A順序数αに対して、基数κがα-到達不能であるとは、κが到達不能でかつβ < αなる全ての順序数βについて、κ未満のβ-到達不能な基数の集合がκの中で非有界であること（κは正則なので、この集合の濃度はκである）。α-到達不能基数はそれより小さい到達不能基数を数える関数の不動点と同一視できる。例えば ψ₀(λ) がλ番目の到達不能基数を表すことにしたとき、 ψ₀(λ) の不動点は1-到達不能基数である。ψβ(λ) がλ番目のβ-到達不能基数を表すとすれば ψβ の不動点は(β+1)-到達不能基数であり、その値はψβ+1(λ) である。αを極限順序数とすると、α-到達不能基数はβ < αなる任意のβについての、 ψβの不動点になる。（その値は ψα(λ) でλ番目のα-到達不能基数）である。この、次に来る大きな基数を作る関数の不動点を得る過程は巨大基数に関する研究でよく見られる。hyper-到達不能という言葉は曖昧である。稀ではあるが1-到達不能の意味で使う人もいる。ほとんどの人はκ-到達不能である基数κのことを指して使っている。(これは決してκ+1-到達不能にはならない)順序数αに対して、基数κがα-hyper-到達不能であるとは、κがhyper-到達不能でかつ全てのβ < αなるβに対して、κ未満のβ-hyper-到達不能基数の集合がκ内で非有界であること。hyper-hyper-到達不能基数なども同様に定義される。"弱到達不能基数"を"到達不能基数"の代わりに使って、同様に"弱-α-到達不能"や"弱-hyper-到達不能基数"も定義できる。マーロ基数は到達不能であり、hyper-到達不能であり、hyper-hyper-到達不能であり、……(以下同様)となっている。
興味を深い述語を満たす基数によるの真クラスの存在を主張する集合論の重要な公理がいくつも存在する。到達不能基数に関して対応する公理は、全ての基数 μ に対してそれより真に大きい到達不能基数 κ が存在すると主張するものである。従って、この公理は到達不能基数による無限のタワーが存在することを保証する(この公理はしばしば到達不能基数公理と呼ばれる)。到達不能基数の存在性と同様に、この公理はZFCの下では証明できない。ZFCの下で、到達不能基数公理はグロタンディークとヴェルディエールのuniverse axiom: 全ての集合はグロタンディーク宇宙に属する。と同値である。ZFCの公理に universe axiom (または同値な到達不能基数公理)を付け加えたものはZFCUと表される (これは ZFC に urelements を付け加えたものと混同しないように注意)。この公理系は、例えば全ての圏は適切な米田埋め込み(en:Yoneda embedding)を持つということを証明するのに役立つ。これは巨大基数公理より相対的に弱い。これは次の節の言葉で言うところの∞ が 1-到達不能であると言っていることに等しいからである。ここで ∞ は V に属さない最小の順序数、すなわち対象のモデルの全ての順序数によるクラスである。
シャーストリーが1966年に心臓発作により急死すると、インディラを首相にしようとする動きが起こり、インド国民会議の全員会議で投票が行われた結果、ジャナタ党のモラルジー・デーサーイーを破って首相に就任した。組閣前、インディラはいわばお飾り大臣であり、実権は党内の有力政治家が握ると予想されたが、彼女は強力な指導力を発揮していく。当時食糧危機に瀕していたインドは世界銀行から融資を得るため、世界銀行の条件を呑んで1966年6月にインド・ルピーの切り下げを行ったが、パキスタンとの関係悪化を理由にアメリカ合衆国からの援助が打ち切られると、世界銀行もこれに同調して融資を大幅に削減した。このためインドの世論が反米・反世界銀行的な色彩を帯びてくると、インディラはアメリカと距離を置いて社会主義的な路線を推し進め、1969年には商業銀行大手14行の国有化を行った。この政策をめぐりインド国民会議は社会主義路線を採るインディラ派とそれに反発する反インディラ派に分裂する。そして食糧危機克服のためだけでなく食糧自給による諸外国からの自立も目的として緑の革命を推進した。1971年には東パキスタンのパキスタンからの独立運動に武力介入して第三次印パ戦争を引き起こした。アメリカがパキスタンを支援したものの、インディラはソ連と接近し、印ソ平和友好協力条約を締結して支援を受け戦争に勝利した。終戦後、パキスタンのズルフィカール・アリー・ブットー大統領と交渉し、1972年のシムラー協定で東パキスタンをバングラデシュとして独立させることをパキスタンに認めさせた。1971年の総選挙では「貧困の追放」を掲げてインド国民会議の議席数を伸ばすことに成功したが、この選挙でインド国民会議の選挙違反が指摘され、1975年にイラーハーバード高等裁判所が選挙違反を認め、インディラに有罪の判決を下して議員資格停止を決定すると、これに対抗してインド全国に非常事態令を宣言し、反対勢力を強権で排除して野党党員を多数逮捕・入獄させた。非常事態令は7ヵ月後停止された。インディラは支持が得られるものと思って1977年に総選挙を行ったが、「反・インディラ」を旗印にデサーイーを中心として急きょ結成されたジャナタ党が第一党となり、インド国民会議は惨敗した。インディラ自身も落選している。観測筋が驚いたことに、与党内の反対にもかかわらず、インディラは政権を譲った。