「G が自分自身の上へ乗法によって作用する」と言うのはトートロジーである。この作用を置換表現と見なすと、正則表現はただ一つの軌道を持ち安定化群が G の単位元のみの部分群 {e} であるものとして特徴づけられる。与えられた体 K について、G の正則表現は、K 上のベクトル空間の基底の集合の置換表現と取ることで得られる線型表現である。この表現の重要性は、置換表現が分解しないことに対し（置換表現は推移的である）、正則表現は一般により小さい表現へ分解することにある。例えば、G を有限群で、K を複素数体とすると、正則表現は既約表現の直和へ分解し、分解における各々の既約表現の重複度はその次元である。これらの既約表現の個数は G の共役類の個数に等しい。群環の記事では、有限群の正則表現について、正則表現がどのように加群とみなせるかとともに、詳しく解説されている。
2015年4月、社内にゲーム実況専用スタジオ・OPENREC STUDIOを設営。当初はテーマ別個人用3スタジオとソファを備えたメインスタジオ、1つのコントロールルームを設置し、OPENRECのライブ配信に対応。2016年11月に最大12名の対戦が可能な競技用ブース、実況・解説専用ブース、発表会エリアをあらたに設置。2018年2月にウルトラゲームスチャンネル開始に合わせスタジオをリニューアル。スタジオごとに副調整室が設けられ、最大7番組の同時配信が可能。またNewTek社のマルチチャンネル HD/SD映像リプレイ・スロー再生システム、3PLAYを設置。
スマートフォン向け広告事業の「F.O.X」や、プレイ動画共有サービス「OPENREC」などを主な事業としている。インターネットテレビ局AbemaTVのAbemaウルトラゲームスチャンネルが2018年1月22日に立ち上がったことにより同チャンネルの番組制作も開始。OPENRECの一部番組、主催イベント「RAGE」の過去配信も提供している。株式会社サイバーエージェントが提供する、ライブ配信プラットフォーム「FRESH LIVE（無料配信チャンネル）」とサービスを統合した。2018年現在、MAUは約207万人程度である。
徳島県出身。兵庫県立長田高等学校を経て、鳥取県立米子東高等学校卒業。東京大学農学部農業生物学科卒。講談社で若者向けエンターテイメント小説の編集に携わった後、フリー編集者として科学・医療の書籍や記事を扱う。2005年から北海道大学科学技術コミュニケーター養成ユニット (CoSTEP) 特任准教授。主にサイエンス・ライティングの実習を担当。その傍ら、北海道大学大学院理学院自然史科学専攻修士課程修了、理学修士号を取得。2010年4月から早稲田大学大学院政治学研究科ジャーナリズムコース准教授。科学技術コミュニケーション、サイエンス・ライティングを担当。また科学技術の情報を伝える「サイエンス・メディア・センター」の立ち上げに携わる。全国各地で開かれるサイエンスカフェのファシリテーターや講演など、科学を伝えるプロジェクトにも携わっている。北海道大学創成研究機構URAステーション特任准教授などを経て、2016年よりグロービス経営大学院。
カルタゴ軍がイタリア北部に現れたという知らせはローマに大きな衝撃を与えた。元老院は執政官プブリウス・コルネリウス・スキピオに2個軍団を与え、急遽迎撃に派遣した。11月、ティキヌス川付近で両軍の指揮官が直接指揮する騎兵同士が会敵し、そのまま戦闘になった。精強なヌミディア騎兵を中心とするカルタゴ軍がローマ騎兵を一蹴し、指揮官スキピオも負傷した。(ティキヌスの戦い)スキピオはピアチェンツァまで軍を後退させ、もう1人の執政官ティベリウス・センプロニウス・ロングスと彼の率いる軍団の合流を待った。カルタゴ軍は南進し、トレビア川を挟んでローマ軍と対峙した。12月18日、ハンニバルは騎兵によってローマ軍を対岸に誘引し、さらに林の中に埋伏させた弟マゴの指揮する騎兵にローマ軍の後方を奇襲させ、大損害を与えた。(トレビアの戦い)この勝利はハンニバルの名声を大きく高めた。ローマに敵対的だったガリアの部族はハンニバルを支持し、彼らの合流によってカルタゴ軍は一挙に50,000まで膨れ上がった。翌紀元前217年、元老院はガイウス・フラミニウス、グナエウス・セルウィリウスを執政官に選出、新たに4個軍団50,000名を動員した。両執政官はそれぞれ2個軍団を率いて北上し、分散してカルタゴ軍を待ち構えたが、ハンニバルは彼らの予想を裏切り、アペニン山脈を越えて南下した。フラミニウスはこれを追撃、セルウィリウスとの挟撃を意図していたが、ハンニバルは逆に各個撃破を狙っていた。カルタゴ軍はトラシメヌス湖畔の隘路と丘陵を利用して、進撃して来たフラミニウス軍を伏撃、多大な損害を与えた。(トラシメヌス湖畔の戦い)こうした戦勝の中でローマ本軍とその捕虜には厳しく接する一方、同盟都市の捕虜は丁重に遇してローマからの離反を促すメッセージを託して即時釈放するなど、「戦勝を材料として同盟都市を離反させ、その上でローマを滅ぼす」という戦略の元で工作を重ねた。3度の敗北を喫したローマはクィントゥス・ファビウス・マクシムスを独裁官に選出し、彼に一切の権限を委ねた。ファビウスはハンニバルとの正面対決を避け、カルタゴ軍の消耗を待つ持久戦をとった。しかし、ハンニバルによってイタリア全土が略奪にさらされると、ファビウスの迂遠な戦略は批判を招き、「クンクタトル(ラテン語でぐず、のろまの意)」というあだ名がつけられた。ファビウスの任期が切れると、元老院は決戦を望む声を反映し、ルキウス・アエミリウス・パウルスとガイウス・テレンティウス・ウァロを執政官に選出した。両名は80,000名の軍団を率いてハンニバルの迎撃に向かった。