逆関数定理は重要な結果であるから数々の証明が与えられてきた。教科書で最もよくみられる証明は収縮写像の原理（バナッハの不動点定理とも呼ばれる）に依っている。（この定理は常微分方程式の解の存在と一意性の証明における重要な段階としても使うことができる。）この定理は無限次元（バナッハ空間）の場合にも適用するから、逆関数定理の無限次元版（下の#一般化を参照）の証明に使われる道具である。別の証明（有限次元のみで有効）として、コンパクト集合上の関数に対する最大値の定理を重要な道具として用いるものがある。また別の証明として、ニュートン法を用いるものがあり、この利点は定理のeffectiveなバージョンが得られることである。つまり、関数の微分の大きさの上界が与えられると、関数が可逆な近傍の大きさの評価を得ることができる。
数学、特に微分学において逆函数定理（ぎゃくかんすうていり、英: inverse function theorem）とは、関数が定義域内のある点の近傍で可逆であるための十分条件を述べるものである。この定理から、逆関数の微分の公式が得られる。さらに多変数微分積分学においてこの定理は、ヤコビ行列が正則となる点を定義域内に持つ任意の C¹ 級ベクトル値関数へと一般化される。この一般化から、逆関数のヤコビ行列の公式が得られる。このほか、複素正則関数、多様体間の可微分写像、バナッハ空間間の可微分写像などに対する逆関数定理も存在する。
伝プラトン『アルキビアデスI』では、アケメネスをペルセウスの子孫としている。アイリアノス『動物の特性について』12.21 では、アケメネスが鷲に育てられたという伝説を伝える。
ベヒストゥン碑文ではアケメネスをテイスペスの父としている。ヘロドトスの『歴史』7.11 でクセルクセス1世の家系について述べる箇所では、混乱が見られるものの、やはりアケメネスをテイスペスの父としている。しかし、キュロス・シリンダーではキュロス2世は自らをテイスペスの子孫と述べているにもかかわらず、アケメネスについては何も記していない。このため、ベヒストゥン碑文に記す系図は、出自の怪しいダレイオス1世による捏造の疑いがある。一般に、アケメネス家の人（Haxāmanišiya）を自称するようになったのはダレイオス1世からである。唯一、パサルガダエのキュロス2世の古代ペルシア語碑文には、自分がアケメネス家の人であることを述べているが、この碑文はキュロス2世ではなくダレイオス1世の時代に作られた可能性が高い。アケメネスが実際にテイスペスの父であったとしても、彼が何をしたかはまったく不明である。
古代ペルシア語での名前は「ハカーマニシュ」で、通常は「*haxā-」（友、アヴェスター語 haxay-）と「manah-」（心）からなり、「友人の心を持つ」という意味だと伝統的には理解されているが、異論もある。「アケメネス」はギリシア語形をラテン語化した形にもとづく。
アケメネス（Achaemenes、古代ギリシア語: Ἀχαιμένης アカイメネース、古代ペルシア語: 𐏃𐎧𐎠𐎶𐎴𐎡𐏁 Haxāmaniš ハカーマニシュ）は、アケメネス朝の王家の氏族の始祖とされる、半ば伝説中の人物。その事績は伝わっていない。なお、クセルクセス1世の兄弟（または息子）とされる同名の人物で、エジプトのサトラップがいる。
ファンジとグレーの死後、長期にわたって上野動物園はキリン不在の時代が続いた。次のキリンが来たのは、1933年（昭和8年）になってからのことであった。この年の春、東京で開催された万国婦人子供博覧会に、ハーゲンベック動物曲芸団（カール・ハーゲンベックの次男ロレンツが率いていた）が招かれた。ハーゲンベック動物曲芸団はキリンのつがいとクロサイ1頭を持っていたため、上野動物園は値段が安く知名度もあるキリンの方を購入した。このつがいはチャド湖近くで捕獲されたナイジェリアキリンで、オスの名は「アリー」、メスは「ザイダー」といった。8月22日に上野動物園に到着したつがいは、一般公募によって「長太郎」と「高子」と改めて命名された。購入費用は2頭で2万5000円、キリン舎建設に4000円を要したものの、キリンの来園は大人気となって入園料収入で経費を賄うことができた。高橋は当時在職していた職員の中で唯一キリン飼育の経験があったため、今回もキリンの飼育担当を任された。ファンジとグレーのときとは違って長太郎と高子には設備の整った飼育舎と広い運動場が用意されたため、2頭は到着の日から外に出て運動場を悠然と歩きまわり、観客の人気を博した。元気な2頭の姿は高橋にとっても喜ばしいことで、キリンを眺めながら「二十数年前の失敗をくりかえすまい、と私は祈る思いで自分にいいきかせるのだった」と自著『動物たちと五十年』で記述している。冬季は前回の反省をふまえて室温を下げて徐々に2頭を気候に慣らし、室外にも出したところ2頭は無事に越冬した。2頭は繁殖にも成功し、1回双子の死産があったもののオスの「高男」と「長次郎」、メスの「ミナミ」と「フジ」が生まれている。高男は井の頭自然文化園に1942年（昭和17年）7月12日に移送されたが、わずか3日後の7月15日に腸捻転を起こして死亡した。長次郎も井の頭自然文化園に1942年（昭和17年）7月13日に移送され、1944年（昭和19年）12月17日に4歳で死亡した。高子は1945年（昭和20年）1月30日に死亡し、第二次世界大戦後まで長太郎、ミナミ、フジが生き延びた。長太郎は1947年（昭和22年）、フジは1949年（昭和24年）に死んだが、ミナミは第2次世界大戦後にアフリカから来たウガンダキリンの「タカオ」との間に3頭の子をもうけ、2頭が育っている。ミナミは生涯を上野動物園で過ごし、1962年（昭和37年）12月15日に20歳で死亡した。