表現が研究されている無限次元リー代数のクラスは多数ある。これらの中で重要なクラスは、カッツ・ムーディ代数である。カッツ・ムーディ代数の命名は、ヴィクトル・カッツ(Victor Kac)とロバート・ムーディ(Robert Moody)に因んでいて、彼らは独立のこれらの代数を発見した。これらの代数は、有限次元の半単純リー代数の一般化であり、組み合わせ的な多くの性質を共有している。このことは、カッツ・ムーディ代数が半単純リー代数の表現と同じ方法で理解できる表現のクラスを持っていることを意味する。アフィンリー代数は特別な種類のカッツ・ムーディ代数で、数学でも理論物理学でも重要で、特に共形場理論や完全可解モデルの理論では重要である。カッツ(Kac)は、ある組み合わせ的な恒等式であり、アフィンカッツ・ムーディ代数の表現論の基礎となっているマクドナルド恒等式(Macdonald identities)のエレガントな証明を発見した。
体 F 上のリー代数は、リーブラケットと呼ばれヤコビ恒等式を満たす歪対称双線型作用を持つベクトル空間である。特に、リー代数は、単位元でのリー群の接空間として発生し、「無限小対称性」として相互作用を導く リー代数の表現論の重要なアプローチは、リー代数の対応する表現論を研究するためであるが、リー代数の表現論は本質的に興味深いものを持っている。。リー代数は、リー群のように、半単純な部分と可解な部分へと分解するレヴィ分解をもつが、一般には扱いにくい可解リー代数の表現がついて回る。これとは対蹠的に、半単純リー代数の有限次元表現はエリー・カルタンの仕事以来、完全に理解されている。半単純リー代数 g の表現は、その上ではリーブラケットが 0 となる（可換である）ような g の本質的に最大生成部分代数 h である、カルタン部分代数(Cartan subalgebra)を選択することにより解析される。g の表現は、h の作用の固有空間であるウェイト空間(weight spaces)と指標の無限小の類似へと分解することができる。したがって、半単純リー代数の構造は、ウェイトの発生可能な組み合わせを容易に理解するという表現の解析へと還元される。
リー群は滑らかな多様体でもある群である。実数や複素数上の行列の多くの古典群が、リー群である。物理や化学で重要な群の多くはリー群であり、リー群の表現論はこれらの分野への群論の応用上で決定的である。リー群の表現論は、最初に、コンパクト表現理論の結果を適用することため、コンパクト群を考えることで発展することができた。この理論は、ワイルのユニタリトリック(Weyl's unitary trick)を使い、半単純リー代数の有限次元表現へ拡張できる。半単純な実リー群 G はそれぞれ複素化を持っていて、複素化は複素リー群 Gᶜ であり、最大コンパクト部分群 K を持っている。G の有限次元表現は、K の有限次元表現に密接に対応する。一般のリー群は、可解リー群(solvable Lie group)と半単純リー群の直積である（これをレヴィ分解(Levi decomposition)という）。可解リー群の表現の分類は、一般には困難であるが、実践的には容易である場合が多い。半単純の直積の表現は、マッケイ理論(Mackey theory)という一般的な結果により解析され、この方法はポアンカレ群の表現のウィグナーの分類(Wigner's classification)を使い一般化されたものである。
有限群 G のモジュラー表現は、体の標数が |G| と互いに素ではない（公約数を持っている）あるような体の上の表現であり、したがって、マシュケの定理はもはや成り立たない（なぜならば、|G| が F で可逆ではなく、したがって割ることができないからである）。にもかかわらず、リチャード・ブラウアー(Richard Brauer)は、指標理論の多くをモジュラー表現へ拡張した。この理論は、初期の有限単純群の分類(classification of finite simple groups)の発展に重要な貢献をし、特に、シローの2-部分群が「あまりに小さすぎる」ので純群論的な方法を適用することが難しい単純群に対して、貢献した。群論への応用を持つことと同様に、モジュラー表現は、他の数学の分野である代数幾何学、符号理論、組み合わせ論や数論で自然に応用される。
19世紀以前は、うま味の存在が科学的に立証されていなかった。現在は、舌にはうま味を感じる能力があり、うま味を示す物質があることが分かっている。うま味物質は、東京帝国大学（現在の東京大学）教授だった池田菊苗によって、1908年にだし昆布の中から発見された。最初に発見されたうま味物質はグルタミン酸である。うま味となるだし昆布や鰹節を使用した出汁は、日本料理の基本となる伝統的調理手順のひとつである。そのため、日本の学者は「ダシがきいていない」という味覚は塩味や酸味が足りないのとは違う感覚であることを経験的に知っており、うま味の存在に早くから気づいていた。1913年に、小玉新太郎が鰹節から抽出したイノシン酸もうま味成分であることを確認した。1957年には、国中明がシイタケ中から抽出したグアニル酸が新たなうま味成分であることを発見した。一方で、西洋文化圏では、フランス料理におけるフォン・ブイヨン・コンソメのように、だしによってうま味を増す料理法が存在するものの、多くの料理ではトマト（グルタミン酸を豊富に含む）、チーズのような酸味などが強い食材によってうま味を補給したり、何より肉料理では肉の煮汁自体がうま味の供給源となったため、うま味を増すことに多くの意識は向けられなかった。そのため、日本の学者の主張するうま味の存在は、多くの欧米の学者には懐疑的に受け止められ、うま味なるものは塩味・甘味などがほどよく調和した味覚に過ぎないと考えられていた。しかし、2000年に舌の味蕾にある感覚細胞にグルタミン酸受容体（英：mGluR4）が発見されたことによって、うま味の実在が世界的で広く認知されるに至った。