二つの（一般には複素数値の）関数 と  の畳み込みは次のように定義される。ただし、とは次のような周期性を持つとする。周期関数の畳み込みを離散フーリエ変換したものは、それぞれの離散フーリエ変換の積になる(畳み込み定理)。つまり畳み込み和を直接定義式を用いて計算すると O(N²) の計算量が掛かる。しかし、上式より一旦 DFT をしてから掛算をして、そして IDFT で戻す方法もある。DFT の高速アルゴリズムである FFT を介してこのように計算すると O(N log N) の計算量で済む。また、二つの（一般には複素数値の）関数との相互相関は以下のように定義される。が上記の周期性を持てば、さらにの関数値が実数であれば、となる．ここで上線をつけたはの複素共役を表す。
離散フーリエ変換においては、有限個の標本点しか使わないため、ある関数を離散フーリエ変換し、それを逆変換した場合に、標本点以外で元の関数と一致するとは限らない。すなわち、複素関数ｆに対して、により離散フーリエ変換を行い、それを逆変換したものをgとするとは言えるが、その他の点で{{}}が言えるとは限らない。これを高周波の問題、あるいはエイリアシング(aliasing)という。
離散フーリエ変換（りさんフーリエへんかん、英語: discrete Fourier transform、DFT）とは離散化されたフーリエ変換であり、信号処理などで離散化されたデジタル信号の周波数解析などによく使われる。また偏微分方程式や畳み込み積分を効率的に計算するためにも使われる。離散フーリエ変換は（計算機上で）高速フーリエ変換(FFT)を使って高速に計算することができる。離散フーリエ変換とは、複素関数 を複素関数に写す写像であって、次の式で定義されるものを言う。ここで、Nは任意の自然数、  はネイピア数、 は虚数単位 ()で、は円周率である。このとき、{}を標本点という。また、この変換を  という記号で表し、のように略記することが多い。この逆変換にあたる逆離散フーリエ変換（英語: inverse discrete Fourier transform、IDFT）は正規化係数（DFT は 1, IDFT は 1/N）や指数の符号は単なる慣習的なものであり、上式とは異なる式を扱うことがある。DFT と IDFT の差について、それぞれの正規化係数を掛けると 1 / N になることと、指数の符号が異符号であるということがだけが重要であり、根本的には同一の変換作用素と考えられる。DFT と IDFT の正規化係数を両方とも  にすると、両方ともユニタリ作用素（ユニタリ変換）になる。理論的にはユニタリ作用素にするのが好ましいが、実用上数値計算を行うときは上式のように正規化係数を1つにまとめて、スケーリングを一度に行うことが多い。
最初は父経由でヨハン・ショーベルトなどの当時のヨーロッパで流行した作曲家たちの様式を、チェンバロ曲を中心に学んだ。その後、ヨハン・クリスティアン・バッハの影響をピアノ・管弦楽曲の双方で受けた。後期に入るとハイドンとヨハン・ゼバスティアン・バッハの影響が強い。モーツァルトの作品はほとんどが長調で、装飾音の多い軽快で優美な曲が多い。聴衆にとっては、明るく華やかに聞こえる作品が多い。これは当時の音楽の流行を反映したもので、ロココ様式あるいはギャラント様式と呼ばれる。彼がおもに使用していたピアノの鍵盤が沈む深さは現代のピアノの約半分であり、非常に軽快に演奏できるものであったことがその作風にも影響を与えた。晩年に向かうにつれて、長調の作品であっても深い哀しみを帯びた作品が増え、しばしば「天国的」と形容される。また、短調作品は非常に少ないながら悲壮かつ哀愁あふれる曲調で、交響曲第40番ト短調のように人気が高い。モーツァルトの時代にはポリフォニー音楽が流行遅れになり、ホモフォニー音楽が支配的になっていた。しかし彼はJ.S.バッハやヘンデルの作品を研究し、交響曲第41番の終楽章のように対位法を活用する手腕があった。「下書きをしない天才」とも言われ、モーツァルトが並外れた記憶力を持っていたのは多くの記録からも確かめられているが、自筆譜の中には完成・未完成曲含めて草稿および修正の跡が多く発見されている。人気の高いピアノ協奏曲23番については、その数年前に書かれた草稿が発見されている。ただし作曲するのが早かったのは事実であり、たとえば交響曲第36番はリンツ滞在中に作曲されたが、父との手紙のやり取りから3日で書き上げたことが分かっている。交響曲第39番から41番「ジュピター」までの3つの交響曲は6週間で完成させている。また別の手紙からは、彼が頭の中で交響曲の第1楽章を作曲したあと、それを譜面に書き起こしながら同時に第2楽章を頭の中で作曲し、今度は第2楽章を書き起こしている間に第3楽章を頭の中で作曲したという手順を踏んでいたということが分かっている。モーツァルトの作品の多くは、生計を立てるために注文を受けて書かれたものである。モーツァルトの時代に限らず、何世紀もの間、芸術家は教皇や権力者などのパトロンに仕えることで生計を立てていた。18世紀になってからはパトロンから市場に移ることが徐々に可能になっていく。幼いころから各地を巡業した理由のひとつが就職活動であり、ベートーヴェンのようにフリーランスとして生きていくことは非常に困難な時代であった。したがって、モーツァルトの作品はその時代に要求された内容であり、たとえば長調の曲が多いのはそれだけ当時はその注文が多かったことの証でもある。実際、父の死後は依頼者のない作品が生まれている。これは、聴衆の嗜好に配慮せよとの父による規制がなくなったため、モーツァルト自身の目指す音楽に向かうことが可能になったからである。交響曲などがそれにあたる。思想的には、フリーメイソンがパトロンであったこともあり、作品では特に魔笛、ピアノ協奏曲第20番にその影響が指摘されている。