批判がマスコミに報道され、右翼団体や神社関係者から作品とその図録の非公開もしくは処分が求められるようになった。この図録の非公開は県立図書館にまで及び、日本図書館協会の図書館の自由に関する調査委員会が非公開を批判する見解を出すなど、図書館における非公開が「表現の自由」や「知る権利」を侵害したとして問題となった。その後1993年に県は、作品と図録の保有が管理運営上の問題になるとして、作品の売却と図録残部の焼却処分を決定した。これに対して作品公開を求めた作家と市民らが住民訴訟を提起し、一審で一部勝訴したものの、控訴審で敗訴し、上告が棄却された。2009年には沖縄県立美術館の「アトミックサンシャインの中へ in 沖縄 ─ 日本国平和憲法第九条下における戦後美術」展で同作のうち14点が展示される予定であったが、検閲され展示拒否された。この展覧会はニューヨークのPuffin Roomや東京の代官山ヒルサイドフォーラムを既に巡回しており、その際同作品は展示されていた。大浦は当時行われたシンポジウムの中で経緯を説明している。それによると、2007年の7月頃に企画担当のキュレーターから世界で九条に関する展覧会を行いたいという申し出があり、大浦は出品許可を出した。キュレーターから11月末と2月に事後報告で電話があり、その中で沖縄県での展示で《遠近を抱えて》が展示拒否となったことから、代替として『日本心中』を上映したいという申し出があり、大浦はそれを論点のすり替えであるとして退けた。大浦はこのことに関して、キュレーターの沖縄県の抱えている問題に対する吟味が不足していたことを指摘している。2019年8月1日に開幕したあいちトリエンナーレ2019の企画展「表現の不自由展・その後」にて、大浦の『遠近を抱えて PartII（4点）』が出展された。公式サイトの解説によると、本作には富山県立近代美術館による大浦の作品の焼却を彷彿させるシーンがある。このシーンについて、産経新聞によると、昭和天皇の肖像を燃やした灰を足で踏むものとして、他の出展作品とともに、不快とする意見や政治性を帯びた侮辱やヘイトとも受け取られかねないとして批判の声があがった。同企画展は同月3日を最後に中止した（経緯の詳細は、あいちトリエンナーレ#企画展「表現の不自由展・その後」の中止を参照）。