適当な単位的環 A および変数 x を所与として、モニック多項式全体の成す集合は多項式の乗法に関して閉じている（これは、二つの多項式の積の主項が各多項式の主項の積に等しいことから明らか）。したがって、モニック多項式の全体は、多項式環 A[x] の乗法部分半群を成す。特に、A[x] の乗法単位元である定数多項式 1 はモニックであるから、この半群はモノイドを成す。
イムラドリスは、霧ふり山脈のふもとにある険しい谷である。鳴神川（ブルイネン）の2本の支流にはさまれた三角地帯であり、エルロンドの力の込められたこの流れは、侵入者があると増水して撃退するようになっている。フロド・バギンズを追跡してきた指輪の幽鬼も、川に押し流されて撤退している。
サウロンに欺かれて力の指輪を造ってしまったことを知ったエルフたちは、彼の者と激しい戦いを繰りひろげたが、多大な犠牲を出す結果となった。生き残ったエルフの隠れ家としてエルロンドが築いたのが、イムラドリスの「最後の憩い」の館である。裂け谷はその後も長い間、安全な避難所として機能し続けた。その恩恵にあずかったのはエルフだけではない。滅亡した北方王国アルノールの王家の血を引くドゥーネダインも代々世話になっており、やがて統一王国の玉座に就くことになるアラゴルンも幼い頃をここで過ごした。『ホビットの冒険』では、ビルボ・バギンズたちが訪れている。一つの指輪の来歴が明かされ、その破壊のために9人の指輪の仲間が集ったのも裂け谷である。指輪戦争終結後、主であるエルロンドは西方の不死の国に去っていったが、かれの息子のエルラダンとエルロヒアや、ロスローリエンから東ローリエンを経て移ってきたケレボルンたちがこの地にとどまり、裂け谷はすぐには無人とはならなかった。しかしそのかれらも、最後には灰色港から西へ旅立っていった。
裂け谷（さけだに、Rivendell）は、J・R・R・トールキンの中つ国を舞台とした小説、『ホビットの冒険』、『指輪物語』に登場する土地である。シンダール語のイムラドリス（Imladris）の訳語。霧ふり山脈の西の麓にある谷間であり、サウロンから身を守るために作られた避難所でもある。半エルフのエルロンドが最後の憩いの館を構えて住んでいる。
レコーディングを始めたばかりの頃は、彼がドラムを演奏する事もあった。高校の頃から彼は過激な演出を好んでいた。初期のギグの内、あるギグ（高校のダンス・パーティー）では室内のデコレーションをめちゃめちゃにして、喝采を受けた。また、あるギグでは暴動さえ起こった。1977年には Malpractice というバンドで、彼は2つの曲を作った。また、1981年には Stripsearch というバンドのシングルGalileo / Jesus Over New York でドラムをプレイしている。彼が初めてフロントマンを務めたのは The Jabbers (1977-1984) だった。The Jabbers はアリンがドラム、ボーカルをやっている曲をいくつも録音している。この頃、アリンはデビューアルバムAlways Was, Is, And Always Shall Be（1980年）を発表する。この頃のアリンはニューヨーク・ドールズの影響を感じることもできる、スタンダードなパンク・ロック・フロントマンだった。黒いマニキュアを施し、長髪にバンダナを巻くなど、後のいでたちとは大きく異なっている。サウンドも非常にポップな要素が多く含まれており、再評価の対象ともなっている。だが、歌詞は後のものと大して変わらない世界であり、またのた打ち回るように歌っており、後の展開をうかがわせる要素もある。一時期は業界のベテランen:Genya Ravan（en:Dead Waters のプロデューサー）がマネージメントを務めた事もあったが、徐々にアリンは手が付けられなく、癖が悪く、また妥協をしないようになっていき、The Jabbers 内での緊張が高まり出した。The Jabbers は活動を停止し、メンバーはばらばらになった。アリンの薬物乱用もこの頃に始まった。1980年代の初めから終わりまで、アリンは様々なバンドでフロントマンを務めた。この時期の作品としては、1982年の en:The Cedar Street Sluts や en:The Scumfucs、1985年の en:The Texas Nazis の初期のアルバムがある。しかし、アリンはアンダーグラウンドのパンクシーンに留まり、アメリカ東海岸のパンク・シーンでも名の知れた存在とはなっていなかった。1986年3月13日にはアリンと Tracy Deneault の間に娘が生まれる。その子供 Nicoann Deneault についての情報はほとんどない（しかし、葬儀の時、GG の左手に収められた小さな写真はおそらく Nicoann のものだろう）。彼女が生まれた後すぐに、アリンと Deneault は離婚した。アリンはニューハンプシャーのキャビンに入り、彼の最初のマスターピースだと考えられている、悪名高いアルバム Eat My Fuc に着手する。当初、このアルバムは彼の他のアルバムのように広くから賞賛されたわけではなかった。アリンの最初のヒットは、en:Reachout International Records (ROIR) のHated In The Nation のリリースによってもたらされた。当時はカセットのみのリリースで、The Jabbers、The Scumfucs、Ceder Street Sluts の当時廃盤だった過去音源から、いくつかの曲を収録したものだった。そのテープには新規のレコーディング（スタジオとライブの両方）も収録されていて、 en:Maximum Rock'n'Roll のコラムニストで、アリンの初期のパトロンだったen:Mykel Board によるオールスター・バンドがバックについていた。バンドにはダイナソーJr の J・マスシス がリードギター、en:Bongwater のメンバーでプロデューサーでもあった en:Mark Kramer がベースとして参加していた。