コネチカット州のボーディングスクールに通い、そこで初めて演劇に参加したことから俳優を志すようになった。その後イェール大学に進み演劇を学んだ。大学卒業後海兵隊時代を経て、アクターズ・スタジオで演技を学んだ後ブロードウェイで活動を始めた。1958年に『ある微笑』で映画デビューを果たし、その後『レマゲン鉄橋』や『新・猿の惑星』などの映画に出演した。1995年を最後に俳優業を引退し、その後作家として自伝やフットボールのファンブックを出版している。2018年1月16日、肺炎による合併症により死去。
日本では、本作公開時に、国会質疑において、「環境大臣はこの映画を観ているのか？」との質疑などがなされた。また、チェイニー副大統領の来日に際して、安倍晋三首相が本作に掛けて、「日米で協力して地球温暖化対策を進めよう」と持ちかけたところ、「あの映画はアル・ゴアのプロパガンダだ」と不快感が示された旨が、『報道ステーション』などで報道された。
北アメリカでは4館で公開がスタートし、初週末3日間で28万1330ドルを稼いで初登場22位である。翌週末は77館に拡大されて135万6387ドルを稼ぎ9位である。最終的に587館まで拡大公開されて北米の累計興行収入は241万46161ドルで、北米でのドキュメンタリー映画興行収入として『シッコ』（2007年）に次ぎ歴代6位である。日本では、TOHOシネマズ六本木ヒルズで2007年1月20日の公開以来1年以上上映され、上映開始映画館での1年以上長期上映は『ニューシネマ・パラダイス』を抜き歴代1位である。
アメリカではブッシュ政権が「地球温暖化など単なる学問上の仮説で、温暖化現象は現実に確認できていない」とする公式見解で温暖化を否定し、ほとんどのメディア報道も追従しており、地球環境の温暖化問題について本作で初めて知ったアメリカ人もおり国内で強い影響を与えた、とする評もある。他方で、内容が事実誤認やデータ誇大化などにより「センセーショナリズムが勝る」等の批判もある。イギリスでは学校での公開は政治的活動であると保護者らから提訴され、英高等法院は「9ヶ所事実誤認している場所がある」として「是正措置を取るように」と判決した。しかし、地球温暖化の問題提起は妥当として、保護者らの「上映差し止め」請求は退けている。アル・ゴア#環境問題項で詳述する。本作は多数の論者らが話題にしている。一例をあげると、上記英高等法院は「西南極とグリーンランド氷床の融解により、近い将来海水準が最大20フィート上昇する可能性がある」とするゴアの主張を「これは明らかに人騒がせで、グリーンランド氷床の融解では相当量の水が放出されるが、それは1000年以上先のことである。」と判断している。しかしながら、「前回に当たる約12万年前の間氷期に、氷床崩壊により数十年間で海面が3メートル程度上昇した。」とする研究結果が、2009年4月16日発売の英科学誌ネイチャーに掲載されている。
アル・ゴアが地球温暖化を喧伝するスライド講演に、彼の生い立ちを辿るフィルムを交える構成のドキュメンタリー映画である。過去の気象データや温暖化により変化した自然の光景を用い、環境問題を直視しない政府の姿勢を批判しており、自然環境を意識しつつ日常を生活する重要さを訴えている。
浅草の税務署に勤務していたが、出征中に演じた素人芝居が忘れられず、仕事をさぼってたびたび喜劇の舞台に出演するようになる。榎本健一のエノケン劇団を経て、浅草フランス座に所属した。当時は渥美清や谷幹一もいて、三人で下積み時代を支えあった。1959年にはこのトリオでスリーポケッツを結成し、一躍お茶の間の人気トリオとなる。その後、スリーポケッツは解散し、1975年に自ら劇団を立ち上げる。主に浅草を中心に活躍し、浅草の舞台史を彩る人物であるが、その一方で、映画「男はつらいよ」シリーズやテレビでも活躍している。舞台や映画などでの精力的な活動が評価され、芸術祭優秀賞などを受賞している。その他の受賞歴も多い。渥美とは第32作『男はつらいよ 口笛を吹く寅次郎』の岡山県備中高梁ロケの際に一緒の位牌を作るほどの仲だったが、そんな関も渥美の家族や個人的な連絡先は知らなかったと言う。知るようになったのは「寅さんのお別れの会」に出席してからだという。1996年の夏、盟友であった渥美清の死にショックを受け脳梗塞で倒れ、「渥美やんが、呼んでいると思った」と話している。1年後に復帰し、渥美に関する講演会を行ったり渥美の墓に行っていたという。また、渥美を悼んで亡くなるまで剃髪していた。また、渥美の病気についても亡くなるまで知らず、葬儀の際に涙を流しながら「どうして友達なのに（病気の事を）言ってくれなかったんだよ。」と語りかけたり、1999年2月26日放送の『渥美清の伝言』でも当時の渥美の状態について聞かれ「まさか癌になっているとは思わなかった」と涙ながらに語っている。海外アニメの声の吹き替えなど声優としても活躍した。ダチョウ倶楽部の持ちギャグ「ムッシュムラムラ」は、もともと関が海外アニメ『スーパースリー』（1967年）と『宇宙忍者ゴームズ』（1969年）の吹き替えで掛け声として多用したものであり、さらにそのもとをたどれば、関が麻雀の時に発していた意味不明の掛け声であった。ドラマ『青空にとび出せ!』（1969年）ゲスト出演時には、知恵の輪を外す時に「ムッシュメラメラ」という掛け声を披露している。アメリカのテレビドラマ『チンパン探偵ムッシュバラバラ』に関自身はかかわっていない。2006年8月23日午前2時8分、肺炎のため東京都千代田区の病院で死去。78歳没。