特に非斉次の一階方程式を考え、その定常状態について確認しよう。すなわち、定ベクトル b を持つ方程式  に関して、それが定める系の定常状態 x* とは、それ以降に新たな値を導くことがない状態に到達したベクトル x の値を言う。定義により x* は当該の方程式において  と置いたものを満足するものでなくてはならず、それを x* に関して解いて  を得るが、ここで I − A は可逆であるものと仮定している（ただし、I は n-次単位行列）。定常状態が存在するとき、上記の非斉次方程式は、 なる形の斉次方程式に書き直すことができる。この斉次方程式が安定である—すなわち、xₜ が定常状態 x* に漸近収束する—ための必要十分条件は、（実または複素）変換行列 A の固有値が 1 より小さい絶対値を持つことである。方程式を斉次形で  と書くことにすれば、よく知られた仕方により、初期条件すなわち y の初期値 y₀ から反復適用と置換から直ちに  のように各項の値は順次求まり、そして t に関する数学的帰納法によって一般に  が成立することが証明される。さらに A が対角化可能ならば、A はその固有値と固有ベクトルを用いて書けるから、その解は  の形に与えられる。ここに P はその列ベクトルが A の固有ベクトルの全体からなる n-次正方行列（固有値が全て異なると仮定した場合には必ず可逆）であり、D は A の固有値が主対角線上に並ぶ対角行列である。この解の様子が上記の安定性について得ることを動機づける。すなわち Aᵗ が十分な時間経過後に零行列となるための必要十分条件は A の任意の固有値が絶対値に関して 1 より小さいことである。
1994年に脱退したミシェル・ステファンソンの代わりにスパイス・ガールズのメンバーの一員となる（このころはまだグループ名は"Touch"だった）。スパイス・ガールズは1990年代に最も成功した歌手といえ、3枚のアルバムの売り上げ総数は約3,500万枚におよぶ。スパイス・ガールズ5人にはそれぞれあだ名がつけられ、バントンにはいつも子供服を着ていてブロンドのツインテールであることから "Baby Spice" とつけられた。彼女達のデビューシングル "Wannabe" はUK、オーストラリア、カナダ、アメリカ、アイルランドを含む世界37カ国でチャート1位を獲得。個人では1999年にティン・ティン・アウトのシングル "What I Am"（エディ・ブリケル&ニュー・ボヘミアンズのカヴァー）にゲスト参加し、UKチャートで2位を記録したが、スパイス・ガールズの元メンバーであるジェリ・ハリウェルのソロ・シングル"Lift Me Up"に1位獲得を阻まれた。スパイス・ガールズが活動を休止してからはソロ活動を始める。デビューアルバム "A Girl Like Me" はUKチャート4位を記録した。このアルバムに収録されている "What Took You So Long?" はUKチャート1位を獲得した。続く"Take My Breath Away" は5位を記録している。しかし、"We're Not Gonna Sleep Tonight" は20位に終わってしまい、またこのデビューアルバムが約12万5千万枚しか売れなかったので、ヴァージン・レコードとの契約を解除する。その後、スパイス・ガールズ時代のマネージャーであるサイモン・フラーのレーベル、19 Management、そしてPolydor Recordsと契約。2003年春にそれまでエマ・バントンとして活動していたがバントンという名前をなくし、エマとして活動を開始。そして、"Free Me"がUKチャート5位をマーク、またその年の10月にリリースされた"Maybe"が6位を記録した。2004年春にはシングル、"I'll Be There"とアルバム"Free Me"がリリースされた。2005年1月25日にアメリカでもこのアルバムはリリースされ、彼女自身も同国でプロモーション活動をしたが、チャートにはランクインしなかった。2003年にBBCのコメディシリーズ、"Absolutely Fabulous"のシーズン5にゲストとして出演。エマ・バントン本人として出演した彼女は、シリーズの主役、PR会社社長エディーナ・モンスーン（ジェニファー・サンダース）に振り回させる役を演じる。さらに、エディーナの娘、サフィー（ジュリア・サワラ）の小学生時代の後輩や、架空の設定で少々短気な自分を演じる。2005年にボリウッド映画、"Pyaar Mein Twist and Chocolate"に出演。これはビヨンセの代役だと噂が流れた。（ちょうどこのとき、ビヨンセはピンクパンサーの映画の撮影をしていた。）2006年10月にBBCのダンス・コンテスト番組、"Strictly Come Dancing"に出場。総合で3位に輝いた。また、コメディにも多数出演しており、スパイス・ガールズのマネージャーだったサイモン・フラーは2006年8月に「バントンが主人公のコメディを作ろうと思っている。」とコメントした。また、スープの"Prego"、スーパーマーケットの大手チェーン店"Tesco"のコマーシャルに出演。2006年11月、BBC主催のチャリティ活動"Children In Need"に参加。60年代のシングル、"Downtown"をカバーし、UKチャート3位を記録。また、その年の12月にリリースされた3枚目のアルバム、""Life In Mono"に収録されている。（UKアルバムチャートでは1週目で約1万3,000枚を売り上げ65位をマーク。）現在まででUKのみで約4万4,000枚を売り上げたとされている。このアルバムから2枚目のシングル、"All I Need To Know"はバレンタイン・シーズンにあわせたもので、2007年2月12日にリリースされた。この曲はチャートで最高60位に終わり、彼女にとって最低のランクとなってしまった。2009年からラジオ番組Heart LondonにてDJとしても活躍。2012年8月ロンドンオリンピック閉会式にて、スパイス・ガールズとして一夜の再結成パフォーマンスを行った。WannabeとSpice Up Your Lifeの2曲のパフォーマンスを行い、ロンドン名物のタクシーで会場に現れ、5台のタクシーの上に5人がそれぞれ乗って、場内を駆け回るパフォーマンスで盛り上げた。メラニーCのアルバム“Stages”に収録されている"I Know Him So Well"でデュエットを披露。2016年、ジェリ・ハリウェルとメル・B共にスパイスガールズ結成20周年を祝い、 'GEM'として3人で新曲を準備している旨発表。今回の再結成ではヴィクトリア・ベッカムとメラニー・Cは個人の活動が忙しい為不参加を表明。