Animation of the SIRD model with initial values 
  
    
      
        S
        (
        0
        )
        =
        997
        ,
        I
        (
        0
        )
        =
        3
        ,
        R
        (
        0
        )
        =
        0
      
    
    {\textstyle S(0)=997,I(0)=3,R(0)=0}
  
, initial rate for infection 
  
    
      
        β
        =
        0.5
      
    
    {\textstyle \beta =0.5}
  
 and constant rates for recovery 
  
    
      
        γ
        =
        0.035
      
    
    {\textstyle \gamma =0.035}
  
 and mortality 
  
    
      
        μ
        =
        0.005
      
    
    {\textstyle \mu =0.005}
  
. If there is neither medicine nor vaccination available, it is only possible to reduce the infection rate (often referred to as „flattening the curve“) by appropriate measures (e. g. „social distancing“). This animation shows the impact of reducing the infection rate by 76 % (from 
  
    
      
        β
        =
        0.5
      
    
    {\textstyle \beta =0.5}
  
 down to 
  
    
      
        β
        =
        0.12
      
    
    {\textstyle \beta =0.12}
  
).
Deutsch: Animation zum SIRD-Modell mit den Startwerten S ( 0 ) = 997 , I ( 0 ) = 3 , R ( 0 ) = 0 {\textstyle S(0)=997,I(0)=3,R(0)=0} sowie anfänglicher Infektionsrate β = 0 , 0005 {\textstyle \beta =0,0005} sowie den konstanten Raten für die Gruppe R γ = 0 , 035 {\textstyle \gamma =0,035} sowie Mortalität μ = 0 , 005 {\textstyle \mu =0,005} . Stehen weder Medikamente noch eine Impfung zur Verfügung, so kann man nur die Zahl der Infektionen reduzieren (häufig als „Abflachung der Kurve“ bezeichnet), indem man geeignete Maßnahmen ergreift (z. B. durch weitgehende Kontaktvermeidung, Ausgangsperre). Die Animation zeigt, wie sich eine Senkung der Infektionsrate um 76 % (von β = 0 , 0005 {\textstyle \beta =0,0005} auf β = 0 , 00012 {\textstyle \beta =0,00012} ) auswirkt. System von Differentialgleichungen für dieses Modell: d S d t = − β ⋅ S ( t ) ⋅ I ( t ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}=-\beta \cdot S(t)\cdot I(t)} d I d t = β ⋅ S ( t ) ⋅ I ( t ) − γ ⋅ I ( t ) − μ ⋅ I ( t ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}=\beta \cdot S(t)\cdot I(t)-\gamma \cdot I(t)-\mu \cdot I(t)} d R d t = γ ⋅ I ( t ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}=\gamma \cdot I(t)} d D d t = μ ⋅ I ( t ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} D}{\mathrm {d} t}}=\mu \cdot I(t)} Diese Animation wurde mit de:GeoGebra erstellt, wobei die numerischen Lösungen des genannten Systems der Differentialgleichungen ermittelt wurden. Der entscheidende Teil der Konstruktion lautet: ########################################## # das System der Differentialgleichungen # ########################################## S'(t, S, I, R, D) = -ß I S I'(t, S, I, R, D) = ß S I - γ I - μ I R'(t, S, I, R, D) = γ I D'(t, S, I, R, D) = μ I ####################################################################### # numerische Lösung des Systems der Differentialgleichungen bestimmen # ####################################################################### NLöseDgl[{S', I', R', D'}, 0, {s_0, i_0, r_0, d_0}, T_{max}] # liefert: # NumerischesIntegral1 -> S # NumerischesIntegral2 -> I # NumerischesIntegral3 -> R # NumerischesIntegral4 -> D Anmerkung: In der Literatur werden teilweise modifizierte Formen dieser DGL benutzt, die aber gleichwertig sind. Leider werden oft dieselben Parameter benutzt. Beispiel für die erste DGL, wobei die Infektionsrate der Klarheit halber β ~ {\textstyle {\tilde {\beta }}} benannt ist: d S d t = − β ~ N ⋅ S ( t ) ⋅ I ( t ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\tilde {\beta }}{N}}\cdot S(t)\cdot I(t)} Setzt man β = β ~ N {\textstyle \beta ={\frac {\tilde {\beta }}{N}}} , so ist die DGL identisch mit der oben verwendeten. N {\textstyle N} ist konstant (Invariante des Modells) und für die Aufstellung der DGL nicht erforderlich; bei der hier verwendeten Implementierung wurde noch nicht einmal eine Variable für N {\textstyle N} vorgesehen. English: Animation of the SIRD model with initial values S ( 0 ) = 997 , I ( 0 ) = 3 , R ( 0 ) = 0 {\textstyle S(0)=997,I(0)=3,R(0)=0} , initial rate for infection β = 0.0005 {\textstyle \beta =0.0005} and constant rates for recovery γ = 0.035 {\textstyle \gamma =0.035} and mortality μ = 0.005 {\textstyle \mu =0.005} . If there is neither medicine nor vaccination available, it is only possible to reduce the infection rate (often referred to as „flattening the curve“) by appropriate measures (e. g. „social distancing“). This animation shows the impact of reducing the infection rate by 76 % (from β = 0.0005 {\textstyle \beta =0.0005} down to β = 0.00012 {\textstyle \beta =0.00012} ). System of differential equations used for this model: d S d t = − β ⋅ S ( t ) ⋅ I ( t ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}=-\beta \cdot S(t)\cdot I(t)} d I d t = β ⋅ S ( t ) ⋅ I ( t ) − γ ⋅ I ( t ) − μ ⋅ I ( t ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}=\beta \cdot S(t)\cdot I(t)-\gamma \cdot I(t)-\mu \cdot I(t)} d R d t = γ ⋅ I ( t ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}=\gamma \cdot I(t)} d D d t = μ ⋅ I ( t ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} D}{\mathrm {d} t}}=\mu \cdot I(t)} This animation was created with en:GeoGebra by computing the numerical solutions of the system of differential equations. The core part of the construction is as follows: #################################### # system of differential equations # #################################### S'(t, S, I, R, D) = -ß I S I'(t, S, I, R, D) = ß S I - γ I - μ I R'(t, S, I, R, D) = γ I D'(t, S, I, R, D) = μ I ############################################################### # numerical solutions of the system of differential equations # ############################################################### NSolveODE[{S', I', R', D'}, 0, {s_0, i_0, r_0, d_0}, T_{max}] # Result: # numericalIntegral1 -> S # numericalIntegral2 -> I # numericalIntegral3 -> R # numericalIntegral4 -> D Note: Some authors use modified, but equivalent forms of the ODEs. Unfortunately, the same parameters are sometimes used. Example for the first ODE, where the infection rate is named β ~ {\textstyle {\tilde {\beta }}} for the sake of clarity: d S d t = − β ~ N ⋅ S ( t ) ⋅ I ( t ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\tilde {\beta }}{N}}\cdot S(t)\cdot I(t)} By substituting β = β ~ N {\textstyle \beta ={\frac {\tilde {\beta }}{N}}} , you get the same ODE as above. N {\textstyle N} is a constant value (invariant of the model) and not needed for the ODE; in fact, the implementation didn't even use a variable for N {\textstyle N} .