集合としては、四元数の全体 H は実数体上四次元の数ベクトル空間 R⁴ に等しい。H には三種類の演算（加法、スカラー乗法、四元数の乗法）が入る。 H の二元の和は、R⁴ の元としての和で定義され、同様に H の元の実数倍も R⁴ におけるスカラー倍として定義される。H の二元の積を定めるには、まず R⁴ の基底を決めなければならないが、それを通例 1, i, j, k と記す。H の各元はこれら基底元の線型結合として、つまり適当な実数 a, b, c, d に対する a1 + bi + cj + dk の形で一意的に書き表される。基底元 1 は H の乗法単位元（つまり 1 を掛けることは何もしないことと同じ）であり、それを以って H は基底元 1 を伏せて a + bi + cj + dk の形に書くのが普通である。この基底が与えられたところで、四元数の結合的乗法は、初めに基底元同士の積を定義して、一般の積はそれを分配律を用いて拡張することで定義される。
シカゴ生まれ。9人兄弟という大家族で、弟は同じく俳優として知られるビル・マーレイとジョエル・マーレイ、ジョン・マーレイ。父親は木材のセールスマンで、母親は郵便室係だった。父親の仕事の関係で、全米を転々としたのち、カリフォルニア州の大学へ進学。1970年代に入ると、即興コメディ劇団のセカンド・シティへ参加。その頃から徐々に映画やテレビなどへ出演していき、人気番組の『サタデー・ナイト・ライブ』へ出演したことから一気にその名が知れ渡る。同番組への出演時代は、ものまねなどのレパートリーで人気を博し、アルバート・アインスタインやロッド・サーリングなど、文化人から芸能人まで幅広い分野を得意とした。またチェビー・チェイスやジョン・ベルーシなども参加していたラジオ番組『The National Lampoon Radio Hour』へも出演して、コメディアンとしての地位を確立した。その番組には弟であるビル・マーレイも参加しており、ビルの映画にはブライアンもたびたび登場している。それ以降も、それらの番組から有名になったハロルド・ライミスやチェヴィー・チェイスらが主演する映画などに脇役として出演。主にコメディ映画への出演が多いが、1991年にオリヴァー・ストーンが監督したメジャー映画『JFK』において、ケネディを射殺したとされるオズワルドを銃殺するジャック・ルビーを演じている。テレビドラマへの出演も多く、全米で人気を誇る『となりのサインフェルド』やシチュエーション・コメディの『ウイングス』等へも出演した。声優としてもテレビアニメ『スポンジ・ボブ』における「さまよえるオランダ人」の声を担当。それ以外でも『クラスメイトはモンキー』や『ブンブン・マギー』、『ファミリー・ガイ』などのアニメへも声の出演を果たしており、実写からアニメまで活動の場は幅広い。俳優以外でもコメディ番組などにおける脚本家としての才能も発揮しており、いくつかの番組でクレジットされている。
BDOは1963年に5か国（イギリス・ドイツ・オランダ・アメリカ合衆国・カナダ）のメンバーファームによって設立された「ビンダー・シードマン・インターナショナル・グループ」を発祥とし、1973年にBDO Binder B.V.（有限責任会社）へと改組した。BDOとはイギリス人のビンダー・ハムリン（Binder Hamlyn）、オランダ人のダイカー（Dijker）、ドイツ人のオッテ（Otte）の頭文字を取ったものである。2015年時点で64,000人以上の従業員が所属し、154地域・1,400以上の事務所を有する。特に中国（香港含む）方面での事業拡大が著しく、2012年時点で人員数は8,000人程度でアメリカ合衆国の11,500人に次ぐ規模となっている。また2014年における収益割合は、アメリカ（35か国）方面が44%、EMEA（92か国）方面が41%、アジア太平洋（24か国）方面が15%となっている。
2001年、朝日放送テレビで放送されていたバラエティ番組『ごきげん!ブランニュ』の企画で生まれたもの。関西の喫茶店の定番メニューのひとつである「ミックスジュース」を全国に広めようと、「ごきげん!ブランニュ」の出演者・スタッフが企画し、大阪府大阪市東住吉区に本社のある日本サンガリアベバレッジカンパニーに話を持ちかけ、商品化した。オレンジ、りんご、バナナ、パイナップル、桃の5種類の果汁をバランスよくブレンドし、喫茶店の味を忠実に再現している。果汁20%。商品名「みっくちゅじゅーちゅ」の名付け親は、番組の司会を務めるトミーズ雅で、ラベルのロゴは、赤井英和の自筆によるもの。その商品名に関しては、そのまま「ミックスジュース」としたかったようであるが、「商品名に『ジュース』を冠するものは果汁100%の飲み物に限られる」という定義に引っかかるため、ジュースという名称が使用できず（あるいは「ミックスジュース」が普通名詞となるため、商標登録ができないともいわれている）、やむを得ずミックスジュースをもじった「みっくちゅじゅーちゅ」になった。初期のテレビCMでは、月亭八光が出演した。発売当初は、缶に商品を企画した「ごきげん!ブランニュ」のロゴや「題字・赤井英和」が入っていたが、後に削除されている。現在の缶デザインは大阪城など大阪にゆかりのあるものが描かれている。2001年、日本食糧新聞社が主催する「優秀ヒット賞」を受賞した。2015年、商品の考案者である赤井が発売開始から15年目にして初めてCMに出演した。赤井とCMで共演しているのはファッションモデルでタレントの久松郁実。通常品とは別に、冷凍対応ペットボトル飲料「氷晶」シリーズにも、「みっくちゅじゅーちゅシャーペット」として商品化され、飲用だけでなく、半解凍してシャーベットとして食べる(飲む)方法も提案している。