数学における（狭義の）リー環（リーかん、英: Lie ring）はリー代数とよく似た構造で、リー代数を一般化した代数的構造と見ることもできるが、群の降中心列の研究においても自然に生じてくる。リー環と関連する概念としてリー群やリー代数があるが、（環が加法に関して群になるのとは異なり）リー環は加法に関して必ずしもリー群を成さず、他方で任意のリー代数はリー環の例である。任意の結合環は交換子括弧積  を考えればリー環になる。逆に、任意のリー環には普遍包絡環（普遍展開環）と呼ばれる結合環を対応させることができる。リー環は、ラザール対応を通じて p-群の研究に用いられる。p-群の降中心因子は有限アーベル p-群だから、これを Z/pZ 上の加群と見ることができる。降中心因子すべての（加群としての）直和には、二つの剰余類の括弧積を代表元の交換子積を代表元とする剰余類を割り当てるものと定義して、リー環の構造を入れることができる。このリー環は、もう一つ p-乗冪写像と呼ばれる加群の準同型によって豊饒化することができ、そうして得られたリー環がいわゆる制限リー環である。リー環をリー代数の類似と見る立場からは、p-進整数環のような整数環上のリー代数の研究などを通じて、p-進解析的な位相群やその自己準同型を定義するのにもリー環は有用である。シュヴァレーによるリー型の有限群の定義は、複素数体上のリー代数を有理整数環上に係数制限し、さらに法 p で割って考えることにより有限体上のリー代数を得るものである。
レヴィ分解は、任意のリー代数を、可解な根基と半単純リー代数の半直和として、ほぼ標準的に表す。さらに、代数的閉体上の半単純リー代数は、ルート系を通して完全に分類されている。しかし、可解リー代数の分類は「手に負えない」問題であり、一般には完成できない。
リー代数が単純 (simple) とは、非自明なイデアルを持たず、可換でないときを言う。リー代数  が半単純とは、根基がゼロであるときを言う。同じことであるが、 が半単純とは、ゼロでない可換イデアルを持たないときを言う。特に、単純リー代数は半単純である。逆に、任意の半単純リー代数は、その極小イデアルの直和であることが証明できる。この極小イデアルは、自然に決定される単純リー代数である。リー代数の半単純性の概念は、リー代数の表現の完全可約性（半単純性）と密接に関連している。基礎体 F の標数が 0 のとき、半単純リー代数の任意の有限次元表現は半単純（つまり、既約表現の直和）である。一般に、リー代数が簡約(reductive)とは、随伴表現が半単純であるときを言う。したがって、半単純リー代数は簡約である。
リー代数  の元からなる集合が生成子であるとは、その集合を含む  の最小のリー部分代数が全体  と一致することである。リー代数の 次元は、F 上のベクトル空間としての次元で定める。リー代数の生成集合の最小個数は、常に次元以下である。
事件から2日後の1936年（昭和11年）5月20日、定は逮捕された。当時横浜で畳店を経営していた兄・新太郎は「自殺でもしてくれればいい」と新聞にコメントしている（新太郎は定が受刑中に病死）。姉のトクは秋葉と共に何度も面会に来ている。定は事件後、石田が事件当時に身につけていた褌を腰に巻き、シャツにステテコと石田の血で汚れた腰巻を身につけて逃亡していた。石田の下着類はいくら探しても見つからないので警察も不思議に思っていたが、それらは拘置所（市ヶ谷刑務所）に入った定が身につけていた。拘置所で汚いので差し出すように言われた際は「これはあたしと吉さんのにおいが染み付いているの、だから絶対渡さない」と大騒ぎしている。予備調書は門外不出であったが、何者かの手によって外部に流出し、戻ってきた時は手垢まみれであった。留置から裁判でのやり取りは、定を担当した弁護士によってマスコミに話が流れ、当時の社会に衝撃を与えた。その後当時の弁護士を解任し、新たに竹内金太郎弁護士がついている（私選か公選かは不明）。1936年11月24日に行われた初公判は傍聴希望者が深夜から殺到し、傍聴券抽選時間は繰り上げられた。精神鑑定の結果では残忍性淫乱症（サディズム）と節片淫乱症（フェチズム）と結果が出た。裁判の結果、事件は痴情の末と判定され、定は懲役6年（未決勾留120日を含む）の判決を受ける。通常は汽車で刑務所に移送されるが、有名人になっていた定は車で栃木刑務所に送られている。受刑生活ではラジオ体操の存在も知らず、最初は精神的に苦痛を受けるが、刑務所での作業は人の2倍はこなす模範囚となった。しかし、石田の一周忌を迎えると癇癪を起こすようになり、泣き喚いたり呼ばれても横になったまま、看守の頭にバケツの水をかけるなどの奇行を繰り返した。その後、教誨師の説得により徐々に平常心を取り戻すようになった。この頃、さまざまな思想本を読み、日蓮宗に帰依した。 服役していた間に、ファンレターや結婚の申し込みの手紙がおよそ1万通寄せられたという。1941年（昭和16年）に「皇紀紀元2600年」を理由に恩赦を受け出所。事件の猟奇性により、世間の好奇心を呼び注目を引くこととなり、定は「世間から変態、変態と言われるのが辛い」と逮捕直後からもらしている。出所後数日は姉・トクの家に世話になり、その後は元愛人の秋葉正義夫妻の家に下宿（その頃秋葉は保険業に転職）、秋葉夫妻は実質的な定の保護者となっており、定は秋葉夫妻を「お父さん」「お母さん」と呼ぶようになる。