有限生成群の部分群は必ずしも有限生成に限らない。二元生成自由群 F₂ の交換子部分群は有限生成群の有限生成でない部分群の例を与える。有限生成群の指数有限な部分群は常に有限生成であり、またシュライアー指数公式はそのような部分群に対して必要な生成元の数の上限を与える。Howson (1954)は自由群の二つの有限生成部分群の交わりがふたたび有限生成となることを示した。より精確には、二つの有限生成部分群の生成元の数をそれぞれ m, n とするとき、それら部分群の交わりは高々 2mn − m − n + 1 個の生成元で生成される。この上界の値はハンナ・ノイマンによって 2(m − 1)(n − 1) + 1 まで著しく改善された（ハンナ・ノイマン予想を参照）。群の部分群束が昇鎖条件を満足するための必要十分条件は、その群の任意の部分群が有限生成になることである。任意の部分群が有限生成となる群はネーター的であると言う。任意の有限生成部分群が有限となる群は局所有限であると言う。任意の局所有限群はねじれ群、すなわち任意の元が位数有限となる群である。逆に、任意のねじれアーベル群は局所有限である。
単生群すなわちただ一つの元で生成される群は巡回群とも呼ばれる。任意の無限巡回群は整数全体の成す加法群 Z に同型である。群が局所巡回的であるとは、任意の有限生成部分群が単生なるときに言う。有理数の加法群 Q は巡回群でない局所巡回群の例を与える。任意の局所巡回群はアーベル群である。任意の有限生成局所巡回群は巡回群である。
日本の刑事ドラマにおける定番の描写に、被疑者の取り調べ中の食事として警察署内でカツ丼を食べるというものがある。人情を重んじる刑事がポケットマネーで店屋物のカツ丼をとってやると、被疑者はその情にほだされ涙ながらに「私がやりました」と犯行を自供する、というパターンが典型例である。久松静児監督、森繁久弥主演による1955年製作の映画『警察日記』で、取調中に警官が丼物を振る舞う場面が初出とされる。その後、小杉勇監督の映画『刑事物語』シリーズ第3作『灰色の暴走』（1960年）、連続テレビドラマ『七人の刑事』（1961年 - 1969年）、バラエティー番組『シャボン玉ホリデー』（1961年 - 1972年）など、1960年代に相次いで「刑事が被疑者にカツ丼を食べさせる」描写が登場している。これらはあくまで事実とは異なるフィクションで、現在では通常、留置中の被疑者については専用の弁当が用意されており、留置場での食事時間が必ず取られている。また、丼を投げつけるなどして警察官がひるんだ隙をついて逃走される可能性もある事から、取調室で食事が出されることはなく、仮にあったとしてもその費用は被疑者の自己負担であり、警察官が費用負担した場合は利益誘導として裁判の際に供述の任意性が否定される場合がある。（https://www.osakaben.or.jp/01-aboutus/committee/room/kashika/files/geppou_15.pdf）ただし過去に実際の取調べでも刑事が出前を取り寄せるケースがかなりあった。戦前及び戦後間もなくは取調中に店屋物を注文するケースもあり、一例としては平沢貞通が帝銀事件容疑で小樽警察署へ任意同行後逮捕された際に刑事の回想で「昼食に天丼が差し入れられたが平沢は箸を付けず、僕が一人で食べた」とある。また、小林多喜二の『一九二八年三月十五日』には、容疑者を予審に回す時に、「取調べに当った司法主任や特高は自腹（？）を切って、皆に丼や寿司などを取り寄せてご馳走した」（全集第2巻、p202）という記述がある。2006年9月6日、埼玉県警所沢警察署の警部が、暴力団関係者である被疑者に「接見室ではなく取調室で家族と接見させる」「被疑者の両親の知人が持ち込んだカツ丼を取調室で食べさせる」（県警の規定では食事は留置場内で取ることとなっていた）などの便宜を図り、減給10分の1（3か月）の懲戒処分を受けた（この警部は同日に依願退職）。筑波昭(2002)連続殺人鬼大久保清の犯罪 (新潮OH!文庫)によると、昭和46年に群馬県で起こった、連続女性暴行殺害事件の犯人である大久保清も、逮捕状は出ておらず、あくまで参考人としての任意同行という形だったためか、警察署でカツ丼を食べていることが書かれている。こうしたことからか、2008年、警察庁で平成20年度「警察捜査における取調べ適正化指針」を発表し、事実上カツ丼の提供は禁止されるに至った。若林計志（2011）『プロフェッショナルを演じる仕事術』では、これは裏を返せば文章で通達しなければいけないほど、そういう事実があったという事を物語っているとしている。2016年10月、兵庫県庁前で、半世紀近く営業を続け、兵庫県警の留置場などにできたての麺類やカツ丼など丼物を出前していた神戸市中央区のそば店「翁（おきな）そば」が閉店している。2018年には期間限定企画で、福島県猪苗代町の中ノ沢温泉にある旅館「磐梯西村屋」が運営する出前食堂「小西食堂」で、ドラマのような取調べを体験できるカツ丼屋「出前カツ丼専門店取調べ室」を催している。