以上ではオイラー＝ラグランジュ方程式の物理学的な側面を説明してきたが、方程式そのものは物理学とは無関係に定式化できるので、まず物理学的な背景から離れて方程式を説明し、その後で方程式のニュートン力学的な解釈を説明する。C¹ 級関数を考える。としたとき、オイラー＝ラグランジュ方程式とは  に関する以下の連立偏微分方程式のことである。ここで  は x による偏微分を表す。なお通常は記号を疎漏に用い、上の方程式をと表記する事が多い。この表記では F に代入される値としての  がF の変数としての  と混用されている。さらにベクトル表記により f 個の式を一括してとも書き表す。
オイラー＝ラグランジュ方程式はシンプレクティック幾何学という、解析力学を起源とする数学の分野でも用いられる。またリーマン幾何学における測地線方程式は、曲線の長さをラグランジアンとした場合のオイラー＝ラグランジュ方程式である。なお測地線は相対性理論では光の光路を表すので、これはフェルマーの原理の近代的な定式化になっている。
一般化座標を用いる事ができるという事実は、実際に運動を計算する際有利に働く。例えば振り子の運動を考える場合、ニュートンの方程式ではデカルト座標を用いねばならない関係上、縦軸方向と横軸方向の2つの変数を必要とするため式が煩雑になるが、オイラー＝ラグランジュ方程式の場合は任意の座標系を用いる事ができるため、振り子の角度に着目する事で、角度という１変数のみで運動を記述でき、より簡単な方程式が立てられる。（ここでは振り子の長さは一定であると仮定している）。もちろんニュートン方程式で立式した後極座標に変換すれば同一の式が得られるが、オイラー＝ラグランジュ方程式の利点はこのような煩雑な変換を施す事なく角度に着目した方程式を最初から直接得られる事にある。
ニュートンの方程式がデカルト座標を用いて運動を記述する必要があるのに対し、オイラー＝ラグランジュ方程式は任意の座標（一般化座標）を用いる事ができる。この点においてもオイラー＝ラグランジュ方程式の方がニュートンの方程式よりも本質的である事が伺える。またラグランジアンから一般化運動量、一般化力という、運動量と力を一般化した概念が定式化可能で、これらを用いると、オイラー＝ラグランジュ方程式は一般化力＝（一般化運動量の時間微分）という形にかける。ニュートンの運動方程式は、力＝（運動量の時間微分）であるので、オイラー＝ラグランジュ方程式はニュートンの運動方程式を一般化座標に拡張したものと捉える事もできる。
境内には七騎供養塔があり、文政3年（1820年）に建立された。南北朝時代の正平5年（1350年）、塩冶高貞が、事実と異なる密告によって京都を追われ、本国の出雲国へ落ちて行く時、足利尊氏の軍勢に追われ、現在の加古川市米田町船頭の附近で追いつかれた。その時、弟の六郎ほか郎党七人が、主君のためこの場所に踏みとどまり、足利の軍勢と激しく戦い、全員討死した。この塔は、彼ら7人を供養するために建立された。撰文および書は、頼山陽の筆によるものである。山田佐右衛門が願主となり、川西彦九郎、桜井九郎左衛門が施主となって完成させた。
水口藩時代は文武両道の名君と呼ばれていた明英は、壬生に移封以降、年貢増徴を特に厳しくするなど、緊縮した藩政を敷いた。このため「七色の掛物」と称された百姓一揆が発生した。正徳元年（1711年）12月12日、若年寄を辞任し、翌年1月2日に死去した。享年61。最初に後継としていた、弟で養子の明治は兄より先に死んでいたため、甥にあたる明治の長男の嘉矩が跡を継いだ。
承応元年（1652年）7月29日、水口藩の初代藩主加藤明友の長男として生まれる。寛文5年（1665年）11月7日、第4代将軍徳川家綱に拝謁する。貞享元年（1684年）、家督を継ぎ、翌年12月28日に叙任される。水口藩では善政を敷いていたと言われている。元禄2年（1689年）8月に奏者番と寺社奉行を兼任という形で任じられ、5000石を加増されて2万5000石の大名となる。元禄3年（1690年）10月21日には若年寄となり、元禄8年（1695年）には下野壬生に移封された。
1220年にフリードリヒはハインリヒを共同統治者としてローマ王の地位に置き、ハインリヒと顧問団に帝国の支配を委ねてパレルモに戻った。フリードリヒは新教皇ホノリウス3世から十字軍の実行と引き換えに帝位を認められ、荒れ果てたシチリアの統治に取り掛かった。シチリアでは帝国とは逆に強権的な政策を布き、グリエルモ2世の死後にシチリアの都市と貴族に与えられていた特権を廃した。貴族の拠る城砦は破壊されて新たに皇帝直轄の城が建設され、自治都市には皇帝直属の行政官が派遣された。フリードリヒに反抗して自治を貫こうとしたメッシーナは弾圧を受け、教会にも帝国の介入が及んだ。またフリードリヒの軍はシチリア南部で山賊行為をしていたイスラム教徒を討伐し、10,000人のイスラム教徒を捕らえた。フリードリヒは捕らえたイスラム教徒を新たに建設した都市ルチェーラに移住させ、彼らに自治を許した。フリードリヒに感謝したルチェーラの住民は軍事的協力を約束し、彼らは後にフリードリヒの指揮下で教皇派と戦うことになる。1224年には官僚の養成機関として、法学と修辞学を教授するナポリ大学が創立された。