Negative theorems on monotone approximation (1976)

In this paper we show that for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f"> <mml:semantics> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> continuous on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-bracket negative 1 comma plus 1 right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">[ - 1, + 1]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and satisfying <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis f left-parenthesis x 2 right-parenthesis minus f left-parenthesis x 1 right-parenthesis right-parenthesis slash left-parenthesis x 2 minus x 1 right-parenthesis greater-than-over-equals delta greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>≧</mml:mo> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(f({x_2}) - f({x_1}))/({x_2} - {x_1}) \geqq \delta &gt; 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, it is possible to have infinitely many of the polynomials of best uniform approximation to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f"> <mml:semantics> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> not increasing on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-bracket negative 1 comma plus 1 right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">[ - 1, + 1]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.