Ombra propria e portata di una sfera e l'ombra di un punto su di essa, in assonometria cavaliera militare
Italiano: Ombra propria e portata di una sfera e l'ombra di un punto sulla stessa fera, in Assonometria cavaliera militare. Una volta che abbiamo finito di rappresentare la sfera in assonometria cavaliera militare ( vedi figura ) e anche il punto P, e stabilita la direzione del raggio luminoso l e la sua prima proiezione l1, passiamo a determinare in ordine: l'ombra del punto P sulla sfera l'ombra propria e portata della sfera L'ombra di un punto P su una sfera si determina come intersezione del raggio luminoso passante per P con sfera. A tale fine si fa passare per il punto P il piano di luce λ, la prima traccia di λ coincide con la prima proiezione l1 del raggio luminoso l, Si determina la sezione circolare Θ tra λ e la sfera. Ma dato che Θ appartiene ad un piano non parallelo al quadro, la sua immagine assonometrica e' un ellisse. La costruzione del quale esige di diversi costruzioni geometriche, per evitare i quali sfruttando la coincidenza tra il quadro con il primo piano di proiezione, conviene eseguire una proiezione ortogonale su un piano verticale parallelo al piano λ e poi eseguire il ribaltamento sul quadro in modo da poter disegnare la circonferenza Θ in vera forma e misura. A tale fine, si stabilisce la linea di terra parallela alla prima traccia di λ; si proiettando i punti d'intersezione della circonferenza equatoriale delta con t'λ, che rappresentano il diametro della circonferenza-sezione Θ. si proietta anche il raggio luminoso l per poter individuare il punto P*2 come intersezione delle proiezione l2 e Θ2, e poi si raddrizza tale punto P*2 e si porta in assonometria per individuare l'ombra P* di P sulla sfera. Con riferimento alla proiezione ausiliaria, le rette P2-P'2 , P2*-P'* e M2-M'2, sono le proiezioni della direzione della corrispondenza tra la seconda proiezione del piano λ ed il ribaltamento della stessa proiezione. Per sapere questa direzione e' sufficiente ribaltare l'asse a nello stesso verso con cui e' stata ribaltata la proiezione ausiliaria di λ. Ovvero il ribaltamento dell'asse a in senso antiorario con cerniera in m1, si seconda coincide con la retta g. per cui e' sufficiente unire l'estremo superiore dell'asse a con l'estremo sinistro del diametro g (con riferimento alla vista assonometrica) per ottenere la cercata direzione di affinità' tra la proiezione di λ ed il suo ribaltamento. la direzione di ribaltamento in questo caso e' obliqua rispetto all'asse che coincide con la linea di terra L.T. . Per determinare l'ombra propria della sfera, si tiene in considerazione il fatto che la separatrice di ombra Σ della sfera, appartiene ad un piano alfa ortogonale al raggio luminoso e passante per il centro della sfera. A tale fine, nella proiezione ausiliaria, si fa passare una retta m2 perpendicolare alla seconda proiezione l2 del raggio luminoso l. La retta m rappresenta la retta di massima pendenza di alfa. Il punto d'intersezione M2 della retta m2 con il contorno apparente della sfera, rappresenta il punto di massima quota della separatrice d'ombra Σ. Il quale può raddrizzato e portato in assonometria. Individuando cosi il punto M che rappresenta in assonometria un estremo di uno dei due diametri coniugati della separatrice Σ. L'altro diametro g passa per C ed e' perpendicolare alla prima proiezione m1 di m. Una volta che si ha due diametri coniugati di un ellisse Σ, e' facile determinarvi gli assi e costruirla (vedi procedimento). Per determinare l'ombra portata della sfera, si stabilisce un piano oggettivo δ su cui poggia la sfera nel punto F ( estremo inferiore dell'asse a della sfera), e si procede a determinare l'ombra m* g* dei due diametri coniugati della separatrice Σ . che in questo caso rappresentano anche gli assi dell'ellisse Σ* ombra di Σ. vale la pena dire che l'ombra portata della sfera sul piano delta corrisponde all'intersezione di questo piano delta con un cilindro di rotazione che ha come sezione retta la separatrice d'ombra Σ ed ha come asse il raggio luminoso passante per il centro della sfera. Concetti Nella soluzione del problema dell'esercizio precedente sono stati affrontati alcuni concetti della geometria descrittiva che di seguito si voglia ripercorrere in modo generale : Figure che non appartengono a piani paralleli al quadro, hanno immagini deformate, che lo studente di architettura deve conoscere a priori. Nell'esempio illustrato abbiamo notato che la circonferenza sigma separatrice d'ombra della sfera appartiene ad un piano generico che non e' parallela al piano di quadro (coincidente in questo tipo di assonometria con pigreco1), per cui la circonferenza proiettata si trasforma in ellisse. c'è da tenere presente che questo caso di deformazione avviene in tutti i tipi di proiezioni cilindriche ( Assonometria, obliqua, assonometria ortogonale, il metodo di Monge) e coniche ( prospettiva). Nel caso dell'esempio illustrato, la circonferenza sigma e' una sezione del piano di quadro con il cilindro proiettante la circonferenza. La quale appartiene ad un piano inclinato rispetto all'asse del cilindro proiettante e ne consegue che esso e' un cilindro ellittico e quindi sezionando questo cilindro con un piano (il quadro) non ortogonale al suo asse, si ha (salvo casi particolari) un ellisse. Riassumendo il concetto: sezionando un cono (incluso il cilindro come cono con vertice improprio) con un piano non ortogonale all'asse si ha una sezione diversa dalla sezione retta di tale cono. La determinazione della vera forma e misura di questa sezione, può avvenire, nel metodo tradizionale, utilizzando ad esempio l'omologia di ribaltamento sul quadro o su un piano parallelo al quadro. Nel metodo della modellazione tridimensionale, dato che e' possibile cambiare con facilita il tipo di proiezione e la posizione del centro di proiezione, e' possibile disporre la figura generica parallelamente al monitor del computer (coincidente con il quadro). Come abbiamo visto nell'esempio, l'ombra del punto P sulla sfera e' un problema d'incidenza tra una retta (raggio luminoso) ed una superficie ( la sfera), la soluzione di questo problema avviene individuando il punto comune P* alla retta l e la sezione della superficie K eseguita con un piano ausiliario lamda passante per la retta l. Questa procedura per risolvere il problema d'incidenza può essere, in generale, applicata alla maggior casi d'intersezione tra retta e superficie. In cui, la retta l può essere immaginaria come il raggio luminoso, una retta proiettante nella corrispondenze affini (traslazione, ribaltamento, rotazione) o nella corrispondenza prospettiva; oppure può essere una retta oggettiva come lo spigolo di una piramide, di un prisma, la generatrice di un cono di un cilindro. Come si può notare nell'esempio, e' stato utilizzato un piano ausiliario verticale lamda per risolvere il problema di incidenza tra una retta l e superficie K. Questo utilizzo, e' facilitato dal fatto che di norma per rappresentare un superficie, nel disegno digitale o in quello tradizionale, si inizia con la prima proiezione ortogonale, per cui e' sufficiente individuare i punti d'intersezione tra la prima traccia del piano verticale e le rette della superficie in prima proiezione; e poi da questi punti, tracciare le verticali che incontrano le relative rette della superficie nello spazio nei cercati punti della sezione. pero c'è da tenere in considerazione che quando si opera in bidimensionale, tale sezione può essere laborioso da costruire perché occorrono altri procedimenti, oltre a quelle citate, come le operazioni di ribaltamento. Per esempio, con riferimento alla figura, la sezione del piano verticale lamda con la sfera e' una circonferenza nello spazio ma la sua proiezione assonometrica e' un ellisse, che e' stato evitato di costruirla facendo l'operazione di ribaltamento della circonferenza, in modo da facilitare l'operazione di individuare il punto d'intersezione P2* tra la retta l e la circonferenza ribaltata. العربية: الظل الذاتي والساقط لكرة وظل نقطة على نفس الكرة في الاكسنومتري الكافاليرا الافقية بمجرد الانتهاء من تمثيل الكرة في الاكسنومتري الكافاليرا الأفقية (أنظر إجراء المرحلة الأولى) ، وكذلك النقطة P ، وتم تعيين اتجاه شعاع الضوء l واسقاطة الأول l1, يمكن متابعة العمليات بالترتيب التالي : ظل نقطة P على الكرة ظل ذاتي وساقط للكرة يتم تحديد ظل النقطة P على الكرة كتقاطع بين الكرة وشعاع الضوء المار بالنقطة P. ولهذه الغاية, نمرر بالنقطة P مستوى ضوء λ . الأثر الأول لهذا المستوى يتطابق مع الإسقاط الأول l1 للشعاع l . ونحدد التقاطع الدائري Θ بين λ والكرة. ولكن بما ان Θ تنتمي إلى مستوى غير موازي لمستوى الإسقاط 1π ، فصورتها الاكسنومترية تكون اهليج. وكما هو معروف رسم الاهليج يتطلب بعض الإنشاءات الهندسية ، فلتفادي هذه الإنشاءات يمكن الاستفادة من خاصية هذا النوع من الاكسنومتري، من خلال إجراء إسقاط مونجي على مستوى رأسي موازي للمستوى λ , ومن ثم نقوم بعملية قلب مستوى الاسقاط المونجي لرسم الدائرة Θ بشكلها ومقاسها الحقيقي. عمليا، نرسم خط الأرض L.T بحيث يكون موازي للأثر الاول t'λ للمستوى λ ، ومن ثم نسقط على L.T نقاط تقاطع ∆ مع t'λ . هذة النقط تمثل قطردائرة التقاطع Θ . نسقط أيضا شعاع ضوء لتحديد نقطة التقاطع P*2 بين Θ2 و L2 . ومن ثم نقوم هذه النقة P*2 لايجاد موضعها الاكسنومتري P* , والتي تمثل ظل النقطة P على الكرة. لتحديد الظل الذاتي للكرة ، نأخذ في الاعتبار أن فاصل الظل للكرة، ينتمي إلى مستوى α عمودي على شعاع الضوء ومار بمركز الكرة. في هذة الحالة, فاصل الظل هي الدائرة Σ والتي تتحول الى اهليج في هذا النوع من الاسقاط الاكسنوكتري. لإيجاد هذا الاهليج Σ, نعمل في الإسقاط المونجي ، بتمرير الخط m2 بشكل عمودي على الاسقاط l2 لشعاع الضوء l. الخط m يمثل خط أقصى ميلان للمستوى α ويمثل ايضاً واحد من الاقطار المتزاوجة للاهليج Σ . نقطة التقاطع M2 بين الخط m2 وكفاف الكرة في الاسقاط المونجي , يمثل نقطة أقصى ارتفاع لفاصل الظل Σ. حيث يمكن تقويم ارتفاع هذه النقطة M2 ومن ثم نقلها الى موضعها الاكسنومتري لايجاد النقطة M التي تمثل طرف القطر m, القطر الأخر g للاهليج فاصل الظل Σ يتطابق مع قطر الدائرة الاستوائية ∆ ويكون عمودي على الاسقاط الاول m1 للخط m. وبمجرد الانتهاء من ايجاد اثنين m و g من الأقطار المتزاوجة, يمكن القيام بالاجراء المفصل في الشكل -- لانشاء الاهليج Σ. لتحديد الظل الساقط للكرة، نفترض وجود مستوى افقي δ حيث ترتكز الكرة في الطرف السفلي لمحورها. نتابع الإجراء بإيجاد الظلال m* g* للأقطار m g . والتي في هذه الحالة تمثل أيضا محاور الظل الساقط Σ* للاهليج Σ. ومن الجدير بالذكر أن الظل الساقط Σ* لكرة على مستوى δ هو تقاطع بين المستوى δ واسطوانة دورا نية مقطعها القائم فاصل الظل Σ ومحورها شعاع الضوء المار بمركز الكرة. تعليق من بين العدد اللانهائي من المستويات المارة بشعاع الضوء والقاطعة سطح متلقي ظل نقطة ما, لقد تم اختيار في التطبيقات السابقة استخدام المستوى الرأسي كعملية مساعدة لإيجاد ظل تلك النقطة. وهذا الاختيار يمكن ان يبرر في الرسم التقليدي (ثنائي الابعاد) وفي النمذجة السلكية وايضاً في النمذجة السطحية, حيث هناك الحاجة الى عمليات من الانشاءات الهندسية للوصول الى ايجاد التقاطع بين مستوى الضوء والسطح المتلقي, والتي عادة ما تكون أسهل باستخدام المستوى الرأسي. بينما في النمذجة الصلبة, بمجرد الانتهاء من انشاء الكيانات الهندسية المطلوبة, يمكن الحصول على ذلك التقاطع بطريقة تلقائي بمجرد تعيين أي مستوى مار بالشعاع وقاطع السطح المتلقي. عملياً ، وبما ان المستوى يحدد ايضاً بتعيين ثلاثة نقاط غير مستطفة على نفس الاستقامة, فيمكن تحديد مستوى الضوء بتعيين نقطتين على شعاع الضوء والنقطة الاخرى في أي نقطه في الفراغ. أستخدام المستوى الرأسي في النمذجة الصلبة أيضاُ, يمكن ان يبرر لسهولة التعرف علية ولأنه يسهل تفسير ومتابعة الانشاءات الهندسية ، وبذلك يسهل قراءة وترجمة الرسم. في حل مسألة المثال السابق لقد واجهنا بعض مفاهيم الهندسة الوصفية التي في ما يلي يراد اعادة سردها بشكل عام: الاشكال التي لا تنتمي إلى مستويات موازية لمستوى الاسقاط π ، لها اسقاطات مشوهة ، والتي طالب الهندسة المعمارية يجب ان يعرفها مقدما. في المثال المعروض (شكل --) لاحظنا أن الدائرة Σ فاصلة ظل الكرة تنتمي الى مستوى مائل بالنسبة لمستوى الاسقاط (متطابق مع الاسقاط الاول المونجي في هذا النوع من الاكسنومتري)، وبالتالي الدائرة تتحول الى اهليج في الاسقاط الاكسنومتري. من الضروري الأخذ في الاعتبار أن هذه الحالة من التشوه تحدث في جميع أنواع الإسقاطات المتوازية (الاكسنومترية العمودية، الاكسنومترية المائلة، وطريقة مونج) والمركزية (المنظور) . الاهليج ‘Σ هو مقطع لإسطوانة اسقاطية أجري بمستوى الاسقاط. رواسم هذة الاسطوانة هي خطوط مارة بمركز الاسقاط اللانهائي وبنقاط الدائرة المسقطة Σ. هذة الدائرة تنتمي إلى مستوى مائل بالنسبة لمحور الاسطوانة ويترتب على ذلك ان هذة الاسطوانة هي اهليليجية، وبالتالي بقطع الاسطوانة بمستوى غير عمودي على محورها ، سيكون لدينا اهليج (إلا في حالات خاصة) . لتلخيص المفهوم : بقطع مخروط (بما في ذلك اسطوانة كمخروط برأس لانهائي) بمستوى غير متعامد على محورة سينتج مقطع مخروطي مختلف عن المقطع القائم لنفس المخروط. كما رأينا في المثال أعلاه ، ظل النقطة P على الكرة هي مسألة تقاطع بين خط مستقيم (الشعاع) وسطح (الكرة) . حل هذه المسألة تكمن في العثور على ألنقطه المشتركة P* للخط l ولمقطع السطح. يمكن أن يتم الحصول على هذا المقطع باستخدام أي مستوى مساعد λ مار بالخط l . هذا الإجراء يمكن تطبيقه بشكل عام على معظم حالات التقاطع بين خط وسطح. حيث الخط l يمكن أن يكون خيالي كشعاع ضوء (كما هو في المثال المعني)، كخط إسقاط في تالف أفيني (انزلاق ، انقلاب ، دوران) أو في تألف منظوري ، أو يمكن أن يكون واقعي كحافة هرم أو منشور, أو راسم سطح مخروطي أو اسطواني. وكما يتضح في المثال ، فقد استخدم مستوى مساعد رأسي λ لحل مشكلة التقاطع بين الخط l والسطح K. لتمثيل سطح ما في الفراغ , في الطريقة التقليدية أو الرقمية, عادة ما يبدأ برسم الإسقاط الأول، وبالتالي يكفي تحديد نقاط التقاطع بين الأثر الأول للمستوى الرأسي والإسقاط الأول للخطوط الهامة التي تمثل السطح، ثم من هذه النقاط ، ترسم خطوط رأسية التي تقابل خطوط السطح في الفراغ وفقاً للنقاط التي تمثل المقطع. ولكن ينبغي الأخذ في الاعتبار أن إنشاء المقطع في حالة الرسم ثنائي الأبعاد, يتطلب الحاجة إلى عمليات إنشاء أخرى ، بالإضافة إلى تلك المذكورة كما هي عملية الانقلاب. على سبيل المثال، وبالإشارة إلى الشكل المعروض، بقطع الكرة بالمستوى الرأسي λ نحصل على دائرة والتي تتحول إلى اهليج في الإسقاط الاكسنومتري. تم تجنب إنشاء هذا الاهليج من خلال إجراء عملية قلب الدائرة على مستوى الإسقاط. والذي يهدف إلى تسهيل مهمة العثور على نقطة التقاطع P2* بين الخط l والدائرة المقلوبة.