区間グラフの数学理論は、ランド研究所の数学部門の研究者によって、応用を視野に入れて発展された。この部門には、Delbert FulkersonやVictor Kleeといったリーダーの他に、Peter C. Fishburnや、Alan C. TuckerやJoel E. Cohenなど学生といった若い研究者もいた。Cohenは、集団生物学の数学的モデル、特に食物連鎖に区間グラフを応用した。区間グラフはオペレーションズ・リサーチのリソース割り当てやスケジューリングの制約を表すために用いられる。これらの応用では、それぞれの区間はリソースを必要とする区間（例えば、分散コンピューティングのプロセッサや授業のための教室）を表す。独立集合の最大重さは、リソースが衝突することなく割り当てが完了する、最良の割り当てを見つける問題の並列数を表す。区間グラフの最適彩色は最小のリソースへの割り当てを表し、貪欲彩色法により多項式時間で計算可能である。遺伝学やバイオインフォマティクスや計算機科学などの他の応用も存在する。DNAの断片から連続した元のゲノムの配列を予想するマッピングなどに使われる。区間はtemporal reasoningでも重要な役割を担う。
k +1 段の入れ子になっていない区間グラフを、k -重であると呼ぶ。真区間グラフは被覆する区間を持たないため、 1-重区間グラフである。
区間グラフが p 個の例外区間を除き、他の区間を被覆する区間を持たない場合、p-仮区間グラフと呼ぶ。この表記では、真区間グラフは 0-仮区間グラフである図では、A, C, Dが他の区間を被覆し、この3つ以外は真区間グラフを満たすため、3-仮区間グラフである。
真区間グラフは、被覆するような区間が存在しない区間グラフを指す。図は区間Bが区間Aに被覆され、区間Eは区間Dに、そして更に区間Dは区間Cに被覆されているため、真区間グラフではない。単位区間グラフはすべての区間が長さ1であるような区間グラフである。同一区間を持たない単位区間グラフは、真区間グラフである。真区間グラフが常に単位区間グラフであるわけではないが、単位区間グラフは真区間グラフである。真区間グラフは、クローフリーグラフであり、真区間グラフはクローフリー区間グラフである。しかし、区間グラフではないクローフリーグラフも存在する。区間グラフが、 q 個の例外区間を除き、他の区間に被覆される区間を持たない場合、q-真区間グラフであると呼ぶ。この表記では、真区間グラフは 0-真区間グラフである。図では、B, D, Eの3つが被覆されており、この3つ以外は真区間グラフを満たすため、3-真区間グラフである。
AT-freeな弦グラフとしての特徴づけにより、区間グラフは強弦グラフであり、パーフェクトグラフである。補グラフが比較可能グラフであり、その大小関係はその区間順序(interval order)である。弦グラフでありその補グラフが比較可能であるという性質より、あるグラフとその補グラフの両方が区間グラフである場合、そしてその時に限りそれはスプリットグラフであり、置換グラフである。任意の2区間が、重複区間を持たないかどちらかが完全に被覆する区間グラフは、自明なパーフェクトグラフである。グラフのboxicityが1以上の場合、そしてその時に限り、そのグラフは区間グラフである。つまり、グラフ G の boxicity は区間グラフの辺集合の交差が G となるような頂点と同じ集合の区間集合の最小数である。区間グラフの始点と終点を接続したものを円-弧グラフと呼び、全区間を円、区間を弧と呼ぶ。台形グラフも区間グラフの一般化である。連結グラフの内、三角形を含まない区間グラフはキャタピラ木である。
北袋町の地域は元々木崎村（現・さいたま市浦和区）の一部であったが、木崎村が浦和町に編入される際に分離され、大宮町へ編入されたという経緯を持つ。このあたり一帯は中世末期頃より存在した高鼻荘に属していた。江戸時代は幕府領で足立郡大宮領に属する北袋村で、下原刑場として野原が広がっていた。村高は正保年間の『武蔵国田園簿』では59石余（田23石余、畑35石余）、『元禄郷帳』では83石余、『天保郷帳』では92石余。化政期の世帯数は25軒で、村の規模はおよそ東西3町南北4町余であった。明治初期には地内を通る中山道（現在の旧中山道）にて内国通運株式会社（現・日本通運）の郵便馬車（高崎〜東京）が強盗に襲われ、現金等が強奪されるという事件が発生している。見沼代用水西縁が地域の東縁に沿って流れており、江戸時代～明治時代にかけてこれを利用した舟運が盛んであった。昭和期に現在の北袋町一丁目の大半の地域に三菱マテリアル総合研究所が設置され、地区のほとんどが研究所となっていたが、1959年に敷地内に原子炉が建設され、反対派による民事訴訟に発展した。後に和解が成立し、原子炉も撤去されたが、敷地の放射性廃棄物や重金属類等による汚染問題が発覚し、社会問題化した（大宮原子炉跡地放射性廃棄物汚染）。研究所主要施設の茨城県那珂市への移転に伴い10年以上に及ぶ土壌浄化工事が行われ、2007年に一部施設を残し移転が完了した。跡地は2015年より、三菱マテリアルの自社施行による区画整理が行われており、2017年度の完成を予定している。2016年には先行して造幣局が東京都豊島区から移転、2017年には大宮警察署が大宮区土手町から、埼玉県警察科学捜査研究所が浦和区木崎から移転した。また、さいたま市が防災都市公園とバスターミナルを置くことが決定している他、市内企業のしまむらも土地を取得した。