神託機械とは、特定の決定不能な問題への解を「神託」として与える機械である。例えば、チューリングマシンに「停止問題の神託機械」が付属していれば、与えられた入力についてそのチューリングマシンが停止するかどうかは即座に判定できる。このような機械は再帰理論の中心的話題である。
チャーチ＝チューリングのテーゼでは、チューリングマシンよりも強力な計算モデルは存在しないと推測した。ここでは、その推定に反する「不合理」な計算モデルの例をいくつか示す。計算機科学者は様々な「ハイパーコンピュータ」を想像してきた（ここでいうハイパーコンピュータとは、スーパーコンピュータのさらに高性能なものという意味ではない）。
しかし、停止しないチューリングマシンの記述を入力として与えられたとき、それを判定するチューリングマシンが永遠に動作することを許容するなら、停止問題は一応解決する。従って、停止問題判定は帰納的可算言語である。しかし、帰納的可算ですらない言語も存在する。そのような言語の単純な例は、停止判定の補問題である。つまり、全てのチューリングマシンとそれらが停止しない入力の全組合せからなる言語である。この言語が帰納的可算言語でないことを示すため、そのような全チューリングマシンについて停止して答えを返すチューリングマシン  を構築することを考える。このマシンはチューリングマシンとその入力の組合せが停止する場合は永遠に動作し続ける。そして、このマシンの動作をシミュレートするチューリングマシン  を考える。つまり、入力としての記述とその入力（別のチューリングマシンの記述とその入力）が与えられる。さらにタイムシェアリングによってはの入力（あるチューリングマシンとその入力）も並行して実行するものとする。の入力であるチューリングマシンの記述と入力が停止しない組合せの場合、 は停止し、そのシミュレーションも停止することになる。従って、は一方のスレッドが停止し、もう一方が停止しないことから停止問題の判定機能を備えることになる。しかし、既に示したように停止問題は判定不能である。この矛盾により、 が存在するという仮定が誤っていたことがわかる。以上から停止判定言語の補問題は帰納的可算言語ではないことがわかる。
プッシュダウン・オートマトンが受容する言語のクラスを文脈自由言語と呼び、文脈自由文法によって記述される。正規言語でないとされた 'a' と 'b' を同数含む文字列からなる言語はプッシュダウン・オートマトンで判定可能である。また一般に、プッシュダウン・オートマトンを有限状態機械のように動作させることもできるので、正規言語も判定可能である。従ってこの計算モデルは有限状態機械よりも強力である。しかし、プッシュダウン・オートマトンでも判定できない言語がある。その詳細は（正規言語のときとあまり変わらないので）ここでは述べない。文脈自由言語の反復補題も存在する。例えば、素数の集合からなる言語がその例である。
計算機科学の中心的課題の1つは、コンピュータを使って解ける問題の範囲を理解することでコンピュータの限界に対処することである。コンピュータは無限の計算能力を持つと思われがちだし、十分な時間さえ与えられればどんな問題も解けると想像することは易しい。しかし、多大な計算資源を与えられたとしても、見たところ単純な問題を解くことでコンピュータの能力の限界を明確に示すことは可能である。計算可能性理論では、次の質問に答えることでコンピュータの能力を明らかにする。すなわち「ある形式言語と文字列が与えられたとき、その文字列はその形式言語に含まれるか？」である。この質問はやや難解なので、もう少し判り易く例を挙げる。まず、全ての素数を表す数字列の集合を言語として定義する。入力文字列がその形式言語に含まれるかどうかという質問は、この場合、その数が素数であるかを問うのと同じことである。同様に、全ての回文の集合や、文字 'a' だけからなる全ての文字列の集合などが形式言語の例である。これらの例では、それぞれの問題を解くコンピュータの構築の容易さが言語によって異なることは明白である。しかし、この観測された明白な違いはどういう意味で正確なのか？ ある特定の問題をコンピュータで解く際の困難さの度合いを定式化し定義できるか？ その質問に答えるのが計算可能性理論の目標である。
郭 英（かく えい、1335年 - 1403年）は、元末から明初の軍人。濠州（現在の安徽省鳳陽県）の人。朱元璋に仕えて、明建国の功臣となった。兄の郭興も朱元璋に仕えて、明建国の功臣となった。
両親が教育者の家に生まれたポンピドゥーは、パリの名門リセであるルイ・ル・グラン校で学んだ。1931年、パリの高等師範学校に入学を果たし、1934年には文学のアグレガシオン（1級教員資格）を取得。卒業後はまずマルセイユで、次いでルイ・ル・グラン校と並ぶパリの名門リセ・アンリ4世校で教鞭を執った。第二次世界大戦中は対独レジスタンス運動に参加。パリ解放後はシャルル・ド・ゴール将軍首班の政府において官房の職に就き、国務院調査官などを経て、1954年2月から北部鉄道取締役となった。この縁でロスチャイルド銀行（仏：ロチルド銀行、後のバークレイズ）で働くようになり、1958年まで頭取を務めた。1958年、ド・ゴールが首相として政界復帰を果たすと官房長官を務めた後、ド・ゴール大統領の下で1962年4月16日から1968年7月13日まで首相を務めた。ド・ゴール引退後の1969年6月15日の大統領選挙において、58.22%の得票率で当選した。ド・ゴールの後継者として登場しつつも、「連続と開放」を掲げていくつかの点で軌道修正を図った。例えば、外交面においては、イギリスのEC加盟を支持する姿勢をとり、イギリスは1973年にEC加盟を実現させた。同年に起こった石油危機への対応に追われる中、大統領在任中の1974年に白血病で死亡した。