射影幾何学
概観
射影幾何は距離が定義できないような幾何の基本的なものである。平面射影幾何学は、点と直線との配置問題 (configuration) の研究に端を発する。実際、デザルグらによる透視図法の原理的な説明において、射影幾何学として理解することのできるいくつかの設定に、幾何学的に意味のある言及が散見される。より高次元の空間では、超平面などの線型な部分空間を考えることができて、それらは双対性を示す。この双対性の最も簡単な説明として、射影平面における「相異なる二点は直線を一意的に定める」（その直線は与えられた二点を通る）という言及と「相異なる二直線は点を一意的に定める」（その点は与えられた二直線の交点）という言及が、命題として同じ構造をしているということを挙げることができる。また、射影幾何は直定規のみを用いて構成することができる幾何としても捉えることができる。そして射影幾何がコンパスを用いた構成を必要としないことから、そこには円も角も角度も平行線も中間性の概念も存在しないことがわかる。これらの理由から射影幾何において成立する定理は、初等幾何におけるそれよりも単純な形に述べることができるようになる。例えば、（初等幾何において）異なる円錐曲線は（複素）射影幾何においては全て同値である。また、円に関する定理のいくつかは、もっと一般の定理の特別の場合として見ることができる。
19世紀初頭にポンスレー、ラザール・カルノーらの業績が数学の一分野としての射影幾何学を確立する。その厳密な基礎付けは、カール・フォン・シュタウトによって取り組まれ、19世紀の後半にジュゼッペ・ペアノ、マリオ・ピエリ、アレッサンドロ・パドア、ジーノ・ファノらによって完成を見ることになる。射影幾何学は（ユークリッド幾何学やアフィン幾何学と同じく）クラインによるエルランゲンプログラムに従った研究もなされた。これによると、射影幾何学は射影群に属する変換のもとで不変な幾何学的対象によって特徴付けられる。 
このような主題に対する多大な数の定理についての研究の結果、射影幾何学の基本的概念が理解されていくことになる。例えば、接続構造と複比は射影変換の下での基本的な不変量である。また、アフィン平面（あるいはアフィン空間）に「無限遠」にある直線（あるいは超平面）を加えて、「通常」の直線（あるいは超平面）と同様に扱うことによって射影幾何のモデルを作ることができる。さらに、射影幾何を解析幾何学のやり方で扱うための代数的なモデルは斉次座標系を用いることで与えられる。。それとは別に、射影幾何の公理的な研究によって、非デザルグ平面の存在が顕わになる。これは例えば、（二次元の場合だけだが）斉次座標系を通して正当化することができないような構造によって、接続の公理系をモデル化することができるということを示している。
基礎付けという観点からは、射影幾何と順序幾何は、それが数少ない公理から展開されること、あるいはそれがアフィン幾何やユークリッド幾何を基礎付けるのに利用できるということなどから、基本的である。なお、射影幾何は順序幾何にならないので、これらは別々の幾何学的基礎付けになっている。
歴史
射影的な現象の幾何学的性質が初めて発見されるのは、3世紀ごろアレクサンドリアのパップスによる。フィリッポ・ブルネレスキ (1404–1472) は1425年に透視図法の幾何学を開始している。ヨハネス・ケプラー (1571–1630) とジラール・デザルグ (1591–1661) はそれぞれ独立に、極めて重要な「無限遠点」の概念を作り上げた。デザルグはまた、消失点の使用をそれらが無限に遠い場合を含めて一般化した投影図法の別な構成も与えている。デザルグは、平行線が真に平行となるユークリッド幾何学を特別な場合として完全に内包するような幾何学的体系を作り上げた。円錐曲線に関するデザルグの研究は、16歳のブレーズ・パスカルの関心を惹き、彼がパスカルの定理を定式化する助けとなった。それに続く射影幾何学の発展に重要な仕事は、18世紀暮れから19世紀初頭にかけてガスパール・モンジュによってなされる。デザルグの業績は1845年のミシェル・シャルルによる手書きの写しに突如として現れるまでは見捨てられており、その間の1822年にジャン＝ヴィクトール・ポンスレーが射影幾何学の基礎的な論文を出版している。ポンスレーは幾何学的対象の射影的性質を個々のクラスに分類し、射影的性質と計量の間の関係性を確かなものとした。非ユークリッド幾何学はそれからすぐに、双曲空間のクラインモデルのようなモデルを持つことが、射影幾何学との関連性を含めて示されている。
これら19世紀の射影幾何学は、解析幾何学から代数幾何学への足掛かりであった。実際、斉次座標系を用いた射影幾何学の扱いは、解析幾何学において幾何学的問題を代数へ還元する方法を拡張したものとみることができるし、このような拡張はいくつかの特別な場合に還元することができる。二次曲面の詳細な研究やジュリウス・プリュッカーの「直線の幾何学」は、もっと一般の幾何学的概念を駆使する幾何学者にとっても豊かな例を与えるものである。 
ポンスレーやスタイナーらの仕事は解析幾何学を拡張する方向には向かわなかった。彼らの手法は「総合幾何学」に裏打ちされたものであり、おかげで射影空間は今日では公理的に導入されるものと理解されている。結果として、射影幾何学の初期の研究は再定式化され、現在の標準的な扱いでは、厳密な理解がいささか困難を伴いうる。射影平面だけを考えた場合でさえ、公理的な方法では、そのモデルの中で線型代数学を通じた記述ができないという結果となる。
幾何学におけるこのような状況が覆ることになるのは、クレブシュ、リーマン、マックス・ネーターらによる（既存の手法を拡充する）一般の代数曲線に関する研究、そして不変式論の登場による。世紀の終わりにかけて代数幾何学イタリア学派（エンリケ, セグレ, セヴェリ）はそれまでの古い射影幾何学的手法を打ち破り、より深い手法を要する主題へと昇華させた。
19世紀の後半には、射影幾何学の詳しい研究は流行ではなくなっていたが、いくつか文献が刊行されている。いくつかの重要な仕事が、特に数え上げ幾何学においてシューベルトによってなされ、これは今では、グラスマン多様体のトポロジーを表すものとして用いられるチャーン類の理論の先駆けと見なされている。
ポール・ディラックも射影幾何学を研究し、それを量子力学における彼の概念を展開する基礎として用いた（ただし、結果を公表する際は常に代数的な形にして述べられている）。See a blog article referring to an article and a book on this subject, also to a talk Dirac gave to a general audience in 1972 in Boston about projective geometry, without specifics as to its application in his physics.
射影幾何における双対原理
1825年にジョセフ・ジェルゴンヌは、射影平面幾何を特徴付ける双対性の原理について記している。これは、射影幾何の任意の定義あるいは定理において、「点」と「直線」、「—の上にある」と「—を通る」、「共線」と「共点」、「交わり」と「結び」をいっせいに互いに入れ替えたとき、結果として得られる命題は定理であり、得られる定義は意味のあるものとなるというものである。このとき得られた定理や定義は、もとのものの「双対」であると言われる。三次元においても同様で、点と平面に関する双対性が成り立つので、任意の定理において「点」と「平面」、「—を含む」と「—に含まれる」を入れ替えることで別な定理に書き換えることができる。もっと一般に、次元 N の射影空間に対して、次元 R の部分空間と次元 N − R −1 の部分空間との間に双対性が存在する。N = 2 の場合を考えれば、これは最もよく知られた形の、点と直線の間の双対性に特殊化される。この双対原理はジャン＝ヴィクトル・ポンスレも独立に発見している。
双対性を示すには、問題にしている次元に対する公理系の双対版となる各命題が真であることを示すだけで十分である。故に、三次元射影空間に対しては、(1*) 各点は相異なる三平面の上にある、(2*) 任意の二平面はただ一つの直線で交わる、(3*) 二平面 P, Q の交わりと別の二平面 R, S の交わりとが共面であるならば、P と R との交わりと Q と S との交わりも共面である（ただし、平面 P と S は Q と R と異なるものとする）の三つを示す必要がある。
実用上、双対原理を使えば二つの幾何学的構成の間の「双対対応」を構築することができるようになる。そのようなものの中で最もよく知られたものは、円錐曲線（二次元の場合）あるいは二次曲面（三次元の場合）における二つの図形の両極性もしくは相互関係である。ありふれた例が、双対多面体を得るための同心球における対称多面体の相互関係に見つかる。
射影幾何の公理
任意に与えられた幾何が、適当な公理の集合から演繹されるという場合がある。射影幾何は「楕円型」の平行線公理「任意の二平面がただ一つの直線において交わる」（平面の場合は「任意の二直線がただ一点において交わる」）によって特徴付けられる。言い換えれば、射影幾何において平行線や平行面といったようなものは存在しない。射影幾何に対するいくつもの公理系が提示されている（例えば Coxeter (2003), Hilbert & Cohn-Vossen (1999), Greenberg (1980) などを参照）。