寛正4年（1463年）に父・教氏が38歳で急死すると、祖父持房の後見を受けて、8代将軍足利義政（義教の子）に出仕する。文明元年（1469年）に将軍世子足利義尚に付けられて申次となり、義尚の将軍就任後は御供衆・申次衆を務めて奉公衆第五番番頭を兼務、二階堂政行・結城政胤・尚豊らと共に将軍側近として活躍した。また、義尚の偏諱を受けて、尚氏と改名した。長享元年（1487年）の六角高頼征伐（長享・延徳の乱）には奉公衆第五番を率いて参加、政行・政胤らと共に評定衆に任じられて、義尚の政務決裁に参与した。2年後に義尚が急逝すると、即時撤退を唱えて六角氏の反撃を食い止めた。だが、義尚の元で権力を振るった政行・政胤らに連座して失脚して番頭も解任された。その後も幕府に用いられて永正2年（1505年）に従四位下に叙せられる。また、若狭の青保・松永・安賀・鳥羽・宮川各荘など北陸地方における幕府御料所の代官を務めた。12代将軍足利義晴の代には幕臣の長老として重んじられて申次・内談衆に任じられ、娘を義晴の側室にするなど破格の待遇を受けた。また、義晴の養育係と推定される佐子局（清光院）も三淵晴員の姉が常興（あるいは大舘氏一族）の養女になって義晴に仕えたとする説もあり、常興の実娘も彼女の跡を継いで佐子局と名乗ったとされている。また、娘の一人が本願寺一族の玄秀に嫁いでいるが、玄秀は大館氏の所領である加賀国若松荘に拠点を置いている若松本泉寺の親族である。尚氏は有職故実に詳しく、能筆として知られた他、和歌・連歌・蹴鞠にも通じていた。有職故実の著書としては、『大舘常興書札抄』・『大舘年中行事』などがある他、晩年に執筆された日記『大舘常興日記』は戦国期の室町幕府の動向を知る上で貴重な史料となっている。このため、三条西実隆ら公家や僧侶とも親交が厚かった。更に役職柄、各地の戦国大名との連絡役を務めることが多く、特に越後の長尾氏との取次に関する史料が残されている。義晴－尚氏－長尾為景・晴景の交渉は、次代の足利義輝－大舘晴光－長尾景虎（上杉謙信）へと継承されることとなる。晩年は出家して常興と名乗り、伊予入道とも称したが、天文15年（1546年）の舎利寺の戦い後に近江国に逃れた義晴に老齢であった尚氏が同行したとされていることから、具体的な没年は不詳であるが、この時点では健在であったと考えられている。
大阪府吹田市の出身で、実姉は、宝塚歌劇団に在籍していた優ひかり（61期）と真琴愛（63期、現在はいずれも芸能界を引退）。真琴愛は宝塚歌劇団を退団後に、本名（鈴江真里）で歌手として活動するかたわら、1980年4月から半年間『MBSヤングタウン』（MBSラジオ）で明石家さんまの相手役を務めていた。幼少期には、2人の実姉の影響でバレエに励んでいた。14歳でブルガリアの国際バレエコンクールへ出場した際に、世界のレベルを思い知ったことがきっかけで、女優を目指して玉川大学文学部芸術学科音楽（声楽）専攻（現在の芸術学部パフォーミング・アーツ学科）へ進学。薬師丸ひろ子と同級生になった。在学中は、英語のミュージカルで演技を磨いたほか、数々のオーディションに参加。薬師丸のように女優として本格的に活動するまでには至らなかったが、「何かを表現して他人に伝えることが好き」という理由で、3年時からアナウンサーを志したという。卒業後の1987年に、毎日放送へ入社した。同期入社のアナウンサーに、三上智恵（後に琉球朝日放送アナウンサーを経てドキュメンタリー映画の監督として活動）がいる。もっとも、大学3年時に参加した毎日放送のアナウンスセミナーで周囲のレベルの高さを悟ったことから、実際には一般職向けの入社試験を受験。採用後は秘書室への配属を希望していたが、三上と共にアナウンサーとして採用する予定だった女性が内定を辞退（後に別の企業へ入社）したため、アナウンスセミナーで力量を知っていた局員の勧めでアナウンサー室へ配属された。その結果、毎日放送が男女雇用機会均等法の施行（1986年4月1日）以降に新卒扱いで採用した女性の正局員では初めて、三上と共にアナウンサーとして勤務することになった。アナウンサー室への配属後は、鈴江香名義で『ワイドYOU』（MBSテレビと一部のTBS系列局で放送されたワイドショー）のアシスタントを担当。『ザ・ベストテン』（TBS制作の全国ネット番組）の最後期（1988年4月 - 1989年9月）には、「おっかけウーマン」と称して、関西地方の生中継リポーターを務めていた。キョードー大阪所属のイベントプロデューサー・関岡裕史との結婚を機に、放送上の名称を新姓の関岡香に変更。MBSテレビでは、『ちちんぷいぷい』の月曜日で、1999年10月11日の初回放送から6年間にわたってアシスタントを担当。その後は、エンディングコーナー「血液型ぷいぷい占い」のナレーターを、2008年3月まで務めていた。MBSラジオでは、自社制作番組のアシスタント（代理）を務めたり、ローカルCMに自身の声が使われたりする機会が多い。2017年6月の人事異動までは、アナウンサーとしての活動を続けながら、毎日放送アナウンサー室のマネジャー（管理職）や企画部長を兼務。出版文化産業振興財団（JPIC）の読書アドバイザーや絵本講師の資格を所持するとともに、同局のアナウンサーページ内に設けられている「絵本Cafe Yomo-ne!（ヨモーネ!）」でオーナーを務めたり、「おはなし夢ひろば」→「MBSアナウンサー　コトノハ」（同局のアナウンサーによる朗読イベント）で定期的に絵本を朗読したりしている。『こんちわコンちゃんお昼ですょ!』（MBSラジオ）でも、木曜日にアシスタントとして出演していた2012年3月まで、「関岡香の朗読の時間」というレギュラー企画で他の出演者と朗読を披露していた。絵本への関心を深めたきっかけは、2人の娘を育てている最中の「読み聞かせ」で、悲しい話に娘が涙を流したことから、聞き手の感情を揺さぶるほどの力が絵本にあることを実感。娘が成人した現在でも、自宅の書庫に1,000冊以上の絵本を所蔵しているという。2017年6月の人事異動で、アナウンサー室の企画部長からアナウンス部長へ昇進。昇進後は管理職としての業務を優先していたが、2019年6月の人事異動で部長職を退任してからは、「チーフアナウンサー」という肩書で、ロケ番組やMBSラジオの生ワイド番組への出演を再開している。