超現実数
数学における超現実数（ちょうげんじつすう、英: surreal number）の体系は、全順序付けられた真のクラスとして実数のみならず（任意の正実数よりも絶対値が大きい）無限大および（任意の正実数よりも絶対値が小さい）無限小まで含む。超現実数の体系は、四則演算（加減乗除）など実数が持つ多くの性質を共有しており、順序体を成す 超現実数をフォンノイマン–ベルナイス–ゲーデル集合論 (NBG) において定式化するならば、超現実数体は（有理数体、実数体、有理函数体、レヴィ゠チヴィタ体、準超実数体、超実数体などを含む）すべての順序体をその部分体として実現できるという意味で普遍的な順序体となる。超現実数は、すべての超限順序数も（その算術まで込めて）含む。あるいはまた、（NBGの中で構成した）超実体の極大クラスが超現実体の極大クラスに同型であることが示せる（大域選択公理を持たない理論では必ずしもそうならないし、またそのような理論において超現実数体が普遍順序体になるとも限らないことに注意する）。
概念史
1907年にハンス・ハーンは、形式冪級数の一般化としてハーン級数を導入した。またフェリックス・ハウスドルフは、順序数α に対する ηα-集合と呼ばれる順序集合を導入し、それと両立する順序群や順序体の構造を求めることができるかを問うた。Alling (1962) は修正された形のハーン級数を用いて適当な順序数 α に対してそのような順序体を構成し、α をすべての順序数全体の成すクラスを亙って動かすことで、超現実数体に同型な順序体のクラスを与えた。
それとは別の定義および構成法が、ジョン・ホートン・コンウェイにより、囲碁の寄せについての研究から導かれている。コンウェイの構成法は1974年にドナルド・クヌースの著書 Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness に取り入れられた。対話形式で書かれたこの本においてクヌースは、コンウェイが単に「数」と呼んでいたものに「超現実数」という新たな名を付けた。のちにコンウェイもクヌースのこの造語を受け入れ、1976年には超現実数を用いてゲームを解析する On Numbers and Games を著した。
概観
コンウェイの構成法では、超現実数は、大小関係を表す順序 ≤（二つの超現実数 a, b に対し a ≤ b または b ≤ a が成立する。a ≤ b かつ b ≤ a がともに成立するとき a と b は同値であると言い、同じ数を表すものと理解する）を伴って、段階を踏んで構成される。各段階における数は、既に構成された既知の超現実数からなる部分集合の対の形をしており、そのような数からなる部分集合 L, R が与えられ、L のすべての元が R のすべての元よりも真に小さいときに、対 {L | R} は L のすべての元と R のすべての元との間に値を持つ中間数を表すものとなる。
このとき、全く異なる部分集合の対が結局は同じ数を定義するということが起こり得る —たとえ L ≠ L′ かつ R ≠ R′ となる場合であってさえも、二つの対 {L | R}, {L′ | R′} が同じ数を定義しうる—（同様の現象は、有理数を整数の商として定義するときにもあったことである。例えば 1/2 と 2/4 は同じ有理数の異なる表現である）。ゆえに厳密を期すならば、超現実数とはそのような同じ数を指す {L | R} なる形式の表現からなる同値類のことと言うべきである。
構成の緒段（第零世代）では、既存の数は何もないのだから、表現には空集合しか用いようがない。表現 { | } は L および R が空集合という意味であり、これを 0 と呼ぼう。段階を踏んでいけば 
 や 
 のような形式が次々に生まれてくる。こうして整数は全て超現実数の集合に含まれる（上記は右辺の名称を左辺の式で定義するという意味の定義式であることに注意する。これらの各名称が実際に適切なものであることは、後で述べる超現実数の四則演算が定義されたときに根拠が与えられるであろう）。同様に 
 のようなものも生じるから、二進分数（分母が2の冪であるような有理数）もまた全てが超現実数の集合に含まれる。
無限に段階を踏んだ後であれば、無限部分集合も使ってよいということになり、任意の実数 a が、a より小さい（ここでの大きい・小さいは、実数としての大小関係で言うことに注意）二進分数全体の成す集合 Lₐ と a より大きい二進分数全体の成す集合 Rₐ を用いて {Lₐ | Rₐ} と表現される（これはあたかもデデキントの切断の如きである）。そうして任意の実数もまた超現実数の集合に埋め込まれる。
あるいはまた、
 および 
 なる表現も作られ、ω は任意の整数よりも大きい超限数として、ε は任意の正実数より小さいが 0 よりは大きい無限小として解釈できるが、これらもまた超現実数として与えられる。さらに言えば、通常の算術における四則演算（加減乗除）が、これらの実数でないような量まで含めて、超現実数全ての集まりが一つの順序体となるような仕方で拡張できる。よって、この枠組みの中では 2ω や ω − 1 などのような無限大を数として扱った議論もできるということになる。
構成法
超現実数は、超現実数からなる集合の対（ただし一方の集合の各元が他方の集合の任意の元よりも真に小さいという制約が付く）に関する同値類として帰納的に定義される。この構成は、相互に依存する三種類のルール（構成規則・比較規則・同値規則）からなる。
超現実数の算術
超現実数の加法、符号反転（反数）および乗法は、形式 x := {XL | XR}, y := {YL | YR} に対して、以下のように再帰的に定義される。
反数
集合 S の反数集合 −S を、その元の反数全体の成す集合 −S := {−s : x ∈ S} とすれば、与えられた超現実数の「形式」 x := {XL | XR} に対してその反数は 
 で与えられる。
この定義式の中には、x の左集合や右集合に現れる超現実「数」の反数も現れるが、これはそれら数の代表元となる形式を選んで形式に対する符号反転をとって得られた形式の属する同値類をとったものという意味である。ただし、この定義が意味を持つためには、結果として得られる数が被演算子となる形式のとりかたに依存しないことを示す必要がある。そのことは、XL, XR に現れる全ての数が、x が初めて現れるよりも前の世代において生じるものであるという事実を用いれば、その特別の場合として −0 = −{ | } := { | } = 0 は確定であることと合わせて帰納的に示される。
加法
同様に加法もまた 
 と帰納的に定義される。ただし、X + y := {x + y : x ∈ X} および x + Y := {x + y : y ∈ Y} は元と集合との和の集合である。 
この定義式には、もととなる被演算子の一方（これは数ではなく「形式」である）と、他方の左集合または右集合からとった超現実「数」との和が現れているが、これはその数に対してはそれを表す形式を一つ選んで形式の間での和を計算し、その結果得られる形式の属する同値類をとった超現実数を意味するものと理解する。これもやはり、結果として得られる数が被演算子となる数を表す形式の選び方に依存しない場合にのみ矛盾なく定義可能となるが、これはその特別の場合である 0 + 0 = { | } + { | } := { | } = 0 および 
 が成り立つことから帰納的に示せる（後ろ二つの式それ自体も帰納的に証明されるものであることに注意する）。
除法
除法は、逆数（乗法逆元）をとり、それを掛ける操作 ˣ⁄y := x⋅(¹⁄y) に分けてしまえば、正の y に対する反転を 
 と帰納的に定義することに帰着される。この式において、上付きの yᴸ は左集合 yL において正の値のみ残して、非正の値は捨てたものであることを意味するものとする（yᴿ は（右集合 yR の各項は常に正だからそのままでもよいが）左集合の記法と合わせて上付きになっているだけである）。
さてこの定義式は、y の左集合および右集合から取った数で割り算するという意味で再帰的であるばかりでなく、¹⁄y それ自身の左集合および右集合の元をとらないといけないという意味でも再帰的になっていることに注意する。
0 は ¹⁄y の左集合に常に入っているから、それを使って（左集合や右集合に入る）ほかの項を再帰的に順番に求めていくことは可能である。例えば y := 3 = {2 | } の場合を考えるならば、¹⁄₃ の左の項に 0 があることは、定義式の右項にある ⁄yᴸ に (¹⁄y)ᴸ から 0, yL から 2 を取ってきて代入した (1 + (2 − 3)⋅0)/2 = ¹⁄₂ が ¹⁄y の右集合に入ることを意味する。この 1/2 の存在を利用して今度は、定義式の左項の ⁄yᴸ を見れば、(1 + (2 − 3)⋅(1/2))/2 = ¹⁄₄ が ¹⁄y の左集合に入ることが分かる。これをさらに利用すれば、(1 + (2 − 3)⋅(1/4))/2 = ³⁄₈ は右集合の項であるとわかり、というように以下これを続ければ、
 を得る。
負の y に対する ¹⁄y は、¹⁄y := −¹⁄(−y₎ で与えられる。y = 0 ならば ¹⁄y は定義されない (undefined)。
算術で閉じていること
各自然数（有限順序数）n に対し、Sₙ において生成されたすべての数が二進分数（すなわち、既約分数に書いたとき適当な整数 a, b (0 ≤ b < n) を用いて ᵃ⁄₂ᵇ の形に書ける有理数）である。
有限な n に対する適当な Sₙ において生成される超現実数全体の成す集合を  と書くことにする。三種類の異なる形、   に分類すれば、S∗ はこれらの合併である。個々の Sₙ は（S₀ 以外は）加法および乗法について閉じていないが、S∗ は閉じている（これは二進分数全体の成す有理数体の部分環である）。
適当な無限順序数 β が存在して、誕生日が β より小さい超現実数全体の成す集合が別の算術演算で閉じているようにすることができる。任意の順序数 α に対し、誕生日が β := ωα（ω の冪節を参照）より小さい超現実数全体の成す集合は加法のもとで閉じていて、群を成す。ωωα より小さい誕生日に対しては、乗法のついても閉じており、環を成す。また誕生日が（順序）イプシロン数 εα より小さいとすれば乗法逆元をとる操作でも閉じていて、体を成す。この最後の集合は Kruskal および Gonshor によって定義された指数函数のもとでも閉じている。
しかし、与えられた集合の任意の元より大きな超現実数を構成することは（構成子の左集合にその集合を含めることにより）常に可能であり、したがって超現実数全てからなる集まりは真のクラスとなる。このクラスは（それが集合でないという但し書きの上で）その大小比較を定める順序関係とこれら算術の四則に関して順序体を成す。実はこれは、最も大きな順序体という非常に特別なものになっている（ほかの任意の順序体は、超現実数体に演算と順序まで込めて埋め込める）。超現実数全体の成すクラスは 𝐍𝐨 で表される。
無限大
前掲の S∗ の任意の部分集合から構成規則によって生成される超現実数全体の成す集合を Sω とする（順序数 ω は任意の自然数より大きい最小の順序数であるから、帰納ステップは前と同じ形に書けるが、そこに現れる合併集合は有限集合の無限合併が許されることになるので、そのような合併操作が展開できる集合論をとらなければならないことに注意する）。Sω は無限に大きい超現実数 
 をただ一つだけ含む。また、Sω は（二進とは限らない任意の）有理数に同一視することのできる対象を含んでいる。例えば、分数 1/3 の ω-完全 (ω-complete) な形式は  で与えられる。1/3 の代表元をこの形式とし、3 を表す任意の形式との積をとった形式は、その左集合に 1 より小さい数のみ属し、その右集合に 1 より大きい数のみが属するから、誕生日性質によりこの積は 1 を表す形式であることが従う。それ以外のすべての有理数が Sω において生じるが、それだけではなく有理数でない任意の有限実数もまた同様に生じる。例えば 
 である。
Sω に属する無限大超現実数は ω および −ω だけだが、Sω には任意の実数の間にもほかの種類の非実数が存在している。Sω における最小の正の数は 
 によって考えることができる。これは 0 より大きいが、任意の正の二進分数よりも小さいことを意味する数であるから、これは無限小超現実数である（無限小はよく ε と書かれる）。ε (resp. −ε) の ω-完全形式は、0 を表す ω-完全形式の左集合 (resp. 右集合) に 0 を含めることで得られる。Sω に属する「純」無限小は ε およびその反数である −ε だけである。それらと任意の二進分数 y を加えて得られる超現実数 y ± ε もまた Sω に入る。
この ω と ε の間の関係を、それらを表す特定の形式を掛け合わせた 
 から決定できる。ただし、この式は Sω² までの超限帰納法が意味を為す集合論でないときちんと定義できないことに注意すべきであるが、そのような系の中では、ω⋅ε の左集合の元の全体が正の無限小であること、および右集合の元の全体が正の無限大であることが示され、したがって ω⋅ε は最も古い（つまり、最も誕生日の小さい）正の有限数、すなわち 1 に等しい。ゆえに 
 が帰結される。文献によっては、本項では ε と書いたものを表す記号として、体系的に ω⁻¹ を使っているものもある。
超限帰納法
Sω を超えて超限帰納法を適用することを続ければ、より大きな順序数 α が α を誕生日とする最大の超現実数を表すものとして取り出せる（これは本質的に、超限帰納法から得られる順序数の定義である）。そのような順序数の最初のものは ω + 1 := {ω | } である。第 (ω + 1)-世代における正の無限大超現実数は他にも ω − 1 := {1, 2, 3, 4, … | ω} がある。この w − 1 が順序数でないことを見るのは重要である—順序数 ω はどのような順序数の後継にもならない。これは誕生日 ω + 1 の超現実数であって、これを ω − 1 とラベル付けるのはそれが ω = {1, 2, 3, 4, … | } と −1 = { | 0} との和に一致することに基づく。同様に、第 (ω + 1)-世代に属する二つの無限小超現実数 2ε := ε + ε = {ε | 1 + ε, ½ + ε, ¼ + ε, ¹⁄₈ + ε, …} および ε/2 := ε⋅½ = {0 | ε} が新たに生じる。
超限帰納法も後のほうの段階では、任意の自然数 k に対する ω + k よりも大きな超現実数 2ω := ω + ω = {ω + 1, ω + 2, ω + 3, ω + 4, … | } が存在する。この数に ω + ω と付けることの正当性は、その誕生日が ω + ω（つまり、ω から後継をとる操作によって到達できない最小の順序数）であることと、超現実数としての ω と ω の超現実数の和に一致することの両方の理由からくる。これをまた 2ω と書くことも、それが超現実数 ω = {1, 2, 3, 4, … | } と 2 = {1 | } との超現実数の積に一致することで正当化できる。これは二番目の極限順序数になる（ω から構成ステップを通じてこれに到達するには  上の超限帰納法が必要になる）。これには無限集合の無限合併が、ここまでに用いてきた超限帰納法で必要とされた集合演算「よりも強い」演算として、含まれることになる。
順序数に対する従来の加法および乗法はそれらを超現実数として表したときの超現実数としての演算とは必ずしも一致しないことに注意すべきである。順序数の和としての 1 + ω は ω に等しいが、超現実数の和は可換であり 1 + ω = ω + 1 > ω が成り立つ。順序数の付随する超現実数の加法および乗法は、順序数の演算としては自然和および自然積に一致する。
2ω が任意の自然数 n に対する ω + n よりも大きいことと同じく、超現実数 ω/2 は無限大超現実数だが、任意の自然数 n に対する ω − n より小さい。つまり、ω/2 は ω/2 := {S∗ | ω − S∗} によっても定義できる。ただし、右辺の記法 x − Y（x は数で、Y は集合）は {x − y : y ∈ Y} の意味で用いた。これは ω と ½ を表す形式 {0 | 1} との積と同一視できる。ω/2 の誕生日は極限順序数 ω2 である。
間隙と連続性
実数全体の成す集合の場合と対照的に、超現実数からなる（真）部分集合は（それが極大元あるいは極小元を持つのでない限り）上限あるいは下限を持たない。Conway (1976) は間隙 (gap) を {L | R} (L < R, L ∪ R = 𝐍𝐨) で定義する（この場合、L, R のどちらかは真のクラスにならないといけないから、これは超現実数を定めるものではないことに注意する）。この間隙はデデキントの切断に似ていて、とはいえ全く同じものと考えるわけにはいかないのだけれども、それでもなお超現実数体の自然な順序に関する完備化 𝐍𝐨𝕯 について考えることができ、これは（真クラスサイズを持つ）線型連続体になる。
実例として、最小の無限大超現実数は存在しないが、間隙 ∞ := {x: ∃n ∈ ℕ[x < n] | x: ∀n ∈ ℕ[x > n]} は任意の実数より大きく、任意の正の無限大超現実数より小さい。だからこれは、実数全体の成す集合の 𝐍𝐨𝕯 における上限である。同様に、間隙 𝐎𝐧 := {𝐍𝐨 | } は任意の超現実数よりも大きい（𝐎𝐧 は順序数全体の成すクラスの名前でもあるが、𝐎𝐧 は 𝐍𝐨 において共終であるから、𝐎𝐧 := {𝐎𝐧 | } もそうで、これは順序数 α が α より小さい順序数全体の成す集合と同値であるという事実を拡張するものである）。
ちょっとした集合論的注意を加えて、𝐍𝐨 にはその開集合全体の（真の集合で添字付けられた）合併が開区間となるような位相をいれることができ、その位相に関する連続函数を定義することができる。コーシー列の同値性も（コーシー列が順序数全体の成すクラスによって添字付けられる必要があるけれども）定義できる。これらコーシー列は常に収束するけれども、その極限は超現実数かもしれないし ∑
α∈𝐍𝐨rα⋅ωᵃα（ただし aα は単調減少で 𝐍𝐨 において下限を持たない）で表される間隙となるかもしれない（そのような間隙はコーシー列自身として理解することができるが、上で見た ∞ や 𝐎𝐧 のようなコーシー列の極限とは別の種類の間隙も存在する）。
指数函数
Kruskal の未出版の研究に基づき、（超限帰納法による）構成で、（e を底とする）実変数の指数函数 exp(x) の超現実数を引数とする拡張が Gonshor (1986) によって与えられた。
個別の冪
上で述べたω の冪もある種の指数函数と思えるが、実数体上定義された指数函数の延長として望ましい性質を持つものではない。しかしこれも e を底とする指数函数を作るうえで必要であり、以下 ωˣ と書いたときには、この指数函数を意味するものとする。
y が二進分数であるとき、x ∈ 𝐍𝐨 を変数とする冪函数 x ↦ xʸ は、それぞれが帰納的に定義できる乗法・乗法逆元・平方根を使って、それらの合成によって得られる。この函数の値は、基本関係式 xʸ⁺ᶻ = xʸ⋅xᶻ から完全に決定され、ただしそれは存在できるほかの任意の冪と必然的に一致するように定められる。
基本帰納法
超現実数変数の指数函数を定めるための帰納ステップは、実指数函数の場合の級数展開 exp(x) = ∑
n≥0ˣⁿ⁄ₙ! に基づく。より具体的には、展開を途中で切った部分和が（基本的な代数学的操作のみで）残りの項の和よりも小さい正の値となることが示せる事実を利用する。正の x については [x]ₙ と書いて全ての部分和を含める。x が負の有限値のときは [x]₂ₙ₊₁ が初期値を実数成分が正の級数（常に存在する）としたときの奇数番目の部分和を表すものとする。負の無限大 x については、奇数番目の部分和だけ見れば狭義単調減少で [x]₂ₙ₊₁ は空集合となるが、これはこの帰納法においてこれらの元が必要ないということに対応するので問題ない。
利用する関係式は、x < y なる実数に対して exp(x)⋅[y − x]ₙ < exp(y) および exp(y)⋅[x − y]₂ₙ₊₁ < exp(x) が成り立つこと、またこれは 
 なる定義のもとで超現実数を引数とするものへ延長することができる。これは任意の超現実数引数に対して矛盾なく定義される（つまり、この右辺の値は超現実数として存在して、その値は zL, zR の選び方に依らない）。
一般の冪
一般の冪は xʸ := exp(y⋅log x) として定義することができ、2ω = exp(ω⋅log(2)) = ω のような式の解釈が与えられる。この場合でもやはり（特に ω を底とするときには）この定義と「ω の冪」として与えられるものとは絶対に区別をつけるべきものである。
超現複素数
超現複素数 (surcomplex number) は、二つの超現実数 a, b に対して a + bi（i は虚数単位）の形をした数を言う。超現実数の全体は（それが真のクラスとなることを除いて）代数閉体を成す。それは有理数体に代数独立な超越元の成す適当な真クラスを添加して生成される体の代数閉包に同型である。この事実は、任意に固定した集合論の中で、体の同型を除いて超現複素数を特徴付けるものである。
別の実現法について
surreal number という名称は Conway (1972) が初めて用いたものだが、それ以前あるいは以後にもいくつか異なる構成法が生み出されている。
コンウェイの実現との対応
コンウェイの実現を符号展開へ写す写像は f({L | R}) := σ(M, S) で与えられる。ただし、M := {f(x) : x ∈ L},  S := {f(x) : x ∈ R} とする。
その逆写像として、符号展開による実現をコンウェイの実現へ写すには g(x) := {L | R} を L := {g(y) : y ∈ L(x)}, R := {g(y) : y ∈ R(x)} と与えればよい。
単純さの階層
超現実数を、単純さ (simplicity) を先祖 (ancestor) のラベルに持つ極大二分擬木 (pseudo-tree) およびその順序関係によって構成する方法は Philip Ehrlich (2012) による。通常の木の定義と異なるのは、各頂点の先祖は整列集合を成すが、極大元（直前の先祖）は持たないかもしれないことである。すなわち、先祖集合の順序型は自然数だけではなく一般順序数となりうる。この構成もまたアリングの公理系を満足し、符号列表現に容易に引き写せる。
ハーン級数
Alling (1987) もまた超現実数体が実係数ハーン級数体（各級数の和の値は超現実数として解釈する）に順序体として同型となることを証明した（この級数表現は、上述した超現実数の標準形に対応するものである）。これにより、超現実数をより従来的な順序体論的アプローチに結び付けることができる。
この同型により超現実数が写された先の体は、コンウェイ標準形における最高次項の冪指数の加法逆元を付値とする付値体である（例えば ν(ω) = −1）。したがって、この体の付値環は有限超現実数（実数または実数に無限小成分を加えたもの）すべてからなる。ここで付値として冪指数の符号を反転させるのは、コンウェイ標準形における冪指数が逆整列集合を成していることと、それに対しハーン級数が値群における（正順の）整列部分集合によって定式化されていることによるものである。
超実数との関係
Philip Ehrlich (2012) はコンウェイの極大超現実数体とNBGにおける極大超実体との間に同型を構成した。