Convergence rates for regularized solutions (1988)

Given a first-kind integral equation <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper K u left-parenthesis x right-parenthesis equals integral Subscript 0 Superscript 1 Baseline upper K left-parenthesis x comma t right-parenthesis u left-parenthesis t right-parenthesis d t equals f left-parenthesis x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">K</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∫<!-- ∫ --></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {K}u(x) = \int _0^1 {K(x,t)u(t)\,dt = f(x)}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> with discrete noisy data <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d Subscript i Baseline equals f left-parenthesis x Subscript i Baseline right-parenthesis plus epsilon Subscript i"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>ε<!-- ε --></mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{d_i} = f({x_i}) + {\varepsilon _i}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="i equals 1 comma 2 comma ellipsis comma n"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…<!-- … --></mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">i = 1,2, \ldots ,n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u Subscript n alpha"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{u_{n\alpha }}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the minimizer in a Hilbert space <italic>W</italic> of the regularization functional <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis 1 slash n right-parenthesis sigma-summation left-parenthesis script upper K u left-parenthesis x Subscript i Baseline right-parenthesis minus d Subscript i Baseline right-parenthesis Superscript 2 Baseline plus alpha double-vertical-bar u double-vertical-bar Subscript upper W Superscript 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>∑<!-- ∑ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">K</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(1/n)\sum {(\mathcal {K}} u({x_i}) - {d_i}{)^2} + \alpha \left \| u \right \|_W^2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. It is shown that in any one of a wide class of norms, which includes <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-vertical-bar dot double-vertical-bar Subscript upper W"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> <mml:mo>⋅<!-- ⋅ --></mml:mo> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>W</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\left \| \cdot \right \|_W}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha right-arrow 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\alpha \to 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in a certain way as <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n right-arrow normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n \to \infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, then <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u Subscript n alpha"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{u_{n\alpha }}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> converges to the true solution <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u 0"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{u_0}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Convergence rates are obtained and are used to estimate the optimal regularization parameter <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha"> <mml:semantics> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\alpha</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.