ガウス・ボネの定理の n-次元リーマン多様体への一般化は、1940年代にカール・アレンドエルファー(Carl Allendoerfer)とアンドレ・ヴェイユ(André Weil)とチャーン(Shiing-Shen Chern)により発見された。一般化されたガウス・ボネの定理やチャーン・ヴェイユ準同型を参照。リーマン・ロッホの定理はガウス・ボネの定理の一般化とみなすことができる。上記の定理の非常に深い一般化はアティヤ・シンガーの指数定理である。必ずしもコンパクトではない 2-次元多様体への一般化は、コーン・ヴォッセンの不等式(Cohn-Vossen's inequality)である。
多角形の全角度欠陥のデカルトの定理は、ガウス・ボネの定理の多角形での類似であり、球に同相な多角形のすべての頂点での角度の欠損の和は 4π であることを言っている。さらに一般的には、多角形がオイラー標数  (ここに g は種数で、「穴の数」を意味する)に対しては、欠損の和は  である。このことはガウス・ボネの定理の特別な場合であり、曲率が離散的な点（頂点）に集中している。函数というよりは、測度を曲率とすることを考えると、デカルトの定理は曲率を離散測度としたガウス・ボネの定理であり、測度のガウス・ボネの定理は滑らかな多様体に対するガウス・ボネの定理とデカルトの定理の双方を一般化したこととなる。
球面三角法(spherical trigonometry)や双曲三角法（hyperbolic trigonometry)では、三角形の面積は（三角形の）内角の和が 180°に対してどれだけ差異があるかに比例する。同じことではあるが、外側の角度が 360°に対してどのくらい差異があるかに（符号を逆にして）比例する。球面三角形の面積は、ジラルドの定理(Girard's theorem)により、増えた分に対して比例する - その量は 180°に対し内角の和が多くなった分であり、 360°に対して外角の減った分に等しい。双曲三角形の面積は、逆で、ヨハン・ハインリッヒ・ランベルト(Johann Heinrich Lambert)により確立されたように、内角の和が減った量に比例する。
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明治後期から昭和初期までの阪神間モダニズムとよばれた時代、阪神間は富裕層の別荘地であった。大正後期、理想とする住環境を創造するために資産家と医師、建築家吉村清太郎（元ヴォーリズ事務所）らが手を組んで芦屋川西岸に建設した西洋館街が後に深江文化村と称されるようになった。敷地面積は約3000坪、中央に広大な芝生庭園が造られ、それを囲むように13軒の西洋館が配され、そこに9カ国13組の家族が居住した。 当時、現在の芦屋市・神戸市東灘区周辺には欧米の音楽家が多数居住しており、深江文化村にロシア革命を逃れてきたルーチンやメッテルらが移り住んだことで、文化村とその南西に建設された長期滞在型オーベルジュ「文化ハウス」は、音楽による国際交流の場にもなった。その後、西洋館の多くは老朽化や阪神淡路大震災などで喪失した。2009年現在2軒（登録有形文化財）が現存し、わずかに当時の面影を伝えている。
1930年、府中中学（現広島県立府中高校）中退。上京して新派の近江二郎の内弟子を経て、浅草で興行していた女剣劇の不二洋子の一座に入る。榎本健一の舞台を見て、喜劇俳優に憧れる。1942年召集され1945年満州・新京で終戦。シベリア抑留を経て1948年帰国。木下楽劇座の座長となり地方を巡業。1959年6月、吉本興業に加わり1961年座長となった。若い頃から老け役専門、脇役専門で1968年、吉本新喜劇は平と花紀京、秋山たか志（漫才師の秋山右楽・左楽の右楽の息子）を座長とする三つの組に分かれたが、花紀、秋山が主役を張るのに対して平はあくまで脇にこだわり、新しい才能に主役をやらせて、自らは脇を固めるというパターンを多用し、爺さんキャラの看板座長として不動の地位を築いた。そこから前記、秋山の他、岡八郎、木村進、間寛平、阿吾寿朗らを世に出した。また白木みのるとのコンビで、「毎度おおきに」などのテレビのコメディ番組や「てなもんや三度笠」などに出演し人気を博した。映画も「無法松の一生」、「座頭市二段斬り」、「喜劇トルコ風呂　王将戦」、「まむしの兄弟　二人合せて30犯」など脇役として多数出演した。右手を力なく振り下ろす動作で発する「いや、そんなこと言うてからに、ホンマにア～ホ～」の定番ギャグや、「ひざが壊れてしもうた」と、片足をカクカクさせて歩き、脚気の検査のように自分でひざを叩くと、足がぴょんと伸びて相手の股間を蹴る動きギャグが有名。こっちのギャグは現在ではテレビ放送ができないのでは、と言われる。のちの坂田利夫に受け継がれた「アホ」キャラのルーツとも言われる。面倒見の良い人柄で多くの後輩芸人からも慕われ、多くの吉本興業関係者から身の上相談を受ける存在であったという。1986年死去。