あらゆる計算可能関数にはその計算方法を示す有限な手続きが存在するので、計算可能関数は数え上げられるだけの個数しかない。自然数についての有限関数は数え上げられないほど無数にあり、その多くは計算可能ではない。ビジービーバー関数はそのような計算不能な関数の具体例である。同様に自然数の部分集合の多くは計算可能ではない。チューリングマシンの停止問題はそのような計算不能な集合の例である。ダフィット・ヒルベルトの提唱した Entscheidungsproblem（決定問題）は（自然数で符号化された）数学的な文が真であるかどうかを決定する実効的な手続きがあるかどうかを問うものであった。これについて1930年代にチューリングとチャーチは個別に決定不能であることを示した。チャーチ＝チューリングのテーゼによれば、そのような計算を行える実効的な手続き（アルゴリズム）は存在しない。
計算可能性理論は主に形式言語を扱う。アルファベットは任意の集合である。単語はアルファベットに含まれる文字（記号=集合の元）を有限個並べたものである。同じ文字が複数回使われてもよい。例えば、2進数の文字列はアルファベット \{0,1\} における単語である。言語は、あるアルファベットにおける全単語の集合の部分集合である。例えば、2進数表記のうち 1 を必ず3個含むものの集合はバイナリのアルファベットにおける言語である。形式言語の重要な特性として、ある単語がある言語に属するかどうかの判定の難しさのレベルがある。ある言語に属する単語を入力として受け付ける計算可能関数を定義するには何らかの符号体系を構築しなければならない。ある言語が計算可能であるとは、あるアルファベットにおける単語 w についての計算可能関数 f があり、その単語がその言語に属する場合は f(w) \downarrow = 1、その単語がその言語に属さない場合は f(w)\downarrow = 0 となることをいう。つまり、ある言語が計算可能であるとは、任意の単語がその言語に属するかどうかを正しく判定できる手続きがある場合をいう。ある言語が計算可枚挙であるとは、計算可能関数 f があり、単語 w がその言語に属するときだけ f(w) が定義されていることをいう。enumerable という用語の語源は自然数の計算可枚挙な集合の場合と同じである。
計算可能関数（けいさんかのうかんすう、英: Computable function）は、計算可能性理論研究の基本的な目的で、直観的には、アルゴリズムによって結果の値が得られる関数のことである。計算可能関数は、チューリングマシンやレジスタマシンといった具体的な計算モデルを参照せずに、計算可能性を論じるのに使われる。しかし、その定義には特定の計算モデルを参照する必要がある。計算可能関数の正確な定義が与えられる以前から、数学者は effectively computable（実効的に計算可能）という言い回しをよく使っていた。現在では、その概念が計算可能関数となっている。effective（実効的）であってもefficient（効率的）に計算できるということは導かない。実際、計算可能関数には非効率な場合もある。計算複雑性理論は、そのような関数の計算効率を研究している。チャーチ＝チューリングのテーゼによれば、計算可能関数は、任意にいくらでも拡大できる記憶装置を持った計算機械を使い（いくら長くても良いが）有限の時間で計算が必ず終了する関数である。アルゴリズムのある関数は全て計算可能である。ブラムの公理を使って、計算可能関数の集合について抽象的な計算複雑性を定義できる。計算複雑性理論では、計算可能関数の複雑性を特定する問題を函数問題と呼ぶ。
オスマン帝国のイズミルに生まれる。1904年12月11日、陸軍工科学校を砲兵科首席で卒業し砲兵少尉に任官した。1907年10月5日、陸軍大学を卒業し、参謀大尉となる。1908年から1909年にかけての一年間、ドイツ帝国に留学し、砲兵および歩兵射撃の授業を受けた。バルカン戦争に従軍。軍事省首席副官となり、第一次世界大戦中はエンヴェル・パシャの側近となった。1915年にはニーダーマイヤー・ヘンティッヒ使節団の一員としてアフガニスタンに赴き、大守ハビーブッラー・ハーンに対し、オスマン帝国スルタンメフメト5世がジハードを宣言したと伝え、イギリスとの断交と中央同盟国側での参戦を促した。大戦の敗北後、アナトリア半島でのトルコ革命に参加し、1920年から1922年まで東部戦線参謀長として東部アナトリアで戦い、国防省陸軍局長を務めた後、西部戦線のドゥムルプナルの戦いに第三カフカス師団長として従軍した。ドゥムルプナル戦勝後の8月31日に「ミールリヴァー」に、1926年8月30日に「フェリク」に昇進した。1929年1月4日から2月7日まで、アフガニスタン王国で任務についた。1930年7月20日に、ジャンダルマ総司令官に任命され、1935年8月24日に第三軍監察官 (平時の司令官職名)に任命され、同30日に「オルゲネラル」(大将)に昇進した。1943年2月15日、最高軍事評議会のメンバーとなった後、同年12月1日に参謀本部参謀次官に任命された。さらに、1944年7月29日、退役したフェヴズィ・チャクマク元帥の跡を継いで第3代トルコ共和国参謀総長に就任したが、1946年に同職を辞任し、再び最高軍事評議会のメンバーを務めた後、1950年7月6日に退役した。1960年に一部将校がクーデターを起こして政権を掌握した際（en:1960 Turkish coup d'état）、オルバイは上院議員に選出され、1961年にはトルコ大国民議会議長を務めた。アンカラで胃ガンのため死去し、イスタンブールのズィンジルリクユ墓地に埋葬された。遺体はのちにトルコ国家墓地に改葬された。