福岡県ののちの北九州市エリア出身。福岡県立戸畑高等学校在学時に体操競技を始める。高校卒業後に東海大学体育学部へ進学し、在学中の1981年に交換留学制度を利用してブルガリアへ渡航、ブルガリア国立体育大学に2年間留学する。ブルガリア時代には同国の体操競技代表チームのコーチも務めた。留学先のブルガリアは新体操の強豪国であったこともあり、当時のブルガリア新体操代表チーム監督・ネシュカ・ロヴェヴァに教えを請う等、世界トップレベルの新体操と間近に接した経験からこの魅力を日本へ持ち込もうと考え、就職活動を展開した結果、ジャスコへ1984年に入社した。ジャスコ入社後はジャスコ新体操教室（のちのイオンスポーツクラブ）の事業展開に携わると同時に、ジャスコ新体操クラブ（のちのイオン新体操クラブ）代表として指導者の立場から選手育成にも力を注いだ。2000年代のジャスコの事業・組織再編などを経てイオンリテールへ転属となり、同社スポーツ&レジャー事業部へ配属、2014年3月10日の人事異動でスポーツ&レジャー事業部部長となった。また日本体操協会のフロントには早い段階で入り、2000年には常務理事に選出され、2009年に専務理事に選出された。国際体操連盟に於いては2012年にメキシコ・カンクンでの連盟総会での役員改選で理事に立候補して68票を獲得して1位当選を果たし、2013年から理事を務めており、2016年10月に東京都港区のヒルトン東京お台場で開催された第81次国際体操連盟総会での役員改選では会長に立候補し、ジョルジュ・グルゼク（フランス）との選挙では100票を獲得して第9代会長に当選した。2017年1月1日に正式に会長に就任。任期は4年間となる。2018年7月、北朝鮮体操協会の招待で12～14日の日程で訪朝した。2018年7月20日、国際オリンピック委員会（IOC）会長のトーマス・バッハはスイスのローザンヌで開かれた3日間の理事会終了後に記者会見し、渡邊を委員として推薦することを表明。同年10月のIOC総会で正式決定を諮る。同年10月9日、渡邊の委員就任が決定。同年11月8日、東京オリンピック・パラリンピック競技大会組織委員会の理事就任も決まった。2019年6月26日、2020年東京オリンピックで国際競技連盟AIBAに替わってボクシングを主管することになった特別作業部会IOCボクシング・タスクフォースの座長に就くことがスイスのローザンヌで開かれたIOC総会で承認された。
西河が生まれたのは鳥取県東部の土師村 で現在の智頭町。父親の就職で一家が東京へ移るまで、4年余りをこの地で過ごした。小説家志望であったが、次善の途として映画監督を志し、松竹大船撮影所に監督助手として入社。当時は日本映画の第1期黄金時代ともいえる時代だった。大学を卒業したのが日中戦争真っ只中であったため、松竹入社後1年を経ずして召集（結局2度応召した）されて旧満州やビルマへ出征、捕虜収容所生活も経験した。戦後復員して1946年（昭和21年）復職。原研吉、渋谷実、中村登らの名匠に師事し、1952年（昭和27年）助監督待遇のまま『伊豆の艶歌師』（主演:佐田啓二）を初監督。2本立て映画の1本、いわゆるシスター映画であった。典型的な「大船映画」を数本撮ったあと、1954年（昭和29年）の日活映画製作再開と同時に、日活と監督契約した。山本有三原作による社会派メロドラマ『生きとし生けるもの』（主演:山村聰）を第1作に、日活での初期作としては『東京の人』（主演:月丘夢路）、『美しい庵主さん』（主演:小林旭）などがあるが、当然のように「大船色」が濃く、「日活っぽい」『俺の故郷は大西部』（主演:和田浩治、1960年）は西河作品としては逆に異色である。「西河克己といえば吉永小百合もの」といわれるくらい、1960年代に入ると『若い人』（主演:石原裕次郎、吉永小百合）、『青い山脈』（主演:吉永小百合）、『伊豆の踊子』（主演:吉永小百合）、『エデンの海』（主演:高橋英樹、和泉雅子）、『帰郷』（主演:吉永小百合）などの作品でその才能を遺憾なく発揮し、日本映画の全盛期を飾った。中でも『伊豆の踊子』、『絶唱』（主演:舟木一夫）はいずれもリメイク作品であるが、ともに前作を大きく上回ってヒットし、西河監督の地位を揺るぎのないものにした、まさに代表作といえる。日活がロマンポルノ路線に転換する以前、1969年（昭和44年）の『夜の牝 年上の女』（主演:野川由美子）を最後にテレビ界に籍を移す。その後、1974年（昭和49年）の『伊豆の踊子』（主演:山口百恵）のリメイクで映画界に復帰し、山口百恵・三浦友和の共演で『潮騒』（1975年）、『絶唱』（1975年）、『エデンの海』（1976年）のリメイク作品や、『春琴抄』（1976年）、『どんぐりッ子』（主演:森昌子、1976年）を監督した。しかし、1983年（昭和58年）製作の『スパルタの海』（主演:伊東四朗）は公開直前に、映画の舞台となった戸塚ヨットスクールが暴力事件で死亡事故が起こり、クランクアップ後にお蔵入り。その後、戸塚ヨットスクールを支援する団体が著作権を購入し、2005年（平成17年）9月にビデオ、DVDとして発売される。1984年（昭和59年）の劇画原作『生徒諸君!』（主演:小泉今日子）は動員割れ、1985年（昭和60年）の『ばあじんロード』（主演：松永麗子）は諸処の事情で劇場公開されなかった（後年TBSでテレビ放送。ビデオソフト化もされた）。松竹から日活に移って、プログラムピクチャーを多く監督した1950年代 - 1960年代は、文芸・アクション・青春ドラマ・歌謡映画・メロドラマと多種多様のジャンルの広さで活躍。テレビ界に進出した1970年代前半を経た後、東宝映画にて映画界に戻り、ホリプロ（元会長:堀威夫）に吉永小百合作品を監督した経験から、山口百恵・三浦友和のゴールデンコンビで『伊豆の踊子』をリメイクする事になる。その後、『潮騒』『絶唱』『エデンの海』のリメイク作品や『春琴抄』を監督。その新鮮さと斬新な監督技法は、日本映画界の中でも歴史に残る作品であり、代表作にリメイク作品が多いというのも特色である。また、60歳を過ぎてからも森昌子、秋吉久美子、小泉今日子、松永麗子、富田靖子らの主演作を製作し、西河作品のスクリーンに「アイドル」を追いかける観客は2つの世代にわたることになった。幼年時代を過ごした故郷への思い入れは深く、西河作品には鳥取県に関連したものが幾つか含まれる。『絶唱』は原作は松江だが、映画では鳥取砂丘と賀露港、そして智頭町が舞台に脚色されている。また『悲しき別れの歌』（1965年）、『夕笛』（1967年）、『残雪』（1968年）、『ザ・スパイダースのバリ島珍道中』（1968年）などの作品では智頭好夫の名前で脚本を書いている。