祖父が読売ジャイアンツの大ファンで、本人も少年時代は松井秀喜、学生時代は長野久義に憧れていた。「大賀」という名前の由来も、「土台のしっかりした人間になって欲しい」という願いが込められた「大」と、「みんなに祝ってもらえる」という意味を持つ「賀」を、大工の実父が組み合わせたのに過ぎない。もっとも、名前の読み（たいが）が阪神のニックネーム（タイガース）を連想させることから、本人はドラフト会議で阪神から指名を受けた際に「阪神との縁を感じる」という喜びのコメントを寄せた。5歳から中学1年までは空手もやっており、大会で優勝するなど身体能力の高さを見せていた。駒澤大学時代には、白崎浩之、戸柱恭孝、今永昇太（いずれも卒業後にDeNAへ入団）とチームメイトだった。阪神でのチームメイトである梅野隆太郎、岩貞祐太、高山俊、坂本誠志郎とは、大学時代にも同じ時期に日本代表へ選ばれていた縁で、当時から交流があったという。実弟の海地は、大賀と同じく、外野手として海星高校でプレー。2年時の夏には、1学年先輩の永江恭平などと共に第93回全国高等学校野球選手権全国大会へ出場すると、東洋大学附属姫路高校との2回戦で原樹理から安打を放った。高校からの卒業後は、地元の三菱重工長崎でプレー。三菱日立パワーシステムズ横浜とのチーム統合後によって発足した三菱日立パワーシステムズでも、プレーを続けている。
長崎県の海星高校時代から「3割、30本、30盗塁（トリプルスリー）を目指せる右のスラッガー」と評価されていた強打者で、駒澤大学時代にも東都大学リーグ戦通算で11本塁打を記録。プロ入り後も、その長打力や打球の飛距離について高い評価を受けているが、その一方で実戦での確実性に大きな課題を残す。掛布雅之からは「チームで1、2を争うだけの身体能力がありながら、ボールとバットが当たらない」と評されており、平田勝男は江越について「練習だけ見たら3億円プレーヤー」という表現で江越の欠点を指摘している。2017年の秋季キャンプからは、その打開策の一環として金本知憲監督や片岡篤史一軍打撃コーチ（いずれも当時）の勧めで両打へ転向。右打ちの長距離打者としては異例の試みであったが、現役選手時代に左打者であった金本や片岡曰く、「江越は左で打った方がスイングが良い」、「はっきり言って右打では（ボールにバットが）当たらないので、左打への挑戦を勧めた」とのことであり、江越本人は「可能性が広がるのなら」と前向きに取り組んでいた。しかし実際には、2018年のオープン戦序盤まで挑戦を続けた後、中盤から再び右打に専念することとなり現在に至っている。
外野手として、高い身体能力を活かした広大な守備範囲を誇り、遠投120mを記録する強肩も持ち合わせる。江越の守備について、金本知憲は「守備範囲は別格」と評価しており、矢野燿大も「野人」と称するなど、歴代の指導者から高く評価されている。2016年オフに阪神選手会を代表して出演した『プロ野球No.1決定戦!バトルスタジアム』（読売テレビ、2017年1月放送）において、「カミワザキャッチング」という競技で優勝したことにより「守備NO.1」の称号を得ている。50m走5秒8、二塁到達7秒0、二塁から本塁到達5秒89などを記録する俊足と、高い走塁・盗塁技術も持ち味としている。
大橋巨泉が『大橋巨泉の日曜競馬ニッポン』（ニッポン放送）をスタートさせるにあたり小倉を起用することを決め、巨泉のスカウトに乗る形で29歳のときに東京12チャンネルを退社し、フリーアナウンサーとして大橋巨泉事務所（現：オーケープロダクション）に所属した。このとき前妻と離婚した。フリーランス転身後は仕事が入らず鳴かず飛ばずの状態が続いた。当時について小倉は「税金なんか当たり前、養育費も公共料金の支払いも滞納が続いた」「質屋と古本屋には本当にお世話になった」という状態が続き、電気・ガス・水道は止められ、電車賃が払えずアパートまで歩いて帰宅し、電車賃を工面するため開店前の古本屋を叩き起こしては本を売り現金化する日々が続いた。「前妻の父が学者で、本を出すのに金がかかるから」「子供の指の手術代に」などと理由を付けて同僚から金を借りたこともあった。時折、父親から食べ物の差し入れがアパートのドアノブに引っ掛けてあり飢えを凌いだ。また、給料の前借りが日常的であったことから「バンスの小倉」とあだ名を付けられた。その後、古巣であるテレビ東京の『タミヤRCカーグランプリ』での軽快で個性的なナレーション（自称「小倉のお兄さん」）で小中学生からの注目を集め、さらに『小川宏ショー』のリポーター、『アイ・アイゲーム』（フジテレビ）や『世界まるごとHOWマッチ』（毎日放送）のナレーションが転機となる。『RCカーグランプリ』や『HOWマッチ』では甲高い声と早口で洒脱なナレーションで名前を知られた。当時のキャッチフレーズは “七色の声を持つナレーター”　であった。また、ラジオパーソナリティとしても頭角を現し、文化放送『とことん気になる11時』（1984年 - 1987年）、『小倉智昭の時計の針はいま何時?』（1987年 - 1991年）、『小倉智昭のニュースアタックル』、『小倉智昭の夕焼けアタックル』（1992年 - 1999年）など、平日の帯ワイド番組に長期に亘って出演した。フリー転身後もしばらくの間は、公営競技のレース実況を手掛けており、競馬以外でも日本選手権オートレース（第10回、第13回）、第36回日本選手権競輪などで実況を担当している。