志賀町立和邇小学校（現大津市立）3年時に和邇野球スポーツ少年団で野球を始める。卒業後に志賀町立志賀中学校（現大津市立）に入学し大津瀬田レイカーズに所属後近江高等学校に進学する。近江高時代は2年時の第89回全国高等学校野球選手権大会滋賀大会決勝で現チームメイトの石川駿率いる滋賀県立北大津高等学校に勝利し出場したが2回戦で熊代聖人率いる愛媛県立今治西高等学校に敗れた。秋季大会では皇子山球場で行われた初戦の光泉高等学校戦で毎回15奪三振でノーヒットノーランを達成。2回戦では則本昂大率いる滋賀県立八幡商業高等学校に勝利するも準決勝で北大津高に敗れ選抜大会出場はならなかった。翌年3年時の第90回全国高等学校野球選手権記念大会は初戦敗退に終わった。尚2年時と3年時の選抜大会は石川駿率いる北大津高が出場している。近江高の同級生に丸山亜季がいる。2008年10月30日のドラフト会議で中日から6位で指名された。指名後の11月7日に以前から不安を抱えていた右肘を手術し、11月28日に契約金2500万円、年俸540万円（金額は推定）で仮契約した。プロ3年目の2011年5月6日に一軍初登板。5月20日の埼玉西武ライオンズ戦でプロ初勝利を挙げるも防御率は16.00と精彩を欠く。2012年は、ウエスタン・リーグ最多の16セーブをあげたが、一軍での登板は1試合に留まった。2013年は、初の開幕1軍入りを果たす。しかし、右肩痛のためわずか7試合で2軍落ちとなってしまう。8月に一軍復帰した後は安定した投球を続け、自己最多の28試合に登板、防御率も二桁だった過去2年に比べて大幅に改善した。同年10月3日に行われた前田智徳引退試合では前田の最後の対戦相手となりピッチャーゴロに打ち取っている。2014年は5月に一軍昇格したものの、5月6日の阪神タイガース戦で、延長12回表に梅野隆太郎に勝ち越し2ランを浴びるなど打ち込まれて敗戦投手になり、翌日二軍落ちとなった。この年はわずか2試合の登板に留まった。2015年5月2日の横浜DeNAベイスターズ戦でプロ初先発。好投し勝ち投手の権利を持って降板したが、9回に抑えで同学年の福谷浩司が逆転を許し、先発での初勝利はお預けになったものの、同年8月26日に同じくDeNA戦で8回途中3失点で先発初勝利を挙げ、初のヒーローインタビューを受けた。2016年は、春季キャンプから2軍スタートだったものの4月6日のDeNA戦に先発し、1被安打1与四球5奪三振無失点の好投で僅か93球でプロ初完封を挙げた。100球未満での完封勝利は球団では2011年8月17日のチェン・ウェイン以来5年振りであった。その後ローテーション入りするも5月5日に原口文仁の放った打球が右腕を直撃し負傷退場した。2017年は4試合に登板、0勝3敗、防御率9.53だった。2018年は開幕を二軍で迎えるも、7月29日の巨人戦で先発し5回2失点でシーズン初勝利を挙げた。その後は先発ローテーションに定着し8試合に登板。3勝4敗で防御率は6.23だった。
F1参戦以降のクラッシュや他車との接触事故は以下の通り。2009年ヨーロッパグランプリでルカ・バドエル、イタリアグランプリでフロントウィング損傷、ベルギーグランプリでジェンソン・バトン、2012年オーストラリアグランプリで2周目にパストール・マルドナド、マレーシアグランプリでミハエル・シューマッハ、スペイングランプリでセルジオ・ペレス、モナコグランプリでは再びシューマッハ、イギリスグランプリでポール・ディ・レスタ、ドイツグランプリではコースアウトし自滅、上記のベルギーグランプリ・日本グランプリも合わせればキャリア20戦中11戦でスタート1周目に接触・自滅事故を引き起こしている。他のドライバーやチーム関係者からは「問題児」「オープニングラップの狂人」「サーキットの通り魔」と称された。2013年もモナコグランプリでダニエル・リチャルドに追突する事故を起こしたが、その後は問題を起こすこともなく、落ち着いたレース運びをみせて結果を残した。グロージャンのことを「オープニングラップの狂人」と呼んだウェバーも「今年彼はすごくいい仕事をしている」と評価した。担当エンジニアの小松礼雄も「今年のグロージャンは大きく成長した」「今の彼は本当にミスをしない」と語った。日本GPでも前半をトップで走行するなど見せ場を残した。2016年には新規参戦のハースに1stドライバーとして迎えられるまでに評価を高め、新規ゆえにマシン性能の（相対的な）低さもあり下位グループでの戦いとなりながらも5度の入賞を記録、この年のハースのポイントを1人で稼ぎコンストラクターズ8位に貢献した。しかし2017年に入ると、かつての巻き込み事故こそ起こさないが単独クラッシュを繰り返し、ドライビングの荒さが目立ち始めた。翌2018年にはアゼルバイジャンGPにおいて6位でセーフティカー導入中、ステアリングホイールのスイッチを誤操作して単独クラッシュを喫し、『(マーカス・)エリクソンがぶつけたんだと思うね』と関係のないドライバーに責任を転嫁して「ルーキーでもしないミス」と評されたほか、次戦スペインGPではスタート後の3コーナーで単独スピン後もアクセルを踏み続け、コース上を横切ったためニコ・ヒュルケンベルグとピエール・ガスリーを巻き込んでクラッシュするという大事故を起こした。この事故で批判にさらされることになり、被害を受けたヒュルケンベルグからは「彼の行動はあまりいただけないね」と苦言を呈され、「一般的に彼は週末の間に何度もスピンしている」と最近の単独事故の多さを指摘されている。このため、評価が下がり始め、来季のシート喪失の噂が出てくる状況であったが、同年オーストリアGPでQ3進出の4位入賞をきっかけに一気に復調。チームメイト（マグヌッセン）が不調に陥ったGPでポイントを稼いだこともあり、一転して、チーム残留候補まで評価を回復。その結果、2019年のシートを確保することに成功した。彼の評価が分かれることとなった2018年だが、アゼルバイジャンGPやイギリスGPにて運転ミスが原因のリタイア、ペナルティポイントを受けた4戦のうち3戦が接触事故が原因のペナルティなため、批判されるのも無理はなかった。だが、1度に受けた点数は2点以下（2点が3回と1点が1回）にとどまっており、オーストリアGPで青旗無視で3点を受けたランス・ストロールに対し、シンガポールGPで同様のことをしてしまったグロージャンだが、公道コースという特性を考慮して2点にとどまっており、全てがグロージャン側の過失というわけではなかった。接触・自滅事故が目立ったシーズンだが、批判が先行している面もあり、スペインGPの件ではハース代表が「全ての原因をグロージャンに負わせるのは酷だ」と反論している。そのため、ハース加入前は極端に浮き沈みが激しい傾向であったが、加入後はスランプに陥っている間は成績が低迷するが、それを克服しているときのレースでは速さを見せるという傾向が強くなっている。ちなみに、この類のうっかりクラッシュはGP2時代からパストール・マルドナドと並んで有名で、マルドナドもF1参入直後のクラッシュが目立っていたため、GP2の仕様そのものに問題があるのではないかとまで言われる始末であった。ちなみにグロージャンとマルドナド同士の凡ミスもGP2ホッケンハイムグランプリで起きている。