1925年に19歳でニューヨーク・ヤンキースからデビューする。その後2年間のマイナー暮らしの後、1928年からヤンキースの遊撃手として2年間活躍した。持ち前の気の強さからか、ドローチャーに腕時計を盗まれたとするベーブ・ルースを毛嫌いしてひと悶着を起こしたり、デトロイト・タイガースのタイ・カッブを野次ってカッブに詰め寄られるなどしていた。その割に自身の打撃成績はぱっとせず、当時殺人打線と呼ばれたヤンキースの中でも最も打てない選手の一人で、ルースからは「オール・アメリカン・アウト」とあだ名をつけられていた。1930年からシンシナティ・レッズに約3年在籍、その後1937年まで、当時「ガスハウス・ギャング」として有名だったセントルイス・カージナルスの遊撃手を務めた。その後、1938年にブルックリン・ドジャースへ移籍し、翌1939年から選手兼任監督となって、1945年まで試合に出場していた。MLBオールスターゲームには1936年・1938年・1940年の3度選ばれている（1940年は出場せず）。現役時代守りの選手だったドローチャーの特筆すべきプレーは、レッズ在籍時の1931年9月6日、カージナルス戦で「隠し球を使って三重殺を完成した」プレーであろう。この試合の6回表、無死一塁三塁でカージナルスのジミー・ウィルソンがレフトにフライを打ち上げ、これを左翼手のニック・カロップが捕球、タッチアップした三塁走者ジム・ボトムリーは本塁で封殺される。この間に一塁のチック・ヘイフィーは二塁を陥れ、捕手から遊撃手だったドローチャーに送球されるも走者はセーフとなる。ドローチャーはこの後捕球したボールを投手に返さず、二塁手のトニー・クッチネロにこっそりと手渡し、気づかなかったヘイフィーが離塁したところを二塁手がタッチしまんまとアウトにした。隠し球が絡んだ三重殺は、メジャーリーグ史上このプレーともう一例の計2例のみである。
H-IIBロケットは2020年度に退役する予定である。一方、2014年度からH-IIBの後継の次世代基幹ロケットとなるH3ロケットが開発中であり、2020年度に試験機1号機が打ち上げ予定である。
2010年4月7日に開催された第39回日本産業技術大賞において、「HTV／H－IIBロケットの開発」として、H-IIBロケットとHTVの開発に携わったJAXAと、三菱重工業、三菱電機、IHIエアロスペース、有人宇宙システム、宇宙技術開発、NEC、川崎重工業、IHI、日本航空電子工業、三菱プレシジョン、三菱スペース・ソフトウエアの11社が、次席の文部科学大臣賞を団体で受賞している。
H-IIBの展示モデルは、2011年11月6日から名古屋市科学館に屋外展示されている。この機体は、構造試験に使われた試験用の機体で、第1段エンジン部、第1段液体水素タンク、第1段中央部、段間アダプター、フェアリングが試験に使われた実機で、それ以外は展示用に製作したモデルとなっている。
H-IIBはHTVだけでなく、静止衛星の打ち上げも想定している。静止トランスファ軌道（GTO）への投入能力は8 tで、商業打ち上げで大きなシェアを持つアリアン5に近い能力である。アリアン5ECA型の静止トランスファ軌道へのペイロードは10 tで、2機の静止衛星を同時に搭載して打ち上げることが多い。H-IIBも、4/4D-LC型フェアリングを使用して、静止衛星を2機搭載することが想定されている。H-IIA202型を2機打ち上げる際の費用は合計で170億円だが、GTO投入能力は合計8.2 tで、H-IIB1機とほぼ等しい。一方、H-IIB1機の予定打ち上げ費用は110億円とされており、H-IIBで2機の静止衛星を打ち上げれば費用が3割から4割減となる。H-IIBの3号機以降は極低温点検を省略し費用を7億円削減されて、4号機からは打ち上げが三菱重工業に移管され商業打ち上げロケットの選択肢に加わることから、価格競争力の強化が期待されるが、アリアン5が衛星2機同時打ち上げを円滑に行えるのは多数の受注残を抱えているためであり、受注数が少なければ衛星側の日程調整が困難になることも予想される。
2013年11月12日に国内FA権の行使を表明。11月25日に読売ジャイアンツへの入団を表明し、12月5日に入団会見を開いた。背番号は17に決まり、「（来季は）背番号くらい勝てるように頑張ります」と宣言した。2014年、3月30日の対阪神戦（東京ドーム）で移籍後初登板で先発、7回途中を2失点として、打っては自身初の1試合3安打で試合は12対3で勝利し、移籍後初勝利を挙げた。4月26日の対広島戦（マツダスタジアム）では5回0/3を投げて4失点だったが味方打線の援護に助けられ、試合は11対5で勝利し大竹が勝利投手となり、NPB史上15人目の全球団勝利を達成した　シーズン通しては中日から一人で6勝を挙げ同カードでの勝ち越しに大きく貢献した。9月初旬に肩を痛め戦線を離脱し規定投球回には到達できず阪神とのCSでも登板はなかった。1軍での最終成績は9勝6敗で、自身にとって初となるチームのリーグ優勝に貢献した。2015年は不振でシーズン中盤の3ヶ月間2軍落ちし、1軍成績は3勝4敗だった。2016年は、キャンプで肉離れを発症し出遅れ、シーズン初登板は5月26日の広島戦となる。6月2日のオリックス戦で初勝利し、先発ローテを守り続け、7月30日のヤクルト戦では通算1500投球回を達成。8月20日の阪神戦では2009年以来となる7年ぶりに1試合2ケタ奪三振（10三振）。また9月28日の中日戦では8年ぶりとなるリリーフ登板をする。投球回は2年続けて100回を下回る。1軍での最終成績は6勝6敗だった。2017年は、開幕3戦目の中日戦に先発して初勝利、5月上旬までに4勝するが、8月6日の中日戦での6回途中4失点の登板以降、1軍登板がないまま終わる。1軍成績は4勝4敗だった。2018年は、4月の初登板の中日戦では先発して白星を挙げたものの、次週のDeNA戦で初回に2本の本塁打を浴びるなど5失点を喫し負け投手になると2軍降格し、以降2軍では先発投手としてローテを守り9勝を挙げたものの、1軍昇格はなくシーズンを終えた。1軍成績は1勝1敗だった。契約更改では、減額制限越えの50％ダウンとなる年俸2625万円で更改した。2019年は、6月30日のヤクルト戦で、中継ぎ登板し、シーズン初勝利した。8月12日の広島戦で中継ぎ登板し、勝利投手になり、シーズン3勝目を挙げた。これにより、プロ通算100勝を達成した。最終的な1軍成績は4勝0敗8ホールド、防御率2.77、32登板で自身2度目のリーグ優勝に貢献した。