多変数の微分
ヤコビ行列の導入
が  において、 全てに対して偏微分可能であるとき、
　　　　(1-20)
を  の  におけるヤコビ行列という。
誤差項の導入
「誤差項」の導入を行う。
 と  に対し、 の  における誤差項（ランダウの記号） を
　　　　(2-13)
によって定める。
　　　　(2-14)
　　　　(2-15)
であることが分かる。
(2-14) は、以下の恒等式
　　　　(2-16)
の  に  を代入すれば直ちに得られる。
(2-16) の恒等式ことを、本記事では  の点  における一次展開ということにする。
(2-15) 式は、(2-2) 式に (2-13) 式を代入したに過ぎないが、 が一次の微小量であることを意味しており、思想的には重要である。
(2-16) 式と (2-13) 式を見比べると、ヤコビ行列は  の一次近似を表していると見ることができる。
つまり、点  の近傍で  は
　　　　(2-17)
とみなせることが分かる。
偏微分の「方向」に関する公式
式 (2-8) から、 が  で微分可能であるとき、 は  において  の任意のベクトル ,  と、任意の実数  に対して、
　　　　(3-1)
が成立することが分かる。実際 (2-8) および行列の積の線型性から、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3-2)
である。
また、(2-8) から、 が  で微分可能であるとき、 は  で  の任意のベクトル  に対して、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3-3)
が、成立することがわかる。式 (3-2), (3-3) は、ヤコビ行列の幾何学的な意味を表している。
アフィン写像の微分
次に、アフィン写像の微分について説明する。アフィン写像とは、適当な m×n 行列 A と、n 次元代数数ベクトル b を用いて
　　(3-4)
の形で具体的な数式として書ける、からへの写像のことである。(3-4)のアフィン写像は、任意の点（の点）で微分可能で、任意の点（の点）において、
　　(3-5)
である。逆に、任意の点において　　(3-5)を充たす写像があったとすれば、それはアフィン写像である。
合成写像の微分
次に、合成写像の微分について説明する。をの開集合とし、は、の値域を含む（つまり、、特にとする）とする。多変数ベクトル値関数　　　　(3-6)
は、で定義され、に値をとるとする。このとき、ととの合成写像は、で定義され、に値をとる多変数ベクトル値関数である。
が点で微分可能で、が、点で微分可能であるとき、もで微分可能で、
=　　　　(3-7)
ここで“”とは、行列としての積である。
■証明
を点で一次展開し、
を点で(2-16)同様に一次展開すると、
　　　　(3-8)
　　　　(3-9)
となるので、

　　　　(3-10)
である。従って
　　　　(3-11)
を示すを示せば終証である。
以下(3-11)を示す。

　　　　(3-12)
より、
　　　　(3-13)
一方、
=　　　　(3-14)
は、
　　　　(3-15)
の特殊なケースに過ぎないので、
　　　　(3-16)
さらに、
　　　　(3-17)
は有限の値であることから、
　　　　(3-18)
また、
　　　(3-19)
は、

　　　　(3-20)
であることと、線形写像の連続性から明らかである。
■
(3-7)を行列として具体的に表記すると
=(3-21)
となる。これから、
(3-22)
が分かる。
合成写像の偏微分
次に(3-7)の合成写像の微分法を用いて、(1-8)式の計算をさらにすすめる。(1-8)式のうち、本議論に用いるものを(3-23)にて再掲する。

　　　　　　(3-23)
(3-23)式の右辺に式(3-21)を適用すると、
　　　(3-24)
以上より、
　　　　　　(3-25)
逆写像の微分
次に、（弱いほうの）逆写像定理（逆関数定理）を示す。をの開集合とし、は、の値域を含む（つまり、、特にとする）とする。多変数ベクトル値関数
　(3-26)
は、で定義され、に値をとるとする。さらに、がの逆写像、つまり
　(3-27)
とする。このとき、
　(3-28)
が成立する。標語的にいえば、「逆写像のヤコビ行列は、元の写像の逆行列」である。
これは、(3-7)の特殊な例に過ぎない。
導関数の導入
これまでの議論では、一点を固定して、この点での微分可能性について議論してきた。本節では、領域全体での微分可能性について説明し、導関数を定義する。
を、の開集合とし、
　　　　(4-1)
を、上で定義され、に値を取る多変数ベクトル値関数とする。
を、の固定されたベクトルとする。（でもよい。）このとき、「がで、について偏微分可能である」とは内の全ての点において、(4-1)の意味でがについて偏微分可能であることを意味する。このとき「のについての偏導関数」とは、「の点とにおける偏微分商を対応させる多変数ベクトル値関数」のことである。つまり、
　　　　(4-2)
である。特に
　　　　(4-3)
とする。
「がで、微分可能である」とは、「内の全ての点において、(2-2)の意味でが微分可能」であることを意味する。
このとき「のにおける導関数」とは、「の点とにおける微分を対応させる行列値の関数」である。つまり、
　　　　(4-4)
である。のことをや、と書くこともある。
尚、「dfとヤコビ行列」で後述するように、は、文脈によっては、(4-4)と同じ意味で使われる場合がある。
また、(4-5)から、直ちに「がで、微分可能」ならば、「がで、任意のについて偏微分可能」である。しかし、この逆は成り立たない。つまり、「がで、任意のについて偏微分可能」であっても、「がで、微分可能」とは限らない。
「がで、連続微分可能である」とは、「がで、全てについて偏微分可能であり、かつについての偏導関数がすべてで、連続であること」を意味する。
一見、連続微分可能性は、全微分可能性よりも弱い性質のように見えるが、実は連続微分可能性のほうが強い条件である。つまり「がで、連続微分可能」ならば「がで、微分可能」であるものの、「がで、微分可能」であっても、「がで、連続微分可能」とは限らない。
但し、「がで微分可能であり、導関数がで、連続」ならば、「はで、連続微分可能」である。
全微分
に  座標系が定まっているとする。
式 (1-14) の  は全て  から  への線形写像であり、従って式 (3-5) と同様の方法で微分可能で、恒等的に
　　　　(5-1)
である。ここで  は転置を意味する。すなわち  とは、第 i 成分のみが 1 で、それ以外が 0 の 1 行 n 列の行列（横ベクトル）である。
式 (4-4) より  は、

　　　　(5-2)
で定まる行列値関数であるため、
　　　　(5-3)
であり、
　　　　(5-4)
がわかる。ここで、 を 、 を  と書くと、
　　　　(5-5)
となる。式 (5-5) において、変数を省略すると、
　　　　(5-6)
となる。
スカラーポテンシャルの定義
を、の開集合とし、
　　(6-1-1)
を、上で定義された1行n列の行列値関数とする。行列値関数とは、
各成分が関数である行列のことを意味する。
式(6-1-1)のに対し、
　　(6-1-2)
を充たす、一変数スカラー値関数を求める問題を考える。(6-1-2)の条件をみたす一変数スカラー値関数のことを、のスカラーポテンシャルという。
以下、1行n列の行列値関数があたえられたとき、のスカラーポテンシャルが存在する条件を調べ、スカラーポテンシャルの構成方法（所謂ポアンカレの補助定理）について述べる。
偏導関数に関する「微積分学の基本定理」
を、の開集合とし、を上で定義された多変数スカラー値関数とする。
を、内の点とする。（つまり、）を、のベクトルとする。（でもよい。）
このとき、
=　　(6-2-1)
が成立する。但し、を充たす全てのに対して、
　　(6-2-2)
が成り立っているものとする。
以下、(6-2-1)を示す。まず、
　　　　　　(6-2-3)
で、
　　　　　　(6-2-4)
である。但し、は、(1-9)同様、
　　(6-2-5)
である。
(6-2-4)の右辺を、を、sについて(一変数関数の意味で)積分すると、
=
　　(6-2-5)
従って、(6-2-1)が分かる。
ポアンカレの補助定理の準備
(6-1-1)のに対し、作用積分を定義する。
　　(6-3-1)
をの点とする。また、を、の開集合とし、さらにがを中心に星型とする。
がを中心に星型とは、任意のの点と、任意のに対し、
　　(6-3-2)
であることを意味する。
は固定されているものとする。また、
　　(6-3-3)
も固定されていると考える。
式(6-1-1)の、上で定義された1行n列の行列値関数に対し、を
=　　(6-3-4)
と定義する。(6-3-4)の右辺の被積分関数
　　(6-3-5)
は、についての一変数スカラー値関数である。そして、右辺の積分は、(6-3-5)の「sについての一変数スカラー値関数」を(一変数関数の意味で)定積分したものである。また、　を、点と、
実数を対応させる多変数スカラー値関数
　　(6-3-6)
とする。以降、点は、変数とみなす。