対照的に，直既約部分加群への一意的な分解はそれほど一般化されず，その失敗度合いは PID 上消えるイデアル類群によって測られる．主イデアル整域でない環に対して，一意分解は二元で生成された環上の加群に対してさえ成り立つとは限らない．環 R = Z[√−5] に対して，加群 R と，2 と 1 + √−5 で生成される部分加群 M は，ともに直既約である．R は M に同型ではないが，R ⊕ R は M ⊕ M に同型である；したがって M 成分の像は直既約部分加群 L₁, L₂ < R ⊕ R を与え，これは R ⊕ R の異なる分解を与える．R ⊕ R の直既約加群の直和への一意的な分解が成り立たないことは（イデアル類群を通して）R の元の R の既約元への一意分解が成り立たないことに直接に関係する．
ジョルダン・ヘルダーの定理は有限群（あるいは任意の環上の加群）に対するより一般的な結果である．この一般化では，直和ではなく組成列を得る．クルル・シュミットの定理や関連する結果は加群が準素分解のようなもの，直和成分が順序を除いて一意的であるような直既約加群の直和としての分解，をもつ条件を与える．
体 F 上のベクトル空間が有限生成集合を持つとき，その中から有限の n 個のベクトルからなる基底を取り出すことができ，空間は Fⁿ に同型となる．F を主イデアル整域 R に一般化したときに対応する主張は，R 上の有限生成加群が基底を持つとは限らないから，もはや成り立たない．しかしながら，そのような加群はなお，有限な n に対するある加群 Rⁿ の商に同型である（これを見るには，Rⁿ の標準基底を加群の生成元に送る射を構成し，その核による商を取れば十分である．）生成集合の取り方を変えることで，実は加群を特に単純な部分加群によってある Rⁿ の商として記述することができ，これが構造定理である．主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理は通常以下の2つの形で現れる．
カリフォルニア大学セントメリー校在学中の1908年にボストン・レッドソックスと契約、大学卒業時には、フーパーは工学の学位を持っていた。翌1909年にメジャーデビューし81試合に出場、打率.282を記録する。スライディング・キャッチを得意としていたフーパーはその守備力を買われ、2年目の1910年には右翼手としてレギュラーに定着、攻撃ではリードオフマンを務めるようになる。また同年は左翼手としてセントメリー校の後輩だったダフィー・ルイスが入団、中堅手のトリス・スピーカーが打率.340を記録しブレイクした年でもある。以後彼ら3人は『100万ドルの外野陣』として名を馳せる。ルイス、スピーカー、フーパーのトリオは1915年までレッドソックスの不動の外野として活躍し、チーム1912年と1915年の二度のワールドシリーズ制覇に導いている。その後1919年にはレッドソックスのキャプテンを務めるなどチームの中心選手となり、レッドソックスでのワールドシリーズ出場は計4度を数える。レッドソックス時代はほぼ毎年100近い得点を上げ、三塁打数は1912年から7年続けて2桁を記録するなどコンスタントに活躍していた。三塁打数と盗塁数については、2006年現在もレッドソックスの球団記録を保持している。1921年のシーズン始めにホワイトソックスに移籍。レッドソックス時代の走力には衰えがあったものの1924年には自身最高の打率.327をマークした。1925年に引退。1971年にベテランズ委員会がアメリカ野球殿堂入り選手に選出した。1974年カリフォルニア州サンタクルスで死去。
WB&Aは最初1899年にポトマック・アンド・セバーン電鉄(The Potomac and Severn Electric Railway)として設立された。1900年4月10日にはワシントン・アンド・アナポリス電鉄(Washington and Annapolis Railway)へ、そして最終的に1902年4月8日にはワシントン・ボルチモア・アンド・アナポリス電鉄(Washington, Baltimore and Annapolis Electric Railway)へ社名を改めた。1903年にWB&Aは休止していたかつてアナポリス・アンド・エルクリッジ鉄道であったアナポリス・ワシントン・アンド・ボルチモア鉄道(Anapolis, Washington and Baltimore Railroad,AW&B)を買収し電化の上復活させた。同時に会社はB&Oとペンシルバニア鉄道の少し東側のより人口の少ない地域にほぼ直線の線路を複線で敷設した。1908年2月7日にはボルチモアのリバティー・ストリートからワシントンのH・ストリート・ノースイーストにあるターミナルまでの運行を開始した。1910年以降路線は財務省の近くの15番通りの繁華街の中心にまで達した。また、B&Oの本線のアナポリス・ジャンクションを起点とし、WB&Aの本線とオデントンのすぐ東で交差し東へ進みミラースヴィルとクラウンズビルを経由しアナポリスへ向かう単線の路線が存在した。。後に本線と呼ばれることとなる、ボルチモアからデヴィッド、グレン・デール・ホスピタル、グレナーデン、チェサピーク・ビーチ鉄道とワシントンのすぐ外側にあるチェサピークジャンクションで接続するフェアモント・ハイツを経由してワシントンまで走る路線がWB&Aによって建設された。 そこからは、路線はチェサピーク・ビーチ鉄道の線路と並行し、ベニング・ロード・ブリッジを超えワシントン中心部へ乗り入れていたワシントン・レイルウェイ・アンド・エレクトリック・カンパニーのシート・プレザント・ラインに続いていた。自社の線路に入ればWB&Aの急行電車は通常時速60マイル(約96km/h)に達したが、ターミナルがある町での併用軌道走行が全体のスピードを押し下げた。標準的なB&Oの急行の所要時間は50分であったが、最も早いWB&Aの電車の所要時間は1時間20分であった。清潔さや低運賃、30分ごとの急行電車の運転、より繁華街に近く立地の良いターミナルといった工夫によりこれらの不利な点を相殺していた。