ヒンドゥー教徒は墓を持たず、遺体は火葬され遺骨や灰は川に流される。霊魂は永遠と考えるイスラーム教徒が持つ墓は簡素なものに過ぎない。ムガル王朝の皇帝は大きな霊廟を備えたが、これは専制君主の権勢を示す目的があった。権力を握っていたわけでもないただの王妃に対し壮大な墓廟が建設された例は、他にはほとんど無い。タージ・マハル着工の頃、シャー・ジャハーンはヒンドゥー教を抑圧する令を発するなど、イスラーム教国家建設に取り掛かっていた。その中でタージ・マハルはイスラーム教徒の精神的中心として構想された。聖者信仰はイスラームにもヒンドゥーにも見られ、その墓所は霊力が宿るという考えはムガル王朝期のインドでは強かった。ムムターズ・マハルを聖者とみなす根底には、イスラーム社会が女性に夫への愛と子を生すことを求め、産褥による死は男性が聖戦で死す事と同義とみなす母性信仰があり、生涯で14人の子を産み36歳で死んだ彼女は殉教した聖者になるに充分だったと言える。この意義に叶うため、タージ・マハルは巡礼者を受け入れる施設を持たされた。訪問中にメッカへ礼拝するためのモスク、食事や宿泊のための集会所、巡礼者の車場置き場、そして外部の市場もこの機能を補助した。タージ・マハルが完成した時に、その美しさにシャー・ジャハーンが詠んだ詩には、ここが罪を負う者が悔恨し、罪行から自由になり、許され清められる典雅な高殿であり、神の光とともにあると述べられている。
\kappa \, を共終数 \lambda \, の極限順序数とする。ある \alpha < \lambda \, に対して、列 \langle C_\xi : \xi < \alpha\rangle \, が \kappa \, のclub集合の列であったとする。このとき、\bigcap_{\xi < \alpha} C_\xi \, もclubである。これを見るために、閉集合たちの共通部分は閉集合であるのは簡単なので、この集合が非有界であることを確かめる。\beta_0 <\kappa \, を任意にとる。ある n<\omega に対して  \beta_{n}  が存在するとき、C_\xi \, から \beta_{n+1}^\xi > \beta_{n} \, となるように、\beta_{n+1}^\xi をとる。これは各 C_\xi \, が非有界だから可能。そして、これらによる集合は順序数 \lambda \, 未満の長さであり、この集合の上限は \kappa \, 未満である。そこで、これを \beta_{n+1} \, と定める。この方法により、可算列 \beta_0,\beta_1,\beta_2,\dots \, を得る。この列の極限は \beta_0^\xi,\beta_1^\xi,\beta_2^\xi,\dots \, の極限でもある。そして各 C_\xi \, は閉で \lambda \, が非可算なので、この極限は各 C_\xi \, の元であるべきで、これは \beta_0 < \kappa \, より真に大きい \bigcap_{\xi < \alpha} C_\xi \, の元である。これで \bigcap_{\xi < \alpha} C_\xi \, が非有界であることが示された。このことから、\kappa \, が正則基数であるとき \{S \subset \kappa : \exists C \subset S \text{ such that } C \text{ is club in } \kappa\} \, は非自明な \kappa \, 上の \kappa \, -完備フィルターである。これをclubフィルターといい、\operatorname{club}(\kappa) と表す。clubフィルターは対角線共通部分 (diagonal intersection) について閉じている。これがフィルターであることを見る。まず、\kappa\in\operatorname{club}(\kappa) である( \kappa 自身は \kappa のclub集合である)。x\in\operatorname{club}(\kappa) ならば、x を部分集合としてもつ \kappa の部分集合はやはり \operatorname{club}(\kappa) の元である。 \kappa -完備であることは上で証明してあった。よって、これでフィルター性は確認された。\operatorname{club}(\kappa) が対角線共通部分について閉じていることを確認する。\langle C_i | i<\kappa \rangle をclub集合の列とする。C をその対角線共通部分すなわち C=\Delta_{i<\kappa} C_i とする。 C が閉であることを示す。S \subset C かつ S \subset \alpha<\kappa かつ \bigcup S=\alpha とする。このとき、\gamma\in S とすると、各 \beta<\gamma に対して、\gamma\in C_\beta である。各 \beta<\alpha について、\alpha\in C_\beta である。従って、\alpha\in C である。よって、閉集合であることは示された。C が非有界であることを示す。\alpha<\kappa として、可算列 \langle  \xi_i | i<\omega \rangle を以下のように定義する: \xi_0=\alpha とし、 \xi_{i+1} を、\xi_{i+1}>\xi_i  なるうちでの \bigcap_{\gamma<\xi_i}C_\gamma の最小要素とする。そのような要素は、多くないclub集合の共通部分がclubなので存在する。そして \xi=\bigcup_{i<\omega}\xi_i>\alpha かつ \xi\in C である。それは、全ての i<\xi について、その要素が C_i の元だからである。よって、C は非有界である。\kappa \, が正則基数なら、club集合の族の対角線共通部分はclub集合である。さらに言えば、\kappa \, が正則で \mathcal{F} \, を \kappa \,, 上のフィルターで対角線共通部分について閉じていて \{\xi < \kappa : \xi \geq \alpha\} \, (ただし \alpha < \kappa \, )の形の集合を全て要素に持つとすると \mathcal{F} \, は全てのclub集合を要素に持つ。