柔道は6歳の時に世界選手権の中量級で2位になった永瀬の大叔父にあたる平尾勝司が師範を務める養心会で兄とともに始めた。小学校高学年になると修喩館にも通うようになった。長崎大学教育学部附属小学校5年の時には全国小学生学年別柔道大会の40kg級に出場するが、栃木県代表の高藤直寿に敗れて5位だった。6年の時には45kg級に出場するが、再び高藤に敗れてベスト16止まりだった。なお、小学生当時から会場で兄や上級生の試合を熱心に観戦したり、テレビ放映された柔道大会を録画して技を覚えていくなど研究熱心な姿勢を見せていた。また、両親からは大会で負けても決して叱られることはなかったという。長崎大学教育学部附属中学校3年の時には全国中学校柔道大会の66kg級に出場するも、舞鶴中学3年の竪山将に判定で敗れて5位だった。柔道部監督の松本太一に｢オレと一緒に日本一になろう｣と熱心な勧誘を受けて長崎日大高校に進学すると、早くも1年の時には高校選手権の81kg級で優勝を飾った。2年の時にはインターハイの個人戦と団体戦でともに5位にとどまった。3年の時には8月のインターハイで優勝を果たした。9月の全日本ジュニアでは決勝で天理大学1年の丸山剛毅に内股すかしで敗れるが、11月の講道館杯では高校生ながら3位となった。12月のエクサンプロヴァンスジュニア国際では優勝を飾った。なお、中学高校時代の永瀬は他のヨーグルトより酸味が少なくタンパク質が豊富なカスピ海ヨーグルトを毎日食していたという。2012年には筑波大学に進学すると、1年の時には全日本ジュニアでとアジアジュニアでともに優勝を飾った。2年の時にはロシアのカザニで開催されたユニバーシアードに出場すると、決勝でウズベキスタンのヤヒョー・イマモフを大外刈の技ありで破って優勝を果たした。また、団体戦でも優勝を飾った。11月の学生体重別団体ではチームの優勝に貢献すると、続く講道館杯でも初優勝を飾った。グランドスラム・東京に出場した時点では世界ランキングが126位に過ぎなったにもかかわらず、準々決勝で世界2位であるグルジアのアブタンディル・チリキシビリを足車で破ると、準決勝ではロンドンオリンピック5位であるパーク24の中井貴裕に合技で一本勝ち、決勝でも世界チャンピオンのフランスのロイク・ピエトリを足車で破って5試合オール一本勝ちで優勝を飾った。これにより、世界ランキングが一挙に23位にまで上昇した。2014年2月のグランドスラム・パリでは、準々決勝でチリキシビリの前に指導3で敗れて3位にとどまった。3年の時には4月の体重別決勝でJRAの長島啓太を指導3で破って今大会初優勝を飾り、世界選手権代表に選ばれた。続く全日本選手権では、2回戦で体重別100kg級優勝の熊代佑輔を小外刈、準々決勝で体重別90kg級優勝の吉田優也を指導2、準々決勝で元チャンピオンで100kg超級の高橋和彦を有効で破る健闘を見せるが、準決勝では東海大学4年の王子谷剛志に合技で敗れたものの、81kg級の選手ながら3位入賞を果たした。8月の世界選手権では準々決勝でチリキシビリに指導3で敗れると、その後の3位決定戦でもピエトリに技ありで敗れて5位に終わった。世界団体では、準決勝のグルジア戦で世界王者のチリキシビリと再戦して、GSの末に内股で有効を奪ってチームの勝利を決定付けると、決勝では地元ロシアの選手に大内刈で一本勝ちして、チームの優勝に貢献した。12月のグランドスラム・東京では、準々決勝でオリンピックチャンピオンである韓国の金宰範を技ありで破ると、準決勝では世界チャンピオンであるチリキシビリを小外掛で昨年に続いて一本勝ち、決勝ではUAEのセルジュ・トマをゴールデンスコアに入ってから指導3で破って今大会2連覇を達成した。2015年2月にはグランプリ・デュッセルドルフに出場するものの、初戦でベラルーシの選手に背負投で一本負けを喫した。4年の時には4月の体重別決勝で長島を指導3で破って2連覇を果たして、世界選手権代表に選ばれた。5月のワールドマスターズでは決勝でロシアのイワン・ニフォントフを崩上四方固で破り初優勝を飾った。6月の全日本学生柔道優勝大会では大会8連覇を狙った東海大学と決勝で対戦すると、代表戦において100kg級のウルフ・アロンを指導2で破り、筑波大学を国公立大学として初めてとなる優勝へ導いた。8月の世界選手権では準決勝でチリキシビリを有効で破ると、決勝ではピエトリを崩上四方固で一本勝ちして優勝を飾った。日本選手がこの階級で優勝するのは初めてのこととなった(前身の階級である78kg級を含めると、1995年の世界選手権で古賀稔彦が優勝して以来20年ぶりになる。)。世界団体では決勝で勝利するなどしてチームの優勝に貢献した。10月の学生体重別団体では準々決勝で東海大学と対戦して引き分けると、チームも敗れて5位にとどまった。12月のグランドスラム・東京では準決勝で韓国のイ・スンスと対戦すると、指導1でリードした中盤に内股を仕掛けたが跨れたために股間の下に入り込んだ左手が相手の上裾を掴んだ状態から、相手を掬い投げのように勢いよく投げた。しかしながら、それがポイントにならないどころか反則負けの対象となる足取りと見なされて3位に終わり、今大会3連覇とはならなかった。井上康生監督はジュリーに対して、一連の攻撃では下半身に触れておらずルール上反則にならないと猛然と抗議した。ビデオで何度もチェックし直すと、下半身には触れていなかったことが明らかになったために、審判側は誤審を認めて謝罪した。だが結局判定が覆ることはなく、永瀬の指導にあたる筑波大学の岡田弘隆総監督は「主審は仕方がない。ビデオでチェックするジュリー（審判委員）の知識と理解が足りなかった。ちょっとレベルを疑います」とコメントした。2016年4月からは旭化成の所属となった。選抜体重別では決勝でJRAの長島を技ありで破って今大会3連覇を飾り、2016年リオデジャネイロオリンピック代表に選出された。代表決定後の会見で永瀬は「何が何でも金メダルを取りたい。相手が嫌がるような柔道をします」とコメントした。5月のグランドスラム・バクーでは準決勝で世界ジュニアチャンピオンであるオランダのフランク・デウィットと対戦して技ありを先取されるも終了間際に技ありを取り返し、GSに入ってから指導を取って逆転勝ちすると、決勝ではブルガリアのイワイロ・イワノフを小外刈で破って優勝を飾った。8月のリオデジャネイロオリンピックでは初戦となる2回戦でハンガリーのラスロ・チョクニャイを有効、3回戦でポール・キビカイを合技でそれぞれ破るも準々決勝でUAEのトマの袖釣込腰で有効を取られて敗れた。しかし、敗者復活戦ではカナダのアントワーヌ・ヴァロワ＝フォルティエを背負落で破ると、3位決定戦ではチリキシビリを有効で破って銅メダルを獲得したものの笑顔なき銅メダルに終わった。12月のグランドスラム・東京では決勝でドイツのドミニク・レッセルを縦四方固で破って2年ぶり3度目の優勝を果たした。2016年度の世界ランキングが1位だったために、IJFよりボーナスとして5万ドル（約565万円）が贈呈された。2017年4月の体重別では決勝で了徳寺学園職員の渡邉勇人をGSに入ってから内股の技ありで破って今大会4連覇を飾り、世界選手権代表に選出された。8月の世界選手権では4回戦でウズベキスタンのダフラト・ボボノフと対戦するが、先月負傷した右膝のケガを再発してしまったことにより、自分の柔道ができずにGSに入ってから反則負けを喫して、今大会2連覇はならなかった。帰国後の検査で右膝の内側側副靱帯と前十字靱帯の損傷が判明した。手術するかは暫く様子を見てから決めることになった。2018年8月には1年ぶりの復帰戦となった実業個人選手権に出場するも、決勝でパーク24の丸山剛毅に内股で敗れた。11月の講道館杯では初戦で自衛隊体育学校の春山友紀にGSに入ってから反則負けを喫した。11月のグランドスラム・大阪では準々決勝でポルトガルのアンリ・エグチゼに合技で敗れるも、その後の敗者復活戦を勝ち上がって3位になった。2019年3月のグランドスラム・エカテリンブルグでは準々決勝でリオデジャネイロオリンピック金メダリストである地元ロシアのハサン・ハルムルザエフを8分以上の戦いの末に技あり、準決勝でオランダのフランク・デ・ウィットを大内刈でそれぞれ破るも、決勝でイスラエルのサギ・ムキと対戦すると終了間際に技ありを取られて2位にとどまった。4月の体重別では準決勝で日体大3年の藤原崇太郎を技ありで破ると、決勝で自衛隊体育学校の佐藤正大をGSに入ってから支釣込足で破って、今大会2年ぶり5度目の優勝を飾った。7月のグランプリ・モントリオールでは準々決勝で元世界チャンピオンで寝技の名手として知られるドイツのアレクサンダー・ヴィーツェルツァックを8分以上の戦いの末に腕挫十字固で破ると、準決勝ではヨーロッパチャンピオンであるベルギーのマティアス・カスを体落で破った。決勝では地元カナダのアントワーヌ・ヴァロア＝フォルティエを内股で破るなど全て一本勝ちして優勝した。続くグランプリ・ザグレブでは3回戦で世界3位であるトルコのヴェダト・アルバイラクを技ありで破るなどして決勝まで進むと、グランプリ・モントリオールに続いてヴァロア＝フォルティエを足車で破って優勝した。10月のグランドスラム・ブラジリアでは決勝でアルバイラクに反則勝ちして優勝した。