微分体 F に対し、G が F の分離的代数拡大のとき、F の微分が G の微分に一意に拡大できる。 従って、G は F の微分体の構造の一意の拡大を有する。F と G は Con(F) = Con(G) を満たす微分体であって、G は F の初等微分拡大だとする。 a ∈ F、y ∈ G、Dy = a （つまり、G は a の不定積分を含む）だとする。 このとき、 c₁, …, cₙ ∈ Con(F) と u₁, …, uₙ, v ∈ F が存在し、である（リウヴィルの定理）。 言い換えると、初等的な不定積分（つまり、不定積分が最悪でも、F の初等微分拡大に含まれる）関数のみが、定理に記す形式を有する。 従って、直感的には、初等的な不定積分のみが、単純な関数と単純な関数の有限個の対数の和になる。G/Fがピカール・ベシオ拡大であるとする。このときG が F のリウヴゥル拡大であることと、微分ガロア群の単位成分が可解であることは同値である。さらに、GがFのリウヴィル拡大であることと、GがFのあるリウヴィル拡大体に埋め込まれることも同値である。
数学において、ある種の初等関数の不定積分は初等関数で表せない。 この様な関数としては、 が良く知られており、その不定積分は、統計学で馴染みの深い誤差関数である。 他の例としては、シンク関数  や  等がある。初等関数の概念は、単に慣習的なものであることに気付くべきである。 仮に、初等関数の定義に誤差関数を含めれば、その定義の下では  の不定積分が初等関数になるのである。 しかし、いわゆる初等関数の定義にいくら沢山の関数を追加しても、その不定積分が初等関数にならない関数が存在する。微分ガロア理論（びぶんがろありろん、英：differential Galois theory） の理論を用いれば、どの初等関数の不定積分が初等関数で表せないか、決定することができる。 微分ガロア理論は、ガロア理論のモデルを基礎にした理論である。 代数的ガロア理論が体の拡大を研究するのに対し、微分ガロア理論は微分体（びぶんたい、英：differential field）、つまり微分（びぶん、英：derivation）または微分子（びぶんし、differentiation） D を持つ体の拡大を研究する。 微分ガロア理論の殆どは、代数的ガロア理論と類似している。 両者の構成における大きな違いは、微分ガロア理論のガロア群は代数群であり、代数的ガロア理論ではクルル位相を備えた副有限群である点である。
アメリカのホロコースト研究家のデボラ・E・リップシュタット教授は、ナチス・ドイツ学者のデイヴィッド・アーヴィングを攻撃する論を展開した。アーヴィングはイギリスで、リップシュタットの著作の中で自分がホロコースト否定論者と呼ばれたとして、彼女とその出版社を相手取り、名誉毀損訴訟を起こす。イギリスの名誉毀損訴訟では、被告側が立証責任を負うため、事務弁護士のアンソニー・ジュリアス、そして法廷弁護士のリチャード・ランプトンが率いるリップシュタット側のチームは、アーヴィングがホロコーストに関して嘘をついていると立証することを求められる。相手方の守りに備え、リップシュタットとランプトンは、地元の学者と共にポーランドのアウシュヴィッツ＝ビルケナウ強制収容所を訪れる。一方の調査団は、アーヴィングの個人的な日記の提出を要請する。リップシュタットはランプトンの無礼さに苛立ち、勝機を奪うとして彼女の裁判への関与を減らそうとするチームに失望する。また、資金集めのために会食したイギリスのユダヤ人たちからは、アーヴィング説の宣伝を避けたいとして、示談に持ち込んでほしいと頼まれる。彼女のチームはアーヴィングの言動を止めるため、彼のエゴを訴えることに決め、彼が好都合になる陪審制ではなく、判事による公判に持ち込もうとして、幸先の良いスタートを切る。チームで臨んだリップシュタットたちに対し、アーヴィングは弁護士を雇わず、自分ひとりで法廷に立つことを選ぶ。また並べられた証拠を捻じ曲げ、自身の防衛に使おうと画策する。リップシュタットはホロコースト生還者のひとりから自分たちの証言が必要だと求められるが、法律チームはアーヴィングとの公判に集中するよう強く要求する。アーヴィングはアウシュヴィッツにガス室があったという証拠を、屋根にツィクロンBを導入する穴が見つからないとして、信用しようとしない。彼の耳に優しい「穴が無ければ、ホロコーストも無い」（英: "no holes, no holocaust"）という言葉は、メディアで広く取り上げられる。これに激怒したリップシュタットは、自身やホロコーストからの生還者を法廷で証言させるよう求める。怒ったジュリアスは、反対尋問で利用され、アーヴィングに酷く傷付けられるだけだと反論する。そんな折、彼女の部屋を訪れたランプトンに、リップシュタットは自分が彼を誤解していたと謝罪する。法廷でランプトンは、アーヴィングに熟練の技で反対尋問を展開し、主張の不条理さを明らかにする。また専門家の証言から、彼の著作に歪曲があることも分かる。結審に当たって裁判官は、アーヴィングが純粋に自説を信じているのなら嘘をついているとは言い切れないとし、リップシュタットの法律チームには動揺が走る。その後高等法院のチャールズ・グレイ判事は、被告側の言説を認める判決を言い渡す。リップシュタットはその堂々とした態度で賞賛され、法律チームの面々は、公判中自分が沈黙を貫いたにもかかわらず、彼女の著述がアーヴィングの嘘を論破し、勝利への基礎を築いたとリップシュタットに気付かせる。記者会見の場でリップシュタットは、そんな彼女の法律チームの姿勢を賞賛するのだった。