第二次世界大戦が始まると、戦場に送られた男性に代わって女性のカーホップが登場、店側はカーホップに美貌の女性を揃えて集客を図った。集客面ではカーホップの制服も重要で、軍服や航空会社の乗務員の制服を模したもの、宇宙服風、チアリーダー風など、客の目を引くためにさまざまな制服が用いられた。しかし、ファーストフード店の一般化により、カーホップを置くドライブインは減少した。カリフォルニア州サンバーナーディーノでドライブインを経営していたマクドナルド兄弟は、1948年にカーホップを廃し、セルフサービスを導入した。この措置の背景には、カーホップが異性客との無駄話に時間をつぶし、必ずしも売り上げに結びつかないことがあったという。1960年代にドライブスルーが登場すると、さらにカーホップは減少した。ソニック・ドライブインがフランチャイズ展開する各店でカーホップによる接客を行っているほか、ベビーブーム世代の懐古趣味に訴えるためあえて古い接客方式を採用する店をあるものの、こうした例外を除けばカーホップは地方の一部店舗に残るのみとなっている。一方でカーホップは1950年代から60年代にかけての時代を象徴する風俗として認識されており、1950年代のアメリカを舞台にしたシットコム『ハッピーデイズ』にはカーホップが頻繁に登場する。映画『アメリカン・グラフィティ』でもカーホップを主題にしたポスターが制作されている。
カーホップの導入は1921年にテキサス州のダラスで開店したレストラン「ピッグ・スタンド(Pig Stand)」が最初である。同地の実業家J・G・カービーは、自家用車の普及で怠惰になった人々は、やがて食事も車から出ずに済ませたい、と考えるようになるだろう、と見込み、医師のR・W・ジャクソンと組んでこの店を開いた。この店では男性の係がおり、車まで食事を運んだ。この時期にA&Wレストランの創業者ロイ・アレンがカリフォルニア州サクラメントに開店したルートビアスタンドでもトレイボーイと呼ばれる係が接客を行った。配膳係の名称は店によりまちまちで、カーホップ(carhop)の語が最初に文献に現れるのは1923年である。
中学校在籍時より母の知り合いであった中山・加藤朝治郎厩舎に住み込みで働いていた。その前には船橋競馬場を訪れたこともあり、そこで調教師をしていた函館孫作の目に留まる。実家まで函館がスカウトに来たこともあり、函館の厩舎でも一時期働いていたが、従来のさぼり癖により辞めざるをえなくなった。卒業後の1963年4月に馬事公苑騎手養成長期課程に第14期生として入所。入所時の身長は115cm、体重は28kgと非常に小柄であった。同期生には小島太、田島良保、目野哲也、池上昌弘、平井雄二らがいる。入学後は授業を真面目に受けないなど不真面目な面があり、小柄過ぎたために成長を待たされたこともあって、騎手免許を取得したのは小島・田島から2年遅れの1968年であった。同期では他にも池上が1年遅れの1967年、平井が3年遅れの1969年に騎手デビューを果たした。初年度は14勝、2年目（1969年）は26勝と最初こそ順調な出だしであったが、この成績に慢心して1970年以降4年間は一桁の勝利数を続けて低迷。遊び癖から借金も作ってしまい、取り立てが仕事場にも来るようになってほか、家財道具を売り払うなど生活も困窮。不安に駆られた安田は「デタラメな自分に何か規律を与えるものを」との思いで本格的に創価学会の信仰に取り組むようになり、平地競走に専念し始めた1974年には14勝とデビュー年の勝利数に戻して復活。同年4月にはノボルトウコウで小倉大賞典を制して重賞初勝利も挙げ、1976年には菊花賞でグリーングラスに騎乗し、単勝12番人気ながらテンポイント・トウショウボーイ・クライムカイザーといった強豪を破って優勝。生涯唯一のGI級レース&八大競走制覇を果たし、これが唯一の京都での重賞勝ちとなった。以降は関東の中堅騎手として定着し、主にローカル開催を中心に騎乗を続ける。1987年には自己最高の59勝を挙げて全国8位に付け、生涯唯一のベスト10入りも経験した。同年にはロータリーザハレーで函館のタマツバキ記念を制し、JRA全10場中9場目の重賞勝利を挙げる。以後は札幌のみを残した状態で足踏みを続けていたが、1996年にノーブルグラスで札幌スプリントステークスに優勝し、史上初のJRA全場重賞勝利を達成。競走後にはファンから「富男」コールで祝福され、シーズン終了後には東京競馬記者クラブ賞特別賞を受賞した。1989年の京成杯をスピークリーズンで制覇し、平成初のJRA関東地区重賞競走勝利騎手となった。1999年に大崎昭一が引退したことに伴い現役最年長騎手となったが、2001年夏に引退を表明し、同年9月2日付で騎手を引退した。当日は新潟で騎乗し、午前中に2勝を挙げたほか、昼休みには引退式が行われた。通算8293戦752勝。引退翌日の9月3日に競馬予想会社「シンクタンク」情報ルートに就任し、当時としては衝撃を与えた。デイリースポーツ評論家としても活動していたが、「やはり馬に関わる仕事がしたい」と一念発起。栃木県那須郡那須町の「貴悦牧場」で場長などをしながら経験を積み、ノウハウを得て独立。那須塩原市の地方競馬教養センター内に競走馬の育成牧場「TOMY」を開設し、夫人と従業員2人を合わせた4人で運営している。南関東の認定厩舎（外厩）にも認定されており、何頭か管理もしている。2014年には脳梗塞で倒れたが、現在は回復。