スキームの射 ƒ : X → Y が平坦であるとは、X のすべての点 x に対し、局所環の射 OY, ƒ(ₓ₎ → OX, ₓ が平坦であることをいう。環における平坦性が局所的性質であることから、アフィンスキームの間の射の平坦性は対応する環の射の平坦性と同値である。平坦かつ全射である射は忠実平坦であるという。これもアフィンスキームにおいては環での定義と一致する。
数学において、平坦加群（へいたんかぐん、英: flat module）とは、テンソル積をとる関手 M ⊗ – が完全となる加群 M のことである。 ホモロジー代数学および代数幾何学における基本的な概念のひとつ。ジャン＝ピエール・セールによって導入された。
本形式2両が1992年（平成4年）、長良川鉄道にトロッコ列車用として譲渡され、ながら3形3001（とみか）, 3002（はちまん）となったが、同列車の運転中止にともない廃車となった。1993年（平成5年）には1両が島原鉄道に入線した。ヨ8001の車番が与えられたが、同時期に入線したワム80000（ワム80001）と共に車籍編入はなされず工事車両として使用された。2015年（平成27年）には明知鉄道にヨ18080 、若桜鉄道にヨ8627が入線した。2016年（平成28年）には東武鉄道で翌年から運転を開始した「SL大樹」用に、JR貨物からヨ8634、JR西日本からヨ8709が譲渡された。
延享2年（1745年）11月、分家の加治木島津家当主島津久門（後の重年）の長男として生まれた。幼名は善次郎。母の都美は善次郎を出産したその日のうちに19歳で死去する。父が本家に復して薩摩藩主になると、加治木島津家を継ぎ、宝暦3年（1753年）12月、諱を久方（ひさかた、通称は兵庫）とする。父の病弱に加え、翌年2月2日に父の継室於村が死去し宗家で嗣子誕生が望めなくなったため、同8月に重年の嗣子として本家に迎えられ、忠洪（ただひろ、通称は又三郎）に改名。宝暦5年（1755年）6月、父・重年が死去したため、11歳で家督を継いだ。加治木島津家はこの後、知覧島津家（佐多氏嫡家）当主・島津久峰の長男で重豪の従弟にあたる久徴が名跡継承するまでの19年間、当主不在となる。宝暦8年（1758年）6月、元服し父と同じく将軍・徳川家重の偏諱を賜って重豪に改名、従四位下・左近衛権少将兼薩摩守に叙任される。年少のために祖父の継豊が藩政を担った。宝暦10年（1760年）に継豊が死去すると、継豊の弟で重豪の外祖父にあたる貴儔に3年間藩政の実権が委ねられた後、重豪が親政を開始し藩政改革に取り組んだ。重豪は蘭学に大変な興味を示し、自ら長崎のオランダ商館に出向いたり、オランダ船に搭乗したりしている。明和元年（1764年）11月、従四位上・左近衛権中将に叙任される。安永元年（1771年）には藩校・造士館を設立し、儒学者の山本正誼を教授とした。また、武芸稽古場として演武館を設立し、教育の普及に努めた。安永2年（1773年）には、明時館（天文館）を設立し、暦学や天文学の研究を行っている。医療技術の養成にも尽力し、安永3年（1774年）に医学院を設立する。そして、これらの設立した学問所に通えるのは武士階級だけにとどめず、百姓・町人などにも教育の機会を与えている。安永9年（1780年）、外城衆中を郷士に改め、より近世的な支配秩序の形成を図った。天明7年（1787年）1月、家督を長男の斉宣に譲って隠居し、上総介に遷任されたが、なおも実権は握り続けた。文化6年（1809年）、斉宣が樺山主税・秩父太郎ら近思録派を登用して緊縮財政政策を行なおうとしたが、華美な生活を好む重豪はその政策に反対して斉宣を隠居させ、樺山らには死を命じた（近思録崩れ）。そして重豪は孫の斉興を擁立し、自らはその後見人となってなおも政権を握った。しかし、晩年に重豪は藩の財政改革にようやく取り組み、下級武士の調所広郷を重用した。調所の財政再建は斉興の親政時に成果を見ている。さらに、新田開発も行なっている。老いてますます盛んな重豪は、曾孫の斉彬の利発さを愛し、幼少から暫くの間一緒に暮らし、入浴も一緒にしたほど可愛がった。斉彬の才能を高く評価した重豪は、斉彬と共に蘭館医シーボルトと会見し、当時の西洋の情況を聞いたりしている。ローマ字を書き、オランダ語を話すこともできたと言われている重豪と会見したシーボルトは、「重豪公は80余歳と聞いていたが、どう見ても60歳前後にしか見えない。開明的で聡明な君主だ」と述べている。天保3年（1832年）夏から病に倒れ、天保4年（1833年）1月、江戸高輪邸大奥寝所にて89歳という長寿をもって大往生を遂げた。