アフィン接続
動機と歴史
滑らかな多様体は、局所的にユークリッド空間 Rⁿ の滑らかな変形に見える数学的な対象である。たとえば、滑らかな曲線や曲面は、局所的には直線や平面の滑らかな変形に見える。滑らかな函数とベクトル場は、まさにユークリッド空間上であるかのように多様体を定義することができ、多様体上のスカラー函数は、自然な方法で微分することが可能である。ベクトル場の微分は、ユークリッド空間においては簡単な問題である。なぜなら、点 p における接ベクトル空間が普通に（平行移動によって）近くの点 q での接ベクトル空間と同一視できるからである。しかしながら、一般の多様体上でのベクトル場の微分はそう単純にはいかない。一般に、多様体上では近くの接空間の間にそのような自然な同一視は存在しないので、近接する点での接空間を well-defined な方法で比較することはできない。アフィン接続の考えは、近くの接空間を「接続する」ことにより、この問題を修正することで導入された。このアイデアの起源は、2つの源へと遡ることができる、曲面論とテンソル解析である。
曲面論からの動機
3-次元ユークリッド空間の中の滑らかな曲面 S を考える。任意の点の近くで、S はユークリッド空間のアフィン部分空間である接平面により近似することができる。19世紀の微分幾何学者は、発展の考えに興味をもった．これは、ある曲面を他の曲面に沿って滑ったり捩れたり（ツイストしたり）しないように転がす (roll)ことについての考えである。特に S の点への接平面は、S 上で転がることができる。これは、S が 2-球面のような曲面（凸な領域の滑らかな境界）である場合には想像しやすいはずだ。 S 上で接平面を転がしていくと、その接触点が S 上にある曲線を描く。逆に、S 上の曲線が与えられると、接平面をその曲線に沿って転がしていくことができる。この考え方が、ある曲線上の異なる点における接平面たちを同一視するための方法となる。特に、曲線上のある点での接空間ないの接ベクトルは、曲線上の任意の点での一意の接ベクトルと同一視される。これらの同一視は、常に、ひとつの接平面から別の平面へのアフィン変換により与えられる。
アフィン変換による、曲線に沿ったこの接ベクトルの平行移動の考えは、特徴的な性質をもっている。接平面が曲面と接触する点は、平行移動の下に曲線とともに常に移動する（すなわち、接平面が曲面上を転がっていきつつ、その接触点も移動していく）。この基本的条件はカルタン接続の特徴である。より現代的アプローチでは、接触点は接平面の原点と見なすことができ（従って接空間はベクトル空間である）、原点の移動は変換により修正され、従って平行移動はアフィンというよりも線型となる。
しかしながら、カルタン接続の観点では、ユークリッド空間のアフィン部分空間は、モデル曲面 - 3次元ユークリッド空間の中の最も単純な曲面であり、平面のアフィン群の下に等質 - であり、すべての滑らかな曲面は各々の点で接する一意にモデル曲面を持つ．これらのモデル曲面は、フェリックス・クラインのエルランゲンプログラムの意味でのクラインの幾何学である。より一般的には、n 次元アフィン空間はアフィン群 Aff(n) のクライン幾何学である。点の安定化因子は一般線型群 GL(n) である。従って、n-次元アフィン多様体は、無限小を考えると n-アフィン空間のように見える多様体である。
テンソル解析からの動機
アフィン接続の第二の動機は、ベクトル場の共変微分の考えから来る。座標独立な方法が登場する以前は、座標チャートの中のベクトルの成分を使いベクトル場を研究する必要があった。これらの成分を微分することはできるが、この微分は座標変換の下で管理可能な方法では変換しない。正しい記述はエルヴィン・クリストッフェル(Elwin Bruno Christoffel)により（ベルンハルト・リーマン(Bernhard Riemann)のアイデアに従い、1870年代に導入され、座標変換の下に共変な変換に沿ったベクトル場の（正しい）微分 — これらを集大成した結果は、クリストッフェル記号として知られる。このアイデアは、グレゴリオ・リッチ・クルバストロ(Gregorio Ricci-Curbastro)と彼の学生のレヴィ・チヴィタ(Tullio Levi-Civita)により、1880年代と20世紀への変わり目の間に（現在、テンソル解析として知られている）絶対微分法の理論へ発展した。
テンソル解析は、実際は、1915年のアルベルト・アインシュタイン(Albert Einstein)の一般相対論の登場により息を吹き返した。一般相対論の何年か後に、レヴィ・チヴィタは、リーマン計量に付随する一意な接続を定式化した。現在、この接続は、レヴィ・チヴィタ接続として知られている、さらに一般的なアフィン接続は、1920年頃に、ヘルマン・ワイル(Hermann Weyl)により研究され、彼は詳細に数学的な一般相対論の基礎付けを行い、エリ・カルタン(Élie Cartan) は、曲面論から来る幾何学的アイデアを考案した。
アプローチ
アフィン接続へのアプローチとその一般化は様々であり、複雑な歴史をもっている。
最も一般的なアプローチは、おそらく、共変微分による定義であろう。一方、ワイルの考え方は、ゲージ理論やゲージ共変微分という形であり、物理学者により採用されている。他方、共変微分はジャン・ルイ・コシュル(Jean-Louis Koszul)により抽象化され、彼はベクトル束上の（線型、あるいはKoszul）接続を定義した。この言葉を使うと、アフィン接続は単に接束上の共変微分、あるいは、（線型）接続である。
しかしながら、このアプローチは、背後にある幾何学や、その名前の由来を説明しない この用語は実際は、変換によりユークリッド空間での接空間の同一視に起源をもっている。この性質は、n-次元ユークリッド空間はアフィン空間でもあることに起源がある。（言い換えると、ユークリッド空間は、群の作用の下に主等質空間である、あるいは、テンソルであると言える。）導入部でも述べたように、この詳細を記述するためのいくつかの方法がある。アフィン接続は、曲線に沿ったベクトル場の平行移動であるという事実を使う。このことは標構バンドルの平行移動を定義する。標構バンドル上の無限小平行移動は、カルタン接続として、あるいは標構バンドルの主アフィン接続の GL(n) 接続として、アフィン群 Aff(n) の別な表現でもある。
一般アフィン幾何学：定義
本質的には滑らかなクライン幾何学として、アフィン空間は平坦なカルタン接続を持つ多様体である。さらに一般的なアフィン多様体、あるいはアフィン幾何学は、容易にモーレー・カルタン方程式により表現される平坦性条件へ落すことにより得られる。定義を得る方法としてはいくつかあるが、2つの定義を与えることにする。両方とも、アフィンリー群 Aff(n) のリー代数 aff(n) の中に値を持つ 1-形式と整合する、平坦モデルの 1-形式 (θⁱ,ωⱼᵏ) である。
これらの定義では、M は滑らかな n-次元多様体であり、A = Aff(n)/GL(n) は同じ次元のアフィン空間である。
主アフィン接続としての定義
M 上のアフィン接続(affine connection)は、M 上の主 Aff(n)-バンドルであり、Q の主 GL(n)-部分バンドル P と主 Aff(n)-接続 α （aff(n) に値を持つ Q 上の 1-形式）を伴っていて、これらは次のカルタン条件を満す。α の P への引き戻しの Rⁿ 成分は、水平な同変 1-形式であり、従って、TM から P ×GL(ₙ₎ Rⁿ へのバンドル準同型であり、この準同型が同型であることが要求される。
動機との関係
Aff(n) は A 上に作用するので、主バンドル Q に随伴するバンドル A = Q ×Aff(ₙ₎ A が存在し、このバンドルは、M 上の x でのファイバーがアフィン空間 Aₓ であるような M 上のファイバーバンドルである。A の切断 a （各々の x ∈ M に対し Aₓ の中のマーク付の点 aₓ を定義している）は、Q の主 GL(n)-部分バンドル P を互いに決定する（これらのマーク付の点の安定子のバンドルとして）。主接続 α はこのバンドル上のエーレスマン接続、よって平行移動の概念を定義する。カルタンの条件は、問題にしている切断が常に平行移動の下で動くことを保証している。
曲面論再論
M を R³ の中の曲面とすると、M は自然なアフィン接続を持っていることは容易に分かる。線型接続の観点より、ベクトル場の共変微分はベクトル場の微分により定義され、M から R³ への写像と見なされ、よって背後の M の接空間の上の直交する射影を結果する。このアフィン接続が捩れを持たないことは容易に分かる。さらに、R³ 上の内積により引き起こされた M 上のリーマン接続の観点からは、この接続が計量接続であることも容易に分かる。従って、この計量のレヴィ・チヴィタ接続であることも分かる。