Largest known twin primes and Sophie Germain primes (1999)

The numbers <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="242206083 dot 2 Superscript 38880 plus-or-minus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>242206083</mml:mn> <mml:mo>⋅<!-- ⋅ --></mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>38880</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>±<!-- ± --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">242206083\cdot 2^{38880}\pm 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are twin primes. The number <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p equals 2375063906985 dot 2 Superscript 19380 Baseline minus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2375063906985</mml:mn> <mml:mo>⋅<!-- ⋅ --></mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>19380</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p=2375063906985\cdot 2^{19380}-1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a Sophie Germain prime, i.e. <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p"> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2 p plus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">2p+1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are both primes. For <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p equals 4610194180515 dot 2 Superscript 5056 Baseline minus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>4610194180515</mml:mn> <mml:mo>⋅<!-- ⋅ --></mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>5056</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p=4610194180515\cdot 2^{5056}-1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, the numbers <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p"> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p plus 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p+2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2 p plus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">2p+1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are all primes.