東京府出身。東京府立第四中学校（現 東京都立戸山高等学校）では、犬井鉄郎（のち東大応用数学科教授）らと親しくしていた。四年修了での旧制第一高等学校受験にうっかりミスで失敗したが、四中卒業後に一高入学。その間、秋山龍や森外三郎らの訳書である代数や幾何などの一般数学書や、ポアンカレの「科学と仮説」に親しむ。東京帝國大学（現 東京大学）理学部数学科においては高木貞治に師事して主に類体論について学び、1929年卒業。ドイツとフランスに留学した。1936年 東京大学 理学博士　論文の題は「一般單項化定理に就て」。 1942年から1967年まで東大理学部教授を、1977年まで学習院大学教授を務めた。1970年フィールズ賞選考委員。1976年勲二等旭日重光章受章。1980年レジオンドヌール勲章受章。1978年、学士院会員に選出。専門は整数論。単項化や分岐理論など類体論の発展に多大な寄与をなした。後進の育成では、主な弟子に、義弟でもあるフィールズ賞受賞者の小平邦彦、第一回ガウス賞受賞者の伊藤清、岩澤理論の岩澤健吉、佐藤理論や佐藤超関数で知られる佐藤幹夫などがいる。幾何や解析など、自分の専門外の分野でも優れた弟子を数多く育てた。代数学、幾何学にも関わり、中学の先輩であり数学者である吉田洋一と同様、数学史の編纂にも携わった。また、11ヶ国語前後の言語をマスターしていた。2006年6月1日、老衰のため満100歳にて死去。最晩年に至るまで、著書や論文を著した。他に代表的な業績として、小平らとともに東京書籍発行の算数・数学教科書の作成に関わったことも挙げられる（彌永が担当したのは1970年代後半まで）。長男はセールの「数論講義」等を翻訳した彌永健一。
AG-ON Premium版（2017年4月以前はAG-ON版）でのみ、番組終了後（コンテンツとしては同一）に配信されている数分（不定）のコーナー。超!A&G+や地上波では放送されていない。もとは、2005年9月（23代目鹿野優以）から2013年3月（54代目青木瑠璃子）まで、文化放送のポッドキャストサイト Podcast QR で、別番組として配信されていた。本編がBBQRからAG-ONに移行した2013年4月（55代目田中あいみ）から、現在の形式になった。タイトルコールは基本的に「○○○○○○○○ 反省会」（「○○○○○○○○」は、本編のタイトル『ラジオどっとあい ○○○○○○○○』の「○○○○○○○○」部分）だが、パーソナリティ独自のタイトルをつけることもある。Podcast QR での配信ページでのタイトルは、本編配信ページと同じ「インターネットラジオどっとあい」または「「○○○○○○○○」反省会」だった。『ラジオどっとあい』本編のパーソナリティと文化放送スタッフの2人で、「反省会」の名のとおり、その日の本編の内容を振り返る。相手のスタッフは、（遅くとも2007年1月から）2009年6月まではディレクターの奈良。ただし、同時期のスタッフである内田浩之のこともある。奈良の異動に伴い、2009年7月から2012年9月までは井口洋介。2012年10月からは井口洋介の営業部への異動に伴い太田尾和也が担当。2014年3月で太田尾が『ラジオどっとあい』の担当から外れた。
ヨーク公領土の最南部は概略現在のデラウェア州北部まで広がっており、メリーランド植民地の範囲をそこまで広げようとしていた領主ボルチモア男爵チャールズ・カルバートも望んでいた。同時にカルバートは北のイロコイ族との辺境での戦争を終わらせようとしており、メリーランドの領内であるポトマック川まで仲介役のサスケハノック族が移動してくるよう説得していた。さらにデラウェア湾を支配していたレナペ族はバージニアやメリーランドの開拓者が彼らの土地を横領することに不満であり、オランダがニューヨークを再占領した1673年には、これら人々の間に戦争が起ころうとしていた。アンドロスがニューヨークに来た時、その状況を落ち着かせるために動いた。レナペ族の酋長達と仲良くなり、イングランド人と他の部族との間の仲介者になるよう説得した。メリーランドでベイコンの反乱が起きたとき、和平が成立する寸前だった。それがポトマック川沿いのサスケハノック族の砦への攻撃となった。生き残ったサスケハノック族はある夜に砦から抜け出し、ある者は東のデラウェア湾の方向に向かった。1676年6月、アンドロスは、彼らが自分の管轄権内に移動してくる代わりに、バージニアやメリーランドの開拓者の中にいる敵から保護すると提案した。その提案はサスケハノック族の中に入って来ていたモホーク族にも及ぶこととした。この提案は受け入れられたが、メリーランド当局はその同盟インディアンにアンドロスの提案する和平を受け入れるよう説得できず、彼らをまとめてデラウェアまで歩いて行かせた。それはその地域に対するメリーランドの権利主張を強化させる目的も果たすものだった。アンドロスはサスケハノック族にメリーランドの影響が及ばなくなるニューヨークに戻って来るよう促すことで反応し、メリーランドにはサスケハノック族に対するアンドロスの主権を認めるか、平和的に連れ戻すかという強い言葉による脅しを送った。仲介者としての機能も提案し、サスケハノック族がメリーランドの開拓地を離れた今は、イロコイ族から直接攻撃される可能性があることを指摘した。1677年2月と3月にレナペ族の村シャカマクソン（現在のフィラデルフィアがある場所）で開催された会合で、あらゆる関係者が集まったが、最終合意までは至らず、アンドロスはサスケハノック族にレナペ族と共に留まり、4月にはニューヨークの他の場所に散らばるよう命じた。メリーランドはヘンリ・コージーをニューヨークに派遣してアンドロスと交渉し、最終的にはイロコイ族との和平となったが、同時にニューヨーク植民地がデラウェア湾で領有主張していた土地の区画割りを行うために測量士を派遣してもいた。コージーはアンドロスに事実上賄賂となる100ポンドを贈るよう指示されており、その土地と引き換えにインディアンとの和平の仲介を求めた。アンドロスがその賄賂を拒否し、コージーはオールバニでアンドロスやモホーク族にそれ以上交渉を強いるのを諦めた。オールバニで1677年夏に続いた交渉で和平が合意され、それは盟約のチェーンと呼ばれる同盟と条約の基礎の1つと考えられている。アンドロスはボルチモアがデラウェア湾の土地を幾らか払い下げることを防げなかったが、メリーランドの指導者がさらに大きな土地を支配する試みは弱らせることができた。ヨーク公は最終的にそれらの土地をウィリアム・ペンに譲渡し、そこは後にデラウェア州の一部となった。