高校時代は投手としても活躍しており、強打を武器とする打撃力と両立していた。自分の投手としての実力はプロ野球では通用しないと悟り、野手に専念。SKワイバーンズに入団した。2005年に初の1軍出場を果たすと、2006年シーズンの後半には内野のレギュラーに定着し、当時19歳ながら12本塁打を記録した。2007年にはサードのレギュラーに定着し、16本塁打、66打点をあげ、チームの韓国シリーズ初優勝に貢献した。2008年のSKが2連覇を達成した韓国シリーズでは第3戦、4戦で決勝打を放つ活躍を見せ、史上最年少で韓国シリーズ最優秀選手に選ばれた。この年のレギュラーシーズンでは打率.328を記録し、首位打者争いにも加わったが3位にとどまった。2009年前年の短期決戦の相性よさと内野ならどこでも守れる器用さを評価され、第2回WBCで初の韓国代表に選ばれた。しかし経験不足もあり、守備固めとしての起用が多かった。一方、シーズンでは6月25日の起亜戦で、延長12回裏投手を使い切ってしまい、SKは6番手として高校時代投手として活躍していた崔を登板させたが、走者を3塁に置いた場面で捕手のパスボールによりサヨナラ負けした。2010年は、自己最多となる123試合・20本塁打・80打点を記録し、SKの優勝に貢献。得意の韓国シリーズも、レギュラーシーズン以上に活躍。10月16日、三星との第2戦で連続本塁打を放ち、2008年の斗山戦にも2打席連続本塁打を記録しており、史上初のポストシーズン2打席連続本塁打を2度記録した選手となった。同年11月には広州アジア大会にも韓国代表として出場。好調の姜正浩にサードを奪われ、主に代打として出場することになり、前年のWBC同様国際大会ではこれといった活躍はなかった。しかしながら、優勝により兵役免除の恩恵を受けることになった。2011年と2012年2年連続ゴールデングラブ賞三塁手部門を受賞した。2013年、第3回WBC韓国代表に選ばれたが、1次ラウンド緒戦のオランダ戦で送球ミスなどを犯し、故障で最終戦の台湾代表戦を欠場するなど、過去と同様国際大会では活躍できないという印象を拭えなかった。2014年は2009年以来5年ぶりに出場試合数が100を下回ったが、オフにFAで4年の大型契約を結びＳＫに残留した。2016年は40本塁打でエリック・テイムズと並び自身初の個人タイトルである本塁打王となった。2017年は46本塁打で2年連続本塁打王となった。2018年シーズンオフに2度目のFAとなり、2019年からSKと6年最大106億ウォンで契約した。
実家がバイクショップを経営していたため、自身も若い頃からバイクに乗り始め、30歳過ぎまで熱中していた。また、ゴルフも趣味。実家には手掴みで捕ったというイワナの魚拓がある。劇団薔薇座に所属していたものの、短期間で退団。劇団の後輩に当たる戸田恵子によると石塚が声優として名前が売れ始めた頃に昔座員だった事が先輩の劇団員から語られるようになったという。声を務める『ポケットモンスター』のオーキド博士に自身が扮した姿で、たびたびテレビ番組やイベントなどに顔出し出演していた。死去後に持ち役はそれぞれ後任が担当したが、『ポケットモンスター サン&ムーン』におけるポケモンの鳴き声の一部（マーマネのデンヂムシなど）は生前に収録した音声を流用しており（ライブラリ出演）、キャストにもクレジット掲載されている。また、2019年7月12日に公開された『ミュウツーの逆襲 EVOLUTION』では、2018年の3月頃にプレスコによる事前収録を行なっており、事実上の遺作となった。
アシュボードは1938年5月、デビスカップの対ドイツ戦でハンガリー代表入りした。デビュー戦では、ダブルスでアシュボードとジェルジェ・ダロシュ（Gyorgy Dallos）がペアを組み、「ヨーロッパ・ゾーン」準々決勝の第3試合でヘンナー・ヘンケルとゲオルグ・フォン・メタクサの組に敗れた。翌1939年5月のデ杯ヨーロッパ・ゾーンでは、ハンガリーは2回戦でユーゴスラビアに1勝4敗で敗れたが、アシュボードがシングルス第1試合で、当時の世界ランキング4位だったフラニョ・プンチェツを破る勝利を挙げた。デ杯直後の全仏選手権で4大大会にデビューし、この時はヘンリー・ビリントン（イギリス、ティム・ヘンマンの祖父）との3回戦まで勝ち進んだ。 第2次世界大戦の戦火が迫ってきたため、この全仏選手権は男女とも出場選手が非常に少なく、男子シングルスは55名の選手による6回戦制で実施された。戦時中、アシュボードはハンガリーの軍隊に勤務した。1947年の全仏選手権は、ヨージェフ・アシュボードが終戦後初めて参加した4大大会であった。終戦により、選手権の参加人数は再び増えて、1947年の男子シングルスは85名の選手による7回戦制で実施された。第5シードのアシュボードは、準々決勝で地元フランスのイボン・ペトラ（1946年ウィンブルドン選手権優勝者）、準決勝で第1シードのトム・ブラウン（アメリカ）を破って勝ち進み、初進出の決勝で第7シードのエリック・スタージェス（南アフリカ）と顔を合わせた。アシュボードはスタージェスを 8-6, 7-5, 6-4 のストレートで破り、ハンガリーのテニス選手として最初の4大大会シングルス優勝者になった。現在に至るまで、4大大会の男子シングルスを制したハンガリー人選手はアシュボード1人だけである（同国出身の女子シングルス優勝者は、1958年全仏選手権で優勝したジュジャ・ケルメツィ1人である）。初出場となったウィンブルドン選手権では、アシュボードは3回戦で止まった。終戦後共産主義国家となったハンガリーは、1948年までデビスカップに復帰できなかった。この年、アシュボードもデ杯代表選手に復帰し、ハンガリーは「ヨーロッパ・ゾーン」準々決勝の対スウェーデン戦まで勝ち進んだ。大会前年優勝者として臨んだ全仏選手権では、第2シードのアシュボードは初戦で不覚を取ったが、ウィンブルドン選手権でハンガリー男子選手初のベスト4進出を達成した。初めてのウィンブルドン準決勝で、アシュボードは第2シードのジョン・ブロムウィッチ（オーストラリア）に 3-6, 12-14, 2-6 のストレートで敗れた。これも今なお、ハンガリー人選手のウィンブルドン男子シングルス最高成績として残っている。アシュボードのテニス経歴には、ところどころでブランクがあるが、その後1954年から1957年まで全仏選手権のみに出場し、1957年の全仏選手権とデビスカップを最後に、アマチュアのテニス・トーナメントから引退した。第2次世界大戦の後、アシュボードは1947年全仏選手権を含む10大会でシングルス優勝を果たし、1958年からテニスのティーチング・プロになった。ハンガリーのスポーツ史に大きな歴史を刻んだヨージェフ・アシュボードは、1986年9月22日に西ドイツ・ミュンヘンにて69歳と4日の生涯を終えた。