Variational problems on flows of diffeomorphisms for image matching (1998)

This paper studies a variational formulation of the image matching problem. We consider a scenario in which a canonical representative image <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T"> <mml:semantics> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is to be carried via a smooth change of variable into an image that is intended to provide a good fit to the observed data. The images are all defined on an open bounded set <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G subset-of upper R cubed"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G \subset {R^3}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. The changes of variable are determined as solutions of the nonlinear Eulerian transport equation <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartFraction d eta left-parenthesis s semicolon x right-parenthesis Over d s EndFraction equals v left-parenthesis eta left-parenthesis s semicolon x right-parenthesis comma s right-parenthesis comma eta left-parenthesis tau semicolon x right-parenthesis equals x comma left-parenthesis 0.1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="2em"/> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="2em"/> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0.1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\frac {{d\eta \left ( s; x \right )}}{{ds}} = v\left ( \eta \left ( s; x \right ),s \right ), \qquad \eta \left ( \tau ; x \right ) = x, \qquad \left ( 0.1 \right )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> with the location <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="eta left-parenthesis 0 semicolon x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\eta \left ( 0; x \right )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in the canonical image carried to the location <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x"> <mml:semantics> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in the deformed image. The variational problem then takes the form <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="arg min Underscript v Endscripts left-bracket double-vertical-bar v double-vertical-bar squared plus integral Underscript upper G Endscripts StartAbsoluteValue upper T o eta left-parenthesis 0 semicolon x right-parenthesis minus upper D left-parenthesis x right-parenthesis EndAbsoluteValue squared d x right-bracket comma left-parenthesis 0.2 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>arg</mml:mi> <mml:mo>⁡</mml:mo> <mml:munder> <mml:mo form="prefix">min</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> </mml:munder> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mspace width="-0.1pt"/> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>o</mml:mi> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="2em"/> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>0.2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\arg \min \limits _v {\kern -0.1pt} \left [ {{{\left \| v \right \|}^2} + \int _G {{{\left | {T o \eta \left ( {0; x} \right ) - D\left ( x \right )} \right |}^2}dx} } \right ], \qquad \left ( {0.2} \right )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-vertical-bar v double-vertical-bar"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\left \| v \right \|</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is an appropriate norm on the velocity field <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="v left-parenthesis dot comma dot right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">v( \cdot , \cdot )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and the second term attempts to enforce fidelity to the data.