A remark concerning 𝑚-divisibility and the discrete logarithm in the divisor class group of curves (1994)

The aim of this paper is to show that the computation of the discrete logarithm in the <italic>m</italic>-torsion part of the divisor class group of a curve <italic>X</italic> over a finite field <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k 0"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{k_0}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> (with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="c h a r left-parenthesis k 0 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>char</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\operatorname {char}}({k_0})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> prime to <italic>m</italic>), or over a local field <italic>k</italic> with residue field <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k 0"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{k_0}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, can be reduced to the computation of the discrete logarithm in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k 0 left-parenthesis zeta Subscript m Baseline right-parenthesis Superscript asterisk"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>ζ</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{k_0}{({\zeta _m})^ \ast }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. For this purpose we use a variant of the (tame) Tate pairing for Abelian varieties over local fields. In the same way the problem to determine all linear combinations of a finite set of elements in the divisor class group of a curve over <italic>k</italic> or <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k 0"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{k_0}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> which are divisible by <italic>m</italic> is reduced to the computation of the discrete logarithm in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k 0 left-parenthesis zeta Subscript m Baseline right-parenthesis Superscript asterisk"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>ζ</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{k_0}{({\zeta _m})^ \ast }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.