Gを（離散）群とする。G をただ一つの対象からなる圏と見なすとき G 上の前層の圏と G が作用する集合の圏 BG とは同一視される。 このとき位相空間X上のG-torsor と Sh(X) から BG へのトポスの射との間に自然な対応がある。 同様にして、「加群の分類トポス」とよばれる（グロタンディーク）トポス Aが存在し、(C, J)上の加群の層と Sh(C, J) から A へのトポスの射が自然に対応する。この対応は A における「普遍的な加群の層」対象 E を考え、Sh(C, J) からAへの射fに対し E のfによる引き戻し f*Eを対応させることで与えられる。さらには環の層などほかの構造についても同様のことが成立している。
Xを位相空間とするとき、Xの開集合のなす圏 O(X) の上に族の合併操作からグロタンディーク位相が定まる。そこから得られるトポスは（普通の意味での）X 上の層の圏 Sh(X) である。位相空間の間の連続写像 f:X → Y はトポスの射 Sh(X) → Sh(Y) を導く。逆に、Yがハウスドルフ性などよい分離性を持つ空間のときにはトポスの射 Sh(X) → Sh(Y) は必ずこのようにして得られる。したがって、トポスの理論は位相空間の理論の（圏の言葉による）言い換えを与えていると考えることができる。Setsは一点空間の上の層の圏と見なせるが、任意の点 x ∈ X について { x } → X が導くトポスの射 Sets ≡ Sh({x}) → Sh(X) は「xにおけるファイバーをとる」関手と「x上の摩天楼層」関手から構成されている。また、X → pt（一点空間）が導くトポスの射 Sh(X) → Sets は「定数層」関手と「大域切断」関手から構成されている。
有限極限を持つ圏 Eがカルテシアン閉であるとは、任意の対象XについてXと直積を取る関手X × -: E→Eに右随伴関手(-)X: E→Eが存在する事をいう。 例えば集合の圏Setsや有限集合の圏FinSetsはカルテシアン閉だが位相空間の圏Topはカルテシアン閉でない。一般に圏 E の対象Aの部分対象とはコドメインがAであるモノ射の同型類の事を言う。モノ射の引き戻しがモノ射になる事から、引き戻しを持つ圏Eについて各対象XにXの部分対象を与える関手Sub(-):Eᵒᵖ→Setsが定義される。圏Eの部分対象分類子(subobject classifier)とは、この関手を表現する対象の事をいう。圏 E は(初等)トポス(elementary topos)であるとは、Eがカルテシアン閉で部分対象分類子を持つ事をいう。 たとえば、Sets やFinSetsは部分対象分類子として二点集合を持つのでトポスになる。EとF がトポスのとき、関手 f*: E → F と完全関手 f*: F → E の対 (f*, f*)で随伴関係 f* ⊣ f*をみたすものはE から F へのトポスの射（geometric morphism）とよばれる。このときf*はfの直像部分、f*はfの逆像部分とよばれる。随伴性によりトポスの射の直像部分は左完全な関手になる。
数学におけるトポス（topos）とは、位相空間上の層のなす圏を一般化した概念である。アレクサンドル・グロタンディークによるヴェイユ予想解決に向けた代数幾何学の変革の中で、数論的な図形（スキーム）の上で有意義なホモトピー・コホモロジー的量が定義できる細かい「位相」を考えるために導入された。 その後数理論理学者たちによる更なる公理化を経て、集合論のモデルを与える枠組みとしても認識されるようになった。
大林 雅美（おおばやし まさみ、1947年5月30日 - ）は、元タレント。本名は大林雅子。俳優上原謙の元後妻。次女の仁美凌は女優。
シチリアパレルモ県ヴィッラバーテ生まれ。叔父が地元マフィアのズッビオのメンバーで、マフィアの影響の濃い環境で育った。1916年窃盗とレイプ未遂で逮捕されたが放免された。1920年、窃盗で1年服役した。出所後、1921年9月に一家でアメリカに渡った。しばらくニューヨークにいたが、翌1922年、シカゴでパン屋と雑貨商を始めた。1925年、店を畳んでニューヨークに戻り、一時シチリアに帰国した。1927年ニューヨークのブルックリン（ベンソンハースト）で、オリーブオイルの輸入業を始めた。同じ頃、遠戚のジョゼフ・マリオッコと付き合い始め、マリオッコの妹と結婚した。同郷ヴィッラバーテ出身のギャングと非合法活動に従事し、パレルモ派閥のギャングリーダーに担ぎ上げられた。ベンソンハーストなどブルックリン中南部とスタテン島を縄張りとし、イタリア産トマトやオリーブオイル輸入（"カルメラミーア"、"マンマミーア"）を手がける傍ら、酒の密輸、賭博、高利貸し、組合たかりや麻薬などに精を出した。1928年12月5日、クリーヴランドで開かれたシチリアマフィア会議に参加した。会議の間、警察の手入れにあい、逮捕されたがすぐ解放された。出席メンバーの大勢はパレルモ系マフィアで、ニューヨークからヴィンセント・マンガーノ、ジュゼッペ・トライナ、マリオッコ、シカゴからパスケール・ロロルド、タンパからイニャツイオ・イタリアーノなど総勢12人が参加し、地元マフィアのジョゼフ・ポレロがホストを務めた。会議では、同年殺されたフランキー・イェールとサルヴァトーレ・"トト"・ダキーラの密輸の縄張り処理が話し合われたと見られた。レッドフックやベイリッジなど南西ブルックリンの一部を新たに縄張りに加え、またイェール派の残党分子（カラブリア勢）を吸収した。