を、の開集合とし、を上で定義された多変数スカラー値関数とする。を、内の点とする。（つまり、）を、のベクトルとする。（でもよい。）このとき、=　　(6-2-1)が成立する。但し、を充たす全てのに対して、　　(6-2-2)が成り立っているものとする。以下、(6-2-1)を示す。まず、　　　　　　(6-2-3)で、　　　　　　(6-2-4)である。但し、は、(1-9)同様、　　(6-2-5)である。(6-2-4)の右辺を、を、sについて(一変数関数の意味で)積分すると、=　　(6-2-5)従って、(6-2-1)が分かる。
を、の開集合とし、　　(6-1-1)を、上で定義された1行n列の行列値関数とする。行列値関数とは、各成分が関数である行列のことを意味する。式(6-1-1)のに対し、　　(6-1-2)を充たす、一変数スカラー値関数を求める問題を考える。(6-1-2)の条件をみたす一変数スカラー値関数のことを、のスカラーポテンシャルという。以下、1行n列の行列値関数があたえられたとき、のスカラーポテンシャルが存在する条件を調べ、スカラーポテンシャルの構成方法（所謂ポアンカレの補助定理）について述べる。
に  座標系が定まっているとする。式 (1-14) の  は全て  から  への線形写像であり、従って式 (3-5) と同様の方法で微分可能で、恒等的に　　　　(5-1)である。ここで  は転置を意味する。すなわち  とは、第 i 成分のみが 1 で、それ以外が 0 の 1 行 n 列の行列（横ベクトル）である。式 (4-4) より  は、　　　　(5-2)で定まる行列値関数であるため、　　　　(5-3)であり、　　　　(5-4)がわかる。ここで、 を 、 を  と書くと、　　　　(5-5)となる。式 (5-5) において、変数を省略すると、　　　　(5-6)となる。
次に、（弱いほうの）逆写像定理（逆関数定理）を示す。をの開集合とし、は、の値域を含む（つまり、、特にとする）とする。多変数ベクトル値関数　(3-26)は、で定義され、に値をとるとする。さらに、がの逆写像、つまり　(3-27)とする。このとき、　(3-28)が成立する。標語的にいえば、「逆写像のヤコビ行列は、元の写像の逆行列」である。これは、(3-7)の特殊な例に過ぎない。
次に(3-7)の合成写像の微分法を用いて、(1-8)式の計算をさらにすすめる。(1-8)式のうち、本議論に用いるものを(3-23)にて再掲する。　　　　　　(3-23)(3-23)式の右辺に式(3-21)を適用すると、　　　(3-24)以上より、　　　　　　(3-25)
次に、アフィン写像の微分について説明する。アフィン写像とは、適当な m×n 行列 A と、n 次元代数数ベクトル b を用いて　　(3-4)の形で具体的な数式として書ける、からへの写像のことである。(3-4)のアフィン写像は、任意の点（の点）で微分可能で、任意の点（の点）において、　　(3-5)である。逆に、任意の点において　　(3-5)を充たす写像があったとすれば、それはアフィン写像である。
モルモン教徒はソルトレイク渓谷に到着したときに、文字通り住むための場所を作らねばならなかった。灌漑設備を造り、農場を配置し、家、教会および学校を建てた。水を得ることが特別に重要だった。ブリガム・ヤングはほとんど即座に別の居住地を定めて所有権主張に動いた。グレートベースンで水資源があり、どうしても重要な自給作物を栽培するに足る長い生育期間を確保できる大きな地域を見つけることは難しかったので、衛星状の地域社会を形成し始めた。1847年に最初の集団がソルトレイク渓谷に到着した後間もなく、北のバウンティフルに開拓地ができた。1848年、開拓者達は罠猟師マイルス・グッドイヤーから購入した土地、現在のオグデンに移動した。1849年、トゥーエルとプロボの町が設立された。この年にはまた、ユト族の酋長ワカラの招きに応じて、ユタ中部のサンピート渓谷に移動し、マンティの町を造った。新しいユタ準州の州都にすることを意図してフィルモアの町が1851年に設立された。1855年、西部先住民に向けた伝道の目的で、ユタ東中部にレミ砦、ラスベガスおよびエルクマウンテンの基地が設けられた。モルモン大隊から帰還した会員の経験は新しい地域社会を作ることにも重要だった。西部へ旅するとモルモンの兵士はコロラド、アリゾナおよび南部カリフォルニアの使える川や肥沃な渓谷を識別した。更にこれらの者が旅してソルトレイク渓谷の家族の元に戻ると、南部ネバダや南部ユタに移住した。モルモン大隊の上級士官ジェファーソン・ハントは積極的に開拓地および鉱物や他の資源を探した。その報告によって1851年には現在のシーダーシティに近いアイアン郡への入植を奨励した。南部の探検は結果的にモルモン教徒がセントジョージ、ネバダのラスベガスおよびカリフォルニアのサンバーナーディーノ、さらには南部アリゾナの地域社会への入植に繋がった。