体 K が代数体（ℚ の有限次拡大体）であるときの多項式 p(x) ∈ K[x] も因数分解することができる。無平方分解して、多項式は無平方であると仮定してよい。ℚ 上の線型環として L := K[x]/(p(x)) と陽に書いて、無作為に α ∈ L をとれば、原始元定理により、高確率で α は L を ℚ 上生成する。生成することが確認できたならば、α の ℚ 上の最小多項式 q(y) ∈ ℚ[y] を計算して、それを ℚ[y] 上で と因数分解することで、 と決定できて（p は無平方であるから、L が被約環となることに注意）、α は右辺の元 (y, …, y)（全ての成分が y）に対応する。これが体の直積としての L の唯一の分解であることに注意する。したがってこの分解は  と同じものである（ここに p = ∏mi=1 pᵢ は p の K[x] における既約分解とする）。x ∈ L および K の生成元を α の多項式として書けば、x および K の ℚ[y]/(qᵢ(y)) = K[x]/(pᵢ(x)) の直積因子の中への埋め込みが決定できる。この環における x の最小多項式を求めることにより、pᵢ が計算できて、したがって p が K 上で既約分解される。
整係数多項式は整係数多項式因子に分解されなければならないこと、および整係数多項式を整数において評価したものは整数でなければならないことから、多項式のそれら整数値の分解は有限通りに限られ、取りうる多項式因子も有限通りだけが見つけられる。例えば  を考えるとき、これが ℤ 上で分解するならば、その因子の少なくとも一つは二次以下である。二次多項式を一意に決めるには三点での値が必要であるが、ここでは f(0) = 2, f(1) = 6, f(−1) = 2 を利用することにする。もしここで利用する値のどれかでも 0 に等しくなっていたならば、それはすでに根が見つかった（したがって一次因子が得られた）ことになることに注意せよ。0 に等しいものが無いとすれば、それらの因数は有限個である。いまの場合 2 の因数分解は 1×2, 2×1, (−1)×(−2), (−2)×(−1) の四通りだけであるから、もし二次の整係数因子があったならば、その x = 0 における値は 1, 2, −1, −2 の何れかでなければならない。x = −1 における値も同じくである。また同様に、6 の因数分解は 8 通りだから、これらの分解のとり方の組み合わせは 4 × 4 × 8 = 128 通りだが、半分は符号が逆になっただけなので、二次因子となる候補としてチェックすべきものは半分の 64 通りということになる。それ以外のものが f(x) の整係数二次因子を与えることはない。これらを精査すれば  が p(0) = 1, p(1) = 3, p(−1) = 1 を満たすものとして得られて、実際に f(x) を割り切る。f を p で割れば、別の因子として  を得るから、因数分解 f = pq を得る。さてさらに再帰的に有理根テストを施して p, q をそれぞれ分解しようと試みれば、これらが ℤ 上既約であることがわかるから、これで f の既約因子分解  を得た。
For research on this, see Psychological science volume 15 (2004): Decisions From Experience and the Effect of Rare Events in Risky Choice. The under-perception of rare events mentioned above is actually the opposite of the phenomenon originally described by Kahneman in "prospect theory" (in their original experiments the likelihood of rare events is overestimated). However, further analysis of the bias has shown that both forms occur: When judging from description people tend to overestimate the described probability, so this effect taken alone would indicate that reading the extinction scenarios described here should make the reader overestimate the likelihood of any probabilities given. However, the effect that is more relevant to common consideration of human extinction is the bias that occurs with estimates from experience, and these are in the opposite direction: When judging from personal experience people who have never heard of or experienced their species become extinct would be expected to dramatically underestimate its likelihood. Sociobiologist E. O. Wilson argued that: "The reason for this myopic fog, evolutionary biologists contend, is that it was actually advantageous during all but the last few millennia of the two million years of existence of the genus Homo... A premium was placed on close attention to the near future and early reproduction, and little else. Disasters of a magnitude that occur only once every few centuries were forgotten or transmuted into myth." (Is Humanity Suicidal? The New York Times Magazine 30 May 1993).ReligiousTolerance.org says that Aum Supreme Truth is the only religion known to have planned Armageddon for non-believers. Their intention to unleash deadly viruses is covered in Our Final Hour, and by Aum watcher, Akihiko Misawa. The Gaia Liberation Front advocates (but is not known to have active plans for) total human genocide, see: GLF, A Modest Proposal. Leslie, 1996 says that Aum's collection of nuclear physicists presented a doomsday threat from nuclear destruction as well, especially as the cult included a rocket scientist.Leslie (1996) discusses the survivorship bias (which he calls an "observational selection" effect on page 139) he says that the a priori certainty of observing an "undisasterous past" could make it difficult to argue that we must be safe because nothing terrible has yet occurred. He quotes Holger Bech Nielsen's formulation: "We do not even know if there should exist some extremely dangerous decay of say the proton which caused eradication of the earth, because if it happens we would no longer be there to observe it and if it does not happen there is nothing to observe." (From: Random dynamics and relations between the number of fermion generations and the fine structure constants, Acta Pysica Polonica B, May 1989).For the "West Germany" extrapolation see: Leslie, 1996 (The End of the World) in the "War, Pollution, and disease" chapter (page 74). In this section the author also mentions the success (in lowering the birth rate) of programs such as the sterilization-for-rupees programs in India, and surveys other infertility or falling birth-rate extinction scenarios. He says that the voluntary small family behaviour may be counter-evolutionary, but that the meme for small, rich families appears to be spreading rapidly throughout the world. In 2150 the world population is expected to start falling.Former NASA consultant David Brin's lengthy rebuttal to SETI enthusiast's optimism about alien intentions concludes: "The worst mistake of first contact, made throughout history by individuals on both sides of every new encounter, has been the unfortunate habit of making assumptions. It often proved fatal." (See full text at SETIleague.org.)