結成当初は森が作詞作曲を担当し、ピアノの弾き語りで出来た曲をスタジオで合わせながら編曲していくというスタイルをとっていた。現在では内田も作詞作曲を担当するようになり、作曲方法はLogicを使用するDTMで行われ、メンバーが各々パート別に編曲しているが、生の楽器演奏も使用する。オリジナル曲は森または内田が作詞作曲するが、一部インストゥルメンタル曲の作曲はQaijffとなっている。楽曲提供も積極的に行っており、楽曲を提供したベイビーレイズJAPANとは頻繁にライブやインタビューなどで共演している。
ピアノボーカル、ベース、ドラムのスリーピース編成。全ての作詞・作曲をメンバーの森・内田が行い、編曲をQaijffが行っている。自身を「絶対的、鍵盤系ドラマチックポップバンド」と位置づけ、その時々で様々な形態の楽曲を生み出す。メンバーの音楽の好みは全く異なり、制作した楽曲は高い歌唱力にポップなメロディーをのせ、クラシカルなピアノ、変態的なベース、アグレッシブなドラム、転調や変拍子を用いた独特なサウンドを特徴としている。
内田と三輪が所属していたセレンダインの解散が決定し、内田と三輪が新バンド結成を決意する。ソロとして活動していた森の元にサポートベーシストとして訪れた内田と出会い、森の才能に惹かれた内田がバンド結成の話を持ちかける。セレンダインの解散ライブに森が訪れ、森と三輪が出会う。当初、ギタリストを含めた4人でスタジオ練習を行っていたが、ギタリスト加入の話は流れ、森がピアノを弾きながら歌う現在のスリーピースの編成となる。バンド名は、内田が好きなサッカー選手であるヨハン・クライフから「Cruijff」にしようとなったが、著名な人物と区別する為、綴りを「Qaijff」とし、読みを「クアイフ」という造語に決定。2012年3月より愛知県名古屋市を拠点とし、活動を開始する。
ネバダ州ラスベガスに生まれる。カントリーダンスホールのホステスとして働いていた。18歳で、アダルトサイトAmateur Allureに出演、ポルノ女優としてデビューした。その後、Mile High, Smash Pictures, Bang Productions, Girlfriends Films, Pulse Distribution, Pure Play Mediaなど、多数の仕事をこなした。
微分幾何学、トポロジー、リー群論で活躍した20世紀を代表する幾何学者。カーネギー・メロン大学時代は電気回路理論を学んでいたという異色の経歴を持つ。初期の重要な業績はモース理論のリー群のトポロジーへの応用と等質空間への応用であり、古典群の安定ホモトピー理論に関するボットの周期性定理を導いた。これらの結果はアティヤとの共同研究における微分作用素の指数定理の同変トポロジーへの応用によってK理論に大きく貢献した。他にもリー群の表現論におけるボレル=ボット=ヴェイユの定理、葉層構造におけるポントリャーギン類の消滅定理（ボットの消滅定理）の証明。その後ヤン=ミルズ理論、ベクトル束のモジュライ空間、楕円種数などを研究し、数理物理学における新しい見地に到達した。
興南高校で2年時に選抜大会準優勝に導きベスト5を受賞。翌年には地元開催の国体で優勝に貢献。高校の同期に元プロボクサーのピューマ渡久地。現バスケットボール部監督の井上公男は2年後輩に当たる。専大進学後も新人戦でアシスト王を獲得。4年時には主将を務める。ユニバーシアード準優勝メンバーだった脇将典は同期に当たる。卒業後は地元に戻り、大米クラブ（現・レキオスBasket）に入団し選手兼任監督としてプレー。2001年には全日本クラブ選手権で優勝を果たし、オールジャパンにも出場。2004年までは学生時代より引き続き国体沖縄県代表に選ばれ続け、1998年のかながわ・ゆめ国体では準優勝に貢献。2005年には国体同代表アシスタントコーチ、翌2006年にはヘッドコーチとなる。同年は母校・興南のアシスタントコーチも務める。2007年に現役を引退し、地元からbjリーグに参戦する琉球ゴールデンキングスのアシスタントコーチに就任する。2013年オフ、ヘッドコーチ昇格。2013-14シーズンはレギュラーシーズンで歴代最高の43勝をあげて最優秀コーチ賞を受賞。プレイオフも勝ち抜いて就任1シーズン目でのリーグ制覇を達成した。bjリーグ最後となった2015-16シーズンもリーグ制覇を達成。B.LEAGUE発足後も引き続き琉球の指揮を執る。
公理的な取り扱いにおいて、文献によってはしばしば異なる条件を公理として課すことがあるので、そのことに留意すべきである。環論の場合例えば、公理として「環の乗法単位元が加法単位元と異なる」という条件 1 ≠ 0 を課すことがある。これは特に「自明な環は環の一種とは考えない」と宣言することと同じである。もっと重大な差異を生む流儀として、環には「乗法の単位元の存在を要求しない」というものがある。これを認めると、例えば偶数であるような整数の全体 2Z も通常の加法と乗法に関する環となると考えることができる（実際にこれは乗法単位元の存在以外の環の公理を全て満足する）。乗法単位元の存在以外の環の公理を満足する環は、しばしば擬環 (pseudo-ring) とも呼ばれ、あるいは多少おどけて（ring だけれども乗法単位元 i が無いからということで）"rng" と書かれることもある。これと対照的に、乗法単位元を持つことを強調する場合には、単位的環や単位環 (unital ring, unitary ring) あるいは単位元を持つ環 (ring with unity, ring with identity, rings with 1) などと呼ぶ。ただし、非単位的環を単位的環に埋め込むことは常にできる（単位元の添加）ということに注意。他にも大きな違いを生む環の定義を採用する場合があり、例えば、環の公理から乗法の結合性を落として、非結合環あるいは分配環と呼ばれる環を考える場合がある。本項では特に指定の無い限りこのような環については扱わない。