朝鮮半島に生まれる。16歳の頃に家を出奔。放浪生活を送る。その後1934年に父親と和解後はフランスに留学。そこでフランスの社会学者・民俗学者・中国学者であるマルセル・グラネと社会学者・文化人類学者のマルセル・モースに師事する。1940年日本に帰国。合気道の植芝盛平と整体協会創設者である野口晴哉に師事。第2次大戦後は東京のエールフランスに在職する。1970年にヨーロッパに戻り、パリに合気道の道場を開く。1973年に"Le Non-Faire" を出版する。
故障に悩まされることが多い選手だが、地味ながらも機動力と体を張ったプレイでチームに貢献でき、キングス在籍時にはキングス躍進の陰の立役者とまで言われた。奇抜な髪型をすることで有名であり、その髪型も毎シーズンのように変わるため、移籍した後彼の行方を見失うファンも居るほどである。キングス時代はちょんまげのような髪型をしていたため、チームメイトからは「サムライ・スコット」と呼ばれていた。キャバリアーズ時代はハードモヒカンにしていた。
3月1日、JRA騎手としての初騎乗を迎え、2戦目で「初勝利」を挙げた（この時点でJRA通算191勝目）。さらに翌週からはチューリップ賞、中京記念、フィリーズレビューと重賞を3連勝。さらに30日にはビリーヴで高松宮記念を制し、1カ月足らずのうちにGI初制覇を果たした。勝己は「GIレースの制覇はライデンリーダーとのコンビで中央に参戦した頃からの夢だったから、嬉しさは格別だった。周囲からは淡々としているように見えたと言われたけど、やはり感慨深いものがあった」などと語っている。さらに秋にはザッツザプレンティで菊花賞を制し、クラシック競走を初制覇。同馬とは春の皐月賞からコンビを組んでおり、ライター・評論家の亀谷敬正は、勝己が「皐月賞で掴んだリズムをダービーに活かし、夏休みを挟んで、ザッツの成長を秋に調教で感じ取り、菊花賞では思い切った騎乗を見せ」たとして、「菊花賞制覇は、安藤勝己騎手が中央入りができたら『続けて馬に乗りたい』『調教に乗りたい』という2つの夢が叶ったからこそ、実現したといえる」と評している。この年、勝己は実働10カ月のうちに重賞10勝を含む112勝を挙げ、勝利度数ランキングで3位につける活躍をみせた。2004年は2月にアドマイヤドンでフェブラリーステークスを制覇。春にはキングカメハメハでNHKマイルカップを制したのち、さらに同馬と共に臨んだ東京優駿（日本ダービー）にも優勝、移籍2年目にしてダービージョッキーとなった。「騎手ならば誰もが憧れる」といわれる競走であるが、勝己は「ずっとJRAで乗っていた人と違って、ダービーにそれだけ深い思い入れがないというか、実感がない。騎手を辞めたときにダービーを勝ったというのが凄いことだと感じると思う」との感想を述べた。さらにその翌週にはツルマルボーイで安田記念を制し、上半期だけでGI4勝という成績を残す。年間では前年を上回る127勝を挙げた。2005年には104勝とやや数字を落としたが、スズカマンボで天皇賞（春）を制覇。絶好位から終始スムーズにレースを進め、「GIでの会心の騎乗」と自賛する、13番人気での勝利であった。2006年には、かつてライデンリーダーで敗れた桜花賞をキストゥヘヴンで初制覇。後に「自分の中に残っているものがあったから、余計に嬉しかった」と振り返っている。また当年はダイワメジャーで天皇賞（秋）とマイルチャンピオンシップも制した。2007年にはサンライズバッカスでフェブラリーステークスを制したのを皮切りに、ダイワメジャーの半妹・ダイワスカーレットで桜花賞、秋華賞、エリザベス女王杯を、ダイワメジャーで安田記念とマイルチャンピオンシップを制し、JRA最多タイ記録のGI（JpnIを含む）6勝を挙げた。11月17日には史上2位記録である騎乗機会6連勝を遂げるなど、年間勝利数では中央移籍後最多の136勝（全国3位）、地方・国外の成績を合わせた勝率では2割3分6厘7毛を記録し、過去5年間、JRA賞の騎手タイトルを独占していた武豊を抑え、最高勝率騎手となった。なお、当年には光彰が、経営危機が伝えられていた笠松から中央へ移籍し、兄弟で中央の騎手となった。2008年にはブエナビスタで阪神ジュベナイルフィリーズを制覇、年末にはダイワスカーレットでグランプリ・有馬記念制覇を果たした。牝馬の優勝は1971年のトウメイ以来37年ぶり、史上4頭目の記録であった。なお当年勝己は勝利数4位（1位武豊）、勝率2位（同前）、獲得賞金3位とJRA賞では無冠であったが、最多賞金獲得騎手は勝己に続いて地方から中央入りした岩田康誠（園田競馬出身）が武豊を抑えて獲得、前年3月から中央入りした内田博幸（大井競馬出身）も全部門で4位以内と急激に台頭し、地方競馬出身騎手の躍進が目立った年となった。2009年にはブエナビスタで桜花賞と優駿牝馬（オークス）を制覇。この頃から騎乗数を抑えはじめ、勝利数はJRA移籍後はじめて100勝を切る87勝にとどまったが、勝率では2割1分6厘を記録し自身2度目の最高勝率騎手となった。翌2010年1月30日には、中央競馬史上24人目となる騎手通算1000勝を達成。これにより史上初の中央・地方双方での1000勝を合わせて達成した。また、5月にはダノンシャンティでNHKマイルカップを制覇している。2011年にはマルセリーナで桜花賞4度目の勝利を挙げた。51歳0カ月14日での勝利はクラシック競走の最年長勝利記録となった。その後、2012年11月24日の京阪杯でパドトロワに騎乗したのを最後に、レースでその姿をみせることがなくなる。