1964年2月、アベンジは二ヶ月に渡るカリブ海の巡航を始め、グアンタナモ湾を港とした。4月にチャールストンへ戻りドック入りし、修理を受け再訓練を行った。12月下旬、アベンジは再びカリブ海へ向かった。1964年末、アベンジはアメリカ領バージン諸島フレデリック・ステッドに投錨した。
1963年1月上旬、アベンジは19日間かけて大西洋を横断し、別のカリブ海の巡航に参加し、複数の訓練を行った。その間、複数の港にも寄港した。その後、6月5日に母港に帰港するまでNATOの訓練"フェア・ゲーム"に参加した。帰港後、パナマシティの海軍機雷研究所に移った。その報告を持ち、11月20日に母港へと戻り、カリブ海へ向かう準備を始めた。また、アベンジは最も戦闘準備の整っていた大西洋艦隊の艦として1963年のマージョリー・ステレット戦艦基金賞を受賞した。
アベンジは1961年1月から2月にかけての陸海共同の訓練のため再びカリブ海へ向かった。母港へ帰投後、4月にドミニカ共和国で政変が起こりカリブ海へ急行し、8月まで戻らなかった。その後、サウスカロライナ州沿岸で掃海訓練を行って、1961年の一年は慌ただしく過ぎた。1962年1月、パナマシティより海軍機雷研究所に出向し2月に母港へ戻った。分解点検修理の後、8月にパナマシティへと戻った。その後、10月から11月にかけて掃海艇分隊82と共に掃海訓練を行った。
第六艦隊と行動をともにしていた間、アベンジは多くの訓練に参加した。その中で最も大規模だったものが8月にラ・スペツィアで行われたフランス、ギリシャ、トルコ、ベルギー、イタリア海軍と共同で行われた"ゲージ"訓練である。アベンジは1960年2月11日にチャールストンへ戻った。アベンジは5月23日にチャールストンを離れ、カリブ海でのスプリングボード作戦に参加した。7月に、フロリダ州カナベラル岬の配属を解除され、分解点検修理のため母港へ帰投した。
5月下旬、アベンジはノースカロライナ州オンスローにて陸海共同の訓練と、バージニア州リトルクリークでの掃海訓練に参加した。アベンジは1959年1月11日にチャールストンを離れ、12日にジョージア州サバンナのドックに分解点検修理のため入った。アベンジは5月14日にチャールストンへ戻り、6月にかけて再訓練を行い、7月24日にもう一度地中海へ向かうまで掃海訓練に参加していた。
1957年1月15日、アベンジはニューファンドランド・ラブラドール州アルジェンティアへ戻り、寒い気候においての掃海任務に従事した。帰還中1月30日にニューヨークを通過、チャールストンに2月7日に到着し当地での任務を8月29日まで行った。その日、アベンジは再び地中海へ向かった。ジブラルタル到着後、アベンジはバレッタ、ソーダ湾、コス島、ガエータ、ナポリ、イズミルへと赴いた。第六艦隊と行動をともにしている間、ガエータにてイタリア海軍と共同訓練を行った。また、1958年1月にはマルタ島にてイギリス海軍と行動をともにしていた。五ヶ月間地中海に滞在した後、2月13日にチャールストンへと戻った。
チャールストンに二ヶ月滞在した後、7月16日にカナダ沖へ向かった。そこで二ヶ月間遠距離早期警戒線のレーダー基地と連携しながら調査と海岸整序の補助を行った。9月4日にニューファンドランド・ラブラドール州セントジョンズより出港し、11日にチャールストンへ到着した。
11月6日、アベンジは地中海へ向かった。その間の港は第6艦隊のいるジブラルタル、バルセロナ、ニース、カンヌ、トゥーロン、モナコ、バレッタ、ナポリ、パルマ・デ・マヨルカ、バレアレス諸島になった。アベンジは、1956年1月17日にジブラルタルを出発し31日にチャールストンへ戻った。その後4月9日にノバスコシア州沿岸に赴き、ハリファックス沖において5月14日に帰投するまで掃海を行った。
各種史料によると、北元時代の初期に「オイラトのケレヌートのオゲチ・ハシハ」なる人物が有力であり、チョロース部のゴーハイ太尉、バトラ丞相らと権勢を競っていたという。オゲチ・ハシハの息子がエセクで、明朝ではエセクのことを「エセクEsekü」を漢訳した「太平」という名前で呼称し、「賢義王」という王号を与えていた。『トルグート王統記』によると、オン・ハーンの息子がアルスラン(Arslang)で、その息子がアムグラン(Amuγulang)、アムグランにはカイワン(Kayiwang)とタラダン(Taradang)という息子がいたという。この内、アムグラン(Amuγulang)もまたエセク(Esekü)と同様に「太平」を意味する単語であり、またカイワン(Kayiwang)は賢義王ken-i-wangの転訛であると見られている。このため、北元時代初期のオゲチ・ハシハ、エセク父子こそがトルグート王家の始祖であると考えられている。北元時代初期を通じて親アリク・ブケ家派のケレヌートと親クビライ家派のチョロースは内部抗争を繰り広げており、オゲチ・ハシハはチョロースのゴーハイ太尉の擁立したエルベク・ハーン(クビライ家)を殺してクン・テムル(アリク・ブケ家)を擁立したが、ゴーハイ太尉の息子バトラ丞相によってクン・テムルとオゲチ・ハシハの二人は殺されてしまった。その後バトラ丞相が死ぬとエセクがオイラダイ・ハーン(アリク・ブケ家)を擁立したが、今度はバトラ丞相の息子トゴン太師によって殺されてしまった。エセクの後は息子のネレグが継いだが、トクトア・ブハ(クビライ家)を擁立したトゴン太師は急速に勢力を拡大して権力を強化し、チョロースの傘下に収まったケレヌートの家系は一時不明となる。