The<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn fontstyle="italic">1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:math>-Reflexive Solution to System of Matrix Equations<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>C</mml:mi></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:math> (2015)

Let<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:math>and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:math>be Hermitian and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:math>-potent matrices; that is,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>⁎</mml:mo></mml:math>and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mo>⁎</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo></mml:math>where<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mo>·</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>⁎</mml:mo></mml:math>stands for the conjugate transpose of a matrix. A matrix<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:math>is called<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:math>-reflexive (antireflexive) if<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo> </mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>. In this paper, the system of matrix equations<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>C</mml:mi></mml:math>and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:math>subject to<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:math>-reflexive and antireflexive constraints is studied by converting into two simpler cases:<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:math>and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:math>We give the solvability conditions and the general solution to this system; in addition, the least squares solution is derived; finally, the associated optimal approximation problem for a given matrix is considered.