小学生のときにアインシュタインの訪日と相対性理論に関するニュースを聞く。旧制高校在籍中に、相対性理論を理解するには微分幾何学、特にその中のリーマン幾何学を良く理解していなければならないと、当時東大助教授だった理論物理学者の山内恭彦に言われ、東京帝国大学では幾何学を専攻、1934年（昭和9年）に卒業して大学院に進む。同時に東京物理学校の講師に就任。その当時グレゴリオ・リッチ (Curbustro Gregorio Ricci) 、レビ・チビタ (Tullio Levi-Civita) などの絶対微分学が確立されつつある時代で、いち早くその重要性に着目した。またおなじころ、発展中であった、エリ・カルタンの接続の概念に注目し、カルタンの下での研究を志し、1936年（昭和11年）にパリ大学へ留学した。パリ大学で提出した射影接続空間に関する論文により理学博士の学位を得る。1941年 東京大学 、理学博士　論文は仏文である。「共形接続空間の理論について(仏文)」。 高校生のときから相対性理論に興味を持っていたこともあり、統一場理論に関する論文も発表している。以後精力的に論文を発表していく。第二次大戦の影響で研究はややその速度を緩めるが、終戦後は堰を切ったようにますます論文の数は増えていった。プリンストン高等研究所ではサロモン・ボホナー (en:Salomon Bochner) のもとで大域微分幾何学の研究を主に行い、ボホナーとの共著も出版されている。当時、同じくプリンストン高等研究所にいたアインシュタインと親交を深める。矢野の夫人とアインシュタインが腕を組んでいる写真は矢野家の家宝とのことである。その当時のことを記した『アインシュタイン伝』は代表作である。以後も、世界中を飛び回り、客員教授や講演で活躍した。晩年になっても研究生活は継続し、共著や単独で多数の論文を発表した。
彫刻家の子として当時の東京府東京市に生まれた。市立東京二中、旧制東京高校、東京帝国大学理学部数学科を卒業後、同大学助教授、東京工業大学教授旧制武蔵高等学校教授などを務めた。1950年（昭和25年） - 1952年（昭和27年）にはプリンストン高等研究所に赴任し、アインシュタインをはじめとする一流数学者の薫陶を受けた。
ゴッツォリの絵は、崇高さ・力強さの点で、同時代の巨匠たちの敵ではないかも知れない。しかし、それでも魅力的である。贅沢に生き生きと画面を賑わす人物たち・オブジェ。鳥や動物（とくに犬）などがひしめきあう背景は、どんな先達の作品より、バラエティ豊かで、魅惑的である。ゴッツォリの作品にぎっしり描きこまれた人物たちは、悲劇的な場面、騒乱する場面よりも、楽しそうにのびのびしている時の方が、より真に迫って見える。その色彩も明るくはなやいでいる。概して、ゴッツォリの才は、独創性というより、融通がきくこと、指示性にある。一方、デッサンや建物の遠近法に関しては、とくに端に向かうほど、欠点を露呈している。また、フレスコを描くのにもテンペラの技法で描いていた。とはいえ、その作品の力強さ、おびただしい作品の数は、ゴッツォリが疲れを知らぬ人間工場のごとき画家であったことの、何よりの証拠である。
1月のASBクラシックで準優勝し、1月15日付のランキングで2014年8月以来のTOP10復帰を果たした。全豪オープンでは3回戦で第19シードのトマーシュ・ベルディハに敗れた。メキシコ・オープンでは、世界6位のドミニク・ティエム、5位のアレクサンダー・ズベレフ、8位のケビン・アンダーソンといった、自らより上位の選手に対し三連勝を成し遂げ優勝。3月のBNPパリバ・オープンでマスターズ1000で4回目の決勝進出、決勝で第1シードのロジャー・フェデラーに6-4, 6-7(8), 7-6(2)で勝利し、マスターズ1000初優勝を果たした。続くマイアミ・オープンでは準決勝で第14シードのジョン・イズナーに敗れ、サンシャインダブル達成はならなかった。クレーシーズンはマドリード・オープンから出場。ここでは3回戦でドゥサン・ラヨビッチにフルセットで敗退した。続くローマ・マスターズでは3回戦でダビド・ゴフィンと対戦したが、左足の痛みの為途中棄権した。6月、不安を抱えて迎えた全仏オープンでは4回戦でジョン・イズナー、準々決勝でマリン・チリッチを破り、2009年以来のベスト4入り。準決勝では第1シードのラファエル・ナダルにストレートで敗れた。大会後のランキングでキャリアハイに並ぶ4位となり、TOP5復帰を果たした。グラスコートシーズンではクイーンズ・クラブ選手権からの出場を予定していたが休養の為出場を辞退した。迎えたウィンブルドン選手権では第5シードとして出場した。ベテランのフェリシアーノ・ロペスや元世界ランキング6位のフランスのジル・シモンらを破り、ベスト8進出。準々決勝では世界ランキング1位で同大会2度の優勝者で第2シードのラファエル・ナダルと対戦。5-7,7-6(9-7),6-4,4-6,4-6のフルセット、4時間47分にも及ぶ激闘の末敗れた。自身2度目のベスト4進出はならなかった。8月第1週のロス・カボス・オープンに出場し、決勝でファビオ・フォニーニに4-6,2-6のストレートで敗退した。カナダ・マスターズには第3シードとしてエントリーしたが、左手首の不調を理由に出場を辞退した。その後、前年優勝者のアレクサンダー・ズベレフが準々決勝で敗れたことにより、大会後の自己ランキングを3位に上げ、キャリアハイを約8年ぶりに更新した。第4シードとして出場したシンシナティ・マスターズでは鄭現、ニック・キリオスらを下し準々決勝まで進出したが、ダビド・ゴフィンに敗れ、2013年以来の準決勝進出を逃した。迎えた全米オープンでは第3シードとして出場し、1回戦から4回戦まですべてストレートで勝ち上がり、準々決勝では第11シードで地元アメリカのジョン・イズナーに第1セットをタイブレークの末先取されるも、そこから3セット連取の逆転勝ちで2年連続ベスト4進出を決めた。準決勝では前年優勝者で世界ランキング1位のラファエル・ナダルと対戦。7-6,6-2と2セットアップでリードしたところでナダルが棄権し、9年ぶり2度目のグランドスラム決勝進出を果たした。しかし、迎えた決勝では第6シードのノバク・ジョコビッチに6-4,7-6,6-3のストレートで敗れ9年ぶり2度目の優勝とはならなかった。10月第1週のチャイナ・オープンにトップシードで出場しアルベルト・ラモス＝ビノラス、カレン・ハチャノフ、フィリップ・クライノビッチらを下して決勝に進出したが、ジョージアの新星ニコロズ・バシラシビリに4-6, 4-6のストレートで敗れた。上海マスターズには第3シードとして出場したが、3回戦のボルナ・チョリッチ戦において右膝蓋骨の骨折を負い、棄権した。デル・ポトロはこの時点で2013年以来となるATPファイナルズ出場を決めていたが、この怪我の影響で出場を辞退した。膝の負傷で2018年を終えることになったが、マスターズ初優勝、2009年以来のグランドスラム決勝進出、世界ランキング3位を記録するなど好調なシーズンであった。年間勝率78.33%(47–13)、最終ランキングは5位であった。