Ombra di un punto su un cono di rotazione
Italiano: ====Ombra di un punto su una superficie conica==== Ombra di un punto su un cono di rotazione l'ombra di un punto P su una superficie si determina come punto d'intersezione P* del raggio luminoso l passante per P con la superficie. Nel caso di una superficie conica, la determinazione del punto d'intersezione P* (ombra di P) si ottiene assumendo un piano passante per il raggio luminoso l e che seziona il cono K secondo una conica (eventualmente degenere). Dato che esistono infiniti piani che passano per il raggio l e che sezionano il cono, e poiché secondo il tipo di conica risultante da tale sezione, e secondo lo strumento di disegno utilizzato ( o meglio il metodo di disegno), la costruzione della conica-sezione può essere più o meno laboriosa. In tutti i casi occorre insegnare quei concetti base della geometria, finalizzati a determinare delle sezioni semplici che sono in questo caso le generatrici del cono. A maggior ragione, questi concetti sono tecnicamente indispensabili in tutti quelle operazioni di disegno che non offrono soluzioni immediate o meglio automatiche come nel disegno 2d, nella modellazione wireframe e nella modellazione superfici. A tale proposito e con riferimento al software AutoCAD, occorre sottolineare il fatto che solo nella modellazione solida e' possibile ottenere in automatico qualsiasi tipo di sezioni con il solo operazione di specificare i tre punti che individuano il piano di sezione (che nel caso specifico corrisponde al piano di luce λ) . Invece nei altri detti metodo di disegno (modellazione wireframe e superfici), la determinazione delle coniche come sezioni di un cono, richiede tanti costruzioni geometriche che possono avere risultati più meno precisi secondo lo strumento utilizzato. In generale per ottenere dei risultati precisi, nei metodi di disegno non automatici, occorre finalizzare le costruzioni alla determinazione dei punti notevoli della coniche-sezioni. Per esempio nel caso dell'ellisse-sezione tali punti sono gli estremi dell'asse maggiore e minore. Nel disegno tradizionale (riga e compasso), il risultato e' quasi sempre approssimativo, dato che il numero dei punti della conica da costruire e' quasi sempre limitato. In generale, il disegno 2d. come noto ha lo svantaggio di non permettere di modificare la posizione del punto di vista, dato che esso e' già una proiezione. Per cui questo tipo di disegno occore definire scegliere in quale metodo di rappresentazione operare e poi una volta che sono stati rappresentati gli elementi elementi in questione (in questo caso riguardano il cono, il punto P, il raggio luminoso l) si procede alla soluzione del problema, in questo caso l'individuazione del piano luminoso passante per l e sua la sezione col cono. A tale proposito, Nella modellazione wireframe e nella modellazione superfici, esiste una fase sola quella di costruzione finalizzata alla soluzione del problema, dato che le rappresentazione del problema avviene in modo automatico da qualsiasi punto di vista. Con il fine di evitare la determinazione di una conica che richiede delle costruzione geometriche laboriose, occorre sapere che e' possibile sezionare il cono in modo da ottenere una sezione semplice, rappresentata in questo caso da due rette. In generale la sezioni più semplici di una superficie conica (incluso il cilindro come caso particolare di cono) si ottiene con un piano passante per il vertice di tali superfici. Ottenere questi tipi di sezioni contribuisce, nei disegni non automatici, a produrre dei disegni più precisi e di facile lettura. Comunque, al di la del metodo di disegno utilizzato. Il problema in generale può essere formulato cosi: quale e’ la giaciture del piano (in questo caso di luce) passante per una retta (raggio luminoso L passante per P) che sezione un cono K seconde due generatrici. Questa domanda trova risposta nel fatto che i piani secanti il cono e passanti per il suo vertice, lo sezionano secondo due generatrici. Tecnicamente, occorre individuare il piano-sezionante mediante due rette complanari. I quali possono avere in comune un punto proprio (in nostro caso può essere P) o un punto improprio ciò' e' la direzione parallela ad l. Nel nostro caso, dato che si tratta di determinare l'ombra di P sul cono, una di tali rette e' il raggio luminoso l. La seconda retta può essere la parallela al raggio l passante per il vertice del cono. Inoltre occorre sapere che le generatrici sezione di un piano λ con il cono, sono individuati, oltre dal vertice, anche da due punti della base del cono. Per determinare tali punti, occorre determinare la retta d'intersezione di λ con il piano della base di K. Dato che la base del cono appartiene a al primo piano di proiezione pigreco1, tale retta e' la prima traccia di λ. l'intersezione della prima traccia di λ con la base di K, individua due punti, dove passano le dette generatrici del cono. Ovvero la sezione del cono con il piano λ passante per il punto P. Una volta che siamo riuscito a determinare una sezione semplice del cono, e' sufficiente individuare il punto d'intersezione P* ( ombra di P) del raggio luminoso passante per P con una di queste due generatrici per ottener l'ombra di P sul cono K. Conclusione La sezione semplice del cono è formata da due rette, che si ottengono con un piano passante per il vertice del cono. La differenza del metodo adottato non debba escludere questo concetto importante che debba essere insegnato allo studente. Il caso che abbiamo affrontato riguardava l'ombra di un punto, ma questo concetto può essere adottato per risolvere altri problemi come quelli di incidenza, di rappresentazione, di misura, ecc. Come ad esempio la determinazione della distanza di un punto da una superficie conica K. In questo caso, la soluzione consiste nel determinare una retta passante per r e per P e in modo che sia ortogonale alla superficie conica. Dato che l'angolo retta si misura tra due rette complanari, occorre sezionare il cono con un piano passante per r e per il vertice di K per ottenere una di tali rette. Quindi la parte più importante da sottolineare in questa o in altri operazioni di costruzioni geometriche per risolvere un determinato problema geometrico e' il concetto. Certo che l'applicazione di tale concetto secondo il metodo utilizzato può essere più o meno complesso. Senza sapere i concetti base della geometria descrittiva, è difficile poter risolvere i problemi anche più banali, pur avendo a disposizione degli strumenti di disegno più sofisticati. Con questo non voglio escludere la potenza degli strumenti informatici di disegno, anzi vorrei sottolineare il loro ruolo nel facilitare l'applicazione dei vari concetti di disegno e soprattutto i loro nuovo modo di insegnamento. Bozza L’ombra di un punto su una superficie, sia piana sia curva, si determina come punto d’intersezione del raggio luminoso l passante per P con la superficie che riceve l’ombra. Dato che il punto d'intersezione P* (l’ombra del punto P) si determina facendo passare per il punto P un piano di luce λ che interseca la superficie che riceve l'ombra secondo una linea che può essere retta o curva. Per cui, quando la superficie è’ piana, tale linea e' retta e quindi di facile determinazione, invece quando la superficie e' curva, tale sezione non e' di facie determinazione, almeno quando si opera con il disegno tradizionale (o meglio in bidimensionale). In questi casi per facilitare queste operazioni bisogna conoscere la caratteristica geometrica della superficie in questione, ovvero quale sia la genesi geometrica che ha generato quel tipo di superficie, in modo da ottenere, quando e' possibile, una sezione di facile determinazione. Per esempio nel caso della superficie conica, le sezioni più semplici sono rette e si ottengono con piani passanti per il vertice di tale superficie. Le superfici coniche includono tutti I tipi di coni ( incluso il cilindro come caso particolare di cono) e che ammettono in ogni loro punto una sezione conica eventualmente degenere ( punto, retta). Facendo riferimento al caso in figura, la determinazione dell'ombra del punto P, ovvero il punto d'intersezione del raggio luminoso l passante per P con il cono. Questo punto P* (ombra di P), come dicevamo, si ottiene assumendo un piano di luce λ che passi per P e per il vertice del cono. Il piano λ seziona il cono secondo due generatrici che sono individuate oltre dal vertice, anche da due punti RQ della base del cono. Allora per individuare tali punti bisogna determinare la retta d'intersezione P*-V* ( che in questo caso e’ anche la prima traccia di λ), tra i piano λ e il piano della base del cono pigeco1. La retta P*-V* e' individuata dai punti P* e V* che sono rispettivamente, P* l'ombra del punto dato P sul piano della base, e V* e' l'ombra del vertice sullo stesso piano. unendo i punto R Q con il vertice del cono si ha la sezione del piano di luce λ con il cono. In ultimo si individua il punto cercato P* come intersezione del raggio luminoso l (passante per P) con la generatrice V*-R. العربية: ظل نقطة P على سطح، سواء مستوي أو منحني ، يتم بتحديد نقطة التقاطع بين شعاع الضوء المار بالنقطة P وذلك السطح المتلقى الظل. منذ ان نقطة التقاطع P (ظل النقطة P) تحدد باستخدام مستوى ضوء λ يمر بالنقطة P ويتقاطع مع السطح المتلقى الظل وفقاً لخط , الذي يمكن ان يكون مستقيم أو منحني. في الحالة التي يكون فيها السطح مستوي ، يسهل تحديد خط التقاطع, ويصعب تحديدة في حالة السطح المنحنى ، على الأقل في الرسم التقليدي (أو بالأحرى في الرسم ثنائي الأبعاد) في هذه الحالات ، ولتسهيل عمليات الانشاءات الهندسية, هناك الحاجة إلى معرفة الخصائص الهندسية للسطح المعني، أو بالاحرى معرفة ماهية التكوين الهندسي لذلك النوع من الاسطح ، من أجل الحصول، إذا ممكن ، على مقاطع سهلة التحديد. على سبيل المثال ، في حالة السطح المخروطي، المقاطع الأكثر بساطة تتكون من خطوط مستقيمة, يحصل عليها باستخدام مستويات مارة بقمة ذلك السطح. الأسطح المخروطية تشمل جميع أنواع المخاريط (بما في ذلك الاسطوانة كحالة خاصة للمخروط) التي تسمح بايجاد في كل نقطة منها مقطع مخروطي (بما في ذلك النقطة ، والخط كحالات اسثنائية من المخروطيات) بالاشارة الى المسألة في الشكل ، ظل نقطة P ، او بالاحرى نقطة تقاطع بين شعاع الضوء المار بالنقطة P والمخروط K , يحدد باستخدام مستوى ضوء λ بحيث يمر بالنقطة P وبقمة المخروط. بهذة الطريقة, المستوى λ يقطع المخروط وفقاً لخطيين. التي يمران بقمة K وبالتوالي بنقطتين من قاعدة K. للعثور على هذه النقاط يجب علينا تحديد خط التقاطع P*-V* , (والذي في هذه الحالة يتطابق مع الاثر الاول للمستوى λ) بين مستوى الضوء λ ومستوى القاعدة π1 , الخط P*-V*. يحدد من النقطتان P* و V*, والتي تمثل بالتوالي، P* ظل النقطة المعينة على مستوى القاعدة و V* ظل القمة نفس المستوى. حيث الخط P*-V* يقطع القاعدة نجد النقطتان R Q , بتوصيل هاتان النقطتان بالقمة نجد خطان التقاطع بين المخروط ومستوى الضوء λ . وأخيرا نجد النقطة المطلوبة P* ( ظل النقطة P) كتقاطع بين خط الضوء l وخط التقاطع V*-R (راسم سطح المخروط). استنتاج اختلاف أداة الرسم المعتمدة لا يستبعد بالضرورة تدريس المفاهيم الهامة للهندسة وصفية أيا كانت المسائل الهندسية التي ينبغي معالجتها، الحل في معظم الحالات يكمن في الاعتماد على مجموعة من المفاهيم الأساسية. وفقط طبيعة أداة الرسم المستخدمة يمكنها أن تؤثر على دقة النتائج وسرعة الوصول إليها. مثلاً مفهوم قطع مخروط بمستوى يمر بقمته سمح لنا الحصول على قطع مخروطي بسيط مكون من خطين. نفس هذا المفهوم يمكن اعتماده في حل الكثير من المسائل, مثل تحديد المسافة الدنيا بين نقطة وسطح مخروطي. بشكل عام المسافة الدنيا بين نقطة P وسطح مخروطي (بما في ذلك الاسطوانة) تنتمي إلى خط r يمر بالنقطة P وعمودي على واحد من رواسم K. هذا الراسم يحدد كتقاطع بين المستوى الذي يمر بالنقطة P وبمحور K. في هذا أود التأكيد على أهمية معرفة مفاهيم الهندسة الوصفية الأساسية للوصول إلى حل مسائل النمذجة والإظهار المختلفة. وطبيعي ان تطبيق المفهوم وفقا لطريقة الرسم المستخدمة يمكن أن يكون أكثر أو أقل تعقيدا. وانه دون معرفة المفاهيم الأساسية للهندسة وصفية ، من الصعب حل هذه المسائل حتى باستخدام وسائل الرسم الأكثر تطورا. وبهذا لا أريد أن استبعد إمكانيات أدوات الرسم الرقمية، بالعكس أود أن أؤكد على دورها الفعال في تسهيل تدريس مفاهيم الهندسة الوصفية وتطبيقاتها باستخدام الفراغ الافتراضي الذي توفره هذه الأدوات.