連結集合からなる開基を持つ位相空間は、局所連結（きょくしょれんけつ、locally connected）であるという。位相空間 X が局所連結となることと、X のどの開集合に対しても、その任意の連結成分がまた開集合となることとは同値である。連結だが局所連結でない位相空間の例として、再び位相幾何学者の正弦曲線を挙げることができる。同様にして、弧状連結な部分集合からなる開基を持つ位相空間は局所弧状連結（きょくしょこじょうれんけつ、locally path-connected）であるという。局所弧状連結空間の開集合は、それが連結であるならば弧状連結である。このことは一般に n 次元数空間 ℝⁿ, ℂⁿ が局所弧状連結であることから、その開部分集合についても言える。したがってなお一般に、位相多様体は（各点の近傍が数空間の開集合に同相であるから）すべて局所弧状連結であることが従う。
さらに強く、弧状連結空間がその任意の相異なる二点を結ぶ道 f として常に弧 (arc)—つまり単位区間 [0, 1] と像 f([0, 1]) との間の同相写像—を選ぶことができるとき、弧連結 (arc-connected, arcwise connected) であるという。弧状連結なハウスドルフ空間は常に弧連結空間である。弧状連結だが弧連結でない空間の例を、負でない実数全体の成す集合 [0, ∞) に第二の 0 として 0′ を加えることによって作ることができる。具体的に、通常の大小関係に加えて、a が正の数ならば 0' < a であるとし、0 と 0' は比較不能であるとして半順序を与える。このとき順序位相—つまり開区間 (a, b) := {x | a < x < b}, 半開区間 [0, a) := {x | 0 ≤ x < a} および [0′, a) := {x | 0′ ≤ x < a} を開基とする位相—を入れて得られる位相空間は、T₁-空間になるがハウスドルフ空間ではない。そして、0 と 0′ は道で結ぶことができるが弧で結ぶことができないのである。
位相空間 X はその任意の点 a, b を結ぶ道をとることができるとき弧状連結（こじょうれんけつ、path-connected, pathwise connected）または道連結（みちれんけつ）であるという。ここで始点 a と終点 b を結ぶ道 (path) とは、f(0) = a かつ f(1) = b を満たす、単位閉区間 [0, 1] から X への連続写像 f のことである。（これは「パラメータ付けられた曲線」であって、単なる点の集合ではないことに注意を要する。）弧状連結な位相空間は常に連結である。また、アレクサンドロフの長い直線とよばれる、非可算無限個の単位半開区間の直積空間の一点コンパクト化や sin(1/x) のグラフに原点を加えたもの（位相幾何学者の正弦曲線）は連結だが弧状連結でない位相空間の例として挙げることができる。一方、実数直線 ℝ の部分集合では連結であることと弧状連結であることとが同値であり、そのようなものは ℝ の区間に限られる。n 次元数空間 ℝⁿ, ℂⁿ に対しても、連結な開部分集合が常に弧状連結となることがいえる。あるいは、有限集合に位相を入れて考えるときにも、連結性と弧状連結性は同値になる。
1936年（昭和11年）11月28日正午に鉄道ホテルで和協午餐会が開かれた。中田側からは、中田重治、木田文治、中山量一、安藤仲市、藤久、そして、委員側からは、車田秋次、小原十三司、米田豊、一宮政吉、菅野鋭が出席した。和協委員からは、星島二郎、松山常次郎、阿部義宗、渡辺善太が出席した。来賓には、橋本文部省総務課長、田川太吉郎、釘宮辰生、吉崎俊雄、松野菊太郎、日匹信亮、益富政助、加藤三郎、野畑新兵衛、青木運之助、川端京五郎であった。竹内検事は職務上招待を辞退し、土山鉄次は遠路の故に不参加であった。中田重治と委員側は久しぶりに会見することになった。両者は握手して食堂に入った、食事後別室で、星島二郎が司会して挨拶した。星島の指名の元に中田は挨拶し、迷惑をかけたことを詫び、調停者の労を謝し、今後伝道活動に邁進したい旨を述べた。それに対して車田委員長もそれに応えて挨拶して、途中で病没した赤澤元造監督の労を感謝した。次に松野菊太郎が指名された。松野はアブラハムが死んだ時に、イサクとイシュマエルが共に葬式を取り行い仲直りし、イサクが死んだ時はエサウとヤコブが共に葬式した例を引用して、中田が死ねばみんな一緒になるだろうと皮肉って語った。釘宮辰生は、赤澤の代理に招かれたことを感謝した。橋本宗務課長は、星島の関係で、和協委員の会合が度々鉄道大臣邸で開かれたことから、鉄道のたとえ話をして、将来また一つになることを希望した。松山常次郎の祈祷後に、中田の発案で手を打って讃美歌「歌えど尽きせぬ主のほまれ」を合唱した。そして、車田が中田の前に行って、握手をした。その後、益富政助も立ち上がって、和協分家だと言うと、拍手が起こった。