ハワイ人とアイルランド人の両親を持つディーン・ガルシア（ギター、ベース、ドラムス、キーボード、プログラミング）と、英国人ヴォーカリストのトニ・ハリデイが共通の知人であるユーリズミックスのデイヴ・スチュワートを通じて出会い結成された。1991年に3枚のEP『Blindfold』『Frozen』『Cherry』をリリースし、翌1992年3月に1stアルバム『二重人格』（原題：Doppelgänger）を発表し、全英11位に付けた。またハリディはデペッシュ・モードのメンバー（当時）であるアラン・ワイルダーのソロプロジェクト、リコイルのアルバム『Bloodline』に参加し、「Edge to Life」「Bloodline」の2曲にボーカル提供した。11月にはそれまでにリリースした3枚のEPとシングル1曲で構成されたコンピレーション・アルバム『Pubic Fruit』を発表した。1993年9月に2ndアルバム『Cuckoo』を発表。全英23位。アルバムを引っ提げたツアーによる疲れから、1994年に2人はカーヴを一旦解散させることを決意する。その後2人は新バンドを結成したりソロで活動を開始。1996年9月にシングル「Pink Girl with the Blues」をリリースし、カーヴは再び活動を開始した。1997年11月リリースのシングル「Chinese Burn」を挟み、1998年2月に3rdアルバム『Come Clean』を発表。よりエレクトロニカに接近したサウンドを追求し、その後ヨーロッパで小規模のライヴツアーを展開した。カーヴの次のリリースは3年後である2001年5月発表のコンピレーション・アルバム『Open Day at the Hate Fest』だった。9月に4枚目のアルバム『Gift』をリリースした。アルバムにはマイ・ブラッディ・ヴァレンタインのケヴィン・シールズが2曲でギタリストとして参加した。2002年に5枚目で最後のスタジオ・アルバムである『The New Adventures of Curve』を発表。同作はインターネットのみのリリースとなった。2003年にハリディはL'Arc〜en〜Cielのドラマーであるyukihiroのプロジェクト、acid androidの楽曲「Faults」でボーカル提供を行った。2004年5月に2枚組ベスト・アルバム『The Way of Curve』をリリース。翌2005年始めにハリディはカーヴからの脱退を発表、これ以上カーヴでの活動を行わないことを宣言しカーヴは解散した。2010年10月にレア曲や未発表曲を収録したダウンロードオンリーアルバム『Rare and Unreleased』を発表した。
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2002年10月26日に阪急西宮スタジアムで第5節近大－関学戦が行われた。関学は2001年までリーグを3連覇中であり、2002年シーズンもここまで全勝でリーグの連勝記録を25までに伸ばしていた。一方の近大は序盤で神戸、甲南に惜敗し2勝2敗であった。試合は前半近大ペースで進み、17-14と近大リードで前半を終了。後半は点の獲り合いとなり、残り57秒でTDを挙げた近大が23-22と逆転。しかし、関学も残り時間を有効に使ってキッカー中野雄介が32ヤードのフィールドゴールを成功し、25-23とリードする。この時点で残り1秒であった。しかし、フィールドゴール後の関学のスタートで中野が蹴ったキックは、ゴロで転がすはずが上手く転がらずに、近大のDB須田の前に力なく落ちた。これを拾い上げた須田はそのままエンドゾーンに持ち込み逆転のリターンTDを挙げる劇的な幕切れとなった（TD後のトライフォーポイントは近大側がディクラインした。このルールは、今シーズンから4Q終了時にTDを獲得し、成功、不成功に関わらず、勝敗に関係ないトライフォーポイントは今年から行われなくなる）。近大は関学からリーグ戦18年振りの勝利を挙げた一方、関学の連勝は25でストップした。ちなみに、この試合は、GAORA（CS放送）で生放送、毎日放送（関西ローカル）で同日深夜に録画放送された。その後、2002年は関学戦後、京大に勝利し4勝3敗で4位、2003年も連続して4勝3敗を挙げ同率ながら3位となった。更なる上位を目指した2004年は苦戦した。初戦同志社に勝利するも、関大、龍谷大、神大と3連敗。京大に勝利も、立命、関学に敗れ、同率6位になり、抽選で入替戦に出場。入替戦で北陸学生リーグ11連覇中（2005年も優勝し、現在、北陸学生リーグ12連覇となっている）金沢大学に27-20で辛くも勝利し、DIV.1残留を決めた。2005年春には、東大阪（本部）キャンパスに、人工芝を敷設したEキャンパスグラウンドが完成し、練習環境が改善した。秋のリーグ戦では関大に勝利する等3勝4敗で順列6位となり、ウエスタンボウルに初出場した。ウエスタンボウルでは愛媛大学を62-7で一蹴し、初の西日本学生王座に輝いた。