現代の数論の研究者は、エジプト式分数に関する多くの問題について研究している。例えば、単位分数展開の項数や分母の大きさを評価すること、ある性質を持った単位分数に限った展開を与えること、単位分数展開のアルゴリズムを与えること、などである。リチャード・ガイの本『数論未解決問題の事典』第3版 D11 に、これまでの研究成果と未解決問題の概略がある。
リンド・パピルスの最後の単位分数展開  =  +  +  +  は、以上のどれにも当てはまらないが、恒等式  =  +  +  +  に p = 101 を代入して得られる。これと同等の等式は『エジプト数学羊皮紙巻子本』でも用いられている。
その他の合成数 n については、n の約数 m に対する  の単位分数展開から得られる。例えば、 =  +  +  を 5 で割ることにより、 =  +  +  を得る。実際は、 +  =  であるから、より簡単な展開を得るが、リンド・パピルスでは簡約化されていないものが記されている。3つ以上の素数の積、27, 45, 63, 75, 81, 99 に対してもこの方法で説明が付く。
分母が半素数の場合、r =  として恒等式  =  +  を用いることもできる。例えば、p = 5, q = 7 とすると、リンド・パピルスの表示  =  +  を得る。 についても同様である。
分母が2つの奇素数の積として pq であるとき、a =  として恒等式  =  +  を用いることができる。例えば、p = 3, q = 7 のとき、a = 2 より  =  +  を得る。この方法で、リンド・パピルスの単位分数展開のうち、分母が半素数であるものの多くは説明が付く。
大きめの奇素数 p (13, 17, 19, 29, …) に対しては、恒等式  =  +  が用いられている。ここで、A は  < A < p を満たし、約数を多く持つ数が選ばれる。 について、分子が A のいくつかの約数の和に表すことができれば、約分して単位分数の和を得る。例えば、p = 37 に対して A = 24 とすると、2A − p = 11 = 3 + 8 で 3 と 8 は 24 の約数であるから、リンド・パピルスの展開  =  +  +  を得る。A を取り替えたり、約数の和に分解する方法を変えたりすると別の展開を得る。
小さな奇素数 p = 2m + 1 (3, 5, 7, 11, 23) に対しては、恒等式  =  +  が用いられている。この方法は奇素数に限らず、任意の奇数に対して使用できる。
1996年6月14日16時4分生まれ。名前の由来は「（出身地である長野県を流れる）梓川のように清く美しく長くて広い心で育ちますように」とのこと。2004年、通っていたジャズダンススクールの先生が応募した、ハロプロ エッグ オーディション2004に合格し、ハロプロエッグ第1期生の一員となった。2007年5月、初めて行われたハロー!プロジェクト新人公演に出演。これが関根にとって初舞台となった。なお、マイクを持って歌うことはできなかった。その後、ステージの中央に立てていた時期もあったが、いつしかステージの端で踊る存在になっていた。2010年の夏に、所属事務所よりハロプロエッグの研修課程修了という通達があり、11月28日に横浜BLITZで行われた『2010 ハロー!プロジェクト新人公演11月 〜横浜JUMP!〜』がハロプロエッグとしての最後のステージとなった。その後、所属事務所より女性アイドルグループ『アップフロントガールズ（仮）』としての活動を打診され、関根はこれを即座に了承した。「ちゃんとした結果を残してから辞めたいとずっと思っていた」というのがその理由である。2011年2月22日、K-POPカバーダンスグループ『UFZS』が結成され、そのメンバーとなり、同年3月9日には、ハロプロエッグの研修課程を修了したことが正式に発表された。4月1日、アップフロントガールズ（仮）としてのブログ「アップフロントガールズ（仮）オフィシャルブログ」が開始された。後にグループ名は『アップアップガールズ（仮）』に改名された。2012年より、NHK Eテレ『テストの花道』にレギュラー出演している。2013年5月にニコニコ動画へアップロードされた「【踊ってみた】にんじゃりばんばん 関根梓」は、再生回数が10万回を超えた。同動画の撮影中に関根の後ろをはとバスの車両が通ったことが話題になり、また、同動画の影響でアップアップガールズ（仮）を初めて知った人がいるという。同年8月31日、横浜BLITZにて行われたアップアップガールズ（仮）のライブ、アップアップガールズ（仮）1stライブハウスツアー アプガ第二章（仮）開戦〜横浜リベンジ決戦〜で、「アッパーカット!」のパフォーマンス中に左足首をひねり、靭帯部分断裂と診断された。怪我をして以降「ペースが全く掴めな」いなど、悪いこともあったが、「普段は踊っているので見えなかった部分もすごく見え」るなど、良いこともあったという。同怪我は12月17日までに完治した。2015年3月、ぐんま観光特使で、関根と同じくアップアップガールズ（仮）のメンバーである新井愛瞳との「地元PR対決」に勝利し「しあわせ信州応援アイドル」に就任した。2016年1月には、小海線全線開通80周年を記念し「小海線沿線地域特別応援大使」に就任した。