A multiplicative version of the Lindley recursion (2021)

Abstract This paper presents an analysis of the stochastic recursion $$W_{i+1} = [V_iW_i+Y_i]^+$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> that can be interpreted as an autoregressive process of order 1, reflected at 0. We start our exposition by a discussion of the model’s stability condition. Writing $$Y_i=B_i-A_i$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> , for independent sequences of nonnegative i.i.d. random variables $$\{A_i\}_{i\in {\mathbb N}_0}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> and $$\{B_i\}_{i\in {\mathbb N}_0}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> , and assuming $$\{V_i\}_{i\in {\mathbb N}_0}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> is an i.i.d. sequence as well (independent of $$\{A_i\}_{i\in {\mathbb N}_0}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> and $$\{B_i\}_{i\in {\mathbb N}_0}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> ), we then consider three special cases (i) $$V_i$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> equals a positive value a with certain probability $$p\in (0,1)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and is negative otherwise, and both $$A_i$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> and $$B_i$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> have a rational LST, (ii) $$V_i$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> attains negative values only and $$B_i$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> has a rational LST, (iii) $$V_i$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> is uniformly distributed on [0, 1], and $$A_i$$ <mml:math