関数のリー微分をいくつかの方法で以って定義したが、いずれにせよ関数のリー微分は多変数微積分学におけるベクトル場に沿った微分という通常の概念に倣ったものである。2つのベクトル場 X と Y のリー括弧積 [X,Y] を定義することでベクトル場に対するリー微分も定義することができる。リー括弧積の定義の仕方はいくつか方法があるがいずれも等価であり、リー括弧積をどう定義するにせよ、ベクトル場 Y の X に関するリー微分は、リー括弧積 [X,Y] に等しいものとしてと定義するのである。リー括弧積の定義をいくつか挙げれば、まずひとつに、ベクトル場 X と Y の局所座標表示を用いたものがある。xᵃ を M 上の座標とするとき、接束の基底ベクトルは通常、∂/∂xᵃ と記される。ゆえに M 上のベクトル場はこの基底に関する座標を与えてのように表示される。そして、二つのベクトル場の組 X, Y に対して、そのリー括弧積  はによって与えられるベクトル場と定義するものである。次の定義は座標に因らないという意味で内在的なものである。ベクトル場を関数に対する 1 階の微分作用素と同一視することにより、二つのベクトル場のリー括弧積は以下のように定義できる。二つのベクトル場 X, Y に対してによって定義される X と Y のリー括弧積 [X, Y] は再びベクトル場となる。これが前の定義と等価であることは、X と Y の局所座標表示を与えれば直ちに確かめられる。他の等価な定義には以下のようなものがある。
まず初めに、関数の微分法の言葉でリー微分を定義する。多様体 M 上で与えられた可微分関数 f: M → R および M 上のベクトル場 X に対して、点 p ∈ M における f のリー微分をによって定義する。これは通常の意味での微分の言葉で言えば、関数 f のベクトル場 X に沿った微分を改めて X の定めるリー微分と呼んでいるということにすぎない。もうすこし装飾的な言葉を使えば、多様体 Mの接束と余接束の間の自然な双対性内積としてと言い直すことができる。ここに df: M → T*M は f の全微分、すなわちで与えられる1次微分形式（右辺は a に関する和であるがアインシュタインの縮約記法を用いた）であり、dxᵃ は余接束 T*M の基底ベクトルである。したがって df(p)[X(p)] は M 上の点 p における f の微分 df とベクトル場 X との自然な双対性を表す内積であると理解できる。実際、X をxᵃ 座標系 においてと表せば、を得る。これは初めに示した関数のリー微分の定義と一致している。別のやり方として、M 上の滑らかなベクトル場 X が M 上の曲線族を定義することを示すことから出発することもできる。すなわち、M 上の任意の点 p に対して、M 上の 曲線 γ(t) が存在して、p = γ(0),が成立する。この 1 階常微分方程式の解の存在は、ピカール・リンデレフの定理によって保証されている（もっと一般に微分幾何におけるフロベニウスの定理によって与えられる）。これに対してリー微分を.と定義するのである。
1981年（昭和56年）、北海道の急行列車で使われていた旧形客車の置き換えのため、本州内の急行列車廃止で余剰になっていた本系列に暖房強化や空気圧縮機の大型化、これに伴いスハフ14形1両当たり自車を含めた6両から4両給電に変更、冬季の着雪・凍結対策として折戸であった客用扉の引戸化など道内向け改造を施した番台区分。当初から、荷物車、郵便車、寝台車（当初は10系寝台車と混結されていた）などの旧形客車との併結が前提であったため、12系客車と同じく機関車からの暖房用蒸気を旧形客車に送るための、暖房用蒸気の引通管が新たに設けられた。オハ14 501 - 539・スハフ14 501 - 509が改造された。4両給電化によってスハフ14形の所要両数が増えて種車となるスハフ14形が不足するため、オハフ15形をスハフ14形に改造の上充当している。上記の道内向け改造に加え、電源用ディーゼル発電セットの取付が行なわれた。この改造によりスハフ14形に編入された車両の番台区分は550番台の551 - 561となった。当初は座席車のみの落成となったが、後に寝台車も改造され投入された。500番台寝台車と同様の台車のため、最高速度が95 km/hに抑えられていたが、青函トンネル内に限り再度110 km/h走行が可能となった。500番台はさらなる改造の種車となったものが多く、残存したのはオハ14形が11両、スハフ14形500番台が5両、スハフ14形550番台が4両となっている。青函トンネル内での防火対策として、床下にディーゼル発電機を搭載するスハフ14 501 - 509・551・555 - 557に自動消火装置が搭載されており、急行「はまなす」の編成に限定使用されている。1997年3月のダイヤ改正では、快速「海峡」が110 km/h運転を開始したため、その対応として43両にA急ブレーキ弁取付け工事が行われた、これにより、最高速度が95 km/hから110 km/hに向上した。