Properties of vector-valued submodules on the bidisk (2016)

In previous work, the authors studied the compressed shift operators <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S Subscript z 1"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S_{z_1}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S Subscript z 2"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S_{z_2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> on two-variable model spaces <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H squared left-parenthesis double-struck upper D squared right-parenthesis minus theta upper H squared left-parenthesis double-struck upper D squared right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">D</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> ⊖ </mml:mo> <mml:mi> θ </mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">D</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H^2(\mathbb {D}^2)\ominus \theta H^2(\mathbb {D}^2)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="theta"> <mml:semantics> <mml:mi> θ </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\theta</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a two-variable scalar inner function. Among other results, the authors used Agler decompositions to characterize the ranks of the operators <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-bracket upper S Subscript z Sub Subscript j Subscript Baseline comma upper S Subscript z Sub Subscript j Subscript Superscript asterisk Baseline right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">[S_{z_j}, S^*_{z_j}]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in terms of the degree of rational <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="theta period"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> θ </mml:mi> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\theta .</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> In this paper, we examine similar questions for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H squared left-parenthesis double-struck upper D squared right-parenthesis minus normal upper Theta upper H squared left-parenthesis double-struck upper D squared right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">D</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> ⊖ </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Θ </mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">D</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H^2(\mathbb {D}^2)\ominus \Theta H^2(\mathbb {D}^2)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> when <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Theta"> <mml:semantics> <mml:mi mathvariant="normal"> Θ