ニュートン法により近似値を求めようとする場合にはヤコビ行列が陽に分からなければ計算できない。しかし、関数 f によってはヤコビ行列が陽に分からない場合もある。この場合にはヤコビ行列を必要としない準ニュートン法を用いる。また、f (x*) = 0 を満たす真の解 x* において導関数が f '(x*) = 0 であった場合、収束の速さは1次に退化する。
前節では解の存在を仮定した上で初期値を解の十分近くに選ぶことを要求した。これに対して、解の存在を仮定せず、初期値がある条件を満たすときに解の存在と反復の収束を示す定理を半局所収束定理（Semi-Local Convergence Theorem）という。1次元の場合での半局所収束定理はコーシーによって1829年に示され、次元ユークリッド空間での場合はファイン（Fine）によって1916年に示された。その後、バナッハ空間での半局所収束定理がカントロビッチ（Kantorovich）によって1948年に示され、現代ではニュートン-カントロビッチの定理と呼ばれている。この定理にはいくつかの変種が知られており、にまとめられている。
数値解析の分野において、ニュートン法（ニュートンほう、英: Newton's method）またはニュートン・ラフソン法（英: Newton-Raphson method）は、方程式系を数値計算によって解くための反復法による求根アルゴリズムの1つである。対象とする方程式系に対する条件は、領域における微分可能性と2次微分に関する符号だけであり、線型性などは特に要求しない。収束の速さも2次収束なので古くから数値計算で使用されていた。名称はアイザック・ニュートンとジョゼフ・ラフソンに由来する。
祖父の代からのスワヒリ人商人の父と支配階層であったオマーン移民のアラブ人の母の子として生まれ、父方の祖母もダルエスサラームの有力者と黒人の娘であった。20歳を過ぎると、インド商人から資本を借り、ビーズや綿布を大陸内部に捌くためのポーターを差配する事業を行っていた。そして奴隷商人であった父親の人脈を利用し、数百名規模の隊商を組織するようになった。1860年代、キャラバンを組織し、ザンビア北部と武力交渉をし、象牙を奪うなどするようになった。このキャラバンにおいて、彼は1867年に探検家で宣教師であるデヴィッド・リヴィングストンと出会った。リヴィングストンは荷物をなくし、食料も切らしていたのでティプに助けを求めてきたので、ティプは援助を惜しまなかった。1870年代以降、長距離交易路の要所に拠点を布いたティプは支配圏をタンガニーカ湖西南部一帯（現コンゴ民主共和国東部）に広げることに成功した。　1876年にはヘンリー・モートン・スタンリーの「探検」を先導するなど、欧米人探検家を支援したために欧米人に広く知られることとなった。1877年にスタンリー滝の統治者となることを約束され、1880年代には後のコンゴ東部州からマニエマ州一帯を影響下に治め1884年にはウテテラのスルタンの地位を認めさせようと試みた。ベルリン会議で「コンゴ」のレオポルド2世への帰属が決められると1893年にはザンジバルに戻り、丁字の農場主として過ごした。ティプは自伝『ウテテラのスルタン』をスワヒリ語のアラビア文字綴りで著し、ドイツ人ハインリッヒ・ブローデによりドイツ語に訳され、更に1907年にはそれが英訳された。ブローデによればティプはマラリアで没した。
ティップー・ティプ（Tippu Tip あるいはティップー・ティブ、1837年 - 1905年6月14日）、本名ハメド・ビン・ムハンマド・エル＝ムルジェビ (Hamed bin Mohammed el Murjebi) はザンジバル出身のアラブ系スワヒリ商人。奴隷や象牙を扱う商人としてのちのザイール（現コンゴ民主共和国）東部まで勢力を広げ「ウテテラのスルタン」を自称し、内陸部でのスワヒリ圏の拡大に大きく関与した。
ロイテンバッハは古い表記の Lutenbach として1284年に、ネルマースバッハ (Nitmaresbach) は1071年に、ヴァイラー・ツーム・シュタイン (Wyler) は1245年に初めて文献に記録されている。ギュクリンゲンのフォークト（代官）としてハインリヒ・フォン・ルーテンバッハの名前が記述されている1295年のルドルフ・フォン・ノイフェンの文書は、貴族「フォン・ロイテンバッハ」家の最初の証拠とされている。現在の町域内に遺る最初の定住の痕跡（たとえば、墳墓とか道具など）は、青銅器時代および鉄器時代初期のものである。紀元前750年から450年の時代におそらくケルト人やスキタイ人が現在の町域に定住した。ロイテンバッハは、オーバーゲルマニッシュ＝レティシャー・リーメスの約 15 km 西に位置しており、ローマの支配地域に含まれていた。ローマによる占領の時代は紀元後155年に始まり、約100年間続いた。その痕跡も、2つのヴィラ・ルスティカ跡をはじめ、いくつか遺されている。中世には、ロイテンバッハとネルマースバッハはヴィネンデン家、ヴァイラー・ツーム・シュタインはヴォウルゼルデン城（現在はアファルターバッハの一部）の支配下にあった。1322年にエーバーハルト高貴伯がこの城を購入し、アムト・マールバッハに編入した。ヴァイラー・ツーム・シュタインはこれに従った。一方、ロイテンバッハとネルマースバッハは、その3年後にエーバーハルトの息子にあたるヴュルテンベルク伯ウルリヒ3世が獲得し、アムト・ヴィネンデンに編入された。このため、ロイテンバッハとネルマースバッハは後にヴァイブリンゲン郡に属し、ヴァイラー・ツーム・シュタインはバックナング郡（マールバッハ郡は1938年に廃止され、ヴァイラー・ツーム・シュタインはバックナング郡に編入されていた）に属すこととなったのである。三十年戦争はロイテンバッハの3村落を無傷ではおかず、甚大な困窮をもたらした。プファルツ継承戦争でネルマースバッハは、南西ドイツの他の多くの村と同じように、デュ・マ将軍率いるフランス軍によって完全に焼き尽くされた。