1990年のアメリカでの歌手デビューのために徹底的に英語を学び、CNNのインタビューその他で堪能な英会話力を示し、また2005年の台湾におけるコンサートなどでは北京語も披露している。1990年代後半は歌手デビュー以外にもハリウッドデビューも考え、積極的にオーディションを受けて幾つか端役も得ている。1998年公開の映画『アルマゲドン』で、日本人観光客の役として数秒程のシーンだがカメオ出演を果たしている。1999年に公開されたキルスティン・ダンスト主演の『わたしが美しくなった100の秘密』という青春コメディーの作品にて、ストーリーに無関係の冒頭のアジア人家族の娘役として登場した。2010年には、アメリカの人気サスペンスドラマ『BONES』のシーズン5・第15回『魂の伴侶』に、主人公のベストセラー作について取材する為に訪米した「リク・イワナガ」役でゲスト出演した。
2011年には、女性アーティストからの楽曲提供は尾崎亜美以来26年ぶりとなる、竹内まりや作詞・作曲のシングル「特別な恋人」がオリコンチャート14位となった。私生活では、2012年6月に、同世代の大学准教授（歯科医）と3度目の結婚。2015年には、デビュー35周年記念のシングルとして、「時間の国のアリス」以来31年ぶりに松本隆と呉田軽穂（松任谷由実）のコンビによる「永遠のもっと果てまで/惑星になりたい」が発売されてチャート11位となった。2016年にはYOSHIKI作詞・作曲のシングル「薔薇のように咲いて 桜のように散って」がチャート6位のヒットとなった。
熊本県出身。1911年（明治44年）、東京帝国大学法科大学政治科を卒業し、1913年（大正2年）に高等文官試験に合格した。台湾総督府事務官、台中庁事務官、台湾総督府州警視、警視庁警視、樺太庁警察部長、長崎県書記官・学務部長、栃木県書記官・学務部長を歴任し、1935年（昭和10年）に退官した。退官後は佐世保市助役を務めた。
与野党に幅広い人脈を持つ調整型の政治家と言われており、東日本大震災の際には民主党と交渉を重ね復興政策をまとめ上げた。また、「山形のドン」と一部で呼ばれていることについては、「加藤さんや鹿野さんが引退し、誰もいなくなったから言われているだけ」と述べている。政策面では有力な文教族とされている。特に大学時代にラグビー部に所属していた経験からスポーツ振興政策を得意としており、森喜朗とはラグビーを通じて親交を深め師弟関係を築いている。「他国とくらべ、世界と戦う選手の強化策がハード、ソフト両面で手薄過ぎる」という持論を持ち、ナショナルトレーニングセンターの設置やスポーツ庁設置法の成立に関わる一方、政治がスポーツに介入することには反対している。
2015年7月7日、遠藤に関連する3つの政治団体が、平田牧場の役員4人から同日に計500万円の献金を受けていたことが政治資金収支報告書から発覚した。産経新聞は「実質的には企業献金に該当する恐れもある」との識者のコメントを掲載している。これに関係して「遠藤が委員長を務めた2009年の衆議院農林水産委員会で、飼料米の生産拡大を支援する米穀新用途利用促進法が可決された後、遠藤が2014年1月の同社新年会に訪れ祝辞を述べるなど両者の関係は深まっていた」と産経新聞は指摘しているが、遠藤と平田牧場は「法案と献金は無関係」としている。これらの報道について、遠藤は内閣官房長官の菅義偉に対し「記事は具体的な根拠がなく、全くの事実無根だ」と報告し、記事の訂正と謝罪を求めるため法的措置を含めて検討する考えを示した。
英語の授業で日本人教師を補佐する外国語指導助手(ALT)を派遣する東京都内の民間会社の創業者から、遠藤利明が2010～2014年の5年間で計955万円の個人献金を受けていた。文科省の担当者が、ALT拡大を求めて遠藤から声掛けされることがあった、と毎日新聞は報道している。一方、遠藤は、「記事の内容は事実誤認に基づいており、遺憾に思う」としている。
日本のTPP参加に反対している。2011年11月25日には自民党総合農政・貿易調査会の会合に出席し、「TPPは国内農業を崩壊へ導く」とする反対決議に参加した。2012年11月15日には全国農業協同組合中央会が主催した「TPP交渉参加断固阻止緊急集会」に出席した。
山形県南村山郡（現：上山市）出身。山形県立山形東高等学校に進学した。同級生には、のちに山形県副知事となった細谷知行らがいた。高等学校卒業後、中央大学法学部法律学科に進学。卒業後、衆議院議員の近藤鉄雄の下で秘書を務めた。
ソルボンヌ大学で数学を学んだが美術の道を志し、エコール・デ・ボザールを含むいくつかの美術学校で学び、フェルナン・レジェのアシスタントとなる。1938年に、アメリカ人の美術史家ロバート・ゴールドウォーター（1907-1973）と結婚し、ニューヨークに移住した。自身の少女時代からインスピレーションを受けた作品が多い。1982年、ブルジョワが72歳のときにニューヨーク近代美術館で個展が行われ、再評価されるようになった。また、彼女を追ったドキュメンタリー映画も制作されている。1990年代からは、巨大な蜘蛛を象ったブロンズ像ママンを制作。この像には色々なバージョンがあり、ニューヨークのグッゲンハイム美術館、オタワのカナダ国立美術館、ビルバオのビルバオ・グッゲンハイム美術館、ロンドンのテート・モダン、サンクトペテルブルクのエルミタージュ美術館、ソウルのサムスン美術館 Leeum、東京の六本木ヒルズなど、9か所に展示されている。1993年のヴェネツィア・ビエンナーレでは、アメリカ館で展示を行った。2010年5月31日、心臓発作のためマンハッタンで亡くなった。