チャールズ・サンダース・パースによる記号の要素とクラス
記号論の要素
ここに記号の三項関係へのパースの定義がある。この三項関係は論理学に対する彼の定義の中核をなしている。

  Namely, a sign is something, A, which brings something, B, its interpretant sign determined or created by it, into the same sort of correspondence with something, C, its object, as that in which itself stands to C. (Peirce 1902, NEM 4, 20 - 21).
すなわち、記号とは、なにか（A） であり、別のなにか（B）をもたらすようなものである。別のなにか（B）は、解釈項であり、記号によって決定されたり創造されたりして、記号自身が向き合っている対象 (C) に対して、なんらかの一致をもたらすものである。
この定義は、一致や決定などのパースの定義を含めて、すべての記号関係に対して必然的に当てはまるものであり、すべての説明を引き出すためにも十分である。もちろん、一般的記号関係についての普遍的定理を証明したからそれで終わりというのではなく、記号の理論に対してなすべきことは多くある。例えば、個別の下位の記号関係のいろいろなものを分類する仕事が残っている。実践的な問題として、具体例の全範囲について慣れ親しむことが、理論と適用の両面で不可欠である。
パースの記号の理論では、ある記号は、他の2つの項目すなわち対象と解釈記号とに対して、よく定義された関係を占めているものである。パースの記号の定義は心理学的な主題からは独立しており、彼の記号の理論は言語学単独よりもはるかに多くの基礎部分をカバーしているのだが、記号関係のなじみのある実例や図解の多くは、この主題に対する日常の経験と相俟って、言語学および心理学から由来したものが多くなる。
たとえば、解釈項の概念にアプローチする一つの方法は、言語心理学的プロセスを思い浮かべることである。この文脈では、解釈項は、心、または心のように作用する何か（パースは擬似的精神と呼んだ）に対する記号の作用として理解できる。解釈項は、解釈の過程で生じた何かであり、記号過程としてまとめられる活動のうちのひとつである。このことは、記号は、対象を示すために、仲介者すなわち解釈項を介しておこなう、といった言い方をされる。結局のところ、仲介者は傑出したものであり、それに対する記号の作用ということになる。この作用こそが、パースが解釈項記号、略して解釈項と呼称したものである。最も裸の状態での解釈項は、記号の意味、含意、または派生などである。また、記号過程は、曖昧な記号から、相対的に明瞭な解釈項へと進んでいくものであり、この過程には特別な興味が向けれている。論理学や数学では、対象に対する最も明確になったものや最も簡潔な記号は、規範的形式または正規的形式などと呼称される。
パースは以下のことを論じた。論理学は、最も広い意味での記号の形式の研究であり、記号は、人工的、言語的、象徴的なものから、類似性やら、反応に対する指標のようなものまで関わっている。記号と表象および推論との関係を含めて、「この世は、記号に満ち満ちている。たとえそれが記号のみで排他的に構成されている訳ではないとしても」、という考えをパースは保持していた。それで、すべての思考は時間がかかる、すべての思考は記号の中にあると、パースは主張した。
いうならば、思想は即座に生じるのではない。思想は時間を必要とする。別な言い方をすれば、あらゆる思想は別のものの中で解釈されなければならない。あるいは、すべての思想は記号の中にある。 (Peirce, 1868)
思考は必ずしも脳とつながっているわけではない。蜂や結晶の働きや、純粋な物理的な世界全体を考えてみても、諸々の対象がそこにあり、色や形があるのと同様に、そこに思考が実在していることは否定できないだろう。このことを不当にも否定することに固執するならば、フィヒテに類似したある種の観念的唯名論に行き着くことになる。すなわち、思考は有機的な世界のものであり、そこにのみ発達する。「一般」が具体化する実例がなければあり得ないように、思考は記号がなければあり得ない。ここでの記号には非常に広い意味を与えてはいるが、定義の枠内に納まらないほど広すぎる訳ではない。互いに連結した記号が「擬似的な精神」のようなものを持つことを認めるならば、孤立した記号はあり得ないことがさらに断言出来るだろう。そしてさらに、記号は少なくとも二つの擬似的精神が必要となる。つまり擬似的発言者と、擬似的解釈者である。そしてこれらの二つは、記号それ自身として、一つのもの（ひとつの精神）の中にあり、しかし明確に区別されうるものである。言わば、記号の中に、これら二つは埋め込まれている。このように、あらゆる思考が論理的に展開するためには対話的であるべきだということは、人間心理学の事実に関しても、論理学の必然性についても当てはまる。 (Peirce, 1906 )
記号関係
記号関係とは、存在そのもののあり方ではなく、関係の中での存在のあり方である。つまり、それ自身としてではなく、他のものに対するなんらかの関係である。記号の役割は、以下の3項の内の1つの役割を構成している:すなわち、対象、記号、解釈項の3項である。この三項関係はこれ以上には還元できない。事物がなかったとしても、三つの役割は区別される。役割は3つだけである。ある対象の記号は、解釈項を導く。解釈項は記号としてさらなる解釈項を導く。いろいろな関係において、同じ事物が、記号であったり、記号論的な意味での対象であったりする。記号とは何かという問いは、記号関係の概念に依存している。さらに、その記号関係は、三項関係の概念に依存している。そうすると、今度は関係そのものの概念に依存することになる。パースは、関係の非還元性という数学的思想に基づいて、二項的・三項的・四項的な関係を考えている。パースのReduction Thesis によれば、(a)三項関係が必然的である。なぜなら、真正の三項関係は単項的や二項的な修飾句では完全には分析できないから。さらに(b)三項で十分である。なぜなら、三項以下の関係性に還元可能でないような真正の四項的もしくはさらに多項的な関係は存在しないからである。パースや他の研究者、特にロバート・バーチ（1991年）、およびヨアヒム・ヘレス・コレイアとラインハルト・ポッシェル（2006年）はReduction Thesis に対する証明を示している。パースによれば、真正の単項関係の述部は典型的には性質を表現する。真正の二項関係は作用または抵抗となる。真正の三項関係の述部は表象または媒介となる。従って、パースの関係の理論は、彼の3つの基本カテゴリからなる彼の哲学理論をも支持している。
外延x内包=情報。記号関係の2つの伝統的なアプローチは、必要であるが十分ではないものではあるが、外延によるものと、内包によるものである。外延は、記号の対象、また幅や、指示、適用などと呼ばれる。内包は、対象の特徴、品質、記号によって参照された属性、また深さ、意味、意義、含意などと呼ばれる物である。パースはこれに第三のもの、つまり情報によるものを付け加える。情報は変化することもあり、また他の2つのアプローチを、統一された全体へと統合するためのものである。たとえば、上の式から導かれることとして、もし情報の総量が同じであり続けるならば、その述語が、対象について、内包することすなわち意味すること多くなればなるほど、その述語が適用される外延は少なくなる。命題の理解はその意味にかかっている。
決定関係。記号は、その対象をどのように表象するかということで、対象に依存している。対象は、記号が作用するようにし、またある意味で記号を決定する。このような物理的で因果論的意味合いは、記号が指標的な反応関係にある場合に特によく現れる。解釈項は、記号と対象の両方に依存する。対象は、その解釈項を決定することによって、記号を決定する。しかしこのような決定関係は、一列のドミノにみられるような、二項的な出来事の連鎖によるのではなくて、三項関係によるものである。例えば、解釈項は、対象によって表象されるなんらかのものを、単に示すだけではなくて、対象を表象する記号として、解釈項がなんらかのものを表象する。これがまさに情報的な決定関係である。つまり単なる決定論な表現よりもより多くのなんらかのものを示すことになる。パースは、determine という単語を厳密に決定論的意味で使うのではなく、特定もしくは  bestimmtの意味で使った。そこには、影響のような、測定上の変異も含まれている。パースは記号－対象－解釈項を、表象の観念によってではなく、三項の決定様式によって、定義するようになった。というのも、表象自体が、定義されるべきことの部分であるからである。対象は、また別の記号（つまりは解釈項）を決定することによって、記号を決定する。そして、解釈項は、記号が対象を関係付けるのと同様のやり方で、対象を関係付ける。このことによって、解釈項は、対象に対する記号として機能するとともに、さらに別の解釈項記号を決定する。このプロセスが、論理的に構造化されて連続的に続くことにより、記号・対象・解釈項を一般的に決定するものとなる。記号過程において、あらゆる記号は、解釈項が前後に広がった連鎖となっている。情報や論理の決定関係は対象・記号・解釈項を限定するものであり、因果論的または物理的な決定関係のような特殊な場合よりも、さらに一般的なものである。一般的には、記号関係の項目のひとつに関するなんらかの情報は、他の項目に関する何かを伝えるものである。もちろん、この情報の実際量は、ある種の記号関係では、ゼロで有る場合もあるのだが。