1964年に大阪府に生まれる。幼稚園の頃から、父の辻静雄に美食学の英才教育を受ける。11歳でイギリスに渡り、12歳でスコットランドのエディンバラのフェティス校に留学。同校は規律や自主性を重んじる名門パブリックスクールで、差別やいじめに喧嘩で反抗しながら、身体を鍛え、ラグビー一軍選手やアジア人初の寮長に選ばれるに至った。静雄から「イギリスに行くか」と尋ねられた時、家族旅行のことだと誤解して喜んでいたが、島流しされたようなものと回想している。アメリカ合衆国のロングアイランド大学卒業（美術史を専攻）後、投資信託ドレイファスコーポレーションに勤務し、1991年、27歳で帰国。旧大和銀総合研究所勤務を経て、早世した父の跡を継ぎ、1993年に辻調理師専門学校校長、辻調グループ代表に就任する。当時29歳だった芳樹は、ほとんどが自分より年上の職員に遠慮して「最初の5年間は何もしない」と宣言してしまったため、グループに派閥ができ、優秀な人材が去る弊害が起きた。これを反省し、英国仕込みの自主性を重視して学ぶ意欲を引き出す教育に舵を切った。ヨーロッパ、アメリカの食の最前線を調査研究し、その成果をプロの料理人育成に生かしている。2000年の主要国首脳会議(九州・沖縄サミット)にて首脳晩餐会料理監修。2004年に内閣官房長官知的財産戦略本部コンテンツ専門調査委員に就任。日本料理アカデミー西日本代表理事や食文化推進懇談会委員などを務め、日本の食文化の海外発信にも積極的に取り組んでいる。2010年にアメリカで開催された国際料理会議“Worlds of Flavor International Conference & Festival（WOF）”では組織委員を務め、「日本料理における多様性〜伝統と革新〜」について基調講演を行った。著書に『美食のテクノロジー』（文藝春秋）、『和食の知られざる世界』（新潮社）、木村結子との共著に『美食進化論』（晶文社）、編著に『料理の仕事がしたい』（岩波ジュニア新書）がある。妻は松岡功の娘で、妻の弟が松岡修造。
加藤は1965年（昭和40年）、朝日新聞記者本多勝一のインタビューに答えて、作詩の経緯について、「動機って、ただ『少女倶楽部』から“何でもいいから”と注文されただけですよ。ぼくは沙漠どころか、外国へはどこも出たことはないけれど、沙漠にはなんとなくあこがれがありましてね。沙漠の歌でもって気になったんです」と語っている。念頭に置かれていたのはアラビアの情景だったという。ただし、初出時に加藤自身が描いた挿画では、ラクダはアラビアのヒトコブラクダではなく、中央アジアのフタコブラクダになっていた。後年に加藤が描いた絵では、ヒトコブラクダに修正されている。
フレミングには、注目に値するユーモアのセンスがある。彼女が子供向け番組「セサミストリート」に出演した際、「リゴレット」の中の「慕わしき御名」の替え歌を生き生きと歌いながら出てきたことがあった。伝統的なイタリア語の歌詞を、子供達が数を数えることを学ぶのに役立つような歌詞に置き換えていたのだった。ギャリソン・ケイラーの人気のラジオ番組「プレーリー・ホーム・コンパニオン（＝大草原の家族達）」にも何度か出演している。1994年のジョー・ジャクソンのアルバム「ナイト・ミュージック」の中の「ララバイ」という曲で、特別ゲストとしてフレミングが歌っているのを聞くことができる。2005年11月18日、イギリス・BBCのラジオ4の番組「無人島で聞きたいレコード」に出演し、「私が一番好きなのは、ジョニ・ミッチェルの1971年の歌、『河』よ」と話している。2008年12月18日には、アメリカABCの番組「ザ・ヴュー」で、「アイル・ビー・ホーム・フォー・クリスマス」を歌っている。2009年1月18日には、リンカーン記念堂で行われた「ウィ・アー・ワン:オバマ就任祝典（オバマ大統領就任記念コンサート）」で、ロジャーズ＆ハマースタインの名曲「ユール・ネヴァー・ウォーク・アローン」を合衆国海軍兵学校合同合唱隊とともに歌っている。彼女は、911の最初の慰霊祭でもこの曲を歌っている。フレミングは、アメリカの有料放送チャンネルHBOの番組「マスタークラス」の、この番組の第2シーズンの第1話で、野心に燃える大学生の年齢の4人の歌手達に対して指導を施している。2010年7月8日の「グッド・モーニング・アメリカ」で、ミューズのアルバム「アブソリューション」から「エンドレスリー」を歌っている。2011年3月20日、フレミングはユー・チューブ交響楽団のグランド・フィナーレ・コンサートにシドニー児童合唱団と一緒に登場し、モーツァルトの「私のいとしい憧れのあなた(Caro bell' idol mio)」をマイケル・ティルソン・トーマスの指揮で歌っている。このコンサートの動画の再生回数は、一週間もたたない内に3,300万回に達した。2012年6月4日、エリザベス女王即位60周年記念コンサートに出演、バッキンガム宮殿のバルコニーの前、そしてバルコニーの上に登って歌う。2013年9月26日、アメリカCBSの「レイト・ショー・ウィズ・デイヴィッド・レターマン」に出演、「最も歌詞の素晴らしいオペラ曲ベスト10」を歌う。2014年1月には、ジョー・ディピエトロの新しい喜劇でフレミングがオペラの歌姫を演じることが発表された。タイトルは「リヴィング・オン・ラヴ」、キャスリーン・マーシャルが監督を務め、マサチューセッツ州ウィリアムズにあるウィリアムズ大学内の劇場で7月に開催される、「ウィリアムズタウン・シアター・フェスティヴァル」において公演が行われる予定である。2014年2月2日には、フレミングは第48回スーパーボウルの試合開始前の式典に出演し、オペラ歌手として初めてアメリカ国歌を斉唱した。観客のスタンディング・オベーションの前で歌ったのだが、これは同時にアメリカのテレビ放送史上、過去最高の人数の視聴者に向けて歌ったパフォーマンスとなった。