操作変数法
例
カジュアルな言い方では、ある変数  が他の変数  に与える因果効果を推定しようとする時、操作変数は  における効果のみを通して  に影響を与える変数  のことである。例えば、研究者は喫煙の一般的な健康における因果効果を推定したいとしよう。健康と喫煙の相関は、他の変数が健康と喫煙の両方に影響を与えた、もしくは健康状態が喫煙に影響を与えたと考えることもできるので、喫煙が健康を悪化させる原因であるということは意味しない。一般の母集団において喫煙状態を制御した実験を行うのはとても難しく費用がかかる。研究者は、因果分析における喫煙の操作変数としてタバコ製品の税率の時系列を用いて観測データから健康における喫煙の因果効果を推定しようとするだろう。研究者はタバコ製品についての税率は喫煙に与える効果のみを通して健康に影響を与えると仮定するので、タバコ製品についての税率は操作変数としては合理的な選択である。もし研究者がタバコ税と健康状態が相関しているのを発見できたならば、それは喫煙が健康状態の変化の原因であるという証拠と見なしうる。
ヨシュア・アングリストとアラン・クルーガーは操作変数法の使用と歴史についてのサーベイを行っている。
適切な操作変数の選択
は観測できないので、 が  から独立であるという仮定が満たされるかどうかはデータからは導かれず、かわりにモデルの構造、つまりデータの生成過程を決定しなくてはならない。因果のグラフはこの構造を表現していて、上で与えられているグラフの定義は変数  が共変数  が与えられた下で操作変数として機能するかどうかを手早く決めるために用いることが出来る。この点を見るために、以下の例を考えよう。
ランダムに学生が寮に割り当てられるような大学において、大学のチュータープログラム（Tutoring Program）がGPAに与える影響を推定したいとしよう。チュータープログラムへの出席とGPAの間の関係は数多くの要因によって混同される。チュータープログラムに出席した学生は自分の成績に注意を払うかもしれないし、努力をするかもしれない（この混同は図.1-3における右側のチュータープログラムとGPAの間の双方向に伸びる弧を通して描写される）。学生が寮にランダムに割り当てられたとして、チュータープログラムが行われる場所からの学生の寮の近さは操作変数の自然な候補になる。
しかしながら、チュータープログラムが大学の図書館で行われたらどうなるだろうか。チュータープログラムが行われる場所と寮の近さは学生がより図書館で時間を費やそうとする原因になりうるだろうし、今度はそれがGPAを改善するだろう（図1を参照）。図2において描写されている因果グラフを用いると、チュータープログラムの行われる場所の近さは、グラフ  において「場所の近さ（Proximity）  図書館の使用時間（Library Hours）  GPA」という経路を通してGPAと繋がっているため、操作変数としてはふさわしくない。しかしながら、共変数として図書館の使用時間を加えてコントロールすれば、 において図書館の使用時間が与えられた下で場所の近さはGPAから分離されるため、場所の近さは操作変数になる。
今、図3のように学生"そのものが持つ能力"（Ability）が学生のGPAと同じくらい学生の図書館にいる時間に影響を与えるとしよう。因果グラフを用いれば、図書館の使用時間はコライダーとなり、図書館で条件付けることは「場所の近さ（Proximity）  図書館の使用時間（Library Hours）  GPA」という経路を作るだろう。結果として、場所の近さは操作変数として用いることは出来ない。
最後に、図4で示されているように、図書館で勉強しない学生は単に他の場所で勉強するので、図書館の使用時間はGPAに何の影響も与えないとしよう。この場合、図書館の使用時間を制御することは場所の近さからGPAまでの信用できない経路を開く。しかしながら、図書館の使用時間をコントロールせず、共変数から除外すると、場所の近さは操作変数として用いることが出来る。
操作変数推定量の解釈において
上での例は興味のある因果効果は観測値の間で不変であることを仮定している、つまり、 が定数であるということを仮定している。一般的に、主体が異なれば、"処置"  の変化に対する反応も異なる。この可能性を考慮に入れると、 の  における変化の母集団における平均的な効果は与えられた部分母集団における平均的な効果とは異なるだろう。例えば、職業訓練プログラムの平均効果は、訓練を実際に受講した人々からなるグループと受講しなかった人々からなるグループとで実質的に異なるだろう。これらの理由により、操作変数法は、行動的な反応に対する暗黙的な仮定、もしくはより一般的に処置への反応と処置を受けるかどうかの傾向の間の相関についての仮定を課している。
標準的な操作変数推定量は平均処置効果（英: average treatment effect, ATE）というよりは局所平均処置効果（英: local average treatment effect, LATE）を取り出すことができる。Imbens and Angrist (1994) は線形な操作変数推定量は弱い条件の下で局所平均処置効果の加重平均と見なせることを示した。ここでその加重は操作変数の変化に対する内生的な説明変数の弾力性に依存している。端的に言えば、観測された操作変数の変化に反応した部分母集団についてのみ変数の効果は表れ、操作変数の変化に最も反応した部分母集団が操作変数の大きさや程度に最も大きな影響を持つだろうということを意味している。
例えば、研究者がランドグラント大学の存在を所得の回帰における大学教育の操作変数として使う時、研究者は大学が存在していれば学位を取るが、存在していなければ学位を取らなかった部分母集団における大学の所得に対する影響を識別する。この実証研究では、追加的な仮定なしには、大学があろうとなかろうと学位を取る、もしくは取らない人々における大学の効果について研究者は何も言えない。
潜在的な問題
操作変数が興味のある方程式の誤差項と相関していると、操作変数推定量は一般的には一致推定量ではない。Bound, Jaeger, and Baker (1995) が記すように、"弱"操作変数の選択によりまた別の問題が起こる。弱操作変数とは、第一段階の方程式において内生的な説明変数の予測値としては不十分であるような操作変数のことである。この場合、弱操作変数による内生変数の予測は不十分で、予測値はほとんど変動しない。結果として第二段階の方程式において内生変数を置き換えるために弱操作変数を使ったとき、最終的な値を予測することが難しくなる。
上で議論した喫煙と健康の例における文脈では、喫煙状態がタバコ税の変動にほとんど反応しないのであれば、タバコ税は喫煙についての弱操作変数となる。もし高い税率によって人々がタバコをやめる（もしくは喫煙を始めない）ことがないのであれば、タバコ税の変動は健康に対する喫煙の影響について何も情報を持たない。もしタバコ税が喫煙に与える影響というより他の経路を通して健康に影響を与えるのであれば、タバコ税は操作変数としては不適格であるし、操作変数法は間違った結果を生みかねない。例えば、相対的に健康志向な人々がいる時と場所においては、高い税率のタバコ税の実施と、たとえタバコ税が低率のままであったとしても健康であろうする行動の両方がなされるだろう。そして、仮にもし喫煙が健康に何の影響も与えないとしても、健康とタバコ税の間に相関が見られるだろう。この場合、タバコ税と健康の間に観測された相関から健康に対するタバコの因果効果を推測するのは過ちであろう。
標本性質と仮説検定
共変数が外生的である時、最小二乗推定量の小標本における性質は、 で条件づけた推定量のモーメントを計算するという標準的な方法で得ることができる。共変数のいくつかが内生的で操作変数法を用いている時、推定量のモーメントによる単純な表現は得られなくなる。一般的に操作変数推定量は漸近的に望ましい性質のみを持ち、有限標本における性質は明らかではなく、推量も推定量の標本分布に漸近的に近似することをベースにしている。操作変数が興味のある方程式の誤差項と無相関で、かつ弱操作変数でないとしても、操作変数推定量の有限標本における性質は大したものは得られない。例えば、適切に識別されたモデルからはモーメントを持たない有限標本推定量が得られ、ゆえにこの推定量のバイアスについて言えることは何もないし、検定統計量の名目値も実質的に歪み、推定量は一般的にパラメータの真の値から離れたものになる。
操作変数の強さの検定と過剰識別制約
内生的な共変数と操作変数は両方とも観測可能なので、操作変数の強さは直接的に評価できる。内生的な説明変数が一つの場合によく使われる経験的な方法の一つが以下のようなものである。第一段階の回帰において除外されている操作変数が無関係であるという帰無仮説の下でのF検定統計量が10以上かどうかで判別する。
操作変数が興味のある方程式の誤差項と相関していないという仮説は、適切に識別されたモデルでは検定不可能である。もしモデルが過剰識別ならば、この仮説を検定するために用いることのできる利用可能な情報がある。これらの過剰識別制約の最も一般的な検定で、サーガン-ハンセン検定と呼ばれるものは、もし操作変数が本当に外生的ならば、回帰残差は外生変数とは無相関だろうという観察に基づいている。サーガン-ハンセン検定統計量は回帰残差を外生的な変数に対し最小二乗法で回帰した際の （決定係数に観測値の数を掛けたもの）として計算できる。この検定統計量（の分布）は誤差項は操作変数と無相関であるという帰無仮説の下で自由度  のカイ二乗分布に漸近的に収束する。