よく出てくる連続確率分布に、次の正規分布がある：この分布に従う  個の独立なランダム変数標本の密度関数は：また計算しやすいように書き換えると：この分布には平均  と分散  の2つの母数がある。上では1つの母数に対する最大化だけを議論したが、この場合も各母数に対して尤度  を最大化すればよい。上の書き方なら  とする（このように母数が複数の場合は母数ベクトルとして扱う）。尤度を最大にするのは、尤度の自然対数を最大にするのと同じである（自然対数は単調増加関数であるから）。このような計算法はいろいろな分野でよく利用され、対数尤度は情報のエントロピーやフィッシャー情報と密接な関係がある。これを解くと  となる。これはまさに関数の最大値、すなわち   の唯一の極値で、2次微分は負となる。同様に、  に関して微分し0とおけば尤度の最大値  が得られる。つまり、正規分布の母数  に対する最尤推定量はとなる。
こんどは上の例での箱に入っているコインの数は無限であると仮定する。それぞれがすべての可能な  の値をとるとする。するとすべての可能な  の値に対して次の尤度関数を最大化しなければならない：この関数を最大化するには  に関して微分しその値を0にすればよい：これを解けば  、  、  の3つの解が得られるが、そのうち尤度を最大化するのは明らかに  である（  と  では尤度は0になってしまう）。こうして  に対する最尤推定量は  と求められる。この結果で、ベルヌーイ試行の成功数49を  と置き、全回数80を  と置けば一般化できる。  回のベルヌーイ試行で  回成功した場合に対する母数  の最尤推定量はとなる。
以下、コインを投げて表・裏（あるいは成功・失敗：その確率は0.5とは限らない）のいずれが出るかを見る場合（ベルヌーイ試行）を例にとる。箱の中に3つのコインがあるとしよう。見た目では全く区別がつかないが、表の出る確率が、それぞれ、、 である。（ が、上で  と書いた母数にあたる）。箱の中から適当に1つ選んだコインを80回投げ、 、  、  、  のようにサンプリングし、表(H)の観察された回数を数えたところ、表(H)が49回、裏が31回であった。さて、投げたコインがどのコインであったと考えるのが一番尤もらしいか？　一番尤もらしいコイン（すなわち、一番尤もらしいの値）を推定するためには、次のように尤度を計算する：こうして母数  によって尤度が最大となることがわかり、これが  に対する最尤推定量である。
尤度 は条件付確率の定義から「を仮定したときに今回サンプリングされた標本が得られる確率」である。「観測データから求まる、パラメータがである確率」では決してない。それは事後確率 である。よって尤度最大の を求める最尤推定は「パラメータがである確率をデータから最大化する統計的推論手法」ではない。起きやすい現象が起きた場合が最も尤もらしいという考えに基づいて、尤度を最大化する を母集団の推定値とする手法が最尤推定である。
最尤推定（さいゆうすいてい、英: maximum likelihood estimation、略してMLEともいう）や最尤法（さいゆうほう、英: method of maximum likelihood）とは、統計学において、与えられたデータからそれが従う確率分布の母数を点推定する方法である。この方法はロナルド・フィッシャーが1912年から1922年にかけて開発した。観測されたデータからそれを生んだ母集団を説明しようとする際に広く用いられる。生物学では塩基やアミノ酸配列のような分子データの置換に関する確率モデルに基づいて系統樹を作成する際に、一番尤もらしくデータを説明する樹形を選択するための有力な方法としても利用される。機械学習ではニューラルネットワーク（特に生成モデル）を学習する際に最尤推定（負の対数尤度最小化として定式化）が用いられる。
セネガルの首都ダカールで生まれ、幼少の頃にフランスへ渡り、1993年にASカンヌでプロデビューを果たした。その後1996年にACミランへ移籍するが出場は僅か2試合にとどまり、才能を開花させたのはプレミアリーグのアーセナルFCに移籍してから。同胞のアーセン・ヴェンゲル監督のもとで冷静さと戦術眼に磨きをかけ、チームの中核に成長した。2003-04シーズンは無敗優勝の立役者にもなった。1997年の初招集以来、フランス代表にも長く名を連ねており、1998年フランスW杯とEURO2000の連続制覇の時は、貴重なバックアップとして経験を積んだ。2006年から2009年にかけて、フランス代表キャプテンを務めた。2004年、ペレが選ぶ「FIFA 100」に選ばれた。2005-2006シーズンは3年間キャプテンを務めたアーセナルからセリエA・ユヴェントスFCへ移籍し、スクデット獲得に貢献したが、クラブの大規模な不正疑惑の影響で剥奪されて幻となってしまった。結局ユベントスは2部落ちし、2006-07シーズンからは同じくセリエAのインテルへ移籍。だが、このシーズンから怪我が多くなった。かつてシニシャ・ミハイロヴィチと試合中に口論になり、黒人差別発言をされたことがある（ただし、ヴィエラも「ジプシー野郎」と発言したとされる）。インテル移籍により同じクラブでコーチと選手という間柄になったが、ヴィエラ曰く「あの件はもう過去のことですから」とのことだった。しかし、2006-07シーズン最初のミラノダービーの試合後、ロッカールームで乱闘騒ぎを起こした（後述）。2010年1月8日、出場機会を求めてマンチェスター・シティFCへの移籍が決定した。契約期間は半年で、シーズン終了後には1年の契約延長オプションが付いている。2011年7月14日、現役引退を表明した。引退後はそのままマンチェスター・シティのアカデミー（下部組織）のコーチ・マネージャーに就任し、2013年からはリザーブチームの監督を務めている。2016年から2018年まで、ニューヨーク・シティFCの監督を務めた。2018年6月11日、OGCニースの監督に就任した。