位相空間
位相空間と距離空間
位相空間となる代表的な空間としては、ユークリッド空間をはじめとした距離空間がある。（なお、距離空間は必ず位相空間になるが、逆は必ずしも正しくない）。
しかしユークリッド空間など多くの空間では、位相空間としての構造は距離空間としての構造よりも遙かに弱いものになっており、距離空間としては異なっても位相空間としては同一の空間になることもある。
例えばユークリッド空間をゴム膜のように連続変形したものは、元のユークリッド空間とは距離空間としては異なるが、位相空間としては同一である。実際、点列が収束するか否かという位相空間の代表的な性質は、ユークリッド空間をゴム膜のように連続変形しても不変である。
この例でもわかるように、連続性や収束性といった概念を考えるときには、距離空間の概念は柔軟性に欠けるところがあり、位相空間というより弱い概念を考える積極的動機の一つとなる。
他にも例えば多様体を定義する際には複数の距離空間(ユークリッド空間の開集合)を連続写像で「張り合わせる」(商空間)が、張り合わせに際して元の空間の距離構造を壊してしまうので、元の空間を距離空間とみなすより、位相空間とみなす方が自然である。
応用分野
位相空間の概念の代表的な応用分野に位相幾何学がある。これは曲面をはじめとした幾何学的な空間（主に有限次元の多様体や単体的複体）の位相空間としての性質を探る分野である。前述のようにゴム膜のように連続変形しても位相空間としての構造は変わらないので、球面と楕球は同じ空間であるが、トーラスは球面とは異なる位相空間である事が知られている。位相幾何学では、位相空間としての構造に着目して空間を分類したり、分類に必要な不変量(位相不変量)を定義したりする。
位相空間の概念は代数学や解析学でも有益である。例えば無限次元ベクトル空間を扱う関数解析学の理論を見通しよく展開するにはベクトル空間に位相を入れて位相空間の一般論を用いることが必須であるし（位相線型空間）、代数幾何学で用いられるザリスキ位相は、通常、距離から定めることのできないような位相である。
また、位相空間としての構造はその上で定義された様々な概念の制約条件として登場することがある。例えばリーマン面上の有理型関数のなす空間の次元は、リーマン面の位相構造によって制限を受ける(リーマン・ロッホの定理)。また三次元以上の二つの閉じた双曲多様体が距離空間として同型である必要十分条件は、位相空間として同型な事である(モストウの剛性定理)。
定義
位相空間にはいくつかの同値な定義があるが、本項ではまず、開集合を使った定義を述べる。
密着位相、離散位相、補有限位相、補可算位相
X を集合とするとき、空集合と全体集合 X のみを開集合とする開集合系が、位相空間の公理を満たすことを簡単に確認できる。X 上のこの位相構造をX の密着位相という。
また、X の任意の部分集合を開集合とする開集合系も、位相空間の公理を満たすことを簡単に確認できる。X 上のこの位相構造をX の離散位相という。
密着位相と離散位相はいわば「両極端」の人工的な位相構造に過ぎないが、これらの位相構造は、位相に関する命題の反例として用いられる事がある。
またこれらの位相構造は、任意の集合上に位相構造を定義できる事を意味している。
任意の無限集合 X には、さらに補有限位相という位相も入れることができる。これはXの有限集合部分全体の集合を閉集合系とみなす位相である。なおX が有限集合である場合も原理的には補有限位相を定義できるが、この場合は離散位相と一致する。
同様に任意の非可算集合 Xには補可算位相を入れることができ、これはXの可算集合部分全体の集合を閉集合系とみなす位相である。
ザリスキ位相
分離性を満たさない位相空間で代数学・数論的に重要なものとして素スペクトルや極大スペクトルが挙げられる。これは単位的な可換環に対して自然に定義されるもので、環 R のスペクトル  は点集合としては R の素イデアルの集合として与えられ、その閉集合系は  と書ける  の部分集合全体によって与えられる。極大スペクトルは極大イデアル（スペクトルにおける閉点）全体からなるスペクトルの部分空間として与えられる。
特に整数のなす環 Z の極大スペクトルは素数全体の集合 P = {2, 3, 5, 7, ...} と同一視でき、その閉集合は P の任意の有限部分集合および P 全体としてあたえられる。
同相写像、位相不変性
、を位相空間とし、f : X → Y を写像とするとき、f が同相写像であるとは、f が全単射で、しかもf と f⁻¹ が両方とも連続であることをいう。
また、X、Y 間に同相写像が存在するとき、、は位相同型もしくは同相であるという。
位相同型性は、位相空間のクラスにおける同値関係であることを簡単に確認できる。
位相空間論や、その応用分野である位相幾何学では、「位相同型で不変」(位相不変性)な性質(位相的性質)を探ったり、そうした性質により、空間を分類する。
一般化
距離空間の場合、点列の収束の概念を用いることで連続性や閉集合といった基礎的概念を特徴づけることができたが、一般の位相空間ではそのような事はできない。(これが可能な空間を列型空間という)。
これは点列という概念が、自然数という限定的な添え字しか許さないことや、点の列だけで集合の列を考慮していない事などが原因である。
しかし、そうした側面に対して点列の概念を一般化したものである有向点族やフィルターの概念を用いれば、前述した基礎的概念をこれらの収束性で特徴づけることができる。
これらの収束性を考える利点はもうひとつあり、点列の収束性では必要性しかいえない命題が、これらの収束性を用いれば、必要十分性が言えるときがある。
例えば点列の収束の一意性は、前述したハウスドルフ性の必要条件に過ぎないが、有向点族の収束の一意性はハウスドルフ性の必要十分条件となる。
一様連続と一様収束
これまで説明してきたように、連続性と収束性は、位相空間で定義可能な代表的な性質である。
しかしこれらを強めた概念である一様連続性と一様収束性は、位相のみをベースにして定義する事はできない。
これらの概念は、距離空間と位相空間の中間の強さを持つ概念である一様空間で定義可能である。
位相空間の導出
すでにある位相空間を加工して、別の位相空間を作る方法を述べる。
位相空間を加工する上で基本となるのは、「逆像位相」と「像位相」の概念、おそびそれらの拡張概念である「始位相」と「終位相」である。
逆像位相と像位相、始位相と終位相は互いに双対の関係にあり、写像の向きを逆にすることでもう片方の概念を定式化できる。
像位相、商位相、終位相、直和位相
逆像位相、部分位相、始位相、直積位相と双対的に像位相、商位相、終位相、直和位相が定義できる。
基本近傍系
ユークリッド平面 R² を位相空間と考え、その上に任意に固定した点 p を考える。p の近傍であるような R² の部分集合は多種多様であるが、どのような近傍 V についても、十分に大きな正の整数 n を選べば、p を中心とする半径 1/n の開円板 B(p, 1/n) が V に含まれる。もちろんこの開円板は p の近傍である。以上から、開円板の族  がある意味で p の近傍たちを代表していると考えられるが、このような近傍の族を基本近傍系あるいは局所近傍基と呼ぶ。
正確な定義は以下の通り。p が位相空間 X の点であるとき、p の近傍からなる族  が p の基本近傍系であるとは、p の任意の近傍 V に対して、 の要素 U が存在して、 が成立することである。
もちろん、p が決まってもその基本近傍系は一通りには決まらない。たとえば上の例では、「p を中心として軸に平行な辺をもった一辺 1/n の開正方形全体」も基本近傍系である。また、p の近傍すべてからなる族も基本近傍系である。
位相的性質
位相空間の定義それ自身は可能な限り一般的に定義されているため、個々の応用では位相空間にプラスアルファの性質を付け加えたものを考えることが多い。
本節では、そうしたプラスアルファの性質のうち代表的なものを紹介する。
連結性
連結性とは、直観的には位相空間が「ひとつながりである」
という性質である。閉区間 [0,1] は連結性をもつ（連結である）が、二つの交わらない閉区間を合併した  という位相空間は連結ではない。
距離化可能性
距離空間は自然に位相空間になるが、では逆に位相空間がどのような条件を満たせば距離空間になるであろうか。
すなわち、位相空間 が距離化可能であるとは、X 上の距離 d が(少なくとも一つ)存在し、d がX 上に定める位相がと一致する事を言う。
学部レベルの教科書には距離化可能性の十分条件であるウリゾーンの距離化可能定理が載っていることが多いが、現在は距離化可能性の必要十分条件である長田＝スミルノフの距離化定理やビングの距離化定理が知られている。
この他の諸性質
一般の位相空間についても、連続性や収束を大枠において論じることができる。しかし、当然のことながら、ユークリッド空間がもつような「都合のよい」性質がすべての位相空間で成り立つ訳ではない。個々の位相空間を取り扱うには、その位相空間がどのような点でユークリッド空間に類似し、どのような点が違うのかを明確に知っておくことが重要である。
位相空間についての性質は、上に挙げたコンパクト性、連結性などの他にも色々考えられるが、よく用いられるものの多くはユークリッド空間について成り立つ性質の一つを取り出してきたものである。このような性質の有無を知ることにより、どのような議論がユークリッド空間と並行してできるのかを識別できる。例えば局所コンパクト性とは、各点がコンパクトな近傍をもつという性質であるが、これはユークリッド空間について成り立つ性質の一つである。しかし、この性質は整数論で用いられるp-進数体 Qₚ についても成立する。一方、有理数全体 Q は局所コンパクトではない。
ユークリッド空間については成立しない性質の中にも注目に値するものがあり、時として利用される。たとえば、連結な部分空間が一点に限られる空間を完全不連結というが、これはユークリッド空間にはない性質である。Q はこの性質を満たすし、また p-進数体 Qₚ もこの性質を満たす。
ベール空間
位相空間X がベール空間であるとは、X 上の稠密開集合の可算個の共通部分が必ず稠密になることを言う。
完備疑距離空間の開集合はベール空間になる(ベールの第一範疇定理)。
また局所コンパクトハウスドルフ空間もベール空間になる(ベールの第二範疇定理)。
ベールの範疇定理は関数解析学において、開写像定理や閉グラフ定理を証明するのに用いられる。
集合論的位相空間論
集合論的位相空間論とは、位相空間上の性質がZFCと独立かどうかを主題する分野である。
位相ゲーム
位相ゲームとは、2人のプレイヤーにより位相空間上で行われるゲームで、プレイヤー達が自分の手番のとき、何らかの位相的な対象(開集合や閉集合など)を指定する事でゲームが進んでいく。
位相空間上の様々な性質、例えばベールの性質が位相ゲームのゲーム理論的な性質と関連する(バナッハ・マズール・ゲーム)。他にも完備性、収束性、分離公理といったものもゲーム理論的な性質と関連する。
位相代数的構造
代数的な演算が定義された位相空間X は、その演算の作用がX 上連続になるとき、演算と位相は両立するという。
そのような例として代表的なものには位相群、位相環および位相体、位相線型空間などがある。
歴史
集合論の創始者ゲオルク・カントールはユークリッド空間の開集合や閉集合などについても研究したが、これが位相空間の研究のはじまりである。カントールの行ったような位相空間の古典的な研究は、点集合論と呼ばれる。その後、モーリス・フレシェはユークリッド空間から離れて距離空間において極限の概念を考察し、さらにその後フェーリクス・ハウスドルフ、カジミェシュ・クラトフスキらによって、次第に現代のような一般の位相空間の形に整えられていった。