付値体
付値体(ふちたい、英: valued field, valuation field)とは、乗法付値により得られる距離に対する距離空間の位相が入った位相体のことを付値体という。体 K の乗法付値 |\cdot| で付値体になるとき、\scriptstyle (K,\ |\cdot|) と表す。
付値体 \scriptstyle (K,\ |\cdot|) に対して、乗法付値 |\cdot| がアルキメデス付値であるとき、アルキメデス付値体、非アルキメデス付値のとき、非アルキメデス付値体という。
付値体の位相体としての性質は、項目位相体を参照のこと。
離散付値体
体 K 上の乗法付値 |\cdot| が離散付値であるとき、付値体 \scriptstyle (K,\ |\cdot|) を離散付値体という。
離散付値 |\cdot| に対する付値環、付値イデアルを \scriptstyle\mathcal{O},\ \mathfrak{p} とおき、 |\cdot| の素元を π とし、1 より大きい正数 q を

|\pi|= q^{-1}
が満たされる様にとると

\mathfrak{p}^n = \left\{ x\in K \left|\ |x| < \frac{1}{q^{n-1}}\right.\right\}\ \ \ \ (n=1,2,\ldots)
であり、便宜的に \mathfrak{p}^0 = \mathcal{O} とおくと

\{\mathfrak{p}^n|n=0,1,2,\ldots\}
は K の 0 に対する基本近傍系となる。また、乗法群 \scriptstyle K^{\times} に対して

U^{(n)} = 1 + p^n = \left\{ x\in K^{\times} \left|\ |1-x| < \frac{1}{q^{n-1}}\right.\right\}\ \ \ \ (n=0,1,2,\ldots)
とおくと

\mathcal{O}^{\times} = U^{(0)}\supsetneqq U^{(1)}\supsetneqq U^{(2)}\supsetneqq\cdots
が成立し、\{U^{(n)}|n=0,1,2,\ldots\} は \scriptstyle K^{\times} の 1 に対する基本近傍系となる。 また、各 n に対して、U^{(n)} は K の単数群 \scriptstyle\mathcal{O}^{\times} の部分群となる。これを n 次主単数群といい、特に U^{(1)} を主単数群という。
上記の付値イデアルのベキおよび n 次主単数群に対して、以下のことが成立する。
各 \scriptstyle n=1,2,\ldots に対して

\mathcal{O}^{\times}/U^{(n)} \simeq (\mathcal{O}/\mathfrak{p}^n)^{\times},\ \ \ \ \ U^{(n)}/U^{(n+1)} \simeq \mathcal{O}/\mathfrak{p}
が成立する。
完備な離散付値体
完備体 \scriptstyle (K,\ |\cdot|) が離散付値体、つまり |\cdot| が離散付値である場合を考える。 すると、K の 0 ではない元 α は、以下の形に一意的に表現される：

\alpha = \sum_{n=r}^\infty c_n \pi_n\ \ \ \ (c_n\in\Gamma,\ c_r\ne 0)
但し、\scriptstyle R_{|\cdot|}\supset\Gamma は、|\cdot| の剰余体 \scriptstyle R_{|\cdot|}/\mathfrak{m}_{|\cdot|} の 0 を含む完全代表系、\scriptstyle\{\pi_n\}\! は |\cdot| の素元である。
特に π を素元とし、\pi_n = \pi^n とすれば

\alpha = \sum_{n=r}^\infty c_n \pi^n\ \ \ \ (c_n\in\Gamma,\ c_r\ne 0)
と表される。付値イデアルを \mathfrak{p}=(\pi) としたとき、上記の展開のことを K の \mathfrak{p} 進展開という。
例として、p進体 \mathbb{Q}_p の元 α は

\alpha = \sum_{n=r}^{\infty} c_n p^n\ \ \ \ (c_n = 0,1,\ldots,p-1,\ c_r\ne 0)
と表現される。これを p進体のp進展開という。
完備体の拡大
付値体 \scriptstyle (K,\ |\cdot|_K) は、|\cdot|_K によって完備であり、L を K の代数拡大体とすると、 |\cdot|_K は、L に一意的に延長が可能である。もし、L が K の有限次拡大であるならば、L の乗法付値を |\cdot|_L とおくと、L は |\cdot|_L で完備となり、

|\alpha|_L = \sqrt[n]{|N_{L/K}(\alpha)|_K}
が成立する。但し、n は L の K に対する拡大次数である。
注意として、L が K の無限次代数拡大体であるとき、L が完備になるとは限らない。 例えば、p進体の代数閉包は完備ではない。
非アルキメデス付値による完備体
非アルキメデス付値に対する完備体の性質として、以下のものが挙げられる。
(1) 非アルキメデス付値に対する完備体 \scriptstyle (K,\ |\cdot|) 内のコーシー列 \scriptstyle\{ a_n \}_{n\ge 0} の収束点を α としたとき、α が 0 でないならば、十分大きな全ての n に対して

|\alpha| = |a_n|
が成立する。
(2) 非アルキメデス付値体 \scriptstyle (K,\ |\cdot|) の完備化を \scriptstyle (K',\ |\cdot|') とする。このとき、K が代数閉体であるならば、K' も代数閉体である。
このことから、例えば、p進体 \mathbb{Q}_p の代数閉包を \overline{\mathbb{Q}_p} とし、p進付値をこの代数閉包に延長したもので完備化した体を \mathbb{C}_p とおくと、 \mathbb{C}_p は代数閉体となる。
ヘンゼル体
非アルキメデス付値による完備体で得られる結果の多くは、その証明にヘンゼルの補題が使われているが、ヘンゼルの補題は完備体でなくても成立する場合がある。その様な体上では、完備体で得られた多くの結果が成り立つことになる。ヘンゼルの補題が成立する付値体のことをヘンゼル体という。また、与えられた付値体 \scriptstyle (K,\ |\cdot|) の拡大体で、乗法付値 |\cdot| の延長でヘンゼル体になるとき、その体のことを、付値 |\cdot| に関する体 K のヘンゼル化という。付値体 \scriptstyle (K,\ |\cdot|) がヘンゼル体であるとき、|\cdot| をヘンゼル付値、|\cdot| の付値環をヘンゼル付値環という。任意の非アルキメデス付値体に対する完備化は必ず存在するので、ヘンゼル化も存在する。
ヘンゼル化の構成
非アルキメデス付値体 \scriptstyle (K,\ |\cdot|) に対する完備化を \scriptstyle (\tilde{K},\ |\cdot|_{\tilde{K}}) とする。\tilde{K} の K における分離閉包を K' とおき、|\cdot|_{\tilde{K}} の K' への制限を |\cdot|' とおくと、付値体 \scriptstyle (K',\ |\cdot|') では、ヘンゼルの補題が成立する。よって、\scriptstyle (K',\ |\cdot|') は |\cdot| に関する体 K のヘンゼル化となる。
完備化という手法をとらずに純粋に代数的な手法でヘンゼル化を得ることができる。
非アルキメデス付値体 \scriptstyle (K,\ |\cdot|) の分離閉包を \bar{K} とし、|\cdot| の \bar{K} への延長を |\cdot|' とする。\bar{K} の |\cdot|' に対する分解群を

G_{|\cdot|'} = \{\sigma\in\mbox{Gal}(\bar{K}/K) | |\sigma(\alpha)|' = |\alpha|'\ \ (\mbox{for any}\ \alpha\in\bar{K}^{\times}) \}
とし、この分解群に対する \bar{K}/K の分解体を

K_{|\cdot|'} = \{\alpha\in\bar{K} | \sigma(\alpha) = \alpha\ \ (\mbox{for any}\ \sigma\in G_{|\cdot|'}) \}
とおけば、K_{|\cdot|'} は、|\cdot| に関する体 K のヘンゼル化となる。
分岐拡大
以下において、特に断らない限り、K を非アルキメデス付値 |\cdot|_K に対してヘンゼル体であるとし、K の有限次または無限次の代数拡大体 L に対して、|\cdot|_K の延長が同値なものを除いて唯一存在するので、それを |\cdot|_L とおき、F_K,\ F_L をそれぞれ |\cdot|_K,\ |\cdot|_L における付値環としたとき、L として、F_L が F_K の分離拡大である様な K の代数拡大体とする。例えば、K をp進体とすれば、K の任意の代数拡大体 L に対して、上記の条件は全て満たされる。
ガロア拡大体の場合
有限次代数拡大体 L/K が特にガロア拡大体であるとする。
今、\scriptstyle R,\ \mathfrak{P} を L の付値環、付値イデアルとしたとき、各 \scriptstyle i\ge 0 に対して、\scriptstyle R/\mathfrak{P}^{i+1} の元を動かさないような L/K の同型写像の集合を

G_i = \{\sigma\in\operatorname{Gal}(L/K)|\ \sigma(x)\equiv x\ \bmod\ \mathfrak{P}^{i+1},\ (\mbox{for any }x\in R)\}
とおくと、G_i は \scriptstyle\operatorname{Gal}(L/K) の部分群となる。
特に G_0 に対して、\scriptstyle\operatorname{Aut}(F_L/F_K) を剰余体 F_L の F_K 上の自己同型写像全体とすれば

\operatorname{Gal}(L/K)/G_0 \simeq \operatorname{Aut}(F_L/F_K)
であり、G_0 は可解群となる。
さらに、L/K が完全分岐であるならば、\scriptstyle\operatorname{Gal}(L/K) = G_0 であり、十分大きな全ての i に対して、G_i は恒等写像しか含まない。従って \scriptstyle\operatorname{Gal}(L/K) は可解群となる。