有理係数の範囲での一次因子は何れも有理根テストによって見つけることができる。すなわち、因数分解したい多項式が  であるとき、取りうる任意の一次因子  は、b₁ が aₙ の整数因子かつ b₀ は a₀ の整数因子でなければならない。そのような整数因子すべての組み合わせについて有効か否か確かめて、有効な因子については筆算などして分解を得る。もとの多項式が次数 2 以上の因子を少なくとも二つ含む積であるならば、先に述べた仕方では部分的な分解しか得られないが、そうでなければ完全に一次因子のみの積に分解できることになる。特に、非一次因子がちょうど一つである場合には、それは全ての一次因子を分解し尽くした残りの部分の多項式として取り出せる。三次多項式の場合には、それが完全に因数分解できるならば有理根テストを用いるだけでその分解が決定できる（それは一つの一次因子と二次の既約因子との積であるか、さもなくば三つの一次因子の積である）ことは注目に値する。
本節では手計算に便利な教科書的方法について述べる。それらは多項式の分解よりも極めて複雑な一面を持つ自然数の因数分解も利用しているから、計算機に載せるようなものではない。
多項式のふたつ以上の因子が互いに一致する場合を考えると、すなわちその多項式はこの因子の平方（平方因子）で割り切れるということになる。一変数多項式の場合だと、そのような因子（多重因子）を与える根は重根と定義される。またこの場合、その多重因子はもとの多項式の導多項式（多変数の場合は、どの変数に関する微分でも）の因子になる。有理数体（あるいはより一般に標数 0 の任意の体）上の一変数多項式の場合、David Yun による無平方分解アルゴリズムを用いて、多項式を平方因子を含まない形（而してそれを無平方と言う）に因数分解する方法が実証される。もとの多項式を分解するためには、この各無平方因子の分解を与えれば十分である。したがって、無平方分解はたいていの多項式の因数分解アルゴリズムの緒段となる。Yun のアルゴリズムは、多変数多項式を多項式環上の一変数多項式と見ることにより、多変数多項式の場合にも拡張することができる。有限体上の多項式の場合には、Yun のアルゴリズムは多項式の次数が係数体の標数より小さい場合にのみ適用可能である（これは、そうでない場合には非零多項式の導多項式が零多項式となる場合があることによる。例えば p-元体上で冪函数 xᵖ の導多項式は常に零である）。それでも、多項式とその導多項式の間のGCD計算があれば無平方分解は得られる（有限体上の多項式の因数分解#無平方分解の項を見よ）。
中世のモルダヴィアの歴史書では、モルダヴィアの人々は自身をモルドヴェニ（Moldoveni、現在のモルドヴァ人と同じ）と呼んでおり、モルダヴィア人、ワラキア人、トランシルヴァニア人は同一の起源を持ち、同一の言語を話すと記している。モルダヴィア公シュテファン3世（1457年 - 1504年）は、1457年から1499年までを対象とした歴史書の編纂を命じたが、書名は「Dy Cronycke Des Stephen Woywoda auss Wallachey（ワラキア公シュテファンの歴史書）」と付けられた。モルダヴィアの重要な年代史家であるグリゴレ・ウレケ（Grigore Ureche、1590年 - 1647年）は、ハンガリー王国領内のルーマニア人とモルダヴィア人はともに「ローマの民」であり、同一の起源を持つとしている。また、ミロン・コスティン（Miron Costin、1633年 - 1691年）は、自身が執筆した歴史書の中で、モルダヴィア人の「最も真正で確かな」呼称は、ローマ帝国に由来する名である「Rumân」であり、その呼称は民族の歴史の中でずっと保たれてきたとしている。更に、モルダヴィア人は「あなたはモルダヴィア語を話すか？」とは言わず、「あなたはルーマニア語を話すか？」と尋ねると述べている。ミロン・コスティンの息子、ニコラエ・コスティン（Nicolae Costin、1660年 - 1712年）もまた、著書の中で父と同様の見解を述べている。ワラキアの年代史家コンスタンティン・カンタクジノ（Constantin Cantacuzino、1655年 - 1716年）は、自身の述べるところのルーマニア人とは、ワラキアに住むルーマニア人、トランシルヴァニアに住むもの、モルダヴィア人であり、これらはいずれも同じ言語を話し、同一の起源を持つとしている。年代史家でモルダヴィア公、プロイセン科学アカデミの会員であるディミトリエ・カンテミール（1673年 - 1723年）は複数の歴史に関する本を著している。そのうちひとつは「Hronicul vechimei a Romano-Moldo-Vlahilor（ルーマニア・モルドバ・ワラキアの永続性の記録）と題され、プロイセン科学アカデミーの求めに応じてペテルスブルクにて執筆された。はじめはラテン語で書かれ、後にカンテミールによってルーマニア語に翻訳された。導入部にてカンテミールは、これは全てのルーマニア人の地に関する歴史書である（Hronicon a toată Ţara Românească）とし、これが後にモルダヴィア、ワラキア、トランシルヴァニアに別れた（care apoi s-au împărţit în Moldova, Muntenească şi Ardealul）ものだと述べ、同書がはじめはラテン語で（pre limba latinească）書かれ、後にルーマニア語に（pre limba românească）翻訳されたものだとしている。この中でトランシルヴァニア人、モルダヴィア人、ワラキア人はともにルーマニア人と呼ばれる（carii cu toţii cu un nume de obşte români să chiamă）と書いている。