最初にこの地に住んだのはサン・ディエギト人 (San Dieguito people) と呼ばれる狩猟採集民で、山々からカリフォルニア湾へと食料を求めて移り行く途上、この地にも一時的に住んだ。しかし、この最初の定住は、2万年前の氷期の開始によって食料不足に陥って山々から立ち去ることを余儀なくされ、終焉を迎えたらしい。サン・ディエギト人の2度目の定住は氷期の後期に始まり、この集団は山々に戻ってきて、先祖がしたのと同じように暮らした。ティナハ（Tinaja, 原義は「大甕」）と呼ばれる水のたまったくぼ地は、この時期の頼れる水源だったに違いない。この2度目の定住は、9,000年前に後氷期が到来し、環境の変化によって再び土地から離れることを余儀なくされて終わりを告げた。現代から見て最も近い時期にピナカテ火山とアルタル大砂漠に定住したアメリカ先住民は、Hia C-eḍ O'odham（「砂丘の人々」を意味する先住民族）に属するピナカテーニョ (Pinacateño) の一群であった。先史時代のサン・ディエギト文化のように、ピナカテーニョはその宿営地をティナハ沿いに集中させつつ、食料を求めてピナカテ火山を彷徨し、海にも繰り出した。そうした旅の途上に、彼らは、ティナハからティナハへの道路網やその水源近くで見つかっている石器や土器片など、自身が存在した痕跡を残した。
ピコス・デル・ピナカテ（Picos del Pinacate, ピナカテ火山）は、火山やスコリア丘の一群で、プエルト・ペニャスコのレクリエーション・センターの北に位置している。最高峰はセロ・デル・ピナカテ (Cerro del Pinacate)、別名サンタ・クララ火山 (Santa Clara volcano) で、その標高は3,904フィート (1,190 m)である。ピナカテの名はナワトル語のpinacatl に由来し、これはゴミムシダマシ科の固有種ピナカテ・ビートル (Pinacate beetle)を意味する。ピナカテの火山群は約400万年のうち、散発的に噴火を繰り返してきたが、最も近い時期となると約11,000年前のこととなる。
エル・ピナカテ・イ・グラン・デシエルト・デ・アルタル生物圏保護区は、楯状火山の存在や、それを取り囲み、形を変化させ続ける砂丘群の広大な地域、さらにはマール・クレーターの突出した集中度といった独特の自然的・生物学的特色で知られている。アルタル大砂漠の刻々と姿を変えるその砂丘は、高さ200 mにもなる。ピナカテの山々が備えているのは、造山運動の特質、噴火による生成物、美的に優れた色彩を形成する砂、火山灰、さらにはエル・エレガンテ (El Elegante)、セロ・コロラド (Cerro Colorado)、マクドゥーガル (MacDougal)、サイクス (Sykes) といったクレーター群などである。10個のクレーター群は、その規模、深さ、きれいな円である形状などが特筆されている。
以下にフーリエ変換の閉じた表示に関する表を掲げる（フーリエ変換はよく用いられる三種類を挙げてある）。函数 ƒ(x) , g(x), h(x) に対して、それらのフーリエ変換をそれぞれ , ,  で表す。
フーリエ変換および近い関係にあるラプラス変換は微分方程式の解法において広く用いられる。f(x) を可微分函数で、そのフーリエ変換を (ξ) とすると、導函数のフーリエ変換が 2πiξ(ξ) で与えられるという意味でフーリエ変換と微分作用素は両立する。このことを用いて微分方程式を代数方程式に変換することができる。ただし、この手法は定義域が実数全体である場合にしか適用できないことに注意が必要である。これを拡張して、定義域が Rⁿ であるような多変数函数に関する偏微分方程式を代数方程式に書き換えることもできる。
可積分函数 f: R → C のフーリエ変換の定義として、よく用いられるものにもいくつか異なる流儀がある。本項ではを定義として用いる。ここでギリシャ文字小文字の ξ は任意の実数である。対象の関数における独立変数が物理量の場合、フーリエ変換は独立変数の次元をもとの逆数に移す。例えば、変換前の関数における独立変数 x が時間の次元をもつとき、変換後の独立変数 ξ は周波数の次元を持つ。あるいは、変換前の独立変数 x が長さの次元をもつとき、変換後の独立変数 ξ は波数の次元を持つ。この性質は定義より x ξ が無次元量であることから従う。適当な条件のもと、f はその変換  からフーリエ逆変換 (inverse transform)によって復元することができる（x は任意の実数）。他の定義や記法については後述する。
アラブ人たちのイスラーム共同体はエジプトから中央アジアに至る広大な地域を征服したが、ウスマーン治世中には征服活動が一段落した。そのためウスマーンは戦争に伴う戦利品の分配という伝統的な兵士たちへの報酬形態を改め、メディナから各地に徴税官を派遣し、その歳入からアラブ人兵士たちに一定の俸禄（アター、`Aṭā'）を支払うという改革を行った。そしてこれを担当する官庁（ディーワーン、Diwan ）がメディナに設置された。しかし、急激な制度変更に不満が爆発し、兵士たちは貢献度に見合った報酬の分配を強く要求し反抗の機運が高まった。さらにウスマーンが自らの一族（ウマイヤ家）に要職を優先的に委ねていたことが不満をさらに増幅した。各地の急進派がメディナに向けて進発し、エジプトのフスタートにいた不平派も同じくメディナへと向かった。彼らはウスマーンを殺害し、混乱の中で変わってアリー（在位：在位656年-661年）がカリフ位についた。しかし、ウマイヤ家のシリア総督ムアーウィヤはウスマーンの報復を誓い、アリーと衝突した。両者は衝突の後、講和を話し合ったが、これに不満を抱いたアリー軍の一部兵士たちが離脱し（ハワーリジュ派）、彼らによって661年にアリーが殺害された。この一連の過程は第一次内乱と呼ばれ、アリーの殺害をもって正統カリフ時代の終わりとされる。ウマイヤ家のムアーウィヤは既に660年に自らをカリフと宣言していたが、アリーの死亡によってムスリムの大半にカリフとして認められた（在位：661年-680年）。彼は自らの拠点であるシリアのダマスカスに都を定め、以降自らの子孫にカリフ位を世襲させた。これをウマイヤ朝と呼ぶ。さらに746年にはウマイヤ家に反対するアッバース家が反乱に踏み切り、750年にはアブー・アル＝アッバースがカリフとしてアッバース朝を建設した。