超準解析
微分積分学の歴史は、流率法あるいは無限小数の意味および論理的妥当性に関する哲学的論争を孕んでいる。これらの論争の標準的な解決策は、微分積分学における操作を無限小ではなくイプシロン-デルタ論法によって定義することである。超準解析（英: nonstandard analysis）は代わりに論理的に厳格な無限小数の概念を用いて微分積分学を定式化する。Nonstandard Analysisは直訳すれば非標準解析学となるが、齋藤正彦が超準解析という訳語を使い始めたため、そのように呼ばれるようになった。無限小解析（infinitesimal analysis）という言葉で超準解析を意味することもある。
超準解析は1960年代に数学者アブラハム・ロビンソンによって創始せられた。 彼は次のように記述している：
[...] 無限に小さいあるいは無限小の量という概念は我々の直観に自然に訴えかけるように見える。何れにせよ、無限小の使用は、微分学・積分学の黎明期において、広く普及した。相異なる2つの実数の差が無限に小さくなることはないという [...] 異論に対して、ゴットフリート・ライプニッツは、無限小の理論は理想的数――それは実数と比較して無限に小さかったり無限に大きかったりするものであるが、後者（訳注：実数）と同じ性質を有する――の導入を含意するものであると主張した。
ロビンソンはこのライプニッツの連続性の原理は移行原理の先駆けであるとしている。ロビンソンは次のように続ける：
しかしながら、彼も、彼の弟子たちや後継者たちも、このようなシステムに繋がる合理的な進展（訳注：そのような原理を合理化するもの）を得なかった。その結果、無限小の理論は徐々に評判を落としてゆき、最終的には古典的な極限の理論に取って代わられた。
ロビンソンはさらに次のように続ける：
本書では、ライプニッツのアイデアが完全に正当なものであり、古典解析やその他の多くの数学の分科に対する新奇で実りあるアプローチに繋がることを示す。我々の方法の鍵は、現代モデル理論の基盤にある、数学の言語と数学的構造との間の関係の詳細な分析によって齎される。
1973年、直観主義者アレン・ハイティングは超準解析を「重要な数学的研究の標準モデル」だと賞賛した。
導入
順序体  の非零元が無限小であるとは、その絶対値が （ は標準的自然数）の形をした如何なる  の元よりも小さいことをいう。無限小を持つ順序体は非アルキメデス的であるという。もっと一般に、超準解析は超準モデルと移行原理に基づくあらゆる形態の数学をいう。実数に対して移行原理を満たすような体を超実数体といい、超準実解析学はそういった体を実数の超準モデルとして用いる。
ロビンソン自身のアプローチはそれら実数体の超準モデルに基づく。彼のこの分野に関する古典的・基礎的な本 Non-standard Analysis は1966年に出版され、現在も販売されている。 88ページにおいて、ロビンソンは次のように書いている：
算術の超準モデルの存在はトアルフ・スコーレム（1934）によって発見された。スコーレムの手法は超冪構成を予示するものである [...]
無限小計算を展開するには幾つかの技術的問題を解決しなければならない。例えば順序体に無限小を付け加えたものを構成するだけでは不十分である。これに関連するアイデアにまつわる議論は超実数の記事を参照。
動機
超準解析を考えることには少なくとも3つの理由（歴史的、教育的、技術的）がある。
歴史的
ニュートンとライプニッツによる無限小解析の最も初期の成果の多くは infinitesimal number や vanishing quantity といった表現を用いて定式化されていた。超実数の記事で注意されているように、それらの定式化はジョージ・バークリーなどから広く批判を受けた。無限小を使用した解析学の整合的な理論の構築が問題であったが、これを満足のいく仕方で成し遂げた最初の人物がアブラハム・ロビンソンである。
1958年にクルト・シュミーデンとデトレフ・ラウグヴィッツは論文 "Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung" ("An Extension of Infinitesimal Calculus") を出版した。この論文は無限小を含む環の構成法を提案したものである。この環は実数列達から構成される。2つの数列が同値と看做されるのは、それが高々有限個の要素だけ異なっているときである。算術演算は要素毎に定義される。しかしながら、このようにして構成された環は零因子を含み、よって体を成さない。
技術的
幾つかの最近の研究は、超準解析の概念を用いた解析学、とくに統計学や数理物理学における極限過程の研究において為されている。セルジオ・アルベヴェリオらはそれらの幾つかの応用について論じている。
ロビンソンの書
アブラハム・ロビンソンの書 Non-standard analysis は1966年に出版された。この本で開発された幾つかのトピックは、彼の1961年の同名の論文（Robinson 1961）で既に与えられている。この本は、超準解析の最初の完全な取扱いを含むことの他にも、詳細な歴史的な章を含んでいる。そこでロビンソンは、無限小が矛盾した量であるという超準解析以前（pre-NSA）の認識に基づく、数学の歴史に関する広く信じられている幾つかの見解に挑戦している。ロビンソンは、連続関数の級数の収束に関するオーギュスタン＝ルイ・コーシーの Cours d'Analyse にある "sum theorem" が誤りであるという考え方に挑み、この"定理"の仮定に無限小に基く解釈を与えて正しい定理になるようにすることを目論んだ。
ふたつのアプローチ
超準解析には2つの非常に異なったアプローチがある：ひとつは意味論的あるいはモデル論的アプローチであり、もうひとつは構文論的アプローチ（公理論的アプローチ）である。これらのアプローチはどちらも、解析学以外にも、数論、代数やトポロジーを含む、他の数学の領域に適用される。
ロビンソンによる超準解析の元々の定式化は「意味論的アプローチ」のカテゴリーに分類される。彼が一連の論文で行ったように、これは理論のモデル（とくに飽和モデル）の研究に基づく。ロビンソンの仕事が最初に現れてから、Elias Zakonは上部構造と呼ばれる純粋に集合論的な対象を用いたより単純な意味論的アプローチを開発した。このアプローチでは、「理論のモデル」は集合 の「上部構造」  と呼ばれる対象で置き換えられる。上部構造  に超冪構成を適用することで、写像  を伴い移行原理を満たす別の対象  を構成することができる。写像  は  と  の形式的性質を関連付ける。さらに、飽和性のより簡素な形である可算飽和性を考えることもできる。この簡素化されたアプローチはモデル理論やロジックの専門家ではない数学者が超準解析を使用する場合により適している。なぜなら、可算飽和性を満たすモデルは前述したフレシェ超フィルターによる超冪によって構成でき、各々の超準的対象は「標準的対象の可算列の同値類」という具体的な描像を持つからである。（一方、より飽和性の高いモデルの構成には、善良超フィルターや初等鎖の極限など、より高度な集合論的・モデル論的な道具立てを必要とする。）
「構文論的アプローチ」は数理論理学とモデル理論に関して遥かに少ない理解と使用を要する。このアプローチは1970年代半ばに数学者エドワード・ネルソンによって開発せられた。ネルソンは内的集合論（IST）と彼が呼ぶ完全に公理的な超準解析の定式化を導入した。ISTは二項帰属関係  に関するツェルメロ＝フレンケル集合論（ZFC）に新しい単項述語「標準的」を追加する。この新しい述語は、集合論的宇宙の要素達に適用可能なものであって、それに関する推論の為の幾つかの公理を伴う。この方向からのアプローチはフルバチェックらによって進展された。
構文論的な超準解析は数学者が通常当たり前と考える集合構成原理（形式的には内包原理として知られる）の適用において細心の注意を要する。ネルソンが指摘するように、IST内の推論における誤りは「非合法な集合構成」によるものである。例えば、ちょうど標準的自然数からなる集合はISTにおいては存在しない（ここで「標準的」は新たに導入した述語の意味に解する）。非合法な集合構成を回避するために、部分集合の定義（内包性公理の適用）にはZFCの論理式だけを使用しなければならない。
構文論的アプローチの別の例としてはヴォピェンカによって導入された代替集合論がある。これはZF公理系よりもより超準解析と両立的な集合論的公理を探るものである。
その他の構文論的アプローチとして  と呼ばれる特殊な定数記号（これはある固定した無限大超自然数と思える）を公理的に導入する Alpha Theory がある。
不変部分空間の問題
アブラハム・ロビンソンとアレン・バーンスタインは、ヒルベルト空間上のいかなる多項式的コンパクト線型作用素も不変部分空間を持つことを示すのに、超準解析を用いた。これは不変部分空間の問題（invariant subspace problem）を部分的に解決したもので、超準解析による最初期の非自明な応用（新しい定理の証明）である。
ヒルベルト空間  上の所与の作用素  に対して、 の反復による  の点  の軌道を考える。グラム・シュミットの正規直交化法をこの軌道に適用することで  の正規直交系  が得られる。いま  を  の"座標"部分空間からなる増大列とする。 の  に関する表現行列  は殆ど上三角（almost upper diagonal）、つまり、係数  だけが対角下（sub-diagonal）に於いて非零である。バーンスタインとロビンソンは、もし  が多項式的コンパクトならば、超有限添数  があって、行列係数  が無限小となることを示す。次に、 の部分空間  を考える。もし  が有限なノルムを持つなら、 は  に無限に近い。
いま  を  上の作用素  とする。ここで  は  への直交射影である。 を  がコンパクトとなるような一次以上の複素係数多項式とする。部分空間  は内的かつ超有限次元である。有限次元複素線形空間における上三角化可能性に対して移行原理を適用することで、 の内的な正規直交基  を上手く取ることにより、対応する -次元部分空間  が -不変となるようにできる。 で  への射影を表すものとする。ある有限ノルムの非ゼロベクトル  に対し、 は非ゼロ、もしくは  と仮定して構わない。 がコンパクトであることから、 は  に無限に近く、したがって （無限小の緩みを許せば）であることが分かる。いま  を  なる最大の添字とすれば、 に無限に近い標準元の成す空間が望みの不変部分空間となる。
バーンスタイン＝ロビンソンの論文のプレプリントを読んだ上で、ポール・ハルモスは彼らの証明を標準的な手法で以って再解釈した。 どちらの論文も Pacific Journal of Mathematics の同じissueに立て続けに載っている。ハルモスによる証明で使われた幾つかのアイデアは、もっと後のquasi-triangular作用素に関するHalmosの仕事に再び現れている。
他の応用
（他の応用は）既に知られた結果の再解釈や再証明の流れに沿って得られている。とくに興味深いものとして、釜江による個別エルゴード定理の証明や、ファン・デン・ドリスとウィルキー による多項式成長度を持つ群に関するグロモフの定理の扱いがある。
群論への応用
ラリー・マネヴィッツとシュムエル・ワインバーガーは変換群に関するある結果を証明する際に超準解析を使用した。有理円周群  は有限巡回群  たちの和集合（より正確には余極限）と見做すことが出来る。ここで  の元  は  の元  に対応する。その意味で各有限巡回群は  の「局所化」と見做しうる。いま  を距離を持つコンパクト連結多様体とする。全ての有限巡回群  が  に忠実かつ -リプシッツに作用しているとしよう。彼らはこのとき有理円周群  もまた  に忠実かつ -リプシッツに作用することを示した。印象的に述べるならば、局所的な群作用があれば、大域的な群作用もある、ということである。この証明では、全ての正整数で割り切れるような無限大超自然数  を取れば、 が超有限巡回群  に埋め込めることが用いられている。（なぜならどんな有理数も分母が  の形に通分できるから。）移行原理によれば  は  に忠実かつ -リプシッツに作用している。その作用を適当に無限小だけ変形することで、 の  への忠実かつ -リプシッツな作用が得られる。
トポロジーへの応用
位相空間論への最初の応用はロビンソンによる前掲書において与えられた。彼は距離空間および一般の位相空間における基本的な概念の超準的な特徴付けを与え、それを標準的な定理の証明に応用した。とりわけ次に示すコンパクト性の超準的特徴付けは超準解析の応用に於いて広く用いられている。
定理. 位相空間  がコンパクトであるのは  の全ての点が近標準的（nearstandard）であるときである。ここで超準点  が近標準的とは、ある標準点  に対して  が成り立つときを言う。
位相空間論へのより包括的な応用はStroyan and Luxemburgに見られる。
代数トポロジーへの応用も存在する。M. C. McCordは超準解析に基づいて位相空間の新しいホモロジー群を構成した。このホモロジー群はコンパクト性の仮定のもとでチェックホモロジーと同型となることが知られている。
言語の拡張
しかしながら、超準解析の真の寄与は、超準集合論の新たな拡張された言語を用いた概念や定理の中にある。新たな応用のうちには、確率、流体力学、測度論、滑らかでない解析や調和解析などへの新しいアプローチがある。
確率論への応用
確率過程の理論への超準解析の応用もある（とくにブラウン運動をランダムウォークとして構成するもの）。Albeverio et.al.はこの研究領域への優れた導入が含まれる。
超冪構成の応用
超準解析の基本的な手法である超積構成はアラン・コンヌらによって作用素環の研究に応用されている。幾何的群論において用いられるasymptotic conesと呼ばれる距離空間は超極限へと一般化されている。これも超冪構成に基づく。
微分積分学の教育への応用
数学教育への応用として、H・ジェローム・キースラーはElementary Calculus: An Infinitesimal Approachを著した。 これは超準微分積分学をカバーし、無限小元を含む超実数を用いた微分・積分計算を構築した。これらの超準解析の応用は有限超実数  の標準部の存在に拠っている。 の標準部分  は  に無限に近い標準実数である。キースラーが用いた視覚化の装置のひとつは、無限に近い点を区別する為の、無限拡大率を持つ仮想的な顕微鏡である。キースラーの本は現在絶版であるが、彼のウェブサイトから無料で利用できる（下記の参考文献を参照）。
批判
超準解析の優美さや幾つかの側面からの魅力にもかかわらず、批判もまた表明されている。エレット・ビショップ、アラン・コンヌ、ポール・ハルモスによる批判は超準解析に対する批判にある。