スペイン選手権でクアルタラロが見せたパフォーマンスは、世界選手権レベルで注目された。2014年フランスGPでのサポートレースでは、2番グリッドからスタートしたクアルタラロがレースの大半をリードし、9周にわたってほぼ4秒差を付けて勝利した。2014年8月、ドルナスポーツ、国際モーターサイクリズム連盟 (FIM)、国際ロードレーシングチーム協会 (IRTA)、モーターサイクルスポーツ製造者協会 (MSMA) の代表からなるグランプリコミッションは、以前に導入された年齢資格規則を改正し、FIM CEV Moto3選手権のチャンピオンは年齢に関係なく翌年のMoto3世界選手権に出場することを可能とした。2014年10月、クアルタラロは翌年のMoto3世界選手権に参戦することが発表され、最初のエントリーリストが発表された。所属チームはエストレラ・ガリシア 0,0で変わらず、再びホンダに乗って2014年シーズンのスペイン国内タイトルを獲得した。そして、最も近いライバルであったホルヘ・ナバロとチームメイトになった。シーズン後、バレンシアで初めてチームのMoto3マシンをテストしたが、トランスポンダー無しで走行したため最初のラップタイムは記録されなかった。2015年のバレンシアでの公式シーズン前テストの初日に、クアルタラロは3回目のセッションで最速タイムを記録した。翌日から3日間、ヘレスで行われたテストでは、9セッション中5セッションで最速タイムをたたき出し、その中には最終日のクリーンスイープも含まれた。
2013年にFIM CEVレプソルシリーズ（スペイン選手権）のMoto3クラスにステップアップした。元グランプリレーサーのフアン・ボルハが運営するワイルド・ウルフ・レーシングに加わり、ホンダのマシンに乗る。クアルタラロはウェットコンディションのシリーズ初戦でウェイン・ライアンに次ぐ2位となり、デビュー戦を表彰台で飾った。第2戦は6位に入り、ブライアン・スハウテンと同ポイントでタイトル争いをリードした。続く4戦でクアルタラロはトップ10でフィニッシュしたのは1度のみで、ランキングはマルコス・ラミレスから37ポイント差の8位まで後退した。しかしながら、終盤3戦でポールトゥフィニッシュを果たし、最終戦のヘレスではほぼ10秒の差を付けてラミレスを破った。その結果、クアルタラロは2007年のステファン・ブラドル以来となる非スペイン人ライダーとしてタイトルを獲得し、14歳218日という最年少のシリーズチャンピオンとなり、アレイシ・エスパルガロの記録を更新した。クアルタラロは世界選手権に出場できる年齢に達していなかったため、2014年もFIM CEVレプソルシリーズに参戦した。2008年に発表され2010年に導入されたこの規則では、グランプリに出場するライダーは16歳に達していなければならないとする。クアルタラロのマシンはホンダで変わらなかったが、チームは1999年の125cc世界チャンピオンエミリオ・アルサモラが運営するエストレラ・ガリシア 0,0 ジュニアチームに移籍となった。クアルタラロはシーズン11戦の内9戦で勝利し、残り2戦は2位となり、タイトルを獲得した。最終戦でチームメイトとして加わったホルヘ・ナバロに127ポイント差を付けてのチャンピオンであった。この最終戦でクアルタラロはポイント参戦したサクソプリント-RTGチームのアレクシ・マスブーとジョン・マクフィーを打ち破った。
クアルタラロ家のルーツはイタリアのシチリア島にある。ファビオはフランスのニースで生まれ、4歳でレース経歴をスタートした。2007年より2輪レースの盛んなスペインのカタルーニャに移り、Real Automovil Club de Cataluna (RACC) が主催する若いライダーのためのシリーズであるPromovelocidad Cupに出場した。2008年に50ccクラス、2009年に70ccクラス、そして2011年に80ccクラスのタイトルを獲得する。2012年には地中海プレMoto3クラスのタイトルを獲得する。
独特のふちの厚いメガネがトレードマークの、科学者でありながら質実剛健を地で行く人物で、自分に厳しく他人（特に子供）に優しい性格であった。科学者として偉ぶらず、時にユーモアを交えながら落ち着いた話しぶりで、その独特の口調はタモリに「歩くヨーデル」と評された。彼が科学者を目指したのは寺田寅彦に憧れてのことであった。大学に東京大学を選んだのも、「地球物理学」が東京大学以外では学べなかったことと、何より寺田寅彦の弟子筋にあたる人物がいた（坪井忠二と思われる）ということをテレビ番組の対談で述べていた。自分が寺田の「孫弟子」であることをとても誇りに思っていたようだ。研究者としては「地磁気の発生は外核（外部コア）の対流による」（ダイナモ理論）という説を発表し、世界的に注目された。しかし彼の活躍は東京大学教授を退職してから始まる。彼が日本の科学、特に「地学」への国民の関心の低さを憂い、啓蒙活動を始めたのである。科学の啓蒙活動はライフワークとして死去直前まで続けた。寺田寅彦が残した「天災は忘れた頃にやってくる」という言葉を胸に抱き、関東大震災以降、災害に、特に地震に無頓着であった日本国民に警鐘を鳴らし続けた。竹内の専門であるプレートテクトニクスに基づく科学的な地震学を広めようとしたが、十分に国民に浸透する前に彼が恐れていたことが現実となる。1995年に兵庫県南部地震、いわゆる阪神・淡路大震災が発生したのである。その結果、彼の目的は期せずして達せられたが、テレビなどマスコミにプレートテクトニクスを知らない「にわか地球物理学者」が登場し、誤った科学知識を広めたので、よりいっそう本の出版など、科学の啓蒙活動に力を入れた。彼は売れっ子作家なみに数百冊に及ぶ多くの書物を書いた（著書は約450冊）。そしてそれは専門の地球物理学のみならず、一般科学から「修身」など人の生き方についてまで多岐にわたる。また彼の書物の書き方も独特で、原稿用紙やペンは使わずテープレコーダーに「原稿」を吹き込んだ。それを彼の秘書が原稿に起こすという手法（口述筆記）を取っていた。それゆえ多量の書物を短期間で上梓する事が出来た。当時このような方法で原稿を「書く」作家はほとんどいなかった。彼は彼の書籍の中（「私の知的鍛練法」徳間書店(1980)）でその「書き方」を詳しく説明している。この手法のため当時彼が使用していたテープレコーダーの製造会社（ソニーと思われる）に、話の記録を一時的に止める「ポーズ(pause)ボタン」の機能を付ける事を提案した。非常に多忙な竹内の研究生活を支えたのは、同郷の夫人であった。