やがてイギリスから伝わったアメリカで、当時ようやく食用とされ始めていたトマトであったが、アメリカで生産されるトマトの品質が悪く、酸味が強すぎ評判が悪く、売れ残ったトマトを使ったケチャップが考案された。最古のレシピは1795年の "Receipt Book of Sally Bella Dunlop" とされるが、切ったトマトに塩を振り、2・3日置いてからしみ出した果汁を香辛料と煮詰めたもので、酢も砂糖も加えていない（現在とは違い、調理中に隠し味として使ったと考えられている）。その後、ハインツ社が1876年に品質の良い完熟トマトのみで作った瓶詰めトマトケチャップを販売し、広く普及した結果、ケチャップの代表になったといわれている。カナダのケベックではリンゴ、モモ、パイナップルを原料としたフルーツケチャップをミートパイにかけて食べている。
これが伝わったイギリスではキノコの保存調味料（en:Mushroom ketchup、キノコに塩を振り、2・3日置いてからしみ出た汁を香辛料と煮詰めたもの）が考案され、現在でもパイやシチューに使用されている。その他の初期のケチャップはカキ、アンチョビ、ロブスターといった魚介類や、クルミ、インゲンマメ、キュウリ、ブルーベリー、クランベリー、レモンそしてブドウなど植物素材を材料とするソースが考案され、様々なスパイスが加えられるなどして変化しながらバリエーションを増やしていった。
ケチャップという言葉がトマトケチャップを指すようになったのは近代以降で、それまでは魚介類やキノコ、野菜などを材料とする調味料を指した。1690年に出版された北アメリカの辞書 A New Dictionary of the Terms Ancient and Modern of the Canting Crew にketchup、1699年に出版されたイギリスの飲食用語辞書 BE's Dictionary of the Canting Crew of 1699 に catchup という言葉が収録され、説明として「東インド奥地のソース（a high East-India Sauce）」と記されていた。「東インド奥地」つまり現在の中華人民共和国南部から東南アジアの、魚介類の塩漬けを発酵させた液体調味料（魚醤）の呼び名が、語源と考えられている。閩南語や台湾語では、小魚やエビの塩辛から分離した液体を kechiap、koechiap（鮭汁ケーチアッ)と呼び、これがマレー半島に伝わって kichap、kecap と呼ばれるようになった。マレーの植民地で kichap を口にしたイギリス人によりヨーロッパに伝わると、キノコ、トマト、クルミなどを原料として catchup、catsup と呼ばれた。その後アメリカでトマトケチャップが普及し、現代のアメリカ英語では ketchup と表記するのが最も一般的となっている。マレー語の「kicap」とインドネシア語の kecap は現在、魚醤以外に大豆の醗酵調味料である醤油の意にまで広がっており、むしろ今日では醤油を指す場合の方が多い。インドネシアでは、大豆と小麦を発酵させた甘いソースを作っており、ケチャップマニスと呼ばれている。
Castelnuovo–Mumford regularity は射影多様体を定義するイデアル I の極小分解を読み取ることができる。i 番目の加群 Fᵢ の帰属した「シフト」 aᵢ, ⱼ の言葉でいえば、それは aᵢ, ⱼ − i の i 上の最大値である。それゆえそれは分解で左に動く（線型 Syzygy のみ）のでシフトが 1 だけ増大するとき小さい。
V は多様体 (variety) と仮定されているから既約代数的集合であるから、イデアル I は素イデアルであるように選べて、R は整域である。同じ定義は一般の斉次イデアルに対して使えるが、このとき得られる座標環は 0 でない冪零元や他の零因子を含むかもしれない。スキーム論の観点から、これらのケースを Proj construction の手段によって同じ足場の上で扱うことができる。斉次イデアル I と多様体の間の対応はすべての Xᵢ で生成されたイデアル J を含まないイデアルに対して全単射である。すべての斉次座標が射影空間のある点で消えることができるわけではないから J は空集合に対応する。この対応は射影零点定理として知られている。
粗品は同志社大学、せいやは近畿大学にそれぞれ進学した。アマチュアの芸人として活動していた粗品は、関西の人気番組「2012オールザッツ漫才」にて、若手芸人の登竜門であるfoot cutバトルで史上最年少の19歳で優勝。大学1年生の時によしもとのオーディションに合格。悩んだ末に大学を中退した。その後、粗品はピン芸人として活動するが、当時大学生だったせいやを「こいつが一番おもしろい奴。こいつと組んだら、もっとおもしろいネタができる」と思い、ずっとコンビを組もうと熱心に誘い続けていた。せいやも「この先の人生で、こんなに必要とされることないやろな」とコンビ結成を決意した。せいやは当時教師を目指していたが、粗品の熱心さで「教師よりも芸人の方が向いてるんちゃうかな」と思い、芸人になることを決意した。その後粗品がピン芸人として『オールザッツ漫才』で優勝したため、せいやは「自分は必要ないのではないか」と悩み、一人で山に行ったという。コンビ名の「霜降り明星」は、それぞれが思いついた単語の案を組み合わせてネーミングした（せいやが「霜降り」、粗品が「明星」。せいやは縁起がよさそうということでこの言葉を選び、粗品は自分は暗いので相方に明るい方をやってもらいたいという意味でこの言葉を選んだと当初は述べていたが、本当は粗品が当時好きだったアニメ『瀬戸の花嫁』のお気に入りの登場人物である「不知火明乃明星」からとったと述べている。2012年6月スシロー関目店でコンビを組むことを決めるが、しばらくは仮結成状態であったらしく、同年12月の時点ではそれぞれピンでオーディションライブに出演していた。2013年1月、正式にコンビ結成。