1987年7月18日、プロデビュー。1988年4月10日、4戦目でOPBFミニマム級王座獲得。2度の防衛に成功。1991年2月2日、10戦目で世界初挑戦。同じ韓国人のWBA世界ミニマム級王者金奉準に挑み、12回判定勝ち。世界王者となった。金とは10月26日の2度目の防衛戦でも対戦し、ここでも12回判定勝ちを収めた。その後、防衛回数を4に伸ばした。1992年10月14日、5度目の防衛戦（初の韓国外での試合）。東京・両国国技館で大橋秀行と対戦し、12回判定負けで王座から陥落した。その後、1年余りリングから遠ざかる。1995年2月4日、世界再挑戦。WBA世界ライトフライ級王者レオ・ガメス（ベネズエラ）に挑み、12回判定勝ちで2階級制覇を達成した。9月5日には大阪・大阪府立体育会館で山口圭司を相手に初防衛戦を行い、12回判定勝ちを収めた。1996年1月13日、2度目の防衛戦。アメリカでカルロス・ムリーリョ（パナマ）と対戦したが、12回判定負けで王座陥落。この試合を最後に引退した。
現役時代には世界ボクシング協会 (WBA)世界ミニマム級王座を4度防衛しているほか、同じくWBAのライトフライ級王座を1度防衛、またWBA世界王座挑戦に先駆けて、第2代東洋太平洋ボクシング連盟 (OPBF)東洋太平洋ミニマム級王座を2度防衛した。
1977年世界オープンタッグ選手権最終戦・蔵前国技館でのザ・ファンクスVSザ・シーク＆アブドーラ・ザ・ブッチャー戦、1981年の世界最強タッグ決定リーグ戦最終戦におけるスタン・ハンセンの突然の乱入（試合後の乱闘騒ぎで「これは全日本プロレスのリング上だ!!」とコメントしている）、その翌年の馬場・ハンセンの初一騎討ちなど、全日本プロレスの歴史的瞬間に数多く立ち会う。また、1980年5月2日、後楽園ホールでのアブドーラ・ザ・ブッチャー対ザ・シーク戦で、倉持自身がザ・シークに襲撃され額を割られ救急車送りにされるという前代未聞のアクシデントにも遭遇した（ブッチャーVSシークは局の判断で未放送となった）。全日本プロレス中継レギュラー枠最後の実況は日本武道館におけるテリー・ゴディ・スティーブ・ウィリアムス組対ハンセン・天龍源一郎組の世界タッグ選手権。ヒザを痛めていた天龍の不甲斐なさにハンセンと天龍が仲間割れしたシーンを「何だー!何だー!何が起こっている!」と実況。リング上での挨拶では「会場の皆さん!視聴率が欲しいんです!」と述べている。また、東京ドームで行われた「日米レスリングサミット」ではメインイベントのスタン・ハンセン対ハルク・ホーガン戦を実況。フィニッシュが近づいたことを感じた倉持はレポートする徳光和夫を制し「ちょっと待ってください!実況を続けます!」と述べ、「ハルク・ホーガンのアックスボンバー!これがアックスボンバーだ!」と実況。これが全日本プロレス最後の実況となった。
東京都三鷹市出身。東京都立豊多摩高等学校、早稲田大学法学部卒業。早大在籍時には笹沢左保の書生を務めている。1964年4月、アナウンサーとして日本テレビに入社。徳光和夫の薦めで『全日本プロレス中継』の実況アナウンサーの一員となる。特に1976年頃からは清水一郎、徳光の後を受けたメインアナウンサーとなる。ジャイアント馬場、ジャンボ鶴田、ミル・マスカラス、ザ・ファンクスらの数々の名勝負を18年間にわたり実況。独特の「倉持節」でプロレスファンを熱狂させ、1990年の実況最後の日には試合会場でウェーブが沸き起こるほどの支持を得た。1990年から若林健治にメイン実況を譲って事業部へ異動。その間、日本テレビ在籍のまま東京ケーブルネットワーク製作（日テレと資本関係にある）のジャパン女子プロレス実況や、NWAやWWFのビデオ実況も行っている。1995年、日本テレビの親会社である読売新聞北陸支社・金沢総局へ出向して、系列局テレビ金沢のワイド番組『2時間ワイドじゃんけんぽん』のニュースキャスターを務める。その後報道部勤務を経て 、2001年3月に定年退職。日本テレビ所属として全日本プロレスの中継に関わり続けた関係上、全日本にとって｢不倶戴天の敵」にあたるアントニオ猪木の試合の実況を担当したのは1979年8月26日に行われたプロレス夢のオールスター戦メインイベント、馬場・猪木組対アブドーラ・ザ・ブッチャー・タイガー・ジェット・シン戦のみだったが、退職後、『紙のプロレス』誌のインタビューや自らの著書で、自らが猪木に心酔していることをたびたび明かしている。金沢での勤務時代、同地を訪れた猪木と会う機会を得、人柄に魅せられたという。現在は夫人と共にスペイン・セビリアに移住している。
ミズーリ州セントルイスに生まれる。高校の時からプロ活動を始め、1940年代になると地元のクラブで演奏し、また大戦中は海軍バンドと演奏した。その後、チャーリー・バーネット(1947)、カウント・ベイシー(1948-1951)、デューク・エリントン(1951-1959)、クインシー・ジョーンズ(1960)の各バンドに在籍。この間の演奏スタイルは他のバンドリーダーは勿論、マイルス・デイヴィスらにも影響を及ぼした。その後NBCに移り、初のアフリカ系アメリカ人スタッフミュージシャンとなる。10年程、トゥナイト・ショーのレギュラーとして、ドク・セバリンセン(tp)をトップとするTonight Show Bandに参加する。ここで彼の愛称Mumblesが定着する。この間にもジャズの演奏は続けており、J・J・ジョンソン(tb)やオスカー・ピーターソン(p)、ボブ・ブルックマイヤー(tb)らとのセッションも行っている。1970年頃からはフリューゲルホルンに楽器を持ち変え、活動し始める。1970年に結成されたBig B-A-D Bandでは彼がリーダーとなって1980年代までツアーを行った。また同時期から90年代までカーネギー・ホール、リンカーン・センターなどでも演奏し、ニューポート・ジャズ・フェスティバルにも参加している。2000年以降、彼がホストとするジャズフェスティヴァルを開催、ジャズキャンプも行い、後進の育成にも務めている。来日も数度しており、1986年には同じトランペット奏者であるジョン・ファディスと共にサントリーホワイトのテレビCMにも出演した。他の共演者はセシル・ペイン、ホレス・シルバー、アート・ブレイキー、レイ・ブラウン、セロニアス・モンク等が挙げられる。レーベルはエマーシー、リバーサイド、アーゴ、キャンディッド、カメオ、ムーズヴィル、２０世紀フォックス、インパルス、メインストリーム、ヴァンガード、MPS、ポリドール、日本クラウン、エトワール、パブロ、フィリップス、エンヤ、チェスキー等に録音を残している。晩年は自宅療養を続けていたが、2015年2月21日、家族によって死亡が公表された。享年94。ただし死因は明らかにしていない。