円周率
表記と呼び方
円周率を表すギリシア文字 π は、ギリシア語 περίμετρος（ペリメトロス）あるいは περιφέρεια（ペリペレイア）の頭文字から取られた。いずれも周辺・円周・周などを意味する。文字 π をウィリアム・オートレッドは1631年に著した著書において半円の円弧部分の長さを表す文字として用い、アイザック・バローは論文において半径 R の円周の長さとして用いた。ウィリアム・ジョーンズ (1706) やレオンハルト・オイラーらにより（現代と同じく）円周の直径に対する比率を表す記号として用いられ、それが広まった。日本では「パイ」と発音する。
数 π を指す言葉には、日本・中国・韓国における「円周率（圓周率）」、ドイツの「Kreiszahl」（Kreis は円（周）、Zahl は数の意）の他、それを計算した人物の名前を取った「アルキメデス数」（英: Archimedes' constant）、「ルドルフ数」（英: Ludolph's constant、独: Ludolphsche Zahl）などがある。一般にドイツ語を除いたヨーロッパの諸言語には「円周率」に対応する単語はない。
なお、「π」の字体は、表示環境によってはキリル文字の п に近い π などと表示されることがある。
また、文字「π」は、数学では他に素数計数関数や基本群・ホモトピー群にも用いられる。またある種の写像を表すときにも慣習的に用いられる。
古代
円周の直径に対する比率が円の大きさに依らず一定であり、それが 3 より少し大きい程度だということは古代エジプトやバビロニア、インド、ギリシアの幾何学者たちにはすでに知られていた。また、古代インドやギリシアの数学者たちの間では半径 r の円板の面積が πr² であることも知られていた。さらに、アルキメデスは正96角形を用いて半径 r の球の体積が πr³ であることや、この球の表面積が 4πr²（その球の大円による切り口の面積の4倍）であることを導き出し、約1000年後、祖沖之（五世紀、中国）が小数点以下第6位まで弾き出した。
コンピュータによる計算の時代
20世紀以降、計算機の発達により、計算された円周率の桁数は飛躍的に増大した。1949年に、電子計算機ENIACを使い72時間かけて、円周率は2037桁まで計算された。その後の数十年間、さまざまなコンピュータ科学者や計算科学者など、あるいはコンピュータ趣味者によって計算は進められ、1973年には100万桁を超えた。この進歩は、スーパーコンピュータの開発だけによるものではなく、効率のよいアルゴリズムが考案されたためである。そのうちの最も重要な発見の一つとして、1960年代の高速フーリエ変換がある。これにより、多倍長の演算が高速に実行できるようになった。
2019年の時点では、円周率は小数点以下31兆4159億2653万5897桁まで計算されている。
無理性
π は無理数である。つまり、2つの整数の商で表すことはできず、小数展開は循環しない。このことは1761年にヨハン・ハインリッヒ・ランベルトが証明したが、厳密性に欠けた部分があった。その部分は1806年にルジャンドルによって補われた。
したがって、円周率のコンピュータによる計算や暗唱、10進法における各数字 (0, 1, …, 9) の出現頻度は、興味の対象となる。
超越性
さらに、π は超越数である。つまり、有理数係数の代数方程式の根とはならない。これは1882年にフェルディナント・フォン・リンデマンによって証明された（リンデマンの定理）。特に、整数から四則演算と冪根をとる操作だけを有限回組み合わせて π の正確な値を求めることはできないことが分かる。
π が超越数であることより、古代ギリシアの三大作図問題の内の一つ「円積問題」（与えられた長さを半径とする円と等積の正方形を作図すること）が不可能であることが従う。
円周率に関する式
π についての式は非常に多い。ここではその一部を紹介する。数式によってはそれ自体が π の定義になり得るし、π の近似値の計算などにも使われてきた。
暗唱記録
2004年9月25日、原口證が8時間45分かけて円周率5万4000桁の暗唱に成功し、従来の世界記録を更新した。しかしながら、実際はより多くの桁を覚えていたため、2005年7月1日 - 7月2日に再挑戦し、8万3431桁までの暗唱に成功した。2006年10月3日午前9時 - 10月4日午前1時30分（16時間30分）の挑戦で円周率10万桁の暗唱に成功した。原口はこれをギネス世界記録に申請したが、2017年現在に至るまで認定されていない。
『ギネス世界記録』によれば、円周率暗唱の世界記録は2015年10月21日に7万30桁を暗唱したインド人、スレシュ・クマール・シャルマ (Suresh Kumar Sharma) が記録したものである。
値
小数点以下1000桁までの値π = 3.
14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094 33057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179 31051 18548 07446 23799 62749 56735 18857 52724 89122 79381 83011 94912 98336 73362 44065 66430 86021 39494 63952 24737 19070 21798 60943 70277 05392 17176 29317 67523 84674 81846 76694 05132 00056 81271 45263 56082 77857 71342 75778 96091 73637 17872 14684 40901 22495 34301 46549 58537 10507 92279 68925 89235 42019 95611 21290 21960 86403 44181 59813 62977 47713 09960 51870 72113 49999 99837 29780 49951 05973 17328 16096 31859 50244 59455 34690 83026 42522 30825 33446 85035 26193 11881 71010 00313 78387 52886 58753 32083 81420 61717 76691 47303 59825 34904 28755 46873 11595 62863 88235 37875 93751 95778 18577 80532 17122 68066 13001 92787 66111 95909 21642 01989 …（オンライン整数列大辞典の数列 A000796）