1950年代後半、レッドフック地区の賭博利権がギャング抗争の火種となった。レッドフックは1930年前後にプロファチ一家に編入されたが、傘下のナポリ人派閥は独立の気風が高く、上納金問題でファミリー執行部と対立した。1959年11月、ドル箱の賭博チームを率いたフランク・アバテマルコが上納金滞納を理由に粛清され、プロファチがその縄張りを奪って身内に回したため、アバテマルコ仲間のジョーイ・ギャロらギャロ兄弟が反乱を起こした。プロファチは上納金を払わせるためアバテマルコの息子を捕えようとしたが、ギャロ兄弟が息子を匿い、抵抗した。一時メンバーの半数以上がギャロ側に付いたとされ、幹部を中心とするプロファチ陣営とギャロ陣営に分かれて内部抗争に発展した。1961年2月、ギャロ派はマリオッコやプロファチ弟など一家の首脳陣4人を拉致し、プロファチはフロリダに退避した。相談役ロシセリの交渉の末首脳陣は解放された。プロファチはギャロ陣営の切り崩しを図り、ニコラス・フォーラノ、カーマイン・ペルシコらを寝返らせ、敵のアジトにスパイを潜り込ませた。1961年8月、ギャロ派用心棒ジョー・ジェリーが友人に釣りボートに誘われたまま行方不明になり、同じ頃にギャロ派の頭脳ラリー・ギャロがバーにおびき出され絞殺されかけた（偶然通りかかった警官に助けられた）。1961年10月、ニュージャージーの狩猟ロッジにいたプロファチはギャロ一味に襲撃されたが、ロッジのオーナーの機転で難を逃れた。1961年11月、プロファチ派2名がギャロ派に殺され、1962年3月プロファチの息子が銃撃された。1962年初めまでにギャロ派の多くを離反させることに成功したが、ギャロ派はアジトに籠城し、抵抗を続けた。1962年初め、ガンビーノらにギャロ問題を解決できないとして引退を迫られたが、ボナンノと結託してこれに抵抗した。プロファチは同年6月に病死するまで抗争に悩まされた。ギャロの反乱はガンビーノが裏で糸を引いていたとも、ギャロと親しいジェノヴェーゼ一家のアンソニー・ストロッロ（トニー・ベンダー）が資金援助していたとも言われた。1964年まで失踪3名を含む12人の犠牲者を出した。
R の冪等元は R 加群の分解と重要なつながりがある。M を右 R 加群とし、E := EndR (M) をその自己準同型環とすると、A ⊕ B = M であることと、A = eM かつ B = (1 − e)M となるような冪等元 e ∈ E が唯一つ存在することは同値である。すると明らかに、M が直既約であることと、E の冪等元が 0 と 1 のみであることが同値である。M = R のとき、自己準同型環は EndR (R) = R であり、各自己準同型はある 1 つの固定された環の元の左からの積として生じる。上で述べたことをこの場合に言い換えると、右加群として A ⊕ B = R であることと、eR = A かつ (1 − e)R = B となるような冪等元 e が唯一つ存在することは同値である。したがって加群としての R のすべての直和成分はひとつの冪等元によって生成される。e が中心的冪等元であれば、corner ring eRe = Re は e を乗法単位元にもつ環である。冪等元が R の加群としての直和分解を決定するのとちょうど同じように、R の中心的冪等元は R の環の直和としての分解を決定する。R が環 R₁, ..., Rₙ の直和であれば、環 Rᵢ たちの単位元は、R の中心的冪等元であり、どの 2 つも直交していて、それらすべての和は 1 である。逆に、和が 1 でどの 2 つも直交しているような R の中心的冪等元 e₁, ..., eₙ が与えられると、R は環 Re₁, ..., Reₙ の直和である。なので、とくに、すべての中心的冪等元 e ∈ R は R の corner ring eRe と (1 − e)R(1 − e) の直和としての分解を与える。したがって、環 R が環として直既約であることと、単位元 1 が中心的原始冪等元であることは同値である。単位元の直交する中心的原始冪等元の和への分解を帰納的に試みることができる。もし単位元が中心的原始冪等元であればすでに分解できている；そうでなければ、 0 でない直交する中心的冪等元の和であり、以下、各因子に対してこの手順を繰り返す。ここで起こりうる問題は、この手順が際限なく続き、直交する中心的冪等元の無限族が得られることである。「直交する中心的冪等元の無限集合を含まない」という条件は、環に対する有限性条件の一種である。たとえば環が右ネーターであることを仮定するなど、その条件が満たされるようにする方法はいくつもある。各 eᵢ が中心原始冪等元であるような分解 R = e₁R ⊕ e₂R ⊕ ... ⊕ eₙR が存在すれば、R はどれも既約であるような corner ring eᵢReᵢ の直和である。体上の結合多元環やジョルダン多元環に対して、パース分解は多元環の可換冪等元の固有空間の和としての分解である。