Analytic functions characterized by their means on an arc (1973)

It is known that a function <italic>f</italic>, holomorphic in the open unit disc <italic>U</italic> with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C Superscript 1 plus epsilon"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>ε<!-- ε --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{C^{1 + \varepsilon }}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> boundary data for some <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="epsilon greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>ε<!-- ε --></mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\varepsilon > 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, is uniquely determined by its arithmetic means over equally spaced points on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="partial-differential upper U"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mml:mi> <mml:mi>U</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\partial U</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. By using different techniques, we weaken the hypothesis <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C Superscript 1 plus epsilon Baseline left-parenthesis partial-differential upper U right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>ε<!-- ε --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mml:mi> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{C^{1 + \varepsilon }}(\partial U)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> to functions with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L Superscript p"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{L^p}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> derivatives, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1 greater-than p less-than-or-equal-to normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1 > p \leq \infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. We also prove that a function is determined by its averages over an arc <italic>K</italic> if <italic>f</italic> is holomorphic in a neighborhood of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper U overbar"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">¯<!-- ¯ --></mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\bar U</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and that this result is false for some functions <italic>f</italic> in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A intersection upper C Superscript normal infinity Baseline left-parenthesis upper U overbar right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>∩<!-- ∩ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">¯<!-- ¯ --></mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A \cap {C^\infty }(\bar U)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. On the other hand, we can capture a <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A intersection upper C squared left-parenthesis upper U overbar right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>∩<!-- ∩ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">¯<!-- ¯ --></mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A \cap {C^2}(\bar U)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> function from its means and shifted means on <italic>K</italic>.