公開鍵暗号
歴史
1960年代、イギリスの政府通信本部 (GCHQ) に所属するジェイムズ・エリスが公開鍵暗号（非秘密暗号）を考案し提案は受諾された。しかし理論的には有用性が認められたが、一方向性関数が見つけられずこのアイデアは実用化されなかった。1973年、同機関に入所したクリフォード・コックスがこのアイデアに取り組み「作用は可能だが、逆転させられない関数」から素数と素因数分解を基に30分程度で数式を組み立て、さらにマルコム・ウィリアムソンが鍵配送問題に解決の糸口を見つけ、今日の"RSA"と呼ばれる暗号システムの基礎を確立した。同時期に、彼らとは無関係な米国のアマチュア数学者、ウィットフィールド・デフィーが独学で公開鍵暗号開発に取り組んでいた。1976年に、ラルフ・マークルの研究の影響を受けたデフィーとマーティン・ヘルマンが公開鍵暗号に関する世界最初の論文「New Directions in Cryptography」を発表した。
公開鍵暗号という新規な発明は、本来、エリス＝コックス＝ウィリアムソン組が先であったが、論文にして公表し、その有用性を広く伝えたのは、デフィー＝ヘルマン＝マークル組となったため、本発明の特許権と栄誉は彼らが得た。先に考案していたエリス＝コックス＝ウィリアムソン組は、英軍の管理下であったGCHQが国家機密となっていたために、後発組が公開鍵暗号の論文を発表しても、契約により口外できなかった。後年、公開鍵暗号が広く普及したことで本暗号に関する機密扱いが解除され、エリス＝コックス＝ウィリアムソン組の功績が世に知られることになった。デフィーの「先に開発していたのは本当ですか？」との問いに、エリスは「我々より、君達の方がより多くの事をやっている」と答えている。
公開鍵暗号の概念を実現する具体的な方式は、MITの研究者であったロナルド・リベスト、アディ・シャミア、レオナルド・エーデルマンの3人が1977年に開発した。この方式は、開発者各人の頭文字を取って「RSA方式」と呼ばれるようになった。1982年、彼らはカリフォリニア州レッドウッド市にデータセキュリティ専門の会社「RSAデータセキュリティ社」を設立した。
1990年代初頭、フィル・ジマーマンがパーソナル・コンピュータに搭載可能な"PGP"(Pretty Good Privacy)を開発し公開した。このプログラム"PGP"が全世界に普及したことで、誰でも公開鍵暗号が使用できるようになった。
公開鍵暗号は、1980年ごろには「公衆暗号 (public cryptography)」とも呼ばれていた。用語「公衆暗号系 (public cryptosystem)」も使われていたが、DES のような公衆が用いる共通鍵暗号を含むかどうかが紛らわしかったので、これらの用語はすぐに使われなくなった。
モデル
公開鍵暗号方式には、鍵生成アルゴリズム、暗号化アルゴリズム、復号アルゴリズムの3つのアルゴリズムがある。
鍵生成アルゴリズムは事前準備にあたるアルゴリズムで、（将来暗号文を受け取りたいと思う）全てのユーザは事前に鍵生成アルゴリズムを実行しておく必要がある。ユーザが鍵生成アルゴリズムを実行すると、アルゴリズムはそのユーザの公開鍵および秘密鍵（と呼ばれるデータ）を出力する。公開鍵は暗号文を作成するのに使い、秘密鍵はその暗号文からメッセージを復元するのに使う。
ユーザは鍵生成アルゴリズムを実行する際、セキュリティ・パラメータという値をこのアルゴリズムに入力する。セキュリティ・パラメータは、秘密鍵なしで暗号文の解読がどれだけ困難かの尺度である。
さらに鍵生成アルゴリズムには乱数も入力される。鍵生成アルゴリズムは実行ごとに異なる乱数を選ぶので、ユーザ毎に異なる公開鍵・秘密鍵ペアが割りふられる。
各ユーザは秘密鍵を秘密裏に保管し、公開鍵を皆に公開する。よってユーザの秘密鍵を知っているのはそのユーザ自身だけであるが、それに対しユーザの公開鍵を知っているのは全てのユーザである。
公開鍵、秘密鍵をそれぞれ暗号化鍵、復号鍵ともいう。
暗号文を送るには、送りたいメッセージと、そのメッセージの送信先（受信者）の公開鍵を、入力として暗号化アルゴリズムを実行する（公開鍵は公開情報なので、暗号文の送信者は受信者の公開鍵を手に入れる事ができる）。
それに対し、受信者は復号アルゴリズムに自分の秘密鍵と暗号文を入力して、もとのメッセージを復元する。
復号アルゴリズムでもとのメッセージを復元することを、復号（ふくごう、decryption）と呼ぶ。それに対し、悪意のあるユーザ（攻撃者）が、復号アルゴリズムに（必ずしも）頼らず無理矢理メッセージを復元しようとする試みを解読 (cryptanalysis) と呼ぶ。
公開鍵は公開情報であり、それに対応する秘密鍵は受信者本人しか知らない。よって公開されている公開鍵を使えば誰でも暗号文を作成できるが、それに対しその暗号文を復号できるのは受信者本人のみである。
要件
公開鍵暗号方式は2つの要件、正当性と秘匿性とを満たさねばならない。
直観的な定義
、 を攻撃者が指定した2つのメッセージとし、 を  もしくは を暗号化した暗号文とする。
このとき、攻撃者は  が 、 のいずれを暗号化したものであるかを（1/2よりも有意な確率で）知る事はできない。
直観的定義
暗号文を知っていることは、平文を知る上で何の役にもたたない。すなわち、暗号文を知っている状況で攻撃者が知ることができる平文についての部分情報は、暗号文を知らなくても攻撃者が知ることができる情報のみである。
RSA暗号
公開鍵暗号にはさまざまな方式がある。ここでは典型的な公開鍵暗号方式であるRSA暗号方式を説明する。
この方式の安全性は素因数分解の困難性に基づいている。詳しくは、RSA暗号を参照。
大きな素数 p, q が与えられたとき、その積 n = pq を計算することは容易である。しかし逆に、2つの大きな素数の積であるような自然数 n が与えられたとき、n = pq と素因数分解することは難しい。例えばn=21のときp=7,q=3を求めるのは容易だが、鍵の大きさ（すなわちp, q のビット数）が十分に大きければ、素因数分解にはとてつもない時間が掛かる。
暗号化には n を、復号には p と q を必要とするようなうまい仕組みを作っておく。そして、n を公開鍵として公開する。傍受者は n から p,q を割り出そうとするが、これは時間が掛かりすぎて現実的でない。
もちろん、根気強く分解を試みればいつかは復号に成功するわけである。しかし、一般市民の個人的な通信程度であれば、解読に数年を要する規模の暗号化を施しておけば、それ以上の手間暇を掛けて解読しようとする者はまずいない。これは、事実上秘密が守られていると言える。
軍事用暗号の場合、専用のコンピュータで専門のプログラムを走らせても解読には数億年～数兆年を要するように設計されている。これは、事実上解読不可能と言ってよい。
実際の使われ方
一般的に、公開鍵暗号は共通鍵暗号よりも暗号化、復号に時間がかかる。そのため、実際の運用では、データの暗号化には「その場限りの共通鍵」を使用し、その共通鍵の配送のみを公開鍵暗号で行う方式がとられることが多い。
また、公開鍵暗号はデジタル署名のために利用されることも多い。署名のような認証機能を提供できることが公開鍵暗号の最大の特長であるとも言える。
公開鍵暗号を初めて実現したのがRSA暗号である。デジタル署名も可能な方式であったことから、RSA暗号は公開鍵暗号として、実際に広く利用されることとなった。