上の例の変形版として、たとえ |f| が可積分でいずれの逐次積分が well-defined であっても、非可測であればフビニの定理が成立しないことがあるという例を以下に挙げる：f は E 上で 1 であり、E の補集合上で -1 とする。このとき |f| はその直積空間上で積分 1 となり可積分であるが、well-defined である各逐次積分の値はそれぞれ 1 と -1 となり、異なる。連続体仮説を考えることで、X を単位区間 I と見なすことが出来、二つの（ルベーグ測度による）逐次積分は定義されるが等しくないような I×I 上の有界非負函数が存在することが分かる。この例は Sierpiński (1920) によって発見された。ルベーグ測度を伴う二つの単位区間の積上に対するフビニの定理のより強い結果において、函数はもはや可測である必要はなく、二つの逐次積分が well-defined で存在していればよいが、その結果は標準的な集合論のツェルメロ＝フレンケルの公理とは独立なものである。連続体仮説とマーティンの公理はいずれも、逐次積分の値が異なるような単位正方形上の函数が存在することを意味するが、Friedman (1980) は、それはZFCと一致し、[0, 1] に対する強フビニ型定理が成立し、二つの逐次積分が存在するならそれらは等しくなることを示した。ZFCから独立な命題の一覧 を参照。
X は第一非可算順序数で、可測集合が（測度 0 で）可算であるか、可算個の（測度 1 の）補集合であるような有限測度を伴うものとする。X×X の（非可測な）部分集合 E を x<y を満たすペア (x,y) で与えると、それはすべての水平直線上で可算であり、すべての垂直直線上に可算個の補集合を持つ。f を E の特性函数とすると、f の二種類の逐次積分が定義され、それらは 1 と 0 という異なる値を取る。この函数 f は非可測であるため、これはトネリの定理が非可測函数に対して成立しない例となる。
たとえ σ-有限でない空間であっても、極大積測度が用いられるなら、フビニの定理は成立する。実際、上記の例において極大積測度を考えると、対角は無限測度を持ち、したがって |f| の二重積分は無限大となるため、（空虚な意味で）フビニの定理は成立する。しかし X×Y を、測度の集合がその水平区分のルベーグ測度の和であるような積測度とするとき、|f| の二重積分はゼロであるが、二つの逐次積分の値は依然として異なるものであり得る。これはフビニの定理が成立しないような積測度の例である。このことにより、二つの測度空間の同一の積上の異なる二つの積測度の例が得られた。二つの σ-有限測度空間の積として、唯一つの積測度が存在する。
X はルベーグ可測集合とルベーグ測度を伴う単位区間とし、Y は数え上げ測度を伴う単位区間でそのすべての部分集合は可測であるものとする。したがって Y は σ-有限ではない。f が X×Y の対角についての特性函数であるなら、f の X に沿った積分は Y 上の函数 0 となるが、Y に沿った積分は X 上の函数 1 となる。したがって二つの逐次積分の値は異なるものとなる。このことは、積測度がどのように選ばれたとしても、σ-有限でない空間に対してはトネリの定理は成立しないことを意味する。その測度はいずれも分解可能であり、トネリの定理は（σ-有限測度よりもやや一般的である）分解可能測度に対しては成立しないことが示される。
「コミュニケーション」「リズムゲーム」「お着替え」の3要素が主軸になっている。「VRモード」または「ジャイロモード」も搭載されている。学生寮では場所を移動してアイドル達の日常の姿を見ることができ、画面をタッチして会話ができる。アイテムをプレゼントするとお返しのアイテムが貰える。ストーリーはメインの「ゲームストーリー」、個別の「メンバーストーリー」、女の子同士のプライベートな会話が見られる「ガールズストーリー」がある。メニュー内の「着替え」で衣装の着せ替えとアクセサリーの着脱が可能で、「ホーム衣装」と「ライブ衣装」をそれぞれ設定できる。衣装はガチャやイベントなどで手に入る。また、「撮影」では衣装を着せたアイドルを撮影でき、ポーズ・表情・背景の変更も可能。ライブは楽曲と参加アイドルを選択するとリズムゲームがスタートし、上から流れてくるアイコンをタイミングに合わせてタッチしてクリアを目指す。難易度は「EASY」「NORMAL」「HARD」「EXTREME」の4つあり、EXTREMEはHARDをクリアすると登場する。アイドルのカードのレベルはライブ参加で得られる経験値や、クリア報酬などで得られる「育成ポイント」の消費で上がる。「デッキ編成」でアイドル5人分のメインカード1枚とサブカード2枚をそれぞれセットし、ライブでは「スキル」が自動発動する。新しい楽曲は「プロデューサーレベル」が上がると解放されていく。一度プレイした楽曲はオート機能の「おまかせライブ」を選択することも可能で、アイドル達の育成度と調子により結果が決まる。判定サポート等に依存しない実力を評価する「テクニックリザルト」もおまかせライブに反映され、フルコンボなどの再現も可能。楽曲とアイドルのダンスを観賞できる「MVモード」も搭載されている。ライブをクリアすることで溜まる「コミュメーター」が一杯になると個別の「コミュイベント」が発生し、選択したアイドルとのレッスンや会話ができる。その時点でのアイドルとの「友好度」によってアイドルの反応が変化する。また、レッスンの結果や会話の選択肢次第でコミュ報酬がランクアップする。コミュ報酬は「友好度レベルアップ」のゲージと「スキルブースト」があり、スキルブーストは表示される有効時間の間にライブを行う際に補助効果が指定回数分のみ発動する。同様に「メロディアスメーター」を溜めていくと「メロディアスライブ」に出場でき、15人全員のおまかせライブになる。成功させると友好度が大きく上がるほか、ファン数が増えて「アイドルグレード」と「プロダクショングレード」が上がる。最下層のFグレードから始まり、それぞれに称号が付いている。