ルベーグ積分
導入
積分を厳密なものにしようという動きは、19世紀からである。ベルンハルト・リーマンが提案したリーマン積分はこの目的に向けて大きな前進であった。リーマンは関数の積分を「簡単に計算できる積分」で近似することによって定義した。この定義による積分は、それまで解答が知られていた問題に対してそのままの結果をもたらしたし、他の問題に対しては新しい結果を与えることになった。しかし、リーマン積分は関数列の極限と相性が悪く、積分と極限が同時に現れるような場面では解析が困難な場合がある。それに対して、ルベーグ積分は、積分記号の下での極限がより扱いやすくなっている。ルベーグ積分は、リーマン積分と異なる形の「簡単に計算できる積分」を考えており、このことがルベーグ積分がリーマン積分よりよく振舞う理由となっている。さらに、ルベーグ積分ではリーマン積分より広い種類の関数に対して積分を定義することが可能になっている。例えば、無理数で 0 を有理数で 1 をとる関数（ディリクレの関数）を閉区間 [0, 1] 上で考えると、リーマン積分では積分が定義されないが、ルベーグ積分では積分できる。
定義のための準備
ルベーグ積分を定義するためには、きちんとした測度の概念が必要になる（これは言ってみれば、実数からなる集合 A に対し、集合 A の「大きさ」となる非負の実数 μ(A) を割り当てるものである）。ここでいう「大きさ」というのは、区間や区間の非交和に対してはそれらの通常の意味での「長さ」に一致するべきものである。さて函数 f: ℝ → ℝ⁺ は非負実数値函数であるものとして、「f の値域を分割する」という哲学のもと、f の積分は y = t と y = dt + t の間にある水平な細い帯状領域が占める基本面積を t に関して加えた総和となるものである。このような基本面積はちょうど 
 に等しい。ここに 
 と置けば、f のルベーグ積分は 
 と定義される（ただし、右辺の積分は広義リーマン積分の意味でとる。f* が非負の単調増大函数であり、したがって区間 [0, ∞] に値をとる広義リーマン積分が定まることに注意する）。適当なクラスに属する函数（可測函数）に対して、これはルベーグ積分を定義する。
一般の（非負とは限らない）可測函数 f がルベーグ可積分となるのは、f のグラフと x-軸に囲まれた領域の面積が有限、つまり 
 となるときである。この場合の積分の値は（リーマン積分のときと同様に）x-軸より上にある面積から x-軸より下にある面積を引いた　
 で与えられる。ここで、 は f の二つの非負値函数への分解であり、各々は 
 と与えられる（正成分と負成分の項を参照）。
構成法
ルベーグ積分論は、可測集合とその上の測度に関する理論（測度論）と可測函数とその積分に関する理論（積分論）の二段構えになっている。
測度論
当初、測度論は線分、平面図形、立体などの長さ、面積、体積などの精密な解析のために考え出されたものである (Lubesgue 1902)。特に 実数全体の集合 R の部分集合について、その部分集合の長さとは何か、という問いに対して整然とした解答を与えるものであった。
集合論の発展によって、自然な加法性を持ち、平行移動不変になるように、実数体 R のすべての部分集合に長さを定義することが不可能であることがわかった。このことにより、可測集合と呼ばれる種類の部分集合にのみ長さを定義する必要が生まれた。測度が満たすべき適当な条件については測度論を参照されたい。
現代では測度と積分は公理的に定義される。測度というのは、集合 X の適当な条件を満たす部分集合の族 Σ 上で定義された適当な条件を満たす関数 μ であれば何でもよく、X がユークリッド空間であったり、Σ の元が面積を計算したい図形であったりする必要はないし、μ の値が面積とかけ離れたものでもよい。そこで、ユークリッド空間の図形の面積を与える測度は特別にルベーグ測度という名前がついている。
リーマン積分では長方形 [a, b] × [c, d] の面積が (b − a)(d − c) で計算できることを基礎としている。リーマン積分は積分を近似するための「簡単に計算できる積分」として、長方形を並べたものを使っており、測度に関するより深い議論を必要としなかったのである。
積分の構成
ルベーグ積分の定式化の一つの方法として、単函数（有限個の指示函数の実係数線型結合）を用いるものがある。単函数は、可測函数の値域を帯状に分割することにより、可測函数を近似することができる。単函数の積分は各帯状領域の測度にその高さを掛けたものに等しい。非負値をとる一般の可測函数の積分はその函数の単函数による近似の上限として定義され、非負と限らない場合には函数を正成分と負成分の二つの非負値函数の差に分解してそれらの積分の差として可測函数の積分を定義する。
集合の定義関数の場合
与えられた測度 μ に関する可測集合 S に対して、S の定義関数  の積分を 
 とする。測度 μ が有限測度でない限り、この積分値が +∞ となる場合があることに注意する。以下積分が +∞ となる場合も許して、「積分が存在する」と言うことにする。
単関数の場合
実数の定数列 aₖ と μ-可測集合列 Sₖ から作られる、有限線型結合 
 を可測単函数と呼ぶ。可測単函数の積分は、指示函数の積分を線型に拡張したもので与えられる。より詳しく書けば、非負値可測単函数（すなわち aₖ > 0 (∀k) の場合）に対する積分は 
 で定める。ここで、0 × ∞ の不定形が生じる場合が想定できるが、規約として 0 × ∞ = 0 を用いるものとする。また前目と同じく積分は ∞ となり得る。
与えられた単函数を指示函数の線型結合として表す方法が複数あったとしても、上記のように定義した積分が常に同じ値となることに留意する。これは測度の加法性からくるものである。
非負とは限らない一般の実数値単函数の場合も同様なのであるが、不定形 ∞ − ∞ の値は「定義しない」（あるいは「無意味」）として扱うので、それが現れることは避けなければならない。よって、非負とは限らない f であってもそれを 
 と表したとき「aₖ ≠ 0 となる場合には必ず μ(Sₖ) < ∞」とできるという仮定を満たすものであれば、上で述べた積分の定義式は意味を為し、非負値の場合と同様に表し方に依らず定まる。
X の可測部分集合 B と可測単函数 s に対して、積分領域 B 上の s の積分は 
 で与えられる。
不定符号の場合
拡張実数値（実数以外に ±∞ も値として許す）可測函数 f の積分は f を正成分　f⁺ と負成分 f⁻ の差 
 に分解する（ここに f⁺(x) = max{f(x), 0}, f⁻(x) = −min{0, f(x)} であり、これらおよび  が非負可測函数となることに注意する）ことで
と定義される。左辺の積分が（±∞ の場合も許して）存在するためには、右辺の二つの積分のうちいずれか一つでも有限値でありさえすればよいことに留意すべきである。しかし、f がルベーグ可積分であるというときには、左辺が（存在するだけでなく）有限確定値であることを要求する。非負とは限らない（拡張）実数値可測函数 f がルベーグ可積分となるための必要十分条件は 
となることである。絶対値の積分が有限確定であるという意味で絶対可積分ともいう。
複素数値の場合
複素数値可測函数の場合も同様で、積分は函数を実部と虚部の和に分解することで定義できる。複素数値可測函数 h が実数値ルベーグ可積分函数 f, g を用いて h = f + ig と書けるならば、h の積分は 
 で定義される。
複素数値可測函数がルベーグ可積分となるための必要十分条件は、その絶対値がルベーグ可積分となることである。
積分領域
ルベーグ積分における技術的な目的のために、その積分領域は（可測空間の適当な部分集合という）「集合」であり、そのために積分領域は向きを持たないことに留意すべきである。初等的な微分積分学では、積分する向きを反映して 
 と定義するし、さらにこれを高階の微分形式の積分の場合にまで一般化するのであった。これと対照に、ルベーグ積分は「部分集合を測度に関して積分する」という別な方向への一般化を与えるのである。一次元で積分区間が A = [a, b] であるとき、
 のように書くことで、それが部分集合 [a, b] での積分であるということを示唆することは可能である。a > b のとき閉区間 A は空集合であるから、その場合の積分値は 0 である。