レイノルズ数
レイノルズ数（レイノルズすう、英: Reynolds number、Re）は流体力学において慣性力と粘性力との比で定義される無次元量である。流れの中でのこれら2つの力の相対的な重要性を定量している。
概念は1851年にジョージ・ガブリエル・ストークスにより紹介されたが、レイノルズ数はオズボーン・レイノルズ (1842–1912) の名にちなんで名づけられており、1883年にその利用法について普及させた。
流体力学上の問題について次元解析を行う場合にはレイノルズ数は便利であり、異なる実験ケース間での力学的相似性を評価するのに利用される。
また、レイノルズ数は層流や乱流のように異なる流れ領域を特徴づけるためにも利用される。層流については、低いレイノルズ数において発生し、そこでは粘性力が支配的であり、滑らかで安定した流れが特徴である。乱流については、高いレイノルズ数において発生し、そこでは慣性力が支配的であり、無秩序な渦や不安定な流れが特徴である。
実際には、レイノルズ数の一致のみで流れの相似性を保証するには十分ではない。流体流れは一般的には無秩序であり、形や表面の粗さの非常に小さな変化が異なる流れをもたらすことがある。しかしながら、レイノルズ数は非常に重要な指標であり、世界中で広く使われている。
平行2平板間の流れ
平行に置かれた2平板表面間（幅は2平板間のスペースよりはるかに大きい）での流れにおいては、特性長さは平板間距離の2倍になる。
開水路流れ
自由表面を伴った流体流れに関し、水力直径が決定される必要がある。これは、開水路の断面積を潤辺で割ったものである。半円形水路では直径の半分となる。長方形水路では、水力直径は断面積を潤辺で割ったものとなる。いくつかの文献では、水力直径の4倍となる特性長さが用いられているが、これは配管流れにおける乱流の発生に関してレイノルズ数が同じ値となるように選択されたものである。他の文献では、遷移領域及び乱流領域では必然的に異なった値となるレイノルズ数とともに、水路ごとに慣習的に特性長さとしての水力直径を用いている。
流れの中の障害物
流れの中の障害物に関したレイノルズ数は、粒子レイノルズ数と呼ばれしばしばReₚと表記され、粒子周りの流れの性質、渦の剥離の発生の有無、及び粒子の沈降速度を考慮するときに重要となる。
流れの中の球
流れの中の球に関し、特性長さは球の直径であり、特性速度は、球からすこし離れた場所の球の運動が流体の検査体を乱さないような場所にある流体と球との相対速度である。密度と速度は流体の属性とする。この定義では、レイノルズ数が0.1までは純粋な層流のみが存在することに注目すべきである。
レイノルズ数が低い状態では、力と速度の関係はストークスの式により与えられる。
流れの中の楕円体
楕円形の物体の式は球の式と同様であり、物体が楕円体に近似されるとき軸の長さが特性長さとして用いられる。ただし、粒子の軸長さの測定は非現実的なので、ふるい径が特性粒子長さとして代わりに用いられる。二つの概算値を用いることで限界レイノルズ数の値が変動する。
沈降速度
粒子レイノルズ数は粒子の沈降速度を決定するのに重要である。粒子レイノルズ数が層流を示す場合、ストークスの式を沈降速度の計算式として使用することができる。粒子レイノルズ数が層流を示す場合、適切な沈降速度をモデル化するために乱流抗力法（turbulent drag law）が構築される必要がある。
高分子溶液や重合体溶融物のような粘性が元々高い流れは普通は層流となる。レイノルズ数が非常に小さければ、ストークスの法則により流体の粘性を計ることができる。球が流体の中で沈降するとき、球はすぐに終末速度に達し、そこから粘性が求まる。
流れの相似性1
後述のバッキンガムのΠ定理によれば、流れの中におかれた物体に働く力はレイノルズ数とマッハ数のみの関数である。すなわち、レイノルズ数とマッハ数が同じ値の流れ場は同じ振る舞いをする。これを流れの相似性という。これを利用すれば、風洞実験で流れ場を再現するにはレイノルズ数・マッハ数を変えるだけでよく、流速・密度・粘性係数・圧力等といった多数の変数を扱う必要がなくなり、実験回数を大きく削減できる。
さらに、外力が保存力であり、かつ非圧縮性流れの場合は境界の相似性とレイノルズ数の一致のみによって流れ場全体の相似性が成り立つ。これをレイノルズの相似則（Reynolds's law of similarity）という（相似則も参照）。
乱流遷移の指標
定義を見てみると分母は粘性力、分子は慣性力の強さを表しており、レイノルズ数は粘性力（周りの流体要素と同様に動こうとする力）に対する慣性力（周りとは別に動こうとする力）の強さを表していると見ることができる。したがってレイノルズ数が大きくなることは、各流体要素が別個に運動し、流れ場が乱流に近づくことを意味する。一般に、流れは、レイノルズ数が小さい内は層流だが、レイノルズ数が大きくなると、乱流に転ずる。このため、レイノルズ数は、乱流と層流を区別する指標としても用いられる。層流が乱流に遷移するときのレイノルズ数を限界レイノルズ数という。例として、円管内の流れでは2,300～4,000であることが知られている。レイノルズ数が2300と4000間では、層流と乱流ともに起こり得り"遷移"流と呼ばれ、配管の粗さや流れの不均一性等の他の要因に影響される。この結果は水力直径を用いた非円形水路についても発生し、遷移レイノルズ数は他の形状の水路についても計算することができる。
一様流中の平板表面では限界レイノルズ数は500,000程度であることが実験から知られている。
これらの遷移レイノルズ数は"限界レイノルズ数"と呼ばれ、1895年にオズボーン・レイノルズにより研究されている。
乱流運動における最小スケール
乱流において、時間変化するひと塊のスケールでの流体運動が存在する。流体運動（渦とも呼ばれる）の最大サイズは流れの全体のジオメトリーにより決められる。例えば、工業用煙突において渦の最大スケールは煙突そのものの直径と同等の大きさである。最小スケールのサイズはレイノルズ数により決められる。レイノルズ数が大きくなると、小さな渦も可視化されてくる。煙突では、煙は大きな渦に加えて非常に小さな速度の揺れまたは渦を持っているように見えるかもしれない。これらの意味でレイノルズ数は流れスケールの規模についての指標であるといえる。レイノルズ数が大きいと、スケールの範囲も大きくなる。最大の渦はいつも同じサイズとなり、最小の渦はレイノルズ数により決定される。
この現象についての説明はどうなるか？大きなレイノルズ数は粘性力が流れの大きな規模では重要でないことを示す。粘性力に対する慣性力が非常に優位に働くと、流体運動の最大スケールは小さくならない。それはそれらの運動を放散するだけの十分な粘性がないということである。スケールが十分に小さく粘性が重要である（つまりは、粘性力が慣性力のオーダーになる）レベルまでは運動エネルギーが"カスケード"的に大きなスケールから次第に小さなスケールへと低下しなければならない。それは粘性作用によるエネルギーの消失が最終的に行われるのはこれら小さなスケールにおいてということである。それゆえ、最大渦は流れのジオメトリーにより決定され最小渦は粘性により決められるので、レイノルズ数は乱流運動最大スケールと最小スケールの比として理解することができる。
流体力学
十分に発達した流体流れに見られる圧力低下は、ムーディー線図を用いて予測可能であり、この線図ではレイノルズ数Re と相対粗度ε/D に対して摩擦損失係数 f をプロットしている。この線図においては層流領域、遷移領域、及び乱流領域がレイノルズ数の増加とともにはっきりと示されている。配管流れの性質は流れが層流か乱流かにより強く依存する。管網解析では圧力損失を求めるために、摩擦損失係数が必要であり、摩擦損失数を求めるため、レイノルズ数が使われる場合があるので非常に重要な無次元数である。
生理学
人体における血液循環についてのポアズイユの法則は層流に依存する。
レイノルズ数の定義を用いると、流れ速く、直径大きく、そして血液の密度が高いと乱流となりやすいことがわかる。血管の直径の急激な変化は乱流につながりやすく、例えば狭いところが広くなるときがそうである。さらに、可聴乱流が聴診器で検出されるところでは乱流の原因の可能性としてアテロームの膨らみが挙げられる。
航空力学
レイノルズ数は詳細な数字でなく、「10 の何乗」という桁数（オーダー）に注目することも多い。たとえば、空気中を飛行する飛行機の主翼でのレイノルズ数は 10⁶ ～ 10⁸ 程度である。また、模型飛行機などのレイノルズ数は10⁵以下で低レイノルズ数領域と言われている。
船舶工学
高分子溶液の層流は魚やイルカにより利用され、それらが皮膚から高分子溶液をにじみ出し泳ぎの間、体の上の流れを助ける役割をしている。これはヨットレースにおいて利用され、ヨットオーナーはスピードをあげるために低分子量のポリエチレングリコールのような高分子溶液を船体の接水面にポンプ注入することがある。