2002年、民主党幹事長の岡田克也がスポーツ紙や週刊誌や日本国外報道機関などのあらゆるメディアが会見に参加できる方式を導入した。それまでは野党クラブ以外のメディアが会見に参加することができなかった。
卒業後は日本ビールか朝日新聞社への入社も考えていたが、1958年に南海ホークスへ入団した。入団の際には当時南海の主力選手で大学の先輩でもある大沢昌芳を通じ、長嶋茂雄と共に少なからぬ額の栄養費を受け取っており、両者の南海入団は確実視されていた。その後、翻意して読売ジャイアンツへ入団した長嶋と、義理堅く南海へ入団した杉浦との対比が現在でも語り草となっている。長嶋が予想に反して巨人へ入団したことを聞き、心配になって杉浦の元へ来た鶴岡（山本）一人だが、杉浦は「心配ですか?僕がそんな男に見えますか?」とだけ言って笑顔を浮かべたことに、鶴岡は「その静かな口調の底に、『僕は一度決めたことを破るような男ではありませんよ』という強い鉄石のような心が隠されていた（と、後になって分かった）」と語っている。入団後は新人ながら開幕投手を務め、対東映フライヤーズ戦でプロ初勝利を挙げた。鶴岡が試合後に「固くなったのか?と聞くと、『固くなりました』と言っていた」と言ったように立ち上がりこそ不安定だったが、味方の大量援護に落ち着きを取り戻したものだった。下手から浮き上がる速球と横に大きく曲がるカーブで相手打者を手玉に取り、この年は27勝を挙げて新人王を獲得、鶴岡を「これでやっと西鉄を叩くことが出来る」と喜ばせた。2年目の1959年は38勝4敗（勝率.905）という驚異的な成績で南海のリーグ優勝に貢献し、MVPを獲得、日本シリーズ（対読売ジャイアンツ戦）では第1戦から4連投し、4連勝の大活躍で南海を初の日本一に導き、シーズンに続いて日本シリーズMVPを獲得した。試合後に記者団の問いに、杉浦は「一人になったら、嬉しさが込み上げてくるでしょう」と言ったつもりだが、「一人になって泣きたい」という言葉が一人歩きしたと、自叙伝で語っている。同年には54回2/3連続無失点のパ・リーグ記録を樹立しているが、この記録は直前の8月26日から9月9日にかけて43回連続無失点を記録し、9月13日の対西鉄ライオンズ戦で失点、15日の対近鉄パールズ戦で2回に1失点した直後の3回から作られたものである。また、同年は日本プロ野球史上5人目、リーグ分立後は2人目となる投手五冠王（勝利、防御率、奪三振、完封数、勝率）を達成しているが、この記録は2018年現在までに杉浦の他に沢村栄治（読売ジャイアンツ、1937年春）、ヴィクトル・スタルヒン（読売ジャイアンツ、1938年秋）、藤本英雄（読売ジャイアンツ、1943年）、杉下茂（中日ドラゴンズ、1954年）、江川卓（読売ジャイアンツ、1981年）、斉藤和巳（福岡ソフトバンクホークス、2006年）の7名しか達成していない大記録である。しかも杉浦の五冠は、各部門で2位以下を大きく引き離しての達成であり、スケールの大きさは史上最高ともいえるものだった。1960年も31勝を挙げ、シーズン30勝以上を2度以上記録したのも杉浦以外にはスタルヒン、野口二郎、別所毅彦、杉下、稲尾和久、金田正一、権藤博だけの大記録を達成した。1961年5月には通算100勝を達成、プロ入りから僅か3年1ヶ月、188試合目での史上最速記録だった。しかし、連投による右腕の血行障害（動脈閉塞）により、20勝を挙げた直後にチームを離脱、太股の血管の移植手術を受け、残りはリハビリに費やした。1962年には復帰したが右腕は元に戻ることは無く、同年、1963年とそれぞれ14勝止まりとなり、1964年こそ20勝したものの、これを最後に二桁勝利を挙げることは無かった。故障から復帰後は握力が大きく落ち、僅か50球を投げただけで腕がカチカチに強張ってしまったという。1965年シーズン終了後、一度現役を引退して南海の一軍投手コーチに就任するが、1966年の開幕直前にコーチ兼任で現役に復帰した。コーチ兼任は1967年までで、復帰後も何度か引退を表明したが、その度に周囲から慰留されたりしてその後5年に渡り現役を続けた。先発投手として長いイニングを投げられなくなってからは、主に抑えの切り札としてチームに貢献した。杉浦は「僕が（抑えの切り札としては）パ・リーグの元祖ですかね。リリーフ成功率は高かったですよ。前の投手が出したランナーを返したことは無かったと思います。セーブ制度があればかなり行ったでしょうね」と語っている。1970年に現役引退を決意し、同年12月に正式に表明した。1971年3月25日に行われた対読売ジャイアンツ戦（オープン戦、大阪スタヂアム）が杉浦の引退試合として行われ、5回終了後、試合の記録に含まれないセレモニーとして杉浦が登板し、巨人は大学の同窓で親友の長嶋を打席に送った。試合直前、長嶋は記者の質問に「思いっきり振って三振するよ」と答えていたが、実際は杉浦が投じた2球目を弾き返し、センター前ヒットを放った。試合後、杉浦は「向こう（長嶋）も真剣に打ってくれて…妙なことをしてもらうより嬉しかった」と述べている。プロでは完全試合、ノーヒットノーランとは縁が無かったが、1964年には打たれた安打が1本だけの準完全試合を達成している。通算187勝を挙げ、200勝以上が入会基準である名球会には加入出来ないが、落合博満が「あの杉浦さんが入れない名球会に意味があるの?」と疑問を呈したように、日本プロ野球史上屈指の名投手であることに疑問の余地はない。なお、落合は通算2371安打を放っており、野手の入会条件である通算2000安打を満たしているが、入会を辞退している。