フロリダでテリー・ファンクと邂逅した関係から、1974年8月にファンク一家の一員としてテリーに帯同し全日本プロレスに初来日（同シリーズには、後にタッグを組むキラー・カール・コックスも参戦しており、ディック・マードックも覆面レスラーのザ・トルネードとして開幕戦に出場。後半戦にはドリー・ファンク・ジュニアも来日した）。テリーそっくりのファイトスタイルから「右利きのテリー」とあだ名され、以降も同世代のジャンボ鶴田の好敵手として全日本プロレスの常連外国人選手となった。なお、日本ではラフファイターとしてのキャラクターイメージを活かすために「学生時代は不良で鳴らし、酒場でポール・ジョーンズに喧嘩を売って返り討ちに遭うも、その度胸と腕っ節をエディ・グラハムに見込まれスカウトされた」などと紹介されていた。1980年のチャンピオン・カーニバル（第8回大会）では兄貴分のテリー、アブドーラ・ザ・ブッチャー、ジャイアント馬場らを抑え決勝進出、鶴田と覇を争った。ブッチャーの火炎攻撃で右眼を焼かれ、眼帯を着けながらの果敢なファイトで観客の声援を集めるなど、この時期はスレーターの日本における絶頂期であった。1981年の交通事故後は精彩を欠き始めトップ戦線からは脱落していったものの、以降も全日本プロレスへの参戦を続け、1990年11月まで通算17回に渡って来日した。タイトルには鶴田や天龍源一郎のユナイテッド・ナショナル・ヘビー級王座に再三挑戦したほか、1978年にはテリー・ファンク、1983年にはロディ・パイパーと組んで馬場&鶴田のインターナショナル・タッグ王座に、1987年にはスタン・ハンセンと組んで天龍&阿修羅・原のPWF世界タッグ王座にそれぞれ挑戦している。世界最強タッグ決定リーグ戦には1980年にリッキー・スティムボート、1982年にハーリー・レイス、1988年にトミー・リッチ、1990年にジョー・ディートンをパートナーに通算4回出場した。1994年7月にはIWAジャパンに来日して、IWA世界ヘビー級王者決定トーナメントに出場。決勝で荒谷信孝を破って初代チャンピオンとなり、日本マットにおける初戴冠を果たした。
1990年、ジェリー・ジャレットとジェリー・ローラーが主宰するテネシー州メンフィスのUSWAに登場。9月1日、空位となっていた南部ヘビー級王者に認定されるが、1カ月後の10月6日にジェフ・ジャレットに敗れ王座から陥落した。1991年にWCWと再契約し、ディック・マードックとザ・ハードライナーズ（The Hardliners）なるレッドネック系ヒールのタッグチームを結成。以降、1990年代はWCWを主戦場に、1992年6月25日にはザ・バーバリアンをパートナーに、マイケル・ヘイズ&ジミー・ガービンのファビュラス・フリーバーズからUSタッグ王座を奪取。その後、カーネル・ロバート・パーカーをマネージャーにテリー・ファンクやバンクハウス・バックらと南部人ユニットを結成。1995年7月22日にはバックとのコンビで、スティービー・レイ&ブッカー・Tのハーレム・ヒートからWCW世界タッグ王座も奪取している。1996年に背骨を負傷して引退し、地元のフロリダで小売業者に転身。2003年12月27日、交際相手の女性にナイフで傷を負わせたとして逮捕され、1年間の自宅軟禁と2年間の保護観察処分の判決を受けるとともに、被害者の女性への1万8000ドルの賠償金の支払いを命じられた。古傷である背骨の痛みを抑えるために服用していた薬物（モルヒネとオキシコンチン）の影響だったと本人は語っていた。2018年10月18日、67歳で死去。
10歳から17歳までをボカ・ジュニアーズのユースで過ごす。18歳のときに3部リーグ所属のエストゥディアンテス・デ・ブエノスアイレスへと移籍。ここで39試合17得点を記録した彼にイタリアのジェノアCFCが目をつけ獲得に至るが、本人の希望がアルゼンチンでプレーし続けることであったため、CAサン・ロレンソ・デ・アルマグロへのローン移籍が決まる。2005年にはサン・ロレンソへの完全移籍が決まり、クラブのエースとして活躍。2007年アルゼンチン後期リーグでは初の優勝を経験した。2007年7月5日、イタリアのSSCナポリに移籍。母国の英雄であり、同クラブの元選手であるディエゴ・マラドーナの再来として注目されていた。2008年夏のカヴェーゼとの練習試合では背番号10を身につけて試合を行なった。ディエゴ・マラドーナの永久欠番となっていた10番を着たのはロベルト・ソサとラベッシのみである。そしてナポリサポーターのイタリア人アーティストであるアンドレア・ナポレオーネがTutti pazzi per Lavezziを、フランチェスコ・レンツィがPochaをそれぞれラベッシ応援歌として曲を制作している。2010-11シーズンは、マレク・ハムシーク、エディンソン・カバーニらとともにチャンピオンズリーグ出場権内の3位と奮闘し、ハムシク、カバーニとのトリオは「三大テノール」とも呼ばれた。2011-12シーズンはチャンピオンズリーグでベスト16に進出も、国内では5位とチャンピオンズリーグ出場を逃した。シーズン終了後、パリ・サンジェルマンに移籍決定。契約は2016年までとなる。背番号は11番。2013-14シーズンから22番に背番号を変更。2016年2月17日、中国・スーパーリーグの河北華夏幸福へ完全移籍することを発表した。河北華夏幸福のクラブ公式微博（ウェイボー／中国版 ツイッター）が伝えた。中国メディア『新浪スポーツ』によれば、2015年12月からパリ・サンジェルマンと河北華夏幸福の両クラブ間で交渉が続けられており、移籍金は550万ユーロ（約7億1500万円）とされている。同じく中国スーパーリーグに移籍したカルロス・テベスは世界最高給の3800万ユーロ（約47億円）とされたが、ラベッシの年俸は日本円にして約60億円でこれを実際は上回るとも報じられてる。背番号は「10」番。2017シーズンより背番号を「22」番へ変更した。