n 回の測定における誤差があらかじめ分かっている場合を考える。異なる測定方法で測定した複数のデータ列を結合する場合などでは、測定ごとに誤差が異なることはしばしばある。誤差が正規分布していると考え、その標準偏差  で、誤差の大きさを表す。すると、誤差が大きい測定より、誤差が小さい測定の結果により重みをつけて近似関数を与えるべきであるから、を、最小にするように f を定める方がより正確な近似を与える。毎回の測定が独立ならば、測定値の尤度は exp(-J') に比例する。そこで、上記の J'  を最小にする f は、最尤推定値であるとも解釈できる。また、J'  は自由度 n-m のカイ二乗分布に従うので、それを用いてモデル f の妥当性を検定することもできる。毎回の測定誤差が同じ場合、J'  を最小にするのは J を最小にするのと同じ意味になる。
想定される分布が媒介変数 t を用いて (x, y) = (f(t), g(t)) の形(あるいは f, g は複数の媒介変数によって決まるとしても同様)であっても考察される。すなわち、測定値 (xᵢ, yᵢ) がパラメータ tᵢ に対する (f(tᵢ), g(tᵢ)) を理論値として近似されているものと考えるのである。この場合、各点の理論値 (f(tᵢ), g(tᵢ)) と測定値 (xᵢ, yᵢ) の間に生じる残差はである。故に、残差平方和はとなるから、この値が最小であるように、f, g を決定するのである。このように、n 組の (x , y ) の測定値 (xᵢ , yᵢ ) (i = 1, 2, ... , n ) をn 組の (x₁ , x₂ , ... , xₘ ) の測定値 (x₁ᵢ , x₂ᵢ , ... , xₘᵢ ) (i = 1, 2, ... , n ) に拡張したものも考察することができる。
IMFの統計によると、2013年のウクライナのGDPは1,783億ドルである。1人当たりGDP（為替レート）は3,930ドルであり、西隣にあるポーランドの (13,393) の約30%、北隣にあるベラルーシ (7,577) の約半分、世界平均の約40%程度の水準しかなく、グルジア (3,604)、アルメニア (3,208)、モルドバ (2,229) と並ぶ欧州最貧国の1つである。最新の2015年の推計によると、1人当たりGDP（為替レート）は2,001ドルまでに低下し、旧ソ連の最貧国レベルとなっている。タタール人のリナト・アフメトフ、イスラエル国籍も持つユダヤ人のイホル・コロモイスキーなどの一部のオリガルヒによる寡頭制資本主義体制が続いている。ソ連時代は、連邦内の重要な農業および産業地帯であったが、現在は天然ガスを中心とするエネルギー供給のほとんどをロシアに依存しており、経済の構造改革の遅れと相まって、他国の影響を受けやすいものになっている。しかしその一方で国家腐敗が進行している為、事態は深刻さを極めるものとなっている。1991年、政府はほとんどの物資の価格を自由化し、国有企業を民営化するための法制度を整備した。しかし、政府や議会内の強い抵抗により改革は停止され、多くの国有企業が民営化プロセスから除外された。1993年の末頃には、通貨政策の失敗によりハイパーインフレーションにまで至った。1994年に大統領に就任したレオニード・クチマは、IMFの支援を受けながら経済改革を推進し、1996年8月には10万分の1のデノミを実施し、新通貨フリヴニャを導入した。現在の政府は、経済への介入を極力減らし、調整方法を合理化することに努めるとともに、企業家を支援する法環境を整備し、包括的な税制の改革を行った。ただし構造改革の政治的な問題に関わる分野や農地の民営化に関する改革は遅れている。1999年の生産高は、1991年の40%にまで落ち込んだ。しかし、同年には貿易収支が初めて黒字を記録。その後もフリヴニャ安や鉄鋼業を中心とした重工業により、2000年の国内総生産は、輸出の伸びに支えられて6%という成長をみせ、工業生産高の成長も12.9%だった。これは独立以来初めての上方成長であった。2001年から2004年までの間も、中国への鉄鋼輸出の急増などに起因して高度成長が続いた。ところが2005年、ユシチェンコ政権の成立後暗転し始める。それまでの好調なウクライナ経済は、ロシアからの安価なエネルギー資源および原料の供給、経済発展を続けるロシアや中国への輸出等によって支えられていた。しかしユシチェンコ大統領は就任直後、ロシアとは距離を置き、EUやアメリカ合衆国などとの関係を強化する姿勢を示した。大統領はアメリカなど西欧諸国からの投資拡大を見込んでいたが、実際にはそれほど投資は増えず、逆にロシアからの安価なエネルギー資源供給が受けられなくなった（ロシア・ウクライナガス紛争を参照）。またロシアに並ぶ輸出相手国であった中国の需要が減少するなど経済環境が悪化。2008年以降は世界金融危機の影響を受けてウクライナ経済は再び落ち込み、債務不履行の瀬戸際まで追い込まれた。経済安定化のため2008年10月にはIMFより総額165億ドルに及ぶ緊急融資を受けた。2010年7月にはIMFより新たに152億ドルの融資を受けることで合意した。2014年クリミア危機とその後現在まで継続しているウクライナ東部での戦闘により、ロシアとの関係が極度に悪化。それにより深刻な経済危機に陥り、2015年の経済成長率は-11.6% となっている。1人当たりGDPも2,109ドルにまで落ち込むなど欧州最貧国となっている。2015年12月31日、ロシアに対する30億ドルの債務を返済しなかったことを根拠に、ロシア財務省はウクライナはデフォルト状態であると指摘した。2016年5月時点のIMFの統計によると1人あたりのGDPは更に低下し1,854ドルと現在欧州最貧国のモルドバの1,712ドルと殆ど変わらず、現在の経済成長率を反映すると来年にはモルドバに抜かされ名目GDPも欧州最貧国になるのは確実と思われる。