具体的には以下の通りである（Sternberg (1964, Theorem II.3.1)、Sard (1942)）。「関数 f : Rⁿ → RᵐはCᵏ級で（つまり、f はk回連続微分可能で）、k は k ≧ max { n - m + 1, 1} をみたすとする。また、f の臨界点（つまり、Rⁿ上の点 x のうち、点 x における f のヤコビアンの階数が m より真に小さいような点 x）全体の集合を X とかくものとする。このとき、X の像 f ( X ) のRᵐ におけるルベーグ測度は、0 である。」これは、直感的に言えば、集合 X が大きな集合であっても、その像はルベーグ測度の意味で大変小さいということである。f には、定義域 Rⁿ上の「臨界点」はたくさん存在するのかもしれないが、終域 Rᵐ 上の「臨界値」は少数しか存在しないということである。そして一般に、上記の内容は m 次元の第二可算な微分可能多様体 M から n 次元の第二可算な微分可能多様体 N への写像について成り立つ。ただし、Cᵏ 級関数 f : N → M の臨界点とは、点 x における f の微分 df : TN → TM の線形変換としての階数が m より真に小さいような点 x のことである。このような点 x 全体の集合を X とするとき、サードの定理によれば、k ≧ max { n - m + 1, 1 } のとき X の f による像が M の部分集合として測度 0 であるというのである。このことは、ユークリッド空間についてのサードの定理をもとに、多様体に可算個の局所座標空間の貼りあわせを考えることによって導かれる。なぜならば、「測度 0 の集合の可算個の和集合は測度 0 である」ことと、局所座標空間の部分集合について「測度 0 であるという性質は、微分同相によっても変わらない」ということから、それぞれの局所座標において議論すればすむからである。
サードの定理（サードのていり、英: Sard's theorem）、サードの補題、モース・サードの定理は解析学の定理で、「ユークリッド空間（または多様体）から他のユークリッド空間（または多様体）への滑らかな関数 f について、f の臨界点全体の f による像は、ルベーグ測度が 0 である（つまり、零集合である）」ことを言うものである。ルベーグ測度が 0 であるというのは、そのような点が「ほとんどない」ということである。
ビーラ・ツェールクヴァ連隊（ウクライナ語：Білоцерківський полк）は、17世紀半ばから18世紀にかけて、右岸ウクライナに位置したコサックの連隊の一つ。コサック国家の軍事・行政単位。ビーラ・ツェールクヴァ連隊区とも。連隊庁所在地はビーラ・ツェールクヴァ町（1648年－1712年）。連隊名はビーラ・ツェールクヴァに由来する。23の百人隊を含んだ。1667年に、ロシア・ツァーリ国とポーランド・リトアニア共和国によるコサック国家の分割に伴ってポーランド・リトアニア共和国の支配下に置かれ、1699年に廃止された。1702年にコサック反乱軍によって再編成されたが、1712年にポーランド政府によってふたたび廃止された。
信濃国の仕置きを済ませた長可は、上杉景勝が柴田勝家に攻められている越中魚津城の救援に向かったという知らせを受けて、同年の5月23日に5,000の兵を率いて越後国への出兵を開始。越後国境付近の関川口の守りを突破し芋川親正・安田某らの守る田切城（妙高市大字田切字東裏にあった城）を落として、上杉領深くまで侵攻した。6月までに春日山城からほど近い二本木（上越市）を守る上条景春を破り、同地に陣を張った。当時、春日山城の兵は殆ど魚津城の救援に向かっていた。手薄な春日山城に長可が肉薄すると、上杉景勝も春日山城防衛のために魚津城の救援を諦めざるを得なかった。景勝は5月27日天神山城の陣を引き払い春日山城へと兵を返す事となった。これによって景勝の援護を得られなかった魚津城は柴田軍の攻撃によって陥落し、上杉軍は越中国における重要な拠点を失う。しかし6月2日に本能寺の変で信長が討たれると、敵地深くに進攻していた長可は一転して窮地に立たされた。6月8日には二本木の陣を払って越後国から撤退。軍議を開いて信長の仇を討つことを決定した。しかし信濃国衆にも信長死亡の報が伝わっており、長可配下の信濃国衆たちは出浦盛清を除いてほぼ全員が長可を裏切り、森軍を殲滅する為の一揆を煽動していた。これに対し長可はまず海津城の人質を逃がさぬように厳命し、入城後はただちに人質を連れて南進した。長可の家臣・大塚次右衛門が一揆と交渉したが、一揆衆は森勢の前に立ちふさがったため、長可は合戦を仕掛け勝利する。森軍は松本に到着すると人質を残らず処刑し木曽谷方面へと撤退した。唯一、撤退に協力した出浦盛清に長可は深く感謝し脇差を与えている。撤退途中に長可は「木曽福島城の木曾義昌も暗殺を画策している」という密告を城下で商売をしていた金山の商人から受けた。長可は敢えて木曽福島城を迂回せず、まずは到着日を書いた書状を義昌に送るとわざとそれより1日早い日取り、それも深夜遅くに城門を破城槌で破壊して木曽福島城に押し入るという策略を実行した。一気に乱入した家臣らは義昌の息子の岩松丸（後の木曾義利）の身柄を拘束し、暗殺の企みを封じた。翌日になり森軍は木曽福島城を後にしたが長可は岩松丸を拉致したまま解放せずそのまま帰路を無事に往く為の人質として利用している。東美濃入りした後も苗木遠山氏の遠山友忠などが暗殺を企てていたが、木曾家から手を出さぬようにと懇願された事で結局は手出しはされず森軍は無事に旧領の金山へと辿りついた。なお、安全圏に達したと判断した長可は金山に程近い大井宿でようやく岩松丸を解放している。