ランダム
歴史
古代の歴史において、偶然性とランダム性の概念は運命の概念と絡み合っていた。古代、多くの人々は運命を決定するためにサイコロを投げたが、これは後に偶然性を利用したゲームに発展した。古代のほとんどの文化では、ランダム性と運命を回避するために様々な方法の占いを行っていた。
3000年前の中国人は、おそらく、確率や偶然性を形式化した最も初期の人々だった。ギリシャの哲学者は、長さのランダム性について議論したが、非定量的な形でしかできなかった。16世紀になってイタリアの数学者たちは、様々な偶然性を利用したのゲームに関連する確率を公式化し始めた。微積分の発明は、ランダム性の形式化の研究に良い影響を与えた。ジョン・ベンは著書 "The Logic of Chance" の1888年版で、乱数の概念についての章を書いた。その章には、2次元のランダムウォークを構築するのに円周率の数字のランダム性を使うことも含まれていた。
20世紀初頭、確率の数学的基盤への様々なアプローチが導入されたことにより、ランダム性の形式的分析が急速に拡大した。20世紀半ばから後半にかけて、アルゴリズム情報理論のアイデアは、アルゴリズム的ランダム性という概念を介して、この分野に新しい次元をもたらした。
何世紀にもわたって、ランダム性は邪魔なもの・有害なものと見なされてきたが、20世紀にコンピュータ科学者は、ランダム性を意図的に計算に導入することが、より良いアルゴリズムを設計するための効果的なツールになることを認識し始めた。このようなランダム化されたアルゴリズムは、最良の決定論的手法よりも優れている場合もある。
物理学
19世紀、科学者は、熱力学の現象や気体の性質を説明するための統計力学の発展に、分子のランダムな動きの概念を用いた。
量子力学のいくつかの標準解釈によれば、微視的現象は客観的にランダムである。つまり、実験において、因果関係のある全てのパラメータを制御したとしても、結果のいくつかの側面は依然としてランダムに変化する。例えば、制御された環境に単一の不安定な原子が置かれている場合、原子が減衰するのにどれくらいの時間がかかるかを予測することはできない。従って、量子力学では個々の実験の結果を特定するのではなく、確率のみを指定する。隠れた変数理論は、性質が既約のランダム性を含んでいるという見解を拒絶する。この理論では、無作為に見える過程において、ある統計的分布を有する特性が裏で働いて、それぞれの場合に結果を決定すると仮定する。
物性物理学では、“ランダムな系”と言うと、“乱れた系”という意味合いがある。ランダムな系としては、長距離秩序のないガラスやアモルファスがある（←短距離秩序はあるので、その意味では完全なランダムではない）。
生物学
現代進化論では、観察される生物の多様性は、ランダムな突然変異とそれに続く自然選択に帰する。後者は、突然変異した遺伝子がそれを有する個体に与える生存と再生のための系統的に改善された機会のために、遺伝子プールにいくつかのランダムな変異を保持する。
何人か著者はまた、進化と発達には特定の形のランダム性、すなわち質的に新しい行動の出現を必要とすると主張する。いくつかの予め与えられたものからの可能性の選択の代わりに、このランダム性は新しい可能性の形成に対応する。
生物の特性は、決定論的に（例えば、遺伝子および環境の影響下で）、そしてある程度ランダムに生じる。例えば、人の皮膚に現れるそばかすの密度は、遺伝子や光の暴露によって決まるが、個々のそばかすの正確な位置はランダムに見える。
行動に関しては、動物が他者に予測不可能なやり方で行動するために、ランダム性が重要となる。例えば、飛行中の昆虫は方向がランダムに変化する傾向があり、捕食者が軌道を予測するのを困難にする。
数学
確率の数学的理論は、偶然性のある事象の数学的記述を形式化するために生まれた。元々はギャンブルのためであったが、後に物理学と関連づけられた。統計は、経験的な観測の集合の基礎となる確率分布を推測するために使用される。シミュレーションの目的のためには、必要に応じて乱数やそれを生成する手段が必要となる。
アルゴリズム情報理論は、他のトピックの中で、何がランダム系列を構成するかを研究する。基本的な考え方は、あるビット列が、そのビット列を生成できるコンピュータプログラムよりも短い時かつその時に限り、そのビット列がランダムであるということである（コルモゴロフランダム性）。これは、ランダムなビット列は圧縮することができないということを意味する。この分野のパイオニアとしては、アンドレイ・コルモゴロフとその学生であるペール・マルティン＝レーフ、レイ・ソロモノフ、グレゴリー・チャイティンらがいる。無限列の概念については、通常、マルティン＝レーフの定義を使用する。つまり、無限列は、それが全ての再帰的に列挙可能なヌル集合に耐える時かつその時に限り、ランダムである。ランダム系列の他の概念には、再帰的ランダム性およびシュノアランダム性がある（ただしこれに限定されない）。これらは、再帰的に計算可能なマルチンゲールに基づく。これらのランダム性の概念は一般に異なっていることが宋詠璿によって示された。
ランダム性は、log(2)や円周率（π）などの数値で発生する。πの小数部は無限の数列を構成し、循環的に繰り返されることはない。πなどの数字は正規数であると考えられている。これは、数字が統計的意味でランダムであることを意味する。

πは確かにこのように振る舞うようである。πの小数点以下の最初の60億桁では、0から9までの数字がそれぞれ約6億回現れる。しかし、このような結果はおそらく偶発的なものであっても、基数10であっても、他の数の基底での正規性がはるかに低いことを証明していない。
統計学
統計学では、無秩序標本を作成するために一般にランダム性が使用される。これにより、完全にランダムなグループのアンケートで現実的なデータを提供することができる。これを行う一般的な方法には、くじを引く、乱数表を使用するなどがある。乱数表は、乱数の大きな表である。
情報科学
情報科学では、無関係な、または無意味なデータはノイズとみなされる。ノイズは、統計的にランダム化された時間分布を伴う多数の一時的な外乱から構成される。
通信理論では、信号のランダム性は「ノイズ」と呼ばれ、信号源に起因する変動の成分である「信号」に相対している。
経済学
ランダムウォーク仮説では、組織された市場における資産価格は、変化の期待値はゼロであるが実際の価値は正または負となる可能性があるという意味で、ランダムに変動すると考える。より一般的には、資産価格は、一般的な経済環境における様々な予期せぬ出来事の影響を受ける。
日本工業規格
日本工業規格では、「集会の要素をランダムな順序に並べる過程。母集団が1からnの自然数から成るとき，n!通りの順序が等しい確率で選ばれるとき，その選ばれた順序はランダムな順序とよばれる。」とランダム化を定義している。
政治
選挙の投票結果が引き分けになった場合に、当選者を決定するための公平な方法として、くじ引きなどのランダム選択が行われることがある。
政治でのランダム性の使用は非常に古い。古代のアテネでは、公職者は希望する市民の中からくじ引きで選出されたため、投票は行われなかった。
日本では室町幕府６代将軍・足利義教がくじ引きによって選出された例として知られる。
ランダム性と宗教
過去と未来の全ての出来事を知っている全能の神によって宇宙が創造されたというような、いくつかの宗教における決定論的な考え方と、ランダム性は矛盾するとみなすことができる。宇宙が目的を持っているとするなら、偶然性は不可能であるとみなすことができる。これは、無作為な突然変異の結果であるという、進化に対する宗教的反対の根拠の一つである。
ヒンズー教と仏教の哲学は、業や因果という概念に反映されているように、いかなる出来事もそれ以前の出来事の結果であるとしており、偶然性のある出来事や、最初の出来事というものは存在しない。
いくつかの宗教では、乱数器として認識される手続きが占いに使用される。おみくじは、神の意思を知る手段としてくじを引くものである。
計量と検定
二値数列のランダム性には多くの実用的な尺度がある。その中には、頻度、離散変換、複雑性に基づく、またはこれらを併用した尺度があり、Kak、Phillips、Yuen、Hopkins、Beth & Dai、Mund、Marsaglia & Zamanのテストなどがある。
量子非局所性(Quantum Non-Locality)は、指定された数列の真のランダム性の存在を証明するために使用されている。