On pro-2 identities of 2×2 linear groups (2021)

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="ModifyingAbove upper F With caret"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> ^ </mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\hat {F}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a free pro- <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p"> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> non-abelian group, and let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Delta"> <mml:semantics> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Delta</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a commutative Noetherian complete local ring with a maximal ideal <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper I"> <mml:semantics> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">I</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal c normal h normal a normal r left-parenthesis normal upper Delta slash upper I right-parenthesis equals p greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">c</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">h</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">a</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathrm {char}(\Delta /I)=p&gt;0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Zubkov [Sibirsk. Mat. Zh. 28 (1987), pp. 64–69] showed that when <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p not-equals 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo> ≠ </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p\neq 2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , the pro- <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p"> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> congruence subgroup <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G upper L 2 Superscript 1 Baseline left-parenthesis normal upper Delta right-parenthesis equals kernel left-parenthesis upper G upper L 2 left-parenthesis normal upper Delta right-parenthesis long right-arrow Overscript normal upper Delta right-arrow normal upper Delta slash upper I Endscripts upper G upper L 2 left-parenthesis normal upper Delta slash upper I right-parenthesis right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>ker</mml:mi> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mover> <mml:mo stretchy="false"> ⟶ </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>I</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mover> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">GL_{2}^{1}(\Delta )=\ker (GL_{2}(\Delta )