臨界点 (数学)
一変数関数の臨界点
実一変数の可微分関数 f(x) の臨界点 (critical point) あるいは停留点 (stationary point) とは，f の定義域の値 x₀ であって，その微分が 0 である f′(x₀) = 0 もののことである．臨界値 (critical value) は臨界点の f による像である．これらの概念は f のグラフによって可視化できる：臨界点ではグラフは水平な接線をもち，関数の微分は 0 である．
（曲線である）グラフに可視化するのは容易だが，関数の臨界点の概念は曲線のある方向での臨界点の概念と混同してはならない（詳細な定義は下記参照）．g(x, y) が2変数可微分関数のとき，g(x, y) = 0 は曲線の陰方程式である．そのような曲線の，y 軸に平行な射影（写像 (x, y) → x）に対する臨界点とは， なる曲線の点である．これは，曲線の接線は y 軸に平行であり，この点において g は x から y への陰関数を定義しないことを意味する（陰関数定理を参照）．(x₀, y₀) がそのような臨界点であれば，x₀ は対応する臨界値である．そのような臨界点は bifurcation point とも呼ばれる．一般に，x が変化するとき，x₀ の片側には曲線の2つの分岐がありもう一方にはないからである．
これらの定義から，関数 f(x) が臨界値 y₀ の臨界点 x₀ を持つことと，(x₀, y₀) がそのグラフの x 軸に平行な射影の同じ臨界値 y₀ の臨界点であることが同値であることが従う．
例えば，方程式 x² + y² − 1 = 0 の単位円の臨界点は y 軸に平行な射影に対して (0, 1) と (0, −1) であり，x 軸に平行な方向に対して (1, 0) と (−1, 0) である．円の上半分を関数  のグラフと考えると，x = 0 が唯一の臨界点であり，臨界値は 1 である．y 軸に平行な射影に対する円の臨界点は f の微分が定義されない点とちょうど対応する．
著者によっては関数 f の臨界点をグラフがいずれかの軸に平行な射影に対する臨界点をもつような x 値と定義する．上の円の上半分の例では，この拡大された定義での臨界点は −1, 0, 1 である．そのような定義は，関数のグラフの他の曲線の定義の前に臨界点が定義され，多変数の関数が考えられていない（拡大した定義はこの場合に拡張しない）とき，初歩的な教科書にのみ通常現れる．
臨界点の位置
ガウス・ルーカスの定理により，複素平面における多項式関数の臨界点はすべて関数の根の凸包内にある．したがって実根しかない多項式関数に対して，すべての臨界点は実であり，最大の根と最小の根の間にある．
Sendov の予想は，関数のすべての零点が複素平面の単位円板に入っていれば，任意の与えられた零点から単位距離内に少なくとも1つの臨界点があるという主張である．
判別式の使用
曲線 C が代数的であるとき，すなわち二変数多項式 f によって定義されているとき，判別式は臨界点の計算に有用な道具である．
ここで射影 πy のみを考える．x と y を交換することで πₓ に同様の結果が成り立つ．
Discy(f) を f を係数が x の多項式である y の多項式と見たときの判別式とする．したがってこの判別式は x の多項式でその根に沿って πy の臨界値を持つ．
より正確には，Discy(f) の単根は，対応する臨界点が特異でも変曲点でもない点であるような πy の臨界値であるか，あるいは y 軸に平行で「無限遠で」変曲点に接する漸近線 (inflexion asymptote) の x 座標である．
判別式の重根は，いくつかの臨界点か，同じ臨界値を共有する inflection asymptotes か，変曲点でもある臨界点か，特異点に対応する．
多変数
連続微分可能な実多変数関数に対して，点 P（入力変数の値の組，Rⁿ の点）が臨界点であるとは，関数の全ての偏微分が P において零であること，あるいは同じことであるが，その勾配が零であることをいう．臨界値は臨界点における関数の値である．
関数が滑らかあるいは少なくとも2回連続微分可能ならば，臨界点で極大値か極小値をとるか停留点である．二階微分のヘッセ行列の固有値を考えることで異なる場合を区別できる．
ヘッセ行列が非特異である臨界点は非退化といわれ，ヘッセ行列の固有値の符号が関数の局所的な振る舞いを決定する．一変数の関数の場合には，ヘッセ行列は単に 1 × 1 行列と見た二階微分であり，それが非特異であることと 0 でないことは同値である．この場合，非退化臨界点では，二階微分の正負に応じて極小または極大である．二階微分が零ならば，臨界点は一般に変曲点であるが，undulation point であるかもしれず，このとき極値を取る．
n 変数の関数に対して，臨界点におけるヘッセ行列の負の固有値の個数は臨界点の指数 (index) と呼ばれる．非退化臨界点で極大値をとることと指数が n であること，あるいはおなじことだがヘッセ行列が負定値であることは同値である．指数の他の値に対しては，非退化臨界点は鞍点である，つまりある方向には極大でありある方向には極小である．
最適化への応用
フェルマーの定理により，微分可能関数のすべての極値は臨界点において生じる．したがって，極値を求めるには，理論的には，勾配の零点とこれらの零点におけるヘッセ行列の固有値を計算すればよい．それには連立非線型方程式の解を求めなければならず，これは難しい仕事なので，実際にはうまくいかない．通常の数値アルゴリズムは極値点を見つけるのにはるかに効率的であるが，すべての極値点が見つかったことを保証できない．特に，大域最適化において，これらの手法は出力が本当に大域的最適解であることを保証できない．
最小化すべき関数が多変数多項式のとき，臨界点と臨界値は多項式方程式系の解であり，そのような系を解く現代アルゴリズムは大域的最小値を見つける競争的な保証された手法を与える．
可微分写像の臨界点
Rᵐ の開集合から Rⁿ への可微分写像 f が与えられたとき，f の臨界点とは Rᵐ の点であって f のヤコビ行列のランクが最大でない点のことである．f による臨界点の像は臨界値と呼ばれる．臨界値の集合の補集合の点は正則値と呼ばれる．サードの定理は滑らかな写像の臨界値の集合が測度 0 であるというものである．とくに，n = 1 ならば，各有界区間において臨界値は有限個である．
著者によってはわずかに異なる定義を与える：f の臨界点とは Rᵐ の点であって f のヤコビ行列のランクが n よりも小さい点のことである．この慣習では，m < n のときすべての点は臨界点である．
これらの定義は以下のように可微分多様体の間の可微分写像に拡張できる．f: M → N を m 次元多様体 N から n 次元多様体 N への可微分写像とする．M の点 p の近傍 V と f(p) の近傍 W において，チャートは微分同相 φ: V → Rᵐ, ψ: W → Rⁿ である．点 p が f の臨界点であるとは，φ(p) が  の臨界点であることをいう．この定義はチャートの取り方に依らない，なぜならば変換関数は微分同相だからそれらのヤコビ行列は可逆でありそれらを掛けることは  のヤコビ行列の階数を変えないからである．M が（有限次元とは限らない）ヒルベルト多様体で f が実数値関数のとき，p が f の臨界点とは f が p において沈め込みで"ない"ことをいう．
位相幾何学への応用
臨界点は多様体や実代数多様体のトポロジーの研究に対して基本的である．特に，それらはモース理論とカタストロフ理論の基本的な道具である．
臨界点とトポロジーとのつながりは抽象化のより低いレベルで既に現れる．例えば，V を Rⁿ の部分多様体とし，P を V の外の点とする．V の点と P との距離の平方は V の各連結成分が距離が最小になるような少なくとも1つの臨界点を含むような可微分写像である．したがって V の連結成分の個数は臨界点の個数によって上から抑えられる．
実代数多様体の場合には，この観察をベズーの定理とあわせて，多様体を定義する多項式の次数のある関数によって連結成分の個数をおさえることができる．