多様体 M 上のベクトル場 X があたえられたとき、各点での速度が X によって表されるような M 上の流れ (flow) を考えることができる。通常は技術的な仮定として、X がコンパクトな台を持つことが要請される。そのとき M の任意の任意の点 p について初期値付きの微分方程式は一意に定まる解を持ち、任意の t について写像 φₜ: p → φₜ(p) は M 上の微分同相を定めている。実数の加法群 R から M の微分同相群 Diff(M) への写像 φ: t → φₜは群の準同型になり、X の流れとよばれる。この流れ φ は X によって速度を指定された M 上の力学系を表している。
ベクトルについての加法や減法、定数倍などの操作を各点ごとに考えることでこれらの操作がベクトル場についても定義される。特に、連続関数fとベクトル場Xについて各点ごとの積fXを考えることができる。多様体 M にリーマン計量 g が与えられているとする。f が M 上の微分可能関数のとき、 で特徴づけられるようなベクトル場 grad f を考えることができるが、これは（g に関する）勾配 grad f とよばれる。R³上のベクトル場X = (x₁, x₁, x₁): R³ → R³に対してその発散や回転が定義される。多様体論の枠組みでは、これらはR³上の接ベクトル場に対する操作というよりも、2次微分形式や1次微分形式に対する外微分として自然に理解される。
M を n 次元の多様体（あるいは、同値なことだが、ユークリッド空間 Rᵐ の部分集合で局所的には自由度 n の座標が入るようなもの）とするとき、M 上のベクトル場 X は写像 V: M → Rᵐ で次の条件を満たすものとして定義される。p を M の任意の点とし、p のまわりに二種類の座標系 (x₁, ..., xₙ)、(y₁, ..., yₙ) が考えられるとする。座標系 (x₁, ..., xₙ) にもとづく V の表示を Vₓ （これは n 変数の n 次元ベクトル値関数である）、座標系 (y₁, ..., yₙ) にもとづく V の表示を Vy  （これも n 変数の n 次元ベクトル値関数である）とするとき、 がなりたつ。したがって、ベクトル場 V からは座標系実ごとに n 変数のベクトル置換数による表示が得られることになるが、座標系が交わるところでは上に挙げた条件によって関数たちが張り合わされ、幾何学的に内在的なものがえられている。現代数学ではこの定義がさらに抽象化され多様体 M の上で各点に対する接ベクトルの分布を与えるものとして理解される。M の点 p における接ベクトル v を考えることと、p のまわりで定義された微分可能関数にたいして p において v の方向への微分を与える作用素  を考えることは同じことになる。したがって p における微分写像のなす空間 TₚM （この概念は o のまわりの座標の取り方によらない）が p における接ベクトルの空間を与えていると見なせ、ベクトル場は接ベクトルの分布をあらわす写像  によって与えられていると考えることができる。
第一次世界大戦で1916年（大正5年）から戦車が活躍すると、日本陸軍でもさっそくこの新型兵器に目をつけ、わずか1年後の1917年（大正6年）には戦車の購入を検討している。そこで水谷吉蔵輜重兵大尉がイギリスに派遣され、当初は最新のマークV戦車の購入を打診したが、最新技術の集大成であるマークV戦車を売却することをイギリスは許さず、やむを得ず次善の策として、一つ前の型であるマークIV戦車を購入することになった。そしてイギリスから輸入されたマークIV戦車の雌型が1輌、操作方法を指導するためのイギリス人将校ブルース少佐1名と下士官4名とともに、1918年（大正7年）10月17日に貨物船静岡丸で神戸港に、そこで積み替え、1918年（大正7年）10月24日に貨物船新潟丸で横浜港に入っている。日本陸軍では、1907年（明治40年）に「自動車開発研究機関」を設置。1912年（明治45年）6月に「軍用自動車調査委員会」を発会。1915（大正4）年には、発達目覚しい軍用自動車の研究や教育や試験を行う機関として、東京の信濃町にあった輜重兵第一大隊内に「軍用自動車試験班」が設立された。1918年（大正7年）10月28日、輸入されたマークIV戦車の雌型が、横浜から汐留（旧新橋駅）までは鉄道で運ばれ、汐留からは信濃町の輜重兵第一大隊へと、イギリス人将兵達の操縦で、夜間に路面の敷石を踏み砕きながら自走して持ち込まれた。その後、マークIV戦車の雌型は青山練兵場に移され、皇族や将校などを迎えて、イギリス人将兵達の操縦で試験走行が行われた。1918年（大正7年）12月には陸軍自動車学校（1925年（大正14年）設立）の前身となる「自動車隊研究班」が設立され、マークIV戦車の雌型はそこで研究されることになる。イギリス人将兵達はいつの頃か勲章を授けられて帰国している。戦時中は靖国神社の遊就館で展示されていたが、戦後の行方は不明。一説にはアメリカ軍が持ち去ったともされる。本車側面のケースメート（砲郭）からは、機関銃装備の雌型であるにもかかわらず速射砲の砲身のようなものが突出しているが、これはダミーや速射砲に換装した物ではなく、ルイス .303（7.7mm）空冷式軽機関銃の空冷用銃身被筒である（マークIVは雄雌ともに、他の型の菱形戦車がヴィッカース.303（7.7mm）水冷式重機関銃を装備していたのと異なり、ルイス軽機関銃を装備していた）。