新海洋秩序の確立を目指して1973年に開幕した第三次国連海洋法会議を通じて、沿岸から200カイリ以内に所在する資源の管轄権を認める排他的経済水域の概念が提唱された。1974年の同会議第2会期において排他的経済水域概念は会議参加国間でほぼコンセンサス形成に成功し、海洋法条約第5部（第55条～第75条）に排他的経済水域制度に関する規定が設けられるにいたった。日本では元々海洋資源活用の観点から、領海は3海里とするよう主張してきたが、この趨勢を受けて姿勢を転換し1977年に領海法および漁業水域に関する暫定措置法を施行、領海が沿岸から12海里に拡張されるとともに、200海里の漁業水域が設定された。これによって海上保安庁の警備すべき面積は領海だけでも4倍、漁業水域も含めると50倍に拡大した。このような広域を監視するには既存の巡視船や陸上機の航続力は不足であり、かといって大型の巡視船を建造したとしても「重量の増加→速力の低下→さらに強力なエンジンの搭載→燃料搭載量の増加→さらなる重量の増加」という悪循環に陥ることが懸念された。また最高速度が20ノットに満たない大型巡視船では、外洋での救難信号受信後に急行したとしてもかなりの時間がかかることが懸念された。一方、ヘリコプターであればその速度を100ノットだとしても巡航速度は巡視船の2倍、上空からの視界で捜索能力は10倍になると見積もられた。このことから海上保安庁では、まず昭和52年度計画で「宗谷」の代船として「そうや」を建造したのち、同年度補正計画より本型の建造が開始された。
本作では妖怪のための学校である、私立陽海学園高等学校が主な舞台となっている。この学園はかつて地上が人間の支配下となった後、三大冥王と呼ばれる大妖怪達により大結界の奥深くに設立されたのが始まりであり、学園は大結界により地上とは完全に隔離・遮断されているため、人間達はその存在を知らない。地上とは四次元トンネルにより繋がれ、謎の運転手が運行するバスが行き来をする。学園ではもはや妖怪が生き延びていくためには人間と共存していく他ないと考えられ、妖怪達に「人間との共存のしかた」を教えている。その基本として人間に化けて生活することが課せられ、正体をばらすことは校則違反となる。なお、教師も生徒も全員妖怪であり、この学園の存在を知った人間には死んでもらうという掟が存在する。生徒のほとんどは付属の学生寮に住むこととなり、小等部・中等部・孤児の保護施設等も存在するが、大学は存在しないために進学を希望する生徒は人間の大学に進むこととなる。妖怪だけの学校という特性上、戦いを好む者が多く、まれに死者すら出るのが現状である。また、この学園は妖怪達が人間の世界を追従し模倣しているために人間達の流行が遅れて入り、やや古くさい世界となっている。本作では妖怪のことは妖（あやし）と呼ばれ、地上のことは人間界と呼ばれることが多い。人間社会は現実とほぼ同水準であり、またこの世界にいる妖怪達は、正体を隠しつつ人間社会の中で生きていたり、学園と同じように結界に守られた空間に住んでいたりと、現在、人間のほとんどは妖怪の存在に気付いていない。
距離化定理として初めて広く認識されたものは、ウリゾーンの距離化定理（Urysohn's metrization theorem）である。この定理では、第二可算的なすべてのハウスドルフ正則空間は距離化可能であると述べられている。したがって例えば、すべての第二可算的な多様体は、距離化可能となる（歴史的観点からの注意：ここで紹介されている形の定理は、実際は 1926 年にチコノフによって初めて示されたものである。ウリゾーンが示した事実は、すべての第二可算的かつ「正規」なハウスドルフ空間が距離化可能である、というものであり、これは彼の死後の 1925 年に出版された論文で示されている。）。この定理の逆は必ずしも成立しない。すなわち、例えば離散距離を備える非可算集合など、第二可算的ではない距離空間が存在する。以下で紹介する長田＝スミルノフの距離化定理では、そのような逆が成立するような、より特別な場合が考えられている。ウリゾーンの定理に従う簡単な系として、いくつかの他の距離化定理が知られている。例えば、コンパクトなハウスドルフ空間が距離化可能であるための必要十分条件は、それが第二可算的であることである。ウリゾーンの定理は次のように言い換えることも出来る：ある位相空間が可分かつ距離可能であるための必要十分条件は、それが正則、ハウスドルフかつ第二可算的であることである。長田＝スミルノフの距離化定理はこの内容を、非可分であるような場合に対しても拡張するものである。その定理によると、位相空間が距離化可能であるための必要十分条件は、それが正則かつハウスドルフであり、σ-局所有界な底空間を持つことである。ここで σ-局所有界な底空間とは、可算個の多くの開集合の局所有界族である。これに密接に関連する定理として、ビングの距離化定理がある。可分な距離空間はまた、ヒルベルトの立方体 、すなわち（実数からの自然な部分空間位相を伴う）単位区間のそれ自身との可算無限回の積で、直積位相を伴うような空間の部分空間と位相同型であるようなものとして特徴付けられる。ある空間が局所距離化可能（locally metrizable）であるとは、そのすべての点に対して距離化可能な近傍が存在することを言う。スミルノフは、局所距離化可能な空間が距離化可能であるための必要十分条件は、それがハウスドルフかつパラコンパクトであることを証明した。特に、ある多様体が距離化可能であるための必要十分条件は、それがパラコンパクトであることである。