نمذجة هندسية لنظرية الظلال
Italiano: Ombra di un cerchio su un cilindro come intersezione tra due cilindri L’ombra di una conica su una superficie curva può essere determinata come intersezione tra due quadriche Per esempio l’ombra di una circonferenza su un cilindro può essere determinata come intersezione tra due cilindri, di cui uno formato dai raggi luminosi passanti per I punti della circonferenza. Come stato affrontato nel paragrafo riferito all’incidenza tra superfici, l’intersezione tra cilindri viene determinata con l’utilizzo di piani ausiliari aventi giacitura parallela a gli assi dei due cilindri. Per inciso e dato che i due assi dei due cilindri in questione sono sghembi, si prende un punto di un asse e si fa passare una retta parallela all’altro asse, in questo modo si ha due rette incidenti che individuano la giacitura di un piano. Allora, quando si dice piani con la stessa giacitura vuole dire che sono paralleli tra loro, e quando si dice che sono paralleli ai due assi significa che ciascun piano di questi contiene due rette paralleli a gli assi dei due cilindri. Ciascun piano ausiliario taglia I due cilindri secondo generatrici che possono intersecarsi rispettivamente in punti formanti una curva 3D detta quartica d’intersezione tra I due cilindri. Per esempio (fig.--) la determinazione dei punti notevoli, come quelli della massima M* e minima quota N* della quartica, e quelli P* e R* della larghezza massima della stessa, possono essere ottenute con procedimenti grafici che sono utili anche quando tale quartica viene generata in automatico, altrimenti, per chi non ha dimestichezza con al geometria descrittiva, si cerca di individuarli a tentativi, e questo non e' un metodi scientifico su cui contare. Per ottenere ad esempio l'ombra P* del punto P che e' uno dei due punti di "larghezza massima della quartica", si procede cosi: si fa passare per P una retta p parallela all'asse del cilindro orizzontale K, in questo modo la sua ombra p* sarà parallela allo stesso asse di K. si determina il punto d'intersezione 2 tra la retta p e il piano β della direttrice di K. Il punto 2 rappresenta già uno dei due punti ombra della retta p sul piano β. l'altro punto ombra P*(β) di P su β, si determina come intersezione del raggio luminoso passante per P con β. tecnicamente, per trovare P*(β) si fa passare per P un raggio luminoso l e per questo un piano di luce λ, in cui prima traccia di λ coincide con la prima proiezione l1 di l. Si determina l'ombra della retta verticale a passante per P, come retta d'intersezione tra i piani β e λ, e poi si individua l'ombra p*(β) nel punto comune alle rette a* ed l. Unendo P*(β) con il punto 2, si individua l'ombra p*(β) di p sul piano β. Si individua il punto 3 come intersezione di p*(β) e la direttrice Σ del cilindro orizzontale. il punto 3 rappresenta un punto ombra della retta p sulla superficie del cilindro K, e poiché p e' parallela all'asse di k, dal punto 3 vi si traccia la parallela. In ultimo si individua l'ombra P* di P sulla superficie di K come intersezione del raggio luminoso passante per P con l'ombra p* della retta p sulla stessa superficie. Analogamente, si determinano gli altri punti notevoli R*, M*, N*, della quartica-ombra. Le operazione in questi casi sono' più rapide dato che le ombre (g* r* n* p*) di rette parallele (g r n p) su un stesso piano β rimangono parallele tra loro, per cui tracciati le rette orizzontali m,r,n passanti rispettivamente per i punti M,R,N, ed individuati i loro punti 6,8,4 con la retta orizzontale g (intersezione tra il piano orizzontale della circonferenza ∆ con il piano β), si disegnano le ombre m*(β), r*(β), n*(β) in modo che siano parallele all'ombra p*(β) della retta p su β. dai punti 7, 9, 4, d'incontro tra Σ con le ombre m*(β), r*(β), n*(β), si tracciano le rette parallele all'asse e cosi si individuano i punti-ombra M*, R*, N*, sulla superficie del cilindro orizzontale, come intersezione dei raggi luminosi passanti per i punti oggettivi M, R, N, con le rette-ombra m*, r*, n*. Il punto-ombra M* rappresenta il punto di massima quota che appartiene ad uno dei due piani di luce tangenti la circonferenza oggettiva ∆. l'altro piano di luce tangente ∆ individua il punto N* di minima quota della quartica. gli altri due punti-ombra R* e P*, appartengono a due piani di luce verticali tangenti ∆ e rappresentano la massima larghezza della quartica. العربية: ظل دائرة على اسطوانة كتقاطع بين اسطوانتين___________ ظل قطع مخروطي على سطح منحن يمكن ان يحدد كتقاطع بين أسطح ثنائية (quadrics). على سبيل المثال ، يمكن تحديد ظل دائرة على اسطوانة كتقاطع بين اسطوانتين ، واحدة منهما تتكون من أشعة الضوء التي تمر بنقاط تلك الدائرة. كما نوقش في الفقرة المتعلقة بالتقاطع بين السطوح الثنائية ، تم تحديد التقاطع بين الاسطوانتين من خلال استخدام مستويات مساعدة موازية لمحاور الاسطوانات. عملياً, وبما أن محاور الاسطوانتين المعنية (شكل --) متخالفة (skew lines)، نأخذ نقطة من محور ونمرر به خط مواز للمحور الآخر ، وبذلك لدينا خطين متقاطعين التا يحددان مستوى. فعندما نقول مستويات بنفس الميلان يعني انها موازية لبعضها البعض ، وعندما نقول أنها موازية لمحاور الاسطوانتين يعني ان كل مستوى يحتوي على خطين موازيين لتلك المحاور. كل مستوى مساعد يقطع كل اسطوانة منهما وفقاً لخطين, نقاط التقاطع بين الخطوط يمكن ان تشكل منحنى ثلاثي الابعاد , الذي يسمى منحنى رباعي (quartic)كتقاطع بين اسطح ثنائية. على سبيل المثال (الشكل --) يمكن تحديد النقاط الهامة للرباعي ، مثل نقطة الحد الأقصى M* والحد الأدنى N* للرباعي, والنقاط P* وR* لأقصى عرض لنفس الرباعي ، من خلال انشاءات الهندسة الوصفية التي هي ضرورية خصوصاُ في الحالات التي يتم إنشاء مثل هذا الرباعي تلقائيا بواسطة الحاسوب. خلاف لذلك، وبالأخص لؤلئك الذين ليس لديهم خلفية نظرية بعلم الهندسة الوصفية، سيكون هناك العديد من المحاولات للوصول الى نتائج تقريبية في العثور على نقاط هامة لرباعي تقاطع بين أسطح ثنائية. وهذه لا يمكن أن تعتبر طرق علمية ولا عملية يمكن الاعتماد عليها للتحكم في الفراغ الهندسي. على سبيل المثال ، للحصول على ظل P* للنقطة P , واحدة من نقطتين أقصى عرض لمنحنى التقاطع الرباعي، ينبغي المضي قدما كما يلي : نمرر بالنقطة P خط p موازي لمحور الاسطوانة الافقية K التي تتلقى الظل. في هذة الطريقة, الظل P* على سطح K سيكون مواز لنفس المحور. نحدد نقطة التقاطع 2 بين الخط p والمستوى الرأسي β للقاعدة Σ ( واحدة من قاعدتين الاسطوانة K). النقطة 2 تمثل ظل نقطة للخط p على المستوى β. نحدد ظل P*(β) لنقطة آخرى P للخط p على β, كتقاطع بين شعاع الضوء l المار بالنقط P والمستوى β . عملياً نمرر بالنقطة P شعاع الضوء l . وبهذا الشعاع نمرر مستوى رأسي λ , بحيث اثرة الاول يتطابق مع الاسقاط الاول l1 للشعاع l . نحدد خط التقاطع a* بين المستويات λ وβ ، وهكذا نعثر على الظل p*(β) كتقاطع بين خط التقاطع a* والشعاع l. بتوصيل النقطة p*(β) مع النقطة 2 نحصل عل الظل p*(β) للخط p على المستوى β . نعثر على النقطة 3 كتقاطع بين الظل p*(β) للخط p والقاعدة Σ للاسطوانة الأفقية. K النقطة 3 تمثل ظل نقطة للخط p على سطح الاسطوانة K. ومنذ ان p موازي لمحور K ، فمن النقطة ، نرسم الظل p* موازي لهذا المحور. وأخيرا نعثر على الظل P* للنقطة P على سطح K , كتقاطع بين شعاع الضوء المار بالنقطة P والظل p* للخط p على نفس السطح. وبالمثل ، يتم تحديد النقاط الهامة الأخرى R*, M*, N*، للمنحنى الرباعي كظلال للنقاط R, M, N المنتمية الى الدائرة ∆. عمليات الرسم في هذه الحالات عادة ما تكون اسرع لان الخطوط (g r n p) متوازية بينها وهذا يعني ان ظلها على المستوى β ستكون متوازية بينها. عملياً نرسم الخطوط m,r,n الموازية لمحور الاسطوانة والمارة بالنقاط M,R,N, للدائرة ∆. حيث هذة الخطوط تقابل المستوى β في النقاط 6,8,4, نرسم الظلال m*(β), r*(β), n*(β) بشكل موازي للظل p* للخط p الذي وجدناة سابقاُ. من نقاط 7, 9, 4 تقابل القاعدة Σ مع هذة الظلال نرسم خطوط موازية لمحور الاسطوانة المتلقية, وهكذا نجد نقاط الظل M*, R*, N*, على سطح الاسطوانة كتقاطع بين الظلال m*, r*, n* وخطوط الاشعة المارة بالنقاط M, R, N. نقطة الظل M* تمثل نقطة اقصى ارتفاع للمنحنى الرباعي والتي تنتمي الى واحد من المستويين المتماسين الدائرة Δ. المستوى الاخر يحتوي على نقطة أدنى ارتفاع للرباعي . نقاط الظل الآخرى التي تمثل أقصى عرض للرباعي ، تنتمي إلى مستويين راسيين متماسيين الدائرة Δ .