M, N ともになめらかな多様体で 、f がなめらかな写像であった場合、 deg f を上の定義とは違う方法で計算できる。M, N はコンパクトな多様体であるので、 任意の f の正則値 y について、 y の逆像 f⁻¹(y) は有限集合である。よって、正則値 y に対して整数d(y) := \sum_{x \in f^{-1}(y)} {sign\ df_x}を定義することができる。ただし、dfₓ は f の x における微分、 sign dfₓ は dfₓ (を行列としてみたとき)の行列式の符号である。このように定義すると、 任意の正則値 y について d(y) は deg f と等しい。
弧状連結で、向き付け可能な n 次元多様体 X の n 次ホモロジー群 Hₙ(X) は整数群 Z と同型であり、ひとつの生成元から生成される無限巡回群である。生成元となりうる元は ± の二つ存在するが、 X に向きを付けると、 どちらが + であるかを定める。 つまり、Hₙ(X) の生成元を定めることになる。この生成元を (向き付けられた)X の基本ホモロジー類といい、 [X] と書く。コンパクト、弧状連結で向きのついたn 次元多様体 M, N と連続写像 f : M → N が与えられたとする。 f から誘導される準同型f_*: H_n(M) \rightarrow H_n(N)について、^{\exist 1} k \in \mathbb Z\ f_*([M]) = k[N]である。このとき、f の写像度 deg f を k で定義する。
円周S¹上の連続写像 f : S¹ → S¹について、f の像が S¹を(向きを込めて)何重に被覆するかを考える。 例えば、 S¹ を絶対値 1 の複素数の集合(群)とみなしたとき、z を zᵏ にうつす写像は S ¹ を k 重に被覆する。 このように、写像 f が S¹ を k 重に被覆するとき、f の写像度が k である、という。 このとき、 f を連続変形しても写像度は変化しないことがわかる。n 次元球面 Sⁿ上の連続写像 f : Sⁿ → Sⁿ や、もっと一般に n 次元多様体 M, N の間の連続写像 f : M → N についても同じように写像度を定義することができる。
写像度（しゃぞうど、degree）とは、コンパクト、弧状連結、向き付けられた同次元の多様体間での連続写像を特徴付ける整数のこと。写像のホモトピー不変量のひとつである。
世界鉄道の旅（RAIL AWAY、せかいてつどうのたび）は、オランダで製作された鉄道番組である。世界各国の鉄道について、車両、車窓風景を紹介する。主に独立UHF局の一部を始めとするテレビ局で、放送番組センターから配給を受けて放送された。
プリンケプスは、古代ローマで「第一人者」を意味したラテン語である。その道において最も権威ある者を指して用いられた言葉で、「プリーンケプス・セナートゥース（Prīnceps Senātūs 、元老院の第一人者）」あるいは「プリーンケプス・キーウィターティス（Prīnceps Cīvitātis 、市民の第一人者）」などのように様々な用いられ方をした。プリンケプスは単に「第一人者」という意味の言葉であったから、当然、ローマ以外の第一人者を指しても用いられた。伝説によれば、ローマはトゥルス・ホスティリウスがローマ王であった時代にアルバ・ロンガを滅ぼし、アルバ・ロンガのプリンキペスをパトリキの列に加えたという。古代ローマ人は、この「第一人者」たちの権威を極めて重視した。古代ローマ人にとって権威は抽象的なものではなく、その資質や実績によって特定の人物に結びつけられる具体的なものでなければならなかった。権威の根拠が個人の資質や実績によるのであるから、「第一人者」たちもまた多種多様な存在であった。古代ローマ人は、例えば法律問題についてならば法学の第一人者の弁に耳を傾けたし、その他の問題についてならばその分野の第一人者の弁に耳を傾けた。古代ローマ人にとって、その道の専門家の意見は、そうでない者の意見より何千倍も重みを持つものであった。こうした「第一人者たち（プリンキペス）」が元老院に集まって政策を決定したのが共和制ローマの共和制であった。現代において最初のローマ皇帝であると一般的に認識されているオクタウィアヌスもまた、彼が書き残した『業績録』の各所において、自身のことをプリンケプスであるとしている。オクタウィアヌスは、義父ガイウス・ユリウス・カエサルのように独裁者として排除されることを警戒し、自身を権力者ではなく権威者（プリンケプス）であると位置づけることによって、『業績録』で「余は権威においては万人に勝ったが、職権においては他の何人にも些かも勝らなかった」と記したような共和政尊重の政治的姿勢の建前を強調したのである。このように共和政的部分が強調されたオクタウィアヌスと後継者たちによる帝政初期の政治体制を、後世の歴史家はプリンキパトゥス（prīncipātus、プリンケプスによる統治）と呼んでいる。一般に最初のローマ皇帝であると認識されているオクタウィアヌスが自身を指してプリンケプスと呼んでいたという経緯から、しばしばプリンケプスの語が「ローマ皇帝」と意訳されることもあるが、既に述べてきたようにプリンケプスは必ずしも現代でローマ皇帝と呼ばれている人々だけを指して用いられた言葉ではない。また、このような用法においてプリンケプスの語を用いたのもオクタウィアヌスが初めてであったわけではない。プリンケプスは共和政以前から用いられてきた言葉であって、オクタウィアヌスが用いたプリンケプスの用法も共和政期の用語法に則ったものであった。オクタウィアヌスが形成したローマ皇帝権は、プリンケプスの語とは全く無関係なところで形成されていったのである。