Oblique projections in atomic spaces (1996)

Let<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper H"><mml:semantics><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">H</mml:mi></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {H}</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>be a Hilbert space,<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper O"><mml:semantics><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="bold">O</mml:mi></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbf {O}</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>a unitary operator on<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper H"><mml:semantics><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">H</mml:mi></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {H}</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>, and<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-brace phi Superscript i Baseline right-brace Subscript i equals 1 comma ellipsis comma r period"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo><mml:msup><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">\{\phi ^i\}_{i=1,\dots ,r.}</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula><inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="r"><mml:semantics><mml:mi>r</mml:mi><mml:annotation encoding="application/x-tex">r</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>vectors in<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper H"><mml:semantics><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">H</mml:mi></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {H}</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>. We construct an<italic>atomic subspace</italic><inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper U subset-of script upper H"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">H</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">U \subset \mathcal {H}</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>:<disp-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper U equals left-brace sigma-summation Underscript i equals 1 comma ellipsis comma r Endscripts sigma-summation Underscript k element-of bold upper Z Endscripts c Superscript i Baseline left-parenthesis k right-parenthesis bold upper O Superscript k Baseline phi Superscript i Baseline colon c Superscript i Baseline element-of l squared comma for-all i equals 1 comma ellipsis comma r right-brace period"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">∑</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:munder><mml:mo movablelimits="false">∑</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:munder><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msup><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="bold">O</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup></mml:mrow><mml:mo>:</mml:mo><mml:mspace width="thickmathspace"/><mml:msup><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mi>l</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">∀</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation*} U=\left \{ { \sum \limits _{i=1,\dots ,r} {\sum \limits _{k\in \mathbf {Z}} {c^i(k)\mathbf {O}^k\phi ^i}:\;c^i\in l^2,\forall i=1,\dots ,r}} \right \}. \end{equation*}</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></disp-formula>We give the necessary and sufficient conditions for<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper U"><mml:semantics><mml:mi>U</mml:mi><mml:annotation encoding="application/x-tex">U</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>to be a well-defined, closed subspace of<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper H"><mml:semantics><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">H</mml:mi></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {H}</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>with<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-brace bold upper O Superscript k Baseline phi Superscript i Baseline right-brace Subscript i equals 1 comma ellipsis comma r comma k element-of bold upper Z"><mml:semantics><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="bold">O</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup></mml:mrow><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="thickmathspace"/><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub><mml:annotation encoding="application/x-tex">\left \{ {\mathbf {O}^k\phi ^i} \right \}_{i=1,\dots ,r, \;k\in \mathbf {Z}}</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>as its Riesz basis. We then consider the oblique projection<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper P Subscript upper U up-tack upper V"><mml:semantics><mml:msub><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="bold">P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mstyle displaystyle="false" scriptlevel="2"><mml:mi>U</mml:mi><mml:mi mathvariant="normal">⊥</mml:mi><mml:mi>V</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub><mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbf {P}_{{\scriptscriptstyle U\bot V}}</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>on the space<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper U left-parenthesis bold upper O comma left-brace phi Subscript upper U Superscript i Baseline right-brace Subscript i equals 1 comma ellipsis comma r Baseline right-parenthesis"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="bold">O</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mstyle displaystyle="false" scriptlevel="2"><mml:mi>U</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:msub><mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">U(\mathbf {O},\{\phi ^i_{\scriptscriptstyle U}\}_{i=1,\dots ,r})</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>in a direction orthogonal to<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper V left-parenthesis bold upper O comma left-brace phi Subscript upper V Superscript i Baseline right-brace Subscript i equals 1 comma ellipsis comma r Baseline right-parenthesis"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mi>V</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="bold">O</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mstyle displaystyle="false" scriptlevel="2"><mml:mi>V</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:msub><mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><m