1895年にリャプノフは私講師（Privatdozent）となったが、ハリコフ大学で力学の講座を担当して欲しいとの申し出があり、その年に赴く。ハリコフにおける滞在の最初の頃について、リャプノフは自伝の中で、次のように述べている。"ここで最初は、リャプノフの研究活動は切り詰められた。講座課程を苦心して作成し、学生のための講義草稿をまとめることが必要であり、多くの時間が費やされた。" 彼の学生で共同研究者でもあるウラジーミル・ステクロフは、彼の最初の講義を次のように回想している。"年齢が学生らとほとんど変わらない、顔立ちの整った若者が、聴衆の前に現れた。そこには、老学部長で全学生から尊敬されていたレヴァコフスキー教授もいた。学部長が去ると、揺れる声で力学系の講義でなく、質点の動力学の講義を始めた。この科目は 学生たちにとってドラリュ教授の講義によって、既知のものであった。しかし、リャプノフが我々に教えたものは初めて聞くものであり、このような題材はいかなる教科書にも見たことがないものであった。講義への反目はあっという間に吹き飛んだ。あの日以来、学生達は特別な敬意を払うようになった。" 1892年、博士論文"運動の安定性の一般問題"が受理された。。論文はモスクワ大学でニコライ・ジュコーフスキーとV. B. Mlodzeevskiによって審査され、1892年9月12日に受理された。この博士論文は修士論文と同様に、フランス語に翻訳された。翌年、リャプノフはハリコフ大学の正教授に就任した。
1876年、サンクトペテルブルク大学の数理物理学科に入学するが、一か月後に数学科に移る。当時のサンクトペテルブルク大学の数学科の教授には、 パフヌティ・チェビシェフやその弟子であるアレクサンドル・コルキン、イェゴール・ゾロタレフがいた。自身の最初の科学論文は、力学の教授であるD. K. Bobylevの指導の下、執筆している。1880年には、流体静力学の業績で金賞を受賞する。これは、最初の発行論文である"一定形状の容器内の重液中における重物体の平衡"と"静水圧のポテンシャルについて"の基となっている。リャプノフは1880年に大学の課程を修了した。その2年前には、アンドレイ・マルコフもサンクトペテルブルク大学を卒業していたのだが、生涯を通じて、マルコフと科学分野での交流を続けることになる。1884年には、修士論文"平衡状態の回転流体の楕円体形状の安定性について"が受理された。このテーマはチェビシェフによって提起されたものであったが、これはそれ以前にもゾロタレフやコワレフスカヤといった学生にも与えていたテーマであった。この論文は、1885年に「天文学報」(Bulletin Astronomique)にて公表された。1904年には、フランス語に完全に翻訳され、ヨーロッパの数学者、物理学者、天文学者の関心を集めることとなった。
リャプノフは帝政ロシア時代にヤロスラヴリで生まれた。彼の父ミハイル・ワシレーヴィッチ・リャプノフは天文学者としてよく知られ、デミドフスキーリュケイオンの長であった。 大学当局の反応のためにロバチェフスキーが辞任した後、1864年にカザン大学の天文台で仕事を完全に諦めた。彼はシンビルスク州(現在のウリヤノフスク州)にある妻の屋敷へ家族とともに引っ越した。そこで彼は、自分の時間を長男アレクサンドルとセルゲイの教育につぎ込んだ。1868年に父親が没した後、叔父であり、生理学者のイヴァン・セチェノフ、兄弟であるR. M. セチェノフから教育を受ける。叔父の家では、遠い従妹であるナターリヤ・ラファイロヴナと学ぶが、1886年に彼女を妻としている。1870年にリャプノフの母親は息子とともに、ニジニ・ノヴゴロドに移り、そこでギムナジウムの第3学年に進む。ギムナジウムは1876年に卓越した成績で卒業した。
U-16クロアチア代表において、対チェコで国際試合デビュー。U-16で8試合、U-17で3試合、U-21で9試合の代表キャップを持つが、フル代表の選出歴はない。
2002年（平成14年）度から、排出ガス及び燃費性能の優れた環境負荷の小さい自動車（低公害車）は、その性能に応じて税が軽減され、新規登録から一定の年数（ガソリンエンジン車13年、ディーゼルエンジン車11年）を経過した乗用自動車（事業用乗合バスを除く）の税率を約15%重課（2014年（平成26年）度までは約10%重課）、貨物自動車は約10%重課する特例措置（いわゆる自動車税のグリーン化）が実施されている。この「グリーン化税制」は、排ガス性能や燃費の向上による環境保護という名目のもと、経済対策（新車販売の内需回復）が織り込まれており、新車製造にかかる環境負荷や、古い車を廃車にする際の環境負荷（まだ使えるのに捨ててしまうというもったいない精神を逸脱する行為）、オーナーの燃料消費状況（古い車であってもあまり走行せず燃料消費量が少ないなど）といった要素の環境負荷については、一切考慮されていない。なお、重課の条件は登録より一定年数の経過であるため、世界で長年使用されてきた古い旧車を日本に輸入して登録した場合は、この登録が初回登録となるので、いくら燃費が悪く製造より13年以上経過していようと重課対象にはならない。耐久性と信頼性の高い日本車は、中古車として世界に輸出されるケースも多いため、「鉄鋼等の原材料を輸入するためにエネルギーを消費し、新車を生産するためにエネルギーを消費した上で、排ガス性能の低い使用過程車をエネルギーを消費して海外に送り出しているだけで、地球規模での環境保護にはなっていない」という批判もある。なお、現在問題となっている高齢運転者による自動車事故もグリーン化税制が原因だと言う意見もある。