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後に所属することになるジャイアンツがニューヨークからサンフランシスコに移転した1958年に生まれる。1977年のドラフト会議で、ニューヨーク・ヤンキースから1巡目に指名され、入団したが、メジャー昇格は遅れ、ヤンキースのピンストライプに袖を通すことなく、1981年10月21日にセントルイス・カージナルスに移籍。1982年の開幕は3Aルイビル・レッドバーズで迎えたが、メジャー昇格を果たし5月10日に初出場。その年はルーキーながら123試合に出場し、打率.296、4本塁打、56打点、24盗塁の活躍。新人王はロサンゼルス・ドジャースのスティーブ・サックスに譲ったが、遜色ない働きをみせた。チームはその年ワールドシリーズ進出を果たす。ミルウォーキー・ブルワーズ（当時はア・リーグ所属）とのワールドシリーズ第3戦では、ワールドシリーズの歴史に残る活躍を見せた。2本塁打を打ったが、これは新人としては1939年のチャーリー・ケラー、1957年のトニー・クーベック（いずれもヤンキース）に次いで史上3人目。後に1996年にアンドリュー・ジョーンズ（ブレーブス）が4人目となった。そのシリーズでは、ABCのアナウンサーによって「E.T.」と名付けられた。守備でも9回裏にゴーマン・トーマスの本塁打性の当たりをキャッチする活躍。このシリーズは第7戦までもつれ込んだが、最後はカージナルスがワールドチャンピオンに輝いた。俊足を生かしてトム・ハー、オジー・スミス、ロニー・スミスらとともに「ホワイティ・ボール」（監督ホワイティ・ハーゾグ好みの俊足）の一員として活躍。1983年には初のオールスター出場を果たし、1984年6月23日にはサイクルヒットを達成。そして1985年には、主に二番を打ち、スイッチヒッターのナ・リーグ記録となる打率.353で首位打者のタイトルを獲得。216安打、三塁打18もリーグ1位。この年新人で110盗塁したビンス・コールマンがいたこともあり、本塁打10ながら82打点をマーク。この活躍でMVPに選ばれた。チームはワールドシリーズ出場を果たしたが、3勝1敗の優位からカンザスシティ・ロイヤルズに敗れる。守備面でも優れ、ゴールドグラブ賞を3回獲得している。1985年にはシルバースラッガー賞も受賞した。その後も、1985年、1987年、1988年にオールスターに出場。1987年には自身三度目のワールドシリーズ出場を果たすが、ミネソタ・ツインズに敗れる。1990年8月29日に、外野手フェリックス・ホセプラス、マイナー2投手との交換で、ア・リーグのオークランド・アスレチックスに移籍。この時点ですでに最終的な規定打席に達していて、しかも.335の打率を残し、ナ・リーグでそれを上回る選手がいなかったため、メジャー史上初の「シーズン終了時点でリーグに所属していないのに首位打者」という珍事となる。アスレチックスは3年連続の地区優勝・リーグ優勝への追い込みにマギーを獲得し、ワールドシリーズ出場を果たすがシンシナティ・レッズに4連敗に終わる。オフにフリーエージェント（FA）となって、故郷のサンフランシスコ・ジャイアンツがブレット・バトラー（ドジャースにFA移籍）の後の一番打者を探していたこともあって、契約。1991年から1993年までは3割前後の活躍を見せるが、1994年は故障で45試合の出場に終わり、自由契約となる。1995年6月6日にボストン・レッドソックスと契約するがこの年も67試合の出場に終わると、1996年には古巣カージナルスに復帰。アスレチックス時代の監督トニー・ラルーサのもと、出場数は少ないものの1996年、1997年は3割をマーク。1999年を最後に現役を引退。背番号「51」は引退後一度の使用のみであり、2001年以降誰も着用しておらずカージナルスの準永久欠番となっている。ファンの人気は絶大であり、永久欠番となる事が確実視されている。
カッコイイ系やスポーツマン系、可愛い系のモデルが多く、男同士の絡みやオナニーのほか、「ノンケのマジSEXみせちゃいます」シリーズのように、異性間のSEXを男性中心に撮った作品もある。レーベルは「GET」、「Men's Street」などがあり、「GET」がほとんどを占める。過去には「Evo」、「TANK」などがあったがすぐに廃している。また「Men's Rush.TV」で、他社作品を含めた動画配信も行っている。配信した自社作品の中からセレクトして「Men's Rush.TV Premium Channel」「Men’s Rush.tv Collection」などとしてディスク版をリリースしている。
2013年の6月に行われた2013年のNBAドラフトではデンバー・ナゲッツに全体の27位で指名され、その後のトレードでユタ・ジャズへと移籍した。ルーキーシーズンは45試合の出場に終わったが、2014-15シーズンは全82試合にフル出場。ポジションを争っていたエネス・カンターがオクラホマシティ・サンダーに移籍して以降はスターターに定着し、平均8.4得点9.4リバウンド2.3ブロックを記録。MIP候補にも上げられた。2016年10月31日、ジャズと4年1億200万ドルで契約を延長した。2017年1月20日のダラス・マーベリックス戦では、27得点25リバウンドを記録し、NBA入り後初の "1試合20得点20リバウンド" の快記録を達成。3月22日のニューヨーク・ニックス戦では、自己最多の35得点を記録した。2016-17シーズンは、平均2.6ブロックショットを記録し、初のブロック王を受賞した。ユタも2012年以来のプレーオフ進出を果たし、第4シードのロサンゼルス・クリッパーズとの対戦となった。ゴベールには初のプレーオフゲームの出場となったが、第1戦の開始直後に左膝を痛めロッカールームに下がった。4月15日、MRI検査によって、左膝の過伸展と骨挫傷と診断され第2、3戦と欠場したが、第4戦で復帰。24分の出場だったが15得点13リバウンドを記録し、勝利に貢献した。
ホーピン・タン（Ho-Pin Tung, 董荷斌、拼音:Dǒng Hébīn,1982年12月4日 - ）は、中国系オランダ人のレーシングドライバー。
オランダ東部ヘルダーラント州フェルップに生まれ、1997年にカートレーシングを始める。その後シングルシーター・レーシングへ移行し、2003年にはフォーミュラBMWアジアシリーズで総合優勝したことでウィリアムズF1チームをテストドライブする権利を与えられた。2004年から2006年までドイツF3に参戦し、2006年には9勝を挙げタイトルを獲得している。2007年はBCNコンペティションからGP2、2008年はトライデント・レーシングからGP2アジアシリーズとGP2に参戦した。また、2006-07、2008-09シーズンのA1グランプリを中国チームの一員としても戦っている。2009年はスーパーリーグ・フォーミュラに移った。2010年にはジェローム・ダンブロシオ、ヤン・チャロウズと共にルノーF1のリザーブドライバーとなる一方、DAMSから再びGP2に挑戦してもいる。2011年以降はインディ500のスポット参戦やル・マン24時間耐久レースに参戦するなどしていた。2014年9月、同年より新たに開催されたフォーミュラEにおいてチャイナ・レーシング・フォーミュラEチームより参戦している。2016-17年シーズンから同シリーズに参戦するパナソニック・ジャガー・レーシングのリザーブドライバーとして契約している。2017-18年シーズン、2018-19年シーズンでも引き続きジャガーのリザーブドライバーを務める。2016年からWECのLMP2クラスにフル参戦を開始。2017年からはジャッキー・チェンが共同オーナーを務めるジャッキー・チェン・DCレーシング所属となった。2017年はバイヨン・レベリオンに、2018-19年はシグナテック・アルピーヌ・マットムートに敗れ、それぞれランキング2位に終わっている。また、ジャッキー・チェン・DCレーシングの所属となってからはル・マンを含め数々のPPや優勝、表彰台を収めている。そのためLMP2クラスの中では強豪のチーム、及び強豪メンバーの1人として君臨している。
1505年頃にポルトガル人ゴンサロ・アルバレスにより発見され、ディエゴ・アルバレス島と命名された。1731年にイギリス船リッチモンド号のチャールズ・ゴフ船長に再発見され、後にイギリスとアメリカのアザラシ猟の猟船が1804年に島に着き、猟師からゴフ島と呼ばれるようになった。クジラやアザラシを捕獲するため島に滞在することはあったが、長く定住した者は居なかった。1811年以来には科学者が島に周期的に訪問している。永続的な観測施設は1955年にイギリスの科学者によって最初に確立された。ゴフ島は1938年にイギリス領とされた。
前作「Connectus and selfish」から約9か月ぶりのリリース。ドラムを担当していたICCHANが脱退して最初の作品である。ちなみに、発売当日はアイスクリームの日となっている。
初項 a, 公差 d の算術数列 (青) と初項 b, 公比 r の幾何数列 (緑) を合成して得た算術幾何数列の最初のほうの項は のようになっている。簡単のため、本項ではこれ以降 b = 1 と仮定して話を進める。
例えば数列  は d = b = 1, a = 0, r = 1/2 の定める算術幾何数列である。
算術幾何数列の初めの n 項からなる第 n-部分和 は閉じた形の式  で表すことができる。
求める和 に公比 r を掛けて  としてから、辺々引くことにより を得る（最後の行、真ん中の項は幾何級数の公式を用いた）。最後に、両辺を (1 − r) で割れば所期の式を得る。
d = b = 1, a = 0, r = 1/2 で定まる算術幾何級数  は収束して S = 2 である。この数列はコイントスにおいて「テイル」を得るまでの回数の期待値に対応している。k-回目のトスで初めてテイルを得る確率 Tₖ は、で与えられる。したがってトス回数の期待値は である。
マンゴチ（Mangochi）は、マラウイ南部州にある県であり、中心となる都市もマンゴチ（Mangochi Town）である。本稿では県と都市の双方について説明する。
この県は6273km²の面積と61万0239人の人口を擁する。マラウイにおける商業の中心地の1つとして知られ、マラウイの全地区へ通じる主要な道路が敷設されているほか、東のモザンビーク国境ともシーレ川を渡った先の地点で道路で繋がっている。北部へ向かう道路は途中でサリマ県方面とモンキー・ベイ方面へ分岐しているほか、西部の道路はデッザ県の丘陵地域に通じている。南方の道路は、マチンガ県からゾンバ県まで坂道を上り、その先を進むと、かつての首都であったブランタイヤへと到着する。マンゴチ県は、夏には猛烈に暑く、冬はマラウイ湖によって一帯が氾濫原となるため高湿度である。このマラウイ湖はアフリカで3番目の大きさを誇る湖であり、1859年9月18日にデイヴィッド・リヴィングストンによってヨーロッパに報告された。他のアフリカの地域と同様にAIDSによって悩まされている地域であり、貧困な家庭、気候変動、社会的基盤の深刻な不足など、問題は山積みである。その一方で、非常に美しい観光地としても知られ、豊富な天然資源、チャンボなどの多種多様な魚、美しい太陽や砂浜などがある。ロッジも数多く存在するが、その中で最も高級なのがクラブ・マカコラ (Club Mac) である。マラウイ湖ではカバなどの野生動物に脅かされることなく泳ぐことが可能で、アフリカン・シクリッドのような美しい熱帯魚を観察できる。また、湖は数多くの野鳥の生息地ともなっており、マラウイの国鳥であるウミワシ（African Fish Eagle）やハクトウワシなどを見ることが可能である。その他、米の名産地として知られている。この県の人口の多くはヤオ族からなる。
この都市はマラウイ南部州にあり、マンゴチ県の中心都市で、主要産業は商業と観光である。2010年時点の国勢調査によれば、都市の人口は4万2309人であった。
長崎県生まれ。1975年長崎大学教育学部中学校教員養成卒、1979年広島大学大学院文学研究科博士課程単位取得。2007年「日本列島における海岸部地名語彙の研究」で東北大学文学博士。四国女子大学助教授、高知大学人文学部助教授、人文社会科学系教授を務める。
2003年にアーロン・ロン(ボーカル)、クリス・アッシュ(ベース)、アンドリュー・トカチク(ドラム)、クリス・クロール(ギター)、ジム・ホッキング(ギター)の5人で結成。当時はデスコアバンドとして活動していた。ランシングでのライブ活動の後、ロンと入れ替わりでアンドリュー・ユールがボーカルとして加入。そのメンバーで最初のセルフタイトルEPをリリースおよびライブを行った。その後も多くのメンバーの変遷を経て、2007年に3枚目のEPとなる『New Beginning』をリリースする。この作品以降、当時ベーシストを務めていたチャド・ルーリッグがボーカルを執ることになる。その後、マーカス・モーガンが新しいギタリストとして加入し、2008年にライズ・レコードより初のフルアルバム『Changes』をリリースする。しかしこのアルバムのリリース後、ルーリッグが脱退してしまう。バンドは新たに、From Under the Gallowsでボーカルを務めていたディラン・リクターを迎え、2009年に2枚目のフルアルバム『Relentless』をリリースする。2011年2月、トカチクがザ・ゴースト・インサイドでの活動に専念するため脱退。同年5月、ア・デイ・トゥ・リメンバーのギタリスト、トム・デニーをプロデューサーに迎え制作した3rdアルバム『Back Burner』をリリース。2012年7月、デニーを再びプロデューサーに迎えた4thアルバム『Wasted Youth』をリリースする。この作品以降2013年までアーテリー・レコードに籍を切り替えている。2013年1月、リクターがバンドの脱退を宣言すると、翌月の2013年2月にルーリッグが5年振りの復帰を果たす。また、ルーリッグに次いでドラマーのトカチクも復帰した。3月にはライズ・レコードに再移籍する。2014年1月、ライズ・レコードよりルーリッグ復帰後初のフルアルバムである5th『Heavy Hearts』をリリース。2018年2月、6th『Six』をリリース。
国内外の経済的社会的環境に応じたエネルギーの安定的かつ適切な供給の確保及び、エネルギーの供給に係る環境負荷の低減を図る上で、再生可能エネルギー源の利用が重要となっていることを前提としている。その上で、電気事業者による「再生可能エネルギー電気」の調達に関し、価格、期間等について特別の措置を講ずることにより、エネルギー源としての再生可能エネルギー電気の利用を促進し、もって日本の国際競争力の強化及び産業の振興、地域の活性化その他国民経済の健全な発展に寄与することを目的とする（第1条）。
2003年施行の電気事業者による新エネルギー等の利用に関する特別措置法（RPS法）は再生可能エネルギーによる供給力増加に一定の効果を与えたものの、他国と比較してもその普及速度は著しいものではなかった。より効果の高い固定価格買い取り制度の導入を求める意見が強まり、2009年（平成21年）11月から自家用太陽光発電の余剰電力買取制度が始まり、これを再生可能エネルギー全体に広げるものとして策定された。2011年3月11日の東日本大震災以前に発案された時点で、原油や天然ガスなどの主要化石エネルギー源が抱える価格変動や政情によるリスクを軽減するためのエネルギー安定供給、地球温暖化対策としての温室効果ガス排出量削減、世界的に開拓が進んでいる環境産業（再生可能エネルギー特有の分散型電源導入に伴うスマートグリッド産業も含む）の育成という主に3つの目的を掲げている。震災後、福島第一原子力発電所事故により日本の原子力発電所の安全性問題が浮上し電力源としての原子力利用が社会的に議論を巻き起こす一方、震災による発電施設被害と原発稼働率低下により電力危機が発生し、エネルギーを取り巻く環境が一変したことを受けて、エネルギー基本計画の変更が行われた場合には制度の再検討を行う（附則第10条）規定を設けている。電気を大量に使う企業には負担が大きいとの指摘が衆議院経済産業委員会で指摘され、賦課金に対する特例（第17条）の追加等の法案修正が行われた。
附則第7条では、施行から3年間に限定し「調達価格を定めるに当たり、特定供給者が受けるべき利潤に特に配慮する」、つまり先行導入者が高い価格で売電できるように設定することでインセンティブとし「集中的に再生可能エネルギー電気の利用の拡大を図る」ことを規定している。初年度となる2012年度（7月1日）の設定では、建設費・運転維持費および内部収益率(IRR)を算定根拠として10kW以上の太陽光で20年間42円/kwh、20kW以上の水力で20年間23.1円などとした。特定供給者の利潤を左右するIRRとして、日本の標準的な値を税引前5 - 6%程度、3年間の経過措置として7 - 8%程度として算定している。また賦課金は国内一律0.22円/kWhであり、余剰電力買取制度の負担金を含めて標準家庭1か月（300kWh、約7000円）あたり約87円の負担増とした。再生可能エネルギー発電促進賦課金は制度開始から徐々に値上げされ、2016年（平成28年）5月分から1年間の電気料金に適用されている賦課金は、一般家庭で使用した電気量につき2.25円/kWh（300kWhの場合675円）。
アルバニー(Albany)は、オーストラリア・西オーストラリア州の南部に位置し、グレート・サザン地域に属する港湾都市である。州都パースから南東に約400kmの距離にある。
人口は約37000人で、州第6位。市中心部はキングジョージ湾の一部であるプリンセスロイヤルハーバーの北岸にあたる。アルバニーの歴史は、1827年にイギリス軍によって建設された駐屯地にはじまる。パースの建設(1829年)よりも2年ほど先んじており、西オーストラリア州における最古のヨーロッパ人入植地である。当初はフレデリクスタウンと名付けられた。1831年にスワン川入植地(西オーストラリア州の前身)の一部に編入され、翌年ジェームズ・スターリングによってアルバニーと改称された。19世紀後半から20世紀初頭にかけて、アルバニーは西オーストラリア第一の港を有し、イギリスとの航路の寄港地として、ならびにカルグーリーなど当時ゴールドラッシュに沸いていた東方の金鉱脈への玄関口として賑わった。しかしフリーマントルにおける港湾の建設・拡張により、その重要性は薄れていった。以降アルバニーの主産業は農業と林業へと移り変わり、さらに後年には捕鯨が加わった。今日においては、よく保護された歴史的遺産と美しい自然環境が多くの観光客を引きつけ、また周辺の観光地を巡る際の拠点としても大きな地位を占める。さらに、第一次世界大戦に参戦する兵士たちがヨーロッパへ向けて出港した地としても知られる。
市街中心部はメルビル山とクラレンス山の間の丘陵部にあり、プリンセスロイヤルハーバーを見下ろしている。アルバニーの周辺には無数の綺麗なビーチがあり、中心部に最も近いミドルトンビーチをはじめフレンチマンズベイやマトンバード島などが人気である。ただし、岩場などで波にさらわれる人が多いことでも知られており、巨大波もしくは類似の現象との関連が考えられている。パースとはアルバニーハイウェイおよび国道1号線で結ばれている。前者は両都市間を直結しており、後者は遠回りではあるものの観光スポットを多く経由する。トランスwaの長距離バスが運行しており、アルバニーハイウェイ経由で所要6時間、国道1号線経由便では9時間かかる。
ヨーロッパ人の入植より以前、アルバニーの周辺地域はアボリジニのヌンガー部族が夏季に狩猟採集活動を行う土地であった。彼らは、この土地を「雨の場所」という意味の「キンジャーリン(Kinjarling)」と呼んでいた。1626年、オランダ人探検家フランソワ・ティッセンはインドネシアへ向かう途中に針路を南に大きく逸れてしまい、その結果この周辺をはじめとしたオーストラリア大陸南岸を初めて訪れたヨーロッパ人となった。彼のような初期のヨーロッパ人探検家は、罠を使って漁をした形跡や、朽ち果てた建物が並ぶ小さな集落の跡地などをカルガン川周辺やエミューポイントなどで発見していた。1791年、イギリス人探検家ジョージ・バンクーバーが、後にキングジョージ湾と名付けられる入り江を含めたオーストラリア南岸を探検した。彼は9月26日にアルバニーの近くで停泊し、この地についてイギリスの領有を宣言した。彼は現地のアボリジニに対し友好的に接するように努め、良好な関係を築いた。1792年、フランス人航海者ブルニー・ダントルカストーはルシェルシュ(Recherche)とレスペランス(L'Esperance)の2隻の船を率いてルーウィン岬から東進しオーストラリア南岸の海域に入った。彼の艦隊は悪天候に遭い、アルバニーの西の島影で錨泊した。1801年、オーストラリア大陸一周を試みていたイギリス人航海者マシュー・フリンダースがキングジョージ湾に入り、そこまでの航海をもとに海図を制作するため一か月ほど滞在した。これらの探検航海により、キングジョージ湾の周辺は入植に適した土地であると徐々に知られるようになっていった。1826年、この地域への進出を目論んでいたフランスの機先を制するために、イギリス軍人エドモンド・ロッキャーがシドニーより派遣された。同年末に軍艦アミティ(Amity)に乗船した彼の部隊が当地に上陸し駐留を開始した。ロッキャーはさらわれて性奴隷とされていたアボリジニの女性たちを沖合の島より助け出し、グレートオーストラリア湾でオットセイ狩りに従事していた2人の猟師を犯人として捕らえ、裁判にかけるために東の既存入植地へと送還した。ヌンガー部族の人々はこの行為を褒め称え、以前より結ばれていた先住民とヨーロッパ人探検家との友好関係はより一層確かなものとなった。当初は、陸軍の最高司令官であったフレデリック・オーガスタスの名前を拝しフレデリクスタウンと呼ばれていたが、1832年初頭、ニューサウスウェールズ州から分離し準州へと昇格していたスワン川入植地の初代総督ジェームズ・スターリングによりアルバニーと改称された。フレデリック・オーガスタスがヨーク・アルバニー公であったことにちなむ。なお、フレデリック・オーガスタスの父ジョージ3世はキングジョージ湾にその名を残している。1841年にエドワード・ジョン・エアが初めての陸路による西オーストラリア到達行をおこなった際、アルバニーが最終目的地となった。19世紀末にオーストラリア連邦国家の建設が議論された際には、パースやフリーマントルと違い連邦樹立に賛成の立場をとった。アルバニーの中心であるプリンセスロイヤルハーバーの港は、メルボルン以西のオーストラリア南岸ならびに西オーストラリアにおける最大の天然港であり、フリーマントル港が拡張されるまでは西オーストラリア随一の水深を誇る港でもあった。そのため、長年にわたりイギリスから西オーストラリアへと向かう外洋船舶の最重要寄港地として、パースを上回る地位にあった。しかし1897年にアイルランド人技師チャールズ・オコーナーがダイナマイトを使用してフリーマントル港の改良事業を行い、西オーストラリア州の玄関口としての栄位をアルバニーより奪った。しかし以降も、新鮮な空気、清らかなビーチ、そして美しいインド洋の風景で、西オーストラリア州の南西地域の代表的都市として繁栄を続けている。
第一次大戦に参戦するためヨーロッパへ向かうアンザック(ANZAC：オーストラリアとニュージーランドの連合軍)は1914年10月1日にアルバニーに集結し、11月1日に出港した。現在、アルバニー中心部にほど近いクラレンス山の山頂部が記念公園となっており、記念碑が建っている。碑は負傷した軍馬に跨るニュージーランド軍兵士を別の軍馬に跨ったオーストラリア軍兵士が抱え上げようとしている大きな銅像であり、その台座には"Lest We Forget"と刻まれている。毎年記念式典がおこなわれ、数千人が参列する。また、アンザックにとっての最初の戦いであるガリポリの戦いにおいて敵将であったケマル・アタテュルクを称え、プリンセスロイヤルハーバーの入り口はアタテュルク海峡と名付けられている。
アルバニーの主産業として観光業、漁業、農業が挙げられる。1950年代までは捕鯨産業が産出額的にも雇用的にも主要な地位にあった。アルバニーの捕鯨基地は南半球で最後に残された捕鯨拠点であったが、1979年に操業を終え、現在は捕鯨船チェインズ(Cheynes)とともに捕鯨博物館となっている。博物館、刑務所跡、プリンセスロイヤル要塞跡、西オーストラリア最古の家屋であるパトリックテイラーコテージなど多数の歴史的建造物が存在し、西オーストラリア州での歴史におけるアルバニーの重要性を探る絶好の場となっている。ナチュラルブリッジとザ・ギャップに代表される、峻厳にして美しい自然景観も数多く、純白の砂が広がるビーチとともに観光客を集めている。2001年にキングジョージ湾に沈設された駆逐艦パースは、ダイビングスポットとなっている。パースから1000kmに渡って続くウォーキングコース、ビバルマントラックの終点としても知られる。郊外に風力発電基地があり、12機の風車を有しオーストラリア最大の規模を誇る。南からの強い風を受けて風力タービンを回し、最大でアルバニーの電力需要の75%までを供給できる。
ループバック（英語: loopback, loop-back）とは、意図的な処理や変更なしに送信元に戻って来る、電子信号、デジタルデータストリーム、またはアイテムの流れである。これは、主に、送電や輸送のインフラストラクチャを試験する手段として使用される。ループバックには多くの応用例が存在する。1つの通信端点のみを有する通信路であってもよい。そのような通信路によって送信されたメッセージは、すぐにその同じ通信路によってのみ受信される。電気通信では、ループバック装置は、交換機へのアクセス網の伝送試験を実行するが、これは通常、サービスされる端末の人員の支援を必要としない。ループアラウンドは、必ずしも隣接していない局間の試験方法で、2つの通信線が使用され、1つの局で試験が実行され、2つの通信線が離れた局間で相互接続される。パッチケーブルは、手動または自動で、リモートまたはローカルで適用されるループバックとしても機能し、ループバック試験を容易にする。信号の往復ともにアナログ・デジタル変換処理を含むシステム（モデムなど）の場合は、アナログ信号を直接送信元に戻すアナログループバックと、デジタル信号に変換後に再度アナログ信号に変換してから送信元に戻すデジタルループバックとがある。
電気通信において、ループバック（または単にループ）とは、受信した信号またはデータを送信者にフィードバックするハードウェアまたはソフトウェアの方法である。物理的な接続の問題を解析するのに役立つ。試験用に、多くのデータ通信デバイスは、特定のパターンをインタフェース上に送信するように構成することができ、同じポート上でこの信号の受信を検出することができる。これはループバック試験と呼ばれ、モデムやトランシーバ内でその出力を自身の入力に接続することで実行できる。異なる2地点間の回路は、ある位置の回路上に試験信号を印加し、他の位置のネットワーク装置に回路を介して信号を戻すことによって試験することができる。このデバイスが独自の信号を受信した場合、これは回路が機能していることを示す。ハードウェアループは、受信機チャネルを送信機チャネルに物理的に接続する単純なデバイスである。X.21のようなネットワーク終端コネクタの場合、これは通常、単にピンをコネクタに一緒に接続することによって行われる。送信コネクタと受信コネクタが別になっている光ファイバや同軸ケーブルのような媒体は、適切な媒体の単一のケーブルを使ってループさせることができる。モデムは、対向側のモデムまたはローカル端末からの着信信号をループするように設定できる。これは、ソフトウェアループと呼ばれる。
シリアル通信のトランシーバは、その機能を試験するためにループバックを使用できる。例えば、デバイスの送信ピンを受信ピンに接続すると、デバイスは送信する信号を正確に受信する。このループ接続をケーブルの遠端に移動すると、試験の対象にケーブルが追加される。それをモデムリンクの遠端に移動すると、テストがさらに拡張される。これは一般的なトラブルシューティング手法であり、特定のパターンを送信し、戻ってくるエラーを数える特殊なテストデバイスと組み合わせることがよくある（「符号誤り率試験を参照）。一部のデバイスには、組み込みのループバック機能が含まれている。「ペーパークリップ試験」(paperclip test)と呼ばれる単純なシリアルインタフェースループバック試験は、コンピュータのシリアルポートを識別し、動作を確認するために使用されることがある。これは、ターミナルエミュレータアプリケーションを使用して、フロー制御をオフに設定して文字をシリアルポートに送信し、ループバックを受信する。この目的のために、D-subminiature DE-9またはDB-25のコネクタを使用た標準のRS-232インタフェース上のピン2とピン3（受信ピンと送信ピン）を、ペーパークリップを使用して短絡する。
インターネットプロトコルスイートの実装には、ネットワークアプリケーションが同じマシン上で実行するときに通信できる仮想ネットワークインターフェイスが含まれる。これは、オペレーティングシステムのネットワーキングソフトウェア内で実装され、パケットをネットワークインターフェイスコントローラ(NIC)に渡さない。コンピュータプログラムがループバックIPアドレスに送信したトラフィックは、別のデバイスから受信されたかのように、ネットワークソフトウェアスタックに戻される。UNIX系のシステムでは通常、ループバックインタフェースにはloまたはlo0と名前を付けられる。Internet Engineering Task Force(IETF)標準では、IPv4アドレスブロック 127.0.0.0/8 （CIDR表記）とIPv6アドレス ::1 がこの目的のために予約されている。最も一般的なIPv4アドレスは 127.0.0.1 である。通常、これらのループバックアドレスは、自端末のホスト名、localhost、loopbackにマップされる。
一部のコンピュータネットワーク機器では、管理目的で使用される仮想インターフェイスに「ループバック」という用語が使用されている。通常のループバックインターフェイスとは異なり、このタイプのループバックデバイスは、自身と通信するためには使用されない。このようなインターフェイスには、ネットワーク経由で管理装置からアクセスできるアドレスが割り当てられるが、デバイス上の物理インターフェイスのいずれにも割り当てられない。このようなループバックデバイスは、機器から発生する警報などの管理データグラムにも使用される。この仮想インターフェイスが特別なのは、それを使用するアプリケーションが、トラフィックが通過する物理インターフェイス上のアドレスではなく、仮想インターフェイスに割り当てられたアドレスを使用してトラフィックを送受信することである。この種のループバックインターフェイスは、実際の物理インターフェイスとは異なり、物理ポートに障害が発生してもダウンしないという性質を持つため、ルーティングプロトコルの操作でよく使用される。
国際地球観測年の成功を受けて、1961年の3月に設立された。現在、117か国の団体により組織されており、国際科学会議の参加メンバーでもある。特に世界的に重要度の高い地質学の問題についての研究を中心に奨励、促進しており、その他にも地球科学における国際的かつ学際的な連携をサポートしている。国際地質科学連合の事務局は現在、ノルウェーのトロンハイムにあるノルウェー地質調査所 (Norwegian Geological Survey; NGU) におかれている。
2005年12月22日、国際連合により設定された国際惑星地球年（International Year of Planet Earth、2008年）における活動に貢献している。また、4年ごとに開催される万国地質学会議の後援もしている。国際連合教育科学文化機関の主催する地質科学国際研究計画（International Geoscience Programme）とジオパークネットワークにおける共同パートナーでもある。
国際地質科学連合の出版物の発行、配布は、ロンドン地質学会が監督しており、4年ごとに発行される雑誌 Episodes の製作、配布は、中華人民共和国国土資源部が担当している。
国勢調査局の調査では総面積3.0平方キロ（1.1平方マイル）で、うち2.9平方キロ（1.1平方マイル）が陸地、総面積の1.75%にあたる0.1平方キロ（0.04平方マイル）が水域である。
2000年の国勢調査時点でこの市には582人、240世帯、154家族が暮らしていた。人口密度は1平方キロあたり200.6人で、平方マイルに換算すると519.3人となる。住居数は261軒で、1平方キロあたりに90.0軒（1平方マイルあたりでは232.9軒）建っていることになる。住民のうち白人が98.28%を占め、他にはアジア系が4人、太平洋諸島系が1人、その他の人種が2人、混血が3人、ヒスパニックまたはラテン系が2人いる。240世帯のうち27.5%は18歳未満の子供と暮らしており、52.5%は夫婦で生活している。8.3%は未婚の女性が世帯主であり、35.8%は家族以外の住人と同居している。28.8%が独り身世帯で、11.3%を独居老人が占める。1世帯あたりの平均構成人数は2.26人、家庭の構成人数は2.73人である。住民のうち20.8%が18歳未満の未成年、7.9%が18歳以上24歳以下、26.8%が25歳以上44歳以下、21.1%が45歳以上64歳以下、23.4%が65歳以上となっており、平均年齢は42歳である。女性100人に対し男性が90.8人いる一方、18歳以上の女性100人ごとに対しては90.5人いる。一世帯あたりの平均収入は30,278米ドルで、家族ごとでは36,750米ドルである。男性の平均収入は31,364米ドル、女性の平均収入は23,125米ドルで、労働者でない人々も含めた住民一人当たりの収入は15,447米ドルとなる。総人口の10.0%、家族の5.8%、18歳未満の子どもの4.1%、および65歳以上の老人の22.0%は貧困線以下の収入で生計を立てている。
このアイデアは、スコットランド代表のファンが冗談で始めた。同チームが1967年4月15日のブリティッシュ・ホーム・チャンピオンシップで、1966年のワールドカップ王者イングランドを破った事がきっかけである。イングランドは、この試合でワールドカップ優勝後に初めて敗れた。それから何十年も後にインターネットが普及すると、この非公式世界王者のウェブサイトが開設され、1872年まで遡ってのデータがまとめられた。これをイギリスのサッカー雑誌『フォーフォーツー』が特集に取り上げたことで広く認知され、同誌が編集に携わり始めた。
サッカー初の国際試合は、1872年11月30日にハミルトン・クレシェントにてイングランドとスコットランドの間で行われ、0-0のスコアレスドローに終わった。その3か月後、1873年3月8日にケンジントン・オーバルで再戦があり、4-2でイングランドが勝利してUFWC初代チャンピオンの地位を得た。1876年からはウェールズが、1882年からはアイルランドが、それぞれ国際試合に参加するようになった。王座はイングランドとスコットランドの間で争われ続けたが、1903年3月にアイルランドがスコットランドを3-0で下したことで、3か国目のチャンピオンが誕生した。ウェールズの王座獲得は、1907年3月にスコットランドを1-0で破るまで待たねばならなかった。1908年に王座を奪回したスコットランドはイングランドと同様、グレートブリテン及びアイルランド連合王国の構成国（これらはホーム・ネイションズと呼ばれる）としか試合を行わなかった。1909年末にイングランドが、ブリテン諸島以外の国との国際試合で初勝利を挙げた。アイルランドが1927年にイングランドに勝利して3度目のチャンピオンとなったが、当時「アイルランド」の名称を使うチームは2つあり、この時のチームはアイリッシュ・フットボール・アソシエーションが管轄する北アイルランド代表を指す。しばらくの間、UFWC王座が海外に流出することはなかった。それは、ホームネイションズが1930年・1934年・1938年のワールドカップに参加しなかったためであり、また、第一次世界大戦や第二次世界大戦の影響からサッカーの国際化が遅れたためでもある。
1931年5月16日、UFWCは初めてブリテン諸島外に移り、オーストリアが新王者となった。しかし1932年7月12日にイングランドがオーストリアを4-3で下したことで、UFWCはまたもホームネイションズ内で争われる時代に入った。1940年代に入るとヨーロッパ大陸の国々、特に第二次世界大戦中は枢軸国と中立国がその地位を占めた。1950年のワールドカップを前にイングランドが王座を取り戻したが、本大会の第1ラウンド（6月29日）ではイングランドがアメリカ合衆国に0-1で敗れる番狂わせ (en) が起こり、初めてタイトルが大西洋を越えた。さらに、同グループ最終戦でアメリカ合衆国を破ったチリがUFWC新王者となり、しかも同国が第1ラウンドを突破できなかったので、タイトルは南アメリカに渡った。タイトルがアメリカ州にある間、1963年にはオランダ領アンティルがチャンピオン国となった。CONCACAF選手権（現：CONCACAFゴールドカップ）でメキシコに2-1で勝利したためで、4日後にはコスタリカに敗れたため王座を失うのだが、史上最小のチャンピオン国として名を残している。その後、1966年のワールドカップ開催までに、UFWCはソ連の手によってヨーロッパに戻った。そして1967年に行われたイングランドとスコットランドの試合結果から、UFWCのアイデアが生まれた。1978年の途中まではこのタイトルはヨーロッパの国々が保持したが、同年のワールドカップでアルゼンチンが奪い、それ以降4年間は南アメリカ諸国の手にあった。ヨーロッパ勢がタイトルを奪還するのは、1982年のワールドカップでポーランドがペルーを下したときで、次の年にはアルゼンチンが王座に返り咲いたが、それを除けばヨーロッパの国がしばらくの間タイトルを保持し続けることになる。1992年、UFWCはアメリカ合衆国が奪い、1試合だけオーストラリアが、続けて南アメリカの国が数試合保持した後、ヨーロッパに戻った。アジア初のタイトル所有国は1995年にコロンビアに勝利した韓国だったが、ユーゴスラビアがヨーロッパに奪い返した。1998年3月にドイツが親善試合でブラジルに敗れるまで、ヨーロッパ勢がタイトルを守り続けた。同年のワールドカップ直前に、UFWCはアルゼンチンに移った。そして、本大会中に争奪が続いたタイトルは決勝戦でブラジルを破った開催国のフランスが得た。
UEFA欧州選手権2000開幕時点ではドイツが王座を保持していたが、大会中にイングランドや優勝国フランスの手に渡って、2002年のワールドカップ開催直前にはオランダがチャンピオンとなった。ところが、そのオランダがヨーロッパ予選を勝ち抜けず本大会出場を逃したため、本大会ではUFWCタイトルマッチは行われないことになった。同国は2003年9月10日にチェコに1-3で敗れてタイトルを失った。アイルランドがチェコを破り、さらに2004年5月にはナイジェリアがアイルランドを下したことで、UFWCはアフリカのものになった。それは同年末に小国アンゴラに移り、2005年初めにはジンバブエが確保した。6か月後にはナイジェリアが奪還したが、11月にはルーマニアが勝利して、ヨーロッパ勢がタイトルを奪った。その6か月後、今度は南アメリカのウルグアイが奪取した。この時点で既にウルグアイは2006年のワールドカップ出場権を逃していたため、2大会連続でUFWCはワールドカップで争われなかった。2006年11月15日、ジョージアがヨーロッパのUFWC奪回に成功した。UFWCタイトル防衛回数ランキングで常に1位にあるスコットランドが2007年3月24日にジョージアを下し、約40年ぶりにタイトルホルダーとなった。前回のタイトル奪取は1967年4月15日に敵地ウェンブリー・スタジアムでイングランドに勝利したときで、このときは1か月後に行われた次の試合でソ連に敗れている。そして今回のタイトルも、4日後には2006年のワールドカップ優勝国イタリアに敗れ、防衛に失敗した。その後ハンガリー、トルコ、ギリシア、スウェーデンと転々とし、2010年のワールドカップ前には、優勝候補のひとつオランダが確保した。本大会ではスペインが決勝戦でオランダに勝ち、大会初優勝を果たすとともにUFWCも得た。2010年9月7日の親善試合でアルゼンチンがスペインに勝利し王座を得たが、10月8日にはアルゼンチンを破った日本に王座が移動した。
日本はタイトルを防衛したまま2011年1月のアジアカップを無敗で優勝し、キリンカップ2011でも2引き分けで防衛するも、2011年11月15日に行われた2014 FIFAワールドカップ・アジア3次予選・第5戦の北朝鮮に0-1で敗れ、1年以上保持してきた王座を北朝鮮代表に渡すこととなった。その後、北朝鮮代表は、AFCチャレンジカップでは全勝優勝を果たすなど、2012年は1年間王座防衛を続け、翌2013年1月の東アジアカップ2013最終予選でも、予選突破こそならなかったものの、予選突破したオーストラリアに引き分けた以外全勝したことにより防衛を続けていた。しかし、2013年1月23日、タイで開催されたキングス・カップ初戦で、スウェーデンにPK戦の末破れ、約1年2カ月に亘って防衛したタイトルを譲ることとなった。そのスウェーデンも、キングスカップ決勝でフィンランドに勝ち1度防衛を果たしたが、11日後の2月6日にホームでアルゼンチンに2-3で破れ、アルゼンチンが2010年日本に敗れタイトルを失って以来の王座に返り咲いた。アルゼンチンは、2014 FIFAワールドカップ・南米予選などを戦う中で8度防衛を果たしたが、2013年10月15日、予選最終戦のウルグアイ戦で敗れ王座を明け渡した。ウルグアイが王座を守ったまま2014年のワールドカップ本大会に持ち込まれ、コスタリカ、オランダ、アルゼンチンを経た末に大会優勝国のドイツがタイトルを同時に獲得した。獲得後初の試合となった9月3日に行われた親善試合でアルゼンチンがドイツを破り、ワールドカップ決勝のリベンジを果たした。その後、10月11日に北京で行われたスーペルクラシコ・デ・ラス・アメリカスにてブラジルがアルゼンチンを破り、タイトルを奪取した。ブラジルがタイトルを維持したままコパ・アメリカ2015が開催され、コロンビア、アルゼンチンを経てチリに王座が移った。チリは2018 FIFAワールドカップ・南米予選第3節まではタイトルを防衛したが、4節でウルグアイに敗れ、ウルグアイが2014年コスタリカに敗れて以来の王座に返り咲いた。ウルグアイがタイトルを維持したままコパ・アメリカ・センテナリオが開催され、メキシコを経て優勝したチリがタイトルを奪取した。その後は、ワールドカップ南米予選を通じて王座は南米各国を転々とし、予選終了時にはペルーがタイトルを確保した。2018FIFAワールドカップでサッカーペルー代表はグループC初戦のデンマーク戦で0-1で敗れタイトルはデンマークが奪取した。その後、オーストラリア、フランスと引き分け決勝トーナメント1回戦でクロアチアと対戦。1-1(PK:2-3)で敗れタイトルがクロアチアに渡った。その後ロシア、イングランドに勝利したが、決勝でフランスに敗れた。
UFWC獲得国のサッカー協会には、サッカーとクリケットの国際的な公式大会開催に尽力したチャールズ・ウィリアム・アルコックにちなんだCW Alcockカップが贈呈される。これは実物またはイメージ（画像）を送付する手段が取られる。UFWCには、緑色の恐竜をモデルにした公式マスコット「ヒューイー (Hughie)」がいる。恐竜が使われる理由は、UFWCが立案された際、サッカー国際試合の歴史を遡って調査した作業を、恐竜の化石発掘に喩えたためである。
1873年3月8日の試合に勝ったイングランドから勝者の系譜が続いているならば、同様にスコットランドに始まる敗者の系譜も続いているはずであり、そのチームはいわば現時点の世界最弱ではないか。このような意見がUFWCフォーラム（掲示板）で提案され、王者の決定と同じ手法で世界最弱の歴史が調査された。この座をUFWCでは「Wooden Spoon」（木の匙‐「最下位賞」の意味）と名づけている。王者同様、当初は敗者もホームネイションズの中で、主にウェールズとアイルランドの間で競われた。これがヨーロッパ大陸に渡ったのは、1926年にベルギーがイングランドに3-5で敗れたことに始まる。1940年まで、この位置はフィンランド、エストニア、ラトビア、リトアニアの4カ国の間で行き来された。しかし1940年8月5日に当時の最弱国ラトビアがソビエト連邦に併合されラトビア代表が消滅したために世界最弱の系譜は一旦途絶えた。そこで24日後に行われた別の国際大会で負けたフィンランドに世界最弱の座を引き継ぐこととされた。フィンランドはその後9年間24試合に渡って勝利を手にできなかったが、やっとデンマークに勝ってこの不名誉な称号を返上した。この座はすぐにノルウェーに移り、スカンディナビア三国とフィンランドの間を最下位賞の称号は行き来した。1953年、スウェーデンに2-4で破れたフランスがこの位置についたが、すぐにアイルランドを経てルクセンブルクへ渡り、同国に7年間居座った。しかし1962 FIFAワールドカップ・予選で勝利してポルトガルに押し付けた。ポルトガルはブルガリアに勝って逃れたが、後に同国に敗れ戻って来てしまった。そして1963年4月、最下位賞にあったポルトガルは前年のワールドカップ優勝国ブラジルとの対戦が組まれた。ここに非公式世界最弱と公式な世界最強の2国が激突、結果はポルトガルが1-0で勝利し、ブラジルは不名誉な地位を受け継いでしまった。しかし3日後にはベルギーに5-1で勝ち、ブラジルはこれをアメリカ州から追い出した。その後、フランス、ブルガリア、ギリシャを経由し、1966年から長い期間フィンランドがその座を占めながらも一度だけスペインに勝利したこともあった。1972年以降はアルバニアやノルウェー、北アイルランドを経て1975年にはスウェーデンが最下位賞対象国となった。1975年5月、スウェーデンはアルジェリアに4-0で勝利し、最弱の座はアフリカに渡った。しかし1976年1月にサウジアラビアを3-1で負かせ、以後最下位賞の称号はアジアの国々でやり取りされている。1970年代にアラブ首長国連邦、バーレーン、オマーンと中東を、1980年代にはバングラデシュ、マレーシア、ブルネイ、シンガポールと東南アジアを巡り、1988年に再度オマーンが敗れると1993年にマレーシアに勝つまでそこに留まった。数ヵ月後にマレーシアはマカオを破り、3年後の1996年にマカオはフィリピンを破った。以後21戦負け続けたフィリピンは2000年のAFCアジアカップ2000予選にて勝ちを手にし、世界最弱国はグアムとなった。何度もの試合を10点以上の失点で涙を呑んだグアムも、2009年の東アジアサッカー選手権2010予選でついにモンゴルから勝ちを掴み、不名誉な座を脱した。以後、モンゴルとマカオの間で争われた。2011年2月16日マカオはAFCチャレンジカップ2012予備予選でカンボジアに勝利し、木の匙はカンボジアに渡った。3年後の2014年にチャイニーズタイペイに勝ったことで13戦保持し続けた最下位賞を逃れ、そのチャイニーズタイペイも半年後の2018 FIFAワールドカップ・アジア1次予選でブルネイに勝利を収めている。
同様の仮想的なタイトルに、ホセ・ナサシのバトンがある。これは第1回ワールドカップ優勝国のウルグアイを起点とし、当時チームのキャプテンの名前を名称に始められた。ナサシ・バトンは基本的にUFWCと同じタイトルの受け渡しをルールとするが、考慮する試合の勝敗は90分間経過時点を当てはめている。現在のタイトルホルダーは、2017年3月29日に2018 FIFAワールドカップ・北中米カリブ海予選でトリニダード・トバゴに勝ったメキシコである。近年にナサシ・バトンとUFWCの間で生じた典型的な差異は、2015年コパ・アメリカ準々決勝におけるコロンビア対アルゼンチン戦である。90分経過時点では同点だったためナサシ・バトンのタイトルは移行せずコロンビアに残り、UFWCでは延長戦の結果からアルゼンチンに移された。
ヴァーチャル・ワールドチャンピオンシップ (The Virtual World Championship) は、UFWCと同じくタイトルマッチ形式を用いながら、対象をFIFA主催試合およびその予選に限定するものである。これは、親善試合などを含めると常に強いチーム同士が戦うわけではなく、王座が中堅チームに移った間にどこが保有しているかわからなく可能性があるという批判がUFWCに対してあるので、この問題を回避するために考えられた。この方式では、1908年ロンドンオリンピック決勝からタイトル争いを始めている。ただし、1936年ベルリンオリンピック以降のオリンピックにおけるサッカーの試合は、参加チームがフル代表ではなくなったため考慮していない。現在の王者は、2013年10月15日に行われた2014 FIFAワールドカップ の決勝でアルゼンチンを破ったドイツである。ヴァーチャル・ワールドチャンピオンシップでは90分経過時点での結果が考慮される。
スコットランドのサッカー雑誌が提案したパウンド・フォー・パウンド・ワールドチャンピオンシップ (Pound for Pound World Championship) というものも存在する。ヴァーチャル・ワールドチャンピオンシップとほぼ同じ運用ながら、対象試合を両チームの実力が拮抗する試合に限定するので、FIFA公認の親善試合なども対象となる。また、UFWCと同じく延長戦やPK戦の結果も勝敗に反映する。他のチャンピオンシップと大きく異なる点は、起点を1930年ワールドカップに置くところと、ワールドカップ決勝開始時に当時のチャンピオンが王座を自動的に返上しなければならないルールにある。したがって、4年に1度必ずリセットされ、ワールドカップ優勝国が必ずパウンド・フォー・パウンド世界王者になる。現在の王者は2013年6月30日のコンフェデレーションズカップで2010年ワールドカップ優勝国のスペインを破ったブラジルであり、次の防衛戦は2014年ワールドカップである。最近のUFWCとの乖離は、2010年9月の親善試合で、スペインがアルゼンチンに敗れた時点に始まった。
UFWCの一般的認知度は低い。しかし、特定の対戦を報道する際、その解説にこれらチャンピオンシップを加えて試合の価値を知らしめることがしばしばメディアで行われる。2011年1月には日本代表がアジアカップで勝ち進んだことで、日本でも時事通信社配信による長田浩一のコラム や夕刊フジ などで報道・紹介された。
初等幾何学における実射影直線（じつしゃえいちょくせん、英: real projective line）は、通常の直線の概念の拡張で、歴史的には透視図法に基づいて設定された問題を解決するために導入された。例えば平行線は決して交わらないが、透視図では「無限遠」で交叉するように見える。この問題の解決に際して無限遠点が導入され、そうして得られた実射影平面において、相異なる二つの射影直線はただ一点のみで交わる。このような無限遠点全体の成す集合は、平面透視図法における「地平線」であり、それ自身がひとつの実射影直線となる。これは任意の点に位置する観測者から発せられた方向を持つ円の、反対にある点を同一視したものである。実射影直線のモデルとして射影補完実数直線がある。透視図に地平線を表す直線を描くことで、無限遠に余分な点が地平線へ伸びる平行線の集まりを表現するために追加される。厳密には、実射影直線は実数体上二次元のベクトル空間内の一次元部分線型空間全体の成す空間として定義される。これにより、2 × 2 の正則行列全体の成す一般線型群が自然に作用する。このとき中心に属する行列の作用は自明となるから、射影一般線型群 PGL(2, R) もまた射影直線に自然に作用する。これらは射影直線上の幾何学的変換群である。射影直線を実数直線位無限遠点を加えたものとして表すとき、射影線型群の元は一次分数変換として作用する。これら実射影直線上の変換は射影変換と呼ばれる。位相幾何学的には、実射影直線は円周に同相（位相的円周）である。実射影直線は双曲平面の境界を成すが、双曲平面上の任意の等距変換は境界である実射影直線上の幾何学的変換を一意的に誘導し、逆もまた成り立つ。さらに言えば、双曲平面上の任意の調和函数は、等距変換群の作用と両立する仕方で、射影直線上の分布のポワソン積分として与えられる。この位相的円周上には無数の両立可能な射影構造を持ち、そのような構造を持つ空間は（無限次元）普遍タイヒミューラー空間と呼ばれる。実射影直線の複素数版は複素射影直線、いわゆるリーマン球面である。
実射影直線上の各点は、ふつう適当な同値関係に関する同値類として定義される。出発点は二次元の実線型空間 V で、V ∖ 0 上の二項関係 v ~ w を、適当な非零実数 t が存在して v = tw と書けることと定める。これが同値関係を定めることは線型空間の定義からほほ直ちにわかる。同値類は各ベクトルの張る直線から零ベクトルを除いたものになる。そうして、実射影直線 P(V) とはこの同値類全体の成す集合と定める。この集合において各同値類は単なる一点として考える（実射影直線上の「点」とはこの各同値類のことと定めると言ってもよい）。V の基底を一つとれば、各ベクトルをその座標ベクトルと同一視することにより、V は直積 R × R = R² と同一視できて、上記の同値関係は (x, y) ~ (w, z) となることを非零実数 t が存在して (x, y) = (tw, tz) とできることと言い換えられる。この場合、射影直線 P(R²) のことは P¹(R) あるいは RP¹ と書くのが望ましい。対 (x, y) の属する同値類は、伝統的に [x : y] と書かれ、このコロン ":" は y ≠ 0 なるときの比 x : y が同じ同値類に属する全ての対において同じ値であることを想起させる。点 P が同値類 [x : y] であるとき、代表元 (x, y) を点 P の射影座標対とも呼ぶP(V) が同値関係を通じて定義されたのに伴い、V から P(V) への標準射影が位相（商位相）を定め、射影直線上に可微分構造が定まる。しかし、同値類が有限でないという事実は、この可微分構造を定義することを難しくする。これらのことは V をユークリッドベクトル空間と看做せば解決できる。R² の場合に、単位ベクトル全体の成す円周（単位円）は x² + y² = 1 を満足する座標を持つベクトル全体の成す集合である。単位円は各同値類とちょうど対極にある二点で交わるから、v ~ w は v = w または v = −w なるときと定めて得られる単位円上の同値関係で単位円を割った商空間として射影直線を理解することができる。
実射影直線は実射影平面内の、あるいは複素射影直線内の、完備な射影領域である。したがって、その構造はこれら外部構造 (superstructure) から遺伝する。そのような構造の中で第一は、射影領域内の点の間に成り立つ射影調和共軛である。実数直線が全順序かつ完備であったのに対し、実射影曲線は巡回順序を持つことは重要な数学的構造である。巡回順序は適切な演繹に必要となる性質である分離関係によって対処される。
推古天皇の治世に聖徳太子が開基となり、永明法印を開山として建立したと伝わる。開創当初は法相宗であった。壬申の乱では天武天皇の勝利を祈願し、報奨を与えられたと伝わる。時代が下って文知元年（1185年）に24世住持・義然が法然に帰依して浄土宗へ改宗している。室町時代に土岐成頼が足利義視を奉じた際に当寺に逗留していた時期があり、岡山御所と呼ばれていた。慶長15年（1600年）の関ヶ原の戦いにおいて徳川家康が眺望の良い岡山に着陣した。関ケ原の戦いの後、岡山は勝利を記念して勝山と呼ばれるようになった。また、戦いで得た大谷吉継の陣鍾が当寺に収められている。江戸時代は大垣藩に保護され、また大垣藩ゆかりの人物の墓が多数建立されている。また、末寺として松寿院が存在した。天保3年（1833年）、火災により堂宇が烏有に帰した。現在の伽藍はその後再建されたものである。
関東大震災犠牲同胞慰霊碑 （かんとうだいしんさいぎせいどうほういれいひ）は、関東大震災の混乱の中で自警団に殺害された多数の朝鮮系日本人（関東大震災朝鮮人虐殺事件）を追悼するために建立された石碑である。
儀制令（ぎせいりょう）とは、中国・日本における令の篇目の1つ。唐の律令における儀制令に基づいて、日本の大宝令及び養老令に定められた。