守江湾は、国東半島南部、別府湾の北東部に位置する。北部には守江港があり、西側には八坂川、高山川が注いでいる。両川の河口付近には市街地が形成され、八坂川河口の台地には杵築城の天守がそびえる。湾の東側には住吉浜の砂嘴が突き出す。守江湾を出てさらに東の臼石鼻を超えると、海域は伊予灘となり、白砂青松の狩宿海岸、奈多海岸が続く。湾内には、干潮時には東西約1.5;m、南北約2kmに及ぶ広大な干潟が発達しており、生きている化石といわれるカブトガニをはじめ、アオギスなどの希少な動植物が生息する。また、鳥類の渡りの経由地及び越冬地となっており、ダイゼン、メダイチドリ、ハマシギが観察されるほか、環境省のレッドデータブックに掲載されているコシャクシギ、アカアシシギ、ホウロクシギが記録されている。八坂川河口付近は、「守江湾（八坂川河口）」として日本の重要湿地500に指定されている。守江港西側の灘手海岸（なだてかいがん）や、杵築城の城下付近などは、アサリなどの潮干狩りで有名である。
1821年、キースはアラバマ州モーズビルにおいて、ジョージ・キース (George Keyes) とエレン・ラトリッジ (Ellen Rutledge) の息子として誕生した。キースは家庭教師の下で初等教育を受け、ジョージア州のラグランジュ大学、バージニア州のバージニア大学へと進んだ。キースはその後アラバマ州アセンズにおいて裁判官ダニエル・コールマンの下で法律を学んだ。1840年代に入るとキースはケンタッキー州レキシントンへと移り、メソジストの民主党員として法律の勉強を継続した。1844年、キースはフロリダ州タラハシーに家を建て、1851年までそこで暮らした。その後アラバマ州モンゴメリーへ移り、間もなくアラバマ州でも指折りの優秀な弁護士として評判を確立した。またキースは法律業務に関する2冊の書籍 An Essay on the Learning of Future Interests in Real Property（1853年）、An Essay on the Learning of Remainders（1854年）を出版した。1853年にはアラバマ州南部地区の衡平裁判所で判事職に選任された。1858年5月16日、キースはアリス・ウォートン・ホイットフィールド (Alice Wharton Whitfield) と結婚した。キースはその後モンゴメリー法学大学院を設立し、1860年にアラバマ大学法律部として編入された。またキースは南部諸州の連邦離脱を主張し、アメリカ連合国の建国に関与した。南北戦争が開戦すると、キースは軍での活動を志願した。しかしながらキースはバージニア州リッチモンドでの参謀任務に配属された。1861年4月29日、キースはアメリカ連合国において司法次官補に任ぜられ、南北戦争終戦まで同職を務めた。キースは1861年9月17日から同年11月21日まで、また1863年10月1日から1月4日まで、司法長官代行を務めた。ジュダ・ベンジャミン司法長官の下では、実質的な司法長官として職務を遂行した。キースは連合国司法省の中心的人物として、詳細な論拠に基づく主張を数多く行った。その発言は後にアメリカ合衆国の裁判事件でも数多く引用されるほどであった。終戦後、キースはアラバマ州モンゴメリーで弁護士業を再開した。そして1879年、キースはアラバマ州フローレンスにおいて死去した。
ウェイド・ラトリッジ・キース（Wade Rutledge Keyes, 1821年10月10日 - 1879年3月2日）は、アメリカ合衆国の弁護士。南北戦争期にアメリカ連合国で司法次官補を務め、司法長官代行を2度務めた。
3 < a ≤ 3.4494897... の範囲では、ほぼ全ての初期値において、xₙ は1つの値には収束せず、ある2つの値を交互に取る振る舞いを起こすようになる。交互に取られる2つの値は、周期点や平衡点と呼ばれる。今のような2周期のときは、周期点を2周期点、振る舞いを2周期軌道などと呼ぶ。不動点と同様の考え方で、周期点にも安定なもの、不安定なものが存在する。今の範囲における2周期点は安定周期点である。a = 3.2 のときの例を以下に示す。a = 3 に達すると不動点 1 − 1/a が安定不動点から不安定不動点に移行する。a = 3 のときはまだ 1 − 1/a (= 2/3) に収束するが、2 < a < 3 のときよりも収束速度が遅い。a ≤ 3 における不動点への収束を安定な1周期軌道と見なせば、a = 3 を超えた点で、1周期から2周期へ周期が倍増する。この振る舞いの変化も分岐の一種で、周期倍分岐と呼ばれる。xₙ₊₂ と xₙ の関係、すなわち式(1-1)の2回の反復合成写像は、次のように示される。(2-3)この2周期点をそれぞれ xf1、xf2 とする。xf1、xf2 は、その定義より、(2-4)を満たす値である。これを解けば xf1、xf2 の値は、(2-5)で示され、パラメータ a から求めることができる。ほぼ全ての初期値から2周期点に到達するが、0 と 1 − 1/a は不安定不動点として残っている。そのため、初期値が、0、1 − 1/a、さらに、n を増加させる内に 0 または 1 − 1/a にたどり着く初期値であれば、2周期点ではなくこれらの不動点に到達する。ただし、これらの値の範囲は、初期値 0 < x₀ < 1 の実数集合に対して無視できるほど小さい。