法  における  乗根が計算できれば、暗号文を復号できる。当然これは（法  の素因数がわからない限り）非常に難しいと考えられていて、RSA暗号の安全性の重要な根拠の一つになっている。しかし、まったく同一の平文を、異なる法において同一の  を用いて暗号化した暗号文を  個以上集めることで、各々の法に関して中国の剰余定理を用いれば通常の冪根演算によって平文を復元できる。これが同報通信の誤用である。ここから中国の剰余定理によって上記式を満たすを求めることができる。このとき  であり、また  はどの法  よりも小さいため  であることから、この  の  乗根を求めることで平文  が求められる。これは  として特に  や  は、進数表示したときにの個数が少ないために暗号化処理を高速化できるという理由から好んで用いられるために発生しうる問題である。実際の暗号への応用においてはフォーマットとして、 の一部に毎回生成する乱数を挿入することでこの攻撃を回避している。
もしも平文 m が、n の e 乗根よりも小さかったら、暗号文  となるから、通常の冪根演算によって c の e 乗根を計算するだけで平文 m が復元できてしまう。実際の暗号への応用においてはフォーマットの一部として、m の比較的高位のビットに1を挿入することでこの攻撃を回避している。
これは公開鍵暗号全般に言えることであるが、確定的暗号であれば、例えば平文が「はい」か「いいえ」のどちらかしか有り得ないなら、それぞれを暗号化したものと暗号文とを比較すれば平文を知ることができる。実際の暗号への応用においてはフォーマットとして  の一部に毎回生成する乱数を挿入することでこの攻撃を回避している(復号側で後半の乱数を無視するよう機械を設定すればよい)
RSA暗号の安全性が素因数が不明な法での冪根を求めるのが難しい事実に基づいていることから、その最大の攻撃が素因数分解であることは明白である。しかし平文によっては、それ以外の攻撃方法でも暗号文から平文を入手することが可能である。
RSA暗号は選択暗号文攻撃を行なえば完全解読できる。また、RSA暗号は選択平文攻撃に対してすらindistinguishable（識別不能）ではない。よってRSA暗号は選択平文攻撃に対してnon-malleable（頑強性）でも semantic secure（強秘匿性）でもない。non-malleable と semantic secure の定義は公開鍵暗号に記されている。
2004年現在、インターネットで公募した数多くのPCを用いると512ビット程度の数なら素因数分解できる。したがって、現在では、RSA暗号に使用する法 n を1024-4096ビット（10進数で300-1000桁程度）にすることが推奨されている。しかしShamirは、RSA問題を解くための専用装置 (TWIRL) を作成すれば、1024ビットの n に関するRSA問題ですら解くことができると主張している。
桁数が大きい場合、確実に素数であると保証できる整数を見つけることは容易ではない。このため実際には、素数であるとは断言できないものの、素数である可能性が非常に高い自然数を用いる。こういった自然数の生成はMiller–Rabinテストなどの確率的素数判定法によって高速に行える。確率的素数判定法をパスした自然数を確率的素数 (probable prime) という。確率的素数には、素数の他に擬素数が含まれるが、その確率は判定回数を増やすことで極めて低くすることができる。(なお、拡張リーマン予想が正しければ、Miller–Rabinテストは素数かどうかを正しく判定する、という事実が知られている)。2002年8月、インド工科大学 のアグラワルらが素数判定を多項式時間で行うAKS素数判定法を発表したが、これは多項式の次数が高すぎて遅いので未だRSAの鍵生成に実用するには足らない。
以下に証明を示す。ここで  は、 をさらに  乗したものの  を法とする剰余で、 であるから、ある  が存在してここでオイラーの定理により、 と互いに素な整数  については  であるため、となる。 である整数  については、、、、としてとなるから中国の剰余定理により、 なる整数  と  を用いてとなる（ である整数についても同様）。ここで、 も  も  を法とした剰余なので、が成り立ち  は  と  を用いて  に復号できることが分かる。
律令制以前は島津国造の領域であったとされ、令制国設置に伴い当国域をも含む伊勢国が成立した。その後7世紀後半から8世紀初めに志摩国として分立したとされるが、伊勢国の隷属下に置かれたという。8世紀初めまで、嶋国、志麻国とも書かれた。飛鳥・奈良時代には、代々内膳司を勤めていた高橋氏などが国司であったが、志摩に赴くことはなかったという。志摩国は面積が小さい上に平地がほとんどないことから稲米の収穫量が少なかったため、伊勢国や尾張国の田を志摩国の口分田とし、国衙や国分寺の費用を伊勢国・尾張国・三河国が負担した。海産物を贄として、宮中へ貢ぐ御食国の一つと推定される。平城京発掘で出土した木簡に伊雑郷・名錐郷・船越郷などの表記が見られ、これらの地域から海産物を貢租していたことは確実である。船越郷は、名錐郷に隣接する船越とする説があるが、現在の度会郡南伊勢町船越と解釈するのが一般的である。当初の志摩国の領域は、現在の三重県の鳥羽市・志摩市だけではなく、度会郡南伊勢町、大紀町の錦地区、北牟婁郡紀北町、尾鷲市全域までが志摩国英虞郡に含まれていた。天正10年（1582年）、紀伊新宮城主の堀内氏善と伊勢国司の北畠信雄が荷坂峠を境として、それぞれが紀伊国牟婁郡と伊勢国度会郡に編入したため、志摩国は現在の三重県の鳥羽市・志摩市だけの地域に限定された。