On the number of self-dual bases of 𝐺𝐹(𝑞^{𝑚}) over 𝐺𝐹(𝑞) (1990)

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E equals upper G upper F left-parenthesis q Superscript m Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E = GF({q^m})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="m"> <mml:semantics> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">m</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-dimensional extension of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F equals upper G upper F left-parenthesis q right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F = GF(q)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. We are concerned with the numbers <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s d left-parenthesis m comma q right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">sd(m,q)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s d n left-parenthesis m comma q right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">sdn(m,q)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of self-dual bases and self-dual normal bases of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E"> <mml:semantics> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> over <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F"> <mml:semantics> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, respectively. We completely determine <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s d left-parenthesis m comma q right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">sd(m,q)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, en route giving a very simple proof for the Sempel-Seroussi theorem which states that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s d left-parenthesis m comma q right-parenthesis equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">sd(m,q) = 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> iff <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q"> <mml:semantics> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">q</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is odd and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="m"> <mml:semantics> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">m</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is even. Using results of Lempel and Weinberger and MacWilliams, we can also determine <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s d n left-parenthesis m comma p right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">sdn(m,p)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for primes <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p"> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.