元暦2年（1185年）2月、義経は平家の本営讃岐国屋島へ奇襲をしかけた。平家は屋島を捨てて船で逃げ出すが、義経が意外な寡兵と知って激しい矢戦となった。教経は「舟戦にはやり様があるものだ」と言うと、鎧直垂を着ずに、軽装で戦い、見事な技で敵を射落とし逃すことがなかった。義経の郎党たちが主人を守ろうと矢面に立つが、「そこを退け、雑魚ども」と言うや、さんざんに射て10騎を射落とした。この時、奥州平泉から義経に従っていた佐藤継信が真っ先に矢面に立ち射抜かれた。教経の童の菊王丸が首を取ろうと走りよるが、継信の弟の忠信がこれを射落とす。菊王丸は亡き兄通盛に仕えていた18歳の若者で、教経は菊王丸の死を悼んで戦をやめてしまった。平家は屋島を放棄し、知盛の守る長門国彦島へ逃れた。義経は水軍を編成して彦島へ攻めよせる。背後の九州は範頼に制圧されており、既に平家に退路はなくなっていた。3月24日、源平最後の決戦である壇ノ浦の戦いが行われた。序盤は舟戦に慣れた平家が優勢だったが、義経の水手・梶取を射る奇策と阿波水軍の裏切りそして潮の流れが反転したことにより、平家の敗北は決定的になった。
父は県会議員も勤めた家で次男として生まれた。祖父が本因坊秀元から初段を受けるほどの碁好きで、5歳の時に眼病と耳を患っていた間に、祖父から碁の手ほどきを受け、中学校に入学した頃には、二、三段くらいの人とは互角に戦えるようになっていた。広島一中（現・広島県立国泰寺高校）で賀屋興宣と同級。1905年（明治38年）の夏休みに、母の郷里の神戸で中根鳳次郎、阿部亀次郎、鴻原義太郎、橋本藤三郎らに三子から二子で指導を受ける。卒業後、県議で父親と親しかった望月圭介に連れられ1909年（明治42年）、20歳で東京へ行き、方円社に入社。当時は坊門（本因坊）と方円社が対立、坊門には当時第一人者本因坊秀哉がいたが、向こう気の強い望月が「どうだ、方円社に入って本因坊を負かしてやらんか」と言うので瀬越もその気になった。成績良好だったため、同年に東京朝日新聞の少壮碁客血戦会に無段ながら高部道平四段と先番で対戦し4目勝ち、『四段と無段の争碁』として喧伝された。同年兵役の為、帰郷に際し鈴木為次郎三段との試験碁に先相先で4勝2敗とし、飛付三段を許され彗星の如く天才青年現ると当時大きな話題となった。1917年五段。1920年には本因坊秀哉に先の手合まで進む。本因坊門下と方円社の若手棋士による六華会では、会友として研鑽に協力した。1921年（大正10年）、六段に進む。この年雁金準一、鈴木為次郎、高部道平と裨聖会を設立。総互先、持時間制の採用など、封建的な因習を引きずる囲碁界に新風を吹き込んだ。関東大震災を機に分裂している碁界の合同のため、本因坊派と方円社を握手させ大財閥大倉喜七郎を後援者に1924年（大正13年）の日本棋院設立に尽力する。1926年（大正15年）、推薦により七段に昇進。大手合において1927年から始まった東西対抗戦では東軍の主将となり、西軍主将鈴木為次郎とともに活躍した。1928年秋期大手合では大手合初の八段昇段を目前にするが、この時の高橋重行戦で万年劫問題が発生し、勝敗が一時預かりとなるなど紛糾、この後の宮坂寀二戦を敗れて昇段はならず、また東西対抗戦もこの年で廃止された。1939年からの第1期本因坊戦では最終トーナメントの第4次戦2位などの成績を収める。1942年に鈴木為次郎、加藤信とともに八段に推挙される。1944年には準名人戦出場。1945年（昭和20年）、太平洋戦争末期の東京大空襲により日本棋院会館が焼失。棋具や記録などを失う。第3期本因坊戦は広島に疎開した瀬越の奔走で、同年8月に広島市郊外で行われた。この第2局は五日市町吉見園（現佐伯区吉見園）で行われ、橋本宇太郎（昭宇）本因坊と挑戦者岩本薫七段の対局中、原爆が炸裂、強烈な爆風に見舞われ市内に残っていた広島支部の関係者は全員死亡、瀬越自身の三男と甥も犠牲となった。世にいう原爆対局（原爆下の対局）である。後に岩本基金で建てられたシアトルの日本棋院囲碁センターの壁には、原爆投下時の局面がタイル張りで飾られている。終戦後は岩本らと日本棋院の再建に尽力。1946年（昭和21年）、日本棋院初代理事長に就任。同年4月、大手合を再開、雑誌「棋道」も復刊させる。1948年（昭和23年）に日本棋院会館（港区芝高輪）を開館。しかし同年読売新聞紙上での失言により理事長を辞任。その後も囲碁の発展、国内、国際普及に粉骨。江戸時代の御城碁の棋譜を収めた『御城碁譜』全10巻、『明治碁譜』の編集の他、自ら筆をとった「瀬越囲碁教本」など多数の技術書を著した。1952年全本因坊全八段戦出場。1955年（昭和30年）に引退、同年鈴木為次郎とともに名誉九段に推される。1958年、棋士で初の紫綬褒章、1966年に勲二等瑞宝章を受章。1928年の呉清源の来日に尽力し、門下とした。また1919年に満州、中国を訪問、1942年に青木一男の招待で呉清源らとともに訪中、1950年ハワイ棋院に招待されて訪問。1957年の台湾への使節団団長、1960年の日中囲碁交流第1回訪中団団長などを務めた。門下に橋本宇太郎、杉内雅男、伊予本桃市、久井敬史、曺薫鉉ら。1972年（昭和47年）、体の衰えを苦に自殺。1983年にその功績を讃えて銅像（圓鍔勝三作）が作られ、故郷の能美島に贈られた。2009年囲碁殿堂入り。