関根潤三
アマチュア時代
藤田省三が監督を務める旧制日大三中へ進学したものの、入学初年度は小柄だったため、練習に参加させてもらえなかった。2年生に進級後ようやく参加できたが、それでも外野の球拾いだった。やがて、兼務していた法政大野球部に掛かり切りと成った藤田が去り、後任監督から2塁手として抜擢されたのが転機となり、試合に出場できるように成った。しかし左利きの2塁手が2塁のベースカバーで併殺を完成させるのは難があったが、それでも関根は3度成功させた記憶がある、と『さらば、愛しきプロ野球…。』の中で語っている。また投手に抜擢されたのも、この旧制中学時代の頃であったが、杉下茂が居た旧制帝京商などに阻まれ、甲子園への出場は叶わなかった。その後は法政大学経済学部に進み、藤田が監督を務めるチームで4年間にわたりエース（4年生春に主将）として活躍した。3年生秋（1948年）にチームを戦後初のリーグ優勝に導き、翌4年生秋には戦後初・史上2人目の通算40勝を記録した。大学通算79試合登板、41勝30敗。毎試合のように先発し、当然のように1試合を投げきった。エースの連投が当たり前だった当時の東京六大学ではあったが、通算658イニング、シーズン投球回数133回2/3（1949年秋季）、勝敗通算71（若林忠志と同数）という記録を残した。1949年秋には来日したサンフランシスコ・シールズ相手に好投した。急遽子供たちだけを招待する「オドールデー」として組まれた六大学選抜軍との試合に、法政は明治との秋のリーグ戦優勝争いの渦中にあったが、エースの関根が先発登板することとなった。このためか、翌々日の明大戦にチームは敗れ、優勝を逃した。打者としても93試合に出場し350打数93安打、打率.266、0本塁打、38打点を記録した。
プロ入り後
当初はプロ入りを望んでいた訳ではなく、社会人野球・八幡製鐵所（後の新日本製鐵八幡硬式野球部）に就職が内定していたが、恩師の藤田省三が近鉄の監督に就任した事もあって、1950年に近鉄パールスに入団。1951年と1953年には開幕投手を務める（51年開幕戦では法大の先輩でもある同僚森下重好外野手が3打席連続本塁打で援護射撃する）など万年最下位の近鉄でエースとして活躍するが、プロ入団初年の開幕2戦目にして、肩を壊していたと言う。それ以降は、本当の球の力が戻らなかったと述べている。「カーブやフォークは遊びであり、ピッチャーでまっすぐが通用しなくなったら終わりだ」との自論もあって、プロ8年の投手人生に見切りをつけ、打者に転向したと述べている。 始めは、旧制中学からのチームメイトであった捕手の根本陸夫に転向の意思を打ち明けた。関根の球威に限界を感じていたのか、根本からは反対されなかった。もともと野手顔負けの打撃力を備えていたこともあり、右翼手あたりを狙って正式に野手転向を申し入れたものの首脳陣からは「転向しても下位打線では困る」と難色を示された。そこで5番・右翼手としての3試合限定起用、クリーンナップとしての適性を試された。すると、その初戦から1本塁打を含む3安打、2戦目で2安打、3戦目でも3安打して見事に難題をクリア。こうして1957年からは小玉明利を核とする中軸打者の仲間入りし、そこでシュアな打棒を振るった。もっとも関根だけでなく小玉も長打力を持ち味としておらぬ中軸に代表される様に、打線全体としては他球団よりも爆発力で劣っており、後年「ピストル打線」とあだ名される所以でもあった。1965年に読売ジャイアンツへ移籍し、16年目38歳で初のリーグ優勝や（V9初年度の）1965年の日本シリーズ出場・制覇を経験し、同年に引退。若い選手からは「お父さん」と呼ばれていたという（監督の川上哲治以外はコーチも含めて全員年下だったため）。
投手・野手両方で実績を残した数少ない選手である。史上初めて、投手・野手の両方でオールスターに出場した。投手としてファン投票で1回。外野手としてファン投票で1回、監督推薦で3回出場（長らく「史上唯一」であったが大谷翔平が2013年に野手として、2014年に投手として選出され、出場し2人目となった。）。また、2リーグ制以後では唯一の防御率ベストテン入り、打率ベストテン入りの双方を達成。さらに、通算50勝、1000本安打の双方の達成は2リーグ制以後唯一であり、1リーグ時代を含めても他に中日などで活躍した西沢道夫しか達成していない記録である。
引退後
引退後はニッポン放送解説者（1966年 - 1969年）を経て、1970年、根本陸夫監督と広岡達朗一軍守備コーチの要請で広島東洋カープ一軍打撃コーチ（ヘッド格）に就任。山本浩二・衣笠祥雄・三村敏之・水谷実雄らを育て後の広島黄金時代の礎を築いた。1975年には現役時代から親交のあった監督の長嶋茂雄の要請で、巨人のヘッドコーチに就任、同年球団初の最下位に終わり、1976年は二軍監督に就任し、同年解任 。1981年オフ、長嶋の監督招聘を働きかけていた横浜大洋ホエールズに「長嶋監督が実現したら交代する」との条件で監督に就任。投手の遠藤一彦、野手の屋鋪要、高木豊らの若手育成に尽力した。1年目の1982年は辻恭彦・加藤俊夫・福嶋久晃のベテラン捕手3人体制を編み出し、2年目の1983年にはレオン・リーと加藤博一をトレードで獲得し、チームを4年ぶりのAクラス（3位）に導いたが、結局「大洋・長嶋監督」は実現することなく、1984年に辞任し、近藤貞雄に監督をバトンタッチ。近藤は屋鋪・加藤・高木を「スーパーカートリオ」として売りだした。その後はフジテレビ・ニッポン放送解説者を務めた後、1987年にヤクルトスワローズの監督として招かれる。ヤクルトでは大洋監督時代に一軍投手コーチだった小谷正勝を招聘、池山隆寛・広沢克己・栗山英樹・荒井幸雄・内藤尚行・伊東昭光（1988年4月8日東京ドーム初の公式戦でセーブ記録）・荒木大輔・秦真司・笘篠賢治らを起用し、後任の監督野村克也にわたり起用されるレギュラー選手として育てあげた。1989年限りで辞任し、小谷コーチも大洋へ戻った。
通算6シーズン経験した一軍監督時代は成績面では恵まれなかった。優勝はおろかAクラスにも一度（1983年の3位）しか手が届かなかったが、若手を積極的に実戦に投入した実績から人材育成の名手として評価された。関根自身も、藤田省三の勝負よりも育成に主眼を置いた指導に影響を受けたことを認めている。
1990年にフジテレビ・ニッポン放送解説者に復帰。解説者としては、結果論や当たり前のことしか言わない点を揶揄されることが多い。この点については、解説者を始めた時に詳細な技術論を展開したところ、兄から「解説がわかりづらい。専門的なことを長々と喋られても、視聴者に伝わりづらい」という指摘を受けたため、わかりやすくシンプルな解説を心がけるようにした、と著書で述べている。実況アナウンサーとの間（ま）を大事にしており、アナウンサーの実況を遮ってまで喋り続けることはほとんどない。また、実況アナウンサーが的外れな質問をすると、無視をして何も答えない。一見おだやかなイメージがあるが、話す内容は「ダメですね」「どうしようもない」など、かなり手厳しいコメントを連発する。また、2006年のとある試合では起爆剤の事を覚醒剤と関根自身が勘違いして何回も語ってしまい、波紋を呼んだことがある。（但し、本人も間違いには気付いたのだが、自身のプライドが高かった為に訂正できずにそのまま終わってしまったと語った。）
2011年現在、テレビ局・ラジオ局専属のプロ野球解説者の中ではTBSラジオの杉下茂に次いで高齢となっている。但し、地上波の中継に関して言えば2010年以降担当実績がない。