調和函数の効果的な研究方法として、それらが満たす不等式を扱うというものが挙げられる。そのような不等式の中で恐らく最も基本的なものとして、最大値原理が知られており、その他のほとんどの不等式はそれから導出することが出来る。また別の重要な結果として、Rⁿ 全体で定義される有界調和函数は定数であるということを述べたリウヴィルの定理が挙げられる。それらの基本的な不等式に加え、有界領域上の正の調和函数はほぼ定数であることを述べたハルナックの不等式が存在する。それらの不等式の重要な使用法の一つとして、調和函数あるいは劣調和函数の族の収束を証明する際に用いる方法がある（ハルナックの不等式を参照）。それらの収束定理はしばしば、特定の性質を持つ調和函数の存在を証明する際に用いられる。
ポテンシャル論における重要な内容の一つに、調和函数の局所挙動の研究がある。ことによると局所挙動に関する最も基本的な結果は、調和函数は解析的であると述べた、ラプラス方程式に対する正則性定理であるかも知れない。調和函数の等位集合の局所構造を記述する結果はいくつか知られている。また正の調和函数の孤立特異点の挙動を特徴付けたボッチャーの定理もある。前節でも少し触れられているように、調和函数の孤立特異点は可除特異点・極・真性特異点に分類することが出来る。
共形変換の群は二次元に対して無限次元であり、三次元以上に対しては有限次元であるという事実から、二次元に対するポテンシャル論はそれと異なる次元に対する理論とは異なるものであると推測することが出来る。この推測は実際に正しく、任意の二次元調和函数は複素解析函数の実部であることを思い出せば、二次元ポテンシャル論の主題は本質的には複素解析と同様であることが分かる。このため、ポテンシャル論について論じる時は、三次元あるいはより高次元に対しても成立する定理に焦点を置くこととなる。この関係から、複素解析において元々発見されていた多くの結果や概念（シュワルツの補題やモレラの定理、カゾラーティ・ワイエルシュトラスの定理、ローラン級数や、可除特異点・極 (複素解析)・真性特異点への特異点の分類など）は、任意の次元の調和函数に関する結果へと一般化されるという驚くべき事実が得られる。複素解析におけるどの定理が、任意の次元のポテンシャル論における定理の特別な場合であるか考えることで、二次元複素解析において実際何が特別で、何がより一般的な結果の特殊例であるかということに関する直感を得ることが出来る。
『宋会要輯稿』刑法一之四に、天聖7年5月18日に令30巻を刪定したこと、その際に唐の令を本として現在行われている規定の条文を元にして新制を定めて記載したこと、その後ろに現在行われていない規定を付随させたことが記されている。天聖令はその後散逸していたが、1999年になって上海師範大学の戴建国が、寧波の天一閣に所蔵されている明代の写本の中に天聖令のうちの10巻が存在したことが確認されたことを発表した（「天一閣蔵明鈔本〈官品令〉考」『歴史研究』1999年3期）。戴は記載の官職名や避諱の用法から仁宗時代に遡ることができ、かつ『宋会要輯稿』の記述の合致から天聖令の写しであるとした。ただし、この時、戴が公表した部分は田令（巻21）・捕亡令（巻25）・賦役令（巻22）・雑令（巻30）のみであり、全面公開されたのは范欽（天一閣を創建した明代の人物）生誕500年事業として、天一閣博物館・中国社会科学研究院歴史研究所の共同事業として翻刻・出版される2006年のことであった（出版は中華書局）。なお、天聖令に記された原典となった唐令は開元25年（737年）の令であると考えられている。唐の令は現代において全く現存しておらず、令の研究については、『唐律疏議』や日本の『令義解』や『令集解』などをもとに復元を試みた仁井田陞『唐令拾遺』にもっぱら依存してきた（中国の学界では伝統的に律の研究の方が重視されていた）。天聖令の発見は一部とは言え失われた唐令の原文がまとまった形で発見されたということで中国の律令法研究に大きな影響を与えると考えられている。また、検討の結果、初唐から日本の律令（大宝律令・養老律令）のモデルとなったとされる永徽律令、そして天聖令の原典となる開元25年令までの間には新規の令の追加・挿入はあるものの原則的に同じ配列で令が編纂されていたと考えられ、天聖令と日本の養老令を比較することによって唐令の一部復元が可能になる、反対に養老令の中でも今日に伝わっていない医疾令・倉庫令が天聖令の中には含まれていることからその復元が可能になることが期待されている。実際に『政事要略』などの参考にして江戸時代以来今日まで続けられてきた日本の養老律令医疾令の復元案と天聖令の原典である開元25年令の間には唐の36条が日本では27条に整理されたこと以外に内容・排列ともに大きな差異が無かったことが確認されている。ただし、その一方で現在確認されている天聖令は天一閣所蔵のもののみでかつ写本であることから、誤字脱字などが含まれていても判別つかない可能性があること、唐律・養老律令の復元作業においては日唐両国の国情の違い（日本側の事情によって排列の修正や条文の追加・修正が行われた事例）を考慮する必要がある。例えば、仮寧令における節日の扱いが代表的なもので、唐では節日は休みとなるが、反対に日本では節会と呼ばれる儀式が実施されていた、といった具合である。