geniacllm/wiki40b huggingface dataset:
1970年代前半ころまでは、4世紀ころから6世紀ころにかけての時代区分として「大和時代」が広く用いられ、その時期に日本列島の主要部を支配した政治勢力として「大和朝廷」の呼称が一義的に用いられていた。しかし1970年代以降、重大な古墳の発見や発掘調査が相次ぎ、理化学的年代測定や年輪年代測定の方法が確立し、その精度が向上したこともあいまって古墳の編年研究が著しく進捗し、「大和」「朝廷」という語彙で時代を表すことは必ずしも適切ではないとの見解が現れ、その見解が日本国での歴史学の学会などで有力になり、そのため「大和時代」ではなく、かわって「古墳時代」と呼称するのが日本国での日本史研究および日本国での高等教育では一般的となっている。古墳研究は文献史学との提携が一般的となって、古墳時代の政治組織にもおよび、それに応じて古墳時代の政権について「ヤマト王権」や「大和政権」等の用語が使用され始めた。1980年代以降は、「大和政権」、「ヤマト政権」、それが王権であることを重視して「ヤマト王権」、「大和王権」と記述されるようになる。しかし、引き続き「大和朝廷」も一部の研究者によって使用されている。これは、「大和（ヤマト）」と「朝廷」という言葉の使用について、学界でさまざまな見解が並立していることを反映している。
ヤマト王権の首長は中華王朝や朝鮮半島諸国など対外的には「倭国王」「倭王」と称し、国内向けには「治天下大王」「大王」「大公主」などと称していた。考古学の成果から5世紀ごろから「治天下大王」（あめのしたしろしめすおおきみ）という国内向けの称号が成立したことが判明しているが、これはこの時期に倭国は中華王朝と異なる別の天下であるという意識が生まれていたことの表れだと評価されている。
弥生時代にあっても、『後漢書』東夷伝に107年の「倭国王帥升」の記述があるように、「倭」と称される一定の領域があり、「王」とよばれる君主がいたことがわかる。ただし、その政治組織の詳細は不明であり、『魏志』倭人伝には「今使訳通ずる所三十国」の記載があることから、3世紀にいたるまで小国分立の状態がつづいたとみられる。また、小国相互の政治的結合が必ずしも強固なものでなかったことは、『後漢書』の「桓霊の間、倭国大いに乱れ更相攻伐して歴年主なし」の記述があることからも明らかであり、考古資料においても、その記述を裏づけるように、周りに深い濠や土塁をめぐらした環濠集落や、稲作に不適な高所に営まれて見張り的な機能を有したと見える高地性集落が造られ、墓に納められた遺体も戦争によって死傷したことの明らかな人骨が数多く出土している。縄文時代にあってはもっぱら小動物の狩猟の道具として用いられた石鏃も、弥生時代にあっては大型化し、人間を対象とする武器に変容しており、小国間の抗争が激しかったことが伺える。墓制の面でみて、最も進んでいたのは山陰地方の出雲地域において作られた四隅突出墳丘墓であって、後の古墳時代の方墳や前方後円墳の原型となったと思われる。九州南部の地下式横穴墓、九州北部における甕棺墓、中国地方における箱式石棺墓、近畿地方や日向（宮崎県）における木棺墓など、それぞれの地域で主流となる墓の形態を持ち、土坑墓の多い東日本では死者の骨を土器につめる再葬墓がみられるなど、きわめて多様な地域色をもつ。方形の低い墳丘のまわりに溝をめぐらした方形周溝墓は近畿地方から主として西日本各地に広まり、なかには規模の大きなものも出現する故、各地に有力な首長があらわれたことが伺える。弥生時代における地域性はまた、近畿地方の銅鐸、瀬戸内地方の銅剣、九州地方の銅戈（中期）・銅矛（中期-後期）など宝器として用いられる青銅器の種類のちがいにもあらわれている。
『魏志』倭人伝は、3世紀前半に邪馬台国に卑弥呼が現れ、国々（ここでいう国とは、中国語の国邑、すなわち土塁などで囲われた都市国家的な自治共同体のことであろう）は卑弥呼を「共立」して倭の女王とし、それによって争乱は収まって30国ほどの小国連合が生まれた、とし、「親魏倭王」印を授与したことを記している。邪馬台国には、大人と下戸の身分差や刑罰、租税の制もあり、九州北部にあったと考えられる伊都国には「一大率」という監察官的な役人が置かれるなど、統治組織もある程度整っていたことが分かる。邪馬台国の所在地については近畿説と九州説があるが、近畿説を採用した場合、3世紀には近畿から北部九州に及ぶ広域の政治連合がすでに成立していたことになり、九州説を採用すれば北部九州一帯の地域連合ということになり、日本列島の統一はさらに時代が下ることとなる。編年研究の進んだ今日では、古墳の成立時期は3世紀末に遡るとされているため、卑弥呼を宗主とする小国連合（邪馬台国連合）がヤマトを拠点とする「ヤマト政権」ないし「ヤマト王権」につながる可能性が高くなったとの指摘がある。たとえば、白石太一郎は、「邪馬台国を中心とする広域の政治連合は、3世紀中葉の卑弥呼の死による連合秩序の再編や、狗奴国連合との合体に伴う版図の拡大を契機にして大きく革新された。この革新された政治連合が、3世紀後半以後のヤマト政権にほかならない」と述べている。その根拠となるのが奈良県の纒向遺跡であり、当時の畿内地方にあって小国連合の中枢となる地であったとして注目されることが多い。この遺跡は、飛鳥時代には「大市」があったといわれる奈良盆地南東部の三輪山麓に位置し、都市計画がなされていた痕跡と考えられる遺構が随所で認められ、運河などの大土木工事もおこなわれていた一種の政治都市で、祭祀用具を収めた穴が30余基や祭殿、祭祀用仮設建物を検出し、東海地方から北陸・近畿・阿讃瀬戸内・吉備・出雲ならびに北部九州にいたる各地の土器が搬入されており、また、広がりの点では国内最大級の環濠集落である唐古・鍵遺跡の約10倍、吉野ヶ里遺跡の約6倍におよび、7世紀末の藤原宮に匹敵する巨大な遺跡であり、多賀城跡の規模を上回る。武光誠は、纒向遺跡こそが「大和朝廷」の発祥の地にほかならないとしている。纒向石塚古墳など、この地にみられる帆立貝型の独特な古墳（帆立貝型古墳。「纒向型前方後円墳」と称することもある）は、前方後円墳に先だつ型式の古墳で、墳丘長90メートルにおよんで他地域をはるかに凌ぐ規模をもち、また、山陰地方（出雲）の四隅突出型墳丘墓、吉備地方の楯築墳丘墓など各地域の文化を総合的に継承しており、これは政治的結合の飛躍的な進展を物語っている。そうしたなかで、白石太一郎は、吉備などで墳丘の上に立てられていた特殊器台・特殊壺が採り入れられるなど、吉備はヤマトの盟友的存在として、その政治的結合のなかで重要な位置を占めていたことを指摘している。しかし魏志倭人伝によれば、邪馬台国は糸島に比定される伊都国の南にあり、伊都国に一大率を置き諸国を検察したとされ、九州でしか出土していない鉄器や絹を産するとされている。さらに、糸島の平原遺跡から出土し三種の神器の八咫の鏡と同じ大きさと様式で関連が問題となる大型内行花文鏡の存在からも、邪馬台国九州説も依然として有力である。この説を取る場合、邪馬台国と畿内で発達したヤマト政権の関係において、九州にある邪馬台国が滅亡したのか、あるいは神話の如く畿内に東遷してヤマト政権となったのかが問題となる。倭では、邪馬台国と狗奴国の抗争がおこり、247年（正始8年）には両国の紛争の報告を受けて倭に派遣された帯方郡の塞曹掾史張政が、檄文をもって女王を諭した、としている。また『魏志』倭人伝によれば、卑弥呼の死ののちは男王が立ったものの内乱状態となり、卑弥呼一族の13歳の少女壱与（壹與、後代の史書では台与（臺與））が王となって再び治まったことが記されている。『日本書紀』の神功皇后紀に引用されている『晋起居注』（現存しない）には、266年（泰初（「泰始」の誤り）2年）、倭の女王の使者が西晋の都洛陽に赴いて朝貢したとの記述があり、この女王は台与と考えられている。したがって、『日本書紀』としては台与の行動は神功皇后の事績と想定している可能性がある。なお現存する『晋書』四夷伝と武帝紀では266年の倭人の朝貢は書かれているが、女王という記述は無い。
ヤマト王権の成立にあたっては、前方後円墳の出現とその広がりを基準とする見方が有力である。その成立時期は、研究者によって3世紀中葉、3世紀後半、3世紀末など若干の異同はあるが、いずれにしても、ヤマト王権は、近畿地方だけではなく、各地の豪族をも含めた連合政権であったとみられる。3世紀後半ごろ、近畿はじめ西日本各地に、大規模な墳丘を持つ古墳が出現する。これらは、いずれも前方後円墳もしくは前方後方墳で、竪穴式石室の内部に長さ数メートルにおよぶ割竹形木棺を安置して遺体を埋葬し、副葬品の組み合わせも呪術的な意味をもつ多数の銅鏡はじめ武器類をおくなど、墳丘、埋葬施設、副葬品いずれの面でも共通していて、きわめて斉一的、画一的な特徴を有する。これは、しばしば「出現期古墳」と称される。こうした出現期（古墳時代前期前半）の古墳の画一性は、古墳が各地の首長たちの共通の墓制としてつくり出されたものであることを示しており、共同の葬送もおこなわれて首長間の同盟関係が成立し、広域の政治連合が形成されていたと考えられる。その広がりは東海・北陸から近畿を中心にして北部九州にいたる地域である。出現期古墳で墳丘長が200メートルを超えるものは、奈良県桜井市に所在する箸墓古墳（280メートル）や天理市にある西殿塚古墳（234メートル）などであり、奈良盆地南東部（最狭義のヤマト）に集中し、他の地域に対し隔絶した規模を有する。このことは、この政治連合が大和（ヤマト）を中心とする近畿地方の勢力が中心となったことを示している。この政権を「ヤマト政権」もしくは「ヤマト王権」と称するのは、そのためである。また、この体制を、政権の成立を画一的な前方後円墳の出現を基準とすることから「前方後円墳体制」と称することがある。
吉村武彦は、『岩波講座　日本通史第2巻 古代I』のなかで、「崇神天皇以降に想定される王権」を「大和王権」と呼称しており、初期大和王権と邪馬台国の関係について「近年の考古学的研究によれば、邪馬台国の所在地が近畿地方であった可能性が強くなった。しかしながら、歴史学的に実証されたわけではなく、しかも初期大和王権との系譜的関係はむしろ繋がらないと考えられる」と述べている。吉村は、「古墳の築造が政権や国家の成立を意味するのかどうか、問題をはらんでいる」と指摘し、古墳の所在地に政治的基盤を求める従来の視点には再検討が必要だと論じている。その論拠としては、記紀には王宮と王墓の所在地が離れた場所にあることを一貫して記しており、また、特定地域に影響力を行使する集団の首長が特定の小地域にしか地盤をもたないのだとしたら、記紀におけるような「歴代遷宮」のような現象は起こらないことを掲げており、むしろ、大和王権は特定の政治的地盤から離れることによって、成立したのではないかと推測する。前方後円墳の出現時期の早い遅いにかかわらず、大和王権の成立時期ないし行燈山古墳（現崇神陵）の出現時期とは数十年のズレがあるというのが、吉村の見解である。上述の山尾の指摘とあわせ、今後検討していくべき課題といえる。
弥生中期から卑弥呼の時代はもとより7世紀にいたるまで、ヤマト王権のみならず、日本列島内において様々な勢力圏、連合独立地域自治権、が存在していた、という多元王朝説が古田武彦らによって1970年代以降提唱され、かつては歴史愛好家などから一定の支持を得たこともあった。しかし存在している文献資料の検討や古墳をはじめとする考古資料から、現時点において、学界は「決定的な根拠に欠けている」としている。（→九州王朝説参照）。なお、これをさらに発展させ、九州王朝のみが存在したとする九州王朝一元説や、大和に王朝は存在せず、本来は豊前の王朝だったとする豊前王朝説、九州王朝と東北王朝のみが存在し、大和は東北王朝の支配下にあったとする東北王朝説もあるが、学界からは根拠が薄いとされている。
4世紀後半にはいると、石上神宮（奈良県）につたわる七支刀の製作が、銘文により369年のこととされる。356年に馬韓の地に建国された百済王の世子（太子）が倭国王のためにつくったものであり、これはヤマト王権と百済の王権との提携が成立したことをあらわす。なお、七支刀が実際に倭王に贈られたことが『日本書紀』にあり、それは干支二順繰り下げで実年代を計算すると372年のこととなる。いずれにせよ、倭国は任那諸国とりわけ任那（金官）と密接なかかわりをもち、この地に産する鉄資源を確保した。そこはまた生産技術を輸入する半島の窓口であり、勾玉、「倭式土器」（土師器）など日本列島特有の文物の出土により、倭の拠点が成立していたことが確認された。いっぽう半島北部では、満州東部の森林地帯に起源をもつツングース系貊族の国家高句麗が、313年に楽浪郡・帯方郡に侵入してこれを滅ぼし、4世紀後半にも南下をつづけた。中国吉林省集安に所在する広開土王碑には、高句麗が倭国に通じた百済を討ち、倭の侵入をうけた新羅を救援するため、400年と404年の2度にわたって倭軍と交戦し勝利したと刻んでいる。この時期のヤマト王権の政治組織については、文献記録がほとんど皆無であるため、朝鮮半島への出兵という重大事件があったことは明白であるにもかかわらず、将兵の構成や動員の様態をふくめ不詳な点が多い。しかし、対外的な軍事行動を可能とするヤマトの王権の基盤が既に整っていたことが理解できる。
4世紀末から5世紀全体を通じて、古墳時代の時期区分では中期とされる。この時期になると、副葬品のなかで武器や武具の比率が大きくなり、馬具もあらわれて短甲や冑など騎馬戦用の武具も増える。こうした騎馬技術や武具・道具は、上述した4世紀末から5世紀初頭の対高句麗戦争において、騎馬軍団との戦闘を通じてもたらされたものと考えられるが、かつては、このような副葬品の変化を過大に評価して、騎馬民族が日本列島の農耕民を征服して「大和朝廷」を立てたとする「騎馬民族征服王朝説」がさかんに唱えられた時期があった。確かに、ヤマトを起源とされる前方後円墳が5世紀以前の朝鮮半島では見つかっているものの、江上波夫の説のように騎馬技術や武具・道具が倭国に急速に流入し政権が変貌したという証拠は乏しい。その間、日本においては首長墓・王墓の型式は3世紀以来変わらず連綿として前方後円墳がつくられるなど、前期古墳と中期古墳の間には、江上の指摘した断絶性よりも、むしろ強い連続性が認められることから、この説は現在では以前ほどの支持を得られなくなっている（→騎馬民族征服王朝説参照）。中期古墳の際だった傾向としては、何といってもその巨大化である。とくに5世紀前半に河内平野（大阪平野南部）に誉田山古墳（伝応神陵、墳丘長420メートル）や大山古墳（伝仁徳陵、墳丘長525メートル）は、いずれも秦の始皇帝陵とならぶ世界最大級の王墓であり、ヤマト王権の権力や権威の大きさをよくあらわしている。また、このことはヤマト王権の中枢が奈良盆地から河内平野に移ったことも意味しているが、水系に着目する白石太一郎は、大和・柳本古墳群（奈良盆地南東部）、佐紀盾列古墳群（奈良盆地北部）、馬見古墳群（奈良盆地南西部）、古市古墳群（河内平野）、百舌鳥古墳群（河内平野）など4世紀から6世紀における墳丘長200メートルを越す大型前方後円墳がもっぱら大和川流域に分布することから、古墳時代を通じて畿内支配者層の大型墳墓は、この水系のなかで移動しており、ヤマト王権内部での盟主権の移動を示すものとしている。また、井上光貞も河内の王は入り婿の形でそれ以前のヤマトの王家とつながっていることをかつて指摘したことがあり、少なくとも、他者が簡単に取って替わることのできない権威を確立していたことがうかがわれる。いっぽう、4世紀の巨大古墳が奈良盆地の三輪山付近に集中するのに対し、5世紀代には河内に顕著に大古墳がつくられたことをもって、ここに王朝の交替を想定する説、すなわち「王朝交替説」がある。つまり、古墳分布という考古学上の知見に、記紀の天皇和風諡号の検討から、4世紀（古墳時代前期）の王朝を三輪王朝（「イリ」系、崇神王朝）というのに対し、5世紀（古墳時代中期）の河内の勢力は河内王朝（「ワケ」系、応神王朝もしくは仁徳王朝）と呼ばれる。この学説は水野祐によって唱えられ、井上光貞の応神新王朝論、上田正昭の河内王朝論などとして展開し、直木孝次郎、岡田精司らに引き継がれた。しかし、この王朝交替説に対してもいくつかの立場から批判が出されているのが現状である。その代表的なものに「地域国家論」がある。また、4世紀後半から5世紀にかけて大和の勢力と河内の勢力は一体化しており、両者は「大和・河内連合王権」ともいうべき連合関係にあったため王朝交替はなかったとするのが和田萃である。大和川流域間の移動を重視する白石太一郎も同様の見解に立つ。5世紀前半のヤマト以外の地に目を転ずると、日向、筑紫、吉備、毛野、丹後などでも大きな前方後円墳がつくられた。なかでも岡山市の造山古墳（墳丘長360メートル）は墳丘長で日本第4位の大古墳であり、のちの吉備氏へつながるような吉備の大豪族が大きな力をもち、鉄製の道具も駆使して、ヤマト政権の連合において重要な位置をしめていたことがうかがわれる。また、このことより、各地の豪族はヤマトの王権に服属しながらも、それぞれの地域で独自に勢力をのばしていたと考えられる。先述した「地域国家論」とは、5世紀前半においては吉備・筑紫・毛野・出雲など各地にかなりの規模の地域国家があり、そのような国家の1つとして当然畿内にも地域国家「ヤマト」があって並立ないし連合の関係にあり、その競合のなかから統一国家が生まれてくるという考えである。このような論に立つ研究者には佐々木健一らがいる。5世紀初めはまた、渡来人（帰化人）の第一波のあった時期であり、『日本書紀』・『古事記』には、王仁、阿知使主、弓月君（東漢氏や秦氏の祖にあたる）が応神朝に帰化したと伝えている。須恵器の使用がはじまるのも、このころのことであり、渡来人がもたらした技術と考えられている。5世紀にはいって、再び倭国が中国の史書にあらわれた。そこには、5世紀初めから約1世紀にわたって、讃・珍・済・興・武の5人の倭王があいついで中国の南朝に使いを送り、皇帝に対し朝貢したことが記されている。倭の五王は、それにより皇帝の臣下となり、官爵を授けられた。中国皇帝を頂点とする東アジアの国際秩序を冊封体制と呼んでいる。これは、朝鮮半島南部諸国（任那・加羅）における利権の獲得を有利に進める目的であろうと考えられており、実際に済や武は朝鮮半島南部の支配権が認められている。倭王たちは、朝鮮半島での支配権を南朝に認めさせるために冊封体制にはいり、珍が「安東将軍倭国王」（438年）、済がやはり「安東将軍倭国王」（443年）の称号を得、さらに済は451年に「使持節都督六国諸軍事」を加号されている。462年、興は「安東将軍倭国王」の称号を得ている。このなかで注目すべき動きとしては、珍や済が中国の皇帝に対し、みずからの臣下への官爵も求めていることが揚げられる。このことはヤマト政権内部の秩序づけに朝貢を役立てたものと考えられる。
475年、高句麗の大軍によって百済の都漢城が陥落し、蓋鹵王はじめ王族の多くが殺害されて、都を南方の熊津へ遷した。こうした半島情勢により「今来漢人（いまきのあやひと）」と称される、主として百済系の人びとが多数日本に渡来した。5世紀後半から6世紀にかけての雄略天皇の時代は、渡来人第二波の時期でもあった。雄略天皇は、上述した倭の五王のうちの武であると比定される。『宋書』倭国伝に引用された478年の「倭王武の上表文」には、倭の王権が東（毛人）、西（衆夷）、北（海北）の多くの国を征服したことを述べられており、みずからの勢力を拡大して地方豪族を服属させたことがうかがわれる。また、海北とは朝鮮半島を意味すると考えられるところから、渡来人第二波との関連も考慮される。この時代のものと考えられる埼玉県の稲荷山古墳出土鉄剣（金錯銘鉄剣）には辛亥年（471年）の紀年銘があり、そこには「ワカタケル大王」の名がみえる。これは『日本書紀』『古事記』の伝える雄略天皇の本名と一致しており、熊本県の江田船山古墳出土の鉄刀銘にもみられる。東国と九州の古墳に「ワカタケル」の名のみえることは、上述の「倭王武の上表文」の征服事業の記載と整合的である。また、稲荷山古墳出土鉄剣銘には東国の豪族が「大王」の宮に親衛隊長（「杖刀人首」）として、江田船山古墳出土鉄刀銘には西国の豪族が大王側近の文官（「典曹人」）として仕え、王権の一翼をになっていたことが知られている。職制と「人」とを結んで「厨人」「川瀬舎人」などのように表記する事例は、『日本書紀』雄略紀にもみられ、この時期の在地勢力とヤマト王権の仕奉関係は「人制」とよばれる。さらに、銘文には「治天下…大王」（江田船山）、「天下を治むるを左（たす）く」（稲荷山）の文言もあり、宋の皇帝を中心とする天下とはまた別に、倭の大王を中心とする「天下」の観念が芽生えている。これは、大王のもとに中国の権威からある程度独立した秩序が形成されつつあったことを物語る。上述した「今来漢人」は、陶作部、錦織部、鞍作部、画部などの技術者集団（品部）に組織され、東漢氏に管理をまかせた。また、漢字を用いてヤマト王権のさまざまな記録や財物の出納、外交文書の作成にあたったのも、その多くは史部とよばれる渡来人であった。こうした渡来人の組織化を契機に、管理者である伴造やその配下におかれた部などからなる官僚組織がしだいにつくられていったものと考えられる。いっぽう、5世紀後半（古墳時代中期後半）の古墳の分布を検討すると、この時代には、中期前半に大古墳のつくられた筑紫、吉備、毛野、日向、丹後などの各地で大規模な前方後円墳の造営がみられなくなり、ヤマト政権の王だけが墳丘長200メートルを超える大前方後円墳の造営をつづけている。この時期に、ヤマト政権の王である大王の権威が著しく伸張し、ヤマト政権の性格が大きく変質したことは、考古資料の面からも指摘できる。なお、平野邦雄は平凡社『世界大百科事典』（1988年版）の項目「大和朝廷」のなかで、「王権を中心に一定の臣僚集団による政治組織が形成された段階」としての「朝廷」概念を提唱し、ワカタケルの時期をもって「ヤマト朝廷」が成立したとの見解を表明している。
ワカタケルの没後、5世紀後半から末葉にかけての時期には、巨大な前方後円墳の築造も衰退しはじめ、一般に小型化していくいっぽう、小規模な円墳などが群集して営まれる群集墳の造営例があらわれ、一部には横穴式石室の採用もみられる。こうした動きは、巨大古墳を築造してきた地域の大首長の権威が相対的に低下し、中小首長層が台頭してきたことを意味している。これについては、ワカタケル大王の王権強化策は成功したものの、その一方で旧来の勢力からの反発を招き、その結果として王権が一時的に弱体化したという考えがある。5世紀後半以降の地方の首長層とヤマトの王権との関係は、稲荷山鉄剣や江田船山大刀に刻された銘文とその考古学的解釈により、地方首長が直接ヤマトの大王と結びついていたのではなく、地方首長とヤマト王権を構成する大伴、物部、阿部などの畿内氏族とが強い結びつきをもつようになったものと想定される。王は「大王」として専制的な権力を保有するようになったとともに、そのいっぽうでは大王と各地の首長層との結びつきはむしろ稀薄化したものと考えられる。また、大王の地位自体がしだいに畿内豪族連合の機関へと変質していく。5世紀末葉から6世紀初頭にかけて、『日本書紀』では短期間のあいだに清寧、顕宗、仁賢、武烈の4人の大王が次々に現れたと記し、このことは、王統自体もはげしく動揺したことを示唆している。また、こののちのオホド王（継体天皇）即位については、王統の断絶ないし王朝の交替とみなすという説（王朝交替説）がある。こうした王権の動揺を背景として、この時期、中国王朝との通交も途絶している。ヤマト王権はまた、従来百済との友好関係を基盤として朝鮮半島南部に経済的・政治的基盤を築いてきたが、百済勢力の後退によりヤマト王権の半島での地位も相対的に低下した。このことにより、鉄資源の輸入も減少し、倭国内の農業開発が停滞したため、王権と傘下の豪族達の政治的・経済的求心力が低下したとの見方も示されている。6世紀に入ると、半島では高句麗に圧迫されていた百済と新羅がともに政治体制を整えて勢力を盛り返し、伽耶地方への進出をはかるようになった。こうしたなか、6世紀初頭に近江から北陸にかけての首長層を背景としたオホド大王（継体天皇）が現れ、ヤマトにむかえられて王統を統一した。しかし、オホドは奈良盆地に入るのに20年の歳月を要しており、この王権の確立が必ずしもスムーズではなかったことを物語る。オホド大王治世下の527年には、北九州の有力豪族である筑紫君磐井が新羅と連携して、ヤマト王権と軍事衝突するにいたった（磐井の乱）。この乱はすぐに鎮圧されたものの、乱を契機として王権による朝鮮半島南部への進出活動が衰え、大伴金村の朝鮮政策も失敗して、朝鮮半島における日本の勢力は急速に揺らいだ。継体天皇の没後、531年から539年にかけては、王権の分裂も考えられ、安閑・宣化の王権と欽明の王権が対立したとする説もある（辛亥の変）。いっぽう、オホド大王の登場以降、東北地方から九州地方南部におよぶ全域の統合が急速に進み、とくに磐井の乱ののちには各地に屯倉とよばれる直轄地がおかれて、国内的には政治統一が進展したとする見方が有力である。なお、540年には、オホド大王を擁立した大伴金村が失脚している。
6世紀前半は砂鉄を素材とする製鉄法が開発されて鉄の自給が可能になったこともあって、ヤマト王権は対外的には消極的となった。562年、伽耶諸国は百済、新羅両国の支配下にはいり、ヤマト王権は朝鮮半島における勢力の拠点を失った。そのいっぽう、半島からは暦法など中国の文物を移入するとともに豪族や民衆の系列化・組織化を漸次的に進めて内政面を強化していった。ヤマト王権の内部では、中央豪族の政権における主導権や、田荘・部民などの獲得をめぐって抗争がつづいた。大伴氏失脚後は、蘇我稲目と物部尾輿が崇仏か排仏かをめぐって対立し、大臣蘇我馬子と大連物部守屋の代には、ついに武力闘争に至った（丁未の乱）。丁未の乱を制した蘇我馬子は、大王に泊瀬部皇子を据えたが（崇峻天皇）、次第に両者は対立し、ついに馬子は大王を殺害した。続いて姪の額田部皇女を即位させて推古天皇とし、厩戸王（聖徳太子）とともに強固な政治基盤を築きあげ、冠位十二階や憲法十七条の制定など官僚制を柱とする大王権力の強化・革新を積極的に進めた。6世紀中葉に日本に伝来した仏教は、統治と支配をささえるイデオロギーとして重視され、『天皇記』『国記』などの歴史書も編纂された。これ以降、氏族制度を基軸とした政治形態や諸制度は徐々に解消され、ヤマト国家の段階は終焉を迎え、古代律令制国家が形成されていくこととなる。
7世紀半ばに唐が高句麗を攻め始めるとヤマトも中央集権の必要性が高まり、難波宮で大化の改新が行われた。壬申の乱にて大王位継承権を勝ち取った天武天皇は藤原京の造営を始め、持統天皇の代には飛鳥から遷都した。701年大宝律令が完成し、この頃からヤマト王権は「日本国」を国号の表記として用い（当初は「日本」と書き「やまと」と訓じた）、大王に代わる新しい君主号を、正式に「天皇」と定めた。
『日本書紀』によれば、伊奘諾尊と伊奘冉尊の間にうまれた太陽神である天照大神が皇室の祖だという。その子天忍穂耳尊と栲幡千千姫（高皇産霊尊の娘）の間にうまれた子の瓊瓊杵尊（天孫）は、天照大神の命により、葦原中国を統治するため高天原より日向の襲の高千穗峰に降臨した（天孫降臨）。瓊瓊杵尊は、大山祇神の娘である木花之開耶姫をめとり、火闌降命（海幸彦。隼人の祖。）・火折尊（山幸彦。皇室の祖。）・火明命（尾張氏の祖）をうんだ。山幸彦と海幸彦に関する神話としては「山幸彦と海幸彦」がある。火折尊は海神の娘である豊玉姫を娶り、二人の間には彦波瀲武鸕鶿草葺不合尊がうまれた。鸕鶿草葺不合尊はその母の妹である玉依姫をめとり、五瀬命・稲飯命・三毛入野命・磐余彦尊がうまれた。瓊瓊杵尊より鸕鶿草葺不合尊までの3代を「日向三代」と呼ぶことがある。
磐余彦尊は日向国にあったが、甲寅年、45歳のときに饒速日（物部氏の遠祖）が東方の美しい国に天下った話を聞いた。磐余彦尊は、自らの兄や子に東へ遷ろうとすすめてその地（奈良盆地）へ東征（神武東征）を開始した。速吸の門では、国神である珍彦（倭国造の祖）に出会い、彼に椎根津彦という名を与えて道案内にした。筑紫国菟狭の一柱騰宮、同国崗水門を経て、安芸国の埃宮、吉備国の高島宮に着いた。磐余彦は宿敵長髄彦と戦い、饒速日命はその主君であった長髄彦を殺して帰順した。辛酉年、磐余彦尊は橿原宮ではじめて天皇位につき（神武天皇）、「始馭天下之天皇（はつくにしらすすめらみこと）」と称された。伝承上、これが朝廷および皇室の起源で、日本の建国とされる。
神武天皇の橿原宮での即位は「辛酉年」正月であることから、『日本書紀』の編年から遡って紀元前660年に相当し、それを紀元とする紀年法が「皇紀」（神武天皇即位紀元）である。西暦1940年（昭和15年）は皇紀2600年にあたり、日中戦争の戦時下にあったためもあり、「紀元二千六百年記念行事」が国を挙げて奉祝された。この年に生産が開始された零式艦上戦闘機（いわゆる「ゼロ戦」）は皇紀の下2桁が「00」にあたるところからの命名である。また、神武天皇の即位日は『日本書紀』によれば「辛酉年春正月、庚辰朔」であり（中国で665年につくられ、日本で692年から用いられた『儀鳳暦（麟徳暦）』によっている）、これは旧暦の1月1日ということであるが、明治政府は太陽暦の採用にあたり、1873年（明治6年）の「太政官布告」第344号で新暦2月11日を即位日として定めた。根拠は、西暦紀元前660年の立春に最も近い庚辰の日が新暦2月11日に相当するとされたためであった。この布告にもとづき、戦前は2月11日が紀元節として祝日とされていた。紀元節は、大日本帝国憲法発布の日（1889年（明治22年）2月11日）、広田弘毅発案による文化勲章の制定日（1937年（昭和12年）2月11日）にも選ばれ、昭和天皇即位後は四方拝（1月1日）、天長節（4月29日）、明治節（11月3日、明治天皇誕生日）とならび「四大節」とされる祝祭日であった。紀元節は太平洋戦争（大東亜戦争）終結後1948年に廃止された。「建国記念日」を設置する案は度々提出されたが神武天皇の実在の真偽などから成立には至らず、1966年に妥協案として「の」を入れた「建国記念の日」が成立した。国民の祝日に関する法律（祝日法）第2条では、「建国記念の日」の趣旨を「建国をしのび、国を愛する心を養う」と規定しており、1966年（昭和41年）の祝日法改正では「国民の祝日」に加えられ、今日に至っている。『日本書紀』は雄略紀以降、元嘉暦（中国で443年に作られ、日本で691年まで単独使用された（翌年から697年までは儀鳳暦と併用））で暦日を記しているが、允恭紀以前は『日本書紀』編纂当時の現行暦である儀鳳暦に拠っている。船山の大刀銘が「大王世」と記す一方、稲荷山の鉄剣名が「辛亥年」と記すことから、まさに雄略朝に元嘉暦は始用され、それ以前には、まだ日本では中国暦による暦日は用いられていなかったと考えられている。むろん7世紀につくられた儀鳳暦が用いられていたはずもなく、神武即位日を新暦に換算することは不可能である。
皇室に伝わる神宝は「三種の神器」と呼称され、天孫降臨の際に天照大神から授けられたとする鏡（八咫鏡）、剣（天叢雲剣）、玉（八尺瓊勾玉）を指す。大和時代に起源をもち、今日まで伝わる行事としては上述「四大節」のうちの「四方拝」のほか10月17日の「神嘗祭」や11月23日の「新嘗祭」がある。「大祓」もまた、大宝令ではじめて明文化された古い宮中祭祀である。また、『日本書紀』顕宗紀には顕宗朝に何度か「曲水宴」（めぐりみずのとよあかり）の行事がおこなわれたとの記事がある。なお八咫鏡と大きさが同じ直径46cmでその図象が「伊勢二所皇太神宮御鎮座伝記」の八咫鏡の記述「八頭花崎八葉形」と類似する大型内行花文鏡が福岡県糸島市の平原遺跡から5枚出土しており、三種の神器との関連が考えられている。
ISO 3166-2:AXはISOの3166-2規格のうち、AXで始まるものである。フィンランドの自治領であるオーランド諸島の行政区分コードを意味する。オーランド諸島はISO 3166-1(ISO 3166-1 alpha-2)で、AXを国コードとして割り振られている。ISO 3166-2:AXに対応する行政区分コードの割り当てはない。ただし、フィンランドのコードであるISO 3166-2:FIにおいて、FI-ALを与えられている。
1886年（明治19年）9月10日、栃木県の現下野市に生まれる。明治大学を中退後、1927年（昭和2年）の栃木県会議員選に立候補し当選。1937年（昭和12年）には第20回衆議院議員総選挙に立候補し当選。1942年（昭和17年）の第21回衆議院議員総選挙（翼賛選挙）では落選した。1947年（昭和22年）4月に初代公選栃木県知事に当選。2期目任期途中の1955年（昭和30年）2月に辞任した。1960年（昭和35年）4月3日死去。享年73。加藤武男（元三菱銀行頭取）と共に、日光カンツリー倶楽部の基を築き、毎年春には小平杯が行われている。栃木県宇都宮市の総合運動公園の南側に、小平の銅像がある。
現職議員の引退に伴い、クエールは2010年2月に下院選出馬を表明。クエールが出馬したアリゾナ3区は、11人が出馬する全米きっての激戦区だったが、マイク・ペンス下院議員らの支持を受け、8月に行われた予備選を制した。余勢を駆って同年11月の中間選挙でも勝利し、34歳で下院議員に当選した。また、ティファニー夫人と同年に結婚している。議員としては2012年2月にナショナル・ジャーナルから「最も保守的」と評された10人の下院議員の1人となる。2012年は区割り変更によりアリゾナ6区からの出馬を目指したが、共和党の予備選で他の現職新人議員に敗れ、再選は果たせなかった。
カウディヌスはコルネリウス氏族のレントゥルス家の出身である。レントゥルスのコグノーメン（第三名、個人名）を持つ人物で最初に執政官に就任したのは、紀元前327年のルキウス・コルネリウス・レントゥルスであるが、他のコルネリウス氏族との関係は明確ではない（コルネリウス・コッスス家から分かれた可能性がある）。カウディヌスはこのルキウス・コルネリウス・レントゥルスの子孫ではないが、紀元前275年の執政官で、マニウス・クリウス・デンタトゥスと共にピュロス戦争を戦ったルキウス・コルネリウス・レントゥルス・カウディヌスの子供である。祖父のプラエノーメン（第一名、個人名）はティベリウスであった。紀元前237年の執政官ルキウス・コルネリウス・レントゥルス・カウディヌスは兄弟である。アグノーメン（第4名、添え名）であるカウディヌスは、紀元前275年の執政官であるルキウスが、カウディウムを占領したことに起因すると思われる。カウディヌスに関する記録は、紀元前236年の執政官時代に関するもののみである。同僚執政官はプレブス（平民）のガイウス・リキニウス・ウァルスであった。両執政官は北方、アドリア海に面するアリミヌム（現在のリミニ）に向かった。ガリア・トランサルピナ（アルプスの北側）のガリア人が南下し、ガリア・キサルピナ（アルプスの南側）のガリア人と同盟して国境を脅かしたためである。ガリア軍は数的に優っており、カウディヌスとウァルスはしばらくの間戦闘を開始しなかった。やがてガリア軍内部で内紛が勃発したが、本格的な内戦となり、ガリアの王の内二人が戦死した。結果としてローマに対する脅威は無くなった。これを知り、両執政官ともにアリミヌムを離れ、ウァルスはコルシカに向かい、カウディヌスはリグリアに向かった。カウディヌスはそこで現地部族の反乱を鎮圧し、ローマに戻って凱旋式を実施している（エウトロピウスはこの凱旋式を1年間違って紀元前237年としている）クイリナリスの丘のクゥイリーヌス神殿の碑文には、"P. Corn[elios] L. f. coso[l] proba[vit] Mar[te sacrom]"（執政官 P.コルネリウス L. f. がマルスに捧げた）と読める碑文がある。理論的には、同時代のコルネリウス氏族の他の執政官のものである可能性もあるが、一般にはカウディヌスのリグリアでの勝利を感謝して奉納されたものと考えられている。第二次ポエニ戦争において、カウディヌスのアグノーメンを持つ二人の人物が登場する。一人は紀元前203年の法務官（プラエトル）であるプブリウス・コルネリウス・レントゥルス・カウディヌス、もう一人は紀元前209年の按察官（アエディリス）であるルキウス・コルネリウス・レントゥルス・カウディヌスである。おそらくはこの二人はカウディウスの息子である。また、この二人は同一人物との仮説もある。
BRTの運行が開始された際に、県道上にBRT用の駅舎が設置された。東日本大震災までは単式ホーム1面1線を有する地上駅で、待合所があるだけの無人駅であった。気仙沼駅管理。
南北戦争中の北軍第25軍団（XXV Corps）は南北戦争後期に編成された軍団で、ほとんどが黒人連隊で構成されていた。
1864年12月3日、ジェームズ軍所属の第10軍団および第18軍団の組織再編が行われた。白人兵士で構成された部隊は第24軍団に所属し、他方黒人兵士で構成された部隊は第25軍団に所属し、ゴッドフリー・ウェイツェル（Godfrey Weitzel）少将を軍団長とすることとなった。この新しい第25軍団は、ピータースバーグ包囲作戦中に目立った活躍をすることは無く、特筆すべき活動としては、4月3日に南軍の首都であったリッチモンドに最初に入城した部隊となったこと程度である。その後、フランス皇帝ナポレオン3世のメキシコ出兵に対抗するため、テキサス州に送られた。1866年1月に、第25軍団は解散した。
東京都江東区の南東沿岸部に位置する。城東地域内に当たる。北で砂町南運河を跨いで新木場と隣接する。町域内は工場・倉庫・港湾設備の他、東半分は若洲海浜公園・若洲公園の公園用地となっている。全域が埋立地である。北の新木場とは若洲橋で繋がっている。また、西の中央防波堤外側埋立地（町名未定）とは東京ゲートブリッジにて接続している。
過去には東京湾埋立15号地、および新夢の島と呼ばれていた。潮見、夢の島などと同様に、ゴミの埋立処分場だったところである。
新たに生まれた「若い島」の意味であり、この意味を取って付けられた若洲橋の名に因んでいる。
文政3年(1820年)、石見国津和野藩医池田淳作の長男として生まれる。安政5年(1858年)、大槻俊斎・伊東玄朴らと図り、お玉が池種痘所設立。文久2年(1862年)閏8月7日、津和野藩医より幕府医師に登用され、寄合医師となる。元治元年(1864年)8月15日、奥詰医師に進む。慶応4年(1868年)6月27日、寄合医師に移り、翌年12月25日隠居。明治5年(1872年)没。谷中霊園に葬る。養子、池田謙斎は初代東京帝国大学医学部綜理、明治天皇侍医、男爵。伊東玄朴の高弟で、のちに玄仲と改名している。お玉が池種痘所留守居として住み込み、同所（西洋医学所、のち医学所と改称）の長が、大槻俊斎・緒方洪庵・松本良順と変遷する間、つねにナンバー2として頭取を補佐、実務・経営にあたる。鳥羽・伏見の戦いでは幕府医師を指揮して、戦傷病者の治療・後送にあたったという。
カロマ（Karoma）とは、イタリア・フェイヨ (Feio) 社のエスプレッソコーヒーブランドである。パウダーコーヒーとエスプレッソカフェポッドがある。 フェイヨ社の本部はエスプレッソ発祥の中心地であるナポリ近郊、アマルフィ海岸のあるサレルノ県アングリ市にある。カロマのエスプレッソカフェポッドはESE規格に互換性がある45mm径のものとなっている。
Che aroma!（ケ　アローマ！：なんていい香り！）というイタリア語がもとになっている。 ナポリのエスプレッソは比較的深煎りタイプが多い。
東洋からもたらされたコーヒーを現在のエスプレッソの形に完成させたのはナポリで、当時はコーヒーとミルク、砂糖とカップを積んだ移動販売をしていた。そして次々にカフェが登場することになる。その中でも有名なのがガンブリヌスやカフェ・ピントというカフェで、詩人ジャコモ・レオパルディ(1798-1837)もそこで砂糖たっぷりのコーヒーを愉しんでいたと伝えられる（少なくとも砂糖をスプーン10杯いれていたらしい）。 グラン・カフェではコーヒーにクリームやココアを入れたレシピも生まれた。フランスのタレーランはエスプレッソを「地獄のように熱く悪魔のように黒い、そして天使のように純粋で愛のように甘い（"caldo come l’inferno, nero come il diavolo, puro come un angelo e dolce come l’amore”）」と称賛した。
交響曲のスケッチはすでに1904年末に始められ、大学を卒業した直後の1905年の夏から秋にかけてウスティルーフでショートスコアが書かれた。しかし、この版は完成した交響曲とは大きく異なっており、リムスキー＝コルサコフによって指導が加えられたと考えられる。オーケストレーションはまず第2楽章からはじめられ、1906年秋に完成した。しかし、残りの楽章については単に管弦楽化するだけでなく曲に手が加えられたことと、ストラヴィンスキー本人の事情（結婚・出産・家の建築など）で遅れた。第3楽章はもっとも徹底的に書き変えられた。第1楽章は1907年7月18日、最終楽章はさらにその後に完成した。したがって「作品1」とついているものの、実際には作品2の『牧神と羊飼いの娘』の方が先に完成した。書きかえにあたってはグラズノフやタネーエフなどの交響曲がモデルにされた。第3楽章はチャイコフスキーの影響が強い。
フルート3（3番はピッコロ持ち替え）、オーボエ2、クラリネット3、ファゴット2、ホルン4、トランペット3、トロンボーン3、チューバ、ティンパニ、トライアングル、シンバルおよび大太鼓、弦5部。
変ロ長調。全曲で最も短い楽章ではあるが、ロシア民謡を挿入して民族色を醸し出している。2拍子による軽快なスケルツォで、リズムと音色・曲想が軽やかなため、メンデルスゾーンの《スコットランド交響曲》やボロディンの《交響曲 第2番》からの影響を感じさせる。冒頭の旋律は『火の鳥』の「金のリンゴと戯れる王女たち」に類似し、中間部の民謡調の旋律は『ペトルーシュカ』の「乳母の踊り」に似るなど、後のストラヴィンスキーの作品ともっとも共通性の高い楽章でもある。
変イ短調。全曲中最も長い楽章であり、ほぼ15分の長さを占めている。木管楽器の効果的な用法もあって、牧歌的な色彩を帯びた緩徐楽章である。
グラズノフの《交響曲 第5番》を模範にしたと言われる祝祭的な楽章。4小節にわたって民謡調の自作歌曲の断片を挿入しており、出版譜の該当部分にその題名（《チーチェル・ヤーチェル〔Чичер-Ячер〕）が記入されている。同じ旋律をストラヴィンスキーは、1913年の《3つの小さな歌》にも用いている。
総譜は「恩師ニコライ・アンドレーヴィチ・リムスキー＝コルサコフ」に献呈されている。晩年のストラヴィンスキーが述べたところによると、1907年4月27日に宮廷楽長ヴァールリヒ（Hugo Wahrlich）の指揮とペテルブルク宮廷管弦楽団によって非公開で演奏され、その際に歌曲《牧神と羊飼いの娘》も併せて上演された。リムスキー＝コルサコフはストラヴィンスキーのそばに腰を下ろして、順々に説いた。曰く、「ずいぶんな厚ぼったい曲だ。中音域のトロンボーンを用いるときは注意しなくてはね」。グラズノフは上演後にストラヴィンスキーに会いに来て、「大変結構でした」と伝えた。しかしこの時にはまだ交響曲は完成しておらず、勘違いと思われる。実際には完成した第2・3楽章だけが4月14日と4月16日に演奏された。完全な形での初演は1908年1月22日にサンクトペテルブルクにおいて行われた。出版はずっと遅れて、ストラヴィンスキーが有名になった後の1914年にモスクワのユルゲンソンから出版された。
|\arg(b/a)|\ne\pi である複素数 a,\ b についてa_{0}=a, \quad b_{0}=ba_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}, \quad b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}\quad(n\ge0)と定めれば数列 \{a_n\} と \{b_n\} は同じ値に収束する。その極限を a,\ b の算術幾何平均と呼ぶ。ただし、幾何平均 b_n の根号の符号は算術平均 a_n の側にあるものを選ぶものとする。M(a,b)=\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n\real(b/a)>0 の場合、算術幾何平均は次式の楕円積分で表される。M(a,b)=\frac{\pi}{2}\bigg/\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}}\real(b/a)=0 の場合は、次式になる。\begin{align}M(a,b)&=\frac{\pi}{2}\bigg/\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\cos^2\theta+ab\sin^2\theta}}\\&=\frac{\pi}{2}\bigg/\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\sin^2\theta}}\\&=\frac{\pi}{2}\bigg/\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\left(\frac{a+b}{2}\right)\sqrt{1-\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2\sin^2\theta}}\\\end{align}
a,\ b が正の実数である場合、 a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2} \ge \sqrt{a_n\cdot b_n} = b_{n+1}が成り立ち（相加・相乗平均の関係式）、a_n \ge a_{n+1},b_{n+1} \ge b_n となることからa_0 \ge  a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge b_2 \ge b_1 \ge b_0という関係が成り立っている。{aₙ} は下に有界な単調減少数列であり、{bₙ} は上に有界な単調増加数列であるので、それぞれが収束する。{aₙ} の極限を α とし、{bₙ} の極限を β とすると定義の漸化式から\alpha = \frac{\alpha + \beta}{2}\beta = \sqrt{\alpha \beta}が両立しなければならない。2 式とも整理すれば α = β となるので、2 つの数列 {aₙ}, {bₙ} は n → ∞ とした極限で同じ値に収束することが確かめられる。
正の定数 c > 0 に対しM(ca,cb)=c M(a,b)が成り立つ。この数列の収束は|a_{n+1}-b_{n+1}| = \frac{(a_n-b_n)^2}{2(\sqrt{a_n}+\sqrt{b_n})^2} \leq C(a_n-b_n)^2を満たすので、1回のステップで精度が2倍になる。また次のことが知られている。 \frac{\pi}{2} = M(1,\sqrt{1-k^2}) \int_0^1 \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-k^2z^2)}}.右辺の積分は、楕円積分であり簡単には積分できない。しかし、算術幾何平均の収束が速いので、数値計算による円周率の計算に用いられることがある。
複素数 a,\ b の算術幾何平均が収束することは、以下によって証明できる。a_{n}^{\;2}-b_{n}^{\;2}=(a_n+b_n)(a_n-b_n)a_{n+1}^{\;2}-b_{n+1}^{\;2}=\left(\frac{a_n+b_n}{2}\right)^2-a_nb_n=\frac{(a_n-b_n)^2}{4}\left|a_n-b_n\right|<\left|a_n+b_n\right|となるように b_n の根号の符号を決めると約束したので、\frac{\left|a_{n+1}^{\;2}-b_{n+1}^{\;2}\right|}{\left|a_{n}^{\;2}-b_{n}^{\;2}\right|}=\frac{\left|a_n-b_n\right|}{4\left|a_n+b_n\right|}<\frac{1}{4}である。d_n を a_n の階差とすればd_n=a_{n+1}-a_n=-\frac{a_n-b_n}{2}\frac{\left|d_{n+1}\right|}{\left|d_n\right|}=\frac{\sqrt{\left|a_{n+2}^{\;2}-b_{n+2}^{\;2}\right|}}{\sqrt{\left|a_{n+1}^{\;2}-b_{n+1}^{\;2}\right|}}<\frac{1}{2}である。したがって、級数 \sum{d_n} は絶対収束する。すなわち、数列 \{a_n\} は収束し、数列 \{b_n=2a_{n+1}-a_n\} は \{a_n\} と同じ値に収束する。算術幾何平均と楕円積分の関係は以下によって証明できる。ただし、a,\ b は正の実数とする。\begin{align}I(a,b)&=\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}}\\&=\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{(a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta)(\cos^2\theta+\sin^2\theta)}}\\&=\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{{\cos^2\theta}\sqrt{(a^2+b^2\tan^2\theta)(1+\tan^2\theta)}}\\\end{align}x=\tan\theta と置換すると、\begin{align}I(a,b)&=\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{(a^2+b^2x^2)(1+x^2)}}\\&=\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{a^2x^2+b^2x^2+b^2x^4+a^2}}\\&=\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{(a+b)^2x^2+(bx^2-a)^2}}\\&=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{x\sqrt{\left(\displaystyle\frac{a+b}{2}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{bx^2-a}{2x}\right)^2}}\\\end{align}t=\frac{bx^2-a}{2\sqrt{ab}\;x} と置換することによって、x=\sqrt{ab}\;t+\sqrt{ab+abt^2},\quad dx=\left(\sqrt{ab}+\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{ab+abt^2}}\right)dt=\frac{x}{\sqrt{1+t^2}}dt\begin{align}I(a,b)&=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dt}{\sqrt{\left(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2+abt^2\right)\left(1+t^2\right)}}\\&=\int_{0}^{\infty}\frac{dt}{\sqrt{\left(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2+abt^2\right)\left(1+t^2\right)}}\\&=I\left(\frac{a+b}{2},\sqrt{ab}\right)\end{align}となる。したがって、\begin{align}I(a,b)&=I(a_1,b_1)=\lim_{n\to\infty}I(a_n,b_n)=\lim_{n\to\infty}I\left(M(a,b),M(a,b)\right)\\&=\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{M(a,b)^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)}}=\frac{\pi}{2M(a,b)}\\\end{align}a,\ b が複素数である場合は、積分路 t=\frac{bx^2-a}{2\sqrt{ab}\;x} と実軸との間に（留数をもつ）極がないことを確かめなければならない。 u=\real\left(b/a\right), v=\image\left(b/a\right) とすれば、\begin{align}\frac{t}{\frac{a+b}{2\sqrt{ab}}}&=\frac{(b/a)x^2-1}{(1+b/a)x}=\frac{(u+iv)x^2-1}{(1+u+iv)x}\\&=\frac{(ux^2-1+ivx^2)(1+u-iv)}{\left((1+u)^2+v^2\right)x}\\&=\frac{(u+u^2+v^2)x^2-(1+u)+ivx^2+iv}{(1+2u+u^2+v^2)x}\\\end{align}これに x^2=\frac{1+u}{u+u^2+v^2} を代入すると\begin{align}\frac{t}{\frac{a+b}{2\sqrt{ab}}}&=\frac{iv\frac{1+2u+^2+v^2}{u^2+v^2+u}}{(1+2u+u^2+v^2)\sqrt{\frac{1+u}{u+u^2+v^2}}}\\&=\frac{iv}{\sqrt{(1+u)(u+u^2+v^2)}}\\\end{align}であり、u>0 となるように幾何平均の根号の符号を決めると約束したので、積分路は極 \pm i\,\frac{a+b}{2} の間（原点に近いところ）を通る。また、u'=\real\left(\sqrt{b/a}\right), v'=\image\left(\sqrt{b/a}\right) とすると、\begin{align}t&=\frac{\sqrt{b/a}\;x^2-\sqrt{a/b}}{2x}=\frac{(u'+iv')^2x^2-1}{(u'+iv')x}\\&=\frac{(u'^2+v'^2)(u'+iv')x^2-(u'-iv')}{2(u'^2+v'^2)x}\\\end{align}これに x^2=\frac{1}{u'^2+v'^2} を代入すれば\begin{align}t&=\frac{iv'}{\sqrt{u'^2+v'^2}}\\\end{align}であるから、積分路は極 \pm{i} の間を通る。
|\arg(b/a)|\ne\pi である複素数 a,\ b について算術平均と調和平均を繰り返して得られる数列a_{0}=a,\quad b_{0}=ba_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2},\quad b_{n+1}=\frac{2a_nb_n}{a_n+b_n}\quad(n\ge0)の極限について \operatorname{AHM}(a,b)=\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_nである。つまり、算術調和平均は a,\ b の幾何平均に等しい。このことはa_{n+1}b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\cdot\frac{2a_nb_n}{a_n+b_n}=a_nb_n\operatorname{AHM}(a,b)=\lim_{n\to\infty}\sqrt{a_nb_n}=\sqrt{ab}から明らかである。
|\arg(b/a)|\ne\pi である複素数 a,\ b について幾何平均と調和平均を繰り返して得られる数列a_{0}=a,\quad b_{0}=ba_{n+1}=\frac{2a_nb_n}{a_n+b_n},\quad b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}\quad(n\ge0)の極限について \operatorname{HGM}(a,b)=\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_nである。つまり、調和幾何平均と算術幾何平均の積は幾何平均の自乗に等しい。このことは、a_n,\ b_n を逆数にして(1/a_{n+1})=(1/a_n)+(1/b_n),\quad (1/b_{n+1})=\sqrt{(1/a_n)(1/b_n)}\operatorname{HGM}(a,b)=\frac{1}{\operatorname{AGM}\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b}\right)}=\frac{ab}{\operatorname{AGM}\left(b,a\right)}から明らかである。