2014年、同期入団の新人9選手からただ1人、春季キャンプを一軍でスタート。楽天の新人選手では、2007年の田中将大以来2人目であった。春季キャンプ後のオープン戦に先発要員として帯同すると、13イニング連続無失点や、ストレートで最速150km/hを記録するなど好投を継続。一軍監督の星野仙一は、2007年の田中と同様に、一軍公式戦の開幕直後から松井を先発陣の一角に組み込むことを明言した一軍公式戦開幕直後の4月2日に、プロ入り後初の出場選手登録を経て、楽天Koboスタジアム宮城の対オリックス・バファローズ戦に先発投手として一軍デビュー。6回3失点という内容で敗戦投手になると、4月16日の対福岡ソフトバンクホークス戦（福岡ヤフオクドーム）まで3連敗を記録した。NPBの一軍公式戦において、高卒の新人投手が初登板から3連敗を喫した事例は、2リーグ分立（1950年）以降では初めてであった。4月23日の対埼玉西武ライオンズ戦（コボスタ宮城）で5回表の途中に降板したことを機に、出場選手登録を抹消。抹消後には、二軍で投球フォームを改善するとともに、イースタン・リーグの対西武戦（5月31日）で公式戦初勝利を挙げた。6月6日に一軍へ復帰してからは、一時救援要員に転向。星野の病気療養などで大久保博元が一軍監督代行に就任した7月2日の対オリックス戦（京セラドーム大阪）で、救援投手として一軍初勝利を記録した。その一方で、7月17日のフレッシュオールスターゲーム（長崎ビッグNスタジアム）では、イースタン・リーグ選抜の先発投手として登板。1イニング限定ながら、2被安打1与四球という内容で1失点に終わった。8月13日の対ソフトバンク戦（ヤフオクドーム）では、一軍公式戦9試合目の先発登板で、シーズン2勝目を記録。先発投手としての一軍初勝利でもあった。また、一軍初登板のオリックス戦初回から8月26日の対西武戦（コボスタ宮城）2回表2死まで、延べ70回2/3イニングにわたって被本塁打0を継続。ドラフト制度の導入（1965年）後に堀内恒夫（1966年）が保持していた「NPB球団の高卒新人投手による一軍公式戦の連続イニング無被本塁打」という記録を48年振りに更新した（後に記録を71回1/3まで継続）。一軍公式戦通算では、4勝8敗と負け越す一方で、この年のNPBの新人投手では最も多い（パシフィック・リーグ5位タイの）126奪三振を記録した。2015年、公式戦の開幕前に「GLOBAL BASEBALL MATCH 2015 侍ジャパン 対 欧州代表」の日本代表へ選出。選出時点での年齢は19歳で、日本代表のトップチームに選出された選手としては歴代最年少であった。3月11日の第2戦（東京ドーム）では、4番手投手としてトップチームでの対外試合デビューを果たしている。この年に楽天の一軍監督へ昇格した大久保は、広島東洋カープからキャム・ミコライオがクローザー候補としてチームへ加わったことを背景に、奪三振率の高い松井をミコライオにつなぐセットアッパーへ転向させることを構想。松井自身も、春季キャンプの途中から、セットアッパー向けの調整を続けていた。しかし、松井が日本代表に合流していた期間中（オープン戦の終盤）に、ミコライオが椎間板ヘルニアを発症。その後の診断で全治に3ヶ月を要することが判明したため、大久保は、松井を急遽クローザーへ昇格させることで開幕に備えた。レギュラーシーズンでは、公式戦の開幕を初めて一軍で迎えると、シーズン初登板から13登板試合（通算16イニング）にわたって無失点を続けた。この間にクローザーとして7セーブを記録すると、救援の失敗を経験しないまま、5月25日の対西武戦（西武プリンスドーム）で10セーブ目を挙げた。NPB一軍公式戦でのシーズン10セーブは、高卒2年目の左腕投手では初めての事例。登板17試合目での達成は、右腕投手を含めてもNPB史上最速であった。31試合目の登板であった7月5日の対北海道日本ハムファイターズ戦（コボスタ宮城）でシーズン初黒星を喫したものの、オールスターゲームのファン投票では、パ・リーグの抑え投手部門で1位を獲得。7月17日の第1戦（東京ドーム）では、打者2人との対戦ながら、同リーグ選抜の7番手投手として初登板を果たした。8月4日の対西武戦でシーズン23セーブ（一軍公式戦シーズン最多セーブの球団記録）、9月9日の対千葉ロッテマリーンズ戦（いずれもコボスタ宮城）で28セーブ（高卒2年目までの投手によるNPBシーズン最多記録）を相次いで達成。ミコライオが前述のヘルニアで事実上シーズンを棒に振ったこともあって、シーズンを通じて一軍のクローザーへ定着するとともに、3勝2敗33セーブ12ホールド、防御率0.87という好成績を残した。レギュラーシーズン終了後の11月に開かれた第1回WBSCプレミア12には、日本代表のクローザーとして起用された。チームメイトの内川聖一（ソフトバンク）が所属チームと同じ背番号「1」を着用した関係で、プロ入り後初めて背番号「10」を付けている。2016年、大久保に代わって一軍監督へ就任した梨田昌孝の構想に沿って、ミコライオや青山浩二をセットアッパーへ据えることを前提に、2年連続でクローザーに起用。レギュラーシーズンの開幕前には、梨田から「40セーブ、救援失敗なし、防御率0.75以下」という目標を課せられた。レギュラーシーズンの前半戦では、1点リードの展開で登板した5月5日の対ロッテ戦（コボスタ宮城）9回表に中村奨吾に3点本塁打を浴びるなど6失点。逆転負けを喫するなど、救援の失敗が相次いだ。しかし、11試合に登板した8月には、9セーブ2ホールド、防御率0.69をマーク。その結果、パ・リーグ投手部門の月間MVPを初めて受賞した。なお、受賞時点の年齢は21歳で、パ・リーグの投手部門における左腕投手として史上最年少記録でもあった。シーズン全体では、前述の目標の到達に至らなかったものの、球団史上初の一軍公式戦2年連続30セーブを達成している。2017年、シーズン開幕前の3月に催されたワールド・ベースボール・クラシックの本大会に、野手を含めた日本代表の最年少選手として出場。2次ラウンドまでの3試合に救援で登板すると、通算で2回2/3を投げて無失点に抑えた。日本代表の準決勝敗退を受けてチームへ復帰すると、調整登板の機会を経ずに、3月31日にオリックスとの開幕戦（京セラドーム大阪）で同点の9回裏から登板。自身の志願で10回裏までの2イニングを投げると、無安打無失点で凌いだ末に、チームの勝ち越しによって勝利投手になった。以降の登板試合でも、4月29日の対日本ハム戦（札幌ドーム）9回裏にシーズン初の救援失敗でサヨナラ負けを喫するまで、13試合続けて無失点・無敗で凌ぐなど好調を維持。4月25日の対ロッテ戦（東京ドーム）に1点リードの9回表から登板すると、対戦した3人の打者へ3球ずつ投げた末に、3者連続三振を奪ってリーグトップの9セーブ目を挙げた。NPBの一軍公式戦において、1人の投手が1イニングに3者連続3球奪三振を記録した事例は史上17人目（延べ18例目）だが、楽天の投手では初めてであった。また、奪三振はいずれも空振りによるもので、相手打者を空振りさせた球数（9球中7球）もこの記録の達成者としては最も多かった。球団からのノミネート選手としてパ・リーグの抑え投手部門に名を連ねたオールスターゲームのファン投票では、同部門の得票数で2年振りに1位へ返り咲いたことから、7月14日の第1戦（ナゴヤドーム）で最後に登板。リーグ戦の再開後は、セーブ数を29にまで伸ばしていた。しかし7月27日に左肩後方筋肉の部分損傷が判明。同日付で出場選手登録を抹消されたが、8月19日から一軍に復帰すると、9月7日の対日本ハム戦（東京ドーム）でNPB史上7人目の一軍公式戦3年連続シーズン30セーブを達成した。レギュラーシーズンを33セーブで終えたことによって、NPB一軍公式戦での通算セーブ数は96にまで到達。また、シーズン終了後に推定年俸1億4,000万円（前年から5,000万円増）という条件で契約を更改したことによって、1億円プレイヤーの仲間入りを果たした。2018年、一軍公式戦の開幕当初から、救援に失敗する試合が続出。5月中旬からセットアッパーとして再起を期したが、開幕からセ・パ交流戦中までの成績が0勝5敗2セーブにとどまったことを背景に、6月7日から1ヶ月にわたって二軍での調整を余儀なくされた。一軍への復帰後は、本調子に程遠い状態が続きながらも、救援だけで4勝をマーク。9月16日の対ロッテ戦（ZOZOマリン）では、NPB史上31人目の一軍公式戦通算100セーブを、史上最年少の22歳10ヶ月で達成した。試合が立て込んでいたシーズン終盤には、暫定措置ながら先発で2試合に登板。最初の登板であった9月27日の対ロッテ戦（ZOZOマリン）で、2014年9月23日の対ソフトバンク戦（福岡ヤフオクドーム）以来1465日振りの先発勝利を挙げた。2試合目に当たる10月4日の日本ハム戦（楽天生命パーク）では、6回4失点という内容で黒星が付いたが、球団タイ記録の7者連続三振、プロ入り後初の1試合14奪三振および、先発全員奪三振を同時に記録した。シーズン通算では、一軍公式戦53試合の登板で、5勝8敗5セーブ、防御率3.65をマーク。日本シリーズ終了後の11月に開かれた日米野球では、日本代表の一員として救援で3試合に登板すると、1勝1セーブを記録した。12月13日に、かねてから交際していた石橋杏奈との結婚を発表（詳細後述）。チームの選手で最後に臨んだ契約交渉では、球団から初めての減俸提示（3,000万円減）を受けながらも、推定年俸1億1,000万円という条件で契約を更改した。2019年、レギュラーシーズンの開幕からクローザーに返り咲くと、チームトップ（パ・リーグ2位）の68試合に登板。前年から一転して好調を維持したことから、オールスターゲームにも、パ・リーグ抑え投手部門のファン投票1位で2年振りに出場した。シーズン通算では2勝8敗と大きく負け越しながらも、防御率を1.94にまで改善させたことによって、チーム2年振りのクライマックスシリーズ進出に貢献。また、パ・リーグの歴代左腕投手で最も多いシーズン38セーブを達成したことによって、リーグ最優秀救援投手のタイトルを初めて手中に収めた。日本シリーズの終了後に開かれる第2回WSBCプレミア12に向けて、第1回に続いて日本代表のメンバーに選ばれていたが、左肘の違和感を訴えたため大会前に出場を辞退している。