On integers free of large prime factors (1986)

The number <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Psi left-parenthesis x comma y right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Ψ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Psi (x,y)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of integers <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="less-than-or-equal-to x"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\leq x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and free of prime factors <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="greater-than y"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">> y</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> has been given satisfactory estimates in the regions <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="y less-than-or-equal-to left-parenthesis log x right-parenthesis Superscript 3 slash 4 minus epsilon"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo>⁡</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">y \leq {(\log x)^{3/4 - \varepsilon }}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="y greater-than exp left-brace left-parenthesis log log x right-parenthesis Superscript 5 slash 3 plus epsilon Baseline right-brace"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mi>exp</mml:mi> <mml:mo>⁡</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo>⁡</mml:mo> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo>⁡</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">y > \exp \{ {(\log \log x)^{5/3 + \varepsilon }}\}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. In the intermediate range, only very crude estimates have been obtained so far. We close this "gap" and give an expression which approximates <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Psi left-parenthesis x comma y right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Ψ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Psi (x,y)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> uniformly for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x greater-than-or-equal-to y greater-than-or-equal-to 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x \geq y \geq 2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> within a factor <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1 plus upper O left-parenthesis left-parenthesis log y right-parenthesis slash left-parenthesis log x right-parenthesis plus left-parenthesis log y right-parenthesis slash y right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo>⁡</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo>⁡</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo>⁡</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1 + O((\log y)/(\log x) + (\log y)/y)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. As an application, we derive a simple formula for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Psi left-parenthesis c x comma y right-parenthesis slash normal upper Psi left-parenthesis x comma y right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Ψ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Ψ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Psi (cx,y)/\Psi (x,y)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1 less-than-or-equal-to c less-than-or-equal-to y"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1 \leq c \leq y</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. We also prove a short interval estimate for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Psi left-parenthesis x comma y right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Ψ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Psi (x,y)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.