アーリヤバタ
呼び名
10世紀の同名の数学者と区別する必要がある場合はローマ数字のIを付加してアーリヤバタI（Aryabhata I）と表記する。また、出身国とされる国の名前を取って、アーシュマキーヤとも呼ばれる。現代のラテン文字による文献においては、"Ārya-" に "-bhaṭṭa" の接尾辞を繋げて、"Āryabhaṭṭa" と綴る例があり、インド共和国最初の人工衛星の名称もその綴りとされた。サンスクリットの接尾辞 "-bhaṭa" は「金で雇われた人、傭兵」などの意味である一方で、"-bhaṭṭa" には「教養のある人、学者」などの意味がある。したがって、"Āryabhaṭṭa" の方が尊敬の意味合いが込められているのであるが、ヴァラーハミヒラ、バースカラI、ブラフマグプタその他、前近代の文献においては一貫して Āryabhaṭa である。したがって、"Āryabhaṭṭa" の綴りの妥当性は疑わしい。なお、日本語文献においては、アールヤバタとカナ表記する場合もある。
前半生
アーリヤバタが活動したのは、西暦紀元500年前後のグプタ王朝である。グプタ朝においては、西方世界との文化的接触に影響を受けて、ヴェーダ時代の天文・数学が復活した。5世紀から10世紀ごろまでのインド数学研究の中心地は、クスマプラ、ウッジャイニー、マイソールにあり、アーリヤバタが活躍したのはクスマプラである。クスマプラ (Kusumapra) とは、グプタ朝の首都であったパータリプトラ（現ビハール州パトナ）のことで、5-6世紀に繁栄を極めたナーランダー大学があった。ナーランダー大学には大きな天文台があり、アーリヤバタは同大学の学長であったとみられる。
『アーリヤバティーヤ』の第3章には「世界がカリ・ユガに入って以来3600年になるこの年、23歳でこれを書いた」という趣旨の記述がある。カリ・ユガ紀元3600年は西暦紀元499年に当たるため、アーリヤバタの生年は西暦476年と推定されている。アーリヤバタの生誕地について、19世紀の古い研究では、断片的な詩行の解釈に基づいてクスマプラ生まれではないかと憶測されることもあったが、20世紀以後の研究では、『アーリヤバティーヤ』に注釈した7世紀の数学者バースカラIがアーリヤバタをアーシュマキーヤ（āśmakīya）と呼んでいることから、アシュマカの生まれであると考えられている。アシュマカはガウタマ・シッダールタが生きた時代のアッサカ国にあたる地域である。なお、ケーララ学派の数学者たちが、アーリヤバタはケーララからクスマプラに招聘されたという説を唱えることがあったが、『アーリヤシッダーンタ』がケーララに伝わっていないことなど、総合的な観点から疑わしい。
後期グプタ王朝の王の一人ブダグプタは、『大唐西域記』巻九で玄奘が護法の王「仏陀毬多」の名で伝えるマガダ国の王と同一人物であると考えられる。鋳造貨幣の刻印を根拠に確認できるブダグプタの統治年代の最も遅い年が西暦494年、他のグプタの王名が現れる碑文史料が指し示す直近の年代が510年であり、アーリヤバタが『アーリヤバティーヤ』を著したのが499年であることから、アーリヤバタがクスマプラにて活動した時期は、ブダグプタの治政下であったと推定される。後期グプタ王朝の歴史については衰退ないし分裂したであろうことは明らかであるが、不明な点が多い。しかしながら、エーランの石柱碑文、ダーモーダルプルの銅板銘文、マトゥラー出土の仏彫碑文などの証拠に基づくと、ブダグプタ時代のグプタ朝の版図は、東は北ベンガル、西はマールワー地方、北はカナウジ国あたりまで回復しており、南はナルマダー川流域あたりでヴァーカータカ朝と接していた。
したがって、デカンのアシュマカは当時、グプタ朝の版図外にあり、アーリヤバタはそのようなところから、わざわざゴーダヴァリー川とナルマダー川を渡河してクスマプラに来たと考えられる。蓋然性の高い理由として、従来提示されているのが、アーリヤバタはブダグプタによりナーランダー大学の学長としてアシュマカから招聘されたという説である。当時、クスマプラの近くには、玄奘や義浄も学んだナーランダー大学があった。このような状況証拠に加えて、アーリヤバタが「施設の長」を意味する Kulpa の称号でもって呼ばれていることが文献上確認できる。以上のようなことから、アーリヤバタはブダグプタによりナーランダー大学の学長であったと推定される。なお、グプタ朝はヴァーカータカ朝と婚姻を通じて同盟関係を結んでおり関係は良好であった。
アーリヤバタ登場以前
紀元前4世紀から紀元後5世紀までのインドの天文学及び数学について概術する。ヴェーダ時代には宗教的な供犠を実施する必要性から、27又は28の星宿を基準に太陽と月の動きを観測する天文学が生じた。これらの知識は「ガニタ・ジョーティシャ」と呼ばれる天文学の知識としてまとめられ、ヴェーダの補助学となった。
『アーリヤバティーヤ』
『アーリヤバティーヤ』は現代に伝わった唯一の著書であると共に、著者名が判明しているインドの数学書の中で最古のものである。バースカラI（7世紀）やニーラカンタ・ソーマヤージ（1444 – 1544）が注釈を書いた。
『アーリヤバティーヤ』は革新的な内容であったが、伝統と妥協しているところもあるとされる。林（1993）は妥協点の一つにジャイナ教で重要な概念とされる宇宙論的時間概念が含まれる点に注目し、パータリプトラはかつて（紀元前4世紀）ジャイナ教の聖典結集が行われたジャイナ教学の中心地であり、アーリヤバタの時代前後にはジャイナ教徒が数学分野で活躍していたことなどから、アーリヤバタとジャイナ教徒の学者との接触があった可能性を指摘する。
『アーリヤシッダーンタ』
6世紀のヴァラーハミヒラなど多くの天文学者の著書から『アーリヤシッダーンタ』という天文書が存在したことが確実視される。ただし、現代には伝わっておらず、正確な内容は不明である。題名はアーリヤバタの天文学（シッダーンタ）を意味する。『アーリヤシッダーンタ』は7世紀の北インドで最高の流行をもたらした。アーリヤバタの批判者、ブラフマグプタは、これを非難する意図を込めて、「甘美な砂糖で調理した食物」を意味する『カンダ・カーディヤカ』という題名で『アーリヤシッダーンタ』の要約版をつくるほどであった。
K. V. サルマーによると、『アーリヤシッダーンタ』は、アーンドラ・プラデーシュ州、インドの北西部からイランにかけての地域、そしてアッバース朝の宮廷に伝わった。『カンダ・カーディヤカ』はアラビア語に訳されるとき『アル＝カンド』という書名になって、イスラーム世界で天文計算の簡便な手引書として広く用いられた。インドに10年間滞在してインドの科学技術をイスラーム世界に伝えたペルシアの学者ビールーニーも『カンダ・カーディヤカ』を改訳した。
後半生
アーリヤバタの弟子としては、ラータデーヴァ、パーンドゥランガ・スヴァーミー、ニシャンクの3人の名前が伝わっている。このうち、ラータデーヴァは、ヴァラーハミヒラによると、東ローマ帝国に伝わったギリシア数学を紹介する『ローマカシッダーンタ』と『パウリシャシッダーンタ』の注釈書を書いた。
『アーリヤバティーヤ』以後のアーリヤバタの足跡はまったく不明である。アーリヤバタをバラモンの立場から激しく批判したブラフマグプタは『ブラーフマスプタシッダーンタ』の第1章62節で、「アーリヤバタの支持者は公然とカモシカのように立ち向かいはしない。彼らはライオンを見てもライオンに立ち向かいはしない。」と書いている。この文言に関してソ連のインド学者レーヴィンは、ブラフマグプタがバラモンの伝統を墨守する伝統主義者をカモシカを簡単に殺すライオンにたとえ、アーリヤバタを人間的には弁護していると解釈した。レーヴィンによれば、アーリヤバタが科学者としての態度を堅持したため反科学から非難されたことをブラフマグプタは言外に述べており、アーリヤバタが正統派バラモンやその忠実な信者から攻撃を受けて、非難や迫害にその身をさらすことを避けたのは、ほとんど疑いえないという。
ヴァラーハミヒラの『パンチャシッダーンティカー』は、アーリヤバタが生きた時代にもてはやされていた著作を記しているが、それらはいずれも聖典から聖者を通して伝えられたと主張するものである。これに対してアーリヤバタは、過去の知識を研究し、自分の知性によって書物を著したと言えるため、科学史家の M.L.Sharma は、アーリヤバタを「インド天文学最初のアーチャーリヤ（学匠）」と評した。アーチャーリヤ（学匠）は著者自身が研究して著書を書いた人にあてられる呼称である。