2004年にテレビ映画『ニーベルングの指環』でデビュー。同年公開の『悪女』に出演したが、劇場版では出演シーンがカットとなってしまった（DVD版では収録されている）。翌年公開の『ハリー・ポッターと炎のゴブレット』のセドリック・ディゴリー役で注目を集める。2008年公開の『トワイライト〜初恋〜』で主人公ベラ・スワンの恋人エドワード・カレン役でブレイクした。『トワイライト〜初恋〜』においては、サム・ブラッドリーと共作してロバートが歌ったNever Thinkという楽曲が挿入歌として使用されており、曲はサウンドトラックに収録されている。『トワイライト』シリーズでは、全作にわたってエドワード・カレン役を演じている。2009年には第81回アカデミー賞のプレゼンターを務め、同年公開の『天才画家ダリ 愛と激情の青春』では画家のサルバドール・ダリを演じた。2015年公開の『ディーン、君がいた瞬間』ではジェームズ・ディーンを撮影したカメラマン、デニス・ストックを演じ、2017年公開に主演した『グッド・タイム』では、監督であるベン・サフディと劇中の役柄と同じニューヨーク最下層の兄弟になりきって語り合うなど役作りをして挑んだ。2020年はクリストファー・ノーラン監督による国際的なスパイの世界を舞台にしたアクション大作『テネット（原題）』に出演予定である。また、2021年公開のマット・リーヴス監督による『The Batman（原題）』では主演のバットマン役に抜擢された。
イングランド・ロンドン出身。父親のリチャードはクラシック・カーの輸入業、母親のクレアはモデル事務所で働いていた。姉（リジー、ヴィクトリア）がいる。12歳の時に一定期間の間だけモデルをしていたことがある。15歳の時にアマチュア劇団バーンズ・シアター・グループの一員として本格的に演劇をはじめる。
東大阪大柏原高校卒業後、関東学院大学を経て、2013年、福岡サニックスブルース（現・宗像サニックスブルース）に加入。同年1月15日に行われたトップキュウシュウA第4節のマツダブルーズーマーズ戦に先発出場で公式戦初出場を果たす。2018年、日野レッドドルフィンズに加入。
ダイエーコーチ時代は、なかなか捕手としての技能が向上しない城島を巡って王貞治監督とたびたび衝突した。就任1年目の1997年のオールスター期間中、王から城島のリードや捕球のまずさを叱責され、王は一塁手か三塁手へのコンバートを示唆した。若菜は反論したが、球団に辞任を申し出た。若菜は東京の自宅に戻っていた王に電話を入れたところ、電話に出た恭子夫人はあえて王と代わらずに「主人から話は聞いています。お仕事に口を挟むようで申し訳ないのですが、今、あなたと主人との板ばさみになって困るのは城島君ではないでしょうか。お電話のことは主人に私からお伝えしておくので、もう一度考えてみてください」と上手くとりなした。王にも若菜が謝罪していると伝え、これにより両者は和解することができ、城島もコンバートせずに捕手として成長していった。事の真相を若菜が恭子夫人から聞かされたのは、ダイエーが初優勝した1999年のハワイへの優勝旅行の時だったという。
愛称の「ナッパ」の由来は、入団3年目に貧血症のため1ヵ月ほど入院し、退院後、和田博実コーチが彼の青白い顔とやせ細った体を「しょぼくれた菜っぱみたい」と評したから。入団2年目にローダイ・ライオンズに野球留学したことや、阪神退団後に米国3Aタイドウォーターに所属したことなど、米国滞在経験があるため、英語が比較的堪能である。横浜大洋時代は、その語学力を活かしてレジー・スミスやウォーレン・クロマティ（ともに読売ジャイアンツ）をよく挑発していた。スミスに対しては「顔面スレスレのビーンボールを多用する」→「激怒したスミスが若菜に砂を掛ける」→「その報復としてさらにビーンボールが多用される」といった悪循環もあった。1980年代後半にはクロマティとのかけひきで有名になり、英語が堪能な若菜とクロマティはバッターボックスで口論になっていた。遠藤一彦がクロマティを三振にとってチェンジになる際、遠藤と若菜は2人で頭を人差し指で指し"頭脳の差"というアピールをし、クロマティの怒りを誘っていた。ただし本当の「犬猿の仲」というわけではなく、OBオールスター戦で若菜とクロマティが同じチームでプレイすることもよくあった。野村克也からは、「捕手としては気が強すぎる。捕手よりもむしろ投手向きの選手だ」と評されていた。
長谷川一族は、江戸時代中期以降、山形商業の基幹産業となった「紅花」を取り扱い、最上川水運や日本海航路による京阪神との貿易により財を成し、山形市を代表する豪商となった。また、山形藩御用商人として市内外商家の指導的立場となり、明治維新後の帝国議会開設に際しては、一族の宗長である丸長・長谷川家の当主、長谷川直則（吉郎次）は、第一回貴族院議員に選出された。丸長・長谷川家が衰退をたどった後は、山形市三日町の丸山・長谷川家（長谷川吉茂山形銀行頭取の祖）と同市十日町の丸谷・長谷川家（本稿、長谷川憲治の祖）の両長谷川家が、財界の重鎮として、明治・大正期の山形県経済の発展に貢献をした。1938年、4代目長谷川吉内が死去したため嫡孫である吉祿が吉内を襲名した（嫡子はすでに病死していた）。そして、この5代目吉内が殖産相互銀行第5代社長となり憲治を養嗣子とした。
プロデビュー直後は、心斎橋筋2丁目劇場での舞台が月に数回ある程度であり、アルバイトをしながら舞台に立っていた。1998年の夏、CSの番組で放送された、心斎橋筋2丁目劇場オーディションを合格した約20組で争う「新人王決定戦」で優勝。この頃からファンが付き、ファンレターが毎日来るようになる。1999年3月に心斎橋筋2丁目劇場が閉鎖された後は、新たに建てられたbaseよしもとを拠点とする。高学歴ということから、赤本にサインを求められるなど、受験生のアイドル的存在ともなった。1999年の10月には、『クヮンガクッ』（毎日放送）で初めてテレビに出演。千個のハンコを、街を歩く同じ名字の人に配るというもので、終わるまでに39時間かかったという。2001年、『紳助の人間マンダラ』（関西テレビ）の企画で、ランディーズ、キングコングと共にダンスユニット「WEST SIDE」を結成。CD・写真集等を発売し、関西でブレイクした。2001年に初めて、baseよしもとで単独ライブを開催した。この単独ライブは、うめだ花月、ルミネtheよしもとなどで、2011年現在まで毎年複数回行っている。この頃はアイドル系の顔をしている菅の方の人気が高く、宇治原はWEST SIDEでも顔のことでいじられるオチを担当するなど、いわゆるブサイクキャラであった。2003年にbaseよしもとを卒業する。2000年代初期のbaseよしもとブームにおける、主要メンバーの一組であった。