Resonance of automorphic forms for 𝐺𝐿(3) (2014)

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f"> <mml:semantics> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a Maass form for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S upper L 3 left-parenthesis double-struck upper Z right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">SL_3(\mathbb Z)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with Fourier coefficients <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A Subscript f Baseline left-parenthesis m comma n right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A_f(m,n)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . A smoothly weighted sum of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A Subscript f Baseline left-parenthesis m comma n right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A_f(m,n)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> against an exponential function <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="e left-parenthesis alpha n Superscript beta Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi> α </mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi> β </mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">e(\alpha n^\beta )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of fractional power <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n Superscript beta"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi> β </mml:mi> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n^\beta</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X less-than-or-equal-to n less-than-or-equal-to 2 upper X"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X\leq n\leq 2X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is proved to have a main term of size <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X Superscript 2 slash 3"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X^{2/3}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> when <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="beta equals 1 slash 3"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> β </mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\beta =1/3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha"> <mml:semantics> <mml:mi> α </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\alpha</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is close to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="3 script l Superscript 1 slash 3"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:msup> <mml:mi> ℓ </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>3</