On the density of the set of generators of a polynomial algebra (2000)

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K left-bracket upper X right-bracket equals upper K left-bracket x 1 comma period period period comma x Subscript n Baseline right-bracket comma n greater-than-or-equal-to 2 comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K[X] = K[x_1,...,x_n], ~n \ge 2,</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the polynomial algebra over a field <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of characteristic <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0"> <mml:semantics> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We call a polynomial <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p element-of upper K left-bracket upper X right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">~p \in K[X]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <italic>coordinate</italic> (or a generator) if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K left-bracket upper X right-bracket equals upper K left-bracket p comma p 2 comma period period period comma p Subscript n Baseline right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K[X] = K[p, p_2, ..., p_n]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for some polynomials <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p 2 comma period period period comma p Subscript n Baseline"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">~p_2, ..., p_n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . In this note, we give a simple proof of the following interesting fact: for any polynomial <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="h"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">~h~</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of the form <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis x Subscript i Baseline plus q right-parenthesis comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">~(x_i + q),</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q"> <mml:semantics> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">q</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a polynomial without constant and linear terms, and for any integer <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="m greater-than-or-equal-to 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi>m</mml:mi>