2007年4月21日、マンチェスターのジャービス・ピカデリー・ホテルでゲイリー・シェイルとバンタム級6回戦を行い、6回判定勝ちを収めデビュー戦を白星で飾った。2008年11月7日、ランカシャー州ウィガンのロビン・パーク・センターでスマイラ・バドゥとフェザー級4回戦を行い、初回2分32秒TKO勝ちを収めた。この試合を観戦した英国『ボクシング・ニューズ』誌記者のダニー・フレクセンは、「10戦程度のキャリアでこれほど完成された有望選手を見たことがない」と主張した。2009年11月27日、ランカシャー州ウィガンのロビン・パーク・センターでユーリー・ヴォロニンとスーパーバンタム級8回戦を行い、6回1分54秒TKO勝ちを収めた。2010年2月10日、ストーク＝オン＝トレントでニキタ・ルキンとスーパーバンタム級8回戦を行い、初回1分57秒KO勝ちを収めた。2010年5月29日、ベリーでアンドレイ・コスチンとスーパーバンタム級8回戦を行い、初回2分0秒TKO勝ちを収めた。2010年7月16日、ボルトンのボルトンアリーナでギャビン・リードとスーパーバンタム級10回戦を行い、9回TKO勝ちを収めた。2010年9月25日、ベリーのキャッスル・レジャー・センターでサンティアゴ・アリオンとWBAインターコンチネンタルスーパーバンタム級王座決定戦を行い、3回2分3秒KO勝ちを収め王座獲得に成功した。2011年10月22日、ボルトンのリーボック・スタジアムでBBBofC英国スーパーバンタム級王者ジェイソン・ブースと対戦し、ブースの7回終了時棄権により王座獲得に成功した。2012年2月4日、ボルトンのリーボック・スタジアムでジェイミー・アーサーと対戦し、8回35秒TKO勝ちを収めBBBofC英国王座の初防衛に成功した。2012年6月16日、マンチェスター・ベロドロームでレンドール・ムンローとWBA世界スーパーバンタム級暫定王座決定戦を行い、3回負傷判定で引き分けた為、王座獲得に失敗した2012年11月24日、マンチェスター・アリーナでレンドール・ムンローとWBA世界スーパーバンタム級暫定王座決定戦を行い、6回2分37秒TKO勝ちを収め王座獲得に成功した。2013年6月12日、ムンロー戦を最後に試合から遠ざかっているクイッグは試合枯れの影響で試合が組めるプロモーターを探し、WBO世界ライト級王者リッキー・バーンズの紹介で多くの新旧世界王者やランカーとの契約を結んでいるエディー・ハーン擁するマッチルーム・スポルトと契約を交わした。2013年7月5日、クィッグとWBA世界スーパーバンタム級2位ヨアンドリス・サリナス（キューバ）との間で行われるWBA世界スーパーバンタム級王座決定戦の興行権の入札を同月15日午前11時にWBA本部で行うと通知を受けた。しかし両陣営が合意したため、同月13日にWBAは予定していた入札の中止を決定した。2013年9月5日、WBAが空位の正規王座にクィッグを認定し、同年8月10日に暫定王座を獲得していたネオマール・セルメニョをWBA世界スーパーバンタム級1位にランクインさせた世界ランキングをWBAが公式サイトで発表した。これに伴い同月28日に行われるWBA世界スーパーバンタム級2位ヨアンドリス・サリナス（キューバ）との一戦は、WBA世界スーパーバンタム級王座決定戦から、初防衛戦に変更となった。2013年10月5日、当初は9月28日にデビッド・ヘイの前座で試合予定だったが、デビッド・ヘイが負傷したことにより試合が延期されたため、O2アリーナにてWBA世界スーパーバンタム級2位のヨアンドリス・サリナス（キューバ）と対戦し、12回1-0（115-113、2者が114-114）の判定で引き分けたが、初防衛に成功した。2013年11月23日、マンチェスター・アリーナでWBA世界スーパーバンタム級14位のディエゴ・オスカー・シルバと対戦し、2回1分41秒TKO勝ちを収め、2度目の防衛に成功した。2014年2月20日、同年4月19日にマンチェスター・アリーナでWBA世界スーパーバンタム級暫定王者でWBA世界スーパーバンタム級1位のネオマール・セルメニョと王座統一戦を行うことが決定した。2014年4月11日、WBA世界スーパーバンタム級暫定王者でWBA世界スーパーバンタム級1位のネオマール・セルメニョにイギリスへの入国ビザが下りなかった為、同月19日にマンチェスター・アリーナで行われる試合はWBA世界スーパーバンタム級9位のチフィワ・ムンヤイとの対戦に変更となった。2014年4月19日、マンチェスター・アリーナでWBA世界スーパーバンタム級9位のチフィワ・ムンヤイと対戦し、2回1分56秒TKO勝ちを収め、3度目の防衛に成功した。2014年9月13日、マンチェスター・アリーナで元WBO世界バンタム級王者パウルス・アムブンダと対戦予定だったが、アムブンダがトレーング中に膝の筋肉を負傷して欠場となり、代わりにWBA世界スーパーバンタム級12位のシュテファーヌ・ジャモエと対戦し、3回1分13秒TKO勝ちを収め、4度目の防衛に成功した。2014年11月22日、リヴァプールのエコー・アリーナ・リヴァプールにてネイサン・クレバリー対トニー・ベリューの前座でWBA世界スーパーバンタム級9位の大竹秀典と対戦し、12回3-0（2者が119-109、118-110）の判定勝ちを収め、5度目の防衛に成功した。元々は和氣慎吾と対戦予定だったが、和気がトレーニング中に足首を負傷したことで大竹との対戦が決まった。なお、クィッグはこの試合中に右拳の腱を負傷し手術を受けることになり、出場を予定していた翌年3月28日の試合を欠場した。2015年7月18日、マンチェスター・アリーナで元IBF世界スーパーバンタム級王者でWBA世界スーパーバンタム級11位のキコ・マルチネスと対戦し、2回1分4秒TKO勝ちを収め、6度目の防衛に成功した。2016年2月27日、マンチェスター・アリーナでIBF世界スーパーバンタム級王者のカール・フランプトンと王座統一戦を行い、プロ初黒星となる12回1-2（2者が112-116、115-113）の判定負けを喫しWBA王座とIBF王座の統一に失敗、WBA王座は7度目の防衛、IBF王座の獲得に失敗した。2016年12月8日、WBAは最新ランキングを発表し、クィッグをWBA世界フェザー級8位にランクインした。2016年12月10日、マンチェスター・アリーナでホセ・カイェターノとWBAインターナショナルフェザー級王座決定戦を行い、9回1分23秒TKO勝ちを収め王座獲得に成功、再起を遂げた。2017年4月3日、IBFは最新ランキングを発表し、クィッグをIBF世界フェザー級5位にランクインした。2017年4月29日、ウェンブリー・スタジアムでIBF世界フェザー級4位のビオレル・シミオンとIBF世界フェザー級挑戦者決定戦を行い、12回3-0（117-111×2、115-113）の判定勝ちを収めIBF王座への挑戦権獲得に成功した。2017年11月4日、モンテカルロのカジノ・ド・モンテカルロ内サル・メディシンでWBA世界フェザー級4位のオレグ・イェフィモビッチとWBA世界フェザー級挑戦者決定戦を行い、6回50秒TKO勝ちを収めWBA王座への挑戦権獲得に成功した。2018年2月22日、WBOは最新ランキングを発表し、クィッグをWBO世界フェザー級10位にランクインした。2018年3月10日、カリフォルニア州カーソンの スタブハブ・センター・テニスコートでWBO世界フェザー級王者のオスカル・バルデスと対戦し2階級制覇を目指す予定だったが、前日計量でクィッグがフェザー級の規定体重である126ポンドを2.8ポンド（1.27kg）体重超過の128.8ポンドを計測し、通常であれば再計量が行われる事例であったが、カリフォルニア州コミッションのルールにおいて、規定体重を2ポンド以上超過した場合には、既に限界まで減量をしている選手がさらに減量をすれば健康が危険に晒されるとの判断から、再計量は認められないと定められているため再計量は行われず、クィッグは失格となった。そのため、バルデス陣営とクィッグ陣営の間で交渉を行い、クィッグがファイトマネー10万ドル（約1000万円）から20％の罰金（約200万円）をバルデスとコミッションに支払うことで一旦は合意するが、バルデス陣営が出した試合当日の朝に再度計量を行い体重増を136ポンドまでに抑えるという条件をクィッグが拒否したことで紛糾、最終的にクィッグがさらに追加の罰金を払うことで試合当日の体重増を制限する条件は加えられないことで決着した。バルデスが勝つか引き分けで王座防衛となりクィッグが勝てば王座が空位となる条件で試合は行われ、試合時の体重がクィッグの142.2ポンドに対してバルデスが135.6ポンドと体重差が6.6ポンド（2.99kg）ある中で、クィッグが12回0-3（111-117×2、110-118）の判定負けを喫した。この試合でバルデスは顎を骨折して歯も折り、クィッグは鼻を骨折し、体重超過した理由を試合前から右足を疲労骨折していたからだとした。なお放送したESPNは110万件の視聴数を記録した。試合後クィッグは鼻を骨折し、体重超過した理由を試合前から右足を疲労骨折していたことを明かした。