育英高等学校から1965年のドラフト2位で近鉄バファローズに入団。当初は阪神タイガースの1位指名が有力とされていたが、阪神は鈴木を指名せず、石床幹雄を指名した。新人の年にオールスターゲームに出場し、同じ左腕で大先輩の金田正一（巨人）にカーブの投げ方を習おうとすると、「教えて欲しければ銭もってこい」と言われ、それまでの尊敬心から一転して敵愾心を燃やすようになる。金田がロッテの監督だった1973年から1978年までの6シーズンはロッテ戦通算26勝8敗の好成績を残し、ロッテキラーとなった。入団1年目に10勝、以後15年連続二桁以上勝利、翌年からは5年連続20勝以上をあげ、押しも押されもせぬ近鉄のエースとなった。1968年8月8日の対東映戦（日生球場）でノーヒットノーランを達成。1969年に24勝で最多勝。1971年9月9日対西鉄戦（日生球場）では2度目のノーヒットノーランを記録した。若い頃は江夏豊とともに「セの江夏、パの鈴木」と並び称された奪三振の多い投手であった。1967年から1972年にかけて6年連続で最多奪三振に輝くが（江夏も全く同じ期間に6年連続最多奪三振を記録）、1972年頃から奪三振数が半減し、投球内容の質も低下し始めた。鈴木本人によると「入団当初はノーコンでね。1年目の開幕直後には四球連発で二軍に落とされたこともある。制球力を付けられたのは日生球場のお陰やで。ホームランを警戒して低めをつく投球を、球場が教えてくれた。2度のノーヒット・ノーランは日生がくれた褒美やった。」と当時を振り返った。その後、1974年に監督に就任した西本幸雄の指導により、力任せの直球主体の投球を改め制球・配球を重視する頭脳的なピッチングを構築していく。当初は西本に反発し、1974年のオフに主砲の土井正博がトレードされた際には、「次は自分の番」と考えて、阪神監督の吉田義男にトレードを志願する電話をかけたこともあった。1975年3月の阪神とのオープン戦では4回4失点でKOされると西本から「少しは向こうのピッチャー（山本和行 - 4年目）を見習え!」とベンチで言われるなど叱責が続いたが、やがて西本が自分とチームのことを本気で考えていると気づき、その指導を受け入れていった。また、投手コーチの杉浦忠からは、「力で投げるんやったら相撲取り呼んでこい」とリリース時以外は力を抜く投球術を指導された。この年は4年ぶりに20勝以上を挙げ、防御率も2.26の好成績を残す。奪三振数は減少したが、無駄な四球と失点も減少した。この頃から有田修三とバッテリーを組むようになる。1977年には200勝を達成、20勝で最多勝を残した。翌1978年、25勝で2年連続最多勝、防御率2.02で最優秀防御率を獲得した。同年に当時の日本新記録となる10試合連続完投勝利を記録し、見事な投球で往年の剛球が蘇り、最多奪三振・最多完封も記録し、「五冠」のうち勝率を除く4つの部門でリーグトップの成績を残した。同年の鈴木を最後に、日本プロ野球で年間25勝以上を挙げた投手は現れていない。この年は「勝てば後期優勝」のかかった9月23日の阪急との最終戦（「藤井寺決戦」とも呼ばれる）で、山田久志との投げ合いに敗れ、その後阪急が逆転優勝を遂げて3年ぶりの半期優勝を逃した。試合後、辞意を仄めかした西本監督に対して「監督をやめないでくれ! オレたちを見捨てないで下さい」と鈴木は絶叫。他の選手もそれに賛同したことで西本は留任し、翌年悲願の初優勝を達成、翌々年も優勝を果たした。上記の他、日本一がかかった1980年の日本シリーズ第7戦でも近鉄リードの場面から救援登板して敗戦投手になり、「残り4試合中2勝で優勝」だった1969年終盤の対阪急4連戦の初戦では先制を許して5回でマウンドを下りている（近鉄は敗れたが鈴木に敗戦は付かず）。一方、1975年の後期優勝がかかった阪急戦では3点リードの8回から救援登板して胴上げ投手になり、「引き分けでも相手が優勝」だった1980年後期の対日本ハム最終戦（大阪近鉄バファローズ#10.7決戦も参照）では、打たれながらも味方打線が木田勇を打ち崩して勝ち星を挙げ、後期優勝を導いている。また、近鉄が連続優勝した1979・1980年のプレーオフや日本シリーズでは、いずれも第2戦に先発して勝利投手となっている。特に日本シリーズでは1979年第2戦で完封勝利、1980年第2戦でも完投勝利と好成績を残している。これは、初戦より第2戦に回した方が鈴木が発奮してよい結果が出るという西本監督の判断だった。なお、1975年のプレーオフでは初戦に先発している（この試合は近鉄が勝ったが、鈴木は勝敗に関係ない）。西本の最終戦となった1981年10月4日の対阪急戦（日生球場）では、退任する西本に花束を渡している。1983年、鈴木康二朗がヤクルトから近鉄に移籍してきたことで鈴木姓の投手が2名となる。そこでスコアボード、新聞などに"鈴木啓"と表記されるのを嫌った啓示が「オレは今までどおり"鈴木"でいい。あっちを"鈴木康"にすればすむことだろ。」と発言したが、球団は認めず"鈴木啓"表記を使用。しかし後年、"鈴木啓"と表記されたのと共に実況放送やスポーツニュースなどでフルネームで呼ばれる機会が増えたため「名前を正しく覚えてもらえた」と新聞の取材で語っている。1984年に通算300勝を達成。この時、球団主導で「鈴木投手の300勝は何月何日?」とファンに予想してもらう企画があったという（なお1983年シーズン終了時点であと4勝に迫っていたため、1984年中の達成は確実と見られていた）。鈴木の300勝および3000奪三振達成を記念して、同年12月9日、親会社の近鉄では上本町 - 鳥羽間に300勝・3000奪三振記念パーティーの招待客を乗せる特急「草魂号」が運行された。同列車は担当する列車乗務員の苗字を全員「鈴木」で揃えたり、鈴木啓示自ら改札に回ってファンと触れ合うというエピソードが残っている。この年、公共広告機構（現：ACジャパン）のコマーシャルに起用され、「投げたらアカン」という言葉が流行語大賞を受賞した。翌1985年7月9日対日本ハム戦（後楽園球場）において3回でKOされ、翌日の7月10日に現役引退を表明。監督の岡本伊三美は、引退申出の原因はアキレス腱を痛めて走れなくなってバント処理もままならない状態になったこと、次の先発登板も決まっていたなどと自著で書いている。鈴木から引退申出があった時は、引退を西本幸雄に報告しに行くと、西本から「もう目が死んどんなぁ。ご苦労さん」と言われた。鈴木引退の報を聞いた阪急の監督上田利治は、引退の花道にとオールスターゲーム（上田が同年の全パ監督で、近鉄の本拠地である藤井寺球場での初開催も予定されていた）への出場を鈴木に持ちかけるも辞退した。鈴木によると、上田に「パ・リーグの選手皆で胴上げしたるから出てくれ」と言われたが「有り難い話やったけど、歴史のあるオールスターを俺一人の舞台にしたらアカンと思って断った」という。1986年3月16日、阪神とのオープン戦で引退セレモニーを行なった。なお、鈴木が試合で使用したボールで所持しているのは、この最後の試合での交代時のボールだけである。通算300勝を達成した際にも、チームメイトから渡されたウイニングボールをスタンドに投げ入れていた。通算317勝は歴代4位。鈴木は元号「昭和」そして20世紀最後の300勝投手となり、彼を最後に日本プロ野球には300勝投手は現れていない（元号「平成」における達成者は皆無）。現役時代の背番号1は1985年以降、パ・リーグ唯一の永久欠番となっていたが、2004年シーズン終了後の近鉄とオリックスの合併（オリックス・バファローズ誕生）により失効とされた（オリックスでは球団合併に際し、当時後藤光尊が付けていた背番号1の扱いについても検討され、オリックスでも背番号1を永久欠番とする考えがあり、鈴木に電話で伝えるも、鈴木本人が「自らの永久欠番はあくまで近鉄でのもの。背番号1をどうぞ使ってください」とし、合併後も後藤の背番号1継続着用を承諾した）。ゴルフに関心がなかった現役時代から、朝日放送関連のABCゴルフ倶楽部の会員になっていた。引退後は朝日放送で解説をする流れだったが、ある日、鶴岡一人から「啓ちゃん、オレと一緒に仕事をしよう」と声をかけられて、鶴岡と同じ放送局はNHK、新聞社はスポーツニッポンと契約することとなった。