2007年のMLBドラフト1巡目（全体25位）でシカゴ・ホワイトソックスから指名され、6月16日に契約。ルーキー級の一つ、パイオニアリーグのグレートフォールズ・ホワイトソックスで12試合に登板し、4勝0敗・防御率1.17だった。2008年はA+級(カロライナリーグ)ウィンストン・セイラム・ワートホッグスで12試合に登板し、5勝5敗・防御率3.31だった。6月にAA級(サザンリーグ)バーミングハム・バロンズへ昇格。15試合に登板し、3勝4敗・防御率2.98だった。2009年はAA級バーミングハムで11試合に登板し、5勝4敗・防御率2.38だった。6月9日にホワイトソックスとメジャー契約を結び、6月12日のミルウォーキー・ブルワーズ戦でメジャーデビュー。7月22日にAAA級(インターナショナルリーグ)シャーロット・ナイツへ降格した。7月25日のデトロイト・タイガース戦では、同点の延長13回から登板。1回を無安打無失点に抑え、直後の13回裏にホワイトソックスがサヨナラ勝ちしたため、メジャー初勝利を挙げた。ホワイトソックスでは10試合に登板し、1勝0敗、防御率2.45だった。
2014年は春季キャンプ前の新人合同自主トレーニングで動きの良さを首脳陣に評価されたことから、同期の高卒新人選手からただ1人、春季キャンプの一軍メンバーに抜擢された。DeNAで高卒の新人選手が春季キャンプの最初から一軍メンバーに入ったのは、横浜ベイスターズ時代の2000年に、当時の一軍監督・権藤博の方針で（高卒を含む）新人8選手を全員一軍のキャンプへ参加させて以来14年振りである。春季キャンプ中には、2月19日に実施された韓国プロ野球・起亜タイガースとの練習試合で、9回裏1死満塁から「対外試合初安打・初打点」となるサヨナラ安打を放った。なお、キャンプ後には一軍のオープン戦にも帯同。東邦高校卒業式の翌日（3月2日）に地元のナゴヤドームで開かれた中日ドラゴンズ戦には、家族が見守る前で、「1番・中堅手」としてスタメン出場を果たした。しかし、4打数1安打3三振に終わったことから、試合後に二軍での調整を命じられた。レギュラーシーズンでは、イースタン・リーグ公式戦101試合に出場。打率.271、99安打、6本塁打という好成績を残した。10月4日には、東京ドームの対読売ジャイアンツ戦に、「1番・右翼手」としてスタメン起用され一軍デビュー。1回表の第1打席で小山雄輝から一軍初安打を放ったことを皮切りに、2安打を記録した。オフの11月25日には、推定年俸600万円（50万円増）で契約を更改。12月には、自身と同じ左打ちの外野手であるメジャーリーガーの青木宣親と共に、東京都内で自主トレーニングに励んだ。2015年は前年に続いて、春季キャンプを一軍で迎えた。オープン戦の中盤に打撃不振で二軍降格の危機に見舞われたが、開幕一軍入りを果たすと、巨人との開幕戦（3月27日・東京ドーム）の9回表に代打で出場。澤村拓一から一軍での初本塁打を放った。開幕戦での代打本塁打はセントラル・リーグ史上8人目だが、一軍での初本塁打にもなったのはリーグ史上初の快挙。また、この時点で19歳だったことから、リーグ最年少の開幕戦本塁打にもなった。5月22日の対阪神戦（横浜スタジアム）9回裏の走塁ミスで左足かかとを負傷したため、2日後の24日に出場選手登録を抹消。6月28日に再登録を果たしたが、バッティングの調子を著しく崩したことから、以降は一軍と二軍の往復に終始した。一軍公式戦には58試合の出場で打率.222、1本塁打、10打点という成績にとどまったものの、11月24日には、推定年俸1,050万円（450万円増）で契約を更改。翌25日から台湾でのウィンターリーグへ派遣されたが、現地で右足を捻挫したため、期間中の12月8日に日本へ帰国した。2016年はオープン戦で右肩を脱臼した影響で開幕一軍を逃したものの、4月30日にシーズン初の出場選手登録。関根自身には「使ってもらっている立場」との自覚があったとのことだが、登録を抹消されることなくレギュラーシーズンを乗り切った。一軍公式戦では、主に代走や、レギュラー左翼手・筒香嘉智に代わるゲーム終盤の守備要員として出場。前年に比べて打席数が少なく、本塁打を1本も放てなかったが、ユーティリティプレイヤーとして随所で勝負強さを発揮した。7月5日の対東京ヤクルトスワローズ戦（横浜）では、筒香の代走から左翼の守備に就くと、8回裏に迎えた打席で2ランスクイズを成功。「2番・右翼手」としてスタメンに起用された9月15日の対阪神戦（甲子園）では、7回表1死1塁の打席で三塁打を放つことによって、チームを勝利に導いた。チームがレギュラーシーズン3位で臨んだポストシーズンでは、巨人とのクライマックスシリーズ　ファーストステージ第1戦（10月8日）と第3戦（10日、いずれも東京ドーム）に途中出場。レギュラー右翼手・梶谷隆幸が1回表の打席で左手首に死球を受けた第3戦では、梶谷の代走を経て1回裏から右翼の守備に就くと、同点の2回表1死1・2塁で迎えた打席で勝ち越しの犠飛を放った。チームは後に同点へ追い付かれたものの、延長11回の末に勝利を収めたことによって、ファイナルステージへの進出を決めている。2017年は開幕一軍入りを果たし、前年と同じく主に代走や守備固めとして29試合に出場した。しかし、打率.158と極度の打撃不振に陥り前年と比較して出番が激減した。2018年は開幕一軍入りを逃したが、二軍で打率.308・OPS.788と好成績を残して一軍での成績も向上した。2019年は紅白戦から好調だったのだが、キャンプで体調を崩してオープン戦未出場に終わり、2年連続で開幕一軍入りを逃した。二軍では主に1番打者として83試合に出場。イースタン・リーグ2位の打率.329、1位のOPS.946に加えて12本塁打をマークした。しかし、一軍では自己最低の打率.038・OPS.151という成績に終わった。シーズン終了後の10月中旬から、メキシコのウィンターリーグであるリーガ・メヒカーナ・デル・パシフィコに濱矢廣大と共に参加。ヤキス・デ・オブレゴンの一員として出場する見込み。