1807年9月、イギリスがデンマークを攻撃すると、ロシア皇帝アレクサンドル1世はイギリスへ宣戦布告した。10月にはドミトリー・セニャーヴィン指揮下のロシア艦隊が、地中海からの回航中にリスボンで拿捕され、戦争終結までの間ポーツマスで拘禁された。第二次ロシア・スウェーデン戦争（フィンランド戦争）に際しては、イギリス艦隊はスウェーデンを支援し、1808年7月と1809年8月にフィンランド湾における戦いでロシア艦隊を破った。しかし陸戦においてはロシアが勝利し、スウェーデンは1809年にロシアと、1810年にフランスと講和条約（パリ条約）を結んで大陸封鎖令に参加した。
1807年7月、ロシアは、皇帝ナポレオン1世支配下のフランスとティルジットの和約を締結した。これにより、ロシアとフランスとの間に協調関係が成立し、イギリスとロシアとは敵対関係に立つことになった。
1971年、東久邇稔彦とともに日本文化振興会を創立、出版局長に就任。1974年、同専務理事に就任。1975年、同理事長に就任。1977年、日本文化通信社を設立、代表に就任。1979年、株式会社国際芸術新聞社（後の帝国芸術新聞社）と改称。
疎集合はあらゆる意味において無視可能（negligible）である必要はない。例えば、X を単位区間 [0,1] としたとき、それはルベーグ測度がゼロの稠密集合（有理数の集合など）を含むだけでなく、正測度を持つ疎集合をも含む。（カントール集合の変形であるような）一例として、[0,1] からすべての二進分数（既約分数として a/2ⁿ の形を持つような分数。ただし a と n は正の整数）とその周りの区間 (a/2ⁿ − 1/2²ⁿ⁺¹, a/2ⁿ + 1/2²ⁿ⁺¹) を除いたような集合を考える。各 n に対し、多くとも合計 1/2ⁿ⁺¹ の区間を除いているため、結局そのような区間を除かれた後に残った疎集合は少なくとも 1/2 の測度（実際は重なる部分の関係で 0.535... を少し超えた値）を持ち、そのため、ある意味で生成空間 [0,1] の大部分を占めていることが分かる。この集合が疎であることは、それが閉であり空であるような内部を持つことから分かる。任意の区間 (a, b) はその集合には含まれない。なぜならば (a, b) に含まれる二進分数は取り除かれているからである。この方法を一般化することにより、どのような測度も 1 以下であるような疎集合を、単位区間の中に構成することが出来る。
数学の分野における、位相空間内の疎集合（そしゅうごう、英語: nowhere dense set）とは、閉包の内部が空であるような集合のことである。この言葉の順番が大事で、例えば、R の部分集合としての、有理数からなる集合は、その「内部の閉包が空である」という性質を持つが、疎集合ではなく、実際 R において稠密である。集合を扱う空間が問題となる。すなわち、ある集合 A はある位相空間 X の部分空間として考えられた場合には疎集合であるが、別の位相空間 Y の部分空間として考えられた場合にはそうはならない、ということが起こりうる。疎集合は、それ自身においては常に稠密である。疎集合のすべての部分集合はまた疎集合であり、有限個の疎集合の合併もまた疎集合である。すなわち、疎集合は集合のイデアル（無視可能な集合に関する適正な概念）を形成する。可算個の疎集合の合併は、しかし、必ずしも疎集合ではない（したがって、疎集合は必ずしもσ-イデアルを形成しない）。そのような合併はやせた集合あるいは第1類集合と呼ばれる。この概念は、ベールの範疇定理を考える上で重要である。
プロイセン軍が猛進する一方で、13万人のフランス軍は前線で数回にわたって敗北を喫した後、メスの要塞に閉じ込められていた。シャロンにある友軍と連携するためにメスを離れようとするフランス軍の動きは、プロイセン軍のオスカー・フォン・ブルーメンタール(Oskar von Blumenthal)少佐指揮下の騎兵斥候により発見された。フランス軍の退却から4日後の8月16日、コンスタンチン・フォン・アルヴェンスレーベン(Konstantin von Alvensleben)将軍のプロイセン第2軍第III軍団3万人は、マルス・ラ・トゥール（Mars-La-Tour）東方のヴィオンヴィル(Vionville)付近でフランス軍を発見したものの、兵力ではかなり劣勢であった。兵力は4対1であったが、第III軍団は冒険的な攻撃に打って出た。フランス軍は総崩れとなり、第III軍団はヴィオンヴィルを占領し、西へ向う退路を遮断した。メス要塞のフランス軍は退却を阻止され、血路を開くよりほかなくなった。ここに、西欧では最後となる大規模な騎兵戦を見る事となる。戦闘は直ぐに発生し、第III軍団は絶え間ない騎兵突撃を受け、兵の半数以上を失って粉砕されてしまった。一方のフランス軍も同程度の1万6千人の損害を受けたが、依然として圧倒的な数的優位に立っていた。8月16日の時点ではフランス軍は要所のプロイセン軍の防衛を一掃して脱出できるチャンスがあった。フランス軍前衛を攻撃した2個プロイセン軍団は、これを退却中のムーズ(Meuse)のフランス軍の後衛だと考えていた。このような誤解があったものの、2個プロイセン軍団はフランス全軍を丸1日に亘って足止めした。兵力は5対1であったが、プロイセン軍の並外れた猛進が、フランス軍の優柔不断に打ち勝った。フランス軍は決定的な勝利を掴む機会を失ってしまった。