広いクラスの初期値問題において、解の存在と一意性は計算機を用いることで示されることもある。ピカール・リンデレフの定理は、t₀ および y₀ を含む領域において f が連続であり、変数 y について f がリプシッツ条件を満足する場合に、初期値問題の解が t₀ を含むある区間で一意に存在することを保証する。定理の証明は、与えられた初期値問題を同値な積分方程式に変換することにより行われる。その場合、積分はある関数を別の関数へ写す作用素として見なされ、その不動点が求める解となる。バナッハの不動点定理が適用されることにより、初期値問題の解であるような不動点の存在および一意性が示される。ピカール・リンデレフの定理の古い証明では、上述のような積分方程式に収束する関数列を構築することにより、その極限としての初期値問題の解を求めている。そのような証明手法はピカールの方法あるいは逐次近似法と呼ばれている。数学者の岡村博は、初期値問題の解が一意となるための必要十分条件を得た。この条件は、システムに対するリアプノフ関数が存在することを必要とする。いくつかの場合では、関数 f はC¹級やリプシッツ連続ですらなく、解の局所的な一意存在性を保証するための一般的な結果が適用されないことがある。しかし、ペアノの存在定理は、関数 f が単なる連続関数であっても、解の時間に関する局所存在性が保証されることを示している。ただしここで問題となるのは、解の一意性の保証はされていない、ということである。この結果は参考文献 Coddington & Levinson (1955, Theorem 1.3)あるいは Robinson (2001, Theorem 2.6)などで見られる。より一般的な結果として、関数 f が不連続である場合の解の存在を扱ったカラテオドリの存在定理が挙げられる。
数学の微分方程式の分野における初期値問題（しょきちもんだい、英: Initial value problem）とは、未知関数のある点における値を初期条件として備えた常微分方程式のことを言う（コーシー問題とも呼ばれる）。物理学あるいは他の自然科学の分野において、あるシステムをモデル化することはある初期値問題を解くことと同義である場合が多い。そのような場合、微分方程式は与えられた初期条件に対してシステムがどのように時間発展するかを特徴付ける発展方程式と見なされる。
治承・寿永の乱（いわゆる源平合戦）で、倶利伽羅峠の戦いが行われた。倶利伽羅峠は県定公園になっており、古戦場がある。木曾義仲が使ったと伝承される火牛の計にちなんだ源平火牛まつりが7月下旬に開催される。 源氏ヶ峰城は源平合戦に遡る城跡である。倶利伽羅峠とその周辺にはこのほか埴生護国八幡宮、医王院、倶利伽羅不動寺といった社寺がある。
一級建築士で元北陸地方建設局長だった小矢部市市長の松本正雄が「子供たちに夢を与えたい」と、市内の公共建築をヨーロッパや東京の有名な洋風建築物に模すことを発案。1976年から1992年にかけて、35か所が建設された。これらは「メルヘン建築」と呼ばれるようになり、現在では市や市観光協会もそう呼んで観光客誘致に活用している。コスプレ撮影の背景として人気がある。ただし当時から、小矢部との関連の乏しさ、割高な建設費への批判はあり、1～2割増しの建設コストが問題視され1992年にストップがかかった。これらの建築物は市の観光スポットとなっているが、老朽化と利用者数の減少、市の行財政改革により2018年から徐々に解体されることになった。2018年～2020年に解体開始が予定されているのは幼稚園1か所、保育所7か所である。
407年、南涼は早くも衰退の兆しが現れた。8月、禿髪傉檀は湟水地区・河西地区など全領域から兵を総動員して五万を集め、自ら全軍を率いて北涼に攻め込んだ。しかし傉檀は数で劣る北涼の沮渠蒙遜に大敗し（均石の戦い）、逆に日勒郡・西郡を失った。同年11月、今度はオルドスを席巻した夏の赫連勃勃が長駆して二万の精騎を率い広武郡へ攻め込み、大いにここを略奪して撤退した。傉檀は夏軍を追撃して陽武で戦った（陽武下峡の戦い）が、赫連勃勃の反撃にあって全軍覆滅し、傉檀は命からがら姑臧へ敗走した。この時、姑臧城内では北城で匈奴系の屠各が反乱を起こし（成七児の乱）、鎮圧直後に今度は南涼の将軍達が反乱を起こすなど（梁裒・辺憲の乱）、内憂外患が続いた。408年5月、後秦は南涼に姑臧を与えたことを悔やみ、ここを奪回しようと遠征軍を差し向けた。傉檀は姑臧に籠城し二度にわたって後秦軍を退けたが、この時城内で後秦に呼応するものが相継ぐなど、著しく求心力の低下と国力の疲弊を招いた。409年、禿髪傉檀は国内の動揺を顧みず北涼遠征を行い、北涼沮渠氏の出身地である臨松郡まで攻め込んでここを略奪したが、帰路に逆撃され大敗した。翌410年正月、傉檀は再度北涼を攻めたが敗れ、同年3月には騎兵5万を率いて北涼軍と戦った（窮泉の戦い）がまた大敗し、逆に北涼軍に攻め込まれて都の姑臧を囲まれた。姑臧城内は大いに混乱し、畳掘部・麦田部・車蓋部などの河西鮮卑の元従が次々離反して北涼軍に降った。傉檀は抗戦を諦め、一族の禿髪敬帰と子の禿髪他を人質に出して北涼軍と講和した。同年、南涼の湟水地区で折掘奇鎮が反乱を起こし、南涼の討伐軍はこれに大敗した。傉檀は北涼の圧迫と、湟河流域の失図を恐れ、遂に姑臧から楽都へ都を還した。傉檀が姑臧を離れた直後、焦朗が姑臧で反乱を起こして涼州刺史を自称した。こうして南涼の河西地域の拠点であった姑臧は版図から離れ、南涼の河西進出も挫折したのである。