存在定理は高木貞治(Teiji Takagi)により、第一次世界大戦の幾年かの間に日本で証明した。1920年の国際数学者会議で提案し、1920年代の類体論の古典的理論の発展に主導的な役割を果たした。ヒルベルトの要請で、論文は1925年にMathematische Annalenで出版された。
存在定理の特別な場合は、m = 1 で H = P₁ の場合である。この場合には、一般化されたイデアル類群は K のイデアル類群であり、L が K の全ての素因子で不分岐であるような K のイデアル類群に同型なガロア群を持つアーベル拡大 L/K が一意に存在することを存在定理は言っている。この体の拡大をヒルベルト類体(Hilbert class field)という。ヒルベルト類体の存在はダフィット・ヒルベルト(David Hilbert)により予想され、その特別な場合の存在は高木の一般的な存在定理に先立ち、1907年フィリップ・フルトヴェングラー(Phillip Furtwängler)により証明されていた。ヒルベルト類体のさらに特別な性質は、もともとの代数体 K のイデアルはヒルベルト類体へ引き戻すと主イデアルとなるというものである。この主イデアル化が起きることの証明は、エミール・アルティン(Emil Artin)とフルトヴェングラーが行った。
厳密には、上で述べた K の有限アーベル拡大と一般化されたイデアル類群との間の対応は 1 対 1 の対応ではない。実際、異なるモジュライから定義された一般化されたイデアル類群が、同じアーベル拡大を作ることがありうる。たとえば K を有理数体としよう。アーベル拡大体 L がある円分体にふくまれるとき、その円分体をふくむ無限に多くの円分体にも同時にふくまれる。その円分体の各々に対して、適切に一般化されたイデアル類群をとることにより、もとの L に対応するガロア群の部分群を得ることができる。このことをふまえて適切に一般化されたイデアル類群たちの間に同値関係を定める必要がある。類体論のイデール的な定式化の中で、アーベル拡大と適切なイデール群の間の 1 対 1 の対応が得られる。そこではイデール論的なことばで一般化された同値イデアル類群とイデールの同一の群が対応する。
類体論の高木の存在定理(Takagi existence theorem)とは、代数体 K に対してその有限次アーベル拡大と K の一般化されたイデアル類群の間に 1 対 1 の対応が存在するという定理である。この定理を存在定理と呼ぶ理由は、証明の最も困難な部分が K のアーベル拡大体の存在を示す部分にあるからである。
東京学芸大学を経て、2005年にSC鳥取へ入団。2007年、横浜スポーツ&カルチャークラブへ移籍し、6年間プレーした。リーグ開幕後の2013年3月、神奈川県教員サッカークラブへ移籍した。
この町は、オーバーゾントハイムで交差する2本の地方道沿いにある。東西に走るのがL1066号 クライルスハイム - シュトゥットガルト線、南北に走るのがL1060号 シュヴェービッシュ・ハル - エルヴァンゲン線である。この2本の地方道はそれぞれ、アウトバーンA6号 ハイルブロン - ニュルンベルク線、A7号 ウルム - ヴュルツブルク線に接続する。
オーバーゾントハイムとその地区であるミッテルフィッシャッハ、オーバーフィッシャッハおよびウンターゾントハイムにはそれぞれプロテスタントの教会コミュニティが存在している。首邑であるオーバーゾントハイムには、この他にカトリック教会や新使徒教会がある。
オーバーゾントハイムは、リムプルク献酌侍従家の居城として、興味深い歴史的経緯をたどった町である。リンプルク献酌侍従家は1541年から1713年の150年以上の間、この町を統治し、この間に歴史的中心街を形成してきた。城、ラートハウス（1994年に根本的な修復がなされた）、教会といった今日見応えのある象徴建造物は、彼らによって建造されたのである。リムプルク献酌侍従家の居館は、華やかではあるが新たに建設されたものではなかった。彼らは、市場の開催権の他にも何度も高権を分け与えている。献酌侍従家は、孤児院や施療院を創設するなど、この時代の著しく進歩的な社会観を体現している。
この自治体は、町名になったオーバーゾントハイム地区の他、以下の地区から構成される。ウンターゾントハイム、ウンメンホーフェン、ハウゼン、ジーディッヒフュア、オーバーフィッシャッハ、ミッテルフィッシャッハ、ウンターフィッシャッハ、エンゲルホーフェン、ヴァイラー、ヘルレーバッハ、ラッポルツホーフェン。
2000年代までの日本では、このような時間を「ロスタイム」（"loss of time"からとった和製英語）と称していた。2000年代に入り、スカパー!のサッカー中継などは、「アディショナルタイム」に統一されている。北京オリンピックなどの国際大会の一部でも｢アディショナルタイム」と呼称された。また、Jリーグの試合会場でも、大型映像装置での表記に「アディショナルタイム」と表示するスタジアムも一部存在している。なお、日本サッカー協会によるサッカー競技規則（7条）においては「ロスタイム」「アディショナルタイム」などの用語を使用せず、「空費された時間」としているが、2010年7月16日の審判委員会にて名称を「アディショナルタイム」とすると共に、「目安」という表記も行わないように方針を決めた（審1007-M0103号）。これにならい、スカパー!においてのJリーグ中継（2012年からのTBSチャンネル・スカイ・エー含む）、および2013年からのNHK BS1の『Jリーグ中継』などでは中継において「アディッショナルタイム」の表現に統一して使用しているが、アナウンサーによっては「追加時間」とアナウンスするものがある。