別な観点では、ベクトル空間 V が各ベクトル v ∈ V にスカラー ǁvǁ を割り当てる（一次の）ノルム函数を持つことがある。定義により、スカラー倍 kv のノルムは、v のノルムの |k|-倍になる。ノルム ǁvǁ をベクトル v の「長さ」と解釈するならば、スカラー乗法はベクトル v の長さをスカラー k によってスケール変換することとして述べられる。ノルムを備えたベクトル空間はノルム線型空間（ノルム付けられた線型空間）と呼ばれる。ノルムの値はベクトル空間 V のスカラーの体 K の元（つまりスカラー）で、そのスカラー体が符号の概念を備えているものと仮定するのが普通である。さらに言えば、V の次元が 2 以上のとき、K は四則演算だけでなく平方根を取ることについても閉じていることが望ましい。この点で有理数体 Q は除外されることになるが、無理数体 (surd field) S は除外されない。この意味では任意の内積空間がノルム空間となるわけではないことが言える。
線型代数学の基本定理に依れば、任意のベクトル空間は基底を持ち、従って係数体 K 上の任意のベクトル空間が K の元を座標成分とする何らかの数ベクトル空間に同型となることが示される。例えば、次元が n の任意の実線型空間は n-次元実数ベクトル空間 Rⁿ に同型である。
線型代数学では、ベクトル空間のベクトルに対比するものとしての実数をスカラー（英: scalar）と呼び、ベクトルを定数倍して別のベクトルを作り出す演算としてスカラー乗法（スカラー倍）が定義される。より一般に、実数全体に替えて任意の体、例えば複素数全体を用いてベクトル空間を定義することができるが、そのときのベクトル空間のスカラーとはその体の元のことを示すものということになる。ベクトル空間の上にスカラー積演算（スカラー倍と混同してはいけない）が定義されれば、二つのベクトルを掛けてスカラーを得ることができる。スカラー積を備えたベクトル空間は内積空間と呼ばれる。四元数の実部（実成分）のことをスカラー部（スカラー成分）とも呼ぶ。厳密な言い方ではないが、例えばベクトルや行列、テンソルなどの一般には「複合的」な値で決まる量が、実際には一つの成分に還元されてしまうとき、例えば 1 × n 行列と n × 1 行列の積は厳密には 1 × 1 行列となるが、これをスカラーと見做すことがよく行われる。行列のスカラー倍を行列の積として実現する「スカラー行列」は、単位行列の適当なスカラー k-倍 kI の形に書ける行列の総称として用いられる。
19世紀まではヤオ族の勢力下であったが、アフリカ分割によりポルトガル領東アフリカ(現在のモザンビーク)の1地域となった。1891年からは現在のニアサ州とカボ・デルガード州を合わせた領域はポルトガル領東アフリカ領内のポルトガル領ニアサ(-ランド)と呼ばれ、英・仏資本のニアサ会社が統治した。会社による統治は1929年に終了した。その後1931年にヴィラ・カブラルが建設された。1961年から1974年の独立戦争では、モザンビーク解放戦線が、北に国境を接するタンザニアを拠点に、越境してポルトガル軍を攻撃した。1975年モザンビークが独立し、それに伴い州都ヴィラ・カブラルがリシンガに改称された。独立戦争とその後1992年まで続く内戦の影響で開発が遅れた。
現在の長崎県北部の豪族だった松浦党より台頭した松浦隆信は、肥前北部及び壱岐を征す戦国大名となった。その子の鎮信（法印）は天正15年（1587年）、豊臣秀吉の九州征伐の折、旧領である北松浦郡・壱岐を安堵された。続いて慶長5年（1600年）、関ヶ原の戦いで東軍に与した松浦氏は徳川家康より6万3千石の所領を安堵され、平戸藩が確立した。4代重信（鎮信、天祥）は従弟の信貞に今福領1500石を分知した。重信の治世の寛永18年（1641年）、オランダ商館が平戸から長崎に移される。幕府は例外措置としてそれまで公儀御料の遠国奉行支配地にしか認められていなかった糸割符制度に平戸商人が参加することを許したものの、藩財政は大きな痛手を被ることとなった。以後は藩の内政を立て直すべく検地を行い、農・漁・商の振興を推進して藩財政の基礎を固めた。貞享4年（1687年）には家臣の給与制度を改革し、知行制から俸禄制へと切り替えた。5代藩主棟は元禄2年（1689年）、弟の昌に1万石を分与し、平戸新田藩が立藩した。棟は外様大名でありながら奏者番兼寺社奉行に累進した。しかしこれに伴う出費と、宝永4年（1707年）の平戸城再建により藩財政は困窮するに至った。9代清（静山）は平戸藩で最大となる「寛政の改革」を断行、国許・江戸の政治と財務の大幅な組織改革を行った。静山は全278巻に及ぶ随筆集『甲子夜話』を著したことで広く知られる。娘の愛子は明治天皇の祖母。12代詮の時代に幕末を迎える。第二次長州征伐の後、藩論は倒幕に傾斜し、慶応4年（1868年）戊辰戦争勃発直後、官軍方への参加を明確にした。同時に軍制改革により洋式の銃部隊を編成し、奥州へと転戦した。明治4年（1871年）、廃藩置県により藩領は平戸県となったのち、長崎県に編入された。藩主家は華族に列した。明治17年（1884年）、松浦家は伯爵を叙爵された。