システムの発展を記述するときに、その発展が直前の状態によって完全に決定されるような決定論的な枠組みを用いるか、発展に確率的な要素を取り込むかの違いがある。常微分方程式や偏微分方程式によるモデル化は決定論的なものにあたる。（解の存在と一意性が保障されているような）微分方程式で記述すれば、状態の発展は初期値のみによって決まる。一方、マルコフ過程、確率微分方程式やマスター方程式での記述は、確率的な過程を取り込む場合にあたる。
数理モデルは多くの場合、変数を含んでいる。この変数に作用する演算子が線型である場合は、モデルは線型だといわれる。線型な場合、重ね合わせの原理により、系の発展を独立なモードに分解して考えることができる。要素還元的な方法が非常にうまく行くのは、モデルが線型であり、システムのふるまいが要素のふるまいに分解することができる線型な場合である。その基礎には線型演算子のスペクトル分解がある。例えば、弦の振動や熱の拡散過程の場合、熱の分布をフーリエ変換し、それぞれの波数のモードに分解すれば、各々独立に方程式に従うので相互作用を無視することができる。たくさんのバネとおもりをつなげたような系を考えてもやはり線型連立常微分方程式となり、同様である。一方、非線型の場合は、方程式が非常にシンプルな場合でも系の発展にカオスなどの複雑な状況が生じることがあることが知られている。非線型の微分方程式は一般的には解析的に解けない。(cf.可積分系、ソリトン)
扱いやすいものを得るのがモデル化の大きな理由である。数理モデルの場合は、数学的な扱いやすさが重要になる。例えば、ある方程式によりモデル化を行った場合に、その解が解析的に得られるようなものは、数学的に大変性質がよいものだといえる。方程式が非線型の場合は一般にはこれは困難だが、具体例としては、非線型なリズムを持つものが多く同期しあう現象を扱った蔵本モデルは要素数無限大の極限において解が解析的に得られる。解析的に得られない場合は数値解析によって近似解を求める。
これは前述の適用範囲を時間軸において考えば当然含まれることではあるが、これまでの観測結果から構築した数理モデルによる、今後の観測データの予測能力はその数理モデルの評価基準になる。どのような数理モデルも、その数理モデル内の自由なパラメータをもつものである。例えば、ニュートン力学において、重力定数は9.8であるというのは実験における観測によって推定されるものであるし、ある自然言語処理アルゴリズムが各単語の頻度を用いるとして、例えば「ワロタ」という言葉の頻度をしめすパラメータも実験によってきまる。これらの観測によって決まるパラメータを推定したのちに、未知のデータに対する予測の正確性を評価すればそのモデルの評価基準となる。
普通、数理モデルには適用できる範囲が決まっており、その範囲が広いものほどより優れたモデルと言える。例えば、バネの振動におけるフックの法則は、伸びがあまりに大きくなると適用できなくなる。バネを思いっきり引き伸ばせば元に戻らなくなるのは経験上明らかである。また、ニュートン力学は、人間が一般的に捉えられる範囲では十分な正確さを示すが、原子のレベルの大きさの世界や光速度に近い速度では実際の物理現象とのずれが大きくなり、そのような環境下では適切なモデルではない。一方、定性的にだけ説明して、何にでもあてはまるが、結局メタファーの域を出ないモデルは評価されないこともある。
1950年代末、ザ・レネゲーズとしてのバンドの最初の仕事は、パシフィック・パリセーズのパリセーズ・パーク (Palisades Park) のザ・シーサイド・セッション (the Seaside Session) における演奏であった。1961年には、バンドはラリー・トレメイン (Larry Tremaine) と組んで、ロックンロール曲のカバー・バンド、ラリー・トレメイン・アンド・ザ・レネゲーズとなったが、当時のメンバーは、ラリー・トレメイン、スティーヴ・オライリー (Steve O'Riley)（後に死去）、マーティ・ディジョヴァンニ、リック・ヘン、エディ・メドーラ、ヴィンス・ホジアであった。トレメインは、ラジオのダンス番組、カリフォルニア大学ロサンゼルス校 (UCLA)、クラブ、セレブリティのパーティ、企業のイベントなどの仕事を、毎週、バンドにとってきた。バンドは、サンセット・ストリップ (Sunset Strip) のクレシェンド・インタールード (Crescendo Interlude) にジョーイ・ディー・アンド・ザ・スターライターズ (Joey Dee and the Starlighters)とともに出演したほか、パシフィック・オーシャン・パーク (Pacific Ocean Park) の the Teen Age Fair や、1963年のアカデミー賞の打ち上げパーティー、ボブ・ユーバンクス (Bob Eubanks) のテレビのダンス番組などに出演し、毎週金曜日にはサンバーナーディーノの公会堂で行なわれるダンス・パーティーのハウス・バンドを務めていた。1963年、トレメインは、ラジオ局KBLAとKRLAに入局し、後にはテレビ局に転じて、全国ネットされた番組『Casino Royale Dance Party』のホストを務めた。1964年、ザ・ビーチ・ボーイズのウィルソン兄弟（ブライアン、カール、デニス）の父マリー・ウィルソン (Murry Wilson) が、このバンドのマネジメントを始め、バンド名を「ザ・サンレイズ」に改めた。このとき、エディ・メドーラは、サクソフォーンからリズム・ギターに転向した。スティーヴ・オライリーはバンドを離れ、代わりに新たなギタリストとしてバイロン・ケースが採用された。彼らのヒット作としては、1965年の「I Live for the Sun（Billboard Hot 100 で51位、オーストラリアのKent Music Reportで21位)、1966年の「Andrea」 (Billboard Hot 100 で41位）、「Still」 (93位) がある。バンドは合衆国各地をツアーし、合衆国やカナダではザ・ビーチ・ボーイズの前座を務めた。