充分多数の N ≫ 1 個の粒子から成る古典的な系での任意の物理量 A の時間平均値 A はと与えられる。{qᵢ}ᵢ = 1,..., 3N, {pᵢ}ᵢ = 1,..., 3N は系の微視的状態を指定する正準変数である。系が熱力学的平衡状態に達するならばこの値は収束する。このとき長時間平均 A は熱力学に現れる巨視的な物理量 A に一致しなければならない。系の微視的状態の（任意の）分布 ρ({qᵢ}, {pᵢ}, N) はリウヴィルの定理により時間に関して不変である。このことから、時間 t に依存しない平衡状態において、{qᵢ}, {pᵢ} で指定される微視的状態がある確率 dP を持つ確率集団（アンサンブル）を考えると物理量 A の集団平均 〈A〉 はで与えられる。この集団平均 〈A〉と時間平均 A が等しいと仮定することを統計力学の原理とする仮説をエルゴード仮説と呼ぶ。ただし、エルゴード仮説は統計力学の基礎付けと無関係という主張も専門家によってなされている。
孤立系の確率集団は {qᵢ, pᵢ} で指定される微視的状態が等しい確率をもつミクロカノニカル集団である。これを等重率の原理という。孤立系（エネルギー E、体積 V、粒子数 N）のエントロピー S(E, V, N) を系の微視的状態の数 W(E, ΔE, V, N) を用いて定義する。これをボルツマンの公式という。kB はボルツマン定数と呼ばれる。W はエネルギーが [E, E+ΔE] の区間に含まれる微視的状態の数であり、ΔE は巨視的に識別不可能である微視的なエネルギー差である。つまり W は巨視的にエネルギー E を持つと見なせる状態の数である。それは等重率の原理により、で与えられる。ここで、Ω(E) はエネルギー E における状態密度と呼ばれる量である。このエントロピーを熱力学におけるエントロピーとオーダーで一致させるには、微視的状態を量子力学によって記述する必要がある。その場合の統計力学を量子統計力学といい、古典統計力学は量子統計力学の古典的極限として構築される。エネルギー E の孤立系の物理量 A の集団平均 〈A〉E はで与えられる。
ボルツマンの原理により微視的な確率分布が熱力学的なエントロピーと関係付けられる。また、確率の規格化定数として現れる分配関数は確率分布の情報をもっており、完全な熱力学関数と関連付けられる。
南部のために決意し前進す帝国主義　滅ぼし敵　倒す骨砕き　血は流れ心憎しみに燃ゆる祖国　裂かれてさあ銃を手に旗の下に起て！国　救い勝利のため我ら進む今こそ夜明けだ南部は輝く
ダビドソン砦の戦いは9月26日に始まった。プライス軍の先遣隊がダビドソン砦の南3マイル (5 km)、アイアントンの南にいた北軍の哨戒部隊に遭遇した。北軍の部隊は町の中に追い込まれ、両軍はアイアン郡庁舎の芝生を挟んで銃火を交わした。その建物は今も残っており、そのレンガ壁の上には流れ弾の弾痕を見ることができる。南軍兵がさらに多く到着し、小勢の北軍部隊は砦の中に撤退した。9月27日、南軍指揮官から砦に降伏の要求が出され、ユーイングがそれを拒否した。ユーイングは後に降伏することも考えたと記していた。しかしそのキャンプにはアフリカ系アメリカ人の文民がおり、その年の前半に起きたテネシー州のピロー砦の戦いで黒人兵が殺戮されたことが気に掛かったと記してもいた。さらにユーイングは、捕虜になった場合の自身の運命についても心配していた。1863年にウィリアム・クァントリルがカンザス州ローレンスを襲撃して、市民を虐殺したローレンスの虐殺後に、一般命令第11号を発行し、北軍騎兵を使い、南軍のブッシュワッカー（ゲリラ）に協力したとされるミズーリ州民数千人をアーカンソー州に追い込んでいた。プライス軍の攻撃は幾つかの方向から1つの大量襲撃となってやってきた。1個旅団はパイロット・ノブの頂部に行ってそこにいた北軍の小さな部隊を取り囲み、また別の部隊はシェパード山の頂上を攻撃した。第3の旅団はシェパード山を回り込み、砦の北西側を攻撃し、第4の旅団は2つの山の間にある谷を通って攻撃した。北軍は優勢な南軍に追い払われ、南軍が砦の南西にあるシェパード山を支配した。その上に南軍の大砲2門を使った砲台が構築され、その激しい砲火によって、砦の中にあった2列の射撃壕の内の小さい方が放棄されることになった。しかし、これらの襲撃は同時に行われたわけではなく、ダビドソン砦の大砲が南軍の部隊それぞれに向けて発砲された。実際に南軍の1個旅団は雨霰と降る砲弾と銃弾の下を砦そのものに取り付いたが、その土盛りの壁があまりに急で登れなかった。この襲撃の間、北軍守備隊は砦の火薬庫から手りゅう弾を渡されていた。この木製の鰭が付いた爆裂弾が砦の壁越しに投げ落とされたので、南軍はその攻撃を止めるしかなくなった。算を乱した南軍兵が後退し、翌日の砦に対する再攻撃の準備をした。プライスが翌朝の新たな攻撃のために、兵士に梯子を製作させていたとき、ユーイングが砦の中で作戦会議を開いていた。ユーイングはセントルイスから砦を放棄しろと言う遅ればせな命令を受け取っていた。砦の守備はそれ以上耐え難いものであることに合意し、脱出の作戦を立てた。北軍兵は携行できないあらゆる装備を火薬庫の中に詰め込み、その動きの音を消すために跳ね橋をテント布で覆い、真夜中過ぎに密かに砦からの脱出を始めた。南軍は谷を照らすために大きな木炭の柱に火を点けていたが、北軍兵は見破られずに北西の疲れ切っていた南軍の宿営地2か所の間を抜けて行った。砦の火薬庫には緩りと燃えるようにしていた導火線を残しており、北軍兵が十分立ち去ってから大爆発を起こした。この爆発は大きなものだったが、プライスは夜明けまで砦の状態を兵士に調べさせようとはしなかった。