通常は、多変数多項式に対して「最高次の項」は一意ではないから「モニック」の概念も意味を為さない。ただし多変数多項式を、係数が「主変数以外の変数に関する多項式」となっているような、変数が主変数のみの「一変数多項式」と見なすことはできる。これには、どの変数を主変数と見なすかによって選択肢は複数ある。例えば実多項式  を考えるとき、これを y に関する一変数多項式を係数とする x に関する一変数多項式  と見ればモニックである。しかし、 と見れば、最高次係数（y² の係数）2x − 1 は 1 でないから y に関してモニックではない。別な規約を設けることもできて、それは特にグレブナ基底の文脈では有効である。すなわち、多項式がモニックであるとは、「多変数多項式の意味での」主係数が 1 に等しいこととする。より精確に、n-変数の非零多項式 p = p(x₁, …, xₙ) を考えるとき、同じ変数に関する「モニック」単項式全体の成す集合上の単項式順序—x₁, …, xₙ の生成する自由可換モノイド上の全順序で、単位元を最小元に持ち、多項式の乗法と両立するもの—が与えられているものとする。このとき多項式 p の主項とは p の係数が消えていない（与えられた単項式順序に関して）最大の項を言い、その係数が 1 であるとき p はモニックであると言う。「多変数モニック多項式」を適当な定義のもと考える場合は、通常の（一変数の）モニック多項式の持つ性質と共通していることが望ましい。特に上に挙げた二つの定義では、モニック多項式の積がふたたびモニックになる。
整数係数モニック方程式は整数解以外の有理数解を持たない。つまり、モニックでない方程式 2x² + 3x + 1 = 0 は整数でない有理数解を持ち得る（これはたまたま有理数解、なかんずく −1/2 を根に持つ）が、x² + 5x + 6 = 0 や x² + 7x + 8 = 0 は整数解かさもなくば無理数解しか持ち得ないということである。整数係数モニック多項式の根は代数的整数と呼ばれる。代数的整数論において、整域上のモニック多項式方程式の解は整拡大および整閉整域の理論を考えるうえで重要である。一般に、A は整域で、別の整域 B の部分環と仮定するとき、部分集合 C ⊂ B を A 上のモニック方程式を満足する B の元全体の成す集合  とすれば、C は A を含む（実際、任意の a ∈ A はモニック方程式 x − a = 0 を満足する）。さらに言えば、C が加法および乗法について閉じていることが示せるから、C は B の部分環である。この環 C を A の B における整閉包と呼ぶ（B が A の商体であるときは、単に A の整閉包と呼ぶ）。また C の元は A 上整であると言う。A が有理整数環 Z で B が複素数体 C であるとき、C は代数的整数環と呼ばれる。
多項式の整除関係をモニック多項式全体の成す集合に制限したものは、この集合上の半順序関係となる。実際、二つのモニック多項式 p, q に対し、p(x) が q(x) を整除し、かつ q(x) が p(x) を整除するならば、p, q は互いに一致しなければならない。このことは、モニックでない一般の多項式に対しては必ずしも成り立たない（例えば、係数環が 1 以外の単元を持つときは成り立たない）から、モニックに制限しない場合の整除関係は半順序とは限らない。
1891年、福島県相馬地方にて、貧農の家に四男（11人きょうだいの下から2番目）として生まれた。小学校卒業後、東京に出て丁稚奉公するも長続きせず、転々と奉公先を変え、結局帰郷。乙種農学校に入るも程なくして退学し、新設された准教員養成所に入ったが、正規の教員になるため福島県師範学校に転じた。福島師範学校卒業後小学校教員となるも、知人の誘いで1915年9月、東京高等師範学校特科（体育科）の第1期生として入学した。スポーツ歴としては、福島師範学校時代に始めた長距離走で活躍。東京高師に入学した後は同校の蹴球部（現：筑波大学蹴球部）に入り、サッカー選手としてのキャリアをスタートさせた。1917年に東京で開かれた第3回極東選手権競技大会では、25マイルマラソン（現在のフルマラソンに相当）、10マイル短縮マラソン（現在のハーフマラソンに相当）、そしてサッカーの選手として出場した。サッカー日本代表初の国際試合（国際Aマッチではない）となった中華民国戦（1917年5月9日。芝浦運動場）にもハーフバックの選手として出場した。尚、東京高師在学中には佐倉中学（現・千葉県立佐倉高等学校）でサッカーの指導をした記録が残っている。東京高師卒業後は、東京府立第五中学校（現・東京都立小石川中等教育学校）や東京高師附属小学校（現・筑波大学附属小学校）の教員を務めた。1921年に上海で開かれた第4回極東選手権では、選手兼任監督として出場。しかし、5月30日のフィリピンとの試合で1-3、6月1日の中華民国との試合で0-4と、2連敗（最下位〔フィリピン、中華民国〈優勝〉とのリーグ戦で3位〕）に終わった。1924年東京高師に体育研究所が設立されると、遊戯部長になり球技専門の講師となる。1926年に学校体操教授要目改正に際して、当時としては異例の35歳で教授に昇格し、さらに文部省調査委員となり球技の海外からの導入に尽力した。アムステルダムオリンピック（1928年）の際には、文部省留学生となり欧米を歴訪した。その後、東京女子高等師範学校（現・お茶の水女子大学。1935〜42年。戸倉ハル・竹之下休蔵らとともに1936年に女子体育振興会、1937年に同校の体育科設立に関わった）、中華民国国立南京中央大学（現・南京大学。1943年～45年3月。）、宇都宮師範学校（現・宇都宮大学教育学部。同大学昇格時にも在籍した。1945年4月～。）など様々な学校の教授を歴任し、新設の福島大学の教育学部体育学科に招聘された。68歳で福島大学を定年退職し、その後は71歳で定年退職するまで中京大学で教鞭を執り、体育学部長も務めた。さらにその後も日本女子体育大学で教鞭を執った（前身の日本女子体育専門学校でも教師をしている）。1982年7月23日、東京都杉並区で肺血栓により91歳で死去した。30を超える著書があり、その中には『フットボール』（戦前のサッカー専門書としてはベストセラーになった）もある。